‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף שאלון ‪35806‬‬ ‫א‪ .‬נסמן ב‪ x -‬את הזמן )בשעות( הדרוש לצבע מתלמד לסיים את העבודה לבדו‪,‬‬ ‫ו ב‪ y -‬את הזמן )בשעות( הדרוש לצבע ותיק לסיים את העבודה לבדו‪.‬‬ ‫נסמן ב‪) t -‬שעות( את הזמן הנדרש לצבע מתלמד אחד ולשני צבעים ותיקים לסיים את הצביעה‪,‬‬ ‫ולכן ‪ 1.25t‬הוא זמן העבודה של שני צבעים מתלמדים וצבע אחד ותיק – הגדול ב‪ 25% -‬מ‪. t -‬‬ ‫‪x‬‬ ‫יש למצוא את היחס‬ ‫‪y‬‬ ‫‪.‬‬ ‫צבע‬ ‫זמן )שעות(‬ ‫מתלמד‬ ‫‪x‬‬ ‫ותיק‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מתלמדים‬ ‫‪1.25t‬‬ ‫‪ 1‬ותיק‬ ‫‪1.25t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪ 1‬מתלמד‬ ‫‪t‬‬ ‫‪ 1‬ותיקים‬ ‫חלק עבודה בשעה‬ ‫)הספק(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫חלק עבודה כולל‬ ‫)עבודה(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2.5t‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1.25t‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2t‬‬ ‫‪y‬‬ ‫נפתור את המשוואה המתאימה ‪ ,‬לסיום כל העבודה – בשתי החלופות שהוצגו‪.‬‬ ‫‪/ :t  0‬‬ ‫‪2.5t 1.25t t 2t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x y‬‬ ‫‪2.5 1.25 1 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x y‬‬ ‫‪1.5 0.75‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫תשובה‪ :‬היחס הוא ‪. 2 :1‬‬ ‫ב‪ .‬קצב עבודה של צבע ותיק גדול פי ‪ 2‬מזה של צבע מתלמד‪.‬‬ ‫כאשר שני צבעים ותיקים עובדים‪ ,‬עם צבע מתלמד אחד – הקצב זהה לזה של חמישה צבעים מתלמדים‪.‬‬ ‫כאשר צבע ותיק אחד עובד‪ ,‬הקצב זהה לזה של שני צבעים מתלמדים –‬ ‫לכן נדרש להוסיף עוד שלושה צבעים מתלמדים‪.‬‬ ‫תשובה‪ :‬שלושה צבעים מתלמדים‪.‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫‪2‬‬ ‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף שאלון ‪35806‬‬ ‫א‪ .‬נתונה סדרה המוגדרת על ידי כלל נסיגה‪:‬‬ ‫‪a1  4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an  an 1  4 n  2‬‬ ‫אם בסדרה יש ‪ 100‬איברים‪ ,‬הרי ששני האיברים האמצעים הם ‪ a50‬ו‪, a51 -‬‬ ‫המקיימים ‪. (n  50) a50  a51  4  50  2  202‬‬ ‫תשובה‪ :‬הסכום הוא ‪. 202‬‬ ‫ב‪ .‬נראה כי איברי הסדרה העומדים במקומות אי‪-‬זוגיים )או זוגיים( מהווים סדרה חשבונית‪.‬‬ ‫כלומר ההפרש ‪ an  2  an‬הוא קבוע )והוא יהיה הפרש הסדרות החשבוניות(‪.‬‬ ‫‪(n  n  1) an  2  an 1  4  (n  1)  2  4n  6‬‬ ‫‪an  2  4n  2  an  4n  6‬‬ ‫‪an  2  an  4‬‬ ‫תשובה‪ :‬הוּכַח‪.‬‬ ‫ג‪ .‬אם בסדרה יש ‪ 101‬איברים‪ ,‬הרי שהאיבר האמצעי הוא ‪, a51‬‬ ‫הנמצא במקום ה‪ 26 -‬בסדרת האיברים שבמקומות האי‪ -‬זוגיים‪.‬‬ ‫‪b26  b1  25d‬‬ ‫‪b26  4  25  4‬‬ ‫‪b26  104  a51  104‬‬ ‫תשובה‪. a51  104 :‬‬ ‫ד‪ .‬נחשב את סכום כל ‪ 101‬האיברים‪ ,‬באמצעות סכום האיברים שבמקומות האי‪ -‬זוגיים‪,‬‬ ‫ובנפרד את אלו שבמקומות הזוגיים‪.‬‬ ‫‪51 2  4  4(51  1) ‬‬ ‫‪ 5304‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(n  1) a1  a2  4 1  2  6‬‬ ‫‪S51ODD‬‬ ‫‪4  a2  6‬‬ ‫‪a2  2‬‬ ‫‪50  2  2  4(50  1) ‬‬ ‫‪ 5000‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S101  5304  5000  10,304‬‬ ‫‪S50 EVEN‬‬ ‫תשובה‪ :‬סכום כל איברי הסדרה הוא ‪. 10,304‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫‪3‬‬ ‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף שאלון ‪35806‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫א‪ .‬בישוב גדול ‪ , p ( woman) ‬ובהתאם‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪. p (man) ‬‬ ‫בוחרים )פעמיים( ארבעה תושבים‪ ,‬מישוב גדול זה‪ ,‬ונמצא את ההסתברות ששנים מתוכם הם גברים‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫זו התפלגות בינומית‪ ,‬כאשר נתון כי ‪, n  4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪. k 2 ,p‬‬ ‫נחשב באמצעות נוסחת ברנולי את ההסתברות המתאימה‪:‬‬ ‫‪ 4 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P4 (2)     ( ) 2  ( ) 4 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 2 3‬‬ ‫!