‫אלכס גולדוורד‬ ‫שאלות בחדו״א וקטורי‬ ‫מושגי יסוד‬ ‫‪ .1‬כתוב הגדרה של קבוצת נקודות חסומה‪.‬‬ ‫‪ .2‬כתוב הגדרה של קבוצת נקודות פתוחה וקבוצת נקודה סגורה‪.‬‬ ‫כל‬ ‫‪ .3‬מצא וצייר את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות‪ .‬בכל סעיף קבע האם תחום ההגדרה הוא קבוצה חסומה‬ ‫או לא‪ ,‬סגורה או לא‪.‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪3+x+y‬‬ ‫√ = )‪) p(x, y‬ב( ‪) f (x, y) = 1 − x2 − y 2‬ג( )|‪g(x, y) = ln(1 − |x| − |y‬‬ ‫)א(‬ ‫‪x − 2y + 4‬‬ ‫‪p‬‬ ‫√‬ ‫)ד( )‪) h(x, y) = 1 − x2 − y 2 + ln(x − y‬ה( ‪) k(x, y) = 1 − x2‬ו( )‪u(x, y) = ln(xy‬‬ ‫√‬ ‫)ז( ‪v(x, y) = xy − 1‬‬ ‫‪ .4‬צייר קווי גובה של הפונקציות הבאות‬ ‫הזכ‬ ‫‪x−y‬‬ ‫)א( ‪) f (x, y) = x2 + y2‬ב(‬ ‫‪x+y‬‬ ‫= )‪) g(x, y‬ג( ‪h(x, y) = xy‬‬ ‫‪ .5‬נתונה הפונקציה ‪ .f (x, y) = x2 − xy‬כתוב משוואה של קוו גובה שלה העובר דרך הנקודה )‪.(2, −1‬‬ ‫ות‬ ‫וי‬ ‫שמ‬ ‫ות‬ ‫ור‬ ‫‪1‬‬ ‫אלכס גולדוורד‬ ‫שאלות בחדו״א וקטורי‬ ‫גבול ורציפות של פונקציה סקלרית‬ ‫‪ .6‬הוכח שגבולות הבאים לא קיימים‬ ‫‪x2 − 2y‬‬ ‫)א(‬ ‫‪(x,y)→(0,0) x + 3y‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x2 + y 2‬‬ ‫)ב(‬ ‫‪(x,y)→(0,0) x + y‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x2 + y 3‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪) .7‬א( הוכח ש ‪= 0 -‬‬ ‫)‪(x,y)→(0,0‬‬ ‫‪x2 + y 2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫כל‬ ‫‪x3 + y 3‬‬ ‫‪) .8‬א( הוכח ש ‪= 0 -‬‬ ‫‪(x,y)→(0,0) x + y‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪sin x + sin y‬‬ ‫)ג(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪(x,y)→(0,0‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x4 + y 4‬‬ ‫)ב( הוכח ש ‪= 0 -‬‬ ‫‪(x,y)→(0,0) x2 + y 2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x4 + y 4‬‬ ‫)ב( הוכח שהגבול‬ ‫‪(x,y)→(0,0) x + y‬‬ ‫‪ .9‬נתונה הפונקציה‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪.‬‬ ‫לא קיים‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ sin(xy) , x 6= 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫= )‪g(x, y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0, x = 0‬‬ ‫הזכ‬ ‫מצא את כל הנקודות בהן הפונקציה הנתונה לא רציפה‪.