‫אלכס גולדוורד‬ ‫שאלות בחדו״א וקטורי‬ ‫תרגילים נוספים‬ ‫‪) .1‬הצגה פרמטרית של משטח סיבוב(‪ .‬משטח ‪ S‬מוגדר כך‪:‬‬ ‫]‪S : ~r(u, v) = f (v) cos uî + f (v) sin uĵ + v k̂, u ∈ [0, 2π], v ∈ [a, b‬‬ ‫בחתך של המשטח הנתון ע״י מישור אופקי ‪ z = v‬מתקבל מעגל עם רדיוס )‪.f (v‬‬ ‫כל‬ ‫‪p‬‬ ‫)א( הוכח ששטח של משטח ‪ S‬ניתן לחשב ע״י הנוסחה ‪f (v) 1 + f 0 (v)2 dv‬‬ ‫‪Rb‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫)ב( חשב בעזרת נוסחה הנ״ל שטח פנים של ספרה עם רדיוס ‪.R‬‬ ‫)ג( נתונה חצי ספרה ‪ .z ≥ 0, x2 + y2 + z 2 = R2‬נחתוך אותה ל־‪ 10‬רצועות ע״י מישורים אופקיים‬ ‫‪ .z = 0.1R, z = 0.2R, . . . , z = 0.9R‬מצא רצועה בעלת שטח הגדול ביותר‪.‬‬ ‫הזכ‬ ‫תשובה‪ :‬ב‪ 4πR2 .‬ג‪ .‬לכל הרצועות יש אותו שטח‬ ‫‪ .2‬חשב שטף של השדה ̂‪ F~ = xî + yĵ + 0k‬דרך הרצועה ‪.S = (x, y, z) : x2 + y2 + z 2 = R2 , 0.3R ≤ z ≤ 0.6R‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫תשובה‪0.474πR3 :‬‬ ‫‪ .3‬חשב שטף של שדה ̂‪ F~ = 2xî − yĵ + z k‬דרך משטח סגור שמוגדר ע״י הצגה פרמטרית‬ ‫‪0 ≤ u < 2π, 0 ≤ v ≤ 1‬‬ ‫‪~r(u, v) = v cos uî + v sin uĵ + v k̂,‬‬ ‫ות‬ ‫וי‬ ‫בשתי דרכים‪ .‬רמז לאחת מהן‪ :‬נפח של חרוט עם רדיוס ‪ R‬וגובה ‪ h‬שווה ‪. 31 πR2 h‬‬ ‫תשובה‪2π/3 :‬‬ ‫‪~ 1, G‬‬ ‫‪) rotG‬רכיבים של ‪~ 2‬‬ ‫‪~ 1 = rotG‬‬ ‫‪ .4‬נתון ש־ ‪~ 2‬‬ ‫‪ G‬פונקציות עם נגזרות חלקיות רציפות לכל )‪.((x, y, z‬‬ ‫‪~1 − G‬‬ ‫הוכח ש־ ‪~ 2 = ∇u‬‬ ‫‪ G‬כאשר ‪ u‬פונקציה סקלרית‪.‬‬ ‫‪ .5‬נתון שדה וקטורי ̂‪.F~ = (z − y)î + (x − z)ĵ + (y − x)k‬‬ ‫שמ‬ ‫‪ G‬כך ש־ ~‪~ = F‬‬ ‫)א( הראה שהשדה הנתון סולנואידלי ומצא פוטנציאל וקטורי שלו )שדה וקטורי ~‬ ‫‪.(rotG‬‬ ‫)ב( מצא שדה וקטורי נוסף ̂‪ B~ = î + Qĵ + Rk‬כך ש־ ~‪.rotB~ = F‬‬ ‫תשובה‪ :‬א‪~ = 0î + (xy − 1/2x2 )ĵ + (xz + yz − 1 x2 − 1 y 2 )k̂ .‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ב‪ .‬אחת מהתשובות האפשריות‪.B~ = î + (xy − 1/2x2 )ĵ + (xz + yz − 12 x2 − 12 y2 )k̂ :‬‬ ‫ות‬ ‫ור‬ ‫תשובה כללית‪~ + ∇u :‬‬ ‫‪ B~ = G‬כאשר ‪ u‬פונקציה סקלרית כך ש־ ̂‪.∇u = î + u0y ĵ + u0z k‬‬ ‫‪1‬‬