‫מבחן בגרות מספר ‪15‬‬ ‫חורף תשע"ד‪2014 ,‬‬ ‫פרק ראשון – אלגברה ‪ ,‬גאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות‬ ‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 3-1‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫נתון מעגל ‪ I‬שרדיוסו ‪ , r‬ונתון מעגל ‪ II‬שרדיוסו ‪. R‬‬ ‫הרדיוס ‪ R‬גדול מהרדיוס ‪ r‬ב‪. 30% -‬‬ ‫א‪ .‬מצא בכמה אחוזים גדול שטח העיגול ‪ II‬משטח העיגול ‪. I‬‬ ‫ב‪ .‬ידוע כי שטח העיגול ‪ II‬גדול ב‪ 54.165 -‬סמ"ר משטח העיגול ‪. I‬‬ ‫חשב את הרדיוס ‪ . r‬בחישוביך השתמש ב‪.   3.14 -‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫במלבן ‪ ABCD‬הקדקוד ‪ A‬נמצא על ציר ה‪) x -‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫שיעורי ה‪ y -‬של הקדקוד ‪ B‬הוא ‪. 8‬‬ ‫משוואת הצלע ‪ BC‬היא ‪. y  1 x  7 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫משוואת הישר ‪ – O ) OC‬ראשית הצירים(‬ ‫היא ‪. y  1.5x‬‬ ‫א‪ .‬מצא את השיעורים של הקדקוד ‪B‬‬ ‫ושל ה קדקוד ‪. C‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬מצא את השיעורים של הקדקוד ‪. A‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את השיעורים של נקודת‬ ‫המפגש של אלכסוני המלבן‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מצא את שטח המשולש ‪. OAD‬‬ ‫‪57‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫ענת‪ ,‬אבי ודוד מתמודדים על תפקיד יושב‪ -‬ראש של מועצת התלמידים‬ ‫בבית הספר‪.‬‬ ‫לפניך תוצאות של סקר שנערך לפני הבחירות בקרב תלמידי בית הספר‪.‬‬ ‫המתחרה‬ ‫מספר הבנים התומכים‬ ‫מספר הבנות התומכות‬ ‫ענת‬ ‫אבי‬ ‫דוד‬ ‫‪100‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪50‬‬ ‫) כל תלמיד תומך בדיוק באחד המתמודדים(‪.‬‬ ‫א‪ .‬בוחרים באקראי תלמיד )בן‪/‬בת( מבין המשתתפים בסקר‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שהוא תומך באבי?‬ ‫ב‪ .‬בוחרים באקראי תלמיד )בן‪/‬בת( מבין המשתפים בסקר‪.‬‬ ‫ידוע שהוא תומך בענת‪ .‬מהי ההסתברות שהתומך ה ו א בת?‬ ‫ג‪ ( 1 ) .‬בוחרים באקראי תלמיד )בן‪/‬בת( מבין המשתתפים בסקר‪.‬‬ ‫ידוע שהוא אינו תומך בענת‪ .‬מהי ההסתברות שהוא תומך בדוד?‬ ‫) ‪ ( 2‬בוחרים באקראי ‪ 5‬תלמידים )בנים‪/‬בנות( מבין אלה שאינם‬ ‫תומכים בענת‪ .‬מהי ההסתברות שלפחות אחד מהם תומך בדוד?‬ ‫)הניסיונות הם בלתי תלויים(‪.‬‬ ‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬ ‫ענה על אחת מבין השאלות ‪. 5-4‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪ CB‬ו‪ CD -‬הם שני משיקים למעגל‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל זה‪.‬‬ ‫המשך ‪ AD‬והמשך ‪ BC‬נפגשים‬ ‫‪D‬‬ ‫בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי ‪. DCB  2  E‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח כי ‪. BD  AD  DE‬‬ ‫ג‪ .‬הוכח כי ‪ DC‬הוא תיכון‬ ‫‪E‬‬ ‫ב משולש ‪. BDE‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫נתון משולש ‪. ABC‬‬ ‫מעגל שקוטרו ‪ CD‬משיק לצלע ‪AB‬‬ ‫בנקודה ‪) D‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪. ABC   , BAC   :‬‬ ‫רדיוס המעגל הוא ‪. R‬‬ ‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪  , R‬ו‪  -‬את אורך הצלע ‪. AB‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את ‪ , ACB‬אם ‪  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ושטח המשולש ‪ ABC‬הוא ‪. 