1. No category

‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪512 – 502 :‬‬
‫טכניקה אלגברית‬
‫מתוך תכנית הלימודים לכיתה ח‪" :‬בפרק זה ילמדו התלמידים טכניקות אלגבריות חדשות‪ .‬מטרת הלימוד היא העשרת "ארגז הכלים" של התלמיד כדי לאפשר פתרון‬
‫מגוון רחב יותר של שאלות מילוליות‪ ,‬וכדי לאפשר פישוט ביטויים אלגבריים"‪.‬‬
‫בספרי קפיצה לגובה הנושא נלמד בשני סבבים‪.‬‬
‫בקפיצה לגובה לכיתה ח חלק א הנושאים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫חזרה על חוק הפילוג שנלמד בכיתה ז‪.‬‬
‫‪‬‬
‫ביטויים שווים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫הצבה בביטויים אלגבריים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫תחום הצבה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫חוק הפילוג המורחב‪.‬‬
‫בספר קפיצה לגובה לכתה ח חלק ב הנושאים‪:‬‬
‫פירוק לגורמים על ידי הוצאת גורם משותף מחוץ לסוגריים‪ ,‬שברים אלגבריים‪.‬‬
‫רכישת מיומנויות של טכניקה אלגברית דורשת יכולת הסתכלות מבנית על ביטויים‪.‬‬
‫השימוש במונח "מבנה" מתייחס למבנה של מערכת הכוללת‪:‬‬
‫‪ ‬סדרה של משתנים או מספרים‪,‬‬
‫‪ ‬פעולה או מספר פעולות‪,‬‬
‫‪ ‬תכונות של הפעולות שהן חוקי הפעולות וקשרים בין הפעולות‪.‬‬
‫בביטוי אלגברי מתייחסים לסידור המספרים‪ ,‬כפי שהם נתונים בביטוי‪.‬‬
‫במהלך לימודי האלגברה מתייחסים לסידור המספרים‪ ,‬האותיות‪ ,‬סימני הפעולה‪ ,‬וסימנים אחרים‪ .‬בנוסף‪ ,‬התלמיד נדרש להציב ביטוי במקום ביטוי‪ ,‬לבצע על ביטוי‬
‫אלגברי מניפולציות המובילות לביטויים שקולים‪ ,‬ולהבחין בין ביטויים שווים הרלבנטיים לביצוע המטלה הנתונה‪.‬‬
‫הפרק מתחיל בחזרה על חוק הפילוג – נושא שנלמד בכיתה ז‪.‬‬
‫לפני המעבר לחוק הפילוג המורחב‪ ,‬זיהוי של ביטויים שווים‪ ,‬והצבה בביטוי אלגברי‪.‬‬
‫‪232‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫טכניקה אלגברית‬
‫חוק הפילוג – חזרה‬
‫מביטוי כפלי לביטוי חיבורי‪ .‬מספר שיעורים מומלץ‪2 :‬‬
‫השלד המתמטי של ביטוי נקבע לרוב על ידי הפעולה האחרונה שמתבצעת‪ .‬למשל‪ ,‬בביטוי מהצורה )‪,a(b + c‬‬
‫הפעולה האחרונה היא כפל‪ .‬כפל בין הגורם ‪ a‬לסכום ‪ .b + c‬לביטוי כזה מקובל לקרוא ביטוי כפלי‪.‬‬
‫לעומת זאת‪ ,‬בביטוי מהצורה ‪ ,ab + ac‬הפעולה האחרונה שמבוצעת היא פעולת חיבור‪.‬‬
‫חיבור של המכפלות ‪ ab‬ו‪ .ac -‬לביטוי כזה מקובל לקרוא ביטוי חיבורי‪.‬‬
‫שימוש בחוק הפילוג הוא אחת הדרכים לעבור מביטוי כפלי לביטוי חיבורי‪ .‬רב איבר הוא ביטוי חיבורי‪.‬‬
‫פירוק לגורמים (שילמד במחצית השנייה של השנה) הוא דרך לעבור מביטוי חיבורי לביטוי כפלי‪ .‬פעולה הפוכה‬
‫לחוק הפילוג‪ .‬חשוב וכדאי להדגיש היבטים אלה בדיון הכיתתי‪.‬‬
‫חוק הפילוג נלמד בעבר‪ ,‬הפרק מתחיל בחזרה על חוק הפילוג ותרגול‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫במהלך התרגול יש חזרה על פישוט ביטויים אלגבריים באמצעות חוק הפילוג‪.‬‬
‫מומלץ לפתור את הדוגמאות במליאת הכיתה כשהספר סגור ולתת לתלמידים את התרגילים כעבודה עצמית‪.‬‬
‫השימוש בחיצים מדגיש ויזואלית את העובדה שיש לכפול את המקדם של הסוגריים בכל אחד מהמחוברים‬
‫שבתוך הסוגריים‪.‬‬
‫‪" .1‬נחשוב תחילה"‪ .‬ראשית יש לצבוע את הגורמים בפעולת הכפל וניתן להוסיף גם חיצים למכפלות שיבצעו‪.‬‬
‫תרגיל (א)‪ :‬יש פעולת כפל בין המספר ‪ 3‬והסוגריים‪( .‬במקרה זה הפעולה אינה כתובה במפורש‪,‬‬
‫מכיוון שכפי שנלמד‪ ,‬מקובל להשמיט את סימן הכפל כאשר המכפלה היא בין ביטויים אלגבריים או בין מספר‬
‫וביטוי אלגברי‪ .‬בתרגיל זה מבצעים כפל על פי חוק הפילוג‪.‬‬
‫יש לשים לב לכך שבתרגילים (‪ ,)6( , )3‬סימן המינוס הוא חלק בלתי נפרד מהמספר שאחריו‪.‬‬
‫‪ .5‬כתיבת ביטויים שווים ללא סוגריים‪.‬‬
‫תרגילים (‪ )4( – )3‬מקדם שלילי‪ .‬כופלים כל אחד מהמחוברים שבתוך הסוגריים במקדם השלילי‪.‬‬
‫הסימנים משתנים‪.‬‬
‫בתרגיל (‪ )4‬מופיע סימן מינוס לפני הסוגריים‪ .‬לא כתוב מקדם מספרי‪ .‬ליד התרגיל‪ ,‬בדף תובנות‪,‬‬
‫שואלים את התלמידים מה הוא המקדם של הביטוי ללא סימן המינוס? (ראו עמוד ‪.)711‬‬
‫יש תלמידים שהוספת ‪ 7‬לפני הסוגריים מקלה על ביצוע חוק הפילוג‪:‬‬
‫‪502‬‬
‫)‪ –1(–4x – 5‬או )‪.(–1)(–4x – 5‬‬
‫‪233‬‬
‫חוק הפילוג – חזרה‬
‫‪a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c‬‬
‫)‪a  (b + c) = a(b + c‬‬
‫‪a ∙ (b  c) = a ∙ b  a ∙ c‬‬
‫)‪a  (b – c) = a(b – c‬‬
‫בכפל בין מספר לאות או בין‬
‫אותיות ניתן להשמיט את סימן‬
‫‪xy = x ∙ y‬‬
‫הפעולה‪:‬‬
‫‪–5y = –5 ∙ y‬‬
‫וג ה ‪1‬‬
‫(א)‬
‫‪3(b – 5) = 3b – 3  5 = 3b – 15‬‬
‫המקדם של )‪ (b–5‬הוא ‪3‬‬
‫(ב)‬
‫‪7 + 6(a – b) = 7 + 6a – 6b‬‬
‫המקדם של )‪ (a–b‬הוא ‪6‬‬
‫(ג)‬
‫‪–5(2x + y) = –5  2x + (–5)  y = –10x – 5y‬‬
‫‪–(6 – 5x) = –1(6 – 5x) = –1  6 – (–1)  5x = –6 + 5x‬‬
‫( )‬
‫תרגילים‬
‫‪.1‬‬
‫‪.5‬‬
‫המקדם של )‪ (2x+y‬הוא ‪–5‬‬
‫המקדם של )‪ (6–5x‬הוא ‪–1‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫השתמשו בחוק הפילוג וכתבו בכל סעיף ביטוי שווה ללא סוגריים‪.‬‬
‫= )‪2(x + y‬‬
‫‪2x + 2y‬‬
‫= )‪)5( 2(a – b‬‬
‫= )‪)3( –4(x + y‬‬
‫= )‪)1( 3(a + b‬‬
‫= )‪)6( –3(a – b‬‬
‫= )‪)4( 6(2 + b‬‬
‫= )‪)2( 2(x + 5‬‬
‫השתמשו בחוק הפילוג וכתבו בכל סעיף ביטוי שווה ללא סוגריים‪.‬‬
‫= )‪10 – 7(2x + 3 – 4y‬‬
‫(‪)5‬‬
‫= )‪)6( 2 – (2 – x‬‬
‫מה המקדם של‬
‫)‪? (4x + 5‬‬
‫= )‪)3( –2(x + 2y‬‬
‫= )‪)1( 4(2x + y‬‬
‫= )‪)4( –(4x + 5‬‬
‫= )‪)2( 10(1 – 6x + y‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪502 :‬‬
‫וג אות ‪3 – 5‬‬
‫שימוש בחוק הפילוג לפתרון משוואות‪ .‬משוואות שלמדו לפתור כבר בכיתה ז‪.‬‬
‫בדוגמה (‪ )2‬ניעזר בחוק החילוף של הכפל ונחליף את סדר הגורמים במכפלה שבאגף ימין‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 3‬מומלץ לפתור שתי משוואות במליאת הכיתה ולבצע גם בדיקה‪ ,‬ואת המשוואות האחרות לתת‬
‫כעבודה עצמית בבית או בכיתה‪ .‬לבקש מהתלמידים לבצע בדיקה על שתי משוואות נוספות‪.‬‬
‫פתרנו משוואות באמצעות חוק הפילוג‪.‬‬
‫וג ה ‪2‬‬
‫‪3(2x – 4) – (x + 2)  5 = 0‬‬
‫‪3(2x – 4) – 5(x – 2) = 0‬‬
‫‪4(x + 6) = 16‬‬
‫‪3  2x – 3  4 – 5  x – 5  (–2) = 0‬‬
‫‪4  x + 4  6 = 16‬‬
‫שימו לב לסימני‬
‫המחוברים המתקבלים‬
‫מפתיחת הסוגריים‪.‬‬
‫ביטויים שווים‬
‫וג ה‪3‬‬
‫‪4(x + 6) = 16‬‬
‫‪6x – 12 – 5x + 10 = 0‬‬
‫במסגרת הנושא של טכניקה אלגברית בחרנו בספר קפיצה לגובה המיועד לתלמידים מתקשים לעסוק גם בזיהוי‬
‫ביטויים שווים ובהצבה בביטויים אלגבריים‪.‬‬
‫הנושא פותח בהגדרה‪ :‬שני ביטויים אלגבריים הם שווים אם הם מקיימים את שני התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪ .7‬לשני הביטויים אותה קבוצת הצבה‬
‫‪⧸+2‬‬
‫‪.1‬‬
‫(הגדרות עם פירוט דומה היו גם בפרקים קודמים‪ ,‬במיוחד בהגדרות של מושגים בגיאומטריה‪).‬‬
‫ב וג ה ‪ 4‬יש ‪ 4‬סעיפים‪ .‬בכל אחד בודקים את קיומם של התנאים ‪ 7‬ו‪ ,2 -‬ומסמנים ‪  , ‬בהתאם‪.‬‬
‫(א) הביטויים‬
‫(ב) הביטויים‬
‫‪a+b‬‬
‫‪x–y‬‬
‫מקבלים תוצאות שוות‪.‬‬
‫הם ביטויים שווים‪.‬‬
‫‪3y · 2x‬‬
‫(ג) הביטויים ‪2x · 3y‬‬
‫‪8x 2‬‬
‫אינם ביטויים שווים‪( .‬קבוצת ההצבה שלהם שונה)‪.‬‬
‫(ד) (בראש העמוד הבא) הביטויים ‪ 2x‬ו‪-‬‬
‫‪4x‬‬
‫רק בהמשך לפרק בטכניקה אלגברית ילמדו פעולות חשבון בשברים אלגבריים‪ .‬בשלב זה ניתן להציב‬
‫מספרים שונים במקום ‪ x‬כולל ‪ ,0‬ולהיווכח שפרט להצבה של אפס‪ ,‬בכל ההצבות האחרות מתקבלות‬
‫תוצאות שוות‪ .‬האם הביטויים הם שווים? תנאי (‪ )7‬אינו מתקיים‪ .‬בשבר אסור להציב ‪ ,0‬מכיוון‬
‫שחילוק באפס אסור‪ ,‬בעוד שבביטוי כמו ‪ 2x‬מותר להציב ‪ .0‬כשנציב ‪ 0‬במקום ‪ x‬נקבל ‪.0‬‬
‫(במקרה זה אפשר להגיע למסקנה שלקיום תכונה יש לבדוק את קיומם של כל התנאים‪ ,‬בעוד שלשלילה‪,‬‬
‫מספיק שתנאי אחד אינו מתקיים ואז אין צורך לבדוק את התנאים האחרים‪).‬‬
‫‪234‬‬
‫‪x = 2‬‬
‫‪x = –2‬‬
‫פתרו את המשוואות הבאות‪.‬‬
‫לאוכלוסיית התלמידים לה מיועד הספר פירוט של התנאים מתאים יותר מאשר הגדרה הניתנת במשפט אחד כמו‪:‬‬
‫ביטויים שווים הם ביטויים בעלי אותה קבוצת הצבה כך שלכל מספר שמציבים בהם‪ ,‬מקבלים תוצאות שוות‪.‬‬
‫‪b+a‬‬
‫‪x–y‬‬
‫‪x–2 = 0‬‬
‫‪4x = –8‬‬
‫‪)6( 2(x – 1) – 3(x – 1) = 8‬‬
‫‪)1( 2(x + 3) = 10‬‬
‫‪)7( 5x – 2(x + 6) = x‬‬
‫‪)2( 2(6x – 1) – 1 = 33‬‬
‫‪)8( 3(10 – x) – (2 – x) = 0‬‬
‫)‪)3( 7(x + 3) = 2(2x – 3‬‬
‫‪)9( 10 – x = 2(2x – 1) – 3‬‬
‫‪)4( 2(6x – 1) + 3(15 – 3x) = 1‬‬
‫‪)10( (8 – x)  2 – (x – 5) = 6‬‬
‫)‪)5( 11 + 4(3x – 2) = 5(2x + 5‬‬
‫‪ .2‬לכל הצבה שנציב בכל אחד משני הביטויים נקבל תוצאות שוות‪.‬‬
‫הם ביטויים שווים‪.‬‬
‫אינם ביטויים שווים‪ .‬יש לפחות הצבה אחת בה לא‬
‫‪⧸–24‬‬
‫‪4x + 24 = 16‬‬
‫ביטויים שווים‬
‫שני ביטויים אלגבריים הם שווים אם הם מקיימים את שני התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬לשני הביטויים אותה קבוצת הצבה‪.‬‬
‫‪ .2‬לכל הצבה שנציב בכל אחד משני הביטויים נקבל תוצאות שוות‪.‬‬
‫וג ה ‪4‬‬
‫(א) הביטויים ‪a + b‬‬
‫ו‪b + a -‬‬
‫הם ביטויים שווים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫נבדוק‪ .1 :‬קבוצת ההצבה כוללת את כל המספרים‪.‬‬
‫‪ .2‬לכל הצבה מתקבלות תוצאות שוות – חוק החילוף של החיבור‪ .‬‬
‫(ב) הביטויים ‪y  x‬‬
‫ו‪x  y -‬‬
‫אינם ביטויים שווים‪.‬‬
‫נבדוק‪ .1 :‬קבוצת ההצבה כוללת את כל המספרים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .2‬בוחרים שני מספרים‪ ,‬למשל‪. x = 6 ; y = 2 ,‬‬
‫מקבלים תוצאות שונות‪.6 – 2 = 4 ; 2 – 6 = –4 :‬‬
‫(ג) הביטויים ‪ 2x  3y‬ו‪3y  2x -‬‬
‫‪‬‬
‫הם ביטויים שווים‪.‬‬
‫נבדוק‪ .1 :‬קבוצת ההצבה כוללת את כל המספרים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫תרגילים‬
‫‪8x 2‬‬
‫(א) הביטויים ‪ 2x‬ו‪-‬‬
‫‪4x‬‬
‫נבדוק‪ .1 :‬לביטויים אלו קבוצות הצבה שונות‪ .‬קבוצת ההצבה של ‪ 2x‬כוללת את כל המספרים‪.‬‬
‫‪8x 2‬‬
‫כוללת את כל המספרים פרט ל‪( .0 -‬אסור לחלק באפס‪).‬‬
‫קבוצת ההצבה של‬
‫‪4x‬‬
‫‪ .2‬אין צורך לבדוק את התנאי השני‪.‬‬
‫אינם ביטויים שווים‪.‬‬
‫‪ .4‬בכל סעיף נתונים שני ביטויים אלגבריים‪.‬‬
‫על התלמידים לקבוע האם הם ביטויים שווים ולהסביר תשובותיהם‪.‬‬
‫בכל הביטויים קבוצת ההצבה היא כל המספרים ‪ ,‬כך יש לקבוע אם מתקיים גם התנאי השני‪ ,‬כלומר‪,‬‬
‫בהצבה של מספרים שווים מתקבלות תוצאות שוות‪.‬‬
‫מומלץ לנצל תרגיל זה גם לתובנה מספרית תוך חזרה על חוקי החשבון‪ :‬חוק החילוף‪ ,‬חוק הקיבוץ‬
‫וחוק הפילוג‪.‬‬
‫בסעיפים (‪ )12( , )14( , )10( , )9( , )7( , )5( , )1‬ביטויים כפליים‪ .‬בפעולת הכפל מתקיימים חוק החילוף‬
‫וחוק הקיבוץ‪ .‬שינוי בסדר הגורמים במכפלה או שינוי בסדר ביצוע הכפל אינו משנה את תוצאת המכפלה‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬בסעיפים (‪ )14( , )10( , )9( , )7( , )5( , )1‬הביטויים הם שווים‪.‬‬
‫בסעיף (‪ )12‬ביטויים שאינם שווים‪ .‬יש להניח שהשגיאה נובעת מהכללת יתר שגויה של חוק הפילוג‪.‬‬
‫סעיפים (‪ :)15( , )11( , )2( , )2( , )3‬כולם ביטויים חיבוריים‪ .‬בפעולת החיבור מתקיימים חוק החילוף וחוק‬
‫הקיבוץ‪ .‬שינוי בסדר המחוברים או שינוי בסדר ביצוע החיבור אינו משנה את הסכום‪.‬‬
‫שגיאה אופיינית היא הכללה של חוק החילוף גם לפעולת החיסור‪ ,‬כמו בסעיפים (‪ )15( , )2( , )3‬בהם‬
‫ביטויים שאינם שווים‪ .‬בסעיפים (‪ )11( , )2‬ביטויים שווים‪ .‬שינוי סדר המחוברים בפעולת החיבור‪.‬‬
‫בסעיף (‪ )11‬החלפה של החיסור לחיבור המספר הנגדי‪ .‬הפרש בין שני מספרים הוא שווה ערך לסכום‬
‫של המספר הראשון והנגדי של המספר השני‪ .‬בסעיף זה‪ ,‬ניתן לכתיבה כסכום של ‪ x‬ו‪.(–y) -‬‬
‫בחיבור קיים חוק החילוף‪ .‬בהחלפת סדר המחוברים שומרים על הסימן שלכל אחד מהמחוברים‪.‬‬
‫סעיפים (‪ )19( , )4‬ביטויים שווים‪ .‬שימוש בחוק הפילוג‪.‬‬
‫סעיפים (‪ )12( , )12( , )13‬ביטויים שאינם שווים בגלל הכללת יתר שגויה של חוק הפילוג‪.‬‬
‫סעיף (‪ )2‬ביטויים שאינם שווים בגלל תרגום שגוי של פעולת ההעלאה בחזקה למכפלה של‬
‫בסיס החזקה במעריך‪.‬‬
‫סעיף (‪ )17‬ביטויים שווים המתקבלים אחד מהשני באמצעות כינוס מחוברים דומים‪.‬‬
‫סעיף (‪ )50‬ביטויים שווים‪ ,‬צמצום שברים‪.‬‬
‫לנוחיות המורים מוצג בעמוד הבא בצורה ויזואלית הפתרון לתרגיל ‪.4‬‬
‫‪235‬‬
‫‪‬‬
‫תרגילים‬
‫‪..14‬‬
‫‪..52‬‬
‫בכל סעיף נתונים שני ביטויים אלגבריים‪ .‬קבעו האם הם ביטויים שווים‪ .‬הסבירו‪.‬‬
‫‪y + x‬‬
‫‪x–y‬‬
‫(‪(11‬‬
‫‪6ab‬‬
‫‪ab6‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪ba‬‬
‫‪a–b‬‬
‫(‪(12‬‬
‫‪2d  5x‬‬
‫‪5x  2d‬‬
‫(‪)2‬‬
‫)‪7(ab‬‬
‫‪7a + 7b‬‬
‫(‪(13‬‬
‫‪q  ab‬‬
‫‪ab – q‬‬
‫(‪)3‬‬
‫)‪8y(–x‬‬
‫‪–8xy‬‬
‫(‪(14‬‬
‫‪5a + 5  3b‬‬
‫)‪5(a + 3b‬‬
‫(‪)4‬‬
‫)‪6 + (a + b‬‬
‫‪6a + 6b‬‬
‫(‪(15‬‬
‫‪2y + 5x‬‬
‫‪5x + 2y‬‬
‫(‪)5‬‬
‫)‪3 + (a + 2‬‬
‫‪3a + 6‬‬
‫(‪(16‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪a2‬‬
‫(‪)6‬‬
‫)‪a + (a + b‬‬
‫‪2a + b‬‬
‫(‪(17‬‬
‫‪xy‬‬
‫)‪x  (y‬‬
‫(‪)7‬‬
‫‪3x  3y‬‬
‫)‪3(xy‬‬
‫(‪(18‬‬
‫‪3  xy‬‬
‫‪xy – 3‬‬
‫(‪)8‬‬
‫‪3x + 6y‬‬
‫)‪3(x + 2y‬‬
‫(‪(19‬‬
‫‪ab‬‬
‫)‪b(a‬‬
‫(‪)9‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪8x‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪(20‬‬
‫‪5xy‬‬
‫התאימו לכל ביטוי בטור הימני ביטוי שווה בטור השמאלי‪.‬‬
‫(א)‬
‫‪7x2‬‬
‫(ב)‬
‫)‪3 + (x + 3‬‬
‫(ג)‬
‫‪y + 3x‬‬
‫( )‬
‫‪2‬‬
‫‪x x‬‬
‫(ה)‬
‫‪–x + 3y‬‬
‫‪2xx3‬‬
‫(ו)‬
‫)‪6  (xy‬‬
‫‪3x + 9‬‬
‫(ז)‬
‫‪6x2‬‬
‫(ח)‬
‫)‪3(x + 3‬‬
‫(ט)‬
‫)‪(–x) + (–3y‬‬
‫‪x3‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪x+6‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪6xy‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪3y – x‬‬
‫(‪)4‬‬
‫(‪)5‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪)7( (7x)x‬‬
‫‪3x + y‬‬
‫(‪)8‬‬
‫‪–x – 3y‬‬
‫(‪)9‬‬
‫)‪5(xy‬‬
‫(‪)10‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪507 :‬‬
‫‪.4‬‬
‫פתרון‪.‬‬
‫‪ .2‬פתרון‪.‬‬
‫א–‪1‬‬
‫ה–‪4‬‬
‫ב–‪2‬‬
‫ו–‪3‬‬
‫ג–‪8‬‬
‫ז–‪5‬‬
‫ד–‪7‬‬
‫ח–‪6‬‬
‫ט–‪9‬‬
‫‪236‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪ .2‬השלמה של מספרים וביטויים כדי שיתקבל שוויון בין שני ביטויים אלגבריים‪.‬‬
‫‪502‬‬
‫השלימו את החסר כך שיתקבלו ביטויים שווים‪.‬‬
‫(‪ )11( , )9( , )2( , )7( , )4( , )3( , )1‬ביטויים חיבוריים‪ .‬ניתן לזהות את הביטוי החסר‪,‬‬
‫)‪)8( 7a + ___ = 7(a + b‬‬
‫‪)1( 2x + 5y + 6 = 5y + ___ + 2x‬‬
‫באמצעות סימון של החלקים השווים (בצבע‪ ,‬בקו תחתון או בקו המוחק מחוברים שווים)‪.‬‬
‫‪)9( ____ + 3b = 3b  5‬‬
‫____ ‪)2( 3(x + y) = 3x +‬‬
‫למשל‪ ,‬ביטוי (‪:)7‬‬
‫‪2x + 5y + 6 = 5y + _____ + 2x‬‬
‫‪2x + 5y + 6 = 5y + _____ + 2x‬‬
‫או‪:‬‬
‫או‪:‬‬
‫)‪)10( 8m ____ = 8(m  n‬‬
‫___ ‪)3( 7  x = –x +‬‬
‫____ ‪)11( 3a  5b = –5b +‬‬
‫____ ‪)4( 5 + (a + b) = 5 + a +‬‬
‫___ ‪)12( 16  (ct) = 8c‬‬
‫___ ‪)5( 5  (xy) = 5‬‬
‫_________ = ____ ‪)13( (7x + 3y)5 = 7x5 +‬‬
‫___ ‪)6( 12ab = b ‬‬
‫‪)14( (2x + 4)  y = 2 ___ + 4y‬‬
‫‪)7( –4 + 3y + ___ = 2x  4 + 3y‬‬
‫‪2x + 5y + 6 = 5y + _____ + 2x‬‬
‫‪2x + 5y + 6 = 5y + _____ + 2x‬‬
‫המחובר החסר הוא ‪.6‬‬
‫(‪ )9‬לשים לב שהביטוי החסר הוא שלילי‪ .‬לא לשכוח את הסימן‪.‬‬
‫(‪ )14( , )13( , )10( , )8( , )2‬שימוש בחוק הפילוג‪ .‬שימוש בדרכים שהוצעו בסעיף (‪ )1‬לא יעזור‪.‬‬
‫למשל בסעיף (‪3(x + y) = 3x + ______ :)2‬‬
‫באגף ימין ביטוי שווה ללא סוגריים‪ .‬חוק הפילוג‪ .‬יש לכפול ב‪ 3 -‬את כל אחד מהמחוברים שבתוך‬
‫נפשט ביטויים אלגבריים‬
‫הסוגריים‪ .‬המחובר החסר ‪.3y‬‬
‫(‪ )10‬יש לשים לב לכך שחסרה גם הפעולה‪.‬‬
‫לפשט ביטוי פירושו‪ :‬לפתוח סוגריים ולחבר ביטויים דומים‪ ,‬כך שיתקבל ביטוי שווה‪ ,‬פשוט יותר‪.‬‬
‫לחיבור ביטויים דומים קוראים כינו איברים ו ים‪.‬‬
‫(‪ )12( , )6( , )5‬ביטויים כפליים‪ .‬סימון גורמים שווים במכפלות כפי שנעשה בביטויים חיבוריים יכול להקל על‬
‫זיהוי הביטוי החסר‪.‬‬
‫פתרון‪.‬‬
‫וג ה ‪5‬‬
‫נפשט את הביטוי‪:‬‬
‫= )‪3(x + 2y) + 4(x + y‬‬
‫ניעזר בחוק הפילוג ונפתח סוגריים‪:‬‬
‫= ‪3x + 6y + 4x + 4y‬‬
‫נכנס איברים דומים‪:‬‬
‫= ‪3x + 6y + 4x + 4y‬‬
‫‪ 3x‬ו‪ 4x -‬הם ביטויים דומים‪.‬‬
‫‪ 6y‬ו‪ 4y -‬הם ביטויים דומים‪.‬‬
‫‪7x + 10y‬‬
‫הביטוי‬
‫)‪ 3(x + 2y) + 4(x + y‬שווה לביטוי‬
‫‪.7x + 10y‬‬
‫תרגילים‬
‫‪.7‬‬
‫‪237‬‬
‫פשטו וכתבו ביטויים שווים‪.‬‬
‫)‪(3a+1)2 = 2(3a+1‬‬
‫= ‪)7( 3a + (b – 5)  2‬‬
‫= ‪)4( 6a + (3a +1)  2‬‬
‫= ‪)1( 5x + 2 + 3x – 10‬‬
‫= )‪)8( 1 – (5x – 7‬‬
‫= )‪)5( (x – 5 + y)  (–7‬‬
‫= ‪)2( –a + 3b – 5a – 9b‬‬
‫= )‪)9( 3a – (b – 5‬‬
‫= ‪)6( –3(m + 2) + 3m‬‬
‫= ‪)3( 4(a – b) + b‬‬
‫‪208‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪509 – 502 :‬‬
‫נפשט ביטויים אלגבריים‬
‫המשמעות‪ :‬נכתוב ביטויים אלגבריים שווים ללא סוגריים על‪-‬פי חוק הפילוג‪ ,‬נכנס איברים דומים‪ ,‬ונקבל ביטוי שווה לביטוי הנתון‪.‬‬
‫התלמידים ביצעו פעולות אלו במשוואות ועדיין לא ביצעו פעולות אלו על ביטויים אלגבריים‪.‬‬
‫במשוואות הייתה מטרה בביצוע הפישוט‪ ,‬הוא הוביל לפתרון המשוואה‪ .‬מה מקבלים מהפישוט? בפישוט ביטויים אלגבריים גם לאחר הפישוט נשארים לעיתים עם ביטוי אלגברי‬
‫שלא תמיד נראה פשוט‪.‬‬
‫פר שבהצבתו במקום הנעלם מקבלים שוויון בין שני אגפי המשוואה‪.‬‬
‫בנוסף‪ ,‬במשוואה‪ ,‬לפתור‪ ,‬פירוש הדבר ל צוא‬
‫בחישובים אחרים (כמו בחישוב ערך של ביטוי) לפתור‪ ,‬פירושו ל צוא את הערך ה פרי של הביטוי‪.‬‬
‫בפישוט ביטויים אלגבריים‪ ,‬התלמידים מצפים לקבל ביטוי "פשוט"‪ ,‬ובמילה "פשוט" הם מתכוונים בדרך כלל לחד איבר‪.‬‬
‫בפרק זה אחרי פתיחת הסוגריים וכינוס האיברים הדומים עדיין מקבלים גם ביטוי חיבורי שיש בו מספר מחוברים‪.‬‬
‫כשמתחילים ללמד את הנושא נזכיר כי נבצע פעולות על ביטויים אלגבריים‪ .‬פעולות אלו כוללות פתיחת סוגריים וכינוס מחוברים דומים‪ .‬נזכיר כי בפתרון משוואות בצענו‬
‫פעולות כאלו על כל אחד מאגפי המשוואה‪ ,‬ורק לאחר הפישוט התחלנו בתהליך של מציאת הפתרון בו בצענו פעולות מותרות זהות על שני אגפי המשוואה‪.‬‬
‫בפרק זה ניתן להתייחס לביטוי האלגברי כאל אגף אחד של המשוואה ולפשט אותו באותה דרך‪.‬‬
‫ב וג ה ‪ 2‬ביטוי אלגברי בו יש לפתוח סוגריים ולכנס איברים דומים‪.‬‬
‫כדי למנוע טעויות מומלץ לסמן את האיברים הדומים בצבע או בקווים תחתיים שונים כדלהלן‪:‬‬
‫או‬
‫‪3x + 6y + 3x + 3y‬‬
‫‪3x + 6y + 3x + 3y‬‬
‫(השימוש בצבעים בולט יותר‪).‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ )5( – )1( .7‬כינוס מחוברים דומים‪ .‬בביטוי (‪ )1‬שואלים אילו הם הביטויים הדומים? נחזור ונזכיר כי לא ניתן לחבר ביטויים שאינם דומים‪.‬‬
‫בשני הביטויים יש לשים לב לסימנים‪ .‬לחזור על כך שהביטוי הוא ביטוי חיבורי‪ :‬פעולת החשבון שבין הביטויים השונים היא חיבור כאשר הסימן שמשמאל לכל‬
‫ביטוי הוא חלק בלתי נפרד ממנו‪ .‬בביטוי (‪ )5‬בכינוס המחוברים הדומים מחברים ‪.–a + (–5a) = –6a‬‬
‫‪.3b + (–9b) = –6b‬‬
‫(‪ )9( – )3‬בביטויים הנוספים י ש לפתוח סוגריים על פי חוק הפילוג ולאחר מכן לכנס איברים דומים‪ .‬בפתיחת הסוגריים חשוב לשים לב לסימני הגורמים במכפלות‪.‬‬
‫בחלק מהביטויים המקדם של הסוגריים מופיע אחריהם‪ .‬בביטוי (‪ )4‬מפנים את תשומת לב התלמיד לכך וממליצים לכתוב שוב את הביטוי כאשר מחליפים את סדר‬
‫הגורמים במכפלה (חוק החילוף)‪.‬‬
‫בביטויים (‪ , )9( – )2‬לפי הכתוב‪ ,‬יש לבצע פעולת חיסור בין מספר או ביטוי (שהוא חד איבר) לבין הסוגריים‪ .‬לא כתוב המקדם של הסוגריים‪ .‬שואלים‪ :‬מהו המקדם‬
‫של הסוגריים? או מה המספר הכופל את הסוגריים? מומלץ לכתוב את הביטוי עם מקדם של )‪ (–1‬לפני השימוש בחוק הפילוג לפתיחת הסוגריים‪ .‬גם כאן חשוב לשים לב‬
‫‪209‬‬
‫לסימני המכפלות‪.‬‬
‫‪..72‬‬
‫‪ .2‬תרגיל נוסף של כתיבת ביטויים שווים תוך שימוש בחוק הפילוג ובכינוס איברים דומים‪.‬‬
‫‪238‬‬
‫‪.‬‬
‫כתבו ביטויים שווים ללא סוגריים‪.‬‬
‫= )‪)7( t  (–3)  4(t  4‬‬
‫= )‪)1( 7a + 2(7  a‬‬
‫= ‪)8( –(7  2x) + x‬‬
‫= )‪)2( –2(a + b) + 3(b  a‬‬
‫= )‪)9( 4(x  y)  (–5y  x‬‬
‫= ‪)3( (x  y)  2 + y + 5y‬‬
‫= )‪)10( –5 + (m  3‬‬
‫= )‪)4( –(5 + t)  t  (–4‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫התרגיל יינתן כעבודה עצמית בכיתה‪ .‬נבקש מכל זוג תלמידים להשוות את תשובותיהם‪.‬‬
‫כאשר התשובות שונות‪ ,‬לנסות יחד לפתור שוב‪ .‬בסיום‪ ,‬נציג על הלוח ביטויים בהם שני התלמידים לא‬
‫הגיעו לתמימות דעים לגבי הפישוט‪.‬‬
‫וג אות ‪7 – 2‬‬
‫ביטויים בהם לאחר הפישוט מתקבלים ביטויים עם חזקות‪.‬‬
‫את הדוגמאות יפתרו במליאת הכיתה תוך שיתוף התלמידים‪.‬‬
‫ניתן לבקש מהתלמידים לפתור לבד ולכתוב על הלוח מספר פתרונות שקיבלו‪ .‬לאחר מכן להציג את הכתיבה‬
‫המפורטת‪.‬‬
‫בפישוט ביטויים מסוג זה נבקש מהתלמידים לכתוב את כל שלבי הפתרון כמוצג בדוגמה‪.‬‬
‫טעות נפוצה היא להתעלם מהחזקה‪ .‬למשל‪ x(x – 2) ,‬יקבלו לאחר הפישוט‪ ,x – 2x :‬ואולי אפילו ימשיכו ויכנסו‪.‬‬
‫בכתיבה מפורטת יש סיכוי למניעת טעויות מסוג זה‪ .‬התלמידים מכירים את החזקה וכאשר כתוב ‪ xx‬למשל‪,‬‬
‫יש סיכוי שישימו לב לעובדה שמדובר בחזקה‪ .‬חשוב להזכיר כי הביטויים ‪ x3 , x2 , x‬הם ביטויים שאינם דומים‬
‫וכמובן שאינם ניתנים לכינוס‪.‬‬
‫‪.9‬‬
‫תרגילים בהם הפישוט מתבצע לפי הדרך שהוצגה בדוגמאות‪.‬‬
‫מומלץ לבדוק ביטויים (‪ )9( , )8( , )6‬בכיתה‪.‬‬
‫‪ .10‬שימוש בטכניקות האלגבריות שנלמדו בהקשר של חישוב שטח‪.‬‬
‫נתון מלבן שאורך אחת מצלעותיו מיוצגת על‪-‬ידי ביטוי אלגברי‪.‬‬
‫מבקשים לכתוב ביטוי לחישוב שטח המלבן ולאחר מכן לפשט אותו ולכתוב ביטוי שווה‪.‬‬
‫מומלץ לפתור תרגיל זה במליאת הכיתה ואת שני התרגילים הבאים הדומים לו לתת לתלמידים‬
‫כעבודה עצמית‪.‬‬
‫במליאת הכיתה נחזור על הנוסחה לחישוב שטח מלבן‪.‬‬
‫‪239‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪.11‬‬
‫‪ .13 – 11‬שאלות דומות לשאלה ‪ .70‬התלמידים יפתרו בכוחות עצמם‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪..15‬‬
‫‪.13‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪510‬‬
‫לפניכם סרטוט מוקטן של מלבן‪ .‬אורכי הצלעות נתונים בסרטוט‪.‬‬
‫(א)‬
‫כתבו ביטוי אלגברי לשטח המלבן‪.‬‬
‫(ב )‬
‫כתבו ביטוי שווה ללא סוגריים‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x+7‬‬
‫לפניכם סרטוט מוקטן של מלבן‪ .‬אורכי הצלעות נתונים בסרטוט‪.‬‬
‫(א)‬
‫כתבו ביטוי אלגברי לשטח המלבן‪.‬‬
‫(ב)‬
‫כתבו ביטוי שווה ללא סוגריים‪.‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪4b – 5‬‬
‫לפניכם סרטוט מוקטן של מלבן‪ .‬אורכי הצלעות נתונים בסרטוט‪.‬‬
‫(א)‬
‫כתבו ביטוי אלגברי לשטח המלבן‪.‬‬
‫(ב)‬
‫כתבו ביטוי שווה ללא סוגריים‪.‬‬
‫‪2a + 5‬‬
‫‪3a‬‬
‫הצבה בביטויים אלגבריים‬
‫וג ה ‪2‬‬
‫הצבה בביטויים אלגבריים‬
‫וג ה ‪8‬‬
‫הצבה של מספרים במקום אותיות בביטויים אלגבריים נלמדה כבר בכיתה ז‪.‬‬
‫החידוש בפרק זה מתבטא בהצבה של ביטוי אלגברי במקום משתנה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫נתון הביטוי ‪.2a‬‬
‫ב‪.‬‬
‫נתון הביטוי ‪.6b + 3‬‬
‫ג‪.‬‬
‫נתון הביטוי ‪.3x – 7‬‬
‫‪.‬‬
‫נתון הביטוי ‪.4x + y‬‬
‫נציב ‪ 6‬במקום ‪:a‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫ההצבה נלמדת בשלבים‪ :‬הצבה של מספרים וביטויים כפליים‪ ,‬הצבה של ביטויים חיבוריים‪.‬‬
‫הדוגמאות יוצגו במליאת הכיתה כאשר הספר סגור‪.‬‬
