עבודת קיץ במתמטיקה
מתמטיקה 4יחידות שאלון 804 1 תלמידים יקרים ספר תרגילים זה הוא פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהגשה לבחינות הבגרות במתמטיקה הן בבתי הספר התיכוניים ,הן בבתי הספר הפרטיים והן במכינות האוניברסיטאיות. שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את הדרך הנכונה לעומדים בפני מקצוע חשוב זה. הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד על פי תכנית הלימודים של משרד החינוך .הניסיון מלמד כי לתרגּול בקורס זה חשיבות יוצאת דופן ,ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים המופיעים בו. לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר www.GooL.co.il הפתרונות מוגשים בסרטוני וידאו המלווים בהסבר קולי ,כך שאתם רואים את התהליכים בצורה מובנית ,שיטתית ופשוטה ,ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי .הפתרון המלא של השאלה מכוון ומוביל לדרך חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה. תקוותי היא שספר זה ישמש מורה-דרך לכם התלמידים ויוביל אתכם להצלחה. יוחאי טוויג 2 תוכן העניינים פרק – 1מבוא לאלגברה8 ......................................................................................... : פרק – 2טכניקה אלגברית19..................................................................................... : פירוק הטרינום19 .................................................................................................................. : משוואות20 .......................................................................................................................... : משוואה ממעלה ראשונה20 ................................................................................................. : מערכת שתי משוואות בשני נעלמים ממעלה ראשונה21 ............................................................. : משוואות עם אינסוף פתרונות וללא פתרון22 .......................................................................... : משוואה ממעלה שנייה22 .................................................................................................... : משוואות ממעלה שלישית ומשוואות דו-ריבועיות23 ................................................................ : משוואות עם פרמטרים23 .................................................................................................... : משוואות עם שורשים24 ...................................................................................................... : משוואות עם ערך מוחלט25 ................................................................................................. : מערכת משוואות ממעלה שנייה25 ........................................................................................ : תשובות סופיות26 .............................................................................................................. : אי שוויוניים28 ..................................................................................................................... : אי-שוויונים ממעלה ראשונה28 ............................................................................................ : אי-שוויונים ממעלה שנייה28 ............................................................................................... : אי-שוויונים ממעלה שלישית30 ............................................................................................ : אי-שוויונים עם מנה30 ....................................................................................................... : אי-שוויונים כפולים -מערכת וגם30 ...................................................................................... : שאלות מסכמות – אי-שוויונים31 ......................................................................................... : תשובות סופיות31 .............................................................................................................. : תחום הגדרה32 ................................................................................................................. : תשובות סופיות32 .............................................................................................................. : פרק – 3בעיות מילוליות33....................................................................................... : בעיות תנועה33 ...................................................................................................................... : בעיות קנייה ומכירה37 ........................................................................................................... : בעיות בהנדסת המישור43 ....................................................................................................... : בעיות בהנדסת המרחב47 ........................................................................................................ : תירגול נוסף49 ...................................................................................................................... : בעיות תנועה49 .................................................................................................................. : בעיות קנייה ומכירה54 ....................................................................................................... : בעיות בהנדסת המישור57 ................................................................................................... : בעיות בהנדסת המרחב60 .................................................................................................... : תשובות סופיות62 .............................................................................................................. : תרגול מבגרויות64 ................................................................................................................. : בעיות קנייה ומכירה64 ....................................................................................................... : 3 בעיות תנועה65 .................................................................................................................. : בעיות הנדסת המישור66 ..................................................................................................... : בעיות בהנדסת המרחב66 .................................................................................................... : תשובות סופיות67 .............................................................................................................. : פרק – 4גאומטריה אנליטית68.................................................................................. : הישר68 ............................................................................................................................... : תשובות סופיות69 .............................................................................................................. : המעגל70 .............................................................................................................................. : תשובות סופיות71 .............................................................................................................. : תרגול נוסף – הישר (שאלות מסכמות)72 ................................................................................... : תשובות סופיות85 .............................................................................................................. : תרגול נוסף -המעגל (שאלות מסכמות ללא משיק)88 ................................................................... : תרגול נוסף – המעגל (שאלות מסכמות כולל משיק)92 .................................................................. : תרגול נוסף המעגל (שאלות מסכמות עם שני מעגלים)99 ............................................................... : תשובות סופיות101 ............................................................................................................ : תרגול מבגרויות103 ............................................................................................................... : תשובות סופיות107 ............................................................................................................ : פרק - 5הסתברות קלאסית108 ................................................................................. : שאלות יסודיות109 ............................................................................................................... : תרגול נוסף -שאלות שונות לפי נושאים115 ............................................................................... : כפל וחיבור הסתברויות – מאורעות בלתי תלויים115 ............................................................... : כפל וחיבור הסתברויות – מאורעות תלויים116 ...................................................................... : תרגילים הכוללים שימוש בדיאגרמת עץ118 ........................................................................... : תרגילים עם נעלמים – כפל וחיבור הסתברויות ,דיאגרמת עץ120 ............................................... : התפלגות בינומית ונוסחת ברנולי123 .................................................................................... : טבלה דו מימדית129 .......................................................................................................... : תרגילי חישוב הכוללים שימוש בנוסחאות בהסתברות135 ........................................................ : תרגילי הוכחה בעזרת נוסחאות ההסתברות136 ...................................................................... : תשובות סופיות138 ............................................................................................................ : תרגול נוסף -שאלות משולבות140 ........................................................................................... : תשובות סופיות153 ............................................................................................................ : תרגול מבגרויות155 ............................................................................................................... : תשובות סופיות159 ............................................................................................................ : 4 פרק – 6גאומטריה אוקלידית160 .............................................................................. : רקע ,קווים וזוויות ,משולשים160 ............................................................................................ : משולש כללי ,משולש שווה שוקיים ,משולש ישר זווית160 ............................................................ : חפיפת משולשים162 .............................................................................................................. : זווית חיצונית למשולש ומשולש ישר זווית163 ............................................................................ : קטעים מיוחדים במשולש165 .................................................................................................. : מרובעים166 ......................................................................................................................... : המעגל172 ............................................................................................................................ : פרופורציה דמיון176 .............................................................................................................. : תרגול מבגרויות182 ............................................................................................................... : שאלות ללא פרופורציה182 .................................................................................................. : שאלות הכוללות פרופורציה ודמיון184 .................................................................................. : תשובות סופיות193 ............................................................................................................ : פרק – 7טריגונומטריה במישור194 ............................................................................ : משולש ישר זווית194 ............................................................................................................. : תשובות סופיות195 ............................................................................................................ : זהויות טריגונומטריות196 ...................................................................................................... : טריגונומטריה במישור198 ...................................................................................................... : תרגול מבגרויות202 ............................................................................................................... : תשובות סופיות211 ............................................................................................................ : פרק – 8חשבון דיפרנציאלי213 ................................................................................. : נגזרות ומשיקים213 .............................................................................................................. : תשובות סופיות218 ............................................................................................................ : חקירת פולינום219 ................................................................................................................ : תשובות סופיות222 ............................................................................................................ : חקירת פונקציות מנה ופונקציות שורש223 ................................................................................ : תשובות סופיות229 ............................................................................................................ : חקירת פונקציה עם פרמטר231 ................................................................................................ : תשובות סופיות231 ............................................................................................................ : תרגול נוסף232 ..................................................................................................................... : תרגילים העוסקים בפונקציה פולינומית232 ........................................................................... : תשובות סופיות242 ............................................................................................................ : תרגילים העוסקים בפונקציה רציונאלית245 .......................................................................... : תשובות סופיות255 ............................................................................................................ : תרגילים העוסקים בפונקצית שורש (אי-רציונאלית)258 ........................................................... : תשובות סופיות279 ............................................................................................................ : תרגול מבגרויות285 ............................................................................................................... : תשובות סופיות290 ............................................................................................................ : הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת292 ................................................................................. : 5 תשובות סופיות295 ............................................................................................................ : פרק - 9בעיות קיצון296 .......................................................................................... : שלבי עבודה296 ................................................................................................................. : שאלות296 ....................................................................................................................... : תשובות סופיות298 ............................................................................................................ : תרגול נוסף299 ..................................................................................................................... : תרגילים העוסקים בפונקציה פולינומית299 ........................................................................... : תשובות סופיות305 ............................................................................................................ : תרגילים העוסקים בפונקציה רציונאלית306 ......................................................................... : תשובות סופיות314 ............................................................................................................ : תרגילים העוסקים בפונקצית שורש315 ................................................................................. : תשובות סופיות319 ............................................................................................................ : תרגול מבגרויות של 3יחידות320 ............................................................................................. : בעיות בהנדסת המישור320 ................................................................................................. : בעיות בהנדסת המרחב322 .................................................................................................. : בעיות בפונקציות וגרפים323 ............................................................................................... : תשובות סופיות326 ............................................................................................................ : תרגול מבגרויות327 ............................................................................................................... : תשובות סופיות330 ............................................................................................................ : פרק - 10חשבון אינטגרלי331 ................................................................................... : סיכום כללי האינטגרציה331 ................................................................................................... : שאלות לפי נושאים332 ........................................................................................................... : שאלות יסודיות – מציאת פונקציה קדומה332 ........................................................................ : האינטגרל המסוים334 ....................................................................................................... : חישובי שטחים – פונקציה פולינומית334 ............................................................................... : שאלות עם פרמטרים341 .................................................................................................... : חישובי שטחים – פונקציה רציונאלית342 .............................................................................. : חישובי שטחים – פונקצית שורש342 ..................................................................................... : תשובות סופיות343 ............................................................................................................ : תרגול נוסף345 ..................................................................................................................... : תרגילים העוסקים בפונקציה פולינומית345 ........................................................................... : תשובות סופיות355 ............................................................................................................ : תרגילים העוסקים בפונקציה רציונאלית357 .......................................................................... : תשובות סופיות361 ............................................................................................................ : תרגילים העוסקים בפונקציה אי-רציונאלית362 ...................................................................... : תשובות סופיות367 ............................................................................................................ : תרגול מבגרויות של 3יחידות368 ............................................................................................. : תשובות סופיות369 ............................................................................................................ : תרגול מבגרויות370 ............................................................................................................... : 6 תשובות סופיות374 ............................................................................................................ : נספח – 1משפטים בגאומטריה375 ............................................................................ : נספח – 2דף ההוראות הרשמי לשאלון 380 ..............................................................:804 נספח – 3עקרונות מנחים לבדיקת בחינות הבגרות381 .................................................... : הערות כלליות: .1הפרקים בספר בנויים מחלק תיאורטי ,תרגול נוסף ותרגול מבגרויות. השאלות שבמסגרת החלקים התיאורטיים מוקלטות בוידאו באתר גול. התרגול הנוסף והתרגול מבגרויות מכיל שאלות נוספות שאינן מוקלטות ומטרתן היא לתרגל את החומר הנלמד. .2בשאלות החקירה תוכלו למצוא את הסקיצות באופן מרוכז בסוף דפי התשובות. .3בנושאים "בעיות מקסימום ומינימום" ו"-חשבון אינטגרלי" תוכלו למצוא קובץ שאלות חזרה מבגרויות משנים קודמות ברמה של 3יחידות לימוד ,אשר מוקלטות בוידאו באתר גול. 7 פרק – 1מבוא לאלגברה: בסרטון זה הסבר על פעולות חשבון במספרים )1סמנו את המספרים הבאים על ציר המספרים בהתאמה: 1 1 1 1 1 1 1 , , 3 , 3 , 1 , 2 , , 1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 1 חשב את ערכי הביטויים הבאים: )2 6 1 )3 6 1 )4 6 1 )5 6 1 )6 5 13 9 חשב את ערכי הביטויים הבאים: )7 5 7 23 1 )8 5 8 12 17 בסרטון זה הסבר על כפל וחילוק במספרים מכוונים חשב את ערכי הביטויים הבאים: )9 2 5 )10 25 2 5 )11 2 5 )12 2 3 4 )13 2 3 4 )14 8 : 4 )15 50 : 10 )16 15 : 3 )17 6 : 2 )18 חשב את ערכי הביטויים הבאים: 25 : 5 )19 )22 32 4 30 : 3 )20 7 2 )21 12 )23 3 0 : 5 )24 2 0 )25 8 בסרטון זה הסבר על חזקה ושורש חשב את ערכי הביטויים הבאים: )26 )27 24 26 23 )28 4 2 )29 3 2 )30 24 )31 2 23 )32 )33 4 64 )35 64 32 )36 5 )37 16 )38 64 4 )39 64 )40 64 )41 34 3 8 )34 3 3 4 חשב את ערכי הביטויים הבאים: )42 42 )43 169 2 4 )44 )45 3 3 )46 27 3 625 )47 4 )48 16 4 32 5 )50 2 )49 5 בסרטון זה הסבר על סדר פעולות חשבון חשב את ערכי הביטויים הבאים: 196 5 22 20 : 2 )51 )53 )52 : 2 10 2 3 4 2 64 : 4 2 42 32 10 )54 32 4 5 4 7 2 900 9 חשב את ערכי הביטויים הבאים: )55 2 144 20 : 4 3 2 )56 3 4 3 4 2 10 6 4 3 3 : 9 5 2 )57 9 52 : 4 1 24 :12 3 )58 25 : 8 42 3 5 )59 27 4 32 2 33 )60 6 14 10 13 15 )61 2 15 20 : 4 3 2 )63 3 )62 3 64 2 4 5 243 3 8 32 8 2 3 3 72 4 5 2 בסרטון זה הסבר על שברים המירו את השברים המדומים לשברים מעורבים: )64 3 2 )65 8 5 המירו את השברים המעורבים לשברים מדומים: 3 )66 8 )67 2 2 5 12 איזה שבר גדול יותר? )68 3 5 או 7 7 )69 3 3 או 5 7 )70 3 4 או 4 5 המירו את השברים העשרוניים לשברים פשוטים: 0.3 )71 0.02 )72 1.012 )73 2.75 )74 המירו את השברים הפשוטים לשברים עשרוניים: )75 1 10 )79 12 1000 1 )76 1 100 )77 3 1000 )78 12 1000 )80 3 50 )81 7 20 )82 5 6 10 המירו את האחוזים לשברים פשוטים: 25% )84 50% )83 המירו את השברים הפשוטים לאחוזים: )85 4 10 )86 5 20 המירו את השברים המדומים לשברים מעורבים: )87 20 3 )88 19 4 איזה שבר גדול יותר? )89 )91 4 3 או 10 10 5 2 או 6 3 )90 )92 7 7 או 6 8 7 5 או 12 18 בסרטון זה הסבר על חיבור וחיסור שברים חשב את ערכי הביטויים הבאים: )93 1 3 4 4 )94 5 7 2 4 )95 3 1 5 2 4 8 )96 2 5 1 3 9 6 )97 3 5 7 4 6 5 )98 1 11 1 8 12 )99 1 23 1 2 9 27 2 3 3 )100 21 14 11 1 חשב את ערכי הביטויים הבאים: )101 )103 )105 )107 2 5 6 8 8 8 5 7 2 4 2 8 3 1 8 1 4 5 20 7 1 5 6 8 2 )102 )104 )106 1 4 2 3 5 1 2 6 9 2 1 3 4 3 4 בסרטון זה הסבר על כפל וחילוק שברים חשב את ערכי הביטויים הבאים: )108 )110 )112 )114 )116 )118 2 2 3 5 1 1 2 1 3 4 2 5 : 3 6 3 6: 4 5 1 :3 9 3 33 4 )109 )111 )113 )115 2 5 1 2 3 2 3 5 2 :4 5 2 1 2 :1 3 5 4 3 )117 )119 3 4 9 1 1 1 1 1 : 20 3 4 2 חשב את ערכי הביטויים הבאים: )120 )122 )124 )126 4 2 3 7 6 2 9 5 3 4 5 :3 6 3 12 8 : 2 20 )121 )123 )125 12 1 1 5 : 3 6 1 2 3 4 2 5 3 5 3 :5 4 8 בסרטון זה הסבר על הצבה בתבנית מספר :חשב את ערכי הביטויים הבאים a 3a a 7 , a 1 5 4 x y )128 3 3 , x 5 y 4 )127 1 1 n 2 3 )129 16m2 9n2 , m :הצב את הערכים המספריים במקום הפרמטרים וחשב את ערך תבנית המספר a 2c 2 a 2, c 2 )131 3 x 2b x 5, b 1 )133 a x 3 2 4a 2 3b c 4 a a 1, b 2, c 4 a 2 2ab b2 x3 2 xy y 4 )130 a 3, b 5 )132 x 2, y 1 )134 בסרטון זה הסבר על כינוס איברים a a 5 :כנס איברים דומים 5x 3x 12 x )135 5 )136 1 b2 2b 3 2b2 )138 7m 11 9m 2 )137 x2 y xy 3 y 2 x 9 xy 5xy 2 )140 4ab 3a2b 3b2 a 5ab )139 10m2 n 3mn2 m2 n 2m 5 5a b 8ab 20a b 14ab 2 2 2 2 )143 13 )141 :כנס איברים דומים 8a 10a 5a 2 11a a 2 )142 2 בסרטון זה הסבר על פתיחת סוגריים :פשט את הביטויים הבאים ע"י פתיחת סוגריים x x 5 )145 2 x 4 )144 2 b 2 x )147 7 a 3 )146 2 6x 3 y 3 )149 x x 2 3x 2 )148 3x 2 y 5 )151 5 y 7 )150 3x 2 x y )152 x 5 2 x 1 )153 x 3 5 x )155 x 4 x 5 )154 2 x 5 2 x 5 )157 a a 2b c )159 3 x 1 x 3 )156 4 3x 2 2 x 1 3x 5 )158 בסרטון זה הסבר על נוסחאות כפל מקוצר :פשט את הביטויים הבאים באמצעות נוסחאות הכפל המקוצר 2 2 x 2 )160 a 3 )161 1 c 4 5 y 4t 2 2 )163 b 1 )165 2m 5 x y 11 2 2 )162 2 )164 2 )166 :פשט את הביטויים הבאים באמצעות נוסחאות הכפל המקוצר 2 2 x 4 )167 5 x )168 2m 4c 2 )170 9 x 9 x )172 4 x 2 2 )169 x 7 x 7 )171 3x 4 3x 4 )173 14 בסרטון זה הסבר על פירוק לגורמים פשט את הביטויים הבאים ע"י הוצאת גורם משותף: )174 2x 4 )175 3x 6 )176 80 4x )177 64 8a )178 x 2 3x )179 x3 x )180 x5 2 x 2 )181 4 x3 12 x2 בסרטון זה הסבר על פירוק לפי נוסחאות פשט את הביטויים הבאים ע"י הוצאת גורם משותף ושימוש בנוסחאות הכפל המקוצר: )182 x2 6 x 9 )183 9a 2 12a 4 )184 12 x2 60 x 75 )185 x2 16 x 64 )186 a 2 10a 25 )187 2 x2 36 x 162 )188 a2 9 )189 x 2 16 )190 81 x 2 )191 100 x2 49 )192 49x x3 )193 x3 x )194 x2 10 x 25 )195 m2 9 בעיות יסודיות באחוזים )196בכיתה 30תלמידים 60% .מתוכם בנות. א .כמה בנות בכיתה? ב .כמה בנים בכיתה? )197בכיתה 28בנות המהוות 70%מכלל התלמידים בכיתה. א .כמה תלמידים בכיתה? ב .כמה בנים בכיתה? )198מחיר בגד -ים הוא .₪ 300בסוף העונה הוא נמכר ב 20%-הנחה. א .מהו מחירו בסוף העונה? ב .מה גודל ההנחה? 15 )199מחיר ההשקה של בושם מסוים הוא .₪ 500לאחר מכן מועלה מחירו ב.8%- א .מה מחירו הסופי? ב .מה גודל ההתייקרות? )200מחיר ליטר דלק הוא ₪ 5לליטר .בחנוכה מוזל מחירו ב.7%- בפסח מועלה מחירו ב .7%-מה מחירו בסוף השנה? )201מוצר מסויים מתייקר בסוכות ב .12%-בפורים מוזל המוצר ב .12%- מחירו בסוף השנה הוא .₪ 394.24מה מחירו בתחילת השנה? )202באולם קולנוע 200צופים ,מתוכם 176בנים .מה אחוז הבנים בקהל? )203בכיתה 30תלמידים ,מתוכם 18בנות .מה אחוז הבנות בכיתה? )204מחיר מוצר התייקר מ ₪ 80-ל .₪ 120-בכמה אחוזים התייקר המוצר? )205מחיר מוצר הוזל מ ₪ 120-ל .₪ 80-בכמה אחוזים הוזל המוצר? )206מחיר מוצר התייקר מ ₪ 150-ל .₪ 200-בכמה אחוזים התייקר המוצר? )207מחיר מוזל הוזל מ ₪ 200-ל .₪ 150-בכמה אחוזים הוזל המוצר? 16 :פתרונות )1 .10 )10 .10 )9 .2 )8 . 10 )7 . 9 )6 . 5 )5 . 7 )4 . 5 )3 . 7 )2 .3 )18 .5 )17 .5 )16 . 2 )15 . 24 )14 . 24 )13 . 10 )12 . 10 )11 .64 )27 .16 )26 .0 )25 .0 )24 . 4 )23 . 8 )22 .14 )21 . 10 )20 . 5 )19 .2 )36 .4 )35 .8 )34 . 16 )33 . 8 )32 . 16 )31 . 8 )30 .16 )29 . 8 )28 .16 )44 . 16 )43 .13 )42 . 83 )41 . 4 )40 .) בח"מ39 . 2.8 )38 .) בח"מ37 .88 )52 . 24 )51 . 25 )50 . 2 )49 .) בח"מ48 . 5 )47 . 3 )46 . 27 )45 .21 )60 .5 )59 . 14 )58 .31 )57 . 37 )56 .19 )55 . 20 )54 . 79 )53 5 62 19 3 1 )68 . )67 . )66 .1 )65 .1 )64 . 20 )63 . 44 )62 . 16 )61 7 8 5 5 2 3 3 1 3 4 3 . 0.01 )76 . 0.1 )75 . 2 )74 .1 )73 . )72 . )71 . )70 . )69 4 250 10 5 5 50 1 . )83 . 0.833 )82 . 0.35 )81 . 0.06 )80 .1.012 )79 . 0.012 )78 . 0.003 )77 2 5 7 4 3 2 1 . )91 . )90 . )89 . 4 )88 . 6 )87 . 25% )86 . 40% )85 . )84 6 6 10 4 3 4 1 13 5 5 7 7 . 2 )99 .1 )98 . )97 . 2 )96 . 5 )95 .1 )94 .1 )93 . )92 20 8 12 18 6 27 11 1 49 11 13 5 . 7 )106 . )105 . )104 .5 )103 . )102 . )101 . 2 )100 12 20 18 6 8 42 1 4 11 3 4 5 .8 )114 . )113 . )112 . 8 )111 . 2 )110 .1 )109 . )108 . )107 10 5 5 15 8 12 8 1 3 27 1 2 . 32 )121 . )120 . 3 )119 . 6 )118 . )117 . )116 . 2 )115 10 4 64 6 9 21 2 5 2 4 3 )129 . 4 )128 .1 )127 . 20 )126 . )125 . )124 .15 )123 .1 )122 3 18 5 5 1 2a5 )136 . 4x )135 . 5 )134 . 71 )133 . 4 )132 . 644 )131 . )130 2 . ab 3a 2b 3b2a )139 b2 2b 2 )138 2m 9 )137 2 2 25a 2b 22ab2 )143 4a 2 a )142 15m n 3mn 10m )141 2 y 2 x 8xy x 2 y )140 . x3 3x2 2 x )148 . 2b 4 x )147 . 7a 21 )146 . x2 5x )145 2 x 8 )144 .11x 5 )153 . 6 x2 3xy )152 .15x 10 y )151 . 5 y 7 )150 . 4 x 2 y )149 . 4 x2 25 )157 . 3x2 12 x 9 )156 . x2 2 x 15 )155 . x2 9 x 20 )154 a 2 6a 9 )161 . x2 4 x 4 )160 . a 2 2ab ac )159 . 6 x2 5x 3 )158 17 c 1 )163 b2 2b 1 )162 25 y 2 40 yt 16t 2 )165 4m2 20m 25 )164 c 2 2 16 .16 x2 16 x 4 )169 . 25 10x x2 )168 . x2 8x 16 )167 x4 y 2 22 x2 y 121 )166 . 2 x 2 )174 . 9 x2 16 )173 . 81 x2 )172 . x2 49 )171 . 4m2 16mc 16c2 )170 . x x 2 1 )179 . x x 3 )178 . 8 8 a )177 . 4 20 x )176 . 3 x 2 )175 . 3 2 x 5 )184 . 3a 2 )183 . x 3 )182 . 4 x2 x 3 )181 . x 2 x3 2 )180 2 2 2 . x 4 x 4 )189 . a 3 a 3 )188 . 2 x 9 )187 . a 5 )186 . x 8 )185 2 2 2 . x 7 x 7 x )192 . 10 x 7 10 x 7 )191 . 9 x 9 x )190 .12 . ב.18 .) א196 . m 3 m 3 )195 . x 5 )194 . x x 2 1 )193 2 .4.9755 )200 .40 . ב.540 .) א199 .60 . ב.240 .) א198 .12 . ב.40 .) א197 .33.33% )206 .33.33% )205 .50% )204 .60% )203 .88% )202 .400 )201 .25% )207 18 : – טכניקה אלגברית2 פרק :פירוק הטרינום :פרק את הביטויים הבאים לפי פירוק טרינום 2 x2 7 x 15 )2 4 x2 8x 3 )1 6 x2 5x 1 )4 3x2 11x 6 )3 x2 5x 4 )6 2 x2 x 6 )5 x2 33x 62 )8 x2 8x 15 )7 :פרק את הביטויים הבאים 4 x2 8x 3 )9 6 x2 5x 1 )10 x2 5x 4 )11 :תשובות סופיות 3x 2 x 3 )3 2 x 3 x 5 )2 2 x 1 2 x 3 )1 x 1 x 4 )6 x 2 2 x 3 )5 3x 1 2 x 1 )4 2 x 1 2 x 3 )9 x 2 x 31 )8 x 3 x 5 )7 . x 1 x 4 )11 3x 1 2 x 1 )10 19 :משוואות :משוואה ממעלה ראשונה 2 x x 24 7 2x 7 .ג :) פתור את המשוואות הבאות1 .ב 6 x 2 8 .א 7 x 5 2 x 4 x 13 .ה 2x 6 8 x .ד 2 5x 7 3x 8 .ז 6 x 3 5 7 x x 5x 7 .ו :) פתור את המשוואות הבאות2 7 x 4 3 4x x .ב 3 x 1 4 2 .א 5x 3x 7 4 21 .ד 6 4 x 6 x 3x .ג .ו x x 5 x 2 7 x 8 .ה 7 x 1 x x 3 2 0 :) פתור את המשוואות הבאות3 4 x 3x 1 15 10 5 x 1 6 x 1 3x 1 1 6 5 4 x x 5 x 1 3 7 x x 4 .א 3 9 2 4 7 .ג x x x 3 5 15 .ב .ד 2 3 x 3 4 x x 2 . ה 5 15 .ו :) פתור את המשוואות הבאות4 1 x 0 .ב 2 x 1 5 4 .ד 2 x 1 3x 2 1 2 0 .א 4 x 3 1 .ג x x2 x5 1 1 .ה 3x 2 6 x x 20 :) פתור את המשוואות הבאות5 x2 2 3x 1 .א 2 3x 5 x 9 x 15 3 5 0 .ג 2 2 x 12 3x 2 7 2 3 0 .ב 2 x 1 x 1 2 2x 4 x 2 24 x 36 12 .ד x 3 :מערכת שתי משוואות בשני נעלמים ממעלה ראשונה :) פתור את המשוואות הבאות6 5 x 2 y 14 .ב 5 x 3 y 23 x 3y 5 .א x 3y 3 :) פתור את המשוואות הבאות7 5 x 2 y 2 .ג x 4 y 4 3x 2 y 16 .ב x 5 y 14 y x 3 .ה y 2x 4 3x y 11 .א y 5 2 x 3 y 5 .ד 5 x 7 y 11 :) פתור את המשוואות הבאות8 x 3 x y y 1 16 4 .ב 8 3 2 x y 4 x 11 0 3 y x 2 4 x 2 3 y .א 2 x 3 y 5 y 4 x 3 3 3x 1 2 4 5 x y 10 x 3 x 1 y 1 4 2 .ג :) פתור את המשוואות הבאות9 7 4 x y 3 .ג 5 x 2 7 y 3 3 x y 2 .ב 9 4 7 x y 21 3 1 x y 4 .א 5 1 4 x y )10פתור את המשוואות הבאות: x y 2 y xy 5 א. x y 2 xy 20 ב. y 3x 4 20 5 x 4 xy 22 ג. 6 x xy 20 משוואות עם אינסוף פתרונות וללא פתרון: )11פתור את המשוואות הבאות: א6 x 2 2 x 5 4 x . ב5 x 3 x 4 x 2 x 3 . 2 x y 4 y 1 x ד. 2 7 y x 3 x y x 2 y 1 ג. 4 x 8 y 5 משוואה ממעלה שנייה: )12פתור את המשוואות הבאות: אx2 3x 10 0 . ב x2 10 x 16 0 . ד2 x 2 6 x 5 0 . ג25x2 20 x 4 0 . )13פתור את המשוואות הבאות: א4 x2 5x 7 4 x2 3 . ב x x 5 1 3x 1 x 4 . ג2 x 5 2 x 3 10 x 21 . 2 2 )14פתור את המשוואות הבאות (משוואה חסרת :) b ב32 x2 18 0 . אx2 36 0 . )15פתור את המשוואות הבאות (משוואה חסרת :) c ב5 x 2 x 0 . א7 x2 14 x 0 . 22 :) פתור את המשוואות הבאות16 4x 1 x 2 2 .א 3 2 x 3 2x 5 4 0 .ג 2 2 x 2 2 x 1 1 x 2 x 9 x x 2 18 .ב x3 2 :ריבועיות-משוואות ממעלה שלישית ומשוואות דו :) פתור את המשוואות הבאות17 x 4 3x 2 2 0 . ב 5x4 3x2 8 0 .א 2 x3 5 x 2 2 x 5 0 . ד 2 x3 7 x 2 7 x 2 0 . ג :משוואות עם פרמטרים :) פתור את המשוואות הבאות18 mx 3m 5x 1 .א 1 1 a 3x ax 3 .ב 3 a x 2a x 2b x2 2 a2 b2 .ג m 1 m 1 .ד x 1 x 1 x 1 ax x 2 .ה 3 3 2 a a 2a 2a 4a 2a a 2a 2 a 2 :) פתור את מערכות המשוואות הבאות19 ax y 2 .ב x ay 4 x my 1 .א x y m m 1 x 2m 3 y 5 .ד m 2 x 2 m 1 y 10 m x ym .ג m 2 x m y 1 2a b x 2a b y 8ab .ה 2 2 2 a b x 2 a b y 8 a 2 b 23 :) פתור את המשוואות הריבועיות הבאות20 x2 2 x 4a a 2 3 .ב x2 2mx m2 1 0 .א 1 1 1 0 .ד ax a ax x2 m x 10 2m2 5x .ג a 1 x b x b a m .ו 2 1 x 2 m2 x 1 0 .ה x 1 a b a b x a b a b .ז :משוואות עם שורשים :) פתור את המשוואות הבאות21 x2 x .ב 4x 3 5 .א 2x 7 4 x .ד 3x 1 x 13 .ג 10 x 6 9 x .ו x 1 3 x .ה 24 x 3 2 x .ח x 6 2 2x .ז 2 x 16 3 x 1 .י x 16 4 2 x .ט x2 5x 12 2 6 x .יב 3x 5 x 17 .יא 2x 1 3 7 x 1 .יד x 1 2 x 5 11 x 2 .יג 2x 3 3 x 2 .טז 2 x 2 5 x 4 3x 2 .יח 9 x 8 3 x 4 2 .טו 24 x 3 x 2 4x 1 .יז 3 x 1 2 x 3 2 x 2 .יט :משוואות עם ערך מוחלט 3x 24 x .ב :) פתור את המשוואות הבאות22 2 x 11 7 .א 2 x 8 x 10 .ד 12 x 3x .ג 14 3x 2 x 5 .ו 4 x 5 2 x 13 .ה x 2 6 2x 4 .ח x 7 2x .ז 10 3x x 4 2 x 6 .י x 2 2x 6 4x 8 .ט :מערכת משוואות ממעלה שנייה :) פתור את מערכות המשוואות הבאות23 2 x 2 y 2 36 2 x 3 y 10 .ב x 2 y 2 20 x y 6 .א .ד 3x 2 4 y 2 16 2 2 5 x 3 y 17 .ג .ו x 2 xy 20 y 2 0 x 6 y 1 .ה 16 x 2 y 2 391 4 x y 23 .ח x 2 y 2 33 x y 11 .ז 3 3 x y 91 2 2 x y xy 30 .י x3 y 3 243 x y 9 .ט x 2 2 y 2 17 xy 10 x 2 2 xy 8 y 2 8 2 3xy 2 y 4 xy 24 2 y x 7 y x 10 0 x y 10 x 3 y 2 2 x y 9 xy 25 3 5 x y 21 .יא 8 1 13 x y .יב x 2 y xy 2 84 2 2 x 2 xy y 5 x 5 y 24 .יד 25 .יג :תשובות סופיות 1 . זx 3 . וx 2 . הx 2 . דx 8 . גx 0 . בx 1 2 1 1 . x 1 . וx 4 . הx 1 . דx 2 . גx . בx 3 4 2 . x 21 . וx 10 . הx 1 . דx 1 . גx 30 . בx 18 . x 2 . הx 2 . דx 3 . גx 1 . בx 8 . x 6 , x 3 . דx 7 . גx 7 . בx 6 .x .) א1 .) א2 .) א3 .) א4 .) א5 . ,9 . ב 4, .) א6 5 3 . 7, 10 . ה 2,3 . ד 0,1 . ג 4, 2 . ב 2,5 .) א7 4 1 . 7, 2 . ג 7,1 . ב 6,5 .) א8 . 1,1 . ג 3,1 . ב1,1 .) א9 . 2, 4 . ג 2,10 . ב 1, 3 .) א10 . אין פתרון למערכת המשוואות. אינסוף פתרונות ג. אין פתרון ב.) א11 . אינסוף פתרונות.ד 2 . גx1 2 , x2 8 . בx1 2 , x2 5 5 1 . x1 1 , x2 10 . גx1 1 , x2 1 . בx1 0 , x2 1 4 3 . x . בx 6 4 1 . x1 0 , x2 . בx1 0 , x2 2 5 . x1 0 , x2 5 . גx 5 , x 3 . בx1 2 , x2 1.2 . אין פתרון למשוואה. דx . x1 1 , x2 1 , x3 2 .) א12 .) א13 .) א14 .) א15 .) א16 1 1 . דx1 1 , x2 2 , x3 . גx 1, 2 . בx 1 .) א17 2 2 a2 9 3m 1 , a 0 . בm 5 , x .) א18 6a m5 2a 4 4a 2 . a 1 , 2 , 2 . בm 1 , m 1, 1 .) א19 a 1 a 1 . x a 1 . הx m . דx a b . גx m 1 . m 1, 2 , 2m 1, m 2 . דm 0 1 , m2 m 1, .ג m . b 2a , 2a b, 2a b .ה 26 . x m 5, 2m .ג a b . a, b 0 , x , ab . וx 1, x a 1,3 a .ב 1 .ה m 1 2 x m 1, m 1 .) א20 a 0 , x a , x a 3 .ד a b a b .ז , a b a b . x 0.25 . זx 25 . וx 5 . הx 9 . דx 8 . גx 2 . בx 7 .) א21 . x 5 . ידx 3 . יגx 4, 3 . יבx 6 . יאx 5 . יx 4.25 . טx 3.75 .ח . a b , x . x 2 . יטx 1 . יחx 6 . יזx 2, 2 . x 7 . זx 24, 8 . טזx 12 .טו 9 4 1 . וx 9, 1 . הx 6 . דx 3 . גx 6,12 . בx 2,9 .) א22 5 3 1 . x 0 . יx 0, 12 . טx 12, 1 .ח 3 . 5, 2 , 5, 2 . ד 2, 1 . ג 4, 2 . ב 2, 4 , 4, 2 .) א23 . 5, 3 . ח 7, 4 .ז 1 1 5 1 1 3, , 3, , 2,1 , 2, 1 . ו 2, , , .ה 2 2 11 11 2 1 1 . , . יא 6,5 , 5, 6 . י 3,6 , 6,3 .ט 2 3 . 4,6 , 6, 4 , 3,8 , 8, 3 .יב . 1.65,6.35 , 6.35,1.65 7, 4 , 4, 7 .יג . 5, 45 , 5, 45 , 45,5 , 45, 5 .יד 27 אי שוויוניים: מה מותר? .1לחבר או לחסר כל מספר או ביטוי. .2לכפול או לחלק בכל מספר או ביטוי חיובי. מה אסור? .1לכפול או לחלק בביטוי שלא יודעים את סימנו. .2להעלות בחזקה זוגית כשיש אגף שלילי. .3לכפול או לחלק בכל מספר או ביטוי שלילי תוך הפיכת סימן אי-השוויון. .4להעלות בחזקה אי זוגית. .5להעלות בחזקה זוגית אם שני אגפי אי-השוויון אינם שליליים. אי-שוויונים ממעלה ראשונה: פתור את אי-השוויונים הבאים: 45x 26 109 )1 )3 )5 )7 )2 6 x 2 3x 1 2 x 5 )4 4 x 2 20 8 x 4 9 x 1 2 3 x6 x4 12 x 3 4 )6 4 6 x 8 8 3x 4 )8 7 x 3x 1 x 4 7 10 5 3 1 4x 6 2 2 2 x 2 אי-שוויונים ממעלה שנייה: פתור את אי-השוויונים הבאים: )9 x 2 144 x 12 x 32 )10 2 x 2 x 5 0 )11 x 2 x 4 35 )12 x2 13x 30 0 )13 x 3 x 7 8x 56 )14 )15 x x 2 89 )17 3x2 12 x 0 )19 x 1 x 6 x 2 3x 2 x 5 2 x 3 28 4 x 3 2 5x 6 )16 2 )18 x2 10 x 25 0 )20 2 x2 2 x 24 0 29 :שוויונים ממעלה שלישית-אי :השוויונים הבאים-פתור את אי x 1 x 2 x 3 0 )21 x x x 1 0 )22 2 x 2 x3 25x 0 )24 2x 2 3x 2 x 1 0 )23 8x 20 3x 5 0 )26 x 2 3x 5 x 2 0 )25 x x3 6 x2 9 x 0 )28 2 x 6 x 1 0 x x 2 x 4 x 1 0 )30 2 )27 6 x 3 0 )29 :שוויונים עם מנה-אי :השוויונים הבאים-פתור את אי x 1 3 )32 3x 2 x 1 0 x2 9 )31 x 3 0 )34 2 x 10 x 12 1 0 x 16 )33 1 0 3 x 1 2x 1 0 x 5 )35 2 2 )36 1 0 )38 x 5x 6 x 1 1 )37 x2 1 0 )40 2 x 8 x 12 x2 7 x 6 0 )39 x 2 3x 7 2 : מערכת וגם- שוויונים כפולים-אי 0 0 6 1 2 )42 x4 :השוויונים הבאים-פתור את אי 3 x 1 5 )41 8 3x 4 )44 5 2x 2 x 10 7 x 20 )46 3 5 4 x 5 3x 8 9 x 11 )48 15 5 3 30 1 x 1 1 )43 x 1 6x 38 x 3 5x 7 )45 1 2x 6 x 2 4 3 )47 :שוויונים-שאלות מסכמות – אי :השוויונים הבאים-פתור את אי x x 5 3x 15 2 x 1 x(4 x) )50 x x 5 3x 1 0 )52 2 x x 7 x 4 x 2 0 )51 x 1 2 x 3 x 12 0 )53 x 1 4 x x x 3 2 x 5 0 )54 5 2x x 8 2 3 2 x 5 0 x 8 )49 4 x 6 x 1 0 )55 2 0 )56 x2 x 3 0 )57 x2 2 x2 4 x 0 )58 x2 2x 3 x7 0 )60 2 x x3 x2 6x 9 0 )59 x3 x x 1 1 )61 2 x 4 x2 x2 2 x2 x x )62 2 x 6x 8 x 4 x 2 3 2 1 1 )64 0 x 1 x x 3 1 x x2 3x 10 6 5x x 2 )63 1 ? g x x 1 2 )65 x4 x 1 x מעל הפונקציהf x נמצאת הפונקציהx ) לאלו ערכי66 x3 x 3 :תשובות סופיות . x 13 )8 x 12 )7 x ) אף6 x 5 )5 x 2 )4 x ) אף3 x ) כל2 x 3 )1 . 9 x 3 )12 5 x 2 )11 x 4 , x 8 )10 12 x 12 )9 . 4 x 0 )16 4 x 8 )15 x 7 , x 11 )14 x 2 , x 15 )13 . x ) כל20 x 3 , x 5 )19 x 5 , x 5 )18 0 x 4 )17 1 )23 x 0 )22 1 x 2 אוx 3 2 2 . x 3 )29 x 0 , x 3 )28 x 2 , 1 x 3 )27 x 1 )26 x 2 3 2 1 . x , x )32 3 x 1 , x 3 )31 x 1 , 2 x 4 3 2 1 . x 2 )37 x 1 )36 x 5 )35 2 x 3 , x 3 )34 x 4 , x 4 2 5 x 0 , x 5 )24 2 x 1 , x 31 )21 )25 )30 )33 1 2 . x 0 )43 x 3 )42 2 x 4 )41 x 2 , x 6 )40 1 x 6 )39 2 x 3 )38 3 2 2 )49 . )48 1 x 13 )47 x 10 )46 2.5 x 7 )45 x 2 , x 2 )44 5 3 4 1 x 7 , x 2 , 5 x )52 x 2 , 1 x 4 )51 x 4 )50 3 . x 1 , 2 x 6 , 6 x )55 x 3 , 0 x 2.5 )54 . 1 x 1.5 , 4 x 12 )53 . x 3 , 0 x 1 , x 4 )58 3 x )57 2.5 x 8 , 8 x )56 . x 2 , 2 x 4 )61 7 x )60 1 x 0 , 1 x 3 , 3 x )59 . x 7 )65 x 1 )64 x ) אף63 x 0 , 1 x 2 , 4 x )62 3 . 3 x , 3 x )66 5 2 x :תחום הגדרה :) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות1 f x 2 x 3 .ב f x x .א 5x x4 x2 .ד f x 3x 1 2 x .ג .ו f x x 2 3x 10 .ה x 1 x 2 x .ז f x f x x3 9 x f x :) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות2 f x f x 1 x x6 .ב x2 5x 6 x 1 .ד f x f x x 2 3 .א 2x2 x 3 x2 5x 9 .ג :תשובות סופיות 1 . גx 3 . בx 0 .) א1 2 . x 2 , 2 x 1 , 1 x 2 . ז3 x 0 , x 3 .ו 1 . x 3 , 2 x 1 . דx 1 , x 1 . ג6 x 2 . בx 7 .) א2 2 x 5 , x 2 . הx 4 . דx 32 פרק – 3בעיות מילוליות: בעיות תנועה: בעיות בלי אחוזים עם נעלם אחד ושניים: )1מכונית נוסעת מ A-ל B-במהירות של 90קמ"ש .בדרך חזרה נסעה המכונית במהירות של 60קמ"ש .בסה"כ נמשכה הנסיעה הלוך וחזור 20שעות. א .כמה שעות נסעה המכונית לכל כיוון? ב .מהי הדרך שעברה המכונית? )2אוטובוס ומשאית יוצאים בו זמנית משני יישובים Aו B-בהתאמה .מהירות האוטובוס היא 60קמ"ש ומהירות המשאית היא 80קמ"ש.האוטובוס הגיע ליישוב Bשעה ו 40-דקות מאוחר יותר מהזמן שלקח למשאית להגיע ליישוב .A א .כמה זמן נסע האוטובוס וכמה זמן נסעה המשאית? ב .מהו המרחק בין שתי הערים? )3הולכת רגל יצאה לטיול במהירות מסוימת. לאחר שעה וחצי יצא בעקבותיה מאותו מקום הולך רגל נוסף במהירות הגדולה ממהירותה ב 4.5-קמ"ש .הולך הרגל השיג את הולכת הרגל שעה לאחר שיצא לדרכו. א .מה י מהירות ההליכה של הולכת הרגל? ב .מהו המרחק שעברו עד שנפגשו? )4שני רוכבי אופניים יוצאים בו זמנית מעיר א' לעיר ב' .הרוכב הראשון נוסע במהירות קבועה ומגיע לעיר ב' לאחר 5שעות .הרוכב השני נוסע במשך השעתיים הראשונות במהירות הקטנה ב 2-קמ"ש ממהירות הרוכב הראשון. לאחר מכן הוא מגביר את מהירותו ב 14-קמ"ש ומגיע לעיר ב' שעה ו 20-דקות לפני הרוכב הראשון. א .באיזו מהירות נסע הרוכב הראשון? ב .איזו דרך עבר הרוכב השני בכל חלק? )5משאית נוסעת מרחק של 245ק"מ בכל יום במהירות קבועה. יום אחד נסעה המשאית במשך שעתיים וחצי במהירות הרגילה ,לאחר מכן עצרה לתדלוק במשך 24דקות ואז המשיכה בנסיעה במהירות הגדולה ב 70-קמ"ש ממהירותה הקודמת. המשאית הגיעה ליעדה שעה לפני השעה שהיא מגיעה בכל יום. א .באיזו מהירות נוסעת המשאית בכל יום? ב .כמה זמן לוקח למשאית להגיע ליעדה בכל יום? 33 )6אוטובוס נוסע מעיר א' לעיר ב' הרחוקה ממנה ב 800-ק"מ .לאחר שעבר האוטובוס 135 ק"מ במהירות קבועה הוא עצר להתרעננות במשך חצי שעה .לאחר מכן המשיך האוטובוס את נסיעתו במהירות הגדולה ב 43-קמ"ש ממהירותו הקודמת עד לעיר ב' .סך כל הזמן שהיה האוטובוס בדרך הוא 7שעות. א .מה הייתה המהירות ההתחלתית של האוטובוס? ב .מה היה המרחק שעבר האוטובוס אחרי ההתרעננות עד לעיר ב'? )7רוכב אופניים יצא בשעה 06:00לרכיבה במהירות 24קמ"ש .בשעה 07:00יצא מאותו מקום רוכב אופנוע באותו כיוון ובמהירות של 40קמ"ש. באיזו שעה ובאיזה מרחק מנקודת היציאה ישיג רוכב האופנוע את רוכב האופניים? )8המרחק בין ת"א לנצרת הוא 103ק"מ .בשעה 08:00יצאה מכונית מנצרת לת"א במהירות 90קמ"ש .בשעה 08:20יצאה משאית מת"א לנצרת במהירות 56קמ"ש. באיזו שעה ייפגשו המכונית והמשאית? )9משאית נסעה מדימונה לאילת ,מרחק של 200ק"מ 50 .דקות אחריה יצאה מכונית מדימונה לאילת במהירות הגבוהה ב 30-קמ"ש והגיעה לאילת 40דקות לפני המשאית. מצא את מהירות המכונית. בעיות תנועה עם אחוזים: )10מכונית נוסעת מעיר א' לעיר ב' מרחק של 480ק"מ במהירות קבועה .בדרכה חזרה נסעה המכונית במשך שעה במהירות הקבועה .לאחר מכן עצרה להתרעננות של 36דקות ואז הגבירה את מהירותה ב 25%-ממהירותה הקודמת והגיעה בחזרה לעיר א' 24דקות פחות מהזמן שלקח לה להגיע לעיר ב' .באיזו מהירות נסעה המכונית מעיר א' לעיר ב'? )11רכבת משא ורכבת נוסעים יוצאות מעיר א' לעיר ב' מרחק של 360ק"מ .מהירות רכבת הנוסעים גדולה ב 20%-ממהירות רכבת המשא .רכבת הנוסעים התעכבה 40דקות בתחנה, ולכן יצאה באיחור מהתחנה של עיר א' .עם זאת היא הגיעה לעיר ב' 20דקות לפני רכבת המשא. א .מה הן המהירויות של שתי הרכבות? ב .כמה זמן נסעה רכבת הנוסעים מעיר א' לעיר ב'? )12מכונית ומונית נוסעות מנקודה Aלנקודה .Bהמכונית נוסעת במהירות קבועה ומגיעה לנקודה Bכעבור 4שעות .המונית נוסעת במשך 3שעות המהירות הקטנה ב 10-קמ"ש ממהירות המכונית ולאחר מכן מגבירה את מהירותה ב 50%-ומגיעה לנקודה Bיחד עם המכונית. א .מהי מהירות המכונית? ב .מהו המרחק בין נקודה Aלנקודה ?B 34 בעיות תנועה עם משפט פיתגורס: )13שתי מכוניות יצאו מהעיר ,האחת לכיוון מזרח והשנייה לכיוון צפון .לאחר שלוש שעות המרחק בין שתי המכוניות היה 300ק"מ .מהירות מכונית אחת גדולה ב 20-קמ"ש ממהירות המכונית השנייה. א .מהן המהירויות של שתי המכוניות? ב .מה היה המרחק של כל מכונית מהעיר לאחר שלוש שעות? )14שני הולכי רגל יוצאים משני יישובים Aו B-המרוחקים זה מזה 13ק"מ. היישוב Aממוקם בצפון מערב ביחס ליישוב Bכמתואר באיור ממול. הולך הרגל מיישוב Aהולך דרומה והולך הרגל מיישוב Bהולך מערבה 13 .ק"מ הולך הרגל מיישוב Aיוצא שעתיים לפני הולך הרגל השני. לאחר שלוש שעות מיציאתו נפגשו שני הולכי הרגל. B מהירות הולך הרגל מיישוב Bגדולה ב 25%-ממהירות הולך הרגל השני. באיזו מהירות הלך כל אחד משני הולכי הרגל? A )15רוכב אופנוע יצא מביתו מזרחה במהירות מסוימת ונסע במשך חצי שעה .לאחר מכן ,פנה צפונה ,הגדיל את מהירותו ב 20%-ונסע כך שעה נוספת .לאחר שעה זו פנה חזרה לכיוון ביתו ,העלה את מהירותו ל 65-קמ"ש ונסע (בקו ישר) עד שהגיע חזרה לביתו. א .מצא את מהירותו של רוכב האופנ וע ביציאה מביתו אם ידוע שעבר בסך הכול 150ק"מ. ב .מה הייתה מהירותו הממוצעת של רוכב האופנוע (בכל חלקי הדרך)? בעיות תנועה – מהירות מושפעת מזרמים: )16סירה שטה בנהר שבו מהירות הזרם היא 3קמ"ש עם כיוון זרם המים. לאחר חצי שעה החליטו אנשי הסירה לשנות את כיוונם וחזרו במשך שעתיים לנקודת המוצא שלהם .מהירות הסירה במים עומדים קבועה במשך כל השייט. א .מצא את מהירות הסירה. ב .מהו המרחק הכולל ששטה הסירה? בעיות תנועה – מהירות ממוצעת: )17אופנוע עובר מרחק של 200ק"מ במהירות מסוימת. לאחר מכן מאיץ האופנוע ומגדיל את מהירותו ב.40%- הוא נוסע במהירות זו ועובר מרחק של 280ק"מ. המהירות הממוצעת של האופנוע היא 96קמ"ש. א .כמה זמן נסע האופנוע? ב .באיזו מהירות התחיל האופנוע את נסיעתו? 35 תשובות סופיות: )1א 8 .שעות הלוך ו 12-שעות חזור .ב 1440 .ק"מ. )2א .אוטובוס – 6שעות ו 40-דקות .משאית – 5שעות .ב 400 .ק"מ. )3א 3 .קמ"ש .ב 7.5 .קמ"ש. )4א 12 .קמ"ש .ב 20 .ק"מ ו 40-ק"מ. )5א 50 .קמ"ש .ב 4 .שעות ו 54-דקות. )6א 90 .קמ"ש .ב 665 .ק"מ. 60 ,8:30 )7קמ"ש. 80 )9קמ"ש 80 )10 .קמ"ש. )11א 60 .קמ"ש 72קמ"ש .ב 5 .שעות. 8:50 )8 )12א 90 .קמ"ש ב 360 .ק"מ. )13א 60 .קמ"ש ו 80-קמ"ש .ב 180 .ק"מ ו 240-ק"מ. )14א 4 .קמ"ש ו 5-קמ"ש. )15א 50 .קמ"ש .ב 60 .קמ"ש. )16א 5 .קמ"ש .ב 8 .ק"מ. )17א 5 .שעות .ב 80 .קמ"ש. 36 בעיות קנייה ומכירה: בעיות קנייה בלי אחוזים עם נעלם אחד ושניים: )1מחיר כניסה למוזיאון המדע למבוגר גדול ב ₪ 15-ממחיר הכניסה לילד. יוסי נסע עם אשתו ושבעת ילדיו ליום כיף במוזיאון המדע ושילם בעבור הכניסה סכום כולל של 210שקלים .מה המחיר לילד ומה המחיר למבוגר? )2המחיר של 3ק"ג אגסים גדול ב 3-שקלים מהמחיר של 2ק"ג תפוחים. שרון קנתה 4ק"ג אגסים ו 5-ק"ג תפוחים ושילמה סכום כולל של 73שקלים. מה המחיר של ק"ג מכל סוג? )3דן קנה מחברות בסכום כולל של 224שקלים. אם ירד סכום המחברות ב 10-שקלים יוכל דן לקנות עוד 40מחברות יותר מאשר קנה בתחילה באותו הסכום .כמה מחברות קנה ודן ומה המחיר של כל מחברת? )4סוחר קנה 60כיסאות זהים במחיר זהה לכיסא. 5כיסאות נשברו לו ואת שאר הכיסאות הוא מכר במחיר הגדול ב₪ 40- מהמחיר שקנה אותם .בסה"כ הרוויח הסוחר בעסקה .₪ 1950 באיזה מחיר קנה הסוחר כל כיסא? בעיות קנייה ומכירה עם אחוזים בנעלם אחד ושניים: )5משכורתו של אלון גדולה ב ₪ 200-ממשכורתו של רן. אם אלון יקבל תוספת של 16%למשכורתו ורן יקבל תוספת של 30%למשכורתו אז המשכורת של רן תהיה גדולה משל אלון ב .₪ 300- מהי המשכורת של כל אחד מהם? )6עקב ביקוש רב מחירו של מקרר "אמנה" עלה ב .5%-לאחר שנה ירד הביקוש למקרר "אמנה" ולכן הוזל מחירו ב .10%-מחיר המקרר הסופי הוא .₪ 1,323 א .מה היה מחיר המקרר ההתחלתי? ב .כמה אחוזים ממחיר המקרר המקורי מהווה מחיר המקרר הסופי? )7המחיר של שמיכה וזוג כריות הוא .₪ 380לאחר שנה מחיר השמיכה הוזל ב ,20%-אך מחיר הכריות התייקר ב .20%-כעת המחיר של 5כריות ו 2-שמיכות הוא .₪ 888 א .מה היה המחיר הראשוני של כרית? ב .כמה עולה שמיכה לאחר ההוזלה? 37 )8סוחר קנה שולחנות במחיר כולל של 10 .₪ 18,000שולחנות הוא מכר ברווח של 60%לשולחן 20 ,שולחנות הוא מכר ללא רווח ואת שאר השולחנות הוא מכר בהפסד של 15%לשולחן .סה"כ הרוויח הסוחר בעסקאות אלו .₪ 450 א .כמה שולחנות קנה הסוחר? ב .מה המחיר ששילם הסוחר עבור כל שולחן? בעיות קנייה ומכירה שונות: )9קבלן רכש xמרצפות רצפה בסכום כולל של 20 .₪ 22,000מרצפות נשברו בהובלה ולכן לא נמכרו .את שאר המרצפות מכר הקבלן ברווח של .50% סה"כ הרוויח הקבלן בעסקה .₪ 8,360 א .כמה מרצפות קנה הקבלן? ב .כמה כסף שילם הקבלן עבור כל מרצפה? )10שמואל קנה מחשב ומדפסת במכרז ושילם עבורם סכום כולל של .₪ 3,600 לאחר חודש ימים ,מכר שמואל את המדפסת בהפסד של 10%ואת המחשב ברווח של .40%ידוע כי שמואל מכר את שני המוצרים במחיר כולל של .₪ 4,740 בכמה כסף קנה שמואל את המחשב ובכמה כסף קנה את המדפסת? )11חוואי קנה 15סוסי פוני במחיר זהה לסוס .לאחר שנה מכר החוואי 3סוסים ברווח של ,35%שניים מתו ממחלה נדירה ואת שאר הסוסים הוא מכר ללא רווח .סה"כ הפסיד החוואי .₪ 1710 א .כמה שילם החוואי עבור כל סוס פוני? ב .אם רק סוס אחד היה מת ,האם היה החוואי מרוויח מהעסקה? אם לא נמק ,אם כן בכמה היה מרוויח? )12מכונת כביסה עולה .₪ 4,000לאחר שנה עלה מחיר מכונת הכביסה ב 20%-ושנה לאחר מכן עלה מחירה בעוד .20% א .מה מחיר מכונת הכביסה לאחר שנתיים? ב .בכמה אחוזים מהמחיר המקורי התייקרה מכונת הכביסה? ג .בחנות למוצרי חשמל מוכרים מכונות כביסה במחיר מסוים. רפי קנה 3מכונות כביסה למכבסה שברשותו .ידוע כי לאחר שנה חלה התייקרות ב p -אחוזים וכך גם בשנה שאחריה .בתום השנתיים ,החליט רפי לקנות 2מכונות כביסה נוספות .מבדיקה שערך רפי ,גילה כי המחיר הכולל ששילם בקנייה השנייה גדול פי 2מהמחיר ששילם בקנייה הראשונה .מהו ? p 38 )13המחיר של שמיכה וזוג כריות הוא .₪ 380לאחר שנה מחיר השמיכה הוזל ב 20%-אך מחיר הכריות התייקר ב .20%-כעת המחיר של 5כריות ו 2-שמיכות הוא .₪ 888 א .מה היה המחיר הראשוני של כרית? ב .כמה עולה שמיכה לאחר ההוזלה? ג .אכסניית נוער מעוניינת לרכוש שמיכות וכריות עבור מיטות יחיד למספר חדרים (מספר זהה של שמיכות וכריות) .האם כדאי להנהלת האכסניה לרכוש את השמיכות והכריות במחירים המקוריים או לאחר שנה? נמק. )14המחיר של 6שרפרפים גדול ב 20-שקלים מהמחיר של כיסא. לאחר שמחיר השרפרפים התייקר ב 35% -ומחיר הכיסא הוזל ב ,19% -המחיר של 3שרפרפים היה זהה למחיר של כיסא אחד. א .מה המחיר של כי סא והמחיר של שרפרף לפני ההוזלה וההתייקרות? ב .בכמה אחוזים גדול המחיר של הכיסא לאחר ההוזלה מהמחיר של השרפרף לאחר ההתייקרות? ג .לרשות בית ספר תקציב מסוים המיועד לרכישת כיסאות ושרפרפים. ידוע כי בית הספר מעוניין לרכוש פי 4יותר שרפרפים מאשר כיסאות. האם כדאי לבית הספר לבצע את הרכישה במחירים המקוריים או לאחר השינויים אם ברצונו לרכוש יותר פריטים? )15סוחר קנה 60כיסאות זהים במחיר זהה לכיסא 5 .כיסאות נשברו לו ואת שאר הכיסאות הוא מכר במחיר הגדול ב ₪ 40-מהמחיר שקנה אותם. בסה"כ הרוויח הסוחר בעסקה .₪ 1950 א .באיזה מחיר קנה הסוחר כל כיסא? ב .בעסקה אחרת ,קנה הסוחר 60כיסאות אחרים במחיר זהה לכיסא. ידוע כי המחיר של כיסא בודד גדול ב 30%-מהמחיר של כיסא בודד שרכש הסוחר בעסקה הראשונה .במהלך ההובלה נגנבו 8כיסאות .הסוחר רוצה להרוויח ממכירת הכיסאות הנותרים לפחות ₪ 2000בעסקה זו. נסמן ב p -את אחוז ההתייקרות שבו צריך למכור הסוחר כיסא בודד. מצא את pהמינימלי עבורו יעמוד הסוחר ביעדו. )16סוכן של חברת רהיטים קנה מיטות במחיר כולל של .₪ 60,000רבע מכמות המיטות שקנה הוא מכר ברווח של 4 .80%מיטות הוא מכר ללא רווח כלל ואת שאר המיטות הוא מכר בהפסד של 10%למיטה .בסה"כ הרוויח הסוכן .₪ 9,500 א .כמה מיטות קנה הסוכן? ב .כמה שילם הסוכן עבור כל מיטה? ג .בהנחה שהסוכן רוכש עבור החברה פעם נוספת כמות מיטות זהה ממקום אחר ,ומוכר באותם התנאים ,כמה עליו לשלם עבור מיטה בודדת כדי שהרווח שלו יהיה לפחות ( ?₪ 10,000עגל את תשובתך לשקלים שלמים). 39 )17יצרנית מוצרי חשמל מוכרת מקררים במחיר של ₪ xליחידה. עם השקת מקרר חדש הוחלט להעלות את מחירו ב 5%-עקב הביקוש הרב. בשנה הראשונה להשקתו נקנו מספר מקררים. שנה לאחר מכן ירד הביקוש ולכן מחיר המקרר הוזל ב( 10%-ביחס למחירו בשנה הראשונה) .כעת נמכרו מספר כפול של יחידות ביחס לשנה הקודמת. א .מצא את המחיר המקורי של מקרר אם ידוע כי סך כל הרווחים של יצרנית המקרר בשנתיים הנ"ל זהה לסכום שהייתה מרוויחה אם היו קונים את אותו מספר המקררים שנרכשו בשנה הראשונה במחיר של ₪ 4116ליחידה. ב .היצרנית הרוויחה בשנה השנייה ₪ 235,200יותר מאשר בשנה הראשונה. מצא כמה מקררים נמכרו בשנה הראשונה. )18בחנות מסוימת ,מחיר כובע גדול ב 40%-מהמחיר של זוג כפפות. לאחר חודש התייקר הכובע ב 50%-והכפפות הוזלו ב p -אחוזים. א .מצא את pעבורו קנייה של 16כובעים ו 2-זוגות כפפות לפני השינויים תשתווה לקנייה של 4כובעים ו 20-זוגות כפפות לאחר השינויים. ב .מצא את pעבורו ההפרש בין קניית 5כובעים ו 4-זוגות כפפות במחירים לאחר השינויים ,לבין קניית 3כובעים ו 2-זוגות כפפות במחירים המקוריים יהיה שווה למחיר של קניית 5זוגות כפפות במחירם המקורי. ג .מצא את pעבורו המחיר של כובע אחד ו 10-זוגות כפפות לאחר השינויים יהווה 80%מהמחיר של קניית אותם הפריטים במחירים המקוריים. )19סוחר רוכש מנורות בסכום כולל של 26 .₪ 4,000מהמנורות מכר הסוחר ברווח של ₪ 20למנורה ואת השאר הוא מכר בהפסד של ₪ 5למנורה .בסה"כ הרוויח הסוחר בעסקה .₪ 400בעסקה אחרת רכש הסוחר כמות מנורות מסוימת ומכר אותם לבית עסק ברווח של 30%למנורה. הסוחר הרוויח בעסקה זו סה"כ .₪ 1020 א .כמה מנורות קנה הסוחר ברכישה הראשונה ובאיזה מחיר למנורה? ב .כמה מנורות רכש הסוחר בעסקה השנייה? )20סוחר קנה 450תיקים .הוא מכר 150מהם ברווח של 15%ואת השאר בהפסד של 5שקלים .בסה"כ הפסיד הסוחר בעסקה .₪ 600 א .בכמה כסף קנה הסוחר כל תיק? ב .אם הסוחר היה מוכר את שאר התיקים בהפסד של 2שקלים במקום 5שקלים ,האם עדיין הוא היה מפסיד מהעסקה? ג .התיקים שמכר הסוחר ברווח של 15%נקנו ע"י חנות מרכזית .בחודש הראשון למכירת התיקים ,מכרה החנות כל תיק ברווח של .50%לאחר חודש העלתה החנות את המחיר של תיק ב 20%-נוספים ופרסמה מבצע שבמסגרתו כל הקונה שני תיקים יקבל את השני בהנחה של .40%חן הגיעה לחנות בחודש הראשון וקנתה שני תיקים ואחותה ,שרית ,הגיעה 40 לחנות לאחר חודש וקנתה שני תיקים במסגרת המבצע .מי משתי האחיות שילמה מחיר נמוך יותר בממוצע על תיק? )21בית קפה רכש 120ק"ג מוצרי שוקולד 10 .ק"ג נהרסו מיד עם הגעתם למקום עקב תנאי תחזוקה רעועים 40 ,ק"ג נמכרו ברווח של ₪ 3לק"ג ואת שאר הכמות מכר בית הקפה בהפסד של ₪ 2לק"ג .בסה"כ הפסיד בית הקפה בעסקה .₪ 60 א .מהו המחיר של ק"ג מוצרי שוקולד? ב .בהזמנה נוספת רכש בית הקפה כמות מסוימת של מוצרי שוקולד ושילם עבור ק"ג אחד את המחיר שמצאת שסעיף הקודם .ידוע כי 10%מהכמות מכר בית הקפה ברווח של 50%לק"ג ו 20%-מהכמות מכר בית הקפה בהפסד של . 25%מצא באיזה מחיר צריך למכור בית הקפה את הכמות הנותרת על מנת שירוויח 70%מהסכום שהוציא. )22בעל מזנון פלאפל קנה 12ק"ג גרגירי חומוס להכנת כדורי פלאפל ו 8-ק"ג קמח לאפיית פיתות .ידוע כי המחיר של 2ק"ג גרגירי חומוס גבוה ב ₪ 2-מהמחיר של 1ק"ג קמח .בעל המזנון קיבל הנחה של 25%על כל 1ק"ג גרגירי חומוס והנחה של 20%על כל 1ק"ג קמח .לאחר ההנחה שילם בעל המזנון ₪ 74.4 בעבור קנייתו. א .מה הם המחירים של 1ק"ג גרגירי חומוס ו 1-ק"ג קמח? ב .ידוע כי כל מנת פלאפל נמכרת במחיר זהה ולהכנתה דרושים 300גרם גרגירי חומוס ו x -גרם קמח .בעל המזנון ניצל בצורה מלאה את כל הרכיבים שברשותו ולאחר מכירת כל המנות שהכין נשאר עם רווח של .₪ 245.6מצא את xואת המחיר של מנת פלאפל. )23בעל גלידריה קנה 30ליטרים חלב ו 18-ק"ג אבקת שוקולד להכנת גלידות שוקולד .על כל 1ליטר חלב קיבל 5%הנחה ועל כל 1ק"ג אבקה קיבל 10% הנחה .ידוע כי המחיר ששילם על כל כמות החלב שרכש גדולה ב₪ 77.7- מהמחיר ששילם על כל האבקה שרכש. א .מצא את המחיר של 1ליטר חלב ו 1-ק"ג אבקת שוקולד אם ידוע כי הוא שילם ₪ 207.3בעבור כל הקנייה. ב .כדי לייצר כדור שוקולד אחד דרושים 300מ"ל חלב ו 180-גרם אבקת שוקולד .בעל הגלידריה ניצל את כל המוצרים שקנה ופרסם כי המחיר של כדור שוקולד אחד הוא ₪ 10וכי בקניית שני כדורי שוקולד תינתן הנחה של שקל .בעל הגלידריה מכר את כל הכדורים שברשותו והרוויח סה"כ בעסקה .₪ 762.7מצא כמה לקוחות קנו כדור בודד וכמה קנו שני כדורים. 41 )24סוכן כלי כתיבה רכש בקנייה מרוכזת 40חבילות עטים ו 60-חבילות עפרונות. חבילת עטים מכילה 12עטים וחבילת עפרונות מכילה 10עפרונות .הסוכן קיבל הנחה של 10%לעט ו 15%-הנחה לעפרון .בסה"כ שילם הסוכן .₪ 3102ידוע כי אילולא היה מקבל הסוכן את הה נחות ,אז המחיר הכולל שהיה נדרש לשלם עבור כל העטים היה גדול פי 4.8מהמחיר שהיה משלם עבור כל העפרונות. א .מצא מה המחירים המקוריים של עט בודד ושל עפרון בודד. ב .חנות "כותבים בכיף" קנתה כמות מסוימת של עטים ועפרונות מהסוכן והכינה מארזים לתחילת שנה שכל אחד מכיל 2עטים ו 3-עפרונות .הסוכן מכר לחנות את העפרונות והעטים במחירים המקוריים שלהם ואילו החנות מכרה את המארזים במחיר הגדול ב 40%-מעלות ההכנה שלהם. מצא כמה עפרונות ו כמה עטים רכשה החנות מהסוכן אם ידוע כי הרוויחה מעסקה זו (לאחר שמכרה את כל המארזים שהכינה) סה"כ .₪ 72 תשובות סופיות: ₪ 7 )2ו.₪ 9- ₪ 20 )1ו.35- 16 )3ב.₪ 14- .₪ 50 )4 ₪ 4000 )5ו– )6 .₪ 3800א .₪ 1,400 .ב94.5% . )7א .₪ 100 .ב )8 .₪ 144 .א 60 .שולחנות .ב.₪ 300 . )9א 250 .מרצפות .ב .₪ 88 .ג )10 .156,000 .מחשב ,₪ 3000 -מדפסת – .₪ 600 )11א .₪ 1800 .ב .היה מרוויח )12 .₪ 90א ₪ 5760 .ב .44% .ג.73.2% . )13א .₪ 100 .ב .₪ 144 .ג .כדאי לקנות לאחר שנה .ללא תלות במספר החדרים. )14א ₪100 .ו .₪ 20- ב .ב( 200%-פי .)3ג .במחירים המקוריים. )15א .₪ 50 .ב.74.5% . )16א 12 .מיטות .ב.₪ 5,000 . ג .המחיר המדויק הוא ₪ 5263.15 :ולכן נעגל ונדרוש ₪ 5264 :למיטה. )17א . x ₪ 1400 .ב 200 .יחידות. )18א .20% .ב .82.5% .ג )19 .29.8% .א 50 .נורות ב .₪ 80-ב 1020 .נורות. )20א .₪ 40 .ב .לא .ג .שרית )21 .)₪ 66.24( .א .₪ 4 .ב.₪ 8 . )22א 1 .ק"ג גרגירי חומוס – 1.₪ 4ק"ג קמח – .₪ 6 ב 200 .גרם , x מנת פלאפל = .₪ 8 )23א 1 .ליטר חלב – 1 .₪ 5ק"ג אבקה – .₪ 4 ב 30 .קנו שני כדורים ו 40-קנו כדור בודד. )24א .עט – .₪ 6עפרון – .₪1ב 12 .מארזים ולכן 24עטים ו 36-עפרונות. 42 בעיות בהנדסת המישור: בעיות יסודיות במרובעים: )1המרובע ABCDהוא ריבוע (ראה איור) .הקטע EFמקביל לצלעות הריבוע ומחלק את הצלעות ADו BC-באופן כזה כך ש DE-ו CF-מהוות 30%מצלע הריבוע .הקטע GHמקביל לצלעות ADו BC-ומרחקו מהצלע ADהוא 2ס"מ. ידוע שסכום השטחים של המלבנים המקווקים מהווה 50% מסכום שטחי המלבנים הלבנים .מצא את אורך צלע הריבוע. )2היקף חלקה מלבנית הוא 30ק"מ .רוצים לבנות בניין מלבני (המקווקו באיור) במרכז החלקה ששטחו הכולל הוא 10קמ"ר. ידוע ששטח הבניין מהווה 20%משטח החלקה. מצא את מידות החלקה. )3במרכז חלקה מלבנית שצלע אחת שלה גדולה ב 10-ק"מ מהצלע הסמוכה לה בונים בניין ריבועי (המקווקו באיור). ידוע כי אורך הצלע שלו היא שליש מאורך הצלע הקטנה של החלקה .מחיר קמ"ר אחד משטח הבניין הוא ₪ 1000 ומחיר קמ"ר אחד משטח החלקה הוא .₪ 100 קבלן בניה שילם עבור כל השטח סכום כולל של .₪ 60,000 מצא את מידות החלקה. )4לרפי מטבח מלבני שמידותיו הם 12X18 :מטרים .רפי מחלק את המטבח לשני מלבנים כך ששטח אחד גדול פי 2מהשטח של השני .רפי רוצה לרצף את השטח הקטן ברצפת שיש יוקרתית (השטח הימני) לעומת השטח הגדול שאותו ירצף רפי ברצפה רגילה (השטח השמאלי). ידוע שהמחיר של מ"ר אחד מהרצפה הרגילה הוא 60%מהמחיר של מ"ר אחד מרצפת השיש היוקרתית .רפי השקיע בריצוף המבטח סכום כולל של .₪ 3168כמה עולה מ"ר מכל סוג? 43 בעיות במרובעים ובמשולשים ללא משפט פיתגורס: )5על הקטע ABמקצים את הנקודות Eו F-כך ששלושת הקטעים AE , EFוBF- שווים .על הקטעים BFו AE-בונים ריבועים ועל הקטע EFבונים משולש שווה שוקיים. ידוע כי הגובה במשולש שווה לאורך הבסיס EF וכי סכום שטחי שני המרובעים והמשולש הוא 90סמ"ר. מצא את אורך צלע הריבוע. )6נתון ריבוע .ABCDבונים משולש ישר זווית EFCכך ש E-ו F-הן נקודות על המשכי הצלעות BCו DC-של הריבוע בהתאמה. הנקודה Aנמצאת על יתר המשולש .EF הקטע BEמהווה 50%מצלע הריבוע והקטע DFגדול פי 2מצלע הריבוע .ידוע כי שטח המשולש EFC הוא 81סמ"ר .מצא את אורך צלע הריבוע. )7הנקודות Eו F-נמצאות בהתאמה על הצלעות ABו AC-של המשולש .ABC ידוע כי שטח המשולש AEFהוא 22סמ"ר. שטח המרובע BCFEמהווה 60%משטח המשולש .ABC א .מצא את שטח המרובע .BCFE ב .מצא את שטח המשולש .ABC בעיות במשולשים כולל משפט פיתגורס: )8במשולש ABCמורידים גובה ADלצלע BCהמחלק אותו לשני משולשים ADC ו ABD-כך שמתקיים . SADC 2SABD :נתון שאורך הקטע CDהוא 24ס"מ. א .מצא את אורך הקטע .BD ב .נתון שאורך הצלע ABהוא 25ס"מ. חשב את . SABD )9במלבן שצלעותיו הן 3ו 4-ס"מ מעבירים אלכסון ומעלים לו גובה מהקדקוד התחתון לו. א .מצא את אורך האלכסון. ב .מצא את אורך הגובה. ג .מצא את אורכי שני הקטעים שהגובה מחלק את האלכסון. 44 )10במשולש ABCמורידים גובה ADלצלע BCכך שהקטע BDגדול פי 4.5 2 מהקטע .CDאורך הצלע ABהוא 13ס"מ ואורך הצלע ACהוא 3 5ס"מ. א .מצא את האורכים BDו.CD - ב .מצא את אורך הגובה .AD ג .חשב את שטח המשולש .ABC BD )11הוא גובה ליתר במשולש ישר זווית . B 90 ABC היתר ACגדול ב 25%-מהניצב .AB ידוע כי אורך הניצב BCהוא 18ס"מ. א .מצא את אורכי הניצב ABוהיתר .AC ב .מהם האורכים ADו? DC- בעיות במעגל – ללא אחוזים ללא מ.פיתגורס: )12בבניין של רפי השכן יש חלון מרכזי המורכב ממלבן וחצי עיגול. ידוע כי בסיס החלון קטן פי 2מגובה המלבן. שטח החלון הכולל הוא . 200 12.5 א .מצא את מידות המלבן. ב .מצא את היקף החלון. )13בריבוע שלפניך חסומים שני חצאי עיגולים הפוכים זה לזה. ידוע כי סכום ההיקפים של שני החצאים יחדיו הוא .10 א .מצא את אורך צלע הריבוע. ב .1 .מצא את סכום השטחים של שני חצאי העיגולים (השטח המקווקו). .2מצא את השטח הכלוא בין העיגולים והריבוע (השטח הלבן). בעיה במעגל – ללא אחוזים וכולל מ.פיתגורס: )14באיור שלפניך מתואר משולש ישר זווית שבתוכו כלוא עיגול. ידוע כי אורך היתר במשולש הוא 26ס"מ וכי אורך הניצב האנכי הוא 24ס"מ. א .מצא את אורך הניצב השני. ב .שטח המעגל הוא . 25מצא את רדיוס המעגל. ג .מצא את השטח הכלוא בין המשולש למעגל (השטח המקווקו). 45 26 24 בעיה במעגל – כולל אחוזים: )15באיור שלפניך מתוארת טבעת המורכבת משני מעגלים בעלי אותו מרכז ששטחּה הוא . 63ידוע כי רדיוס המעגל הפנימי קטן ב 25%-מרדיוס המעגל החיצוני. מצא את הרדיוסים של שני המעגלים. תשובות סופיות: 10 )2ס"מ ו 5-ס"מ. 24 )1ס"מ. 15 )3ק"מ ו 25-ק"מ. 6 )5ס"מ. ₪ 20 )4ו.₪ 12- 6 )6ס"מ. )7א S 33 .ב. S 55 . )8א 8 .ס"מ .ב. SADC 30 . )9א 5 .ס"מ .ב 2.4 .ס"מ .ג 3.2 .ס"מ ו 1.8-ס"מ. 2 3 )10א 12 .ס"מ ו 2 -ס"מ .ב 5 .ס"מ .ג. S 36 23 . )11א 24 .ס"מ ו 30-ס"מ .ב 19.2 .ס"מ ו 10.8-ס"מ. )12א 10 .ס"מ ו 20-ס"מ .ב. P 50 5 65.7 . )13א 10 .ס"מ .ב. S 100 25 21.4 .2 . S 25 .1 . )14א 10 .ס"מ .ב 5 .ס"מ .ג. S 120 25 41.4 . 