עבודת קיץ במתמטיקה

‫מתמטיקה ‪ 4‬יחידות שאלון ‪804‬‬
‫‪1‬‬
‫תלמידים יקרים‬
‫ספר תרגילים זה הוא פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהגשה לבחינות‬
‫הבגרות במתמטיקה הן בבתי הספר התיכוניים‪ ,‬הן בבתי הספר‬
‫הפרטיים והן במכינות האוניברסיטאיות‪.‬‬
‫שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את‬
‫הדרך הנכונה לעומדים בפני מקצוע חשוב זה‪.‬‬
‫הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד על פי תכנית‬
‫הלימודים של משרד החינוך‪ .‬הניסיון מלמד כי לתרגּול בקורס זה‬
‫חשיבות יוצאת דופן‪ ,‬ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים‬
‫המופיעים בו‪.‬‬
‫לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר ‪www.GooL.co.il‬‬
‫הפתרונות מוגשים בסרטוני וידאו המלווים בהסבר קולי‪ ,‬כך שאתם‬
‫רואים את התהליכים בצורה מובנית‪ ,‬שיטתית ופשוטה‪ ,‬ממש כפי‬
‫שנעשה בשיעור פרטי‪ .‬הפתרון המלא של השאלה מכוון ומוביל לדרך‬
‫חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה‪.‬‬
‫תקוותי היא שספר זה ישמש מורה‪-‬דרך לכם התלמידים ויוביל אתכם‬
‫להצלחה‪.‬‬
‫יוחאי טוויג‬
‫‪2‬‬
‫תוכן העניינים‬
‫פרק ‪ – 1‬מבוא לאלגברה‪8 ......................................................................................... :‬‬
‫פרק ‪ – 2‬טכניקה אלגברית‪19..................................................................................... :‬‬
‫פירוק הטרינום‪19 .................................................................................................................. :‬‬
‫משוואות‪20 .......................................................................................................................... :‬‬
‫משוואה ממעלה ראשונה‪20 ................................................................................................. :‬‬
‫מערכת שתי משוואות בשני נעלמים ממעלה ראשונה‪21 ............................................................. :‬‬
‫משוואות עם אינסוף פתרונות וללא פתרון‪22 .......................................................................... :‬‬
‫משוואה ממעלה שנייה‪22 .................................................................................................... :‬‬
‫משוואות ממעלה שלישית ומשוואות דו‪-‬ריבועיות‪23 ................................................................ :‬‬
‫משוואות עם פרמטרים‪23 .................................................................................................... :‬‬
‫משוואות עם שורשים‪24 ...................................................................................................... :‬‬
‫משוואות עם ערך מוחלט‪25 ................................................................................................. :‬‬
‫מערכת משוואות ממעלה שנייה‪25 ........................................................................................ :‬‬
‫תשובות סופיות‪26 .............................................................................................................. :‬‬
‫אי שוויוניים‪28 ..................................................................................................................... :‬‬
‫אי‪-‬שוויונים ממעלה ראשונה‪28 ............................................................................................ :‬‬
‫אי‪-‬שוויונים ממעלה שנייה‪28 ............................................................................................... :‬‬
‫אי‪-‬שוויונים ממעלה שלישית‪30 ............................................................................................ :‬‬
‫אי‪-‬שוויונים עם מנה‪30 ....................................................................................................... :‬‬
‫אי‪-‬שוויונים כפולים ‪ -‬מערכת וגם‪30 ...................................................................................... :‬‬
‫שאלות מסכמות – אי‪-‬שוויונים‪31 ......................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪31 .............................................................................................................. :‬‬
‫תחום הגדרה‪32 ................................................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪32 .............................................................................................................. :‬‬
‫פרק ‪ – 3‬בעיות מילוליות‪33....................................................................................... :‬‬
‫בעיות תנועה‪33 ...................................................................................................................... :‬‬
‫בעיות קנייה ומכירה‪37 ........................................................................................................... :‬‬
‫בעיות בהנדסת המישור‪43 ....................................................................................................... :‬‬
‫בעיות בהנדסת המרחב‪47 ........................................................................................................ :‬‬
‫תירגול נוסף‪49 ...................................................................................................................... :‬‬
‫בעיות תנועה‪49 .................................................................................................................. :‬‬
‫בעיות קנייה ומכירה‪54 ....................................................................................................... :‬‬
‫בעיות בהנדסת המישור‪57 ................................................................................................... :‬‬
‫בעיות בהנדסת המרחב‪60 .................................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪62 .............................................................................................................. :‬‬
‫תרגול מבגרויות‪64 ................................................................................................................. :‬‬
‫בעיות קנייה ומכירה‪64 ....................................................................................................... :‬‬
‫‪3‬‬
‫בעיות תנועה‪65 .................................................................................................................. :‬‬
‫בעיות הנדסת המישור‪66 ..................................................................................................... :‬‬
‫בעיות בהנדסת המרחב‪66 .................................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪67 .............................................................................................................. :‬‬
‫פרק ‪ – 4‬גאומטריה אנליטית‪68.................................................................................. :‬‬
‫הישר‪68 ............................................................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪69 .............................................................................................................. :‬‬
‫המעגל‪70 .............................................................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪71 .............................................................................................................. :‬‬
‫תרגול נוסף – הישר (שאלות מסכמות)‪72 ................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪85 .............................................................................................................. :‬‬
‫תרגול נוסף ‪ -‬המעגל (שאלות מסכמות ללא משיק)‪88 ................................................................... :‬‬
‫תרגול נוסף – המעגל (שאלות מסכמות כולל משיק)‪92 .................................................................. :‬‬
‫תרגול נוסף המעגל (שאלות מסכמות עם שני מעגלים)‪99 ............................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪101 ............................................................................................................ :‬‬
‫תרגול מבגרויות‪103 ............................................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪107 ............................................................................................................ :‬‬
‫פרק ‪ - 5‬הסתברות קלאסית‪108 ................................................................................. :‬‬
‫שאלות יסודיות‪109 ............................................................................................................... :‬‬
‫תרגול נוסף ‪ -‬שאלות שונות לפי נושאים‪115 ............................................................................... :‬‬
‫כפל וחיבור הסתברויות – מאורעות בלתי תלויים‪115 ............................................................... :‬‬
‫כפל וחיבור הסתברויות – מאורעות תלויים‪116 ...................................................................... :‬‬
‫תרגילים הכוללים שימוש בדיאגרמת עץ‪118 ........................................................................... :‬‬
‫תרגילים עם נעלמים – כפל וחיבור הסתברויות‪ ,‬דיאגרמת עץ‪120 ............................................... :‬‬
‫התפלגות בינומית ונוסחת ברנולי‪123 .................................................................................... :‬‬
‫טבלה דו מימדית‪129 .......................................................................................................... :‬‬
‫תרגילי חישוב הכוללים שימוש בנוסחאות בהסתברות‪135 ........................................................ :‬‬
‫תרגילי הוכחה בעזרת נוסחאות ההסתברות‪136 ...................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪138 ............................................................................................................ :‬‬
‫תרגול נוסף ‪ -‬שאלות משולבות‪140 ........................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪153 ............................................................................................................ :‬‬
‫תרגול מבגרויות‪155 ............................................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪159 ............................................................................................................ :‬‬
‫‪4‬‬
‫פרק ‪ – 6‬גאומטריה אוקלידית‪160 .............................................................................. :‬‬
‫רקע‪ ,‬קווים וזוויות‪ ,‬משולשים‪160 ............................................................................................ :‬‬
‫משולש כללי‪ ,‬משולש שווה שוקיים‪ ,‬משולש ישר זווית‪160 ............................................................ :‬‬
‫חפיפת משולשים‪162 .............................................................................................................. :‬‬
‫זווית חיצונית למשולש ומשולש ישר זווית‪163 ............................................................................ :‬‬
‫קטעים מיוחדים במשולש‪165 .................................................................................................. :‬‬
‫מרובעים‪166 ......................................................................................................................... :‬‬
‫המעגל‪172 ............................................................................................................................ :‬‬
‫פרופורציה דמיון‪176 .............................................................................................................. :‬‬
‫תרגול מבגרויות‪182 ............................................................................................................... :‬‬
‫שאלות ללא פרופורציה‪182 .................................................................................................. :‬‬
‫שאלות הכוללות פרופורציה ודמיון‪184 .................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪193 ............................................................................................................ :‬‬
‫פרק ‪ – 7‬טריגונומטריה במישור‪194 ............................................................................ :‬‬
‫משולש ישר זווית‪194 ............................................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪195 ............................................................................................................ :‬‬
‫זהויות טריגונומטריות‪196 ...................................................................................................... :‬‬
‫טריגונומטריה במישור‪198 ...................................................................................................... :‬‬
‫תרגול מבגרויות‪202 ............................................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪211 ............................................................................................................ :‬‬
‫פרק ‪ – 8‬חשבון דיפרנציאלי‪213 ................................................................................. :‬‬
‫נגזרות ומשיקים‪213 .............................................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪218 ............................................................................................................ :‬‬
‫חקירת פולינום‪219 ................................................................................................................ :‬‬
‫תשובות סופיות‪222 ............................................................................................................ :‬‬
‫חקירת פונקציות מנה ופונקציות שורש‪223 ................................................................................ :‬‬
‫תשובות סופיות‪229 ............................................................................................................ :‬‬
‫חקירת פונקציה עם פרמטר‪231 ................................................................................................ :‬‬
‫תשובות סופיות‪231 ............................................................................................................ :‬‬
‫תרגול נוסף‪232 ..................................................................................................................... :‬‬
‫תרגילים העוסקים בפונקציה פולינומית‪232 ........................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪242 ............................................................................................................ :‬‬
‫תרגילים העוסקים בפונקציה רציונאלית‪245 .......................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪255 ............................................................................................................ :‬‬
‫תרגילים העוסקים בפונקצית שורש (אי‪-‬רציונאלית)‪258 ........................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪279 ............................................................................................................ :‬‬
‫תרגול מבגרויות‪285 ............................................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪290 ............................................................................................................ :‬‬
‫הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת‪292 ................................................................................. :‬‬
‫‪5‬‬
‫תשובות סופיות‪295 ............................................................................................................ :‬‬
‫פרק ‪ - 9‬בעיות קיצון‪296 .......................................................................................... :‬‬
‫שלבי עבודה‪296 ................................................................................................................. :‬‬
‫שאלות‪296 ....................................................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪298 ............................................................................................................ :‬‬
‫תרגול נוסף‪299 ..................................................................................................................... :‬‬
‫תרגילים העוסקים בפונקציה פולינומית‪299 ........................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪305 ............................................................................................................ :‬‬
‫תרגילים העוסקים בפונקציה רציונאלית‪306 ......................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪314 ............................................................................................................ :‬‬
‫תרגילים העוסקים בפונקצית שורש‪315 ................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪319 ............................................................................................................ :‬‬
‫תרגול מבגרויות של ‪ 3‬יחידות‪320 ............................................................................................. :‬‬
‫בעיות בהנדסת המישור‪320 ................................................................................................. :‬‬
‫בעיות בהנדסת המרחב‪322 .................................................................................................. :‬‬
‫בעיות בפונקציות וגרפים‪323 ............................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪326 ............................................................................................................ :‬‬
‫תרגול מבגרויות‪327 ............................................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪330 ............................................................................................................ :‬‬
‫פרק ‪ - 10‬חשבון אינטגרלי‪331 ................................................................................... :‬‬
‫סיכום כללי האינטגרציה‪331 ................................................................................................... :‬‬
‫שאלות לפי נושאים‪332 ........................................................................................................... :‬‬
‫שאלות יסודיות – מציאת פונקציה קדומה‪332 ........................................................................ :‬‬
‫האינטגרל המסוים‪334 ....................................................................................................... :‬‬
‫חישובי שטחים – פונקציה פולינומית‪334 ............................................................................... :‬‬
‫שאלות עם פרמטרים‪341 .................................................................................................... :‬‬
‫חישובי שטחים – פונקציה רציונאלית‪342 .............................................................................. :‬‬
‫חישובי שטחים – פונקצית שורש‪342 ..................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪343 ............................................................................................................ :‬‬
‫תרגול נוסף‪345 ..................................................................................................................... :‬‬
‫תרגילים העוסקים בפונקציה פולינומית‪345 ........................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪355 ............................................................................................................ :‬‬
‫תרגילים העוסקים בפונקציה רציונאלית‪357 .......................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪361 ............................................................................................................ :‬‬
‫תרגילים העוסקים בפונקציה אי‪-‬רציונאלית‪362 ...................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪367 ............................................................................................................ :‬‬
‫תרגול מבגרויות של ‪ 3‬יחידות‪368 ............................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪369 ............................................................................................................ :‬‬
‫תרגול מבגרויות‪370 ............................................................................................................... :‬‬
‫‪6‬‬
‫תשובות סופיות‪374 ............................................................................................................ :‬‬
‫נספח ‪ – 1‬משפטים בגאומטריה‪375 ............................................................................ :‬‬
‫נספח ‪ – 2‬דף ההוראות הרשמי לשאלון ‪380 ..............................................................:804‬‬
‫נספח ‪ – 3‬עקרונות מנחים לבדיקת בחינות הבגרות‪381 .................................................... :‬‬
‫הערות כלליות‪:‬‬
‫‪ .1‬הפרקים בספר בנויים מחלק תיאורטי‪ ,‬תרגול נוסף ותרגול מבגרויות‪.‬‬
‫השאלות שבמסגרת החלקים התיאורטיים מוקלטות בוידאו באתר גול‪.‬‬
‫התרגול הנוסף והתרגול מבגרויות מכיל שאלות נוספות שאינן מוקלטות‬
‫ומטרתן היא לתרגל את החומר הנלמד‪.‬‬
‫‪ .2‬בשאלות החקירה תוכלו למצוא את הסקיצות באופן מרוכז בסוף דפי התשובות‪.‬‬
‫‪ .3‬בנושאים "בעיות מקסימום ומינימום" ו‪"-‬חשבון אינטגרלי" תוכלו למצוא קובץ‬
‫שאלות חזרה מבגרויות משנים קודמות ברמה של ‪ 3‬יחידות לימוד‪ ,‬אשר‬
‫מוקלטות בוידאו באתר גול‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫פרק ‪ – 1‬מבוא לאלגברה‪:‬‬
‫בסרטון זה הסבר על פעולות חשבון במספרים‬
‫‪ )1‬סמנו את המספרים הבאים על ציר המספרים בהתאמה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪,  , 3 , 3 , 1 , 2 ,‬‬
‫‪, 1 , 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪1‬‬
‫חשב את ערכי הביטויים הבאים‪:‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪6 1‬‬
‫‪)3‬‬
‫‪6 1‬‬
‫‪)4‬‬
‫‪6  1‬‬
‫‪)5‬‬
‫‪6  1‬‬
‫‪)6‬‬
‫‪5  13  9‬‬
‫חשב את ערכי הביטויים הבאים‪:‬‬
‫‪)7‬‬
‫‪5  7  23  1‬‬
‫‪)8‬‬
‫‪5  8 12  17‬‬
‫בסרטון זה הסבר על כפל וחילוק במספרים מכוונים‬
‫חשב את ערכי הביטויים הבאים‪:‬‬
‫‪)9‬‬
‫‪2   5 )10‬‬
‫‪25‬‬
‫‪2  5 )11‬‬
‫‪2   5 )12‬‬
‫‪ 2   3   4 )13‬‬
‫‪ 2  3   4 )14‬‬
‫‪8 : 4 )15‬‬
‫‪50 : 10 )16‬‬
‫‪15 : 3 )17‬‬
‫‪6 : 2 )18‬‬
‫חשב את ערכי הביטויים הבאים‪:‬‬
‫‪ 25 :  5 )19‬‬
‫‪)22‬‬
‫‪32‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 30 : 3 )20‬‬
‫‪7   2  )21‬‬
‫‪12‬‬
‫‪)23‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0 : 5 )24‬‬
‫‪ 2   0 )25‬‬
‫‪8‬‬
‫בסרטון זה הסבר על חזקה ושורש‬
‫חשב את ערכי הביטויים הבאים‪:‬‬
‫‪)26‬‬
‫‪)27‬‬
‫‪24‬‬
‫‪26‬‬
‫‪23 )28‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 2  )29‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 2  )30‬‬
‫‪24 )31‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪23 )32‬‬
‫‪)33‬‬
‫‪4‬‬
‫‪64‬‬
‫‪)35‬‬
‫‪64‬‬
‫‪32 )36‬‬
‫‪5‬‬
‫‪)37‬‬
‫‪16‬‬
‫‪)38‬‬
‫‪64‬‬
‫‪4‬‬
‫‪)39‬‬
‫‪64‬‬
‫‪)40‬‬
‫‪64‬‬
‫‪)41‬‬
‫‪34  3 8‬‬
‫‪)34‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫חשב את ערכי הביטויים הבאים‪:‬‬
‫‪)42‬‬
‫‪42 )43‬‬
‫‪169‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 4  )44‬‬
‫‪)45‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪)46‬‬
‫‪27‬‬
‫‪3‬‬
‫‪625 )47‬‬
‫‪4‬‬
‫‪)48‬‬
‫‪16‬‬
‫‪4‬‬
‫‪32‬‬
‫‪5‬‬
‫‪)50‬‬
‫‪2‬‬
‫‪)49‬‬
‫‪  5‬‬
‫בסרטון זה הסבר על סדר פעולות חשבון‬
‫חשב את ערכי הביטויים הבאים‪:‬‬
‫‪196  5  22  20 : 2 )51‬‬
‫‪)53‬‬
‫‪)52‬‬
‫‪: 2  10   2 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪64 :  4  2   42   32  10  )54‬‬
‫‪32  4 5  4   7  2   900‬‬
‫‪9‬‬
‫חשב את ערכי הביטויים הבאים‪:‬‬
‫‪)55‬‬
‫‪2‬‬
‫‪144  20 : 4  3   2 ‬‬
‫‪)56‬‬
‫‪3  4  3  4   2   10  6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 3 :  9  5   2 )57‬‬
‫‪ 9  52 :  4  1  24 :12  3 )58‬‬
‫‪25 :  8  42  3  5 )59‬‬
‫‪27  4  32  2  33 )60‬‬
‫‪6   14  10   13    15 )61‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2  15  20 :  4  3  2  )63‬‬
‫‪3‬‬
‫‪)62‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪64  2   4   5 243‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8 ‬‬
‫‪32   8  2  3‬‬
‫‪ 3  72    4 ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫בסרטון זה הסבר על שברים‬
‫המירו את השברים המדומים לשברים מעורבים‪:‬‬
‫‪)64‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪)65‬‬
‫‪8‬‬
‫‪5‬‬
‫המירו את השברים המעורבים לשברים מדומים‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪)66‬‬
‫‪8‬‬
‫‪)67‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪12‬‬
‫איזה שבר גדול יותר?‬
‫‪)68‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫או‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪)69‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫או‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪)70‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫או‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫המירו את השברים העשרוניים לשברים פשוטים‪:‬‬
‫‪0.3 )71‬‬
‫‪0.02 )72‬‬
‫‪1.012 )73‬‬
‫‪2.75 )74‬‬
‫המירו את השברים הפשוטים לשברים עשרוניים‪:‬‬
‫‪)75‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪)79‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪1‬‬
‫‪)76‬‬
‫‪1‬‬
‫‪100‬‬
‫‪)77‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪)78‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪)80‬‬
‫‪3‬‬
‫‪50‬‬
‫‪)81‬‬
‫‪7‬‬
‫‪20‬‬
‫‪)82‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪10‬‬
‫המירו את האחוזים לשברים פשוטים‪:‬‬
‫‪25% )84‬‬
‫‪50% )83‬‬
‫המירו את השברים הפשוטים לאחוזים‪:‬‬
‫‪)85‬‬
‫‪4‬‬
‫‪10‬‬
‫‪)86‬‬
‫‪5‬‬
‫‪20‬‬
‫המירו את השברים המדומים לשברים מעורבים‪:‬‬
‫‪)87‬‬
‫‪20‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪)88‬‬
‫‪19‬‬
‫‪4‬‬
‫איזה שבר גדול יותר?‬
‫‪)89‬‬
‫‪)91‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫או‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫או‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪)90‬‬
‫‪)92‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫או‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫או‬
‫‪12‬‬
‫‪18‬‬
‫בסרטון זה הסבר על חיבור וחיסור שברים‬
‫חשב את ערכי הביטויים הבאים‪:‬‬
‫‪)93‬‬
‫‪1 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪4 4‬‬
‫‪)94‬‬
‫‪5 7‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 4‬‬
‫‪)95‬‬
‫‪3 1 5‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2 4 8‬‬
‫‪)96‬‬
‫‪2 5 1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪3 9 6‬‬
‫‪)97‬‬
‫‪3 5 7‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪4 6 5‬‬
‫‪)98‬‬
‫‪1 11‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪8 12‬‬
‫‪)99‬‬
‫‪1 23‬‬
‫‪1  2‬‬
‫‪9 27‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪  3 )100‬‬
‫‪21 14‬‬
‫‪11‬‬
‫‪1‬‬
‫חשב את ערכי הביטויים הבאים‪:‬‬
‫‪)101‬‬
‫‪)103‬‬
‫‪)105‬‬
‫‪)107‬‬
‫‪2 5 6‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪8 8 8‬‬
‫‪5 7 2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪4 2 8‬‬
‫‪3 1 8‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪4 5 20‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5 6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪)102‬‬
‫‪)104‬‬
‫‪)106‬‬
‫‪1 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪5 1‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪6 9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3 4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫בסרטון זה הסבר על כפל וחילוק שברים‬
‫חשב את ערכי הביטויים הבאים‪:‬‬
‫‪)108‬‬
‫‪)110‬‬
‫‪)112‬‬
‫‪)114‬‬
‫‪)116‬‬
‫‪)118‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪3 4‬‬
‫‪2 5‬‬
‫‪:‬‬
‫‪3 6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5 1‬‬
‫‪:3‬‬
‫‪9 3‬‬
‫‪33‬‬
‫‪4‬‬
‫‪)109‬‬
‫‪)111‬‬
‫‪)113‬‬
‫‪)115‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪3 2‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪:4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪2 :1‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪)117‬‬
‫‪)119‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪9 1 1 1‬‬
‫‪1  1 :‬‬
‫‪20 3 4 2‬‬
‫חשב את ערכי הביטויים הבאים‪:‬‬
‫‪)120‬‬
‫‪)122‬‬
‫‪)124‬‬
‫‪)126‬‬
‫‪4 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 7‬‬
‫‪6 2 9‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪5 3 4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪:3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3 12‬‬
‫‪8 :‬‬
‫‪2 20‬‬
‫‪)121‬‬
‫‪)123‬‬
‫‪)125‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪5 :‬‬
‫‪3 6‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪3 4‬‬
‫‪2 5‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪3 :5‬‬
‫‪4 8‬‬
‫בסרטון זה הסבר על הצבה בתבנית מספר‬
:‫חשב את ערכי הביטויים הבאים‬
a  3a  a  7 , a  1
5
4
 x  y
)128
3
3
, x  5 y  4
)127
1
1
n
2
3
)129
16m2  9n2 , m 
:‫הצב את הערכים המספריים במקום הפרמטרים וחשב את ערך תבנית המספר‬
 a  2c 
2
a  2, c  2
)131
 3 x 2b
x  5, b  1
)133
a
 x  3
2
4a 2  3b
c
4
a
a  1, b  2, c  4
a 2  2ab  b2
 x3  2 xy  y 4
)130
a  3, b  5
)132
x  2, y  1
)134
‫בסרטון זה הסבר על כינוס איברים‬
a a
5
:‫כנס איברים דומים‬
5x  3x 12 x )135
5
)136
1  b2  2b  3  2b2
)138
7m  11  9m  2
)137
x2 y  xy  3 y 2 x  9 xy  5xy 2
)140
4ab  3a2b  3b2 a  5ab
)139


10m2 n  3mn2  m2 n  2m 5
5a b  8ab  20a b  14ab
2
2
2
2
)143
13
)141
:‫כנס איברים דומים‬
8a  10a  5a 2 11a  a 2 )142
2
‫בסרטון זה הסבר על פתיחת סוגריים‬
:‫פשט את הביטויים הבאים ע"י פתיחת סוגריים‬
x  x  5 )145
2  x  4  )144
2  b  2 x 
)147
7  a  3
)146
2
6x  3 y 
3
)149
x  x 2  3x  2 
)148
 3x  2 y  5 )151
 5 y  7
)150
3x  2 x  y 
)152
x  5  2 x  1
)153
 x  3 5  x  )155
 x  4 x  5 )154
 2 x  5 2 x  5 )157
a  a  2b  c 
)159
3  x  1 x  3
)156
4  3x  2    2 x  1 3x  5
)158
‫בסרטון זה הסבר על נוסחאות כפל מקוצר‬
:‫פשט את הביטויים הבאים באמצעות נוסחאות הכפל המקוצר‬
2
2
 x  2  )160
 a  3 )161
1

c  
4

 5 y  4t 
2
2
)163
 b  1
)165
 2m  5 
 x y  11
2
2
)162
2
)164
2
)166
:‫פשט את הביטויים הבאים באמצעות נוסחאות הכפל המקוצר‬
2
2
 x  4  )167
 5  x  )168
 2m  4c 
2
)170
 9  x  9  x  )172
 4 x  2
2
)169
 x  7  x  7  )171
 3x  4 3x  4 )173
14
‫בסרטון זה הסבר על פירוק לגורמים‬
‫פשט את הביטויים הבאים ע"י הוצאת גורם משותף‪:‬‬
‫‪)174‬‬
‫‪2x  4‬‬
‫‪)175‬‬
‫‪3x  6‬‬
‫‪)176‬‬
‫‪80  4x‬‬
‫‪)177‬‬
‫‪64  8a‬‬
‫‪)178‬‬
‫‪x 2  3x‬‬
‫‪)179‬‬
‫‪x3  x‬‬
‫‪)180‬‬
‫‪x5  2 x 2‬‬
‫‪)181‬‬
‫‪4 x3  12 x2‬‬
‫בסרטון זה הסבר על פירוק לפי נוסחאות‬
‫פשט את הביטויים הבאים ע"י הוצאת גורם משותף ושימוש בנוסחאות הכפל‬
‫המקוצר‪:‬‬
‫‪)182‬‬
‫‪x2  6 x  9‬‬
‫‪)183‬‬
‫‪9a 2  12a  4‬‬
‫‪)184‬‬
‫‪12 x2  60 x  75‬‬
‫‪)185‬‬
‫‪x2  16 x  64‬‬
‫‪)186‬‬
‫‪a 2  10a  25‬‬
‫‪)187‬‬
‫‪2 x2  36 x  162‬‬
‫‪)188‬‬
‫‪a2  9‬‬
‫‪)189‬‬
‫‪x 2  16‬‬
‫‪)190‬‬
‫‪81  x 2‬‬
‫‪)191‬‬
‫‪100 x2  49‬‬
‫‪)192‬‬
‫‪49x  x3‬‬
‫‪)193‬‬
‫‪x3  x‬‬
‫‪)194‬‬
‫‪x2  10 x  25‬‬
‫‪)195‬‬
‫‪m2  9‬‬
‫בעיות יסודיות באחוזים‬
‫‪ )196‬בכיתה ‪ 30‬תלמידים‪ 60% .‬מתוכם בנות‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה בנות בכיתה?‬
‫ב‪ .‬כמה בנים בכיתה?‬
‫‪ )197‬בכיתה ‪ 28‬בנות המהוות ‪ 70%‬מכלל התלמידים בכיתה‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה תלמידים בכיתה?‬
‫ב‪ .‬כמה בנים בכיתה?‬
‫‪ )198‬מחיר בגד ‪-‬ים הוא ‪ .₪ 300‬בסוף העונה הוא נמכר ב ‪ 20%-‬הנחה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו מחירו בסוף העונה?‬
‫ב‪ .‬מה גודל ההנחה?‬
‫‪15‬‬
‫‪ )199‬מחיר ההשקה של בושם מסוים הוא ‪ .₪ 500‬לאחר מכן מועלה מחירו ב‪.8%-‬‬
‫א‪ .‬מה מחירו הסופי?‬
‫ב‪ .‬מה גודל ההתייקרות?‬
‫‪ )200‬מחיר ליטר דלק הוא ‪ ₪ 5‬לליטר‪ .‬בחנוכה מוזל מחירו ב‪.7%-‬‬
‫בפסח מועלה מחירו ב ‪ .7%-‬מה מחירו בסוף השנה?‬
‫‪ )201‬מוצר מסויים מתייקר בסוכות ב ‪ .12%-‬בפורים מוזל המוצר ב ‪.12%-‬‬
‫מחירו בסוף השנה הוא ‪ .₪ 394.24‬מה מחירו בתחילת השנה?‬
‫‪ )202‬באולם קולנוע ‪ 200‬צופים‪ ,‬מתוכם ‪ 176‬בנים‪ .‬מה אחוז הבנים בקהל?‬
‫‪ )203‬בכיתה ‪ 30‬תלמידים‪ ,‬מתוכם ‪ 18‬בנות‪ .‬מה אחוז הבנות בכיתה?‬
‫‪ )204‬מחיר מוצר התייקר מ‪ ₪ 80-‬ל‪ .₪ 120-‬בכמה אחוזים התייקר המוצר?‬
‫‪ )205‬מחיר מוצר הוזל מ‪ ₪ 120-‬ל‪ .₪ 80-‬בכמה אחוזים הוזל המוצר?‬
‫‪ )206‬מחיר מוצר התייקר מ‪ ₪ 150-‬ל‪ .₪ 200-‬בכמה אחוזים התייקר המוצר?‬
‫‪ )207‬מחיר מוזל הוזל מ ‪ ₪ 200-‬ל ‪ .₪ 150-‬בכמה אחוזים הוזל המוצר?‬
‫‪16‬‬
:‫פתרונות‬
)1
.10 )10 .10 )9 .2 )8 . 10 )7 . 9 )6 . 5 )5 . 7 )4 . 5 )3 . 7 )2
.3 )18 .5 )17 .5 )16 . 2 )15 . 24 )14 . 24 )13 . 10 )12 . 10 )11
.64 )27 .16 )26 .0 )25 .0 )24 . 4 )23 . 8 )22 .14 )21 . 10 )20 . 5 )19
.2 )36 .4 )35 .8 )34 . 16 )33 . 8 )32 . 16 )31 . 8 )30 .16 )29 . 8 )28
.16 )44 . 16 )43 .13 )42 . 83 )41 . 4 )40 .‫) בח"מ‬39 . 2.8 )38 .‫) בח"מ‬37
.88 )52 . 24 )51 . 25 )50 . 2 )49 .‫) בח"מ‬48 . 5 )47 . 3 )46 . 27 )45
.21 )60 .5 )59 . 14 )58 .31 )57 . 37 )56 .19 )55 . 20 )54 . 79 )53
5
62
19
3
1
)68 . )67 . )66 .1 )65 .1 )64 . 20 )63 . 44 )62 . 16 )61
7
8
5
5
2
3
3
1
3
4
3
. 0.01 )76 . 0.1 )75 . 2 )74 .1
)73 .
)72 . )71 . )70 . )69
4
250
10
5
5
50
1
. )83 . 0.833 )82 . 0.35 )81 . 0.06 )80 .1.012 )79 . 0.012 )78 . 0.003 )77
2
5
7
4
3
2
1
. )91 . )90 . )89 . 4 )88 . 6 )87 . 25% )86 . 40% )85 . )84
6
6
10
4
3
4
1
13
5
5
7
7
. 2 )99 .1 )98 . 
)97 . 2 )96 . 5 )95 .1 )94 .1 )93 . )92
20
8
12
18
6
27
11
1
49
11
13
5
. 7 )106 .  )105 . )104 .5 )103 . )102 . )101 . 2 )100
12
20
18
6
8
42
1
4
11
3
4
5
.8 )114 . )113 . )112 . 8 )111 . 2 )110 .1 )109 . )108 .  )107
10
5
5
15
8
12
8
1
3
27
1
2
. 32 )121 . )120 . 3 )119 . 6 )118 .
)117 . )116 . 2 )115
10
4
64
6
9
21
2
5
2
4
3 )129 . 4 )128 .1 )127 . 20 )126 . )125 .
)124 .15 )123 .1 )122
3
18
5
5
1
2a5 )136 . 4x )135 . 5 )134 . 71 )133 . 4 )132 . 644 )131 . )130
2
.
ab  3a 2b  3b2a )139 b2  2b  2 )138 2m  9 )137
2
2
25a 2b  22ab2 )143 4a 2  a )142 15m n  3mn 10m )141 2 y 2 x  8xy  x 2 y )140
. x3  3x2  2 x )148 . 2b  4 x )147 . 7a  21 )146 . x2  5x )145 2 x  8 )144
.11x  5 )153 . 6 x2  3xy )152 .15x  10 y )151 . 5 y  7 )150 . 4 x  2 y )149
. 4 x2  25 )157 . 3x2 12 x  9 )156 .  x2  2 x  15 )155 . x2  9 x  20 )154
a 2  6a  9 )161 . x2  4 x  4 )160 . a 2  2ab  ac )159 . 6 x2  5x  3 )158
17
c 1
)163 b2  2b  1 )162
25 y 2  40 yt  16t 2 )165 4m2  20m  25 )164 c 2  
2 16
.16 x2 16 x  4 )169 . 25  10x  x2 )168 . x2  8x  16 )167 x4 y 2  22 x2 y  121 )166
. 2  x  2  )174 . 9 x2  16 )173 . 81  x2 )172 . x2  49 )171 . 4m2 16mc  16c2 )170
. x  x 2  1 )179 . x  x  3 )178 . 8 8  a  )177 . 4  20  x  )176 . 3  x  2  )175
. 3  2 x  5 )184 .  3a  2  )183 .  x  3 )182 . 4 x2  x  3 )181 . x 2  x3  2  )180
2
2
2
.  x  4  x  4 )189 .  a  3 a  3 )188 . 2  x  9  )187 .  a  5 )186 .  x  8 )185
2
2
2
. x  7  x  7  x  )192 . 10 x  7 10 x  7  )191 .  9  x  9  x  )190
.12 .‫ ב‬.18 .‫) א‬196 .  m  3 m  3 )195 .  x  5 )194 . x  x 2  1 )193
2
.4.9755 )200 .40 .‫ ב‬.540 .‫) א‬199 .60 .‫ ב‬.240 .‫) א‬198 .12 .‫ ב‬.40 .‫) א‬197
.33.33% )206 .33.33% )205 .50% )204 .60% )203 .88% )202 .400 )201
.25% )207
18
:‫ – טכניקה אלגברית‬2 ‫פרק‬
:‫פירוק הטרינום‬
:‫פרק את הביטויים הבאים לפי פירוק טרינום‬
2 x2  7 x  15
)2
4 x2  8x  3
)1
6 x2  5x  1
)4
3x2  11x  6
)3
x2  5x  4
)6
2 x2  x  6
)5
x2  33x  62
)8
x2  8x  15
)7
:‫פרק את הביטויים הבאים‬
4 x2  8x  3
)9
6 x2  5x  1 )10
x2  5x  4 )11
:‫תשובות סופיות‬
 3x  2 x  3 )3  2 x  3 x  5 )2  2 x  1 2 x  3 )1
 x  1 x  4 )6  x  2 2 x  3 )5  3x  1 2 x  1 )4
 2 x  1 2 x  3 )9  x  2 x  31 )8
 x  3 x  5 )7
.  x  1 x  4 )11  3x  1 2 x  1 )10
19
:‫משוואות‬
:‫משוואה ממעלה ראשונה‬
2 x  x  24
7  2x  7
.‫ג‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬1
.‫ב‬
6 x  2  8 .‫א‬
7 x  5  2 x  4 x 13
.‫ה‬
2x  6  8  x
.‫ד‬
2  5x  7  3x  8
.‫ז‬
6 x  3  5  7 x  x  5x  7
.‫ו‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬2
7 x  4 3  4x    x
.‫ב‬
3  x  1  4  2
.‫א‬
5x   3x  7  4  21
.‫ד‬
6  4  x    6  x   3x
.‫ג‬
.‫ו‬
x  x  5  x 2  7 x  8
.‫ה‬
 7  x 1  x    x  3
2
0
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬3
4 x 3x

1
15 10
5 x  1 6 x  1 3x  1


1
6
5
4
 x x
5    x  1
3 7
x x
  4 .‫א‬
3 9
2
4
7
.‫ג‬
x x  x
3
5
15
.‫ב‬
.‫ד‬
2
3
 x  3   4  x   x  2 . ‫ה‬
5
15
.‫ו‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬4
1
x

 0 .‫ב‬
2 x 1
5
4
.‫ד‬

2 x  1 3x  2
1 2
  0 .‫א‬
4 x
3
1
.‫ג‬

x x2
x5 1 1
.‫ה‬


3x 2 6 x x
20
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬5
x2  2
3x  1
.‫א‬

2
3x  5 x 9 x  15
3
5

 0 .‫ג‬
2
 2  x  12  3x 2
7
2
3


 0 .‫ב‬
2
x 1 x  1 2  2x
4 x 2  24 x  36
 12 .‫ד‬
x 3
:‫מערכת שתי משוואות בשני נעלמים ממעלה ראשונה‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬6
5 x  2 y  14
.‫ב‬

5 x  3 y  23
x  3y  5
.‫א‬

x  3y  3
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬7
5 x  2 y  2
.‫ג‬

x  4 y  4
3x  2 y  16
.‫ב‬

 x  5 y  14
y  x 3
.‫ה‬

 y  2x  4
3x  y  11
.‫א‬

y  5
2 x  3 y  5
.‫ד‬

5 x  7 y  11
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬8
 x  3 x  y y 1



16
4
.‫ב‬
 8
3  2 x  y   4 x  11  0

3 y  x  2  4 x  2  3 y
.‫א‬

2 x  3  y  5 y  4 x  3
3
 3x  1 2
 4  5  x  y   10  x  3

 x 1  y  1
 4
2
.‫ג‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬9
7

4 x  y  3

.‫ג‬

5 x  2  7

y
3 3
x  y  2

.‫ב‬

 9  4  7
 x y
21
3 1
x  y  4

.‫א‬

5  1  4
 x y
‫‪ )10‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  y  2   y  xy  5‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x  y  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xy  20‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y  3x  4   20‬‬
‫‪5 x  4 xy  22‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪6 x  xy  20‬‬
‫משוואות עם אינסוף פתרונות וללא פתרון‪:‬‬
‫‪ )11‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫א‪6  x  2   2 x  5  4 x .‬‬
‫ב‪5 x  3  x  4 x  2 x  3 .‬‬
‫‪‬‬
‫‪2  x  y   4 y  1  x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪7‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x  2 y  1‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪4 x  8 y  5‬‬
‫משוואה ממעלה שנייה‪:‬‬
‫‪ )12‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫א‪x2  3x  10  0 .‬‬
‫ב‪ x2  10 x  16  0 .‬‬
‫ד‪2 x 2  6 x  5  0 .‬‬
‫ג‪25x2  20 x  4  0 .‬‬
‫‪ )13‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫א‪4 x2  5x  7  4  x2  3 .‬‬
‫ב‪ x  x  5  1  3x 1  x   4 .‬‬
‫ג‪2  x  5   2 x  3  10 x  21 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )14‬פתור את המשוואות הבאות (משוואה חסרת ‪:) b‬‬
‫ב‪32 x2  18  0 .‬‬
‫א‪x2  36  0 .‬‬
‫‪ )15‬פתור את המשוואות הבאות (משוואה חסרת ‪:) c‬‬
‫ב‪5 x 2  x  0 .‬‬
‫א‪7 x2  14 x  0 .‬‬
‫‪22‬‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬16
4x 1 x  2 2
.‫א‬


3
2
x
3
2x  5
4


 0 .‫ג‬
2
2 x  2 2  x  1 1  x 2
x 9
 x  x 2  18 .‫ב‬
x3
2
:‫ריבועיות‬-‫משוואות ממעלה שלישית ומשוואות דו‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬17
x 4  3x 2  2  0 . ‫ב‬
5x4  3x2  8  0 .‫א‬
2 x3  5 x 2  2 x  5  0 . ‫ד‬
2 x3  7 x 2  7 x  2  0 . ‫ג‬
:‫משוואות עם פרמטרים‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬18
mx  3m  5x  1 .‫א‬
1
1
 a  3x    ax  3 .‫ב‬
3
a
 x  2a  x  2b   x2  2  a2  b2  .‫ג‬
m  1 m 1
.‫ד‬

x 1 x  1
x
1
ax  x
2
.‫ה‬

 3
 3
2
a  a 2a 2a  4a  2a a  2a 2  a
2
:‫) פתור את מערכות המשוואות הבאות‬19
ax  y  2
.‫ב‬

 x  ay  4
 x  my  1
.‫א‬

x  y  m

 m  1 x   2m  3 y  5
.‫ד‬

m

2
x

2
m

1
y

10
m






x
 ym
.‫ג‬
m
2
x  m y  1


 2a  b  x   2a  b  y  8ab
.‫ה‬

2
2
2
a

b
x

2
a

b
y

8
a

2
b






23
:‫) פתור את המשוואות הריבועיות הבאות‬20
x2  2 x  4a  a 2  3 .‫ב‬
x2  2mx  m2  1  0 .‫א‬
1
1
1
 
 0 .‫ד‬
ax a ax
x2  m  x  10   2m2  5x .‫ג‬
a 1 x
  b
x b a
m
.‫ו‬
2
 1 x 2  m2 x  1  0 .‫ה‬
x
1 a b a b


x a b a b
.‫ז‬
:‫משוואות עם שורשים‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬21
x2  x
.‫ב‬
4x  3  5
.‫א‬
2x  7  4  x
.‫ד‬
3x  1  x  13
.‫ג‬
10 x  6  9  x
.‫ו‬
x 1  3  x
.‫ה‬
24  x  3  2 x
.‫ח‬
x  6  2  2x
.‫ז‬
2 x  16  3 x  1
.‫י‬
x  16  4  2 x
.‫ט‬
x2  5x  12  2 6  x
.‫יב‬
3x  5  x  17
.‫יא‬
2x 1  3  7 x  1
.‫יד‬
x  1  2 x  5  11  x 2
.‫יג‬
2x  3  3  x  2
.‫טז‬
2 x  2  5 x  4  3x  2
.‫יח‬
9 x  8  3 x  4  2 .‫טו‬
24
x  3  x  2  4x  1
.‫יז‬
3 x 1  2 x  3  2 x  2
.‫יט‬
:‫משוואות עם ערך מוחלט‬
3x  24  x
.‫ב‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬22
2 x  11  7 .‫א‬
2 x  8  x  10
.‫ד‬
12  x  3x
.‫ג‬
14  3x  2 x  5
.‫ו‬
4 x  5  2 x  13
.‫ה‬
x  2  6  2x  4
.‫ח‬
x  7  2x
.‫ז‬
10  3x  x  4  2 x  6
.‫י‬
x  2  2x  6  4x  8
.‫ט‬
:‫מערכת משוואות ממעלה שנייה‬
:‫) פתור את מערכות המשוואות הבאות‬23
2 x 2  y 2  36

 2

 x  3 y  10
.‫ב‬
 x 2  y 2  20

x  y  6
.‫א‬
.‫ד‬
3x 2  4 y 2  16

 2
2

5 x  3 y  17
.‫ג‬
.‫ו‬
 x 2  xy  20 y 2  0

x  6 y  1
.‫ה‬
16 x 2  y 2  391

4 x  y  23
.‫ח‬
 x 2  y 2  33

 x  y  11
.‫ז‬
3
3

 x  y  91
 2
2

 x y  xy  30
.‫י‬
 x3  y 3  243

x  y  9
.‫ט‬
 x 2  2 y 2  17

 xy  10
 x 2  2 xy  8 y 2  8


2

3xy  2 y  4

 xy  24

2

 y  x   7  y  x   10  0
 x
y 10



x 3
 y
 2
2
 x  y  9 xy  25
3 5
 x  y  21

.‫יא‬

 8  1  13
 x y
.‫יב‬
 x 2 y  xy 2  84

 2
2

 x  2 xy  y  5 x  5 y  24
.‫יד‬
25
.‫יג‬
:‫תשובות סופיות‬
1
.‫ ז‬x  3 .‫ ו‬x  2 .‫ ה‬x  2 .‫ ד‬x  8 .‫ ג‬x  0 .‫ ב‬x  1
2
1
1
. x  1 .‫ ו‬x  4 .‫ ה‬x  1 .‫ ד‬x  2 .‫ ג‬x  .‫ ב‬x  3
4
2
. x  21 .‫ ו‬x  10 .‫ ה‬x  1 .‫ ד‬x  1 .‫ ג‬x  30 .‫ ב‬x  18
. x  2 .‫ ה‬x  2 .‫ ד‬x  3 .‫ ג‬x  1 .‫ ב‬x  8
. x  6 , x  3 .‫ ד‬x  7 .‫ ג‬x  7 .‫ ב‬x  6
.x
.‫) א‬1
.‫) א‬2
.‫) א‬3
.‫) א‬4
.‫) א‬5
.   ,9  .‫ ב‬ 4,  .‫) א‬6
 5 
 3
.  7, 10  .‫ ה‬ 2,3 .‫ ד‬ 0,1 .‫ ג‬ 4, 2  .‫ ב‬ 2,5 .‫) א‬7
4
1
.  7, 2  .‫ ג‬ 7,1 .‫ ב‬ 6,5 .‫) א‬8
. 1,1 .‫ ג‬ 3,1 .‫ ב‬1,1 .‫) א‬9
.  2, 4  .‫ ג‬ 2,10  .‫ ב‬ 1, 3 .‫) א‬10
.‫ אין פתרון למערכת המשוואות‬.‫ אינסוף פתרונות ג‬.‫ אין פתרון ב‬.‫) א‬11
.‫ אינסוף פתרונות‬.‫ד‬
2
.‫ ג‬x1  2 , x2  8 .‫ ב‬x1  2 , x2  5
5
1
. x1  1 , x2  10 .‫ ג‬x1  1 , x2  1 .‫ ב‬x1  0 , x2  1
4
3
. x   .‫ ב‬x  6
4
1
. x1  0 , x2  .‫ ב‬x1  0 , x2  2
5
. x1  0 , x2  5 .‫ ג‬x  5 , x  3 .‫ ב‬x1  2 , x2  1.2
.‫ אין פתרון למשוואה‬.‫ ד‬x 
. x1  1 , x2  1 , x3  2
.‫) א‬12
.‫) א‬13
.‫) א‬14
.‫) א‬15
.‫) א‬16
1
1
.‫ ד‬x1  1 , x2  2 , x3  .‫ ג‬x  1,  2 .‫ ב‬x  1 .‫) א‬17
2
2
a2  9
3m  1
, a  0 .‫ ב‬m  5 , x 
.‫) א‬18
6a
m5
2a  4 4a  2
. a  1 ,  2 , 2  .‫ ב‬m  1 ,  m  1, 1 .‫) א‬19
 a 1 a 1 
. x  a  1 .‫ ה‬x  m .‫ ד‬x  a  b .‫ ג‬x 
m 1 
. m  1, 2 ,  2m  1, m  2  .‫ ד‬m  0  1 ,  m2  m  1,
 .‫ג‬

m 
. b  2a ,  2a  b, 2a  b  .‫ה‬
26
. x  m  5, 2m .‫ג‬
a
b
. a, b  0 , x  , ab .‫ ו‬x  1, 
x  a  1,3  a .‫ב‬
1
.‫ה‬
m 1
2
x  m  1, m 1 .‫) א‬20
a  0 , x  a , x  a 3 .‫ד‬
a b a b
.‫ז‬
,
a b a b
. x  0.25 .‫ ז‬x  25 .‫ ו‬x  5 .‫ ה‬x  9 .‫ ד‬x  8 .‫ ג‬x  2 .‫ ב‬x  7 .‫) א‬21
. x  5 .‫ יד‬x  3 .‫ יג‬x  4, 3 .‫ יב‬x  6 .‫ יא‬x  5 .‫ י‬x  4.25 .‫ ט‬x  3.75 .‫ח‬
. a  b , x 
. x  2 .‫ יט‬x  1 .‫ יח‬x  6 .‫ יז‬x  2, 2
. x  7 .‫ ז‬x  24,
8
.‫ טז‬x  12 .‫טו‬
9
4
1
.‫ ו‬x  9, 1 .‫ ה‬x  6 .‫ ד‬x  3 .‫ ג‬x  6,12 .‫ ב‬x  2,9 .‫) א‬22
5
3
1
. x  0 .‫ י‬x  0, 12 .‫ ט‬x  12, 1 .‫ח‬
3
.  5, 2 ,  5, 2  .‫ ד‬ 2, 1 .‫ ג‬ 4, 2  .‫ ב‬ 2, 4  ,  4, 2  .‫) א‬23
.  5, 3 .‫ ח‬ 7, 4  .‫ז‬
1
1  5 1 
 1 

 3,  ,  3,   ,  2,1 ,  2, 1 .‫ ו‬ 2,  ,  ,  .‫ה‬
2
2   11 11 
 2 

1 1
.  ,  .‫ יא‬ 6,5 ,  5, 6  .‫ י‬ 3,6  ,  6,3 .‫ט‬
 2 3
.  4,6 ,  6, 4 ,  3,8 ,  8, 3 .‫יב‬
.  1.65,6.35 ,  6.35,1.65  7, 4  ,  4, 7  .‫יג‬
.  5, 45 ,  5, 45 ,  45,5 ,  45, 5 .‫יד‬
27
‫אי שוויוניים‪:‬‬
‫מה מותר?‬
‫‪ .1‬לחבר או לחסר כל מספר או ביטוי‪.‬‬
‫‪ .2‬לכפול או לחלק בכל מספר או ביטוי חיובי‪.‬‬
‫מה אסור?‬
‫‪ .1‬לכפול או לחלק בביטוי שלא‬
‫יודעים את סימנו‪.‬‬
‫‪ .2‬להעלות בחזקה זוגית כשיש‬
‫אגף שלילי‪.‬‬
‫‪ .3‬לכפול או לחלק בכל מספר או ביטוי שלילי‬
‫תוך הפיכת סימן אי‪-‬השוויון‪.‬‬
‫‪ .4‬להעלות בחזקה אי זוגית‪.‬‬
‫‪ .5‬להעלות בחזקה זוגית אם שני אגפי‬
‫אי‪-‬השוויון אינם שליליים‪.‬‬
‫אי‪-‬שוויונים ממעלה ראשונה‪:‬‬
‫פתור את אי‪-‬השוויונים הבאים‪:‬‬
‫‪45x  26  109 )1‬‬
‫‪)3‬‬
‫‪)5‬‬
‫‪)7‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪6 x  2  3x  1‬‬
‫‪2  x  5 ‬‬
‫‪)4‬‬
‫‪ 4   x  2   20‬‬
‫‪8 x  4 9  x  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x6 x4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 12  x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪)6‬‬
‫‪4  6 x  8   8  3x  4 ‬‬
‫‪)8‬‬
‫‪7  x 3x  1 x  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪7‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 4x  6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  2‬‬
‫אי‪-‬שוויונים ממעלה שנייה‪:‬‬
‫פתור את אי‪-‬השוויונים הבאים‪:‬‬
‫‪)9‬‬
‫‪x 2  144‬‬
‫‪x  12 x  32 )10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  2 x  5  0 )11‬‬
‫‪ x  2 x  4  35 )12‬‬
‫‪ x2  13x  30  0 )13‬‬
‫‪ x  3 x  7   8x  56 )14‬‬
‫‪)15‬‬
‫‪ x  x  2   89‬‬
‫‪)17‬‬
‫‪3x2  12 x  0‬‬
‫‪)19‬‬
‫‪  x  1 x  6   x 2  3x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  3‬‬
‫‪28‬‬
‫‪ 4  x  3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 5x  6‬‬
‫‪)16‬‬
‫‪2‬‬
‫‪)18‬‬
‫‪x2  10 x  25  0‬‬
‫‪)20‬‬
‫‪2 x2  2 x  24  0‬‬
29
:‫שוויונים ממעלה שלישית‬-‫אי‬
:‫השוויונים הבאים‬-‫פתור את אי‬
 x 1 x  2 x  3  0 )21
x  x  x  1  0 )22
2
x
2
x3  25x  0 )24
 2x
2
 3x  2   x  1  0
)23
 8x  20   3x  5  0 )26
x
2
 3x  5   x  2   0
)25
x
x3  6 x2  9 x  0 )28
2
 x  6   x  1  0
x
 x  2 x  4 x 1  0 )30
2
)27
 6   x  3  0 )29
:‫שוויונים עם מנה‬-‫אי‬
:‫השוויונים הבאים‬-‫פתור את אי‬
x 1
 3 )32
3x  2
x 1
0
x2  9
)31
x 3
 0 )34
2 x  10 x  12
1
0
x  16
)33
1
0
3  x  1
2x 1
0
x 5
)35
2
2
)36
1
 0 )38
x  5x  6
x 1
 1 )37
x2
1
 0 )40
2
x  8 x  12
x2  7 x  6
 0 )39
 x 2  3x  7
2
:‫ מערכת וגם‬- ‫שוויונים כפולים‬-‫אי‬
0
0
6
1
 2 )42
x4
:‫השוויונים הבאים‬-‫פתור את אי‬
3  x  1  5 )41
8  3x
 4 )44
5  2x
2 x  10 7 x  20

)46
3
5
4 x  5 3x  8 9  x


 11 )48
15
5
3
30
1 
x 1
 1 )43
x 1
6x  38  x  3  5x  7 )45
1 
2x  6 x  2

4
3
)47
:‫שוויונים‬-‫שאלות מסכמות – אי‬
:‫השוויונים הבאים‬-‫פתור את אי‬
x  x  5  3x  15  2 x  1  x(4  x) )50
x
 x  5 3x  1  0 )52
 2  x  x  7 
 x  4  x  2   0 )51
x 1
 2 x  3 x  12   0 )53
 x  1 4  x 
x  x  3 2 x  5  0 )54
5  2x
 x  8
2
3
 2  x  5  0  x  8 )49
4
 x  6   x  1  0 )55
2
 0 )56
x2
x 3
 0 )57
x2  2
x2  4 x
 0 )58
x2  2x  3
x7
 0 )60
2
x  x3
x2  6x  9
 0 )59
x3  x
x
1
1
)61