‫‪2∙6‬‬
‫‪12‬‬
‫נציב ‪ 5‬במקום ‪: b‬‬
‫נחשב ונקבל‪:‬‬
‫‪6∙5+3‬‬
‫‪30 + 3 = 33‬‬
‫התלמידים יבצעו בעצמם הצבות של מספרים ורק לאחר מכן יעבור להצבה של ביטויים אלגבריים כפליים‪.‬‬
‫בדוגמאות שבעמוד זה הצבות של מספרים ושל ביטויים כפליים (חד איברים)‪ .‬הביטוי אותו מציבים מחליף‬
‫ביטוי אחר‪ .‬כאשר הביטוי שמציבים הוא שלילי חשוב לכתוב אותו בסוגריים כמו בדוגמאות ד – ה‪.‬‬
‫אפשר בשלב הראשון של ההקניה לכתוב גם ביטויים שאינם שליליים בסוגריים כדי להדגיש את הפעולה‬
‫ה‪.‬‬
‫‪240‬‬
‫נפשט ונקבל את הביטוי‪:‬‬
‫‪6y – 7‬‬
‫נציב ‪:y = 3 ; x = –5‬‬
‫‪4 ∙ (–5) + 3‬‬
‫נחשב ונקבל‪:‬‬
‫שנעשתה (לא נחוץ מבחינה מתמטית)‪.‬‬
‫בדרך כלל אחרי ההצבה יש לבצע תהליך של פישוט וכתיבת ביטוי שווה‪.‬‬
‫נציב את הביטוי ‪ 2y‬במקום ‪:x‬‬
‫נתון הביטוי ‪.4x + y‬‬
‫‪3 ∙ 2y – 7‬‬
‫נציב ‪x = 7‬‬
‫‪–20 + 3 = –17‬‬
‫; ‪:y = 4b‬‬
‫‪4 ∙ 7 + 4b‬‬
‫נפשט ונקבל את הביטוי‪:‬‬
‫‪28 + 4b‬‬
‫‪3∙2y = 3∙2∙y = 6y‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪511‬‬
‫‪1‬‬
‫תרגילים‬
‫תרגילים‪ :‬הצבה בביטוי אלגברי‪.‬‬
‫‪ .14‬נתונים ביטויים אלגבריים בכל אחד מהם משתנה אחד‪ .‬יש לבצע את ההצבה שכתובה שמימין לביטוי‪.‬‬
‫‪ .41‬לפניכם שישה ביטויים אלגבריים‪.‬‬
‫הציבו בכל אחד מהביטויים את המספר או הביטוי שמשמאל וחשבו‪.‬‬
‫מומלץ לפתור סעיף אחד בכיתה ואת האחרים לתת כעבודה עצמית‪.‬‬
‫‪x=0‬‬
‫‪1‬‬
‫בכל ביטוי יש לבצע חמש הצבות‪ ,‬חלקן מספריות וחלקן ביטויים אלגבריים כפליים‪.‬‬
‫לאחר ההצבה יש לפשט את הביטוי שהתקבל ולכתוב לו ביטוי שווה‪.‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪)5( 7y  1‬‬
‫‪y = –2‬‬
‫‪y = 2a‬‬
‫‪)6( 6y  3‬‬
‫‪x = –4‬‬
‫‪)3( 8  5x‬‬
‫‪ .21‬בכל עיגול מרכזי נתון ביטוי אלגברי‪.‬‬
‫בכל סעיף הציבו את המספר או הביטוי הנתון וחשבו‪.‬‬
‫כדי לוודא שהתלמידים מבינים את המשימה‪ ,‬מומלץ לבצע הצבה אחת במליאת הכיתה‪.‬‬
‫(א)‬
‫(א)‬
‫‪x=4‬‬
‫‪a=7‬‬
‫‪ .12‬תרגיל דומה לתרגיל ‪ 74‬כאשר בביטוי הנתון יש שני משתנים‪.‬‬
‫הצבה בביטוי בו יש יותר ממשתנה אחד נלמדה בכיתה ז‪.‬‬
‫‪x=5‬‬
‫‪)2( 3y  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .12‬תרגיל נוסף בהצבה בביטוי אלגברי בו יש משתנה אחד‪ .‬הביטוי האלגברי כתוב בעיגול הצבוע בתכלת‪.‬‬
‫‪)4( 12  3x‬‬
‫‪)1( 3x  2‬‬
‫(ב)‬
‫(ה)‬
‫(ב)‬
‫(ה)‬
‫‪x=0‬‬
‫‪x = 2b‬‬
‫‪a = –5‬‬
‫‪a = x2‬‬
‫קפיצה לגובה לכיתה ז חלק ב עמודים ‪.729 – 725‬‬
‫‪4a‬‬
‫‪2x + 1‬‬
‫התלמידים למדו כי בביטוי בו מופיע אותו משתנה יותר מפעם אחת מציבים בכל הפעמים אותו מספר‪.‬‬
‫בביטוי בו מופיעים משתנים שונים‪ ,‬מציבים לכל משתנה את ערכו‪ .‬הערכים יכולים להיות גם שווים‪.‬‬
‫בתרגיל ‪ 75‬סעיף (ג) בשני המשתנים ‪ x‬ו‪ y -‬יש להציב מספרים שווים‪.‬‬
‫(ג)‬
‫( )‬
‫(ג)‬
‫( )‬
‫‪x = –3‬‬
‫‪x=a‬‬
‫=‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a = 2x‬‬
‫‪ .21‬בעיגול המרכזי נתון הביטוי ‪.2x + 3y‬‬
‫( א)‬
‫‪x=4‬‬
‫‪y=5‬‬
‫בכל סעיף הציבו את הנתונים וחשבו‪.‬‬
‫(ב)‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪x‬‬
‫‪2x + 3y‬‬
‫‪y=3‬‬
‫(ג)‬
‫‪x=7‬‬
‫‪y=7‬‬
‫‪241‬‬
‫( )‬
‫‪x=0‬‬
‫‪y=1‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪( .41‬א) הציבו ‪x = 5‬‬
‫‪.17‬‬
‫‪( .17‬א) הצבה בביטוי בו מופיע אותו משתנה יותר מפעם אחד‪.‬‬
‫לאחר הצבה של ‪ 5‬במקום ‪ ,x‬יש לחשב את ערך הביטוי על פי סדר פעולות החשבון‪ :‬חזקה‪ ,‬כפל‪,‬‬
‫ובסוף חיבור‪ .‬מומלץ לבדוק במליאת הכיתה‪.‬‬
‫(ב) נתון ביטוי בו יש שני משתנים‪ .‬לכל משתנה הצבה שונה‪.‬‬
‫(ג)‬
‫בביטוי ‪ 3x + 2x2 + 1‬וחשבו‪.‬‬
‫(ב )‬
‫הציבו ‪ b = 0 , a = –7‬בביטוי ‪ 2a + ab‬וחשבו‪.‬‬
‫(ג)‬
‫הציבו ‪ b = 3 , a = 2‬בביטוי ‪ a + b + ab‬וחשבו‪.‬‬
‫וג ה‪10‬‬
‫וג ה ‪9‬‬
‫נתון הביטוי‬
‫נתון ביטוי ובו שני משתנים‪ .‬כל משתנה מופיע בביטוי האלגברי פעמיים‪.‬‬
‫נתון הביטוי‪.a + b :‬‬
‫‪.x + y‬‬
‫אחרי הצבה התקבל הביטוי‪:‬‬
‫אחרי הצבה התקבל הביטוי‪:‬‬
‫‪a+5‬‬
‫מה הציבו במקום ‪ ? x‬מה הציבו במקום ‪? y‬‬
‫יעל אמרה שהציבו‪:‬‬
‫וג אות ‪10 – 9‬‬
‫‪212‬‬
‫‪8+x‬‬
‫מה הציבו במקום ‪ ? a‬מה הציבו במקום ‪? b‬‬
‫נועה אמרה שהציבו‪:‬‬
‫‪.y = 5 , x = a‬‬
‫האם יעל צודקת?‬
‫‪.b = x , a = 8‬‬
‫האם נועה צודקת?‬
‫מוצגות שתי דוגמאות‪ .‬בדוגמאות אלו נעשה התהליך ההפוך להצבה אותה למדו בעמוד הקודם‪.‬‬
‫נתונים שני ביטויים‪ ,‬הביטוי המקורי והביטוי לאחר שבוצעה הצבה‪.‬‬
‫יש לזהות את ההצבות שבוצעו‪.‬‬
‫התהליך ההפוך תלוי ביכולת ההסתכלות המבנית על ביטויים אלגבריים אותה אנחנו מקווים לפתח אצל התלמידים‪.‬‬
‫‪ .21‬מה הציבו במקום ‪ a‬ומה הציבו במקום ‪ b‬בביטוי ‪ a + b‬אם קיבלו את הביטויים הבאים?‬
‫‪12‬‬
‫בשלב זה כל ההצבות הן כפליות‪ ,‬כך שמרבית התלמידים‪ ,‬באוכלוסיית היעד של הספר‪ ,‬מסוגלים לבצע זיהוי כזה‪.‬‬
‫‪x+y‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪x + 3y‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪)1( 3 + 9‬‬
‫‪4x + 10‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪2x + y‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪)2( 9 + y‬‬
‫לדוגמה מסוג זה יש יותר מתשובה אחת‪ .‬יש להניח שלא יראו את כל האפשרויות אבל יהיו מסוגלים לזהות‬
‫לפחות שתיים מהן‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬ב וג ה ‪ 9‬הביטוי הנתון הוא‪ .x + y :‬הביטוי לאחר הצבה הוא‪ .a + 5 :‬בדוגמה מוצגת אפשרות אחת‪:‬‬
‫‪ .y = 5 , x = a‬התלמידים מתבקשים לבצע את ההצבה ולבדוק אם מתקבל הביטוי הנכון‪.‬‬
‫אפשרות נוספת היא ‪.y = a , x = 5‬‬
‫וג ה ‪11‬‬
‫נתון הביטוי ‪.3x‬‬
‫נתון הביטוי ‪.5 + x‬‬
‫איזה מהביטויים הבאים הוא הביטוי המתקבל מהצבה‬
‫של (‪ )–5‬במקום ‪? x‬‬
‫איזה מהביטויים הבאים הוא הביטוי המתקבל מהצבה‬
‫של (‪ )–7‬במקום ‪? x‬‬
‫(‪3 – 5 )1‬‬
‫יש אפשרויות רבות נוספות כמו‪ .y = 3 , x = a + 2 :‬וכו'‪.‬‬
‫וג ה‪12‬‬
‫(‪3 ∙ (–5) )3‬‬
‫(‪–35 )2‬‬
‫הביטוי המתאים הוא )‪.3 ∙ (–5‬‬
‫(‪5 – 7 )1‬‬
‫(‪5 – )–7( )3‬‬
‫(‪– 57 )2‬‬
‫הביטוי המתאים הוא (‪.5 – )–7‬‬
‫אנחנו לא מצפים מהתלמידים להגיע להצבות מסוג זה‪ .‬ראשית עדיין לא עסקנו בהצבות של ביטויים חיבוריים‬
‫‪515‬‬
‫ושנית תלמיד בעל ראייה מבנית מסוג זה אינו שייך לאוכלוסיית היעד של ספר זה‪.‬‬
‫‪ .12‬תרגול של הכיוון ההפוך שהוצג בדוגמאות הקודמות‪.‬‬
‫‪.19‬‬
‫וג אות ‪ 15 – 11‬מציגות את התהליך ההפוך לזה שמוצג בדוגמאות ‪.70 – 9‬‬
‫לפניכם שישה ביטויים אלגבריים‪.‬‬
‫משמאל בכחול נתונה הצבה‪ .‬הציבו‪ ,‬פשטו‪ ,‬וכתבו ביטוי שווה‪.‬‬
‫למען האחידות וכדי למנוע טעויות‪ ,‬עדיף‪ ,‬בהצבה של מספר שלילי‪ ,‬להכניס סוגריים גם אם הם אינם הכרחיים‪.‬‬
‫נתונה הצבה מספרית‪ ,‬ועל התלמידים לבחור את הביטוי הנכון המתקבל מההצבה‪.‬‬
‫ב וג ה ‪ 15‬טעות בתשובה הנכונה‪ .‬התשובה הנכונה‪.5 – 7 :‬‬
‫את הדוגמאות מומלץ לפתור במליאת הכיתה כאשר הספרים סגורים‪.‬‬
‫‪242‬‬
‫‪x=2‬‬
‫‪)4( (3x + 7) ∙ x‬‬
‫‪a=–1‬‬
‫)‪3 ∙ (a + 7‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪y=1‬‬
‫‪)5( 18  y‬‬
‫‪x=4‬‬
‫‪–2x + 3‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪y=1‬‬
‫‪)6( 9 – 2y‬‬
‫‪x = –2‬‬
‫‪–x + 4‬‬
‫(‪)3‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪( ..50‬א)‬
‫‪05‬‬
‫תרגילים‬
‫נתון הביטוי ‪.–2y‬‬
‫(ב )‬
‫‪ .19‬הצבות בדומה לדוגמאות ‪72 – 77‬‬
‫‪ .50‬תרגיל לתלמידים מתקדמים‪ .‬בהצבה של ביטוי אלגברי חיבורי שבדרך כלל מחייב שימוש בסוגריים‪.‬‬
‫אחרי ההצבה מפשטים את הביטוי על‪-‬ידי פתיחת סוגריים וכינוס איברים דומים (אם יש)‪.‬‬
‫המושג תחום הצבה הוזכר כבר בפרקים קודמים‪.‬‬
‫הציבו במקום ‪ y‬את הביטוי ‪ 3x + 7‬ופשטו‪.‬‬
‫הציבו במקום ‪ y‬את הביטוי ‪ 2  3x‬ופשטו‪.‬‬
‫נתון הביטוי ‪.y + 1‬‬
‫תחום הצבה‬
‫וג ה ‪13‬‬
‫‪8‬‬
‫‪x 1‬‬
‫נתון הביטוי‬
‫תחום הצבה‬
‫‪513 – 515‬‬
‫נציב‪:‬‬
‫‪x=5‬‬
‫נציב‪:‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪8  8  2‬‬
‫‪5 1‬‬
‫‪4‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪x=1‬‬
‫‪8  8‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪0‬‬
‫א ור לחלק באפ !‬
‫בשלב זה התייחסות רק להצבות עבורן מקבלים אפס במכנה‪.‬‬
‫וג ה ‪13‬‬
‫‪8‬‬
‫השווה ל‪.2 -‬‬
‫שבר בו יש ביטוי אלגברי במכנה‪ .‬מוצגות שתי הצבות‪ :‬באחת מתקבל השבר‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ .‬וכבר בכיתה ז למדו כי אסור לחלק באפס‪.‬‬
‫בהצבה השנייה בה מציבים ‪ 7‬במקום ‪ ,x‬מתקבל השבר‬
‫‪0‬‬
‫כלומר‪ ,‬מתקבלת מנה שאינה אפשרית‪.‬‬
‫כאשר יש שבר עם ביטוי אלגברי במכנה‪ ,‬יש לוודא שהמכנה שונה מ‪.0 -‬‬
‫(א)‬
‫בביטוי‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫אם נציב ‪x = 0‬‬
‫נקבל ‪ 0‬במכנה‪  .‬אסור להציב ‪.x = 0‬‬
‫(ב )‬
‫בביטוי‬
‫‪12‬‬
‫‪x 3‬‬
‫אם נציב ‪x = 3‬‬
‫נקבל ‪ 0‬במכנה‪  .‬אסור להציב ‪.x = 3‬‬
‫(ג)‬
‫‪2‬‬
‫בביטוי‬
‫)‪(x  6)(x  2‬‬
‫גם אם נציב‬
‫תחום הצבה הוא קבוצת כל המספרים שמותר להציב אותם בביטוי נתון‪ .‬בדוגמה זאת אסור להציב את המספר ‪.7‬‬
‫תחום ההצבה של הביטוי הנתון הוא כל המספרים פרט ל‪.0 -‬‬
‫בהמשך לדוגמה הצגה של שלושה ביטויים נוספים כאשר ליד כל אחד מהם מצוין המספר או המספרים שלא ניתן‬
‫להציב אותם בביטוי הנתון מכיוון שמקבלים מכנה השווה לאפס‪.‬‬
‫בביטוי (ג) יש שני מספרים כאלו‪ 2 :‬ו‪ .(–6) -‬תחום ההצבה של ביטוי זה כולל את כל המספרים פרט לשני‬
‫מספרים אלו‪.‬‬
‫תרגיל ‪51‬‬
‫אם נציב ‪ x = –6‬נקבל ‪ 0‬במכנה‪.‬‬
‫‪ x = 2‬נקבל ‪ 0‬במכנה‪.‬‬
‫‪ ‬אסור להציב ‪ x = –6‬ואסור להציב ‪.x = 2‬‬
‫לקבוצת המספרים אותם מותר להציב במקום ‪ x‬קוראים תחום הצבה‪.‬‬
‫בביטוי (א) תחום ההצבה הוא כל המספרים פרט לאפס‪.‬‬
‫בביטוי (ב) תחום ההצבה הוא כל המספרים פרט ל‪.3 -‬‬
‫בביטוי (ג) תחום ההצבה הוא כל המספרים פרט ל‪ 2 -‬ול‪.(–6) -‬‬
‫‪ .15‬לפניכם שישה ביטויים אלגבריים‪.‬‬
‫כתבו לכל אחד מהם‪:‬‬
‫לכל ביטוי יש לכתוב (א) אלו מספרים‪ ,‬הצבתם בביטוי מביאה למכנה השווה לאפס‪.‬‬
‫(א) את המספר או המספרים שאם נציב אותם בביטוי האלגברי הנתון המכנה יהיה שווה ‪.0‬‬
‫(ב) את תחום ההצבה‪.‬‬
‫(ב) את תחום ההצבה‪.‬‬
‫בביטוי (‪ )4‬מותר להציב כל מספר‪ .‬תחום ההצבה הוא כל המספרים‪.‬‬
‫‪243‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x  4‬‬
‫(‪7‬‬
‫‪1 3x‬‬
‫‪4x‬‬
‫(‪5‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x‬‬
‫(‪3‬‬
‫‪57‬‬
‫‪x4‬‬
‫(‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫)‪x( x  8‬‬
‫(‪8‬‬
‫‪x4‬‬
‫)‪(x  7)(x  8‬‬
‫(‪6‬‬
‫)‪3( x  2‬‬
‫(‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x  10‬‬
‫(‪2‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪412 – 412 :‬‬
‫חוק הפילוג המורחב‬
‫מספר שיעורים מומלץ‪.2 :‬‬
‫הרחבה של חוק הפילוג למכפלה של שני ביטויים חיבוריים (מכפלה של רב איבר ברב איבר)‪.‬‬
‫בחוק הפילוג עסקנו עד כה במכפלה של מספר או ביטוי כפלי (חד איבר) בביטוי של סכום (רב איבר)‪.‬‬
‫את חוק הפילוג המורחב ניתן להדגים באמצעות המודל של שטח מלבן שכל אחת מצלעותיו מוצגת כסכום‪.‬‬
‫שטח מלבן שאורך אחת מצלעותיו )‪(a + b‬‬
‫ואורך הצלע הסמוכה‬
‫הוא‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪c‬‬
‫‪ad‬‬
‫‪ac‬‬
‫)‪(c + d‬‬
‫)‪(a + b)(c + d‬‬
‫כאשר מחלקים את המלבן למלבנים כמתואר בסרטוט‪:‬‬
‫שטח המלבן שווה לסכום שטחי המלבנים החלקיים‪.‬‬
‫‪bc‬‬
‫‪bd‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd‬‬
‫אפשר להדגים את חוק הפילוג המורחב גם דרך חוק הפילוג שכבר נלמד‪ ,‬חישוב בשלבים‪.‬‬
‫בשלב הראשון‪ ,‬הביטוי )‪ (a + b‬משמש כמקדם לביטוי )‪ .(c + d‬על פי חוק הפילוג‪:‬‬
‫‪(a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b) d‬‬
‫בשלב הבא נפתח את הסוגריים על פי חוק הפילוג‪:‬‬
‫‪(a + b)c + (a + b) d = ac + bc + ad + bd‬‬
‫מקבלים‪:‬‬
‫‪(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd‬‬
‫בספר קפיצה לגובה בחרנו להשתמש במודל השטח כהקשר משמעותי לתלמידים‪.‬‬
‫‪244‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪414‬‬
‫חוק הפילוג המורחב‬
‫חזרה‬
‫הפרק פותח בחזרה על חוק הפילוג שנלמד כבר בכיתה ז‪.‬‬
‫לכל ביטוי אלגברי נתון יש לכתוב ביטוי שווה ללא סוגריים‪.‬‬
‫חוק הפילוג‪a(b + c) = ab + ac :‬‬
‫‪ .22‬כתבו‪ ,‬על‪-‬פי חוק הפילוג‪ ,‬ביטויים שווים ללא סוגריים‪.‬‬
‫פתיחת הסוגריים נעשית על‪-‬פי חוק הפילוג‪ .‬תזכורת של חוק הפילוג על דף תובנות‪.‬‬
‫בכיתה ח‪ ,‬בפרקים בהם עסקו בפתרון משוואות ובפרק בנושא טכניקה אלגברית‪ ,‬פישטו ביטויים אלגבריים‬
‫תוך שימוש בחוק הפילוג‪ ,‬כך שהנושא מוכר לתלמידים‪.‬‬
‫התלמידים יפתרו את התרגיל הראשון בכוחות עצמם ולאחר מכן תיערך בדיקה במליאת הכיתה‪.‬‬
‫יש לשים לב לנושא הסימנים ולנושא של כפל של ביטויים אלגבריים‪.xx = x2 :‬‬
‫= )‪10y(3 – 6y‬‬
‫(‪5‬‬
‫= )‪4(x + y‬‬
‫(‪1‬‬
‫= )‪–4a(b – 5‬‬
‫(‪6‬‬
‫= )‪3(x + 4y‬‬
‫(‪2‬‬
‫= )‪–6x(x – 5y‬‬
‫(‪7‬‬
‫= )‪5x(4 – y‬‬
‫(‪3‬‬
‫= )‪–2(2a + 3b‬‬
‫(‪8‬‬
‫= )‪–5(4a + b‬‬
‫(‪4‬‬
‫בפרק זה נבצע הרחבה של חוק הפילוג‪.‬‬
‫גנן החליט לשתול ‪ 4‬סוגי פרחים בגינה מלבנית‪:‬‬
‫טעויות אפשריות הן השמטה של המעריך או מכפלה השווה ל‪ 2x -‬במקום ‪.x2‬‬
‫הוא החליט לחלק את הגינה למלבנים כך שבכל מלבן יהיו פרחים מאותו סוג‪.‬‬
‫לאחר ביצוע התרגיל אומרים‪ :‬למדנו את חוק הפילוג‪ .‬היום נבצע הרחבה של חוק זה‪.‬‬
‫דני ויוסי חישבו את מספר הפרחים בערוגה כאשר הפרחים מסודרים בשורות‪ .‬כמוצג בתרשים שבספר‪.‬‬
‫בסרטוט תרשים של הגינה‪ .‬בכל משבצת פרח אחד‪.‬‬
‫כמה פרחים בגינה?‬
‫‪ 05‬טורים‬
‫בכל שורה ‪ 01‬פרחים מסוג אחד ו‪ 5 -‬פרחים מסוג שני‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫בכל טור ‪ 4‬פרחים מסוג אחד ו‪ 6 -‬פרחים מסוג שני‪.‬‬
‫כל אחד מהם חישב בדרך אחרת‪ .‬נעקוב אחרי שלבי החישוב שלהם‪.‬‬
‫‪          ‬‬
‫‪          ‬‬
‫‪          ‬‬
‫‪          ‬‬
‫‪          ‬‬
‫‪          ‬‬
‫‪         ‬‬
‫‪          2‬‬
‫‪         ‬‬
‫‪         ‬‬
‫יוסי חישב את כמות הפרחים מכל סוג ולבסוף חיבר את הכמויות של כל ארבעת הסוגים‪.‬‬
‫דני אמר שלא מבקשים לדעת כמה פרחים מכל סוג יש בגינה ולכן יחשב את מספר הפרחים הכולל‬
‫בגינה‪ :‬בסך‪-‬הכל יש ‪ 01‬שורות של פרחים ובכל שורה ‪ 05‬פרחים‪.‬‬
‫לכן מספר הפרחים בגינה הוא ‪ ,10  15‬כלומר‪ 051 ,‬פרחים‪.‬‬
‫‪ 01‬שורות‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫דני ויוסי קיבלו אותו מספר פרחים‪ :‬נשווה את דרכי החישוב שלהם ונקבל את השוויון שבתחתית הדף‪:‬‬
‫יו י אמר כי חישב את כמות הפרחים מכל סוג‬
‫‪(6 + 4)(10 + 5) = 610 + 65 + 410 + 45‬‬
‫בכתיבת שוויון זה יש שימוש בצבעים‪ ,‬כצבעים של הפרחים השונים‪.‬‬
‫החיצים מציגים את הגורמים בכל אחת מהמכפלות כאשר שומרים על אותם צבעים‪ .‬החץ האדום‬
‫מציג את דרך החישוב לחישוב מספר הפרחים האדומים‪.‬‬
‫‪ 60‬‬
‫)‪(6 ∙ 10 = 60‬‬
‫‪ 30‬‬
‫)‪(6 ∙ 5 = 30‬‬
‫‪ 40‬‬
‫)‪(4 ∙ 10 = 40‬‬
‫‪ 20‬‬
‫)‪(4 ∙ 5 = 20‬‬
‫סך‪-‬הכל ‪ 150‬פרחים‪.‬‬
‫י אמר כי בגינה‬
‫‪ 10‬שורות‬
‫בכל אחת ‪ 15‬פרחים‬
‫)‪(6 + 4‬‬
‫)‪(10 + 5‬‬
‫‪(6 + 4) ∙ (10 + 5) = 10 ∙ 15 = 150‬‬
‫סך‪-‬הכל ‪ 150‬פרחים‪.‬‬
‫החץ הירוק – לחישוב מספר הפרחים הירוקים וכו'‪.‬‬
‫בשתי הדרכים קיבלנו אותו פתרון‪:‬‬
‫‪245‬‬
‫‪(6 + 4) ∙ (10 + 5) = 6 ∙ 10 + 6 ∙ 5 + 4 ∙ 10 + 4 ∙ 5 = 150‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫לאחר חישוב מספר הפרחים בגינה מבצעים הכללה‪ .‬חישוב מספר השתילים כאשר מספר השתילים‬
‫מכל סוג בשורה ומספר השתילים מכל סוג בטור נתונים באותיות‪ .‬את ההכללה ניתן לבצע עם‬
‫התלמידים כאשר הספר סגור‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים לחשב בדרך של יוסי‪ .‬לפי יוסי יש לחשב את מספר השתילים מכל צבע‪.‬‬
‫התלמידים יכתבו את הביטוי‪. ac + ad + bc + bd :‬‬
‫בדרך של דני‪ ,‬מחשבים ישירות את מספר השתילים הכולל‪.(a + b)(c + d) :‬‬
‫מקבלים את השוויון‪ (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd :‬הנקרא‪ :‬חוק הפילוג המורחב‪.‬‬
‫מומלץ להיעזר בחיצים כדי לוודא שכותבים את כל המכפלות וכל אחת רק פעם אחת‪,‬‬
‫ולבצע את המכפלות בדרך מסודרת‪.‬‬
‫שואלים‪ :‬אם ‪ a , b , c , d‬הם אורכי הצלעות במלבנים שבסרטוט‪.‬‬
‫מה מחשבים במכפלות ‪( ? bd , bc , ad , ac‬שטחי ‪ 4‬המלבנים)‪.‬‬
‫מה מחשבים בביטוי‪( ?(a + b)(c + d) :‬שטח המלבן הכולל‪ ,‬תוך התעלמות מהחלוקה ל‪ 4 -‬המלבנים)‪.‬‬
‫וגמאות‪:‬‬
‫חשוב לוודא שהתלמידים מזהים בכל תרגיל את האיברים ‪ a , b , c , d‬כל מחובר עם ה ימן שלפ יו‪.‬‬
‫הזיהוי יקל עליהם בפרט כאשר המחוברים בסוגריים הם ביטויים מורכבים יותר כמו ‪ 3x‬או ‪.3x2‬‬
‫בדוגמה הראשונה כל המחוברים חיוביים ולכן גם כל המכפלות חיוביות‪.‬‬
‫בדוגמה השנייה‪ ,‬חשוב לשים לב לכך שבפתיחת הסוגריים‪ ,‬שניים מהמחוברים מתקבלים מכפל ב‪,(–2) -‬‬
‫(כפי שמודגש קודם‪ ,‬הסימן שלפני המחובר הוא חלק בלתי נפרד ממנו‪).‬‬
‫הטעויות הנפוצות קשורות לסימנים של המכפלות‪.‬‬
‫תרגילים‪ :‬תרגול ישיר של חוק הפילוג המורחב‪ .‬שימוש נכון בנוסחה‪.‬‬
‫טעויות נפוצות הן ביצוע לא מסודר של המכפלות כך שחוזרים פעמיים על מכפלה כלשהי ושוכחים אחרת‪.‬‬
‫‪ .23‬סעיפים (‪ )3( – )0‬כל המחוברים חיוביים‪ .‬לא צפויות טעויות הקשורות בסימנים‪.‬‬
‫סעיפים (‪ )6( – )5‬המכפלה היא בין סכום להפרש (בסדר זה) כך שגם כאן לא צפויות טעויות בסימנים‪.‬‬
‫התלמידים בדרך כלל שומרים על הסימן של הכופל השני בגורם השני של המכפלה‪.‬‬
‫בסעיפים הבאים‪ ,‬הגורם השמאלי במכפלה מבטא הפרש‪ ,‬וכאן צפויות הטעויות‪ .‬כפי שצוין‪ ,‬התלמידים‬
‫רואים ושומרים את הסימנים של הגורם הימני במכפלה ולא שמים לב לסימני המחוברים בגורם השמאלי‪.‬‬
‫‪246‬‬
‫‪41‬‬
‫נתבונן בגינה כאשר מספר השתילים בכל טור ובכל שורה מסומן באותיות‪.‬‬
‫‪d‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪d‬‬
‫את מספר השתילים בגינה ניתן לחשב‬
‫בדרך של יוסי באמצעות הביטוי‪:‬‬
‫‪ac + ad + bc + bd‬‬
‫או בדרך של דני באמצעות הביטוי‪:‬‬
‫)‪(a + b)(c + d‬‬
‫נכתוב‬
‫‪(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd‬‬
‫חוק זה נקרא חוק הפילוג המורחב‪.‬‬
‫כדי למנוע טעויות כדאי לבצע את המכפלות בסדר קבוע‪.‬‬
‫‪(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd‬‬
‫‪5∙3‬‬
‫וגמאות‪:‬‬
‫‪(a + 5)(b + 3) = ab + 3a + 5b + 15‬‬
‫‪–2∙y –2∙4‬‬
‫‪(x – 2)(y + 4) = xy + 4x – 2y – 8‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .34‬כתבו ביטויים שווים ללא סוגריים‪.‬‬
‫= )‪(a – 2)(y + 1‬‬
‫(‪7‬‬
‫= )‪(a + b)(c + 2‬‬
‫(‪1‬‬
‫= )‪(x – p)(m – 3‬‬
‫(‪8‬‬
‫= )‪(2 + b)(x + 6‬‬
‫(‪2‬‬
‫= )‪(x – 4)(y – 1‬‬
‫(‪9‬‬
‫= )‪(m + k)(b + a‬‬
‫(‪3‬‬
‫= )‪(k – 4)(m – 1‬‬
‫(‪10‬‬
‫= )‪(x + 2)(a – 3‬‬
‫(‪4‬‬
‫= )‪(a – 5)(b – 3‬‬
‫(‪11‬‬
‫= )‪(a + n)(c – b‬‬
‫(‪5‬‬
‫= )‪(3 – k)(c + m‬‬
‫(‪12‬‬
‫= )‪(x + 2)(y – 1‬‬
‫(‪6‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪ .24‬התאמה של ביטויים שווים‪.‬‬
‫יש להניח שלמרבית התלמידים יהיה נוח לפתוח סוגריים באמצעות חוק הפילוג המורחב ולבצע‬
‫את ההתאמה על פי הביטוי שהתקבל‪.‬‬
‫מומלץ לנצל תרגיל זה לפיתוח תובנה מתמטית ולנסות לבצע את ההתאמה על פי הסימנים של‬
‫המחוברים‪ .‬בכל הביטויים יש שימוש באותן אותיות ‪ x‬ו‪ y -‬כדי שההתאמה תיעשה על פי‬
‫הסימנים ולא על פי האותיות‪ .‬את ההתאמה יש לבצע על‪-‬פי הסימנים של המכפלות ולא על‪ -‬פי‬
‫הערך המוחלט שלהן‪ ,‬שהוא זהה בכל הביטויים‪ .‬אפשר לבדוק קודם את המספר החופשי‪:‬‬
‫הערך המוחלט של המספר החופשי הוא ‪ .31‬נבדוק האם הוא חיובי או שלילי ובכך לצמצם את‬
‫מספר ההתאמות האפשריות שבטור ב‪.‬‬
‫בשלב הבא בכל התרגילים מופיעה המכפלה ‪ xy‬וגם כאן ניתן לבדוק האם היא חיובית או שלילית‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬בביטוי (‪ )0‬כל המחוברים הם חיוביים‪ .‬הביטוי האפשרי מטור ב הוא (‪.)3‬‬
‫בביטוי (ב) גם המכפלה ‪ xy‬וגם המספר ‪ 31( 31‬מתקבל ממכפלה של שני כופלים שליליים)‬
‫הם חיוביים‪ .‬הביטוי האפשרי מטור ב הוא (‪( .)6‬לביטוי (‪ )3‬כבר נמצאה התאמה‪).‬‬
‫בביטוי (ג) המכפלה ‪ xy‬חיובית והמספר ‪ 31‬שלילי‪ .‬הביטוי האפשרי מטור ב הוא (‪ .)0‬וכך‬
‫הלאה‪ .‬פתרון‪ :‬א – ‪ , 3‬ב – ‪ , 6‬ג – ‪ , 0‬ד – ‪ , 2‬ה – ‪ , 4‬ו ‪5 -‬‬
‫‪ .25‬חוק הפילוג המורחב כאשר משתמשים בכתיב חזקות‪.‬‬
‫תזכורת‪ :‬כתיבה בכתיב חזקות‪aa = a2 :‬‬
‫בכל הביטויים המקדם של המשתנה הוא ‪.0‬‬
‫לאחר כתיבת המכפלות יש לכנס איברים דומים‪ ,‬כפי שנעשה בדוגמה‪.‬‬
‫כמו בתרגילים הקודמים חייבים לשים לב לסימנים של המכפלות השונות‪.‬‬
‫‪ .26‬בתרגיל זה גם מכפלות בהן המקדם של המשתנה שונה מ‪.0 -‬‬
‫בכתיבה בכתיב חזקות מתקבלות מכפלות כמו המכפלה‪:‬‬
‫‪)3a5a = 35aa = 15aa = 15a2( 3a5a = 15a2‬‬
‫שימוש בחוק בחילוף לשינוי סדר הגורמים במכפלה ושימוש בחוק הקיבוץ המאפשר לבצע את הכפל שלא‬
‫בהתאם לסדר פעולות החשבון משמאל לימין‪( .‬כופלים ‪ 3  5‬לחוד‪ ,‬ו‪ ).a  a -‬כמו בתרגילים הקודמים‬
‫חייבים לשים לב לסימנים של המכפלות השונות‪ .‬מומלץ לפשט ביטויים כאלו בשלבים‪ ,‬כתיבה שורה מתחת‬
‫לשורה‪ ,‬כאשר בשורת הפתרון הראשונה‪ ,‬כותבים את המכפלות השונות במלואן (כמו ‪ )3a5a‬ובשורה‬
‫שלאחר מכן את בכתיבה המקובלת )‪ .(15a2‬כתיבה מפורטת תקטין את מספר הטעויות גם בסימנים‬
‫וגם במעריך‪.‬‬
‫‪247‬‬
‫‪41‬‬
‫‪42‬‬
‫‪ ..34‬התאימו לכל ביטוי בטור א ביטוי שווה בטור ב‪.‬‬
‫ור ב‬
‫ור א‬
‫(א)‬
‫)‪(x + 5)(6 + y‬‬
‫‪xy + 6x – 5y – 30‬‬
‫(ב)‬
‫)‪(x – 5)(y – 6‬‬
‫‪)2( –xy – 6x + 5y + 30‬‬
‫(ג)‬
‫)‪(y + 6)(x – 5‬‬
‫‪xy + 6x + 5y + 30‬‬
‫(‪)3‬‬
‫( )‬
‫)‪(5 – x)(6 + y‬‬
‫‪)4( –xy + 6x – 5y + 30‬‬
‫(ה)‬
‫)‪(x + 5)(6 – y‬‬
‫‪)5( –xy + 6x + 5y – 30‬‬
‫(ו)‬
‫)‪(x – 5)(6 – y‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪xy – 6x – 5y + 30‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪ .424‬פתחו סוגרים‪ .‬כנסו מחוברים דומים וכתבו ביטויים שווים‪.‬‬
‫וגמה‪:‬‬
‫= )‪(x + 3)(x + 5‬‬
‫= ‪x ∙ x + 5x + 3x + 3  5‬‬
‫‪x2 + 8x + 15‬‬
‫‪5x + 3x = 8x‬‬
‫= )‪5( (a + 3)(a + 3‬‬
‫= )‪1( (x + 2)(x + 3‬‬
‫= )‪6( (x + 3)(x – 5‬‬
‫= )‪2( (x + 1)(x – 6‬‬
‫= )‪7( (a + 8)(a + 1‬‬
‫= )‪3( (x – 6)(x – 4‬‬
‫= )‪8( (x – 7)(x + 2‬‬
‫= )‪4( (x – 3)(x – 5‬‬
‫‪ ..44‬פתחו סוגרים וכנסו איברים דומים‪.‬‬
‫וגמה‪:‬‬
‫= )‪(3a – 4)(2 – 5a‬‬
‫= )‪3a∙2 + 3a∙)–5a) – 4∙2 – 4∙)–5a‬‬
‫= ‪6a – 15a2 – 8 + 20a‬‬
‫‪26a – 15a2 – 8‬‬
‫כינוס מחוברים דומים‪:‬‬
‫= )‪(3x – 4)(x – 2‬‬
‫(‪5‬‬
‫= )‪1( (a – 3)(2a + 5‬‬
‫= )‪(2a – 7)(2a + 7‬‬
‫(‪6‬‬
‫= )‪2( (3a – 6)(2 + a‬‬
‫= )‪(6x – 5)(2x – 5‬‬
‫(‪7‬‬
‫= )‪3( (8 – 2x)(8 + 3x‬‬
‫= )‪(8 – 2x)(3x + 6‬‬
‫(‪8‬‬
‫= )‪4( (4x + 7)(3x – 1‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪412‬‬
‫‪ ..42‬כתבו ביטויים שווים ללא סוגריים ופשטו‪.‬‬
‫‪34‬‬
‫‪ .27‬תרגול מעורב‪ .‬הנחיות כמו בתרגילים הקודמים‪.‬‬
‫= )‪(x + 2)(x – 3‬‬
‫(‪7‬‬
‫= )‪(x + 2)(x + 6‬‬
‫(‪1‬‬
‫= )‪(x – 5)(x – 5‬‬
‫(‪8‬‬
‫= )‪(x + a)(x + b‬‬
‫(‪2‬‬
‫= )‪(a + c)(b – d‬‬
‫(‪9‬‬
‫= )‪(3x – 4)(y – 2x‬‬
‫(‪3‬‬
‫= )‪(a + 5)(6a – 3‬‬
‫(‪10‬‬
‫= )‪(2 + 2x)(2m – 1‬‬
‫(‪4‬‬
‫= )‪(3x + y)(x – 1‬‬
‫(‪11‬‬
‫= )‪(x + 2)(3x – 1‬‬
