להורדת שאלון הבחינה

‫מבחן בגרות מספר ‪9‬‬
‫חורף תשע"ב‪2012 ,‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה ‪ ,‬גאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 3-1‬‬
‫‪.1‬‬
‫שני הולכי רגל יוצאים בשעה ‪ 07 : 00‬מנקודה ‪: A‬‬
‫אחד הולך צפונה ואחד הולך מזרחה )ראה ציור( ‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫בשעה ‪ 09 : 00‬הגיע ההולך מזרחה לנקודה ‪, B‬‬
‫וההולך צפונה הגיעה לנקודה ‪ D‬כך שהמרחק‬
‫צפונה‬
‫ביניהם היה ‪ 10‬ק"מ‪ .‬ההולך צפונה הלך מיד‬
‫מנקודה ‪ D‬לנקודה ‪ B‬בדרך הקצרה ביותר‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫והגיעה לנקודה ‪ B‬בשעה ‪. 11: 30‬‬
‫‪B‬‬
‫מזרחה‬
‫המהירויות של הולכי הרגל אינן משתנות‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫מצא את המהירויות של כל אחד מהולכי הרגל‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫נקודה ‪ A‬נמצאת על צ יר ה‪ , y -‬בחלקו השלילי‪,‬‬
‫‪y‬‬
‫ומרחקה מראשית הצירים הוא ‪. 1.25‬‬
‫שיעורי נקודה ‪ B‬הם )‪(13; 11‬‬
‫‪D‬‬
‫)ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הישר ‪. AB‬‬
‫ב‪ .‬נקודה ‪ M‬נמצאת ברביע השלישי‬
‫על הישר ‪ M . AB‬היא מרכז של מעגל‪,‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪M‬‬
‫‪F‬‬
‫המשיק לציר ה‪ x -‬בנקודה ‪ D‬ולציר ה‪y -‬‬
‫בנקודה ‪) C‬ראה ציור(‪.‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪. M‬‬
‫ג‪ .‬הישר ‪ AB‬חותך את המעגל שמרכזו ‪ M‬בנקודות ‪ E‬ו‪. F -‬‬
‫שטח המשולש ‪ EMC‬הוא ‪ . S‬הבע באמצעות ‪ S‬את שטח המשולש ‪. FMC‬‬
‫נמק‪ .‬אין צורך למצוא את השיעורים של ‪ E‬ו‪. F -‬‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫‪33‬‬
‫‪.3‬‬
‫מפעל מייצר מחשבים‪ 6% .‬מהמחשבים המיוצרים במפעל הם לא תקינים‪.‬‬
‫‪ 95%‬מהמחשבים התקינים ו‪ 2% -‬מהמחשבים הלא‪ -‬תקינים מזוהים‬
‫על ידי היחידה לבקרת איכות כתקינים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי ההסתברות שמחשב יזוהה כתקין?‬
‫היחידה לבקרה איכות בודקת כל מחשב ‪ 4‬פעמים )הבדיקות אינן‬
‫תלויות זו בזו(‪ .‬אם המחשב זוהה ‪ 4‬פעמים כתקין‪ ,‬הוא נמכר עם‬
‫התווית של המפעל‪ .‬אם המחשב זוהה ‪ 3‬פעמ ים כתקין‪ ,‬הוא נמכר‬
‫במחיר נמוך בלי התווית של המפעל‪.‬‬
‫למחזור‪.‬‬
‫אם המחשב זוהה לפחות ‪ 2‬פעמים כלא‪ -‬תקין‪ ,‬הוא נשלח ‪‬‬
‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שמחשב יימכר עם התווית של המפעל?‬
‫למחזור?‬
‫ג‪ .‬מהי ההסתברות שמחשב יישלח ‪‬‬
‫בתשובתך דייק עד ארבע ספרות אחרי ה נקודה העשרונית‪.‬‬
‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫ענה על אחת מבין השאלות ‪. 5-4‬‬
‫‪.4‬‬
‫בטרפז ‪ F (CE  BA) ABCE‬היא נקודה‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪G‬‬
‫על האלכסון ‪ BE‬כך ש‪. CF  BE -‬‬
‫‪ D‬היא נקודה על ‪ CE‬כך ש‪CD  ED -‬‬
‫)ראה ציור(‪ .‬המשך ‪ FD‬חותך את ‪AB‬‬
‫בנקודה ‪ . G‬נתון‪ 4 :‬ס"מ ‪, EA ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ 3‬ס"מ ‪ EB , ED ‬חוצה‪ -‬זווית ‪. AEC‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. EDF  BAE‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ AGDE‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫ג‪ .‬שטח המשולש ‪ EDF‬הוא ‪ . S‬הבע באמצעות ‪ S‬את שטח המשולש ‪. BGF‬‬
‫‪F‬‬
‫נמק‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫במשולש שווה‪ -‬צלעות ‪ ABC‬חסום משולש‬
‫‪A‬‬
‫שווה‪ -‬צלעות ‪) DEF‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. DE  a , ADE   :‬‬
‫‪D‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬במידת הצורך‬
