‫מדינת ישראל‬ ‫משרד החינוך‬ ‫משימות והצעת תשובות‬ ‫קיץ תשע"ד‬ ‫מתמטיקה‬ ‫‪ 5‬יחידות לימוד — שאלון ראשון‬ ‫‪/‬המשך מעבר לדף‪/‬‬ ‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬ ‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫(‪ -40‬נקודות)‬ ‫פרק ראשון — אלגברה והסתברות ‪2 -‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 5 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 3-1‬לכל שאלה — ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬ ‫תנועה‬ ‫בעיות‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬ ‫משימה ‪1‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫משאית יצאה מתחנה ‪ A‬ונסעה במהירות קבועה לכיוון תחנה ‪. B‬‬ ‫‪ 2‬שעות אחרי היציאה הגיעה המשאית לתחנה ‪ , C‬הנמצאת בין ‪ A‬ל־ ‪, B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ואז הקטינה המשאית את מהירותה ל־ ‪ 3‬ממהירותה הקודמת‪.‬‬ ‫המשאית הגיעה לתחנה ‪ 40 , B‬דקות אחרי השעה שבה הייתה מגיעה‬ ‫אילו לא הקטינה את מהירותה‪.‬‬ ‫למחרת יצאה המשאית מתחנה ‪ A‬באותה מהירות קבועה‪ ,‬וכשהגיעה למרחק של ‪ 14‬ק"מ‬ ‫‪1‬‬ ‫אחרי התחנה ‪ , C‬הקטינה את מהירותה ל־ ‪ 3‬ממהירותה הקודמת‪.‬‬ ‫הפעם הגיעה המשאית לתחנה ‪ 20 , B‬דקות אחרי השעה שבה הייתה מגיעה‬ ‫אילו לא הקטינה את מהירותה‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫אילו המשאית לא הקטינה את מהירותה‪ ,‬כמה שעות הייתה נמשכת‬ ‫הנסיעה שלה מ־ ‪ A‬ל־ ‪? B‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מצא את המהירות שהייתה למשאית לפני שהקטינה את מהירותה‪.‬‬ ‫הצעת תשובה למשימה ‪1‬‬ ‫‪1 , - 5 , 9 , - 13 , 17 , - 21 , ...‬‬ ‫‪ .2‬נתונה הסדרה‪:‬‬ ‫נסמן‪ — v :‬מהירות המשאית מ־ ‪ A‬עד ‪ B‬בלי להקטין מהירות‬ ‫הערכים המוחלטים של איברי הסדרה מהווים סדרה חשבונית‪.‬‬ ‫‪ — t‬זמן הנסיעה של המשאית מ־ ‪ A‬ל־ ‪ B‬בלי להקטין מהירות‬ ‫האיברים במקומות הזוגיים בסדרה הם שליליים‪.‬‬ ‫א‪.‬נתון כי הסכום של ‪ 2n - 1‬האיברים הראשונים בסדרה הנתונה הוא ‪. 101‬‬ ‫דרך‬ ‫זמן‬ ‫מהירות‬ ‫הנתונה‪.‬‬ ‫(קמ"ש) העומדים במקומות‬ ‫מצא את הסכום של ‪ n‬האיברים הראשונים‬ ‫האי־זוגיים בסדרה(ק"מ)‬ ‫(שעות)‬ ‫מ־ ‪ A‬עד ‪B‬‬ ‫בלי להקטין מהירות‬ ‫‪v‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬ ‫‪tv‬‬ ‫‪t‬‬ ‫יום אחד‬ ‫מ־ ‪ A‬עד ‪C‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2v‬‬ ‫מ־ ‪ C‬עד ‪B‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪t - 2 + 60 = t - 3‬‬ ‫‪4 v‬‬ ‫‪(t - 3 ) 3‬‬ ‫הדרך מ־ ‪ A‬עד ‪ B‬ביום אחד מקיימת‪:‬‬ ‫‪4 v‬‬ ‫‪tv = 2v + (t - 3 ) 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ 3‬שעות = ‪t‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 5 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫‪-3‬‬‫המשך תשובה למשימה ‪.1‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מהירות‬ ‫(קמ"ש)‬ ‫למחרת‬ ‫דרך‬ ‫(ק"מ)‬ ‫זמן‬ ‫(שעות)‬ ‫מ־ ‪ A‬עד ‪ 14‬ק"מ אחרי ‪C‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪2+ v‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪(2 + v ) v‬‬ ‫מ־ ‪ 14‬ק"מ אחרי ‪ C‬עד ‪B‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪t - 2 - v + 60‬‬ ‫‪14 5 v‬‬ ‫‪(t - v - 3 ) 3‬‬ ‫למחרת הדרך מ־ ‪ A‬עד ‪ B‬מקיימת‪:‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪14 5 v‬‬ ‫‪tv = (2 + v ) v + (t - v - 3 ) 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪7‬‬ ‫נציב ‪ t = 3‬ונצמצם ב־ ‪ , v‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪7 14 5 1‬‬ ‫‪3 = 2 + v + ( 3 - v - 3) 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 84‬קמ"ש = ‪v‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/4‬‬ ‫אילו לא הקטינה את מהירותה‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫אילו המשאית לא הקטינה את מהירותה‪ ,‬כמה שעות הייתה נמשכת‬ ‫‪-4‬‬‫הנסיעה שלה מ־ ‪ A‬ל־ ‪? B‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מהירותה‪.