‫(‪5‬‬
‫‪ .42 – 28‬מסורטטים מלבנים‪ .‬האורכים של צלעות המלבן מיוצגים באמצעות ביטויים אלגבריים‪.‬‬
‫יש לכתוב ביטוי אלגברי לשטח של כל אחד מהמלבנים‪ ,‬לפשט את הביטוי ולכתוב ביטוי שווים‪.‬‬
‫התלמידים פתרו תרגילים דומים בפרק טכניקה אלגברית עמודים ‪ 210 – 209‬תרגילים ‪.13 – 01‬‬
‫פישוט הביטוי לשטח המלבן נעשה תוך שימוש בחוק הפילוג המורחב‪ .‬נוודא תחילה כי התלמידים‬
‫זוכרים את הנוסחה לחישוב שטח מלבן‪.‬‬
‫‪ .42‬פתרונות‪ :‬מלבן (‪9a + 9ab – 4b2 :)0‬‬
‫‪2‬‬
‫מלבן (‪:)3‬‬
‫‪ .29‬פתרונות‪ :‬מלבן (‪:)0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪20x + 11x – 3‬‬
‫‪10a2 – ab – 2b2‬‬
‫מלבן (‪:)2‬‬
‫‪9x2 + 6x + 1‬‬
‫מלבן (‪:)3‬‬
‫‪12xy + 12x – 12y – 9‬‬
‫‪ ..42‬לפניכם סרטוטים של שלושה מלבנים‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫ליד כל מלבן כתובים ביטויים לאורכים של הצלעות‪.‬‬
‫(א) בכל סעיף כתבו ביטוי אלגברי לשטח המלבן‪.‬‬
‫(ב) כתבו ביטויים שווים ללא סוגריים ופשטו‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3a – b‬‬
‫‪3a + 4b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5x – 1‬‬
‫‪8x – 11‬‬
‫‪3 + 4x‬‬
‫‪8x + 11‬‬
‫‪ ..424‬לפניכם סרטוטים של שלושה מלבנים‪.‬‬
‫האורכים מבוטאים באמצעות ביטויים אלגבריים‪.‬‬
‫(א) בכל סעיף כתבו ביטוי אלגברי לשטח המלבן‪.‬‬
‫(ב) כתבו ביטויים שווים ללא סוגריים ופשטו‪.‬‬
‫‪5a + 2b‬‬
‫‪248‬‬
‫‪3x + 1‬‬
‫‪3x + 1‬‬
‫‪2a – b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4x – 3‬‬
‫‪3 + 4y‬‬
‫מלבן (‪:)2‬‬
‫‪64x2 – 121‬‬
‫= )‪(m + 2p)(3a – b‬‬
‫(‪12‬‬
‫= )‪(x + 2)(y + 4‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪6‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪218‬‬
‫‪ ..30‬התאימו לכל ביטוי שבטור השמאלי ביטוי שווה מהטור הימני‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫‪ .30‬התאמה של ביטויים שווים כמו תרגיל ‪.24‬‬
‫)א( ‪mp – 9m + p – 9‬‬
‫)‪(1) (m – 1)(p + 9‬‬
‫בתרגיל ‪ 24‬בדקנו את הסימנים של המכפלה ‪ xy‬ושל המספר החופשי שהתקבל ממכפלת שני המספרים‪.‬‬
‫)ב( ‪mp – 3m + 3p – 9‬‬
‫)‪(2) (m + 1)(p – 9‬‬
‫בתרגיל זה‪ ,‬בכל הביטויים המכפלה ‪ mp‬היא חיובית‪ ,‬ובכל הביטויים המספר החופשי הוא ‪.–9‬‬
‫)ג( ‪mp + m – 9p – 9‬‬
‫)‪(3) (m + 3)(p – 3‬‬
‫ההתאמה כאן צריכה להתבסס על המקדם של המחובר שהוא מכפלה של מספר ב‪ m -‬ועל המקדם של‬
‫) ד( ‪mp + 9m – p – 9‬‬
‫)‪(4) (m – 3)(p + 3‬‬
‫המכפלה של מספר ב‪ .p -‬בכל ביטוי ההתאמה תיעשה על פי המכפלות של משתנה במספר‪.‬‬
‫)ה( ‪mp + 3m – 3p – 9‬‬
‫)‪(5) (m – 9)(p + 1‬‬
‫)ו( ‪mp – m + 9p – 9‬‬
‫)‪(6) (m + 9)(p – 1‬‬
‫נתבונן בביטויים שבטור השמאלי‪ .‬בביטוי )‪(1‬‬
‫מסומנות בקשתות‪ .‬בביטוי זה המכפלות הן‪:‬‬
‫בביטוי )‪ :(2‬המכפלות המתאימות הן‬
‫)‪ (m – 1)(p + 9‬המכפלות שעל פיהן נקבע את ההתאמה‬
‫הביטוי המתאים הוא )ד(‪.‬‬
‫‪.9m – p‬‬
‫‪ .–9m + p‬הביטוי המתאים הוא )א(‪ .‬וכך לגבי הביטויים האחרים‪.‬‬
‫‪ .31‬כתבו ביטויים שווים ללא סוגריים ופשטו‪.‬‬
‫פתרונות‪ :‬א – ‪ , 2‬ב – ‪ , 3‬ג – ‪ , 5‬ד – ‪ , 1‬ה – ‪ , 4‬ו – ‪.6‬‬
‫כמובן‪ ,‬שניתן לפתוח סוגריים ולקבל את ההתאמה הנדרשת‪.‬‬
‫‪ .31‬תרגול נוסף‪ .‬יינתן לתלמידים על פי שיקול דעתו של המורה‪.‬‬
‫= )‪6) (1 + 3m)(5 + 2m‬‬
‫= )‪1) (a + 3)(a – 5‬‬
‫= )‪7) (6a + 2b)(x + 3y‬‬
‫= )‪2) (a + n)(n + 2a‬‬
‫= )‪8) (4x – 3)(4x + 5‬‬
‫= )‪3) (4 – 3a)(4a – 5‬‬
‫‪ .32‬השלמה של מחוברים חסרים‪.‬‬
‫= )‪9) (3c + 5)(3c + 5‬‬
‫נפתח סוגריים כמודגם בביטוי )א( ונתאים לביטוי שבאגף ימין‪.‬‬
‫לפניכם הפתרונות באדום וליד כל ביטוי מצוין המחובר על פיו מוצאים את החסר‪.‬‬
‫)‪ (1‬נפתח סוגריים נקבל‪___x + 2___ + 3x + 6 :‬‬
‫‪yx‬‬
‫המספר החסר הוא ‪.y‬‬
‫שימו לב‬
‫‪(y + 3)(x + 2) = yx + 2y + 3x + 6‬‬
‫)‪(2‬‬
‫)‪(3‬‬
‫לפי המחובר ‪ 4a‬המספר החסר משמאל הוא ‪.4‬‬
‫‪(a + 2)(a + 4) = a2 + 4a + 2a + 8‬‬
‫= )‪10) 3(2m + k) + 2(2k – 5m‬‬
‫‪ ..32‬השלימו את החסר כך שיתקבל שוויון‪.‬‬
‫‪32‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪ 2x‬מתקבל ממכפלה של ‪ x‬ב‪.2 -‬‬
‫‪(x + y)(2 + y) = 2x + xy + 2y + y2‬‬
‫)‪(5‬‬
‫לפי המחובר ‪ 21a‬המספר החסר הוא ‪.7‬‬
‫לפי המחובר ‪ 7‬המספר החסר הוא ‪.2‬‬
‫‪(3a – 2)(b + 7) = 3ab + 21a – 2b – 14‬‬
‫‪ 6x‬מתקבל ממכפלה של ‪ 2x‬ב‪.3x -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ –3y‬מתקבל ממכפלה של ‪ –y‬ב‪.3y -‬‬
‫‪(2x + 3y)(3x – y) = 6x2 – 2xy + 9xy – 3y2‬‬
‫‪(a – 3)(5 + b) = 5a + ab – 15 – 3b‬‬
‫‪2) (a – 3)( _____ + b) = _____ + _____ – 15 – 3b‬‬
‫_____ ‪3) (a + 2)(a + _____ ) = _____ + 4a + 2a +‬‬
‫‪4) (x + y)( _____ + y) = 2x + _____ + _____ + y2‬‬
‫‪5) (3a – _____ )(b + _____ ) = 3ab + 21a – _____ – 14‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(6‬‬
‫= )‪5) (3x + 5)(7 + 4x‬‬
‫‪1) ( _____ + 3)(x + 2) = yx + _____ + _____ + 6‬‬
‫המספר ‪ –15‬הוא מכפלה של ‪ –3‬במספר החסר‪.‬‬
‫המספר החסר הוא ‪ .5‬נשלים את המכפלות האחרות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫שימו לב‬
‫= ‪4) 5(x + y – 4) – 2y – x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6) (2x + _____ )( _____ – y) = 6x – 2xy + _____ – 3y‬‬
‫‪ .33‬לפניכם מלבן גדול המחולק לשלושה מלבנים‪.‬‬
‫‪ .33‬נבקש מהתלמידים לחזור לחישוב שבראש עמוד ‪ 215‬בספר לתלמיד‪ .‬בהדרכה מומלץ להגיע לכך‬
‫שלמעשה מחשבים שטחים‪ .‬אם דיון בנושא זה לא נעשה בזמן ההקניה ניתן לעשות זאת כעת ולאחר מכן‬
‫לתת לתלמידים לפתור תרגיל זה‪ .‬הביטויים‪) :‬א( )‪a(a + b + c‬‬
‫)ב( ‪.a2 + ab + ac‬‬
‫‪249‬‬
‫) א( כתבו ביטוי כפלי עם סוגריים לחישוב שטח המלבן הגדול‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫)ב( כתבו ביטוי חיבורי ללא סוגריים לחישוב שטח המלבן הגדול‪.‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪222 – 212 :‬‬
‫אחוזים‬
‫בבית הספר היסודי נעשית הכרות ראשונית עם אחוזים‪ .‬נושא האחוזים הוא נושא מרכזי בכיתה ו‪.‬‬
‫האחוז מוגדר כשם אחר למאית‪ .‬ה הגדרה של אחוז המופיעה בספר היא זו המופיעה בתוכנית הלימודים‪ .‬עם זאת יש לזכור שהמשפט "אחוז הוא שם אחר למאית‪"...‬‬
‫הוא משפט בו אנו משתמשים בהקשרים דידקטיים בבית הספר היסודי‪ .‬אבל‪ ,‬בעוד שמאית היא מספר טהור‪ ,‬הרי שאחוז הוא "אחוז של‪."...‬‬
‫לכן מעברים מאחוזים למספרים נעשה על ידי שימוש בחיצים‪ .‬אם משתמשים בסימן השוויון יש לדייק בניסוח ולומר השברים הבאים הם חלק משלם (או מכמות)‪.‬‬
‫נכתוב אותם באחוזים כחלק של אותו שלם (אותה כמות)‪ .‬לדוגמה‪ 01%" ,‬של ‪ ...‬הם כמו ‪ 01‬מאיות של‪."...‬‬
‫נושא האחוזים הוא נושא שמצד אחד קיים "סביבנו" ונעשה בו שימוש בחיי היום‪-‬יום‪ ,‬מצד שני‪ ,‬הגשתו הפורמאלית בבית הספר גורמת לקשיים לא מעטים לתלמידים‪.‬‬
‫בספר קפיצה לגובה לכיתה ח נושא האחוזים נלמד בשני סבבים‪.‬‬
‫סבב ‪ :1‬מהו אחוז‪ ,‬משברים לאחוזים‪ ,‬הצורך באחוזים‪ ,‬מאחוזים לשברים‪ ,‬חישוב ערך האחוז – בדרך חשבונית‪.‬‬
‫סבב ‪ :2‬אחוזים ללא מחשבון‪ ,‬אחוזים מיוחדים – "עוגנים"‪ ,‬השלמה ל ‪ ,011% -‬חישוב גודל חסר בדרך אלגברית‪ ,‬על יותר מ‪ ,011% -‬הוזלות והתייקרויות‪.‬‬
‫בסבב ‪ ,2‬כדאי לנסות ולבסס קודם כל את התחושה ואת התובנה לגבי אחוזים ולא למהר לכלים פורמאליים‪ .‬שימוש ב"נתוני עוגן" עוזר למרבית האנשים לשמור על‬
‫המשמעות של האחוזים‪ ,‬לפתח יכולת אומדן בשימוש באחוזים שגרתיים‪ ,‬ולבצע חישובים בסיסיים‪.‬‬
‫במה הכוונה "לנתוני עוגן"? אם מחיר אופנים הוא ‪ 011‬שקלים הרי שאחוז אחד הוא ‪ 0‬שקלים‪ ,‬ו ‪ 01% -‬הם ‪ 01‬שקלים‪.‬‬
‫זה המידע הבסיסי שתלמיד צריך כדי להיות מסוגל לחשב (עדיף מנטאלית) כנתון עוגן‪.‬‬
‫מכאן כל שאר הגדלים הנדרשים מחושבים‪ 0% .‬של ‪ 011‬הם ‪ 2% ; 0‬הם ‪ 01% ; 02‬הם ‪ 01‬וכדומה‪.‬‬
‫כאשר אנו מתאמנים בחישובים מנטאליים ההחלטה הראשונה היא באיזה עוגן לבחור‪ .‬לדוגמה‪ ,‬מחיר נעלי הספורט לפני ההנחה ‪ 211‬שקלים‪.‬‬
‫ההנחה היא ‪ .01%‬מה גודל ההנחה? נחשב כמה הם ‪ 01%‬של ‪ 21  211‬שקלים לכן ‪ 01%‬יהיו פי ‪ 021  0‬שקלים‪.‬‬
‫כלומר ‪ 01%‬יהיה תרגיל העוגן (ניתן כמובן ל השתמש בנוסחה שתלמד מאוחר יותר ולחשב בעזרתה‪ .‬אנו ממליצים לדחות את הצגת הנוסחה ולהתרכז בהתחלה‬
‫בתרגילי עוגן‪ ,‬כמופיע בספר ולא למהר להקנות את הנוסחה)‪.‬‬
‫סבב ‪ :1‬מבנה הפרק‬
‫‪‬‬
‫מהו אחוז?‬
‫‪‬‬
‫משברים לאחוזים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫למה אחוזים?‬
‫‪‬‬
‫מאחוזים לשברים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫חישוב ערך האחוז‪.‬‬
‫מספר שיעורים מומלץ‪.4 :‬‬
‫‪250‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫אחוזים‬
‫הפרק פותח ב חשיפה לנתונים באחוזים שהתלמידים חשופים אליהם מידי יום בייצוגים שונים‪:‬‬
‫ייצוג מילולי‪ ,‬ייצוג בדיאגרמת עמודות‪ ,‬ייצוג בדיאגרמת עוגה‪.‬‬
‫מומלץ לקיים דיון על המידע המוצג‪:‬‬
‫‪212‬‬
‫מידי יום אנחנו שומעים וקוראים באמצעי התקשורת (טלוויזיה‪ ,‬רדיו‪ ,‬עיתונות) נתונים באחוזים‪.‬‬
‫מה הוא אחוז? מה המשמעות של מידע הניתן באחוזים?‬
‫בפרק זה נענה על שאלות אלו‪.‬‬
‫מידי יום אנחנו חשופים למידע הניתן באחוזים‪.‬‬
‫"כל המגפיים ב ‪ 01% -‬הנחה"‪ :‬קנית מגפיים ב‪ 011 -‬שקלים‪ .‬כמה תשלם?‬
‫"‪ 21%‬עכשיו‪ 01% ,‬עם הכניסה לדירה"‪ .‬מחיר הדירה מיליון שקלים‪ .‬כמה תשלם בעת הקנייה?‬
‫כמה תשלם עם הכניסה לדירה? מחיר הדירה ‪ 011,111‬שקלים‪ .‬כמה תשלם בעת הקנייה?‬
‫"‪ 20%‬מהתיירים לנים אצל משפחה וחברים"‪ .‬הסבירו במילים שלכם‪.‬‬
‫לאחר החשיפה אומרים‪ :‬בפרק זה נלמד מה הוא אחוז ונענה על שאלות מסוג זה‪.‬‬
‫"ישראל היום" ‪.4.2101‬‬
‫מתוך‪http://sports.walla.co.il :‬‬
‫‪251‬‬
‫‪0.2101‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫מהו אחוז?‬
‫מהו אחוז?‬
‫התלמידים פגשו בעבר את המושג אחוז ולמדו לעבור מייצוג לייצוג ‪.‬‬
‫תחילת הפרק מהווה חזרה וביסוס לנושא‪ .‬מידת ההעמקה בפרק היא בהתאם לכיתה‪.‬‬
‫במקום להגיד ‪ 02‬מאיות של כמות‪ ,‬או‬
‫מומלץ להרבות בשאלות העוסקות בהבנת המושג‪ ,‬באומדן ובהשוואה‪.‬‬
‫חשוב לזכור‪ :‬השברים הם גם מספרים "טהורים" עצמים מתמטיים העומדים בפני עצמם (המספרים הרציונליים)‪.‬‬
‫‪222‬‬
‫של כמות‪ ,‬אפשר להגיד ‪ 02‬אחוזים של אותה כמות‪.‬‬
‫‪ 02‬אחוזים מסמנים באופן הבא‪.12% :‬‬
‫אחוז ( ‪ )1‬של כמות הוא שם אחר למאית (‬
‫) של אותה כמות‪.‬‬
‫האחוזים לעומת זאת אינם מספרים בפני עצמם הם תמיד חלק מתוך "שלם"‪.‬‬
‫לדוגמה‪ :‬חצי אינו שווה ל‪ .01% -‬חצי של כמות הם ‪ 01%‬של אותה כמות‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬בהשוואה בין שבר ואחוז של אותה כמות משתמשים בחץ ולא בסימן "="‪.‬‬
‫אחוז של כמות הוא שם אחר למאית של אותה כמות‪.‬‬
‫"‪ 4‬אחוזים"‪:‬‬
‫כותבים ‪.4%‬‬
‫אחוזים"‪:‬‬
‫‪.2‬‬
‫"‬
‫כותבים‬
‫"‪ 02‬אחוזים"‪ :‬כותבים‬
‫אומרים‪" :‬תש ה אחוזים"‪.‬‬
‫‪ .22‬אומרים‪" :‬שלושים ושניים אחוזים"‪.‬‬
‫משברים לאחוזים‬
‫בנוסף לצורת הכתיבה יש התייחסות לשימוש בעברית נכונה‪ :‬קריאה נכונה של המספרים‪.‬‬
‫משברים לאחוזים‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫שברים ואחוזים הם שתי דרכים להציג חלק משלם‪ .‬ניתן להמיר שברים לאחוזים ואחוזים לשברים‪.‬‬
‫השבר‬
‫כדי להמיר שברים לאחוזים נוח יותר להציגם כשבר שמכנהו ‪ 100‬אך זה לא הכרחי ‪.‬‬
‫בעמוד ‪ ,222‬מוצגת גם הדרך לעבור משבר לאחוזים על‪-‬ידי כפל ב‪.011 -‬‬
‫אומרים‪" :‬ארב ה אחוזים"‪.‬‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫השבר‬
‫הוא חלק מכמות‪.‬‬
‫נכתוב אותו כאחוזים‪:‬‬
‫דרך זו נוחה יותר לשימוש כאשר לא נוח לעבור למכנה של ‪ ,011‬למשל כאשר המכנה הוא ‪ , 7 , 0 , 0‬וכו'‪.‬‬
‫דוגמאות ‪ 2 – 1‬ותרגיל ‪ 1‬מציגים מעבר משבר שהמכנה שלו הוא ‪ 011‬לאחוזים‪.‬‬
‫הוא חלק מכמות‪.‬‬
‫נכתוב אותו כאחוזים‪:‬‬
‫של כמות הם ‪ 20%‬של אותה כמות‪.‬‬
‫של כמות הם ‪ 07%‬של אותה כמות‪.‬‬
‫עשרים ואחד אחוזים של אותה כמות‪.‬‬
‫שלושים ושבעה אחוזים של אותה כמות‪.‬‬
‫תרגיל‬
‫‪.1‬‬
‫‪252‬‬
‫בסעיפים הבאים כל אחד מהשברים הוא חלק של כמות‪.‬‬
‫כתבו אותם כאחוזים של אותה כמות‪.‬‬
‫‪100‬‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫(‪)10‬‬
‫‪7‬‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫(‪)7‬‬
‫‪49‬‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪20‬‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪25‬‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫(‪)11‬‬
‫‪95‬‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫(‪)8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪13‬‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫(‪)12‬‬
‫‪50‬‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫(‪)9‬‬
‫‪27‬‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪40‬‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫(‪)3‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫בדוגמאות ‪ 4 – 2‬ובתרגיל ‪ :2‬הרחבה לשבר שהמכנה שלו הוא ‪( 011‬כלומר למאיות)‪.‬‬
‫כפל של המונה והמכנה באותו מספר כך שהמכנה יהיה ‪.011‬‬
‫בתרגיל ‪ 2‬נתונים רק שברים שניתן להרחיב אותם לשברים שהמכנה שלהם הוא ‪ ,011‬כלומר‪ ,‬גורם‬
‫‪221‬‬
‫למדנו לכתוב כאחוזים שברים שהמכנה שלהם הוא ‪.100‬‬
‫‪17‬‬
‫‪3‬‬
‫?‬
‫או‬
‫כיצד נכתוב כאחוזים שברים שהמכנה שלהם אינו ‪ ? 100‬למשל‪,‬‬
‫‪50‬‬
‫‪20‬‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫ההרחבה הוא מספר שלם‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫הוא חלק מכמות‪.‬‬
‫השבר‬
‫‪50‬‬
‫‪2‬‬
‫כדי לכתוב אותו כאחוזים‪ ,‬נרחיב אותו לשבר שהמכנה שלו הוא ‪.100‬‬
‫להרחיב שבר‪:‬‬
‫לכפול מונה ומכנה‬
‫באותו מספר‪.‬‬
‫‪17  34‬‬
‫‪50‬‬
‫‪100‬‬
‫‪17‬‬
‫‪34‬‬
‫של כמות הם‬
‫‪100‬‬
‫‪50‬‬
‫‪2‬‬
‫של אותה כמות‪ .‬כלומר הם ‪ 34%‬של אותה כמות‪.‬‬
‫דוגמה ‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫הוא חלק מכמות‪.‬‬
‫השבר‬
‫‪20‬‬
‫‪‬‬
‫כדי לכתוב אותו כאחוזים‪ ,‬נרחיב אותו לשבר שהמכנה שלו הוא ‪.100‬‬
‫‪3  15‬‬
‫‪20‬‬
‫‪100‬‬
‫‪3‬‬
‫‪15‬‬
‫של כמות הם‬
‫‪20‬‬
‫‪100‬‬
‫‪‬‬
‫של אותה כמות‪ .‬כלומר הם ‪ 15%‬של אותה כמות‪.‬‬
‫תרגיל‬
‫‪..21‬‬
‫בסעיפים הבאים כל אחד מהשברים הוא חלק מכמות‪.‬‬
‫הרחיבו כל אחד מהם לשבר שהמכנה שלו הוא ‪ ,100‬וכתבו אותו כאחוזים‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪‬‬
‫‪20‬‬
‫(‪)10‬‬
‫‪22‬‬
‫‪‬‬
‫‪25‬‬
‫(‪)7‬‬
‫‪9‬‬
‫‪‬‬
‫‪10‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫(‪)11‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫(‪)8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪41‬‬
‫‪‬‬
‫‪50‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪25‬‬
‫(‪)12‬‬
‫‪52‬‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫(‪)9‬‬
‫‪7‬‬
‫‪‬‬
‫‪10‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫(‪)3‬‬
‫האם יש צורך‬
‫להרחיב?‬
‫‪253‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫דרך נוספת למעבר משבר לאחוז הוא לכפול את השבר ב‪.011 -‬‬
‫למדנו להמיר שברים לאחוזים על‪-‬ידי הרחבת השבר לשבר שהמכנה שלו הוא ‪:100‬‬
‫הכפל ב‪ 011 -‬מבטל את המכנה של ‪ 011‬ומתקבל האחוז עצמו‪.‬‬
‫הקנייה‪ :‬לאחר מעבר על אר בע הדוגמאות שבראש העמוד‪ ,‬המורה יכתוב על הלוח מספר שברים שלא ניתן‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫של השלם הם ‪ 60%‬של אותו שלם‪.‬‬
‫‪ 60%‬‬
‫‪3  60‬‬
‫‪5‬‬
‫‪100‬‬
‫להרחיב אותם לשברים בעלי מכנה ‪ 011‬כאשר גורם ההרחבה הוא מספר שלם‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪25‬‬
‫של כמות הם ‪ 8%‬של אותה כמות‪.‬‬
‫‪ 8%‬‬
‫‪2  8‬‬
‫‪25‬‬
‫‪100‬‬
‫‪7‬‬
‫‪10‬‬
‫של כמות הם ‪ 70%‬של אותה כמות‪.‬‬
‫‪ 70%‬‬
‫‪7  70‬‬
‫‪10‬‬
‫‪100‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫של כמות הם ‪ 75%‬של אותה כמות‪.‬‬
‫‪ 75%‬‬
‫‪3  75‬‬
‫‪4‬‬
‫‪100‬‬
‫במקרים כאלו האחוז אינו תמיד מספר שלם‪.‬‬
‫מדוע גם דרך זאת היא נכונה?‬
‫בהרחבה לשבר שהמכנה שלו הוא ‪ ,011‬האחוז מתקבל מתוך ההגדרה‪ :‬אחוז של כמות הוא מאית של‬
‫אותה כמות‪.‬‬
‫לעיתים הרחבת שבר לשבר שהמכנה שלו הוא ‪ 100‬אינה נוחה‪.‬‬
‫למשל ‪ 00‬מאיות של כמות הם ‪ 00%‬של אותה כמות‪ .‬מקבלים שבר שהמונה שלו הוא האחוז‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫כיצד עוברים משבר שהמכנה שלו הוא ‪ 011‬לאחוז שהוא המונה בלבד? כופלים ב‪ 100  18 ) .011 -‬‬
‫‪100‬‬
‫אם כך‪ ,‬נוותר על ההרחבה ונכפול את השבר ישירות פי ‪.011‬‬
‫הדוגמאות הראשונות בעמוד זה הן כאלו בהן האחוז הוא מספר שלם‪.‬‬
‫בסיכום מוצגות במקביל שתי הדרכים‪ .‬האחוז אינו מספר שלם כך שלהרחבה של השבר למכנה של ‪,011‬‬
‫‪222‬‬
‫?‪‬‬
‫דוגמה ‪5‬‬
‫(‬
‫?‬
‫?‪‬‬
‫נלמד להמיר שברים לאחוזים בדרך נוספת‪ .‬נמיר שברים לאחוזים על‪-‬ידי הכפלה של השבר ב‪.100 -‬‬
‫יש לכפול את המונה והמכנה ב‪ .2.0 -‬נשאל את התלמידים איזו מהדרכים נראית להם נוחה יותר‪.‬‬
‫לאחר הסיכום דוגמאות לשברים נוספים שבהמרתם לאחוזים מקבלים מספרים שאינם שלמים‪.‬‬
‫‪70%‬‬
‫‪‬‬
‫‪7  100  70‬‬
‫‪10‬‬
‫‪‬‬
‫‪7‬‬
‫‪10‬‬
‫‪75%‬‬
‫‪‬‬
‫‪3  100  75‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪60%‬‬
‫‪‬‬
‫‪3  100  60‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪8%‬‬
‫‪‬‬
‫‪2  100  8‬‬
‫‪25‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪25‬‬
‫למדנו שתי דרכים להמרה של שבר לאחוזים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫הכפלה של השבר ב‪100 -‬‬
‫‪35%‬‬
‫‪‬‬
‫הרחבה לשבר שהמכנה שלו הוא ‪100‬‬
‫‪7‬‬
‫‪21‬‬
‫‪‬‬
‫‪700‬‬
‫‪21‬‬
‫‪‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ 100‬‬
‫‪21‬‬
‫‪‬‬
‫‪7‬‬
‫‪21‬‬
‫של כמות הם ‪ 00%‬של אותה כמות‪.‬‬
‫דוגמאות נוספות לשברים שנוח יותר לכפול אותם ב‪:100 -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫של כמות הם ‪%‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 33‬של אותה כמות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫של כמות הם ‪ 37 %‬של אותה כמות‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪200‬‬
‫‪254‬‬
‫של כמות הם ‪ 3.5%‬של אותה כמות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪%‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 33‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 100  33‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 100  37‬‬
‫‪ 37 %‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ 100  3.5  3.5%‬‬
‫‪200‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫נעגל לשתי ספרות‬
‫אחרי הנקודה‬
‫העשרונית‬
‫תרגילים‬
‫תרגילים‬
‫‪ .2‬מעבר משבר לאחוז כאשר לא נוח להרחיב את השבר ל‪ .011 -‬ולכן‪ ,‬נכפול את השבר פי ‪.011‬‬
‫‪..12‬‬
‫בסעיפים הבאים כל אחד מהשברים הוא חלק של כמות‪.‬‬
‫כתבו אותם כאחוזים של אותה כמות‪ .‬ניתן להיעזר במחשבון‪.‬‬
‫מומלץ לפתור שלושה תרגילים במליאת הכיתה בשתי הדרכים‪ :‬גם הרחבה למכנה של ‪011‬‬
‫וגם כפל ב‪.011 -‬‬
‫את החישובים ניתן לבצע באמצעות המחשבון‪.‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪‬‬
‫‪25‬‬
‫(‪)7‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪20‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪10‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪25 ‬‬
‫‪40‬‬
‫(‪)11‬‬
‫‪23 ‬‬
‫‪100‬‬
‫(‪)8‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪25‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪47 ‬‬
‫‪50‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪8‬‬
‫(‪)9‬‬
‫‪13‬‬
‫‪‬‬
‫‪20‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪9‬‬
‫‪‬‬
‫‪50‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪ .4‬כתיבה כאחוז‪ .‬נתון השלם ונתונה הכמות החלקית‪ .‬יש לכתוב כשבר ולאחר מכן להמיר את השבר לאחוז‪.‬‬
‫‪..24‬‬
‫דוגמה ‪:6‬‬
‫כתבו כאחוזים‪:‬‬
‫(א) ‪ 5‬מתוך ‪20‬‬
‫מעבר משבר לאחוז כאשר הנתונים הם בתוך הקשר‪ 21 :‬חרוזים מתוך ‪.01‬‬
‫כתיבה של הנתון כשבר והפיכתו לאחוז‪.‬‬
‫‪222‬‬
‫(ג) ‪ 17‬מתוך ‪20‬‬
‫(ב) ‪ 22‬מתוך ‪110‬‬
‫דוגמה ‪6‬‬
‫בכד ‪ 50‬חרוזים‪ 20 .‬מתוכם הם אדומים‪.‬‬
‫– ‪ .8‬שאלות מילוליות‪ .‬נתונים השלם והכמות החלקית‪ .‬יש לכתוב כשבר ולאחר מכן להמיר את השבר לאחוז‪.‬‬
‫בשאלה ‪ 7‬החלק הוא שליש‪ .‬האחוז הוא מספר עשרוני אינסופי‪ .‬בחישוב במחשבון מקבלים מספר‬
‫עם שבא עשרוני אינסופי‪ 33.3333... :‬אחוזים‪ .‬מה כותבים במקרה כזה?‬
‫מקובל לעגל את המספר לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית (אלא אם מצוין אחרת)‪.‬‬
‫מה אחוז החרוזים האדומים בכד?‬
‫(א) נכתוב כשבר את חלק החרוזים האדומים מתוך כלל החרוזים בכד‪:‬‬
‫(ב) נמיר את השבר לאחוזים‪:‬‬
‫‪20‬‬
‫‪50‬‬
‫‪20  20  100  20  100  200  40  40%‬‬
‫‪50‬‬
‫‪50‬‬
‫‪50‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 40%‬מהחרוזים בכד הם אדומים‪.‬‬
‫אחרי עיגול נקבל‪( .00.00% :‬כללי העיגול נלמדו בכיתה ז)‪.‬‬
‫כל שאלה מילולית מחייבת תשובה מילולית‪ .‬תשובה מילולית תתייחס לאחוז מתוך הכמות‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬בשאלה ‪ ,0‬התשובה‪ 41% :‬מתלמידי כיתות ח משתתפים בחוג ספורט‪.‬‬
‫‪..2‬‬
‫בחוג ספורט משתתפים ‪ 25‬תלמידים‪ 10 .‬מתוכם הם תלמידי כיתות ח‪.‬‬
‫מה אחוז תלמידי כיתות ח בחוג הספורט?‬
‫(א) כתבו כשבר‪.‬‬
‫(לא תתקבל התשובה ‪.)40%‬‬
‫(ב) כתבו כאחוזים‪.‬‬
‫‪..46‬‬
‫‪ 15‬מתוך ‪ 200‬כרטיסי הגרלה הם כרטיסים זוכים‪.‬‬
‫מה אחוז הכרטיסים הזוכים?‬
‫‪..7‬‬
‫במירוץ הגליל משתתפים ‪ 330‬רצים‪ 110 .‬מתוכם הם בני‪-‬נוער‪.‬‬
‫איזה אחוז מהרצים הם בני‪-‬נוער?‬
‫‪255‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪..81‬‬
‫‪224‬‬
‫בתזמורת ‪ 75‬נגנים‪ 45 .‬מתוכם מנגנים בכלי‪-‬מיתר‪.‬‬
‫מה אחוז המנגנים בכלי מיתר בתזמורת?‬
‫‪ .2‬תרגום השאלה לחלק של כמות והפיכה משבר לאחוז‪ .‬מומלץ לפתור סעיף אחד בכיתה‪.‬‬
‫חשוב לבדוק שהחלקים בסרטוט הם שווי שטח‪.‬‬
‫קושי בראייה יכול להיות בסרטוט (ו)‪ .‬המלבן מחולק לארבעה מלבנים קטנים‪ .‬כל מלבן קטן מחולק‬
‫‪.2‬‬
‫(א) איזה חלק מכל ציור צבוע?‬
‫החלוקות הן לחלקים שווי שטח‪.‬‬
‫(ב) כתבו כאחוזים‪.‬‬
‫לשני משולשים‪( .‬בשניים מהמלבנים הצבועים בתכלת לא מסורטטת החלוקה לשני משולשים‪).‬‬
‫(א)‬
‫(ב)‬
‫(ג)‬
‫(ד)‬
‫סך ‪-‬הכל המלבן ניתן לחלוקה ל ‪ 0 -‬משולשים שווי שטח‪ .‬חמישה משולשים כאלו צבועים בתכלת‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .‬האחוז (אחרי כפל פי ‪ )100‬הוא ‪.01%‬‬
‫השבר הוא‬
‫‪5‬‬
‫(ה)‬
‫‪ .12‬שאלה לחישוב אחוז ריבית על חיסכון‪ .‬ההנחה היא שהריבית השנתית היא קבועה ולא נותנים ריבית דריבית‪.‬‬
‫(ו)‬
‫(ז)‬
‫‪ .11‬בשאלה נתונה הכמות השלמה ואחת מהכמויות החלקיות‪ :‬מספר הספרים באנגלית‪.‬‬
‫(א) חישוב אחוז הספרים באנגלית‪ .‬חישוב כפי שנעשה בשאלות הקודמות‪ .‬הפתרון‪20% :‬‬
‫(ב) חישוב אחוז הספרים שאינם באנגלית‪ :‬לא למדו עדיין שסכום האחוזים של הקבוצות החלקיות הוא ‪.011‬‬
‫אחוז בספרים שאינם באנגלית הוא השלמה של ‪ 20%‬ל ‪ ,011% -‬כלומר הפתרון הוא ‪.70%‬‬
‫‪..12‬‬