‫‪E‬‬
‫את זוויות המשולש ‪. BEF‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬ו‪  -‬את האורך של ‪. BC‬‬
‫ג‪ .‬אם ‪ , DE  BC‬ורדיוס המעגל החוסם‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫את המשולש ‪ DEF‬הוא ‪ 4‬ס"מ‪ ,‬מצא את אורך הצלע ‪. BC‬‬
‫‪34‬‬
‫‪B‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות רציונליות ו של פונקציות שורש‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 8-6‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪x 2  5‬‬
‫‪x 3‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪. f (x) ‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את האסימפטוטות של הפונ קציה המקבילות לצירים‬
‫)אם יש כאלה(‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪,‬‬
‫וקבע את סוגן‪.‬‬
‫) ‪ ( 5‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬מצא את האסימ פ טוטות המקבילות לצירים של פונקציית‬
‫הנגזרת )‪. f '(x‬‬
‫) ‪ ( 2‬מבין הגרפים ‪ IV , III , II , I‬שלפניך‪ ,‬איזה גרף מתאר את פונקציית‬
‫הנגזרת )‪ ? f '(x‬נמק‪.‬‬
‫‪I‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪y‬‬
‫‪II‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪III‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫במשולש ישר‪ -‬זווית סכום הניצבים הוא ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מבין כל המשולשים המקיימים תנאי זה‪ ,‬מצא את אורכי הניצבים‬
‫במשולש שבו אורך התיכון ליתר הוא מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא א ת אורכי התיכונים לניצבים במשולש שאת הניצבים‬
‫שלו מצאת בסעיף א'‪.‬‬
‫‪35‬‬
‫‪.8‬‬
‫א‪ .‬נתונה הפונקציה ‪. f (x)   x 3  3x 2  8x  24‬‬
‫) ‪ ( 1‬הוכח שהפונקציה )‪ f (x‬יורדת לכל ערך של ‪. x‬‬
‫) ‪ ( 2‬חשב את )‪. f ( 3‬‬
‫) ‪ ( 3‬על‪ -‬פי הסעיפים ) ‪ ( 1‬ו‪ ,( 2 ) -‬מצא עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה )‪f (x‬‬
‫שלילית‪ ,‬ועבור אילו ערכי ‪ x‬היא חיובית‪.‬‬
‫‪x4‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה ‪ x 3  4x 2  24x  7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪. g(x)  ‬‬
‫) ‪ ( 1‬מצא בעזרת סעיף א' את נקודת הקיצון של הפונקציה )‪, g(x‬‬
‫וקבע אם היא מינימום או מקסימום‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬הסבר מדוע אין לפונקציה )‪ g(x‬נקודות קיצון נוספות‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא עבור אילו ערכים של ‪ k‬למשוואה ‪: g(x)  k‬‬
‫) ‪ ( 1‬יש פתרון יחיד‪ ( 2 ) .‬יש שני פתרונות ‪ ( 3 ) .‬אין אף פתרון‪.‬‬
‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 9‬חורף תשע"ב‪: 2012 ,‬‬
‫‪ . 1‬מ‪ A -‬ל‪ 4 : D -‬קמ"ש‪ .‬מ‪ A -‬ל‪ 3 : B -‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ . 2‬א‪ . y  0.75x  1.25 .‬ב‪. m(5;5) .‬‬
‫‪ . 3‬א‪. 0.8942 .‬‬
‫‪ . 4‬ג‪. 1 S .‬‬
‫‪9‬‬
‫ג‪. S .‬‬
‫ב‪ . 0.6393 .‬ג‪. 0.0581 .‬‬
‫))‪a(sin   sin(120  ‬‬
‫‪ . 5‬א‪ . 120   ,  , 60 .‬ב‪.‬‬
‫‪sin 60‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪ 8 3  13.86 .‬ס"מ ‪.‬‬
‫‪ . 6‬א‪. (  5;0) , ( 5;0) , (0; 1 2 ) ( 3 ) . x  3 ( 2 ) . x  3 ( 1 ) .‬‬
‫‪3‬‬
‫) ‪ ( 1; 2) ( 4‬מינימום‪ ( 5; 10) ,‬מקסימום‪.‬‬
‫)‪(5‬‬
‫ב‪ ( 2 ) , y  1 , x  3 ( 1 ) .‬גרף ‪. IV‬‬
‫‪ . 7‬א‪ 10 .‬ס"מ‪ 10 ,‬ס"מ‪ .‬ב‪ 11.18 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ . 8‬א‪ ( 3 ) . f ( 3)  0 ( 2 ) .‬חיובית‪ , x  3 :‬שלילית‪. x  3 :‬‬
‫ב‪ ( 3;35.75) ( 1 ) .‬מקסימום‪.‬‬
‫ג‪. k  35.75 ( 2 ) . k  35.75 ( 1 ) .‬‬
‫) ‪. k  35.75 ( 3‬‬
‫‪36‬‬