4R‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬ ‫של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש‬ ‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 8-6‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪. f (x)  (2x  2) 4  3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫דרך נקודת המינימום של הפונקציה העבירו‬ ‫ישר ה מאונך לציר ה‪ , x -‬ודרך נקודת החיתוך‬ ‫של גרף הפונקציה עם ציר ה‪ y -‬העבירו ישר‬ ‫המקביל לציר ה‪) x -‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬ ‫ב‪ .‬מצא את משוואת האנך ואת משוואת‬ ‫המקביל‪.‬‬ ‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי גרף‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫הפונקציה‪ ,‬על ידי האנך ועל ידי המקביל‪,‬‬ ‫השטח המקווקו בציור‪.‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫נתון משולש שווה‪ -‬שוקיים ‪(AB  AC) ABC‬‬ ‫שבו אור ך הגובה ‪ AD‬לבסיס ‪ BC‬הוא ‪ 12‬ס"מ‪,‬‬ ‫ואורך הבסיס ‪ BC‬הוא ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪ M‬היא נקודת כלשהי על הגובה ‪. AD‬‬ ‫נסמן‪. MD  x :‬‬ ‫א‪ .‬מצא עבור איזה ערך של ‪ x‬סכום הקטעים‬ ‫‪ AM  MB  MC‬הוא מינימלי‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪M‬‬ ‫תוכל להשאיר שורש בתשובתך‪.‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את גודל הזווית ‪, BMC‬‬ ‫עבור ה ערך של ‪ x‬שמצאת בסעיף א'‪.‬‬ ‫‪59‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪16‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪. x  0 , f '(x)  x ‬‬ ‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הקיצון של הפונקציה )‪, f (x‬‬ ‫וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬שיעור ה‪ y -‬של כל אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה )‪f (x‬‬ ‫הוא ‪ . 4‬מצא את הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬מצא את האסימפטוטה האנכית של הפונקציה )‪, f (x‬‬ ‫וסרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬ידוע כי לפונקציית הנגזרת )‪ f '(x‬אין נקודות קיצון‪.‬‬ ‫סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת )‪. f '(x‬‬ ‫תשובות ל מב ח ן בגרות מספר ‪ – 15‬חורף תשע"ד‪: 2014 ,‬‬ ‫‪ . 1‬א‪ .‬ב‪. 69% -‬‬ ‫ב‪ 5 .‬ס"מ ‪. r ‬‬ ‫‪ . 2‬א‪ . C(6;9) , B(2;8) .‬ב‪. A(4;0) ( 1 ) .‬‬ ‫‪ . 3‬א‪ . 7  0.4375 .‬ב‪. 2 .‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪. (5;4.5) ( 2‬‬ ‫ג‪ 2 .‬יח"ר‪.‬‬ ‫ג‪. 0.83193 ( 2 ) . 0.3 ( 1 ) .‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪ . 5‬א‪2R  2R .‬‬ ‫‪ .‬ב‪. 90 .‬‬ ‫‪tan  tan ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ . 6‬א‪ .‬כל ‪ . x‬ב‪ . y  13 , x  1 .‬ג‪. 12.8 .‬‬ ‫‪ . 7‬א‪ 2.887 .‬ס"מ ‪5 3 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ס"מ ‪ . x ‬ב‪. 120 .‬‬ ‫‪ . 8‬א‪ x  2 ( 1 ) .‬מינימום; ‪ x  2‬מינימום‪.‬‬ ‫)‪x 2  8 (2‬‬ ‫‪2 x2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬אסימפטוטה אנכית‪. x  0 :‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪. f (x) ‬‬