Document
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 805 ארכימדס -פתרונות למידה חשבו דיפרנציאלי של פונקציות טריגונומטריות מעגל היחידה הטריגונומטרי מעגל היחידה מאפשר להבי כיצד נקבעי ערכי הפונקציות הטריגונומטריות השונות ) ( sin α , cos α , tan α , cot α עבור זוויות הגדולות מ.900 מרכזו של המעגל בראשית הצירי ואור רדיוסו יחידה אחת. הזווית αהיא הזווית שהרדיוס OAהמסתובב יוצר ע הכיוו החיובי של ציר ה:x כאשר הרדיוס OAמסתובב נגד כיוו השעו ,הזווית αגדלה. ) A( x A , y A כאשר הרדיוס OAמסתובב ע כיוו השעו ,הזווית αקטנה, yA וא #יכולה להיות שלילית. במידה והרדיוס OAיסתובב נגד כיוו השעו הוא יתחיל מציר הx החיובי ,בזווית . α = 0°כשיגיע לציר ה yהחיובי ,גודל הזווית יהיה . α = 90° :כשישלי עוד רבע סיבוב ,ויימצא על ציר הx השלילי , α = 180° ,וכעבור רבע סיבוב נוס. α = 270° , # לאחר שישלי סיבוב ויחזור לנקודת ההתחלה ,גודל הזווית יהיה: IV α = 360°ובמידה וימשי להסתובב הזווית αתמשי לגדול. כלומר נית לראות כי לכל נקודה Aעל הפונקציה ,יש זווית α + 360°kמתאימה ,כאשר kמייצג את מספר הסיבובי השלמי ) kשל( .כ למשל. sin 30° = sin 390° = sin 750° = 0.5 : II I xA O III נתבונ בנקודה Aשעל המעגל .נית לראות כי נוצר משולש ישר זווית שבו אור הניצב שליד הזווית αשווה לשיעור ה xשל הנקודה ,Aואור הניצב שמול הזווית αשווה לשיעור ה yשל הנקודה .Aניעזר בטריגונומטריה במשולש ישר זווית ונביע את x Aו y Aבאמצעות : α xA x = cos α → A = cos α → x A = cos α OA 1 yA y = sin α → A = sin α → y A = sin α OA 1 כלומר ,לכל נקודה Aעל המעגל קיימי השיעורי . A(cos α , sin α ) :נזכור כי מכיוו שקיימת מחזוריות של , 360°kהשיעורי נכוני עבור הזווית , αועבור כל זווית . α + 360°k נית להיעזר במעגל היחידה בכדי לדעת את סימני הפונקציות הטריגונומטריות ) ( sin α , cos α , tan α , cot αעבור זוויות ברביעי השוני :למשל ,ברביע הראשו ,ג cos αוג sin αה חיוביי. נסכ: ברביע ,IIרק ה sin αחיובי. ברביע ,Iכל הפונקציות חיוביות ) (sin α , cos α , tan α , cot α ברביע IVרק ה cos αחיובי. ברביע ,IIIרק ה tan αו cot αחיוביי. לדוגמא :זווית בת 230°נמצאת ברביע השלישי ולכ ג cos 230°וג sin 230°שניה שליליי. לעומת זאת ,זווית בת ) , (− 45°היא למעשה הזוית 315°הנמצאת ברביע הרביעי ,ולכ ) cos(− 45°חיובי ואילו ) sin (− 45°הוא שלילי. נשי לב לתחו הערכי שהפונקציות השונות יכולות לקבל: פונקציות הסינוס והקוסינוס יכולות לקבל ערכי בי 1ל .(-1) :כלומר − 1 ≤ sin α ≤ 1 :וכ. − 1 ≤ cos α ≤ 1 : לעומת זאת tan α ,יכול לקבל כל ער . © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 805 עמוד 1 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 805 זהויות טריגונומטריות באמצעות מעגל היחידה ,נית ג להוכיח את הזהויות הטריגונומטריות הבסיסיות .