‫‪1‬‬ ‫בגרות עה מאי ‪ 15‬מועד קיץ א שאלון ‪35806‬‬ ‫א‪ .‬נסמן ב‪ t -‬את הזמן )שעות( שעבר עד למפגש בין מכונית ‪ I‬למכונית ‪. II‬‬ ‫נכניס את הנתונים לטבלה מתאימה‪:‬‬ ‫מהתחלה עד למפגש בין‬ ‫מכונית ‪ III‬למכונית ‪II‬‬ ‫זמן ‪t -‬‬ ‫שעות‬ ‫מהירות ‪v -‬‬ ‫קמ"ש‬ ‫דרך‪ -‬מרחק ‪s -‬‬ ‫ק"מ‬ ‫מכונית ‪I‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪50t‬‬ ‫מכונית ‪II‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪40t‬‬ ‫המשוואה הראשונה נבנית על פי המרחק בין מכונית ‪ I‬למכונית ‪ , II‬שהוא ‪ 15‬ק"מ‪.‬‬ ‫‪40t  15  50t‬‬ ‫‪15  10t‬‬ ‫‪t  1.5‬‬ ‫שתי המכוניות נפגשו לאחר שעה וחצי‪.‬‬ ‫ניתן היה גם לומר‪ ,‬שכיוון שהפרש המהירויות הוא ‪ 10‬קמ"ש‪,‬‬ ‫אז ‪ 1.5‬שעות ‪ 15 :10 ‬הוא הזמן הנדרש ליצירת הפרש המרחקים‪.‬‬ ‫מכונית ‪ II‬עברה עד למפגש עם מכונית ‪ 60 III‬ק"מ ‪, 40 1.5 ‬‬ ‫שזה גם המרחק שעברה מכונית ‪ III‬בשעה אחת )כי יצאה חצי שעה לאחריה(‪,‬‬ ‫ומכאן שמהירותה של מכונית ‪ III‬היא ‪ 60‬קמ"ש‪.‬‬ ‫תשובה‪ :‬מהירותה של מכונית ‪ III‬היא ‪ 60‬קמ"ש‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נבדוק האם ייתכן שהמרחק בין מכוניות ‪ III‬ו‪ I -‬שווה למרחק שבין מכוניות ‪ II‬ו‪. I -‬‬ ‫נסמן ב‪ s -‬את הזמן שעבר מיציאת שתי המכוניות הראשונות ועד לזמן בו המרחקים שווים‪.‬‬ ‫)‪ (1‬לפני הפגישה בין מכונית ‪ III‬למכונית ‪: I‬‬ ‫המשוואה המתאימה‪. 50 s  60( s  0.5)  50 s  40 s :‬‬ ‫ונקבל ‪:‬‬ ‫‪10 s  30  10 s‬‬ ‫‪s  1.5‬‬ ‫אולם זה הזמן שבו מכונית ‪ I‬ומכונית ‪ II‬נפגשו‪ ,‬כלומר לפני שמכונית ‪ III‬נפגשה עם מכונית ‪, II‬‬ ‫ולכן לא מתאים לנדרש‪.‬‬ ‫)‪ (2‬אחרי הפגישה בין מכונית ‪ III‬למכונית ‪: I‬‬ ‫המשוואה המתאימה‪. 60( s  0.5)  50 s  50 s  40 s :‬‬ ‫ונקבל ‪ 10 s  30  10 s :‬ואין פתרון‪.‬‬ ‫תשובה‪ :‬לא ייתכן‪.‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫‪2‬‬ ‫בגרות עה מאי ‪ 15‬מועד קיץ א שאלון ‪35806‬‬ ‫א‪ .‬נתונה סדרה הנדסית אין‪ -‬סופית יורדת ‪ , a1 , a2 , a3 , ...‬שכל איבריה חיוביים ולכן ‪. 0  q  1, an  0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כל איבר בסדרה זו )חוץ מהראשון( הוא‬ ‫‪5‬‬ ‫מסכום שני האיברים הסמוכים לו‪,‬‬ ‫לכן‪ an  0.4(an 1  an 1 ) :‬עבור ‪. n  1‬‬ ‫נמצא את מנת הסדרה‪.‬‬ ‫) ‪an  0.4(an 1  an 1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪ an q ) / : an  0‬‬ ‫‪q‬‬ ‫(‪an  0.4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪1  0.4(  q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪0.4q 2  q  0.4  0‬‬ ‫‪ 0  q 1‬‬ ‫‪q2‬‬ ‫‪q  0.5‬‬ ‫תשובה‪ :‬מנת הסדרה ‪ an‬היא ‪. 0.5‬‬ ‫‪an 1‬‬ ‫ב‪ (1) .‬נתונה הסדרה‬ ‫‪(an ) 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2an‬‬ ‫‪ bn ‬‬ ‫‪an q‬‬ ‫‪(an ) 2‬‬ ‫‪ . bn ‬נראה שהסדרה היא סדרה הנדסית‪.‬‬ ‫‪bn ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪bn 1 2an 1‬‬ ‫‪2an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪2an 1‬‬ ‫‪2an‬‬ ‫‪bn 1‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n 1  2‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫תשובה‪ :‬הסדרה ‪ bn‬הנדסית‪ ,‬כי המנה בין כל שני איברים עוקבים קבועה ) ‪.