‫‪2‬‬
‫תלמידים שלא זוכרים זאת מלימודיהם בבית הספר היסודי יחשבו אחרת‪.‬‬
‫מה אחוז הריבית השנתית שנותן הבנק?‬
‫את ההשלמה יבצעו על הכמויות הנתונות‪ :‬אם ‪ 350‬ספרים מתוך ‪ 0,411‬הם באנגלית אז ‪ 1,050‬ספרים‬
‫אינם באנגלית‪.(1,400 – 350 = 1,050) .‬‬
‫‪1,050‬‬
‫לחישוב האחוז ימירו את החלק‪:‬‬
‫‪1,400‬‬
‫על חיסכון בגובה של ‪ 10,000‬שקלים מקבלים ריבית שנתית בגובה של ‪ 450‬שקלים‪.‬‬
‫לאחוזים באמצעות כפל ב‪ .011 -‬מקבלים‪.70% :‬‬
‫‪..11‬‬
‫‪4‬‬
‫בספרייה ‪ 1,400‬ספרים‪ ,‬מתוכם ‪ 350‬ספרים באנגלית‪.‬‬
‫(א) איזה אחוז מהספרים בספרייה הם ספרים באנגלית?‬
‫(ב) איזה אחוז מהספרים בספרייה אינם ספרים באנגלית?‬
‫תשובה מילולית‪ 70% :‬אחוזים מהספרים בספריה אינם ספרים באנגלית‪.‬‬
‫דוגמה ‪7‬‬
‫דוגמה ‪7‬‬
‫‪9‬‬
‫ממחירו‪ .‬מה אחוז ההנחה?‬
‫במכירת חיסול המלאי מוכרים כל פריט בהנחה של‬
‫‪20‬‬
‫שאלה מילולית על הנחה במחיר‪.‬‬
‫מקובל להציג את גובה ההנחה באחוזים‪ .‬בשאלה זאת ההנחה כתובה כשבר מהמחיר המקורי של הפריט‬
‫ויש לחשב את גובה ההנחה באחוזים‪.‬‬
‫המעבר משבר לאחוז‪ ,‬כמו בתרגילים הקודמים‪ ,‬באמצעות הרחבה לשבר שהמכנה שלו הוא ‪ 011‬או כפי‬
‫שמוצג בדוגמה באמצעות כפל פי ‪.011‬‬
‫‪256‬‬
‫‪9‬‬
‫מהמחיר המקורי‪.‬‬
‫במכירה ניתנת הנחה של‬
‫‪20‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 100  45%‬‬
‫נכתוב כאחוזים‪:‬‬
‫‪20‬‬
‫‪20‬‬
‫תשובה‪ :‬על כל פריט בחנות ניתנת הנחה של ‪.45%‬‬
‫(ח)‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪..12‬‬
‫‪1‬‬
‫שאלה מילולית מחייבת תשובה מילולית‪.‬‬
‫‪ .12 – 12‬בכל שאלה חלוקה לשתי קבוצות כאשר נתונה בכמות של אחת מהקבוצות‪ .‬הנחייה כמו בשאלה ‪.00‬‬
‫כתיבת תשובות מילוליות‪.‬‬
‫‪ .14‬חלוקה לשלוש קבוצות זרות‪ .‬נתונה הכמות השלמה‪ .‬נתונה הכמות של אחת מהקבוצות‪ ,‬ונתון החלק‬
‫שמהווה הקבוצה השנייה‪ .‬יש ל מצוא את האחוז שמהווה כל קבוצה מתוך הכמות הכוללת‪.‬‬
‫‪60‬‬
‫‪1‬‬
‫מהחרוזים הם אדומים‪.‬‬
‫ואחרי צמצום‪:‬‬
‫(א) ‪ 01‬מתוך ‪ 241‬הם חרוזים אדומים‪ .‬נכתוב כשבר‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪240‬‬
‫באחוזים ‪ 20%‬מהחרוזים הם אדומים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫מהחרוזים הם כחולים‪ .‬באחוזים‪ 00.00% :‬מהחרוזים הם כחולים‪.‬‬
‫(ב) נתון החלק‬
‫‪3‬‬
‫(ג) מה אחוז החרוזים הצהובים? בהמשך נלמד את ההשלמה ל‪ .011% -‬תלמידים שזוכרים זאת‬
‫מבית הספר היסודי יוכלו לחשב באמצעות ההפרש שבין ‪ 011%‬והסכום של ‪ 20%‬ו ‪.00.00% -‬‬
‫אחרים יחשבו ראשית את כמות החרוזים הכחולים‪ .‬שליש של ‪ 241‬הם ‪.01‬‬
‫מספר החרוזים הצהובים‪ 011 .240 – (60 + 80) = 100 :‬מתוך ‪ 241‬חרוזים הם צהובים‪.‬‬
‫‪100‬‬
‫מתוך כלל החרוזים‪.‬‬
‫אחוז החרוזים הצהובים‪ 100  41.67% :‬‬
‫‪240‬‬
‫‪ .1‬הפיכה של חלק לאחוז‪.‬‬
‫בתרגיל ‪ 04‬הייתה נתונה הכמות השלמה‪ :‬המספר הכולל של החרוזים ובנוסף מספר החרוזים הכחולים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫במבחן סוף השנה במתמטיקה‬
‫‪5‬‬
‫(א) מה היה אחוז השאלות בגיאומטריה?‬
‫מהשאלות היו בגיאומטריה‪ .‬השאלות האחרות היו באלגברה‪.‬‬
‫(ב) מה היה אחוז השאלות באלגברה?‬
‫‪.2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪3‬‬
‫בשכונת "אלונים"‬
‫‪10‬‬
‫מהשטח הציבורי מיועד למתקני משחקים‪ .‬השטח הציבורי שנשאר מיועד לגינה‪.‬‬
‫(א) איזה אחוז מהשטח הציבורי מיועד למתקני משחקים?‬
‫(ב) איזה אחוז מהשטח הציבורי מיועד לגינה?‬
‫‪. 14‬‬
‫‪.2‬‬
‫בכד ‪ 240‬חרוזים בשלושה צבעים‪ :‬אדום‪ ,‬כחול‪ ,‬וצהוב‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫מהחרוזים הם כחולים‪.‬‬
‫‪ 60‬מהחרוזים הם אדומים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫(א) מה אחוז החרוזים האדומים?‬
‫(ב) מה אחוז החרוזים הכחולים?‬
‫(ג) מה אחוז החרוזים הצהובים?‬
‫‪..14‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫מתלמידי בית הספר "ברושים" מגיעים לבית הספר בהסעות‪.‬‬
‫(א) מה אחוז התלמידים המגיעים לבית הספר בהסעות?‬
‫(ב) האם ניתן לדעת כמה תלמידים מגיעים לבית הספר בהסעות?‬
‫בתהליך הפתרון ניתן היה לחשב גם את מספר החרוזים האדומים והצהובים‪.‬‬
‫נעלה בכתה את השאלה האם גם בתרגיל זה ניתן לחשב את מספר התלמידים המגיעים בהסעות‪.‬‬
‫‪ .16‬תרגיל דומה לתרגיל ‪.00‬‬
‫‪.. 16‬‬
‫מספר התלמידים בכיתה ח‪ 2‬שלא הביאו כובע? בכיתה ח‪ 0‬נתונות כמויות‪ 4 :‬מתוך ‪.01‬‬
‫בכיתה ח‪ 2‬נתון האחוז‪ .‬מכיוון שמאחוזים בלבד לא ניתן להסיק על הכמויות‪ ,‬נחשב את אחוז התלמידים‬
‫‪4‬‬
‫(‬
‫מכיתה ח‪ 0‬שלא הביאו כובע‪ 100 ) .‬‬
‫‪30‬‬
‫‪257‬‬
‫‪11‬‬
‫‪20‬‬
‫מתלמידי שכבת ח משתתפים בחוגי הספורט השונים‪.‬‬
‫(א) איזה אחוז מתלמידי שכבת ח משתתפים בחוגי הספורט?‬
‫לא נתונות כמויות אלא החלק בלבד‪ .‬כאשר נתונים השלם והכמות החלקית ניתן לדעת את‬
‫החלק ולהמירו לאחוז‪ .‬האם כאשר נתון החלק ניתן גם לדעת את הכמות השלמה? שאלה זו עלתה גם‬
‫בפרק היחס‪ ,‬שם הגיעו למסקנה כי מיחס ללא נתונים נוספים לא נוכל להסיק על הכמויות המוחלטות‪.‬‬
‫‪( .17‬א) השוואה בין שתי קבוצות ‪ :‬איזו קבוצה גדולה יותר‪ ,‬מספר התלמידים בכיתה ח‪ 0‬שלא הביאו כובע או‬
‫‪22‬‬
‫(ב) האם ניתן לדעת כמה תלמידים בשכבת כיתות ח?‬
‫‪..617‬‬
‫שתי כיתות ח יצאו לטיול‪.‬‬
‫בכיתה ח‪ 4 ,1‬תלמידים מתוך ‪ 30‬הגיעו ללא כובע‪.‬‬
‫בכיתה ח‪ 16% , 2‬מהתלמידים הגיעו ללא כובע‪.‬‬
‫(א) באיזו מהכיתות אחוז התלמידים שלא הביאו כובע הוא גדול יותר?‬
‫כובע? הסבירו‪.‬‬
‫תלמידים ללא‬
‫תלמידים ‪4‬‬
‫בכיתה ‪4‬ח‪ ,2‬הגיעו‬
‫(ב) האם ייתכן כי‬
‫הסבירו‪.‬‬
‫ללא כובע?‬
‫גם‪ ,‬הגיעו‬
‫האם ייתכן כי גם בכיתה ח‪2‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫נקבל ש‪ 00.00% -‬מהתלמידים לא הביאו כובע‪ .‬בכיתה ח‪ 2‬האחוז הוא ‪ .00%‬תשובה‪ :‬בכיתה ח‪ 2‬יותר תלמידים לא הביאו כובע בהשוואה לכיתה‬
‫(ב) שאלת חשיבה‪ .‬מומלץ לקיים דיון במליאת הכיתה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫נסמן את מספר התלמידים בכיתה ב‪ .x -‬נבדוק מה הוא ‪ x‬אם ‪ 00%‬ממנו הם ‪ .4‬נפתור משוואה‪ 100  16 :‬‬
‫‪x‬‬
‫נפתור ונקבל ‪.x = 25‬‬
‫אם בכיתה ח‪ 2‬יש ‪ 20‬תלמידים אז מספר התלמידים שהגיעו ללא כובע הוא ‪.4‬‬
‫ניתן גם לבקש מהתלמידים לנסות על מספרים שונים‪.‬‬
‫האם ייתכן כי בכיתה ח‪ 2‬יש ‪ 01‬תלמידים כמו בכיתה ח‪) ? 0‬לא כי אז האחוז הוא ‪ 00.00%‬ולא ‪)00%‬‬
‫האם מספר התלמידים צריך להיות גדול מ‪ 01 -‬או קטן מ ‪( ? 01 -‬קטן מ‪ 01 -‬כי האחוז גדול יותר‪).‬‬
‫ננסה מספרים שונים‪ .‬כל זוג תלמידים יקבל מספר אחר בין ‪ 21‬ל‪ 2 -‬ויחשב כמה הם ‪ 00%‬של המספר שקיבלו‪.‬‬
‫הזוג שקיבל את המספר ‪ 20‬חישב ומצא ש ‪ 00% -‬ממספר תלמידי הכיתה הם בדיוק ‪.4‬‬
‫התשובה‪ :‬אם בכיתה יש ‪ 20‬תלמידים אז גם בכיתה ח‪ 2‬מספר התלמידים שהגיעו ללא כובע הוא ‪.4‬‬
‫‪258‬‬
‫‪.‬‬
‫ח‪.0‬‬
‫‪22‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪226‬‬
‫למה אחוזים?‬
‫למה אחוזים?‬
‫דוגמה ‪8‬‬
‫בהשוואה בין שתי קבוצות‪ ,‬האם נשווה את הכמויות המוחלטות או נשווה אחוזים?‬
‫דוגמה ‪8‬‬
‫רונן ואלון הלכו לביתן משחקים ביריד‪ .‬רונן שיחק בקליעה למטרה ואלון שיחק בכדורת‪.‬‬
‫רונן ואלון מנסים כוחם בקליעה למטרה‪ .‬רונן השיג ‪ 01‬נקודות מתוך ‪ .01‬אלון השיג ‪ 41‬נקודות מתוך ‪.01‬‬
‫מי הצליח יותר?‬
‫רונן אמר שהוא צבר יותר נקודות ולכן הישגיו טובים יותר‪.‬‬
‫אלון חלק על דעתו של רונן ואמר שאמנם השיג פחות נקודות רק ‪ 41‬אבל צריך להתייחס גם לשאלה מתוך כמה?‬
‫רונן אמר‪:‬‬
‫אלון אמר‪:‬‬
‫ההישגים שלי טובים יותר משל אלון‪ ,‬צברתי‬
‫מה פתאום? צברתי אומנם רק ‪ 41‬נקודות‪,‬‬
‫יותר נקודות‪ :‬השגתי ‪ 01‬נקודות מתוך ‪01‬‬
‫אבל זה מתוך ‪ 01‬נקודות אפשריות‪,‬‬
‫נקודות אפשריות‪.‬‬
‫ולכן למעשה הצלחתי יותר‪.‬‬
‫מי לדעתכם צודק?‬
‫האם נשווה את מספר ההצלחות ‪ 01‬מול ‪ 01‬או שחשוב להתייחס גם למספר הכללי של הנקודות?‬
‫נשאל את התלמידים לדעתם?‬
‫‪3‬‬
‫‪40‬‬
‫‪60‬‬
‫‪4‬‬
‫מהנקודות‪).‬‬
‫לעומת‬
‫מהנקודות‪( .‬‬
‫מהנקודות‪ .‬אלון צבר‬
‫רונן צבר‬
‫‪50‬‬
‫‪80‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫באחוזים‪ :‬רונן צבר ‪ 75%‬מהנקודות ואלון צבר ‪ 01%‬מהנקודות‪ .‬אלון צדק‪.‬‬
‫בסיום הדוגמה נשאלת השאלה‪ :‬האם קל יותר לערוך את ההשוואה באחוזים או בשברים?‬
‫חזרה על השוואה בין שברים נעשתה בכיתה ז (קפיצה לגובה לכיתה ז חלק ב – נספח שברים)‪.‬‬
‫רונן צבר ‪ 01‬נקודות מתוך ‪ 01‬שהם‬
‫רונן צבר‬
‫אלון צבר ‪ 41‬נקודות מתוך ‪ 01‬שהם‬
‫אלון צבר‬
‫‪ 7‬מהנקודות האפשריות‪.‬‬
‫אלון צדק‪.‬‬
‫אחת מהדרכים להשוואה הי א להביא את השברים לידי מכנים שווים או מונים שווים‪.‬‬
‫האם קל יותר ל רו את ההשוואה באחוזים או בשברים?‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫דוגמה ‪9‬‬
‫השוואה בין גובה ההנחות שקיבלו ענת ונועה על קניית חולצה‪ .‬מי מהבנות עשתה עסקה טובה יותר?‬
‫כמו בדוגמה ‪ , 0‬האם משווים את גובה ההנחה בשקלים או את גובה ההנחה באחוזים?‬
‫המסקנה‪ :‬נועה עשתה עסקה טובה יותר‪ .‬אחוז ההנחה שקיבלה הוא גבוה יותר‪.‬‬
‫כמו בדוגמה הקודמת נשאלת השאלה‪ :‬האם קל יותר לערוך את ההשוואה בשברים או באחוזים?‬
‫ענת קנתה חולצה שמחירה הנקוב הוא ‪ 75‬שקלים וקיבלה הנחה של ‪ 15‬שקלים‪.‬‬
‫נועה קנתה חולצה שמחירה הנקוב הוא ‪ 40‬שקלים וקיבלה הנחה של ‪ 10‬שקלים‪.‬‬
‫מי מהבנות עשתה עיסקה טובה יותר?‬
‫‪15‬‬
‫ענת קיבלה הנחה של‬
‫‪75‬‬
‫ממחיר החולצה‪.‬‬
‫נמיר לאחוזים ‪:‬‬
‫נועה קיבלה הנחה של‬
‫‪10‬‬
‫‪40‬‬
‫ממחיר החולצה‪.‬‬
‫נמיר לאחוזים‪:‬‬
‫‪15  15  100  20  20%‬‬
‫‪75‬‬
‫‪75‬‬
‫‪10  10  100  25  25%‬‬
‫‪40‬‬
‫‪40‬‬
‫ענת קיבלה הנחה של ‪ 20%‬ממחיר החולצה‪.‬‬
‫נועה קיבלה הנחה של ‪ 25%‬ממחיר החולצה‪.‬‬
‫נו ה שתה יסקה טובה יותר‪ .‬אחוז ההנחה שקיבלה גבוה יותר‪.‬‬
‫האם קל יותר ל רו את ההשוואה באחוזים או בשברים?‬
‫‪259‬‬
‫‪ 82‬מהנקודות האפשריות‪.‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫תרגילים‬
‫לפתרון השאלות ניתן להשתמש במחשבון‪ .‬מעגלים לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬
‫‪ .18‬הפתרון כמו בדוגמה ‪ .0‬ניתן לש אול‪ :‬מה נשווה? האם נשווה את מספר התלמידים מכיתה ח בכל אחד‬
‫מהחוגים (נשווה ‪ 00‬לעומת ‪ )20‬או את החלקים שמהווים תלמידי כיתה ח בכל אחד מהחוגים?‬
‫ואם מחליטים לחשב את החלק‪ ,‬האם כדאי להציג את החלק כשבר או כאחוזים?‬
‫על דף התובנות הנחייה לחשב את אחוז תלמידי כיתה ח בחוג הסיירות ואת אחוז תלמידי כיתה ח בחוג‬
‫הכדורסל‪ .‬את ההשוואה כדאי לערוך באחוזים‪.‬‬
‫‪25 5‬‬
‫‪15 3‬‬
‫‪ ,‬ובאחוזים בין ‪ 01%‬לבין ‪ 02.0%‬מהמשתתפים בחוג‪.‬‬
‫לבין‬
‫ההשוואה היא בין‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪40 8‬‬
‫‪25 5‬‬
‫כדי להשוות את השברים יש להרחיב אותם לשברים בעלי מכנים שווים או מונים שווים‪.‬‬
‫ההשוואה באחוזים נוחה יותר‪.‬‬
‫‪ .12‬הפתרון כמו בדוגמה ‪ .0‬על דף תובנות הנחייה דומה לזו שבתרגיל ‪.00‬‬
‫‪13‬‬
‫‪9‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ ,‬ובאחוזים בין ‪ , 40% , 44.44%‬ו ‪ 40.40% -‬מהקליעות‪.‬‬
‫‪ ,‬ו‪-‬‬
‫‪,‬‬
‫ההשוואה היא בין‬
‫‪28‬‬
‫‪20‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ .22‬מומלץ לפתור במליאת הכיתה‪ .‬לא נתונה הכמות הכוללת‪ .‬נתונים מספרי התלמידים בכל קבוצה‪.‬‬
‫הכמות הכוללת היא סכום של מספר התלמידים מכיתות ז ומספר התלמידים מכיתות ח‪.‬‬
‫על דף תובנות הנחייה לחישוב הכמות הכוללת‪.‬‬
‫השאלה מתייחסת להשוואה בין אחוז התלמידים בכיתות ז בכל חוג‪ .‬לכן יש צורך לחשב רק אחוזים אלו‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ ,‬ובאחוזים בין ‪ 40%‬לבין ‪ 40%‬מהמשתתפים בחוג‪.‬‬
‫לבין‬
‫ההשוואה היא בין‬
‫‪20‬‬
‫‪25‬‬
‫‪ .21‬שאלה דומה לשאלה ‪ .21‬לא נתונה הכמות הכוללת‪ .‬הנחייה כמו בתרגיל ‪.21‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪11‬‬
‫‪9‬‬
‫‪.‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪ ,‬שאחרי צמצום מקבלים‪:‬‬
‫לבין‬
‫ההשוואה היא בין‬
‫‪132‬‬
‫‪90‬‬
‫‪12‬‬
‫‪10‬‬
‫מכיוון שבשאלה זאת ההשוואה היא בין שברים בעלי מונים שווים‪ ,‬נוכל לבצע את ההשוואה גם מבלי להפוך‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫לאחוזים‪ :‬השבר בעל המכנה הגדול יותר הוא השבר הקטן יותר‬
‫‪12 10‬‬
‫באחוזים ההשוואה היא בין ‪ 01%‬לבין ‪ 0.0%‬מהיוצאים לטיול‪.‬‬
‫‪ .22‬שאלה דומה לדוגמה ‪ .0‬נתונה הכמות הכוללת והגודל של אחת מהקבוצות החלקיות‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ ,‬ובאחוזים בין ‪ 40%‬לבין ‪ 40.0 %‬מהתלמידים‪.‬‬
‫לבין‬
‫ההשוואה היא בין‬
‫‪25‬‬
‫‪31‬‬
‫‪260‬‬
‫‪227‬‬
‫נעגל לשתי ספרות‬
‫אחרי הנקודה‬
‫העשרונית‬
‫תרגילים‬
‫לפתרון השאלות הבאות ניתן להשתמש במחשבון‪.‬‬
‫‪. 18‬‬
‫‪.1‬‬
‫בחוג סיירות ‪ 25‬חניכים‪ 15 .‬מתוכם הם תלמידי כיתה ח‪.‬‬
‫בחוג כדורסל ‪ 40‬שחקנים‪ 25 .‬מתוכם הם תלמידי כיתה ח‪.‬‬
‫מה אחוז תלמידי כיתה ח‬
‫בכל אחד מהחוגים?‬
‫באיזה מהחוגים אחוז תלמידי כיתה ח גדול יותר?‬
‫‪. 12‬‬
‫‪.2‬‬
‫דני‪ ,‬יוסי‪ ,‬ונדב התחרו בקליעות לסל‪.‬‬
‫דני הצליח ב‪ 16 -‬מתוך ‪ 36‬קליעות לסל‪.‬‬
‫יוסי הצליח ב‪ 18 -‬מתוך ‪ 40‬קליעות לסל‪.‬‬
‫מה אחוז הקליעות המוצלחות‬
‫של כל אחד מהילדים?‬
‫נדב הצליח ב‪ 13 -‬מתוך ‪ 28‬קליעות לסל‪.‬‬
‫מי מהשלושה זכה בתחרות?‬
‫בתרגילים ‪21 , 20‬‬
‫‪. 227‬‬
‫‪.2‬‬
‫רי לחשב תחילה את הכמות השלמה‪.‬‬
‫בחוג כדורסל משתתפים ‪ 12‬תלמידים מכיתות ז ו‪ 13 -‬תלמידים מכיתות ח‪.‬‬
‫בחוג כדורגל משתתפים ‪ 18‬תלמידים מכיתות ז ו‪ 22 -‬תלמידים מכיתות ח‪.‬‬
‫‪..21‬‬
‫‪4‬‬
‫באיזה מהחוגים אחוז התלמידים מכיתות ז גדול יותר?‬
‫כמה תלמידים בסך‪-‬הכל‬
‫בכל אחד מהחוגים?‬
‫לטיול השנתי של כיתות ט יצאו ‪ 121‬תלמידים ו‪ 11 -‬מלווים‪.‬‬
‫מה מספר המשתתפים הכולל‬
‫לטיול השנתי של כיתות ח יצאו ‪ 81‬תלמידים ו‪ 9 -‬מלווים‪.‬‬
‫באיזה מהטיולים אחוז המלווים היה גבוה יותר?‬
‫בכל אחד מהטיולים השנתיים?‬
‫בתרגיל ‪ 22‬הכמות השלמה נתונה בשאלה‪.‬‬
‫‪..22‬‬
‫בבית הספר "ארזים" ‪ 500‬תלמידים‪ 240 .‬מהם מגיעים לבית הספר בהסעות‪.‬‬
‫בבית הספר "אלונים" ‪ 620‬תלמידים‪ 300 .‬מהם מגיעים לבית הספר בהסעות‪.‬‬
‫באיזה מבתי הספר אחוז התלמידים המגיע בהסעות הוא גבוה יותר?‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪228 :‬‬
‫מומלץ להתייחס להבדל בין שאלות ‪ 20 – 21‬לשאלה ‪ ,22‬בה נתונה בשאלה הכמות השלמה‪.‬‬
‫בשאלות ‪ 20 – 21‬היה צורך לחשב תחילה את הכמות הכוללת‪.‬‬
‫‪ .22‬שאלה נוספת בה יש לחשב תחילה את הכמות הכוללת כמו בשאלות ‪.20 – 21‬‬
‫‪8‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ ,‬ובאחוזים בין ‪ 20.00%‬לבין ‪ 24.24%‬מהנוסעים‪.‬‬
‫לבין‬
‫ההשוואה היא בין‬
‫‪33‬‬
‫‪21‬‬
‫‪ .24‬בכל מארז יש שלוש קבוצות חלקיות‪ .‬יש לחשב תחילה את הכמות הכוללת‪.‬‬
‫בשאלה מבקשים השוואה של אחוז השזיפים‪ .‬מחשבים רק את אחוז השזיפים בכל מארז‪ .‬אין צורך לחשב‬
‫את אחוז הפירות האחרים‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ,‬ובאחוזים בין ‪ 00.00%‬לבין ‪ 02.0%‬מהפירות‪.‬‬
‫לבין‬
‫ההשוואה היא בין‬
‫‪‬‬
‫‪40‬‬
‫‪24 3‬‬
‫‪ .2‬שאלה דומה לדוגמה ‪ .‬בחנות "ספר לכל" הניסוח זהה לניסוח שבדוגמה ‪ .‬בחנות "כף לקרוא" נתון‬
‫אחוז הנחה קבוע לכל מחיר‪ .‬מחשבים את אחוז ההנחה בחנות הראשונה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫ממחיר הספר‪ ,‬ובאחוזים ‪ 01%‬ממחיר הספר‪ .‬מכיוון שדני רוצה לקנות ספר‬
‫גובה ההנחה הוא‬
‫‪2‬‬
‫שמחירו ‪ 01‬שקלים‪ ,‬כדאי לו לקנות אותו בחנות "ספר לכל"‪.‬‬
‫‪ .26‬מומלץ לפתור במליאת הכיתה לאחר שהתלמידים פתרו את תרגיל ‪.20‬‬
‫‪. 22‬‬
‫‪.1‬‬
‫קבוצה גדולה של מטיילים יצאה לטיול בשני אוטובוסים‪.‬‬
‫באוטובוס אחד היו ‪ 32‬מבוגרים ו‪ 10 -‬ילדים‪.‬‬
‫באוטובוס שני היו ‪ 25‬מבוגרים ו‪ 8 -‬ילדים‪.‬‬
‫באיזה משני האוטובוסים אחוז הילדים גבוה יותר?‬
‫‪..24‬‬
‫‪2‬‬
‫ברשת מזון החליטו למכור מארזים הכוללים סוגים שונים של פירות‪.‬‬
‫מארז א מכיל ‪ 9‬משמשים‪ 8 ,‬שזיפים ו‪ 7 -‬אפרסקים‪.‬‬
‫מארז ב מכיל ‪ 15‬משמשים‪ 13 ,‬שזיפים ו‪ 12 -‬אגסים‪.‬‬
‫באיזה משני המארזים אחוז השזיפים גדול יותר?‬
‫‪..22‬‬
‫בחנות הספרים "ספר לכל" כל ספר שמחירו ‪ 80‬שקלים נמכר בהנחה של ‪ 40‬שקלים‪.‬‬
‫בחנות הספרים "כיף לקרוא" נמכרים כל הספרים בהנחה של ‪.40%‬‬
‫דני רוצה לקנות ספר שמחירו ‪ 80‬שקלים‪ .‬באיזו מהחנויות כדאי לו לקנות?‬
‫‪. 26‬‬
‫‪.4‬‬
‫חנות "מחשב לכל" הכריזה על מבצע בו מחשב שמחירו ‪ 2,100‬שקלים נמכר ב‪ 1,400 -‬שקלים בלבד‪.‬‬
‫יעל רוצה לקנות מחשב מסוג זה‪.‬‬
‫החנות המתחרה‪" ,‬כיף לי עם מחשב"‪ ,‬נותנת הנחה של ‪ 25%‬על כל המוצרים בחנות‪.‬‬
‫שאלה שלכאורה דומה לשאלה ‪ .20‬ההבדל המשמעותי הוא שיעל רוצה לקנות מחשב אבל איננו יודעים‬
‫גם בחנות זו מחיר המחשב שיעל רוצה לקנות הוא ‪ 2,100‬שקלים‪.‬‬
‫מה מחיר המחשב שהיא רוצה לקנות‪.‬‬
‫אם מחירו ‪ 2,011‬שקלים‪ ,‬נמליץ לה לקנות אותו בחנות "מחשב לכל" בו ניתנת הנחה של ‪ 711‬שקלים‬
‫באיזו חנות תמליצו לה לקנות?‬
‫מתוך ‪ 2,011‬הנחה בגובה של ‪.00.00%‬‬
‫אם מחירו של המחשב שונה מ‪ 2,011 -‬שקלים לא נוכל להמליץ מכיוון שאיננו יודעים את גובה ההנחה‬
‫‪. 27‬‬
‫בכל סעיף נתונים חלקים של אותו שלם‪.‬‬
‫הוסיפו סימן יחס מתאים‪:‬‬
‫שנותנת החנות "מחשב לכל" למחשב זה‪.‬‬
‫בדיון הכיתתי יחשבו את אחוז ההנחה הניתן על מחשב שמחירו ‪ 2,011‬שקלים וישוו לאחוז ההנחה בחנות‬
‫השנייה‪ .‬לאחר מכן אומרים‪ :‬דני רוצה לקנות מחשב שמחירו ‪ 2,011‬שקלים‪ .‬היכן הקנייה כדאית יותר?‬
‫יוסי רוצה לקנות מחשב שמחירו ‪ 0,111‬שקלים‪ .‬היכן הקנייה כדאית יותר? מה דעתכם‪ ,‬היכן כדאי ליעל‬
‫לקנות מחשב? ולהגיע למסקנה שפרט לקניית מחשב שמחירו ‪ 2,011‬לא ניתן לדעת באיזו חנות ההנחה‬
‫גדולה יותר‪.‬‬
‫‪261‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫(‪)7‬‬
‫‪32‬‬
‫‪65‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪)8‬‬
‫‪17‬‬
‫‪20‬‬
‫‪22‬‬
‫‪25‬‬
‫(‪)9‬‬
‫< ‪ < ,‬או =‪.‬‬
‫‪60%‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪40%‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪20‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪35%‬‬
‫‪3‬‬
‫‪10‬‬
‫‪25%‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪22%‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪70%‬‬
‫(‪)3‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪ .27‬השוואה בין חלקים של אותו שלם‪ .‬החלקים מוצגים כשברים או כאחוזים‪ .‬בסעיפים (א)‬
‫ד (ו) נהפוך‬
‫את השברים לאחוזים של אותה כמות‪ .‬נשווה בין האחוזים‪ .‬לדוגמה‪,‬‬
‫‪3‬‬
‫ל‪ 01% -‬של אותה כמות‪.30% > 25% .‬‬
‫(א) נהפוך‬
‫‪10‬‬
‫בסעיפים (ז)‬
‫(ז)‬
‫‪4 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪5 4‬‬
‫(ח)‬
‫‪32 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪65 2‬‬
‫(ט)‬
‫‪22‬‬
‫‪25‬‬
‫‪17‬‬
‫‪20‬‬
‫ד (ט) ניתן להפוך כל שבר לאחוז של אותה כמות ולהשוות אחוזים‪ .‬אפשר גם להשוות בין השברים‪.‬‬
‫או ‪.80% > 75%‬‬
‫השיקולים בהשוואה בין השברים‪ :‬נשווה את ההשלמה של כל אחד מהשברים לשלם‪.‬‬
‫‪4 3‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪( . ‬השבר בעל המכנה הגדול יותר הוא קטן יותר‪ ).‬ולכן‪:‬‬
‫נקבל שברים בעלי מונים שווים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪5 4‬‬
‫‪5 4‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ 02‬הם קצת פחות ממחצית של ‪( .00‬חצי מ‪ 00 -‬הם ‪)02.0‬‬
‫הדרך הנוחה ביותר היא להפוך כל שבר לאחוז של אותה כמות ולהשוות אחוזים‪.‬‬
‫‪. 85% < 88%‬‬
‫שההפרש בין המונים הוא ‪ 0‬וההפרש בין המכנים הוא ‪ 0‬ויחליט שהשברים שווים)‪.‬‬
‫‪262‬‬
‫(ייתכן שיהיה תלמיד שישים לב לעובדה‬
‫‪228‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪222 :‬‬
‫למדנו להמיר שברים לאחוזים‪ .‬בפרק זה נלמד להמיר אחוזים לשברים‪.‬‬
‫למדנו להמיר שברים לאחוזים‪ .‬בפרק זה נלמד להמיר אחוזים לשברים‪.‬‬
‫מאחוזים לשברים‬
‫מאחוזים לשברים‬
‫למדנו כי כדי בהמיר שבר לאחוז כופלים את השבר ב‪.011 -‬‬
‫שואלים‪ :‬מה הפעולה שיש לבצע כדי להמי אחוז לשבר?‬
‫‪1‬‬
‫בתחילת הפרק למדנו כי אחוז (‪ )1%‬של כמות הוא שם אחר למאית (‬
‫‪100‬‬
‫‪2‬‬
‫של אותה כמות‪.‬‬
‫כלומר‪ 2% ,‬של כמות הוא שם אחר ל‪-‬‬
‫‪100‬‬
‫‪5‬‬
‫של אותה כמות‪.‬‬
‫‪ 5%‬של כמות הוא שם אחר ל‪-‬‬
‫‪100‬‬
‫‪30‬‬
‫של אותה כמות‪.‬‬
‫‪ 30%‬של כמות הוא שם אחר ל‪-‬‬
‫‪100‬‬
‫‪1‬‬
‫בתחילת הפרק למדנו כי אחוז (‪ )0%‬של כמות הוא שם אחר למאית (‬
‫‪100‬‬
‫‪2‬‬
‫של אותה כמות‪.‬‬
‫כלומר‪ 2% ,‬של כמות הוא שם אחר ל ‪-‬‬
‫‪100‬‬
‫‪5‬‬
‫של אותה כמות‪.‬‬
‫‪ 0%‬של כמות הוא שם אחר ל‪-‬‬
‫‪100‬‬
‫‪30‬‬
‫של אותה כמות‪.‬‬
‫‪ 01%‬של כמות הוא שם אחר ל‪-‬‬
‫‪100‬‬
‫לכן כדי להפוך אחוזים לשברים מבצעים את השלבים הבאים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫) של אותה כמות‪.‬‬
‫) של אותה כמות‪.‬‬
‫לכן כדי להפוך אחוזים לשברים מבצעים את השלבים הבאים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫כותבים שבר שהמכנה שלו הוא ‪ 100‬והמונה הוא האחוז הנתון‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מצמצמים את השבר ככל שניתן‪.‬‬
‫דוגמה ‪10‬‬
‫נכתוב את האחוזים הבאים כשברים של אותה כמות‪.‬‬
‫כותבים שבר שהמכנה שלו הוא ‪ 011‬והמונה הוא האחוז הנתון‪.‬‬
‫מצמצמים את השבר ככל שניתן‪.‬‬
‫ובמילים אחרות‪ :‬מחלקים את האחוז ב‪.011 -‬‬
‫(א)‬
‫‪30  3‬‬
‫‪100‬‬
‫‪10‬‬
‫‪‬‬
‫‪30%‬‬
‫(ג)‬
‫‪15  3‬‬
‫‪100‬‬
‫‪20‬‬
‫‪‬‬
‫‪15%‬‬
‫(ב)‬
‫‪50  5  1‬‬
‫‪100‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪50%‬‬
‫(ד)‬
‫‪25  1‬‬
‫‪100‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪25%‬‬
‫דוגמה ‪12‬‬
‫ארבע דוגמאות של המרה של אחוזים לשברים של אותה כמות‪ .‬חילוק ב ‪ .011 -‬מקבלים שבר שהמכנה שלו‬
‫תרגילים‬
‫הוא ‪ .011‬מצמצמים ככל שניתן‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪..28‬‬
‫‪1‬‬
‫כתבו כל אחד מהאחוזים הבאים כשבר‪.‬‬
‫‪25%‬‬
‫(‪)7‬‬
‫‪75%‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪40%‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪ . 22 – 28‬תרגול בהמרה של אחוזים לשברים‪ .‬היעזרו בדוגמה‪ .‬יש לכתוב את התשובה כשבר מצומצם‪.‬‬
‫‪12%‬‬
‫(‪)8‬‬
‫‪60%‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪20%‬‬
‫(‪) 2‬‬
‫‪ .22‬שאלה מילולית בה יש להמיר את האחוזים ‪ 70%‬ו‪ 20% -‬לשברים‪ .‬התשובה לסעיף (א) היא ‪.‬‬
‫‪45%‬‬
‫(‪)9‬‬
‫‪10%‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪100%‬‬
‫(‪)3‬‬
‫התשובה לסעיף (ב) היא ‪ .‬ניתן למצוא על ‪-‬ידי השלמה של‬
‫‪‬‬
‫‪..22‬‬
‫‪2‬‬
‫לשלם‪.‬‬
‫כתבו כשברים‪.‬‬
‫(א) ‪35%‬‬
‫‪..22‬‬
‫‪2‬‬
‫(ב)‬
‫‪60%‬‬
‫(ג) ‪40%‬‬
‫‪ 75%‬מתלמידי הכיתה גרים במרחק הליכה מבית הספר‪.‬‬
‫(א) איזה חלק מתלמידי הכיתה גרים במרחק הליכה מבית הספר?‬
‫איזה חלק מתלמידי הכיתה אינם גרים במרחק הליכה מבית הספר?‬
‫‪263‬‬
‫(ד) ‪90%‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪ .21‬שאלה מילולית בה יש להמיר אחוזים לשברים של אותה כמות‪ .‬היעזרו בדוגמה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. 21‬‬
‫‪ 60%‬מתלמידי הכיתה הם ממשפחות עם ‪ 2‬או ‪ 3‬ילדים‪,‬‬
‫‪ 10%‬מתלמידי הכיתה הם ילדים יחידים‪.‬‬