‪4‬‬ ‫‪P4 (2) ‬‬ ‫‪ ( 2 )2  ( 1 )2‬‬ ‫‪2!(4  2)! 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P4 (2)  6  ( ) 2  ( ) 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪P4 (2) ‬‬ ‫‪27‬‬ ‫כיוון שאין תלות בין שתי הקבוצות שנבחרו באקראי‪,‬‬ ‫‪8 2 64‬‬ ‫הרי שההסתברות שבכול אחת מהן יהיו בדיוק שני גברים‪ ,‬היא‬ ‫‪) ‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪729‬‬ ‫‪64‬‬ ‫תשובה‪ :‬ההסתברות היא‬ ‫‪729‬‬ ‫(‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ב‪ .‬ידוע שבקבוצה שנבחרה לראיון ברדיו היו לכל היותר שני גברים‪,‬‬ ‫ויש למצוא את ההסתברות שהיו בקבוצה זו בדיוק שני גברים‪.‬‬ ‫)‪P4 (2‬‬ ‫)‪P ( Exectly 2 men  At most 2 men‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪P ( At most 2 men‬‬ ‫)‪P4 (0)  P4 (1)  P4 (2‬‬ ‫‪p ( Exectly 2 men / At most 2 men) ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P4 (0)  ( ) 4 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪ 4 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪P4 (1)     ( )1  (1  ) 41‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫!‪4‬‬ ‫‪P4 (1) ‬‬ ‫‪ ( 2 )  ( 1 )3‬‬ ‫‪1!(4  1)! 3 3‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪P4 (1)  4  ( )  ( )3‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪P4 (1) ‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪p ( Exectl 2 men / At most 2 men) ‬‬ ‫‪ 27 ‬‬ ‫‪1 8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪11 11‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪81 81 27 27‬‬ ‫‪8‬‬ ‫תשובה‪ :‬ההסתברות היא‬ ‫‪11‬‬ ‫‪.‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫‪4‬‬ ‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף שאלון ‪35806‬‬ ‫נתונים‬ ‫‪ ABCD .1‬מקבילית ‪ 27 .2‬סמ"ר ‪ 48 .3 SABE ‬סמ"ר ‪SDFE ‬‬ ‫עבור ב‪ BCDE .4 .‬בר חסימה במעגל‪.‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫צ"ל‪ :‬א‪ SBED .‬ב‪.‬‬ ‫‪EF‬‬ ‫הסבר‬ ‫נימוק‬ ‫טענה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ ABCD‬מקבילית‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪BC  AD‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪AB AE BE‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪FD ED EF‬‬ ‫משפט תאלס הרחבה ‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ABE  DFE‬‬ ‫משפט דמיון צלע צלע צלע‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ 27‬סמ"ר ‪SABE ‬‬ ‫נתון‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ 48‬סמ"ר ‪SDFE ‬‬ ‫נתון‬ ‫‪10 ,9‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪SABE 9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪SDFE 16‬‬ ‫‪11 ,8 ,7‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪AB AE BE 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪FD ED EF 4‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪SABE AE  h  0.5 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪SBED ED  h  0.5 4‬‬ ‫‪13 ,9‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪ 36‬סמ"ר ‪SBED ‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪EDF = C‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪ BCDE‬בר חסימה במעגל‬ ‫‪16‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪BED  C = 180‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪FED  BED = 180‬‬ ‫‪18 ,17‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪FED = C‬‬ ‫כלל המעבר‬ ‫‪19 ,15‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪FED = EDF‬‬ ‫כלל המעבר‬ ‫‪20‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪EF = FD‬‬ ‫ב‪ EFD -‬מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות‬ ‫‪21 ,12‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪AB 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪EF 4‬‬ ‫הצבה‬ ‫נתון‬ ‫צלעות המקבילית מקבילות זו לזו‬ ‫חישוב‬ ‫יחס שטחים של משולשים דומים‬ ‫שווה לריבוע יחס הדמיון‬ ‫לשני המשולשים גובה משותף‬ ‫לצלעות שהיחס ביניהם הוא יחס הדמיון‬ ‫חישוב‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪ .‬א‬ ‫זוויות מתאימות שוות בין ישרים מקבילים‬ ‫נתון‬ ‫סכום זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל‬ ‫הוא ‪180‬‬ ‫סכום זוויות צמודות הוא ‪180‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪ .‬ב‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ 5 35806 ‫ מועד חורף שאלון‬15 ‫בגרות עה ינואר‬ . BC ‫ אמצע‬E , (BMC  90) ‫ הוא ישר זווית‬BMC .‫א‬ . ME  BE  EC :‫ ובהתאם‬,‫התיכון ליתר שווה למחצית היתר‬ DMC cos   MC DC a cos   MC MBC cos   . ME  .(‫ )זוויות מתחלפות שוות בין בסיסי הטרפז המקבילים‬BAC  ACD   , a  ‫ ס"מ‬6 , MC BC BC  a cos  cos  ME  a cos  2 cos  a cos  :‫תשובה‬ 2 cos  tan  1  :‫ נתון‬.‫ב‬ tan  3 ‫ לפי משפט הסינוסים‬ABC AB BC  sin  sin a cos  sin  AB  cos  sin 6.6 tan  AB  tan 6.6 AB  3 AB  2.2 . AB  ‫ ס"מ‬2.2 :‫תשובה‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ . BM  ‫ ס"מ‬1.3 :‫ נתון‬.‫ג‬ 2 ‫לפי משפט תאלס הרחבה‬ AB BM  DC MD 2.2 1.3 MD  6.6 MD  3.9cm DMC DC 3.9  DC 6.6   36.22   tan  1   DCB  36.22  13.72  49.94 tan 36.22 3    13.72  sin   . DCB  49.94 :‫תשובה‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫‪6‬‬ ‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף שאלון ‪35806‬‬ ‫א‪ .‬הפונקציה שיש להביא למקסימום היא אורך הקטע ‪ , MN‬בתחום ‪. xA  x  xB‬‬ ‫נמצא את שיעורי נקודות החיתוך עם ציר ה‪ x -‬של שתי הפונקציות‪ ,‬בתחום הסרטוט ‪) 0  x  2‬גם לזיהוי(‪.‬‬ ‫‪g ( x)  sin 2 x‬‬ ‫‪sin 2 x  0‬‬ ‫‪2x   k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x  0, ,  , , 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f ( x)  0.5sin 2 x  cos x‬‬ ‫‪0.5sin 2 x  cos x  0‬‬ ‫‪sin x cos x  cosx  0‬‬ ‫‪cos x(sin x  1)  0‬‬ ‫‪cos x  0 sin x  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x  k k x  x ‬‬ ‫‪k  2 k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪x ,‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪.( A( , 0), B( , 0) ) x  ,‬‬ ‫ובהתאם שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הקצה של פונקציית הקטע ‪ MN‬הן‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫ניתן לראות כי התקבלה נקודת חיתוך נוספת‪ ,‬עם ציר ה‪ , x -‬בין שתי הנקודות והיא )‪, ( , 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫וכך ניתן לזהות את הגרפים ולהראות כי בתחום‬ ‫‪ x  xB ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ xA ‬מתקיים )‪. g ( x)  f ( x‬‬ ‫נסמן‪ xN  xM  t . M(t ,sin 2t ) :‬ולכן‪. N(t , 0.5sin 2t  cos t ) :‬‬ ‫‪MN  yM  yN‬‬ ‫‪MN  0.5sin 2t  cos t‬‬ ‫‪(MN)'  cos 2t  sin t‬‬ ‫‪1  2sin 2 t  sin t  0‬‬ ‫‪2sin 2 t  sin t  1  0‬‬ ‫‪(sin t )1  0.5 (sin t ) 2  1‬‬ ‫‪sin x  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x   2 k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪sin t  0.5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x    2 k‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 2 k‬‬ ‫‪6‬‬ ‫נשים לב כי בתחום ‪) 0  x  2‬תחום הסרטוט‪ ,‬וגם חשוב לסעיף ב(‪,‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ , x ‬כאשר‬ ‫‪)  0.5sin(2  )  cos( ) ‬‬ ‫הפתרונות היחידים שמתקבלים הם‪ x  :‬ו‪-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫(‪. MN‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫נבנה טבלת עלייה ירידה‪ ,‬תוך שימוש בערכי הפונקציה ‪ , MN‬בתחום‬ ‫‪ x  xB ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪, xA ‬‬ ‫כאשר ערכם בקצוות הוא אפס‪ ,‬כי שם שתי הפונקציות הנתונות נחתכות‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪MN(t‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מסקנה‬ ‫‪Min‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪Max‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Min‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫תשובה האורך המקסימלי של הקטע ‪ MN‬הוא‬ ‫‪4‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫ב‪ .‬הפונקציה שיש להביא למקסימום היא אורך הקטע ‪ , KL‬בתחום ‪ xA‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.0  x ‬‬ ‫בתחום זה מתקיים )‪ , f ( x)  g ( x‬כלומר ) ‪. KL(t )   MN(t‬‬ ‫‪‬‬ ‫ראינו בסעיף א‪ ,‬כי בתחום ‪ xA‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 0  x ‬נגזרת הפונקציה ) ‪ MN(t‬אינה מתאפסת‪,‬‬ ‫ולכן גם נגזרת הפונקציה ) ‪ KL(t‬לא מתאפסת‪ ,‬ונקודות הקיצון הן בקצוות‪.‬‬ ‫‪KL(0)  cos 0  0.5sin(2  0)  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪KL( )  0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ולכן הערך המקסימלי מתקבל בקצה השמאלי‪.‬‬ ‫תשובה‪ :‬האורך המקסימלי של הקטע ‪ KL‬הוא ‪. 1‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫‪7‬‬ ‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף שאלון ‪35806‬‬ ‫‪x‬‬ ‫א‪ .‬נתונה הפונקציה‬ ‫‪1  x2‬‬ ‫‪ f ( x) ‬והפונקציה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3x  2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. g ( x) ‬‬ ‫)‪ (1‬נמצא את תחום ההגדרה של )‪ , f ( x‬כאשר הביטוי בתוך מכנה השורש חיובי והמונה תלוי בסימן של ‪. x‬‬ ‫כיוון שנדרש שהביטוי שבתוך השורש יהיה אי שלילי‪ ,‬הרי שתחום ההגדרה הוא ‪. x  0‬‬ ‫עבור )‪ g ( x‬הביטוי שבתוך השורש שבמכנה הוא חיובי לכל ‪ x‬ולכן הפונקציה מוגדרת לכל ‪. x‬‬ ‫תשובה‪ :‬תחום ההגדרה‪ - g ( x) , x  0 - f ( x) :‬כל ‪. x‬‬ ‫)‪ (2‬נמצא אסימפטוטות המאונכות לציר ה‪) y -‬אין אסימפטוטות המאונכות לציר ה‪.( x -‬‬ ‫)ניתן למצוא גם על ידי הצבות‪ ,‬או נימוקים‪ .‬אין חובה לרשום בעזרת גבולות !(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1/ x 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0  y0‬‬ ‫‪x  1  x 2‬‬ ‫‪x  1/ x 2  1‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0  y0‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪3 x 2  2 ‬‬ ‫תשובה‪ :‬אסימפטוטות המאונכות לציר ה‪. ( x  ) y  0 , g ( x) , ( x  ) y  0 f ( x) : y -‬‬ ‫)‪ (3‬נמצא את שיעורי נקודות הקיצון‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1  x2‬‬ ‫‪1  x2  2x2‬‬ ‫‪(1  x 2 ) 2‬‬ ‫‪f '( x) ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1  x2‬‬ ‫‪f ( x) ‬‬ ‫‪1  x2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1  x2‬‬ ‫‪3x  2‬‬ ‫‪6 x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪g ( x) ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪g '( x)  2 32x  2‬‬ ‫‪3x  2‬‬ ‫‪3 x‬‬ ‫‪g '( x) ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(3 x  2)1.5‬‬ ‫‪f '( x) ‬‬ ‫מכנה הנגזרת חיובי‪.