‫פרק ‪ – 6‬דיפרנציאביליות פונקציה בשני משתנים‬ ‫הגדרה‬ ‫תהי פונקציה‬ ‫בנקודה‬ ‫𝑏 ‪𝑎,‬‬ ‫𝑏 ‪ . 𝑎,‬נאמר ש‪-‬‬ ‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬המוגדרת בסביבה של נקודה‬ ‫𝑏 ‪𝑎,‬‬ ‫אם קיימות הנגזרות החלקיות בנקודה‬ ‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬דיפרנציאבילית‬ ‫ובנוסף ניתן להציג את הביטוי‬ ‫𝑘 ‪ 𝑓 𝑎 + ℎ, 𝑏 +‬ע"י‪:‬‬ ‫הבא‬ ‫𝑘 ‪𝑓 𝑎 + ℎ, 𝑏 + 𝑘 = 𝑓 𝑎, 𝑏 + 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 ∙ ℎ + 𝑓𝑦 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑘 + 𝑟 ℎ,‬‬ ‫כאשר‪:‬‬ ‫𝑘 ‪𝑟 ℎ,‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ℎ2 + 𝑘 2‬‬ ‫‪ℎ ,𝑘 → 0,0‬‬ ‫אם ערכיהם של ‪ ℎ‬ו‪ 𝑘 -‬קטנים מספיק (שואפים לאפס)‪ ,‬הנקודה‬ ‫𝑘 ‪ℎ,‬‬ ‫קרובה מספיק לנקודה‬ ‫𝑏 ‪ , 𝑎,‬והמרחק ביניהן הוא ‪. ℎ2 + 𝑘 2‬‬ ‫עבור המחובר‬ ‫𝑘 ‪ 𝑟 ℎ,‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪ℎ2 + 𝑘 2 = 0‬‬ ‫מהגבול ‪= 0‬‬ ‫𝑘‪𝑟 ℎ ,‬‬ ‫‪ℎ 2 +𝑘 2‬‬ ‫𝑘‪𝑟 ℎ ,‬‬ ‫אז 𝜀 <‬ ‫‪ℎ 2 +𝑘 2‬‬ ‫‪→ 0,0‬‬ ‫𝑘‪ lim ℎ ,‬נובע כי לכל ‪ ,𝜀 > 0‬אם הנקודה‬ ‫𝑘 ‪ℎ,‬‬ ‫‪ ,‬כלומר ‪< 𝜀 ∙ ℎ2 + 𝑘 2‬‬ ‫המסקנה היא כי עבור הנקודה‬ ‫𝑘 ‪ 𝑟 ℎ,‬ולקרב את‬ ‫הרכיב‬ ‫𝑘 ‪𝑟 ℎ,‬‬ ‫= 𝑘 ‪𝑟 ℎ,‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ℎ2 + 𝑘 2‬‬ ‫‪ℎ ,𝑘 → 0,0‬‬ ‫‪ℎ ,𝑘 → 0,0‬‬ ‫קרובה מספיק ל‪-‬‬ ‫‪0,0‬‬ ‫𝑘 ‪. 𝑟 ℎ,‬‬ ‫𝑘 ‪𝑎 + ℎ, 𝑏 +‬‬ ‫הקרובה מספיק לנקודה‬ ‫𝑏 ‪𝑎,‬‬ ‫ניתן להזניח את‬ ‫𝑘 ‪ 𝑓 𝑎 + ℎ, 𝑏 +‬כך ש‪:‬‬ ‫𝑘 ∙ 𝑏 ‪𝑓 𝑎 + ℎ, 𝑏 + 𝑘 ≅ 𝑓 𝑎, 𝑏 + 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 ∙ ℎ + 𝑓𝑦 𝑎,‬‬ ‫אם נסמן 𝑥 = ‪ 𝑎 + ℎ‬ו‪ 𝑏 + ℎ = 𝑦 -‬אז עבור ערכים מספיק קטנים של ‪ ℎ‬ו‪ 𝑘 -‬הנקודה‬ ‫קרובה מספיק לנקודה‬ ‫𝑦 ‪𝑥,‬‬ ‫𝑏 ‪ , 𝑎,‬ולכן ניתן לרשום‪:‬‬ ‫𝑏 ‪𝑓 𝑎 + ℎ, 𝑏 + 𝑘 ≅ 𝑓 𝑎, 𝑏 + 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑥 − 𝑎 + 𝑓𝑦 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑦 −‬‬ ‫נסמן‬ ‫𝑘 ‪ 𝑧 = 𝑓 𝑎 + ℎ, 𝑏 +‬ונקבל‪:‬‬ ‫𝑏 ‪𝑧 = 𝑓 𝑎, 𝑏 + 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑥 − 𝑎 + 𝑓𝑦 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑦 −‬‬ ‫‪𝑧 − 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑥 − 𝑓𝑦 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑦 − 𝑓 𝑎, 𝑏 + 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑎 + 𝑓𝑦 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑏 = 0‬‬ ‫המשוואה האחרונה מתארת מישור במרחב‪.