נציג כעת את הזהויות הטריגונומטריות העיקריות שעלינו לדעת: זהויות בסיס: 1 cos2 α 1 cos α = tan α sin α = 1+ tan2 α ההמרה בי cos αו : sin α ההמרה בי tanαו : cotα זווית שלילית: = cot α ) cos α = sin(90 − α ) , sin α = cos(90 − α )cotα = tan(90− a) , tanα = cot(90− a tan(−α ) = − tanα , cos(−α ) = cos α , sin(−α ) = − sin α ) tan α = tan(α + 180o k ) , cos α = cos(α + 360o k ) , sin α = sin(α + 360o k מחזוריות הפונקציות: סכו והפרש שתי זוויות: זווית כפולה: sin α cos α = tan α sin 2 α + cos 2 α = 1 sin (α ± β ) = sin α ⋅ cos β ± sin β ⋅ cos α ) cos(α ± β ) = cos α ⋅ cos β m sin α ⋅ sin βנשי לב לסימני המתהפכי( sin 2α = 2 sin α ⋅ cos α cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α פתרונות למשוואות טריגונומטריות: x = α + 360°k x = α + 360°k x = α + 180°k שני פתרונות כלליי: למשוואהsin x = sin α : שני פתרונות כלליי: למשוואהcos x = cos α : הפתרו הכללי היחיד: למשוואהtan x = tan α : 0 sin x = 0הפתרו. x = 180 : פתרונות מיוחדי: cos x = 0הפתרו. x = 90 + 180°k : או: או: x = 180 − α + 360°k x = −α + 360°k sin x = 1הפתרוx = 90 + 360°k : cos x = 1הפתרוx = 360°k : © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 805 עמוד 2 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 805 הפונקציה הטריגונומטרית פונקציות טריגונומטריות ה פונקציות מחזוריות .משמעות הדבר היא ,שערכי ה yשל הפונקציה חוזרי על עצמ כאשר מוסיפי לערכי ה xגודל קבוע .ומכא שג גר #הפונקציה חוזר על עצמו באופ מחזורי ונראה למשל כ: f (x ) = sin x h (x ) = tan x g ( x ) = cos x לכ ,כאשר נחקור פונקציות טריגונומטריות ,נחקור תמיד תחו מוגדר וסגור של הפונקציה ,ועבורו נמצא את נקודות הקיצו ,החיתו ע הצירי ,אסימפטוטות וכדומה .לדוגמא ,הקטע הממוסגר בפונקציה ) . g ( x כאשר אנו חוקרי פונקציות טריגונומטריות איננו מבצעי חישובי באמצעות מעלות ,אלא באמצעות יחידות חדשות למדידת זוויות הנקראות רדיאני. נגדיר π = 180° :רדיאני .כלומר ,זווית בת 1800מעלות שווה לזווית בת πרדיאני. מעבר ממעלות לרדיאני: α° = רדיאני כדי להמיר זווית הנתונה במעלות לרדיאני ,נחלק את הזווית ב 1800ונכפיל ב . π ⋅π 180 π π 30° רדיאני. .כלומר 30° ,ה ונקבל: כ למשל ,כדי להמיר 30°לרדיאני ,נחשב⋅ π : 6 6 180° מעבר מרדיאני למעלות: ⋅ 180°רדיאני = α ° π כדי להמיר זווית הנתונה ברדיאני למעלות ,נחלק את גודל הזווית ב πונכפיל ב.1800 כ למשל ,כדי להמיר 0.5236רדיאני למעלות ,נחשב⋅180° : 0.5236 π כלומר 0.5236 ,רדיאני ה 30°מעלות. אלו ה הזוויות הנפוצות ברדיאני: π 6 = , 30° π 4 = , 45° π 3 ונקבל. 30° : = , 60° π 2 = , 90° , 180° = π . 