משוואות דיפרנציאליות רגילות - לתלמיד

‫עמוס ארליך‬
‫מתמטיקה‬
‫מעל‬
‫‪ 5‬יח"ל‬
‫פרקים ראשונים‬
‫במשוואות דיפרנציאליות‬
‫כל הזכויות שמורות ©‬
‫מותר להעתיק ולצלם לצורך שימוש עצמי‪ ,‬ומורים ובתי שפר רשאים להעתיק ולצלם גם‬
‫לצורך שימוש בבית ספרם‪ .‬בתנאים אלה מותר להעתיק גם חלקים מן החוברת‪ ,‬ובלבד‬
‫שיצורף להם שם המחבר‪ ,‬תוכן העניינים השלם וכתובת האתר לקבלת החוברת השלמה‪.‬‬
‫מותר להוסיף תוספות ובלבד שיהיה ברור לכל קורא מי כתב תוספות אלה‪.‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫פרופ' עמוס ארליך‬
‫החוג להוראת המדעים‬
‫אוניברסיטת תל אביב‬
‫משוואות דיפרנצי ָליות‬
‫ע‪4 .‬‬
‫‪ .1‬דוגמה פותחת‬
‫המשוואה ‪ , y’=y-x2‬נוסחתו של פתרון אחד‪ ,‬תוכנית לשרטוט גרפים של פתרונות נוספים‪.‬‬
‫‪ .2‬תכונות ‪ex‬‬
‫ע‪7 .‬‬
‫מתקבלות מהמשוואה ‪ y’=y‬ומנקודת ההתחלה )‪ .(0,1‬המשוואה ‪. y’=ky‬‬
‫ע‪10 .‬‬
‫‪ .3‬הוראות הפעלה ותוכנית חדשה‬
‫השפה ‪ .True-Basic‬התוכנית ‪ DifEq‬לפתירה גרפית של מד"ר‪.‬‬
‫ע‪13 .‬‬
‫‪ .4‬ניחוש והתאמת קבועים‬
‫הסתיעות בגרפים לניחוש צורת הפתרון‪ ,‬התאמת הקבועים למשוואה ולתנאי ההתחלה‪.‬‬
‫ע‪15 .‬‬
‫‪ .5‬הפרדת משתנים‬
‫דוגמת מבוא‪ :‬פתרון גרפי מרמז על נוסחה משוערת‪ .‬בדיקת ההשערה‪.‬‬
‫היפוך כיוונה של הבדיקה מציע דרך פתרון למשוואות אחרות‪.‬‬
‫‪ .6‬מערכת משוואות דיפרנציליות או ארנבות ושועלים‬
‫ע‪19 .‬‬
‫קצב השינוי של אוכלוסיות טרף וטורף‪ .‬תוכנית לפתירה גרפית של מערכת שתי מד"ר ‪.‬‬
‫‪ .7‬משוואות דיפרנציליות מסדר שני‬
‫ע‪23 .‬‬
‫מ‪ y’’=g(x,y,y’) -‬אל המערכת )‪ . y’=z , z’=g(x,y,z‬כמה פרמטרים צריך הפתרון הכללי?‬
‫‪ .8‬משוואות דיפרנציליות לינאריות הומוגניות במקדמים קבועים‬
‫ע‪25.‬‬
‫פתירת כל סוגי המשוואות האלה מסדר ראשון ושני‪.‬‬
‫נספח‪ :‬מציאת פתרונות ממשיים על‪-‬ידי מעבר דרך פתרונות מרוכבים‪.‬‬
‫‪ .9‬משוואות דיפרנציליות לינאריות לא‪-‬הומוגניות במקדמים קבועים ע‪29.‬‬
‫הרכב הפתרון הכללי‪ .‬משפחות סגורות לגזירה ולקומבינציות לינאריות כמקור לפתרון פרטי‪.‬‬
‫בעיית הצניחה באויר‪.‬‬
‫ע‪35 .‬‬
‫פתרונות‬
‫תשס"ד‬
‫‪3‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫)‪ (1‬דוגמה פותחת‬
‫תוכניות‪-‬מחשב ראשונות ידונו כבר בסעיף הנוכחי‪ ,‬אך השימוש הפעיל במחשב יתחיל בסעיף ‪ ,3‬ובתחילתו תופענה הפניות אל‬
‫התוכנה וההנחיות הנדרשות‪ .‬אם משהו בסעיף הנוכחי אינו ברור בקריאה ראשונה – המשך לקרוא עד סוף הסעיף וחזור לתחילתו‬
‫לקריאה נוספת‪.‬‬
‫משוואה די ֶפ ֶרנצי ָלית רגילה )להלן מד"ר( היא משוואה המציגה קשר בין פונקציה "נעלמת" שתסומן בדוגמתנו‬
‫‪ , y‬בין המשתנה החופשי של הפונקציה שיסומן בדוגמתנו ‪ ,x‬ובין הנגזרת ’‪ y‬של הפונקציה‪ .‬דוגמתנו‬
‫הראשונה היא המשוואה ‪. y’ = y-x2‬‬
‫‪2‬‬
‫הבה נשער שפתרונה הוא פונקציה ריבועית‪ ,‬כלומר‪ ,‬פונקציה מהצורה ‪ . y = ax +bx+c‬להלן נלמד איך‬
‫מעלים השערות כאלה‪ .‬אך תחילה נבדוק אם ההשערה שהעלינו הפעם היא נכונה‪ ,‬ואם כן אז מהם הערכים של‬
‫‪ b ,a‬ו‪.c-‬‬
‫אם ההשערה נכונה אז ‪ y’=2ax+b‬ולפי המשוואה צריך להתקיים השוויון ‪. 2ax+b=ax2+bx+c-x2‬‬
‫כדי שהפונקציה שבאגף ימין תהיה שוה לפונקציה שבאגף שמאל חייבת גם היא להיות ממעלה ראשונה‪ ,‬לכן ‪a‬‬
‫חייב להיות ‪ . 1‬לכן צריך להתקיים השויון ‪ ,2x+b=bx+c‬לכן ‪ ,b=2‬לכן ‪.c=2‬‬
‫בתנאים אלה אמנם מתמלא השויון הדרוש‪ ,‬כלומר‪ y=x2+2x+2 ,‬הוא פתרון של המד"ר שלנו‪.‬‬
‫הגרף שלו הוא הגרף שבציור א‪ ,‬ובהמשך נשתמש בעובדה שהוא עובר דרך הנקודה )‪ (-3,5‬המודגשת בציור‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪y=x2+2x+2‬‬
‫‪5‬‬
‫ציור א‬
‫‪-5‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪5‬‬
‫ציור ב‬
‫‪-5‬‬
‫‪-5‬‬
‫בציור ב מופיעים גרפים של שני פתרונות נוספים לאותה משוואה דיפרנצילית‪ .‬הפתרון התחתון עובר בין‬
‫השאר בנקודה )‪ (1,2‬והפתרון העליון עובר דרך )‪ . (0,5‬שני הגרפים שבציור ב לא שורטטו בעזרת הנוסחאות‬
‫שלהם )לנוסחאות אלה נגיע בשלב מאוחר( אלא בעזרת המשוואה הדיפרנצילית‪ ,‬ובעזרת נקודות המוצא‬
‫)‪ (1,2‬ו‪ (0,5) -‬בהתאמה‪ .‬להלן נראה שכל נקודה שבמישור יכולה לשמש נקודת מוצא שדרכה יעבור פתרון‬
‫של משוואתנו‪.‬‬
‫‪∆y‬‬
‫ומכאן ‪. ∆y ≈ y '⋅ ∆x‬‬
‫לבניתו של גרף הפתרון תסתמך על זה שבשביל ‪ ∆x‬קטן מאד מתקיים ' ‪≈ y‬‬
‫‪∆x‬‬
‫נבחר אפוא נקודת מוצא ונבחר ‪ ∆x‬קטן כלשהו‪ ,‬נחשב ‪ ∆y=(y-x2) ∆x‬עם ‪ x‬ו‪ y-‬של‬
‫נקודת המוצא‪ ,‬נגדיל את ‪ x‬ב‪ ∆x -‬ואת ‪ y‬ב‪ ,∆y -‬וכך נקבל נקודה חדשה על הגרף‪.‬‬
‫כעת נצא מהנקודה החדשה ונעבור בדרך דומה אל נקודה נוספת‪ ,‬וכן הלאה‪.‬‬
‫ברור מראש ששיטה זאת לא תתן תוצאה מדוייקת כי לאמיתו של דבר אין ‪ ∆y‬שווה ל‪ (y-x2) ∆x -‬אלא רק‬
‫קרוב לו‪ .‬כן ברור שככל שנבחר ‪ ∆x‬יותר קטן כן יגדל הדיוק‪ .‬אבל בחירת ‪ ∆x‬קטן תקטין את גודלה של כל‬
‫פסיעה‪ ,‬לכן תגדיל את מספר הפסיעות הדרושות‪ ,‬וזה יחייב אותנו להטיל את המלאכה על מחשב‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫תוכנית המחשב שלהלן )בשפת התיכנות ‪ (True-BASIC‬מיועדת למצוא את הפתרון העובר בנקודה )‪(-3,5‬‬
‫שהוא הפתרון שבציור א‪ .‬בחרנו לבנות תחילה פתרון זה כי הוא כבר ידוע וזה יאפשר לנו להעריך את טיב‬
‫העבודה שתבצע התוכנית‪.‬‬
‫והרי התוכנית )האותיות העבריות שמשמאל אינן חלק ממנה (‬
‫)‪CALL axes(-5,5,-5,10‬‬
‫‪LET x=-3‬‬
‫‪LET y=5‬‬
‫‪LET Dx=0.01‬‬
‫‪DO‬‬
‫‪PLOT x,y‬‬
‫‪LET Dy=(y-x^2)*Dx‬‬
‫‪LET x=x+Dx‬‬
‫‪LET y=y+Dy‬‬
‫‪LOOP until x>5‬‬
‫‪END‬‬
‫א‬
‫ב‬
‫ג‬
‫ד‬
‫ה‬
‫ו‬
‫ז‬
‫ח‬
‫ט‬
‫י‬
‫יא‬
‫הסבר התוכנית‪:‬‬
‫פקודה א בוחרת ומשרטטת מערכת צירים עם ציר אופקי )ציר ‪ (x‬המשתרע מ‪ -5 -‬עד ‪ 5‬וציר אנכי )ציר ‪ (y‬מ‪-‬‬
‫‪ -5‬עד ‪) . 10‬היא עושה זאת דרך קריאה לתת‪-‬שיגרה שעניינה יוסבר בהמשך‪(.‬‬
‫פקודות ב ו‪-‬ג קובעות ערכים התחלתיים בשביל ‪ x‬ו‪) . y-‬ערכים אלה ישתנו בהמשך פעולת התוכנית‪(.‬‬
‫פקודה ד קובעת ערך בשביל ‪) ∆x‬מסיבות טכניות הוא נכתב ‪ .Dx‬ערך זה לא ישתנה במהלך ביצוע התוכנית‪(.‬‬
‫הפקודה ה פותחת לולאה‪ .‬נסביר את ענין הלולאה כשנגיע לפקודה י הסוגרת את הלולאה‪.‬‬
‫פקודה ו משרטטת את הנקודה )‪ (x,y‬במערכת הצירים שנקבעה בפקודה א‪.‬‬
‫פקודה ז מחשבת את ‪ x^2 ) .∆y‬פירושו ‪ .x2‬סימן הכפל הוא * ואין להשמיטו‪(.‬‬
‫פקודה ח נותנת ל‪ x-‬ערך חדש השוה לערך הישן ועוד ‪ .∆x‬פקודה ט דומה‪ ,‬בשביל ‪.y‬‬
‫פקודה י מורה למחשב לחזור לתחילת הלולאה‪ ,‬כלומר לפקודה ו‪ loop) .‬הוא גם שם‪-‬עצם שפירושו לולאה‬
‫וגם פועל שפירושו להסתובב בלולאה‪ (.‬הלולאה תתבצע פעם אחר פעם ובכל פעם תשורטט נקודה ותחושב‬
‫הנקודה הבאה‪ .‬ההסתובבות בלולאה תיפסק כאשר ‪ x‬יעבור את הערך ‪. 5‬‬
‫פקודה יא מסמנת את סוף התוכנית‪.‬‬
‫הפקודות ה ו‪-‬י גורמות לכך שהפקודות ו עד ט שביניהן תתבצענה פעם אחר פעם עד ש‪ x-‬יעבור את הערך ‪. 5‬‬
‫התוצאה של הרצת התוכנית היא בציור ג שמשמאל‪.‬‬
‫השוואתה לציור א שלעיל מעידה שאנחנו בדרך‬
‫הנכונה‪ ,‬אך תוכניתנו טעונה שיפור‪ .‬אך יש לה שתי‬
‫מגרעות שתקראנה "בעית הדיוק" ו‪"-‬בעית הצד‬
‫השני"‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫בעית הדיוק ופתרונה‬
‫‪5‬‬
‫‪-5‬‬
‫הגרף שקבלנו אמור היה להיות הגרף של‬
‫‪ ,y=x2+2x+2‬שהוא הפתרון העובר בנקודת המוצא‬
‫‪-5‬‬
‫)‪ .(-3,5‬הצבת ‪ 2‬בנוסחה תתן ‪ ,10‬ולכן היה על הגרף‬
‫ציור ג‬
‫שהתקבל כאן לעבור דרך הנקודה )‪ (2,10‬המסומנת‬
‫בציורנו בעיגול קטן‪ .‬בפועל אין הגרף עובר בנקודה זאת‪.‬‬
‫נוכל להקטין את אי‪-‬הדיוק שהתקבל אם במקום לתת ל‪ ∆x -‬את הערך ‪) 0.01‬בשורה ד של תוכניתנו( ניתן לו‬
‫את הערך ‪ . 0.0001‬נסיון יראה שהשגיאה שתשאר אחרי תיקון זה תהיה זעירה מכדי שניתן יהיה להבחין בה‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫תוכניתנו עם התיקון המוצע כאן תקרא בשם ‪) STEPS1‬לכבוד זה שהגרף מתקבל על‪-‬ידי התקדמות בפסיעות‬
‫קטנות(‪.‬‬
‫בעית הצד השני‪ :‬הגרף שקיבלנו אינו כולל את החלק שמשמאל לנקודת המוצא‪.‬‬
‫לפתרון בעיית הצד השני נהפוך את השורות ד עד י של ‪ STEPS1‬לתת‪-‬שיגרה )שעניינה יוסבר להלן(‪,‬‬
‫ונשתמש בתת‪-‬השגרה פעמיים‪ ,‬פעם לשרטוט החלק הימני של הגרף ופעם לשרטוט החלק השמאלי‪.‬‬
‫נציג תחילה את התוכנית החדשה ואחר‪-‬כך נסביר אותה‪.‬‬
‫א‬
‫‪program STEPS2‬‬
‫ב‬
‫)‪CALL axes(-5,5,-5,10‬‬
‫ג‬
‫)‪CALL steps(0.0001‬‬
‫ד‬
‫)‪CALL steps(-0.0001‬‬
‫ה‬
‫)‪SUB steps(Dx‬‬
‫ו‬
‫‪LET x=-3‬‬
‫ז‬
‫‪LET y=5‬‬
‫ח‬
‫‪DO‬‬
‫ט‬
‫‪PLOT x,y‬‬
‫י‬
‫‪LET Dy=(y-x^2)*Dx‬‬
‫יא‬
‫‪LET x=x+Dx‬‬
‫יב‬
‫‪LET y=y+Dy‬‬
‫יג‬
‫‪LOOP until x>5 or x<-5‬‬
‫יד‬
‫‪END SUB‬‬
‫טו‬
‫‪END‬‬
‫הסבר לתוכנית ‪STEPS2‬‬
‫הקטע שבשורות ה ‪ -‬יד‪ ,‬הפותח ב‪ SUB steps(Dx) -‬ומסתיים ב‪ ,END SUB -‬משמש תת‪-‬שגרה‬
‫)=‪ (subroutine‬ששמה ‪) .steps‬בחרנו בשם זה משום שתת‪-‬השיגרה הזאת תבצע את מלאכת ההתקדמות‬
‫בצעדים‪ .‬אפשר‪ ,‬כמובן‪ ,‬לתת לתת‪-‬השיגרה כל שם אחר‪(.‬‬
‫שורה ג‪ , CALL steps(0.0001) ,‬גורמת למחשב לקחת את המספר ‪ ,0.0001‬לשים אותו כערך של ‪Dx‬‬
‫שב‪ , steps -‬ולבצע את ‪ .steps‬זה יביא לשרטוט הגרף מ‪ (-3,5) -‬ימינה )כמו ב‪.(STEPS1 -‬‬
‫שורה ד‪ , CALL steps(-0.0001) ,‬תפעיל את ‪ steps‬עם ‪ ,Dx=-0.0001‬לכן תלכנה הפסיעות שמאלה‪.‬‬
‫התכנית ‪ STEPS2‬משתמשת אפוא בשתי תת‪-‬שגרות האחת היא ‪ axes‬הנמצאת בספריה "‪ "sifria‬והאחרת‬
‫היא ‪ steps‬הכתובה בתוך התוכנית ‪ .STEPS2‬תת‪-‬שגרות יכולות להכתב בכל מקום בתוך התוכנית אך נהוג‬
‫לכותבן בסוף התכנית‪) .‬בשפת ‪ Pascal‬קוראים להן "פרוצדורות" וחובה לכתוב אותן בתחילת התוכנית‪(.‬‬
‫תרגיל ‪ :1‬מדוע שונה שורה יג של ‪ STEPS2‬משורה י של ‪? STEPS1‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫שנה את את התוכנית ‪ STEPS2‬באופן שציר ‪ x‬ישתרע מ‪ -6 -‬עד ‪ 4‬וציר ‪ y‬ישתרע מ‪ -10 -‬עד‬
‫‪) . 20‬השינויים הם בשורה ב ובשורה יג (הרץ והתבונן בתוצאה‪.‬‬
‫שינוי נוסף‪ :‬שנה באופן שנקודת המוצא לשרטוט תהיה )‪ .(0,2‬מה ההבדל בין מהלך השרטוט‬
‫מקודם ובין מהלכו עכשיו?‬
‫שנה באופן שנקודת המוצא תהיה )‪.(-3,4.95‬‬
‫)לכאורה שינו זעיר בהשוואה לנקודת המוצא )‪ (-3,5‬אבל הפתרון ישתנה במדה רבה‪(.‬‬
‫שנה באופן שנקודת המוצא תהיה )‪ (0,2‬והשיפועים ינתנו על‪-‬ידי ‪.y’=0.5y‬‬
‫‪6‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫)‪ (2‬תכונות ‪ex‬‬
‫לפונקציה ‪ ex‬שתי תכונות חשובות‪ (ex)’=ex :‬ו‪ . e0=1 -‬בנוסח אחר‪ :‬היא פתרון של המד"ר ‪ y’=y‬העובר ב‪-‬‬
‫)‪ . (0,1‬הבה נראה כיצד נובעות תכונות אחרות שלה משתי תכונות אלה‪.‬‬
‫לשרטוט גרף נכניס את השינויים הדרושים‬
‫בתוכנית ‪ ) steps2‬נכתוב בה ‪ Dy=y*Dx‬ו‪-‬‬
‫)‪ ( axes(-5,5,-2,10‬ונבחר ב‪ (0,1) -‬כנקודת‬
‫מוצא‪ .‬יתקבל הגרף שמשמאל‪.‬‬
‫א‪ .‬מן הגרף רואים שכאשר ‪ x=1‬מקבל ‪ y‬ערך‬
‫שבין ‪ 2‬ו‪ . 3 -‬במלים אחרות‪. 2<e1<3 :‬‬
‫)כאן נסתפק בהסתכלות בגרף ולא נלך למצוא‬
‫הוכחה יותר שלמה‪ .‬ערך יותר מדויק הוא‬
‫‪(. e=2.718281..‬‬
‫‪10‬‬
‫‪y’=y‬‬
‫‪5‬‬
‫ב‪ .‬משפט‪-‬עזר‪ :‬אם הגרף הנ"ל עובר דרך נקודה )‪ (x0,y0‬עם ‪ y0‬חיובי אז ‪ y‬חיובי גם לכל ‪ x‬שמ‪ x0-‬עד ‪. x0-1‬‬
‫הוכחה‪ :‬נעביר משיק ב‪ (x0,y0) -‬ונסמן ‪ ∆y‬ו‪ ∆x-‬כבציור‪.‬‬
‫בגלל המשוואה הדיפרנציאלית שוה שיפוע המשיק ל‪ , y0 -‬לכן‬
‫‪∆y‬‬
‫)‪(x0,y0‬‬
‫‪ .‬ומכיוון שגם ‪ ∆y = y0‬יהיה‬
‫במשולש שהוא יוצר‪= y0 ,‬‬
‫‪∆y‬‬
‫‪∆x‬‬
‫‪ . ∆x = 1‬מכאן שהמשיק חותך את ציר ‪ x‬בנקודה ‪. x0-1‬‬
‫‪x0-1 ∆x x0‬‬
‫בנקודה ‪ x0‬יש לגרף שיפוע חיובי )=‪ ,(y0‬לכן כאשר ‪ x‬נע משם‬
‫שמאלה יורד ערכו של ‪ ,y‬לכן יורד ערכו של ’‪ y‬וזה אומר ששיפוע הגרף מתמתן ‪ ,‬לכן הגרף יהיה מעל‬