‬‬ ‫מצא את המהירות שהייתה למשאית לפני שהקטינה את‬ ‫חשבונית‬ ‫סדרה‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 5 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫משימה ‪2‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫נתונה הסדרה‪:‬‬ ‫‪1 , - 5 , 9 , - 13 , 17 , - 21 , ...‬‬ ‫הערכים המוחלטים של איברי הסדרה מהווים סדרה חשבונית‪.‬‬ ‫האיברים במקומות הזוגיים בסדרה הם שליליים‪.‬‬ ‫נתון כי הסכום של ‪ 2n - 1‬האיברים הראשונים בסדרה הנתונה הוא ‪. 101‬‬ ‫מצא את הסכום של ‪ n‬האיברים הראשונים העומדים במקומות האי־זוגיים בסדרה הנתונה‪.‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬ ‫הצעת תשובה למשימה ‪2‬‬ ‫האיברים במקומות האי־זוגיים מהווים סדרה חשבונית שהפרשה ‪, 8‬‬ ‫לכן סכום ‪ n‬האיברים הראשונים במקומות האי־זוגיים‪:‬‬ ‫האיברים במקומות הזוגיים מהווים סדרה חשבונית שהפרשה ‪, - 8‬‬ ‫לכן סכום ‪ n - 1‬האיברים הראשונים במקומות הזוגיים‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪ = 2 (2 $1 + 8 (n - 1)) = n (4n - 3‬אי־זוגי‪S‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪n -1‬‬ ‫)‪ = 2 (- 2 $ 5 - 8 (n - 2)) = (n - 1) (3 - 4n‬זוגי‪S‬‬ ‫‪0‬‬ ‫סכום ‪ 2n - 1‬האיברים הראשונים בסדרה הנתונה‪:‬‬ ‫לפי הנתון‪:‬‬ ‫‪ = 4n - 3‬זוגי ‪ + S‬אי־זוגי‪S‬‬ ‫‪S2n - 1 = 101‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪101 = 4n - 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מספר האיברים‬ ‫במקומות האי־זוגיים‪:‬‬ ‫סכום ‪ 26‬האיברים הראשונים‬ ‫במקומות האי־זוגיים‪:‬‬ ‫‪n = 26‬‬ ‫)‪ = n (4n - 3) = 26 (4 $ 26 - 3‬אי־זוגי‪S‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ = 2626‬אי־זוגי‪S‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/5‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 5 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫‪-5-‬‬ ‫הסתברות‬ ‫משימות‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪,‬‬ ‫משימה ‪3‬‬ ‫‪ +‬נספח‬ ‫‪-3‬‬‫‪.3‬‬ ‫עורכים את הניסוי שלפניך‪.‬‬ ‫בכד יש ‪ 10‬כדורים‪ 6 :‬כדורים אדומים ו־ ‪ 4‬כדורים שחורים‪.‬‬ ‫מוציאים באקראי כדור מהכד‪:‬‬ ‫אם הכדור הוא אדום‪ ,‬משאירים אותו בחוץ ומוסיפים לכד ‪ x‬כדורים אדומים‪,‬‬ ‫ואם הכדור הוא שחור‪ ,‬מחזירים אותו לכד‪.‬‬ ‫לאחר מכן מוציאים באקראי כדור נוסף מהכד‪.‬‬ ‫ההסתברות שלשני הכדורים שמוציאים יהיה אותו הצבע היא ‪. 0.56‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫חשב את ‪. x‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ידוע שלפחות אחד מהכדורים שהוצאו היה אדום‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שבהוצאה השנייה הכדור שהוּצא היה שחור?‬ ‫ג‪.