2
x 4 x2 x2
2 x2
x
x
)62


2
x  6x  8 x  4 x  2
3
2
1
1
)64
 0 

x 1 x
x  3 1 x
x2  3x  10  6  5x  x 2 )63
1
? g  x 
x 1
 2 )65
x4
x 1
x
‫ מעל הפונקציה‬f  x  
‫ נמצאת הפונקציה‬x ‫) לאלו ערכי‬66
x3
x 3
:‫תשובות סופיות‬
. x  13 )8 x  12 )7 x ‫) אף‬6 x  5 )5 x  2 )4 x ‫) אף‬3 x ‫) כל‬2 x  3 )1
. 9  x  3 )12 5  x  2 )11 x  4 , x  8 )10 12  x  12 )9
. 4  x  0 )16 4  x  8 )15 x  7 , x  11 )14 x  2 , x  15 )13
. x ‫) כל‬20 x  3 , x  5 )19 x  5 , x  5 )18 0  x  4 )17
1
)23 x  0 )22 1  x  2 ‫ או‬x  3
2
2
. x  3 )29 x  0 , x  3 )28 x  2 , 1  x  3 )27 x  1 )26 x  2
3
2
1
. x   , x   )32 3  x  1 , x  3 )31 x  1 , 2  x  4
3
2
1
. x  2 )37 x  1 )36  x  5 )35 2  x  3 , x  3 )34 x  4 , x  4
2
5  x  0 , x  5 )24 2  x  1 , x 
31
)21
)25
)30
)33
1
2
. x  0 )43 x  3 )42 2  x  4 )41 x  2 , x  6 )40 1  x  6 )39 2  x  3 )38
3
2
2
)49 .  )48 1  x  13 )47 x  10 )46 2.5  x  7 )45 x  2 , x  2 )44
5
3
4
1
x  7 ,   x  2 , 5  x )52 x  2 , 1  x  4 )51 x  4 )50
3
. x  1 , 2  x  6 , 6  x )55 x  3 , 0  x  2.5 )54 . 1  x  1.5 , 4  x  12 )53
. x  3 , 0  x  1 , x  4 )58 3  x )57 2.5  x  8 , 8  x )56
. x  2 , 2  x  4 )61 7  x )60 1  x  0 , 1  x  3 , 3  x )59
. x  7 )65 x  1 )64 x ‫) אף‬63 x  0 , 1  x  2 , 4  x )62
3
. 3  x   , 3  x )66
5
2  x  
:‫תחום הגדרה‬
:‫) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות‬1
f  x  2 x  3
.‫ב‬
f  x  x
.‫א‬
5x
x4
x2
.‫ד‬
f  x   3x 1  2 x
.‫ג‬
.‫ו‬
f  x   x 2  3x  10
.‫ה‬
x 1
x 2 x
.‫ז‬
f  x 
f  x 
x3  9 x
f  x 
:‫) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות‬2
f  x 
f  x 
1
x x6
.‫ב‬
x2  5x  6
x 1
.‫ד‬
f  x 
f  x 
x  2 3
.‫א‬
2x2  x  3
x2  5x  9
.‫ג‬
:‫תשובות סופיות‬
1
.‫ ג‬x  3 .‫ ב‬x  0 .‫) א‬1
2
. x  2 , 2  x  1 , 1  x  2 .‫ ז‬3  x  0 , x  3 .‫ו‬
1
. x  3 , 2  x  1 .‫ ד‬x  1 , x  1 .‫ ג‬6  x  2 .‫ ב‬x  7 .‫) א‬2
2
x  5 , x  2 .‫ ה‬x  4 .‫ ד‬x 
32
‫פרק ‪ – 3‬בעיות מילוליות‪:‬‬
‫בעיות תנועה‪:‬‬
‫בעיות בלי אחוזים עם נעלם אחד ושניים‪:‬‬
‫‪ )1‬מכונית נוסעת מ ‪ A-‬ל ‪ B-‬במהירות של ‪ 90‬קמ"ש‪ .‬בדרך חזרה נסעה המכונית‬
‫במהירות של ‪ 60‬קמ"ש‪ .‬בסה"כ נמשכה הנסיעה הלוך וחזור ‪ 20‬שעות‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה שעות נסעה המכונית לכל כיוון?‬
‫ב‪ .‬מהי הדרך שעברה המכונית?‬
‫‪ )2‬אוטובוס ומשאית יוצאים בו זמנית משני יישובים ‪ A‬ו‪ B-‬בהתאמה‪ .‬מהירות‬
‫האוטובוס היא ‪ 60‬קמ"ש ומהירות המשאית היא ‪ 80‬קמ"ש‪.‬האוטובוס הגיע‬
‫ליישוב ‪ B‬שעה ו‪ 40-‬דקות מאוחר יותר מהזמן שלקח למשאית להגיע ליישוב ‪.A‬‬
‫א‪ .‬כמה זמן נסע האוטובוס וכמה זמן נסעה המשאית?‬
‫ב‪ .‬מהו המרחק בין שתי הערים?‬
‫‪ )3‬הולכת רגל יצאה לטיול במהירות מסוימת‪.‬‬
‫לאחר שעה וחצי יצא בעקבותיה מאותו מקום הולך רגל נוסף במהירות הגדולה‬
‫ממהירותה ב ‪ 4.5-‬קמ"ש‪ .‬הולך הרגל השיג את הולכת הרגל שעה לאחר שיצא לדרכו‪.‬‬
‫א‪ .‬מה י מהירות ההליכה של הולכת הרגל?‬
‫ב‪ .‬מהו המרחק שעברו עד שנפגשו?‬
‫‪ )4‬שני רוכבי אופניים יוצאים בו זמנית מעיר א' לעיר ב'‪ .‬הרוכב הראשון נוסע‬
‫במהירות קבועה ומגיע לעיר ב' לאחר ‪ 5‬שעות‪ .‬הרוכב השני נוסע במשך‬
‫השעתיים הראשונות במהירות הקטנה ב ‪ 2-‬קמ"ש ממהירות הרוכב הראשון‪.‬‬
‫לאחר מכן הוא מגביר את מהירותו ב‪ 14-‬קמ"ש ומגיע לעיר ב' שעה ו‪ 20-‬דקות‬
‫לפני הרוכב הראשון‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות נסע הרוכב הראשון?‬
‫ב‪ .‬איזו דרך עבר הרוכב השני בכל חלק?‬
‫‪ )5‬משאית נוסעת מרחק של ‪ 245‬ק"מ בכל יום במהירות קבועה‪.‬‬
‫יום אחד נסעה המשאית במשך שעתיים וחצי במהירות הרגילה‪ ,‬לאחר מכן עצרה לתדלוק‬
‫במשך ‪ 24‬דקות ואז המשיכה בנסיעה במהירות הגדולה ב‪ 70-‬קמ"ש ממהירותה הקודמת‪.‬‬
‫המשאית הגיעה ליעדה שעה לפני השעה שהיא מגיעה בכל יום‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות נוסעת המשאית בכל יום?‬
‫ב‪ .‬כמה זמן לוקח למשאית להגיע ליעדה בכל יום?‬
‫‪33‬‬
‫‪ )6‬אוטובוס נוסע מעיר א' לעיר ב' הרחוקה ממנה ב‪ 800-‬ק"מ‪ .‬לאחר שעבר האוטובוס ‪135‬‬
‫ק"מ במהירות קבועה הוא עצר להתרעננות במשך חצי שעה‪ .‬לאחר מכן המשיך האוטובוס‬
‫את נסיעתו במהירות הגדולה ב‪ 43-‬קמ"ש ממהירותו הקודמת עד לעיר ב'‪ .‬סך כל הזמן‬
‫שהיה האוטובוס בדרך הוא ‪ 7‬שעות‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הייתה המהירות ההתחלתית של האוטובוס?‬
‫ב‪ .‬מה היה המרחק שעבר האוטובוס אחרי ההתרעננות עד לעיר ב'?‬
‫‪ )7‬רוכב אופניים יצא בשעה ‪ 06:00‬לרכיבה במהירות ‪ 24‬קמ"ש‪ .‬בשעה ‪ 07:00‬יצא מאותו‬
‫מקום רוכב אופנוע באותו כיוון ובמהירות של ‪ 40‬קמ"ש‪.‬‬
‫באיזו שעה ובאיזה מרחק מנקודת היציאה ישיג רוכב האופנוע את רוכב האופניים?‬
‫‪ )8‬המרחק בין ת"א לנצרת הוא ‪ 103‬ק"מ‪ .‬בשעה ‪ 08:00‬יצאה מכונית מנצרת לת"א‬
‫במהירות ‪ 90‬קמ"ש‪ .‬בשעה ‪ 08:20‬יצאה משאית מת"א לנצרת במהירות ‪ 56‬קמ"ש‪.‬‬
‫באיזו שעה ייפגשו המכונית והמשאית?‬
‫‪ )9‬משאית נסעה מדימונה לאילת‪ ,‬מרחק של ‪ 200‬ק"מ‪ 50 .‬דקות אחריה יצאה מכונית‬
‫מדימונה לאילת במהירות הגבוהה ב‪ 30-‬קמ"ש והגיעה לאילת ‪ 40‬דקות לפני המשאית‪.‬‬
‫מצא את מהירות המכונית‪.‬‬
‫בעיות תנועה עם אחוזים‪:‬‬
‫‪ )10‬מכונית נוסעת מעיר א' לעיר ב' מרחק של ‪ 480‬ק"מ במהירות קבועה‪ .‬בדרכה חזרה‬
‫נסעה המכונית במשך שעה במהירות הקבועה‪ .‬לאחר מכן עצרה להתרעננות של ‪ 36‬דקות‬
‫ואז הגבירה את מהירותה ב ‪ 25%-‬ממהירותה הקודמת והגיעה בחזרה לעיר א' ‪ 24‬דקות‬
‫פחות מהזמן שלקח לה להגיע לעיר ב'‪ .‬באיזו מהירות נסעה המכונית מעיר א' לעיר ב'?‬
‫‪ )11‬רכבת משא ורכבת נוסעים יוצאות מעיר א' לעיר ב' מרחק של ‪ 360‬ק"מ‪ .‬מהירות רכבת‬
‫הנוסעים גדולה ב‪ 20%-‬ממהירות רכבת המשא‪ .‬רכבת הנוסעים התעכבה ‪ 40‬דקות בתחנה‪,‬‬
‫ולכן יצאה באיחור מהתחנה של עיר א'‪ .‬עם זאת היא הגיעה לעיר ב' ‪ 20‬דקות לפני רכבת‬
‫המשא‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הן המהירויות של שתי הרכבות?‬
‫ב‪ .‬כמה זמן נסעה רכבת הנוסעים מעיר א' לעיר ב'?‬
‫‪ )12‬מכונית ומונית נוסעות מנקודה ‪ A‬לנקודה ‪ .B‬המכונית נוסעת במהירות קבועה ומגיעה‬
‫לנקודה ‪ B‬כעבור ‪ 4‬שעות‪ .‬המונית נוסעת במשך ‪ 3‬שעות המהירות הקטנה ב ‪ 10-‬קמ"ש‬
‫ממהירות המכונית ולאחר מכן מגבירה את מהירותה ב ‪ 50%-‬ומגיעה לנקודה ‪ B‬יחד עם‬
‫המכונית‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות המכונית?‬
‫ב‪ .‬מהו המרחק בין נקודה ‪ A‬לנקודה ‪?B‬‬
‫‪34‬‬
‫בעיות תנועה עם משפט פיתגורס‪:‬‬
‫‪ )13‬שתי מכוניות יצאו מהעיר‪ ,‬האחת לכיוון מזרח והשנייה לכיוון צפון‪ .‬לאחר שלוש שעות‬
‫המרחק בין שתי המכוניות היה ‪ 300‬ק"מ‪ .‬מהירות מכונית אחת גדולה ב‪ 20-‬קמ"ש‬
‫ממהירות המכונית השנייה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהן המהירויות של שתי המכוניות?‬
‫ב‪ .‬מה היה המרחק של כל מכונית מהעיר לאחר שלוש שעות?‬
‫‪ )14‬שני הולכי רגל יוצאים משני יישובים ‪ A‬ו‪ B-‬המרוחקים זה מזה ‪ 13‬ק"מ‪.‬‬
‫היישוב ‪ A‬ממוקם בצפון מערב ביחס ליישוב ‪ B‬כמתואר באיור ממול‪.‬‬
‫הולך הרגל מיישוב ‪ A‬הולך דרומה והולך הרגל מיישוב ‪ B‬הולך מערבה‪ 13 .‬ק"מ‬
‫הולך הרגל מיישוב ‪ A‬יוצא שעתיים לפני הולך הרגל השני‪.‬‬
‫לאחר שלוש שעות מיציאתו נפגשו שני הולכי הרגל‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫מהירות הולך הרגל מיישוב ‪ B‬גדולה ב‪ 25%-‬ממהירות הולך הרגל השני‪.‬‬
‫באיזו מהירות הלך כל אחד משני הולכי הרגל?‬
‫‪A‬‬
‫‪ )15‬רוכב אופנוע יצא מביתו מזרחה במהירות מסוימת ונסע במשך חצי שעה‪ .‬לאחר מכן‪ ,‬פנה‬
‫צפונה‪ ,‬הגדיל את מהירותו ב ‪ 20%-‬ונסע כך שעה נוספת‪ .‬לאחר שעה זו פנה חזרה לכיוון‬
‫ביתו‪ ,‬העלה את מהירותו ל ‪ 65-‬קמ"ש ונסע (בקו ישר) עד שהגיע חזרה לביתו‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מהירותו של רוכב האופנ וע ביציאה מביתו אם ידוע שעבר‬
‫בסך הכול ‪ 150‬ק"מ‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה הייתה מהירותו הממוצעת של רוכב האופנוע (בכל חלקי הדרך)?‬
‫בעיות תנועה – מהירות מושפעת מזרמים‪:‬‬
‫‪ )16‬סירה שטה בנהר שבו מהירות הזרם היא ‪ 3‬קמ"ש עם כיוון זרם המים‪.‬‬
‫לאחר חצי שעה החליטו אנשי הסירה לשנות את כיוונם וחזרו במשך שעתיים לנקודת‬
‫המוצא שלהם‪ .‬מהירות הסירה במים עומדים קבועה במשך כל השייט‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מהירות הסירה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו המרחק הכולל ששטה הסירה?‬
‫בעיות תנועה – מהירות ממוצעת‪:‬‬
‫‪ )17‬אופנוע עובר מרחק של ‪ 200‬ק"מ במהירות מסוימת‪.‬‬
‫לאחר מכן מאיץ האופנוע ומגדיל את מהירותו ב‪.40%-‬‬
‫הוא נוסע במהירות זו ועובר מרחק של ‪ 280‬ק"מ‪.‬‬
‫המהירות הממוצעת של האופנוע היא ‪ 96‬קמ"ש‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה זמן נסע האופנוע?‬
‫ב‪ .‬באיזו מהירות התחיל האופנוע את נסיעתו?‬
‫‪35‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬א‪ 8 .‬שעות הלוך ו‪ 12-‬שעות חזור‪ .‬ב‪ 1440 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ )2‬א‪ .‬אוטובוס – ‪ 6‬שעות ו ‪ 40-‬דקות‪ .‬משאית – ‪ 5‬שעות‪ .‬ב‪ 400 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ )3‬א‪ 3 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 7.5 .‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ )4‬א‪ 12 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 20 .‬ק"מ ו ‪ 40-‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ )5‬א‪ 50 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 4 .‬שעות ו‪ 54-‬דקות‪.‬‬
‫‪ )6‬א‪ 90 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 665 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ 60 ,8:30 )7‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 80 )9‬קמ"ש‪ 80 )10 .‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ )11‬א‪ 60 .‬קמ"ש ‪ 72‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 5 .‬שעות‪.‬‬
‫‪8:50 )8‬‬
‫‪ )12‬א‪ 90 .‬קמ"ש ב‪ 360 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ )13‬א‪ 60 .‬קמ"ש ו‪ 80-‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 180 .‬ק"מ ו‪ 240-‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ )14‬א‪ 4 .‬קמ"ש ו‪ 5-‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ )15‬א‪ 50 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 60 .‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ )16‬א‪ 5 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 8 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ )17‬א‪ 5 .‬שעות‪ .‬ב‪ 80 .‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪36‬‬
‫בעיות קנייה ומכירה‪:‬‬
‫בעיות קנייה בלי אחוזים עם נעלם אחד ושניים‪:‬‬
‫‪ )1‬מחיר כניסה למוזיאון המדע למבוגר גדול ב ‪ ₪ 15-‬ממחיר הכניסה לילד‪.‬‬
‫יוסי נסע עם אשתו ושבעת ילדיו ליום כיף במוזיאון המדע ושילם בעבור הכניסה‬
‫סכום כולל של ‪ 210‬שקלים‪ .‬מה המחיר לילד ומה המחיר למבוגר?‬
‫‪ )2‬המחיר של ‪ 3‬ק"ג אגסים גדול ב ‪ 3-‬שקלים מהמחיר של ‪ 2‬ק"ג תפוחים‪.‬‬
‫שרון קנתה ‪ 4‬ק"ג אגסים ו‪ 5-‬ק"ג תפוחים ושילמה סכום כולל של ‪ 73‬שקלים‪.‬‬
‫מה המחיר של ק"ג מכל סוג?‬
‫‪ )3‬דן קנה מחברות בסכום כולל של ‪ 224‬שקלים‪.‬‬
‫אם ירד סכום המחברות ב ‪ 10-‬שקלים יוכל דן לקנות עוד ‪ 40‬מחברות יותר‬
‫מאשר קנה בתחילה באותו הסכום‪ .‬כמה מחברות קנה ודן ומה המחיר של כל‬
‫מחברת?‬
‫‪ )4‬סוחר קנה ‪ 60‬כיסאות זהים במחיר זהה לכיסא‪.‬‬
‫‪ 5‬כיסאות נשברו לו ואת שאר הכיסאות הוא מכר במחיר הגדול ב‪₪ 40-‬‬
‫מהמחיר שקנה אותם‪ .‬בסה"כ הרוויח הסוחר בעסקה ‪.₪ 1950‬‬
‫באיזה מחיר קנה הסוחר כל כיסא?‬
‫בעיות קנייה ומכירה עם אחוזים בנעלם אחד ושניים‪:‬‬
‫‪ )5‬משכורתו של אלון גדולה ב‪ ₪ 200-‬ממשכורתו של רן‪.‬‬
‫אם אלון יקבל תוספת של ‪ 16%‬למשכורתו ורן יקבל תוספת של ‪ 30%‬למשכורתו‬
‫אז המשכורת של רן תהיה גדולה משל אלון ב ‪.₪ 300-‬‬
‫מהי המשכורת של כל אחד מהם?‬
‫‪ )6‬עקב ביקוש רב מחירו של מקרר "אמנה" עלה ב ‪ .5%-‬לאחר שנה ירד הביקוש‬
‫למקרר "אמנה" ולכן הוזל מחירו ב ‪ .10%-‬מחיר המקרר הסופי הוא ‪.₪ 1,323‬‬
‫א‪ .‬מה היה מחיר המקרר ההתחלתי?‬
‫ב‪ .‬כמה אחוזים ממחיר המקרר המקורי מהווה מחיר המקרר הסופי?‬
‫‪ )7‬המחיר של שמיכה וזוג כריות הוא ‪ .₪ 380‬לאחר שנה מחיר השמיכה הוזל‬
‫ב ‪ ,20%-‬אך מחיר הכריות התייקר ב ‪ .20%-‬כעת המחיר של ‪ 5‬כריות ו‪ 2-‬שמיכות‬
‫הוא ‪.₪ 888‬‬
‫א‪ .‬מה היה המחיר הראשוני של כרית?‬
‫ב‪ .‬כמה עולה שמיכה לאחר ההוזלה?‬
‫‪37‬‬
‫‪ )8‬סוחר קנה שולחנות במחיר כולל של ‪ 10 .₪ 18,000‬שולחנות הוא מכר ברווח‬
‫של ‪ 60%‬לשולחן‪ 20 ,‬שולחנות הוא מכר ללא רווח ואת שאר השולחנות הוא‬
‫מכר בהפסד של ‪ 15%‬לשולחן‪ .‬סה"כ הרוויח הסוחר בעסקאות אלו ‪.₪ 450‬‬
‫א‪ .‬כמה שולחנות קנה הסוחר?‬
‫ב‪ .‬מה המחיר ששילם הסוחר עבור כל שולחן?‬
‫בעיות קנייה ומכירה שונות‪:‬‬
‫‪ )9‬קבלן רכש ‪ x‬מרצפות רצפה בסכום כולל של ‪ 20 .₪ 22,000‬מרצפות נשברו‬
‫בהובלה ולכן לא נמכרו‪ .‬את שאר המרצפות מכר הקבלן ברווח של ‪.50%‬‬
‫סה"כ הרוויח הקבלן בעסקה ‪.₪ 8,360‬‬
‫א‪ .‬כמה מרצפות קנה הקבלן?‬
‫ב‪ .‬כמה כסף שילם הקבלן עבור כל מרצפה?‬
‫‪ )10‬שמואל קנה מחשב ומדפסת במכרז ושילם עבורם סכום כולל של ‪.₪ 3,600‬‬
‫לאחר חודש ימים‪ ,‬מכר שמואל את המדפסת בהפסד של ‪ 10%‬ואת המחשב‬
‫ברווח של ‪ .40%‬ידוע כי שמואל מכר את שני המוצרים במחיר כולל של ‪.₪ 4,740‬‬
‫בכמה כסף קנה שמואל את המחשב ובכמה כסף קנה את המדפסת?‬
‫‪ )11‬חוואי קנה ‪ 15‬סוסי פוני במחיר זהה לסוס‪ .‬לאחר שנה מכר החוואי ‪ 3‬סוסים‬
‫ברווח של ‪ ,35%‬שניים מתו ממחלה נדירה ואת שאר הסוסים הוא מכר ללא‬
‫רווח‪ .‬סה"כ הפסיד החוואי ‪.₪ 1710‬‬
‫א‪ .‬כמה שילם החוואי עבור כל סוס פוני?‬
‫ב‪ .‬אם רק סוס אחד היה מת‪ ,‬האם היה החוואי מרוויח מהעסקה?‬
‫אם לא נמק‪ ,‬אם כן בכמה היה מרוויח?‬
‫‪ )12‬מכונת כביסה עולה ‪ .₪ 4,000‬לאחר שנה עלה מחיר מכונת הכביסה ב ‪ 20%-‬ושנה‬
‫לאחר מכן עלה מחירה בעוד ‪.20%‬‬
‫א‪ .‬מה מחיר מכונת הכביסה לאחר שנתיים?‬
‫ב‪ .‬בכמה אחוזים מהמחיר המקורי התייקרה מכונת הכביסה?‬
‫ג‪ .‬בחנות למוצרי חשמל מוכרים מכונות כביסה במחיר מסוים‪.‬‬
‫רפי קנה ‪ 3‬מכונות כביסה למכבסה שברשותו‪ .‬ידוע כי לאחר שנה חלה‬
‫התייקרות ב‪ p -‬אחוזים וכך גם בשנה שאחריה‪ .‬בתום השנתיים‪ ,‬החליט‬
‫רפי לקנות ‪ 2‬מכונות כביסה נוספות‪ .‬מבדיקה שערך רפי‪ ,‬גילה כי המחיר‬
‫הכולל ששילם בקנייה השנייה גדול פי ‪ 2‬מהמחיר ששילם בקנייה‬
‫הראשונה‪ .‬מהו ‪? p‬‬
‫‪38‬‬
‫‪ )13‬המחיר של שמיכה וזוג כריות הוא ‪ .₪ 380‬לאחר שנה מחיר השמיכה הוזל‬
‫ב ‪ 20%-‬אך מחיר הכריות התייקר ב‪ .20%-‬כעת המחיר של ‪ 5‬כריות ו‪ 2-‬שמיכות‬
‫הוא ‪.₪ 888‬‬
‫א‪ .‬מה היה המחיר הראשוני של כרית?‬
‫ב‪ .‬כמה עולה שמיכה לאחר ההוזלה?‬
‫ג‪ .‬אכסניית נוער מעוניינת לרכוש שמיכות וכריות עבור מיטות יחיד למספר‬
‫חדרים (מספר זהה של שמיכות וכריות)‪ .‬האם כדאי להנהלת האכסניה‬
‫לרכוש את השמיכות והכריות במחירים המקוריים או לאחר שנה? נמק‪.‬‬
‫‪ )14‬המחיר של ‪ 6‬שרפרפים גדול ב ‪ 20-‬שקלים מהמחיר של כיסא‪.‬‬
‫לאחר שמחיר השרפרפים התייקר ב‪ 35% -‬ומחיר הכיסא הוזל ב ‪ ,19% -‬המחיר‬
‫של ‪ 3‬שרפרפים היה זהה למחיר של כיסא אחד‪.‬‬
‫א‪ .‬מה המחיר של כי סא והמחיר של שרפרף לפני ההוזלה וההתייקרות?‬
‫ב‪ .‬בכמה אחוזים גדול המחיר של הכיסא לאחר ההוזלה מהמחיר של‬
‫השרפרף לאחר ההתייקרות?‬
‫ג‪ .‬לרשות בית ספר תקציב מסוים המיועד לרכישת כיסאות ושרפרפים‪.‬‬
‫ידוע כי בית הספר מעוניין לרכוש פי ‪ 4‬יותר שרפרפים מאשר כיסאות‪.‬‬
‫האם כדאי לבית הספר לבצע את הרכישה במחירים המקוריים או לאחר‬
‫השינויים אם ברצונו לרכוש יותר פריטים?‬
‫‪ )15‬סוחר קנה ‪ 60‬כיסאות זהים במחיר זהה לכיסא‪ 5 .‬כיסאות נשברו לו ואת שאר‬
‫הכיסאות הוא מכר במחיר הגדול ב‪ ₪ 40-‬מהמחיר שקנה אותם‪.‬‬
‫בסה"כ הרוויח הסוחר בעסקה ‪.₪ 1950‬‬
‫א‪ .‬באיזה מחיר קנה הסוחר כל כיסא?‬
‫ב‪ .‬בעסקה אחרת‪ ,‬קנה הסוחר ‪ 60‬כיסאות אחרים במחיר זהה לכיסא‪.‬‬
‫ידוע כי המחיר של כיסא בודד גדול ב‪ 30%-‬מהמחיר של כיסא בודד שרכש‬
‫הסוחר בעסקה הראשונה‪ .‬במהלך ההובלה נגנבו ‪ 8‬כיסאות‪ .‬הסוחר רוצה‬
‫להרוויח ממכירת הכיסאות הנותרים לפחות ‪ ₪ 2000‬בעסקה זו‪.‬‬
‫נסמן ב‪ p -‬את אחוז ההתייקרות שבו צריך למכור הסוחר כיסא בודד‪.‬‬
‫מצא את ‪ p‬המינימלי עבורו יעמוד הסוחר ביעדו‪.‬‬
‫‪ )16‬סוכן של חברת רהיטים קנה מיטות במחיר כולל של ‪ .₪ 60,000‬רבע מכמות‬
‫המיטות שקנה הוא מכר ברווח של ‪ 4 .80%‬מיטות הוא מכר ללא רווח כלל ואת‬
‫שאר המיטות הוא מכר בהפסד של ‪ 10%‬למיטה‪ .‬בסה"כ הרוויח הסוכן ‪.₪ 9,500‬‬
‫א‪ .‬כמה מיטות קנה הסוכן?‬
‫ב‪ .‬כמה שילם הסוכן עבור כל מיטה?‬
‫ג‪ .‬בהנחה שהסוכן רוכש עבור החברה פעם נוספת כמות מיטות זהה ממקום‬
‫אחר‪ ,‬ומוכר באותם התנאים‪ ,‬כמה עליו לשלם עבור מיטה בודדת כדי‬
‫שהרווח שלו יהיה לפחות ‪( ?₪ 10,000‬עגל את תשובתך לשקלים שלמים)‪.‬‬
‫‪39‬‬
‫‪ )17‬יצרנית מוצרי חשמל מוכרת מקררים במחיר של ‪ ₪ x‬ליחידה‪.‬‬
‫עם השקת מקרר חדש הוחלט להעלות את מחירו ב ‪ 5%-‬עקב הביקוש הרב‪.‬‬
‫בשנה הראשונה להשקתו נקנו מספר מקררים‪.‬‬
‫שנה לאחר מכן ירד הביקוש ולכן מחיר המקרר הוזל ב‪( 10%-‬ביחס למחירו‬
‫בשנה הראשונה)‪ .‬כעת נמכרו מספר כפול של יחידות ביחס לשנה הקודמת‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את המחיר המקורי של מקרר אם ידוע כי סך כל הרווחים של‬
‫יצרנית המקרר בשנתיים הנ"ל זהה לסכום שהייתה מרוויחה אם היו‬
‫קונים את אותו מספר המקררים שנרכשו בשנה הראשונה במחיר‬
‫של ‪ ₪ 4116‬ליחידה‪.‬‬
‫ב‪ .‬היצרנית הרוויחה בשנה השנייה ‪ ₪ 235,200‬יותר מאשר בשנה הראשונה‪.‬‬
‫מצא כמה מקררים נמכרו בשנה הראשונה‪.‬‬
‫‪ )18‬בחנות מסוימת‪ ,‬מחיר כובע גדול ב‪ 40%-‬מהמחיר של זוג כפפות‪.‬‬
‫לאחר חודש התייקר הכובע ב‪ 50%-‬והכפפות הוזלו ב‪ p -‬אחוזים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ p‬עבורו קנייה של ‪ 16‬כובעים ו‪ 2-‬זוגות כפפות לפני השינויים‬
‫תשתווה לקנייה של ‪ 4‬כובעים ו ‪ 20-‬זוגות כפפות לאחר השינויים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ p‬עבורו ההפרש בין קניית ‪ 5‬כובעים ו ‪ 4-‬זוגות כפפות במחירים‬
‫לאחר השינויים‪ ,‬לבין קניית ‪ 3‬כובעים ו ‪ 2-‬זוגות כפפות במחירים‬
‫המקוריים יהיה שווה למחיר של קניית ‪ 5‬זוגות כפפות במחירם המקורי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪ p‬עבורו המחיר של כובע אחד ו‪ 10-‬זוגות כפפות לאחר השינויים‬
‫יהווה ‪ 80%‬מהמחיר של קניית אותם הפריטים במחירים המקוריים‪.‬‬
‫‪ )19‬סוחר רוכש מנורות בסכום כולל של ‪ 26 .₪ 4,000‬מהמנורות מכר הסוחר ברווח‬
‫של ‪ ₪ 20‬למנורה ואת השאר הוא מכר בהפסד של ‪ ₪ 5‬למנורה‪ .‬בסה"כ הרוויח‬
‫הסוחר בעסקה ‪ .₪ 400‬בעסקה אחרת רכש הסוחר כמות מנורות מסוימת ומכר‬
‫אותם לבית עסק ברווח של ‪ 30%‬למנורה‪.‬‬
‫הסוחר הרוויח בעסקה זו סה"כ ‪.₪ 1020‬‬
‫א‪ .‬כמה מנורות קנה הסוחר ברכישה הראשונה ובאיזה מחיר למנורה?‬
‫ב‪ .‬כמה מנורות רכש הסוחר בעסקה השנייה?‬
‫‪ )20‬סוחר קנה ‪ 450‬תיקים‪ .‬הוא מכר ‪ 150‬מהם ברווח של ‪ 15%‬ואת השאר בהפסד‬
‫של ‪ 5‬שקלים‪ .‬בסה"כ הפסיד הסוחר בעסקה ‪.₪ 600‬‬
‫א‪ .‬בכמה כסף קנה הסוחר כל תיק?‬
‫ב‪ .‬אם הסוחר היה מוכר את שאר התיקים בהפסד של ‪ 2‬שקלים‬
‫במקום ‪ 5‬שקלים‪ ,‬האם עדיין הוא היה מפסיד מהעסקה?‬
‫ג‪ .‬התיקים שמכר הסוחר ברווח של ‪ 15%‬נקנו ע"י חנות מרכזית‪ .‬בחודש‬
‫הראשון למכירת התיקים‪ ,‬מכרה החנות כל תיק ברווח של ‪ .50%‬לאחר‬
‫חודש העלתה החנות את המחיר של תיק ב‪ 20%-‬נוספים ופרסמה מבצע‬
‫שבמסגרתו כל הקונה שני תיקים יקבל את השני בהנחה של ‪ .40%‬חן‬
‫הגיעה לחנות בחודש הראשון וקנתה שני תיקים ואחותה‪ ,‬שרית‪ ,‬הגיעה‬
‫‪40‬‬
‫לחנות לאחר חודש וקנתה שני תיקים במסגרת המבצע‪ .‬מי משתי האחיות‬
‫שילמה מחיר נמוך יותר בממוצע על תיק?‬
‫‪ )21‬בית קפה רכש ‪ 120‬ק"ג מוצרי שוקולד‪ 10 .‬ק"ג נהרסו מיד עם הגעתם למקום‬
‫עקב תנאי תחזוקה רעועים‪ 40 ,‬ק"ג נמכרו ברווח של ‪ ₪ 3‬לק"ג ואת שאר הכמות‬
‫מכר בית הקפה בהפסד של ‪ ₪ 2‬לק"ג‪ .‬בסה"כ הפסיד בית הקפה בעסקה ‪.₪ 60‬‬
‫א‪ .‬מהו המחיר של ק"ג מוצרי שוקולד?‬
‫ב‪ .‬בהזמנה נוספת רכש בית הקפה כמות מסוימת של מוצרי שוקולד ושילם‬
‫עבור ק"ג אחד את המחיר שמצאת שסעיף הקודם‪ .‬ידוע כי ‪ 10%‬מהכמות‬
‫מכר בית הקפה ברווח של ‪ 50%‬לק"ג ו‪ 20%-‬מהכמות מכר בית הקפה‬
‫בהפסד של ‪ . 25%‬מצא באיזה מחיר צריך למכור בית הקפה את הכמות‬
‫הנותרת על מנת שירוויח ‪ 70%‬מהסכום שהוציא‪.‬‬
‫‪ )22‬בעל מזנון פלאפל קנה ‪ 12‬ק"ג גרגירי חומוס להכנת כדורי פלאפל ו ‪ 8-‬ק"ג קמח‬
‫לאפיית פיתות‪ .‬ידוע כי המחיר של ‪ 2‬ק"ג גרגירי חומוס גבוה ב ‪ ₪ 2-‬מהמחיר‬
‫של ‪ 1‬ק"ג קמח‪ .‬בעל המזנון קיבל הנחה של ‪ 25%‬על כל ‪ 1‬ק"ג גרגירי חומוס‬
‫והנחה של ‪ 20%‬על כל ‪ 1‬ק"ג קמח‪ .‬לאחר ההנחה שילם בעל המזנון ‪₪ 74.4‬‬
‫בעבור קנייתו‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הם המחירים של ‪ 1‬ק"ג גרגירי חומוס ו‪ 1-‬ק"ג קמח?‬
‫ב‪ .‬ידוע כי כל מנת פלאפל נמכרת במחיר זהה ולהכנתה דרושים ‪ 300‬גרם‬
‫גרגירי חומוס ו ‪ x -‬גרם קמח‪ .‬בעל המזנון ניצל בצורה מלאה את כל‬
‫הרכיבים שברשותו ולאחר מכירת כל המנות שהכין נשאר עם רווח‬
‫של ‪ .₪ 245.6‬מצא את ‪ x‬ואת המחיר של מנת פלאפל‪.‬‬
‫‪ )23‬בעל גלידריה קנה ‪ 30‬ליטרים חלב ו ‪ 18-‬ק"ג אבקת שוקולד להכנת גלידות‬
‫שוקולד‪ .‬על כל ‪ 1‬ליטר חלב קיבל ‪ 5%‬הנחה ועל כל ‪ 1‬ק"ג אבקה קיבל ‪10%‬‬
‫הנחה‪ .‬ידוע כי המחיר ששילם על כל כמות החלב שרכש גדולה ב‪₪ 77.7-‬‬
‫מהמחיר ששילם על כל האבקה שרכש‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את המחיר של ‪ 1‬ליטר חלב ו‪ 1-‬ק"ג אבקת שוקולד אם ידוע כי הוא‬
‫שילם ‪ ₪ 207.3‬בעבור כל הקנייה‪.‬‬
‫ב‪ .‬כדי לייצר כדור שוקולד אחד דרושים ‪ 300‬מ"ל חלב ו‪ 180-‬גרם אבקת‬
‫שוקולד‪ .‬בעל הגלידריה ניצל את כל המוצרים שקנה ופרסם כי המחיר של‬
‫כדור שוקולד אחד הוא ‪ ₪ 10‬וכי בקניית שני כדורי שוקולד תינתן הנחה‬
‫של שקל‪ .‬בעל הגלידריה מכר את כל הכדורים שברשותו והרוויח סה"כ‬
‫בעסקה ‪ .₪ 762.7‬מצא כמה לקוחות קנו כדור בודד וכמה קנו שני כדורים‪.‬‬
‫‪41‬‬
‫‪ )24‬סוכן כלי כתיבה רכש בקנייה מרוכזת ‪ 40‬חבילות עטים ו‪ 60-‬חבילות עפרונות‪.‬‬
‫חבילת עטים מכילה ‪ 12‬עטים וחבילת עפרונות מכילה ‪ 10‬עפרונות‪ .‬הסוכן קיבל‬
‫הנחה של ‪ 10%‬לעט ו‪ 15%-‬הנחה לעפרון‪ .‬בסה"כ שילם הסוכן ‪ .₪ 3102‬ידוע כי‬
‫אילולא היה מקבל הסוכן את הה נחות‪ ,‬אז המחיר הכולל שהיה נדרש לשלם‬
‫עבור כל העטים היה גדול פי ‪ 4.8‬מהמחיר שהיה משלם עבור כל העפרונות‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא מה המחירים המקוריים של עט בודד ושל עפרון בודד‪.‬‬
‫ב‪ .‬חנות "כותבים בכיף" קנתה כמות מסוימת של עטים ועפרונות מהסוכן‬
‫והכינה מארזים לתחילת שנה שכל אחד מכיל ‪ 2‬עטים ו‪ 3-‬עפרונות‪ .‬הסוכן‬
‫מכר לחנות את העפרונות והעטים במחירים המקוריים שלהם ואילו‬
‫החנות מכרה את המארזים במחיר הגדול ב‪ 40%-‬מעלות ההכנה שלהם‪.‬‬
‫מצא כמה עפרונות ו כמה עטים רכשה החנות מהסוכן אם ידוע כי הרוויחה‬
‫מעסקה זו (לאחר שמכרה את כל המארזים שהכינה) סה"כ ‪.₪ 72‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ ₪ 7 )2‬ו‪.₪ 9-‬‬
‫‪ ₪ 20 )1‬ו‪.35-‬‬
‫‪ 16 )3‬ב‪.₪ 14-‬‬
‫‪.₪ 50 )4‬‬
‫‪ ₪ 4000 )5‬ו– ‪ )6 .₪ 3800‬א‪ .₪ 1,400 .‬ב‪94.5% .‬‬
‫‪ )7‬א‪ .₪ 100 .‬ב‪ )8 .₪ 144 .‬א‪ 60 .‬שולחנות‪ .‬ב‪.₪ 300 .‬‬
‫‪ )9‬א‪ 250 .‬מרצפות‪ .‬ב‪ .₪ 88 .‬ג‪ )10 .156,000 .‬מחשב ‪ ,₪ 3000 -‬מדפסת – ‪.₪ 600‬‬
‫‪ )11‬א‪ .₪ 1800 .‬ב‪ .‬היה מרוויח ‪ )12 .₪ 90‬א‪ ₪ 5760 .‬ב‪ .44% .‬ג‪.73.2% .‬‬
‫‪ )13‬א‪ .₪ 100 .‬ב‪ .₪ 144 .‬ג‪ .‬כדאי לקנות לאחר שנה‪ .‬ללא תלות במספר החדרים‪.‬‬
‫‪ )14‬א‪ ₪100 .‬ו ‪.₪ 20-‬‬
‫ב‪ .‬ב‪( 200%-‬פי ‪ .)3‬ג‪ .‬במחירים המקוריים‪.‬‬
‫‪ )15‬א‪ .₪ 50 .‬ב‪.74.5% .‬‬
‫‪ )16‬א‪ 12 .‬מיטות‪ .‬ב‪.₪ 5,000 .‬‬
‫ג‪ .‬המחיר המדויק הוא‪ ₪ 5263.15 :‬ולכן נעגל ונדרוש‪ ₪ 5264 :‬למיטה‪.‬‬
‫‪ )17‬א‪ . x  ₪ 1400 .‬ב‪ 200 .‬יחידות‪.‬‬
‫‪ )18‬א‪ .20% .‬ב‪ .82.5% .‬ג‪ )19 .29.8% .‬א‪ 50 .‬נורות ב‪ .₪ 80-‬ב‪ 1020 .‬נורות‪.‬‬
‫‪ )20‬א‪ .₪ 40 .‬ב‪ .‬לא‪ .‬ג‪ .‬שרית‪ )21 .)₪ 66.24( .‬א‪ .₪ 4 .‬ב‪.₪ 8 .‬‬
‫‪ )22‬א‪ 1 .‬ק"ג גרגירי חומוס – ‪ 1.₪ 4‬ק"ג קמח – ‪.₪ 6‬‬
‫ב‪ 200 .‬גרם ‪ , x ‬מנת פלאפל = ‪.₪ 8‬‬
‫‪ )23‬א‪ 1 .‬ליטר חלב – ‪ 1 .₪ 5‬ק"ג אבקה – ‪.₪ 4‬‬
‫ב‪ 30 .‬קנו שני כדורים ו‪ 40-‬קנו כדור בודד‪.‬‬
‫‪ )24‬א‪ .‬עט – ‪ .₪ 6‬עפרון – ‪ .₪1‬ב‪ 12 .‬מארזים ולכן ‪ 24‬עטים ו‪ 36-‬עפרונות‪.‬‬
‫‪42‬‬
‫בעיות בהנדסת המישור‪:‬‬
‫בעיות יסודיות במרובעים‪:‬‬
‫‪ )1‬המרובע ‪ ABCD‬הוא ריבוע (ראה איור)‪ .‬הקטע ‪ EF‬מקביל‬
‫לצלעות הריבוע ומחלק את הצלעות ‪ AD‬ו‪ BC-‬באופן כזה כך‬
‫ש‪ DE-‬ו‪ CF-‬מהוות ‪ 30%‬מצלע הריבוע‪ .‬הקטע ‪ GH‬מקביל‬
‫לצלעות ‪ AD‬ו‪ BC-‬ומרחקו מהצלע ‪ AD‬הוא ‪ 2‬ס"מ‪.‬‬
‫ידוע שסכום השטחים של המלבנים המקווקים מהווה ‪50%‬‬
‫מסכום שטחי המלבנים הלבנים‪ .‬מצא את אורך צלע הריבוע‪.‬‬
‫‪ )2‬היקף חלקה מלבנית הוא ‪ 30‬ק"מ‪ .‬רוצים לבנות בניין מלבני‬
‫(המקווקו באיור) במרכז החלקה ששטחו הכולל הוא ‪ 10‬קמ"ר‪.‬‬
‫ידוע ששטח הבניין מהווה ‪ 20%‬משטח החלקה‪.‬‬
‫מצא את מידות החלקה‪.‬‬
‫‪ )3‬במרכז חלקה מלבנית שצלע אחת שלה גדולה ב ‪ 10-‬ק"מ‬
‫מהצלע הסמוכה לה בונים בניין ריבועי (המקווקו באיור)‪.‬‬
‫ידוע כי אורך הצלע שלו היא שליש מאורך הצלע הקטנה‬
‫של החלקה‪ .‬מחיר קמ"ר אחד משטח הבניין הוא ‪₪ 1000‬‬
‫ומחיר קמ"ר אחד משטח החלקה הוא ‪.₪ 100‬‬
‫קבלן בניה שילם עבור כל השטח סכום כולל של ‪.₪ 60,000‬‬
‫מצא את מידות החלקה‪.‬‬
‫‪ )4‬לרפי מטבח מלבני שמידותיו הם‪ 12X18 :‬מטרים‪ .‬רפי מחלק את המטבח לשני‬
‫מלבנים כך ששטח אחד גדול פי ‪ 2‬מהשטח של השני‪ .‬רפי רוצה לרצף את השטח‬
‫הקטן ברצפת שיש יוקרתית (השטח הימני) לעומת השטח הגדול שאותו ירצף‬
‫רפי ברצפה רגילה (השטח השמאלי)‪.‬‬
‫ידוע שהמחיר של מ"ר אחד מהרצפה הרגילה‬
‫הוא ‪ 60%‬מהמחיר של מ"ר אחד מרצפת השיש‬
‫היוקרתית‪ .‬רפי השקיע בריצוף המבטח סכום‬
‫כולל של ‪ .₪ 3168‬כמה עולה מ"ר מכל סוג?‬
‫‪43‬‬
‫בעיות במרובעים ובמשולשים ללא משפט פיתגורס‪:‬‬
‫‪ )5‬על הקטע ‪ AB‬מקצים את הנקודות ‪ E‬ו ‪ F-‬כך ששלושת הקטעים ‪ AE , EF‬ו‪BF-‬‬
‫שווים‪ .‬על הקטעים ‪ BF‬ו‪ AE-‬בונים ריבועים ועל‬
‫הקטע ‪ EF‬בונים משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫ידוע כי הגובה במשולש שווה לאורך הבסיס ‪EF‬‬
‫וכי סכום שטחי שני המרובעים והמשולש הוא ‪ 90‬סמ"ר‪.‬‬
‫מצא את אורך צלע הריבוע‪.‬‬
‫‪ )6‬נתון ריבוע ‪ .ABCD‬בונים משולש ישר זווית ‪ EFC‬כך ש‪ E-‬ו ‪ F-‬הן נקודות על‬
‫המשכי הצלעות ‪ BC‬ו‪ DC-‬של הריבוע בהתאמה‪.‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על יתר המשולש ‪.EF‬‬
‫הקטע ‪ BE‬מהווה ‪ 50%‬מצלע הריבוע והקטע ‪ DF‬גדול‬
‫פי ‪ 2‬מצלע הריבוע‪ .‬ידוע כי שטח המשולש ‪EFC‬‬
‫הוא ‪ 81‬סמ"ר‪ .‬מצא את אורך צלע הריבוע‪.‬‬
‫‪ )7‬הנקודות ‪ E‬ו ‪ F-‬נמצאות בהתאמה על הצלעות ‪ AB‬ו‪ AC-‬של המשולש ‪.ABC‬‬
‫ידוע כי שטח המשולש ‪ AEF‬הוא ‪ 22‬סמ"ר‪.‬‬
‫שטח המרובע ‪ BCFE‬מהווה ‪ 60%‬משטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫א‪ .‬מצא את שטח המרובע ‪.BCFE‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫בעיות במשולשים כולל משפט פיתגורס‪:‬‬
‫‪ )8‬במשולש ‪ ABC‬מורידים גובה ‪ AD‬לצלע ‪ BC‬המחלק אותו לשני משולשים ‪ADC‬‬
‫ו‪ ABD-‬כך שמתקיים‪ . SADC  2SABD :‬נתון שאורך הקטע ‪ CD‬הוא ‪ 24‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הקטע ‪.BD‬‬
‫ב‪ .‬נתון שאורך הצלע ‪ AB‬הוא ‪ 25‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את ‪. SABD‬‬
‫‪ )9‬במלבן שצלעותיו הן ‪ 3‬ו‪ 4-‬ס"מ מעבירים אלכסון ומעלים לו גובה מהקדקוד‬
‫התחתון לו‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך האלכסון‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורך הגובה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את אורכי שני הקטעים שהגובה מחלק את האלכסון‪.‬‬
‫‪44‬‬
‫‪ )10‬במשולש ‪ ABC‬מורידים גובה ‪ AD‬לצלע ‪ BC‬כך שהקטע ‪ BD‬גדול פי ‪4.5‬‬
‫‪2‬‬
‫מהקטע ‪ .CD‬אורך הצלע ‪ AB‬הוא ‪ 13‬ס"מ ואורך הצלע ‪ AC‬הוא‬
‫‪3‬‬
‫‪ 5‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את האורכים ‪ BD‬ו‪.CD -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורך הגובה ‪.AD‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪ BD )11‬הוא גובה ליתר במשולש ישר זווית ‪.  B  90 ABC‬‬
‫היתר ‪ AC‬גדול ב‪ 25%-‬מהניצב ‪.AB‬‬
‫ידוע כי אורך הניצב ‪ BC‬הוא ‪ 18‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורכי הניצב ‪ AB‬והיתר ‪.AC‬‬
‫ב‪ .‬מהם האורכים ‪ AD‬ו‪? DC-‬‬
‫בעיות במעגל – ללא אחוזים ללא מ‪.‬פיתגורס‪:‬‬
‫‪ )12‬בבניין של רפי השכן יש חלון מרכזי המורכב ממלבן וחצי עיגול‪.‬‬
‫ידוע כי בסיס החלון קטן פי ‪ 2‬מגובה המלבן‪.‬‬
‫שטח החלון הכולל הוא ‪. 200  12.5‬‬
‫א‪ .‬מצא את מידות המלבן‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את היקף החלון‪.‬‬
‫‪ )13‬בריבוע שלפניך חסומים שני חצאי עיגולים הפוכים זה לזה‪.‬‬
‫ידוע כי סכום ההיקפים של שני החצאים יחדיו הוא ‪.10‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך צלע הריבוע‪.‬‬
‫ב‪ .1 .‬מצא את סכום השטחים של שני חצאי העיגולים (השטח המקווקו)‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא את השטח הכלוא בין העיגולים והריבוע (השטח הלבן)‪.‬‬
‫בעיה במעגל – ללא אחוזים וכולל מ‪.‬פיתגורס‪:‬‬
‫‪ )14‬באיור שלפניך מתואר משולש ישר זווית שבתוכו כלוא עיגול‪.‬‬
‫ידוע כי אורך היתר במשולש הוא ‪ 26‬ס"מ וכי אורך הניצב‬
‫האנכי הוא ‪ 24‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הניצב השני‪.‬‬
‫ב‪ .‬שטח המעגל הוא ‪ . 25‬מצא את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את השטח הכלוא בין המשולש למעגל (השטח המקווקו)‪.‬‬
‫‪45‬‬
‫‪26‬‬
‫‪24‬‬
‫בעיה במעגל – כולל אחוזים‪:‬‬
‫‪ )15‬באיור שלפניך מתוארת טבעת המורכבת משני מעגלים בעלי‬
‫אותו מרכז ששטחּה הוא ‪ . 63‬ידוע כי רדיוס המעגל הפנימי‬
‫קטן ב‪ 25%-‬מרדיוס המעגל החיצוני‪.‬‬
‫מצא את הרדיוסים של שני המעגלים‪.‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ 10 )2‬ס"מ ו ‪ 5-‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ 24 )1‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ 15 )3‬ק"מ ו‪ 25-‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ 6 )5‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ ₪ 20 )4‬ו‪.₪ 12-‬‬
‫‪ 6 )6‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ )7‬א‪ S  33 .‬ב‪. S  55 .‬‬
‫‪ )8‬א‪ 8 .‬ס"מ‪ .‬ב‪. SADC  30 .‬‬
‫‪ )9‬א‪ 5 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 2.4 .‬ס"מ‪ .‬ג‪ 3.2 .‬ס"מ ו ‪ 1.8-‬ס"מ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )10‬א‪ 12 .‬ס"מ ו ‪ 2 -‬ס"מ‪ .‬ב‪ 5 .‬ס"מ‪ .‬ג‪. S  36 23 .‬‬
‫‪ )11‬א‪ 24 .‬ס"מ ו ‪ 30-‬ס"מ‪ .‬ב‪ 19.2 .‬ס"מ ו ‪ 10.8-‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ )12‬א‪ 10 .‬ס"מ ו ‪ 20-‬ס"מ‪ .‬ב‪. P  50  5  65.7 .‬‬
‫‪ )13‬א‪ 10 .‬ס"מ‪ .‬ב‪. S  100  25  21.4 .2 . S  25 .1 .‬‬
‫‪ )14‬א‪ 10 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 5 .‬ס"מ‪ .‬ג‪. S  120  25  41.4 .‬‬
‫‪ 12 )15‬ו‪.9-‬‬
‫‪46‬‬
‫בעיות בהנדסת המרחב‪:‬‬
‫‪ )1‬נתונה תיבה שבסיסה מלבן‪.‬‬
‫ידוע כי אורך צלע אחת של בסיס התיבה קטנה ב ‪ 25% -‬מהצלע‬
‫הסמוכה לה וכי גובה התיבה גדול פי ‪ 3‬מהצלע הגדולה‪.‬‬
‫אורך אלכסון הבסיס הוא ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מידות בסיס התיבה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נפח התיבה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את אורך אלכסון התיבה‪.‬‬
‫‪ )2‬נתונה תיבה שבסיסה הוא מלבן וגובהה הוא ‪ 10‬ס"מ‪ .‬ידוע כי נפח‬
‫התיבה הוא ‪ 280‬סמ"ק וכי שטח הפנים שלה הוא ‪ 276‬סמ"ר‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מידות בסיס התיבה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה אורך אלכסון התיבה?‬
‫‪ )3‬נתונה תיבה שבסיסה הוא מלבן‪ .‬ידוע כי צלע אחת של המלבן גדולה‬
‫ב ‪ 50%-‬מהצלע הסמוכה לה‪ .‬כמו כן גובה המלבן גדול ב ‪ 50%-‬מצלע‬
‫המלבן הגדולה‪ .‬סכום ארבעת הגבהים של המלבן גדול ב‪ 32-‬ס"מ‬
‫מהיקף בסיס המלבן‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מידות המלבן‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המעטפת של התיבה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את נפח התיבה‪.‬‬
‫‪ )4‬נתונה מנסרה שבסיסה הוא משולש ישר זווית‪ .‬ידוע כי אורך היתר‬
‫במשולש הבסיס הוא ‪ 17‬ס"מ‪ .‬גובה המנסרה שווה לאורך ניצב‬
‫המשולש הקטן‪ .‬ניצב השני של המשולש גדול ב ‪ 7-‬ס"מ מהניצב השני‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב אורכי הניצבים ואת גובה המנסרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את נפח המנסרה‪.‬‬
‫‪ )5‬נתונה מנסרה שבסיסה הוא משולש ישר זווית‪.‬‬
‫הניצב הגדול‪ ,‬גדול ב‪ 4 -‬ס"מ מהניצב קטן‪ ,‬וקטן ב‪ 4-‬ס"מ‬
‫מאורך היתר‪ .‬נפח המנסרה הוא ‪ 2880‬סמ"ק‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מידות משולש הבסיס‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את גובה המנסרה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שטח המעטפת של המנסרה‪.‬‬
‫‪47‬‬
‫‪ )6‬נתונה מנסרה שבסיסה הוא משולש שווה שוקיים‪ .‬ידוע כי שטח‬
‫הפאה הבנויה על מקצוע הבסיס של המשולש מהווה ‪ 80%‬משטח‬
‫הפאה הסמוכה לה‪ .‬כמו כן ידוע כי אורך השוק במשולש בסיס‬
‫גדול ב‪ 4-‬ס"מ מאורך הבסיס במשולש זה‪.‬‬
‫אורך גובה המנסרה הוא ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מידות משולש הבסיס‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה שטח המעטפת של המנסרה?‬
‫ג‪ .‬מה יהיה סכום כל מקצועות המנסרה?‬
‫‪ )7‬שטח החתך הצירי של גליל הוא ‪ 30‬סמ"ר‪ .‬רדיוס הגליל וגובהו‬
‫מקיימים‪. 2h  3r  1 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את רדיוס הגליל ואת גובהו‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח עיגול הבסיס של הגליל‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את נפח הגליל‪.‬‬
‫‪ )8‬נתון גליל שרדיוסו הוא ‪ 4‬ס"מ‪ .‬מעבירים חתך צירי בגליל‪.‬‬
‫ידוע כי היקף המלבן של החתך הצירי גדול פי ‪ 4‬מאורך גובה הגליל‪.‬‬
‫א‪ .1 .‬מצא את גובה הגליל‪.‬‬
‫‪ .2‬איזה מרובע הוא המלבן של החתך הצירי?‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח הפנים של הגליל‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את נפח הגליל‪.‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬א‪ 6 .‬ס"מ ו‪ 8-‬ס"מ‪ .‬ב‪ V  1152 .‬ג‪ 26 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ )2‬א‪ 4 .‬ס"מ ו‪ 7-‬ס"מ‪ .‬ב‪ 165  12.84 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ )3‬א‪ 8X12X18 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ S  720 .‬ג‪. V  1728 .‬‬
‫‪ )4‬א‪ 8 .‬ס"מ‪ 8 ,‬ס"מ ו‪ 15-‬ס"מ‪ .‬ב‪. V  480 .‬‬
‫‪ )5‬א‪ 12 .‬ס"מ‪ 16 ,‬ס"מ ו ‪ 20-‬ס"מ‪ .‬ב‪ 30 .‬ס"מ‪ .‬ג‪. S  1440 .‬‬
‫‪ )6‬א‪ 16 .‬ס"מ ו‪ 20-‬ס"מ‪ .‬ב‪ S  224 .‬ג‪ 124 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ )7‬א‪ r  3 , h  5 .‬ב‪ S  9 .‬ג‪. V  45 .‬‬
‫‪ )8‬א‪ 8 .1 .‬ס"מ ‪ .2‬ריבוע‪ .‬ב‪ S  96 .‬ג‪. V  128 .‬‬
‫‪48‬‬
‫תירגול נוסף‪:‬‬
‫בעיות תנועה‪:‬‬
‫‪ )1‬רוכב אופניים נוסע מעיר א' לעיר ב' במהירות של ‪ 20‬קמ"ש‪.‬‬
‫שלוש שעות אחריו יוצא מאותו מקום רוכב אופנוע במהירות של ‪ 80‬קמ"ש‪.‬‬
‫רוכב האופנוע הגיע לעיר ב' שלוש שעות לפני רוכב האופניים‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה שעות נסע רוכב האופניים?‬
‫ב‪ .‬מהו המרחק בין שתי הערים?‬
‫‪ )2‬גלעד ורוני יוצאים בו זמנית משני ישובים ‪ A‬ו‪ B-‬בהתאמה והולכים זה לקראת‬
‫זה במהירות קבועה‪ .‬מהירות ההליכה של גלעד היא ‪ 4‬קמ"ש ומהירותו של רוני‬
‫היא ‪ 6‬קמ"ש‪ .‬ידוע כי רוני הגיעה ליישוב ‪ 4 A‬שעות לפני שגלעד הגיע ליישוב ‪.B‬‬
‫א‪ .‬מהו המרחק בין שני היישובים?‬
‫ב‪ .‬כמה זמן הלך כל אחד מהם?‬
‫‪ )3‬שני רוכבי אופניים יוצאים בו זמנית משני ישובים ‪ A‬ו‪ B-‬זה לקראת זה‪.‬‬
‫מהירות רוכב אחד גדולה ב ‪ 10-‬קמ"ש ממהירותו של הרוכב השני‪ .‬הרוכב המהיר‬
‫הגיע ליעדו לאחר ‪ 3‬שעות בעוד הרוכב השני הגיע רק אחרי ‪ 5‬שעות‪.‬‬
‫א‪ .‬מה המהירויות של שני רוכבי האופניים?‬
‫ב‪ .‬מהו המרחק שנסעו?‬
‫‪ )4‬שתי מכוניות נסעו יחד לטיול מהעיר לכפר‪ .‬המכונית הראשונה נסעה במהירות‬
‫קבועה והגיעה לכפר לאחר ‪ 8‬שעות‪ .‬המכונית השנייה נסעה במשך שעתיים‬
‫במהירות הקטנה ממהירות המכונית הראשונה ב‪ 10 -‬קמ"ש‪ ,‬לאחר מכן היא‬
‫עצרה להתרעננות במשך ‪ 40‬דקות וחזרה לנסיעה במהירות הגדולה ב‪ 54-‬קמ"ש‬
‫ממהירות המכונית הראשונה‪ .‬המכונית השנייה הגיעה לכפר שעתיים לפני‬
‫המכונית הראשונה‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות נסעה המכונית הראשונה?‬
‫ב‪ .‬מהו המרחק בין העיר לכפר?‬
‫‪ )5‬שני רוכבי אופנים המרוחקים זה מזה במרחק של ‪ 80‬ק"מ יצאו בו זמנית זה‬
‫לקראת זה‪ .‬מהירות רוכב אחד גדולה ב‪ 2-‬קמ"ש ממהירות הרוכב השני‪.‬‬
‫לאחר שעתיים של רכיבה המרחק בניהם היה ‪ 12‬ק"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות רכב כל רוכב?‬
‫ב‪ .‬האם לאחר עוד ‪ 20‬דקות הם ייפגשו?‬
‫‪49‬‬
‫‪ )6‬שתי מכוניות הנמצאות במרחק של ‪ 700‬ק"מ יצאו בו זמנית זו לקראת זו‪.‬‬
‫מכונית אחת מהירה מהשנייה ב ‪ 15-‬קמ"ש‪ .‬לאחר שלוש שעות היה מרחק בניהן ‪ 325‬ק"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות נסעו שתי המכוניות?‬
‫ב‪ .‬האם לאחר עוד ‪ 20‬דקות שתי המכוניות תפגשנה?‬
‫‪ )7‬רוכב אופניים והולך רגל יצאו ב ‪ 10:00-‬מנקודה ‪ A‬לנקודה ‪.B‬‬
‫מהירות ההליכה של הולך הרגל היא ‪ 7‬קמ"ש ומהירותו של רוכב האופניים היא ‪ 16‬קמ"ש‪.‬‬
‫רוכב האופניים הגיע לנקודה ‪ B‬לאחר שלוש וחצי שעות מזמן יציאתם‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזה שעה היה המרחק בניהם ‪ 27‬ק"מ?‬
‫ב‪ .‬מהו המרחק בין ‪ A‬ל‪.B-‬‬
‫ג‪ .‬לאחר כמה זמן הגיע הולך הרגל לנקודה ‪?B‬‬
‫‪ )8‬אופנוע יוצא מעיר א' לכיוון מערב במהירות של ‪ 50‬קמ"ש‪.‬‬
‫לאחר שעתיים יוצאת מכונית מעיר ב' הממוקמת מזרחה מעיר א' במרחק של ‪ 40‬ק"מ‬
‫אחרי האופנוע‪ .‬מהירות המכונית היא ‪ 120‬קמ"ש‪.‬‬
‫א‪ .‬לאחר כמה זמן השיגה המכונית את רוכב האופנוע מזמן יציאתה?‬
‫ב‪ .‬איזה מרחק נסע רוכב האופנוע עד שהשיגה אותו המכונית?‬
‫‪ )9‬מטוס טס מידי שבוע מיעד א' ליעד ב' המרוחק ממנו ‪ 5,000‬ק"מ במהירות קבועה‪.‬‬
‫שבוע אחד טס המטוס במשך שעתיים במהירות הרגילה‪ .‬לאחר מכן האט את מהירותו‬
‫ב ‪ 300-‬קמ"ש ולאחר כשעתיים האיץ בחזרה והגביר את מהירותו ב‪ 700-‬קמ"ש‪.‬‬
‫המטוס הגיע ליעד ב' ‪ 15‬דקות מוקדם יותר מאשר הגיע בכל שבוע‪.‬‬
‫באיזו מהירות טס המטוס בכל שבוע?‬
‫‪ )10‬שתי מכוניות יוצאות מעיר א' לכיוון עיר ב' הנמצאת במרחק של ‪ 560‬ק"מ ממנה‪.‬‬
‫מכונית אחת נסעה במהירות קבועה במשך כל הדרך‪ .‬המכונית השנייה נסעה במהירות‬
‫הגדולה ב ‪ 10-‬קמ"ש ממהירות המכונית הראשונה במשך שעתיים וחצי‪ .‬לאחר מכן היא‬
‫עצרה למשך חצי שעה ואז המשיכה בנסיעתה במהירות הגדולה ב ‪ 10-‬קמ"ש ממהירותה‬
‫הקודמת‪ .‬בסה"כ הגיעה המכונית השנייה לעיר ב' שעה לפני שהגיעה המכונית הראשונה‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות נסעה המכונית הראשונה?‬
‫ב‪ .‬כמה זמן נסעה המכונית השנייה מעיר א' לעיר ב'?‬
‫‪ )11‬מכונית נסעה מעיר א' לעיר ב' המרוחקת ממנה ‪ 760‬ק"מ במהירות מסוימת‪.‬‬
‫בדרכה חזור היא נסעה במשך שעתיים במהירות זו‪ ,‬לאחר מכן עצרה לתדלוק וארוחת‬
‫צהריים במשך שעה ואז המשיכה בדרכה במהירות הגדולה ממהירותה הקודמת ב‪19-‬‬
‫קמ"ש‪ .‬בסה"כ המכונית הגיעה ליער א' באותו הזמן שהגיעה לעיר ב'‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות נסעה המכונית מעיר א' לעיר ב'?‬
‫ב‪ .‬כמה זמן נסעה המכונית מעיר לעיר?‬
‫‪50‬‬
‫‪ )12‬רוכב אופניים יצא לדרך במהירות קבועה‪ .‬לאחר שעה וחצי יצא בעקבותיו ומאותה‬
‫הנקודה רוכב אופניים נוסף שמהירותו גדולה ממהירות הרוכב הראשון ב‪ 6-‬קמ"ש‪.‬‬
‫הרוכב השני השיג את הראשון במרחק של ‪ 70‬ק"מ מנקודת המוצא שלהם‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות נסעו שני רוכבי האופניים?‬
‫ב‪ .‬כמה זמן היה הרוכב הראשון על הדרך עד שהשיגו הרוכב השני?‬
‫‪ )13‬מכונית יוצאת מעיר א' לעיר ב' המרוחקת ממנה ‪ 360‬ק"מ‪ .‬לאחר שעתיים יוצאת‬
‫מכונית נוספת בעקבותיה‪ .‬מהירות המכונית השנייה גדולה ב‪ 30-‬קמ"ש ממהירות‬
‫המכונית הראשונה‪ .‬שתי המכוניות הגיעו לעיר ב' יחד‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות נסעה המכונית הראשונה?‬
‫ב‪ .‬כמה זמן נסעה המכונית השנייה?‬
‫‪ )14‬המרחק בין שתי ערים הוא ‪ 800‬ק"מ‪ .‬בשעה ‪ 8:00‬יצאה מכונית מעיר אחת לכיוון השנייה‪.‬‬
‫לאחר כשעה יצאה מהעיר השנייה מכונית נוספת כלפי המכונית הראשונה במהירות‬
‫הגדולה ב ‪ 20-‬קמ"ש ממהירותּה‪ .‬המכוניות נפגשו באמצע הדרך‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזה שעה נפגשו המכוניות?‬
‫ב‪ .‬באיזו מהירות נסעה כל מכונית?‬
‫‪ )15‬המרחק בין שתי ערים הוא ‪ 920‬ק"מ‪ .‬בשעה ‪ 6:00‬יוצאת משאית סחורה מעיר א' לכיוון‬
‫עיר ב'‪ .‬לאחר ‪ 46‬דקות יוצא אוטובוס מעיר ב' לכיוון עיר א'‪ .‬מהירות האוטובוס גדולה‬
‫ב ‪ 20-‬קמ"ש ממהירות המשאית‪ .‬שני הרכבים נפגשו באמצע הדרך‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו שעה נפגשו האוטובוס והמשאית?‬
‫ב‪ .‬באיזו מהירות נסע האוטובוס?‬
‫‪ )16‬מכונית ומשאית יוצאות בו זמנית משני מקומות שהמרחק בניהם הוא ‪ 570‬ק"מ‪.‬‬
‫המכונית והמשאית נפגשו לאחר ‪ 3‬שעות‪ .‬ידוע כי בזמן שהמכונית עוברת מרחק‬
‫של ‪ 300‬ק"מ‪ ,‬המשאית עוברת מרחק של ‪ 270‬ק"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות נסעה המכונית?‬
‫ב‪ .‬איזה מרחק נסעה המשאית עד לנקודת פגישתן?‬
‫‪ )17‬שתי מ כוניות נוסעות זו לקראת זו משני קצוות של כביש מהיר שאורכו הוא ‪ 880‬ק"מ‪.‬‬
‫ידוע כי בזמן שמכונית אחת עוברת מרחק של ‪ 264‬ק"מ‪ ,‬המכונית השנייה עוברת ‪ 528‬ק"מ‪.‬‬
‫המכונית המהירה הגיעה לקצה הכביש ‪ 5‬שעות לפני שהמכונית האיטית הגיעה לקצה‬
‫הכביש השני‪.‬‬
‫א‪ .‬באילו מהירויות נסעו שתי המכוניות?‬
‫ב‪ .‬כמה זמן נסעה המכונית האיטית עד שהגיעה לקצה הכביש?‬
‫‪51‬‬
‫‪ )18‬אופנוע ומשאית יצאו יחד מעיר א' לכיוון עיר ב' הרחוקה ממנה ב‪ 240-‬ק"מ‪.‬‬
‫מהירות האופנוע גדולה ב‪ 15-‬קמ"ש ממהירות המשאית‪.‬‬
‫במהלך הדרך האופנוע עצר ל ‪ 48-‬דקות של התרעננות ולכן הגיע יחד עם המשאית לעיר ב'‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות נסע האופנוע?‬
‫ב‪ .‬כמה זמן לקח למשאית להגיע לעיר ב'?‬
‫‪ )19‬מכונית נוסעת מעיר ‪ A‬לעיר ‪ C‬מרחק של ‪ 360‬ק"מ ועוברת דרך עיר ‪ B‬הנמצאת בין‬
‫שתי הערים‪ .‬המכונית נוסעת במהירות קבועה מעיר ‪ A‬עד לעיר ‪ B‬ולאחר מכן מגבירה‬
‫את מהירותה ב ‪ 20%-‬וממשיכה עד שמגיעה לעיר ‪ .C‬ידוע כי זמן הנסיעה של המכונית‬
‫מעיר ‪ A‬ל‪ B-‬הוא ‪ 3‬שעות וזמן הנסיעה מעיר ‪ B‬ל‪ C-‬הוא שעתיים וחצי‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את המהירות של המכונית בשני חלקי הדרך‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי העיר ‪ B‬נמצאת בדיוק באמצע הדרך בין שתי הערים ‪ A‬ו‪.C-‬‬
‫‪ )20‬משאית מביאה סחורה מידי יום מיישוב א' ליישוב ב' המרוחק ממנו ‪ 630‬ק"מ‪ .‬המשאית‬
‫נוסעת במהירות קבועה בכל יום‪ .‬יום אחד נסעה המשאית במהירות הנמוכה ממהירותה‬
‫הרגילה ב ‪ .20%-‬לאחר ‪ 3‬שעות ראה נהג המשאית כי הוא עומד לאחר‪ ,‬ולכן הגביר את‬
‫מהירותו ב‪ 21-‬קמ"ש ממהירותו הנוכחית‪ .‬המשאית הגיעה ליעדה בדיוק באותו הזמן‬
‫שהיא מגיעה בכל יום‪ .‬באיזו מהירות נוסעת המשאית בכל יום?‬
‫‪ )21‬רוכב אופניים הנמצא במרחק של ‪ 140‬ק"מ מזרחה מהעיר יוצא בשעה ‪ 9:00‬לכיוון העיר‪.‬‬
‫לאחר ‪ 45‬דקות יוצא מהעיר רוכב אופניים נוסף שמהירותו קטנה ממהירות הרוכב‬
‫הראשון ב‪ 20-‬ק מ"ש ונוסע לכיוון דרום‪ .‬לאחר שעתיים נוספות היה המרחק בין שני רוכבי‬
‫האופניים ‪ 50‬ק"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מהירות רוכב האופניים הראשון אם ידוע כי היא קטנה מ ‪ 40.1 -‬קמ"ש‪.‬‬
‫ב‪ .‬באיזה מרחק היה רוכב האופניים השני מהעיר כאשר הגיע הרוכב הראשון לעיר?‬
‫‪ )22‬אופנוע יוצא מהעיר בשעה ‪ 7:00‬דרומה‪ .‬לאחר שעה יוצאת מכונית מהעיר לכיוון מזרח‪.‬‬
‫מהירות האופנוע היא ‪ 50‬קמ"ש ומהירות המכונית היא ‪ 100‬קמ"ש‪.‬‬
‫לאחר פרק זמן מסוים המרחק בין המכונית לאופנוע הוא ‪ 250‬ק"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו שעה המרחק בין המכונית והאופנוע הוא ‪ 250‬ק"מ ?‬
‫ב‪ .‬באיזה מרחק הייתה המכונית מהעיר כאשר היא הייתה במרחק של ‪ 250‬ק"מ‬
‫מהאופנוע?‬
‫‪ )23‬מהירות סירה במים עומדים גדולה פי ‪ 4‬ממהירות זרם הנהר‪ .‬סירה שטה בנהר שאורכו‬
‫‪ 30‬ק"מ מתחילתו ועד סופו‪ .‬הסירה שטה את כל הנהר הלוך וחזור במשך ‪ 8‬שעות‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות תשוט הסירה במים עומדים?‬
‫ב‪ .‬כמה זמן שטה הסירה בכל כיוון?‬
‫‪52‬‬
‫‪ )24‬שתי סירות שמהירותן במים עומדים זהה יוצאות מאותה נקודה בנהר‪ ,‬האחת לכיוון‬
‫צפון והשנייה לכיוון דרום‪ .‬מהירות הזרם בנהר היא ‪ 20‬קמ"ש לכיוון צפון‪.‬‬
‫לאחר ‪ 4‬שעות היה המרחק בין שתי הסירות ‪ 240‬ק"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות שטות הסירות במים עומדים?‬
‫ב‪ .‬לאחר ‪ 4‬שעות‪ ,‬פי כמה היה גדול המרחק של הסירה ששטה צפונה מהמרחק של‬
‫הסירה השנייה?‬
‫‪ )25‬שלושה נערים יצאו לשייט בסירת מנוע בעלת מהירות קבועה‪ .‬במשך שעה הם שטו בנהר‬
‫שקט‪ .‬לאחר מכן עקב רוחות חזקות נוצר זרם בנהר שמהירותו היא ‪ 2‬קמ"ש לכיוון‬
‫המסלול של הנערים‪ .‬לאחר שעה נוספת השתנו הרוחות ומהירות הזרם נשארה ‪ 2‬קמ"ש‪,‬‬
‫אך נגד כיוון השייט שלהם‪ .‬הנערים שטו בתנאים אלו במשך שעה‪ .‬בסה"כ עברו הנערים‬
‫בשלוש שעות אלו מרחק של ‪ 18‬ק"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות משיט המנוע את הסירה במים עומדים?‬
‫ב‪ .‬מהו המרחק שעברה הסירה בכל שעה?‬
‫‪ )26‬מכונית נוסעת במהירות ממוצעת של ‪ 84‬קמ"ש‪ .‬את נסיעתה התחילה במהירות מסוימת‬
‫ולאחר שלוש שעות האיצה ב‪ 20-‬קמ"ש והמשיכה כך עוד ‪ 7‬שעות‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות נסעה המכונית בהתחלה?‬
‫ב‪ .‬איזה מרחק עברה המכונית?‬
‫‪ )27‬מכונית נוסעת במהירות ממוצעת של ‪ 80‬קמ"ש מרחק של ‪ 480‬ק"מ‪.‬‬
‫את החלק הראשון של הנסיעה היא נסעה במהירות מסוימת ולאחר ‪ 4‬שעות‬
‫האטה את מהירותה ב ‪ 30-‬קמ"ש‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות נסעה המכונית בכל חלק של הנסיעה?‬
‫ב‪ .‬פי כמה גדולה הדרך שעברה המכונית ב ‪ 4-‬השעות הראשונות לעומת שאר הדרך‬
‫הנותרת?‬
‫‪ )28‬אופנוע עובר במשך ‪ 5‬שעות מרחק של ‪ 350‬ק"מ‪ .‬לאחר מכן מגביר נהג האופנוע את‬
‫מהירותו ונוסע במשך פרק זמן מסוים מרחק של ‪ 450‬ק"מ‪ .‬המהירות הממוצעת של‬
‫האופנוע בכל זמן נסיעתו היא ‪ 80‬קמ"ש‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה זמן נסע האופנוע לאחר שהגביר את מהירותו?‬
‫ב‪ .‬בכמה קמ"ש הגביר נהג האופנוע את מהירותו?‬
‫‪53‬‬
‫בעיות קנייה ומכירה‪:‬‬
‫‪ )29‬סוחר קנה ‪ 80‬תמונות‪ 20 .‬תמונות הוא מכר ברווח של ‪ ₪ 30‬לתמונה ואת שאר‬
‫התמונות הוא מכר ב‪ ₪ 30-‬לתמונה‪ .‬בסה"כ הסוחר לא הרוויח ולא הפסיד‬
‫בעסקה‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזה מחיר קנה הסוחר את התמונות?‬
‫ב‪ .‬כמה שילם הסוחר על כל התמונות?‬
‫‪ )30‬סוחר קנה ‪ 120‬ק"ג שוקולד‪ 10 .‬ק"ג נהרסו לסוחר מיד עם קנייתו‪ 40 ,‬ק"ג הוא‬
‫מכר ברווח של ‪ ₪ 3‬לק"ג ואת שאר הכמות הוא מכר בהפסד של ‪ ₪ 2‬לק"ג‪.‬‬
‫בסה"כ הפסיד הסוחר בעסקה ‪ .₪ 60‬כמה שילם הסוחר בעבור ק"ג שוקולד?‬
‫‪ )31‬סוחר קנה ספרים במחיר של ‪ ₪ 60‬לספר‪ 40 .‬מהספרים הוא מכר במחיר‬
‫של ‪ ₪ 100‬לספר ואת השאר הוא מכר בהפסד של ‪ ₪ 5‬לספר‪.‬‬
‫בסה"כ הרוויח הסוחר בעסקה ‪ .₪ 1300‬כמה ספרים קנה הסוחר?‬
‫‪ )32‬סוחר קנה דבש במחיר של ‪ ₪ 3‬לק"ג‪ 30 .‬ק"ג מהדבש הוא מכר ברווח של שקל‬
‫אחד לק"ג ואת השאר הוא מכר בהפסד של שקל אחד לק"ג‪ .‬בסה"כ הסוחר לא‬
‫הרוויח ולא הפסיד בעסקה‪ .‬כמה ק"ג דבש קנה הסוחר?‬
‫‪ )33‬סוחר קנה כיסאות ב‪ .₪ 7,200-‬הסוחר השקיע ‪ ₪ 1,000‬בשיפוץ כל הכיסאות‬
‫ואז מכר אותם‪ 20 .‬כיסאות הוא מכר ברווח של ‪ ₪ 70‬לכיסא‪ .‬את שאר‬
‫הכיסאות הוא מכר בהפסד של ‪ ₪ 15‬לכיסא‪ .‬הסוחר הפסיד בעסקה ‪.₪ 650‬‬
‫א‪ .‬כמה כיסאות קנה הסוחר?‬
‫ב‪ .‬כמה שילם הסוחר בעבור כל כיסא?‬
‫‪ )34‬חנווני קנה בקבוקי חלב ב‪ 4 .₪ 300-‬בקבוקי חלב נשפכו לו‪ .‬את שאר הבקבוקים‬
‫מכר החנווני ברווח של שקל אחד לבקבוק‪ .‬בסה"כ הרוויח החנווני ‪ 36‬שקלים‪.‬‬
‫כמה בקבוקים קנה החנווני וכמה שילם בעבור כל בקבוק?‬
‫‪ )35‬סוחר קנה עציצים ב ‪ .₪ 800-‬תוך שבוע ‪ 8‬מהעציצים נבלו והסוחר לא מכר‬
‫אותם‪ .‬את שאר העציצים מכר הסוחר ברווח של ‪ ₪ 10‬לעציץ‪ .‬סה"כ הפסיד‬
‫הסוחר ‪ ₪ 200‬בעסקה‪ .‬כמה עציצים קנה הסוחר וכמה הוא שילם על כל עציץ?‬
‫‪ )36‬סוחר קנה נורות בסכום כולל של ‪ 26 .₪ 4,000‬מהנורות מכר הסוחר ברווח‬
‫של ‪ ₪ 20‬לנורה ואת השאר הוא מכר בהפסד של ‪ ₪ 5‬לנורה‪ .‬בסה"כ הרוויח‬
‫הסוחר בעסקה ‪ .₪ 400‬כמה נורות קנה הסוחר ובאיזה מחיר לנורה?‬
‫‪ )37‬מחיר של עט גדול ב‪ 2-‬שקלים ממחיר של עפרון‪ .‬ידוע כי המחיר של שני עפרונות‬
‫ושלושה עטים הוא ‪ 26‬שקלים‪ .‬כמה עולה עט וכמה עולה עפרון?‬
‫‪54‬‬
‫‪ )38‬מחיר כניסה לפארק המים לילד קטן פי ‪ 2‬ממחיר הכניסה למבוגר‪.‬‬
‫דור נסע עם שלושת ילדיו לפארק המים ושילם סה"כ ‪ 200‬שקלים‪.‬‬
‫מצא את מחיר הכניסה לילד‪.‬‬
‫‪ )39‬מחיר מחשב גדול פי ‪ 5‬מהמחיר של מדפסת‪.‬‬
‫חברת ‪ S&S Production‬קנתה ‪ 40‬מחשבים ו‪ 8-‬מדפסות במחיר כולל‬
‫של ‪ .₪ 16,640‬מה המחיר של מחשב ומה המחיר של מדפסת?‬
‫‪ )40‬המחיר של ‪ 5‬ק"ג תפוחים גדול ב‪ 34-‬שקלים מהמחיר של ‪ 3‬ק"ג ענבים‪.‬‬
‫רפי קנה ‪ 10‬ק"ג מכל סוג ושילם בסך הכול ‪ 260‬שקלים‪.‬‬
‫מה המחיר של ק"ג ענבים ושל ק"ג תפוחים?‬
‫‪ )41‬המחיר של שלושה עטים קטן ב ‪ 5-‬שקלים מהמחיר של ‪ 8‬עפרונות‪ .‬שני‬
‫קנתה ‪ 10‬עפרונות ו‪ 4-‬עטים ונכחה לראות כי המחיר של כל העפרונות גדול ב‪4-‬‬
‫שקלים מהמחיר של כל ה עטים שקנתה‪ .‬מה המחיר של עט אחד ועפרון אחד?‬
‫‪ )42‬המחיר של ‪ 7‬חתיכות פוליגל שווה למחיר של ‪ 9‬משטחי בריסטול‪.‬‬
‫חנה הגננת קנתה לגן שלה ‪ 5‬משטחי פוליגל ו‪ 3-‬משטחי בריסטול ושילמה סכום‬
‫כולל של ‪ 66‬שקלים‪ .‬כמה עולה משטח בריסטול?‬
‫‪ )43‬סוחר קנה טלוויזיות ומכשירי ‪ .DVD‬המחיר ששילם הסוחר בעבור טלוויזיה‬
‫גדול ב‪ 500 -‬שקלים מהמחיר ששילם בעבור מכשיר ‪ .DVD‬כמות מכשירי‬
‫ה‪ DVD-‬שקנה הסוחר גדולה ב‪ 6-‬מכמות הטלוויזיות שהוא קנה‪.‬‬
‫הסוחר שילם בעבור כל הטלוויזיות ‪ 9,600‬שקלים ובעבור כל מכשירי‬
‫ה‪ 5,400 DVD-‬שקלים‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה שילם הסוחר בעבור טלוויזיה ועבור ‪.DVD‬‬
‫ב‪ .‬כמה טלוויזיות קנה הסוחר?‬
‫‪ )44‬סוחר קנה מחשבים ומדפסות‪ .‬המחיר ששילם הסוחר בעבור מדפסת קטן‬
‫ב ‪ 2,400-‬שקלים מהמחיר ששילם בעבור מחשב‪ .‬הסוחר קנה ‪ 7‬מדפסות יותר‬
‫מאשר המחשבים‪ .‬הסוחר שילם בעבור כל המחשבים סכום כולל של ‪₪ 18,000‬‬
‫ובעבור כל המדפסות ‪.₪ 7,800‬‬
‫א‪ .‬כמה שילם הסוחר בעבור מחשב?‬
‫ב‪ .‬כמה מדפסות קנה הסוחר?‬
‫‪ )45‬סוחר קנה ‪ 70‬ק"ג עגבניות במחיר של ‪ ₪ 3‬לק"ג‪ 15 .‬ק"ג התקלקלו לו ולכן לא‬
‫יכול היה למכור אותם‪ .‬את שאר העגבניות הוא מכר במחיר של ‪ ₪ 5‬לק"ג‪.‬‬
‫א‪ .‬האם הסוחר הרוויח או הפסיד בעסקה?‬
‫ב‪ .‬כמה הרוויח הסוחר בעסקה?‬
‫‪55‬‬
‫‪ )46‬מחיר כיסא נמוך ב ‪ ₪ 300-‬ממחיר שולחן‪ .‬אם מחיר הכיסא יוזל ב‪ 20%-‬ומחיר‬
‫השולחן יתייקר ב‪ 20%-‬אז המחיר של פינת אוכל המכילה שולחן ו‪ 6-‬כיסאות‬
‫יהיה ‪ .₪ 1,560‬מה המחיר של כיסא ומה המחיר של שולחן?‬
‫‪ )47‬א‪ .‬מחירו של מוצר עלה ב ‪ 20%-‬ולאחר שנתיים עלה שוב בעוד ‪.20%‬‬
‫האם ניתן לומר שמחיר המוצר עלה בשנתיים ב‪?40%-‬‬
‫ב‪ .‬מכונת כביסה עולה ‪ .₪ 4,000‬לאחר שנה עלה מחיר מכונת הכביסה ב ‪20%-‬‬
‫ועוד שנה לאחר מכן שוב עלה מחירה בעוד ‪.20%‬‬
‫‪ .1‬מה מחיר מכונת הכביסה לאחר שנתיים?‬
‫‪ .2‬בכמה אחוזים מהמחיר המקורי התייקרה מכונת הכביסה?‬
‫‪ )48‬משכורתה של סיוון נמוכה ב ‪ 5%-‬ממשכורתה של גלית‪ .‬אם שתיהן תקבלנה‬
‫העלאה של ‪ 20%‬למשכורתן אז גלית תשתכר ב ‪ ₪ 330-‬יותר מסיוון‪ .‬בכמה‬
‫שקלים משתכרות גלית וסיוון?‬
‫‪ )49‬מחירו של מוצר א' גדול ב‪ 20-‬שקלים ממחירו של מוצר ב'‪.‬‬
‫מוצר א' התייקר ב‪ 5%-‬ומוצר ב' התייקר ב‪ .50%-‬המחיר הכולל של שני‬
‫המוצרים לאחר ההתייקרות גדול ב ‪ 25%-‬מהמחיר המקורי של שני המוצרים‪.‬‬
‫מה המחיר של כל מוצר?‬
‫‪ )50‬א‪ .‬מחיר מוצר א' גדול ב‪ 40%-‬מהמחיר של מוצר ב'‪ .‬מוצר א' התייקר ב‪.30%-‬‬
‫בכמה אחוזים מוצר ב' צריך להתייקר כדי שמחיריהם יהיו זהים?‬
‫ב‪ .‬מחיר כובע גדול ב‪ 40%-‬מהמחיר של זוג כפפות‪.‬‬
‫מחיר הכובע התייקר ב ‪ 30%-‬וכעת מחירו הוא ‪.₪ 91‬‬
‫‪ .1‬בכמה אחוזים יש לייקר את עלות הכפפות כדי שהם יהיו זהים למחיר‬
‫הכובע החדש?‬
‫‪ .2‬מה היה מחיר הכובע המקורי?‬
‫‪ )51‬המחיר של ק"ג בננות ו‪ 2-‬ק"ג אפרסקים הוא ‪ .₪ 28‬עקב בצורת קשה התייקרו‬
‫המחירים של כל הפירות ב ‪ 40%-‬וכעת מחיר של ק"ג אפרסקים גדול ב‪2.8-‬‬
‫שקלים מהמחיר של ק"ג בננות‪ .‬מה המחיר של ק"ג בננות ושל ק"ג אפרסקים?‬
‫‪56‬‬
‫‪ )52‬ירקן רכש ‪ 70‬ק"ג עגבניות במחיר של ‪ ₪ 3‬לק"ג‪.‬‬
‫‪ 15‬ק"ג התקלקלו ולכן לא מכר אותם‪.‬‬
‫את שאר העגבניות הוא מכר במחיר של ‪ ₪ 5‬לק"ג‪.‬‬
‫א‪ .‬האם הירקן הרוויח או הפסיד בעסקה?‬
‫ב‪ .‬כמה הרוויח הירקן בעסקה?‬
‫ג‪ .‬בקנייה נוספת רוצה הירקן להכניס ‪ 60%‬יותר מהסכום שיוציא‪.‬‬
‫ידוע כי גם בקנייה זו ק"ג עגבניות עולה ‪ 15 ,₪ 3‬ק"ג התקלקלו ולא נמכרו‬
‫ואת השאר מכר הירקן ב ‪ ₪ 5-‬לק"ג‪.‬‬
‫מצא כמה ק"ג עגבניות צריך הירקן לרכוש על מנת לעמוד ביעדו‪.‬‬
‫‪ )53‬המחיר של ‪ 3‬מקלדת ו‪ 5-‬עכברים הוא ‪ .₪ 490‬לאחר חצי שנה חנות המחשבים‬
‫יצאה למבצע והכריזה כי כל המקלדות בהנחה מיוחדת של ‪ 50%‬וכל העכברים‬
‫בהנחה של ‪ .10%‬כעת ניתן לקנות ‪ 4‬עכברים ו ‪ 8-‬מקלדות במחיר של ‪.₪ 500‬‬
‫א‪ .‬מה היו המחירים של מקלדת ושל עכבר לפני ההנחה?‬
‫ב‪ .‬מה הם המחירים של מקלדת ושל עכבר לאחר ההנחה?‬
‫ג‪ .‬בכמה אחוזים גדול המחיר הראשוני של מקלדת מהמחיר הראשוני של‬
‫עכבר?‬
‫‪ )54‬המחיר של ‪ 6‬שרפרפים גדול ב ‪ 20-‬שקלים מהמחיר של כיסא‪ .‬לאחר שמחיר‬
‫השרפרפים התייקר ב‪ 35% -‬ומחיר הכיסא הוזל ב‪ ,19% -‬המחיר של ‪ 3‬שרפרפים‬
‫היה זהה למחיר של כיסא אחד‪.‬‬
‫א‪ .‬מה המחיר של כיסא והמחיר של שרפרף לפני ההוזלה וההתייקרות?‬
‫ב‪ .‬פי כמה גדול המחיר המקורי של הכיסא מהמחיר המקורי של השרפרף?‬
‫בעיות בהנדסת המישור‪:‬‬
‫‪ )55‬הנקודות ‪ E‬ו ‪ F-‬הן בהתאמה אמצעי הצלעות ‪AB‬‬
‫ו‪ CD-‬של המלבן ‪ .ABCD‬הנקודות ‪ R , Q , P‬ו‪S-‬‬
‫יוצרות קטעים המקבילים לצלעות המלבן ‪ AB‬ו ‪CD-‬‬
‫ומרחקן מהם הוא ‪ 2‬ס"מ (ראה איור)‪.‬‬
‫ידוע כי הצלע ‪ AB‬גדולה ב ‪ 10-‬ס"מ מהצלע ‪AD‬‬
‫של המלבן ‪.ABCD‬‬
‫א‪ .‬מצא את מידות המלבן ‪ ABCD‬אם ידוע כי שטח המלבן המסומן הוא‪. S  240 :‬‬
‫ב‪ .‬כמה אחוזים משטח המלבן ‪ ABCD‬הם השטחים המקווקוים שבאיור?‬
‫‪57‬‬
‫‪ )56‬הנקודות ‪ E‬ו ‪ F-‬נמצאות על הצלע ‪ AB‬של המלבן ‪ ABCD‬כך שהמרחק של כל‬
‫נקודה מהקדקוד הסמוך לה הוא ‪ 2‬ס"מ‪ .‬ידוע כי הצלע ‪ AB‬גדולה ב‪ 2-‬ס"מ‬
‫מהצלע ‪ AD‬וכי השטח של שני המשולשים ‪ AFD‬ו‪ CBE-‬יחד הוא ‪ 16‬סמ"ר‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מידות המלבן‪.‬‬
‫ב‪ .1 .‬חשב את שטח המלבן ‪.ABCD‬‬
‫‪ .2‬חשב את שטח הטרפז ‪.DFEC‬‬
‫‪ .3‬כמה אחוזים משטח המלבן ‪ABCD‬‬
‫מהווה שטח הטרפז?‬
‫‪ )57‬הנקודה ‪ E‬נמצאת על הצלע ‪ AB‬של המלבן ‪ ABCD‬כך שנוצרים משולש ‪ADE‬‬
‫וטרפז ‪ .BCDE‬ידוע כי הצלע ‪ AB‬גדולה ב ‪ 5.5 -‬ס"מ‬
‫מהצלע ‪ AD‬במלבן‪ .‬מרחק הנקודה ‪ E‬מהקדקוד ‪A‬‬
‫הוא ‪ 7‬ס"מ וידוע כי שטח המשולש ‪ ADE‬קטן ב ‪65% -‬‬
‫משטח הטרפז ‪ .BCDE‬מצא את מידות המלבן ‪.ABCD‬‬
‫‪ )58‬הנקודה ‪ E‬נמצאת על הצלע ‪ AB‬והנקודה ‪ D‬נמצאת‬
‫על הצלע ‪ AB‬של המשולש ‪ .ABC‬שטח המרובע ‪BDCE‬‬
‫הוא ‪ 15‬סמ"ר והשטח ‪ ADE‬הוא ‪ 40%‬משטח‬
‫המשולש ‪ .ABC‬מצא את השטחים‪. SABC , SADE :‬‬
‫‪ )59‬מורידים גבהים לצלעות ‪ AB‬ו ‪ BC-‬במשולש ‪ABC‬‬
‫שחותכים אותן בנקודות ‪ D‬ו‪ E-‬בהתאמה‪.‬‬
‫נתון‪ . BC  13 , BD  5 :‬שטח משולש זה הוא ‪ 52‬סמ"ר‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הגובה ‪.AE‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורך הגובה ‪.CD‬‬
‫ג‪ .‬מצא את אורך הצלע ‪.AB‬‬
‫‪ )60‬אחד מהניצבים במשולש ישר זווית קטן מהשני ב‪ .25%-‬שטח המשולש הוא ‪ 96‬סמ"ר‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורכי הניצבים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורך היתר‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את אורך הגובה ליתר‪.‬‬
‫‪ )61‬במשולש שווה שוקיים שבו זווית הראש היא זווית קהה (ראה איור) אורך חוצה‬
‫זווית הראש הוא ‪ 6‬ס"מ ואורך הגובה לשוק הוא ‪ 9.6‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הבסיס‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורך השוק‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שטח המשולש‪.‬‬
‫‪58‬‬
‫‪ BD )62‬ו‪ AE-‬הם גבהים לצלעות ‪ AC‬ו ‪ BC-‬בהתאמה‬
‫במשולש ‪ .ABC‬ידוע כי אורך הגובה ‪ AE‬הוא ‪ 8‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ E‬מקצה על הצלע ‪ BC‬שני קטעים ‪ CE‬ו ‪ BE-‬כך‬
‫ש‪ BE-‬גדול פי ‪ 1.5‬מ‪ .CE-‬שטח המשולש ‪ABC‬‬
‫הוא ‪ 60‬סמ"ר‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורכי הקטעים ‪ BE‬ו‪.CE-‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך הצלע ‪.AC‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הגובה ‪.BD‬‬
‫‪ )63‬במשולש ישר הזווית ‪  B  90 ABC‬הנקודה ‪ E‬נמצאת על הניצב ‪ BC‬כך‬
‫שאורך הקטע ‪ BE‬גדול פי ‪ 2‬מהניצב ‪.AB‬‬
‫ידוע כי אורך היתר ‪ AC‬הוא ‪ 15.6‬ס"מ וכי הוא‬
‫גדול פי ‪ 6.5‬מהקטע ‪.CE‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורכי הניצבים ‪ AB‬ו‪.BC-‬‬
‫ב‪ .‬העזר בשטחי המשולשים ‪ ABC‬ו‪ ABE-‬וחשב את שטח המשולש ‪.ACE‬‬
‫‪ )64‬באיור שלפניך נתון ריבוע‪ .‬בונים על כל צלע של הריבוע חצי עיגול‪.‬‬
‫ידוע כי היקף הצורה הכולל הוא ‪. 12‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך צלע הריבוע‪.‬‬
‫ב‪ .1 .‬מצא את שטח הריבוע‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא את סכום השטחים של כל ארבעת העיגולים‪.‬‬
‫‪ .3‬מה השטח הכולל של כל הצורה‪.‬‬
‫‪ )65‬חצי עיגול כלוא בתוך ריבוע כמתואר באיור‪ .‬מקדקוד העיגול מעבירים‬
‫קטע המקביל לצלעות הריבוע כך שנוצר השטח המקווקו‪.‬‬
‫‪49‬‬
‫ידוע כי השטח המקווקו הוא ‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. 98 ‬‬
‫א‪ .‬מצא את רדיוס העיגול‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח הריבוע‪.‬‬
‫‪ )66‬באיור שלפניך נתונים שני עיגולים החותכים זה את זה כך שנוצר שטח‬
‫המשותף להם‪ .‬ידוע כי גודל השטח הנ"ל הוא ‪( 17‬השטח המקווקו)‬
‫ושטח כל הצורה הוא ‪.100‬‬
‫כמו כן‪ ,‬ידוע כי רדיוס העיגול השמאלי‬
‫(הגדול) גדול ב ‪ 50%-‬מרדיוס העיגול הימני (הקטן)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את הרדיוסים של שני העיגולים‪.‬‬
‫ב‪ .‬פי כמה יהיה גדול שטח העיגול הגדול משטח העיגול הקטן?‬
‫‪59‬‬
‫בעיות בהנדסת המרחב‪:‬‬
‫‪ )67‬נתונה תיבה שבסיסה הוא מלבן שבו צלע אחת גדולה ב ‪ 3-‬ס"מ‬
‫מהצלע השנייה‪ .‬ידוע כי גובה התיבה שווה באורכו לצלע הבסיס‬
‫הגדולה‪ .‬אורך אלכסון התיבה הוא ‪ 9‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מידות התיבה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את נפח התיבה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח הפנים של התיבה‪.‬‬
‫‪ )68‬נתונה תיבה שבסיסה הוא ריבוע‪.‬‬
‫גובה התיבה גדול פי ‪ 3‬מאורך צלע הריבוע של הבסיס‪.‬‬
‫ידוע כי שטח המעטפת של התיבה הוא ‪ 192‬סמ"ר‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך צלע הריבוע של בסיס התיבה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את נפח התיבה‪.‬‬
‫‪ )69‬גזרו ‪ 6‬חתיכות קרטון והרכיבו מהם תיבה שבסיסה הוא ריבוע‪.‬‬
‫ידוע כי השטח של כל אחת מארבעת החתיכות המשמשות כפאות‬
‫התיבה גדול ב ‪ 20%-‬מהשטח של כל אחת משתי החתיכות המשמשות‬
‫כבסיסי התיבה‪ .‬גובה התיבה הנ"ל גדול בס"מ אחד מאורכי צלעות‬
‫ריבוע הבסיס‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את המידות התיבה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את נפח התיבה‪.‬‬
‫‪ )70‬בתיבה שבסיסה ריבוע נתון כי אורך הצלע של הריבוע קטנה ב‪40%-‬‬
‫מגובה התיבה‪ .‬כמו כן ידוע כי שטח פאה צדדית גדול ב ‪ 24-‬סמ"ר‬
‫משטח בסיס התיבה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מידות התיבה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי אלכסון התיבה גדול מ‪ 13-‬ס"מ‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את נפח התיבה‪.‬‬
‫‪ )71‬נתונה תיבה שבסיסה הוא מלבן‪ .‬מעבירים אלכסון באחת מהפאות‬
‫צדדיות של התיבה כמתואר באיור‪ .‬ידוע כי אורך אלכסון זה‬
‫הוא ‪ 17‬ס"מ וכי גובה התיבה גדול ב‪ 7-‬ס"מ מבסיס התיבה של פאה זו‪.‬‬
‫נפח התיבה הוא ‪ 720‬סמ"ק‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את גובה התיבה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את מידות בסיס התיבה‬
‫ג‪ .‬האם ישר שאורכו ‪ 18‬ס"מ יכול להיכנס בתוך תיבה זו?‬
‫(העזר באלכסון התיבה)‪.‬‬
‫‪60‬‬
‫‪ )72‬נתונה מנסרה ישרה שבסיסה הוא משולש ישר זווית‪.‬‬
‫מעבירים אלכסון שאורכו ‪ 13‬ס"מ בפאה שבנויה על הניצב הגדול‪.‬‬
‫אורך היתר במשולש הבסיס גדול ב ‪ 6-‬ס"מ מהניצב הקטן שלו‪.‬‬
‫גובה המנסרה הוא ‪ 5‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הניצב הגדול של משולש הבסיס‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הניצב השני ואת היתר במשולש הבסיס‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את נפח המנסרה‪.‬‬
‫‪ )73‬נתונה מנסרה ישרה שבסיסה הוא משולש שווה שוקיים בעל אורך שוק‬
‫של ‪ 26‬ס"מ‪ .‬הגובה לבסיס בתוך משולש זה הוא ‪ 24‬ס"מ‪.‬‬
‫שטח הפנים של המנסרה הוא ‪ 912‬סמ"ר‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך מקצוע הבסיס של המשולש השווה שוקיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את גובה המנסרה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה נפח המנסרה?‬
‫‪ )74‬סכום כל המקצועות של מנסרה משולשת ישרה שבסיסה הוא משולש‬
‫שווה שוקיים הוא ‪ 41‬ס"מ‪ .‬גובה המנסרה הוא ‪ 3‬ס"מ‪ .‬ידוע כי‬
‫אורך מקצוע הבסיס במשולש הבסיס קטן ב‪ 2-‬ס"מ מאורך שוק‬
‫המשולש‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורכי הצלעות של משולש הבסיס של המנסרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך האלכסון העובר בפאה הבנויה על מקצוע‬
‫הבסיס של המשולש השווה שוקיים‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המעטפת של המנסרה‪.‬‬
‫‪ )75‬רדיוס גליל מסוים גדול ב ‪ 25%-‬מגובהו‪ .‬נפח הגליל הוא ‪. 800‬‬
‫א‪ .‬מצא את רדיוס הגליל ואת גובהו‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המעטפת של הגליל‪.‬‬
‫ג‪ .1 .‬חשב את שטח עיגול הבסיס של הגליל‪.‬‬
‫‪ .2‬חשב את שטח הפנים של הגליל‪.‬‬
‫‪ )76‬נתון גליל שרדיוסו ‪ r‬וגובהו ‪ . h‬שטח עיגול הבסיס קטן ב‪ 60%-‬משטח המעטפת‪.‬‬
‫ידוע גם כי רדיוס הגליל קטן ב ‪ 4-‬ס"מ מגובהו‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את רדיוס הגליל ואת גובהו‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח הפנים של הגליל‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את נפח הגליל‪.‬‬
‫‪61‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬א‪ 8 .‬שעות‪ .‬ב‪ 160 .‬ק"מ‪ )2 .‬א‪ 48 .‬ק"מ‪ .‬ב‪ .‬גלעד‪ 12 -‬שעות ורוני ‪ 8-‬שעות‪.‬‬
‫‪ )3‬א‪ 15 .‬קמ"ש ו‪ 25-‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 75 .‬ק"מ ‪ )4‬א‪ 60 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 480 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ )5‬א‪ 16 .‬קמ"ש‪ 18 ,‬קמ"ש‪ .‬ב‪ .‬לא‪ )6 .‬א‪ 55 .‬קמ"ש ו‪ 70-‬קמ"ש‪ .‬ב‪ .‬לא‪.‬‬
‫‪ )7‬א‪ 13:00 .‬ב‪ 56 .‬ק"מ ג‪ 8 .‬שעות‪ )8 .‬א‪ .‬שעתיים‪ .‬ב‪ 200 .‬ק"מ‪ 800 )9 .‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ )10‬א‪ 70 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 7 .‬שעות‪ )11 .‬א‪ 95 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 8 .‬שעות‪.‬‬
‫‪ )12‬א‪ 14 .‬קמ"ש ו‪ 20-‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 5 .‬שעות‪ )13 .‬א‪ 60 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 4 .‬שעות‪.‬‬
‫‪ )14‬א‪ 13:00 .‬ב‪ 80 .‬קמ"ש ו‪ 100-‬קמ"ש‪ )15 .‬א‪ .10:36 .‬ב‪ 120 .‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ )16‬א‪ 100 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 270 .‬ק"מ‪ )17 .‬א‪ 88 .‬קמ"ש ו‪ 176-‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 10 .‬שעות‪.‬‬
‫‪ )18‬א‪ 75 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 4 .‬שעות‪ )19 .‬א‪ 60 .‬קמ"ש ו‪ 72-‬קמ"ש‪ 70 )20 .‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ )21‬א‪ 40 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 55 .‬ק"מ‪ )22 .‬א‪ .10:00 .‬ב‪ 200 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ )23‬א‪ 8 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 3 .‬שעות ו‪ 5-‬שעות‪ )24 .‬א‪ 30 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ .‬פי ‪.5‬‬
‫‪ )25‬א‪ 6 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 6 .‬ק"מ ‪ 8 ,‬ק"מ ו ‪ 4-‬ק"מ ‪ )26‬א‪ 70 .‬קמ"ש ב‪ 840 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ )27‬א‪ 90 .‬קמ"ש ו‪ 60-‬קמ"ש‪ .‬ב‪ .‬פי ‪ )28 .3‬א‪ 5 .‬שעות‪ .‬ב‪ 20 .‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ )29‬א‪ ₪ 40 .‬ב‪.₪ 4 )30 .₪ 3200 .‬‬
‫‪ 60 )32 .100 )31‬ק"ג‪ )33 .‬א‪ .90 .‬ב ‪.₪ 80‬‬
‫‪ 60 )34‬ב ‪ 20 )35 .₪ 5-‬עציצים‪ ₪ 40 .‬לעציץ‪ 50 )36 .‬נורות ב‪ ₪ 80-‬לנורה‪.‬‬
‫‪ ₪ 4 )37‬ו ‪ ₪ 400 )39 .₪ 40 )38 .₪ 6-‬ו‪.₪ 80-‬‬
‫‪ ₪ 12 )40‬ו‪ ₪ 4 )41 .₪ 14-‬ו‪.₪ 7 )42 .₪ 9-‬‬
‫‪ )43‬א‪ ₪ 800 .‬ו‪ ₪ 300-‬ב‪ )44 .12 .‬א‪ ₪ 3,000 .‬ב‪ )45 .13 .‬א‪ .‬הרוויח ב‪.₪ 65 .‬‬
‫‪ ₪ 200 )46‬ו– ‪.₪ 500‬‬
‫‪ )47‬א‪ .‬לא‪ .‬ב‪ .2 .₪ 5,760 .1 .‬ב‪ ₪ 5500 )48 44%-‬ו– ‪.₪ 5225‬‬
‫‪ ₪ 100 )49‬ו– ‪ )50 .₪ 80‬א‪ 82% .‬ב‪ ₪ 8 )51 .₪ 70 .2 82% .1 .‬ו ‪.₪ 10-‬‬
‫‪ )52‬א‪ .‬הרוויח‪ .‬ב‪ .₪ 65 .‬ג‪ 375 .‬ק"ג‪.‬‬
‫‪ )53‬א‪ ₪ 80 .‬ו ‪ ₪ 50-‬ב‪ ₪ 40 .‬ו‪ ₪ 45-‬ג‪.60% .‬‬
‫‪ )54‬א‪ ₪ 100 .‬ו‪ .₪ 20-‬ב‪ .‬פי ‪ )55 .5‬א‪ 30 .‬ס"מ ו‪ 20-‬ס"מ‪ .‬ב‪.50% .‬‬
‫‪ )56‬א‪ 10 .‬ס"מ ו ‪ 8-‬ס"מ‪ .‬ב‪.80% .3 S  64 .2 S  80 .1 .‬‬
‫‪ 8 )57‬ס"מ ו ‪ 13.5-‬ס"מ‪SABC  25 , SADE  10 )58 .‬‬
‫‪ )59‬א‪ 8 .‬ס"מ ב‪ 12 .‬ס"מ ג‪ 8 23 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ )60‬א‪ 16 .‬ס"מ ו ‪ 12-‬ס"מ‪ .‬ב‪ 20 .‬ס"מ‪ .‬ג‪ 9.6 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ )61‬א‪ 16 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 10 .‬ס"מ‪ .‬ג‪. S  48 .‬‬
‫‪ )62‬א‪ 6 .‬ס"מ ו‪ 9-‬ס"מ‪ .‬ב‪ 10 .‬ס"מ‪ .‬ג‪ 12 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ )63‬א‪ 6 .‬ס"מ ו‪ 14.4-‬ס"מ‪ .‬ב‪. S  7.2 .‬‬
‫‪62‬‬
‫‪ )64‬א‪ 6 .‬ס"מ‪ .‬ב‪. S  36  18 .3 S  18 .2 S  36 .1 .‬‬
‫‪ )65‬א‪ 7 .‬ס"מ‪ .‬ב‪. S  196 .‬‬
‫‪ 9 )66‬ס"מ ו ‪ 6-‬ס"מ‪ .‬ב‪ .‬פי ‪.2.25‬‬
‫‪ )67‬א‪ 3X6X6 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ V  108 .‬ג‪ )68 . S  144 .‬א‪ 4 .‬ס"מ‪ .‬ב‪. V  192 .‬‬
‫‪ )69‬א‪ 6X5X5 .‬ס"מ‪ .‬ב‪. V  150 .‬‬
‫‪ )70‬א‪ 10X6X6 .‬ס"מ‪ .‬ג‪ )71 . V  360 .‬א‪ 15 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 8 .‬ס"מ ו ‪ 6-‬ס"מ‪ .‬ג‪ .‬כן‪.‬‬
‫‪ )72‬א‪ 12 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 9 .‬ס"מ ו‪ 15-‬ס"מ‪ .‬ג‪. V  270 .‬‬
‫‪ )73‬א‪ 20 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 6 .‬ס"מ‪ .‬ג‪. V  1440 .‬‬
‫‪ )74‬א‪ 4 .‬ס"מ ו‪ 6-‬ס"מ‪ .‬ב‪ 5 .‬ס"מ‪ .‬ג‪. S  48 .‬‬
‫‪ )75‬א‪ 10 .‬ס"מ ו ‪ 8-‬ס"מ‪ .‬ב‪ S  160 .‬ג‪. S  360 .2 S  100 .1 .‬‬
‫‪ )76‬א‪ r  16 , h  20 .‬ב‪ S  1152 .‬ג‪. V  5120 .‬‬
‫‪63‬‬
‫תרגול מבגרויות‪:‬‬
‫בעיות קנייה ומכירה‪:‬‬
‫‪ )1‬בחנות יש שני סוגי בדים‪ :‬בד מסוג א' ובד מסוג ב'‪ .‬המחיר של ‪ 4‬מטרים בד‬
‫מסוג א' גדול ב ‪ 135-‬שקלים מהמחיר של ‪ 3‬מטרים בד מסוג ב'‪ .‬לקוח קנה ‪3‬‬
‫מטרים בד מסוג א' ו ‪ 4-‬מטרים בד מסוג ב'‪ ,‬ושילם סך הכול ‪ 382.5‬שקלים‪ .‬לפני‬
‫הקנייה מספר המטרים של הבד מסוג א' שיש בחנות שווה למספר המטרים של‬
‫הבד מסוג ב'‪ .‬המחיר של כל הבד מסוג א' שיש בחנות‪ ,‬גדול ב ‪ 396-‬מהמחיר של‬
‫כל הבד מסוג ב'‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את המחיר של מטר אחד של מסוג א' ואת המחיר של מטר אחד של‬
‫בד מסוג ב'‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את מספר המטרים של הבד מכל סוג שיש בחנות (לפני הקנייה)‪.‬‬
‫‪ )2‬סוחר קנה גופיות‪ .‬לכל גופייה היה אותו מחיר‪ 5 .‬גופיות היו פגומות‪ ,‬והסוחר‬
‫מכר את חמש הגופיות האלה בסכום כולל של ‪ 80‬שקל ובהפסד של ‪( 20%‬לעומת‬
‫מחיר הקנייה)‪ .‬את שאר הגופיות מכר הסוחר ברווח של ‪ .30%‬הרווח הכולל של‬
‫הסוחר ממכירת כל הגופיות (פגומות ולא פגומות) היה ‪ 190‬שקלים‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה שילם הסוחר עבור גופייה אחת?‬
‫ב‪ .‬כמה גופיות קנה הסוחר?‬
‫‪ )3‬המחיר של טלפון נייד בחנות א' היה ‪ 600‬שקל‪ .‬מחיר זה הועלה באחוז מסוים‪.‬‬
‫המחיר של אותו טלפון נייד בחנות ב' היה ‪ 900‬שקל‪ .‬מחיר זה הוזל באותו אחוז‬
‫שהועלה המחיר של הטלפון הנייד בחנות א' ואז המחיר של הטלפון הנייד בשתי‬
‫החנויות היה זהה‪ .‬מצא את המחיר הסופי של הטלפון הנייד‪.‬‬
‫‪ )4‬בחברת טלפונים המחיר לדקת שיחה בשעות הערב נמוך ב ‪ 40%-‬מן המחיר‬
‫לדקת שיחה בשעות היום‪ .‬כדי לעודד שיחות בשעות הערב הורידה החברה‬
‫ב ‪ 18%-‬את המחיר לדקת שיחה בשעות הערב‪( .‬המחיר לדקת שיחה בשעות היום‬
‫לא השתנה)‪ .‬אחרי ההוזלה אלעד שוחח ‪ 150‬דקות בשעות היום ו‪ 300-‬דקות‬
‫בשעות הערב‪ ,‬ושילם ‪ 44.64‬שקלים‪ .‬מצא את המחיר באגורות לדקת שיחה‬
‫ביום‪ ,‬ולדקת שיחה בערב לפני ההוזלה‪.‬‬
‫‪ )5‬ראובן רוצה לרכוש מינוי למכון כושר‪ .‬המחיר המלא של המינוי הוא ‪200‬‬
‫שקלים‪ .‬אם ראובן יביא שני חברים שירכשו מינוי במחיר מלא‪ ,‬הוא יקבל על‬
‫המינוי שלו הנחה של ‪ x%‬עבור החבר הראשון‪ ,‬ועבור החבר השני יקבל הנחה‬
‫של ‪ x%‬על המחיר שאחרי ההנחה הראשונה‪ .‬ראובן הביא שני חברים ושילם‬
‫עבור המינוי שלו רק ‪ 144.5‬שקלים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אחוז ההנחה שקיבל ר אובן על המינוי עבור החבר הראשון‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אחוז ההנחה הכולל שקיבל ראובן על המינוי שלו לאחר שהביא‬
‫את שני החברים‪.‬‬
‫‪64‬‬
‫בעיות תנועה‪:‬‬
‫‪ )6‬מכונית נסעה מעיר ‪ A‬לעיר ‪ B‬על כביש ראשי במהירות קבועה‪.‬‬
‫בדרך חזרה מעיר ‪ B‬לעיר ‪ A‬נסעה המכונית בדרך עפר‪ ,‬הקצרה ב‪ 40%-‬מהדרך בכביש‬
‫הראשי‪ ,‬ונאלצה להקטין את מהירותה ב ‪ .10% -‬אורך הדרך בכביש הראשי מ‪ A-‬ל‪B-‬‬
‫הוא ‪ 240‬ק"מ‪ .‬נתון כי בכביש הראשי עברה המכונית ‪ 2/3‬מהדרך שבין ‪ A‬ל‪B -‬‬
‫בשעתיים‪ .‬מצא את זמן הנסיעה של המכונית בדרך חזרה מ‪ B-‬ל‪.A -‬‬
‫‪ )7‬ממקום ‪ A‬יצאה מכונית א' וכעבור ‪ 1/2‬שעה יצאה מאותו מקום ובאותתו כיוון‬
‫מכונית ב'‪ .‬המהירות של מכונית ב' גדולה ב‪ 25%-‬מהמהירות של מכונית א'‪.‬‬
‫כעבור כמה שעות מרגע היציאה של מכונית א' ייפגשו שתי המכוניות?‬
‫(המהירויות של המכוניות אינן משתנות)‪.‬‬
‫‪ )8‬שני הולכי רגל יוצאים בשעה ‪ 7:00‬מנקודה ‪:A‬‬
‫אחד הולך צפונה ואחד הולך מזרחה (ראה ציור)‪.‬‬
‫בשעה ‪ 9:00‬הגיע ההולך מזרחה לנקודה ‪ ,B‬וההולך צפונה‬
‫הגיע לנקודה ‪ D‬כך שהמרחק בניהם היה ‪ 10‬ק"מ‪.‬‬
‫ההולך צפונה הלך מיד מנקודה ‪ D‬לנקודה ‪ B‬בדרך הקצרה‬
‫ביותר‪ ,‬והגיע לנקודה ‪ B‬בשעה ‪.11:30‬‬
‫המהירויות של הולכי הרגל אינן משתנות‪.‬‬
‫מצא את המהירות של כל אחד מהולכי הרגל‪.‬‬
‫‪ )9‬רוכב אופניים יצא מיישוב ‪ A‬ליישוב ‪ B‬ובדיוק באותה שעה יצא הולך רגל‬
‫מיישוב ‪ B‬ליישוב ‪ .A‬הולך הרגל הלך במהירות קבועה שקטנה ב‪ 10-‬קמ"ש‬
‫מהמהירות של רוכב האופניים‪ .‬כעבור ‪ 24‬דקות המרחק בין רוכב האופניים‬
‫להולך הרגל היה ‪ 12‬ק"מ‪ .‬כעבור ‪ 36‬דקות נוספות הם נפגשו‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את המהירות של רוכב האופניים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא באיזה מרחק מיישוב ‪ A‬נפגשו רוכב האופניים והולך הרגל‪.‬‬
‫‪65‬‬
‫בעיות הנדסת המישור‪:‬‬
‫‪ )10‬בגינה בצורה מלבנית רוצים לשתול דשא בשטחים המקווקווים‬
‫שבציור שני השטחים בפינות הגינה הם בצורת ריבועים‪ ,‬והשטח‬
‫האמצעי הוא בצורת מלבן (ראה ציור)‪ .‬רוחב הגינה הוא ‪ 10‬מטר‪,‬‬
‫ואורכה גדול ב‪ 20%-‬מרוחבה‪ .‬מחיר מ"ר של הדשא הוא ‪ 60‬ש"ח‪,‬‬
‫והמחיר הכולל של הדשא ששותלים הוא ‪ 3,240‬ש"ח‪.‬‬
‫מצא את סכום השטחים של הדשא שבפינות הגינה‪.‬‬
‫‪ )11‬בנו חלון זכוכית בצורת ריבוע ‪ ABCD‬שאורך צלעו ‪ 2‬מטרים‪.‬‬
‫שתיים מפינות הריבוע עוצבו בצורת משולשים חופפים ‪AGE‬‬
‫ו‪ BGF -‬כך ש‪( AF  BE  x -‬ראה ציור)‪ .‬המשולשים עשויים‬
‫מזכוכית צבעונית‪ ,‬ושאר החלון עשוי מזכוכית רגילה‪ .‬מטר‬
‫מרובע של זכוכית צבעונית עולה ‪ 20‬שקלים ושל זכוכית‬
‫רגילה – ‪ 10‬שקלים‪ .‬המוכר נתן הנחה של ‪ 22%‬לזכוכית‬
‫צבעונית ו‪ 10%-‬לזכוכית רגילה‪ .‬סך כל ההנחה על שני סוגי‬
‫הזכוכית הדרושים לבניית החלון היה ‪.14%‬‬
‫מצא את האורך של ‪.AE‬‬
‫‪ )12‬חלון מורכב מחצי עיגול ומריבוע ‪.ABCD‬‬
‫צלע הריבוע ‪ AD‬היא קוטר של חצי העיגול‪ ,‬כמתואר בציור‪.‬‬
‫שטח הריבוע גדול ב‪ 0.2187 -‬מ"ר משטח חצי העיגול‪.‬‬
‫מצא את ההיקף של המסגרת החיצונית של החלון‪.‬‬
‫בחישובך השתמש ב‪.  = 3.14 -‬‬
‫בעיות בהנדסת המרחב‪:‬‬
‫‪ )13‬בנו קופסה סגורה בצורת תיבה שבסיסה ריבוע (ראה ציור)‪.‬‬
‫גובה התיבה גדול פי ‪ 1.4‬מצלע הבסיס‪ .‬שטח הפנים של‬
‫התיבה (השטח של שש פאות התיבה) הוא ‪ 1710‬סמ"ר‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את צלע הבסיס וגובה התיבה‪.‬‬
‫ב‪ .‬רוצים למלא את התיבה בקוביות‪ ,‬שאורך הצלע של כל‬
‫אחת מהן הוא ‪ 1/5‬מאורך צלע הבסיס של התיבה‪.‬‬
‫בכמה קוביות כאלה אפשר למלא את התיבה?‬
‫‪66‬‬
‫‪B‬‬
‫‪G‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )14‬בונים מיכל פתוח מלמעלה‪ .‬המכל הוא בצורת תיבה‬
‫שבסיסה ‪ ABCD‬הוא ריבוע‪ .‬בתוך התיבה בנו מחיצה‬
‫דקה מאוד '‪ BDD'B‬המקווקוות בציור‪ .‬אורך צלע‬
‫הבסיס ‪ ABCD‬הוא ‪ . a‬גובה התיבה גדול פי ‪ 2‬מאורך‬
‫האלכסון של בסיס התיבה‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את גובה התיבה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מחיר החומר שממנו עשויים בסיס התיבה והמחיצה‬
‫הוא ‪ 15‬שקלים למ"ר‪ .‬מחיר החומר שממנו עשויות פאות‬
‫התיבה הוא ‪ 8 2‬שקלים למ"ר‪ .‬עלות החומרים לבניית‬
‫התיבה (כולל המחיצה) הייתה בסך הכול ‪ 812‬שקלים‪.‬‬
‫מצא את הערך של ‪. a‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬א‪ .‬מחיר בד א'‪ 67.5 :‬שקלים למטר‪ ,‬מחיר בד ב' ‪ 45‬שקלים למטר‬
‫ב‪ .‬סוג א'‪ 17.6 :‬מטרים‪ ,‬סוג ב'‪ 17.6 :‬מטרים‪.‬‬
‫‪ )2‬א‪ 20 .‬שקלים‪ .‬ב‪ 40 .‬גופיות‪.‬‬
‫‪ 720 )3‬שקלים‪.‬‬
‫‪ )4‬מחיר לדקת שיחה ביום הוא ‪ 15‬אגורות‪ .‬המחיר לדקת שיחה בערב הוא ‪ 9‬אגורות‪.‬‬
‫‪ )5‬א‪ 15% .‬ב‪ )6 .27.75% .‬שעתיים‪.‬‬
‫‪ )7‬שעתיים וחצי‪.‬‬
‫‪ )8‬מ ‪ A-‬ל‪ 4 :D-‬קמ"ש‪ .‬מ‪ A-‬ל‪ 3 :B-‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ )9‬א‪ 15 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 15 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ 18 )10‬מ"ר‪ 0.8 )11 .‬מטר‪ 2.742 )12 .‬מטר‪.‬‬
‫‪ )13‬א‪ 21X15X15 .‬ס"מ ב‪ 175 .‬קוביות‪ )14 .‬א‪ . 2a 2 .‬ב‪.2 .‬‬
‫‪67‬‬
‫פרק ‪ – 4‬גאומטריה אנליטית‪:‬‬
‫הישר‪:‬‬
‫נוסחאות כלליות‪:‬‬
‫‪ .1‬המרחק בין הנקודות ‪ A  x1 , y1 ‬ו‪ B  x2 , y2  -‬יחושב לפי‪. d   x2  x1 2   y2  y1 2 :‬‬
‫‪x1  x2‬‬
‫‪y  y2‬‬
‫‪ .2‬אמצע הקטע ‪ M‬שקצוותיו הם‪ A  x1 , y1  :‬ו ‪ B  x2 , y2  -‬הוא‪:‬‬
‫‪, yM  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y y‬‬
‫‪y y‬‬
‫‪ .3‬שיפוע ישר בין שתי נקודות ‪ A  x1 , y1 ‬ו‪ B  x2 , y2  -‬הוא‪. mAB  2 1  1 2 :‬‬
‫‪x2  x1 x1  x2‬‬
‫‪. xM ‬‬
‫משוואת הישר‪:‬‬
‫‪ .4‬משוואת ישר מפורשת היא מהצורה‪. y  mx  n :‬‬
‫כאשר‪ m :‬הוא שיפוע הישר ו‪ n -‬הוא ערך ה‪ y -‬של נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה‪. y -‬‬
‫‪ .5‬נוסחה למציאת משוואת ישר‪. y  y1  m  x  x1  :‬‬
‫מצב הדדי בין שני ישרים‪:‬‬
‫‪ .6‬ישרים מקבילים מקיימים‪. m1  m2 , n1  n2 :‬‬
‫‪ .7‬ישרים חותכים מקיימים‪. m1  m2 :‬‬
‫‪ .8‬ישרים מתלכדים מקיימים‪. m1  m2 , n1  n2 :‬‬
‫שיפועים של ישרים‪:‬‬
‫‪ .9‬שיפועי ישרים מאונכים מקיימים‪. m1  m2  1 :‬‬
‫‪ .10‬הקשר בין שיפוע ישר לזווית שהוא יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה ‪. m  tan  : x -‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬הנקודות ‪ A  2, 7  , B  10, 4 ‬ו ‪ C  6,11 -‬הן שלושה קדקודים של מקבילית‪.‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד הרביעי‪.‬‬
‫‪ )2‬נתונה נקודה ‪ B‬ברביע השלישי‪ ,‬ששיעור ה‪ y -‬שלה גדול פי ‪ 3‬משיעור ה‪ x -‬שלה‬
‫ומרחקה מהנקודה ‪ A  4,1‬הוא ‪ .5‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬
‫‪68‬‬
‫‪ )3‬התאם בין משוואות הישרים הבאים לישרים בשרטוט‪:‬‬
‫א‪. y  x  3 .‬‬
‫ב‪. y   x  1 .‬‬
‫ג‪. y  2 x  3 .‬‬
‫ד‪. y  x  1 .‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.y x‬‬
‫‪ )4‬במשולש ‪ ABC‬נתונים שיעורי הקדקודים‪. C  5,5 , B  3, 7  , A  5, 1 :‬‬
‫הוכח שהמשולש ישר זווית ושווה שוקיים‪.‬‬
‫‪ )5‬נתון מעוין ‪ ABCD‬שבו נתונים הקדקודים ‪ A  9,1‬ו‪. B  5, 7  -‬‬
‫משוואת הישר עליו מונח האלכסון ‪ AC‬היא ‪. x  3 y  6  0‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הישר עליו מונח האלכסון ‪.BD‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הישר עליו מונחת הצלע ‪.BC‬‬
‫‪ )6‬שלוש המשוואות הבאות מייצגות את הישרים המופיעים בשרטוט‪:‬‬
‫‪. 2x  y  8  0 , x  y  2  0 , x  4 y  4  0‬‬
‫הקטע ‪ AC‬מקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.DEF‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ .BC = 3 :‬חשב את אורך הקטע ‪.AB‬‬
‫‪ BD )7‬הוא התיכון לצלע ‪ AC‬במשולש ‪ ABC‬שבו נתון הקדקוד ‪. A  6,1‬‬
‫משוואת התיכון ‪ BD‬היא ‪ x  y  1‬ומשוואת הצלע ‪ BC‬היא ‪. 3x  5 y  67‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪.C‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪. D(18, 0) )1‬‬
‫‪. B(1, 3) )2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ )3‬א‪ . II .‬ב‪ .V .‬ג‪ . I .‬ד‪ . III .‬ה‪. IV .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ )5‬א‪ . lBD : y  3x  22 .‬ב‪. lBC : y   x  6 .‬‬
‫‪ )6‬א‪18 .‬יח"ש ‪ . SDEF ‬ב‪ 3 .‬יחידות אורך ‪. AB ‬‬
‫‪69‬‬
‫‪.C (14,5) )7‬‬
‫המעגל‪:‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫המקום הגאומטרי של כל הנקודות‪ ,‬הנמצאות במרחק קבוע מנקודה קבועה במישור‬
‫נקרא מעגל‪.‬‬
‫משוואת מעגל‪:‬‬
‫משוואת מעגל שמרכזו בנקודה ‪ M  a, b ‬ורדיוסו ‪ R‬היא‪.  x  a    y  b   R2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫משוואת מעגל קנוני‪:‬‬
‫משוואת מעגל קנוני (שמרכזו בראשית הצירים ‪ ) M  0, 0 ‬ורדיוסו ‪ R‬היא‪. x  y  R :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬מצא את מרכזם ורדיוסם של המעגלים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪.  x  3   y  5  49‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪.  x    y 2  10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪.  x  m    y  n   m2  n 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )2‬מצא את משוואתו של מעגל שעובר בנקודה ‪ A  4,5‬ומרכזו בנקודה ‪. O  2, 1‬‬
‫‪ )3‬מצא את משוואתו של מעגל שעובר בנקודה ‪ , A 11, 2 ‬רדיוסו ‪ 13‬ומרכזו נמצא‬
‫על הישר ‪. y  2 x  1‬‬
‫‪ )4‬מצא את משוואתו של מעגל שהנקודות ‪ A  2,3‬ו‪ B  4, 3 -‬הן קצות הקוטר שלו‪.‬‬
‫‪ )5‬מצא את משוואתו של מעגל שמרכזו נמצא על הישר ‪ , x  4‬רדיוסו ‪ 10‬והוא‬
‫חותך מציר ה ‪ x -‬מיתר שאורכו ‪.12‬‬
‫‪ )6‬מצא את משוואתו של מעגל המשיק לשני הצירים ורדיוסו ‪.4‬‬
‫‪ )7‬מצא את משוואות המשיקים למעגל ‪  x  12   y  2 2  25‬בנקודות על המעגל‬
‫שבהן ‪. y  5‬‬
‫‪70‬‬
‫‪ )8‬נתון מעגל שמשוואתו ‪.  x  32   y  4 2  25‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של המעגל עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬העבירו קוטר במעגל‪ ,‬המאונך לציר ה‪ . x -‬מצא את שטח המרובע הנוצר‬
‫על ידי נקודות החיתוך שמצאת בסעיף א' ונקודת החיתוך של הקוטר‬
‫עם המעגל הנמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪ )9‬נתון ישר שמשוואתו ‪ . y  2 x  10‬הישר חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה ‪ A‬ואת ציר‬
‫ה ‪ y -‬בנקודה ‪ .B‬בנקודה ‪ A‬מעבירים משיק למעגל שהקטע ‪ AB‬הוא קוטרו‪.‬‬
‫המשיק חותך את ציר ה ‪ y -‬בנקודה ‪ .C‬מצא את אורך הקטע ‪.BC‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬א‪ M  3, 5 , R  7 .‬ב‪ M  0.5,0 , R  10 .‬ג‪. M  m, n  , R  m2  n2 .‬‬
‫‪.  x  2   y  1  72 )2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  x  1   y  3  169 )3‬או ‪.  x  1  y 2  18 )4 .  x  7.8   y  14.6  169‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  x  4   y  8  100 )5‬או ‪.  x  4   y  4   16 )6  x  4   y  8  100‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 4 x  3 y  35  0 )7‬ו‪ )8 4 x  3 y  27 -‬א‪  0,0 ,  6,0  ,  0, 8 .‬ב‪ 27 .‬יח"ש‪.‬‬
‫‪ 12.5 )9‬יחידות אורך‪.‬‬
‫‪71‬‬
‫תרגול נוסף – הישר (שאלות מסכמות)‪:‬‬
‫‪ )1‬במעוין ‪ ABCD‬שיעור אחת הנקודות הוא )‪. (0,6‬‬
‫ידוע כי משוואת האלכסון ‪ AC‬היא‪y  1.5x  6 :‬‬
‫ואחת ממשואות הצלעות היא‪. 5 y  x  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת האלכסון השני‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שאר קודקודי המעוין‪.‬‬
‫‪ )2‬במרובע ‪ ABCD‬ידוע כי שיפוע הצלע ‪ BC‬הוא ‪ 3‬ושיעורי הנקודה ‪ A‬הם )‪. (1, 4‬‬
‫א‪ .‬איזה מרובע הוא? הראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫נתון גם‪, D(4,13) :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. BC  90 , mCD  ‬‬
‫איזה מרובע הוא כעת? הראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון גם‪. B(8,7) :‬‬
‫איזה מרובע הוא כעת? הראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המרובע ‪.ABCD‬‬
‫‪ )3‬אמצע הקטע ‪ AB‬נמצא בראשית הצירים‪ .‬ידוע כי ‪. A  6,8‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעור הנקודה ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬מוסיפים את הנקודה ‪ C‬כך שמרחקה מראשית הצירים הוא ‪.10‬‬
‫היעזר במרחק ‪ AB‬וקבע איזה משולש הוא המשולש ‪.ABC‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי שיעורי הנקודה ‪ C‬הם‪. (6, 8) :‬‬
‫‪x‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )4‬הנקודה ‪ D‬היא אמצע הקטע ‪ AB‬שמשוואתו היא‪. 3 y  2 x  4  0 :‬‬
‫שעורי הנקודה ‪ A‬הם )‪ (8, 4‬ו‪ B-‬היא נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ B‬ו‪.D-‬‬
‫ב‪ .‬מהנקודה ‪ D‬מעלים אנך שחותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה ‪.C‬‬
‫איזה משולש הוא המשולש ‪ ?ABC‬נמק את תשובתך‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪72‬‬
‫‪ )5‬במקבילית ‪ ABCD‬האלכסון ‪ AC‬מאונך לצלע ‪.AD‬‬
‫שיעורי הנקודה ‪ C‬הם )‪ (7, 3‬ושיפוע הקטע ‪BC‬‬
‫‪1‬‬
‫הוא‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ . m ‬הנקודה ‪ A‬נמצאת על ציר ה ‪y -‬‬
‫והנקודה ‪ B‬נמצאת על ציר ה‪. x -‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואות הישרים ‪ AC‬ו ‪.BC-‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שיעורי הנקודות ‪ B , A‬ו‪.D-‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המקבילית‪.‬‬
‫‪ )6‬במשולש ‪ ABC‬הצלע ‪ AC‬מונחת של הישר‪ . y  5 :‬הנקודה ‪ A‬נמצאת על ציר ה‪. y -‬‬
‫הנקודה ‪ B‬נמצאת ברביע הראשון ומרחקה מכל ציר הוא ‪.11‬‬
‫הנקודה ‪ D‬היא אמצע הצלע ‪ BC‬במשולש ‪ ABC‬ושיעור ה ‪ x -‬שלה הוא ‪.5‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪ D‬ואת אורך הקטע ‪.AC‬‬
‫ב‪ .‬הנקודה ‪ E‬נמצאת על הצלע ‪ BC‬כך שמתקיים‪. AE  BC :‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪.E‬‬
‫‪ )7‬במקבילית ‪ ABCD‬האלכסונים ‪ AC‬ו ‪ BD-‬מונחים על הישרים‪y   x  8 :‬‬
‫ו‪ y  4 -‬בהתאמה‪ .‬הצלע ‪ CD‬מונחת על הישר‪. x  8 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות של קודקודי המקבילית‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הצלע ‪.AB‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המקבילית‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )8‬נתונים שני ישרים‪. y2   2 , y1    8 :‬‬
‫מעלים מהישר ‪ y2‬אנך מנקודת החיתוך שלו ‪ B‬עם ציר ה ‪ x -‬שחותך את‬
‫הישר ‪ y1‬בנקודה ‪ .A‬הנקודות ‪ C‬ו‪ D-‬הן נקודות החיתוך של הישרים עם ציר‬
‫ה ‪ y -‬כך שנוצר טרפז ‪.ABCD‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות של קדקודי הטרפז ‪.ABCD‬‬
‫ב‪ .‬הישרים ‪ y1‬ו‪ y2 -‬נחתכים בנקודה ‪ .E‬הנקודה ‪ F‬היא‬
‫נקודת החיתוך של הישר ‪ y1‬עם ציר ה ‪ x -‬כך שנוצר‬
‫המשולש ‪ .BEF‬חשב את שיעורי הנקודות ‪ E‬ו‪.F-‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪S BEF‬‬
‫חשב את יחס השטחים‪:‬‬
‫‪S ABCD‬‬
‫‪.‬‬
‫‪73‬‬
‫‪ )9‬במרובע ‪ ABCD‬ידוע כי‪. mAB  mCD  2 :‬‬
‫שיעורי הקדקוד ‪ B‬הם‪ (1, 5) :‬ונקודת פגישת האלכסונים ‪ K‬הם‪.   ,  :‬‬
‫‪9 3‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הצלע ‪ AB‬ואת משוואת האלכסון ‪.BD‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי‪ C (4, 3) :‬ו‪. dAB  80 -‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את משוואת הצלע ‪.CD‬‬
‫איזה מרובע הוא המרובע ‪ ?ABCD‬נמק והראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫‪ )10‬במרובע ‪ ABCD‬שקדקודיו הם‪ A  5,12 , B  7,8 , C 11, 4  , D 1, 2  :‬בנו‬
‫משולש ‪ DEF‬כך ש‪ E-‬ו ‪ F-‬הם בהתאמה אמצעי הצלעות ‪ AB‬ו‪.BC-‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ E‬ו ‪.F-‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורכי הקטעים ‪ DF‬ו‪EF-‬‬
‫ג‪ .‬איזה משולש הוא המשולש ‪?DEF‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.DEF‬‬
‫‪ )11‬במשולש ישר זווית ‪  B  90 ABC‬שיעורי הנקודה ‪ A‬הם‪ (4,12) :‬ושיעורי‬
‫הנקודה ‪ B‬הם‪. (2,6) :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הניצב ‪.BC‬‬
‫ב‪ .‬הנקודה ‪ D‬נמצאת על היתר ‪ AC‬ושיעוריה הם‪. (2,11) :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את שיפוע היתר ‪.AC‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪.C‬‬
‫‪ AD )12‬ו‪ BE-‬הם בהתאמה גבהים לצלעות ‪ BC‬ו‪ AC-‬במשולש ‪.ABC‬‬
‫ידוע כי שיעורי נקודת פגישת הגבהים ‪ K‬הם‪. (1,3) :‬‬
‫שיעורי הנקודות ‪ D‬ו‪ E-‬הם‪. D(2, 4) , E(3,5) :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הגובה ‪ AD‬ואת משוואת הצלע ‪.AC‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הקדקוד ‪.A‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת הגובה ‪ BE‬ואת משוואת הצלע ‪.BC‬‬
‫ד‪ .‬מצא את שיעורי הקדקוד ‪.B‬‬
‫‪74‬‬
‫‪ )13‬המרובע ‪ ABCD‬הוא ריבוע שצלעותיו מקבילות לצירים‪.‬‬
‫הצלע ‪ AB‬מונחת על הישר‪ , y  8 :‬הצלע ‪ BC‬מונחת על‬
‫הישר‪ , x  5 :‬הצלע ‪ CD‬מונחת על הישר‪y  2 :‬‬
‫והצלע ‪ AD‬מונחת על הישר‪. x  5 :‬‬
‫מקצים על אמצעי הצלעות את הנקודות ‪ L , M , N , K‬כך שנוצר המרובע ‪.LMNK‬‬
‫איזה מרובע הוא המרובע ‪ ? LMNK‬נמק והראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫‪ )14‬במשולש ‪ ABC‬הקדקודים ‪ A‬ו‪ B-‬הם נקודות החיתוך של הישר ‪ AB‬עם הצירים‬
‫והנקודה ‪ C‬היא נקודת החיתוך של שני הישרים ‪ BC‬ו ‪ AC-‬כפי שמתואר באיור‪.‬‬
‫הקטעים ‪ AB‬ו‪ BC-‬מונחים בהתאמה על הישרים‪ y  3x  12 :‬ו‪. 4 y  x  4 -‬‬
‫הנקודה ‪ D‬היא נקודת החיתוך של הישר ‪ BC‬עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫ידוע כי הקטע ‪ AD‬מחלק את המשולש ‪ ABC‬לשני משולשים‬
‫‪ ABD‬ו‪ ACD-‬שווי שטח‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ B , A‬ו‪.D-‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪ ABD‬ומצא את שיעורי‬
‫הנקודה ‪.C‬‬
‫ג‪ .‬איזה קטע במשולש ‪ ABC‬הוא הקטע ‪ ? AD‬נמק‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪ )15‬הנקודה ‪ D‬נמצאת על הצלע ‪ BC‬של משולש ‪ ABC‬כך שהקטע ‪ AD‬מחלק אותו לשני‬
‫משולשים שווי שטח ‪ ABD‬ו‪ .ACD-‬הצלע ‪ BC‬מונחת על הישר‪ y  4 :‬וידוע ששיעור‬
‫ה ‪ x -‬של הנקודה ‪ C‬הוא‪ . xC  1 :‬כמו כן נתון‪. mAB  2 , A(7,8) :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הצלע ‪.AB‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ B‬ו‪.D-‬‬
‫ג‪ .‬חשב את אורך הצלע ‪ BC‬ואת אורך הקטע ‪.AD‬‬
‫ד‪ .1 .‬איזה קטע הוא ‪ AD‬בתוך המשולש ‪?ABC‬‬
‫‪ .2‬איזה משולש הוא המשולש ‪?ABC‬‬
‫‪ )16‬במקבילית ‪ ABCD‬נקודת פגישת האלכסונים ‪ K‬נמצאת על ציר ה‪-‬‬
‫‪y‬‬
‫בנקודה‬
‫‪1‬‬
‫שבה‪ . y  4 :‬הנקודה ‪ C‬נמצאת על ציר ה‪ x -‬ושיפוע הצלע ‪ BC‬הוא‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫שיעורי הנקודה ‪ D‬הם‪.(5,7) :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת הישר ‪.BC‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ C‬ו ‪.A-‬‬
‫‪75‬‬
‫‪. mBC  ‬‬
‫‪ )17‬הצלע ‪ AB‬של המלבן ‪ ABCD‬מונחת על הישר‪. x  8 :‬‬
‫אורך האלכסון במלבן הוא ‪ 26‬יח"א ונקודת פגישת האלכסונים ‪K‬‬
‫‪A‬‬
‫היא )‪. (3,3‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הקדקודים ‪ A‬ו‪ B-‬אם ידוע ש ‪A-‬‬
‫‪K‬‬
‫נמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הקדקודים ‪ C‬ו‪.D-‬‬
‫‪B‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שטח המלבן‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )18‬משוואות הצלעות ‪ BC , AB‬ו‪ AC-‬של המשולש ‪ ABC‬הם בהתאמה‪:‬‬
‫‪. y  x  5 , y  3x 1 , y  5x  3‬‬
‫שרטט את המשולש במחברת הבחינה שלך וענה על השאלות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות של קודקודי המשולש‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שלושת המשוואות של הגבהים במשולש ‪.ABC‬‬
‫ג‪ .‬הראה שהגבהים חותכים זה את זה באותה נקודה‪.‬‬
‫‪ )19‬במעוין ‪ ABCD‬הנקודה ‪ D‬נמצאת על ציר ה‪ x -‬ונתון‪. A(3, 2) , B(5,6) :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪ D‬אם ידוע שהיא נמצאת‬
‫מימין לציר ה‪. y -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫ג‪ .1 .‬חשב את השיפועים‪. mAD , mAB :‬‬
‫‪ .2‬מה ניתן לומר על המעוין ‪?ABCD‬‬
‫‪ )20‬בריבוע ‪ ABCD‬שיעורי נקודת פגישת האלכסונים ‪ K‬הם‪ . (6,8) :‬אורך אלכסון‬
‫בריבוע הוא ‪ .20‬הנקודה ‪ B‬נמצאת על ציר ה‪ y -‬והנקודה ‪ D‬נמצאת על ציר ה‪x -‬‬
‫(הנקודות לא על ראשית הצירים)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות של הקדקודים ‪ B‬ו‪.D-‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הישר ‪.AC‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח הריבוע‪.‬‬
‫‪ )21‬נתון מרובע ‪ ABCD‬שקדקודיו הם‪. A(3,13) , B(2, 4) , C(9,3) , D(8,14) :‬‬
‫מורידים גבהים ‪ AE‬ו‪ CF-‬לאלכסון ‪.BD‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת האלכסון ‪ BD‬ואת אורכו‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ E‬ו ‪.F-‬‬
‫ג‪ .‬מצא את אורכי הגבהים ‪ AE‬ו‪.CF-‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המרובע ‪.ABCD‬‬
‫‪76‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )22‬נתון מרובע ‪ ABCD‬ששיעורי קדקודיו הם‪:‬‬
‫)‪. A(5,32) , B(7,36) , C(5, 26) , D(3,22‬‬
‫א‪ .‬הוכח שהמרובע הוא מקבילית‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת האלכסון ‪.AC‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת פגישת האלכסונים של המקבילית‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את משוואת הישר המקביל לצלעות ‪ AB‬ו‪CD-‬‬
‫של המקבילית ועובר דרך נקודת פגישת האלכסונים‪.‬‬
‫‪ )23‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן‪ .‬שיעורי הקדקוד ‪ B‬הם‪ (1,6) :‬ושיפוע הצלע ‪AB‬‬
‫הוא‪ . m  3 :‬דרך אמצעי הצלעות ‪ AB‬ו ‪ BC-‬מעבירים ישר שמשוואתו‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫היא‪ y  x  3 :‬החותך בנקודות ‪ E‬ו ‪ F-‬בהתאמה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואות הצלעות ‪ AB‬ו‪.BC-‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ E‬ו ‪.F-‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שיעורי הקדקודים ‪ A‬ו‪.C-‬‬
‫‪ )24‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית שבו אורך הצלע ‪ AB‬גדול פי ‪ 2‬מאורך הצלע ‪.BC‬‬
‫נתון‪ xD  4.5 , A(2,5) , B(7,17) :‬הנקודה ‪ D‬נמצאת ברביע הרביעי‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעור ה‪ y -‬של הנקודה ‪.  yD  ? D‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי נקודת פגישת האלכסונים‬
‫של המקבילית‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫‪ )25‬המשולש ‪ ABC‬הוא משולש שווה שוקיים ‪ .  AB  AC ‬מעבירים במשולש‬
‫את הגובה לבסיס ‪ AD‬ומסמנים נקודה ‪ E‬ע הבסיס ‪ BC‬כך שמתקיים‪. BE  DE :‬‬
‫קדקוד הראש ‪ A‬נמצא בראשית הצירים ונתון כי‪. D(5,7) , E(8.5, 2.5) :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי שאר קודקודי המשולש‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת השוק ‪.AC‬‬
‫‪ )26‬הקדקוד ‪ A‬של המשולש ‪ ABC‬נמצא בראשית הצירים‪ .‬מורידים גובה ‪BD‬‬
‫ותיכון ‪ BE‬לצלע ‪ AC‬כמתואר באיור‪ .‬ידוע כי‪. xE  6 , B(4,18) , mBD  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הגובה ‪.BD‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הצלע ‪.AC‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שיעורי הנקודות ‪ E , D‬ו‪.C-‬‬
‫‪77‬‬
‫‪ )27‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מעוין‪ .‬הנקודה )‪ K(5,7‬היא נקודת פגישת‬
‫אלכסוני המעוין‪ .‬ידוע כי‪. B(1, 4) , mAB  2 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הצלע ‪.AB‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיפוע האלכסון ‪.BD‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת האלכסון ‪.AC‬‬
‫ד‪ .‬מצא את שיעורי הקדקוד ‪.A‬‬
‫‪ )28‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית שבה אורך הצלע ‪ AB‬גדול פי ‪ 2‬מאורך הצלע‬
‫הסמוכה לה‪ .‬שיעורי שניים מקדקודי המקבילית הם‪. A(9,8) , B(1, 2) :‬‬
‫שיעורי הנקודה ‪ , C‬אשר נמצאת ברביע הראשון‪ ,‬מקיימים‪. xC  yC :‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הצלע ‪.AB‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הקדקוד ‪.C‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שיעורי נקודת פגישת האלכסונים‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את שיעורי הקדקוד ‪.D‬‬
‫‪ )29‬במלבן ‪ ABCD‬שיעורי הנקודה ‪ D‬הם ‪.  1, 7 ‬‬
‫שיעורי נקודת פגישת האלכסונים ‪ K‬הם ‪ 1.5, 4.5‬ושיפוע האלכסון ‪AC‬‬
‫‪1‬‬
‫הוא‪ . mAC  7 :‬שיפוע הצלע ‪ CD‬הוא‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. mCD ‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הקדקוד ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הצלע ‪.AB‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת האלכסון ‪AC‬‬
‫ואת שיעורי הקדקוד ‪.A‬‬
‫‪ )30‬הצלע ‪ AC‬של המשולש ‪ ABC‬נמצאת על ציר ה‪ . y -‬שיעורי הנקודה ‪ C‬הם )‪(0, 2‬‬
‫ושיעורי הנקודה ‪ A‬הם )‪ . (0,12‬הנקודה ‪ E‬היא אמצע הצלע ‪.AC‬‬
‫הנקודה ‪ B‬נמצאת על ציר ה ‪ x -‬ושיעור ה‪ x -‬שלה הוא‪. xB  4 :‬‬
‫מעבירים דרך הנקודה ‪ E‬ישר ‪ DE‬המקביל לצלע ‪ BC‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.E‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת הצלע ‪.BC‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת הישר ‪.DE‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.D‬‬
‫‪78‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )31‬המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז‪ .‬הנקודה ‪ E‬היא אמצע הבסיס ‪ AB‬וידוע כי היא‬
‫נמצאת על ציר ה ‪ . x -‬שיעורי הנקודה ‪ B‬הם )‪ (3, 2‬והצלע ‪ AD‬מונחת על‬
‫הישר‪ . x  5 :‬אורך הקטע ‪ DE‬הוא ‪ 80‬כך ש‪ D-‬ברביע השלישי‬
‫וכן‪. DEC  90 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ D , A‬ו‪ D( E-‬ברביע השלישי)‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הקטע ‪ CE‬ואת משוואת הבסיס ‪.CD‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.DEC‬‬
‫‪ )32‬המשולש ‪ ABC‬הוא משולש שווה שוקיים ‪ .  AB  AC ‬הבסיס ‪ BC‬נמצא על‬
‫הישר‪ . y  2 :‬מקצים נקודה ‪ D‬על הבסיס ‪ BC‬כך שלקדקוד ‪ A‬ולנקודה ‪D‬‬
‫מתקיים‪ . xA  xD  1 :‬הנקודה ‪ A‬נמצאת ברביע הראשון והנקודה ‪ B‬נמצאת‬
‫ברביע השלישי‪ .‬נתון כי‪. dBD  5 :‬‬
‫א‪ .‬איזה קטע הוא ‪ AD‬במשולש ‪ ?ABC‬נמק את תשובתך‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הקדקודים ‪ B‬ו‪.C-‬‬
‫ג‪ .‬שטח המשולש הוא ‪ .20‬מצא את שיעורי הקדקוד ‪.A‬‬
‫‪ )33‬הצלע ‪ AC‬של המשולש ‪ ABC‬מונחת על הישר‪. y  8 :‬‬
‫הקטע ‪ AD‬הוא תיכון לצלע ‪ BC‬ומשוואתו היא‪. x  3 :‬‬
‫נתון‪. B(1, 2) :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הקדקוד ‪ C‬וכתוב את משוואת הצלע ‪.BC‬‬
‫ב‪ .‬איזה משולש הוא המשולש ‪ ?ACD‬נמק וחשב את שטחו‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪ )34‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מעוין שאלכסוניו נפגשים בראשית הצירים‪.‬‬
‫שיעורי אחד מקודקודי המעוין הם )‪. (2, 2‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואות האלכסונים של המעוין‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי שיעור ה‪ x -‬של אחד מקודקודי המעוין הוא ‪.5‬‬
‫מצא את שאר קודקודי המעוין‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המעוין‪.‬‬
‫‪79‬‬
‫‪ )35‬נתון משולש ‪ .ABC‬הצלע ‪ AB‬מונחת על הישר‪y  x  2 :‬‬
‫והצלע ‪ BC‬מונחת על הישר‪. y  2 x  5 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬הוא ‪.1‬‬
‫מצא את שיעור ה‪ y -‬של הנקודה ‪.A‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫כתוב את משוואת הישר ‪ AC‬אם ידוע כי שיפועו הוא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.m ‬‬
‫ד‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫‪ )36‬הקטע ‪ AD‬הוא תיכון לצלע ‪ BC‬במשולש ‪.ABC‬‬
‫ידוע כי‪. B 1,1 , D  2,3 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הקדקוד ‪.C‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הצלע ‪.BC‬‬
‫ג‪ .‬הצלעות ‪ AC‬ו ‪ AB-‬מונחות בהתאמה על הישרים‪. y  x , y  8  x :‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪.A‬‬
‫ד‪ .‬חשב את אורך התיכון ‪.AD‬‬
‫‪ )37‬באיור שלפניך מתואר הקטע שקצוותיו הם‪ A  -5,-2  :‬ו‪. B  0,10  -‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הקטע ‪.AB‬‬
‫ב‪ .‬הנקודה ‪ C‬היא אמצע הקטע ‪.AB‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת הישר העובר דרך הנקודה ‪ C‬והנקודה ‪.  2.5,9 ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫ד‪ .‬קבע אלו מהנקודות הבאות נמצאות על הישר שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫נמק את בחירתך‪.‬‬
‫‪.  0.5, 6  .III  6.5, 0  .II  4.5,11 .I‬‬
‫‪ )38‬באיור שלפניך נתון מרובע ‪ ABCD‬שקדקודיו הם‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A  0,10  , B  6,3 , C  6, 3 , D  6,7 ‬‬
‫א‪ .‬כתוב את משוואות הישרים ‪ AD‬ו ‪.BC-‬‬
‫ב‪ .‬הסבר מדוע המרובע הוא טרפז‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי ‪ AE‬הוא גובה הטרפז‪.‬‬
‫‪ .1‬מצא את משוואת הישר ‪.AE‬‬
‫‪ .2‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.E‬‬
‫‪80‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )39‬באיור שלפניך נתון מרובע ‪ ABCD‬שקדקודיו הם‪:‬‬
‫‪    ‬‬
‫‪.  ‬‬
‫א‪ .‬התאם את הנקודות לקדקודים שבאיור‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם המרובע הוא מעוין? נמק באמצעות חישוב מתאים‪.‬‬
‫ג‪ .‬מעבירים את הקטע ‪.AC‬‬
‫‪ .1‬מצא את משוואת הישר ‪.AC‬‬
‫‪ .2‬חשב את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪0,5 , 8,9‬‬
‫‪0, 4 ,‬‬
‫‪D‬‬
‫‪8,0 ,‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )40‬באיור שלפניך נתון מרובע ‪ ABCD‬שקדקודיו הם‪:‬‬
‫‪ 2,13‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ 5, 5‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ 7, 7 ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ 10,11‬‬
‫א‪ .‬התאם את הנקודות לקדקודים שבאיור‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי המרובע הוא מלבן‪ .‬נמק באמצעות חישוב מתאים‪.‬‬
‫ג‪ .1 .‬חשב את אורכי צלעות המלבן‪.‬‬
‫‪ .2‬חשב את שטח המלבן‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )41‬באיור שלפניך נתון משולש ‪ ABC‬שקדקודיו הם‪:‬‬
‫‪A  2,6  , B  2, 4  , C 8, 2 ‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫מצא את משוואת הגובה לצלע ‪.BC‬‬
‫מצא את משוואת התיכון לצלע ‪.BC‬‬
‫הוכח כי המשולש הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫(אפשר להסתמך על סעיפים קודמים)‪.‬‬
‫חשב את שטח המשולש‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )42‬באיור שלפניך נתון משולש ‪ ABC‬שקדקודיו הם‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A  16  12  , B  6,8 , C  4,3‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫העתק את האיור למחברתך ומצא את אורך הצלע ‪.AC‬‬
‫‪ .1‬סמן נקודה ‪ D‬על הצלע ‪ AC‬ומצא את‬
‫משוואת התיכון ‪ BD‬לצלע ‪.AC‬‬
‫‪ .2‬חשב את אורך התיכון ‪.BD‬‬
‫הראה כי המשולש ‪ ABC‬הוא ישר זווית‪.‬‬
‫(אפשר להסתמך על סעיפים קודמים)‪.‬‬
‫חשב את היקף המשולש ‪.ABD‬‬
‫‪81‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )43‬נתון מעוין ‪.ABCD‬‬
‫אלכסוני המעוין נפגשים בנקודה ‪.M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪‬‬
‫ידוע כי‪  :‬‬
‫‪. ‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.M‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת האלכסון ‪.BD‬‬
‫ג‪ .‬מצא את הקדקודים ‪ B‬ו‪ D-‬אם ידוע כי ‪ B‬נמצאת על ציר ה‪. x -‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המעוין‪.‬‬
‫‪A 7,9 , C 1, 3‬‬
‫‪M‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )44‬נתון מעוין ‪ .ABCD‬אלכסוני המעוין נפגשים בנקודה ‪.M‬‬
‫ידוע כי שיעורי הקדקוד ‪ C‬הם‪.(6,-19) :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫משוואת אחד מאלכסוני המעוין היא‪. y  x  1 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫קבע לאיזה מבין האלכסונים ‪ BD ,AC‬מתאימה המשוואה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ידוע כי הנקודה ‪ M‬נמצאת על ציר ה‪. y -‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪.A‬‬
‫מצא את משוואת הצלע ‪ AB‬אם ידוע כי שיעור ה‪ y -‬של הקדקוד ‪ D‬הוא ‪.1‬‬
‫חשב את היקף המעוין‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )45‬נתון מעוין ‪ .ABCD‬ידוע כי האלכסון ‪ AC‬גדול ב ‪ 4-‬יחידות מהאלכסון ‪.BD‬‬
‫אלכסוני המעוין מאונכים לצירים ונפגשים בנקודה‪:‬‬
‫א‪ .‬מהו שיעור ה ‪ x -‬של הקדקוד ‪?A‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי שיעור ה‪ y -‬של הקדקוד ‪ A‬הוא ‪.10‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪.D‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.AMD‬‬
‫‪M  3, 4 ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.‬‬
‫‪M D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )46‬נתון מעוין ‪.ABCD‬‬
‫משוואות האלכסונים של המעוין הם‪ y  3x  5 :‬ו‪. 3 y  x  15 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי נקודת מפגש האלכסונים ‪.M‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הקדקודים ‪ A‬ו‪ C-‬אם ידוע כי אורך‬
‫האלכסון ‪ AC‬הוא‪ 160 :‬יח"א‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי‪. yD  yM  1 :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫(שיעור ה‪ y-‬של הקדקוד ‪ D‬גדול ב‪ 1-‬משיעור ה ‪ y-‬של נקודת מפגש האלכסונים ‪.)M‬‬
‫חשב את שטח המעוין‪.‬‬
‫‪82‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )47‬נתון ישר שמשוואתו היא‪. y  10  5x :‬‬
‫הישר חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה ‪ A‬ואת ציר ה‪ y -‬בנקודה ‪.B‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו ‪.B-‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫דרך הנקודה ‪ A‬מעבירים אנך לישר הנתון ודרך הנקודה ‪B‬‬
‫מעבירים ישר החותך את האנך בנקודה ‪.C‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת האנך ‪.AC‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי השיפוע של הישר ‪ BC‬הוא ‪ .1.5‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫ד‪ .‬מסמנים נקודה ‪ D‬על הישר הנתון כך שהקטע ‪ DC‬מקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫‪ .1‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.D‬‬
‫‪ .2‬חשב את שטח המשולש ‪.BCD‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )48‬נתון ישר שמשוואתו‪ y  1.5x  7 :‬ונתונה הנקודה ‪. B  5, 5‬‬
‫מסמנים את נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה‪y -‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫ב ‪.A-‬‬
‫‪ .1‬מצא את משוואת הישר ‪.AB‬‬
‫‪ .2‬חשב את אורך הקטע ‪.AB‬‬
‫מצא נקודה ‪ C‬על הישר הנתון כך ש ‪. AB  BC -‬‬
‫מהנקודה ‪ B‬מעבירים אנך לישר הנתון‪.‬‬
‫ידוע כי האנך והישר נחתכים בנקודה ‪.D‬‬
‫חשב את שיעורי הנקודה ‪.D‬‬
‫מצא את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )49‬נתון ישר שמשוואתו‪ . y  x :‬מסמנים על הישר את הנקודות ‪ A‬ברביע‬
‫הראשון ו‪ B-‬ברביע השלישי‪ .‬ידוע כי הנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬נמצאות באותו המרחק‬
‫מראשית הצירים‪ .‬מהנקודה ‪ A‬מעבירים ישר המקביל לציר ה‪ y -‬ומהנקודה ‪B‬‬
‫מעבירים ישר המקביל לציר ה ‪ . x -‬הישרים נחתכים בנקודה ‪.C‬‬
‫א‪ .‬סמן את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬ב‪. t -‬‬
‫הבע באמצעות ‪ t‬את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את אורכי הצלעות ‪ AB‬ו‪.AC-‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪ t‬אם ידוע כי הצלע ‪ AB‬גדולה ב‪ 4-‬מהצלע ‪.AC‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪83‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪y‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )50‬על הישר ‪ y  5‬מסמנים את הנקודות‪:‬‬
‫‪. A  7, 5 ; B  2, 5‬‬
‫הנקודה ‪ C‬נמצאת על הישר‪ y  x  5 :‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫נסמן את שיעור ה ‪ x -‬של הנקודה ‪ C‬ב ‪. t -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את שיעור ה‪ y -‬של הנקודה ‪.C‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי מרחק הנקודה ‪ C‬מ‪ A-‬גדול ב‪ 7-‬ממרחקה מ‪.B-‬‬
‫‪ .1‬הבע באמצעות ‪ t‬את המרחקים של ‪ C‬מ‪ A-‬ומ‪.B-‬‬
‫‪ .2‬מצא את ‪. t‬‬
‫ג‪ .‬חשב את היקף המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )51‬באיור שלפניך נתון מרובע ‪ ABCD‬ששלושה מקדקודיו הם‪:‬‬
‫‪. A  2, 2 , B 12, 12 , D  6,6‬‬
‫ידוע כי סכום המרחקים של כל הקדקודים מהראשית‬
‫הוא‪ 28 2 :‬יחידות‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪O‬‬
‫א‪ .‬מצא את המרחק של הקדקוד ‪ C‬מהראשית‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי הנקודות ‪ C , A‬ו‪ O-‬נמצאות על ישר אחד‪.‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫‪B‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המרובע ‪.ABCD‬‬
‫ד‪ .‬מעבירים דרך הנקודה ‪ D‬ישר המקביל לצלע ‪ AB‬וחותך את הצלע ‪ BC‬בנקודה ‪.E‬‬
‫‪ .1‬מצא את משוואת הישר‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )52‬המרובע ‪ABCD‬הוא טרפז ישר זווית ‪.  A  90 , AB CD ‬‬
‫‪B‬‬
‫השוק ‪ AD‬יושבת על הישר ‪ y  x‬וידוע כי‪. xA  xD  5 :‬‬
‫‪A‬‬
‫שיעורי הקדקוד ‪ B‬הם‪. 10, 2  :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הקדקודים ‪ A‬ו‪.D-‬‬
‫ב‪ .‬שטח הטרפז הוא ‪ 110‬יחידות שטח‪.‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪( C‬הבחן בין שני מקרים)‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את המקרה המתאים לנתון‪. BC  250 :‬‬
‫‪84‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )1‬א‪ . y  x  1 .‬ב‪.  5,5 ,  1,1 ,  4,0  .‬‬
‫‪ )2‬א‪ .‬מרובע כללי כלשהו‪ .‬לא ניתן להצביע על אף תכונה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מלבן‪ .‬ניתן להראות כי יש למרובע שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות ושוות‬
‫וזווית ישרה‪ .‬ג‪ .‬ריבוע‪ .‬ניתן להראות כי קיימות זוג צלעות סמוכות שוות‪.‬‬
‫ד‪ 90 .‬יח"ש ‪. S ‬‬
‫‪ )3‬א‪ . B  6, 8 .‬ב‪ .‬משולש ישר זווית‪ .‬אם במשולש יש תיכון ששווה למחצית הצלע‬
‫אותה הוא חוצה אז המשולש הוא ישר זווית‪ .‬ג‪ 96 .‬יח"ש‪.‬‬
‫‪ )4‬א‪ . D  5, 2  , B  2,0  .‬ב‪ .‬משולש שווה שוקיים‪ .‬הקטע ‪ CD‬הוא אנך אמצעי‬
‫ולכן הוא תיכון וגובה ולבסיס במשולש ‪ .ABC‬ג‪ . C  0,9.5 .‬ד‪ 32.5 .‬יח"ש ‪. S ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )5‬א‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫ג‪ )6 . S  210 .‬א‪ . AC  1 , D(5,8) .‬ב‪. E(0.2,5.4) .‬‬
‫‪ . AC : y  -3x - 24 , BC : y  x ‬ב‪. A  0, 24 , B  2,0  , D  9, 27  .‬‬
‫)‪ . A(0,8‬ב‪ . x  0 .‬ג‪. S  32 .‬‬
‫‪ )7‬א‪.‬‬
‫)‪, B(0, 4) , C(8,0) , D(8, 4‬‬
‫‪ )8‬א‪.‬‬
‫)‪, B(4,0) , C(0, 2) , D(0,8‬‬
‫)‪. A(4,6‬‬
‫ב‪E(10,3) , F(16,0) .‬‬
‫‪ .‬ג‪.‬‬
‫‪S BEF‬‬
‫‪9‬‬
‫‪‬‬
‫‪S ABCD 16‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )9‬א‪ . AB : y  2x  3 , BD : y  6x  1 .‬ב‪ . CD : y  2x  5 .‬ג‪ .‬טרפז‪ .‬ניתן להראות שיש זוג‬
‫צלעות נגדיות מקבילות (‪ AB‬ו ‪ )CD -‬ואינן שוות‪ )10 .‬א‪E 1,10  , F  9,6  .‬‬
‫ב‪dEF  dDF  80 .‬‬
‫ג‪ .‬משולש שווה שוקיים‪ .‬ד‪ 32 .‬יח"ש‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )11‬א‪ . y  x  6 .‬ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )12‬א‪ . AD : y   x  3 , AC : y   x  8 .‬ב‪. A(7,1) .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ . m  ‬ג‪. C(4,8) .‬‬
‫ג‪ . BE : y  x  2 , BC: y  3x  10 .‬ד‪. B(4, 2) .‬‬
‫‪ )13‬ריבוע‪ )14 .‬א‪ . A(0,12) , B(4,0) , D(0,1) .‬ב‪ . C(4, 2) , S ABD  22 .‬ג‪ .‬תיכון‪.‬‬
‫קטע במשולש המחלק אותו לשני משולשים שווי שטח הוא תיכון‪ .‬ד‪. S ABC  44 .‬‬
‫‪ )15‬א‪ . y  2 x  22 .‬ב‪ . B(9, 4) , D(4, 4) .‬ג‪. AD  5 , BC  10 .‬‬
‫ד‪ .1 .‬תיכון ‪ -‬קטע במשולש שחוצה אותו לשני משולשים שווי שטח הוא תיכון‪.‬‬
‫‪ .2‬משולש ישר זווית – אם במשולש יש תיכון לצלע ששווה למחציתה אז המשולש הוא‬
‫‪2‬‬
‫ישר זווית‪ )16 .‬א‪ . B(5,1) .‬ב‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ . y   x ‬ג‪. A(2,8) , C(2,0) .‬‬
‫‪ )17‬א‪ . A(8,15) , B(8, 9) .‬ב‪ . C(2, 9) , D(2,15) .‬ג‪. SABCD  240 .‬‬
‫‪ )18‬א‪ . A(2,7) , B(1, 2) , C(3,8) .‬ב‪. y  x  3 , 3 y  x  23 , 5 y  x  43 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )19‬א‪ . D(7,0) .‬ב‪ . C(9, 4) .‬ג‪, mAB  2 .1 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. mAD  ‬‬
‫‪ .2‬המעוין ‪ ABCD‬הוא ריבוע‪ .‬מעוין עם זווית ישרה הוא ריבוע‪.‬‬
‫‪85‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )20‬א‪ . B(0,16) , D(12,0) .‬ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ . y  x  3‬ג‪. S ABCD  200 .‬‬
‫‪ )21‬א‪ . dBD  200 , y  x  6 .‬ב‪ . E(5,11) , F(3,9) .‬ג‪ . dCF  72 , dAE  8 .‬ד‪. SABCD  80 .‬‬
‫‪ )22‬ב‪ . x  5 .‬ג‪ . (5, 29) .‬ד‪. y  2 x  19 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )23‬א‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )24‬א‪( . yD  1 .‬הפתרון השני נפסל מאחר שהנקודה ‪ D‬נמצאת ברביע הרביעי שבו ערך‬
‫‪ . AB : y  3x  3 , BC : y   x  6‬ב‪ . E(0,3) , F(4,5) .‬ג‪. A(1,0) , C(7, 4) .‬‬
‫שיעור ה ‪ y -‬הוא שלילי)‪ .‬ב‪ . (5.75,8) .‬ג‪. C(9.5,11) .‬‬
‫‪ )25‬א‪ . B(12, 2) , C(2,16) .‬ב‪. y  8x .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )26‬א‪ . y  4 x  34 .‬ב‪ . y  x .‬ג‪. C(12,3) , D(8, 2) , E(6,1.5) .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )27‬א‪ . y  2 x  2 .‬ב‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )28‬א‪ . dAB  10 .‬ב‪ . C(5,5) .‬ג‪ . (7,6.5) .‬ד‪. D(13,11) .‬‬
‫‪ . mBD ‬ג‪ . 3 y  4 x  41 .‬ד‪. A(3.5,9) .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )29‬א‪ B  4, 2  .‬ב‪x  .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )30‬א‪ . E(0,7) .‬ב‪ . y  x  2 .‬ג‪ . y  x  7 .‬ד‪. D(2,6) .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )31‬א‪ . D(5, 8) , A(5, 2) , E(1,0) .‬ב‪. CE : y   x  , CD : y  x  5 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ . C(5, 3) .‬ד‪ 30 .‬יח"ש ‪. SDEC ‬‬
‫‪y‬‬
‫ג‪. A 1,1 , y  7 x - 6 .‬‬
‫‪ )32‬א‪ .‬תיכון‪/‬גובה‪/‬חוצה זווית הראש – הקטע ‪ AD‬מאונך לבסיס ‪ BC‬ולכן‬
‫מקיים את שלושתם‪ .‬ב‪ . B(4, 2) , C(6, 2) .‬ג‪. A(1, 2) .‬‬
‫‪ )33‬א‪ . y  1.25x-0.75 , C(7,8) .‬ב‪ .‬משולש ישר זווית‪ .‬הקטעים ‪ AC‬ו ‪ AD-‬מאונכים‪. SACD  10 .‬‬
‫ג‪ )34 . SABC  20 .‬א‪ . y  x , y   x .‬ב‪ . (5,5) , (5, 5) , (2, 2) .‬ג‪. SABCD  40 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )35‬א‪ B(7,9) .‬ב‪ y  3 .‬ג‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ y  x  2‬ד‪. C(5,5) .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )36‬א‪ C  3,5 .‬ב‪y  2 x  1 .‬‬
‫ג‪ A  4,4  .‬ד‪. AD  5 .‬‬
‫‪ )37‬א‪ AB  13 .‬ב‪ C  2.5, 4  .‬ג‪. y  x  6.5 .‬‬
‫ד‪ .I .‬שאר הנקודות לא מקיימות את משוואת הישר‪.‬‬
‫‪ )38‬א‪ AD: y  0.5x  10 ; BC: y  0.5x .‬ב‪ .‬מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ולא שוות הוא טרפז‪.‬‬
‫ג‪ )39 .  4, 2  .2 y  2 x  10 .1 .‬א‪. C 8,0 , B  0, 4 , A  0,5 , D 8,9 .‬‬
‫ב‪ .‬לא‪ .‬מכיוון שאורכי שתי צלעות סמוכות לא שוות‪ .‬ג‪ 36 .2 8 y  5x  40 .1 .‬יח"ש ‪. S ABC ‬‬
‫‪ )40‬א‪ . D  10,11 , A  7, 7  , B 5, 5 , C  2,13 .‬ב‪ .‬מוכיחים לפי מקבילות ואנכים‪.‬‬
‫ג‪ 12.16 .i .‬יח"א ‪, 148 ‬‬
‫‪ 18.24‬יח"א ‪333 ‬‬
‫‪86‬‬
‫‪ 222 .ii‬יח"ש ‪. SABCD ‬‬
. y  3x  12 .‫ ב‬. y  3x  12 .‫) א‬41
. S ABC  ‫ יח"ש‬30 .‫ ד‬.‫ אם במשולש תיכ ון וגובה מתלכדים אז הוא ש"ש‬.‫ג‬
‫ אם במשולש תיכון לצלע שווה‬.‫ ג‬.‫ יח"א‬12.5 .2 x  6 .1 .‫ ב‬. AC  ‫ יח"א‬25 .‫) א‬42
. PABD  25  500  ‫ יח"א‬47.36 .‫ ד‬.‫למחציתה אז הוא ישר זווית‬
. SABCD  ‫ יח"ש‬78 .‫ ד‬. B  7.5,0 , D 1.5,6  .‫ ג‬. 3 y  2 x  15 .‫ב‬
. M  3,3 .‫) א‬43
. PABCD  ‫ יח"א‬80 .‫ ד‬. x  6 .‫ ג‬. A  6,17  .‫ ב‬.BD ‫ לאלכסון‬.‫) א‬44
. SAMD  ‫ יח"ש‬12 .‫ ג‬. D  7, 4  ‫ ב‬. xA  3 .‫) א‬45
. SABCD  ‫ יח"ש‬40 .‫ ג‬. A  2,11 , C  2, 1 .‫ ב‬. M  0,5 .‫) א‬46
. C  8, 2  .‫ ג‬. 5 y  x  2 .‫ ב‬A  2,0  , B  0,10  .‫) א‬47
. SBCD  ‫ יח"ש‬62.4 .2
. SABC  ‫ יח"ש‬78 .‫ד‬
D  4,1 .‫ג‬
. SABC  ‫ יח"ש‬24 .‫ד‬
t4
C  8, 5 .‫ב‬
D  2.4, 2 .1 .‫ד‬
.‫ יח"א‬13 .2 y  2.4x  7 .1 .‫) א‬48
.‫ ג‬AC  1.5t ; AB  2.5t .‫ ב‬C  t , 0.75t  .‫) א‬49
. PABC  ‫ יח"א‬36 .‫ ג‬. t  8 .2 AC  2t 2  14t  49 ; BC  2t 2  4t  4 .1 .‫ ב‬. C  t , t  5 .‫) א‬50
. E 10.8, 6 .2 7 y  5x  12 .1 .‫ד‬
SABCD  ‫ יח"ש‬180 .‫ ג‬C  8,8 .‫ ב‬dCO  8 2 .‫) א‬51
. C 15,  17  .‫ ג‬C  17,15 , C 15, 17  .‫ב‬
87
A  4, 4  , D  1,  1 .‫) א‬52
‫תרגול נוסף ‪ -‬המעגל (שאלות מסכמות ללא משיק)‪:‬‬
‫‪ )1‬מצא את משוואת המעגל שמרכזו בנקודת החיתוך של הישרים‪y  2 x  1 :‬‬
‫ו‪ y  3x  14 -‬ורדיוסו הוא‪. R  34 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של מעגל זה עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש שקדקודיו הם נקודות החיתוך של המעגל עם‬
‫הצירים (שמצאת שסעיף הקודם)‪.‬‬
‫‪ )2‬נתון המעגל‪ . ( x  4)2  ( y  5)2  50 :‬ישר שמשוואתו‪ 6 y  8x  12 :‬חותך את‬
‫המעגל בשתי נקודות כך שנוצר מיתר בניהן‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי נקודות החיתוך בין הישר למעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך המיתר הנ"ל‪.‬‬
‫‪ )3‬הנקודה )‪ (12,5‬נמצאת על היקף המעגל שמשוואתו היא‪( x  a)2  ( y  8)2  25 :‬‬
‫כאשר‪ a  10 :‬פרמטר ממשי‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הישר שעליו מונח הקוטר המחבר בין הנקודה )‪(12,5‬‬
‫למרכז המעגל‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את המרחק של הנקודה )‪ (12,5‬מראשית הצירים‪.‬‬
‫‪ )4‬משוואות הצלעות ‪ AB‬ו ‪ BC-‬במשולש ‪ ABC‬הן בהתאמה‪:‬‬
‫‪ 2 y  x  56‬ו‪ . 8 y  x  104 -‬מעבירים גבהים לצלעות ‪AB‬‬
‫ו‪ BC-‬אשר נחתכים בנקודה )‪ M(0, 2‬שבתוך המשולש‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואות הגבהים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המעגל שמרכזו בנקודה ‪ M‬ורדיוסו הוא הקטע ‪.BM‬‬
‫‪ )5‬קדקודי המרובע ‪ ABCD‬הם‪. A(3,8) , B(6,5) , C(3, 2) , D(0,5) :‬‬
‫חוסמים את מרובע זה בתוך מעגל‪.‬‬
‫א‪ .‬איזה מרובע הוא המרובע ‪?ABCD‬‬
‫(מקבילית‪ ,‬מלבן‪ ,‬מעוין‪ ,‬ריבוע או טרפז כלשהו)‬
‫(היעזר בחישובי שיפועי ומרחקי צלעות)‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המעגל החוסם את המרובע ‪.ABCD‬‬
‫‪88‬‬
‫‪ )6‬הישרים‪ 9 y  11x  94 :‬ו ‪ y  3x  14 -‬נחתכים בנקודה ‪.B‬‬
‫בנקודה זו עובר מעגל שמרכזו בנקודה‪ . M(9,1) :‬ידוע שמעגל‬
‫זה חותך את הישרים (חוץ מהנקודה ‪ )B‬בשתי הנקודות‬
‫‪ A‬ו‪( C-‬ראה איור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪ – A‬נקודת החיתוך של הישר שמשוואתו‪:‬‬
‫‪ y  3x  14‬עם המעגל‪.‬‬
‫‪ )7‬בשרטוט שלפניך מתואר המעגל הקנוני‪. x2  y 2  289 :‬‬
‫המעגל חותך את ציר ה ‪ x -‬בנקודות ‪ A‬ו‪ .B-‬הנקודה ‪C‬‬
‫נמצאת על היקף המעגל ברביע הרביעי כך שנוצר המשולש‬
‫‪ .ABC‬ידוע ששיעור ה‪ x -‬בנקודה ‪ C‬הוא ‪.15‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעור ה‪ y -‬של הנקודה ‪.C‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬ואת שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫ג‪ .‬מצא נקודה ‪ D‬ברביע השלישי כך ששטח המשולש ‪ ABD‬יהיה זהה לשטח‬
‫המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪ )8‬קדקודי המשולש ‪ ABC‬הם‪. A(2,5) , B(7, 3) , C(0,1) :‬‬
‫מעבירים תיכונים ‪ AD‬ו‪ BE-‬לצלעות ‪ BC‬ו‪ AC-‬בהתאמה‪.‬‬
‫מנקודת פגישת התיכונים ‪ M‬מותחים את הקטע ‪ CM‬כך שנוצר‬
‫מעגל שמרכזו בנקודה ‪ M‬ורדיוסו הוא הקטע ‪.CM‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואות האלכסונים ‪ AD‬ו‪.BE-‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪ M‬ואת אורך הקטע ‪.CM‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫‪ )9‬הנקודה )‪ A(17, 4‬נמצאת על המעגל שמשוואתו‪. ( x  7)2  ( y  4)2  R 2 :‬‬
‫הישר ‪ x  1‬חותך את המעגל בשתי נקודות ‪ B‬ו‪ C-‬כך ש‪ B-‬נמצאת‬
‫ברביע הרביעי‪ .‬מעבירים את הקטע ‪ AD‬המאונך לישר ‪BC‬‬
‫וידוע כי הנקודה ‪ D‬היא אמצע ‪.BC‬‬
‫א‪ .‬מצא את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ B‬ו‪.C-‬‬
‫ג‪ .1 .‬חשב את מרחק הנקודה ‪ A‬מהישר‪. x  1 :‬‬
‫‪ .2‬חשב את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪89‬‬
‫‪ )10‬הנקודות ‪ M‬ו‪ D-‬נמצאות על הישר‪. y  12 :‬‬
‫ידוע כי שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ M‬הוא ‪ 9‬וכי המרחק של הנקודה ‪M‬‬
‫מראשית הצירים גדול ב‪ 6 -‬מהמרחק בין הנקודות ‪ D‬ו‪( M-‬ראה איור)‪.‬‬
‫בונים מעגל שמרכזו נמצא בנקודה ‪ M‬ורדיוסו והוא האורך ‪.DM‬‬
‫א‪ .‬מצא את מרחק הנקודה ‪ M‬מראשית הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪.D‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ד‪ .‬האם המעגל הזה חותך את ציר ה ‪ x -‬ואת ציר ה ‪? y -‬‬
‫הראה חישוב מתאים לטענתך‪.‬‬
‫‪ )11‬באיור שלפניך מתואר המעגל שמשוואתו‪.  x  6   y 2  45 :‬‬
‫‪2‬‬
‫מעבירים את הישר‪ x  9 :‬החותך את המעגל בנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת הישר ‪ – O( AO‬ראשית הצירים)‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.AOB‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x9‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )12‬באיור שלפניך מתואר הישר‪. y  2 x :‬‬
‫מעבירים את הישר ‪ x  3‬החותך את הישר הנ"ל בנקודה ‪.A‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים מהנקודה ‪ A‬אנך לציר ה‪.AB y -‬‬
‫ג‪.‬‬
‫כתוב את משוואת המעגל שמרכזו בנקודה ‪B‬‬
‫ורדיוסו הוא הקטע ‪.AB‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה‪. y -‬‬
‫‪ )13‬באיור שלפניך מתואר המעגל‪.  x  4   y  3  25 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫המעגל חותך את הצירים בנקודות ‪ B , A‬ו‪.O-‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של המעגל עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא נקודה ‪ C‬הנמצאת על היקף המעגל ברביע הראשון‬
‫כך שהמרובע ‪ AOBC‬יהיה מלבן‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את היקף המלבן‪.‬‬
‫‪90‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪y  2x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )14‬באיור שלפניך מתואר מלבן ‪ ABCD‬שצלעותיו מונחות על הישרים הבאים‪:‬‬
‫‪. y  2 , y  8 , x  3 , x  11‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות של קודקודי המלבן‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך האלכסון במלבן‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת המעגל החוסם את המלבן‪.‬‬
‫ד‪ .‬האם מעגל זה חותך את הציר ה‪ ? x -‬הראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫‪ )15‬א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הישרים‪ y  3x  7 :‬ו‪. 3 y  x  5 -‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המעגל שמרכזו בנקודת החיתוך של הישרים ועובר דרך‬
‫נקודת החיתוך של הישר‪ 3 y  x  5 :‬עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬מסמנים על הישר‪ y  3x  7 :‬שלוש נקודות ‪ B , A‬ו ‪.C-‬‬
‫ידוע כי שיעור ה ‪ x -‬של כל נקודה הוא‪ xB  0 , xA  1 :‬ו‪. xC  1.5 -‬‬
‫קבע איזו נקודה נמצאת בתוך המעגל‪.‬‬
‫‪ )16‬באיור שלפניך נתון המעגל‪. ( x  6)2  ( y  6)2  32 :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי מעגל זה אינו חותך את הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים ישר ‪ AO‬המחבר את ראשית הצירים עם‬
‫מרכז המעגל וחותך את המעגל בנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫כתוב את משוואת ישר זה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שיעורי נקודות החיתוך של הישר עם המעגל‪.‬‬
‫ד‪ .‬מנקודות החיתוך מורידים אנכים ‪ AD‬ו‪ BC-‬לציר ה‪. x -‬‬
‫חשב את שטח הטרפז ‪.ABCD‬‬
‫‪ )17‬באיור שלפניך נתון המעגל‪. ( x  6)2  y 2  5 :‬‬
‫הישר‪ y  0.5x  3 :‬חותך את המעגל בשתי נקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים את הישר ‪ – O( AO‬ראשית הצירים)‪.‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪.AO‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש הנוצר בין הקטע ‪ ,AO‬ציר ה‪ x -‬והישר ‪.AB‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )18‬המעגל‪ x2   y  4   R 2 :‬חותך את הישר‪ y  x  7 :‬בנקודה ‪.  2,9 ‬‬
‫א‪ .‬מצא את רדיוס המעגל ‪.R‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך השנייה של הישר והמעגל‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את אורך המיתר שנוצר בין שתי נקודות החיתוך‪.‬‬
‫‪91‬‬
‫‪ )19‬הישר שמשוואתו היא‪ y  mx :‬חותך את המעגל‪ x2  y 2  45 :‬בנקודה ‪.  3, 6 ‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. m‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך השנייה של הישר עם המעגל‪.‬‬
‫ג‪ .‬הראה כי המיתר שנוצר בין שתי נקודות החיתוך של‬
‫הישר והמעגל הוא קוטר במעגל‪.‬‬
‫תרגול נוסף – המעגל (שאלות מסכמות כולל משיק)‪:‬‬
‫‪ )20‬ישר שמשוואתו‪ y  2 x  7 :‬חותך את המעגל‪( x  5)2  ( y  3)2  5 :‬‬
‫בשתי נקודות ‪ P‬ו‪ .Q-‬ידוע שמרחק הנקודה ‪ P‬מראשית הצירים גדול‬
‫יותר מאשר המרחק של הנקודה ‪ Q‬מראשית הצירים‪.‬‬
‫דרך הנקודה ‪ P‬מעבירים משיק למעגל‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.P‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ג‪ .‬הנקודה ‪ K‬נמצאת על המשיק ושיעור ה‪ x -‬של הוא ‪.10‬‬
‫חשב את מרחק הנקודה ‪ K‬ממרכז המעגל‪.‬‬
‫‪ )21‬מעגל שמרכזו ‪ M‬משיק לצירים בנקודות‪ A(10,0) :‬ו‪ B(0,10) -‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫מעבירים משיק למעגל שמשוואתו היא‪ y   x  30 :‬אשר משיק‬
‫למעגל בנקודה ‪.C‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫ג‪ .‬חשב את אורכי הצלעות של המשולש ‪ABC‬‬
‫ואת ערך המכפלה‪. AB  AC  BC :‬‬
‫‪ )22‬הנקודות ‪ B , A‬ו‪ M-‬נמצאות על הישר‪ y  3x  12 :‬כך ש‪ M-‬היא אמצע ‪.AB‬‬
‫בונים מעגל שמרכזו בנקודה ‪ M‬והוא עובר בנקודות ‪ A‬ו ‪.B-‬‬
‫ידוע כי‪. yA  3 , xB  1 :‬‬
‫מהנקודה )‪ C(11, 3‬שעל היקף המעגל מעבירים משיק למעגל‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ B , A‬ו‪.M-‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ג‪ .1 .‬מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה ‪.C‬‬
‫‪ .2‬מצא את נקודת החיתוך בין המשיק לישר‪. y  3x  12 :‬‬
‫‪92‬‬
‫‪ )23‬הנקודה )‪ A(6, 24‬נמצאת על היקף המעגל שמשוואתו‪.  x  42  y 2  R 2 :‬‬
‫מנקודה זו מעבירים משיק למעגל‪ .‬על המשיק מסמנים נקודה ‪ B‬ועל היקף‬
‫המעגל מסמנים נקודה נוספת ‪( C‬ראה איור)‪ .‬הנקודה ‪ C‬נמצאת‬
‫ברביע השלישי‪ ,‬כמו כן ידוע כי‪ xB  18 :‬וכי‪. xC  14 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את רדיוס המעגל וכתוב את המשוואה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ B‬ו‪.C-‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪AB‬‬
‫היעזר בחישוב אורכי הקטעים ‪ AB‬ו‪ AC-‬וחשב את היחס‪:‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )24‬המעגל שמשוואתו‪  x  42   y  b 2  41 :‬עובר בראשית הצירים ומרכזו נמצא‬
‫ברביע הרביעי‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך השנייה של המעגל עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המשיק בנקודת החיתוך שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪ )25‬הנקודה ‪ P‬נמצאת על היקף המעגל שמשוואתו היא‪. x2   y  32  25 :‬‬
‫מנקודה זו מעבירים משיק אשר מקביל לציר ה‪ x -‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫בנוסף‪ ,‬מעבירים ישר חותך העובר דרך נקודת מרכז המעגל‬
‫החותך את המעגל בנקודות ‪ A‬ו‪ B( B-‬ברביע השלישי)‪.‬‬
‫ידוע כי הישר החותך נחתך עם המשיק בנקודה )‪. D(6 23 , 2‬‬
‫א‪ .‬כתוב את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת הישר החותך‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫‪ )26‬המעגל שמשוואתו‪ x2   y  10   100 :‬חסום במשולש הישר זווית ושווה‬
‫‪2‬‬
‫שוקיים ‪A  90  ABC‬‬
‫‪‬‬
‫(ראה איור)‪ .‬הנקודות ‪ B‬ו‪ C-‬נמצאות על ציר ה ‪x -‬‬
‫ושיעוריהן הם‪. B(24,0) , C(24,0) :‬‬
‫ידוע כי המעגל משיק לשוק ‪ AC‬של המשולש בנקודה שבה ‪. x  6‬‬
‫א‪ .‬מצא את השיפוע של השוקיים ‪ AC‬ו ‪.AB-‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואות השוקיים ‪ AC‬ו ‪AB-‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת ההשקה של השוק ‪ AB‬עם המעגל‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪ .‬הראה כי הקודקוד ‪ A‬נמצא על ציר ה‪. y -‬‬
‫‪93‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )27‬מעגל שמרכזו בנקודה )‪ M(15,12‬משיק לציר ה ‪ y -‬בנקודה ‪ B‬וחותך את ציר ה‪x -‬‬
‫בשתי נקודות ‪ A‬ו‪ C-‬כמתואר באיור ‪.  xC  xA ‬‬
‫מהנקודה ‪ C‬מעלים אנך לציר ה‪ x -‬שחותך את המעגל בנקודה נוספת ‪.D‬‬
‫דרך הנקודה ‪ D‬עובר משיק למעגל‪.‬‬
‫א‪ .‬כתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ C‬ו‪.D-‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה ‪.D‬‬
‫‪ )28‬נתון המעגל הקנוני הבא‪ . x2  y 2  169 :‬הישר ‪ y  5‬חותך‬
‫את המעגל בשתי נקודות ‪ A‬ו ‪ A( .B-‬ברביע הראשון)‪.‬‬
‫מנקודות אלו מעבירים משיקים למעגל אשר נחתכים‬
‫בנקודה ‪( C‬ראה איור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואות המשיקים למעגל בנקודות אלו‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של המשיקים הראה כי היא על ציר ה‪. y -‬‬
‫‪ )29‬הטרפז ‪  AB CD  ABCD‬חסום במעגל שמשוואתו היא‪.  x  4   y  6  R 2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ידוע כי הבסיס הקטן ‪ AB‬מונח על הישר‪ y  2 x  11 :‬וכי‪. xB  10 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת הישר ‪ DC‬אם ידוע כי‬
‫הוא עובר דרך מרכז המעגל‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה ‪ D‬אם ידוע‬
‫כי ‪ D‬היא אחת מנקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )30‬נתון מעגל שמרכזו בנקודה ‪ .M‬מעגל זה משיק לציר ה ‪ x -‬בנקודה ‪.A‬‬
‫מהנקודה ‪ E‬שעל ציר ה‪ x -‬מעלים אנך אשר משיק למעגל בנקודה ‪( B‬ראה איור)‪.‬‬
‫הקטע ‪ BC‬מקביל לציר ה ‪ x -‬ו‪ O-‬היא נקודת ראשית הצירים‪ ,‬כך שנוצר‬
‫טרפז ישר זווית ‪ ABCO‬ששטחו הוא ‪ 170‬יח"ש‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫ידוע כי‪ C  0,10  :‬ו‪ 10 -‬יח"א ‪. AE ‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪94‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O‬‬
‫‪ )31‬הנקודה ‪ A  6, 6 ‬נמצאת על הישר‪ y  x :‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מרחק הנקודה ‪ A‬מראשית הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המעגל שמרכזו בנקודה ‪A‬‬
‫והוא עובר דרך ראשית הצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודת החיתוך‬
‫השנייה שלו עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )32‬הנקודות ‪ A‬ו‪ M-‬נמצאות על הישר‪ y  x :‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫ידוע כי שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬הוא ‪.8‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעור ה‪ y -‬של הנקודה ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬המרחק בין הנקודות ‪ A‬ו‪ M-‬הוא ‪. 32‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪ M‬אם ידוע כי‪. xM  xA :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪y‬‬
‫‪M  x, x ‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת המעגל שמרכזו בנקודה ‪ M‬ומשיק לצירים‪.‬‬
‫ד‪ .‬קבע על ידי חישוב האם הנקודה ‪ A‬נמצאת על המעגל או לא‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )33‬א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הישרים הבאים‪ y  x :‬ו‪. y   x  4 -‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המעגל שמרכזו בנקודת החיתוך‬
‫שמצאת אשר משיק לציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת המשיק למעגל המקביל לציר ה ‪. x -‬‬
‫ד‪ .‬הראה כי המשיק שמצאת בסעיף ג' חותך את‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫הישר‪ y   x  4 :‬על ציר ה ‪. y -‬‬
‫ה‪ .‬חשב את שטח המשולש הנוצר בין שני הישרים מסעיף א' לציר ה ‪. y -‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )34‬א‪ .‬כתוב את משוואת המעגל שמרכזו בנקודה ‪ M‬והוא משיק‬
‫לצירים ברביע הראשון אם ידוע כי שיעור ה‪ x -‬של‬
‫הנקודה ‪ M‬הוא ‪.5‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המשיק למעגל המתואר באיור בנקודה‬
‫שבה‪. x  8 :‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש שיוצר משיק זה עם הצירים‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )35‬באיור שלפניך מתואר מעגל שמרכזו ‪ M‬נמצא על ציר ה ‪ y -‬בנקודה‬
‫שבה‪ y  5 :‬והוא משיק לציר ה ‪ . x -‬מעבירים משיק למעגל דרך‬
‫הנקודה ‪ A‬הנמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫א‪ .‬כתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המשיק אם ידוע כי שיעור ה ‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬הוא ‪.4‬‬
‫‪95‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ )36‬א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫המשיק חותך את ציר ה ‪ x -‬בנקודה ‪ .B‬מעבירים את הרדיוס ‪.MA‬‬
‫חשב את היקף הדלתון ‪ – O( OMAB‬ראשית הצירים)‪.‬‬
‫‪ .1‬כתוב את משוואת הישר ששיפועו ‪ - 2‬ועובר דרך הנקודה ‪. A  5,15‬‬
‫‪ .2‬כתוב את משוואת הישר המאונך לישר הקודם ועובר דרך אותה הנקודה‪.‬‬
‫מצא נקודה ‪ B‬על הישר השני‪ ,‬הנמצאת ברביע השני ומרחקה‬
‫מהנקודה ‪ A‬הוא ‪ 80‬יחידות אורך‪.‬‬
‫מעבירים מעגל שמרכזו ‪ M‬המשיק לשני הישרים שמצאת בסעיף א'‪.‬‬
‫היעזר באיור ומצא את משוואת המעגל אם ידוע כי מרכזו‬
‫נמצא ברביע השני והוא משיק לישר השני בנקודה ‪.B‬‬
‫מהנקודה ‪ M‬מורידים אנך לציר ה‪ x -‬ומחברים אותה עם‬
‫נקודת ההשקה של הישר מסעיף א ‪ .1‬חשב את שטח המרובע‬
‫הנוצר בין האנך‪ ,‬ציר ה ‪ , x -‬הישר שמצאת בסעיף א ‪ 1‬והרדיוס‬
‫ממרכז המעגל אל נקודת ההשקה של ישר זה‪.‬‬
‫‪ )37‬לפניך מעגל המשיק לציר ה‪ x -‬בנקודה ‪ B‬שמרכזו בנקודה ‪.M‬‬
‫‪ AB‬ו‪ AC-‬הם מיתרים במעגל המאונכים זה לזה‪.‬‬
‫‪ BC‬הוא קוטר במעגל‪.‬‬
‫א‪ .‬נתון כי הישר שעליו מונח המיתר ‪ AB‬הוא‪. y  3x  30 :‬‬
‫כמו כן‪ ,‬נתון גם כי‪. BC  16 :‬‬
‫‪ .1‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬
‫‪ .2‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .3‬כתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הישר שעליו מונח המיתר ‪.AC‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬
‫‪ )38‬המעגל שבאיור משיק לציר ה‪y -‬‬
‫‪y‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪y‬‬
‫בנקודה‪ . A  0,8 :‬דרך הנקודה ‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫מעבירים ישר החותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה‪. B 8, 0  :‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הישר ‪.AB‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫המעגל חותך את הישר ‪ AB‬בנקודה ‪ .C‬ידוע כי ‪ C‬היא אמצע הקטע ‪.AB‬‬
‫ב‪ .1 .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫‪ .2‬כתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ג‪ .‬מסמנים נקודה ‪ D‬על היקף המעגל כך שהמיתרים ‪ AC‬ו‪ CD-‬מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫‪ .1‬מצא את משוואת המיתר ‪.CD‬‬
‫‪ .2‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.D‬‬
‫‪96‬‬
‫‪ )39‬באיור שלפניך נתון מעגל שמרכזו בנקודה ‪ M‬הנמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫המעגל חותך את ציר ה ‪ y -‬בנקודות‪ A :‬ו‪.B-‬‬
‫הישר‪ 5 y  4 x  12 :‬משיק למעגל בנקודה‪. C 8, 4  :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הרדיוס ‪.MC‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי רדיוס המעגל הוא‪. 41 :‬‬
‫‪ .1‬סמן ב‪ t -‬את שיעור ה ‪ x -‬של הנקודה ‪ M‬והבע‬
‫באמצעותו את שיעור ה‪ y -‬שלה‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא את ‪. t‬‬
‫‪ .3‬כתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪.AB‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )40‬באיור שלפניך נתון מעגל שמרכזו ‪ M‬מונח על ציר ה ‪ x -‬בחלקו השלילי‪.‬‬
‫ידוע כי מרחק מרכז המעגל מראשית הצירים הוא ‪ 8‬וכי רדיוס המעגל הוא‪. 8 :‬‬
‫א‪ .‬כתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫מעבירים משיק למעגל דרך הנקודה ‪. A  6, 2 ‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ג‪ .‬מסמנים את נקודת החיתוך של המשיק‬
‫וציר ה‪ x -‬ב‪ .B-‬חשב את שטח המשולש ‪.MAB‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )41‬נתונים הישרים הבאים‪ y  3x  23 :‬ו ‪. 2 y  x  24 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הישרים‪.‬‬
‫נקודת החיתוך שמצאת בסעיף הקודם היא מרכז מעגל המשיק לציר ה ‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ג‪ .‬היעזר באיור שבצד וענה על השאלות הבאות‪:‬‬
‫מסמנים את נקודת מרכז המעגל ב‪.M-‬‬
‫מורידים אנך ציר ה‪ x -‬החותך אותו בנקודה ‪.A‬‬
‫ראשית הצירים תסומן ב‪.O-‬‬
‫‪ .1‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬
‫‪ .2‬חשב את שטח המשולש ‪.MOA‬‬
‫‪y‬‬
‫‪M‬‬
‫‪x‬‬
‫‪O‬‬
‫‪A‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )42‬באיור שלפניך נתון מעגל‪. x2  y 2  52 :‬מסמנים נקודה ‪ A‬ברביע‬
‫הראשון ונקודה ‪ B‬ברביע הרביעי‪ .‬ידוע כי שיעור ה ‪ x -‬של‬
‫‪x‬‬
‫הנקודה ‪ A‬הוא ‪ 6‬ושיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ B‬הוא ‪.4‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעור ה‪ y -‬של הנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך המיתר ‪.AB‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪97‬‬
‫מהנקודות ‪ A‬ו ‪ B-‬מעבירים אנכים לציר ה ‪ y -‬החותכים אותו בנקודות ‪ C‬ו‪.D-‬‬
‫ג‪ .1 .‬איזה מורבע הוא המרובע ‪ ?ABCD‬נמק‪.‬‬
‫‪ .2‬חשב את היקף המרובע ‪.ABCD‬‬
‫‪ )43‬באיור שלפניך נתון מעגל שמשוואתו‪ a,  x  a    y  1  5 :‬פרמטר‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫ידוע כי המעגל חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה‪. A 10, 0  :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫מצא את ‪ a‬אם ידוע כי‪. a  10 :‬‬
‫‪x‬‬
‫מצא את הנקודה ‪ - B‬נקודת החיתוך השנייה‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫של המעגל עם ציר ה‪. x -‬‬
‫כתוב את משוואת הקוטר העובר דרך הנקודה ‪ B‬ומרכז המעגל ‪.M‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך השנייה של הקוטר עם המעגל‪.‬‬
‫מעבירים אנך מנקודת החיתוך שמצאת בסעיף הקודם לציר ה‪ y -‬כך שנוצר‬
‫טרפז ‪ .BCDO‬חשב את שטחו‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ )44‬באיור שלפניך נתון מעגל שמשוואתו‪ R,  x  5   y  3  R2 :‬רדיוס המעגל‪.‬‬
‫ידוע כי המעגל עובר בראשית הצירים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את רדיוס המעגל וכתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הנקודות ‪ A‬ו‪ - B -‬החיתוך של המעגל‬
‫עם הצירים (ראה איור)‪.‬‬
‫ג‪ .‬מסמנים נקודה ‪ C‬על ציר ה ‪ x -‬כך ש‪ A-‬היא אמצע הקטע ‪.CO‬‬
‫‪ .1‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .2‬חשב את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪O‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪ )45‬נתון הישר‪. y  0.5x :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא נקודה ‪ M‬על הישר ברביע הראשון שמרחקה מהראשית הוא ‪. 45‬‬
‫הנקודה ‪ M‬שמצאת בסעיף הקודם היא נקודת המרכז‬
‫‪y  0.5 x‬‬
‫של מעגל בעל רדיוס של ‪. 20‬‬
‫‪B‬‬
‫כתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך של הישר הנתון‬
‫‪C‬‬
‫‪x‬‬
‫והמעגל המסומנת באיור ב‪.B-‬‬
‫מורידים אנך לציר ה‪ x -‬מהנקודה ‪ M‬החותך אותו בנקודה ‪.C‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪.BMC‬‬
‫‪98‬‬
‫‪y‬‬
‫‪O‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )46‬נתון מלבן ‪ ABCD‬כמתואר באיור שלפניך‪.‬‬
‫נתונים הקדקודים‪. C  5, 2 , A  3,3 :‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הקדקודים ‪ B‬ו‪ D-‬של המלבן‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫הנקודה ‪ B‬היא נקודת המרכז של מעגל בעל רדיוס ‪.BC‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של המעגל עם ציר ה ‪ x -‬אשר בתוך המלבן‪.‬‬
‫ד‪ .‬סמן את הנקודה שמצאת בסעיף הקודם ב‪.Q -‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪.AQB‬‬
‫‪ )47‬נתון מעגל שמשוואתו היא‪  x  10   y 2  R2 :‬ומרכזו בנקודה ‪.M‬‬
‫‪2‬‬
‫מעבירים ישר החותך את הצירים בנקודות‪A  0,5 , B  35,0  :‬‬
‫וחותך את המעגל בנקודות ‪ C‬ו‪.D-‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הישר החותך‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את רדיוס המעגל אם ידוע כי‪. D 14,3 :‬‬
‫‪y‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המרובע ‪.ACMO‬‬
‫תרגול נוסף המעגל (שאלות מסכמות עם שני מעגלים)‪:‬‬
‫‪ )48‬נתון המעגל הקנוני‪ . x2  y 2  81 :‬נקודת החיתוך החיובית של המעגל עם‬
‫ציר ה ‪ x -‬היא נקודת מרכזו של מעגל נוסף אשר רדיוסו הוא‪. R  12 :‬‬
‫א‪ .‬כתוב את משוואת המעגל הנוסף‪.‬‬
‫ב‪ .‬המעגלים נחתכים בנקודות ‪ A‬ו ‪.B-‬‬
‫מצא את שיעוריהן‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש הנוצר בין‬
‫הנקודות ‪ B ,A‬לראשית הצירים – ‪.O‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )49‬המעגל‪ a  0 ,  x  a    y  1  a  4 :‬חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של המעגל הנתון עם המעגל‪.  x  1   y  2   10 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת הישר העובר דרך נקודות החיתוך של שני המעגלים‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המשולש שיוצר הישר שמצאת בסעיף הקודם עם הצירים‪.‬‬
‫‪99‬‬
‫‪ )50‬נתונים שני המעגלים הבאים‪  x  62   y  162  36 :‬ו ‪.  x  62   y  16 2  36 -‬‬
‫א‪ .‬הראה כי המעגלים משיקים זה לזה בנקודה הנמצאת על ציר ה‪. y -‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי המעגלים אינם חותכים את ציר ה ‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬לפניך שתי נקודות‪.  0, 4  ,  12,16  :‬‬
‫ד‪ .‬קבע לגבי כל אחת מהנקודות האם היא נמצאת מחוץ‪ ,‬בתוך‬
‫או על המעגל‪.  x  62   y  16 2  36 :‬‬
‫ה‪ .‬הראה כי המרחק מהנקודות שלעיל לנקודת ההשקה של המעגלים זהה‪.‬‬
‫‪ )51‬באיור שלפניך מתוארים המעגלים‪  x  10   y 2  40 :‬ברביע הראשון‬
‫‪2‬‬
‫ו‪  x  a   y 2  10 -‬ברביע השני‪ .‬מעבירים ישר בעל שיפוע שלילי המשיק למעגלים‬
‫‪2‬‬
‫בנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬והעובר בראשית הצירים‪.‬‬
‫ידוע כי הישר הנ"ל משיק למעגל הראשון בנקודה שבה ‪. x  8‬‬
‫א‪ .‬כתוב את משוואת הישר‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫ב‪ .‬הישר חותך את המעגל השני בנקודה שבה‪. y  3 :‬‬
‫‪x‬‬
‫נסמן את מרכזי המעגלים ב‪ C-‬ו‪ D-‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫מצא את ‪ a‬אם ידוע כי המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז ‪.  AD BC ‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הראה כי הטרפז הוא שווה שוקיים‪( .‬ז"א‪.) AC  BD :‬‬
‫‪100‬‬
‫‪y‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
:‫תשובות סופיות‬
. S  30 .‫( ג‬0,0) , (6,0) , (0,10) .‫ ( ב‬x  3)2  ( y  5)2  34 .‫) א‬1
. d  13 .‫ ג‬. 4 y  3x  56 .‫ ב‬. a  8 .‫) א‬3 . d  10 .‫ ב‬. (3, 2) , (3,6) .‫) א‬2
. x2  ( y  2)2  900 .‫ ג‬ 24,16  .‫ ב‬. y  8x  2 , y  2 x  2 .‫) א‬4
. 4, 2  .‫ ( ג‬x  9)2  ( y 1)2  170 .‫ ב‬ 2,8 .‫) א‬6 . ( x  3)2  ( y  5)2  9 .‫ ב‬.‫ ריבוע‬.‫) א‬5
. D(15, 8) .‫ ג‬S  136 , A(17,0) , B(17,0) .‫ ב‬y  8 .‫) א‬7
. ( x  3)2  ( y  1)2  9 .‫ ג‬CM  3 , M(3,1) .‫ ב‬y   x  4 , y  4x  13 .‫) א‬8
. S  128 .2 d  16 .1 .‫ ג‬. C(1,12) , B(1, 4) .‫ ב‬. R  10 .‫) א‬9
. x -‫ המעגל אינו חותך את ציר ה‬.‫ ד‬. ( x  9)2  ( y 12)2  81 .‫ ג‬. x  18 .‫ ב‬. d  15 .‫) א‬10
‫ המעגל חותך את‬.‫ אפס מתקבלת משוואה ריבועית בלי פתרון‬y -‫כאשר מציבים ב‬
.(0,12) – ‫ בנקודה אחת‬y - ‫ציר ה‬
2
3
. S  54 .‫ ג‬y  x .‫ ב‬A  9,6  , B 9, 6  .‫) א‬11
.  0,3 ,  0,9 .‫ ג‬x2   y  6 2  9 .‫ ב‬A  3, 6  .‫) א‬12
. P  28 .‫ ג‬C 8, 6  .‫ ב‬O  0, 0 , A  0, 6  , B 8, 0  .‫) א‬13
.  7, 0  - ‫ כן‬.‫ ד‬ x  7    y  5  25 .‫ ג‬d  10 .‫ ב‬A  3, 2 , B 11, 2 , C 11,8 , D  3,8 .‫) א‬14
2
2
.C ‫ הנקודה‬.‫ ( ג‬x  2)2  ( y 1)2  10 .‫ ב‬ 2,1 .‫) א‬15
. S  3 .‫ ג‬d  17 .‫ ב‬A  4,1 , B 8, 1 .‫) א‬17 . S  48 .‫ ד‬A 10,10 , B  2, 2  .‫ ג‬y  x .‫) ב‬16
‫ המרחק בין שתי‬.‫ ג‬ 3, 6  .‫ ב‬m  2 .‫) א‬19 . d  98 .‫ ג‬ 5, 2  .‫ ב‬R  29 .‫) א‬18
. 45 :‫ והוא פעמיים רדיוס המעגל‬d  180 :‫הנקודות הוא‬
. C(16,18) .‫ ב‬. ( x 10)2  ( y 10)2  100 .‫) א‬21 . d  5 .‫ ג‬. y  0.5x  8 .‫ ב‬. P(6,5) .‫) א‬20
. AB  AC  BC  4800 , AB  200 , AC  360 , BC  320 .‫ג‬
2
2
.  x  2   y  6  90 .‫ ב‬. A(5,3) , B(1, 15) , M(2, 6) .‫) א‬22
(7,9) .2 . y  3x  30 .1 .‫ג‬
.
AB 13 1
2