‫המשיק ששרטטנו‪ .‬בהמשך התנועה שמאלה ממשיך השיפוע להתמתן לכן הגרף נשאר מעל המשיק‪ ,‬וזה‬
‫מבטיח שכאשר נגיע ל‪ x0-1 -‬עדין יהיה הגרף מעל ציר ‪■ x‬‬
‫ג‪ .‬משפט‪ :‬לכל ‪ y=ex ,x‬הוא חיובי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬ב‪ x=0 -‬מתמלא ‪ ,y=1‬לכן ‪ ,y’=1>0‬לכן כש‪ x-‬נע ימינה ‪ y‬עולה לכן ’‪ y‬עולה‪ ,‬לכן ‪ y‬ממשיך לעלות‬
‫לכן נשאר חיובי‪) .‬בעצם הוא עולה בקצב גדל והולך‪(.‬‬
‫נעבור לתנועה של ‪ x‬מ‪ 0-‬שמאלה‪ .‬לפי משפט העזר ‪ y‬נשאר חיובי לפחות עד ש‪ .x=-1 -‬לפי אותו משפט‪-‬‬
‫עזר נובע מזה ש‪ y-‬חיובי גם עד ‪ .x=-2‬שימוש נוסף במשפט העזר יתן ש‪ y-‬נשאר חיובי גם עד ‪ ,x=-3‬וכן‬
‫הלאה ■‬
‫הערה‪ :‬מהציור שלעיל נראה כאילו בהמשך התנועה שמאלה מתלכד הגרף עם ציר ‪ .x‬זהו רושם מוטעה הנובע‬
‫מזה שכושר ההפרדה של מסך המחשב )ושל העינים שלנו( הוא מוגבל‪ .‬כפי שהוכחנו זה עתה ישאר הגרף‬
‫תמיד מעל לציר‪ .‬אם נוסיף לתוכנית ששרטטה את הגרף‪ ,‬לפני ה‪ ,END-‬את הפקודה ‪ ,PRINT x, y‬ידפיס‬
‫המחשב ‪ -5 0.0067..‬שהם הקואורדינטות של הנקודה האחרונה ששרטט‪ ,‬אך בשרטוט אין להבחין בין‬
‫נקודה זאת ובין הנקודה )‪. (-5, 0‬‬
‫ד‪ .‬נשים לב לכך שבהוכחת משפט העזר לא השתמשנו בזה שגרף הפונקציה עובר דרך )‪ (0,1‬אלא רק בזה‬
‫שהיא ממלאת את המד"ר ‪ .y’=y‬גם בהוכחת המשפט שבהמשך לא נזקקנו ַלמעבר דרך )‪ (0,1‬אלא רק לְמעבר‬
‫‪7‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫דרך )‪ (x0,y0‬כלשהו עם ‪) y0>0‬והתנועה שמאלה תהיה דרך ‪ x0-2 ,x0-1‬וכולי(‪ .‬לכן נוכל לכתוב במקום ג‬
‫משפט יותר כללי‪ :‬אם פתרון כלשהו של ‪ y’=y‬עובר דרך )‪ (x0,y0‬כלשהו עם ‪ ,y0>0‬אז לכל ‪ x‬יהיה ‪. y>0‬‬
‫משפט היחידוּת‪ :‬אם )‪ f(x‬ו‪ g(x)-‬הם שני פתרונות של ‪) y’=y‬כלומר‪ ,‬לכל ‪ f’(x)=f(x) ,x‬ו‪(g’(x)=g(x) -‬‬
‫ואם בשביל ‪ x1‬כלשהו )‪ f(x1)=g(x1‬אז לכל ‪. f(x)=g(x) ,x‬‬
‫נוכיח בדרך השלילה‪ .‬נניח שיש ‪ x0‬אשר )‪ f(x0)≠g(x0‬ונניח ש‪) f(x0)>g(x0) -‬אם )‪ f(x0)<g(x0‬אז נקרא ל‪-‬‬
‫‪ f‬בשם ‪ g‬ולהיפך(‪.‬‬
‫נתבונן בפונקציה )‪ h(x)=f(x)-g(x‬ותחילה נשים לב לכך ש‪. h(x0)>0 -‬‬
‫נגזור‪ ,h’(x)=f’(x)+g’(x)=f(x)+g(x)=h(x) :‬כלומר‪ ,‬גם )‪ h(x‬היא פתרון של ‪. y’=y‬‬
‫נכאן ינבע שלכל ‪ ,h(x)>0 ,x‬וזה חל גם על ‪ ,x1‬לכן )‪ f(x1)>g(x1‬בניגוד לנתון ■‬
‫המשפט נקרא משפט היחידוּת )בשביל המשוואה ‪ (y’=y‬כי הוא אומר שבשביל כל נקודת מוצר יש‬
‫למשוואתנו פתרון יחיד‪ .‬משפט יחידות דומה מתמלא גם אצל מד"ר אחרות רבות אבל לא אצל כולן‪.‬‬
‫בפרט אומר משפטנו את התוצאה הבאה )שבשבילה הוכחנו כאן אותו ואת קודמו(‪:‬‬
‫אם )‪ f(x‬ממלאת את המד"ר ‪ y’=y‬ואם ‪ f(0)=1‬אז ‪. f(x)=ex‬‬
‫ה‪ .‬יהיו ‪ A‬ו‪ k -‬מספרים קבועים‪.‬‬
‫על פי כלל הגזירה של פונקציה מורכבת )כלל השרשרת( ‪. (ekx)’=kekx‬‬
‫מכאן על פי כלל הנגזרת של מכפלה בקבוע‪. (Aekx)’ = Akekx ,‬‬
‫הפונקציה ‪ f(x)=Aekx‬ממלאת אפוא את המשוואה הדיפרנצילית ‪ . y’=ky‬נוסף על כך היא ממלאת ‪.f(0)=A‬‬
‫משפט הפוך‪ :‬אם )‪ f(x‬ממלאת את ‪ y’=ky‬ואם ‪ f(0)=A‬אז ‪. f(x)=Aekx‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ) ‪ g(x) = 1 f( x‬ואז )‪ g'(x)= 1 f'( x ) 1 = 1 kf( x ) 1 =g(x‬ו‪ g(0)= 1 f(0)=1 -‬לכן לפי‬
‫‪A‬‬
‫‪A k k A‬‬
‫‪k k‬‬
‫‪A k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫התוצאה האחרונה ‪ , g(x)=ex‬כלומר‪ . f( )=e ,‬נציב ‪ kx‬במקום ‪ x‬ונכפול את שני האגפים ב‪ A-‬ונקבל‬
‫‪A k‬‬
‫ש‪■ f(x)=Aekx -‬‬
‫תרגיל ‪ :1‬הוכח בעזרת המשפט האחרון )ולא על‪-‬פי כללי החזקות( שאם ‪ f(x)=ea+x‬עם ‪ a‬מספר קבוע‪ ,‬אז‬
‫‪. f(x)=eaex‬‬
‫הנחיה‪ :‬מהו )‪ f ’(x‬ומהו )‪? f(0‬‬
‫תרגיל ‪:2‬‬
‫בציור שמשמאל ‪ ,‬וגם בציורים של שני‬
‫התרגילים הבאים‪ ,‬א הוא הגרף של ‪.y=ex‬‬
‫גם שאר הגרפים בציור הנוכחי הם של פתרונות‬
‫של ‪ .y’=y‬כיצד רואים ש‪ -‬ב‪ ,‬ג ו‪-‬ד ממלאות‬
‫אותה משוואה כמו א?‬
‫כיצד רואים ש‪-‬ה ממלא אותה משואה כמו א?‬
‫כיצד רואים ש‪-‬ו ממלא אותה משואה כמו ה?‬
‫למי הנוסחה ‪?y=2ex‬‬
‫מהי הנוסחה של ג ?‬
‫מהי הנוסחה של ו ?‬
‫‪10‬‬
‫ד‬
‫ב‬
‫א‬
‫‪5‬‬
‫ה‬
‫‪8‬‬
‫ו‬
‫ג‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫תרגיל ‪:3‬‬
‫בציור שמימין כל הגרפים עוברים דרך )‪ , (0,1‬כולם‬
‫פתרונות של משואות מהצורה ‪ y’=ky‬לכן לכולם‬
‫נוסחה מהצורה ‪. y=ekx‬‬
‫ה‪-k-‬ים הם ‪ -1 ,2 ,1‬ו‪.½ -‬‬
‫מי שייך למי?‬
‫‪10‬‬
‫ב‬
‫ד‬
‫א‬
‫ג‬
‫‪5‬‬
‫‪10‬‬
‫תרגיל ‪:4‬‬
‫בציור שמשמאל‪,‬‬
‫איזה גרף הוא של ‪? y=2e-x‬‬
‫איזה גרף הוא של ‪? y=-1/2 ex/2‬‬
‫איזה גרף הוא של ‪? y=-e-2x‬‬
‫איזה גרף הוא של ‪? y=0.1e4x‬‬
‫א‬
‫ב‬
‫ג‬
‫‪5‬‬
‫ד‬
‫ה‬
‫חישוב ערכים של ‪ex‬‬
‫משימת החישוב שניגש אליה כעת היא חישוב ‪ . e2.5‬נאמנים לדרכנו המסיקה את כל הדרוש על ‪ ex‬מהיות‬
‫הפונקציה פיתרון של ‪ y’=y‬העובר דרך נקודת המוצא )‪ (0,1‬נמצא את המבוקש על‪-‬ידי הרצת התוכנית‬
‫הבאה‪:‬‬
‫‪LET x=0‬‬
‫‪LET y=1‬‬
‫‪LET Dx=0.00001‬‬
‫‪DO while x<2.5‬‬
‫‪LET Dy=y*Dx‬‬
‫‪LET x=x+Dx‬‬
‫‪LET y=y+Dy‬‬
‫‪LOOP‬‬
‫‪PRINT y‬‬
‫‪END‬‬
‫הסבר התוכנית‪:‬‬
‫הפקודות שבין ה‪ DO-‬וה‪ LOOP-‬יבוצעו שוב ושוב כל‪-‬עוד )=‪ x (while‬קטן מ‪ . 2.5 -‬כאשר יגיע ‪ x‬לערך‬
‫‪ 2.5‬לא תחזור התוכנית אל תחילת הלולאה אלא תמשיך לפקודה שאחריה‪ ,‬ופקודה זאת אומרת להדפיס את‬
‫ערך ‪ y‬שבאותו שלב‪.‬‬
‫הרצת התוכנית תתן ‪ . 12.182345‬בדוק מה מתקבל עם ‪. Dx=0.0001‬‬
‫‪9‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫בשפות מחשב רבות‪ ,‬כולל כל גירסאות ‪ ,BASIC‬נכתב ‪ ex‬בצורה )‪ . EXP(x‬הפקודה )‪PRINT exp(2.5‬‬
‫תתן ‪ 12.182494‬וזה ערך יותר מדויק מאשר הערך שנתנה תוכניתנו‪.‬‬
‫תרגיל ‪ :5‬התוכל להסביר מדוע שגתה תוכניתנו כלפי מטה?‬
‫תרגיל ‪ :6‬שנה את תוכניתנו באופן שתדפיס את ‪. e-2/3‬‬
‫)השינויים הדרושים הם בשורה השלישית ובשורה הרביעית‪(.‬‬
‫בהמשך נזדקק גם למשפט ‪. ln’(x)=1/x‬‬
‫למען השלמות נוכיח אותו כאן‪ ,‬ולמען הגיוון נציע הוכחה אחרת מזו שברוב הספרים‪.‬‬
‫ובכן‪ ln(x) .‬היא הפונקציה ההפוכה ל‪ , ex -‬וניתן לכתוב זאת כך‪. ln(ex)=x :‬‬
‫נגזור על פי כלל השרשרת ונקבל ‪ . ln’(ex)ex=1‬לכן ‪. ln’(ex)=1/ex‬‬
‫ומכיוון שכל ‪ x‬חיובי ינתן להכתב בצורה ‪) ex‬עם ‪ x‬אחר( נקבל שלכל ‪ x‬חיובי‪. ln’(x)=1/x ,‬‬
‫)‪ (3‬הוראות הפעלה ותוכנית חדשה‬
‫את כל הנדרש להפעלת תוכניותינו ולכתיבת תוכניות נוספות אפשר להוריד חינם באינטרנט מהאתר‬
‫‪ www.tau.ac.il/~amos1/‬שלי‪ .‬זה כולל גירסת הדגמה )‪ (Demo‬של שפת התיכנות ‪ ,True-Basic‬אוסף‬
‫תוכניות שכתבתי‪ ,‬כולל סיפרית תת‪-‬תוכניות‪ ,‬וקובץ ‪ Word‬בשם "הנחיות"‪.‬‬
‫בחרנו לכתוב את תוכניותנו בשפה ‪ True-BASIC‬משום שהיא שקופה וקלה ללימוד ולשימוש‪ .‬כל מי שמכיר‬
‫שפת תיכנות כלשהי יוכל להבין תוכנית ב‪ True-BASIC-‬בפעם הראשונה שהוא רואה תוכנית בשפה זאת‪.‬‬
‫גירסת ה‪ Demo-‬הנ"ל תספיק לכל מה שיעשה בחוברת הנוכחית אך יש לה שלוש מגרעות‪.‬‬
‫א‪ .‬בגלל זכויות‪-‬מחברים אין מן הראוי להשתמש בה אלא להיכרות עם השפה‪ ,‬ולא לשימוש ארוך‪.‬‬
‫ב‪ .‬אפשר לכתוב בה תוכניות בכל אורך ולשנות תוכניות שבכל אורך אך לא לשמור תוכניות בנות יותר‬
‫מ‪ 50-‬שורות )תוכניותינו קצרות מזה במדה רבה(‪.‬‬
‫ג‪ .‬היא פועלת במערכת ‪ DOS‬עד ‪ Windows 98‬אך לא ב‪ Windows -‬יותר חדש‪.‬‬
‫אם אתה משתמש ב‪ Windows-‬חדש‪ ,‬בקש מחובב‪-‬מחשבים שיתקין לך דיסקט‪-‬איתחול ל‪DOS-‬‬
‫שיכלול גם ‪ Mouse‬וגם את מה שהורדת מהאתר שלי‪ ,‬פרט להנחיות‪.‬‬
‫ל‪ True-BASIC -‬עוד גירסאות אך כולן תואמות זו את זו‪ ,‬כלומר‪ ,‬כל תוכנית הכתובה באחת מן הגירסאות‬
‫האלה תפעל גם בכל גירסה אחרת‪ .‬לרכישתן פתח באינטרנט את ‪. www.truebasic.com‬‬
‫הגירסה ‪ Student edition‬שונה מגירסת ה‪ Demo-‬בזה שהיא שומרת תוכניות שאורכן עד ‪ 250‬שורות‪.‬‬
‫אני משתמש ב‪ Standard edition -‬כי חלק מתוכניותי הן ארוכות‪ ,‬אבל אפשר להשתמש בתוכניותי הארוכות‬
‫גם בגירסאות האחרות‪.‬‬
‫הגירסה ‪ Bronze edition‬מתאימה לכל ‪) Windows‬אך אינה מתאימה ל‪ .( DOS-‬היא מטפלת בצבעים‬
‫ובאותיות עבריות בדרך שונה מהגירסאות הקודמות‪ .‬בתכניתי להכניס לאתר האינטרנט שלי גם גירסאות של‬
‫תוכניותי עם התאמה לצבעים ולעברית בשביל ‪ ,Bronze‬אך עדין לא עשיתי זאת‪.‬‬
‫גירסת ‪ Demo‬של ‪ Bronze‬מוצעת חינם באתר הנ"ל של ‪ True-Basic‬אך מסיבות שונות איני מציע לגעת‬
‫בה )ואם אתה סקרן‪ ,‬הורד‪ ,‬נסה ומחוק(‪.‬‬
‫הגירסאות ‪ Silver edition ,Professional edition‬ו‪ Gold edition -‬של ‪ True-Basic‬פחות זולות והן‬
‫מכילות תוספות רבות שאינן דרושות לנו ‪ .‬היום נפוצה גם שפה הנקראת ‪ , Visual Basic‬אך היא יותר‬
‫מורכבת מן הדרוש לנו כאן ואין תאימות בינה ובין ‪.True-Basic‬‬
‫‪10‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫הוראות הפעלה בשביל התוכניות נמצאות בקובץ "הנחיות" שנזכר לעיל‪ .‬כאן אצביע רק על שלושה דברים‬
‫חיוניים המתיחסים לגירסה שבאתר האינטרנט שלי ולדומותיה‪:‬‬
‫א‪ .‬אחת האפשרויות להורות לתוכנית להתחיל לפעול‪ ,‬היא לחיצת המקש ‪. F9‬‬
‫ב‪ .‬ניתן להפסיק פעולת תוכנית )שאין לה הוראת עצירה פנימית( בזה שלוחצים על מקש ‪,Control‬‬
‫וכשעודנו לחוץ לוחצים על מקש ‪) .Break‬מקש ‪ Control‬מסומן לרוב בקצרה ‪ Ctrl‬והוא בשמאל‬
‫התחתית של לוח המקשים‪ .‬מקש ‪ Break‬מסומן גם ‪ Pause‬ולרוב הוא נמצא למעלה מימין‪(.‬‬
‫ג‪ .‬מפעילים את השפה על‪-‬ידי קליק‪-‬כפול על ה‪ icon-‬שלה‪ ,‬וב‪ DOS-‬על‪-‬ידי הקלדת ‪.HELLO‬‬
‫מפסיקים את פעולתה על‪-‬ידי בחירת ‪ Quit‬מתפריט ‪. File‬‬
‫התוכנית ‪DifEq‬‬
‫התוכנית החדשה תיקרא "‪ ,"DifEq‬שהוא קיצור של "‪ ."differential equation‬תוכנית זאת היא שכלול‬
‫של ‪ STEPS2‬והיא מאפשרת נוחיות בהחלפת המשוואה הדיפרנצילית במשוואה דיפרנצילית אחרת‬
‫ובקביעת מערכת הצירים‪ ,‬וכן נוספה לה שורה )פקודה טו( המגדילה את הדיוק‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫גירסתה הראשונה של התוכנית ‪ DifEq‬תהיה בשביל המשוואה הדיפרנציאלית ‪ y'=y-x‬שהיכרנוה לעיל‪.‬‬
‫כדי להקל על החלפתה במשוואה אחרת‪ ,‬וגם מסיבה נוספת שתובהר בהמשך‪ ,‬נכתוב אותה בראש התוכנית‪.‬‬
‫‪DEF s(x,y) = y-x^2‬‬
‫השורה הראשונה תהיה אפוא‬
‫‪LET Dy=s(x,y)*Dx‬‬
‫ובמקום ‪ LET Dy=(y-x^2)*Dx‬נכתוב‪ ,‬במקום המתאים‪,‬‬
‫הסבר‪ :‬פקודת ‪ DEF‬מגדירה פונקציה‪ .‬בדוגמתנו היא גורמת לכך שבכל מקום בו יכתב )‪ s(x,y‬תפעל‬
‫התוכנית כאילו כתוב )‪ ,(y-x^2‬כשיכתב )‪ S(7,4‬יהיה זה כאילו נכתב ‪ ,-9‬השוה ל‪ ,7-4^2 -‬וכדומה‪.‬‬
‫את ההבדלים האחרים שבין ‪ DifEq‬ובין קודמתה ‪ ,STEPS2‬ואת הסיבות להם‪ ,‬נפרט אחרי התוכנית‬
‫עצמה‪.‬‬
‫התוכנית ‪DifEq‬‬
‫‪DEF s(x,y) = y-x^2‬‬
‫)‪! y'=s(x,y‬‬
‫‪INPUT prompt "WINDOW=":a,b,c,d‬‬
‫)‪CALL AXES(a,b,c,d‬‬
‫‪DO‬‬
‫‪INPUT prompt "Xo,Yo=":x0,y0‬‬
‫)‪CALL steps((b-a)/2000‬‬
‫‪!Right side of Xo‬‬
‫)‪CALL steps(-(b-a)/2000‬‬
‫‪!Left side of Xo‬‬
‫‪LOOP‬‬
‫)‪SUB steps(Dx‬‬
‫‪LET x=x0‬‬
‫‪LET y=y0‬‬
‫‪DO‬‬
‫‪PLOT x,y‬‬
‫‪LET Dy=s(X,Y)*Dx‬‬
‫‪LET Dy=s(x+Dx/2,y+Dy/2)*Dx‬‬
‫‪!A better approximation‬‬
‫‪LET x=x+Dx‬‬
‫‪LET y=y+Dy‬‬
‫‪LOOP until x>b or x<a‬‬
‫‪END SUB‬‬
‫‪END‬‬
‫‪11‬‬
‫א‬
‫ב‬
‫ג‬
‫ד‬
‫ה‬
‫ו‬
‫ז‬
‫ח‬
‫ט‬
‫י‬
‫יא‬
‫יב‬
‫יג‬
‫יד‬
‫טו‬
‫טז‬
‫יז‬
‫יח‬
‫יט‬
‫כ‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫הסברים‬
‫שורה ב מדפיסה את ההנחיה ”=‪ ,“WINDOW‬ממתינה להקלדת ארבעה מספרים מופרדים בפסיקים ‪,‬‬
‫ואחר כך מכניסה אותם כערכים בשביל המשתנים ‪ c ,b ,a‬ו‪. d-‬‬
