תת מרחב, בסיס, מימד
כל פרק 5 תת מרחב ,בסיס ,מימד הזכ נדמיין לעצמנו נמלה שמתרוצצת במישור מסויים במרחב .על מנת לתאר את תנועתה אין צורך בשלוש קואורדינטות אלא מספיק לבחור מערכת עם שני צירים שנמצאת במישור הנתון ולתאר את תנועה של הנמלה בעזרת קואורדינטות במערכת הזאת .תמיד אפשר לבחור מערכת צירים כך שהראשית שלה תהיה בנקודה בה נמצאת הנמלה ברגע ההתחלתי ולכן בדיון הנ״ל נדבר רק על המישור שעובר דרך הראשית. ות וי 5.1 תת מרחב למישור במרחב שעובר דרך הראשית יש שתי תכונות מכריעות .סכום של שני וקטורים ששייכים למישור הזה גם שייך למישור הנתון .מכפלה של כל וקטורי שנמצא במישור הנתון בכל סקלר גם שייכת למישור הנתון .אותה תכונה יש לכל ישר במרחב שעובר דרך הראשית .ע״י שתי תכונות האלה נגדיר מושג של תת מרחב. (1לכל זוג x; y 2 Uגם .(x + y) 2 U שמ הגדרה 5.1.1קבוצת וקטורים Uשל מרחב וקטורי Rn נקראת תת מרחב אם (2לכל x 2 Uגם (x) 2 Uלכל . 2 R ניתן לנסח את ההגדרה הנ״ל גם כך .קבוצת וקטורים Uנקראת תת מרחב אם לכל ; מתקיים .x + y 2 Uמהגדרה של תת מרחב נובע שבכל תת מרחב יש וקטור אפס כי אם Uתת מרחב ו־ x 2 Uאז .0 x = 0 2 U דוגמה 5.1.1 # ) " x1 2 R2 : x1 + x2 0 x2 79 = ( x =U ות ור 2R 2U x; yולכל פרק .5תת מרחב ,בסיס ,מימד .5.2בסיס ומימד נבדוק האם הקבוצה Uתת מרחב .ניקח שני וקטורים ששייכים לקבוצה Uונבדוק האם סכום שלהם גם שייך לקבוצה .U " # y1 ; y 1 + y2 0 y2 = # y x1 ;; x1 + x2 0 x2 " = x # כל x1 + y1 ; (x1 + y1 ) + (x2 + y2 ) = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 ) 0 x2 + y2 " = +y x מתקבלת מסקנה שהסכום כן שייך לקבוצה .Uנבדוק האם מכפלה של וקטור ששייך לקבוצה הנתונה בסקלר כלשהו גם שייכת לקבוצה הנתונה. # # " x1 x1 = ; x1 + x2 0; x x2 x2 " = x הזכ כאשר x1 + x2 > 0ו־ < 0מקבלים ש־ x1 + x2 = (x1 + x2 ) < 0ולכן הווקטור xלא שייך לקבוצה .Uמסקנה היא שהקבוצה Uלא תת מרחב. דוגמה 5.1.2 U = Span fa1 ; : : : ; ak g ות וי נוכיח ש־ Uתת מרחב .לכל x; y 2 Uמתקיים = x1 a1 + : : : + xk ak ; y = y1 a1 + : : : + yk ak x + y = (x1 + y1 )a1 + : : : + (xk + yk )ak 2 U אם ] A = [a1 ; : : : ; akאז לתת מרחב Span fa1 ; : : : ; ak g ונסמן אותו ב־ .ColA x נקרא תת מרחב שנפרש ע״י וקטורי עמודות של מטריצה A שמ דוגמה 5.1.3נוכיח שקבוצת פתרונות של מערכת משוואןת הומוגנית היא תת מרחב .תהיה Aמטריצה .m n נקרא לקבוצת הפתרונות של מערכת משוואות הומוגנית עם מטריצת מקדמים Aבשם .U U = fx 2 Rn : Ax = 0g ניקח שני וקטורים .x; y 2 U A(x + y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0 5.2 בסיס ומימד מושג שמתאר באופן פורמלי מה זה מערכת צירים הוא מושג של בסיס. א .גולדוורד ,ל .קרפ 80 ות ור לכן Uתת מרחב .