‬‬ ‫‪ .10‬עבור איזה ערך של מספר ‪ b‬הפונקציה‬ ‫‪‬‬ ‫‪x + 2y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪, x 6= y‬‬ ‫‪x−y‬‬ ‫= )‪g(x, y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ b, x = y‬‬ ‫ות‬ ‫וי‬ ‫רציפה בנקודות )‪?(2, −1), (3, 3‬‬ ‫שמ‬ ‫ות‬ ‫ור‬ ‫‪2‬‬ ‫אלכס גולדוורד‬ ‫שאלות בחדו״א וקטורי‬ ‫נגזרות‬ ‫‪ .11‬נתונה הפונקציה‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x − 2y, x 6= y‬‬ ‫= )‪f (x, y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2x + 3y, x = y‬‬ ‫כל‬ ‫)א( חשב )‪ f~v0 (1, 1‬כאשר )‪.~v = (2, 2‬‬ ‫)ב( הוכח שהנגזרת )‪ f~v0 (1, 1‬לא קיימת כאשר )‪.~v = (1, 2‬‬ ‫)ג( הוכח שלכל וקטור )‪ ~v = (a, b‬שמקיים את התנאי ‪ a 6= b‬הנגזרת )‪ f~v0 (1, 1‬לא קיימת‪.‬‬ ‫)ד( חשב )‪ fx0 (2, −1‬ו־ )‪.fy0 (−1, 2‬‬ ‫הזכ‬ ‫)ה( מצא את כל הנקודות בהן הנגזרת ‪ fx‬לא קיימת‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫ות‬ ‫וי‬ ‫שמ‬ ‫ות‬ ‫ור‬ ‫‪3‬‬ ‫אלכס גולדוורד‬ ‫שאלות בחדו״א וקטורי‬ ‫דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית‬ ‫‪ .12‬נתון שהפונקציה )‪ g(x, y‬מקיימת את השוויון‬ ‫)‪g(1 + ∆x, ∆y) − g(1, 0) = 2∆x − 3∆y + ∆y sin2 (∆x‬‬ ‫הוכח ש־ )‪ g(x, y‬דיפרנציאבילית בנקודה )‪.(1, 0‬‬ ‫כל‬ ‫√‬ ‫‪ .13‬הוכח שהפונקציה ‪ z = 4 − xy‬דיפרנציאבילית בנקודה )‪.(0, 0‬‬ ‫‪ .14‬נתונה הפונקציה ‪.h(x, y) = α(x, y)x + β(x, y)y‬‬ ‫)א( הוכח שאם ‪β(x, y) = 0‬‬ ‫‪α(x, y) = 0,‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‪(x,y)→(0,0‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‪h(x, y‬‬ ‫‪p‬‬ ‫אז ‪= 0‬‬ ‫)‪(x,y)→(0,0‬‬ ‫‪x2 + y 2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‪(x,y)→(0,0‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)ב( תן דוגמה שמראה שטענה הפוכה לא נכונה‪.‬‬ ‫הזכ‬ ‫‪ .15‬בדוק האם הפנקציה ‪y‬‬ ‫√‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ f (x, y) = x +‬דיפרנציאבילית בנקודות )‪ (0, 0‬ו־ )‪.(0, 1‬‬ ‫√‬ ‫‪ .16‬בדוק האם הפונקציה ‪ g(x, y) = x 3 y‬דיפרנציאביתי בנקודה )‪ .(0, 0‬האם נגזרות חלקיות שלה קיימות ורציפות‬ ‫בנקודה הזאת?‬ ‫‪x+y‬‬ ‫‪ .17‬מצא קירוב ליניארי של הפונקציה‬ ‫‪1 + xy‬‬ ‫‪ f (x, y) = arctan‬בנקודה )‪ (a, b‬שקרובה לראשית הצירים‪.