360° = 2π חשוב :במהל הפתרו מותר להשתמש במעלות ,א את התשובות הסופיות לכל סעי #בחקירה עלינו להציג באמצעות רדיאני. חקירת פונקציות טריגונומטריות תחו הגדרה הפונקציות הטריגונומטריות sin xו cos xמוגדרות לכל .x הפונקציה tan xשווה ל sin x :ולכ היא אינה מוגדרת כאשר cos xמתאפס: + πk π ≠ cos x ≠ 0 → x 2 cos x ע זאת ,במקרי רבי פונקציות טריגונומטריות אינ מוגדרות לערכי xנוספי .הדבר יתרחש כאשר בפונקציה מופיעות מגבלות אחרות על תחו ההגדרה: cos x בתחו . − 2π ≤ x ≤ 2π דוגמא א' :מצא את תחו ההגדרה של הפונקציה sin x − 1 + 2πk פתרו :נבדוק מתי מתאפס המכנה: 3π π הפתרונות המתאימי בתחו הנתו ה x ≠ :ו 2 2 π 2 ≠ sin x − 1 ≠ 0 → sin x ≠ 1 → x .x≠− © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 805 עמוד 3 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 805 דוגמא ב' :מצא את תחו ההגדרה של הפונקציה cos x בתחו . − π ≤ x ≤ π + πk פתרו :נבדוק מתי הביטוי שבתו השורש אי שלילי .מאפסי השורש ה: הפתרונות המתאימי בתחו הנתו ה: − 90° < α < 90°ולכ cosx ≥ 0 :כאשר π 2 π 2 π 2 = cos x = 0 → x . x = ±לפי מעגל היחידה אנו יודעי כי הקוסינוס הוא חיובי כאשר ≤ , − π ≤ xוזהו הפתרו. 2 נגזרת ונקודות קיצו הנגזרות של הפונקציות הטריגונומטריות ה: (sin x ) ' = cos x 1 cos 2 x (cos x ) ' = − sin x דוגמא ג' :מצא את שיעורי ה xשל נקודות הקיצו של הפונקציה ) f (x ) = cos 2 (4 xבתחו π 4 = ' ) (tan x ≤ , 0 ≤ xואת סוג. פתרו :זוהי פונקציה מורכבת ,ולכ נגזור אותה מבחו* לבפני: sin x cos x =sin 2 x f ' ( x ) = 2 cos(4 x ) ⋅ (− sin (4 x )) ⋅ 4 = −4 ⋅ 2 cos(4 x ) sin (4 x ) 2 → f ' (x ) = −4 sin 8 x נשווה את הנגזרת ל:0 k π = xו π π 8 = − 4 sin 8 x = 0 → sin 8 x = 0 → 8 x = πk → x = .x הפתרונות המתאימי בתחו הנתו ה, x = 0 : 4 8 נציב את הנקודות החשודות בנגזרת השנייהf ' ' (0) = −32 cos(8 ⋅ 0) = −32 < 0 → max : f ' ' ( x) = −32cos(8x) : π π π π וכ: f ' ' = −32 cos 8 ⋅ = −32 < 0 → max f ' ' = −32 cos 8 ⋅ = 32 > 0 → min 4 4 8 8 נית כמוב לבדוק את סוג של נקודות הקיצו ג באמצעות טבלת עליה וירידה. אסימפטוטות המקבילות לצירי אסימפטוטות אנכיות אסימפטוטות המקבילות לציר הy sin 2 x דוגמא :מצא את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה cos x ⋅ cos 2 x פתרו :נשווה את המכנה ל 0ונקבל את נקודות אי ההגדרה בתחו הנתוcos x ⋅ cos 2 x = 0 : = ) f ( xבתחו . 0 ≤ x ≤ π 3 π 4 = ,x π =k→x π + π = + πk → x π π = cos 2 x = 0 → 2 x 2 4 2 4 3π = xו = xאינ מאפסי את המונה ולכ ה נציב כל אחד משלושת מאפסי המכנה במונה ,ונראה כי: 4 4 בהכרח אסימפטוטות אנכיות .ע זאת π π 2 2 = + πk → x π 2 = cos x = 0 → x = xמאפס ג את המונה ,ולכ נחשוד שקיימת נקודת אי רציפות סליקה. 