נסמן אותו ב־ .NulA פרק .5תת מרחב ,בסיס ,מימד .5.2בסיס ומימד הגדרה 5.2.1קבוצת וקטורים fa1 ; : : : ; ak gנקראת בסיס של תת מרחב Uאם כל וקטור u 2 Uניתן לבטא באופן יחיד כצירוף לינארי של וקטורי הקבוצה הנתונה. דוגמה 5.2.1הקבוצה fe1 ; e2 ; : : : ; en gכאשר 2 3 0 0 כל 6 7 6 7 6 7 6.7 6 .. 7 4 5 2 3 1 6 7 607 6 7 4.5 4.5 0 6 7 617 6 7 2 3 = = 66 .. 77 ; e2 = 66 .. 77 ; : : : ; en e1 הזכ 1 0 מהווה בסיס של Rnכי כל וקטור u = [x1 ; x2 ; : : : ; xn ]T 2 Rnניתן לבטא כ־ u = x1 e1 + x2 e2 + : : : + xn enוביטוי הנ״ל יחיד כי אם u = y1 e1 + y2 e2 + : : : + yn enאז (x1 y1 )e1 + (x2 y2 )e2 + : : : + (xn yn )en = 0ולכן x1 = y1 ; x2 = y2 ; : : : ; xn = ynמשום שהקבוצה fe1 ; e2 ; : : : ; en gבלתי תלויה. משפט 5.2.1קבוצת וקטורים = fa1 ; : : : ; ak g תלויה ו־ .SpanfAg = U 0 Aשל תת מרחב Uמהווה בסיס שלו אם ורק אם Aבלתי הוכחה. ות וי (1אם Aבסיס של Uאז לפי הגדרה של בסיס כל וקטור של Uובין היתר וקטור אפס ניתן לבטא באופן יחיד כצירוף לינארי של וקטורי .Aמפה נובע לפי הגדרה של קבוצת וקטורים להיות בלתי תלויה שהקבוצה Aאכן בלתי תלויה. אז לכל u 2 Uמתקיים (2אם Aבלתי תלויה ו־ SpanfAg = U .u = x1 a1 + : : : + xk akאם יש ביטוי נוסף לווקטור ,uכלומר u = y1 a1 + : : : + yk akאז מתקיים (x1 y1 )a1 + : : : + (xk yk )ak = 0ןמפה נובע ש־ .x1 = y1 ; : : : ; xk = ykלפה הגדרה של בסיס מתקבלת מסקנה שהקבוצה Aבסיס של .U שמ נעבור להגדרה של מימד. הגדרה 5.2.2יהיה Uתת מרחב .מספר מקסימלי של וקטורי Uשמרכיבים קבוצה בלתי תלויה לינארית נקרא מימד של .Uנסמן אותו .dim U לפי הגדרה הנ״ל .dim f0g = 0 משפט 5.2.2 .1אם קיים בסיס של תת מרחב Uשמכיל rוקטורים אז dim U = r וכל בסיס של Uמורכב בדיוק מ־ rוקטורים. .2אם dim U = r בסיס של .U א .גולדוורד ,ל .קרפ ות ור במשפט הבא אנחנו נראה קשר בין מושגים של בסיס ומימד. אז קיים בסיס של Uשמכיל rוקטורים וכל קבוצה בלתי תלויה שמכילה rוקטורים 81 פרק .5תת מרחב ,בסיס ,מימד .5.2בסיס ומימד הוכחה. כל (1נניח שהקבוצה A = fa1 ; : : : ; ar gבסיס של .Uניקח קבוצה כלשהי בתת מרחב Uשמכילה r + 1 וקטורים ,נגיד fu1 ; : : : ; ur+1 gונוכיח שהיא תלויה לינארית .כל וקטור של הקבוצה הזאת ניתן לבטא כצירוף לינארי של הוקטורים מקבוצה .A u1 = x11 a1 + : : : + xr1 ar = x1;r+1 a1 + : : : + xr;r+1 ar ur+1 1 u1 + : : : + r+1 ur+1 = 0 (x11 1 + : : : + x1;r+1 r+1 )a1 + : : : + (xr1 1 + : : : + xr;r+1 r+1 )ar = 0 הזכ הקבוצה Aבלתי תלויה לינארית ולכן מתקבלת מערכת משוואות הומוגנית + : : : + x1;r+1 r+1 = 0 8 > > >x11 1 > > < > > > > > : וקטורים בלתי תלויים. (2נניח ש־ = r ות וי xr1 1 + : : : + xr;r+1 r+1 = 0 עם rמשוואות ו־ r + 1נעלמים .1 ; : : : ; r+1משום שיש לה יותר נעלמים מאשר משוואות יש לה אין סוף פתרונות .