12 )15ו.9- 46 בעיות בהנדסת המרחב: )1נתונה תיבה שבסיסה מלבן. ידוע כי אורך צלע אחת של בסיס התיבה קטנה ב 25% -מהצלע הסמוכה לה וכי גובה התיבה גדול פי 3מהצלע הגדולה. אורך אלכסון הבסיס הוא 10ס"מ. א .מצא את מידות בסיס התיבה. ב .מצא את נפח התיבה. ג .חשב את אורך אלכסון התיבה. )2נתונה תיבה שבסיסה הוא מלבן וגובהה הוא 10ס"מ .ידוע כי נפח התיבה הוא 280סמ"ק וכי שטח הפנים שלה הוא 276סמ"ר. א .מצא את מידות בסיס התיבה. ב .מה יהיה אורך אלכסון התיבה? )3נתונה תיבה שבסיסה הוא מלבן .ידוע כי צלע אחת של המלבן גדולה ב 50%-מהצלע הסמוכה לה .כמו כן גובה המלבן גדול ב 50%-מצלע המלבן הגדולה .סכום ארבעת הגבהים של המלבן גדול ב 32-ס"מ מהיקף בסיס המלבן. א .מצא את מידות המלבן. ב .חשב את שטח המעטפת של התיבה. ג .חשב את נפח התיבה. )4נתונה מנסרה שבסיסה הוא משולש ישר זווית .ידוע כי אורך היתר במשולש הבסיס הוא 17ס"מ .גובה המנסרה שווה לאורך ניצב המשולש הקטן .ניצב השני של המשולש גדול ב 7-ס"מ מהניצב השני. א .חשב אורכי הניצבים ואת גובה המנסרה. ב .חשב את נפח המנסרה. )5נתונה מנסרה שבסיסה הוא משולש ישר זווית. הניצב הגדול ,גדול ב 4 -ס"מ מהניצב קטן ,וקטן ב 4-ס"מ מאורך היתר .נפח המנסרה הוא 2880סמ"ק. א .מצא את מידות משולש הבסיס. ב .מצא את גובה המנסרה. ג .מצא את שטח המעטפת של המנסרה. 47 )6נתונה מנסרה שבסיסה הוא משולש שווה שוקיים .ידוע כי שטח הפאה הבנויה על מקצוע הבסיס של המשולש מהווה 80%משטח הפאה הסמוכה לה .כמו כן ידוע כי אורך השוק במשולש בסיס גדול ב 4-ס"מ מאורך הבסיס במשולש זה. אורך גובה המנסרה הוא 4ס"מ. א .מצא את מידות משולש הבסיס. ב .מה יהיה שטח המעטפת של המנסרה? ג .מה יהיה סכום כל מקצועות המנסרה? )7שטח החתך הצירי של גליל הוא 30סמ"ר .רדיוס הגליל וגובהו מקיימים. 2h 3r 1 : א .מצא את רדיוס הגליל ואת גובהו. ב .חשב את שטח עיגול הבסיס של הגליל. ג .חשב את נפח הגליל. )8נתון גליל שרדיוסו הוא 4ס"מ .מעבירים חתך צירי בגליל. ידוע כי היקף המלבן של החתך הצירי גדול פי 4מאורך גובה הגליל. א .1 .מצא את גובה הגליל. .2איזה מרובע הוא המלבן של החתך הצירי? ב .חשב את שטח הפנים של הגליל. ג .חשב את נפח הגליל. תשובות סופיות: )1א 6 .ס"מ ו 8-ס"מ .ב V 1152 .ג 26 .ס"מ. )2א 4 .ס"מ ו 7-ס"מ .ב 165 12.84 .ס"מ. )3א 8X12X18 .ס"מ .ב S 720 .ג. V 1728 . )4א 8 .ס"מ 8 ,ס"מ ו 15-ס"מ .ב. V 480 . )5א 12 .ס"מ 16 ,ס"מ ו 20-ס"מ .ב 30 .ס"מ .ג. S 1440 . )6א 16 .ס"מ ו 20-ס"מ .ב S 224 .ג 124 .ס"מ. )7א r 3 , h 5 .ב S 9 .ג. V 45 . )8א 8 .1 .ס"מ .2ריבוע .ב S 96 .ג. V 128 . 48 תירגול נוסף: בעיות תנועה: )1רוכב אופניים נוסע מעיר א' לעיר ב' במהירות של 20קמ"ש. שלוש שעות אחריו יוצא מאותו מקום רוכב אופנוע במהירות של 80קמ"ש. רוכב האופנוע הגיע לעיר ב' שלוש שעות לפני רוכב האופניים. א .כמה שעות נסע רוכב האופניים? ב .מהו המרחק בין שתי הערים? )2גלעד ורוני יוצאים בו זמנית משני ישובים Aו B-בהתאמה והולכים זה לקראת זה במהירות קבועה .מהירות ההליכה של גלעד היא 4קמ"ש ומהירותו של רוני היא 6קמ"ש .ידוע כי רוני הגיעה ליישוב 4 Aשעות לפני שגלעד הגיע ליישוב .B א .מהו המרחק בין שני היישובים? ב .כמה זמן הלך כל אחד מהם? )3שני רוכבי אופניים יוצאים בו זמנית משני ישובים Aו B-זה לקראת זה. מהירות רוכב אחד גדולה ב 10-קמ"ש ממהירותו של הרוכב השני .הרוכב המהיר הגיע ליעדו לאחר 3שעות בעוד הרוכב השני הגיע רק אחרי 5שעות. א .מה המהירויות של שני רוכבי האופניים? ב .מהו המרחק שנסעו? )4שתי מכוניות נסעו יחד לטיול מהעיר לכפר .המכונית הראשונה נסעה במהירות קבועה והגיעה לכפר לאחר 8שעות .המכונית השנייה נסעה במשך שעתיים במהירות הקטנה ממהירות המכונית הראשונה ב 10 -קמ"ש ,לאחר מכן היא עצרה להתרעננות במשך 40דקות וחזרה לנסיעה במהירות הגדולה ב 54-קמ"ש ממהירות המכונית הראשונה .המכונית השנייה הגיעה לכפר שעתיים לפני המכונית הראשונה. א .באיזו מהירות נסעה המכונית הראשונה? ב .מהו המרחק בין העיר לכפר? )5שני רוכבי אופנים המרוחקים זה מזה במרחק של 80ק"מ יצאו בו זמנית זה לקראת זה .מהירות רוכב אחד גדולה ב 2-קמ"ש ממהירות הרוכב השני. לאחר שעתיים של רכיבה המרחק בניהם היה 12ק"מ. א .באיזו מהירות רכב כל רוכב? ב .האם לאחר עוד 20דקות הם ייפגשו? 49 )6שתי מכוניות הנמצאות במרחק של 700ק"מ יצאו בו זמנית זו לקראת זו. מכונית אחת מהירה מהשנייה ב 15-קמ"ש .לאחר שלוש שעות היה מרחק בניהן 325ק"מ. א .באיזו מהירות נסעו שתי המכוניות? ב .האם לאחר עוד 20דקות שתי המכוניות תפגשנה? )7רוכב אופניים והולך רגל יצאו ב 10:00-מנקודה Aלנקודה .B מהירות ההליכה של הולך הרגל היא 7קמ"ש ומהירותו של רוכב האופניים היא 16קמ"ש. רוכב האופניים הגיע לנקודה Bלאחר שלוש וחצי שעות מזמן יציאתם. א .באיזה שעה היה המרחק בניהם 27ק"מ? ב .מהו המרחק בין Aל.B- ג .לאחר כמה זמן הגיע הולך הרגל לנקודה ?B )8אופנוע יוצא מעיר א' לכיוון מערב במהירות של 50קמ"ש. לאחר שעתיים יוצאת מכונית מעיר ב' הממוקמת מזרחה מעיר א' במרחק של 40ק"מ אחרי האופנוע .מהירות המכונית היא 120קמ"ש. א .לאחר כמה זמן השיגה המכונית את רוכב האופנוע מזמן יציאתה? ב .איזה מרחק נסע רוכב האופנוע עד שהשיגה אותו המכונית? )9מטוס טס מידי שבוע מיעד א' ליעד ב' המרוחק ממנו 5,000ק"מ במהירות קבועה. שבוע אחד טס המטוס במשך שעתיים במהירות הרגילה .לאחר מכן האט את מהירותו ב 300-קמ"ש ולאחר כשעתיים האיץ בחזרה והגביר את מהירותו ב 700-קמ"ש. המטוס הגיע ליעד ב' 15דקות מוקדם יותר מאשר הגיע בכל שבוע. באיזו מהירות טס המטוס בכל שבוע? )10שתי מכוניות יוצאות מעיר א' לכיוון עיר ב' הנמצאת במרחק של 560ק"מ ממנה. מכונית אחת נסעה במהירות קבועה במשך כל הדרך .המכונית השנייה נסעה במהירות הגדולה ב 10-קמ"ש ממהירות המכונית הראשונה במשך שעתיים וחצי .לאחר מכן היא עצרה למשך חצי שעה ואז המשיכה בנסיעתה במהירות הגדולה ב 10-קמ"ש ממהירותה הקודמת .בסה"כ הגיעה המכונית השנייה לעיר ב' שעה לפני שהגיעה המכונית הראשונה. א .באיזו מהירות נסעה המכונית הראשונה? ב .כמה זמן נסעה המכונית השנייה מעיר א' לעיר ב'? )11מכונית נסעה מעיר א' לעיר ב' המרוחקת ממנה 760ק"מ במהירות מסוימת. בדרכה חזור היא נסעה במשך שעתיים במהירות זו ,לאחר מכן עצרה לתדלוק וארוחת צהריים במשך שעה ואז המשיכה בדרכה במהירות הגדולה ממהירותה הקודמת ב19- קמ"ש .בסה"כ המכונית הגיעה ליער א' באותו הזמן שהגיעה לעיר ב'. א .באיזו מהירות נסעה המכונית מעיר א' לעיר ב'? ב .כמה זמן נסעה המכונית מעיר לעיר? 50 )12רוכב אופניים יצא לדרך במהירות קבועה .לאחר שעה וחצי יצא בעקבותיו ומאותה הנקודה רוכב אופניים נוסף שמהירותו גדולה ממהירות הרוכב הראשון ב 6-קמ"ש. הרוכב השני השיג את הראשון במרחק של 70ק"מ מנקודת המוצא שלהם. א .באיזו מהירות נסעו שני רוכבי האופניים? ב .כמה זמן היה הרוכב הראשון על הדרך עד שהשיגו הרוכב השני? )13מכונית יוצאת מעיר א' לעיר ב' המרוחקת ממנה 360ק"מ .לאחר שעתיים יוצאת מכונית נוספת בעקבותיה .מהירות המכונית השנייה גדולה ב 30-קמ"ש ממהירות המכונית הראשונה .שתי המכוניות הגיעו לעיר ב' יחד. א .באיזו מהירות נסעה המכונית הראשונה? ב .כמה זמן נסעה המכונית השנייה? )14המרחק בין שתי ערים הוא 800ק"מ .בשעה 8:00יצאה מכונית מעיר אחת לכיוון השנייה. לאחר כשעה יצאה מהעיר השנייה מכונית נוספת כלפי המכונית הראשונה במהירות הגדולה ב 20-קמ"ש ממהירותּה .המכוניות נפגשו באמצע הדרך. א .באיזה שעה נפגשו המכוניות? ב .באיזו מהירות נסעה כל מכונית? )15המרחק בין שתי ערים הוא 920ק"מ .בשעה 6:00יוצאת משאית סחורה מעיר א' לכיוון עיר ב' .לאחר 46דקות יוצא אוטובוס מעיר ב' לכיוון עיר א' .מהירות האוטובוס גדולה ב 20-קמ"ש ממהירות המשאית .שני הרכבים נפגשו באמצע הדרך. א .באיזו שעה נפגשו האוטובוס והמשאית? ב .באיזו מהירות נסע האוטובוס? )16מכונית ומשאית יוצאות בו זמנית משני מקומות שהמרחק בניהם הוא 570ק"מ. המכונית והמשאית נפגשו לאחר 3שעות .ידוע כי בזמן שהמכונית עוברת מרחק של 300ק"מ ,המשאית עוברת מרחק של 270ק"מ. א .באיזו מהירות נסעה המכונית? ב .איזה מרחק נסעה המשאית עד לנקודת פגישתן? )17שתי מ כוניות נוסעות זו לקראת זו משני קצוות של כביש מהיר שאורכו הוא 880ק"מ. ידוע כי בזמן שמכונית אחת עוברת מרחק של 264ק"מ ,המכונית השנייה עוברת 528ק"מ. המכונית המהירה הגיעה לקצה הכביש 5שעות לפני שהמכונית האיטית הגיעה לקצה הכביש השני. א .באילו מהירויות נסעו שתי המכוניות? ב .כמה זמן נסעה המכונית האיטית עד שהגיעה לקצה הכביש? 51 )18אופנוע ומשאית יצאו יחד מעיר א' לכיוון עיר ב' הרחוקה ממנה ב 240-ק"מ. מהירות האופנוע גדולה ב 15-קמ"ש ממהירות המשאית. במהלך הדרך האופנוע עצר ל 48-דקות של התרעננות ולכן הגיע יחד עם המשאית לעיר ב'. א .באיזו מהירות נסע האופנוע? ב .כמה זמן לקח למשאית להגיע לעיר ב'? )19מכונית נוסעת מעיר Aלעיר Cמרחק של 360ק"מ ועוברת דרך עיר Bהנמצאת בין שתי הערים .המכונית נוסעת במהירות קבועה מעיר Aעד לעיר Bולאחר מכן מגבירה את מהירותה ב 20%-וממשיכה עד שמגיעה לעיר .Cידוע כי זמן הנסיעה של המכונית מעיר Aל B-הוא 3שעות וזמן הנסיעה מעיר Bל C-הוא שעתיים וחצי. א .מצא את המהירות של המכונית בשני חלקי הדרך. ב .הראה כי העיר Bנמצאת בדיוק באמצע הדרך בין שתי הערים Aו.C- )20משאית מביאה סחורה מידי יום מיישוב א' ליישוב ב' המרוחק ממנו 630ק"מ .המשאית נוסעת במהירות קבועה בכל יום .יום אחד נסעה המשאית במהירות הנמוכה ממהירותה הרגילה ב .20%-לאחר 3שעות ראה נהג המשאית כי הוא עומד לאחר ,ולכן הגביר את מהירותו ב 21-קמ"ש ממהירותו הנוכחית .המשאית הגיעה ליעדה בדיוק באותו הזמן שהיא מגיעה בכל יום .באיזו מהירות נוסעת המשאית בכל יום? )21רוכב אופניים הנמצא במרחק של 140ק"מ מזרחה מהעיר יוצא בשעה 9:00לכיוון העיר. לאחר 45דקות יוצא מהעיר רוכב אופניים נוסף שמהירותו קטנה ממהירות הרוכב הראשון ב 20-ק מ"ש ונוסע לכיוון דרום .לאחר שעתיים נוספות היה המרחק בין שני רוכבי האופניים 50ק"מ. א .מצא את מהירות רוכב האופניים הראשון אם ידוע כי היא קטנה מ 40.1 -קמ"ש. ב .באיזה מרחק היה רוכב האופניים השני מהעיר כאשר הגיע הרוכב הראשון לעיר? )22אופנוע יוצא מהעיר בשעה 7:00דרומה .לאחר שעה יוצאת מכונית מהעיר לכיוון מזרח. מהירות האופנוע היא 50קמ"ש ומהירות המכונית היא 100קמ"ש. לאחר פרק זמן מסוים המרחק בין המכונית לאופנוע הוא 250ק"מ. א .באיזו שעה המרחק בין המכונית והאופנוע הוא 250ק"מ ? ב .באיזה מרחק הייתה המכונית מהעיר כאשר היא הייתה במרחק של 250ק"מ מהאופנוע? )23מהירות סירה במים עומדים גדולה פי 4ממהירות זרם הנהר .סירה שטה בנהר שאורכו 30ק"מ מתחילתו ועד סופו .הסירה שטה את כל הנהר הלוך וחזור במשך 8שעות. א .באיזו מהירות תשוט הסירה במים עומדים? ב .כמה זמן שטה הסירה בכל כיוון? 52 )24שתי סירות שמהירותן במים עומדים זהה יוצאות מאותה נקודה בנהר ,האחת לכיוון צפון והשנייה לכיוון דרום .מהירות הזרם בנהר היא 20קמ"ש לכיוון צפון. לאחר 4שעות היה המרחק בין שתי הסירות 240ק"מ. א .באיזו מהירות שטות הסירות במים עומדים? ב .לאחר 4שעות ,פי כמה היה גדול המרחק של הסירה ששטה צפונה מהמרחק של הסירה השנייה? )25שלושה נערים יצאו לשייט בסירת מנוע בעלת מהירות קבועה .במשך שעה הם שטו בנהר שקט .לאחר מכן עקב רוחות חזקות נוצר זרם בנהר שמהירותו היא 2קמ"ש לכיוון המסלול של הנערים .לאחר שעה נוספת השתנו הרוחות ומהירות הזרם נשארה 2קמ"ש, אך נגד כיוון השייט שלהם .הנערים שטו בתנאים אלו במשך שעה .בסה"כ עברו הנערים בשלוש שעות אלו מרחק של 18ק"מ. א .באיזו מהירות משיט המנוע את הסירה במים עומדים? ב .מהו המרחק שעברה הסירה בכל שעה? )26מכונית נוסעת במהירות ממוצעת של 84קמ"ש .את נסיעתה התחילה במהירות מסוימת ולאחר שלוש שעות האיצה ב 20-קמ"ש והמשיכה כך עוד 7שעות. א .באיזו מהירות נסעה המכונית בהתחלה? ב .איזה מרחק עברה המכונית? )27מכונית נוסעת במהירות ממוצעת של 80קמ"ש מרחק של 480ק"מ. את החלק הראשון של הנסיעה היא נסעה במהירות מסוימת ולאחר 4שעות האטה את מהירותה ב 30-קמ"ש. א .באיזו מהירות נסעה המכונית בכל חלק של הנסיעה? ב .פי כמה גדולה הדרך שעברה המכונית ב 4-השעות הראשונות לעומת שאר הדרך הנותרת? )28אופנוע עובר במשך 5שעות מרחק של 350ק"מ .לאחר מכן מגביר נהג האופנוע את מהירותו ונוסע במשך פרק זמן מסוים מרחק של 450ק"מ .המהירות הממוצעת של האופנוע בכל זמן נסיעתו היא 80קמ"ש. א .כמה זמן נסע האופנוע לאחר שהגביר את מהירותו? ב .בכמה קמ"ש הגביר נהג האופנוע את מהירותו? 53 בעיות קנייה ומכירה: )29סוחר קנה 80תמונות 20 .תמונות הוא מכר ברווח של ₪ 30לתמונה ואת שאר התמונות הוא מכר ב ₪ 30-לתמונה .בסה"כ הסוחר לא הרוויח ולא הפסיד בעסקה. א .באיזה מחיר קנה הסוחר את התמונות? ב .כמה שילם הסוחר על כל התמונות? )30סוחר קנה 120ק"ג שוקולד 10 .ק"ג נהרסו לסוחר מיד עם קנייתו 40 ,ק"ג הוא מכר ברווח של ₪ 3לק"ג ואת שאר הכמות הוא מכר בהפסד של ₪ 2לק"ג. בסה"כ הפסיד הסוחר בעסקה .₪ 60כמה שילם הסוחר בעבור ק"ג שוקולד? )31סוחר קנה ספרים במחיר של ₪ 60לספר 40 .מהספרים הוא מכר במחיר של ₪ 100לספר ואת השאר הוא מכר בהפסד של ₪ 5לספר. בסה"כ הרוויח הסוחר בעסקה .₪ 1300כמה ספרים קנה הסוחר? )32סוחר קנה דבש במחיר של ₪ 3לק"ג 30 .ק"ג מהדבש הוא מכר ברווח של שקל אחד לק"ג ואת השאר הוא מכר בהפסד של שקל אחד לק"ג .בסה"כ הסוחר לא הרוויח ולא הפסיד בעסקה .כמה ק"ג דבש קנה הסוחר? )33סוחר קנה כיסאות ב .₪ 7,200-הסוחר השקיע ₪ 1,000בשיפוץ כל הכיסאות ואז מכר אותם 20 .כיסאות הוא מכר ברווח של ₪ 70לכיסא .את שאר הכיסאות הוא מכר בהפסד של ₪ 15לכיסא .הסוחר הפסיד בעסקה .₪ 650 א .כמה כיסאות קנה הסוחר? ב .כמה שילם הסוחר בעבור כל כיסא? )34חנווני קנה בקבוקי חלב ב 4 .₪ 300-בקבוקי חלב נשפכו לו .את שאר הבקבוקים מכר החנווני ברווח של שקל אחד לבקבוק .בסה"כ הרוויח החנווני 36שקלים. כמה בקבוקים קנה החנווני וכמה שילם בעבור כל בקבוק? )35סוחר קנה עציצים ב .₪ 800-תוך שבוע 8מהעציצים נבלו והסוחר לא מכר אותם .את שאר העציצים מכר הסוחר ברווח של ₪ 10לעציץ .סה"כ הפסיד הסוחר ₪ 200בעסקה .כמה עציצים קנה הסוחר וכמה הוא שילם על כל עציץ? )36סוחר קנה נורות בסכום כולל של 26 .₪ 4,000מהנורות מכר הסוחר ברווח של ₪ 20לנורה ואת השאר הוא מכר בהפסד של ₪ 5לנורה .בסה"כ הרוויח הסוחר בעסקה .₪ 400כמה נורות קנה הסוחר ובאיזה מחיר לנורה? )37מחיר של עט גדול ב 2-שקלים ממחיר של עפרון .ידוע כי המחיר של שני עפרונות ושלושה עטים הוא 26שקלים .כמה עולה עט וכמה עולה עפרון? 54 )38מחיר כניסה לפארק המים לילד קטן פי 2ממחיר הכניסה למבוגר. דור נסע עם שלושת ילדיו לפארק המים ושילם סה"כ 200שקלים. מצא את מחיר הכניסה לילד. )39מחיר מחשב גדול פי 5מהמחיר של מדפסת. חברת S&S Productionקנתה 40מחשבים ו 8-מדפסות במחיר כולל של .₪ 16,640מה המחיר של מחשב ומה המחיר של מדפסת? )40המחיר של 5ק"ג תפוחים גדול ב 34-שקלים מהמחיר של 3ק"ג ענבים. רפי קנה 10ק"ג מכל סוג ושילם בסך הכול 260שקלים. מה המחיר של ק"ג ענבים ושל ק"ג תפוחים? )41המחיר של שלושה עטים קטן ב 5-שקלים מהמחיר של 8עפרונות .שני קנתה 10עפרונות ו 4-עטים ונכחה לראות כי המחיר של כל העפרונות גדול ב4- שקלים מהמחיר של כל ה עטים שקנתה .מה המחיר של עט אחד ועפרון אחד? )42המחיר של 7חתיכות פוליגל שווה למחיר של 9משטחי בריסטול. חנה הגננת קנתה לגן שלה 5משטחי פוליגל ו 3-משטחי בריסטול ושילמה סכום כולל של 66שקלים .כמה עולה משטח בריסטול? )43סוחר קנה טלוויזיות ומכשירי .DVDהמחיר ששילם הסוחר בעבור טלוויזיה גדול ב 500 -שקלים מהמחיר ששילם בעבור מכשיר .DVDכמות מכשירי ה DVD-שקנה הסוחר גדולה ב 6-מכמות הטלוויזיות שהוא קנה. הסוחר שילם בעבור כל הטלוויזיות 9,600שקלים ובעבור כל מכשירי ה 5,400 DVD-שקלים. א .כמה שילם הסוחר בעבור טלוויזיה ועבור .DVD ב .כמה טלוויזיות קנה הסוחר? )44סוחר קנה מחשבים ומדפסות .המחיר ששילם הסוחר בעבור מדפסת קטן ב 2,400-שקלים מהמחיר ששילם בעבור מחשב .הסוחר קנה 7מדפסות יותר מאשר המחשבים .הסוחר שילם בעבור כל המחשבים סכום כולל של ₪ 18,000 ובעבור כל המדפסות .₪ 7,800 א .כמה שילם הסוחר בעבור מחשב? ב .כמה מדפסות קנה הסוחר? )45סוחר קנה 70ק"ג עגבניות במחיר של ₪ 3לק"ג 15 .ק"ג התקלקלו לו ולכן לא יכול היה למכור אותם .את שאר העגבניות הוא מכר במחיר של ₪ 5לק"ג. א .האם הסוחר הרוויח או הפסיד בעסקה? ב .כמה הרוויח הסוחר בעסקה? 55 )46מחיר כיסא נמוך ב ₪ 300-ממחיר שולחן .אם מחיר הכיסא יוזל ב 20%-ומחיר השולחן יתייקר ב 20%-אז המחיר של פינת אוכל המכילה שולחן ו 6-כיסאות יהיה .₪ 1,560מה המחיר של כיסא ומה המחיר של שולחן? )47א .מחירו של מוצר עלה ב 20%-ולאחר שנתיים עלה שוב בעוד .20% האם ניתן לומר שמחיר המוצר עלה בשנתיים ב?40%- ב .מכונת כביסה עולה .₪ 4,000לאחר שנה עלה מחיר מכונת הכביסה ב 20%- ועוד שנה לאחר מכן שוב עלה מחירה בעוד .20% .1מה מחיר מכונת הכביסה לאחר שנתיים? .2בכמה אחוזים מהמחיר המקורי התייקרה מכונת הכביסה? )48משכורתה של סיוון נמוכה ב 5%-ממשכורתה של גלית .אם שתיהן תקבלנה העלאה של 20%למשכורתן אז גלית תשתכר ב ₪ 330-יותר מסיוון .בכמה שקלים משתכרות גלית וסיוון? )49מחירו של מוצר א' גדול ב 20-שקלים ממחירו של מוצר ב'. מוצר א' התייקר ב 5%-ומוצר ב' התייקר ב .50%-המחיר הכולל של שני המוצרים לאחר ההתייקרות גדול ב 25%-מהמחיר המקורי של שני המוצרים. מה המחיר של כל מוצר? )50א .מחיר מוצר א' גדול ב 40%-מהמחיר של מוצר ב' .מוצר א' התייקר ב.30%- בכמה אחוזים מוצר ב' צריך להתייקר כדי שמחיריהם יהיו זהים? ב .מחיר כובע גדול ב 40%-מהמחיר של זוג כפפות. מחיר הכובע התייקר ב 30%-וכעת מחירו הוא .₪ 91 .1בכמה אחוזים יש לייקר את עלות הכפפות כדי שהם יהיו זהים למחיר הכובע החדש? .2מה היה מחיר הכובע המקורי? )51המחיר של ק"ג בננות ו 2-ק"ג אפרסקים הוא .₪ 28עקב בצורת קשה התייקרו המחירים של כל הפירות ב 40%-וכעת מחיר של ק"ג אפרסקים גדול ב2.8- שקלים מהמחיר של ק"ג בננות .מה המחיר של ק"ג בננות ושל ק"ג אפרסקים? 56 )52ירקן רכש 70ק"ג עגבניות במחיר של ₪ 3לק"ג. 15ק"ג התקלקלו ולכן לא מכר אותם. את שאר העגבניות הוא מכר במחיר של ₪ 5לק"ג. א .האם הירקן הרוויח או הפסיד בעסקה? ב .כמה הרוויח הירקן בעסקה? ג .בקנייה נוספת רוצה הירקן להכניס 60%יותר מהסכום שיוציא. ידוע כי גם בקנייה זו ק"ג עגבניות עולה 15 ,₪ 3ק"ג התקלקלו ולא נמכרו ואת השאר מכר הירקן ב ₪ 5-לק"ג. מצא כמה ק"ג עגבניות צריך הירקן לרכוש על מנת לעמוד ביעדו. )53המחיר של 3מקלדת ו 5-עכברים הוא .₪ 490לאחר חצי שנה חנות המחשבים יצאה למבצע והכריזה כי כל המקלדות בהנחה מיוחדת של 50%וכל העכברים בהנחה של .10%כעת ניתן לקנות 4עכברים ו 8-מקלדות במחיר של .₪ 500 א .מה היו המחירים של מקלדת ושל עכבר לפני ההנחה? ב .מה הם המחירים של מקלדת ושל עכבר לאחר ההנחה? ג .בכמה אחוזים גדול המחיר הראשוני של מקלדת מהמחיר הראשוני של עכבר? )54המחיר של 6שרפרפים גדול ב 20-שקלים מהמחיר של כיסא .לאחר שמחיר השרפרפים התייקר ב 35% -ומחיר הכיסא הוזל ב ,19% -המחיר של 3שרפרפים היה זהה למחיר של כיסא אחד. א .מה המחיר של כיסא והמחיר של שרפרף לפני ההוזלה וההתייקרות? ב .פי כמה גדול המחיר המקורי של הכיסא מהמחיר המקורי של השרפרף? בעיות בהנדסת המישור: )55הנקודות Eו F-הן בהתאמה אמצעי הצלעות AB ו CD-של המלבן .ABCDהנקודות R , Q , PוS- יוצרות קטעים המקבילים לצלעות המלבן ABו CD- ומרחקן מהם הוא 2ס"מ (ראה איור). ידוע כי הצלע ABגדולה ב 10-ס"מ מהצלע AD של המלבן .ABCD א .מצא את מידות המלבן ABCDאם ידוע כי שטח המלבן המסומן הוא. S 240 : ב .כמה אחוזים משטח המלבן ABCDהם השטחים המקווקוים שבאיור? 57 )56הנקודות Eו F-נמצאות על הצלע ABשל המלבן ABCDכך שהמרחק של כל נקודה מהקדקוד הסמוך לה הוא 2ס"מ .ידוע כי הצלע ABגדולה ב 2-ס"מ מהצלע ADוכי השטח של שני המשולשים AFDו CBE-יחד הוא 16סמ"ר. א .מצא את מידות המלבן. ב .1 .חשב את שטח המלבן .ABCD .2חשב את שטח הטרפז .DFEC .3כמה אחוזים משטח המלבן ABCD מהווה שטח הטרפז? )57הנקודה Eנמצאת על הצלע ABשל המלבן ABCDכך שנוצרים משולש ADE וטרפז .BCDEידוע כי הצלע ABגדולה ב 5.5 -ס"מ מהצלע ADבמלבן .מרחק הנקודה Eמהקדקוד A הוא 7ס"מ וידוע כי שטח המשולש ADEקטן ב 65% - משטח הטרפז .BCDEמצא את מידות המלבן .ABCD )58הנקודה Eנמצאת על הצלע ABוהנקודה Dנמצאת על הצלע ABשל המשולש .ABCשטח המרובע BDCE הוא 15סמ"ר והשטח ADEהוא 40%משטח המשולש .ABCמצא את השטחים. SABC , SADE : )59מורידים גבהים לצלעות ABו BC-במשולש ABC שחותכים אותן בנקודות Dו E-בהתאמה. נתון . BC 13 , BD 5 :שטח משולש זה הוא 52סמ"ר. א .מצא את אורך הגובה .AE ב .מצא את אורך הגובה .CD ג .מצא את אורך הצלע .AB )60אחד מהניצבים במשולש ישר זווית קטן מהשני ב .25%-שטח המשולש הוא 96סמ"ר. א .מצא את אורכי הניצבים. ב .מצא את אורך היתר. ג .מצא את אורך הגובה ליתר. )61במשולש שווה שוקיים שבו זווית הראש היא זווית קהה (ראה איור) אורך חוצה זווית הראש הוא 6ס"מ ואורך הגובה לשוק הוא 9.6ס"מ. א .מצא את אורך הבסיס. ב .מצא את אורך השוק. ג .מצא את שטח המשולש. 58 BD )62ו AE-הם גבהים לצלעות ACו BC-בהתאמה במשולש .ABCידוע כי אורך הגובה AEהוא 8ס"מ. Eמקצה על הצלע BCשני קטעים CEו BE-כך ש BE-גדול פי 1.5מ .CE-שטח המשולש ABC הוא 60סמ"ר. א .חשב את אורכי הקטעים BEו.CE- ב .חשב את אורך הצלע .AC ג .חשב את הגובה .BD )63במשולש ישר הזווית B 90 ABCהנקודה Eנמצאת על הניצב BCכך שאורך הקטע BEגדול פי 2מהניצב .AB ידוע כי אורך היתר ACהוא 15.6ס"מ וכי הוא גדול פי 6.5מהקטע .CE א .מצא את אורכי הניצבים ABו.BC- ב .העזר בשטחי המשולשים ABCו ABE-וחשב את שטח המשולש .ACE )64באיור שלפניך נתון ריבוע .בונים על כל צלע של הריבוע חצי עיגול. ידוע כי היקף הצורה הכולל הוא . 12 א .מצא את אורך צלע הריבוע. ב .1 .מצא את שטח הריבוע. .2מצא את סכום השטחים של כל ארבעת העיגולים. .3מה השטח הכולל של כל הצורה. )65חצי עיגול כלוא בתוך ריבוע כמתואר באיור .מקדקוד העיגול מעבירים קטע המקביל לצלעות הריבוע כך שנוצר השטח המקווקו. 49 ידוע כי השטח המקווקו הוא 2 . 98 א .מצא את רדיוס העיגול. ב .חשב את שטח הריבוע. )66באיור שלפניך נתונים שני עיגולים החותכים זה את זה כך שנוצר שטח המשותף להם .ידוע כי גודל השטח הנ"ל הוא ( 17השטח המקווקו) ושטח כל הצורה הוא .100 כמו כן ,ידוע כי רדיוס העיגול השמאלי (הגדול) גדול ב 50%-מרדיוס העיגול הימני (הקטן). א .מצא את הרדיוסים של שני העיגולים. ב .פי כמה יהיה גדול שטח העיגול הגדול משטח העיגול הקטן? 59 בעיות בהנדסת המרחב: )67נתונה תיבה שבסיסה הוא מלבן שבו צלע אחת גדולה ב 3-ס"מ מהצלע השנייה .ידוע כי גובה התיבה שווה באורכו לצלע הבסיס הגדולה .אורך אלכסון התיבה הוא 9ס"מ. א .מצא את מידות התיבה. ב .חשב את נפח התיבה. ג .חשב את שטח הפנים של התיבה. )68נתונה תיבה שבסיסה הוא ריבוע. גובה התיבה גדול פי 3מאורך צלע הריבוע של הבסיס. ידוע כי שטח המעטפת של התיבה הוא 192סמ"ר. א .מצא את אורך צלע הריבוע של בסיס התיבה. ב .חשב את נפח התיבה. )69גזרו 6חתיכות קרטון והרכיבו מהם תיבה שבסיסה הוא ריבוע. ידוע כי השטח של כל אחת מארבעת החתיכות המשמשות כפאות התיבה גדול ב 20%-מהשטח של כל אחת משתי החתיכות המשמשות כבסיסי התיבה .גובה התיבה הנ"ל גדול בס"מ אחד מאורכי צלעות ריבוע הבסיס. א .מצא את המידות התיבה. ב .חשב את נפח התיבה. )70בתיבה שבסיסה ריבוע נתון כי אורך הצלע של הריבוע קטנה ב40%- מגובה התיבה .כמו כן ידוע כי שטח פאה צדדית גדול ב 24-סמ"ר משטח בסיס התיבה. א .מצא את מידות התיבה. ב .הראה כי אלכסון התיבה גדול מ 13-ס"מ. ג .חשב את נפח התיבה. )71נתונה תיבה שבסיסה הוא מלבן .מעבירים אלכסון באחת מהפאות צדדיות של התיבה כמתואר באיור .ידוע כי אורך אלכסון זה הוא 17ס"מ וכי גובה התיבה גדול ב 7-ס"מ מבסיס התיבה של פאה זו. נפח התיבה הוא 720סמ"ק. א .מצא את גובה התיבה. ב .מצא את מידות בסיס התיבה ג .האם ישר שאורכו 18ס"מ יכול להיכנס בתוך תיבה זו? (העזר באלכסון התיבה). 60 )72נתונה מנסרה ישרה שבסיסה הוא משולש ישר זווית. מעבירים אלכסון שאורכו 13ס"מ בפאה שבנויה על הניצב הגדול. אורך היתר במשולש הבסיס גדול ב 6-ס"מ מהניצב הקטן שלו. גובה המנסרה הוא 5ס"מ. א .מצא את אורך הניצב הגדול של משולש הבסיס. ב .מצא את הניצב השני ואת היתר במשולש הבסיס. ג .חשב את נפח המנסרה. )73נתונה מנסרה ישרה שבסיסה הוא משולש שווה שוקיים בעל אורך שוק של 26ס"מ .הגובה לבסיס בתוך משולש זה הוא 24ס"מ. שטח הפנים של המנסרה הוא 912סמ"ר. א .מצא את אורך מקצוע הבסיס של המשולש השווה שוקיים. ב .מצא את גובה המנסרה. ג .מה יהיה נפח המנסרה? )74סכום כל המקצועות של מנסרה משולשת ישרה שבסיסה הוא משולש שווה שוקיים הוא 41ס"מ .גובה המנסרה הוא 3ס"מ .ידוע כי אורך מקצוע הבסיס במשולש הבסיס קטן ב 2-ס"מ מאורך שוק המשולש. א .מצא את אורכי הצלעות של משולש הבסיס של המנסרה. ב .חשב את אורך האלכסון העובר בפאה הבנויה על מקצוע הבסיס של המשולש השווה שוקיים. ג .חשב את שטח המעטפת של המנסרה. )75רדיוס גליל מסוים גדול ב 25%-מגובהו .נפח הגליל הוא . 800 א .מצא את רדיוס הגליל ואת גובהו. ב .חשב את שטח המעטפת של הגליל. ג .1 .חשב את שטח עיגול הבסיס של הגליל. .2חשב את שטח הפנים של הגליל. )76נתון גליל שרדיוסו rוגובהו . hשטח עיגול הבסיס קטן ב 60%-משטח המעטפת. ידוע גם כי רדיוס הגליל קטן ב 4-ס"מ מגובהו. א .מצא את רדיוס הגליל ואת גובהו. ב .חשב את שטח הפנים של הגליל. ג .חשב את נפח הגליל. 61 תשובות סופיות: )1א 8 .שעות .ב 160 .ק"מ )2 .א 48 .ק"מ .ב .גלעד 12 -שעות ורוני 8-שעות. )3א 15 .קמ"ש ו 25-קמ"ש .ב 75 .ק"מ )4א 60 .קמ"ש .ב 480 .ק"מ. )5א 16 .קמ"ש 18 ,קמ"ש .ב .לא )6 .א 55 .קמ"ש ו 70-קמ"ש .ב .לא. )7א 13:00 .ב 56 .ק"מ ג 8 .שעות )8 .א .שעתיים .ב 200 .ק"מ 800 )9 .קמ"ש. )10א 70 .קמ"ש .ב 7 .שעות )11 .א 95 .קמ"ש .ב 8 .שעות. )12א 14 .קמ"ש ו 20-קמ"ש .ב 5 .שעות )13 .א 60 .קמ"ש .ב 4 .שעות. )14א 13:00 .ב 80 .קמ"ש ו 100-קמ"ש )15 .א .10:36 .ב 120 .קמ"ש. )16א 100 .קמ"ש .ב 270 .ק"מ )17 .א 88 .קמ"ש ו 176-קמ"ש .ב 10 .שעות. )18א 75 .קמ"ש .ב 4 .שעות )19 .א 60 .קמ"ש ו 72-קמ"ש 70 )20 .קמ"ש. )21א 40 .קמ"ש .ב 55 .ק"מ )22 .א .10:00 .ב 200 .ק"מ. )23א 8 .קמ"ש .ב 3 .שעות ו 5-שעות )24 .א 30 .קמ"ש .ב .פי .5 )25א 6 .קמ"ש .ב 6 .ק"מ 8 ,ק"מ ו 4-ק"מ )26א 70 .קמ"ש ב 840 .ק"מ. )27א 90 .קמ"ש ו 60-קמ"ש .ב .פי )28 .3א 5 .שעות .ב 20 .קמ"ש. )29א ₪ 40 .ב.₪ 4 )30 .₪ 3200 . 60 )32 .100 )31ק"ג )33 .א .90 .ב .₪ 80 60 )34ב 20 )35 .₪ 5-עציצים ₪ 40 .לעציץ 50 )36 .נורות ב ₪ 80-לנורה. ₪ 4 )37ו ₪ 400 )39 .₪ 40 )38 .₪ 6-ו.₪ 80- ₪ 12 )40ו ₪ 4 )41 .₪ 14-ו.₪ 7 )42 .₪ 9- )43א ₪ 800 .ו ₪ 300-ב )44 .12 .א ₪ 3,000 .ב )45 .13 .א .הרוויח ב.₪ 65 . ₪ 200 )46ו– .₪ 500 )47א .לא .ב .2 .₪ 5,760 .1 .ב ₪ 5500 )48 44%-ו– .₪ 5225 ₪ 100 )49ו– )50 .₪ 80א 82% .ב ₪ 8 )51 .₪ 70 .2 82% .1 .ו .₪ 10- )52א .הרוויח .ב .₪ 65 .ג 375 .ק"ג. )53א ₪ 80 .ו ₪ 50-ב ₪ 40 .ו ₪ 45-ג.60% . )54א ₪ 100 .ו .₪ 20-ב .פי )55 .5א 30 .ס"מ ו 20-ס"מ .ב.50% . )56א 10 .ס"מ ו 8-ס"מ .ב.80% .3 S 64 .2 S 80 .1 . 8 )57ס"מ ו 13.5-ס"מSABC 25 , SADE 10 )58 . )59א 8 .ס"מ ב 12 .ס"מ ג 8 23 .ס"מ. )60א 16 .ס"מ ו 12-ס"מ .ב 20 .ס"מ .ג 9.6 .ס"מ. )61א 16 .ס"מ .ב 10 .ס"מ .ג. S 48 . )62א 6 .ס"מ ו 9-ס"מ .ב 10 .ס"מ .ג 12 .ס"מ. )63א 6 .ס"מ ו 14.4-ס"מ .ב. S 7.2 . 62 )64א 6 .ס"מ .ב. S 36 18 .3 S 18 .2 S 36 .1 . )65א 7 .ס"מ .ב. S 196 . 9 )66ס"מ ו 6-ס"מ .ב .פי .2.25 )67א 3X6X6 .ס"מ .ב V 108 .ג )68 . S 144 .א 4 .ס"מ .ב. V 192 . )69א 6X5X5 .ס"מ .ב. V 150 . )70א 10X6X6 .ס"מ .ג )71 . V 360 .א 15 .ס"מ .ב 8 .ס"מ ו 6-ס"מ .ג .כן. )72א 12 .ס"מ .ב 9 .ס"מ ו 15-ס"מ .ג. V 270 . )73א 20 .ס"מ .ב 6 .ס"מ .ג. V 1440 . )74א 4 .ס"מ ו 6-ס"מ .ב 5 .ס"מ .ג. S 48 . )75א 10 .ס"מ ו 8-ס"מ .ב S 160 .ג. S 360 .2 S 100 .1 . )76א r 16 , h 20 .ב S 1152 .ג. V 5120 . 63 תרגול מבגרויות: בעיות קנייה ומכירה: )1בחנות יש שני סוגי בדים :בד מסוג א' ובד מסוג ב' .המחיר של 4מטרים בד מסוג א' גדול ב 135-שקלים מהמחיר של 3מטרים בד מסוג ב' .לקוח קנה 3 מטרים בד מסוג א' ו 4-מטרים בד מסוג ב' ,ושילם סך הכול 382.5שקלים .לפני הקנייה מספר המטרים של הבד מסוג א' שיש בחנות שווה למספר המטרים של הבד מסוג ב' .המחיר של כל הבד מסוג א' שיש בחנות ,גדול ב 396-מהמחיר של כל הבד מסוג ב'. א .מצא את המחיר של מטר אחד של מסוג א' ואת המחיר של מטר אחד של בד מסוג ב'. ב .מצא את מספר המטרים של הבד מכל סוג שיש בחנות (לפני הקנייה). )2סוחר קנה גופיות .לכל גופייה היה אותו מחיר 5 .גופיות היו פגומות ,והסוחר מכר את חמש הגופיות האלה בסכום כולל של 80שקל ובהפסד של ( 20%לעומת מחיר הקנייה) .את שאר הגופיות מכר הסוחר ברווח של .30%הרווח הכולל של הסוחר ממכירת כל הגופיות (פגומות ולא פגומות) היה 190שקלים. א .כמה שילם הסוחר עבור גופייה אחת? ב .כמה גופיות קנה הסוחר? )3המחיר של טלפון נייד בחנות א' היה 600שקל .מחיר זה הועלה באחוז מסוים. המחיר של אותו טלפון נייד בחנות ב' היה 900שקל .מחיר זה הוזל באותו אחוז שהועלה המחיר של הטלפון הנייד בחנות א' ואז המחיר של הטלפון הנייד בשתי החנויות היה זהה .מצא את המחיר הסופי של הטלפון הנייד. )4בחברת טלפונים המחיר לדקת שיחה בשעות הערב נמוך ב 40%-מן המחיר לדקת שיחה בשעות היום .כדי לעודד שיחות בשעות הערב הורידה החברה ב 18%-את המחיר לדקת שיחה בשעות הערב( .המחיר לדקת שיחה בשעות היום לא השתנה) .אחרי ההוזלה אלעד שוחח 150דקות בשעות היום ו 300-דקות בשעות הערב ,ושילם 44.64שקלים .מצא את המחיר באגורות לדקת שיחה ביום ,ולדקת שיחה בערב לפני ההוזלה. )5ראובן רוצה לרכוש מינוי למכון כושר .המחיר המלא של המינוי הוא 200 שקלים .אם ראובן יביא שני חברים שירכשו מינוי במחיר מלא ,הוא יקבל על המינוי שלו הנחה של x%עבור החבר הראשון ,ועבור החבר השני יקבל הנחה של x%על המחיר שאחרי ההנחה הראשונה .ראובן הביא שני חברים ושילם עבור המינוי שלו רק 144.5שקלים. א .מצא את אחוז ההנחה שקיבל ר אובן על המינוי עבור החבר הראשון. ב .מצא את אחוז ההנחה הכולל שקיבל ראובן על המינוי שלו לאחר שהביא את שני החברים. 64 בעיות תנועה: )6מכונית נסעה מעיר Aלעיר Bעל כביש ראשי במהירות קבועה. בדרך חזרה מעיר Bלעיר Aנסעה המכונית בדרך עפר ,הקצרה ב 40%-מהדרך בכביש הראשי ,ונאלצה להקטין את מהירותה ב .10% -אורך הדרך בכביש הראשי מ A-לB- הוא 240ק"מ .נתון כי בכביש הראשי עברה המכונית 2/3מהדרך שבין AלB - בשעתיים .מצא את זמן הנסיעה של המכונית בדרך חזרה מ B-ל.A - )7ממקום Aיצאה מכונית א' וכעבור 1/2שעה יצאה מאותו מקום ובאותתו כיוון מכונית ב' .המהירות של מכונית ב' גדולה ב 25%-מהמהירות של מכונית א'. כעבור כמה שעות מרגע היציאה של מכונית א' ייפגשו שתי המכוניות? (המהירויות של המכוניות אינן משתנות). )8שני הולכי רגל יוצאים בשעה 7:00מנקודה :A אחד הולך צפונה ואחד הולך מזרחה (ראה ציור). בשעה 9:00הגיע ההולך מזרחה לנקודה ,Bוההולך צפונה הגיע לנקודה Dכך שהמרחק בניהם היה 10ק"מ. ההולך צפונה הלך מיד מנקודה Dלנקודה Bבדרך הקצרה ביותר ,והגיע לנקודה Bבשעה .11:30 המהירויות של הולכי הרגל אינן משתנות. מצא את המהירות של כל אחד מהולכי הרגל. )9רוכב אופניים יצא מיישוב Aליישוב Bובדיוק באותה שעה יצא הולך רגל מיישוב Bליישוב .Aהולך הרגל הלך במהירות קבועה שקטנה ב 10-קמ"ש מהמהירות של רוכב האופניים .כעבור 24דקות המרחק בין רוכב האופניים להולך הרגל היה 12ק"מ .כעבור 36דקות נוספות הם נפגשו. א .מצא את המהירות של רוכב האופניים. ב .מצא באיזה מרחק מיישוב Aנפגשו רוכב האופניים והולך הרגל. 65 בעיות הנדסת המישור: )10בגינה בצורה מלבנית רוצים לשתול דשא בשטחים המקווקווים שבציור שני השטחים בפינות הגינה הם בצורת ריבועים ,והשטח האמצעי הוא בצורת מלבן (ראה ציור) .רוחב הגינה הוא 10מטר, ואורכה גדול ב 20%-מרוחבה .מחיר מ"ר של הדשא הוא 60ש"ח, והמחיר הכולל של הדשא ששותלים הוא 3,240ש"ח. מצא את סכום השטחים של הדשא שבפינות הגינה. )11בנו חלון זכוכית בצורת ריבוע ABCDשאורך צלעו 2מטרים. שתיים מפינות הריבוע עוצבו בצורת משולשים חופפים AGE ו BGF -כך ש( AF BE x -ראה ציור) .המשולשים עשויים מזכוכית צבעונית ,ושאר החלון עשוי מזכוכית רגילה .מטר מרובע של זכוכית צבעונית עולה 20שקלים ושל זכוכית רגילה – 10שקלים .המוכר נתן הנחה של 22%לזכוכית צבעונית ו 10%-לזכוכית רגילה .סך כל ההנחה על שני סוגי הזכוכית הדרושים לבניית החלון היה .14% מצא את האורך של .AE )12חלון מורכב מחצי עיגול ומריבוע .ABCD צלע הריבוע ADהיא קוטר של חצי העיגול ,כמתואר בציור. שטח הריבוע גדול ב 0.2187 -מ"ר משטח חצי העיגול. מצא את ההיקף של המסגרת החיצונית של החלון. בחישובך השתמש ב. = 3.14 - בעיות בהנדסת המרחב: )13בנו קופסה סגורה בצורת תיבה שבסיסה ריבוע (ראה ציור). גובה התיבה גדול פי 1.4מצלע הבסיס .שטח הפנים של התיבה (השטח של שש פאות התיבה) הוא 1710סמ"ר. א .מצא את צלע הבסיס וגובה התיבה. ב .רוצים למלא את התיבה בקוביות ,שאורך הצלע של כל אחת מהן הוא 1/5מאורך צלע הבסיס של התיבה. בכמה קוביות כאלה אפשר למלא את התיבה? 66 B G A E F C D D A C B )14בונים מיכל פתוח מלמעלה .המכל הוא בצורת תיבה שבסיסה ABCDהוא ריבוע .בתוך התיבה בנו מחיצה דקה מאוד ' BDD'Bהמקווקוות בציור .אורך צלע הבסיס ABCDהוא . aגובה התיבה גדול פי 2מאורך האלכסון של בסיס התיבה. א .הבע באמצעות aאת גובה התיבה. ב .מחיר החומר שממנו עשויים בסיס התיבה והמחיצה הוא 15שקלים למ"ר .מחיר החומר שממנו עשויות פאות התיבה הוא 8 2שקלים למ"ר .עלות החומרים לבניית התיבה (כולל המחיצה) הייתה בסך הכול 812שקלים. מצא את הערך של . a תשובות סופיות: )1א .מחיר בד א' 67.5 :שקלים למטר ,מחיר בד ב' 45שקלים למטר ב .סוג א' 17.6 :מטרים ,סוג ב' 17.6 :מטרים. )2א 20 .שקלים .ב 40 .גופיות. 720 )3שקלים. )4מחיר לדקת שיחה ביום הוא 15אגורות .המחיר לדקת שיחה בערב הוא 9אגורות. )5א 15% .ב )6 .27.75% .שעתיים. )7שעתיים וחצי. )8מ A-ל 4 :D-קמ"ש .מ A-ל 3 :B-קמ"ש. )9א 15 .קמ"ש .ב 15 .ק"מ. 18 )10מ"ר 0.8 )11 .מטר 2.742 )12 .מטר. )13א 21X15X15 .ס"מ ב 175 .קוביות )14 .א . 2a 2 .ב.2 . 67 פרק – 4גאומטריה אנליטית: הישר: נוסחאות כלליות: .1המרחק בין הנקודות A x1 , y1 ו B x2 , y2 -יחושב לפי. d x2 x1 2 y2 y1 2 : x1 x2 y y2 .2אמצע הקטע Mשקצוותיו הם A x1 , y1 :ו B x2 , y2 -הוא: , yM 1 2 2 y y y y .3שיפוע ישר בין שתי נקודות A x1 , y1 ו B x2 , y2 -הוא. mAB 2 1 1 2 : x2 x1 x1 x2 . xM משוואת הישר: .4משוואת ישר מפורשת היא מהצורה. y mx n : כאשר m :הוא שיפוע הישר ו n -הוא ערך ה y -של נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה. y - .5נוסחה למציאת משוואת ישר. y y1 m x x1 : מצב הדדי בין שני ישרים: .6ישרים מקבילים מקיימים. m1 m2 , n1 n2 : .7ישרים חותכים מקיימים. m1 m2 : .8ישרים מתלכדים מקיימים. m1 m2 , n1 n2 : שיפועים של ישרים: .9שיפועי ישרים מאונכים מקיימים. m1 m2 1 : .10הקשר בין שיפוע ישר לזווית שהוא יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה . m tan : x - שאלות: )1הנקודות A 2, 7 , B 10, 4 ו C 6,11 -הן שלושה קדקודים של מקבילית. מצא את שיעורי הקדקוד הרביעי. )2נתונה נקודה Bברביע השלישי ,ששיעור ה y -שלה גדול פי 3משיעור ה x -שלה ומרחקה מהנקודה A 4,1הוא .5מצא את שיעורי הנקודה .B 68 )3התאם בין משוואות הישרים הבאים לישרים בשרטוט: א. y x 3 . ב. y x 1 . ג. y 2 x 3 . ד. y x 1 . ה. 1 2 .y x )4במשולש ABCנתונים שיעורי הקדקודים. C 5,5 , B 3, 7 , A 5, 1 : הוכח שהמשולש ישר זווית ושווה שוקיים. )5נתון מעוין ABCDשבו נתונים הקדקודים A 9,1ו. B 5, 7 - משוואת הישר עליו מונח האלכסון ACהיא . x 3 y 6 0 א .מצא את משוואת הישר עליו מונח האלכסון .BD ב .מצא את משוואת הישר עליו מונחת הצלע .BC )6שלוש המשוואות הבאות מייצגות את הישרים המופיעים בשרטוט: . 2x y 8 0 , x y 2 0 , x 4 y 4 0 הקטע ACמקביל לציר ה. y - א .חשב את שטח המשולש .DEF ב .נתון .BC = 3 :חשב את אורך הקטע .AB BD )7הוא התיכון לצלע ACבמשולש ABCשבו נתון הקדקוד . A 6,1 משוואת התיכון BDהיא x y 1ומשוואת הצלע BCהיא . 3x 5 y 67 מצא את שיעורי הקדקוד .C תשובות סופיות: . D(18, 0) )1 . B(1, 3) )2 3 8 )3א . II .ב .V .ג . I .ד . III .ה. IV . 1 8 )5א . lBD : y 3x 22 .ב. lBC : y x 6 . )6א18 .יח"ש . SDEF ב 3 .יחידות אורך . AB 69 .C (14,5) )7 המעגל: הגדרה: המקום הגאומטרי של כל הנקודות ,הנמצאות במרחק קבוע מנקודה קבועה במישור נקרא מעגל. משוואת מעגל: משוואת מעגל שמרכזו בנקודה M a, b ורדיוסו Rהיא. x a y b R2 : 2 2 משוואת מעגל קנוני: משוואת מעגל קנוני (שמרכזו בראשית הצירים ) M 0, 0 ורדיוסו Rהיא. x y R : 2 2 2 שאלות: )1מצא את מרכזם ורדיוסם של המעגלים הבאים: א. . x 3 y 5 49 2 2 2 ב. 1 . x y 2 10 2 ג. . x m y n m2 n 2 2 2 )2מצא את משוואתו של מעגל שעובר בנקודה A 4,5ומרכזו בנקודה . O 2, 1 )3מצא את משוואתו של מעגל שעובר בנקודה , A 11, 2 רדיוסו 13ומרכזו נמצא על הישר . y 2 x 1 )4מצא את משוואתו של מעגל שהנקודות A 2,3ו B 4, 3 -הן קצות הקוטר שלו. )5מצא את משוואתו של מעגל שמרכזו נמצא על הישר , x 4רדיוסו 10והוא חותך מציר ה x -מיתר שאורכו .12 )6מצא את משוואתו של מעגל המשיק לשני הצירים ורדיוסו .4 )7מצא את משוואות המשיקים למעגל x 12 y 2 2 25בנקודות על המעגל שבהן . y 5 70 )8נתון מעגל שמשוואתו . x 32 y 4 2 25 א .מצא את נקודות החיתוך של המעגל עם הצירים. ב .העבירו קוטר במעגל ,המאונך לציר ה . x -מצא את שטח המרובע הנוצר על ידי נקודות החיתוך שמצאת בסעיף א' ונקודת החיתוך של הקוטר עם המעגל הנמצאת ברביע הראשון. )9נתון ישר שמשוואתו . y 2 x 10הישר חותך את ציר ה x -בנקודה Aואת ציר ה y -בנקודה .Bבנקודה Aמעבירים משיק למעגל שהקטע ABהוא קוטרו. המשיק חותך את ציר ה y -בנקודה .Cמצא את אורך הקטע .BC תשובות סופיות: )1א M 3, 5 , R 7 .ב M 0.5,0 , R 10 .ג. M m, n , R m2 n2 . . x 2 y 1 72 )2 2 2 x 1 y 3 169 )3או . x 1 y 2 18 )4 . x 7.8 y 14.6 169 2 2 2 2 2 x 4 y 8 100 )5או . x 4 y 4 16 )6 x 4 y 8 100 2 2 2 2 2 2 4 x 3 y 35 0 )7ו )8 4 x 3 y 27 -א 0,0 , 6,0 , 0, 8 .ב 27 .יח"ש. 12.5 )9יחידות אורך. 71 תרגול נוסף – הישר (שאלות מסכמות): )1במעוין ABCDשיעור אחת הנקודות הוא ). (0,6 ידוע כי משוואת האלכסון ACהיאy 1.5x 6 : ואחת ממשואות הצלעות היא. 5 y x 4 : א .מצא את משוואת האלכסון השני. ב .מצא את שאר קודקודי המעוין. )2במרובע ABCDידוע כי שיפוע הצלע BCהוא 3ושיעורי הנקודה Aהם ). (1, 4 א .איזה מרובע הוא? הראה חישוב מתאים. ב. 1 נתון גם, D(4,13) : 3 . BC 90 , mCD איזה מרובע הוא כעת? הראה חישוב מתאים. ג .נתון גם. B(8,7) : איזה מרובע הוא כעת? הראה חישוב מתאים. ד .חשב את שטח המרובע .ABCD )3אמצע הקטע ABנמצא בראשית הצירים .ידוע כי . A 6,8 y א .מצא את שיעור הנקודה .B ב .מוסיפים את הנקודה Cכך שמרחקה מראשית הצירים הוא .10 היעזר במרחק ABוקבע איזה משולש הוא המשולש .ABC ג .נתון כי שיעורי הנקודה Cהם. (6, 8) : x חשב את שטח המשולש .ABC A B )4הנקודה Dהיא אמצע הקטע ABשמשוואתו היא. 3 y 2 x 4 0 : שעורי הנקודה Aהם ) (8, 4ו B-היא נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה . x - א .מצא את שיעורי הנקודות Bו.D- ב .מהנקודה Dמעלים אנך שחותך את ציר ה y -בנקודה .C איזה משולש הוא המשולש ?ABCנמק את תשובתך. ג .חשב את שיעורי הנקודה .C ד .חשב את שטח המשולש .ABC C A D B 72 )5במקבילית ABCDהאלכסון ACמאונך לצלע .AD שיעורי הנקודה Cהם ) (7, 3ושיפוע הקטע BC 1 הוא: 3 . m הנקודה Aנמצאת על ציר ה y - והנקודה Bנמצאת על ציר ה. x - א .מצא את משוואות הישרים ACו .BC- ב .חשב את שיעורי הנקודות B , Aו.D- ג .חשב את שטח המקבילית. )6במשולש ABCהצלע ACמונחת של הישר . y 5 :הנקודה Aנמצאת על ציר ה. y - הנקודה Bנמצאת ברביע הראשון ומרחקה מכל ציר הוא .11 הנקודה Dהיא אמצע הצלע BCבמשולש ABCושיעור ה x -שלה הוא .5 א .מצא את שיעורי הנקודה Dואת אורך הקטע .AC ב .הנקודה Eנמצאת על הצלע BCכך שמתקיים. AE BC : מצא את שיעורי הנקודה .E )7במקבילית ABCDהאלכסונים ACו BD-מונחים על הישריםy x 8 : ו y 4 -בהתאמה .הצלע CDמונחת על הישר. x 8 : א .מצא את שיעורי הנקודות של קודקודי המקבילית. ב .מצא את משוואת הצלע .AB ג .חשב את שטח המקבילית. x 2 x 2 )8נתונים שני ישרים. y2 2 , y1 8 : מעלים מהישר y2אנך מנקודת החיתוך שלו Bעם ציר ה x -שחותך את הישר y1בנקודה .Aהנקודות Cו D-הן נקודות החיתוך של הישרים עם ציר ה y -כך שנוצר טרפז .ABCD א .מצא את שיעורי הנקודות של קדקודי הטרפז .ABCD ב .הישרים y1ו y2 -נחתכים בנקודה .Eהנקודה Fהיא נקודת החיתוך של הישר y1עם ציר ה x -כך שנוצר המשולש .BEFחשב את שיעורי הנקודות Eו.F- ג. S BEF חשב את יחס השטחים: S ABCD . 73 )9במרובע ABCDידוע כי. mAB mCD 2 : שיעורי הקדקוד Bהם (1, 5) :ונקודת פגישת האלכסונים Kהם. , : 9 3 1 1 א .מצא את משוואת הצלע ABואת משוואת האלכסון .BD ב .נתון גם כי C (4, 3) :ו. dAB 80 - ג. מצא את משוואת הצלע .CD איזה מרובע הוא המרובע ?ABCDנמק והראה חישוב מתאים. )10במרובע ABCDשקדקודיו הם A 5,12 , B 7,8 , C 11, 4 , D 1, 2 :בנו משולש DEFכך ש E-ו F-הם בהתאמה אמצעי הצלעות ABו.BC- א .מצא את שיעורי הנקודות Eו .F- ב .חשב את אורכי הקטעים DFוEF- ג .איזה משולש הוא המשולש ?DEF ד .חשב את שטח המשולש .DEF )11במשולש ישר זווית B 90 ABCשיעורי הנקודה Aהם (4,12) :ושיעורי הנקודה Bהם. (2,6) : א .מצא את משוואת הניצב .BC ב .הנקודה Dנמצאת על היתר ACושיעוריה הם. (2,11) : ג. מצא את שיפוע היתר .AC מצא את שיעורי הקדקוד .C AD )12ו BE-הם בהתאמה גבהים לצלעות BCו AC-במשולש .ABC ידוע כי שיעורי נקודת פגישת הגבהים Kהם. (1,3) : שיעורי הנקודות Dו E-הם. D(2, 4) , E(3,5) : א .מצא את משוואת הגובה ADואת משוואת הצלע .AC ב .מצא את שיעורי הקדקוד .A ג .מצא את משוואת הגובה BEואת משוואת הצלע .BC ד .מצא את שיעורי הקדקוד .B 74 )13המרובע ABCDהוא ריבוע שצלעותיו מקבילות לצירים. הצלע ABמונחת על הישר , y 8 :הצלע BCמונחת על הישר , x 5 :הצלע CDמונחת על הישרy 2 : והצלע ADמונחת על הישר. x 5 : מקצים על אמצעי הצלעות את הנקודות L , M , N , Kכך שנוצר המרובע .LMNK איזה מרובע הוא המרובע ? LMNKנמק והראה חישוב מתאים. )14במשולש ABCהקדקודים Aו B-הם נקודות החיתוך של הישר ABעם הצירים והנקודה Cהיא נקודת החיתוך של שני הישרים BCו AC-כפי שמתואר באיור. הקטעים ABו BC-מונחים בהתאמה על הישרים y 3x 12 :ו. 4 y x 4 - הנקודה Dהיא נקודת החיתוך של הישר BCעם ציר ה . y - ידוע כי הקטע ADמחלק את המשולש ABCלשני משולשים ABDו ACD-שווי שטח. א .מצא את שיעורי הנקודות B , Aו.D- ב .חשב את שטח המשולש ABDומצא את שיעורי הנקודה .C ג .איזה קטע במשולש ABCהוא הקטע ? ADנמק. ד .חשב את שטח המשולש .ABC )15הנקודה Dנמצאת על הצלע BCשל משולש ABCכך שהקטע ADמחלק אותו לשני משולשים שווי שטח ABDו .ACD-הצלע BCמונחת על הישר y 4 :וידוע ששיעור ה x -של הנקודה Cהוא . xC 1 :כמו כן נתון. mAB 2 , A(7,8) : א .מצא את משוואת הצלע .AB ב .מצא את שיעורי הנקודות Bו.D- ג .חשב את אורך הצלע BCואת אורך הקטע .AD ד .1 .איזה קטע הוא ADבתוך המשולש ?ABC .2איזה משולש הוא המשולש ?ABC )16במקבילית ABCDנקודת פגישת האלכסונים Kנמצאת על ציר ה- y בנקודה 1 שבה . y 4 :הנקודה Cנמצאת על ציר ה x -ושיפוע הצלע BCהוא: 3 שיעורי הנקודה Dהם.(5,7) : א .מצא את שיעורי הנקודה .B ב .כתוב את משוואת הישר .BC ג .מצא את שיעורי הנקודות Cו .A- 75 . mBC )17הצלע ABשל המלבן ABCDמונחת על הישר. x 8 : אורך האלכסון במלבן הוא 26יח"א ונקודת פגישת האלכסונים K A היא ). (3,3 א .מצא את שיעורי הקדקודים Aו B-אם ידוע ש A- K נמצאת ברביע הראשון. x ב .מצא את שיעורי הקדקודים Cו.D- B ג .מצא את שטח המלבן. y )18משוואות הצלעות BC , ABו AC-של המשולש ABCהם בהתאמה: . y x 5 , y 3x 1 , y 5x 3 שרטט את המשולש במחברת הבחינה שלך וענה על השאלות הבאות: א .מצא את שיעורי הנקודות של קודקודי המשולש. ב .מצא את שלושת המשוואות של הגבהים במשולש .ABC ג .הראה שהגבהים חותכים זה את זה באותה נקודה. )19במעוין ABCDהנקודה Dנמצאת על ציר ה x -ונתון. A(3, 2) , B(5,6) : א .מצא את שיעורי הנקודה Dאם ידוע שהיא נמצאת מימין לציר ה. y - ב .מצא את שיעורי הנקודה .C ג .1 .חשב את השיפועים. mAD , mAB : .2מה ניתן לומר על המעוין ?ABCD )20בריבוע ABCDשיעורי נקודת פגישת האלכסונים Kהם . (6,8) :אורך אלכסון בריבוע הוא .20הנקודה Bנמצאת על ציר ה y -והנקודה Dנמצאת על ציר הx - (הנקודות לא על ראשית הצירים). א .מצא את שיעורי הנקודות של הקדקודים Bו.D- ב .מצא את משוואת הישר .AC ג .חשב את שטח הריבוע. )21נתון מרובע ABCDשקדקודיו הם. A(3,13) , B(2, 4) , C(9,3) , D(8,14) : מורידים גבהים AEו CF-לאלכסון .BD א .מצא את משוואת האלכסון BDואת אורכו. ב .מצא את שיעורי הנקודות Eו .F- ג .מצא את אורכי הגבהים AEו.CF- ד .חשב את שטח המרובע .ABCD 76 D C )22נתון מרובע ABCDששיעורי קדקודיו הם: ). A(5,32) , B(7,36) , C(5, 26) , D(3,22 א .הוכח שהמרובע הוא מקבילית. ב .כתוב את משוואת האלכסון .AC ג .מצא את נקודת פגישת האלכסונים של המקבילית. ד .מצא את משוואת הישר המקביל לצלעות ABוCD- של המקבילית ועובר דרך נקודת פגישת האלכסונים. )23המרובע ABCDהוא מלבן .שיעורי הקדקוד Bהם (1,6) :ושיפוע הצלע AB הוא . m 3 :דרך אמצעי הצלעות ABו BC-מעבירים ישר שמשוואתו 1 2 היא y x 3 :החותך בנקודות Eו F-בהתאמה. א .מצא את משוואות הצלעות ABו.BC- ב .מצא את שיעורי הנקודות Eו .F- ג .מצא את שיעורי הקדקודים Aו.C- )24המרובע ABCDהוא מקבילית שבו אורך הצלע ABגדול פי 2מאורך הצלע .BC נתון xD 4.5 , A(2,5) , B(7,17) :הנקודה Dנמצאת ברביע הרביעי. א .מצא את שיעור ה y -של הנקודה . yD ? D ב .מצא את שיעורי נקודת פגישת האלכסונים של המקבילית. ג .מצא את שיעורי הנקודה .C )25המשולש ABCהוא משולש שווה שוקיים . AB AC מעבירים במשולש את הגובה לבסיס ADומסמנים נקודה Eע הבסיס BCכך שמתקיים. BE DE : קדקוד הראש Aנמצא בראשית הצירים ונתון כי. D(5,7) , E(8.5, 2.5) : א .מצא את שיעורי שאר קודקודי המשולש. ב .כתוב את משוואת השוק .AC )26הקדקוד Aשל המשולש ABCנמצא בראשית הצירים .מורידים גובה BD ותיכון BEלצלע ACכמתואר באיור .ידוע כי. xE 6 , B(4,18) , mBD 4 : א .מצא את משוואת הגובה .BD ב .מצא את משוואת הצלע .AC ג .חשב את שיעורי הנקודות E , Dו.C- 77 )27המרובע ABCDהוא מעוין .הנקודה ) K(5,7היא נקודת פגישת אלכסוני המעוין .ידוע כי. B(1, 4) , mAB 2 : א .מצא את משוואת הצלע .AB ב .מצא את שיפוע האלכסון .BD ג .מצא את משוואת האלכסון .AC ד .מצא את שיעורי הקדקוד .A )28המרובע ABCDהוא מקבילית שבה אורך הצלע ABגדול פי 2מאורך הצלע הסמוכה לה .שיעורי שניים מקדקודי המקבילית הם. A(9,8) , B(1, 2) : שיעורי הנקודה , Cאשר נמצאת ברביע הראשון ,מקיימים. xC yC : א .מצא את אורך הצלע .AB ב .מצא את שיעורי הקדקוד .C ג .מצא את שיעורי נקודת פגישת האלכסונים. ד .מצא את שיעורי הקדקוד .D )29במלבן ABCDשיעורי הנקודה Dהם . 1, 7 שיעורי נקודת פגישת האלכסונים Kהם 1.5, 4.5ושיפוע האלכסון AC 1 הוא . mAC 7 :שיפוע הצלע CDהוא: 3 . mCD א .מצא את שיעורי הקדקוד .B ב .מצא את משוואת הצלע .AB ג .מצא את משוואת האלכסון AC ואת שיעורי הקדקוד .A )30הצלע ACשל המשולש ABCנמצאת על ציר ה . y -שיעורי הנקודה Cהם )(0, 2 ושיעורי הנקודה Aהם ) . (0,12הנקודה Eהיא אמצע הצלע .AC הנקודה Bנמצאת על ציר ה x -ושיעור ה x -שלה הוא. xB 4 : מעבירים דרך הנקודה Eישר DEהמקביל לצלע BCכמתואר באיור. א .מצא את שיעורי הנקודה .E ב .כתוב את משוואת הצלע .BC ג .כתוב את משוואת הישר .DE x ד .מצא את שיעורי הנקודה .D 78 y A E D C B )31המרובע ABCDהוא טרפז .הנקודה Eהיא אמצע הבסיס ABוידוע כי היא נמצאת על ציר ה . x -שיעורי הנקודה Bהם ) (3, 2והצלע ADמונחת על הישר . x 5 :אורך הקטע DEהוא 80כך ש D-ברביע השלישי וכן. DEC 90 : א .מצא את שיעורי הנקודות D , Aו D( E-ברביע השלישי). ב .מצא את משוואת הקטע CEואת משוואת הבסיס .CD ג .מצא את שיעורי הנקודה .C ד .חשב את שטח המשולש .DEC )32המשולש ABCהוא משולש שווה שוקיים . AB AC הבסיס BCנמצא על הישר . y 2 :מקצים נקודה Dעל הבסיס BCכך שלקדקוד Aולנקודה D מתקיים . xA xD 1 :הנקודה Aנמצאת ברביע הראשון והנקודה Bנמצאת ברביע השלישי .נתון כי. dBD 5 : א .איזה קטע הוא ADבמשולש ?ABCנמק את תשובתך. ב .מצא את שיעורי הקדקודים Bו.C- ג .שטח המשולש הוא .20מצא את שיעורי הקדקוד .A )33הצלע ACשל המשולש ABCמונחת על הישר. y 8 : הקטע ADהוא תיכון לצלע BCומשוואתו היא. x 3 : נתון. B(1, 2) : א .מצא את שיעורי הקדקוד Cוכתוב את משוואת הצלע .BC ב .איזה משולש הוא המשולש ?ACDנמק וחשב את שטחו. ג .חשב את שטח המשולש .ABC )34המרובע ABCDהוא מעוין שאלכסוניו נפגשים בראשית הצירים. שיעורי אחד מקודקודי המעוין הם ). (2, 2 א .מצא את משוואות האלכסונים של המעוין. ב .ידוע כי שיעור ה x -של אחד מקודקודי המעוין הוא .5 מצא את שאר קודקודי המעוין. ג .חשב את שטח המעוין. 79 )35נתון משולש .ABCהצלע ABמונחת על הישרy x 2 : והצלע BCמונחת על הישר. y 2 x 5 : א .מצא את שיעורי הנקודה .B ב .ידוע כי שיעור ה x -של הנקודה Aהוא .1 מצא את שיעור ה y -של הנקודה .A ג. 1 כתוב את משוואת הישר ACאם ידוע כי שיפועו הוא: 2 .m ד .מצא את שיעורי הנקודה .C )36הקטע ADהוא תיכון לצלע BCבמשולש .ABC ידוע כי. B 1,1 , D 2,3 : א .מצא את שיעורי הקדקוד .C ב .מצא את משוואת הצלע .BC ג .הצלעות ACו AB-מונחות בהתאמה על הישרים. y x , y 8 x : מצא את שיעורי הקדקוד .A ד .חשב את אורך התיכון .AD )37באיור שלפניך מתואר הקטע שקצוותיו הם A -5,-2 :ו. B 0,10 - א .מצא את אורך הקטע .AB ב .הנקודה Cהיא אמצע הקטע .AB מצא את שיעורי הנקודה .C ג .כתוב את משוואת הישר העובר דרך הנקודה Cוהנקודה . 2.5,9 A B ד .קבע אלו מהנקודות הבאות נמצאות על הישר שמצאת בסעיף הקודם. נמק את בחירתך. . 0.5, 6 .III 6.5, 0 .II 4.5,11 .I )38באיור שלפניך נתון מרובע ABCDשקדקודיו הם: y A 0,10 , B 6,3 , C 6, 3 , D 6,7 א .כתוב את משוואות הישרים ADו .BC- ב .הסבר מדוע המרובע הוא טרפז. ג .נתון כי AEהוא גובה הטרפז. .1מצא את משוואת הישר .AE .2מצא את שיעורי הנקודה .E 80 A D B x E C y )39באיור שלפניך נתון מרובע ABCDשקדקודיו הם: . א .התאם את הנקודות לקדקודים שבאיור. ב .האם המרובע הוא מעוין? נמק באמצעות חישוב מתאים. ג .מעבירים את הקטע .AC .1מצא את משוואת הישר .AC .2חשב את שטח המשולש .ABC 0,5 , 8,9 0, 4 , D 8,0 , A x C B y )40באיור שלפניך נתון מרובע ABCDשקדקודיו הם: 2,13 , 5, 5 , 7, 7 , C D 10,11 א .התאם את הנקודות לקדקודים שבאיור. ב .הוכח כי המרובע הוא מלבן .נמק באמצעות חישוב מתאים. ג .1 .חשב את אורכי צלעות המלבן. .2חשב את שטח המלבן. x B A y )41באיור שלפניך נתון משולש ABCשקדקודיו הם: A 2,6 , B 2, 4 , C 8, 2 א. ב. ג. ד. A מצא את משוואת הגובה לצלע .BC מצא את משוואת התיכון לצלע .BC הוכח כי המשולש הוא שווה שוקיים. (אפשר להסתמך על סעיפים קודמים). חשב את שטח המשולש. x C B )42באיור שלפניך נתון משולש ABCשקדקודיו הם: y A 16 12 , B 6,8 , C 4,3 א. ב. ג. ד. B העתק את האיור למחברתך ומצא את אורך הצלע .AC .1סמן נקודה Dעל הצלע ACומצא את משוואת התיכון BDלצלע .AC .2חשב את אורך התיכון .BD הראה כי המשולש ABCהוא ישר זווית. (אפשר להסתמך על סעיפים קודמים). חשב את היקף המשולש .ABD 81 C x A y A )43נתון מעוין .ABCD אלכסוני המעוין נפגשים בנקודה .M D ידוע כי : . א .מצא את שיעורי הנקודה .M ב .מצא את משוואת האלכסון .BD ג .מצא את הקדקודים Bו D-אם ידוע כי Bנמצאת על ציר ה. x - ד .חשב את שטח המעוין. A 7,9 , C 1, 3 M x B C y A )44נתון מעוין .ABCDאלכסוני המעוין נפגשים בנקודה .M ידוע כי שיעורי הקדקוד Cהם.(6,-19) : x 1 3 משוואת אחד מאלכסוני המעוין היא. y x 1 : א. ב. ג. ד. D M B קבע לאיזה מבין האלכסונים BD ,ACמתאימה המשוואה .נמק. ידוע כי הנקודה Mנמצאת על ציר ה. y - מצא את שיעורי הקדקוד .A מצא את משוואת הצלע ABאם ידוע כי שיעור ה y -של הקדקוד Dהוא .1 חשב את היקף המעוין. C )45נתון מעוין .ABCDידוע כי האלכסון ACגדול ב 4-יחידות מהאלכסון .BD אלכסוני המעוין מאונכים לצירים ונפגשים בנקודה: א .מהו שיעור ה x -של הקדקוד ?A ב .ידוע כי שיעור ה y -של הקדקוד Aהוא .10 מצא את שיעורי הנקודה .D ג .חשב את שטח המשולש .AMD M 3, 4 y A . M D B x C y )46נתון מעוין .ABCD משוואות האלכסונים של המעוין הם y 3x 5 :ו. 3 y x 15 - א .מצא את שיעורי נקודת מפגש האלכסונים .M ב .מצא את שיעורי הקדקודים Aו C-אם ידוע כי אורך האלכסון ACהוא 160 :יח"א. ג .נתון כי. yD yM 1 : A D M B x C (שיעור ה y-של הקדקוד Dגדול ב 1-משיעור ה y-של נקודת מפגש האלכסונים .)M חשב את שטח המעוין. 82 y )47נתון ישר שמשוואתו היא. y 10 5x : הישר חותך את ציר ה x -בנקודה Aואת ציר ה y -בנקודה .B א .מצא את שיעורי הנקודות Aו .B- B A x דרך הנקודה Aמעבירים אנך לישר הנתון ודרך הנקודה B מעבירים ישר החותך את האנך בנקודה .C ב .מצא את משוואת האנך .AC ג .נתון כי השיפוע של הישר BCהוא .1.5מצא את שיעורי הנקודה .C ד .מסמנים נקודה Dעל הישר הנתון כך שהקטע DCמקביל לציר ה. y - .1מצא את שיעורי הנקודה .D .2חשב את שטח המשולש .BCD D C )48נתון ישר שמשוואתו y 1.5x 7 :ונתונה הנקודה . B 5, 5 מסמנים את נקודת החיתוך של הישר עם ציר הy - א. ב. ג. ד. y ב .A- .1מצא את משוואת הישר .AB .2חשב את אורך הקטע .AB מצא נקודה Cעל הישר הנתון כך ש . AB BC - מהנקודה Bמעבירים אנך לישר הנתון. ידוע כי האנך והישר נחתכים בנקודה .D חשב את שיעורי הנקודה .D מצא את שטח המשולש .ABC A D x B C 3 4 )49נתון ישר שמשוואתו . y x :מסמנים על הישר את הנקודות Aברביע הראשון ו B-ברביע השלישי .ידוע כי הנקודות Aו B-נמצאות באותו המרחק מראשית הצירים .מהנקודה Aמעבירים ישר המקביל לציר ה y -ומהנקודה B מעבירים ישר המקביל לציר ה . x -הישרים נחתכים בנקודה .C א .סמן את שיעור ה x -של הנקודה Aב. t - הבע באמצעות tאת שיעורי הנקודה .C ב .הבע באמצעות tאת אורכי הצלעות ABו.AC- ג .מצא את tאם ידוע כי הצלע ABגדולה ב 4-מהצלע .AC ד .חשב את שטח המשולש .ABC 83 y A x C B y C )50על הישר y 5מסמנים את הנקודות: . A 7, 5 ; B 2, 5 הנקודה Cנמצאת על הישר y x 5 :ברביע הראשון. נסמן את שיעור ה x -של הנקודה Cב . t - א .הבע באמצעות tאת שיעור ה y -של הנקודה .C ב .ידוע כי מרחק הנקודה Cמ A-גדול ב 7-ממרחקה מ.B- .1הבע באמצעות tאת המרחקים של Cמ A-ומ.B- .2מצא את . t ג .חשב את היקף המשולש .ABC x A B y )51באיור שלפניך נתון מרובע ABCDששלושה מקדקודיו הם: . A 2, 2 , B 12, 12 , D 6,6 ידוע כי סכום המרחקים של כל הקדקודים מהראשית הוא 28 2 :יחידות. x O א .מצא את המרחק של הקדקוד Cמהראשית. A ב .ידוע כי הנקודות C , Aו O-נמצאות על ישר אחד. מצא את שיעורי הנקודה .C B ג .חשב את שטח המרובע .ABCD ד .מעבירים דרך הנקודה Dישר המקביל לצלע ABוחותך את הצלע BCבנקודה .E .1מצא את משוואת הישר. .2מצא את שיעורי הנקודה .E C )52המרובע ABCDהוא טרפז ישר זווית . A 90 , AB CD B השוק ADיושבת על הישר y xוידוע כי. xA xD 5 : A שיעורי הקדקוד Bהם. 10, 2 : א .מצא את שיעורי הקדקודים Aו.D- ב .שטח הטרפז הוא 110יחידות שטח. מצא את שיעורי הקדקוד ( Cהבחן בין שני מקרים). ג .מצא את המקרה המתאים לנתון. BC 250 : 84 C D D תשובות סופיות: 2 3 2 3 )1א . y x 1 .ב. 5,5 , 1,1 , 4,0 . )2א .מרובע כללי כלשהו .לא ניתן להצביע על אף תכונה. ב .מלבן .ניתן להראות כי יש למרובע שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות ושוות וזווית ישרה .ג .ריבוע .ניתן להראות כי קיימות זוג צלעות סמוכות שוות. ד 90 .יח"ש . S )3א . B 6, 8 .ב .משולש ישר זווית .אם במשולש יש תיכון ששווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה אז המשולש הוא ישר זווית .ג 96 .יח"ש. )4א . D 5, 2 , B 2,0 .ב .משולש שווה שוקיים .הקטע CDהוא אנך אמצעי ולכן הוא תיכון וגובה ולבסיס במשולש .ABCג . C 0,9.5 .ד 32.5 .יח"ש . S 1 2 )5א. 3 3 ג )6 . S 210 .א . AC 1 , D(5,8) .ב. E(0.2,5.4) . . AC : y -3x - 24 , BC : y x ב. A 0, 24 , B 2,0 , D 9, 27 . ) . A(0,8ב . x 0 .ג. S 32 . )7א. ), B(0, 4) , C(8,0) , D(8, 4 )8א. ), B(4,0) , C(0, 2) , D(0,8 ). A(4,6 בE(10,3) , F(16,0) . .ג. S BEF 9 S ABCD 16 . )9א . AB : y 2x 3 , BD : y 6x 1 .ב . CD : y 2x 5 .ג .טרפז .ניתן להראות שיש זוג צלעות נגדיות מקבילות ( ABו )CD -ואינן שוות )10 .אE 1,10 , F 9,6 . בdEF dDF 80 . ג .משולש שווה שוקיים .ד 32 .יח"ש. 1 1 2 )11א . y x 6 .ב. 2 3 3 1 1 )12א . AD : y x 3 , AC : y x 8 .ב. A(7,1) . 3 3 . m ג. C(4,8) . ג . BE : y x 2 , BC: y 3x 10 .ד. B(4, 2) . )13ריבוע )14 .א . A(0,12) , B(4,0) , D(0,1) .ב . C(4, 2) , S ABD 22 .ג .תיכון. קטע במשולש המחלק אותו לשני משולשים שווי שטח הוא תיכון .ד. S ABC 44 . )15א . y 2 x 22 .ב . B(9, 4) , D(4, 4) .ג. AD 5 , BC 10 . ד .1 .תיכון -קטע במשולש שחוצה אותו לשני משולשים שווי שטח הוא תיכון. .2משולש ישר זווית – אם במשולש יש תיכון לצלע ששווה למחציתה אז המשולש הוא 2 ישר זווית )16 .א . B(5,1) .ב. 3 1 3 . y x ג. A(2,8) , C(2,0) . )17א . A(8,15) , B(8, 9) .ב . C(2, 9) , D(2,15) .ג. SABCD 240 . )18א . A(2,7) , B(1, 2) , C(3,8) .ב. y x 3 , 3 y x 23 , 5 y x 43 . 1 )19א . D(7,0) .ב . C(9, 4) .ג, mAB 2 .1 . 2 . mAD .2המעוין ABCDהוא ריבוע .מעוין עם זווית ישרה הוא ריבוע. 85 1 )20א . B(0,16) , D(12,0) .ב. 2 3 4 . y x 3ג. S ABCD 200 . )21א . dBD 200 , y x 6 .ב . E(5,11) , F(3,9) .ג . dCF 72 , dAE 8 .ד. SABCD 80 . )22ב . x 5 .ג . (5, 29) .ד. y 2 x 19 . 1 1 )23א. 3 3 )24א( . yD 1 .הפתרון השני נפסל מאחר שהנקודה Dנמצאת ברביע הרביעי שבו ערך . AB : y 3x 3 , BC : y x 6ב . E(0,3) , F(4,5) .ג. A(1,0) , C(7, 4) . שיעור ה y -הוא שלילי) .ב . (5.75,8) .ג. C(9.5,11) . )25א . B(12, 2) , C(2,16) .ב. y 8x . 1 4 )26א . y 4 x 34 .ב . y x .ג. C(12,3) , D(8, 2) , E(6,1.5) . 3 )27א . y 2 x 2 .ב. 4 )28א . dAB 10 .ב . C(5,5) .ג . (7,6.5) .ד. D(13,11) . . mBD ג . 3 y 4 x 41 .ד. A(3.5,9) . 1 2 )29א B 4, 2 .בx . 3 3 1 1 )30א . E(0,7) .ב . y x 2 .ג . y x 7 .ד. D(2,6) . 2 2 1 1 1 1 )31א . D(5, 8) , A(5, 2) , E(1,0) .ב. CE : y x , CD : y x 5 . 2 2 2 2 ג . C(5, 3) .ד 30 .יח"ש . SDEC y ג. A 1,1 , y 7 x - 6 . )32א .תיכון/גובה/חוצה זווית הראש – הקטע ADמאונך לבסיס BCולכן מקיים את שלושתם .ב . B(4, 2) , C(6, 2) .ג. A(1, 2) . )33א . y 1.25x-0.75 , C(7,8) .ב .משולש ישר זווית .הקטעים ACו AD-מאונכים. SACD 10 . ג )34 . SABC 20 .א . y x , y x .ב . (5,5) , (5, 5) , (2, 2) .ג. SABCD 40 . 1 )35א B(7,9) .ב y 3 .ג. 2 y x 2ד. C(5,5) . 1 2 )36א C 3,5 .בy 2 x 1 . ג A 4,4 .ד. AD 5 . )37א AB 13 .ב C 2.5, 4 .ג. y x 6.5 . ד .I .שאר הנקודות לא מקיימות את משוואת הישר. )38א AD: y 0.5x 10 ; BC: y 0.5x .ב .מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ולא שוות הוא טרפז. ג )39 . 4, 2 .2 y 2 x 10 .1 .א. C 8,0 , B 0, 4 , A 0,5 , D 8,9 . ב .לא .מכיוון שאורכי שתי צלעות סמוכות לא שוות .ג 36 .2 8 y 5x 40 .1 .יח"ש . S ABC )40א . D 10,11 , A 7, 7 , B 5, 5 , C 2,13 .ב .מוכיחים לפי מקבילות ואנכים. ג 12.16 .i .יח"א , 148 18.24יח"א 333 86 222 .iiיח"ש . SABCD . y 3x 12 . ב. y 3x 12 .) א41 . S ABC יח"ש30 . ד. אם במשולש תיכ ון וגובה מתלכדים אז הוא ש"ש.ג אם במשולש תיכון לצלע שווה. ג. יח"א12.5 .2 x 6 .1 . ב. AC יח"א25 .) א42 . PABD 25 500 יח"א47.36 . ד.למחציתה אז הוא ישר זווית . SABCD יח"ש78 . ד. B 7.5,0 , D 1.5,6 . ג. 3 y 2 x 15 .ב . M 3,3 .) א43 . PABCD יח"א80 . ד. x 6 . ג. A 6,17 . ב.BD לאלכסון.) א44 . SAMD יח"ש12 . ג. D 7, 4 ב. xA 3 .) א45 . SABCD יח"ש40 . ג. A 2,11 , C 2, 1 . ב. M 0,5 .) א46 . C 8, 2 . ג. 5 y x 2 . בA 2,0 , B 0,10 .) א47 . SBCD יח"ש62.4 .2 . SABC יח"ש78 .ד D 4,1 .ג . SABC יח"ש24 .ד t4 C 8, 5 .ב D 2.4, 2 .1 .ד . יח"א13 .2 y 2.4x 7 .1 .) א48 . גAC 1.5t ; AB 2.5t . בC t , 0.75t .) א49 . PABC יח"א36 . ג. t 8 .2 AC 2t 2 14t 49 ; BC 2t 2 4t 4 .1 . ב. C t , t 5 .) א50 . E 10.8, 6 .2 7 y 5x 12 .1 .ד SABCD יח"ש180 . גC 8,8 . בdCO 8 2 .) א51 . C 15, 17 . גC 17,15 , C 15, 17 .ב 87 A 4, 4 , D 1, 1 .) א52 תרגול נוסף -המעגל (שאלות מסכמות ללא משיק): )1מצא את משוואת המעגל שמרכזו בנקודת החיתוך של הישריםy 2 x 1 : ו y 3x 14 -ורדיוסו הוא. R 34 : א .מצא את נקודות החיתוך של מעגל זה עם הצירים. ב .חשב את שטח המשולש שקדקודיו הם נקודות החיתוך של המעגל עם הצירים (שמצאת שסעיף הקודם). )2נתון המעגל . ( x 4)2 ( y 5)2 50 :ישר שמשוואתו 6 y 8x 12 :חותך את המעגל בשתי נקודות כך שנוצר מיתר בניהן. א .מצא את שיעורי נקודות החיתוך בין הישר למעגל. ב .חשב את אורך המיתר הנ"ל. )3הנקודה ) (12,5נמצאת על היקף המעגל שמשוואתו היא( x a)2 ( y 8)2 25 : כאשר a 10 :פרמטר ממשי. א .מצא את . a ב .מצא את משוואת הישר שעליו מונח הקוטר המחבר בין הנקודה )(12,5 למרכז המעגל. ג .חשב את המרחק של הנקודה ) (12,5מראשית הצירים. )4משוואות הצלעות ABו BC-במשולש ABCהן בהתאמה: 2 y x 56ו . 8 y x 104 -מעבירים גבהים לצלעות AB ו BC-אשר נחתכים בנקודה ) M(0, 2שבתוך המשולש. א .מצא את משוואות הגבהים. ב .מצא את שיעורי הנקודה .B ג .מצא את משוואת המעגל שמרכזו בנקודה Mורדיוסו הוא הקטע .BM )5קדקודי המרובע ABCDהם. A(3,8) , B(6,5) , C(3, 2) , D(0,5) : חוסמים את מרובע זה בתוך מעגל. א .איזה מרובע הוא המרובע ?ABCD (מקבילית ,מלבן ,מעוין ,ריבוע או טרפז כלשהו) (היעזר בחישובי שיפועי ומרחקי צלעות). ב .מצא את משוואת המעגל החוסם את המרובע .ABCD 88 )6הישרים 9 y 11x 94 :ו y 3x 14 -נחתכים בנקודה .B בנקודה זו עובר מעגל שמרכזו בנקודה . M(9,1) :ידוע שמעגל זה חותך את הישרים (חוץ מהנקודה )Bבשתי הנקודות Aו( C-ראה איור). א .מצא את שיעורי הנקודה .B ב .מצא את משוואת המעגל. ג .מצא את שיעורי הנקודה – Aנקודת החיתוך של הישר שמשוואתו: y 3x 14עם המעגל. )7בשרטוט שלפניך מתואר המעגל הקנוני. x2 y 2 289 : המעגל חותך את ציר ה x -בנקודות Aו .B-הנקודה C נמצאת על היקף המעגל ברביע הרביעי כך שנוצר המשולש .ABCידוע ששיעור ה x -בנקודה Cהוא .15 א .מצא את שיעור ה y -של הנקודה .C ב .חשב את שיעורי הנקודות Aו B-ואת שטח המשולש .ABC ג .מצא נקודה Dברביע השלישי כך ששטח המשולש ABDיהיה זהה לשטח המשולש .ABC )8קדקודי המשולש ABCהם. A(2,5) , B(7, 3) , C(0,1) : מעבירים תיכונים ADו BE-לצלעות BCו AC-בהתאמה. מנקודת פגישת התיכונים Mמותחים את הקטע CMכך שנוצר מעגל שמרכזו בנקודה Mורדיוסו הוא הקטע .CM א .מצא את משוואות האלכסונים ADו.BE- ב .מצא את שיעורי הנקודה Mואת אורך הקטע .CM ג .כתוב את משוואת המעגל. )9הנקודה ) A(17, 4נמצאת על המעגל שמשוואתו. ( x 7)2 ( y 4)2 R 2 : הישר x 1חותך את המעגל בשתי נקודות Bו C-כך ש B-נמצאת ברביע הרביעי .מעבירים את הקטע ADהמאונך לישר BC וידוע כי הנקודה Dהיא אמצע .BC א .מצא את רדיוס המעגל. ב .מצא את שיעורי הנקודות Bו.C- ג .1 .חשב את מרחק הנקודה Aמהישר. x 1 : .2חשב את שטח המשולש .ABC 89 )10הנקודות Mו D-נמצאות על הישר. y 12 : ידוע כי שיעור ה x -של הנקודה Mהוא 9וכי המרחק של הנקודה M מראשית הצירים גדול ב 6 -מהמרחק בין הנקודות Dו( M-ראה איור). בונים מעגל שמרכזו נמצא בנקודה Mורדיוסו והוא האורך .DM א .מצא את מרחק הנקודה Mמראשית הצירים. ב .מצא את שיעור ה x -של הנקודה .D ג .כתוב את משוואת המעגל. ד .האם המעגל הזה חותך את ציר ה x -ואת ציר ה ? y - הראה חישוב מתאים לטענתך. )11באיור שלפניך מתואר המעגל שמשוואתו. x 6 y 2 45 : 2 מעבירים את הישר x 9 :החותך את המעגל בנקודות Aו.B- א .מצא את שיעורי הנקודות Aו.B- x ב .כתוב את משוואת הישר – O( AOראשית הצירים). ג .חשב את שטח המשולש .AOB y x9 A O B )12באיור שלפניך מתואר הישר. y 2 x : מעבירים את הישר x 3החותך את הישר הנ"ל בנקודה .A א .מצא את שיעורי הנקודה .A ב .מעבירים מהנקודה Aאנך לציר ה.AB y - ג. כתוב את משוואת המעגל שמרכזו בנקודה B ורדיוסו הוא הקטע .AB מצא את נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה. y - )13באיור שלפניך מתואר המעגל. x 4 y 3 25 : 2 2 המעגל חותך את הצירים בנקודות B , Aו.O- א .מצא את נקודות החיתוך של המעגל עם הצירים. ב .מצא נקודה Cהנמצאת על היקף המעגל ברביע הראשון כך שהמרובע AOBCיהיה מלבן. ג .חשב את היקף המלבן. 90 x3 y A B y 2x x )14באיור שלפניך מתואר מלבן ABCDשצלעותיו מונחות על הישרים הבאים: . y 2 , y 8 , x 3 , x 11 א .מצא את שיעורי הנקודות של קודקודי המלבן. ב .חשב את אורך האלכסון במלבן. ג .כתוב את משוואת המעגל החוסם את המלבן. ד .האם מעגל זה חותך את הציר ה ? x -הראה חישוב מתאים. )15א .מצא את נקודת החיתוך של הישרים y 3x 7 :ו. 3 y x 5 - ב .כתוב את משוואת המעגל שמרכזו בנקודת החיתוך של הישרים ועובר דרך נקודת החיתוך של הישר 3 y x 5 :עם ציר ה. x - ג .מסמנים על הישר y 3x 7 :שלוש נקודות B , Aו .C- ידוע כי שיעור ה x -של כל נקודה הוא xB 0 , xA 1 :ו. xC 1.5 - קבע איזו נקודה נמצאת בתוך המעגל. )16באיור שלפניך נתון המעגל. ( x 6)2 ( y 6)2 32 : א .הוכח כי מעגל זה אינו חותך את הצירים. ב .מעבירים ישר AOהמחבר את ראשית הצירים עם מרכז המעגל וחותך את המעגל בנקודות Aו.B- כתוב את משוואת ישר זה. ג .מצא את שיעורי נקודות החיתוך של הישר עם המעגל. ד .מנקודות החיתוך מורידים אנכים ADו BC-לציר ה. x - חשב את שטח הטרפז .ABCD )17באיור שלפניך נתון המעגל. ( x 6)2 y 2 5 : הישר y 0.5x 3 :חותך את המעגל בשתי נקודות Aו.B- א .מצא את שיעורי הנקודות Aו.B- ב .מעבירים את הישר – O( AOראשית הצירים). חשב את אורך הקטע .AO ג .חשב את שטח המשולש הנוצר בין הקטע ,AOציר ה x -והישר .AB 2 )18המעגל x2 y 4 R 2 :חותך את הישר y x 7 :בנקודה . 2,9 א .מצא את רדיוס המעגל .R ב .מצא את נקודת החיתוך השנייה של הישר והמעגל. ג .חשב את אורך המיתר שנוצר בין שתי נקודות החיתוך. 91 )19הישר שמשוואתו היא y mx :חותך את המעגל x2 y 2 45 :בנקודה . 3, 6 א .מצא את . m ב .מצא את נקודת החיתוך השנייה של הישר עם המעגל. ג .הראה כי המיתר שנוצר בין שתי נקודות החיתוך של הישר והמעגל הוא קוטר במעגל. תרגול נוסף – המעגל (שאלות מסכמות כולל משיק): )20ישר שמשוואתו y 2 x 7 :חותך את המעגל( x 5)2 ( y 3)2 5 : בשתי נקודות Pו .Q-ידוע שמרחק הנקודה Pמראשית הצירים גדול יותר מאשר המרחק של הנקודה Qמראשית הצירים. דרך הנקודה Pמעבירים משיק למעגל. א .מצא את שיעורי הנקודה .P ב .מצא את משוואת המשיק. ג .הנקודה Kנמצאת על המשיק ושיעור ה x -של הוא .10 חשב את מרחק הנקודה Kממרכז המעגל. )21מעגל שמרכזו Mמשיק לצירים בנקודות A(10,0) :ו B(0,10) -כמתואר באיור. 