‬‬ ‫ות‬ ‫וי‬ ‫‪ .18‬הוכח שאם הפונקציה )‪ u(x, y‬מקיימת משוואת לפלס‬ ‫‪∂2u ∂2u‬‬ ‫‪+ 2 =0‬‬ ‫‪∂x2‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫‬ ‫אז גם הפנקציה‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪, 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x + y x + y2‬‬ ‫‬ ‫‪ v = u‬מקיימת משוואה הזאת‪.‬‬ ‫‪ .19‬המשוואה ‪ x + y − z = ln z‬מגדירה פונקציה )‪ z = f (x, y‬בסביבת הנקודה )‪ .(1, 0, 1‬חשב )‪ f~v0 (1, 0‬כאשר‬ ‫)‪.~v = (3, 4‬‬ ‫)א( מצא )‪ f~v0 (2, 1‬כאשר )‪.~v = (−4, 3‬‬ ‫)ב( מצא )‪ fx0 (2, 1‬ו־ )‪.fy0 (2, 1‬‬ ‫ות‬ ‫ור‬ ‫שמ‬ ‫‪ .20‬נתון שמישור ‪ 2x − y + 4z − 15 = 0‬משיק לגרף של פונקציה‬ ‫דיפרנציאבילית )‪ z = f (x, y‬בנקודה )‪.M (2, 1, 3‬‬ ‫‪ .21‬תהי )‪ z = f (x, y‬פונקציה דיפרנציאבילית בנקודה )‪ .M (2, −1‬נתון ש־ ‪ f~v0 (M ) = 4‬כאשר )‪ ~v = (−4, 3‬ו־‬ ‫‪ fw~0 (M ) = −3‬כאשר )‪ .w~ = (12, 5‬מצא את משוואת מישור המשיק לגרף של הפונקציה הנתונה בנקודה‬ ‫)‪.(2, −1, 5‬‬ ‫‪ .22‬הראה שהפונקציה ) ‪ u = f (x2 +y 2‬כאשר ‪ f‬פונקציה גזירה בתחום )∞‪ (−∞, +‬מקיימת את השוויון ‪yu0x −xu0y = 0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫אלכס גולדוורד‬ ‫שאלות בחדו״א וקטורי‬ ‫פונקציה סתומה‬ ‫‪ .23‬נתונות שתי משוואות‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪x5 − 2x + 1 = 0‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫‪1.1x5 − 0.9x + 1 = 0‬‬ ‫כל‬ ‫ידוע ש־ ‪ x = 1‬אחד מהפתרונות של משוואה )‪ .(1‬מצא קירוב לינארי של אחד מהפתרונות של משוואה )‪.(2‬‬ ‫הדרכה‪ :‬נדון במשוואה ‪ .F (a, b, x) = ax5 + bx + 1 = 0‬הסבר מדוע בסביבת הנקודה )‪ (1, −2, 1‬היא מגדירה‬ ‫פונקציה דיפרנציאבילית )‪ .x = x(a, b‬השתמש בעובדה הזאת על מנת למצוא קירוב לינארי של )‪x(1.1, −0.9‬‬ ‫בעזרת ‪.x(1, −2) = 1‬‬ ‫הזכ‬ ‫ות‬ ‫וי‬ ‫שמ‬ ‫ות‬ ‫ור‬ ‫‪5‬‬ ‫אלכס גולדוורד‬ ‫שאלות בחדו״א וקטורי‬ ‫מינימום ומקסימום של פונקציה סקלרית‬ ‫‪ .24‬מצא פולינום טיילור מדרגה שתיים בנקודה )‪ (0, 0‬של פונקציות הבאות‬ ‫)א( ‪f (x, y) = ex cos y‬‬ ‫)ב( ‪g(x, y) = ey sin x‬‬ ‫כל‬ ‫)ג( )‪ex ln(1 + y‬‬ ‫‪ .25‬נתון שפולינום טיילןר מדרגה ‪ 2‬של הפונקציה )‪ f (x, y‬שווה ‪ 1 − xy‬ושל הפונקציה )‪ g(x, y‬שווה ‪ .x + y2‬הוכח‬ ‫שפולינום טיילור של הפונקציה )‪ h(x, y) = f (x, y)g(x, y‬שווה ‪.x + y2‬‬ ‫‪ .26‬הוכח שאם נקודה )‪ (a, b‬היא נקודת קיצון של הפונקציה )‪ f (x, y‬אז ‪ x = a‬נקודת קיצון של הפונקציה‬ ‫)‪ g(x) = f (x, b‬ו־ ‪ y = b‬נקודת קיצון של הפונקציה )‪.h(y) = f (a, y‬‬ ‫הזכ‬ ‫‪ .27‬מצא נקודות קיצון של הפונקציות הבאות‬ ‫)א( ‪f (x, y) = |x − 2| + 5‬‬ ‫)ב( ‪h(x, y) = x3 + y 2‬‬ ‫)ג( ) ‪k(x, y) = ln(1 + x2 + y 2‬‬ ‫ות‬ ‫וי‬ ‫‪ .28‬תהי )‪ z = f (x, y‬פונקציה של שני משתנים‪ .‬נתון ש־‬ ‫‪f (2 + x, 3 + y) − f (2, 3) = x2 + y 4‬‬ ‫הסבר מדוע הנקודה )‪ M (2, 3‬נקודת קיצון של הפונקציה הנתונה‪ .‬האם נקודה ‪ M‬נקודת מקסימום מקומי או‬ ‫נקודת מינימום מקומי?‬ ‫‪ .29‬נתונה הפונקציה |‪ .f (x, y) = |x| − |y‬הוכח שלפונקציה הנתונה אין נקודות קיצון‪.‬‬ ‫שמ‬ ‫‪ .30‬נתונה הפונקציה ‪ .f (x, y) = x2 + y2 + x − 2y‬מצא את הערך הגדול ביותר והקטן ביותר של הפונקציה הנתונה‬ ‫בתחום סגור שחסום ע״י המעגל ‪ x2 + y2 = 16‬והישר ‪) .x + y = 0‬התחום נמצא מעל הישר הנתון(‪.‬‬ ‫‪ .31‬נתונה הפונקציה‬ ‫‪f (x, y) = x2 − y 2 + 2x − y‬‬ ‫ונתון האילוץ )תנאי(‬ ‫ות‬ ‫ור‬ ‫‪xy = 1, 0.5 ≤ x ≤ 2‬‬ ‫הראה שהנקודה )‪ (1, 1‬אינה נקודת מינימום או מקסימום של הפונקציה הנתונה עם האילוץ הנ״ל‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫אלכס גולדוורד‬ ‫שאלות בחדו״א וקטורי‬ ‫אינטגרל קווי של פונקציה סקלרית ופונקציה וקטורית‬ ‫‪ .32‬נתון עקום ‪.L : x = cos t, y = sin t, z = t‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫)א( מצא וקטור משיק ל־‪ L‬בנקודה )‪.A( 2/2, 2/2, π/4‬‬ ‫)ב( מצא על העקום ‪ L‬את כל הנקודות בהן וקטור משיק מקביל לוקטור משיק בנקודה ‪.A‬‬ ‫כל‬ ‫)ג( מצא את כל הנקודות על העקום ‪ L‬בהן וקטור משיק מאונך לרדיוס־וקטור‪.‬‬ ‫‪ .33‬לפניך שרטוט של קווי גובה של הפונקציה )‪ f (x, y‬ושל עקום ‪.L‬‬ ‫הזכ‬ ‫ות‬ ‫וי‬ ‫מצא בעזרת סכום רימן ערך מקורב של האינטגרל ‪f (x, y)dl‬‬ ‫‪ .34‬חשב את האינטגרל ‪F~ d~r‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪.‬‬ ‫כאשר )‪ F~ = (0, y 2 , 0‬ו־ ‪ L‬מסלול כלשהו מנקודה )‪ A(1, 5, 3‬לנקודה )‪.B(−5, 2, 7‬‬ ‫‪ .35‬חשב עבודה שמבצע כוח ) ‪ F~ = (x2 + x, y2 − y, z 2‬לאורך המסלול שמורכב משני קטעים ישרים‪ :‬מנקודה‬ ‫)‪ A(1, 2, −1‬לנקודה )‪ B(1, 4, −1‬ואז מנקודה ‪ B‬לנקודה )‪.C(−3, 4, −1‬‬ ‫‪ .36‬תהי )‪ u = f (x, y, z‬פונקציה סקלרית דיפרנציאבילית לכל )‪ .