‫על התלמידים לחשב את הציון‪ .‬המרה משבר לאחוזים של אותה כמות‪.‬‬
‫‪ .22‬התאמה בין תוויות עליהן יש פירוט של הרכב הבד באחוזים לבין שלוש חולצות עליהן יש פירוט של הרכב‬
‫כתבו אחוזים אלו כשברים‪.‬‬
‫‪. 22‬‬
‫‪.2‬‬
‫בכל החולצות אחוז שווה של כותנה‪ .‬את ההתאמה נעשה על‪-‬פי אחוז הפשתן בבד החולצה ונבדוק אם‬
‫ההתאמה מתאימה גם לאחוז הניילון בבד החולצה‪( .‬או להפך‪).‬‬
‫פתרון‪ :‬א – ‪ , 2‬ב – ‪ , 0‬ג – ‪0‬‬
‫‪ .24‬מומלץ לפתור במליאת הכיתה‪.‬‬
‫בסקר שערכו תלמידי כיתה ח מצאו כי‪:‬‬
‫‪ 30%‬מתלמידי הכיתה הם ממשפחות עם יותר מ‪ 3 -‬ילדים‪,‬‬
‫‪ .22‬ציון בחינה ניתן באחוזים‪ .‬בשאלה זאת נתון מספר התשובות הנכונות מתוך סך‪-‬כל התרגילים בבחינה‪.‬‬
‫הבד בשברים‪.‬‬
‫‪222‬‬
‫במבחן במתמטיקה היו ‪ 15‬תרגילים‪ .‬דניאל ענה נכון על ‪ 12‬תרגילים‪.‬‬
‫ציון הבחינה ניתן באחוזים‪.‬‬
‫מה הציון שדניאל קיבל?‬
‫‪2‬‬
‫‪..22‬‬
‫לפניכם שלוש חולצות ושלוש תוויות‪ .‬על כל אחת מהחולצות פירוט של הרכב הבד בשברים‪.‬‬
‫מצאו לכל תווית את החולצה המתאימה‪.‬‬
‫כותנה‬
‫פשתן‬
‫ניילון‬
‫‪90%‬‬
‫‪0%‬‬
‫‪0%‬‬
‫‪1‬‬
‫כל שורה עומדת בפני עצמה‪ ,‬כאשר ההתייחסות היא למוצר מסוים‪.‬‬
‫כותנה‬
‫פשתן‬
‫ניילון‬
‫‪90%‬‬
‫‪0%‬‬
‫‪2%‬‬
‫‪2‬‬
‫יש משקי בית שיש להם גם מחשב אישי וגם שתי מכוניות לפחות וכו'‪.‬‬
‫כל אחת מהשאלות מתייחסת לשורה אחרת בטבלה‪.‬‬
‫כותנה‬
‫פשתן‬
‫ניילון‬
‫‪90%‬‬
‫‪0%‬‬
‫‪4%‬‬
‫‪2‬‬
‫חשוב לוודא שהתלמידים יודעים לקרוא את הטבלה‪.‬‬
‫מדוע בטבלה סכום המספרים אינו ‪?011‬‬
‫(א)‬
‫כותנה‬
‫פשתן‬
‫מורה הכיתה יפעיל את שיקול דעתו לגבי הדיון הבא‪:‬‬
‫אפשר לשאול את התלמידים אם ניתן לדעת מה אחוז המשפחות שיש להן מכונית אחת בלבד?‬
‫‪. 24‬‬
‫‪.4‬‬
‫ניילון‬
‫(ב)‬
‫‪01‬‬
‫‪2‬‬
‫‪25‬‬
‫‪1‬‬
‫‪50‬‬
‫כותנה‬
‫פשתן‬
‫ניילון‬
‫(ג)‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪20‬‬
‫‪1‬‬
‫‪20‬‬
‫הנתונים בטבלה לקוחים מתוך נתוני מפקד האוכלוסין ‪.2008‬‬
‫כותנה‬
‫פשתן‬
‫ניילון‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪50‬‬
‫‪2‬‬
‫‪50‬‬
‫אחוז משקי הבית שברשותם המו רים‬
‫הקבוצה "שתי מכוניות או יותר" היא קבוצה חלקית של "מכונית אחת לפחות" שהמשמעות היא‬
‫האחוזים מעוגלים לעשרות‪.‬‬
‫מכונית אחת או יותר‪.‬‬
‫כתבו כשבר‪:‬‬
‫‪70%‬‬
‫(א) איזה חלק ממשקי הבית בישראל הם בעלי מחשב אישי?‬
‫‪60%‬‬
‫(ב) איזה חלק ממשקי הבית בישראל הם בעלי מכונית אחת לפחות?‬
‫מה למדנו?‬
‫(ג) איזה חלק ממשקי הבית בישראל מחזיקים שתי מכוניות או יותר?‬
‫מומלץ לקרוא במליאת הכיתה ולבקש מהתלמידים לתת דוגמה לכל היגד‪.‬‬
‫מה למדנו?‬
‫‪264‬‬
‫‪‬‬
‫אחוז של כמות הוא שם אחר למאית של אותה כמות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫המרה משבר לאחוזים‪ :‬כדי להפוך שבר לאחוזים ניתן לכפול את השבר ב‪.100 -‬‬
‫‪‬‬
‫המרה מאחוזים לשבר‪ :‬כדי להפוך אחוזים לשברים נכתוב אותם כשבר שהמכנה שלו הוא ‪.100‬‬
‫‪20%‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫חישוב ר האחוז‬
‫‪221‬‬
‫חישוב ר האחוז‬
‫חישוב ר האחוז בדרך חשבונית‪.‬‬
‫בשאלות אחוזים משתתפים בדרך כלל שלושה גדלים‪ :‬הכמות השלמה‪ ,‬האחוז‪ ,‬וערך האחוז‪.‬‬
‫מהו ערך האחוז? ערך האחוז הוא הכמות במספרים אותה מייצג האחוז‪.‬‬
‫למשל‪ 01% ,‬מ‪ 41 -‬הם ‪ .4‬הכמות השלמה היא ‪ ,41‬האחוז ‪ ,01%‬וערך האחוז הוא ‪.4‬‬
‫לחישוב ערך האחוז‪ ,‬ממירים את האחוז לשבר ומכפילים את השבר המתקבל בכמות השלמה‪.‬‬
‫מומלץ לבקש מהתלמידים לכתוב לכל שאלה מה הם‪ :‬האחוז‪ ,‬הכמות השלמה‪ ,‬וערך האחוז‪,‬‬
‫כמו בדוגמאות ‪( 02 – 00‬על צג המחשב) ובתרגיל ‪( 00‬על דף תובנות)‪.‬‬
‫בשאלות באחוזים משתתפים בדרך כלל שלושה גדלים‪ :‬הכמות השלמה‪ ,‬האחוז‪ ,‬וערך האחוז‪.‬‬
‫דוגמה ‪11‬‬
‫הכמות השלמה‪:‬‬
‫‪ 2,422‬שקל‬
‫האחוז‪1 :‬‬
‫ר האחוז‪ 24 :‬שקל‬
‫מחיר מחשב ‪ 2,400‬שקלים‪.‬‬
‫כמה הם ‪ 1%‬ממחיר המחשב?‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1%‬של המחיר הוא‬
‫‪100‬‬
‫‪1‬‬
‫נחשב כמה הם‬
‫‪100‬‬
‫מהמחיר‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫ממחיר המחשב‪:‬‬
‫‪1  2,400  1  2,400  24‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫‪0‬‬
‫בסבב השני נחזור ונחשב את ערך האחוז גם בחישובים מנטליים (חישובים בעל‪-‬פה) וגם באמצעות נוסחה‪.‬‬
‫מוצגות ארבע דוגמאות‪.‬‬
‫דוגמה ‪11‬‬
‫‪1‬‬
‫חישוב של ‪ 0%‬ממחיר המחשב‪ .‬ממירים את האחוז לשבר עם מכנה של ‪:011‬‬
‫‪100‬‬
‫‪1‬‬
‫מתוך ‪ .2,411‬לחישוב חלק של שלם כופלים את החלק בשלם‪.‬‬
‫ומחשבים כמה הם‬
‫‪100‬‬
‫מקבלים ‪ 24‬שקלים‪.‬‬
‫דוגמה ‪12‬‬
‫‪15‬‬
‫נחשב כמה הם‬
‫‪100‬‬
‫חישוב של ‪ 00%‬ממחיר המחשב‪ .‬ניתן לפתור באותה דרך שפתרנו את דוגמה ‪.00‬‬
‫‪ 15%‬ממחיר המחשב הם ‪ 360‬שקלים‪.‬‬
‫ניתן גם להיעזר בתשובה לדוגמה ‪ .00‬אם ‪ 0%‬ממחיר המחשב הם ‪ 24‬שקלים‪ ,‬אז ‪ 00%‬ממחיר המחשב‬
‫אפשר גם להיעזר בפתרון של דוגמה ‪.11‬‬
‫הם ‪ .15  24‬בסבב השני בו נעסוק באחוזים נבצע פעילויות בעל ‪-‬פה‪ ,‬הכוללות גם חישוב מסוג זה‪.‬‬
‫‪ 1%‬ממחיר המחשב הם ‪ 24‬שקלים‪ 15% .‬ממחיר המחשב גדולים פי ‪ ,15‬כלומר ‪ 360‬שקלים‪.‬‬
‫‪ 1%‬ממחיר המחשב הם ‪ 24‬שקלים‪.‬‬
‫דוגמה ‪12‬‬
‫הכמות השלמה‪:‬‬
‫‪ 2,422‬שקל‬
‫האחוז‪15 :‬‬
‫ר האחוז‪ 360 :‬שקל‬
‫מחיר מחשב ‪ 2,400‬שקלים‪.‬‬
‫כמה הם ‪ 15%‬ממחיר המחשב?‬
‫‪15‬‬
‫‪ 15%‬של המחיר הם‬
‫‪100‬‬
‫מהמחיר‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫ממחיר המחשב‪:‬‬
‫‪15  2,400  15  2,400  360‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫‪0‬‬
‫‪15  24 = 360‬‬
‫דוגמאות ‪14 – 12‬‬
‫חישוב של אחוז מתוך כמות ללא הקשר מילולי‪.‬‬
‫דוגמה ‪12‬‬
‫דוגמה ‪14‬‬
‫כמו בדוגמה ‪ 02‬ממירים את האחוז בשבר שהמכנה שלו הוא ‪ 011‬ומחשבים את המכפלה של השבר בשלם‪.‬‬
‫כמה הם ‪ 00%‬מ‪?001 -‬‬
‫כמה הם ‪ 70%‬מ‪? 001 -‬‬
‫בסבב השני בנושא אחוזים פותרים שאלות בדרך אלגברית‪,‬‬
‫ומשתמשים בטבלה‪:‬‬
‫‪ 2‬של ‪ 162‬הם ‪. 6‬‬
‫בשלב זה מוצגת דרך המתבססת על הבנת ערך האחוז ודרך‬
‫חישובו‪ .‬ניתן לחשב את ערך האחוז באמצעות חישוב מנטלי (חישוב בראש)‪.‬‬
‫האחוז‬
‫ערך האחוז‬
‫הכמות השלמה באחוזים‬
‫‪011%‬‬
‫הכמות השלמה‬
‫‪ 72‬של ‪ 2 2‬הם‬
‫‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫לחישוב ערך האחוז יש לכתוב את האחוז כשבר שהמכנה שלו הוא ‪ ,100‬ולכפול בכמות השלמה‪.‬‬
‫בסיום הדוגמאות‪ :‬סיכום של דרך חישוב ערך האחוז‪.‬‬
‫לתוצאה המתקבלת קוראים‬
‫‪265‬‬
‫ר האחוז‪.‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪222‬‬
‫תרגילים‬
‫תרגילים‬
‫‪. 2.1‬‬
‫בתרגילים ‪ 46 – 2‬נתונה הכמות השלמה‪ ,‬נתון האחוז ויש לחשב את ערך האחוז‪.‬‬
‫מומלץ לפני תחילת הפתרון לכתוב את הנתונים כמודגם על דף התובנות שבשאלה ‪.00‬‬
‫בסיום שאלה מילולית יש לכתוב תשובה במילים‪.‬‬
‫כמה הם‪:‬‬
‫(א)‬
‫‪ 10%‬של ‪40‬‬
‫(ד) ‪ 25%‬של ‪72‬‬
‫(ז)‬
‫‪ 25%‬של ‪44‬‬
‫(ב)‬
‫‪ 15%‬של ‪40‬‬
‫(ה) ‪ 75%‬של ‪72‬‬
‫(ח(‬
‫‪ 10%‬של ‪75‬‬
‫(ג)‬
‫‪ 20%‬של ‪70‬‬
‫(ו)‬
‫‪ 85%‬של ‪60‬‬
‫(ט) ‪ 50%‬של ‪30‬‬
‫דוגמה לפתרון‪.‬‬
‫‪( 28‬א) הכמות השלמה‪ .221 :‬האחוז‪ .40% :‬ערך האחוז‪? :‬‬
‫‪45‬‬
‫ממירים את האחוז בשבר המציג את החלק שמהוות הבנות מכלל התלמידים בחטיבת הביניים‪:‬‬
‫‪100‬‬
‫‪45‬‬
‫‪.‬‬
‫ערך האחוז שווה‪:‬‬
‫‪ 220  99‬‬
‫‪100‬‬
‫בנות‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬בחטיבת הביניים יש‬
‫הן בנות‪ .‬נמצא את ההפרש‪.‬‬
‫(ב) מתוך ‪ 221‬תלמידים‪,‬‬
‫או‪ ,‬אם ‪ 40%‬מהתלמידים הם בנות‪ ,‬אז ההשלמה ל‪ ,011% -‬דהיינו‪ 00% ,‬הם בנים‪.‬‬
‫‪. 26‬‬
‫‪.2‬‬
‫בספריית בית הספר ‪ 400‬ספרים‪ 75% .‬מהספרים הם ספרים בעברית‪.‬‬
‫כמה ספרים בעברית יש בספרייה?‬
‫השלם‪411 :‬‬
‫האחוז‪70 :‬‬
‫דרך החישוב‪70  400 :‬‬
‫ערך האחוז‪? :‬‬
‫‪. 27‬‬
‫‪.2‬‬
‫אמיר יצא מביתו עם ‪ 150‬שקלים‪ .‬ב‪ 22% -‬מהכסף קנה כרטיס קולנוע‪.‬‬
‫מה מחיר כרטיס קולנוע?‬
‫‪. 28‬‬
‫‪.4‬‬
‫בחטיבת הביניים לומדים ‪ 220‬תלמידים‪ 45% .‬מתוכם בנות‪.‬‬
‫(א) כמה בנות בחטיבה?‬
‫מחשבים כמה הם ‪ 00%‬מ‪.221 -‬‬
‫תשובה‪ :‬מספר הבנים בחטיבת הביניים הוא ‪.020‬‬
‫(ב) כמה בנים בחטיבה?‬
‫‪. 22‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ 55%‬מהמבקרים בגן החיות בחופשת סוכות היו בעלי מנוי שנתי‪.‬‬
‫בחופשת סוכות ביקרו בגן החיות ‪ 2,200‬מבקרים‪.‬‬
‫כמה מהם הם מנויים של גן החיות?‬
‫‪. 42‬‬
‫‪.6‬‬
‫בטיול משפחות השתתפו ‪ 50‬מבוגרים וילדים‪ 60% .‬מהמשתתפים היו ילדים‪.‬‬
‫(א) כמה ילדים השתתפו בטיול?‬
‫(ב) כמה מבוגרים השתתפו בטיול?‬
‫‪. 41‬‬
‫‪.7‬‬
‫באוטובוס ‪ 50‬נוסעים‪ 32% .‬מהנוסעים הם ילדים‪.‬‬
‫כמה ילדים באוטובוס?‬
‫‪. 42‬‬
‫‪.8‬‬
‫בגביע יש ‪ 250‬גרם גבינה‪.‬‬
‫(א) כמה גרם שומן יש בגביע גבינה המכיל ‪ 5%‬שומן?‬
‫(ב) כמה גרם שומן יש בגביע גבינה המכיל ‪ 9%‬שומן?‬
‫‪266‬‬
‫‪011‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪ .42‬חלק מהנתונים מוצגים בדיאגרמה המצורפת‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪. 42‬‬
‫כותרת הדיאגרמה היא‪" :‬משקי בית לפי גודל משק הבית (באחוזים)"‪ .‬מהו גודל משק הבית?‬
‫על דף התובנות המידע כי גודל משק הבית נקבע על פי מספר הנפשות במשפחה‪.‬‬
‫(א) הכמות השלמה‪ .011 :‬האחוז‪( 20% :‬העמודה השנייה משמאל מציגה את אחוז המשפחות‬
‫הכמות השלמה‪ .011 :‬האחוז ‪( 00%‬העמודה הימנית מספקת את המידע ש‪0% -‬‬
‫מהמשפחות בישוב הן בנות ‪ 7‬נפשות ומעלה‪ .‬העמודה השנייה מימין מספקת את המידע‬
‫‪20%‬‬
‫‪20%‬‬
‫המשפחות בישוב לפי גודל משק הבית‪.‬‬
‫‪00%‬‬
‫הנתונים מעוגלים לאחוזים שלמים‪.‬‬
‫(ב) כמה משפחות המונות ‪ 6‬נפשות ומעלה‬
‫גרות בישוב?‬
‫גודל משק הבית נקבע על‪-‬פי‬
‫מספר הנפשות במשפחה‬
‫‪00%‬‬
‫‪02%‬‬
‫(א) כמה משפחות בנות ‪ 2‬נפשות גרות בישוב?‬
‫‪0%‬‬
‫‪0%‬‬
‫‪7+‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫מספר נפשות במשק בית‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .44‬בבית הספר “ארזים" יש שתי כיתות ח‪.‬‬
‫(א) בכיתה ח‪ 32 1‬תלמידים‪ .‬ביום ראשון היו חסרים ‪ 25%‬מהתלמידים‪.‬‬
‫כמה תלמידים נעדרו מהלימודים ביום ראשון?‬
‫(ב) בכיתה ח‪ 20 2‬תלמידים‪ .‬ביום ראשון היו חסרים ‪ 15%‬מהתלמידים‪.‬‬
‫כמה תלמידים נעדרו מהלימודים ביום ראשון?‬
‫ש‪ 0% -‬מהמשפחות בישוב הן בנות ‪ 0‬נפשות‪ .‬השאלה מתייחסת למספר המשפחות בהן יש‬
‫(ג) מה אחוז התלמידים משכבת כיתות ח‪ ,‬שנעדרו מהלימודים ביום ראשון? (עגלו את התוצאה לשתי‬
‫ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪).‬‬
‫‪ 0‬נפשות ומעלה‪ ,‬שהאחוז שלהן בישוב הוא ‪ ,5 + 6‬כלומר ‪.00%‬‬
‫‪( .44‬א) – (ב) חישוב ערך האחוז‪ .‬מקבלים שבכיתה ח‪ 0‬נעדרו ביום ראשון ‪ 4‬תלמידים‪ .‬בכיתה ח‪2‬‬
‫נעדרו ביום ראשון ‪ 0‬תלמידים‪.‬‬
‫(ג) מומלץ לפתור במליאת הכיתה‪.‬‬
‫משקי בית‪ ,‬לפי גודל משק הבית (באחוזים)‬
‫בישוב "כרמים" מתגוררות ‪ 300‬משפחות‪.‬‬
‫דיאגרמת העמודות שלפניכם מציגה את התפלגות‬
‫בנות ‪ 2‬נפשות)‪ .‬ערך האחוז‪? :‬‬
‫(ב) מומלץ לתת לתלמידים לפתור לבד אבל לבדוק ולדון בפתרון הנכון במליאת הכיתה‪.‬‬
‫‪222‬‬
‫‪. 4‬‬
‫בבית ספר "אשל" ‪ 750‬תלמידים‪ .‬בבית ספר "אלומות" ‪ 620‬תלמידים‪.‬‬
‫‪ 50%‬מתלמידי בית‪-‬ספר "אשל"‬
‫מגיעים לבית הספר בהסעות‪.‬‬
‫‪ 60%‬מתלמידי בית‪-‬ספר "אלומות" מגיעים לבית הספר בהסעות‪.‬‬
‫יש לחשב את אחוז התלמידים משכבת כיתות ח שנעדרו מבית הספר ביום ראשון‪.‬‬
‫בשתי הכיתות יחד יש ‪ 02‬תלמידים‪ .‬בשתי הכיתות יחד נעדרו ביום ראשון ‪ 7‬תלמידים‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫מהתלמידים נעדרו מבית הספר ביום ראשון‪ .‬נמיר לאחוזים באמצעות כפל ב‪,011 -‬‬
‫כלומר‬
‫‪52‬‬
‫נקבל‪( 00.40% :‬המספר מעוגל ל מאיות‪ ,‬שהיינו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪).‬‬
‫ייתכן ויהיו תלמידים שיחברו את האחוזים הנתונים בסעיפים (א) ו‪( -‬ב)‪ ,‬ויאמרו כי נעדרו ‪27.0%‬‬
‫(א) כמה תלמידים מבית ספר "אשל" מגיעים בהסעות?‬
‫(ב) כמה תלמידים מבית ספר "אלומות" מגיעים בהסעות?‬
‫(ג) מה אחוז התלמידים משני בתי הספר המגיעים לבית הספר בהסעות?‬
‫‪.64‬‬
‫לפניכם פריטים הנמכרים בחנות הכלבו‪ .‬ליד כל פריט תווית ועליה מחיר הפריט וגובה ההנחה באחוזים‪.‬‬
‫לכל פריט חשבו (א) את גובה ההנחה‪.‬‬
‫(ב) את מחיר הפריט לאחר ההנחה‪.‬‬
‫מהתלמידים )‪ .(12.5 + 15 = 27.5‬במקרה כזה נבקש מהם לחשב כמה הם ‪ 27.0%‬מתוך כלל‬
‫התלמידים (‪ 02‬תלמידים)‪ .‬יקבלו‪ ,‬אחרי עיגול‪ ,‬שנעדרו ‪ 04‬תלמידים‪ ,‬תוצאה שאינה תואמת‬
‫את התשובות שבסעיפים הקודמים‪.‬‬
‫‪ .4‬הנחייה כמו בשאלה ‪.44‬‬
‫‪( .46‬א) חישוב ערך האחוז‪ .‬כמו בשאלה ‪.00‬‬
‫(ב) מחיר הפריט לאחר ההנחה שווה למחיר הרשום פחות ההנחה שחושבה בסעיף (א)‪.‬‬
‫‪267‬‬
‫מעיל‬
‫מגפיים‬
‫נעליים‬
‫לפני הנחה‬
‫‪ 002‬שקלים‬
‫לפני הנחה‬
‫‪ 00‬שקלים‬
‫לפני הנחה‬
‫‪ 241‬שקלים‬
‫כעת בהנחה‬
‫של ‪00%‬‬
‫מהמחיר‬
‫כעת בהנחה‬
‫של ‪21%‬‬
‫מהמחיר‬
‫כעת בהנחה‬
‫של ‪71%‬‬
‫מהמחיר‬
‫____________________________________________________________________________________________‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק א‬
‫‪219‬‬
‫© כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪324 :‬‬
‫אוריינות – חלוקת ירושה‬
‫אוריינות – חלוקת ירושה‬
‫פעילות בה יש לחלק מגרש בצורת משולש בין ארבעה בנים כך שכל המגרשים יהיו בעלי שטחים שווים‪.‬‬
‫שילוב של סיטואציה מחיי יומיום עם תכונות שנלמדו בגיאומטריה‪ :‬חישובי שטחים‪ ,‬תיכון למשולש‪,‬‬
‫חפיפת משולשים‪ ,‬ישרים מקבילים וחלוקה ביחס‪.‬‬
‫אב הוריש לארבעת בניו מגרש שצורתו משולש‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫הוא ביקש מהם לחלק אותו לארבעה‬
‫חלקים בעלי שטחים שווים‪.‬‬
‫שתיים מההצעות מתבססות על התכונה של התיכון למשולש‪.‬‬
‫תיכון למשולש מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫ההצעות של יונתן ודניאל הן באמצעות העברת תיכונים‪.‬‬
‫שניהם העבירו את התיכון ‪ AD‬לצלע ‪ BC‬במשולש ‪ .ABC‬וקיבלו שני משולשים‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫להלן הצעות לחלוקה של המגרש‪:‬‬
‫יונתן הציע לחלק את הצלע ‪ BC‬לארבעה קטעים‬
‫בכל משולש העבירו תיכון נוסף לקבלת ארבעה משולשים שווי שטח‪.‬‬
‫דניאל הציע להעביר את ‪ ,AD‬התיכון לצלע ‪,BC‬‬
‫שווים באורכם‪ ,‬כמודגם בסרטוט‪.‬‬
‫אצל יונתן כל התיכונים יוצאים מקדקוד אחד‪ ,‬קדקוד ‪ A‬של המשולש ‪ .ABC‬הנקודות ‪ F ,D ,E‬מחלקות את‬
‫‪ BC‬לארבעה קטעים שווים באורכם‪.‬‬
‫בכל אחד משני המשולשים שהתקבלו על‪-‬ידי העברת התיכון ‪ ,AD‬דניאל העביר תיכון לצלע ‪.AD‬‬
‫מומלץ לקיים דיון במליאת הכיתה ולשמוע את הסברי התלמידים‪.‬‬
‫(א) אצל יונתן ארבעת המשולשים הם שווי שטח‪.‬‬
‫ובמשולש ‪ ACD‬להעביר את התיכון ‪ CG‬לצלע ‪.AD‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪G‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫שטח משולש שווה למכפלה של צלע המשולש בגובה לצלע זאת‪ ,‬לחלק ל‪.2 -‬מכיוון שהגובה מקדקוד ‪ A‬של‬
‫המחלק את המגרש לשני משולשים‪.‬‬
‫במשולש ‪ ABD‬להעביר את התיכון ‪ BG‬לצלע ‪,AD‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫לכל ארבעת המשולשים שהתקבלו‪ ,‬אותו גובה‪.AM :‬‬
‫הצלעות על פיהן נחשב את השטח )‪ (CE , ED , CF , FB‬שוות באורכן‪.‬‬
‫(ב) גם בהצעה של דניאל בכל המשולשים יש צלע שווה‪ .‬הגובה לצלע זאת אינו גובה משותף לכל המשולשים לכן‬
‫לא ניתן להראות שהמשולשים שווים בשטחם באמצעות הגובה‪.‬‬
‫נסתמך על התכונה שהתיכון במשולש מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח‪( .‬גם אצל יונתן ניתן היה‬
‫התיכון ‪ BG‬מחלק‬
‫להסביר בדרך זאת)‪.‬‬
‫את משולש ‪ABD‬‬
‫התיכון ‪ AD‬מחלק את‬
‫לשני משולשים שווי‬
‫משולש ‪ ABC‬לשני‬
‫שטח‪ :‬ירוק וצהוב‪.‬‬
‫משולשים שווי שטח‪:‬‬
‫התיכון ‪ CG‬מחלק‬
‫תכלת וורוד‪.‬‬
‫את משולש ‪ ACD‬לשני משולשים שווי שטח‪.‬‬
‫מכיוון שהמשולשים התכלת והוורוד שווים בשטחם גם כל ארבעת המשולשים שמשמאל הם שווי שטח‪.‬‬
‫‪268‬‬
‫(א) האם בהצעה של יונתן מחולק המגרש לארבעה חלקים בעלי שטחים שווים? הסבירו‪.‬‬
‫(ב) האם בהצעה של דניאל מחולק המגרש לארבעה חלקים בעלי שטחים שווים? הסבירו‪.‬‬
‫( ) חלקו את המשולש שלפניכם למשולשים שווי שטח באמצעות העברת תיכונים בדרך אחרת‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪325‬‬
‫אריאל טען שההצעות של יונתן ודניאל אינן הוגנות‪ .‬מקבלים אמנם ארבעה מגרשים השווים בשטחם‪,‬‬
‫( ) הצעות אפשריות‪ :‬הקטעים באדום הם תיכונים‪.‬‬
‫אבל המגרשים שונים בצורתם‪.‬‬
‫הוא הציע לחבר את אמצעי הצלעות של המשולש כמודגם בסרטוט הבא‪:‬‬
‫‪ M‬אמצע ‪.AB‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ D‬אמצע ‪.BC‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ K‬אמצע ‪.AC‬‬
‫‪K‬‬
‫‪B‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫(ד) האם בהצעה של אריאל מחולק המגרש לארבעה מגרשים חופפים? גזרו או העתיקו על נייר שקוף ובדקו‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫(ה) האם בהצעה של אריאל מחולק המגרש לארבעה חלקים בעלי שטחים שווים? הסבירו‪.‬‬
‫(ו) נתון‪ :‬שטח המגרש הוא ‪ 1‬דונם‪.‬‬
‫‪ 1‬דונם‬
‫‪ 1,444‬מ"ר‬
‫‪A‬‬
‫אורך ‪ BC‬הוא ‪ 50‬מטרים‪.‬‬
‫ההצעה של אריאל‪:‬‬
‫הוא הציע להעביר את שלושת קטעי האמצעים של המשולש‪ .‬המושג "קטע אמצעים" לא נלמד‪ .‬לכן בספר‬
‫מחברים את אמצעי הצלעות מבלי להתייחס לכך שהקטעים המתקבלים מכונים קטעי האמצעים של המשולש‪.‬‬
‫(ד) כדי לבדוק אם המשולשים שהתקבלו הם משולשים חופפים מבקשים מהתלמידים לגזור אחד מהמשולשים‬
‫(‪ )1‬חשבו את אורך הגובה לצלע ‪.BC‬‬
‫‪M‬‬
‫(‪ )3‬חשבו את המרחק של הנקודות ‪ M‬ו‪K -‬‬
‫‪K‬‬
‫מהצלע ‪? BC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ 4‬מטרים‬
‫ולהניח אותו על האחרים‪( .‬אין מספיק נותנים כדי להסתמך על משפטי החפיפה של המשולשים‪).‬‬
‫(ה) התלמידים מתבקשים להסביר מדוע המשולשים הם שווי שטח‪ .‬כבר למדו (בכיתה ז) שצורות‬
‫לאחר בדיקת ההצעות‪ ,‬הבנים החליטו לחלק את המגרש בדרך של אריאל‪.‬‬
‫חופפות הן שוות שטח (אבל צורות שוות שטח אינן בהכרח חופפות‪).‬‬
‫(ו) נתונים מספריים של אורך צלע ושטח המשולש ועל התלמידים לחשב את גובה המשולש‪ .‬מומלץ‬
‫לחזור ולהזכיר את הנוסחה לחישוב שטח משולש‪.‬‬
‫(‪ )1‬שטח משולש שווה למכפלה של אורך צלע המשולש באורך הגובה לצלע זו לחלק ל ‪.2 -‬‬
‫אורך הגובה לא ידוע‪ .‬נסמן אותו ב‪.x -‬‬
‫‪50x‬‬
‫‪1,000 ‬‬
‫נפתור משוואה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫הפתרון‪:‬‬
‫‪ .x = 40‬אורך הגובה לצלע‬
‫‪C‬‬
‫‪ BC‬הוא ‪ 04‬מטרים‪.‬‬
‫( ) ליונתן ‪ 3‬ילדים‪ .‬הוא החליט לחלק את המגרש שקיבל בין ילדיו כך שיקבלו מגרשים שווי שטח‪.‬‬
‫הציעו ליונתן חלוקה מתאימה‪.‬‬
‫(ח) לאריאל שני בנים בני ‪ 10‬ו‪.5 -‬‬
‫הוא החליט לחלק את המגרש שלו לשני חלקים שיחס השטחים שלהם הוא כיחס שבין הגילים של בניו היום‪.‬‬
‫(‪ )1‬מה היחס לפיו יחלק את שטח המגרש‪.‬‬
‫(‪ )3‬הציעו לאריאל חלוקה מתאימה‪ .‬סרטטו אותה במשולש שלפניכם‪.‬‬
‫‪269‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪325 :‬‬
‫(‪ )2‬לגבי המרחק של נקודות ‪ M‬ו ‪ K -‬מהצלע ‪ :BC‬המרחק של ‪ M‬מ‪ BC -‬הוא אורך הגובה‬
‫במשולש ‪ ,MBD‬מקדקוד ‪ M‬לצלע ‪( .BD‬הקטע ‪ MP‬הצבוע באדום)‪.‬‬
‫כל המשולשים הם שווי שטח‪.‬‬
‫שטח המשולש ‪ MBD‬הוא רבע משטח המגרש כולו‪.‬‬
‫‪ 2‬מטרים‬
‫‪ BD‬מחצית מאורך ‪.BC‬‬
‫‪P‬‬
‫נחשב את אורך הגובה ‪ MP‬כמו בסעיף (‪.)1‬‬
‫נקבל‪ :‬המרחק של ‪ M‬מהצלע ‪ BC‬הוא ‪ 24‬מטרים‪.‬‬
‫גם אורך הגובה מ‪ K -‬לצלע ‪ BC‬הוא ‪ 24‬מטרים מכיוון שהמשולשים חופפים‪.‬‬
‫הגובה מנקודות ‪ M‬ו‪ K -‬הוא מחצית מגובה המשולש ‪.ABC‬‬
‫( ) הצעה‪ :‬חלוקה של המגרש לשלושה חלקים שווי שטח‪.‬‬
‫חלוקה של הצלע ‪ BC‬לשלושה קטעים שווים באורכם‬
‫וקבלת שלושה משולשים שווי שטח‪.‬‬
‫(ח) מיועד לתלמידים מתקדמים‪.‬‬
‫חלוקת המגרש לשני מגרשים כך שהיחס בין השטחים שלהם יהיה ‪.1 : 2‬‬
‫חלוקה לשני מגרשים ביחס של ‪ 1 : 2‬משמעותה‪ :‬שטח מגרש אחד יהיה שווה לשליש שטח המגרש השלם‪.‬‬
‫שטח מגרש שני יהיה שווה לשני שלישים משטח המגרש כולו‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫כלומר‪ ,‬חלוקה של המגרש לשלושה חלקים שווי שטח‪ .‬הבן הצעיר יקבל חלק אחד‪ .‬הבן הבכור יקבל מגרש המורכב משני חלקים‪.‬‬
‫היחס בין שטח המשולש הלבן לשטח המשולש בצבע תכלת הוא ‪.1 : 2‬‬
‫‪270‬‬
‫‪C‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪632 :‬‬
‫משוואות מיוחדות‬
‫משוואות מיוחדות‬
‫למדנו לפתור משוואות בנעלם אחד ממעלה ראשונה‪.‬‬
‫מספר שיעורים מומלץ‪1 :‬‬
‫לכל המשוואות שפתרנו היה פתרון אחד‪.‬‬
‫בפרק זה נעסוק במשוואות בנעלם אחד ממעלה ראשונה שאין להן פתרון‪,‬‬
‫וב משוואות בנעלם אחד ממעלה ראשונה שיש להן אינסוף פתרונות‪ :‬כל מספר בתחום ההצבה שלהן‬
‫הוא פתרון של המשוואה‪.‬‬
‫ההקשר שנבחר כדי להציג משוואות כאלו עוסק בגילים‪ .‬משוואות בהקשר מוכר מפרקים קודמים‪.‬‬
‫את הפעילויות מומלץ לבצע במליאת הכיתה בספרים סגורים ולבנות את המשוואות בעזרת התלמידים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫משוואות שכל מספר בתחום ההצבה שלהן הוא פתרון שלהן‪.‬‬
‫‪‬‬
‫משוואות שאין להן פתרון‪.‬‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫אלון‬
‫ברק‬
‫אלון‪ ,‬ברק‪ ,‬וגיא הם אחים‪.‬‬
‫גיא‬
‫גיא הוא הצעיר מבין האחים‪.‬‬
‫ברק גדול מגיא בארבע שנים‪.‬‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫אלון‪ ,‬ברק‪ ,‬וגיא הם אחים‪ ,‬שנולדו בהפרש של ארבע שנים זה מזה‪.‬‬
‫אחרי קריאת השאלה שאלות מנחות‪ :‬נפתור את השאלה באמצעות משוואה‪ .‬יש למצוא את הגילים של שלושת‬
‫האחים‪ .‬את מי נסמן ב‪ ? x -‬כתבו באמצעות ‪ x‬ביטויים לגילים של האחים האחרים‪.‬‬
‫בשאלה נתון כי סכום הגילים של שלושת האחים הוא פי שלושה מהגיל של ברק‪ .‬כתבו ביטוי אלגברי המתאים‬
‫להיגד "פי שלושה מהגיל של ברק"‬
‫מומלץ לפתור במספר דרכים על‪-‬פי הצעות התלמידים‪.‬‬
‫מסמנים את הגיל של אחד מהאחים ב‪ .x -‬וכותבים ביטויים אלגבריים באמצעות ‪ x‬לגילי האחים האחרים‪.‬‬
‫בדוגמה שבספר מסמנים את הגיל של גיא ב ‪ .x -‬הביטויים עבור הגילים של ברק ואלון הם ‪x + 8 ; x + 4‬‬
‫בהתאמה‪.‬‬
‫(אם מסמנים את הגיל של ברק ב‪ .x -‬הביטויים עבור הגילים של גיא ואלון יהיו‪:‬‬
‫ביטוי לסכום הגילים של שלושת האחים הוא‪:‬‬
‫אלון גדול מגיא בשמונה שנים‪.‬‬
‫סכום הגילים שלהם הוא פי שלושה מהגיל של ברק‪.‬‬
‫‪x+8‬‬
‫בני כמה האחים?‬
‫הגיל של גיא‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫הגיל של ברק‪:‬‬
‫‪x+4‬‬
‫הגיל של אלון‪:‬‬
‫‪x+8‬‬
‫תו משוואה‪:‬‬
‫סכום הגילים‪:‬‬
‫)‪x + (x + 4) + (x + 8‬‬
‫שלוש פעמים הגיל של ברק‪:‬‬
‫)‪3(x + 4‬‬
‫)‪x + (x + 4) + (x + 8) = 3(x + 4‬‬
‫נפתור את המשוואה‪:‬‬
‫נכנס איברים דומים‪:‬‬
‫‪x + x + 4 + x + 8 = 3x + 12‬‬
‫‪3x + 12 = 3x + 12‬‬
‫מה מיוחד במשוואה זו?‬
‫פתרו את המשוואה‪ .‬מה קיבלתם?‬
‫‪ x + 4 ; x – 4‬בהתאמה‪).‬‬
‫‪ x + x + 4 + x + 8‬בספר‪ ,‬כדי להדגיש את הגילים של כל אחד‬
‫מהילדים הביטויים כתובים בסוגריים‪).‬‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫נפתור את המשוואה‪:‬‬
‫)‪8x + 24 = 10x + 4(6 – 2x‬‬
‫‪8x + 24 = 10x + 24 – 2x‬‬
‫ביטוי להיגד‪ :‬פי שלושה מהגיל של ברק הוא )‪.3(x + 4‬‬
‫)‪x + x + 4 + x + 8 = 3(x + 4‬‬