3 4 מעבירים משיק למעגל שמשוואתו היא y x 30 :אשר משיק למעגל בנקודה .C א .מצא את משוואת המעגל. ב .מצא את שיעורי הנקודה .C ג .חשב את אורכי הצלעות של המשולש ABC ואת ערך המכפלה. AB AC BC : )22הנקודות B , Aו M-נמצאות על הישר y 3x 12 :כך ש M-היא אמצע .AB בונים מעגל שמרכזו בנקודה Mוהוא עובר בנקודות Aו .B- ידוע כי. yA 3 , xB 1 : מהנקודה ) C(11, 3שעל היקף המעגל מעבירים משיק למעגל. א .מצא את שיעורי הנקודות B , Aו.M- ב .כתוב את משוואת המעגל. ג .1 .מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה .C .2מצא את נקודת החיתוך בין המשיק לישר. y 3x 12 : 92 )23הנקודה ) A(6, 24נמצאת על היקף המעגל שמשוואתו. x 42 y 2 R 2 : מנקודה זו מעבירים משיק למעגל .על המשיק מסמנים נקודה Bועל היקף המעגל מסמנים נקודה נוספת ( Cראה איור) .הנקודה Cנמצאת ברביע השלישי ,כמו כן ידוע כי xB 18 :וכי. xC 14 : א .מצא את רדיוס המעגל וכתוב את המשוואה. ב .מצא את שיעורי הנקודות Bו.C- ג. AB היעזר בחישוב אורכי הקטעים ABו AC-וחשב את היחס: AC . )24המעגל שמשוואתו x 42 y b 2 41 :עובר בראשית הצירים ומרכזו נמצא ברביע הרביעי. א .מצא את משוואת המעגל. ב .מצא את נקודת החיתוך השנייה של המעגל עם ציר ה. x - ג .מצא את משוואת המשיק בנקודת החיתוך שמצאת בסעיף הקודם. )25הנקודה Pנמצאת על היקף המעגל שמשוואתו היא. x2 y 32 25 : מנקודה זו מעבירים משיק אשר מקביל לציר ה x -כמתואר באיור. בנוסף ,מעבירים ישר חותך העובר דרך נקודת מרכז המעגל החותך את המעגל בנקודות Aו B( B-ברביע השלישי). ידוע כי הישר החותך נחתך עם המשיק בנקודה ). D(6 23 , 2 א .כתוב את משוואת המשיק. ב .כתוב את משוואת הישר החותך. ג .מצא את שיעורי הנקודות Aו.B- )26המעגל שמשוואתו x2 y 10 100 :חסום במשולש הישר זווית ושווה 2 שוקיים A 90 ABC (ראה איור) .הנקודות Bו C-נמצאות על ציר ה x - ושיעוריהן הם. B(24,0) , C(24,0) : ידוע כי המעגל משיק לשוק ACשל המשולש בנקודה שבה . x 6 א .מצא את השיפוע של השוקיים ACו .AB- ב .כתוב את משוואות השוקיים ACו AB- ג .מצא את נקודת ההשקה של השוק ABעם המעגל. x ד .הראה כי הקודקוד Aנמצא על ציר ה. y - 93 y A C B )27מעגל שמרכזו בנקודה ) M(15,12משיק לציר ה y -בנקודה Bוחותך את ציר הx - בשתי נקודות Aו C-כמתואר באיור . xC xA מהנקודה Cמעלים אנך לציר ה x -שחותך את המעגל בנקודה נוספת .D דרך הנקודה Dעובר משיק למעגל. א .כתוב את משוואת המעגל. ב .מצא את שיעורי הנקודות Cו.D- ג .מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה .D )28נתון המעגל הקנוני הבא . x2 y 2 169 :הישר y 5חותך את המעגל בשתי נקודות Aו A( .B-ברביע הראשון). מנקודות אלו מעבירים משיקים למעגל אשר נחתכים בנקודה ( Cראה איור). א .מצא את שיעורי הנקודות Aו.B- ב .מצא את משוואות המשיקים למעגל בנקודות אלו. ג .מצא את נקודת החיתוך של המשיקים הראה כי היא על ציר ה. y - )29הטרפז AB CD ABCDחסום במעגל שמשוואתו היא. x 4 y 6 R 2 : 2 2 ידוע כי הבסיס הקטן ABמונח על הישר y 2 x 11 :וכי. xB 10 : א .מצא את רדיוס המעגל. ב .כתוב את משוואת הישר DCאם ידוע כי הוא עובר דרך מרכז המעגל. ג .מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה Dאם ידוע כי Dהיא אחת מנקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה . x - )30נתון מעגל שמרכזו בנקודה .Mמעגל זה משיק לציר ה x -בנקודה .A מהנקודה Eשעל ציר ה x -מעלים אנך אשר משיק למעגל בנקודה ( Bראה איור). הקטע BCמקביל לציר ה x -ו O-היא נקודת ראשית הצירים ,כך שנוצר טרפז ישר זווית ABCOששטחו הוא 170יח"ש. y ידוע כי C 0,10 :ו 10 -יח"א . AE א .מצא את שיעורי הנקודה .B ב .מצא את שיעורי הנקודה .A ג .כתוב את משוואת המעגל. B x 94 A E C O )31הנקודה A 6, 6 נמצאת על הישר y x :כמתואר באיור. א .מצא את מרחק הנקודה Aמראשית הצירים. ב .כתוב את משוואת המעגל שמרכזו בנקודה A והוא עובר דרך ראשית הצירים. ג .מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודת החיתוך השנייה שלו עם ציר ה. x - y A x )32הנקודות Aו M-נמצאות על הישר y x :כמתואר באיור. ידוע כי שיעור ה x -של הנקודה Aהוא .8 א .מצא את שיעור ה y -של הנקודה .A ב .המרחק בין הנקודות Aו M-הוא . 32 מצא את שיעורי הנקודה Mאם ידוע כי. xM xA : A y M x, x x ג .כתוב את משוואת המעגל שמרכזו בנקודה Mומשיק לצירים. ד .קבע על ידי חישוב האם הנקודה Aנמצאת על המעגל או לא. 1 2 1 2 )33א .מצא את נקודת החיתוך של הישרים הבאים y x :ו. y x 4 - ב .כתוב את משוואת המעגל שמרכזו בנקודת החיתוך שמצאת אשר משיק לציר ה. x - ג .כתוב את משוואת המשיק למעגל המקביל לציר ה . x - ד .הראה כי המשיק שמצאת בסעיף ג' חותך את 1 2 y x הישר y x 4 :על ציר ה . y - ה .חשב את שטח המשולש הנוצר בין שני הישרים מסעיף א' לציר ה . y - y )34א .כתוב את משוואת המעגל שמרכזו בנקודה Mוהוא משיק לצירים ברביע הראשון אם ידוע כי שיעור ה x -של הנקודה Mהוא .5 ב .כתוב את משוואת המשיק למעגל המתואר באיור בנקודה שבה. x 8 : ג .חשב את שטח המשולש שיוצר משיק זה עם הצירים. M x )35באיור שלפניך מתואר מעגל שמרכזו Mנמצא על ציר ה y -בנקודה שבה y 5 :והוא משיק לציר ה . x -מעבירים משיק למעגל דרך הנקודה Aהנמצאת ברביע הראשון. א .כתוב את משוואת המעגל. ב .כתוב את משוואת המשיק אם ידוע כי שיעור ה x -של הנקודה Aהוא .4 95 ג. )36א. ב. ג. ד. המשיק חותך את ציר ה x -בנקודה .Bמעבירים את הרדיוס .MA חשב את היקף הדלתון – O( OMABראשית הצירים). .1כתוב את משוואת הישר ששיפועו - 2ועובר דרך הנקודה . A 5,15 .2כתוב את משוואת הישר המאונך לישר הקודם ועובר דרך אותה הנקודה. מצא נקודה Bעל הישר השני ,הנמצאת ברביע השני ומרחקה מהנקודה Aהוא 80יחידות אורך. מעבירים מעגל שמרכזו Mהמשיק לשני הישרים שמצאת בסעיף א'. היעזר באיור ומצא את משוואת המעגל אם ידוע כי מרכזו נמצא ברביע השני והוא משיק לישר השני בנקודה .B מהנקודה Mמורידים אנך לציר ה x -ומחברים אותה עם נקודת ההשקה של הישר מסעיף א .1חשב את שטח המרובע הנוצר בין האנך ,ציר ה , x -הישר שמצאת בסעיף א 1והרדיוס ממרכז המעגל אל נקודת ההשקה של ישר זה. )37לפניך מעגל המשיק לציר ה x -בנקודה Bשמרכזו בנקודה .M ABו AC-הם מיתרים במעגל המאונכים זה לזה. BCהוא קוטר במעגל. א .נתון כי הישר שעליו מונח המיתר ABהוא. y 3x 30 : כמו כן ,נתון גם כי. BC 16 : .1מצא את שיעורי הנקודה .B .2מצא את שיעורי הנקודה .C x .3כתוב את משוואת המעגל. ב .מצא את משוואת הישר שעליו מונח המיתר .AC ג .מצא את שיעורי הנקודה .A )38המעגל שבאיור משיק לציר הy - y C A M B y בנקודה . A 0,8 :דרך הנקודה A D A מעבירים ישר החותך את ציר ה x -בנקודה. B 8, 0 : C א .מצא את משוואת הישר .AB x B המעגל חותך את הישר ABבנקודה .Cידוע כי Cהיא אמצע הקטע .AB ב .1 .מצא את שיעורי הנקודה .C .2כתוב את משוואת המעגל. ג .מסמנים נקודה Dעל היקף המעגל כך שהמיתרים ACו CD-מאונכים זה לזה. .1מצא את משוואת המיתר .CD .2מצא את שיעורי הנקודה .D 96 )39באיור שלפניך נתון מעגל שמרכזו בנקודה Mהנמצאת ברביע הראשון. המעגל חותך את ציר ה y -בנקודות A :ו.B- הישר 5 y 4 x 12 :משיק למעגל בנקודה. C 8, 4 : א .מצא את משוואת הרדיוס .MC ב .ידוע כי רדיוס המעגל הוא. 41 : .1סמן ב t -את שיעור ה x -של הנקודה Mוהבע באמצעותו את שיעור ה y -שלה. .2מצא את . t .3כתוב את משוואת המעגל. ג .חשב את אורך הקטע .AB y A M B C x )40באיור שלפניך נתון מעגל שמרכזו Mמונח על ציר ה x -בחלקו השלילי. ידוע כי מרחק מרכז המעגל מראשית הצירים הוא 8וכי רדיוס המעגל הוא. 8 : א .כתוב את משוואת המעגל. y מעבירים משיק למעגל דרך הנקודה . A 6, 2 ב .מצא את משוואת המשיק. ג .מסמנים את נקודת החיתוך של המשיק וציר ה x -ב .B-חשב את שטח המשולש .MAB A M B x )41נתונים הישרים הבאים y 3x 23 :ו . 2 y x 24 - א .מצא את נקודת החיתוך של הישרים. נקודת החיתוך שמצאת בסעיף הקודם היא מרכז מעגל המשיק לציר ה . x - ב .מצא את משוואת המעגל. ג .היעזר באיור שבצד וענה על השאלות הבאות: מסמנים את נקודת מרכז המעגל ב.M- מורידים אנך ציר ה x -החותך אותו בנקודה .A ראשית הצירים תסומן ב.O- .1מצא את שיעורי הנקודה .A .2חשב את שטח המשולש .MOA y M x O A y )42באיור שלפניך נתון מעגל. x2 y 2 52 :מסמנים נקודה Aברביע הראשון ונקודה Bברביע הרביעי .ידוע כי שיעור ה x -של x הנקודה Aהוא 6ושיעור ה x -של הנקודה Bהוא .4 א .מצא את שיעור ה y -של הנקודות Aו.B- ב .חשב את אורך המיתר .AB A D C B 97 מהנקודות Aו B-מעבירים אנכים לציר ה y -החותכים אותו בנקודות Cו.D- ג .1 .איזה מורבע הוא המרובע ?ABCDנמק. .2חשב את היקף המרובע .ABCD )43באיור שלפניך נתון מעגל שמשוואתו a, x a y 1 5 :פרמטר. 2 2 y ידוע כי המעגל חותך את ציר ה x -בנקודה. A 10, 0 : א. ב. ג. ד. ה. D C מצא את aאם ידוע כי. a 10 : x מצא את הנקודה - Bנקודת החיתוך השנייה B A של המעגל עם ציר ה. x - כתוב את משוואת הקוטר העובר דרך הנקודה Bומרכז המעגל .M מצא את נקודת החיתוך השנייה של הקוטר עם המעגל. מעבירים אנך מנקודת החיתוך שמצאת בסעיף הקודם לציר ה y -כך שנוצר טרפז .BCDOחשב את שטחו. M )44באיור שלפניך נתון מעגל שמשוואתו R, x 5 y 3 R2 :רדיוס המעגל. ידוע כי המעגל עובר בראשית הצירים. א .מצא את רדיוס המעגל וכתוב את משוואת המעגל. ב .מצא את הנקודות Aו - B -החיתוך של המעגל עם הצירים (ראה איור). ג .מסמנים נקודה Cעל ציר ה x -כך ש A-היא אמצע הקטע .CO .1מצא את שיעורי הנקודה .C x C A .2חשב את שטח המשולש .ABC 2 O 2 y B O )45נתון הישר. y 0.5x : א. ב. ג. ד. מצא נקודה Mעל הישר ברביע הראשון שמרחקה מהראשית הוא . 45 הנקודה Mשמצאת בסעיף הקודם היא נקודת המרכז y 0.5 x של מעגל בעל רדיוס של . 20 B כתוב את משוואת המעגל. M מצא את נקודת החיתוך של הישר הנתון C x והמעגל המסומנת באיור ב.B- מורידים אנך לציר ה x -מהנקודה Mהחותך אותו בנקודה .C חשב את שטח המשולש .BMC 98 y O y )46נתון מלבן ABCDכמתואר באיור שלפניך. נתונים הקדקודים. C 5, 2 , A 3,3 : B א .מצא את שיעורי הקדקודים Bו D-של המלבן. A x D C הנקודה Bהיא נקודת המרכז של מעגל בעל רדיוס .BC ב .כתוב את משוואת המעגל. ג .מצא את נקודת החיתוך של המעגל עם ציר ה x -אשר בתוך המלבן. ד .סמן את הנקודה שמצאת בסעיף הקודם ב.Q - חשב את שטח המשולש .AQB )47נתון מעגל שמשוואתו היא x 10 y 2 R2 :ומרכזו בנקודה .M 2 מעבירים ישר החותך את הצירים בנקודותA 0,5 , B 35,0 : וחותך את המעגל בנקודות Cו.D- א .מצא את משוואת הישר החותך. ב .מצא את רדיוס המעגל אם ידוע כי. D 14,3 : y C D x A O M B ג .מצא את שיעורי הנקודה .C ד .חשב את שטח המרובע .ACMO תרגול נוסף המעגל (שאלות מסכמות עם שני מעגלים): )48נתון המעגל הקנוני . x2 y 2 81 :נקודת החיתוך החיובית של המעגל עם ציר ה x -היא נקודת מרכזו של מעגל נוסף אשר רדיוסו הוא. R 12 : א .כתוב את משוואת המעגל הנוסף. ב .המעגלים נחתכים בנקודות Aו .B- מצא את שיעוריהן. x ג .חשב את שטח המשולש הנוצר בין הנקודות B ,Aלראשית הצירים – .O y A O B )49המעגל a 0 , x a y 1 a 4 :חותך את ציר ה x -בנקודה שבה. x 1 : 2 2 א .מצא את ערך הפרמטר . a ב .מצא את נקודות החיתוך של המעגל הנתון עם המעגל. x 1 y 2 10 : 2 2 ג .כתוב את משוואת הישר העובר דרך נקודות החיתוך של שני המעגלים. ד .חשב את שטח המשולש שיוצר הישר שמצאת בסעיף הקודם עם הצירים. 99 )50נתונים שני המעגלים הבאים x 62 y 162 36 :ו . x 62 y 16 2 36 - א .הראה כי המעגלים משיקים זה לזה בנקודה הנמצאת על ציר ה. y - ב .הראה כי המעגלים אינם חותכים את ציר ה . x - ג .לפניך שתי נקודות. 0, 4 , 12,16 : ד .קבע לגבי כל אחת מהנקודות האם היא נמצאת מחוץ ,בתוך או על המעגל. x 62 y 16 2 36 : ה .הראה כי המרחק מהנקודות שלעיל לנקודת ההשקה של המעגלים זהה. )51באיור שלפניך מתוארים המעגלים x 10 y 2 40 :ברביע הראשון 2 ו x a y 2 10 -ברביע השני .מעבירים ישר בעל שיפוע שלילי המשיק למעגלים 2 בנקודות Aו B-והעובר בראשית הצירים. ידוע כי הישר הנ"ל משיק למעגל הראשון בנקודה שבה . x 8 א .כתוב את משוואת הישר. D ב .הישר חותך את המעגל השני בנקודה שבה. y 3 : x נסמן את מרכזי המעגלים ב C-ו D-כמתואר באיור. מצא את aאם ידוע כי המרובע ABCDהוא טרפז . AD BC ג. הראה כי הטרפז הוא שווה שוקיים( .ז"א.) AC BD : 100 y B C A :תשובות סופיות . S 30 .( ג0,0) , (6,0) , (0,10) . ( בx 3)2 ( y 5)2 34 .) א1 . d 13 . ג. 4 y 3x 56 . ב. a 8 .) א3 . d 10 . ב. (3, 2) , (3,6) .) א2 . x2 ( y 2)2 900 . ג 24,16 . ב. y 8x 2 , y 2 x 2 .) א4 . 4, 2 . ( גx 9)2 ( y 1)2 170 . ב 2,8 .) א6 . ( x 3)2 ( y 5)2 9 . ב. ריבוע.) א5 . D(15, 8) . גS 136 , A(17,0) , B(17,0) . בy 8 .) א7 . ( x 3)2 ( y 1)2 9 . גCM 3 , M(3,1) . בy x 4 , y 4x 13 .) א8 . S 128 .2 d 16 .1 . ג. C(1,12) , B(1, 4) . ב. R 10 .) א9 . x - המעגל אינו חותך את ציר ה. ד. ( x 9)2 ( y 12)2 81 . ג. x 18 . ב. d 15 .) א10 המעגל חותך את. אפס מתקבלת משוואה ריבועית בלי פתרוןy -כאשר מציבים ב .(0,12) – בנקודה אחתy - ציר ה 2 3 . S 54 . גy x . בA 9,6 , B 9, 6 .) א11 . 0,3 , 0,9 . גx2 y 6 2 9 . בA 3, 6 .) א12 . P 28 . גC 8, 6 . בO 0, 0 , A 0, 6 , B 8, 0 .) א13 . 7, 0 - כן. ד x 7 y 5 25 . גd 10 . בA 3, 2 , B 11, 2 , C 11,8 , D 3,8 .) א14 2 2 .C הנקודה. ( גx 2)2 ( y 1)2 10 . ב 2,1 .) א15 . S 3 . גd 17 . בA 4,1 , B 8, 1 .) א17 . S 48 . דA 10,10 , B 2, 2 . גy x .) ב16 המרחק בין שתי. ג 3, 6 . בm 2 .) א19 . d 98 . ג 5, 2 . בR 29 .) א18 . 45 : והוא פעמיים רדיוס המעגלd 180 :הנקודות הוא . C(16,18) . ב. ( x 10)2 ( y 10)2 100 .) א21 . d 5 . ג. y 0.5x 8 . ב. P(6,5) .) א20 . AB AC BC 4800 , AB 200 , AC 360 , BC 320 .ג 2 2 . x 2 y 6 90 . ב. A(5,3) , B(1, 15) , M(2, 6) .) א22 (7,9) .2 . y 3x 30 .1 .ג . AB 13 1 2 . ג. C(14, 24) , B(18,19) . ב. x 4 y 2 676 , R 26 .) א23 AC 52 4 . 5 y 4 x 32 . ג. (8,0) . ב. x 4 y 5 41 .) א24 2 2 . A(4,0) , B(4, 6) . ג. y 34 x 3 . ב. y 2 .) א25 . (6,18) . ג. y x 24 , y x 24 . ב. mAC 1 , mAB 1 .) א26 2 2 . y 34 x 42 . ג. C(24,0) , D(24, 24) . ב. x 15 y 12 225 .) א27 . C(0,33.8) . 5 y 12x 169 , 5 y 12x 169 . ב. A(12,5) , B(12,5) .) א28 . y 12 x 12 . ג. y 2 x 2 . ב. R 45 .) א29 101 . x 222 y 102 100 . ג. A 22, 0 . ב. B 12,10 .) א30 . y x 12 . ג x 62 y 62 72 . ב72 .) א31 2 2 . לא. ד x 4 y 4 16 . גM 4, 4 . בy 8 .) א32 . S 8 . ה 0, 4 . דy 4 . ג x 42 y 22 4 . ב 4, 2 .) א33 2 2 . S 150 . גy 0.75x 15 . ב x 5 y 5 25 .) א34 2 . P 30 . ג3 y 4 x 40 . בx2 y 5 25 .) א35 2 2 . S 300.25 . ד x 7 y 19 80 . גB 3,11 . ב2 y x 25 .2 y 2 x 25 .1 .) א36 . A 5.2,14.4 . ג3 y x 38 . ב x 10 y 8 64 .3 C 10,16 .2 B 10, 0 .1 .) א37 2 2 . D 8,8 .2 . y x .1 . ג. x 4 y 8 16 .2 C 4, 4 .1 . ב. y x 8 .) א38 2 2 . x 4 y 9 41 .3 . t 4 .2 M t , 1.25t 14 .1 . ב. y 1.25x 14 .) א39 2 2 . SMAB יח"ש4 .ג y x 4 . ב. x 8 y 2 8 .) א40 2 . AB יח"א10 .ג . SMOA יח"ש35 .2 A 10, 0 .1 . ג x 10 y 7 49 . ב10, 7 .) א41 2 2 . AB 104 יח"א10.198 . ב. yA 4 ; yB 6 .) א42 . PABCD יח"א30.198 .2 . טרפז ישר זווית.1 .ג . SBCDO יח"ש16 . ה. 10, 2 . ד. y 0.5x 3 . ג. B 6, 0 . ב. a 8 .) א43 . A 10,0 ; B 0,6 . ב. x 5 y 3 34 , R יח"א34 .) א44 2 2 . SABC יח"ש30 .2 . C 20, 0 .1 .ג . SBMC יח"ש6 . ד. B 10,5 . ג. x 6 y 3 20 . ב. M 6,3 .) א45 2 2 . SAQB יח"ש12 . ד. Q 1, 0 . ג. x 5 y 3 25 . ב. B 5,3 ; D 3, 2 .) א46 2 2 . יח"ש37.5 . דC 7, 4 .ג R 5 .ב 1 y x 5 .) א47 7 . S 80 . ג1, 80 , 1, 80 . ב x 92 y 2 144 .) א48 1 . דy 2 x 1 . ג 0, 1 , 2,3 . בa 1 .) א49 4 . d 12 . ד. מחוץ למעגל 0, 4 . על המעגל- 12,16 . ג. 0,16 .) א50 .S 3 4 . AC BD 205 : מתקבל. גa 5 . בy x .) א51 102 תרגול מבגרויות: )1נתון משולש ישר זווית , ( A 90) ABC שבו הצלע BCמקבילה לציר ה( x -ראה ציור). 1 3 משוואת הצלע ABהיא . y x שיעור ה x -של קדקוד Bהוא . 3 שיעור ה x -של קדקוד Cגדול ב 1 -משיעור ה x -של קדקוד.A א .מצא את שיעורי הקדקודים של המשולש . ABC ב .חשב את שטח המשולש . ABC ג .העבירו מעגל החוסם את המשולש . ABC מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה .A )2נתון משולש שווה-שוקיים ABCשבו ( AB ACראה ציור). שיעורי הקדקוד Bהם . 1, 0 שיפוע הישר BCהוא .1 משוואת הישר ACהיא . x 3 y 9 0 א .מצא את השיעורים: .1של הקדקוד .C .2של הקדקוד .A ב .הישר ACחותך את ציר ה y -בנקודה . D הצלע BCהיא קוטר במעגל. קבע אם הנקודה Dנמצאת על מעגל זה .נמק. )3נתון מעוין ( ABCDראה ציור) .שיעור קדקוד Aהם . 1, 2 משוואת האלכסון BDהיא . x 2 y 2 0 א .1 .מצא את משוואת האלכסון . AC .2מצא את השיעורים של קדקוד . C ב .אורך האלכסון BDהוא . 4 5 מצא את האורך של צלע המעוין. ג .מצא את משוואת הישר , ABאם נתון כי קדקוד Bנמצא ברביע הראשון. AB )4הוא מיתר במעגל שמרכזו . M MAמקביל לציר ה y -ו MB -מקביל לציר ה. x - דרך Mהעבירו שני ישרים :ישר אחד מאונך ל AB - וישר אחד מקביל ל . AB -דרך Bהעבירו משיק למעגל. האנך חותך את המשיק בנקודה , Cוהמקביל חותך את המשיק בנקודה ( Dראה ציור). נתון. A 5,7 , B 3,5 : 103 א .מצא את משוואת האנך . CM ב .1 .מצא את משוואת המעגל. .2הוכח באמצעות חישוב כי המעגל אינו חותך את ציר ה . x - ג .מצא את שטח המשולש CMD )5אלכסוני הריבוע ABCDנפגשים בנקודה E (ראה ציור) .שיעור הקדקוד Aהם ). (1, 7 B A משוואת האלכסון BDהיא . x 3 y 0 E א .1 .מצא את השיפוע של האלכסון . AC .2מצא את שיעורי הנקודה . E D C ב .מצא את משוואת המעגל החוסם את הריבוע. ג .חשב את האורך של צלע הריבוע. ד .מצא את משוואת המעגל החסום בריבוע כך שצלעות הריבוע משיקות למעגל. )6נתון מעגל שמרכזו . O 0, 0 דרך הנקודה , Mהנמצאת ברביע הראשון ,העבירו ישר המשיק למעגל בנקודה ( D 1, 1ראה ציור). א .מצא את משוואת המעגל. ב .מצא: .1את משוואת הישר . OD .2את משוואת המשיק . DM ג .נתון כי . DM 18 מצא את השיעורים של הנקודה . M ד .העבירו מעגל דרך הנקודות . O, D, M מצא את המשוואה של מעגל זה. )7דרך נקודה Kעוברים שני ישרים החותכים את ציר ה y -בנקודות Aו , B -כמתואר בציור. אורך הקטע ABהוא .17 משוואת הישר BKהיא . y 4 x 14 א .מצא את שיעורי הנקודה . A ב .נתון גם כי שטח המשולש AKBהוא . 34 מצא את שיעורי הנקודה . K ג .1 .הראה כי הקטע ABהוא קוטר במעגל החוסם את המשולש . AKB .2מצא את משוואת המעגל החוסם את המשולש . AKB 104 )8הצלעות של המרובע ABCOמונחות על ציר ה , x -על הישר , y xעל הישר y x 5 ועל הישר ( x aראה ציור) a .הוא פרמטר גדול מ . 5 - א .איזה מרובע הוא ? ABCOנמק. ב .מצא את השיעורים של קדקודי המרובע . ABCO (הבע באמצעות aבמידת הצורך). ג .הישר x aחותך את ציר ה x -בנקודה . D .1הבע באמצעות aאת שטח המשולש . ABD .2הבע באמצעות aאת שטח המרובע . ABCO .3נתון כי שטח המרובע ABCOהוא . 22.5 מצא את הערך של . a )9נקודה Aנמצאת על ציר ה y -בחלקו השלילי, ומרחקה מראשית הצירים הוא . 1.25 שיעורי נקודה Bהם ( 13, 11ראה ציור). א .מצא את משוואת הישר . AB ב .נקודה Mנמצאת ברביע השלישי על הישר . AB Mהיא מרכז של מעגל ,המשיק לציר ה x -בנקודה D ולציר ה y -בנקודה ( Cראה ציור). מצא את שיעורי הנקודה . M ג .הישר ABחותך את המעגל שמרכזו Mבנקודות Eו. F - שטח המשולש EMCהוא . S הבע באמצעות Sאת שטח המשולש . FMCנמק. אין צורך למצוא את השיעורים של Eו . F - )10נתון טרפז , AB DC ABCDראה ציור. 3 4 משוואת הצלע ADהיא . x 8 משוואת הצלע ABהיא . y x 6 שיפוע הצלע CBהוא . 0שיעור הקדקוד . 4, 6 C א .מצא את השיעורים של הקדקודים B , Aו . D - ב .1 .מצא את אורך הגובה לצלע BCבמשולש . ACB .2מצא את שטח המשולש . ACB 105 )11נתון מעגל שמשוואתו a . x a y 3 25הוא פרמטר. המעגל עובר דרך ראשית הצירים ,ומרכזו Mנמצא ברביע השני. א .מצא את הערך של . a ב .מצא את השיעורים של הנקודות על המעגל, ששיעורי ה y -שלהן גדול ב 2 -משיעור ה x -שלהן. ג .בכל אחת מהנק ודות שמצאת בסעיף ב' מעבירים משיק למעגל .מצא את המשוואות של משיקים אלה. 2 2 )12נתון מעגל ,שמרכזו Mנמצא על הישר . y 7 1 2 הישר y xמשיק למעגל בנקודה ( A 6,3ראה ציור). א .1 .מצא את השיעורים של המרכז . M .2מצא את משוואת המעגל. ב .המעגל חותך את ציר ה y -בנקודות Bו. C - נקודה Cנמצאת מעל נקודה ( Bראה ציור). .1הראה כי הישר BMמקביל לישר המקביל למעגל בנקודה . A .2מצא את שטח המשולש . BMA )13נתונות הנקודות A 10, 4 ו( B 2,8 -ראה ציור). נקודה Pנמצאת על ציר ה x -כך שמרחקה מנקודה A שווה למרחקה מנקודה . B א .מצא את השיעורים של הנקודה . P ב .הנקודות B , Aו P -הן קדקודיו של המרובע . ADBP נתון . BD PA , BP AD ג .מצא את השיעורים של הקדקוד . D ד .מצא את אורך הרדיוס של המעגל החוסם את המשולש . BDAנמק. )14נתונה מקבילית ( ABCDראה ציור). 1 3 הצלע ADמונחת על הישר . y 5x 20 הצלע ABמונחת על הישר . y x 6 אלכסוני המקבילית נפגשים בנקודה . 2,3 א .מצא את השיעורים של קדקוד . C ב .מצא את השיעורים של קדקוד B ואת השיעורים של קדקוד . D ג .האם הצלע BCמשיקה בנקודה Cלמעגל שמרכזו Aוהרדיוס שלו הוא ? AC 106 :תשובות סופיות 4 3 . y x 20 . יחידות שטח ג15 . בA 12, 4 , B 3,1 , C 13,1 .) א1 . כן. בA 2.25,3.75 .2 C 6,5 .1 .) א2 . y 2 .ג יחידות אורך5 . בC 3, 2 .2 y 2 x 4 .1 .) א3 . יחידות שטח4 . ג x 5 y 5 4 .1 . בy x 10 .) א4 2 80 . ג x 3 y 1 40 . בE 3, 1 .2 mAC 3 .1 .) א5 . x 3 y 1 20 .ד 2 2 2 2 2 . x 2 y 1 5 . ד 4, 2 . גy x 2 .2 y x .1 . בx2 y 2 2 .) א6 2 2 . x2 y 5.5 72.25 .2 . גK 4, 2 . בA 0,3 .) א7 2 . O 0,0 , C a, a , B a, a 5 , A 5,0 . ב. טרפז שווה שוקיים.) א8 . a 7 .3 10a 25 .2 2 a 2 10a 25 .1 .ג 2 . S . ג. m 5, 5 . ב. y 0.75x 1.25 .) א9 . יח"ש108 .2 . יח"א18 .1 . בD 8, 3 , B 16,6 , A 8, 12 .) א10 . y 2 , x 1 .( ג4, 2), 1,3 . בa 4 .) א11 . יח"ש10 .2 .ב ( x 4)2 ( y 7)2 20 .2 M 4, 7 .1 .) א12 . יח"א40 .ג . לא.ג 107 (6,12) .( ב2, 0) .) א13 D(4,0) , B(0,6) . בC (1,1) .) א14 פרק - 5הסתברות קלאסית: הגדרות כלליות: מספר האפשרויות הרצוי הכולל . P A .1ההסתברות להתרחשות מאורע : A מספר האפשרויות .2המאורע המשלים למאורע . P A 1 P A :A .3חיתוך ואיחוד מאורעות Aו. P A B P A P B P A B :B- .4מאורעות זרים הם מאורעות שלא יכולים להתקיים בו זמנית. עבור מאורעות זרים Aו B-מתקיים. P A B P A P B , P A B 0 : .5מאורעות נקראים בלתי תלויים אם קיום האחד מהם לא משפיע על ההסתברות לקיומו של השני. עבור מאורעות בלתי תלויים Aו B-מתקיים. P A B P A P B : .6אם מתקיים P A B P A P B :המאורעות תלויים. P A B .7הסתברות מותנית של מאורע Aבהינתן מאורע Bמוגדרת: P B . P A / B .8צורה כללית של טבלת הסתברויות עבור מאורעות Aו:B- A A B P A B P A B P B B P A B P A B P B P A P A 1 קשרים מידיים מהטבלה: א. P A B P A B P B . ב. P A B P A B P B . ג. P A B P A B P A . ד. P A B P A B P A . .9התפלגות בינומית :חישוב kהצלחות מתוך nניסיונות בלתי תלויים כאשר ההסתברות להצלחה בניסיון בודד היא pנתונה ע"י: 108 nk n . Pn k p k 1 p k שאלות יסודיות: )1בכד 3כדורים כחולים ו 7-כדורים לבנים .מה ההסתברות להוצאת כדור כחול בהוצאה אקראית של כדור מהכד? )2בכד 2כדורים כחולים 3 ,כדורים אדומים ו 7-כדורים לבנים .מה ההסתברות שבהוצאה אקראית של כדור מהכד לא ייצא כדור אדום? )3מהי ההסתברות שבסיבוב סביבון לא יתקבל "נס"? )4עבור שני מאורעות A ,ו B-נתון. P A B 0.4 , P B 0.3 , P A 0.6 : מצא את . P A B )5עבור שני מאורעות A ,ו B-נתון. P A B 0.95 , P B 0.5 , P A 0.2 : מצא את . P A B )6עבור שני מאורעות A ,ו B-נתון. P A B 0.65 , P B 0.25 , P A 0.8 : קבע האם המאורעות זרים והאם הם תלויים. )7נתון כי שני מאורעות A ,ו B -בלתי תלויים .בנוסף נתון. P B 0.4 , P A 0.75 : מצא את . P A B )8בכד 3כדורים כחולים ו 7-כדורים אדומים .אדם מוציא באקראי כדור מהכד, ולאחריו מוציא עוד כדור (ללא החזרה של הכדור הראשון). א .מה ההסתברות ששני הכדורים כחולים? ב .מה ההסתברות ששני הכדורים באותו צבע? ג .מה ההסתברות ששני הכדורים אינם באותו צבע? )9בכד 3כדורים כחולים 2 ,כדורים אדומים ו 5-כדורים ירוקים .אדם מוציא באקראי כדור מהכד ,מחזיר אותו לכד ואז מוציא עוד כדור. א .מה ההסתברות ששני הכדורים כחולים? ב .מה ההסתברות ששני הכדורים באותו צבע? ג .מה ההסתברות ששני הכדורים אינם באותו צבע? )10בחדר 4גברים ו 5-נשים .מוציאים באקראי שלושה אנשים מהחדר (בלי החזרה). מה ההסתברות שמתוך השלושה יש יותר גברים מנשים? 109 )11נתונים שני כדים :בכד א' שלושה כדורים כחולים ואחד לבן ובכד ב' שני כדורים כחולים ושלושה לבנים .לואיזה מטילה מטבע לא הוגנת שבה הסיכוי לקבלת "עץ" כפול מהסיכוי לקבלת "פלי" .אם יוצא "עץ" היא מוציאה כדור מכד א' ואם יוצא "פלי" היא מוציאה שני כדורים מכד ב'. מה ההסתברות שלא ייצא ללואיזה אף כדור לבן? )12ליואב יש בכיסו הימני 3גולות כחולות ו 5-שחורות ובכיסו השמאלי 4גולות כחולות ו 4-שחורות .יואב מוציא גולה מכיסו הימני .אם היא כחולה הוא מחזיר אותה לכיס הימני ואם היא שחורה הוא מעביר אותה לכיס השמאלי .אחר כך הוא מוציא גולה מכיסו השמאלי .מה ההסתברות ששתי הגולות שהוציא באותו צבע? )13בכד 3כדורים כחולים ו 7-כדורים אדומים. אדם מוציא באקראי כדור מהכד ,ולאחריו מוציא עוד כדור. א .מה ההסתברות ששני הכדורים כחולים? ב .מה ההסתברות ששני הכדורים באותו צבע? ג .ידוע ששני הכדורים באותו צבע .מה ההסתברות ששניהם כחולים? )14בכד 3כדורים כחולים 2 ,כדורים אדומים ו 5-כדורים ירוקים. אדם מוציא באקראי כדור מהכד ,מחזיר אותו לכד ואז מוציא עוד כדור. א .מה ההסתברות ששני הכדורים כחולים? ב .מה ההסתברות ששני הכדורים באותו צבע? ג .ידוע ששני הכדורים באותו צבע .מה ההסתברות ששניהם כחולים? )15בחדר 4גברים ו 5-נשים .מוציאים באקראי שלושה אנשים מהחדר (בלי החזרה). ידוע שמתוך השלושה יש יותר גברים מנשים .מה ההסתברות שכולם גברים? )16נתונים שני כדים :בכד א' שלושה כדורים כחולים ואחד לבן ובכד ב' שני כדורים כחולים ושלושה לבנים .לואיזה מטילה מטבע לא הוגנת שבה הסיכוי לקבלת "עץ" כפול מהסיכוי לקבלת "פלי" .אם יוצא "עץ" היא מוציאה כדור מכד א' ואם יוצא "פלי" היא מוציאה שני כדורים מכד ב'. א .מה ההסתברות שלא ייצא ללואיזה אף כדור לבן? ב .ידוע שללואיזה לא יצא אף כדור לבן ,מה ההסתברות שבהטלת המטבע יצא "עץ"? 110 )17במשחק מזל הסיכוי להרוויח ₪ 10הוא 0.3והסיכוי להרוויח ₪ 20הוא .0.2 ישנו סיכוי של 0.5לא להרוויח כלל .אדם שיחק במשחק פעמיים וידוע שהרוויח יותר מ .₪ 20-מה הסיכוי שהרוויח ?₪ 40 )18בכד מספר מסוים של כדורים 3 .כחולים והשאר אדומים. הסיכוי להוציא שני כדורים אדומים מהכד (בלי החזרה) הוא . 5כמה כדורים בכד? 14 )19ההסתברות של צלף לפגוע במטרה בירייה הראשונה היא pוהיא גדולה מההסתברות שלו להחטיא .אם הוא פוגע ,עולה ההסתברות שלו לפגוע בירייה הבאה ב 0.1-ואם הוא מחטיא היא יורדת ב . 0.1-הצלף ירה למטרה פעמיים .ההסתברות שפגע במטרה בדיוק בירייה אחת היא . 0.38 א .מצא את . p ב .מה ההסתברות שהצלף פגע פעמיים במטרה אם ידוע שהוא פגע בה לפחות פעם אחת? 70% )20מאוהדי מכבי ת"א הם גברים והשאר נשים 40% .מהאוהדים מעשנים. נתון כי 45%מהאוהדים הם גברים שאינם מעשנים. א .מהו אחוז הנשים המעשנות מבין אוהדי מכבי? ב .בוחרים באקראי אוהד מכבי .מה ההסתברות שהוא גבר או שהוא מעשן? ג .בוחרים באקראי אישה שאוהדת מכבי .מה ההסתברות שהיא מעשנת? ד .האם מין האוהד והעובדה שהוא מעשן הם מאורעות תלויים? 65% )21מהפחיות המיוצרות במפעל משקאות הן רגילות והשאר דיאט 80% .מהפחיות המיוצרות תקינות והשאר פגומות .נתון כי 7%מהפחיות הן פחיות דיאט פגומות. א .בוחרים באקראי פחית .מה ההסתברות שהיא פחית רגילה ותקינה? ב .בוחרים באקראי פחית דיאט .מה ההסתברות שהיא פגומה? ג .בוחרים באקראי פחית פגומה .מה ההסתברות שהיא דיאט? ד .האם סוג הפחית ותקינותה הם מאורעות תלויים? 80% )22מהתלמידים בכיתה עברו את המבחן בתנ"ך ו 70%-עברו את המבחן בהיסטוריה 75% .מבין התלמידים שעברו את המבחן בתנ"ך עברו גם את המבחן בהיסטוריה. א .בוחרים באקראי תלמיד .מה ההסתברות שהוא נכשל בשתי הבחינות? ב .תלמיד נכשל במבחן בהיסטוריה .מה ההסתברות שהוא עבר את המבחן בתנ"ך? ג .ידוע שתלמיד עבר בדיוק מבחן אחד .מה ההסתברות שזה המבחן בתנ"ך? 111 )23בעיר גדולה ל 80%-מהתושבים יש רישיון נהיגה .מבין בעלי רישיון הנהיגה 30%הם גברים 60% .מהגברים הם בעלי רישיון נהיגה .בחרו באקראי שתי נשים מהעיר. מה ההסתברות שלשתיהן אין רישיון נהיגה? 10% )24מהאנשים באוכלוסייה עיוורי צבעים .קיימת בדיקה הבוחנת אם אדם הוא עיוור צבעים .אם עיוור צבעים ניגש לבדיקה ישנו סיכוי של 80%שהבדיקה תקבע שהוא עיוור צבעים .אם אדם שאינו עיוור צבעים ניגש לבדיקה ישנו סיכוי של 5%שהבדיקה תקבע שהוא עיוור צבעים .מהם אחוזי האמינות של הבדיקה (אחוז המקרים בהם הבדיקה מאבחנת נכונה את הנבדק)? )25בסניף "תנו לחיות לחיות" בירושלים יש כלבים וחתולים בלבד ,בעלי פרווה כהה או פרווה בהירה 55% .מהחיות בסניף הם כלבים .אחוז החתולים בעלי הפרווה הכהה גדול פי 3מאחוז הכלבים בעלי הפרווה הבהירה .מבין בעלי הפרווה הכהה 60%הם כלבים .בוחרים באקראי חתול מהסניף .מה ההסתברות שהוא בהיר פרווה? )26בית ספר תיכון מציע לתלמידיו 3מגמות ריאליות לבחירה :פיזיקה ,כימיה ומחשבים. 40%מתלמידי מגמות אלה הם בנים .הבנים מהווים 2/5מתלמידי הפיזיקה5/12 , מתלמידי הכימיה ו 1/3-מתלמידי המחשבים 1/4 .מהבנים הם תלמידי פיזיקה. א .האם יש תלות בין העובדה שתלמיד לומד פיזיקה למין התלמיד? ב .מהו אחוז לומדי המחשבים מקרב הבנים? )27אדם מסובב חמש פעמים סביבון .מה ההסתברות שיקבל פעמיים "נס"? )28מה ההסתברות לקבלת 5פעמים "נס" בשמונה סיבובי סביבון? )29הסיכוי לעבור את מבחן התיאוריה הוא .0.7עשרה אנשים ניגשים למבחן התיאוריה. מהי ההסתברות שבדיוק שישה מהם יעברו? )30בכד 6כדורים כחולים ו 4-לבנים .אדם מוציא מהכד כדור ,מסתכל על צבעו ומחזיר אותו לכד .הוא חוזר על הפעולה 4פעמים נוספות. מה ההסתברות שמתוך חמשת הכדורים הוציא: א .בדיוק ארבע יהיו כחולים? ב .חמישה יהיו כחולים? ג .לפחות ארבעה יהיו כחולים? ד .הרוב יהיו כחולים? ה .לפחות אחד יהיה כחול? ו .הראשון והאחרון בלבד יהיו כחולים? 112 )31בכד 6כדורים כחולים ו 4-לבנים .אדם מוציא מהכד כדור ,מסתכל על צבעו ומחזיר אותו לכד .הוא חוזר על הפעולה 4פעמים נוספות .ידוע שרוב הכדורים שהוציא כחולים .מה ההסתברות שכולם כחולים? )32יערה מצליחה לקלוע לסל בש לושה מכל ארבעה ניסיונות .כדי להתקבל לנבחרת הכדורסל של בית הספר עליה להצליח לקלוע ברוב הפעמים מתוך 6ניסיונות קליעה לסל .ידוע שיערה התקבלה לנבחרת הכדורסל .מה ההסתברות שהצליחה לקלוע את כל הקליעות? )33בוחרים שלושה גברים באקר אי מעיר גדולה .ההסתברות שכולם מעשנים היא .0.027 מה ההסתברות שרובם מעשנים? )34בוחרים שלוש נשים מעיר גדולה .ההסתברות ששתיים מהן מעשנות קטנה פי 4 מההסתברות ששתיים מהן לא מעשנות .מה ההסתברות שכולן מעשנות? )35בכד 10כדורים ,חלקם לבנים והשאר שחורים .נמרוד מוציא 9פעמים כדור מהכד (עם החזרה) .הסיכוי שיצאו פי 2כדורים שחורים מלבנים גדול פי 3 3מהסיכוי 8 שיצאו פי 2כדורים לבנים משחורים .מצא כמה כדורים מכל צבע בכד. )36בחדר xגברים ו 3x -נשים .מוציאים באקראי שני אנשים מהחדר. ההסתברות שהם יהיו מאותו מין היא .0.6מצא את גודלו של . x חוזרים על התהליך 4פעמים. מה הסיכוי שבשלוש מתוך 4הפעמים ייצאו מהחדר שתי נשים? )37במבחן רב ברירה עם 5שאלות שוות ניקוד ,לכל שאלה יש nתשובות מהן רק אחת נכונה .ישנו סיכוי של 50%ששי יידע את התשובה הנכונה לשאלה במבחן. אם שי לא יודע את התשובה לשאלה הוא מנחש. ההסתברות ששי יקבל במבחן 60גדולה פי 1 1מההסתברות שיקבל .80 3 מצא את ערכו של . n )38כדי להתקבל לקורס טיס יש לעבור גיבוש וראיון .כל המועמדים ניגשים גם לראיון וגם לגיבוש 40% .מהניגשים לגיבוש עוברים אותו ו 35%-מהניגשים לראיון עוברים אותו 5 .מאלה שלא התקבלו לקורס טיס לא התקבלו בגלל הריאיון בלבד. 17 3חברים ניסו להתקבל לקורס טיס .ידוע שרובם התקבלו. מה ההסתברות שכולם התקבלו? 113 תשובות סופיות: 3 )1 10 . 3 )2 4 . 3 )3 4 . P( A B) 0.35 )5 . P( A B) 0.9 )4 . 7 8 1 )6לא זרים ותלויים )8 . P( A B) 0.85 )7 .א . .ב . .ג. 15 15 15 . 1 8 1 77 8 17 31 19 9 )13 .א . .ב . .ג. )12 . )11 . )10 . .ג. .ב. )9א. 8 15 15 144 15 42 100 50 50 1 15 8 2 9 38 9 )16 . )15 .א . .ב)17 . . .ג. .ב. )14א. 4 16 15 17 100 100 38 21 )19א . p 0.6 .ב. 40 . 8 )18 .כדורים. )20 .א .15% .ב . 0.85 .ג . 0.5 .ד .כן. 1 2 2 )21א . 0.52 .ב . 0.2 .ג . 0.35 .ד .בלתי תלויים )22 .א . 0.1 .ב . .ג)23 . . 225 3 3 1 )25 . 93.5% )24 3 )26 .א .בלתי תלויים .ב. 0.023 )28 . 0.264 )27 .12.5% . )30 . 0.2001 )29א . 0.259 .ב . 0.078 .ג . 0.337 .ד . 0.683 .ה . 0.98976 .ו. 0.023 . 4 )35 . 0.008 )34 . 0.216 )33 . 0.214 )32 . 0.114 )31לבנים 6 ,שחורים. 1 )36א . x 4 .ב)38 . n 5 )37 . 0.299 . 18 . 114 . תרגול נוסף -שאלות שונות לפי נושאים: כפל וחיבור הסתברויות – מאורעות בלתי תלויים: )1בבניין העירייה יש שני מתקני הבטחה נגד פורצים. ההסתברות שהמתקן הראשון יפעל בזמן אמת היא 0.92וההסתברות שהמתקן השני יפעל בזמן אמת היא .0.86 א .מה ההסתברות שהמתקן הראשון יפעל והשני לא? ב .מה ההסתברות ששני המתקנים יפעלו? ג .מה ההסתברות שאף מתקן לא יפעל? )2צובעים את הפאות של קובייה בת 8פאות כך 3 :פאות כחולות 2 ,פאות אדומות2 , פאות צהובות ופאה אחת ירוקה .זורקים את הקובייה פעמיים .חשב את ההסתברויות הבאות: א .שתי הפאות הן בצבע ירוק. ב .שתי הפאות הן בצבע כחול. ג .שתי הפאות באותו הצבע. )3בכד יש 6כדורים שחורים ו 4-לבנים .מוציאים כדור מהכד ולאחר הסתכלות בצבעו מחזירים אותו לכד ומוציאים כדור נוסף .חשב את ההסתברויות הבאות: א .ששני הכדורים שהוצאו הם שחורים. ב .ששני הכדורים הם מאותו הצבע. ג .שהכדור השני הוא לבן. )4בכד יש 4כדורים אדומים 3 ,כדורים לבנים ו 2-כדורים כחולים .מוציאים שני כדורים מהכד עם החזרה ,דהיינו ,לאחר הוצאת הכדור הראשון ,מחזירים אותו בחזרה לכד ורק אז מוציאים את הכדור השני .חשב את ההסתברויות הבאות: א .ששני הכדורים שהוצאו הם לבנים. ב .ששני הכדורים שהוצאו הם מאותו הצבע. ג .ששני הכדורים שהוצאו לא כחולים. ד .שהכדור השני הוא כחול. )5כדי לקבל תואר במכללת חולון יש לעבור לפחות שניים מתוך שלושה מבחנים. ההסתברות שדורון יעבור את המבחן הראשון היא .0.9ההסתברות שיעבור את המבחן השני היא 0.6וההסתברות שיעבור את המבחן השלישי היא .0.8 א .מה ההסתברות שדורון יעבור רק מבחן אחד? ב .מה ההסתברות שדורון יעבור את שלושת המבחנים? ג .מה ההסתברות שדורון יעבור לכל היותר שני מבחנים? ד .מה ההסתברות שדורון יקבל תואר? 115 )6בתוך שקית ישנם 4קלפים אדומים 3 ,קלפים צהובים וקלף אחד ירוק. מוציאים עם החזרה שלושה קלפים מהשקית. א .מה ההסתברות שבכל שלושת הפעמים יצא הקלף הירוק? ב .מה ההסתברות שיצאו שני קלפים צהובים? ג .מה ההסתברות שכל הקלפים יהיו בעלי אותו הצבע? כפל וחיבור הסתברויות – מאורעות תלויים: )7תלמיד הרוצה להוציא רישיון לרכב צריך לעבור בחינה עיונית ולאחר מכן בחינה מעשית .ההסתברות שיעבור את הבחינה העיונית היא .0.7אם הוא עבר את הבחינה העיונית אז ההסתברות שיעבור את הבחינה המעשית היא 0.9ואם הוא נכשל בבחינה העיונית אז ההסתברות שיעבור את הבחינה המעשית היא .0.5 א .מה ההסתברות שיעבור התלמיד רק את הבחינה המעשית? ב .מה ההסתברות שהתלמיד ייכשל בשתי הבחינות? ג .מה ההסתברות שתלמיד יעבור את שתי הבחינות? )8בכד 5כדורים אדומים ו 3-כדורים ירוקים .מוציאים באקראי כדור מהכד ,אם הוא אדום אז מחזירים אותו חזרה לכד ומוציאים כד ור נוסף .אם הוא ירוק אז משאירים אותו בחוץ ומוציאים כדור נוסף. א .מה ההסתברות ששני הכדורים שהוצאו הם ירוקים? ב .מה ההסתברות שהכדור השני שהוצא הוא אדום? ג .מה ההסתברות ששני הכדורים שהוצאו בעלי אותו הצבע? )9בתוך ארגז ישנם 7ספלים הממוספרים מ 1-עד .7 מוציאים ספל אחד ,משאירים אותו בחוץ ומוציאים ספל נוסף. א .מה ההסתברות ששני הספלים שהוצאו הם בעלי מספרים זוגיים? ב .מה ההסתברות ששני הספלים שהוצאו הם בעלי מספרים המתחלקים ב?3- ג .מה ההסתברות ששני הספלים שהוצאו הם בעלי מספרים שסכומם גדול מ ?10- )10במעטפה יש 30בולים ,מתוכם 6בולים פגומים. מוציאים שני בולים בזה אחר זה (ללא החזרה) מהמעטפה. א .מה ההסתברות ששני הבולים שהוצאו הם פגומים? ב .מה ההסתברות שהבול הראשון שהוצא אינו פגום אך הבול השני פגום? ג .מה ההסתברות שהבול השני פגום? ד .מה ההסתברות ששני הבולים או פגומים או אינם פגומים? 116 )11בכיתה ישנם 24בנים ו 18-בנות .מוציאים באקראי 3ילדים מהכיתה בזה אחר זה. חשב את ההסתברויות הבאות: א .שכל שלושת הילדים יהיו בנים. ב .שכל שלושת הילדים יהיו מאותו המין. ג .שתהיה בקבוצה לפחות בת אחת. ד .שיהיה בקבוצה לכל היותר בן אחד. )12בתוך שקית יש 6חטיפי "מקופלת" ו 4-חטיפי "במבה" מוציאים באקראי 3חטיפים מהשקית בזה אחר זה .חשב את: א .ההסתברות שיצאו 3חטיפי במבה. ב .ההסתברות שיצאו לכל היותר שני חטיפי במבה. ג .ההסתברות שיצאו לפחות שני חטיפי מקופלת. )13צלף יורה למטרה שלוש פעמים .ההסתברות שיקלע בפעם הראשונה היא .0.7 ההסתברות שיקלע לאחר מכן תלויה בקליעה הקודמת .אם קלע הצלף בירייה הקודמת אז ההסתברות שלו לקלוע שנית היא 0.8אך אם הוא החטיא אז ההסתברות שלו לקלוע כעת היא .0.6 א .מה ההסתברות שיקלע בכל שלושת הפעמים? ב .מה ההסתברות שיקלע בירייה השלישית בלבד? ג .מה ההסתברות שיקלע הקלע בירייה אחת בלבד? ד .מה ההסתברות שיקלע לכל היותר פעם אחת? )14שחקן כדורגל בועט לשער שלוש פעמים .ההסתברות שיבקיע בפעם הראשונה היא .0.6 ההסתברות שיבקיע לאחר מכן תלויה בבקיעה הקודמת .אם השחקן הבקיע אז ההסתברות שיבקיע שנית היא 0.8אך אם הוא החמיץ אז ההסתברות שיחמיץ שנית היא .0.3חשב את: א .ההסתברות שיב קיע השחקן בכל שלושת הפעמים. ב .ההסתברות שיבקיע השחקן בפעם השנייה בלבד. ג .ההסתברות שיבקיע השחקן פעם אחת בלבד. ד .ההסתברות שיבקיע השחקן לפחות פעם אחת. 117 תרגילים הכוללים שימוש בדיאגרמת עץ: )15בעיר מסוימת 40%מהתושבים הם גברים והשאר נשים. ידוע כי 40%מהגברים מרכיבים משקפיים ו 60%-מהנשים לא מרכיבות משקפיים. בוחרים באקראי תושב מהעיר .חשב את ההסתברויות הבאות: א .שנבחר גבר שלא מרכיב משקפיים. ב .שנבחרה אישה שמרכיבה משקפיים. ג .שהתושב שנבחר מרכיב משקפיים. )16צלף יורה למטרה שלוש פעמים .אם בירייה הקודמת הוא פגע אז ההסתברות שיפגע שוב בירייה הבאה היא 0.8אך אם הוא החטיא בירייה הקודמת אז ההסתברות שיפגע בירייה שאחריה היא .0.6הצלף החטיא בירייה הראשונה. חשב את ההסתברויות הבאות: א .הצלף יחטיא גם בשתי היריות הבאות. ב .הצלף יפגע בירייה השלישית. ג .הצלף יפגע בירייה אחת בלבד. ד .הצלף יחטיא בירייה השלישית. )17אם ביום מסוים יורד גשם אז ההסתברות שביום שאחריו לא ירד גשם היא 0.4אך אם ביום מסוים לא יורד גשם ההסתברות שירד גשם ביום שאחריו היא .0.9 ביום שלישי ירד גשם .חשב את ההסתברויות הבאות: א .ביום חמישי לא ירד גשם. ב .בימים שלישי ,רביעי וחמישי ירד גשם. ג .בימים רביעי וחמישי לא ירד גשם. )18במפעל שמיכות שלושה פסי ייצור .פס הייצור הראשון מייצר 40%מהמוצרים ,פס הייצור השני מייצר 30%מהמוצרים ופס הייצור השלישי מייצר את ה 30% -הנותרים. 50%מהמוצרים של פס הייצור הראשון 10% ,מהמוצרים של פס הייצור השני ו80%- ממוצרי הפס השלישי מיועדים ליצוא .בוחרים באקראי מוצר .חשב את: א .ההסתברות שהמוצר מיוצר על ידי פס הייצור השני ומיועד לייצוא. ב .ההסתברות שהמוצר מיועד ליצוא. ג .ההסתברות שהמוצר לא יוצר על ידי פס הייצור הראשון ואינו מיועד לייצוא. )19במשחק "חיש -חש" אפשר לזכות ב ₪ 50 ,₪ 100-או לא לזכות כלל .ההסתברות לזכות במשחק בודד ב ₪ 100-היא ,0.2ההסתברות לזכות ב ₪ 50-היא 0.35 וההסתברות לא לזכות כלל היא .0.45רועי משחק פעמיים .חשב את: א .ההסתברות שרועי יזכה ב ₪ 50-בסה"כ. ב .ההסתברות שרועי יזכה לפחות ב.₪ 100- ג .ההסתברות שרועי לא יזכה במשחק השני. 118 )20בכד א' יש 5כדורים אדומים ו 2-כדורים לבנים .בכד ב' יש 4כדורים אדומים ו 6- כדורים לבנים .בוחרים באקראי כד ומוציאים ממנו בזה אחר זה שני כדורים בלי החזרה. א .מה ההסתברות שיצאו שני כדורים בעלי אותו הצבע? ב .מה ההסתברות שהכדור השני הוא אדום? ג .מבין כל האפשרויות בהן הכדור השני הוא אדום ,מה ההסתברות שגם הכדור הראשון שיצא יהיה אדום? )21זורקים קוביית משחק פעם אחת .אם היא מראה מספר המתחלק ב 3-בלי שארית רושמים אותו אך אם היא מראה מספר אחר זורקים אותה שנית. חוזרים על התהליך פעם שנייה ושלישית כאשר בפעם השלישית רושמים את המספר שהתקבל .חשב את ההסתברויות הבאות: א .המספר שנרשם הוא זוגי. ב .המספר שנרשם גדול מ.4- ג .המספר שנרשם מתחלק ב 3-בלי שארית. ד .המספר שנרשם לא מתחלק ב.3- )22ישנם שני כדים .בכד א' יש 4כדורים כחולים ו 2-כדורים צהובים ובכד ב' יש 3 כדורים כחולים ו 6-כדורים צהובים .זורקים קובייה .אם מתקבל מספר המתחלק ב3- בלי שארית אז מוציאים כדור מכד א' ואם מתקבל מספר שאינו מתחלק ב 3-אז מוציאים כדור מכד ב' .לאחר מכן זורקים את הקובייה שנית וחוזרים על התהליך ומוציאים כדור שני( .ההוצאות הן בלי החזרה). א .מה ההסתברות שיבחרו שני כדורים כחולים? ב .מה ההסתברות שיבחרו שני כדורים צהובים? ג .מה ההסתברות שיבחרו שני כדורים מאותו הצבע? )23בכד יש 4כדורים ירוקים ו 2-כדורים לבנים .מוציאים כדור מהכד ,אם הוא ירוק אז משאירים אותו בחוץ ומוציאים כדור נוסף ואם הוא לבן אז מחזירים אותו לכד ולאחר מכן מוציאים כדור נוסף .חוזרים על התהליך פעם שנייה ולאחר מכן מוציאים כדור שלישי .חשב את ההסתברויות הבאות: א .מה ההסתברויות ששלושת הכדורים שהוצאו יהיו ירוקים? ב .מה ההסתברות ששלושת הכדורים שהוצאו יהיו בעלי אותו הצבע? ג .מה ההסתברות שיצאו לפחות שני כדורים ירוקים? ד .מה ההסתברות שיצא בדיוק כדור לבן אחד? )24בכד יש 8כדורים שחורים ו 5-כדורים סגולים .מוציאים בלי החזרה 3כדורים. מה ההסתברות שיצא לפחות כדור אחד סגול? 119 תרגילים עם נעלמים – כפל וחיבור הסתברויות ,דיאגרמת עץ: מציאת ההסתברות :P )25קלע יורה למטרה פעמיים .ההסתברות שיקלע בירייה בודדת היא .)P < 0.5( P מצא את Pאם ידוע כי הה סתברות שיקלע פעם אחת בדיוק היא .0.48 44% )26מעובדי מפעל הם מנהלים והשאר הם פועלים .ההסתברות שפועל מעשן היא 0.7 וההסתברות שמנהל מעשן היא .Pבוחרים באקראי עובד מהמפעל .מצא את Pאם ידוע כי ההסתברות שהעובד שנבחר מעשן היא .0.48 )27במפעל מסוים המונה 5000עובדים 1500 ,הם מנהלים והשאר הם פועלים פשוטים. ההסתברות שמנהל מעשן היא Pוההסתברות שפועל מעשן היא .2P+0.1 בוחרים באקראי עובד .מצא את ההסתברות Pאם ידוע כי ההסתברות שהעובד שנבחר אינו מעשן היא .0.59 )28ההסתברות שקלע יפגע במטרה בירייה בודדת היא .Pהקלע יורה שתי יריות. מצא את Pאם ידוע כי ההסתברות שיפגע בשתי הפעמים קטנה פי 16מההסתברות שיחטיא בשתיהן. )29שני צלפים יורים למטרה ירייה אחת .ידוע כי ההסתברות שהצלף הראשון יפגע גדולה פי 3מההסתברות שהצלף השני יפגע .מצא את ההסתברות של כל צלף לפגוע בירייה בודדת אם ידוע כי ההס תברות שבדיוק אחד מהם יפגע היא .0.66 )30במשחק "חיש חש" אפשר לזכות ב ₪ 100 ,₪ 200-או בכלום .ידוע כי ההסתברות לזכות ב ₪ 200-היא 0.1וההסתברות לזכות ב ₪ 100-היא .Pשחקן משחק שני משחקים .ההסתברות שלא יזכה כלל גדולה פי 36מההסתברות שיזכה ב.₪ 400- א .מצא את .P ב .חשב את ההסתברות של השחקן לזכות לפחות ב.₪ 200- )31אלי ורפי משחקים שני משחקי שחמט .כל משחק יכול להסתיים בניצחון לאחד השחקנים או בתיקו .ידוע כי ההסתברות של אלי לנצח במשחק בודד היא 0.36 וההסתברות שינצח בתחרות כולה (שני המשחקים יחדיו) היא .0.2304 א .מצא את ההסתברות שרפי ינצח במשחק בודד. ב .חשב את ההסתברות שהתחרות כולה תסתיים בתיקו. 120 )32שני שחקני שחמט משחקים שני משחקים .כל משחק יכול להסתיים בניצחון לאחד הצדדים או בתיקו .ההסתברות של כל שחקן לנצח במשחק בודד היא זהה. ההסתברות שהשחקן הראשון ינצח לפחות במשחק אחד היא .0.64 מצא את ההסתברות של כל שחקן לנצח במשחק בודד. )33צלף יורה שלוש יריות למטרה .אם הצלף פוגע בירייה מסוימת אז ההסתברות שיפגע גם בירייה הבאה היא . Qאם הצלף מחטיא בירייה מסוימת אז ההסתברות שיפגע בירייה הבאה היא . Pהצלף מחטיא בירייה הראשונה .ידוע כי ההסתברות שהצלף יפגע בירייה השנייה והשלישית היא 0.12וההסתברות שהצלף יפגע בירייה השנייה ויחטיא בשלישית היא .0.18 א .מצא את Pו.Q- ב .חשב את ההסתברות שהצלף יפגע בירייה השלישית. ג .חשב את ההסתברות שהצלף יפגע בירייה אחת לפחות. )34שני שחקני כדורסל זורקים זריקה אחת לסל .ההסתברות שהשחקן הראשון יקלע היא Pוההסתברות שהשחקן השני יחטיא היא .)Q < 0.5( Q ידוע כי ההסתברות ששני השחקנים יקלעו היא 0.28וההסתברות ששני השחקנים יחטיאו היא .0.18מצא את Pו.Q- מציאת מספר :x )35בכד יש xכדורים 8 .מהם ירוקים והשאר כחולים .מוציאים באקראי עם החזרה שני כדורים מהכד .מצא את xאם ידוע כי ההסתברות להוציא שני כדורים ירוקים היא .0.64 )36בכד יש 12כדורים חלקם אדומים וחלקם שחורים .מוציאים עם החזרה שני כדורים מהכד .מצא את מספר הכדורים האדומים שבכד אם ידוע כי ההסתברות ששני הכדורים שהוצאו הם שחורים היא 4 9 . )37במעטפה יש 8מכתבים .רובם מיועדים להישלח בתוך הארץ והשאר לחו"ל. מוציאים באופן אקראי מהמעטפה שני מכתבים בלי החזרה בזה אחר זה. מצא את מספר המכתבים המיועדים להישלח לחו"ל אם ידוע כי ההסתברות שהמכתב הראש ון שהוצא מיועד לארץ והשני לחו"ל היא 121 3 14 . )38בכד יש 8כדורים ירוקים והשאר כחולים .מוציאים עם החזרה שני כדורים מהכד. מצא כמה כדורים יש בכד אם ידוע כי ההסתברות להוציא שני כדורים בצבעים שונים היא 4 9 ויש יותר כדורים ירוקים מכחולים. )39בתוך קלמר יש 5עפרונות ועוד xעטים .מוציאים כלי כתיבה מהקלמר ,אם הוא עפרון אז מחזירים אותו לקלמר ומוציאים כלי כתיבה נוסף .אם הוא עט אז משאירים אותו בחוץ ומוציאים כלי כתיבה נוסף .מצא כמה עטים יש בקלמר אם ידוע כי ההסתברות להוציא שני עטים היא . 1 6 )40בקופסא א' ישנם 5זוגות נעליים ו 3-זוגות מגפיים .בקופסא ב' יש 8פריטים x -זוגות נעליים והשאר הם זוגות מגפיים .מוציאים באקראי מקופסא א' זוג כלשהו ומעבירים אותו לקופסא ב' .לאחר מכן מוציאים מקופסא ב' זוג .כמה זוגות נעליים יש בקופסא ב' אם ידוע כי ההסתברות להוציא בפעם השנייה זוג מגפיים היא 17 24 . )41בקלמר יש 6עפרונות ו 3-עטים .בתיק יש 9כלי כתיבה x -עפרונות והשאר עטים. מוציאים באקראי מהקלמר כלי כתיבה ומכניסים אותו לתיק .לאחר מכן מוציאים מהתיק כלי כתיבה נוסף .מצא כמה עפרונות יש בתיק אם ידוע כי ההסתברות שכלי הכתיבה שהוצא מהקלמר שונה מכלי הכתיבה שהוצא מהתיק היא 13 30 . )42בתוך כד ישנם 8כדורים ,חלקם אדומים וחלקם לבנים .מוציאים באקראי כדור, מניחים אותו בצד ומוציאים כדור נוסף .מצא כמה כדורים יש מכל צבע אם ידוע כי ההסתברות שהכדור השני שהוצא הוא לבן היא . 3 8 )43בתוך כד ישנם 10כדורים ,חלקם צהובים וחלקם כחולים .מוציאים באקראי כדור, מתבוננים בו ולאחר מכן מוציאים כדור נוסף .מצא כמה כדורים יש מכל צבע בכד אם ידוע כי ההסתברות שיצא לפחות כדור אחד כחול היא . 44 45 )44בתוך שק ישנם 9כדורים ,חלקם סגולים וחלקם ירוקים .מוציאים באקראי כדור ,אם הוא סגול אז משאירים אותו בחוץ ואם הוא ירוק אז מחזירים אותו חזרה לכד. לאחר מכן מוציאים כדור נוסף .מצא כמה כדורים מכל צבע יש בשק אם ידוע כי ההסתברות שהכדור השני שיבחר יהיה סגול היא 122 11 36 . התפלגות בינומית ונוסחת ברנולי: תרגילים יסודיים: )45צלף יורה למטרה .ידוע כי מתוך 2000יריות הוא פוגע ב 1200-מהן. הצלף יורה 4יריות למטרה .חשב את ההסתברויות הבאות: א .שהצלף יפגע בדיוק פעמיים במטרה. ב .שהצלף יפגע במטרה בכל ארבעת הפעמים. ג .שהצלף יפגע לפחות פעמיים במטרה. ד .שהצלף לא יפגע במטרה כלל. )46ב 70%-מהמכוניות יש רדיו .בוחרים באקראי 5מכוניות .חשב את ההסתברויות הבאות: א .בדיוק ב 3-מתוך 5המכוניות יהיה רדיו. ב .בכל 5המכוניות יהיה רדיו. ג .ב 4-מתוך 5המכוניות יהיה רדיו. ד .לפחות ב 3-מכוניות יהיה רדיו. )47במכללה המונה 20,000סטודנטים ישנם 6000בנים והשאר בנות. בוחרים באקראי 5סטודנטים .חשב את ההסתברויות הבאות: א .מתוך 5הסטודנטים תהיה לכל היותר בת אחת. ב .מתוך 5הסטודנטים יהיה לכל היותר בן אחד. ג .יבחרו 3סטודנטים בנים מתוך החמישה. ד .יבחרו לכל היותר 3סטודנטים בנים. )48בבה"ס הספר 40%מהתלמידים הם בנים והשאר בנות. בוחרים באופן אקראי 4תלמידים .חשב את ההסתברויות הבאות: א .שנבחרו 2בנים ו 2-בנות. ב .שתבחר בת אחת. ג .שיבחרו יותר בנים מבנות. ד .שמספר הבנים שנבחרו יהיה שונה ממספר הבנות שנבחרו. )49רפי וגיל משחקים 4משחקי שש -בש .מתוך 60משחקים בודדים ששיחקו השניים, ניצח רפי ב 48-פעמים .חשב את: א .ההסתברות שרפי ינצח במשחק אחד. ב .שגיל ינצח בתחרות. ג .שרפי ינצח בתחרות. ד .שהתחרות תסתיים בתיקו. 123 )50טנק יורה טיל על חומה .ההסתברות שהטיל יפגע בחומה היא .0.6 כדי להפיל את החומה יש לפגוע בה לפחות עם 3טילים .הטנק יורה 4טילים. מה ההסתברות שהטנק יפיל את החומה? הוצאה עם החזרה: )51בתוך סל קניות יש 6תפוחים ו 4-תפוזים .מוציאים עם החזרה 4פירות מהסל. חשב את ההסתברויות הבאות: א .להוציא שני תפוחים ושני תפוזים. ב .להוציא 3תפוחים ותפוז אחד. ג .רוב הפירות שמוציאים יהיו תפוחים. ד .לא להוציא תפוחים כלל. )52בתוך קופסה יש 4כדורים אדומים ו 2-כדורים ירוקים. מוציאים עם החזרה 4כדורים מהקופסה .חשב את ההסתברויות הבאות: א .שכל הכדורים שהוצאו הם מאותו הצבע. ב .שהוצאו לפחות שני כדורים ירוקים ולכל היותר 3כדורים ירוקים. ג .שהוצא לפחות כדור אחד אדום ולכל היותר 3כדורים אדומים. )53בתוך קלמר יש 8עפרונות ו 2-עטים .מוציאים עם החזרה 5כלי כתיבה מהקלמר. א .הראה כי ההסתברות להוציא 3עפרונות ו 2-עטים גדולה פי 4מההסתברות להוציא 2עפרונות ו 3-עטים. ב .חשב את ההסתברות להוציא 5כלי כתיבה מאותו הסוג. ג .חשב את ההסתברות להוציא כלי כתיבה שונים. בעיות שונות – התפלגות בינומית אחת: )54זורקים קובייה 4פעמים .חשב את ההסתברויות הבאות: א .שיתקבל בכל פעם המספר .4 ב .שיתקבל בדיוק פעמיים המספר .3 ג .שיתקבל פעמיים מספר הקטן מ .4- ד .שיתקבל בכל ארבעת הפעמים מספר המתחלק ב 3-בלי שארית. )55במבחן יש 5שאלות ולכל שאלה 3תשובות שרק אחת מהן נכונה. א .מה ההסתברות לענות נכון בניחוש על כל השאלות? ב .מה ההסתברות לקבל ציון של 60במבחן? ג .נניח שתלמיד יודע את התשובות הנכונות ל 2-מתוך 5השאלות. מה ההסתברות שתלמיד זה יקבל 100במבחן? ד .מה ההסתברות שהתלמיד בסעיף הקודם יקבל ציון של 60לפחות? 124 )56ההסתברות ששחקן כדורסל יקלע לסל בזריקה בודדת היא .0.7השחקן זורק כדורים עד שהוא קולע 4פעמים .מה ההסתברות שהשחקן יזרוק בדיוק 6כדורים? )57זורקים קובייה עד שהמספר 5מתקבל בדיוק 4פעמים. מה ההסתברות לזרוק את הקובייה בדיוק 5פעמים? תרגילים הכוללים שתי התפלגויות בינומיות: )58בעיר מסוימת 40%מהגברים מרכיבים משקפיים ו 30%-מהבנות מרכיבות משקפיים. א .בוחרים באקראי 4גברים .מה ההסתברות שבדיוק 3מהם מרכיבים משקפיים? ב .בוחרים באקראי 5נשים .מה ההסתברות שלכל היותר אישה אחת תרכיב משקפיים? ג .מה ההסתברות שמבין 4הגברים ו 5-הנשים שנבחרו יהיו בדיוק 3גברים שמרכיבים משקפיים ואישה אחת לכל היותר שמרכיבה משקפיים? 2 )59קלעים יורים למטרה .ההסתברות שהקלע הראשון יפגע היא 0.9וההסתברות שהקלע השני יפגע היא .0.6הקלע הראשון יורה 5יריות והקלע השני יורה 3יריות. חשב את ההסתברויות הבאות: א .שהקלע הראשון יפגע בדיוק ב 2-יריות והקלע השני יפגע רק בירייה אחת במטרה. ב .שני הקלעים יפגעו כל אחד 3פעמים במטרה. ג .שני הקלעים לא יפגעו כלל במטרה. ד .שני הקלעים יפגעו אותו מספר פגיעות כל אחד במטרה. )60בכד א' יש 4כדורים לבנים ו 6-כדורים שחורים .בכד ב' יש 8כדורים לבנים ו 2- כדורים שחורים .מוציאים באקראי 4כדורים עם החזרה מכד א' ו 5-כדורים עם החזרה מכד ב'. א .הראה כי ההסתברות להוציא שני כדורים לבנים ושני כדורים שחורים מכד א' גדולה פי 54מההסתברות להוציא כדור לבן אחד ו 4-כדורים שחורים מכד ב'. ב .חשב את ההסתברות להוציא 4כדורים שחורים מכד א' וגם מכד ב'. ג .חשב את ההסתברות להוציא 3כדורים שחורים מכד א' וגם מכד ב'. ד .מה היא ההסתברות להוציא לפחות 3כדורים שחורים מכד א' וגם מכד ב'? 125 )61במשפחה מרובת ילדים 40%מהבנים ו 30%-מהבנות היו בחופשה בחו"ל. בוחרים באקראי 5בנים ו 5-בנות. א .חשב את הה סתברות שבדיוק בן אחד ובת אחת היו בחו"ל. ב .חשב את ההסתברות שבדיוק שני בנים היו בחו"ל ואף אחת מהבנות שנבחרו לא הייתה בחו"ל. ג .חשב את ההסתברות שכל הבנים שנבחרו לא היו בחו"ל ו 2-בנות היו בחו"ל. ד .חשב את ההסתברות שבדיוק 2מתוך 10הילדים שנבחרו היו בחו"ל. )62זורקים שתי קוביות משחק – אחת ירוקה והשנייה כחולה 4 ,פעמים כל אחת. חשב את ההסתברויות הבאות: א .שיתקבל מספר הגדול מ 4-פעם אחת בקובייה הירוקה ו 3-פעמים בקובייה הכחולה. ב .שיתקבל המספר 5בשתי הקוביות בכל הזריקות שלהן. ג .שיתקבל מספר זוגי בקובייה הירוקה ב 3-מתוך 4הזריקות שלה ומספר אי-זוגי בקובייה הכחולה ב 3-מתוך 4הזריקות שלה. ד .שיתקבל מספר הגדול מ 3-לפחות 3פעמים בקובייה הירוקה ולכל היותר 3פעמים בקובייה הכחולה. תרגילים מורכבים – מציאת ההסתברות להצלחה בניסיון בודד: )63כדי להתקבל למגמת הנדסה במכללת חולון סטודנט צריך לעבור לפחות אחד משני מבחנים .ההסתברות להצליח במבחן הראשון היא 0.2וההסתברות להצליח במבחן השני היא .0.5בוחרים 5סטודנטים שרוצים להתקבל למגמה הנ"ל. א .מה ההסתברות שסטודנט בודד יתקבל למגמה? ב .מה ההסתברות ששניים מתוך 5הסטודנטים יתקבלו למגמה? ג .מה ההסתברות שלפחות 2מתוך 5הסטודנטים יתקבל למגמה? )64בעיר מסוימת המונה 500,000תושבים ,ישנם 300,000גברים והשאר נשים .ידוע כי 40%מהגברים מעשנים ו 90%-מהנשים מעשנות. א .בוחרים תושב באופן אקראי .מה ההסתברות שהוא תושב מעשן? ב .בוחרים 5מהתושבים הנ"ל. .1מה ההסתברות שלכל היותר תושב אחד הוא מעשן? .2מה ההסתברות שכל התושבים שנבחרו הם מעשנים? 126 )65א .מצא את ההסתברות שבמשפחה שבה 5ילדים יהיו בדיוק 3בנות אם ידוע כי ההסתברויות להולדת בן ובת זהים. ב .מבין כל המשפחות בעיר מסוימת בעלות 5ילדים ומתוכן 3בנות ,בוחרים באקראי 4משפחות. .1מה ההסתברות שבדיוק ל 3-מהמשפחות הנ"ל יהיו 3בנות? .2מה ההסתברות שלפחות ל 3-משפחות מהמשפחות הנ"ל יהיו 3בנות? )66בכיתה שבה 45תלמידים ישנם 18בנים .בוחרים באקראי 3תלמידים מהכיתה. א .מה ההסתברות שתבחרנה בדיוק שתי בנות? ב .חוזרים על התהליך הנ"ל כל חצי שנה. מה ההסתברות שבמשך שנתיים יבחרו רק פעם אחת שתי בנות ובן? תרגילים המכילים התפלגות שבה יותר משתי אפשרויות בניסיון בודד: 3 )67פאות של קובייה הן אדומות .פאה אחת היא כחולה ועוד שתי פאות הן צהובות. זורקים את הקובייה 4פעמים. א .מה ההסתברות לקבל ב 3-מתוך 4הזריקות צבע אדום? ב .מה ההסתברות לקבל לכל היותר פעם אחת צבע כחול? ג .מה ההסתברות לקבל בכל 4הזריקות את הצבע הצהוב? ד .מה ההסתברות לקבל צבע זהה בכל 4הזריקות? )68שחקן שחמט מנוסה מנצח ב 70%-מהמשחקים ,ב 20%-מהם הוא נשאר בתיקו ובשאר הוא מפסיד .השחקן משחק בטורניר 4משחקים ברצף. א .מה ההסתברות שהשחקן ינצח ב 3-מתוך 4המשחקים? ב .מה ההסתברות שהשחקן יסיים בתיקו בכל 4המשחקים? ג .מה ההסתברות שהשחקן יפסיד לכל היותר במשחק אחד? ד .מה ההסתברות שהשחקן ינצח לפחות ב 3-משחקים? )69בכד יש 4כדורים שחורים 3 ,כדורים לבנים ו 3-כדורים כחולים. מוציאים עם החזרה 5כדורים מהכד. א .הראה כי ההסתברות שבדיוק 2כדורים יהיו לבנים זהה להסתברות שבדיוק 2 כדורים יהיו כחולים. ב .מה ההסתברות שבדיוק 4כדורים הם לבנים? ג .מה ההסתברות שבדיוק 4כדורים הם שחורים? ד .מה ההסתברות שבדיוק 4כדורים יהיו מאותו הצבע? 127 )70אדם מתקשר לחברו .ההסתברות שהחבר יענה לטלפון היא ,0.6ההסתברות שהקו יהיה תפוס היא 0.3וההסתברות שלא יענה כלל היא .0.1מתקשרים 4פעמים. חשב את ההסתברויות הבאות: א .פעמיים בדיוק הקו יהיה תפוס. ב .לכל היותר פעם אחת לא יענו. ג .החבר יענה לטלפון בכל 4הפעמים. ד .החבר יענה לשיחה לכל היותר 3פעמים. )71צובעים את הפאות של סביבון בעל 8פאות כך 3 :פאות באדום 2 ,פאות בכחול2 , פאות בירוק ופאה אחת בצהוב. א .מה ההסתברות שמתוך 4פעמים שמסובבים את הסביבון הוא לא ייפול אף פעם על פאה אדומה? ב .מה ההסתברות שמתוך 5פעמים שמסובבים את הסביבון הוא ייפול 4 פעמים על פאה כחולה? ג .מה ההסתברות שמתוך 3פעמים שמסובבים את הסביבון הוא ייפול לפחות פעמיים על פאה צהובה? ד .מה ההסתברות שמתוך 4פעמים שמסובבים את הסביבון הוא ייפול פעם אחת לכל היותר על פאה ירוקה? תרגילים הכוללים נעלמים – התפלגות בינומית: )72אם מוציאים מתוך פס ייצור לקיסמי שיניים 4קיסמי שיניים ההסתברות שכולם פגומים היא .0.0001 א .מה ההסתברות להוציא קיסם שיניים פגום מפס הייצור? ב .מה ההסתברות שמתוך 4הקיסמים כולם יהיו תקינים? ג .מה ההסתברות שמתוך 4הקיסמים שניים בדיוק יהיו פגומים? )73מבדיקה של משרד הרישוי נמצא כי מתוך 2000נבחנים שעשו טסט ראשון 1400 ,עברו בהצלחה. א .חשב את ההסתברות להצליח לעבור את בחינת הנהיגה. ב .חשב את ההסתברות לבחור 5תלמידים שמתוכם 3עברו את בחינת הנהיגה. ג .חשב את ההסתברות לבחור 4תלמידים שמתוכם אף אחד לא עבר את בחינת הנהיגה. )74אם בוחרים 4תושבים מעיר מסוימת אז ההסתברות שלפחות אחד מהם ירכיב משקפיים היא .0.8704 א .חשב את ההסתברות שתושב אחד ירכיב משקפיים. ב .בוחרים 5תושבים .מה ההסתברות שלפחות 4מהם ירכיבו משקפיים? 128 )75ההסתברות להוציא עפרון מקלמר היא Pוהיא יותר גדולה מההסתברות להוציא כלי כתיבה אחר .ידוע שמבין שני כלי כתיבה שמוציאים מהקלמר עם החזרה ההסתברות שאחד מהם בדיוק יהיה עפרון היא .0.32 א .מצא את .P ב .חשב את ההסתברות שמתוך 5כלי כתיבה שמוציאים מהקלמר אף אחד לא יהיה עפרון. )76קלע יורה למטרה 4פעמים .ההסתברות שלו לפגוע בירייה בודדת היא .P א .מצא את Pאם ידוע כי ההסתברות של הקלע לפגוע פעמיים שווה להסתברות שלו לפגוע 3פעמים. ב .מצא את ההסתברות של הקלע לפגוע פעם אחת במטרה. )77בעיר מסוימת ההסתברות שלמשפחה יהיה מחשב בבית היא .Pבוחרים באקראי 5 משפחות מעיר זו. א .מצא את Pאם ידוע כי ההסתברות שלשתי משפחות בדיוק יהיה מחשב קטנה פי 4מההסתברות של 3-משפחות יהיה מחשב. ב .הראה כי ההסתברות של 4-משפחות בדיוק יהיה מחשב גדולה פי 2 מההסתברות של 3-משפחות בדיוק יהיה מחשב. )78ההסתברות להצליח במבחן מסוים היא .Pידוע שאם בוחרים 3תלמידים אז ההסתברות שלושתם יעברו את המבחן קטנה פי 16מ.P- א .מצא את .P ב .חשב את ההסתברות ששלושתם יכשלו במבחן. טבלה דו מימדית: תרגילים הכוללים הסתברות מותנה: )79בעיר מסוימת 70%מהתושבים תומכים בקיום פעילויות אחה"צ לילדים. ל 60%-מהתושבים יש ילדים בבית ול 40%-אין ילדים כלל. ל 36%-מהתושבים יש ילדים והם תומכים בקיום פעילויות אחה"צ. א .מה הוא אחוז התושבים שאינם תומכים בקיום פעילויות אחה"צ ויש להם ילדים? ב .מה הוא אחוז התומ כים בקיום הפעילויות מבין התושבים שיש להם ילדים? ג .מה הוא אחוז התושבים שאינם תומכים בקיום פעילויות אחה"צ לילדים מבין התושבים שאין להם ילדים? 129 )80במכללה המונה 16,000סטוד נטים ,נערכו שני מבחני סוף סמסטר 9600 .סטודנטים עברו את המבחן הראשון ו 20%-מהם עברו את השני 1920 .סטודנטים עברו את שני המבחנים. א .מה הוא אחוז הסטודנטים שלא עברו אף מבחן? ב .מה הוא אחוז הסטודנטים שעברו את המבחן הראשון מבין אלו שעברו את המבחן השני? ג .מה הוא אחוז הסטודנטים שעברו את המבחן השני מבין אלו שעברו את המבחן הראשון? ד .מה הוא אחוז הסטודנטים שלא עברו אף מבחן מבין אלו שלא עברו את המבחן הראשון? )81בחברה מסוימת מספר הנשים גדול פי 3ממספר הגברים .ידוע כי ההסתברות לבחור עובד שהוא מרכיב משקפיים היא 30% .0.4מבין העובדים שמרכיבים משקפיים הם גברים. א .מה ההסתברות לבחור עובד שהוא אישה שאינה מרכיבה משקפיים? ב .בוחרים עובד באקראי ,ידוע שנבחר גבר .מה ההסתברות שהוא מרכיב משקפיים? ג .בוחרים עובד באקראי ,ידוע שהעובד שנבחר מרכיב משקפיים. מה ההסתברות שזו אישה? )82במדינה מסוימת 60%מהאזרחים בעד הממשלה ו 40%-הם נגד. 48%מהאזרחים הם גמלאים ו 25%-מהגמלאים בעד הממשלה. א .מה הו א אחוז האזרחים שאינם גמלאים מבין אלה שנגד הממשלה? ב .בוחרים אזרח באקראי .ידוע כי הוא בעד הממשלה. מה ההסתברות שהוא לא גמלאי? ג .בוחרים אזרח באקראי .ידוע כי הוא נגד פעולות הממשלה. מה ההסתברות שהוא גמלאי? )83מחצית מתלמידי התיכון נעזרים במורים פרטיים. בסוף השנה נערך מבחן מסכם והתברר כי 60%מבין התלמידים שנעזרו במורים פרטיים עברו את המבחן בהצלחה 20% .מהתלמידים שלא נעזרו במורים פרטיים נכשלו במבחן. א .איזה אחוז מתלמידי התיכון עברו את המבחן בהצלחה? ב .איזה אחוז מבין התלמידים שלא נעזרים במורים פרטיים עברו את המבחן? ג .בוחרים באופן אקראי תלמיד .ידוע כי הוא נכשל במבחן. מה ההסתברות שהוא לא נעזר במורים פרטיים? 130 )84מספר הבנות במכללה גדול פי 1.5ממספר הבנים 20% .מהבנים לומדים מקצוע הומאני ,ו 36%-מכלל הסטודנטים לומדים מקצוע ריאלי. א .מה הוא אחוז הבנות שלומדות מקצוע ריאלי? ב .בוחרים באופן אקראי סטודנט .ידוע כי נבחרה בת. מה ההסתברות שהיא לומדת מקצוע הומאני? ג .מה הוא אחוז הבנים מבין כל אלו שלומדים מקצוע הומאני? תרגילים הניתנים לפתירה גם על ידי דיאגרמת עץ: )85במפעל מסוים 3 7 מהעובדים הם נשים ו 4 -הם גברים 70% .מהנשים הן מעשנות ו - 7 7 8 מהגברים מעשנים. א .מה הוא אחוז העובדים שלא מעשנים במפעל? ב .בוחרים עובד וידוע כי נבחר עובד מעשן .מה ההסתברות שזו אישה? ג .מבין העובדים שלא מעשנים ,מה ההסתברות לבחור גבר? )86בכפר מסוים 2 3 מהתושבים הם גברים ו 1 -הם נשים. 3 ידוע כי 60%מהגברים מרכיבים משקפיים ו 25%-מהנשים לא מרכיבות משקפיים. א .מה ההסתברות להיתקל בגבר שלא מרכיב משקפיים בכפר? ב .בוחרים באקראי תושב .ידוע כי נבחרה אישה. מה ההסתברות שהיא מרכיבה משקפיים? ג .בוחרים באקראי תושב. .1מה ההסתברות שהוא מרכיב משקפיים? .2פי כמה גדול אחוז הגברים שמרכיבים משקפיים מאחוז הנשים שמרכיבות משקפיים? )87בכד יש 8כדורים כחולים ו 4-כדורים ירוקים .מוציאים באקראי בלי החזרה שני כדורים מהכד. א .מה ההסתברות להוציא שני כדורים כחולים? ב .מה ההסתברות שהכדור השני שיצא הוא כחול? ג .אם ידוע שהכדור השני שהוצא הוא כחול ,מה ההסתברות שהכדור הראשון גם יהיה כחול? )88בכד יש 10כדורים צהובים ו 4-כדורים שחורים. מוציאים באקראי בלי החזרה שני כדורים מהכד. א .מה ההסתברות להוציא שני כדורים צהובים? ב .מה ההסתברות שהכדור השני שיצא הוא צהוב? ג .אם ידוע כי הכ דור השני שהוצא הוא צהוב ,מה ההסתברות שגם הראשון הוא צהוב? 131 )89בכד א' יש 5כדורים לבנים ו 3-כדורים שחורים .בכד ב' יש 4כדורים לבנים וכדור אחד שחור .מוציאים כדור מכד א' .אם הוא שחור אז מוציאים כדורים נוסף מכד א' ואם הוא לבן אז מוציאים כדור מכד ב' .ידוע כי הכדור השני שהוצא הוא שחור. חשב את ההסתברות שהכדור הוצא מכד ב'. )90בכד א' יש 3כדורים ירוקים ו 2-כדורים אדומים .בכד ב' יש 4כדורים ירוקים וכדור אחד אדום .מוציאים כדור מכד א' .אם הוא ירוק אז מוציאים כדור נוסף מכד א' ואם הוא אדום אז מוציאים כדור מכד ב' .ידוע שהכדור השני שהוצא הוא אדום. מה ההסתברות שהוא הוצא מכד א'? )91בכד יש 5כדורים אדומים 3 ,כדורים כחולים ו 2-כדורים צהובים. מוציאים בלי החזרה שני כדורים מהכד. א .מה ההסתברות להוציא שני כדורים אדומים? ב .מה ההסתברות להוציא שני כדורים מאותו הצבע? ג .ידוע כי שני הכדורים שהוצאו הם מאותו הצבע ,מה ההסתברות שהם אדומים? )92בכד יש 6כדורים אדומים 3 ,כדורים לבנים ו 2-כדורים סגולים. מוציאים בלי החזרה שני כדורים מהכד .ידוע כי שני הכדורים שהוצאו הם בעלי אותו הצבע ,מה ההסתברות ששניהם סגולים? )93קלע יורה שתי יריות ל מטרה .ההסתברות שיפגע בירייה הראשונה היא .0.6 אם הוא פגע בירייה הראשונה אז ההסתברות שיפגע גם בשנייה היא .0.8 אם הוא החטיא בירייה הראשונה אז ההסתברות שיפגע בשנייה היא .0.5 א .מה ההסתברות שהקלע יפגע בירייה אחת בדיוק? ב .מה ההסתברות שהקלע יפגע בירייה השנייה? ג .ידוע כי הקלע פגע בירייה השנייה ,מה ההסתברות שהוא פגע גם בירייה הראשונה? ד .ידוע כי הקלע פגע בירייה השנייה ,מה ההסתברות שהוא פגע במטרה פעם אחת בדיוק? )94בארץ מסוימת כל יום הוא יום שמש או יום גשום. ההסתברות ליום שמש לאחר יום שמש היא 0.4וההסתברות ליום גשום לאחר יום גשום היא .0.7ביום ראשון היה גשום. א .מה ההסתברות שהיום השלישי יהיה גם גשום? ב .ידוע כי היום השלישי הוא גשום ,מה ההסתברות שהיום השני יהיה יום שמש? 132 תרגילים בהסתברות מותנה ונוסחת בייס עם נעלם אחד: )95בעיר מסוימת המונה 200,000תושבים ידוע כי 120,000מהם מרכיבים משקפיים. מחצית מהתושבים שמעשנים הם מרכיבים משקפים ו 20%-מהתושבים שמרכיבים משקפיים הם מעשנים. א .מהו אחוז התושבים שמעשנים? ב .מהו אחוז התושבים שמעשנים ומרכיבים משקפיים? ג .מהו אחוז התושבים שלא מעשנים ולא מרכיבים משקפיים? 45% )96מהסטודנטים באוניברסיטה משתמשים במחשב נייד והשאר משתמשים במחברות. 4 9 מבין הסטודנטים שמשתמשים במחשב נייד אינם מרכיבים משקפיים והסטודנטים שמשתמשים במחברות ולא מרכיבים משקפיים מהווים 60%מכלל הסטודנטים שלא מרכיבים משקפיים. א .מהו אחוז הסטודנטים שמשתמשים במחשב נייד ולא מרכיבים משקפיים? ב .מהו אחוז הסטודנטים שמשתמשים במחברות מבין אלו שמרכיבים משקפיים? ג .מה ההסתברות לבחור סטודנט שלא מרכיב משקפיים? 6 7 )97בחברה מסוימת עובדים פי 4גברים מנשים .ל 75%-מהגברים אין תואר שני ו -מבין העובדים בלי תואר שני הם גברים. א .מהו אחוז הגברים בחברה בלי תואר שני? ב .בוחרים באקראי עובד .ידוע כי יש לו תואר שני .מה ההסתברות שזו אישה? ג .הראה כי ההסתברות להיתקל באקראי באישה העובדת בחברה זהה להסתברות להיתקל בגבר עם תואר שני. 2 7 )98במפעל מסוים יש פי 3עובדים גברים מנשים .ל -מהנשים יש רישיון נהיגה ומספר הגברים בעלי הרישיון במפעל מהווים 6 7 מכלל העובדים עם רישיון. א .הראה כי למחצית מהעובדים יש רישיון נהיגה. ב .מה ההסתברות לבחור גבר מבין העובדים בלי רישיון נהיגה? ג .מה ההסתברות לבחור אישה בלי רישיון מבין כל הנשים העובדות במפעל? 133 תרגילים בהסתברות מותנה ונוסחת בייס עם שני נעלמים: )99בעיר מסוימת 45%מהתושבים הם גברים ו 55%-הם נשים. 3 8 מבין מרכיבי המשקפים בעיר הם גברים ו 50%-מהתושבים שאינם מרכיבים משקפיים הם נשים. א .מהו אחוז מרכיבי המשקפיים בעיר? ב .בוחרים באקראי תושב .ידוע כי הוא גבר .מה ההסתברות שהוא מרכיב משקפיים? ג .פי כמה גדולה ההסתברות לפגוש אישה שלא מרכיבה משקפיים מגבר שמרכיב משקפיים? )100במשחק כדורגל 27%מהצופים הם ילדים והשאר מבוגרים. 40%מבין האוהדים של קבוצה א' הם ילדים ו 80%-מבין האוהדים של קבוצה ב' הם מבוגרים .