( qb  2‬‬ ‫)‪ (2‬נתון כי ‪ S10  20, 460‬בסדרה ‪. bn‬‬ ‫‪ 20, 460  1023b1‬‬ ‫)‪b1 (210  1‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪20, 460 ‬‬ ‫‪b1  20‬‬ ‫‪1‬‬ ‫על פי הקשר בין ‪ an‬ל‪: an -‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪ a1 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2a1‬‬ ‫‪20 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S  40 ‬‬ ‫נחשב את סכום כל האיברים בסדרה ‪: an‬‬ ‫‪1  0.5 20‬‬ ‫‪1‬‬ ‫תשובה‪ :‬הסכום הוא‬ ‫‪20‬‬ ‫‪.‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫‪3‬‬ ‫בגרות עה מאי ‪ 15‬מועד קיץ א שאלון ‪35806‬‬ ‫א‪ .‬מספר הספרות הזוגיות הוא ‪. 3‬‬ ‫נסמן ב‪ x -‬את מספר הספרות האי‪ -‬זוגיות‪ ,‬ולכן מספר הספרות הכולל הוא ‪. x  3‬‬ ‫מספר אי‪ -‬זוגי מתקבל אם הספרה השנייה שיוני בוחר היא אי‪ -‬זוגית‪.‬‬ ‫לכן‪ ,‬מספר זה יתקבל אם יוני יבחר ספרה זוגית ראשונה ושנייה אי‪ -‬זוגית או שתי ספרות אי זוגיות‪.‬‬ ‫נשים לב שההוצאה היא ללא החזרה‪ ,‬ולכן לאחריה נשארות ‪ x  2‬ספרות‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x  x  x 1‬‬ ‫‪7 x3 x2 x3 x2‬‬ ‫)‪4 3 x  x( x  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪7 ( x  3)( x  2‬‬ ‫))‪4( x  3)( x  2)  7(3 x  x( x  1‬‬ ‫) ‪4( x 2  5 x  6)  7(2 x  x 2‬‬ ‫‪0  3 x 2  6 x  24‬‬ ‫‪ x natural‬‬ ‫‪x  2‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫תשובה‪ :‬מספר הספרות האי‪ -‬זוגיות בקבוצה הנתונה הוא ‪. 4‬‬ ‫ב‪ .‬נמצא את ההסתברות ששתי הספרות שיוני בחר הן זוגיות‪ ,‬אם ידוע שהמספר שנוצר הוא זוגי‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫על פי הנתון בסעיף א‪ :‬ההסתברות שהמספר שנוצר הוא זוגי היא‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3 2 1‬‬ ‫האפשרות ששתי הספרות הן זוגיות היא ‪  :‬‬ ‫‪7 6 7‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫לכן ההסתברות המבוקשת היא‪. 7  :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪P(2 even digits  even number‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪p (2 even digits / even number ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ניתן גם‪ ,‬כמובן‪ ,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪P(even number‬‬ ‫‪   3‬‬ ‫‪7 6 7 6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫תשובה‪ :‬ההסתברות היא‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ג‪ .‬אמילי בוחרת שלוש ספרות‪ ,‬אולם כיוון שנתון כי הספרה הראשונה )ספרת המאות( היא זוגית‪,‬‬ ‫הרי שיש לחשב הסתברות לכך שסכום שתי הספרות הבאות הוא זוגי –‬ ‫ואז סכום שלוש הספרות יהיה גם זוגי‪.‬‬ ‫כיוון שאמילי הוציאה ספרה זוגית – נותרו ‪ 2‬ספרות זוגיות ו‪ 4 -‬ספרות אי‪ -‬זוגיות‪.‬‬ ‫סכום שתי הספרות יהיה זוגי – אם שתיהן תהיינה זוגיות‪ ,‬או ששתיהן תהיינה אי‪-‬זוגיות‪.‬‬ ‫‪2 1 4 3 7‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪6 5 6 5 15‬‬ ‫‪p ( sum is even number ) ‬‬ ‫‪7‬‬ ‫תשובה‪ :‬ההסתברות היא‬ ‫‪15‬‬ ‫‪.‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫‪4‬‬ ‫בגרות עה מאי ‪ 15‬מועד קיץ א שאלון ‪35806‬‬ ‫‪ PA .1‬משיק למעגל בנקודה ‪ PB .2 A‬משיק למעגל בנקודה ‪ O .3 B‬מרכז המעגל‪.