 .‫ ג‬. C(14, 24) , B(18,19) .‫ ב‬.  x  4   y 2  676 , R  26 .‫) א‬23
AC 52 4
. 5 y  4 x  32 .‫ ג‬. (8,0) .‫ ב‬.  x  4   y  5  41 .‫) א‬24
2
2
. A(4,0) , B(4, 6) .‫ ג‬. y  34 x  3 .‫ ב‬. y  2 .‫) א‬25
. (6,18) .‫ ג‬. y  x  24 , y   x  24 .‫ ב‬. mAC  1 , mAB  1 .‫) א‬26
2
2
. y   34 x  42 .‫ ג‬. C(24,0) , D(24, 24) .‫ ב‬.  x  15   y  12  225 .‫) א‬27
. C(0,33.8) . 5 y  12x  169 , 5 y  12x  169 .‫ ב‬. A(12,5) , B(12,5) .‫) א‬28
. y   12 x  12 .‫ ג‬. y  2 x  2 .‫ ב‬. R  45 .‫) א‬29
101
.  x  222   y  102  100 .‫ ג‬. A  22, 0  .‫ ב‬. B 12,10  .‫) א‬30
. y  x  12 .‫ ג‬ x  62   y  62  72 .‫ ב‬72 .‫) א‬31
2
2
.‫ לא‬.‫ ד‬ x  4   y  4  16 .‫ ג‬M  4, 4  .‫ ב‬y  8 .‫) א‬32
. S  8 .‫ ה‬ 0, 4  .‫ ד‬y  4 .‫ ג‬ x  42   y  22  4 .‫ ב‬ 4, 2  .‫) א‬33
2
2
. S  150 .‫ ג‬y  0.75x  15 .‫ ב‬ x  5   y  5  25 .‫) א‬34
2
. P  30 .‫ ג‬3 y  4 x  40 .‫ ב‬x2   y  5  25 .‫) א‬35
2
2
. S  300.25 .‫ ד‬ x  7    y  19  80 .‫ ג‬B  3,11 .‫ ב‬2 y  x  25 .2 y  2 x  25 .1 .‫) א‬36
. A  5.2,14.4  .‫ ג‬3 y  x  38 .‫ ב‬ x  10   y  8  64 .3 C 10,16 .2 B 10, 0 .1 .‫) א‬37
2
2
. D 8,8 .2 . y  x .1 .‫ ג‬.  x  4   y  8  16 .2 C  4, 4 .1 .‫ ב‬. y   x  8 .‫) א‬38
2
2
.  x  4   y  9  41 .3 . t  4 .2 M  t , 1.25t  14 .1 .‫ ב‬. y  1.25x  14 .‫) א‬39
2
2
. SMAB  ‫ יח"ש‬4 .‫ג‬
y   x  4 .‫ ב‬.  x  8  y 2  8 .‫) א‬40
2
. AB  ‫ יח"א‬10 .‫ג‬
. SMOA  ‫ יח"ש‬35 .2 A 10, 0 .1 .‫ ג‬ x  10   y  7   49 .‫ ב‬10, 7  .‫) א‬41
2
2
. AB  104  ‫ יח"א‬10.198 .‫ ב‬. yA  4 ; yB  6 .‫) א‬42
. PABCD  ‫ יח"א‬30.198 .2 .‫ טרפז ישר זווית‬.1 .‫ג‬
. SBCDO  ‫ יח"ש‬16 .‫ ה‬. 10, 2  .‫ ד‬. y  0.5x  3 .‫ ג‬. B  6, 0  .‫ ב‬. a  8 .‫) א‬43
. A 10,0  ; B  0,6  .‫ ב‬.  x  5   y  3  34 , R  ‫ יח"א‬34 .‫) א‬44
2
2
. SABC  ‫ יח"ש‬30 .2 . C  20, 0 .1 .‫ג‬
. SBMC  ‫ יח"ש‬6 .‫ ד‬. B 10,5 .‫ ג‬.  x  6   y  3  20 .‫ ב‬. M  6,3 .‫) א‬45
2
2
. SAQB  ‫ יח"ש‬12 .‫ ד‬. Q 1, 0  .‫ ג‬.  x  5   y  3  25 .‫ ב‬. B  5,3 ; D  3, 2  .‫) א‬46
2
2
.‫ יח"ש‬37.5 .‫ ד‬C  7, 4  .‫ג‬
R 5
.‫ב‬
1
y   x  5 .‫) א‬47
7
. S  80 .‫ ג‬1, 80  , 1,  80  .‫ ב‬ x  92  y 2  144 .‫) א‬48
1
.‫ ד‬y  2 x  1 .‫ ג‬ 0, 1 ,  2,3 .‫ ב‬a  1 .‫) א‬49
4
. d  12 .‫ ד‬.‫ מחוץ למעגל‬ 0, 4  .‫ על המעגל‬-  12,16  .‫ ג‬.  0,16  .‫) א‬50
.S 
3
4
. AC  BD  205 :‫ מתקבל‬.‫ ג‬a  5 .‫ ב‬y   x .‫) א‬51
102
‫תרגול מבגרויות‪:‬‬
‫‪ )1‬נתון משולש ישר זווית ‪, ( A  90) ABC‬‬
‫שבו הצלע ‪ BC‬מקבילה לציר ה‪( x -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫משוואת הצלע ‪ AB‬היא ‪. y  x‬‬
‫שיעור ה ‪ x -‬של קדקוד ‪ B‬הוא ‪. 3‬‬
‫שיעור ה ‪ x -‬של קדקוד ‪ C‬גדול ב‪ 1 -‬משיעור ה ‪ x -‬של קדקוד‪.A‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הקדקודים של המשולש ‪. ABC‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫ג‪ .‬העבירו מעגל החוסם את המשולש ‪. ABC‬‬
‫מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה ‪.A‬‬
‫‪ )2‬נתון משולש שווה‪-‬שוקיים ‪ ABC‬שבו ‪( AB  AC‬ראה ציור)‪.‬‬
‫שיעורי הקדקוד ‪ B‬הם ‪ . 1, 0 ‬שיפוע הישר ‪ BC‬הוא ‪.1‬‬
‫משוואת הישר ‪ AC‬היא ‪. x  3 y  9  0‬‬
‫א‪ .‬מצא את השיעורים‪:‬‬
‫‪ .1‬של הקדקוד ‪.C‬‬
‫‪ .2‬של הקדקוד ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬הישר ‪ AC‬חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה ‪. D‬‬
‫הצלע ‪ BC‬היא קוטר במעגל‪.‬‬
‫קבע אם הנקודה ‪ D‬נמצאת על מעגל זה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪ )3‬נתון מעוין ‪( ABCD‬ראה ציור)‪ .‬שיעור קדקוד ‪ A‬הם ‪. 1, 2 ‬‬
‫משוואת האלכסון ‪ BD‬היא ‪. x  2 y  2  0‬‬
‫א‪ .1 .‬מצא את משוואת האלכסון ‪. AC‬‬
‫‪ .2‬מצא את השיעורים של קדקוד ‪. C‬‬
‫ב‪ .‬אורך האלכסון ‪ BD‬הוא ‪. 4 5‬‬
‫מצא את האורך של צלע המעוין‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת הישר ‪ , AB‬אם נתון כי קדקוד ‪ B‬נמצא ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪ AB )4‬הוא מיתר במעגל שמרכזו ‪. M‬‬
‫‪ MA‬מקביל לציר ה‪ y -‬ו‪ MB -‬מקביל לציר ה‪. x -‬‬
‫דרך ‪ M‬העבירו שני ישרים‪ :‬ישר אחד מאונך ל ‪AB -‬‬
‫וישר אחד מקביל ל ‪ . AB -‬דרך ‪ B‬העבירו משיק למעגל‪.‬‬
‫האנך חותך את המשיק בנקודה ‪ , C‬והמקביל חותך את‬
‫המשיק בנקודה ‪( D‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. A  5,7  , B 3,5 :‬‬
‫‪103‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת האנך ‪. CM‬‬
‫ב‪ .1 .‬מצא את משוואת המעגל‪.‬‬
‫‪ .2‬הוכח באמצעות חישוב כי המעגל אינו חותך את ציר ה ‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שטח המשולש ‪CMD‬‬
‫‪ )5‬אלכסוני הריבוע ‪ ABCD‬נפגשים בנקודה ‪E‬‬
‫(ראה ציור)‪ .‬שיעור הקדקוד ‪ A‬הם )‪. (1, 7‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫משוואת האלכסון ‪ BD‬היא ‪. x  3 y  0‬‬
‫‪E‬‬
‫א‪ .1 .‬מצא את השיפוע של האלכסון ‪. AC‬‬
‫‪ .2‬מצא את שיעורי הנקודה ‪. E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המעגל החוסם את הריבוע‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את האורך של צלע הריבוע‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את משוואת המעגל החסום בריבוע כך שצלעות הריבוע משיקות למעגל‪.‬‬
‫‪ )6‬נתון מעגל שמרכזו ‪ . O  0, 0 ‬דרך הנקודה ‪ , M‬הנמצאת ברביע הראשון‪ ,‬העבירו ישר‬
‫המשיק למעגל בנקודה ‪( D 1, 1‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא‪:‬‬
‫‪ .1‬את משוואת הישר ‪. OD‬‬
‫‪ .2‬את משוואת המשיק ‪. DM‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי ‪. DM  18‬‬
‫מצא את השיעורים של הנקודה ‪. M‬‬
‫ד‪ .‬העבירו מעגל דרך הנקודות ‪. O, D, M‬‬
‫מצא את המשוואה של מעגל זה‪.‬‬
‫‪ )7‬דרך נקודה ‪ K‬עוברים שני ישרים החותכים‬
‫את ציר ה‪ y -‬בנקודות ‪ A‬ו‪ , B -‬כמתואר בציור‪.‬‬
‫אורך הקטע ‪ AB‬הוא ‪.17‬‬
‫משוואת הישר ‪ BK‬היא ‪. y  4 x  14‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪. A‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי שטח המשולש ‪ AKB‬הוא ‪. 34‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪. K‬‬
‫ג‪ .1 .‬הראה כי הקטע ‪ AB‬הוא קוטר במעגל החוסם את המשולש ‪. AKB‬‬
‫‪ .2‬מצא את משוואת המעגל החוסם את המשולש ‪. AKB‬‬
‫‪104‬‬
‫‪ )8‬הצלעות של המרובע ‪ ABCO‬מונחות על ציר ה ‪ , x -‬על הישר ‪ , y  x‬על הישר ‪y  x  5‬‬
‫ועל הישר ‪( x  a‬ראה ציור)‪ a .‬הוא פרמטר גדול מ ‪. 5 -‬‬
‫א‪ .‬איזה מרובע הוא ‪ ? ABCO‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השיעורים של קדקודי המרובע ‪. ABCO‬‬
‫(הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך)‪.‬‬
‫ג‪ .‬הישר ‪ x  a‬חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה ‪. D‬‬
‫‪ .1‬הבע באמצעות ‪ a‬את שטח המשולש ‪. ABD‬‬
‫‪ .2‬הבע באמצעות ‪ a‬את שטח המרובע ‪. ABCO‬‬
‫‪ .3‬נתון כי שטח המרובע ‪ ABCO‬הוא ‪. 22.5‬‬
‫מצא את הערך של ‪. a‬‬
‫‪ )9‬נקודה ‪ A‬נמצאת על ציר ה ‪ y -‬בחלקו השלילי‪,‬‬
‫ומרחקה מראשית הצירים הוא ‪. 1.25‬‬
‫שיעורי נקודה ‪ B‬הם ‪(  13, 11‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הישר ‪. AB‬‬
‫ב‪ .‬נקודה ‪ M‬נמצאת ברביע השלישי על הישר ‪. AB‬‬
‫‪ M‬היא מרכז של מעגל‪ ,‬המשיק לציר ה ‪ x -‬בנקודה ‪D‬‬
‫ולציר ה‪ y -‬בנקודה ‪( C‬ראה ציור)‪.‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪. M‬‬
‫ג‪ .‬הישר ‪ AB‬חותך את המעגל שמרכזו ‪ M‬בנקודות ‪ E‬ו‪. F -‬‬
‫שטח המשולש ‪ EMC‬הוא ‪. S‬‬
‫הבע באמצעות ‪ S‬את שטח המשולש ‪ . FMC‬נמק‪.‬‬
‫אין צורך למצוא את השיעורים של ‪ E‬ו ‪. F -‬‬
‫‪ )10‬נתון טרפז ‪ ,  AB DC  ABCD‬ראה ציור‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫משוואת הצלע ‪ AD‬היא ‪. x  8‬‬
‫משוואת הצלע ‪ AB‬היא ‪. y  x  6‬‬
‫שיפוע הצלע ‪ CB‬הוא ‪ . 0‬שיעור הקדקוד ‪.  4, 6  C‬‬
‫א‪ .‬מצא את השיעורים של הקדקודים ‪ B , A‬ו ‪. D -‬‬
‫ב‪ .1 .‬מצא את אורך הגובה לצלע ‪ BC‬במשולש ‪. ACB‬‬
‫‪ .2‬מצא את שטח המשולש ‪. ACB‬‬
‫‪105‬‬
‫‪ )11‬נתון מעגל שמשוואתו ‪ a .  x  a    y  3  25‬הוא פרמטר‪.‬‬
‫המעגל עובר דרך ראשית הצירים‪ ,‬ומרכזו ‪ M‬נמצא ברביע השני‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך של ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השיעורים של הנקודות על המעגל‪,‬‬
‫ששיעורי ה‪ y -‬שלהן גדול ב‪ 2 -‬משיעור ה ‪ x -‬שלהן‪.‬‬
‫ג‪ .‬בכל אחת מהנק ודות שמצאת בסעיף ב' מעבירים משיק‬
‫למעגל‪ .‬מצא את המשוואות של משיקים אלה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )12‬נתון מעגל‪ ,‬שמרכזו ‪ M‬נמצא על הישר ‪. y  7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫הישר ‪ y  x‬משיק למעגל בנקודה ‪( A  6,3‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .1 .‬מצא את השיעורים של המרכז ‪. M‬‬
‫‪ .2‬מצא את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬המעגל חותך את ציר ה ‪ y -‬בנקודות ‪ B‬ו‪. C -‬‬
‫נקודה ‪ C‬נמצאת מעל נקודה ‪( B‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪ .1‬הראה כי הישר ‪ BM‬מקביל לישר המקביל‬
‫למעגל בנקודה ‪. A‬‬
‫‪ .2‬מצא את שטח המשולש ‪. BMA‬‬
‫‪ )13‬נתונות הנקודות ‪ A 10, 4 ‬ו‪( B  2,8 -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נקודה ‪ P‬נמצאת על ציר ה ‪ x -‬כך שמרחקה מנקודה ‪A‬‬
‫שווה למרחקה מנקודה ‪. B‬‬
‫א‪ .‬מצא את השיעורים של הנקודה ‪. P‬‬
‫ב‪ .‬הנקודות ‪ B , A‬ו‪ P -‬הן קדקודיו של המרובע ‪. ADBP‬‬
‫נתון ‪. BD PA , BP AD‬‬
‫ג‪ .‬מצא את השיעורים של הקדקוד ‪. D‬‬
‫ד‪ .‬מצא את אורך הרדיוס של המעגל החוסם את המשולש ‪ . BDA‬נמק‪.‬‬
‫‪ )14‬נתונה מקבילית ‪( ABCD‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫הצלע ‪ AD‬מונחת על הישר ‪. y  5x  20‬‬
‫הצלע ‪ AB‬מונחת על הישר ‪. y   x  6‬‬
‫אלכסוני המקבילית נפגשים בנקודה ‪.  2,3‬‬
‫א‪ .‬מצא את השיעורים של קדקוד ‪. C‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השיעורים של קדקוד ‪B‬‬
‫ואת השיעורים של קדקוד ‪. D‬‬
‫ג‪ .‬האם הצלע ‪ BC‬משיקה בנקודה ‪ C‬למעגל שמרכזו ‪ A‬והרדיוס שלו הוא ‪? AC‬‬
‫‪106‬‬
:‫תשובות סופיות‬
4
3
. y   x  20 .‫ יחידות שטח ג‬15 .‫ ב‬A 12, 4 , B  3,1 , C 13,1 .‫) א‬1
.‫ כן‬.‫ ב‬A  2.25,3.75 .2 C  6,5 .1 .‫) א‬2
. y  2 .‫ג‬
‫ יחידות אורך‬5 .‫ ב‬C  3, 2  .2 y  2 x  4 .1 .‫) א‬3
.‫ יחידות שטח‬4 .‫ ג‬ x  5   y  5  4 .1 .‫ ב‬y   x  10 .‫) א‬4
2
80 .‫ ג‬ x  3   y  1  40 .‫ ב‬E  3, 1 .2 mAC  3 .1 .‫) א‬5
.  x  3   y  1  20 .‫ד‬
2
2
2
2
2
.  x  2   y  1  5 .‫ ד‬ 4, 2  .‫ ג‬y  x  2 .2 y   x .1 .‫ ב‬x2  y 2  2 .‫) א‬6
2
2
. x2   y  5.5  72.25 .2 .‫ ג‬K  4, 2  .‫ ב‬A  0,3 .‫) א‬7
2
. O  0,0 , C  a, a  , B  a, a  5 , A 5,0  .‫ ב‬.‫ טרפז שווה שוקיים‬.‫) א‬8
. a  7 .3
10a  25
.2
2
a 2  10a  25
.1 .‫ג‬
2
. S .‫ ג‬. m  5, 5 .‫ ב‬. y  0.75x 1.25 .‫) א‬9
.‫ יח"ש‬108 .2 .‫ יח"א‬18 .1 .‫ ב‬D  8, 3 , B 16,6  , A  8, 12  .‫) א‬10
. y  2 , x  1 .‫( ג‬4, 2), 1,3 .‫ ב‬a  4 .‫) א‬11
.‫ יח"ש‬10 .2 .‫ב‬
( x  4)2  ( y  7)2  20 .2 M  4, 7  .1 .‫) א‬12
.‫ יח"א‬40 .‫ג‬
.‫ לא‬.‫ג‬
107
(6,12) .‫( ב‬2, 0) .‫) א‬13
D(4,0) , B(0,6) .‫ ב‬C (1,1) .‫) א‬14
‫פרק ‪ - 5‬הסתברות קלאסית‪:‬‬
‫הגדרות כלליות‪:‬‬
‫מספר האפשרויות הרצוי‬
‫הכולל ‪. P  A  ‬‬
‫‪ .1‬ההסתברות להתרחשות מאורע ‪: A‬‬
‫מספר האפשרויות‬
‫‪ .2‬המאורע המשלים למאורע ‪. P  A   1  P  A :A‬‬
‫‪ .3‬חיתוך ואיחוד מאורעות ‪ A‬ו‪. P  A B  P  A   P  B  P  A B :B-‬‬
‫‪ .4‬מאורעות זרים הם מאורעות שלא יכולים להתקיים בו זמנית‪.‬‬
‫עבור מאורעות זרים ‪ A‬ו‪ B-‬מתקיים‪. P  A B  P  A   P  B , P  A B  0 :‬‬
‫‪ .5‬מאורעות נקראים בלתי תלויים אם קיום האחד מהם לא משפיע על ההסתברות‬
‫לקיומו של השני‪.‬‬
‫עבור מאורעות בלתי תלויים ‪ A‬ו‪ B-‬מתקיים‪. P  A B  P  A   P  B :‬‬
‫‪ .6‬אם מתקיים‪ P  A B  P  A   P  B :‬המאורעות תלויים‪.‬‬
‫‪P  A B‬‬
‫‪ .7‬הסתברות מותנית של מאורע ‪ A‬בהינתן מאורע ‪ B‬מוגדרת‪:‬‬
‫‪P  B‬‬
‫‪. P  A / B ‬‬
‫‪ .8‬צורה כללית של טבלת הסתברויות עבור מאורעות ‪ A‬ו‪:B-‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P  A B‬‬
‫‪P  A B‬‬
‫‪P  B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P  A B‬‬
‫‪P  A B‬‬
‫‪P  B‬‬
‫‪P A‬‬
‫‪P A‬‬
‫‪1‬‬
‫קשרים מידיים מהטבלה‪:‬‬
‫א‪. P  A B  P  A B  P  B .‬‬
‫ב‪. P  A B   P  A B   P  B  .‬‬
‫ג‪. P  A B   P  A B   P  A  .‬‬
‫ד‪. P  A B   P  A B   P  A  .‬‬
‫‪ .9‬התפלגות בינומית‪ :‬חישוב ‪ k‬הצלחות מתוך ‪ n‬ניסיונות בלתי תלויים כאשר‬
‫ההסתברות להצלחה בניסיון בודד היא ‪ p‬נתונה ע"י‪:‬‬
‫‪108‬‬
‫‪nk‬‬
‫‪n‬‬
‫‪. Pn  k     p k 1  p ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ ‬‬
‫שאלות יסודיות‪:‬‬
‫‪ )1‬בכד ‪ 3‬כדורים כחולים ו ‪ 7-‬כדורים לבנים‪ .‬מה ההסתברות להוצאת כדור כחול‬
‫בהוצאה אקראית של כדור מהכד?‬
‫‪ )2‬בכד ‪ 2‬כדורים כחולים‪ 3 ,‬כדורים אדומים ו‪ 7-‬כדורים לבנים‪ .‬מה ההסתברות‬
‫שבהוצאה אקראית של כדור מהכד לא ייצא כדור אדום?‬
‫‪ )3‬מהי ההסתברות שבסיבוב סביבון לא יתקבל "נס"?‬
‫‪ )4‬עבור שני מאורעות‪ A ,‬ו‪ B-‬נתון‪. P  A  B   0.4 , P  B   0.3 , P  A  0.6 :‬‬
‫מצא את ‪. P  A B‬‬
‫‪ )5‬עבור שני מאורעות‪ A ,‬ו‪ B-‬נתון‪. P  A  B   0.95 , P  B   0.5 , P  A   0.2 :‬‬
‫מצא את ‪. P  A B‬‬
‫‪ )6‬עבור שני מאורעות‪ A ,‬ו‪ B-‬נתון‪. P  A  B   0.65 , P  B   0.25 , P  A  0.8 :‬‬
‫קבע האם המאורעות זרים והאם הם תלויים‪.‬‬
‫‪ )7‬נתון כי שני מאורעות‪ A ,‬ו ‪ B -‬בלתי תלויים‪ .‬בנוסף נתון‪. P  B   0.4 , P  A  0.75 :‬‬
‫מצא את ‪. P  A B‬‬
‫‪ )8‬בכד ‪ 3‬כדורים כחולים ו ‪ 7-‬כדורים אדומים‪ .‬אדם מוציא באקראי כדור מהכד‪,‬‬
‫ולאחריו מוציא עוד כדור (ללא החזרה של הכדור הראשון)‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות ששני הכדורים כחולים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות ששני הכדורים באותו צבע?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות ששני הכדורים אינם באותו צבע?‬
‫‪ )9‬בכד ‪ 3‬כדורים כחולים‪ 2 ,‬כדורים אדומים ו‪ 5-‬כדורים ירוקים‪ .‬אדם מוציא באקראי‬
‫כדור מהכד‪ ,‬מחזיר אותו לכד ואז מוציא עוד כדור‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות ששני הכדורים כחולים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות ששני הכדורים באותו צבע?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות ששני הכדורים אינם באותו צבע?‬
‫‪ )10‬בחדר ‪ 4‬גברים ו ‪ 5-‬נשים‪ .‬מוציאים באקראי שלושה אנשים מהחדר (בלי החזרה)‪.‬‬
‫מה ההסתברות שמתוך השלושה יש יותר גברים מנשים?‬
‫‪109‬‬
‫‪ )11‬נתונים שני כדים‪ :‬בכד א' שלושה כדורים כחולים ואחד לבן ובכד ב' שני כדורים‬
‫כחולים ושלושה לבנים‪ .‬לואיזה מטילה מטבע לא הוגנת שבה הסיכוי לקבלת "עץ"‬
‫כפול מהסיכוי לקבלת "פלי"‪ .‬אם יוצא "עץ" היא מוציאה כדור מכד א' ואם יוצא‬
‫"פלי" היא מוציאה שני כדורים מכד ב'‪.‬‬
‫מה ההסתברות שלא ייצא ללואיזה אף כדור לבן?‬
‫‪ )12‬ליואב יש בכיסו הימני ‪ 3‬גולות כחולות ו‪ 5-‬שחורות ובכיסו השמאלי ‪ 4‬גולות כחולות‬
‫ו‪ 4-‬שחורות‪ .‬יואב מוציא גולה מכיסו הימני‪ .‬אם היא כחולה הוא מחזיר אותה לכיס‬
‫הימני ואם היא שחורה הוא מעביר אותה לכיס השמאלי‪ .‬אחר כך הוא מוציא גולה‬
‫מכיסו השמאלי‪ .‬מה ההסתברות ששתי הגולות שהוציא באותו צבע?‬
‫‪ )13‬בכד ‪ 3‬כדורים כחולים ו ‪ 7-‬כדורים אדומים‪.‬‬
‫אדם מוציא באקראי כדור מהכד‪ ,‬ולאחריו מוציא עוד כדור‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות ששני הכדורים כחולים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות ששני הכדורים באותו צבע?‬
‫ג‪ .‬ידוע ששני הכדורים באותו צבע‪ .‬מה ההסתברות ששניהם כחולים?‬
‫‪ )14‬בכד ‪ 3‬כדורים כחולים‪ 2 ,‬כדורים אדומים ו‪ 5-‬כדורים ירוקים‪.‬‬
‫אדם מוציא באקראי כדור מהכד‪ ,‬מחזיר אותו לכד ואז מוציא עוד כדור‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות ששני הכדורים כחולים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות ששני הכדורים באותו צבע?‬
‫ג‪ .‬ידוע ששני הכדורים באותו צבע‪ .‬מה ההסתברות ששניהם כחולים?‬
‫‪ )15‬בחדר ‪ 4‬גברים ו ‪ 5-‬נשים‪ .‬מוציאים באקראי שלושה אנשים מהחדר (בלי החזרה)‪.‬‬
‫ידוע שמתוך השלושה יש יותר גברים מנשים‪ .‬מה ההסתברות שכולם גברים?‬
‫‪ )16‬נתונים שני כדים‪ :‬בכד א' שלושה כדורים כחולים ואחד לבן ובכד ב' שני כדורים‬
‫כחולים ושלושה לבנים‪ .‬לואיזה מטילה מטבע לא הוגנת שבה הסיכוי לקבלת "עץ"‬
‫כפול מהסיכוי לקבלת "פלי"‪ .‬אם יוצא "עץ" היא מוציאה כדור מכד א' ואם יוצא‬
‫"פלי" היא מוציאה שני כדורים מכד ב'‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שלא ייצא ללואיזה אף כדור לבן?‬
‫ב‪ .‬ידוע שללואיזה לא יצא אף כדור לבן‪ ,‬מה ההסתברות שבהטלת המטבע יצא "עץ"?‬
‫‪110‬‬
‫‪ )17‬במשחק מזל הסיכוי להרוויח ‪ ₪ 10‬הוא ‪ 0.3‬והסיכוי להרוויח ‪ ₪ 20‬הוא ‪.0.2‬‬
‫ישנו סיכוי של ‪ 0.5‬לא להרוויח כלל‪ .‬אדם שיחק במשחק פעמיים וידוע שהרוויח‬
‫יותר מ‪ .₪ 20-‬מה הסיכוי שהרוויח ‪?₪ 40‬‬
‫‪ )18‬בכד מספר מסוים של כדורים‪ 3 .‬כחולים והשאר אדומים‪.‬‬
‫הסיכוי להוציא שני כדורים אדומים מהכד (בלי החזרה) הוא ‪ . 5‬כמה כדורים בכד?‬
‫‪14‬‬
‫‪ )19‬ההסתברות של צלף לפגוע במטרה בירייה הראשונה היא ‪ p‬והיא גדולה מההסתברות‬
‫שלו להחטיא‪ .‬אם הוא פוגע‪ ,‬עולה ההסתברות שלו לפגוע בירייה הבאה ב‪ 0.1-‬ואם‬
‫הוא מחטיא היא יורדת ב‪ . 0.1-‬הצלף ירה למטרה פעמיים‪ .‬ההסתברות שפגע במטרה‬
‫בדיוק בירייה אחת היא ‪. 0.38‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. p‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שהצלף פגע פעמיים במטרה אם ידוע שהוא פגע בה לפחות פעם‬
‫אחת?‬
‫‪ 70% )20‬מאוהדי מכבי ת"א הם גברים והשאר נשים‪ 40% .‬מהאוהדים מעשנים‪.‬‬
‫נתון כי ‪ 45%‬מהאוהדים הם גברים שאינם מעשנים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו אחוז הנשים המעשנות מבין אוהדי מכבי?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי אוהד מכבי‪ .‬מה ההסתברות שהוא גבר או שהוא מעשן?‬
‫ג‪ .‬בוחרים באקראי אישה שאוהדת מכבי‪ .‬מה ההסתברות שהיא מעשנת?‬
‫ד‪ .‬האם מין האוהד והעובדה שהוא מעשן הם מאורעות תלויים?‬
‫‪ 65% )21‬מהפחיות המיוצרות במפעל משקאות הן רגילות והשאר דיאט‪ 80% .‬מהפחיות‬
‫המיוצרות תקינות והשאר פגומות‪ .‬נתון כי ‪ 7%‬מהפחיות הן פחיות דיאט פגומות‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים באקראי פחית‪ .‬מה ההסתברות שהיא פחית רגילה ותקינה?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי פחית דיאט‪ .‬מה ההסתברות שהיא פגומה?‬
‫ג‪ .‬בוחרים באקראי פחית פגומה‪ .‬מה ההסתברות שהיא דיאט?‬
‫ד‪ .‬האם סוג הפחית ותקינותה הם מאורעות תלויים?‬
‫‪ 80% )22‬מהתלמידים בכיתה עברו את המבחן בתנ"ך ו‪ 70%-‬עברו את המבחן‬
‫בהיסטוריה‪ 75% .‬מבין התלמידים שעברו את המבחן בתנ"ך עברו גם את המבחן‬
‫בהיסטוריה‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים באקראי תלמיד‪ .‬מה ההסתברות שהוא נכשל בשתי הבחינות?‬
‫ב‪ .‬תלמיד נכשל במבחן בהיסטוריה‪ .‬מה ההסתברות שהוא עבר את המבחן בתנ"ך?‬
‫ג‪ .‬ידוע שתלמיד עבר בדיוק מבחן אחד‪ .‬מה ההסתברות שזה המבחן בתנ"ך?‬
‫‪111‬‬
‫‪ )23‬בעיר גדולה ל‪ 80%-‬מהתושבים יש רישיון נהיגה‪ .‬מבין בעלי רישיון הנהיגה ‪ 30%‬הם‬
‫גברים‪ 60% .‬מהגברים הם בעלי רישיון נהיגה‪ .‬בחרו באקראי שתי נשים מהעיר‪.‬‬
‫מה ההסתברות שלשתיהן אין רישיון נהיגה?‬
‫‪ 10% )24‬מהאנשים באוכלוסייה עיוורי צבעים‪ .‬קיימת בדיקה הבוחנת אם אדם הוא עיוור‬
‫צבעים‪ .‬אם עיוור צבעים ניגש לבדיקה ישנו סיכוי של ‪ 80%‬שהבדיקה תקבע שהוא‬
‫עיוור צבעים‪ .‬אם אדם שאינו עיוור צבעים ניגש לבדיקה ישנו סיכוי של ‪ 5%‬שהבדיקה‬
‫תקבע שהוא עיוור צבעים‪ .‬מהם אחוזי האמינות של הבדיקה (אחוז המקרים בהם‬
‫הבדיקה מאבחנת נכונה את הנבדק)?‬
‫‪ )25‬בסניף "תנו לחיות לחיות" בירושלים יש כלבים וחתולים בלבד‪ ,‬בעלי פרווה כהה או‬
‫פרווה בהירה‪ 55% .‬מהחיות בסניף הם כלבים‪ .‬אחוז החתולים בעלי הפרווה הכהה‬
‫גדול פי ‪ 3‬מאחוז הכלבים בעלי הפרווה הבהירה‪ .‬מבין בעלי הפרווה הכהה ‪ 60%‬הם‬
‫כלבים‪ .‬בוחרים באקראי חתול מהסניף‪ .‬מה ההסתברות שהוא בהיר פרווה?‬
‫‪ )26‬בית ספר תיכון מציע לתלמידיו ‪ 3‬מגמות ריאליות לבחירה‪ :‬פיזיקה‪ ,‬כימיה ומחשבים‪.‬‬
‫‪ 40%‬מתלמידי מגמות אלה הם בנים‪ .‬הבנים מהווים ‪ 2/5‬מתלמידי הפיזיקה‪5/12 ,‬‬
‫מתלמידי הכימיה ו ‪ 1/3-‬מתלמידי המחשבים‪ 1/4 .‬מהבנים הם תלמידי פיזיקה‪.‬‬
‫א‪ .‬האם יש תלות בין העובדה שתלמיד לומד פיזיקה למין התלמיד?‬
‫ב‪ .‬מהו אחוז לומדי המחשבים מקרב הבנים?‬
‫‪ )27‬אדם מסובב חמש פעמים סביבון‪ .‬מה ההסתברות שיקבל פעמיים "נס"?‬
‫‪ )28‬מה ההסתברות לקבלת ‪ 5‬פעמים "נס" בשמונה סיבובי סביבון?‬
‫‪ )29‬הסיכוי לעבור את מבחן התיאוריה הוא ‪ .0.7‬עשרה אנשים ניגשים למבחן התיאוריה‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שבדיוק שישה מהם יעברו?‬
‫‪ )30‬בכד ‪ 6‬כדורים כחולים ו ‪ 4-‬לבנים‪ .‬אדם מוציא מהכד כדור‪ ,‬מסתכל על צבעו ומחזיר‬
‫אותו לכד‪ .‬הוא חוזר על הפעולה ‪ 4‬פעמים נוספות‪.‬‬
‫מה ההסתברות שמתוך חמשת הכדורים הוציא‪:‬‬
‫א‪ .‬בדיוק ארבע יהיו כחולים?‬
‫ב‪ .‬חמישה יהיו כחולים?‬
‫ג‪ .‬לפחות ארבעה יהיו כחולים?‬
‫ד‪ .‬הרוב יהיו כחולים?‬
‫ה‪ .‬לפחות אחד יהיה כחול?‬
‫ו‪ .‬הראשון והאחרון בלבד יהיו כחולים?‬
‫‪112‬‬
‫‪ )31‬בכד ‪ 6‬כדורים כחולים ו ‪ 4-‬לבנים‪ .‬אדם מוציא מהכד כדור‪ ,‬מסתכל על צבעו‬
‫ומחזיר אותו לכד‪ .‬הוא חוזר על הפעולה ‪ 4‬פעמים נוספות‪ .‬ידוע שרוב הכדורים‬
‫שהוציא כחולים‪ .‬מה ההסתברות שכולם כחולים?‬
‫‪ )32‬יערה מצליחה לקלוע לסל בש לושה מכל ארבעה ניסיונות‪ .‬כדי להתקבל לנבחרת‬
‫הכדורסל של בית הספר עליה להצליח לקלוע ברוב הפעמים מתוך ‪ 6‬ניסיונות קליעה‬
‫לסל‪ .‬ידוע שיערה התקבלה לנבחרת הכדורסל‪ .‬מה ההסתברות שהצליחה לקלוע את‬
‫כל הקליעות?‬
‫‪ )33‬בוחרים שלושה גברים באקר אי מעיר גדולה‪ .‬ההסתברות שכולם מעשנים היא ‪.0.027‬‬
‫מה ההסתברות שרובם מעשנים?‬
‫‪ )34‬בוחרים שלוש נשים מעיר גדולה‪ .‬ההסתברות ששתיים מהן מעשנות קטנה פי ‪4‬‬
‫מההסתברות ששתיים מהן לא מעשנות‪ .‬מה ההסתברות שכולן מעשנות?‬
‫‪ )35‬בכד ‪ 10‬כדורים‪ ,‬חלקם לבנים והשאר שחורים‪ .‬נמרוד מוציא ‪ 9‬פעמים כדור מהכד‬
‫(עם החזרה)‪ .‬הסיכוי שיצאו פי ‪ 2‬כדורים שחורים מלבנים גדול פי ‪ 3 3‬מהסיכוי‬
‫‪8‬‬
‫שיצאו פי ‪ 2‬כדורים לבנים משחורים‪ .‬מצא כמה כדורים מכל צבע בכד‪.‬‬
‫‪ )36‬בחדר ‪ x‬גברים ו ‪ 3x -‬נשים‪ .‬מוציאים באקראי שני אנשים מהחדר‪.‬‬
‫ההסתברות שהם יהיו מאותו מין היא ‪ .0.6‬מצא את גודלו של ‪. x‬‬
‫חוזרים על התהליך ‪ 4‬פעמים‪.‬‬
‫מה הסיכוי שבשלוש מתוך ‪ 4‬הפעמים ייצאו מהחדר שתי נשים?‬
‫‪ )37‬במבחן רב ברירה עם ‪ 5‬שאלות שוות ניקוד‪ ,‬לכל שאלה יש ‪ n‬תשובות מהן רק אחת‬
‫נכונה‪ .‬ישנו סיכוי של ‪ 50%‬ששי יידע את התשובה הנכונה לשאלה במבחן‪.‬‬
‫אם שי לא יודע את התשובה לשאלה הוא מנחש‪.‬‬
‫ההסתברות ששי יקבל במבחן ‪ 60‬גדולה פי ‪ 1 1‬מההסתברות שיקבל ‪.80‬‬
‫‪3‬‬
‫מצא את ערכו של ‪. n‬‬
‫‪ )38‬כדי להתקבל לקורס טיס יש לעבור גיבוש וראיון‪ .‬כל המועמדים ניגשים גם לראיון‬
‫וגם לגיבוש‪ 40% .‬מהניגשים לגיבוש עוברים אותו ו‪ 35%-‬מהניגשים לראיון עוברים‬
‫אותו‪ 5 .‬מאלה שלא התקבלו לקורס טיס לא התקבלו בגלל הריאיון בלבד‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫‪ 3‬חברים ניסו להתקבל לקורס טיס‪ .‬ידוע שרובם התקבלו‪.‬‬
‫מה ההסתברות שכולם התקבלו?‬
‫‪113‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪)1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪)3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪. P( A  B)  0.35 )5 . P( A  B)  0.9 )4 .‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )6‬לא זרים ותלויים‪ )8 . P( A  B)  0.85 )7 .‬א‪ . .‬ב‪ . .‬ג‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪77‬‬
‫‪8‬‬
‫‪17‬‬
‫‪31‬‬
‫‪19‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ )13 .‬א‪ . .‬ב‪ . .‬ג‪.‬‬
‫‪)12 . )11 . )10 .‬‬
‫‪ .‬ג‪.‬‬
‫‪ .‬ב‪.‬‬
‫‪ )9‬א‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15‬‬
‫‪144‬‬
‫‪15‬‬
‫‪42‬‬
‫‪100‬‬
‫‪50‬‬
‫‪50‬‬
‫‪1‬‬
‫‪15‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9‬‬
‫‪38‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ )16 . )15 .‬א‪ . .‬ב‪)17 . .‬‬
‫‪ .‬ג‪.‬‬
‫‪ .‬ב‪.‬‬
‫‪ )14‬א‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪16‬‬
‫‪15‬‬
‫‪17‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫‪38‬‬
‫‪21‬‬
‫‪ )19‬א‪ . p  0.6 .‬ב‪.‬‬
‫‪40‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ 8 )18 .‬כדורים‪.‬‬
‫‪ )20 .‬א‪ .15% .‬ב‪ . 0.85 .‬ג‪ . 0.5 .‬ד‪ .‬כן‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )21‬א‪ . 0.52 .‬ב‪ . 0.2 .‬ג‪ . 0.35 .‬ד‪ .‬בלתי תלויים‪ )22 .‬א‪ . 0.1 .‬ב‪ . .‬ג‪)23 . .‬‬
‫‪225‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪)25 . 93.5% )24‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )26 .‬א‪ .‬בלתי תלויים‪ .‬ב‪. 0.023 )28 . 0.264 )27 .12.5% .‬‬
‫‪ )30 . 0.2001 )29‬א‪ . 0.259 .‬ב‪ . 0.078 .‬ג‪ . 0.337 .‬ד‪ . 0.683 .‬ה‪ . 0.98976 .‬ו‪. 0.023 .‬‬
‫‪ 4 )35 . 0.008 )34 . 0.216 )33 . 0.214 )32 . 0.114 )31‬לבנים‪ 6 ,‬שחורים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )36‬א‪ . x  4 .‬ב‪)38 . n  5 )37 . 0.299 .‬‬
‫‪18‬‬
‫‪.‬‬
‫‪114‬‬
‫‪.‬‬
‫תרגול נוסף ‪ -‬שאלות שונות לפי נושאים‪:‬‬
‫כפל וחיבור הסתברויות – מאורעות בלתי תלויים‪:‬‬
‫‪ )1‬בבניין העירייה יש שני מתקני הבטחה נגד פורצים‪.‬‬
‫ההסתברות שהמתקן הראשון יפעל בזמן אמת היא ‪ 0.92‬וההסתברות שהמתקן השני‬
‫יפעל בזמן אמת היא ‪.0.86‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שהמתקן הראשון יפעל והשני לא?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות ששני המתקנים יפעלו?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שאף מתקן לא יפעל?‬
‫‪ )2‬צובעים את הפאות של קובייה בת ‪ 8‬פאות כך‪ 3 :‬פאות כחולות‪ 2 ,‬פאות אדומות‪2 ,‬‬
‫פאות צהובות ופאה אחת ירוקה‪ .‬זורקים את הקובייה פעמיים‪ .‬חשב את‬
‫ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬שתי הפאות הן בצבע ירוק‪.‬‬
‫ב‪ .‬שתי הפאות הן בצבע כחול‪.‬‬
‫ג‪ .‬שתי הפאות באותו הצבע‪.‬‬
‫‪ )3‬בכד יש ‪ 6‬כדורים שחורים ו‪ 4-‬לבנים‪ .‬מוציאים כדור מהכד ולאחר הסתכלות בצבעו‬
‫מחזירים אותו לכד ומוציאים כדור נוסף‪ .‬חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬ששני הכדורים שהוצאו הם שחורים‪.‬‬
‫ב‪ .‬ששני הכדורים הם מאותו הצבע‪.‬‬
‫ג‪ .‬שהכדור השני הוא לבן‪.‬‬
‫‪ )4‬בכד יש ‪ 4‬כדורים אדומים‪ 3 ,‬כדורים לבנים ו‪ 2-‬כדורים כחולים‪ .‬מוציאים שני כדורים‬
‫מהכד עם החזרה‪ ,‬דהיינו‪ ,‬לאחר הוצאת הכדור הראשון‪ ,‬מחזירים אותו בחזרה לכד‬
‫ורק אז מוציאים את הכדור השני‪ .‬חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬ששני הכדורים שהוצאו הם לבנים‪.‬‬
‫ב‪ .‬ששני הכדורים שהוצאו הם מאותו הצבע‪.‬‬
‫ג‪ .‬ששני הכדורים שהוצאו לא כחולים‪.‬‬
‫ד‪ .‬שהכדור השני הוא כחול‪.‬‬
‫‪ )5‬כדי לקבל תואר במכללת חולון יש לעבור לפחות שניים מתוך שלושה מבחנים‪.‬‬
‫ההסתברות שדורון יעבור את המבחן הראשון היא ‪ .0.9‬ההסתברות שיעבור את‬
‫המבחן השני היא ‪ 0.6‬וההסתברות שיעבור את המבחן השלישי היא ‪.0.8‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שדורון יעבור רק מבחן אחד?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שדורון יעבור את שלושת המבחנים?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שדורון יעבור לכל היותר שני מבחנים?‬
‫ד‪ .‬מה ההסתברות שדורון יקבל תואר?‬
‫‪115‬‬
‫‪ )6‬בתוך שקית ישנם ‪ 4‬קלפים אדומים‪ 3 ,‬קלפים צהובים וקלף אחד ירוק‪.‬‬
‫מוציאים עם החזרה שלושה קלפים מהשקית‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שבכל שלושת הפעמים יצא הקלף הירוק?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שיצאו שני קלפים צהובים?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שכל הקלפים יהיו בעלי אותו הצבע?‬
‫כפל וחיבור הסתברויות – מאורעות תלויים‪:‬‬
‫‪ )7‬תלמיד הרוצה להוציא רישיון לרכב צריך לעבור בחינה עיונית ולאחר מכן בחינה‬
‫מעשית‪ .‬ההסתברות שיעבור את הבחינה העיונית היא ‪ .0.7‬אם הוא עבר את הבחינה‬
‫העיונית אז ההסתברות שיעבור את הבחינה המעשית היא ‪ 0.9‬ואם הוא נכשל בבחינה‬
‫העיונית אז ההסתברות שיעבור את הבחינה המעשית היא ‪.0.5‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שיעבור התלמיד רק את הבחינה המעשית?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שהתלמיד ייכשל בשתי הבחינות?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שתלמיד יעבור את שתי הבחינות?‬
‫‪ )8‬בכד ‪ 5‬כדורים אדומים ו‪ 3-‬כדורים ירוקים‪ .‬מוציאים באקראי כדור מהכד‪ ,‬אם הוא‬
‫אדום אז מחזירים אותו חזרה לכד ומוציאים כד ור נוסף‪ .‬אם הוא ירוק אז משאירים‬
‫אותו בחוץ ומוציאים כדור נוסף‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות ששני הכדורים שהוצאו הם ירוקים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שהכדור השני שהוצא הוא אדום?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות ששני הכדורים שהוצאו בעלי אותו הצבע?‬
‫‪ )9‬בתוך ארגז ישנם ‪ 7‬ספלים הממוספרים מ‪ 1-‬עד ‪.7‬‬
‫מוציאים ספל אחד‪ ,‬משאירים אותו בחוץ ומוציאים ספל נוסף‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות ששני הספלים שהוצאו הם בעלי מספרים זוגיים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות ששני הספלים שהוצאו הם בעלי מספרים המתחלקים ב‪?3-‬‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות ששני הספלים שהוצאו הם בעלי מספרים שסכומם גדול מ ‪?10-‬‬
‫‪ )10‬במעטפה יש ‪ 30‬בולים‪ ,‬מתוכם ‪ 6‬בולים פגומים‪.‬‬
‫מוציאים שני בולים בזה אחר זה (ללא החזרה) מהמעטפה‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות ששני הבולים שהוצאו הם פגומים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שהבול הראשון שהוצא אינו פגום אך הבול השני פגום?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שהבול השני פגום?‬
‫ד‪ .‬מה ההסתברות ששני הבולים או פגומים או אינם פגומים?‬
‫‪116‬‬
‫‪ )11‬בכיתה ישנם ‪ 24‬בנים ו‪ 18-‬בנות‪ .‬מוציאים באקראי ‪ 3‬ילדים מהכיתה בזה אחר זה‪.‬‬
‫חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬שכל שלושת הילדים יהיו בנים‪.‬‬
‫ב‪ .‬שכל שלושת הילדים יהיו מאותו המין‪.‬‬
‫ג‪ .‬שתהיה בקבוצה לפחות בת אחת‪.‬‬
‫ד‪ .‬שיהיה בקבוצה לכל היותר בן אחד‪.‬‬
‫‪ )12‬בתוך שקית יש ‪ 6‬חטיפי "מקופלת" ו‪ 4-‬חטיפי "במבה" מוציאים באקראי ‪ 3‬חטיפים‬
‫מהשקית בזה אחר זה‪ .‬חשב את‪:‬‬
‫א‪ .‬ההסתברות שיצאו ‪ 3‬חטיפי במבה‪.‬‬
‫ב‪ .‬ההסתברות שיצאו לכל היותר שני חטיפי במבה‪.‬‬
‫ג‪ .‬ההסתברות שיצאו לפחות שני חטיפי מקופלת‪.‬‬
‫‪ )13‬צלף יורה למטרה שלוש פעמים‪ .‬ההסתברות שיקלע בפעם הראשונה היא ‪.0.7‬‬
‫ההסתברות שיקלע לאחר מכן תלויה בקליעה הקודמת‪ .‬אם קלע הצלף בירייה‬
‫הקודמת אז ההסתברות שלו לקלוע שנית היא ‪ 0.8‬אך אם הוא החטיא אז ההסתברות‬
‫שלו לקלוע כעת היא ‪.0.6‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שיקלע בכל שלושת הפעמים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שיקלע בירייה השלישית בלבד?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שיקלע הקלע בירייה אחת בלבד?‬
‫ד‪ .‬מה ההסתברות שיקלע לכל היותר פעם אחת?‬
‫‪ )14‬שחקן כדורגל בועט לשער שלוש פעמים‪ .‬ההסתברות שיבקיע בפעם הראשונה היא ‪.0.6‬‬
‫ההסתברות שיבקיע לאחר מכן תלויה בבקיעה הקודמת‪ .‬אם השחקן הבקיע אז‬
‫ההסתברות שיבקיע שנית היא ‪ 0.8‬אך אם הוא החמיץ אז ההסתברות שיחמיץ שנית‬
‫היא ‪ .0.3‬חשב את‪:‬‬
‫א‪ .‬ההסתברות שיב קיע השחקן בכל שלושת הפעמים‪.‬‬
‫ב‪ .‬ההסתברות שיבקיע השחקן בפעם השנייה בלבד‪.‬‬
‫ג‪ .‬ההסתברות שיבקיע השחקן פעם אחת בלבד‪.‬‬
‫ד‪ .‬ההסתברות שיבקיע השחקן לפחות פעם אחת‪.‬‬
‫‪117‬‬
‫תרגילים הכוללים שימוש בדיאגרמת עץ‪:‬‬
‫‪ )15‬בעיר מסוימת ‪ 40%‬מהתושבים הם גברים והשאר נשים‪.‬‬
‫ידוע כי ‪ 40%‬מהגברים מרכיבים משקפיים ו‪ 60%-‬מהנשים לא מרכיבות משקפיים‪.‬‬
‫בוחרים באקראי תושב מהעיר‪ .‬חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬שנבחר גבר שלא מרכיב משקפיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬שנבחרה אישה שמרכיבה משקפיים‪.‬‬
‫ג‪ .‬שהתושב שנבחר מרכיב משקפיים‪.‬‬
‫‪ )16‬צלף יורה למטרה שלוש פעמים‪ .‬אם בירייה הקודמת הוא פגע אז ההסתברות שיפגע‬
‫שוב בירייה הבאה היא ‪ 0.8‬אך אם הוא החטיא בירייה הקודמת אז ההסתברות שיפגע‬
‫בירייה שאחריה היא ‪ .0.6‬הצלף החטיא בירייה הראשונה‪.‬‬
‫חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬הצלף יחטיא גם בשתי היריות הבאות‪.‬‬
‫ב‪ .‬הצלף יפגע בירייה השלישית‪.‬‬
‫ג‪ .‬הצלף יפגע בירייה אחת בלבד‪.‬‬
‫ד‪ .‬הצלף יחטיא בירייה השלישית‪.‬‬
‫‪ )17‬אם ביום מסוים יורד גשם אז ההסתברות שביום שאחריו לא ירד גשם היא ‪ 0.4‬אך‬
‫אם ביום מסוים לא יורד גשם ההסתברות שירד גשם ביום שאחריו היא ‪.0.9‬‬
‫ביום שלישי ירד גשם‪ .‬חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬ביום חמישי לא ירד גשם‪.‬‬
‫ב‪ .‬בימים שלישי‪ ,‬רביעי וחמישי ירד גשם‪.‬‬
‫ג‪ .‬בימים רביעי וחמישי לא ירד גשם‪.‬‬
‫‪ )18‬במפעל שמיכות שלושה פסי ייצור‪ .‬פס הייצור הראשון מייצר ‪ 40%‬מהמוצרים‪ ,‬פס‬
‫הייצור השני מייצר ‪ 30%‬מהמוצרים ופס הייצור השלישי מייצר את ה ‪ 30% -‬הנותרים‪.‬‬
‫‪ 50%‬מהמוצרים של פס הייצור הראשון‪ 10% ,‬מהמוצרים של פס הייצור השני ו‪80%-‬‬
‫ממוצרי הפס השלישי מיועדים ליצוא‪ .‬בוחרים באקראי מוצר‪ .‬חשב את‪:‬‬
‫א‪ .‬ההסתברות שהמוצר מיוצר על ידי פס הייצור השני ומיועד לייצוא‪.‬‬
‫ב‪ .‬ההסתברות שהמוצר מיועד ליצוא‪.‬‬
‫ג‪ .‬ההסתברות שהמוצר לא יוצר על ידי פס הייצור הראשון ואינו מיועד לייצוא‪.‬‬
‫‪ )19‬במשחק "חיש ‪-‬חש" אפשר לזכות ב‪ ₪ 50 ,₪ 100-‬או לא לזכות כלל‪ .‬ההסתברות‬
‫לזכות במשחק בודד ב‪ ₪ 100-‬היא ‪ ,0.2‬ההסתברות לזכות ב‪ ₪ 50-‬היא ‪0.35‬‬
‫וההסתברות לא לזכות כלל היא ‪ .0.45‬רועי משחק פעמיים‪ .‬חשב את‪:‬‬
‫א‪ .‬ההסתברות שרועי יזכה ב‪ ₪ 50-‬בסה"כ‪.‬‬
‫ב‪ .‬ההסתברות שרועי יזכה לפחות ב‪.₪ 100-‬‬
‫ג‪ .‬ההסתברות שרועי לא יזכה במשחק השני‪.‬‬
‫‪118‬‬
‫‪ )20‬בכד א' יש ‪ 5‬כדורים אדומים ו‪ 2-‬כדורים לבנים‪ .‬בכד ב' יש ‪ 4‬כדורים אדומים ו ‪6-‬‬
‫כדורים לבנים‪ .‬בוחרים באקראי כד ומוציאים ממנו בזה אחר זה שני כדורים בלי‬
‫החזרה‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שיצאו שני כדורים בעלי אותו הצבע?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שהכדור השני הוא אדום?‬
‫ג‪ .‬מבין כל האפשרויות בהן הכדור השני הוא אדום‪ ,‬מה ההסתברות שגם הכדור‬
‫הראשון שיצא יהיה אדום?‬
‫‪ )21‬זורקים קוביית משחק פעם אחת‪ .‬אם היא מראה מספר המתחלק ב ‪ 3-‬בלי שארית‬
‫רושמים אותו אך אם היא מראה מספר אחר זורקים אותה שנית‪.‬‬
‫חוזרים על התהליך פעם שנייה ושלישית כאשר בפעם השלישית רושמים את המספר‬
‫שהתקבל‪ .‬חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬המספר שנרשם הוא זוגי‪.‬‬
‫ב‪ .‬המספר שנרשם גדול מ‪.4-‬‬
‫ג‪ .‬המספר שנרשם מתחלק ב‪ 3-‬בלי שארית‪.‬‬
‫ד‪ .‬המספר שנרשם לא מתחלק ב‪.3-‬‬
‫‪ )22‬ישנם שני כדים‪ .‬בכד א' יש ‪ 4‬כדורים כחולים ו‪ 2-‬כדורים צהובים ובכד ב' יש ‪3‬‬
‫כדורים כחולים ו ‪ 6-‬כדורים צהובים‪ .‬זורקים קובייה‪ .‬אם מתקבל מספר המתחלק ב‪3-‬‬
‫בלי שארית אז מוציאים כדור מכד א' ואם מתקבל מספר שאינו מתחלק ב ‪ 3-‬אז‬
‫מוציאים כדור מכד ב'‪ .‬לאחר מכן זורקים את הקובייה שנית וחוזרים על התהליך‬
‫ומוציאים כדור שני‪( .‬ההוצאות הן בלי החזרה)‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שיבחרו שני כדורים כחולים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שיבחרו שני כדורים צהובים?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שיבחרו שני כדורים מאותו הצבע?‬
‫‪ )23‬בכד יש ‪ 4‬כדורים ירוקים ו‪ 2-‬כדורים לבנים‪ .‬מוציאים כדור מהכד‪ ,‬אם הוא ירוק אז‬
‫משאירים אותו בחוץ ומוציאים כדור נוסף ואם הוא לבן אז מחזירים אותו לכד‬
‫ולאחר מכן מוציאים כדור נוסף‪ .‬חוזרים על התהליך פעם שנייה ולאחר מכן מוציאים‬
‫כדור שלישי‪ .‬חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברויות ששלושת הכדורים שהוצאו יהיו ירוקים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות ששלושת הכדורים שהוצאו יהיו בעלי אותו הצבע?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שיצאו לפחות שני כדורים ירוקים?‬
‫ד‪ .‬מה ההסתברות שיצא בדיוק כדור לבן אחד?‬
‫‪ )24‬בכד יש ‪ 8‬כדורים שחורים ו‪ 5-‬כדורים סגולים‪ .‬מוציאים בלי החזרה ‪ 3‬כדורים‪.‬‬
‫מה ההסתברות שיצא לפחות כדור אחד סגול?‬
‫‪119‬‬
‫תרגילים עם נעלמים – כפל וחיבור הסתברויות‪ ,‬דיאגרמת עץ‪:‬‬
‫מציאת ההסתברות ‪:P‬‬
‫‪ )25‬קלע יורה למטרה פעמיים‪ .‬ההסתברות שיקלע בירייה בודדת היא ‪.)P < 0.5( P‬‬
‫מצא את ‪ P‬אם ידוע כי הה סתברות שיקלע פעם אחת בדיוק היא ‪.0.48‬‬
‫‪ 44% )26‬מעובדי מפעל הם מנהלים והשאר הם פועלים‪ .‬ההסתברות שפועל מעשן היא ‪0.7‬‬
‫וההסתברות שמנהל מעשן היא ‪ .P‬בוחרים באקראי עובד מהמפעל‪ .‬מצא את ‪ P‬אם‬
‫ידוע כי ההסתברות שהעובד שנבחר מעשן היא ‪.0.48‬‬
‫‪ )27‬במפעל מסוים המונה ‪ 5000‬עובדים‪ 1500 ,‬הם מנהלים והשאר הם פועלים פשוטים‪.‬‬
‫ההסתברות שמנהל מעשן היא ‪ P‬וההסתברות שפועל מעשן היא ‪.2P+0.1‬‬
‫בוחרים באקראי עובד‪ .‬מצא את ההסתברות ‪ P‬אם ידוע כי ההסתברות שהעובד‬
‫שנבחר אינו מעשן היא ‪.0.59‬‬
‫‪ )28‬ההסתברות שקלע יפגע במטרה בירייה בודדת היא ‪ .P‬הקלע יורה שתי יריות‪.‬‬
‫מצא את ‪ P‬אם ידוע כי ההסתברות שיפגע בשתי הפעמים קטנה פי ‪ 16‬מההסתברות‬
‫שיחטיא בשתיהן‪.‬‬
‫‪ )29‬שני צלפים יורים למטרה ירייה אחת‪ .‬ידוע כי ההסתברות שהצלף הראשון יפגע גדולה‬
‫פי ‪ 3‬מההסתברות שהצלף השני יפגע‪ .‬מצא את ההסתברות של כל צלף לפגוע בירייה‬
‫בודדת אם ידוע כי ההס תברות שבדיוק אחד מהם יפגע היא ‪.0.66‬‬
‫‪ )30‬במשחק "חיש חש" אפשר לזכות ב ‪ ₪ 100 ,₪ 200-‬או בכלום‪ .‬ידוע כי ההסתברות‬
‫לזכות ב ‪ ₪ 200-‬היא ‪ 0.1‬וההסתברות לזכות ב‪ ₪ 100-‬היא ‪ .P‬שחקן משחק שני‬
‫משחקים‪ .‬ההסתברות שלא יזכה כלל גדולה פי ‪ 36‬מההסתברות שיזכה ב‪.₪ 400-‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪.P‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ההסתברות של השחקן לזכות לפחות ב‪.₪ 200-‬‬
‫‪ )31‬אלי ורפי משחקים שני משחקי שחמט‪ .‬כל משחק יכול להסתיים בניצחון לאחד‬
‫השחקנים או בתיקו‪ .‬ידוע כי ההסתברות של אלי לנצח במשחק בודד היא ‪0.36‬‬
‫וההסתברות שינצח בתחרות כולה (שני המשחקים יחדיו) היא ‪.0.2304‬‬
‫א‪ .‬מצא את ההסתברות שרפי ינצח במשחק בודד‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ההסתברות שהתחרות כולה תסתיים בתיקו‪.‬‬
‫‪120‬‬
‫‪ )32‬שני שחקני שחמט משחקים שני משחקים‪ .‬כל משחק יכול להסתיים בניצחון לאחד‬
‫הצדדים או בתיקו‪ .‬ההסתברות של כל שחקן לנצח במשחק בודד היא זהה‪.‬‬
‫ההסתברות שהשחקן הראשון ינצח לפחות במשחק אחד היא ‪.0.64‬‬
‫מצא את ההסתברות של כל שחקן לנצח במשחק בודד‪.‬‬
‫‪ )33‬צלף יורה שלוש יריות למטרה‪ .‬אם הצלף פוגע בירייה מסוימת אז ההסתברות שיפגע‬
‫גם בירייה הבאה היא ‪ . Q‬אם הצלף מחטיא בירייה מסוימת אז ההסתברות שיפגע‬
‫בירייה הבאה היא ‪ . P‬הצלף מחטיא בירייה הראשונה‪ .‬ידוע כי ההסתברות שהצלף‬
‫יפגע בירייה השנייה והשלישית היא ‪ 0.12‬וההסתברות שהצלף יפגע בירייה השנייה‬
‫ויחטיא בשלישית היא ‪.0.18‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ P‬ו‪.Q-‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ההסתברות שהצלף יפגע בירייה השלישית‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את ההסתברות שהצלף יפגע בירייה אחת לפחות‪.‬‬
‫‪ )34‬שני שחקני כדורסל זורקים זריקה אחת לסל‪ .‬ההסתברות שהשחקן הראשון יקלע‬
‫היא ‪ P‬וההסתברות שהשחקן השני יחטיא היא ‪.)Q < 0.5( Q‬‬
‫ידוע כי ההסתברות ששני השחקנים יקלעו היא ‪ 0.28‬וההסתברות ששני השחקנים‬
‫יחטיאו היא ‪ .0.18‬מצא את ‪ P‬ו‪.Q-‬‬
‫מציאת מספר ‪:x‬‬
‫‪ )35‬בכד יש ‪ x‬כדורים‪ 8 .‬מהם ירוקים והשאר כחולים‪ .‬מוציאים באקראי עם החזרה‬
‫שני כדורים מהכד‪ .‬מצא את ‪ x‬אם ידוע כי ההסתברות להוציא שני כדורים ירוקים‬
‫היא ‪.0.64‬‬
‫‪ )36‬בכד יש ‪ 12‬כדורים חלקם אדומים וחלקם שחורים‪ .‬מוציאים עם החזרה שני כדורים‬
‫מהכד‪ .‬מצא את מספר הכדורים האדומים שבכד אם ידוע כי ההסתברות ששני‬
‫הכדורים שהוצאו הם שחורים היא‬
‫‪4‬‬
‫‪9‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )37‬במעטפה יש ‪ 8‬מכתבים‪ .‬רובם מיועדים להישלח בתוך הארץ והשאר לחו"ל‪.‬‬
‫מוציאים באופן אקראי מהמעטפה שני מכתבים בלי החזרה בזה אחר זה‪.‬‬
‫מצא את מספר המכתבים המיועדים להישלח לחו"ל אם ידוע כי ההסתברות‬
‫שהמכתב הראש ון שהוצא מיועד לארץ והשני לחו"ל היא‬
‫‪121‬‬
‫‪3‬‬
‫‪14‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )38‬בכד יש ‪ 8‬כדורים ירוקים והשאר כחולים‪ .‬מוציאים עם החזרה שני כדורים מהכד‪.‬‬
‫מצא כמה כדורים יש בכד אם ידוע כי ההסתברות להוציא שני כדורים בצבעים שונים‬
‫היא‬
‫‪4‬‬
‫‪9‬‬
‫ויש יותר כדורים ירוקים מכחולים‪.‬‬
‫‪ )39‬בתוך קלמר יש ‪ 5‬עפרונות ועוד ‪ x‬עטים‪ .‬מוציאים כלי כתיבה מהקלמר‪ ,‬אם הוא‬
‫עפרון אז מחזירים אותו לקלמר ומוציאים כלי כתיבה נוסף‪ .‬אם הוא עט אז משאירים‬
‫אותו בחוץ ומוציאים כלי כתיבה נוסף‪ .‬מצא כמה עטים יש בקלמר אם ידוע כי‬
‫ההסתברות להוציא שני עטים היא ‪. 1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ )40‬בקופסא א' ישנם ‪ 5‬זוגות נעליים ו‪ 3-‬זוגות מגפיים‪ .‬בקופסא ב' יש ‪ 8‬פריטים ‪ x -‬זוגות‬
‫נעליים והשאר הם זוגות מגפיים‪ .‬מוציאים באקראי מקופסא א' זוג כלשהו ומעבירים‬
‫אותו לקופסא ב'‪ .‬לאחר מכן מוציאים מקופסא ב' זוג‪ .‬כמה זוגות נעליים יש בקופסא‬
‫ב' אם ידוע כי ההסתברות להוציא בפעם השנייה זוג מגפיים היא‬
‫‪17‬‬
‫‪24‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )41‬בקלמר יש ‪ 6‬עפרונות ו‪ 3-‬עטים‪ .‬בתיק יש ‪ 9‬כלי כתיבה ‪ x -‬עפרונות והשאר עטים‪.‬‬
‫מוציאים באקראי מהקלמר כלי כתיבה ומכניסים אותו לתיק‪ .‬לאחר מכן מוציאים‬
‫מהתיק כלי כתיבה נוסף‪ .‬מצא כמה עפרונות יש בתיק אם ידוע כי ההסתברות שכלי‬
‫הכתיבה שהוצא מהקלמר שונה מכלי הכתיבה שהוצא מהתיק היא‬
‫‪13‬‬
‫‪30‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )42‬בתוך כד ישנם ‪ 8‬כדורים‪ ,‬חלקם אדומים וחלקם לבנים‪ .‬מוציאים באקראי כדור‪,‬‬
‫מניחים אותו בצד ומוציאים כדור נוסף‪ .‬מצא כמה כדורים יש מכל צבע אם ידוע כי‬
‫ההסתברות שהכדור השני שהוצא הוא לבן היא ‪. 3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ )43‬בתוך כד ישנם ‪ 10‬כדורים‪ ,‬חלקם צהובים וחלקם כחולים‪ .‬מוציאים באקראי כדור‪,‬‬
‫מתבוננים בו ולאחר מכן מוציאים כדור נוסף‪ .‬מצא כמה כדורים יש מכל צבע בכד אם‬
‫ידוע כי ההסתברות שיצא לפחות כדור אחד כחול היא ‪. 44‬‬
‫‪45‬‬
‫‪ )44‬בתוך שק ישנם ‪ 9‬כדורים‪ ,‬חלקם סגולים וחלקם ירוקים‪ .‬מוציאים באקראי כדור‪ ,‬אם‬
‫הוא סגול אז משאירים אותו בחוץ ואם הוא ירוק אז מחזירים אותו חזרה לכד‪.‬‬
‫לאחר מכן מוציאים כדור נוסף‪ .‬מצא כמה כדורים מכל צבע יש בשק אם ידוע כי‬
‫ההסתברות שהכדור השני שיבחר יהיה סגול היא‬
‫‪122‬‬
‫‪11‬‬
‫‪36‬‬
‫‪.‬‬
‫התפלגות בינומית ונוסחת ברנולי‪:‬‬
‫תרגילים יסודיים‪:‬‬
‫‪ )45‬צלף יורה למטרה‪ .‬ידוע כי מתוך ‪ 2000‬יריות הוא פוגע ב‪ 1200-‬מהן‪.‬‬
‫הצלף יורה ‪ 4‬יריות למטרה‪ .‬חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬שהצלף יפגע בדיוק פעמיים במטרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬שהצלף יפגע במטרה בכל ארבעת הפעמים‪.‬‬
‫ג‪ .‬שהצלף יפגע לפחות פעמיים במטרה‪.‬‬
‫ד‪ .‬שהצלף לא יפגע במטרה כלל‪.‬‬
‫‪ )46‬ב ‪ 70%-‬מהמכוניות יש רדיו‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 5‬מכוניות‪ .‬חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬בדיוק ב‪ 3-‬מתוך ‪ 5‬המכוניות יהיה רדיו‪.‬‬
‫ב‪ .‬בכל ‪ 5‬המכוניות יהיה רדיו‪.‬‬
‫ג‪ .‬ב ‪ 4-‬מתוך ‪ 5‬המכוניות יהיה רדיו‪.‬‬
‫ד‪ .‬לפחות ב‪ 3-‬מכוניות יהיה רדיו‪.‬‬
‫‪ )47‬במכללה המונה ‪ 20,000‬סטודנטים ישנם ‪ 6000‬בנים והשאר בנות‪.‬‬
‫בוחרים באקראי ‪ 5‬סטודנטים‪ .‬חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬מתוך ‪ 5‬הסטודנטים תהיה לכל היותר בת אחת‪.‬‬
‫ב‪ .‬מתוך ‪ 5‬הסטודנטים יהיה לכל היותר בן אחד‪.‬‬
‫ג‪ .‬יבחרו ‪ 3‬סטודנטים בנים מתוך החמישה‪.‬‬
‫ד‪ .‬יבחרו לכל היותר ‪ 3‬סטודנטים בנים‪.‬‬
‫‪ )48‬בבה"ס הספר ‪ 40%‬מהתלמידים הם בנים והשאר בנות‪.‬‬
‫בוחרים באופן אקראי ‪ 4‬תלמידים‪ .‬חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬שנבחרו ‪ 2‬בנים ו‪ 2-‬בנות‪.‬‬
‫ב‪ .‬שתבחר בת אחת‪.‬‬
‫ג‪ .‬שיבחרו יותר בנים מבנות‪.‬‬
‫ד‪ .‬שמספר הבנים שנבחרו יהיה שונה ממספר הבנות שנבחרו‪.‬‬
‫‪ )49‬רפי וגיל משחקים ‪ 4‬משחקי שש ‪-‬בש‪ .‬מתוך ‪ 60‬משחקים בודדים ששיחקו השניים‪,‬‬
‫ניצח רפי ב‪ 48-‬פעמים‪ .‬חשב את‪:‬‬
‫א‪ .‬ההסתברות שרפי ינצח במשחק אחד‪.‬‬
‫ב‪ .‬שגיל ינצח בתחרות‪.‬‬
‫ג‪ .‬שרפי ינצח בתחרות‪.‬‬
‫ד‪ .‬שהתחרות תסתיים בתיקו‪.‬‬
‫‪123‬‬
‫‪ )50‬טנק יורה טיל על חומה‪ .‬ההסתברות שהטיל יפגע בחומה היא ‪.0.6‬‬
‫כדי להפיל את החומה יש לפגוע בה לפחות עם ‪ 3‬טילים‪ .‬הטנק יורה ‪ 4‬טילים‪.‬‬
‫מה ההסתברות שהטנק יפיל את החומה?‬
‫הוצאה עם החזרה‪:‬‬
‫‪ )51‬בתוך סל קניות יש ‪ 6‬תפוחים ו ‪ 4-‬תפוזים‪ .‬מוציאים עם החזרה ‪ 4‬פירות מהסל‪.‬‬
‫חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬להוציא שני תפוחים ושני תפוזים‪.‬‬
‫ב‪ .‬להוציא ‪ 3‬תפוחים ותפוז אחד‪.‬‬
‫ג‪ .‬רוב הפירות שמוציאים יהיו תפוחים‪.‬‬
‫ד‪ .‬לא להוציא תפוחים כלל‪.‬‬
‫‪ )52‬בתוך קופסה יש ‪ 4‬כדורים אדומים ו‪ 2-‬כדורים ירוקים‪.‬‬
‫מוציאים עם החזרה ‪ 4‬כדורים מהקופסה‪ .‬חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬שכל הכדורים שהוצאו הם מאותו הצבע‪.‬‬
‫ב‪ .‬שהוצאו לפחות שני כדורים ירוקים ולכל היותר ‪ 3‬כדורים ירוקים‪.‬‬
‫ג‪ .‬שהוצא לפחות כדור אחד אדום ולכל היותר ‪ 3‬כדורים אדומים‪.‬‬
‫‪ )53‬בתוך קלמר יש ‪ 8‬עפרונות ו‪ 2-‬עטים‪ .‬מוציאים עם החזרה ‪ 5‬כלי כתיבה מהקלמר‪.‬‬
‫א‪ .‬הראה כי ההסתברות להוציא ‪ 3‬עפרונות ו‪ 2-‬עטים גדולה פי ‪ 4‬מההסתברות‬
‫להוציא ‪ 2‬עפרונות ו‪ 3-‬עטים‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ההסתברות להוציא ‪ 5‬כלי כתיבה מאותו הסוג‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את ההסתברות להוציא כלי כתיבה שונים‪.‬‬
‫בעיות שונות – התפלגות בינומית אחת‪:‬‬
‫‪ )54‬זורקים קובייה ‪ 4‬פעמים‪ .‬חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬שיתקבל בכל פעם המספר ‪.4‬‬
‫ב‪ .‬שיתקבל בדיוק פעמיים המספר ‪.3‬‬
‫ג‪ .‬שיתקבל פעמיים מספר הקטן מ ‪.4-‬‬
‫ד‪ .‬שיתקבל בכל ארבעת הפעמים מספר המתחלק ב ‪ 3-‬בלי שארית‪.‬‬
‫‪ )55‬במבחן יש ‪ 5‬שאלות ולכל שאלה ‪ 3‬תשובות שרק אחת מהן נכונה‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לענות נכון בניחוש על כל השאלות?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות לקבל ציון של ‪ 60‬במבחן?‬
‫ג‪ .‬נניח שתלמיד יודע את התשובות הנכונות ל‪ 2-‬מתוך ‪ 5‬השאלות‪.‬‬
‫מה ההסתברות שתלמיד זה יקבל ‪ 100‬במבחן?‬
‫ד‪ .‬מה ההסתברות שהתלמיד בסעיף הקודם יקבל ציון של ‪ 60‬לפחות?‬
‫‪124‬‬
‫‪ )56‬ההסתברות ששחקן כדורסל יקלע לסל בזריקה בודדת היא ‪ .0.7‬השחקן זורק כדורים‬
‫עד שהוא קולע ‪ 4‬פעמים‪ .‬מה ההסתברות שהשחקן יזרוק בדיוק ‪ 6‬כדורים?‬
‫‪ )57‬זורקים קובייה עד שהמספר ‪ 5‬מתקבל בדיוק ‪ 4‬פעמים‪.‬‬
‫מה ההסתברות לזרוק את הקובייה בדיוק ‪ 5‬פעמים?‬
‫תרגילים הכוללים שתי התפלגויות בינומיות‪:‬‬
‫‪ )58‬בעיר מסוימת ‪ 40%‬מהגברים מרכיבים משקפיים ו‪ 30%-‬מהבנות מרכיבות משקפיים‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 4‬גברים‪ .‬מה ההסתברות שבדיוק ‪ 3‬מהם‬
‫מרכיבים משקפיים?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 5‬נשים‪ .‬מה ההסתברות שלכל היותר אישה‬
‫אחת תרכיב משקפיים?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שמבין ‪ 4‬הגברים ו‪ 5-‬הנשים שנבחרו יהיו בדיוק ‪ 3‬גברים‬
‫שמרכיבים משקפיים ואישה אחת לכל היותר שמרכיבה משקפיים?‬
‫‪ 2 )59‬קלעים יורים למטרה‪ .‬ההסתברות שהקלע הראשון יפגע היא ‪ 0.9‬וההסתברות‬
‫שהקלע השני יפגע היא ‪ .0.6‬הקלע הראשון יורה ‪ 5‬יריות והקלע השני יורה ‪ 3‬יריות‪.‬‬
‫חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬שהקלע הראשון יפגע בדיוק ב‪ 2-‬יריות והקלע השני יפגע רק בירייה‬
‫אחת במטרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬שני הקלעים יפגעו כל אחד ‪ 3‬פעמים במטרה‪.‬‬
‫ג‪ .‬שני הקלעים לא יפגעו כלל במטרה‪.‬‬
‫ד‪ .‬שני הקלעים יפגעו אותו מספר פגיעות כל אחד במטרה‪.‬‬
‫‪ )60‬בכד א' יש ‪ 4‬כדורים לבנים ו‪ 6-‬כדורים שחורים‪ .‬בכד ב' יש ‪ 8‬כדורים לבנים ו ‪2-‬‬
‫כדורים שחורים‪ .‬מוציאים באקראי ‪ 4‬כדורים עם החזרה מכד א' ו‪ 5-‬כדורים עם‬
‫החזרה מכד ב'‪.‬‬
‫א‪ .‬הראה כי ההסתברות להוציא שני כדורים לבנים ושני כדורים שחורים מכד א'‬
‫גדולה פי ‪ 54‬מההסתברות להוציא כדור לבן אחד ו‪ 4-‬כדורים שחורים מכד ב'‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ההסתברות להוציא ‪ 4‬כדורים שחורים מכד א' וגם מכד ב'‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את ההסתברות להוציא ‪ 3‬כדורים שחורים מכד א' וגם מכד ב'‪.‬‬
‫ד‪ .‬מה היא ההסתברות להוציא לפחות ‪ 3‬כדורים שחורים מכד א' וגם מכד ב'?‬
‫‪125‬‬
‫‪ )61‬במשפחה מרובת ילדים ‪ 40%‬מהבנים ו ‪ 30%-‬מהבנות היו בחופשה בחו"ל‪.‬‬
‫בוחרים באקראי ‪ 5‬בנים ו‪ 5-‬בנות‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את הה סתברות שבדיוק בן אחד ובת אחת היו בחו"ל‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ההסתברות שבדיוק שני בנים היו בחו"ל ואף אחת מהבנות‬
‫שנבחרו לא הייתה בחו"ל‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את ההסתברות שכל הבנים שנבחרו לא היו בחו"ל ו‪ 2-‬בנות היו בחו"ל‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את ההסתברות שבדיוק ‪ 2‬מתוך ‪ 10‬הילדים שנבחרו היו בחו"ל‪.‬‬
‫‪ )62‬זורקים שתי קוביות משחק – אחת ירוקה והשנייה כחולה‪ 4 ,‬פעמים כל אחת‪.‬‬
‫חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬שיתקבל מספר הגדול מ‪ 4-‬פעם אחת בקובייה הירוקה ו‪ 3-‬פעמים‬
‫בקובייה הכחולה‪.‬‬
‫ב‪ .‬שיתקבל המספר ‪ 5‬בשתי הקוביות בכל הזריקות שלהן‪.‬‬
‫ג‪ .‬שיתקבל מספר זוגי בקובייה הירוקה ב‪ 3-‬מתוך ‪ 4‬הזריקות שלה ומספר‬
‫אי‪-‬זוגי בקובייה הכחולה ב‪ 3-‬מתוך ‪ 4‬הזריקות שלה‪.‬‬
‫ד‪ .‬שיתקבל מספר הגדול מ‪ 3-‬לפחות ‪ 3‬פעמים בקובייה הירוקה ולכל‬
‫היותר ‪ 3‬פעמים בקובייה הכחולה‪.‬‬
‫תרגילים מורכבים – מציאת ההסתברות להצלחה בניסיון בודד‪:‬‬
‫‪ )63‬כדי להתקבל למגמת הנדסה במכללת חולון סטודנט צריך לעבור לפחות אחד משני‬
‫מבחנים‪ .‬ההסתברות להצליח במבחן הראשון היא ‪ 0.2‬וההסתברות להצליח במבחן‬
‫השני היא ‪ .0.5‬בוחרים ‪ 5‬סטודנטים שרוצים להתקבל למגמה הנ"ל‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שסטודנט בודד יתקבל למגמה?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות ששניים מתוך ‪ 5‬הסטודנטים יתקבלו למגמה?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שלפחות ‪ 2‬מתוך ‪ 5‬הסטודנטים יתקבל למגמה?‬
‫‪ )64‬בעיר מסוימת המונה ‪ 500,000‬תושבים‪ ,‬ישנם ‪ 300,000‬גברים והשאר נשים‪ .‬ידוע כי‬
‫‪ 40%‬מהגברים מעשנים ו ‪ 90%-‬מהנשים מעשנות‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים תושב באופן אקראי‪ .‬מה ההסתברות שהוא תושב מעשן?‬
‫ב‪ .‬בוחרים ‪ 5‬מהתושבים הנ"ל‪.‬‬
‫‪ .1‬מה ההסתברות שלכל היותר תושב אחד הוא מעשן?‬
‫‪ .2‬מה ההסתברות שכל התושבים שנבחרו הם מעשנים?‬
‫‪126‬‬
‫‪ )65‬א‪ .‬מצא את ההסתברות שבמשפחה שבה ‪ 5‬ילדים יהיו בדיוק ‪ 3‬בנות אם ידוע כי‬
‫ההסתברויות להולדת בן ובת זהים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מבין כל המשפחות בעיר מסוימת בעלות ‪ 5‬ילדים ומתוכן ‪ 3‬בנות‪ ,‬בוחרים‬
‫באקראי ‪ 4‬משפחות‪.‬‬
‫‪ .1‬מה ההסתברות שבדיוק ל ‪ 3-‬מהמשפחות הנ"ל יהיו ‪ 3‬בנות?‬
‫‪ .2‬מה ההסתברות שלפחות ל‪ 3-‬משפחות מהמשפחות הנ"ל יהיו ‪ 3‬בנות?‬
‫‪ )66‬בכיתה שבה ‪ 45‬תלמידים ישנם ‪ 18‬בנים‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 3‬תלמידים מהכיתה‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שתבחרנה בדיוק שתי בנות?‬
‫ב‪ .‬חוזרים על התהליך הנ"ל כל חצי שנה‪.‬‬
‫מה ההסתברות שבמשך שנתיים יבחרו רק פעם אחת שתי בנות ובן?‬
‫תרגילים המכילים התפלגות שבה יותר משתי אפשרויות בניסיון בודד‪:‬‬
‫‪ 3 )67‬פאות של קובייה הן אדומות‪ .‬פאה אחת היא כחולה ועוד שתי פאות הן צהובות‪.‬‬
‫זורקים את הקובייה ‪ 4‬פעמים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לקבל ב‪ 3-‬מתוך ‪ 4‬הזריקות צבע אדום?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות לקבל לכל היותר פעם אחת צבע כחול?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות לקבל בכל ‪ 4‬הזריקות את הצבע הצהוב?‬
‫ד‪ .‬מה ההסתברות לקבל צבע זהה בכל ‪ 4‬הזריקות?‬
‫‪ )68‬שחקן שחמט מנוסה מנצח ב ‪ 70%-‬מהמשחקים‪ ,‬ב‪ 20%-‬מהם הוא נשאר בתיקו‬
‫ובשאר הוא מפסיד‪ .‬השחקן משחק בטורניר ‪ 4‬משחקים ברצף‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שהשחקן ינצח ב‪ 3-‬מתוך ‪ 4‬המשחקים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שהשחקן יסיים בתיקו בכל ‪ 4‬המשחקים?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שהשחקן יפסיד לכל היותר במשחק אחד?‬
‫ד‪ .‬מה ההסתברות שהשחקן ינצח לפחות ב ‪ 3-‬משחקים?‬
‫‪ )69‬בכד יש ‪ 4‬כדורים שחורים‪ 3 ,‬כדורים לבנים ו‪ 3-‬כדורים כחולים‪.‬‬
‫מוציאים עם החזרה ‪ 5‬כדורים מהכד‪.‬‬
‫א‪ .‬הראה כי ההסתברות שבדיוק ‪ 2‬כדורים יהיו לבנים זהה להסתברות שבדיוק ‪2‬‬
‫כדורים יהיו כחולים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שבדיוק ‪ 4‬כדורים הם לבנים?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שבדיוק ‪ 4‬כדורים הם שחורים?‬
‫ד‪ .‬מה ההסתברות שבדיוק ‪ 4‬כדורים יהיו מאותו הצבע?‬
‫‪127‬‬
‫‪ )70‬אדם מתקשר לחברו‪ .‬ההסתברות שהחבר יענה לטלפון היא ‪ ,0.6‬ההסתברות שהקו‬
‫יהיה תפוס היא ‪ 0.3‬וההסתברות שלא יענה כלל היא ‪ .0.1‬מתקשרים ‪ 4‬פעמים‪.‬‬
‫חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬פעמיים בדיוק הקו יהיה תפוס‪.‬‬
‫ב‪ .‬לכל היותר פעם אחת לא יענו‪.‬‬
‫ג‪ .‬החבר יענה לטלפון בכל ‪ 4‬הפעמים‪.‬‬
‫ד‪ .‬החבר יענה לשיחה לכל היותר ‪ 3‬פעמים‪.‬‬
‫‪ )71‬צובעים את הפאות של סביבון בעל ‪ 8‬פאות כך‪ 3 :‬פאות באדום‪ 2 ,‬פאות בכחול‪2 ,‬‬
‫פאות בירוק ופאה אחת בצהוב‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שמתוך ‪ 4‬פעמים שמסובבים את הסביבון הוא לא ייפול‬
‫אף פעם על פאה אדומה?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שמתוך ‪ 5‬פעמים שמסובבים את הסביבון הוא ייפול ‪4‬‬
‫פעמים על פאה כחולה?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שמתוך ‪ 3‬פעמים שמסובבים את הסביבון הוא ייפול‬
‫לפחות פעמיים על פאה צהובה?‬
‫ד‪ .‬מה ההסתברות שמתוך ‪ 4‬פעמים שמסובבים את הסביבון הוא ייפול פעם‬
‫אחת לכל היותר על פאה ירוקה?‬
‫תרגילים הכוללים נעלמים – התפלגות בינומית‪:‬‬
‫‪ )72‬אם מוציאים מתוך פס ייצור לקיסמי שיניים ‪ 4‬קיסמי שיניים ההסתברות שכולם‬
‫פגומים היא ‪.0.0001‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות להוציא קיסם שיניים פגום מפס הייצור?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שמתוך ‪ 4‬הקיסמים כולם יהיו תקינים?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שמתוך ‪ 4‬הקיסמים שניים בדיוק יהיו פגומים?‬
‫‪ )73‬מבדיקה של משרד הרישוי נמצא כי מתוך ‪ 2000‬נבחנים שעשו טסט ראשון‪ 1400 ,‬עברו‬
‫בהצלחה‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את ההסתברות להצליח לעבור את בחינת הנהיגה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ההסתברות לבחור ‪ 5‬תלמידים שמתוכם ‪ 3‬עברו את בחינת הנהיגה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את ההסתברות לבחור ‪ 4‬תלמידים שמתוכם אף אחד לא עבר את בחינת‬
‫הנהיגה‪.‬‬
‫‪ )74‬אם בוחרים ‪ 4‬תושבים מעיר מסוימת אז ההסתברות שלפחות אחד מהם ירכיב‬
‫משקפיים היא ‪.0.8704‬‬
‫א‪ .‬חשב את ההסתברות שתושב אחד ירכיב משקפיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬בוחרים ‪ 5‬תושבים‪ .‬מה ההסתברות שלפחות ‪ 4‬מהם ירכיבו משקפיים?‬
‫‪128‬‬
‫‪ )75‬ההסתברות להוציא עפרון מקלמר היא ‪ P‬והיא יותר גדולה מההסתברות להוציא כלי‬
‫כתיבה אחר‪ .‬ידוע שמבין שני כלי כתיבה שמוציאים מהקלמר עם החזרה ההסתברות‬
‫שאחד מהם בדיוק יהיה עפרון היא ‪.0.32‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪.P‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ההסתברות שמתוך ‪ 5‬כלי כתיבה שמוציאים מהקלמר אף אחד לא‬
‫יהיה עפרון‪.‬‬
‫‪ )76‬קלע יורה למטרה ‪ 4‬פעמים‪ .‬ההסתברות שלו לפגוע בירייה בודדת היא ‪.P‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ P‬אם ידוע כי ההסתברות של הקלע לפגוע פעמיים שווה להסתברות‬
‫שלו לפגוע ‪ 3‬פעמים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ההסתברות של הקלע לפגוע פעם אחת במטרה‪.‬‬
‫‪ )77‬בעיר מסוימת ההסתברות שלמשפחה יהיה מחשב בבית היא ‪ .P‬בוחרים באקראי ‪5‬‬
‫משפחות מעיר זו‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ P‬אם ידוע כי ההסתברות שלשתי משפחות בדיוק יהיה מחשב קטנה‬
‫פי ‪ 4‬מההסתברות של‪ 3-‬משפחות יהיה מחשב‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי ההסתברות של‪ 4-‬משפחות בדיוק יהיה מחשב גדולה פי ‪2‬‬
‫מההסתברות של‪ 3-‬משפחות בדיוק יהיה מחשב‪.‬‬
‫‪ )78‬ההסתברות להצליח במבחן מסוים היא ‪ .P‬ידוע שאם בוחרים ‪ 3‬תלמידים אז‬
‫ההסתברות שלושתם יעברו את המבחן קטנה פי ‪ 16‬מ‪.P-‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪.P‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ההסתברות ששלושתם יכשלו במבחן‪.‬‬
‫טבלה דו מימדית‪:‬‬
‫תרגילים הכוללים הסתברות מותנה‪:‬‬
‫‪ )79‬בעיר מסוימת ‪ 70%‬מהתושבים תומכים בקיום פעילויות אחה"צ לילדים‪.‬‬
‫ל‪ 60%-‬מהתושבים יש ילדים בבית ול‪ 40%-‬אין ילדים כלל‪.‬‬
‫ל‪ 36%-‬מהתושבים יש ילדים והם תומכים בקיום פעילויות אחה"צ‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הוא אחוז התושבים שאינם תומכים בקיום פעילויות אחה"צ ויש להם‬
‫ילדים?‬
‫ב‪ .‬מה הוא אחוז התומ כים בקיום הפעילויות מבין התושבים שיש להם ילדים?‬
‫ג‪ .‬מה הוא אחוז התושבים שאינם תומכים בקיום פעילויות אחה"צ לילדים מבין‬
‫התושבים שאין להם ילדים?‬
‫‪129‬‬
‫‪ )80‬במכללה המונה ‪ 16,000‬סטוד נטים‪ ,‬נערכו שני מבחני סוף סמסטר‪ 9600 .‬סטודנטים‬
‫עברו את המבחן הראשון ו‪ 20%-‬מהם עברו את השני‪ 1920 .‬סטודנטים עברו את שני‬
‫המבחנים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הוא אחוז הסטודנטים שלא עברו אף מבחן?‬
‫ב‪ .‬מה הוא אחוז הסטודנטים שעברו את המבחן הראשון מבין אלו‬
‫שעברו את המבחן השני?‬
‫ג‪ .‬מה הוא אחוז הסטודנטים שעברו את המבחן השני מבין אלו שעברו‬
‫את המבחן הראשון?‬
‫ד‪ .‬מה הוא אחוז הסטודנטים שלא עברו אף מבחן מבין אלו שלא עברו‬
‫את המבחן הראשון?‬
‫‪ )81‬בחברה מסוימת מספר הנשים גדול פי ‪ 3‬ממספר הגברים‪ .‬ידוע כי ההסתברות לבחור‬
‫עובד שהוא מרכיב משקפיים היא ‪ 30% .0.4‬מבין העובדים שמרכיבים משקפיים הם‬
‫גברים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לבחור עובד שהוא אישה שאינה מרכיבה משקפיים?‬
‫ב‪ .‬בוחרים עובד באקראי‪ ,‬ידוע שנבחר גבר‪ .‬מה ההסתברות שהוא מרכיב‬
‫משקפיים?‬
‫ג‪ .‬בוחרים עובד באקראי‪ ,‬ידוע שהעובד שנבחר מרכיב משקפיים‪.‬‬
‫מה ההסתברות שזו אישה?‬
‫‪ )82‬במדינה מסוימת ‪ 60%‬מהאזרחים בעד הממשלה ו‪ 40%-‬הם נגד‪.‬‬
‫‪ 48%‬מהאזרחים הם גמלאים ו ‪ 25%-‬מהגמלאים בעד הממשלה‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הו א אחוז האזרחים שאינם גמלאים מבין אלה שנגד הממשלה?‬
‫ב‪ .‬בוחרים אזרח באקראי‪ .‬ידוע כי הוא בעד הממשלה‪.‬‬
‫מה ההסתברות שהוא לא גמלאי?‬
‫ג‪ .‬בוחרים אזרח באקראי‪ .‬ידוע כי הוא נגד פעולות הממשלה‪.‬‬
‫מה ההסתברות שהוא גמלאי?‬
‫‪ )83‬מחצית מתלמידי התיכון נעזרים במורים פרטיים‪.‬‬
‫בסוף השנה נערך מבחן מסכם והתברר כי ‪ 60%‬מבין התלמידים שנעזרו במורים‬
‫פרטיים עברו את המבחן בהצלחה‪ 20% .‬מהתלמידים שלא נעזרו במורים פרטיים‬
‫נכשלו במבחן‪.‬‬
‫א‪ .‬איזה אחוז מתלמידי התיכון עברו את המבחן בהצלחה?‬
‫ב‪ .‬איזה אחוז מבין התלמידים שלא נעזרים במורים פרטיים עברו את המבחן?‬
‫ג‪ .‬בוחרים באופן אקראי תלמיד‪ .‬ידוע כי הוא נכשל במבחן‪.‬‬
‫מה ההסתברות שהוא לא נעזר במורים פרטיים?‬
‫‪130‬‬
‫‪ )84‬מספר הבנות במכללה גדול פי ‪ 1.5‬ממספר הבנים‪ 20% .‬מהבנים לומדים מקצוע‬
‫הומאני‪ ,‬ו ‪ 36%-‬מכלל הסטודנטים לומדים מקצוע ריאלי‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הוא אחוז הבנות שלומדות מקצוע ריאלי?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באופן אקראי סטודנט‪ .‬ידוע כי נבחרה בת‪.‬‬
‫מה ההסתברות שהיא לומדת מקצוע הומאני?‬
‫ג‪ .‬מה הוא אחוז הבנים מבין כל אלו שלומדים מקצוע הומאני?‬
‫תרגילים הניתנים לפתירה גם על ידי דיאגרמת עץ‪:‬‬
‫‪ )85‬במפעל מסוים‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫מהעובדים הם נשים ו‪ 4 -‬הם גברים‪ 70% .‬מהנשים הן מעשנות ו ‪-‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫מהגברים מעשנים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הוא אחוז העובדים שלא מעשנים במפעל?‬
‫ב‪ .‬בוחרים עובד וידוע כי נבחר עובד מעשן‪ .‬מה ההסתברות שזו אישה?‬
‫ג‪ .‬מבין העובדים שלא מעשנים‪ ,‬מה ההסתברות לבחור גבר?‬
‫‪ )86‬בכפר מסוים‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫מהתושבים הם גברים ו ‪ 1 -‬הם נשים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫ידוע כי ‪ 60%‬מהגברים מרכיבים משקפיים ו‪ 25%-‬מהנשים לא מרכיבות משקפיים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות להיתקל בגבר שלא מרכיב משקפיים בכפר?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי תושב‪ .‬ידוע כי נבחרה אישה‪.‬‬
‫מה ההסתברות שהיא מרכיבה משקפיים?‬
‫ג‪ .‬בוחרים באקראי תושב‪.‬‬
‫‪ .1‬מה ההסתברות שהוא מרכיב משקפיים?‬
‫‪ .2‬פי כמה גדול אחוז הגברים שמרכיבים משקפיים מאחוז הנשים שמרכיבות‬
‫משקפיים?‬
‫‪ )87‬בכד יש ‪ 8‬כדורים כחולים ו ‪ 4-‬כדורים ירוקים‪ .‬מוציאים באקראי בלי החזרה שני‬
‫כדורים מהכד‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות להוציא שני כדורים כחולים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שהכדור השני שיצא הוא כחול?‬
‫ג‪ .‬אם ידוע שהכדור השני שהוצא הוא כחול‪ ,‬מה ההסתברות שהכדור‬
‫הראשון גם יהיה כחול?‬
‫‪ )88‬בכד יש ‪ 10‬כדורים צהובים ו ‪ 4-‬כדורים שחורים‪.‬‬
‫מוציאים באקראי בלי החזרה שני כדורים מהכד‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות להוציא שני כדורים צהובים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שהכדור השני שיצא הוא צהוב?‬
‫ג‪ .‬אם ידוע כי הכ דור השני שהוצא הוא צהוב‪ ,‬מה ההסתברות שגם‬
‫הראשון הוא צהוב?‬
‫‪131‬‬
‫‪ )89‬בכד א' יש ‪ 5‬כדורים לבנים ו‪ 3-‬כדורים שחורים‪ .‬בכד ב' יש ‪ 4‬כדורים לבנים וכדור‬
‫אחד שחור‪ .‬מוציאים כדור מכד א'‪ .‬אם הוא שחור אז מוציאים כדורים נוסף מכד א'‬
‫ואם הוא לבן אז מוציאים כדור מכד ב'‪ .‬ידוע כי הכדור השני שהוצא הוא שחור‪.‬‬
‫חשב את ההסתברות שהכדור הוצא מכד ב'‪.‬‬
‫‪ )90‬בכד א' יש ‪ 3‬כדורים ירוקים ו‪ 2-‬כדורים אדומים‪ .‬בכד ב' יש ‪ 4‬כדורים ירוקים וכדור‬
‫אחד אדום‪ .‬מוציאים כדור מכד א'‪ .‬אם הוא ירוק אז מוציאים כדור נוסף מכד א' ואם‬
‫הוא אדום אז מוציאים כדור מכד ב'‪ .‬ידוע שהכדור השני שהוצא הוא אדום‪.‬‬
‫מה ההסתברות שהוא הוצא מכד א'?‬
‫‪ )91‬בכד יש ‪ 5‬כדורים אדומים‪ 3 ,‬כדורים כחולים ו‪ 2-‬כדורים צהובים‪.‬‬
‫מוציאים בלי החזרה שני כדורים מהכד‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות להוציא שני כדורים אדומים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות להוציא שני כדורים מאותו הצבע?‬
‫ג‪ .‬ידוע כי שני הכדורים שהוצאו הם מאותו הצבע‪ ,‬מה ההסתברות שהם אדומים?‬
‫‪ )92‬בכד יש ‪ 6‬כדורים אדומים‪ 3 ,‬כדורים לבנים ו‪ 2-‬כדורים סגולים‪.‬‬
‫מוציאים בלי החזרה שני כדורים מהכד‪ .‬ידוע כי שני הכדורים שהוצאו הם בעלי אותו‬
‫הצבע‪ ,‬מה ההסתברות ששניהם סגולים?‬
‫‪ )93‬קלע יורה שתי יריות ל מטרה‪ .‬ההסתברות שיפגע בירייה הראשונה היא ‪.0.6‬‬
‫אם הוא פגע בירייה הראשונה אז ההסתברות שיפגע גם בשנייה היא ‪.0.8‬‬
‫אם הוא החטיא בירייה הראשונה אז ההסתברות שיפגע בשנייה היא ‪.0.5‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שהקלע יפגע בירייה אחת בדיוק?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שהקלע יפגע בירייה השנייה?‬
‫ג‪ .‬ידוע כי הקלע פגע בירייה השנייה‪ ,‬מה ההסתברות שהוא פגע גם‬
‫בירייה הראשונה?‬
‫ד‪ .‬ידוע כי הקלע פגע בירייה השנייה‪ ,‬מה ההסתברות שהוא פגע במטרה‬
‫פעם אחת בדיוק?‬
‫‪ )94‬בארץ מסוימת כל יום הוא יום שמש או יום גשום‪.‬‬
‫ההסתברות ליום שמש לאחר יום שמש היא ‪ 0.4‬וההסתברות ליום גשום לאחר יום‬
‫גשום היא ‪ .0.7‬ביום ראשון היה גשום‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שהיום השלישי יהיה גם גשום?‬
‫ב‪ .‬ידוע כי היום השלישי הוא גשום‪ ,‬מה ההסתברות שהיום השני יהיה יום שמש?‬
‫‪132‬‬
‫תרגילים בהסתברות מותנה ונוסחת בייס עם נעלם אחד‪:‬‬
‫‪ )95‬בעיר מסוימת המונה ‪ 200,000‬תושבים ידוע כי ‪ 120,000‬מהם מרכיבים משקפיים‪.‬‬
‫מחצית מהתושבים שמעשנים הם מרכיבים משקפים ו‪ 20%-‬מהתושבים שמרכיבים‬
‫משקפיים הם מעשנים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו אחוז התושבים שמעשנים?‬
‫ב‪ .‬מהו אחוז התושבים שמעשנים ומרכיבים משקפיים?‬
‫ג‪ .‬מהו אחוז התושבים שלא מעשנים ולא מרכיבים משקפיים?‬
‫‪ 45% )96‬מהסטודנטים באוניברסיטה משתמשים במחשב נייד והשאר משתמשים‬
‫במחברות‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪9‬‬
‫מבין הסטודנטים שמשתמשים במחשב נייד אינם מרכיבים משקפיים‬
‫והסטודנטים שמשתמשים במחברות ולא מרכיבים משקפיים מהווים ‪ 60%‬מכלל‬
‫הסטודנטים שלא מרכיבים משקפיים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו אחוז הסטודנטים שמשתמשים במחשב נייד ולא מרכיבים משקפיים?‬
‫ב‪ .‬מהו אחוז הסטודנטים שמשתמשים במחברות מבין אלו שמרכיבים משקפיים?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות לבחור סטודנט שלא מרכיב משקפיים?‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ )97‬בחברה מסוימת עובדים פי ‪ 4‬גברים מנשים‪ .‬ל ‪ 75%-‬מהגברים אין תואר שני ו ‪ -‬מבין‬
‫העובדים בלי תואר שני הם גברים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו אחוז הגברים בחברה בלי תואר שני?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי עובד‪ .‬ידוע כי יש לו תואר שני‪ .‬מה ההסתברות שזו אישה?‬
‫ג‪ .‬הראה כי ההסתברות להיתקל באקראי באישה העובדת בחברה זהה להסתברות‬
‫להיתקל בגבר עם תואר שני‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ )98‬במפעל מסוים יש פי ‪ 3‬עובדים גברים מנשים‪ .‬ל ‪ -‬מהנשים יש רישיון נהיגה ומספר‬
‫הגברים בעלי הרישיון במפעל מהווים‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫מכלל העובדים עם רישיון‪.‬‬
‫א‪ .‬הראה כי למחצית מהעובדים יש רישיון נהיגה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות לבחור גבר מבין העובדים בלי רישיון נהיגה?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות לבחור אישה בלי רישיון מבין כל הנשים העובדות במפעל?‬
‫‪133‬‬
‫תרגילים בהסתברות מותנה ונוסחת בייס עם שני נעלמים‪:‬‬
‫‪ )99‬בעיר מסוימת ‪ 45%‬מהתושבים הם גברים ו‪ 55%-‬הם נשים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫מבין מרכיבי‬
‫המשקפים בעיר הם גברים ו‪ 50%-‬מהתושבים שאינם מרכיבים משקפיים הם נשים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו אחוז מרכיבי המשקפיים בעיר?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי תושב‪ .‬ידוע כי הוא גבר‪ .‬מה ההסתברות שהוא‬
‫מרכיב משקפיים?‬
‫ג‪ .‬פי כמה גדולה ההסתברות לפגוש אישה שלא מרכיבה משקפיים‬
‫מגבר שמרכיב משקפיים?‬
‫‪ )100‬במשחק כדורגל ‪ 27%‬מהצופים הם ילדים והשאר מבוגרים‪.‬‬
‫‪ 40%‬מבין האוהדים של קבוצה א' הם ילדים ו‪ 80%-‬מבין האוהדים של קבוצה ב'‬
‫הם מבוגרים‪ .‬לאיזו קבוצה יש יותר אוהדים?‬
‫תרגילים הכוללים טבלה שבה יש שלוש עמודות או שורות‪:‬‬
‫‪ )101‬בארץ מסוימת יש ‪ 3‬מפלגות – מפלגה א'‪ ,‬ב' ו‪-‬ג'‪ .‬בבחירות מצביעים גברים ונשים‪.‬‬
‫ידוע כי ‪ 55%‬מהאזרחים הם גברים‪ 60% .‬מהאזרחים הצביעו למפלגה א'‪.‬‬
‫‪ 15%‬הצביעו למפלגה ב' ו‪ 25%-‬הצביעו למפלגה ג'‪ 75% .‬מבין המצביעים למפלגה א'‬
‫הם גברים ו‪ 80%-‬מבין המצביעים למפלגה ג' הם נשים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא איזה חלק מהגברים הצביע למפלגה א'‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא איזה חלק מהנשים הצביע למפלגה ב'‪.‬‬
‫‪ )102‬במפעל מסוים מייצרים שוקולד ווניל על ידי ‪ 3‬מכונות‪ .‬מכונה א' מייצרת ‪80%‬‬
‫מהמוצרים‪ .‬מכונה ב' מייצרת ‪ 6%‬מהמוצרים ומכונה ג' מייצרת ‪.14%‬‬
‫ידוע כי מכונה א' מייצרת ‪ 80%‬ממוצרי הווניל ומכונה ב' מייצרת פי ‪ 5‬יותר ממוצרי‬
‫הווניל מאשר מוצרי השוקולד‪ .‬סך כל מוצרי הווניל שהמפעל מייצר הם ‪ 76%‬מכלל‬
‫המוצרים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו אחוז מוצר י השוקולד המיוצרים על ידי מכונה ב' ?‬
‫ב‪ .‬איזה חלק מבין מוצרי השוקולד מיוצרים על ידי מכונה א' ?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מבין המוצרים של מכונה ג' מהווים מוצרי הווניל ?‬
‫‪ )103‬במשק יש תרנגולים‪ ,‬אפרוחים ואווזים מפוטמים‪ .‬עקב בצורת קשה ‪ 47%‬מהעופות‬
‫איבדו משקל רב‪ .‬אחוז האווזים במשק הוא ‪ .20%‬ידוע כי ‪ 75%‬מהאפרוחים‬
‫ומהאווזים ירדו במשקל ו‪ 1/6-‬מהתרנגולות ירדו גם כן במשקל‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הוא אחוז התרנגולים במשק?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות לבחור תרנגול שלא איבד משקל כלל?‬
‫ג‪ .‬בוחרים עוף מהמשק‪ .‬ידוע כי הוא לא איבד משקל כלל‪.‬‬
‫מה ההסתברות שהוא אפרוח?‬
‫‪134‬‬
‫תרגילי חישוב הכוללים שימוש בנוסחאות בהסתברות‪:‬‬
‫‪ A )104‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בלתי תלויים בניסוי מקרי‪ .‬נתון‪. P(A)  0.9 , P(B)  0.4 :‬‬
‫חשב את‪ :‬א‪ P(A B) .‬ב‪. P(A B) .‬‬
‫‪ A )105‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בלתי תלויים בניסוי מקרי‪.‬‬
‫נתון‪ . P(A B)  0.3 , P(B)  0.5 :‬חשב את‪:‬‬
‫א‪. P(A) .‬‬
‫ב‪. P(A B) .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫)‪. P(A B‬‬
‫ד‪.‬‬
‫)‪( . P(A B‬רמז‪ :‬אם ‪ A‬ו‪ B-‬בלתי תלויים אז גם ‪ A‬ו ‪ B -‬בלתי תלויים)‪.‬‬
‫‪ A )106‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בלתי תלויים בניסוי מקרי‪.‬‬
‫נתון‪ . P(A B)  0.92 , P(A)  0.8 :‬חשב את‪:‬‬
‫א‪. P(B) .‬‬
‫ב‪. P(A B) .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הראה כי מתקיים התנאי‪. P(A B)  P(A) :‬‬
‫‪ A )107‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בניסוי מקרי‪.‬‬
‫נתון‪. P(A B)  0.1 , P(A)  0.4 , P(B)  0.75 :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המאורעות ‪ A‬ו‪ B-‬הם בלתי תלויים‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את‪. P(A B) :‬‬
‫(הסתמך על הטענה כי אם ‪ A‬ו ‪ B-‬בלתי תלויים אז גם ‪ A‬ו ‪ B -‬בלתי תלויים)‪.‬‬
‫‪ A )108‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בניסוי מקרי‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪, P( A ) ‬‬
‫נתון‪, P(B)  :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫א‪. P(A) .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ . P( B A) ‬חשב את‪:‬‬
‫)‪. P(A B‬‬
‫)‪. P(A B‬‬
‫‪ A )109‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בניסוי מקרי‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪P A‬‬
‫‪4‬‬
‫‪14‬‬
‫נתון‪B  1 :‬‬
‫‪. P(A B) ‬‬
‫‪, P(A B) ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15‬‬
‫‪2‬‬
‫‪P B‬‬
‫‪A‬‬
‫חשב את )‪ P(A‬ואת )‪. P(B‬‬
‫‪135‬‬
‫‪ A )110‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בניסוי מקרי‪.‬‬
‫נתון‪ B  2 :‬‬
‫‪P B  5‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P A‬‬
‫‪. P(A B)  0.15 , P(A B)  0.55 ,‬‬
‫חשב את )‪ P(A‬ואת )‪. P(B‬‬
‫‪ A )111‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בניסוי מקרי‪.‬‬
‫נתון‪. P(A)  P(B) , P(A B)  0.18 , P(A B)  0.72 :‬‬
‫חשב את )‪ P(A‬ואת )‪ P(B‬אם ידוע כי המאורעות ‪ A‬ו‪ B-‬הם בלתי תלויים‪.‬‬
‫‪ A )112‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בניסוי מקרי‪.‬‬
‫נתון‪. P(A)  P(B) , P(A B)  0.24 , P(A B)  0.86 :‬‬
‫חשב את )‪ P(A‬ואת )‪ P(B‬אם ידוע כי המאורעות ‪ A‬ו‪ B-‬הם בלתי תלויים‪.‬‬
‫תרגילי הוכחה בעזרת נוסחאות ההסתברות‪:‬‬
‫‪ A )113‬ו‪ B-‬הם מאורעות הניסוי מקרי‪ .‬נתון‪. A  B :‬‬
‫‪ ‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. P(A)  P A B  P(B) :‬‬
‫ב‪ A .‬ו‪ B-‬הם מאורעות תלויים‪.‬‬
‫‪ A )114‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בניסוי מקרי‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫א‪. P(A B)  P(A B)  P(A) .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. P(A B)  P(A) 1- P  B A ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ A )115‬ו ‪ B-‬הם שני מאורעות בניסוי מקרי‪ .‬הוכח‪. P A B  P A B  1 :‬‬
‫‪ A )116‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בניסוי מקרי‪ .‬נתון‪ . P(A)  0.7 , P(B)  0.9 :‬הוכח‪:‬‬
‫א‪. 0.9  P(A B)  1 .‬‬
‫ב‪. 0.6  P(A B)  0.7 .‬‬
‫‪ A )117‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בניסוי מקרי‪ .‬נתון‪ . P(A)  0.4 , P(B)  0.7 :‬הוכח‪:‬‬
‫א‪. 0.1  P(A B)  0.4 .‬‬
‫ב‪. 0.7  P(A B)  1 .‬‬
‫‪136‬‬
‫‪ )118‬בניסוי מקרי ההסתברות למאורע ‪ A‬היא‪ P(A)  0.4 :‬וההסתברות‬
‫למאורע ‪ B‬היא‪ . P(B)  0.2 :‬הוכח‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪. 0.4  P(A B)  0.6‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪. 0.8  P(A B)  1‬‬
‫‪ A )119‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בניסוי מקרי‪ .‬נתון‪ . P(A)  0.3 , P(B)  0.8 :‬הוכח‪:‬‬
‫א‪. 0.1  P(A B)  0.3 .‬‬
‫ב‪.  P  B A   1 .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.  P AB ‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ A )120‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בניסוי מקרי שמרחב המדגם שלו הוא ‪ . ‬הוכח‪:‬‬
‫‪.A B  -A B‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫)‪. P(A B)  1  P(A)  P(B)  P(A B‬‬
‫ג‪.‬‬
‫אם ‪ A‬ו‪ B-‬הם מאורעות בלתי תלויים אז גם ‪ A‬ו‪ B -‬יהיו בלתי תלויים‪.‬‬
‫‪ )121‬א‪ .‬הוכח בעזרת דיאגרמת וון את הנוסחה‪. P(A B)  P(A)  P(B)  P(A B) :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח בעזרת דיאגרמת וון כי כאשר ‪ A‬ו‪ B-‬הם קבוצות זרות‬
‫אז מתקיים‪. P(A B)  P(A)  P(B) :‬‬
‫‪ A )122‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בניסוי מקרי‪ .‬הוכח כי הנתונים הבאים הם בלתי אפשריים‬
‫לקיום‪. P(A)  0.6 , P(B)  0.8 , P(A B)  0.7 :‬‬
‫‪137‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪)1‬‬
‫א‪ 0.1288 .‬ב‪0.7912 .‬‬
‫‪ )4‬א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ )6‬א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪512‬‬
‫‪29‬‬
‫‪81‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ג‪ )2 . 0.0112 .‬א‪.‬‬
‫ד‪ )5 . 2 .‬א‪.‬‬
‫‪49‬‬
‫‪81‬‬
‫‪9‬‬
‫ג‪. 23 .‬‬
‫‪135‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪512‬‬
‫‪128‬‬
‫‪ )9‬א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪21‬‬
‫‪4‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫‪ )12‬א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪30‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪29‬‬
‫‪30‬‬
‫ג‪)13 . 2 .‬‬
‫א‪0.384 .‬‬
‫‪)14‬‬
‫‪ )16‬א‪0.16 .‬‬
‫‪)18‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪0.116‬‬
‫‪1‬‬
‫‪29‬‬
‫ב‪.‬‬
‫א‪0.448 .‬‬
‫‪24‬‬
‫‪145‬‬
‫ג‪ )3 . 9 .‬א‪.‬‬
‫‪32‬‬
‫‪0.432‬‬
‫‪ )7‬א‪ 0.15 .‬ב‪0.15 .‬‬
‫‪ )10‬א‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪64‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪64‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪0.568‬‬
‫ג‪ 0.2.‬ד‪ )11 . 97 .‬א‪.‬‬
‫‪145‬‬
‫‪0.164‬‬
‫‪13‬‬
‫‪25‬‬
‫‪5‬‬
‫ד‪.0.876 .‬‬
‫ג‪ )8 . 0.63 .‬א‪.‬‬
‫ב‪ 0.072 .‬ג‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪25‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪. 2 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪28‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪253‬‬
‫‪1435‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪295‬‬
‫‪448‬‬
‫‪71‬‬
‫‪287‬‬
‫ג‪. 223 .‬‬
‫‪448‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪. 561 .‬‬
‫‪1182‬‬
‫‪1435‬‬
‫‪1435‬‬
‫ד‪.0.212 .‬‬
‫ב‪ 0.056 .‬ג‪ 0.176 .‬ד‪ )15 . 0.964 .‬א‪ 0.24 .‬ב‪ 0.24 .‬ג‪.0.4 .‬‬
‫ב‪ 0.72 .‬ג‪ 0.36 .‬ד‪ )17 . 0.28 .‬א‪ 0.28 .‬ב‪ 0.36 .‬ג‪.0.04 .‬‬
‫א‪ 0.03 .‬ב‪0.47 .‬‬
‫ג‪ )19 . 0.33 .‬א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ )21‬א‪ .‬ב‪ 23 .‬ג‪ 19 .‬ד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪54‬‬
‫‪27‬‬
‫‪27‬‬
‫‪)25 . 115 )24‬‬
‫‪143‬‬
‫‪P  0.6‬‬
‫א‪P  0.3 .‬‬
‫‪)26‬‬
‫‪0.315‬‬
‫‪ )22 .‬א‪.‬‬
‫‪P  0.2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪73‬‬
‫‪405‬‬
‫‪)27‬‬
‫‪0.4825‬‬
‫ג‪ )20 .0.45 .‬א‪.‬‬
‫‪52‬‬
‫‪105‬‬
‫‪118‬‬
‫‪405‬‬
‫ג‪ )23 . 191 .‬א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪P  0.2‬‬
‫‪405‬‬
‫‪)28‬‬
‫א‪P  0.5 .‬‬
‫‪P  0.2‬‬
‫‪)29‬‬
‫‪39‬‬
‫‪70‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪32‬‬
‫‪135‬‬
‫ג‪. 64 .‬‬
‫‪117‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪52‬‬
‫‪75‬‬
‫ד‪. 37 .‬‬
‫‪75‬‬
‫‪P1  0.9 , P2  0.3‬‬
‫‪. P  0.4‬‬
‫ב‪)32 .0.3796 .‬‬
‫ב‪)31 .0.28.‬‬
‫‪)30‬‬
‫‪ )33‬א‪ P  0.3 , Q  0.4 .‬ב‪ 0.33 .‬ג‪. x  10 )35 P  0.7 , Q  0.6 )34 .0.51 .‬‬
‫‪ 5 )42 . x  5 )41 . x  2 )40 . x  4 )39 .12 )38 .2 )37 .4 )36‬אדומים ו‪ 3-‬לבנים‪.‬‬
‫‪ 8 )43‬כחולים ו ‪ 2-‬צהובים‪ 3 )44 .‬סגולים ו‪ 6-‬ירוקים‪.‬‬
‫‪ )45‬א‪ 0.3456 .‬ב‪ 0.1296 .‬ג‪ 0.8208 .‬ד‪.0.0256 .‬‬
‫‪ )46‬א‪ 0.3087 .‬ב‪ 0.16807 .‬ג‪ 0.36015 .‬ד‪.0.83692 .‬‬
‫‪ )47‬א‪ 0.03078 .‬ב‪ 0.52822 .‬ג‪ 0.1323 .‬ד‪.0.96922 .‬‬
‫‪ )48‬א‪ 0.3456 .‬ב‪ 0.1536 .‬ג‪ 0.1792 .‬ד‪.0.6544 .‬‬
‫‪ )49‬א‪ 0.0256 .‬ב‪ 0.0272 .‬ג‪ 0.8192 .‬ד‪.0.4752 )50 .0.1536 .‬‬
‫‪ )51‬א‪ 0.3456 .‬ב‪ 0.3456 .‬ג‪ 0.4752 .‬ד‪)52 .0.0256 .‬‬
‫‪ )53‬ב‪ 0.328 .‬ג‪)54 .0.672 .‬‬
‫‪)57 .0.21609 )56‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1944‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪1296‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪25‬‬
‫‪216‬‬
‫‪17‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪81‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪32‬‬
‫‪81‬‬
‫ג‪ . 3 .‬ד‪ )55 . 1 .‬א‪.‬‬
‫‪81‬‬
‫‪8‬‬
‫ג‪. 64 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪243‬‬
‫‪81‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪40‬‬
‫‪243‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪27‬‬
‫ד‪. 19 .‬‬
‫‪27‬‬
‫‪ )58 .‬א‪ 0.1536 .‬ב‪ 0.52822 .‬ג‪.0.08113 .‬‬
‫‪ )59‬א‪ 0.0023 .‬ב‪ 0.0157 .‬ג‪ 6.4 107 .‬ד‪ )60 .0.0193 .‬ב‪ 0.00082 .‬ג‪ 0.0176 .‬ד‪.0.02752 .‬‬
‫‪ )61‬א‪ 0.09335 .‬ב‪ 0.05808 .‬ג‪ 0.024 .‬ד‪.0.17543 .‬‬
‫‪)62‬‬
‫‪256‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪6561‬‬
‫א‪P  0.6 .‬‬
‫‪)65‬‬
‫‪5‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫‪)64‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪5.95 107‬‬
‫ג‪ 0.0625 .‬ד‪.0.2929 .‬‬
‫‪ )63‬א‪P  0.6 .‬‬
‫ב‪ 0.2304 .‬ג‪.0.91296 .‬‬
‫ב‪.0.07776 .2 0.08704 .1 .‬‬
‫ב‪ )66 .0.09346 .2 0.08392 .1 .‬א‪.‬‬
‫‪138‬‬
‫‪1053‬‬
‫‪2365‬‬
‫ב‪.0.304 .‬‬
‫‪ )67‬א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫ב‪ 0.86805 .‬ג‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪81‬‬
‫ד‪ )68 .0.0756 .‬א‪ 0.4116 .‬ב‪ 0.0016 .‬ג‪ 0.9477 .‬ד‪.0.6517 .‬‬
‫‪ )69‬ב‪ 0.02835 .‬ג‪ 0.0768 .‬ד‪.0.1335 .‬‬
‫‪ )70‬א‪ 0.2646 .‬ב‪ 0.9477 .‬ג‪ 0.1296 .‬ד‪ )71 .0.8074 .‬א‪.‬‬
‫א‪P  0.1 .‬‬
‫‪)72‬‬
‫‪)74‬‬
‫א‪P  0.4 .‬‬
‫‪)77‬‬
‫א‪P  0.8 .‬‬
‫‪15‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪1024‬‬
‫‪625‬‬
‫‪4096‬‬
‫‪11‬‬
‫‪256‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪. 189 .‬‬
‫‪256‬‬
‫ב‪ 0.6561 .‬ג‪ )73 .0.0486 .‬א‪ P  0.7 .‬ב‪ 0.3087 .‬ג‪.0.0081 .‬‬
‫ב‪ )75 .0.08704 .‬א‪ P  0.8 .‬ב‪ )76 .0.00032 .‬א‪ P  0.6 .‬ב‪.0.1536 .‬‬
‫‪ )78‬א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫ב‪ )79 . 27 .‬א‪ 24% .‬ב‪ 60% .‬ג‪.15% .‬‬
‫‪P‬‬
‫‪64‬‬
‫‪ )80‬א‪ 32% .‬ב‪ 60% .‬ג‪ 20% .‬ד‪ )81 . 80% .‬א‪ 0.47 .‬ב‪ 0.48 .‬ג‪.0.7 .‬‬
‫‪1‬‬
‫ג‪ )83 .0.9 .‬א‪ 70% .‬ב‪ 80% .‬ג‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )82‬א‪ 10% .‬ב‪0.8 .‬‬
‫‪ )85‬א‪20% .‬‬
‫‪5‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫ב‪P  0.375 .‬‬
‫‪ )87‬א‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫‪33‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ )91‬א‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ )94‬א‪.‬‬
‫‪P  0.67‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ P  2‬ג‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫‪3‬‬
‫‪14‬‬
‫‪45‬‬
‫‪P‬‬
‫ג‪)92 . P  5 .‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ )101‬א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪19‬‬
‫‪P‬‬
‫ב‪P  0.75 .‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ )93 . P ‬א‪.‬‬
‫ג‪.1 .‬‬
‫‪P  0.65‬‬
‫‪.1.6 .2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪13‬‬
‫‪)89 . P ‬‬
‫‪7‬‬
‫‪13‬‬
‫‪P  0.32‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪P  0.68‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪. P  15 )90 . P ‬‬
‫‪19‬‬
‫‪12‬‬
‫‪17‬‬
‫‪P‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪17‬‬
‫‪.P ‬‬
‫ב‪ )95 . P  18 .‬א‪ 24% .‬ב‪ 12% .‬ג‪ )96 .28% .‬א‪ 20% .‬ב‪ 50% .‬ג‪. P  0.5 .‬‬
‫‪67‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9‬‬
‫‪11‬‬
‫‪45‬‬
‫‪91‬‬
‫‪ )88 . P ‬א‪.‬‬
‫‪ )97‬א‪ 60% .‬ב‪ )98 . P  1 .‬ב‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪)86 . P ‬‬
‫‪4‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ )84‬א‪ 4% .‬ב‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫‪15‬‬
‫‪P‬‬
‫ג‪.12.5% .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9‬‬
‫‪P‬‬
‫‪9‬‬
‫‪14‬‬
‫‪P‬‬
‫ג‪ )99 . P  5 .‬א‪ 40% .‬ב‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪P‬‬
‫ג‪ .‬פי ‪ )100 .2‬ב'‪.‬‬
‫‪ )102‬א‪ 1% .‬ב‪ 0.8 .‬ג‪ )103 . 51 .‬א‪ 48% .‬ב‪.‬‬
‫‪70‬‬
‫‪P  0.4‬‬
‫‪ )104‬א‪ 0.36 .‬ב‪ )105 .0.94 .‬א‪ 0.6 .‬ב‪ 0.8 .‬ג‪ 0.2 .‬ד‪ )106 .0.7 .‬א‪ 0.6 .‬ב‪.0.48 .‬‬
‫‪ )107‬ב‪ )108 .0.9 .‬א‪ 0.8 .‬ב‪ 0.32 .‬ג‪. P(A)  0.4 , P(B)  0.8 )109 .0.88 .‬‬
‫‪. P(A)  0.8 , P(B)  0.3 )112 P(A)  0.3 , P(B)  0.6 )111 . P(A)  0.2 , P(B)  0.5 )110‬‬
‫‪139‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪53‬‬
‫‪.‬‬
‫תרגול נוסף ‪ -‬שאלות משולבות‪:‬‬
‫‪ )1‬בבתי הספר בעיר נערכו שני מבחנים‪ 80% .‬מתלמידי העיר עברו את המבחן הראשון‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫מבין התלמידים שעברו את המבחן הראשון עברו גם את השני ו ‪-‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫מהתלמידים‬
‫שנכשלו במבחן הראשון נכשלו גם בשני‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים באקראי תלמיד‪ .‬מה הסתברות שהוא עבר את אחד המבחנים?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 4‬תלמידים‪.‬‬
‫מה ההסתברות שבדיוק אחד מהם עבר את אחד המבחנים?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מבין התלמידים שנכשלו במבחן השני מהווה קבוצת התלמידים‬
‫שנכשלו גם במבחן הראשון?‬
‫ד‪ .‬בוחרים ‪ 5‬תלמידים‪ .‬ידוע כי כולם עברו את המבחן הראשון‪.‬‬
‫מה ההסתברות ש ‪ 4-‬מהם נכשלו במבחן השני?‬
‫‪ )2‬במדינה מסוימת‬
‫‪19‬‬
‫‪60‬‬
‫מהאזרחים הם גברים ו‪-‬‬
‫‪41‬‬
‫‪60‬‬
‫הן נשים‪ 30% .‬מבין מרכיבי‬
‫המשקפיים במדינה זו הם גברים ו‪ 40%-‬מבין אלו שלא מרכיבים משקפיים הם גברים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות למצוא אישה במדינה זו שאינה מרכיבה משקפיים?‬
‫ב‪ .‬בוחרים ‪ 4‬אנשים‪ .‬מה ההסתברות שבדיוק שניים מהם הם נשים שאינן‬
‫מרכיבות משקפיים?‬
‫ג‪ .‬בוחרים אזרח‪ .‬ידוע כי הוא גבר‪ .‬מה ההסתברות שהוא מרכיב משקפיים?‬
‫ד‪ .‬מה ההסתברות לבחור ‪ 5‬גברים שוודאי לא כולם מרכיבים משקפיים?‬
‫‪ )3‬בבית ספר מסוים ישנם תלמידים המרכיבים משקפיים‪ .‬ידוע כי אם בוחרים ‪3‬‬
‫תלמידים אז ההסתברות ששלושתם מרכיבים משקפיים היא ‪.0.027‬‬
‫א‪ .‬מצא את אחוז מרכיבי המשקפיים בבית הספר‪.‬‬
‫בבית הספר ההסתברות להיתקל בתלמיד גדולה ב ‪ 0.1-‬מההסתברות להיתקל‬
‫בתלמידה ומספר הבנים שמרכיבים משקפיים זהה למספר הבנות שמרכיבות‬
‫משקפיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות להיתקל בחצר בית הספר בתלמיד שאינו מרכיב משקפיים?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מכלל הבנות בבית הספר מהוות הבנות שאינן מרכיבות משקפיים?‬
‫ד‪ .‬בוחרים ‪ 4‬תלמידים‪ .‬ידוע כי כולן בנות‪.‬‬
‫מה ההסתברות כי אחת מהן תרכיב משקפיים?‬
‫‪140‬‬
‫‪ )4‬בכד ישנם ‪ 12‬כדורים‪ ,‬חלקם לבנים וחלקם שחורים‪.‬‬
‫אם מוציאים עם החזרה שני כדורים מהכד ההסתברות ששניהם יהיו בעלי אותו‬
‫הצבע היא ‪. 13‬‬
‫‪18‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות להוציא כדור שחור מהכד אם ידוע כי יש יותר כדורים שחורים?‬
‫על ‪ 40%‬מהכדורים השחורים רשום מספר ועל מחצית הכדורים הלבנים לא‬
‫רשום כלום‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות להוציא מהכד כדור שחור שרשום עליו מספר?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מבין הכדורים שרשום עליהם מספר מהווים הכדורים הלבנים?‬
‫ד‪ .‬מוציאים עם החזרה ‪ 4‬כדורים‪ .‬ידוע כי על כל הכדורים הללו היה רשום מספר‪.‬‬
‫מה ההסתברות שבדיוק כדור אחד יהיה לבן?‬
‫‪ )5‬מפעל מייצר שולחנות וכיסאות‪ .‬בוחרים ‪ 4‬רהיטים‪ .‬ידוע כי ההסתברות שכולם יהיו‬
‫כיסאות זהה להסתברות שיהיה שולחן אחד בדיוק בניהם‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ההסתברות לבחור כיסא‪.‬‬
‫במפעל צובעים את הרהיטים בשחור או לבן‪ .‬רבע מהשולחנות נצבעים בשחור ורבע‬
‫מהכיסאות נצבעים בלבן‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות לבחור כיסא שחור?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מבין הרהיטים הלבנים מהווים השולחנות?‬
‫ד‪ .‬בוחרים ‪ 3‬רהיטים לבנים‪ .‬מה ההסתברות כי לפחות אחד מהם יהיה שולחן?‬
‫‪ )6‬במפעל לייצור ברגים פועלים שני פסי ייצור – פס ייצור א' ופס ייצור ב'‪.‬‬
‫ידוע כי אם בוחרים ‪ 5‬ברגים אז ההסתברות ששלושה מהם מיוצרים על ידי פס הייצור‬
‫השני גדולה פי ‪ 4.5‬מההסתברות שאחד מהם מיוצר על ידי פס הייצור הנ"ל‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ההסתברות לבחור בורג המיוצר על ידי פס הייצור הראשון‪.‬‬
‫מתוך כל ‪ 100‬ברגים שהמפעל מייצר ‪ 7‬פגומים‪ .‬ומתוך כל ‪ 10‬ברגים היוצאים מפס‬
‫הייצור הראשון אחד הוא פגום‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו אחוז הברגים התקינים שמיוצרים על ידי פס הייצור השני?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מבין הברגים הפגומים מהווים אלו שיוצאים מפס הייצור הראשון?‬
‫ד‪ .‬מה ההסתברות שמתוך הוצאת ‪ 3‬ברגים פגומים שניים יהיו מפס הייצור‬
‫הראשון?‬
‫‪ )7‬בעיר מסוימת נערכו בחירות מקומיות‪ .‬ידוע כי אם בוחרים באקראי ‪ 4‬אזרחים‬
‫שתמַ צא אישה אחת בניהם קטנה פי ‪ 16‬מההסתברות להיתקל באישה‬
‫ההסתברות ִ‬
‫באופן אקראי‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הוא אחוז הגברים בעיר?‬
‫‪141‬‬
‫בעיר שלושה מועמדים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪11‬‬
‫מהמצביעים למועמד א' הם גברים‪ 60% ,‬מהמצביעים‬
‫למועמד ב' הם גברים ו‪ 25%-‬מהמצביעים למועמד ג' הם גברים‪ .‬אחוז המצביעים‬
‫למועמד ג' הוא ‪.20%‬‬
‫ב‪ .‬איזה מועמד קיבל את רוב הקולות?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מבין כל הנשים מהווה קבוצת הנשים שהצביעו למועמד המנצח?‬
‫ד‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 4‬נשים‪ .‬מה ההסתברות ששלושה מהן הצביעו למועמד‬
‫המנצח?‬
‫‪ )8‬חלק מהסטודנטים באוניברסיטה נעזרים בספרי לימוד חיצוניים‪.‬‬
‫ידוע כי ההסתברות לבחור ‪ 2‬סטודנטים הנעזרים בספרי לימוד חיצוניים קטנה ב ‪0.1-‬‬
‫מההסתברות לבחור שני סטודנטים שאינם נעזרים בספרי לימוד חיצוניים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו אחוז הסטודנטים שנעזרים בספרי לימוד חיצוניים?‬
‫האוניברסיטה מוכרת ספרי לימוד ב‪ 3-‬מקצועות לכלל הסטודנטים‪ .‬כל אחד‬
‫מהסטודנטים קנה ספר אחד בדיוק ‪ .‬ידוע כי כמות הסטודנטים שקנו את ספר א'‬
‫וכמות הסטודנטים שקנו את ספר ג' זהות‪ .‬כמו כן‪,‬‬
‫גם בספרים חיצוניים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫מאלו שקנו את ספר ג' נעזרים‬
‫מהסטודנטים שקנו את ספר ב' נעזרים בספרי לימוד‬
‫חיצוניים וכמות הסטודנטים שקנו את ספר א' ונעזרים בספרי לימוד חיצוניים‬
‫מהווים‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫מכלל הסטודנטים שנעזרים בספרי לימוד חיצוניים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו אחוז הסטודנטים שקנו את ספר ב' ואינם נעזרים בספרי לימוד חיצוניים?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מהווים הסטודנטים שקנו את ספר ג' מכלל הסטודנטים שאינם‬
‫נעזרים בספרי לימוד חיצוניים?‬
‫ד‪ .‬בוחרים ‪ 4‬סטודנטים שאינם נעזרים בספרי לימוד חיצוניים‪ .‬מה ההסתברות‬
‫שאחד מהם קנה את ספר ג'?‬
‫‪ )9‬במפעל גדול ההסתברות שמתוך ‪ 4‬עובדים לפחות אחד ירכיב משקפיים היא ‪.0.5904‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לבחור עובד שלא מרכיב משקפיים?‬
‫ידוע כי ‪ 40%‬מהפועלים שמרכיבים משקפיים הם מעשנים ו‪ 20%-‬מבין העובדים‬
‫המעשנים הם מרכיבים משקפיים‪.‬‬
‫מה ההסתברות לבחור עובד שמרכיב משקפיים בלבד או מעשן בלבד?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 4‬עובדים‪ .‬מה ההסתברות ששניים מהם או מרכיבים‬
‫משקפיים או מעשנים?‬
‫ג‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 5‬עובדים‪ .‬מה ההסתברות שרוב העובדים שנבחרו הם‬
‫מעשנים?‬
‫‪142‬‬
‫‪ )10‬בעיר מסוימת נערכות בחירות‪ .‬ידוע כי אם בוחרים ‪ 4‬תושבים אז ההסתברות שלפחות‬
‫אחד מהם יצביע למועמד ב' היא ‪. 65‬‬
‫‪81‬‬
‫א‪ .‬איזה חלק מהתושבים הצביעו למועמד א'?‬
‫בעיר זו יש תושבים מבוגרים וצעירים‪ .‬ידוע כי‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫מהצעירים הצביעו למועמד א' וכי‬
‫ההסתברות לבחור מבוגר שהצביע למועמד ב' היא‬
‫‪2‬‬
‫‪15‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו אחוז התושבים הצעירים שהצביעו למועמד ב'?‬
‫ג‪ .‬איזה אחוז מהווים התושבים הצעירים מבין אלו שהצביעו למועמד א'?‬
‫ד‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 5‬תושבים שהצביעו למועמד א'‪ .‬מה ההסתברות שרובם יהיו‬
‫צעירים?‬
‫‪ )11‬כדי להתקבל לחברת היי‪ -‬טק יש לעבור ראיונות משלושה בעלי תפקידים בסדר הבא‪:‬‬
‫מהנדס ראשי‪ ,‬אחראי משמרת ומנכ"ל החברה‪ .‬כל אחד מבעלי התפקידים נותן חוות‬
‫דעת חיובית או שלילית על המועמד לעבודה‪ .‬מועמד שמתקבל לחברה חייב לקבל‬
‫חוות דעת חיובית משלושת בעלי התפקידים‪.‬‬
‫ידוע כי המהנדס הראשי נותן חוות דעת חיובית ל‪ 3 -‬מהמועמדים‪ .‬אחראי המשמרת‬
‫‪5‬‬
‫קורא את חוות הדעת של המהנדס הראשי וב‪ 1 -‬מהמקרים נותן חוות דעת הפוכה מזו‬
‫‪6‬‬
‫של המהנדס הראשי‪ .‬מנכ"ל החברה קורא את חוות הדעת של אחראי המשמרת וב ‪-‬‬
‫‪7‬‬
‫‪10‬‬
‫נותן חוות דעת זהה לשלו‪.‬‬
‫א‪ .1 .‬מה ההסתברות שמועמד יקבל חו ות דעת חיובית מאחראי המשמרת?‬
‫‪ . 2‬ידוע כי אחראי המשמרת נתן חוות חיובית‪ .‬מה ההסתברות שהמהנדס‬
‫הראשי ייתן חוות דעת שלילית?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שמועמד יקבל עבודה בחברה?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שמועמד יקבל חוות דעת שלילית מהמנכ"ל?‬
‫ד‪ .‬לאחר היעדר עובדים שינתה החברה את מדיניותה וקבעה כי כדי להתקבל‬
‫לעבודה יש לעבור לפחות שני ראיונות בהצלחה‪ ,‬אך חוות הדעת של המנכ"ל‬
‫חייבת להיות חיובית‪.‬‬
‫ה‪ .‬מה ההסתברות כעת לקבל עבודה בחברה?‬
‫‪ )12‬כדי להתקבל לעבודה בחברת משקאות יש לעבור שלושה ראיונות על ידי שלושה בעלי‬
‫תפקידים בסדר הבא‪ :‬אחראי משמרת‪ ,‬מנהל ראש י ומנכ"ל החברה‪ .‬כל בעל מקצוע‬
‫נותן חוות דעת חיובית או שלילית בלבד‪ .‬כדי שמועמד יקבל עבודה בחברה עליו לעבור‬
‫בהצלחה לפחות את אחד מהראיונות עם אחראי המשמרת והמנהל הראשי‪ ,‬אך‬
‫הראיון עם המנכ"ל חייב לעבור בהצלחה (כדי שמועמד יקבל עבודה המנכ"ל צריך‬
‫לתת לו חוות דעת חי ובית)‪ .‬ידוע כי אחראי המשמרת נותן חוות דעת חיובית ל ‪-‬‬
‫‪143‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫מהמועמדים‪ .‬המנהל הראשי קורא את חוות הדעת של אחראי המשמרת וב‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫מהמקרים נותן חוות דעת הפוכה מזו של אחראי המשמרת‪ .‬מנכ"ל החברה נותן חוות‬
‫דעת חיובית ל‪ 80%-‬מהמועמדים בלי קשר לחוות הדעת הקודמות‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לקבל חוות דעת חיובית מהמנהל הראשי?‬
‫ב‪ .‬ידוע כי המנהל הראשי נתן חוות דעת חיובית‪ ,‬מה ההסתברות שגם אחראי‬
‫המשמרת נתן חוות דעת חיובית?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות להתקבל לחברה?‬
‫ד‪ .‬במהלך שעות הקבלה ביום מסוים הגיעו ‪ 5‬מועמדים‪ ,‬מה ההסתברות שלפחות‬
‫אחד מהם קיבל עבודה?‬
‫‪ )13‬כדי להתקבל לעבוד בחברת ההיי‪-‬טק ‪ Techno‬יש לעבור שני ראיונות משני בעלי‬
‫מקצוע‪ ,‬תחילה על ידי המהנדס הראשי ואחריו על ידי מנכ"ל החברה‪ .‬כל בעל מקצוע‬
‫נותן חוות דעת חיובית‪ ,‬שלילית או שנמנע מלקבוע‪ .‬כדי שמועמד יתקבל לחברה עליו‬
‫לעבור לפחות ראיון אחד עם חוות דעת חיובית‪ .‬ידוע כי המהנדס הראשי נותן חוות‬
‫דעת חיובית ל‪ 1 -‬מהמועמדים ו‪ 2 -‬מהם הוא משאיר בלי קביעה‪ .‬המנכ"ל קורא את‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫חוות הדעת של המהנדס הראשי וקובע את חוות הדעת שלו בצורה הבאה‪:‬‬
‫אם המהנדס נתן חוות דעת חיובית‪ ,‬אז המנכ"ל ייתן גם חוות דעת חיובית ב‪60%-‬‬
‫מהמקרים‪ .‬אם המהנדס נתן חוות דעת שלילית‪ ,‬אז המנכ"ל נמנע מלקבוע ב‪60%-‬‬
‫מהמקרים ובשאר המקרים הוא נותן חוות דעת חיובית‪ .‬אם המהנדס נמנע מלקבוע‬
‫אז המנכ"ל ייתן חוות דעת חיובית או שלילית בלבד‪ .‬הסיכוי שהמנכ"ל ייתן במקרה‬
‫זה חוות דעת חיובית גדול פי ‪ 3‬מהסיכוי שייתן חוות דעת שלילית‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לקבל חוות דעת חיובית מהמנכ"ל?‬
‫ב‪ .‬ידוע כי המנכ"ל נתן חוות דעת חיובית‪.‬‬
‫מה ההסתברות שגם המהנדס נתן חוות דעת חיובית?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות להתקבל לחברה?‬
‫ד‪ .‬ביום מסוים הגיעו ‪ 5‬מועמדים‪.‬‬
‫מה ההסתברות שבדיוק ‪ 3‬מהם קיבלו עבודה באותו היום?‬
‫‪ )14‬לכבוד חנוכה קנתה סבתא תקווה לשתי נכדותיה‪ ,‬שני ושרון‪ ,‬סביבונים עם סוכריות‬
‫בתוכם‪ .‬בכל סביבון יש ‪ 7‬סוכריות שוקולד ו ‪ 4-‬סוכריות מנטה‪ .‬שרון לקחה את סביבון‬
‫אחד והוציאה ממנו באקראי (בלי החזרה) ‪ 4‬סוכריות‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שכל הסוכריות שהוציאה שרון הן סוכריות מנטה?‬
‫ב‪ .‬שני לקחה ‪ 4‬סביבונים והוציאה באקראי מכל סביבון סוכרייה אחת‪.‬‬
‫האם ההסתברות ששני תוציא ‪ 4‬סוכריות מנטה גבוהה יותר או נמוכה יותר‬
‫מההסתברות שחשבת בסעיף א'? נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬שני הוציאה באקראי סוכרייה אחת מכל סביבון מתוך ארבעת הסביבונים‬
‫שברשותה‪ .‬ידוע שבין הסוכריות שבידה יש יותר סוכריות מנטה‪ .‬מה ההסתברות‬
‫שכל הסוכריות שיש לשני ביד יהיו בטעם מנטה?‬
‫‪144‬‬
‫‪ )15‬רפי וציון קנו במכולת חבילות של מסטיק מנטוס צבעוני‪ .‬ציון קנה ‪ 3‬חבילות ורפי קנה‬
‫רק חבילה אחת‪ .‬בכל חבילה יש ‪ 10‬סוכריות‪ ,‬חלקן ורודות וחלקן צהובות‪ .‬רפי מוציא‬
‫באקראי (בלי החזרה) שתי סוכריות מהחבילה שקנה‪ .‬ידוע כי ההסתברות ששתיהן‬
‫תהיינה ורודות קטנה פי ‪ 4‬מההסתברות להוציא סוכרייה ורודה וסוכרייה צהובה‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה סוכריות מכל צבע יש בכל חבילה?‬
‫ב‪ .‬רפי מחזיר את הסוכריות בחזרה לחבילה ולאחר מכן מוציא‬
‫באקראי ‪ 3‬סוכריות נוספות (בלי החזרה)‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שכל הסוכריות שהוציא רפי הן צהובות?‬
‫ד‪ .‬ציון מוציא באקראי סוכרייה מכל חבילה‪ .‬האם ההסתברות של ציון‬
‫להוציא ‪ 3‬סוכריות צהובות גבוהה או נמוכה מזו של רפי?‬
‫ה‪ .‬ציון מוציא מכל חבילה שתי סוכריות‪ .‬מה ההסתברות שלו להוציא מכל‬
‫חבילה סוכרייה אחת ורודה ואחת צהובה?‬
‫‪ )16‬בחדר יש ‪ x‬גברים ו‪ 3x -‬נשים‪ .‬משחקים את המשחק הבא‪ :‬בוחרים באקראי שני‬
‫אנשים מהחדר בזה אחר זה (בלי החזרה)‪ .‬ידוע כי ההסתברות לבחור שני אנשים‬
‫מאותו המין היא‬
‫‪13‬‬
‫‪22‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה נשים יש בחדר‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי האדם השני שנבחר הוא גבר‪.‬‬
‫מה ההסתברות שגם הראשון שנבחר הוא גבר?‬
‫ג‪ .‬משחקים את המשחק ‪ 4‬פעמים‪ .‬ידוע כי בכל הפעמים נבחר גבר בפעם השנייה‪.‬‬
‫מה ההסתברות שבדיוק ב‪ 3-‬פעמים יבחר גבר גם בפעם הראשונה?‬
‫ד‪ .‬ידוע כי מתוך ‪ 4‬הפעמים שמשחקים את המשחק (ונבחר גבר בפעם השנייה)‬
‫נבחר גבר גם בפעם הראשונה ברוב המקרים‪ .‬מה ההסתברות שיבחר גבר בפעם‬
‫הראשונה ב ‪ 3-‬פעמים בדיוק‪.‬‬
‫‪ )17‬בכד יש פי ‪ 5‬כדורים כחולים מאדומים‪ .‬מוציאים מהכד כדור‪ .‬אם הוא כחול אז‬
‫משאירים אותו בחוץ ואם הוא אדום אז מחזירים אותו לכד‪ .‬לאחר מכן מוציאים כדור‬
‫נוסף מהכד‪ .‬ידוע כי ההסתברות להוציא שני כדורים בצבעים שונים היא‪.175/612 :‬‬
‫א‪ .‬כמה כדורים מכל צבע יש בכד?‬
‫ב‪ .‬ידוע כי הכדור השני שנבחר הוא כחול‪ ,‬מה ההסתברות שהכדור הראשון‬
‫שנבחר היה אדום?‬
‫ג‪ .‬חוזרים על התהליך ‪ 5‬פעמים‪.‬‬
‫ידוע כי בכל חמשת הפעמים הכדור השני שהוצא הוא כחול‪ ,‬מה ההסתברות‬
‫שברוב הפעמים הכדור הראשון שיצא הוא אדום?‬
‫‪145‬‬
‫‪ )18‬בסיטונאות מזון ידוע כי ‪ 40%‬מבין הסכו"ם החד‪-‬פעמי הוא תוצרת חו"ל והשאר‬
‫תוצרת הארץ‪ 40% .‬מבין הסכו"ם המיובא מחו"ל הם צבעוניים והשאר שקופים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לבחור בסיטונאות המזון סכו"ם שקוף המיובא מחו"ל?‬
‫ב‪ .1 .‬בוחרים ‪ 5‬כלים בחנות באופן אקראי‪ .‬מה ההסתברות שלכל היותר כלי אחד‬
‫הוא כלי שקוף תוצרת חו"ל?‬
‫‪ . 2‬מה ההסתברות שבדיוק אחד מחמשת הכלים הוא כלי שקוף תוצרת חו"ל‬
‫אם ידוע כי לכל היותר כלי אחד הוא שקוף תוצרת חו"ל?‬
‫ג‪ .‬בוחרים שני כלים באופן אקראי וידוע כי ההסתברות ששניהם שקופים היא‬
‫‪ . 0.4096‬איזה חלק מהווים כלי הסכו"ם השקופים מבין כלי הסכו"ם תוצרת‬
‫הארץ?‬
‫‪ )19‬בכד יש ‪ 9‬כדורים‪ ,‬חלקם כחולים והשאר לבנים‪ .‬מוציאים כדור מהכד‪ .‬אם הוא כחול‬
‫אז מחזירים אותו לכד ומוסיפים ‪ 4‬כדורים לבנים ואם הוא לבן אז מחזירים אותו‬
‫לכד ומוסיפים ‪ 4‬כדורים כחולים‪ .‬לאחר מכן מוציאים כדור נוסף‪ .‬נתון שההסתברות‬
‫שהכדור הראשון שיצא הוא כח ול אם ידוע כי הכדור השני כחול היא ‪.6/11‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה כדורים כחולים יש בכד‪.‬‬
‫ב‪ .‬חוזרים על התהליך ‪ 6‬פעמים‪ .‬מצא את ההסתברות שלפחות פעם אחת‬
‫יבחרו שני כדורים כחולים בזה אחר זה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שמתוך ‪ 6‬פעמים שחוזרים על התהליך יבחר בדיוק ‪ 3‬פעמים‬
‫כדור כחול בשתי ההוצאות אם ידוע כי לפחות פעם אחת (מתוך ה‪ )6-‬נבחרו‬
‫שני כדורים בזה אחר זה ?‬
‫‪ )20‬בחדר ‪ x‬גברים ו ‪ x  2 -‬נשים‪ .‬זורקים קוביית משחק מאוזנת‪.‬‬
‫אם מתקבל מספר הגדול מ ‪ 4-‬אז מוסיפים לחדר ‪ x‬גברים ואם מתקבל מספר הקטן‬
‫או שווה ל‪ 4-‬אז מוסיפים לחדר ‪ x‬נשים‪ .‬לאחר מכן מוציאים אדם מהחדר‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה נשים יש בחדר אם ידוע כי ההסתברות לבחור אישה היא ‪.21/33‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שתצא אישה מהחדר לאחר שנוספו לחדר נשים אם ידוע כי‬
‫וודאי יצאה אישה מהחדר?‬
‫ג‪ .‬אנשי החדר לובשים חולצות אדו מות או לבנות בלבד‪ .‬ידוע כי החלק היחסי של‬
‫האנשים הלובשים חולצות לבנות בחדר גדול פי ‪ 16‬מהחלק היחסי של הגברים‬
‫הלובשים חולצות אדומות‪ .‬כמו כן ההסתברות של הגברים מבין כל אלו‬
‫שלובשים חולצות אדומות היא ‪.0.25‬‬
‫ד‪ . 1 .‬מצא מה ההסתברות לבחור גבר הלובש חולצה אדומה בחדר‪.‬‬
‫‪ .2‬בוחרים ‪ 5‬אנשים מהחדר (בלי הוצאה) וידוע כי כולם לובשים חולצות אדומות‪.‬‬
‫מה ההסתברות שרובם נשים? מה ההסתברות שכל הנשים לובשות חולצות‬
‫אדומות אם ידוע כי רוב הנשים לובשות חולצות אדומות?‬
‫‪146‬‬
‫‪ )21‬בקלמר יש ‪ 6‬עפרונות ו‪ 3-‬עטים‪ .‬בתיק יש ‪ 9‬כלי כתיבה ‪ x -‬עפרונות והשאר עטים‪.‬‬
‫מוציאים באקראי כלי כתיבה מהקלמר ומכניסים אותו לתיק‪.‬‬
‫לאחר מכן מוציאים מהתיק כלי כתיבה נוסף‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה עפרונות יש בתיק אם ידוע כי ההסתברות שכלי הכתיבה שהוצא‬
‫‪13‬‬
‫מהקל מר שונה מכלי הכתיבה שהוצא מהתיק היא‬
‫‪30‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬מחזירים את המצב לקדמותו ומבצעים את הפעולה הבאה‪:‬‬
‫מוציאים באקראי כלי כתיבה מהקלמר‪ ,‬מתבוננים בו ומחזירים אותו חזרה‪.‬‬
‫אם יצא עט אז לוקחים ‪ y‬עטים מהתיק ושמים בקלמר‪ ,‬ואם יצא עפרון אז‬
‫לוקחים ‪ 3‬עפרונות מהקלמר ושמים אותם בתיק‪ .‬לאחר מכן מוציאים שני‬
‫כלי כתיבה מהתיק בזה אחר זה‪ .‬מצא את ‪ y‬אם ידוע כי ההסתברות לקבל‬
‫‪50‬‬
‫שני עפרונות היא‪:‬‬
‫‪99‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )22‬נתון שק עם ‪ 16‬כדו רים בתוכו המחולקים לשני צבעים‪ :‬אדום וכחול‪.‬‬
‫מוציאים מהכד שני כדורים בזה אחר זה ללא החזרה‪ .‬ידוע כי ההסתברות לקבל שני‬
‫‪1‬‬
‫כדורים בצבעים שונים גדולה ב ‪-‬‬
‫‪32‬‬
‫מההסתברות לקבל שני כדורים בצבעים שונים‬
‫אילו ההוצאה הייתה עם החזרה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה כדורים מכל צבע יש בשק אם ידוע כי יש יותר כדורים כחולים‪.‬‬
‫ב‪ .‬שני ושרון משחקות את המשחק הבא‪:‬‬
‫תחילה הן מחזירות את כל הכדורים לשק‪ .‬שני מוציאה ‪ 3‬כדורים בזה אחר זה ללא‬
‫החזרה מהשק‪ ,‬מתבוננת בהם ומחזירה חזרה‪ .‬שרון מוציאה ‪ 3‬כדורים עם החזרה‬
‫בזה אחר זה ומתבוננת בהם‪ .‬כל אחת מהבנות טוענת כי שיטתה היא זו שתיתן‬
‫הסתברות גבוהה יותר להוציא ‪ 3‬כדורים מאותו הצבע‪ .‬מי מהבנות צודקת?‬
‫ג‪ .‬שי‪ ,‬אחיהן הגדול של הבנות‪ ,‬הכניס מספר כדורים אדומים לשק‪ .‬מוציאים ‪4‬‬
‫כדורים עם החזרה מהשק‪.‬‬
‫ידוע כי ההסתברות לקבל ‪ 3‬כדורים כחולים וכדור אדום אחד‪ ,‬זהה להסתברות‬
‫לקבל ‪ 3‬כדורים אדומים וכדור אחד כחול‪.‬‬
‫כמה כדורים אדומים הכניס שי לשק?‬
‫‪ )23‬בבית ספר מסוים ‪ 52%‬מהתלמידים הם בנים והשאר בנות‪ .‬ידוע כי ההסתברות‬
‫להיתקל בתלמיד (או תלמידה) המרכיב משקפיים גדולה ב‪ 0.14-‬מההסתברות‬
‫להיתקל בשתי בנות שאינן מרכיבות משקפיים ברחבי בית הספר (מניחים כי מספר‬
‫התלמידים בבית הספר הוא גדול)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אחוז התלמידים שמרכיבים משקפיים אם ידוע כי החלק היחסי של‬
‫‪11‬‬
‫הבנים שמרכיבים משקפיים בבית הספר מכלל מרכיבי המשקפיים הוא‬
‫‪15‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬איזה חלק מבין כלל התלמידים שאינם מרכיבים משקפיים מהווים קבוצת הבנים?‬
‫ג‪ .‬בוחרים בבית הספר ‪ 4‬תלמידים‪ .‬ידוע כי כולם לא מריבים משקפים‪.‬‬
‫מה ההסתברות שרובם בנים?‬
‫‪147‬‬
‫‪ )24‬בכד כדורים בשלושה צבעים שונים‪ :‬כחול‪ ,‬צהוב וירוק‪.‬‬
‫ידוע כי מספר הכדורים הירוקים גדול ב‪ 2-‬ממספר הכדורים הצהובים וכי מספר‬
‫הכחולים גדול ב ‪ 2-‬ממספר הכדורים הירוקים‪.‬‬
‫מוציאים מהכד שני כדורים בזה אחר זה ללא החזרה‪ .‬ההסברות להוציא שני כדורים‬
‫‪49‬‬
‫באותו הצבע היא‪:‬‬
‫‪153‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה כדורים מכל צבע יש בכד‪.‬‬
‫ב‪ .‬על ‪ 5‬הכדורים רשום מספר ועל שאר הכדורים רשומה אות‪ .‬ידוע כי ההסתברות‬
‫לבחור כדור צהוב עם מספר זהה להסתברות לבחור כדור כחול עם מספר וכי‬
‫הסתברויות אלו קטנות פי ‪( 3‬כל אחת) מההסתברות לבחור כדור ירוק שרשומה‬
‫עליו אות‪ .‬חשב את ההסתברות לבחור כדור כחול שרשומה עליו אות‪.‬‬
‫ג‪ .‬מוציאים מהכד שני כדורים בזה אחר זה ללא החזרה‪ .‬ידוע כי שני הכדורים‬
‫כחולים‪ .‬מה ההסתברות שלפחות על אחד מהם רשומה אות?‬
‫‪ )25‬אבי קנה תפוחים ותפוזים‪ .‬ידוע כי כמות התפוחים שקנה גדולה פי ‪ 3‬מכמות התפוזים‪.‬‬
‫במקביל קנתה אודט‪ ,‬בת זוגתו של אבי‪ ,‬תפוחים ותפוזים‪ .‬אודט קנתה פי ‪ 3‬יותר תפוזים‬
‫מתפוחים‪ .‬כשהגיעו השניים הביתה‪ ,‬הם שמו את כל הפירות שקנו במגירה במקרר‪,‬‬
‫מעורבבים יחדיו‪ .‬ידוע כי בסה"כ קנו שני בני הזוג ‪ 32‬פירות וכי כמות התפוחים שקנתה‬
‫‪5‬‬
‫אודט מהווה‬
‫‪14‬‬
‫מבין כל התפוחים שבמגירה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה פירות קנה כל אחד מבני הזוג‪.‬‬
‫ב‪ .1 .‬אודט רוצה להכין סלט פירות המורכב משני תפוחים ותפוז‪ .‬מה ההסתברות‬
‫של אודט להוציא את כל הפירות שצריכה בזה אחר זה ללא החזרה?‬
‫‪ .2‬ידוע כי אודט הוציאה את כל הפירות שצריכה‪ ,‬מה ההסתברות שהפרי‬
‫הראשון שהוציאה הוא תפוח?‬
‫ג‪ .1 .‬שרון‪ ,‬בתה של אודט‪ ,‬ניגשת למגירה ורוצה לקחת תפוז‪.‬‬
‫היא מוציאה ‪ 4‬פירות עם החזרה מהמגירה‪ ,‬מה ההסתברות ששרון תוציא‬
‫בדיוק תפוז אחד? הנח כי כמות הפירות שבמגירה היא לאחר הכנת הסלט‪.‬‬
‫‪ .2‬ידוע כי מתוך ‪ 4‬הבחירות‪ ,‬הוציאה שרון בדיוק תפוז אחד‪ ,‬מה ההסתברות‬
‫שהוא הפרי האחרון שהוציאה?‬
‫‪ )26‬על קובייה בת ‪ 5‬פאות רושמים המספרים ‪ 2 , 1‬ו ‪ 3-‬כך שהמספר ‪ 2‬רשום על שלוש‬
‫פאות ואילו המספרים ‪ 1‬ו‪ 3-‬רשומים כל אחד על פאה אחת בלבד‪.‬‬
‫זורקים את הקובייה ‪ 5‬פעמים‪.‬‬
‫א‪ .‬ענה על השאלות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬מה ההסתברות לקבל לפחות ‪ 4‬פעמים את המספר ‪?2‬‬
‫‪ .2‬ידוע כי התקבל המספר ‪ 2‬לפחות ‪ 4‬פעמים‪ ,‬מה ההסתברות לקבל בדיוק ‪4‬‬
‫פעמים את המספר ‪?2‬‬
‫‪ .3‬מה ההסתברות לא לקבל את אותו המספר בכל הזריקות?‬
‫ב‪ .‬לוקחים ‪ 5‬קוביות זהות וזורקים כל אחת פעם אחת בדיוק‪ .‬מסתכלים על‬
‫המספרים שהתקבלו בכל קובייה ומחשבים את ההסתברויות שבסעיף הקודם‪.‬‬
‫האם התוצאות תשתנה? אם כן חשב אותן והסבר‪ .‬אם לא – תן הסבר מתאים‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות לקבל בזריקות הראשונה והחמישית את המספר ‪?2‬‬
‫‪148‬‬
‫‪ )27‬מפעל מייצר שבבי תקשורת אלחוטית‪ 3% .‬מהשבבים במפעל אינם תקינים‪90% .‬‬
‫מהשבבים התקינים ו‪ 2%-‬מהשבבים הפגומים מזוהים במהלך בדיקה שגרתית (טסט)‬
‫במעבדה כתקינים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות ששבב יזוהה כתקין?‬
‫במסגרת הבדיקות במעבדה מבצעים ‪ 4‬טסטים לכל שבב באופן בלתי תלוי אחד בשני‪.‬‬
‫אם שבב זוהה בכל הפעמים כתקין‪ ,‬אז הוא נמכר במחיר מלא‪.‬‬
‫אם הוא זוהה ב‪ 3-‬טסטים כתקין אז הוא נמכר בחצי מחיר‪.‬‬
‫בכל מקרה אחר השבב נשלח חזרה למחלקת הייצור במפעל ואינו נמכר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות ששבב יימכר במחיר מלא?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות ששבב יחזור חזרה למפעל?‬
‫‪ )28‬בכד יש פי ‪ 4‬כדורים כחולים מאדומים‪ .‬מוציאים כדור מהכד‪ .‬אם הוא כחול אז‬
‫משאירים אותו בחוץ‪ ,‬אחרת מחזירים אותו לכד‪ .‬לאחר מכן מוציאים כדור נוסף‪.‬‬
‫‪58‬‬
‫ידוע כי ההסתברות להוציא שני כדורים בצבעים שונים היא‪:‬‬
‫‪175‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה כדורים מכל צבע יש בכד?‬
‫ב‪ .‬ידוע כי הכדור השני שהוצא הוא כחול‪ ,‬מה ההסתברות שהכדור הראשון שנבחר‬
‫הוא אדום?‬
‫ג‪ .‬חוזרים על התהליך ‪ 5‬פעמים באופן בלתי תלוי‪ .‬ידוע כי בכל חמשת הפעמים‬
‫הכדור השני שהוצא הוא כחול‪ ,‬מה ההסתברות שברוב הפעמים הכדור הראשון‬
‫שיצא הוא אדום?‬
‫‪ )29‬בחדר ‪ x‬גברים ו ‪ x  5 -‬נשים‪ .‬זורקים קוביית משחק מאוזנת‪.‬‬
‫אם מתקבל מספר הגדול מ ‪ 4-‬אז מוסיפים לחדר ‪ x‬גברים ואם מתקבל מספר הקטן‬
‫או שווה ל‪ 4-‬אז מוסיפים לחדר ‪ x‬נשים‪.‬‬
‫לאחר מכן מוציאים אדם מהחדר‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה נשים יש בחדר אם ידוע כי ההסתברות לבחור אישה היא‬
‫‪7‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שתצא אישה מהחדר לאחר שנוספו לחדר נשים אם ידוע כי‬
‫וודאי יצאה אישה מהחדר?‬
‫אנשי החדר לובשים חולצות שחורות או לבנות בלבד‪ .‬ידוע כי החלק היחסי של‬
‫האנשים הלובשים חולצות לבנות בחדר גדול פי ‪ 16‬מהחלק היחסי של הגברים‬
‫הלובשים חולצות שחורות‪ .‬כמו כן ההסתברות של הגברים מבין כל אלו שלובשים‬
‫חולצות שחורות היא ‪.0.25‬‬
‫ג‪ .‬מצא מה ההסתברות לבחור גבר הלובש חולצה שחורה בחדר‪.‬‬
‫ד‪ .‬בוחרים ‪ 5‬אנשים מהחדר (ללא הוצאה) וידוע כי כולם לובשים חולצות שחורות‪.‬‬
‫מה ההסתברות שרובם נשים?‬
‫‪149‬‬
‫‪ )30‬ללינוי שתי חבילות דפים‪ ,‬האחת בצבע כחול והשנייה בצבע כתום‪.‬‬
‫בסה"כ יש ללינוי פי ‪ 3‬דפים כחולים מכתומים‪ .‬ביום חורפי אחד הלכה לחברתה‪,‬‬
‫ספיר‪ ,‬כששתי החבילות בידה ובדרך נרטבו חלק מהדפים עקב הגשמים העזים‪.‬‬
‫כשהגיעה לביתה של ספיר‪ ,‬מיינו השתיים את החבילות וגילו את הדברים הבאים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪)1‬‬
‫‪5‬‬
‫מבין הדפים הכתומים התרטבו‪.‬‬
‫‪ )2‬כמות הדפים הכתומים היבשים שווה לכמות הדפים הרטובים הכוללת‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לבחור דף כחול רטוב מבין כל הדפים?‬
‫ב‪ .‬איזה אחוז מהדפים הכחולים הם יבשים?‬
‫ג‪ .‬ספיר הוציאה באופן אקראי ‪ 6‬דפים מהתיק של לינוי ללא הסתכלות‪.‬‬
‫הנח כי כמות הדפים גדולה מאוד‪.‬‬
‫‪ .i‬מה הסיכוי שספיר תוציא לפחות דף אחד יבש?‬
‫‪ .ii‬מה הסיכוי שספיר תוציא לפחות דף אחד כחול יבש?‬
‫‪ )31‬כדי לקבל עבודה בחברת מחשבים יש לעבור שני ראיונות באופן הבא‪:‬‬
‫ריאיון ראשון עם המהנדס הראשי של החברה‪ .‬אם המועמד עבר את הריאיון הראשון‬
‫בהצלחה אז עליו לעבור ראיון נוסף עם מנכ"ל החברה‪.‬‬
‫ידוע כי ההסתברות לעבור את הריאיון הראשון היא ‪ P‬וכי ההסתברות לעבור את‬
‫הריאיון השני קטנה ב‪ 0.1-‬מההסתברות לעבור את הריאיון הראשון‪ .‬הסיכוי להתקבל‬
‫לחברה הוא ‪( 0.12‬לעבור בהצלחה את שני הראיונות)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪.P‬‬
‫ב‪ 6 .‬אנשים מגישים מועמדות ביום מסוים‪.‬‬
‫מה הסיכוי שרובם יתקבלו לעבודה בחברה ?‬
‫ג‪ .‬ידוע כי רוב המועמדים התקבלו‪ .‬מה הסיכוי כי בדיוק ‪ 4‬מועמדים התקבלו?‬
‫‪ )32‬מפעל מייצר נורות בשלושה פסי ייצור‪ B , A :‬ו‪.C-‬‬
‫ידוע כי ‪ 25%‬מהנורות מיוצרות בפס ייצור ‪ .A‬כמו כן נתון כי‪:‬‬
‫‪ 3%‬מהנורות שמיוצרות בפס ייצור ‪ A‬הן פגומות‪.‬‬
‫‪ 2%‬מהנורות שמיוצרות בפס ייצור ‪ B‬הן פגומות‪.‬‬
‫‪ 5%‬מהנורות שמיוצרות בפס ייצור ‪ C‬הן פגומות‪.‬‬
‫סה"כ המפעל מייצא בממוצע ‪ 900‬נורות תקינות מתוך כל ‪ 1000‬נורות שהוא מייצר‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אחוז הנורות המיוצרות בפסי הייצור ‪ B‬ו‪.C-‬‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי נורה‪ ,‬ידוע כי היא תקינה‪ ,‬מה ההסתברות שהיא מפס ייצור ‪?C‬‬
‫ג‪ .‬כמה נורות מייצר המפעל ביום עבודה אם ידוע כי כמות הנורות התקינות‬
‫שהתקבלו בפס ייצור ‪ B‬הוא ‪ 5600‬יחידות?‬
‫‪ )33‬בכד יש ‪ 4‬כדורים אדומים‪ 3 ,‬כדורים כחולים ו‪ 2-‬כדורים לבנים‪ .‬מוצאים באקראי‬
‫כדור מהכד‪ .‬אם הוא אדום אז משאירים אותו בחוץ ומוציאים מכד כדור נוסף‪ ,‬אך‬
‫אם הוא לא אדום מחזירים אותו לכד ומוציאים כדור נוסף‪.‬‬
‫‪150‬‬
‫א‪ .‬חשב את ההסתברות להוציא שני כדורים בעלי אותו הצבע‪.‬‬
‫ב‪ .‬מוציאים שני כדורים מהכד‪ ,‬ידוע כי שניהם מאותו הצבע‪ ,‬מה ההסתברות‬
‫ששניהם כחולים?‬
‫ג‪ .‬כעת משנים את כללי במשחק בצורה הבאה‪:‬‬
‫מוציאים כדור מהכד‪ ,‬מתבוננים בו ומחזירים אותו בחזרה לכד‪ .‬חוזרים על‬
‫התהליך ‪ 6‬פעמים‪ .‬מה ההסתברות שבמחצית המקרים יצא כדור לבן?‬
‫‪ )34‬מפעל מייצר כפיות ומזלגות פלסטיק (חד‪-‬פעמיים)‪ .‬ההסתברות לבחור מזלג במפעל‬
‫היא ‪ .P‬בוחרים באקראי ‪ 4‬כלים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ P‬אם ידוע כי ההסתברות שייבחרו ‪ 3‬מזלגות קטנה פי ‪ 4‬מההסתברות‬
‫שיבחר מזלג אחד מתוך הארבעה‪.‬‬
‫המפעל מייצר כפיות ומזלגות בשני צבעים – שחור או לבן‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ידוע כי רבע מהמזלגות הם בצבע לבן ו‪-‬‬
‫‪3‬‬
‫מהכפיות הם בצבע שחור‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה היא ההסתברות לבחור כלי שחור?‬
‫ג‪ .‬י דוע כי נבחר כלי שחור‪ ,‬מה ההסתברות שהוא מזלג?‬
‫‪ )35‬תלמיד הלומד נהיגה ניגש לטסט ראשון‪ .‬ידוע כי ההסתברות שיעבור את הטסט היא ‪.P‬‬
‫אם התלמיד נכשל בטסט הראשון הוא ניגש שנית וכעת ההסתברות שלו לעבור גדולה‬
‫ב ‪ .0.1-‬אם הוא נכשל פעם נוספת אז הוא ניגש בפעם האחרונה כאשר גם כעת ההסתברות‬
‫שלו לעבור גדולה ב‪ 0.1-‬מהפעם הקודמת‪ .‬ידוע כי הסיכוי של התלמיד לעבור את הטסט‬
‫השני הוא ‪.0.28‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪.P‬‬
‫ב‪ .‬מה הסיכוי של התלמיד לעבור טסט כלשהו?‬
‫ג‪ .‬ידוע כי התלמיד עבור טסט‪ ,‬מה הסיכוי שהוא עבר את הטסט השלישי?‬
‫‪ )36‬לשני קוביית משחק הגונה בעלת ‪ 6‬פאות הממוספרות מ‪ 1-‬עד ‪ 6‬ולשרון סביבון חנוכה‬
‫הגון בעל ‪ 4‬פאות הממוספרות מ ‪ 1-‬עד ‪ .4‬הבנות משחקות את המשחק הבא‪ :‬שני‬
‫מטילה את הקובייה ושרון מסובבת את הסביבון‪.‬‬
‫ אם הקובייה מראה מספר הגדול מ‪ 3-‬והסביבון מראה מספר הגדול‬‫מ‪ 2-‬אז כל אחד מהבנות מקבלת נקודה‪.‬‬
‫ אם הקובייה מראה מספר הקטן או שווה ל‪ 3-‬והסביבון מראה מספר הגדול‬‫מ‪ 2-‬אז שרון מקבלת נקודה‪.‬‬
‫ אם הקובייה מראה מספר הגדול מ‪ 3-‬אך הסביבון מראה מספר הקטן או שווה‬‫ל‪ 2-‬אז שני מקבלת נקודה‪.‬‬
‫ אם הקובייה מראה מספר הקטן או שווה ל‪ 3-‬והסביבון מראה מספר הקטן או‬‫שווה ל‪ 2-‬אז אף אחת מהבנות לא מקבלת נקודה‪.‬‬
‫הבנות מטילות את הקובייה והסביבון פעמיים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שלשני יהיו יותר נקודות?‬
‫ב‪ .‬ידוע כי שני צברה יותר נקודות‪ ,‬מה ההסתברות שבהטלה הראשונה לא קיבלה‬
‫שני נקודה?‬
‫‪151‬‬
‫ג‪ .‬האם התוצאות של הסעיפים הקודמים ישתנו אם שני תשחק עם הסביבון‬
‫במקום הקובייה ושרון תשחק עם הקובייה במקום הסביבון? נמק‪.‬‬
‫‪ )37‬חנות מוכרת חרוזים בשלושה צבעים בלבד‪ :‬כסף‪ ,‬זהב ולבן‪ .‬נטלי קנתה חרוזים מכל‬
‫צבע‪ .‬ידוע כי כמות החרוזים הכסופים קטנה פי ‪ 3‬מכמות החרוזים הזהובים וכי כמות‬
‫החרוזים הזהובים קטנה פי ‪ 3‬מכמות החרוזים הלבנים‪ .‬המוכרת ריכזה עבור נטלי את‬
‫כל החרוזים בשקית אחת‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה חרוזים קנתה נטלי מכל סוג אם ידוע כי ההסתברות להוציא‬
‫‪360‬‬
‫מהשקית שני חרוזים בצבעים שונים בזה אחר זה ללא החזרה היא‪:‬‬
‫‪779‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬החרוזים מיוצרים ע"י שתי חברות‪ :‬ניצוץ וקריסטל‪ .‬ידוע כי כמות החרוזים‬
‫הכסופים תוצרת ניצוץ וכמות החרוזים הזהובים תוצרת ניצוץ זהות‪ .‬כמו כן‬
‫כמות החרוזים הזהובים תוצרת קריסטל גדולה פי ‪ 5‬מכמות החרוזים הזהובים‬
‫תוצרת ניצוץ‪ .‬מצא את ההסתברות לבחור חרוז בצבע כסף מתוצרת קריסטל‪.‬‬
‫ג‪ .‬בוחרים ‪ 4‬חרוזים‪ ,‬ידוע כי כולם תוצרת ניצוץ‪ .‬ההסתברות שבדיוק ‪ 2‬מהם יהיו‬
‫‪27‬‬
‫כסופים היא‪:‬‬
‫‪128‬‬
‫‪ .‬מצא את ההסתברות לבחור חרוז תוצרת קריסטל אם ידוע‬
‫כי חרוזי הכסף תוצרת ניצוץ אינם מהווים רוב מכמות כל חרוזי ניצוץ‬
‫שברשותה של נטלי‪.‬‬
‫‪ )38‬בבחירות מקומיות בעיר מסוימת ישנם שלושה מתמודדים ‪ -‬מתמודד א'‪ ,‬מתמודד ב'‬
‫‪47‬‬
‫‪43‬‬
‫מתושבי העיר הם מבוגרים ו‪-‬‬
‫ומתמודד ג'‪ .‬ידוע כי‬
‫‪90‬‬
‫‪90‬‬
‫הם צעירים‪.‬‬
‫‪ 60%‬מבין המצביעים למועמד א' הם מבוגרים‪ 60% ,‬מבין המצביעים למועמד ב' הם‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫צעירים וידוע כי ההסתברות למצוא בעיר תושב צעיר שהצביע למועמד ג' היא ‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫‪43‬‬
‫מהמבוגרים הצביעו למועמד א'‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מי מהמתמודדים קיבל את רוב הקולות?‬
‫בוחרים באקראי תושב מהעיר‪.‬‬
‫חשב את ההסתברויות שנבחר צעיר המצביע למתמודד ב'‪.‬‬
‫בוחרים באקראי תושב‪ .‬ידוע כי הוא הצביע למתמודד ג'‪.‬‬
‫מה ההסתברות כי הוא צעיר?‬
‫בוחרים באקראי ‪ 4‬ת ושבים וידוע כי כולם הצביעו למתמודד ג'‪.‬‬
‫מה ההסתברות כי לפחות אחד מהם מבוגר?‬
‫‪152‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬א‪.‬‬
‫‪P  0.7‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪189‬‬
‫‪2500‬‬
‫‪P‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )3‬א‪ 30% .‬ב‪ . P  0.4 .‬ג‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪81‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫ד‪. P  0.4096 .‬‬
‫ד‪ )6 . P  279 .‬א‪ . P  0.4 .‬ב‪ 57% .‬ג‪.‬‬
‫‪)5‬‬
‫‪)7‬‬
‫‪10‬‬
‫א‪ 25% .‬ב‪ .‬מועמד א'‪ .‬ג‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫א‪ P  0.8 .‬ב‪ P  0.44 .‬ג‪P  0.36427 .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪.P ‬‬
‫ד‪ )4 . P  32 .‬א‪.‬‬
‫א‪P  0.8 .‬‬
‫‪)9‬‬
‫ב‪P  0.6 .‬‬
‫‪405‬‬
‫‪1024‬‬
‫‪ )2‬א‪P  0.1 .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪P  0.0486‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪343‬‬
‫‪4‬‬
‫‪7‬‬
‫ד‪ )8 . P  0.2732 .‬א‪ 45% .‬ב‪ 20% .‬ג‪.‬‬
‫‪ )10‬א‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )12‬א‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫‪18‬‬
‫‪ )14‬א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪330‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪11‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪ )13 . P  0.98658 .‬א‪.‬‬
‫ב‪ .‬גבוהה יותר‬
‫‪1 ‬‬
‫‪ 256‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 14641 330 ‬‬
‫‪ )15‬א‪ 4 .‬ורודות ו‪ 6-‬צהובות‪ .‬ב‪.‬‬
‫‪ )16‬א‪ 9 .‬נשים‪ .‬ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪11‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫ד‪.144 .‬‬
‫‪343‬‬
‫‪1‬‬
‫‪11‬‬
‫ד‪. P  0.2732 .‬‬
‫ד‪. P  0.31744 .‬‬
‫ב‪ 20% .‬ג‪ 60% .‬ד‪ )11 . P  0.68256 .‬א‪.1 .‬‬
‫‪26‬‬
‫‪45‬‬
‫‪15‬‬
‫‪19‬‬
‫ד‪. P  0.69331 .‬‬
‫‪27‬‬
‫‪50‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫‪30‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪17‬‬
‫‪31‬‬
‫‪50‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪20‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪71‬‬
‫‪150‬‬
‫ד‪. 32 .‬‬
‫‪75‬‬
‫ד‪.P  0.34414 .‬‬
‫ג‪. 1 .‬‬
‫‪8‬‬
‫ג‪ .‬גבוהה‬
‫‪ 27 1 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 125 6 ‬‬
‫ד‪. P  0.0189 .‬‬
‫ג‪ . 0.0196 .‬ד‪. 18 .‬‬
‫‪19‬‬
‫‪ )17‬א‪ 15 .‬כחולים ו ‪ 3-‬אדומים‪ .‬ב‪.‬‬
‫‪ )18‬א‪ 0.24 .‬ב‪0.65389 .1 .‬‬
‫‪17‬‬
‫‪101‬‬
‫‪0.61224 .2‬‬
‫ג‪. 0.03645 .‬‬
‫‪30‬‬
‫‪49‬‬
‫ג‪. 2 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )19‬א‪ 6 .‬כדורים כחולים‪ .‬ב‪ 0.88989 .‬ג‪0.21723 .‬‬
‫‪ )20‬א‪ 5 .‬נשים‪ .‬ב‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫‪21‬‬
‫ג‪ 0.05 .‬ד‪.1 .‬‬
‫‪459‬‬
‫‪512‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪9‬‬
‫‪34‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )21‬א‪ 5 .‬עפרונות‪ .‬ב‪. y  3 .‬‬
‫‪ )22‬א‪ 10 .‬כדורים כחולים ו‪ 6-‬אדומים‪ .‬ב‪ .‬שרון צודקת‪.‬‬
‫‪ )23‬א‪.30% .‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪513‬‬
‫ג‪ 0.21366 .‬‬
‫‪2401‬‬
‫ג‪ 4 .‬כדורים‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪28‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪153‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ )24‬א‪ 4 .‬כדורים צהובים‪ 6 ,‬כדורים ירוקים ו ‪ 8-‬כדורים כחולים‪ .‬ב‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪819‬‬
‫ג‪. .2 0.16613 .1 .‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪ )25‬א‪ .‬אבי קנה ‪ 12‬פירות ואודט קנתה ‪ 20‬פירות‪ .‬ב‪.1 .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2480‬‬
‫‪576‬‬
‫‪10‬‬
‫ב‪ .‬לא‪ .‬ג‪ )27 .0.15552 .‬א‪ .0.8736 .‬ב‪ .0.58244 .‬ג‪.0.08047 .‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪ )26‬א‪.2 0.33696 .1 .‬‬
‫‪625‬‬
‫‪13‬‬
‫‪14‬‬
‫ג‪.0.05982 .‬‬
‫‪ )28‬א‪ 3 .‬כדורים אדומים ו ‪ 12-‬כחולים‪ .‬ב‪.‬‬
‫‪69‬‬
‫‪675‬‬
‫‪11‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪ .0.05 .‬ד‪.‬‬
‫‪ )29‬א‪ 8 .‬נשים‪ .‬ב‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫‪1024‬‬
‫‪153‬‬
‫‪.‬‬
‫‪55‬‬
‫‪ )30‬א‪ .0.15 .‬ב‪ .75% .‬ג‪ )31 .0.995904 .2 .0.999936 .1 .‬א‪ P  0.4 .‬ב‪ .0.00254 .‬ג‪.‬‬
‫‪58‬‬
‫‪4‬‬
‫ג‪ 20,000 .‬יחידות ליום‪.‬‬
‫‪ )32‬א‪ .‬פס ייצור ‪ .30% – B‬פס ייצור ‪ .45% – C‬ב‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪25‬‬
‫‪1‬‬
‫‪18‬‬
‫‪53‬‬
‫ג‪.0.36 .‬‬
‫ג‪ )34 .0.103266 .‬א‪ P  .‬ב‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ )33‬א‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪162‬‬
‫‪36‬‬
‫‪53‬‬
‫‪6‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )35‬א‪ P  0.6 .‬ב‪ .0.976 .‬ג‪.‬‬
‫‪61‬‬
‫‪5‬‬
‫ב‪ . 0.2 .‬ג‪ .‬לא‪ .‬מכיוון שיש סימטריה בהסתברויות ההטלות‪.‬‬
‫‪ )36‬א‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫‪11‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ )37‬א‪ 60 .‬בצבע כסף‪ 180 ,‬בצבע זהב ו ‪ 540-‬בצבע לבן‪ .‬ב‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫‪26‬‬
‫‪15‬‬
‫‪ )38‬א‪ .‬מתמודד א'‪ .‬ב‪ .0.2 .‬ג‪ .0.5 .‬ד‪. .‬‬
‫‪16‬‬
‫‪154‬‬
‫‪.‬‬
‫תרגול מבגרויות‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪)1‬‬
‫‪4‬‬
‫מהתלמידים בכיתה אוהבים שוקולד או גלידה (כולל תלמידים האוהבים שוקולד‬
‫וגם גלידה)‪ 9 .‬תלמידים לא אוהבים שוקולד וגם לא אוהבים גלידה‪.‬‬
‫א‪ .1 .‬בוחרים באקראי תלמיד אחד מהכיתה‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שהוא לא אוהב שוקולד וגם לא אוהב גלידה?‬
‫‪ .2‬מצא כמה תלמידים יש בכיתה‪.‬‬
‫ב‪ .‬כל תלמיד בכיתה שאוהב שוקולד כתב על פתק‪ :‬אוהב‪ ,‬וכל תלמיד שלא אוהב‬
‫שוקולד כתב על פתק‪ :‬לא אוהב‪ .‬ערבבו את כל הפתקים ובחרו מביניהם‬
‫באקראי ‪ 5‬פתקים עם החזרה‪ .‬נתון כי ההסתברות שעל ‪ 3‬מהם כתוב "אוהב"‬
‫שווה להסתברות שעל ‪ 2‬מהם כתוב "אוהב"‪ .‬מצא כמה תלמידים בכיתה‬
‫אוהבים שוקולד‪.‬‬
‫‪ )2‬בבית ספר מסוים ‪ 60%‬מכלל המורים (גברים ונשים) מתנגדים ללעיסת מסטיק‬
‫בשיעור‪ .‬מספר המורים (גברים) בבית הספר גדול פי ‪ 4‬ממספר המורות (נשים)‪0.57 .‬‬
‫מכלל המורים (גברים ונשים) הם גברים המתנגדים ללעיסת מסטיק‪ .‬בוחרים באקראי‬
‫מורה (גבר או אישה)‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את ההסתברות שהמורה שנבחר הוא אישה המתנגדת ללעיסת מסטיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע שהמורה שנבחר הוא אישה‪.‬‬
‫‪ . 1‬חשב את ההסתברות שהיא מתנגדת ללעיסת מסטיק‪.‬‬
‫‪ .2‬מבין ‪ 5‬מורות בבית הספר‪ ,‬מהי ההסתברות שלכל היותר ‪ 4‬מורות מתנגדות‬
‫ללעיסת מסטיק? (בתשובתך דייק עד ‪ 4‬ספרות אחרי הנקודה העשרונית)‪.‬‬
‫‪ )3‬בתוך שק נמצאים ‪ 3‬קלפים‪ .‬לאחד הקלפים יש שני צדדים לבנים‪ ,‬לאחד הקלפים יש‬
‫שני צדדים שחורים‪ ,‬ולאחד הקלפים יש צד אחד לבן וצד אחד שחור‪ .‬מערבבים את‬
‫הקלפים‪ ,‬ובעיניים עצומות מוציאים קלף מהשק ומניחים אותו על השולחן‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי ההסתברות ששני ִצדי הקלף יהיו זהים?‬
‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שהצד הגלוי לעין של הקלף יהיה לבן? נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬ידוע שהצד הגלוי לעין של הקלף הוא לבן‪.‬‬
‫מהי ההסתברות ששני ִצדי הקלף הם לבנים?‬
‫‪155‬‬
‫‪ )4‬במכללה מסוימת הסטודנטים למחשבים נבחנים בסוף השנה במבחן בהסתברות‬
‫וסטטיסטיקה‪ .‬במבחן יש שני תר גילים בהסתברות ותרגיל אחד בסטטיסטיקה‪.‬‬
‫נבחן מקבל ציון עובר או ציון נכשל בכל תרגיל במבחן‪ .‬כדי לקבל ציון עובר במבחן‬
‫כולו על הנבחן לקבל ציון עובר בשני תרגילים לפחות מבין השלושה‪ .‬הסיכוי שסטודנט‬
‫יקבל ציון עובר בתרגיל בהסתברות הוא ‪ ,60%‬והסיכוי שסטודנט יקבל ציון עובר‬
‫בסטטיסטיקה הוא ‪ .80%‬ההסתברויות לקב ל ציון עובר או נכשל בתרגילים השונים‬
‫אינן תלויות זו בזו‪.‬‬
‫א‪ . 1 .‬מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר בשלושת התרגילים במבחן?‬
‫‪ . 2‬מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר בשני תרגילים במבחן וציון נכשל‬
‫בתרגיל אחד?‬
‫‪ . 3‬מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר במבחן כולו?‬
‫ב‪ .‬נבחן קיבל ציון עובר במבחן כולו‪ .‬מהי ההסתברות שהוא קיבל ציון עובר בשני‬
‫התרגילים בהסתברות?‬
‫‪ )5‬יוסי משחק שלושה משחקי שש ‪-‬בש בזה אחר זה‪ .‬בכל משחק הוא יכול לנצח או‬
‫להפסיד (אין תיקו)‪ .‬אם יוסי ניצח באחד המשחקים‪ ,‬ההסתברות שהוא ינצח במשחק‬
‫שאחריו היא ‪ ,p‬ואם הוא הפסיד ב אחד המשחקים‪ ,‬ההסתברות שהוא יפסיד במשחק‬
‫שאחריו גם היא ‪ ,p‬נתון כי‪. p > 0.5 :‬‬
‫א‪ .‬אם ידוע כי יוסי ניצח במשחק הראשון‪:‬‬
‫‪ .1‬הבע באמצעות ‪ , p‬את ההסתברות שיוסי יפסיד במשחק השני וינצח‬
‫במשחק השלישי‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫‪ .2‬חשב את ‪ p‬אם נתון כי ההסתברות שיוסי ינצח במשחק השלישי היא‬
‫‪25‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬השתמש במה שחישבת‪ ,‬וחשב את ההסתברות שיוסי ינצח במשחק הראשון‪,‬‬
‫אם נתון כי ההסתברות שיוסי ינצח בשלושת המשחקים היא ‪.0.144‬‬
‫‪ )6‬במלאי של סוחר יש כובעים המיוצרים בשלושה מפעלים‪ :‬מפעל ‪ ,A‬מפעל ‪ ,B‬מפעל ‪.C‬‬
‫‪1‬‬
‫מלאי הכובעים הוא גדול מאוד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫מהכובעים במלאי מיוצרים במפעל ‪ .B‬שאר הכובעים במלאי מיוצרים במפעל ‪.C‬‬
‫‪3‬‬
‫מהכובעים במלאי מיוצרים במפעל ‪.A‬‬
‫‪ 5%‬מהכובעים המיוצרים במפעל ‪ A‬הם פגומים‪.‬‬
‫‪ 1.5%‬מהכובעים המיוצרים במפעל ‪ B‬הם פגומים‪ 3.5% .‬מהכובעים במלאי הם פגומים‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים באקראי כובע אחד מבין הכובעים המיוצרים במפעל ‪.C‬‬
‫מהי ההסתברות שהכובע פגום?‬
‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שבמדגם מקרי של ‪ 6‬כובעים המיוצרים במפעל ‪ C‬יש לכל‬
‫היותר כובע אחד פגום?‬
‫‪156‬‬
‫‪ )7‬מטילים שתי קוביות משחק מאוזנות‪ :‬קובייה ‪ A‬וקובייה ‪.B‬‬
‫א‪ .‬מהי ההסתברות שבקובייה ‪ A‬יתקבל מספר ‪ 4‬או מספר ‪6‬‬
‫וגם בקובייה ‪ B‬יתקבל מספר ‪ 4‬או מספר ‪?6‬‬
‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שלפחות באחת מהקוביות יתקבל מספר ‪ 4‬או מספר ‪?6‬‬
‫ג‪ .‬מטילים שש פעמים את שתי הקוביות ‪ A‬ו ‪ .B -‬מהי ההסתברות שבדיוק בשלוש‬
‫הטלות יתקבל מספר ‪ 4‬או מספר ‪ 6‬לפחות באחת מהקוביות?‬
‫‪ )8‬מטילים פעם אחת קוביית משחק מאוזנת‪.‬‬
‫א‪ .1 .‬מהי ההסתברות שיתקבל מספר זוגי גדול מ‪?3-‬‬
‫‪ . 2‬האם המאורע "יתקבל מספר זוגי" והמאורע "יתקבל מספר גדול מ‪ "3-‬הם‬
‫מאורעות בלתי תלויים? נמק‪.‬‬
‫מטילים קוביית משחק מאוזנת ‪ 3‬פעמים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שיתקבל מספר זוגי גדול מ‪ 3-‬בדיוק בשתי הטלות?‬
‫ג‪ .‬מהי ההסתברות שיתקבל מספר זוגי גדול מ‪ 3-‬רק בהטלה הראשונה‬
‫ובהטלה השלישית?‬
‫ד‪ .‬מהי ההסתברות שיתקבל מספר זוגי גדול מ‪ 3-‬בהטלה הראשונה‬
‫ובהטלה השלישית?‬
‫‪ )9‬מפעל מייצר מחשבים‪ 6% .‬מהמחשבים המיוצרים במפעל הם לא תקינים‪95% .‬‬
‫מהמחשבים התקינים ו‪ 2%-‬מהמחשבים הלא‪-‬תקינים מזוהים על ידי היחידה לבקרת‬
‫איכות כתקינים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי ההסתברות שמחשב יזוהה כתקין?‬
‫ב‪ .‬היחידה לבקרת איכות בודקת כל מחשב ‪ 4‬פעמים‪( .‬הבדיקות אינן תלויות זו‬
‫בזו)‪ .‬אם המחשב זוהה ‪ 4‬פעמים כתקין‪ ,‬הוא נמכר עם התווית של המפעל‪ .‬אם‬
‫המחשב זוהה ‪ 3‬פעמים כתקין‪ ,‬הוא נמכר במחיר נמוך בלי התווית של המפעל‪.‬‬
‫למחזור‪.‬‬
‫אם המחשב זוהה לפחות ‪ 2‬פעמים כלא‪-‬תקין‪ ,‬הוא נשלח ִ‬
‫‪ .1‬מהי ההסתברות שמחשב יימכר עם התווית של המפעל?‬
‫למחזור?‬
‫‪ .2‬מהי ההסתברות שמחשב יישלח ִ‬
‫בתשובתך דייק עד ארבע ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬
‫‪ )10‬במפעל לייצור נורות ניאון יש שלוש מכונות‪.C ,B ,A :‬‬
‫מכונה ‪ A‬מייצרת ‪ 60%‬מהנורות‪ .‬מכונה ‪ B‬מייצרת ‪ 30%‬מהנורות‪ .‬מכונה ‪ C‬מייצרת‬
‫‪ 10%‬מהנורות‪ 2% .‬מהנורות שמייצרת מכונה ‪ A‬הן פגומות‪ 3% .‬מהנורות שמייצרת‬
‫מכונה ‪ B‬הן פגומות‪ 4%.‬מהנורות שמייצרת מכונה ‪ C‬הן פגומות‪.‬‬
‫א‪ .1 .‬מצא את אחוז הנורות הפגומות במפעל‪.‬‬
‫‪ . 2‬בוחרים באקראי נורה אחת מבין הנורות הפגומות‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שהנורה שנבחרה יוצרה על ידי מכונה ‪?C‬‬
‫‪157‬‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 5‬נורות מבין הנורות המיוצרות במפעל‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שלכל היותר ‪ 3‬מהן יהיו תקינות?‬
‫‪ )11‬גלגל משחק מאוזן מחולק לשש גזרות‪ .‬על ‪ 2‬גזרות‬
‫‪1‬‬
‫שכל אחת היא‬
‫‪10‬‬
‫מהעיגול‪ ,‬רשומים המספרים ‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ו‪ ,3 -‬ועל ‪ 4‬גזרות שכל אחת היא‬
‫‪5‬‬
‫מהעיגול‪ ,‬רשומים‬
‫המספרים ‪ 6 ,5 ,4 ,2‬כמתואר בציור‪ .‬כאשר מסובבים‬
‫את הגלגל הוא נעצר על אחד המספרים (לא על הקו‬
‫שבין הגזרות)‪.‬‬
‫א‪ .‬מסובבים את הגלגל פעם אחת‪ .‬מהי ההסתברות שהגלגל ייעצר על מספר זוגי?‬
‫מסובבים את הגלגל ‪ 5‬פעמים‪.‬‬
‫ב‪ .1 .‬מהי ההסתברות שהגלגל ייעצר על מספר זוגי ‪ 2‬פעמים לכל היותר?‬
‫‪ .2‬ידוע שהגלגל נעצר על מספר זוגי ‪ 2‬פעמים לכל היותר‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שהגלגל נעצר על מספר זוגי בדיוק ‪ 2‬פעמים?‬
‫ג‪ .‬מהי ההסתברות שרק בפעם הראשונה ובפעם האחרונה ייעצר הגלגל על מספר זוגי?‬
‫‪ )12‬בשלוש קופסאות ‪ ,B ,A‬ו‪ C-‬יש כדורים שחורים ולבנים‪.‬‬
‫בקופסה ‪ A‬יש ‪ 2‬כדורים שחורים ו‪ 3-‬כדורים לבנים‪.‬‬
‫בקופסה ‪ B‬יש ‪ 3‬כדורים שחורים ו‪ 2-‬כדורים לבנים‪.‬‬
‫בקופסה ‪ C‬יש ‪ 4‬כדורים שחורים ו‪ 1-‬כדור לבן‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים באקראי קופסה‪ ,‬ומוציאים ממנה באקראי כדור אחד‪.‬‬
‫‪ .1‬מהי ההסתברות להוציא כדור לבן?‬
‫‪ . 2‬ידוע שהוצא כדור לבן‪ .‬מהי ההסתברות שהכדור הוצא מקופסה ‪?B‬‬
‫ב‪ .‬מקופסה ‪ C‬מוציאים באקראי ‪ 2‬כדורים זה אחר זה בלי החזרה‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שאחרי הוצאת הכדורים לא נותר בקופסה ‪ C‬כדור לבן?‬
‫‪ )13‬חקלאי מייצא פרחים לבנים ופרחים אדומים‪ .‬במחסן של החקלאי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫מהפרחים הלבנים הם ורדים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪12‬‬
‫מהפרחים האדומים הם ורדים‪.‬‬
‫‪ 25%‬מכלל הפרחים הם ורדים‪ ,‬והשאר הם חבצלות‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים באקראי פרח מבין הפרחים שבמחסן‪.‬‬
‫‪ .1‬מהי ההסתברות שהפרח הוא אדום?‬
‫‪ . 2‬מהי ההסתברות שהפרח הוא אדום אם ידוע שהוא ורד?‬
‫ב‪ .‬נתון שמספר הוורדים האדומים במחסן הוא ‪ . 300‬מהו מספר הפרחים במחסן?‬
‫‪158‬‬
‫‪ )14‬ידוע שההסתברות להצליח במבחן נהיגה (טסט) גדולה ב‪ 0.2-‬מההסתברות להיכשל בו‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי ההסתברות להצליח במבחן הנהיגה?‬
‫ב‪ .‬ראובן‪ ,‬שמעון לוי ויהודה הם ‪ 4‬אנשים שנבחרו באקראי מבין‬
‫הנבחנים במבחן הנהיגה‪.‬‬
‫‪ .1‬מהי ההסתברות שבדיוק ‪ 2‬מהם יצליחו במבחן הנהיגה?‬
‫‪ .2‬ידוע שרק ‪ 2‬מהם הצליחו במבחן הנהיגה‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שהיו אלה ראובן ושמעון?‬
‫‪ . 3‬האם ההסתברות שלפחות אחד מהארבעה יצליח במבחן הנהיגה גדולה‬
‫מההסתברות שלפחות אחד מהארבעה ייכשל במבחן הנהיגה? נמק‪.‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬א‪ 36 .2 0.25 .1 .‬ב‪.18 .‬‬
‫‪ )2‬א‪ .0.03 .‬ב‪.0.9999 .2 .0.15 .1 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )3‬א‪ . .‬ב‪ . .‬ג‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫‪ )4‬א‪ .0.744 .3 .0.456 .2 .0.288 .1 .‬ב‪.‬‬
‫‪31‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )5‬א‪ . p = 0.6 .2 . 1  p  .1 .‬ב‪.0.4 .‬‬
‫‪ )6‬א‪ .0.03 .‬ב‪.0.9875 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )7‬א‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ )8‬א‪.1 .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .‬ד‪. .‬‬
‫‪ .2 .‬לא‪ ,‬המאורעות תלויים‪ .‬ב‪ . .‬ג‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪27‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .‬ג‪.0.301 .‬‬
‫‪ )9‬א‪ .0.8942 .‬ב‪.0.0581 .2 .0.6393 .1 .‬‬
‫‪ )10‬א‪ .0.16 .2 .2.5% .1 .‬ב‪.0.0059 .‬‬
‫‪ )11‬א‪ .0.6 .‬ב‪ .0.7248 .2 .0.31744 .1 .‬ג‪.0.02304 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )12‬א ‪ . .2 . .1.‬ב‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪16‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )13‬א‪ . .2 . .1 .‬ב‪ 1575 .‬פרחים‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪21‬‬
‫‪1‬‬
‫‪216‬‬
‫‪ .3 . .2 .‬כן‪.  0.9744 > 0.8704 .‬‬
‫‪ )14‬א‪ .0.6 .‬ב‪.1 .‬‬
‫‪6‬‬
‫‪625‬‬
‫‪.‬‬
‫‪159‬‬
‫פרק ‪ – 6‬גאומטריה אוקלידית‪:‬‬
‫רקע‪ ,‬קווים וזוויות‪ ,‬משולשים‪:‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬נתון‪, CAB  DAC :‬‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫‪. EAB  80 , FAD  60‬‬
‫חשב את הזויות הבאות‪:‬‬
‫‪FAE  2  EAD‬‬
‫‪. FAB , EAC , CAB‬‬
‫‪ )2‬חשב את סכום הזויות הבאות (נמק)‪:‬‬
‫‪. 2 4 6‬‬
‫‪ )3‬מצא את זוגות הישרים המקבילים‬
‫בשרטוט הבא (נמק)‪.‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪FAB  120 , EAC  50 , CAB  30 )1‬‬
‫‪. d c , a c , e f )3 180 )2‬‬
‫משולש כללי‪ ,‬משולש שווה שוקיים‪ ,‬משולש ישר זווית‪:‬‬
‫משפטים כלליים במשולשים‪:‬‬
‫‪ .1‬סכום הזוויות במשולש הוא ‪.180O‬‬
‫‪ .2‬סכום שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית‪.‬‬
‫‪ .3‬במשולש מול הזווית הגדולה נמצאת הצלע הגדולה ולהפך‪.‬‬
‫במשולש מול הזווית הקטנה נמצאת הצלע הקטנה ולהפך‪.‬‬
‫במשולש מול זוויות שוות נמצאות צלעות שוות ולהפך‪.‬‬
‫‪160‬‬
‫משפטים במשולש שווה שוקיים‪:‬‬
‫‪ .1‬במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו‪.‬‬
‫(משפט הפוך) משולש שבו שתי זוויות שוות הוא משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪ .2‬במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש‪ ,‬הגובה לבסיס והתיכון לבסיס מתלכדים‪.‬‬
‫(משפט הפוך) משולש שבו חוצה זווית הוא גם גובה או חוצה זווית הוא גם תיכון או‬
‫גובה הוא גם תיכון הוא משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫משפטים במשולש שווה צלעות‪:‬‬
‫הגדרה‪ :‬משולש שבו כל הצלעות שוות הוא משולש שווה צלעות‪.‬‬
‫‪ .1‬במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות ‪. 60‬‬
‫‪( .2‬משפט הפוך) משולש שבו כל הזוויות שוות הוא משולש שווה צלעות‪.‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )4‬המשולש ‪ ABC‬שבציור הוא משולש שווה שוקיים )‪.(AB=AC‬‬
‫‪ AG‬חוצה את זווית ‪. A‬‬
‫‪ M‬היא נקודה כלשהי על ‪.AG‬‬
‫הוכח כי‪.BM = CM :‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪G‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )5‬המשולש ‪ ABC‬שבציור הוא משולש שווה שוקיים )‪.(AB=AC‬‬
‫‪ AG‬ו‪ BP-‬חוצים את הזוויות ‪ A‬ו‪ ABC -‬בהתאמה‪.‬‬
‫הנקודה ‪ Q‬נמצאת על המשך ‪.AG‬‬
‫נתון‪.GM = GQ :‬‬
‫הוכח‪. B1  B3 :‬‬
‫‪P‬‬
‫‪M‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪G‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪161‬‬
‫‪B‬‬
‫‪3‬‬
‫‪B‬‬
‫חפיפת משולשים‪:‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫משולשים חופפים הם משולשים ששווים זה לזה בכל צלעותיהם ובכל זוויותיהם בהתאמה‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ AB  DE , AC  DF , BC  EF‬‬
‫‪ABC  DEF  ‬‬
‫‪ A D, B E, C  F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫משפטי החפיפה‪:‬‬
‫‪ .1‬משפט חפיפה צלע‪-‬זווית‪ -‬צלע (צ‪.‬ז‪.‬צ)‪ :‬אם בין שני משולשים שוות שתי צלעות והזווית‬
‫שביניהן בהתאמה אז המשולשים חופפים‪.‬‬
‫‪ .2‬משפט חפיפה זווית‪-‬צלע‪ -‬זווית (ז‪.‬צ‪.‬ז)‪ :‬אם בין שני משולשים שוות שתי זוויות והצלע‬
‫שביניהן בהתאמה אז המשולשים חופפים‪.‬‬
‫‪ .3‬משפט חפיפה צלע‪-‬צלע‪-‬צלע (צ‪.‬צ‪.‬צ)‪ :‬אם בין שני משולשים שוות שלוש צלעות‬
‫בהתאמה אז המשולשים חופפים‪.‬‬
‫‪ .4‬משפט חפיפה צלע‪-‬צלע‪ -‬והזווית הגדולה (צ‪.‬צ‪.‬ז)‪ :‬אם בין שני משולשים שוות שתי‬
‫צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן בהתאמה אז המשולשים חופפים‪.‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )6‬בציור נתון‪. AC  EC , DC  BC :‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫א‪. CDE  CBA .‬‬
‫ב‪. ADE  ABE .‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )7‬בציור נתון‪. DBC  ACB , ABC  DCB :‬‬
‫הוכח‪. AB  DC :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )8‬בציור נתון‪. AC  DE , AB  BE  AD :‬‬
‫הוכח‪ :‬הנקודה ‪ D‬היא אמצע הצלע ‪. BC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪162‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫זווית חיצונית למשולש ומשולש ישר זווית‪:‬‬
‫זווית חיצונית למשולש‪:‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫זווית חיצונית למשולש היא זווית הכלואה בין צלע‬
‫במשולש להמשך צלע הסמוכה לה‪.‬‬
‫משפט‪ :‬זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה‪.‬‬
‫משפטים במשולש ישר זווית‪:‬‬
‫‪ .1‬סכום הזוויות החדות במשולש ישר זווית הוא ‪. 90‬‬
‫‪ .2‬במשולש שזוויותיו ‪ , 30 , 60 , 90‬הניצב שמול הזווית של ה‪ 30 -‬שווה למחצית היתר‪.‬‬
‫‪( .3‬משפט הפוך ל‪ ) 2-‬אם במשולש ישר זווית אחד הניצבים שווה למחצית היתר‪ ,‬אז‬
‫הזווית שמול ניצב זה היא בת ‪. 30‬‬
‫‪ .4‬במשולש ישר זווית ה תיכון ליתר שווה למחצית היתר‪.‬‬
‫‪( .5‬משפט הפוך ל‪ :) 4-‬אם במשולש תיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה‪ ,‬אז‬
‫המשולש ישר זווית (כאשר הזווית ממנה יוצא התיכון היא הזווית הישרה)‪.‬‬
‫‪ .6‬משפט פיתגורס‪ :‬במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר‪.‬‬
‫כלומר‪(2 :‬יתר) = ‪(2‬ניצב) ‪(2 +‬ניצב)‪.‬‬
‫‪( .7‬משפט הפוך למשפט פיתגורס) אם במשולש סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע‬
‫הצלע השלישית‪ ,‬אז המשולש ישר זווית‪.‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )9‬הוכח את המשפט‪" :‬זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות‬
‫שאינן צמודות לה"‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )10‬המשולש ‪ ABC‬שבציור הוא משולש שווה צלעות‪.‬‬
‫נתון‪.AN = BM :‬‬
‫הוכח‪. NQC  60o :‬‬
‫‪N‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫‪163‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )11‬המשולש ‪ ABC‬שבציור הוא משולש שווה שוקיים )‪.(AB = AC‬‬
‫נתון‪ 18 , ABD  30o , DAC  90o :‬ס"מ = ‪.BC‬‬
‫חשב את אורכו של הקטע ‪.BD‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )12‬המשולש ‪ ABC‬שבציור הוא משולש ישר זווית ( ‪.) ABC  90o‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ BQ‬הוא הגובה ליתר ‪ AC‬ו‪ BP-‬הוא התיכון ליתר ‪.AC‬‬
‫נתון‪. BQ  12 BP :‬‬
‫חשב את גודלה של הזווית ‪. C‬‬
‫‪Q C‬‬
‫‪ )13‬המשולש ‪ BDC‬שבציור הוא משולש שווה שוקיים )‪.(BD=DC‬‬
‫‪ AC‬חוצה את הזווית ‪ . BAE‬נתון‪. DC AE :‬‬
‫חשב את גודלה של הזווית ‪. ACB‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ AD )14‬הוא גובה במשולש ‪.ABC‬‬
‫נתון‪. BC  25cm , AC  20cm , AB  15cm :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורכו של ‪ AD‬ואת שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫ב‪ .‬האם המשולש ‪ ABC‬ישר זווית? נמק‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪C  75 )12 BD  6cm )11‬‬
‫‪ACB  90 )13‬‬
‫‪164‬‬
‫‪ )14‬א‪ SABC  150cm , AD  12cm .‬ב‪ .‬כן‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫קטעים מיוחדים במשולש‪:‬‬
‫קטע אמצעים במשולש‪:‬‬
‫הגדרה‪ :‬קטע המחבר אמצעי שתי צלעות במשולש נקרא קטע אמצעים במשולש‪.‬‬
‫‪ .1‬קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה‪.‬‬
‫‪( .2‬משפט הפוך ‪ :) 1‬קטע היוצא מאמצע צלע במשולש ומקביל לצלע השלישית חוצה את‬
‫הצלע השנייה (כלומר הוא קטע אמצעים במשולש)‪.‬‬
‫‪( .3‬משפט הפוך ‪ :)2‬קטע המחבר שתי צלעו ת במשולש‪ ,‬מקביל לצלע השלישית ושווה‬
‫למחציתה הוא קטע אמצעים במשולש‪.‬‬
‫מפגש התיכונים במשולש‪:‬‬
‫‪ .1‬שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת המחלקת כל תיכון ביחס של ‪1:2‬‬
‫כך שהחלק הקצר קרוב לצלע‪.‬‬
‫‪ .2‬אם נקודה מחלקת תיכון (אחד) במשולש ביחס של ‪ 1:2‬כך שהחלק הקצר קרוב לצלע‪,‬‬
‫נקודה זו היא מפגש התיכונים במשולש‪.‬‬
‫‪ .3‬נקודת מפגש התיכונים במשולש נקראת גם מרכז הכובד של המשולש‪.‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )15‬הקטע ‪ MN‬הוא קטע אמצעים במשולש ‪. ABC‬‬
‫‪ AQ‬הוא גובה לצלע ‪.BC‬‬
‫הוכח‪. N1  N2 :‬‬
‫‪1 N‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ AF )16‬הוא גובה לצלע ‪ BC‬ו‪ CG -‬הוא תיכון לצלע‬
‫במשולש ‪ . ABC‬הקטע ‪ GH‬מאונך לצלע ‪. BC‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BH  HF :‬‬
‫ב‪ .‬נתון בנוסף כי הגובה ‪ AF‬חוצה את‬
‫התיכון ‪ GC‬ושגודלו של ‪ AF‬הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. EF‬‬
‫‪165‬‬
‫‪P‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪A‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪G‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫‪H‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )17‬המשולש ‪ ABC‬שבציור הוא משולש שווה שוקיים ( ‪) AB  AC‬‬
‫שבו ‪ AH‬הוא הגובה לבסיס ‪ ,CD .BC‬התיכון לשוק ‪,AB‬‬
‫יוצר זווית של ‪ 30o‬עם הבסיס ‪.BC‬‬
‫נתון‪. DQ BC , BC  12 3 cm :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Q‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪.MQ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪H‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )16‬ב‪EF  3cm .‬‬
‫‪. MQ  3cm )17‬‬
‫מרובעים‪:‬‬
‫הגדרה‪ :‬מרובע הוא מצולע בעל ‪ 4‬צלעות‪.‬‬
‫משפט‪ :‬סכום הזוויות במרובע הוא ‪. 360o‬‬
‫מקבילית‪:‬‬
‫הגדרה‪ :‬מקבילית היא מרובע שבו שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות‪.‬‬
‫תכונות המקבילית‪:‬‬
‫‪ .1‬במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ .2‬במקבילית כל שתי זוויות נגדיות שוות‪.‬‬
‫‪ .3‬במקבילית סכום כל שתי זוויות סמוכות הוא ‪.180‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ .4‬במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה‪.‬‬
‫‪ .5‬היקף מקבילית ‪ ‬סכום הצלעות‪ ,‬שטח מקבילית ‪ ‬צלע ‪ ‬גובה לצלע‪.‬‬
‫כדי להוכיח כי מרובע הוא מקבילית נשתמש באחת הדרכים הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬מרובע שבו כל זוג צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪ .2‬מרובע שבו כל זוג צלעות נגדיות שוות הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪ .3‬מרובע שבו זוג צלעות שוות ומקבילות הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪ .4‬מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪ .5‬מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪166‬‬
‫‪D‬‬
‫מלבן‪:‬‬
‫הגדרה‪ :‬מלבן הוא מרובע שכל זוויותיו ישרות‪.‬‬
‫(מסקנה‪ :‬מלבן הוא סוג של מקבילית)‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫תכונות המלבן (בנוסף לתכונות המקבילית)‪:‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ .1‬ארבע זוויות המלבן שוות והן זוויות ישרות‪.‬‬
‫‪ .2‬האלכסונים במלבן שווים זה לזה‬
‫‪ .3‬היקף מלבן ‪ ‬סכום הצלעות‪ ,‬שטח מלבן ‪ ‬צלע ‪ ‬גובה לצלע‪.‬‬
‫כדי להוכיח כי מרובע הוא מלבן נשתמש באחת הדרכים הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬מרובע שבו שלוש זוויות ישרות הוא מלבן‪.‬‬
‫‪ .2‬מקבילית שבה זווית ישרה היא מלבן‪.‬‬
‫‪ .3‬מקבילית שבה האלכסונים שווים היא מלבן‪.‬‬
‫מעוין‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫הגדרה‪ :‬מעוין הוא מרובע שכל צלעותיו שוות‪.‬‬
‫(מסקנה‪ :‬מעוין הוא סוג של מקבילית)‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫תכונות המעוין (בנוסף לתכונות המקבילית)‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ .1‬במעוין כל הצלעות שוות‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ .2‬במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫‪ .3‬במעוין האלכסונים הם חוצי זוויות‪.‬‬
‫‪ .4‬היקף מעוין ‪ ‬צלע ‪ ,4 ‬שטח מעוין ‪ ‬צלע ‪ ‬גובה לצלע ‪(/2 ‬אלכסון ‪ ‬אלכסון)‪.‬‬
‫כדי להוכיח כי מרובע הוא מעוין נשתמש באחת הדרכים הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬מרובע שבו כל הצלעות שוות הוא מעוין‪.‬‬
‫‪ .2‬מקבילית שבה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין‪.‬‬
‫‪ .3‬מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין‪.‬‬
‫‪ .4‬מקבילית שבה אלכסון חוצה זווית היא מעוין (מספיק אחד)‪.‬‬
‫‪167‬‬
‫ריבוע‪:‬‬
‫הגדרה ‪ :‬ריבוע הוא מרובע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו שוות‪.‬‬
‫(מסקנה‪ :‬ריבוע הוא סוג של מקבילית‪ ,‬סוג של מלבן וסוג של מעוין)‪.‬‬
‫מכאן‪ ,‬שבנוסף לתכונות שבהגדרת הריבוע מתקיים כי אלכסוני הריבוע‬
‫חוצים זה את זה‪ ,‬שווים זה לזה‪ ,‬מאונכים זה לזה וחוצים את זוויות הריבוע‪.‬‬
‫היקף ריבוע ‪ ‬צלע ‪ ,4 ‬שטח ריבוע ‪(2 ‬צלע) ‪(2/2 ‬אלכסון)‬
‫כדי להוכיח כי מרובע הוא ריבוע נשתמש באחת הדרכים הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬מלבן שבו האלכסונים מאונכים הוא ריבוע‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .2‬מלבן שבו אלכסון חוצה זווית הוא ריבוע‪.‬‬
‫‪ .3‬מלבן שבו שתי צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע‪.‬‬
‫‪ .4‬מעוין שבו האלכסונים שווים הוא ריבוע‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ .5‬מעוין שבו זווית ישרה הוא ריבוע‪.‬‬
‫טרפז‪:‬‬
‫הגדרה ‪ :‬טרפז הוא מרובע שבו זוג אחד בלבד של צלעות נגדיות מקבילות‪.‬‬
‫היקף טרפז ‪ ‬סכום הצלעות‪ ,‬שטח טרפז ‪(/2 ‬גובה ‪ ‬סכום הבסיסים)‪.‬‬
‫טרפז כללי‪:‬‬
‫טרפז ישר זווית‪:‬‬
‫טרפז שווה שוקיים‪:‬‬
‫משפטים הנוגעים לטרפז שווה שוקיים‪:‬‬
‫‪ .1‬בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪( .2‬משפט הפוך) טרפז שבו הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪ .3‬בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה‪.‬‬
‫‪( .4‬משפט הפוך) טרפז שבו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪168‬‬
‫קטע אמצעים בטרפז‪:‬‬
‫הגדרה‪ :‬קטע אמצעים בטרפז הוא קטע המחבר את אמצעי השוקיים בטרפז‪.‬‬
‫‪ .1‬קטע אמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם‪.‬‬
‫‪( .2‬משפט הפוך) קטע היוצא מאמצע שוק אחת בטרפז‬
‫ומקביל לבסיסים‪ ,‬חוצה את השוק השנייה‬
‫(כלומר הוא קטע אמצעים בטרפז)‪.‬‬
‫דלתון‪:‬‬
‫הגדרה ‪ :‬דלתון הוא מרובע שבו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות‪.‬‬
‫(מסקנה‪ :‬דלתון הוא מרובע שניתן לפרק לשני משולשים‬
‫שווי שוקיים בעלי בסיס משותף)‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫תכונות האלכסונים בדלתון‪:‬‬
‫‪ .1‬האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זוויות הראש‪ ,‬חוצה את האלכסון המשני ומאונך לו‪.‬‬
‫‪ .2‬האלכסון הראשי אינו בהכרח גדול מהאלכסון המשני‪.‬‬
‫‪ .3‬היקף דלתון ‪ ‬סכום הצלעות‪ ,‬שטח דלתון ‪(/2 ‬אלכסון ‪ ‬אלכסון)‪.‬‬
‫משפחת המרובעים‪:‬‬
‫‪169‬‬
‫‪A‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬המשולשים ‪ ABC‬ו‪ ACD -‬שבציור הם‬
‫משולשים שווי שוקיים ( ‪.) AB  AC  AD‬‬
‫נתון‪. BAD  80o :‬‬
‫חשב את גודלה של הזווית ‪. BCD‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )2‬נתונה מקבילית ‪ ABCD‬שאלכסוניה נפגשים בנקודה ‪. M‬‬
‫נתון‪. AC  20cm , BC  12 DB , DQ  AC :‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. AQ‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )3‬את הצלע ‪ AB‬במקבילית ‪ ABCD‬האריכו כאורכה עד לנקודה ‪. T‬‬
‫הוכח‪ BTCD :‬מקבילית‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ )4‬נתון מלבן ‪ ABCD‬שבו ‪. DM  MC‬‬
‫הוכח‪. MAB  MBA :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )5‬נתונה מקבילית ‪ ABCD‬ובה ‪ CM , BQ , AP‬ו‪ DN -‬הם‬
‫חוצי הזוויות ‪ C , B , A‬ו ‪ D -‬בהתאמה‪.‬‬
‫הוכח‪ TRLS :‬מלבן‪.‬‬
‫‪ )6‬נתון מעוין ‪ ABCD‬שאלכסוניו נפגשים בנקודה ‪. M‬‬
‫האריכו את הצלע ‪ AB‬עד לנקודה ‪ E‬כך‬
‫שמתקיים‪. ED  DB :‬‬
‫הוכח‪. AD  AE :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )7‬נתון מלבן ‪ ABCD‬שאלכסוניו נפגשים בנקודה ‪. M‬‬
‫האריכו את הצלע ‪ AB‬כאורכה עד לנקודה ‪ F‬ואת‬
‫הצלע ‪ AD‬כאורכה עד לנקודה ‪ E‬כמתואר בשרטוט‪.‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ EBDF‬הוא מעוין‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪170‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )8‬בריבוע ‪ ABCD‬נתון כי ‪. AE  BF‬‬
‫הוכח‪. DE  AF :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )9‬נתון מעוין ‪ ABCD‬שאלכסוניו נפגשים בנקודה ‪. M‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪EBFD‬‬
‫‪E‬‬
‫נתון‪. EBA  15o , MB  AB , AE  FC :‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע‬
‫הוא ריבוע‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )10‬נתון טרפז ‪ ABCD‬שאורכי צלעותיו נתונים בשרטוט‪.‬‬
‫חשב את שטח הטרפז (פתור כתרגיל חישוב)‪.‬‬
‫‪5cm‬‬
‫‪B‬‬
‫‪20cm‬‬
‫‪A‬‬
‫‪13cm‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪26cm‬‬
‫‪ )11‬נתון מלבן ‪ ABCD‬שאלכסוניו נפגשים בנקודה ‪. O‬‬
‫נתון‪. MN DC :‬‬
‫הוכח‪ DMNC :‬טרפז שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ KN )12‬הוא קטע אמצעים בטרפז ישר זווית‬
‫( ‪ ) AD  AB , AB DC‬שאלכסוניו נפגשים בנקודה ‪. O‬‬
‫‪ABCD‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫נתון‪. AD  12cm , DC  2 AB , ADB  45O :‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. LM‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪K‬‬
‫‪L‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )13‬בדלתון ‪ ABCD‬האריכו את האלכסון המשני‬
‫משני צדיו כמתואר בשרטוט כך שמתקיים‪:‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ ALCK‬הוא דלתון‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. KD  BL‬‬
‫‪L‬‬
‫‪C‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪BCD  140 )1‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪. LM  6cm )12 S  186cm )10 AQ  5cm )2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪171‬‬
‫‪D‬‬
‫‪K‬‬
‫המעגל‪:‬‬
‫הגדרות‪:‬‬
‫‪ ‬מעגל – המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מנקודה קבועה קבוע‪.‬‬
‫הנקודה הקבועה נקראת מרכז המעגל‪.‬‬
‫‪ ‬רדיוס – קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה על המעגל‪.‬‬
‫‪ ‬מיתר – קטע המחבר שתי נקודות שעל המעגל‪.‬‬
‫‪ ‬קוטר – מיתר העובר במרכז המעגל‪.‬‬
‫מרכז‬
‫המעגל‬
‫‪ ‬היקף מעגל = ‪. 2 R‬‬
‫מיתר‬
‫‪ ‬שטח מעגל = ‪.  R 2‬‬
‫‪ ‬קשת – חלק מהיקף המעגל‪.‬‬
‫‪ ‬גזרה – חלק משטח המעגל‪.‬‬
‫‪ ‬זווית מרכזית – זווית שקדקודה במרכז המעגל ושוקיה רדיוסים‪.‬‬
‫‪ ‬זווית היקפית – זווית שקדקודה על היקף המעגל ושוקיה מיתרים‪.‬‬
‫משפטים במעגל‪:‬‬
‫משפטים העוסקים במיתרים במעגל‪:‬‬
‫‪ .1‬מיתרים שווים נשענים על קשתות שוות ולהפך‪.‬‬
‫‪ .2‬על מיתרים שווים נשענות זוויות מרכזיות שוות ולהפך‪.‬‬
‫‪ .3‬מיתרים שווים נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל‪.‬‬
‫(משפט הפוך ל‪ ) 3-‬מיתרים הנמצאים במרחק שווה ממרכז המעגל שווים‪.‬‬
‫‪ .4‬אנך למיתר ממרכז המעגל חוצה את המיתר‪.‬‬
‫(משפט הפוך ל‪ ))1( 4-‬רדיוס החוצה מיתר מאונך לו‪.‬‬
‫(משפט הפוך ל‪ )) 2( 4-‬קטע היוצא מאמצע מיתר ומאונך לו‪ ,‬עובר במרכז המעגל‪.‬‬
‫‪172‬‬
‫משפטים העוסקים בזוויות במעגל‪:‬‬
‫‪ .5‬שתי זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת‪/‬קשתות שוות‪ ,‬שוות ביניהן‪.‬‬
‫(משפט הפוך ל‪ ) 5-‬זוויות היקפיות שוות נשענות על קשתות שוות‪.‬‬
‫‪ .6‬זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת‪.‬‬
‫‪ .7‬זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה‪.‬‬
‫(משפט הפוך ל‪ ) 7-‬מיתר עליו נשענת זווית היקפית ישרה הוא קוטר‪.‬‬
‫משפטים העוסקים במשיק למעגל ושני משיקים למעגל‪:‬‬
‫‪ .8‬משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה‪.‬‬
‫(משפט הפוך ל‪ )8-‬קטע המאונך לרדיוס בקצהו משיק למעגל‪.‬‬
‫‪ .9‬שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה‪.‬‬
‫‪ .10‬קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה שממנה יוצאים שני משיקים חוצה את‬
‫הזווית בין המשיקים‪.‬‬
‫‪ .11‬הזווית הכלואה בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני‪.‬‬
‫משפטים העוסקים בשני מעגלים‪:‬‬
‫‪ .12‬קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו‪.‬‬
‫‪ .13‬קטע המרכזים (או המשכו) של שני מעגלים משיקים עובר בנקודת ההשקה‪.‬‬
‫משפטים העוסקים במעגל חוסם ומעגל חסום‪:‬‬
‫‪ .14‬מרכז מעגל החוסם משולש הוא מפגש האנכים האמצעיים במשולש‪.‬‬
‫‪ .15‬מרכז מ עגל החסום במשולש הוא מפגש חוצי הזווית במשולש‪.‬‬
‫‪ .16‬במרובע החסום במעגל‪ ,‬סכום כל שתי זוויות נגדיות הוא ‪.180o‬‬
‫(משפט הפוך ל‪ )16-‬אם במרובע סכום זוג זוויות נגדיות הוא ‪ ,180o‬המרובע‬
‫בר חסימה במעגל‪.‬‬
‫‪ .17‬במרובע החוסם מעגל סכום זוג צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני‪.‬‬
‫(משפט הפוך ל‪ ) 17-‬אם במרובע סכום זוג צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני‬
‫אז ניתן לחסום בתוכו מעגל‪.‬‬
‫‪ .18‬כל מצולע משוכלל ניתן לחסום במעגל וניתן לחסום בתוכו מעגל‪.‬‬
‫‪173‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ AB ,CD )1‬ו ‪ KL-‬הם מיתרים במעגל שמרכזו ‪ , O‬והם חותכים‬
‫את הקטע ‪ ,MG‬העובר במרכז המעגל‪ ,‬בנקודות ‪E ,F‬‬
‫ו‪ M-‬בהתאמה‪ .‬נתון‪. KL CD , CF  FD :‬‬
‫‪G‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. KM  ML :‬‬
‫ב‪ .‬נתון בנוסף כי ‪, AB  MG‬‬
‫הוכח‪. MO  OE :‬‬
‫‪. ML  EB‬‬
‫‪A‬‬
‫‪K‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E F‬‬
‫‪O‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )2‬חשב את גודל הזוויות ‪ ‬ו‪  -‬במעגל הנתון‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪L‬‬
‫‪550‬‬
‫‪β‬‬
‫‪500‬‬
‫‪400‬‬
‫‪ AB )3‬ו‪ BC-‬הם מיתרים במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫נתון‪. BA OC , AGC  60o :‬‬
‫חשב את גודלה של הזווית ‪. AOC‬‬
‫‪α‬‬
‫‪A‬‬
‫‪G‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪ BC ,AD ,AC ,AB )4‬ו‪ CD-‬הם מיתרים במעגל שמרכזו ‪O‬‬
‫(המיתר ‪ AD‬עובר ב‪.)O-‬‬
‫הקטע ‪ BE‬חותך את המיתר ‪ AC‬בנקודה ‪.G‬‬
‫נתון‪. BE CD , BG  GE :‬‬
‫הוכח‪. BC  CD :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪G‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )5‬הצלעות ‪ AD ,AB‬ו‪ DC-‬של המקבילית ‪ ABCD‬משיקות‬
‫למעגל בנקודות ‪ L , B‬ו‪ K-‬בהתאמה (ראה שרטוט)‪.‬‬
‫נתון‪. KC  6cm , BC  14cm :‬‬
‫חשב את היקף המקבילית‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪L‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪K‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )6‬הצלעות ‪ AC‬ו‪ BC-‬של המשולש ‪ ABC‬משיקות‬
‫למעגל שמרכזו ‪ , O‬בנקודות ‪ K‬ו ‪ B-‬בהתאמה‪.‬‬
‫הצלע ‪ AB‬עוברת בנקודה ‪.O‬‬
‫נתון‪. AB  15cm , AK  KC :‬‬
‫‪174‬‬
‫‪K‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬חשב את גודלה של זווית ‪. A‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורכו של רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪H‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )7‬הקדקודים ‪ B‬ו‪ C-‬של המלבן ‪ ABCD‬מונחים על מעגל‪.‬‬
‫הצלע ‪ AD‬משיקה למעגל בנקודה ‪ G‬והצלע ‪ AB‬חותכת את‬
‫המעגל בנקודה ‪ .H‬הוכח‪. C2  C3 :‬‬
‫(הדרכה‪ :‬סמן ‪.) AGH  ‬‬
‫‪ )8‬המעגלים שמרכזיהם ‪ M‬ו‪ G-‬משיקים מבחוץ זה לזה‬
‫ומשיקים מבפנים למעגל שמרכזו ‪.O‬‬
‫נתון כי רדיוס המעגל שמרכזו ‪ O‬הוא ‪. 8cm‬‬
‫חשב את היקף המשולש ‪. OMG‬‬
‫‪A‬‬
‫‪G‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O‬‬
‫‪M‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ AD )9‬הוא התיכון לצלע ‪ BC‬במשולש ‪.ABC‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬אם מרכז המעגל החסום במשולש ‪ABC‬‬
‫נמצא על ‪ AD‬אז המשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬בהמשך לסעיף א'‪ ,‬האם מרכז המעגל החוסם את משולש ‪ ABC‬נמצא על ‪?AD‬‬
‫‪ )10‬חשב את גודלה של הזווית ‪ ‬בשרטוט הבא‪:‬‬
‫‪350‬‬
‫‪550‬‬
‫‪500‬‬
‫‪α‬‬
‫‪300‬‬
‫‪ )11‬בטרפז ישר זווית ‪ ABCD‬שבו השוק ‪ AD‬מאונכת‬
‫לבסיסים ‪ AB‬ו‪ DC-‬הנקודות ‪ K‬ו ‪ L-‬נמצאות על‬
‫הצלעות ‪ DC‬ו ‪ AD-‬בהתאמה‪ ,‬כך שהקטעים ‪ BK‬ו‪ CL-‬הם חוצי הזוויות‬
‫בהתאמה‪ .‬חוצי הזוויות נפגשים בנקודה ‪.M‬‬
‫הוכח‪ :‬את המרובע ‪ DKML‬ניתן לחסום במעגל‪.‬‬
‫‪ )12‬חשב את גודלו של ‪ x‬בשרטוט הבא‪:‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪AOC  40 )3   35 ,   95 )2‬‬
‫‪ )6‬א‪A  30 .‬‬
‫ב‪R  5cm .‬‬
‫‪)8‬‬
‫‪. P  48cm )5‬‬
‫‪P  16cm‬‬
‫‪. x  2 )12   70 )10‬‬
‫‪175‬‬
‫‪B‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪C‬‬
‫פרופורציה דמיון‪:‬‬
‫פרופורציה‪:‬‬
‫משפט תאלס‪:‬‬
‫‪ .1‬שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציוניים‪.‬‬
‫‪ .2‬משפט הפוך‪ :‬אם שני ישרים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים‬
‫פרופורציוניים הישרים מקבילים‪.‬‬
‫‪AD AE‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .3‬משפט תאלס ‪ +‬ההפוך‪:‬‬
‫‪DB EC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪. DE BC ‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪AD AE DE‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .4‬משפט תאלס המורחב ‪ +‬ההפוך‪:‬‬
‫‪AB AC BC‬‬
‫‪. DE BC ‬‬
‫‪BE AE AB‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .5‬משפט תאלס "שעון חול" ‪ +‬ההפוך‪:‬‬
‫‪ED EC DC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪. AB DC ‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫משפט חוצה הזווית‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪ .6‬חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית ביחס‬
‫הזהה ליחס בין הצלעות שביניהן הוא כלוא ולהפך‪.‬‬
‫אם‪A1  A2 :‬‬
‫‪AB AC‬‬
‫אז‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪BD DC‬‬
‫‪C‬‬
‫ולהיפך‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫דמיון משולשים‪:‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫משולשים דומים הם משולשים ששווים זה לזה בכל זוויותיהם ושצלעותיהם שומרות‬
‫בהתאמה על אותו יחס‪.‬‬
‫‪DEF‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E, C‬‬
‫‪ABC‬‬
‫‪D, B‬‬
‫‪AB AC BC‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪DE DF EF‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪176‬‬
‫‪B‬‬
‫משפטי הדמיון‪:‬‬
‫‪ .1‬משפט דמיון זווית‪ -‬זווית (ז‪.‬ז‪ :).‬אם בין שני משולשים שוות שתי זווית‬
‫אז המשולשים דומים‪.‬‬
‫‪ .2‬משפט דמיון צלע ‪-‬זווית‪ -‬צלע (צ‪.‬ז‪.‬צ)‪ :‬אם בין שני משולשים שתי צלעות שומרות‬
‫על אותו יחס והזווית שביניהן שווה אז המשולשים דומים‪.‬‬
‫‪ .3‬משפט דמיון צלע ‪-‬צלע ‪ -‬צלע (צ‪.‬צ‪.‬צ)‪ :‬אם בין שני משולשים שלוש הצלעות שומרות‬
‫על אותו יחס אז המשולשים דומים‪.‬‬
‫‪ .4‬משפט דמיון צלע ‪-‬צלע ‪ -‬והזווית הגדולה (צ‪.‬צ‪.‬ז)‪ :‬אם בין שני משולשים שתי צלעות‬
‫שומרות על אותו יחס והזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן שווה‬
‫אז המשולשים דומים‪.‬‬
‫יחס בין גדלים במשולשים דומים‪:‬‬
‫‪ .1‬בין שני משולשים דומים היחס בין הגבהים‪ ,‬התיכונים‪ ,‬חוצי הזווית‪ ,‬ההיקפים‪,‬‬
‫רדיוס המעגל החוסם ורדיוס המעגל החסום הוא כיחס הדמיון‪.‬‬
‫‪ .2‬היחס בין שטחי משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון‪.‬‬
‫פרופורציות ב משולש ישר זווית‪:‬‬
‫‪ .1‬במשולש ישר זווית‪ ,‬הגובה ליתר בריבוע שווה למכפלת היטלי הניצבים על היתר‪.‬‬
‫‪ .2‬במשולש ישר זווית‪ ,‬ניצב בריבוע שווה למכפלת היתר והיטל הניצב על היתר‪.‬‬
‫‪( .3‬משפט הפוך ל‪ ) 1-‬אם במשולש גובה לצלע אחת בריבוע שווה למכפלת היטלי הצלעות‬
‫האחרות על צלע זאת‪ ,‬המשולש ישר זווית‪.‬‬
‫‪177‬‬
‫שאלות יסודיות – משפט תלס‪:‬‬
‫‪ )1‬מצא את ערכו של ‪ x‬בשרטוטים הבאים‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪ )2‬בטרפז ‪ ABCD‬האלכסונים נפגשים בנקודה ‪.Q‬‬
‫בנקודה ‪ Q‬העבירו קטע המקביל לבסיסי הטרפז וחותך‬
‫את שוקי הטרפז בנקודות ‪ M‬ו‪N-‬כמתואר בשרטוט‪.‬‬
‫נתון‪. QB  3cm , DQ  9cm , DC  18cm :‬‬
‫‪C‬‬
‫חשב את גודל הקטע ‪. MQ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪AK MC AL‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )3‬בשרטוט נתון‪:‬‬
‫‪KC BM LB‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ KLMC‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪. BC  10cm , AL  1.5BL :‬‬
‫‪K‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪.LK‬‬
‫‪L‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫שאלות יסודיות – משפט חוצה זווית‪:‬‬
‫‪ )4‬מצא את גודלו של ‪ x‬בסרטוטים הבאים אם נתון כי ‪ AM‬חוצה זווית ‪ A‬בכל‬
‫המשולשים‪ ,‬כל הגדלים הם בס"מ‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪4 B‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪15‬‬
‫‪M‬‬
‫‪12‬‬
‫‪B‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪21‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪178‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )5‬נתון משולש שווה שוקיים ‪.  AB  AC ,ABC‬‬
‫ידוע כי היקפו הוא ‪ 28‬ס"מ‪ .‬הקטע ‪ BM‬הוא חוצה זווית ‪.B‬‬
‫נתון כי הקטע ‪ AM‬גדול פי ‪ 3‬מהקטע ‪.MC‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪.MC‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )6‬הקטעים ‪ AD‬ו‪ CF-‬הם חוצי הזוויות ‪ A‬ו‪ C-‬בהתאמה‬
‫במשולש ‪.ABC‬‬
‫נתון‪ 18 :‬ס"מ ‪ 12 , AB ‬ס"מ ‪ 6 , AC ‬ס"מ ‪. CD ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪.AF‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )7‬המרובע ‪ PQRT‬חסום במעגל‪ .‬נתון כי‪. QR  RT :‬‬
‫ידוע כי‪ 20 :‬ס"מ ‪ 28 , PQ ‬ס"מ ‪ 24 , PT ‬ס"מ ‪. QT ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪.QS‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫‪T‬‬
‫‪S‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ )8‬הנקודות ‪ C ,B ,A‬ו‪ D-‬מונחות על היקפו של מעגל שמרכזו ‪.O‬‬
‫הרדיוס ‪ DO‬חוצה את הזווית ‪. BOC‬‬
‫נתון‪. BC  10cm , AC  12cm , AB  8cm :‬‬
‫חשב את אורכו של הקטע ‪.MN‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫שאלות המשלבות את משפט תלס ומשפט חוצה זווית‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )9‬נתון משולש ‪ .ABC‬ממשיכים את הצלע ‪ AC‬מהכיוון‬
‫של ‪ C‬עד לנקודה ‪ .D‬מחברים את הנקודה ‪ D‬עם הקדקוד ‪.B‬‬
‫מעבירים את הקטע ‪ AK‬אשר חוצה את זווית ‪A‬‬
‫במשולש ‪ .ABC‬המשך ‪ AK‬חותך את ‪ BD‬בנקודה ‪.N‬‬
‫‪C‬‬
‫מעבירים את הקטע ‪ .MN‬נתון‪. BC MN :‬‬
‫‪AB CM‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪AD DM‬‬
‫‪M‬‬
‫‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪179‬‬
‫‪K‬‬
‫‪B‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ )10‬נתון משולש ‪ .ABC‬מעבירים את התיכון ‪ AD‬לצלע ‪.BC‬‬
‫נתון כי ‪ DE‬הוא חוצה זווית ‪ADC‬‬
‫וכי ‪ DF‬הוא חוצה זווית ‪. ADB‬‬
‫הוכח‪. EF BC :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )11‬נתון משולש ‪ .ABC‬מעבירים את הקטעים ‪ CD‬ו‪.DE-‬‬
‫נתון כי‪ DE BC :‬ו ‪. AC  2BC -‬‬
‫הקטע ‪ AC‬גדול פי ‪ 3‬מהקטע ‪.DE‬‬
‫הוכח כי‪. BCD  ACD :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫שאלות העוסקות בדמיון משולשים‪:‬‬
‫‪ )12‬במשולש ‪ ABC‬העבירו את הקטע‬
‫הוכח‪. AKB ABC :‬‬
‫‪E‬‬
‫‪BK‬‬
‫‪C‬‬
‫כך ש‪. AKB  ABC -‬‬
‫‪A‬‬
‫‪K‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫הצלע ‪BK‬‬
‫‪ )13‬נתונה מקבילית ‪ . BKMC‬המשיכו את‬
‫הקטע ‪ AC‬חותך את הצלע ‪ KM‬בנקודה ‪. L‬‬
‫הוכח‪. LC  BC  LM  AC :‬‬
‫עד לנקודה ‪. A‬‬
‫‪L‬‬
‫‪M‬‬
‫‪K‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )14‬המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל שמרכזו ‪ . O‬הצלע ‪BC‬‬
‫היא קוטר המעגל‪ .‬הקטע ‪ BM‬מאונך לרדיוס ‪. OD‬‬
‫נתון‪. AC  2OM :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. AB  2BD :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪S BOM‬‬
‫חשב את היחס‪:‬‬
‫‪S BAC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O‬‬
‫‪M‬‬
‫‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪180‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ ABC )15‬הוא משולש שווה שוקיים ( ‪ ) AB  AC‬שבו השוק גדולה‬
‫פי ‪ 2‬מהבסיס‪ .‬המשיכו את הבסיס משני צדיו עד לנקודות ‪D‬‬
‫ו‪ E-‬כך שמתקיים ‪ BC  CE‬ו‪. D  CAE -‬‬
‫נתון‪. SABC  m :‬‬
‫בטא באמצעות ‪ m‬את שטח המשולש ‪. ADE‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ )16‬מצא את ערכם של ‪ x‬ו ‪-‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫בשרטוט הבא‪:‬‬
‫‪ )17‬במשולש ישר זווית שאורכי ניצביו ‪ m‬ו‪ n -‬נתון כי אורך הגובה ליתר הוא ‪. h‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫הראה שמתקיים‪ 2  2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪m n‬‬
‫(אין צורך ברישום מסודר של הוכחה)‪.‬‬
‫‪ )18‬הוכח את המשפט‪ :‬אם במשולש גובה לצלע אחת בריבוע שווה למכפלת היטלי‬
‫הצלעות האחרות על צלע זאת‪ ,‬המשולש ישר זווית‪.‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬א‪x  2 .‬‬
‫ב‪. x  1 .‬‬
‫‪ 4.5 )2‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ )3‬ב‪ 6 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ )4‬א‪ x  5.6 .‬ב‪ x  20 .‬ג‪ x  12 .‬ד‪. x  6 .‬‬
‫‪ 3 )5‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ 8 )6‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ 10 )7‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ 1 )8‬ס"מ‪.‬‬
‫‪SBOM 1‬‬
‫‪ )14‬‬
‫‪SBAC 4‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. SADE  6m )15‬‬
‫‪. y  6 , x  52 )16‬‬
‫‪181‬‬
‫‪D‬‬
‫תרגול מבגרויות‪:‬‬
‫שאלות ללא פרופורציה‪:‬‬
‫‪ )1‬במשולש ‪ ABC‬מעבירים את שלושת הגבהים‪. AD , BE , CF :‬‬
‫הגבהים נפגשים בנקודה ‪. Q‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ACF  ABE :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי מרובע ‪ QDCE‬הוא‬
‫מרובע בר‪-‬חסימה‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכח‪. ADF  ADE :‬‬
‫‪ )2‬במשולש ‪ E , ABC‬אמצע ‪ F , AB‬על ‪ BC‬ו ‪ EF‬מקביל ל‪. AC -‬‬
‫‪ G‬על ‪ AC‬ו‪ EG -‬מקביל ל‪. BC -‬‬
‫בלי להשתמש במשפטים על קו אמצעים במשולש הוכח‪:‬‬
‫א‪ .‬המשולש ‪ AEG‬והמשולש ‪ EBF‬חופפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬על פי הסעיף הקודם‪ ,‬הוכח כי קטע במשולש החוצה צלע של המשולש ומקביל‬
‫לצלע השלישית במשולש הוא קטע אמצעים‪.‬‬
‫‪ )3‬במשולש שווה שוקיים ‪, ( AB  AC ) ABC‬‬
‫‪ BD‬הוא תיכון לשוק ‪. CBD  30 , AC‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי משולש ‪ ABC‬הוא משולש שווה צלעות‪.‬‬
‫(הדרכה‪ :‬הורד אנכים ‪ AF‬ו ‪ DE -‬לבסיס ‪BC‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫והוכח כי‪) DE   AF   BD :‬‬
‫ב‪ .‬אם נתון כי אורך התיכון ‪ BD‬הוא ‪ a‬ס"מ‪,‬‬
‫חשב אם אורך צלע המשולש ואת שטחו‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )4‬במשולש ‪ ) C  90 ( ABC‬הנקודה ‪ E‬מונחת‬
‫על היתר ‪ . AB‬מהנקודה ‪ E‬מעבירים אנך ליתר‪,‬‬
‫‪E‬‬
‫החותך את המשך הניצב ‪ BC‬בנקודה ‪ F‬ואת הניצב ‪AC‬‬
‫בנקודה ‪ . D‬נתון כי‪ 10 :‬ס"מ ‪ 12 , AD ‬ס"מ ‪ 8 , EB ‬ס"מ ‪. AE ‬‬
‫הוכח כי‪. ADE  DFC :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪182‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪DF‬‬
‫‪ )5‬מנקודה ‪ M‬הנמצאת מחוץ למעגל מעבירים חותך ‪ MPQ‬ומשיק ‪. MN‬‬
‫מנקודה ‪ K‬הנמצאת בהמשך ‪ MPQ‬מעבירים ישר מקביל למיתר ‪, QN‬‬
‫החותך את המשך המשיק ‪ MN‬בנקודה ‪. L‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. QNL  NPQ :‬‬
‫‪N‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ KPNL‬הוא בר‪-‬חסימה‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪K‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ )6‬נתונה מקבילית ‪. ABCD‬‬
‫על הצלע ‪ AB‬בונים ריבוע ‪ ABEF‬ועל‬
‫הצלע ‪ AD‬ריבוע ‪ . ADKM‬הוכח כי‬
‫המשולש ‪ KCE‬הוא משולש שווה‬
‫שוקיים וישר ‪-‬זווית‪.‬‬
‫‪)7‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪M‬‬
‫‪A‬‬
‫‪K‬‬
‫‪B‬‬
‫הוכח‪ :‬אם במשולש התיכון לצלע שווה‬
‫למחצית הצלע אותה הוא חוצה‪,‬‬
‫אזי המשולש הוא משולש ישר זווית‪.‬‬
‫בציור הנתון‪ RS :‬הוא קטע אמצעים במשולש ‪. MNP‬‬
‫‪ NO‬הוא חוצה זווית ‪. MNP‬‬
‫הוכח כי‪. MON  90 :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪R‬‬
‫‪S‬‬
‫‪O‬‬
‫‪P‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ )8‬הוכח כי‪ :‬במשולש ישר זווית‪ ,‬התיכון ליתר שווה למחצית היתר‪.‬‬
‫נסח והוכח את המשפט ההפוך למשפט שבסעיף א‪.‬‬
‫‪ )9‬בטרפז ‪. ( BC AD) ABCD‬‬
‫נתון כי‪ :‬נקודה ‪ E‬נמצאת באמצע אלכסון ‪AC‬‬
‫ונקודה ‪ F‬נמצאת באמצע אלכסון ‪. BD‬‬
‫א‪ .‬הסבר מדוע קטע האמצעים של הטרפז ‪ABCD‬‬
‫עובר דרך הנקודות ‪ E‬ו‪. F -‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ . AD  4  EF :‬הוכח כי‪. AD  2  BC :‬‬
‫‪ )10‬נתון מלבן ‪ MNPQ‬שבו ‪. QN  2  NP‬‬
‫אלכסוני המלבן נפגשים בנקודה ‪. O‬‬
‫האריכו את הקטע ‪ MQ‬כאורכו ) ‪. (MQ  QT‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. MO  OT :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪. OT  PQ :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪O‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪T‬‬
‫‪183‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )11‬במעגל שבציור נתון כי המיתר ‪ AC‬מאונך למיתר ‪. BD‬‬
‫שני המיתרים נחתכים בנקודה ‪. F‬‬
‫דרך הנקודה ‪ F‬מורידים אנך למיתר ‪. AB‬‬
‫המשכו של האנך חותך את המיתר ‪ DC‬בנקודה ‪. E‬‬
‫הוכח כי‪. DE  EC :‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )12‬הוכח את המשפט‪ :‬שני משיקים למעגל היוצאים מנקודה אחת‬
‫חיצונית‪ ,‬שווים באורכם‪ AB .‬ו ‪ AC -‬הם שני משיקים למעגל‪.‬‬
‫‪ . AC  a‬נקודה ‪ M‬נמצאת על הקשת ‪. CB‬‬
‫‪ QP‬משיק למעגל בנקודה ‪. M‬‬
‫‪A‬‬
‫הוכח כי‪ :‬היקף המשולש ‪ APQ‬לא תלוי המקומה של‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫הנקודה ‪ M‬על הקשת ‪ CB‬והוא גודל קבוע השווה ל‪. 2a -‬‬
‫‪ )13‬טרפז ‪ ( AB DC) ABCD‬חסום במעגל כך שמרכז המעגל ‪ O‬נמצא מחוץ לטרפז‪.‬‬
‫נתון כי‪ 9 :‬ס"מ ‪ 21 AB ‬ס"מ ‪ , CD ‬גובה הטרפז הוא ‪ 8‬ס"מ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫רדיוס המעגל הוא ‪. R‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את המרחק ממרכז המעגל ‪: O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ .1‬לבסיס הקטן של הטרפז ‪. AB‬‬
‫‪ .2‬לבסיס הגדול של הטרפז ‪. CD‬‬
‫ב‪ .‬חשב את גודלו של רדיוס המעגל ‪. R‬‬
‫‪ )14‬במשולש ישר זווית ‪ , ( ABC  90 ) ABC‬חוסמים מעגל כך שנקודות‬
‫ההשקה הן‪ P , M :‬ו‪. Q -‬‬
‫כמו כן‪ ,‬נתון כי‪ AQ  2a :‬ו‪. QC  a -‬‬
‫הבע את היקף המשולש ‪ ABC‬באמצעות ‪. a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪P‬‬
‫‪C‬‬
‫‪Q‬‬
‫שאלות הכוללות פרופורציה ודמיון‪:‬‬
‫‪ )15‬שני מעגלים משיקים זה לזה בנקודה ‪. M‬‬
‫רדיוס המעגל הגדול הוא ‪ R‬ורדיוס המעגל הקטן הוא ‪. r‬‬
‫מעבירים משיק משותף לשני המעגלים‪.‬‬
‫‪ MN‬הוא המרחק שבין נקודת ההשקה של שני המעגלים‬
‫לבין המשיק המשותף שלהם‪.‬‬
‫‪2R  r‬‬
‫הוכח כי‪:‬‬
‫‪Rr‬‬
‫‪MN ‬‬
‫‪M‬‬
‫‪R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪N‬‬
‫‪184‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )16‬א‪ .‬הוכח כי‪ :‬במשולש ישר זווית בעל זווית חדה בת ‪ , 30‬הניצב שמול‬
‫הזווית שווה למחצית היתר‪.‬‬
‫ב‪ .‬בטרפז שווה שוקיים ‪ ABCD‬האלכסונים ניצבים לשוקיים‪.‬‬
‫הוכח כי‪ :‬אם הזווית החדה בטרפז שווה ל‪ , 60 -‬אזי נקודת מפגש‬
‫האלכסונים מחלקת כל אלכסון ביחס ‪.1: 2‬‬
‫‪ KMN )17‬הוא משולש שווה שוקיים ) ‪ . ( KM  KN‬מנקודה‬
‫כלשהי ‪ P‬הנמצאת על הבסיס ‪ MN‬מורידים אנך לשוק ‪KM‬‬
‫ואנך לשוק ‪ KN‬החותכים אותן בנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬בהתאמה‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪ KAPB‬הוא מרובע בר חסימה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הסבר מדוע הנקודה ‪ E‬הנמצאת באמצע הבסיס ‪, MN‬‬
‫נמצאת על היקף המעגל החוסם את המרובע ‪. KAPB‬‬
‫‪K‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ )18‬נסח והוכח את משפט קטע אמצעים בטרפז‪.‬‬
‫‪ MN‬הוא קטע אמצעים בטרפז ‪. ( AB CD) ABCD‬‬
‫נסמן‪. CD  b , AB  a :‬‬
‫‪E P‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪F‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫הוכח כי‪. EF   (a  b) :‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )19‬שני מעגלים שווים‪ O1 ,‬ו ‪ , O2 -‬שמחוגיהם שווים ל ‪ 10 -‬ס"מ‪,‬‬
‫נחתכים בנקודות ‪ A‬ו‪ . B -‬מהנקודה ‪ C‬שעל המשך המיתר‬
‫המשותף ‪ AB‬של שני המעגלים יוצא המשיק ‪ CD‬לאחד מהמעגלים‪.‬‬
‫נתון כי‪ 9  5 :‬ס"מ ‪ CD ‬ו‪16 -‬ס"מ ‪. O1O2 ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. CB‬‬
‫(היעזר בעובדה ש ‪ AB -‬חוצה את הקטע ‪ O1O2‬ומאונך לו‪).‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪O2‬‬
‫‪O1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ C , B , A )20‬ו ‪ D -‬הן נקודות על המעגל‪ K .‬היא נקודה על‬
‫כך ש ‪ . BK  CD -‬נתון‪. AB  AD :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BAK  DAC :‬‬
‫ב‪ .‬המשך הקטע ‪ AK‬חותך את המעגל בנקודה ‪. N‬‬
‫הוכח‪. BN  CD :‬‬
‫‪BC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪K‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )21‬במשולש ‪ MNP‬הגבהים ‪ NQ‬ו‪ PR -‬נפגשים בנקודה ‪. O‬‬
‫נתון כי‪. OR  OQ :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. NO  OP‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪ :‬משולש ‪ MNP‬שווה שוקיים‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי‪. MQ  MR :‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪P‬‬
‫‪185‬‬
‫‪R‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ )22‬א‪ .‬הוכח את המשפט‪ :‬שני מיתרים הנחתכים בתוך מעגל מחלקים זה את זה‪ ,‬כך‬
‫שמכפלת קטעי האחד שווה למכפלת קטעי האחר‪.‬‬
‫ב‪ .‬במעגל שרדיוסו ‪ , R‬הקוטר ‪ AB‬מאונך למיתר ‪. CD‬‬
‫הקוטר והמיתר נחתכים בנקודה ‪ . E‬נתון כי ‪. AE : EB  1: 4‬‬
‫הבע את שטח המשולש ‪ ADC‬באמצעות ‪. R‬‬
‫‪ )23‬א‪ .‬הוכח כי‪ :‬במרובע חסום במעגל‪ ,‬סכום הזוויות הנגדיות שווה ל‪.180 -‬‬
‫ב‪ .‬מרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל‪ AC .‬חוצה את הזווית ‪. DAB‬‬
‫בנקודה ‪ C‬מעבירים משיק למעגל‪ .‬המשכי הצלעות ‪ AB‬ו‪AD -‬‬
‫חותכים את המשיק בנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪ .1‬הוכח כי‪. CDF  ABC :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ .2‬הוכח כי‪. ABC CDF :‬‬
‫‪E‬‬
‫ג‪ .‬נתון ‪ 9‬ס"מ ‪ 4 , AB ‬ס"מ ‪. DF ‬‬
‫‪C‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. BC‬‬
‫‪ )24‬מעגל ‪ O‬משיק לישר ‪ l‬בנקודה ‪ CD . E‬הוא קוטר במעגל‪.‬‬
‫בנקודה ‪ C‬מעבירים משיק למעגל החותך את הישר ‪ l‬בנקודה ‪. B‬‬
‫בנקודה ‪ D‬מעבירים משיר למעגל החותך את הישר ‪ l‬בנקודה ‪A‬‬
‫(ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪AOB  90 :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪. AOE OBE :‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי‪ 6 :‬ס"מ ‪13 , R ‬ס"מ ‪. EB  AE , AB ‬‬
‫חשב את אורכי הקטעים ‪ EB‬ו‪. AE -‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪l‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )25‬במשולש ‪ ABC‬נתון כי‪ AD :‬הוא התיכון לצלע ‪. BC‬‬
‫‪ DE‬הוא חוצה הזווית ‪ DF , ADB‬הוא חוצה הזווית ‪ADC‬‬
‫(ראה ציור)‪ .‬הוכח כי‪. EF BC :‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )26‬בריבוע ‪ ABCD‬נתון כי‪ :‬אלכסוניו נפגשים בנקודה ‪. M‬‬
‫‪ BE‬חוצה את הזווית ‪ DBA‬וחותך את‬
‫האלכסון ‪ AC‬בנקודה ‪( N‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪DE‬‬
‫‪MN‬‬
‫ואת היחס‬
‫א‪ .‬מצא את היחס‬
‫‪EA‬‬
‫‪NA‬‬
‫‪186‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי המשולש‪ ENA :‬הוא משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי‪. DE  2  MN :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪E‬‬
‫‪N‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )27‬במשולש שווה שוקיים ‪ ABC‬נתון כי‪ 20 :‬ס"מ ‪ 24 , AC  BC ‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫במשולש זה חסום מעגל‪ ,‬המשיק לשתי השוקיים בנקודות ‪ E‬ו ‪. F -‬‬
‫‪F‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪ EF :‬מקביל לבסיס‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪. EF‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )28‬במשולש ישר זווית ‪ ( PST  90) PST‬חסום חצי מעגל‬
‫שמרכזו ‪ O‬נמצא על יתר ‪. PT‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪ OS‬חוצה את הזווית ‪. PST‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ 18 :‬ס"מ ‪ PS ‬ו‪ 24 -‬ס"מ ‪. TS ‬‬
‫חשב את אורכי הקטעים ‪ OP‬ו‪. OT -‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P‬‬
‫‪O‬‬
‫‪N‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ )29‬במשולש ‪ , ABC‬בו ‪, B  90‬‬
‫נתון כי‪ 6 :‬ס"מ ‪12 , FC ‬ס"מ ‪16 , BC ‬ס"מ ‪AB ‬‬
‫הקטע ‪ FM‬מאונך ליתר ‪ , AC‬והקטע ‪ MN‬מקביל ליתר ‪. AC‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. MN‬‬
‫‪T‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ )30‬משולש ‪ MPN‬חסום במעגל‪ .‬ישר ‪ NQ‬משיק למעגל זה בנקודה ‪. N‬‬
‫נתון כי‪( NP RQ :‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. QRN MRQ :‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ 5 :‬ס"מ ‪ MN ‬ו‪ 4 -‬ס"מ ‪. RN ‬‬
‫חשב את ‪. RQ‬‬
‫‪M‬‬
‫‪P‬‬
‫‪N‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ )31‬בטרפז ‪. ( AB DC) ABCD‬‬
‫נתון כי‪ 9 :‬ס"מ ‪18 , DC ‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫דרך נקודת מפגש האלכסונים ‪ , E‬מעבירים ישר ‪MN‬‬
‫המקביל לבסיסי הטרפז‪.‬‬
‫מצא את אורכו של ‪. MN‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )32‬א‪ .‬הוכח‪ :‬חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית חלוקה פנימית‬
‫לפי היחס של שתי הצלעות הכולאות את הזווית‪.‬‬
‫ב‪ .‬המעגל החסום במשולש ‪ ABC‬משיק בנקודה ‪ F‬לצלע ‪. CB‬‬
‫‪A‬‬
‫נתון כי‪ 4 :‬ס"מ ‪ 7 BF ‬ס"מ ‪, AD . CF ‬‬
‫חוצה הזווית ‪ A‬מחלק את הקטע ‪ CB‬לשני קטעים‬
‫המתייחסים זה לזה כמו ‪. 3 : 2‬‬
‫חשב את אורכי הצלעות ‪ AC‬ו‪. AB -‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D F‬‬
‫‪187‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )33‬משולש שווה שוקיים ‪ ( AB  AC) ABC‬חסום במעגל‪.‬‬
‫דרך קדקוד ‪ B‬עובר משיק למעגל‪ .‬דרך קדקוד ‪ C‬עובר ישר‬
‫המקביל ל‪ , AB -‬וחותך את משיק בנקודה ‪( E‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪BAC CBE :‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ 27 :‬ס"מ ‪ AC ‬ו‪12 -‬ס"מ ‪. CE ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. BC‬‬
‫‪ )34‬בטרפז ‪ ( AB CD) ABCD‬נתון כי‪. AB  3  CD :‬‬
‫אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה ‪. O‬‬
‫דרך הנקודה ‪ A‬מעבירים מקביל ל ‪ , BD -‬החותך את המשך‬
‫הצלע ‪ CD‬בנקודה ‪( E‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נסמן את שטח המשולש ‪ DOC‬באמצעות ‪. S‬‬
‫הבע את שטח הטרפז ‪ ABCE‬באמצעות ‪. S‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ ABCD )35‬הוא טרפז שווה שוקיים )‪. ( AD  BC , AB CD‬‬
‫‪ O‬הוא מרכז המעגל החסום בטרפז ו ‪ E -‬היא נקודת ההשקה של‬
‫השוק ‪ BC‬עם המעגל ‪( O‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. OE 2  BE  EC :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪ :‬הגובה בטרפז שווה שוקיים החוסם מעגל הוא‬
‫הממוצע ההנדסי של שני הבסיסים של הטרפז‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )36‬במשולש ישר ‪-‬זווית ‪ ( PQR  90) PQR‬נתון‪:‬‬
‫‪ h‬הוא הגובה ליתר‪ x ,‬ו‪ y -‬הם הניצבים‪,‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ a‬ו‪ b -‬הם היטלי הניצבים ‪ x‬ו‪ y -‬בהתאמה (ראה ציור)‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הגובה ליתר הוא ממוצע גאומטרי של‬
‫‪R‬‬
‫‪N‬‬
‫‪b‬‬
‫היטלי הניצבים על היתר‪. h  a  b :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי כל ניצב הוא ממוצע גאומטרי של היתר‬
‫והיטל הניצב על היתר‪. y  b  (a  b) , x  a  (a  b) :‬‬
‫‪Q‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪P‬‬
‫‪M‬‬
‫מקדקוד ‪ Q‬מעבירים חוצה זווית החותך את היתר ‪ PR‬בנקודה ‪. M‬‬
‫הוכח כי‪. PM : MR  a : b :‬‬
‫‪ )37‬במשולש ‪ ABC‬התיכון ‪ BE‬והקטע ‪ AL‬נחתכים בנקודה ‪. K‬‬
‫הקטע ‪ EF‬מקביל ל ‪( AL -‬ראה ציור)‪ .‬נתון כי‪. LC  5  BL :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. LF  2.5  BL :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪BK 2‬‬
‫הוכח כי‪ :‬‬
‫‪BE 7‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪K‬‬
‫‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪188‬‬
‫‪F‬‬
‫‪L‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )38‬א‪ .‬הוכח את המשפט‪ :‬היחס בין השטחים של שני משולשים דומים שווה לריבוע‬
‫יחס הדימיון‪.‬‬
‫‪G‬‬
‫ב‪ .‬במקבילית ‪ ABCD‬נקודה ‪ E‬נמצאת על הצלע ‪, BC‬‬
‫כך ש ‪. BE : CE  2 : 3 -‬‬
‫המשך הקטע ‪ AE‬חותך את המשך הצלע ‪DC‬‬
‫‪E‬‬
‫בנקודה ‪ . G‬נתון ‪18‬סמ"ר ‪. SCEG ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ .1‬חשב את שטח המשולש ‪. ABE‬‬
‫‪ .2‬חשב את שטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )39‬א‪ .‬הוכח כי‪ :‬במשולשים דומים היחס בין הגבהים המתאימים‬
‫שווה ליחס הדמיון של המשולשים‪.‬‬
‫ב‪ .‬במשולש ‪ ABC‬חסום חצי מעגל שרדיוסו ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫קוטר המעגל ‪ PQ‬מקביל לצלע ‪ CD . AB‬הוא גובה במשולש‬
‫‪ ABC‬וחותך את הקוטר ‪ PQ‬בנקודה ‪( E‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון כי‪ 20 :‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫‪B‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. CE‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫הוכח כי‪. DC 2  n2  m  n :‬‬
‫‪189‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ABC‬‬
‫‪ )42‬א‪ .‬הוכח כי‪ :‬חותכים למעגל היוצאים מנקודה אחת מחוץ למעגל‬
‫יוצר ים קטעים פרופורציוניים כך שמכפלת כל החותך בחלקו‬
‫מחוץ למעגל היא גודל קבוע‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון משולש ‪ . ABC‬מעגל העובר דרך הקדקודים ‪ A‬ו‪, B -‬‬
‫‪F‬‬
‫חותך הצלעות ‪ AC‬ו ‪ BC -‬בנקודות ‪ F‬ו‪ M -‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪ .1‬הוכח כי‪. ACM BCF :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ .2‬נתון כי‪ 48 :‬ס"מ ‪ 40 , BC ‬ס"מ ‪16 , AC ‬ס"מ ‪. AF ‬‬
‫מצא את אורך המיתר ‪. BM‬‬
‫‪P‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ ABCD )40‬הוא טרפז )‪ . ( BC AD‬הצלעות ‪ BC‬ו ‪ CD -‬הן מיתרים במעגל‪.‬‬
‫הצלע ‪ AB‬משיקה למעגל בנקודה ‪( B‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. ABD DCB :‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ 5 :‬ס"מ ‪12.8 , BC ‬ס"מ ‪. AD ‬‬
‫‪D‬‬
‫חשב את אורך האלכסון ‪. BD‬‬
‫‪ )41‬מנקודה ‪ A‬הנמצאת מחוץ למעגל שרדיוסו ‪ , R‬מעבירים חותך‬
‫וחותך ‪ , AOD‬שעובר דרך מרכז המעגל ‪, O‬‬
‫כך ש ‪. CDB  BDA  BAD   -‬‬
‫‪A‬‬
‫נתון גם‪. BC  n , AB  m :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ )43‬בטרפז ‪ ABCD‬אורך הבסיס ‪ AB‬הוא ‪ a‬ואורך הבסיס ‪ CD‬הוא ‪. b‬‬
‫אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה ‪ . O‬דרך הנקודה ‪ O‬מעבירים‬
‫מקביל לבסיסים החותך את ‪ AD‬בנקודה ‪ E‬ואת ‪ BC‬בנקודה ‪. F‬‬
‫‪a b‬‬
‫הוכח כי מתקיים‪:‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪. EO  OF ‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ )44‬מנקודה ‪ A‬מעבירים שני חותכים למעגל‪ ,‬חותך ‪ ABC‬וחותך ‪, ADE‬‬
‫כך שהנקודה ‪ B‬נמצאת באמצע הקשת ‪ , CD‬ו ‪CED  2 CAD -‬‬
‫(ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ECB ACE :‬‬
‫‪A‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ 4 :‬ס"מ ‪ 9 , CB ‬ס"מ ‪. AC ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. CE‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ MN )45‬הוא קטע במעגל שמרכזו ב‪. O -‬‬
‫‪ PK‬משיק למעגל בנקודה ‪ P‬ומאונך ל‪. NQ -‬‬
‫הנקודה ‪ Q‬נמצאת על המשך המיתר ‪( MP‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. MP  KN  PK  PN :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪. MP  PQ :‬‬
‫‪P‬‬
‫‪K‬‬
‫‪N‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )46‬בציור נתון כי‪. AB EF CD :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הוכח כי‪:‬‬
‫‪EF AB CD‬‬
‫‪M‬‬
‫‪E‬‬
‫‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )47‬א‪ .‬הוכח כי‪ :‬הגובה ליתר במשולש ישר‪-‬זווית מחלק את המשולש‬
‫לשני משולשים‪ ,‬שכל אחד מהם דומה למשלוש כולו‪.‬‬
‫ב‪ .‬מעויין ‪ ABCD‬חוסם מעגל שמרכזו ב ‪. O -‬‬
‫‪D‬‬
‫נתון כי‪ :‬אורך הרדיוס המעגל ‪ OT‬הוא ‪ 24‬ס"מ‬
‫ואורך צלע המעויין הוא ‪ 50‬ס"מ‪.‬‬
‫מצא את אורך האלכסון ‪. ( BD  AC ) BD‬‬
‫‪T‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )48‬משולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪ .‬חוצה זווית ‪ BAC‬חותך את המעגל‬
‫בנקודה ‪ D‬ואת הצלע ‪ BC‬בנקודה ‪( F‬ראה ציור)‪.‬‬
‫מנקודה ‪ D‬הורד אנך על הצלע ‪ CB‬החותך אותה בנקודה ‪. E‬‬
‫נתון כי‪. AB : AC  5 : 3 :‬‬
‫הוכח כי‪. BC  8  EF :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪190‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )49‬נקודה ‪ D‬היא אמצע היתר ‪ AC‬המשולש ישר זווית ‪. ( B  90) ABC‬‬
‫בנקודה ‪ D‬מעלים אנך לצלע ‪ AC‬החותך את הניצב ‪ AB‬בנקודה ‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫(ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון כי‪ 8 :‬ס"מ ‪. AB  m , AC ‬‬
‫הבע את ‪ CE‬ו‪ BE -‬באמצעות ‪. m‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )50‬במשולש ‪ ABC‬נתון כי‪15 :‬ס"מ ‪, AB  AC ‬‬
‫‪18‬ס"מ ‪ . CB ‬דרך מרכז המעגל ‪ O‬החסום במשולש‬
‫עובר הקטע ‪ EF‬המקביל לבסיס ‪ FN . BC‬ו‪EM -‬‬
‫הם אנכים לבסיס ‪. BC‬‬
‫חשב את שטח המלבן ‪. EFNM‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪N‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ )51‬א‪ .‬הוכח כי‪ :‬הזווית הכלואה בין משיק ומיתר בעלי נקודה משותפת‪,‬‬
‫שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫ב‪ .‬שני מעגלים משיקים מבחוץ בנקודה ‪. A‬‬
‫דרך נקודה זו עוברים שני ישרים‪ ,‬החותכים את המעגלים‬
‫בנקודות ‪ M , E , F‬ו ‪. N -‬‬
‫הוכח כי‪. AMN AFE :‬‬
‫‪ )52‬במשולש ישר ‪-‬זווית ‪, ( GEF  90) EFG‬‬
‫‪ EP‬הוא הגובה ליתר ‪. GF‬‬
‫נתון כי‪ 24 :‬ס"מ ‪ 32 , EF ‬ס"מ ‪. GE ‬‬
‫חשב את אורכי הקטעים‪ GP , PF , GF :‬ו‪. EP -‬‬
‫‪E‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ MQ )53‬הוא התיכון לבסיס במשולש שווה שוקיים ‪. (MN  MP) MNP‬‬
‫‪ S‬היא נקודה על המשך הצלע ‪. MN‬‬
‫המשך התיכון ‪ MQ‬חותך את הקטע ‪ PS‬בנקודה ‪. E‬‬
‫הקטע ‪ EF‬מקביל ל ‪( NP -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. MP : MS  NF : FS :‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ 20 :‬ס"מ ‪ 4 , MP ‬ס"מ ‪. NF ‬‬
‫‪P‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. FS‬‬
‫‪G‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪E‬‬
‫‪N‬‬
‫‪F‬‬
‫‪S‬‬
‫‪191‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ SP‬הם משיקים למעגל ‪O‬‬
‫‪ NP )54‬הוא קוטר במעגל ‪ , MT , MN . O‬ו‪-‬‬
‫בנקודות ‪ T , N‬ו‪ P -‬בהתאמה‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. MOS  90 :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי רדיוס המעגל שווה ל‪. MN  SP -‬‬
‫‪T‬‬
‫‪O‬‬
‫‪S‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ DE )55‬הוא קוטר במעגל‪ .‬בנקודה ‪ D‬מעבירים משיק למעגל‪.‬‬
‫מנקודה ‪ , A‬שעל המעגל‪ ,‬מעבירים ישר המקביל לקוטר ‪. DE‬‬
‫הישר חותך את המשיק למעגל בנקודה ‪( F‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. AD2  AF  DE :‬‬
‫‪E‬‬
‫ב‪ .‬נתון ‪ 4‬ס"מ ‪ 9 , AF ‬ס"מ ‪. DE ‬‬
‫חשב את שטח הטרפז ‪. AFDE‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ )56‬א‪ .‬הוכח כי המחוג המאונך למיתר המעגל חוצה אותו‪.‬‬
‫ב‪ .‬בציור שלפניך המיתרים ‪ EF‬ו‪ MN -‬מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫נתון כי‪ 3 :‬ס"מ ‪ 8 , EB ‬ס"מ ‪ 4 , BF ‬ס"מ ‪. MB ‬‬
‫‪ .1‬חשב את אורך הקטע ‪. NB‬‬
‫‪ .2‬מצא את המרחק המיתר ‪ EF‬ממרכז המעגל ‪. O‬‬
‫‪O‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )57‬מעגל שמרכזו בנקודה ‪ O‬חסום במשולש ישר‪-‬זווית )‪. ( C  90‬‬
‫נתון כי‪ 30 :‬ס"מ ‪18 , AB ‬ס"מ ‪. AC ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. ED‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪O‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )58‬במשולש ‪ PS MPQ‬חוצה את הזווית ‪. ST MP , MPQ‬‬
‫נתון כי‪ 27 :‬ס"מ ‪ 45 , MP ‬ס"מ ‪. QP ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. TP‬‬
‫‪M‬‬
‫‪S‬‬
‫‪P‬‬
‫‪T‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪192‬‬
:‫תשובות סופיות‬
1
3
.  3  a 2 :‫ שטח המשולש‬,
. a  (3  17) )14 . R  ‫ ס"מ‬10.625 .‫ב‬
. BC  ‫ ס"מ‬6 .‫) ג‬23
2
 3  a :‫ אורך צלע המשולש‬.‫) ב‬3
3
R 2  10.52 .2
. SACD 
8
25
R 2  4.52 .1 .‫) א‬13
R 2 .‫) ב‬22 . CB  ‫ ס"מ‬15 )19
MN
2
DE