‫שורה ג מפעילה תת‪-‬תוכנית )‪ (subroutine‬בשם ‪ axes‬הנמצאת בסיפריה ששמה ‪ sifria‬והיא משרטטת‬
‫מערכת צירים לפי הערכים שיש למשתנים ‪ x .a,b,c,d‬ישתרע מ‪ a-‬עד ‪ b‬ו‪ y-‬מ‪ c-‬עד ‪.d‬‬
‫השורות ב‪ ,‬ו‪-‬ג מאפשרות בחירת מערכת‪-‬צירים כרצוננו בלי לשנות את התוכנית‪.‬‬
‫שורה ה‪ ,‬יחד עם שורות י ו‪-‬יא‪ ,‬מאפשרות להתחיל את הגרף בכל נקודה )‪ (x0,y0‬רצויה‪.‬‬
‫ה‪ DO - LOOP -‬שבשורות ד ו‪-‬ח מאפשר לחזור ולבחור נקודת התחלה חדשה בלי לצאת מן התוכנית‪,‬‬
‫כלומר‪ ,‬בלי למחוק את הגרף שהתקבל בשביל נקודות התחלה קודמות‪.‬‬
‫הערכים ‪ (b-a)/2000‬ו‪ -(b-a)/2000 -‬שבשורות ז ו‪-‬ח מחליפים את המספרים ‪ 0.00001‬ו‪-0.00001 -‬‬
‫שבתוכנית הישנה ‪ ,STEPS2‬כלומר‪ ,‬הם יהיו הערכים שיקבל ‪ Dx‬בתת‪-‬השיגרה ‪.steps‬‬
‫ניגש להסברת תפקידה של שורה טו‪.‬‬
‫‪ ∆y/∆x‬הוא שיפועו של הקטע המקוּוקו שבציור א שלהלן‪ .‬להלכה צריכים היינו לחשב את ‪ ∆y‬על‪-‬ידי כפל‬
‫‪ ∆x‬בשיפוע זה‪ .‬שיפוע זה אינו נתון‪ ,‬ובמקומו משתמשת שורה יד ב‪ ,s(x,y) -‬שהוא שיפועו של המשיק ב‪-‬‬
‫)‪ .(x,y‬ציור ב מראה את המשיק הזה ואת ‪ ∆y‬המתקבל משורה יד‪ ∆y .‬זה שונה במידה ניכרת מה‪∆y -‬‬
‫האמיתי )שבציור א(‪ ,‬אך אם משתמשים ב‪ ∆x -‬קטן אז ה‪ ∆y -‬הזה קרוב ל‪ ∆y -‬האמיתי‪.‬‬
‫ב‪ DifEq -‬נעשה משהו נוסף‪ .‬בעזרת ה‪ ∆y -‬המקורב שחושב בשורה יד מחושבות הקואורדינטות‬
‫)‪ (x+∆x/2,y+∆y/2‬של הנקודה המודגשת בציור ג‪ ,‬ומקומה קרוב לאמצע הדרך שבין הנקודה )‪ (x,y‬ובין‬
‫הנקודה שאליה אנו רוצים להגיע‪ .‬השיפוע '‪ y‬המחושב לפי נקודת‪-‬ביניים זאת הוא )‪,s(x+∆x/2,y+∆y/2‬‬
‫והוא קרוב למדי לשיפוע שבציור א‪ .‬שורה טו משתמשת ב‪ s(x+∆x/2,y+∆y/2) -‬לחישוב ערך חדש‬
‫ומשופר בשביל ‪.∆y‬‬
‫)‪(x,y‬‬
‫)‪(x,y‬‬
‫ציור א‬
‫ציור ג‬
‫)‪(x,y‬‬
‫ציור ב‬
‫הערה‪ :‬הדיוק שהיה מתקבל ב‪ STEPS1-‬ו‪ STEPS2 -‬לעיל עם ‪ ∆x=0.002‬יוכל להתקבל כעת‪ ,‬בזכות‬
‫הוספת שורה טז‪ ,‬עם ‪ ∆x‬שאינו קטן בהרבה מ‪ . 0.1 -‬ערכי ‪ ∆x‬המוצעים על‪-‬ידי שורות ו ו‪-‬ז יהיו‪ ,‬בדרך‬
‫כלל‪ ,‬קטנים מזה במידה ניכרת‪ ,‬ויבטיחו דיוק טוב מאד ‪.‬‬
‫הפעלה‪ :‬אם בידך התוכניות שבאתר האינטרנט שלי תמצא את התוכנית ‪ DifEq‬בתיק ‪ DIFEQS‬שבתוך‬
‫תיק ‪ ANALYSIS‬שבתוך תיק ‪ .MATH‬הפעלת ‪ True-Basic‬גורמת‪ ,‬בין השאר‪ ,‬לתת‪-‬התוכניות‬
‫שבספריה ‪ sifria‬להיות זמינות לשימוש בכל תוכנית‪ ,‬ופונה אל התיק ‪.MATH‬‬
‫מתפריט ‪ File‬בחר ‪ ,Open‬מתיק ‪ MATH‬שיפתח בחר ‪ ,ANALYSIS‬מתיק זה בחר ‪ DIFEQS‬ומתיק‬
‫זה בחר את התוכנית ‪ .DifEq‬הרץ אותה בלחיצת מקש ‪ . F9‬הקלד גבולות‪-‬מסך כבחירתך‪ ,‬הקלד נקודות‬
‫מוצא והתבונן בתוצאות‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫הנחיה חיונית‪ :‬מכיוון שה‪ LOOP -‬שבפקודה ח אינו כולל הוראה מתי להפסיק‪ ,‬תמשיך התוכנית לבקש‬
‫נקודות התחלה חדשות עד שנפסיק אותה‪ .‬להפסקתה יש ללחוץ ‪) Control-Break‬בגירסות ‪ , Hello‬כמו‬
‫גירסת ה‪ Demo-‬שבאתר האינטרנט שלי( או לבחור ‪ File‬ואח"כ ‪) Stop‬בגירסת ‪ Bronze‬ודומותיה(‪.‬‬
‫הצעה פחות חשובה‪ :‬הכנס פקודה ‪ CALL changecolor‬בין שורה ז ושורה ח‪.‬‬
‫)‪ (4‬ניחוש והתאמת קבועים‬
‫לפעמים אפשר לפתור משוואה דיפרנצילית בדרך הבאה‪ :‬בשלב הראשון אנו מנחשים פתרון ניחוש חלקי‪ .‬אנו‬
‫מנחשים צורה כללית של נוסחת הפתרון אך לא את כל המספרים המופיעים בנוסחה זאת‪ ,‬ובמקום המספרים‬
‫החסרים אנו כותבים אותיות )פרמטרים(‪ .‬בשלב השני אנו מציבים את הנוסחה המשוערת ואת נגזרתה‬
‫במשוואה הדיפרנצילית‪ ,‬בודקים אם ניתן להחליף את הפרמטרים במספרים באופן שהנוסחה שתתקבל תהיה‬
‫נוסחת פיתרון‪ ,‬ומוצאים את המספרים המתאימים‪.‬‬
‫כבר הדגמנו שיטה זאת בדוגמת המבוא‪.‬‬
‫‪y' = 6x2 - 10x + 7‬‬
‫בדוגמה שלהלן נעשה זאת בשביל המשוואה הדיפרנצילית‬
‫)היינו‪ ,‬בשביל מציאת ‪− 10 x + 7)dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫ (6 x‬‬
‫(‬
‫‪y = ax3 + bx2 + cx + d‬‬
‫אנו "מנחשים" שהפתרון הוא פולינום ממעלה ‪ 3‬לכן נכתוב‬
‫כעת נגזור ונציב את הנגזרת במקום '‪ y‬במשוואה הדיפרנצילית‬
‫‪3ax2 + 2bx + c = 6x2 - 10x + 7‬‬
‫ונקבל שאנו צריכים שיתמלא‬
‫זה יתמלא אם נבחר ‪ c=7 ,b=-5 ,a=2‬ו‪ d -‬יהיה כל מספר שהוא‪ ,‬ומכאן הפתרון ‪y = 2x3 - 5x2 + 7x + d‬‬
‫ערכי ‪d‬שונים נותנים פתרונות שונים‪ .‬בשביל כל נקודת‪-‬התחלה )‪ (x0,y0‬קיים ‪ d‬כך שהגרף של‬
‫‪ y = 2x3 - 5x2 + 7x + d‬עובר ב‪ . (x0,y0) -‬למציאת ‪ d‬זה יש לפתור את המשוואה‬
‫‪ y0 = 2x03 - 5x02 + 7x0 + d‬ביחס לנעלם ‪ ,d‬לכן ‪. d = y0 - 2x03 + 5x02 - 7x0‬‬
‫דוגמה שניה ‪y'=x+2y+3 :‬‬
‫)זו דוגמה מסוג חדש(‬
‫אם נריץ את ‪ DifEq‬עם‬
‫‪DEF s(x,y)= x+2*y+3‬‬
‫ועם מספר נקודות התחלה‬
‫שונות נקבל גרפים כמו‬
‫בציור הבא‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪y’=x+2y+3‬‬
‫‪5‬‬
‫מהציור נראה שכאשר ‪ x‬יורד‪ ,‬הולך כל פתרון ומתקרב לישר מסוים‪ ,‬וכאשר ‪ x‬עולה מתרחק כל פתרון מישר‬
‫זה בקצב גובר והולך‪ .‬הבה נבדוק תחילה אם יש למשוואה הדיפרנצילית שלנו פתרון שהוא קו ישר‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫משוואתו של קו ישר היא מהצורה ‪ . y=ax+b‬הנגזרת היא ‪ .y'=a‬כדי שהישר יהיה פתרון של ‪y'=x+2y+3‬‬
‫‪(2a+1)x + (2b+3-a) = 0‬‬
‫צריך להתמלא ‪ a = x+2(ax+b)+3‬כלומר‪,‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫וזה מתמלא אם )ורק אם( ‪ a=- /2‬ו‪. b=-1 /4 -‬‬
‫‪. y = -0.5x -1.75‬‬
‫מצאנו אפוא פתרון אחד למשוואתנו‪ ,‬והוא הישר‬
‫ומהם הפתרונות האחרים? מהציור שלעיל עולה ההשערה שהם נבדלים מהפתרון הישר בביטוי שצורתו‬
‫‪ . AeBx‬ננסה אפוא את הנוסחה ‪.y = -0.5x - 1.75 + AeBx‬‬
‫נגזור ונציב במשוואה הדיפרנצילית‪ ,‬ונקבל שכדי שהנוסחה המוצעת תהית פתרון צריך שיתמלא‬
‫‪-0.5 +B·AeBX = x + 2(-0.5x - 1.75 + AeBx) + 3‬‬
‫‪-0.5 +B·AeBX = 2AeBx - 0.5‬‬
‫כלומר‪,‬‬
‫מכאן שהשוויון המבוקש מתמלא בשביל ‪ B=2‬ובשביל כל ‪.A‬‬
‫‪. y = -0.5x -1.75 + Ae2x‬‬
‫מצאנו אפוא פתרון כללי והוא‬
‫)הפתרון הישר הוא המקרה הפרטי עם ‪(.A=0‬‬
‫פתרון חד‪-‬שלבי לדוגמתנו‬
‫אילו שערנו מראש שהפתרון הכללי למשוואתנו ‪ y'=x+2y+3‬הוא מהצורה ‪ y = ax+b+Ae‬יכולנו למצוא‬
‫את הערכים הטובים בשביל ‪ b ,a‬ו‪ B -‬בשלב משותף אחד במקום למצוא אותם בשני שלבים‪ .‬החישוב היה‬
‫נראה כך‪ :‬להתמלאות המשוואה צריך ש‪-‬‬
‫‪Bx‬‬
‫‪Bx‬‬
‫‪a + B·Ae = x + 2( ax+b+Ae ) + 3 = (2a+1)x + ( 2b+3) +2AeBx‬‬
‫זה מתמלא כאשר ‪ 2b+3 = a ,2a+1 = 0‬ו‪ 2=B -‬ומכאן פתרוננו שלעיל‪.‬‬
‫‪Bx‬‬
‫הפתרון הפרטי העובר בנקודה נתונה‬
‫כדי למצוא למשוואה הדיפרנצילית שלנו פתרון )פרטי( העובר דרך הנקודה )‪ (4,5‬נציב את הקואורדינטות‬
‫‪5 = -0.5·4 -1.75 + Ae2*·4‬‬
‫הנתונות בפתרון הכללי‪ ,‬ונקבל‬
‫‪8‬‬
‫נפתור זאת כמשוואה בנעלם ‪ A‬ונקבל ‪A = (5+0.5·4+1.75)/e = 8.75/2980.95 = 0.002935‬‬
‫‪y = -0.5x -1.75 + 0.002935·e2x‬‬
‫ומכאן שהפתרון הפרטי המבוקש הוא‬
‫תרגילים‬
‫פתור את המשוואות הדיפרנציליות הבאות בעזרת ההשערות‪-‬על‪-‬צורת‪-‬הפתרון המצורפות למשוואות‪ .‬בכל‬
‫תרגיל שבו נתונה גם נקודת‪-‬התחלה מצא )בעזרת הפתרון הכללי( פתרון פרטי העובר בנקודה זאת‪.‬‬
‫‪y' = 2x-y+1‬‬
‫‪ .1‬המשוואה הדיפרנצילית‬
‫צורה משוערת של הפתרון ‪y = ax+b+AeBx‬‬
‫נקודת התחלה )‪(0,1‬‬
‫‪ .2‬המשוואה הדיפרנצילית ‪y' = x2 + y‬‬
‫צורה משוערת של הפתרון ‪y = ax + bx + c + AeBx‬‬
‫נקודת התחלה לפתרון א )‪(0,3‬‬
‫נקודת התחלה לפתרון ב )‪(0,-3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.3‬א‪ .‬המשוואה הדיפרנצילית ‪y' = (2y+3)/x‬‬
‫צורה משוערת של הפתרון‪ :‬פולינום ממעלה ‪) 2‬כי גזירתו מורידה את המעלה ב‪ 1-‬וכופלת מקדם‪-‬עליון‬
‫ב‪(2-‬‬
‫ב‪ .‬החלף את פקודת ה‪ DEF -‬שבתוכנית ‪ DifEq‬ב‪ DEF s(x,y)=(2*y+3)/x -‬והרץ כדי לראות אם‬
‫הפתרון הכללי שקבלת אמנם נותן את כל הפתרונות הפרטיים האפשריים‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫מכיוון שהמשוואה הדיפרנצילית הנוכחית אינה מוגדרת אצל ‪ x=0‬יש להבטיח שבמהלכי החישוב לא יעבור‬
‫המחשב דרך ‪ .x=0‬זה יושג אם‪ ,‬למשל‪ ,‬תבחר כערכי ‪ x‬של שמאל המסך וימינו את ‪.-5 , 5.0001‬‬
‫במהלך שרטוטי הפתרונות יגיע המחשב אל ערכי ‪ x‬קרובים ל‪ ,0 -‬וזה יביא לשגיאות‪-‬עיגול שתקפצנה את‬
‫המשך השרטוט למקום לא צפוי )לרוב ‪ -‬אל מחוץ למסך(‪ .‬זה אינו מפריע לנו כי באמת אין קשר בין‬
‫הפתרונות שמימין לנקודה שבה אין המשוואה מוגדרת ובין הפתרונות שמשמאלה‪) .‬אמנם‪ ,‬כולם מתקרבים‬
‫לאותה נקודה שעל ציר ‪(.y‬‬
‫‪ .4‬המשוואה הדיפרנצילית ‪y' = (3y-1)/x + 2x - 5‬‬
‫צורה משוערת של הפתרון‪ :‬פולינום ממעלה שלישית‪) .‬מדוע?(‬
‫‪y' = cos(x) ·y‬‬
‫‪ .5‬המשוואה הדיפרנצילית‬
‫)‪sin(x‬‬
‫‪y = Ae‬‬
‫צורה משוערת של הפתרון‬
‫נקודת התחלה )‪(0,2‬‬
‫‪ .6‬ולסיום הסעיף הזה נחזור אל נקודת המוצא שלנו‪ .‬ראינו שפתרון אחד של המשוואה ‪ y’=y-x2‬הוא‬
‫‪ . y=x2+2x+2‬לאור אופי ההפרשים שבין פתרון זה והפתרונות האחרים נסה ‪. y=x2+2x+2+AeBx‬‬
‫)‪ (5‬הפרדת משתנים‬
‫בתחילתו של הסעיף הנוכחי נלך בדרך שבה פתרנו משוואות אחרות‪ ,‬כלומר‪ ,‬נפתור מד"ר בדרך גרפית‪,‬‬
‫נשתמש בפתרון הגרפי לניחוש נוסחה ונבדוק את הנוסחה‪ .‬בהמשך נעיין במהלך הבדיקה ונפיק ממנו דרך‪-‬‬
‫פתירה שיטתית שתוביל לנוסחות פתרון בשביל סוג מסוים של משוואות דיפרנציליות‪ ,‬שלא בסיוע ניחוש‪.‬‬
‫א‪ .‬פתרון גרפי‪ ,‬נוסחא משוערת ובדיקת ההשערה‬
‫נפתח במציאת פתרון גרפי למשוואה‬
‫הרצה אחת של התכנית ‪, DIFEQ‬‬
‫עם ‪ window‬שנבחר באופן שקנה‬
‫המידה על ציר ‪ x‬יהיה שווה לקנה‬
‫המידה שעל ציר ‪ ,y‬נתנה את‬
‫השרטוט שלהלן‪:‬‬
‫‪. y` = -x/y‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪y’= -x/y‬‬
‫‪-8‬‬
‫‪-6‬‬
‫כל עוד היינו מרוחקים מציר ‪ x‬התוה המחשב קשת מעגלית שמרכזה בראשית הצירים‪ ,‬וכאשר התקרב ‪y‬‬
‫ל‪ ,0 -‬שבשבילו אין `‪ y‬מוגדר‪ ,‬גרמו שגיאות העיגול של המחשב לקפיצות‪ .‬קשה לחזות מראש מה יהיו‬
‫גדלה וכיוונה של קפיצה כזאת‪ ,‬אולם כל קפיצה קבעה נקודת התחלה חדשה‪ ,‬ומכל נקודה כזאת חזר‬
‫המחשב להתוות קשת מעגלית שמרכזה בראשית הצירים‪ .‬הקשתות השונות הן חלקים של פתרונות שונים‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫)כדי לראות מתי נוצרו הקפיצות כדאי להכניס לתוכנית ‪ (b-a)/1000000‬במקום ‪ .(b-a)/2000‬זה יגרום‬
‫לשרטוט להתבצע לאט‪(.‬‬
‫הטענה שהקשתות שקיבלנו הן קשתות של מעגלים שמרכזם בראשית הצירים היא‪ ,‬בשלב זה‪ ,‬השערה‬
‫בלבד העולה מתוך מראה העיניים‪ .‬הבה נבדוק אם אמנם נכון הדבר שכל גרף‪-‬פונקציה שנקודותיו ממלאות‬
‫את משוואת המעגל‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫)‪1‬‬
‫‪x +y =r‬‬
‫הוא פתרון של משוואתנו הדיפרנצילית‪.‬‬
‫לבדיקת ההשערה נגזור את שני אגפיה של משואה ‪) 1‬לפי ‪ (x‬כמו שגוזרים פונקציה סתומה‪ ,‬ונקבל‬
‫)‪2‬‬
‫‪2x + 2yy` = 0‬‬
‫)‪3‬‬
‫‪y` = -x/y‬‬
‫ומכאן בדרך אלגברית‬
‫ב‪ .‬היפוך כיוון הבדיקה‬
‫עיון בתהליך הבדיקה שלעיל יראה שאפשר לבצע אותו בכיוון ההפוך‪ ,‬מהסוף להתחלה‪ ,‬ולקבל תהליך‬
‫טבעי המוביל מהמשואה הדיפרנציאלית אל נוסחת הפתרון‪ ,‬בלי להזדקק להשערה מוקדמת על צורתה של‬
‫נוסחה זאת‪.‬‬
‫)*‪3‬‬
‫‪y` = x/y2‬‬
‫נדגים זאת על ידי פתירת משואה דיפרנציאלית דומה למשואה הקודמת‪:‬‬
‫תחילה נעבור למשואה הדומה למשואה ‪ 2‬דלעיל‪ ,‬כלומר‪ ,‬למשואה שצורתה‬
‫‪) · y` = 0‬ביטוי ב‪) + (y -‬ביטוי ב‪(x -‬‬
‫)*‪2‬‬
‫‪-x + y2 y` = 0‬‬
‫ונקבל‬
‫כעת נמצא אנטינגזרת‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪) ∫ y y` dx = y‬כי `‪( (y )'x = 3y y‬‬
‫‪ ∫ -x dx = - 1 x 2‬ו‪-‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 1 3‬‬