‬‬ ‫עבור ב‪. ACD  ACB  90 .4 :‬‬ ‫צ"ל‪ :‬א‪ PO  AD .‬ב‪ ADC  POB .‬ג‪ DEC  DPB .‬ד‪AC = 2EC .‬‬ ‫הסבר‬ ‫נימוק‬ ‫טענה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ PA‬משיק למעגל בנקודה ‪A‬‬ ‫נתון‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ PB‬משיק למעגל בנקודה ‪B‬‬ ‫נתון‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ O‬מרכז המעגל‬ ‫נתון‬ ‫‪7 ,6 ,5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪AOP = BOP = ‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪AOB = 2‬‬ ‫‪9 ,7‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ADB = ‬‬ ‫‪10 ,8‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪) ADB = POB‬ז(‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪PO  AD‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪ACD  ACB  90‬‬ ‫‪7 ,6‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪PBO  90‬‬ ‫‪14 ,13‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪) ACD  PBO‬ז(‬ ‫‪15 ,11‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪ADC  POB‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪) EDC  PDB‬ז(‬ ‫‪17 ,15‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪DEC  DPB‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20 ,7‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪22‬‬ ‫אם מנקודה יוצאים שני משיקים למעגל‪ ,‬אז‬ ‫הקטע שמחבר אותה למרכז המעגל חוצה את‬ ‫הזווית המרכזית המתאימה ‪ +‬סימון‬ ‫סכום זוויות‬ ‫זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית‬ ‫הנשענת על אותה קשת ‪‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫כלל המעבר‬ ‫אם זוויות מתאימות שוות אז הישרים מקבילים‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪ .‬א‬ ‫נתון‬ ‫המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה‬ ‫כלל המעבר‬ ‫משפט דמיון זווית זווית‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪ .‬ב‬ ‫זווית משותפת‬ ‫משפט דמיון זווית זווית‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪ .‬ג‬ ‫‪AD AC DC‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪PO PB OB‬‬ ‫‪DE DC EC‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪DP DB PB‬‬ ‫‪DC EC‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2OB PB‬‬ ‫‪DC 2EC‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪OB PB‬‬ ‫יחסי צלעות מתאימות במשולשים דומים‬ ‫יחסי צלעות מתאימות במשולשים דומים‬ ‫קוטר המעגל שווה לשני רדיוסים והצבה‬ ‫חישוב‬ ‫‪22 ,19‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪AC 2EC‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪PB‬‬ ‫‪PB‬‬ ‫כלל המעבר‬ ‫‪23‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪AC  2EC‬‬ ‫חישוב‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪ .‬ד‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫‪5‬‬ ‫בגרות עה מאי ‪ 15‬מועד קיץ א שאלון ‪35806‬‬ ‫א‪ ABCD .‬טרפז‪ ,‬שבו ‪. BC  AD‬‬ ‫‪ CE  BD‬ולכן המרובע ‪ BCED‬הוא מקבילית‪.‬‬ ‫‪) DB  1.8AC‬נתון( ‪) AC  x‬סימון( ובהתאם ‪. BD  1.8x‬‬ ‫‪) CE = BD‬צלעות נגדיות שוות במקבילית( ולכן גם ‪. CE  1.8x‬‬ ‫‪) BDA  CEA  ‬זוויות מתאימות שוות בין ישרים מקבילים(‪.