,
 2 .‫) א‬26 . AE  ‫ ס"מ‬9 , EB  ‫ ס"מ‬4 .‫) ג‬24
NA
2
EA
1
. MN  ‫ ס"מ‬3 )29 OT  ‫ס"מ‬
3
120
90
, OP  ‫ס"מ‬
.‫) ב‬28 . EF  ‫ ס"מ‬9.6 .‫) ב‬27
7
7
. AC  ‫ ס"מ‬9 , AB  ‫ ס"מ‬6 .‫) ב‬32 . MN  ‫ ס"מ‬12 )31
. RQ  ‫ ס"מ‬6 .‫) ב‬30
. S ABCE  28  S )34 . BC  ‫ ס"מ‬18 .‫) ב‬33
. CE  ‫ ס"מ‬9 .‫) ב‬39 . SABC  ‫ סמ"ר‬20 .2 SABE  ‫ סמ"ר‬8 .1 .‫) ב‬38
. CE  ‫ ס"מ‬6 .‫) ב‬44 . BM  ‫ ס"מ‬28 .‫) ב‬42
. BD  ‫ ס"מ‬8 .‫) ב‬40
m2  32
32
, CE 
)49
m
m
. BD  ‫ ס"מ‬60 .‫) ב‬47
. BE 
. SEFNM  ‫ סמ"ר‬50.625 )50
. EP  ‫ ס"מ‬19.2 , GP  ‫ ס"מ‬25.6 , PF  ‫ ס"מ‬14.4 , GF  ‫ ס"מ‬40 )52
. S AFDE  ‫ סמ"ר‬29.07 .‫) ב‬55 . FS  ‫ ס"מ‬6 .‫) ב‬53
.TP = ‫ ס"מ‬16.875 )58 .DE = ‫ ס"מ‬3 )57 .‫ ס"מ‬1 .2
193
NB  ‫ ס"מ‬6 .1 .‫) ב‬56
‫פרק ‪ – 7‬טריגונומטריה במישור‪:‬‬
‫משולש ישר זווית‪:‬‬
‫הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות‪:‬‬
‫הניצב שמול הזווית‬
‫היתר‬
‫הניצב שליד הזווית‬
‫היתר‬
‫הניצב שמול הזווית‬
‫הניצב שליד הזווית‬
‫משפט פיתגורס‪. a2  b2  c2 :‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬מצא את ערכו של ‪  / x‬במשולשים ישרי הזווית הבאים‪:‬‬
‫‪750‬‬
‫‪400‬‬
‫‪700‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )2‬המשולש ‪ ABC‬שבציור הוא משולש ישר זווית ( ‪.) B  90o‬‬
‫‪ AD‬הוא התיכון לניצב ‪. BC‬‬
‫נתון‪. AB  6cm , C  28o :‬‬
‫מצא‪. AD  ? , BAD  ? :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )3‬המשולש ‪ ABC‬שבציור הוא משולש ישר זווית ( ‪.) B  90o‬‬
‫‪ BD‬הוא התיכון ליתר ו‪ AE -‬הוא חוצה הזווית ‪. A‬‬
‫נתון‪. BC  8cm , BD  5.6cm :‬‬
‫מצא‪. BE  ? , BAE  ? :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪194‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )4‬מצא את זויותיו של מעויין שאורכי אלכסוניו ‪ 24cm‬ו‪.18cm -‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )5‬המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל כך שהצלע ‪ AC‬היא קוטר המעגל‪.‬‬
‫המשיק למעגל בנקודה ‪ A‬והמשך הצלע ‪ CB‬נפגשים בנקודה ‪. D‬‬
‫נתון‪. DAB  32o , BD  4cm :‬‬
‫מצא את אורכו של רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )6‬במשולש שווה שוקיים שבו השוק ארוכה ב‪ 4 -‬ס"מ מהבסיס נתון כי זווית הראש‬
‫היא ‪ . 34.92o‬מצא את שטח המשולש‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )7‬המשולש ‪ ABC‬שבציור הוא משולש ישר זווית ( ‪.) B  90o‬‬
‫נתון‪. AB  a , A   :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ a -‬את היקף המשולש‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )8‬המשולש ‪ ABC‬שבציור הוא משולש ישר זווית ( ‪.) B  90o‬‬
‫‪ AD‬הוא התיכון לניצב ‪. BC‬‬
‫נתון‪. AB  b , C   :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ b -‬את אורכי הקטעים ‪ BD‬ו ‪. AD -‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )9‬במשולש ישר זווית אחת הזוויות החדות היא ‪ ‬ואורך חוצה זווית זו הוא ‪. k‬‬
‫הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ k -‬את שטח המשולש ואת אורך היתר‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )10‬טרפז ‪ ABCD‬הוא טרפז ישר זווית ( ‪.) B  C  90o‬‬
‫הנקודה ‪ G‬נמצאת על השוק ‪ BC‬כך ש‪. AG  DG -‬‬
‫נתון‪. BAG   , AG  DG  m :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ m -‬את שטח הטרפז‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪G‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )11‬משולש שווה שוקיים שאורך שוקו ‪ k‬וזווית הבסיס שלו היא ‪ ‬חוסם מעגל‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ k -‬את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬א‪ x  15.665cm .‬ב‪ x  8.114cm .‬ג‪ x  3.931cm .‬ד‪   40.005 .‬ה‪.  29.745 .‬‬
‫‪. BE  3.294cm , BAE  22.792 )3 AD  8.236cm , BAD  43.24 )2‬‬
‫‪S  28.618cm )6 R  6.04cm )5 73.74, 73.74, 106.26, 106.26 )4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪195‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪ )7‬‬
‫‪cos  ‬‬
‫‪tan ‬‬
‫‪)9‬‬
‫‪‬‬
‫‪)8 P  a 1  tan  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪k 2 cos 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪,S ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2 tan ‬‬
‫‪k cos‬‬
‫‪cos ‬‬
‫‪b2‬‬
‫‪4 tan 2 ‬‬
‫‪, BD ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪)10 AC ‬‬
‫‪. AD  b2 ‬‬
‫‪ m sin   m cos  ‬‬
‫‪)11‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. R  k cos  tan‬‬
‫זהויות טריגונומטריות‪:‬‬
‫זהויות של סכום והפרש זוויות‪:‬‬
‫זהויות היסוד‪:‬‬
‫זהויות של זווית כפולה‪:‬‬
‫המעגל הטריגונומטרי‪:‬‬
‫המעגל הטריגונומטרי הוא מעגל היחידה (מעגל קנוני שרדיוסו ‪)1‬‬
‫טבלת ערכי הפונקציות הטריגונומטריות לזוויות המיוחדות‪:‬‬
‫‪90‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪60‬‬
‫‪45‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪30‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2  2 ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪sin ‬‬
‫‪cos ‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪tan ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪cot ‬‬
‫‪196‬‬
: 90 ‫ערכים עבור זוויות בכפולות של‬
sin 0o  0
cos 0o  1
tan 0o  0
sin 90o  1
cos 90o  0
tan 90o  
sin180o  0
cos180o  1
tan180o  0
sin 270o  1
cos 270o  0
tan 270o  
:‫הזהויות של המעגל הטריגונומטרי‬
tan 180o      tan 
cos 180o      cos 
sin 180o     sin 
tan 180o     tan 
cos 180o      cos 
sin 180o      sin 
tan      tan 
cos     cos 
sin      sin 
:‫שאלות‬
:‫) הוכח את הזהויות הבאות‬1
sin 
 tan 
sin  90     cos3 
3
o
tan 2   sin 2   tan 2  sin 2 
cos3   cos  sin 2   cos 
.‫ב‬
sin 2 
sin 2 