‫לכן בשביל ‪ C‬קבוע כלשהו‪,‬‬
‫)*‪1‬‬
‫‪− x + y =C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. y = 3 3 x 2 +3C‬‬
‫ואם נרצה נוכל לבודד את ‪ y‬ולקבל‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬בנוסח כללי‬
‫משוואות דיפרנציליות שונות ניתנות להעברה לצורה‬
‫העברת משוואה לצורה זאת נקראת הפרדת משתנים‪.‬‬
‫מכאן נקבל משוואת פונקציה סתומה‬
‫‪ F(x) = ∫ f(x) dx‬ו‪g(y) dy -‬‬
‫שבה‬
‫∫‬
‫‪f(x) + g(y)·y' = 0‬‬
‫‪I.‬‬
‫‪F(x) + G(y) = C‬‬
‫= )‪. G(y‬‬
‫‪II.‬‬
‫נימוק‪:‬‬
‫)‪( F(x) )'x = f(x‬‬
‫מהשוויון‬
‫'‪( G(y) )'x = ( G(y) )'y·y'x = g(y)·y‬‬
‫והשוויון‬
‫‪( F(x) + G(y) )'x = f(x) + g(y)·y' = 0‬‬
‫נובע ש‪-‬‬
‫לכן )‪ F(x) + G(y‬שווה למספר קבוע‪.‬‬
‫ד‪ .‬דוגמה נוספת )שיש לה חשיבות בסטטיסטיקה(‬
‫המשוואה היא‬
‫נפריד משתנים‪:‬‬
‫‪y' = -xy‬‬
‫‪y'/y = -x‬‬
‫‪16‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫‪x + 1 y'= 0‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x /2 + ln(y) = C‬‬
‫לכן‬
‫ומכאן‪ ,‬בדרך שסיכמנו לעיל‪,‬‬
‫ובזאת קיבלנו את הפתרון ‪ y‬כפונקציה סתומה‪.‬‬
‫בגלל היתרונות שיש לכתיבת פונקציה בצורה מפורשת נבודד את ‪: y‬‬
‫‪ln(y) = -x2/2 + C‬‬
‫‪/2+C‬‬
‫לכן‬
‫‪/2‬‬
‫ומכיוון ש‪ eC -‬הוא מספר קבוע נכתוב אותו בצורת ‪ K‬ונקבל‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y = e-x‬‬
‫‪y = Ke-x‬‬
‫הערה‪ :‬בשביל ‪ K = 1‬מתקבלת‬
‫‪2π‬‬
‫הפונקציה שהגרף שלה הוא זה ‪:‬‬
‫גרף זה נקרא עקום ההתפלגות הנורמלית‬
‫הסטנדרטית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ .1‬פתור את המשוואות הדיפרנציליות הבאות וכתוב את הפתרון בצורת פונקציה מפורשת‪.‬‬
‫‪. y' = 12x2/y‬א‬
‫‪. y' = (2x+3)/ey‬ב‬
‫‪. y' = xy2‬ג‬
‫‪. y' = xy + 3x + 2y + 6‬ד‬
‫תרגיל ‪ .2‬פתור את המשוואות הדיפרנציליות הבאות )השאר את הפתרון כפונקציה סתומה(‪.‬‬
‫‪. cos(x) + (4y-2)·y'= 0‬א‬
‫‪. y' = 2x2y2 - 3xy2 + 4y2 + 2x2 - 3x + 4‬ב‬
‫הנחייה בשביל ב ‪(arctan x)' = 1/(x2+1) :‬‬
‫בעיה‪ :‬מצא את הפתרון של ‪ y' = (x2+3x-1)/y2‬העובר דרך )‪.(2,3‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫בשלב א נחפש פתרון כללי למשוואה‪ .‬נעשה זאת על‪-‬ידי הפרדת משתנים‪.‬‬
‫‪y' = (x2+3x-1)/y2‬‬
‫‪(x2+3x-1) - y2 ·y' = 0‬‬
‫‪x3/3 + 3x2/2 -x - y3/3 = C‬‬
‫)את ההעברה לצורה מפורשת אפשר לעשות כבר עכשיו אך נדחה זאת לסוף‪(.‬‬
‫בשלב ב נחפש ערך מתאים בשביל ‪.C‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 /3 + 3·2 /2 -2 - 3 /3 = C‬‬
‫הפתרון צריך לעבור דרך )‪ ,(2,3‬לכן צריך שיתמלא השוויון‬
‫‪C = 8/3 + 12/2 - 2 - 9 = -7/3‬‬
‫לכן‬
‫‪x3/3 + 3x2/2 -x - y3/3 = -7/3‬‬
‫כלומר‪ ,‬הפתרון הוא‬
‫כעת נעבור לצורת פונקציה מפורשת‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y = x + 4.5x - 3x + 7‬‬
‫נכפול ב‪, 3 -‬נעביר מאגף לאגף ונקבל‬
‫‪3‬‬
‫‪y = x x 3 + 4.5x 2 - 3x + 7‬‬
‫לכן‬
‫תרגיל ‪.3‬‬
‫‪ y' = e‬הממלא ‪) y(0)=1‬כלומר‪ ,‬עובר בנקודה )‪(. (0,1‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפתרון של‬
‫ב‪ .‬מצא את הפתרון של ‪ cos(y) ·y' = 2x‬הממלא ‪. y(3)=0‬‬
‫ג‪ .‬מצא את הפתרון של )‪ y' = (x+2)/(y2-1‬הממלא ‪) . y(2)=3‬השאר בצורה סתומה‪(.‬‬
‫‪2x-y‬‬
‫‪17‬‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫עמוס ארליך‬
‫תרגיל ‪.4‬‬
‫את שתי המשוואות הבאות אפשר לפתור בשיטה הבאה‪ :‬נגדיר פונקציה חדשה ‪ ,z=y/x‬ואז ‪ y=xz‬ולכן‬
‫'‪ . y'=z+xz‬נחליף את ה‪-y -‬ים וה‪-y' -‬ים שבמשוואה הדיפרנצילית הנתונה ונקבל משוואה ב‪ z ,x -‬ו‪z' -‬‬
‫בלבד‪ .‬נפתור אותה )כלומר‪ ,‬נמצא בעזרתה את ‪ z‬כפונקציה סתומה או מפורשת של ‪ ,(x‬ומזה נקבל את‬
‫הפונקציה ‪ y‬המבוקשת‪.‬‬
‫א‪x + y = xy' .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪x + 3xy + 2y = (3x + 2xy)·y' .‬‬
‫ד‪ .‬מד"ר ללא ‪x‬‬
‫לא קשה לראות שלמשוואה ‪ y’=y+3‬הפתרון ‪. y=Aex-3‬‬
‫הבה נמצא זאת בדרך הטובה להרבה מד"ר‪-‬ללא‪. x-‬‬
‫נפריד משתנים ללא העברת הכל לאגף אחד )גם מקודם לא היה הכרח להעביר לאגף אחד(‪1 y'=1 :‬‬
‫‪y-3‬‬
‫‪ln(y-3)=x+C‬‬
‫ומכאן‬
‫‪y-3 = ex+C‬‬
‫לכן‬
‫‪x‬‬
‫‪x+C‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. y=Ae -3‬‬
‫נסמן את ‪ e‬ב‪ A -‬ואז ‪ e =Ae‬ונכאן הפתרון‬
‫תרגיל ‪:5‬‬
‫א‪ .‬פתור את ‪y’=y‬‬
‫ומצא את הפתרון הפרטי העובר ב‪(0,1)-‬‬
‫‪2‬‬
‫משמאל הפתרון המבוקש‪ ,‬שהוא ‪ , y= 1‬ולשם‬
‫‪2-x‬‬
‫ההשוואה מופיע איתו במקווקו גם הגרף של‬
‫‪.y = ex‬‬
‫התוכל לראות כיצד נובעים ההבדלים שביניהם‬
‫מההבדלים במשוואות הדיפרנציאליות?‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬פתור את ‪. y’=5-y‬‬
‫‪y’=5-y‬‬
‫פתרונות גרפיים משמאל‪ .‬האם אתה‬
‫רואה את הקשר שבין המד"ר ובין‬
‫העובדה שכאשר ‪ x‬גדל מתקרבים‬
‫הפתרונות לגרף של ‪? y=5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪18‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫)‪ (6‬מערכת משוואות דיפרנציליות או ארנבות ושועלים‬
‫אם יש בשטח מספיק שועלים אז לארנבות יש מספיק אוכל‪.‬‬
‫אין כאן בלבול‪ .‬אני יודע שארנבות אינן אוכלות שועלים‪ .‬אדרבא‪ ,‬השועלים טורפים ארנבות‪ .‬אך אלמלא כן‬
‫היו הארנבות מתרבות ללא הגבלה‪ ,‬מכלות את רוב המזון שמצמיחה האדמה וסובלות רעב‪ .‬אוכלוסית‬
‫השועלים מפקחת אפוא על גודל אוכלוסית הארנבות‪ .‬במקביל מפקחת אוכלוסית הארנבות על גודל אוכלוסית‬
‫השועלים‪ .‬מספר מסויים של ארנבות דרוש לשועלים כדי שלא לגווע ברעב‪ ,‬ומספר יותר גדול יאפשר‬
‫לשועלות להייניק ולגדל את גוריהן‪.‬‬
‫בסעיף זה נטפל במהלכי ההשתנות של אוכלוסיות טורפים ואוכלוסיות טרף בעזרת משוואות דיפרנציליות‪.‬‬
‫לשם הפשטות נצטמצם למין אחד של טורף ומין אחד של טרף החיים באזור מסויים‪ ,‬נניח שלטורף הנידון אין‬
‫טרף חלופי ואילו הטרף אינו סובל ממחסור במזון‪ ,‬ונניח ששניהם אינם נטרפים על‪-‬ידי טורף נוסף‪ .‬בטבע אין‬
‫תנאים כאלה מתמלאים במלואם‪ ,‬ולכן גם מסקנותינו המתמטיות לא תתאמנה בשלמות למתרחש בטבע‪ ,‬אך‬
‫יהיה בהן כדי לסייע בהבנת תופעות שבמציאות ואפילו לאפשר צפיה‪-‬מראש של תופעות‪.‬‬
‫המתמטיקאי האיטלקי ‪ Volterra‬שם לב לכך שהכמויות של מין דג מסויים המוצעות למכירה בשוקי עירו‪,‬‬
‫נתונות לתנודות מחזוריות‪ .‬בהמשך מצא תנודות דומות אך לא זהות גם בכמויותיו של דג אחר הטורף את המין‬
‫הראשון‪ .‬הוא בנה משוואות דיפרנציאליות דומות לאלה שנטפל בהן להלן‪ ,‬וחקירתן הסבירה יפה את התופעות‬
‫שנצפו בשוק הדגים‪.‬‬
‫המשוואות שתשמשנה אותנו כאן הוצעו על‪-‬ידי ‪. A. J. Lotka‬‬
‫מערכת המשוואות‬
‫נסמן ב‪ x -‬את הזמן )יחידת המידה תהיה‪ ,‬למשל‪ ,‬חודש אחד(‪,‬‬
‫נסמן ב‪ y -‬את גודלה של אוכלוסית הארנבות )יחידת המידה תהיה‪ ,‬למשל‪ 10 ,‬ארנבות לקמ"ר(‪,‬‬
‫ונסמן ב‪ z -‬את גודלה של אוכלוסית השועלים )יחידת המידה תהיה‪ ,‬למשל‪ 1 ,‬שועל לחמישה קמ"ר(‪.‬‬
‫הערה‪ :‬בחרנו בסימנים אלה‪ ,‬ולא ב‪ t -‬בשביל ‪ ,time‬ב‪ R -‬בשביל ‪ rabbits‬וב‪ F -‬בשביל ‪ foxes‬כדי‬
‫שהתוכנית שנבנה בהמשך תתאים גם לנושאים אחרים‪.‬‬
‫קצב הלידות של הארנבות פרופורציוני למספר הארנבות הקיימות לכן שווה ל‪ ,Ay -‬כאשר ‪ A‬הוא גורם‬
‫פרופורציה מתאים‪) .‬לאמיתו של דבר נקבע קצב הלידות על‪-‬ידי מספרן של הארנבות הנקבות בלבד‪ ,‬כי תמיד‬
‫יש מספיק ארנבים זכרים‪ ,‬אך אנו מניחים שמספר הנקבות שווה למספר הזכרים‪ ,‬ולכן פרופורציוני קצב‬
‫הלידות למספר הכולל ‪(.y‬‬
‫קצב המפגשים של ארנבת ושועל לצורכי סעודה )של השועל( פרופורציוני הן למספר הארנבות והן למספר‬
‫השועלים‪ ,‬ולכן שווה ל‪ Byz -‬עם גורם פרופורציה ‪ B‬מתאים‪.‬‬
‫מזה עולה ש‪ ,y' -‬שהוא קצב הגידול הכולל של אוכלוסית הארנבות‪ ,‬הוא ‪. y' = Ay - Byz‬‬
‫נעבור לדון בקצב ההתרבות של השועלים‪.‬‬
‫נסמן ב‪ C -‬את גודל אוכלוסית הארנבות המספיק כדי שאוכלוסית השועלים לא תעלה ולא תרד‪ .‬במלים‬
‫אחרות‪ ,‬אם ‪ y=C‬אז כנגד כל שועל הגווע ברעב מצליחה שועלה אחת‪ ,‬זריזה ובעלת מזל‪ ,‬לגדל גור אחד‪ .‬אם‬
‫‪ y-C>0‬אז אוכלוסית השועלים עולה ואם ‪ y-C<0‬אז אוכלוסית השועלים יורדת‪ .‬כהנחת פשטוּת נניח ש‪,z' -‬‬
‫שהוא קצב הגידול של אוכלוסית השועלים‪ ,‬פרופורציוני ל‪.y-C -‬‬
‫נוסף לזאת פרופורציוני '‪ z‬גם ל‪ z -‬כי ככל שיש יותר שועלים כן יש יותר שועלים איטיים הגוועים ברעב וגם‬
‫יותר שועלות זריזות אשר גם בני‪-‬זוגן הם ציידים טובים המסייעים בהאכלת הגורים‪ .‬כך נקבל שקיים גורם‬
‫פרופורציה ‪ D‬אשר )‪. z' = D·z·(y-C‬‬
‫‪19‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫לצורך הדיון שבסעיף הנוכחי נבחר בקבועים ‪ C=15 ,B=0.1 ,A=0.5‬ו‪ D=0.05 -‬ונקבל את מערכת‬
‫המשוואות‬
‫‪y' = 0.5y - 0.1yz‬‬
‫)‪z' = 0.05z·(y-15‬‬
‫הערה‪ :‬ערכיהם של הקבועים תלויים בסוג הטורף והטרף וביחידות המידה לזמן ולגודלי האוכלוסיות‪.‬‬
‫בציור א שלהלן )אחרי התוכנית ששרטטה אותו( מופיע פתרון אחד של מערכת המשוואות‪ .‬פתרון זה הוא‪,‬‬
‫כמובן‪ ,‬זוג פונקציות‪ ,‬שהרי מערכת המשוואות שלנו עוסקת בשתי פונקציות נעלמות ‪ y‬ו‪) z -‬שתיהן פונקציות‬
‫של המשתנה ‪.(x‬‬
‫כדי לקבל את הפתרון הזה‪ ,‬או כל פתרון אחר‪ ,‬היה עלינו לקבוע זוג ערכים התחלתיים ‪ y0‬ו‪ z0 -‬בשביל אותו‬
‫זמן התחלה ‪. x0‬‬
‫התוכנית ‪DifEq2‬‬
‫תוכנית זאת מיועדת לתת פתרונות גרפיים למערכת שתי משוואות דיפרנציליות‬
‫‪ DifEq2‬דומה לתוכנית ‪ DifEq‬הישנה‪ ,‬אך מכיוון שהיא עוסקת בשתי משוואות יש בה שתי פקודות ‪,DEF‬‬
‫המופיעות בשורות ב ו‪-‬ג‪) .‬פקודות אלה מתאימות לבעית הארנבות והשועלים‪ .‬לצורך מערכת משוואות אחרת‬
‫יש להחליפן בהתאם‪(.‬‬
‫מכיוון שהתוכנית עוסקת בשתי פונקציות היא זקוקה לשני ערכי‪-‬התחלה‪ .‬אלה ניתנים בשורות ז ו‪-‬ח )וגם הם‬
‫ניתנים להחלפה לפי הצורך(‪.‬‬
‫שני ערכי‪-‬התחלה אלה מתאימים לאותו ערך‪-‬התחלה של המשתנה החופשי ‪ ,x‬וכך יכולה התוכנית לצאת מהם‬
‫ולחשב במקביל את ה‪-Æy -‬ים וה‪-Æz -‬ים )שורות יט ו‪-‬כ(‪ ,‬לשפר אותם במקביל )שורות כא ו‪-‬כב( ולצעוד‬
‫במקביל אל ‪ x‬חדש ואל ה‪ y -‬וה‪ z -‬החדשים המתאימים לו )שורות כג‪ ,‬כד ו‪-‬כה(‪.‬‬
‫זוג הנקודות החדש משורטט בשני צבעים )שורות כו עד כט(‪ .‬הבדל נוסף שבין ‪DifEq‬ו‪ : DifEq2 -‬גבולות‬
‫המסך וערכי ההתחלה מופיעים ב‪ DifEq2 -‬בגוף התוכנית‪ ,‬בפקודות ‪ ,READ - DATA‬ולא בפקודות‬
‫‪ ,INPUT‬וכל הרצה נותנת פתרון אחד‪ .‬להבדל זה אין סיבות עקרוניות‪.‬‬
‫'‪! = y‬‬
‫'‪! = z‬‬
‫‪! window‬‬
‫‪! initial values‬‬
‫‪PROGRAM DifEq2‬‬
‫"‪LIBRARY "sifria‬‬
‫‪DEF f(x,y,z) = 0.5*y-0.1*y*z‬‬
‫)‪DEF g(x,y,z) = 0.05*z*(y-15‬‬
‫‪READ a,b,c,d‬‬
‫‪DATA 0,40,0,40‬‬
‫)‪CALL axes (a,b,c,d‬‬
‫‪READ x0,y0,z0‬‬
‫‪DATA 0,23,7‬‬
‫א‬
‫ב‬
‫ג‬
‫ד‬
‫ה‬
‫ו‬
‫ז‬
‫ח‬
‫‪LET Dx = (b-a)/1000‬‬
‫)‪CALL steps(Dx‬‬
‫)‪CALL steps(-Dx‬‬
‫ט‬
‫י‬
‫יא‬
‫)‪SUB steps(Dx‬‬
‫‪PLOT x0,y0‬‬
‫‪PLOT x0,z0‬‬
‫‪LET x=x0‬‬
‫‪LET y=y0‬‬
‫יב‬
‫יג‬
‫יד‬
‫טו‬
‫טז‬
‫‪20‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫‪LET z=z0‬‬
‫‪DO‬‬
‫‪LET Dy=f(x,y,z)*Dx‬‬
‫‪LET Dz=g(x,y,z)*Dx‬‬
‫‪LET Dy=f(x+Dx/2,y+Dy/2,z+Dz/2)*Dx‬‬
‫‪LET Dz=g(x+Dx/2,y+Dy/2,z+Dz/2)*Dx‬‬
‫‪LET x=x+Dx‬‬
‫‪LET y=y+Dy‬‬
‫‪LET z=z+Dz‬‬
‫"‪set color "red‬‬
‫‪PLOT x,y‬‬
‫"‪set color "yellow‬‬
‫‪PLOT x,z‬‬
‫‪LOOP until x<a or x>b‬‬
‫‪PLOT‬‬
‫‪END SUB‬‬
‫‪END‬‬
‫והרי הפתרון שנותנת הרצת התוכנית בצורתה הנוכחית )כלומר‪ ,‬עם נתונים מספריים כבשורות ה‪-‬‬
‫‪ DATA‬ה ו‪-‬ח(‪.‬‬
‫ארנבות‬
‫שועלים‬
‫ציור א‬