לכן לפחות אחד מהמספרים 1; : : : ; r+1שונה מאפס .לכן הקבוצה fu1; : : : ; ur+1g תלויה לינארית .מפה נובע שכל קבוצה ב־ Uשמכילה יותר מ־ rוקטורים תלויה לינארית וקיימת קבוצה בלתי תלויה שמכילה בדיוק rוקטורים )קבוצה .(Aלכן לפי הגדרה .dim U = rאם קיים בסיס אחר של Uשמכיל sוקטורים אז לפי מה שנעשה dim U = sולכן s = rכי מימד הוא מספר מקסימלי של .dim Uאז קיימת קבוצה בלתי תלויה לינארית של וקטורים מ־ ,Uנגיד .A = fa1 ; : : : ; ar g לפי הגדרה של מימד הקבוצה fx; a1 ; : : : ; ar gתלויה לינארית לכל 2U .x לכן קיימים מספרים דוגמה 5.2.2 כי הווקטורים הנתונים מרכיבים בסיס של .U דוגמה 5.2.3נתונה מטריצה א .גולדוורד ,ל .קרפ 3 82 > > <6 6 4 > > : 2 U = Span 1 4 4 77 6 6 A = 4 2 8 5 87 5 3 12 6 9 82 ות ור dim U = 2 4 5 6 1 2 3 שמ ; 1 ; : : : ; rכך שלפחות אחד מהם שונה מאפס שמקיימים את השוויון = 0 אם = 0אז הקבוצה Aתלויה לינארית וזה סותר את הנתון .לכן 6= 0ומפה נובע ש־ = x . 1 a1 : : : r arלכן SpanfAg = Uו־ Aבסיס של .U 3 2 39 > > =7 6 7 ; 7;6 7 >5 4 5 > ; .x + 1 a1 + : : : + r ar פרק .5תת מרחב ,בסיס ,מימד .5.2בסיס ומימד כל .1נמצא dimColAובסיס של .ColAכל וקטור ששייך לתת מרחב ColAהוא צירוף לינארי של וקטורי עמודות של מטריצה .Aלכן מספר מקסימלי של וקטורים בלתי תלויים ב־ ColAשווה למספר מקסימלי של וקטורי עמודות בלתי תלויים של מטריצה Aומספר הזה שווה לדרגה של מטריצה .Aלכן .dimColA = rankAכמו כן, דרגה של מטריצה שווה למספר מקדמים מובילים של מטריצה מדורגת שלה .מפה נובע לפי משפט 5.2.2שעל מנת למצוא בסיס של ColAיש למצוא מטריצה מדורגת של מטריצה Aולהרכיב בסיס של ColAמעמודות A שמתאימות במקומן למקום של מקדמים מובילים במטריצה מדורגת של מטריצה .Aנעבור לחישובים: 3 77 675 0 2 3 2 1 4 4 77 6 1 4 6 6 2 8 5 87 ! 6 0 0 4 5 4 3 12 6 9 0 0 4 3 0 הזכ במטריצה מדורגת יש 2מקדמים מובילים ולכן דרגה שלה שווה 2 ו־ .dimColA = 2המקדמים המובילים נמצאים בעמודה ראשונה ושלישית ולכן וקטורי עמודות ראשונה ושלישית של מטריצה Aמרכיבים בסיס של .ColA .2נמצא בסיס ומימד של .NulAלשם כך נפתור מערכת הומוגנית :Ax = 0 3 s 2t 7 6 0 07 6 6 075 ; x = 66 4 0 07 6 1 4 075 ! 64 0 0 0 0 0 4 3 0 ות וי 7 7 7 7 5 4s + 5t 2 3 2 3 t על מנת למצוא בסיס ומימד של NulA כאשר .t; s 2 R בלתי תלויים באופן הבא: 3 2 3 1 4 4 7 2 8 5 8 3 12 6 9 2 6 6 4 נכתוב וקטור xשקיבלנו כצירוף לינארי של וקטורים 2 3 5 4 6 7 6 7 7 607 617 s 7 7=s6 7+t6 7 6 7 6 7 7 2t 5 4 25 405 1 0 t הנ״ל פורשים את NulAומרכיבים 4s + 5t 2 6 6 6 6 4 39 3 2 82 > > > > <6 6 6 6 > > 4 > > : ו־ .dimNulA = 2 ות ור > 4 5 > > = >1 777 ; 666 0 777 >0 75 64 275 > > > 0 ; 1 שמ קבוצה בלתי תלויה לינארית .