לאיזו קבוצה יש יותר אוהדים? תרגילים הכוללים טבלה שבה יש שלוש עמודות או שורות: )101בארץ מסוימת יש 3מפלגות – מפלגה א' ,ב' ו-ג' .בבחירות מצביעים גברים ונשים. ידוע כי 55%מהאזרחים הם גברים 60% .מהאזרחים הצביעו למפלגה א'. 15%הצביעו למפלגה ב' ו 25%-הצביעו למפלגה ג' 75% .מבין המצביעים למפלגה א' הם גברים ו 80%-מבין המצביעים למפלגה ג' הם נשים. א .מצא איזה חלק מהגברים הצביע למפלגה א'. ב .מצא איזה חלק מהנשים הצביע למפלגה ב'. )102במפעל מסוים מייצרים שוקולד ווניל על ידי 3מכונות .מכונה א' מייצרת 80% מהמוצרים .מכונה ב' מייצרת 6%מהמוצרים ומכונה ג' מייצרת .14% ידוע כי מכונה א' מייצרת 80%ממוצרי הווניל ומכונה ב' מייצרת פי 5יותר ממוצרי הווניל מאשר מוצרי השוקולד .סך כל מוצרי הווניל שהמפעל מייצר הם 76%מכלל המוצרים. א .מהו אחוז מוצר י השוקולד המיוצרים על ידי מכונה ב' ? ב .איזה חלק מבין מוצרי השוקולד מיוצרים על ידי מכונה א' ? ג .איזה חלק מבין המוצרים של מכונה ג' מהווים מוצרי הווניל ? )103במשק יש תרנגולים ,אפרוחים ואווזים מפוטמים .עקב בצורת קשה 47%מהעופות איבדו משקל רב .אחוז האווזים במשק הוא .20%ידוע כי 75%מהאפרוחים ומהאווזים ירדו במשקל ו 1/6-מהתרנגולות ירדו גם כן במשקל. א .מה הוא אחוז התרנגולים במשק? ב .מה ההסתברות לבחור תרנגול שלא איבד משקל כלל? ג .בוחרים עוף מהמשק .ידוע כי הוא לא איבד משקל כלל. מה ההסתברות שהוא אפרוח? 134 תרגילי חישוב הכוללים שימוש בנוסחאות בהסתברות: A )104ו B-הם שני מאורעות בלתי תלויים בניסוי מקרי .נתון. P(A) 0.9 , P(B) 0.4 : חשב את :א P(A B) .ב. P(A B) . A )105ו B-הם שני מאורעות בלתי תלויים בניסוי מקרי. נתון . P(A B) 0.3 , P(B) 0.5 :חשב את: א. P(A) . ב. P(A B) . ג. ). P(A B ד. )( . P(A Bרמז :אם Aו B-בלתי תלויים אז גם Aו B -בלתי תלויים). A )106ו B-הם שני מאורעות בלתי תלויים בניסוי מקרי. נתון . P(A B) 0.92 , P(A) 0.8 :חשב את: א. P(B) . ב. P(A B) . ג. הראה כי מתקיים התנאי. P(A B) P(A) : A )107ו B-הם שני מאורעות בניסוי מקרי. נתון. P(A B) 0.1 , P(A) 0.4 , P(B) 0.75 : א .הוכח כי המאורעות Aו B-הם בלתי תלויים. ב .חשב את. P(A B) : (הסתמך על הטענה כי אם Aו B-בלתי תלויים אז גם Aו B -בלתי תלויים). A )108ו B-הם שני מאורעות בניסוי מקרי. 3 3 2 , P( A ) נתון, P(B) : B 8 4 5 א. P(A) . ב. ג. . P( B A) חשב את: ). P(A B ). P(A B A )109ו B-הם שני מאורעות בניסוי מקרי. P A 4 14 נתוןB 1 : . P(A B) , P(A B) , 15 15 2 P B A חשב את ) P(Aואת ). P(B 135 A )110ו B-הם שני מאורעות בניסוי מקרי. נתון B 2 : P B 5 A P A . P(A B) 0.15 , P(A B) 0.55 , חשב את ) P(Aואת ). P(B A )111ו B-הם שני מאורעות בניסוי מקרי. נתון. P(A) P(B) , P(A B) 0.18 , P(A B) 0.72 : חשב את ) P(Aואת ) P(Bאם ידוע כי המאורעות Aו B-הם בלתי תלויים. A )112ו B-הם שני מאורעות בניסוי מקרי. נתון. P(A) P(B) , P(A B) 0.24 , P(A B) 0.86 : חשב את ) P(Aואת ) P(Bאם ידוע כי המאורעות Aו B-הם בלתי תלויים. תרגילי הוכחה בעזרת נוסחאות ההסתברות: A )113ו B-הם מאורעות הניסוי מקרי .נתון. A B : א .הוכח. P(A) P A B P(B) : ב A .ו B-הם מאורעות תלויים. A )114ו B-הם שני מאורעות בניסוי מקרי .הוכח: א. P(A B) P(A B) P(A) . ב. . P(A B) P(A) 1- P B A A )115ו B-הם שני מאורעות בניסוי מקרי .הוכח. P A B P A B 1 : A )116ו B-הם שני מאורעות בניסוי מקרי .נתון . P(A) 0.7 , P(B) 0.9 :הוכח: א. 0.9 P(A B) 1 . ב. 0.6 P(A B) 0.7 . A )117ו B-הם שני מאורעות בניסוי מקרי .נתון . P(A) 0.4 , P(B) 0.7 :הוכח: א. 0.1 P(A B) 0.4 . ב. 0.7 P(A B) 1 . 136 )118בניסוי מקרי ההסתברות למאורע Aהיא P(A) 0.4 :וההסתברות למאורע Bהיא . P(B) 0.2 :הוכח: א. . 0.4 P(A B) 0.6 ב. . 0.8 P(A B) 1 A )119ו B-הם שני מאורעות בניסוי מקרי .נתון . P(A) 0.3 , P(B) 0.8 :הוכח: א. 0.1 P(A B) 0.3 . ב. P B A 1 . ג. 1 3 1 3 . P AB 8 8 A )120ו B-הם שני מאורעות בניסוי מקרי שמרחב המדגם שלו הוא . הוכח: .A B -A B א. ב. ). P(A B) 1 P(A) P(B) P(A B ג. אם Aו B-הם מאורעות בלתי תלויים אז גם Aו B -יהיו בלתי תלויים. )121א .הוכח בעזרת דיאגרמת וון את הנוסחה. P(A B) P(A) P(B) P(A B) : ב .הוכח בעזרת דיאגרמת וון כי כאשר Aו B-הם קבוצות זרות אז מתקיים. P(A B) P(A) P(B) : A )122ו B-הם שני מאורעות בניסוי מקרי .הוכח כי הנתונים הבאים הם בלתי אפשריים לקיום. P(A) 0.6 , P(B) 0.8 , P(A B) 0.7 : 137 תשובות סופיות: )1 א 0.1288 .ב0.7912 . )4א. 1 9 )6א. 1 512 29 81 ב. ג. ג )2 . 0.0112 .א. ד )5 . 2 .א. 49 81 9 ג. 23 . 135 ב. 512 128 )9א. 1 7 ב. 1 21 4 ג. 21 )12א. 1 30 ב. 29 30 ג)13 . 2 . א0.384 . )14 )16א0.16 . )18 ב. 0.116 1 29 ב. א0.448 . 24 145 ג )3 . 9 .א. 32 0.432 )7א 0.15 .ב0.15 . )10א. 3 1 64 ב. 9 64 ג. 0.568 ג 0.2.ד )11 . 97 .א. 145 0.164 13 25 5 ד.0.876 . ג )8 . 0.63 .א. ב 0.072 .ג. 9 25 ב. ג. 2 . 3 28 ב. 253 1435 ב. 295 448 71 287 ג. 223 . 448 ג. ד. 561 . 1182 1435 1435 ד.0.212 . ב 0.056 .ג 0.176 .ד )15 . 0.964 .א 0.24 .ב 0.24 .ג.0.4 . ב 0.72 .ג 0.36 .ד )17 . 0.28 .א 0.28 .ב 0.36 .ג.0.04 . א 0.03 .ב0.47 . ג )19 . 0.33 .א. 1 8 )21א .ב 23 .ג 19 .ד. 2 54 27 27 )25 . 115 )24 143 P 0.6 אP 0.3 . )26 0.315 )22 .א. P 0.2 ב. 73 405 )27 0.4825 ג )20 .0.45 .א. 52 105 118 405 ג )23 . 191 .א. 1 5 ב. P 0.2 405 )28 אP 0.5 . P 0.2 )29 39 70 ב. ב. 32 135 ג. 64 . 117 ג. 52 75 ד. 37 . 75 P1 0.9 , P2 0.3 . P 0.4 ב)32 .0.3796 . ב)31 .0.28. )30 )33א P 0.3 , Q 0.4 .ב 0.33 .ג. x 10 )35 P 0.7 , Q 0.6 )34 .0.51 . 5 )42 . x 5 )41 . x 2 )40 . x 4 )39 .12 )38 .2 )37 .4 )36אדומים ו 3-לבנים. 8 )43כחולים ו 2-צהובים 3 )44 .סגולים ו 6-ירוקים. )45א 0.3456 .ב 0.1296 .ג 0.8208 .ד.0.0256 . )46א 0.3087 .ב 0.16807 .ג 0.36015 .ד.0.83692 . )47א 0.03078 .ב 0.52822 .ג 0.1323 .ד.0.96922 . )48א 0.3456 .ב 0.1536 .ג 0.1792 .ד.0.6544 . )49א 0.0256 .ב 0.0272 .ג 0.8192 .ד.0.4752 )50 .0.1536 . )51א 0.3456 .ב 0.3456 .ג 0.4752 .ד)52 .0.0256 . )53ב 0.328 .ג)54 .0.672 . )57 .0.21609 )56 5 1944 1 א. 1296 ב. 25 216 17 א. 81 ב. 32 81 ג . 3 .ד )55 . 1 .א. 81 8 ג. 64 . 1 243 81 ב. 40 243 ג. 1 27 ד. 19 . 27 )58 .א 0.1536 .ב 0.52822 .ג.0.08113 . )59א 0.0023 .ב 0.0157 .ג 6.4 107 .ד )60 .0.0193 .ב 0.00082 .ג 0.0176 .ד.0.02752 . )61א 0.09335 .ב 0.05808 .ג 0.024 .ד.0.17543 . )62 256 א. 6561 אP 0.6 . )65 5 א. 16 )64 ב. P 5.95 107 ג 0.0625 .ד.0.2929 . )63אP 0.6 . ב 0.2304 .ג.0.91296 . ב.0.07776 .2 0.08704 .1 . ב )66 .0.09346 .2 0.08392 .1 .א. 138 1053 2365 ב.0.304 . )67א. 1 4 ב 0.86805 .ג. 1 81 ד )68 .0.0756 .א 0.4116 .ב 0.0016 .ג 0.9477 .ד.0.6517 . )69ב 0.02835 .ג 0.0768 .ד.0.1335 . )70א 0.2646 .ב 0.9477 .ג 0.1296 .ד )71 .0.8074 .א. אP 0.1 . )72 )74 אP 0.4 . )77 אP 0.8 . 15 ב. 1024 625 4096 11 256 ג. ד. 189 . 256 ב 0.6561 .ג )73 .0.0486 .א P 0.7 .ב 0.3087 .ג.0.0081 . ב )75 .0.08704 .א P 0.8 .ב )76 .0.00032 .א P 0.6 .ב.0.1536 . )78א. 1 4 ב )79 . 27 .א 24% .ב 60% .ג.15% . P 64 )80א 32% .ב 60% .ג 20% .ד )81 . 80% .א 0.47 .ב 0.48 .ג.0.7 . 1 ג )83 .0.9 .א 70% .ב 80% .ג. 3 )82א 10% .ב0.8 . )85א20% . 5 ג. 14 בP 0.375 . )87א. 14 33 P )91א. 2 9 P )94א. P 0.67 ב. ב. 7 P 2ג. 11 3 14 45 P ג)92 . P 5 . 7 )101א. 1 19 P בP 0.75 . 5 7 ב. )93 . P א. ג.1 . P 0.65 .1.6 .2 ג. 9 13 )89 . P 7 13 P 0.32 ב. P 0.68 ג. P . P 15 )90 . P 19 12 17 P ד. 5 17 .P ב )95 . P 18 .א 24% .ב 12% .ג )96 .28% .א 20% .ב 50% .ג. P 0.5 . 67 3 9 11 45 91 )88 . P א. )97א 60% .ב )98 . P 1 .ב. P )86 . P 4 א. 15 P )84א 4% .ב. 14 15 P ג.12.5% . ב. 2 9 P 9 14 P ג )99 . P 5 .א 40% .ב. 7 1 3 P ג .פי )100 .2ב'. )102א 1% .ב 0.8 .ג )103 . 51 .א 48% .ב. 70 P 0.4 )104א 0.36 .ב )105 .0.94 .א 0.6 .ב 0.8 .ג 0.2 .ד )106 .0.7 .א 0.6 .ב.0.48 . )107ב )108 .0.9 .א 0.8 .ב 0.32 .ג. P(A) 0.4 , P(B) 0.8 )109 .0.88 . . P(A) 0.8 , P(B) 0.3 )112 P(A) 0.3 , P(B) 0.6 )111 . P(A) 0.2 , P(B) 0.5 )110 139 ג. 8 53 . תרגול נוסף -שאלות משולבות: )1בבתי הספר בעיר נערכו שני מבחנים 80% .מתלמידי העיר עברו את המבחן הראשון. 1 4 מבין התלמידים שעברו את המבחן הראשון עברו גם את השני ו - 1 2 מהתלמידים שנכשלו במבחן הראשון נכשלו גם בשני. א .בוחרים באקראי תלמיד .מה הסתברות שהוא עבר את אחד המבחנים? ב .בוחרים באקראי 4תלמידים. מה ההסתברות שבדיוק אחד מהם עבר את אחד המבחנים? ג .איזה חלק מבין התלמידים שנכשלו במבחן השני מהווה קבוצת התלמידים שנכשלו גם במבחן הראשון? ד .בוחרים 5תלמידים .ידוע כי כולם עברו את המבחן הראשון. מה ההסתברות ש 4-מהם נכשלו במבחן השני? )2במדינה מסוימת 19 60 מהאזרחים הם גברים ו- 41 60 הן נשים 30% .מבין מרכיבי המשקפיים במדינה זו הם גברים ו 40%-מבין אלו שלא מרכיבים משקפיים הם גברים. א .מה ההסתברות למצוא אישה במדינה זו שאינה מרכיבה משקפיים? ב .בוחרים 4אנשים .מה ההסתברות שבדיוק שניים מהם הם נשים שאינן מרכיבות משקפיים? ג .בוחרים אזרח .ידוע כי הוא גבר .מה ההסתברות שהוא מרכיב משקפיים? ד .מה ההסתברות לבחור 5גברים שוודאי לא כולם מרכיבים משקפיים? )3בבית ספר מסוים ישנם תלמידים המרכיבים משקפיים .ידוע כי אם בוחרים 3 תלמידים אז ההסתברות ששלושתם מרכיבים משקפיים היא .0.027 א .מצא את אחוז מרכיבי המשקפיים בבית הספר. בבית הספר ההסתברות להיתקל בתלמיד גדולה ב 0.1-מההסתברות להיתקל בתלמידה ומספר הבנים שמרכיבים משקפיים זהה למספר הבנות שמרכיבות משקפיים. ב .מה ההסתברות להיתקל בחצר בית הספר בתלמיד שאינו מרכיב משקפיים? ג .איזה חלק מכלל הבנות בבית הספר מהוות הבנות שאינן מרכיבות משקפיים? ד .בוחרים 4תלמידים .ידוע כי כולן בנות. מה ההסתברות כי אחת מהן תרכיב משקפיים? 140 )4בכד ישנם 12כדורים ,חלקם לבנים וחלקם שחורים. אם מוציאים עם החזרה שני כדורים מהכד ההסתברות ששניהם יהיו בעלי אותו הצבע היא . 13 18 א .מה ההסתברות להוציא כדור שחור מהכד אם ידוע כי יש יותר כדורים שחורים? על 40%מהכדורים השחורים רשום מספר ועל מחצית הכדורים הלבנים לא רשום כלום. ב .מה ההסתברות להוציא מהכד כדור שחור שרשום עליו מספר? ג .איזה חלק מבין הכדורים שרשום עליהם מספר מהווים הכדורים הלבנים? ד .מוציאים עם החזרה 4כדורים .ידוע כי על כל הכדורים הללו היה רשום מספר. מה ההסתברות שבדיוק כדור אחד יהיה לבן? )5מפעל מייצר שולחנות וכיסאות .בוחרים 4רהיטים .ידוע כי ההסתברות שכולם יהיו כיסאות זהה להסתברות שיהיה שולחן אחד בדיוק בניהם. א .מצא את ההסתברות לבחור כיסא. במפעל צובעים את הרהיטים בשחור או לבן .רבע מהשולחנות נצבעים בשחור ורבע מהכיסאות נצבעים בלבן. ב .מה ההסתברות לבחור כיסא שחור? ג .איזה חלק מבין הרהיטים הלבנים מהווים השולחנות? ד .בוחרים 3רהיטים לבנים .מה ההסתברות כי לפחות אחד מהם יהיה שולחן? )6במפעל לייצור ברגים פועלים שני פסי ייצור – פס ייצור א' ופס ייצור ב'. ידוע כי אם בוחרים 5ברגים אז ההסתברות ששלושה מהם מיוצרים על ידי פס הייצור השני גדולה פי 4.5מההסתברות שאחד מהם מיוצר על ידי פס הייצור הנ"ל. א .מצא את ההסתברות לבחור בורג המיוצר על ידי פס הייצור הראשון. מתוך כל 100ברגים שהמפעל מייצר 7פגומים .ומתוך כל 10ברגים היוצאים מפס הייצור הראשון אחד הוא פגום. ב .מהו אחוז הברגים התקינים שמיוצרים על ידי פס הייצור השני? ג .איזה חלק מבין הברגים הפגומים מהווים אלו שיוצאים מפס הייצור הראשון? ד .מה ההסתברות שמתוך הוצאת 3ברגים פגומים שניים יהיו מפס הייצור הראשון? )7בעיר מסוימת נערכו בחירות מקומיות .ידוע כי אם בוחרים באקראי 4אזרחים שתמַ צא אישה אחת בניהם קטנה פי 16מההסתברות להיתקל באישה ההסתברות ִ באופן אקראי. א .מה הוא אחוז הגברים בעיר? 141 בעיר שלושה מועמדים. 1 11 מהמצביעים למועמד א' הם גברים 60% ,מהמצביעים למועמד ב' הם גברים ו 25%-מהמצביעים למועמד ג' הם גברים .אחוז המצביעים למועמד ג' הוא .20% ב .איזה מועמד קיבל את רוב הקולות? ג .איזה חלק מבין כל הנשים מהווה קבוצת הנשים שהצביעו למועמד המנצח? ד .בוחרים באקראי 4נשים .מה ההסתברות ששלושה מהן הצביעו למועמד המנצח? )8חלק מהסטודנטים באוניברסיטה נעזרים בספרי לימוד חיצוניים. ידוע כי ההסתברות לבחור 2סטודנטים הנעזרים בספרי לימוד חיצוניים קטנה ב 0.1- מההסתברות לבחור שני סטודנטים שאינם נעזרים בספרי לימוד חיצוניים. א .מהו אחוז הסטודנטים שנעזרים בספרי לימוד חיצוניים? האוניברסיטה מוכרת ספרי לימוד ב 3-מקצועות לכלל הסטודנטים .כל אחד מהסטודנטים קנה ספר אחד בדיוק .ידוע כי כמות הסטודנטים שקנו את ספר א' וכמות הסטודנטים שקנו את ספר ג' זהות .כמו כן, גם בספרים חיצוניים. 1 3 6 7 מאלו שקנו את ספר ג' נעזרים מהסטודנטים שקנו את ספר ב' נעזרים בספרי לימוד חיצוניים וכמות הסטודנטים שקנו את ספר א' ונעזרים בספרי לימוד חיצוניים מהווים 1 9 מכלל הסטודנטים שנעזרים בספרי לימוד חיצוניים. ב .מהו אחוז הסטודנטים שקנו את ספר ב' ואינם נעזרים בספרי לימוד חיצוניים? ג .איזה חלק מהווים הסטודנטים שקנו את ספר ג' מכלל הסטודנטים שאינם נעזרים בספרי לימוד חיצוניים? ד .בוחרים 4סטודנטים שאינם נעזרים בספרי לימוד חיצוניים .מה ההסתברות שאחד מהם קנה את ספר ג'? )9במפעל גדול ההסתברות שמתוך 4עובדים לפחות אחד ירכיב משקפיים היא .0.5904 א .מה ההסתברות לבחור עובד שלא מרכיב משקפיים? ידוע כי 40%מהפועלים שמרכיבים משקפיים הם מעשנים ו 20%-מבין העובדים המעשנים הם מרכיבים משקפיים. מה ההסתברות לבחור עובד שמרכיב משקפיים בלבד או מעשן בלבד? ב .בוחרים באקראי 4עובדים .מה ההסתברות ששניים מהם או מרכיבים משקפיים או מעשנים? ג .בוחרים באקראי 5עובדים .מה ההסתברות שרוב העובדים שנבחרו הם מעשנים? 142 )10בעיר מסוימת נערכות בחירות .ידוע כי אם בוחרים 4תושבים אז ההסתברות שלפחות אחד מהם יצביע למועמד ב' היא . 65 81 א .איזה חלק מהתושבים הצביעו למועמד א'? בעיר זו יש תושבים מבוגרים וצעירים .ידוע כי 2 3 מהצעירים הצביעו למועמד א' וכי ההסתברות לבחור מבוגר שהצביע למועמד ב' היא 2 15 . ב .מהו אחוז התושבים הצעירים שהצביעו למועמד ב'? ג .איזה אחוז מהווים התושבים הצעירים מבין אלו שהצביעו למועמד א'? ד .בוחרים באקראי 5תושבים שהצביעו למועמד א' .מה ההסתברות שרובם יהיו צעירים? )11כדי להתקבל לחברת היי -טק יש לעבור ראיונות משלושה בעלי תפקידים בסדר הבא: מהנדס ראשי ,אחראי משמרת ומנכ"ל החברה .כל אחד מבעלי התפקידים נותן חוות דעת חיובית או שלילית על המועמד לעבודה .מועמד שמתקבל לחברה חייב לקבל חוות דעת חיובית משלושת בעלי התפקידים. ידוע כי המהנדס הראשי נותן חוות דעת חיובית ל 3 -מהמועמדים .אחראי המשמרת 5 קורא את חוות הדעת של המהנדס הראשי וב 1 -מהמקרים נותן חוות דעת הפוכה מזו 6 של המהנדס הראשי .מנכ"ל החברה קורא את חוות הדעת של אחראי המשמרת וב - 7 10 נותן חוות דעת זהה לשלו. א .1 .מה ההסתברות שמועמד יקבל חו ות דעת חיובית מאחראי המשמרת? . 2ידוע כי אחראי המשמרת נתן חוות חיובית .מה ההסתברות שהמהנדס הראשי ייתן חוות דעת שלילית? ב .מה ההסתברות שמועמד יקבל עבודה בחברה? ג .מה ההסתברות שמועמד יקבל חוות דעת שלילית מהמנכ"ל? ד .לאחר היעדר עובדים שינתה החברה את מדיניותה וקבעה כי כדי להתקבל לעבודה יש לעבור לפחות שני ראיונות בהצלחה ,אך חוות הדעת של המנכ"ל חייבת להיות חיובית. ה .מה ההסתברות כעת לקבל עבודה בחברה? )12כדי להתקבל לעבודה בחברת משקאות יש לעבור שלושה ראיונות על ידי שלושה בעלי תפקידים בסדר הבא :אחראי משמרת ,מנהל ראש י ומנכ"ל החברה .כל בעל מקצוע נותן חוות דעת חיובית או שלילית בלבד .כדי שמועמד יקבל עבודה בחברה עליו לעבור בהצלחה לפחות את אחד מהראיונות עם אחראי המשמרת והמנהל הראשי ,אך הראיון עם המנכ"ל חייב לעבור בהצלחה (כדי שמועמד יקבל עבודה המנכ"ל צריך לתת לו חוות דעת חי ובית) .ידוע כי אחראי המשמרת נותן חוות דעת חיובית ל - 143 1 6 מהמועמדים .המנהל הראשי קורא את חוות הדעת של אחראי המשמרת וב- 2 3 מהמקרים נותן חוות דעת הפוכה מזו של אחראי המשמרת .מנכ"ל החברה נותן חוות דעת חיובית ל 80%-מהמועמדים בלי קשר לחוות הדעת הקודמות. א .מה ההסתברות לקבל חוות דעת חיובית מהמנהל הראשי? ב .ידוע כי המנהל הראשי נתן חוות דעת חיובית ,מה ההסתברות שגם אחראי המשמרת נתן חוות דעת חיובית? ג .מה ההסתברות להתקבל לחברה? ד .במהלך שעות הקבלה ביום מסוים הגיעו 5מועמדים ,מה ההסתברות שלפחות אחד מהם קיבל עבודה? )13כדי להתקבל לעבוד בחברת ההיי-טק Technoיש לעבור שני ראיונות משני בעלי מקצוע ,תחילה על ידי המהנדס הראשי ואחריו על ידי מנכ"ל החברה .כל בעל מקצוע נותן חוות דעת חיובית ,שלילית או שנמנע מלקבוע .כדי שמועמד יתקבל לחברה עליו לעבור לפחות ראיון אחד עם חוות דעת חיובית .ידוע כי המהנדס הראשי נותן חוות דעת חיובית ל 1 -מהמועמדים ו 2 -מהם הוא משאיר בלי קביעה .המנכ"ל קורא את 5 7 חוות הדעת של המהנדס הראשי וקובע את חוות הדעת שלו בצורה הבאה: אם המהנדס נתן חוות דעת חיובית ,אז המנכ"ל ייתן גם חוות דעת חיובית ב60%- מהמקרים .אם המהנדס נתן חוות דעת שלילית ,אז המנכ"ל נמנע מלקבוע ב60%- מהמקרים ובשאר המקרים הוא נותן חוות דעת חיובית .אם המהנדס נמנע מלקבוע אז המנכ"ל ייתן חוות דעת חיובית או שלילית בלבד .הסיכוי שהמנכ"ל ייתן במקרה זה חוות דעת חיובית גדול פי 3מהסיכוי שייתן חוות דעת שלילית. א .מה ההסתברות לקבל חוות דעת חיובית מהמנכ"ל? ב .ידוע כי המנכ"ל נתן חוות דעת חיובית. מה ההסתברות שגם המהנדס נתן חוות דעת חיובית? ג .מה ההסתברות להתקבל לחברה? ד .ביום מסוים הגיעו 5מועמדים. מה ההסתברות שבדיוק 3מהם קיבלו עבודה באותו היום? )14לכבוד חנוכה קנתה סבתא תקווה לשתי נכדותיה ,שני ושרון ,סביבונים עם סוכריות בתוכם .בכל סביבון יש 7סוכריות שוקולד ו 4-סוכריות מנטה .שרון לקחה את סביבון אחד והוציאה ממנו באקראי (בלי החזרה) 4סוכריות. א .מה ההסתברות שכל הסוכריות שהוציאה שרון הן סוכריות מנטה? ב .שני לקחה 4סביבונים והוציאה באקראי מכל סביבון סוכרייה אחת. האם ההסתברות ששני תוציא 4סוכריות מנטה גבוהה יותר או נמוכה יותר מההסתברות שחשבת בסעיף א'? נמק. ג .שני הוציאה באקראי סוכרייה אחת מכל סביבון מתוך ארבעת הסביבונים שברשותה .ידוע שבין הסוכריות שבידה יש יותר סוכריות מנטה .מה ההסתברות שכל הסוכריות שיש לשני ביד יהיו בטעם מנטה? 144 )15רפי וציון קנו במכולת חבילות של מסטיק מנטוס צבעוני .ציון קנה 3חבילות ורפי קנה רק חבילה אחת .בכל חבילה יש 10סוכריות ,חלקן ורודות וחלקן צהובות .רפי מוציא באקראי (בלי החזרה) שתי סוכריות מהחבילה שקנה .ידוע כי ההסתברות ששתיהן תהיינה ורודות קטנה פי 4מההסתברות להוציא סוכרייה ורודה וסוכרייה צהובה. א .כמה סוכריות מכל צבע יש בכל חבילה? ב .רפי מחזיר את הסוכריות בחזרה לחבילה ולאחר מכן מוציא באקראי 3סוכריות נוספות (בלי החזרה). ג .מה ההסתברות שכל הסוכריות שהוציא רפי הן צהובות? ד .ציון מוציא באקראי סוכרייה מכל חבילה .האם ההסתברות של ציון להוציא 3סוכריות צהובות גבוהה או נמוכה מזו של רפי? ה .ציון מוציא מכל חבילה שתי סוכריות .מה ההסתברות שלו להוציא מכל חבילה סוכרייה אחת ורודה ואחת צהובה? )16בחדר יש xגברים ו 3x -נשים .משחקים את המשחק הבא :בוחרים באקראי שני אנשים מהחדר בזה אחר זה (בלי החזרה) .ידוע כי ההסתברות לבחור שני אנשים מאותו המין היא 13 22 . א .מצא כמה נשים יש בחדר. ב .ידוע כי האדם השני שנבחר הוא גבר. מה ההסתברות שגם הראשון שנבחר הוא גבר? ג .משחקים את המשחק 4פעמים .ידוע כי בכל הפעמים נבחר גבר בפעם השנייה. מה ההסתברות שבדיוק ב 3-פעמים יבחר גבר גם בפעם הראשונה? ד .ידוע כי מתוך 4הפעמים שמשחקים את המשחק (ונבחר גבר בפעם השנייה) נבחר גבר גם בפעם הראשונה ברוב המקרים .מה ההסתברות שיבחר גבר בפעם הראשונה ב 3-פעמים בדיוק. )17בכד יש פי 5כדורים כחולים מאדומים .מוציאים מהכד כדור .אם הוא כחול אז משאירים אותו בחוץ ואם הוא אדום אז מחזירים אותו לכד .לאחר מכן מוציאים כדור נוסף מהכד .ידוע כי ההסתברות להוציא שני כדורים בצבעים שונים היא.175/612 : א .כמה כדורים מכל צבע יש בכד? ב .ידוע כי הכדור השני שנבחר הוא כחול ,מה ההסתברות שהכדור הראשון שנבחר היה אדום? ג .חוזרים על התהליך 5פעמים. ידוע כי בכל חמשת הפעמים הכדור השני שהוצא הוא כחול ,מה ההסתברות שברוב הפעמים הכדור הראשון שיצא הוא אדום? 145 )18בסיטונאות מזון ידוע כי 40%מבין הסכו"ם החד-פעמי הוא תוצרת חו"ל והשאר תוצרת הארץ 40% .מבין הסכו"ם המיובא מחו"ל הם צבעוניים והשאר שקופים. א .מה ההסתברות לבחור בסיטונאות המזון סכו"ם שקוף המיובא מחו"ל? ב .1 .בוחרים 5כלים בחנות באופן אקראי .מה ההסתברות שלכל היותר כלי אחד הוא כלי שקוף תוצרת חו"ל? . 2מה ההסתברות שבדיוק אחד מחמשת הכלים הוא כלי שקוף תוצרת חו"ל אם ידוע כי לכל היותר כלי אחד הוא שקוף תוצרת חו"ל? ג .בוחרים שני כלים באופן אקראי וידוע כי ההסתברות ששניהם שקופים היא . 0.4096איזה חלק מהווים כלי הסכו"ם השקופים מבין כלי הסכו"ם תוצרת הארץ? )19בכד יש 9כדורים ,חלקם כחולים והשאר לבנים .מוציאים כדור מהכד .אם הוא כחול אז מחזירים אותו לכד ומוסיפים 4כדורים לבנים ואם הוא לבן אז מחזירים אותו לכד ומוסיפים 4כדורים כחולים .לאחר מכן מוציאים כדור נוסף .נתון שההסתברות שהכדור הראשון שיצא הוא כח ול אם ידוע כי הכדור השני כחול היא .6/11 א .מצא כמה כדורים כחולים יש בכד. ב .חוזרים על התהליך 6פעמים .מצא את ההסתברות שלפחות פעם אחת יבחרו שני כדורים כחולים בזה אחר זה. ג .מה ההסתברות שמתוך 6פעמים שחוזרים על התהליך יבחר בדיוק 3פעמים כדור כחול בשתי ההוצאות אם ידוע כי לפחות פעם אחת (מתוך ה )6-נבחרו שני כדורים בזה אחר זה ? )20בחדר xגברים ו x 2 -נשים .זורקים קוביית משחק מאוזנת. אם מתקבל מספר הגדול מ 4-אז מוסיפים לחדר xגברים ואם מתקבל מספר הקטן או שווה ל 4-אז מוסיפים לחדר xנשים .לאחר מכן מוציאים אדם מהחדר. א .מצא כמה נשים יש בחדר אם ידוע כי ההסתברות לבחור אישה היא .21/33 ב .מה ההסתברות שתצא אישה מהחדר לאחר שנוספו לחדר נשים אם ידוע כי וודאי יצאה אישה מהחדר? ג .אנשי החדר לובשים חולצות אדו מות או לבנות בלבד .ידוע כי החלק היחסי של האנשים הלובשים חולצות לבנות בחדר גדול פי 16מהחלק היחסי של הגברים הלובשים חולצות אדומות .כמו כן ההסתברות של הגברים מבין כל אלו שלובשים חולצות אדומות היא .0.25 ד . 1 .מצא מה ההסתברות לבחור גבר הלובש חולצה אדומה בחדר. .2בוחרים 5אנשים מהחדר (בלי הוצאה) וידוע כי כולם לובשים חולצות אדומות. מה ההסתברות שרובם נשים? מה ההסתברות שכל הנשים לובשות חולצות אדומות אם ידוע כי רוב הנשים לובשות חולצות אדומות? 146 )21בקלמר יש 6עפרונות ו 3-עטים .בתיק יש 9כלי כתיבה x -עפרונות והשאר עטים. מוציאים באקראי כלי כתיבה מהקלמר ומכניסים אותו לתיק. לאחר מכן מוציאים מהתיק כלי כתיבה נוסף. א .מצא כמה עפרונות יש בתיק אם ידוע כי ההסתברות שכלי הכתיבה שהוצא 13 מהקל מר שונה מכלי הכתיבה שהוצא מהתיק היא 30 . ב .מחזירים את המצב לקדמותו ומבצעים את הפעולה הבאה: מוציאים באקראי כלי כתיבה מהקלמר ,מתבוננים בו ומחזירים אותו חזרה. אם יצא עט אז לוקחים yעטים מהתיק ושמים בקלמר ,ואם יצא עפרון אז לוקחים 3עפרונות מהקלמר ושמים אותם בתיק .לאחר מכן מוציאים שני כלי כתיבה מהתיק בזה אחר זה .מצא את yאם ידוע כי ההסתברות לקבל 50 שני עפרונות היא: 99 . )22נתון שק עם 16כדו רים בתוכו המחולקים לשני צבעים :אדום וכחול. מוציאים מהכד שני כדורים בזה אחר זה ללא החזרה .ידוע כי ההסתברות לקבל שני 1 כדורים בצבעים שונים גדולה ב - 32 מההסתברות לקבל שני כדורים בצבעים שונים אילו ההוצאה הייתה עם החזרה. א .מצא כמה כדורים מכל צבע יש בשק אם ידוע כי יש יותר כדורים כחולים. ב .שני ושרון משחקות את המשחק הבא: תחילה הן מחזירות את כל הכדורים לשק .שני מוציאה 3כדורים בזה אחר זה ללא החזרה מהשק ,מתבוננת בהם ומחזירה חזרה .שרון מוציאה 3כדורים עם החזרה בזה אחר זה ומתבוננת בהם .כל אחת מהבנות טוענת כי שיטתה היא זו שתיתן הסתברות גבוהה יותר להוציא 3כדורים מאותו הצבע .מי מהבנות צודקת? ג .שי ,אחיהן הגדול של הבנות ,הכניס מספר כדורים אדומים לשק .מוציאים 4 כדורים עם החזרה מהשק. ידוע כי ההסתברות לקבל 3כדורים כחולים וכדור אדום אחד ,זהה להסתברות לקבל 3כדורים אדומים וכדור אחד כחול. כמה כדורים אדומים הכניס שי לשק? )23בבית ספר מסוים 52%מהתלמידים הם בנים והשאר בנות .ידוע כי ההסתברות להיתקל בתלמיד (או תלמידה) המרכיב משקפיים גדולה ב 0.14-מההסתברות להיתקל בשתי בנות שאינן מרכיבות משקפיים ברחבי בית הספר (מניחים כי מספר התלמידים בבית הספר הוא גדול). א .מצא את אחוז התלמידים שמרכיבים משקפיים אם ידוע כי החלק היחסי של 11 הבנים שמרכיבים משקפיים בבית הספר מכלל מרכיבי המשקפיים הוא 15 . ב .איזה חלק מבין כלל התלמידים שאינם מרכיבים משקפיים מהווים קבוצת הבנים? ג .בוחרים בבית הספר 4תלמידים .ידוע כי כולם לא מריבים משקפים. מה ההסתברות שרובם בנים? 147 )24בכד כדורים בשלושה צבעים שונים :כחול ,צהוב וירוק. ידוע כי מספר הכדורים הירוקים גדול ב 2-ממספר הכדורים הצהובים וכי מספר הכחולים גדול ב 2-ממספר הכדורים הירוקים. מוציאים מהכד שני כדורים בזה אחר זה ללא החזרה .ההסברות להוציא שני כדורים 49 באותו הצבע היא: 153 . א .מצא כמה כדורים מכל צבע יש בכד. ב .על 5הכדורים רשום מספר ועל שאר הכדורים רשומה אות .ידוע כי ההסתברות לבחור כדור צהוב עם מספר זהה להסתברות לבחור כדור כחול עם מספר וכי הסתברויות אלו קטנות פי ( 3כל אחת) מההסתברות לבחור כדור ירוק שרשומה עליו אות .חשב את ההסתברות לבחור כדור כחול שרשומה עליו אות. ג .מוציאים מהכד שני כדורים בזה אחר זה ללא החזרה .ידוע כי שני הכדורים כחולים .מה ההסתברות שלפחות על אחד מהם רשומה אות? )25אבי קנה תפוחים ותפוזים .ידוע כי כמות התפוחים שקנה גדולה פי 3מכמות התפוזים. במקביל קנתה אודט ,בת זוגתו של אבי ,תפוחים ותפוזים .אודט קנתה פי 3יותר תפוזים מתפוחים .כשהגיעו השניים הביתה ,הם שמו את כל הפירות שקנו במגירה במקרר, מעורבבים יחדיו .ידוע כי בסה"כ קנו שני בני הזוג 32פירות וכי כמות התפוחים שקנתה 5 אודט מהווה 14 מבין כל התפוחים שבמגירה. א .מצא כמה פירות קנה כל אחד מבני הזוג. ב .1 .אודט רוצה להכין סלט פירות המורכב משני תפוחים ותפוז .מה ההסתברות של אודט להוציא את כל הפירות שצריכה בזה אחר זה ללא החזרה? .2ידוע כי אודט הוציאה את כל הפירות שצריכה ,מה ההסתברות שהפרי הראשון שהוציאה הוא תפוח? ג .1 .שרון ,בתה של אודט ,ניגשת למגירה ורוצה לקחת תפוז. היא מוציאה 4פירות עם החזרה מהמגירה ,מה ההסתברות ששרון תוציא בדיוק תפוז אחד? הנח כי כמות הפירות שבמגירה היא לאחר הכנת הסלט. .2ידוע כי מתוך 4הבחירות ,הוציאה שרון בדיוק תפוז אחד ,מה ההסתברות שהוא הפרי האחרון שהוציאה? )26על קובייה בת 5פאות רושמים המספרים 2 , 1ו 3-כך שהמספר 2רשום על שלוש פאות ואילו המספרים 1ו 3-רשומים כל אחד על פאה אחת בלבד. זורקים את הקובייה 5פעמים. א .ענה על השאלות הבאות: .1מה ההסתברות לקבל לפחות 4פעמים את המספר ?2 .2ידוע כי התקבל המספר 2לפחות 4פעמים ,מה ההסתברות לקבל בדיוק 4 פעמים את המספר ?2 .3מה ההסתברות לא לקבל את אותו המספר בכל הזריקות? ב .לוקחים 5קוביות זהות וזורקים כל אחת פעם אחת בדיוק .מסתכלים על המספרים שהתקבלו בכל קובייה ומחשבים את ההסתברויות שבסעיף הקודם. האם התוצאות תשתנה? אם כן חשב אותן והסבר .אם לא – תן הסבר מתאים. ג .מה ההסתברות לקבל בזריקות הראשונה והחמישית את המספר ?2 148 )27מפעל מייצר שבבי תקשורת אלחוטית 3% .מהשבבים במפעל אינם תקינים90% . מהשבבים התקינים ו 2%-מהשבבים הפגומים מזוהים במהלך בדיקה שגרתית (טסט) במעבדה כתקינים. א .מה ההסתברות ששבב יזוהה כתקין? במסגרת הבדיקות במעבדה מבצעים 4טסטים לכל שבב באופן בלתי תלוי אחד בשני. אם שבב זוהה בכל הפעמים כתקין ,אז הוא נמכר במחיר מלא. אם הוא זוהה ב 3-טסטים כתקין אז הוא נמכר בחצי מחיר. בכל מקרה אחר השבב נשלח חזרה למחלקת הייצור במפעל ואינו נמכר. ב .מה ההסתברות ששבב יימכר במחיר מלא? ג .מה ההסתברות ששבב יחזור חזרה למפעל? )28בכד יש פי 4כדורים כחולים מאדומים .מוציאים כדור מהכד .אם הוא כחול אז משאירים אותו בחוץ ,אחרת מחזירים אותו לכד .לאחר מכן מוציאים כדור נוסף. 58 ידוע כי ההסתברות להוציא שני כדורים בצבעים שונים היא: 175 . א .כמה כדורים מכל צבע יש בכד? ב .ידוע כי הכדור השני שהוצא הוא כחול ,מה ההסתברות שהכדור הראשון שנבחר הוא אדום? ג .חוזרים על התהליך 5פעמים באופן בלתי תלוי .ידוע כי בכל חמשת הפעמים הכדור השני שהוצא הוא כחול ,מה ההסתברות שברוב הפעמים הכדור הראשון שיצא הוא אדום? )29בחדר xגברים ו x 5 -נשים .זורקים קוביית משחק מאוזנת. אם מתקבל מספר הגדול מ 4-אז מוסיפים לחדר xגברים ואם מתקבל מספר הקטן או שווה ל 4-אז מוסיפים לחדר xנשים. לאחר מכן מוציאים אדם מהחדר. 5 א .מצא כמה נשים יש בחדר אם ידוע כי ההסתברות לבחור אישה היא 7 . ב .מה ההסתברות שתצא אישה מהחדר לאחר שנוספו לחדר נשים אם ידוע כי וודאי יצאה אישה מהחדר? אנשי החדר לובשים חולצות שחורות או לבנות בלבד .ידוע כי החלק היחסי של האנשים הלובשים חולצות לבנות בחדר גדול פי 16מהחלק היחסי של הגברים הלובשים חולצות שחורות .כמו כן ההסתברות של הגברים מבין כל אלו שלובשים חולצות שחורות היא .0.25 ג .מצא מה ההסתברות לבחור גבר הלובש חולצה שחורה בחדר. ד .בוחרים 5אנשים מהחדר (ללא הוצאה) וידוע כי כולם לובשים חולצות שחורות. מה ההסתברות שרובם נשים? 149 )30ללינוי שתי חבילות דפים ,האחת בצבע כחול והשנייה בצבע כתום. בסה"כ יש ללינוי פי 3דפים כחולים מכתומים .ביום חורפי אחד הלכה לחברתה, ספיר ,כששתי החבילות בידה ובדרך נרטבו חלק מהדפים עקב הגשמים העזים. כשהגיעה לביתה של ספיר ,מיינו השתיים את החבילות וגילו את הדברים הבאים: 1 )1 5 מבין הדפים הכתומים התרטבו. )2כמות הדפים הכתומים היבשים שווה לכמות הדפים הרטובים הכוללת. א .מה ההסתברות לבחור דף כחול רטוב מבין כל הדפים? ב .איזה אחוז מהדפים הכחולים הם יבשים? ג .ספיר הוציאה באופן אקראי 6דפים מהתיק של לינוי ללא הסתכלות. הנח כי כמות הדפים גדולה מאוד. .iמה הסיכוי שספיר תוציא לפחות דף אחד יבש? .iiמה הסיכוי שספיר תוציא לפחות דף אחד כחול יבש? )31כדי לקבל עבודה בחברת מחשבים יש לעבור שני ראיונות באופן הבא: ריאיון ראשון עם המהנדס הראשי של החברה .אם המועמד עבר את הריאיון הראשון בהצלחה אז עליו לעבור ראיון נוסף עם מנכ"ל החברה. ידוע כי ההסתברות לעבור את הריאיון הראשון היא Pוכי ההסתברות לעבור את הריאיון השני קטנה ב 0.1-מההסתברות לעבור את הריאיון הראשון .הסיכוי להתקבל לחברה הוא ( 0.12לעבור בהצלחה את שני הראיונות). א .מצא את .P ב 6 .אנשים מגישים מועמדות ביום מסוים. מה הסיכוי שרובם יתקבלו לעבודה בחברה ? ג .ידוע כי רוב המועמדים התקבלו .מה הסיכוי כי בדיוק 4מועמדים התקבלו? )32מפעל מייצר נורות בשלושה פסי ייצור B , A :ו.C- ידוע כי 25%מהנורות מיוצרות בפס ייצור .Aכמו כן נתון כי: 3%מהנורות שמיוצרות בפס ייצור Aהן פגומות. 2%מהנורות שמיוצרות בפס ייצור Bהן פגומות. 5%מהנורות שמיוצרות בפס ייצור Cהן פגומות. סה"כ המפעל מייצא בממוצע 900נורות תקינות מתוך כל 1000נורות שהוא מייצר. א .מצא את אחוז הנורות המיוצרות בפסי הייצור Bו.C- ב .בוחרים באקראי נורה ,ידוע כי היא תקינה ,מה ההסתברות שהיא מפס ייצור ?C ג .כמה נורות מייצר המפעל ביום עבודה אם ידוע כי כמות הנורות התקינות שהתקבלו בפס ייצור Bהוא 5600יחידות? )33בכד יש 4כדורים אדומים 3 ,כדורים כחולים ו 2-כדורים לבנים .מוצאים באקראי כדור מהכד .אם הוא אדום אז משאירים אותו בחוץ ומוציאים מכד כדור נוסף ,אך אם הוא לא אדום מחזירים אותו לכד ומוציאים כדור נוסף. 150 א .חשב את ההסתברות להוציא שני כדורים בעלי אותו הצבע. ב .מוציאים שני כדורים מהכד ,ידוע כי שניהם מאותו הצבע ,מה ההסתברות ששניהם כחולים? ג .כעת משנים את כללי במשחק בצורה הבאה: מוציאים כדור מהכד ,מתבוננים בו ומחזירים אותו בחזרה לכד .חוזרים על התהליך 6פעמים .מה ההסתברות שבמחצית המקרים יצא כדור לבן? )34מפעל מייצר כפיות ומזלגות פלסטיק (חד-פעמיים) .ההסתברות לבחור מזלג במפעל היא .Pבוחרים באקראי 4כלים. א .מצא את Pאם ידוע כי ההסתברות שייבחרו 3מזלגות קטנה פי 4מההסתברות שיבחר מזלג אחד מתוך הארבעה. המפעל מייצר כפיות ומזלגות בשני צבעים – שחור או לבן. 2 ידוע כי רבע מהמזלגות הם בצבע לבן ו- 3 מהכפיות הם בצבע שחור. ב .מה היא ההסתברות לבחור כלי שחור? ג .י דוע כי נבחר כלי שחור ,מה ההסתברות שהוא מזלג? )35תלמיד הלומד נהיגה ניגש לטסט ראשון .ידוע כי ההסתברות שיעבור את הטסט היא .P אם התלמיד נכשל בטסט הראשון הוא ניגש שנית וכעת ההסתברות שלו לעבור גדולה ב .0.1-אם הוא נכשל פעם נוספת אז הוא ניגש בפעם האחרונה כאשר גם כעת ההסתברות שלו לעבור גדולה ב 0.1-מהפעם הקודמת .ידוע כי הסיכוי של התלמיד לעבור את הטסט השני הוא .0.28 א .מצא את .P ב .מה הסיכוי של התלמיד לעבור טסט כלשהו? ג .ידוע כי התלמיד עבור טסט ,מה הסיכוי שהוא עבר את הטסט השלישי? )36לשני קוביית משחק הגונה בעלת 6פאות הממוספרות מ 1-עד 6ולשרון סביבון חנוכה הגון בעל 4פאות הממוספרות מ 1-עד .4הבנות משחקות את המשחק הבא :שני מטילה את הקובייה ושרון מסובבת את הסביבון. אם הקובייה מראה מספר הגדול מ 3-והסביבון מראה מספר הגדולמ 2-אז כל אחד מהבנות מקבלת נקודה. אם הקובייה מראה מספר הקטן או שווה ל 3-והסביבון מראה מספר הגדולמ 2-אז שרון מקבלת נקודה. אם הקובייה מראה מספר הגדול מ 3-אך הסביבון מראה מספר הקטן או שווהל 2-אז שני מקבלת נקודה. אם הקובייה מראה מספר הקטן או שווה ל 3-והסביבון מראה מספר הקטן אושווה ל 2-אז אף אחת מהבנות לא מקבלת נקודה. הבנות מטילות את הקובייה והסביבון פעמיים. א .מה ההסתברות שלשני יהיו יותר נקודות? ב .ידוע כי שני צברה יותר נקודות ,מה ההסתברות שבהטלה הראשונה לא קיבלה שני נקודה? 151 ג .האם התוצאות של הסעיפים הקודמים ישתנו אם שני תשחק עם הסביבון במקום הקובייה ושרון תשחק עם הקובייה במקום הסביבון? נמק. )37חנות מוכרת חרוזים בשלושה צבעים בלבד :כסף ,זהב ולבן .נטלי קנתה חרוזים מכל צבע .ידוע כי כמות החרוזים הכסופים קטנה פי 3מכמות החרוזים הזהובים וכי כמות החרוזים הזהובים קטנה פי 3מכמות החרוזים הלבנים .המוכרת ריכזה עבור נטלי את כל החרוזים בשקית אחת. א .מצא כמה חרוזים קנתה נטלי מכל סוג אם ידוע כי ההסתברות להוציא 360 מהשקית שני חרוזים בצבעים שונים בזה אחר זה ללא החזרה היא: 779 . ב .החרוזים מיוצרים ע"י שתי חברות :ניצוץ וקריסטל .ידוע כי כמות החרוזים הכסופים תוצרת ניצוץ וכמות החרוזים הזהובים תוצרת ניצוץ זהות .כמו כן כמות החרוזים הזהובים תוצרת קריסטל גדולה פי 5מכמות החרוזים הזהובים תוצרת ניצוץ .מצא את ההסתברות לבחור חרוז בצבע כסף מתוצרת קריסטל. ג .בוחרים 4חרוזים ,ידוע כי כולם תוצרת ניצוץ .ההסתברות שבדיוק 2מהם יהיו 27 כסופים היא: 128 .מצא את ההסתברות לבחור חרוז תוצרת קריסטל אם ידוע כי חרוזי הכסף תוצרת ניצוץ אינם מהווים רוב מכמות כל חרוזי ניצוץ שברשותה של נטלי. )38בבחירות מקומיות בעיר מסוימת ישנם שלושה מתמודדים -מתמודד א' ,מתמודד ב' 47 43 מתושבי העיר הם מבוגרים ו- ומתמודד ג' .ידוע כי 90 90 הם צעירים. 60%מבין המצביעים למועמד א' הם מבוגרים 60% ,מבין המצביעים למועמד ב' הם 1 9 צעירים וידוע כי ההסתברות למצוא בעיר תושב צעיר שהצביע למועמד ג' היא . 24 43 מהמבוגרים הצביעו למועמד א'. א. ב. ג. ד. מי מהמתמודדים קיבל את רוב הקולות? בוחרים באקראי תושב מהעיר. חשב את ההסתברויות שנבחר צעיר המצביע למתמודד ב'. בוחרים באקראי תושב .ידוע כי הוא הצביע למתמודד ג'. מה ההסתברות כי הוא צעיר? בוחרים באקראי 4ת ושבים וידוע כי כולם הצביעו למתמודד ג'. מה ההסתברות כי לפחות אחד מהם מבוגר? 152 תשובות סופיות: )1א. P 0.7 ב. 189 2500 P ג. 1 7 2 )3א 30% .ב . P 0.4 .ג. 3 ד. 81 3 7 5 6 P 1 3 ב. P ג. 1 5 ד. P 0.4096 . ד )6 . P 279 .א . P 0.4 .ב 57% .ג. )5 )7 10 א 25% .ב .מועמד א' .ג. 11 א P 0.8 .ב P 0.44 .גP 0.36427 . ג. .P ד )4 . P 32 .א. אP 0.8 . )9 בP 0.6 . 405 1024 )2אP 0.1 . ב. P 0.0486 ג. 343 4 7 ד )8 . P 0.2732 .א 45% .ב 20% .ג. )10א. 2 3 )12א. 11 18 )14א. 1 330 ב. 1 11 ג. ד )13 . P 0.98658 .א. ב .גבוהה יותר 1 256 14641 330 )15א 4 .ורודות ו 6-צהובות .ב. )16א 9 .נשים .ב. 2 11 1 6 ד.144 . 343 1 11 ד. P 0.2732 . ד. P 0.31744 . ב 20% .ג 60% .ד )11 . P 0.68256 .א.1 . 26 45 15 19 ד. P 0.69331 . 27 50 ב. 17 30 2 9 ג. .2 2 17 31 50 ב. 7 20 ג. 71 150 ד. 32 . 75 ד.P 0.34414 . ג. 1 . 8 ג .גבוהה 27 1 125 6 ד. P 0.0189 . ג . 0.0196 .ד. 18 . 19 )17א 15 .כחולים ו 3-אדומים .ב. )18א 0.24 .ב0.65389 .1 . 17 101 0.61224 .2 ג. 0.03645 . 30 49 ג. 2 . 3 )19א 6 .כדורים כחולים .ב 0.88989 .ג0.21723 . )20א 5 .נשים .ב. 16 21 ג 0.05 .ד.1 . 459 512 .2 9 34 . )21א 5 .עפרונות .ב. y 3 . )22א 10 .כדורים כחולים ו 6-אדומים .ב .שרון צודקת. )23א.30% . 3 ב. 7 513 ג 0.21366 . 2401 ג 4 .כדורים. . 28 ג. 153 7 )24א 4 .כדורים צהובים 6 ,כדורים ירוקים ו 8-כדורים כחולים .ב. 18 1 2 819 ג. .2 0.16613 .1 . .2 )25א .אבי קנה 12פירות ואודט קנתה 20פירות .ב.1 . 4 3 2480 576 10 ב .לא .ג )27 .0.15552 .א .0.8736 .ב .0.58244 .ג.0.08047 . .3 )26א.2 0.33696 .1 . 625 13 14 ג.0.05982 . )28א 3 .כדורים אדומים ו 12-כחולים .ב. 69 675 11 . ג .0.05 .ד. )29א 8 .נשים .ב. 15 1024 153 . 55 )30א .0.15 .ב .75% .ג )31 .0.995904 .2 .0.999936 .1 .א P 0.4 .ב .0.00254 .ג. 58 4 ג 20,000 .יחידות ליום. )32א .פס ייצור .30% – Bפס ייצור .45% – Cב. 9 25 1 18 53 ג.0.36 . ג )34 .0.103266 .א P .ב. ב. )33א. 3 162 36 53 6 . )35א P 0.6 .ב .0.976 .ג. 61 5 ב . 0.2 .ג .לא .מכיוון שיש סימטריה בהסתברויות ההטלות. )36א. 16 11 1 . ג. )37א 60 .בצבע כסף 180 ,בצבע זהב ו 540-בצבע לבן .ב. 13 26 15 )38א .מתמודד א' .ב .0.2 .ג .0.5 .ד. . 16 154 . תרגול מבגרויות: 3 )1 4 מהתלמידים בכיתה אוהבים שוקולד או גלידה (כולל תלמידים האוהבים שוקולד וגם גלידה) 9 .תלמידים לא אוהבים שוקולד וגם לא אוהבים גלידה. א .1 .בוחרים באקראי תלמיד אחד מהכיתה. מהי ההסתברות שהוא לא אוהב שוקולד וגם לא אוהב גלידה? .2מצא כמה תלמידים יש בכיתה. ב .כל תלמיד בכיתה שאוהב שוקולד כתב על פתק :אוהב ,וכל תלמיד שלא אוהב שוקולד כתב על פתק :לא אוהב .ערבבו את כל הפתקים ובחרו מביניהם באקראי 5פתקים עם החזרה .נתון כי ההסתברות שעל 3מהם כתוב "אוהב" שווה להסתברות שעל 2מהם כתוב "אוהב" .מצא כמה תלמידים בכיתה אוהבים שוקולד. )2בבית ספר מסוים 60%מכלל המורים (גברים ונשים) מתנגדים ללעיסת מסטיק בשיעור .מספר המורים (גברים) בבית הספר גדול פי 4ממספר המורות (נשים)0.57 . מכלל המורים (גברים ונשים) הם גברים המתנגדים ללעיסת מסטיק .בוחרים באקראי מורה (גבר או אישה). א .חשב את ההסתברות שהמורה שנבחר הוא אישה המתנגדת ללעיסת מסטיק. ב .ידוע שהמורה שנבחר הוא אישה. . 1חשב את ההסתברות שהיא מתנגדת ללעיסת מסטיק. .2מבין 5מורות בבית הספר ,מהי ההסתברות שלכל היותר 4מורות מתנגדות ללעיסת מסטיק? (בתשובתך דייק עד 4ספרות אחרי הנקודה העשרונית). )3בתוך שק נמצאים 3קלפים .לאחד הקלפים יש שני צדדים לבנים ,לאחד הקלפים יש שני צדדים שחורים ,ולאחד הקלפים יש צד אחד לבן וצד אחד שחור .מערבבים את הקלפים ,ובעיניים עצומות מוציאים קלף מהשק ומניחים אותו על השולחן. א .מהי ההסתברות ששני ִצדי הקלף יהיו זהים? ב .מהי ההסתברות שהצד הגלוי לעין של הקלף יהיה לבן? נמק. ג .ידוע שהצד הגלוי לעין של הקלף הוא לבן. מהי ההסתברות ששני ִצדי הקלף הם לבנים? 155 )4במכללה מסוימת הסטודנטים למחשבים נבחנים בסוף השנה במבחן בהסתברות וסטטיסטיקה .במבחן יש שני תר גילים בהסתברות ותרגיל אחד בסטטיסטיקה. נבחן מקבל ציון עובר או ציון נכשל בכל תרגיל במבחן .כדי לקבל ציון עובר במבחן כולו על הנבחן לקבל ציון עובר בשני תרגילים לפחות מבין השלושה .הסיכוי שסטודנט יקבל ציון עובר בתרגיל בהסתברות הוא ,60%והסיכוי שסטודנט יקבל ציון עובר בסטטיסטיקה הוא .80%ההסתברויות לקב ל ציון עובר או נכשל בתרגילים השונים אינן תלויות זו בזו. א . 1 .מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר בשלושת התרגילים במבחן? . 2מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר בשני תרגילים במבחן וציון נכשל בתרגיל אחד? . 3מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר במבחן כולו? ב .נבחן קיבל ציון עובר במבחן כולו .מהי ההסתברות שהוא קיבל ציון עובר בשני התרגילים בהסתברות? )5יוסי משחק שלושה משחקי שש -בש בזה אחר זה .בכל משחק הוא יכול לנצח או להפסיד (אין תיקו) .אם יוסי ניצח באחד המשחקים ,ההסתברות שהוא ינצח במשחק שאחריו היא ,pואם הוא הפסיד ב אחד המשחקים ,ההסתברות שהוא יפסיד במשחק שאחריו גם היא ,pנתון כי. p > 0.5 : א .אם ידוע כי יוסי ניצח במשחק הראשון: .1הבע באמצעות , pאת ההסתברות שיוסי יפסיד במשחק השני וינצח במשחק השלישי. 13 .2חשב את pאם נתון כי ההסתברות שיוסי ינצח במשחק השלישי היא 25 . ב .השתמש במה שחישבת ,וחשב את ההסתברות שיוסי ינצח במשחק הראשון, אם נתון כי ההסתברות שיוסי ינצח בשלושת המשחקים היא .0.144 )6במלאי של סוחר יש כובעים המיוצרים בשלושה מפעלים :מפעל ,Aמפעל ,Bמפעל .C 1 מלאי הכובעים הוא גדול מאוד. 2 1 מהכובעים במלאי מיוצרים במפעל .Bשאר הכובעים במלאי מיוצרים במפעל .C 3 מהכובעים במלאי מיוצרים במפעל .A 5%מהכובעים המיוצרים במפעל Aהם פגומים. 1.5%מהכובעים המיוצרים במפעל Bהם פגומים 3.5% .מהכובעים במלאי הם פגומים. א .בוחרים באקראי כובע אחד מבין הכובעים המיוצרים במפעל .C מהי ההסתברות שהכובע פגום? ב .מהי ההסתברות שבמדגם מקרי של 6כובעים המיוצרים במפעל Cיש לכל היותר כובע אחד פגום? 156 )7מטילים שתי קוביות משחק מאוזנות :קובייה Aוקובייה .B א .מהי ההסתברות שבקובייה Aיתקבל מספר 4או מספר 6 וגם בקובייה Bיתקבל מספר 4או מספר ?6 ב .מהי ההסתברות שלפחות באחת מהקוביות יתקבל מספר 4או מספר ?6 ג .מטילים שש פעמים את שתי הקוביות Aו .B -מהי ההסתברות שבדיוק בשלוש הטלות יתקבל מספר 4או מספר 6לפחות באחת מהקוביות? )8מטילים פעם אחת קוביית משחק מאוזנת. א .1 .מהי ההסתברות שיתקבל מספר זוגי גדול מ?3- . 2האם המאורע "יתקבל מספר זוגי" והמאורע "יתקבל מספר גדול מ "3-הם מאורעות בלתי תלויים? נמק. מטילים קוביית משחק מאוזנת 3פעמים. ב .מהי ההסתברות שיתקבל מספר זוגי גדול מ 3-בדיוק בשתי הטלות? ג .מהי ההסתברות שיתקבל מספר זוגי גדול מ 3-רק בהטלה הראשונה ובהטלה השלישית? ד .מהי ההסתברות שיתקבל מספר זוגי גדול מ 3-בהטלה הראשונה ובהטלה השלישית? )9מפעל מייצר מחשבים 6% .מהמחשבים המיוצרים במפעל הם לא תקינים95% . מהמחשבים התקינים ו 2%-מהמחשבים הלא-תקינים מזוהים על ידי היחידה לבקרת איכות כתקינים. א .מהי ההסתברות שמחשב יזוהה כתקין? ב .היחידה לבקרת איכות בודקת כל מחשב 4פעמים( .הבדיקות אינן תלויות זו בזו) .אם המחשב זוהה 4פעמים כתקין ,הוא נמכר עם התווית של המפעל .אם המחשב זוהה 3פעמים כתקין ,הוא נמכר במחיר נמוך בלי התווית של המפעל. למחזור. אם המחשב זוהה לפחות 2פעמים כלא-תקין ,הוא נשלח ִ .1מהי ההסתברות שמחשב יימכר עם התווית של המפעל? למחזור? .2מהי ההסתברות שמחשב יישלח ִ בתשובתך דייק עד ארבע ספרות אחרי הנקודה העשרונית. )10במפעל לייצור נורות ניאון יש שלוש מכונות.C ,B ,A : מכונה Aמייצרת 60%מהנורות .מכונה Bמייצרת 30%מהנורות .מכונה Cמייצרת 10%מהנורות 2% .מהנורות שמייצרת מכונה Aהן פגומות 3% .מהנורות שמייצרת מכונה Bהן פגומות 4%.מהנורות שמייצרת מכונה Cהן פגומות. א .1 .מצא את אחוז הנורות הפגומות במפעל. . 2בוחרים באקראי נורה אחת מבין הנורות הפגומות. מהי ההסתברות שהנורה שנבחרה יוצרה על ידי מכונה ?C 157 ב .בוחרים באקראי 5נורות מבין הנורות המיוצרות במפעל. מהי ההסתברות שלכל היותר 3מהן יהיו תקינות? )11גלגל משחק מאוזן מחולק לשש גזרות .על 2גזרות 1 שכל אחת היא 10 מהעיגול ,רשומים המספרים 1 1 ו ,3 -ועל 4גזרות שכל אחת היא 5 מהעיגול ,רשומים המספרים 6 ,5 ,4 ,2כמתואר בציור .כאשר מסובבים את הגלגל הוא נעצר על אחד המספרים (לא על הקו שבין הגזרות). א .מסובבים את הגלגל פעם אחת .מהי ההסתברות שהגלגל ייעצר על מספר זוגי? מסובבים את הגלגל 5פעמים. ב .1 .מהי ההסתברות שהגלגל ייעצר על מספר זוגי 2פעמים לכל היותר? .2ידוע שהגלגל נעצר על מספר זוגי 2פעמים לכל היותר. מהי ההסתברות שהגלגל נעצר על מספר זוגי בדיוק 2פעמים? ג .מהי ההסתברות שרק בפעם הראשונה ובפעם האחרונה ייעצר הגלגל על מספר זוגי? )12בשלוש קופסאות ,B ,Aו C-יש כדורים שחורים ולבנים. בקופסה Aיש 2כדורים שחורים ו 3-כדורים לבנים. בקופסה Bיש 3כדורים שחורים ו 2-כדורים לבנים. בקופסה Cיש 4כדורים שחורים ו 1-כדור לבן. א .בוחרים באקראי קופסה ,ומוציאים ממנה באקראי כדור אחד. .1מהי ההסתברות להוציא כדור לבן? . 2ידוע שהוצא כדור לבן .מהי ההסתברות שהכדור הוצא מקופסה ?B ב .מקופסה Cמוציאים באקראי 2כדורים זה אחר זה בלי החזרה. מהי ההסתברות שאחרי הוצאת הכדורים לא נותר בקופסה Cכדור לבן? )13חקלאי מייצא פרחים לבנים ופרחים אדומים .במחסן של החקלאי: 2 1 מהפרחים הלבנים הם ורדים. 3 12 מהפרחים האדומים הם ורדים. 25%מכלל הפרחים הם ורדים ,והשאר הם חבצלות. א .בוחרים באקראי פרח מבין הפרחים שבמחסן. .1מהי ההסתברות שהפרח הוא אדום? . 2מהי ההסתברות שהפרח הוא אדום אם ידוע שהוא ורד? ב .נתון שמספר הוורדים האדומים במחסן הוא . 300מהו מספר הפרחים במחסן? 158 )14ידוע שההסתברות להצליח במבחן נהיגה (טסט) גדולה ב 0.2-מההסתברות להיכשל בו. א .מהי ההסתברות להצליח במבחן הנהיגה? ב .ראובן ,שמעון לוי ויהודה הם 4אנשים שנבחרו באקראי מבין הנבחנים במבחן הנהיגה. .1מהי ההסתברות שבדיוק 2מהם יצליחו במבחן הנהיגה? .2ידוע שרק 2מהם הצליחו במבחן הנהיגה. מהי ההסתברות שהיו אלה ראובן ושמעון? . 3האם ההסתברות שלפחות אחד מהארבעה יצליח במבחן הנהיגה גדולה מההסתברות שלפחות אחד מהארבעה ייכשל במבחן הנהיגה? נמק. תשובות סופיות: )1א 36 .2 0.25 .1 .ב.18 . )2א .0.03 .ב.0.9999 .2 .0.15 .1 . 2 1 2 )3א . .ב . .ג. 3 2 3 . 15 )4א .0.744 .3 .0.456 .2 .0.288 .1 .ב. 31 . )5א . p = 0.6 .2 . 1 p .1 .ב.0.4 . )6א .0.03 .ב.0.9875 . 2 1 )7א. 9 )8א.1 . . 5 ב. 9 1 2 2 1 .ד. . .2 .לא ,המאורעות תלויים .ב . .ג. 9 27 9 3 .ג.0.301 . )9א .0.8942 .ב.0.0581 .2 .0.6393 .1 . )10א .0.16 .2 .2.5% .1 .ב.0.0059 . )11א .0.6 .ב .0.7248 .2 .0.31744 .1 .ג.0.02304 . 2 1 2 )12א . .2 . .1.ב. 5 3 5 16 2 )13א . .2 . .1 .ב 1575 .פרחים. 7 21 1 216 .3 . .2 .כן. 0.9744 > 0.8704 . )14א .0.6 .ב.1 . 6 625 . 159 פרק – 6גאומטריה אוקלידית: רקע ,קווים וזוויות ,משולשים: שאלות: )1נתון, CAB DAC : O O . EAB 80 , FAD 60 חשב את הזויות הבאות: FAE 2 EAD . FAB , EAC , CAB )2חשב את סכום הזויות הבאות (נמק): . 2 4 6 )3מצא את זוגות הישרים המקבילים בשרטוט הבא (נמק). תשובות סופיות: FAB 120 , EAC 50 , CAB 30 )1 . d c , a c , e f )3 180 )2 משולש כללי ,משולש שווה שוקיים ,משולש ישר זווית: משפטים כלליים במשולשים: .1סכום הזוויות במשולש הוא .180O .2סכום שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית. .3במשולש מול הזווית הגדולה נמצאת הצלע הגדולה ולהפך. במשולש מול הזווית הקטנה נמצאת הצלע הקטנה ולהפך. במשולש מול זוויות שוות נמצאות צלעות שוות ולהפך. 160 משפטים במשולש שווה שוקיים: .1במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו. (משפט הפוך) משולש שבו שתי זוויות שוות הוא משולש שווה שוקיים. .2במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש ,הגובה לבסיס והתיכון לבסיס מתלכדים. (משפט הפוך) משולש שבו חוצה זווית הוא גם גובה או חוצה זווית הוא גם תיכון או גובה הוא גם תיכון הוא משולש שווה שוקיים. משפטים במשולש שווה צלעות: הגדרה :משולש שבו כל הצלעות שוות הוא משולש שווה צלעות. .1במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות . 60 ( .2משפט הפוך) משולש שבו כל הזוויות שוות הוא משולש שווה צלעות. שאלות: A )4המשולש ABCשבציור הוא משולש שווה שוקיים ).(AB=AC AGחוצה את זווית . A Mהיא נקודה כלשהי על .AG הוכח כי.BM = CM : M C G A )5המשולש ABCשבציור הוא משולש שווה שוקיים ).(AB=AC AGו BP-חוצים את הזוויות Aו ABC -בהתאמה. הנקודה Qנמצאת על המשך .AG נתון.GM = GQ : הוכח. B1 B3 : P M 1 2 C G Q 161 B 3 B חפיפת משולשים: הגדרה: משולשים חופפים הם משולשים ששווים זה לזה בכל צלעותיהם ובכל זוויותיהם בהתאמה. D AB DE , AC DF , BC EF ABC DEF A D, B E, C F A F E B C משפטי החפיפה: .1משפט חפיפה צלע-זווית -צלע (צ.ז.צ) :אם בין שני משולשים שוות שתי צלעות והזווית שביניהן בהתאמה אז המשולשים חופפים. .2משפט חפיפה זווית-צלע -זווית (ז.צ.ז) :אם בין שני משולשים שוות שתי זוויות והצלע שביניהן בהתאמה אז המשולשים חופפים. .3משפט חפיפה צלע-צלע-צלע (צ.צ.צ) :אם בין שני משולשים שוות שלוש צלעות בהתאמה אז המשולשים חופפים. .4משפט חפיפה צלע-צלע -והזווית הגדולה (צ.צ.ז) :אם בין שני משולשים שוות שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן בהתאמה אז המשולשים חופפים. שאלות: )6בציור נתון. AC EC , DC BC : הוכח: א. CDE CBA . ב. ADE ABE . A D C E B D )7בציור נתון. DBC ACB , ABC DCB : הוכח. AB DC : A E C B A )8בציור נתון. AC DE , AB BE AD : הוכח :הנקודה Dהיא אמצע הצלע . BC C 162 B D E זווית חיצונית למשולש ומשולש ישר זווית: זווית חיצונית למשולש: הגדרה: זווית חיצונית למשולש היא זווית הכלואה בין צלע במשולש להמשך צלע הסמוכה לה. משפט :זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. משפטים במשולש ישר זווית: .1סכום הזוויות החדות במשולש ישר זווית הוא . 90 .2במשולש שזוויותיו , 30 , 60 , 90הניצב שמול הזווית של ה 30 -שווה למחצית היתר. ( .3משפט הפוך ל ) 2-אם במשולש ישר זווית אחד הניצבים שווה למחצית היתר ,אז הזווית שמול ניצב זה היא בת . 30 .4במשולש ישר זווית ה תיכון ליתר שווה למחצית היתר. ( .5משפט הפוך ל :) 4-אם במשולש תיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה ,אז המשולש ישר זווית (כאשר הזווית ממנה יוצא התיכון היא הזווית הישרה). .6משפט פיתגורס :במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר. כלומר(2 :יתר) = (2ניצב) (2 +ניצב). ( .7משפט הפוך למשפט פיתגורס) אם במשולש סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע הצלע השלישית ,אז המשולש ישר זווית. שאלות: )9הוכח את המשפט" :זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה". A )10המשולש ABCשבציור הוא משולש שווה צלעות. נתון.AN = BM : הוכח. NQC 60o : N Q C 163 M B )11המשולש ABCשבציור הוא משולש שווה שוקיים ).(AB = AC נתון 18 , ABD 30o , DAC 90o :ס"מ = .BC חשב את אורכו של הקטע .BD A C B D )12המשולש ABCשבציור הוא משולש ישר זווית ( .) ABC 90o B BQהוא הגובה ליתר ACו BP-הוא התיכון ליתר .AC נתון. BQ 12 BP : חשב את גודלה של הזווית . C Q C )13המשולש BDCשבציור הוא משולש שווה שוקיים ).(BD=DC ACחוצה את הזווית . BAEנתון. DC AE : חשב את גודלה של הזווית . ACB A P B C D E AD )14הוא גובה במשולש .ABC נתון. BC 25cm , AC 20cm , AB 15cm : A A א .מצא את אורכו של ADואת שטח המשולש .ABC ב .האם המשולש ABCישר זווית? נמק. C D B תשובות סופיות: C 75 )12 BD 6cm )11 ACB 90 )13 164 )14א SABC 150cm , AD 12cm .ב .כן. 2 קטעים מיוחדים במשולש: קטע אמצעים במשולש: הגדרה :קטע המחבר אמצעי שתי צלעות במשולש נקרא קטע אמצעים במשולש. .1קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה. ( .2משפט הפוך :) 1קטע היוצא מאמצע צלע במשולש ומקביל לצלע השלישית חוצה את הצלע השנייה (כלומר הוא קטע אמצעים במשולש). ( .3משפט הפוך :)2קטע המחבר שתי צלעו ת במשולש ,מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים במשולש. מפגש התיכונים במשולש: .1שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת המחלקת כל תיכון ביחס של 1:2 כך שהחלק הקצר קרוב לצלע. .2אם נקודה מחלקת תיכון (אחד) במשולש ביחס של 1:2כך שהחלק הקצר קרוב לצלע, נקודה זו היא מפגש התיכונים במשולש. .3נקודת מפגש התיכונים במשולש נקראת גם מרכז הכובד של המשולש. שאלות: A )15הקטע MNהוא קטע אמצעים במשולש . ABC AQהוא גובה לצלע .BC הוכח. N1 N2 : 1 N 2 3 C AF )16הוא גובה לצלע BCו CG -הוא תיכון לצלע במשולש . ABCהקטע GHמאונך לצלע . BC א .הוכח. BH HF : ב .נתון בנוסף כי הגובה AFחוצה את התיכון GCושגודלו של AFהוא 12ס"מ. חשב את אורך הקטע . EF 165 P M B Q A AB G E C F H B )17המשולש ABCשבציור הוא משולש שווה שוקיים ( ) AB AC שבו AHהוא הגובה לבסיס ,CD .BCהתיכון לשוק ,AB יוצר זווית של 30oעם הבסיס .BC נתון. DQ BC , BC 12 3 cm : A Q חשב את אורך הקטע .MQ C D M B H תשובות סופיות: )16בEF 3cm . . MQ 3cm )17 מרובעים: הגדרה :מרובע הוא מצולע בעל 4צלעות. משפט :סכום הזוויות במרובע הוא . 360o מקבילית: הגדרה :מקבילית היא מרובע שבו שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות. תכונות המקבילית: .1במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו. A B .2במקבילית כל שתי זוויות נגדיות שוות. .3במקבילית סכום כל שתי זוויות סמוכות הוא .180 C .4במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה. .5היקף מקבילית סכום הצלעות ,שטח מקבילית צלע גובה לצלע. כדי להוכיח כי מרובע הוא מקבילית נשתמש באחת הדרכים הבאות: .1מרובע שבו כל זוג צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית. .2מרובע שבו כל זוג צלעות נגדיות שוות הוא מקבילית. .3מרובע שבו זוג צלעות שוות ומקבילות הוא מקבילית. .4מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית. .5מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית. 166 D מלבן: הגדרה :מלבן הוא מרובע שכל זוויותיו ישרות. (מסקנה :מלבן הוא סוג של מקבילית). A B תכונות המלבן (בנוסף לתכונות המקבילית): D C .1ארבע זוויות המלבן שוות והן זוויות ישרות. .2האלכסונים במלבן שווים זה לזה .3היקף מלבן סכום הצלעות ,שטח מלבן צלע גובה לצלע. כדי להוכיח כי מרובע הוא מלבן נשתמש באחת הדרכים הבאות: .1מרובע שבו שלוש זוויות ישרות הוא מלבן. .2מקבילית שבה זווית ישרה היא מלבן. .3מקבילית שבה האלכסונים שווים היא מלבן. מעוין: A הגדרה :מעוין הוא מרובע שכל צלעותיו שוות. (מסקנה :מעוין הוא סוג של מקבילית). A B תכונות המעוין (בנוסף לתכונות המקבילית): B C D D .1במעוין כל הצלעות שוות. C .2במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה. .3במעוין האלכסונים הם חוצי זוויות. .4היקף מעוין צלע ,4 שטח מעוין צלע גובה לצלע (/2 אלכסון אלכסון). כדי להוכיח כי מרובע הוא מעוין נשתמש באחת הדרכים הבאות: .1מרובע שבו כל הצלעות שוות הוא מעוין. .2מקבילית שבה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין. .3מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין. .4מקבילית שבה אלכסון חוצה זווית היא מעוין (מספיק אחד). 167 ריבוע: הגדרה :ריבוע הוא מרובע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו שוות. (מסקנה :ריבוע הוא סוג של מקבילית ,סוג של מלבן וסוג של מעוין). מכאן ,שבנוסף לתכונות שבהגדרת הריבוע מתקיים כי אלכסוני הריבוע חוצים זה את זה ,שווים זה לזה ,מאונכים זה לזה וחוצים את זוויות הריבוע. היקף ריבוע צלע ,4 שטח ריבוע (2 צלע) (2/2 אלכסון) כדי להוכיח כי מרובע הוא ריבוע נשתמש באחת הדרכים הבאות: .1מלבן שבו האלכסונים מאונכים הוא ריבוע. B A .2מלבן שבו אלכסון חוצה זווית הוא ריבוע. .3מלבן שבו שתי צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע. .4מעוין שבו האלכסונים שווים הוא ריבוע. C D .5מעוין שבו זווית ישרה הוא ריבוע. טרפז: הגדרה :טרפז הוא מרובע שבו זוג אחד בלבד של צלעות נגדיות מקבילות. היקף טרפז סכום הצלעות ,שטח טרפז (/2 גובה סכום הבסיסים). טרפז כללי: טרפז ישר זווית: טרפז שווה שוקיים: משפטים הנוגעים לטרפז שווה שוקיים: .1בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו. ( .2משפט הפוך) טרפז שבו הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים. .3בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה. ( .4משפט הפוך) טרפז שבו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים. 168 קטע אמצעים בטרפז: הגדרה :קטע אמצעים בטרפז הוא קטע המחבר את אמצעי השוקיים בטרפז. .1קטע אמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם. ( .2משפט הפוך) קטע היוצא מאמצע שוק אחת בטרפז ומקביל לבסיסים ,חוצה את השוק השנייה (כלומר הוא קטע אמצעים בטרפז). דלתון: הגדרה :דלתון הוא מרובע שבו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות. (מסקנה :דלתון הוא מרובע שניתן לפרק לשני משולשים שווי שוקיים בעלי בסיס משותף). A B D C תכונות האלכסונים בדלתון: .1האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זוויות הראש ,חוצה את האלכסון המשני ומאונך לו. .2האלכסון הראשי אינו בהכרח גדול מהאלכסון המשני. .3היקף דלתון סכום הצלעות ,שטח דלתון (/2 אלכסון אלכסון). משפחת המרובעים: 169 A שאלות: )1המשולשים ABCו ACD -שבציור הם משולשים שווי שוקיים ( .) AB AC AD נתון. BAD 80o : חשב את גודלה של הזווית . BCD B D C )2נתונה מקבילית ABCDשאלכסוניה נפגשים בנקודה . M נתון. AC 20cm , BC 12 DB , DQ AC : חשב את אורך הקטע . AQ B A Q M C D )3את הצלע ABבמקבילית ABCDהאריכו כאורכה עד לנקודה . T הוכח BTCD :מקבילית. A B M )4נתון מלבן ABCDשבו . DM MC הוכח. MAB MBA : D C )5נתונה מקבילית ABCDובה CM , BQ , APו DN -הם חוצי הזוויות C , B , Aו D -בהתאמה. הוכח TRLS :מלבן. )6נתון מעוין ABCDשאלכסוניו נפגשים בנקודה . M האריכו את הצלע ABעד לנקודה Eכך שמתקיים. ED DB : הוכח. AD AE : A B M C )7נתון מלבן ABCDשאלכסוניו נפגשים בנקודה . M האריכו את הצלע ABכאורכה עד לנקודה Fואת הצלע ADכאורכה עד לנקודה Eכמתואר בשרטוט. הוכח :המרובע EBDFהוא מעוין. D E A B M C 170 E D F E B )8בריבוע ABCDנתון כי . AE BF הוכח. DE AF : A M F D C A )9נתון מעוין ABCDשאלכסוניו נפגשים בנקודה . M 1 2 EBFD E נתון. EBA 15o , MB AB , AE FC : הוכח :המרובע הוא ריבוע. M B D F C )10נתון טרפז ABCDשאורכי צלעותיו נתונים בשרטוט. חשב את שטח הטרפז (פתור כתרגיל חישוב). 5cm B 20cm A 13cm D C 26cm )11נתון מלבן ABCDשאלכסוניו נפגשים בנקודה . O נתון. MN DC : הוכח DMNC :טרפז שווה שוקיים. A B M N O D C KN )12הוא קטע אמצעים בטרפז ישר זווית ( ) AD AB , AB DCשאלכסוניו נפגשים בנקודה . O ABCD A B O נתון. AD 12cm , DC 2 AB , ADB 45O : חשב את אורך הקטע . LM N M K L D C )13בדלתון ABCDהאריכו את האלכסון המשני משני צדיו כמתואר בשרטוט כך שמתקיים: הוכח :המרובע ALCKהוא דלתון. A . KD BL L C תשובות סופיות: BCD 140 )1 B M . LM 6cm )12 S 186cm )10 AQ 5cm )2 2 171 D K המעגל: הגדרות: מעגל – המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מנקודה קבועה קבוע. הנקודה הקבועה נקראת מרכז המעגל. רדיוס – קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה על המעגל. מיתר – קטע המחבר שתי נקודות שעל המעגל. קוטר – מיתר העובר במרכז המעגל. מרכז המעגל היקף מעגל = . 2 R מיתר שטח מעגל = . R 2 קשת – חלק מהיקף המעגל. גזרה – חלק משטח המעגל. זווית מרכזית – זווית שקדקודה במרכז המעגל ושוקיה רדיוסים. זווית היקפית – זווית שקדקודה על היקף המעגל ושוקיה מיתרים. משפטים במעגל: משפטים העוסקים במיתרים במעגל: .1מיתרים שווים נשענים על קשתות שוות ולהפך. .2על מיתרים שווים נשענות זוויות מרכזיות שוות ולהפך. .3מיתרים שווים נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל. (משפט הפוך ל ) 3-מיתרים הנמצאים במרחק שווה ממרכז המעגל שווים. .4אנך למיתר ממרכז המעגל חוצה את המיתר. (משפט הפוך ל ))1( 4-רדיוס החוצה מיתר מאונך לו. (משפט הפוך ל )) 2( 4-קטע היוצא מאמצע מיתר ומאונך לו ,עובר במרכז המעגל. 172 משפטים העוסקים בזוויות במעגל: .5שתי זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת/קשתות שוות ,שוות ביניהן. (משפט הפוך ל ) 5-זוויות היקפיות שוות נשענות על קשתות שוות. .6זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת. .7זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה. (משפט הפוך ל ) 7-מיתר עליו נשענת זווית היקפית ישרה הוא קוטר. משפטים העוסקים במשיק למעגל ושני משיקים למעגל: .8משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. (משפט הפוך ל )8-קטע המאונך לרדיוס בקצהו משיק למעגל. .9שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה. .10קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה שממנה יוצאים שני משיקים חוצה את הזווית בין המשיקים. .11הזווית הכלואה בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני. משפטים העוסקים בשני מעגלים: .12קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו. .13קטע המרכזים (או המשכו) של שני מעגלים משיקים עובר בנקודת ההשקה. משפטים העוסקים במעגל חוסם ומעגל חסום: .14מרכז מעגל החוסם משולש הוא מפגש האנכים האמצעיים במשולש. .15מרכז מ עגל החסום במשולש הוא מפגש חוצי הזווית במשולש. .16במרובע החסום במעגל ,סכום כל שתי זוויות נגדיות הוא .180o (משפט הפוך ל )16-אם במרובע סכום זוג זוויות נגדיות הוא ,180oהמרובע בר חסימה במעגל. .17במרובע החוסם מעגל סכום זוג צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני. (משפט הפוך ל ) 17-אם במרובע סכום זוג צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני אז ניתן לחסום בתוכו מעגל. .18כל מצולע משוכלל ניתן לחסום במעגל וניתן לחסום בתוכו מעגל. 173 שאלות: AB ,CD )1ו KL-הם מיתרים במעגל שמרכזו , Oוהם חותכים את הקטע ,MGהעובר במרכז המעגל ,בנקודות E ,F ו M-בהתאמה .נתון. KL CD , CF FD : G א .הוכח. KM ML : ב .נתון בנוסף כי , AB MG הוכח. MO OE : . ML EB A K C E F O M D )2חשב את גודל הזוויות ו -במעגל הנתון. B L 550 β 500 400 AB )3ו BC-הם מיתרים במעגל שמרכזו . O נתון. BA OC , AGC 60o : חשב את גודלה של הזווית . AOC α A G C B O BC ,AD ,AC ,AB )4ו CD-הם מיתרים במעגל שמרכזו O (המיתר ADעובר ב.)O- הקטע BEחותך את המיתר ACבנקודה .G נתון. BE CD , BG GE : הוכח. BC CD : A B G C O E D B )5הצלעות AD ,ABו DC-של המקבילית ABCDמשיקות למעגל בנקודות L , Bו K-בהתאמה (ראה שרטוט). נתון. KC 6cm , BC 14cm : חשב את היקף המקבילית. A L C D K A )6הצלעות ACו BC-של המשולש ABCמשיקות למעגל שמרכזו , Oבנקודות Kו B-בהתאמה. הצלע ABעוברת בנקודה .O נתון. AB 15cm , AK KC : 174 K O C B א .חשב את גודלה של זווית . A ב .חשב את אורכו של רדיוס המעגל. H B )7הקדקודים Bו C-של המלבן ABCDמונחים על מעגל. הצלע ADמשיקה למעגל בנקודה Gוהצלע ABחותכת את המעגל בנקודה .Hהוכח. C2 C3 : (הדרכה :סמן .) AGH )8המעגלים שמרכזיהם Mו G-משיקים מבחוץ זה לזה ומשיקים מבפנים למעגל שמרכזו .O נתון כי רדיוס המעגל שמרכזו Oהוא . 8cm חשב את היקף המשולש . OMG A G 2 1 3 D C O M G AD )9הוא התיכון לצלע BCבמשולש .ABC א .הוכח :אם מרכז המעגל החסום במשולש ABC נמצא על ADאז המשולש ABCהוא שווה שוקיים. ב .בהמשך לסעיף א' ,האם מרכז המעגל החוסם את משולש ABCנמצא על ?AD )10חשב את גודלה של הזווית בשרטוט הבא: 350 550 500 α 300 )11בטרפז ישר זווית ABCDשבו השוק ADמאונכת לבסיסים ABו DC-הנקודות Kו L-נמצאות על הצלעות DCו AD-בהתאמה ,כך שהקטעים BKו CL-הם חוצי הזוויות בהתאמה .חוצי הזוויות נפגשים בנקודה .M הוכח :את המרובע DKMLניתן לחסום במעגל. )12חשב את גודלו של xבשרטוט הבא: תשובות סופיות: AOC 40 )3 35 , 95 )2 )6אA 30 . בR 5cm . )8 . P 48cm )5 P 16cm . x 2 )12 70 )10 175 B ו- C פרופורציה דמיון: פרופורציה: משפט תאלס: .1שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציוניים. .2משפט הפוך :אם שני ישרים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציוניים הישרים מקבילים. AD AE .3משפט תאלס +ההפוך: DB EC A E . DE BC D C AD AE DE .4משפט תאלס המורחב +ההפוך: AB AC BC . DE BC BE AE AB .5משפט תאלס "שעון חול" +ההפוך: ED EC DC B A B E . AB DC D C משפט חוצה הזווית: A 2 1 .6חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית ביחס הזהה ליחס בין הצלעות שביניהן הוא כלוא ולהפך. אםA1 A2 : AB AC אז: BD DC C ולהיפך. D B דמיון משולשים: הגדרה: משולשים דומים הם משולשים ששווים זה לזה בכל זוויותיהם ושצלעותיהם שומרות בהתאמה על אותו יחס. DEF F E, C ABC D, B AB AC BC DE DF EF A D A F E C 176 B משפטי הדמיון: .1משפט דמיון זווית -זווית (ז.ז :).אם בין שני משולשים שוות שתי זווית אז המשולשים דומים. .2משפט דמיון צלע -זווית -צלע (צ.ז.צ) :אם בין שני משולשים שתי צלעות שומרות על אותו יחס והזווית שביניהן שווה אז המשולשים דומים. .3משפט דמיון צלע -צלע -צלע (צ.צ.צ) :אם בין שני משולשים שלוש הצלעות שומרות על אותו יחס אז המשולשים דומים. .4משפט דמיון צלע -צלע -והזווית הגדולה (צ.צ.ז) :אם בין שני משולשים שתי צלעות שומרות על אותו יחס והזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן שווה אז המשולשים דומים. יחס בין גדלים במשולשים דומים: .1בין שני משולשים דומים היחס בין הגבהים ,התיכונים ,חוצי הזווית ,ההיקפים, רדיוס המעגל החוסם ורדיוס המעגל החסום הוא כיחס הדמיון. .2היחס בין שטחי משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון. פרופורציות ב משולש ישר זווית: .1במשולש ישר זווית ,הגובה ליתר בריבוע שווה למכפלת היטלי הניצבים על היתר. .2במשולש ישר זווית ,ניצב בריבוע שווה למכפלת היתר והיטל הניצב על היתר. ( .3משפט הפוך ל ) 1-אם במשולש גובה לצלע אחת בריבוע שווה למכפלת היטלי הצלעות האחרות על צלע זאת ,המשולש ישר זווית. 177 שאלות יסודיות – משפט תלס: )1מצא את ערכו של xבשרטוטים הבאים: ב. א. )2בטרפז ABCDהאלכסונים נפגשים בנקודה .Q בנקודה Qהעבירו קטע המקביל לבסיסי הטרפז וחותך את שוקי הטרפז בנקודות MוN-כמתואר בשרטוט. נתון. QB 3cm , DQ 9cm , DC 18cm : C חשב את גודל הקטע . MQ A B N M Q D A AK MC AL )3בשרטוט נתון: KC BM LB . א .הוכח :המרובע KLMCהוא מקבילית. ב .נתון. BC 10cm , AL 1.5BL : K חשב את אורך הקטע .LK L C B M שאלות יסודיות – משפט חוצה זווית: )4מצא את גודלו של xבסרטוטים הבאים אם נתון כי AMחוצה זווית Aבכל המשולשים ,כל הגדלים הם בס"מ: א. A 4 B ד. ב. C M A C 15 M 12 B ג. B A A 21 B M M C 178 C A )5נתון משולש שווה שוקיים . AB AC ,ABC ידוע כי היקפו הוא 28ס"מ .הקטע BMהוא חוצה זווית .B נתון כי הקטע AMגדול פי 3מהקטע .MC חשב את אורך הקטע .MC M B C C )6הקטעים ADו CF-הם חוצי הזוויות Aו C-בהתאמה במשולש .ABC נתון 18 :ס"מ 12 , AB ס"מ 6 , AC ס"מ . CD חשב את אורך הקטע .AF D A )7המרובע PQRTחסום במעגל .