‬‬ ‫חוזרים ‪ n‬פעמים על הניסוי שתואר בפתיח‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות להוציא שני כדורים אדומים בניסוי אחד בדיוק? (הבע באמצעות ‪). n‬‬ ‫הצעת תשובה למשימה ‪3‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ההסתברות להוציא כדור שחור מהכד‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10 = 5‬‬ ‫ההסתברות להוציא כדור אדום מהכד‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10 = 5‬‬ ‫מכאן נקבל את העץ‪:‬‬ ‫אדוםבעמוד ‪/4‬‬ ‫‪/‬המשך‬ ‫שחור ‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫שחור‬ ‫ההסתברות שלשני הכדורים‬ ‫יהיה אותו צבע היא‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫שחור‬ ‫אדום‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9+x‬‬ ‫‪5+ x‬‬ ‫‪9+x‬‬ ‫אדום‬ ‫‪ o‬שחור‪ ,‬שחור ‪ m + P e‬אדום‪ ,‬אדום ‪P c‬‬ ‫‪0‬‬ ‫על פי העץ נקבל‪:‬‬ ‫‪3 5+ x 2 2‬‬ ‫‪0.56 = 5 $ 9 + x + 5 $ 5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x=3‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/6‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 5 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫‪-6‬‬‫המשך תשובה למשימה ‪.3‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ההסתברות שלפחות אחד מהכדורים‬ ‫הוא אדום היא‪:‬‬ ‫‪ m‬שחור‪ ,‬שחור ‪ m = 1 - P c‬לפחות אחד ‪P c‬‬ ‫אדום‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪ m = 1 - 5 $ 5‬לפחות אחד ‪P c‬‬ ‫על פי העץ נקבל‪:‬‬ ‫אדום‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ m = 0.84‬לפחות אחד ‪P c‬‬ ‫אדום‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪$9+x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪= 0.84‬‬ ‫‪ p‬לפחות אחד ‪ +‬כדור שני ‪P f‬‬ ‫שחור‬ ‫אדום‬ ‫‪o‬לפחות אחד ‪P e‬‬ ‫אדום‬ ‫ג‪.‬‬ ‫= ‪o‬לפחות אחד‬ ‫אדום‬ ‫‪/‬‬ ‫כדור שני ‪P e‬‬ ‫שחור‬ ‫‪0‬‬ ‫נציב ‪ , x = 3‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪o = 5 = 0.238‬לפחות‬ ‫אדוםאחד ‪/‬‬ ‫‪21‬‬ ‫ההסתברות להוציא ‪ 2‬כדורים אדומים בניסוי אחד על פי העץ‪:‬‬ ‫‪3 5+ x 3 2‬‬ ‫‪ 2 m = 5 $ 9 + x = 5 $ 3 = 0.4‬אדומים ‪P c‬‬ ‫ההסתברות להצלחה אחת מבין ‪ n‬פעמים היא‪:‬‬ ‫כדור שני ‪P e‬‬ ‫שחור‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪Pn (1) = (n - 1) ! # 0.4 # 0.6 n - 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪ , (n - 1) ! = n‬לכן‪:‬‬ ‫‪0.6 n 2‬‬ ‫‪Pn (1) = n # 0.4 # 0.6 = 3 n # 0.6 n‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/7‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬משימות‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪-4‬‬‫‪ +‬נספח‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 5 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫‪-7‬‬‫פרק שני — גאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬ ‫גאומטריה במישור‬ ‫ענה על אחת מהשאלות ‪. 5-4‬‬ ‫שבמחברתך‪.‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה‬ ‫משימה ‪4‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫נתון משולש שווה־שוקיים ‪.) AB = AC ( ABC‬‬ ‫‪A‬‬ ‫הבסיס ‪ BC‬הוא קוטר של חצי מעגל‪.‬‬ ‫חצי המעגל חותך את השוקיים ‪ AB‬ו־ ‪AC‬‬ ‫בנקודות ‪ E‬ו־ ‪ D‬בהתאמה (ראה ציור)‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫הוכח כי המרובע ‪ BCDE‬הוא טרפז שווה־שוקיים‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫נתון‪ , DC = 3 AD :‬רדיוס המעגל הוא ‪. R‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪E‬‬ ‫הוכח כי ‪. R = 2 DC‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪C‬‬ ‫הצעת תשובה למשימה ‪4‬‬ ‫במשולש ‪ ABC‬אורך הצלע ‪ BC‬הוא ‪ , a‬והזווית מולה היא ‪. a‬‬ ‫‪BCDB =BBEC = 90 o AB 1‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫נתון‪. AC = 3 :‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫זוויות היקפיות הנשענות על קוטר הן ישרות‬ ‫באמצעות ‪ a‬ו־ ‪a‬‬ ‫‪ABC‬‬ ‫הבע את שטח המשולש‬ ‫= ‪BDCB‬‬ ‫‪BEBC‬‬ ‫זוויות‪.