2
1  cos  1  cos 
.‫ד‬
. tan   tan  
sin    
cos  cos 
.‫א‬
.‫ג‬
:‫) הוכח את הזהות הבאה‬2
:‫) הוכח את הזהויות הבאות‬3
4sin  cos  cos 2  sin 4
 sin 3  cos3 
 sin   cos  
.‫ב‬
2
 1  sin 2
.‫א‬
 1  sin 6
.‫ד‬
cos4   sin 4   cos 2
.‫ג‬
cos  sin 

 2cot 2
sin  cos 
.‫ו‬
cos 2  2sin 2  cos 2 1
 cot 2
sin 4
2
.‫ה‬
2
197
‫‪ )4‬ענה בלי להשתמש במחשבון‪:‬‬
‫‪sin150o ‬‬
‫‪tan 225o ‬‬
‫‪cos  45  ‬‬
‫‪cos 210o ‬‬
‫‪tan120o ‬‬
‫‪sin 315o ‬‬
‫‪cos120o ‬‬
‫‪sin 510o ‬‬
‫‪cos930o ‬‬
‫‪tan  30o  ‬‬
‫‪sin 330o ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )5‬הוכח את הזהות הבאה‪:‬‬
‫‪cos   sin ‬‬
‫‪‬‬
‫‪o‬‬
‫‪tan  225o  ‬‬
‫‪sin 180o     sin  90o   ‬‬
‫‪cos  2 ‬‬
‫‪.‬‬
‫טריגונומטריה במישור‪:‬‬
‫משפט הסינוסים‪:‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫במשולש‪ ,‬צלע חלקי סינוס הזווית שמולה הוא גודל קבוע‬
‫והוא שווה לפעמיים רדיוס המעגל החוסם‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫בצורה מתמטית‪ 2 R :‬‬
‫‪sin  sin  sin ‬‬
‫‪.‬‬
‫משפט הקוסינוסים‪:‬‬
‫‪c2  a 2  b2  2ab cos ‬‬
‫או‬
‫‪a 2  b2  c 2‬‬
‫‪. cos  ‬‬
‫‪2ab‬‬
‫מתי נשתמש בכל משפט‪:‬‬
‫‪ ‬נשתמש במשפט הסינוסים כאשר‪:‬‬
‫א‪ .‬נתונות שתי זוויות וצלע‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתונות שתי צלעות והזווית מול אחת מהן‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון רדיוס המעגל החוסם וצלע‪/‬זווית נוספת‪.‬‬
‫‪ ‬נשתמש במשפט הקוסינוסים כאשר‪:‬‬
‫א‪ .‬נתונות שתי צלעות והזווית ביניהן‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתונות שלוש צלעות‪.‬‬
‫‪ ‬כאשר ישנם יותר נתונים מאשר בסעיפים שלהלן ייתכן שנוכל להשתמש בשני המשפטים‪.‬‬
‫בבחירת המשפט שבו נשתמש כדאי לזכור שבמשפט הסינוסים ייתכנושתי תשובות לזווית‪,‬‬
‫גם אם בפועל רק אחת נכונה‪ ,‬ובמשפט הקוסינוסים תתקבל בוודאות הזווית הנכונה‪.‬‬
‫‪198‬‬
‫שטחים של משולשים ומרובעים‪:‬‬
‫‪a  h ab sin  a 2 sin  sin ‬‬
‫שטח משולש ניתן לחישוב ע"י‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2sin ‬‬
‫‪k k sin ‬‬
‫‪.S  1 2‬‬
‫שטח מרובע ניתן לחישוב ע"י אלכסוניו‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. S ‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬מצא את ערכו של ‪  / x / y‬במשולשים הבאים‬
‫(‪ R‬הוא רדיוס המעגל החוסם‪ ,‬נתוני הצלעות בס"מ)‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪1150‬‬
‫‪420‬‬
‫‪560‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪220‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪600‬‬
‫‪ )2‬מצא את ערכו של ‪  / x‬במשולשים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪530‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪199‬‬
‫‪ )3‬נתון משולש שווה שוקיים ‪ ) AB  AC ( ABC‬שאורך השוק שלו הוא‬
‫של זווית הבסיס בו הוא ‪ CD . 70o‬הוא חוצה זווית הבסיס ‪. C‬‬
‫מצא את אורכו של הקטע ‪. AD‬‬
‫‪22‬‬
‫ס"מ וגודלה‬
‫‪ )4‬אלכסוני המלבן ‪ ABCD‬נפגשים בנקודה ‪. M‬‬
‫הנקודה ‪ G‬נמצאת על המשך הצלע ‪. AD‬‬
‫נתון‪. DG  1.2cm , AB  4cm , AD  3cm :‬‬
‫מצא את גודלו של הקטע ‪. GM‬‬
‫‪ )5‬מרובע שאורכי אלכסוניו ‪ 8cm‬ו ‪ 11cm -‬חסום במעגל שאורך רדיוסו הוא ‪. 6cm‬‬
‫חשב את זוויות המרובע‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )6‬הצלע ‪ AB‬במשולש ‪ ABC‬היא מיתר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫הצלע ‪ AC‬עוברת במרכז המעגל כמתואר בשרטוט‪.‬‬
‫נתון‪. BAC  38o , OC  3cm , BC  9cm :‬‬
‫מצא את אורכם של רדיוס המעגל ושל הצלע ‪. AB‬‬
‫‪O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )7‬אחד האלכסונים במקבילית יוצר זווית של ‪ 30o‬עם צלע אחת של המקבילית וזווית של‬
‫‪ 61.05‬עם הצלע הסמוכה לה‪ .‬אחת מצלעות המקבילית גדולה ב‪ 3-‬ס"מ מהצלע‬
‫הסמוכה לה‪ .‬חשב את היקף המקבילית‪.‬‬
‫‪ )8‬המשולש ‪ ABD‬חסום במעגל שרדיוסו ‪. R‬‬
‫המשך הצלע ‪ AD‬והמשיק למעגל בנקודה ‪ B‬נפגשים בנקודה ‪. C‬‬
‫נתון‪. ADB   , C   :‬‬
‫הבע באמצעות ‪  , R‬ו ‪  -‬את אורך הקטע ‪. BC‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )9‬חשב את שטחי המשולשים הבאים‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪240‬‬
‫‪320‬‬
‫‪480‬‬
‫‪ )10‬חשב את שטחו של טרפז שווה שוקיים שאורך האלכסון שלו ‪ 8‬ס"מ והוא יוצר זווית‬
‫של ‪ 15‬עם הבסיסים‪.‬‬
‫‪ )11‬במשולש ישר זווית ‪) B  90o ( ABC‬‬
‫נתון‪. A   , AB  m :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ m -‬את שטח המשולש ‪. BCD‬‬
‫‪BD‬‬
‫חוצה את הזווית‬
‫‪200‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.‬‬
:‫תשובות סופיות‬
  24.474 ‫ או‬  155.526
 .‫ג‬
  34.231 .‫) א‬1
x  18.585
cm , y  22.199cm .‫ב‬
.  73.898, x  3.606cm .‫ ה‬.   138.618 ‫ או‬  41.382 .‫ד‬
.  90 .‫ ד‬  105.962 .‫ ג‬  20.742 .‫ ב‬x  5.646cm .‫) א‬2
. 66.444, 113.556, 41.810, 138.190 )5 GM  3.360cm )4 AD  13.064cm )3
. BC 
. SBCD
2 R sin  sin     
sin 
)8
P  22cm )7 R  9.242cm , AB  14.56cm )6
m2 tan 2  sin 45 cos 

)11 S  16cm2 )10 S  8.641cm2 .‫ ב‬S  75.801cm2 .‫) א‬9
2sin   45 
201
‫תרגול מבגרויות‪:‬‬
‫‪ )1‬המשולש ‪ ABC‬חסום מעגל שרדיוסו ‪ . R‬נתון כי ‪. A   , B  ‬‬
‫א‪ .‬הבע את רדיוס המעגל החסום במשולש בעזרת ‪.  ,  , R‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ .     60 :‬חשב את רדיוס המעגל החסום במשולש בעזרת ‪. R‬‬
‫‪K‬‬
‫‪ )2‬במקבילית ‪ MNPQ‬נקודה ‪ E‬נמצאת על הצלע‬
‫כך ש ‪( MEN  90 -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ 12 :‬ס"מ ‪. MNE  40 , MQP  70 , MQ ‬‬
‫מצא את הגובה ‪ , MF‬ואת הגובה ‪. NK‬‬
‫‪PQ‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ )3‬במשולש ישר ‪-‬זווית ‪  P  90 PA MNP‬הוא גובה‬
‫ליתר ו‪ NF -‬חוצה את הזווית ‪. MNP‬‬
‫‪ PA‬ו‪ NF -‬נחתכים בנקודה ‪( E‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ 24 :‬ס"מ ‪. MNP  40 , NP ‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הקטע ‪. NA‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורך הקטע ‪. EF‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪M‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪N‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ )4‬אלכסוני המלבן ‪ MNPQ‬נחתכים בנקודה ‪. O‬‬
‫מנקודה ‪ O‬מעלים אנך ל ‪ QN -‬החותך את ‪ QP‬בנקודה‬
‫‪( K‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. NP  a , MOQ  2 :‬‬
‫א‪ .‬הבע את אורך הקטע ‪OK‬‬
‫באמצעות ‪ ‬ו ‪. a -‬‬
‫ב‪ .‬הבע את היקף המשולש‬
‫‪ NOK‬באמצעות ‪ ‬ו ‪. a -‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪O‬‬
‫‪a‬‬
‫‪P‬‬
‫‪D‬‬
‫‪202‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪K‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )5‬בטרפז ישר ‪-‬זווית ‪ ABCD‬חסום מעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫הנקודה ‪ M‬היא נקודת ההשקה של המעגל עם השוק ‪. AB‬‬
‫נתון‪ 12 :‬ס"מ ‪. BAD   , AM ‬‬
‫א‪ .‬הבע את רדיוס המעגל בעזרת ‪. ‬‬
‫ב‪ .‬הבע את היקף הטרפז בעזרת ‪. ‬‬
‫‪2β‬‬
‫‪M‬‬
‫‪O‬‬
‫‪α‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ )6‬במשולש ישר ‪-‬זווית ‪( ABC‬ראה ציור) נתון‪:‬‬
‫‪ 8‬ס"מ ‪. ABC   , ACB  90 , BC ‬‬
‫‪ CD‬הוא הגובה ליתר‪ CE .‬הוא חוצה‪-‬הזווית‬
‫‪. ACD‬‬
‫הבע את אורך הקטע ‪ AE‬באמצעות ‪. ‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )7‬נתון מעגל שרדיוסו ‪. R‬‬
‫מצולע משוכלל בעל ‪ 9‬צלעות חוסם את המעגל הזה‪ .‬מצולע משוכלל אחר בעל ‪ 9‬צלעות‬
‫חסום בתוך מעגל זה‪ .‬חשב את היחס בין שטח המצולע החוסם את המעגל לשטח‬
‫המצולע החסום במעגל זה‪.‬‬
‫‪ ABC )8‬הוא משולש שווה ‪-‬שוקיים ‪  AB  AC ‬שאורך בסיסו ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ AD‬הוא הגובה לבסיס ‪ , BC‬ו ‪ CE -‬הוא הגובה לשוק ‪.AB‬‬
‫שני הגבהים נחתכים בנקודה ‪ . O‬נתון‪.   45 ABC   :‬‬
‫א‪ .‬הבע את היחס ‪ AO : DO‬באמצעות ‪. ‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי בעבור ‪   60‬הביטוי שמצאת בסעיף א' מתאים לתכונות הגאומטריות‬
‫של משולש שווה‪-‬צלעות‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )9‬במשולש ‪ ABC‬חסום מעגל שמרכזו‬
‫‪ M‬ורדיוסי ‪( r‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. B  62 , C  46 :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ r‬את אורך הצלע ‪. BC‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ 16 :‬ס"מ ‪ . BC ‬מצא את ‪. r‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )10‬במחומש משוכלל ‪( ABCDE‬ראה ציור)‬
‫אורך האלכסון ‪ AC‬הוא ‪ 15‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את שטח המחומש‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )11‬מנקודה ‪ C‬הנמצאת מחוץ למעגל שמרכזו ‪ M‬ורדיוסו ‪R‬‬
‫מעבירים משיק ‪ CD‬וחותך ‪ CBA‬למעגל (ראה ציור)‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫נתון‪. CD  R :‬‬
‫‪5‬‬
‫א‪ .‬מצא את זוויות המשולש ‪. CAD‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את שטח המשולש ‪. BCD‬‬
‫‪203‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )12‬מנקודה ‪ , A‬הנמצאת מחוץ למעגל שמרכזו ‪, O‬‬
‫יוצאים שני משיקים למעגל‪ AB ,‬ו ‪( AC -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ 10 , BAC  2 :‬ס"מ ‪. AO ‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את ‪, S1‬‬
‫שטח המרובע ‪. ABOC‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את ‪, S 2‬‬
‫שטח המשולש ‪. BOC‬‬
‫ג‪ .‬הראה שאם ‪ ,   30‬אזי‪. S1  4 S2 :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ ABCD )13‬הוא טרפז ישר‪-‬זווית ‪.  C  D  90‬‬
‫נקודה ‪ E‬נמצאת על הצלע ‪( DC‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ AE  BE  k , AEB  90 :‬ו ‪. CBE   -‬‬
‫הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את שטח הטרפז‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )14‬א‪ .‬במעושר משוכלל‪ ,‬ששטחו ‪ 100‬סמ"ר‪ ,‬חוסמים מעגל‪.‬‬
‫מצא את רדיוס המעגל החסום במעושר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מעושר משוכלל חסום במעגל‪ ,‬שאת רדיוסו מצאת בסעיף א'‪.‬‬
‫מצא את שטח המעושר המשוכלל הזה‪.‬‬
‫‪ ABC )15‬הוא משולש שווה ‪-‬שוקיים ‪  AB  AC ‬שבו זווית הראש היא זווית חדה‪.‬‬
‫נתון כי זווית הבסיס היא ‪ ‬ואורך הבסיס ‪ BC‬הוא ‪. 2a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ AD‬הוא הגובה לבסיס ‪ BC‬ו‪ CE -‬הוא הגובה לשוק ‪. AB‬‬
‫הגבהים ‪ AD‬ו‪ CE -‬נפגשים בנקודה ‪( O‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬ו‪  -‬את אורכי הקטעים ‪ CO‬ו ‪. CE -‬‬
‫‪CO‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את היחס‬
‫‪CE‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את היחס שמצאת בסעיף ב' כאשר ‪,   60‬‬
‫והסבר מהי המשמעות הגאומטרית של התוצאה שקיבלת‪.‬‬
‫‪204‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )16‬מנקודה ‪ A‬יוצאים שני משיקים למעגל שמרכזו ‪, O‬‬
‫שאורכם ‪( m‬כלומר‪.) AB  AC  m :‬‬
‫נקודות ההשקה הן ‪ B‬ו‪ , C -‬והזווית שבין המשיקים היא‬
‫‪( BAC  ‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬ו‪  -‬את שטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬ו‪  -‬את שטח המשולש ‪. BOC‬‬
‫ג‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את היחס שבין שטחו של‬
‫המשולש ‪ BOC‬לבין שטחו של המשולש ‪. ABC‬‬
‫ד‪ .‬בדוק את תשובתך לסעיף ג' למקרה המיוחד שבו ‪.   90‬‬
‫‪α‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )17‬במשולש ישר ‪-‬זווית ‪ DAC‬נתון ‪. DAC  ‬‬
‫מאריכים את הניצב ‪ AC‬כך ש‪. AB  d -‬‬
‫נתון כי‪( DBA   :‬ראה ציור)‪.‬‬
‫סמן‪. AC  x :‬‬
‫הבע את ‪ x‬באמצעות ‪  , d‬ו‪.  -‬‬
‫‪β‬‬
‫‪α‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )18‬נתון משולש ישר‪-‬זווית ‪.  C  90 ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ CE‬הוא הגובה ליתר‪ AD .‬הוא חוצה‪-‬הזווית ‪. CAB‬‬
‫‪ CE‬ו‪ AD -‬נחתכים בנקודה ‪( P‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. CAB   , AC  m :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ m‬ו‪  -‬את‪:‬‬
‫א‪ .‬אורך הקטע ‪. AE‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪ .‬אורך הקטע ‪. PD‬‬
‫‪E‬‬
‫‪P‬‬
‫‪205‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )19‬בטרפז שווה‪-‬שוקיים ‪  AD  BC  ABCD‬האלכסונים נפגשים‬
‫בנקודה ‪( M‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪, ADC  BCD  65 , DAC  DBC  90 :‬‬
‫‪ 11‬ס"מ ‪. DC ‬‬
‫‪C‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪. AMD‬‬
‫‪ )20‬הקטעים ‪ AB‬ו‪ CD -‬נחתכים בנקודה ‪. O‬‬
‫נתון כי‪ 9 , OAC  60 :‬ס"מ ‪, CO ‬‬
‫‪ 6‬ס"מ ‪ 14 , AC ‬ס"מ ‪, OD ‬‬
‫‪ 10‬ס"מ ‪. OB ‬‬
‫חשב את ‪. ODB‬‬
‫‪d‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ )21‬במשולש ‪ MNP‬גודל הזווית ‪ M‬הוא ‪. 54‬‬
‫נתון כי אורך הצלע ‪ MN‬הוא ‪ 12‬ס"מ (ראה ציור)‪ ,‬והצלע ‪NP‬‬
‫ארוכה ב‪ 7 -‬ס"מ מהצלע ‪. MP‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך הצלע ‪. NP‬‬
‫ב‪ PA .‬הוא תיכון לצלע ‪. MN‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪. PAN‬‬
‫‪54°‬‬
‫‪M‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ )22‬המשולש השווה ‪-‬שוקיים ‪  AB  AC  ABC‬חסום במעגל (ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ . ABC   :‬כמו כן ידוע שאורך רדיוס המעגל הוא ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע בעזרת ‪ ‬את שטח‬
‫המשולש ‪. ABC‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪ABC‬‬
‫בעבור ‪.   45‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )23‬במשולש ‪ ABC‬הזווית ‪ C‬היא בת ‪ , 60‬אורך הצלע ‪ AB‬הוא ‪ 13‬ס"מ‪,‬‬
‫והיקף המשולש הוא ‪ 7  13‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את שטח המשולש‪.‬‬
‫‪ )24‬בטרפז שווה‪-‬שוקיים ‪ABCD‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ AD  BC ‬‬
‫אורך הבסיס הגדול ‪ AB‬שווה לאורך הלאכסון‪.‬‬
‫זווית הבסיס היא ‪ ,)   60 ( ‬ראה ציור‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ ‬את היחס שבין שטח המשולש ‪ACD‬‬
‫לשטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪β‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )25‬הקדקודים ‪ A‬ו‪ B -‬של המשולש ‪ABD‬‬
‫נמצאים על היקף מעגל שאורך רדיוסו ‪ 12‬ס"מ ומרכזו ‪. O‬‬
‫הקדקוד ‪ D‬של המשולש ‪ ABD‬נמצא על הרדיוס ‪. OA‬‬
‫א‪ .‬הבע בעזרת ‪ ‬ו‪  -‬את שטח המשולש ‪. ABD‬‬
‫‪B‬‬
‫‪β‬‬
‫‪A‬‬
‫‪α‬‬
‫‪O D‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬הבע בעזרת ‪ ‬ו‪  -‬את היחס שבין שטח המשולש‬
‫‪ ABC‬לשטח המשולש ‪. ABD‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ )26‬משולש ‪ MNP‬חסום במעגל‪.‬‬
‫המיתר ‪ NQ‬חוצה את הזווית ‪. MNP‬‬
‫נתון‪ MPN  70 , MNP  80 :‬ו‪ 12 -‬ס"מ ‪. NP ‬‬
‫חשב את אורך המיתר ‪. MQ‬‬
‫‪P‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪206‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )27‬נתון טרפז ‪.) AB CD ( ABCD‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא נקודת המפגש של אלכסוני הטרפז‪.‬‬
‫נתון‪, CEB   , BE  m , DC  BC :‬‬
‫‪( CBD  ‬ראה ציור)‪.‬‬
‫הבע את אורכי בסיס הטרפז‪ AB :‬ו‪CD -‬‬
‫באמצעות ‪  , m‬ו‪.  -‬‬
‫‪ )28‬במשולש ‪ RST‬נתון‪ QT :‬הוא חוצה ‪-‬הזווית ‪RTS‬‬
‫‪. TRQ  45 , RST   , RQ  2 , QS  m‬‬
‫‪α‬‬
‫‪E‬‬
‫‪m‬‬
‫‪β‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪S‬‬
‫(ראה ציור)‪,‬‬
‫‪Q‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ sin ‬באמצעות ‪. m‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫נתון כי‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ . m ‬חשב את זוויות המשולש ‪. RST‬‬
‫‪T‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ )29‬במשולש שוום שוקיים ‪  AB  AC  ABC‬התיכון לשוק שווה באורכו לרדיוס המעגל‬
‫החוסם את המשולש‪ .‬חשב את זווית הבסיס של המשולש‪.‬‬
‫‪ )30‬נתון משולש שצלעותיו ‪. t , 2t , kt‬‬
‫א‪ .‬לאיזה ערכים של הקבוע ‪ k‬המשולש הוא קהה זווית?‬
‫ב‪ .‬נתון ‪ . k  7‬הבע ע"י ‪ t‬את אורך חוצה הזווית הקהה‪.‬‬
‫‪ )31‬בתוך הריבוע ‪ ABCD‬נתון‪ ,‬העבירו ארבעה קטעים היוצרים את‬
‫אותה זווית ‪ ‬עם צלעות הריבוע כך שהתקבל ריבוע פנימי ‪. PQRS‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪α‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪PQ‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪ cos   sin  :‬‬
‫‪AB‬‬
‫ב‪ .‬לאיזו זווית ‪ ‬מתקיים‪. PR  AB :‬‬
‫‪P‬‬
‫‪α‬‬
‫‪.‬‬
‫‪α‬‬
‫‪R‬‬
‫‪S‬‬
‫‪α‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ PS )32‬הוא גובה במשולש ‪( PMQ‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. PS  h, MPS   , SPQ   :‬‬
‫א‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ PMQ‬באמצעות ‪  , h‬ו‪.  -‬‬
‫ב‪ .‬מעגל שקוטרו ‪ PS‬חותך את הצלעות ‪ PM‬ו‪PQ -‬‬
‫בנקודות ‪ E‬ו ‪ F -‬בהתאמה (ראה ציור)‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ .1‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את ‪. ESF‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ .2‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את היחס בין שטח המשולש ‪ESF‬‬
‫לשטח המשולש ‪. PMQ‬‬
‫‪207‬‬
‫‪D‬‬
‫‪P‬‬
‫‪E‬‬
‫‪S‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ )33‬במשולש ‪ ABC‬הצלעות הן ‪ b , a‬ו ‪ c -‬והזוויות שמונחות מולן הן‪  ,  :‬ו ‪ -‬‬
‫בהתאמה‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע את אורך התיכון‬
‫‪( ma‬התיכון לצלע ‪ ) a‬באמצעות הצלעות ‪ b‬ו ‪ c -‬והזווית ‪‬‬
‫ב‪ .‬בדוק את הנוסחה שמצאת למקרה שבו המשולש ‪ ABC‬הוא שווה צלעות‪.‬‬
‫‪ )34‬במשולש שווה שוקיים ‪ BM , ( AB  AC ) ABC‬הוא תיכון‬
‫לשוק (ראה ציור)‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ ABC‬הוא ‪ 10‬ס"מ‬
‫וכן נתון ש ‪. BAC  50 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את גודל הזווית ‪. BMC‬‬
‫ב‪ .‬ממשיכים את ‪ BM‬עד לנקודה ‪ , D‬כך שרדיוס המעגל החוסם את‬
‫המשולש ‪ ABD‬הוא ‪ 14‬ס"מ‪.‬‬
‫מצא את שטח המשולש ‪. AMD‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ )35‬משולש שווה שוקיים ‪ ( BC  BE ) BCE‬חסום במעגל‬
‫שרדיוסו ‪ . R‬זווית הבסיס של המשולש ‪ BCE‬היא ‪. ‬‬
‫בנקודה ‪ E‬העבירו משיק למעגל החותך את המשך השוק ‪BC‬‬
‫‪B‬‬
‫בנקודה ‪( F‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬בטא את שטח המשולש ‪ BEF‬באמצעות ‪ R‬ו ‪.  -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הערך של ‪ ‬שבעבורו שטח המשולש ‪ BCE‬שווה לשטח‬
‫המשולש ‪. BEF‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )36‬בטרפז ‪ ( BC ED) BCDE‬אורך הבסיס ‪ BC‬הוא ‪ 12‬ס"מ‪ .‬הזווית שבין הבסיס‬
‫לשוק ‪ DC‬היא ‪ . 80‬אורך האלכסון ‪ BD‬הוא ‪ 16‬ס"מ‪ ,‬והוא חוצה את הזווית ‪. CBE‬‬
‫חשב את היקף הטרפז‪.‬‬
‫‪BC‬‬
‫‪ )37‬במשולש ישר ‪-‬זווית ‪ APD‬מחלקים את הזווית הישרה ‪P‬‬
‫לשלוש זוויות שוות‪.‬‬
‫כלומר‪( ( APB  BPC  CPD  30) :‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון כי‪. PAD   PB  m :‬‬
‫א‪ .‬היעזר במשפט הסינוסים‪ ,‬והבע את ‪ BD , AC , AB‬ו‪CD -‬‬
‫באמצעות ‪ m‬ו ‪.  -‬‬
‫‪AC  BD‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪ 3 :‬‬
‫‪AB  CD‬‬
‫‪A‬‬
‫‪α‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫‪30° 30°‬‬
‫‪30°‬‬
‫‪D‬‬
‫‪208‬‬
‫‪P‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )38‬בטרפז שווה שוקיים ‪, ( AD  BC , AB DC ) ABCD‬‬
‫‪ F‬היא נקודה על השוק ‪ , BC‬כך ש ‪ DF -‬חוצה את הזווית ‪CDA‬‬
‫ו‪ AF -‬חוצה את הזווית ‪( DAB‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. FAB   , AB  b :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ b‬ו‪  -‬את אורך הבסיס ‪. DC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )39‬משולש שווה צלעות ‪ EFG‬חסום במעגל שרדיוסו ‪. R‬‬
‫‪ M‬היא נקודה על המעגל‪.‬‬
‫נתון‪( MGE   :‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. ME  MF  MG :‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ ME  R‬מה תוכל לומר על ‪? MG‬‬
‫‪E‬‬
‫‪M‬‬
‫‪β‬‬
‫‪F‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ )40‬משולש שווה שוקיים ‪ . ( AD  AE ) ADE‬חסום במעגל שרדיוסו ‪. R‬‬
‫ישר המשיק למעגל בנקודה ‪ D‬חותך את המשך הצלע ‪AE‬‬
‫בנקודה ‪( F‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫נתון‪. (60    180) DAE   :‬‬
‫א‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ ADF‬באמצעות ‪ R‬ו‪.  -‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את היחס שבין שטח המשולש ‪ADE‬‬
‫ובין שטח המשולש ‪. ADF‬‬
‫ג‪ .‬חשב את ‪ ‬אם שטח המשולש ‪ ADE‬שווה לשטח המשולש ‪. ADF‬‬
‫‪ )41‬במעוין ‪ ABCD‬הנקודה ‪ E‬היא אמצע הצלע ‪. CD‬‬
‫נתון‪( AEB   , ADC   :‬ראה ציור)‪.‬‬
‫הוכח כי‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪25  16cos 2 ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪β‬‬
‫‪E‬‬
‫‪. cos  ‬‬
‫‪F‬‬
‫‪α‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )42‬נתון טרפז ‪ ABCD‬ונתון מעגל‪ .‬השוק ‪ DC‬הוא קוטר המעגל‪.‬‬
‫השוק ‪ AB‬משיקה למעגל‪ ,‬והבסיסים ‪ AD‬ו ‪ BC -‬משיקים‬
‫גם הם למעגל בנקודות ‪ D‬ו‪ C -‬בהתאמה (ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון כי‪. AB  d , B   :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ d‬את סכום בסיסיו של הטרפז‪.‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ d‬ו‪  -‬את היקף הטרפז ואת השטח של הטרפז‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון שהיקף הטרפז ‪ 25‬ס"מ ושטחו ‪ 25‬סמ"ר‪.‬‬
‫חשב את הזווית החדה ‪. ‬‬
‫‪209‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪d‬‬
‫‪β‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )43‬במשולש שווה שוקיים ‪ A ( PM  PN ) PMN‬היא נקודה על‬
‫‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫הגובה ‪ , PB‬כך ש‪. PA   PB -‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫הישר ‪ NA‬חותך את השוק ‪ PM‬בנקודה ‪( D‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ DNB   , DMN   :‬ו‪. BN  a -‬‬
‫א‪ .‬חשב את היחס ‪. tan  : tan ‬‬
‫ב‪ .‬חשב את היחס ‪. PM : DM‬‬
‫‪α‬‬
‫‪β‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ )44‬במעגל שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪ R‬מעבירים שני קטרים ‪ AB‬ו‪-‬‬
‫הנחתכים בזווית של ‪ . 60‬מיתר ‪ , AE‬היוצר זווית ‪ ‬עם‬
‫הקוטר ‪ , AB‬חותך את הקוטר ‪ CD‬בנקודה ‪( F‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ ACF‬באמצעות ‪ R‬ו ‪.  -‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪CD‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪α‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫ב‪ .‬הוכח שכאשר ‪ ,   30‬שטח המשולש ‪ ACF‬הוא ‪.  3  R 2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪210‬‬
:‫תשובות סופיות‬
. KN  ‫ ס"מ‬21.52 , MF  ‫ ס"מ‬11.28 )2
. OK 
a
2 cos 
1


 
.‫) א‬1
R .‫ ב‬. 4 R sin sin cos
2
2
2
2
.‫) א‬4 . EF  ‫ ס"מ‬5.975 .‫ ב‬. NA  ‫ ס"מ‬18.385 .‫) א‬3


. 24  1  tg  .‫ ב‬. 12  tg .‫) א‬5
2
2

2
. 2
a
2sin 

1 
.‫ב‬
 1  tg  
cos  


tg 20
1
 1 
1 

 1.132 )7 . AE  8sin   tg   tg      8tg   tg    )6
2
sin 40 cos 20
 2 
2 

‫ (מפגש הגבהים הוא גם‬AO  2  DO :‫ מתקיים‬.‫ב‬
.r 
.
. 2 
tg
cos 2

 tg 2  1 .‫) א‬8
2
tg 2
cos 
16
 3.98 .‫ ב‬. BC  r   tg 59  tg 67  4.02  r .‫) א‬9 .)‫מפגש התיכונים‬
tg 59  tg 67
. S  0.0495  R2 .‫ ב‬. , C  73.3 D  90 , A  16.7 .‫) א‬11 . S  ‫ סמ"ר‬147.86 )10
. S2  50  sin 2   sin 180  2   50  sin 2   sin 2 .‫ ב‬. S1  100  sin   cos   50  sin 2 .‫) א‬12
1
2
. r  ‫ ס"מ‬5.548 .‫) א‬14 .‫ יח"ש‬27 .‫ ב‬.)‫ (או כל תשובה שקולה‬S  k 2  1  2sin  cos   )13
CO
1
a

.‫ ב‬. CE  2a  sin  , CO 
.‫) א‬15 . S  ‫ סמ"ר‬90.45 .‫ב‬
2
CE 2sin 
sin 
2
.)‫ (בדומה למפגש התיכונים במשולש‬:‫ היחס הוא‬.‫ג‬
3

1

1
. tg 2 :‫ יחס השטחים‬.‫ ג‬. SBOC  m2  sin   tg 2 .‫ ב‬. SABC  m2  sin  .‫) א‬16
2
2
2
2
.
.  tg 2 45  1 1 -‫ ויחס השטחים שווה ל‬,‫ הוא ריבוע‬ABOC ‫ במקרה זה‬.‫ד‬
. AC  x  d 
2m  sin 2

2  2m  sin   tg  .‫ ב‬. AE  m  cos  .‫) א‬18


2
2
cos
cos
2
2
 ‫ סמ"ר‬8.2 .‫ ב‬. NP  ‫ ס"מ‬10.38 .‫) א‬21 . ODB  44.7 )20 . S  ‫ סמ"ר‬9.07 )19
. PD 
. SPAN
m  1  cos  
tg 
)17
tg  tg 

. SABC  3  3  ‫ סמ"ר‬5.196 )23 .‫ סמ"ר‬400 .‫ ב‬. S  800  sin 2   sin 2 .‫) א‬22
 sin 3
 sin 
.‫ או כל תשובה שקולה‬ 
. MQ  ‫ ס"מ‬15.43 )26
sin    
.
.‫ב‬
sin   cos 
211

2
  1  4cos  :‫) יחס השטחים הוא‬24

. SABD
sin   cos 2   sin 
.‫) א‬25
 288 
sin    
. DC  m 
sin 
sin 
, AB  m 
)27
sin    
sin    
.   20.7 )29 . 45 , 60 , 75 ‫ או‬45 , 120 , 15 .‫ ב‬. sin  
1
.‫) א‬28
m
2
 t  0.667t .‫ ב‬. 1  k  3 ‫ או‬5  k  3 .‫) א‬30
3
1
. ESF  180  (   ) .1 .‫ ב‬SMPQ   h2  (tan   tan  ) .‫) א‬32
2
1
1
. ma   b2  c 2  2  b  c  cos  .‫) א‬33 . SEFS : SMPQ   sin 2  sin 2 .2
2
4
.   15 )31
. SAMD  ‫ סמ"ר‬54.1 .‫ב‬
BMC  79.5 .‫) א‬34
. PBCDE  51.09 )36 .   45 .‫ ב‬SBEF 
. CD 
. ma 
3
 b .‫ב‬
2
2 R 2  sin 3   sin 2
.‫) א‬35
sin 3
3  m  sin  30   
m  sin  30   
3m
m
, BD 
, AB 
, AC 
.‫) א‬37
2  cos 
2  sin 
2  sin  60     sin 
2  sin  60     cos 
.‫ הוא קוטר במעגל‬MG .‫) ב‬39 . DC 
.   90 .‫ג‬
.   30 .‫ג‬
cos 1.5 
SADE
.‫ ב‬SADF 

S ADF
cos  0.5 
S
2 R 2  cos3

2
b  tan 
)38
tan 3
 sin 
cos 1.5 
.‫) א‬40
1 2
d  sin  , P  2d  d sin  .‫ ב‬. AD  BC  d .‫) א‬42
2
9
4
. PM : DM   1.125 .‫ ב‬. tan  : tan    0.8 .‫) א‬43
8
5
.S 
212
3R 2  sin  30   
.‫) א‬44
4  sin  60   
‫פרק ‪ – 8‬חשבון דיפרנציאלי‪:‬‬
‫נגזרות ומשיקים‪:‬‬
‫פונקציות נפוצות‪:‬‬
‫הפונקציה ‪ : f  x   x 2‬הפונקציה ‪ : f  x   x3‬הפונקציה ‪: f  x   x‬‬
‫‪5 x3  4 x‬‬
‫פונקציה עם מכנה‪ ,‬למשל‪:‬‬
‫‪x2 1‬‬
‫הפונקציה ‪: f  x   x‬‬
‫‪: f  x ‬‬
‫הנגזרת‪:‬‬
‫לכל פונקציה ‪ f  x ‬קיימת פונקציה‪ ,‬הנקראת פונקציית הנגזרת (או רק "הנגזרת")‬
‫ומסומנת ‪ , f '  x ‬המתקבלת ממנה על פי כללי הגזירה‪.‬‬
‫כללי הגזירה‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫כלל גזירה מס' ‪. f  x   xn  f '  x   n  x n1 :1‬‬
‫כלל גזירה מס' ‪( 2‬כפל בקבוע)‪. f  x   axn  f '  x   n  ax n1 :‬‬
‫כלל גזירה מס' ‪( 3‬נגזרת של קבוע)‪. f  x   a  f '  x   0 :‬‬
‫כלל גזירה מס' ‪( 4‬סכום והפרש)‪. f  x   u  v  f '  x   u '  v ' :‬‬
‫כלל גזירה מס' ‪( 5‬פונקציה מורכבת)‪. f  x   u n  f '  x   n  u n1  u ' :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .6‬כלל גזירה מס' ‪( 6‬נגזרת של )‪ f '  x    2 :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .7‬כלל גזירה מס' ‪( 7‬מכפלה)‪. f  x   u  v  f '  x   u ' v  v ' u :‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u 'v  v 'u‬‬
‫‪ .8‬כלל גזירה מס' ‪( 8‬מנה)‪:‬‬
‫‪ f ' x ‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪ .9‬כלל גזירה מס' ‪( 9‬שורש)‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪. f  x  x  f ' x ‬‬
‫‪213‬‬
‫שיפוע של פונקציה‪:‬‬
‫‪ .1‬השיפוע ( ‪ ) m‬של פונקציה ‪ f  x ‬בנקודה ‪ A  x1 , y1 ‬שעל הפונקציה הוא ערך הנגזרת‬
‫בנקודה ‪ , A  x1 , y1 ‬כלומר‪. m  f '  x1  :‬‬
‫‪ .2‬השיפוע של המשיק לפונקציה ‪ f  x ‬בנקודה ‪ A  x1 , y1 ‬שעל הפונקציה שווה לשיפוע‬
‫הפונקציה בנקודה ‪. A  x1 , y1 ‬‬
‫‪ .3‬משוואת המשיק לפונקציה ‪ f  x ‬בנקודה ‪ A  x1 , y1 ‬שעליה מתקבלת על ידי הנוסחה‬
‫למציאת ישר‪. y  y1  m  x  x1  :‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬גזור את הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫א‪f  x   x3 .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪f  x  x‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪f  x  x2‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪f  x   x 3‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪f  x  x3‬‬
‫ט‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪f  x  x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f  x  x‬‬
‫‪f  x   x 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪f  x  x4‬‬
‫‪ )2‬גזור את הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪f  x   2 x3‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪f  x   3x 7‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1 4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪x6‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪7‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪f  x   8x‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪f  x   3x 2‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪f  x   6x 2‬‬
‫ט‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )3‬גזור את הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪f  x   12‬‬
‫‪7‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ )4‬גזור את הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪f  x   x 3  2 x 2  3x  5‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1 4 x 3x 2‬‬
‫‪x   ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6 4 5‬‬
‫‪214‬‬
‫‪f  x ‬‬
:‫) גזור את הפונקציות הבאות‬5
f  x   3 x  x

2 2
.‫ג‬
f  x    x3  6 
5
2  x  1
f  x 
3
.‫ב‬
f  x    5x  2
.‫א‬
.‫ה‬
5  x 

.‫ד‬
4
3
f  x
3
4
:‫) גזור את הפונקציות הבאות‬6
1
x2
2
f  x 
3 x
f  x 
f  x  x 6  x
3
4
f  x  
.‫ג‬
.‫ו‬
.‫ג‬
2
.‫ב‬
x
1
.‫ה‬
x  3x
f  x 
2
3
.‫א‬
x
3
f  x   3 .‫ד‬
x
6
.‫ז‬
f  x 
x5
f  x 
:‫) גזור את הפונקציות הבאות‬7
f  x    5x  1 x  3 .‫א‬
f  x    5x  1  x  3 .‫ב‬
3
:‫) גזור את הפונקציות הבאות‬8
x2 1
x2  3
3
f  x  3
x
f  x 
.‫ג‬
.‫ו‬
f  x   x 3  1 .‫ג‬
f  x 
x3
x
x2  1
.‫ב‬
5 x  12
1
.‫ה‬
f  x 
x
f  x 
.‫ו‬
f  x  4 x 1
.‫ב‬
f  x   x2 x  3
.‫ה‬
f  x 
3x  1
.‫א‬
1  2x
x2  8
.‫ד‬
f  x 
x 1
:‫) גזור את הפונקציות הבאות‬9
f  x   x .‫א‬
f  x    3x  1 x
.‫ד‬
:‫) גזור את הפונקציות הבאות‬10
f  x 
x  2a
x  4a
.‫ג‬
f  x 
ax 2 x
  c .‫ב‬
3 b
f  x   ax 4  bx
.‫א‬
f  x   a bx 2  c
.‫ד‬
.  2, 2  ‫ בנקודה‬f  x   2 x3  7 x ‫) מצא את שיפוע הפונקציה‬11
. x  2 ‫ בנקודה שבה‬f  x  
215
1
‫) מצא את שיפוע הפונקציה‬12
x 3
2
‫‪ )13‬מצא את שיפוע המשיק לפונקציה ‪ f  x   4 x‬בנקודה שבה ‪. x  1‬‬
‫‪ )14‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה ‪ f  x   2  4 x  33‬בנקודה שבה ‪. x  1‬‬
‫‪ )15‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה‬
‫‪ f  x   8‬בנקודה שבה ‪. y  2‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )16‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה ‪ f  x    x‬בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫‪ )17‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה ‪ f  x   3x2  8 x‬בנקודה שבה‪. x  4 :‬‬
‫‪ )18‬נתונה הפונקציה הבאה‪. f  x   4 x  2 x :‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה המקביל לישר‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. y  3x ‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )19‬מצא את משוואות המשיקים לפונקציה ‪ f  x   x2  2 x  8‬בנקודות החיתוך שלה‬
‫עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )20‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה ‪ f  x   x4  2 x‬ששיפועו ‪.2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )21‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ f  x  ‬ששיפועו ‪.-2‬‬
‫‪ )22‬מצא את משוואות המשיקים לפונקציה ‪ f  x   1 3‬היוצרים עם הכיוון החיובי‬
‫‪3x‬‬
‫של ציר ה‪ x -‬זווית של ‪.135o‬‬
‫‪ )23‬שיפוע המשיק לפונקציה ‪ a ( , f  x   ax2  4 x‬פרמטר) בנקודה שבה ‪ x  3‬הוא ‪.8‬‬
‫מצא את ערכו של הפרמטר ‪ a‬ואת משוואת המשיק‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )24‬שיפוע המשיק לפונקציה‬
‫‪ax  3‬‬
‫‪ a ( , f  x  ‬פרמטר) בנקודה שבה ‪ y  2‬הוא ‪.-4‬‬
‫מצא את ערכו של הפרמטר ‪ a‬ואת משוואת המשיק‪.‬‬
‫‪216‬‬
‫‪ )25‬נתונה הפונקציה‪ a ( , y  x3  a x :‬פרמטר)‪.‬‬
‫שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪ x  1‬הוא ‪.5‬‬
‫מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )26‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ A) , f  x   2 x ‬פרמטר)‪.‬‬
‫שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪ x  1‬הוא ‪.2‬‬
‫מצא את ערך הפרמטר ‪. A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ )27‬שיפוע המשיק לפונקציה‬
‫‪bx  1‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪ b -‬ואת משוואת המשיק‪.‬‬
‫‪ a, b ( , f  x  ‬פרמטרים) בנקודה ‪ 1, 6 ‬הוא ‪.- 6‬‬
‫‪ )28‬א‪ .‬בטא באמצעות ‪ t‬את משוואת המשיק לפונקציה ‪ f  x   x2  1‬בנקודה שבה ‪. x  t‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערכיו של ‪ t‬אם נתון שהמשיק עובר בנקודה ‪.  1,1‬‬
‫‪217‬‬
:‫תשובות סופיות‬
. 43
.‫ט‬
. 32
.‫ט‬
4 x
1
3
3 x
9 x
.‫ח‬
2
1
.‫ ז‬
2 x
1
3
.‫ ו‬ 4 .‫ ה‬1 .‫ ד‬2x .‫ ג‬7x 6 .‫ ב‬3x 2 .‫) א‬1
2
x
x
6 x5
.‫ ד‬2x3 .‫ ג‬21x6 .‫ ב‬6x 2 .‫) א‬2
7
4
6
3
.‫ ח‬ 2 .‫ ז‬ 3 .‫ ו‬8 .‫ה‬
x
x
x
2
. x3  x  3 .‫ ב‬3x2  4 x  3 .‫) א‬4 0 .‫ ב‬0 .‫) א‬3
2
.
8  x  1
3
.
3
4
.‫ ה‬  5  x 2 .‫ ד‬6  x  x2  1  2 x  .‫ ג‬15x 2  x3  6  .‫ ב‬15  5x  2 2 .‫) א‬5
3
4
6
 x  5
2
.‫ז‬
4
2
3  x 
.‫ ו‬
2
2x  3
x
2
 3x 
. x2  6  x 3 18  7 x 
.
9
x4
.‫ ו‬
1
.‫ה‬
x2
. x3
2x x
.‫ו‬
2
.‫ ה‬
9
2
.‫ ד‬ 3
4
x
x
2 x3
. m  4 )12 m  17 )11
9x  1
2 x
.‫ה‬
abx
bx  c
2
. y   1 x  2 1 )16
2
2
.‫ד‬
2
3
.‫ ב‬ 2 .‫) א‬6
2
x
x
.‫ ג‬ 5x  12  20 x  44  .‫ ב‬10 x  14 .‫) א‬7
8x
 x  4  x  2  .‫ד‬
.‫ג‬
2
2
 x  1
 x 2  3
x  5 x  12 
.‫ג‬
5 x 2  24 x  5
 5 x  12 
3x 2
.‫ד‬
2 x 1
3
2a
 x  4a 
2
.‫ג‬
1
1
y   x  3 )15
2
2
.‫ג‬
2
.‫ב‬
5
1  2x 
2
.‫) א‬8
2
.‫ ב‬1 .‫) א‬9
x 1
2 x
2ax 1
.‫ ב‬4ax3  b

3
b
y  24 x  22 )14
.‫) א‬10
m  2 )13
. y  6x  24, y  6x  12 )19  1 , 0  .‫ ב‬y  3x  1 .‫) א‬18 y  22 x  56 )17
3