על מנת מה שנעשה מראה ששני וקטורים לראות שהם אכן בלתי תלויים יש להשוות צירוף לינארי שלהם שזה למעשה וקטור xלווקטור אפס ולראות שווקטור xשווה לווקטור אפס אם ורק אם .s = 0; t = 0מסקנות :בסיס של :NulA .3נציין ש־ dimColA = 2; dimNulA = 2ולטריצה Aיש 4עמודות .ננסח קשר בין המימדים של מרחב העמודות ומרחב האפס של מטריצה במשפט הבא. משפט 5.2.3תהיה Aמטריצה .dim ColA + dim NulA = n .m n א .גולדוורד ,ל .קרפ 83 .5.3 פרק .5תת מרחב ,בסיס ,מימד קואורדינטות של וקטור בבסיס .dim ColAמימד של מרחב האפס של מטריצה Aשווה למספר נעלמים חופשיים, הוכחה= rankA . נגיד fבפתרון כללי של מערכת משוואות הומוגנית 0 = .Axממשפט על דרגה של מטריצה ומספר נעלמים חופשיים שבפרק מערכת משוואות תת פרק דרגה של מטריצה נובע ש־ = n .rankA + f קואורדינטות של וקטור בבסיס כל 5.3 הגדרה 5.3.1יהיה A = fa1 ; : : : ; ar gבסיס של תת מרחב Uו־ .x 2 Uהמקדמים x1 ; : : : ; xrבשוויון x = x1 a 1 + : : : + xr a r )(5.1 נקראים קואורדינטות של וקטור xבבסיס .Aנרכיב ממספרים x1 ; : : : ; xrוקטור ונסמן אותו ב־ ) [x]Aוקטור הזכ קואורדינטות של וקטור xבבסיס .A מהגדרה של בסיס נובע שלכל וקטור xניתן למצוא קואורדינטות שלו בבסיס הנתון וקבוצת המספרים האלה )קואורדינטות( אחת ויחידה .השווייון ) (5.1ניתן לרשום בצורה תמציתית כך: 3 2 x1 6 7 ות וי A = [a1 ; : : : ; ar ]; [x]A = 664 ... 775 xr ; x = A[x]A )(5.2 דוגמה 5.3.1נתון מישור במרחב .x y + z = 0המישור הזה תת מרחב .על מנת למצוא אחד מהבסיסים שלו נכתוב כצירוף לינארי פתרון כללי של משוואה הומוגנית 2 2 3 3 39 3 2 2 3 s t 1 1 6 7 6 7 6 7 6 s 7 = s 617 + t 6 0 7 4 5 4 5 4 5 t 0 1 3 =A 5 6 7 6 x = 4 3 7ששייך לתת מרחב הנתון ונמצא קואורדינטות שלו בבסיס .A ניקח וקטור 5 2 3 הפתרון שלה 2 א .גולדוורד ,ל .קרפ = .x1 = 3; x2לכן # 2 3 2 2 3 1 1 5 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 x1 415 + x2 4 0 5 = 4 3 7 5 0 1 2 " 3 = .[x]A 2 84 לשם כך נפתור מערכת ות ור .1 2 שמ אז בסיס של תת מרחב הנתון >17 6 17 > = 7 6 7 >15 ; 4 0 5 ; > 0 1 82 > > <6 6 4 > > : פרק .5תת מרחב ,בסיס ,מימד .5.4סכום וסכום ישר של תת מרחבים יודעים"קואורדינטות של וקטור מסויים בבסיס הנתון ואנחנו רוצים למצוא את הווקטור הזה. .2נניח שאנחנו # למשל ,נתון ש־ 2 2 = .[y]Aאז ,לפי הגדרה של קואורדינטות 3 2 3 2 2 3 כל 4 1 1 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 y = 2 415 + 2 4 0 5 = 4 27 5 2 1 0 קל לראות שהווקטור הזה שייך למישור הנתון .x y + z = 0 נעבור לשאלה הבאה .נתונים שני בסיסים של תת מרחב :U = fa1 ; : : : ; ar g ; B = fb1 ; : : : ; br g מה קשר בין הווקטורים ?[x]A ; [x]B נרכיב מטריצות ] ) A = [a1 : : : ar ]; B = [b1 : : : brאנחנו נותנים למטריצות הנ״ל אותם שמות שנתנו לבסיסים עצמם( .