‫מבחן בגרות מספר ‪2‬‬ ‫קיץ תשס"ט‪ ,2009 ,‬מועד ב‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 3-1‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫הולך רגל יוצא כל בוקר להליכה לאורך‬ ‫מסלול שאורכו הכולל הוא ‪ 24‬ק"מ‪.‬‬ ‫הדרך חזרה‬ ‫הוא יוצא מביתו לכיוון מזרח והולך ‪ m‬ק"מ‪.‬‬ ‫אחר כך הוא פונה צפונה והולך ‪ 1.5‬שעות‪.‬‬ ‫לאחר מכן הוא חוזר לביתו בדרך הקצרה‬ ‫צפונה‬ ‫ביותר )ראה ציור(‪ .‬בדרכו חזרה הוא הולך‬ ‫‪ 60‬דקות פחות מהזמן שבו הוא הולך‬ ‫יציאה‬ ‫מזרחה‬ ‫בשני הכיוונים יחד‪ ,‬מזרחה וצפונה‪.‬‬ ‫בכל קטעי הדר ך הוא הולך באותה מהירות קבועה‪ .‬חשב את ‪. m‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫נתונה סדרה הנדסית שכל ‪ n‬האיברים שלה הם חיוביים‪ .‬סכום ‪n  3‬‬ ‫האיברים האחרונים גדול פי ‪ 8‬מסכום ‪ n  3‬האיברים הראשונים‪.‬‬ ‫א‪ .‬חשב את מנת הסדרה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נתון כי ‪ n‬הוא מספר זוגי‪ .‬נסמן‪Sn  a1  a 2  a 3  ...  a n :‬‬ ‫‪Tn  a1  a 2  a 3  ...  a n‬‬ ‫‪S‬‬ ‫) ‪ a1 , a 2 , a 3 , ... , a n‬הם איברי הסדרה הנתונה(‪ .‬חשב את היחס ‪. n‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫בשכבה י"א יש שתי כיתות‪ :‬י"א ‪ 1‬ו‪ -‬י"א ‪. 2‬‬ ‫בכיתה י"א ‪ 1‬י ש ‪ 40‬תלמידים‪ ,‬ולמחציתם יש מחשב נישא‪.‬‬ ‫בכיתה י"א ‪ 2‬יש ‪ 35‬תלמידים‪ ,‬ול‪ 40% -‬מהם יש מחשב נישא‪.‬‬ ‫א‪ .‬בחרו באקראי תלמיד משכבה י"א‪ ,‬ונמצא שיש לו מחשב נישא‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שהוא לומד ב כיתה י"א ‪? 2‬‬ ‫ב‪ .‬בחרו באקראי בזה אחר זה )בלי החזרה( ‪ 2‬תלמידים מכיתה י"א‪, 1 -‬‬ ‫ובאותו אופן בחרו ‪ 2‬תלמידים מכיתה י"א ‪. 2‬‬ ‫מהי ההסתברות של‪ 2 -‬התלמידים מכיתה י"א ‪ 1‬וגם ל‪ 2 -‬התלמידים‬ ‫מכיתה י"א ‪ 2‬אין מחשב נישא?‬ ‫‪5‬‬ ‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬ ‫ענה על אחת מבין השאלות ‪. 5-4‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪(AC  AB) ABC‬‬ ‫חסום מלבן ‪ GFED‬כך שהקדקודים ‪ D‬ו‪E -‬‬ ‫מונחים על הצלע ‪ , AB‬והקדקודים ‪ F‬ו‪G -‬‬ ‫מונחים על הצלעות ‪ BC‬ו‪ CA -‬בהתאמה‪.‬‬ ‫נקודה ‪ , L‬הנמצאת על צלע המלבן ‪, GF‬‬ ‫היא מפגש התיכונים במשולש ‪. ABC‬‬ ‫דרך הנקודה ‪ L‬העבירו אנך לצלע ‪, BC‬‬ ‫החותך את ‪ BC‬בנקודה ‪) K‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪. KAB  KLF  EFB :‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪C‬‬ ‫אם נתון‪ 18 :‬ס"מ ‪ 15 , BC ‬ס"מ ‪, AB ‬‬ ‫חשב‪:‬‬ ‫ב‪ .‬את אורך הקטע ‪ . KF‬נמק‪.‬‬ ‫ג‪ .‬את אורך הקטע ‪ . FE‬נמק‪.‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫בטרפז שווה‪ -‬שוקיים ‪ ABCD‬הזווית שליד הבסיס הגדול היא ‪. ‬‬ ‫‪ E‬היא נקודה על השוק ‪ AD‬כך ש‪) ECD   -‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון כי אורך השוק של הטרפז שווה לאורך הבסיס הקטן ‪. AB‬‬ ‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את היחס‬ ‫בין שטח המשולש ‪ DEC‬לשטח‬ ‫‪ SDEC ‬‬ ‫המשולש ‪ BDC‬‬ ‫‪ SBDC ‬‬ ‫ב‪ .