2 sin x cos x 2 sin x = נצמצ את הפונקציה באמצעות הזהות לזווית כפולה: cos x ⋅ cos 2 x cos 2 x π π π נציב = xבפונקציה המצומצמת ונקבל , f = −2 :ומכא שהנקודה ,−2 היא נקודת אי רציפות סליקה 2 2 2 )"חור" בפונקציה(. = ) f (x אסימפטוטות אופקיות מכיוו שפונקציות טריגונומטריות בשאלו 805נתונות תמיד בתחו סגור ,ערכי ה xשל הפונקציות אינ שואפי ל . ± ∞ :לכ בפונקציות טריגונומטריות בשאלו 805לא קיימות אסימפטוטות אופקיות. © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 805 עמוד 4 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 805 תרגילי חקירת פונקציה טריגונומטרית .1נתונה הפונקציה f ( x) = cos 2 x − 1 :בתחו . 0 ≤ x ≤ π א .עבור גר #הפונקציה ) f (xמצא את: .1נקודות הקיצו וסוג )כולל נקודות קיצו בקצה התחו(. .2נקודות החיתו ע הצירי. .3תחומי עלייה וירידה. ב .שרטט את גר #הפונקציה ). f (x .2נתונה הפונקציה f (x ) = 2 sin x − 1 :בתחו . 0 ≤ x ≤ 2π א .עבור גר #הפונקציה ) f (xמצא את: .1נקודות הקיצו וסוג )כולל נקודות קיצו בקצה התחו(. .2נקודות החיתו ע הצירי. .3תחומי עלייה וירידה. ב .שרטט את גר #הפונקציה ). f (x 2 3 .3נתונה הפונקציה f (x ) = cos 3x :בתחו . 0 ≤ x ≤ π א .עבור גר #הפונקציה ) f (xמצא את: .1נקודות הקיצו וסוג )כולל נקודות קיצו בקצה התחו(. .2נקודות החיתו ע הצירי. .3תחומי עלייה וירידה. ב .שרטט את גר #הפונקציה ). f (x .4נתונה הפונקציה f (x ) = sin x − cos x :בתחו . 0 ≤ x ≤ 2π א .עבור גר #הפונקציה ) f (xמצא את: .1נקודות הקיצו וסוג )כולל נקודות קיצו בקצה התחו(. .2נקודות החיתו ע הצירי. .3תחומי עלייה וירידה. ב .שרטט את גר #הפונקציה ). f (x .5נתונה הפונקציה f (x ) = 2 sin x − sin 2 x :בתחו . − π ≤ x ≤ 0 א .עבור גר #הפונקציה ) f (xמצא את: .1נקודות הקיצו וסוג )כולל נקודות קיצו בקצה התחו(. .2נקודות החיתו ע הצירי. .3תחומי עלייה וירידה. ב .שרטט את גר #הפונקציה ). f (x ג .קבע הא הפונקציה ) f (xזוגית או אי זוגית ,ושרטט את גר #הפונקציה בתחו . − π ≤ x ≤ π © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 805 עמוד 5 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 805 π .6נתונה הפונקציה f (x ) = sin 2 x − sin x :בתחו 2 ≤ .0 ≤ x א .עבור גר #הפונקציה ) f (xמצא את: .1נקודות הקיצו וסוג )כולל נקודות קיצו בקצה התחו(. .2נקודות החיתו ע הצירי. .3תחומי עלייה וירידה. ב .שרטט את גר #הפונקציה ). f (x ג .הפונקציה g (x ) = f (x ) + pמשיקה לציר ה xבנקודה אחת בתחו 5π .7נתונה הפונקציה f (x ) = x + 2 cos x :בתחו 6 א .עבור גר #הפונקציה ) f (xמצא את: π 2 ≤ . 0 ≤ xמצא את .p ≤ .0 ≤ x .1נקודות הקיצו וסוג )כולל נקודות קיצו בקצה התחו(. .2תחומי עלייה וירידה. ב .שרטט את גר #הפונקציה ). f (x ג .בתחו הנתו ,מצא עבור אילו ערכי ,kהישר y = kחות את גר #הפונקציה בשתי נקודות. .8נתונה הפונקציה f (x ) = x ⋅ cos x − sin x :בתחו . 0 ≤ x ≤ 2π א .עבור גר #הפונקציה ) f (xמצא את: .1נקודות הקיצו וסוג )כולל נקודות קיצו בקצה התחו(. .2תחומי עלייה וירידה. ב .שרטט את גר #הפונקציה ). f (x ג .