‫תרגילים‪ .‬כל תרגילי סעיף זה עוסקים במערכת המשוואות הספציפית שלנו‪ ,‬שהיא מודל מתמטי‬
‫לאקולוגיה של טורף וטרף‪ ,‬ולא בתורה הכללית של מערכות של משוואות דיפרנציליות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ .1‬עיון בציור א יראה שהנתונים שהוכנסו לתכניתנו מביאים לתופעות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬כצפוי יורדת אוכלוסית הארנבות במהירות כאשר אוכלוסית השועלים מקסימלית ועולה‬
‫במהירות כאשר אוכלוסית השועלים מינימלית‪ ,‬ואילו אוכלוסית השועלים עולה במהירות כאשר‬
‫אוכלוסית הארנבות מקסימלית ויורדת במהירות כאשר אוכלוסית הארנבות מינימלית‪.‬‬
‫ב‪ .‬שתי האוכלוסיות משתנות השתנות מחזורית‪ .‬זמן המחזור )לשתיהן( הוא כ‪ 102/3 -‬חדשים ) ‪3‬‬
‫מחזורים בכ‪ 32 -‬חודש(‪.‬‬
‫ג‪ .‬אוכלוסית השועלים נעה בין ‪ 2.5‬ובין ‪ 9‬שועלים לחמישה קמ"ר‪ ,‬בקירוב‪.‬‬
‫ד‪ .‬אוכלוסית הארנבות נעה בין ‪ 8‬ובין ‪ 25‬עשרות‪-‬ארנבות לקמ"ר‪ ,‬בקירוב‪.‬‬
‫ה‪ .‬הירידות באוכלוסית הארנבות תלולות‪ ,‬בממוצע‪ ,.‬מן העליות‪ ,‬ואילו אצל השועלים התמונה‬
‫הפוכה‪.‬‬
‫שנה את ערך ‪ yo‬שבשורה ח מ‪ 23 -‬ל‪ 30 -‬ומצא כיצד משפיע שינו זה על התוצאות האלה‪.‬‬
‫נסה גם שינויים אחרים‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫יז‬
‫יח‬
‫יט‬
‫כ‬
‫כא‬
‫כב‬
‫כג‬
‫כד‬
‫כה‬
‫כו‬
‫כז‬
‫כח‬
‫כט‬
‫ל‬
‫לא‬
‫לב‬
‫לג‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫תרגיל ‪.2‬‬
‫אפשרות א‪ :‬עיין במשוואות הדיפרנציליות ומצא בשביל אילו ערכי ‪ y‬ו‪ z -‬האוכלוסיות נשארות‬
‫יציבות‪ ,‬כלומר‪ .y'=z'=0 ,‬בדוק את הדבר על‪-‬ידי הרצת התוכנית עם ‪ yo‬ו‪ zo -‬המתאימים‪.‬‬
‫אפשרות ב‪ :‬הרץ את התוכנית עם ערכי‪-‬התחלה ‪ yo‬ו‪ zo -‬שונים עד שתמצא ערכי התחלה כאלה‬
‫שבשבילם שני הגרפים הם ישרים אופקיים‪ .‬כיצד מתקשר הדבר עם המשוואות הדיפרנציליות?‬
‫תרגיל ‪.3‬‬
‫א‪ .‬החלף את ה‪ 15 -‬שבשורה ג ב‪ 20 -‬ואת ה‪ 23 -‬שבשורה ח החלף ב‪ , 30.666 -‬כלומר‪ ,‬הגדל‬
‫בשליש הן את מספר הארנבות הדרוש לשועלים כדי לשמור על גודל אוכלוסיתם והן את המספר‬
‫ההתחלתי של הארנבות )שאר הנתונים שבתוכנית יהיו כבגירסה המקורית שלעיל(‪ ,‬הרץ ומצא כיצד‬
‫משפיע השינוי על התוצאות‪.‬‬
‫נספח‪ :‬התוכנית ‪FoxRab‬‬
‫ההבדל הענייני העיקרי שבין ‪ FoxRab‬ובין ‪ DifEq2‬הוא בזה שבמקום הפקודות ‪ PLOT x,y‬ו‪-‬‬
‫‪ PLOT x,z‬מופיעה ב‪ FoxRab -‬הפקודה ‪ .PLOT y,z‬כתוצאה מהבדל זה אין ‪ FoxRab‬משרטטת‬
‫זוג גרפים אלא את המסלול שיוצרות הנקודות )‪ (y,z‬כאשר ‪ x‬משתנה )כלומר‪ ,‬במהלך הזמן(‪.‬‬
‫תוכנית קודמת בשם ‪ FOXRAB‬הופיעה ב‪ Basic Rrogramming -‬מאת ‪ Kemeny‬ו‪Kurtz -‬‬
‫בשנת ‪ .1967‬ההבדלים שבין תוכניתם ובין תוכניתי הנוכחית נובעים‪ ,‬בין השאר‪ ,‬מזה שב‪1967 -‬‬
‫עדיין לא בנו קמני וקורץ את ה‪ True-Basic -‬בעל פקודות השרטוט הנוחות‪ .‬ההבדלים שבין‬
‫‪ FoxRab‬הנוכחית ובין ‪ DifEq2‬קשורים בזה ש‪ DifEq2 -‬נועדה למערכת שימושים יותר רחבה‬
‫החורגת מהסעיף הנוכחי‪.‬‬
‫לא נדון בפירטי התוכנית ‪ ,FoxRab‬אך נתאר את מה שהיא עושה‪.‬‬
‫בעקבות ההרצה בונה המחשב ציר ‪ 0<y<40‬אופקי וציר ‪ 0<z<20‬אנכי‪ ,‬ומבקש ‪ y0‬ו‪ .zo -‬עם קבלתם‬
‫של אלה מודפס ‪ 0‬על יד הנקודה המיצגת את כמות הארנבות וכמות השועלים בזמן ההתחלה‪ .‬אחר‪-‬כך‬
‫משרטט המחשב קשת קצרה המתארת את השתנות ‪ y‬ו‪ z -‬במשך יחידת זמן אחת )"חודש"(‪ ,‬מדפיס‬
‫בסופה ‪ 1‬וממתין להקשת מקש כלשהו‪.‬‬
‫אם מקישים על מקש‪-‬רווח )או על מקש אחר שאינו ‪ (escape‬ממשיך המחשב את הקשת עד לנקודה‬
‫המתאימה לזמן ‪ ,2‬מדפיס שם ‪ ,2‬ממתין להקשת מקש וכו'‪.‬‬
‫אם מקישים על מקש ‪ escape‬חוזר המחשב ומבקש נקודת התחלה )‪ (x0,yo‬חדשה‪.‬‬
‫התוכנית נמצאת בתיק ‪ MATH/ANALYSIS/DIFEQS‬והרי תוצרתה‪:‬‬
‫‪20‬‬
‫ש‬
‫ו‬
‫ע‬
‫ל‬
‫י‬
‫מה יתקבל בשביל‬
‫)‪? (xo,yo)=(15,5‬‬
‫הנך מוזמן להריץ את התוכנית‬
‫‪40‬א ר נ ב ו ת‬
‫‪0‬‬
‫‪22‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫בשינויי נתונים‪.‬‬
‫*קוסינוס וסינוס‬
‫יהי )‪ y=sin(x‬ו‪ z=cos(x) -‬ואז יהיה ‪ y’=z‬ו‪ z’=-y -‬וכן‪ ,‬בשביל ‪ x=0‬יהיה ‪ y=0‬ו‪ .z=1 -‬נוכל אפוא‬
‫להתאים את ‪ DifEq2‬לשרטוט הגרפים של סינוס וקוסינוס‪.‬‬
‫לשאלה בשביל מה לעשות זאת יש לי שתי תשובות‪.‬‬
‫א‪ .‬כדי להתאמן בהכנסת שינויים בתוכנית‪) .‬התוצאה שתתקבל תראה אם עשינו זאת כהלכה(‪.‬‬
‫ב‪ .‬כדי להראות שצמד המד"ר ונקודות המוצא שלעיל יכלו לשמש להגדרת סינוס וקוסינוס‬
‫) כמו שהמשוואה ‪ y’=y‬עם נקודת ההתחלה )‪ (0,1‬יכלו להגדיר את ‪.( ex‬‬
‫אם אף אחת מהתשובות לא מלהיבה אותך – דלג אל הסעיף הבא‪ ,‬שהוא יותר שימושי‪ .‬אם כן – הרי‬
‫השינויים הדרושים‪:‬‬
‫בשורות ב ו‪-‬ג נכתוב ‪ DEF f(x,y,z)=z‬ו‪, DEF g(x,y,z)=-y -‬‬
‫בשורה ה )נתוני הצירים( נכתוב‪ ,‬למשל‪, DATA -7,20,-2,2 ,‬‬
‫ובשורה ח )נתוני התחלה( נכתוב ‪. DATA 0,0,1‬‬
‫והרי התוצאה‪:‬‬
‫סינוס‬
‫‪20‬‬
‫‪π‬‬
‫קוסינוס‬
‫‪1‬‬
‫‪-7‬‬
‫)‪ (7‬משוואות דיפרנציליות מסדר שני‬
‫משוואה שצורתה )'‪ y'' = g(x,y,y‬או משוואה שניתן להביאה לצורה זאת‪ ,‬נקראת משוואה דיפרנצילית מסדר‬
‫שני‪ ,y'') .‬שהיא הנגזרת של הנגזרת של ‪ ,y‬נקראת גם נגזרת מסדר שני של ‪(.y‬‬
‫התוכנית ‪ DifEq2‬מתאימה גם לפתרון משוואה דיפרנצילית אחת מסדר שני‪ .‬הא כיצד? אם נסמן את '‪ y‬ב‪z -‬‬
‫‪y' = z‬‬
‫נקבל את מערכת המשוואות )מסדר ראשון(‬
‫)‪z' = g(x,y,z‬‬
‫ונשנה את פקודות ה‪ DEF -‬שבשורות ב ו‪-‬ג בהתאם‪.‬‬
‫)‪y'' = -xy/(y'2+0.2‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬מהמשוואה‬
‫)‪z' = -xy/(z2+0.2‬‬
‫‪ y' = z‬ו‪-‬‬
‫נקבל‬
‫‪DEF f(x,y,z) = z‬‬
‫ופקודות ה‪ DFF -‬צריכות להיות‬
‫)‪DEF g(x,y,z) = -x*y/(z^2+0.2‬‬
‫אם אנו רוצים בגרף של ‪ y‬אך לא בגרף של נגזרתו ‪ ,z‬יש לבטל את הפקודה ‪) PLOT x,z‬ואת פקודות‬
‫הצבע(‪ ,‬אך חובה לתת ערך התחלתי גם ל‪) z -‬מספר שלישי בשורה ח(‪ ,‬שהרי במהלך חישוב ערכי ה‪y -‬‬
‫החדשים משתתפים גם ערכי ה‪.z -‬‬
‫‪23‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫והרי הגרפים שהתקבלו מ‪ DifEq2 -‬עם‬
‫‪-DEF‬ים כדלעיל‬
‫ועם ‪ DATA -3,15,-8,8‬בשביל הצירים‬
‫)שורה ו(‬
‫ו‪ DATA 0,3,-1 -‬בשביל ‪xo, yo, zo‬‬
‫)שורה ח(‪.‬‬
‫אם רצונך לנסות את התוכנית בעצמך נסה את‬
‫)‪ y''=-y/(y'2+0.2‬או את )‪y''=y/(y'2+0.2‬‬
‫עם ‪ DATA‬כנ"ל או אחרים‪.‬‬
‫כמה פרמטרים צריך הפתרון הכללי?‬
‫הפתרון הכללי )בצורת נוסחה( של משוואה דיפרנצילית מסדר ראשון צריך לכלול פרמטר אחד )לפחות(‪,‬‬
‫ואילו הפתרון הכללי של משוואה מסדר שני צריך שני פרמטרים‪ .‬ההבדל נובע מזה שאצל משוואה מסדר‬
‫ראשון נקבע כל פתרון פרטי על‪-‬ידי בחירת ערך ‪ y0‬בשביל ערך ‪ x0‬התחלתי כלשהו‪ ,‬ואילו אצל משוואה‬
‫מסדר שני נקבעים הפתרונות הפרטיים על‪-‬ידי בחירת שני ערכים שיותאמו ַל‪ xo -‬ההתחלתי‪ ,‬האחד הוא ערך‬
‫‪ yo‬והשני הוא ערך ‪) y'o‬המסומן אצלנו גם ‪.(zo‬‬
‫נבהיר את מקור הקשר שבין מספר ערכי ההתחלה הקובעים פתרון פרטי ובין מספר הפרמטרים הנדרשים‬
‫בפתרון הכללי‪ ,‬בעזרת שתי דוגמאות‪ ,‬האחת בשביל משוואה דיפרנצילית מסדר ראשון והאחרת בשביל‬
‫משוואה דיפרנצילית מסדר שני‪.‬‬
‫את המשוואה ‪ y'=x+2y+3‬פתרנו לעיל )על‪-‬ידי ניחוש והתאמת קבועים( וקבלנו את הפתרון הכללי‬
‫‪2x‬‬
‫‪ y = -0.5x -1.75 + Ae‬עם הפרמטר ‪.A‬‬
‫כדי לקבל מפתרון כללי זה את הפתרון הפרטי המקבל בשביל ‪ x=xo‬את הערך ‪ , y0‬לבחור ‪ A‬כזה שבשבילו‬
‫‪2x‬‬
‫מתמלא השוויון ‪. yo = -0.5xo -1.75 + Ae o‬‬
‫לכל ‪ xo‬ו‪ yo -‬אפשר להבטיח את התמלאות השוויון הזה אם מסתכלים עליו כעל משוואה בנעלם יחיד ‪A‬‬
‫‪2x‬‬
‫ופותרים משוואה זאת‪ .‬הפתרון הוא ‪.A=(yo+0.5xo+1.75)/e o‬‬
‫כדוגמה מסדר שני נתבונן במשוואה הפשוטה ‪ .y''=2‬פתרון כללי שלה הוא ‪.y=x2+Ax+B‬‬
‫כדי לקבל ממנו את הפתרון הפרטי המקבל בשביל ‪ xo‬מסוים את הערך ‪ yo‬ונגזרתו מקבלת שם את הערך ‪y'0‬‬
‫)=‪ ,(zo‬יש לבחור ‪ A‬ו‪ B -‬המבטיחים התמלאות שני שוויונות‪ yo=xo2+Axo+B :‬ו‪ .y'o=2xo+A -‬פתירתם‬
‫כמערכת שתי משוואות בשני הנעלמים ‪ A‬ו‪ B -‬נותנת את המבוקש‪.‬‬
‫פתרון כגון ‪ ,y=x2+Ax+A‬שיש בו רק פרמטר אחד‪ ,‬אינו כללי די הצורך‪ .‬למשל‪ ,‬אי אפשר לקבל ממנו את‬
‫הפתרון הממלא את תנאי ההתחלה ‪ yo=4 ,xo=3‬ו‪ y'o=5 -‬כי שום ‪ A‬אינו ממלא הן את השוויון‬
‫‪ 4=32+A·3+A‬והן את השוויון ‪. 5=2·3+A‬‬
‫הערה‪ :‬לפעמים גם פתרון הכולל שני פרמטרים אינו נותן את כל הפתרונות הפרטיים של משוואה דיפרנצילית‬
‫מסדר שני‪ .‬דוגמה פשטנית היא הפתרון ‪) y=x2+(A+B)x‬למשוואה ‪.( y''=2‬‬
‫‪24‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫תרגיל ‪.1‬‬
‫יהי )‪ y=Ax+Bcos(x‬הפתרון הכללי של משוואה דיפרנצילית כלשהי‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפתרון הפרטי שבשביל ‪ x=0‬מקבל ‪ y‬את הערך ‪ 5‬ואילו '‪ y‬מקבל את הערך ‪. 2‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הפתרון הפרטי שאצלו מתקבלים הערכים הנ"ל בשביל ‪. x=1‬‬
‫תרגיל ‪.2‬‬
‫הפתרון הכללי של המשוואה ‪ y''=y‬הוא ‪y=Ae +Be‬‬
‫א‪ .‬בדוק זאת‪.‬‬
‫ב‪ .‬איזה פתרון פרטי ממלא את תנאי ההתחלה ‪. y'0=3 , yo=7 , xo=0‬‬
‫ג‪ .‬מצא פתרון כללי למשוואה ‪. y''=4y‬‬
‫‪-x‬‬
‫‪x‬‬
‫תרגיל ‪.3‬‬
‫א‪ .‬מצא פתרון כללי למשוואה '‪ y''=y‬בדרך הבאה‪ :‬תחילה מצא ביטוי כללי )ב‪ (x -‬בשביל '‪ y‬ובעזרתו מצא‬
‫את ‪.y‬‬
‫ב‪ .‬איזה פתרון פרטי ממלא את תנאי ההתחלה ‪. y'0=3 , yo=7 , xo=0‬‬
‫תרגיל ‪ .4‬פתור את ‪. y''=y'-x+3‬‬
‫הנחייה‪ :‬פתור פתרון זה אינו שונה בטבעו מן הפתרון ‪ y=x +Ax‬ובדרך כלל לא נתקשה להבחין‬
‫בפרמטר שני שאינו תורם מאומה‪.‬‬
‫יש מקרים שבהם הפרמטר השני מוסיף פתרונות אך לא את כל הפתרונות‪ .‬לא נביא כאן דוגמה כזאת‪.‬‬
‫במקומה נראה דוגמה של משוואה דיפרנצילית מסדר ראשון ושל פתרון עם פרמטר יחיד התורם למגוון‬
‫הפתרונות אך אינו נותן את כולם‪ .‬הדוגמה היא המשוואה ‪ y'= y‬עם הפתרון ‪ ,y=(x+A)2/4‬כאשר‬
‫שום ערך של הפרמטר ‪ A‬אינו נותן את הפתרון ‪. y=0‬‬
‫מקרים מסוג זה אינם שכיחים במדעים המשתמשים במתמטיקה וספרנו לא יעסוק בהם‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫תחילה את ‪ z'=z-x+3‬על‪-‬ידי בדיקת ההשערה שהפתרון הוא מהצורה ‪. z=AeBx+Cx+D‬‬
‫)‪ (8‬משוואות דיפרציליות לינאריות הומוגניות במקדמים קבועים‬
‫)‪a(x)·y'+b(x)·y = f(x‬‬
‫משוואה דיפרנצילית לינארית מסדר ראשון היא משוואה שצורתה‬
‫ומשוואה דיפרנצילית לינארית מסדר שני היא משוואה שצורתה )‪. a(x)·y''+b(x)·y'+c(x)·y = f(x‬‬
‫אם מקדמיהם של ‪ y' ,y‬ו‪ y'' -‬הם מספרים קבועים נוסיף לכינוייהן של המשוואות את המלים "במקדמים‬
‫קבועים"‪ ,‬וזאת גם כאשר )‪ f(x‬אינה מספר קבוע‪.‬‬
‫אם )‪ f(x‬הוא הקבוע ‪ 0‬נוסיף לכינוייהן של המשוואות את המלה "הומוגנית"‪.‬‬
‫בסעיף זה נלמד לפתור את כל המשוואות הדיפרנציליות ההומוגניות במקדמים קבועים מסדר ראשון ושני‪,‬‬
‫כלומר‪ ,‬את כל המשוואות מהצורה ‪ ay'+by=0‬או ‪ .ay''+by'+cy=0‬בסעיף הבא נדון באלה שאינן הומוגניות‬
‫ונפתור חלק מהן‪.‬‬
‫א‪ .‬המשוואה ‪ay'+by=0‬‬
‫כאן אין כל חדש‪ .‬כל משוואה כזאת )עם ‪ a‬שאינו ‪ (0‬תוכל להכתב בצורה ‪ ,y'=ky‬למשוואות אלה הוקדש‬
‫סעיף ‪ 2‬שלנו והפתרון הכללי הוא ‪) .y=Aekx‬רק ‪ A‬הוא פרמטר הנותן את כלליות הפתרון‪ k .‬הוא המספר‬
‫הקבוע שהופיע במשוואה‪(.‬‬
‫‪25‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫ב‪ .‬המשוואה ‪ y''-5y'+6y=0‬ומשוואות דומות‬
‫לאור א נחפש גם למשוואה הנוכחית פתרון שצורתו ‪. y=AeBx‬‬
‫בשביל ‪ y‬זה יהיה ‪ y'=ABeBx‬ו‪ y''=AB2eBx -‬לכן אנו זקוקים ל‪ A -‬ו‪ B -‬כאלה שבשבילם יתמלא‬
‫‪AB2eBx-5ABeBx+6AeBx=0‬‬