‬הבסיס במשולש שווה־שוקיים שוות‬ ‫נתון גם‪. a = 60o :‬‬ ‫)‪BECB = 180 o - (90 o +BEBC) , BDBC = 180 o - (90 o +BDCB‬‬ ‫מצא את הזוויות האחרות במשולש ‪. ABC‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪BECB =BDBC‬‬ ‫‪ CB‬צלע משותפת‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫‪3CDB ,3BEC‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/5‬‬ ‫על פי ז‪.‬צ‪.‬ז‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪I. DC = EB‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪BEDB =BDBC‬‬ ‫זוויות היקפיות הנשענות על מיתרים שווים מאותו צד הן שוות‬ ‫‪0‬‬ ‫‪II. DE z CB‬‬ ‫על פי ‪ I‬ו־ ‪: II‬‬ ‫אם זוג זוויות מתחלפות שוות‪ ,‬הישרים מקבילים‬ ‫‪ BCDE‬טרפז שווה־שוקיים‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/8‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 5 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫‪-8‬‬‫המשך תשובה למשימה ‪.4‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪BCDB = 90 o‬‬ ‫מצאנו בסעיף א‪:‬‬ ‫במשולש ישר־הזווית ‪CDB‬‬ ‫לפי משפט פיתגורס מתקיים‪:‬‬ ‫על פי הנתון ‪ AD = 3DC‬נקבל‪:‬‬ ‫במשולש ישר־הזווית ‪ADB‬‬ ‫לפי משפט פיתגורס מתקיים‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪BD2 = (2R) 2 - DC2‬‬ ‫‪I.‬‬ ‫‪AC = AB = 4DC‬‬ ‫‪BD2 = AB2 - AD2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪II. BD2 = (4DC) 2 - (3DC) 2 = 7DC2‬‬ ‫מ־ ‪ I‬ו־ ‪ II‬נקבל‪:‬‬ ‫‪(2R) 2 - DC2 = 7DC2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ , R 2 0‬לכן‪:‬‬ ‫‪R = 2 DC‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/9‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נתון‪ , DC = 3 AD :‬רדיוס המעגל הוא ‪. R‬‬ ‫‪E‬‬ ‫הוכח כי ‪. R = 2 DC‬‬ ‫‪D‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 5 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫‪-9-‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫משימה ‪5‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫במשולש ‪ ABC‬אורך הצלע ‪ BC‬הוא ‪ , a‬והזווית מולה היא ‪. a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫נתון‪. AC = 3 :‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫הבע את שטח המשולש ‪ ABC‬באמצעות ‪ a‬ו־ ‪. a‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫נתון גם‪. a = 60o :‬‬ ‫מצא את הזוויות האחרות במשולש ‪. ABC‬‬ ‫הצעת תשובה למשימה ‪5‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S3ABC = 2 AC $ AB $ sin a‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫לפי הנתון ‪ , AC = 3AB‬לכן‪:‬‬ ‫לפי משפט הקוסינוסים‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪I. S3ABC = 2 AB2 sin a‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪a2 = AB2 + AC2 - 2AB $ AC $ cos a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נציב ‪ , AC = 3AB‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪a2 = AB2 + (3AB) 2 - 2AB $ (3AB) $ cos a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪II. AB2 = 10 - 6 cos a‬‬ ‫מ־ ‪ I‬ו־ ‪ II‬נקבל‪:‬‬ ‫‪3a2 sin a‬‬ ‫‪S3ABC = 20 - 12 cos a‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/10‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 5 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫ ‪- 10‬‬‫המשך תשובה למשימה ‪.5‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪10 - 6 cos a‬‬ ‫בסעיף א קיבלנו‪:‬‬ ‫= ‪AB‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪7‬‬ ‫נציב ‪ a = 60o‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪sin BACB = sin a‬‬ ‫לפי משפט הסינוסים נקבל‪:‬‬ ‫נציב ‪, a = 60o , BC = a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪7‬‬ ‫= ‪ , AB‬ונקבל‪:‬‬ ‫= ‪AB‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪$ sin 60 o‬‬ ‫‪sin 60 o‬‬ ‫‪7‬‬ ‫= ‪sin BACB‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ BACB ! 180o - 19.1o‬כי ‪, a = 60o‬‬ ‫לכן‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪BACB = 19.1 o‬‬ ‫‪B ABC = 180 o - (60 o + 19.1o) = 100.9 o‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/11‬‬ ‫של פונקציות שורש‪ ,‬של פונקציות רציונליות‬ ‫ושל פונקציות טריגונומטריות (‪ 40‬נקודות)‬ ‫‪- 11 -‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 5 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 8-6‬לכל שאלה — ‪20‬‬ ‫נקודות)‪.‬ואינטגרלי של פונקציות טריגונומטריות‬ ‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬ ‫משימה ‪6‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪x‬‬ ‫נתונה הפונקציה )‪ , f (x) = 2x + 8 cos2 ( 2 ) - sin (2x‬בתחום ‪. 0# x #r‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫הראה כי ‪. f '(x) = 4 sin2 x - 4 sin x‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫בתחום הנתון‪ ,‬מצא את נקודות הקיצון המוחלט של פונקציית הנגזרת )‪. f '(x‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫בתחום הנתון‪ ,‬סרטט סקיצה של פונקציית הנגזרת )‪. f '(x‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫נתונה המשוואה ‪. 0# x #r , sin2 x - sin x = k‬‬ ‫מצא עבור אילו ערכים של ‪ k‬יש פתרון למשוואה‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫בתחום הנתון‪ ,‬מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת )‪, f '(x‬‬ ‫‪r‬‬ ‫על ידי ציר ה־ ‪ , y‬על ידי הישר המשיק לגרף של פונקציית הנגזרת בנקודה שבה ‪x = 6‬‬ ‫ועל ידי הישר ‪. x = r‬‬ ‫הצעת תשובה למשימה ‪6‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫)‪f'(x) = 2 + 16 cos 2 $ (- sin 2 ) $ 2 - 2 cos (2x‬‬ ‫(‪ )1‬הנגזרת של )‪ f(x‬היא‪:‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/6‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫נשתמש בזהויות ‪sin x = 2 sin 2 cos 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪f'(x) = 2 - 4 sin x - 2 (cos2 x - sin2 x‬‬ ‫‪ , cos (2x) = cos2 x - sin2 x‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נציב ‪ , cos2 x = 1 - sin2 x‬ונקבל‪:‬‬ ‫(‪ )2‬הנגזרת של )‪ f'(x‬היא‪:‬‬ ‫‪f'(x) = - 4 sin x + 4 sin2 x‬‬ ‫)‪f''(x) = - 4 cos x + 8 sin x cos x = 4 cos x (2 sin x - 1‬‬ ‫‪f''(x) = 0‬‬ ‫בנקודות הקיצון של )‪ f'(x‬צריך להתקיים‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2 sin x - 1 = 0‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪4 cos x = 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪5r‬‬ ‫‪x= 6 , x= 6‬‬ ‫בתחום ‪: 0# x #r‬‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5r‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪x= 2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪f'(x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ל־ )‪ f'(x‬מינימום מוחלט בנקודות‪:‬‬ ‫מקסימום מוחלט בנקודות‪:‬‬ ‫‪5r‬‬ ‫‪b 6 , - 