(x, y, z‬הוכח ש־ )‪~ d~r = f (B) − f (A‬‬ ‫‪∇f‬‬ ‫‪L‬‬ ‫שמ‬ ‫נקודה התחלתית של מסלול ‪ L‬ו־ ‪ B‬נקודה סופית שלו‪.‬‬ ‫‪R‬‬ ‫כאשר ‪A‬‬ ‫‪ .37‬זבוב מתחיל לעוף מראשית הצירם במסלול ˆ‪ ~r(t) = cos(t)ˆi + sin(t)ˆj + tk‬כאשר משתנה ‪ t‬מסמן זמן בשניות‪.‬‬ ‫)א( כעבור כמה זמן הזבוב יעלה לגובה ‪ 8‬מ׳?‬ ‫)ב( כעבור כמה זמן הזבוב יתרחק מראשית הצירים למרחק ‪ 8‬מ׳?‬ ‫ות‬ ‫ור‬ ‫)ג( כעבור כמה זמן הזבוב יעבור מרחק ‪ 8‬מ׳?‬ ‫‪ˆ p~(t) = y1 (t)ˆi + y2 (t)ˆj + y3 (t)k,‬‬ ‫‪ .38‬נתונים שני עקומות ]‪ˆ t ∈ [a, b‬‬ ‫‪.~r(t) = x1 (t)ˆi + x2 (t)ˆj + x3 (t)k,‬‬ ‫)א( הוכח שאם )‪ ~s(t) = ~r(t) + p~(t‬אז )‪.~s0 (t) = ~r0 (t) + p~0 (t‬‬ ‫)ב( הוכח שאם )‪ ~s(t) = ~r(t) · p~(t‬אז )‪.~s0 (t) = ~r0 (t) · p~(t) + ~r(t) · p~0 (t‬‬ ‫)ג( הוכח שאם ‪ |~r(t)| = c‬לכל ]‪ t ∈ [a, b‬כאשר ‪ c‬מספר חיובי קבוע אז ‪ ~r0 (t) · ~r(t) = 0‬לכל ]‪ .t ∈ [a, b‬מה‬ ‫משמעות גיאומטרית של השוויון הנ״ל?‬ ‫‪7‬‬ ‫אלכס גולדוורד‬ ‫שאלות בחדו״א וקטורי‬ ‫‪ .39‬חשב את האינטגרל ‪x2 dx + xydy‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪L‬‬ ‫כאשר עקום ‪ L‬הוא שפת הריבוע )‪ A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0, 1‬בכיוון‬ ‫נגד שעון‪.‬‬ ‫‪ .40‬לפניך שרטוט של שדה קבוע ~‪ F‬ועקום ‪.L‬‬ ‫כל‬ ‫הזכ‬ ‫הסבר מדוע ‪F~ d~r > 0‬‬ ‫‪R‬‬ ‫כאשר ‪ L‬מסלול שמתחיל בנקודה ‪ A‬ומסתיים בנקודה ‪.B‬‬ ‫‪L‬‬ ‫ות‬ ‫וי‬ ‫שמ‬ ‫ות‬ ‫ור‬ ‫‪8‬‬ ‫אלכס גולדוורד‬ ‫שאלות בחדו״א וקטורי‬ ‫אינטגרל כפול‬ ‫‪ .41‬חשב מסה של לוחית דקה בצורת משולש עם קודקודים )‪ (0, 0), (1, 0), (0, 2‬בעלת צפיפות ‪.f (x, y) = x2‬‬ ‫‪ .42‬חשב נפח של גוף שחסום ע״י משטחים ‪.z = 1, z = 3, y = 1, y = x2‬‬ ‫‪dxdy‬‬ ‫‪ .43‬חשב את האינטגרל‬ ‫‪x+y‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪s‬‬ ‫כאשר תחום ‪ D‬חסום ע״י קווים ‪ x = 0, y = 0, x + y = 1, x + y = 4‬בשתי דרכים‪.