נתון כי. QR RT : ידוע כי 20 :ס"מ 28 , PQ ס"מ 24 , PT ס"מ . QT חשב את אורך הקטע .QS F B P T S Q R )8הנקודות C ,B ,Aו D-מונחות על היקפו של מעגל שמרכזו .O הרדיוס DOחוצה את הזווית . BOC נתון. BC 10cm , AC 12cm , AB 8cm : חשב את אורכו של הקטע .MN A O C M N B D שאלות המשלבות את משפט תלס ומשפט חוצה זווית: A )9נתון משולש .ABCממשיכים את הצלע ACמהכיוון של Cעד לנקודה .Dמחברים את הנקודה Dעם הקדקוד .B מעבירים את הקטע AKאשר חוצה את זווית A במשולש .ABCהמשך AKחותך את BDבנקודה .N C מעבירים את הקטע .MNנתון. BC MN : AB CM הוכח: AD DM M . D 179 K B N )10נתון משולש .ABCמעבירים את התיכון ADלצלע .BC נתון כי DEהוא חוצה זווית ADC וכי DFהוא חוצה זווית . ADB הוכח. EF BC : A F E C B D )11נתון משולש .ABCמעבירים את הקטעים CDו.DE- נתון כי DE BC :ו . AC 2BC - הקטע ACגדול פי 3מהקטע .DE הוכח כי. BCD ACD : A D B שאלות העוסקות בדמיון משולשים: )12במשולש ABCהעבירו את הקטע הוכח. AKB ABC : E BK C כך ש. AKB ABC - A K B C A הצלע BK )13נתונה מקבילית . BKMCהמשיכו את הקטע ACחותך את הצלע KMבנקודה . L הוכח. LC BC LM AC : עד לנקודה . A L M K B C )14המשולש ABCחסום במעגל שמרכזו . Oהצלע BC היא קוטר המעגל .הקטע BMמאונך לרדיוס . OD נתון. AC 2OM : א .הוכח. AB 2BD : ב. S BOM חשב את היחס: S BAC A C O M . D 180 B ABC )15הוא משולש שווה שוקיים ( ) AB ACשבו השוק גדולה פי 2מהבסיס .המשיכו את הבסיס משני צדיו עד לנקודות D ו E-כך שמתקיים BC CEו. D CAE - נתון. SABC m : בטא באמצעות mאת שטח המשולש . ADE E )16מצא את ערכם של xו - y A C B בשרטוט הבא: )17במשולש ישר זווית שאורכי ניצביו mו n -נתון כי אורך הגובה ליתר הוא . h 1 1 1 הראה שמתקיים 2 2 : 2 h m n (אין צורך ברישום מסודר של הוכחה). )18הוכח את המשפט :אם במשולש גובה לצלע אחת בריבוע שווה למכפלת היטלי הצלעות האחרות על צלע זאת ,המשולש ישר זווית. תשובות סופיות: )1אx 2 . ב. x 1 . 4.5 )2ס"מ. )3ב 6 .ס"מ. )4א x 5.6 .ב x 20 .ג x 12 .ד. x 6 . 3 )5ס"מ. 8 )6ס"מ. 10 )7ס"מ. 1 )8ס"מ. SBOM 1 )14 SBAC 4 . . SADE 6m )15 . y 6 , x 52 )16 181 D תרגול מבגרויות: שאלות ללא פרופורציה: )1במשולש ABCמעבירים את שלושת הגבהים. AD , BE , CF : הגבהים נפגשים בנקודה . Q א .הוכח. ACF ABE : ב .הוכח כי מרובע QDCEהוא מרובע בר-חסימה. ג .הוכח. ADF ADE : )2במשולש E , ABCאמצע F , ABעל BCו EFמקביל ל. AC - Gעל ACו EG -מקביל ל. BC - בלי להשתמש במשפטים על קו אמצעים במשולש הוכח: א .המשולש AEGוהמשולש EBFחופפים. ב .על פי הסעיף הקודם ,הוכח כי קטע במשולש החוצה צלע של המשולש ומקביל לצלע השלישית במשולש הוא קטע אמצעים. )3במשולש שווה שוקיים , ( AB AC ) ABC BDהוא תיכון לשוק . CBD 30 , AC א .הוכח כי משולש ABCהוא משולש שווה צלעות. (הדרכה :הורד אנכים AFו DE -לבסיס BC 1 1 2 2 A D והוכח כי) DE AF BD : ב .אם נתון כי אורך התיכון BDהוא aס"מ, חשב אם אורך צלע המשולש ואת שטחו. B C A )4במשולש ) C 90 ( ABCהנקודה Eמונחת על היתר . ABמהנקודה Eמעבירים אנך ליתר, E החותך את המשך הניצב BCבנקודה Fואת הניצב AC בנקודה . Dנתון כי 10 :ס"מ 12 , AD ס"מ 8 , EB ס"מ . AE הוכח כי. ADE DFC : B 182 D C DF )5מנקודה Mהנמצאת מחוץ למעגל מעבירים חותך MPQומשיק . MN מנקודה Kהנמצאת בהמשך MPQמעבירים ישר מקביל למיתר , QN החותך את המשך המשיק MNבנקודה . L א .הוכח כי. QNL NPQ : N ב .הוכח כי המרובע KPNLהוא בר-חסימה. M P Q K L )6נתונה מקבילית . ABCD על הצלע ABבונים ריבוע ABEFועל הצלע ADריבוע . ADKMהוכח כי המשולש KCEהוא משולש שווה שוקיים וישר -זווית. )7 א. ב. F E M A K B הוכח :אם במשולש התיכון לצלע שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה, אזי המשולש הוא משולש ישר זווית. בציור הנתון RS :הוא קטע אמצעים במשולש . MNP NOהוא חוצה זווית . MNP הוכח כי. MON 90 : D C M R S O P N )8הוכח כי :במשולש ישר זווית ,התיכון ליתר שווה למחצית היתר. נסח והוכח את המשפט ההפוך למשפט שבסעיף א. )9בטרפז . ( BC AD) ABCD נתון כי :נקודה Eנמצאת באמצע אלכסון AC ונקודה Fנמצאת באמצע אלכסון . BD א .הסבר מדוע קטע האמצעים של הטרפז ABCD עובר דרך הנקודות Eו. F - ב .נתון כי . AD 4 EF :הוכח כי. AD 2 BC : )10נתון מלבן MNPQשבו . QN 2 NP אלכסוני המלבן נפגשים בנקודה . O האריכו את הקטע MQכאורכו ) . (MQ QT א .הוכח כי. MO OT : ב .הוכח כי. OT PQ : C B F E D A N M O P Q T 183 D )11במעגל שבציור נתון כי המיתר ACמאונך למיתר . BD שני המיתרים נחתכים בנקודה . F דרך הנקודה Fמורידים אנך למיתר . AB המשכו של האנך חותך את המיתר DCבנקודה . E הוכח כי. DE EC : E A C F B )12הוכח את המשפט :שני משיקים למעגל היוצאים מנקודה אחת חיצונית ,שווים באורכם AB .ו AC -הם שני משיקים למעגל. . AC aנקודה Mנמצאת על הקשת . CB QPמשיק למעגל בנקודה . M A הוכח כי :היקף המשולש APQלא תלוי המקומה של B P M Q C הנקודה Mעל הקשת CBוהוא גודל קבוע השווה ל. 2a - )13טרפז ( AB DC) ABCDחסום במעגל כך שמרכז המעגל Oנמצא מחוץ לטרפז. נתון כי 9 :ס"מ 21 AB ס"מ , CD גובה הטרפז הוא 8ס"מ. A B רדיוס המעגל הוא . R א .הבע באמצעות Rאת המרחק ממרכז המעגל : O C .1לבסיס הקטן של הטרפז . AB .2לבסיס הגדול של הטרפז . CD ב .חשב את גודלו של רדיוס המעגל . R )14במשולש ישר זווית , ( ABC 90 ) ABCחוסמים מעגל כך שנקודות ההשקה הן P , M :ו. Q - כמו כן ,נתון כי AQ 2a :ו. QC a - הבע את היקף המשולש ABCבאמצעות . a A B M P C Q שאלות הכוללות פרופורציה ודמיון: )15שני מעגלים משיקים זה לזה בנקודה . M רדיוס המעגל הגדול הוא Rורדיוס המעגל הקטן הוא . r מעבירים משיק משותף לשני המעגלים. MNהוא המרחק שבין נקודת ההשקה של שני המעגלים לבין המשיק המשותף שלהם. 2R r הוכח כי: Rr MN M R r N 184 D C )16א .הוכח כי :במשולש ישר זווית בעל זווית חדה בת , 30הניצב שמול הזווית שווה למחצית היתר. ב .בטרפז שווה שוקיים ABCDהאלכסונים ניצבים לשוקיים. הוכח כי :אם הזווית החדה בטרפז שווה ל , 60 -אזי נקודת מפגש האלכסונים מחלקת כל אלכסון ביחס .1: 2 KMN )17הוא משולש שווה שוקיים ) . ( KM KNמנקודה כלשהי Pהנמצאת על הבסיס MNמורידים אנך לשוק KM ואנך לשוק KNהחותכים אותן בנקודות Aו B -בהתאמה. א .הוכח כי KAPBהוא מרובע בר חסימה. ב .הסבר מדוע הנקודה Eהנמצאת באמצע הבסיס , MN נמצאת על היקף המעגל החוסם את המרובע . KAPB K A B N )18נסח והוכח את משפט קטע אמצעים בטרפז. MNהוא קטע אמצעים בטרפז . ( AB CD) ABCD נסמן. CD b , AB a : E P C M D M N F 1 2 הוכח כי. EF (a b) : E B )19שני מעגלים שווים O1 ,ו , O2 -שמחוגיהם שווים ל 10 -ס"מ, נחתכים בנקודות Aו . B -מהנקודה Cשעל המשך המיתר המשותף ABשל שני המעגלים יוצא המשיק CDלאחד מהמעגלים. נתון כי 9 5 :ס"מ CD ו16 -ס"מ . O1O2 חשב את אורך הקטע . CB (היעזר בעובדה ש AB -חוצה את הקטע O1O2ומאונך לו). A C B D O2 O1 A C , B , A )20ו D -הן נקודות על המעגל K .היא נקודה על כך ש . BK CD -נתון. AB AD : א .הוכח. BAK DAC : ב .המשך הקטע AKחותך את המעגל בנקודה . N הוכח. BN CD : BC B K A C D )21במשולש MNPהגבהים NQו PR -נפגשים בנקודה . O נתון כי. OR OQ : א .הוכח כי . NO OP ב .הוכח כי :משולש MNPשווה שוקיים. ג .הוכח כי. MQ MR : M Q P 185 R N )22א .הוכח את המשפט :שני מיתרים הנחתכים בתוך מעגל מחלקים זה את זה ,כך שמכפלת קטעי האחד שווה למכפלת קטעי האחר. ב .במעגל שרדיוסו , Rהקוטר ABמאונך למיתר . CD הקוטר והמיתר נחתכים בנקודה . Eנתון כי . AE : EB 1: 4 הבע את שטח המשולש ADCבאמצעות . R )23א .הוכח כי :במרובע חסום במעגל ,סכום הזוויות הנגדיות שווה ל.180 - ב .מרובע ABCDחסום במעגל AC .חוצה את הזווית . DAB בנקודה Cמעבירים משיק למעגל .המשכי הצלעות ABוAD - חותכים את המשיק בנקודות Eו F -בהתאמה. .1הוכח כי. CDF ABC : B .2הוכח כי. ABC CDF : E ג .נתון 9ס"מ 4 , AB ס"מ . DF C חשב את אורך הקטע . BC )24מעגל Oמשיק לישר lבנקודה CD . Eהוא קוטר במעגל. בנקודה Cמעבירים משיק למעגל החותך את הישר lבנקודה . B בנקודה Dמעבירים משיר למעגל החותך את הישר lבנקודה A (ראה ציור). א .הוכח כיAOB 90 : ב .הוכח כי. AOE OBE : ג .נתון כי 6 :ס"מ 13 , R ס"מ . EB AE , AB חשב את אורכי הקטעים EBו. AE - A D F O D C E B l A A )25במשולש ABCנתון כי AD :הוא התיכון לצלע . BC DEהוא חוצה הזווית DF , ADBהוא חוצה הזווית ADC (ראה ציור) .הוכח כי. EF BC : F E C )26בריבוע ABCDנתון כי :אלכסוניו נפגשים בנקודה . M BEחוצה את הזווית DBAוחותך את האלכסון ACבנקודה ( Nראה ציור). DE MN ואת היחס א .מצא את היחס EA NA 186 D D C . ב .הוכח כי המשולש ENA :הוא משולש שווה שוקיים. ג .הוכח כי. DE 2 MN : B M E N B A )27במשולש שווה שוקיים ABCנתון כי 20 :ס"מ 24 , AC BC ס"מ . AB במשולש זה חסום מעגל ,המשיק לשתי השוקיים בנקודות Eו . F - F א .הוכח כי EF :מקביל לבסיס. ב .חשב את אורך הקטע . EF C E B )28במשולש ישר זווית ( PST 90) PSTחסום חצי מעגל שמרכזו Oנמצא על יתר . PT א .הוכח כי OSחוצה את הזווית . PST ב .נתון כי 18 :ס"מ PS ו 24 -ס"מ . TS חשב את אורכי הקטעים OPו. OT - A P O N S )29במשולש , ABCבו , B 90 נתון כי 6 :ס"מ 12 , FC ס"מ 16 , BC ס"מ AB הקטע FMמאונך ליתר , ACוהקטע MNמקביל ליתר . AC חשב את אורך הקטע . MN T M B M N A C F )30משולש MPNחסום במעגל .ישר NQמשיק למעגל זה בנקודה . N נתון כי( NP RQ :ראה ציור). א .הוכח כי. QRN MRQ : ב .נתון כי 5 :ס"מ MN ו 4 -ס"מ . RN חשב את . RQ M P N Q R )31בטרפז . ( AB DC) ABCD נתון כי 9 :ס"מ 18 , DC ס"מ . AB דרך נקודת מפגש האלכסונים , Eמעבירים ישר MN המקביל לבסיסי הטרפז. מצא את אורכו של . MN D C M N E A B )32א .הוכח :חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית חלוקה פנימית לפי היחס של שתי הצלעות הכולאות את הזווית. ב .המעגל החסום במשולש ABCמשיק בנקודה Fלצלע . CB A נתון כי 4 :ס"מ 7 BF ס"מ , AD . CF חוצה הזווית Aמחלק את הקטע CBלשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו . 3 : 2 חשב את אורכי הצלעות ACו. AB - B D F 187 C A )33משולש שווה שוקיים ( AB AC) ABCחסום במעגל. דרך קדקוד Bעובר משיק למעגל .דרך קדקוד Cעובר ישר המקביל ל , AB -וחותך את משיק בנקודה ( Eראה ציור). א .הוכחBAC CBE : ב .נתון כי 27 :ס"מ AC ו12 -ס"מ . CE חשב את אורך הקטע . BC )34בטרפז ( AB CD) ABCDנתון כי. AB 3 CD : אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה . O דרך הנקודה Aמעבירים מקביל ל , BD -החותך את המשך הצלע CDבנקודה ( Eראה ציור). נסמן את שטח המשולש DOCבאמצעות . S הבע את שטח הטרפז ABCEבאמצעות . S C B E A B O C E D ABCD )35הוא טרפז שווה שוקיים ). ( AD BC , AB CD Oהוא מרכז המעגל החסום בטרפז ו E -היא נקודת ההשקה של השוק BCעם המעגל ( Oראה ציור). א .הוכח כי. OE 2 BE EC : ב .הוכח כי :הגובה בטרפז שווה שוקיים החוסם מעגל הוא הממוצע ההנדסי של שני הבסיסים של הטרפז. A B E O D C )36במשולש ישר -זווית ( PQR 90) PQRנתון: hהוא הגובה ליתר x ,ו y -הם הניצבים, y aו b -הם היטלי הניצבים xו y -בהתאמה (ראה ציור). h א .הוכח כי הגובה ליתר הוא ממוצע גאומטרי של R N b היטלי הניצבים על היתר. h a b : ב .הוכח כי כל ניצב הוא ממוצע גאומטרי של היתר והיטל הניצב על היתר. y b (a b) , x a (a b) : Q ג. x P M מקדקוד Qמעבירים חוצה זווית החותך את היתר PRבנקודה . M הוכח כי. PM : MR a : b : )37במשולש ABCהתיכון BEוהקטע ALנחתכים בנקודה . K הקטע EFמקביל ל ( AL -ראה ציור) .נתון כי. LC 5 BL : א .הוכח כי. LF 2.5 BL : ב. BK 2 הוכח כי : BE 7 A E K . C 188 F L B )38א .הוכח את המשפט :היחס בין השטחים של שני משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדימיון. G ב .במקבילית ABCDנקודה Eנמצאת על הצלע , BC כך ש . BE : CE 2 : 3 - המשך הקטע AEחותך את המשך הצלע DC E בנקודה . Gנתון 18סמ"ר . SCEG C .1חשב את שטח המשולש . ABE .2חשב את שטח המשולש . ABC A D )39א .הוכח כי :במשולשים דומים היחס בין הגבהים המתאימים שווה ליחס הדמיון של המשולשים. ב .במשולש ABCחסום חצי מעגל שרדיוסו 6ס"מ. קוטר המעגל PQמקביל לצלע CD . ABהוא גובה במשולש ABCוחותך את הקוטר PQבנקודה ( Eראה ציור). נתון כי 20 :ס"מ . AB B חשב את אורך הקטע . CE C E Q A C B O הוכח כי. DC 2 n2 m n : 189 A B ABC )42א .הוכח כי :חותכים למעגל היוצאים מנקודה אחת מחוץ למעגל יוצר ים קטעים פרופורציוניים כך שמכפלת כל החותך בחלקו מחוץ למעגל היא גודל קבוע. ב .נתון משולש . ABCמעגל העובר דרך הקדקודים Aו, B - F חותך הצלעות ACו BC -בנקודות Fו M -בהתאמה. .1הוכח כי. ACM BCF : C .2נתון כי 48 :ס"מ 40 , BC ס"מ 16 , AC ס"מ . AF מצא את אורך המיתר . BM P D ABCD )40הוא טרפז ) . ( BC ADהצלעות BCו CD -הן מיתרים במעגל. הצלע ABמשיקה למעגל בנקודה ( Bראה ציור). C א .הוכח כי. ABD DCB : ב .נתון כי 5 :ס"מ 12.8 , BC ס"מ . AD D חשב את אורך האלכסון . BD )41מנקודה Aהנמצאת מחוץ למעגל שרדיוסו , Rמעבירים חותך וחותך , AODשעובר דרך מרכז המעגל , O כך ש . CDB BDA BAD - A נתון גם. BC n , AB m : B D A B M )43בטרפז ABCDאורך הבסיס ABהוא aואורך הבסיס CDהוא . b אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה . Oדרך הנקודה Oמעבירים מקביל לבסיסים החותך את ADבנקודה Eואת BCבנקודה . F a b הוכח כי מתקיים: ab . EO OF B a F A E O C D b )44מנקודה Aמעבירים שני חותכים למעגל ,חותך ABCוחותך , ADE כך שהנקודה Bנמצאת באמצע הקשת , CDו CED 2 CAD - (ראה ציור). א .הוכח. ECB ACE : A ב .נתון כי 4 :ס"מ 9 , CB ס"מ . AC חשב את אורך הקטע . CE C B E D Q MN )45הוא קטע במעגל שמרכזו ב. O - PKמשיק למעגל בנקודה Pומאונך ל. NQ - הנקודה Qנמצאת על המשך המיתר ( MPראה ציור). א .הוכח כי. MP KN PK PN : ב .הוכח כי. MP PQ : P K N O C A )46בציור נתון כי. AB EF CD : 1 1 1 הוכח כי: EF AB CD M E . D B F A )47א .הוכח כי :הגובה ליתר במשולש ישר-זווית מחלק את המשולש לשני משולשים ,שכל אחד מהם דומה למשלוש כולו. ב .מעויין ABCDחוסם מעגל שמרכזו ב . O - D נתון כי :אורך הרדיוס המעגל OTהוא 24ס"מ ואורך צלע המעויין הוא 50ס"מ. מצא את אורך האלכסון . ( BD AC ) BD T B O C )48משולש ABCחסום במעגל .חוצה זווית BACחותך את המעגל בנקודה Dואת הצלע BCבנקודה ( Fראה ציור). מנקודה Dהורד אנך על הצלע CBהחותך אותה בנקודה . E נתון כי. AB : AC 5 : 3 : הוכח כי. BC 8 EF : C A E B F D 190 A )49נקודה Dהיא אמצע היתר ACהמשולש ישר זווית . ( B 90) ABC בנקודה Dמעלים אנך לצלע ACהחותך את הניצב ABבנקודה E D (ראה ציור). נתון כי 8 :ס"מ . AB m , AC הבע את CEו BE -באמצעות . m E C )50במשולש ABCנתון כי15 :ס"מ , AB AC 18ס"מ . CB דרך מרכז המעגל Oהחסום במשולש עובר הקטע EFהמקביל לבסיס FN . BCוEM - הם אנכים לבסיס . BC חשב את שטח המלבן . EFNM B A O F B N C M )51א .הוכח כי :הזווית הכלואה בין משיק ומיתר בעלי נקודה משותפת, שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה. F ב .שני מעגלים משיקים מבחוץ בנקודה . A דרך נקודה זו עוברים שני ישרים ,החותכים את המעגלים בנקודות M , E , Fו . N - הוכח כי. AMN AFE : )52במשולש ישר -זווית , ( GEF 90) EFG EPהוא הגובה ליתר . GF נתון כי 24 :ס"מ 32 , EF ס"מ . GE חשב את אורכי הקטעים GP , PF , GF :ו. EP - E E A M N E F P MQ )53הוא התיכון לבסיס במשולש שווה שוקיים . (MN MP) MNP Sהיא נקודה על המשך הצלע . MN המשך התיכון MQחותך את הקטע PSבנקודה . E הקטע EFמקביל ל ( NP -ראה ציור). א .הוכח כי. MP : MS NF : FS : ב .נתון כי 20 :ס"מ 4 , MP ס"מ . NF P חשב את אורך הקטע . FS G M M Q E N F S 191 N M SPהם משיקים למעגל O NP )54הוא קוטר במעגל , MT , MN . Oו- בנקודות T , Nו P -בהתאמה. א .הוכח כי. MOS 90 : ב .הוכח כי רדיוס המעגל שווה ל. MN SP - T O S P DE )55הוא קוטר במעגל .בנקודה Dמעבירים משיק למעגל. מנקודה , Aשעל המעגל ,מעבירים ישר המקביל לקוטר . DE הישר חותך את המשיק למעגל בנקודה ( Fראה ציור). א .הוכח כי. AD2 AF DE : E ב .נתון 4ס"מ 9 , AF ס"מ . DE חשב את שטח הטרפז . AFDE A F D N )56א .הוכח כי המחוג המאונך למיתר המעגל חוצה אותו. ב .בציור שלפניך המיתרים EFו MN -מאונכים זה לזה. נתון כי 3 :ס"מ 8 , EB ס"מ 4 , BF ס"מ . MB .1חשב את אורך הקטע . NB .2מצא את המרחק המיתר EFממרכז המעגל . O O F A E B M C )57מעגל שמרכזו בנקודה Oחסום במשולש ישר-זווית ). ( C 90 נתון כי 30 :ס"מ 18 , AB ס"מ . AC חשב את אורך הקטע . ED E D O A B )58במשולש PS MPQחוצה את הזווית . ST MP , MPQ נתון כי 27 :ס"מ 45 , MP ס"מ . QP חשב את אורך הקטע . TP M S P T Q 192 :תשובות סופיות 1 3 . 3 a 2 : שטח המשולש, . a (3 17) )14 . R ס"מ10.625 .ב . BC ס"מ6 .) ג23 2 3 a : אורך צלע המשולש.) ב3 3 R 2 10.52 .2 . SACD 8 25 R 2 4.52 .1 .) א13 R 2 .) ב22 . CB ס"מ15 )19 MN 2 DE , 2 .) א26 . AE ס"מ9 , EB ס"מ4 .) ג24 NA 2 EA 1 . MN ס"מ3 )29 OT ס"מ 3 120 90 , OP ס"מ .) ב28 . EF ס"מ9.6 .) ב27 7 7 . AC ס"מ9 , AB ס"מ6 .) ב32 . MN ס"מ12 )31 . RQ ס"מ6 .) ב30 . S ABCE 28 S )34 . BC ס"מ18 .) ב33 . CE ס"מ9 .) ב39 . SABC סמ"ר20 .2 SABE סמ"ר8 .1 .) ב38 . CE ס"מ6 .) ב44 . BM ס"מ28 .) ב42 . BD ס"מ8 .) ב40 m2 32 32 , CE )49 m m . BD ס"מ60 .) ב47 . BE . SEFNM סמ"ר50.625 )50 . EP ס"מ19.2 , GP ס"מ25.6 , PF ס"מ14.4 , GF ס"מ40 )52 . S AFDE סמ"ר29.07 .) ב55 . FS ס"מ6 .) ב53 .TP = ס"מ16.875 )58 .DE = ס"מ3 )57 . ס"מ1 .2 193 NB ס"מ6 .1 .) ב56 פרק – 7טריגונומטריה במישור: משולש ישר זווית: הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות: הניצב שמול הזווית היתר הניצב שליד הזווית היתר הניצב שמול הזווית הניצב שליד הזווית משפט פיתגורס. a2 b2 c2 : שאלות: )1מצא את ערכו של / xבמשולשים ישרי הזווית הבאים: 750 400 700 A )2המשולש ABCשבציור הוא משולש ישר זווית ( .) B 90o ADהוא התיכון לניצב . BC נתון. AB 6cm , C 28o : מצא. AD ? , BAD ? : C )3המשולש ABCשבציור הוא משולש ישר זווית ( .) B 90o BDהוא התיכון ליתר ו AE -הוא חוצה הזווית . A נתון. BC 8cm , BD 5.6cm : מצא. BE ? , BAE ? : C 194 B D A D E B )4מצא את זויותיו של מעויין שאורכי אלכסוניו 24cmו.18cm - D A )5המשולש ABCחסום במעגל כך שהצלע ACהיא קוטר המעגל. המשיק למעגל בנקודה Aוהמשך הצלע CBנפגשים בנקודה . D נתון. DAB 32o , BD 4cm : מצא את אורכו של רדיוס המעגל. B C )6במשולש שווה שוקיים שבו השוק ארוכה ב 4 -ס"מ מהבסיס נתון כי זווית הראש היא . 34.92oמצא את שטח המשולש. A )7המשולש ABCשבציור הוא משולש ישר זווית ( .) B 90o נתון. AB a , A : הבע באמצעות ו a -את היקף המשולש. C B A )8המשולש ABCשבציור הוא משולש ישר זווית ( .) B 90o ADהוא התיכון לניצב . BC נתון. AB b , C : הבע באמצעות ו b -את אורכי הקטעים BDו . AD - C B D )9במשולש ישר זווית אחת הזוויות החדות היא ואורך חוצה זווית זו הוא . k הבע באמצעות ו k -את שטח המשולש ואת אורך היתר. B )10טרפז ABCDהוא טרפז ישר זווית ( .) B C 90o הנקודה Gנמצאת על השוק BCכך ש. AG DG - נתון. BAG , AG DG m : הבע באמצעות ו m -את שטח הטרפז. A G C D )11משולש שווה שוקיים שאורך שוקו kוזווית הבסיס שלו היא חוסם מעגל. הבע באמצעות ו k -את רדיוס המעגל. תשובות סופיות: )1א x 15.665cm .ב x 8.114cm .ג x 3.931cm .ד 40.005 .ה. 29.745 . . BE 3.294cm , BAE 22.792 )3 AD 8.236cm , BAD 43.24 )2 S 28.618cm )6 R 6.04cm )5 73.74, 73.74, 106.26, 106.26 )4 2 195 1 )7 cos tan )9 )8 P a 1 tan k 2 cos 2 2 2 ,S 2 b 2 tan k cos cos b2 4 tan 2 , BD 2 )10 AC . AD b2 m sin m cos )11 2 2 . R k cos tan זהויות טריגונומטריות: זהויות של סכום והפרש זוויות: זהויות היסוד: זהויות של זווית כפולה: המעגל הטריגונומטרי: המעגל הטריגונומטרי הוא מעגל היחידה (מעגל קנוני שרדיוסו )1 טבלת ערכי הפונקציות הטריגונומטריות לזוויות המיוחדות: 90 4 2 0 2 1 0 60 45 3 2 2 2 30 1 1 2 2 0 2 2 2 3 2 4 2 1 2 1 2 0 0 1 sin cos 3 1 3 3 0 tan 0 3 3 1 3 cot 196 : 90 ערכים עבור זוויות בכפולות של sin 0o 0 cos 0o 1 tan 0o 0 sin 90o 1 cos 90o 0 tan 90o sin180o 0 cos180o 1 tan180o 0 sin 270o 1 cos 270o 0 tan 270o :הזהויות של המעגל הטריגונומטרי tan 180o tan cos 180o cos sin 180o sin tan 180o tan cos 180o cos sin 180o sin tan tan cos cos sin sin :שאלות :) הוכח את הזהויות הבאות1 sin tan sin 90 cos3 3 o tan 2 sin 2 tan 2 sin 2 cos3 cos sin 2 cos .ב sin 2 sin 2 2 1 cos 1 cos .ד . tan tan sin cos cos .א .ג :) הוכח את הזהות הבאה2 :) הוכח את הזהויות הבאות3 4sin cos cos 2 sin 4 sin 3 cos3 sin cos .ב 2 1 sin 2 .א 1 sin 6 .ד cos4 sin 4 cos 2 .ג cos sin 2cot 2 sin cos .ו cos 2 2sin 2 cos 2 1 cot 2 sin 4 2 .ה 2 197 )4ענה בלי להשתמש במחשבון: sin150o tan 225o cos 45 cos 210o tan120o sin 315o cos120o sin 510o cos930o tan 30o sin 330o 1 )5הוכח את הזהות הבאה: cos sin o tan 225o sin 180o sin 90o cos 2 . טריגונומטריה במישור: משפט הסינוסים: הגדרה: במשולש ,צלע חלקי סינוס הזווית שמולה הוא גודל קבוע והוא שווה לפעמיים רדיוס המעגל החוסם. a b c בצורה מתמטית 2 R : sin sin sin . משפט הקוסינוסים: c2 a 2 b2 2ab cos או a 2 b2 c 2 . cos 2ab מתי נשתמש בכל משפט: נשתמש במשפט הסינוסים כאשר: א .נתונות שתי זוויות וצלע. ב .נתונות שתי צלעות והזווית מול אחת מהן. ג .נתון רדיוס המעגל החוסם וצלע/זווית נוספת. נשתמש במשפט הקוסינוסים כאשר: א .נתונות שתי צלעות והזווית ביניהן. ב .נתונות שלוש צלעות. כאשר ישנם יותר נתונים מאשר בסעיפים שלהלן ייתכן שנוכל להשתמש בשני המשפטים. בבחירת המשפט שבו נשתמש כדאי לזכור שבמשפט הסינוסים ייתכנושתי תשובות לזווית, גם אם בפועל רק אחת נכונה ,ובמשפט הקוסינוסים תתקבל בוודאות הזווית הנכונה. 198 שטחים של משולשים ומרובעים: a h ab sin a 2 sin sin שטח משולש ניתן לחישוב ע"י: 2 2 2sin k k sin .S 1 2 שטח מרובע ניתן לחישוב ע"י אלכסוניו: 2 . S שאלות: )1מצא את ערכו של / x / yבמשולשים הבאים ( Rהוא רדיוס המעגל החוסם ,נתוני הצלעות בס"מ): ב. א. 1150 420 560 ד. ג. 220 ה. 600 )2מצא את ערכו של / xבמשולשים הבאים: א. ג. ב. 530 ד. 199 )3נתון משולש שווה שוקיים ) AB AC ( ABCשאורך השוק שלו הוא של זווית הבסיס בו הוא CD . 70oהוא חוצה זווית הבסיס . C מצא את אורכו של הקטע . AD 22 ס"מ וגודלה )4אלכסוני המלבן ABCDנפגשים בנקודה . M הנקודה Gנמצאת על המשך הצלע . AD נתון. DG 1.2cm , AB 4cm , AD 3cm : מצא את גודלו של הקטע . GM )5מרובע שאורכי אלכסוניו 8cmו 11cm -חסום במעגל שאורך רדיוסו הוא . 6cm חשב את זוויות המרובע. A )6הצלע ABבמשולש ABCהיא מיתר במעגל שמרכזו . O הצלע ACעוברת במרכז המעגל כמתואר בשרטוט. נתון. BAC 38o , OC 3cm , BC 9cm : מצא את אורכם של רדיוס המעגל ושל הצלע . AB O B C )7אחד האלכסונים במקבילית יוצר זווית של 30oעם צלע אחת של המקבילית וזווית של 61.05עם הצלע הסמוכה לה .אחת מצלעות המקבילית גדולה ב 3-ס"מ מהצלע הסמוכה לה .חשב את היקף המקבילית. )8המשולש ABDחסום במעגל שרדיוסו . R המשך הצלע ADוהמשיק למעגל בנקודה Bנפגשים בנקודה . C נתון. ADB , C : הבע באמצעות , Rו -את אורך הקטע . BC D A C B )9חשב את שטחי המשולשים הבאים: ב. א. 240 320 480 )10חשב את שטחו של טרפז שווה שוקיים שאורך האלכסון שלו 8ס"מ והוא יוצר זווית של 15עם הבסיסים. )11במשולש ישר זווית ) B 90o ( ABC נתון. A , AB m : הבע באמצעות ו m -את שטח המשולש . BCD BD חוצה את הזווית 200 B . :תשובות סופיות 24.474 או 155.526 .ג 34.231 .) א1 x 18.585 cm , y 22.199cm .ב . 73.898, x 3.606cm . ה. 138.618 או 41.382 .ד . 90 . ד 105.962 . ג 20.742 . בx 5.646cm .) א2 . 66.444, 113.556, 41.810, 138.190 )5 GM 3.360cm )4 AD 13.064cm )3 . BC . SBCD 2 R sin sin sin )8 P 22cm )7 R 9.242cm , AB 14.56cm )6 m2 tan 2 sin 45 cos )11 S 16cm2 )10 S 8.641cm2 . בS 75.801cm2 .) א9 2sin 45 201 תרגול מבגרויות: )1המשולש ABCחסום מעגל שרדיוסו . Rנתון כי . A , B א .הבע את רדיוס המעגל החסום במשולש בעזרת . , , R ב .נתון כי . 60 :חשב את רדיוס המעגל החסום במשולש בעזרת . R K )2במקבילית MNPQנקודה Eנמצאת על הצלע כך ש ( MEN 90 -ראה ציור). נתון 12 :ס"מ . MNE 40 , MQP 70 , MQ מצא את הגובה , MFואת הגובה . NK PQ M N P )3במשולש ישר -זווית P 90 PA MNPהוא גובה ליתר ו NF -חוצה את הזווית . MNP PAו NF -נחתכים בנקודה ( Eראה ציור). נתון 24 :ס"מ . MNP 40 , NP א .מצא את אורך הקטע . NA ב .מצא את אורך הקטע . EF F E Q M A F E N P )4אלכסוני המלבן MNPQנחתכים בנקודה . O מנקודה Oמעלים אנך ל QN -החותך את QPבנקודה ( Kראה ציור). נתון. NP a , MOQ 2 : א .הבע את אורך הקטע OK באמצעות ו . a - ב .הבע את היקף המשולש NOKבאמצעות ו . a - N M O a P D 202 Q K B C )5בטרפז ישר -זווית ABCDחסום מעגל שמרכזו . O הנקודה Mהיא נקודת ההשקה של המעגל עם השוק . AB נתון 12 :ס"מ . BAD , AM א .הבע את רדיוס המעגל בעזרת . ב .הבע את היקף הטרפז בעזרת . 2β M O α A A E )6במשולש ישר -זווית ( ABCראה ציור) נתון: 8ס"מ . ABC , ACB 90 , BC CDהוא הגובה ליתר CE .הוא חוצה-הזווית . ACD הבע את אורך הקטע AEבאמצעות . D B C )7נתון מעגל שרדיוסו . R מצולע משוכלל בעל 9צלעות חוסם את המעגל הזה .מצולע משוכלל אחר בעל 9צלעות חסום בתוך מעגל זה .חשב את היחס בין שטח המצולע החוסם את המעגל לשטח המצולע החסום במעגל זה. ABC )8הוא משולש שווה -שוקיים AB AC שאורך בסיסו 12ס"מ. ADהוא הגובה לבסיס , BCו CE -הוא הגובה לשוק .AB שני הגבהים נחתכים בנקודה . Oנתון. 45 ABC : א .הבע את היחס AO : DOבאמצעות . ב .הראה כי בעבור 60הביטוי שמצאת בסעיף א' מתאים לתכונות הגאומטריות של משולש שווה-צלעות. A )9במשולש ABCחסום מעגל שמרכזו Mורדיוסי ( rראה ציור). נתון. B 62 , C 46 : א .הבע באמצעות rאת אורך הצלע . BC ב .נתון 16 :ס"מ . BC מצא את . r M C B B )10במחומש משוכלל ( ABCDEראה ציור) אורך האלכסון ACהוא 15ס"מ. חשב את שטח המחומש. A E C D )11מנקודה Cהנמצאת מחוץ למעגל שמרכזו Mורדיוסו R מעבירים משיק CDוחותך CBAלמעגל (ראה ציור). 3 נתון. CD R : 5 א .מצא את זוויות המשולש . CAD ב .הבע באמצעות Rאת שטח המשולש . BCD 203 D M B A C )12מנקודה , Aהנמצאת מחוץ למעגל שמרכזו , O יוצאים שני משיקים למעגל AB ,ו ( AC -ראה ציור). נתון 10 , BAC 2 :ס"מ . AO A א .הבע באמצעות את , S1 שטח המרובע . ABOC ב .הבע באמצעות את , S 2 שטח המשולש . BOC ג .הראה שאם , 30אזי. S1 4 S2 : B O C C B ABCD )13הוא טרפז ישר-זווית . C D 90 נקודה Eנמצאת על הצלע ( DCראה ציור). נתון AE BE k , AEB 90 :ו . CBE - הבע באמצעות kו -את שטח הטרפז. E A D )14א .במעושר משוכלל ,ששטחו 100סמ"ר ,חוסמים מעגל. מצא את רדיוס המעגל החסום במעושר. ב .מעושר משוכלל חסום במעגל ,שאת רדיוסו מצאת בסעיף א'. מצא את שטח המעושר המשוכלל הזה. ABC )15הוא משולש שווה -שוקיים AB AC שבו זווית הראש היא זווית חדה. נתון כי זווית הבסיס היא ואורך הבסיס BCהוא . 2a A ADהוא הגובה לבסיס BCו CE -הוא הגובה לשוק . AB הגבהים ADו CE -נפגשים בנקודה ( Oראה ציור). א .הבע באמצעות aו -את אורכי הקטעים COו . CE - CO ב .הבע באמצעות את היחס CE . ג .חשב את היחס שמצאת בסעיף ב' כאשר , 60 והסבר מהי המשמעות הגאומטרית של התוצאה שקיבלת. 204 O C D E B A )16מנקודה Aיוצאים שני משיקים למעגל שמרכזו , O שאורכם ( mכלומר.) AB AC m : נקודות ההשקה הן Bו , C -והזווית שבין המשיקים היא ( BAC ראה ציור). א .הבע באמצעות mו -את שטח המשולש . ABC ב .הבע באמצעות mו -את שטח המשולש . BOC ג .הבע באמצעות את היחס שבין שטחו של המשולש BOCלבין שטחו של המשולש . ABC ד .בדוק את תשובתך לסעיף ג' למקרה המיוחד שבו . 90 α B O C D )17במשולש ישר -זווית DACנתון . DAC מאריכים את הניצב ACכך ש. AB d - נתון כי( DBA :ראה ציור). סמן. AC x : הבע את xבאמצעות , dו. - β α A C )18נתון משולש ישר-זווית . C 90 ABC A CEהוא הגובה ליתר AD .הוא חוצה-הזווית . CAB CEו AD -נחתכים בנקודה ( Pראה ציור). נתון. CAB , AC m : הבע באמצעות mו -את: א .אורך הקטע . AE B ב .אורך הקטע . PD E P 205 C D )19בטרפז שווה-שוקיים AD BC ABCDהאלכסונים נפגשים בנקודה ( Mראה ציור). נתון, ADC BCD 65 , DAC DBC 90 : 11ס"מ . DC C חשב את שטח המשולש . AMD )20הקטעים ABו CD -נחתכים בנקודה . O נתון כי 9 , OAC 60 :ס"מ , CO 6ס"מ 14 , AC ס"מ , OD 10ס"מ . OB חשב את . ODB d B A B M D D A O B C N )21במשולש MNPגודל הזווית Mהוא . 54 נתון כי אורך הצלע MNהוא 12ס"מ (ראה ציור) ,והצלע NP ארוכה ב 7 -ס"מ מהצלע . MP א .חשב את אורך הצלע . NP ב PA .הוא תיכון לצלע . MN חשב את שטח המשולש . PAN 54° M P )22המשולש השווה -שוקיים AB AC ABCחסום במעגל (ראה ציור). נתון . ABC :כמו כן ידוע שאורך רדיוס המעגל הוא 20ס"מ. א .הבע בעזרת את שטח המשולש . ABC ב .חשב את שטח המשולש ABC בעבור . 45 A B )23במשולש ABCהזווית Cהיא בת , 60אורך הצלע ABהוא 13ס"מ, והיקף המשולש הוא 7 13ס"מ. חשב את שטח המשולש. )24בטרפז שווה-שוקיים ABCD C AD BC אורך הבסיס הגדול ABשווה לאורך הלאכסון. זווית הבסיס היא ,) 60 ( ראה ציור. הבע באמצעות את היחס שבין שטח המשולש ACD לשטח המשולש . ABC C D β A B )25הקדקודים Aו B -של המשולש ABD נמצאים על היקף מעגל שאורך רדיוסו 12ס"מ ומרכזו . O הקדקוד Dשל המשולש ABDנמצא על הרדיוס . OA א .הבע בעזרת ו -את שטח המשולש . ABD B β A α O D C ב .הבע בעזרת ו -את היחס שבין שטח המשולש ABCלשטח המשולש . ABD N )26משולש MNPחסום במעגל. המיתר NQחוצה את הזווית . MNP נתון MPN 70 , MNP 80 :ו 12 -ס"מ . NP חשב את אורך המיתר . MQ P M Q 206 D C )27נתון טרפז .) AB CD ( ABCD הנקודה Eהיא נקודת המפגש של אלכסוני הטרפז. נתון, CEB , BE m , DC BC : ( CBD ראה ציור). הבע את אורכי בסיס הטרפז AB :וCD - באמצעות , mו. - )28במשולש RSTנתון QT :הוא חוצה -הזווית RTS . TRQ 45 , RST , RQ 2 , QS m α E m β A B S (ראה ציור), Q א .הבע את sin באמצעות . m ב. 2 נתון כי: 3 . m חשב את זוויות המשולש . RST T R )29במשולש שוום שוקיים AB AC ABCהתיכון לשוק שווה באורכו לרדיוס המעגל החוסם את המשולש .חשב את זווית הבסיס של המשולש. )30נתון משולש שצלעותיו . t , 2t , kt א .לאיזה ערכים של הקבוע kהמשולש הוא קהה זווית? ב .נתון . k 7הבע ע"י tאת אורך חוצה הזווית הקהה. )31בתוך הריבוע ABCDנתון ,העבירו ארבעה קטעים היוצרים את אותה זווית עם צלעות הריבוע כך שהתקבל ריבוע פנימי . PQRS B A α Q PQ א .הוכח כי cos sin : AB ב .לאיזו זווית מתקיים. PR AB : P α . α R S α C PS )32הוא גובה במשולש ( PMQראה ציור). נתון. PS h, MPS , SPQ : א .הבע את שטח המשולש PMQבאמצעות , hו. - ב .מעגל שקוטרו PSחותך את הצלעות PMוPQ - בנקודות Eו F -בהתאמה (ראה ציור). F .1הבע באמצעות ו -את . ESF Q .2הבע באמצעות ו -את היחס בין שטח המשולש ESF לשטח המשולש . PMQ 207 D P E S M )33במשולש ABCהצלעות הן b , aו c -והזוויות שמונחות מולן הן , :ו - בהתאמה. א .הבע את אורך התיכון ( maהתיכון לצלע ) aבאמצעות הצלעות bו c -והזווית ב .בדוק את הנוסחה שמצאת למקרה שבו המשולש ABCהוא שווה צלעות. )34במשולש שווה שוקיים BM , ( AB AC ) ABCהוא תיכון לשוק (ראה ציור). D נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABCהוא 10ס"מ וכן נתון ש . BAC 50 - א .מצא את גודל הזווית . BMC ב .ממשיכים את BMעד לנקודה , Dכך שרדיוס המעגל החוסם את המשולש ABDהוא 14ס"מ. מצא את שטח המשולש . AMD A M B C E F )35משולש שווה שוקיים ( BC BE ) BCEחסום במעגל שרדיוסו . Rזווית הבסיס של המשולש BCEהיא . בנקודה Eהעבירו משיק למעגל החותך את המשך השוק BC B בנקודה ( Fראה ציור). א .בטא את שטח המשולש BEFבאמצעות Rו . - ב .מצא את הערך של שבעבורו שטח המשולש BCEשווה לשטח המשולש . BEF C )36בטרפז ( BC ED) BCDEאורך הבסיס BCהוא 12ס"מ .הזווית שבין הבסיס לשוק DCהיא . 80אורך האלכסון BDהוא 16ס"מ ,והוא חוצה את הזווית . CBE חשב את היקף הטרפז. BC )37במשולש ישר -זווית APDמחלקים את הזווית הישרה P לשלוש זוויות שוות. כלומר( ( APB BPC CPD 30) :ראה ציור). נתון כי. PAD PB m : א .היעזר במשפט הסינוסים ,והבע את BD , AC , ABוCD - באמצעות mו . - AC BD ב .הוכח כי 3 : AB CD A α B C . m 30° 30° 30° D 208 P B )38בטרפז שווה שוקיים , ( AD BC , AB DC ) ABCD Fהיא נקודה על השוק , BCכך ש DF -חוצה את הזווית CDA ו AF -חוצה את הזווית ( DABראה ציור). נתון. FAB , AB b : הבע באמצעות bו -את אורך הבסיס . DC A F D C )39משולש שווה צלעות EFGחסום במעגל שרדיוסו . R Mהיא נקודה על המעגל. נתון( MGE :ראה ציור). א .הוכח כי. ME MF MG : ב .אם ME Rמה תוכל לומר על ? MG E M β F G )40משולש שווה שוקיים . ( AD AE ) ADEחסום במעגל שרדיוסו . R ישר המשיק למעגל בנקודה Dחותך את המשך הצלע AE בנקודה ( Fראה ציור). E נתון. (60 180) DAE : א .הבע את שטח המשולש ADFבאמצעות Rו. - ב .הבע באמצעות את היחס שבין שטח המשולש ADE ובין שטח המשולש . ADF ג .חשב את אם שטח המשולש ADEשווה לשטח המשולש . ADF )41במעוין ABCDהנקודה Eהיא אמצע הצלע . CD נתון( AEB , ADC :ראה ציור). הוכח כי: 3 25 16cos 2 A D B C β E . cos F α A D )42נתון טרפז ABCDונתון מעגל .השוק DCהוא קוטר המעגל. השוק ABמשיקה למעגל ,והבסיסים ADו BC -משיקים גם הם למעגל בנקודות Dו C -בהתאמה (ראה ציור). נתון כי. AB d , B : א .הבע באמצעות dאת סכום בסיסיו של הטרפז. ב .הבע באמצעות dו -את היקף הטרפז ואת השטח של הטרפז. ג .נתון שהיקף הטרפז 25ס"מ ושטחו 25סמ"ר. חשב את הזווית החדה . 209 D A d β C B )43במשולש שווה שוקיים A ( PM PN ) PMNהיא נקודה על P 1 5 הגובה , PBכך ש. PA PB - D A הישר NAחותך את השוק PMבנקודה ( Dראה ציור). נתון DNB , DMN :ו. BN a - א .חשב את היחס . tan : tan ב .חשב את היחס . PM : DM α β N )44במעגל שמרכזו Oורדיוסו Rמעבירים שני קטרים ABו- הנחתכים בזווית של . 60מיתר , AEהיוצר זווית עם הקוטר , ABחותך את הקוטר CDבנקודה ( Fראה ציור). א .הבע את שטח המשולש ACFבאמצעות Rו . - M B CD E D F A α 60° B O 3 8 ב .הוכח שכאשר , 30שטח המשולש ACFהוא . 3 R 2 C 210 :תשובות סופיות . KN ס"מ21.52 , MF ס"מ11.28 )2 . OK a 2 cos 1 .) א1 R . ב. 4 R sin sin cos 2 2 2 2 .) א4 . EF ס"מ5.975 . ב. NA ס"מ18.385 .) א3 . 24 1 tg . ב. 12 tg .) א5 2 2 2 . 2 a 2sin 1 .ב 1 tg cos tg 20 1 1 1 1.132 )7 . AE 8sin tg tg 8tg tg )6 2 sin 40 cos 20 2 2 (מפגש הגבהים הוא גםAO 2 DO : מתקיים.ב .r . . 2 tg cos 2 tg 2 1 .) א8 2 tg 2 cos 16 3.98 . ב. BC r tg 59 tg 67 4.02 r .) א9 .)מפגש התיכונים tg 59 tg 67 . S 0.0495 R2 . ב. , C 73.3 D 90 , A 16.7 .) א11 . S סמ"ר147.86 )10 . S2 50 sin 2 sin 180 2 50 sin 2 sin 2 . ב. S1 100 sin cos 50 sin 2 .) א12 1 2 . r ס"מ5.548 .) א14 . יח"ש27 . ב.) (או כל תשובה שקולהS k 2 1 2sin cos )13 CO 1 a . ב. CE 2a sin , CO .) א15 . S סמ"ר90.45 .ב 2 CE 2sin sin 2 .) (בדומה למפגש התיכונים במשולש: היחס הוא.ג 3 1 1 . tg 2 : יחס השטחים. ג. SBOC m2 sin tg 2 . ב. SABC m2 sin .) א16 2 2 2 2 . . tg 2 45 1 1 - ויחס השטחים שווה ל, הוא ריבועABOC במקרה זה.ד . AC x d 2m sin 2 2 2m sin tg . ב. AE m cos .) א18 2 2 cos cos 2 2 סמ"ר8.2 . ב. NP ס"מ10.38 .) א21 . ODB 44.7 )20 . S סמ"ר9.07 )19 . PD . SPAN m 1 cos tg )17 tg tg . SABC 3 3 סמ"ר5.196 )23 . סמ"ר400 . ב. S 800 sin 2 sin 2 .) א22 sin 3 sin . או כל תשובה שקולה . MQ ס"מ15.43 )26 sin . .ב sin cos 211 2 1 4cos :) יחס השטחים הוא24 . SABD sin cos 2 sin .) א25 288 sin . DC m sin sin , AB m )27 sin sin . 20.7 )29 . 45 , 60 , 75 או45 , 120 , 15 . ב. sin 1 .) א28 m 2 t 0.667t . ב. 1 k 3 או5 k 3 .) א30 3 1 . ESF 180 ( ) .1 . בSMPQ h2 (tan tan ) .) א32 2 1 1 . ma b2 c 2 2 b c cos .) א33 . SEFS : SMPQ sin 2 sin 2 .2 2 4 . 15 )31 . SAMD סמ"ר54.1 .ב BMC 79.5 .) א34 . PBCDE 51.09 )36 . 45 . בSBEF . CD . ma 3 b .ב 2 2 R 2 sin 3 sin 2 .) א35 sin 3 3 m sin 30 m sin 30 3m m , BD , AB , AC .) א37 2 cos 2 sin 2 sin 60 sin 2 sin 60 cos . הוא קוטר במעגלMG .) ב39 . DC . 90 .ג . 30 .ג cos 1.5 SADE . בSADF S ADF cos 0.5 S 2 R 2 cos3 2 b tan )38 tan 3 sin cos 1.5 .) א40 1 2 d sin , P 2d d sin . ב. AD BC d .) א42 2 9 4 . PM : DM 1.125 . ב. tan : tan 0.8 .) א43 8 5 .S 212 3R 2 sin 30 .) א44 4 sin 60 פרק – 8חשבון דיפרנציאלי: נגזרות ומשיקים: פונקציות נפוצות: הפונקציה : f x x 2הפונקציה : f x x3הפונקציה : f x x 5 x3 4 x פונקציה עם מכנה ,למשל: x2 1 הפונקציה : f x x : f x הנגזרת: לכל פונקציה f x קיימת פונקציה ,הנקראת פונקציית הנגזרת (או רק "הנגזרת") ומסומנת , f ' x המתקבלת ממנה על פי כללי הגזירה. כללי הגזירה: .1 .2 .3 .4 .5 כלל גזירה מס' . f x xn f ' x n x n1 :1 כלל גזירה מס' ( 2כפל בקבוע). f x axn f ' x n ax n1 : כלל גזירה מס' ( 3נגזרת של קבוע). f x a f ' x 0 : כלל גזירה מס' ( 4סכום והפרש). f x u v f ' x u ' v ' : כלל גזירה מס' ( 5פונקציה מורכבת). f x u n f ' x n u n1 u ' : 1 1 1 .6כלל גזירה מס' ( 6נגזרת של ) f ' x 2 : x x x .7כלל גזירה מס' ( 7מכפלה). f x u v f ' x u ' v v ' u : . f x u u 'v v 'u .8כלל גזירה מס' ( 8מנה): f ' x v v2 .9כלל גזירה מס' ( 9שורש): 1 2 x . f x . f x x f ' x 213 שיפוע של פונקציה: .1השיפוע ( ) mשל פונקציה f x בנקודה A x1 , y1 שעל הפונקציה הוא ערך הנגזרת בנקודה , A x1 , y1 כלומר. m f ' x1 : .2השיפוע של המשיק לפונקציה f x בנקודה A x1 , y1 שעל הפונקציה שווה לשיפוע הפונקציה בנקודה . A x1 , y1 .3משוואת המשיק לפונקציה f x בנקודה A x1 , y1 שעליה מתקבלת על ידי הנוסחה למציאת ישר. y y1 m x x1 : שאלות: )1גזור את הפונקציות הבאות: אf x x3 . ב. ד. f x x ה. f x x2 ח. f x x 3 ו. f x x3 ט. 1 1 ז. f x x ג. 7 2 f x x f x x 1 3 f x x4 )2גזור את הפונקציות הבאות: א. f x 2 x3 ב. f x 3x 7 ג. 1 4 x 2 ד. x6 f x 7 ה. f x 8x ו. f x 3x 2 ז. 4 x f x ח. f x 6x 2 ט. 2 1 x3 f x 3 )3גזור את הפונקציות הבאות: א. f x 12 7 ב. 8 f x )4גזור את הפונקציות הבאות: א. f x x 3 2 x 2 3x 5 f x 3 1 4 x 3x 2 x ב. 4 6 4 5 214 f x :) גזור את הפונקציות הבאות5 f x 3 x x 2 2 .ג f x x3 6 5 2 x 1 f x 3 .ב f x 5x 2 .א .ה 5 x .ד 4 3 f x 3 4 :) גזור את הפונקציות הבאות6 1 x2 2 f x 3 x f x f x x 6 x 3 4 f x .ג .ו .ג 2 .ב x 1 .ה x 3x f x 2 3 .א x 3 f x 3 .ד x 6 .ז f x x5 f x :) גזור את הפונקציות הבאות7 f x 5x 1 x 3 .א f x 5x 1 x 3 .ב 3 :) גזור את הפונקציות הבאות8 x2 1 x2 3 3 f x 3 x f x .ג .ו f x x 3 1 .ג f x x3 x x2 1 .ב 5 x 12 1 .ה f x x f x .ו f x 4 x 1 .ב f x x2 x 3 .ה f x 3x 1 .א 1 2x x2 8 .ד f x x 1 :) גזור את הפונקציות הבאות9 f x x .א f x 3x 1 x .ד :) גזור את הפונקציות הבאות10 f x x 2a x 4a .ג f x ax 2 x c .ב 3 b f x ax 4 bx .א f x a bx 2 c .ד . 2, 2 בנקודהf x 2 x3 7 x ) מצא את שיפוע הפונקציה11 . x 2 בנקודה שבהf x 215 1 ) מצא את שיפוע הפונקציה12 x 3 2 )13מצא את שיפוע המשיק לפונקציה f x 4 xבנקודה שבה . x 1 )14מצא את משוואת המשיק לפונקציה f x 2 4 x 33בנקודה שבה . x 1 )15מצא את משוואת המשיק לפונקציה f x 8בנקודה שבה . y 2 x 1 1 x )16מצא את משוואת המשיק לפונקציה f x xבנקודה שבה. x 1 : )17מצא את משוואת המשיק לפונקציה f x 3x2 8 xבנקודה שבה. x 4 : )18נתונה הפונקציה הבאה. f x 4 x 2 x : א. 1 מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה המקביל לישר: 2 . y 3x ב .מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה . x - )19מצא את משוואות המשיקים לפונקציה f x x2 2 x 8בנקודות החיתוך שלה עם ציר ה . x - )20מצא את משוואת המשיק לפונקציה f x x4 2 xששיפועו .2 4 )21מצא את משוואת המשיק לפונקציה x 1 f x ששיפועו .-2 )22מצא את משוואות המשיקים לפונקציה f x 1 3היוצרים עם הכיוון החיובי 3x של ציר ה x -זווית של .135o )23שיפוע המשיק לפונקציה a ( , f x ax2 4 xפרמטר) בנקודה שבה x 3הוא .8 מצא את ערכו של הפרמטר aואת משוואת המשיק. 2 )24שיפוע המשיק לפונקציה ax 3 a ( , f x פרמטר) בנקודה שבה y 2הוא .-4 מצא את ערכו של הפרמטר aואת משוואת המשיק. 216 )25נתונה הפונקציה a ( , y x3 a x :פרמטר). שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 1הוא .5 מצא את ערך הפרמטר . a A )26נתונה הפונקציה: x A) , f x 2 x פרמטר). שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 1הוא .2 מצא את ערך הפרמטר . A a )27שיפוע המשיק לפונקציה bx 1 מצא את ערכי הפרמטרים aו b -ואת משוואת המשיק. a, b ( , f x פרמטרים) בנקודה 1, 6 הוא .- 6 )28א .בטא באמצעות tאת משוואת המשיק לפונקציה f x x2 1בנקודה שבה . x t ב .מצא את ערכיו של tאם נתון שהמשיק עובר בנקודה . 1,1 217 :תשובות סופיות . 43 .ט . 32 .ט 4 x 1 3 3 x 9 x .ח 2 1 . ז 2 x 1 3 . ו 4 . ה1 . ד2x . ג7x 6 . ב3x 2 .) א1 2 x x 6 x5 . ד2x3 . ג21x6 . ב6x 2 .) א2 7 4 6 3 . ח 2 . ז 3 . ו8 .ה x x x 2 . x3 x 3 . ב3x2 4 x 3 .) א4 0 . ב0 .) א3 2 . 8 x 1 3 . 3 4 . ה 5 x 2 . ד6 x x2 1 2 x . ג15x 2 x3 6 . ב15 5x 2 2 .) א5 3 4 6 x 5 2 .ז 4 2 3 x . ו 2 2x 3 x 2 3x . x2 6 x 3 18 7 x . 9 x4 . ו 1 .ה x2 . x3 2x x .ו 2 . ה 9 2 . ד 3 4 x x 2 x3 . m 4 )12 m 17 )11 9x 1 2 x .ה abx bx c 2 . y 1 x 2 1 )16 2 2 .ד 2 3 . ב 2 .) א6 2 x x . ג 5x 12 20 x 44 . ב10 x 14 .) א7 8x x 4 x 2 .ד .ג 2 2 x 1 x 2 3 x 5 x 12 .ג 5 x 2 24 x 5 5 x 12 3x 2 .ד 2 x 1 3 2a x 4a 2 .ג 1 1 y x 3 )15 2 2 .ג 2 .ב 5 1 2x 2 .) א8 2 . ב1 .) א9 x 1 2 x 2ax 1 . ב4ax3 b 3 b y 24 x 22 )14 .) א10 m 2 )13 . y 6x 24, y 6x 12 )19 1 , 0 . בy 3x 1 .) א18 y 22 x 56 )17 3 1 3 1 3 . y x 1 , y x 1 )22 y 2 x 8 )21 y 2 x 3 )20 . A 1 )26 a 4 )25 . a 2 , y 4x 2 )24 a 2 , y 8x 18 )23 . t 0 , t 2 . בy 2tx t 2 1 .) א28 b 2 , a 6 , y 6 x 12 )27 218 חקירת פולינום: נקודות קיצון (נקודות מינימום/מקסימום): מינימום או מקסימום מקומי (פנימי) B, C, D - מינימום או מקסימום קצה – .A מינימום או מקסימום מוחלט – .D נקודות קיצון מקומיות: שיפוע המשיק לפונקציה בנקודות קיצון מקומיות הוא אפס. בנקודה שבה שיפוע המשיק לפונקציה הוא אפס תיתכן נקודת קיצון מקומית – נקודה כזו נקראת נקודה חשודה כקיצון .ניתן לבדוק אם היא אכן נקודת קיצון. מציאת נקודות קיצון מקומיות: א .נגזור את הפונקציה. ב .נשווה את הנגזרת לאפס ונחלץ את ערכי ה- ג. x של הנקודות החשודות כקיצון. נציב את ערכי ה x -מסעיף ב' בפונקציה המקורית לקבלת ערכי ה. y - ד .נקבע אם הנקודה היא נקודת קיצון ונסווג את סוג הקיצון על ידי טבלה. 219 שאלות: )1מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה . f x 10 x x 2 )2נתונה הפונקציה . f x x3 12 x א .מהן נקודות הקיצון של הפונקציה? ב .מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה? )3נתונה הפונקציה . f x x4 10 x2 9 א .מהן נקודות הקיצון של הפונקציה? ב .מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה? )4נתונה הפונקציה . f x x4 4 x3 32 א .מהן נקודות הקיצון של הפונקציה? ב .מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה? )5לפונקציה f x ax x3 5יש נקודת קיצון בנקודה שבה . x 1 מצא את ערכו של הפרמטר . a )6לפונקציה f x Ax3 Bx2 1 :יש נקודת קיצון ששיעוריה. 2,3 : מצא את ערכי הפרמטרים . A , B )7לפונקציה f x Ax3 Bx2 4 x :יש נקודת קיצון ב x 1 -ו. x 4 - מצא את הפרמטרים ואת שיעור ה y -של שתי נקודות הקיצון. )8לפונקציה f x ax4 bx2 35יש נקודת קיצון ששיעוריה . 2,3 מצא את ערכי הפרמטרים aו . b - )9נתונה הפונקציה . f x 10 x x 2ענה על הסעיפים הבאים: א. ב. ג. ד. ה. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 220 )10נתונה הפונקציה . f x x3 12 xחקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים: א. ב. ג. ד. ה. מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. )11נתונה הפונקציה . f x x4 10 x2 9חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים: א. ב. ג. ד. ה. מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. )12נתונה הפונקציה . f x x4 4 x3 32חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים: א. ב. ג. ד. ה. מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה. y - שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. )13נתונה הפונקציה . f x x3חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים: א. ב. ג. ד. ה. מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. 221 :תשובות סופיות x 2 , x 2 : עולה.ב 2, 16 min, 2,16 max .) א2 max 5,25 )1 2 x 2 :יורדת x 5 , 5 x 0 : עולה. ב 0,9 max , . x 0 , x 3 : יורדתx 3 : עולה. בmin 3,5 .) א4 a 2 , b 16 )8 A 5, 16 min , 5, 16 min .) א3 x 5 , 0 x 5 :יורדת 1 3 5 2 , B - , 1, 2 , 4, 18 )7 A -1 , B 3 )6 a 3 )5 3 2 6 3 0,0 , 10,0 .ד x 5 : ירידהx 5 : עלייה.ג 5,25 max .ב x כל.) א9 x 2 , x 2 : עלייה.( ג2, 16)min , 2,16 max . בx כל.) א10 . 0,0 , 12,0 , 12,0 . ד2 x 2 :ירידה x 5 , 5 x 0 : עולה. ג 0,9 max , 5, 16 min , 5, 16 min . בx כל.) א11 . 0,9 , 1,0 , 3,0 . דx 5 או0 x 5 :יורדת . 0,32 . דx 3 : יורדתx 3 : עולה. גmin 3,5 . בx כל.) א12 . 0,0 . דx עולה לכל. ג. אין. בx כל.) א13 :סקיצות לשאלות החקירה )13 ) 12 )11 222 ) 10 )9 חקירת פונקציות מנה ופונקציות שורש: סעיפי חקירה מלאה של פונקציה: .1תחום הגדרה. .2נקודות קיצון. .3תחומי עלייה וירידה. .4נקודות חיתוך עם הצירים. .5אסימפטוטות מקבילות לצירים. .6שרטוט. תחום הגדרה של פונקציה: .1כל פולינום מוגדר לכל . x .2בפונקציה עם מכנה ,אסור שיתקבל אפס במכנה. .3בפונקציה עם שורש מסדר זוגי ,אסור שיתקבל מספר שלילי בתוך השורש. אסימפטוטות: .1אסימפטוטה אנכית: בעבור ערכי xשמאפסים את המכנה ,אבל לא את המונה יש אסימפטוטה אנכית. כאשר ערך xמאפס את המכנה וגם את המונה יש לפרק את המונה והמכנה (על ידי נוסחאות כפל מקוצר או טרינום למשל) ולצמצם .אם אחרי הצמצום אותו ערך של x עדיין מאפס את המכנה תתקבל אסימפטוטה אנכית ,אך אם ערך xזה לא מאפס את המכנה אחרי שצומצם אין אסימפטוטה אנכית אלא נקודת אי הגדרה. .2אסימפטוטה אופקית: ax m ... נתונה הפונקציה bx n ... ( f x יש בפונקציה קו שבר אחד!) אם , m nלפונקציה אין אסימפטוטה אופקית. a אם , m nלפונקציה יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה b .y אם , m nלפונקציה יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה . y 0 223 שאלות: )1מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות: 1 אx . 2 f x x2 5 x3 4 x ד. x2 1 6 ז. f x 2 x 1 f x x ב 1 . 2 f x 4 x3 x 2 x2 ה. x3 4 x f x )2מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות: בf x 2 x 3 . אf x x . ד. ז. 5x x4 x 1 f x x 2 x f x הf x x 2 3x 10 . 6x )3נתונה הפונקציה x 10 x 9 2 ג. 2x x 3 ו. x2 1 x2 2 x 8 ג. ו. f x f x f x 3x 1 2 x x2 f x x 9x 3 . f x א .מהן נקודות הקיצון של הפונקציה? ב .מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה? )4מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה. f x x2 4 x 12 : )5מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה. f x 1 3 : x2 5x2 1 . f x 2 )6מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה: x 9 2 x2 5x 2 )7מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה: 1 3x 2 . f x 3x x 2 x 15 . f x )8מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה: )9מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה: 224 2 . f x 13 x )10מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה: 6 x3 5 x 1 1 2x2 . f x )11מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה. f x ax b : x b )12מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה: x2 4 x 2 3x 2 . f x )13מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה: x2 4 x 3 x 2 7 x 12 . f x )14מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה: x 2 6 x 16 x2 . f x )15מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה: x2 2 x2 4 x )16מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה: 1 x . f x )17מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה: x x 1 . f x )18מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה: 4 x2 1 )19נתונה הפונקציה: ax 2 x b x 1 x 4 2 . f x . f x . f x לפונקציה אסימפטוטה אופקית שמשוואתה y 2ואסימפטוטה אנכית שמשוואתה . x 1מצא את ערכי הפרמטרים aו. b - ax 8 )20נתונה הפונקציה: xb x . f x הפונקציה חותכת את האסימפטוטה האופקית שלה בנקודה . 16, 2 מצא את ערכי הפרמטרים 225 a ו. b - )21נתונה הפונקציה . f x x 1 :חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים: x א. ב. ג. ד. ה. מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. )22נתונה הפונקציה . f x 2 x 1 :חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים: x 3 א. ב. ג. ד. ה. ו. מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים. שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. 6x )23נתונה הפונקציה: x 5x 4 2 א. ב. ג. ד. ה. מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. x 2 3x )24נתונה הפונקציה: x2 3 א. ב. ג. ד. ה. ו. . f x חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים: . f x חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים: מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים. שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. 226 6 x 2 10 x 6 )25נתונה הפונקציה: 3x 2 10 x 3 א. ב. ג. ד. ה. ו. . f x חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים: מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים. שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. )26נתונה הפונקציה . f x x 3 :חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים: א. ב. ג. ד. ה. מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. )27נתונה הפונקציה . f x x 4 x 1 :חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים: א. ב. ג. ד. ה. מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. )28נתונה הפונקציה . f x x 6 x :חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים: א. ב. ג. ד. ה. מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. 227 )29נתונה הפונקציה . f x 42 x :חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים: x 3 א. ב. ג. ד. ה. מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. 2 )30נתונה הפונקציה . f x 9 x :חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים: x א. ב. ג. ד. ה. מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. 228 תשובות סופיות: )1א .כל xב .כל xג x 3ד x 1 .ה x 0,2, 2 .ו x 4, 2 .ז .כל . x 1 )2א x 0 .ב x 3 .ג. 2 x ד x 4 .ה x 2 .או x 5ו x 3 .או 3 x 0 ז x 2 .וגם )3 x 2,1א. min 3, , max 3, 1 . 8 2 3 1 ב .תחומי עלייה 3 x 3 :וגם x 1תחומי ירידה 3 x 9 :או . x 3 )4אין )5אופקית y 3 :אנכית )6 x 2 :אופקית y 5 :אנכית. x 3 : 2 )7אופקית: 3 )8 y אופקית , y 0 :אנכית. x 0 , y 0 )9 x 3 , x 5 : )10אין )11אופקית , y a :אנכית )12 x b :אופקית y 1 :אנכית, x 1 : נקודת אי הגדרה )14 x 4 , y 1 )13 2,4 :אין ,לפונקציה יש נקודת אי הגדרה 1 ששיעוריה הם )15 2,10 אופקית: 2 )18 x 1 , y 0 )17 x 0 , y 0 )16אופקית , y 0 :אנכית. x 2 : . b 1 , a 2 )20 b 3 , a 2 )19 , y אנכיתx 2 : נקודת אי הגדרה 0,0 : )21א x 0 .ב min 1, 2 , max 1, 2 .ג .תחומי עלייה 1 x :או , x 1 תחומי ירידה x 0, 1 x 1 :ד .אין ה. x 0 . 1 1 )22א x 3 .ב .אי ן ג .הפונקציה יורדת בכל ת.ה .ד , 0 , 0, .ה. y 2, x 3 . 3 2 2 )23א x 1, x 4 .ב min 2, , max 2, 6 .ג .תחומי עלייה, x 1, 2 x 2 : 3 תחומי ירידה 2 x 4 :או x 2ד 0, 0 .ה. y 0, x 1, x 4 . 1 1 )24א .כל x ג .תחומי עלייה 1 x :או , x 3תחומי ירידה 3 x 1 :ד 3, 0 , 0, 0 . ב. min 1, , max 3,1 . 2 2 ה. y 1 . 3 1 1 )25א x , x 3 .בmin 1,1 , max 1, . 8 2 3 1 1 x3, x וגם x תחומי ירידה 1 x 3 :או x 1ד 0,2 .ה, y 2 . 3 3 )26א x 3 .ב min 3,0 .קצה ג .הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה ד. 3, 0 . ג .תחומי עלייה1 x 1 : )27א x 1 .ב max 1,0 , min 2, 2 .קצה ג .תחומי עלייה, 2 x : יורדת 1 x 2 :ד. 1,0 , 4,0 . 229 )28א x 6 .ב min 6,0 , max 4, 4 2 .קצה ג .עולה , x 4 :יורדת4 x 6 : ד. 0,0 , 6,0 . )29א x 0 .ב min 0,0 , max 1,1 .קצה ג .עולה , 0 x 1 :יורדת 1 x :ד. 0, 0 . )30א 3 x 3 .וגם x 0ב max 3,0 .קצה min 3,0 ,קצה ג .עולה :אף , x יורדת x 0 , 3 x 3 :ד 3,0 , 3,0 .ה. x 0 . סקיצות לשאלות החקירה: )21 )25 ) 28 )22 ) 23 )26 )24 )27 )30 )29 230 חקירת פונקציה עם פרמטר: סיווג נקודות קיצון באמצעות '' : y אם הנקודה A x1 , y1 היא נקודת קיצון אז: אם f '' x1 0הנקודה A x1 , y1 היא נקודת מינימום. אם f '' x1 0הנקודה A x1 , y1 היא נקודת מקסימום. שאלות: )1מצא וסווג את נקודות הקיצון של הפונקציה. f x x3 12 x : )2מצא וסווג את נקודות הקיצון של הפונקציה. f x x2 6 x 16 : )3מצא וסווג את נקודות הקיצון של הפונקציה b 0 , f x x3 3b2 x :פרמטר. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 2x )4נתונה הפונקציה: a x2 2 א. ב. ג. ד. ה. f x . a 0 חקור לפי הסעיפים הבאים: מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. תשובות סופיות: min 3, 25 )2 min 2, 16 , max 2,16 )1 1 1 )4א .כל xבmax a, , min a, . a a min b, 2b3 , max b,2b3 )3 ג .תחומי עלייה, a x a : תחומי ירידה x a :או x aד 0,0 .ה .אופקית. y 0 : 231 :תרגול נוסף :תרגילים העוסקים בפונקציה פולינומית :תרגילים העוסקים בנגזרות יסודיות :גזור את הפונקציות הבאות y x 3 4 x 2 4 x 3 )3 y x 2 2 x 1 2 y x 1 )6 4 x2 2 x 6 y 2 )9 x x 7 y 2 )12 )2 y x2 )1 y x 2 1 x 2 3 )5 y 3x 3 3x )4 5 7 4 x5 1 x x 7 5 2 )8 1 2 1 x x4 2 3 )7 y 2 y x4 1 y 4 x 5 )15 4 . y ' 4 x 4 x )5 2 y x3 9 x )11 3 y y 3x 2 )14 y x 1 )13 8 y ' 9 x 3 )4 6 y ' 3 x 8 x 4 )3 1 1 . y ' 4 x 1 )9 y ' 5 x 6 4 x 4 )8 y ' x )7 2 3 3 x3 3x 2 6 x 9 )10 5 2 2 3x 2 28 x 49 .y' )12 2 . y ' 16 4 x 5 )15 3 :תשובות סופיות y ' 2 x 2 )2 y ' 2 x )1 y ' 16 x3 12 x2 2 x )6 y ' 4 x3 x2 3 )11 y ' 24 3x 2 )14 7 y' 3x 2 6 x 6 )10 5 y ' 6 x 1 )13 5 . f ' x0 m :תרגילים העוסקים במציאת שיפוע המשיק לגרף הפונקציה לפי הכלל :) חשב את שיפוע המשיק לגרפים של הפונקציות הבאות בנקודות הרשומות לידן16 x 7 , f ( x) x 3 5 x 2 5 x . ב x 1 , f ( x) 2 x2 x .א x 2 , f ( x) x5 15 x3 20 x 4 .ד 5 x 1 , f ( x) x x 3 x 2 1 .ו x 1 , f ( x) x 4 x 3 x 0 , f ( x) 232 2 .ג 1 7 1 6 1 5 1 4 x x x x .ה 7 6 5 4 )17לפניך מספר פונקציות .לכל פונקציה מצא את שיעורי הנקודות עבורם שיפוע המשיק הוא המצוין לידה. 2 ב m 0 , f ( x) x x 2 . אm 13 , f ( x) 5x2 3x . ג. דm 6 , f ( x) x 2 6 x 2 . m 20 , f ( x) 2 x3 14 x )18א .מצא נקודה על גרף הפונקציה y 3x2 x 2 :אשר המשיק העובר דרכה מקביל לישר. y 5x 2 : ב .מצא נקודה על גרף הפונקציה y x3 3x2 2 x :אשר המשיק העובר דרכה מקביל לישר. y x 3 : )19נתונה הפונקציה הבאה. y 3x2 12 x : הראה כי שיפוע המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות החיתוך שלה עם ציר ה x -הם מספרים נגדיים. תרגילים העוסקים במציאת משוואת משיק לפי הנוסחה, y y1 m x x1 : כאשר - x1 , y1 :נקודת ההשקה ו m -שיפוע המשיק. )20מצא את משוואת המשיק לגרפים של הפונקציות הבאות בנקודות הרשומות לידן: בx 1 , y x3 4 x . אx 3 , y x2 4 x 5 . ג. 2 ד x 1 , y 3x 4 4 x 3 5 x . x 0 , y x x 5 x3 6 x 2 9 x ה. 3 ו. x 3 , y 4 x7 2 x10 7 5 x 1 , y חx 2 , y x x 1 3x 8 . זx 0 , y 3x 2 4 6 x . )21נתונה הפונקציה . y x3 3x 12 :מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה. y - )22נתונה הפונקציה . y x2 7 x 10 :מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה העוברים דרך נקודות החיתוך שלה עם ציר ה. x - 233 )23נתונה הפונקציה y 2 x2 5x 3 :ונתון הישר. y 4 x 4 : א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה והישר. ב .מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות החיתוך שמצאת. )24נתונה הפונקציה y 4 x3 :ונתון הישר. y 4 x : א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה והישר. ב .מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות החיתוך שמצאת. )25נתונות הפונקציות f ( x) x2 3x 4 :ו. g ( x) 5x x2 - א .מצא את משוואות המשיקים לכל הפונקציה העוברים דרך הנקודה שבה . x 1 ב .מצא את נקודת החיתוך של שני המשיקים שמצאת בסעיף הקודם. )26נתונה הפונקציה. f ( x) x3 4 x2 3x 3 : הישר y 3חותך את גרף הפונקציה ) f ( xבשלוש נקודות. א .מצא את נקודות החיתוך בין הפונקציה והישר. ב .מצא את משוואות המשיקים בנקודות החיתוך. תרגילים העוסקים במציאת משוואת המשיק כאשר נתון מידע הקשור לשיפוע: )27א .נתונה הפונקציה. f ( x) 4 x2 x 3 : מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה ששיפועו. m 9 : ב .נתונה הפונקציה. f ( x) x3 2 x2 : מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה ששיפועם. m 1 : ג .נתונה הפונקציה. f ( x) x x 4 : מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה ששיפועם. m 0 : 2 )28א .נתונה הפונקציה. f ( x) x4 12 x 4 : מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה המקביל לישר. y 44 x 1 : ב .מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציהf ( x) x 2 1 x 1 : המקבילים לישר. 3 y 12 x 5 : )29א .מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציהf ( x) x3 1.5x2 4 x 1 : בעלי שיפוע .2 ב .מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציהy 2 x 3x 10 x 3 : ששיפועם הוא. m 2 : 2 234 3 תרגילים עם פרמטרים: )30נתונה הפונקציה . y ax2 4 x 5 :ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 2הוא .8מצא את . a )31נתונה הפונקציה. y x2 a : ידוע כי לגרף הפונקציה יש משיק שמשוואתו. y 2 x 2 : א .מצא את נקודת ההשקה. ב .מצא את . a )32נתונה הפונקציה . y x3 6 x2 ax :ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה y -הוא .5מצא את aוכתוב את הפונקציה. x2 )33נתונה הפונקציה 8 x 20 : A .y ידוע כי משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך אחת מנקודות החיתוך שלה עם ציר ה x -היא. y 12 x 24 : א .מצא את .A ב .מצא את משוואת המשיק העובר דרך נקודת החיתוך השנייה של הפונקציה עם ציר ה . x - )34נתונה הפונקציה הבאה. f ( x) x 1 x 2 a : ידוע כי . f '(1) 2 :מצא את . a x4 )35נתונה הפונקציה . f ( x) 2 x3 4 x 2 4 :ידוע כי המשיק לגרף הפונקציה בנקודה A שבה x 2מקביל לציר ה. x - א .מצא את .A ב .האם יש לגרף הפונקציה משיקים נוספים המקבילים לציר ה ? x -אם כן ,מצא את המשוואות שלהם. )36נתונה הפונקציה. f ( x) x5 Bx3 4 x : המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 1מקביל לישר. y 24 x : א .מצא את .B ב .כתוב את משוואת המשיק. ג .האם יש משיק נוסף לגרף הפונקציה המקביל לישר ? y 24 x במידה וכן מצא את משוואתו. 235 )37נתונה הפונקציה . f ( x) Ax2 Bx 5 :ידוע כי f (1) 12 :וגם. f '(1) 8 : מצא את Aו.B- )38נתונה הפונקציה. f ( x) 3x3 4 x2 Ax C : ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה y -בנקודה שבה. y 5 : שיפוע המשיק לגרף הפונקציה דרך נקודה זו הוא .4מצא את Aו.C- )39נתונה הפונקציה. f ( x) Ax3 Bx2 8 : משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך הנקודה שבה x 2היא. y 12 x 28 : מצא את Aו.B- )40נתונה הפונקציה . f ( x) Ax4 Bx2 10 :שיפוע הפונקציה בנקודה 1,18הוא .18 א .מצא את Aו.B- ב .הראה כי הפונקציה אינה חותכת את ציר ה. x - )41נתונות הפונקציות f ( x) 3x2 Ax :ו. g ( x) x2 B - ידוע כי הפונקציות נחתכות בנקודה שבה x 1 :ולשתיהן יש את אותו השיפוע בנקודה שבה . x 0.25מצא את Aו.B- )42נתונות הפונקציות f ( x) Ax2 10 x :ו. g ( x) x2 Bx 16 - ידוע כי הפונקציות נחתכות בנקודה שבה. x 1 : כמו כן לשתי הפונקציות יש את אותו השיפוע בעבור . x 8.5מצא את Aו.B- תרגילים שונים – שימושי הנגזרת: )43באיור שלפניך נתונה הפונקציה. y x2 6 x 16 : הנקודה Aהיא נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה y -והנקודה B היא נקודת החיתוך החיובית של הפונקציה עם ציר ה. x - א .מצא את משוואת המיתר העובר דרך הנקודות Aו.B- ב .מצא את משוואת המשיק לפונקציה המקביל לישר x שמצאת בסעיף הקודם. 236 y A B )44נתונה הפרבולה. f ( x) x2 8x 12 : א .מצא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה. x - ב .דרך נקודות החיתוך של גרף הפרבולה עם ציר ה x - מעבירים משיקים .מצא את משוואות המשיקים הללו. ג .מצא את נקודת החיתוך של שני המשיקים. ד .חשב את שטח המשולש הנוצר בין שני המשיקים וציר ה. x - y x )45נתונה הפונקציה. f ( x) x3 27 x : א .מצא את שיעורי הנקודות שהמשיק העובר דרכן מקביל לציר ה. x - ב .כתוב את משוואות המשיקים העוברים דרך הנקודות שמצאת. ג .חשב את שטח המלבן הנוצר בין שני המשיקים שמצאת והאנכים לציר הx - היוצאים מנקודות ההשקה. )46נתונות הפונקציות f ( x) 8 x2 :ו. g ( x) Ax2 15.5x 1 - ידוע כי הגרפים של הפונקציות נחתכים בנקודה שבה. x 1 : א .מצא את .A ב .הראה כי המשיקים לכל פונקציה בנקודת החיתוך שבה x 1מאונכים זה לזה. (תזכורת :השיפועים m1 , m2של שני ישרים מאונכים מקיימים - m1 m2 1 :מכפלתם שווה ל .)-1- )47באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה. f ( x) 2 x2 10 x 13 : א .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך הנקודה שבה . x 2 ב .מצא את משוואת הנורמל לפונקציה העובר דרך נקודת ההשקה של המשיק שמצאת. ג .חשב את שטח המשולש הנוצר בין הנורמל ,המשיק והצירים. (היעזר באיור). y x )48נתונה הפונקציה . f ( x) Ax2 6 x 9 :שיפוע הפונקציה בנקודה שבה x 3הוא אפס. א .מצא את .A ב .הראה כי הפונקציה משיקה לציר ה. x - ג .מעבירים את הישר y 1החותך את הפונקציה ) f ( xבשתי נקודות. מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם הישר. 237 )49נתונה הפונקציה. f ( x) 2 x 5 : y 8 א. )f ( x מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה )f ( x בנקודה שבה. x 2 : ב .מצא את נקודת החיתוך של משיק זה עם הישר . y 17 x ג .חשב את שטח המשולש שנוצר בין המשיק ,הישר וציר ה( y -ראה איור). x )50נתונה הפונקציה . a, b 0 , f ( x) a x b :ידוע כי ערך הנגזרת הוא אפס כאשר . x 1 כמו כן הישר y 15x 27משיק לפונקציה בנקודה שבה. x 2 : א .מצא את ערכי הפרמטרים aו . b - 5 ב. מצא שתי נקודות על הפונקציה ) f ( xועל הפונקציהg ( x) 7.5 x 1 24 : 4 בעבורה שיפוע המשיק זהה לשני הגרפים. תרגילים העוסקים במציאת נקודות קיצון לפי הכלל , f ' x 0 :סיווגן ומציאת תחומי עלייה וירידה: )51מצא את נקודות הקיצון של הפונקציות הבאות: אy x2 6 x 8 . ב. 2 ד. y x x 3 ג. ה. x5 26 x3 25 x 5 3 y x 4 x 3x 8 2 3 y x5 80 x y )52לפניך מספר פונקציות .רשום בעבור כל פונקציה את תחומי העלייה והירידה שלה: אy x2 7 x 10 . בy x3 12 x . גy x 2 x 1 . דy 16 x2 2 x4 . ה. 1 1 y x3 x 2 2 x 3 2 ו. ז. y 2 x 5 ח. 6 x3 6 x 2 15 x 3 7 y 4 x )53נתונה הפונקציה הבאה. y x4 3x3 4 x : א .הראה כי הנקודה שבה x 2 :היא נקודת קיצון. ב .כתוב את הנגזרת השנייה של הפונקציה. ג .קבע על פי הנגזרת השנייה את סוג הקיצון של נקודה זו. 238 y )54נתונה הפונקציה. y x3 6 x 2 : א .הראה כי יש לפונקציה נקודת קיצון על ציר ה x -וקבע את סוגה. ב .מצא את נקודות הקיצון הנוספות של הפונקציה וכתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. )55א .מצא את הערך הגדול ביותר של הפונקציה. y 27 x2 : ב .מצא את הערך הקטן ביותר של הפונקציה. y x4 8x2 10 : )56נתונה הפונקציה. y 4 x3 x : א .הראה כי אין לפונקציה נקודות קיצון. ב .הראה כי הפונקציה עולה תמיד. תרגילים העוסקים במציאת נקודות קיצון מוחלטות כאשר נתונה פונקציה בקטע מסוים: )57מצא את נקודות הקיצון המוחלטות בעבור כל פונקציה בתחום הנתון לידה: ב4 x 4 , y 16 x2 . א1 x 7 , y x2 2 x . ד1 x 5 , y x3 7.5x2 12 x . ג2 x 4 , y x3 3x2 9 x . ה6 x 6 , y x4 50 x2 3 . )58נתונה הפונקציה y x3 6 x2 9 x 6 :בתחום הסגור. 0;5 : א .מצא את נקודות קיצון הקצה בתחום הסגור הנ"ל. ב .מצא את נקודות הקיצון המקומיות בתחום הנ"ל. ג .קבע אלו נקודות הן נקודות הקיצון המוחלטות. )59נתונה הפונקציה f ( x) x3 36 x :בתחום. 8;6 : א .מצא את שיעורי נקודות קיצון הקצה בתחום הנתון. ב .מצא את שיעורי נקודות הקיצון המקומיות. ג .מצא אלו נקודות הן נקודות הקיצון המוחלטות בתחום הנתון. 239 תרגילים העוסקים בחקירה מלאה של פונקציה פולינומית: )60חקור את הפונקציות הבאות לפי הסעיפים הבאים: .1תחום הגדרה. .2מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה. .3קביעת סוג הקיצון ומציאת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. .4מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (במידה ויש). .5סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. 3 אy x 2 8x 12 . בy x 12 x . ג. 2 דy x x 12 2 x 9 . y x x 8 הy x 4 4 x . ז. 6 y 3x 1 ו. x4 x2 1 4 2 4 ח. y 6 x y 8 תרגילים שונים העוסקים בחקירות: )61נתונה הפונקציה . f ( x) x3 ax2 3x 3 :הישר y 5חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה . x 2 א .מצא את הפרמטר . a ב .מצא את הנקודות המקיימות . f '( x) 0 ג .האם יש לפונקציה נקודות קיצון? ד .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. )62נתונה הפונקציה . f ( x) x4 3x3 x2 a :ידוע כי הפונקציה עוברת בראשית הצירים. א .מצא את הפרמטר . a ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. )63נתונה הפונקציה. y x 2 x 1 : 2 א. ב. ג. ד. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. כתוב את תחומי העלייה וירידה של הפונקציה. מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 240 )64נתונה הפונקציה. y x 3 2 x : 2 א. ב. ג. ד. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. )65נתונה הפונקציה. a 6 , y 2 x2 x a : ידוע שלפונקציה יש נקודת קיצון שבה . x 4 א .