הגדירו פונקציה חדשה. g (x ) = f (x ) : מצא כמה נקודות קיצו יש לגר #הפונקציה ) g (xבתחו הנתו. .9גר #הפונקציה f (x ) = a ⋅ sin (ax ) + 4 ⋅ cos x :חות את ציר ה yבנקודה .Mהישר המשיק לגר# הפונקציה ) f (xבנקודה Mמקביל לישר . y = 4 x − 7 א .מצא את ערכו של הפרמטר .( 0 < a ) a π π ב .עבור גר #הפונקציה ) f (xבתחו ≤ − ≤ xמצא את: 2 .1 2 .1נקודות החיתו ע הצירי. .2נקודות הקיצו וסוג )כולל בקצה התחו(. .3תחומי עליה וירידה. ג .שרטט את גר #הפונקציה ). f (x ד .קבע איזה מהגרפי הבאי מתאי להיות גר #הנגזרת ) . f ' ( xנמק. .4 .3 .2 © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 805 עמוד 6 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 805 ארכימדס -פתרונות למידה .10נתונה הפונקציה. f (x ) = sin 2 x + cos x + n : הישר y = 2.25משיק לגר #הפונקציה ) f (xבנקודת הקיצו הפנימית היחידה שיש לפונקציה בתחו . 0 ≤ x ≤ π א .מצא את ערכו של הפרמטר .n ב .עבור גר #הפונקציה ) f (xבתחו 0 ≤ x ≤ πמצא את: .1נקודות החיתו ע הצירי. .2נקודות קיצו וסוג )כולל בקצה התחו(. .3תחומי עלייה וירידה. ג .שרטט את גר #הפונקציה ). f (x ד .קבע איזה מהגרפי הבאי עשוי להיות גר #הנגזרת ) . f ' ( xנמק. .4 .3 .2 .1 .11נתונה הפונקציה. ( p > 0) , f (x ) = p ⋅ (cos 2 x + cos x + 1) : א .קבע הא הפונקציה זוגית ,אי זוגית או שאינה זוגית ואינה אי זוגית .נמק. ב .עבור גר #הפונקציה ) f (xבתחו 0 ≤ x ≤ πמצא את) :בסעיפי הבאי נית להשתמש בתשובות בפרמטר pבמידת הצור(: .1נקודות החיתו ע הצירי. .2נקודות קיצו וסוג )כולל בקצה התחו(. ג .שרטט את גר #הפונקציה ) f (xבתחו . − π ≤ x ≤ π ד .נתו :שלוש נקודות הקיצו הפנימיות של גר #הפונקציה ) f (xבתחו − π ≤ x ≤ πיוצרות משולש ששטחו 3πיח"ר .מצא את ערכו של הפרמטר .p π .12נתונה הפונקציה . f (x ) = cos 2 x + b ⋅ cos x :גר #הנגזרת ) f ' ( xחות את ציר ה xבנקודה . ,0 א. ב. ג. ד. מצא את ערכו של הפרמטר .b עבור גר #הפונקציה ) f (xבתחו 0 ≤ x ≤ πמצא את: .1נקודות החיתו ע הצירי. .2נקודות קיצו וסוג )כולל בקצה התחו(. .3תחומי העליה והירידה. שרטט את גר #הפונקציה ) f (xבתחו . 0 ≤ x ≤ π הגדירו פונקציה חדשה. g (x ) = f (x ) : מצא עבור אילו ערכי ,kיש למשוואה g (x ) = k :רק פתרו אחד בתחו . 0 ≤ x ≤ π © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 805 עמוד 7 3 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 805 3π .13נתונה הפונקציה f (x ) = sin 2 x + p ⋅ sin x :בתחו 2 גר #הנגזרת ) f ' ( xחות את ציר ה yבנקודה ). (0, 2 ≤≤x π 2 .− א .מצא את ערכו של הפרמטר .p 3π ב .עבור גר #הפונקציה ) f (xבתחו: 2 ≤≤x π 2 −מצא את: .1נקודות החיתו ע הצירי. .2נקודות הקיצו וסוג )כולל בקצה התחו(. π 3π ≤ .− ≤ x ג .שרטט את גר #הפונקציה ) f (xבתחו 2 2 ד .