‬‬ ‫כל‬ ‫)א( ע״י חלוקה של התחום הנתון‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x = s − st‬‬ ‫)ב( ע״י הצבה‬ ‫‪‬‬ ‫‪y = st‬‬ ‫‪ .44‬חשב מסה של לוחית דקה עגולה ‪ x2 + y2 = 16‬בעלת צפיפות |‪ |xy‬עם חור ‪.x2 − 2x + y2 − 2y + 1 = 0‬‬ ‫הזכ‬ ‫‪ .45‬נתון תחום חסום ‪ D‬במישור כאשר שפה שלו היא עקום שמוגדר ע״י הצגה קוטבית‬ ‫הוכח ששטח של תחום ‪ D‬שווה‬ ‫‪r = f (θ), a ≤ θ ≤ b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫))‪(f (θ‬‬ ‫‪dθ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ות‬ ‫וי‬ ‫שמ‬ ‫ות‬ ‫ור‬ ‫‪9‬‬ ‫אלכס גולדוורד‬ ‫שאלות בחדו״א וקטורי‬ ‫שטף של שדה דו־־מימדי‪ ,‬משפט גרין‪ ,‬שדה דו־־מימדי משמר‬ ‫‪ .46‬חשב שטף של שדה ~‪ F‬דרך עקום ‪ L‬כאשר‬ ‫)א( }]‪F~ = (x − y)ˆi + 2yˆj, L : {(x, y) : x = cos t, y = 2 sin t, t ∈ [0, π/2‬‬ ‫)ב( }‪F~ = (x − y)ˆi + 2yˆj, L : {(x, y) : |x| + |y| = 4‬‬ ‫כל‬ ‫‪ .47‬נתון שדה וקטורי ‪ F~ = (y − 2x)ˆi + (x + 5y)ˆj‬ועקום ‪.L : x2 + 4y2 = 1‬‬ ‫‪H‬‬ ‫חשב את האינטגרל ‪ L F~ · nˆ dl‬כאשר ‪ ~n‬וקטור נורמל לעקום הנתון‪.‬‬ ‫‪ .48‬חשב את האינטגרל ‪(x2 − y)dx + (x + y 2 )dy‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪L+‬‬ ‫כאשר‬ ‫)א( עקום ‪ L‬שפת המשולש עם הקודקודים )‪.A(1, 2), B(−1, 3), C(0, −3‬‬ ‫הזכ‬ ‫)ב( עקום ‪ L‬שפת הטבעת ‪.1 ≤ x2 + y2 ≤ 9‬‬ ‫‪ .49‬הוכח בעזרת משפט גרין ששטח של תחום שחסום ע״י עקום סגור }]‪L : {(x, y) : x = x(t), y = y(t), t ∈ [0, 2π‬‬ ‫‪R‬‬ ‫ניתן לחשב ע״י נוסחה ‪. 21 02π (x(t)y0 (t) − x0 (t)y(t)) dt‬‬ ‫‪ˆi + ˆj‬‬ ‫‪ .50‬נתון שדה וקטורי‬ ‫|‪|x| + |y‬‬ ‫= ~‪F‬‬ ‫)א( מצא באיזה תחום השדה הנתון משמר‪.‬‬ ‫ות‬ ‫וי‬ ‫)ב( חשב את העבודה של השדה הנתון לאורך שפת הריבוע ‪ABCD‬‬ ‫בכיוון נגד כיוון השעון כאשר )‪.A(1, 0), B(0, 1), C(−1, 0), D(0, −1‬‬ ‫)ג( חשב את העבודה של השדה הנתון לאורך המסלול ‪.~r(t) = ˆi cos t + ˆj sin t, t : 0 → 2π‬‬ ‫שמ‬ ‫ות‬ ‫ור‬ ‫‪10‬‬ ‫אלכס גולדוורד‬ ‫שאלות בחדו״א וקטורי‬ ‫אינטגרל משטחי של פונקציה סקלרית ופונקציה וקטורית‬ ‫‪ .51‬חשב שטף של שדה וקטורי‬ ‫ˆ‪2‬‬ ‫‪F~ = zˆi + x k‬‬ ‫דרך משטח‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪S = z = x + y , −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1‬‬ ‫כל‬ ‫‪s‬‬ ‫‪ .52‬חשב את האינטגרל ‪ S F~ d~σ‬כאשר )‪ F~ = (y, −x, 4‬ו־ ‪ S‬הוא צד עליון של המשטח‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪z = 1 − x2 − y 2 , x ≥ 0, y ≥ 0‬‬ ‫הזכ‬ ‫‪ .53‬חשב שטף של שדה וקטורי )‪ F~ = (0, 0, 1‬דרך משטח ‪ S‬כאשר ‪ S‬הוא חלק מהגרף ‪ z = 1 − x2 − y2‬הנמצא‬ ‫מעל המישור ‪.z = 2x + 1‬‬ ‫ות‬ ‫וי‬ ‫שמ‬ ‫ות‬ ‫ור‬ ‫‪11‬‬ ‫אלכס גולדוורד‬ ‫שאלות בחדו״א וקטורי‬ ‫משפט סטוקס‪ .