‫מבחן בגרות מספר ‪9‬‬ ‫חורף תשע"ב‪2012 ,‬‬ ‫פרק ראשון – אלגברה ‪ ,‬גאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות‬ ‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 3-1‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫שני הולכי רגל יוצאים בשעה ‪ 07 : 00‬מנקודה ‪: A‬‬ ‫אחד הולך צפונה ואחד הולך מזרחה )ראה ציור( ‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫בשעה ‪ 09 : 00‬הגיע ההולך מזרחה לנקודה ‪, B‬‬ ‫וההולך צפונה הגיעה לנקודה ‪ D‬כך שהמרחק‬ ‫צפונה‬ ‫ביניהם היה ‪ 10‬ק"מ‪ .‬ההולך צפונה הלך מיד‬ ‫מנקודה ‪ D‬לנקודה ‪ B‬בדרך הקצרה ביותר‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫והגיעה לנקודה ‪ B‬בשעה ‪. 11: 30‬‬ ‫‪B‬‬ ‫מזרחה‬ ‫המהירויות של הולכי הרגל אינן משתנות‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫מצא את המהירויות של כל אחד מהולכי הרגל‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫נקודה ‪ A‬נמצאת על צ יר ה‪ , y -‬בחלקו השלילי‪,‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ומרחקה מראשית הצירים הוא ‪. 1.25‬‬ ‫שיעורי נקודה ‪ B‬הם )‪(13; 11‬‬ ‫‪D‬‬ ‫)ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את משוואת הישר ‪. AB‬‬ ‫ב‪ .‬נקודה ‪ M‬נמצאת ברביע השלישי‬ ‫על הישר ‪ M . AB‬היא מרכז של מעגל‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪F‬‬ ‫המשיק לציר ה‪ x -‬בנקודה ‪ D‬ולציר ה‪y -‬‬ ‫בנקודה ‪) C‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫מצא את שיעורי הנקודה ‪. M‬‬ ‫ג‪ .‬הישר ‪ AB‬חותך את המעגל שמרכזו ‪ M‬בנקודות ‪ E‬ו‪. F -‬‬ ‫שטח המשולש ‪ EMC‬הוא ‪ . S‬הבע באמצעות ‪ S‬את שטח המשולש ‪. FMC‬‬ ‫נמק‪ .‬אין צורך למצוא את השיעורים של ‪ E‬ו‪. F -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫מפעל מייצר מחשבים‪ 6% .‬מהמחשבים המיוצרים במפעל הם לא תקינים‪.‬‬ ‫‪ 95%‬מהמחשבים התקינים ו‪ 2% -‬מהמחשבים הלא‪ -‬תקינים מזוהים‬ ‫על ידי היחידה לבקרת איכות כתקינים‪.‬‬ ‫א‪ .‬מהי ההסתברות שמחשב יזוהה כתקין?‬ ‫היחידה לבקרה איכות בודקת כל מחשב ‪ 4‬פעמים )הבדיקות אינן‬ ‫תלויות זו בזו(‪ .‬אם המחשב זוהה ‪ 4‬פעמים כתקין‪ ,‬הוא נמכר עם‬ ‫התווית של המפעל‪ .‬אם המחשב זוהה ‪ 3‬פעמ ים כתקין‪ ,‬הוא נמכר‬ ‫במחיר נמוך בלי התווית של המפעל‪.‬‬ ‫למחזור‪.‬‬ ‫אם המחשב זוהה לפחות ‪ 2‬פעמים כלא‪ -‬תקין‪ ,‬הוא נשלח ‪‬‬ ‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שמחשב יימכר עם התווית של המפעל?‬ ‫למחזור?‬ ‫ג‪ .‬מהי ההסתברות שמחשב יישלח ‪‬‬ ‫בתשובתך דייק עד ארבע ספרות אחרי ה נקודה העשרונית‪.‬‬ ‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬ ‫ענה על אחת מבין השאלות ‪. 5-4‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫בטרפז ‪ F (CE  BA) ABCE‬היא נקודה‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪G‬‬ ‫על האלכסון ‪ BE‬כך ש‪. CF  BE -‬‬ ‫‪ D‬היא נקודה על ‪ CE‬כך ש‪CD  ED -‬‬ ‫)ראה ציור(‪ .‬המשך ‪ FD‬חותך את ‪AB‬‬ ‫בנקודה ‪ . G‬נתון‪ 4 :‬ס"מ ‪, EA ‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ 3‬ס"מ ‪ EB , ED ‬חוצה‪ -‬זווית ‪. AEC‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי ‪. EDF  BAE‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ AGDE‬הוא מקבילית‪.‬‬ ‫ג‪ .‬שטח המשולש ‪ EDF‬הוא ‪ . S‬הבע באמצעות ‪ S‬את שטח המשולש ‪. BGF‬‬ ‫‪F‬‬ ‫נמק‪.‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫במשולש שווה‪ -‬צלעות ‪ ABC‬חסום משולש‬ ‫‪A‬‬ ‫שווה‪ -‬צלעות ‪) DEF‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪. DE  a , ADE   :‬‬ ‫‪D‬‬ ‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬במידת הצורך‬ ‫‪E‬‬ ‫את זוויות המשולש ‪. BEF‬‬ ‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬ו‪  -‬את האורך של ‪. BC‬‬ ‫ג‪ .