המטריצות A; Bהפיכות כי קבוצות וקטורי עמודות שלהן בלתי תלויות לינארית. Aונתונים קואורדינטות של וקטור xבבסיסים האלה.[x]A ; [x]B : הזכ מנוסחה ) (5.2נובע ש־ ות וי = B [x]B [x]A = A 1 B [x]B ; [x]B = B 1 A[x]A 5.4 x = A[x]A סכום וסכום ישר של תת מרחבים הגדרה 5.4.1יהיו U; Vשתי קבוצות של של וקטורים ב־ .Rnסכום שלהם היא קבוצה Wשמוגדרת כך שמ u 2 U; v 2 V g ; W = fu + v סכום של שתי קבוצות U; Vנסמן ב־ .U + V דוגמה 5.4.1 U = Span fag = a; V ות ור = Span fbg = b W = U + V = a + b = Span fa; bg )(5.3 אם a; bשני וקטורים במרחב אז Uהוא ישר שעובר דרך הראשית כאשר aוקטור כיוון שלו V .הוא ישר שגם עובר דרך הראשית ו־ bוקטור כיוון שלו .אם aלא מקביל לווקטור bאז Wהוא מישור שמכיל את הישרים הנ״ל. טענה 5.4.1אם U; Vשני תת מרחבים של מרחב וקטורי א .גולדוורד ,ל .קרפ 85 Rn אז הקבוצה U + Vתת מרחב. פרק .5תת מרחב ,בסיס ,מימד .5.4סכום וסכום ישר של תת מרחבים 2W 2W הוכחה .נסמן = U + V שני וקטורים u1 ; v1כך ש־ x = u1 + v1כאשר .u1 2 U; v1 2 Vמשום ש־ y 2 Wקיימים שני וקטוירם u2 ; v2כך ש־ y = u2 + v2כאשר .u2 2 U; v2 2 Vלכן .Wניקח x; yונוכיח שגם .x + yמשום ש־ 2W xקיימים ) x + y = (u1 + v1 ) + (u2 + v2 ) = (u1 + u2 ) + (v1 + v2 כל הווקטור u1 + u2שייך לקבוצה Uכי היא תת מרחב והווקטור v1 + v2שייך לקבוצה Vכי היא תת מרחב .לכן לפי הגדרה של סכום הווקטור x + yשייך לקבוצה .W הגדרה 5.4.2סכום של שני תת מרחבים U; Vשל אפס .נסמן סכום ישר של U; Vבסימון .U V 39 > > =7 7 >5 > ; הזכ דוגמה 5.4.2 82 > > <6 6 4 > > : הסכום של 1 1 1 U; Vהוא סכום ישר כי .U \ V = f0g = Span Rn נקרא סכום ישר אם חיתוך שלהם מכיל רק וקטור 3 2 39 > > =7 6 7 7;6 7 ;V >5 4 5 > ; 1 1 0 1 0 0 82 > > <6 6 4 > > : U = Span )הקורא מוזמן לבדוק את זה(. ות וי במשפט הבא נראה קשר יפה בין מימדים של שני תת מרחבים ומימדים של סכום וחיתוך שלהם. משפט 5.4.1יהיו U; Vשני תת מרחבים של מרחב וקטורי .Rn dim(U + V ) + dim(U \ V ) = dim U + dim V והקבוצה fu1 ; : : : ; ur gבסיס של הוכחה .נניח ש־ dim U = r בסיס של .Vתת מרחב U \ Vניתן לאפיין ע״י שוויון dim V = s ,Uוהקבוצה fv ; : : : ; vsg 1 שמ x1 u1 + : : : + xr ur = y1 v1 + : : : + ys vs כאשר x1 ; : : : ; xr ; y1 : : : ; ysנעלמים .נכתוב את השווייון הנ״ל כך x1 u1 + : : : + xr ur + z1 v1 + : : : + zs vs = 0; z1 = y1 ; : : : ; zs = ys היא מטריצת מקדמים שלה. ) .dim(U \ V ות ור השוויון הזה הוא מערכת משוואות הומוגנית עם r+sנעלמים כאשר המטריצה ] A = [u1 ; : : : ; ur ; v1 ; : : : ; vs מספר פתרונות בלתי תלוים שלה )מספר נעלמים חופשיים( שווה ל־ כמו כן .rankA = dim(U + V ) ,לכן .dim(U + V ) + dim(U \ V ) = r + s א .גולדוורד ,ל .קרפ 86
© Copyright 2024