1
3

1
3
. y   x  1 , y   x  1 )22 y  2 x  8 )21 y  2 x  3 )20
. A  1 )26 a  4 )25 . a  2 , y  4x  2 )24 a  2 , y  8x  18 )23
 . t  0 , t  2 .‫ ב‬y  2tx  t 2  1 .‫) א‬28 b  2 , a  6 , y  6 x  12 )27
218
‫חקירת פולינום‪:‬‬
‫נקודות קיצון (נקודות מינימום‪/‬מקסימום)‪:‬‬
‫מינימום או מקסימום מקומי (פנימי) ‪B, C, D -‬‬
‫מינימום או מקסימום קצה – ‪.A‬‬
‫מינימום או מקסימום מוחלט – ‪.D‬‬
‫נקודות קיצון מקומיות‪:‬‬
‫שיפוע המשיק לפונקציה בנקודות קיצון מקומיות הוא אפס‪.‬‬
‫בנקודה שבה שיפוע המשיק לפונקציה הוא אפס תיתכן נקודת קיצון מקומית – נקודה כזו‬
‫נקראת נקודה חשודה כקיצון‪ .‬ניתן לבדוק אם היא אכן נקודת קיצון‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון מקומיות‪:‬‬
‫א‪ .‬נגזור את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נשווה את הנגזרת לאפס ונחלץ את ערכי ה‪-‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫של הנקודות החשודות כקיצון‪.‬‬
‫נציב את ערכי ה‪ x -‬מסעיף ב' בפונקציה המקורית לקבלת ערכי ה‪. y -‬‬
‫ד‪ .‬נקבע אם הנקודה היא נקודת קיצון ונסווג את סוג הקיצון על ידי טבלה‪.‬‬
‫‪219‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה ‪. f  x   10 x  x 2‬‬
‫‪ )2‬נתונה הפונקציה ‪. f  x   x3  12 x‬‬
‫א‪ .‬מהן נקודות הקיצון של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?‬
‫‪ )3‬נתונה הפונקציה ‪. f  x   x4  10 x2  9‬‬
‫א‪ .‬מהן נקודות הקיצון של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?‬
‫‪ )4‬נתונה הפונקציה ‪. f  x   x4  4 x3  32‬‬
‫א‪ .‬מהן נקודות הקיצון של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?‬
‫‪ )5‬לפונקציה ‪ f  x   ax  x3  5‬יש נקודת קיצון בנקודה שבה ‪. x  1‬‬
‫מצא את ערכו של הפרמטר ‪. a‬‬
‫‪ )6‬לפונקציה‪ f  x   Ax3  Bx2  1 :‬יש נקודת קיצון ששיעוריה‪.  2,3 :‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪. A , B‬‬
‫‪ )7‬לפונקציה‪ f  x   Ax3  Bx2  4 x :‬יש נקודת קיצון ב‪ x  1 -‬ו‪. x  4 -‬‬
‫מצא את הפרמטרים ואת שיעור ה‪ y -‬של שתי נקודות הקיצון‪.‬‬
‫‪ )8‬לפונקציה ‪ f  x   ax4  bx2  35‬יש נקודת קיצון ששיעוריה ‪.  2,3‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪. b -‬‬
‫‪ )9‬נתונה הפונקציה ‪ . f  x   10 x  x 2‬ענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪220‬‬
‫‪ )10‬נתונה הפונקציה ‪ . f  x   x3  12 x‬חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )11‬נתונה הפונקציה ‪ . f  x   x4  10 x2  9‬חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )12‬נתונה הפונקציה ‪ . f  x   x4  4 x3  32‬חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )13‬נתונה הפונקציה ‪ . f  x   x3‬חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪221‬‬
:‫תשובות סופיות‬
x  2 , x  2 :‫ עולה‬.‫ב‬
 2, 16 min,  2,16 max .‫) א‬2
max  5,25 )1
2  x  2 :‫יורדת‬
x  5 ,  5  x  0 :‫ עולה‬.‫ ב‬ 0,9  max ,

. x  0 , x  3 :‫ יורדת‬x  3 :‫ עולה‬.‫ ב‬min  3,5 .‫) א‬4
a  2 , b  16 )8 A 



5, 16 min ,  5, 16 min .‫) א‬3
x   5 , 0  x  5 :‫יורדת‬
1
3 
5 
2
, B  - ,  1, 2  ,  4, 18  )7 A  -1 , B  3 )6 a  3 )5
3
2 
6 
3
 0,0 , 10,0 .‫ד‬
x  5 :‫ ירידה‬x  5 :‫ עלייה‬.‫ג‬
 5,25 max .‫ב‬
x ‫ כל‬.‫) א‬9
x  2 , x  2 :‫ עלייה‬.‫( ג‬2, 16)min ,  2,16  max .‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬10
.  0,0 ,  12,0  ,   12,0  .‫ ד‬2  x  2 :‫ירידה‬
x  5 ,  5  x  0 :‫ עולה‬.‫ ג‬ 0,9  max ,




5, 16 min ,  5, 16 min .‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬11
.  0,9 ,  1,0 ,  3,0  .‫ ד‬x   5 ‫ או‬0  x  5 :‫יורדת‬
.  0,32  .‫ ד‬x  3 :‫ יורדת‬x  3 :‫ עולה‬.‫ ג‬min  3,5 .‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬12
.  0,0  .‫ ד‬x ‫ עולה לכל‬.‫ ג‬.‫ אין‬.‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬13
:‫סקיצות לשאלות החקירה‬
)13
) 12
)11
222
) 10
)9
‫חקירת פונקציות מנה ופונקציות שורש‪:‬‬
‫סעיפי חקירה מלאה של פונקציה‪:‬‬
‫‪ .1‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫‪ .3‬תחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫‪ .4‬נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .5‬אסימפטוטות מקבילות לצירים‪.‬‬
‫‪ .6‬שרטוט‪.‬‬
‫תחום הגדרה של פונקציה‪:‬‬
‫‪ .1‬כל פולינום מוגדר לכל ‪. x‬‬
‫‪ .2‬בפונקציה עם מכנה‪ ,‬אסור שיתקבל אפס במכנה‪.‬‬
‫‪ .3‬בפונקציה עם שורש מסדר זוגי‪ ,‬אסור שיתקבל מספר שלילי בתוך השורש‪.‬‬
‫אסימפטוטות‪:‬‬
‫‪ .1‬אסימפטוטה אנכית‪:‬‬
‫בעבור ערכי ‪ x‬שמאפסים את המכנה‪ ,‬אבל לא את המונה יש אסימפטוטה אנכית‪.‬‬
‫כאשר ערך ‪ x‬מאפס את המכנה וגם את המונה יש לפרק את המונה והמכנה (על ידי‬
‫נוסחאות כפל מקוצר או טרינום למשל) ולצמצם‪ .‬אם אחרי הצמצום אותו ערך של ‪x‬‬
‫עדיין מאפס את המכנה תתקבל אסימפטוטה אנכית‪ ,‬אך אם ערך ‪ x‬זה לא מאפס את‬
‫המכנה אחרי שצומצם אין אסימפטוטה אנכית אלא נקודת אי הגדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬אסימפטוטה אופקית‪:‬‬
‫‪ax m  ...‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪bx n  ...‬‬
‫‪( f  x  ‬יש בפונקציה קו שבר אחד!)‬
‫‪ ‬אם ‪ , m  n‬לפונקציה אין אסימפטוטה אופקית‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ ‬אם ‪ , m  n‬לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה‬
‫‪b‬‬
‫‪.y‬‬
‫‪ ‬אם ‪ , m  n‬לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה ‪. y  0‬‬
‫‪223‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪x .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f  x   x2 ‬‬
‫‪5 x3  4 x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪x2 1‬‬
‫‪6‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪f  x  2‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ 1 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f  x   4 x3  x 2 ‬‬
‫‪x2‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪x3  4 x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ )2‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫ב‪f  x   2 x  3 .‬‬
‫א‪f  x   x .‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪x 2 x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫ה‪f  x   x 2  3x  10 .‬‬
‫‪6x‬‬
‫‪ )3‬נתונה הפונקציה‬
‫‪x  10 x  9‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪x 3‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪x2  1‬‬
‫‪x2  2 x  8‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪f  x   3x 1  2 x‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪x  9x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫א‪ .‬מהן נקודות הקיצון של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?‬
‫‪ )4‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪. f  x   x2  4 x  12 :‬‬
‫‪ )5‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪. f  x   1  3 :‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪5x2  1‬‬
‫‪. f  x  2‬‬
‫‪ )6‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 9‬‬
‫‪2 x2  5x  2‬‬
‫‪ )7‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪1  3x 2‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪x  2 x  15‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ )8‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪ )9‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪224‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. f  x   13‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )10‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪6 x3  5 x  1‬‬
‫‪1  2x2‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ )11‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪. f  x   ax  b :‬‬
‫‪x b‬‬
‫‪ )12‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫‪x 2  3x  2‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ )13‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2  4 x  3‬‬
‫‪x 2  7 x  12‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ )14‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 2  6 x  16‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ )15‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪2 x2  4 x‬‬
‫‪ )16‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ )17‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ )18‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪4 x2  1‬‬
‫‪ )19‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪ax 2  x  b‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫לפונקציה אסימפטוטה אופקית שמשוואתה ‪ y  2‬ואסימפטוטה אנכית‬
‫שמשוואתה ‪ . x  1‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו‪. b -‬‬
‫‪ax  8‬‬
‫‪ )20‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪xb x‬‬
‫‪ . f  x  ‬הפונקציה חותכת את האסימפטוטה האופקית‬
‫שלה בנקודה ‪ . 16, 2 ‬מצא את ערכי הפרמטרים‬
‫‪225‬‬
‫‪a‬‬
‫ו‪. b -‬‬
‫‪ )21‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   x  1 :‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )22‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   2 x  1 :‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪x 3‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪6x‬‬
‫‪ )23‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x  5x  4‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪x 2  3x‬‬
‫‪ )24‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2  3‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪ . f  x  ‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ . f  x  ‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪226‬‬
‫‪6 x 2  10 x  6‬‬
‫‪ )25‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪3x 2  10 x  3‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪ . f  x  ‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )26‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   x  3 :‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )27‬נתונה הפונקציה‪ . f  x    x  4 x  1 :‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )28‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   x 6  x :‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪227‬‬
‫‪ )29‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   42 x :‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪x 3‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )30‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   9  x :‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪228‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬א‪ .‬כל ‪ x‬ב‪ .‬כל ‪ x‬ג ‪ x  3‬ד‪ x  1 .‬ה‪ x  0,2, 2 .‬ו‪ x  4, 2 .‬ז‪ .‬כל ‪. x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )2‬א‪ x  0 .‬ב‪ x  3 .‬ג‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x ‬ד‪ x  4 .‬ה‪ x  2 .‬או ‪ x  5‬ו‪ x  3 .‬או ‪3  x  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ז‪ x  2 .‬וגם ‪ )3 x  2,1‬א‪. min  3,   , max  3, 1  .‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬תחומי עלייה‪ 3  x  3 :‬וגם ‪ x  1‬תחומי ירידה‪ 3  x  9 :‬או ‪. x  3‬‬
‫‪ )4‬אין ‪ )5‬אופקית‪ y  3 :‬אנכית‪ )6 x  2 :‬אופקית‪ y  5 :‬אנכית‪. x  3 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )7‬אופקית‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )8 y ‬אופקית‪ , y  0 :‬אנכית‪. x  0 , y  0 )9 x  3 , x  5 :‬‬
‫‪ )10‬אין ‪ )11‬אופקית‪ , y  a :‬אנכית‪ )12 x  b :‬אופקית‪ y  1 :‬אנכית‪, x  1 :‬‬
‫נקודת אי הגדרה‪ )14 x  4 , y  1 )13  2,4  :‬אין‪ ,‬לפונקציה יש נקודת אי הגדרה‬
‫‪1‬‬
‫ששיעוריה הם ‪ )15  2,10 ‬אופקית‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )18 x  1 , y  0 )17 x  0 , y  0 )16‬אופקית‪ , y  0 :‬אנכית‪. x  2 :‬‬
‫‪. b  1 , a  2 )20 b  3 , a  2 )19‬‬
‫‪ , y ‬אנכית‪x  2 :‬‬
‫נקודת אי הגדרה‪ 0,0  :‬‬
‫‪ )21‬א‪ x  0 .‬ב‪ min 1, 2  , max  1, 2  .‬ג‪ .‬תחומי עלייה‪ 1  x :‬או ‪, x  1‬‬
‫תחומי ירידה‪ x  0, 1  x  1 :‬ד‪ .‬אין ה‪. x  0 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ )22‬א‪ x  3 .‬ב‪ .‬אי ן ג‪ .‬הפונקציה יורדת בכל ת‪.‬ה‪ .‬ד‪   , 0  ,  0,   .‬ה‪. y  2, x  3 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 2  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )23‬א‪ x  1, x  4 .‬ב‪ min  2,   , max  2, 6  .‬ג‪ .‬תחומי עלייה‪, x  1,  2  x  2 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫תחומי ירידה‪ 2  x  4 :‬או ‪ x  2‬ד‪  0, 0  .‬ה‪. y  0, x  1, x  4 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )24‬א‪ .‬כל ‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬תחומי עלייה‪ 1  x :‬או ‪ , x  3‬תחומי ירידה‪ 3  x  1 :‬ד‪ 3, 0  ,  0, 0  .‬‬
‫ב‪. min 1,   , max  3,1  .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ה‪. y  1 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )25‬א‪ x  , x  3 .‬ב‪min  1,1  , max 1,   .‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x3, x‬‬
‫וגם ‪ x ‬תחומי ירידה‪ 1  x  3 :‬או ‪ x  1‬ד‪  0,2  .‬ה‪, y  2 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )26‬א‪ x  3 .‬ב‪ min  3,0  .‬קצה ג‪ .‬הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה ד‪.  3, 0  .‬‬
‫ג‪ .‬תחומי עלייה‪1  x  1 :‬‬
‫‪ )27‬א‪ x  1 .‬ב‪ max 1,0 , min  2, 2  .‬קצה ג‪ .‬תחומי עלייה‪, 2  x :‬‬
‫יורדת‪ 1  x  2 :‬ד‪. 1,0  ,  4,0  .‬‬
‫‪229‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )28‬א‪ x  6 .‬ב‪ min  6,0  , max 4, 4 2 .‬קצה ג‪ .‬עולה‪ , x  4 :‬יורדת‪4  x  6 :‬‬
‫ד‪.  0,0  ,  6,0  .‬‬
‫‪ )29‬א‪ x  0 .‬ב‪ min  0,0  , max 1,1 .‬קצה ג‪ .‬עולה‪ , 0  x  1 :‬יורדת‪ 1  x :‬ד‪.  0, 0  .‬‬
‫‪ )30‬א‪ 3  x  3 .‬וגם ‪ x  0‬ב‪ max  3,0  .‬קצה‪ min  3,0  ,‬קצה ג‪ .‬עולה‪ :‬אף ‪, x‬‬
‫יורדת‪ x  0 ,  3  x  3 :‬ד‪  3,0 ,  3,0  .‬ה‪. x  0 .‬‬
‫סקיצות לשאלות החקירה‪:‬‬
‫‪)21‬‬
‫‪)25‬‬
‫‪) 28‬‬
‫‪)22‬‬
‫‪) 23‬‬
‫‪)26‬‬
‫‪)24‬‬
‫‪)27‬‬
‫‪)30‬‬
‫‪)29‬‬
‫‪230‬‬
‫חקירת פונקציה עם פרמטר‪:‬‬
‫סיווג נקודות קיצון באמצעות '' ‪: y‬‬
‫אם הנקודה ‪ A  x1 , y1 ‬היא נקודת קיצון אז‪:‬‬
‫אם ‪ f ''  x1   0‬הנקודה ‪ A  x1 , y1 ‬היא נקודת מינימום‪.‬‬
‫אם ‪ f ''  x1   0‬הנקודה ‪ A  x1 , y1 ‬היא נקודת מקסימום‪.‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬מצא וסווג את נקודות הקיצון של הפונקציה‪. f  x   x3  12 x :‬‬
‫‪ )2‬מצא וסווג את נקודות הקיצון של הפונקציה‪. f  x   x2  6 x  16 :‬‬
‫‪ )3‬מצא וסווג את נקודות הקיצון של הפונקציה‪ b  0 , f  x   x3  3b2 x :‬פרמטר‪.‬‬
‫שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪ )4‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪a  x2‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ .  a  0 ‬חקור לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪min  3, 25 )2 min  2, 16  , max  2,16  )1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )4‬א‪ .‬כל ‪ x‬ב‪max  a,  , min  a,   .‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ a‬‬
‫‪‬‬
‫‪min  b, 2b3  , max  b,2b3  )3‬‬
‫ג‪ .‬תחומי עלייה‪, a  x  a :‬‬
‫תחומי ירידה‪ x  a :‬או ‪ x  a‬ד‪  0,0  .‬ה‪ .‬אופקית‪. y  0 :‬‬
‫‪231‬‬
:‫תרגול נוסף‬
:‫תרגילים העוסקים בפונקציה פולינומית‬
:‫תרגילים העוסקים בנגזרות יסודיות‬
:‫גזור את הפונקציות הבאות‬
y  x 3  4 x 2  4 x  3 )3
y  x 2  2 x  1
2
y   x  1
)6
4 x2  2 x  6
y
2
)9
x  x  7
y
2
)12
)2
y  x2
)1
y   x 2  1 x 2  3
)5
y  3x 3  3x
)4
5 7 4 x5 1
x 
 x
7
5 2
)8
1 2 1
x  x4
2
3
)7
y
2
y  x4  1 
y   4 x  5 )15
4
. y '  4 x  4 x )5
2
y
x3  9 x
)11
3
y
y   3x  2  )14
y   x  1 )13
8
y '  9 x  3 )4
6
y '  3 x  8 x  4 )3
1
1
. y '  4 x  1 )9 y '  5 x 6  4 x 4  )8 y '  x  )7
2
3
3
x3  3x 2  6 x  9
)10
5
2
2
3x 2  28 x  49
.y' 
)12
2
. y '  16  4 x  5 )15
3
:‫תשובות סופיות‬
y '  2 x  2 )2 y '  2 x )1
y '  16 x3  12 x2  2 x )6
y '  4 x3  x2  3 )11
y '  24  3x  2  )14
7
y' 
3x 2  6 x  6
)10
5
y '  6  x  1 )13
5
. f '  x0   m :‫תרגילים העוסקים במציאת שיפוע המשיק לגרף הפונקציה לפי הכלל‬
:‫) חשב את שיפוע המשיק לגרפים של הפונקציות הבאות בנקודות הרשומות לידן‬16
x  7 , f ( x)  x 3  5 x 2  5 x . ‫ב‬
x  1 , f ( x)  2 x2  x .‫א‬
x  2 , f ( x) 
x5  15 x3  20 x  4
.‫ד‬
5
x  1 , f ( x)  x  x  3  x 2  1
.‫ו‬
x  1 , f ( x)  x  4 x  3
x  0 , f ( x) 
232
2
.‫ג‬
1 7 1 6 1 5 1 4
x  x  x  x .‫ה‬
7
6
5
4
‫‪ )17‬לפניך מספר פונקציות‪ .‬לכל פונקציה מצא את שיעורי הנקודות עבורם שיפוע המשיק‬
‫הוא המצוין לידה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ב ‪m  0 , f ( x)  x  x  2  .‬‬
‫א‪m  13 , f ( x)  5x2  3x .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪m  6 , f ( x)   x 2  6   x  2  .‬‬
‫‪m  20 , f ( x)  2 x3  14 x‬‬
‫‪ )18‬א‪ .‬מצא נקודה על גרף הפונקציה‪ y  3x2  x  2 :‬אשר המשיק העובר דרכה‬
‫מקביל לישר‪. y  5x  2 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא נקודה על גרף הפונקציה‪ y  x3  3x2  2 x :‬אשר המשיק העובר דרכה‬
‫מקביל לישר‪. y  x  3 :‬‬
‫‪ )19‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  3x2  12 x :‬‬
‫הראה כי שיפוע המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות החיתוך שלה עם ציר ה‪ x -‬הם‬
‫מספרים נגדיים‪.‬‬
‫תרגילים העוסקים במציאת משוואת משיק לפי הנוסחה‪, y  y1  m  x  x1  :‬‬
‫כאשר‪ -  x1 , y1  :‬נקודת ההשקה ו‪ m -‬שיפוע המשיק‪.‬‬
‫‪ )20‬מצא את משוואת המשיק לגרפים של הפונקציות הבאות בנקודות הרשומות לידן‪:‬‬
‫ב‪x  1 , y  x3  4 x .‬‬
‫א‪x  3 , y  x2  4 x  5 .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ד ‪x  1 , y  3x 4  4 x 3  5 x .‬‬
‫‪x  0 , y  x  x  5‬‬
‫‪x3  6 x 2  9 x‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪x  3 , y ‬‬
‫‪4 x7 2 x10‬‬
‫‪‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x 1 , y ‬‬
‫ח‪x  2 , y  x  x  1 3x  8 .‬‬
‫ז‪x  0 , y   3x 2  4   6  x  .‬‬
‫‪ )21‬נתונה הפונקציה‪ . y  x3  3x  12 :‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר‬
‫דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫‪ )22‬נתונה הפונקציה‪ . y  x2  7 x  10 :‬מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה‬
‫העוברים דרך נקודות החיתוך שלה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪233‬‬
‫‪ )23‬נתונה הפונקציה‪ y  2 x2  5x  3 :‬ונתון הישר‪. y  4 x  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה והישר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות החיתוך שמצאת‪.‬‬
‫‪ )24‬נתונה הפונקציה‪ y  4 x3 :‬ונתון הישר‪. y  4 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה והישר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות החיתוך שמצאת‪.‬‬
‫‪ )25‬נתונות הפונקציות‪ f ( x)  x2  3x  4 :‬ו‪. g ( x)  5x  x2 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לכל הפונקציה העוברים דרך הנקודה שבה ‪. x  1‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של שני המשיקים שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪ )26‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x3  4 x2  3x  3 :‬‬
‫הישר ‪ y  3‬חותך את גרף הפונקציה )‪ f ( x‬בשלוש נקודות‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך בין הפונקציה והישר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואות המשיקים בנקודות החיתוך‪.‬‬
‫תרגילים העוסקים במציאת משוואת המשיק כאשר נתון מידע הקשור לשיפוע‪:‬‬
‫‪ )27‬א‪ .‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  4 x2  x  3 :‬‬
‫מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה ששיפועו‪. m  9 :‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x3  2 x2 :‬‬
‫מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה ששיפועם‪. m  1 :‬‬
‫ג‪ .‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x  x  4  :‬‬
‫מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה ששיפועם‪. m  0 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )28‬א‪ .‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x4  12 x  4 :‬‬
‫מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה המקביל לישר‪. y  44 x  1 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה‪f ( x)   x 2  1  x  1 :‬‬
‫המקבילים לישר‪. 3 y 12 x  5 :‬‬
‫‪ )29‬א‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה‪f ( x)  x3  1.5x2  4 x  1 :‬‬
‫בעלי שיפוע ‪.2‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה‪y  2 x  3x  10 x  3 :‬‬
‫ששיפועם הוא‪. m  2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪234‬‬
‫‪3‬‬
‫תרגילים עם פרמטרים‪:‬‬
‫‪ )30‬נתונה הפונקציה‪ . y  ax2  4 x  5 :‬ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה‬
‫שבה ‪ x  2‬הוא ‪ .8‬מצא את ‪. a‬‬
‫‪ )31‬נתונה הפונקציה‪. y  x2  a :‬‬
‫ידוע כי לגרף הפונקציה יש משיק שמשוואתו‪. y  2 x  2 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת ההשקה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪. a‬‬
‫‪ )32‬נתונה הפונקציה‪ . y  x3  6 x2  ax :‬ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודת‬
‫החיתוך שלה עם ציר ה ‪ y -‬הוא ‪ .5‬מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ )33‬נתונה הפונקציה‪ 8 x  20 :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.y‬‬
‫ידוע כי משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך אחת מנקודות החיתוך שלה עם‬
‫ציר ה ‪ x -‬היא‪. y  12 x  24 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק העובר דרך נקודת החיתוך השנייה של הפונקציה עם‬
‫ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )34‬נתונה הפונקציה הבאה‪. f ( x)   x  1  x 2  a  :‬‬
‫ידוע כי‪ . f '(1)  2 :‬מצא את ‪. a‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪ )35‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)   2 x3  4 x 2  4 :‬ידוע כי המשיק לגרף הפונקציה בנקודה‬
‫‪A‬‬
‫שבה ‪ x  2‬מקביל לציר ה‪. x -‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬האם יש לגרף הפונקציה משיקים נוספים המקבילים לציר ה ‪ ? x -‬אם כן‪ ,‬מצא‬
‫את המשוואות שלהם‪.‬‬
‫‪ )36‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x5  Bx3  4 x :‬‬
‫המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪ x  1‬מקביל לישר‪. y  24 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם יש משיק נוסף לגרף הפונקציה המקביל לישר ‪? y  24 x‬‬
‫במידה וכן מצא את משוואתו‪.‬‬
‫‪235‬‬
‫‪ )37‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)  Ax2  Bx  5 :‬ידוע כי‪ f (1)  12 :‬וגם‪. f '(1)  8 :‬‬
‫מצא את ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫‪ )38‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  3x3  4 x2  Ax  C :‬‬
‫ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה ‪ y -‬בנקודה שבה‪. y  5 :‬‬
‫שיפוע המשיק לגרף הפונקציה דרך נקודה זו הוא ‪ .4‬מצא את ‪ A‬ו‪.C-‬‬
‫‪ )39‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  Ax3  Bx2  8 :‬‬
‫משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך הנקודה שבה ‪ x  2‬היא‪. y  12 x  28 :‬‬
‫מצא את ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫‪ )40‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)  Ax4  Bx2  10 :‬שיפוע הפונקציה בנקודה ‪ 1,18‬הוא ‪.18‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי הפונקציה אינה חותכת את ציר ה‪. x -‬‬
‫‪ )41‬נתונות הפונקציות‪ f ( x)  3x2  Ax :‬ו‪. g ( x)  x2  B -‬‬
‫ידוע כי הפונקציות נחתכות בנקודה שבה‪ x  1 :‬ולשתיהן יש את אותו השיפוע‬
‫בנקודה שבה ‪ . x  0.25‬מצא את ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫‪ )42‬נתונות הפונקציות‪ f ( x)  Ax2  10 x :‬ו‪. g ( x)  x2  Bx  16 -‬‬
‫ידוע כי הפונקציות נחתכות בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫כמו כן לשתי הפונקציות יש את אותו השיפוע בעבור ‪ . x  8.5‬מצא את ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫תרגילים שונים – שימושי הנגזרת‪:‬‬
‫‪ )43‬באיור שלפניך נתונה הפונקציה‪. y   x2  6 x  16 :‬‬
‫הנקודה ‪ A‬היא נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה ‪ y -‬והנקודה ‪B‬‬
‫היא נקודת החיתוך החיובית של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המיתר העובר דרך הנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה המקביל לישר‬
‫‪x‬‬
‫שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪236‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )44‬נתונה הפרבולה‪. f ( x)   x2  8x  12 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬דרך נקודות החיתוך של גרף הפרבולה עם ציר ה ‪x -‬‬
‫מעבירים משיקים‪ .‬מצא את משוואות המשיקים הללו‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של שני המשיקים‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המשולש הנוצר בין שני המשיקים וציר ה‪. x -‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )45‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x3  27 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות שהמשיק העובר דרכן מקביל לציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואות המשיקים העוברים דרך הנקודות שמצאת‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המלבן הנוצר בין שני המשיקים שמצאת והאנכים לציר ה‪x -‬‬
‫היוצאים מנקודות ההשקה‪.‬‬
‫‪ )46‬נתונות הפונקציות‪ f ( x)  8  x2 :‬ו‪. g ( x)  Ax2  15.5x 1 -‬‬
‫ידוע כי הגרפים של הפונקציות נחתכים בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי המשיקים לכל פונקציה בנקודת החיתוך שבה ‪ x  1‬מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫(תזכורת‪ :‬השיפועים ‪ m1 , m2‬של שני ישרים מאונכים‬
‫מקיימים‪ - m1  m2  1 :‬מכפלתם שווה ל ‪.)-1-‬‬
‫‪ )47‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪. f ( x)  2 x2 10 x  13 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך‬
‫הנקודה שבה ‪. x  2‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הנורמל לפונקציה העובר דרך נקודת‬
‫ההשקה של המשיק שמצאת‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש הנוצר בין הנורמל‪ ,‬המשיק והצירים‪.‬‬
‫(היעזר באיור)‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )48‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)  Ax2  6 x  9 :‬שיפוע הפונקציה בנקודה שבה ‪ x  3‬הוא אפס‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי הפונקציה משיקה לציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬מעבירים את הישר ‪ y  1‬החותך את הפונקציה )‪ f ( x‬בשתי נקודות‪.‬‬
‫מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם הישר‪.‬‬
‫‪237‬‬
‫‪ )49‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)   2 x  5 :‬‬
‫‪y‬‬
‫‪8‬‬
‫א‪.‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה )‪f ( x‬‬
‫בנקודה שבה‪. x  2 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של משיק זה עם הישר ‪. y  17 x‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש שנוצר בין המשיק‪ ,‬הישר‬
‫וציר ה‪( y -‬ראה איור)‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )50‬נתונה הפונקציה‪ . a, b  0 , f ( x)  a  x  b  :‬ידוע כי ערך הנגזרת הוא אפס כאשר ‪. x  1‬‬
‫כמו כן הישר ‪ y  15x  27‬משיק לפונקציה בנקודה שבה‪. x  2 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪. b -‬‬
‫‪5‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא שתי נקודות על הפונקציה )‪ f ( x‬ועל הפונקציה‪g ( x)  7.5  x  1  24 :‬‬
‫‪4‬‬
‫בעבורה שיפוע המשיק זהה לשני הגרפים‪.‬‬
‫תרגילים העוסקים במציאת נקודות קיצון לפי הכלל‪ , f '  x   0 :‬סיווגן‬
‫ומציאת תחומי עלייה וירידה‪:‬‬
‫‪ )51‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫א‪y  x2  6 x  8 .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪y  x  x  3‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪x5 26 x3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 25 x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y  x  4 x  3x  8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y  x5  80 x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )52‬לפניך מספר פונקציות‪ .‬רשום בעבור כל פונקציה את תחומי העלייה והירידה שלה‪:‬‬
‫א‪y  x2  7 x  10 .‬‬
‫ב‪y  x3  12 x .‬‬
‫ג‪y  x 2  x  1 .‬‬
‫ד‪y  16  x2  2 x4 .‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y  x3  x 2  2 x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫ו‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪y   2 x  5‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪x3  6 x 2  15 x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪y  4  x‬‬
‫‪ )53‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  x4  3x3  4 x :‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הנקודה שבה‪ x  2 :‬היא נקודת קיצון‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את הנגזרת השנייה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬קבע על פי הנגזרת השנייה את סוג הקיצון של נקודה זו‪.‬‬
‫‪238‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )54‬נתונה הפונקציה‪. y  x3  6 x 2 :‬‬
‫א‪ .‬הראה כי יש לפונקציה נקודת קיצון על ציר ה‪ x -‬וקבע את סוגה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון הנוספות של הפונקציה וכתוב את תחומי העלייה והירידה‬
‫של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )55‬א‪ .‬מצא את הערך הגדול ביותר של הפונקציה‪. y  27  x2 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הערך הקטן ביותר של הפונקציה‪. y  x4  8x2  10 :‬‬
‫‪ )56‬נתונה הפונקציה‪. y  4 x3  x :‬‬
‫א‪ .‬הראה כי אין לפונקציה נקודות קיצון‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי הפונקציה עולה תמיד‪.‬‬
‫תרגילים העוסקים במציאת נקודות קיצון מוחלטות כאשר נתונה פונקציה בקטע מסוים‪:‬‬
‫‪ )57‬מצא את נקודות הקיצון המוחלטות בעבור כל פונקציה בתחום הנתון לידה‪:‬‬
‫ב‪4  x  4 , y  16  x2 .‬‬
‫א‪1  x  7 , y  x2  2 x .‬‬
‫ד‪1  x  5 , y   x3  7.5x2  12 x .‬‬
‫ג‪2  x  4 , y  x3  3x2  9 x .‬‬
‫ה‪6  x  6 , y  x4  50 x2  3 .‬‬
‫‪ )58‬נתונה הפונקציה‪ y   x3  6 x2  9 x  6 :‬בתחום הסגור‪.  0;5 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות קיצון הקצה בתחום הסגור הנ"ל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון המקומיות בתחום הנ"ל‪.‬‬
‫ג‪ .‬קבע אלו נקודות הן נקודות הקיצון המוחלטות‪.‬‬
‫‪ )59‬נתונה הפונקציה‪ f ( x)  x3  36 x :‬בתחום‪.  8;6 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי נקודות קיצון הקצה בתחום הנתון‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי נקודות הקיצון המקומיות‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא אלו נקודות הן נקודות הקיצון המוחלטות בתחום הנתון‪.‬‬
‫‪239‬‬
‫תרגילים העוסקים בחקירה מלאה של פונקציה פולינומית‪:‬‬
‫‪ )60‬חקור את הפונקציות הבאות לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .3‬קביעת סוג הקיצון ומציאת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .4‬מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (במידה ויש)‪.‬‬
‫‪ .5‬סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪y  x 2  8x  12 .‬‬
‫ב‪y  x  12 x .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪y  x  x  12  2 x  9  .‬‬
‫‪y  x  x  8‬‬
‫ה‪y  x 4  4 x .‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪y   3x  1‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪x4 x2 1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪4 2 4‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪y  6  x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪8‬‬
‫תרגילים שונים העוסקים בחקירות‪:‬‬
‫‪ )61‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)  x3  ax2  3x  3 :‬הישר ‪ y  5‬חותך את גרף הפונקציה‬
‫בנקודה שבה ‪. x  2‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הנקודות המקיימות ‪. f '( x)  0‬‬
‫ג‪ .‬האם יש לפונקציה נקודות קיצון?‬
‫ד‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )62‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)  x4  3x3  x2  a :‬ידוע כי הפונקציה עוברת בראשית הצירים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )63‬נתונה הפונקציה‪. y   x  2  x  1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה וירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪240‬‬
‫‪ )64‬נתונה הפונקציה‪. y   x  3 2  x  :‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )65‬נתונה הפונקציה‪. a  6 , y  2 x2  x  a  :‬‬
‫ידוע שלפונקציה יש נקודת קיצון שבה ‪. x  4‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפרמטר ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם יש לפונקציה עוד נקודות קיצון? אם כן‪ ,‬מצא אותן‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא האם יש לפונקציה נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫ה‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )66‬לגרף הפונקציה‪ f ( x)  x3  4 x2  kx :‬מעבירים משיק ‪ y  21x  6‬החותך‬
‫אותו בנקודה שבה ‪. x  6‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת ההשקה של המשיק עם הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ד‪ .‬האם יש לגרף הפונקציה נקודות קיצון?‬
‫ה‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ו‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫‪ )67‬נתונה הפונקציה‪. y  3x3  6 x2  4 x  d :‬‬
‫ידוע שהפונקציה חותכת את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה ‪. x  2‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. d‬‬
‫ב‪ .‬האם יש לפונקציה נקודות קיצון?‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ה‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )68‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  3  3x  5 :‬‬
‫‪4‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪241‬‬
:‫תשובות סופיות‬
 2, 0  23 ,1 275  .‫ ב‬1,8 .‫) א‬17 .-18 .‫ ו‬0 .‫ ה‬-16 .‫ ד‬105 .‫ ג‬212 .‫ ב‬3 .‫) א‬16
m  12
)19  1, 0  .‫ ב‬1, 0  .‫) א‬18 .  0.  12   43 , 5 275  .‫ ד‬1,16  1, 16  .‫ג‬
y  6 x
.‫ ה‬y  29 x 17 .‫ ד‬y  25x .‫ ג‬y   x  2 .‫ ב‬y  2 x  14 .‫) א‬20
y  3x  12 )21 y  48x  68 .‫ ח‬y  4 x  24 .‫ ז‬y  356 .‫ו‬
 1,0 ,  0.5,6  .‫) א‬23 y  3x  6 , y  3x 15 )22
y  0 , y  12x  8 , y  12x  8 .‫ ב‬ 0,0  , 1, 4  ,  1, 4  .‫) א‬24
 0,3 , 1,3 , 3,3 .‫) א‬26  3,10  .‫ ב‬y  5x  5 , y  3x  1 .‫) א‬25
y  x  1 , y  7 x  2.5 .‫ב‬
y   x , y   x  274 .‫ ב‬y  9 x  1 .‫) א‬27 y  3x  3 , y  2 x  5 , y  6 x  15 .‫ב‬
y  4 x  4 , y  4 x  5 13
y  44 x  44 .‫) א‬28 y  0 , y  9 13
27 .‫ב‬
27 .‫ג‬
a 1
)30 y  2x  10 ; y  2x 17 .‫ ב‬y  2x  9 , y  2 x  4.5 .‫) א‬29
y  12 x  120 .‫ ב‬A  1 .‫) א‬33 a  5 , y  x3  6 x 2  5x )32 a  1 .‫ ב‬1, 0  .‫) א‬31
y  24 x  14 :‫ כן‬.‫ ג‬y  24 x  14 .‫ ב‬B  5 .‫) א‬36 y  4 :‫ כן‬.‫ ב‬A  4 .‫) א‬35 a  1 )34
A  1 , B  7 .‫) א‬40 A  2 , B  3 )39 A  4 , C  5 )38 A  1 , B  6 )37
y  -2 x  32 .‫ ב‬y  -2 x  16 .‫) א‬43 A  2 , B  -7 )42 A  1 , B  3 )41
16 .‫ ד‬ 4,8 .‫ ג‬y  -4 x  24 , y  4 x-8 .‫ ב‬ 2,0  ,  6,0  .‫) א‬44
.‫) א‬46 .648 .‫ ג‬y  54 .‫ ב‬ 3, 54 ,  3,54 .‫) א‬45
y  2 x  5 , y  2 x  7 .‫ ג‬A  1 .‫) א‬48 .1.25 .‫ ג‬y  0.5x .‫ ב‬y  2 x  5 .‫) א‬47
A  7.5
 3,96  , 1,0  .‫ב‬
a  3 , b  1 .‫) א‬50 .16.5 .‫ ג‬1,17  .‫ ב‬y  16 x  33 .‫) א‬49
.‫ אין קיצון‬.‫ ד‬ 3,0  1, 4  .‫ ג‬ 3, 10    13 ,8 1427  .‫ ב‬ 3, 1 .‫) א‬51
.  5, 333 13  ,  5,333 13  , 1,16 158  ,  1, 16 158  .‫ה‬
2  x  2
:‫ יורד‬x  2 , x  2 :‫ עולה‬.‫ ב‬x  3.5 :‫ יורד‬x  3.5 :‫ עולה‬.‫) א‬52
0.5  x  0 , x  0.5 :‫ עולה‬.‫ ד‬0  x 
:‫ יורד‬x  0 , x  23 :‫ עולה‬.‫ג‬
. x ‫ עולה לכל‬.‫ ו‬1  x  2 :‫ יורד‬x  1 , x  2 :‫ עולה‬.‫ ה‬x  0.5 , 0  x  0.5 :‫יורד‬
2
3
.Min .‫ ג‬f ''( x)  12 x2 18x .‫) ב‬53 . x ‫ יורד לכל‬.‫ ח‬x  2.5 :‫ יורד‬x  2.5 :‫ עולה‬.‫ז‬
.- 6 .‫ ב‬.27 .‫) א‬55 4  x  0 :‫ יורד‬x  4 , x  0 :‫ עולה‬Max  4,32  .‫ ב‬Min  0,0  .‫) א‬54
.‫ מוחלט‬Max  0,16  .‫ מוחלט‬Min  4, 0  .‫ ב‬.‫ מוחלט‬Max  7,35 .‫ מוחלט‬Min 1, 1 .‫) א‬57
.‫ מוחלט‬Max  1, 20.5 .‫ מוחלט‬Min 1, 5.5 .‫ ד‬.‫ מוחלט‬Max  1,5 .‫ מוחלט‬Min  3,  27  .‫ג‬
.‫ מוחלט‬Max  0,3 .‫ מוחלט‬Min  5, 622  .‫ה‬
242
.‫ מוחלט‬Min  5, 26  .‫ ג‬Min 1,  10 , Max  3,  6 .‫ ב‬ 0, 6 ,  5, 26  .‫) א‬58
.‫ מוחלט‬Max  0,  6 , Max  3,  6 
 3.464, 83.13 ,  3.464,83.13 .‫ ב‬Min  8, 224 , Max  6,0 .‫) א‬59
. Mint  8, 224 , Maxt  3.464,83.13 . .‫ג‬
:4 ‫ עד‬1 ‫ תשובות לסעיפים‬.60
.  0,12 ,  6,0  ,  2,0  .4 . x  4 :‫ יורד‬x  4 :‫ עולה‬.3 . Min  4, 4  .2 . x ‫ כל‬.1 .‫א‬
. 2  x  2 :‫ יורד‬x  2 , x  2 :‫ עולה‬.3 . Min  2, 16 , Max  2,16  .2 . x ‫ כל‬.1 .‫ב‬
. Min  -2 23 ,-75 2723  , Max  -8,0 .2 . x ‫ כל‬.1 .‫ ג‬.  0, 0 ,  3.464, 0 .4
2
:‫ עולה‬.3
3
. 2  x  9 :‫ יורד‬x  2 , x  9 :‫ עולה‬.3 . Min  9, 243 , Max  2,100 .2
. x ‫ כל‬.1 .‫ ד‬.  0,0 ,  8,0  .4 . 8  x  2 23 :‫ יורד‬x  8, x  2
. x  1 :‫ יורד‬x  1 :‫ עולה‬.3 . Min 1, 3 .2 . x ‫ כל‬.1 .‫ ה‬.  0,0 , 12,0  ,  4.5,0  .4
. Min  1,0 , Max  0,0.25 .4 + 2 . x ‫ כל‬.1 .‫ ו‬.  0, 0 , 1.587, 0 .4
. Min  13 , 0  .2 . x ‫ כל‬.1 .‫ ז‬x  1 , 0  x  1 :‫ יורד‬1  x  0 , x  1 :‫ עולה‬.3
. Min  6, 0  .2 . x ‫ כל‬.1 .‫ ח‬.  13 , 0  ,  0,1 .4 . x  13 :‫ יורד‬x  13 :‫ עולה‬.3
.  6, 0  ,  0, 68  .4 . x  6 :‫ יורד‬x  6 :‫ עולה‬.3
:‫סקיצות‬
. x  1 -‫ עולה בכל תחום הגדרתה חוץ מ‬.‫ ד‬.‫ לא‬.‫ ג‬. (1, 4) .‫ ב‬. a  3 .‫) א‬61
5
) , Min(0,0) .‫ ב‬. a  0 .‫) א‬62
, 2  x   14 , x  0 :‫ עולה‬.‫ ג‬. Min(-2,-4) , Max(- 14 , 256
, x  1 , x  1 :‫ עולה‬.‫ ב‬Max  1,0 , Min 1, 4 .‫) א‬63 . x  2 ,  14  x  0 :‫יורדת‬


Max(2, 0) , Min 2 23 ,  274 .‫) א‬64 .  1,0  ,  2,0  ,  0, 2  .‫ג‬
. 1  x  1 :‫יורדת‬
.  2,0 ,  3,0  ,  0, 12  .‫ ג‬. 2  x  2 23 :‫ יורדת‬, x  2 , x  2 23 :‫ עולה‬.‫ב‬
2
, 0  x  2 , x  4 :‫ עולה‬.‫ ג‬.  0,0 ,  2,32  ,  4,0  .‫ ב‬y  2 x2  x  4 , a  4 .‫) א‬65
.  4,0  ,  0,0  .‫ ד‬. x  0 , 2  x  4 :‫יורדת‬
243
‫‪ )66‬א‪ k  10 .‬ב‪  1, 15 .‬ג‪ .  0, 0  .‬ד‪ .‬לא‪ .‬ה‪ .‬עולה בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫‪ )67‬א‪ . d  8 .‬ב‪ .‬לא‪ .‬ג‪ .‬יורדת בתחום ‪ . x  2‬ד‪. (0,8) .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )68‬א‪ . Min 1 23 , 0  .‬ב‪ .‬עולה בתחום‪ . x  1 23 :‬יורדת בתחום‪ . x  1 :‬ג‪. 1 , 0  , (0,1875) .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫סקיצות של שאלות ‪:63-68‬‬
‫‪244‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
:‫תרגילים העוסקים בפונקציה רציונאלית‬
:‫תרגילים העוסקים בנגזרות יסודיות‬
:‫גזור את הפונקציות הבאות‬
y
x 6

)3
6 x
 x  3
y
)6
x6
)9
x2  6
y
x
x2
2
 4
4x 1
)2
x
y
x 2  3x  4
y
)5
x2
2
x2
y
y
y
6
)8
x  8 x  12
y
3x
)7
2x 1
y
2
x2  6 x  8
y 2
)10
x  2x 1
2
2
)1
x2  5x  4
y
)4
x
 x  9
y  3
)11
2
 x  9
)12
1
x
x 2  7 x  12
)14
x4
x3  x
)13
x2 1
y
:‫תשובות סופיות‬
. y' 
3 8
 )5
x 2 x3
y '  1
. y'  
. y' 
x
36  x  9 
 x  9
3
4
)4
x2
6  2 x  8
2
 8 x  12 
)11
2
y' 
2 x 2  21x  48
. y'  
)14
x5
245
y' 
1 6

)3
6 x2
)8
y' 
3
 2 x  1
8 x 2  14 x  22
x
2
 2 x  1
y' 
y' 
)10
2
x4  4 x2 1
x
2
 1
2
2
)13
1
)2
x2
)7
y'  
y'  
y' 
1
)1
x2
y'  
6 18
 )6
x 2 x3
x 2  12 x  6
x
2
 6
2
2x  4  x2 
x
2
 4
3
)9
)12
‫תרגילים העוסקים במציאת שיפוע המשיק לגרף הפונקציה לפי הכלל‪. f '  x0   m :‬‬
‫‪ )15‬חשב את שיפוע המשיק לגרפים של הפונקציות הבאות בנקודות הרשומות לידן‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x  1 , f ( x) ‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪3x 2  2‬‬
‫‪ x  1‬‬
‫‪x  2 , f ( x) ‬‬
‫‪x 2  3x  5‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪3x 2  x  2‬‬
‫‪x  2 , f ( x) ‬‬
‫‪x  0 , f ( x) ‬‬
‫‪ )16‬לפניך מספר פונקציות‪ .‬מצא את הנקודות שבהן שיפוע הפונקציה הוא ‪: m‬‬
‫‪x2‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪x 3‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪m  3 , f ( x) ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪, f ( x)  2‬‬
‫‪36‬‬
‫‪x 8‬‬
‫‪m‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪, f ( x)  x ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x  16‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m  4 , f ( x)  x 2  4 x ‬‬
‫תרגילים העוסקים במציאת משוואת משיק לפי הנוסחה‪, y  y1  m  x  x1  :‬‬
‫כאשר‪ -  x1 , y1  :‬נקודת ההשקה ו‪ m -‬שיפוע המשיק‪.‬‬
‫‪ )17‬מצא את משוואת המשיק לגרפים של הפונקציות הבאות בנקודות הרשומות לידן‪:‬‬
‫‪x2  2x‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪x3‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2x  5‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x2  5‬‬
‫‪x  1 , y ‬‬
‫‪x6‬‬
‫‪x  12 x  36‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x  7 , y  3x ‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪ )18‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫שלה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪246‬‬
‫‪ x  3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪2x  4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x2 , y‬‬
‫‪ x  1‬‬
‫‪x3 ,‬‬
‫‪ y ‬העובר דרך נקודת החיתוך‬
‫‪4‬‬
‫‪ )19‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.y ‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )20‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ . f ( x) ‬מעבירים לגרף הפונקציה משיק בנקודה שבה ‪. x  3‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של המשיק עם הצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש הכלוא בין המשיק לצירים‪.‬‬
‫‪x4 5 1‬‬
‫‪ )21‬נתונה הפונקציה‪  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 x‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫א‪ .‬האם יש לגרף הפונקציה נקודות חיתוך עם ציר ה‪? x -‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫ג‪ .‬האם יש לגרף הפונקציה משיק נוסף המקביל למשיק שמצאת בסעיף הקודם?‬
‫אם כן – כתוב את משוואתו‪.‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ )22‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪.y ‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש הכלוא בין המשיק שמצאת לצירים‪.‬‬
‫‪4x  2‬‬
‫‪ )23‬נתונות הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪. g ( x)  x 3  2 , f ( x ) ‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לכל פונקציה העוברים דרך הנקודה הנמצאת‬
‫ברביע הראשון‪.‬‬
‫תרגילים העוסקים במציאת משוואת המשיק כאשר נתון מידע הקשור לשיפוע‪:‬‬
‫‪4x  6‬‬
‫‪ )24‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה שהשיפוע שלהם הוא ‪.6‬‬
‫ב‪ .‬מצא את המרחק בין שתי נקודות החיתוך של שני המשיקים עם ציר ה‪. y -‬‬
‫‪247‬‬
‫‪)25‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫לישר‪. y  3x  10 :‬‬
‫‪ f ( x) ‬המקבילים‬
‫‪x2‬‬
‫‪ f ( x) ‬המקבילים‬
‫מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫לישר‪. y  3x  10 :‬‬
‫תרגילים עם פרמטרים‪:‬‬
‫‪x 2  kx  5‬‬
‫‪ . f ( x) ‬הישר ‪ y  6 x  14‬משיק לגרף הפונקציה‬
‫‪ )26‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫בנקודה שבה ‪. x  1‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬האם קיים עוד משיק לגרף הפונקציה המקביל למשיק זה? אם כן‪ ,‬מצא את‬
‫משוואתו‪.‬‬
‫‪x2  3‬‬
‫‪ )27‬המשיק לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪xA‬‬
‫‪ f ( x) ‬בנקודה שבה ‪ x  1‬מקביל לציר ה ‪. x -‬‬
‫מצא את ‪.A‬‬
‫‪2 x 2  kx  3‬‬
‫‪ )28‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫ה ‪ x -‬בנקודה שבה ‪. x  1‬‬
‫‪ . f ( x) ‬ידוע כי גרף הפונקציה חותך את ציר‬
‫א‪ .‬מצא את הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬האם גרף הפונקציה חותך את ציר ה ‪ x -‬בעוד נקודות? אם כן‪ ,‬מצא אותן‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות החיתוך עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ )29‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪9  ax 2‬‬
‫‪ . f ( x) ‬הישר ‪ x  3‬הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬האם יש לגרף הפונקציה עוד אסימפטוטות?‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x  0‬‬
‫‪8x  4‬‬
‫‪ )30‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2  a‬‬
‫‪ . f ( x) ‬הישר ‪ x  4‬הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬האם יש לגרף הפונקציה עוד אסימפטוטות?‬
‫‪248‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלו עם‬
‫הישר‪ 4 y  2 x  1  0 :‬הנמצאת על ציר ה‪. x -‬‬
‫‪mx 2  2 x  3‬‬
‫‪ )31‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2  1‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫ידוע כי לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית‪. y  3 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. m‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם‬
‫האסימפטוטה האופקית ‪. y  3‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ )32‬נתונה הפונקציה‪ A :‬‬
‫‪x2  3‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫ידוע כי לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית‪. y  3 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם‬
‫האסימפטוטה האופקית ‪. y  3‬‬
‫‪2 x2  1‬‬
‫‪ )33‬נתונה הפונקציה‪ A :‬‬
‫‪x2  2‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫ידוע כי לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית‪. y  5 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי הפונקציה אינה חותכת את האסימפטוטה האופקית שלה‪.‬‬
‫‪Ax 2  1‬‬
‫‪ )34‬נתונה הפונקציה‪ B :‬‬
‫‪x2  1‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫ידוע כי לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית‪. y  1 :‬‬
‫כמו כן‪ ,‬שיפוע הפונקציה בנקודה שבה ‪ x  1‬הוא ‪.1‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ A‬ואת ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי הפונקציה אינה חותכת את האסימפטוטה האופקית שלה‪.‬‬
‫‪249‬‬
‫תרגילים שונים – שימושי הנגזרת‪:‬‬
‫‪2x2‬‬
‫‪ )35‬באיור שלפניך נתונות הפונקציה‪:‬‬
‫‪2x  3‬‬
‫‪ f ( x) ‬והישר‪. y  8 :‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y 8‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הישר והפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה )‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫העוברים דרך נקודות החיתוך שלה עם הישר‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של שני המשיקים‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המשולש הנוצר בין שני המשיקים לישר ‪. y  8‬‬
‫‪10 x‬‬
‫‪ )36‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2  1‬‬
‫‪ . f ( x) ‬מעבירים לפונקציה משיק בנקודה שבה ‪. x  2‬‬
‫‪y‬‬
‫חשב את שטח המשולש הנוצר בין המשיק לצירים‪.‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ )37‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הפונקציה עולה תמיד‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק המאונך לישר‪ y  9 x :‬העובר דרך נקודת ההשקה‬
‫הנמצאת ברביע ראשון‪.‬‬
‫‪ )38‬א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x2  3‬‬
‫מצא את שיפוע המשיק לפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ f ( x) ‬בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫‪x2  4 x‬‬
‫‪ g ( x) ‬המקבילים‬
‫מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫למשיק שאת שיפועו מצאת בסעיף א'‪.‬‬
‫‪x 1‬‬
‫מצא את משוואות המשיקים לפונקציה‪:‬‬
‫‪x7‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ h( x) ‬המאונכים למשיק‬
‫שאת שיפועו מצאת בסעיף א'‪.‬‬
‫תרגילים העוסקים בחקירה מלאה של פונקציה רציונאלית‪:‬‬
‫חקור את הפונקציות שבעמוד הבא לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬קביעת סוג הקיצון ומציאת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (במידה ויש)‪.‬‬
‫ה‪ .‬מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ו‪ .‬סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪250‬‬
‫‪)39‬‬
‫‪16 x 2  3x  4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x 2  10 x  25‬‬
‫‪y‬‬
‫‪)41‬‬
‫‪x‬‬
‫‪)43‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪x x2‬‬
‫‪y  5‬‬
‫‪3x 12 1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪)45‬‬
‫‪5 5 x‬‬
‫‪2 x2  5x  2‬‬
‫‪)40‬‬
‫‪x‬‬
‫‪)42‬‬
‫‪4 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪x x2‬‬
‫‪)44‬‬
‫‪6 8‬‬
‫‪y  1  2‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪y  1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪)46‬‬
‫‪x  10 x  25‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪)47‬‬
‫‪3x  6 x  9‬‬
‫‪y‬‬
‫‪6‬‬
‫‪)48‬‬
‫‪x 9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪)49‬‬
‫‪x2 x3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪)50‬‬
‫‪x 1 x  5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫חקור את הפונקציות הבאות לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬קביעת סוג הקיצון ומציאת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (במידה ויש)‪.‬‬
‫ה‪ .‬מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ו‪ .‬סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪2 x2  8x  8‬‬
‫‪)51‬‬
‫‪x2  5x  4‬‬
‫‪5x  1‬‬
‫‪)53‬‬
‫‪x5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫‪)52‬‬
‫‪ x  4‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫‪3x  5‬‬
‫‪3x 2‬‬
‫‪)54‬‬
‫‪2 x2  8‬‬
‫‪f ( x)  1.5 x ‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫‪9 1‬‬
‫‪ )55‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪2 x‬‬
‫‪ a ( , y  ax  ‬פרמטר)‪ .‬ידוע כי גרף הפונקציה עובר בנקודה ‪.  3, 7.5‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪251‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ )56‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪10  ax  2 x 2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪ . y ‬ידוע כי יש לפונקציה אסימפטוטה אנכית‪. x  5 :‬‬
‫מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫האם יש לפונקציה עוד אסימפטוטות? אם כן‪ ,‬מהן?‬
‫מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ )57‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪2x  5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ a ( , y ‬פרמטר)‪.‬‬
‫בנקודה שבה ‪. y  2‬‬
‫ידוע שהפונקציה חותכת את ציר ה‪-‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬מה תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫ד‪ .‬האם יש לפונקציה נקודות חיתוך עם ציר ה‪ ? x -‬אם כן – מצא אותן‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )58‬ענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪9  x2‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2  k‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ידוע כי שיעור ה‪ y -‬של נקודת הקיצון הוא ‪ .3‬הוכח כי הפונקציה )‪ f ( x‬מוגדרת‬
‫לכל ‪. x‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה‪.‬‬
‫שרטט סקיצה של גרף הפונקציה וקבע בכמה נקודות יחתוך אותו הישר ‪. y  1‬‬
‫נמק את תשובתך‪.‬‬
‫‪ax  4‬‬
‫‪ )59‬לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪ f ( x) ‬יש נקודת קיצון שנמצאת על ציר ה‪. y -‬‬
‫‪ a ( , f ( x) ‬פרמטר) יש נקודת קיצון שבה ‪. x  8‬‬
‫מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ax 2  20 x  28‬‬
‫‪ )60‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 2  2a‬‬
‫‪ a ( , f ( x) ‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע כי גרף הפונקציה חותך את האסימפטוטה האופקית שלו בנקודה ‪.  0.5,3‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫‪252‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫היעזר בגרף הפונקציה וקבע לאלו ערכים של ‪ k‬הישר‪ y  k :‬יחתוך את גרף‬
‫הפונקציה בנקודה אחת בלבד‪.‬‬
‫‪ax  30‬‬
‫‪ )61‬הפונקציה‪:‬‬
‫‪x  6x  a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ a ( , f ( x) ‬פרמטר) מוגדרת לכל ‪. x‬‬
‫ידוע כי לפונקציה יש נקודת קיצון שבה ‪. x  2‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם יש לפונקציה נקודות קיצון נוספות? אם כן מצא אותן‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ה‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪a2 x  4‬‬
‫‪ )62‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪2 x2 1‬‬
‫‪ a ( , y ‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪ x  1‬הוא ‪. m  4‬‬
‫א‪ .‬מצא את כל הערכים האפשריים בעבור ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך בין המשיק הנתון ומשיק העובר דרך נקודת החיתוך של‬
‫גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫‪x 2  ax  6‬‬
‫‪ )63‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ a ( , f ( x) ‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע שאחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך של הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬הצב את הערך של ‪ a‬שמצאת בסעיף א' ומצא‪:‬‬
‫‪ )1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )2‬את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫‪ )3‬את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫‪ )4‬את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫ג‪ .‬לאלו ערכי ‪ x‬הפונקציה שלילית?‬
‫ד‪ .‬נתון הישר‪ . y  k :‬לאלו ערכי ‪ k‬אין נקודות משותפות לישר ולגרף הפונקציה?‬
‫נמק‪.‬‬
‫‪253‬‬
‫‪xa‬‬
‫‪ )64‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪ a  1 , f ( x) ‬פרמטר‪.‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ a‬את השיעורים של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר‬
‫ה ‪ x -‬ועם ציר ה‪. y -‬‬
‫‪ .1‬מצא לאלו ערכים של ‪ a‬הפונקציה )‪ f ( x‬עולה לכל ‪ x‬בתחום ההגדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬ישר המשיק לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬בנקודה שבה ‪ x  a‬מקביל לישר המשיק‬
‫לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x  2‬‬
‫מצא את הערך של ‪ a‬אם נתון כי הפונקציה עולה לכל ‪. x‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪ )65‬נתונה הפונקציה‪ A :‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ A ( , y ‬פרמטר)‪.‬‬
‫גרף הפונקציה עובר בנקודה‪.  3 A, A :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מצא את ערך הפרמטר ‪. A‬‬
‫כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫הוכח כי גרף הפונקציה יורד לכל ‪. x‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫נתון הישר‪ . y  k :‬האם קיים ערך של ‪ k‬בעבורו הישר חותך את גרף הפונקציה‬
‫בשתי נקודות שונות? נמק‪.‬‬
‫‪x2  m‬‬
‫‪ m , a  0 , y ‬פרמטרים‪.‬‬
‫‪ )66‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪ax  4‬‬
‫ידוע כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך של הפרמטר ‪. m‬‬
‫ב‪ .‬הצב את הערך של ‪ m‬שמצאת בסעיף א' והבע באמצעות ‪ a‬את‪:‬‬
‫‪ .1‬תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫‪ .3‬האסימפטוטות לגרף הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬שרטט סקיצה וסמן בה את נקודות הקיצון ואת משוואות האסימפטוטות‬
‫שהבעת באמצעות ‪ a‬בסעיף הקודם‪.‬‬
‫ד‪ .‬ידוע כי נקודת הקיצון שאינה על ציר ה‪ , y -‬נמצאת במרחקים שווים מהצירים‪.‬‬
‫מצא את הערך של הפרמטר ‪. a‬‬
‫ה‪ .‬נתון הישר‪ . y  k :‬מצא לאלו ערכים של ‪ k‬אין לישר ולגרף הפונקציה נקודות‬
‫משותפות כלל‪.‬‬
‫‪254‬‬
:‫תשובות סופיות‬
.  4, 5 13  ,  2,3 13  .‫ ב‬ 4.5,13.5 , 1.5, 1.5 .‫) א‬16 
2
4
1
1
y  28x  188 .‫ ג‬y   x  1 .‫ ב‬y  x  .‫) א‬17
9
9
4
4
y  1.5x  3 .‫ב‬
 2, 0  .‫) א‬19
1
1
2
.‫ ד‬ .‫ ג‬
.‫ ב‬- 1 .‫) א‬15
4
9
25
 2,19  .‫ד‬
 2,  ,  2,  
1
6
1
6
.‫ג‬
4
y  2 x  4 )18 y   x  8 .‫ד‬
3
. y  2 x  3 .‫ ג‬y  2 x  7 .‫ ב‬.‫ לא‬.‫) א‬21 .8 .‫ ג‬ 4,0  ,  0, 4  .‫ ב‬y  4  x .‫) א‬20
1
.‫ ב‬y  2 x  1 .‫) א‬22
4
.24 .‫ ב‬y  6x  8 , y  6x  16 .‫) א‬24
y  3x , y  4  x .‫ ב‬1,3 ,  1,1 .‫) א‬23
. y  3x  2 , y  3x  18 .‫ ב‬y  3x  1 , y  3x  9 .‫) א‬25
. A  1 )27 . y  6 x  6 .‫ כן‬.‫ ג‬ 5,0  ,  1,0  .‫ ב‬k  4 .‫) א‬26
. y   x  1 , 9 y  4 x  6 .‫( ג‬1.5, 0) .‫ כן‬.‫ ב‬k  5 .‫) א‬28
. y  43 .‫ג‬
y  0 , x  3 .‫ כן‬.‫ ב‬. a  1 .‫) א‬29
y  2 x  3 .‫ ב‬m  3
.‫) א‬31 63 y  32 x  16  0 .‫ ג‬y  0 , x  4 .‫ ב‬a  16 .‫) א‬30
A  3 , B  2 .‫) א‬34 A  3 .‫) א‬33 y  0.5x  2.5 .‫ ב‬A  3 .‫) א‬32
S  17
1
)36 .6.4 .‫ד‬
15
 2.4, 4.8 .‫ג‬
y  8x  24 , 9y  8x  24 .‫ב‬
‫ ולכן הפונקציה עולה‬f '( x) 
1
 x  2
2
 2,8 ,  6,8 .‫) א‬35
 0 :‫ מתקיים‬x ‫ לכל‬.‫) א‬37
. y  0.5x  0.5 , y  0.5x  20.5 .‫ ג‬y  2 x , y  2 x  8 .‫ ב‬-2 .‫) א‬38 9 y  x  5 .‫ ב‬.‫תמיד‬
x  0 ,  0.5  x  0.5 :‫ עולה‬.‫ ג‬Max  0.5, 13 , Min  0.5,19  .‫ ב‬x  0 .‫) א‬39
Max  1, 9 , Min 1, 1 .‫ ב‬x  0 .‫) א‬40 . x  0 .‫ ה‬.‫ אין‬.‫ ד‬. x  0.5 , x  0.5 :‫יורדת‬
. x  0 .‫ ה‬ 0.5,0 ,  2,0  .‫ד‬
. x  0 , 1  x  1 :‫ יורדת‬x  1 , x  1 :‫ עולה‬.‫ג‬
. x  0 ,  5  x  5 :‫ יורדת‬x  5 , x  5 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  5, 20 , Max  5,0  .‫ ב‬x  0 .‫) א‬41
0  x  2.5 :‫ עולה‬.‫ ג‬max  2.5,1.8 .‫ ב‬x  0 .‫) א‬42 . x  0 .‫ ה‬ 5, 0  .‫ד‬
. x  0 , y  1 .‫ ה‬ 5,0  , 1,0  .‫ ד‬. x  0 , x  2.5 :‫יורדת‬
. x  0 , x  3 :‫ יורדת‬0  x  3 :‫ עולה‬.‫ ג‬Max  3,5 13  .‫ ב‬x  0 .‫) א‬43


Min 2 23 ,  18 .‫ ב‬x  0 .‫) א‬44 . x  0 , y  5 .‫ה‬
 1,0 ,  0.6,0  .‫ד‬
. x  0 , y  1 .‫ ה‬ 2,0  ,  4,0  .‫ ד‬. 0  x  2 23 :‫ יורדת‬x  0 , x  2 23 :‫ עולה‬.‫ג‬
. x  0 .‫ ה‬ 2,0 ,  2,0 .‫ ד‬.‫ עולה בכל תחום הגדרתה‬.‫ ג‬.‫ אין נקודות קיצון‬.‫ ב‬x  0 .‫) א‬45
255
. y  0, x  5 .‫ ה‬ 0,0.12  .‫ ד‬x  5 :‫ יורדת‬x  5 :‫ עולה‬.‫ ג‬.‫ אין נקודות קיצון‬.‫ ב‬x  5 .‫) א‬46
‫ חיתוך עם ציר‬.‫ ד‬x  1 , x  3 :‫ יורדת‬x  1 , x  1 :‫ עולה‬.‫ ג‬Max 1,  13  .‫ ב‬x  1,3 .‫) א‬47
. y  0 x  1,3 .‫ ה‬.  0,  94  : y -‫ה‬


x  0 , x  3 :‫ יורדת‬x  3 , x  0 :‫ עולה‬.‫ ג‬Max 0,  23 .‫ ב‬x  3 .‫) א‬48
. y  0 x  3 .‫ ה‬.  0,  23  : y -‫ חיתוך עם ציר ה‬.‫ד‬
 0.5, 0 ,
 0,  
1
6
.‫ ד‬.‫ יורדת בכל תחום הגדרתה‬.‫ ג‬.‫ אין נקודות קיצון‬.‫ ב‬x  3, 2 .‫) א‬49
x  5 , x  3 :‫ עולה‬.‫ ג‬Max  3, 1 .‫ ב‬x  1, 5 .‫) א‬50 y  0 , x  3, 2 .‫ה‬
. y  0 , x  1, 5 .‫ ה‬ 0, 0.8 .‫ ד‬x  1 , x  3 :‫יורדת‬
:39-50 ‫סקיצות של שאלות‬
. x  1 ,  2  x  2 :‫ עולה‬.‫ ג‬Max  2,0  , Min  2,1 79  .‫ ב‬x  1, 4 .‫) א‬51
. x  1, 4 , y  2 .‫ ה‬.  0, 2 ,  2,0  .‫ ד‬. x  4 , x  2 , x  2 :‫יורדת‬
. x  4 , x  7 13 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  7 13 , 7 95  , Max  4, 0  .‫ ב‬x  53 .‫) א‬52
. x  53 .‫ ה‬ 0, 3.2 ,  4, 0  .‫ ד‬. x  53 ,  4  x  7 13 :‫יורדת‬
. x  9 , x  1 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  1, 0.5 , Max  9, 24.5 .‫ ב‬x  5 .‫) א‬53
. x  5 .‫ ה‬ 2, 0 ,
 0, 0  .‫ ד‬.
x  0 , x  2 :‫עולה‬
 , 0 ,  0, 0.2
1
3
.‫ ד‬. x  5 ,  9  x  1 :‫יורדת‬
. x  0 , x  2 :‫ יורדת‬.‫ ג‬Max  0,0  .‫ ב‬x  2 .‫) א‬54
. x  2 , y  1.5 .‫ה‬
:51-54 ‫סקיצות של שאלות‬
256
‫‪9 1‬‬
‫‪ )55‬א‪, a  2 .‬‬
‫‪2 x‬‬
‫יורדת‪. x  0 , -1.5  x  1.5 :‬‬
‫‪ . y  2 x  ‬ב‪ Max  -1.5,-6 , Min 1.5,6 .‬ג‪ .‬עולה‪, x  -1.5 , x  1.5 :‬‬
‫‪ )56‬א‪ a  8 .‬ב‪ .‬כן‪ y  0 , x  1 .‬ג‪ Max  2, 0.5 .‬ד‪ .‬עולה‪. x  1 , x  2 :‬‬
‫יורדת‪ )57 . x  5 , x  2 :‬א‪ a  10 .‬ב‪ .‬כל ‪ x‬ג‪Max(0, 2) .‬‬
‫ד‪ .‬אין חיתוך עם ציר ה‪ )58 . x -‬ב‪ .‬מתקבל‪ . k  3 :‬ג‪ .  3,0  ,  3,0  .‬ד‪. y  1 .‬‬
‫ה‪ .‬באף נקודה‪ .‬הגרף שואף לישר ואינו חותך אותו‪.‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪ )59‬א‪, a  1 .‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ . f ( x) ‬ב‪ .‬עולה‪ , 8  x  0 :‬יורדת‪ . x  8 , x  0 :‬ג‪.  4, 0  .‬‬
‫‪3x 2  20 x  28‬‬
‫‪ )60‬א‪, a  3 .‬‬
‫‪ . f ( x) ‬ב‪.‬‬
‫‪x2  6‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. Max  2,8 , Min  3, ‬‬
‫ג‪ .‬עולה‪ x  2 , x  3 :‬יורדת‪ . 2  x  3 :‬ד‪ .  2, 0  ,  0, 4 23  ,  4 23 , 0  .‬ו‪. k  8,  13 ,3 .‬‬
‫‪10 x  30‬‬
‫‪ )61‬א‪, a  10 .‬‬
‫‪x  6 x  10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( y ‬הפתרון‪ a  6 :‬נפסל)‪ .‬ב‪ .‬כן ‪.  4,5 -‬‬
‫ג‪ .‬עולה‪ 2  x  4 :‬יורדת‪ . x  2 , x  4 :‬ד‪.  0, 3 ,  3,0  .‬‬
‫‪ )62‬א‪ . a  2 .‬ב‪ 1,0  ,  0, 4  .‬ג‪ .‬המשיק‪ y  4 x  4 :‬אשר עובר בנקודה ‪. 1, 0 ‬‬
‫‪ )63‬א‪ . a  3 .‬ב‪ . x  2 .4 Max  0, 3 , Min  4,5 .3  0, 3 .2 x  2 .1 .‬ג‪. x  2 .‬‬
‫ד‪ )64 . 3  k  5 .‬א‪ x  1 .‬ב‪ x  1 , y  1 .‬ג‪  a,0  ,  0, a  .‬ד‪. a  2 .2 a  1 .1 .‬‬
‫‪ )65‬א‪ . A  1 .‬ב‪ . x  2 .‬ג‪ .‬הנגזרת בנויה ממנה של מספר שלילי בחיובי ולכן תמיד‬
‫‪ ( ) ‬‬
‫שלילית‪ :‬שלילי ‪   ‬‬
‫‪ () ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  2‬‬
‫‪ . y ' ‬ד‪.  0, 2.5 .‬‬
‫ו‪ .‬לא‪ .‬אין נקודות על גרף הפונקציה בעלות שיעור ‪ y‬זהה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )66‬א‪( m  0 .‬מתקבל‪ am  0 :‬וידוע כי‪ a  0 :‬לכן נותרנו עם הפתרון הנ"ל)‪ .‬ב‪.1 .‬‬
‫‪a‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 8 16 ‬‬
‫‪ . x  .3 . Max  0, 0  , Min  , 2  .2‬ד‪ . a  2 .‬ה‪. 0  k  4 .‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a a ‬‬
‫סקיצות של שאלות‪ 58-61 :‬ו‪:65-66 -‬‬
‫‪257‬‬
‫‪.x ‬‬
:)‫רציונאלית‬-‫תרגילים העוסקים בפונקצית שורש (אי‬
:‫תרגילים העוסקים בנגזרות יסודיות‬
y  x  16 x
)3
x 1
x
)6
y  x 2  3x  2
)9
2
y
y
x2
x2
x 1
y  x 3 x
)2
:‫גזור את הפונקציות הבאות‬
y  x )1
y  x2 x
)5
y   2 x  1 x
)4
y  2x 1  x  2
)8
x 1
x 1
)7
y   x 2  4  x  2 )11
)12
)15
y
y  x x4  6x2  8
)18
y   3x  1
1
x
)21
y
x2  x  1
y x
y
x
8
y  x 5x  2 )10
y
)14
x2  4
1
x
1
y
)20
)13
x2  4
y   x  10 
x 2  x )17
y  x
2
6
x
)16
x 1
x2
)19
:‫תשובות סופיות‬
. y'  2 x 
2x 1
)4
2 x
y '  2x 
8
)3
x
y '  1
y' 
x 1
)6
2x x
2
. y '   3x  4 x x 21 )7
2 x  x 2  1
. y '  5x  2 
. y'  
x
5x
2x  3
)10 . y ' 
)9
2 5x  2
2 x 2  3x  2
x
2
 4 x2  4
)13 . y ' 
 x  10  )16 . y ' 
. y '  6  x  10  x 
8  3x
)12
2 x3 x  2
1 x
6
5
2 x
y' 
3x 4  12 x 2  8
x4  6 x2  8
. y' 
x 1
)21
2x x
2  x 2  x  1
1.5
x2 1
2x2 x 
258
1
x
2 x
y' 
)2
. y '  2x x 
1
2 x
)1
x2
)5
2 x
1
1

)8
2x 1 2 x  2
y' 
y '  2x x  2 
)15 y '  
)18 y '  24  3x  1
y' 
3
x
x2  4
)11
2 x2
4
2
 4 x2  4
 2 x  1 3x  1
x
)14
8
7
)20
x
2
2 x2  x
y'  
3
2  x  2
2
)17
x2
)19
x 1
‫תרגילים העוסקים במציאת תחום ההגדרה של פונקציות‪:‬‬
‫‪ )22‬לפניך מספר פונקציות‪ ,‬מצא את תחום ההגדרה שלהן‪ .‬תזכורת‪:‬‬
‫‪ ‬תחום הגדרה של פונקציה המכילה ביטוי עם שורש‪ y  f ( x) :‬הוא‪f ( x)  0 :‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ ‬תחום הגדרה של פונקציה אי‪-‬רציונאלית‪:‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪ y ‬הוא‪. g ( x)  0 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪y x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪y  x 5‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪y  7  2x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪y  x2 1‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪y  x2  2x‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪y  x2  4 x  5‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪y  x2  3 x‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪y  x 3  3x 2  4 x‬‬
‫ט‪.‬‬
‫‪y  2x 2  x‬‬
‫י‪.‬‬
‫‪y   x 2  3 x 2  x‬‬
‫יא‪.‬‬
‫‪4 x‬‬
‫‪x2‬‬
‫יב‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x 5‬‬
‫‪y‬‬
‫יג‪.‬‬
‫‪x2  4 x  4‬‬
‫‪x 2  16‬‬
‫יד‪.‬‬
‫‪x6‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫טו‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪3x  8‬‬
‫יז‪.‬‬
‫יט‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪81  4 x 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫טז‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x 2  25‬‬
‫יח‪.‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x3‬‬
‫כ‪.‬‬
‫‪25 x  x 2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )23‬א‪ .‬נתונה הפונקציה הבאה‪ k ( , y  kx2  18 :‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע כי תחום ההגדרה שלה הוא‪ . x  3 , x  3 :‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה הבאה‪ k ( , y  k  3x 2 :‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע כי תחום ההגדרה שלה הוא‪ . 1  x  1 :‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪xk‬‬
‫‪ k ( , y ‬פרמטר)‪.‬‬
‫לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית‪ . x  7 :‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ד‪ .‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫‪x k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ k ( , y ‬פרמטר)‪.‬‬
‫לפונקציה יש אסימפטוטות אנכיות‪ . x  4 :‬מצא את ‪. k‬‬
‫‪259‬‬
‫‪ )24‬נתונה הפונקציה הבאה‪ a , b ( , y  ax  x  b :‬פרמטרים) ידוע כי הפונקציה עוברת‬
‫בנקודה‪  2, 2  :‬וכי תחום הגדרתה הוא‪ . x  2 :‬מצא את ‪ a‬ואת ‪.b‬‬
‫‪ )25‬נתונה הפונקציה הבאה‪ a , b ( , y  ax2 bx  3 :‬פרמטרים)‪ .‬ידוע כי הפונקציה עוברת‬
‫בנקודה‪ 1, 4  :‬וכי תחום הגדרתה הוא‪ . x  3 :‬מצא את ‪ a‬ואת ‪.b‬‬
‫‪ )26‬נתונה הפונקציה‪ a , b ( , y  ax2  bx  12 :‬פרמטרים)‪ .‬ידוע כי הפונקציה אינה‬
‫מוגדרת בתחום‪ . 4  x  3 :‬מצא את ‪ a‬ואת ‪. b‬‬
‫תרגילים העוסקים במציאת שיפוע המשיק לגרף הפונקציה לפי הכלל‪. f '  x0   m :‬‬
‫‪ )27‬חשב את שיפוע המשיק לגרפים של הפונקציות הבאות בנקודות הרשומות לידן‪:‬‬
‫ב ‪x  4 , f ( x)   x  2  x .‬‬
‫א‪x  1 , f ( x)  3x  x .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x  9 , f ( x)   x 2  4  x‬‬
‫‪2x  3‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x  3 , f ( x) ‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪x3‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪x  1 , f ( x) ‬‬
‫‪x  2 , f ( x)  x x 2  4 x  8‬‬
‫‪ )28‬לפניך מספר פונקציות‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות שבעבורם שיפוע המשיק הוא‬
‫המצוין לידה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪, f ( x )  4 x  7 .‬‬
‫‪5‬‬
‫א‪m  1.5 , f ( x)  3x  2 .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪, f ( x)  x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫ד‪m  2 , f ( x)  x 2  12 .‬‬
‫ה ‪m  2 , f ( x)  x x  1 .‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪m  5, f  x    x  3 x‬‬
‫‪ )29‬א‪ .‬מצא נקודה על גרף הפונקציה‪ y  2 x 4 x  5 :‬אשר המשיק העובר‬
‫דרכה מקביל לישר‪. y  2 x  2 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא נקודה על גרף הפונקציה‪ y  3x  3x2  24 :‬אשר המשיק העובר‬
‫דרכה מקביל לישר‪. y  4 x  7 :‬‬
‫‪260‬‬
‫‪ )30‬א‪ .‬נתונה הפונקציה הבאה‪. f ( x)  x2  24 :‬‬
‫מצא את שיפוע הפונקציה בנקודה שבה‪. x  2 :‬‬
‫ב‪ .‬מגדירים פונקציה נוספת‪ . g ( x)  3x2  240 :‬מצא נקודה על גרף הפונקציה שבה‬
‫שיפוע המשיק העובר דרכה שווה לשיפוע הפונקציה שמצאת בסעיף א'‪.‬‬
‫האם קיימת יותר מנקודה אחת? אם כן‪ ,‬מצא את כולן‪ .‬אם לא‪ ,‬נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬הראה כי לשת י הפונקציה יש את אותו השיפוע בעבור‪ . x  0 :‬מהו השיפוע?‬
‫‪ )31‬נתונות שתי הפונקציות הבאות‪ f ( x)  x  3 :‬ו‪. g ( x)  2  5  x -‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬בעבורו לשתי הפונקציות יש את אותו השיפוע‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי הפונקציות גם נחתכות בנקודה זו‪.‬‬
‫‪ )32‬נתונות שתי הפונקציות הבאות‪ f ( x)  2 x  6 :‬ו‪. g ( x)  6  9  x -‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬בעבורו לשתי הפונקציות יש את אותו השיפוע‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי הפונקציות גם נחתכות בנקודה זו‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )33‬נתונה הפונקציה הבאה‪36 x  27 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. f ( x)  5 4 x  3 ‬‬
‫מצא נקודה על גרף הפונקציה ששיפוע המשיק העובר דרכה שווה ל‪.12-‬‬
‫הנחייה‪ :‬לאחר הגזירה הוצא גורם משותף בתוך השורש שבמכנה השני‬
‫וסמן‪ t  4 x  3 :‬ופתור משוואה בעבור ‪. t‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )34‬מצא שתי נקודות על גרף הפונקציה‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ y ‬ששיפוע המשיק העובר דרכן הוא‪. m  1 :‬‬
‫תרגילים העוסקים במציאת משוואת משיק לפי הנוסחה‪, y  y1  m  x  x1  :‬‬
‫כאשר‪ -  x1 , y1  :‬נקודת ההשקה ו‪ m -‬שיפוע המשיק‪.‬‬
‫‪ )35‬מצא את משוואת המשיק לגרפים של הפונקציות הבאות בנקודות הרשומות לידן‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪x  1 , y  3x 2  x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x  7 , y  2x  5‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x  4 , y   2 x 2  8 x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪, y  x2  2x‬‬
‫‪3‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪x  2 , y  x x2  5‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪x6‬‬
‫‪x‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x2‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪x6 , y‬‬
‫‪261‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x3 , y ‬‬
‫‪x 2  3x  4‬‬
‫‪x 1 , y ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )36‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  x  4 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך שלה עם‬
‫ציר ה ‪ x -‬שאינה בראשית הצירים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )37‬נתונה הפונקציה הבאה‪x :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. y  2x ‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך שלה עם‬
‫ציר ה ‪ x -‬שאינה בראשית הצירים‪.‬‬
‫‪ )38‬לגרף הפונקציה‪ f ( x)  x  2 x :‬מעבירים משיק בנקודה שבה ‪. y  3‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של משיק זה עם הצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש שנוצר בין המשיק לצירים‪.‬‬
‫‪ )39‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  x2  4 x  9 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך שלה עם‬
‫ציר ה ‪. y -‬‬
‫‪ )40‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  3x  25  2 x2  1 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך שלה עם‬
‫ציר ה ‪. y -‬‬
‫‪ )41‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x2  x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך‬
‫‪x‬‬
‫שלה עם ציר ה ‪ x -‬הנמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫ג‪ .‬מהנקודה ‪ A‬שנמצאת על המשיק מורידים אנך לציר ה ‪x -‬‬
‫כך שנוצר משולש בין המשיק‪ ,‬האנך וציר ה ‪( x -‬ראה איור)‪.‬‬
‫ידוע כי שטח המשולש הוא ‪ . S  12‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬
‫‪262‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )42‬נתונה הפונקציה הבאה‪ . y  x x 2  4 :‬מעבירים לגרף הפונקציה משיק בנקודה ‪. x  1.5‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫ג‪ .‬מעבירים אנך לציר ה‪ y -‬מנקודת ההשקה של המשיק‪.‬‬
‫חשב את שטח המשולש הנוצר בין המשיק‪ ,‬האנך וציר ה‪. y -‬‬
‫‪ )43‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)   x2  8x  12 :‬‬
‫א‪ .‬מה תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬הראה כי המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪ x  3‬עובר בראשית הצירים‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )44‬נתונה הפונקציה‪2 x  3 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪. x  11 :‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המשיק הנ"ל‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם יש לגרף הפונקציה משיק נוסף המקביל למשיק שמצאת בסעיף הקודם?‬
‫אם כן – כתוב את משוואתו‪.‬‬
‫‪3x  1‬‬
‫‪ )45‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש הכלוא בין המשיק שמצאת לצירים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )46‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪2x 1‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש הנוצר בין המשיק שמצאת לצירים‪.‬‬
‫‪x2  3‬‬
‫‪ )47‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ f ( x) ‬ונתון הישר‪. y  2 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה והישר הנמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫הנחייה‪ :‬השווה בין שני הבי טויים והעלה בריבוע את המשוואה ופתור משוואה‬
‫דו ‪-‬ריבועית על ידי סימון‪. x 2  t :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואות המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪263‬‬
‫תרגילים העוסקים במציאת משוואת המשיק כאשר נתון מידע הקשור לשיפוע‪:‬‬
‫תזכורת‪ :‬בחלק מהתרגילים יש להיעזר בתכונות השיפועים של ישרים מקבילים ומאונכים‪:‬‬
‫‪ ‬ישרים מקבילים הם בעלי אותו השיפוע ולהפך‪.‬‬
‫‪ ‬מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים תמיד ‪.- 1‬‬
‫כגון שני ישרים בעלי שיפועים‪ m1 , m2 :‬אזי‪. m1  m2  1 :‬‬
‫‪ )48‬א‪ .‬כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪f ( x)  4 x  2 :‬‬
‫המקביל לישר‪. 2 y  x  3 :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪f ( x)  10 x  7 :‬‬
‫המקביל לישר‪. y  5x :‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪ f ( x)  3x  x :‬המאונך‬
‫לישר‪. 4 y  5  x :‬‬
‫ד‪ .‬כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪f ( x)  4 x  3  2 x :‬‬
‫המאונך לישר‪. y  x :‬‬
‫‪ )49‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  8 x  x :‬‬
‫א‪ .‬מצא על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬נקודה שבה שיפוע המשיק העובר דרכה הוא ‪.3‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת הישר העובר דרך הנקודה שמצאת בסעיף א' ונקודת החיתוך‬
‫עם ציר ה‪ x -‬שאינה ראשית הצירים‪.‬‬
‫‪ )50‬נתונה הפונקציה‪ f ( x)  x  10 x :‬באיור הסמוך‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪ - B-‬נקודות החיתוך של‬
‫הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪ C‬המקיימת‪. f '( x)  0 :‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה המקביל לישר ‪.BC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )51‬נתונות הפונקציה הבאות‪. g ( x)  4 2 x  3 , f ( x)  x2 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬בעל השיפוע ‪. m  20‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של המשיק שמצאת בסעיף הקודם והפונקציה )‪. g ( x‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה )‪ g ( x‬בנקודת החיתוך שמצאת‬
‫בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪ )52‬נתונות הפונקציות הבאות‪. f ( x)  4 3x  2 , g ( x)  2 x x  3 :‬‬
‫הראה כי לשתי הפונקציות משיק משותף ששיפועו הוא ‪.3‬‬
‫‪264‬‬
‫‪ )53‬נתונה הפונקציה הבאה‪. f ( x)  4 x 10  x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה המאונך לישר‪. y  0.5x  51 :‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי הישר הנתון בסעיף הקודם הוא נורמל לפונקציה בנקודת ההשקה‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ )54‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x3‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫מצא את הנקודה אשר שיפוע המשיק לגרף הפונקציה העובר דרכה הוא ‪.0‬‬
‫כתוב את משוואת הישר העובר דרך הנקודות שמצאת בסעיפים ב' ו‪-‬ג'‪.‬‬
‫‪4 x‬‬
‫‪ )55‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬האם הפונקציה חותכת את ציר ה ‪ ? x -‬אם כן‪ ,‬באיזו נקודה?‬
‫ג‪ .‬הראה כי לא קיים ישר המשיק לגרף הפונקציה ומקביל לישר‪. y  6 :‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪ )56‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום הגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬כמה נקודות יש לגרף הפונקציה ששיפוע המשיק העובר דרכן מקביל לציר ה ‪? x -‬‬
‫מצא אותן‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואות המשיקים בנקודות שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪ )57‬נתונות הפונקציות הבאות‪. f ( x)  x , g ( x)  3  3x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של שתי הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי הגרפים מאונכים זה לזה בנקודת החיתוך שמצאת‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לכל פונקציה בנקודת החיתוך שמצאת‪.‬‬
‫ד‪ .‬מהנקודות ‪ A‬ו ‪ B-‬הנמצאות על הגרפים של הפונקציות )‪ f ( x‬ו‪ g ( x) -‬בהתאמה‬
‫מעבירים ישר המקביל לציר ה ‪ . y -‬ידוע כי הפונקציות מאונכות זו לזו בנקודות‬
‫‪ A‬ו‪ .B-‬מצא את הנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫‪ )58‬נתונות הפונקציות הבאות‪. f ( x)  2 x  2 x  2 , g ( x)  2 x  2 10  x :‬‬
‫מסמנים נקודה ‪ A‬על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬ונקודה ‪ B‬על גרף‬
‫)‪f ( x‬‬
‫הפונקציה )‪ g ( x‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫ידוע כי הישר ‪ AB‬מקביל לציר ה ‪. y -‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪265‬‬
‫‪B‬‬
‫מעבירים מהנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬משיקים לכל פונקציה‪.‬‬
‫ידוע כי המשיקים מקבילים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואות המשיקים‪.‬‬
‫תרגילים עם פרמטרים‪:‬‬
‫‪ )59‬ענה על השאלות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬נתונה הפונקציה‪ A( , f ( x)  A x  3x2 :‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪ x  4 :‬הוא ‪ .25‬מצא את ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה‪ A( , f ( x)  2 5x  A :‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪ x  2 :‬הוא ‪ .1‬מצא את ‪.A‬‬
‫ג‪ .‬נתונה הפונקציה‪ A( , f ( x)  x2  Ax  25 :‬פרמטר)‪ .‬ידוע כי שיפוע המשיק לגרף‬
‫הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪ y -‬הוא ‪ .2‬מצא את ‪.A‬‬
‫ד‪ .‬נתונה הפונקציה‪ A( , f ( x)   x  A  x  1 :‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע כי שיפוע הפונקציה בנקודה שבה‪ x  3 :‬הוא ‪ .3‬מצא את ‪.A‬‬
‫‪x‬‬
‫ה‪ .‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪xA‬‬
‫‪1‬‬
‫שבה‪ x  1 :‬הוא ‪ .‬מצא את ‪ .A‬הבחן בין שני מקרים‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ A( , f ( x)  2‬פרמטר)‪.‬‬
‫ו‪ .‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x  Ax  4‬‬
‫‪ A( , f ( x) ‬פרמטר)‪ .‬ידוע כי שיפוע הפונקציה בנקודה‬
‫ידוע כי שיפוע הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪ y -‬הוא ‪ .4‬מצא את ‪.A‬‬
‫‪ )60‬נתונה הפונקציה הבאה‪ A , B ( , f ( x)  2 x  A  Bx :‬פרמטרים)‪.‬‬
‫משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪ y -‬היא‪. y  3x  1 :‬‬
‫מצא את ‪ A‬ואת ‪.B‬‬
‫‪ )61‬נתונה הפונקציה הבאה‪ A , B ( , f ( x)  x2  Ax  B :‬פרמטרים)‪ .‬משוואת המשיק‬
‫לגרף הפונקציה בנקודת שבה‪ x  1 :‬היא‪ . y  x  2 :‬מצא את ‪ A‬ואת ‪.B‬‬
‫‪ )62‬נתונה הפונקציה‪ a , f ( x)  a x  3 :‬פרמטר‪ .‬ידוע כי הפונקציה עוברת ב‪. A 12, a  4  -‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה ‪.A‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח שנוצר בין המשיק לצירים‪.‬‬
‫‪266‬‬
‫‪ )63‬נתונה הפונקציה‪ a , f ( x)  a 3x  16 :‬פרמטר‪.‬‬
‫ידוע כי הישר ‪ y  2 x  8‬חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x  11‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫ג‪ .‬האם הישר חותך את גרף הפונקציה בעוד נקודה? אם כן מהי?‬
‫ד‪ .‬האם הישר הנתון הוא המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שמצאת בסעיף א'?‬
‫אם כן‪ ,‬נמק‪ .‬אם לא‪ ,‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫‪ )64‬הגרפים של הפונקציות‪ f ( x)  x2  2 x  5 :‬ו ‪ k ( , g ( x)  x2  k x -‬פרמטר)‬
‫נחתכים בנקודה שבה‪. x  6.25 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה )‪? g ( x‬‬
‫ג‪ .‬האם הגרפים של הפונקציות )‪ f ( x‬ו ‪ g ( x) -‬נחתכים בעוד נקודות?‬
‫אם כן – מצא אותן‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לגרפים של שתי הפונקציות בנקודות החיתוך שלהם‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪xk‬‬
‫‪ )65‬נתונות שתי הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪, g ( x) ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪xk‬‬
‫ידוע כי הפונקציות חותכות זו את זו בנקודה שבה‪. x  0.8 :‬‬
‫‪ k ( , f ( x) ‬פרמטר)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬האם הפונקציות נחתכות בנקודה נוספת מלבד לנקודה הנתונה?‬
‫אם כן – מצא אותה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מ צא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬בנקודה שבה‪. x  0.52 :‬‬
‫‪xA‬‬
‫‪ )66‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪xB‬‬
‫‪ A , B ( , f ( x) ‬פרמטרים)‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה‪ 0,  13 :‬הוא‪:‬‬
‫‪18‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ A‬ואת ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪ y -‬והראה כי בעבור שני‬
‫המקרים מתקבלת אותה הנקודה‪.‬‬
‫‪ )67‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫הפונקציה בנקודה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ A , B ( , f ( x) ‬פרמטרים)‪ .‬שיפוע המשיק לגרף‬
‫‪Ax  Bx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1, 12‬הוא‪ . :‬מצא את ‪ A‬ואת ‪.B‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪267‬‬
‫‪ )68‬נתונה הפונקציה הבאה‪ . f ( x)  x Ax  3 :‬ידוע כי‪. f '(1)  2.25 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת הישר המאונך לגרף הפונקציה ועובר דרך נקודת ההשקה הנ"ל‬
‫(נורמל לפונקציה)‪.‬‬
‫‪x7‬‬
‫‪ )69‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ A , f ( x) ‬פרמטר‪.‬‬
‫ידוע כי לגרף הפונקציה יש אסימפטוטה אנכית‪. x  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ A‬ואת האסימפטוטה האנכית הנוספת של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה‪. x  2 :‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של המשיק והאסימפטוטה‪. x  4 :‬‬
‫תרגילים שונים – שימושי הנגזרת‪:‬‬
‫‪ )70‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪ f ( x)  x :‬ו‪. g ( x)  x2 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬העובר‬
‫)‪f ( x‬‬
‫דרך נקודת החיתוך שמצאת הנמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך הנוספת של המשיק שמצאת עם‬
‫‪x‬‬
‫גרף הפונקציה )‪. g ( x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )71‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪x 5‬‬
‫‪ f ( x) ‬ו‪. g ( x)  x  3.5 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את הנקודה ‪ - A‬נקודת החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לכל גרף העוברים דרך‬
‫נקודת החיתוך‪.‬‬
‫ג‪ .‬המשיקים חותכים את ציר ה‪ x -‬בנקודות ‪ B‬ו‪ C-‬כך‬
‫שנוצר המשולש ‪ .ABC‬חשב את שטח המשולש‪.‬‬
‫‪kx  x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ . f ( x) ‬ידוע כי‪:‬‬
‫‪ )72‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪. f '(9) ‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ k‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך נקודת החיתוך שבה ‪x‬‬
‫חיובי שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪268‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )73‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫‪ A , f ( x) ‬פרמטר‪.‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הפונקציה אינה חותכת את ציר ה‪ x -‬כלל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ A‬אם ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה ‪ y -‬בנקודה שבה ‪. y  5‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫‪A B‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )74‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ A , B ( , f ( x) ‬פרמטרים)‪ .‬מעבירים לגרף הפונקציה שני‬
‫‪3‬‬
‫משיקים‪ .‬משיק אחד עובר דרך הנקודה שבה ‪ x  4‬ושיפועו הוא‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫משיק שני מעבירים דרך הנקודה שבה ‪ x  1‬וידוע כי הוא מקביל לישר‪. 2 y  5x  3 :‬‬
‫‪.m ‬‬
‫מצא את ‪ A‬ואת ‪.B‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ )75‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הפונקציה אינה חותכת את הצירים כלל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא נקודה על גרף הפונקציה ששיפוע המשיק העובר הוא ‪.0‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x  5‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫‪ )76‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫האם ניתן להעביר משיק לגרף הפונקציה המקביל לציר ה‪? x -‬‬
‫נמק והראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך‬
‫נקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫חשב את שטח המשולש הכלוא בין המשיק לצירים‪.‬‬
‫‪269‬‬
‫תרגילים העוסקים במציאת נקודות קיצון לפי הכלל‪ , f '  x   0 :‬סיווגן‬
‫ומציאת תחומי עלייה וירידה‪:‬‬
‫‪ )77‬לפניך הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון (כולל נקודות קיצון קצה במידה וישנן) שלהן וקבע את סוגן‬
‫(זכור למצוא תחילה את תחום ההגדרה ולפסול נקודות שאינן נמצאות בו)‪.‬‬
‫ב‪y  x 2 x  2 .‬‬
‫א‪y  x  x .‬‬
‫ג‪y  x 2  4 x  25 .‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪y  x 4  8x 2  16‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪y‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3x 2  x  2‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x 3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )78‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  x2  3x  4 :‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מהן נקודות הקיצון של הפונקציה (כולל נקודות קיצון קצה)?‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )79‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  x2  3x  4.5 :‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מהן נקודות הקיצון של הפונקציה (כולל נקודות קיצון קצה)?‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )80‬נתונה הפונקציה‪. y  x2  3x  x :‬‬
‫א‪ .‬כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי אין לפונקציה נקודות קיצון מקומיות כלל‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫תרגילים העוסקים בחקירה מלאה של פונקציה אי‪-‬רציונאלית‪:‬‬
‫חקור את הפונקציות הבאות לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬קביעת סוג הקיצון ומציאת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (במידה ויש)‪.‬‬
‫ה‪ .‬מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ו‪ .‬סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪270‬‬
‫‪)81‬‬
‫‪y2 xx‬‬
‫‪16 x  1‬‬
‫‪)82‬‬
‫‪4‬‬
‫‪)83‬‬
‫‪y  x2 4x  5‬‬
‫‪y  x3  x )84‬‬
‫‪)85‬‬
‫‪y  x x 2  5x  7‬‬
‫‪y  x  8  x  1 )86‬‬
‫‪)87‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪)89‬‬
‫‪x 8‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪)91‬‬
‫‪y‬‬
‫‪3x 2‬‬
‫‪x2  3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪)88‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪)90‬‬
‫‪10  x‬‬
‫‪)92‬‬
‫‪y  2x ‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫‪9  x2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )93‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  16 x  x 2 :‬‬
‫א‪ .‬מה תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה (מקומיים וקצוות)‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )94‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  2 36 x  x 2 :‬‬
‫א‪ .‬מה תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה (מקומיים וקצוות)‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )95‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x2  5x  4 :‬‬
‫א‪ .‬מה תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה (מקומיות וקצוות)‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ה‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪271‬‬
‫‪ )96‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x2  24 x  25 :‬‬
‫א‪ .‬מה תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬כתוב את נקודות קיצון הקצה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )97‬נתונה הפונקציה‪ k , f ( x)   x2  10 x  16  k :‬פרמטר‪.‬‬
‫ידוע כי לפונקציה יש נקודת מקסימום הנמצאת על ציר ה‪. x -‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם יש לפונקציה עוד נקודות קיצון כלשהן? אם כן‪ ,‬מצא אותן‪ .‬אם‪ ,‬לא נמק‬
‫מדוע והראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫ד‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )98‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)  k 9  x 2 :‬ידוע כי לפונקציה נקודת קיצון שבה‪. y  12 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם יש לפונקציה עוד נקודות קיצון כלשהן? אם כן‪ ,‬מצא אותן‪ .‬אם לא‪ ,‬נמק‬
‫מדוע והראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫ד‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )99‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x  1  2 x  1 :‬‬
‫א‪ .‬מה תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ד‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )100‬נתונה הפונקציה‪ k , f ( x)  x  k  11  2 x :‬פרמטר‪.‬‬
‫ידוע כי הפונקציה עוברת בנקודה )‪. (5, 6‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מה תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ג‪ .‬האם יש לפונקציה נקודות קיצון כלשהן? אם כן‪ ,‬מצא אותן ואם לא‪ ,‬נמק מדוע‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪272‬‬
‫‪ )101‬נתונה הפונקציה‪ k , f ( x)  3x  k x :‬פרמטר‪.‬‬
‫ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה ‪ x -‬בנקודה שבה ‪. x  16‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )102‬נתונה הפונקציה‪ k , f ( x)  k x  x :‬פרמטר‪.‬‬
‫ידוע כי הישר ‪ y  3‬חותך את הפונקציה בנקודה שבה ‪. x  9‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬האם הישר ‪ y  3‬חותך את גרף הפונקציה בעוד נקודות? אם כן‪ ,‬מצא אותן‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ )103‬נתונה הפונקציה‪ 4 x :‬‬
‫‪8‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫מה תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )104‬נתונה הפונקציה‪ k . f ( x)  kx  k x  4 :‬פרמטר‪.‬‬
‫ידוע כי הפונקציה עוברת בנקודה‪. (4, 4k ) :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬האם יש לפונקציה נקודות קיצון?‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ה‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )105‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x  16  x :‬‬
‫א‪ .‬מה תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪273‬‬
‫‪ )106‬נתונה הפונקציה‪ k . f ( x)  kx  4  x :‬פרמטר‪.‬‬
‫ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה ‪ x -‬בנקודה שבה ‪. x  2‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם הפונקציה חותכת את ציר ה ‪ x -‬בעוד נקודות? אם כן‪ ,‬מצא אותן ואם לא נמק‪.‬‬
‫ד‪ .‬האם יש לפונקציה נקודות קיצון? אם כן‪ ,‬מצא אותן ואם לא‪ ,‬נמק‪.‬‬
‫‪ )107‬נתונה הפונקציה‪ m , f ( x)  x  9  2 x  m :‬פרמטר‪.‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪ m‬אם ידוע כי הפונקציה עוברת בנקודה )‪. (3, 2‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודות קיצון הקצה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )108‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x  16  x2 :‬‬
‫א‪ .‬מה תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ד‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )109‬נתונה הפונקציה‪ k , f ( x)  8  x2  kx :‬פרמטר‪.‬‬
‫הישר ‪ y  2 x  4‬משיק לפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪x2 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )110‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪16‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪.y‬‬
‫כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫האם יש לגרף הפונקציה נקודות קיצון מקומיות (פנימיות)? אם כן‪ ,‬מצא אותן‪.‬‬
‫מצא את נקודת קיצון הקצה של הפונקציה‪.‬‬
‫האם יש לגרף הפונקציה נקודות חיתוך עם הצירים? אם כן‪ ,‬מצא אותן‪.‬‬
‫שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫נתון הישר‪ . y  m :‬לאלו ערכים של ‪ m‬יש לישר ולגרף הפונקציה נקודה‬
‫משותפת אחת בלבד?‬
‫‪274‬‬
‫‪x2  2 x‬‬
‫‪ )111‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫מצא את נקודת קיצון של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )112‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪ax  6‬‬
‫‪9  x2‬‬
‫‪ a , f ( x) ‬פרמטר‪.‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫ידוע כי הוא מקביל לישר‪. 3 y  x  0 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬כתוב את התחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )113‬לפניך שלוש פונקציות‪; h( x)  x x  k :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪xk‬‬
‫‪.  k  0  ; f ( x )  x  k ; g ( x) ‬‬
‫א‪ .‬קבע אלו מהטענות הבאות נכונות ואלו לא נכונות והצדק את קביעותיך‬
‫באמצעות חישוב מתאים‪:‬‬
‫‪ .1‬לכל הפונקציות יש את אותו תחום ההגדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬כל הפונקציות עולות בכל תחום הגדרתן‪.‬‬
‫‪ .3‬כל הפונקציות חותכות את ציר ה‪ x -‬פעם אחת בלבד‪.‬‬
‫מעבירים משיקים לגרפים של הפונקציות‪ f ( x) :‬ו‪ g ( x) -‬בנקודת החיתוך‬
‫‪1‬‬
‫שלהם עם ציר ה‪ . y -‬ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה‪ g ( x) :‬גדול ב‪ -‬משיפוע‬
‫‪4‬‬
‫המשיק לגרף הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .1 .‬בטא באמצעות ‪ k‬את שיפועי המשיקים לכל פונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא את ‪. k‬‬
‫ג‪ .‬לפניך ‪ 4‬איורים‪ ,‬קבע איזה איור מייצג כל פונקציה‪ .‬נמק את בחירותיך‪.‬‬
‫‪275‬‬
‫‪k  x2‬‬
‫‪ )114‬לפניך שלוש פונקציות‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪; h( x) ‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪k  x2‬‬
‫‪.  k  0  ; f ( x )  x 2 k  x 2 ; g ( x) ‬‬
‫א‪ .‬קבע אלו מהטענות הבאות נכונות ואלו אינן נכונות‪ .‬הצדק את קביעותיך‬
‫באמצעות חישוב מתאים‪:‬‬
‫‪ .1‬לפונקציות )‪ f ( x‬ו‪ g ( x) -‬תחום הגדרה זהה‪ ,‬השונה מתחום ההגדרה של )‪. h( x‬‬
‫‪ .2‬קיימת פונקציה אשר אינה חותכת את ציר ה‪ x -‬כלל‪.‬‬
‫‪ .3‬הפונקציות‪ h( x) :‬ו‪ g ( x) -‬הפוכות זו מזו בתחומי העלייה והירידה שלהן‬
‫(כאשר אחת עולה השנייה יורדת)‪.‬‬
‫‪ .4‬לפונקציה‪ f ( x) :‬יש נקודת קיצון אחת בלבד‪.‬‬
‫מסמנים נקודה ‪ A  0, 12 ‬עם ציר ה‪ . y -‬ידוע כי מרחקה מאחת מנקודות החיתוך‬
‫של גרף הפונקציה‪ f ( x) :‬עם ציר ה‪ x -‬שאינה בראשית הוא‪. d  6 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪. k‬‬
‫‪I‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של גרף הפונקציה )‪f ( x‬‬
‫וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ד‪ .‬לפניך איור ובו מסורטטות הסקיצות של‬
‫‪II‬‬
‫שלושת הפונקציות‪ .‬קבע על פי הסעיפים הקודמים‬
‫‪x‬‬
‫איזה גרף שייך לכל פונקציה‪.‬‬
‫‪III‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪; g ( x) ‬‬
‫‪ )115‬לפניך הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫א‪ .‬קבע אלו מהטענות הבאות נכונות ואלו אינן נכונות‪ .‬הצדק את קביעותיך‬
‫באמצעות חישוב מתאים‪:‬‬
‫‪ .1‬לשתי הפונקציות יש את אותו תחום ההגדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬לשתי הפונקציות יש נקודות קיצון הנמצאות על הישר‪. y  x :‬‬
‫‪ .3‬הפונקציות לא חותכות זו את זו‪.‬‬
‫מגדירים פונקציה נוספת והיא‪. h( x)   g ( x)  :‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪I‬‬
‫ב‪ .‬כתוב באופן מפורש את הפונקציה החדשה )‪. h( x‬‬
‫‪II‬‬
‫ג‪ .‬האם תחום ההגדרה של הפונקציה )‪ h( x‬זהה‬
‫‪x‬‬
‫לשל )‪ ? g ( x‬נמק‪.‬‬
‫ד‪ .‬באיור הסמוך ישנם שני גרפים‪.‬‬
‫קבע על פי הסעיפים הקודמים איזו פונקציה כל גרף מתאר‬
‫מבין הפונקציות )‪ . f ( x) , g ( x) , h( x‬נמק את בחירותיך‪.‬‬
‫‪276‬‬
‫‪II‬‬
‫‪I‬‬
‫‪ )116‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪kx‬‬
‫‪k  x2‬‬
‫‪. k  0 , f ( x) ‬‬
‫א‪ .1 .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? (בטא באמצעות ‪.) k‬‬
‫‪ .2‬מהן האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬הראה כי הפונקציה עולה בעבור כל ערך של ‪ k‬בתחום הגדרתה‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫(בטא באמצעות ‪.) k‬‬
‫המשיק אשר מצאת בסעיף הקודם חותך את אחת האסימפטוטות של הפונקציה‬
‫בנקודה ‪ . A‬ידוע כי שטח המשולש הכלוא בין המשיק‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והאסימפטוטה‬
‫הנ"ל הוא‪. S  4 :‬‬
‫ד‪ .‬מצא את ‪. k‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ )117‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪ . f ( x) ‬מגדירים פונקציה נוספת‪. g ( x)  f ( x) :‬‬
‫א‪ .‬כתוב בצורה מפורשת את הפונקציה )‪. g ( x‬‬
‫ב‪ .‬לפניך מספר טענות‪ .‬קבע אלו מהטענות הבאות נכונות ואלו אינן נכונות‪ .‬הצדק‬
‫את קביעותיך באמצעות חישוב מתאים‪:‬‬
‫‪ .1‬לפונקציות תחום הגדרה זהה‪.‬‬
‫‪ .2‬שתי הפונקציות עולות בכל תחום הגדרתן‪.‬‬
‫‪ .3‬שתי הפונקציות חותכות את ציר ה‪ x -‬באותה נקודה‪.‬‬
‫‪ .4‬לשתי הפונקציות יש אסימפטוטות משותפות‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של כל פונקציה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫אסף פתר את סעיפים א' ו‪-‬ב' והחליט לטעון את הטענה הבאה‪:‬‬
‫מאחר שהפונקציה )‪ g ( x‬מוגדרת להיות‪ g ( x)  f ( x) :‬אזי ניתן למצוא את שיעור‬
‫ה ‪ y -‬של כל נקודה שעל גרף הפונקציה )‪ f ( x‬על ידי כך שנמצא תחילה את שיעור‬
‫ה ‪ y -‬של הנקודה בעלת אותו שיעור ‪ x‬על הגרף של )‪ g ( x‬ונעלה אותה בריבוע‪.‬‬
‫ד‪ .‬האם אסף צודק? נמק בצורה איכותית (חישובים אינם נדרשים) את שיקולך‪.‬‬
‫‪277‬‬
‫*הערה‪ :‬בשאלה הבאה נדרש ידע בפתרון אי‪-‬שוויונים ממעלה גבוהה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )118‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬גזור את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫מגדירים פונקציה נוספת )‪ g ( x‬המקיימת‪ . g ( x)   f ( x)  :‬לפי כללי הגזירה של‬
‫‪2‬‬
‫פונקציה מורכבת ניתן לכתוב את הנגזרת של )‪ g ( x‬באופן הבא‪. g '( x)  2  f ( x)  f '( x) :‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את הנגזרת של הפונקציה )‪ g ( x‬לפי המכפלה הנ"ל וצמצמם במידת‬
‫האפשר‪ .‬הראה כי הביטוי הסופי של הנגזרת הוא‪:‬‬
‫‪4  x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. g '( x)  ‬‬
‫ד‪ .‬באופן כללי‪ ,‬לפי כלל הגזירה הנ"ל‪ ,‬אלו נקודות על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬הן‬
‫נקודות החשודות לקיצון בעבור )‪? g ( x‬‬
‫ה‪ .1 .‬האם לגרף הפונקציה )‪ g ( x‬יש נקודות קיצון במקרה שלנו?‬
‫נמק על פי הסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪ .2‬מה ניתן לומר על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬לפי זה?‬
‫ו‪ .‬לפניך שתי סקיצות‪:‬‬
‫קבע איזו סקיצה מתארת את גרף‬
‫הפונקציה )‪ . f ( x‬נמק את בחירתך‪.‬‬
‫‪278‬‬
:‫תשובות סופיות‬
x  1 , x  5 .‫ ו‬x  2 , x  0 .‫ ה‬x  1 , x  1 .‫ ד‬x  3.5 .‫ ג‬x  5 .‫ ב‬x  0 .‫) א‬22
x  5 , x  0 .‫ יב‬x  0 .‫ יא‬x  1 , x  0 .‫ י‬x  2 .‫ ט‬. 1  x  0 , x  4 .‫ ח‬x  0 .‫ז‬
2
.‫ טו‬x  0 .‫ יד‬x  4 .‫יג‬
3
-16 .‫ ד‬-7 .‫ ג‬3 .‫ ב‬2 .‫) א‬23 x  2 , 0  x  25 .‫ כ‬x  0 .‫ יט‬x  3 , x  1 .‫יח‬
4.5  x  4.5 .‫ יז‬. x  5 , x  5 .‫ טז‬x  2
1
5
.‫ ד‬66 .‫ ג‬3.5 .‫ ב‬3.5 .‫) א‬27 a  1 , b  7 )26 a  2 , b  1 )25 a  1 , b  2 )24
16
6
2
10 10
1
1
 2, 2  ,  ,  .‫ ה‬ 4, 2  .‫ ד‬ ,   .‫ ג‬8,5 .‫ ב‬1,1 .‫) א‬28 . 28 .‫ ו‬ .‫ה‬
9
 9 27 
 36 72 
20
 2,12  .‫ ב‬ 1, 2 .‫) א‬29 .  9,36  , 
1 28 
,  .‫ו‬
 9 27 


m  0 .‫ ג‬.‫ נפסלת עקב העלאה בריבוע‬x  2 ‫ הנקודה‬. 2, 252 .‫ ב‬m 
y  5.5x  3.5 .‫) א‬35 .  0,0  ,  2.25, 4.5 )34 1, 6  )33
y
2
.‫) א‬30
28
 5, 4  .‫) א‬32  4,1 .‫) א‬31
1
2
1
2
5
5
x  1 .‫ ו‬y  4 x  2 .‫ ה‬y  1.25x  2 .‫ ד‬. y  38x  104 .‫ ג‬y  x  .‫ב‬
3
3
3
3
18
6
. y  0.5x-8 .‫ ב‬16,0  ,  0,0  .‫) א‬36 . y  2 x  4 .‫ ח‬y  3.75x  4.5 .‫ז‬
1
 1 
.‫ ב‬ , 0   0, 0  .‫) א‬37
36
 36 
2
.  0,0  , 1,0  .‫) א‬41 y  3x  4 .‫ ב‬ 0, 4  .‫) א‬40 y   x  3 .‫ ב‬ 0,3 .‫) א‬39
3
2
3
.6.75 .‫ ג‬ 0,-3 ,  4.5,0  .‫ ב‬y  x-3 .‫) א‬38 y  x-
3.825. .‫ ג‬ 0, 1.35 .‫ ב‬y  3.4 x 1.35 .‫) א‬42 . A(5, 6) .‫ ג‬y  1.5x 1.5 .‫ב‬
.‫ ניתן לראות כי הגרף עובר בראשית הצירים‬. y 
3
3
x :‫ משוואת המשיק‬.‫ ב‬2  x  6 .‫) א‬43
1
.‫ ב‬m  2.4 .‫) א‬44
15
1
1
.‫ יח"ש‬0.5.‫ ג‬y   x  1 .‫ ב‬ 0,1 .‫) א‬46 ‫ יח"ש‬4.225.‫ ב‬y  1 x  3 .‫) א‬45
4
4
.‫ מתקבל פתרון שנפסל עקב העלאה בריבוע‬.‫ לא‬.‫ ג‬y  2.4 x  8
y  4 x  0.25 .‫ ג‬y  5x  4 .‫ ב‬y  0.5x  6 .‫) א‬48 . y  1.5x  3.5 .‫ ב‬1, 2  .‫) א‬47
. 9 y  x  64 .‫ ג‬ 0,0 ,  64,0  .‫( ב‬1, 7) .‫) א‬49 y   x  1.75 .‫ד‬
 3,12  .‫ ב‬y  20 x  48 .‫) א‬51
 2, 0  .‫ב‬
y
x
 37.5 .‫ג‬
3
 25, 25 .‫ ב‬ 0,0 , 100,0 .‫) א‬50
4
x  8 .‫ג‬
3
 4, 0  .‫ ב‬x  4 , x  0 .‫) א‬55 . y  0.5x  1 .‫ ד‬ 1,0.5 .‫ג‬
x  2 .‫) א‬54 y  2 x  36 .‫) א‬53 y  3x  2 )52 y 
279
 0.75,

0.75 .‫) א‬57 . y  6 .‫ג‬
A  0.25,0.5 , B  0.25,1.5 .‫ ד‬y 
 9, 6  .‫ב‬
x  0 , x  1 .‫) א‬56
x
3

, y   3x  1.25 3 .‫ג‬
3 4
 1 1
 1 1
  x  6 1 , y  
  x  6  7 .‫ ב‬A 6, 2 6  4 , B 6, 2 6  4 .‫) א‬58
 6 2
 6 2
A  B  4 )61 A  1 , B  2 )60 .-64 .‫ ו‬2,5 .‫ ה‬1 .‫ ד‬20 .‫ ג‬15 .‫ ב‬4 .‫) א‬59

.y 
 

7 y  3x  65 .‫ ד‬.‫ לא‬.‫ ג‬a  2 .‫( ב‬11,14) .‫) א‬63 . S  6 .‫ ג‬y  13 x  2 .‫ ב‬a  2 .‫) א‬62
.‫ אין עוד נקודות חיתוך בניהם‬.‫ ג‬x  0 .‫ ב‬k  3 .‫) א‬64
. y  10.5x  34.0625 , y  11.9x  42.8125 .‫ד‬
. y  0.74 x  0.1352 .‫ ג‬ 0.6, 0.57  .‫ כן‬.‫ ב‬k  0.48 .‫) א‬65
1

A  B  2 )67  0,   .‫ ב‬A  9 , B  9 .‫) א‬66
3

4
4
y   x  2 .‫ ג‬y  2.25x  0.25 .‫ ב‬A  1 .‫) א‬68
9
9


.  4,   .‫ג‬. y   x  .‫ ב‬x  4 , A  16 .‫) א‬69
72
18
9
4

7
1

 0.5,0.25 .‫ ג‬y  0.5x  0.5 .‫ ב‬ 0,0 , 1,1 .‫) א‬70
S


5
x
3
, y  6.5 2  2 x .‫ ב‬A 5.5, 2 .‫) א‬71
.‫ ג‬y  
2
8 4 2
y  5 .‫ ג‬A  10 .‫) ב‬73 y  0.25x  0.25 .‫ ג‬ 0,0  , 1,0  .‫ ב‬k  1 , f ( x) 

‫ מאחר שאין‬,‫ לא‬.‫ ב‬ 2, 0  .‫) א‬76 y  0.125x  2.375 .‫ ג‬ 3,

. S  4 2 .‫ ד‬y 
x x
.‫) א‬72
2
4 
 .‫) ב‬75 A  1 , B  7 )74
2
4
x  4 2 .‫ ג‬. f '( x)  0 :‫פתרון למשוואה‬
2
Min(2, 21) .‫ ג‬Min(0,0) , Max(1.6,1.619) , Min(2,0) .‫ ב‬Max(0,0) , Min(0.25,-0.25) .‫) א‬77
1 
Max(0, 0) .‫ ו‬. Min(0, 0) , Max  3,
 .‫ ה‬Max(0, 4) , Min(2,0) , Min(-2,0) .‫ד‬
 2 3

. Max  -4,

-4 
 .‫ ח‬.‫ אין קיצונים כלל‬.‫ז‬
50 
x  4 :‫ יורדת‬x  1 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  4,0  , Min 1,0  .‫ ב‬x  4 , x  1 .‫) א‬78
x  1.5 :‫ יורדת‬x  1.5 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  1.5,1.5 .‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬79
. x  3 :‫ יורדת‬x  0 :‫ עולה‬.‫ ג‬x  3 , x  0 .‫) א‬80
280
.‫ אין‬.‫ ה‬.  0,0  ,  4,0  .‫ ד‬. x  1 :‫ יורדת‬0  x  1 :‫ עולה‬.‫ ג‬Max 1,1 , Min  0,0 .‫ ב‬x  0 .‫) א‬81
.‫ אין‬.‫ ה‬ , 0  .‫ ד‬.  x  :‫ יורדת‬x  :‫ עולה‬.‫ ג‬Max  ,  , Min  , 0  .‫ ב‬x  .‫) א‬82
16
8
8
16
 16 8 
8 
8 
1
1
1
1
1 1
1
1
5
5
 5 
-1  x  0 :‫ יורדת‬  x  1, x  0 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  - ,0  ,Max  -1,1 ,Min  0,0  .‫ ב‬x  - .‫) א‬83
4
4
 4 
 5 
.‫ אין‬.‫ ה‬.  - , 0   0, 0  .‫ד‬
 4 
. Min  1,0 , Min  0,0  , Min 1,0  , Max  -0.57,0.62  .‫ ב‬1  x  0 , x  1 .‫) א‬84
.‫ אין‬.‫ ה‬.  0,0 , 1,0 ,  1,0  .‫ ד‬0.57  x  0 :‫ יורדת‬1  x  0.57, x  1 :‫ עולה‬.‫ג‬
x  2 , x  1.75 :‫ עולה‬.‫ ג‬Max  2, 2 ,Min  1.75, 2.004  .‫ ב‬. x ‫ כל‬.‫) א‬85
.‫ אין‬.‫ ה‬.  0, 0  .‫ ד‬2  x  1.75 :‫יורדת‬
.‫ אין‬.‫ ה‬.‫ אין‬.‫ ד‬.‫ עולה בכל תחום הגדרתה‬.‫ ג‬Min 1,3 .‫ ב‬x  1 .‫) א‬86