‫אם ‪ A=0‬ברור שהתנאי מתמלא‪ .‬אם לא אז נוכל לחלק ב‪ ,A -‬וכמובן גם ב‪ , eBx -‬ולכן שקול התנאי הנדרש‬
‫ל‪ B2-5B+6=0 -‬לכן גם ‪ B=2‬וגם ‪ ,B=3‬שהם שני הפתרונות של המשוואה הריבועית שקיבלנו‪ ,‬מספקים‬
‫פתרונות למשוואה הדיפרנצילית‪.‬‬
‫כך קיבלנו שתי משפחות של פתרונות‬
‫‪6‬‬
‫למשוואתנו‪.‬‬
‫באחת נמצאות הפונקציות שצורתן‬
‫‪y''-5y'+6y=0‬‬
‫‪ . y=Ae2x‬שלוש מהן משורטטות‬
‫משמאל בקו מקווקו‪ .‬שתים עם ‪ A‬חיובי‬
‫ואחת עם ‪ A‬שלילי‪.‬‬
‫באחרת נמצאות הפונקציות שצורתן‬
‫‪ . y=Ae3x‬ארבע מהן משורטטות משמאל‬
‫‪-2‬‬
‫‪4‬‬
‫בקו נקוד‪ .‬לאחת מהן ‪ A‬שלילי‬
‫בציור מופיע בקו מלא גרף נוסף‪ .‬גרף זה‬
‫הוא של הפתרון המתקבל בשביל‬
‫משוואתנו עם נתוני‪-‬ההתחלה ‪,xo=1‬‬
‫‪ yo=3‬ו‪. y'o=3 -‬‬
‫‪-6‬‬
‫לא קשה לראות שפתרון זה אינו שייך לא‬
‫למשפחה הראשונה ולא למשפחה השניה‪ ,‬אך עם‬
‫קצת דמיון אפשר להעלות את ההשערה שהוא יכול להתקבל כסכום של אחד מכאן ואחד מכאן‪ ,‬כלומר‪ ,‬צורתו‬
‫היא ‪.y = A1e2x+A2e3x‬‬
‫)אפשר אפילו לשער שבדוגמתנו ‪ A1‬חיובי ו‪ A2 -‬שלילי עם ערך מוחלט קטן מ‪(. A1-‬‬
‫אם נוכיח ש‪ y = A1e2x+A2e3x -‬הוא פתרון של משוואתנו אז נדע שהוא פתרון כללי‪ ,‬כי בבחירה מתאימה‬
‫של ערכים בשביל הפרמטרים ‪A1‬ו‪) A2 -‬על‪-‬ידי פתירת המשואות המתאימות( נוכל להבטיח התמלאות כל‬
‫נתוני‪-‬התחלה שנרצה‪.‬‬
‫הבה ננסח משפט יותר כללי‪.‬‬
‫משפט ‪ :1‬אם למשוואה הריבועית ‪ ax +bx+c=0‬יש שני פתרונות שונים ‪ x=k1‬ו‪, x=k2 -‬‬
‫‪2‬‬
‫אז למשוואה הדיפרנצילית ‪ ay''+by'+cy=0‬הפתרון הכללי ‪. y = A1ek1x + A 2ek 2 x‬‬
‫אפשר להוכיח את המשפט על‪-‬ידי גזירות והצבה במשוואה הדיפרנצילית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ .1‬עשה זאת‪.‬‬
‫לחילופין אפשר להשתמש בחלק ב של המשפט הבא‪ ,‬שהוא משפט יותר כללי‪:‬‬
‫משפט ‪ .2‬לכל משוואה דיפרנצילית לינארית הומוגנית )מכל סדר(‬
‫א‪ .‬אם )‪ y=g(x‬הוא פתרון ואם ‪ C‬מספר קבוע אז )‪ y=C·g(x‬הוא פתרון‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם )‪ y=g1(x‬ו‪ y=g2(x) -‬הם פתרונות אז )‪ y=g1(x)+g2(x‬הוא פתרון‪.‬‬
‫והרי הוכחה של ב בשביל משוואה לינארית הומוגנית מסדר שני במקדמים קבועים‪.‬‬
‫= ))‪a(g1(x)+g2(x))'' + b(g1(x)+g2(x))' + c(g1(x)+g2(x‬‬
‫‪26‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫‪= (a·g1''(x) + b·g1'(x)+ c·g1(x) ) + (a·g2''(x) + b·g2'(x)+ c·g2(x) ) = 0 + 0 = 0‬‬
‫ההוכחה לא עשתה שימוש של ממש בזה שהמקדמים ‪ b ,a‬ו‪ c -‬הם מספרים קבועים לכן היא טובה גם בשביל‬
‫המקרה שבו המקדמים הם פונקציות של ‪ .x‬כן לא השתמשה ההוכחה בזה ש‪ a≠0 -‬לכן היא טובה גם בשביל‬
‫משוואה מסדר ראשון‪.‬‬
‫תרגיל ‪ .2‬הוכח את א בשביל משוואה לינארית הומוגנית מסדר ראשון‪.‬‬
‫)זה יספיק! דרך מקרה פשוט זה אפשר יהיה לראות שהטענה נכונה גם למקרים האחרים!(‬
‫ג‪ .‬המשוואה ‪ y''-10y'+25y=0‬ומשוואות דומות‬
‫אם ננסה לפתור את ‪ y''-10y'+25y=0‬בדרך שבה התחלנו את פתירת ‪ y''-5y'+6y=0‬נקבל רק את‬
‫‪ ,y=A1·e5x‬כי למשוואה הריבועית ‪ B2-10B+25=0‬יש רק פתרון אחד והוא ‪. B=5‬‬
‫אנו זקוקים לפתרון נוסף‪ ,‬כי הפתרון שכבר בידינו מכיל פרמטר יחיד ולכן אינו פתרון כללי‪.‬‬
‫איני יודע אם הרעיון לנסות את ‪ y=x·e5x‬הוא רעיון טבעי ביותר‪ ,‬אבל בדיקה תראה שהוא רעיון מוצלח‪.‬‬
‫נבדוק‪:‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪5x‬‬
‫גזירה אחת תתן שבשביל ‪ y‬זה‪ y' = e +x·5e ,‬ת וגזירה נוספת תתן ש‪.y'' = 5e +5e +x·25e -‬‬
‫נציב ונקבל ש‪-‬‬
‫‪y''-10y'+25y = ( 5e5x+5e5x+x·25e5x) - 10(e5x+x·5e5x) + 25(x·e5x) = 0·e5x+0·xe5x = 0‬‬
‫כנדרש‪.‬‬
‫על פי משפט ‪2‬א גם ‪ y=A2·xe5x‬הוא פתרון‪ ,‬ועל פי משפט ‪2‬ב גם ‪ y=A1·e5x+A2·xe5x‬הוא פתרון‪ ,‬וזה כבר‬
‫פתרון כללי‪.‬‬
‫נכליל ונקבל‬
‫משפט ‪ :3‬אם למשוואה הריבועית ‪ ax2+bx+c=0‬יש פתרון יחיד ‪, x=k‬‬
‫אז למשוואה הדיפרנצילית ‪ ay''+by'+cy=0‬הפתרון הכללי ‪.y = A1ekx+A2xekx‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫גזירה ראשונה תתן ש‪y' =A1kekx+A2ekx+A2xkekx -‬‬
‫גזירה שנייה תתן ש‪y'' = A1k2ekx+A2kekx+A2kekx+A2xk2ekx -‬‬
‫נציב באגף שמאל של המשוואה הדיפרנצילית ונקבל‬
‫= ‪ay''+by'+cy‬‬
‫= )‪= a( A1k2ekx+A2kekx+A2kekx+A2xk2ekx)+b(A1kekx+A2ekx+A2xkekx) + c( A1ekx+A2xekx‬‬
‫)‪= A1ekx(ak2+bk+c) + A2ekx(2ak+b) + A2xekx(ak2+bk+c‬‬
‫הביטוי שהמסגרת הראשונה ובמסגרת השלישית שווה ל‪ 0 -‬כי ‪ k‬הוא פתרון של ‪. ax2+bx+c=0‬‬
‫ומכיוון ש‪ x=k -‬הוא פתרון יחיד הוא מתאים לנקודת המקסימום או המינימום של הפרבולה המתאימה‪ ,‬ושם‬
‫הנגזרת מתאפסת‪ ,‬כלומר‪ ,2ax+b=0 ,‬לכן מתאפס גם הביטוי שבמסגרת האמצעית ולכן מתמלאת המשואה‬
‫הדיפרנצילית ‪. ay''+by'+cy=0‬‬
‫ד‪ .‬המשוואה ‪ y''-4y'+13y=0‬ומשוואות דומות‬
‫אם נלך בדרך שבה נקטנו מקודם וננסה לחפש פתרון מהצורה ‪ y=Aekx‬נגיע אל המשוואה‬
‫‪ . k2-4k+13=0‬למשוואה זאת אין שום פתרון ממשי‪ ,‬לכן נחפש דרך אחרת‪.‬‬
‫פתרון גרפי של משוואתנו לא נתן משהו שירמוז על נוסחה אפשרית‪ ,‬לכן ניסינו משוואות אחרות מאותו סוג‪,‬‬
‫כלומר משוואות דיפרנציליות לינאריות הומוגניות במקדמים קבועים הנותנים משוואה ריבועית ללא פתרון‬
‫ממשי; אך עם מקדמים השונים במדה ניכרת מהמקדמים שאצל זו שלא הועילה‪.‬‬
‫תוצאה מעניינת התקבלה אצל ‪ y’’-2y’+250y =0‬עם התחלה ב‪ (x,y,y’)=(0,1,0) -‬והרי היא לפניכם‪:‬‬
‫‪27‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫בגלל נקודת ההתחלה שבחרנו עובר‬
‫הגרף דרך )‪ , (x,y)=(0,1‬והוא‬
‫דומה לגרף הקוסינוס גם בזה שהוא‬
‫מתנודד בתנודות בעלות רוחב קבוע‪.‬‬
‫אך משרעת התנודות אינה קבועה‪,‬‬
‫ונקודות המקסימום )והמינימום(‬
‫נראות כאילו הן על גרף של‬
‫פונקציה מעריכית ‪.ekx‬‬
‫לאור זה עולה ההשערה שהפתרון‬
‫הוא מהצורה‬
‫)‪. y = ekxcos(mx‬‬
‫ניגש אפוא לבדוק אם אמנם יש ‪ k‬ו‪-‬‬
‫‪ m‬כאלה שהפתרון המשוער אמנם‬
‫פותר את המד"ר שלנו‪.‬‬
‫)‪y’ = kekxcos(mx) - mekxsin(mx‬‬
‫נגזור‪:‬‬
‫‪2 kx‬‬
‫‪kx‬‬
‫‪kx‬‬
‫‪2 kx‬‬
‫)‪y’’ = k e cos(mx)-km e sin(mx) - km e sin(mx)-m e cos(mx‬‬
‫נגזור שנית‪:‬‬
‫) )‪(k2ekxcos(mx)-km ekxsin(mx) - km ekxsin(mx)-m2ekxcos(mx‬‬
‫נציב במד"ר‪:‬‬
‫‪kx‬‬
‫‪kx‬‬
‫‪kx‬‬
‫‪-2(ke cos(mx) - me sin(mx)) + 250 e cos(mx) =0‬‬
‫נחלק בגורם המשותף ‪) ekx‬תמיד חיובי( ונפריד סינוסים וקוסינוסים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos(mx)(k –m -2k+250) + sin(mx)( -2km+2m) = 0‬‬
‫כדי שהחלק הסינוסי יתאפס צריך להיות ‪ . k=1‬נציב בחלק הקוסינוסי ונקבל ‪ 1-m2-2+250=0‬לכן לתפקיד‬
‫‪ m‬יתאימו ‪ 249‬ו‪ , - 249 -‬ומכיוון ש‪ cos(- 249 x) = cos( 249 x ) -‬לא חשוב במי מהם נבחר‪.‬‬
‫קיבלנו אפוא את הפתרון )‪.y = excos( 249 x‬‬
‫פתרון זה אינו פתרון כללי למשוואתנו‪ .‬נקדים ונאמר שהפתרון הכללי הוא‬
‫)‪y = A1excos( 249 x) +A2exsin( 249 x‬‬
‫לאור משפט ‪ 2‬שלעיל כל מה שעלינו להראות הוא ש‪ y = exsin( 249 x) -‬הוא פתרון‪.‬‬
‫תרגיל ‪ .3‬הראה זאת!‬
‫הגיע הזמן לחזור אל המשוואה ‪. y''-4y'+13y=0‬‬
‫האם גם למשוואה זאת פתרון מהצורה )‪ y = e cos(mx‬או מהצורה )‪ y = e sin(mx‬או צירוף שלהן?‬
‫הבה נבדוק את האפשרות )‪. y = ekxcos(mx‬‬
‫שלב הגזירות יהיה בדיוק כמו מקודם‪ .‬נציב במשוואתנו ונקבל‬
‫‪2 kx‬‬
‫‪kx‬‬
‫‪kx‬‬
‫) )‪(k e cos(mx)-km e sin(mx) - km e sin(mx)-m2ekxcos(mx‬‬
‫‪-4(kekxcos(mx) - mekxsin(mx)) + 13 ekxcos(mx) =0‬‬
‫נחלק ב‪) ekx‬תמיד חיובי( ונפריד סינוסים וקוסינוסים כמו שעשינו לעיל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos(mx)(k –m -4k+13) + sin(mx)( -2km+4m) = 0‬‬
‫כדי שהחלק הסינוסי יתאפס צריך להיות ‪ . k=2‬נציב בחלק הקוסינוסי ונקבל ‪ 4-m2-8+13=0‬לכן לתפקיד‬
‫‪ m‬יתאים הפעם ‪ , 3‬והפתרון יהיה )‪. y = e2xcos(3x‬‬
‫‪kx‬‬
‫‪kx‬‬
‫בדיקה דומה לזו שביקשנו בתרגיל ‪ 3‬תראה שגם )‪ y = e2xsin(3x‬הוא פתרון‪ ,‬ומכאן הפתרון הכללי‬
‫)‪. y = A1e2xcos(3x)+ A2e2xsin(3x‬‬
‫‪28‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫מן המקרים הפרטיים נעבור למשפט כללי‬
‫משפט ‪ :4‬אם ‪) b2-4ac<0‬כך זה כאשר למשוואה הריבועית ‪ ax2+bx+c=0‬אין פתרון ממשי(‬
‫‪2‬‬
‫ואם נסמן ‪ k= -b‬ו‪m= -b +4ac -‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪2a‬‬
‫אז למשוואה הדיפרנצילית ‪ ay''+by'+cy=0‬הפתרון הכללי‬
‫)‪y = A1ekx cos(mx)+A 2e kx sin(mx‬‬
‫בעיה‪ :‬מצא פתרון פרטי של ‪ y''-6y'+25=0‬בשביל תנאי ההתחלה ‪ y(0)=-3‬ו‪y'(0)=-1 -‬‬
‫)בלשונה של ‪ yo=-3 ,x0=0 :DifEq2‬ו‪.( zo=-1 -‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נננסה פתור את המשוואה הריבועית ‪ x2-6x+25=0‬ונקבל שאין לה פתרון ממשי‪ ,‬לכן משפט ‪ 4‬הוא המשפט‬
‫המתאים לפתרונה‪.‬‬
‫בסימון שבמשפט זה ‪ k= 6 =3‬ו‪ m= -36+100 =4 -‬לכן הפתרון הכללי הוא‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. y = A1e3xcos 4x + A2e3xsin 4x‬‬
‫‪.-3 = A1e0cos 0 + A2e0sin 0 = A1·1·1+A2·1·0 = A1‬‬
‫מתנאי ההתחלה ‪ y(0)=-3‬נקבל‬
‫‪3x‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪y' = A1·3e cos 4x - A1·4e sin 4x + A2·3e sin 4x + A2·4e3xcos 4x‬‬
‫נגזור‪:‬‬
‫‪-1 = 3A1+4A2‬‬
‫ומתנאי ההתחלה ‪) y'(0)=-1‬והשוויונות ‪ e0 = cos 0 = 1‬ו‪ ( sin 0 = 0 -‬נקבל‬
‫‪-1 = -9+4A2‬‬
‫לכן‬
‫‪A2 =2‬‬
‫לכן‬
‫‪. y = -3e3xcos 4x + 2e3xsin 4x‬‬
‫והפתרון הפרטי המבוקש הוא‬
‫תרגיל ‪ . 4‬מצא פתרון כללי לכל אחת מהמשוואות הדיפרנציליות הבאות‪ ,‬ואם נתונים תנאי התחלה מצא גם‬
‫פתרון פרטי מתאים‪.‬‬
‫א‪ . y''=y .‬א‪:1‬תנאי ההתחלה הם ‪ y(0)=1‬ו‪ .y'(0)=0 -‬א‪:2‬תנאי ההתחלה הם ‪ y(0)=1‬ו‪.y'(0)=1 -‬‬
‫ב‪ . y''=-2y'+3y .‬תנאי ההתחלה הם ‪ y(0)=1‬ו‪.y'(0)=2 -‬‬
‫ג‪ . y''+3y'-4y=0 .‬תנאי ההתחלה הם ‪ y(1)=1‬ו‪.y'(1)=200 -‬‬
‫ד‪. y''+6y'+9y=0 .‬‬
‫ה‪ .y''-4y'+5=0 .‬תנאים‪ y(1)=3 :‬ו‪) . y(-1)=1 -‬אלה אינם תנאי התחלה‪ .‬פתור בדיוק של ‪ 4‬ספרות אחרי‬
‫הנקודה העשרונית‪(.‬‬
‫תרגיל ‪ .5‬לשתי המשוואות הבאות פתרונות ידועים ומוכרים‪ .‬פתור אותן כעת לפי משפט ‪ 3‬ומשפט ‪.4‬‬
‫א‪y''=0 .‬‬
‫ב‪y''=-4y .‬‬
‫* נספח ‪ :‬פתירת הבעיה שפתרונה הודגם לעיל )מציאת פתרון פרטי של ‪y''-6y'+25=0‬‬
‫בשביל תנאי ההתחלה ‪ y(0)=-3‬ו‪ ( y'(0)=-1 -‬בעזרת מספרים מרוכבים ‪.‬‬
‫בתחום המספרים המרוכבים יש פתרונות למשוואה ‪ x2-6x+25=0‬והם ‪ 3+4i‬ו‪ 3) . 3-4i -‬ו‪ 4-‬הופיעו גם‬
‫בדרך הפתירה בקודמת‪(.‬‬
‫עיון בהוכחתו של משפט ‪ 1‬יראה שהוא בתוקף גם בשביל מספרים מרוכבים ומכאן הפתרון הכללי המרוכב‬
‫‪y = C1e(3+4i)x+C2e(3-4i)x‬‬
‫‪-3 = C1+C2‬‬
‫מתנאי ההתחלה ‪ y(0)=-3‬נקבל ‪ ,-3 = C1e0+C2e0‬כלומר‪,‬‬
‫נגזור‪ y' = C1(3+4i)e(3+4i)x+C2(3-4i)e(3-4i)x :‬ומתנאי ההתחלה ‪ y'(0)=-1‬נקבל‬
‫‪29‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫)‪-1 = C1(3+4i)+C2(3-4i‬‬
‫קבלנו אפוא מערכת משוואות בנעלמים המרוכבים ‪ C1‬ו‪.C2 -‬‬
‫)‪8+12i = C2· (-8i‬‬
‫נכפול את המשוואה הראשונה ב‪ , -3-4i -‬נחבר למשוואה השניה ונקבל‬
‫‪C2= (8+12i)/(-8i) = -1.5+i‬‬
‫ומכאן‬
‫‪C1=-3-(-1.5+i) = -1.5-i‬‬
‫נציב במשוואה הראשונה ונקבל‬
‫והפתרון הפרטי של משוואתנו הדיפרנצילית הוא ‪. y = (-1.5-i)e(3+4i)x+(-1.5+i)e(3-4i)x‬‬
‫= ‪(-1.5-i)e(3+4i)x+(-1.5+i)e(3-4i)x‬‬
‫החישוב הבא ייתן לפתרון צורה ממשית‪:‬‬
‫= )‪= (-1.5-i)e3x(cos 4x +i·sin 4x) + (-1.5+i)e3x(cos -4x +i·sin -4x‬‬
‫‪= -3e3xcos 4x+2e3xsin 4x‬‬
‫וזה הפתרון שקבלנו גם בדרך הראשונה‪.‬‬
‫ומשבאנו לכך הרי מסלול "מרוכב" אל משפט ‪:4‬‬
‫נגיע אל פתרון מרוכב אחד ‪) y=e(k+im)x‬למשל‪ ,‬כמקרה פרטי של הפתרון המרוכב הכללי(‬