‬נתון‪ , AEC  90 :‬אורך האלכסון הטרפז‬ ‫גדול פי ‪ 1.5‬מאורך הבסיס הקטן ‪. AB‬‬ ‫‪S‬‬ ‫חשב את היחס ‪. DEC‬‬ ‫‪SBDC‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬ ‫של פונקציות רציונליות‪ ,‬של פונקציות שורש ושל פונקציות‬ ‫טריגונומטריות‬ ‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 8-6‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪cos x‬‬ ‫נ תונה הפונקציה‬ ‫‪1  sin x‬‬ ‫בחלק מהתחום ‪)  3  x  ‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f (x) ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה‬ ‫בנקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה‪. y -‬‬ ‫מצא את השטח המוגבל על ידי גרף‬ ‫‪x‬‬ ‫הפונקציה‪ ,‬על ידי המשיק ועל ידי ציר ה‪. x -‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪x  a‬‬ ‫‪xb‬‬ ‫‪. a  b ; a , b  0 ; f (x) ‬‬ ‫המשיקים לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך עם הצירים מקבילים זה לזה‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי ‪. a  2b‬‬ ‫הצב ‪ , a  2b‬וענה על הסעיפים ב‪ -‬ז )הבע באמצעות ‪ b‬במידת הצורך(‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה )‪ f (x‬המקבילות לצירים‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה )‪) f (x‬אם יש כאלה(‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫ד‪ .‬מצא נקודות חיתוך של הפונקציה )‪ f (x‬עם הצירים‪.‬‬ ‫ה‪ .‬מצא תחומי קעירות כלפי מעלה ‪ ‬וכלפי מטה ‪. ‬‬ ‫ו‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ז‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪ f (x‬עבור ‪. b  0‬‬ ‫נמק את שיקוליך בשרטוט הגרף עבור תחומי עלייה וירידה‬ ‫ועבור תחומי קעירות כלפי מעלה וכלפי מטה‪.‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪x 2  24‬‬ ‫‪. f (x) ‬‬ ‫העבירו י שר המשיק לגרף הפונקציה‬ ‫‪y‬‬ ‫בנקודה ‪ A‬שבה ‪ . x  t‬מנקודה ‪A‬‬ ‫העבירו ישר המקביל לציר ה‪x -‬‬ ‫וחותך את גרף הפונקציה בנקודה ‪. B‬‬ ‫בנקודה ‪ B‬העבירו עוד משיק לגרף‬ ‫הפונקציה‪ .‬המשיקים נפגשים בנקודה ‪C‬‬ ‫שעל ציר ה‪) y -‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪x‬‬ ‫א‪ .‬הראה כי הפונקציה זוגית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את ה שטח המינימלי של המשולש ‪. ABC‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ : ‫ מועד ב‬, 2009 ,‫ – קיץ תשס"ט‬2 ‫תשובות ל מבחן בגרו ת מספר‬ . m  8 .1 . 3 .‫ ב‬. 2 .‫ א‬. 2 . 19  0.086 .‫ ב‬. 7  0.4118 .‫ א‬. 3 221 17 .‫ ס"מ‬4.8 .‫ ג‬.‫ ס"מ‬3 .‫ ב‬. 4 . 0.1562 .‫ב‬ . sin1 12  sin  (1  2cos )sin   .‫ א‬. 5 sin(  ) sin  2 sin(  ) . 3  2 2  0.1716 . 6 . (2b;0) , (0;2) .‫ ד‬.‫ אין‬:‫ ; ירידה‬x  b ‫ או‬x  b :‫ עלייה‬.‫ ג‬. y  1 , x  b .‫ ב‬. 7 . x  b :  ; x  b :  .‫ה‬ y y .‫ז‬ .‫ו‬ x x . 8 216  62.35 .‫ ב‬. 8 12