.‫ אין‬.‫ ה‬.  0, 0  .‫ ד‬. x  2 :‫ יורדת‬0  x  2 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  0, 0  , Max  2,

2
 .‫ ב‬x  0 .‫) א‬87
4 
. x  2 .‫ ה‬.  0, 0  .‫ ד‬.‫ יורדת בכל תחום הגדרתה‬.‫ ג‬Max  0,0  .‫ ב‬x  0 , x  2 .‫) א‬88
. x  0 .‫ ה‬.  8,0  .‫ ד‬x  0 :‫ יורדת‬8  x  0 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  8, 0  .‫ ב‬x  8 , x  0 .‫) א‬89
. x  10 .‫ ה‬ 0, 0  .‫ ד‬.‫ עולה בכל תחום הגדרתה‬.‫ ג‬.‫ אין קיצון‬.‫ ב‬x  10 .‫) א‬90
.‫ אין‬.‫ ה‬.  0, 0  .‫ ד‬x  0 :‫ יורדת‬x  0 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  0, 0  .‫ ב‬. x ‫ כל‬.‫) א‬91
4
4


 0,   ,  2, 0  .‫ ד‬3  x  0 :‫ יורדת‬0  x  3 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  0,   .‫ ב‬3  x  3 .‫) א‬92
3
3


. x  3 .‫ה‬
:81-92 ‫סקיצות של שאלות‬
281
‫‪ )93‬א‪ 0  x  16 .‬ב‪ Min(0,0) , Min(16,0) , Max(8,8) .‬ג‪ .‬עולה‪. 0  x  8 :‬‬
‫יורדת‪ )94 . 8  x  16 :‬א‪ 0  x  36 .‬ב‪Max(0,0) , Max(36,0) , Min(18, 36) .‬‬
‫ג‪ .‬עולה‪ ,18  x  36 :‬יורדת‪. 0  x  18 :‬‬
‫‪ )95‬א‪ x  1 , x  4 .‬ב‪ Min(1,0) , Min(4,0) .‬ג‪ .‬עולה‪ , x  4 :‬יורדת‪ . x  1 :‬ד‪. (0, 2) .‬‬
‫‪ )96‬א‪ x  25 , x  1 .‬ב‪ Min(1,0) , Min(25,0) .‬ג‪ .‬עולה‪ , x  1 :‬יורדת‪. x  25 :‬‬
‫סקיצות של שאלות‪:93-96 :‬‬
‫‪ )97‬א‪ k  3 .‬ב‪ 2  x  8 .‬ג‪ .‬כן – ישנן נקודות קיצון קצה‪Min(2, 3) , Min(8, 3) :‬‬
‫ד‪ .‬עולה‪ . 2  x  5 :‬יורדת‪. 5  x  8 :‬‬
‫‪ )98‬א‪ k  4 .‬ב‪ 3  x  3 .‬ג‪ .‬כן – ישנן נקודות קיצון קצה‪. Min(3,0) , Min(3,0) :‬‬
‫ד‪ .‬עולה‪ , 3  x  0 :‬יורדת‪. 0  x  3 :‬‬
‫‪ )99‬א‪ x  1 .‬ב‪ Max(1,0) , Min(0, 1) .‬ג‪.  1,0 ,  3,0  .‬‬
‫ד‪ .‬עולה‪ , x  0 :‬יורדת‪. 1  x  0 :‬‬
‫‪ )100‬א‪ . k  2 .‬ב‪ . x  5.5 .‬ג‪ .‬כן – ישנה נקודת קיצון קצה‪ . (5.5, 7.5) :‬לא קיימת נקודת‬
‫קיצון מקומית מאחר ש‪ x  5 -‬המתקבל בעת השוואת הנגזרת לאפס נפסל כי אינו‬
‫מקיים את המשוואה המקורית‪ .‬ד‪ . (1, 0) .‬הנקודה שבה ‪ x  7‬אינה מקיימת את‬
‫המשוואה המקורית ולכן נפסלת‪.‬‬
‫‪ )101‬א‪ . k  12 .‬ב‪ . Min(4, 12) , Max(0,0) .‬ג‪ .‬עולה‪ . x  4 :‬יורדת‪. 0  x  4 :‬‬
‫‪ )102‬א‪ . k  4 .‬ב‪ . (1,3) .‬ג‪ . Min(0,0) , Max(4, 4) .‬ד‪.  0,0 , 16,0  .‬‬
‫‪ )103‬א‪ . x  0 .‬ב‪ . Min(4, 6) , Max(0,0) .‬ג‪ .‬עולה‪ x  4 :‬יורדת‪ . 0  x  4 :‬ד‪. 0, 0  ,  3 1024, 0  .‬‬
‫‪ )104‬א‪ . k  2 .‬ב‪ .‬יש קיצון קצה ‪ . (0, 4) -‬ג‪ .‬עולה בכל תחום הגדרתה‪ .‬ד‪. (1, 0) .‬‬
‫‪ )105‬א‪ . 0  x  16 .‬ב‪ Min(0, 4) , Max(8, 2 8) , Min(16, 4) .‬ג‪ .‬עולה‪ , 0  x  8 :‬יורדת‪. 8  x  16 :‬‬
‫‪ )106‬א‪ . k  1 .‬ב‪ . 0  x  4 .‬ג‪ .‬לא‪ .‬ד‪ .‬אין קיצונים‪.‬‬
‫‪ )107‬א‪ .‬יש להראות כי הנגזרת מורכבת מחיבור של שני ביטויים שחיוביים תמיד ומכאן שסימן‬
‫הנגזרת חיובי והפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה‪ -  f '( x ) 2 1 x  91 2 x  .‬הנגזרת בנויה משני‬
‫ביטויים חיוביים‪ .‬ב‪ . 0  x  4.5 .‬ג‪ . m  2 .‬ד‪. Min(0, 1) , Max(4.5, 2  4.5) .‬‬
‫‪ )108‬א‪ . 4  x  4 .‬ב‪ . Min(4, 4) , Max( 8, 2 8) , Min(4, 4) .‬ג‪.  0, 4  ,   8, 0  .‬‬
‫‪ )109‬א‪ . k  1 .‬ב‪ .  8  x  8 .‬ג‪. Min   8, 8  , Max  2, 4  , Min  8,  8  .‬‬
‫ד‪ .‬עולה‪ .  8  x  2 :‬יורדת‪. 2  x  8 :‬‬
‫‪282‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ )110‬א‪ x  2 .‬ב‪ .‬אין נקודות קיצון‪ .‬ג‪ .  2,  .‬ד‪ .‬אין נקודות חיתוך עם הצירים‪ .‬ו‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ 8‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪ )111‬א‪ . x  0 , x  2 .‬ב‪ .‬‬
‫‪27 ‬‬
‫‪.m ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . Min  2 , 0 , Max  3,‬ג‪.  2, 0  .‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )112‬א‪ . a  1 .‬ב‪ . 3  x  3 .‬ג‪ .  1.5, 3  .‬ד‪ .‬יורדת‪ . 3  x  1.5 :‬עולה‪. 1.5  x  3 :‬‬
‫סקיצות של שאלות ‪( 101-111‬אלו שיש בהן גרף)‪:‬‬
‫‪ )113‬א ‪ .1‬הטענה אינה נכונה‪.‬‬
‫תחומי ההגדרה הם‪. f ( x) : x  k ; g ( x) : x  k ; h( x) : x  k :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .2‬הטענה אינה נכונה‪ .‬הפונקציה‪ f ( x) :‬עולה תמיד שכן‪ 0 :‬‬
‫‪2 xk‬‬
‫‪x  2k‬‬
‫‪ g '( x) ‬כי הנקודה ‪x  2k‬‬
‫הפונקציה‪ g ( x) :‬גם עולה תמיד שכן‪ 0 :‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪x  k‬‬
‫‪. f '( x) ‬‬
‫אינה בתחום ההגדרה וערך הנגזרת בתחום ההגדרה חיובי‪ .‬לפונקציה‪ h( x) :‬יש‬
‫נקודת מינימום ב ‪ x   23 k -‬אשר בתוך תחום הגדרתה ולכן היא יורדת‬
‫בעבור‪. k  x   23 k :‬‬
‫‪ .3‬הטענה אינה נכונה‪.‬‬
‫נקודות החיתוך‪. f ( x) :  k ,0  ; g ( x) :  0,0  ; h( x) :  k,0  , 0,0  :‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪.1 .‬‬
‫‪k‬‬
‫‪, g '(0) ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 k‬‬
‫‪ . k  4 .2 . f '(0) ‬ג‪. I  g ( x) , II  f ( x) , IV  h( x) .‬‬
‫‪ )114‬א‪ .1 .‬הטענה אינה נכונה‪ .‬תחומי ההגדרה‪:‬‬
‫‪. f ( x) : - k  x  k ; g ( x) : - k  x  k ; h( x) : - k  x  k , x  0‬‬
‫‪ .2‬הטענה אינה נכונה‪ .‬נקודות החיתוך הן‪:‬‬
‫‪. f ( x) :   k ,0  ,  0,0  ; g ( x) : 0,0  ; h( x) :   k ,0 ‬‬
‫‪ .3‬הטענה נכונה‪ .‬בעבור )‪ g ( x‬נקבל‪:‬‬
‫‪2 kx  x3‬‬
‫‪ k  x2 ‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪ g '( x) ‬ולכן‪ x  0 :‬נקודת מינימום‪.‬‬
‫(הנקודות ‪ x   2k‬נפסלות)‪ .‬בעבור )‪ h( x‬נקבל‪:‬‬
‫נקודת מקסימום‪( .‬הנקודות ‪ x   2k‬נפסלות)‪.‬‬
‫‪283‬‬
‫‪x3  2 kx‬‬
‫‪ k  x2 ‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪ h '( x) ‬ולכן‪x  0 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .4‬הטענה אינה נכונה‪ .‬לפונקציה יש ‪ 3‬נקודות קיצון‪k :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.x 0 , x  ‬‬
‫ב‪ . k  24 .‬ג‪ .  0, 0  Min ,  4,32 2  Max .‬ד‪. I  g ( x) , II  f ( x) , III  h( x) .‬‬
‫‪ )115‬א‪ .1 .‬הטענה אינה נכונה‪ .‬תחומי ההגדרה הם‪. f ( x) : x  0 , x  1 ; g ( x) : x  1 :‬‬
‫‪ .2‬הטענה נכונה‪ .‬ל‪ f ( x) -‬יש נקודת קיצון ‪  4, 4 ‬ול ‪ g ( x) -‬יש קיצון ‪.  2, 2 ‬‬
‫שתיהן נמצאות על הישר ‪. y  x‬‬
‫‪ .3‬הטענה נכונה‪ .‬מתקבלים‪ x  0,1 :‬אשר שניהם נפסלים מחמת תחום‬
‫ההגדרה של הפונקציות‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪. h( x ) ‬‬
‫ג‪ .‬לא‪ . h( x) : x  1 .‬ד‪. I  h( x) , II  f ( x) .‬‬
‫‪ )116‬א‪. x   k .2 .  k  x  k .1 .‬‬
‫ב‪ .‬הנגזרת היא‪ 0 :‬‬
‫‪k2‬‬
‫‪k  x ‬‬
‫‪2 1.5‬‬
‫‪. f '( x) ‬‬
‫ג‪ . y  k x .‬ד‪. k  4 .‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ )117‬א‪.‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪. g ( x) ‬‬
‫ב‪ .1 .‬הטענה אינה נכונה‪ .‬תחומי ההגדרה הם‪. f ( x) : x  4 ; g ( x) : x  4 , x  2 :‬‬
‫‪ .2‬הטענה נכונה‪ .‬הנגזרות חיוביות‪ 0 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  4‬‬
‫‪ f  x  ‬ו‪ 0 -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  4‬‬
‫‪. g ( x) ‬‬
‫‪ .3‬הטענה נכונה‪ .‬הנקודה היא‪.  2, 0  :‬‬
‫‪ .4‬הטענה נכונה‪ .‬האסימפטוטות משותפות הן‪. x  4 , y  1 :‬‬
‫ג‪ .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. f ( x) :  0, 12  ; g ( x) :  0,‬‬
‫‪ g ( x) ‬ניתן לראות כי בעבור כל ערך של ‪x0‬‬
‫ד‪ .‬אסף צודק שכן מכוח ההגדרה‪f ( x) :‬‬
‫בחיתוך תחום ההגדרה המשותף קיימות שתי נקודות‪A  x0 , f ( x0 )  :‬‬
‫ו ‪( B  x0 , g ( x0 )  -‬אחת על כל גרף כמובן) ושיעורי ה ‪ y -‬שלהן‬
‫מקיימות‪. g ( x0 )  f ( x0 ) :‬‬
‫‪ )118‬א‪ . 2  x  0 , x  2 .‬ב‪.‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2  x2  4‬‬
‫‪. f '( x)  ‬‬
‫ד‪ .‬נקודות החיתוך של )‪ f ( x‬עם ציר ה ‪ x -‬ונקודות המאפסות את הנגזרת של )‪. f ( x‬‬
‫ה‪ .1 .‬לא‪ .‬ל‪ f ( x) -‬אין נקודות קיצון והנקודה ‪  0, 0 ‬אינה קיצון בעבור )‪. g ( x‬‬
‫‪ .2‬יורדת בכל תחום הגדרתה‪ .‬ו‪.I .‬‬
‫‪284‬‬
‫תרגול מבגרויות‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ )1‬נתונה הפונקציה‬
‫‪xa‬‬
‫‪ a , f ( x) ‬הוא פרמטר השונה מ‪. 0 -‬‬
‫א‪ .1 .‬מצא את השיעורים של הנקודות שבהן נגזרת הפונקציה שווה ל ‪. 0 -‬‬
‫(הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך)‪.‬‬
‫‪ .2‬נתון כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת על הישר ‪. y  x  4‬‬
‫מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬הצב את ערך הפרמטר ‪ a‬שמצאת‪ ,‬וקבע את סוג נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא תחו מי עלייה וירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )2‬נתונה הפונקציה‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪ x2  a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  1‬‬
‫‪ a , f ( x) ‬הוא פרמטר‪.‬‬
‫מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה‪.‬‬
‫גרף הפונקציה חותך את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה בנקודה ‪. P‬‬
‫‪ .1‬הבע באמצעות ‪ a‬את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪. P‬‬
‫‪ .2‬נתון כי שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ P‬הוא ‪ . 3.5‬מצא את הערך של ‪. a‬‬
‫הצב את הערך של ‪ a‬שמצאת בתת‪-‬סעיף ב ‪ ,2-‬ומצא‪:‬‬
‫‪ .1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .3‬את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגה‪.‬‬
‫האם הפונקציה עולה בתחום ‪ ? x  1‬נמק‪.‬‬
‫‪ax 2  2 x  16‬‬
‫‪ )3‬נתונה הפונקציה‬
‫‪bx 2  8 x  16‬‬
‫‪ a , f ( x) ‬ו‪ b -‬הם פרמטרים‪.‬‬
‫תחום ההגדרה של הפונקציה הוא ‪. x  4‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך של ‪. b‬‬
‫ב‪ .‬הצב את הערך של ‪ b‬שמצאת בסעיף א‪ ,‬וענה על התת סעיפים ‪ .1‬ו ‪.2-‬‬
‫‪ .1‬הבע באמצעות ‪ a‬את האסימפטוטה של הפונקציה המקבילה לציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ .2‬האסימפטוטה של הפונקציה המקבילה לציר ה ‪ x -‬וגרף הפונקציה נחתכים‬
‫בנקודה שעל ציר ה‪ . y -‬מצא את הערך של ‪. a‬‬
‫ג‪ .‬הצב גם את הערך של ‪ a‬שמצאת בתת סעיף ב‪ 2-‬וענה על תת‪-‬הסעיפים ‪ 2,1‬ו ‪.3-‬‬
‫‪ .1‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪ .3‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪285‬‬
‫‪ )4‬נתונה הפונקציה ‪ a , f ( x)  ax  2  x 2‬הוא פרמטר‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫הישר ‪ y   x  2‬משיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך של גרף הפונקציה‬
‫עם ציר ה‪ . y -‬מצא את הערך של ‪. a‬‬
‫הצב את הערך של ‪ a‬שמצאת וענה על הסעיפים ב‪-‬ד‪.‬‬
‫‪ .1‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬פתור את המשוואה ‪ , f '( x)  0‬ובדוק אם הפתרונות מקיימים את המשוואה‪.‬‬
‫‪ .3‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של הפונקציה‪.‬‬
‫דרך נקודת המינימום המוחלט ודרך נקודת המקסימום המוחלט של הפונקציה‬
‫העבירו מקבילים לציר ה ‪ . y -‬מצא את המרחק בין שני המקבילים‪.‬‬
‫‪ )5‬נתונה הפונקציה ‪ b , f ( x)  x 2  bx  5‬הוא פרמטר‪.‬‬
‫‪3 5‬‬
‫נתון כי שיפוע הישר‪ ,‬המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪ , x  0‬הוא‬
‫‪5‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך של ‪. b‬‬
‫הצב ‪ , b  6‬וענה על הסעיפים ב ‪-‬ה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )6‬נתונה הפונקציה‬
‫‪x  3 x 1‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה (אם יש כאלה)‪,‬‬
‫וקבע את סוגן‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫קבע אם נקודה ששיעור ה ‪ y -‬שלה הוא ‪ 5‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫נמק‪.‬‬
‫‪286‬‬
‫‪x5‬‬
‫‪ )7‬נתונה הפונקציה ‪ b‬‬
‫‪x2  a‬‬
‫‪ a , f ( x) ‬ו‪ b -‬הם פרמטרים‪ .‬תחום ההגדרה של‬
‫הפונקציה הוא ‪ , x  2‬ואחת האסימפטוטות של הפונקציה היא ‪. y  2‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך של ‪ a‬ואת הערך ‪ . b‬נמק‪.‬‬
‫הצב ‪ a  4‬ו ‪ , b  2 -‬וענה על הסעיפים ב ‪-‬ג‪.‬‬
‫ב‪ .1 .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫בתשובתך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬
‫‪ .3‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪x5‬‬
‫ג‪ .‬נתונה הפונקציה‬
‫‪x2  4‬‬
‫הקיצון של )‪ g ( x‬מנקודות הקיצון של )‪. f ( x‬‬
‫‪ . g ( x) ‬בלי חקירה נוספת קבע במה שונות נקודות‬
‫‪ )8‬נתונה הפונקציה ‪. f ( x)  x  2   x  2‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את משוואת הישר המחבר את נקודות המינימום של הפונקציה‪.‬‬
‫ה‪ .‬מצא עבור אילו ערכים של ‪ , k‬למשוואה ‪ f ( x)  k‬יש שני פתרונות‪.‬‬
‫‪x2  5‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫‪ )9‬נתונה הפונקציה‬
‫‪x3‬‬
‫א‪.1 .‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫ב‪.1 .‬‬
‫‪.2‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את האסיפטוטות המקבילות לצירים של פונקציית הנגזרת )‪. f '( x‬‬
‫מבין הגרפים ‪ IV , III , II , I‬שלפניך‪ ,‬איזה גרף מתאר את פונקציית‬
‫הנגזרת )‪ ? f '( x‬נמק‪.‬‬
‫‪287‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫‪ )10‬נתונה הפונקציה‬
‫‪2x 1‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫מצא את האסימפטוטות של הפונקציה )‪ f ( x‬המקבילות לצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f ( x‬עם הצירים‪.‬‬
‫מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫לפניך סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת )‪f '( x‬‬
‫בתחום הגדרתה‪ .‬עבור אילו ערכים של ‪k‬‬
‫הישר ‪ y  k‬אינו חותך את הגרף של‬
‫פונקציית הנגזרת )‪ ? f '( x‬נמק‪.‬‬
‫‪ )11‬נתונה הפונקציה ‪. f ( x)   x 2 x  5‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם יש ערכים של ‪ x‬שעבורם ‪ ? f ( x)  0‬נמק‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של גרף הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ה‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ו‪ .‬כמה פתרונות יש למשוואה ‪ ? 14   x x  5‬נמק‪.‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫‪ )12‬נתונה הפונקציה‬
‫‪x2‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ד‪ .1 .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬היעזר בגרף שסירטטת‪ ,‬ומצא את משוואת הישר המשיק לגרף‬
‫הפונקציה בשתי נקודות בדיוק‪.‬‬
‫‪ )13‬נתונה הפונקציה ‪. f ( x)  x 4 x  6 x‬‬
‫א‪ .1 .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .3‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ב‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪288‬‬
‫ג‪ .‬איזה גרף מבין הגרפים ‪ IV , III , II , I‬עשוי לתאר את פונקציית הנגזרת )‪f '( x‬‬
‫בתחום ‪ ?1  x  10‬נמק‪.‬‬
‫‪ )14‬נתונה הפונקציה ‪ 1‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  1‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫איזה מבין הגרפים ‪ IV , III , II , I‬שלפניך מציג סקיצה של פונקציית‬
‫הנגזרת )‪ ? f '( x‬נמק‪.‬‬
‫‪289‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬א‪ a  2 .2  0,0 ,  2a, 4a  .1 .‬ב‪. max  0,0 , min  4,8 .‬‬
‫ג‪ .‬עולה‪ x  0 , x  4 :‬יורדת‪x  2 , 0  x  4 :‬‬
‫‪1 a‬‬
‫‪ )2‬א‪ y  1 .‬ב‪.1 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ a  6 .2‬ג‪ min  6, 1.2  .3   6,0  ,  0,6  .2 x  1 .1 .‬ד‪ .‬כן‪.‬‬
‫‪ )3‬א‪ b  1 .‬ב‪ a  1 .2 y  a .1 .‬ג‪ .2 min  4,0.375 .1 .‬עליה‪4  x  4 :‬‬
‫ירידה‪ .3 x  4 , x  4 :‬סקיצה בסוף‪.‬‬
‫‪ )4‬א‪ a  1 .‬ב‪ , x  1 .2  2  x  2 .1 .‬הפתרון ‪ x  1‬נפסל בבדיקה‪.‬‬
‫‪ 1, 2  .3‬מינימום מוחלט‪ ( 2, 2) ,‬מקסימום מוחלט‪ .‬ג‪ .‬סקיצה בסוף‪.‬‬
‫ד‪.1  2  2.414 .‬‬
‫‪ )5‬א‪ b  6 .‬ב‪ x  5 .‬או ‪ . x  1‬ג‪ (5, 0) , (1, 0) , (0, 5) .‬ד‪ .‬עלייה‪, x  5 :‬‬
‫ירידה‪ x  1 :‬ה‪ .‬סקיצה בסוף‪.‬‬
‫‪ )6‬א‪ . x  1, x  3 .‬ב‪ . y  0, x  1, x  3 .‬ג‪ (2, 6) .‬מקסימום ד‪(0, 2) .‬‬
‫ה‪ .‬סקיצה בסוף‪ .‬ו‪ .‬לא‪.‬‬
‫‪ )7‬א‪ b  2 , a  4 .‬ב‪ (0.42,0.8) .2 (1.5,0) , (1,0) , (0,0.75) .1 .‬מקסימום‬
‫)‪ (9.58,1.95‬מינימום‪ .3 .‬סקיצה בסוף‪ .‬ד‪ .‬שיעור ה ‪ x -‬נשאר זהה‪ ,‬שיעור ה ‪ y -‬קטן ב ‪. 2 -‬‬
‫‪ )8‬א‪ 2  x  0 .‬ב‪ (1, 4) .‬מקסימום‪ (2,3.414) ,‬מינימום‪ (0,3.414) ,‬מינימום‪.‬‬
‫ג‪ .‬סקיצה בסוף‪ .‬ד‪ y  3.414 .‬ה‪. 3.414  k  4 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )9‬א‪( 5, 0) , ( 5, 0) , (0, 1 ) .3 x  3 .2 x  3 .1 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ (1, 2) .4‬מינימום‪ (5, 10) ,‬מקסימום‪ .5 .‬סקיצה בסוף‪.‬‬
‫ב‪ .2 y  1, x  3 .1 .‬גרף ‪. IV‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )10‬א‪ x  .‬ב‪ x  .‬ג‪ (2,0) , (2,0) , (0, 4) .‬ד‪ .‬תחומי עלייה‪ x  :‬או‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫תחומי ירידה‪ :‬אין‪ .‬ה‪ .‬סקיצה בסוף‪ .‬ו‪. k  .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )11‬א‪ . x  5 .‬ב‪ . (5, 0) , (0, 0) .‬ג‪ .‬לא‪ .‬ד‪ (0,0) .‬מקסימום‪ (4, 16) ,‬מינימום‪,‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪ (5,0‬מקסימום‪ .‬ה‪ .‬סקיצה בסוף‪ .‬ו‪ .‬שלושה פתרונות‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )12‬א‪ x  2 .‬או ‪ x  2‬ב‪ (2, 0) , (2, 0) .‬ג‪ ( 8, ) .‬מקסימום מוחלט‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫) ‪ ( 8,‬מקסימום מוחלט‪ (2,0) ,‬מינימום מוחלט‪ (2,0) ,‬מינימום מוחלט‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫ד‪ .1 .‬סקיצה בסוף‪. y  .2 .‬‬
‫‪290‬‬
‫‪ )13‬א‪ (0,0) )3( (9,0) , (0,0) )2( x  0 )1( .‬מקסימום‪ (4, 8) ,‬מינימום‪.‬‬
‫ב‪ .‬סקיצה בסוף‪ .‬ג‪ .‬גרף ‪. IV‬‬
‫‪ )14‬א‪ . x  1 .‬ב‪ (2,0) , (4,0) , (0,8) .‬ג‪. y  1 , x  1 .‬‬
‫ד‪ .‬עלייה‪ , x  1 :‬ירידה‪ x  1 :‬ה‪ .‬סקיצה בסוף‪ .‬ו‪ .‬גרף ‪. II‬‬
‫סקיצות לפי מספרי שאלות‪:‬‬
‫‪)4‬‬
‫‪)3‬‬
‫‪)6‬‬
‫‪)5‬‬
‫‪)7‬‬
‫‪)8‬‬
‫‪)9‬‬
‫‪) 10‬‬
‫‪)11‬‬
‫‪)12‬‬
‫‪) 13‬‬
‫‪)14‬‬
‫‪291‬‬
‫הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת‪:‬‬
‫חוקים כלליים‪:‬‬
‫‪ .1‬כאשר ‪ f  x ‬עולה‪ f '  x  ,‬חיובית ולהפך‪.‬‬
‫‪ .2‬כאשר ‪ f  x ‬יורדת‪ f '  x  ,‬שלילית ולהפך‪.‬‬
‫‪ .3‬כאשר ל‪ f  x  -‬יש נקודת קיצון‪,‬‬
‫‪f ' x‬‬
‫מחליפה סימן (חותכת את ציר ה‪ ) x -‬ולהפך‪.‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬נתון גרף של פונקציה‪.‬‬
‫צייר על אותה מערכת צירים את גרף הנגזרת‪.‬‬
‫נמק את שיקוליך בשרטוט‪.‬‬
‫‪ )2‬נתון גרף של פונקציה‪.‬‬
‫צייר על אותה מערכת צירים את גרף הנגזרת‪.‬‬
‫נמק את שיקוליך בשרטוט‪.‬‬
‫‪ )3‬נתון גרף הנגזרת של פונקציה‪.‬‬
‫צייר על אותה מערכת צירים את גרף הפונקציה‬
‫אם ידוע שהיא עוברת בראשית הצירים‪.‬‬
‫נמק את שיקוליך בשרטוט‪.‬‬
‫‪ )4‬נתון גרף הנגזרת של פונקציה‪.‬‬
‫צייר על אותה מערכת צירים את גרף הפונקציה‬
‫אם ידוע שהיא עוברת בראשית הצירים‪.‬‬
‫נמק את שיקוליך בשרטוט‪.‬‬
‫‪ )5‬נתונה הפונקציה‪. f  x   x2  6 x  5 :‬‬
‫א‪ . 1 .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪ f  x ‬ושל גרף הנגזרת ‪. f '  x ‬‬
‫‪292‬‬
‫‪ )6‬נתונה הפונקציה‪. f  x   x3  3x :‬‬
‫א‪ . 1 .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪ f  x ‬ושל גרף הנגזרת ‪. f '  x ‬‬
‫‪ )7‬לפונקציה ‪ f  x ‬יש נקודת קיצון אחת‪.‬‬
‫הערך המקסימלי שלה מתקבל בנקודה שבה‪. x  2 :‬‬
‫א‪ .‬מהו סימן הנגזרת עבור‪? x  2 :‬‬
‫ב‪ .‬מהו סימן הנגזרת עבור‪? x  2 :‬‬
‫ג‪ .‬איזה מבין הגרפים הנ"ל יכול לתאר את גרף הנגזרת‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪293‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )8‬נתונה הפונקציה‪. f  x   x3  x 2  15x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬איזה מבין הגרפים הבאים מתאר סקיצה של הנגזרת ‪ ? f '  x ‬נמק‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪ )9‬נתונה הפונקציה‪. f  x   x4  4 x3 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬סרטט באמצעות נתונים אלו את הגרף של נגזרת הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )10‬ענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬סרטט את גרף פונקצית הנגזרת ‪ , f '  x  ,‬של ‪ , f  x ‬אם ידוע כי ל‪f  x  -‬‬
‫יש שתי נקודות קיצון‪ :‬מקסימום כאשר‪ x  1 :‬ומינימום כאשר‪. x  3 :‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה ‪ f  x ‬ולה ‪ 3‬נקודות קיצון‪ :‬מקסימום כאשר‪x  0,5 :‬‬
‫ומינימום כאשר‪ . x  2 :‬סרטט את גרף הנגזרת של הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ג‪ .‬סרטט את גרף הנגזרת ‪ , f '  x  ,‬של ‪ , f  x ‬אם ידוע כי היא יורדת לכל ‪, x‬‬
‫והנגזרת שלה מתאפסת בנקודה שבה‪. x  3 :‬‬
‫‪294‬‬
:‫תשובות סופיות‬
)4
)3
)2
)1
. min  3, 4  .2  5,0 , 1,0  ,  0,5 .1 .‫) א‬5
. min 1, 2 , max  1, 2 .2  0, 0  ,

 

3, 0 ,  3, 0 .1 .‫) א‬6
.1 .‫ ג‬. f '  x   0 .‫ ב‬. f '  x   0 .‫) א‬7
.1 .‫ ב‬. 5  x  3 :‫ יורדת‬x  5 , x  3 :‫ עולה‬.‫) א‬8
. x  0 , 0  x  3 :‫ יורדת‬x  3 :‫ עולה‬.‫) א‬9
:‫סקיצות לשאלות‬
)9
.‫) ג‬10
295
)6
)5
.‫) ב‬10
.‫) א‬10
‫פרק ‪ - 9‬בעיות קיצון‪:‬‬
‫שלבי עבודה‪:‬‬
‫‪ .1‬נגדיר את אחד הגדלים בשאלה כ‪. x -‬‬
‫‪ .2‬נבטא את שאר הגדלים בשאלה באמצעות ‪. x‬‬
‫‪.3‬‬
‫נבנה פונקציה שמבטאת את מה שרצו שיהיה מינימלי‪/‬מקסימלי‪.‬‬
‫‪ .4‬נגזור את הפונקציה‪ ,‬נשווה לאפס ונחלץ את ערך‪/‬ערכי ה‪. x -‬‬
‫‪ .5‬נוודא שערך ה‪ x -‬מסעיף ד' הוא אכן מינימום‪/‬מקסימום באמצעות '' ‪( y‬או טבלה)‪.‬‬
‫‪ .6‬ננסח את התשובה לשאלה המקורית‪.‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬מבין כל זוגות המספרים שסכומם ‪ 14‬מצא את הזוג שמכפלתו מקסימלית‪.‬‬
‫‪ )2‬נתונים שלושה מספרים שסכומם ‪ .24‬המספר הראשון שווה למספר השני‪.‬‬
‫מצא מהם המספרים אם ידוע שמכפלתם מקסימלית‪.‬‬
‫‪ )3‬מצא את המספר החיובי שאם נוסיף לו את המספר ההופכי לו הסכום המתקבל יהיה‬
‫מינימלי‪.‬‬
‫‪ )4‬מבין כל המשולשים שווי השוקיים שהיקפם ‪ 24‬ס"מ מצא את אורך בסיסו של‬
‫המשולש בעל השטח הגדול ביותר‪.‬‬
‫‪ )5‬א‪ .‬מבין כל המשולשים שווי השוקיים שהיקפם ‪ a‬מצא את בסיסו של המשולש‬
‫בעל השטח הגדול ביותר‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ :‬מבין כל המשולשים שווי השוקיים בעלי אותו היקף המשולש בעל‬
‫השטח הגדול ביותר הוא משולש שווה צלעות‪.‬‬
‫‪ )6‬במשולש ישר זווית ‪ ) B  90o ( ABC‬הנקודה ‪ E‬נמצאת‬
‫על היתר ‪ AC‬כך שהמרובע ‪ EDBF‬הוא מלבן‪.‬‬
‫נתון‪. BC  16cm , AB  20cm :‬‬
‫מצא את שטחו של המלבן בעל השטח הגדול ביותר‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪296‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )7‬במשולש ישר זווית ‪ ) B  90o ( ABC‬הנקודה ‪ E‬נמצאת‬
‫על היתר ‪ AC‬כך שהמרובע ‪ EDBF‬הוא מלבן‪.‬‬
‫נתון‪. BC  b , AB  a :‬‬
‫מצא את שטחו של המלבן בעל השטח הגדול ביותר‪.‬‬
‫‪ )8‬נתונה תיבה שבסיסה ריבוע ושטח הפנים שלה הוא ‪ 96‬סמ"ר‪.‬‬
‫מצא את מידות התיבה שנפחה מקסימלי‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ )9‬מכל הגלילים הישרים שהיקף פרישת המעטפת שלהם הוא ‪ k‬מצא את נפחו של הגליל‬
‫בעל הנפח המקסימלי‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )10‬שני הולכי רגל יוצאים בו זמנית לדרכם‪ ,‬האחד מעיר ‪ A‬מערבה‬
‫לעיר ‪ B‬והשני מעיר ‪ B‬דרומה לעיר ‪.C‬‬
‫המרחק בין הערים ‪ A‬ו‪ B-‬הוא ‪ 20‬ק"מ‪.‬‬
‫מהירות הרוכב שיצא מ ‪ A-‬היא ‪ 4‬קמ"ש ומהירות הרוכב השני ‪ 2‬קמ"ש‪.‬‬
‫כעבור כמה זמן מיציאת הרוכבים יהיה המרחק ביניהם מינימלי?‬
‫מצא גם את המרחק המינימלי‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫גלידריה‬
‫‪ )11‬אדם נמצא על אי במרחק ‪ 0.5‬ק"מ מהחוף‪ .‬על‬
‫החוף‪ ,‬במרחק של ‪ 3‬ק"מ מהנקודה הקרובה ביותר‬
‫לאי‪ ,‬נמצאת גלידריה‪ .‬האדם שוחה במהירות של ‪8‬‬
‫קמ"ש ורץ על החוף במהירות של ‪ 10‬קמ"ש‪ .‬לאיזה מרחק‬
‫מהגלידריה עליו לשחות כדי להגיע לגלידריה בזמן הקצר ביותר?‬
‫אי‬
‫בית‬
‫‪ )12‬אדם מתכנן לבנות מרפסת בביתו ורוצה להציב מעקה‬
‫סביב המרפסת‪ .‬שטח המרפסת המתוכנן הוא ‪ 24‬מ"ר‪.‬‬
‫מחיר מעקה בחזית המרפסת ( ‪ ) BC‬הוא ‪ ₪ 120‬למטר‬
‫ומחיר מעקה בצידי המרפסת הוא ‪ ₪ 40‬למטר‪.‬‬
‫מה צריכים להיות ממדי המרפסת כדי שמחיר המעקה‬
‫יהיה מינימלי?‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )13‬נתונה הפונקציה ‪ . f  x   6 x  x2‬מנקודה ‪ A‬שעל הפונקציה ברביע הראשון‬
‫הורידו אנכים לצירי השיעורים כך שנוצר מלבן כמתואר בשרטוט‪.‬‬
‫מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬כדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי? ‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪297‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )14‬נתונות הפונקציות ‪ f  x   2 x‬ו‪. g  x   1 x3 -‬‬
‫‪A‬‬
‫‪3‬‬
‫את הנקודה ‪ A‬שעל ‪ f  x ‬חיברו עם הנקודה ‪,B‬‬
‫‪B‬‬
‫שנמצאת מתחתיה על ‪ g  x ‬כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה ‪. y -‬‬
‫מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬כדי שאורך הקטע ‪ AB‬יהיה מקסימלי?‬
‫‪ )15‬נתונות שתי הפונקציות‪. f  x   4 x , g  x   x 2  5 :‬‬
‫א‪ .‬התאם לכל גרף את הפונקציה המתאימה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה צריכים להיות שיעורי הנקודות ‪ A‬ו ‪ B-‬כדי שאורך‬
‫הקטע ‪( AB‬המקביל לציר ה ‪ ) y -‬יהיה מינימלי?‬
‫ג‪ .‬חשב את אורך הקטע המינימלי‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )16‬נתונה הפונקציה ‪ f  x   2‬והישר ‪. y  2 x‬‬
‫‪x 1‬‬
‫בין הישר והפונקציה ברביע הראשון חסמו מלבן‪.‬‬
‫מצא את מידות המלבן שהיקפו מינימלי‪.‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪8,8,8 )2 7,7 )1‬‬
‫‪ 8 )4 1 )3‬יחידות אורך‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ )5‬א‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 80 )6‬סמ"ר‬
‫‪ab‬‬
‫‪)7‬‬
‫‪4‬‬
‫יח"ש‬
‫‪k3‬‬
‫‪1‬‬
‫יחידות נפח ‪ 4 )10 V ‬שעות‪ ,‬המרחק‪ 80 :‬ק"מ ‪ 2 )11‬ק"מ‬
‫‪)9 4  4  4 )8‬‬
‫‪216‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )15 A 1, 2  )14 A  4,8 )13 4  6 )12‬ב‪ A 1,6  , B 1, 4  .‬ג‪. 2 1 )16 .2 .‬‬
‫‪298‬‬
‫תרגול נוסף‪:‬‬
‫תרגילים העוסקים בפונקציה פולינומית‪:‬‬
‫‪ )1‬נתונים שלושה מספרים שסכומם הוא ‪ .45‬ידוע שמספר אחד זהה לשני‪.‬‬
‫א‪ .‬מה צריכים להיות שלושת המספרים כדי שמכפלתם תהיה מקסימלית?‬
‫ב‪ .‬כיצד תשתנה התוצאה אם מספר אחד יהיה גדול פי ‪ 2‬מהשני במקום זהה לו?‬
‫ג‪ .‬באיזה מקרה (א' או ב') המכפלה תהיה גדולה יותר? הראה דרך חישוב‪.‬‬
‫‪ )2‬א‪.‬‬
‫מבין כל המספרים המקיימים‪ 3x  y  60 :‬מצא את המספרים ‪ x‬ו‪y -‬‬
‫שמכפלת ריבועיהם מקסימלית‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהי המכפלה הנ"ל?‬
‫‪ )3‬סכום שלושה מספרים הוא ‪ .11‬ידוע כי המספר הראשון גדול ב‪ 4-‬מהמספר השני‪.‬‬
‫הראה כי המספרים שמכפלתם היא מקסימלית מקיימים‪:‬‬
‫א‪ .‬מכפלת שני המספרים הקטנים שווה למספר הגדול‪.‬‬
‫ב‪ .‬ערך המכפלה של שלושת המספרים שווה לריבוע המספר הגדול מבניהם‪.‬‬
‫‪ )4‬סכום שלושה מספרים הוא ‪ .26‬מספר אחד גדול פי ‪ 3‬מהשני‪.‬‬
‫מצא את שלושת המספרים שסכום ריבועיהם הוא מינימלי‪.‬‬
‫‪ x )5‬ו‪ y -‬הם שני מספרים המקיימים‪. x  6 y  60 :‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ y‬באמצעות ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬מה צריכים להיות המספרים ‪ x‬ו ‪ y -‬כדי שמכפלת ריבועיהם תהיה מקסימלית?‬
‫ג‪ .‬מהי המכפלה הנ"ל?‬
‫‪ )6‬נתונים שלושה מספרים שסכומם הוא ‪ .36‬ידוע שמספר אחד זהה לשני‪.‬‬
‫א‪ .‬מה צריכים להיות שלושת המספרים כדי שמכפלתם תהיה מקסימלית?‬
‫ב‪ .‬כיצד תשתנה התוצאה אם מספר אחד יהיה גדול פי ‪ 2‬מהשני במקום זהה לו?‬
‫ג‪ .‬באיזה מקרה תהיה מכפלה גדולה יותר?‬
‫‪ )7‬במלבן שצלעותיו הן ‪ 6‬ס"מ ו ‪ 18-‬ס"מ חסומים שני‬
‫מלבנים מקווקווים‪ .‬אורך אחד המלבנים המקווקווים‬
‫גדול פי ‪ 3‬מרוחב המלבן השני כמתואר באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬מה צריך להיות האורך ‪ x‬כדי שסכום שטחי‬
‫שני המלבנים יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬בעבור ה‪ x -‬שמצאת מהו סכום השטחים הללו?‬
‫‪299‬‬
‫‪ )8‬יוסי רוצה לקנות דף מחשב צבעוני ומיוחד בעל היקף‬
‫של ‪ 60‬ס"מ כדי להכין ברכה ליום הולדתה של חברתו רחל‪.‬‬
‫המדפסת של יוסי אינה מדפיסה עד גבולות הדף אלא‬
‫משאירה מרחק של ס"מ אחד מקצות הדף העליון והתחתון‪,‬‬
‫ומרחק של ‪ 2‬ס"מ מצידי הדף (ראה איור)‪.‬‬
‫יוסי רוצה לבחור דף שבו השטח שהמדפסת תוכל להדפיס‬
‫יהיה מקסימלי‪ .‬מה הן מידות הדף שיוסי צריך לקנות כדי‬
‫שהשטח המודפס יהיה מקסימלי?‬
‫‪ )9‬בריבוע ‪ ABCD‬חסומים שני משולשים ישרי ‪-‬זווית ‪GBE‬‬
‫ו‪ ECF -‬כמתואר באיור‪ .‬ידוע שאורך הקטע ‪ AG‬הוא ‪ 5‬ס"מ‬
‫ואורך צלע הריבוע ‪ ABCD‬הוא ‪ 13‬ס"מ‪ .‬המשולש ‪ ECF‬הוא‬
‫משולש ישר זווית ושווה שוקיים (‪.)CE=CF‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריך להיות אורך שוק המשולש ‪ECF‬‬
‫בעבורו סכום שטחי שני המשולשים הנ"ל יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה השטח הלבן במקרה זה?‬
‫‪ )10‬במלבן שצלעותיו הן ‪ 30‬ס"מ ו ‪ 25 -‬ס"מ חסומים שני‬
‫ריבועים ומלבן (המסומנים) כמתואר באיור‪.‬‬
‫מסמנים את צלע הריבוע ב‪. x -‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריך להיות אורך צלע הריבוע כדי שסכום‬
‫השטחים של שני הריבועים והמלבן יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬בעבור אורך הצלע שמצאת מהו סכום השטחים המינימלי?‬
‫‪ )11‬במלבן שמידותיו הן ‪ 12‬ס"מ ו‪ 10 -‬ס"מ חסומים בצדדים‬
‫למעלה שני ריבועים ומלבן מתחתיהם במרכז‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריך להיות אורך צלע הריבוע כדי שסכום‬
‫הש טחים של שני הריבועים והמלבן יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה השטח שלהם במקרה זה?‬
‫‪ )12‬הנקודות ‪ K , L , M , N‬מקצות קטעים שווים במלבן ‪ABCD‬‬
‫כך ש‪. BK  BL  DM  DN  x :‬‬
‫צלעותיו של המלבן הן ‪ 20‬ס"מ ו‪ 12-‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את סכום שטחי המשולשים‪:‬‬
‫‪. AKN  BKL  CLM  DNM‬‬
‫ב‪ .‬מצא מה צריך להיות ‪ x‬כדי ששטח‬
‫המרובע ‪ LKNM‬יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה הוא השטח של המרובע ‪ LKNM‬במקרה זה?‬
‫‪300‬‬
‫‪12‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ )13‬במלבן ‪ ABCD‬שמידותיו הן ‪ 40‬ס"מ ו ‪ 16-‬ס"מ מקצים נקודות על צלעות המלבן כך‬
‫שמתקיים‪. AE  BF  CG  DH  x :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את שטחי ארבעת המשולשים‪:‬‬
‫‪. AEH  BEF  CGF  DGH‬‬
‫ב‪ .‬מצא מה צריך להיות ‪ x‬בעבורו שטח‬
‫המרובע ‪ EFGH‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה שטח המרובע ‪ EFGH‬במקרה זה ?‬
‫‪ )14‬אורך המלבן ‪ ABCD‬הוא ‪ 20‬ס"מ ורוחבו הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫מקצים על צלעות המלבן קטעים כך ש‪. AH  BE  CF  DG  x :‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריך להיות ‪ x‬בעבורו‬
‫שטח המרובע ‪ EFGH‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬בעבור ה‪ x -‬שמצאת מה השטח המינימלי?‬
‫‪ )15‬נתון מלבן שמידותיו הן ‪ 8‬ס"מ על ‪ 40‬ס"מ‪.‬‬
‫מעבירים ישרים המקבילים לצלעות המלבן כך שנוצרים ‪ 4‬מלבנים‪.‬‬
‫מסמנים צלע אחת של המלבן הימני ב‪ , x -‬כך שהצלע הסמוכה‬
‫לה גדולה פי ‪ 4‬ממנה כמתואר באיור ובמלבן השמאלי בונים משולש‪.‬‬
‫א‪ .‬בטא באמצעות ‪ x‬את סכום השטחים של המלבן‬
‫והמשולש המקווקווים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא מה צריכות להיות מידות המלבן הימני כדי‬
‫שסכום השטחים הנ"ל יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה השטח הלבן במקרה זה?‬
‫‪ )16‬נתון ריבוע בעל אורך צלע של ‪ 16‬ס"מ‪.‬‬
‫מקצים קטע שאורכו ‪ x‬על הצלע העליונה ושני קטעים שאורכם‬
‫הוא ‪ 2x‬על הצלעות הצדדיות כמתואר באיור‪ ,‬כך שנוצר המחומש‬
‫המקווקו‪ .‬מצא מה צריך להיות ערכו של ‪ x‬בעבורו שטח המחומש‬
‫יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪ )17‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪. f ( x)  16  2 x3 , g ( x)  6 x2 18x‬‬
‫מסמנים נקודה ‪ A‬על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬ברביע השני ומותחים‬
‫ממנה ישר המקביל לציר ה ‪ y -‬שחותך את גרף‬
‫‪x‬‬
‫הפונקציה )‪ g ( x‬בנקודה ‪.B‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪ A‬בעבורם אורך הקטע ‪ AB‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה אורך הקטע ‪ AB‬במקרה זה?‬
‫‪301‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪ )18‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪. f ( x)  x 3  8 , g ( x )  x 2  x  6‬‬
‫מסמנים נקודה ‪ A‬על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬ומורידים ממנה ישר‬
‫המקביל לציר ה ‪ y -‬שחותך את גרף הפונקציה )‪ g ( x‬בנקודה ‪.B‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬כדי‬
‫שאורך הקטע ‪ AB‬יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה האורך המקסימלי?‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )19‬באיור שלפניך מתוארות הפונקציות‪. f ( x)  x2  3 , g ( x)  20x  x2 :‬‬
‫מעבירים קטע ‪ AB‬המקביל לציר ה‪ y -‬כך שהנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף‬
‫)‪f ( x‬‬
‫הפונקציה )‪ g ( x‬והנקודה ‪ B‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫א‪ .‬נסמן את שיעור ה ‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬ב ‪. t -‬‬
‫‪x‬‬
‫הבע באמצעות ‪ t‬את אורך הקטע ‪.AB‬‬
‫ב‪ .‬מה צריך להיות ‪ t‬כדי שאורך הקטע ‪ AB‬יהיה מקסימלי?‬
‫ג‪ .‬מהו האורך ‪ AB‬במקרה זה?‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )20‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)  36  x2 :‬על גרף הפונקציה ברביע‬
‫הראשון מסמנים נקודה ‪ .A‬מהנקודה ‪ A‬מעבירים ישר המקביל‬
‫לציר ה ‪ x -‬שחותך את ציר ה ‪ y -‬בנקודה ‪ .C‬הנקודה ‪ B‬היא נקודת‬
‫החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪ x -‬ו‪ O-‬ראשית הצירים‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬כדי ששטח‬
‫)‪f ( x‬‬
‫הטרפז ‪ ABOC‬יהיה מקסימלי?‬
‫ב‪ .‬מהו שטח הטרפז המקסימלי?‬
‫‪ )21‬מעבירים ישר ‪ AB‬המקביל לציר ה‪ x -‬כך שהנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬נמצאות‬
‫על גרף הפונקציה ‪ . f ( x)  48  x2‬מהנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬מורידים אנכים‬
‫לציר ה ‪ x -‬כך שנוצר מלבן ‪.ABCD‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ B‬בעבורם‬
‫שטח המלבן ‪ ABCD‬יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬בעבור שיעורי הנקודה ‪ B‬שמצאת מה יהיה השטח?‬
‫‪302‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O‬‬
‫‪y‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )22‬באיור שלפניך נתונות הפונקציות‪ f ( x)  x3  8 :‬ו‪. g ( x)  6 x2  24 -‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬והנקודה ‪ B‬נמצאת‬
‫על גרף הפונקציה )‪ g ( x‬כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪ A‬בתחום‪ xA  4 :‬עבורם‬
‫הקטע ‪ AB‬יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה אורך הקטע ‪ AB‬במקרה זה?‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )23‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪ f ( x)  x2  x  7 :‬ו‪. g ( x)  2 x  5 -‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬ונקודה ‪ B‬נמצאת על גרף‬
‫הפונקציה )‪ g ( x‬כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה ‪. y -‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫נסמן את שיעור ה ‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬ב‪. t -‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ t‬בעבורו אורך הקטע ‪ AB‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬בעבור הערך של ‪ t‬שמצאת בסעיף הקודם‪ ,‬מה‬
‫‪B‬‬
‫יהיה אורך הקטע ‪?AB‬‬
‫‪ )24‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה ‪. f ( x)   x2  7 x‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון‪.‬‬
‫מהנקודה ‪ A‬מורידים אנכים לצירים כך שנוצר מלבן‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬בעבורם‬
‫היקף המלבן יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬בעבורם‬
‫היקף המלבן יהיה מינימלי?‬
‫‪ )25‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪ f ( x)  x2  8x  18‬ו‪. g ( x)   x2  4 x -‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬והנקודה ‪B‬‬
‫נמצאת על גרף הפונקציה )‪ g ( x‬כך שהקטע ‪ AB‬מקביל‬
‫לציר ה ‪ . y -‬מעבירים אנכים מהנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬לציר ה ‪y -‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫כך שנוצר מלבן (המסומן)‪ .‬נסמן את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬ב‪. t -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את שטח המלבן המסומן‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערכו של ‪ t‬בעבורו שטח המלבן הוא מקסימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה שטח המלבן במקרה זה?‬
‫‪303‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪ )26‬נתונה תיבה שגובהה הוא ‪ h‬ובסיסה הוא ריבוע שאורך צלעו היא ‪. x‬‬
‫נתון כי צלע הריבוע וגובה התיבה מקיימים‪. 4 x  h  63 :‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ h‬באמצעות ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬הבע את שטח הפנים של התיבה באמצעות ‪. x‬‬
‫ג‪ .‬מה צריך להיות ערכו של ‪ x‬כדי ששטח הפנים יהיה מקסימלי?‬
‫‪ )27‬נתונה תיבה שבסיסה הוא מלבן שבו צלע אחת גדולה פי ‪ 2‬מהצלע‬
‫הסמוכה לה כמתואר באיור‪ .‬ידוע כי גובה התיבה ‪ h‬וצלע המלבן‬
‫הקטנה ‪ x‬מקיימים‪ . x  h  9 :‬מצא מה צריכות להיות מידות‬
‫בסיס התיבה כדי שנפחה יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪h‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪ )28‬נ תונה תיבה שבסיסה הוא ריבוע‪ .‬ידוע כי סכום כל המקצועות‬
‫הוא ‪ 60‬ס"מ‪ .‬נסמן את אורך צלע הבסיס ב‪ x -‬ואת גובה התיבה ב‪. h -‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ h‬באמצעות ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את מידות התיבה עבורן נפחה הוא מקסימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה הוא הנפח המקסימלי של התיבה?‬
‫‪ )29‬נתון גליל שרדיוס בסיסו הוא ‪ r‬וגובהו ‪. h‬‬
‫ידוע כי סכום הרדיוס והגובה הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫מצא את מידות רדיוס הגליל וגובהו בעבורם‬
‫נפח הגליל יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪h‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ )30‬באיור שלפניך מתוארים תיבה שבסיסה ריבוע וגליל החסום בתוך התיבה‪.‬‬
‫רדיוס הגליל יסומן ב ‪ x -‬וגובהו ב ‪ . h -‬ידוע כי הסכום של ‪ x‬ו‪ h -‬הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את אורך מקצוע הבסיס של התיבה‪.‬‬
‫ב‪ .1 .‬הבע באמצעות ‪ x‬את נפח הגליל‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫‪ .2‬הבע באמצעות ‪ x‬את נפח התיבה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪ x‬בעבורו הנפח הכלוא בין התיבה‬
‫‪x‬‬
‫לגליל יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪304‬‬
:‫תשובות סופיות‬
. M  90000 .‫ ב‬. x  10 , y  30 .‫) א‬2 .'‫ מקרה א‬.‫ ג‬.15 , 20 , 10 .‫ ב‬.15 , 15 , 15 .‫) א‬1
. M  22500 .‫ ג‬. x  30 , y  5 .‫ ב‬. y  10 
x
.‫) א‬5 .12 , 10 , 4 )4 . 6 , 3 , 2 :‫) המספרים‬3
6
. S  54 .‫ ב‬. x  3 .‫) א‬7 .'‫ מקרה א‬.‫ ג‬.16 , 12 , 8 .‫ ב‬.12 , 12 , 12 .‫) א‬6
. S  350 .‫ ב‬. x  10 .‫) א‬10 . S  125 .‫ ב‬.‫ ס"מ‬4 .‫) א‬9 .‫ ס"מ‬16 , ‫ ס"מ‬14 )8
2
. 2 x  56 x .‫) א‬13 . S  128 .‫ ג‬. x  8 .‫ ב‬. 2 x2  32 x  240 .‫) א‬12 . S  56 .‫ ב‬.‫ ס"מ‬4 .‫) א‬11
. SMin  112 .‫ ב‬. x  8 .‫) א‬14 . S  248 .‫ ג‬. x  14 .‫ב‬
. x  6 )16 . S  214 .‫ ג‬.‫ ס"מ‬12 ‫ ס"מ על‬3 .‫ ב‬. 6 x2  36 x  160 .‫) א‬15
26
. AB  14 275 .‫ ב‬. A   13 , 7 27
 .‫) א‬18 .6 .‫ ב‬. A(1,18) .‫) א‬17
. S  128 .‫ ב‬. A(2,32) .‫) א‬20 . AB  47 .‫ ג‬. t  5 .‫ ב‬. 2t 2  20t  3 .‫) א‬19
. AB  32 .‫ ב‬. A(0,8) .‫) א‬22 . S  256 .‫ ב‬. B(4,32) .‫) א‬21
. A(0,0) .‫ ב‬. A(4,12) .‫) א‬24 . AB  11.75 .‫ ג‬. t  0.5 .‫ ב‬. B(t , 2t  5) .‫) א‬23
. S  8 .‫ ג‬. t  1 .‫ ב‬. S  2t 3 12t 2  18t .‫) א‬25
. x  6 )27 . x  9 .‫ ג‬. p  14 x2  252 x .‫ ב‬. h  63  4 x .‫) א‬26
. r  4 , h  2 )29 .V  125 .‫ ג‬.5X5X5 .‫ ב‬. h  15  2 x .‫) א‬28
. x  8 .‫ ג‬.V  48x2  4 x3 .2 .V  12 x2   x3 .1 .‫ ב‬. 2x .‫) א‬30
305
‫תרגילים העוסקים בפונקציה רציונאלית‪:‬‬
‫‪ )1‬נתונים שני מספרים ‪ x‬ו ‪ y -‬שמקיימים‪. 2 x2 y  27 :‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ y‬באמצעות ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬מה צריכים להיות המספרים כדי שסכומם יהיה מינימלי?‬
‫‪ )2‬א‪ .‬מבין כל המשולשים שווי השוקיים ששטחם הוא ‪ 128‬סמ"ר מצא את אורך‬
‫הבסיס ואורך גובהו במשולש שבו סכום אורך הבסיס וגבהו הוא מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה הסכום במשולש זה?‬
‫‪ )3‬מכפלת שלושה מספרים היא ‪ .27‬ידוע כי המספר הראשון זהה לשני‪.‬‬
‫נסמן ב‪ x -‬את המספר הראשון‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את המספר השלישי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שלושת המספרים שסכומם מינימלי‪.‬‬
‫‪ )4‬נתונים שני מספרים חיוביים‪ .‬ידוע כי המספר הראשון גדול פי ‪ 4‬מהמספר השני‪.‬‬
‫מחברים את המספר השני עם ההופכי של המספר הראשון‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא מה יהיו המספרים בעבורם חיבור זה יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה הוא ערך החיבור?‬
‫‪ )5‬נתונים שלושה מספרים חיוביים כך שהמספר השני גדול פי ‪ 3‬מהמספר הראשון‬
‫והמספר השלישי גדול פי ‪ 9‬מהמספר הראשון‪ .‬המספר הראשון יסומן ב‪. x -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את המספרים השני והשלישי‪.‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את הסכום בין המספר הראשון למספרים ההופכיים של‬
‫המספרים השני והשלישי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שלושת המספרים בעבורם הסכום שהבעת בסעיף הקודם הוא‬
‫מינימלי‪.‬‬
‫‪ )6‬נתונים שני מספרים‪ .‬ידוע כי המספר הראשון גדול ב ‪ 14 -‬מהמספר השני‪.‬‬
‫סמן ב‪ x -‬את המספר הקטן‪ .‬מצא את המספרים בעבורם ההפרש בין המספר ההופכי‬
‫של המספר הקטן למספר ההופכי של המספר הגדול הוא מקסימלי‪.‬‬
‫‪ x )7‬ו‪ y -‬הם שני מספרים חיוביים המקיימים‪. xy  y  16 :‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ y‬באמצעות ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬מצא מה צריכים להיות ‪ x‬ו‪ y -‬בעבורם הסכום‪ x  y :‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה הסכום במקרה זה?‬
‫‪306‬‬
‫‪ )8‬בבית הדפוס "עמירן" רוצים לעצב גלויה על גבי קרטון ששטחו‬
‫הכולל הוא ‪ 242‬סמ"ר‪ .‬הנהלת החברה החליטה שיש להשאיר‬
‫רווחים של ס"מ אחד מקצות הדף העליון והתחתון ו‪ 2-‬ס"מ‬
‫מצידי הדף (ראה איור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריכות להיות מידות הקרטון כדי‬
‫שהשטח של התמונה יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה השטח במקרה זה?‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )9‬בחלון מלבני ששטחו הכולל הוא ‪ 192‬מ"ר בונים סורגי מתכת מ‪ 7-‬מוטות‪:‬‬
‫‪ 3‬מאונכים ו ‪ 4-‬אופקיים (ראה איור)‪.‬‬
‫מצא מה צריכים להיות אורכי המוטות המינימליים שיחסמו את חלון זה‪.‬‬
‫‪ )10‬נתון מלבן ששטחו ‪ 1176‬סמ"ר‪ .‬מקצים בצדדי המלבן העליון‬
‫והתחתון קטעים שאורכם ‪ 2‬ס"מ ובצדדי המלבן הימניים קטעים‬
‫שאורכם ‪ 6‬ס"מ כך שנוצרים שישה מלבנים‪ .‬מסמנים שלושה מלבנים‬
‫כמתואר באיור‪ .‬חשב מה צריכות להיות מידות המלבן כדי שסכום‬
‫שטחי המלבנים המסומנים יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪ )11‬בתור תשתית לקיר עץ‪ ,‬קנו רפי וחבריו מוטות מתכת‪.‬‬
‫מחיר המוטות נקבע בהתאם לאורכם‪.‬‬
‫החבורה העמידה ‪ 10‬מוטות מתכת מאונכים‬
‫ולאחר מכן תפסו אותם עם שלושה מוטות נוספים‬
‫אופקים כמתואר בתרשים‪ .‬אחד מחבריו של רפי מדד‬
‫וגילה ששטח המלבן שנוצר הוא ‪ 120‬מ"ר‪ .‬רפי בתגובה שמח ואמר "איזה יופי! עכשיו‬
‫אני יודע שהשקעתנו הייתה מינימלית "‪ .‬מצא מה צריכים להיות אורכי המוטות‬
‫המינימליים בעבור השטח שמדד חברו של רפי‪.‬‬
‫‪ )12‬חיים הוא אחד מעובדי חברת "דפוס יהלום בע"מ"‪ .‬תפקידו של חיים הוא להדביק‬
‫גלויות על משטחי קרטון בעלי שטח מינימלי כך שיישארו רווחים של ‪ 3‬ס"מ מקצות‬
‫הקרטון העליון והתחתון‪ ,‬ו‪ 5-‬ס"מ מצידי הקרטון (ראה איור)‪ .‬יום אחד קיבל חיים‬
‫שיחת טלפון מלקוח אנונימי ששאל אותו את השאלה הבאה‪:‬‬
‫"יש לי מגוון גדול של גלויות במידות שונות אשר שטחן‬
‫‪3‬‬
‫זהה והוא ‪ 60‬סמ"ר‪ .‬מה הן המידות של גלויה אשר שטח‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫משטח הקרטון שלה יהיה מינימלי?"‬
‫‪3‬‬
‫א‪ .‬עזור לחיים לענות ללקוח על שאלתו והראה דרך חישוב‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה תהיינה מידות הקרטון עבור הגלויה המסוימת?‬
‫‪307‬‬
‫‪ )13‬לרותי צבעי מים ומשטח עץ ששטחו הכולל הוא ‪ 162‬סמ"ר‪.‬‬
‫רותי רוצה לצייר מלבן במרכז המשטח כך שמרחקו מצידי‬
‫‪2‬‬
‫המשטח ‪ 2‬ס"מ ומהקצוות העליון והתחתון של המשטח ‪ 4 -‬ס"מ‪.‬‬
‫רותי ראתה שהמשטח שברשותה לא עומד בתנאים אלו ולכן‬
‫החליטה לקנות משטח חדש‪ .‬כשהגיעה רותי לנגר הוא אמר לה‬
‫‪4‬‬
‫שמחיר העץ נקבע לפי מידותיו‪ .‬איזה מידות רותי צריכה לבקש‬
‫כדי לקבל משטח שבו היא תוכל לצייר מלבן בעל שטח מקסימלי לפי דרישותיה?‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )14‬נתון מלבן ששטחו הוא ‪ 135‬סמ"ר‪.‬‬
‫מעבירים ישרים המקבילים לצלעות המלבן ומקצים עליהם קטעים‬
‫באורכים של ‪ 6‬ו‪ 10-‬ס"מ (ראה איור)‪ .‬על ידי הקצאת‬
‫קטעים אלו נוצרים מלבנים נוספים המסומנים באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריכות להיות מידות המלבן הנתון בעבורם‬
‫סכום שטחי מלבנים אלו יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה השטח הלבן במקרה זה?‬
‫‪ )15‬לדני גלויה מלבנית במידות לא ידועות ששטחה הכולל הוא ‪ 12‬סמ"ר‪.‬‬
‫דני רוצה לקנות קרטון כדי להדביק את הגלויה במרכזו‪.‬‬
‫כשהלך דני לחנות כלי מלאכה אמר לו המוכר שניתן לבחור‬
‫קרטון על פי שטח‪ .‬דני הדגיש למוכר שהוא רוצה שהגלויה תהיה‬
‫מודבקת במרכז הקרטון כך שמרחקה מצידי הקרטון יהיה ‪ 1‬ס"מ‬
‫בלבד ומרחקה מהקצוות העליון והתחתון יהיה ‪ 3‬ס"מ‪.‬‬
‫המוכר נתן לדני קרטון בעל שטח מינימלי בעבור הגלויה שלו‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הן מידות הגלויה בעבורן שטח הקרטון הוא מינימלי?‬
‫ב‪ .‬מה הוא שטח הקרטון שנתן המוכר לדני?‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫גלויה‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )16‬לרבקה קרטון מלבני ששטחו הכולל הוא ‪ 162‬סמ"ר‪.‬‬
‫רבקה רוצה לחתוך מלבן במרכז הקרטון כדי שתוכל להשתמש‬
‫‪4‬‬
‫בשארית הקרטון כמסגרת לתמונה‪ .‬כדי שהקרטון לא יקרע רבקה‬
‫צריכה לשמור על רווחים של ‪ 2‬ס"מ מצידי הקרטון ו‪ 4-‬ס"מ מקצותיו העליון‬
‫והתחתון‪ .‬מה הן מידות הקרטון בעבורן שטח המלבן שרבקה תחתוך יהיה מקסימלי?‬
‫‪ )17‬אלינה קיבלה משימה בשיעור מלאכה‪ :‬יש להכין מסגרת‬
‫לתמונה מלוח עץ ששטחו הכולל הוא ‪ 242‬סמ"ר כך שעובי‬
‫המסגרת בצדדים יהיה ‪ 2‬ס"מ ובקצוות העליון והתחתון – ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫כדי לבחור את מידות לוח העץ‪ ,‬אלינה צריכה לדעת את השטח‬
‫המקסימלי שעליה לנסר בעבור המקום לתמונה (השטח המסומן)‪.‬‬
‫א‪ .‬מה יהיו מידות לוח העץ שאלינה צריכה להזמין‬
‫בעבור המשימה?‬
‫ב‪ .‬מה יהיה השטח המקסימלי לתמונה בעבור המידות‬
‫שאלינה בחרה?‬
‫‪308‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )18‬נתונות הפונקציות‪, g ( x)  2 :‬‬
‫‪16‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f ( x)  ‬‬
‫‪y‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪ g ( x‬והנקודה ‪B‬‬
‫נמצאת על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪ A‬בעבורם אורך‬
‫‪x‬‬
‫הקטע ‪ AB‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה אורך הקטע ‪ AB‬במקרה זה?‬
‫‪A‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪B‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ )19‬הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה‬
‫‪x3‬‬
‫‪ f ( x)  x ‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫מהנקודה ‪ A‬מורידים אנכים לצירים כפי שמתואר באיור כך‬
‫שנוצר המלבן ‪ .ABOC‬מצא מה צריכים להיות שיעורי‬
‫הנקודה ‪ A‬כדי ששטח המלבן יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ )20‬באיור שלפניך נתונה הפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ f ( x)  x ‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫מנקודה ‪ A‬שעל גרף הפונקציה מורידים אנכים לצירים כך‬
‫שמתקבל מלבן ‪.ABOC‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬כדי‬
‫שהיקף המלבן ‪ ABOC‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה הוא ההיקף המינימלי?‬
‫‪4‬‬
‫‪ )21‬הגרפים שלפניך מתארים את הפונקציות‪, g ( x)  x  3 :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪. f ( x)  ‬‬
‫‪O‬‬
‫‪y‬‬
‫מסמנים על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬נקודה ‪ A‬ועל גרף הפונקציה )‪g ( x‬‬
‫נקודה ‪ B‬כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬בעבורם‬
‫אורך הקטע ‪ AB‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה אורך הקטע ‪ AB‬במקרה זה?‬
‫)‪g ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )22‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫מעבירים ישר המקביל לציר ה ‪ y -‬שחותך את גרף הפונקציה )‪f ( x‬‬
‫‪ f ( x) ‬ו‪. g ( x)  4 x2  1 -‬‬
‫‪y‬‬
‫בנקודה ‪ A‬ואת גרף הפונקציה )‪ g ( x‬בנקודה ‪.B‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬בעבורם‬
‫אורך הקטע ‪ AB‬יהיה בעל אורך מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה האורך ‪ AB‬במקרה זה והיכן תמוקם הנקודה ‪? B‬‬
‫‪309‬‬
‫‪A‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪y‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ )23‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ f ( x)  x ‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה וממנה מורידים אנכים לצירים‬
‫שיוצרים את המלבן ‪- O( ABCO‬ראשית הצירים)‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫נסמן ב‪ t -‬את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪.A‬‬
‫א‪ .‬בטא באמצעות ‪ t‬את שיעור ה‪ y -‬של הנקודה ‪ A‬ואת שטח המלבן ‪.ABOC‬‬
‫ב‪ .‬מצא מה צריך להיות ערכו של ‪ t‬בעבורו שטח המלבן יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה שטח המלבן במקרה זה?‬
‫‪A‬‬
‫‪ )24‬באיור שלפניך נתון גרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪f  x  x ‬‬
‫הנקודה ‪ A‬תסומן ב‪-‬‬
‫‪O‬‬
‫ברביע הראשון‪.‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫מנקודה זו מורידים אנכים לצירים כך שנוצר מלבן‬
‫(בעל השטח המקווקו)‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪C‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. A  t ,t ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את היקף המלבן‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערכו של ‪ t‬בעבורו היקף המלבן יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬בעבור הערך של ‪ t‬שמצאת בסעיף הקודם‪ ,‬מה יהיה שטחו של המלבן?‬
‫‪x2‬‬
‫‪ )25‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x  0.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ f ( x) ‬בתחום‪. x  0 :‬‬
‫מקצים נקודה ‪ A‬על גרף הפונקציה וממנה מורידים אנכים‬
‫לצירים כך שנוצר המלבן ‪ ABOC‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬עבורם‬
‫שטח המלבן יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪4x  5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ f ( x) ‬והישר‪:‬‬
‫‪ )26‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪4  x  2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.y‬‬
‫הנקודות ‪ A‬ו ‪ B-‬נמצאות על הגרפים של הפונקציות כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫מהנקודות ‪ A‬ו ‪ B-‬מותחים אנכים לציר ה‪ y -‬כך שנוצר המלבן ‪.ABCD‬‬
‫נסמן את שיעור ה ‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬ב ‪. t -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את היקף המלבן ‪.ABCD‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ t‬עבורו היקף המלבן הוא מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה ההיקף במקרה זה?‬
‫‪310‬‬
‫‪x6‬‬
‫‪ )27‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 3‬‬
‫‪ f ( x) ‬ברביע הראשון‪ .‬מעבירים‬
‫משיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫מסמנים נקודה ‪ A‬על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬ו ‪ B-‬על גרף‬
‫המשיק כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪ A‬עבורם אורך הקטע ‪ AB‬הוא מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה אורך הקטע ‪ AB‬במקרה זה?‬
‫‪ )28‬נתונה תיבה שבסיסה מלבן ונפחה הוא ‪.V  288‬‬
‫ידוע כי אורך הבסיס גדול פי ‪ 3‬מרוחבו (ראה איור)‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫מסמנים ב‪ x -‬את מקצוע המלבן הקטנה וב ‪ h -‬את גובה התיבה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ h‬באמצעות ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬הבע את שטח הפנים של התיבה באמצעות ‪. x‬‬
‫ג‪ .‬מצא את מידות התיבה בעבורם שטח הפנים של התיבה יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪ )29‬נפח תיבה שבסיסה ריבוע הוא ‪ 729‬סמ"ר‪.‬‬
‫נסמן ב‪ x -‬את אורך מקצוע הבסיס וב ‪ h -‬את גובה התיבה (ראה איור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ h‬באמצעות ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬הבע את שטח הפנים של התיבה באמצעות ‪. x‬‬
‫ג‪ .‬מה צריך להיות ‪ x‬בעבורו שטח הפנים של התיבה יהיה מינימלי?‬
‫‪ )30‬נפח קופסה בצורת תיבה הפתוחה מלמעלה הוא ‪ 36‬סמ"ר‪.‬‬
‫בסיס הקופסה הוא מלבן שרוחבו גדול פי ‪ 2‬מאורכו‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מידות בסיס הקופסה בעבורן‬
‫שטח הפנים שלה יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה גובה הקופסה במקרה זה?‬
‫‪3x‬‬
‫‪h‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪ )31‬נתון גליל שרדיוסו ‪ r‬וגובהו ‪ . h‬ידוע כי רדיוס הגליל וגובהו מקיימים‪. r 2  h  128 :‬‬
‫א‪ .1 .‬הבע באמצעות ‪ r‬את גובה הגליל‪.‬‬
‫‪ .2‬הבע באמצעות ‪ r‬את שטח הפנים של הגליל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורך הרדיוס בעבורו שטח הפנים של הגליל יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה נפח הגליל במקרה זה?‬
‫‪311‬‬
‫‪ )32‬הנפח של קופסת עפרונות בצורת גליל הוא ‪.V  512‬‬
‫ידוע כי הקופסה פתוחה מלמעלה‪.‬‬
‫רדיוס הקופסה יסומן ב ‪ x -‬וגובה הקופסה יסומן ב‪. h -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את גובה הקופסה ואת שטח הפנים שלה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את רדיוס הקופסה בעבורו שטח הפנים שלה יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה שטח הפנים של הקופסה במקרה זה?‬
‫‪h‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )33‬במשולש הישר זווית ‪ ABC‬חוסמים מלבן ‪ BDEF‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫מידות המלבן הן‪. DE  6 , EF  12 :‬‬
‫מסמנים את אורך הצלע ‪ AB‬ב ‪. x -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את אורך הצלע ‪.BC‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורכי הניצבים ‪ AB‬ו‪ BC-‬של המשולש בעל השטח המינימלי?‬
‫‪ )34‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪ .‬מהקדקוד ‪ B‬מעבירים את הצלע ‪ EF‬הנפגשת עם‬
‫המשכי הצלעות ‪ DC‬ו‪ .AD-‬ידוע כי מידות המקבילית הן‪. AD  8 , AB  2 :‬‬
‫מסמנים את אורך הצלע ‪ DE‬ב ‪. x -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את אורך הצלע ‪.DF‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ x‬בעבורו סכום הצלעות ‪ DE‬ו‪ DF-‬הוא מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה הוא הסכום המינימלי?‬
‫‪x  10‬‬
‫‪ )35‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ f ( x) ‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫מסמנים נקודה ‪ A‬על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬ו ‪ B-‬על גרף‬
‫המשיק כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪ A‬בעבורם אורך הקטע ‪ AB‬הוא מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה אורך הקטע ‪ AB‬במקרה זה?‬
‫‪B‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x5‬‬
‫‪ )36‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪ f ( x) ‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫מהנקודה ‪ A‬שעל גרף הפונקציה מורידים אנכים לצירים כך‬
‫שנוצר המלבן ‪ .ABOC‬מצא מה צריכים להיות שיעורי‬
‫הנקודה ‪ A‬כדי ששטח המלבן יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪312‬‬
‫‪C‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪x  12‬‬
‫‪ )37‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2  3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ f ( x) ‬בתחום‪. x  0 :‬‬
‫מקצים נקודה ‪ A‬על גרף הפונקציה וממנה מורידים אנכים‬
‫לצירים כך שנוצר המלבן ‪ ABOC‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪A‬‬
‫בעבורם שטח המלבן יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬בעבורם שטח המלבן‬
‫יהיה מינימלי בתחום הנ"ל‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪9x‬‬
‫‪x 8‬‬
‫‪ f ( x) ‬והישר‪:‬‬
‫‪ )38‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪25‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.y‬‬
‫הנקודות ‪ A‬ו ‪ B-‬נמ צאות על הגרפים של הפונקציות כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫מהנקודות ‪ A‬ו ‪ B-‬מותחים אנכים לציר ה‪ y -‬כך שנוצר המלבן ‪.ABCD‬‬
‫נסמן את שיעור ה ‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬ב‪. t -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את היקף המלבן ‪.ABCD‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ t‬בעבורו היקף המלבן הוא מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה ההיקף במקרה זה?‬
‫‪313‬‬
‫‪O‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪27‬‬
‫‪27‬‬
‫‪ )1‬א‪ . y  2 .‬ב‪ )2 . x  3 , y  1.5 .‬א‪ .16 , 16 .‬ב‪. 32 .‬‬
‫‪ )3‬א‪2 .‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . S  x  ‬ג‪. 7 , -7 )6 . , 2 , 6 .‬‬
‫‪ )4‬א‪ . , 2 .‬ב‪ )5 .1 .‬א‪ . 3x , 9 x .‬ב‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3x 9 x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ . y ‬ב‪ . x  3 , y  4 .‬ג‪ )8 . S  7 .‬א‪ 11 .‬ס"מ ו‪ 22 -‬ס"מ‪ .‬ב‪. S  162 .‬‬
‫‪ )7‬א‪.‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ .‬ב‪. 3 , 3 , 3 .‬‬
‫‪ 12 )9‬ו‪ 16-‬מטרים ‪ 14 )10 .‬ס"מ ו ‪ 84 -‬ס"מ ‪ 6 )11 .‬ו‪ 20-‬מטרים‪.‬‬
‫‪ )12‬א‪ 6 .‬ס"מ על ‪ 10‬ס"מ‪ .‬ב‪ 12 .‬ס"מ על ‪ 20‬ס"מ‪ 9 )13 .‬ס"מ על ‪ 18‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ )14‬א‪ 15 .‬ס"מ על ‪ 9‬ס"מ‪ .‬ב‪ )15 . S  75 .‬א‪ 2.‬ס"מ על ‪ 6‬ס"מ‪ .‬ב‪. S  48 .‬‬
‫‪ 9 )16‬ס"מ על ‪ 18‬ס"מ‪ )17 .‬א‪ 11 .‬ס"מ על ‪ 22‬ס"מ‪ .‬ב‪. S  98 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )18‬א‪ . A(2,0.25) .‬ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )20 . A(2, 4) )19 . AB ‬א‪ . A(2,6) .‬ב‪. p  16 .‬‬
‫‪ )21‬א‪ . A(2, 2) .‬ב‪ )22 . AB  7 .‬א‪ . A  0.5, 2  .‬ב‪ ,2 .‬הנקודה ‪ B‬ממוקמת על ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪16‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ )23‬א‪ . S  t 2  16t . t  2 .‬ב‪ . t  2 .‬ג‪ )24 . S  12 .‬א‪ 6 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪3t 2  2t  5‬‬
‫‪ )26 . A 1, 2  )25‬א‪.‬‬
‫‪2 t  2‬‬
‫‪ . P  4t ‬ב‪ . t  2 .‬ג‪. S  14 .‬‬
‫‪ P ‬ב‪ t  3 .‬ג‪ 8 .‬ס"מ‪ )27 .‬א‪ y   x  2 .‬ב‪ A  6, 4  .‬ג‪ 12 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪768‬‬
‫‪96‬‬
‫‪ )28‬א‪ . h  2 .‬ב‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2916‬‬
‫‪729‬‬
‫‪ . S  2 x 2 ‬ג‪ )30 . x  9 .‬א‪ . 3 , 6 .‬ב‪. h  2 .‬‬
‫‪ )29‬א‪ . h  2 .‬ב‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪256‬‬
‫‪128‬‬
‫‪ )31‬א‪ 2 r 2 .2 . h  2 .1 .‬‬
‫‪ . S ‬ב‪ . r  4 .‬ג‪.V  128 .‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪1024‬‬
‫‪512‬‬
‫‪ )32‬א‪  x 2 , h  2 .‬‬
‫‪ . S ‬ב‪ . x  8 .‬ג‪. S  192 .‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪8x‬‬
‫‪6x‬‬
‫‪. DF ‬‬
‫‪ BC ‬ב‪ 12 .‬ס"מ ו‪ 24-‬ס"מ‪ )34 .‬א‪.‬‬
‫‪ )33‬א‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x  12‬‬
‫‪ . S  6 x 2 ‬ג‪. 4,6,12  x  4 .‬‬
‫‪x2  6 x‬‬
‫ב‪ .‬מתקבלת הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ . L ‬הפתרון הוא‪ . x  6 :‬ג‪. L  18 .‬‬
‫‪ )35‬א‪ y  3x  5 .‬ב‪ A  4, 7  .‬ג‪ )37 A 10, 2.5 )36 . AB  24 .‬א‪. A  2, 2  .‬‬
‫ב‪ .‬בקצה התחום שטח המלבן יהיה אפס ולכן‪. A  0, 0  :‬‬
‫‪1.28t 2  0.72t  16‬‬
‫‪ )38‬א‪.‬‬
‫‪t 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ P ‬ב‪ t  4 .‬ג‪. P  12.88 .‬‬
‫‪314‬‬
‫תרגילים העוסקים בפונקצית שורש‪:‬‬
‫‪ x )1‬ו‪ y -‬הם שני מספרים המקיימים‪. x  y  15 :‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ y‬באמצעות ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ x‬ו ‪ y -‬בעבורם סכום השורשים שלהם יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪ )2‬נתונים שני מספרים חיוביים ‪ x‬ו‪ y -‬המקיימים‪. 3x  y  36 :‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ y‬באמצעות ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את המספרים בעבורם סכום השורשים שלהם מקסימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה סכום השורשים שלהם במקרה זה?‬
‫‪ )3‬נתון המעוין ‪ .ABCD‬ידוע כי סכום אורכי האלכסונים של המעוין‬
‫הוא ‪ 80‬ס"מ‪ .‬הנקודה ‪ O‬היא נקודת מפגש האלכסונים במעוין‪.‬‬
‫הקטע ‪ AO‬יסומן ב ‪. x -‬‬
‫א‪ .‬הבע את אורכי האלכסונים באמצעות ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬מה צריך להיות ערכו של ‪ x‬בעבורו אורך צלע המעוין היא מינימלית?‬
‫‪ )4‬באיור שלפניך מתואר טרפז ישר זווית ‪ ABCD‬המחולק למלבן ומשולש ישר זווית‪.‬‬
‫גובה הטרפז ‪ BC‬גדול פי ‪ 3‬מהבסיס הקטן ‪ AB‬ואורך השוק‬
‫הארוכה ‪ AD‬הוא ‪ . 360‬הבסיס הקטן יסומן ב‪. x -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את אורך הבסיס הגדול ‪.DC‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערכו של ‪ x‬בעבורו אורך הבסיס ‪ DC‬יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪ )5‬המשולש ‪ ABC‬הוא משולש ישר זווית‪ .‬הנקודה ‪ D‬נמצאת על‬
‫הניצב ‪ BC‬כך שהקטע ‪ BD‬גדול פי ‪ 2‬מהקטע ‪.CD‬‬
‫ידוע כי סכום הניצבים הוא ‪ 13‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורכי הניצבים בעבורם אורך הקטע ‪ AD‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה אורך היתר ‪ AC‬במקרה זה?‬
‫‪ )6‬המשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים )‪.(AB=AC‬‬
‫הקטע ‪ AE‬הוא גובה לבסיס ‪.BC‬‬
‫ידוע כי סכום אורכי הבסיס והגובה הוא ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫הגובה ‪ AE‬יסומן ב‪. x -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את היקף המשולש ‪.ABC‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ x‬בעבורו ההיקף שהבעת בסעיף הקודם הוא מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬בעבור הערך של ‪ x‬שמצאת בסעיף הקודם מה הוא השטח של המשולש?‬
‫‪315‬‬
‫‪ )7‬המרובע ‪ ABCD‬הוא ריבוע‪ .‬הנקודה ‪ E‬נמצאת על הצלע ‪ AD‬של הריבוע‬
‫והנקודה ‪ G‬נמצאת על המשך הצלע ‪ .AD‬מעבירים את הקטעים ‪BE‬‬
‫ו‪ BG-‬ומוסיפים את הנקודה ‪ ,F‬כך שהמרובע ‪ BEFG‬הוא מלבן‬
‫כמתואר באיור‪ .‬הקטע ‪ AG‬גדול פי ‪ 2‬מהצלע ‪ BE‬של‬
‫המלבן וסכום הצלע ‪ BE‬ואלכסון המלבן ‪ GE‬הוא ‪ 16‬ס"מ‪.‬‬
‫הקטע ‪ BE‬יסומן ב‪. x -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את אורך הקטע ‪.AE‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ x‬בעבורו אורך צלע הריבוע תהיה מקסימלית‪.‬‬
‫(היעזר במשולש ‪.)ABE‬‬
‫‪ )8‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪ .‬הנקודה ‪ O‬היא פגישת האלכסונים ‪ AC‬ו‪.BD-‬‬
‫ידוע כי האלכסון ‪ BD‬מאונך לצלעות ‪ BC‬ו ‪ AD-‬של המקבילית‪.‬‬
‫כמו כן האלכסון ‪ AC‬גדול ב ‪ 27 -‬ס"מ מהצלע ‪.BC‬‬
‫סמן את הצלע ‪ BC‬ב‪ x -‬וענה על השאלות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את אורך הקטע ‪.CO‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את אורך הקטע ‪.BO‬‬
‫ג‪ .‬מצא בעבור איזה ערך של ‪ x‬יהיה אורך הקטע ‪ BO‬מקסימלי‪.‬‬
‫‪ )9‬המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז שווה שוקיים‪.‬‬
‫מורידים את הגבהים לטרפז ‪ AE‬ו‪ BF-‬כך‬
‫שהמרובע ‪ ABFE‬הוא ריבוע‪.‬‬
‫ידוע כי אורך שוק בטרפז הוא ‪ 5‬ס"מ‪.‬‬
‫מצא מה צריך להיות אורך הבסיס הקטן ‪AB‬‬
‫בעבורו אורך הבסיס ‪ DC‬יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )10‬באיור שלפניך נתונים הגרפים של הפונקציות‪f ( x)  x  3 :‬‬
‫ו‪ . g ( x)  4 x -‬מסמנים נקודה ‪ A‬על גרף הפונקציה )‪g ( x‬‬
‫ונקודה ‪ B‬על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬בעבורם אורך‬
‫הקטע ‪ AB‬יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה אורך הקטע ‪ AB‬במקרה זה?‬
‫‪316‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )11‬נתונים הגרפים של הפונקציות‪ f ( x)  2 x2  30 :‬ו‪. g ( x)  8 x -‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬והנקודה ‪ B‬נמצאת על גרף‬
‫הפונקציה )‪ g ( x‬כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה ‪. y -‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪A‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫נסמן את שיעור ה ‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬ב ‪. t -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את‪:‬‬
‫‪ .1‬שיעורי הנקודה ‪.B‬‬
‫‪ .2‬אורך הקטע ‪.AB‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ t‬בעבורו אורך הקטע ‪ AB‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )12‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)  2 4  x :‬הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪f ( x‬‬
‫ברביע הראשון‪ .‬מורידים אנכים לצירים כך שנוצר מלבן (בעל השטח המסומן)‪.‬‬
‫מסמנים את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬ב‪. t -‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את היקף המלבן‪.‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ t‬בעבורו היקף המלבן יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה היקף המלבן במקרה זה?‬
‫‪y‬‬
‫‪ )13‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)  4 5  x :‬הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬ברביע‬
‫הראשון‪ .‬מורידים אנכים לצירים כך שנוצר מלבן (בעל השטח המסומן)‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫מסמנים את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬ב‪. t -‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את היקף המלבן‪.‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ t‬בעבורו היקף המלבן יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה היקף המלבן במקרה זה?‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )14‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪. f ( x)  6  x 2 :‬‬
‫א‪ .‬מצא נקודה על גרף הפונקציה ברביע הראשון שמרחקה‬
‫מראשית הצירים הוא מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם קיימת נקודה על גרף הפונקציה שמרחקה מראשית‬
‫הצירים הוא מקסימלי? אם כן היכן היא ממוקמת?‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )15‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪. f ( x)  x 2 :‬‬
‫הנקודה )‪ A(0,6‬נמצאת על ציר ה ‪ y -‬והנקודה ‪ B‬היא‬
‫נקודה כלשהי על גרף הפונקציה ברביע השני‪.‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪ B‬בעבורם המרחק‬
‫בין ‪ A‬ל‪ B-‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪317‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )16‬נתון גרף הפונקציה‪. f ( x)  2 x :‬‬
‫מצא נקודה על גרף הפונקציה ברביע‬
‫הראשון שמרחקה מהנקודה )‪ A(6,0‬מינימלי‪.‬‬
‫‪ )17‬נתון גרף הפונקציה‪. f ( x)  3 x :‬‬
‫מצא נקודה על גרף הפונקציה ברביע‬
‫הרביעי שמרחקה מהנקודה )‪ A(5.5,0‬הוא מינימלי‪.‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ )18‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪. f ( x)  6  3 x :‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון‪.‬‬
‫מהנקודה ‪ A‬מותחים אנכים לצירים אשר חותכים אותם‬
‫בנקודות ‪ B‬ו‪ C-‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫נסמן את שיעור ה ‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬ב ‪. t -‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את סכום הקטעים ‪.AC+AB‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערכו של ‪ t‬בעבורו סכום הקטעים הנ"ל יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪ )19‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪. f ( x)  8 x  2 x :‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫מהנקודה ‪ A‬מותחים אנכים לצירים ‪ AB‬ו ‪AC-‬‬
‫כמתואר באיור‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪ A‬בעבורם סכום‬
‫הקטעים ‪ AB  AC‬יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪318‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪B‬‬
:‫תשובות סופיות‬
. 4 3 6.92 .‫ ג‬. x  3 , y  27 .‫ ב‬. y  36  3x .‫) א‬2
. x  y  7.5 .‫ ב‬. y  15  x .‫) א‬1
. x  20 .‫ ב‬. AC  2 x , BD  80  2 x .‫) א‬3
. AC  97 .‫ ב‬. AB  4 , BC  9 .‫) א‬5 . x  2 .‫ ב‬. DC  x  3 40  x2 .‫) א‬4
. 48 .‫ ג‬. x  8 .‫ ב‬. P  2 1.25x2 10 x  100  20  x .‫) א‬6
. x  6 .‫ ב‬. AE  16  3x .‫) א‬7
. x  9 .‫ ג‬. BO  
3x 2 27 x
1

 182 .‫ ב‬. CO  0.5x  13.5 .‫) א‬8
4
2
4
. AB  1 .‫ ב‬. A(4,8) .‫) א‬10 . AB  1 )9
. t  1 .‫ ב‬. AB  2t 2  8 t  30 .2 . B(t ,8 t ) .1 .‫) א‬11
. P  10 .‫ ג‬. t  3 .‫ ב‬. P  2t  4 4  t .‫) א‬12
. P  18 .‫ ג‬. t  1 .‫ ב‬. P  2t  8 5  t .‫) א‬13
. y - ‫( והיא נמצאת על ציר ה‬0,6.75) ‫ הנקודה‬,‫ כן‬.‫ ב‬.  2.5, 0.5 .‫) א‬14
. (1, 3) )17 . (4, 4) )16 . B(4, 4) )15
. (16,0) )19 . t  2.25 .‫ ב‬. l  t  6  3 t .‫) א‬18
319
‫תרגול מבגרויות של ‪ 3‬יחידות‪:‬‬
‫בעיות בהנדסת המישור‪:‬‬
‫‪ )1‬בטרפז שווה‪-‬שוקיים ‪ )AB||CD( ABCD‬אורך השוק‬
‫הוא ‪ 4‬ס"מ ואורך הבסיס הקטן הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ DE‬הוא הגובה מקדקוד ‪( D‬ראה ציור)‪.‬‬
‫מה צריך להיות אורך הקטע ‪ AE‬כדי ששטח‬
‫הטרפז יהיה מקסימלי?‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )2‬נתון מלבן ‪. ABCD‬‬
‫נסמן ב‪ x -‬את אחת מצלעות המלבן‪.‬‬
‫א‪ .‬אם היקף המלבן הוא ‪ 60‬ס"מ בטא‬
‫באמצעות ‪ x‬את שטח המלבן‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם היקף המלבן הוא ‪ p‬מצא מה צריכים‬
‫‪C‬‬
‫להיות אורכי צלעות המלבן כדי ששטחו‬
‫יהיה מקסימלי (הבע את אורכי הצלעות באמצעות ‪.) p‬‬
‫‪ )3‬נתון מלבן ‪ ABCD‬כך ש‪5 -‬ס"מ = ‪, AD = BC‬‬
‫‪10‬ס"מ = ‪. AB = CD‬‬
‫על צלעות המלבן מקצים קטעים ‪:‬‬
‫‪( AP  AQ  CS  CR  x‬ראה ציור)‪.‬‬
‫מה צריך להיות ערכו של ‪ f  x ‬כדי ששטח‬
‫המקבילית ‪ PQRS‬יהיה מקסימלי?‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪D‬‬
‫‪P‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪S‬‬
‫‪C‬‬
‫‪R‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )4‬במשולש ישר זווית ‪ ( C  90 ) ABC‬סכום אורכי הניצבים‬
‫הוא ‪ 8‬ס"מ‪ .‬על היתר ‪ AB‬בונים ריבוע ‪.ABDE‬‬
‫‪D‬‬
‫מה צריכים להיות אורכי הניצבים‪,‬‬
‫כדי ששטח המחומש ‪ AEDBC‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )5‬בחצי עיגול שרדיוסו ‪ 8‬ס"מ חוסמים מלבן ‪, ABCD‬‬
‫כך שהצלע ‪ AB‬של המלבן מונחת על הקוטר‪,‬‬
‫והקדקודים ‪ C‬ו‪ D -‬מונחים על הקשת (ראה ציור)‪.‬‬
‫מה צריך להיות אורך הצלע ‪ AB‬כדי ששטח המלבן‬
‫יהיה מקסימלי?‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )6‬במשולש ישר ‪-‬זווית ‪ , ( B  90 ) ABC‬סכום אורכי הניצבים הוא ‪ 30‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ AD‬הוא תיכון לניצב ‪( BC‬ראה ציור)‪.‬‬
‫חשב מה צריכים להיות אורכי הניצבים‪,‬‬
‫על מנת שריבוע אורך התיכון יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪320‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ )7‬בחוברת פרסום‪ ,‬שטח כל עמוד הוא ‪ 600‬סמ"ר‪.‬‬
‫רוחב השוליים בראש העמוד ובתחתיתו הוא ‪ 8‬ס"מ‪,‬‬
‫ורוחב השוליים בצדדים הוא ‪ 3‬ס"מ‪.‬‬
‫מצא מה צריך להיות האורך והרוחב של כל עמוד‬
‫כדי שהשטח המיועד לדפוס יהיה מקסימלי (השטח המקווקו)‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )8‬בריבוע ‪ ABCD‬הנקודות ‪ G , F , E‬נמצאות על הצלעות ‪, BC , AB‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ DC‬בהתאמה‪ ,‬כך ש ‪( CF = CG , BE = BF -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון כי האורך של צלע הריבוע הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫א‪ .‬סמן ב‪ x -‬את ‪ BF‬ואת ‪ , BE‬והבע באמצעות ‪ x‬את הסכום‬
‫של שטחי המשולשים ‪ EBF‬ו‪( FCG -‬השטח המקווקו)‪.‬‬
‫ב‪ .1 .‬מצא את ‪ x‬שעבורו סכום שטחי המשולשים הוא מינימלי‪.‬‬
‫‪ .2‬חשב את הסכום המינימלי של שטחי המשולשים‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪G‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ )9‬נתון ריבוע ‪ ABCD‬שאורך צלעו ‪ 10‬ס"מ‪ E .‬היא נקודה כלשהי‬
‫מחוץ לריבוע‪ ,‬כך שהמשולש ‪ DEC‬הוא שו"ש (‪.)ED = EC‬‬
‫שוקי המשולש חותכים את הצלע ‪ AB‬בנקודות ‪ M‬ו‪.N -‬‬
‫מצא מה צריך להיות אורך הקטע ‪ AM‬כדי שהסכום של שטחי‬
‫המשולשים ‪ BNC , AMD , EMN‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪N‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )10‬נתון מעגל שרדיוסו ‪ . R‬במעגל זה חסום טרפז שו"ש‪ ,‬כך‬
‫שהבסיס הגדול של הטרפז הוא קוטר במעגל (ראה ציור)‪.‬‬
‫מבין כל הטרפזים החסומים באופן זה‪ ,‬הבע באמצעות ‪R‬‬
‫את אורך הבסיס הקטן בטרפז ששטחו מקסימלי‪.‬‬
‫‪O‬‬
‫‪ )11‬נתונה גזרה של רבע עיגול שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫בונים מלבן ‪ ,ABCD‬כך שרבע המעגל משיק‬
‫לצלע ‪ DC‬בנקודת האמצע שלה‪ ,‬והקודקודים ‪ A‬ו‪B -‬‬
‫נמצאים על הרדיוסים התוחמים את הגזרה‪.‬‬
‫מבין כל האלכסונים של המלבנים ‪ ABCD‬שנוצרים‬
‫באופן זה‪ ,‬מצא את אורך האלכסון הקצר ביותר‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ ABCDE )12‬הוא מחומש המורכב ממשולש ‪ ABE‬וממלבן ‪EBCD‬‬
‫(ראה ציור)‪ .‬נתון‪ 2 :‬ס"מ = ‪ 4 , BC‬ס"מ = ‪. AB = AE‬‬
‫מצא את השטח של המחומש ששטחו מקסימלי‪.‬‬
‫‪321‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )13‬מתבוננים בכל המשולשים ישרי הזווית ‪ABC‬‬
‫החוסמים חצי מעגל שרדיוסו ‪ R‬כמתואר בציור‪.‬‬
‫מהן זוויות המשולש שסכום הניצבים שלו הוא מינימלי?‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )14‬במעגל שרדיוסו ‪ R‬חס ומים משולשים כך שהגודל של הזווית‬
‫‪2‬‬
‫בכל אחד מהמשולשים הוא‬
‫‪5‬‬
‫‪.‬‬
‫‪72‬‬
‫מצא את הזוויות במשולש בעל ההיקף המקסימלי‪.‬‬
‫בעיות בהנדסת המרחב‪:‬‬
‫‪ )15‬גובהו של "מגדל" הבנוי מש תי קוביות (לאו דווקא שוות)‬
‫הוא ‪ 8‬ס"מ‪ .‬מה צריך להיות אורך המקצוע של הקובייה התחתונה‬
‫כדי שנפח המגדל (סכום נפחי הקוביות) יהיה מינימלי?‬
‫‪ )16‬בונים תיבה שגובהה ‪ y‬ס"מ‪ ,‬ובסיסה ריבוע‪ ,‬שאורך צלעו ‪ x‬ס"מ‪,‬‬
‫כך שההיקף של כל אחת מהדפנות הצדדיות שווה ל‪ 12 -‬ס"מ‪.‬‬
‫מה צריך להיות אורך צלע הבסיס כדי שנפח התיבה יהיה מקסימלי?‬
‫‪ )17‬יש לבנות תיבה פתוחה מלמעלה‪ ,‬שבסיסה ריבוע ושטח פניה ‪ 75‬סמ"ר‬
‫(במקרה זה שטח הפנים מורכב מבסיס אחד ומארבע פאות צדדיות)‪.‬‬
‫מכל התיבות שאפשר לבנות‪ ,‬מצא את ממדי התיבה (צלע הבסיס וגובה)‬
‫שנפחה מקסימלי‪.‬‬
‫‪ )18‬יש להכין מחוט תיל "שלד" (מסגרת) של תיבה‪ ,‬שבסיסה ריבוע‬
‫ונפחה ‪ 1000‬סמ"ק‪.‬‬
‫מהו האורך המינימלי של החוט הנחוץ ליצירת התיבה?‬
‫‪ )19‬מחוט שאורכו ‪ a‬ס"מ יש לבנות מנסרה משולשת ישרה‪ ,‬שבסיסה‬
‫הוא משולש שווה צלעות‪ .‬מצא איזה חלק מאורך החוט יש להקצות‬
‫לצלע הבסיס ‪ x‬ואיזה חלק לגובה ‪ y‬כדי שיתקיים‪:‬‬
‫א‪ .‬שטח המעטפת של המנסרה יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬נפח המנסרה יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪322‬‬
‫‪ )20‬מכל הפירמידות המרובעות‪ ,‬המשוכללות והישרות‪,‬‬
‫שאורך המקצוע הצדדי שלהן הוא ‪ , a‬מצא את נפחה של‬
‫הפירמידה בעלת הנפח המקסימלי‪.‬‬
‫‪ )21‬מכל הפירמידות הישרות ‪ ,‬שבסיסן ריבוע ושטח הפנים שלהן‬
‫הוא ‪ 200‬סמ"ר‪ ,‬חשב את נפחה של הפירמידה בעלת הנפח‬
‫המקסימלי‪.‬‬
‫‪ )22‬אלכסון החתך הצירי של גליל ישר הוא ‪ 12‬ס"מ (ראה ציור)‪.‬‬
‫מצא מה צריכים להיות גובה הגליל ורדיוס בסיסו כדי שנפחו‬
‫יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ )23‬נתון מיכל גלילי פתוח מלמעלה שקיבולו ‪ 64‬מ"ק‪.‬‬
‫המיכל עשוי כולו מפח‪.‬‬
‫הראה כי שטח הפח הוא מינימלי כאשר רדיוס‬
‫הבסיס הוא‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫מטר‪.‬‬
‫‪ )24‬מבין כל החרוטים שאורך הקו היוצר שלהם הוא ‪ 10‬ס"מ (ראה ציור)‪,‬‬
‫מהו נפח החרוט שנפחו מקסימלי?‬
‫בעיות בפונקציות וגרפים‪:‬‬
‫‪ )25‬מנקודה ‪ , A‬הנמצאת על גרף הפונקציה ‪, y   x2  5x‬‬
‫מורידים אנכים לצירים כך שנוצר מלבן ‪.ABOC‬‬
‫א‪ .‬מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬כדי שהיקף‬
‫המלבן יהיה מקסימלי?‬
‫ב‪ .‬מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬כדי שהיקף‬
‫המלבן יהיה מינימלי?‬
‫‪ )26‬בפרבולה ‪ y  9  x2‬חוסמים מלבן ‪ , ABCD‬כך‬
‫שהצלע ‪ AB‬מונחת על ציר ה‪( x -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫מה צריך להיות אורך הצלע ‪ CD‬כדי ששטח‬
‫המלבן יהיה מקסימלי?‬
‫‪323‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ )27‬טרפז ‪ ABCD‬חסום בין גרף הפרבולה ‪ y  9  x2‬לבין‬
‫ציר ה ‪( x -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬כדי ששטח‬
‫הטרפז ‪ ABCD‬יהיה מקסימלי?‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המקסימלי של טרפז ‪.ABCD‬‬
‫‪ )28‬נתונה הפרבולה ‪ . y   x2  12‬ישר המקביל לציר ה‪ x -‬חותך‬
‫את הפרבולה בנקודות ‪ A‬ו‪( B -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫מחברים את הנקודות ‪ A‬ו ‪ B -‬עם ראשית הצירים‪.O ,‬‬
‫א‪ .‬מה צריך להיות אורך הקטע ‪ AB‬כדי ששטח‬
‫המשולש ‪ AOB‬יהיה מקסימלי?‬
‫ב‪ .‬מהו השטח המקסימלי של המשולש ‪? AOB‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )29‬נתונים הגרפים של שתי פרבולות‪. y   x 2  3x , y  x 2  7 :‬‬
‫קו מקביל לציר ה ‪ y -‬חותך את שתי הפרבולות‬
‫בנקודות ‪ P‬ו‪( Q -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫מבין כל הקטעים המתקבלים באופן זה‪ ,‬מצא את האורך‬
‫המינימלי של הקטע ‪.PQ‬‬
‫‪ )30‬נתון גרף הפונקציה ‪ . y  x‬על ציר ה‪ x -‬נתונה הנקודה‬
‫)‪( A(4.5, 0‬ראה ציור)‪.‬‬
‫מצא על גרף הפונקציה נקודה ‪ ,M‬כך שריבוע המרחק‬
‫‪ AM‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪ )31‬מצא על הישר ‪ f ( x)  3x  4‬את הנקודה הקרובה ביותר לנקודה )‪. (0,1‬‬
‫‪ )32‬בציור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪. g ( x)  36  6 x , f ( x)  3x‬‬
‫מלבן חסום בין הגרפים של הפונקציות ובין ציר ה‪, x -‬‬
‫כמתואר בציור‪.‬‬
‫מצא את השטח הגדול ביותר האפשרי למלבן שחסום‬
‫באופן זה‪.‬‬
‫‪ )33‬דרך איזו נקודה על הפרבולה ‪ y   x2  2 x‬צריך להעביר‬
‫משיק‪ ,‬כדי ששטח הטרפז‪ ,‬הנוצר על ידי המשיק‬
‫והישרים‪ x  0 , x  1 :‬ו ‪y  0 -‬‬
‫(השטח המקווקו שבציור) יהיה מינימלי?‬
‫‪324‬‬
‫‪ )34‬נקודה ‪ B‬נמצאת על גרף הפונקציה ‪ y  x 2‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪ A‬היא הנקודה )‪ (0, a‬כאשר ידוע כי ‪( a  0.5‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬בטא באמצעות ‪ a‬את שיעורי הנקודה ‪ ,B‬שעבורה‬
‫המרחק ‪ AB‬הוא מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא עבור איזה ערך של ‪ a‬המרחק המינימלי הוא ‪.2‬‬
‫‪ )35‬נתונה הפרבולה ‪ , y  x 2‬ונתון משיק לפרבולה‬
‫שמשוואתו היא ‪ . y  6 x  9‬בנקודה ) ‪ (t , t 2‬שעל‬
‫הפרבולה מעבירים משיק נוסף לפרבולה‪.‬‬
‫המשיקים נחתכים בנקודה ‪( M‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע את משוואת המשיק הנוסף באמצעות ‪. t‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ t‬שעבורו אורך הקטע‪ ,‬המחבר את‬
‫הנקודה ‪ M‬עם קודקוד הפרבולה יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪ )36‬במערכת צירים נתונות הנקודות )‪ A(2, 2‬ו‪. B(2, 2) -‬‬
‫ראשית הצירים היא בנקודה ‪ M .O‬היא נקודה על ציר‬
‫ה ‪ x -‬בתחום ‪. x  0‬‬
‫מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪,M‬‬
‫כדי שהסכום‪ OM + MA + MB :‬יהיה מינימלי?‬
‫‪325‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪. AE  1.7cm )1‬‬
‫‪ )2‬א‪ . x  30  x  .‬ב‪ .‬כל צלע שווה ל‪. 0.25 p -‬‬
‫‪. AC  BC  4cm )4 . x  3.75cm )3‬‬
‫‪ 24 )6 . AB  2 32 cm )5‬ס"מ = ‪ 6 , BC‬ס"מ = ‪.AB‬‬
‫‪ )7‬אורך‪ 40 :‬ס"מ רוחב‪ 15 :‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ )8‬א‪ . S  x2  6 x  18 .‬ב‪ . x  3 .1.‬ב‪ 9 .2 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ )10 . AM  5 / 2 )9‬בסיס קטן = ‪. R‬‬
‫‪. 45 , 45 , 90 )13‬‬
‫‪ 12 3 )12‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪. 4 5 cm )11‬‬
‫‪3 3 2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪)14‬‬
‫‪10 10 5‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ 4 )16‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ 4 )15‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ )17‬צלע הבסיס‪ 5 :‬ס"מ‪ .‬גובה‪ 2.5 :‬ס"מ‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )19‬א‪a , y  a .‬‬
‫‪12‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4 3 3‬‬
‫‪a )20‬‬
‫‪27‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ 120 )18‬ס"מ‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ . x ‬ב‪. x  y  a .‬‬
‫‪500‬‬
‫‪)21‬‬
‫‪3‬‬
‫סמ"ק ‪.‬‬
‫‪ )22‬גובה‪ 48 :‬ס"מ‪ .‬רדיוס‪ 24 :‬ס"מ‪ 403.1 )24 .‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪ )25‬א‪ . A  3, 6  .‬ב ‪.  0,0  ,  5,0 ‬‬
‫‪ )27 . CD  2 3 )26‬א‪ . A(1,8) .‬ב‪.32 .‬‬
‫‪ )28‬א‪ . AB  4 .‬ב‪. SAOB  16 .‬‬
‫‪. (1.5, 0.5) )31 . M (4, 2) )30 . PQ  4 )29‬‬
‫‪.8 )32‬‬
‫‪ )34 . (0.5, 0.75) )33‬א‪ . B( (2a 1) / 2,(2a 1) / 2) .‬ב‪. 4.25 .‬‬
‫‪ )35‬א‪ . y  2t  x  t 2 .‬ב‪. M (0.845, 0) )36 . t  3 / 37 .‬‬
‫‪326‬‬
‫תרגול מבגרויות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ )1‬נתונות הפונקציות‪. f  x   x 2 :‬‬
‫‪g  x  2x‬‬
‫הנקודות ‪ A‬ו ‪ B -‬נמצאות על הגרפים של הפונקציות‬
‫כך ש ‪ AB -‬מקביל לציר ה ‪, y -‬‬
‫והנקודות נמצאות בין שתי נקודות החיתוך‬
‫של הגרפים של הפונקציות (ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬שעבורן אורך הקטע ‪AB‬‬
‫הוא מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬עבור האורך המקסימלי של הקטע ‪ , AB‬חשב את שטח המשולש ‪ABO‬‬
‫( ‪ - O‬ראשית הצירים)‪.‬‬
‫‪ )2‬נתונה הפונקציה ‪. f  x   2 x  5‬‬
‫הנקודה ‪ B‬היא הקדקוד של פרבולה‬
‫שמשוואתה ‪. y  x2  16 x  64‬‬
‫מצא נקודה על גרף הפונקציה ‪, f  x ‬‬
‫שמרחקה מהנקודה ‪ B‬הוא מינימלי‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )3‬נתונה הפונקציה‬
‫‪x 1‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא על גרף הפונקציה ‪ f  x ‬נקודה שהמכפלה של שיעור ה ‪ x -‬שלה‬
‫בשיעור ה‪ y -‬שלה היא מינימלית‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪x 1‬‬
‫‪. g  x ‬‬
‫היעזר בתשובותיך לסעיף א ולסעיף ב‪ ,‬וסרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪. g  x ‬‬
‫‪327‬‬
‫‪ )4‬במלבן ‪ ABCD‬אורך הצלע ‪ AD‬הוא ‪ 10‬ס"מ‪,‬‬
‫ואורך הצלע ‪ AB‬הוא ‪ a‬ס"מ‪.‬‬
‫הנקודות ‪ H, G , F, E‬נמצאות על צלעות המלבן‬
‫כך ש ‪( AE  AH  CF  CG  x -‬ראה ציור)‬
‫א‪ )1( .‬הבע באמצעות ‪ , a‬ו‪ x -‬את סכום השטחים‬
‫של המשולש ‪ BEF‬והמשולש ‪. AEH‬‬
‫(‪ )2‬הבע באמצעות ‪ a‬את הערך של ‪ x‬שעבורו‬
‫שטח המרובע ‪ EFGH‬הוא מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬כאשר שטח המרובע ‪ EFGH‬הוא מקסימלי‪ ,‬אורך הקטע ‪ DH‬הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫מצא את הערך של ‪. a‬‬
‫‪ )5‬במשולש ישר ‪-‬זווית סכום הניצבים הוא ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מבין כל המשולשים המקיימים תנאי זה‪ ,‬מצא את אורכי הניצבים במשולש שבו‬
‫אורך התיכון ליתר הוא מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורכי התיכונים לניצבים במשולש שאת הניצבים שלו מצאת בסעיף א‪.‬‬
‫‪ )6‬משאית נוסעת ‪ 100‬ק"מ במהירות קבועה של ‪ x‬קמ"ש‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את מספר שעות הנסיעה של המשאית‪.‬‬
‫עלות הנסיעה של המשאית היא פונקציה של המהירות שלה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2 ‬‬
‫‪16‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬שקלים‪.‬‬
‫העלות של שעת נסיעה אחת במהירות ‪ x‬היא ‪‬‬
‫‪400‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ )1( .‬מה צריך להיות הערך של ‪ x‬כדי שעלות הנסיעה של המשאית תהיה מינימלית‪.‬‬
‫(‪ )2‬חשב את העלות המינימלית של הנסיעה‪.‬‬
‫‪ )7‬נתונה מקבילית ‪ DEFB‬שאורכי צלעותיה הם (ס"מ)‪:‬‬
‫‪. DE  90, BD  80‬‬
‫נקודה ‪ A‬נמצאת על המשך הצלע ‪. BD‬‬
‫ונקודה ‪ C‬נמצאת על המשך הצלע ‪BF‬‬
‫כך שהישר ‪ AC‬עובר דרך קודקוד ‪( E‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬נסמן ‪. AD  x‬‬
‫היעזר בדמיון משולשים‪ ,‬והבע באמצעות ‪x‬‬
‫את אורך הקטע ‪. FC‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ x‬שעבורו סכום הצלעות ‪ AB‬ו‪ BC -‬הוא מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את הסכום המינימלי של הצלעות ‪ AB‬ו ‪. BC -‬‬
‫‪328‬‬
‫‪ )8‬ענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬מבין כל המלבנים ששטחם ‪ k‬סמ"ר‪ ,‬הבע באמצעות ‪ k‬את צלעות‬
‫המלבן שהיקפו מינמלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי קוטר המעגל החוסם את המלבן שהיקפו מינמלי‪ ,‬הוא ‪ 8‬ס"מ‪.‬‬
‫מצא את הערך של ‪. k‬‬
‫‪ )9‬נתון מלבן ‪ ABCD‬שאורכי צלעותיו הם‪:‬‬
‫‪. AB  9 , AD  4‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על הצלע ‪( CD‬בין ‪ C‬ל ‪) D‬‬
‫ההמשך של ‪ AE‬חותך את המשך הצלע ‪BC‬‬
‫בנקודה ‪( F‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח ‪ADE FCE‬‬
‫ב‪ .‬סמן ‪ , DE  x‬ומצא מה צריך להיות האורך של ‪DE‬‬
‫כדי שהסכום השטחים של המשולשים ‪ ADE‬ו‪ FCE -‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫בתשובתך תוכל להשאיר שורש‪.‬‬
‫‪ )10‬נתון משולש שווה‪-‬שוקיים ‪ABC‬‬
‫‪ AB  AC‬‬
‫שבו אורך הגובה ‪ AD‬לבסיס ‪ BC‬הוא ‪ 12‬ס"מ‪,‬‬
‫ואורך הבסיס ‪ BC‬הוא ‪ 10‬ס"מ‪ M .‬היא נקודה כלשהי על‬
‫הגובה ‪ . AD‬נסמן ‪. MD  x‬‬
‫א‪ .‬מצא עבור איזה ערך של ‪x‬‬
‫סכום הקטעים ‪ AM+MB+MC‬הוא מינימלי‪.‬‬
‫תוכל להשאיר שורש בתשובתך‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את גודל הזווית ‪ BMC‬עבור הערך של ‪ x‬שמצאת בסעיף א‪.‬‬
‫‪ )11‬אורך של קיר בצורת מלבן הוא ‪ 16‬מטר‪,‬‬
‫והגובה של הקיר הוא ‪ 10‬מטר‪.‬‬
‫רוצים לצפות בקרמיקה חלק מהקיר‪.‬‬
‫החלק שוצים לצפות כולל‪:‬‬
‫‪ ‬שני ריבועים זהים בפינות המלבן‪.‬‬
‫‪ ‬משולש שווה שוקיים שבסיסו מקביל לצלע‬
‫המלבן (השטחים האפורים בציור)‪.‬‬
‫סמן ב‪ x -‬את האורך של צלע הריבוע‪ ,‬וענה על סעיפים א‪-‬ג‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את הגובה לבסיס המשולש שווה ‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה צריך להיות ‪ , x‬כדי שסכום השטחים שרוצים לצפות בקרמיקה יהיה מינימלי?‬
‫ג‪ .‬עבור ה‪ x -‬שמצאת בסעיף ב‪ ,‬חשב כמה אחוזים משטח הקיר מהווה החלק‬
‫שרוצים לצפות בקרמיקה‪.‬‬
‫‪329‬‬
‫‪ )12‬בציור שלפניך מוצגים הגרפים של הפונקציות‬
‫‪ f  x    x 2  9‬ו ‪. g  x    x  3 -‬‬
‫נקודה ‪ A‬נמצאת ברביע הראשון על גרף‬
‫הפונקציה ‪ . f  x ‬מנקודה ‪ A‬העבירו שני ישרים‪:‬‬
‫ישר אחד‪ ,‬המקביל לציר ה‪ y -‬וחותך את גרף‬
‫‪2‬‬
‫הפונקציה ‪ g  x ‬בנקודה ‪ , B‬וישר אחר‪,‬‬
‫המקביל לציר ה ‪ x -‬וחותך את גרף‬
‫הפונקציה ‪ f  x ‬בנקודה ‪( . C‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נסמן את שיעור ה ‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬ב ‪. t -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את השיעורים של הנקודות ‪ B , A‬ו‪. C -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הערך של ‪ t‬שעבורו שטח המשולש ‪ ABC‬הוא מקסימלי‪.‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬א‪ 1.466 , A 1.58,1.78 , B 1.58,0.314 .‬יח"א ‪ AB ‬ב‪ 1.164 .‬יח"ש ‪. SABO ‬‬
‫‪.  7,3 )2‬‬
‫‪ )3‬א‪ x  1 .‬ב‪  2,1 .‬ג‪ .‬סקיצה בצד‪.‬‬
‫‪ )4‬א‪.‬‬
‫‪ )5‬א‪.‬‬
‫‪ )6‬א‪.‬‬
‫‪ )7‬א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 x 2  10 x  ax  10a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪.‬‬
‫(‪ x  2.5  a )2‬ב‪.‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 10‬ס"מ‪ 10 ,‬ס"מ‪ .‬ב‪ 11.18 .‬ס"מ‪ 11.18 ,‬ס"מ‪.‬‬
‫‪100‬‬
‫ב‪ 40 )2( .80 )1( .‬שקלים‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3600‬‬
‫ב‪ 60 .‬ס"מ ג‪ 250 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )8‬א‪ k .‬ס"מ‪ k ,‬ס"מ‪ .‬ב‪. k  32 .‬‬
‫‪ )9‬ב‪. 40.5 .‬‬
‫‪5 3‬‬
‫‪ )10‬א‪ 2.887 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ x ‬ב‪.120 .‬‬
‫‪ )11‬א‪ 10  x .‬ב‪ x  3 .‬ג‪. 33.125% .‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )12‬א‪ C  t , t 2  9  , B t,  t  3 , A  t, t 2  9  .‬ב‪. t  2 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪330‬‬
‫פרק ‪ - 10‬חשבון אינטגרלי‪:‬‬
‫סיכום כללי האינטגרציה‪:‬‬
‫הגדרה וחוקים יסודיים‪:‬‬
‫כלל האינטגרציה של פונקציה פולינומית‪ n  1 :‬‬
‫‪ax n1‬‬
‫עבור מקדם קבוע ‪ a‬נקבל‪ c :‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪x n 1‬‬
‫‪c ,‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪.  x n dx ‬‬
‫‪.  n  1 ,  ax n dx ‬‬
‫חישוב שטחים באמצעות האינטגרל‪:‬‬
‫‪ .1‬שטח הכלוא בין גרף פונקציה וציר ה‪: x -‬‬
‫‪b‬‬
‫‪S   f  x  dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ .2‬שטח הכלוא בין שני גרפים כך שגרף אחד כולו מעל השני‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪S1    g  x   f  x   dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪S 2    f  x   g  x   dx‬‬
‫‪b‬‬
‫‪S  S1  S2‬‬
‫‪ .3‬שטח הכלוא בין שני גרפים וציר ה ‪: x -‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪S   f  x  dx   g  x  dx‬‬
‫‪c‬‬
‫‪331‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫שאלות לפי נושאים‪:‬‬
‫שאלות יסודיות – חישובי אינטגרלים‪:‬‬
‫‪ )1‬מצא את האינטגרלים הבאים‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪ x dx  .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪dx ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫ה‪ 2 x5 dx  .‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫ז‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪5 4‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪16‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4 x  dx ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )2‬מצא את האינטגרלים הבאים‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪ x dx  .‬‬
‫‪12x dx ‬‬
‫‪ 2x dx ‬‬
‫‪ 7dx ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪  4 x3‬‬
‫‪‬‬
‫‪2ax‬‬
‫‪2‬‬
‫ח‪  5  ax  b  b dx  .‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ 1 dx  .‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3 a x‬‬
‫‪ 1‬‬
‫ג‪  2  4  3  dx  .‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x a‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 2 x  x  2 dx ‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )3‬מצא את האינטגרלים הבאים‪:‬‬
‫א‪dx  .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪x dx  .‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪‬‬
‫ד‪ 3 x dx  .‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪dx ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪ )4‬מצא את האינטגרלים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪  5x 1 dx ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫ד‪dx  .‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 6x  3‬‬
‫ב‪dx  .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 3  2  7x ‬‬
‫ה‪ax  b dx  .‬‬
‫‪‬‬
‫שאלות יסודיות – מציאת פונקציה קדומה‪:‬‬
‫‪ )5‬נתונה נגזרת של פונקציה‪. f '  x   3x2  7 :‬‬
‫מצא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה ‪.  2, 1‬‬
‫‪ )6‬נתונה נגזרת של פונקציה‪. f '  x   2 x  6 :‬‬
‫ערך הפונקציה בנקודת הקיצון שלה הוא ‪.5‬‬
‫‪332‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪18‬‬
‫‪dx ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪  6 x  5‬‬
‫מצא את הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )7‬הנגזרת של פונקציה ‪ f  x ‬היא‪ . f '  x   x  8x  2 :‬נתון‪. f  2   1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. f  x ‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x  1‬‬
‫‪ )8‬נתונה הנגזרת של פונקציה ‪. f '  x   9 x2  4 : f  x ‬‬
‫ערך הפונקציה בנקודה ‪ x  1‬הוא ‪.3‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪. f  x ‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של המשיק עם הצירים‪.‬‬
‫‪ )9‬הנגזרת של פונקציה ‪ f  x ‬היא‪ . f '  x   2 x  3 :‬לפונקציה משיק ששיפועו הוא ‪.-3‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של נקודת ההשקה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ f  x ‬אם ידוע כי ערך הפונקציה באותה הנקודה הוא ‪.7‬‬
‫‪ )10‬הנגזרת של פונקציה ‪ f  x ‬היא‪. f '  x   6 x  5 :‬‬
‫המשיק לפונקציה בנקודה ‪ A‬יוצר זווית של ‪ 45‬עם הכיוון החיובי של ציר ה‪. x -‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ f  x ‬אם ידוע כי ערך הפונקציה באותה הנקודה הוא ‪.- 6‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫‪ )11‬הנגזרת של פונקציה ‪ f  x ‬היא‪. f '  x   3x  4 :‬‬
‫הישר ‪ y  2 x  5‬משיק לגרף הפונקציה‪ .‬מצא את ‪. f  x ‬‬
‫‪ )12‬נתונה הנגזרת השנייה של הפונקציה ‪. f ''  x   8x  6 : f  x ‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ f '  x ‬אם ידוע כי לפונקציה יש נקודת קיצון ב ‪. x  2 -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ f  x ‬אם ידוע כי ערך הפונקציה בנקודת הקיצון הוא ‪.2/3‬‬
‫‪ )13‬נתונה הנגזרת השנייה של הפונקציה ‪. f ''  x   2 x  3 : f  x ‬‬
‫א‪ .‬שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה שבה ‪ x  1‬הוא ‪ .4‬מצא את ‪. f '  x ‬‬
‫ב‪ .‬ערך הפונקציה בנקודת ההשקה הוא ‪ .5‬מצא את ‪. f  x ‬‬
‫‪333‬‬
‫האינטגרל המסוים‪:‬‬
‫‪ )14‬בסרטון זה מוסבר האינטגרל המסוים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫חשב את האינטגרל המסוים הבא‪.   x 2  6 x  1 dx :‬‬
‫‪2‬‬
‫חישובי שטחים – פונקציה פולינומית‪:‬‬
‫‪ )15‬בסרטון זה מוסבר כיצד להשתמש באינטגרל המסוים‬
‫כדי לחשב שטחים‪.‬‬
‫נתונה הפונקציה‪. y  2 x  4 :‬‬
‫חשב את השטח המוגבל שמתחת הישר‪,‬‬
‫ציר ה ‪ x -‬והישרים ‪ x  1‬ו ‪. x  2 -‬‬
‫‪ )16‬חשב את השטח המוגבל בין גרף‬
‫הפונקציה‪ , f ( x)  x 2  2 x  3 :‬ציר ה‪x -‬‬
‫והישרים ‪ x  1‬ו ‪. x  3 -‬‬
‫‪ )17‬נתונה הפונקציה ‪. y   x  3‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה לצירים‪.‬‬
‫‪ )18‬נתונה הפונקציה‪. y   x2  4 x  5 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה‬
‫עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪,‬‬
‫ציר ה ‪ x -‬וציר ה‪. y -‬‬
‫‪334‬‬
‫‪ )19‬נתונה הפונקציה ‪. y   x2  4‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה לציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )20‬מצא את השטח המוגבל תחת הפונקציה‪f ( x)  x3  2 x 2  x :‬‬
‫וציר ה‪ x -‬כמתואר באיור‪:‬‬
‫‪ )21‬נתונה הפונקציה ‪. y  x2  4 x  8‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין גרף‬
‫הפונקציה‪ ,‬הצירים וקדקוד הפרבולה‪.‬‬
‫‪ )22‬בסרטון זה מוסבר כיצד לחשב שטח שמתחת לציר ה‪. x -‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪. y  x2  x  6‬‬
‫חשב את השטח המוגבל שמתחת‬
‫לפונקציה ולצירים שברביע הרביעי‪.‬‬
‫‪ )23‬נתונה הפונקציה ‪. f ( x)  x  4  x 2 ‬‬
‫חשב את השטח המוגבל שמתחת‬
‫הפונקציה וציר ה‪ x -‬שברביע השלישי‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )24‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x 4  2 x 2 :‬‬
‫חשב את השטח המוגבל שבין הפונקציה לציר ה‪. x -‬‬
‫‪335‬‬
‫‪ )25‬חשב את האינטגרל המסוים של‬
‫הפונקציה ‪ y  x2  6 x  5‬בין ‪ 0‬ל‪.5-‬‬
‫האם התוצאה מייצגת את סכום השטחים‪? S1  S2 :‬‬
‫אם כן‪ ,‬הסבר‪ .‬אם לא‪ ,‬נמק וחשב את סכום זה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )26‬א‪ .‬חשב את ערך האינטגרל הבא‪.    x3  1 dx :‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה‪. f  x    x3  1 :‬‬
‫מעבירים ישרים‪ x  2 :‬ו‪ x  2 -‬כך‬
‫שנוצרים השטחים ‪ S1‬ו‪ S 2 -‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫חשב את סכום השטחים‪ S1  S2 :‬והסבר‬
‫מדוע תוצאת החישוב שונה מסעיף א'‪.‬‬
‫‪ )27‬נתונה הפונקציה‪. y  x3  x2  2 x :‬‬
‫יוצרים את השטחים ‪ S1‬ו‪ S 2 -‬בין גרף הפונקציה‬
‫וציר ה‪ x -‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה‪. x -‬‬
‫‪ )28‬בסרטון זה מופיע הסבר מסכם על חישוב שטחים‪.‬‬
‫נתונות הפונקציות‪f  x   x 2  1 , g  x   7  x 2 :‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין הגרפים של‬
‫הפונקציות הנ"ל‪.‬‬
‫‪ )29‬נתונות הפונקציות‪. y   x  9 ; y   x  3 :‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )30‬נתונות הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪. f  x   x2  4 x  12 , g  x   x  6‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין הגרפים‬
‫של הפונקציות הנ"ל‪.‬‬
‫‪336‬‬
‫‪ )31‬נתונה הפונקציה‪. y  3x2  6 x  9 :‬‬
‫א‪ .‬מצא נקודות חיתוך של הפונקציה‬
‫עם הצירים (נסמנן ב‪ A-‬ו‪.)B-‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה לישר ‪.AB‬‬
‫‪ )32‬נתונה הפרבולה‪ y   x2  6 x :‬והישר ‪. y  5‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין גרף הפרבולה לישר‪.‬‬
‫‪ )33‬חשב את השטח המוגבל בין גרפים של‬
‫הפונקציות‪. y  x2  4 x ; y   x2  6 :‬‬
‫‪ )34‬נתונה הפונקציה‪. f  x   x3 :‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪,‬‬
‫הישר ‪ y  8‬וציר ה‪ y -‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫‪ )35‬נתונות הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪. g  x    x  4 ; f  x    x2  4 x‬‬
‫מסמנים את השטח הכלוא בין שני הגרפים וציר ה ‪ y -‬ב‪, S1 -‬‬
‫ואת המשך השטח הכלוא בין הגרפים ב‪ S 2 -‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪S1‬‬
‫חשב את היחס שבין השטחים‪:‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪337‬‬
‫‪ )36‬נתונה הפונקציה‪ f ( x)  x3  4 x  5 :‬והישר ‪. y  5‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה והישר‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל ביניהן‪.‬‬
‫‪ )37‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x3  3x2  3x :‬‬
‫הישר ‪ AC‬חותך את גרף הפונקציה‬
‫בנקודות הבאות‪. A  0, 0 , B 1,1 , C  2, 2  :‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה לישר ‪.AC‬‬
‫‪ )38‬בסרטון זה מוסבר כיצד לחשב שטח של פונקציה ללא גרף נתון‪.‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות‪. f  x   x3 , g  x   x :‬‬
‫‪ )39‬חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה ‪ f  x   x3  4 x‬לציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )40‬הפונקציות‪ f  x   x 2 :‬ו‪ g  x    x 2  2 x -‬נחתכות ב‪ 2-‬נקודות‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות‪.‬‬
‫‪ )41‬נתונות הפונקציות‪ f  x   x2  6 x  8 :‬ו‪. g  x   x  2 -‬‬
‫א‪ .‬סרטט את הפונקציות במערכת צירים אחת‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין הגרפים והצירים‪.‬‬
‫‪ )42‬בסרטון זה מוסבר מהו שטח מורכב‪.‬‬
‫נתונות שתי פונקציות‪:‬‬
‫‪. f  x   x2  2x  1 , g  x   x2  6x  9‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות‬
‫ובין ציר ה‪. x -‬‬
‫‪ )43‬הפונקציות המתוארות בשרטוט הן‪. y  3x ; y  x2  4x  6 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את קדקוד הפרבולה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא נקודת חיתוך של הפרבולה עם הישר‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המסומן שבשרטוט‪.‬‬
‫‪338‬‬
‫‪ )44‬נתונות הפונקציות‪. y  x2  4x  14 , y  x2  4 x  6 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי ה‪ x -‬של קדקודי הפרבולות‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את נקודת החיתוך בין שתי הפונקציות‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המסומן בשרטוט‪.‬‬
‫‪ )45‬נתונות הפונקציות‪. f ( x)  ( x  3)2 , g ( x)  ( x  3)2 :‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות וציר ה ‪. x -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )46‬נתונות שתי הפונקציות‪, y   x  2  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.y x‬‬
‫א‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות לציר ה ‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות לציר ה ‪. y -‬‬
‫‪ )47‬נתונות הפונקציות‪. y  x2 , y  8  x2 :‬‬
‫חשב את השטח המוגבל על ידי שתי הפונקציות‬
‫וציר ה‪ x -‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪ )48‬נתונה הפרבולה‪. y   x2  4 x  3 :‬‬
‫מעבירים ישר המקביל לציר ה ‪ x -‬מקדקוד הפרבולה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי קדקוד הפרבולה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין גרף‬
‫הפונקציה‪ ,‬הישר והצירים‪.‬‬
‫‪ )49‬נתונות הפרבולות הבאות‪:‬‬
‫‪. f ( x )   x 2  5 x , g ( x)   x 2  3 x‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין הגרפים‬
‫של הפרבולות וציר ה ‪. x -‬‬
‫‪339‬‬
‫‪ )50‬נתונה הפונקציה‪. y  2 x2 :‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה מהנקודה‪. A 1, 2  :‬‬
‫המשיק חותך את ציר ה ‪ x -‬בנקודה ‪.B‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה‪ ,‬המשיק וציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )51‬נתונה הפונקציה ‪. y   x2  4‬‬
‫בנקודה ‪ 1,3‬העבירו משיק‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין הפונקציה‪,‬‬
‫המשיק וציר ה ‪. y -‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה‪,‬‬
‫המשיק וציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )52‬משוואת הפרבולה היא‪. f ( x)  2 x2  3x  2 :‬‬
‫הנקודות ‪ B  2, 0  , C  0, 2 ‬הן נקודות חיתוך של הפרבולה‬
‫עם הצירים‪ .‬המשיק לפרבולה בנקודה ‪ D‬מקביל לישר ‪.BC‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין הפרבולה‪ ,‬המשיק וציר ה ‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין הפרבולה‪ ,‬המשיק וציר ה ‪. y -‬‬
‫‪340‬‬
‫שאלות עם פרמטרים‪:‬‬
‫‪ )53‬נתונה הפרבולה‪. y  ax2  8 :‬‬
‫שיפוע המשיק לגרף הפרבולה בנקודה שבה ‪ x  2‬הוא ‪.-2‬‬
‫א‪ .‬חשב את ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי המשיק‪,‬‬
‫הפרבולה וציר ‪. y‬‬
‫‪y  ax 2‬‬
‫‪ a ( ,‬פרמטר)‪.‬‬
‫‪ )54‬הפונקציה המתוארת בשרטוט היא‪:‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא ריבוע‪.‬‬
‫הקדקוד ‪ B‬נמצא על גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ידוע כי אורך צלע הריבוע היא ‪ 2‬יחידות‪.‬‬
‫מצא את ערך הפרמטר ‪ a‬ואת השטח המסומן בסרטוט‪.‬‬
‫‪ )55‬הפונקציה‪ b , a) , y  ax2  bx :‬פרמטרים‪ ) a  0 ,‬חותכת‬
‫את ציר ה‪ x -‬בנקודות ‪  0, 0 ‬ו‪.  2, 0  -‬‬
‫חשב את ערכי הפרמטרים ‪ b , a‬אם ידוע כי השטח‬
‫המוגבל ע"י גרף הפונקציה וציר ה ‪ x -‬הוא ‪ 8‬יחידות שטח‪.‬‬
‫‪ )56‬הפונקציות ‪ y  2 x2‬ו ‪  a  0 , y  ax2  bx -‬נחתכות‬
‫בנקודות‪  0, 0  :‬ו‪ . 1, 2  -‬ידוע כי השטח הכלוא‬
‫בין הגרפים של שתי הפונקציות הוא ‪ 0.5‬יחידות שטח‪.‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪. b , a‬‬
‫‪ )57‬נתונה הפונקציה ‪. y  x3‬‬
‫מעבירים אנך לציר ה‪ a ( x  a : x -‬פרמטר חיובי) כך שנוצר‬
‫שטח הכלוא בין האנך‪ ,‬גרף הפונקציה וציר ה‪. x -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את השטח המקווקו בציור‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ‪ a‬אם ידוע כי שטח זה שווה ל ‪. a 2 -‬‬
‫‪341‬‬
‫חישובי שטחים – פונקציה רציונאלית‪:‬‬
‫‪ )58‬נתונות שתי פונקציות‪. f  x   12 , g  x   x :‬‬
‫‪x‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות‪,‬‬
‫הישר ‪ x  2‬וציר ה‪. x -‬‬
‫חישובי שטחים – פונקצית שורש‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )59‬באיור שלפניך נתונה הפונקציה‪ x :‬‬
‫‪x‬‬
‫מעבירים ישר‪ y  4 x :‬החותך את גרף הפונקציה‬
‫‪. f  x ‬‬
‫בנקודה ‪ A‬המסומנת באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ‪, f  x ‬‬
‫הישר ‪ , y  4 x‬ציר ה‪ x -‬ואנך לציר ה‪. x  4 : x -‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ )60‬באיור שלפניך מתוארת הפונקציה‪:‬‬
‫‪2x 1‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫מעבירים את הישרים המקבילים לצירים‪x  13 :‬‬
‫ו‪ y  3 -‬כך שנוצר המלבן ‪ ABCD‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫הישר ‪ y  3‬חותך את גרף הפונקציה בנקודה ‪.M‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.M‬‬
‫ב‪ .‬מסמנים את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‬
‫‪S1 2‬‬
‫והישרים ב ‪ S1 -‬ואת שטח המלבן ב‪ . S 2 -‬הראה כי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪S2 13‬‬
‫‪342‬‬
‫‪.‬‬
:‫תשובות סופיות‬
. 7x  c ‫ו‬
x6
x4
x5
x4
 c .‫ה‬
 c .‫ד‬
 c .‫ ג‬2x6  c .‫ב‬
 c .‫) א‬1
5
9
2
4
x 4 ax3 ax 2