נתו. f (x ) = g ' (x ) : קבע אילו מהגרפי הבאי עשויי להיות הגרפי של הפונקציה ) . g (xנמק. .2 .1 .4 .3 8π mx = ) f (xבתחו .14נתונה הפונקציה+ m ⋅ sin x : 3 2 הישר המשיק לגר #הפונקציה ) f (xבנקודה בה א. ב. ג. ד. ה. .1 π 2 ≤ .0 ≤ x = xמאונ לישר . y + x + 6 = 0 מצא את ערכו של הפרמטר .m עבור גר #הפונקציה ) f (xמצא את נקודות הקיצו וסוג )כולל בקצה התחו(. קבע כמה נקודות חיתו יש לגר #הפונקציה ) f (xע הצירי בתחו .נמק. שרטט את גר #הפונקציה ) f (xבתחו. קבע איזה מהגרפי הבאי עשוי להיות גר #הנגזרת ) . f ' ( xנמק. .2 .3 .4 © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 805 עמוד 8 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 805 .15נתונה הפונקציה f ( x) = 2 tan x − 2 :בתחו π 2 ≤≤x π 2 .− א .עבור גר #הפונקציה ) f (xמצא את: .1האסימפטוטות האנכיות בתחו הנתו. .2נקודות החיתו ע הצירי. .3תחומי עלייה וירידה. ב .שרטט את גר #הפונקציה ). f (x ג .מגדירי פונקציה חדשה . g (x ) = − f (x ) :מצא את שטח המצולע שקדקודיו ה נקודות החיתו ע הצירי של הפונקציות ) f (xו ). g (x .16נתונה הפונקציה f ( x) = tan 2 x :בתחו π 2 ≤≤x π 2 .− א .עבור גר #הפונקציה ) f (xמצא את: .1האסימפטוטות האנכיות בתחו הנתו. .2נקודות החיתו ע הצירי. .3נקודות הקיצו וסוג. .4תחומי עלייה וירידה. ב .שרטט את גר #הפונקציה ). f (x ג .קבע הא הנגזרת ) f ' ( xהיא פונקציה זוגית או אי זוגית. 5π .17נתונה הפונקציה f ( x) = x − tan 3x :בתחו 12 א .עבור גר #הפונקציה ) f (xמצא את: ≤ .0 ≤ x .1האסימפטוטות האנכיות בתחו הנתו. .2נקודות הקיצו וסוג. .3תחומי עלייה וירידה. ב .שרטט את גר #הפונקציה ). f (x .18נתונה הפונקציה. f ( x) = 8 sin x − tan x : π א .עבור גר #הפונקציה ) f (xבתחו , 0 ≤ x ≤ :מצא את: 2 .1האסימפטוטה המקבילה לציר ה.y .2נקודות הקיצו וסוג ,כולל בקצה התחו. .3תחומי עלייה וירידה. π ב .שרטט את גר #הפונקציה ) f (xבתחו ≤ . 0 ≤ x 2 ג .1 .קבע הא הפונקציה ) f (xהיא זוגית ,אי זוגית או שאינה זוגית ואינה אי זוגית .נמק. π π .2היעזר בתשובת לסעי #הקוד ,ושרטט את גר #הפונקציה ) f (xבתחו. − ≤ x ≤ : 2 © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 805 2 עמוד 9 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 805 פתרונות: π (1א (1 .פנימית min( ,−2) :ובקצה התחו. max(π ,0) , max(0,0) : 2 . (π ,0), (0,0) (2 (3עליה< x < π : π 2 ירידה: π 2 < .0 < x ב .השרטוט משמאל. π 3π (2א (1 .פנימיות,−3) , max( ,1) : 2 2 3π π 5π π (3 . ( ,0), ( ,0), (0,−1) (2עולה 0 < x < :או < x < 2π 2 2 6 6 π 3π < . < xב .השרטוט משמאל. יורדת: 2 2 ( minובקצה התחו. min(0,−1) , max(2π ,−1) : 2π π (3א (1 .פנימית min( ,−1) :ובקצה התחו ,1) , max(0,1) : 3 3 π π 2π π π < < xיורדת. 0 < x < : (3 . ( ,0), ( ,0), (0,1) (2עולה: 3 3 3 2 6 ב .השרטוט משמאל. (. max 7π 3π (4א (1 .פנימיות,−1.41) , max( ,1.41) : 4 4 ובקצה התחו. max(2π ,−1) , min(0,−1) : 7π 3π 5π π < 0 < xאו < x < 2π (3 . ( ,0), ( ,0), (0,−1) (2עולה: 4 4 4 4 3π 7π .