‬‬ ‫קיבלנו כי אם 𝑓 דיפרנציאבילית בנקודה‬ ‫של‬ ‫𝑏 ‪𝑎,‬‬ ‫נקודה‬ ‫𝑏 ‪𝑎,‬‬ ‫אז ניתן לקרב את ערכי 𝑓 בנקודות בסביבה‬ ‫ע"י המישור ‪ 𝑧 − 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑥 − 𝑓𝑦 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑦 − 𝑓 𝑎, 𝑏 + 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑎 + 𝑓𝑦 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑏 = 0‬העובר דרך‬ ‫𝑏 ‪𝑎, 𝑏, 𝑓 𝑎,‬‬ ‫עם וקטור ניצב‬ ‫‪.𝑛 = −𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 , −𝑓𝑦 𝑎, 𝑏 , 1‬‬ ‫מישור זה נקרא המישור המשיק למשטח‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬בנקודה‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑏 ‪. 𝑎, 𝑏, 𝑓 𝑎,‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫משפט ‪1‬‬ ‫אם פונקציה‬ ‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬דיפרנציאבילית בנקודה‬ ‫𝑏 ‪𝑎,‬‬ ‫אזי‬ ‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬רציפה בנקודה‬ ‫𝑏 ‪. 𝑎,‬‬ ‫משפט ‪2‬‬ ‫אם פונקציה‬ ‫בנקודה‬ ‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬דיפרנציאבילית בנקודה‬ ‫𝑏 ‪𝑎,‬‬ ‫אזי הנגזרות החלקיות של‬ ‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬קיימות‬ ‫𝑏 ‪. 𝑎,‬‬ ‫משפט ‪3‬‬ ‫אם הנגזרות החלקיות של פונקציה‬ ‫פונקציה‬ ‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬מוגדרות בסביבת הנקודה‬ ‫𝑏 ‪𝑎,‬‬ ‫ורציפות בה אזי‬ ‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬דיפרנציאבילית‪.‬‬ ‫משפט ‪4‬‬ ‫פונקציה‬ ‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬דיפרנציאבילית בנקודה‬ ‫‪=0‬‬ ‫𝑏 ‪𝑎,‬‬ ‫אם ורק אם מתקיים‪:‬‬ ‫𝑘 ∙ 𝑏 ‪𝑓 𝑎 + ℎ, 𝑏 + 𝑘 − 𝑓 𝑎, 𝑏 − 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 ∙ ℎ − 𝑓𝑦 𝑎,‬‬ ‫‪ℎ2 + 𝑘 2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ℎ ,𝑘 → 0,0‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫נמצא את תחום הדיפרנציאביליות של הפונקציה‬ ‫𝑓 כאשר‪:‬‬ ‫𝑦𝑥‬ ‫‪+ 𝑦2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪𝑥, 𝑦 ≠ 0,0‬‬ ‫‪𝑥, 𝑦 = 0,0‬‬ ‫‪𝑥2‬‬ ‫= 𝑦 ‪𝑓 𝑥,‬‬ ‫כדי למצוא באיזה תחום 𝑓 דיפרנציאבילית‪ ,‬נמצא תחילה את התחום בו 𝑓 רציפה‪:‬‬ ‫לכל‬ ‫‪𝑥, 𝑦 ≠ 0,0‬‬ ‫הפונקציה‬ ‫𝑦𝑥‬ ‫‪𝑥 2 +𝑦 2‬‬ ‫= 𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬רציפה‪ .‬נחשב נגזרות חלקיות‪:‬‬ ‫𝑦 ‪𝜕𝑓 𝑦 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 2‬‬ ‫=‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫‪𝑥 2 + 𝑦2 2‬‬ ‫‪𝜕𝑓 𝑥 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥𝑦 2‬‬ ‫=‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫‪𝑥 2 + 𝑦2 2‬‬ ‫הנגזרות החלקיות לכל ‪𝑥, 𝑦 ≠ 0,0‬‬ ‫דיפרנציאבילית לכל ‪. 𝑥, 𝑦 ≠ 0,0‬‬ ‫קיימות ורציפות ולכן הפונקציה‬ ‫נבדוק האם הפונקציה רציפה בנקודה‬ ‫התלויות בפרמטר 𝑚 כאשר 𝑥𝑚 = 𝑦‪:‬‬ ‫‪𝑚𝑥 2‬‬ ‫𝑚‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑥 𝑚‪𝑥 +‬‬ ‫‪1 + 𝑚2‬‬ ‫הגבול של 𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬כאשר ‪𝑥, 𝑦 → 0,0‬‬ ‫דיפרנציאבילית בנקודה ‪0,0‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫𝑦 ‪𝑓 𝑥,‬‬ ‫‪ . 𝑥, 𝑦 = 0,0‬לצורך כך נבחר סדרה של עקומות‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪𝑥 ,𝑦 → 0,0‬‬ ‫𝑦𝑥‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑥𝑚=𝑦| ‪𝑥 + 𝑦 2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪𝑥,𝑦 → 0,0‬‬ ‫תלוי בפרמטר 𝑚 ולכן אינו קיים‪ ,‬ולכן‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬אינה‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫תרגילים‬ ‫‪ .1‬האם הפונקציה ‪𝑥 2 + 𝑦 2‬‬ ‫‪ .2‬האם הפונקציה )𝑦𝑥(‪cos‬‬ ‫= 𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬דיפרנציאבילית בנקודה‬ ‫𝑦‪2 +3‬‬ ‫‪? 0,0‬‬ ‫𝑥 𝑒 = 𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬דיפרנציאבילית לכל נקודה‬ ‫‪ .3‬האם הפונקציה 𝑓 דיפרנציאביליות בנקודה‬ ‫‪0,0‬‬ ‫𝑦 ‪? 𝑥,‬‬ ‫𝑦‪𝑥2‬‬ ‫‪𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑦 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪𝑥, 𝑦 ≠ 0,0‬‬ ‫כאשר‪:‬‬ ‫‪𝑥, 𝑦 = 0,0‬‬ ‫(השתמש במשפט ‪)4‬‬ ‫‪ .4‬האם הפונקציה 𝑓 דיפרנציאביליות בנקודה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑥, 𝑦 ≠ 0,0‬‬ ‫‪: 0,0‬‬ ‫‪+ 𝑦2‬‬ ‫‪𝑥2‬‬ ‫‪𝑥, 𝑦 = 0,0‬‬ ‫(השתמש במשפט ‪)4‬‬ ‫‪𝑥 2 + 𝑦 2 sin‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .5‬האם הפונקציה 𝑓 דיפרנציאביליות בנקודה‬ ‫‪0,0‬‬ ‫‪𝑥, 𝑦 ≠ 0,0‬‬ ‫כאשר‪:‬‬ ‫‪𝑥, 𝑦 = 0,0‬‬ ‫𝑦𝑥‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫פתרונות‬ ‫‪ .1‬לא‬ ‫‪ .2‬כן‬ ‫‪ .3‬לא‬ ‫‪ .4‬כן‬ ‫‪ .5‬לא‬ ‫הגדרה‬ ‫אם פונקציה‬ ‫בנקודה‬ ‫𝑏 ‪𝑎,‬‬ ‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬דיפרנציאבילית בנקודה‬ ‫𝑏 ‪𝑎,‬‬ ‫𝑦 ‪𝑓 𝑥,‬‬ ‫אז מגדירים את הדיפרנציאל של‬ ‫כפונקציה לינארית ע"י‪𝑑𝑓 𝑎,𝑏 = 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 ∙ ℎ + 𝑓𝑦 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑘 :‬‬ ‫הדיפרנציאל 𝑏‪ 𝑑𝑓 𝑎,‬מקרב את השינוי של הפונקציה מהנקודה‬ ‫𝑘 ‪ , 𝑎 + ℎ, 𝑏 +‬ומתקיים‪:‬‬ ‫𝑏 ‪𝑎,‬‬ ‫לנקודה קרובה‬ ‫𝑏 ‪.