‬אם ‪ , DE  BC‬ורדיוס המעגל החוסם‬ ‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬ ‫את המשולש ‪ DEF‬הוא ‪ 4‬ס"מ‪ ,‬מצא את אורך הצלע ‪. BC‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪B‬‬ ‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬ ‫של פונקציות רציונליות ו של פונקציות שורש‬ ‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 8-6‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪x 2  5‬‬ ‫‪x 3‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪. f (x) ‬‬ ‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את האסימפטוטות של הפונ קציה המקבילות לצירים‬ ‫)אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬ ‫) ‪ ( 4‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪,‬‬ ‫וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫) ‪ ( 5‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬מצא את האסימ פ טוטות המקבילות לצירים של פונקציית‬ ‫הנגזרת )‪. f '(x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מבין הגרפים ‪ IV , III , II , I‬שלפניך‪ ,‬איזה גרף מתאר את פונקציית‬ ‫הנגזרת )‪ ? f '(x‬נמק‪.‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪II‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪III‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪IV‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫במשולש ישר‪ -‬זווית סכום הניצבים הוא ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬ ‫א‪ .‬מבין כל המשולשים המקיימים תנאי זה‪ ,‬מצא את אורכי הניצבים‬ ‫במשולש שבו אורך התיכון ליתר הוא מינימלי‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא א ת אורכי התיכונים לניצבים במשולש שאת הניצבים‬ ‫שלו מצאת בסעיף א'‪.‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫א‪ .‬נתונה הפונקציה ‪. f (x)   x 3  3x 2  8x  24‬‬ ‫) ‪ ( 1‬הוכח שהפונקציה )‪ f (x‬יורדת לכל ערך של ‪. x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬חשב את )‪. f ( 3‬‬ ‫) ‪ ( 3‬על‪ -‬פי הסעיפים ) ‪ ( 1‬ו‪ ,( 2 ) -‬מצא עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה )‪f (x‬‬ ‫שלילית‪ ,‬ועבור אילו ערכי ‪ x‬היא חיובית‪.‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה ‪ x 3  4x 2  24x  7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪. g(x)  ‬‬ ‫) ‪ ( 1‬מצא בעזרת סעיף א' את נקודת הקיצון של הפונקציה )‪, g(x‬‬ ‫וקבע אם היא מינימום או מקסימום‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬הסבר מדוע אין לפונקציה )‪ g(x‬נקודות קיצון נוספות‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מצא עבור אילו ערכים של ‪ k‬למשוואה ‪: g(x)  k‬‬ ‫) ‪ ( 1‬יש פתרון יחיד‪ ( 2 ) .‬יש שני פתרונות ‪ ( 3 ) .‬אין אף פתרון‪.‬‬ ‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 9‬חורף תשע"ב‪: 2012 ,‬‬ ‫‪ . 1‬מ‪ A -‬ל‪ 4 : D -‬קמ"ש‪ .‬מ‪ A -‬ל‪ 3 : B -‬קמ"ש‪.‬‬ ‫‪ . 2‬א‪ . y  0.75x  1.25 .‬ב‪. m(5;5) .‬‬ ‫‪ . 3‬א‪. 0.8942 .‬‬ ‫‪ . 4‬ג‪. 1 S .‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ג‪. S .‬‬ ‫ב‪ . 0.6393 .‬ג‪. 0.0581 .‬‬ ‫))‪a(sin   sin(120  ‬‬ ‫‪ . 5‬א‪ . 120   ,  , 60 .‬ב‪.‬‬ ‫‪sin 60‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ג‪ 8 3  13.86 .‬ס"מ ‪.‬‬ ‫‪ . 6‬א‪. (  5;0) , ( 5;0) , (0; 1 2 ) ( 3 ) . x  3 ( 2 ) . x  3 ( 1 ) .‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪ ( 1; 2) ( 4‬מינימום‪ ( 5; 10) ,‬מקסימום‪.‬‬ ‫)‪(5‬‬ ‫ב‪ ( 2 ) , y  1 , x  3 ( 1 ) .‬גרף ‪. IV‬‬ ‫‪ . 7‬א‪ 10 .‬ס"מ‪ 10 ,‬ס"מ‪ .‬ב‪ 11.18 .‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪ . 8‬א‪ ( 3 ) . f ( 3)  0 ( 2 ) .‬חיובית‪ , x  3 :‬שלילית‪. x  3 :‬‬ ‫ב‪ ( 3;35.75) ( 1 ) .‬מקסימום‪.‬‬ ‫ג‪. k  35.75 ( 2 ) . k  35.75 ( 1 ) .‬‬ ‫) ‪. k  35.75 ( 3‬‬ ‫‪36‬‬