‬‬ ‫‪2(1  x 2 ) 2‬‬ ‫מונה הנגזרת הוא של קו ישר יורד‪,‬‬ ‫מכנה הנגזרת חיובי‪.‬‬ ‫אשר מתאפס עבור ‪, x  0‬‬ ‫מונה הנגזרת הוא של פרבולה הפוכה‪,‬‬ ‫ובו עובר מחיוביות לשליליות – לכן מקסימום‪.‬‬ ‫אשר מתאפסת בתחום ההגדרה עבור ‪, x  1‬‬ ‫ובו עוברת מחיוביות לשליליות – לכן מקסימום‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫תשובה‪ (0, 0) :‬מינימום )קצה( ‪) ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (1,‬מקסימום‪.‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫‪1‬‬ ‫תשובה‪) :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (0,‬מקסימום‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ב‪ .‬כיוון שהמקסימום המוחלט של שתי הפונקציות שווה )‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪ ,‬והגרפים‪ ,‬על פי הנתון‪ ,‬נחתכים פעם אחת בלבד‪,‬‬ ‫הרי ששיעור ה‪ x -‬של נקודת החיתוך יהיה בין ‪ 0‬ל‪. 1 -‬‬ ‫ג‪ .‬נתון ‪. (k  0) h( x)  g ( x)  k‬‬ ‫זוהי תזוזה אנכית כלפי מטה של )‪ , g ( x‬ב‪ k -‬יחידות‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫עבור‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ k ‬גרף הפונקציה )‪h( x‬‬ ‫יהיה מתחת לציר ה‪ x -‬ולא יחתוך את גרף )‪ f ( x‬שהוא אי‪ -‬שלילי‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.k ‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫‪8‬‬ ‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף שאלון ‪35806‬‬ ‫)‪f '( x‬‬ ‫א‪ .‬נתון כי ‪) dx  3‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ (2‬‬ ‫ונתון גם‪ k ) f (0)  1 , f '( x)  kx  2 :‬הוא פרמטר(‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נחשב את האינטגרל המסוים‪ ,‬על ידי זיהוי הנגזרת הפנימית‪.‬‬ ‫)‪f '( x‬‬ ‫‪) dx  3‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ f '( x)) dx  3‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ (2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ (2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f ( x) ]  3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪f (0)  3‬‬ ‫‪f (3) ‬‬ ‫‪f (3)  1  3  f (0)  1‬‬ ‫‪f (3)  1  3‬‬ ‫‪f (3)  4‬‬ ‫‪f (3)  16‬‬ ‫נמצא את הפונקציה ‪ , f '( x)  kx  2‬על ידי חישוב הפונקציה הקדומה של )‪f '( x‬‬ ‫והצבת שתי נקודות‪ ,‬למציאת קבוע האינטגרציה וערך הפרמטר‪.‬‬ ‫‪f ( x)   f '( x) dx‬‬ ‫‪f ( x)   (kx  2) dx‬‬ ‫‪kx 2‬‬ ‫‪ 2x  c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f ( x) ‬‬ ‫‪k  02‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2  0  c  f (0)  1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪c 1‬‬ ‫‪k  32‬‬ ‫‪ 2  3  1  f (3)  16‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪k 2‬‬ ‫‪16 ‬‬ ‫‪f ( x)  x 2  2 x  1  ( x  1) 2‬‬ ‫תשובה‪. f ( x)  x 2  2 x  1  ( x  1) 2 , f (3)  16 :‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫ב‪ .‬נתון כי )‪f ( x‬‬ ‫‪ g ( x) ‬כלומר )‪ g ( x‬היא פונקציה אי‪ -‬שלילית‪.‬‬ ‫)‪ (1‬לפונקציה )‪ g ( x‬יש נקודת אפס‪ ,‬זהה לזו של )‪ , f ( x‬והיא )‪. (1, 0‬‬ ‫‪ g ( x)  ( x  1) 2‬ומכאן ש‪ g ( x)  x  1 -‬במטרה להבטיח את אי‪ -‬השליליות של הפונקציה‪.‬‬ ‫ניתן לרשום את )‪ g ( x‬גם בתחום מפוצל‪:‬‬ ‫‪ x  1 x  1‬‬ ‫‪ g ( x)  ‬ועל ידי כך להבין שהיא מורכבת משני ישרים‪ ,‬אחד יורד ואחד עולה‪.‬‬ ‫‪  x  1 x  1‬‬ ‫תשובה‪ :‬הוּ ַכח כי ‪. g ( x)  x  1‬‬ ‫)‪ (2‬שתי הפונקציות תחתכנה‪ ,‬כאשר ‪ g ( x)  f ( x)  1‬בנקודות )‪, (2,1) , (0,1‬‬ ‫כי במקרה זה ‪f ( x)  f ( x)  1‬‬ ‫וכאמור‪ ,‬בנקודה )‪ (1, 0‬כי ‪f ( x)  f ( x)  0‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫‪.‬‬