‫נפתח‪y = ekx(cos mx + i·sin mx) :‬‬
‫גם החלק הממשי של הפתרון הזה וגם חלקו הדמיוני הם פתרונות למשוואתנו )כי היא ממשית(‪ ,‬ומכאן שני‬
‫פתרונות‪ y = ekxcos mx :‬ו‪ y = ekxsin mx -‬ומשפט ‪ 4‬יתקבל כצירוף שלהם לפי משפט ‪. 2‬‬
‫)‪ (9‬משוואות דיפרציליות לינאריות לא‪-‬הומוגניות במקדמים קבועים‬
‫א‪ .‬הרכב הפיתרון הכללי‬
‫בגלל הקשר החזק שבין סעיף זה ובין הסעיף הקודם נמספר את המשפטים שכאן כהמשך למספרי המשפטים‬
‫ששם‪.‬‬
‫משפט ‪.5‬‬
‫אם )‪ y=g1(x‬הוא פתרון של המשוואה הלינארית הלא הומוגנית )‪ay''+by'+cy = f(x‬‬
‫‪ay''+by'+cy = 0‬‬
‫ואם )‪ y=g2(x‬הוא פתרון של המשוואה ההומוגנית המתאימה‬
‫אז )‪ y=g1(x)+g2(x‬הוא פתרון של המשוואה הלא הומוגנית‪.‬‬
‫ההוכחה מתקבלת מהוכחת משפט ‪2‬ב על‪-‬ידי החלפת ה‪ " = 0+0 = 0 " -‬שבסופה ב‪" = f(x)+0 = f(x) " -‬‬
‫נציין שהמשפט והוכחתו הם בתוקף גם כאשר ‪ ,a=0‬כלומר‪ ,‬גם למשוואה מסדר ראשון‪.‬‬
‫משפט זה היה יכול לחסוך לנו קצת עבודה כאשר חיפשנו בסעיף הראשון של פרקנו פתרון כללי למשוואה‬
‫‪ .y'=x+2y+3‬זו משוואה לינארית לא הומוגנית כי ניתן לכתוב אותה בצורה ‪. y' -2y = x+3‬‬
‫מהלך הדברים שם היה כזה‪ :‬בשלב א מצאנו פתרון פרטי ‪ .y = -0.5x - 1.75‬בשלב ב התבוננו בגרפים‪,‬‬
‫לאור מה שראינו חיפשנו פתרון כללי מהצורה ‪ ,y = -0.5x - 1.75 + AeBx‬ועל‪-‬ידי גזירה‪ ,‬הצבה והתאמת‬
‫מקדמים קיבלנו‬
‫‪.y = -0.5x - 1.75 + Ae2x‬‬
‫לפי משפטנו החדש יכולנו להחליף את שלב ב במהלך הבא‪:‬‬
‫נעבור מהמשוואה הדיפרנצילית הלא הומוגנית אל המשוואה ההומוגנית המתאימה ‪ ,y'-2y=0‬או ‪.y'=2y‬‬
‫פתרון מיידי שלה הוא ‪ ,y=e2x‬ולפי משפט ‪2‬א גם ‪ y=Ae2x‬הוא פתרון של המשוואה ההומוגנית‪.‬‬
‫לפי המשפט החדש נוכל לחבר לפתרון זה של המשוואה ההומוגנית את הפיתרון ‪ y = -0.5x - 1.75‬של‬
‫המשוואה הבלתי‪-‬הומוגנית‪ ,‬ולקבל שגם ‪ y = -0.5x - 1.75 + Ae2x‬הוא פתרון של משוואתנו הלא‪-‬‬
‫הומוגנית‪.‬‬
‫פתרון זה הוא פתרון כללי כי המשוואה היא מסדר ראשון ופתרוננו מכיל פרמטר אחד ‪.A‬‬
‫‪30‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫בעקבות המשפט והדוגמה ננסח כלל‪ :‬למציאת פתרון כללי בשביל משוואה דיפרנצילית לינארית לא הומוגנית‬
‫יש למצוא לה פתרון פרטי אחד ולחברו לפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה‪.‬‬
‫ב‪ .‬משואה לינארית עם שוויון לפולינום‬
‫תרגיל ‪ .1‬מצא פתרון כללי למשוואה ‪. y''-5y'+6y = 12x2+18‬‬
‫הנחייה‪ :‬את המשוואה ההומוגנית המתאימה פתרנו בתחילת הסעיף הקודם‪ .‬חפש בשביל המשוואה הלא‪-‬‬
‫הומוגנית פתרון פרטי שצורתו ‪. y = αx2+βx+γ‬‬
‫אחרי הפתירה חשוב על השאלה כיצד ידעתי להציע לחפש פתרון פרטי בעל הצורה הזאת‪.‬‬
‫תרגיל ‪.2‬‬
‫א‪ .‬מצא פתרון כללי למשוואה ‪2y'+3y = 9x3-6x2+7x+5‬‬
‫למציאת הפתרון פרטי נסה ‪. y = αx3+βx2+γx+δ‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬שער ובדוק מה יקרה אם תנסה פתרון פרטי מהצורה ‪ y = αx +βx+γ‬ומה יקרה אם תנסה‬
‫‪. y = αx4+βx3+γx2+δx+ε‬‬
‫תרגיל ‪ .3‬מצא פתרון כללי לכל אחת מהמשוואות הדיפרנציליות הבאות‪.‬‬
‫א‪y''+3y'+2y = 4x3-3x2+2x-1 .‬‬
‫ב‪y''-2y'+y = 3 .‬‬
‫ג‪y'-4y = 8x2 .‬‬
‫ד‪5y''-2y'+y = (x-2)2 .‬‬
‫* תרגיל ‪ .4‬מצא פתרון כללי ל‪. y''-5y' = x+1 -‬‬
‫ג‪ .‬ניחוש פתרון פרטי מסוגו של האיבר החופשי )‪f(x‬‬
‫הדרך שבה פתרנו את המשוואות מהצורה )‪ ay''+by'+cy = f(x‬עם )‪ f(x‬פולינומילי‪ ,‬הסתמכה על זה שאם ‪S‬‬
‫היא משפחת הפולינומים ב‪ x -‬ממעלה ‪ m‬כלשהי ומטה‪ ,‬אז נגזרת של פונקציה מ‪ S -‬שייכת ל‪ ,S -‬מכפלת‬
‫פונקציה מתוך ‪ S‬במספר קבוע שייכת ל‪ S -‬וסכום שתי פונקציות מ‪ S -‬שייך ל‪ .S -‬בלשון קצרה אומרים זאת‬
‫כך‪ S :‬סגורה ביחס לגזירה‪ ,‬לכפל בקבוע ולחיבור‪.‬‬
‫משפחת פונקציות אחרת‪ ,‬שגם היא סגורה ביחס לגזירה‪ ,‬לכפל במספר קבוע ולחיבור‪ ,‬כוללת את כל‬
‫‪kx‬‬
‫הפונקציות שצורתן ‪ , Ae‬עם ערכים שונים בשביל ‪ A‬אך עם ערך ‪ k‬אחד המשותף לכל איברי המשפחה‪.‬‬
‫‪4x‬‬
‫נדגים זאת בזה שנגזור‪ ,‬נכפול בקבוע ונחבר פונקציות מהצורה ‪ Ae‬ונראה שבכל מקרה מתקבלת פונקציה‬
‫מאותה צורה‪.‬‬
‫‪4x‬‬
‫א‪(5e )' = 20e4x .‬‬
‫ב‪7·3e4x = 21e4x .‬‬
‫‪4x‬‬
‫ג‪8e + 2e4x = 10e4x .‬‬
‫משפחה נוספת הסגורה כנ"ל היא משפחת הפונקציות מהצורה ‪ A·cos ωx + B·sin ωx‬עם ‪ A‬ו‪ B -‬קבועים‬
‫כלשהם אך עם אותו ‪.ω‬‬
‫בדוגמה הבאה נפתור את המשוואה ‪ ,y''-5y'+6y = 2·cos 3x‬ונראה שלפונקציות מהצורה‬
‫‪31‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫‪ A·cos 3x + B·sin 3x‬יהיה כאן תפקיד דומה לזה שהיה לפונקציות מהצורה ‪ αx2+βx+γ‬בפתרון‬
‫המשוואה‬
‫‪) y''-5y'+6y = 12x2+18‬תרגיל ‪.(1‬‬
‫נזכיר שלמשוואה ההומוגנית המשותפת לתרגיל ‪ 1‬ולדוגמה הנוכחי הפתרון כללי ‪ y = A1e2x+A2e3x‬והוא‬
‫אינו לא מהצורה ‪ A·cos 3x + B·sin 3x‬ולא מהצורה ‪. αx2+βx+γ‬‬
‫ובכן‪ ,‬נחפש למשוואתנו הלא הומוגנית פתרון כלשהו מהצורה ‪. y = A·cos 3x + B·sin 3x‬‬
‫נגזור‪ y' = -3A·sin 3x + 3B·cos 3x :‬ו‪y'' = -9A·cos 3x - 9B·sin 3x -‬‬
‫נציב במשוואה הדיפרנצילית ונקבל שאנו זקוקים ל‪ A -‬ו‪ B -‬הממלאים‬
‫‪(-9A·cos 3x - 9B·sin 3x) - 5(-3A·sin 3x + 3B·cos 3x) + 6(A·cos 3x + B·sin 3x) = 2·cos 3x‬‬
‫נפריד את המחוברים המכילים קוסינוס מחבריהם המכילים סינוס ונקבל‬
‫‪(-9A-15B+6A)cos 3x + (-9B+15A+6B)sin 3x = 2·cos 3x‬‬
‫וזה יתמלא אם נמצא ‪ A‬ו‪B -‬כאלה ש‪-3A - 15B = 2 -‬‬
‫ו‪. 15A - 3B = 0 -‬‬
‫פתרון שתי המשוואות יתן ‪ A = -2/78‬ו‪B = -10/78 -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫מכאן פתרון אחד למשוואה הדיפרנצילית‪ ,‬והוא ‪y = - cos3x - sin 3x‬‬
‫‪78‬‬
‫‪78‬‬
‫והפתרון הכללי הוא‬
‫‪. y = - 2 cos3x - 10 sin 3x + A1e2x+A2e3x‬‬
‫‪78‬‬
‫‪78‬‬
‫הבה נכליל‪:‬‬
‫תהי נתונה המשוואה )‪ ay''+by'+cy = f(x‬עם ‪ b ,a‬ו‪ c -‬קבועים‪ .‬אם נציב במקום ‪ y‬פונקציה ממשפחת‬
‫פונקציות הסגורה ביחס לגזירה‪ ,‬לכפל בקבוע ולחיבור‪ ,‬נקבל במקום ‪ ay''+by'+cy‬פונקציה שגם היא מאותה‬
‫משפחה‪ .‬אם נוסחת הפונקציה שהצבנו מכילה פרמטרים‪ ,‬ואם )‪ f(x‬גם היא מאותה משפחה‪ ,‬אז יש סיכוי טוב‬
‫לכך שבחירה מתאימה של ערכים בשביל הפרמטרים תתן )באגף שמאל( ביטוי השווה ל‪ ,f(x) -‬וכך נקבל‬
‫פתרון אחד למשוואתנו‪.‬‬
‫הערה לשונית‪ :‬למונחים "משפחת פונקציות" ו‪"-‬קבוצת פונקציות" אותה משמעות‪ .‬כאן בחרנו ב‪"-‬משפחה"‬
‫משום שמי שנולד במשפחה שייך למשפחה‪ .‬הנטייות הלשוניות שלי אינן מחייבות את שאר העולם‪.‬‬
‫תרגיל ‪ .5‬מצא פתרון פרטי אחד לכל אחת מהמשוואות הדיפרנציליות הבאות‪ ) .‬המשוואות ההומוגניות‬
‫המתאימות שוות לאלה שבתרגיל ‪(.3‬‬
‫א‪y''+3y'+2y = 100e4x .‬‬
‫ב‪y''-2y'+y = 10e-x.‬‬
‫ג‪y'-4y = 17sin x .‬‬
‫ד‪5y''-2y'+y = 4·cos πx - 7·sin πx .‬‬
‫ד‪ .‬אם האיבר החופשי )‪ f(x‬פותר את המשוואה ההומוגנית‬
‫כבר ראינו שפתירתה של משוואה דיפרנצילית לא הומוגנית כוללת שני חלקים‪ ,‬מציאת פתרון כללי למשוואה‬
‫ההומוגנית ומציאת פתרון פרטי אחד למשוואה הלא הומוגנית‪ .‬מומלץ לבצע את החלק הראשון תחילה‪ ,‬כי אם‬
‫יתברר שמשפחתו של האיבר החופשי )‪ f(x‬פותרת את המשוואה ההומוגנית אז יהיה צורך לשנות את דרך‬
‫מציאתו של פתרון למשוואה הלא הומוגנית‪ .‬השינוי )שנפרטו להלן( ידָרש כי במקרה כזה‪ ,‬אם נציב בחלק‬
‫ההומוגני )אגף שמאל( את הביטוי הכללי בשביל משפחתו של )‪ ,f(x‬נקבל ‪ ,0‬ושום בחירה של ערכים בשביל‬
‫הפרמטרים לא תוכל לתת את האיבר החופשי )‪.f(x‬‬
‫‪32‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫במקרה כזה מוצע לכפול ב‪ x -‬את נוסחת הצורה הכללית של משפחתו של )‪) f(x‬ואם גם זה פותר את‬
‫המשוואה ההומוגנית ‪ -‬כפול ב‪ .( x2 -‬הדוגמה הבאה תראה מדוע זה יכול לעזור‪.‬‬
‫ובכן‪ ,‬תהי נתונה המשוואה ‪. y''-5y'+6y = 7·e3x‬‬
‫כבר ראינו שהפתרון הכללי למשוואה ההומוגנית המתאימה הוא ‪ , y = A1e2x + A2e3x‬לכן הצבת ‪y =Ae3x‬‬
‫ב‪ y''-5y'+6y -‬תתן ‪.0‬‬
‫ננסה אפוא פתרון שצורתו ‪.y =Axe3x‬‬
‫‪. y' = Ae3x + 3Axe3x‬‬
‫נגזור‪:‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪3x‬‬
‫נגזור שנית‪y'' =3Ae + 3Ae +9Axe = 6e + 9Axe :‬‬
‫)הביטויים שמהם נפל ה‪ x-‬בעקבות הגזירה סומנו בקו‪-‬כפול‪ ,‬ואילו חבריהם שבהם נותר ‪ x‬על כנו סומנו‬
‫בנקודות(‬
‫נציב ונמצא שאנו זקוקים לערך‪ A -‬שימלא‬
‫‪(6Ae3x + 9Axe3x) – 5(Ae3x+3Axe3x) + 6Axe3x = 7e3x‬‬
‫המחוברים הנקודים מסתכמים ל‪) 0 -‬מדוע היה זה צפוי מראש?(‪ ,‬ומכאן המשוואה ‪6Ae3x-5Ae3x = 7e3x‬‬
‫לכן ‪. A = 7‬‬
‫פתרון פרטי למשוואתנו הוא אפוא ‪ y = 7xe3x‬והפתרון הכללי הוא ‪. y = A1e2x + A2e3x + 7xe3x‬‬
‫תרגיל ‪ .6‬פתור את המשוואות הדיפרנציליות הבאות‪:‬‬
‫א‪y'-y/2 = 3ex/2 .‬‬
‫)פתרונה של המשוואה ההומוגנית הוא ‪(.y=A1·e5x+A2·xe5x‬‬
‫ב‪y''-10y'+25y=8e5x .‬‬
‫)ההסברים שלעיל לא אומרים במפורש מה לעשות במקרה כזה‪(.‬‬
‫ג‪y''-10y'+25y=18xe5x .‬‬
‫ד‪y''+8y'+20y = e4x·sin 2x .‬‬
‫ה‪ .‬משוואה עם איבר חופשי )‪f(x) = f1(x)+f2(x‬‬
‫להדגמת דרך הטיפול במשוואות מסוג זה נוכל להסתפק בדוגמה מסדר ראשון‪ ,‬והיא‬
‫)‪.y' + 3y = 15e2x + (6x - 1‬‬
‫הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה הוא ‪ .y = Ae-x/3‬את מציאתו של פתרון פרטי למשוואה‬
‫הלא הומוגנית נבצע בשתי שיטות שונות‪ .‬החישובים בשתי השיטות יהיו דומים מאד זה לזה‪ ,‬אך כל אחת מהן‬
‫תשמש‪ ,‬בהמשך‪ ,‬בסיס להרחבה בכיוון אחר‪.‬‬
‫מציאת משפחת פונקציות חדשה הסגורה ביחס לגזירה‪ ,‬לכפל בקבוע ולחיבור‬
‫משפחה מתאימה הכוללת את )‪ 15e2x + (6x - 1‬היא משפחת הפונקציות מהצורה )‪) . Ae2x + (Bx + C‬אם‬
‫אינך רואה מיד שלמשפחה זאת התכונות הדרושות תוכל להווכח בזאת בהמשך הפתירה‪(.‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪2Ae + B +3(Ae2x + Bx + C) = 15e2x +‬‬
‫ננסה אפוא ‪ .y =Ae2x + Bx + C‬נגזור‪ ,‬נציב ונקבל‬
‫‪6x - 1‬‬
‫וזה יתמלא אם נקח ‪ B=2 , A=3‬ו‪.C=-1 -‬‬
‫מכאן פתרון פרטי ‪ y = 3e2x + 2x - 1‬והפתרון הכללי הוא ‪.y =Ae-x/3 +3e2x + 2x - 1‬‬
‫הפרדת המשוואה והרכבת הפתרונות‬
‫נחפש פתרונות )פרטיים( לכל אחת משתי המשוואות הנפרדות ‪ y' + 3y = 15e2x‬ו‪.y' + 3y = 6x - 1 -‬‬
‫למשוואה הראשונה ננסה ‪ y = Ae2x‬ונקבל את הפתרון ‪ .y = 3e2x‬למשוואה השניה ננסה ‪ y = Bx+C‬ונקבל‬
‫‪.y = 2x-1‬‬
‫בדיקה )שתוצאותיה ברורות מראש( תראה שהסכום ‪ y = 3e2x + 2x - 1‬פותר את ‪y' + 3y = 15e2x + (6x‬‬
‫)‪- 1‬‬
‫‪-x/3‬‬
‫‪2x‬‬
‫והפתרון הכללי הוא‪ ,‬כמקודם‪.y =Ae +3e + 2x - 1 ,‬‬
‫‪33‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫משפט ‪) .6‬עקרון ההרכבה(‬
‫אם )‪ y=g1(x‬הוא פתרון של )‪ ay''+by'+cy = f1(x‬ו‪ y=g2(x) -‬הוא פתרון של )‪ay''+by'+cy = f2(x‬‬
‫אז )‪ y=g1(x)+g2(x‬הוא פתרון של )‪. ay''+by'+cy = f1(x)+f2(x‬‬
‫משפטנו כולל בתוכו את משפט ‪2‬ב ואת משפט ‪ .5‬משפט ‪ 5‬מתקבל ממשפטנו כאשר )‪ f2(x‬הוא ‪) 0‬ו‪f1(x) -‬‬
‫מסומן )‪ (f(x‬ומשפט ‪2‬ב מתקבל כאשר גם )‪ f1(x‬הוא ‪.0‬‬
‫הוכחת משפטנו מתקבלת מהוכחת ‪2‬ב על‪-‬ידי החלפת הביטוי "‪ "= 0 + 0 = 0‬ב‪. "=f1(x)+f2(x)" -‬‬
‫תרגיל ‪ .7‬מוצע לפתור תרגיל ארוך זה בצוות בן חמישה חברים‪ .‬חבר "הומוגני"‪ ,‬חבר "סינוס‪-‬קוסינוס"‪ ,‬חבר‬
‫"פולינומילי" ושני חברים "מעריכיים"‪.‬‬
‫מצאו פתרון כללי למשוואה‬
‫‪. 2y'' - 3y' + 5y/2 = 3ácos 2x -4ásin 2x - 5e3x + 7e-2x + x2 -3x‬‬
‫ו‪ .‬עוד פשפחות סגורות‬
‫תרגיל ‪ .8‬להלן שבע משפחות‪-‬פונקציות המיוצגות על‪-‬ידי נוסחאות כלליות בשביל איבריהן‪ .‬אחת מהן אינה‬
‫סגורה ביחס לכפל בקבוע ולחיבור‪ .‬מצא אותה‪ .‬שתים מהן אינן סגורות ביחס לגזירה‪ .‬מצא אותן‪.‬‬