ב .השרטוט משמאל. <<x יורדת : 4 4 (min 2π (5א (1 .פנימית,−2.598) : 3 min(−ובקצה התחו. max(−π ,0) , max(0,0) : − 2π (3 . (−π ,0), (0,0) (2עולה , − 2π < x < 0 :יורדת : 3 3 ג .הפונקציה אי זוגית .השרטוט: π < . − π < xב .השרטוט: π (6א (1 .פנימית min( ,−0.25) :ובקצה התחו. max( ,0) , max(0,0) : 2 6 π π <<x (3 . ( ,0), (0,0) (2עולה: 2 2 ב .השרטוט משמאל .ג. p = 0.25 . π 6 יורדת: π 6 < .0 < x © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 805 עמוד 10 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 805 5π π (7א (1 .פנימית max( ,2.26) :ובקצה התחו,0.89) : 6 6 π 5π π <. <x < , 0 < xיורדת: (2עולה: 6 6 6 ב .השרטוט משמאל .ג. 2 ≤ k < 2.26 . (. min(0,2) , min (8א (1 .פנימית min(π , − π ) :ובקצה התחו. max (2π ,2π ) , max(0, 0) : (2עולה , π < x < 2π :יורדת. 0 < x < π : ב .השרטוט משמאל .ג .ארבע נקודות קיצו. (9א. a = 2 . π π ב. − ,0 , (0,4 ), ,0 (1 . 2 2 π π π (2פנימית max( ,5.196) :ובקצה התחו. min( ,0) , min(− ,0) : 2 2 6 (3עולה: π 6 (10א. n = 1 . <<x π 2 , −יורדת: π 2 π <<x 6 . ג .השרטוט משמאל .ד .גר.3 # ב. (0,2), (π ,0) (1 . π (2פנימית max( ,2.25) :ובקצה התחו. min(0,2) , min(π ,0) : 3 π < , 0 < xיורדת< x < π : (3עולה: 3 ג .השרטוט משמאל .ד .גר.2 # π 3 . (11א .זוגית .ב. (0,3 p ) (1 . 2π (2פנימית min( ,0.75 p ) :ובקצה התחו. max(0, 3 p ) , max(π , p ) : 3 ג .השרטוט משמאל .ד. p = 2 . π (12א b = −1 .ב. (0,0 ) , ,0 (1 . 2 π (2פנימית min( ,−0.25) :ובקצה התחו. max(0, 0) , max(π ,2) : 3 π < , 0 < xעליה< x < π : (3ירידה: 3 ד. 0.25 < k ≤ 2 . π 3 . ג .השרטוט משמאל. (13א . p = 2 .ב. (0,0), (π ,0) (1 . 3π π (2פנימית max( ,3) :ובקצה התחו,−1) : 2 2 ג .השרטוט משמאל .ד .גרפי 3ו.4 (, − 1) , min π 2 . min(− © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 805 עמוד 11 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 805 (14א. m = 2 . 2π 4π . min ב .פנימית,2.46 , max( ,3.83) : 3 3 8π ובקצה התחו. min(0, 0) , max ,10.11 : 3 ג .נקודה אחת ) . (0, 0ד .השרטוט משמאל .ה .גר.4 # π π π (15א. (0,−2 ) , ,0 (2 . x = − , x = (1 . 2 2 4 (3עולה בכל תחו ההגדרה. ב .השרטוט משמאל. (16א(1 . π 2 =, x π 2 ג. π 2 יח"ר. . (0,0) (2 . x = − (3פנימית (4 . min(0,0) :עולה: ב .השרטוט משמאל. π 2 < ; 0 < xיורדת< x < 0 : π 2 .− ג .אי זוגית. π 5π (17א (2 . x = (1 .בקצה התחו. max (0,0 ) , min ,0.31 : 6 12 (3יורדת בכל תחו ההגדרה. ב .השרטוט משמאל. π π (18א (2 . x = (1 .פנימית max ,5.19 :ובקצה התחו. min(0,0 ) : 2 3 (3עולה: π 3 < . 0 < xיורדת: π <<x 2 ג (1.אי זוגית. ב .השרטוט: π 3 . (2השרטוט: Y X Y X © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 805 עמוד 12
© Copyright 2024