מצא את הפרמטר aוכתוב את הפונקציה. ב .האם יש לפונקציה עוד נקודות קיצון? אם כן ,מצא אותן. ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .מצא האם יש לפונקציה נקודות חיתוך עם הצירים. ה .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 2 )66לגרף הפונקציה f ( x) x3 4 x2 kx :מעבירים משיק y 21x 6החותך אותו בנקודה שבה . x 6 א .מצא את . k ב .מצא את נקודת ההשקה של המשיק עם הפונקציה ). f ( x ג .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. ד .האם יש לגרף הפונקציה נקודות קיצון? ה .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ). f ( x ו .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה ). f ( x )67נתונה הפונקציה. y 3x3 6 x2 4 x d : ידוע שהפונקציה חותכת את ציר ה x -בנקודה שבה . x 2 א .מצא את . d ב .האם יש לפונקציה נקודות קיצון? ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. y - ה .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. )68נתונה הפונקציה. f ( x) 3 3x 5 : 4 א. ב. ג. ד. מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה. כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 241 :תשובות סופיות 2, 0 23 ,1 275 . ב1,8 .) א17 .-18 . ו0 . ה-16 . ד105 . ג212 . ב3 .) א16 m 12 )19 1, 0 . ב1, 0 .) א18 . 0. 12 43 , 5 275 . ד1,16 1, 16 .ג y 6 x . הy 29 x 17 . דy 25x . גy x 2 . בy 2 x 14 .) א20 y 3x 12 )21 y 48x 68 . חy 4 x 24 . זy 356 .ו 1,0 , 0.5,6 .) א23 y 3x 6 , y 3x 15 )22 y 0 , y 12x 8 , y 12x 8 . ב 0,0 , 1, 4 , 1, 4 .) א24 0,3 , 1,3 , 3,3 .) א26 3,10 . בy 5x 5 , y 3x 1 .) א25 y x 1 , y 7 x 2.5 .ב y x , y x 274 . בy 9 x 1 .) א27 y 3x 3 , y 2 x 5 , y 6 x 15 .ב y 4 x 4 , y 4 x 5 13 y 44 x 44 .) א28 y 0 , y 9 13 27 .ב 27 .ג a 1 )30 y 2x 10 ; y 2x 17 . בy 2x 9 , y 2 x 4.5 .) א29 y 12 x 120 . בA 1 .) א33 a 5 , y x3 6 x 2 5x )32 a 1 . ב1, 0 .) א31 y 24 x 14 : כן. גy 24 x 14 . בB 5 .) א36 y 4 : כן. בA 4 .) א35 a 1 )34 A 1 , B 7 .) א40 A 2 , B 3 )39 A 4 , C 5 )38 A 1 , B 6 )37 y -2 x 32 . בy -2 x 16 .) א43 A 2 , B -7 )42 A 1 , B 3 )41 16 . ד 4,8 . גy -4 x 24 , y 4 x-8 . ב 2,0 , 6,0 .) א44 .) א46 .648 . גy 54 . ב 3, 54 , 3,54 .) א45 y 2 x 5 , y 2 x 7 . גA 1 .) א48 .1.25 . גy 0.5x . בy 2 x 5 .) א47 A 7.5 3,96 , 1,0 .ב a 3 , b 1 .) א50 .16.5 . ג1,17 . בy 16 x 33 .) א49 . אין קיצון. ד 3,0 1, 4 . ג 3, 10 13 ,8 1427 . ב 3, 1 .) א51 . 5, 333 13 , 5,333 13 , 1,16 158 , 1, 16 158 .ה 2 x 2 : יורדx 2 , x 2 : עולה. בx 3.5 : יורדx 3.5 : עולה.) א52 0.5 x 0 , x 0.5 : עולה. ד0 x : יורדx 0 , x 23 : עולה.ג . x עולה לכל. ו1 x 2 : יורדx 1 , x 2 : עולה. הx 0.5 , 0 x 0.5 :יורד 2 3 .Min . גf ''( x) 12 x2 18x .) ב53 . x יורד לכל. חx 2.5 : יורדx 2.5 : עולה.ז .- 6 . ב.27 .) א55 4 x 0 : יורדx 4 , x 0 : עולהMax 4,32 . בMin 0,0 .) א54 . מוחלטMax 0,16 . מוחלטMin 4, 0 . ב. מוחלטMax 7,35 . מוחלטMin 1, 1 .) א57 . מוחלטMax 1, 20.5 . מוחלטMin 1, 5.5 . ד. מוחלטMax 1,5 . מוחלטMin 3, 27 .ג . מוחלטMax 0,3 . מוחלטMin 5, 622 .ה 242 . מוחלטMin 5, 26 . גMin 1, 10 , Max 3, 6 . ב 0, 6 , 5, 26 .) א58 . מוחלטMax 0, 6 , Max 3, 6 3.464, 83.13 , 3.464,83.13 . בMin 8, 224 , Max 6,0 .) א59 . Mint 8, 224 , Maxt 3.464,83.13 . .ג :4 עד1 תשובות לסעיפים.60 . 0,12 , 6,0 , 2,0 .4 . x 4 : יורדx 4 : עולה.3 . Min 4, 4 .2 . x כל.1 .א . 2 x 2 : יורדx 2 , x 2 : עולה.3 . Min 2, 16 , Max 2,16 .2 . x כל.1 .ב . Min -2 23 ,-75 2723 , Max -8,0 .2 . x כל.1 . ג. 0, 0 , 3.464, 0 .4 2 : עולה.3 3 . 2 x 9 : יורדx 2 , x 9 : עולה.3 . Min 9, 243 , Max 2,100 .2 . x כל.1 . ד. 0,0 , 8,0 .4 . 8 x 2 23 : יורדx 8, x 2 . x 1 : יורדx 1 : עולה.3 . Min 1, 3 .2 . x כל.1 . ה. 0,0 , 12,0 , 4.5,0 .4 . Min 1,0 , Max 0,0.25 .4 + 2 . x כל.1 . ו. 0, 0 , 1.587, 0 .4 . Min 13 , 0 .2 . x כל.1 . זx 1 , 0 x 1 : יורד1 x 0 , x 1 : עולה.3 . Min 6, 0 .2 . x כל.1 . ח. 13 , 0 , 0,1 .4 . x 13 : יורדx 13 : עולה.3 . 6, 0 , 0, 68 .4 . x 6 : יורדx 6 : עולה.3 :סקיצות . x 1 - עולה בכל תחום הגדרתה חוץ מ. ד. לא. ג. (1, 4) . ב. a 3 .) א61 5 ) , Min(0,0) . ב. a 0 .) א62 , 2 x 14 , x 0 : עולה. ג. Min(-2,-4) , Max(- 14 , 256 , x 1 , x 1 : עולה. בMax 1,0 , Min 1, 4 .) א63 . x 2 , 14 x 0 :יורדת Max(2, 0) , Min 2 23 , 274 .) א64 . 1,0 , 2,0 , 0, 2 .ג . 1 x 1 :יורדת . 2,0 , 3,0 , 0, 12 . ג. 2 x 2 23 : יורדת, x 2 , x 2 23 : עולה.ב 2 , 0 x 2 , x 4 : עולה. ג. 0,0 , 2,32 , 4,0 . בy 2 x2 x 4 , a 4 .) א65 . 4,0 , 0,0 . ד. x 0 , 2 x 4 :יורדת 243 )66א k 10 .ב 1, 15 .ג . 0, 0 .ד .לא .ה .עולה בכל תחום הגדרתה. )67א . d 8 .ב .לא .ג .יורדת בתחום . x 2ד. (0,8) . 3 )68א . Min 1 23 , 0 .ב .עולה בתחום . x 1 23 :יורדת בתחום . x 1 :ג. 1 , 0 , (0,1875) . 2 3 סקיצות של שאלות :63-68 244 2 3 :תרגילים העוסקים בפונקציה רציונאלית :תרגילים העוסקים בנגזרות יסודיות :גזור את הפונקציות הבאות y x 6 )3 6 x x 3 y )6 x6 )9 x2 6 y x x2 2 4 4x 1 )2 x y x 2 3x 4 y )5 x2 2 x2 y y y 6 )8 x 8 x 12 y 3x )7 2x 1 y 2 x2 6 x 8 y 2 )10 x 2x 1 2 2 )1 x2 5x 4 y )4 x x 9 y 3 )11 2 x 9 )12 1 x x 2 7 x 12 )14 x4 x3 x )13 x2 1 y :תשובות סופיות . y' 3 8 )5 x 2 x3 y ' 1 . y' . y' x 36 x 9 x 9 3 4 )4 x2 6 2 x 8 2 8 x 12 )11 2 y' 2 x 2 21x 48 . y' )14 x5 245 y' 1 6 )3 6 x2 )8 y' 3 2 x 1 8 x 2 14 x 22 x 2 2 x 1 y' y' )10 2 x4 4 x2 1 x 2 1 2 2 )13 1 )2 x2 )7 y' y' y' 1 )1 x2 y' 6 18 )6 x 2 x3 x 2 12 x 6 x 2 6 2 2x 4 x2 x 2 4 3 )9 )12 תרגילים העוסקים במציאת שיפוע המשיק לגרף הפונקציה לפי הכלל. f ' x0 m : )15חשב את שיפוע המשיק לגרפים של הפונקציות הבאות בנקודות הרשומות לידן: x 1 א. x2 ג. x 1 , f ( x) 3x 2 x2 ב. 3x 2 2 x 1 x 2 , f ( x) x 2 3x 5 ד. 3x 2 x 2 x 2 , f ( x) x 0 , f ( x) )16לפניך מספר פונקציות .מצא את הנקודות שבהן שיפוע הפונקציה הוא : m x2 א. x 3 ג. m 3 , f ( x) 1 x , f ( x) 2 36 x 8 m 5 4 , f ( x) x ב. 9 x 1 x 16 ד. x m m 4 , f ( x) x 2 4 x תרגילים העוסקים במציאת משוואת משיק לפי הנוסחה, y y1 m x x1 : כאשר - x1 , y1 :נקודת ההשקה ו m -שיפוע המשיק. )17מצא את משוואת המשיק לגרפים של הפונקציות הבאות בנקודות הרשומות לידן: x2 2x א. x3 ג. 2x 5 ב. x2 5 x 1 , y x6 x 12 x 36 2 2 x 7 , y 3x ד. )18מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה: שלה עם ציר ה . x - 246 x 3 y x2 2x 4 2 x2 , y x 1 x3 , y העובר דרך נקודת החיתוך 4 )19נתונה הפונקציה: x2 x 2 .y א .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ב .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה . x - 1 )20נתונה הפונקציה: x2 . f ( x) מעבירים לגרף הפונקציה משיק בנקודה שבה . x 3 א .מצא את משוואת המשיק. ב .מצא את נקודות החיתוך של המשיק עם הצירים. ג .חשב את שטח המשולש הכלוא בין המשיק לצירים. x4 5 1 )21נתונה הפונקציה : 2 2 x . f ( x) א .האם יש לגרף הפונקציה נקודות חיתוך עם ציר ה? x - ב .כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה. x 1 : ג .האם יש לגרף הפונקציה משיק נוסף המקביל למשיק שמצאת בסעיף הקודם? אם כן – כתוב את משוואתו. x 1 )22נתונה הפונקציה: x 1 .y א .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה . y - ב .חשב את שטח המשולש הכלוא בין המשיק שמצאת לצירים. 4x 2 )23נתונות הפונקציות הבאות: 2x . g ( x) x 3 2 , f ( x ) א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות. ב .מצא את משוואות המשיקים לכל פונקציה העוברים דרך הנקודה הנמצאת ברביע הראשון. תרגילים העוסקים במציאת משוואת המשיק כאשר נתון מידע הקשור לשיפוע: 4x 6 )24נתונה הפונקציה: x . f ( x) א .מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה שהשיפוע שלהם הוא .6 ב .מצא את המרחק בין שתי נקודות החיתוך של שני המשיקים עם ציר ה. y - 247 )25 א. ב. x2 מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה: x 1 לישר. y 3x 10 : f ( x) המקבילים x2 f ( x) המקבילים מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה: x2 לישר. y 3x 10 : תרגילים עם פרמטרים: x 2 kx 5 . f ( x) הישר y 6 x 14משיק לגרף הפונקציה )26נתונה הפונקציה: x בנקודה שבה . x 1 א .מצא את הפרמטר . k ב .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה . x - ג .האם קיים עוד משיק לגרף הפונקציה המקביל למשיק זה? אם כן ,מצא את משוואתו. x2 3 )27המשיק לגרף הפונקציה: xA f ( x) בנקודה שבה x 1מקביל לציר ה . x - מצא את .A 2 x 2 kx 3 )28נתונה הפונקציה: x2 ה x -בנקודה שבה . x 1 . f ( x) ידוע כי גרף הפונקציה חותך את ציר א .מצא את הפרמטר . k ב .האם גרף הפונקציה חותך את ציר ה x -בעוד נקודות? אם כן ,מצא אותן. ג .מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות החיתוך עם ציר ה . x - 12 )29נתונה הפונקציה: 9 ax 2 . f ( x) הישר x 3הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה. א .מצא את הפרמטר . a ב .האם יש לגרף הפונקציה עוד אסימפטוטות? ג .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה . x 0 8x 4 )30נתונה הפונקציה: x2 a . f ( x) הישר x 4הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה. א .מצא את הפרמטר . a ב .האם יש לגרף הפונקציה עוד אסימפטוטות? 248 ג. מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלו עם הישר 4 y 2 x 1 0 :הנמצאת על ציר ה. x - mx 2 2 x 3 )31נתונה הפונקציה: x2 1 . f ( x) ידוע כי לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית. y 3 : א .מצא את . m ב .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם האסימפטוטה האופקית . y 3 x 1 )32נתונה הפונקציה A : x2 3 . f ( x) ידוע כי לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית. y 3 : א .מצא את .A ב .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם האסימפטוטה האופקית . y 3 2 x2 1 )33נתונה הפונקציה A : x2 2 . f ( x) ידוע כי לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית. y 5 : א .מצא את .A ב .הראה כי הפונקציה אינה חותכת את האסימפטוטה האופקית שלה. Ax 2 1 )34נתונה הפונקציה B : x2 1 . f ( x) ידוע כי לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית. y 1 : כמו כן ,שיפוע הפונקציה בנקודה שבה x 1הוא .1 א .מצא את Aואת .B ב .הראה כי הפונקציה אינה חותכת את האסימפטוטה האופקית שלה. 249 תרגילים שונים – שימושי הנגזרת: 2x2 )35באיור שלפניך נתונות הפונקציה: 2x 3 f ( x) והישר. y 8 : )f ( x y y 8 א .מצא את נקודות החיתוך של הישר והפונקציה. ב .כתוב את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה )f ( x x העוברים דרך נקודות החיתוך שלה עם הישר. ג .מצא את נקודת החיתוך של שני המשיקים. ד .חשב את שטח המשולש הנוצר בין שני המשיקים לישר . y 8 10 x )36נתונה הפונקציה: x2 1 . f ( x) מעבירים לפונקציה משיק בנקודה שבה . x 2 y חשב את שטח המשולש הנוצר בין המשיק לצירים. x 1 )37נתונה הפונקציה: x2 )f ( x x . f ( x) א .הראה כי הפונקציה עולה תמיד. ב .מצא את משוואת המשיק המאונך לישר y 9 x :העובר דרך נקודת ההשקה הנמצאת ברביע ראשון. )38א. ב. x2 3 מצא את שיפוע המשיק לפונקציה: x f ( x) בנקודה שבה. x 1 : x2 4 x g ( x) המקבילים מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה: x2 למשיק שאת שיפועו מצאת בסעיף א'. x 1 מצא את משוואות המשיקים לפונקציה: x7 2 ג. h( x) המאונכים למשיק שאת שיפועו מצאת בסעיף א'. תרגילים העוסקים בחקירה מלאה של פונקציה רציונאלית: חקור את הפונקציות שבעמוד הבא לפי הסעיפים הבאים: א .תחום הגדרה. ב .מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה. ג .קביעת סוג הקיצון ומציאת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (במידה ויש). ה .מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים. ו .סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. 250 )39 16 x 2 3x 4 x y x 2 10 x 25 y )41 x )43 2 3 x x2 y 5 3x 12 1 )45 5 5 x 2 x2 5x 2 )40 x )42 4 5 x x2 )44 6 8 y 1 2 x x y 1 3 )46 x 10 x 25 y 2 4 )47 3x 6 x 9 y 6 )48 x 9 1 1 )49 x2 x3 y 1 1 )50 x 1 x 5 2 y 2 y y y חקור את הפונקציות הבאות לפי הסעיפים הבאים: א .תחום הגדרה. ב .מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה. ג .קביעת סוג הקיצון ומציאת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (במידה ויש). ה .מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים. ו .סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. 2 x2 8x 8 )51 x2 5x 4 5x 1 )53 x5 2 f ( x) )52 x 4 f ( x) 3x 5 3x 2 )54 2 x2 8 f ( x) 1.5 x f ( x) 9 1 )55נתונה הפונקציה: 2 x a ( , y ax פרמטר) .ידוע כי גרף הפונקציה עובר בנקודה . 3, 7.5 א .מצא את ערך הפרמטר aוכתוב את הפונקציה. ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. 251 9 )56נתונה הפונקציה: 10 ax 2 x 2 א. ב. ג. ד. . y ידוע כי יש לפונקציה אסימפטוטה אנכית. x 5 : מצא את ערך הפרמטר . a האם יש לפונקציה עוד אסימפטוטות? אם כן ,מהן? מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה. כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. a )57נתונה הפונקציה: 2x 5 2 a ( , y פרמטר). בנקודה שבה . y 2 ידוע שהפונקציה חותכת את ציר ה- א .מצא את הפרמטר . a ב .מה תחום ההגדרה של הפונקציה? ג .מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה. ד .האם יש לפונקציה נקודות חיתוך עם ציר ה ? x -אם כן – מצא אותן. y )58ענה על הסעיפים הבאים: 9 x2 א .הוכח כי לגרף הפונקציה: x2 k ב. ג. ד. ה. ידוע כי שיעור ה y -של נקודת הקיצון הוא .3הוכח כי הפונקציה ) f ( xמוגדרת לכל . x מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה . x - מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה וקבע בכמה נקודות יחתוך אותו הישר . y 1 נמק את תשובתך. ax 4 )59לגרף הפונקציה: x2 א. ב. ג. ד. f ( x) יש נקודת קיצון שנמצאת על ציר ה. y - a ( , f ( x) פרמטר) יש נקודת קיצון שבה . x 8 מצא את aוכתוב את הפונקציה. כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ax 2 20 x 28 )60נתונה הפונקציה: x 2 2a a ( , f ( x) פרמטר). ידוע כי גרף הפונקציה חותך את האסימפטוטה האופקית שלו בנקודה . 0.5,3 א .מצא את ערך הפרמטר aוכתוב את הפונקציה. ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. 252 ג. ד. ה. ו. כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. היעזר בגרף הפונקציה וקבע לאלו ערכים של kהישר y k :יחתוך את גרף הפונקציה בנקודה אחת בלבד. ax 30 )61הפונקציה: x 6x a 2 a ( , f ( x) פרמטר) מוגדרת לכל . x ידוע כי לפונקציה יש נקודת קיצון שבה . x 2 א .מצא את aוכתוב את הפונקציה. ב .האם יש לפונקציה נקודות קיצון נוספות? אם כן מצא אותן. ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. ה .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. a2 x 4 )62נתונה הפונקציה: 2 x2 1 a ( , y פרמטר). ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 1הוא . m 4 א .מצא את כל הערכים האפשריים בעבור . a ב .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. ג .מצא את נקודת החיתוך בין המשיק הנתון ומשיק העובר דרך נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה . y - x 2 ax 6 )63נתונה הפונקציה: x2 a ( , f ( x) פרמטר). ידוע שאחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר ה. y - א .מצא את הערך של הפרמטר . a ב .הצב את הערך של aשמצאת בסעיף א' ומצא: )1את תחום ההגדרה של הפונקציה. )2את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה). )3את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה ,וקבע את סוגן. )4את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים (אם יש כאלה). ג .לאלו ערכי xהפונקציה שלילית? ד .נתון הישר . y k :לאלו ערכי kאין נקודות משותפות לישר ולגרף הפונקציה? נמק. 253 xa )64נתונה הפונקציה: x 1 א. ב. ג. ד. a 1 , f ( x) פרמטר. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים. הבע באמצעות aאת השיעורים של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה x -ועם ציר ה. y - .1מצא לאלו ערכים של aהפונקציה ) f ( xעולה לכל xבתחום ההגדרה. .2ישר המשיק לגרף הפונקציה ) f ( xבנקודה שבה x aמקביל לישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה . x 2 מצא את הערך של aאם נתון כי הפונקציה עולה לכל . x x3 )65נתונה הפונקציה A : x2 A ( , y פרמטר). גרף הפונקציה עובר בנקודה. 3 A, A : א. ב. ג. ד. ה. ו. מצא את ערך הפרמטר . A כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה. הוכח כי גרף הפונקציה יורד לכל . x מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה. y - שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. נתון הישר . y k :האם קיים ערך של kבעבורו הישר חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות שונות? נמק. x2 m m , a 0 , y פרמטרים. )66נתונה הפונקציה: ax 4 ידוע כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר ה. y - א .מצא את הערך של הפרמטר . m ב .הצב את הערך של mשמצאת בסעיף א' והבע באמצעות aאת: .1תחום ההגדרה של הפונקציה. .2נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. .3האסימפטוטות לגרף הפונקציה המקבילות לצירים. ג .שרטט סקיצה וסמן בה את נקודות הקיצון ואת משוואות האסימפטוטות שהבעת באמצעות aבסעיף הקודם. ד .ידוע כי נקודת הקיצון שאינה על ציר ה , y -נמצאת במרחקים שווים מהצירים. מצא את הערך של הפרמטר . a ה .נתון הישר . y k :מצא לאלו ערכים של kאין לישר ולגרף הפונקציה נקודות משותפות כלל. 254 :תשובות סופיות . 4, 5 13 , 2,3 13 . ב 4.5,13.5 , 1.5, 1.5 .) א16 2 4 1 1 y 28x 188 . גy x 1 . בy x .) א17 9 9 4 4 y 1.5x 3 .ב 2, 0 .) א19 1 1 2 . ד . ג . ב- 1 .) א15 4 9 25 2,19 .ד 2, , 2, 1 6 1 6 .ג 4 y 2 x 4 )18 y x 8 .ד 3 . y 2 x 3 . גy 2 x 7 . ב. לא.) א21 .8 . ג 4,0 , 0, 4 . בy 4 x .) א20 1 . בy 2 x 1 .) א22 4 .24 . בy 6x 8 , y 6x 16 .) א24 y 3x , y 4 x . ב1,3 , 1,1 .) א23 . y 3x 2 , y 3x 18 . בy 3x 1 , y 3x 9 .) א25 . A 1 )27 . y 6 x 6 . כן. ג 5,0 , 1,0 . בk 4 .) א26 . y x 1 , 9 y 4 x 6 .( ג1.5, 0) . כן. בk 5 .) א28 . y 43 .ג y 0 , x 3 . כן. ב. a 1 .) א29 y 2 x 3 . בm 3 .) א31 63 y 32 x 16 0 . גy 0 , x 4 . בa 16 .) א30 A 3 , B 2 .) א34 A 3 .) א33 y 0.5x 2.5 . בA 3 .) א32 S 17 1 )36 .6.4 .ד 15 2.4, 4.8 .ג y 8x 24 , 9y 8x 24 .ב ולכן הפונקציה עולהf '( x) 1 x 2 2 2,8 , 6,8 .) א35 0 : מתקייםx לכל.) א37 . y 0.5x 0.5 , y 0.5x 20.5 . גy 2 x , y 2 x 8 . ב-2 .) א38 9 y x 5 . ב.תמיד x 0 , 0.5 x 0.5 : עולה. גMax 0.5, 13 , Min 0.5,19 . בx 0 .) א39 Max 1, 9 , Min 1, 1 . בx 0 .) א40 . x 0 . ה. אין. ד. x 0.5 , x 0.5 :יורדת . x 0 . ה 0.5,0 , 2,0 .ד . x 0 , 1 x 1 : יורדתx 1 , x 1 : עולה.ג . x 0 , 5 x 5 : יורדתx 5 , x 5 : עולה. גMin 5, 20 , Max 5,0 . בx 0 .) א41 0 x 2.5 : עולה. גmax 2.5,1.8 . בx 0 .) א42 . x 0 . ה 5, 0 .ד . x 0 , y 1 . ה 5,0 , 1,0 . ד. x 0 , x 2.5 :יורדת . x 0 , x 3 : יורדת0 x 3 : עולה. גMax 3,5 13 . בx 0 .) א43 Min 2 23 , 18 . בx 0 .) א44 . x 0 , y 5 .ה 1,0 , 0.6,0 .ד . x 0 , y 1 . ה 2,0 , 4,0 . ד. 0 x 2 23 : יורדתx 0 , x 2 23 : עולה.ג . x 0 . ה 2,0 , 2,0 . ד. עולה בכל תחום הגדרתה. ג. אין נקודות קיצון. בx 0 .) א45 255 . y 0, x 5 . ה 0,0.12 . דx 5 : יורדתx 5 : עולה. ג. אין נקודות קיצון. בx 5 .) א46 חיתוך עם ציר. דx 1 , x 3 : יורדתx 1 , x 1 : עולה. גMax 1, 13 . בx 1,3 .) א47 . y 0 x 1,3 . ה. 0, 94 : y -ה x 0 , x 3 : יורדתx 3 , x 0 : עולה. גMax 0, 23 . בx 3 .) א48 . y 0 x 3 . ה. 0, 23 : y - חיתוך עם ציר ה.ד 0.5, 0 , 0, 1 6 . ד. יורדת בכל תחום הגדרתה. ג. אין נקודות קיצון. בx 3, 2 .) א49 x 5 , x 3 : עולה. גMax 3, 1 . בx 1, 5 .) א50 y 0 , x 3, 2 .ה . y 0 , x 1, 5 . ה 0, 0.8 . דx 1 , x 3 :יורדת :39-50 סקיצות של שאלות . x 1 , 2 x 2 : עולה. גMax 2,0 , Min 2,1 79 . בx 1, 4 .) א51 . x 1, 4 , y 2 . ה. 0, 2 , 2,0 . ד. x 4 , x 2 , x 2 :יורדת . x 4 , x 7 13 : עולה. גMin 7 13 , 7 95 , Max 4, 0 . בx 53 .) א52 . x 53 . ה 0, 3.2 , 4, 0 . ד. x 53 , 4 x 7 13 :יורדת . x 9 , x 1 : עולה. גMin 1, 0.5 , Max 9, 24.5 . בx 5 .) א53 . x 5 . ה 2, 0 , 0, 0 . ד. x 0 , x 2 :עולה , 0 , 0, 0.2 1 3 . ד. x 5 , 9 x 1 :יורדת . x 0 , x 2 : יורדת. גMax 0,0 . בx 2 .) א54 . x 2 , y 1.5 .ה :51-54 סקיצות של שאלות 256 9 1 )55א, a 2 . 2 x יורדת. x 0 , -1.5 x 1.5 : . y 2 x ב Max -1.5,-6 , Min 1.5,6 .ג .עולה, x -1.5 , x 1.5 : )56א a 8 .ב .כן y 0 , x 1 .ג Max 2, 0.5 .ד .עולה. x 1 , x 2 : יורדת )57 . x 5 , x 2 :א a 10 .ב .כל xגMax(0, 2) . ד .אין חיתוך עם ציר ה )58 . x -ב .מתקבל . k 3 :ג . 3,0 , 3,0 .ד. y 1 . ה .באף נקודה .הגרף שואף לישר ואינו חותך אותו. x4 )59א, a 1 . x2 . f ( x) ב .עולה , 8 x 0 :יורדת . x 8 , x 0 :ג. 4, 0 . 3x 2 20 x 28 )60א, a 3 . . f ( x) ב. x2 6 1 3 . Max 2,8 , Min 3, ג .עולה x 2 , x 3 :יורדת . 2 x 3 :ד . 2, 0 , 0, 4 23 , 4 23 , 0 .ו. k 8, 13 ,3 . 10 x 30 )61א, a 10 . x 6 x 10 2 ( y הפתרון a 6 :נפסל) .ב .כן . 4,5 - ג .עולה 2 x 4 :יורדת . x 2 , x 4 :ד. 0, 3 , 3,0 . )62א . a 2 .ב 1,0 , 0, 4 .ג .המשיק y 4 x 4 :אשר עובר בנקודה . 1, 0 )63א . a 3 .ב . x 2 .4 Max 0, 3 , Min 4,5 .3 0, 3 .2 x 2 .1 .ג. x 2 . ד )64 . 3 k 5 .א x 1 .ב x 1 , y 1 .ג a,0 , 0, a .ד. a 2 .2 a 1 .1 . )65א . A 1 .ב . x 2 .ג .הנגזרת בנויה ממנה של מספר שלילי בחיובי ולכן תמיד ( ) שלילית :שלילי () 5 2 x 2 . y ' ד. 0, 2.5 . ו .לא .אין נקודות על גרף הפונקציה בעלות שיעור yזהה. 4 )66א( m 0 .מתקבל am 0 :וידוע כי a 0 :לכן נותרנו עם הפתרון הנ"ל) .ב.1 . a 4 8 16 . x .3 . Max 0, 0 , Min , 2 .2ד . a 2 .ה. 0 k 4 . a a a סקיצות של שאלות 58-61 :ו:65-66 - 257 .x :)רציונאלית-תרגילים העוסקים בפונקצית שורש (אי :תרגילים העוסקים בנגזרות יסודיות y x 16 x )3 x 1 x )6 y x 2 3x 2 )9 2 y y x2 x2 x 1 y x 3 x )2 :גזור את הפונקציות הבאות y x )1 y x2 x )5 y 2 x 1 x )4 y 2x 1 x 2 )8 x 1 x 1 )7 y x 2 4 x 2 )11 )12 )15 y y x x4 6x2 8 )18 y 3x 1 1 x )21 y x2 x 1 y x y x 8 y x 5x 2 )10 y )14 x2 4 1 x 1 y )20 )13 x2 4 y x 10 x 2 x )17 y x 2 6 x )16 x 1 x2 )19 :תשובות סופיות . y' 2 x 2x 1 )4 2 x y ' 2x 8 )3 x y ' 1 y' x 1 )6 2x x 2 . y ' 3x 4 x x 21 )7 2 x x 2 1 . y ' 5x 2 . y' x 5x 2x 3 )10 . y ' )9 2 5x 2 2 x 2 3x 2 x 2 4 x2 4 )13 . y ' x 10 )16 . y ' . y ' 6 x 10 x 8 3x )12 2 x3 x 2 1 x 6 5 2 x y' 3x 4 12 x 2 8 x4 6 x2 8 . y' x 1 )21 2x x 2 x 2 x 1 1.5 x2 1 2x2 x 258 1 x 2 x y' )2 . y ' 2x x 1 2 x )1 x2 )5 2 x 1 1 )8 2x 1 2 x 2 y' y ' 2x x 2 )15 y ' )18 y ' 24 3x 1 y' 3 x x2 4 )11 2 x2 4 2 4 x2 4 2 x 1 3x 1 x )14 8 7 )20 x 2 2 x2 x y' 3 2 x 2 2 )17 x2 )19 x 1 תרגילים העוסקים במציאת תחום ההגדרה של פונקציות: )22לפניך מספר פונקציות ,מצא את תחום ההגדרה שלהן .תזכורת: תחום הגדרה של פונקציה המכילה ביטוי עם שורש y f ( x) :הואf ( x) 0 : )f ( x תחום הגדרה של פונקציה אי-רציונאלית: )g ( x y הוא. g ( x) 0 : א. y x ב. y x 5 ג. y 7 2x ד. y x2 1 ה. y x2 2x ו. y x2 4 x 5 ז. y x2 3 x ח. y x 3 3x 2 4 x ט. y 2x 2 x י. y x 2 3 x 2 x יא. 4 x x2 יב. x x 5 y יג. x2 4 x 4 x 2 16 יד. x6 x y טו. x2 3x 8 יז. יט. y 2x 81 4 x 2 x x 4 2 y y טז. y y 4 y x 2 25 יח. x 1 x3 כ. 25 x x 2 x2 y y )23א .נתונה הפונקציה הבאה k ( , y kx2 18 :פרמטר). ידוע כי תחום ההגדרה שלה הוא . x 3 , x 3 :מצא את ערך הפרמטר . k ב .נתונה הפונקציה הבאה k ( , y k 3x 2 :פרמטר). ידוע כי תחום ההגדרה שלה הוא . 1 x 1 :מצא את ערך הפרמטר . k ג. x נתונה הפונקציה הבאה: xk k ( , y פרמטר). לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית . x 7 :מצא את ערך הפרמטר . k ד .נתונה הפונקציה הבאה: 6 x k 2 k ( , y פרמטר). לפונקציה יש אסימפטוטות אנכיות . x 4 :מצא את . k 259 )24נתונה הפונקציה הבאה a , b ( , y ax x b :פרמטרים) ידוע כי הפונקציה עוברת בנקודה 2, 2 :וכי תחום הגדרתה הוא . x 2 :מצא את aואת .b )25נתונה הפונקציה הבאה a , b ( , y ax2 bx 3 :פרמטרים) .ידוע כי הפונקציה עוברת בנקודה 1, 4 :וכי תחום הגדרתה הוא . x 3 :מצא את aואת .b )26נתונה הפונקציה a , b ( , y ax2 bx 12 :פרמטרים) .ידוע כי הפונקציה אינה מוגדרת בתחום . 4 x 3 :מצא את aואת . b תרגילים העוסקים במציאת שיפוע המשיק לגרף הפונקציה לפי הכלל. f ' x0 m : )27חשב את שיפוע המשיק לגרפים של הפונקציות הבאות בנקודות הרשומות לידן: ב x 4 , f ( x) x 2 x . אx 1 , f ( x) 3x x . ג. x 9 , f ( x) x 2 4 x 2x 3 ה. x x 3 , f ( x) x ד. x3 ו. x 1 , f ( x) x 2 , f ( x) x x 2 4 x 8 )28לפניך מספר פונקציות .מצא את שיעורי הנקודות שבעבורם שיפוע המשיק הוא המצוין לידה. 2 ב, f ( x ) 4 x 7 . 5 אm 1.5 , f ( x) 3x 2 . ג. 1 1 , f ( x) x x 4 4 m m דm 2 , f ( x) x 2 12 . ה m 2 , f ( x) x x 1 . ו. m 5, f x x 3 x )29א .מצא נקודה על גרף הפונקציה y 2 x 4 x 5 :אשר המשיק העובר דרכה מקביל לישר. y 2 x 2 : ב .מצא נקודה על גרף הפונקציה y 3x 3x2 24 :אשר המשיק העובר דרכה מקביל לישר. y 4 x 7 : 260 )30א .נתונה הפונקציה הבאה. f ( x) x2 24 : מצא את שיפוע הפונקציה בנקודה שבה. x 2 : ב .מגדירים פונקציה נוספת . g ( x) 3x2 240 :מצא נקודה על גרף הפונקציה שבה שיפוע המשיק העובר דרכה שווה לשיפוע הפונקציה שמצאת בסעיף א'. האם קיימת יותר מנקודה אחת? אם כן ,מצא את כולן .אם לא ,נמק. ג .הראה כי לשת י הפונקציה יש את אותו השיפוע בעבור . x 0 :מהו השיפוע? )31נתונות שתי הפונקציות הבאות f ( x) x 3 :ו. g ( x) 2 5 x - א .מצא את שיעור ה x -בעבורו לשתי הפונקציות יש את אותו השיפוע. ב .הראה כי הפונקציות גם נחתכות בנקודה זו. )32נתונות שתי הפונקציות הבאות f ( x) 2 x 6 :ו. g ( x) 6 9 x - א .מצא את שיעור ה x -בעבורו לשתי הפונקציות יש את אותו השיפוע. ב .הראה כי הפונקציות גם נחתכות בנקודה זו. 1 )33נתונה הפונקציה הבאה36 x 27 : 3 . f ( x) 5 4 x 3 מצא נקודה על גרף הפונקציה ששיפוע המשיק העובר דרכה שווה ל.12- הנחייה :לאחר הגזירה הוצא גורם משותף בתוך השורש שבמכנה השני וסמן t 4 x 3 :ופתור משוואה בעבור . t x )34מצא שתי נקודות על גרף הפונקציה x 1 y ששיפוע המשיק העובר דרכן הוא. m 1 : תרגילים העוסקים במציאת משוואת משיק לפי הנוסחה, y y1 m x x1 : כאשר - x1 , y1 :נקודת ההשקה ו m -שיפוע המשיק. )35מצא את משוואת המשיק לגרפים של הפונקציות הבאות בנקודות הרשומות לידן: א. x 1 , y 3x 2 x ב. x 7 , y 2x 5 ג. x 4 , y 2 x 2 8 x ד. 2 , y x2 2x 3 ה. x 2 , y x x2 5 ו. x6 x ז. x2 x2 ח. x6 , y 261 x2 x3 , y x 2 3x 4 x 1 , y x )36נתונה הפונקציה הבאה. y x 4 x : א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ב .כתוב את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה x -שאינה בראשית הצירים. 1 )37נתונה הפונקציה הבאהx : 3 . y 2x א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ב .כתוב את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה x -שאינה בראשית הצירים. )38לגרף הפונקציה f ( x) x 2 x :מעבירים משיק בנקודה שבה . y 3 א .מצא את משוואת המשיק. ב .מצא את נקודות החיתוך של משיק זה עם הצירים. ג .חשב את שטח המשולש שנוצר בין המשיק לצירים. )39נתונה הפונקציה הבאה. y x2 4 x 9 : א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. y - ב .כתוב את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה . y - )40נתונה הפונקציה הבאה. y 3x 25 2 x2 1 : א .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. y - ב .כתוב את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה . y - )41נתונה הפונקציה. f ( x) x2 x : א .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה . x - ב .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך x שלה עם ציר ה x -הנמצאת ברביע הראשון. ג .מהנקודה Aשנמצאת על המשיק מורידים אנך לציר ה x - כך שנוצר משולש בין המשיק ,האנך וציר ה ( x -ראה איור). ידוע כי שטח המשולש הוא . S 12מצא את שיעורי הנקודה .A 262 )f ( x A y )42נתונה הפונקציה הבאה . y x x 2 4 :מעבירים לגרף הפונקציה משיק בנקודה . x 1.5 א .מצא את משוואת המשיק. ב .מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה . y - ג .מעבירים אנך לציר ה y -מנקודת ההשקה של המשיק. חשב את שטח המשולש הנוצר בין המשיק ,האנך וציר ה. y - )43נתונה הפונקציה. f ( x) x2 8x 12 : א .מה תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .הראה כי המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 3עובר בראשית הצירים. x )44נתונה הפונקציה2 x 3 : 3 . f ( x) א .מצא את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה. x 11 : ב .כתוב את משוואת המשיק הנ"ל. ג .האם יש לגרף הפונקציה משיק נוסף המקביל למשיק שמצאת בסעיף הקודם? אם כן – כתוב את משוואתו. 3x 1 )45נתונה הפונקציה: x . f ( x) א .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה. x 1 : ב .חשב את שטח המשולש הכלוא בין המשיק שמצאת לצירים. 1 )46נתונה הפונקציה הבאה: 2x 1 . f ( x) א .מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה. y - ב .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך עם ציר ה. y - ג .חשב את שטח המשולש הנוצר בין המשיק שמצאת לצירים. x2 3 )47נתונה הפונקציה: x f ( x) ונתון הישר. y 2 x : א .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה והישר הנמצאת ברביע הראשון. הנחייה :השווה בין שני הבי טויים והעלה בריבוע את המשוואה ופתור משוואה דו -ריבועית על ידי סימון. x 2 t : ב .מצא את משוואות המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שמצאת בסעיף הקודם. 263 תרגילים העוסקים במציאת משוואת המשיק כאשר נתון מידע הקשור לשיפוע: תזכורת :בחלק מהתרגילים יש להיעזר בתכונות השיפועים של ישרים מקבילים ומאונכים: ישרים מקבילים הם בעלי אותו השיפוע ולהפך. מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים תמיד .- 1 כגון שני ישרים בעלי שיפועים m1 , m2 :אזי. m1 m2 1 : )48א .כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציהf ( x) 4 x 2 : המקביל לישר. 2 y x 3 : ב. כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציהf ( x) 10 x 7 : המקביל לישר. y 5x : ג .כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f ( x) 3x x :המאונך לישר. 4 y 5 x : ד .כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציהf ( x) 4 x 3 2 x : המאונך לישר. y x : )49נתונה הפונקציה. f ( x) 8 x x : א .מצא על גרף הפונקציה ) f ( xנקודה שבה שיפוע המשיק העובר דרכה הוא .3 ב .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה . x - ג .כתוב את משוואת הישר העובר דרך הנקודה שמצאת בסעיף א' ונקודת החיתוך עם ציר ה x -שאינה ראשית הצירים. )50נתונה הפונקציה f ( x) x 10 x :באיור הסמוך. א .מצא את שיעורי הנקודות Aו - B-נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ב .מצא את שיעורי הנקודה Cהמקיימת. f '( x) 0 : y )f ( x x ג .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה המקביל לישר .BC A B C )51נתונות הפונקציה הבאות. g ( x) 4 2 x 3 , f ( x) x2 x : א .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה ) f ( xבעל השיפוע . m 20 ב .מצא את נקודות החיתוך של המשיק שמצאת בסעיף הקודם והפונקציה ). g ( x ג .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה ) g ( xבנקודת החיתוך שמצאת בסעיף הקודם. )52נתונות הפונקציות הבאות. f ( x) 4 3x 2 , g ( x) 2 x x 3 : הראה כי לשתי הפונקציות משיק משותף ששיפועו הוא .3 264 )53נתונה הפונקציה הבאה. f ( x) 4 x 10 x : א .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה המאונך לישר. y 0.5x 51 : ב .הראה כי הישר הנתון בסעיף הקודם הוא נורמל לפונקציה בנקודת ההשקה. x2 )54נתונה הפונקציה: x3 א. ב. ג. ד. . f ( x) מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - מצא את הנקודה אשר שיפוע המשיק לגרף הפונקציה העובר דרכה הוא .0 כתוב את משוואת הישר העובר דרך הנקודות שמצאת בסעיפים ב' ו-ג'. 4 x )55נתונה הפונקציה: x2 . f ( x) א .מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .האם הפונקציה חותכת את ציר ה ? x -אם כן ,באיזו נקודה? ג .הראה כי לא קיים ישר המשיק לגרף הפונקציה ומקביל לישר. y 6 : x3 )56נתונה הפונקציה הבאה: x 1 . f ( x) א .מהו תחום הגדרה של הפונקציה? ב .כמה נקודות יש לגרף הפונקציה ששיפוע המשיק העובר דרכן מקביל לציר ה ? x - מצא אותן. ג .כתוב את משוואות המשיקים בנקודות שמצאת בסעיף הקודם. )57נתונות הפונקציות הבאות. f ( x) x , g ( x) 3 3x : א .מצא את נקודת החיתוך של שתי הפונקציות. ב .הראה כי הגרפים מאונכים זה לזה בנקודת החיתוך שמצאת. ג .מצא את משוואות המשיקים לכל פונקציה בנקודת החיתוך שמצאת. ד .מהנקודות Aו B-הנמצאות על הגרפים של הפונקציות ) f ( xו g ( x) -בהתאמה מעבירים ישר המקביל לציר ה . y -ידוע כי הפונקציות מאונכות זו לזו בנקודות Aו .B-מצא את הנקודות Aו.B- )58נתונות הפונקציות הבאות. f ( x) 2 x 2 x 2 , g ( x) 2 x 2 10 x : מסמנים נקודה Aעל גרף הפונקציה ) f ( xונקודה Bעל גרף )f ( x הפונקציה ) g ( xכמתואר באיור. )g ( x ידוע כי הישר ABמקביל לציר ה . y - y A x 265 B מעבירים מהנקודות Aו B-משיקים לכל פונקציה. ידוע כי המשיקים מקבילים. א .מצא את שיעורי הנקודות Aו.B- ב .מצא את משוואות המשיקים. תרגילים עם פרמטרים: )59ענה על השאלות הבאות: א .נתונה הפונקציה A( , f ( x) A x 3x2 :פרמטר). ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 4 :הוא .25מצא את .A ב .נתונה הפונקציה A( , f ( x) 2 5x A :פרמטר). ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 2 :הוא .1מצא את .A ג .נתונה הפונקציה A( , f ( x) x2 Ax 25 :פרמטר) .ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה y -הוא .2מצא את .A ד .נתונה הפונקציה A( , f ( x) x A x 1 :פרמטר). ידוע כי שיפוע הפונקציה בנקודה שבה x 3 :הוא .3מצא את .A x ה .נתונה הפונקציה: xA 1 שבה x 1 :הוא .מצא את .Aהבחן בין שני מקרים. 18 1 A( , f ( x) 2פרמטר). ו .נתונה הפונקציה: x Ax 4 A( , f ( x) פרמטר) .ידוע כי שיפוע הפונקציה בנקודה ידוע כי שיפוע הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה y -הוא .4מצא את .A )60נתונה הפונקציה הבאה A , B ( , f ( x) 2 x A Bx :פרמטרים). משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה y -היא. y 3x 1 : מצא את Aואת .B )61נתונה הפונקציה הבאה A , B ( , f ( x) x2 Ax B :פרמטרים) .משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת שבה x 1 :היא . y x 2 :מצא את Aואת .B )62נתונה הפונקציה a , f ( x) a x 3 :פרמטר .ידוע כי הפונקציה עוברת ב. A 12, a 4 - א .מצא את ערך הפרמטר . a ב .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה .A ג .חשב את השטח שנוצר בין המשיק לצירים. 266 )63נתונה הפונקציה a , f ( x) a 3x 16 :פרמטר. ידוע כי הישר y 2 x 8חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה . x 11 א .מצא את נקודת החיתוך. ב .מצא את ערך הפרמטר . a ג .האם הישר חותך את גרף הפונקציה בעוד נקודה? אם כן מהי? ד .האם הישר הנתון הוא המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שמצאת בסעיף א'? אם כן ,נמק .אם לא ,מצא את משוואת המשיק. )64הגרפים של הפונקציות f ( x) x2 2 x 5 :ו k ( , g ( x) x2 k x -פרמטר) נחתכים בנקודה שבה. x 6.25 : א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה )? g ( x ג .האם הגרפים של הפונקציות ) f ( xו g ( x) -נחתכים בעוד נקודות? אם כן – מצא אותן. ד .מצא את משוואות המשיקים לגרפים של שתי הפונקציות בנקודות החיתוך שלהם. x xk )65נתונות שתי הפונקציות הבאות: , g ( x) x xk ידוע כי הפונקציות חותכות זו את זו בנקודה שבה. x 0.8 : k ( , f ( x) פרמטר). א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .האם הפונקציות נחתכות בנקודה נוספת מלבד לנקודה הנתונה? אם כן – מצא אותה. ג .מ צא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה ) f ( xבנקודה שבה. x 0.52 : xA )66נתונה הפונקציה הבאה: xB A , B ( , f ( x) פרמטרים). 1 שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה 0, 13 :הוא: 18 . א .מצא את Aואת .B ב .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה y -והראה כי בעבור שני המקרים מתקבלת אותה הנקודה. )67נתונה הפונקציה הבאה: הפונקציה בנקודה: x A , B ( , f ( x) פרמטרים) .שיפוע המשיק לגרף Ax Bx 1 1, 12הוא . :מצא את Aואת .B 8 2 267 )68נתונה הפונקציה הבאה . f ( x) x Ax 3 :ידוע כי. f '(1) 2.25 : א .מצא את ערך הפרמטר .A ב .כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה. x 1 : ג .כתוב את משוואת הישר המאונך לגרף הפונקציה ועובר דרך נקודת ההשקה הנ"ל (נורמל לפונקציה). x7 )69נתונה הפונקציה הבאה: x A 2 A , f ( x) פרמטר. ידוע כי לגרף הפונקציה יש אסימפטוטה אנכית. x 4 : א .מצא את Aואת האסימפטוטה האנכית הנוספת של גרף הפונקציה. ב .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה. x 2 : ג .מצא את נקודת החיתוך של המשיק והאסימפטוטה. x 4 : תרגילים שונים – שימושי הנגזרת: )70באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות f ( x) x :ו. g ( x) x2 - א .מצא את נקודות החיתוך של הגרפים. )g ( x ב .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה ) f ( xהעובר )f ( x דרך נקודת החיתוך שמצאת הנמצאת ברביע הראשון. ג .מצא את נקודת החיתוך הנוספת של המשיק שמצאת עם x גרף הפונקציה ). g ( x 1 )71באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות: x 5 f ( x) ו. g ( x) x 3.5 - א .מצא את הנקודה - Aנקודת החיתוך של הגרפים. ב .מצא את משוואות המשיקים לכל גרף העוברים דרך נקודת החיתוך. ג .המשיקים חותכים את ציר ה x -בנקודות Bו C-כך שנוצר המשולש .ABCחשב את שטח המשולש. kx x 5 . f ( x) ידוע כי: )72נתונה הפונקציה: 2 12 y y )g ( x )f ( x x A B . f '(9) א .מצא את kוכתוב את הפונקציה. ב .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה . x - ג .כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך נקודת החיתוך שבה x חיובי שמצאת בסעיף הקודם. 268 C A )73נתונה הפונקציה הבאה: x2 4 A , f ( x) פרמטר. א .הראה כי הפונקציה אינה חותכת את ציר ה x -כלל. ב .מצא את Aאם ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה y -בנקודה שבה . y 5 ג .כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה . y - A B )74נתונה הפונקציה: x x A , B ( , f ( x) פרמטרים) .מעבירים לגרף הפונקציה שני 3 משיקים .משיק אחד עובר דרך הנקודה שבה x 4ושיפועו הוא: 8 משיק שני מעבירים דרך הנקודה שבה x 1וידוע כי הוא מקביל לישר. 2 y 5x 3 : .m מצא את Aואת .B x 1 )75נתונה הפונקציה: x 1 . f ( x) א .הראה כי הפונקציה אינה חותכת את הצירים כלל. ב .מצא נקודה על גרף הפונקציה ששיפוע המשיק העובר הוא .0 ג .כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה . x 5 x2 4 )76נתונה הפונקציה הבאה: x א. ב. ג. ד. . f ( x) מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - האם ניתן להעביר משיק לגרף הפונקציה המקביל לציר ה? x - נמק והראה חישוב מתאים. כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה. x - חשב את שטח המשולש הכלוא בין המשיק לצירים. 269 תרגילים העוסקים במציאת נקודות קיצון לפי הכלל , f ' x 0 :סיווגן ומציאת תחומי עלייה וירידה: )77לפניך הפונקציות הבאות: מצא את נקודות הקיצון (כולל נקודות קיצון קצה במידה וישנן) שלהן וקבע את סוגן (זכור למצוא תחילה את תחום ההגדרה ולפסול נקודות שאינן נמצאות בו). בy x 2 x 2 . אy x x . גy x 2 4 x 25 . ד. y x 4 8x 2 16 ז. x 1 x2 y x ה. x3 y ח. x 3x 2 x 2 ו. x x 3 y y )78נתונה הפונקציה הבאה. y x2 3x 4 : א .מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .מהן נקודות הקיצון של הפונקציה (כולל נקודות קיצון קצה)? ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. )79נתונה הפונקציה הבאה. y x2 3x 4.5 : א .מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .מהן נקודות הקיצון של הפונקציה (כולל נקודות קיצון קצה)? ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. )80נתונה הפונקציה. y x2 3x x : א .כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה. ב .הראה כי אין לפונקציה נקודות קיצון מקומיות כלל. ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. תרגילים העוסקים בחקירה מלאה של פונקציה אי-רציונאלית: חקור את הפונקציות הבאות לפי הסעיפים הבאים: א .תחום הגדרה. ב .מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה. ג .קביעת סוג הקיצון ומציאת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (במידה ויש). ה .מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים. ו .סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. 270 )81 y2 xx 16 x 1 )82 4 )83 y x2 4x 5 y x3 x )84 )85 y x x 2 5x 7 y x 8 x 1 )86 )87 x x2 )89 x 8 x2 )91 y 3x 2 x2 3 y y x )88 x2 y x )90 10 x )92 y 2x x2 4 9 x2 y y )93נתונה הפונקציה. f ( x) 16 x x 2 : א .מה תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה (מקומיים וקצוות). ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. )94נתונה הפונקציה. f ( x) 2 36 x x 2 : א .מה תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה (מקומיים וקצוות). ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. )95נתונה הפונקציה. f ( x) x2 5x 4 : א .מה תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה (מקומיות וקצוות). ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. y - ה .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 271 )96נתונה הפונקציה. f ( x) x2 24 x 25 : א .מה תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .כתוב את נקודות קיצון הקצה של הפונקציה. ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. )97נתונה הפונקציה k , f ( x) x2 10 x 16 k :פרמטר. ידוע כי לפונקציה יש נקודת מקסימום הנמצאת על ציר ה. x - א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ג .האם יש לפונקציה עוד נקודות קיצון כלשהן? אם כן ,מצא אותן .אם ,לא נמק מדוע והראה חישוב מתאים. ד .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. )98נתונה הפונקציה . f ( x) k 9 x 2 :ידוע כי לפונקציה נקודת קיצון שבה. y 12 : א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ג .האם יש לפונקציה עוד נקודות קיצון כלשהן? אם כן ,מצא אותן .אם לא ,נמק מדוע והראה חישוב מתאים. ד .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. )99נתונה הפונקציה. f ( x) x 1 2 x 1 : א .מה תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה. ג .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ד .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. )100נתונה הפונקציה k , f ( x) x k 11 2 x :פרמטר. ידוע כי הפונקציה עוברת בנקודה ). (5, 6 א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .מה תחום ההגדרה של הפונקציה? ג .האם יש לפונקציה נקודות קיצון כלשהן? אם כן ,מצא אותן ואם לא ,נמק מדוע. ד .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - 272 )101נתונה הפונקציה k , f ( x) 3x k x :פרמטר. ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה x -בנקודה שבה . x 16 א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה. ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. )102נתונה הפונקציה k , f ( x) k x x :פרמטר. ידוע כי הישר y 3חותך את הפונקציה בנקודה שבה . x 9 א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .האם הישר y 3חותך את גרף הפונקציה בעוד נקודות? אם כן ,מצא אותן. ג .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. ד .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. x2 )103נתונה הפונקציה 4 x : 8 א. ב. ג. ד. ה. . f ( x) מה תחום ההגדרה של הפונקציה? מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. )104נתונה הפונקציה k . f ( x) kx k x 4 :פרמטר. ידוע כי הפונקציה עוברת בנקודה. (4, 4k ) : א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .האם יש לפונקציה נקודות קיצון? ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ה .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. )105נתונה הפונקציה. f ( x) x 16 x : א .מה תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה. ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 273 )106נתונה הפונקציה k . f ( x) kx 4 x :פרמטר. ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה x -בנקודה שבה . x 2 א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה. ג .האם הפונקציה חותכת את ציר ה x -בעוד נקודות? אם כן ,מצא אותן ואם לא נמק. ד .האם יש לפונקציה נקודות קיצון? אם כן ,מצא אותן ואם לא ,נמק. )107נתונה הפונקציה m , f ( x) x 9 2 x m :פרמטר. א .הראה כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה. ב .כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה. ג .מצא את mאם ידוע כי הפונקציה עוברת בנקודה ). (3, 2 ד .מצא את נקודות קיצון הקצה של הפונקציה. )108נתונה הפונקציה. f ( x) x 16 x2 : א .מה תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. ג .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. ד .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. )109נתונה הפונקציה k , f ( x) 8 x2 kx :פרמטר. הישר y 2 x 4משיק לפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה . x - א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ג .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה. ד .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. x2 x )110נתונה הפונקציה: 4 16 א. ב. ג. ד. ה. ו. .y כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה. האם יש לגרף הפונקציה נקודות קיצון מקומיות (פנימיות)? אם כן ,מצא אותן. מצא את נקודת קיצון הקצה של הפונקציה. האם יש לגרף הפונקציה נקודות חיתוך עם הצירים? אם כן ,מצא אותן. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. נתון הישר . y m :לאלו ערכים של mיש לישר ולגרף הפונקציה נקודה משותפת אחת בלבד? 274 x2 2 x )111נתונה הפונקציה הבאה: x2 א. ב. ג. ד. . f ( x) מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה? מצא את נקודת קיצון של הפונקציה וקבע את סוגה. מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה. x - שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. )112נתונה הפונקציה הבאה: ax 6 9 x2 a , f ( x) פרמטר. מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה . y - ידוע כי הוא מקביל לישר. 3 y x 0 : א .מצא את ערך הפרמטר . a ב .כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה. ג .מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה. ד .כתוב את התחומי העלייה והירידה של הפונקציה. )113לפניך שלוש פונקציות; h( x) x x k : x xk . k 0 ; f ( x ) x k ; g ( x) א .קבע אלו מהטענות הבאות נכונות ואלו לא נכונות והצדק את קביעותיך באמצעות חישוב מתאים: .1לכל הפונקציות יש את אותו תחום ההגדרה. .2כל הפונקציות עולות בכל תחום הגדרתן. .3כל הפונקציות חותכות את ציר ה x -פעם אחת בלבד. מעבירים משיקים לגרפים של הפונקציות f ( x) :ו g ( x) -בנקודת החיתוך 1 שלהם עם ציר ה . y -ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה g ( x) :גדול ב -משיפוע 4 המשיק לגרף הפונקציה ). f ( x ב .1 .בטא באמצעות kאת שיפועי המשיקים לכל פונקציה. .2מצא את . k ג .לפניך 4איורים ,קבע איזה איור מייצג כל פונקציה .נמק את בחירותיך. 275 k x2 )114לפניך שלוש פונקציות: x2 ; h( x) x2 k x2 . k 0 ; f ( x ) x 2 k x 2 ; g ( x) א .קבע אלו מהטענות הבאות נכונות ואלו אינן נכונות .הצדק את קביעותיך באמצעות חישוב מתאים: .1לפונקציות ) f ( xו g ( x) -תחום הגדרה זהה ,השונה מתחום ההגדרה של ). h( x .2קיימת פונקציה אשר אינה חותכת את ציר ה x -כלל. .3הפונקציות h( x) :ו g ( x) -הפוכות זו מזו בתחומי העלייה והירידה שלהן (כאשר אחת עולה השנייה יורדת). .4לפונקציה f ( x) :יש נקודת קיצון אחת בלבד. מסמנים נקודה A 0, 12 עם ציר ה . y -ידוע כי מרחקה מאחת מנקודות החיתוך של גרף הפונקציה f ( x) :עם ציר ה x -שאינה בראשית הוא. d 6 : ב .מצא את . k I ג .מצא את נקודות הקיצון של גרף הפונקציה )f ( x וקבע את סוגן. ד .לפניך איור ובו מסורטטות הסקיצות של II שלושת הפונקציות .קבע על פי הסעיפים הקודמים x איזה גרף שייך לכל פונקציה. III x x ; g ( x) )115לפניך הפונקציות הבאות: x 1 x 1 y . f ( x) א .קבע אלו מהטענות הבאות נכונות ואלו אינן נכונות .הצדק את קביעותיך באמצעות חישוב מתאים: .1לשתי הפונקציות יש את אותו תחום ההגדרה. .2לשתי הפונקציות יש נקודות קיצון הנמצאות על הישר. y x : .3הפונקציות לא חותכות זו את זו. מגדירים פונקציה נוספת והיא. h( x) g ( x) : y 2 I ב .כתוב באופן מפורש את הפונקציה החדשה ). h( x II ג .האם תחום ההגדרה של הפונקציה ) h( xזהה x לשל ) ? g ( xנמק. ד .באיור הסמוך ישנם שני גרפים. קבע על פי הסעיפים הקודמים איזו פונקציה כל גרף מתאר מבין הפונקציות ) . f ( x) , g ( x) , h( xנמק את בחירותיך. 276 II I )116נתונה הפונקציה הבאה: kx k x2 . k 0 , f ( x) א .1 .מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? (בטא באמצעות .) k .2מהן האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה? ב .הראה כי הפונקציה עולה בעבור כל ערך של kבתחום הגדרתה. ג .כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה . x - (בטא באמצעות .) k המשיק אשר מצאת בסעיף הקודם חותך את אחת האסימפטוטות של הפונקציה בנקודה . Aידוע כי שטח המשולש הכלוא בין המשיק ,ציר ה x -והאסימפטוטה הנ"ל הוא. S 4 : ד .מצא את . k x2 )117נתונה הפונקציה: x4 . f ( x) מגדירים פונקציה נוספת. g ( x) f ( x) : א .כתוב בצורה מפורשת את הפונקציה ). g ( x ב .לפניך מספר טענות .קבע אלו מהטענות הבאות נכונות ואלו אינן נכונות .הצדק את קביעותיך באמצעות חישוב מתאים: .1לפונקציות תחום הגדרה זהה. .2שתי הפונקציות עולות בכל תחום הגדרתן. .3שתי הפונקציות חותכות את ציר ה x -באותה נקודה. .4לשתי הפונקציות יש אסימפטוטות משותפות. ג .מצא את נקודות החיתוך של כל פונקציה עם ציר ה . y - אסף פתר את סעיפים א' ו-ב' והחליט לטעון את הטענה הבאה: מאחר שהפונקציה ) g ( xמוגדרת להיות g ( x) f ( x) :אזי ניתן למצוא את שיעור ה y -של כל נקודה שעל גרף הפונקציה ) f ( xעל ידי כך שנמצא תחילה את שיעור ה y -של הנקודה בעלת אותו שיעור xעל הגרף של ) g ( xונעלה אותה בריבוע. ד .האם אסף צודק? נמק בצורה איכותית (חישובים אינם נדרשים) את שיקולך. 277 *הערה :בשאלה הבאה נדרש ידע בפתרון אי-שוויונים ממעלה גבוהה. x )118נתונה הפונקציה: x 4 2 . f ( x) א .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ב .גזור את הפונקציה ). f ( x מגדירים פונקציה נוספת ) g ( xהמקיימת . g ( x) f ( x) :לפי כללי הגזירה של 2 פונקציה מורכבת ניתן לכתוב את הנגזרת של ) g ( xבאופן הבא. g '( x) 2 f ( x) f '( x) : ג .כתוב את הנגזרת של הפונקציה ) g ( xלפי המכפלה הנ"ל וצמצמם במידת האפשר .הראה כי הביטוי הסופי של הנגזרת הוא: 4 x2 2 4 2 x . g '( x) ד .באופן כללי ,לפי כלל הגזירה הנ"ל ,אלו נקודות על גרף הפונקציה ) f ( xהן נקודות החשודות לקיצון בעבור )? g ( x ה .1 .האם לגרף הפונקציה ) g ( xיש נקודות קיצון במקרה שלנו? נמק על פי הסעיף הקודם. .2מה ניתן לומר על גרף הפונקציה ) f ( xלפי זה? ו .לפניך שתי סקיצות: קבע איזו סקיצה מתארת את גרף הפונקציה ) . f ( xנמק את בחירתך. 278 :תשובות סופיות x 1 , x 5 . וx 2 , x 0 . הx 1 , x 1 . דx 3.5 . גx 5 . בx 0 .) א22 x 5 , x 0 . יבx 0 . יאx 1 , x 0 . יx 2 . ט. 1 x 0 , x 4 . חx 0 .ז 2 . טוx 0 . ידx 4 .יג 3 -16 . ד-7 . ג3 . ב2 .) א23 x 2 , 0 x 25 . כx 0 . יטx 3 , x 1 .יח 4.5 x 4.5 . יז. x 5 , x 5 . טזx 2 1 5 . ד66 . ג3.5 . ב3.5 .) א27 a 1 , b 7 )26 a 2 , b 1 )25 a 1 , b 2 )24 16 6 2 10 10 1 1 2, 2 , , . ה 4, 2 . ד , . ג8,5 . ב1,1 .) א28 . 28 . ו .ה 9 9 27 36 72 20 2,12 . ב 1, 2 .) א29 . 9,36 , 1 28 , .ו 9 27 m 0 . ג. נפסלת עקב העלאה בריבועx 2 הנקודה. 2, 252 . בm y 5.5x 3.5 .) א35 . 0,0 , 2.25, 4.5 )34 1, 6 )33 y 2 .) א30 28 5, 4 .) א32 4,1 .) א31 1 2 1 2 5 5 x 1 . וy 4 x 2 . הy 1.25x 2 . ד. y 38x 104 . גy x .ב 3 3 3 3 18 6 . y 0.5x-8 . ב16,0 , 0,0 .) א36 . y 2 x 4 . חy 3.75x 4.5 .ז 1 1 . ב , 0 0, 0 .) א37 36 36 2 . 0,0 , 1,0 .) א41 y 3x 4 . ב 0, 4 .) א40 y x 3 . ב 0,3 .) א39 3 2 3 .6.75 . ג 0,-3 , 4.5,0 . בy x-3 .) א38 y x- 3.825. . ג 0, 1.35 . בy 3.4 x 1.35 .) א42 . A(5, 6) . גy 1.5x 1.5 .ב . ניתן לראות כי הגרף עובר בראשית הצירים. y 3 3 x : משוואת המשיק. ב2 x 6 .) א43 1 . בm 2.4 .) א44 15 1 1 . יח"ש0.5. גy x 1 . ב 0,1 .) א46 יח"ש4.225. בy 1 x 3 .) א45 4 4 . מתקבל פתרון שנפסל עקב העלאה בריבוע. לא. גy 2.4 x 8 y 4 x 0.25 . גy 5x 4 . בy 0.5x 6 .) א48 . y 1.5x 3.5 . ב1, 2 .) א47 . 9 y x 64 . ג 0,0 , 64,0 .( ב1, 7) .) א49 y x 1.75 .ד 3,12 . בy 20 x 48 .) א51 2, 0 .ב y x 37.5 .ג 3 25, 25 . ב 0,0 , 100,0 .) א50 4 x 8 .ג 3 4, 0 . בx 4 , x 0 .) א55 . y 0.5x 1 . ד 1,0.5 .ג x 2 .) א54 y 2 x 36 .) א53 y 3x 2 )52 y 279 0.75, 0.75 .) א57 . y 6 .ג A 0.25,0.5 , B 0.25,1.5 . דy 9, 6 .ב x 0 , x 1 .) א56 x 3 , y 3x 1.25 3 .ג 3 4 1 1 1 1 x 6 1 , y x 6 7 . בA 6, 2 6 4 , B 6, 2 6 4 .) א58 6 2 6 2 A B 4 )61 A 1 , B 2 )60 .-64 . ו2,5 . ה1 . ד20 . ג15 . ב4 .) א59 .y 7 y 3x 65 . ד. לא. גa 2 .( ב11,14) .) א63 . S 6 . גy 13 x 2 . בa 2 .) א62 . אין עוד נקודות חיתוך בניהם. גx 0 . בk 3 .) א64 . y 10.5x 34.0625 , y 11.9x 42.8125 .ד . y 0.74 x 0.1352 . ג 0.6, 0.57 . כן. בk 0.48 .) א65 1 A B 2 )67 0, . בA 9 , B 9 .) א66 3 4 4 y x 2 . גy 2.25x 0.25 . בA 1 .) א68 9 9 . 4, .ג. y x . בx 4 , A 16 .) א69 72 18 9 4 7 1 0.5,0.25 . גy 0.5x 0.5 . ב 0,0 , 1,1 .) א70 S 5 x 3 , y 6.5 2 2 x . בA 5.5, 2 .) א71 . גy 2 8 4 2 y 5 . גA 10 .) ב73 y 0.25x 0.25 . ג 0,0 , 1,0 . בk 1 , f ( x) מאחר שאין, לא. ב 2, 0 .) א76 y 0.125x 2.375 . ג 3, . S 4 2 . דy x x .) א72 2 4 .) ב75 A 1 , B 7 )74 2 4 x 4 2 . ג. f '( x) 0 :פתרון למשוואה 2 Min(2, 21) . גMin(0,0) , Max(1.6,1.619) , Min(2,0) . בMax(0,0) , Min(0.25,-0.25) .) א77 1 Max(0, 0) . ו. Min(0, 0) , Max 3, . הMax(0, 4) , Min(2,0) , Min(-2,0) .ד 2 3 . Max -4, -4 . ח. אין קיצונים כלל.ז 50 x 4 : יורדתx 1 : עולה. גMin 4,0 , Min 1,0 . בx 4 , x 1 .) א78 x 1.5 : יורדתx 1.5 : עולה. גMin 1.5,1.5 . בx כל.) א79 . x 3 : יורדתx 0 : עולה. גx 3 , x 0 .) א80 280 . אין. ה. 0,0 , 4,0 . ד. x 1 : יורדת0 x 1 : עולה. גMax 1,1 , Min 0,0 . בx 0 .) א81 . אין. ה , 0 . ד. x : יורדתx : עולה. גMax , , Min , 0 . בx .) א82 16 8 8 16 16 8 8 8 1 1 1 1 1 1 1 1 5 5 5 -1 x 0 : יורדת x 1, x 0 : עולה. גMin - ,0 ,Max -1,1 ,Min 0,0 . בx - .) א83 4 4 4 5 . אין. ה. - , 0 0, 0 .ד 4 . Min 1,0 , Min 0,0 , Min 1,0 , Max -0.57,0.62 . ב1 x 0 , x 1 .) א84 . אין. ה. 0,0 , 1,0 , 1,0 . ד0.57 x 0 : יורדת1 x 0.57, x 1 : עולה.ג x 2 , x 1.75 : עולה. גMax 2, 2 ,Min 1.75, 2.004 . ב. x כל.) א85 . אין. ה. 0, 0 . ד2 x 1.75 :יורדת . אין. ה. אין. ד. עולה בכל תחום הגדרתה. גMin 1,3 . בx 1 .) א86 . אין. ה. 0, 0 . ד. x 2 : יורדת0 x 2 : עולה. גMin 0, 0 , Max 2, 2 . בx 0 .) א87 4 . x 2 . ה. 0, 0 . ד. יורדת בכל תחום הגדרתה. גMax 0,0 . בx 0 , x 2 .) א88 . x 0 . ה. 8,0 . דx 0 : יורדת8 x 0 : עולה. גMin 8, 0 . בx 8 , x 0 .) א89 . x 10 . ה 0, 0 . ד. עולה בכל תחום הגדרתה. ג. אין קיצון. בx 10 .) א90 . אין. ה. 0, 0 . דx 0 : יורדתx 0 : עולה. גMin 0, 0 . ב. x כל.) א91 4 4 0, , 2, 0 . ד3 x 0 : יורדת0 x 3 : עולה. גMin 0, . ב3 x 3 .) א92 3 3 . x 3 .ה :81-92 סקיצות של שאלות 281 )93א 0 x 16 .ב Min(0,0) , Min(16,0) , Max(8,8) .ג .עולה. 0 x 8 : יורדת )94 . 8 x 16 :א 0 x 36 .בMax(0,0) , Max(36,0) , Min(18, 36) . ג .עולה ,18 x 36 :יורדת. 0 x 18 : )95א x 1 , x 4 .ב Min(1,0) , Min(4,0) .ג .עולה , x 4 :יורדת . x 1 :ד. (0, 2) . )96א x 25 , x 1 .ב Min(1,0) , Min(25,0) .ג .עולה , x 1 :יורדת. x 25 : סקיצות של שאלות:93-96 : )97א k 3 .ב 2 x 8 .ג .כן – ישנן נקודות קיצון קצהMin(2, 3) , Min(8, 3) : ד .עולה . 2 x 5 :יורדת. 5 x 8 : )98א k 4 .ב 3 x 3 .ג .כן – ישנן נקודות קיצון קצה. Min(3,0) , Min(3,0) : ד .עולה , 3 x 0 :יורדת. 0 x 3 : )99א x 1 .ב Max(1,0) , Min(0, 1) .ג. 1,0 , 3,0 . ד .עולה , x 0 :יורדת. 1 x 0 : )100א . k 2 .ב . x 5.5 .ג .כן – ישנה נקודת קיצון קצה . (5.5, 7.5) :לא קיימת נקודת קיצון מקומית מאחר ש x 5 -המתקבל בעת השוואת הנגזרת לאפס נפסל כי אינו מקיים את המשוואה המקורית .ד . (1, 0) .הנקודה שבה x 7אינה מקיימת את המשוואה המקורית ולכן נפסלת. )101א . k 12 .ב . Min(4, 12) , Max(0,0) .ג .עולה . x 4 :יורדת. 0 x 4 : )102א . k 4 .ב . (1,3) .ג . Min(0,0) , Max(4, 4) .ד. 0,0 , 16,0 . )103א . x 0 .ב . Min(4, 6) , Max(0,0) .ג .עולה x 4 :יורדת . 0 x 4 :ד. 0, 0 , 3 1024, 0 . )104א . k 2 .ב .יש קיצון קצה . (0, 4) -ג .עולה בכל תחום הגדרתה .ד. (1, 0) . )105א . 0 x 16 .ב Min(0, 4) , Max(8, 2 8) , Min(16, 4) .ג .עולה , 0 x 8 :יורדת. 8 x 16 : )106א . k 1 .ב . 0 x 4 .ג .לא .ד .אין קיצונים. )107א .יש להראות כי הנגזרת מורכבת מחיבור של שני ביטויים שחיוביים תמיד ומכאן שסימן הנגזרת חיובי והפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה - f '( x ) 2 1 x 91 2 x .הנגזרת בנויה משני ביטויים חיוביים .ב . 0 x 4.5 .ג . m 2 .ד. Min(0, 1) , Max(4.5, 2 4.5) . )108א . 4 x 4 .ב . Min(4, 4) , Max( 8, 2 8) , Min(4, 4) .ג. 0, 4 , 8, 0 . )109א . k 1 .ב . 8 x 8 .ג. Min 8, 8 , Max 2, 4 , Min 8, 8 . ד .עולה . 8 x 2 :יורדת. 2 x 8 : 282 1 1 )110א x 2 .ב .אין נקודות קיצון .ג . 2, .ד .אין נקודות חיתוך עם הצירים .ו. 8 8 1 )111א . x 0 , x 2 .ב . 27 .m . Min 2 , 0 , Max 3,ג. 2, 0 . )112א . a 1 .ב . 3 x 3 .ג . 1.5, 3 .ד .יורדת . 3 x 1.5 :עולה. 1.5 x 3 : סקיצות של שאלות ( 101-111אלו שיש בהן גרף): )113א .1הטענה אינה נכונה. תחומי ההגדרה הם. f ( x) : x k ; g ( x) : x k ; h( x) : x k : 1 .2הטענה אינה נכונה .הפונקציה f ( x) :עולה תמיד שכן 0 : 2 xk x 2k g '( x) כי הנקודה x 2k הפונקציה g ( x) :גם עולה תמיד שכן 0 : 1.5 x k . f '( x) אינה בתחום ההגדרה וערך הנגזרת בתחום ההגדרה חיובי .לפונקציה h( x) :יש נקודת מינימום ב x 23 k -אשר בתוך תחום הגדרתה ולכן היא יורדת בעבור. k x 23 k : .3הטענה אינה נכונה. נקודות החיתוך. f ( x) : k ,0 ; g ( x) : 0,0 ; h( x) : k,0 , 0,0 : 1 ב.1 . k , g '(0) 1 2 k . k 4 .2 . f '(0) ג. I g ( x) , II f ( x) , IV h( x) . )114א .1 .הטענה אינה נכונה .תחומי ההגדרה: . f ( x) : - k x k ; g ( x) : - k x k ; h( x) : - k x k , x 0 .2הטענה אינה נכונה .נקודות החיתוך הן: . f ( x) : k ,0 , 0,0 ; g ( x) : 0,0 ; h( x) : k ,0 .3הטענה נכונה .בעבור ) g ( xנקבל: 2 kx x3 k x2 1.5 g '( x) ולכן x 0 :נקודת מינימום. (הנקודות x 2kנפסלות) .בעבור ) h( xנקבל: נקודת מקסימום( .הנקודות x 2kנפסלות). 283 x3 2 kx k x2 1.5 h '( x) ולכןx 0 : 2 .4הטענה אינה נכונה .לפונקציה יש 3נקודות קיצוןk : 3 .x 0 , x ב . k 24 .ג . 0, 0 Min , 4,32 2 Max .ד. I g ( x) , II f ( x) , III h( x) . )115א .1 .הטענה אינה נכונה .תחומי ההגדרה הם. f ( x) : x 0 , x 1 ; g ( x) : x 1 : .2הטענה נכונה .ל f ( x) -יש נקודת קיצון 4, 4 ול g ( x) -יש קיצון . 2, 2 שתיהן נמצאות על הישר . y x .3הטענה נכונה .מתקבלים x 0,1 :אשר שניהם נפסלים מחמת תחום ההגדרה של הפונקציות. x2 ב. x 1 . h( x ) ג .לא . h( x) : x 1 .ד. I h( x) , II f ( x) . )116א. x k .2 . k x k .1 . ב .הנגזרת היא 0 : k2 k x 2 1.5 . f '( x) ג . y k x .ד. k 4 . x2 )117א. x4 . g ( x) ב .1 .הטענה אינה נכונה .תחומי ההגדרה הם. f ( x) : x 4 ; g ( x) : x 4 , x 2 : .2הטענה נכונה .הנגזרות חיוביות 0 : 2 2 x 4 f x ו 0 - 1 x2 x4 2 x 4 . g ( x) .3הטענה נכונה .הנקודה היא. 2, 0 : .4הטענה נכונה .האסימפטוטות משותפות הן. x 4 , y 1 : ג . 1 2 . f ( x) : 0, 12 ; g ( x) : 0, g ( x) ניתן לראות כי בעבור כל ערך של x0 ד .אסף צודק שכן מכוח ההגדרהf ( x) : בחיתוך תחום ההגדרה המשותף קיימות שתי נקודותA x0 , f ( x0 ) : ו ( B x0 , g ( x0 ) -אחת על כל גרף כמובן) ושיעורי ה y -שלהן מקיימות. g ( x0 ) f ( x0 ) : )118א . 2 x 0 , x 2 .ב. x2 4 x x2 4 2 2 x2 4 . f '( x) ד .נקודות החיתוך של ) f ( xעם ציר ה x -ונקודות המאפסות את הנגזרת של ). f ( x ה .1 .לא .ל f ( x) -אין נקודות קיצון והנקודה 0, 0 אינה קיצון בעבור ). g ( x .2יורדת בכל תחום הגדרתה .ו.I . 284 תרגול מבגרויות: x2 )1נתונה הפונקציה xa a , f ( x) הוא פרמטר השונה מ. 0 - א .1 .מצא את השיעורים של הנקודות שבהן נגזרת הפונקציה שווה ל . 0 - (הבע באמצעות aבמידת הצורך). .2נתון כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת על הישר . y x 4 מצא את ערך הפרמטר . a ב .הצב את ערך הפרמטר aשמצאת ,וקבע את סוג נקודות הקיצון של הפונקציה. ג .מצא תחו מי עלייה וירידה של הפונקציה. )2נתונה הפונקציה א. ב. ג. ד. x2 a 2 x 1 a , f ( x) הוא פרמטר. מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה. גרף הפונקציה חותך את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה בנקודה . P .1הבע באמצעות aאת שיעור ה x -של הנקודה . P .2נתון כי שיעור ה x -של הנקודה Pהוא . 3.5מצא את הערך של . a הצב את הערך של aשמצאת בתת-סעיף ב ,2-ומצא: .1את תחום ההגדרה של הפונקציה. .2את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. .3את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה ,וקבע את סוגה. האם הפונקציה עולה בתחום ? x 1נמק. ax 2 2 x 16 )3נתונה הפונקציה bx 2 8 x 16 a , f ( x) ו b -הם פרמטרים. תחום ההגדרה של הפונקציה הוא . x 4 א .מצא את הערך של . b ב .הצב את הערך של bשמצאת בסעיף א ,וענה על התת סעיפים .1ו .2- .1הבע באמצעות aאת האסימפטוטה של הפונקציה המקבילה לציר ה . x - .2האסימפטוטה של הפונקציה המקבילה לציר ה x -וגרף הפונקציה נחתכים בנקודה שעל ציר ה . y -מצא את הערך של . a ג .הצב גם את הערך של aשמצאת בתת סעיף ב 2-וענה על תת-הסעיפים 2,1ו .3- .1מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה (אם יש כאלה). .2מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה .נמק. .3סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 285 )4נתונה הפונקציה a , f ( x) ax 2 x 2הוא פרמטר. א. ב. ג. ד. הישר y x 2משיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה . y -מצא את הערך של . a הצב את הערך של aשמצאת וענה על הסעיפים ב-ד. .1מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. .2פתור את המשוואה , f '( x) 0ובדוק אם הפתרונות מקיימים את המשוואה. .3מצא את השיעורים של נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה וקבע את סוגן. סרטט סקיצה של הפונקציה. דרך נקודת המינימום המוחלט ודרך נקודת המקסימום המוחלט של הפונקציה העבירו מקבילים לציר ה . y -מצא את המרחק בין שני המקבילים. )5נתונה הפונקציה b , f ( x) x 2 bx 5הוא פרמטר. 3 5 נתון כי שיפוע הישר ,המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה , x 0הוא 5 א .מצא את הערך של . b הצב , b 6וענה על הסעיפים ב -ה. ב. ג. ד. ה. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 3 3 )6נתונה הפונקציה x 3 x 1 א. ב. ג. ד. ה. ו. . . f ( x) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים. מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה (אם יש כאלה), וקבע את סוגן. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה). סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. קבע אם נקודה ששיעור ה y -שלה הוא 5נמצאת על גרף הפונקציה ). f ( x נמק. 286 x5 )7נתונה הפונקציה b x2 a a , f ( x) ו b -הם פרמטרים .תחום ההגדרה של הפונקציה הוא , x 2ואחת האסימפטוטות של הפונקציה היא . y 2 א .מצא את הערך של aואת הערך . bנמק. הצב a 4ו , b 2 -וענה על הסעיפים ב -ג. ב .1 .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. .2מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. בתשובתך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית. .3סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. x5 ג .נתונה הפונקציה x2 4 הקיצון של ) g ( xמנקודות הקיצון של ). f ( x . g ( x) בלי חקירה נוספת קבע במה שונות נקודות )8נתונה הפונקציה . f ( x) x 2 x 2 א .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ב .מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה ,וקבע את סוגן. ג .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ד .מצא את משוואת הישר המחבר את נקודות המינימום של הפונקציה. ה .