‫כותבים משוואה‪:‬‬
‫ולאחר כינוס איברים דומים מקבלים‪:‬‬
‫בפרק זה נכיר משוואות אחרות‪:‬‬
‫‪8x + 24 = 8x + 24‬‬
‫מה מיוחד במשוואה זו?‬
‫פתרו את המשוואה‪ .‬מה קיבלתם?‬
‫‪3x + 12 = 3x + 12‬‬
‫שואלים‪ :‬מה מיוחד במשוואה זו? בשני אגפי המשוואה ביטויים זהים‪ .‬מבקשים מהתלמידים לחשוב על פתרון‬
‫למשוואה זו‪ .‬כל מספר שהתלמידים יציעו הוא פתרון למשוואה‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים לפתור משוואה זו‪ .‬מקבלים שוויון‪ 11 = 11 :‬או ‪.0 = 0‬‬
‫לא הצלחנו למצוא את הער של ‪.x‬‬
‫במשוואות אלו‪ ,‬עבור כל מספר שנציב במקום ‪ x‬שני האגפים יהיו שווים‪.‬‬
‫מ‬
‫‪271‬‬
‫הוא ת ו ש המשוואה‪ .‬למשוואה יש אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫‪x+4‬‬
‫‪x‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫דוגמה ‪ 6‬נתונה משוואה שאחרי פתיחת הסוגריים וכינוס מחוברים דומים מקבלים משוואה שבשני האגפים‬
‫שלה יש ביטויים שווים‪ .‬נבקש מהתלמידים לפתור אותה‪.‬‬
‫לאחר שהתלמידים ינסו לפתור את המשוואות יקבלו שוויון בין שני אגפי המשוואה ללא ‪.x‬‬
‫למשל‪:‬‬
‫‪3x + 12 = 3x + 12 ⧸–3x‬‬
‫רותם‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫עדי‬
‫נועה‪ ,‬רותם‪ ,‬ועדי הן אחיות‪.‬‬
‫רותם גדולה מעדי בארבע שנים‪.‬‬
‫‪x+6‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x+4‬‬
‫נועה גדולה מעדי בשש שנים‪.‬‬
‫סכום הגילים שלהן הוא פי שלושה מהגיל של רותם‪.‬‬
‫‪3x + 12 = 3x + 12 ⧸–12‬‬
‫‪⧸–3x‬‬
‫נועה‬
‫עדי היא הצעירה מבין האחיות‪.‬‬
‫‪12 = 12‬‬
‫או‪:‬‬
‫‪632 – 632‬‬
‫בנות כמה האחיות?‬
‫‪3x = 3‬‬
‫‪0=0‬‬
‫תו משוואה‪:‬‬
‫)‪x + (x + 4) + (x + 6) = 3(x + 4‬‬
‫שואלים‪ :‬אם כ מה הוא הפתרון? אם התלמידים לא יעלו הצעות נבקש מהם לבדוק למשל את המספר ‪.5‬‬
‫ולכתוב תשובה מילולית‪ :‬גיא בן ‪ ,5‬ברק בן ‪ ,9‬אלון בן ‪ .11‬נבדוק‪ :‬סכום הגילים הוא ‪ ,12‬שהוא שלוש‬
‫פעמים הגיל של ברק‪.‬‬
‫פתרו את המשוואה‪ .‬מה קיבלתם?‬
‫לאחר מכן נבקש מכל תלמיד לבחור מספר משלהם עבור ‪ , x‬לחשב את גילאי הילדים ולכתוב תשובה מילולית‪.‬‬
‫גם במשוואה זו לא הצלחנו למצוא את הער של ‪ .x‬אבל קיבלנו בשני אגפי המשוואה מספרים שונים‪.‬‬
‫כל מה משמעות הדבר?‬
‫האם כל מספר שנציב הוא פתרון למשוואה‪.‬‬
‫במשוואה זו‪ ,‬עבור כל מספר שנציב במקום ‪ x‬נקבל בשני האגפים מספרים שונים‪.‬‬
‫‪x + x + 4 + x + 6 = 3x + 12‬‬
‫‪3x + 10 = 3x + 12‬‬
‫מה מיוחד במשוואה זו?‬
‫לא קיים מספר שאם נציב אותו במשוואה‪ ,‬יתקיים שוויון בין שני האגפים‪.‬‬
‫משוואה ו אי‬
‫ת ו‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬למשוואות שבדוגמה ‪ 1‬יש אינסוף פתרונות‪ .‬כל מספר בתחום ההצבה הוא פתרון לשאלה‪.‬‬
‫תחום ההצבה בהקשר השאלה כולל את המספרים החיוביים‪ .‬שואלים‪ :‬למה?‬
‫אם נמשי ונפתור את המשוואות שהתקבלו בדוגמאות אלו‪ ,‬נקבל‪:‬‬
‫מה המשמעות כאשר מתקבל שוויון כזה?‬
‫דוגמה ‪:1‬‬
‫‪3x + 12 = 3x + 12‬‬
‫‪/– 3x‬‬
‫האם סכום הגילים שקיבלו הוא פי ‪ 1‬מהגיל של ברק?‬
‫בדוגמה ‪ 1‬תחום ההצבה הוא כל המספרים‪.‬‬
‫המסקנה‪ :‬כל מספר מתחום ההצבה הוא פתרון למשוואה‪.‬‬
‫‪/– 3x‬‬
‫‪3x + 12 = 3x + 12‬‬
‫‪12 = 12‬‬
‫מ‬
‫דוגמה ‪:3‬‬
‫ש י‬
‫מ ו‬
‫‪ x‬ית‬
‫‪3x + 10 = 3x + 12‬‬
‫‪3x + 10 = 3x + 12‬‬
‫√‬
‫‪ 10 = 12‬‬
‫שוויו‬
‫י ש י האג י ‪.‬‬
‫מ‬
‫ש י‬
‫מ ו‬
‫‪x‬‬
‫א ית‬
‫שוויו‬
‫י ש י האג י ‪.‬‬
‫משוואה ו אי‬
‫‪ x‬הוא ת ו ש המשוואה‪.‬‬
‫ת ו‪.‬‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫בדוגמה ‪ 1‬משוואה שאין לה פתרון‪ .‬נחזור על אותו תהלי שעשינו בדוגמה ‪.1‬‬
‫משוואות ממעלה ראשונה בנעלם אחד נחלקות לשלוש קבוצות על פי מספר הפתרונות שלהן‪:‬‬
‫בסיום המש הפתרון של המשוואות בדוגמאות ‪ 1‬ו‪ ,1 -‬כאשר בדוגמה ‪ 1‬מקבלים את השוויון ‪11 = 11‬‬
‫ובדוגמה ‪ 1‬שוויון שאינו נכון ‪.10 = 12‬‬
‫משוואות שיש להן פתרון יחיד‪.‬‬
‫למשל‪,‬‬
‫‪4x – 5 = 7‬‬
‫למשל‪,‬‬
‫הפתרון‪:‬‬
‫‪x=3‬‬
‫נפתור ונקבל‪:‬‬
‫בדקו‪.‬‬
‫‪272‬‬
‫משוואות שאין להן פתרון‪.‬‬
‫‪x+5=x+8‬‬
‫‪ 0=3‬‬
‫משוואות שכל מספר הוא פתרון שלהן‪.‬‬
‫למשל‪,‬‬
‫נפתור ונקבל‪:‬‬
‫‪x+5=x+5‬‬
‫‪√ 0=0‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫נסכם‪ :‬משוואות בנעלם אחד ממעלה ראשונה ניתן לחלק ל‪ 1 -‬קבוצות על פי מספר הפתרונות שלהן‪:‬‬
‫‪‬‬
‫משוואות שאין להן פתרון‪.‬‬
‫‪‬‬
‫משוואות שיש להן פתרון אחד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫משוואות שיש להן אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫‪632‬‬
‫ת גי י‬
‫‪.1‬‬
‫ת גי י‬
‫‪ .6 – 1‬משוואות מסוגים שונים כולל משוואות שיש להן פתרון אחד בלבד‪.‬‬
‫מומלץ לפתור שתי משוואות בכיתה למשל‪ )1(1 :‬ו‪ )8(1 -‬ואת האחרות לתת כעבודה עצמית‪.‬‬
‫תו כדי הפתרון במליאת הכיתה חוזרים על שלבי הפתרון‪ :‬פתיחת סוגריים‪ ,‬כינוס איברים דומים בכל‬
‫פתרו את המשוואות הבאות‪.‬‬
‫‪x – 1 = 7x – 13‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪)1( 4x – 5 = 19‬‬
‫)‪2(8x + 3) = 16(x + 2‬‬
‫(‪)7‬‬
‫‪)2( 9x – 8 = 9x – 6‬‬
‫)‪5 + 3(x – 2) = 7(7 – x‬‬
‫(‪)8‬‬
‫)‪)3( 4(3x – 9) = 2(6x – 18‬‬
‫‪–(2x – 9) + 3x = 8x – 5‬‬
‫(‪)9‬‬
‫(‪)4‬‬
‫)‪4x – 13 + 2(3x – 1) = 5(2x – 7‬‬
‫(‪)10‬‬
‫)‪–14x = 3(x – 17‬‬
‫)‪)5( 2(x + 5) – 3(x – 7) = 5(2x + 4‬‬
‫אגף בנפרד‪ ,‬ביצוע פעולות מותרות על שני אגפי המשוואה כדי להגיע למשוואה ‪ .ax = b‬חילוק במקדם‪.‬‬
‫תרגילים בהם עלול להיווצר קושי‪:‬‬
‫‪ )5(1‬באגף שמאל הפרש בין שני מחוברים‪ .‬טעות בסימנים בפתיחת הסוגריים‪.‬‬
‫‪ )5(6‬לאחר פתיחת הסוגריים מתקבלת המשוואה ‪ .2x – 10 = 2x + 10‬ל ‪ x -‬מקדמים שווים‪,‬‬
‫‪.2‬‬
‫המספרים החופשיים הם מספרים נגדיים עובדה שעלולה להטעות ויהיו תלמידים שיאמרו כי‬
‫למשוואה זו יש אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫‪ )11(6‬לאחר פתיחת הסוגריים מתקבלת המשוואה ‪ .9x + 30 = 10x + 30‬העובדה שבשני האגפים‬
‫מספרים חופשיים שווים עלולה להטעות‪ .‬גם אם ימשיכו ויחסרו ‪ 10‬משני אגפי המשוואה יקבלו‬
‫את המשוואה ‪ 9x = 10x‬שלפחות חלק מהתלמידים לא יידעו כיצד להתייחס אליה ויאמרו כי‬
‫למשוואה כזאת אין פתרון‪ .‬ניתן לבקש להציב ‪ 0‬במקום ‪ x‬ולחשב‪ .‬יקבלו שוויון בין שני אגפי‬
‫פתרו את המשוואות הבאות ומיינו אותן לקבוצה המתאימה על פי מספר הפתרונות‪.‬‬
‫‪)7( x – 1 = 3x – 15‬‬
‫‪)1( 4x + 5 = 19‬‬
‫‪)8( 4(–3x + 1) = 28‬‬
‫‪)2( 14 + 6x = 6x – 16‬‬
‫)‪)9( 2(4x – 3) = 8(x – 2‬‬
‫)‪)3( 3x + 9 = 3(x + 3‬‬
‫)‪)10( –10 + 3(x – 2) = 2(–8 – x‬‬
‫‪)4( –5x = 2x + 21‬‬
‫)‪)11( 4x + 5(x + 6) = 10(x + 3‬‬
‫‪)5( 2(x – 5) = 2x + 10‬‬
‫‪x  5 2x  10‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3x 3x  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫(‪)12‬‬
‫(‪)6‬‬
‫המשוואה‪ ,‬כלומר ‪ 0‬הוא פתרון של המשוואה‪.‬‬
‫נחזור למשוואה ‪ 9x = 10x‬אומרים‪ :‬אנחנו יודעים שלמשוואה יש פתרון‪ .‬כיצד נמצא אותו?‬
‫ה ה ת גי י ה אי ‪ ,‬נעשה פסק זמן ונתבונן בשלב הביניים של פתרון המשוואות בו מקבלים‬
‫משוואה מהסוג‪ax + b = cx + d :‬‬
‫ניתן למיין אותן לשלוש קבוצות‪( .‬ללא הכותרות כפי שמופיע כאן)‬
‫‪ax + b = ax + b‬‬
‫‪.3‬‬
‫בכרטיסייה הכחולה נתון ביטוי אלגברי‪.‬‬
‫בחרו ביטוי מהכרטיסיות שמימין ובנו‪:‬‬
‫‪x+2‬‬
‫(א) משוואה שיש לה פתרון אחד‪.‬‬
‫( ) משוואה שיש לה אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫(ג) משוואה שאין לה פתרון‪.‬‬
‫‪ax + b = ax + d‬‬
‫‪x+7‬‬
‫‪ax + b = cx + d‬‬
‫‪)1(1‬‬
‫‪12x + 36 = 12x + 36‬‬
‫‪)1(1‬‬
‫‪9x – 6 = 9x – 8‬‬
‫‪)6(1‬‬
‫‪x – 1 = 7x – 13‬‬
‫‪ (2‬ג )‬
‫‪3x + 9 = 3x + 9‬‬
‫‪)2(1‬‬
‫‪16x + 6 = 16x + 32‬‬
‫‪)8(1‬‬
‫‪3x – 1 = –7x + 49‬‬
‫‪273‬‬
‫‪2x + 2‬‬
‫‪x+2‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫מתחת לכל קבוצה נכתוב את מספר הפתרונות כפי שהתקבלו בפתרון המשוואות‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫נתבונן בקבוצה הראשונה מימין‪ :‬מה מאפיין את כל המשוואות בקבוצה זאת? מה מספר הפתרונות?‬
‫נתבונן בקבוצה האמצעית‪ :‬מה מאפיין את כל המשוואות בקבוצה זאת? מה מספר הפתרונות?‬
‫‪632 – 632‬‬
‫בכרטיסייה הכחולה נתון ביטוי אלגברי‪.‬‬
‫)‪2(2x + 6‬‬
‫בחרו ביטוי מהכרטיסיות שמימין ובנו‪:‬‬
‫(א) משוואה שיש לה פתרון אחד‪.‬‬
‫( ) משוואה שיש לה אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫נתבונן בקבוצה השמאלית‪ :‬מה מאפיין את כל המשוואות בקבוצה זאת? מה מספר הפתרונות?‬
‫)‪2(2x + 3‬‬
‫(ג) משוואה שאין לה פתרון‪.‬‬
‫‪4x + 12‬‬
‫מבקשים מהתלמידים להוסיף לכל קבוצה משוואה נוספת מתו המשוו אות שפתרו בתרגילים ‪.1 – 1‬‬
‫מסכמים‪ :‬במשוואות מסוג זה כאשר המקדמים של ‪ x‬בשני אגפי המשוואה שווים נבחין בין שני מקרים‪:‬‬
‫)‪2(x + 2‬‬
‫‪ .1‬המספרים החופשיים גם הם שווים‪ :‬כל מספר בתחום ההצבה של המשוואה הוא פתרון של המשוואה‪.‬‬
‫‪ .1‬המספרים החופשיים שונים‪ :‬אין פתרון למשוואה‪.‬‬
‫כאשר המקדמים של ‪ x‬שונים למשוואה יש פתרון יחיד‪.‬‬
‫‪ . 5‬השלימו את המשוואות הבאות כ שלא יהיה להן פתרון‪.‬‬
‫ת גי י‬
‫‪ .4 – 3‬בחירה של ביטוי מימין כדי לבנות משוואות מהסוגים בהם דנו‪ :‬משוואות עם פתרון יחיד‪,‬‬
‫משוואות ללא פתרון ומשוואות עם אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫ת גי ‪ 3‬בנייה ישירה ללא צור בפעולות של פישוט הביטויים האלגבריים‪.‬‬
‫ת גי ‪ 4‬לפני בניית המשוואות הנדרשות‪ ,‬כל אחד מהביטויים המוצעים מימין‪ ,‬ייכתב ללא סוגריים‪.‬‬
‫‪ .2 – 5‬מומלץ לפתור במליאת הכיתה‪ .‬לשמוע את הצעות התלמידים ולבדוק כל אחת מהן‪.‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.5‬‬
‫העיקרון‪ :‬בשני האגפים למחוברים עם ‪ x‬יהיו מקדמים שווים‪ .‬המספרים החופשיים שונים‪.‬‬
‫‪.7‬‬
‫_____ – ‪)3( _____ – 7 = 5x‬‬
‫_____ ‪)1( 2x + 2 = 2x +‬‬
‫_____ ‪)4( 3x + _____ = 4x +‬‬
‫_____ ‪)2( 3 + 3x = _____ +‬‬
‫מתחת למשוואה רשומים ‪ 3‬ביטויים‪ .‬בחרו את הביטוי שישלים למשוואה שיש לה פתרון יחיד‪.‬‬
‫____________ = ‪3x + 8‬‬
‫יש אינסוף אפשרויות‪ :‬המספר החופשי יהיה כל מספר פרט לזה שבאגף האחר‪.‬‬
‫(א)‬
‫קושי בסעיף (‪ ,)4‬לפחות אחד מהמחוברים החסרים הוא סכום של ביטוי אלגברי )‪ (ax‬ומספר חופשי‪.‬‬
‫אפשרות לפתרון‪.5x + 12 = 5x + 3 + 12 :‬‬
‫אם התלמידים מתקשים בביצוע המשימה ניתן להציג על הלוח מספר ביטויים (כמו בתרגילים ‪,)8 – 2‬‬
‫‪)4( _____ + 12 = _____ + 12‬‬
‫_____ ‪)2( 2x + _____ = 2x +‬‬
‫השלימו את המשוואות הבאות כ שיהיו להן אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫הדיון הקודם מוביל את התלמידים להסתכלות מבנית על המשוואה כ שגם מבלי לפתור אותה יוכלו‬
‫לדעת מה מספר הפתרונות שלה‪.‬‬
‫השלמה של מחוברים חסרים כ שלמשוואה לא יהיה פתרון‪.‬‬
‫‪)3( _____ + 7 = 5x + 7‬‬
‫_____ ‪)1( 3x + 1 = 3x +‬‬
‫‪3x‬‬
‫( )‬
‫‪3x + 8‬‬
‫מה הפתרון?‬
‫‪.8‬‬
‫מתחת למשוואה רשומים ‪ 3‬ביטויים‪ .‬בחרו את הביטוי שישלים למשוואה שיש לה פתרון יחיד‪.‬‬
‫ולשאול אילו מהם מתאימים כתשובה למשימה? לאחר מכן לבקש מהתלמידים לכתוב ביטוי משלהם‪.‬‬
‫____________ = ‪x + 3x + 1‬‬
‫(א)‬
‫‪274‬‬
‫(ג)‬
‫‪2x + 8‬‬
‫‪4x + 1‬‬
‫( )‬
‫‪4x + 8‬‬
‫(ג)‬
‫‪x+4‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪.2‬‬
‫השלמה של מחוברים חסרים כ שלמשוואה יהיו אינסוף פתרונות‪ .‬העיקרון‪ :‬בשני אגפי המשוואה‪ ,‬גם המחוברים עם ‪ x‬זהים וגם המחוברים החופשיים זהים‪.‬‬
‫בדומה לתרגיל ‪ )4(5‬גם כאן‪ ,‬בסעיף (‪ , )4‬עלול להיווצר קושי‪ ,‬מכיוון שלמחוברים האלגבריים בשני האגפים מקדמים שונים‪.‬‬
‫הצעות לפתרון‪3x + x + 1 = 4x + 5 :‬‬
‫‪.2‬‬
‫וגם‪:‬‬
‫‪3x + x = 4x + 5‬‬
‫וגם‪:‬‬
‫‪3x + 1 = 4x – x + 5‬‬
‫כמו השיקולים בשאלות הקודמות‪ :‬הביטוי החסר הוא (ג)‪ :‬פתרון המשוואה ‪.x = 0‬‬
‫‪ .2‬כמו השיקולים בשאלות הקודמות‪ :‬הביטוי החסר הוא (ג)‪ :‬פתרון המשוואה ‪.x = 1‬‬
‫‪275‬‬
‫‪632‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪240 :‬‬
‫אי‪-‬שוויו ות‬
‫אי‪-‬שוויו ות‬
‫מספר שיעורים מומלץ‪.1 :‬‬
‫פתרון אי ‪-‬שוויונות בנעלם אחד ממעלה ראשונה בדר אלגברית‪ .‬בשלב זה של הלימוד המכנים‬
‫בשברים אלגבריים הם מספריים בלבד‪.‬‬
‫הפרק נפתח בשאלה מה קורה לאי‪-‬שוויון כאשר מבצעים פעולות זהות על שני אגפי האי‪-‬שוויון‪.‬‬
‫בפתרון משוואות למדנו כי כאשר מבצעים פעולות זהות על שני אגפי המשוואה‪( ,‬חיבור או חיסור מחוברים זהים‬
‫לשני האגפים‪ ,‬כפל או חילוק של שני אגפי המשוואה באותו מספר פרט לאפס)‪ ,‬מקבלים משוואות שקולות‪,‬‬
‫משוואות שלכולן אותה קבוצת הצבה ואותם פתרונות‪.‬‬
‫בפעילות הפתיחה נבצע פעולות אלו על אי‪-‬שוויון מספרי‪.‬‬
‫מומלץ לבצע זאת במליאת הכיתה כאשר הספרים סגורים‪ .‬אחרי דוגמה של ביצוע פעולה זהה על שני האגפים‬
‫של האי ‪-‬שוויון לתת לתלמידים לבצע זאת בעצמם במחברותיהם‪ .‬אחרי כל פעולה לקיים דיון על התוצאות‪.‬‬
‫עי ות‬
‫(א) מחברים ומחסרים מספרים שווים לשני האגפים של האי‪-‬שוויון‪ .‬מקבלים אי‪-‬שוויון חדש שגם הוא נכון‪.‬‬
‫( ) כופלים ומחלקים את שני אגפי האי‪-‬שוויון באותו מספר חיובי‪ .‬מקבלים אי ‪-‬שוויון חדש שגם הוא נכון‪.‬‬
‫בפעילויות (א) ו‪( -‬ב) התקבלו אי ‪-‬שוויונות נכונים‪.‬‬
‫(ג) כופלים ומחלקים את שני האגפים של האי‪-‬שוויון באותו מספר אבל במספר שלילי‪.‬‬
‫מקבלים אי‪-‬שוויון שאינו נכון‪.‬‬
‫מה הוא האי ‪-‬שוויון הנכון?‬
‫בדוגמה אחת בה כפלנו את שני אגפי האי‪-‬שוויון במספר שלילי‪ ,‬התקבל אי ‪-‬שוויון שאינו נכון‪.–8 < –20 :‬‬
‫כשהופכים את כיוון סימן האי‪-‬שוויון מקבלים אי ‪-‬שוויון נכון‪. –20 < –8 :‬‬
‫בדוגמה השנייה בה חילקנו את שני אגפי האי‪-‬שוויון במספר שלילי‪ ,‬התקבל אי‪-‬שוויון שאינו נכון‪.4 > 5 :‬‬
‫גם כאן‪ ,‬כשהופכים את כיוון סימן האי‪-‬שוויון‪ ,‬מקבלים‪ 4 < 5 :‬אי ‪-‬שוויון נכון‪.‬‬
‫מסקנה‪:‬‬
‫כאשר כופלים או מחלקים אי‪-‬שוויון במספר שלילי יש להפו את כיוון סימן האי‪-‬שוויון כדי לקבל אי‪-‬שוויון נכון‪.‬‬
‫הביטויים הבאים הם אי‪-‬שוויונות‪:‬‬
‫‪7 < 4‬‬
‫אומרים‪ 7 :‬גדול מ‪. 4 -‬‬
‫‪–5 < –1‬‬
‫אומרים‪ (–5) :‬קטן מ‪.(–1) -‬‬
‫‪3 > 9‬‬
‫‪–2 > –10‬‬
‫מה קורה לאי‪-‬שוויון נכון כאשר מבצעים פעולות שוות על שני האגפים שלו?‬
‫(א) כאשר מח‬
‫או מח‬
‫י‬
‫מספרים שווים לשני האגפים של אי‪-‬שוויון נכון מתקבל אי‪-‬שוויו‬
‫י‬
‫ו‪.‬‬
‫דוגמאות‬
‫נתון האי‪-‬שוויון‪:‬‬
‫ו י‬
‫נתון האי‪-‬שוויון‪:‬‬
‫‪4 < 9‬‬
‫‪ 5‬לשני האגפים‪:‬‬
‫ח‬
‫‪4+5 < 9+5‬‬
‫‪7 > 5‬‬
‫‪7–3 > 5–3‬‬
‫‪ 3‬משני האגפים‪:‬‬
‫‪√ 9 < 14‬‬
‫ו‬
‫( ) כאשר‬
‫או מח‬
‫י‬
‫י‬
‫‪√ 4 > 2‬‬
‫את שני האגפים של אי‪-‬שוויון נכון‬
‫מ‬
‫ו‪.‬‬
‫חיו י מתקבל אי‪-‬שוויו‬
‫דוגמאות‬
‫נתון האי‪-‬שוויון‪:‬‬
‫ו‬
‫‪2 < 5‬‬
‫‪ 3 -‬את שני האגפים‪:‬‬
‫‪14 > –10‬‬
‫נתון האי‪-‬שוויון‪:‬‬
‫ח‬
‫‪3∙2 < 3∙5‬‬
‫‪ 2 -‬את שני האגפים‪:‬‬
‫‪√ 6 < 15‬‬
‫(ג) כאשר‬
‫ו‬
‫י‬
‫או מח‬
‫י‬
‫‪14   10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪√ 7 > –5‬‬
‫את שני האגפים של אי‪-‬שוויון נכון‬
‫מ‬
‫ש י י מתקבל אי‪-‬שוויו‬
‫א‬
‫ו‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫נתון האי‪-‬שוויון‪:‬‬
‫‪2 < 5‬‬
‫נכפול ב‪ (–4) -‬את שני האגפים‪:‬‬
‫‪–4 ∙ 2 < –4 ∙ 5‬‬
‫נתון האי‪-‬שוויון‪:‬‬
‫‪–8 > –10‬‬
‫נחלק ב‪ (–2) -‬את שני האגפים‪:‬‬
‫‪ 8   10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ –8 < –20‬‬
‫אש‬
‫ו‬
‫י או מח‬
‫י אי‪-‬שוויו‬
‫מ‬
‫‪ 4 > 5‬‬
‫כאשר נהפו את כיוון האי‪-‬שוויון נקבל‪:‬‬
‫‪–8 > –20‬‬
‫‪276‬‬
‫אומרים‪ (–2) :‬גדול מ‪.(–10) -‬‬
‫עי ות‬
‫כאשר נהפו את כיוון האי‪-‬שוויון נקבל‪:‬‬
‫לאחר ההתנסות במספרים נעבור לפתרון אי ‪-‬שוויונות אלגבריים‪.‬‬
‫אומרים‪ 3 :‬קטן מ‪.9 -‬‬
‫√‬
‫ש י י‪ ,‬יש ה ו את יוו האי‪-‬שוויו ‪,‬‬
‫‪4 < 5‬‬
‫די‬
‫אי‪-‬שוויו‬
‫√‬
‫ו‪.‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪241 :‬‬
‫אי‪-‬שוויו ות – ת ו א ג‬
‫י‬
‫אי‪-‬שוויו ות‪:‬‬
‫ת ו א ג‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫נתון האי–שוויון‪:‬‬
‫הצגה של אי‪-‬שוויון‪ ,‬בחירה של שני מספרים‪ ,‬הצבתם באי ‪-‬שוויון‪ .‬עבור אחד מהמספרים מתקבל אי‪-‬שוויון לא‬
‫נכון‪ .‬המספר אינו פתרון של האי‪-‬שוויון‪ .‬עבור המספר השני מתקבל שוויון נכון‪ .‬מספר זה הוא פתרון של‬
‫‪x + 2 > 10‬‬
‫נבדוק אם ‪ 5‬הוא פתרון של האי‪-‬שוויון‪.‬‬
‫כמו במשוואה‪ ,‬נציב ‪. x = 5‬‬
‫נבדוק אם ‪ 10‬הוא פתרון של האי‪-‬שוויון‪.‬‬
‫?‬
‫נקבל‪5 + 2 > 10 :‬‬
‫‪7 > 10‬‬
‫האי‪-‬שוויון הנתון‪.‬‬
‫נתונים ארבעה אי‪ -‬שוויונות‪ .‬ליד כל אחד נתונים ארבעה מספרים‪ .‬על התלמידים לבדוק אילו מהם הם פתרון‬
‫לאי ‪-‬שוויון הנתון‪ .‬הבדיקה באמצעות הצבה כמו בדוגמה ‪.1‬‬
‫דוגמה ‪ :6‬תה י ה ת ו ש אי‪-‬שוויו ‪.‬‬
‫‪ 5‬אי ו ת ו של האי‪-‬שוויון‪.‬‬
‫‪22 > 10‬‬
‫‪ 20‬הוא‬
‫ת גי י‬
‫‪.1‬‬
‫אילו מהמספרים שייכים לקבוצת הפתרונות של האי‪-‬שוויון הנתון?‬
‫תהלי הפתרון זהה לתהלי של פתרון משוואה‪ .‬מבצעים פעולות זהות על שני אגפי המשוואה (פרט לכפל או‬
‫‪–2 ; 10 ; 15 ; 18‬‬
‫‪(1( 2x – 1 > 19‬‬
‫‪6 ; 8‬‬
‫;‬
‫‪0‬‬
‫;‬
‫‪–6‬‬
‫‪(2( 20 > 6x – 16‬‬
‫‪6 ; 8‬‬
‫;‬
‫‪0‬‬
‫;‬
‫‪–6‬‬
‫‪(3( 4x – 7 < 7x + 11‬‬
‫‪–15 ; –5 ; –4 ; –3‬‬
‫‪(4( –7x > x + 24‬‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫נפתור את האי‪-‬שוויון‪:‬‬
‫‪3x + 7 > 19‬‬
‫‪3x + 7 > 19 ⧸ –7‬‬
‫‪3x > 12 ⧸ : 3‬‬
‫‪x > 4‬‬
‫מקבלים‪.3x > 12 :‬‬
‫קבוצת הפתרונות‪ :‬כל מספר גדול מ‪ 4 -‬הוא פתרון של האי‪-‬שוויון‪.‬‬
‫מה הפעולה שנבצע בשלב זה על שני אגפי המשוואה? מחלקים את שני האגפים ב‪.3 -‬‬
‫‪.x > 4‬‬
‫מקבלים‪:‬‬
‫בדיקה‪:‬‬
‫נבחר מספר כלשהו‪ ,‬מקבוצת הפתרונות‪:‬‬
‫מספר גדול מ‪. 4 -‬‬
‫מספר קטן מ‪.4 -‬‬
‫נציב אותו במקום ‪ x‬ונבדוק אם מקבלים‬
‫אי‪-‬שוויון שאינו נכון‪.‬‬
‫‪x=2‬‬
‫אי‪-‬שוויון נכון ‪.‬‬
‫‪x=8‬‬
‫?‬
‫?‬
‫‪24 + 7 > 19‬‬
‫‪31 > 19‬‬
‫ת גי י‬
‫‪277‬‬
‫נבחר מספר כלשהו‪ ,‬שאינו בקבוצת הפתרונות‪:‬‬
‫נציב אותו במקום ‪ x‬ונבדוק אם מקבלים‬
‫‪3  8 + 7 > 19‬‬
‫לאחר מכן נבחר מספר שאינו בקבוצת הפתרונות ונוודא שאינו פותר את האי‪-‬שוויון‪.‬‬
‫ת ו של האי‪-‬שוויון‪.‬‬
‫לפניכם ארבעה אי‪-‬שוויונות‪ .‬מימין לכל אי‪-‬שוויון רשומים ארבעה מספרים‪.‬‬
‫‪3x + 7 > 19‬‬
‫פתרון‪ :‬כל מספר הגדול מ‪ 4 -‬הוא פתרון לאי‪-‬שוויון‪ .‬בקבוצת הפתרונות יש אינסוף מספרים‪.‬‬
‫לבדיקה נבחר מספר מקבוצת הפתרונות‪ ,‬נציב באי‪-‬שוויון ונבדוק‪.‬‬
‫√‬
‫קיבלנו אי‪-‬שוויון נכון‪ .‬התקבלה טענה נכונה‪.‬‬
‫לאי‪-‬שוויון יש בדר כלל יותר מפתרון אחד‪.‬‬
‫מחלקים את האי‪-‬שוויון במספר שלילי יש להקפיד להפו את כיוון סימן האי‪-‬שוויון‪.‬‬
‫סימן האי‪-‬שוויון‪ :‬מגדול לקטן או מקטן לגדול‪.‬‬
‫שואלים‪ :‬מה הפעולה שנבצע כדי לפתור את האי‪-‬שוויון? מחסרים ‪ 2‬משני אגפי המשוואה‪.‬‬
‫נציב ‪.x = 20‬‬
‫פתרון של אי‪-‬שוויון הוא מספר שאם נציב אותו במקום המשתנה תתקבל טענה נכונה‪.‬‬
‫תהלי הפתרון זהה לתהלי של פתרון משוואה בנעלם אחד ממעלה ראשונה‪ ,‬בהבדל אחד‪ :‬כאשר כופלים או‬
‫חילוק באפס)‪ ,‬בהבדל אחד‪ :‬כאשר כופלים או מחלקים את שני אגפי המשוואה במספר שלילי‪ ,‬יש להחליף את‬
‫?‬
‫נקבל‪20 + 2 > 10 :‬‬
‫‪‬‬
‫קיבלנו אי‪-‬שוויון שאינו נכון‪ .‬התקבלה טענה לא נכונה‪.‬‬
‫דיון במספר הפתרונות מופיע בהמש ‪ .‬כבר כאן ניתן לשאול אם ייתכן כי יש מספר אחר שגם הוא פתרון‬
‫של האי ‪-‬שוויון הנתון‪.‬‬
‫ת גי ‪1‬‬
‫נתון אי‪-‬שוויון‪:‬‬
‫י‬
‫√‬
‫?‬
‫‪3  2 + 7 > 19‬‬
‫?‬
‫‪6 + 7 > 19‬‬
‫‪13 > 19‬‬
‫‪‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪642 :‬‬
‫‪ .6.‬פתרו את האי‪-‬שוויונות הבאים‪.‬‬
‫‪ .6‬פתרון של אי‪-‬שוויונות‪ .‬התלמידים נוהגים‪ ,‬בדר כלל‪ ,‬לבצע פעולות המביאות לכ שהביטוי האלגברי )‪(ax‬‬
‫‪(5( 3(7x – 5) < 6‬‬
‫‪(1( 4x – 5 > 19‬‬
‫‪(6( x – 1 > 15 – 7x‬‬
‫‪(2( 6x + 8 < 38‬‬
‫אי‪-‬שוויון‪ ,‬כמו ‪ a ,ax > b‬שלילי‪.‬‬
‫‪(7( 3x + 9 > 49 – 7x‬‬
‫‪(3( 2(5 + x) < 24‬‬
‫לפתרון יש לחלק את שני האגפים של האי‪-‬שוויון במספר שלילי‪ .‬במקרה כזה יש להפו את סימן האי ‪-‬שוויון‪:‬‬
‫)‪(8( 15x < –2(x + 17‬‬
‫‪(4( 4x < –40‬‬
‫נמצא באגף ימין של האי ‪-‬שוויון (או המשוואה)‪ .‬בקובץ זה של תרגילים יש להניח ש‪ a -‬יהיה חיובי‪.‬‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫מגדול לקטן או מקטן לגדול‪.‬‬
‫בדקו את הפתרונות שקיבלתם באי‪-‬שוויונות (‪ )3‬ו‪.)6( -‬‬
‫‪ .3‬מומלץ לבקש מהתלמידים לערו בדיקה לשני אי‪-‬שוויונות‪ ,‬למשל‪ )1( ,‬ו ‪ .)2( -‬בשניהם אחת מהפעולות‬
‫שיש לבצע כדי לפתור את האי‪-‬שוויון היא חילוק של שני האגפים במספר שלילי‪.‬‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫הבדיקה תגלה אם התלמידים החליפו את הכיוון של סימן האי‪-‬שוויון‪.‬‬
‫ככלל‪ ,‬ניתן להימנע מ חילוק במספר שלילי אם מתכננים את תהלי הפתרון כ שהביטוי עם ‪ x‬יופיע באגף בו‬
‫המקדם שלו חיובי‪ .‬כפי שהוזכר‪ ,‬מרבית התלמידים באוכלוסיית היעד של הספר פותרים כ ש ‪ x -‬יופיע‬
‫באגף שמאל והמספרים החופשיים בימין‪ .‬במקרה כזה כאשר המקדם של ‪ x‬הוא שלילי יש לחלק בו‬
‫ולהחליף את סימן האי‪-‬שוויון‪.‬‬
‫חשוב לשים לב לכ שאצל תלמידים רבים סימן האי‪-‬שוויון מתחלף בשווה‪.‬‬
‫‪–2x + 14 > 4‬‬
‫נפתור את האי‪-‬שוויון‪:‬‬
‫‪⧸ – 14‬‬
‫‪–2x + 14 > 4‬‬
‫)‪–2x > –10 ⧸ : (–2‬‬
‫מחלקים במספר שלילי‪.‬‬
‫הופכים את כיוון סימן האי‪-‬שוויון‪.‬‬
‫קבוצת הפתרונות‪:‬‬
‫‪x < 5‬‬
‫כל מספר קטן מ‪ 5 -‬הוא פתרון של האי‪-‬שוויון‪.‬‬
‫נבדוק מספר מקרים‪.‬‬
‫הערות לתרגילים נבחרים‪:‬‬
‫(‪ )1‬ניתן לכתוב את אי ‪-‬שוויון שקול בו ‪ x‬יהיה באגף שמאל‪ .‬לא חייבים‪ .‬במקרה זה כדי לשמור על נאי שוויון‪,‬‬
‫נבחר מספר כלשהו‪ ,‬מקבוצת הפתרונות‪:‬‬
‫‪x=3‬‬
‫חילוק ב‪ 1 -‬של שני האגפים נותן‪5 < x :‬‬
‫הפתרונות‪ :‬כל מספר הגדול מ‪.5 -‬‬
‫‪x=6‬‬
‫?‬
‫‪–2  6 + 14 > 4‬‬
‫?‬
‫?‬
‫‪–2 + 14 > 4‬‬
‫‪12 > 4‬‬
‫‪–12 + 14 > 4‬‬
‫√‬
‫‪2 > 4‬‬
‫‪ 3‬הוא פתרון של האי‪-‬שוויון‬
‫‪.3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4‬איננו פתרון של האי‪-‬שוויון‪.‬‬
‫פתרו את האי‪-‬שוויונות הבאים‪.‬‬
‫‪(5( 15 + x < 4x‬‬
‫‪(1( –8x < 56‬‬
‫‪(6( 3 + 2x + 4x > 45‬‬
‫‪(2( –18 < –6x‬‬
‫‪(7( 7x + 40 – 10x < 1‬‬
‫‪(3( –3x + 1 > –5‬‬
‫(‪(8‬‬
‫(‪(4‬‬
‫‪1 – 2x > 9 + 2x‬‬
‫‪278‬‬
‫?‬
‫‪–2  3 + 14 > 4‬‬
‫חשוב לשנות גם הסימן‪ .‬אם )‪ (–18‬קטן מ‪ ,(–6x) -‬אז )‪ (–6x‬גדול מ ‪.(–18) -‬‬
‫(לא היפו הנובע מכפל או חילוק במספר שלילי)‪.‬‬
‫(‪ )5‬מומלץ להציג בכיתה את הפתרון הבא‪ :‬חיסור של ‪ x‬משני אגפי האי‪-‬שוויון‪ ,‬בו מקבלים‪.15 < 3x :‬‬
‫נבחר מספר כלשהו‪ ,‬שאינו בקבוצת הפתרונות‪:‬‬
‫‪8x + 2 < 66‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪.4‬‬
‫פתרון האי שוויון‪:‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪x<6‬‬
‫לפניכם האי‪-‬שוויון‬
‫‪. –3x + 12 > –6‬‬
‫צבעו בטבלה את המספרים שהם‬
‫פתרונות של האי‪-‬שוויון הנתון‪.‬‬
‫המילה המתקבלת בלוח‪:‬‬
‫מה קיבלתם?‬
‫‪.5‬‬
‫‪643‬‬
‫‪–4‬‬
‫‪–5‬‬
‫‪–6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪–7‬‬
‫‪–2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪6.5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪15‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪–3‬‬
‫‪15‬‬
‫‪–0.5‬‬
‫‪16‬‬
‫‪10‬‬
‫‪8‬‬
‫‪14‬‬