‫א‪Ax·e5x+B·e5x .‬‬
‫ב‪Ax2·e5x+Bx·e5x+C·e5x .‬‬
‫ג‪Ax+3 .‬‬
‫ד‪Ax·cos 3x + B·cos 3x + Cx·sin 3x+ D·sin 3x .‬‬
‫ה‪A/x .‬‬
‫ו‪Aex+Be2x+C .‬‬
‫ז‪e2x(A cos 10x + B sin 10x) .‬‬
‫תרגיל ‪. 9‬‬
‫א‪ .‬פתור את המשוואה ‪y'+2y = 3ex sin x‬‬
‫ב‪ .‬פתור את המשוואה ‪2y''-3y'-2y =3x2e-x‬‬
‫ג‪ .‬פתור את המשוואה ‪) y' = -9x·sin 4x‬מציאת אנטי‪-‬נגזרת אינה אלא פתירת משוואה דיפרנצילית מסוג‬
‫מסוים‪(.‬‬
‫ז‪ .‬צניחה במצנח‬
‫אסיים בתת‪-‬סעיף קטן לכבוד חברי הצנחנים וחברי הפיזיקאים‪.‬‬
‫בתת‪-‬סעיף זה יהיה ציר ‪ y‬ניצב לפני הקרקע וערכי‪ y -‬יבטאו מטרים‪ ,‬והמשתנה החופשי יהיה הזמן ‪ t‬שימדד‬
‫בשניות‪.‬‬
‫ציר ‪ x‬לא יעסיק אותנו כי נתרכז ברכיב האנכי של התנועה‪ ,‬והכוחות שבהם נעסוק יהיו כאלה שרכיב‪y -‬‬
‫שלהם אינו קשור ברכיב‪ x -‬של התנועה‪.‬‬
‫פיזיקאים מסמנים נגזרת‪-‬לפי‪ t-‬בנקודה מעל הגודל הנגזר ) &‪ g‬פירושו ‪ . g’t‬נגזרתו מסומנת &‪. ( &g‬‬
‫&& ‪ .‬אם נביא‬
‫לגוף הנופל נפילה חפשית בקרבת פני כדור הארץ התאוצה ‪ -9,8 m/s2‬בקירוב כלומר‪y=-9.8 ,‬‬
‫&‬
‫&& עם ‪. b>0‬‬
‫בחשבון גם את התנגדות האויר‪ ,‬שהיא פרופורציונית למהירות &‪ , y‬יהיה‬
‫‪y = -by-9.8‬‬
‫בשביל צנחן במשקל בינוני הצונח בעזרת מצנח רגיל יהיה ‪) b=1.3‬כשהמצנח כבר פתוח(‪ .‬המשוואה‬
‫הדיפרנצילית של הצניחה היא אפוא ‪. &&y +1.3y& = -9.8‬‬
‫תרגיל ‪.10‬‬
‫א‪ .‬פתור את המשוואה הדיפרנצילית של הצניחה‪.‬‬
‫ב‪ .‬לאיזה גבול מתקרבת מהירותו של הצנחן?‬
‫ג‪ .‬מאיזה גובה צריך אדם לקפוץ ללא מצנח )כלומר‪ ,‬עם ‪ (b=0‬כדי שיגיע לקרקע במהירות של צנחן ?‬
‫‪34‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫פתרונות‬
‫לסעיף ‪1‬‬
‫‪ .1‬כי הפעם צריך לעצור גם כשהשרטוט מגיע לקצה השמאלי‪.‬‬
‫‪.2‬א‪ .‬שורה ב תהיה ) ‪ CALL axes(-6,4,-10,20‬ושורה יג תהיה ‪. LOOP until x>4 or x<-6‬‬
‫ב‪ .‬שורות ו ו‪-‬ז יהיו ‪ LET x=0‬ו‪. LET y=2 -‬‬
‫הגרף יהיה אותו גרף אלא שהתנועות ימינה ושמאלה תתחלנה מהנקודה )‪.(0,2‬‬
‫ג‪ .‬הדבר יגרום לכך שבצד ימין "יברח" הגרף כלפי מטה‪) .‬בצד ימין יגרמו ההבדלים הקטנים להבדלים‬
‫גדלים והולכים ואילו בצד שמאל יקטנו ההבדלים‪ .‬הסיבה לכך תעלה בהמשך הלימוד והיא אינה משהו כללי‪(.‬‬
‫ד‪ .‬שינוי גם בשורה י ‪LET Dy = 0.5*y*Dx :‬‬
‫לסעיף ‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a+x‬‬
‫‪ .1‬נגזור את ‪ f(x)=e‬ונקבל שהיא ממלאת ‪ . y’=1y‬נציב ונקבל ש‪ . f(0)=e -‬המשפט האחרון )ההפוך(‬
‫נותן את המבוקש‪.‬‬
‫‪ .2‬ארבעת הגרפים מתקבלים זה מזה על‪-‬ידי הזזות ימינה או שמאלה‪ .‬זה אומר שבנקודות בעלות אותו ערך ‪y‬‬
‫יש לארבעת הגרפים שיפועים שוים‪ .‬מכאן שבארבעתם תלוי ’‪ y‬ב‪ y-‬באותו אופן )ואינו תלוי ב‪.(x-‬‬
‫ה מתקבל מ‪-‬א על‪-‬ידי שיקוף בציר ‪ .x‬מכאן שלאותו ערך ‪ x‬יש ל‪-‬א ול‪-‬ה ערכי ‪ y‬נגדיים ושיפועים )=ערכי‬
‫’‪ (y‬נגדיים‪ .‬במלים אחרות‪ ,‬כפל ‪ y‬ב‪ -1 -‬גורם גם ל‪ y’ -‬להכפל ב‪. -1 -‬‬
‫הקשר שבין ה ו‪-‬ו דומה לקשר שבין א ו‪-‬ב‪ ,‬ג או ד ‪.‬‬
‫הצבת ‪ x=0‬ב‪ 2ex -‬נותנת ‪ 2‬לכן הגרף הוא ב‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ובדרך דומה‪ ,‬ג הוא הגרף של ‪ 10ex‬ו‪-‬ו הוא של ‪. -3e‬‬
‫‪ k .3‬הוא השיפוע בנקודה שבה ‪ .y=1‬ל‪-‬ג יש שם שיפוע שלילי‪ .‬ל‪-‬ד השיפוע החיובי הקטן ביותר‪.‬‬
‫‪ .4‬ג‪ ,‬ד‪ ,‬ה‪ ,‬ב‪.‬‬
‫אפשר למצוא גאת הן לפי נקודות החיתוך עם ציר ‪ y‬והן לפי קצב "הבריחה" מציר ‪. x‬‬
‫‪ .5‬התוכנית מחשבת את כל ‪ ∆y‬לפי השיפוע ’‪ y‬שבתחילת כל קטע ‪ ,∆x‬ולא מתחשבת בזה ש‪ y’-‬עולה‬
‫במקצת גם בתוך הקטע‪.‬‬
‫‪LET Dx=-0.00001‬‬
‫‪DO while x>2/3‬‬
‫‪.6‬‬
‫לסעיף ‪4‬‬
‫‪(ax+b+AeBx)’ = 2x -‬‬
‫‪ .1‬צריך להתמלא‬
‫‪(ax+b+AeBx)+1‬‬
‫‪Bx‬‬
‫ ‪a+B·Ae = 2x‬‬‫כלומר‬
‫‪(ax+b+AeBx)+1‬‬
‫וזה מתמלא אם ורק אם ‪ a=-b+1 , B·AeBx=-AeBx‬ו‪0=2x-ax -‬‬
‫כלומר‪ a=2 , B=-1 ,‬ו‪. b=-1 -‬‬
‫‪. y = 2x-1+Ae-x‬‬
‫הפתרון הכללי הוא‪ ,‬אפוא‪,‬‬
‫‪-0‬‬
‫כדי ש‪ (0,1) -‬תהיה על פתרון כנ"ל צריך להתמלא ‪1 = 2·0-1+Ae‬היינו ‪ A=2‬לכן הפתרון המבוקש הוא‬
‫‪. y = 2x-1+2e-x‬‬
‫‪35‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫‪x‬‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2‬א‪y = -x -2x-2+5e .‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .4‬למשוואה ‪y' = (3y-1)/x+2x-5‬‬
‫ננסה ‪y= ax3+bx2+cx+d‬‬
‫‪3ax2+2bx+c = 3ax2 +3bx +3c +(3d-1)/x +2x-5‬‬
‫‪2b = 3b+2 ⇒ b=-2‬‬
‫‪c=3c-5 ⇒ c=2.5‬‬
‫‪3d-1=0 ⇒ d=1/3‬‬
‫‪y= ax2 -2x2+2.5x+1/3‬‬
‫ב‪y = -x -2x-2-e .‬‬
‫‪ .5‬גזירה על פי כלל‪-‬השרשרת ))‪ z=sin(x‬כפונקציה מתווכת( תתן שהצורה המשוערת היא פתרון כללי )עם‬
‫פרמטר אחד‪ ,‬בהתאם לזה שהמשוואה מסדר ראשון(‪.‬‬
‫‪sin 0‬‬
‫‪0‬‬
‫כדי שהפתרון יעבור ב‪ (0,2) -‬צריך להתמלא ‪ ,2 = Aesin 0‬ומכיוון ש‪e = e =1 -‬יהיה ‪. A=2‬‬
‫לסעיף ‪5‬‬
‫‪1‬ד פירוק לגורמים יתן את המשוואה‬
‫) ‪y’ = (x+2)(y+3‬‬
‫‪(x+2)-y’/(y+3) = 0‬‬
‫‪(x2/2+2x)-ln(y+3) = C‬‬
‫‪/2+2x-C‬‬
‫ואם נסמן את ‪ e-C‬ב‪ A-‬נקבל‬
‫‪-3‬‬
‫‪/2+2x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y+3= e x‬‬
‫‪y = Ae x‬‬
‫‪3‬א‬
‫‪y' = e2x-y‬‬
‫‪e2x-ey·y' = 0‬‬
‫‪0.5e2x - ey = C‬‬
‫‪0.5e2·0- e1 = C‬‬
‫‪C = 0.5 - e = -2.212821‬‬
‫‪0.5e2x - ey = -2.212821‬‬
‫) ‪y = ln (0.5e2x + 2.212821‬‬
‫ומכיוון שכאשר ‪ x‬שווה ל‪ 0 -‬שווה ‪ y‬ל‪,1 -‬‬
‫כלומר‪,‬‬
‫לכן‬
‫לכן‬
‫‪3‬ב‪.‬‬
‫‪4‬ב‪.‬‬
‫יהי ‪ y=xz‬ואז המשוואה תהפוך להיות‬
‫נחלק ב‪x2 -‬‬
‫נפריד משתנים‬
‫‪-2x + cos(y) ·y' = 0‬‬
‫‪-x2 + sin(y) = C‬‬
‫‪sin(y) = x2 + C‬‬
‫'‪x2 + 3xy + 2y2 = (3x2 + 2xy)y‬‬
‫)'‪x2 + 3x2z + 2x2z2 = (3x2 + 2x2z) · (z + xz‬‬
‫)'‪1 + 3z + 2z2 = (3 + 2z)(z + xz‬‬
‫'‪1 = (3 + 2z)xz‬‬
‫‪1/x -(3+2z)z' = 0‬‬
‫‪ln(x) - 3z - z2 = C‬‬
‫‪ln(x) - 3y/x - y2/x2 = C‬‬
‫‪36‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫לסעיף ‪6‬‬
‫‪ y’ .2‬ו‪ z’ -‬שווים ל‪ 0 -‬כאשר ‪ y=15‬ו‪ . z=5 -‬אם נתחיל בנתונים אלה תישארנה האוכלוסיות ללא‬
‫שינוי‪.‬‬
‫לסעיף ‪7‬‬
‫‪1‬א‪ y = Ax+Bcos(x) .‬לכן )‪. y’ = A-Bsin(x‬‬
‫הצבת ‪ y=5 ,x=0‬ו‪ y’=2 -‬תתן )‪ 5 = A·0+Bcos(0‬ו‪ 2 = A-Bsin(0) -‬כלומר‪ b = 5 ,‬ו‪. A = 2 -‬‬
‫הפתרון המבוקש הוא אפוא )‪. y = 2x+5cos(x‬‬
‫‪-x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y = 5e +2e‬‬
‫‪2‬ב‪.‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪-2x‬‬
‫‪y = Ae +Be‬‬
‫‪2‬ג‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬א‪ y’ .‬שווה לנגזרתה לכן ‪ y’ = Ae‬לכן )ע"י מציאת אנטינגזרת( ‪. y = Ae +C‬‬
‫ב‪ .‬לאור תנאי ההתחלה צריך להתמלא ‪ 7 = A‬ו‪ 3 = A+C -‬לכן הפתרון הפרטי המבוקש הוא = ‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. 7e -4‬‬
‫‪Bx‬‬
‫‪Bx‬‬
‫‪ .4‬לאור ההנחיה נקבל את המשוואה‬
‫‪x+3‬‬
‫‪Bx‬‬
‫‪Bx‬‬
‫‪ABe +C = Ae +Cx+D-x+3‬‬
‫כלומר‪,‬‬
‫‪x‬‬
‫לכן ‪ 0 = C-1 ,B = 1‬ו‪ C = D-3 -‬לכן ‪ C = 1 ,B = 1‬ו‪ D = 4 -‬כלומר‪z = Ae +x-4 ,‬‬
‫‪x‬‬
‫לכן‬
‫‪) y’ = Ae + x - 4‬שהרי ’‪ y‬ממלא אותה משוואה שלפיה מצאנו את ‪(z‬‬
‫‪x 2‬‬
‫לכן ‪y = Ae +x /2-4x+K‬‬
‫‪(Ae +Cx+D)’ = Ae +Cx+D-‬‬
‫לסעיף ‪8‬‬
‫‪k x‬‬
‫‪k x‬‬
‫‪y = A1e 1 +A2e 2‬‬
‫‪k x‬‬
‫‪k x‬‬
‫‪y’ = k1A1e 1 +k2A2e 2‬‬
‫‪k x‬‬
‫‪k x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y’’ = k1 A1e 1 +k2 A2e 2‬‬
‫‪ .1‬אם‬
‫אז‬
‫ו‪-‬‬
‫לכן‬
‫‪k x‬‬
‫‪k x‬‬
‫‪k x‬‬
‫‪k x‬‬
‫‪k x‬‬
‫‪k x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪Ay’’+by’+cy = a(k1 A1e 1 +k2 A2e 2 )+b(k1A1e 1 +k2A2e 2 )+c(A1e 1 +A2e 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k x‬‬
‫‪k x‬‬
‫‪k x‬‬
‫‪= (ak1 +bk1+c)A1e 1 + (ak2 +bk2+c)A2e 2 = 0·A1e 1 +0·A2e 2 = 0‬‬
‫‪ .4‬א‪ y=cos(x) .1‬א‪y=sin(x) .2‬‬
‫‪4‬ב‪ .‬נכתוב את המשוואה הדיפרנצילית בצורה ‪ ,y’’+2y’-3y=0‬נפתור את המשוואה הריבועית ‪x +2x-‬‬
‫‪ 3=0‬ונקבל את הפתרונות השונים ‪ x=1‬ו‪ , x=-3 -‬ולפי משפט ‪ 1‬יהיה הפתרון הכללי של המשוואה‬
‫הדיפרנצילית‬
‫‪x‬‬
‫‪-3x‬‬
‫‪. y = A1e +A2e‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-3x‬‬
‫‪ y’ =A1e -3A2e‬ולפי תנאי ההתחלה צריכים להתמלא השוויונות ‪ A1+A2=1‬ו‪-‬‬
‫גזירה תתן ש‪-‬‬
‫‪.A1-3A2=0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-3x‬‬
‫מכאן נקבל ש‪ A1=3/4 -‬ו‪ A2=1/4 -‬והפתרון הפרטי הוא ‪. y = 3e /4 + e /4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬ג‪.‬‬
‫‪-4x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y = 15.0095e -2173.0064e‬‬
‫‪37‬‬
‫עמוס ארליך‬
‫פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות‬
‫‪3x‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪4‬ד‪ .‬לפי משפט ‪) y = Ae +Bxe ,3‬במקום ‪ A‬ו‪ B -‬אפשר‪ ,‬כמובן‪ ,‬לכתוב ‪A1‬ו‪ ,A2 -‬וכדומה‪(.‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪y = A e cos x + B e sin x‬‬
‫‪4‬ה‪ .‬לפי משפט ‪ ,4‬הפתרון הכללי הוא‬
‫‪-2‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3 = A e cos 1 + B e sin 1‬ו‪1 = A e cos(-1) + B e sin(-1) -‬‬
‫הצבת התנאים תתן‬
‫‪ 3.99232·A + 2.1768·B = 3‬ו‪0.073122·A - 0.11388·B = 1 -‬‬
‫ומכאן‬
‫נפתור ונקבל ‪ A = 7.2136‬ו‪ B=-4.1493 -‬והפתרון הפרטי המבוקש הוא‬
‫‪2x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪. y = 7.2136e cos x - 4.1493e sin x‬‬
‫‪0x‬‬
‫‪0x‬‬
‫‪5‬א‪ .‬לפי משפט ‪ y = A·e + Bx·e 3‬כלומר‪. y = A+Bx ,‬‬
‫‪0x‬‬
‫‪0x‬‬
‫ב‪ .‬לפי משפט ‪ y = A·e cos 2x + B·e sin 2x 4‬כלומר‪. y = A·cos 2x + B·sin 2x ,‬‬
‫לסעיף ‪9‬‬
‫‪ .1‬המשוואה היתה ‪ y''-5y'+6y = 12x +18‬והוצע לנסות פתרון פרטי שצורתו ‪. y = αx +βx+γ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫נגזור‪ y' = 2αx+β :‬ו‪y'' = 2α -‬‬
‫נציב ונקבל את המשוואה ‪2α−5(2αx+β)+6(αx +βx+γ) = 12x2+18‬‬
‫השוואת מקדמי ‪ x2‬תתן ‪. α=2‬‬
‫השוואת מקדמי ‪ x‬תתן ‪ -5·2·2+β=0‬לכן ‪. β=20‬‬
‫השוואת המספרים החופשיים תתן ‪ 2·2-5·20+6·γ = 18‬לכן ‪γ = 114/6 = 19‬‬
‫מכאן הפתרון הפרטי ‪.y=2x2+20x+19‬‬
‫למשוואה ההומוגנית הפתרון הכללי ‪. y = A1e2x+A2e3x‬‬
‫‪2x‬‬
‫מכאן הפתרון הכללי למשוואתנו ‪. y = A1e +A2e3x+2x2+20x+19‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2‬הפתרון כללי ל‪ 2y'+3y = 9x3-6x2+7x+5 -‬הוא ‪.y = Ae-1.5x+3x3-8x2+13x-7‬‬
‫‪ .3‬א‪ .‬למשוואה ‪ y''+3y'+2y = 4x3-3x2+2x-1‬הפתרון‬
‫‪.y = A1e-2x+A2e-x + 2x3- 10.5x2 - 26.5x +49.75‬‬
‫ב‪ .‬למשוואה ‪ y''-2y'+y = 3‬הפתרון ‪. y = A1ex + A2xex + 3‬‬
‫ג‪ .‬למשוואה ‪ y'-4y = 8x2‬הפתרון ‪. y = Ax2x - 2x2 - x - 1/4‬‬
‫ד‪ .‬למשוואה ‪ 5y''-2y'+y = (x-2)2‬הפתרון ‪y = e0.4x(A1·cos 0.8x + A2·sin 0.8x) +x2 - 10‬‬
‫‪ .4‬למשוואה ‪ y''-5y' = x+1‬הפתרון ‪y = A1e5x+A2 - x2/10 - x/4‬‬
‫‪.6‬ב‪ .‬נסה ‪! y=Ax2e5x‬‬
‫ד‪ .‬נסה ‪! y=Axe4x·cos 2x + Bxe4x·sin 2x‬‬
‫ג‪ .‬נסה ‪! y=Ax3e5x‬‬
‫‪ 9‬ב‪y = A1e2x+A2e-x/2+x2e-x+4.666666xe-x+9.555555e-x .‬‬
‫‪-1.3t‬‬
‫‪y = Ae‬‬
‫‪.10‬א‪ .‬הפתרון הכללי הוא ‪+ B - (9.8/1.3)t‬‬
‫) בשביל קפיצה מגובה ‪ 1000‬מטר במהירות התחלתית ‪ 0‬נצטרך שיהיה ‪ y0 =1000‬ו‪y& 0 =0 -‬‬
‫‪-1.3t‬‬
‫והפתרון הפרטי שיתקבל הוא ‪( y = -5.8e +1005.8-7.54t‬‬
‫ב‪ .‬המהירות הגבולית היא ‪ -7.54‬מטר לשניה )ליתר דיוק‪ ( -9.8/1.3 ,‬כי בפתרון הכללי‬
‫‪ y& = -1.3Ae-1.3t - 9.8‬והמחובר הראשון שואף ל‪. 0-‬‬
‫‪1.3‬‬
‫ג‪ .‬כמעט שלושה מטר‪.‬‬
‫‪38‬‬