מצא עבור אילו ערכים של , kלמשוואה f ( x) kיש שני פתרונות. x2 5 . f ( x) )9נתונה הפונקציה x3 א.1 . .2 .3 .4 .5 ב.1 . .2 מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים (אם יש כאלה). מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. מצא את האסיפטוטות המקבילות לצירים של פונקציית הנגזרת ). f '( x מבין הגרפים IV , III , II , Iשלפניך ,איזה גרף מתאר את פונקציית הנגזרת ) ? f '( xנמק. 287 x2 4 . f ( x) )10נתונה הפונקציה 2x 1 א. ב. ג. ד. ה. ו. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ). f ( x מצא את האסימפטוטות של הפונקציה ) f ( xהמקבילות לצירים (אם יש כאלה). מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ) f ( xעם הצירים. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה (אם יש כאלה). סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ). f ( x לפניך סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת )f '( x בתחום הגדרתה .עבור אילו ערכים של k הישר y kאינו חותך את הגרף של פונקציית הנגזרת ) ? f '( xנמק. )11נתונה הפונקציה . f ( x) x 2 x 5 א .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ב .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. ג .האם יש ערכים של xשעבורם ? f ( x) 0נמק. ד .מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של גרף הפונקציה ,וקבע את סוגן. ה .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 2 ו .כמה פתרונות יש למשוואה ? 14 x x 5נמק. x2 4 . f ( x) )12נתונה הפונקציה x2 א .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ב .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה). ג .מצא את נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה וקבע את סוגן. ד .1 .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. .2היעזר בגרף שסירטטת ,ומצא את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה בשתי נקודות בדיוק. )13נתונה הפונקציה . f ( x) x 4 x 6 x א .1 .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. .2מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. .3מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה ,וקבע את סוגן. ב .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 288 ג .איזה גרף מבין הגרפים IV , III , II , Iעשוי לתאר את פונקציית הנגזרת )f '( x בתחום ?1 x 10נמק. )14נתונה הפונקציה 1 א. ב. ג. ד. ה. ו. 9 2 x 1 . f ( x) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה (אם יש כאלה). סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. איזה מבין הגרפים IV , III , II , Iשלפניך מציג סקיצה של פונקציית הנגזרת ) ? f '( xנמק. 289 תשובות סופיות: )1א a 2 .2 0,0 , 2a, 4a .1 .ב. max 0,0 , min 4,8 . ג .עולה x 0 , x 4 :יורדתx 2 , 0 x 4 : 1 a )2א y 1 .ב.1 . 2 a 6 .2ג min 6, 1.2 .3 6,0 , 0,6 .2 x 1 .1 .ד .כן. )3א b 1 .ב a 1 .2 y a .1 .ג .2 min 4,0.375 .1 .עליה4 x 4 : ירידה .3 x 4 , x 4 :סקיצה בסוף. )4א a 1 .ב , x 1 .2 2 x 2 .1 .הפתרון x 1נפסל בבדיקה. 1, 2 .3מינימום מוחלט ( 2, 2) ,מקסימום מוחלט .ג .סקיצה בסוף. ד.1 2 2.414 . )5א b 6 .ב x 5 .או . x 1ג (5, 0) , (1, 0) , (0, 5) .ד .עלייה, x 5 : ירידה x 1 :ה .סקיצה בסוף. )6א . x 1, x 3 .ב . y 0, x 1, x 3 .ג (2, 6) .מקסימום ד(0, 2) . ה .סקיצה בסוף .ו .לא. )7א b 2 , a 4 .ב (0.42,0.8) .2 (1.5,0) , (1,0) , (0,0.75) .1 .מקסימום ) (9.58,1.95מינימום .3 .סקיצה בסוף .ד .שיעור ה x -נשאר זהה ,שיעור ה y -קטן ב . 2 - )8א 2 x 0 .ב (1, 4) .מקסימום (2,3.414) ,מינימום (0,3.414) ,מינימום. ג .סקיצה בסוף .ד y 3.414 .ה. 3.414 k 4 . 2 )9א( 5, 0) , ( 5, 0) , (0, 1 ) .3 x 3 .2 x 3 .1 . 3 (1, 2) .4מינימום (5, 10) ,מקסימום .5 .סקיצה בסוף. ב .2 y 1, x 3 .1 .גרף . IV 1 1 1 1 )10א x .ב x .ג (2,0) , (2,0) , (0, 4) .ד .תחומי עלייה x :או 2 2 2 2 1 תחומי ירידה :אין .ה .סקיצה בסוף .ו. k . 2 )11א . x 5 .ב . (5, 0) , (0, 0) .ג .לא .ד (0,0) .מקסימום (4, 16) ,מינימום, x ) (5,0מקסימום .ה .סקיצה בסוף .ו .שלושה פתרונות. 1 4 )12א x 2 .או x 2ב (2, 0) , (2, 0) .ג ( 8, ) .מקסימום מוחלט 1 4 ) ( 8,מקסימום מוחלט (2,0) ,מינימום מוחלט (2,0) ,מינימום מוחלט. 1 4 ד .1 .סקיצה בסוף. y .2 . 290 )13א (0,0) )3( (9,0) , (0,0) )2( x 0 )1( .מקסימום (4, 8) ,מינימום. ב .סקיצה בסוף .ג .גרף . IV )14א . x 1 .ב (2,0) , (4,0) , (0,8) .ג. y 1 , x 1 . ד .עלייה , x 1 :ירידה x 1 :ה .סקיצה בסוף .ו .גרף . II סקיצות לפי מספרי שאלות: )4 )3 )6 )5 )7 )8 )9 ) 10 )11 )12 ) 13 )14 291 הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת: חוקים כלליים: .1כאשר f x עולה f ' x ,חיובית ולהפך. .2כאשר f x יורדת f ' x ,שלילית ולהפך. .3כאשר ל f x -יש נקודת קיצון, f ' x מחליפה סימן (חותכת את ציר ה ) x -ולהפך. שאלות: )1נתון גרף של פונקציה. צייר על אותה מערכת צירים את גרף הנגזרת. נמק את שיקוליך בשרטוט. )2נתון גרף של פונקציה. צייר על אותה מערכת צירים את גרף הנגזרת. נמק את שיקוליך בשרטוט. )3נתון גרף הנגזרת של פונקציה. צייר על אותה מערכת צירים את גרף הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בראשית הצירים. נמק את שיקוליך בשרטוט. )4נתון גרף הנגזרת של פונקציה. צייר על אותה מערכת צירים את גרף הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בראשית הצירים. נמק את שיקוליך בשרטוט. )5נתונה הפונקציה. f x x2 6 x 5 : א . 1 .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. .2מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה. ב .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f x ושל גרף הנגזרת . f ' x 292 )6נתונה הפונקציה. f x x3 3x : א . 1 .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. .2מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה. ב .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f x ושל גרף הנגזרת . f ' x )7לפונקציה f x יש נקודת קיצון אחת. הערך המקסימלי שלה מתקבל בנקודה שבה. x 2 : א .מהו סימן הנגזרת עבור? x 2 : ב .מהו סימן הנגזרת עבור? x 2 : ג .איזה מבין הגרפים הנ"ל יכול לתאר את גרף הנגזרת: .1 .2 .3 .4 293 1 3 )8נתונה הפונקציה. f x x3 x 2 15x : א .מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ב .איזה מבין הגרפים הבאים מתאר סקיצה של הנגזרת ? f ' x נמק. .1 .3 .2 .4 )9נתונה הפונקציה. f x x4 4 x3 : א .מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ב .סרטט באמצעות נתונים אלו את הגרף של נגזרת הפונקציה. )10ענה על הסעיפים הבאים: א .סרטט את גרף פונקצית הנגזרת , f ' x ,של , f x אם ידוע כי לf x - יש שתי נקודות קיצון :מקסימום כאשר x 1 :ומינימום כאשר. x 3 : ב .נתונה הפונקציה f x ולה 3נקודות קיצון :מקסימום כאשרx 0,5 : ומינימום כאשר . x 2 :סרטט את גרף הנגזרת של הפונקציה . f x ג .סרטט את גרף הנגזרת , f ' x ,של , f x אם ידוע כי היא יורדת לכל , x והנגזרת שלה מתאפסת בנקודה שבה. x 3 : 294 :תשובות סופיות )4 )3 )2 )1 . min 3, 4 .2 5,0 , 1,0 , 0,5 .1 .) א5 . min 1, 2 , max 1, 2 .2 0, 0 , 3, 0 , 3, 0 .1 .) א6 .1 . ג. f ' x 0 . ב. f ' x 0 .) א7 .1 . ב. 5 x 3 : יורדתx 5 , x 3 : עולה.) א8 . x 0 , 0 x 3 : יורדתx 3 : עולה.) א9 :סקיצות לשאלות )9 .) ג10 295 )6 )5 .) ב10 .) א10 פרק - 9בעיות קיצון: שלבי עבודה: .1נגדיר את אחד הגדלים בשאלה כ. x - .2נבטא את שאר הגדלים בשאלה באמצעות . x .3 נבנה פונקציה שמבטאת את מה שרצו שיהיה מינימלי/מקסימלי. .4נגזור את הפונקציה ,נשווה לאפס ונחלץ את ערך/ערכי ה. x - .5נוודא שערך ה x -מסעיף ד' הוא אכן מינימום/מקסימום באמצעות '' ( yאו טבלה). .6ננסח את התשובה לשאלה המקורית. שאלות: )1מבין כל זוגות המספרים שסכומם 14מצא את הזוג שמכפלתו מקסימלית. )2נתונים שלושה מספרים שסכומם .24המספר הראשון שווה למספר השני. מצא מהם המספרים אם ידוע שמכפלתם מקסימלית. )3מצא את המספר החיובי שאם נוסיף לו את המספר ההופכי לו הסכום המתקבל יהיה מינימלי. )4מבין כל המשולשים שווי השוקיים שהיקפם 24ס"מ מצא את אורך בסיסו של המשולש בעל השטח הגדול ביותר. )5א .מבין כל המשולשים שווי השוקיים שהיקפם aמצא את בסיסו של המשולש בעל השטח הגדול ביותר. ב .הוכח :מבין כל המשולשים שווי השוקיים בעלי אותו היקף המשולש בעל השטח הגדול ביותר הוא משולש שווה צלעות. )6במשולש ישר זווית ) B 90o ( ABCהנקודה Eנמצאת על היתר ACכך שהמרובע EDBFהוא מלבן. נתון. BC 16cm , AB 20cm : מצא את שטחו של המלבן בעל השטח הגדול ביותר. E C 296 A D F B A )7במשולש ישר זווית ) B 90o ( ABCהנקודה Eנמצאת על היתר ACכך שהמרובע EDBFהוא מלבן. נתון. BC b , AB a : מצא את שטחו של המלבן בעל השטח הגדול ביותר. )8נתונה תיבה שבסיסה ריבוע ושטח הפנים שלה הוא 96סמ"ר. מצא את מידות התיבה שנפחה מקסימלי. E C D B F )9מכל הגלילים הישרים שהיקף פרישת המעטפת שלהם הוא kמצא את נפחו של הגליל בעל הנפח המקסימלי. B A )10שני הולכי רגל יוצאים בו זמנית לדרכם ,האחד מעיר Aמערבה לעיר Bוהשני מעיר Bדרומה לעיר .C המרחק בין הערים Aו B-הוא 20ק"מ. מהירות הרוכב שיצא מ A-היא 4קמ"ש ומהירות הרוכב השני 2קמ"ש. כעבור כמה זמן מיציאת הרוכבים יהיה המרחק ביניהם מינימלי? מצא גם את המרחק המינימלי. C גלידריה )11אדם נמצא על אי במרחק 0.5ק"מ מהחוף .על החוף ,במרחק של 3ק"מ מהנקודה הקרובה ביותר לאי ,נמצאת גלידריה .האדם שוחה במהירות של 8 קמ"ש ורץ על החוף במהירות של 10קמ"ש .לאיזה מרחק מהגלידריה עליו לשחות כדי להגיע לגלידריה בזמן הקצר ביותר? אי בית )12אדם מתכנן לבנות מרפסת בביתו ורוצה להציב מעקה סביב המרפסת .שטח המרפסת המתוכנן הוא 24מ"ר. מחיר מעקה בחזית המרפסת ( ) BCהוא ₪ 120למטר ומחיר מעקה בצידי המרפסת הוא ₪ 40למטר. מה צריכים להיות ממדי המרפסת כדי שמחיר המעקה יהיה מינימלי? D A C B )13נתונה הפונקציה . f x 6 x x2מנקודה Aשעל הפונקציה ברביע הראשון הורידו אנכים לצירי השיעורים כך שנוצר מלבן כמתואר בשרטוט. מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aכדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי? A x 297 y )14נתונות הפונקציות f x 2 xו. g x 1 x3 - A 3 את הנקודה Aשעל f x חיברו עם הנקודה ,B B שנמצאת מתחתיה על g x כך שהקטע ABמקביל לציר ה . y - מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aכדי שאורך הקטע ABיהיה מקסימלי? )15נתונות שתי הפונקציות. f x 4 x , g x x 2 5 : א .התאם לכל גרף את הפונקציה המתאימה. ב .מה צריכים להיות שיעורי הנקודות Aו B-כדי שאורך הקטע ( ABהמקביל לציר ה ) y -יהיה מינימלי? ג .חשב את אורך הקטע המינימלי. A B )16נתונה הפונקציה f x 2והישר . y 2 x x 1 בין הישר והפונקציה ברביע הראשון חסמו מלבן. מצא את מידות המלבן שהיקפו מינימלי. תשובות סופיות: 8,8,8 )2 7,7 )1 8 )4 1 )3יחידות אורך. a )5א. 3 80 )6סמ"ר ab )7 4 יח"ש k3 1 יחידות נפח 4 )10 V שעות ,המרחק 80 :ק"מ 2 )11ק"מ )9 4 4 4 )8 216 3 )15 A 1, 2 )14 A 4,8 )13 4 6 )12ב A 1,6 , B 1, 4 .ג. 2 1 )16 .2 . 298 תרגול נוסף: תרגילים העוסקים בפונקציה פולינומית: )1נתונים שלושה מספרים שסכומם הוא .45ידוע שמספר אחד זהה לשני. א .מה צריכים להיות שלושת המספרים כדי שמכפלתם תהיה מקסימלית? ב .כיצד תשתנה התוצאה אם מספר אחד יהיה גדול פי 2מהשני במקום זהה לו? ג .באיזה מקרה (א' או ב') המכפלה תהיה גדולה יותר? הראה דרך חישוב. )2א. מבין כל המספרים המקיימים 3x y 60 :מצא את המספרים xוy - שמכפלת ריבועיהם מקסימלית. ב .מהי המכפלה הנ"ל? )3סכום שלושה מספרים הוא .11ידוע כי המספר הראשון גדול ב 4-מהמספר השני. הראה כי המספרים שמכפלתם היא מקסימלית מקיימים: א .מכפלת שני המספרים הקטנים שווה למספר הגדול. ב .ערך המכפלה של שלושת המספרים שווה לריבוע המספר הגדול מבניהם. )4סכום שלושה מספרים הוא .26מספר אחד גדול פי 3מהשני. מצא את שלושת המספרים שסכום ריבועיהם הוא מינימלי. x )5ו y -הם שני מספרים המקיימים. x 6 y 60 : א .הבע את yבאמצעות . x ב .מה צריכים להיות המספרים xו y -כדי שמכפלת ריבועיהם תהיה מקסימלית? ג .מהי המכפלה הנ"ל? )6נתונים שלושה מספרים שסכומם הוא .36ידוע שמספר אחד זהה לשני. א .מה צריכים להיות שלושת המספרים כדי שמכפלתם תהיה מקסימלית? ב .כיצד תשתנה התוצאה אם מספר אחד יהיה גדול פי 2מהשני במקום זהה לו? ג .באיזה מקרה תהיה מכפלה גדולה יותר? )7במלבן שצלעותיו הן 6ס"מ ו 18-ס"מ חסומים שני מלבנים מקווקווים .אורך אחד המלבנים המקווקווים גדול פי 3מרוחב המלבן השני כמתואר באיור. א .מה צריך להיות האורך xכדי שסכום שטחי שני המלבנים יהיה מקסימלי. ב .בעבור ה x -שמצאת מהו סכום השטחים הללו? 299 )8יוסי רוצה לקנות דף מחשב צבעוני ומיוחד בעל היקף של 60ס"מ כדי להכין ברכה ליום הולדתה של חברתו רחל. המדפסת של יוסי אינה מדפיסה עד גבולות הדף אלא משאירה מרחק של ס"מ אחד מקצות הדף העליון והתחתון, ומרחק של 2ס"מ מצידי הדף (ראה איור). יוסי רוצה לבחור דף שבו השטח שהמדפסת תוכל להדפיס יהיה מקסימלי .מה הן מידות הדף שיוסי צריך לקנות כדי שהשטח המודפס יהיה מקסימלי? )9בריבוע ABCDחסומים שני משולשים ישרי -זווית GBE ו ECF -כמתואר באיור .ידוע שאורך הקטע AGהוא 5ס"מ ואורך צלע הריבוע ABCDהוא 13ס"מ .המשולש ECFהוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים (.)CE=CF א .מצא מה צריך להיות אורך שוק המשולש ECF בעבורו סכום שטחי שני המשולשים הנ"ל יהיה מינימלי. ב .מה יהיה השטח הלבן במקרה זה? )10במלבן שצלעותיו הן 30ס"מ ו 25 -ס"מ חסומים שני ריבועים ומלבן (המסומנים) כמתואר באיור. מסמנים את צלע הריבוע ב. x - א .מצא מה צריך להיות אורך צלע הריבוע כדי שסכום השטחים של שני הריבועים והמלבן יהיה מינימלי. ב .בעבור אורך הצלע שמצאת מהו סכום השטחים המינימלי? )11במלבן שמידותיו הן 12ס"מ ו 10 -ס"מ חסומים בצדדים למעלה שני ריבועים ומלבן מתחתיהם במרכז. א .מצא מה צריך להיות אורך צלע הריבוע כדי שסכום הש טחים של שני הריבועים והמלבן יהיה מינימלי. ב .מה יהיה השטח שלהם במקרה זה? )12הנקודות K , L , M , Nמקצות קטעים שווים במלבן ABCD כך ש. BK BL DM DN x : צלעותיו של המלבן הן 20ס"מ ו 12-ס"מ. א .הבע באמצעות xאת סכום שטחי המשולשים: . AKN BKL CLM DNM ב .מצא מה צריך להיות xכדי ששטח המרובע LKNMיהיה מקסימלי. ג .מה הוא השטח של המרובע LKNMבמקרה זה? 300 12 10 )13במלבן ABCDשמידותיו הן 40ס"מ ו 16-ס"מ מקצים נקודות על צלעות המלבן כך שמתקיים. AE BF CG DH x : א .הבע באמצעות xאת שטחי ארבעת המשולשים: . AEH BEF CGF DGH ב .מצא מה צריך להיות xבעבורו שטח המרובע EFGHיהיה מינימלי. ג .מה יהיה שטח המרובע EFGHבמקרה זה ? )14אורך המלבן ABCDהוא 20ס"מ ורוחבו הוא 12ס"מ. מקצים על צלעות המלבן קטעים כך ש. AH BE CF DG x : א .מצא מה צריך להיות xבעבורו שטח המרובע EFGHיהיה מינימלי. ב .בעבור ה x -שמצאת מה השטח המינימלי? )15נתון מלבן שמידותיו הן 8ס"מ על 40ס"מ. מעבירים ישרים המקבילים לצלעות המלבן כך שנוצרים 4מלבנים. מסמנים צלע אחת של המלבן הימני ב , x -כך שהצלע הסמוכה לה גדולה פי 4ממנה כמתואר באיור ובמלבן השמאלי בונים משולש. א .בטא באמצעות xאת סכום השטחים של המלבן והמשולש המקווקווים. ב .מצא מה צריכות להיות מידות המלבן הימני כדי שסכום השטחים הנ"ל יהיה מינימלי. ג .מה יהיה השטח הלבן במקרה זה? )16נתון ריבוע בעל אורך צלע של 16ס"מ. מקצים קטע שאורכו xעל הצלע העליונה ושני קטעים שאורכם הוא 2xעל הצלעות הצדדיות כמתואר באיור ,כך שנוצר המחומש המקווקו .מצא מה צריך להיות ערכו של xבעבורו שטח המחומש יהיה מקסימלי. x 2x )17באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות: . f ( x) 16 2 x3 , g ( x) 6 x2 18x מסמנים נקודה Aעל גרף הפונקציה ) f ( xברביע השני ומותחים ממנה ישר המקביל לציר ה y -שחותך את גרף x הפונקציה ) g ( xבנקודה .B א .מצא את שיעורי הנקודה Aבעבורם אורך הקטע ABיהיה מינימלי. ב .מה יהיה אורך הקטע ABבמקרה זה? 301 2x y )f ( x A B )g ( x )18באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות: . f ( x) x 3 8 , g ( x ) x 2 x 6 מסמנים נקודה Aעל גרף הפונקציה ) f ( xומורידים ממנה ישר המקביל לציר ה y -שחותך את גרף הפונקציה ) g ( xבנקודה .B א .מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aכדי שאורך הקטע ABיהיה מקסימלי. ב .מה יהיה האורך המקסימלי? y )f ( x )g ( x A x B )19באיור שלפניך מתוארות הפונקציות. f ( x) x2 3 , g ( x) 20x x2 : מעבירים קטע ABהמקביל לציר ה y -כך שהנקודה Aנמצאת על גרף )f ( x הפונקציה ) g ( xוהנקודה Bנמצאת על גרף הפונקציה ). f ( x א .נסמן את שיעור ה x -של הנקודה Aב . t - x הבע באמצעות tאת אורך הקטע .AB ב .מה צריך להיות tכדי שאורך הקטע ABיהיה מקסימלי? ג .מהו האורך ABבמקרה זה? y A B )g ( x y )20נתונה הפונקציה . f ( x) 36 x2 :על גרף הפונקציה ברביע הראשון מסמנים נקודה .Aמהנקודה Aמעבירים ישר המקביל לציר ה x -שחותך את ציר ה y -בנקודה .Cהנקודה Bהיא נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה x -ו O-ראשית הצירים. B x א .מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aכדי ששטח )f ( x הטרפז ABOCיהיה מקסימלי? ב .מהו שטח הטרפז המקסימלי? )21מעבירים ישר ABהמקביל לציר ה x -כך שהנקודות Aו B-נמצאות על גרף הפונקציה . f ( x) 48 x2מהנקודות Aו B-מורידים אנכים לציר ה x -כך שנוצר מלבן .ABCD א .מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Bבעבורם שטח המלבן ABCDיהיה מקסימלי. ב .בעבור שיעורי הנקודה Bשמצאת מה יהיה השטח? 302 A C O y B x A C D )22באיור שלפניך נתונות הפונקציות f ( x) x3 8 :ו. g ( x) 6 x2 24 - )g ( x הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה ) f ( xוהנקודה Bנמצאת על גרף הפונקציה ) g ( xכך שהקטע ABמקביל לציר ה. y - א .מצא את שיעורי הנקודה Aבתחום xA 4 :עבורם הקטע ABיהיה מקסימלי. ב .מה יהיה אורך הקטע ABבמקרה זה? y )f ( x A x B )23באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות f ( x) x2 x 7 :ו. g ( x) 2 x 5 - הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה ) f ( xונקודה Bנמצאת על גרף הפונקציה ) g ( xכך שהקטע ABמקביל לציר ה . y - y )f ( x נסמן את שיעור ה x -של הנקודה Aב. t - )g ( x A א .הבע באמצעות tאת שיעורי הנקודה .B ב .מצא את tבעבורו אורך הקטע ABיהיה מינימלי. x ג .בעבור הערך של tשמצאת בסעיף הקודם ,מה B יהיה אורך הקטע ?AB )24באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה . f ( x) x2 7 x הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון. מהנקודה Aמורידים אנכים לצירים כך שנוצר מלבן. א .מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aבעבורם היקף המלבן יהיה מקסימלי. ב .מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aבעבורם היקף המלבן יהיה מינימלי? )25באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות: f ( x) x2 8x 18ו. g ( x) x2 4 x - הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה ) f ( xוהנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה ) g ( xכך שהקטע ABמקביל לציר ה . y -מעבירים אנכים מהנקודות Aו B-לציר ה y - y A x )f ( x )f ( x A B x כך שנוצר מלבן (המסומן) .נסמן את שיעור ה x -של הנקודה Aב. t - א .הבע באמצעות tאת שטח המלבן המסומן. ב .מצא את ערכו של tבעבורו שטח המלבן הוא מקסימלי. ג .מה יהיה שטח המלבן במקרה זה? 303 y )g ( x )26נתונה תיבה שגובהה הוא hובסיסה הוא ריבוע שאורך צלעו היא . x נתון כי צלע הריבוע וגובה התיבה מקיימים. 4 x h 63 : א .הבע את hבאמצעות . x ב .הבע את שטח הפנים של התיבה באמצעות . x ג .מה צריך להיות ערכו של xכדי ששטח הפנים יהיה מקסימלי? )27נתונה תיבה שבסיסה הוא מלבן שבו צלע אחת גדולה פי 2מהצלע הסמוכה לה כמתואר באיור .ידוע כי גובה התיבה hוצלע המלבן הקטנה xמקיימים . x h 9 :מצא מה צריכות להיות מידות בסיס התיבה כדי שנפחה יהיה מקסימלי. h x x h x 2x )28נ תונה תיבה שבסיסה הוא ריבוע .ידוע כי סכום כל המקצועות הוא 60ס"מ .נסמן את אורך צלע הבסיס ב x -ואת גובה התיבה ב. h - א .הבע את hבאמצעות . x ב .מצא את מידות התיבה עבורן נפחה הוא מקסימלי. ג .מה הוא הנפח המקסימלי של התיבה? )29נתון גליל שרדיוס בסיסו הוא rוגובהו . h ידוע כי סכום הרדיוס והגובה הוא 6ס"מ. מצא את מידות רדיוס הגליל וגובהו בעבורם נפח הגליל יהיה מקסימלי. h x x h r )30באיור שלפניך מתוארים תיבה שבסיסה ריבוע וגליל החסום בתוך התיבה. רדיוס הגליל יסומן ב x -וגובהו ב . h -ידוע כי הסכום של xו h -הוא 12ס"מ. א .הבע באמצעות xאת אורך מקצוע הבסיס של התיבה. ב .1 .הבע באמצעות xאת נפח הגליל. h .2הבע באמצעות xאת נפח התיבה. ג .מצא את xבעבורו הנפח הכלוא בין התיבה x לגליל יהיה מינימלי. 304 :תשובות סופיות . M 90000 . ב. x 10 , y 30 .) א2 .' מקרה א. ג.15 , 20 , 10 . ב.15 , 15 , 15 .) א1 . M 22500 . ג. x 30 , y 5 . ב. y 10 x .) א5 .12 , 10 , 4 )4 . 6 , 3 , 2 :) המספרים3 6 . S 54 . ב. x 3 .) א7 .' מקרה א. ג.16 , 12 , 8 . ב.12 , 12 , 12 .) א6 . S 350 . ב. x 10 .) א10 . S 125 . ב. ס"מ4 .) א9 . ס"מ16 , ס"מ14 )8 2 . 2 x 56 x .) א13 . S 128 . ג. x 8 . ב. 2 x2 32 x 240 .) א12 . S 56 . ב. ס"מ4 .) א11 . SMin 112 . ב. x 8 .) א14 . S 248 . ג. x 14 .ב . x 6 )16 . S 214 . ג. ס"מ12 ס"מ על3 . ב. 6 x2 36 x 160 .) א15 26 . AB 14 275 . ב. A 13 , 7 27 .) א18 .6 . ב. A(1,18) .) א17 . S 128 . ב. A(2,32) .) א20 . AB 47 . ג. t 5 . ב. 2t 2 20t 3 .) א19 . AB 32 . ב. A(0,8) .) א22 . S 256 . ב. B(4,32) .) א21 . A(0,0) . ב. A(4,12) .) א24 . AB 11.75 . ג. t 0.5 . ב. B(t , 2t 5) .) א23 . S 8 . ג. t 1 . ב. S 2t 3 12t 2 18t .) א25 . x 6 )27 . x 9 . ג. p 14 x2 252 x . ב. h 63 4 x .) א26 . r 4 , h 2 )29 .V 125 . ג.5X5X5 . ב. h 15 2 x .) א28 . x 8 . ג.V 48x2 4 x3 .2 .V 12 x2 x3 .1 . ב. 2x .) א30 305 תרגילים העוסקים בפונקציה רציונאלית: )1נתונים שני מספרים xו y -שמקיימים. 2 x2 y 27 : א .הבע את yבאמצעות . x ב .מה צריכים להיות המספרים כדי שסכומם יהיה מינימלי? )2א .מבין כל המשולשים שווי השוקיים ששטחם הוא 128סמ"ר מצא את אורך הבסיס ואורך גובהו במשולש שבו סכום אורך הבסיס וגבהו הוא מינימלי. ב .מה יהיה הסכום במשולש זה? )3מכפלת שלושה מספרים היא .27ידוע כי המספר הראשון זהה לשני. נסמן ב x -את המספר הראשון. א .הבע באמצעות xאת המספר השלישי. ב .מצא את שלושת המספרים שסכומם מינימלי. )4נתונים שני מספרים חיוביים .ידוע כי המספר הראשון גדול פי 4מהמספר השני. מחברים את המספר השני עם ההופכי של המספר הראשון. א .מצא מה יהיו המספרים בעבורם חיבור זה יהיה מינימלי. ב .מה הוא ערך החיבור? )5נתונים שלושה מספרים חיוביים כך שהמספר השני גדול פי 3מהמספר הראשון והמספר השלישי גדול פי 9מהמספר הראשון .המספר הראשון יסומן ב. x - א .הבע באמצעות xאת המספרים השני והשלישי. ב .הבע באמצעות xאת הסכום בין המספר הראשון למספרים ההופכיים של המספרים השני והשלישי. ג .מצא את שלושת המספרים בעבורם הסכום שהבעת בסעיף הקודם הוא מינימלי. )6נתונים שני מספרים .ידוע כי המספר הראשון גדול ב 14 -מהמספר השני. סמן ב x -את המספר הקטן .מצא את המספרים בעבורם ההפרש בין המספר ההופכי של המספר הקטן למספר ההופכי של המספר הגדול הוא מקסימלי. x )7ו y -הם שני מספרים חיוביים המקיימים. xy y 16 : א .הבע את yבאמצעות . x ב .מצא מה צריכים להיות xו y -בעבורם הסכום x y :יהיה מינימלי. ג .מה יהיה הסכום במקרה זה? 306 )8בבית הדפוס "עמירן" רוצים לעצב גלויה על גבי קרטון ששטחו הכולל הוא 242סמ"ר .הנהלת החברה החליטה שיש להשאיר רווחים של ס"מ אחד מקצות הדף העליון והתחתון ו 2-ס"מ מצידי הדף (ראה איור). א .מצא מה צריכות להיות מידות הקרטון כדי שהשטח של התמונה יהיה מקסימלי. ב .מה יהיה השטח במקרה זה? 1 2 2 1 )9בחלון מלבני ששטחו הכולל הוא 192מ"ר בונים סורגי מתכת מ 7-מוטות: 3מאונכים ו 4-אופקיים (ראה איור). מצא מה צריכים להיות אורכי המוטות המינימליים שיחסמו את חלון זה. )10נתון מלבן ששטחו 1176סמ"ר .מקצים בצדדי המלבן העליון והתחתון קטעים שאורכם 2ס"מ ובצדדי המלבן הימניים קטעים שאורכם 6ס"מ כך שנוצרים שישה מלבנים .מסמנים שלושה מלבנים כמתואר באיור .חשב מה צריכות להיות מידות המלבן כדי שסכום שטחי המלבנים המסומנים יהיה מקסימלי. )11בתור תשתית לקיר עץ ,קנו רפי וחבריו מוטות מתכת. מחיר המוטות נקבע בהתאם לאורכם. החבורה העמידה 10מוטות מתכת מאונכים ולאחר מכן תפסו אותם עם שלושה מוטות נוספים אופקים כמתואר בתרשים .אחד מחבריו של רפי מדד וגילה ששטח המלבן שנוצר הוא 120מ"ר .רפי בתגובה שמח ואמר "איזה יופי! עכשיו אני יודע שהשקעתנו הייתה מינימלית " .מצא מה צריכים להיות אורכי המוטות המינימליים בעבור השטח שמדד חברו של רפי. )12חיים הוא אחד מעובדי חברת "דפוס יהלום בע"מ" .תפקידו של חיים הוא להדביק גלויות על משטחי קרטון בעלי שטח מינימלי כך שיישארו רווחים של 3ס"מ מקצות הקרטון העליון והתחתון ,ו 5-ס"מ מצידי הקרטון (ראה איור) .יום אחד קיבל חיים שיחת טלפון מלקוח אנונימי ששאל אותו את השאלה הבאה: "יש לי מגוון גדול של גלויות במידות שונות אשר שטחן 3 זהה והוא 60סמ"ר .מה הן המידות של גלויה אשר שטח 5 5 משטח הקרטון שלה יהיה מינימלי?" 3 א .עזור לחיים לענות ללקוח על שאלתו והראה דרך חישוב. ב .מה תהיינה מידות הקרטון עבור הגלויה המסוימת? 307 )13לרותי צבעי מים ומשטח עץ ששטחו הכולל הוא 162סמ"ר. רותי רוצה לצייר מלבן במרכז המשטח כך שמרחקו מצידי 2 המשטח 2ס"מ ומהקצוות העליון והתחתון של המשטח 4 -ס"מ. רותי ראתה שהמשטח שברשותה לא עומד בתנאים אלו ולכן החליטה לקנות משטח חדש .כשהגיעה רותי לנגר הוא אמר לה 4 שמחיר העץ נקבע לפי מידותיו .איזה מידות רותי צריכה לבקש כדי לקבל משטח שבו היא תוכל לצייר מלבן בעל שטח מקסימלי לפי דרישותיה? 4 2 )14נתון מלבן ששטחו הוא 135סמ"ר. מעבירים ישרים המקבילים לצלעות המלבן ומקצים עליהם קטעים באורכים של 6ו 10-ס"מ (ראה איור) .על ידי הקצאת קטעים אלו נוצרים מלבנים נוספים המסומנים באיור. א .מצא מה צריכות להיות מידות המלבן הנתון בעבורם סכום שטחי מלבנים אלו יהיה מינימלי. ב .מה יהיה השטח הלבן במקרה זה? )15לדני גלויה מלבנית במידות לא ידועות ששטחה הכולל הוא 12סמ"ר. דני רוצה לקנות קרטון כדי להדביק את הגלויה במרכזו. כשהלך דני לחנות כלי מלאכה אמר לו המוכר שניתן לבחור קרטון על פי שטח .דני הדגיש למוכר שהוא רוצה שהגלויה תהיה מודבקת במרכז הקרטון כך שמרחקה מצידי הקרטון יהיה 1ס"מ בלבד ומרחקה מהקצוות העליון והתחתון יהיה 3ס"מ. המוכר נתן לדני קרטון בעל שטח מינימלי בעבור הגלויה שלו. א .מה הן מידות הגלויה בעבורן שטח הקרטון הוא מינימלי? ב .מה הוא שטח הקרטון שנתן המוכר לדני? 3 1 1 גלויה 3 4 2 2 )16לרבקה קרטון מלבני ששטחו הכולל הוא 162סמ"ר. רבקה רוצה לחתוך מלבן במרכז הקרטון כדי שתוכל להשתמש 4 בשארית הקרטון כמסגרת לתמונה .כדי שהקרטון לא יקרע רבקה צריכה לשמור על רווחים של 2ס"מ מצידי הקרטון ו 4-ס"מ מקצותיו העליון והתחתון .מה הן מידות הקרטון בעבורן שטח המלבן שרבקה תחתוך יהיה מקסימלי? )17אלינה קיבלה משימה בשיעור מלאכה :יש להכין מסגרת לתמונה מלוח עץ ששטחו הכולל הוא 242סמ"ר כך שעובי המסגרת בצדדים יהיה 2ס"מ ובקצוות העליון והתחתון – 4ס"מ. כדי לבחור את מידות לוח העץ ,אלינה צריכה לדעת את השטח המקסימלי שעליה לנסר בעבור המקום לתמונה (השטח המסומן). א .מה יהיו מידות לוח העץ שאלינה צריכה להזמין בעבור המשימה? ב .מה יהיה השטח המקסימלי לתמונה בעבור המידות שאלינה בחרה? 308 x2 1 )18נתונות הפונקציות, g ( x) 2 : 16 x . f ( x) y הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה ) g ( xוהנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה ) f ( xכך שהקטע ABמקביל לציר ה. y - א .מצא את שיעורי הנקודה Aבעבורם אורך x הקטע ABיהיה מינימלי. ב .מה יהיה אורך הקטע ABבמקרה זה? A )g ( x B )f ( x y 16 )19הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה x3 f ( x) x ברביע הראשון. )f ( x מהנקודה Aמורידים אנכים לצירים כפי שמתואר באיור כך שנוצר המלבן .ABOCמצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aכדי ששטח המלבן יהיה מינימלי. 8 )20באיור שלפניך נתונה הפונקציה x A C x B O y f ( x) x ברביע הראשון. )f ( x מנקודה Aשעל גרף הפונקציה מורידים אנכים לצירים כך שמתקבל מלבן .ABOC א .מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aכדי שהיקף המלבן ABOCיהיה מינימלי. ב .מה הוא ההיקף המינימלי? 4 )21הגרפים שלפניך מתארים את הפונקציות, g ( x) x 3 : x A C x B . f ( x) O y מסמנים על גרף הפונקציה ) f ( xנקודה Aועל גרף הפונקציה )g ( x נקודה Bכך שהקטע ABמקביל לציר ה. y - A א .מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aבעבורם אורך הקטע ABיהיה מינימלי. ב .מה יהיה אורך הקטע ABבמקרה זה? )g ( x )f ( x x B 1 )22באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות: x מעבירים ישר המקביל לציר ה y -שחותך את גרף הפונקציה )f ( x f ( x) ו. g ( x) 4 x2 1 - y בנקודה Aואת גרף הפונקציה ) g ( xבנקודה .B א .מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aבעבורם אורך הקטע ABיהיה בעל אורך מינימלי. ב .מה יהיה האורך ABבמקרה זה והיכן תמוקם הנקודה ? B 309 A )f ( x x )g ( x B y 16 )23באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה: x2 f ( x) x ברביע הראשון. )f ( x הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה וממנה מורידים אנכים לצירים שיוצרים את המלבן - O( ABCOראשית הצירים). x B נסמן ב t -את שיעור ה x -של הנקודה .A א .בטא באמצעות tאת שיעור ה y -של הנקודה Aואת שטח המלבן .ABOC ב .מצא מה צריך להיות ערכו של tבעבורו שטח המלבן יהיה מינימלי. ג .מה יהיה שטח המלבן במקרה זה? A )24באיור שלפניך נתון גרף הפונקציה: 8 3 x2 f x x הנקודה Aתסומן ב- O ברביע הראשון. הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה ). f ( x מנקודה זו מורידים אנכים לצירים כך שנוצר מלבן (בעל השטח המקווקו). 8 3 2 t C y )f ( x A . A t ,t x א .הבע באמצעות tאת היקף המלבן. ב .מצא את ערכו של tבעבורו היקף המלבן יהיה מינימלי. ג .בעבור הערך של tשמצאת בסעיף הקודם ,מה יהיה שטחו של המלבן? x2 )25נתונה הפונקציה: x 0.5 2 f ( x) בתחום. x 0 : מקצים נקודה Aעל גרף הפונקציה וממנה מורידים אנכים לצירים כך שנוצר המלבן ABOCכמתואר באיור. מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aעבורם שטח המלבן יהיה מקסימלי. 4x 5 x f ( x) והישר: )26באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה: 4 x 2 4 .y הנקודות Aו B-נמצאות על הגרפים של הפונקציות כך שהקטע ABמקביל לציר ה. y - מהנקודות Aו B-מותחים אנכים לציר ה y -כך שנוצר המלבן .ABCD נסמן את שיעור ה x -של הנקודה Aב . t - א .הבע באמצעות tאת היקף המלבן .ABCD ב .מצא את tעבורו היקף המלבן הוא מינימלי. ג .מה יהיה ההיקף במקרה זה? 310 x6 )27נתונה הפונקציה: x 3 f ( x) ברביע הראשון .מעבירים משיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה. y - א .מצא את משוואת המשיק. מסמנים נקודה Aעל גרף הפונקציה ) f ( xו B-על גרף המשיק כך שהקטע ABמקביל לציר ה. y - ב .מצא את שיעורי הנקודה Aעבורם אורך הקטע ABהוא מינימלי. ג .מה יהיה אורך הקטע ABבמקרה זה? )28נתונה תיבה שבסיסה מלבן ונפחה הוא .V 288 ידוע כי אורך הבסיס גדול פי 3מרוחבו (ראה איור). h מסמנים ב x -את מקצוע המלבן הקטנה וב h -את גובה התיבה. x א .הבע את hבאמצעות . x ב .הבע את שטח הפנים של התיבה באמצעות . x ג .מצא את מידות התיבה בעבורם שטח הפנים של התיבה יהיה מינימלי. )29נפח תיבה שבסיסה ריבוע הוא 729סמ"ר. נסמן ב x -את אורך מקצוע הבסיס וב h -את גובה התיבה (ראה איור). א .הבע את hבאמצעות . x ב .הבע את שטח הפנים של התיבה באמצעות . x ג .מה צריך להיות xבעבורו שטח הפנים של התיבה יהיה מינימלי? )30נפח קופסה בצורת תיבה הפתוחה מלמעלה הוא 36סמ"ר. בסיס הקופסה הוא מלבן שרוחבו גדול פי 2מאורכו. א .מצא את מידות בסיס הקופסה בעבורן שטח הפנים שלה יהיה מינימלי. ב .מה יהיה גובה הקופסה במקרה זה? 3x h x x x 2x )31נתון גליל שרדיוסו rוגובהו . hידוע כי רדיוס הגליל וגובהו מקיימים. r 2 h 128 : א .1 .הבע באמצעות rאת גובה הגליל. .2הבע באמצעות rאת שטח הפנים של הגליל. ב .מצא את אורך הרדיוס בעבורו שטח הפנים של הגליל יהיה מינימלי. r ג .מה יהיה נפח הגליל במקרה זה? 311 )32הנפח של קופסת עפרונות בצורת גליל הוא .V 512 ידוע כי הקופסה פתוחה מלמעלה. רדיוס הקופסה יסומן ב x -וגובה הקופסה יסומן ב. h - א .הבע באמצעות xאת גובה הקופסה ואת שטח הפנים שלה. ב .מצא את רדיוס הקופסה בעבורו שטח הפנים שלה יהיה מינימלי. ג .מה יהיה שטח הפנים של הקופסה במקרה זה? h x )33במשולש הישר זווית ABCחוסמים מלבן BDEFכמתואר באיור. מידות המלבן הן. DE 6 , EF 12 : מסמנים את אורך הצלע ABב . x - א .הבע באמצעות xאת אורך הצלע .BC ב .מצא את אורכי הניצבים ABו BC-של המשולש בעל השטח המינימלי? )34המרובע ABCDהוא מקבילית .מהקדקוד Bמעבירים את הצלע EFהנפגשת עם המשכי הצלעות DCו .AD-ידוע כי מידות המקבילית הן. AD 8 , AB 2 : מסמנים את אורך הצלע DEב . x - א .הבע באמצעות xאת אורך הצלע .DF ב .מצא את xבעבורו סכום הצלעות DEו DF-הוא מינימלי. ג .מה הוא הסכום המינימלי? x 10 )35נתונה הפונקציה: x2 f ( x) ברביע הראשון. y מעבירים משיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה . y - A א .מצא את משוואת המשיק. )f ( x מסמנים נקודה Aעל גרף הפונקציה ) f ( xו B-על גרף המשיק כך שהקטע ABמקביל לציר ה. y - x ב .מצא את שיעורי הנקודה Aבעבורם אורך הקטע ABהוא מינימלי. ג .מה יהיה אורך הקטע ABבמקרה זה? B y x5 )36נתונה הפונקציה: x4 f ( x) ברביע הראשון. A מהנקודה Aשעל גרף הפונקציה מורידים אנכים לצירים כך שנוצר המלבן .ABOCמצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aכדי ששטח המלבן יהיה מינימלי. 312 C )f ( x x B O x 12 )37נתונה הפונקציה: x2 3 y f ( x) בתחום. x 0 : מקצים נקודה Aעל גרף הפונקציה וממנה מורידים אנכים לצירים כך שנוצר המלבן ABOCכמתואר באיור. א .מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה A בעבורם שטח המלבן יהיה מקסימלי. ב .מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aבעבורם שטח המלבן יהיה מינימלי בתחום הנ"ל. A C )f ( x x 9x x 8 f ( x) והישר: )38באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה: 25 x 1 B .y הנקודות Aו B-נמ צאות על הגרפים של הפונקציות כך שהקטע ABמקביל לציר ה. y - מהנקודות Aו B-מותחים אנכים לציר ה y -כך שנוצר המלבן .ABCD נסמן את שיעור ה x -של הנקודה Aב. t - א .הבע באמצעות tאת היקף המלבן .ABCD ב .מצא את tבעבורו היקף המלבן הוא מינימלי. ג .מה יהיה ההיקף במקרה זה? 313 O תשובות סופיות: 27 27 )1א . y 2 .ב )2 . x 3 , y 1.5 .א .16 , 16 .ב. 32 . )3א2 . x 2x 2 1 1 1 . S x ג. 7 , -7 )6 . , 2 , 6 . )4א . , 2 .ב )5 .1 .א . 3x , 9 x .ב. 3 3x 9 x 2 16 . y ב . x 3 , y 4 .ג )8 . S 7 .א 11 .ס"מ ו 22 -ס"מ .ב. S 162 . )7א. x 1 .ב. 3 , 3 , 3 . 12 )9ו 16-מטרים 14 )10 .ס"מ ו 84 -ס"מ 6 )11 .ו 20-מטרים. )12א 6 .ס"מ על 10ס"מ .ב 12 .ס"מ על 20ס"מ 9 )13 .ס"מ על 18ס"מ. )14א 15 .ס"מ על 9ס"מ .ב )15 . S 75 .א 2.ס"מ על 6ס"מ .ב. S 48 . 9 )16ס"מ על 18ס"מ )17 .א 11 .ס"מ על 22ס"מ .ב. S 98 . 1 )18א . A(2,0.25) .ב. 2 )20 . A(2, 4) )19 . AB א . A(2,6) .ב. p 16 . )21א . A(2, 2) .ב )22 . AB 7 .א . A 0.5, 2 .ב ,2 .הנקודה Bממוקמת על ציר ה . x - 16 16 )23א . S t 2 16t . t 2 .ב . t 2 .ג )24 . S 12 .א 6 . 2 t t 3t 2 2t 5 )26 . A 1, 2 )25א. 2 t 2 . P 4t ב . t 2 .ג. S 14 . P ב t 3 .ג 8 .ס"מ )27 .א y x 2 .ב A 6, 4 .ג 12 .ס"מ. 768 96 )28א . h 2 .ב. x x 2916 729 . S 2 x 2 ג )30 . x 9 .א . 3 , 6 .ב. h 2 . )29א . h 2 .ב. x x 256 128 )31א 2 r 2 .2 . h 2 .1 . . S ב . r 4 .ג.V 128 . r r 1024 512 )32א x 2 , h 2 . . S ב . x 8 .ג. S 192 . x x 8x 6x . DF BC ב 12 .ס"מ ו 24-ס"מ )34 .א. )33א. x2 x 12 . S 6 x 2 ג. 4,6,12 x 4 . x2 6 x ב .מתקבלת הפונקציה: x2 . L הפתרון הוא . x 6 :ג. L 18 . )35א y 3x 5 .ב A 4, 7 .ג )37 A 10, 2.5 )36 . AB 24 .א. A 2, 2 . ב .בקצה התחום שטח המלבן יהיה אפס ולכן. A 0, 0 : 1.28t 2 0.72t 16 )38א. t 1 3 4 P ב t 4 .ג. P 12.88 . 314 תרגילים העוסקים בפונקצית שורש: x )1ו y -הם שני מספרים המקיימים. x y 15 : א .הבע את yבאמצעות . x ב .מצא את xו y -בעבורם סכום השורשים שלהם יהיה מקסימלי. )2נתונים שני מספרים חיוביים xו y -המקיימים. 3x y 36 : א .הבע את yבאמצעות . x ב .מצא את המספרים בעבורם סכום השורשים שלהם מקסימלי. ג .מה יהיה סכום השורשים שלהם במקרה זה? )3נתון המעוין .ABCDידוע כי סכום אורכי האלכסונים של המעוין הוא 80ס"מ .הנקודה Oהיא נקודת מפגש האלכסונים במעוין. הקטע AOיסומן ב . x - א .הבע את אורכי האלכסונים באמצעות . x ב .מה צריך להיות ערכו של xבעבורו אורך צלע המעוין היא מינימלית? )4באיור שלפניך מתואר טרפז ישר זווית ABCDהמחולק למלבן ומשולש ישר זווית. גובה הטרפז BCגדול פי 3מהבסיס הקטן ABואורך השוק הארוכה ADהוא . 360הבסיס הקטן יסומן ב. x - א .הבע באמצעות xאת אורך הבסיס הגדול .DC ב .מצא את ערכו של xבעבורו אורך הבסיס DCיהיה מקסימלי. )5המשולש ABCהוא משולש ישר זווית .הנקודה Dנמצאת על הניצב BCכך שהקטע BDגדול פי 2מהקטע .CD ידוע כי סכום הניצבים הוא 13ס"מ. א .מצא את אורכי הניצבים בעבורם אורך הקטע ADיהיה מינימלי. ב .מה יהיה אורך היתר ACבמקרה זה? )6המשולש ABCהוא שווה שוקיים ).(AB=AC הקטע AEהוא גובה לבסיס .BC ידוע כי סכום אורכי הבסיס והגובה הוא 20ס"מ. הגובה AEיסומן ב. x - א .הבע באמצעות xאת היקף המשולש .ABC ב .מצא את xבעבורו ההיקף שהבעת בסעיף הקודם הוא מינימלי. ג .בעבור הערך של xשמצאת בסעיף הקודם מה הוא השטח של המשולש? 315 )7המרובע ABCDהוא ריבוע .הנקודה Eנמצאת על הצלע ADשל הריבוע והנקודה Gנמצאת על המשך הצלע .ADמעבירים את הקטעים BE ו BG-ומוסיפים את הנקודה ,Fכך שהמרובע BEFGהוא מלבן כמתואר באיור .הקטע AGגדול פי 2מהצלע BEשל המלבן וסכום הצלע BEואלכסון המלבן GEהוא 16ס"מ. הקטע BEיסומן ב. x - א .הבע באמצעות xאת אורך הקטע .AE ב .מצא את xבעבורו אורך צלע הריבוע תהיה מקסימלית. (היעזר במשולש .)ABE )8המרובע ABCDהוא מקבילית .הנקודה Oהיא פגישת האלכסונים ACו.BD- ידוע כי האלכסון BDמאונך לצלעות BCו AD-של המקבילית. כמו כן האלכסון ACגדול ב 27 -ס"מ מהצלע .BC סמן את הצלע BCב x -וענה על השאלות הבאות: א .הבע באמצעות xאת אורך הקטע .CO ב .הבע באמצעות xאת אורך הקטע .BO ג .מצא בעבור איזה ערך של xיהיה אורך הקטע BOמקסימלי. )9המרובע ABCDהוא טרפז שווה שוקיים. מורידים את הגבהים לטרפז AEו BF-כך שהמרובע ABFEהוא ריבוע. ידוע כי אורך שוק בטרפז הוא 5ס"מ. מצא מה צריך להיות אורך הבסיס הקטן AB בעבורו אורך הבסיס DCיהיה מקסימלי. y )10באיור שלפניך נתונים הגרפים של הפונקציותf ( x) x 3 : ו . g ( x) 4 x -מסמנים נקודה Aעל גרף הפונקציה )g ( x ונקודה Bעל גרף הפונקציה ) f ( xכך שהקטע ABמקביל לציר ה. y - א .מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aבעבורם אורך הקטע ABיהיה מקסימלי. ב .מה יהיה אורך הקטע ABבמקרה זה? 316 )f ( x )g ( x A B x )11נתונים הגרפים של הפונקציות f ( x) 2 x2 30 :ו. g ( x) 8 x - הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה ) f ( xוהנקודה Bנמצאת על גרף הפונקציה ) g ( xכך שהקטע ABמקביל לציר ה . y - y )f ( x A )g ( x נסמן את שיעור ה x -של הנקודה Aב . t - א .הבע באמצעות tאת: .1שיעורי הנקודה .B .2אורך הקטע .AB ב .מצא את tבעבורו אורך הקטע ABיהיה מינימלי. B x )12נתונה הפונקציה . f ( x) 2 4 x :הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה )f ( x ברביע הראשון .מורידים אנכים לצירים כך שנוצר מלבן (בעל השטח המסומן). מסמנים את שיעור ה x -של הנקודה Aב. t - A א .הבע באמצעות tאת היקף המלבן. )f ( x ב .מצא את tבעבורו היקף המלבן יהיה מינימלי. x ג .מה יהיה היקף המלבן במקרה זה? y )13נתונה הפונקציה . f ( x) 4 5 x :הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה ) f ( xברביע הראשון .מורידים אנכים לצירים כך שנוצר מלבן (בעל השטח המסומן). y מסמנים את שיעור ה x -של הנקודה Aב. t - A א .הבע באמצעות tאת היקף המלבן. )f ( x ב .מצא את tבעבורו היקף המלבן יהיה מינימלי. x ג .מה יהיה היקף המלבן במקרה זה? 3 4 y )14באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה. f ( x) 6 x 2 : א .מצא נקודה על גרף הפונקציה ברביע הראשון שמרחקה מראשית הצירים הוא מינימלי. ב .האם קיימת נקודה על גרף הפונקציה שמרחקה מראשית הצירים הוא מקסימלי? אם כן היכן היא ממוקמת? 1 4 )15באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה. f ( x) x 2 : הנקודה ) A(0,6נמצאת על ציר ה y -והנקודה Bהיא נקודה כלשהי על גרף הפונקציה ברביע השני. מצא את שיעורי הנקודה Bבעבורם המרחק בין Aל B-יהיה מינימלי. 317 x )f ( x y )f ( x A B x y )16נתון גרף הפונקציה. f ( x) 2 x : מצא נקודה על גרף הפונקציה ברביע הראשון שמרחקה מהנקודה ) A(6,0מינימלי. )17נתון גרף הפונקציה. f ( x) 3 x : מצא נקודה על גרף הפונקציה ברביע הרביעי שמרחקה מהנקודה ) A(5.5,0הוא מינימלי. )f ( x A x y A x )f ( x )18באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה. f ( x) 6 3 x : הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון. מהנקודה Aמותחים אנכים לצירים אשר חותכים אותם בנקודות Bו C-כמתואר באיור. x נסמן את שיעור ה x -של הנקודה Aב . t - )f ( x א .הבע באמצעות tאת סכום הקטעים .AC+AB ב .מצא את ערכו של tבעבורו סכום הקטעים הנ"ל יהיה מינימלי. )19באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה. f ( x) 8 x 2 x : הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה ) f ( xברביע הראשון. מהנקודה Aמותחים אנכים לצירים ABו AC- כמתואר באיור .מצא את שיעורי הנקודה Aבעבורם סכום הקטעים AB ACיהיה מקסימלי. 318 y A B C y A x C )f ( x B :תשובות סופיות . 4 3 6.92 . ג. x 3 , y 27 . ב. y 36 3x .) א2 . x y 7.5 . ב. y 15 x .) א1 . x 20 . ב. AC 2 x , BD 80 2 x .) א3 . AC 97 . ב. AB 4 , BC 9 .) א5 . x 2 . ב. DC x 3 40 x2 .) א4 . 48 . ג. x 8 . ב. P 2 1.25x2 10 x 100 20 x .) א6 . x 6 . ב. AE 16 3x .) א7 . x 9 . ג. BO 3x 2 27 x 1 182 . ב. CO 0.5x 13.5 .) א8 4 2 4 . AB 1 . ב. A(4,8) .) א10 . AB 1 )9 . t 1 . ב. AB 2t 2 8 t 30 .2 . B(t ,8 t ) .1 .) א11 . P 10 . ג. t 3 . ב. P 2t 4 4 t .) א12 . P 18 . ג. t 1 . ב. P 2t 8 5 t .) א13 . y - ( והיא נמצאת על ציר ה0,6.75) הנקודה, כן. ב. 2.5, 0.5 .) א14 . (1, 3) )17 . (4, 4) )16 . B(4, 4) )15 . (16,0) )19 . t 2.25 . ב. l t 6 3 t .) א18 319 תרגול מבגרויות של 3יחידות: בעיות בהנדסת המישור: )1בטרפז שווה-שוקיים )AB||CD( ABCDאורך השוק הוא 4ס"מ ואורך הבסיס הקטן הוא 6ס"מ. DEהוא הגובה מקדקוד ( Dראה ציור). מה צריך להיות אורך הקטע AEכדי ששטח הטרפז יהיה מקסימלי? C E B B )2נתון מלבן . ABCD נסמן ב x -את אחת מצלעות המלבן. א .אם היקף המלבן הוא 60ס"מ בטא באמצעות xאת שטח המלבן. ב .אם היקף המלבן הוא pמצא מה צריכים C להיות אורכי צלעות המלבן כדי ששטחו יהיה מקסימלי (הבע את אורכי הצלעות באמצעות .) p )3נתון מלבן ABCDכך ש5 -ס"מ = , AD = BC 10ס"מ = . AB = CD על צלעות המלבן מקצים קטעים : ( AP AQ CS CR xראה ציור). מה צריך להיות ערכו של f x כדי ששטח המקבילית PQRSיהיה מקסימלי? D A A x D P B A Q S C R D E A )4במשולש ישר זווית ( C 90 ) ABCסכום אורכי הניצבים הוא 8ס"מ .על היתר ABבונים ריבוע .ABDE D מה צריכים להיות אורכי הניצבים, כדי ששטח המחומש AEDBCיהיה מינימלי. B )5בחצי עיגול שרדיוסו 8ס"מ חוסמים מלבן , ABCD כך שהצלע ABשל המלבן מונחת על הקוטר, והקדקודים Cו D -מונחים על הקשת (ראה ציור). מה צריך להיות אורך הצלע ABכדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי? C D A B )6במשולש ישר -זווית , ( B 90 ) ABCסכום אורכי הניצבים הוא 30ס"מ. ADהוא תיכון לניצב ( BCראה ציור). חשב מה צריכים להיות אורכי הניצבים, על מנת שריבוע אורך התיכון יהיה מינימלי. C 320 C D A B 8 )7בחוברת פרסום ,שטח כל עמוד הוא 600סמ"ר. רוחב השוליים בראש העמוד ובתחתיתו הוא 8ס"מ, ורוחב השוליים בצדדים הוא 3ס"מ. מצא מה צריך להיות האורך והרוחב של כל עמוד כדי שהשטח המיועד לדפוס יהיה מקסימלי (השטח המקווקו). 3 )8בריבוע ABCDהנקודות G , F , Eנמצאות על הצלעות , BC , AB B DCבהתאמה ,כך ש ( CF = CG , BE = BF -ראה ציור). נתון כי האורך של צלע הריבוע הוא 6ס"מ. F א .סמן ב x -את BFואת , BEוהבע באמצעות xאת הסכום של שטחי המשולשים EBFו( FCG -השטח המקווקו). ב .1 .מצא את xשעבורו סכום שטחי המשולשים הוא מינימלי. .2חשב את הסכום המינימלי של שטחי המשולשים. A E G C D E )9נתון ריבוע ABCDשאורך צלעו 10ס"מ E .היא נקודה כלשהי מחוץ לריבוע ,כך שהמשולש DECהוא שו"ש (.)ED = EC שוקי המשולש חותכים את הצלע ABבנקודות Mו.N - מצא מה צריך להיות אורך הקטע AMכדי שהסכום של שטחי המשולשים BNC , AMD , EMNיהיה מינימלי. B N C M A D )10נתון מעגל שרדיוסו . Rבמעגל זה חסום טרפז שו"ש ,כך שהבסיס הגדול של הטרפז הוא קוטר במעגל (ראה ציור). מבין כל הטרפזים החסומים באופן זה ,הבע באמצעות R את אורך הבסיס הקטן בטרפז ששטחו מקסימלי. O )11נתונה גזרה של רבע עיגול שמרכזו Oורדיוסו 10ס"מ. בונים מלבן ,ABCDכך שרבע המעגל משיק לצלע DCבנקודת האמצע שלה ,והקודקודים AוB - נמצאים על הרדיוסים התוחמים את הגזרה. מבין כל האלכסונים של המלבנים ABCDשנוצרים באופן זה ,מצא את אורך האלכסון הקצר ביותר. A B C ABCDE )12הוא מחומש המורכב ממשולש ABEוממלבן EBCD (ראה ציור) .נתון 2 :ס"מ = 4 , BCס"מ = . AB = AE מצא את השטח של המחומש ששטחו מקסימלי. 321 D A B E C D A )13מתבוננים בכל המשולשים ישרי הזווית ABC החוסמים חצי מעגל שרדיוסו Rכמתואר בציור. מהן זוויות המשולש שסכום הניצבים שלו הוא מינימלי? B C )14במעגל שרדיוסו Rחס ומים משולשים כך שהגודל של הזווית 2 בכל אחד מהמשולשים הוא 5 . 72 מצא את הזוויות במשולש בעל ההיקף המקסימלי. בעיות בהנדסת המרחב: )15גובהו של "מגדל" הבנוי מש תי קוביות (לאו דווקא שוות) הוא 8ס"מ .מה צריך להיות אורך המקצוע של הקובייה התחתונה כדי שנפח המגדל (סכום נפחי הקוביות) יהיה מינימלי? )16בונים תיבה שגובהה yס"מ ,ובסיסה ריבוע ,שאורך צלעו xס"מ, כך שההיקף של כל אחת מהדפנות הצדדיות שווה ל 12 -ס"מ. מה צריך להיות אורך צלע הבסיס כדי שנפח התיבה יהיה מקסימלי? )17יש לבנות תיבה פתוחה מלמעלה ,שבסיסה ריבוע ושטח פניה 75סמ"ר (במקרה זה שטח הפנים מורכב מבסיס אחד ומארבע פאות צדדיות). מכל התיבות שאפשר לבנות ,מצא את ממדי התיבה (צלע הבסיס וגובה) שנפחה מקסימלי. )18יש להכין מחוט תיל "שלד" (מסגרת) של תיבה ,שבסיסה ריבוע ונפחה 1000סמ"ק. מהו האורך המינימלי של החוט הנחוץ ליצירת התיבה? )19מחוט שאורכו aס"מ יש לבנות מנסרה משולשת ישרה ,שבסיסה הוא משולש שווה צלעות .מצא איזה חלק מאורך החוט יש להקצות לצלע הבסיס xואיזה חלק לגובה yכדי שיתקיים: א .שטח המעטפת של המנסרה יהיה מקסימלי. ב .נפח המנסרה יהיה מקסימלי. 322 )20מכל הפירמידות המרובעות ,המשוכללות והישרות, שאורך המקצוע הצדדי שלהן הוא , aמצא את נפחה של הפירמידה בעלת הנפח המקסימלי. )21מכל הפירמידות הישרות ,שבסיסן ריבוע ושטח הפנים שלהן הוא 200סמ"ר ,חשב את נפחה של הפירמידה בעלת הנפח המקסימלי. )22אלכסון החתך הצירי של גליל ישר הוא 12ס"מ (ראה ציור). מצא מה צריכים להיות גובה הגליל ורדיוס בסיסו כדי שנפחו יהיה מקסימלי. 12 )23נתון מיכל גלילי פתוח מלמעלה שקיבולו 64מ"ק. המיכל עשוי כולו מפח. הראה כי שטח הפח הוא מינימלי כאשר רדיוס הבסיס הוא 4 3 מטר. )24מבין כל החרוטים שאורך הקו היוצר שלהם הוא 10ס"מ (ראה ציור), מהו נפח החרוט שנפחו מקסימלי? בעיות בפונקציות וגרפים: )25מנקודה , Aהנמצאת על גרף הפונקציה , y x2 5x מורידים אנכים לצירים כך שנוצר מלבן .ABOC א .מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aכדי שהיקף המלבן יהיה מקסימלי? ב .מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aכדי שהיקף המלבן יהיה מינימלי? )26בפרבולה y 9 x2חוסמים מלבן , ABCDכך שהצלע ABמונחת על ציר ה( x -ראה ציור). מה צריך להיות אורך הצלע CDכדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי? 323 10 )27טרפז ABCDחסום בין גרף הפרבולה y 9 x2לבין ציר ה ( x -ראה ציור). א .מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aכדי ששטח הטרפז ABCDיהיה מקסימלי? ב .חשב את השטח המקסימלי של טרפז .ABCD )28נתונה הפרבולה . y x2 12ישר המקביל לציר ה x -חותך את הפרבולה בנקודות Aו( B -ראה ציור). מחברים את הנקודות Aו B -עם ראשית הצירים.O , א .מה צריך להיות אורך הקטע ABכדי ששטח המשולש AOBיהיה מקסימלי? ב .מהו השטח המקסימלי של המשולש ? AOB 1 2 1 4 )29נתונים הגרפים של שתי פרבולות. y x 2 3x , y x 2 7 : קו מקביל לציר ה y -חותך את שתי הפרבולות בנקודות Pו( Q -ראה ציור). מבין כל הקטעים המתקבלים באופן זה ,מצא את האורך המינימלי של הקטע .PQ )30נתון גרף הפונקציה . y xעל ציר ה x -נתונה הנקודה )( A(4.5, 0ראה ציור). מצא על גרף הפונקציה נקודה ,Mכך שריבוע המרחק AMיהיה מינימלי. )31מצא על הישר f ( x) 3x 4את הנקודה הקרובה ביותר לנקודה ). (0,1 )32בציור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות: . g ( x) 36 6 x , f ( x) 3x מלבן חסום בין הגרפים של הפונקציות ובין ציר ה, x - כמתואר בציור. מצא את השטח הגדול ביותר האפשרי למלבן שחסום באופן זה. )33דרך איזו נקודה על הפרבולה y x2 2 xצריך להעביר משיק ,כדי ששטח הטרפז ,הנוצר על ידי המשיק והישרים x 0 , x 1 :ו y 0 - (השטח המקווקו שבציור) יהיה מינימלי? 324 )34נקודה Bנמצאת על גרף הפונקציה y x 2ברביע הראשון. Aהיא הנקודה ) (0, aכאשר ידוע כי ( a 0.5ראה ציור). א .בטא באמצעות aאת שיעורי הנקודה ,Bשעבורה המרחק ABהוא מינימלי. ב .מצא עבור איזה ערך של aהמרחק המינימלי הוא .2 )35נתונה הפרבולה , y x 2ונתון משיק לפרבולה שמשוואתו היא . y 6 x 9בנקודה ) (t , t 2שעל הפרבולה מעבירים משיק נוסף לפרבולה. המשיקים נחתכים בנקודה ( Mראה ציור). א .הבע את משוואת המשיק הנוסף באמצעות . t ב .מצא את tשעבורו אורך הקטע ,המחבר את הנקודה Mעם קודקוד הפרבולה יהיה מינימלי. )36במערכת צירים נתונות הנקודות ) A(2, 2ו. B(2, 2) - ראשית הצירים היא בנקודה M .Oהיא נקודה על ציר ה x -בתחום . x 0 מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ,M כדי שהסכום OM + MA + MB :יהיה מינימלי? 325 תשובות סופיות: . AE 1.7cm )1 )2א . x 30 x .ב .כל צלע שווה ל. 0.25 p - . AC BC 4cm )4 . x 3.75cm )3 24 )6 . AB 2 32 cm )5ס"מ = 6 , BCס"מ = .AB )7אורך 40 :ס"מ רוחב 15 :ס"מ. )8א . S x2 6 x 18 .ב . x 3 .1.ב 9 .2 .סמ"ר. )10 . AM 5 / 2 )9בסיס קטן = . R . 45 , 45 , 90 )13 12 3 )12סמ"ר. . 4 5 cm )11 3 3 2 , , )14 10 10 5 . 4 )16ס"מ. 4 )15ס"מ. )17צלע הבסיס 5 :ס"מ .גובה 2.5 :ס"מ. 1 1 )19אa , y a . 12 6 4 3 3 a )20 27 . 120 )18ס"מ. 1 9 . x ב. x y a . 500 )21 3 סמ"ק . )22גובה 48 :ס"מ .רדיוס 24 :ס"מ 403.1 )24 .סמ"ק. )25א . A 3, 6 .ב . 0,0 , 5,0 )27 . CD 2 3 )26א . A(1,8) .ב.32 . )28א . AB 4 .ב. SAOB 16 . . (1.5, 0.5) )31 . M (4, 2) )30 . PQ 4 )29 .8 )32 )34 . (0.5, 0.75) )33א . B( (2a 1) / 2,(2a 1) / 2) .ב. 4.25 . )35א . y 2t x t 2 .ב. M (0.845, 0) )36 . t 3 / 37 . 326 תרגול מבגרויות: 1 8 )1נתונות הפונקציות. f x x 2 : g x 2x הנקודות Aו B -נמצאות על הגרפים של הפונקציות כך ש AB -מקביל לציר ה , y - והנקודות נמצאות בין שתי נקודות החיתוך של הגרפים של הפונקציות (ראה ציור). א .מצא את שיעורי הנקודות Aו B -שעבורן אורך הקטע AB הוא מקסימלי. ב .עבור האורך המקסימלי של הקטע , ABחשב את שטח המשולש ABO ( - Oראשית הצירים). )2נתונה הפונקציה . f x 2 x 5 הנקודה Bהיא הקדקוד של פרבולה שמשוואתה . y x2 16 x 64 מצא נקודה על גרף הפונקציה , f x שמרחקה מהנקודה Bהוא מינימלי. 1 )3נתונה הפונקציה x 1 . f x א .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ב .מצא על גרף הפונקציה f x נקודה שהמכפלה של שיעור ה x -שלה בשיעור ה y -שלה היא מינימלית. ג. x נתונה הפונקציה x 1 . g x היעזר בתשובותיך לסעיף א ולסעיף ב ,וסרטט סקיצה של גרף הפונקציה . g x 327 )4במלבן ABCDאורך הצלע ADהוא 10ס"מ, ואורך הצלע ABהוא aס"מ. הנקודות H, G , F, Eנמצאות על צלעות המלבן כך ש ( AE AH CF CG x -ראה ציור) א )1( .הבע באמצעות , aו x -את סכום השטחים של המשולש BEFוהמשולש . AEH ( )2הבע באמצעות aאת הערך של xשעבורו שטח המרובע EFGHהוא מקסימלי. ב .כאשר שטח המרובע EFGHהוא מקסימלי ,אורך הקטע DHהוא 6ס"מ. מצא את הערך של . a )5במשולש ישר -זווית סכום הניצבים הוא 20ס"מ. א .מבין כל המשולשים המקיימים תנאי זה ,מצא את אורכי הניצבים במשולש שבו אורך התיכון ליתר הוא מינימלי. ב .מצא את אורכי התיכונים לניצבים במשולש שאת הניצבים שלו מצאת בסעיף א. )6משאית נוסעת 100ק"מ במהירות קבועה של xקמ"ש. א .הבע באמצעות xאת מספר שעות הנסיעה של המשאית. עלות הנסיעה של המשאית היא פונקציה של המהירות שלה. x2 16 שקלים. העלות של שעת נסיעה אחת במהירות xהיא 400 ב )1( .מה צריך להיות הערך של xכדי שעלות הנסיעה של המשאית תהיה מינימלית. ( )2חשב את העלות המינימלית של הנסיעה. )7נתונה מקבילית DEFBשאורכי צלעותיה הם (ס"מ): . DE 90, BD 80 נקודה Aנמצאת על המשך הצלע . BD ונקודה Cנמצאת על המשך הצלע BF כך שהישר ACעובר דרך קודקוד ( Eראה ציור). א .נסמן . AD x היעזר בדמיון משולשים ,והבע באמצעות x את אורך הקטע . FC ב .מצא את xשעבורו סכום הצלעות ABו BC -הוא מינימלי. ג .מצא את הסכום המינימלי של הצלעות ABו . BC - 328 )8ענה על הסעיפים הבאים: א .מבין כל המלבנים ששטחם kסמ"ר ,הבע באמצעות kאת צלעות המלבן שהיקפו מינמלי. ב .נתון כי קוטר המעגל החוסם את המלבן שהיקפו מינמלי ,הוא 8ס"מ. מצא את הערך של . k )9נתון מלבן ABCDשאורכי צלעותיו הם: . AB 9 , AD 4 הנקודה Eנמצאת על הצלע ( CDבין Cל ) D ההמשך של AEחותך את המשך הצלע BC בנקודה ( Fראה ציור). א .הוכח ADE FCE ב .סמן , DE xומצא מה צריך להיות האורך של DE כדי שהסכום השטחים של המשולשים ADEו FCE -יהיה מינימלי. בתשובתך תוכל להשאיר שורש. )10נתון משולש שווה-שוקיים ABC AB AC שבו אורך הגובה ADלבסיס BCהוא 12ס"מ, ואורך הבסיס BCהוא 10ס"מ M .היא נקודה כלשהי על הגובה . ADנסמן . MD x א .מצא עבור איזה ערך של x סכום הקטעים AM+MB+MCהוא מינימלי. תוכל להשאיר שורש בתשובתך. ב .חשב את גודל הזווית BMCעבור הערך של xשמצאת בסעיף א. )11אורך של קיר בצורת מלבן הוא 16מטר, והגובה של הקיר הוא 10מטר. רוצים לצפות בקרמיקה חלק מהקיר. החלק שוצים לצפות כולל: שני ריבועים זהים בפינות המלבן. משולש שווה שוקיים שבסיסו מקביל לצלע המלבן (השטחים האפורים בציור). סמן ב x -את האורך של צלע הריבוע ,וענה על סעיפים א-ג. א .הבע באמצעות xאת הגובה לבסיס המשולש שווה -שוקיים. ב .מה צריך להיות , xכדי שסכום השטחים שרוצים לצפות בקרמיקה יהיה מינימלי? ג .עבור ה x -שמצאת בסעיף ב ,חשב כמה אחוזים משטח הקיר מהווה החלק שרוצים לצפות בקרמיקה. 329 )12בציור שלפניך מוצגים הגרפים של הפונקציות f x x 2 9ו . g x x 3 - נקודה Aנמצאת ברביע הראשון על גרף הפונקציה . f x מנקודה Aהעבירו שני ישרים: ישר אחד ,המקביל לציר ה y -וחותך את גרף 2 הפונקציה g x בנקודה , Bוישר אחר, המקביל לציר ה x -וחותך את גרף הפונקציה f x בנקודה ( . Cראה ציור). נסמן את שיעור ה x -של הנקודה Aב . t - א .הבע באמצעות tאת השיעורים של הנקודות B , Aו. C - ב .מצא את הערך של tשעבורו שטח המשולש ABCהוא מקסימלי. תשובות סופיות: )1א 1.466 , A 1.58,1.78 , B 1.58,0.314 .יח"א AB ב 1.164 .יח"ש . SABO . 7,3 )2 )3א x 1 .ב 2,1 .ג .סקיצה בצד. )4א. )5א. )6א. )7א. 1 2 x 2 10 x ax 10a a 6 . ( x 2.5 a )2ב. ()1 4 2 10ס"מ 10 ,ס"מ .ב 11.18 .ס"מ 11.18 ,ס"מ. 100 ב 40 )2( .80 )1( .שקלים. x 3600 ב 60 .ס"מ ג 250 .ס"מ. x )8א k .ס"מ k ,ס"מ .ב. k 32 . )9ב. 40.5 . 5 3 )10א 2.887 . 3 x ב.120 . )11א 10 x .ב x 3 .ג. 33.125% . )12א C t , t 2 9 , B t, t 3 , A t, t 2 9 .ב. t 2 . 2 330 פרק - 10חשבון אינטגרלי: סיכום כללי האינטגרציה: הגדרה וחוקים יסודיים: כלל האינטגרציה של פונקציה פולינומית n 1 : ax n1 עבור מקדם קבוע aנקבל c : n 1 x n 1 c , n 1 . x n dx . n 1 , ax n dx חישוב שטחים באמצעות האינטגרל: .1שטח הכלוא בין גרף פונקציה וציר ה: x - b S f x dx a .2שטח הכלוא בין שני גרפים כך שגרף אחד כולו מעל השני: b S1 g x f x dx a c S 2 f x g x dx b S S1 S2 .3שטח הכלוא בין שני גרפים וציר ה : x - c b b a S f x dx g x dx c 331 b a שאלות לפי נושאים: שאלות יסודיות – חישובי אינטגרלים: )1מצא את האינטגרלים הבאים: 3 א x dx . ג. dx 4 x ה 2 x5 dx . 3 ז. ב. ד. 3 ו. 5 4 x2 1 3 x 16 x 4 x dx 6 2 3 )2מצא את האינטגרלים הבאים: 3 א x dx . 12x dx 2x dx 7dx 5 4 x3 2ax 2 ח 5 ax b b dx . ב 1 dx . 3 x 3 a x 1 ג 2 4 3 dx . x x a x 3 2 x x 2 dx ד. x3 )3מצא את האינטגרלים הבאים: אdx . ג. 1 2 בx dx . x 4 ד 3 x dx . x 1 dx x )4מצא את האינטגרלים הבאים: א. 5x 1 dx 3 1 דdx . 6x 3 בdx . 4 3 2 7x הax b dx . שאלות יסודיות – מציאת פונקציה קדומה: )5נתונה נגזרת של פונקציה. f ' x 3x2 7 : מצא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה . 2, 1 )6נתונה נגזרת של פונקציה. f ' x 2 x 6 : ערך הפונקציה בנקודת הקיצון שלה הוא .5 332 ג. 18 dx 2 6 x 5 מצא את הפונקציה. )7הנגזרת של פונקציה f x היא . f ' x x 8x 2 :נתון. f 2 1 : 2 א .מצא את . f x ב .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה . x 1 )8נתונה הנגזרת של פונקציה . f ' x 9 x2 4 : f x ערך הפונקציה בנקודה x 1הוא .3 א .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה. x 1 : ב .מצא את . f x ג. מצא את נקודות החיתוך של המשיק עם הצירים. )9הנגזרת של פונקציה f x היא . f ' x 2 x 3 :לפונקציה משיק ששיפועו הוא .-3 א .מצא את שיעור ה x -של נקודת ההשקה. ב .מצא את f x אם ידוע כי ערך הפונקציה באותה הנקודה הוא .7 )10הנגזרת של פונקציה f x היא. f ' x 6 x 5 : המשיק לפונקציה בנקודה Aיוצר זווית של 45עם הכיוון החיובי של ציר ה. x - א .מצא את שיעור ה x -של הנקודה .A ב .מצא את f x אם ידוע כי ערך הפונקציה באותה הנקודה הוא .- 6 ג. מצא את משוואת המשיק. )11הנגזרת של פונקציה f x היא. f ' x 3x 4 : הישר y 2 x 5משיק לגרף הפונקציה .מצא את . f x )12נתונה הנגזרת השנייה של הפונקציה . f '' x 8x 6 : f x א .מצא את f ' x אם ידוע כי לפונקציה יש נקודת קיצון ב . x 2 - ב .מצא את f x אם ידוע כי ערך הפונקציה בנקודת הקיצון הוא .2/3 )13נתונה הנגזרת השנייה של הפונקציה . f '' x 2 x 3 : f x א .שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה שבה x 1הוא .4מצא את . f ' x ב .ערך הפונקציה בנקודת ההשקה הוא .5מצא את . f x 333 האינטגרל המסוים: )14בסרטון זה מוסבר האינטגרל המסוים. 1 חשב את האינטגרל המסוים הבא. x 2 6 x 1 dx : 2 חישובי שטחים – פונקציה פולינומית: )15בסרטון זה מוסבר כיצד להשתמש באינטגרל המסוים כדי לחשב שטחים. נתונה הפונקציה. y 2 x 4 : חשב את השטח המוגבל שמתחת הישר, ציר ה x -והישרים x 1ו . x 2 - )16חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה , f ( x) x 2 2 x 3 :ציר הx - והישרים x 1ו . x 3 - )17נתונה הפונקציה . y x 3 2 א .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ב .חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה לצירים. )18נתונה הפונקציה. y x2 4 x 5 : א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ב .מצא את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה, ציר ה x -וציר ה. y - 334 )19נתונה הפונקציה . y x2 4 א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ב .חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה לציר ה . x - )20מצא את השטח המוגבל תחת הפונקציהf ( x) x3 2 x 2 x : וציר ה x -כמתואר באיור: )21נתונה הפונקציה . y x2 4 x 8 חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ,הצירים וקדקוד הפרבולה. )22בסרטון זה מוסבר כיצד לחשב שטח שמתחת לציר ה. x - נתונה הפונקציה . y x2 x 6 חשב את השטח המוגבל שמתחת לפונקציה ולצירים שברביע הרביעי. )23נתונה הפונקציה . f ( x) x 4 x 2 חשב את השטח המוגבל שמתחת הפונקציה וציר ה x -שברביע השלישי. 1 2 )24נתונה הפונקציה. f ( x) x 4 2 x 2 : חשב את השטח המוגבל שבין הפונקציה לציר ה. x - 335 )25חשב את האינטגרל המסוים של הפונקציה y x2 6 x 5בין 0ל.5- האם התוצאה מייצגת את סכום השטחים? S1 S2 : אם כן ,הסבר .אם לא ,נמק וחשב את סכום זה. 2 )26א .חשב את ערך האינטגרל הבא. x3 1 dx : 2 ב .נתונה הפונקציה. f x x3 1 : מעבירים ישרים x 2 :ו x 2 -כך שנוצרים השטחים S1ו S 2 -כמתואר באיור. חשב את סכום השטחים S1 S2 :והסבר מדוע תוצאת החישוב שונה מסעיף א'. )27נתונה הפונקציה. y x3 x2 2 x : יוצרים את השטחים S1ו S 2 -בין גרף הפונקציה וציר ה x -כמתואר באיור. א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ב .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה. x - )28בסרטון זה מופיע הסבר מסכם על חישוב שטחים. נתונות הפונקציותf x x 2 1 , g x 7 x 2 : חשב את גודל השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות הנ"ל. )29נתונות הפונקציות. y x 9 ; y x 3 : חשב את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות. 2 )30נתונות הפונקציות הבאות: . f x x2 4 x 12 , g x x 6 חשב את גודל השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות הנ"ל. 336 )31נתונה הפונקציה. y 3x2 6 x 9 : א .מצא נקודות חיתוך של הפונקציה עם הצירים (נסמנן ב A-ו.)B- ב .חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה לישר .AB )32נתונה הפרבולה y x2 6 x :והישר . y 5 חשב את השטח המוגבל בין גרף הפרבולה לישר. )33חשב את השטח המוגבל בין גרפים של הפונקציות. y x2 4 x ; y x2 6 : )34נתונה הפונקציה. f x x3 : חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה, הישר y 8וציר ה y -כמתואר באיור. )35נתונות הפונקציות הבאות: . g x x 4 ; f x x2 4 x מסמנים את השטח הכלוא בין שני הגרפים וציר ה y -ב, S1 - ואת המשך השטח הכלוא בין הגרפים ב S 2 -כמתואר באיור. א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות. ב. S1 חשב את היחס שבין השטחים: S2 . 337 )36נתונה הפונקציה f ( x) x3 4 x 5 :והישר . y 5 א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה והישר. ב .חשב את השטח המוגבל ביניהן. )37נתונה הפונקציה. f ( x) x3 3x2 3x : הישר ACחותך את גרף הפונקציה בנקודות הבאות. A 0, 0 , B 1,1 , C 2, 2 : חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה לישר .AC )38בסרטון זה מוסבר כיצד לחשב שטח של פונקציה ללא גרף נתון. חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות. f x x3 , g x x : )39חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה f x x3 4 xלציר ה . x - )40הפונקציות f x x 2 :ו g x x 2 2 x -נחתכות ב 2-נקודות. א .מצא את נקודות החיתוך. ב .מצא את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות. )41נתונות הפונקציות f x x2 6 x 8 :ו. g x x 2 - א .סרטט את הפונקציות במערכת צירים אחת. ב .מצא את השטח המוגבל בין הגרפים והצירים. )42בסרטון זה מוסבר מהו שטח מורכב. נתונות שתי פונקציות: . f x x2 2x 1 , g x x2 6x 9 חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות ובין ציר ה. x - )43הפונקציות המתוארות בשרטוט הן. y 3x ; y x2 4x 6 : א .מצא את קדקוד הפרבולה. ב .מצא נקודת חיתוך של הפרבולה עם הישר. ג .חשב את השטח המסומן שבשרטוט. 338 )44נתונות הפונקציות. y x2 4x 14 , y x2 4 x 6 : א .מצא את שיעורי ה x -של קדקודי הפרבולות. ב .חשב את נקודת החיתוך בין שתי הפונקציות. ג .חשב את השטח המסומן בשרטוט. )45נתונות הפונקציות. f ( x) ( x 3)2 , g ( x) ( x 3)2 : חשב את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות וציר ה . x - 1 2 )46נתונות שתי הפונקציות, y x 2 : 2 1 2 .y x א .מצא את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות לציר ה . x - ב .מצא את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות לציר ה . y - )47נתונות הפונקציות. y x2 , y 8 x2 : חשב את השטח המוגבל על ידי שתי הפונקציות וציר ה x -ברביע הראשון. )48נתונה הפרבולה. y x2 4 x 3 : מעבירים ישר המקביל לציר ה x -מקדקוד הפרבולה. א .מצא את שיעורי קדקוד הפרבולה. ב .מצא את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ,הישר והצירים. )49נתונות הפרבולות הבאות: . f ( x ) x 2 5 x , g ( x) x 2 3 x חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של הפרבולות וציר ה . x - 339 )50נתונה הפונקציה. y 2 x2 : מעבירים משיק לגרף הפונקציה מהנקודה. A 1, 2 : המשיק חותך את ציר ה x -בנקודה .B חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה ,המשיק וציר ה . x - )51נתונה הפונקציה . y x2 4 בנקודה 1,3העבירו משיק. א .מצא את משוואת המשיק. ב .מצא את השטח המוגבל בין הפונקציה, המשיק וציר ה . y - ג .חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה, המשיק וציר ה . x - )52משוואת הפרבולה היא. f ( x) 2 x2 3x 2 : הנקודות B 2, 0 , C 0, 2 הן נקודות חיתוך של הפרבולה עם הצירים .המשיק לפרבולה בנקודה Dמקביל לישר .BC א .מצא את משוואת המשיק. ב .מצא את השטח המוגבל בין הפרבולה ,המשיק וציר ה . x - ג .מצא את השטח המוגבל בין הפרבולה ,המשיק וציר ה . y - 340 שאלות עם פרמטרים: )53נתונה הפרבולה. y ax2 8 : שיפוע המשיק לגרף הפרבולה בנקודה שבה x 2הוא .-2 א .חשב את . a ב .חשב את השטח המוגבל על ידי המשיק, הפרבולה וציר . y y ax 2 a ( ,פרמטר). )54הפונקציה המתוארת בשרטוט היא: המרובע ABCDהוא ריבוע. הקדקוד Bנמצא על גרף הפונקציה. ידוע כי אורך צלע הריבוע היא 2יחידות. מצא את ערך הפרמטר aואת השטח המסומן בסרטוט. )55הפונקציה b , a) , y ax2 bx :פרמטרים ) a 0 ,חותכת את ציר ה x -בנקודות 0, 0 ו. 2, 0 - חשב את ערכי הפרמטרים b , aאם ידוע כי השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה וציר ה x -הוא 8יחידות שטח. )56הפונקציות y 2 x2ו a 0 , y ax2 bx -נחתכות בנקודות 0, 0 :ו . 