‬שדה משמר תלת מימדי‬ ‫‪ .54‬חשב את האינטגרל ‪ L F~ d~r‬כאשר ‪ F~ = −y3 , x3 , −z 3‬ומסלול ‪ L‬מוגדר כחיתוך של גליל ‪ x2 + y2 = 1‬ומישור‬ ‫‪ x + y + z = 1‬בכיוון תנועה על מסלול ‪ L‬נגד שעון )במבט מנקודה )‪.((5, 5, 5‬‬ ‫‬ ‫‪H‬‬ ‫‪ .55‬חשב את האינטגרל ‪rotF~ d~σ‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪s‬‬ ‫בכיוון נורמל למשטח ‪ S‬כלפי מטה כאשר‬ ‫כל‬ ‫)‪rotF~ = (x + y, x + z, y + z‬‬ ‫ומשטח ‪ S‬מוגדר כך‪:‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪S = (x, y, z) : z = x2 + y 2 , z ≤ 1‬‬ ‫‪L‬‬ ‫הזכ‬ ‫‪ .56‬חשב את האינטגרל ‪F~ d~r‬‬ ‫‪R‬‬ ‫כאשר‬ ‫ˆ‪F~ = 2xyzˆi + x2 zˆj + x2 y k‬‬ ‫ומסלול ‪ L‬מוגדר כך‬ ‫‪ˆ t : 0 → π/2‬‬ ‫‪~r(t) = cos tˆi + sin tˆj + tk,‬‬ ‫ות‬ ‫וי‬ ‫‪ .57‬חשב עבודה של כוח‬ ‫‪p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪F~ = (x, y, z), r = x2 + y 2 + z 2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫לאורך המסלול מנקודה )‪ A(0, 1, 0‬לנקודה )‪.B(1, 2, 3‬‬ ‫רמז‪ :‬הראה ש־ ~‪~ = F‬‬ ‫‪ ∇u‬כאשר ‪.u = r‬‬ ‫שמ‬ ‫ות‬ ‫ור‬ ‫‪12‬‬ ‫אלכס גולדוורד‬ ‫שאלות בחדו״א וקטורי‬ ‫משפט גאוס‬ ‫‪ .58‬חשב את האינטגרל ‪F~ d~s‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪v‬‬ ‫בכיוון נורמל למשטח ‪ S‬כלפי חוץ כאשר‬ ‫)א( ‪ F~ = x3 , y3 , z 3‬ומשטח סגור ‪ S‬מוגדר ע״י משוואות ‪.x2 + y2 = 4, z = 0, z = 3‬‬ ‫‬ ‫)ב( ‪ F~ = x2 + y, xy, −2xz − y‬ומשטח סגור ‪ S‬מוגדר ע״י משוואות ‪.x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0‬‬ ‫‬ ‫כל‬ ‫)ג(‬ ‫‬ ‫‪ F~ = x2 , y 2 , z 2‬ומשטח סגור ‪ S‬מוגדר ע״י משוואות ‪x2 + y 2 , z = 1‬‬ ‫‪ .59‬חשב את האינטגרל ‪F~ d~s‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪p‬‬ ‫= ‪.z‬‬ ‫בכיוון נורמל למשטח ‪ S‬כלפי מעלה כאשר‬ ‫)א( )‪ F~ = (x, y, 2z‬ומשטח ‪ S‬מוגדר ע״י משוואה ‪.z ≥ 0 ,z = 1 − x2 − y2‬‬ ‫‬ ‫)ב( ‪ F~ = 0, 0, z 2‬ומשטח ‪ S‬מוגדר ע״י משוואה ‪1 − x2 − y 2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫)ג( )‪ F~ = (x, y, 2z‬ומשטח ‪ S‬חלק מחרוט ‪ z = x2 + y2‬שנמצא בין המישורים ‪.z = 1, z = 2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫= ‪.z‬‬ ‫הזכ‬ ‫ות‬ ‫וי‬ ‫שמ‬ ‫ות‬ ‫ור‬ ‫‪13‬‬ ‫אלכס גולדוורד‬ ‫שאלות בחדו״א וקטורי‬ ‫תשובות‬ ‫√‬ ‫כל‬ ‫‪11 .x2 − xy = 6 .5‬א‪ .9 .5/ 2 .