‫‪13‬‬
‫‪4‬‬
‫‪11‬‬
‫‪8.5‬‬
‫‪7.5‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫‪–4‬‬
‫‪12‬‬
‫בכל אחד מהטורים שלפניכם נתונים שמונה אי‪-‬שוויונות‪.‬‬
‫לכל אי‪-‬שוויון מטור א התאימו את קבוצת הפתרונות המתאימה שבטור ב‪.‬‬
‫‪ .5‬בטור א נתונים שמונה אי‪-‬שוויונות‪.‬‬
‫בטור ב שמונה קבוצות פתרון‪.‬‬
‫יש להתאים לכל אי‪-‬שוויון שבטור א את קבוצת הפתרונות שבטור ב‪.‬‬
‫טעויו ת נפוצות‪ :‬שוכחים להחליף את כיוון סימן האי‪-‬שוויון‪ .‬או מחליפים גם כאשר זה לא נכון כמו‬
‫בסעיפים (ד) או (ו) בהם המספר החופשי הוא שלילי והמקדם של ‪ x‬חיובי‪.‬‬
‫הפתרון‪ :‬א – ‪, 7‬‬
‫ב–‪,8‬‬
‫ה–‪1‬‬
‫ו–‪1‬‬
‫ג–‪,4‬‬
‫ז–‪5‬‬
‫ד–‪,1‬‬
‫ח–‪6‬‬
‫(א)‬
‫‪5x < 15‬‬
‫‪x < –2‬‬
‫(‪)1‬‬
‫( )‬
‫‪5x < 10‬‬
‫‪x > –3‬‬
‫(‪)2‬‬
‫(ג)‬
‫‪4x > 8‬‬
‫‪x < –3‬‬
‫(‪)3‬‬
‫(ד)‬
‫‪3x < –6‬‬
‫‪x > 2‬‬
‫(‪)4‬‬
‫(ה)‬
‫‪–4x > 12‬‬
‫‪x > –2‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪x > 3‬‬
‫(‪)6‬‬
‫( )‬
‫‪–3x < 6‬‬
‫‪x < 3‬‬
‫(‪)7‬‬
‫(ח)‬
‫‪–2x < –6‬‬
‫‪x < 2‬‬
‫(‪)8‬‬
‫(ו)‬
‫‪ .2‬נתון אי שוויון‪ .‬בשלב ראשון יש לפתור אותו ולמצוא את קבוצת הפתרונות שלו‪ .‬קבוצת הפתרונות‪.x > 5 :‬‬
‫‪.6‬‬
‫בשלב שני‪ ,‬יש לזהות לאילו מהאי ‪-‬שוויונות הנתונים יש אותה קבוצת פתרונות‪.‬‬
‫‪6x > –18‬‬
‫נתון האי‪-‬שוויון ‪. x + 1 > 6‬‬
‫לאילו מהאי‪-‬שוויונות הבאים קבוצת פתרונות זהה לקבוצת הפתרונות של האי‪-‬שוויון הנתון?‬
‫(א)‬
‫רואים מידית כי לאי‪-‬שוויון (ד) אותה קבוצת פתרונות‪.‬‬
‫לגבי האחרים יש לפתור אותם למציאת הפתרון‪ .‬התשובה‪( :‬א) ‪( ,‬ב) ‪( ,‬ד)‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫ו א‬
‫ו‬
‫כמו תרגיל ‪ .1‬כאן נתון אי שוויון בו המקדם של ‪ x‬הוא שלילי‪ .‬יש לכפול או לחלק את שני‬
‫אגפי המשוואה ב‪ (–1) -‬ולהחליף את כיוון סימן האי ‪-‬שוויון‪ .‬הפתרון‪.x < –8 :‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪x + 5 > 10‬‬
‫( )‬
‫‪2x + 2 > 12‬‬
‫(ג)‬
‫‪x – 1 > –6‬‬
‫(ד)‬
‫‪x>5‬‬
‫נתון האי‪-‬שוויון ‪. –x > 8‬‬
‫לאילו מהאי‪-‬שוויונות הבאים קבוצת פתרונות הזהה לקבוצת הפתרונות של האי‪-‬שוויון הנתון?‬
‫יש לפתור את אי ‪-‬שוויונות (ב) ו‪( -‬ד)‪ .‬גם בהם המקדם של ‪ x‬שלילי וכאשר מחלקים‬
‫במכנה יש להפו את כיוון סימן האי ‪-‬שוויון‪ .‬התשובה‪( :‬ב) ‪( ,‬ג)‪.‬‬
‫‪279‬‬
‫(א)‬
‫‪x > –8‬‬
‫( )‬
‫‪–x + 3 > 11‬‬
‫(ג)‬
‫‪x < –8‬‬
‫(ד)‬
‫‪–2x < 16‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫מה ת ו ות יש אי‪-‬שוויו ?‬
‫בספר נתונות שתי דוגמאות‪:‬‬
‫בדוגמה (א)‪ :‬אי‪-‬שוויון בו מקבלים פתרון כמו באי ‪-‬שוויונות שפתרנו עד כה‪ .‬קבוצת הפתרונות היא‬
‫‪244‬‬
‫מה ת ו ות יש אי‪-‬שוויו ?‬
‫דוגמה ‪4‬‬
‫)‪6x + 9  3(x + 4‬‬
‫(א)‬
‫אינסופית וכוללת את כל המספרים המקיימים את הפתרון שהתקבל‪( .‬אבל לא כוללת את כל המספרים)‬
‫י שאי ו ו (כמו במשוואות מיוחדות‬
‫בדוגמה (ב)‪ :‬בתהלי הפתרון הגענו אי‪-‬שוויו מ‬
‫נפתור‪6x + 9  3x + 12 ⧸–3x :‬‬
‫‪3x + 9  12 ⧸–9‬‬
‫בעמוד ‪ .)112‬לאי‪-‬שוויון כזה אין פתרון‪( .‬אין מספר שאם נציב אותו במקום הנעלם נקבל‬
‫‪3x  3 ⧸:3‬‬
‫אי‪-‬שוויון נכון‪).‬‬
‫את האי‪-‬שוויונות ניתן לחלק לקבוצות לפי מספר הפתרונות‪:‬‬
‫‪x  1‬‬
‫כל מספר גדול מ‪ 1 -‬הוא פתרון‪.‬‬
‫לאי‪-‬שוויון זה יש אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫אי‪-‬שוויונות שאין להם פתרון‪ .‬כמו בדוגמה (ב)‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫אי‪-‬שוויונות שיש להם אינסוף פתרונות ‪ .‬באינסוף פתרונות אין הכוונה שכל מספר הוא פתרון‪.‬‬
‫בקבוצת הפתרונות המסויימת יש אינסוף פתרונות‪ .‬כמו בדוגמה (א)‪.‬‬
‫)‪3x + 5 < 3(x – 4‬‬
‫( )‬
‫נפתור‪:‬‬
‫‪3x + 5 < 3x – 12 ⧸–3x‬‬
‫‪5 < –12‬‬
‫באי שוויונות לה יש אינסוף פתרונות כלולים גם אי‪-‬שוויונות להם כל מספר הוא פתרון‪ .‬כמו‪,‬‬
‫‪‬‬
‫התקבל אי‪-‬שוויון שאינו נכון ‪.‬‬
‫לדוגמה‪2x + 5 < 2x + 8 ,‬‬
‫נפתור ונקבל‪ 5 < 8 :‬שהוא אי‪-‬שוויון נכון לכל ‪.x‬‬
‫לאי‪-‬שוויון זה אין פתרון‪.‬‬
‫מה מד ו?‬
‫מה מד ו?‬
‫‪‬‬
‫לפתור אי‪-‬שוויונות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר מחלקים או כופלים את שני האגפים של האי‪-‬שוויון במספר שלילי יש לשנות את כיוון סימן האי‪-‬שוויון‪.‬‬
‫מומלץ לקרוא במליאת הכיתה‪ ,‬לכתוב אי‪-‬שוויון על הלוח (אי‪-‬שוויון בו המקדם של ‪ x‬שלילי)‪,‬‬
‫‪‬‬
‫בבדיקה בוחרים מספר מקבוצת ההצבה ובודקים אם הוא פתרון של האי‪-‬שוויון‪.‬‬
‫ובוחרים גם מספר שאינו בקבוצת ההצבה ובודקים שאינו פתרון של האי‪-‬שוויון‪.‬‬
‫ולפתור בשלבים כולל בדיקה‪ ,‬תו התייחסות לכתוב ב"מה למדנו"‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪.2‬‬
‫בכל האי ‪-‬שוויונות קבוצת הפתרונות כוללת אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫באי‪-‬שוויון (‪ ,)8‬קבוצת הפתרונות כוללת את כל המספרים‪ .‬באחרים קבוצת הפתרונות היא אינסופית‬
‫אבל יש מספרים שבהצבתם לא מתקבל אי‪-‬שוויון נכון‪.‬‬
‫פתרו את האי‪-‬שוויונות הבאים‪.‬‬
‫‪)7( 2x – 5 < 6x – 15‬‬
‫‪)1( 3x + 7 > x – 5‬‬
‫‪)8( 4 – 2x > 18‬‬
‫‪x – 1 < 40‬‬
‫(‪)2‬‬
‫)‪)9) 8(x + 3) > 2(4x – 5‬‬
‫‪9x < 3x – 1‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪)10( 2(3x – 1) < 5x – 10‬‬
‫‪)4( 4(8 – x) < x – 8‬‬
‫(‪)11‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪280‬‬
‫)‪8 > 4(7x – 5‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪645‬‬
‫יח יש ויח ה ו‬
‫יח יש ויח ה ו‬
‫יח יש‬
‫יח יש‬
‫עי ות ‪1‬‬
‫מספר שיעורים מומלץ‪.1 :‬‬
‫בעמודים ‪ 61 – 41‬עסקנו במושג היחס‪ .‬בעמודים ‪ 108 – 101‬עסקנו במושג פרופורציה‪.‬‬
‫המושגים יחס ישר ויחס הפו נדחו לאחר הוראת הפרק הפונקציה הקווית‪ .‬בהוראת מושג היחס הישר ניתן‬
‫לקשר בין המושגים השונים שנלמדו‪ :‬קו ישר‪ ,‬משוואה של קו ישר‪ ,‬פונקציה קווית‪ ,‬שיפוע‪.‬‬
‫יחס ישר ויחס הפו מתארים קשר בין שני גדלים משתנים‪ .‬הם מתארים את אופן ההשתנות ההדדית של ערכי‬
‫המשתנים‪.‬‬
‫בין שני גדלים חיוביים‪ ,‬מתקיים יח יש ‪ ,‬אם מתקיימים שני תנאים‪ :‬אחד‪ ,‬כאשר אחד הגדלים משתנה פי מספר‬
‫כלשהו‪ ,‬הגודל השני משתנה פי אותו המספר‪ .‬כאשר אחד הגדלים הוא אפס‪ ,‬גם הגודל השני הוא אפס‪.‬‬
‫(בהמש נלמד כי בין שני גדלים מתקיים יח ה ו אם מתקיים התנאי הבא‪ :‬כאשר אחד הגדלים גדל פי מספר‬
‫כלשהו‪ ,‬הגודל השני קטן פי אותו מספר‪(.‬‬
‫קשר של יחס ישר ניתן לתאר כפונקציה קווית העוברת דר ראשית הצירים‪ .‬חשוב להדגיש כי לא כל קו ישר‬
‫מייצג יחס ישר‪ .‬במשוואה של קו ישר כלשהו קיים יחס קבוע בין ההשתנות בערכים של ‪ y‬להשתנות‬
‫בערכים של ‪ .x‬אבל רק קו ישר העובר דר רא שית הצירים מייצג יחס ישר‪.‬‬
‫בדיון על הסעיפים השונים מומלץ לבדוק דוגמאות מספריות‪( .‬בדוגמאות ובחלק מהתרגילים מצורפת טבלת ערכים‪).‬‬
‫את היחס הישר ניתן להציג באמצעות טבלת ערכים חלקית‪ ,‬קו ישר העובר דר ראשית הצירים‪,‬‬
‫ביטוי אלגברי‪( .y = mx :‬כמו בפונקציה הקווית‪).‬‬
‫עי ויות ‪6 – 1‬‬
‫שתי דוגמאות מתחומים שהתלמיד מכיר מחיי היום יום‪ .‬מה הוא הקשר בין המשתנים?‬
‫עי ות ‪ : 1‬תשלום עבור קנייה של מחברות‪ .‬התשלום הוא פונקציה של מספר המחברות‪ .‬כאשר מספר‬
‫המחברות גדל פי מספר כלשהו‪ ,‬גם התשלום עבורן גדל פי אותו מספר‪ .‬בדוגמה זו ההנחה היא שהתשלום‬
‫הוא תמיד מחיר של מחברת אחת כפול מספר המחברות‪( .‬אין הנחות על קניה בכמות גדולה‪).‬‬
‫לאחר השלמת הטבלה כותבים את הפרופורציות בין הערכים שבכל שתי שורות‪.‬‬
‫עי ות ‪ :6‬דומה לפעילות ‪ :1‬בכל זוג אופניים יש שני גלגלים‪ .‬מספר הגלגלים הוא פונקציה של כמות האופניים‪.‬‬
‫כאשר מספר זוגות האופניים גדל פי מספר כלשהו‪ ,‬גם מספר הגלגלים גדל פי אותו מספר‪.‬‬
‫בדוגמה זאת נוח יותר להשוות בין הערכים שבשורות לאו דווקא בסדר הופעתן בטבלה‪.‬‬
‫על דף תובנות הערה כי במקום לבדוק את השוויון ביחסים שבין הערכים בשורות השנייה והשלישית‬
‫‪281‬‬
‫מחיר מחברת אחת הוא ‪ 5‬שקלים‪.‬‬
‫השלימו את הטבלה‪.‬‬
‫מ‬
‫מח‬
‫התש ו‬
‫ש י‬
‫ד‬
‫החישו‬
‫מחיר מחברת אחת הוא‬
‫‪5‬‬
‫שקלים‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪15‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪25‬‬
‫‪2‬‬
‫ות‬
‫התשלום עבור ‪ 2‬מחברות הוא‬
‫‪ 2 ∙ 5‬שקלים‪.‬‬
‫התשלום עבור ‪ 4‬מחברות הוא‬
‫‪ 4 ∙ 5‬שקלים‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫התשלום עבור ‪ 8‬מחברות הוא‬
‫‪ 8 ∙ 5‬שקלים‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫התשלום עבור ‪ 16‬מחברות הוא ‪ 1 6 ∙ 5‬שקלים‪.‬‬
‫התשלום עבור ‪ x‬מחברות הוא‬
‫כאשר מספר המחברות ד‬
‫היח‬
‫‪ x ∙ 5‬שקלים‪.‬‬
‫י ‪ 2‬גם התשלום ד‬
‫‪16‬‬
‫‪x5‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪x‬‬
‫י ‪.2‬‬
‫בין התשלום לבין מספר המחברות הוא מחיר של מחברת אחת‪.‬‬
‫עי ות ‪2‬‬
‫לכל זוג אופניים יש ‪ 2‬גלגלים‪.‬‬
‫השלימו את הטבלה‪.‬‬
‫מ‬
‫ג ג י‬
‫ד‬
‫החישו‬
‫מות‬
‫האו יי‬
‫גלגלים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪3 -‬‬
‫זוגות אופניים ‪3 ∙ 2‬‬
‫גלגלים‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪32‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪9 -‬‬
‫זוגות אופניים ‪9 ∙ 2‬‬
‫גלגלים‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫ב‪ 18 -‬זוגות אופניים ‪ 18 ∙ 2‬גלגלים‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫ב‪ 36 -‬זוגות אופניים ‪ 36∙ 2‬גלגלים‪.‬‬
‫‪36‬‬
‫בזוג אופניים אחד‬
‫ב‪x -‬‬
‫‪2‬‬
‫זוגות אופניים ‪x ∙ 2‬‬
‫גלגלים‪.‬‬
‫כאשר מספר זוגות האופניים ד‬
‫היח‬
‫ימ‬
‫‪2x‬‬
‫‪x2‬‬
‫כלשהו גם מספר הגלגלים ד‬
‫‪x‬‬
‫י אותו מ‬
‫בין מספר הגלגלים למספר זוגות האופניים הוא מספר הגלגלים בזוג אופניים‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫נוח להשוות את מספר הגלגלים בארבעה זוגות אופניים עם מספר הגלגלים בזוג אחד‬
‫(ולא בשלושה זוגות)‪ .‬מומלץ לבצע זאת במליאת הכיתה‪.‬‬
‫= ‪ .y‬קשר כזה נקרא יח יש ‪.‬‬
‫בפעילויות אלו הקשר בין המשתנים הוא‪  x :‬מ‬
‫בראש העמוד סיכום הפעילויות מהעמוד הקודם‪ .‬מומלץ לקרוא במליאת הכיתה‪.‬‬
‫ת גי י‬
‫‪ .1‬התלמידים ישלימו את הטבלה‪ .‬המשקל בגרמים הוא פונקציה של מספר‬
‫חפיסות השוקולד‪.‬‬
‫בתרגיל זה הקשר בין המשתנים הוא קשר של יחס ישר אם‪,‬‬
‫כמו בפעילות ‪ , 1‬בהנחה שאין הנחות בתשלום על כמויות גדולות‪.‬‬
‫בסעיף (ב) נבדוק אם הערכים בטבלה מקיימים קשר של יחס ישר‪,‬‬
‫כלומר‪ ,‬כאשר מספר חפיסות השוקולד גדל פי מספר כלשהו גם‬
‫המשקל גדל פי אותו מספר‪.‬‬
‫ה ולא להסתפק בבדיקה אחת או שתיים‪.‬‬
‫יש לבדוק את כל הערכים ש‬
‫‪2 200‬‬
‫שורות ראשונה ושנייה‪ :‬גם מספר חפיסות השוקולד וגם המשקל גדלים פי ‪.1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 100‬‬
‫‪5 500‬‬
‫אפשר לבדוק את השינוי בין שורה שנייה לשלישית‪ :‬השינוי הוא פי ‪.1.5‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 200‬‬
‫ניתן גם לבדוק את השינוי בין שורה שלישית ושורה ראשונה‪.‬‬
‫‪5 500‬‬
‫בין שורות אלו גם מספר חפיסות השוקולד וגם המשקל גדלים פי ‪.5‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 100‬‬
‫נבדוק את שורה רביעית לעומת שורה ראשונה (ניתן גם שנייה)‪:‬‬
‫‪8 800‬‬
‫גם מספר חפיסות השוקולד וגם המשקל גדלים פי ‪.8‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 100‬‬
‫‪ .6‬התלמידים ישלימו את הטבלה‪ .‬המרחק שעוברת המכונית הוא פונקציה‬
‫של זמן הנסיעה‪ ,‬בהנחה שמהירות המכונית היא קבועה‪.‬‬
‫הקשר בין המשתנים הוא קשר של יחס ישר‪.‬‬
‫( ) התלמידים יבדקו אם הנתונים שבטבלה מקיימים את התכונה‪ :‬כאשר‬
‫שעות הנסיעה גדלות פי מספר כלשהו גם המרחק שעוברת המכונית גדל‬
‫פי אותו גודל‪.‬‬
‫בסיום שני התרגילים‪ ,‬הגדרה של יחס ישר‪ .‬הצגת הביטוי האלגברי המתאר יחס ישר בין שני גדלים‪.‬‬
‫‪282‬‬
‫בשתי הפעילויות כאשר גודל אחד ד‬
‫בשתי הפעילויות כאשר ‪x‬‬
‫ד‬
‫י מספר מסוים גם השני ד‬
‫י מספר מסוים גם ‪y‬‬
‫ד‬
‫‪646‬‬
‫י אותו מספר‪.‬‬
‫י אותו מספר‪.‬‬
‫אומרים‪ :‬הקשר בין ‪ y‬ל‪ x -‬הוא קשר של יח יש ‪.‬‬
‫ת גי י‬
‫‪.1‬‬
‫לפניכם נתונים על משקל של חפיסות שוקולד‪.‬‬
‫(א) השלימו את הטבלה‪.‬‬
‫משקל של ‪ 1‬חפיסת שוקולד הוא ‪100‬‬
‫גרם‬
‫משקל של ‪ 2‬חפיסות שוקולד הוא ‪2  100‬‬
‫גרם‬
‫המש‬
‫( ג מי )‬
‫ד‬
‫החישו‬
‫מ‬
‫ח י ות‬
‫‪100‬‬
‫‪1  100‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫משקל של ‪ 5‬חפיסות שוקולד הוא ______ גרם‬
‫‪5‬‬
‫משקל של ‪ 8‬חפיסות שוקולד הוא ______ גרם‬
‫‪8‬‬
‫משקל של ‪ x‬חפיסות שוקולד הוא ______ גרם‬
‫‪x‬‬
‫( ) האם הקשר בין המשקל לבין מספר חפיסות השוקולד הוא קשר של יחס ישר?‬
‫‪y = ___  x‬‬
‫אם כן‪ ,‬כתבו ייצוג אלגברי לקשר זה‪.‬‬
‫‪.6‬‬
‫לפניכם נתונים על המרחק שעוברת מכונית על פי מספר שעות הנסיעה‪.‬‬
‫(א) השלימו את הטבלה‪.‬‬
‫מכונית נוסעת במהירות קבועה של ‪ 80‬ק"מ לשעה‪.‬‬
‫ב‪ 1 -‬שעה עוברת המכונית מרחק של ‪80‬‬
‫ק"מ‪.‬‬
‫המ ח‬
‫( "מ)‬
‫ד‬
‫החישו‬
‫שעות‬
‫יעה‬
‫‪80‬‬
‫‪1  80‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ 2 -‬שעות עוברת המכונית מרחק של ‪ 2  80‬ק"מ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ 3 -‬שעות עוברת המכונית מרחק של ‪ 3  80‬ק"מ‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫ב‪ x -‬שעות עוברת המכונית מרחק של _____ ק"מ‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫( ) האם הקשר בין המרחק לבין מספר שעות הנסיעה הוא קשר של יחס ישר?‬
‫‪y = ___  x‬‬
‫אם כן‪ ,‬כתבו ייצוג אלגברי לקשר זה‪.‬‬
‫יח יש‬
‫בין שני גדלים מתקיים יח יש ‪ ,‬אם כאשר ‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫ד‬
‫(או‬
‫)‬
‫ד‬
‫(או‬
‫)‬
‫י מספר מסוים‪,‬‬
‫י אותו מספר‪( .‬כאשר ‪ x = 0‬גם ‪).y = 0‬‬
‫ביטוי אלגברי לקשר בין הגדלים‪:‬‬
‫‪. y  mx‬‬
‫‪ m‬נקרא מ ד היח היש ‪.‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪642 :‬‬
‫שואלים את התלמידים אם הביטוי האלגברי לייצוג היחס הישר מוכר להם‪( .‬הייצוג האלגברי של הפונקציה‬
‫יי וגי ש יח יש‬
‫יי וג א ג‬
‫הקווית כאשר גרף הפונקציה עובר דר ראשית הצירים‪).‬‬
‫האם יכולים להעלות השערה מדוע קוראים ליחס זה יחס ישר?‬
‫י‬
‫‪ y‬משתנה ביחס ישר ל‪: x -‬‬
‫יי וגי ש יח יש‬
‫‪.y = mx‬‬
‫ה‬
‫בעמוד הקודם למדנו כי הייצוג האלגברי של יחס ישר הוא ‪.y = mx‬‬
‫כאשר ‪ x‬דל פי ‪ 2‬גם ‪ y‬דל פי ‪:2‬‬
‫כאן שני ייצוגים נוספים‪ :‬טבלה וגרף (כמו בפונקציות‪ ).‬כבר בסיום העמוד הקודם בסיכום הדיון הועלה הקשר‬
‫לפונקציה הקווית בה ‪.b = 0‬‬
‫כאשר ‪ x‬דל פי ‪ 3‬גם ‪ y‬דל פי ‪:3‬‬
‫בייצוג בטבלה ובייצוג הגרפי חוזרים על פעילויות שנעשו בפרק על הפונקציה הקווית‪.‬‬
‫היי וג הא ג י‪y = mx :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y‬‬
‫ג‬
‫‪12‬‬
‫נסרטט גרף העובר דר הנקודות המוצגות בטבלה‪:‬‬
‫)‪(1 , 2) ; (2 , 4) ; (6 . 12‬‬
‫‪ m‬הוא מקדם היחס הישר‪.‬‬
‫ה‪ :‬בטבלה שלוש התאמות בין שני משתנים ‪ x‬ו‪.y -‬‬
‫היי וג‬
‫‪10‬‬
‫הגרף הוא קו ישר העובר ב‪.(0 , 0) -‬‬
‫‪8‬‬
‫בודקים אם ערכים אלו מקיימים את הגדרת היחס הישר‪.‬‬
‫בכל שורה בטבלה זוג המספרים הוא נקודה במערכת צירים‪.‬‬
‫היי וג הג י‪ :‬הקו העובר דר שלוש הנקודות הוא קו ישר העובר דר ראשית הצירים‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫ת גי י‬
‫‪x‬‬
‫‪ .3‬מוצגות שלוש טבלאות ערכים‪ .‬על התלמידים לזהות את הטבלאות בהן הקשר בין המשתנים הוא קשר‬
‫של יחס ישר‪ .‬התלמידים יבדקו את מתקיים הקשר‪ :‬כאשר ‪ x‬גדל פי גודל מסוים‪ ,‬גם ‪ y‬גדל פי אותו גודל‪.‬‬
‫הבדיקה באמצעות שוויון יחסים – פרופורציה‪.‬‬
‫הג‬
‫המתאר יח יש‬
‫בין שני גדלים הוא‬
‫ו יש‬
‫‪1‬‬
‫העובר דר ראשית הצירים‪.(0 , 0) :‬‬
‫(‪ y )1‬משתנה ביחס ישר ל ‪ .x -‬הייצוג האלגברי‪.y = 3x :‬‬
‫ת גי י‬
‫(‪ )1‬לא קיים קשר של יחס ישר‪ .‬כבר בבדיקת הפרופורציה בין הערכים שבשורות הראשונה והשלישית‪,‬‬
‫‪4 9‬‬
‫‪ . ‬אין צור להמשי ולבדוק פרופורציות נוספות‪.‬‬
‫לא מתקיים שוויון בין היחסים‪:‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪ .3.1‬לפניכם שלוש טבלאות‪ .‬בכל אחת מהן מוצג קשר בין ‪ y‬ל‪.x -‬‬
‫(‪ y )1‬משתנה ביחס ישר ל‪ .x -‬הייצוג האלגברי‪.y = 5x :‬‬
‫‪283‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫(א) בשתיים מהטבלאות ‪ y‬משתנה ביחס ישר ל‪ .x -‬באילו טבלאות?‬
‫( ) כאשר הקשר הוא של יחס ישר‪ ,‬כתבו ייצוג אלגברי מתאים וציינו מה מקדם היחס הישר‪.‬‬
‫(‪) 1‬‬
‫(‪)3‬‬
‫(‪) 2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪4‬‬
‫‪9‬‬
‫‪4‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪18‬‬
‫‪6‬‬
‫‪15‬‬
‫‪6‬‬
‫‪15‬‬
‫‪3‬‬
‫‪24‬‬
‫‪8‬‬
‫‪21‬‬
‫‪8‬‬
‫‪20‬‬
‫‪4‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪248 :‬‬
‫‪ .2 – 4‬טבלאות ערכים חלקיות המציגות את הקשר בין ‪ y‬ל‪ .x -‬יש להשלים את הערכים החסרים‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬בתרגיל ‪ 8‬שורה שנייה‪ ,‬נכתוב את הפרופורציה בין הערכים שבשורה השנייה לשורה הראשונה‪:‬‬
‫‪2 y‬‬
‫נפתור משוואה ונחשב את ‪.y = 14 .y‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 7‬‬
‫אפשר גם על‪-‬פי שורה ראשונה לכתוב את הייצוג האלגברי‪ y = 7x :‬ולחשב את הערכים החסרים‪.‬‬
‫צרי להיזהר מהכללת יתר‪ ,‬וכפי שנראה בתרגילים ‪ 10 – 9‬לא נתון הער של ‪ y‬כאשר ‪.x = 1‬‬
‫וי ש צור לחשב קודם את מקדם היחס הישר (שלא עסקנו בדר החישוב שלו)‪.‬‬
‫פתרון תרגיל ‪4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪14‬‬
‫‪56‬‬
‫‪70‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪10‬‬
‫פתרון תרגיל ‪5‬‬
‫פתרון תרגיל ‪6‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪16‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪10‬‬
‫‪40‬‬
‫‪y‬‬
‫‪6‬‬
‫‪11‬‬
‫‪15‬‬
‫‪48‬‬
‫‪y‬‬
‫‪11‬‬
‫‪64‬‬
‫‪80‬‬
‫‪110‬‬
‫‪..41‬‬
‫בטבלה ערכים של ‪ x‬ו‪.y -‬‬
‫הקשר בין ‪ y‬ל‪ x -‬הוא קשר של יחס ישר‪.‬‬
‫השלימו את המספרים החסרים בטבלה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪14‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪10‬‬
‫‪..65‬‬
‫בטבלה ערכים של ‪ x‬ו‪.y -‬‬
‫הקשר בין ‪ y‬ל‪ x -‬הוא קשר של יחס ישר‪.‬‬
‫השלימו את המספרים החסרים בטבלה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪48‬‬
‫‪..23‬‬
‫בטבלה ערכים של ‪ x‬ו‪.y -‬‬
‫הקשר בין ‪ y‬ל‪ x -‬הוא קשר של יחס ישר‪.‬‬
‫השלימו את המספרים החסרים בטבלה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪32‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪10‬‬
‫‪320‬‬
‫‪ .2‬מומלץ לפתור במליאת הכיתה‪ .‬שאלה המתחילה בדוגמאות מספריות‪ .‬כדי להקל על ההכללה מומלץ להציג‬
‫‪ ..24‬כרטיס לסרט עולה ‪ 30‬שקלים‪.‬‬
‫(א) כמה תשלם קבוצה בת ‪ 8‬אנשים?‬
‫את הנתונים בטבלאות ערכים‪ .‬התלמידים ישלימו את החסר ויבדקו שוויון בין היחסים המתאימים‪.‬‬
‫( ) כמה תשלם קבוצה בת ‪ 24‬אנשים?‬
‫ההצגה בטבלה תספק תשובות לסעיפים (א) ‪( ,‬ב) ‪( ,‬ד)‪.‬‬
‫(ג)‬
‫האם התשלום משתנה ביחס ישר למספר האנשים?‬
‫(ד) כתבו את הייצוג האלגברי המבטא את הקשר בין גובה התשלום לבין מספר האנשים‪.‬‬
‫(א) ‪ 140‬שקלים‪( .‬ב) ‪ 210‬שקלים‪( .‬ד) ‪.y = 30x‬‬
‫(ה) מה הוא מקדם היחס הישר?‬
‫(ג) התשלום משתנה ביחס ישר למספר האנשים בקבוצה‪ ,‬בתנאי שאין תעריפים מיוחדים לקבוצות‪.‬‬
‫(ה) מקדם היחס הישר הוא ‪.10‬‬
‫‪ .2‬מכונית נוסעת במהירות קבועה‪ .‬השאלה‪ :‬האם המרחק שעוברת המכונית משתנה ביחס ישר לזמן הנסיעה?‬
‫התלמידים למדו את הקשר שבין מהירות‪ ,‬זמן‪ ,‬ומרחק‪ .‬כאשר זמן הנסיעה גדל פי גודל כלשהו גם המרחק‬
‫שעוברת המכונית גדל פי אותו גודל‪.‬‬
‫המרחק שווה למכפלה של זמן הנסיעה במהירות‪ .‬נתון כי המהירות היא ‪ 90‬קמ"ש‪ .‬נסמן את זמן הנסיעה‬
‫בשעות ב ‪ x -‬ואת המרחק בק"מ ב‪ .y -‬הקשר‪.y = 90x :‬‬
‫‪ .2‬כמו בתרגיל ‪ ,2‬השאלה מתחילה בדוגמאות מספריות‪.‬‬
‫מספר הכיסאות משתנה ביחס ישר למספר השולחנות‪ .‬הקשר‪.y = 6x :‬‬
‫‪284‬‬
‫‪ ..25‬מכונית נוסעת מתל‪-‬אביב לירושלים במהירות קבועה‪.‬‬
‫(א) האם קיים יחס ישר בין זמן הנסיעה למרחק שעברה המכונית?‬
‫( )‬
‫‪.2‬‬
‫נתון כי המהירות הקבועה של המכונית היא ‪ 90‬קמ"ש‪.‬‬
‫כתבו את הייצוג האלגברי המבטא את היחס‪.‬‬
‫באולם אירועים שולחנות עגולים‪ .‬מסביב לכל שולחן ‪ 6‬כסאות‪.‬‬
‫(א) באולם ‪ 10‬שולחנות‪ .‬כמה כסאות באולם?‬
‫( ) באולם ‪ 30‬שולחנות‪ .‬כמה כסאות באולם?‬
‫(ג)‬
‫האם מספר הכיסאות – ‪ y‬משתנה ביחס ישר למספר השולחנות – ‪? x‬‬
‫(ד) כתבו את הייצוג האלגברי המבטא את הקשר בין ‪ y‬ל‪.x -‬‬
‫‪ – x‬מספר השולחנות באולם‬
‫‪ – y‬מספר הכיסאות באולם‬
‫אחרי הנקודה‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪ .11‬הצגה בטבלת ערכים‪ .‬התלמידים ישלימו את החסר‪.‬‬
‫ויבדקו שוויון בין היחסים המתאימים‪.‬‬
‫בבדיקת הפרופורציה בין הערכים שבשתי‬
‫שטח המלבן‬
‫בסמ"ר‬
‫דר החישוב‬
‫אור הצלע‬
‫בס"מ‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 6‬‬
‫השורות הראשונות מקבלים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 3‬‬
‫יש צור להמשי ולבדוק אם גם בשורות הבאות‬
‫מתקיים יחס ישר‪.‬‬
‫‪31‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪32‬‬
‫‪1‬‬
‫‪33‬‬
‫‪1‬‬
‫מתקיים יחס ישר בין ‪ y‬ל‪y = 3x .x -‬‬
‫‪3x‬‬
‫ויבדקו שוויון בין היחסים המתאימים‪.‬‬
‫שטח הריבוע ‪ y‬אינו משתנה ביחס ישר לאור‬
‫צלע הריבוע ‪.x‬‬
‫לפניכם סדרת מלבנים‪ ,‬בכולם אור אחת מהצלעות הוא ‪ 3‬ס"מ‪.‬‬
‫אור הצלע השנייה הוא כמספר המלבן‪ :‬במלבן ‪ 1‬אור הצלע ‪ 1‬ס"מ‪ ,‬במלבן ‪ 2‬האור‬
‫‪ 2‬ס"מ‪,‬‬
‫וכ הלאה‪.‬‬
‫(א) חשבו את השטח של כל אחד מהמלבנים‪.‬‬
‫( ) האם שטח המלבן ‪ y‬משתנה ביחס ישר לאור הצלע ‪? x‬‬
‫(ג)‬
‫כתבו את הייצוג האלגברי המבטא את הקשר בין ‪ y‬ל‪.x -‬‬
‫‪ 1‬ס"מ‬
‫ס"מ‬
‫‪ 4‬ס"מ ‪ 3‬ס"מ‬
‫‪ 2‬ס"מ‬
‫‪5 1‬ס"מ‬
‫ס"מ‬
‫אור צלע אחת של המלבן ‪ 3‬ס"מ‪.‬‬
‫אור הצלע השנייה‪ x :‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ y‬ס"מ‪.‬‬
‫שטח המלבן‪:‬‬
‫ס"מ‬
‫אחרי ‪15‬‬
‫ס"מ‬
‫‪ 14‬ס"מ‬
‫הנקודה‬
‫העשרונית‬
‫‪4‬‬
‫‪ 3‬ס"מ‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫אפשר לבקש מהתלמידים לפתור אותו תרגיל כאשר‬
‫‪ y‬הוא היקף המלבן‪ .‬הביטוי האלגברי הוא‪y = 2x + 6 :‬‬
‫ולא מתקיים יחס ישר בין ‪ y‬ל ‪.x -‬‬
‫‪ .11‬הצגה בטבלת ערכים‪ .‬התלמידים ישלימו את החסר‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪11‬‬
‫‪642‬‬
‫שטח הריבוע‬
‫בסמ"ר‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫דר החישוב‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫אור הצלע‬
‫בס"מ‬
‫‪ .611‬לפניכם סדרת ריבועים‪ .‬אור צלע הריבוע בס"מ הוא כמספר הריבוע‪.‬‬
‫(א) חשבו את שטחי הריבועים שבסרטוט‪.‬‬
‫( ) האם שטח הריבוע משתנה ביחס ישר לאור הצלע? הסבירו‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .16‬מומלץ לפתור במליאת הכיתה עם המורה‪ .‬שאלה נוספת בבעיות תנועה‪ .‬הקבוע הוא המרחק שעוברים כל‬
‫הרצים‪ .‬רץ שמהירותו גבוהה יותר יעבור את המרחק בפחות זמן‪.‬‬
‫זמן הריצה אינו משתנה ביחס ישר למהירות‪.‬‬
‫‪ .13‬מומלץ לפתור במליאת הכיתה עם המורה‪ .‬נתונים שני תיאורים‪ .‬על התלמידים לזהות את התיאור בו‬
‫מתקיים יחס ישר בין המשתנים‪.‬‬