1, 2 -ידוע כי השטח הכלוא בין הגרפים של שתי הפונקציות הוא 0.5יחידות שטח. מצא את ערכי הפרמטרים . b , a )57נתונה הפונקציה . y x3 מעבירים אנך לציר ה a ( x a : x -פרמטר חיובי) כך שנוצר שטח הכלוא בין האנך ,גרף הפונקציה וציר ה. x - א .הבע באמצעות aאת השטח המקווקו בציור. ב .חשב את aאם ידוע כי שטח זה שווה ל . a 2 - 341 חישובי שטחים – פונקציה רציונאלית: )58נתונות שתי פונקציות. f x 12 , g x x : x חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות, הישר x 2וציר ה. x - חישובי שטחים – פונקצית שורש: 3 )59באיור שלפניך נתונה הפונקציה x : x מעבירים ישר y 4 x :החותך את גרף הפונקציה . f x בנקודה Aהמסומנת באיור. א .מצא את שיעורי הנקודה .A ב .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה , f x הישר , y 4 xציר ה x -ואנך לציר ה. x 4 : x - 9 )60באיור שלפניך מתוארת הפונקציה: 2x 1 . f x מעבירים את הישרים המקבילים לציריםx 13 : ו y 3 -כך שנוצר המלבן ABCDכמתואר באיור. הישר y 3חותך את גרף הפונקציה בנקודה .M א .מצא את שיעורי הנקודה .M ב .מסמנים את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה S1 2 והישרים ב S1 -ואת שטח המלבן ב . S 2 -הראה כי: S2 13 342 . :תשובות סופיות . 7x c ו x6 x4 x5 x4 c .ה c .ד c . ג2x6 c .ב c .) א1 5 9 2 4 x 4 ax3 ax 2 bx c .ח . 5 3 b x5 x3 1 4 4 x 2 x 2 x c .ז 6 6 3 x 2 1 1 a x2 1 c .) א2 3 2 c . ג 2 c . ב 2 x x 2 x 2a 2x x1.5 2 3 c .) א3 x c .ב . 8 x 2 x3 c . ד2 x c .ג 1.5 3 1 1 . 2x 2 c .ד x x 3 2 7 x 6x 3 3 c . ד c . ג c .ב 3 35 6x 5 5 . f ( x) x 6 x 14 )6 f ( x) x 7 x 5 )5 2 3 . 2 5 x 1 4 20 ax b 3a c .) א4 3 c .ה x3 2 . y 5x 27 . בf x 4 x 2 2 x 23 .) א7 3 3 3 . 0, 2 , 0.4,0 . גf x 3x 4 x 4 . בy 5x 2 .) א8 . f x x2 3x 7 . בx 0 .) א9 . f x 1.5x2 4 x 11 )11 . y x 5 .ג . f x f x 3x 2 5x 8 . בx 1 .) א10 4 x3 3x 2 4 x 10 . בf ' x 4 x 2 6 x 4 .) א12 3 x3 3 2 1 x 6 x . בf ' x x 2 3x 6 .) א13 3 2 6 2 . יח"ש9 . ב 3, 0 .) א17 . יח"ש22 )16 . יח"ש15 )15 . יח"ש15 )14 3 1 2 1 .) יח"ש20 .10 . ב 2,0 , 2,0 .) א19 . יח"ש33 . ב 1,0 , 5,0 .) א18 12 3 3 4 2 . יח"ש4 )24 . יח"ש4 )23 . יח"ש13.5 )22 . יח"ש10 )21 15 3 1 1 . יח"ש3 . ב 1,0 , 0,0 , 2,0 .) א27 . יח"ש9.5 . ב4 .) א26 .13 . ב. 8 .) א25 3 12 1 5 1 . יח"ש13.5 . בA 0, 9 , B 3,0 .) א31 S יח"ש57 )30 . יח"ש20 )29 . יח"ש21 )28 6 6 3 1 2 . יח"ש12 )34 . יח"ש21 )33 . יח"ש10 )32 3 3 5 . יח"ש8 . ב 2,5 , 0,5 , 2,5 .) א36 . 2 . ב1,3 , 4,0 .) א35 11 . f x 343 1 )37 2 5 2 )42יח"ש )43א 2, 2 .ב 1,3 .ג 3 .יח"ש. 6 3 1 )44א x 2 , x 2 .ב 1,11 .ג 25 .יח"ש 18 )45 .יח"ש. 3 5 7 4 )46א .יח"ש ב 1 .יח"ש 4 )47 .יח"ש. 12 12 3 1 4 1 )48א 2,1 .ב .יח"ש 16 )49יח"ש )50 .יח"ש. 3 3 6 7 1 יח"ש. )51א y 2 x 5 .ב .יח"ש .ג. 12 3 2 2 )52א y x 4 .ב 2 .יח"ש .ג .יח"ש. 3 3 2 1 4 1 )53א a .ב .יח"ש 2 , a )54 .יח"ש. 3 2 3 2 1 3 1 3 יח"ש 0.5 )38 .יח"ש 8 )39 .יח"ש )40 .א 0,0 , 1,1 .ב .יח"ש 7 )41 .יח"ש. a4 ב. a 2 . )57 . a 1 , b 3 )56 a 6 , b 12 )55א. 4 1 )58יח"ש )59 . S א A 1, 4 .ב 15.5 .יח"ש )60 .א. M 5,3 . 344 תרגול נוסף: תרגילים העוסקים בפונקציה פולינומית: מציאת פונקציה קדומה: 3x 1 )1נתונה הפונקציה: x g ( x) ונתונה הנגזרת של הפונקציה ), f '( x) kx2 3x : f ( x 1 ( kפרמטר) .ידוע ששיפוע המשיק לפונקציה ) g ( xבנקודה שבה 2 המשיק לפונקציה ) f ( xבנקודה שבה . x 4 x זהה לשיפוע א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .מצא את הפונקציה ) f ( xאם ידוע שהפונקציות נחתכות בנקודה שבה . x 1 )2נתונה הנגזרת של הפונקציה ) k , f '( x) kx 2 : f ( xפרמטר. 6x 1 ידוע כי הפונקציה ) f ( xחותכת את הפונקציה x g ( x) בנקודה שבה y 5 וכי שיפוע המשיק לפונקציה ) f ( xבנקודת החיתוך שלהן הוא . m 4 א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .מצא את הפונקציה ). f ( x 4x 1 )3הפונקציה ) f ( xמשיקה לפונקציה: x . g ( x) בנקודת ההשקה העבירו משיק שמשוואתו . y x 2 הנגזרת של הפונקציה ) f ( xהיא. f '( x) x : א .מצא את נקודת ההשקה. ב .מצא את הפונקציה ). f ( x )4נתונה הנגזרת של הפונקציה a , b , f '( x) ax2 5x b f ( x) :פרמטרים. לפונקציה יש קיצון בנקודה שבה . x 1ידוע ששיפוע המשיק לגרף 3x 16 הפונקציה x g ( x) בנקודה שבה x 2זהה לשיפוע המשיק של גרף הפונקציה ) f ( xבאותה נקודה. א .מצא את aואת . b ב .מצא את הפונקציה ) f ( xאם ידוע שהיא עוברת בראשית הצירים. ג .הראה שאין לפונקציה ) f ( xעוד נקודות חיתוך עם ציר ה x -מלבד ראשית הצירים. 345 3 )5נגזרת הפונקציה ) f ( xהיא: 4 k , f '( x) kx 7פרמטר. 4x 4 ידוע כי לפונקציה ) f ( xולפונקציה x g ( x) יש משיק משותף בנקודה שבה . x 4 א .מצא את משוואת המשיק. ב .מצא את ערך הפרמטר . k ג .מצא את הפונקציה ). f ( x )6נתונה הנגזרת של הפונקציה ) a , f '( x) ax2 3x : f ( xפרמטר. משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 1היא . y 3x 8.5 א .מצא את ערך הפרמטר . a ב .מצא את הפונקציה ). f ( x ג .האם יש לגרף הפונקציה עוד משיקים בעלי שיפוע זהה למשיק זה? אם כן – מצא אותם ,אם לא ,נמק. )7הנגזרת של הפונקציה ) f ( xהיא a , b , f '( x) ax3 bx :פרמטרים .ידוע כי משוואת המשיק לפונקציה באחת מנקודות החיתוך שלה עם ציר ה x -היא. y 16 x 32 : כמו כן מתקיים גם. f '(1) 4 : א .מצא את ערכי הפרמטרים aו . b - ב .מצא את הפונקציה ). f ( x )8הנגזרת של הפונקציה ) f ( xהיא k , f '( x) 3x2 kx 3 :פרמטר. ידוע כי ערך הנגזרת בנקודה שבה x 1הוא .-4 כמו כן הישר y 4חותך את גרף הפונקציה בנקודת החיתוך של עם ציר ה. y - א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .מצא את הפונקציה ). f ( x ג .האם הישר y 4חותך את גרף הפונקציה בעוד נקודות? אם כן ,מהן? )9הנגזרת השנייה של הפונקציה ) f ( xהיא. f ''( x) 12 x : לפונקציה יש נקודת קיצון על ציר ה x -שבה . x 2 א .האם יש לפונקציה עוד נקודות קיצון? ב .מצא את הפונקציה ). f ( x 346 חישובי שטחים (ללא מציאת פונקציה קדומה): y )f ( x )10לפניך הגרפים של הפונקציות. y 13x 1 , f ( x) x3 12x 1 : הוכח. S1 S2 : S2 S1 x y )11לפניך נתונות שתי הפונקציות הבאות: )g ( x . g ( x) 3x2 12 x , f ( x) 1.5x2 3x 36 א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות. ב .חשב את השטח הנוצר בין שתי הפונקציות. x )f ( x )12נתונות הפונקציה f ( x) x2 16 :והישר. y x 14 : א .מצא את נקודות החיתוך של הגרפים. ב .חשב את השטח המוגבל בין הגרפים ברביע הראשון. y )f ( x x )13נתונה הפונקציה. f ( x) x3 4 x : א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ב .הוכח שציר ה x -מחלק את השטח הכלוא בינו לבין הפונקציה לשני חלקים שווים. x2 )14לגרף הפונקציה 8 : 2 f ( x) מעבירים ישר העובר דרך נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים ושיפועו שלילי (ראה איור). א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. ב .מצא את משוואת הישר. ג .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה לישר. y x )f ( x y )f ( x )15לגרף הפונקציה f ( x) x2 3x 4 :מעבירים משיק בעל שיפוע חיובי דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה x -כמתואר באיור. א .מצא את משוואת המשיק. ב. S1 חשב את יחס השטחים S2 x S1 S2 המסומנים באיור. )16לגרף הפונקציה f ( x) x2 2 x 3 :מעבירים משיק בנקודה שבה( x 2 :ראה איור). א .מצא את משוואת המשיק. ב .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,המשיק וציר ה. x - 347 y x )f ( x y )f ( x )17באיור שלפניך מתוארים גרף הפונקציהf ( x) 4 x x3 : והישר. y 4 x 8 : א .מצא את נקודת החיתוך בין שני הגרפים. ב .חשב את השטח הכלוא בין הפונקציה ,הישר וציר ה ( . y -המסומן). x y )18באיור שלפניך מתוארים גרף הפונקציהf ( x) x3 8 : והישר. y x 8 : א .מצא את נקודות החיתוך בין שתי הפונקציות. ב .חשב את השטח הכלוא בין שתי הפונקציות. )f ( x x y )f ( x )19הישר y 4חותך את גרף הפונקציהf ( x) ( x 1)2 : A בנקודה Aשברביע הראשון. חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,הישר וציר ה( y -המסומן). )g ( x )20באיור שלפניך מתוארות הפונקציות: f ( x) 16 x2ו. g ( x) x2 2 x 4 - א .מצא את נקודות החיתוך של הגרפים. ב .חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים לציר ה. x - )21נתונה הפונקציה. f ( x) x 2 : מנקודת החיתוך שלה עם ציר ה y -מעבירים משיק. א .מצא את משוואת המשיק. ב .מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה . x - ג .חשב את השטח הכלוא בין המשיק ,גרף הפונקציה וציר ה( x -השטח המסומן). x y x )f ( x y 2 )f ( x x )22נתונה הפונקציה . f ( x) x2 10 x :הישר y 9 :חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות Aו B-כמתואר באיור. מנקודות אלו מורידים אנכים לציר ה x -כך שנוצר מלבן .ABCD א .מצא את נקודות החיתוך של הישר y 9עם A y9 גרף הפונקציה ). f ( x ב .מצא את שטח המלבן .ABCD x C )f ( x ג .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,המלבן וציר ה( x -השטח המסומן). 348 y B D )23נתונה הפונקציה . f ( x) x 2 6 x 5 :מעבירים ישר ששיפועוm 1 : וחותך את ציר ה x -שנקודה שבה . x 8 :מישר זה מורידים אנך לגרף הפונקציה לנקודת המקסימום שלה ומעלים אנך מנקודת החיתוך שלה עם ציר ה. x - א .מצא את משוואת הישר. ב .מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה. ג .חשב את השטח המוגבל על ידי הישר וגרף הפונקציה. y x )f ( x )24נתונות הפונקציות f ( x) x3 2 x2 2 :ו, g ( x) 2 x2 bx 2 - ( bפרמטר) .הפונקציות נחתכות בנקודה שבה. x 2 : א .מצא את ערך הפרמטר . b ב .מצא את שאר נקודות החיתוך של שתי הפונקציות. ג .חשב את השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות (השטח המתואר באיור). y )f ( x x )g ( x )25לגרף הפונקציה f ( x) x2 4 x 21 :מעבירים משיקים בנקודות שבהן y 9 :כמתואר באיור .משיקים אלו נחתכים בנקודה .A א .כתוב את משוואות המשיקים. ב .מצא את שיעורי הנקודה .A ג .חשב את השטח המוגבל על ידי המשיקים לגרף הפונקציה (השטח המסומן). y A x )f ( x y )f ( x 6 )26א .חשב את האינטגרל הבא. x 2 8 x 12 dx : 0 ב .באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה. f ( x) x 8x 12 : חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,ציר ה y -וציר ה. x - ג .הסבר מדוע התוצאה שקיבלת אינה תואמת את זו של סעיף א'. 2 x )27נתונות הפונקציות f ( x) x 2 :וg ( x) x 2 - 2 2 כמתואר באיור. א .התאם בין הפונקציות לגרפים Iו.II- ב .מסמנים את השטחים שבין כל פונקציה והצירים ב S1 -ו S 2 -כמתואר באיור. הראה כי השטחים S1ו S 2 -שווים זה לזה. 349 y I S1 x II S2 y A )28נתונה הפונקציה . f ( x) 9 x2 :מהנקודה A 1,8שעל הגרף הפונקציה מעבירים ישרים לנקודות החיתוך של x C B הפונקציה עם ציר ה B x -ו C-כך שנוצר המשולש .ABC )f ( x א .מצא את שיעורי הנקודות Bו.C- ב .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה למשולש ( ABCהשטח המסומן). )29נתונה הפונקציה. f ( x) x3 3x2 18x 40 : ידוע כי לפונקציה יש נקודת חיתוך עם ציר ה x -שבה . x 5 מנקודה זו מעבירים ישר החותך את הפונקציה בנקודת החיתוך x שלה עם ציר ה ( y -ראה איור). א .כתוב את משוואת הישר. ב .מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה לישר (השטח המסומן). y )f ( x )30נתונה הפונקציה. f ( x) x2 6 x 12 : ישר העובר בראשית הצירים חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה x 4כמתואר באיור. x א .מצא את משוואת הישר. ב .מצא את נקודת החיתוך השנייה של הישר והפונקציה. ג .מצא את השטח המוגבל בין הישר ,גרף הפונקציה ,ציר ה x -והישר . x 4 y )31נתונות הפונקציות f ( x) x2 7 x 10 :ו. g ( x) x2 7 x 12 - א .מצא את נקודות החיתוך של שתי הפונקציות עם ציר ה ? x - ב .חשב את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות לציר ה x - (השטח המסומן). )f ( x y )g ( x) f ( x x )32באיור שלפניך מתוארות הפונקציות f ( x) x2 2 x k :ו . g ( x) 4 x x 2 - ידוע כי אחת מנקודות החיתוך של הפונקציות עם ציר ה x -היא זהה ואינה ראשית הצירים. א .מצא את ערך הפרמטר . k x ב .חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים )g ( x של הפונקציות וציר ה . x - y )f ( x )f ( x )33נתונה הפונקציה. f ( x) x3 6 x2 9 x 3 : מהנקודה 3, 0 שעל ציר ה x -מעבירים ישר החותך את גרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה y -כמתואר באיור הסמוך. x א .מצא את משוואת הישר. ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. 350 y ג. חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ,הישר שמצאת בסעיף א' ואנכים לציר ה x -מנקודות הקיצון. y )34באיור שלפניך מתוארת הפונקציה. f ( x) x 1 : 2 )f ( x מנקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה y -מעבירים ישר l1 ששיפועו הוא . m 2כמו כן מעבירים ישר נוסף l2המקביל לישר l1וחותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה . x 5 x א .מצא את משוואות הישרים l1ו . l2 - ב .מצא את שאר נקודות החיתוך של הישרים הנ"ל עם הפונקציה. ג .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ,הישרים וציר ה ( x -השטח המסומן). y )35נתונה הפונקציה k , f ( x) kx x2 :פרמטר. הישר y 9חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות. ידוע כי שיעור ה x -של אחת מנקודות החיתוך הוא . x 9 x א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .מצא את נקודת החיתוך השנייה בין שני הגרפים. ג .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ,הישר וציר ה( x -המסומן). )f ( x חישובי שטחים (כולל מציאת פונקציה קדומה): )36נתונה הנגזרת . f '( x) 6 x :ידוע שהפונקציה חותכת את ציר ה x -בנקודה שבה. x 5 : א .מצא את הפונקציה ). f ( x ב .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה לציר ה . x - )37לגרף הפונקציה ) f ( xשנגזרתה היא f '( x) x2 x 2 :מעבירים משיק מנקודת המקסימום שלה .ידוע שמשיק זה חותך את גרף הפונקציה בעוד נקודה והיא . 2.5,3 א .מצא את נקודת המקסימום. ב .מצא את הפונקציה. ג .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה למשיק (עגל לשתי ספרות אחרי הנקודה). )38הנגזרת של פרבולה מרחפת ) f ( xהיא. f '( x) 2 x : מהנקודה 2,10 שעל גרף הפרבולה מעבירים ישר yהמאונך למשיק שם (נורמל) (ראה איור). א .מצא את משוואת הפרבולה. ב .מצא את משוואת הישר . y x ג .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפרבולה ,הישר והצירים. 351 y )f ( x y )39נתונה הנגזרת. f '( x) 2 x 3 : ידוע שגרף הפונקציה חותך את ציר ה y -בנקודה שבה. y 4 : א .מצא את הפונקציה ). f ( x ב .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה לצירים. )40משוואת המשיק לפונקציה ) f ( xבנקודה שבה x 2 :היא. y x 13 : הנגזרת של הפונקציה היא. f '( x) 4 x 7 : א .מצא את הפונקציה ). f ( x ב .חשב את השטח הכלוא בין המשיק ,גרף הפונקציה וציר ה . y - x (ראה איור). )f ( x y )41הנגזרת השנייה של הפונקציה ) f ( xהיא. f ''( x) 4 : לפונקציה יש נקודת מינימום . 1, 8 א .מצא את הפונקציה ). f ( x ב .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה לציר ה . x - y )42באיור שלפניך מתוארות הפונקציות שנגזרותיהן: . f '( x) 4 2 x , g '( x) 2 x 1ידוע ששתי הפונקציות חותכות את ציר ה x -בנקודה שבה . x 4 x א .מצא את הפונקציות. ב .חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של שתי הפונקציות וציר ה . x - )g ( x )f ( x )43הנגזרת של הפונקציה f x המתוארת באיור שלפניך היא. f '( x) 3 2 x : ישר ABשמשוואתו היא y 6חותך בנקודות Aו B-את גרף הפונקציה. מנקודות אלו מורידים אנכים לציר ה x -כך שנוצר מלבן ABCD A ששטחו 30יחידות .ידוע ששיעור ה x -של הנקודה Aהוא .4 x א .מצא את הפונקציה . f x D )f ( x y B C ב .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,המלבן וציר ה. x - y )44באיור שלפניך מתוארים גרף הפונקציה f x והישר. y 2 x : נגזרת הפונקציה f x היא f '( x) 2 x 6 :וידוע הישר חותך את הפונקציה בנקודה שבה ערך ה y -הוא .16 א .מצא את הפונקציה . f x )f ( x x ב .האם יש לגרף הפונקציה ולישר עוד נקודות חיתוך? אם כן מצא אותן. ג .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה לישר. 352 )45באיור שלפניך חותך גרף הפונקציה f ( x) x2 :את גרף הפונקציה ) g ( xבנקודה שבה . x 2הנגזרת של הפונקציה ) g ( xהיא. g '( x) 2 x 8 : א .מצא את הפונקציה ). g ( x ב .חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים לציר ה( x -המסומן). )g ( x y )f ( x x )46נתונה הנגזרת . f '( x) 3x2 6 x 9 :משיק ששיפועו 15משיק לפונקציה ברביע הרביעי בנקודה שבה. y 20 : א .מצא את הפונקציה ). f ( x ב .האם יש עוד משיקים לגרף הפונקציה בעלי שיפוע ?15 x אם כן ,מצא אותם. ג .1 .הראה שהנקודה שבה x 7משותפת למשיק שמצאת בסעיף הקודם ולפונקציה ). f ( x .2מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה למשיק שמצאת בסעיף הקודם (ראה איור). y )f ( x y )f ( x )47משוואת המשיק לגרף הפונקציה ) f ( xבנקודה שבהx 2 : היא . y x 3 :נגזרת הפונקציה היא. f '( x) x 3 : א .מצא את הפונקציה ). f ( x x ב .חשב את השטח המוגבל בין המשיק לגרף הפונקציה (ראה איור). )48הישר y x 16משיק לגרף הפונקציה ) f ( xבנקודה שבה. x 4 : נגזרת הפונקציה היא. f '( x) x 3 : א .מצא את הפונקציה ). f ( x x ב .חשב את השטח הכלוא בין המשיק ,גרף הפונקציה וציר ה( x -ראה איור). )49הנגזרות של הגרפים ) f ( xו g ( x) -הן. f '( x) 2 x , g '( x) 10 2 x : הפונקציות חותכות זו את זו בנקודה ). (2.5,18.75 א .מצא את הפונקציות ) f ( xו. g ( x) - x ב .היעזר באיור וחשב את השטח המוגבל בין )g ( x שתי הפונקציות וציר ה. y - 353 y )f ( x y )f ( x y )50הישר y 2 x 5משיק לגרף הפונקציה ) f ( xבנקודה שבה. x 1 : נגזרת הפונקציה ) f ( xהיא. f '( x) 2 x 4 : א .מצא את הפונקציה ). f ( x ב .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ,המשיק, x ציר ה x -והישר( . x 3 :ראה איור) y )51הנגזרת של הפרבולה ) f ( xהיא. f '( x) 2 x 6 : ידוע שהפרבולה חותכת את ציר ה y -בנקודה שבה . y 5 מנקודה זו מעבירים משיק לגרף הפרבולה (ראה איור). א .מצא את ). f ( x ב .חשב את השטח מוגבל בין גרף הפרבולה ,המשיק וישר היוצא מנקודת הקיצון של הפרבולה (ראה איור). )52נגזרת הפונקציה ) f ( xהיא. f '( x) 3x2 8x 12 : הישר y 5חותך את גרף הפונקציה ) f ( xעל ציר ה. y - א .מצא את הפונקציה ). f ( x ב .מצא את השטח המוגבל בין הישר לפונקציה (ראה איור). 354 )f ( x )f ( x x y )f ( x x :תשובות סופיות 1 3 1 . ב. k 1 .) א1 6 1 1 . f ( x) x3 2.5x2 2x . בa 3 , b 2 .) א4 . f ( x) x 2 2 .ב. 1,3 .) א3 2 2 3 . f ( x) x 2 7 x 10 . ג. k 2 . ב. y 0.25x 6 .) א5 4 1 . y 3x 5 . כן. ג. f ( x) 2 x3 1.5x2 6 . ב. a 6 .) א6 8 . f ( x) x2 2 x 2 . ב. k 2 .) א2 . f ( x) x3 1.5x 2 . f ( x) x4 4 x2 . ב. a 4 , b 8 .) א7 . 3, 4 , 1, 4 . כן. ג. f ( x) x3 2 x2 3x 4 . ב. k 4 .) א8 . S יח"ש162 . ב 4, 0 , 2,36 .) א11 . f ( x) 2 x3 24 x 32 . ב. כן.) א9 5 6 . 2,0 , 0,0 , 2,0 .) א13 . S 44 . ב. 6, 20 , 5,9 .) א12 . S1 7 1 . ב. y 5x 20 .) א15 . S יח"ש5 . ג. y 2 x 8 . ב. 0,8 , 4, 0 , 4, 0 .) א14 S2 8 3 . S יח"ש12 . ב. 2, 0 .) א17 . S יח"ש 7 . ב. y 2 x 7 .) א16 12 1 . ב. 1,7 , 0,8 , 1,9 .) א18 2 2 2 . S יח"ש. ג. 1, 0 . ב. y 4 x 4 .) א21 . S 43 . ב. 3, 7 , 2,12 .) א20 3 3 2 2 . S 2 . ג. Max 3, 4 . ב. y x 8 .) א23 . S 94 . ג. SABCD 72 . ב. 1,9 , 9,9 .) א22 3 3 . S יח"ש4 . ג. 0, 2 , 2, 14 . בb 4 .) א24 . S יח"ש9 )19 . S 2 . S יח"ש42 . ג. A 2, 41 . ב. y 8x 57 , y 8x 25 .) א25 3 1 3 . האינטגרל של סעיף א' מכיל ערכים חיוביים ושליליים יחדיו. ג. S 21 . ב.0 .) א26 פעולת האינטגרל מחסרת בין השניים ומכיוון שהגדלים החיוביים והשליליים שווים .0 בערך מוחלט (וזאת ניתן לראות לפי החישוב של סעיף ב') התקבל הסכום . S 12 . ב. C 3, 0 , B 3, 0 .) א28 . II g ( x) , I f ( x) .) א27 5 3 . ג. 3,3 . ב. y x .) א30 . S 93 . ב. y 8x 40 .) א29 6 4 1 1 . S 25 . ב. k 8 .) א32 . S 4 . ב. 2, 0 , 3, 0 , 4, 0 , 5, 0 .) א31 3 3 .S 7 355 . S 8 . ג. Max 1, 7 , Min 3,3 . ב. y 3 x .) א33 1 . ג. 1, 4 , 4,9 . ב. yl2 2 x 6 , yl1 2 x 1 .) א34 12 1 . S 500 . ב. f ( x) 3x2 75 .) א36 . S 81 . ג. 1,9 . ב. k 10 .) א35 3 . y k ולכן משוואתו תהיה מהסוגx - משיק בנקודת המקסימום מקביל לציר ה. 2,3 .) א37 .S 6 ולכןy 3 ניתן להבין שמשוואת המשיק היא 2.5,3 מאחר שהנקודה הנוספת היא x3 x 2 1 25 11.391 . ג. f ( x) 2 x . ב. 2,3 נקודת המקסימום תהיה 3 2 3 64 5 2 . S 20 . ב. f ( x) x2 3x 4 .) א39 . S 214 . ג. 4 y x 42 . ב. f ( x) x2 6 .) א38 6 3 1 1 . S 21 . ב. f ( x) 2 x2 4 x 6 .) א41 . S 5 . ב. f ( x) 2 x2 7 x 5 .) א40 3 3 . S 11 . S 46.5 . ב. f ( x) 4 x x2 , g ( x) x2 x 12 .) א42 1 1 . ג. 0, 0 . בf ( x) x2 6 x .) א44 . S 27 . ב. f ( x) x2 3x 10 .) א43 3 6 1 . S 546.75 .2 . ג. y 15x 28 . ב. f ( x) x3 3x2 9 x .) א46 . S 5 . ב. g ( x) ( x 4)2 .) א45 3 2 1 1 1 . S 42 . ב. f ( x) x 2 3x 8 .) א48 . S 1 . ב. f ( x) x 2 3x 5 .) א47 3 2 3 2 5 1 . S 2 . בf ( x) x2 4 x 6 .) א50 . S 31 . ב. f ( x) 25 x2 , g ( x) 10 x x2 .) א49 12 4 1 . S 189 . בf ( x) x3 4 x2 12 x 5 .) א52 . S 9 . בf ( x) x2 6 x 5 .) א51 3 . S 85 356 תרגילים העוסקים בפונקציה רציונאלית: 12 )1הנגזרת של הפונקציה ) f ( xהיא 3 : x4 y )f ( x . f '( x) ידוע כי משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה הנמצאת ברביע A הראשון היא. y 15x 16 : x א .מצא את הפונקציה ). f ( x מעבירים ישר y 2.75xהחותך את גרף הפונקציה בנקודה Aהנמצאת ברביע הראשון. x4 ב .מצא את שיעורי הנקודה .A ג .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה לישרים y 2.75x :וx 4 - (המקווקו). y 16 )2נתונה הפונקציה: x3 )f ( x . f ( x) 2 x4 x א .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה . x - ב .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ,ציר ה x -והישר. x 4 : y )f ( x )3באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות: a f ( x) 2 x 2 ו2 - x g ( x) בתחום a ( , x 0 :פרמטר). )g ( x x ידוע כי הגרפים נחתכים ברביע הראשון בנקודה הנמצאת על הישר. y 4 x : א .מצא את נקודת החיתוך של הגרפים ואת . a ב .חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים ,ציר ה x -והישר. x 4 : 27 )4א .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה 3x 1 : x2 f ( x) בנקודה שבה. x 1 : ב .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,המשיק והישר. x 4 : a )5נתונה הפונקציה: x3 y f ( x) 8 בתחום a ( , x 0 :פרמטר). )f ( x ידוע כי משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 1 :היא. y 3x 4 : א .מצא את aוכתוב את הפונקציה. ב .חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ,המשיק והצירים. x 357 a x2 )6גרף הפונקציה: x2 א .מצא את aוכתוב את הפונקציה. y f ( x) חותך את ציר ה x -בנקודה (.)6,0 ב. חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ,ציר הx - והישר. x 2 : x )f ( x *הערה :תרגיל זה בנוי מבעיית קיצון וחישוב אינטגרלי יחד: 2 1 )7א .מבין כל המשיקים לגרף הפונקציה: x 2 x3 f ( x) מצא את משוואת המשיק ששיפועו מינימלי. ב .באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה והמשיק שמצאת בסעיף א' .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,המשיק ואנך לציר ה x -היוצא מנקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה. x - a x2 )8נתונה הפונקציה: x2 y )f ( x x y a) , f x פרמטר חיובי). 2 ידוע כי שיפוע הפונקציה בנקודה שבה x a :הוא: 9 . )f ( x x א .מצא את ערך הפרמטר . a ב .כתב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה . x a ג .היעזר בסרטוט שבצד וחשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,המשיק ואנך לציר ה x -מנקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה . x - 6 )9הנגזרת של פונקציה f x היא: x4 . f ' x 4 ידוע כי משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה הנמצאת ברביע הראשון היא. y 10 x 6 : א .מצא את הפונקציה . f x מעבירים את הפונקציה . g x 64 x2 4 x 2 :הגרפים נחתכים בנקודה .A ב .מצא את שיעורי הנקודה .A ג .הוכח כי גרף הפונקציה f x שלילי עבור x 0.7וכי גרף הפונקציה g x שלילי עבור. x 0.25 : ד .היעזר בסקיצה שבצד וחשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים ,ציר ה x -והישרים x 0.7 :ו . x 0.25 - 358 )f ( x y x )g ( x 1 2 1 )10נתונה הפונקציה הבאה: x 2 x3 x 4 . f x א .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. ב .כתוב את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים. ג .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ד .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,ציר ה x -ואנך לציר ה x -היוצא מנקודת המקסימום של הפונקציה. )11נתונה הפונקציה הבאה x 2 : . f x 4 2 x א .הוכח כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה x -בנקודת הקיצון שלו. ב .כתוב את נקודות הקיצון של הפונקציה. 4 מעבירים את הישר: 81 y החותך את גרף הפונקציה בנקודה Aברביע השני. y ג .מצא את שיעורי הנקודה .A ד .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,הישר ואנך לישר מנקודת המקסימום של הפונקציה( .היעזר באיור). 4 )12נתונה הפונקציה הבאה x 1 : x2 y x )f ( x . f x א .מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה. מעבירים פרבולה A) , g x Ax2 :פרמטר) דרך נקודת הקיצון של הפונקציה. ב .מצא את ערך הפרמטר . A ג .מעבירים אנך לציר ה , x 3 : x -כך שנוצרים השטחים: S1שבין הגרפים של הפונקציות f x , g x וציר ה . x - S2שבין הגרפים של הפונקציות f x , g x והאנך. S2 חשב את יחס השטחים: S1 80 )13נתונה הפונקציה: x4 y )f ( x )g ( x S2 x S1 . k ) , f x k פרמטר). גרף הפונקציה חותך את ציר ה x -בשתי נקודות שהמרחק בניהן הוא 4יחידות. א .מצא את . k ב .כתוב את משוואת הנורמל לפונקציה בנקודת החיתוך שלה )f ( x עם ציר ה x -ברביע הראשון. ג .היעזר באיור שלפניך וחשב את השטח הכלוא בין גרף x הפונקציה ,הנורמל והישר. x 4 : 359 y 162 )14נתונות הפונקציות הבאות 2 : 3x3 . g x 6 x3 50 , f x א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות. ב .היעזר באיור שלפניך וחשב את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות ,הצירים והאנך. x 2 : a )15נתונות הפונקציות הבאות: x3 )g ( x )f ( x x a) , g x 2 x , f x פרמטר). ידוע כי הפונקציות נחתכות בנקודה שבה . x 2 א .מצא את ערך הפרמטר . a ב .האם הגרפים של הפונקציות נחתכים בנקודות נוספות? אם כן מצא אותן. ג .מעבירים אנך k ) x kחיובי) החותך את הגרפים של שתי הפונקציות ויוצר את השטח . S 7 היעזר באיור שלפניך ומצא את kעבורו מתקיים: 9 3 )16נתונה הפונקציה הבאה: x3 y y )g ( x )f ( x x .S 2 a) , f x a פרמטר) .מעבירים לגרף הפונקציה משיק מנקודת החיתוך שלו עם ציר ה . x -מסמנים נקודה Aעל המשיק ונקודה Bעל גרף הפונקציה ומעבירים את הישר .AB y א .מצא את ערך הפרמטר aאם ידוע כי לפונקציה f x A )f ( x B יש אסימפטוטה אופקית. y 3 : x ב .כתוב את משוואת המשיק. ג .ידוע כי . x B 3 , xA 2 : היעזר באיור שלפניך וחשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,המשיק והישר .AB 4 x3 kx 1 )17נתונה הפונקציה הבאה: x3 k ) , f x פרמטר) )f ( x ידוע כי לפונקציה נקודת קיצון שבה. x 0.5 : x א .מצא את ערך הפרמטר kוקבע את סוג הקיצון. ב .הוכח כי לגרף הפונקציה אין נקודות קיצון נוספות. ג .מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה. ד .באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה והאסימפטוטה האופקית שלו. מעבירים אנך לאסימפטוטה דרך נקודת הקיצון. חשב את השטח הנוצר באופן זה. 360 y :תשובות סופיות . S 1.125 . גA 2,5.5 . בf ( x) 4 3x .) א1 x3 . S 2.5 . ב 2, 0 .) א2 1 3 . S 182.25 . בy 51x 82 .) א4 . S 13 . ב 2,8 , a 32 .) א3 . S 3 . בf ( x) 8 1 , a 1 .) א5 x3 36 x 2 , a 36 .) א6 x2 1 . S . בy x 2 .) א7 8 2 2 . S 2 . גy x 2 . בa 3 .) א8 3 9 2 . S 2.537 . דA 0.5, 12 . בy 4 x 3 2 .) א9 x 1 1 .S . ד. סקיצה בצד. גx 0 , y 0 . בmin 1, 0 , max 2, .) א10 24 16 f ( x) 4 1 125 x .S 0.0964 . ד 1.5, . גmin 2, 0 , max 4, .) ב11 81 64 1296 S 13 . 2 . גA 1 . ב. min 2, 4 .) א12 S1 41 . S 8 . בf ( x) y .S 437 7.283 .ג 60 y 0.1x 0.2 . ב. k 5 .) א13 . S 73.75 . ב. 2, 4 , 1,56 .) א14 . k 3 . ג 2, 4 - כן. בa 32 .) א15 7 . גy 9 x 9 . בa 3 .) א16 9 . S 0.5 . דy 4 . גk 3 .) א17 .S 5 361 תרגילים העוסקים בפונקציה אי-רציונאלית: )1הנגזרת של הפונקציה ) f ( xהיא 2 x : k 2 x k , f '( x) פרמטר. ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 4 :הוא. m 7.75 : א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .מצא את הפונקציה ) f ( xאם ידוע כי המשיק לגרף הפונקציה משיק לה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה . x - 1 )2הנגזרת של הפונקציה ) f ( xהיא: x k , f '( x) kx פרמטר. נתונה הפונקציה . g ( x) 2 x2 9 x 4 :ידוע כי המשיק לגרף הפונקציה ) g ( xבנקודה שבה x 3 :מקביל למשיק לגרף הפונקציה ) f ( xבנקודה שבה. x 1 : א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .מצא את הפונקציה ) f ( xאם ידוע כי היא חותכת את גרף הפונקציה )g ( x בנקודה שבה. y 77 : )3א .מצא על גרף הפונקציה g ( x) 2 x :נקודה שבה שיעור ה x -שווה לשיעור ה. y - ב .הנגזרת של הפונקציה ) f ( xהיא: 3 2 x . f '( x) 1 ידוע כי הפונקציה ) f ( xחותכת את הפונקציה ) g ( xבנקודה שמצאת בסעיף הקודם. מצא את הפונקציה ). f ( x ג .האם הגרפים של הפונקציה ) f ( xו g ( x) -נחתכים בנקודות נוספות? אם כן ,מצא אותן. 4 )4הנגזרת של הפונקציה ) f ( xהיא k : x ידוע כי גרף הפונקציה עולה בתחום 0 x 4 :ויורד בתחום. x 4 : א .מצא את ערך הפרמטר . k k , f '( x) פרמטר. ב .מצא את הפונקציה אם ידוע כי ערכה המרבי הוא.8 : ג .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה . x - 16 )5באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות: x א .מצא את נקודת החיתוך של הגרפים. ב .חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים, ציר ה x -והישר. x 9 : 362 f ( x ) ו . g ( x) 2 x - )g ( x )f ( x x y 1 1 f ( x) )6באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות: ו2 - x x . g ( x) ב .מצא את נקודת החיתוך של הגרפים. x4 ג .מעבירים את הישרים x 4 :ו y 4 -כך שנוצר ריבוע. )f ( x .1חשב את השטח הכלוא בין הישרים הנ"ל )g ( x x והגרפים של שתי הפונקציות. .2חשב את היחס בין השטח שמצאת בסעיף הקודם לשטח הריבוע. 3 3 f ( x ) ו- )7באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות: x x מעבירים שני ישרים x k :ו x t -אשר חותכים את . g ( x) y )f ( x xt C xk x D B y . f ( x) )f ( x א .מצא את נקודת המינימום שלה. מנקודת המינימום של הפונקציה מעבירים ישר לנקודה 2, 0 :שעל ציר ה. x - ב. y 4 A הגרפים של הפונקציות ויוצרים את הקטעים ABו.CD- ידוע כי. AB 2CD : א .הראה כי. k 4t : ב .השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות והישרים x k :ו x t -הוא . S 12 :מצא את . k 1 )8באיור שלפניך נתונה הפונקציה x : 2x y x מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,הישר ואנך לציר הx - היוצא מהנקודה 2, 0 עד לנקודת החיתוך עם גרף הפונקציה. 3 )9א .מצא לאיזה ערך של aיתקיים 1dx 0 : 1 2x 1 3 ב .באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה 1 : . f ( x) 2x 1 מעבירים שני אנכים לציר ה x -והם x 1 :וx 13 - a . y S2 S1 x )f ( x כך שנוצרים השטחים S1 :ו. S 2 - מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ג .1 .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,ציר ה x -והאנך . S1 , x 1 .2היעזר בתוצאה שקיבלת ובסעיף א' וקבע לכמה שווה השטח. S 2 : נמק את טענתך. 363 x x 8 )10נתונה הפונקציה: x . f ( x) א .ענה על הסעיפים הבאים: .1מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. .2מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - .3הראה כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה. 17 ב .מעבירים משיק לגרף הפונקציה ששיפועו הוא: 16 .m מצא את נקודת ההשקה. ג .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,ציר ה x -ואנך לציר ה x -מנקודת ההשקה שמצאת בסעיף הקודם. 64k )11נתונות הפונקציות הבאות; g x kx : x k ) , f x פרמטר) . א .הבע באמצעות kאת שיעורי נקודת החיתוך של הפונקציות. ב .ידוע כי השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות ,ציר ה x - והאנך x 25 :הוא .1024מצא את . k 1 9 1 )12באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות; g x 2 : 16 x x f x ברביע הראשון .מנקודת החיתוך של הגרפים מעבירים משיק לפונקציה . f x א .הראה כי הגרפים נחתכים בנקודה שבה. x 4 : ב .כתוב את משוואת המשיק. ג .מנקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה x -מעלים אנך החותך את הגרפים של הפונקציות בנקודות Aו .B-חשב את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות והישר .AB 5 5 ; g x )13באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות: x x y A )g ( x )f ( x B x . f x מעבירים שני ישרים x k :ו k t , x t -אשר חותכים את הגרפים של הפונקציות ויוצרים את הקטעים ABו .CD-ידוע כי. AB 3CD : א .הראה כי. k 9t : ב .השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות x והישרים x k :ו x t -הוא. S 80 : מצא את . k 364 y )f ( x A xt C x k D B )g ( x 2 )14נתונה הפונקציה: 2x 1 . f x 16 x y )f ( x א .מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה. x ג .מעבירים אנך לציר ה y -ומנקודת הקיצון. חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,האנך וציר ה. y - 32 )15נתונה הפונקציה הבאה: x . f x x2 y )f ( x א .הוכח כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה. x ב .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה . x - ג .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,המשיק והאנך x 9 כמתואר באיור שלפניך. 2 )16א .מצא עבור איזה ערך של aיתקייםdx 0 : 2x 5 a a 3) , 1 פרמטר). 2 באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה: 2x 5 מעבירים שני אנכים לציר ה x -והם x 3 :וx 7 - כך שנוצרים השטחים S1 :ו. S 2 - 3 y . f ( x) 1 )f ( x S2 x S1 ב .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ג .1 .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,ציר ה x -והאנך . S1 , x 3 .2היעזר בתוצאה שקיבלת ובסעיף א' וקבע לכמה שווה השטח . S 2 נמק את טענתך. 6 )17באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות f ( x) 6 x2 :ו- x ברביע הראשון .מעבירים ישר a) , x aפרמטר) x החותך את גרף הפונקציה g xויוצר את השטח g ( x) x a )g ( x הכלוא בין שני הגרפים ,ציר ה x -והישר (השטח המסומן). ידוע כי שטח זה שווה ל . S 14 - מצא את ערך הפרמטר . a 365 )f ( x y x x k )18נתונה הפונקציה הבאה: x k ) , f x פרמטר). עבור x 1 :מתקיים כי. f 2 1 676 : א .מצא את ערך הפרמטר kאם ידוע כי ידוע כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה. ב .מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה. x - ג .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ד .חשב את השטח כלוא בין גרף הפונקציה ,ציר ה x -והאנך. x 36 : k 1 )19נתונה הפונקציה הבאה: x 2x k ) , f x פרמטר). א .הוכח כי גרף הפונקציה לא חותך את הצירים לכל ערך של . k ב .באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה . f x מעבירים את האנכים x 4 , x 8 :כך שנוצר השטח x המסומן .ידוע כי השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,האנכים וציר ה x -שווה ל . 42 2 44 :מצא את . k 3 )20הנגזרת של פונקציה f x :היא: 6x 5 ציר ה x -בנקודה הנמצאת על הישר. 18 y 12 x 10 : y )f ( x . f ' x ידוע כי גרף הפונקציה חותך את א .מצא את הפונקציה. f x : מגדירים פונקציה חדשה . g x f x f ' x :ענה על השאלות הבאות: 2 ב .כתוב את הפונקציה g x בצורה מפורשת. ג. חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה , g x ציר ה x - והאנכים x 1 :ו . x 5 - 366 :תשובות סופיות . f ( x) x x2 14 . בk 1 .) א1 . f x 2 x2 2 x 79 . בk 4 .) א2 . 9, 6 - כן. גf ( x) x 3 x 6 . ב 4, 4 .) א3 . 0,0 , 16,0 . גf ( x) 8 x 2 x . בk 2 .) א4 . S 48 . ב 4,8 .) א5 . 11 .2 S 11 .1 .ב 16 1,1 .) א6 . k 4 .) ב7 . S 1.75 . בMin 0.5,1.5 .) א8 3 1dx 0 לפי.2 . S1 2 .1 .ג S1 S2 0 : נקבל כי 2x 1 1 13 5, 0 . ב. a 13 .) א9 . S2 S1 2 :ולכן . S 88 . ג. 16,14 . ב. f '( x) 1 4 x x 1 3 0 : הנגזרת היא.3 . S 8 4 3 1.405 . גy 4, 0 .2 1 3 x .) ב12 . k 4 .ב 16 4 x 0 .1 .) א10 16,16k .) א11 5 . גmin 0.375, 2 . בx 0.5 .) א14 . k 36 .) ב13 8 1 1 2 . S2 .2 . S1 .1 . ג. 4.5, 0 . ב. a 7 .) א16 . S 32 . גy 10 x 40 .) ב15 2 2 3 .S . S 445.5 . ד. סקיצה בצד.ג y x g x 6x 5 3 .ב 6x 5 9, 0 .ב k 27 .) א18 . a 4 )17 f x 6 x 5 .) א20 . k 10 .) ב19 . S 56 .ג 367 תרגול מבגרויות של 3יחידות: )1נתונות שתי פונקציות. f x x2 4 x 6 , g x x2 4x 14 : א .מצא את נקודת החיתוך בין שתי הפונקציות. ב .מצא את השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות ,ציר ה x -והישרים x 2ו . x 2 - (השטח המקווקו בציור). )2נתונה הפונקציה ( y x2 6 x 5ראה ציור). א .מצא את השיעורים של נקודת המקסימום של הפונקציה. ב .מהי משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודת המקסימום שלה? ג .מצא את השטח המוגבל על ידי המשיק בנקודת המקסימום ,הצירים וגרף הפונקציה (השטח המקווקו בציור). )3נתונה הפונקציה f ( x) ( x 2)2ונתון הישר ( y 0.5x 0.5ראה ציור). מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, הישר וציר ה( x -השטח המקווקו בציור). )4נתונות הפונקציות. f x x2 , g x x 2 18 : הגרפים של הפונקציות נחתכים בנקודות Aו.B - א .מצא את שיעורי ה x -של הנקודות Aו .B - ב .חשב את השטח ברביע הראשון המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות, ציר ה x -והישר . x 4 )5נתונות שתי פונקציות. y x2 3x 2 , y x3 3x 2 : א .מצא את שיעורי ה x -של נקודות החיתוך בין הגרפים של שתי הפונקציות. ב .מצא את השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות ,השטח המקווקו בציור. 368 )6נתונה הפונקציה . f ( x) x2 ax הפונקציה עוברת דרך הנקודה )( A(2,8ראה ציור). א .מצא את ערך הפרמטר . a ב .הפונקציה חותכת את ציר xבנקודה O 0, 0 ובנקודה .B מצא את שיעורי הנקודה .B ג .חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, המיתר ABוציר ה. x - תשובות סופיות: 1 3 )1א 1,11 .ב 25 .יח"ש. 2 )4א x 3 .ב. 3 2 )2א 3, 4 .ב y 4 .ג. 3 14יח"ש )5 .א x 0, 2, 3 .ב 15.75 .יח"ש. 1 )6א . a 6 .ב . B 6, 0 .ג. 3 25יח"ש. 369 1 3 6יח"ש 1 )3 .יח"ש. תרגול מבגרויות: )1נתונות שתי פונקציותf x 3x 2 4 x c : g x x 2 bx bו cהם פרמטרים. ישר משיק לגרפים של שתי הפונקציות בנקודה המשותפת לשניהם שבה ( , x 1ראה ציור). א )1( .מצא את הערך של b ( )2מצא את הערך של c הצב את הערך של bואת הערך של cשמצאת בסעיף א, וענה על הסעיפים ב ו -ג. ב .מצא את משוואת המשיק המשותף לשני הגרפים. ג S1 .הוא השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה , f x על ידי המשיק המשותף ועל ידי ציר ה S2 . y -הוא השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה , g x על ידי S1 המשיק המשותף ,ועל ידי ציר ה . y -מצא את היחס S2 . )2בציור מוצגת סקיצה של הפונקציה f x 2 x3 9 x 2 12 x a aהוא פרמטר. א .מצא את שיעורי ה x -של נקודות הקיצון של הפונקציה , f x והוכח שאחת מהן היא מקסימום והאחרת היא מינימום. ב .נתון כי הישר y 8x 14עובר דרך נקודת המינימום של הפונקציה . f x מצא את הערך של הפרמטר . a ג .מעבירים משיק לגרף הפונקציה f x בנקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה , y -ומעבירים אנך לציר ה x -דרך נקודת המקסימום של הפונקציה. הצב את הערך של aשמצאת בסעיף ב ,וחשב את השטח המוגבל על ידי המשיק ,על ידי האנך ,על ידי גרף הפונקציה f x ועל ידי הציר ה( x -השטח המקווקו בציור). 370 )3בציור שלפניך מוצג הגרף של הפונקציה 4 2 2 x 1 f x א .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ב .מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים. ג .דרך נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה y -העבירו ישר המקביל לציר ה. x - הישר חותך את גרף הפונקציה בנקודה נוספת( A ,ראה ציור). .1מצא את השיעורים של הנקודה .A .2דרך הנקודה Aהעבירו אנך לציר ה. x - מצא את השטח המוגבל על ידי האנך ,על ידי הישק המקביל, 1 על ידי גרף הפונקציה ,על ידי הישר 2 x ועל ידי ציר הx - (השטח המקווקו בציור). )4בציור שלפניך מוצגות שתי פרבולות: f x x2 4x 6 , g x x2 c cהוא פרמטר. הפרבולות משיקות זו לזו בנקודה . A דרך נקודה Aהעבירו משיק המשותף לשתי הפרבולות (ראה ציור). א )1( .סמן ב t -את שיעור ה x -של נקודה , Aוהבע באמצעות t את השיפוע של המשיק המשותף .הבע בשני אופנים. ( )2מצא את השיעורים של נקודה .A ( )3מצא את ערך הפרמטר . c ב .המשיק המשותף מחלק את השטח ,המוגבל על ידי שתי הפרבולות ועל ידי ציר ה , y -לשני שטחים (השטח האפור והשטח המקווקו בציור). הצב את הערך של הפרמטר cשמצאת ,והראה כי שני השטחים שווים זה לזה. 371 )5בציור שלפניך מוצגים הגרפים של הפונקציות: 16 2 x a . f x x a , g x 2 aהוא פרמטר גדול מ . 0 - א .מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה ( g x הבע באמצעות aבמידת הצורך). אחת מנקודות החיתוך בין הגרפים של הפונקציות היא הנקודה שבה . x a 2 S1הוא השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה , f x על ידי ציר ה x -ועל ידי הישר ( x a 2השטח המקווקו בציור). S2הוא השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה , g x על ידי ציר ה x -ועל ידי הישרים , x a 2ן( x a 3 -השטח האפור בציור). S1 ב .חשב את היחס S2 . )6בציור מוצג הגרף של פונקצית הנגזרת f x בתחום . 0 x 4 הגרף של f x חותך את ציר ה x -בנקודה שבה . x 2 S1הוא השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת f x ועל ידי הצירים (השטח המקווקו בציור). S2הוא השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת , f x על ידי ציר ה x -ועל ידי הישר ( x 4השטח האפור בציור) א )1( .נתון . S1 4 , f 0 0 :חשב את . f 2 ( )2נתון גם . S2 4 :חשב את . f 4 ב .מצא את השיעורים של נקודות הקיצון הפנימית של הפונקציה f x בתחום הנתון, וקבע את סוגה .נמק. ג .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f x בתחום הנתון. 372 )7הגרפים Iו II -שבציור הם של הפונקציות: 2 2 , g x 2x 3 2x 3 f x א )1( .מצא את תחום ההגדרה של כל אחת מהפונקציות. ( ) 2מהי האסימפטוטה האנכית של כל אחת מהפונקציות? ב .איזה גרף הוא של הפונקציה , f x ואיזה גרף הוא של הפונקציה ? g x נמק. ג .הישר y 2חותך את הגרף Iבנקודה . A הישר y 2חותך את הגרף IIבנקודה . B מצא את השטח המוגבל על ידי הישר , ABעל ידי הגרפים של שתי הפונקציות ,ועל ידי הישר . x 3 )8נתונה הפונקציה . f x 2 x 2 3 דרך נקודת המינימום של הפונקציה העבירו ישר המאונך לציר ה, x - ודרך נקודת החיתוך של גרך הפונקציה עם ציר הy - העבירו ישר המקביל לציר ה( x -ראה ציור). א .מה תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .מצא את משוואת האנך ואת משוואת המקביל. ג .חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ,על ידי האנך ועל ידי המקביל ,השטח המקווקו בציור. 4 f x )9היא פונקציה שמוגדרת לכל . x בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת . f ' x הגרף של פונקציית הנגזרת f ' x עובר דרך הנקודות. 1,0 , 2,0 : א )1( .על פי הגרף של פונקציית הנגזרת f ' x מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f x ( )2מהו שיעור ה x -של נקודת הקיצון של הפונקציה f x ומהו סוג ה קיצון? נמק. ( )3נתון כי פונקציית הנגזרת היא. f ' x 4 x3 12 x 8 : שיעור ה y -של נקודת הקיצון של הפונקציה f x הוא . 10 מצא את הפונקציה . f x ב .מצא את השיעורים של הנקודות שבהן שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f x הוא . 0 373 4 )10בציור שלפניך מוצג גרף של פונקציית הנגזרת 1 : x . x 0 , f ' x א .מצא את שיעור ה x -של נקודת החיתוך של f ' x עם ציר ה. x - ב .מצא את שיעור ה x -של נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה f x וקבע את סוגה .נמק. ג .ידוע כי שיעור ה y -של נקודת הקיצון הפנימית של f x היא . 0מצא את . f x ד .חשב את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת , f ' x על ידי הישר , x 4על ידי הישר , x 25ועל ידי ציר ה. x - תשובות סופיות: S1 )1א . c 4 )2( b 4 )1( .ב . y 2 x 1 .ג 3 . S2 . )2א xmax 1 , xmin 2 .ב a 6 .ג. 1 . 1 1 )3א . x .ב. 2 2 . y 0 , x ג. 5 )2( 1, 4 )1( . )4א. c 4 )3( A 1,3 )2( 2t , 2t 4 )1( . S1 )5א . y 0, x a .ב 1 . S2 . )6א . 0 )2( . 4 )1( .ב max 2, 4 .ג .סקיצה בצד. )7א. f x : x 1.5 , g x : x 1.5 )2( f x : x 1.5 , g x : x 1.5 )1( . ב I f x , II g x .ג. 2.928 . )8א .כל . xב y 13, x 1 .ג.12.8 . )9א )1( .עלייה , x 2 :ירידה 2 )2( . x 2 : . f x x4 6 x2 8x 14 )3( . xmin ב. 2, 10 , 1,17 . )10א x 16 .ב xmax 16 .ג f x 8 x x 16 .ד. 5 . 374 נספח – 1משפטים בגאומטריה: המשפטים: .1זוויות צמודות משלימות זו את זו ל.180 - .2זוויות קודקודיות שוות זו לזו. .3במשולש ,מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות. .4במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו. .5סכום כל שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית. .6במשולש שווה שוקיים ,חוצה זווית הראש ,התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים. .7אם במשולש חוצה זווית הוא גובה ,אז המשולש הוא שווה שוקיים. .8אם במשולש חוצה זווית הוא תיכון ,אז המשולש הוא שווה שוקיים. .9אם במשולש גובה הוא תיכון ,אז המשולש הוא שווה שוקיים. .10במשולש (שאינו שווה צלעות) ,מול הצלע הגדולה יותר מונחת זוית גדולה יותר. .11במשולש (שאינו שווה זוויות) ,מול הזווית הגדולה יותר מונחת צלע גדולה יותר. .12סכום הזוויות של משולש הוא .180 .13זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. .14קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה. .15ישר החוצה צלע אחת במשולש ומקביל לצלע שניה ,חוצה את הצלע השלישית. .16קטע שקצותיו על שתי צלעות משו לש ,מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים. .17משפט חפיפה צ.ז.צ. .18משפט חפיפה ז.צ.ז. .19משפט חפיפה צ.צ.צ. .20משפט חפיפה שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מבין השתיים. .21האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זוויות הראש ,חוצה את האלכסון השני ומאונך לו. .22שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי .אם יש זוג זוויות מתאימות שוות ,אז שני הישרים מקבילים. .23שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי .אם יש זוג זוויות מתחלפות שוות אז שני הישרים מקבילים. 375 .24שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי .אם סכום זוג זוויות חד -צדדיות הוא 180אז שני הישרים מקבילים. .25אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז: א .כל שתי זוויות מתאימות שוות זו לזו. ב .כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו. ג .סכום כל זוג זוויות חד-צדדיות הוא .180 .26במקבילית כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. .27במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו. .28במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה. .29מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית. .30מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית. .31מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ושוות הוא מקבילית. .32מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית. .33במעוין האלכסונים חוצים את הזוויות. .34מקבילית שבה אלכסון הוא חוצה זווית היא מעוין. .35במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה. .36מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין. .37אלכסוני המלבן שווים זה לזה. .38מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן. .39בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו. .40טרפ ז בו הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים. .41בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה. .42טרפז בו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים. .43קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם. .44בטרפז ,ישר החוצה שוק אחת ומקביל לבסיסים ,חוצה את השוק השנייה. .45שלושת התיכונים במשולש נחתכים בנקודה אחת. .46נקודת חיתוך התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס .2:1 (החלק הקרוב לקדקוד הוא פי 2מהחלק האחר). .47כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחקים שווים משוקי זווית זו. 376 .48אם נקודה נמצאת במרחקים שווים משני שוקי זווית אז היא נמצאת על חוצה הזווית. .49שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת שהיא מרכז המעגל החסום במשולש. .50בכל משולש אפשר לחסום מעגל. .51כל נקודה ,הנמצאת על האנך האמצעי של קטע ,נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע. .52כל נקודה ,הנמצאת במרחקים שווים מקצות קטע ,נמצאת על האנך האמצעי לקטע. .53כל משולש ניתן לחסום במעגל. .54במשולש ,שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אח שהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש. .55שלושת הגבהים במשולש נחתכים בנקודה אחת. .56ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל.180 - .57מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות. .58כל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל. .59בכל מצולע משוכלל אפשר לחסום מעגל. .60דרך כל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד עובר מעגל אחד ויחיד. .61במעגל ,שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להן שוות זו לזו. .62במעגל ,שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שני המיתרים המתאימים להן שווים זה לזה. .63במעגל ,מיתרים שווים זה לזה אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להם שוות זו לזו. .64מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל. .65מיתרים במעגל אחד הנמצאים במרחקים שווים ממרכזו שווים זה לזה. .66במעגל ,אם מרחקו של מיתר ממרכז המעגל קטן יותר ממרחקו של מיתר אחר ,אז מיתר זה ארוך יותר מהמיתר האחר. .67האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר ,חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר. .68קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר. .69במעגל ,זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת. 377 .70במעגל ,לזוויות היקפיות שוות קשתות שוות ומיתרים שווים. .71במעגל ,לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות. .72במעגל ,כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו. .73זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה ( .) 90 .74זווית היקפית בת 90נשענת על קוטר. .75במעגל ,זווית פנימית שווה למחצית סכום שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן. .76במעגל ,זווית חיצונית שווה למחצית הפרש שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן. .77המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. .78ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל. .79זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני. .80שני משיקים למעגל ה יוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה. .81קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל ,חוצה את הזווית שבין המשיקים. .82קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים ,חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו. .83נקודת ההשקה של שני מעגלים המשיקים זה לזה ,נמצאת על קטע המרכזים או על המשכו. .84משפט פיתגורס :במשולש ישר זווית ,סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר. .85משפט פיתגורס ההפוך :משולש בו סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע הצלע השלישית הוא ישר זווית. .86במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר. .87משולש בו התיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה הוא משולש ישר זווית. .88אם במשולש ישר זוית ,זוית חדה של , 30אז הניצב מול זוית זו שווה למחצית היתר. .89אם במשולש ישר זוית ניצב שווה למחצית היתר ,אז מול ניצב זה זוית שגודלה . 30 .90משפט תאלס :שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית ,מקצים עליהם קטעים פרופורציוניים. .91משפט תאלס המורחב :ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים. 378 .92משפט הפוך למשפט תאלס :שני ישרים המקצים על שוקי זווית ארבעה קטעים פרופורציוניים הם ישרים מקבילים. .93חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים אשר היחס ביניהם שווה ליחס הצלעות הכולאות את הזווית בהתאמה. .94ישר העובר דרך קדקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קדקוד זה חלוקה פנימית ביחס של שתי הצלעות האחרות (בהתאמה) הוא חוצה את זווית המשולש שדרך קודקודה הוא עובר. .95חוצה זווית חיצונית במשולש ,שאינו מקביל לצלע המשולש ,מחלק את הצלע שמול הזווית הצמודה לה חלוקה חיצונית ביחס של שתי הצלעות הכולאות את הזווית הפנימית הצמודה לה. .96ישר העובר דרך קדקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קדקוד זה חלוקה חיצונית כיחס הצלעות הא חרות (בהתאמה) הוא חוצה את הזווית החיצונית שדרך קודקודה הוא עובר. .97משפט דמיון צ.ז.צ. .98משפט דמיון ז.ז. .99משפט דמיון צ.צ.צ. .100במשולשים דומים: א .יחס גבהים מתאימים שווה ליחס הדמיון. ב .יחס חוצי זוויות מתאימות שווה ליחס הדמיון. ג .יחס תיכונים מתאימים שווה ליחס הדמיון. ד .יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון. ה .יחס הרדיוסים של המעגלים החוסמים שווה ליחס הדמיון. ו .יחס הרדיוסים של המעגלים החסומים שווה ליחס הדמיון. ז .יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון. .101הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא ממוצע הנדסי של היטלי הניצבים על היתר. .102סכום הזוויות הפנימיות של מצולע קמור הוא ).180(n 2 379 נספח – 2דף ההוראות הרשמי לשאלון :804 380 נספח – 3עקרונות מנחים לבדיקת בחינות הבגרות: מטרת מסמך זה היא להביא לידיעת המורים את השגיאות השכיחות ואת אופן הערכתן בבדיקת השאלות בבחינת הבגרות .במסמך נרשום כמה אחוזים מורידים על שגיאות רק במקרים כלליים שאינם תלויים בשאלה ספציפית ,בשאר המקרים רק נתאר את השגיאה. עקרונות כלליים שאלות בבחינה ייבדקו על פי סדר הופעתן בלבד .נבחן חייב לציין איזה חלק מהבחינה הוא טיוטה .כל שאלה שנבחן התחיל לפתור ולא מחק ,לא רשם "טיוטה" או לא רשם "לא לבדוק" ,תיבדק לפי סדר הופעתה ולא יתקבל ערעור בעניין זה. החלטה על מספר נקודות שמורידים על טעות תלויה באופי השגיאה ,ביכולת לבדוק את המשך השאלה ,ברמת הקושי שנוצרה עקב השגיאה וכדומה .בכל מקרה ,אם נבחן טעה טעות גסה (ראה בהמשך דוגמאות) ,יקבל נקודות רק לסעיפים שאינם קשורים בטעות זו .למשל ,קבלת הסתברות גדולה מ 1-ושימוש בתוצאה זו גם בהמשך השאלה יגרום לפסילת כל השאלה ,אך אם בהמשך הנבחן אינו משתמש בתוצאה זו הרי שרק עבור הסעיף השגוי לא יינתנו נקודות. ניקוד סעיפי השאלות בבחינת הבגרות אינו מתחלק שווה בשווה בין הסעיפים אלא תלוי ברמת המורכבות של הסעיף ,ברמת הקושי של הסעיף יחסית לסעיפים אחרים. נבחן שביצע פעולה לא חוקית במהלך הפתרון ייקנס גם אם קיבל תשובה נכונה. למשל :חילק ב x -את המשוואה x 2 - x = 0ללא ציון , x 0ייקנס גם אם פתרון הבעיה הוא x=1בלבד. נבחן שהעתיק בצורה שגויה מהשאלון ביטוי או נתון ,ייקנס בצורה משמעותית אם שינה את רמת הקושי של השאלה. נבחן שהניח הנחה שגויה ,המפשטת את כל השאלה ,לא יקבל נקודות לשאלה זו. נבחן שרשם ישירות תשובה ,בלי לרשום את הדרך ,לא יקבל נקודות לסעיף גם במקרים שהתשובה מתקבלת בחישוב פשוט .ייתכן שהוא יוחשד בהעתקה (פרט למקרים פשוטים של פתרון משוואה ריבועית). בכל מקרה רלוונטי על הנבחן לסמן יחידות מידה בתשובה .למשל ,בזוויות יש לסמן מעלות ליד המספר ,אחרת מדובר במידת הזווית ברדיאנים. על טעות ברישום סדר האיברים בזוג סדור מורידים .5% על טעות חשבונית מורידים בין 5%ל( 15% -תלוי באופי השגיאה). 381 בשאלה מילולית מכל סוג תלמיד חייב להגדיר את המשתנים באופן ברור (מילולי) ולרשום בסוף תשובה מילולית. אם נבחן לא פסל תוצאות שיש לפסול ,ייקנס בהתאם לאופי הטעות. נבחן שפתר שאלה המנוסחת באופן כללי ,עבור מקרה פרטי ,לא יקבל ניקוד לשאלה. לדוגמה :במקום פרמטר נבחן הציב מספר קבוע ופתר את השאלה למקרה זה. מותר להגיע לתשובה על ידי ניסוי וטעייה ,בתנאי שהנבחן מראה את כל הניסיונות, ובתנאי שלא צוין שעל הנבחן לפתור את השאלה על סמך סעיפים קודמים .אם נבחן לא מראה את כל הניסיונות הוא עשוי להיחשד בהעתקה. בסעיפים בהם נרשם "נמק" ,יש לנמק באמצעים מקובלים כגון באופן אלגברי ו/או באופן מילולי .ללא נימוק ,הנבחן לא יקבל נקודות לסעיף זה. שימוש בטכניקות או בידע שאינו חלק מתוכנית הלימודים חייב הסבר של הנבחן, שיכלול את מהות הטכניקה ומדוע אפשר להשתמש בה במקום שבו השתמש .לא מספיק לרשום ביטוים כגון" :שיטת הקרוס"" ,מכפלה ווקטורית"" ,משפט גרין" ועוד. נבחן שלא ייתן הסבר משכנע ,לא יקבל נקודות בסעיף זה. עצם השימוש בנוסחאות או בטכניקות שאינן בתוכנית הלימודים איננו פסול ובתנאי שהנבחן יראה הבנה בתהליכים אלה. הנחיות חשובות בנוגע לשעתוק: - יש לשלוח למרב"ד שתי מחברות :מחברת המקור והמחברת המשועתקת. המחברת המשועתקת חייבת להיות זהה למקור. סדר השאלות ותוכנן חייב להיות זהה למקור.- אם אין התאמה מלאה בין מחברת המקור לבין המחברת המשועתקת ,הנבחן ייחשד באי שמירה על טוהר הבחינות והבחינה תטופל בהליך המקובל למחברות חשודות בהעתקה. 382 דגשים בהתאם לנושאי הלימוד .1שאלות מילוליות על הנבחן להגדיר את הנעלמים ולרשום תשובה סופית ברורה. אם נבחן טעה ביחידות מידה כגון ביחידות זמן ,ביחידות מרחק וכד' ,ההורדה היא משמעותית. אם נבחן תרגם מושגים כגון "גדול ב" או "קטן ב" בצורה שגויה ,ההורדה היא משמעותית. נבחן שבנה טבלה מסודרת ומלאה ולא המשיך בתהליך הפתרון ,יקבל ציון חלקי בלבד. .2אינדוקציה מתמטית אם נבחן לא רשם נכון את הנחת האינדוקציה או לא רשם נכון את מה שצריך להוכיח ,מפסיקים לבדוק את השאלה. נבחן שרשם בהנחת האינדוקציה "נניח לכל nטבעי" ,נקנס ב.20% - חובה לרשום משפט סיכום. .3אלגברה בסדרות מותר לרשום את כל איברי הסדרה הרלוונטיים וכך להגיע לתשובה ,אך אם שגה בדרך פתרון זו בחישוב אחד האיברים או בסכומם לא יקבל נקודות לסעיף. בשאלת גידול ודעיכה אם נבחן פתר לפי גדילה במקום דעיכה או להפך לא יקבל נקודות לשאלה. נבחן שטעה בחוקי חזקות לא יקבל נקודות על הסעיף ועל סעיפים הנובעים ממנו (למשל ,רשם .) 3 5x 15x , (53 )x =15x אם נבחן השתמש בחוקי לוגריתמים באופן שגוי ,לא יקבל נקודות על הסעיף (למשל ,רשם כי לוגריתם של מכפלה שווה למכפלת הלוגריתמים או כל טעות דומה). 383 .4חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי אם נבחן מציב במקום פרמטר ערך מסוים קבוע ,במקום שבו היה עליו להביע פתרונות באמצעות הפרמטר ,מפסיקים לבדוק את השאלה. נבחן שטעה בחישוב תחום ההגדרה ובעקבות שגיאה זו הפתרון השתנה בצורה משמעותית ,ייקנס לא רק בסעיף תחום ההגדרה אלא גם בסעיפים נוספים בהם טעות זו הקלה על הפתרון. למשל :אם בשל טעות בתחום ההגדרה התקבלה פונקציה ללא אסימפטוטה אנכית, וכתוצאה מכך השתנה גרף הפונקציה באופן משמעותי ,הנבחן ייקנס גם בסעיפים נוספים בהתאם לשאלה. נבחן שקיבל תוצאות שאינן מתיישבות עם הנתון בשאלה ,ייקנס בכל הסעיפים המושפעים מתשובתו. למשל :אם נתון בשאלה כי לפונקציה יש נקודת קיצון ובעקבות טעות בתחום ההגדרה קיבל הנבחן כי לפונקציה אין נקודות קיצון ,במקרה זה ייקנס הנבחן על תחומי עליה וירידה וכד'. נבחן שציין תחום הגדרה ולא התייחס לנקודות אי הגדרה ,לא יקבל נקודות על תחום ההגדרה וכן על הסעיפים הקשורים. נבחן שרשם בתחום ה הגדרה אי שוויון חזק במקום אי שוויון חלש או להפך ,לא יקבל נקודות לסעיף זה. בחקירה של פונקציה טריגונומטרית אין להשאיר את התשובה במעלות. אם בגזירה של פונקציה מורכבת נבחן לא התייחס לפונקציה הפנימית ,במרבית המקרים מפסיקים לבדוק את הסעיף ולפעמים אפילו את השאלה כולה (אם הפתרון בנוי על הגזירה ) .החלטה על מספר נקודות שמורידים על הטעות תלויה באופי השגיאה ,ביכולת לבדוק את המשך השאלה ,ברמת הקושי שנוצרה ועוד .בכל מקרה ,אם נבחן טעה טעות גסה בנגזרת ,יקבל נקודות רק לסעיפים שאינם קשורים לנגזרת אם נבחן שרטט אסימפטוטות לא נכונות ,או שרטט גרף מחוץ לתחום ההגדרה ,או שרטט גרף החותך את ציר ה x -בצורה שגויה ,או חותך אסימפטוטה אנכית ,לא יקבל נקודות לסעיף. 384 לדוגמה ,טעות נפוצה בשרטוט גרפים עם אסימפטוטות: אם בפונקציית מנה ,נבחן כפל את הפונקציה במכנה ,ו"קיבל" פונקציה ללא מכנה (למשל ,פולינום) ,לא יקבל נקודות לכל השאלה. בבדיקת סוג הקיצון של פונקציית מנה ,נבחן חייב להסביר מדוע מספיק לגזור את המונה בלבד .אין לרשום את נגזרת המונה כנגזרת השנייה של הפונקציה. כאשר לפונקציה אין נקודות קיצון בתחום מסוים ,על הנבחן לנמק את העלייה/הירידה של הפונקציה בתחום זה. בפונקציות בעלות תחום סגור יש להתייחס לקצות התחום בעת רישום נקודות קיצון. נבחן ששגה בפתרון של אי שוויון ,לא יקבל נקודות לסעיף זה ולסעיפים הקשורים. במציאת פונקציה קדומה: אם הטעות היא רק ברמה של מקדם קבוע ,מורידים נקודות רק על הפונקציההקדומה וממשיכים לבדוק על פי השגיאה. בכל מקרה אחר של טעות ,מפסיקים לבדוק את הסעיף הרלוונטי. במקרה שנבחן טעה טעות גסה במציאת הפונקציה הקדומה ,לא יקבל נקודותעל הסעיף ועל סעיפים הנובעים ממנו e x 1 .) e dx (למשל רשם: x 1 x נבחן שלא רשם בכתיבת האינטגרל , dxלא רשם סוגריים במקום הנכון וכדומה, ייקנס ב .5% - בעת חישוב האינטגרל חייבים לרשום את הצבת הגבולות בפונקציה הקדומה. 385 נבחן שטעה בזיהוי השטח הנדרש בשאלה וחישב שטח אחר מהמבוקש ,יקבל נקודות רק עבור מציאת הפונקציה הקדומה. בחשבון אינטגרלי של פונקציות טריגונומטריות על הנבחן לעבוד ברדיאנים ,אחרת לא יקבל ניקוד עבור החישוב. נבחן שקיבל שטח שלי לי ורשם בשרשרת השוויונות ערך מוחלט רק על התוצאה הסופית יקבל נקודות רק עבור מציאת הפונקציה הקדומה. אם השאיר את תוצאת השטח כמספר שלילי לא יקבל נקודות לסעיף זה. אם במציאת נפח גוף סיבוב נבחן רשם ריבוע ההפרש של פונקציות במקום הפרש הריבועים ,מפסיקים לבדוק את הסעיף הרלוונטי. אם נבחן שכח לרשום πבמציאת נפח גוף סיבוב ,מורידים .10% .5בעיות ערך קיצון בניית הפונקציה הנכונה מהווה כ 50% -מהשאלה. אם יש טעות חמורה בגזירה ,מפסיקים לבדוק את השאלה. אי בדיקת מינימום/מקסימום גורמת להורדה של עד .10% נבחן ששגה משמעותית בבניית הפונקציה ,לא יקבל נקודות לכל השאלה. .6טריגונומטריה במישור ובמרחב נבחן שהשתמש בזהויות טריגונומטריות שגויות ,לא יקבל ניקוד על הסעיף. נבחן שהשתמש במשפט הסינוסים עם רדיוס של מעגל שאיננו חוסם את המשולש שעבורו השתמש במשפט ,מפסיקים לבדוק את השאלה. מפסיקים לבדוק תשובה שבה הפתרון מבוסס על הנחת יסוד שגויה .למשל ,שימוש בשיקול גיאומטרי שגוי כגון :תיכון הוא חוצה זווית.... אין להשאיר תשובה מהצורה ) sin(90-αאו ) cos(π-αוכד'. בטריגונומטריה במישור ובמרחב ,נבחן חייב לרשום באיזה משולש הוא מבצע תהליך .אם לא רשם את המשולש ולא ברור לאיזה משולש הכוונה ,הוא לא יקבל נקודות לסעיף. נבחן ש טעה בפונקציה טריגונומטרית או במשפט הסינוסים ,או במשפט הקוסינוסים ,לא יקבל נקודות לסעיף. אם נבחן שגה בזיהוי של זווית במרחב מפסיקים לבדוק את השאלה. 386 במקרים רבים בחירת הזווית נעשית על ידי גישה אינטואיטיבית ולא על פי הגדרה ומכך נובעות מרבית הטעויות ,בפרט אם יש צורך לזהות זווית במקרים פחות סטנדרטיים. לדוגמה :מועד ב' מיוחד תשס"ז טעות נפוצה בפתרון שאלה זו ,היא זיהוי שגוי של הזווית המסומנת בשרטוט ב.)*( - .7סטטיסטיקה והסתברות נבחן שרשם עץ מלא ונכון ולא המשיך ,יקבל נקודות עבור העץ. נבחן שחישב מקרים אפשריים וחיבר ביניהם ושכח מקרה אחד יקבל ,בדרך כלל, חלק מנקודות הסעיף .אם שכח יותר ממקרה אחד לא יקבל נקודות על הסעיף. נבחן שקיבל הסתברות גדולה מ 1-או הסתברות שלילית לא יקבל נקודות על הסעיף .השתמש בכך גם בהמשך לא יקבל נקודות לשאלה כולה. על הנבחן להגדיר בבירור את המאורעות ולפרט את כל תהליך הפתרון כולל הצבות. כדי לקבל נקודות לפתרון שאלה בהתפלגות נורמלית יש למלא במחברת את הגרף בשלמות (המשתנה והאחוזים) ,או לחילופין להסביר כל סעיף בנפרד .תשובה סופית בלבד לא תזכה בנקודות. 387 .8גיאומטרית המישור יש לנמק כל שלב גיאומטרי על ידי ציטוט משפט מתאים. כל נימוק חסר ייקנס ב.10%- מותר להשתמש רק במשפטים הנמצאים ברשימת המשפטים שפורסמה באתר המפמ"ר .שימוש בטענה שאיננה נמצאת ברשימת המשפטים מחייבת הוכחה. הי עדר הוכחה במקרה כזה ייחשב כדילוג על שלבים בהוכחה. .9גיאומטריה אנליטית לא יתקבל פתרון על פי שרטוט בלבד. .10וקטורים אם נבחן צמצם וקטורים במכפלה סקלרית ,מפסיקים לבדוק את השאלה. אם נבחן חילק וקטור בווקטור ,הנבחן ייקנס גם אם לטעות אין השפעה על הפתרון. נבחן שלא סימן ווקטורים בצורה תקנית ייקנס. .11מספרים מרוכבים טיפול שגוי של נבחן בערך המוחלט של מספר מרוכב ,מביא להפסקת הבדיקה. אירמה ג'ן מפמ"ר מתמטיקה 388
© Copyright 2024