‬‬ ‫‪. CAD  DBC  2‬‬ ‫‪ ACE‬על פי משפט הסינוסים‪:‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪sin  sin 2‬‬ ‫‪2sin  cos  1.8 x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪sin ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪  25.84‬‬ ‫‪ 0    90‬‬ ‫תשובה‪.   25.84 :‬‬ ‫ב‪ .‬נתון‪ 87.873 :‬סמ"ר ‪. S ACE ‬‬ ‫‪. ACE  180  3  25.84  102.47‬‬ ‫‪AC  CE  sinACE‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x 1.8 x  sin102.47‬‬ ‫‪87.873 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪100  x‬‬ ‫‪S ACE ‬‬ ‫‪ 10‬ס"מ ‪x ‬‬ ‫נוריד גובה ‪ CT‬של הטרפז מהקודקוד ‪. C‬‬ ‫‪ 18‬ס"מ ‪. CE  10 1.8 ‬‬ ‫‪ CTE‬ישר זווית‪:‬‬ ‫‪CT‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫‪18sin 25.84  CT‬‬ ‫‪sin 25.84 ‬‬ ‫‪ 7.845‬ס"מ ‪CT ‬‬ ‫תשובה‪ :‬גובה הטרפז הוא ‪ 7.845‬ס"מ‪.‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫‪6‬‬ ‫בגרות עה מאי ‪ 15‬מועד קיץ א שאלון ‪35806‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ f ( x) ‬והתחום‬ ‫א‪ .‬נתונה הפונקציה‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪cos 2 x‬‬ ‫‪.0  x ‬‬ ‫)‪ (1‬נמצא את תחום ההגדרה‬ ‫‪cos 2 x  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2x    k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪x  k‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x , x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫בתחום הנתון‬ ‫‪, x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫תשובה‪, x  :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪.x‬‬ ‫‪. 0 x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪ (2‬תשובה‪ :‬האסימפטוטות האנכיות הן הישרים‬ ‫‪, x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪.x‬‬ ‫)‪ (3‬נמצא תחילה את ערך הפונקציה בנקודת הקצה‪ ,‬שהיא נקודת מינימום על פי הציור‪:‬‬ ‫‪sin 0‬‬ ‫)‪ 0  (0, 0‬‬ ‫‪cos 2  0‬‬ ‫‪f (0) ‬‬ ‫נמצא את נקודת המקסימום‪:‬‬ ‫‪ sin 2 x  2sin x cos x‬‬ ‫‪cos x cos 2 x  2sin x sin 2 x‬‬ ‫‪(cos 2 x) 2‬‬ ‫‪f '( x) ‬‬ ‫‪cos x cos 2 x  4sin 2 x cos x‬‬ ‫‪(cos 2 x) 2‬‬ ‫‪f '( x) ‬‬ ‫)‪cos x(cos 2 x  4sin 2 x‬‬ ‫‪(cos 2 x) 2‬‬ ‫‪f '( x) ‬‬ ‫‪cos x  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪2  1  (  ,  1‬‬ ‫‪x  k  f ( ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪cos(2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הביטוי ‪ cos 2 x  4sin 2 x‬חיובי ‪ ,‬כי ‪. cos 2 x  4sin 2 x  1  2sin 2 x  4sin 2 x  2sin 2 x  1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x ‬הוא הפתרון היחידי בתחום ‪, x ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.0  x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫תשובה‪ (0, 0) :‬מינימום‪ ( ,  1) ,‬מקסימום‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫ב‪ .