1l‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪a 6 , - 1k‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪^0 , 0h a 2 , 0k ^r , 0h‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/12‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 5 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫ ‪- 12‬‬‫המשך תשובה למשימה ‪.6‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪f '(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪5r‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪f'(x) = 4 sin2 x - 4 sin x‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪f'(x) = 4k‬‬ ‫יש פתרון כאשר הישר ‪ y = 4k‬חותך את‬ ‫הגרף של )‪ , f'(x‬ולפי הגרף של )‪f'(x‬‬ ‫זה מתקיים עבור‪:‬‬ ‫‪- 1 # 4k # 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪- 4 #k#0‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫השטח המבוקש הוא השטח המקווקו בציור‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪f '(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪5r‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫השטח המבוקש הוא אינטגרל של הפרש‬ ‫הפונקציות )‪ f'(x‬ו־ ‪ , y = - 1‬לכן‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫)‪# [f'(x) + 1] dx = [f (x) + x] 0 = f (r) + r - f (0‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‪S‬‬ ‫‪S = 2r + r - 8 = 3r - 8‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/13‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 5 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫‪- 13 -‬‬ ‫פונקציות מנה‬ ‫שורש ושל‬ ‫פונקציות‬ ‫דיפרנציאלי‬ ‫‪316 ,035806‬‬ ‫משימות‪ ,‬מס'‬ ‫של קיץ תשע"ד‪,‬‬ ‫מתמטיקה‪,‬‬ ‫חשבון ‪- 6 -‬‬ ‫‪ +‬נספח‬ ‫‪.7‬‬ ‫‪x‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪x2 - 15‬‬ ‫משימה ‪7‬‬ ‫= )‪. f (x‬‬ ‫(‪ )1‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫(‪ )2‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫(‪ )3‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )‪( f(x‬אם יש כאלה)‪.‬‬ ‫(‪ )4‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫‪x2 - 15‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪x‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫= )‪. g (x‬‬ ‫לפניך חמישה גרפים ‪. V-I‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪III‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪II‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪IV‬‬ ‫איזה גרף מתאר את הפונקציה )‪ ? g(x‬נמק‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫)‪f' (x‬‬ ‫עבור אילו ערכי ‪ x‬מתקיים האי־שוויון ‪ ? g' (x) 1 0‬נמק‪.‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/7‬‬ ‫הצעת תשובה למשימה ‪7‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫(‪ )1‬צריך להתקיים‪:‬‬ ‫‪x2 - 15 2 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫תחום ההגדרה של )‪: f(x‬‬ ‫(‪ )2‬אסימפטוטות אנכיות של )‪: f(x‬‬ ‫אסימפטוטות אופקיות של )‪: f(x‬‬ ‫‪x 1- 15 , x 2 15‬‬ ‫‪x = - 15 , x = 15‬‬ ‫‪y =- 1 , y =1‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/14‬‬ ‫‪- 14 -‬‬ ‫המשך תשובה למשימה ‪.7‬‬ ‫(‪)3‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 5 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪2 x2 - 15‬‬ ‫‪=- 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x - 15‬‬ ‫‪(x - 15) x2 - 15‬‬ ‫‪x2 - 15 - x $‬‬ ‫בתחום ההגדרה של )‪ f(x‬מתקיים ‪, x2 - 15 2 0‬‬ ‫לכן בתחום ההגדרה של )‪: f(x‬‬ ‫= )‪f'(x‬‬ ‫‪f'(x) 1 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪ f(x‬יורדת בתחום ההגדרה‬ ‫(‪)4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ב‪ .