𝑑𝑓 𝑎,𝑏 ℎ, 𝑘 = 𝑓 𝑎 + ℎ, 𝑏 + 𝑘 − 𝑓 𝑎,‬‬ ‫סימון נוסף לדיפרנציאל‪:‬‬ ‫𝑏 ‪.∆𝑓 𝑎,‬‬ ‫דוגמא‬ ‫נתונה הפונקציה 𝑦𝑥 𝑒 ‪ .𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2‬נמצא קירוב של ערך הפונקציה בנקודה‬ ‫נחשב נגזרות חלקיות של הפונקציה‬ ‫‪. 1.25,0.3‬‬ ‫𝑦 ‪:𝑓 𝑥,‬‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫𝑦𝑥 𝑒𝑦 ‪= 2𝑥𝑒 𝑥𝑦 + 𝑥 2‬‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫𝑦𝑥 𝑒 ‪= 𝑥 3‬‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫הנגזרות החלקיות של הפונקציה‬ ‫דיפרנציאבילית לכל‬ ‫נגדיר‪, 𝑎, 𝑏 = 1,0 :‬‬ ‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬קיימות ורציפות לכל‬ ‫𝑦 ‪𝑥,‬‬ ‫ולכן הפונקציה‬ ‫𝑦 ‪ . 𝑥,‬כלומר‪ ,‬ניתן לבצע קירוב של ערך הפונקציה הנקודה‬ ‫𝑦 ‪𝑓 𝑥,‬‬ ‫‪. 1.25,0.3‬‬ ‫‪ . ℎ, 𝑘 = 0.25,0.3‬נקבל‪:‬‬ ‫‪𝑓 𝑎 + ℎ, 𝑏 + 𝑘 = 𝑓 𝑎, 𝑏 + 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 ∙ ℎ + 𝑓𝑦 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑘 = 𝑓 1,0 + 𝑓𝑥 1,0 ∙ 0.25 + 𝑓𝑦 1,0 ∙ 0.3 = 1.8‬‬ ‫קיבלנו כי הערך של הפונקציה‬ ‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬בנקודה‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪1.25,0.3‬‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= 𝑦 ‪𝑓 𝑥,‬‬ ‫הוא בקירוב ‪.𝑓 1.25,0.3 ≅ 1.8 :1.8‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪ .1‬תרשים עבור המשפטים שהוצגו בפרק זה‪:‬‬ ‫𝑓‬ ‫𝑓 רציפה‬ ‫𝑓 לא‬ ‫רציפה‬ ‫דיפרנציאבילית‬ ‫𝑓 לא‬ ‫דיפרנציאבילית‬ ‫נגזרות חלקיות‬ ‫לא קיימות או‬ ‫לא רציפות‬ ‫נגזרות חלקיות‬ ‫קיימות ורציפות‬ ‫‪ .2‬ניתן לבדוק דיפרנציאביליות ע"י חישוב הגבול‪:‬‬ ‫𝑘 ∙ 𝑏 ‪𝑓 𝑎 + ℎ, 𝑏 + 𝑘 − 𝑓 𝑎, 𝑏 − 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 ∙ ℎ − 𝑓𝑦 𝑎,‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪ℎ2 + 𝑘 2‬‬ ‫‪ .3‬קירוב ערך הפונקציה‬ ‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬בנקודה‬ ‫𝑘 ‪𝑎 + ℎ, 𝑏 +‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ℎ ,𝑘 → 0,0‬‬ ‫הוא‪:‬‬ ‫𝑘 ∙ 𝑏 ‪𝑓 𝑎 + ℎ, 𝑏 + 𝑘 = 𝑓 𝑎, 𝑏 + 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 ∙ ℎ + 𝑓𝑦 𝑎,‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪[email protected]‬‬