‬נצייר את הסקיצה של פונקציית הנגזרת )‪. f '( x‬‬ ‫תחומי החיוביות‪ /‬שליליות שלה תואמים את תחומי העלייה‪ /‬ירידה של )‪. f ( x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫לכן‪ ,‬היא חיובית עבור ‪ 0  x ‬או ‪ ,  x ‬ושלילית עבור‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪cos 0  (cos(2  0)  4sin 2 0‬‬ ‫כמו כן ‪ 1‬‬ ‫‪(cos(2  0)) 2‬‬ ‫‪, f '(0) ‬‬ ‫ולכן )‪ f '( x‬נוגעת בציר ה‪ y -‬בנקודה )‪ , (0,1‬נקודת הקצה שלה‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫האסימפטוטות האנכיות הן עדיין‬ ‫‪, x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪,x‬‬ ‫שכן שיפועי )‪ f ( x‬שואפים ל‪  -‬בסביבות הישרים‪.‬‬ ‫תשובה‪ :‬הסקיצה משמאל‪.‬‬ ‫ג‪ .‬נתונה הפונקציה‬ ‫)‪ g ( x‬המקיימת )‪. g ( x)  2 f ( x)  f '( x‬‬ ‫‪. g (0)  2 f (0)  f '(0)  2  0 1  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫בתחום‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ g ( x) 0  x ‬חיובית כי )‪ f ( x‬חיובית ועולה‪ ,‬על פי הציור הנתון‪,‬‬ ‫ולכן השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫על ידי ציר ה‪ x -‬והישר‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ x ‬הוא מעל ציר ה‪. x -‬‬ ‫נחשב את גודלו על ידי זיהוי הנגזרת הפנימית של )‪. f ( x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪S   (2 f ( x)  f '( x)  0) dx ‬‬ ‫‪ f '( x)) dx ‬‬ ‫‪S   (2  f ( x) ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2  f ( x) ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6 )2  0  1  0  1‬‬ ‫( ‪S  f 2 ( )  f 2 (0) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪S 1‬‬ ‫תשובה‪ :‬גודל השטח הוא ‪ 1‬יח"ר‪.‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫בגרות עה מאי ‪ 15‬מועד קיץ א שאלון ‪35806‬‬ ‫‪( x  2)2‬‬ ‫א‪ (1) .‬נתונה הפונקציה‬ ‫‪( x  1)3‬‬ ‫‪a  0 , f ( x) ‬‬ ‫המכנה מתאפס עבור ‪ x  1‬ולכן תחום ההגדרה הוא ‪. x  1‬‬ ‫תשובה‪. x  1 :‬‬ ‫‪( x  2)2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪ lim 3  lim  0 (2‬‬ ‫‪ , lim‬לכן ‪ y  0‬אסימפטוטה אופקית‪.‬‬ ‫‪x  ( x  1)3‬‬ ‫‪x  x‬‬ ‫‪x  x‬‬ ‫‪( x  2)2 9‬‬ ‫‪lim ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪( x  1)3 0‬‬ ‫‪( x  2)2 9‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪ , lim ‬לכן ‪ x  1‬אסימפטוטה אנכיות‪.‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪( x  1)3 0‬‬ ‫תשובה‪ y  0 :‬אסימפטוטה אופקית ‪ x  1 ,‬אסימפטוטה אנכית‪.‬‬ ‫)‪ (3‬נמצא את שיעורי נקודות החיתוך עם ציר ה‪. x -‬‬ ‫‪/ ( x  1)3‬‬ ‫‪( x  2) 2‬‬ ‫‪( x  1)3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0  ( x  2) 2‬‬ ‫)‪x  2  (2, 0‬‬ ‫‪(0  2) 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫נקודת חיתוך עם ציר ה‪ 4  (0,  4) : y -‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(0  1‬‬ ‫‪f (0) ‬‬ ‫תשובה‪. (2, 0) , (0,  4) :‬‬ ‫)‪ (4‬נמצא את שיעורי נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬ ‫‪2( x  2)( x  1)3  3( x  2) 2 ( x  1) 2‬‬ ‫‪( x  1)6‬‬ ‫‪f '( x) ‬‬ ‫))‪( x  2)( x  1) 2 (2( x  1)  3( x  2‬‬ ‫‪( x  1)6‬‬ ‫‪f '( x) ‬‬ ‫)‪( x  2)( x  8‬‬ ‫‪( x  1) 4‬‬ ‫‪f '( x) ‬‬ ‫)‪x  2  0  x  2  (2, 0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‬ ‫‪81‬‬ ‫‪ x  8  0  x  8  (8, ‬‬ ‫הביטוי האלגברי )‪ ( x  2)( x  8‬במונה הוא של פרבולה הפוכה )בעלת מקסימום(‬ ‫‪4‬‬ ‫הנגזרת עוברת משליליות לחיוביות עבור ‪ x  8‬ו‪) -‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪ (8, ‬נקודת מינימום‪.