‬עבור )‪ g(x‬צריך להתקיים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪- 15‬‬ ‫‪x2 - 15 $ 0 , x ! 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫תחום ההגדרה של )‪: g(x‬‬ ‫‪x # - 15 , x $ 15‬‬ ‫‪0‬‬ ‫גרפים ‪ IV , I‬ו־ ‪ V‬לא מתאימים‬ ‫)‪ g(x‬היא פונקציה הפכית ל־ )‪f(x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫בתחום שבו )‪ f(x‬יורדת‪ g(x) ,‬עולה‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪ g(x‬עולה בתחומי ההגדרה שלה‬ ‫‪0‬‬ ‫גרף ‪ II‬הוא הנכון‬ ‫)‪ f(x‬יורדת בתחום‪x 1- 15 , x 2 15 :‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ f'(x) 1 0‬בתחום‪x 1- 15 , x 2 15 :‬‬ ‫)‪ g(x‬עולה בתחום‪x 1- 15 , x 2 15 :‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ g'(x)2 0‬בתחום‪x 1- 15 , x 2 15 :‬‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫)‪f '(x‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪g'(x‬‬ ‫עבור‪x 1- 15 , x 2 15 :‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/15‬‬ ‫‪- 15 -‬‬ ‫בעיות מינימום ‪ /‬מקסימום‬ ‫‪-7‬‬‫‪.8‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 5 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬משימות‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪ +‬נספח‬ ‫משימה ‪8‬‬ ‫נתונה הפרבולה ‪. y = x2 - 12‬‬ ‫נקודה ‪ B‬נמצאת על הפרבולה ברביע הרביעי‪.‬‬ ‫נקודה ‪ C‬נמצאת על ציר ה־ ‪ x‬כך ש־ ‪ — O , BC = BO‬ראשית הצירים‪.‬‬ ‫(נקודה ‪ C‬שונה מנקודה ‪). O‬‬ ‫מצא את השטח המוגבל על ידי הפרבולה‪ ,‬על ידי ציר ה־ ‪ y‬ועל ידי הקטע ‪, BO‬‬ ‫כאשר השטח של המשולש ‪ BCO‬הוא מקסימלי‪.‬‬ ‫הצעת תשובה למשימה ‪8‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫נקודה ‪ B‬על הפרבולה‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‪( y = x2 - 12‬ראה ציור)‪,‬‬ ‫לכן שיעורי הנקודה ‪ B‬הם‪:‬‬ ‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬ ‫החינוך‪x2 - 12‬‬ ‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד )‬ ‫‪B (x ,‬‬ ‫משולש ‪ BOC‬הוא שווה־שוקיים‪,‬‬ ‫והנקודה ‪ B‬ברביע הרביעי‪ ,‬לכן‪:‬‬ ‫בסיס המשולש הוא ‪ , OC = 2x‬גובה המשולש הוא‬ ‫‪12 - x2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫שטח המשולש ‪ BOC‬הוא‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S (x) = 2 $ 2x $ (12 - x2) = 12x - x3‬‬ ‫‪S'(x) = 12 - 3x2‬‬ ‫‪ x !- 2‬כי ‪ B‬ברביע הרביעי‪ ,‬לכן‪:‬‬ ‫‪x=2‬‬ ‫&‬ ‫‪S'(x) = 0‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/16‬‬ ‫‪- 16 -‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 5 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫המשך תשובה למשימה ‪.8‬‬ ‫‪S''(x) = - 6x‬‬ ‫בדיקת מקסימום‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪S''(2)1 0‬‬ ‫שיעורי הנקודה ‪ B‬כאשר השטח מקסימלי‪:‬‬ ‫)‪B (2 , - 8‬‬ ‫השטח המבוקש הוא השטח המקווקו בציור‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪# (x2 - 12) dx - 21 $ 2 $ 8 = - [ 2x 3 - 12x] 20 - 8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪S =-‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S = 13 3‬‬ ‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬ ‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