‫חדוא ‪3‬־ תרגיל בית ‪6‬‬ ‫תרגילים לקבלת בונוס‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1.1‬‬ ‫הנגזרת ודפרנציאביליות‬ ‫‪ .1‬תהי ‪ f : R → Rm‬הוכיחו כי ‪ f‬דיפרנציאבילית בנקודה ‪ x0‬לפי ההגדרה שנלמדה בכיתה )עם ‪(o‬‬ ‫אם ורק אם קיים הגבול‬ ‫‬ ‫) ‪f (x) − f (x0‬‬ ‫ ‪d‬‬ ‫‪f (x) = f 0 (x0 ) = lim‬‬ ‫‬ ‫‪x→x0‬‬ ‫‪dx x=x0‬‬ ‫‪x − x0‬‬ ‫במקרה זה מתקיים‪:‬‬ ‫; ) ‪(Df )x0 : h 7→ hf 0 (x0‬‬ ‫)‪f 0 (x0 ) = (Df )x0 (1‬‬ ‫‪ .2‬תהי ‪ f : R → R‬פונקציה דיפרנציאבילית ב־ ‪ ,x0‬כך ש־ ‪ .(Df )x0 > 0‬הוכיחו או הפריכו את‬ ‫הטענות הבאות‪:‬‬ ‫)א( ) ‪∃ε > 0∀x ∈ (x0 , x0 + ε)f (x) > f (x0‬‬ ‫)ב( ‪ f‬מונוטונית עולה בסביבת ‪.x0‬‬ ‫‪ .3‬בדקו דיפרנציאביליות של הפונקציות הבאות המוגדרות מ־ ‪ Rn‬ל־ ‪ .R‬אם הן דיפרנציאביליות‬ ‫חשבו את הדפרנציאל ‪:‬‬ ‫)א( ||‪x 7→ ||x‬‬ ‫)ב( ‪x 7→ ||x||2‬‬ ‫)ג( ‪x 7→ ||x − a||p , a ∈ Rn , p > 0‬‬ ‫‪ .4‬תהי ‪ ,f : Rn → Rm‬כך ש־ ) ‪ f = (f1 , f2 , · · · , fm‬ולכל ‪ .fj : Rn → Rm j‬הוכיחו או הפריכו‬ ‫)א( אם ‪ f‬דיפרנציאבילית בנקודה אז לכל ‪ j‬גם ‪ fj‬דיפרנציאבילית בה‪.‬‬ ‫)ב( אם ‪ fj‬דיפרנציאבילית בנקודה לכל ‪ j‬אז ‪ f‬דיפרנציאבילית בה‪.‬‬ ‫)ג( אם ‪ f‬דיפרנציאבילית בנקודה‪ ,‬אז כל הנגזרות החלקיות שלה קיימות‪.‬‬ ‫)ד( אם כל הנגזרות החלקיות של ‪ f‬בנקודה קיימות אז ‪ f‬דיפרנציאבילית בה‪.‬‬ ‫)ה( איזה תנאי מספיק )אך לא הכרחי( להוסיף כדי ש)ד( יהיה נכון?‬ ‫‪1.2‬‬ ‫נגזרת לאורך וקטור‬ ‫‪ .1‬הוכיחו או הפריכו‪:‬‬ ‫‬ ‫)א( אם לכל ‪ h‬קיימת )‪ dtd t=0 f (x0 + t · h‬אז היא חייבת להיות לינארית ב־ ‪h‬‬ ‫‬ ‫)ב( אם לכל ‪ h‬קיימת )‪ dtd t=0 f (x0 + t · h‬והיא לינארית ב־ ‪ h‬אז ‪ f‬דפרנציאבילית ב־ ‪.x0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫תרגילים נוספים‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2.1‬‬ ‫‪ o‬ו־ ‪O‬‬ ‫נזכר בהגדרות‪ :‬נאמר ש־ )‪ f = o(g‬כאשר ‪ x → x0‬אם‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x→x0‬‬ ‫נאמר ש־)‪ f = O(g‬כאשר ‪ x → x0‬אם קיים קבוע ‪ C > 0‬שלכל ‪ x‬מספיק קרוב ל־ ‪ x0‬מתקיים‬ ‫)‪ .f (x) ≤ C · g(x‬אם לא רשום לאן ‪ x‬שואף נניח שהוא שואף ל־‪) 0‬לפעמים נרצה שהוא ישאף לאנסוף‪,‬‬ ‫אבל זה יהיה ברור מההקשר(‪.‬‬ ‫‪ .1‬יהי ‪ T : Rn → Rm‬אופרטור לינארי‪ ,‬כך ש־ )|‪ .T (x) = o(|x‬הוכיחו כי ‪.T = 0‬‬ ‫‪ .2‬יהי ‪ P : Rn → R‬פולינום מדרגה ‪ ≤ k‬כך ש־ ) ‪ .P (·) = o(|·|k‬הוכיחו כי ‪.P = 0‬‬ ‫‪) .3‬א( הוכיחו ש־ )‪ f (·) = o(1‬אם ‪ f (0) = 0‬וגם ‪ f‬רציפה ב־‪.0‬‬ ‫)ב( הוכח או הפרך‪ ,‬אם )‪ f (·) = o(1‬אז ‪ f‬רציפה בסביבת ‪.0‬‬ ‫‪ .4‬תהי )·(‪ f (·) = O‬ותהי ) ‪ .g(·) = o(|·|q‬הוכיחו או הפריכו‪:‬‬ ‫)א( ))·(‪ f (g‬בהכרח )·(‪.o‬‬ ‫)ב( ))·(‪ f (g‬בהכרח )·(‪.O‬‬ ‫‪2.2‬‬ ‫דיפרנציאביליות במרחבים אפיניים‬ ‫הזכרו בהגדרה מרשימות המרצה‪.‬‬ ‫‪ .1‬הוכיחו שמתקיימת לינאריות של הנגזרת‪.‬‬ ‫‪ .2‬הוכיחו שמתקיים כלל השרשרת‪.‬‬ ‫‪ .3‬הוכיחו שמתקיים כלל המכפלה‪.‬‬ ‫‪2‬‬