‬‬ ‫הנגזרת עוברת מחיוביות לשליליות עבור ‪ x  2‬ו‪ (2, 0) -‬נקודות מקסימום‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫תשובה‪ (2, 0) :‬נקודת מקסימום‪) ,‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪ (8, ‬נקודות מינימום‪.‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫)‪ (5‬סרטוט הסקיצה המתאימה‪ ,‬כולל סימון מיקום משוער של שתי נקודות הפיתול‪:‬‬ ‫ב‪ .‬שתי נקודות הפיתול מסומנות בסקיצה‪ :‬אחת בתחום ‪ 8  x  2‬והשנייה בתחום ‪. x  8‬‬ ‫הראשונה בתחום בו הפונקציה עוברת מקעירות כלפי מעלה לקעירות כלפי מטה‪ ,‬בין נקודות הקיצון‪.‬‬ ‫השנייה בשל המעבר לקעירות כלפי מטה בשאיפה לאסימפטוטה ‪, y  0‬‬ ‫תשובה‪ :‬אחת בתחום ‪ 8  x  2‬והשנייה בתחום ‪. x  8‬‬ ‫‪24‬‬ ‫ג‪ .‬שטח המשולש ‪ ABO‬שווה ל‪ 4 -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫כיוון שהפונקציה קעורה כלפי מטה בתחום ‪, 2  x  0‬‬ ‫אז הגרף של )‪ f ( x‬בתוך המשולש‪,‬‬ ‫ולכן השטח המוגבל על ידי )‪ f ( x‬והצירים קטן מ‪. 4 -‬‬ ‫תשובה‪ :‬קטן מ‪. 4 -‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫‪8‬‬ ‫בגרות עה מאי ‪ 15‬מועד קיץ א שאלון ‪35806‬‬ ‫‪1‬‬ ‫א‪ .‬נתונה הפונקציה ‪ a  0 ) f ( x)  x 3  a 2 x  a 2‬הוא פרמטר(‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫נראה כי ערך הפונקציה בנקודת המקסימום שלה הוא חיובי‪.‬‬ ‫‪f '( x)  x 2  a 2‬‬ ‫‪0  x2  a2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪x  a  y  a 3  a 2  a  a 2   a 3  a 2  a 2 ( a  1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪x   a  y  ( a )3  a 2  ( a )  a 2  a 3  a 2  a 2 ( a  1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫גרף הנגזרת הוא של פרבולה בעלת מינימום )"צוחקת"(‪,‬‬ ‫לכן הנגזרת עוברת מחיוביות לשליליות עבור ‪ , x  a‬וזה שיעור ה‪ x -‬של נקודת המקסימום‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫שיעור ה‪ y -‬הוא )‪ , a 2 ( a  1‬וכיוון ש‪ a  0 -‬נקבל ש‪. y  0 -‬‬ ‫‪3‬‬ ‫תשובה‪ :‬הוּכַח‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הנגזרת עוברת משליליות לחיוביות עבור ‪ , x  a‬וזה שיעור ה‪ x -‬של נקודת המינימום‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫שיעור ה‪ y -‬הוא )‪ , a 2 ( a  1‬וסימן ערכו נקבע על ידי הביטוי ‪,  a  1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫המיוצג על ידי קו ישר יורד‪ ,‬ומתאפס עבור ‪. a  1.5‬‬ ‫)‪ (1‬נקודת המינימום על ציר ה‪ x -‬עבור ‪. a  1.5‬‬ ‫)‪ (2‬נקודת המינימום מעל ציר ה‪ x -‬עבור ‪) 0  a  1.5‬נתון כי ‪.( a  0‬‬ ‫)‪ (3‬נקודת המינימום מתחת לציר ה‪ x -‬עבור ‪. a  1.5‬‬ ‫ג‪ .‬הגרפים המתאימים‪:‬‬ ‫עבור ‪a  1.5‬‬ ‫עבור ‪0  a  1.5‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫ד‪ .‬נשים לב כי המשוואה ‪x  x  1  0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫מתאימה ל‪ f ( x)  0 -‬עבור ‪. a  1‬‬ ‫על פי הגרף המתאים )האמצעי‪ ,‬עבור ‪ ( 0  a  1.5‬יש רק פתרון אחד‪.‬‬ ‫תשובה‪ :‬פתרון אחד‪.‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫עבור ‪a  1.5‬‬