משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוס
משפט הסינוסים בכל משולש קיים יחס קבוע בין כל צלע לסינוס הזווית מולה ,יחס זה שווה לפעמים רדיוס המעגל החוסם את המשולש. a b c 2R sin sin sin הוכחה: B ABCמשולש שחסום במעגל שרדיוסו .R a נעביר קוטר .BD ( ) ACD 90זווית היקפית הנשענת על הקוטר) ( ) ABD ) ADC זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת שוות) בBDC - ולכן: C a a sin 2R 2R sin באופן דומה ,ניתן להוכיח: A D b c sin , sin 2R 2R a b c 2R sin sin sin משתי ההוכחות יחד נובע :בכל משולש קיים יחס קבוע בין כל צלע לסינוס הזווית מולה ,יחס זה שווה לפעמים רדיוס המעגל החוסם את המשולש. * במשולש קהה זווית ,שני הגבהים עוברים מחוץ למשולש ונשתמש בהוכחה בעובדה: ).sin = sin (180 * שימוש במשפט הסינוסים: א .כאשר נתונות שתי צלעות והזווית מול אחת מהן. ב .כאשר נתונה צלע ושתי זוויות. * יש לשים לב שהשימוש בנוסחה עם הקשר לרדיוס נכון רק כאשר המעגל חוסם את המשולש. 1 תרגילים .1 במשולש ABCנתון. ) B 61 , ) C 63 ,AB = 46.3 : חשבו את אורכי הצלעות ACו.BC - .2 שתי צלעות של משולש הן 5ס"מ ו 7 -ס"מ הזווית מול הצלע של 5ס"מ היא .34 א .חשבו את שני הערכים האפשריים לזווית שמול הצלע השלישית. ב. חשבו את שני הערכים האפשריים לצלע השלישית. .3 שתי צלעות של משולש הן 8ס"מ ו 13 -ס"מ רדיוס המעגל החוסם את המשולש הוא 7ס"מ. א .חשבו את הצלע השלישית אם נתון שהמשולש חד זווית. ב .חשבו את הצלע השלישית אם נתון שהמשולש קהה זווית. A .4 המשולש ABCהוא שווה שוקיים (.)AB=AC E את הזווית Bחילקו ל 3 -זוויות שוות. D השוק שווה ל 18 -ס"מ וזווית הראש .48 C חשבו את BEו.BD - .5 B ABCהוא משולש שווה שוקיים ( BD )AB=ACהוא תיכון לשוק .נתון. ) BDA 110 : חשבו את זווית הראש של המשולש. .6 אורכו של רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABCהוא 18ס"מ .שתים מזוויות המשולש הן בנות . ) B 62 , ) A 67חשבו את צלעות המשולש. .7 במשולש שווה שוקיים אורך השוק הוא 10ס"מ ואורך הבסיס הוא 12ס"מ. חשבו את האורך של חוצה זווית הבסיס. 2 משפט הקוסינוס ריבוע צלע במשולש שווה לסכום ריבועי שתי הצלעות האחרות פחות פעמיים מכפלתן בקוסינוס הזווית הכלואה ביניהן. A c2 = a2 + b2 2ab cos b הוכחה: C נוריד גובה ADלצלע .a בABD - c2 = AD2 + BD2 בADC - b2 = AD2 + CD2 c a D B BD = a CD c2 = AD2 + a2 2a CD + CD2 c2 = a2 + b2 2a CD CD = b cos c2 = a2 + b2 2ab cos * במשולש קהה זווית הגובה מחוץ למשולש ומתקייםcos(180) = cos : תרגילים .1 אורכי הצלעות של משולש הם 11 :ס"מ 15 ,ס"מ ו 19 -ס"מ. חשבו את הזווית הגדולה במשולש. .2 שני תיכונים לשתי צלעות במשולש אורכם 12ס"מ ו 15 -ס"מ והזוויות ביניהן שמול הצלע השלישית היא בת .135חשבו את צלעות המשולש. .3 CDהוא תיכון לצלע ABבמשולש ABCנתוןCD = 4 ,BC = 6 ,AB = 7 : חשבו את הזווית ) ABCואורך הצלע .AC 3 .4 צלע אחת במשולש גדולה ב 1 -ס"מ מצלע שניה וקטנה ב 5 -ס"מ מהצלע השלישית .אחת הזוויות במשולש היא בת .120חשבו את צלעות המשולש. .5 Eנקודה בתוך ריבוע ABCDשצלעו 12ס"מ A B נתוןDE = 8 ,EC = 6 : E חשבו את BEואת . AE C .6 D BQו AM -הם תיכונים במשולש ABCהנפגשים בנקודה .P A 42ס"מ = 36 ,AMס"מ = . ∡BPM = 53º ,BQ א .חשבו את היקף המרובע .PMCQ Q P ב .חשבו את שטח המשולש .ABC C .7 M B מעגל חוסם מרובע שצלעותיו 4ס"מ 5 ,ס"מ 6 ,ס"מ 7 ,ס"מ (בסדר זה). חשבו את זוויות המרובע ,את שטחו ואת רדיוס המעגל החוסם אותו. תרגילים נוספים .1 הוכיחו :שטח משולש הוא , S R 2 sin sin sin :כאשר Rהוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש ,ו , , -הן זוויות המשולש. .2 k 1 k 2 sin הוכיחו :שטח מרובע הוא: 2 S כאשר k 1ו k 2 -הם אלכסוני המרובע ,ו -היא הזווית בין האלכסונים. .3 a 2 sin sin , S כאשר aהיא צלע במשולש ,ו , , -הן הוכיחו :שטח משולש הוא : 2 sin זוויות המשולש. .4 הוכיחו :שטח משולש הוא , S = r ·p:כאשר = pמחצית היקף המשולש = r ,רדיוס המעגל החסום במשולש. 4
© Copyright 2024