‫(א) ההוצאה החודשית בשקלים על נסיעות באוטובוס משתנה ביחס ישר למספר הנסיעות‪.‬‬
‫נסמן את מספר הנסיעות ב‪ x -‬ואת ההוצאה החודשית ב‪.y = 6x .y -‬‬
‫(ב) תשלום עבור נסיעה במונית כולל סכום התחלתי של ‪ 11‬שקלים ותוספת לפי מרחק הנסיעה‪.‬‬
‫נסמן את מספר הק"מ ב‪ x -‬ואת התשלום ב‪.y = 2x + 12 .y -‬‬
‫התשלום אינו משתנה ביחס ישר למרחק הנסיעה בק"מ‪.‬‬
‫בתיאור (א) הקו הישר עובר בראשית הצירים‪ .‬בתיאור (ב) הישר אינו עובר דר ראשית הצירים‪.‬‬
‫‪285‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. 16‬‬
‫ריצת מרתון היא ריצה למרחק של כ‪ 42 -‬ק"מ‪.‬‬
‫האם קיים יחס ישר בין זמן הריצה למהירות הריצה?‬
‫הסבירו‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪. 13‬‬
‫י ת מ תו היא ריצה למרחק של ‪ 42.195‬קילומטר‪.‬‬
‫מקור שמה של הריצה הוא באגדה עממית אודות‬
‫פידיפידס‪ ,‬שליח אתונאי אשר רץ מהעיר מרתון ועד אתונה‬
‫בשנת ‪ 490‬לפנה"ס‪ ,‬על מנת להביא את בשורת הניצחון‬
‫היווני על הפולש הפרסי בקרב מרתון‪ ,‬ומת מיד לאחר‬
‫שמסר את הידיעה‪( .‬מתו ויקיפדיה‪).‬‬
‫באחד מהתיאורים הבאים מתואר יחס ישר בין המשתנים‪.‬‬
‫זהו אותו והסבירו מה ההבדל בין שני התיאורים‪.‬‬
‫(א) התשלום החודשי בשקלים עבור נסיעה באוטובוס עירוני כפונקציה של מספר הנסיעות החודשי‪.‬‬
‫מחיר כל נסיעה ‪ 6‬שקלים‪.‬‬
‫( ) התשלום בשקלים עבור נסיעה במונית כפונקציה של מרחק הנסיעה בק"מ‪.‬‬
‫התשלום מורכב ממחיר התחלתי של ‪ 12‬שקלים ועל כל ‪ 1‬ק"מ נסיעה משלמים ‪ 2‬שקלים‪.‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪651‬‬
‫יח ה ו‬
‫יח ה ו‬
‫דוגמה‬
‫מספר שיעורים מומלץ‪.1 :‬‬
‫כמו היחס הישר‪ ,‬גם היחס ההפו מתאר קשר בין שני משתנים‪.‬‬
‫בקטיף תפוזים‪ ,‬אדם אחד קוטף ‪ 120‬תפוזים בשעה אחת (‪ 60‬דקות)‪.‬‬
‫(א) כמה זמן ייקח ל‪2 -‬‬
‫אנשים לקטוף ‪ 120‬תפוזים?‬
‫( ) כמה זמן ייקח ל‪6 -‬‬
‫אנשים לקטוף ‪ 120‬תפוזים?‬
‫בין שני גדלים קיי ם יחס הפו אם מתקיים התנאי הבא‪ :‬כאשר כופלים אחד מהגדלים פי מספר כלשהו‬
‫(ג) כמה זמן ייקח ל‪ 30 -‬אנשים לקטוף ‪ 120‬תפוזים?‬
‫(שונה מאפס)‪ ,‬מחלקים את הגודל האחר פי אותו מספר‪ .‬כלומר‪ ,‬כאשר כמות אחת גדלה פי מספר כלשהו‪,‬‬
‫הכמות השנייה קטנה פי אותו מספר‪.‬‬
‫נציג את הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫‪ – x‬מספר העובדים‬
‫‪ – y‬זמן בדקות‬
‫שתי תכונות בהן עסקנו בהקניית מושג היחס הישר אינן מתקיימות‪:‬‬
‫(א) הגרף המתאר קשר של יחס הפו אינו קו ישר‪.‬‬
‫כאשר ‪ x‬דל פי ‪ y ,2‬קטן פי ‪.2‬‬
‫(ב) לא ניתן לתאר יחס הפו כאשר אחד הגדלים הוא אפס‪.‬‬
‫כאשר ‪ x‬דל פי ‪ y ,3‬קטן פי ‪.3‬‬
‫אומרים‪ y :‬משתנה‬
‫יח ה ו‬
‫‪60‬‬
‫‪1‬‬
‫‪30‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪:2‬‬
‫‪3:‬‬
‫כאשר ‪ x‬דל פי ‪ y ,5‬קטן פי ‪.5‬‬
‫קשר של יחס ישר מתקיים כאשר המנה של שני גדלים משתנים היא קבועה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫כאשר גודל אחד הוא כפולה של הגודל השני‪ ,‬כלומר ‪ y = mx‬או ‪.  m‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫הזמן‬
‫בדקות‬
‫‪x‬‬
‫מספר‬
‫העובדים‬
‫‪:5‬‬
‫‪10‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪30‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫ל‪.x -‬‬
‫כאשר ‪ x‬דל פי גודל מסוים ‪ y‬קטן פי אותו גודל‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫קשר של יחס הפו קיים כאשר המכפלה של שני גדלים היא קבועה‪ .‬כלומר‪ ,k  0 ,xy = k ,‬או‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫שאלות בהקשרים של עבודה (הספק) מתאימים להמחשה של יחס הפו ‪ .‬כמו דוגמה‪.‬‬
‫‪.y ‬‬
‫מומלץ לבצע את הדוגמה במליאת הכיתה כאשר הספר סגור ולבנות את טבלת הערכים יחד עם התלמידים‪.‬‬
‫חשוב לשים לב לעובדה שהמספר ‪ 110‬הוא חסר חשיבות‪ .‬אותו פתרון יתקבל גם אם ננסח את השאלה‪:‬‬
‫"בקטיף תפוזים אדם אחד קוטף מספר מסוים של תפוזים בשעה אחת‪.‬‬
‫כמה זמן ייקח לשני אנשים לקטוף אותה כמות של תפוזים?"‬
‫הגדלים ביניהם מתואר הקשר הוא מספר האנשים והזמן‪.‬‬
‫‪60‬‬
‫‪x‬‬
‫הביטוי האלגברי המתאים‪:‬‬
‫‪y ‬‬
‫או‪:‬‬
‫‪. x  y = 60‬‬
‫המכפלה ‪ x  y‬היא קבועה‪ .‬מכיוון שהזמן נמדד בדקות‪ ,‬המכפלה הקבועה במקרה זה היא ‪ 1( 60‬שעה)‪.‬‬
‫יח ה ו‬
‫נתונים שני גדלים‪ :‬גודל א וגודל ב‪.‬‬
‫בין שני הגדלים מתקיים קשר של יחס הפו אם‪:‬‬
‫כאשר מספר האנשים גדל פי מספר כלשהו‪ ,‬זמן העבודה קטן פי אותו מספר‪( .‬ייתכן שבמספר גדול של אנשים‬
‫יש מצב שהם מפריעים אחד לשני ואז התפוקה של כל אחד יורדת‪ .‬בדוגמה זאת אנחנו מניחים כי ככל שמספר‬
‫האנשים גדול יותר הזמן לביצוע העבודה קטן‪).‬‬
‫אם נסמן ב‪ x -‬את מספר האנשים וב‪ y -‬את הזמן בד ות‪ ,‬המכפלה הקבועה מתקבלת ממכפלה של מספר‬
‫‪60‬‬
‫‪.y ‬‬
‫האנשים בזמן‪ .‬מכיוון שהזמן הוא בדקות‪ ,‬המכפלה הקבועה היא ‪ .60‬הביטוי האלגברי המתאים‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪286‬‬
‫כאשר גודל א ד‬
‫גודל ב‬
‫פי מספר מסוים‪,‬‬
‫פי אותו מ‬
‫‪.‬‬
‫(או אם כאשר גודל א קטן פי מספר מסוים‪ ,‬גודל ב גדל פי אותו מספר)‪.‬‬
‫נסמן את גודל א ב‪ ,x -‬ואת גודל ב ב‪.y -‬‬
‫כאשר ‪ y‬משתנה ביחס הפו‬
‫ל‪ ,x -‬מתקיים הקשר‪:‬‬
‫מ‬
‫‪x‬‬
‫‪y ‬‬
‫או‬
‫מ‬
‫‪xy ‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫ת גי י ‪ . 6 – 1‬שאלות הספק‪ .‬הכנסת מכתבים למעטפות‪ .‬ככל שמספר האנשים המשתתפים בפעולה‬
‫זו גדל פי מספר כלשהו‪ ,‬הזמן שלוקח להכניס מכתבים ל‪( 100 -‬או ‪ )1,000‬מעטפות קטן פי אותו גודל‪.‬‬
‫גם כאן אין חשיבות למספר המעטפות‪ .‬מה שחשוב שמדובר במספר קבוע של מעטפות‪.‬‬
‫בסעיפים הראשונים שבכל תרגיל בודקים מספר דוגמאות מספריות‪ .‬מומלץ להציג נתונים אלו בטבלת ערכים‬
‫חלקית‪ .‬ולשאול את התלמידים מהי המכפלה הקבועה‪.‬‬
‫‪ .6‬טבלה מתאימה (באדום הנתונים בשאלה‪).‬‬
‫‪ .1‬טבלה מתאימה (באדום הנתונים בשאלה‪).‬‬
‫זמן‬
‫‪y‬בדקות‬
‫מספר‬
‫אנשים‬
‫‪x‬‬
‫‪60‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪60‬‬
‫‪x‬‬
‫‪10‬‬
‫‪x‬‬
‫הזמן בדקות‪.‬‬
‫המכפלה הקבועה‪. 60 :‬‬
‫זמן‬
‫בשעות‬
‫‪y‬‬
‫מספר‬
‫אנשים‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪20‬‬
‫‪.1‬‬
‫במש שעה אחת אדם אחד מכניס ‪ 300‬מכתבים למעטפות‪.‬‬
‫(א) כמה זמן ייקח ל‪ 2 -‬אנשים להכניס ‪ 300‬מכתבים למעטפות?‬
‫( ) כמה זמן ייקח ל‪ 10 -‬אנשים להכניס ‪ 300‬מכתבים למעטפות?‬
‫(ג) האם זמן העבודה משתנה ביחס ישר או ביחס הפו למספר האנשים? הסבירו‪.‬‬
‫(ד) ‪ x‬מסמן את מספר האנשים‪ y .‬מסמן את הזמן בדקות‪.‬‬
‫כתבו את הייצוג האלגברי המבטא את הקשר בין ‪ y‬ל‪.x -‬‬
‫במש שעה אחת ‪ 4‬אנשים מכניסים ‪ 1,000‬מכתבים למעטפות‪.‬‬
‫‪ 1‬שעה = ‪ 60‬דקות‬
‫(א) כמה זמן ייקח ל‪ 2 -‬אנשים להכניס ‪ 1,000‬מכתבים למעטפות?‬
‫( ) כמה זמן ייקח לאדם אחד להכניס ‪ 1,000‬מכתבים למעטפות?‬
‫(ג) האם זמן העבודה משתנה ביחס ישר או ביחס הפו למספר האנשים? הסבירו‪.‬‬
‫המכפלה הקבועה‪.4 :‬‬
‫לו היו כותבים את הזמן בדקות‪,‬‬
‫המכפלה הקבועה‪.140 :‬‬
‫‪400‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .4‬מפעל המייצר אופניים דו גלגליים‪ ,‬תלת גלגליים‪ ,‬וטיוליות בעלות ארבעה גלגלים‪.‬‬
‫כמה יחידות מכל סוג ניתן לייצר כאשר במפעל יש ‪ 600‬גלגלים‪.‬‬
‫המכפלה הקבועה‪.600 :‬‬
‫‪600‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫(ד) ‪ x‬מסמן את מספר האנשים‪ y .‬מסמן את הזמן בדקות‪.‬‬
‫כתבו את הייצוג האלגברי המבטא את הקשר בין ‪ y‬ל‪.x -‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .4 – 3‬עוסקים בחלוקה של מספר קבוע של פריטים ליחידות שוות בגודלן‪.‬‬
‫כמה יחידות נחוצות? גם בשאלות אלו מומלץ להציג את הנתונים המספריים‬
‫שמחשבים בטבלאות ערכים מתאימות‪.‬‬
‫‪ .3‬אולם אירועים ל‪ 400 -‬אורחים‪ .‬השאלות מתייחסות למספר השולחנות הנחוצים‬
‫האורחים כאשר מספר לכל המקומות מסביב לשולחן משתנה‪.‬‬
‫המכפלה הקבועה‪.400 :‬‬
‫‪y‬‬
‫ת גי י‬
‫‪.6‬‬
‫הזמן בשעות‪.‬‬
‫‪651‬‬
‫מספר‬
‫שולחנות‬
‫‪y‬‬
‫גודל‬
‫שולחן‬
‫‪x‬‬
‫‪100‬‬
‫‪4‬‬
‫‪80‬‬
‫‪5‬‬
‫‪50‬‬
‫‪8‬‬
‫‪40‬‬
‫‪10‬‬
‫לאולם שולחנות בגדלים שונים‪:‬‬
‫שולחנות ל‪ 4 -‬אנשים‪ ,‬שולחנות ל‪ 8 -‬אנשים‪ ,‬שולחנות ל‪ 16 -‬אנשים‪.‬‬
‫(א) כמה שולחנות יהיו באירוע אם ישתמשו בשולחנות ל‪ 4 -‬אנשים?‬
‫( ) כמה שולחנות יהיו באירוע אם ישתמשו בשולחנות ל‪ 8 -‬אנשים?‬
‫(ג) כמה שולחנות יהיו באירוע אם ישתמשו בשולחנות ל‪ 16 -‬אנשים?‬
‫(ד)‬
‫כמות‬
‫האופניים‬
‫‪y‬‬
‫‪100‬‬
‫‪1‬‬
‫‪100‬‬
‫‪1‬‬
‫‪150‬‬
‫‪4‬‬
‫‪287‬‬
‫האם מספר השולחנות משתנה ביחס ישר או ביחס הפו לגודל השולחן? הסבירו‪.‬‬
‫(ה) ‪ x‬מסמן את גודל השולחן (מספר המקומות בשולחן)‪ y .‬מסמן את מספר השולחנות‪.‬‬
‫כתבו את הייצוג האלגברי המבטא את הקשר בין ‪ y‬ל‪.x -‬‬
‫‪.4‬‬
‫גודל‬
‫האופניים‬
‫‪x‬‬
‫באולם אירועים תכננו אירוע ל‪ 400 -‬אורחים‪.‬‬
‫מפעל לייצור אופניים קנה כמות של ‪ 600‬גלגלים ממפעל מתחרה שנסגר‪.‬‬
‫(א) כמה אופניים דו גלגליים ניתן לייצר מכמות זאת של גלגלים?‬
‫( ) כמה יחידות של תלת אופן ניתן לייצר מכמות זאת של גלגלים?‬
‫(ג) כמה טיוליות בנות ‪ 4‬גלגלים ניתן לייצר מכמות זאת של גלגלים?‬
‫(ד) האם מספר כלי הרכב משתנה ביחס ישר או ביחס הפו למספר הגלגלים בכלי הרכב? הסבירו‪.‬‬
‫(ה) ‪ x‬מסמן את מספר הגלגלים ברכב‪ y .‬מסמן את מספר כלי הרכב‪.‬‬
‫כתבו את הייצוג האלגברי המבטא את הקשר בין ‪ y‬ל‪.x -‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪656 :‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪ . 2 – 5‬נתונות טבלאות ערכים חלקיות‪ .‬יש לבדוק את הקשר בין ‪ y‬ל ‪ ,x -‬ולקבוע אם זה קשר של יחס ישר‬
‫בטבלה שלפניכם זוגות מספרים )‪.(x , y‬‬
‫(א) האם ‪ y‬משתנה ביחס ישר או ביחס הפו‬
‫ל‪? x -‬‬
‫( ) כתבו את הביטוי האלגברי המבטא את הקשר בין ‪ y‬ל‪.x -‬‬
‫או יחס הפו ‪ .‬כמו בתרגילים דומים שעסקו ביחס ישר יש לבדוק את כל זוגות המספרים שבטבלה ולא‬
‫להסתפק בבדיקה חלקית‪ .‬מספיק שזוג אחד של מספרים אינו מקיים את היחס הישר או היחס ההפו כדי‬
‫לקבוע שהקשר אינו קשר של יחס ישר או יחס הפו ‪.‬‬
‫‪.y = 4x‬‬
‫‪ y .5‬משתנה ביחס ישר ל‪.x -‬‬
‫‪100‬‬
‫‪ y .2‬משתנה ביחס הפו ל‪.x -‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .2‬הקשר בין ‪ y‬ל‪ x -‬אינו יחס ישר ואינו יחס הפו ‪:‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.6‬‬
‫= ‪.y‬‬
‫‪40‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪20‬‬
‫‪5‬‬
‫‪25‬‬
‫‪4‬‬
‫‪50‬‬
‫‪2‬‬
‫‪100‬‬
‫‪1‬‬
‫בטבלה שלפניכם זוגות מספרים )‪.(x , y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫(א) האם ‪ y‬משתנה ביחס ישר ל‪? x -‬‬
‫( ) האם ‪ y‬משתנה ביחס הפו ל‪? x -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫(ג) כתבו את הביטוי האלגברי המבטא את הקשר בין ‪ y‬ל‪.x -‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪16‬‬
‫‪4‬‬
‫‪25‬‬
‫‪5‬‬
‫בטבלה שלפניכם זוגות מספרים )‪.(x , y‬‬
‫ל‪? x -‬‬
‫כל אחד מכלי הרכב במהירות קבועה אחרת‪.‬‬
‫(א) זמן הנסיעה של רוכב האופניים הוא ‪ 8‬שעות‪:‬‬
‫זמן הנסיעה של הטרקטור הוא ‪ 4‬שעות‪:‬‬
‫‪128‬‬
‫‪8‬‬
‫‪32‬‬
‫‪.‬‬
‫זמן הנסיעה של המשאית הוא ‪ 1‬שעות‪:‬‬
‫‪128‬‬
‫‪8‬‬
‫‪64‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫(ב) זמן הנסיעה שווה למרחק הקבוע לחלק למהירות הנסיעה‪ .‬כאשר המהירות גדולה פי גודל מסוים זמן‬
‫הנסיעה קטן פי אותו גודל‪.‬‬
‫‪ .2‬שאלה בנושא של תנועה‪ .‬יחידות מידה שאינן אחידות‪ .‬יש לבצע האחדה של יחידות המידה‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪20‬‬
‫‪5‬‬
‫‪24‬‬
‫‪ .2‬שאלת תנועה‪ .‬המרחק קבוע‪ .‬באותו מסלול נוסעים רוכב אופניים‪ ,‬משאית ומכונית אחרת‪.‬‬
‫‪128‬‬
‫‪8‬‬
‫‪16‬‬
‫‪16‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫(א) האם ‪ y‬משתנה ביחס ישר או ביחס הפו‬
‫‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫‪3‬‬
‫‪10‬‬
‫( ) כתבו את הביטוי האלגברי המבטא את הקשר בין ‪ y‬ל‪.x -‬‬
‫‪.y = x2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫נתון מסלול שאורכו ‪ 128‬ק"מ‪.‬‬
‫רוכב אופניים נוסע במסלול זה במהירות קבועה של ‪ 16‬ק"מ לשעה‪.‬‬
‫טרקטור נוסע במסלול זה במהירות קבועה של ‪ 32‬ק"מ לשעה‪.‬‬
‫מרחק‬
‫מהירות = זמן הנסיעה‬
‫משאית נוסעת במסלול זה במהירות קבועה של ‪ 64‬ק"מ לשעה‪.‬‬
‫מהירות הריצה נמדדת במטרים לשנייה לכן יש להפו את הזמן לשניות‪ 1 .‬דקות ו‪ 40 -‬שניות הם‬
‫(א) בכמה זמן ישלים כל אחד מכלי הרכב את המסלול?‬
‫‪ 160‬שניות‪ 1 .‬דקות ו‪ 10 -‬שניות הם ‪ 100‬שניות‪.‬‬
‫( ) האם זמן הנסיעה משתנה ביחס ישר או ביחס הפו למהירות הנסיעה?‬
‫‪800‬‬
‫‪5‬‬
‫‪160‬‬
‫‪.‬‬
‫‪800‬‬
‫(ב) מהירות הריצה של אלון היא ‪ 4‬מטרים לשנייה‪ 4 .‬‬
‫‪200‬‬
‫‪.‬‬
‫נדב עבר את המסלול בזמן של ‪ 2‬דקות ו‪ 40 -‬שניות‪ .‬אלון עבר מסלול זה ב‪ 3 -‬דקות ו‪ 20 -‬שניות‪.‬‬
‫(ג) מהירות הריצה משתנה ביחס הפו לזמן הריצה‪.‬‬
‫(א) מה מהירות הריצה (במטרים לשנייה) של נדב? מה מהירות הריצה (במטרים לשנייה) של אלון?‬
‫(א) מהירות הריצה של נדב היא ‪ 4‬מטרים לשנייה‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.5‬‬
‫נתון מסלול שאורכו ‪ 800‬מטרים‪.‬‬
‫נדב ואלון מתחרים בריצה במסלול זה‪ .‬הם רצים במהירות קבועה‪.‬‬
‫( ) האם מהירות הריצה משתנה ביחס ישר או ביחס הפו לזמן הריצה?‬
‫‪288‬‬
‫שימו לב ליחידות המידה‪:‬‬
‫‪ 1‬דקה = ‪ 60‬שניות‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪253‬‬
‫ח ו ות ג‬
‫חו ות ג‬
‫משוואות ושא ות מי ו יות‬
‫משוואות ושא ות מי ו יות‬
‫קבצים נוסף ש ל משוואות ושאלות מילוליות‪ ,‬מסוגים שנפתרו בפרקים קודמים‪.‬‬
‫כל קובץ פותח בדוגמה פתורה‪.‬‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫במלבן‪ ,‬אחת הצלעות ארוכה ב‪ 3 -‬ס"מ מהשנייה‪.‬‬
‫היקף המלבן ‪ 54‬ס"מ‪.‬‬
‫מומלץ לפתור את הדוגמאות במליאת הכיתה‪.‬‬
‫מה אור צלעות המלבן?‬
‫בשאלות המילוליות חישוב הער של ‪ x‬אינו עונה על הנדרש בשאלה‪.‬‬
‫לאחר חישוב הער של ‪ , x‬יש להציב ער זה בביטויים האלגבריים המתאימים ולחשב את הגדלים‬
‫הנדרשים בשאלה‪.‬‬
‫‪x+3‬‬
‫נסמן את אור הצלע הקצרה ב‪.x -‬‬
‫‪.x + 3‬‬
‫אור הצלע הארוכה‬
‫משוואה מתאימה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x + x + 3 + x + x + 3 = 54‬‬
‫‪4x + 6 = 54‬‬
‫חשוב להזכיר כי בכל שאלה יש לערו בדיקה אם התשובה מתאימה למסופר בשאלה‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫ו ץ אשו ‪ :‬שא ות מתחו הגיאומ יה‪.‬‬
‫‪x = 12‬‬
‫שאלות ‪ :2 , 2 – 1‬משוואה להיקף המצולע (מלבן או משולש)‪.‬‬
‫שאלה ‪ : 2‬משוואה בה משווים את הביטויים המייצגים את אור השוקיים במשולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫בכל השאלות ‪ ,‬פרט לשאלה ‪ , 6‬אורכי הצלעות מיוצגים באמצעות ביטויים אלגבריים‪.‬‬
‫בשאלה ‪ 2‬נסמן את אור אחת מצלעות המשולש שווה השוקיים ב‪ x -‬ונכתוב באמצעותו ביטויים‬
‫לאור הצלעות האחרות‪.‬‬
‫תרגילים ‪ :11 – 2‬משוואות נוספות‪.‬‬
‫אור הצלע הקצרה‬
‫‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫אור הצלע הארוכה‬
‫‪ 12 + 3 = 15‬ס"מ‪.‬‬
‫תשו ה‪:‬‬
‫צלעות המלבן‪15 , 12 , 15 , 12 :‬‬
‫סרטוטים מוקטנים‬
‫‪ .1‬היקפו של מלבן ‪ 114‬ס"מ‪.‬‬
‫אחת הצלעות גדולה ב‪ 7 -‬ס"מ מהשנייה‪.‬‬
‫מה אור הצלעות של המלבן?‬
‫‪x+7‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .6‬היקף המלבן ‪ 84‬ס"מ‪.‬‬
‫אחת מצלעות המלבן קטנה ב‪ 6 -‬ס"מ מהצלע השנייה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫מה אור הצלעות של המלבן?‬
‫‪ .3‬היקפו של מלבן ‪ 126‬ס"מ‪.‬‬
‫אחת מצלעות המלבן גדולה פי ‪ 2‬מהצלע השנייה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫מה אור הצלעות של המלבן?‬
‫‪x‬‬
‫‪ .4‬ההיקף של המלבן בסרטוט הוא ‪ 336‬ס"מ‪.‬‬
‫מה אור הצלעות של המלבן?‬
‫‪289‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪254‬‬
‫סרטוטים מוקטנים‬
‫‪ ..15‬במשולש שווה שוקיים‪ ,‬אור בסיס המשולש גדול ב‪ 12 -‬ס"מ מאור השוק‪.‬‬
‫היקף המשולש ‪ 135‬ס"מ‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x + 12‬‬
‫מה אור הצלעות של המשולש?‬
‫‪ ..62‬היקף משולש שווה שוקיים הוא ‪ 150‬ס"מ‪.‬‬
‫אור הבסיס קטן ב‪ 24 -‬ס"מ מאור השוק‪.‬‬
‫מה אור הצלעות של המשולש?‬
‫‪ ..32‬המשולש שבסרטוט הוא שווה שוקיים‪( .‬המידות בס"מ‪).‬‬
‫(א) מה הער של ‪? x‬‬
‫‪3x – 11‬‬
‫‪34 – 2x‬‬
‫( ) מה אור השוק של המשולש?‬
‫‪ ..42‬היקף המשולש שבסרטוט הוא ‪ 27‬ס"מ‪.‬‬
‫‪10 + x‬‬
‫(ג) מה הער של ‪? x‬‬
‫‪3x‬‬
‫(ד) מה אור הצלעות של המשולש?‬
‫‪x+2‬‬
‫‪ .25‬פתרו את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪)7( 11 + 8(x – 1) = 35‬‬
‫‪)4( 8x + 52 = 18x – 38‬‬
‫‪)1( 8x – 4 = 12‬‬
‫‪)8( 25 = 7(1 + 2x) + 4‬‬
‫‪)5( –12x + 12 + 5x = 40‬‬
‫)‪)2( 40 = 5(x + 2‬‬
‫‪)9( 41 – 17x = 15x – 23‬‬
‫‪)6( 13 = 7x + 4 – 10x‬‬
‫‪)3( 5 = 21 – 4x‬‬
‫‪ ..11‬פתרו את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪)6( –6(x + 3) + 14 = 23 + 3x‬‬
‫‪)1( 19 – 5x + 21 = 9 + 4x + 13‬‬
‫(‪)7‬‬
‫‪)2( 9 + 3(x + 2) = 45‬‬
‫‪)8( 2(6 – x) + 3(x + 1) = 7‬‬
‫‪)3( 31x + 7 – 8x = 5x + 25‬‬
‫‪)9( (4 – x)2 = 3(1 + x) + 4x – 40‬‬
‫‪)4( 11 – 2(3 + x) = 33‬‬
‫‪x  x  1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪x 3  2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪290‬‬
‫(‪)10‬‬
‫)‪)5( 5(x + 3) – 6 = 4(x – 3‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫ו ץ ש י ש שא ות‬
‫‪255‬‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫שאלות בהן הקשר בין הגדלים השונים נתון באמצעות היגדים‪ :‬גודל א גדו‬
‫גודל א גדו‬
‫מגודל ב‪.‬‬
‫י מגודל ב‪.‬‬
‫גודל א‬
‫מגודל ב‪.‬‬
‫גודל א‬
‫י מגודל ב‪.‬‬
‫מספר א גדול פי ‪ 5‬ממספר ב‪.‬‬
‫סכום שני המספרים ‪.168‬‬
‫מצאו את המספרים‪.‬‬
‫פתרון השאלות באמצעות משוואה עבור הסכום או ההפרש‪.‬‬
‫מספר ב‬
‫‪.x‬‬
‫מספר א‬
‫‪. 5x‬‬
‫משוואה מתאימה‪:‬‬
‫(בדומה לשאלות שבקובץ הראשון בו המשוואה ייצגה היקף של מצולע‪ ,‬שהוא סכום אורכי הצלעות)‪.‬‬
‫ת גי ‪ 14‬יש למצוא שלושה מספרים‪.‬‬
‫‪x + 5x = 168‬‬
‫‪6x = 16x‬‬
‫‪x = 27‬‬
‫מסמנים אחד מהמספרים ב‪ .x -‬וכותבים באמצעות ‪ x‬ביטויים אלגבריים המייצגים את המספרים האחרים‪.‬‬
‫מספר ב‬
‫‪27‬‬
‫מספר א‬
‫‪5x = 5 ∙ 27 = 135‬‬
‫על דף תובנות הצעה לסמן את המספר הראשון ב‪.x -‬‬
‫מומלץ לדון בשאלה את איזה מהמספרים כדאי לסמן ב ‪.x -‬‬
‫ה אשו ונתון הקשר בין המ‬
‫הש י מ‬
‫בשאלה זו‪ ,‬נתון הקשר בין המ‬
‫תשו ה‪ :‬מספר א הוא ‪ , 135‬מספר ב הוא ‪.27‬‬
‫הש ישי מ‬
‫ה אשו ‪.‬‬
‫‪ . 11‬סכום שני מספרים ‪.96‬‬
‫‪.1‬‬
‫מספר אחד גדול פי ‪ 7‬מהמספר השני‪.‬‬
‫נוח לסמן את המספר הראשון ב‪ x -‬מכיוון שהוא מופיע בשני ההיגדים‪.‬‬
‫כתיבת ביטויים אלגבריים לשני המספרים האחרים היא נוחה יותר‪.‬‬
‫ת גי ‪ 15‬גם כאן‪ ,‬כמו בתרגיל ‪ ,14‬יש למצוא שלושה מספרים‪.‬‬
‫סכום שני המספרים ‪.103‬‬
‫על דף תובנות הצעה לסמן את המספר השלישי ב ‪ .x -‬מומלץ לשאול את התלמידים‪ :‬מדוע?‬
‫מצאו את שני המספרים‪.‬‬
‫מצאו את שני המספרים‪.‬‬
‫‪ . 16‬מספר אחד גדול ב‪ 13 -‬ממספר שני‪.‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪ . 13‬מספר אחד גדול פי ‪ 5‬ממספר שני‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫ההפרש בין שני המספרים הוא ‪.68‬‬
‫מצאו את שני המספרים‪.‬‬
‫‪ . 14‬נתונים שלושה מספרים‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫המספר השני גדול פי ‪ 2‬מהמספר הראשון‪,‬‬
‫המספר השלישי גדול ב‪ 11 -‬מהמספר הראשון‪.‬‬
‫סכום שלושת המספרים הוא ‪.231‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫מספר ראשון‬
‫‪2x‬‬
‫מספר שני‬
‫מספר שלישי ‪x + 11‬‬
‫מצאו את שלושת המספרים‪.‬‬
‫‪ . 15‬נתונים שלושה מספרים‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫המספר הראשון גדול פי ‪ 3‬מהמספר השלישי‪,‬‬
‫המספר השני קטן ב‪ 7 -‬מהמספר השלישי‪.‬‬
‫סכום שלושת המספרים הוא ‪.83‬‬
‫מצאו את שלושת המספרים‪.‬‬
‫‪291‬‬
‫סמנו ב‪ x -‬את המספר‬
‫השלישי‪.‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫ו ץ ש ישי ש שא ות‬
‫גל גדול ב‪ 12 -‬שנים מאחיו דני‪.‬‬
‫סכום הגילים של שניהם היום הוא ‪.76‬‬
‫שאלות בהקשר של גילים‪.‬‬
‫כמו בקבצים הקודמים המשוואות מייצגות סכום‪.‬‬
‫הקשר בין הגילים הוא (כמו בקובץ הקודם) באמצעות ההיגדים גדו‬
‫גדו‬
‫מה הגיל של גל?‬
‫מה הגיל של דני?‬
‫נסמן את הגיל של דני ב‪.x -‬‬
‫נסמן את הגיל של גל ב‪.x + 12 -‬‬
‫י‬
‫משוואה מתאימה‪:‬‬
‫‪x + x + 12 = 76‬‬
‫‪2x = 64‬‬
‫‪x = 32‬‬
‫תשו ה‪ :‬הגיל של דני ‪ 32‬שנים‪ .‬הגיל של גל ‪ 44‬שנים (‪.)32 + 12‬‬
‫‪ . 12‬אמא של טלי גדולה ממנה ב‪ 28 -‬שנים‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫סכום הגילים של טלי ואמה היום הוא ‪ 52‬שנים‪.‬‬
‫מה גילה של טלי?‬
‫‪ . 12‬סכום הגילים של שני אחים היום הוא ‪.99‬‬
‫‪.6‬‬
‫גילו של האח הצעיר קטן ב‪ 15 -‬שנים מגילו של האח המבוגר‪.‬‬
‫מה הגיל של האח הצעיר?‬
‫מה הגיל של האח המבוגר?‬
‫‪ . 12‬ערן גדול מאחותו ליל ב‪ 5 -‬שנים‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫סכום הגילים שלהם היום הוא ‪ 49‬שנים‪.‬‬
‫מה הגיל של ערן?‬
‫מה הגיל של אחותו?‬
‫‪ . 12‬גילה של סבתא רות גדול פי ‪ 9‬מגיל נכדתה‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫סכום הגילים שלהן היום הוא ‪ 80‬שנים‪.‬‬
‫מה גילה של הסבתא?‬
‫מה הגיל של הנכדה?‬
‫‪292‬‬
‫‪256‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪257‬‬
‫דוגמה ‪4‬‬
‫ו ץ‬
‫יעי ש שא ות‬
‫משפחה שבה ‪ 4‬ילדים ו‪ 2 -‬מבוגרים קנתה כרטיסים למופע‪.‬‬
‫מחיר כרטיס כניסה למבוגר גדול ב‪ 17 -‬שקלים ממחיר כרטיס כניסה לילד‪.‬‬
‫משוואות לסכום כאשר לכל גודל יש משקל שונה‪.‬‬
‫הקשר בין הגדלים הוא (כמו בקובץ הקודם) באמצעות ההיגדים גדו‬
‫המשפחה שילמה בס הכל ‪ 124‬שקלים‪.‬‬
‫מה מחיר כניסה לילד?‬
‫מה מחיר כניסה למבוגר?‬
‫י‬
‫מחיר הכרטיס לילד‬
‫מחיר הכרטיס למבוגר‬
‫‪.x‬‬
‫‪.x + 14‬‬
‫משוואה מתאימה‪:‬‬
‫‪4x + 2(x + 17) = 124‬‬
‫‪4x + 2x + 34 = 124‬‬
‫‪6x = 90‬‬
‫‪x = 15‬‬
‫תשו ה‪ :‬מחיר כרטיס לילד ‪ 15‬שקלים‪ .‬מחיר כניסה למבוגר ‪ 32‬שקלים‪.‬‬
‫‪ . 61‬מחיר מנוי שנתי למבוגר למוזיאון גדול ב‪ 120 -‬שקלים ממחיר מנוי לילד‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫משפחה שבה ‪ 3‬ילדים ו‪ 2 -‬מבוגרים קנתה מנוי שנתי למוזיאון ושילמה בס הכל ‪ 540‬שקלים‪.‬‬
‫מה מחיר מנוי שנתי לילד?‬
‫מה מחיר מנוי שנתי למבוגר?‬
‫‪ . 61‬מחיר שיט בסירה לילד קטן ב‪ 22 -‬שקלים ממחיר שיט למבוגר‪.‬‬
‫‪.6‬‬
‫קבוצה שבה ‪ 3‬מבוגרים ו‪ 5 -‬ילדים שטה בסירה ושילמה בס הכל ‪ 210‬שקלים‪.‬‬
‫מה מחיר שיט למבוגר?‬
‫מה מחיר שיט לילד?‬
‫‪ . 66‬לטיול הוזמנו ‪ 4‬אוטובוסים גדולים ו‪ 3 -‬אוטובוסים קטנים‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫באוטובוס הגדול יש ‪ 12‬מקומות ישיבה יותר מאשר באוטובוס הקטן‪.‬‬
‫מספר מקומות הישיבה הכולל הוא ‪. 328‬‬
‫כמה מקומות ישיבה באוטובוס הקטן?‬
‫כמה מקומות ישיבה באוטובוס הגדול?‬
‫‪ . 63‬מחיר של כיסא לים קטן פי ‪ 5‬ממחיר שמשייה‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫גיא קנה ‪ 6‬כסאות לים ו‪ 2 -‬שמשיות ושילם ס הכל ‪ 384‬שקלים‪.‬‬
‫מה מחירו של כיסא?‬
‫מה מחירה של שמשיה?‬
‫‪293‬‬