‬בנקודות )‪ (0, b‬כאשר ‪.b 6= 0‬‬ ‫‪ .10‬בנקודה )‪ (3, 3‬לאף ערך של ‪ .b‬בנקודה )‪ (2, −1‬עבור ‪.b = 0‬‬ ‫‪11‬ד‪11 .fx0 (2, −1) = 1, fy0 (−1, 2) = −2 .‬ה‪ .‬בנקודות )‪ (a, a‬כאשר ‪.a 6= 0‬‬ ‫‪ .15‬לא דיפרנציאבילית ב־ )‪ (0, 0‬וכן דיפרנציאבילית ב־ )‪.(0, 1‬‬ ‫‪ .16‬כן דיפרנציאבילית‪ .‬הנגזרות החלקיות כן קיימות‪ .‬הנגזרת לפי ‪ y‬לא רציפה ונגזרת לפי ‪ x‬כן רציפה‪.‬‬ ‫‪20 .f~v0 (1, 0) = 0.7 .19 .a + b .17‬א‪20 ..f~v0 (2, 1) = 11/20 .‬ב‪.fx0 (1, 2) = −1/2, fy0 (1, 2) = 1/4 .‬‬ ‫‪24 14/15 .23 .−217x + 84y − 56z + 798 = 0 .21‬א‪24 .1 + x + 1/2(x2 − y2 ) .‬ב‪24 .x + xy .‬ג‪.y + xy − 1/2y2 .‬‬ ‫‪27‬א‪27 .(2, y) .‬ב‪ .‬אין נקודות קיצון‪27 .‬ג‪.(0, 0) .‬‬ ‫√‬ ‫ √‬ ‫√‬ ‫‪ .30‬ערך מקסימלי‪ .f 8, − 8 = 16 + 3 8 :‬ערך מינימלי‪.f (−0.5, 1) = −1.25 :‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√ √‬ ‫√‬ ‫‪32‬א‪32 .(− 2, 2, 2) .‬ב‪32 .( 2/2, 2/2, π/4 + πn) .‬ג‪37 .22/3 .35 .−39 .34 .(1, 0, 0) .‬א‪ 8 .‬שניות‪37 .‬ב‪63 .‬‬ ‫√‬ ‫שניות‪37 .‬ג‪ 8/ 2 .‬שניות‪38 .‬ג‪ .‬העקום )‪ ~r(t‬נמצא על פני כדור עם רדיוס ‪ c‬ומשיק לעקום הזה מאונך לוקטור רידיוס‬ ‫בנקודת ההשקה‪46 .128 − π .44 .3 .43 .8/3 .42 .1/6.41 .1/2 .39 .‬א‪46 .3π/2 − 2 .‬ב‪48 .3π/2 .47 .24 .‬א‪48 .11 .‬ב‪.‬‬ ‫‪50 .16π‬א‪50 .{(x, y) : xy > 0} , {(x, y) : xy < 0} .‬ב‪50 .0 .‬ג‪.π .53 .π .52 .4/3 .51 .0 .‬‬ ‫√‬ ‫‪58 . 14 − 1 .57 .0 .56 .−π .55 .3π/2 .54‬א‪58 .108π .‬ב‪58 .1/24 .‬ג‪59 .π/2 .‬א‪59 .2π .‬ב‪59 .π/2 .‬ג‪.14π/3 .‬‬ ‫הזכ‬ ‫ות‬ ‫וי‬ ‫שמ‬ ‫ות‬ ‫ור‬ ‫‪14‬‬ ‫אלכס גולדוורד‬ ‫שאלות בחדו״א וקטורי‬ ‫איור ‪ :1‬תשובות לתרגיל ‪3‬‬ ‫כל‬ ‫הזכ‬ ‫איור ‪:2‬‬ ‫איור ‪:3‬‬ ‫‪3‬א‪ ,‬לא חסום‪ ,‬פתוח‬ ‫‪3‬ב‪ ,‬חסום וסגור‬ ‫ות‬ ‫וי‬ ‫איור ‪:4‬‬ ‫‪3‬ג‪ ,‬חסום ופתוח‬ ‫איור ‪:5‬‬ ‫‪3‬ד‪ ,‬חסום‪ ,‬לא סגור ולא פתוח‬ ‫איור ‪:6‬‬ ‫‪3‬ה‪ ,‬לא חסום‪ ,‬סגור‬ ‫שמ‬ ‫‪3‬ו‪ ,‬לא חסום‪ ,‬פתוח‬ ‫‪15‬‬ ‫ות‬ ‫ור‬ ‫איור ‪:7‬‬ ‫איור ‪:8‬‬ ‫‪3‬ז‪ ,‬לא חסום‪ ,‬סגור‬