 bx  c .‫ח‬
. 
5
3
b
x5
x3
1
4
 4 x   2 x 2  x  c .‫ז‬
6
6
3
x 2
1 1
a
x2
1
 c .‫) א‬2
  3  2   c .‫ ג‬ 2  c .‫ ב‬
2
x x 2 x 2a
2x
x1.5
2 3
 c .‫) א‬3
x  c .‫ב‬
. 8 x  2 x3  c .‫ ד‬2 x  c .‫ג‬
1.5
3
1 1
. 2x   2  c .‫ד‬
x x
3 2  7 x
6x  3
3
 c .‫ ד‬
 c .‫ ג‬
 c .‫ב‬
3
35
6x  5
5
. f ( x)  x  6 x  14 )6 f ( x)  x  7 x  5 )5
2
3
.
2
 5 x  1
4
20
 ax  b 
3a
 c .‫) א‬4
3
 c .‫ה‬
x3
2
. y  5x  27 .‫ ב‬f  x    4 x 2  2 x  23 .‫) א‬7
3
3
3
.  0, 2 ,  0.4,0  .‫ ג‬f  x   3x  4 x  4 .‫ ב‬y  5x  2 .‫) א‬8
. f  x   x2  3x  7 .‫ ב‬x  0 .‫) א‬9
. f  x   1.5x2  4 x  11 )11 . y  x  5 .‫ג‬
. f  x 
f  x   3x 2  5x  8 .‫ ב‬x  1 .‫) א‬10
4 x3
 3x 2  4 x  10 .‫ ב‬f '  x   4 x 2  6 x  4 .‫) א‬12
3
x3 3 2
1
 x  6 x  .‫ ב‬f '  x   x 2  3x  6 .‫) א‬13
3 2
6
2
.‫ יח"ש‬9 .‫ ב‬ 3, 0  .‫) א‬17 .‫ יח"ש‬22 )16 .‫ יח"ש‬15 )15 .‫ יח"ש‬15 )14
3
1
2
1
.‫) יח"ש‬20 .10 .‫ ב‬ 2,0 ,  2,0 .‫) א‬19 .‫ יח"ש‬33 .‫ ב‬ 1,0 ,  5,0  .‫) א‬18
12
3
3
4
2
.‫ יח"ש‬4 )24 .‫ יח"ש‬4 )23 .‫ יח"ש‬13.5 )22 .‫ יח"ש‬10 )21
15
3
1
1
.‫ יח"ש‬3 .‫ ב‬ 1,0 ,  0,0  ,  2,0  .‫) א‬27 .‫ יח"ש‬9.5 .‫ ב‬4 .‫) א‬26 .13 .‫ ב‬. 8 .‫) א‬25
3
12
1
5
1
.‫ יח"ש‬13.5 .‫ ב‬A  0, 9  , B 3,0  .‫) א‬31 S  ‫ יח"ש‬57 )30 .‫ יח"ש‬20 )29 .‫ יח"ש‬21 )28
6
6
3
1
2
.‫ יח"ש‬12 )34 .‫ יח"ש‬21 )33 .‫ יח"ש‬10 )32
3
3
5
.‫ יח"ש‬8 .‫ ב‬ 2,5 ,  0,5 ,  2,5 .‫) א‬36 . 2 .‫ ב‬1,3 ,  4,0  .‫) א‬35
11
. f  x 
343
‫‪1‬‬
‫‪)37‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )42‬יח"ש ‪ )43‬א‪  2, 2  .‬ב‪ 1,3 .‬ג‪ 3 .‬יח"ש‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )44‬א‪ x  2 , x  2 .‬ב‪ 1,11 .‬ג‪ 25 .‬יח"ש‪ 18 )45 .‬יח"ש‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )46‬א‪ .‬יח"ש ב‪ 1 .‬יח"ש‪ 4 )47 .‬יח"ש‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )48‬א‪  2,1 .‬ב‪ .‬יח"ש ‪ 16 )49‬יח"ש‪ )50 .‬יח"ש‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫יח"ש‪.‬‬
‫‪ )51‬א‪ y  2 x  5 .‬ב‪ .‬יח"ש‪ .‬ג‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )52‬א‪ y   x  4 .‬ב‪ 2 .‬יח"ש‪ .‬ג‪ .‬יח"ש‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )53‬א‪ a   .‬ב‪ .‬יח"ש‪ 2 , a  )54 .‬יח"ש‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫יח"ש‪ 0.5 )38 .‬יח"ש‪ 8 )39 .‬יח"ש‪ )40 .‬א‪  0,0  , 1,1 .‬ב‪ .‬יח"ש‪ 7 )41 .‬יח"ש‪.‬‬
‫‪a4‬‬
‫ב‪. a  2 .‬‬
‫‪ )57 . a  1 , b  3 )56 a  6 , b  12 )55‬א‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 1 )58‬יח"ש ‪ )59 . S ‬א‪ A 1, 4  .‬ב‪ 15.5 .‬יח"ש‪ )60 .‬א‪. M  5,3 .‬‬
‫‪344‬‬
‫תרגול נוסף‪:‬‬
‫תרגילים העוסקים בפונקציה פולינומית‪:‬‬
‫מציאת פונקציה קדומה‪:‬‬
‫‪3x  1‬‬
‫‪ )1‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ g ( x) ‬ונתונה הנגזרת של הפונקציה )‪, f '( x)  kx2  3x : f ( x‬‬
‫‪1‬‬
‫( ‪ k‬פרמטר)‪ .‬ידוע ששיפוע המשיק לפונקציה )‪ g ( x‬בנקודה שבה‬
‫‪2‬‬
‫המשיק לפונקציה )‪ f ( x‬בנקודה שבה ‪. x  4‬‬
‫‪ x ‬זהה לשיפוע‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה )‪ f ( x‬אם ידוע שהפונקציות נחתכות בנקודה שבה ‪. x  1‬‬
‫‪ )2‬נתונה הנגזרת של הפונקציה )‪ k , f '( x)  kx  2 : f ( x‬פרמטר‪.‬‬
‫‪6x 1‬‬
‫ידוע כי הפונקציה )‪ f ( x‬חותכת את הפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫‪ g ( x) ‬בנקודה שבה ‪y  5‬‬
‫וכי שיפוע המשיק לפונקציה )‪ f ( x‬בנקודת החיתוך שלהן הוא ‪. m  4‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫‪4x 1‬‬
‫‪ )3‬הפונקציה )‪ f ( x‬משיקה לפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. g ( x) ‬‬
‫בנקודת ההשקה העבירו משיק שמשוואתו ‪. y  x  2‬‬
‫הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪. f '( x)  x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת ההשקה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫‪ )4‬נתונה הנגזרת של הפונקציה ‪ a , b , f '( x)  ax2  5x  b f ( x) :‬פרמטרים‪.‬‬
‫לפונקציה יש קיצון בנקודה שבה ‪ . x  1‬ידוע ששיפוע המשיק לגרף‬
‫‪3x  16‬‬
‫הפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫‪ g ( x) ‬בנקודה שבה ‪ x  2‬זהה לשיפוע המשיק של גרף‬
‫הפונקציה )‪ f ( x‬באותה נקודה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬ואת ‪. b‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה )‪ f ( x‬אם ידוע שהיא עוברת בראשית הצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬הראה שאין לפונקציה )‪ f ( x‬עוד נקודות חיתוך עם ציר ה ‪ x -‬מלבד‬
‫ראשית הצירים‪.‬‬
‫‪345‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )5‬נגזרת הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ k , f '( x)  kx  7‬פרמטר‪.‬‬
‫‪4x  4‬‬
‫ידוע כי לפונקציה )‪ f ( x‬ולפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫‪ g ( x) ‬יש משיק משותף בנקודה שבה ‪. x  4‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ג‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫‪ )6‬נתונה הנגזרת של הפונקציה )‪ a , f '( x)  ax2  3x : f ( x‬פרמטר‪.‬‬
‫משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪ x  1‬היא ‪. y  3x  8.5‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ג‪ .‬האם יש לגרף הפונקציה עוד משיקים בעלי שיפוע זהה למשיק זה?‬
‫אם כן – מצא אותם‪ ,‬אם לא‪ ,‬נמק‪.‬‬
‫‪ )7‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪ a , b , f '( x)  ax3  bx :‬פרמטרים‪ .‬ידוע כי משוואת‬
‫המשיק לפונקציה באחת מנקודות החיתוך שלה עם ציר ה‪ x -‬היא‪. y  16 x  32 :‬‬
‫כמו כן מתקיים גם‪. f '(1)  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪. b -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫‪ )8‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪ k , f '( x)  3x2  kx  3 :‬פרמטר‪.‬‬
‫ידוע כי ערך הנגזרת בנקודה שבה ‪ x  1‬הוא ‪.-4‬‬
‫כמו כן הישר ‪ y  4‬חותך את גרף הפונקציה בנקודת החיתוך של עם ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ג‪ .‬האם הישר ‪ y  4‬חותך את גרף הפונקציה בעוד נקודות? אם כן‪ ,‬מהן?‬
‫‪ )9‬הנגזרת השנייה של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪. f ''( x)  12 x :‬‬
‫לפונקציה יש נקודת קיצון על ציר ה‪ x -‬שבה ‪. x  2‬‬
‫א‪ .‬האם יש לפונקציה עוד נקודות קיצון?‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫‪346‬‬
‫חישובי שטחים (ללא מציאת פונקציה קדומה)‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ )10‬לפניך הגרפים של הפונקציות‪. y  13x  1 , f ( x)  x3  12x  1 :‬‬
‫הוכח‪. S1  S2 :‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )11‬לפניך נתונות שתי הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪. g ( x)  3x2 12 x , f ( x)  1.5x2  3x  36‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הנוצר בין שתי הפונקציות‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ )12‬נתונות הפונקציה‪ f ( x)  x2  16 :‬והישר‪. y   x  14 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין הגרפים ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )13‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)   x3  4 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬הוכח שציר ה ‪ x -‬מחלק את השטח הכלוא בינו לבין הפונקציה לשני חלקים שווים‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ )14‬לגרף הפונקציה‪ 8 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ f ( x)  ‬מעבירים ישר העובר דרך נקודות‬
‫החיתוך של הפונקציה עם הצירים ושיפועו שלילי (ראה איור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הישר‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה לישר‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ )15‬לגרף הפונקציה‪ f ( x)  x2  3x  4 :‬מעבירים משיק בעל שיפוע‬
‫חיובי דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪ x -‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪S1‬‬
‫חשב את יחס השטחים‬
‫‪S2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪S2‬‬
‫המסומנים באיור‪.‬‬
‫‪ )16‬לגרף הפונקציה‪ f ( x)   x2  2 x  3 :‬מעבירים משיק‬
‫בנקודה שבה‪( x  2 :‬ראה איור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬המשיק‬
‫וציר ה‪. x -‬‬
‫‪347‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ )17‬באיור שלפניך מתוארים גרף הפונקציה‪f ( x)  4 x  x3 :‬‬
‫והישר‪. y  4 x  8 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך בין שני הגרפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין הפונקציה‪ ,‬הישר וציר ה ‪( . y -‬המסומן)‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )18‬באיור שלפניך מתוארים גרף הפונקציה‪f ( x)  x3  8 :‬‬
‫והישר‪. y  x  8 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך בין שתי הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין שתי הפונקציות‪.‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ )19‬הישר ‪ y  4‬חותך את גרף הפונקציה‪f ( x)  ( x  1)2 :‬‬
‫‪A‬‬
‫בנקודה ‪ A‬שברביע הראשון‪.‬‬
‫חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬הישר וציר ה‪( y -‬המסומן)‪.‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪ )20‬באיור שלפניך מתוארות הפונקציות‪:‬‬
‫‪ f ( x)  16  x2‬ו‪. g ( x)  x2  2 x  4 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים לציר ה‪. x -‬‬
‫‪ )21‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)   x  2 :‬‬
‫מנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪ y -‬מעבירים משיק‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין המשיק‪ ,‬גרף הפונקציה‬
‫וציר ה‪( x -‬השטח המסומן)‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )22‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)   x2  10 x :‬הישר‪ y  9 :‬חותך את‬
‫גרף הפונקציה בשתי נקודות ‪ A‬ו‪ B-‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫מנקודות אלו מורידים אנכים לציר ה ‪ x -‬כך שנוצר מלבן ‪.ABCD‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הישר ‪ y  9‬עם‬
‫‪A y9‬‬
‫גרף הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שטח המלבן ‪.ABCD‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬המלבן‬
‫וציר ה‪( x -‬השטח המסומן)‪.‬‬
‫‪348‬‬
‫‪y‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )23‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)   x 2  6 x  5 :‬מעבירים ישר ששיפועו‪m  1 :‬‬
‫וחותך את ציר ה‪ x -‬שנקודה שבה‪ . x  8 :‬מישר זה‬
‫מורידים אנך לגרף הפונקציה לנקודת המקסימום‬
‫שלה ומעלים אנך מנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הישר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי הישר וגרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ )24‬נתונות הפונקציות‪ f ( x)  x3  2 x2  2 :‬ו‪, g ( x)  2 x2  bx  2 -‬‬
‫( ‪ b‬פרמטר)‪ .‬הפונקציות נחתכות בנקודה שבה‪. x  2 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. b‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שאר נקודות החיתוך של שתי הפונקציות‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות‬
‫(השטח המתואר באיור)‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪ )25‬לגרף הפונקציה‪ f ( x)   x2  4 x  21 :‬מעבירים משיקים בנקודות‬
‫שבהן‪ y  9 :‬כמתואר באיור‪ .‬משיקים אלו נחתכים בנקודה ‪.A‬‬
‫א‪ .‬כתוב את משוואות המשיקים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי המשיקים לגרף הפונקציה‬
‫(השטח המסומן)‪.‬‬
‫‪y A‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ )26‬א‪ .‬חשב את האינטגרל הבא‪.   x 2  8 x  12 dx :‬‬
‫‪0‬‬
‫ב‪ .‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪. f ( x)  x  8x  12 :‬‬
‫חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה ‪ y -‬וציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬הסבר מדוע התוצאה שקיבלת אינה תואמת את זו של סעיף א'‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )27‬נתונות הפונקציות‪ f ( x)   x  2  :‬ו‪g ( x)    x  2  -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫כמתואר באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬התאם בין הפונקציות לגרפים ‪ I‬ו‪.II-‬‬
‫ב‪ .‬מסמנים את השטחים שבין כל פונקציה והצירים‬
‫ב ‪ S1 -‬ו ‪ S 2 -‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫הראה כי השטחים ‪ S1‬ו‪ S 2 -‬שווים זה לזה‪.‬‬
‫‪349‬‬
‫‪y‬‬
‫‪I‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪II‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )28‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)  9  x2 :‬מהנקודה ‪ A 1,8‬שעל הגרף‬
‫הפונקציה מעבירים ישרים לנקודות החיתוך של‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫הפונקציה עם ציר ה‪ B x -‬ו‪ C-‬כך שנוצר המשולש ‪.ABC‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ B‬ו‪.C-‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה למשולש ‪( ABC‬השטח המסומן)‪.‬‬
‫‪ )29‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)   x3  3x2  18x  40 :‬‬
‫ידוע כי לפונקציה יש נקודת חיתוך עם ציר ה‪ x -‬שבה ‪. x  5‬‬
‫מנקודה זו מעבירים ישר החותך את הפונקציה בנקודת החיתוך‬
‫‪x‬‬
‫שלה עם ציר ה ‪( y -‬ראה איור)‪.‬‬
‫א‪ .‬כתוב את משוואת הישר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה לישר (השטח המסומן)‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ )30‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x2  6 x  12 :‬‬
‫ישר העובר בראשית הצירים חותך את גרף הפונקציה‬
‫בנקודה שבה ‪ x  4‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הישר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך השנייה של הישר והפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין הישר‪ ,‬גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והישר ‪. x  4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )31‬נתונות הפונקציות‪ f ( x)  x2  7 x  10 :‬ו‪. g ( x)  x2  7 x  12 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של שתי הפונקציות עם ציר ה ‪? x -‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות לציר ה ‪x -‬‬
‫(השטח המסומן)‪.‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪g ( x) f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )32‬באיור שלפניך מתוארות הפונקציות‪ f ( x)   x2  2 x  k :‬ו ‪. g ( x)  4 x  x 2 -‬‬
‫ידוע כי אחת מנקודות החיתוך של הפונקציות עם ציר ה ‪ x -‬היא זהה ואינה‬
‫ראשית הצירים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים‬
‫)‪g ( x‬‬
‫של הפונקציות וציר ה ‪. x -‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ )33‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x3  6 x2  9 x  3 :‬‬
‫מהנקודה ‪  3, 0 ‬שעל ציר ה ‪ x -‬מעבירים ישר החותך את גרף הפונקציה‬
‫בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה ‪ y -‬כמתואר באיור הסמוך‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הישר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫‪350‬‬
‫‪y‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה‪ ,‬הישר שמצאת בסעיף א' ואנכים‬
‫לציר ה ‪ x -‬מנקודות הקיצון‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )34‬באיור שלפניך מתוארת הפונקציה‪. f ( x)   x  1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫מנקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪ y -‬מעבירים ישר ‪l1‬‬
‫ששיפועו הוא ‪ . m  2‬כמו כן מעבירים ישר נוסף ‪ l2‬המקביל‬
‫לישר ‪ l1‬וחותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x  5‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואות הישרים ‪ l1‬ו ‪. l2 -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שאר נקודות החיתוך של הישרים הנ"ל עם הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪ ,‬הישרים וציר ה ‪( x -‬השטח המסומן)‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )35‬נתונה הפונקציה‪ k , f ( x)  kx  x2 :‬פרמטר‪.‬‬
‫הישר ‪ y  9‬חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות‪.‬‬
‫ידוע כי שיעור ה‪ x -‬של אחת מנקודות החיתוך הוא ‪. x  9‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך השנייה בין שני הגרפים‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪ ,‬הישר וציר ה‪( x -‬המסומן)‪.‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫חישובי שטחים (כולל מציאת פונקציה קדומה)‪:‬‬
‫‪ )36‬נתונה הנגזרת‪ . f '( x)  6 x :‬ידוע שהפונקציה חותכת את ציר ה ‪ x -‬בנקודה שבה‪. x  5 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה לציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )37‬לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬שנגזרתה היא‪ f '( x)   x2  x  2 :‬מעבירים משיק מנקודת‬
‫המקסימום שלה‪ .‬ידוע שמשיק זה חותך את גרף הפונקציה בעוד נקודה והיא ‪.  2.5,3‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת המקסימום‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה למשיק (עגל לשתי ספרות אחרי הנקודה)‪.‬‬
‫‪ )38‬הנגזרת של פרבולה מרחפת )‪ f ( x‬היא‪. f '( x)  2 x :‬‬
‫מהנקודה ‪  2,10 ‬שעל גרף הפרבולה מעבירים ישר ‪ y‬המאונך‬
‫למשיק שם (נורמל) (ראה איור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הפרבולה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הישר ‪. y‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפרבולה‪ ,‬הישר והצירים‪.‬‬
‫‪351‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )39‬נתונה הנגזרת‪. f '( x)  2 x  3 :‬‬
‫ידוע שגרף הפונקציה חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה שבה‪. y  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה לצירים‪.‬‬
‫‪ )40‬משוואת המשיק לפונקציה )‪ f ( x‬בנקודה שבה‪ x  2 :‬היא‪. y  x  13 :‬‬
‫הנגזרת של הפונקציה היא‪. f '( x)  4 x  7 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין המשיק‪ ,‬גרף הפונקציה וציר ה ‪. y -‬‬
‫‪x‬‬
‫(ראה איור)‪.‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )41‬הנגזרת השנייה של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪. f ''( x)  4 :‬‬
‫לפונקציה יש נקודת מינימום ‪. 1, 8‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה לציר ה ‪. x -‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )42‬באיור שלפניך מתוארות הפונקציות שנגזרותיהן‪:‬‬
‫‪ . f '( x)  4  2 x , g '( x)  2 x  1‬ידוע ששתי הפונקציות‬
‫חותכות את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה ‪. x  4‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של שתי הפונקציות וציר ה ‪. x -‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ )43‬הנגזרת של הפונקציה ‪ f  x ‬המתוארת באיור שלפניך היא‪. f '( x)  3  2 x :‬‬
‫ישר ‪ AB‬שמשוואתו היא ‪ y  6‬חותך בנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬את גרף הפונקציה‪.‬‬
‫מנקודות אלו מורידים אנכים לציר ה ‪ x -‬כך שנוצר מלבן ‪ABCD‬‬
‫‪A‬‬
‫ששטחו ‪ 30‬יחידות‪ .‬ידוע ששיעור ה ‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬הוא ‪.4‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫‪D‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬המלבן וציר ה‪. x -‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )44‬באיור שלפניך מתוארים גרף הפונקציה ‪ f  x ‬והישר‪. y  2 x :‬‬
‫נגזרת הפונקציה ‪ f  x ‬היא‪ f '( x)  2 x  6 :‬וידוע הישר חותך‬
‫את הפונקציה בנקודה שבה ערך ה ‪ y -‬הוא ‪.16‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬האם יש לגרף הפונקציה ולישר עוד נקודות חיתוך? אם כן מצא אותן‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה לישר‪.‬‬
‫‪352‬‬
‫‪ )45‬באיור שלפניך חותך גרף הפונקציה‪ f ( x)  x2 :‬את גרף‬
‫הפונקציה )‪ g ( x‬בנקודה שבה ‪ . x  2‬הנגזרת של‬
‫הפונקציה )‪ g ( x‬היא‪. g '( x)  2 x  8 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. g ( x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים לציר ה‪( x -‬המסומן)‪.‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )46‬נתונה הנגזרת‪ . f '( x)  3x2  6 x  9 :‬משיק ששיפועו ‪ 15‬משיק‬
‫לפונקציה ברביע הרביעי בנקודה שבה‪. y  20 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬האם יש עוד משיקים לגרף הפונקציה בעלי שיפוע ‪?15‬‬
‫‪x‬‬
‫אם כן‪ ,‬מצא אותם‪.‬‬
‫ג‪ .1 .‬הראה שהנקודה שבה ‪ x  7‬משותפת למשיק שמצאת‬
‫בסעיף הקודם ולפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫‪ .2‬מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה למשיק שמצאת‬
‫בסעיף הקודם (ראה איור)‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ )47‬משוואת המשיק לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬בנקודה שבה‪x  2 :‬‬
‫היא‪ . y   x  3 :‬נגזרת הפונקציה היא‪. f '( x)  x  3 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין המשיק לגרף הפונקציה (ראה איור)‪.‬‬
‫‪ )48‬הישר ‪ y   x  16‬משיק לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬בנקודה שבה‪. x  4 :‬‬
‫נגזרת הפונקציה היא‪. f '( x)   x  3 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין המשיק‪ ,‬גרף הפונקציה‬
‫וציר ה‪( x -‬ראה איור)‪.‬‬
‫‪ )49‬הנגזרות של הגרפים )‪ f ( x‬ו ‪ g ( x) -‬הן‪. f '( x)  2 x , g '( x)  10  2 x :‬‬
‫הפונקציות חותכות זו את זו בנקודה )‪. (2.5,18.75‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציות )‪ f ( x‬ו‪. g ( x) -‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬היעזר באיור וחשב את השטח המוגבל בין‬
‫)‪g ( x‬‬
‫שתי הפונקציות וציר ה‪. y -‬‬
‫‪353‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )50‬הישר ‪ y  2 x  5‬משיק לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫נגזרת הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪. f '( x)  2 x  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪ ,‬המשיק‪,‬‬
‫‪x‬‬
‫ציר ה ‪ x -‬והישר‪( . x  3 :‬ראה איור)‬
‫‪y‬‬
‫‪ )51‬הנגזרת של הפרבולה )‪ f ( x‬היא‪. f '( x)  2 x  6 :‬‬
‫ידוע שהפרבולה חותכת את ציר ה‪ y -‬בנקודה שבה ‪. y  5‬‬
‫מנקודה זו מעבירים משיק לגרף הפרבולה (ראה איור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח מוגבל בין גרף הפרבולה‪ ,‬המשיק וישר‬
‫היוצא מנקודת הקיצון של הפרבולה (ראה איור)‪.‬‬
‫‪ )52‬נגזרת הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪. f '( x)  3x2  8x 12 :‬‬
‫הישר ‪ y  5‬חותך את גרף הפונקציה )‪ f ( x‬על ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין הישר לפונקציה‬
‫(ראה איור)‪.‬‬
‫‪354‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
:‫תשובות סופיות‬
1
3
1
.‫ ב‬. k  1 .‫) א‬1
6
1
1
. f ( x)  x3  2.5x2  2x .‫ ב‬a  3 , b  2 .‫) א‬4 . f ( x)  x 2  2 .‫ב‬. 1,3 .‫) א‬3
2
2
3
. f ( x)   x 2  7 x  10 .‫ ג‬. k  2 .‫ ב‬. y  0.25x  6 .‫) א‬5
4
1
. y  3x  5 . ‫ כן‬.‫ ג‬. f ( x)  2 x3  1.5x2  6 .‫ ב‬. a  6 .‫) א‬6
8
. f ( x)  x2  2 x  2 .‫ ב‬. k  2 .‫) א‬2 . f ( x)  x3  1.5x 2 
. f ( x)  x4  4 x2 .‫ ב‬. a  4 , b  8 .‫) א‬7
.  3, 4  ,  1, 4  .‫ כן‬.‫ ג‬. f ( x)  x3  2 x2  3x  4 .‫ ב‬. k  4 .‫) א‬8
. S  ‫ יח"ש‬162 .‫ ב‬ 4, 0 ,  2,36  .‫) א‬11 . f ( x)  2 x3  24 x  32 .‫ ב‬.‫ כן‬.‫) א‬9
5
6
.  2,0 ,  0,0  ,  2,0  .‫) א‬13 . S  44 .‫ ב‬.  6, 20  ,  5,9  .‫) א‬12
.
S1 7
1
 .‫ ב‬. y  5x  20 .‫) א‬15 . S  ‫ יח"ש‬5 .‫ ג‬. y  2 x  8 .‫ ב‬.  0,8 ,  4, 0  ,  4, 0  .‫) א‬14
S2 8
3
. S  ‫ יח"ש‬12 .‫ ב‬.  2, 0  .‫) א‬17 . S  ‫יח"ש‬
7
.‫ ב‬. y  2 x  7 .‫) א‬16
12
1
.‫ ב‬.  1,7  ,  0,8 , 1,9  .‫) א‬18
2
2
2
. S  ‫ יח"ש‬.‫ ג‬. 1, 0  .‫ ב‬. y  4 x  4 .‫) א‬21 . S  43 .‫ ב‬.  3, 7  ,  2,12  .‫) א‬20
3
3
2
2
. S  2 .‫ ג‬. Max  3, 4  .‫ ב‬. y   x  8 .‫) א‬23 . S  94 .‫ ג‬. SABCD  72 .‫ ב‬. 1,9  ,  9,9  .‫) א‬22
3
3
. S  ‫ יח"ש‬4 .‫ ג‬.  0, 2 ,  2, 14  .‫ ב‬b  4 .‫) א‬24
. S  ‫ יח"ש‬9 )19 . S 
2
. S  ‫ יח"ש‬42 .‫ ג‬. A  2, 41 .‫ ב‬. y  8x  57 , y  8x  25 .‫) א‬25
3
1
3
.‫ האינטגרל של סעיף א' מכיל ערכים חיוביים ושליליים יחדיו‬.‫ ג‬. S  21 .‫ ב‬.0 .‫) א‬26
‫פעולת האינטגרל מחסרת בין השניים ומכיוון שהגדלים החיוביים והשליליים שווים‬
.0 ‫בערך מוחלט (וזאת ניתן לראות לפי החישוב של סעיף ב') התקבל הסכום‬
. S  12 .‫ ב‬. C  3, 0 , B  3, 0  .‫) א‬28 . II  g ( x) , I  f ( x) .‫) א‬27
5
3
.‫ ג‬.  3,3 .‫ ב‬. y   x .‫) א‬30 . S  93 .‫ ב‬. y  8x  40 .‫) א‬29
6
4
1
1
. S  25 .‫ ב‬. k  8 .‫) א‬32 . S  4 .‫ ב‬.  2, 0 ,  3, 0  ,  4, 0  , 5, 0  .‫) א‬31
3
3
.S  7
355
. S  8 .‫ ג‬. Max 1, 7  , Min  3,3 .‫ ב‬. y  3  x .‫) א‬33
1
.‫ ג‬. 1, 4 ,  4,9  .‫ ב‬. yl2  2 x  6 , yl1  2 x  1 .‫) א‬34
12
1
. S  500 .‫ ב‬. f ( x)  3x2  75 .‫) א‬36 . S  81 .‫ ג‬. 1,9  .‫ ב‬. k  10 .‫) א‬35
3
. y  k ‫ ולכן משוואתו תהיה מהסוג‬x -‫ משיק בנקודת המקסימום מקביל לציר ה‬.  2,3 .‫) א‬37
.S  6
‫ ולכן‬y  3 ‫ ניתן להבין שמשוואת המשיק היא‬ 2.5,3 ‫מאחר שהנקודה הנוספת היא‬
x3 x 2
1
25
 11.391 .‫ ג‬. f ( x)     2 x  .‫ ב‬.  2,3 ‫נקודת המקסימום תהיה‬
3 2
3
64
5
2
. S  20 .‫ ב‬. f ( x)   x2  3x  4 .‫) א‬39 . S  214 .‫ ג‬. 4 y  x  42 .‫ ב‬. f ( x)  x2  6 .‫) א‬38
6
3
1
1
. S  21 .‫ ב‬. f ( x)  2 x2  4 x  6 .‫) א‬41 . S  5 .‫ ב‬. f ( x)  2 x2  7 x  5 .‫) א‬40
3
3
. S  11
. S  46.5 .‫ ב‬. f ( x)  4 x  x2 , g ( x)   x2  x  12 .‫) א‬42
1
1
.‫ ג‬.  0, 0  .‫ ב‬f ( x)  x2  6 x .‫) א‬44 . S  27 .‫ ב‬. f ( x)   x2  3x  10 .‫) א‬43
3
6
1
. S  546.75 .2 .‫ ג‬. y  15x  28 .‫ ב‬. f ( x)  x3  3x2  9 x .‫) א‬46 . S  5 .‫ ב‬. g ( x)  ( x  4)2 .‫) א‬45
3
2
1
1
1
. S  42 .‫ ב‬. f ( x)   x 2  3x  8 .‫) א‬48 . S  1 .‫ ב‬. f ( x)  x 2  3x  5 .‫) א‬47
3
2
3
2
5
1
. S  2 .‫ ב‬f ( x)  x2  4 x  6 .‫) א‬50 . S  31 .‫ ב‬. f ( x)  25  x2 , g ( x)  10 x  x2 .‫) א‬49
12
4
1
. S  189 .‫ ב‬f ( x)  x3  4 x2 12 x  5 .‫) א‬52 . S  9 .‫ ב‬f ( x)  x2  6 x  5 .‫) א‬51
3
. S  85
356
‫תרגילים העוסקים בפונקציה רציונאלית‪:‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ )1‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪ 3 :‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪. f '( x) ‬‬
‫ידוע כי משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה הנמצאת ברביע‬
‫‪A‬‬
‫הראשון היא‪. y  15x  16 :‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫מעבירים ישר ‪ y  2.75x‬החותך את גרף הפונקציה בנקודה ‪ A‬הנמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪x4‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה לישרים‪ y  2.75x :‬ו‪x  4 -‬‬
‫(המקווקו)‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ )2‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x3‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪. f ( x)  2 ‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והישר‪. x  4 :‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ )3‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪f ( x)  2 x 2‬‬
‫ו‪2 -‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ g ( x) ‬בתחום‪ a ( , x  0 :‬פרמטר)‪.‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫ידוע כי הגרפים נחתכים ברביע הראשון בנקודה‬
‫הנמצאת על הישר‪. y  4 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הגרפים ואת ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והישר‪. x  4 :‬‬
‫‪27‬‬
‫‪ )4‬א‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪ 3x  1 :‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ f ( x) ‬בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬המשיק והישר‪. x  4 :‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ )5‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ f ( x)  8 ‬בתחום‪ a ( , x  0 :‬פרמטר)‪.‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫ידוע כי משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה‬
‫שבה‪ x  1 :‬היא‪. y  3x  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה‪ ,‬המשיק והצירים‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪357‬‬
‫‪a  x2‬‬
‫‪ )6‬גרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ f ( x) ‬חותך את ציר ה ‪ x -‬בנקודה (‪.)6,0‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה‪x -‬‬
‫והישר‪. x  2 :‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫*הערה‪ :‬תרגיל זה בנוי מבעיית קיצון וחישוב אינטגרלי יחד‪:‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )7‬א‪ .‬מבין כל המשיקים לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 2 x3‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫מצא את משוואת המשיק ששיפועו מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה והמשיק‬
‫שמצאת בסעיף א'‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף‬
‫הפונקציה‪ ,‬המשיק ואנך לציר ה‪ x -‬היוצא מנקודת החיתוך‬
‫של המשיק עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪a  x2‬‬
‫‪ )8‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ a) , f  x  ‬פרמטר חיובי)‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ידוע כי שיפוע הפונקציה בנקודה שבה‪ x  a :‬הוא‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬כתב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x  a‬‬
‫ג‪ .‬היעזר בסרטוט שבצד וחשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬המשיק ואנך‬
‫לציר ה ‪ x -‬מנקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ )9‬הנגזרת של פונקציה ‪ f  x ‬היא‪:‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪ . f '  x   4 ‬ידוע כי משוואת המשיק לגרף‬
‫הפונקציה בנקודה הנמצאת ברביע הראשון היא‪. y  10 x  6 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫מעבירים את הפונקציה‪ . g  x   64 x2  4 x  2 :‬הגרפים נחתכים בנקודה ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי גרף הפונקציה ‪ f  x ‬שלילי עבור ‪ x  0.7‬וכי גרף‬
‫הפונקציה ‪ g  x ‬שלילי עבור‪. x  0.25 :‬‬
‫ד‪ .‬היעזר בסקיצה שבצד וחשב את השטח הכלוא בין‬
‫שני הגרפים‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והישרים‪ x  0.7 :‬ו ‪. x  0.25 -‬‬
‫‪358‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪1 2 1‬‬
‫‪ )10‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪x 2 x3 x 4‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה‪ x -‬ואנך לציר ה‪ x -‬היוצא‬
‫מנקודת המקסימום של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )11‬נתונה הפונקציה הבאה‪ x  2  :‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה ‪ x -‬בנקודת הקיצון שלו‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫מעבירים את הישר‪:‬‬
‫‪81‬‬
‫‪ y ‬החותך את גרף הפונקציה בנקודה ‪ A‬ברביע השני‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬
‫ד‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬הישר‬
‫ואנך לישר מנקודת המקסימום של הפונקציה‪( .‬היעזר באיור)‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )12‬נתונה הפונקציה הבאה‪ x  1 :‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫מעבירים פרבולה‪ A) , g  x   Ax2 :‬פרמטר) דרך נקודת הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. A‬‬
‫ג‪ .‬מעבירים אנך לציר ה‪ , x  3 : x -‬כך שנוצרים השטחים‪:‬‬
‫‪  S1‬שבין הגרפים של הפונקציות ‪ f  x  , g  x ‬וציר ה ‪. x -‬‬
‫‪  S2‬שבין הגרפים של הפונקציות ‪ f  x  , g  x ‬והאנך‪.‬‬
‫‪S2‬‬
‫חשב את יחס השטחים‪:‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪80‬‬
‫‪ )13‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ S1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ k ) , f  x   k ‬פרמטר)‪.‬‬
‫גרף הפונקציה חותך את ציר ה‪ x -‬בשתי נקודות שהמרחק בניהן הוא ‪ 4‬יחידות‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת הנורמל לפונקציה בנקודת החיתוך שלה‬
‫)‪f ( x‬‬
‫עם ציר ה‪ x -‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫ג‪ .‬היעזר באיור שלפניך וחשב את השטח הכלוא בין גרף‬
‫‪x‬‬
‫הפונקציה‪ ,‬הנורמל והישר‪. x  4 :‬‬
‫‪359‬‬
‫‪y‬‬
‫‪162‬‬
‫‪ )14‬נתונות הפונקציות הבאות‪ 2 :‬‬
‫‪3x3‬‬
‫‪. g  x   6 x3  50 , f  x  ‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬היעזר באיור שלפניך וחשב את השטח הכלוא בין‬
‫הגרפים של הפונקציות‪ ,‬הצירים והאנך‪. x  2 :‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ )15‬נתונות הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪x3‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ a) , g  x   2 x , f  x  ‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע כי הפונקציות נחתכות בנקודה שבה ‪. x  2‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬האם הגרפים של הפונקציות נחתכים בנקודות נוספות?‬
‫אם כן מצא אותן‪.‬‬
‫ג‪ .‬מעבירים אנך ‪ k ) x  k‬חיובי) החותך את הגרפים‬
‫של שתי הפונקציות ויוצר את השטח ‪. S‬‬
‫‪7‬‬
‫היעזר באיור שלפניך ומצא את ‪ k‬עבורו מתקיים‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )16‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.S  2‬‬
‫‪ a) , f  x   a ‬פרמטר)‪ .‬מעבירים לגרף הפונקציה משיק‬
‫מנקודת החיתוך שלו עם ציר ה ‪ . x -‬מסמנים נקודה ‪ A‬על המשיק ונקודה ‪ B‬על גרף‬
‫הפונקציה ומעבירים את הישר ‪.AB‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪ a‬אם ידוע כי לפונקציה ‪f  x ‬‬
‫‪A‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪B‬‬
‫יש אסימפטוטה אופקית‪. y  3 :‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ג‪ .‬ידוע כי ‪. x B  3 , xA  2 :‬‬
‫היעזר באיור שלפניך וחשב את השטח הכלוא בין גרף‬
‫הפונקציה‪ ,‬המשיק והישר ‪.AB‬‬
‫‪4 x3  kx  1‬‬
‫‪ )17‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪ k ) , f  x  ‬פרמטר)‬
‫)‪f ( x‬‬
‫ידוע כי לפונקציה נקודת קיצון שבה‪. x  0.5 :‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪ k‬וקבע את סוג הקיצון‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי לגרף הפונקציה אין נקודות קיצון נוספות‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה והאסימפטוטה האופקית שלו‪.‬‬
‫מעבירים אנך לאסימפטוטה דרך נקודת הקיצון‪.‬‬
‫חשב את השטח הנוצר באופן זה‪.‬‬
‫‪360‬‬
‫‪y‬‬
:‫תשובות סופיות‬
. S  1.125 .‫ ג‬A  2,5.5 .‫ ב‬f ( x)  
4
 3x .‫) א‬1
x3
. S  2.5 .‫ ב‬ 2, 0  .‫) א‬2
1
3
. S  182.25 .‫ ב‬y  51x  82 .‫) א‬4
. S  13 .‫ ב‬ 2,8 , a  32 .‫) א‬3
. S  3 .‫ ב‬f ( x)  8 
1
, a  1 .‫) א‬5
x3
36  x 2
, a  36 .‫) א‬6
x2
1
. S  .‫ ב‬y   x  2 .‫) א‬7
8
2
2
. S  2 .‫ ג‬y   x  2 .‫ ב‬a  3 .‫) א‬8
3
9
2
. S  2.537 .‫ ד‬A  0.5, 12  .‫ ב‬y  4 x  3  2 .‫) א‬9
x
1
1
.S 
.‫ ד‬.‫ סקיצה בצד‬.‫ ג‬x  0 , y  0 .‫ ב‬min 1, 0  , max  2,  .‫) א‬10
24
 16 
f ( x)
4
1 
125


x
.S 
 0.0964 .‫ ד‬ 1.5,  .‫ ג‬min  2, 0  , max  4,  .‫) ב‬11
81 
64 
1296


S
13
. 2
.‫ ג‬A  1 .‫ ב‬. min  2, 4  .‫) א‬12
S1 41
. S  8 .‫ ב‬f ( x) 
y
.S 
437
 7.283 .‫ג‬
60
y  0.1x  0.2 .‫ ב‬. k  5 .‫) א‬13
. S  73.75 .‫ ב‬.  2, 4  , 1,56  .‫) א‬14
. k  3 .‫ ג‬ 2, 4  - ‫ כן‬.‫ ב‬a  32 .‫) א‬15
7
.‫ ג‬y  9 x  9 .‫ ב‬a  3 .‫) א‬16
9
. S  0.5 .‫ ד‬y  4 .‫ ג‬k  3 .‫) א‬17
.S 5
361
‫תרגילים העוסקים בפונקציה אי‪-‬רציונאלית‪:‬‬
‫‪ )1‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪ 2 x :‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2 x‬‬
‫‪ k , f '( x) ‬פרמטר‪.‬‬
‫ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪ x  4 :‬הוא‪. m  7.75 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה )‪ f ( x‬אם ידוע כי המשיק לגרף הפונקציה משיק לה בנקודת‬
‫החיתוך שלה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )2‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ k , f '( x)  kx ‬פרמטר‪.‬‬
‫נתונה הפונקציה‪ . g ( x)  2 x2  9 x  4 :‬ידוע כי המשיק לגרף הפונקציה )‪ g ( x‬בנקודה‬
‫שבה‪ x  3 :‬מקביל למשיק לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה )‪ f ( x‬אם ידוע כי היא חותכת את גרף הפונקציה )‪g ( x‬‬
‫בנקודה שבה‪. y  77 :‬‬
‫‪ )3‬א‪ .‬מצא על גרף הפונקציה‪ g ( x)  2 x :‬נקודה שבה שיעור ה ‪ x -‬שווה לשיעור ה‪. y -‬‬
‫ב‪ .‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 x‬‬
‫‪. f '( x)  1 ‬‬
‫ידוע כי הפונקציה )‪ f ( x‬חותכת את הפונקציה )‪ g ( x‬בנקודה שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ג‪ .‬האם הגרפים של הפונקציה )‪ f ( x‬ו ‪ g ( x) -‬נחתכים בנקודות נוספות?‬
‫אם כן‪ ,‬מצא אותן‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )4‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪ k :‬‬
‫‪x‬‬
‫ידוע כי גרף הפונקציה עולה בתחום‪ 0  x  4 :‬ויורד בתחום‪. x  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫‪ k , f '( x) ‬פרמטר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה אם ידוע כי ערכה המרבי הוא‪.8 :‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ )5‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים‪,‬‬
‫ציר ה ‪ x -‬והישר‪. x  9 :‬‬
‫‪362‬‬
‫‪ f ( x ) ‬ו ‪. g ( x)  2 x -‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫‪ )6‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫ו‪2 -‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. g ( x) ‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫‪x4‬‬
‫ג‪ .‬מעבירים את הישרים‪ x  4 :‬ו ‪ y  4 -‬כך שנוצר ריבוע‪.‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ .1‬חשב את השטח הכלוא בין הישרים הנ"ל‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫והגרפים של שתי הפונקציות‪.‬‬
‫‪ .2‬חשב את היחס בין השטח שמצאת בסעיף הקודם לשטח הריבוע‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ f ( x ) ‬ו‪-‬‬
‫‪ )7‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫מעבירים שני ישרים‪ x  k :‬ו ‪ x  t -‬אשר חותכים את‬
‫‪. g ( x)  ‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪xt‬‬
‫‪C‬‬
‫‪xk‬‬
‫‪x‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪y‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת המינימום שלה‪.‬‬
‫מנקודת המינימום של הפונקציה מעבירים ישר‬
‫לנקודה‪  2, 0  :‬שעל ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪y 4‬‬
‫‪A‬‬
‫הגרפים של הפונקציות ויוצרים את הקטעים ‪ AB‬ו‪.CD-‬‬
‫ידוע כי‪. AB  2CD :‬‬
‫א‪ .‬הראה כי‪. k  4t :‬‬
‫ב‪ .‬השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות‬
‫והישרים‪ x  k :‬ו‪ x  t -‬הוא‪ . S  12 :‬מצא את ‪. k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )8‬באיור שלפניך נתונה הפונקציה‪ x :‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬הישר ואנך לציר ה‪x -‬‬
‫היוצא מהנקודה ‪  2, 0 ‬עד לנקודת החיתוך עם גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )9‬א‪ .‬מצא לאיזה ערך של ‪ a‬יתקיים‪ 1dx  0 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪1  2x 1‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪ .‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪ 1 :‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫‪2x 1‬‬
‫מעבירים שני אנכים לציר ה‪ x -‬והם‪ x  1 :‬ו‪x  13 -‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫כך שנוצרים השטחים‪ S1 :‬ו‪. S 2 -‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .1 .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה ‪ x -‬והאנך ‪.  S1  , x  1‬‬
‫‪ .2‬היעזר בתוצאה שקיבלת ובסעיף א' וקבע לכמה שווה השטח‪. S 2 :‬‬
‫נמק את טענתך‪.‬‬
‫‪363‬‬
‫‪x x 8‬‬
‫‪ )10‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫א‪ .‬ענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪ .3‬הראה כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים משיק לגרף הפונקציה ששיפועו הוא‪:‬‬
‫‪16‬‬
‫‪.m ‬‬
‫מצא את נקודת ההשקה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה‪ x -‬ואנך לציר ה‪ x -‬מנקודת‬
‫ההשקה שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪64k‬‬
‫‪ )11‬נתונות הפונקציות הבאות‪; g  x   kx :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ k ) , f  x  ‬פרמטר) ‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬את שיעורי נקודת החיתוך של הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות‪ ,‬ציר ה ‪x -‬‬
‫והאנך‪ x  25 :‬הוא ‪ .1024‬מצא את ‪. k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9 1‬‬
‫‪ )12‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪; g  x    2 :‬‬
‫‪16 x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫ברביע הראשון‪ .‬מנקודת החיתוך של הגרפים מעבירים משיק לפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הגרפים נחתכים בנקודה שבה‪. x  4 :‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ג‪ .‬מנקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה‪ x -‬מעלים אנך החותך‬
‫את הגרפים של הפונקציות בנקודות ‪ A‬ו ‪ .B-‬חשב את השטח‬
‫הכלוא בין הגרפים של הפונקציות והישר ‪.AB‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪; g  x  ‬‬
‫‪ )13‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫מעבירים שני ישרים‪ x  k :‬ו ‪  k  t  , x  t -‬אשר חותכים את הגרפים‬
‫של הפונקציות ויוצרים את הקטעים ‪ AB‬ו‪ .CD-‬ידוע כי‪. AB  3CD :‬‬
‫א‪ .‬הראה כי‪. k  9t :‬‬
‫ב‪ .‬השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות‬
‫‪x‬‬
‫והישרים‪ x  k :‬ו‪ x  t -‬הוא‪. S  80 :‬‬
‫מצא את ‪. k‬‬
‫‪364‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪xt‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x k‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )14‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪2x 1‬‬
‫‪. f  x   16 x ‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬מעבירים אנך לציר ה‪ y -‬ומנקודת הקיצון‪.‬‬
‫חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬האנך וציר ה‪. y -‬‬
‫‪32‬‬
‫‪ )15‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f  x   x2 ‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת‬
‫החיתוך שלה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬המשיק והאנך ‪x  9‬‬
‫כמתואר באיור שלפניך‪.‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ )16‬א‪ .‬מצא עבור איזה ערך של ‪ a‬יתקיים‪dx  0 :‬‬
‫‪2x  5 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ a  3) ,  1 ‬פרמטר)‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪2x  5‬‬
‫מעבירים שני אנכים לציר ה‪ x -‬והם‪ x  3 :‬ו‪x  7 -‬‬
‫כך שנוצרים השטחים‪ S1 :‬ו‪. S 2 -‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪. f ( x)  1 ‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪S1‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .1 .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה ‪ x -‬והאנך ‪.  S1  , x  3‬‬
‫‪ .2‬היעזר בתוצאה שקיבלת ובסעיף א' וקבע לכמה שווה השטח ‪. S 2‬‬
‫נמק את טענתך‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ )17‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪ f ( x)  6 x2 :‬ו‪-‬‬
‫‪x‬‬
‫ברביע הראשון‪ .‬מעבירים ישר ‪ a) , x  a‬פרמטר)‬
‫‪x‬‬
‫החותך את גרף הפונקציה ‪ g x‬ויוצר את השטח‬
‫‪ ‬‬
‫‪g ( x) ‬‬
‫‪x a‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫הכלוא בין שני הגרפים‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והישר (השטח המסומן)‪.‬‬
‫ידוע כי שטח זה שווה ל ‪. S  14 -‬‬
‫מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫‪365‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x x k‬‬
‫‪ )18‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ k ) , f  x  ‬פרמטר)‪.‬‬
‫עבור‪ x  1 :‬מתקיים כי‪. f 2 1  676 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪ k‬אם ידוע כי ידוע כי הפונקציה עולה‬
‫בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את השטח כלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והאנך‪. x  36 :‬‬
‫‪k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )19‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪ k ) , f  x  ‬פרמטר)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי גרף הפונקציה לא חותך את הצירים לכל ערך של ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫מעבירים את האנכים‪ x  4 , x  8 :‬כך שנוצר השטח‬
‫‪x‬‬
‫המסומן‪ .‬ידוע כי השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬האנכים‬
‫וציר ה‪ x -‬שווה ל‪ . 42 2  44 :‬מצא את ‪. k‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )20‬הנגזרת של פונקציה‪ f  x  :‬היא‪:‬‬
‫‪6x  5‬‬
‫ציר ה ‪ x -‬בנקודה הנמצאת על הישר‪. 18 y 12 x  10 :‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ . f '  x  ‬ידוע כי גרף הפונקציה חותך את‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה‪. f  x  :‬‬
‫מגדירים פונקציה חדשה‪ . g  x    f  x    f '  x  :‬ענה על השאלות הבאות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את הפונקציה ‪ g  x ‬בצורה מפורשת‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ‪ , g  x ‬ציר ה ‪x -‬‬
‫והאנכים‪ x  1 :‬ו ‪. x  5 -‬‬
‫‪366‬‬
:‫תשובות סופיות‬
. f ( x)  x  x2  14 .‫ ב‬k  1 .‫) א‬1
. f  x   2 x2  2 x  79 .‫ ב‬k  4 .‫) א‬2
.  9, 6  - ‫ כן‬.‫ ג‬f ( x)  x  3 x  6 .‫ ב‬ 4, 4  .‫) א‬3
.  0,0 , 16,0  .‫ ג‬f ( x)  8 x  2 x .‫ ב‬k  2 .‫) א‬4
. S  48 .‫ ב‬ 4,8 .‫) א‬5
.
11
.2 S  11 .1 .‫ב‬
16
1,1 .‫) א‬6
. k  4 .‫) ב‬7
. S  1.75 .‫ ב‬Min  0.5,1.5 .‫) א‬8
 3

 1dx  0 ‫ לפי‬.2 . S1  2 .1 .‫ג‬
S1  S2  0 :‫ נקבל כי‬ 
2x 1 
1
13
 5, 0  .‫ ב‬. a  13 .‫) א‬9
. S2  S1  2 :‫ולכן‬
. S  88 .‫ ג‬. 16,14  .‫ ב‬. f '( x)  1 
4
x x
1
3
 0 :‫ הנגזרת היא‬.3
. S  8  4 3  1.405 .‫ ג‬y  
 4, 0  .2
1
3
x  .‫) ב‬12 . k  4 .‫ב‬
16
4
x  0 .1 .‫) א‬10
16,16k  .‫) א‬11
5
.‫ ג‬min  0.375, 2 .‫ ב‬x  0.5 .‫) א‬14 . k  36 .‫) ב‬13
8
1
1
2
. S2  .2 . S1  .1 .‫ ג‬.  4.5, 0  .‫ ב‬. a  7 .‫) א‬16 . S  32 .‫ ג‬y  10 x  40 .‫) ב‬15
2
2
3
.S 
. S  445.5 .‫ ד‬.‫ סקיצה בצד‬.‫ג‬
y
x
g  x   6x  5 
3
.‫ב‬
6x  5
 9, 0  .‫ב‬
k  27 .‫) א‬18 . a  4 )17
f  x   6 x  5 .‫) א‬20 . k  10 .‫) ב‬19
. S  56 .‫ג‬
367
‫תרגול מבגרויות של ‪ 3‬יחידות‪:‬‬
‫‪ )1‬נתונות שתי פונקציות‪. f  x   x2  4 x  6 , g  x   x2  4x  14 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך בין שתי הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי‬
‫הפונקציות‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והישרים ‪ x  2‬ו ‪. x  2 -‬‬
‫(השטח המקווקו בציור)‪.‬‬
‫‪ )2‬נתונה הפונקציה ‪( y   x2  6 x  5‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את השיעורים של נקודת המקסימום של‬
‫הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהי משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה‬
‫בנקודת המקסימום שלה?‬
‫ג‪ .‬מצא את השטח המוגבל על ידי המשיק בנקודת‬
‫המקסימום‪ ,‬הצירים וגרף הפונקציה (השטח‬
‫המקווקו בציור)‪.‬‬
‫‪ )3‬נתונה הפונקציה ‪ f ( x)  ( x  2)2‬ונתון‬
‫הישר ‪( y  0.5x  0.5‬ראה ציור)‪.‬‬
‫מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה‪,‬‬
‫הישר וציר ה‪( x -‬השטח המקווקו בציור)‪.‬‬
‫‪ )4‬נתונות הפונקציות‪. f  x   x2 , g  x    x 2  18 :‬‬
‫הגרפים של הפונקציות נחתכים בנקודות ‪ A‬ו‪.B -‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי ה‪ x -‬של הנקודות ‪ A‬ו ‪.B -‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח ברביע הראשון המוגבל על ידי‬
‫הגרפים של שתי הפונקציות‪,‬‬
‫ציר ה ‪ x -‬והישר ‪. x  4‬‬
‫‪ )5‬נתונות שתי פונקציות‪. y   x2  3x  2 , y  x3  3x  2 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות החיתוך‬
‫בין הגרפים של שתי הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל על ידי הגרפים של‬
‫שתי הפונקציות‪ ,‬השטח המקווקו בציור‪.‬‬
‫‪368‬‬
‫‪ )6‬נתונה הפונקציה ‪. f ( x)   x2  ax‬‬
‫הפונקציה עוברת דרך הנקודה )‪( A(2,8‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬הפונקציה חותכת את ציר ‪ x‬בנקודה ‪ O  0, 0 ‬ובנקודה ‪.B‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה‪,‬‬
‫המיתר ‪ AB‬וציר ה‪. x -‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )1‬א‪ 1,11 .‬ב‪ 25 .‬יח"ש‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )4‬א‪ x  3 .‬ב‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )2‬א‪  3, 4  .‬ב‪ y  4 .‬ג‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 14‬יח"ש‪ )5 .‬א‪ x  0, 2, 3 .‬ב‪ 15.75 .‬יח"ש‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )6‬א‪ . a  6 .‬ב‪ . B  6, 0  .‬ג‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 25‬יח"ש‪.‬‬
‫‪369‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 6‬יח"ש‪ 1 )3 .‬יח"ש‪.‬‬
‫תרגול מבגרויות‪:‬‬
‫‪ )1‬נתונות שתי פונקציות‪f  x   3x 2  4 x  c :‬‬
‫‪g  x    x 2  bx‬‬
‫‪ b‬ו ‪ c‬הם פרמטרים‪.‬‬
‫ישר משיק לגרפים של שתי הפונקציות בנקודה‬
‫המשותפת לשניהם שבה ‪( , x  1‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ )1( .‬מצא את הערך של ‪b‬‬
‫(‪ )2‬מצא את הערך של ‪c‬‬
‫הצב את הערך של ‪ b‬ואת הערך של ‪ c‬שמצאת בסעיף א‪,‬‬
‫וענה על הסעיפים ב ו‪ -‬ג‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק המשותף לשני הגרפים‪.‬‬
‫ג‪ S1 .‬הוא השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ‪ , f  x ‬על ידי המשיק המשותף‬
‫ועל ידי ציר ה ‪ S2 . y -‬הוא השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ‪ , g  x ‬על ידי‬
‫‪S1‬‬
‫המשיק המשותף‪ ,‬ועל ידי ציר ה‪ . y -‬מצא את היחס‬
‫‪S2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )2‬בציור מוצגת סקיצה של הפונקציה ‪f  x   2 x3  9 x 2  12 x  a‬‬
‫‪ a‬הוא פרמטר‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הקיצון של‬
‫הפונקציה ‪ , f  x ‬והוכח שאחת מהן היא‬
‫מקסימום והאחרת היא מינימום‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי הישר ‪ y  8x  14‬עובר דרך נקודת‬
‫המינימום של הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫מצא את הערך של הפרמטר ‪. a‬‬
‫ג‪ .‬מעבירים משיק לגרף הפונקציה ‪ f  x ‬בנקודת החיתוך‬
‫של הגרף עם ציר ה ‪ , y -‬ומעבירים אנך לציר ה ‪ x -‬דרך‬
‫נקודת המקסימום של הפונקציה‪.‬‬
‫הצב את הערך של ‪ a‬שמצאת בסעיף ב‪ ,‬וחשב את השטח‬
‫המוגבל על ידי המשיק‪ ,‬על ידי האנך‪ ,‬על ידי גרף‬
‫הפונקציה ‪ f  x ‬ועל ידי הציר ה‪( x -‬השטח המקווקו בציור)‪.‬‬
‫‪370‬‬
‫‪ )3‬בציור שלפניך מוצג הגרף של הפונקציה‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2 x  1‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬דרך נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪ y -‬העבירו‬
‫ישר המקביל לציר ה‪. x -‬‬
‫הישר חותך את גרף הפונקציה בנקודה נוספת‪( A ,‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪ .1‬מצא את השיעורים של הנקודה ‪.A‬‬
‫‪ .2‬דרך הנקודה ‪ A‬העבירו אנך לציר ה‪. x -‬‬
‫מצא את השטח המוגבל על ידי האנך‪ ,‬על ידי הישק המקביל‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫על ידי גרף הפונקציה‪ ,‬על ידי הישר‬
‫‪2‬‬
‫‪ x ‬ועל ידי ציר ה‪x -‬‬
‫(השטח המקווקו בציור)‪.‬‬
‫‪ )4‬בציור שלפניך מוצגות שתי פרבולות‪:‬‬
‫‪f  x   x2  4x  6 , g  x    x2  c‬‬
‫‪ c‬הוא פרמטר‪.‬‬
‫הפרבולות משיקות זו לזו בנקודה ‪. A‬‬
‫דרך נקודה ‪ A‬העבירו משיק המשותף לשתי הפרבולות‬
‫(ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ )1( .‬סמן ב‪ t -‬את שיעור ה‪ x -‬של נקודה ‪ , A‬והבע באמצעות ‪t‬‬
‫את השיפוע של המשיק המשותף‪ .‬הבע בשני אופנים‪.‬‬
‫(‪ )2‬מצא את השיעורים של נקודה ‪.A‬‬
‫(‪ )3‬מצא את ערך הפרמטר ‪. c‬‬
‫ב‪ .‬המשיק המשותף מחלק את השטח‪ ,‬המוגבל על ידי שתי הפרבולות ועל ידי ציר‬
‫ה ‪ , y -‬לשני שטחים (השטח האפור והשטח המקווקו בציור)‪.‬‬
‫הצב את הערך של הפרמטר ‪ c‬שמצאת‪ ,‬והראה כי שני השטחים שווים זה לזה‪.‬‬
‫‪371‬‬
‫‪ )5‬בציור שלפניך מוצגים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪16‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  a‬‬
‫‪. f  x   x  a , g  x ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ a‬הוא פרמטר גדול מ ‪. 0 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים‬
‫של הפונקציה ‪( g  x ‬הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך)‪.‬‬
‫אחת מנקודות החיתוך בין הגרפים של הפונקציות היא הנקודה שבה ‪. x  a  2‬‬
‫‪ S1‬הוא השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ‪ , f  x ‬על ידי ציר ה‪ x -‬ועל ידי‬
‫הישר ‪( x  a  2‬השטח המקווקו בציור)‪.‬‬
‫‪ S2‬הוא השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ‪ , g  x ‬על ידי ציר ה ‪ x -‬ועל ידי‬
‫הישרים ‪ , x  a  2‬ן‪( x  a  3 -‬השטח האפור בציור)‪.‬‬
‫‪S1‬‬
‫ב‪ .‬חשב את היחס‬
‫‪S2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )6‬בציור מוצג הגרף של פונקצית הנגזרת ‪ f   x ‬בתחום ‪. 0  x  4‬‬
‫הגרף של ‪ f   x ‬חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה ‪. x  2‬‬
‫‪ S1‬הוא השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית‬
‫הנגזרת ‪ f   x ‬ועל ידי הצירים (השטח המקווקו בציור)‪.‬‬
‫‪ S2‬הוא השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת ‪, f   x ‬‬
‫על ידי ציר ה ‪ x -‬ועל ידי הישר ‪( x  4‬השטח האפור בציור)‬
‫א‪ )1( .‬נתון‪ . S1  4 , f  0   0 :‬חשב את ‪. f  2 ‬‬
‫(‪ )2‬נתון גם‪ . S2  4 :‬חשב את ‪. f  4 ‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון‬
‫הפנימית של הפונקציה ‪ f  x ‬בתחום הנתון‪,‬‬
‫וקבע את סוגה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪f  x ‬‬
‫בתחום הנתון‪.‬‬
‫‪372‬‬
‫‪ )7‬הגרפים ‪ I‬ו‪ II -‬שבציור הם של הפונקציות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪, g  x  ‬‬
‫‪2x  3‬‬
‫‪2x  3‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫א‪ )1( .‬מצא את תחום ההגדרה של כל אחת מהפונקציות‪.‬‬
‫(‪ ) 2‬מהי האסימפטוטה האנכית של כל אחת מהפונקציות?‬
‫ב‪ .‬איזה גרף הוא של הפונקציה ‪ , f  x ‬ואיזה גרף‬
‫הוא של הפונקציה ‪ ? g  x ‬נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬הישר ‪ y  2‬חותך את הגרף ‪ I‬בנקודה ‪. A‬‬
‫הישר ‪ y  2‬חותך את הגרף ‪ II‬בנקודה ‪. B‬‬
‫מצא את השטח המוגבל על ידי הישר ‪ , AB‬על ידי‬
‫הגרפים של שתי הפונקציות‪ ,‬ועל ידי הישר ‪. x  3‬‬
‫‪ )8‬נתונה הפונקציה ‪. f  x    2 x  2   3‬‬
‫דרך נקודת המינימום של הפונקציה‬
‫העבירו ישר המאונך לציר ה‪, x -‬‬
‫ודרך נקודת החיתוך של גרך הפונקציה עם ציר ה‪y -‬‬
‫העבירו ישר המקביל לציר ה‪( x -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מה תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת האנך ואת משוואת המקביל‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה‪ ,‬על ידי‬
‫האנך ועל ידי המקביל‪ ,‬השטח המקווקו בציור‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ f  x  )9‬היא פונקציה שמוגדרת לכל ‪. x‬‬
‫בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת ‪. f '  x ‬‬
‫הגרף של פונקציית הנגזרת ‪ f '  x ‬עובר דרך‬
‫הנקודות‪. 1,0  ,  2,0  :‬‬
‫א‪ )1( .‬על פי הגרף של פונקציית הנגזרת ‪f '  x ‬‬
‫מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ‪f  x ‬‬
‫(‪ )2‬מהו שיעור ה‪ x -‬של נקודת הקיצון של‬
‫הפונקציה ‪ f  x ‬ומהו סוג ה קיצון? נמק‪.‬‬
‫(‪ )3‬נתון כי פונקציית הנגזרת היא‪. f '  x   4 x3  12 x  8 :‬‬
‫שיעור ה‪ y -‬של נקודת הקיצון של הפונקציה ‪ f  x ‬הוא ‪. 10‬‬
‫מצא את הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השיעורים של הנקודות שבהן שיפוע המשיק‬
‫לגרף הפונקציה ‪ f  x ‬הוא ‪. 0‬‬
‫‪373‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )10‬בציור שלפניך מוצג גרף של פונקציית הנגזרת‪ 1 :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. x  0 , f ' x ‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של נקודת החיתוך‬
‫של ‪ f '  x ‬עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של נקודת הקיצון‬
‫הפנימית של הפונקציה ‪ f  x ‬וקבע את‬
‫סוגה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬ידוע כי שיעור ה‪ y -‬של נקודת הקיצון‬
‫הפנימית של ‪ f  x ‬היא ‪ . 0‬מצא את ‪. f  x ‬‬
‫ד‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת ‪, f '  x ‬‬
‫על ידי הישר ‪ , x  4‬על ידי הישר ‪ , x  25‬ועל ידי ציר ה‪. x -‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪ )1‬א‪ . c  4 )2( b  4 )1( .‬ב‪ . y  2 x  1 .‬ג‪ 3 .‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )2‬א‪ xmax  1 , xmin  2 .‬ב‪ a  6 .‬ג‪. 1 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )3‬א‪ . x   .‬ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . y  0 , x  ‬ג‪. 5 )2(  1, 4 )1( .‬‬
‫‪ )4‬א‪. c  4 )3( A  1,3 )2( 2t , 2t  4 )1( .‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪ )5‬א‪ . y  0, x  a .‬ב‪ 1 .‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )6‬א‪ . 0 )2( . 4 )1( .‬ב‪ max  2, 4  .‬ג‪ .‬סקיצה בצד‪.‬‬
‫‪ )7‬א‪. f  x  : x  1.5 , g  x  : x  1.5 )2( f  x  : x  1.5 , g  x  : x  1.5 )1( .‬‬
‫ב‪ I  f  x  , II  g  x  .‬ג‪. 2.928 .‬‬
‫‪ )8‬א‪ .‬כל ‪ . x‬ב‪ y  13, x  1 .‬ג‪.12.8 .‬‬
‫‪ )9‬א‪ )1( .‬עלייה‪ , x  2 :‬ירידה‪ 2 )2( . x  2 :‬‬
‫‪. f  x   x4  6 x2  8x  14 )3( . xmin‬‬
‫ב‪.  2, 10  , 1,17  .‬‬
‫‪ )10‬א‪ x  16 .‬ב‪ xmax  16 .‬ג‪ f  x   8 x  x  16 .‬ד‪. 5 .‬‬
‫‪374‬‬
‫נספח ‪ – 1‬משפטים בגאומטריה‪:‬‬
‫המשפטים‪:‬‬
‫‪ .1‬זוויות צמודות משלימות זו את זו ל‪.180 -‬‬
‫‪ .2‬זוויות קודקודיות שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .3‬במשולש‪ ,‬מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות‪.‬‬
‫‪ .4‬במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .5‬סכום כל שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית‪.‬‬
‫‪ .6‬במשולש שווה שוקיים‪ ,‬חוצה זווית הראש‪ ,‬התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים‪.‬‬
‫‪ .7‬אם במשולש חוצה זווית הוא גובה‪ ,‬אז המשולש הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪ .8‬אם במשולש חוצה זווית הוא תיכון‪ ,‬אז המשולש הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪ .9‬אם במשולש גובה הוא תיכון‪ ,‬אז המשולש הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪ .10‬במשולש (שאינו שווה צלעות)‪ ,‬מול הצלע הגדולה יותר מונחת זוית גדולה יותר‪.‬‬
‫‪ .11‬במשולש (שאינו שווה זוויות)‪ ,‬מול הזווית הגדולה יותר מונחת צלע גדולה יותר‪.‬‬
‫‪ .12‬סכום הזוויות של משולש הוא ‪.180‬‬
‫‪ .13‬זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה‪.‬‬
‫‪ .14‬קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה‪.‬‬
‫‪ .15‬ישר החוצה צלע אחת במשולש ומקביל לצלע שניה‪ ,‬חוצה את הצלע השלישית‪.‬‬
‫‪ .16‬קטע שקצותיו על שתי צלעות משו לש‪ ,‬מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה הוא‬
‫קטע אמצעים‪.‬‬
‫‪ .17‬משפט חפיפה צ‪.‬ז‪.‬צ‪.‬‬
‫‪ .18‬משפט חפיפה ז‪.‬צ‪.‬ז‪.‬‬
‫‪ .19‬משפט חפיפה צ‪.‬צ‪.‬צ‪.‬‬
‫‪ .20‬משפט חפיפה שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מבין השתיים‪.‬‬
‫‪ .21‬האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זוויות הראש‪ ,‬חוצה את האלכסון השני ומאונך לו‪.‬‬
‫‪ .22‬שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי‪ .‬אם יש זוג זוויות מתאימות שוות‪ ,‬אז שני‬
‫הישרים מקבילים‪.‬‬
‫‪ .23‬שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי‪ .‬אם יש זוג זוויות מתחלפות שוות אז שני‬
‫הישרים מקבילים‪.‬‬
‫‪375‬‬
‫‪ .24‬שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי‪ .‬אם סכום זוג זוויות חד ‪-‬צדדיות הוא ‪ 180‬אז‬
‫שני הישרים מקבילים‪.‬‬
‫‪ .25‬אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז‪:‬‬
‫א‪ .‬כל שתי זוויות מתאימות שוות זו לזו‪.‬‬
‫ב‪ .‬כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו‪.‬‬
‫ג‪ .‬סכום כל זוג זוויות חד‪-‬צדדיות הוא ‪.180‬‬
‫‪ .26‬במקבילית כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .27‬במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .28‬במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה‪.‬‬
‫‪ .29‬מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪ .30‬מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪ .31‬מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ושוות הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪ .32‬מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪ .33‬במעוין האלכסונים חוצים את הזוויות‪.‬‬
‫‪ .34‬מקבילית שבה אלכסון הוא חוצה זווית היא מעוין‪.‬‬
‫‪ .35‬במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫‪ .36‬מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין‪.‬‬
‫‪ .37‬אלכסוני המלבן שווים זה לזה‪.‬‬
‫‪ .38‬מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן‪.‬‬
‫‪ .39‬בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .40‬טרפ ז בו הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪ .41‬בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה‪.‬‬
‫‪ .42‬טרפז בו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪ .43‬קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם‪.‬‬
‫‪ .44‬בטרפז ‪ ,‬ישר החוצה שוק אחת ומקביל לבסיסים‪ ,‬חוצה את השוק השנייה‪.‬‬
‫‪ .45‬שלושת התיכונים במשולש נחתכים בנקודה אחת‪.‬‬
‫‪ .46‬נקודת חיתוך התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס ‪.2:1‬‬
‫(החלק הקרוב לקדקוד הוא פי ‪ 2‬מהחלק האחר)‪.‬‬
‫‪ .47‬כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחקים שווים משוקי זווית זו‪.‬‬
‫‪376‬‬
‫‪ .48‬אם נקודה נמצאת במרחקים שווים משני שוקי זווית אז היא נמצאת על חוצה הזווית‪.‬‬
‫‪ .49‬שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת שהיא מרכז המעגל החסום במשולש‪.‬‬
‫‪ .50‬בכל משולש אפשר לחסום מעגל‪.‬‬
‫‪ .51‬כל נקודה‪ ,‬הנמצאת על האנך האמצעי של קטע‪ ,‬נמצאת במרחקים שווים מקצות‬
‫הקטע‪.‬‬
‫‪ .52‬כל נקודה ‪,‬הנמצאת במרחקים שווים מקצות קטע‪ ,‬נמצאת על האנך האמצעי לקטע‪.‬‬
‫‪ .53‬כל משולש ניתן לחסום במעגל‪.‬‬
‫‪ .54‬במשולש‪ ,‬שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אח שהיא מרכז המעגל‬
‫החוסם את המשולש‪.‬‬
‫‪ .55‬שלושת הגבהים במשולש נחתכים בנקודה אחת‪.‬‬
‫‪ .56‬ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל‪.180 -‬‬
‫‪ .57‬מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי‬
‫הצלעות הנגדיות האחרות‪.‬‬
‫‪ .58‬כל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל‪.‬‬
‫‪ .59‬בכל מצולע משוכלל אפשר לחסום מעגל‪.‬‬
‫‪ .60‬דרך כל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד עובר מעגל אחד ויחיד‪.‬‬
‫‪ .61‬במעגל‪ ,‬שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות‬
‫להן שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .62‬במעגל‪ ,‬שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שני המיתרים המתאימים‬
‫להן שווים זה לזה‪.‬‬
‫‪ .63‬במעגל‪ ,‬מיתרים שווים זה לזה אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להם שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .64‬מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל‪.‬‬
‫‪ .65‬מיתרים במעגל אחד הנמצאים במרחקים שווים ממרכזו שווים זה לזה‪.‬‬
‫‪ .66‬במעגל‪ ,‬אם מרחקו של מיתר ממרכז המעגל קטן יותר ממרחקו של מיתר אחר‪ ,‬אז‬
‫מיתר זה ארוך יותר מהמיתר האחר‪.‬‬
‫‪ .67‬האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר‪ ,‬חוצה את הזווית המרכזית המתאימה‬
‫למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר‪.‬‬
‫‪ .68‬קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר‪.‬‬
‫‪ .69‬במעגל‪ ,‬זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת‪.‬‬
‫‪377‬‬
‫‪ .70‬במעגל‪ ,‬לזוויות היקפיות שוות קשתות שוות ומיתרים שווים‪.‬‬
‫‪ .71‬במעגל‪ ,‬לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות‪.‬‬
‫‪ .72‬במעגל‪ ,‬כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .73‬זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה ( ‪.) 90‬‬
‫‪ .74‬זווית היקפית בת ‪ 90‬נשענת על קוטר‪.‬‬
‫‪ .75‬במעגל‪ ,‬זווית פנימית שווה למחצית סכום שתי הקשתות הכלואות בין שוקי‬
‫הזווית ובין המשכיהן‪.‬‬
‫‪ .76‬במעגל‪ ,‬זווית חיצונית שווה למחצית הפרש שתי הקשתות הכלואות בין שוקי‬
‫הזווית ובין המשכיהן‪.‬‬
‫‪ .77‬המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה‪.‬‬
‫‪ .78‬ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל‪.‬‬
‫‪ .79‬זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני‪.‬‬
‫‪ .80‬שני משיקים למעגל ה יוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה‪.‬‬
‫‪ .81‬קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל‪ ,‬חוצה‬
‫את הזווית שבין המשיקים‪.‬‬
‫‪ .82‬קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים‪ ,‬חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו‪.‬‬
‫‪ .83‬נקודת ההשקה של שני מעגלים המשיקים זה לזה‪ ,‬נמצאת על קטע המרכזים או על‬
‫המשכו‪.‬‬
‫‪ .84‬משפט פיתגורס‪ :‬במשולש ישר זווית‪ ,‬סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר‪.‬‬
‫‪ .85‬משפט פיתגורס ההפוך‪ :‬משולש בו סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע הצלע‬
‫השלישית הוא ישר זווית‪.‬‬
‫‪ .86‬במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר‪.‬‬
‫‪ .87‬משולש בו התיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה הוא משולש ישר זווית‪.‬‬
‫‪ .88‬אם במשולש ישר זוית ‪,‬זוית חדה של ‪ , 30‬אז הניצב מול זוית זו שווה למחצית היתר‪.‬‬
‫‪ .89‬אם במשולש ישר זוית ניצב שווה למחצית היתר‪ ,‬אז מול ניצב זה זוית שגודלה ‪. 30‬‬
‫‪ .90‬משפט תאלס‪ :‬שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית‪ ,‬מקצים עליהם קטעים‬
‫פרופורציוניים‪.‬‬
‫‪ .91‬משפט תאלס המורחב‪ :‬ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות‬
‫האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים‪.‬‬
‫‪378‬‬
‫‪ .92‬משפט הפוך למשפט תאלס‪ :‬שני ישרים המקצים על שוקי זווית ארבעה קטעים‬
‫פרופורציוניים הם ישרים מקבילים‪.‬‬
‫‪ .93‬חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים אשר‬
‫היחס ביניהם שווה ליחס הצלעות הכולאות את הזווית בהתאמה‪.‬‬
‫‪ .94‬ישר העובר דרך קדקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קדקוד זה חלוקה פנימית ביחס‬
‫של שתי הצלעות האחרות (בהתאמה) הוא חוצה את זווית המשולש שדרך קודקודה‬
‫הוא עובר‪.‬‬
‫‪ .95‬חוצה זווית חיצונית במשולש‪ ,‬שאינו מקביל לצלע המשולש‪ ,‬מחלק את הצלע שמול‬
‫הזווית הצמודה לה חלוקה חיצונית ביחס של שתי הצלעות הכולאות את הזווית‬
‫הפנימית הצמודה לה‪.‬‬
‫‪ .96‬ישר העובר דרך קדקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קדקוד זה חלוקה חיצונית‬
‫כיחס הצלעות הא חרות (בהתאמה) הוא חוצה את הזווית החיצונית שדרך קודקודה‬
‫הוא עובר‪.‬‬
‫‪ .97‬משפט דמיון צ‪.‬ז‪.‬צ‪.‬‬
‫‪ .98‬משפט דמיון ז‪.‬ז‪.‬‬
‫‪ .99‬משפט דמיון צ‪.‬צ‪.‬צ‪.‬‬
‫‪ .100‬במשולשים דומים‪:‬‬
‫א‪ .‬יחס גבהים מתאימים שווה ליחס הדמיון‪.‬‬
‫ב‪ .‬יחס חוצי זוויות מתאימות שווה ליחס הדמיון‪.‬‬
‫ג‪ .‬יחס תיכונים מתאימים שווה ליחס הדמיון‪.‬‬
‫ד‪ .‬יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון‪.‬‬
‫ה‪ .‬יחס הרדיוסים של המעגלים החוסמים שווה ליחס הדמיון‪.‬‬
‫ו‪ .‬יחס הרדיוסים של המעגלים החסומים שווה ליחס הדמיון‪.‬‬
‫ז‪ .‬יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון‪.‬‬
‫‪ .101‬הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא ממוצע הנדסי של היטלי הניצבים על היתר‪.‬‬
‫‪ .102‬סכום הזוויות הפנימיות של מצולע קמור הוא )‪.180(n  2‬‬
‫‪379‬‬
‫נספח ‪ – 2‬דף ההוראות הרשמי לשאלון ‪:804‬‬
‫‪380‬‬
‫נספח ‪ – 3‬עקרונות מנחים לבדיקת בחינות הבגרות‪:‬‬
‫מטרת מסמך זה היא להביא לידיעת המורים את השגיאות השכיחות ואת אופן הערכתן‬
‫בבדיקת השאלות בבחינת הבגרות‪ .‬במסמך נרשום כמה אחוזים מורידים על שגיאות רק‬
‫במקרים כלליים שאינם תלויים בשאלה ספציפית‪ ,‬בשאר המקרים רק נתאר את השגיאה‪.‬‬
‫עקרונות כלליים‬
‫‪ ‬שאלות בבחינה ייבדקו על פי סדר הופעתן בלבד‪ .‬נבחן חייב לציין איזה חלק מהבחינה‬
‫הוא טיוטה‪ .‬כל שאלה שנבחן התחיל לפתור ולא מחק‪ ,‬לא רשם "טיוטה" או לא רשם‬
‫"לא לבדוק"‪ ,‬תיבדק לפי סדר הופעתה ולא יתקבל ערעור בעניין זה‪.‬‬
‫‪ ‬החלטה על מספר נקודות שמורידים על טעות תלויה באופי השגיאה‪ ,‬ביכולת לבדוק את‬
‫המשך השאלה‪ ,‬ברמת הקושי שנוצרה עקב השגיאה וכדומה‪ .‬בכל מקרה‪ ,‬אם נבחן טעה‬
‫טעות גסה (ראה בהמשך דוגמאות)‪ ,‬יקבל נקודות רק לסעיפים שאינם קשורים בטעות‬
‫זו‪ .‬למשל‪ ,‬קבלת הסתברות גדולה מ ‪ 1-‬ושימוש בתוצאה זו גם בהמשך השאלה יגרום‬
‫לפסילת כל השאלה‪ ,‬אך אם בהמשך הנבחן אינו משתמש בתוצאה זו הרי שרק עבור‬
‫הסעיף השגוי לא יינתנו נקודות‪.‬‬
‫‪ ‬ניקוד סעיפי השאלות בבחינת הבגרות אינו מתחלק שווה בשווה בין הסעיפים אלא‬
‫תלוי ברמת המורכבות של הסעיף‪ ,‬ברמת הקושי של הסעיף יחסית לסעיפים אחרים‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שביצע פעולה לא חוקית במהלך הפתרון ייקנס גם אם קיבל תשובה נכונה‪.‬‬
‫למשל‪ :‬חילק ב ‪ x -‬את המשוואה ‪ x 2 - x = 0‬ללא ציון ‪ , x  0‬ייקנס גם אם פתרון הבעיה‬
‫הוא ‪ x=1‬בלבד‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שהעתיק בצורה שגויה מהשאלון ביטוי או נתון‪ ,‬ייקנס בצורה משמעותית אם‬
‫שינה את רמת הקושי של השאלה‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שהניח הנחה שגויה‪ ,‬המפשטת את כל השאלה‪ ,‬לא יקבל נקודות לשאלה זו‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שרשם ישירות תשובה‪ ,‬בלי לרשום את הדרך‪ ,‬לא יקבל נקודות לסעיף גם במקרים‬
‫שהתשובה מתקבלת בחישוב פשוט‪ .‬ייתכן שהוא יוחשד בהעתקה (פרט למקרים‬
‫פשוטים של פתרון משוואה ריבועית)‪.‬‬
‫‪ ‬בכל מקרה רלוונטי על הנבחן לסמן יחידות מידה בתשובה‪ .‬למשל‪ ,‬בזוויות יש לסמן‬
‫מעלות ליד המספר‪ ,‬אחרת מדובר במידת הזווית ברדיאנים‪.‬‬
‫‪ ‬על טעות ברישום סדר האיברים בזוג סדור מורידים ‪.5%‬‬
‫‪ ‬על טעות חשבונית מורידים בין ‪ 5%‬ל‪( 15% -‬תלוי באופי השגיאה)‪.‬‬
‫‪381‬‬
‫‪ ‬בשאלה מילולית מכל סוג תלמיד חייב להגדיר את המשתנים באופן ברור (מילולי)‬
‫ולרשום בסוף תשובה מילולית‪.‬‬
‫‪ ‬אם נבחן לא פסל תוצאות שיש לפסול‪ ,‬ייקנס בהתאם לאופי הטעות‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שפתר שאלה המנוסחת באופן כללי‪ ,‬עבור מקרה פרטי‪ ,‬לא יקבל ניקוד לשאלה‪.‬‬
‫לדוגמה‪ :‬במקום פרמטר נבחן הציב מספר קבוע ופתר את השאלה למקרה זה‪.‬‬
‫‪ ‬מותר להגיע לתשובה על ידי ניסוי וטעייה‪ ,‬בתנאי שהנבחן מראה את כל הניסיונות‪,‬‬
‫ובתנאי שלא צוין שעל הנבחן לפתור את השאלה על סמך סעיפים קודמים‪ .‬אם נבחן לא‬
‫מראה את כל הניסיונות הוא עשוי להיחשד בהעתקה‪.‬‬
‫‪ ‬בסעיפים בהם נרשם "נמק"‪ ,‬יש לנמק באמצעים מקובלים כגון באופן אלגברי ו‪/‬או‬
‫באופן מילולי ‪ .‬ללא נימוק‪ ,‬הנבחן לא יקבל נקודות לסעיף זה‪.‬‬
‫‪ ‬שימוש בטכניקות או בידע שאינו חלק מתוכנית הלימודים חייב הסבר של הנבחן‪,‬‬
‫שיכלול את מהות הטכניקה ומדוע אפשר להשתמש בה במקום שבו השתמש‪ .‬לא‬
‫מספיק לרשום ביטוים כגון‪" :‬שיטת הקרוס"‪" ,‬מכפלה ווקטורית"‪" ,‬משפט גרין" ועוד‪.‬‬
‫נבחן שלא ייתן הסבר משכנע‪ ,‬לא יקבל נקודות בסעיף זה‪.‬‬
‫עצם השימוש בנוסחאות או בטכניקות שאינן בתוכנית הלימודים איננו פסול ובתנאי‬
‫שהנבחן יראה הבנה בתהליכים אלה‪.‬‬
‫‪ ‬הנחיות חשובות בנוגע לשעתוק‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫יש לשלוח למרב"ד שתי מחברות‪ :‬מחברת המקור והמחברת המשועתקת‪.‬‬
‫ המחברת המשועתקת חייבת להיות זהה למקור‪.‬‬‫ סדר השאלות ותוכנן חייב להיות זהה למקור‪.‬‬‫‪-‬‬
‫אם אין התאמה מלאה בין מחברת המקור לבין המחברת המשועתקת‪ ,‬הנבחן‬
‫ייחשד באי שמירה על טוהר הבחינות והבחינה תטופל בהליך המקובל למחברות‬
‫חשודות בהעתקה‪.‬‬
‫‪382‬‬
‫דגשים בהתאם לנושאי הלימוד‬
‫‪ .1‬שאלות מילוליות‬
‫‪ ‬על הנבחן להגדיר את הנעלמים ולרשום תשובה סופית ברורה‪.‬‬
‫‪ ‬אם נבחן טעה ביחידות מידה כגון ביחידות זמן‪ ,‬ביחידות מרחק וכד'‪ ,‬ההורדה היא‬
‫משמעותית‪.‬‬
‫‪ ‬אם נבחן תרגם מושגים כגון "גדול ב" או "קטן ב" בצורה שגויה‪ ,‬ההורדה היא‬
‫משמעותית‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שבנה טבלה מסודרת ומלאה ולא המשיך בתהליך הפתרון‪ ,‬יקבל ציון חלקי‬
‫בלבד‪.‬‬
‫‪ .2‬אינדוקציה מתמטית‬
‫‪ ‬אם נבחן לא רשם נכון את הנחת האינדוקציה או לא רשם נכון את מה שצריך‬
‫להוכיח‪ ,‬מפסיקים לבדוק את השאלה‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שרשם בהנחת האינדוקציה "נניח לכל ‪ n‬טבעי"‪ ,‬נקנס ב‪.20% -‬‬
‫‪ ‬חובה לרשום משפט סיכום‪.‬‬
‫‪ .3‬אלגברה‬
‫‪ ‬בסדרות מותר לרשום את כל איברי הסדרה הרלוונטיים וכך להגיע לתשובה‪ ,‬אך‬
‫אם שגה בדרך פתרון זו בחישוב אחד האיברים או בסכומם לא יקבל נקודות‬
‫לסעיף‪.‬‬
‫‪ ‬בשאלת גידול ודעיכה אם נבחן פתר לפי גדילה במקום דעיכה או להפך לא יקבל‬
‫נקודות לשאלה‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שטעה בחוקי חזקות לא יקבל נקודות על הסעיף ועל סעיפים הנובעים ממנו‬
‫(למשל‪ ,‬רשם ‪.) 3  5x  15x , (53 )x =15x‬‬
‫‪ ‬אם נבחן השתמש בחוקי לוגריתמים באופן שגוי‪ ,‬לא יקבל נקודות על הסעיף‬
‫(למשל‪ ,‬רשם כי לוגריתם של מכפלה שווה למכפלת הלוגריתמים או כל טעות‬
‫דומה)‪.‬‬
‫‪383‬‬
‫‪ .4‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫‪ ‬אם נבחן מציב במקום פרמטר ערך מסוים קבוע‪ ,‬במקום שבו היה עליו להביע‬
‫פתרונות באמצעות הפרמטר‪ ,‬מפסיקים לבדוק את השאלה‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שטעה בחישוב תחום ההגדרה ובעקבות שגיאה זו הפתרון השתנה בצורה‬
‫משמעותית‪ ,‬ייקנס לא רק בסעיף תחום ההגדרה אלא גם בסעיפים נוספים בהם‬
‫טעות זו הקלה על הפתרון‪.‬‬
‫למשל‪ :‬אם בשל טעות בתחום ההגדרה התקבלה פונקציה ללא אסימפטוטה אנכית‪,‬‬
‫וכתוצאה מכך השתנה גרף הפונקציה באופן משמעותי‪ ,‬הנבחן ייקנס גם בסעיפים‬
‫נוספים בהתאם לשאלה‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שקיבל תוצאות שאינן מתיישבות עם הנתון בשאלה‪ ,‬ייקנס בכל הסעיפים‬
‫המושפעים מתשובתו‪.‬‬
‫למשל‪ :‬אם נתון בשאלה כי לפונקציה יש נקודת קיצון ובעקבות טעות בתחום‬
‫ההגדרה קיבל הנבחן כי לפונקציה אין נקודות קיצון‪ ,‬במקרה זה ייקנס הנבחן על‬
‫תחומי עליה וירידה וכד'‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שציין תחום הגדרה ולא התייחס לנקודות אי הגדרה‪ ,‬לא יקבל נקודות על‬
‫תחום ההגדרה וכן על הסעיפים הקשורים‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שרשם בתחום ה הגדרה אי שוויון חזק במקום אי שוויון חלש או להפך‪ ,‬לא‬
‫יקבל נקודות לסעיף זה‪.‬‬
‫‪ ‬בחקירה של פונקציה טריגונומטרית אין להשאיר את התשובה במעלות‪.‬‬
‫‪ ‬אם בגזירה של פונקציה מורכבת נבחן לא התייחס לפונקציה הפנימית‪ ,‬במרבית‬
‫המקרים מפסיקים לבדוק את הסעיף ולפעמים אפילו את השאלה כולה (אם‬
‫הפתרון בנוי על הגזירה )‪ .‬החלטה על מספר נקודות שמורידים על הטעות תלויה‬
‫באופי השגיאה‪ ,‬ביכולת לבדוק את המשך השאלה‪ ,‬ברמת הקושי שנוצרה ועוד‪ .‬בכל‬
‫מקרה‪ ,‬אם נבחן טעה טעות גסה בנגזרת‪ ,‬יקבל נקודות רק לסעיפים שאינם‬
‫קשורים לנגזרת‬
‫‪ ‬אם נבחן שרטט אסימפטוטות לא נכונות‪ ,‬או שרטט גרף מחוץ לתחום ההגדרה‪ ,‬או‬
‫שרטט גרף החותך את ציר ה‪ x -‬בצורה שגויה‪ ,‬או חותך אסימפטוטה אנכית‪ ,‬לא‬
‫יקבל נקודות לסעיף‪.‬‬
‫‪384‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬טעות נפוצה בשרטוט גרפים עם אסימפטוטות‪:‬‬
‫‪ ‬אם בפונקציית מנה‪ ,‬נבחן כפל את הפונקציה במכנה‪ ,‬ו"קיבל" פונקציה ללא מכנה‬
‫(למשל‪ ,‬פולינום)‪ ,‬לא יקבל נקודות לכל השאלה‪.‬‬
‫‪ ‬בבדיקת סוג הקיצון של פונקציית מנה‪ ,‬נבחן חייב להסביר מדוע מספיק לגזור את‬
‫המונה בלבד‪ .‬אין לרשום את נגזרת המונה כנגזרת השנייה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ ‬כאשר לפונקציה אין נקודות קיצון בתחום מסוים‪ ,‬על הנבחן לנמק את‬
‫העלייה‪/‬הירידה של הפונקציה בתחום זה‪.‬‬
‫‪ ‬בפונקציות בעלות תחום סגור יש להתייחס לקצות התחום בעת רישום נקודות‬
‫קיצון‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן ששגה בפתרון של אי שוויון‪ ,‬לא יקבל נקודות לסעיף זה ולסעיפים הקשורים‪.‬‬
‫‪ ‬במציאת פונקציה קדומה‪:‬‬
‫ אם הטעות היא רק ברמה של מקדם קבוע‪ ,‬מורידים נקודות רק על הפונקציה‬‫הקדומה וממשיכים לבדוק על פי השגיאה‪.‬‬
‫ בכל מקרה אחר של טעות‪ ,‬מפסיקים לבדוק את הסעיף הרלוונטי‪.‬‬‫ במקרה שנבחן טעה טעות גסה במציאת הפונקציה הקדומה‪ ,‬לא יקבל נקודות‬‫על הסעיף ועל סעיפים הנובעים ממנו‬
‫‪e x 1‬‬
‫‪.)  e dx ‬‬
‫(למשל רשם‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ ‬נבחן שלא רשם בכתיבת האינטגרל ‪ , dx‬לא רשם סוגריים במקום הנכון וכדומה‪,‬‬
‫ייקנס ב ‪.5% -‬‬
‫‪ ‬בעת חישוב האינטגרל חייבים לרשום את הצבת הגבולות בפונקציה הקדומה‪.‬‬
‫‪385‬‬
‫‪ ‬נבחן שטעה בזיהוי השטח הנדרש בשאלה וחישב שטח אחר מהמבוקש‪ ,‬יקבל‬
‫נקודות רק עבור מציאת הפונקציה הקדומה‪.‬‬
‫‪ ‬בחשבון אינטגרלי של פונקציות טריגונומטריות על הנבחן לעבוד ברדיאנים‪ ,‬אחרת‬
‫לא יקבל ניקוד עבור החישוב‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שקיבל שטח שלי לי ורשם בשרשרת השוויונות ערך מוחלט רק על התוצאה‬
‫הסופית יקבל נקודות רק עבור מציאת הפונקציה הקדומה‪.‬‬
‫אם השאיר את תוצאת השטח כמספר שלילי לא יקבל נקודות לסעיף זה‪.‬‬
‫‪ ‬אם במציאת נפח גוף סיבוב נבחן רשם ריבוע ההפרש של פונקציות במקום הפרש‬
‫הריבועים‪ ,‬מפסיקים לבדוק את הסעיף הרלוונטי‪.‬‬
‫‪ ‬אם נבחן שכח לרשום ‪ π‬במציאת נפח גוף סיבוב‪ ,‬מורידים ‪.10%‬‬
‫‪ .5‬בעיות ערך קיצון‬
‫‪ ‬בניית הפונקציה הנכונה מהווה כ ‪ 50% -‬מהשאלה‪.‬‬
‫‪ ‬אם יש טעות חמורה בגזירה‪ ,‬מפסיקים לבדוק את השאלה‪.‬‬
‫‪ ‬אי בדיקת מינימום‪/‬מקסימום גורמת להורדה של עד ‪.10%‬‬
‫‪ ‬נבחן ששגה משמעותית בבניית הפונקציה‪ ,‬לא יקבל נקודות לכל השאלה‪.‬‬
‫‪ .6‬טריגונומטריה במישור ובמרחב‬
‫‪ ‬נבחן שהשתמש בזהויות טריגונומטריות שגויות‪ ,‬לא יקבל ניקוד על הסעיף‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שהשתמש במשפט הסינוסים עם רדיוס של מעגל שאיננו חוסם את המשולש‬
‫שעבורו השתמש במשפט‪ ,‬מפסיקים לבדוק את השאלה‪.‬‬
‫‪ ‬מפסיקים לבדוק תשובה שבה הפתרון מבוסס על הנחת יסוד שגויה‪ .‬למשל‪ ,‬שימוש‬
‫בשיקול גיאומטרי שגוי כגון‪ :‬תיכון הוא חוצה זווית‪....‬‬
‫‪ ‬אין להשאיר תשובה מהצורה )‪ sin(90-α‬או )‪ cos(π-α‬וכד'‪.‬‬
‫‪ ‬בטריגונומטריה במישור ובמרחב‪ ,‬נבחן חייב לרשום באיזה משולש הוא מבצע‬
‫תהליך ‪ .‬אם לא רשם את המשולש ולא ברור לאיזה משולש הכוונה‪ ,‬הוא לא יקבל‬
‫נקודות לסעיף‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן ש טעה בפונקציה טריגונומטרית או במשפט הסינוסים‪ ,‬או במשפט‬
‫הקוסינוסים‪ ,‬לא יקבל נקודות לסעיף‪.‬‬
‫‪ ‬אם נבחן שגה בזיהוי של זווית במרחב מפסיקים לבדוק את השאלה‪.‬‬
‫‪386‬‬
‫במקרים רבים בחירת הזווית נעשית על ידי גישה אינטואיטיבית ולא על פי הגדרה‬
‫ומכך נובעות מרבית הטעויות‪ ,‬בפרט אם יש צורך לזהות זווית במקרים פחות‬
‫סטנדרטיים‪.‬‬
‫לדוגמה‪ :‬מועד ב' מיוחד תשס"ז‬
‫טעות נפוצה בפתרון שאלה זו‪ ,‬היא זיהוי שגוי של הזווית המסומנת בשרטוט ב‪.)*( -‬‬
‫‪ .7‬סטטיסטיקה והסתברות‬
‫‪ ‬נבחן שרשם עץ מלא ונכון ולא המשיך‪ ,‬יקבל נקודות עבור העץ‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שחישב מקרים אפשריים וחיבר ביניהם ושכח מקרה אחד יקבל‪ ,‬בדרך כלל‪,‬‬
‫חלק מנקודות הסעיף‪ .‬אם שכח יותר ממקרה אחד לא יקבל נקודות על הסעיף‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שקיבל הסתברות גדולה מ ‪ 1-‬או הסתברות שלילית לא יקבל נקודות על‬
‫הסעיף‪ .‬השתמש בכך גם בהמשך לא יקבל נקודות לשאלה כולה‪.‬‬
‫‪ ‬על הנבחן להגדיר בבירור את המאורעות ולפרט את כל תהליך הפתרון כולל הצבות‪.‬‬
‫‪ ‬כדי לקבל נקודות לפתרון שאלה בהתפלגות נורמלית יש למלא במחברת את הגרף‬
‫בשלמות (המשתנה והאחוזים)‪ ,‬או לחילופין להסביר כל סעיף בנפרד‪ .‬תשובה סופית‬
‫בלבד לא תזכה בנקודות‪.‬‬
‫‪387‬‬
‫‪ .8‬גיאומטרית המישור‬
‫‪ ‬יש לנמק כל שלב גיאומטרי על ידי ציטוט משפט מתאים‪.‬‬
‫כל נימוק חסר ייקנס ב‪.10%-‬‬
‫‪ ‬מותר להשתמש רק במשפטים הנמצאים ברשימת המשפטים שפורסמה באתר‬
‫המפמ"ר‪ .‬שימוש בטענה שאיננה נמצאת ברשימת המשפטים מחייבת הוכחה‪.‬‬
‫הי עדר הוכחה במקרה כזה ייחשב כדילוג על שלבים בהוכחה‪.‬‬
‫‪ .9‬גיאומטריה אנליטית‬
‫‪ ‬לא יתקבל פתרון על פי שרטוט בלבד‪.‬‬
‫‪ .10‬וקטורים‬
‫‪ ‬אם נבחן צמצם וקטורים במכפלה סקלרית‪ ,‬מפסיקים לבדוק את השאלה‪.‬‬
‫‪ ‬אם נבחן חילק וקטור בווקטור‪ ,‬הנבחן ייקנס גם אם לטעות אין השפעה על הפתרון‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שלא סימן ווקטורים בצורה תקנית ייקנס‪.‬‬
‫‪ .11‬מספרים מרוכבים‬
‫‪ ‬טיפול שגוי של נבחן בערך המוחלט של מספר מרוכב‪ ,‬מביא להפסקת הבדיקה‪.‬‬
‫אירמה ג'ן‬
‫מפמ"ר מתמטיקה‬
‫‪388‬‬