משוואות דיפרנציאליות רגילות - לתלמיד
עמוס ארליך מתמטיקה מעל 5יח"ל פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציאליות כל הזכויות שמורות © מותר להעתיק ולצלם לצורך שימוש עצמי ,ומורים ובתי שפר רשאים להעתיק ולצלם גם לצורך שימוש בבית ספרם .בתנאים אלה מותר להעתיק גם חלקים מן החוברת ,ובלבד שיצורף להם שם המחבר ,תוכן העניינים השלם וכתובת האתר לקבלת החוברת השלמה. מותר להוסיף תוספות ובלבד שיהיה ברור לכל קורא מי כתב תוספות אלה. עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות פרופ' עמוס ארליך החוג להוראת המדעים אוניברסיטת תל אביב משוואות דיפרנצי ָליות ע4 . .1דוגמה פותחת המשוואה , y’=y-x2נוסחתו של פתרון אחד ,תוכנית לשרטוט גרפים של פתרונות נוספים. .2תכונות ex ע7 . מתקבלות מהמשוואה y’=yומנקודת ההתחלה ) .(0,1המשוואה . y’=ky ע10 . .3הוראות הפעלה ותוכנית חדשה השפה .True-Basicהתוכנית DifEqלפתירה גרפית של מד"ר. ע13 . .4ניחוש והתאמת קבועים הסתיעות בגרפים לניחוש צורת הפתרון ,התאמת הקבועים למשוואה ולתנאי ההתחלה. ע15 . .5הפרדת משתנים דוגמת מבוא :פתרון גרפי מרמז על נוסחה משוערת .בדיקת ההשערה. היפוך כיוונה של הבדיקה מציע דרך פתרון למשוואות אחרות. .6מערכת משוואות דיפרנציליות או ארנבות ושועלים ע19 . קצב השינוי של אוכלוסיות טרף וטורף .תוכנית לפתירה גרפית של מערכת שתי מד"ר . .7משוואות דיפרנציליות מסדר שני ע23 . מ y’’=g(x,y,y’) -אל המערכת ) . y’=z , z’=g(x,y,zכמה פרמטרים צריך הפתרון הכללי? .8משוואות דיפרנציליות לינאריות הומוגניות במקדמים קבועים ע25. פתירת כל סוגי המשוואות האלה מסדר ראשון ושני. נספח :מציאת פתרונות ממשיים על-ידי מעבר דרך פתרונות מרוכבים. .9משוואות דיפרנציליות לינאריות לא-הומוגניות במקדמים קבועים ע29. הרכב הפתרון הכללי .משפחות סגורות לגזירה ולקומבינציות לינאריות כמקור לפתרון פרטי. בעיית הצניחה באויר. ע35 . פתרונות תשס"ד 3 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות ) (1דוגמה פותחת תוכניות-מחשב ראשונות ידונו כבר בסעיף הנוכחי ,אך השימוש הפעיל במחשב יתחיל בסעיף ,3ובתחילתו תופענה הפניות אל התוכנה וההנחיות הנדרשות .אם משהו בסעיף הנוכחי אינו ברור בקריאה ראשונה – המשך לקרוא עד סוף הסעיף וחזור לתחילתו לקריאה נוספת. משוואה די ֶפ ֶרנצי ָלית רגילה )להלן מד"ר( היא משוואה המציגה קשר בין פונקציה "נעלמת" שתסומן בדוגמתנו , yבין המשתנה החופשי של הפונקציה שיסומן בדוגמתנו ,xובין הנגזרת ’ yשל הפונקציה .דוגמתנו הראשונה היא המשוואה . y’ = y-x2 2 הבה נשער שפתרונה הוא פונקציה ריבועית ,כלומר ,פונקציה מהצורה . y = ax +bx+cלהלן נלמד איך מעלים השערות כאלה .אך תחילה נבדוק אם ההשערה שהעלינו הפעם היא נכונה ,ואם כן אז מהם הערכים של b ,aו.c- אם ההשערה נכונה אז y’=2ax+bולפי המשוואה צריך להתקיים השוויון . 2ax+b=ax2+bx+c-x2 כדי שהפונקציה שבאגף ימין תהיה שוה לפונקציה שבאגף שמאל חייבת גם היא להיות ממעלה ראשונה ,לכן a חייב להיות . 1לכן צריך להתקיים השויון ,2x+b=bx+cלכן ,b=2לכן .c=2 בתנאים אלה אמנם מתמלא השויון הדרוש ,כלומר y=x2+2x+2 ,הוא פתרון של המד"ר שלנו. הגרף שלו הוא הגרף שבציור א ,ובהמשך נשתמש בעובדה שהוא עובר דרך הנקודה ) (-3,5המודגשת בציור. 10 10 y=x2+2x+2 5 ציור א -5 -5 5 ציור ב -5 -5 בציור ב מופיעים גרפים של שני פתרונות נוספים לאותה משוואה דיפרנצילית .הפתרון התחתון עובר בין השאר בנקודה ) (1,2והפתרון העליון עובר דרך ) . (0,5שני הגרפים שבציור ב לא שורטטו בעזרת הנוסחאות שלהם )לנוסחאות אלה נגיע בשלב מאוחר( אלא בעזרת המשוואה הדיפרנצילית ,ובעזרת נקודות המוצא ) (1,2ו (0,5) -בהתאמה .להלן נראה שכל נקודה שבמישור יכולה לשמש נקודת מוצא שדרכה יעבור פתרון של משוואתנו. ∆y ומכאן . ∆y ≈ y '⋅ ∆x לבניתו של גרף הפתרון תסתמך על זה שבשביל ∆xקטן מאד מתקיים ' ≈ y ∆x נבחר אפוא נקודת מוצא ונבחר ∆xקטן כלשהו ,נחשב ∆y=(y-x2) ∆xעם xו y-של נקודת המוצא ,נגדיל את xב ∆x -ואת yב ,∆y -וכך נקבל נקודה חדשה על הגרף. כעת נצא מהנקודה החדשה ונעבור בדרך דומה אל נקודה נוספת ,וכן הלאה. ברור מראש ששיטה זאת לא תתן תוצאה מדוייקת כי לאמיתו של דבר אין ∆yשווה ל (y-x2) ∆x -אלא רק קרוב לו .כן ברור שככל שנבחר ∆xיותר קטן כן יגדל הדיוק .אבל בחירת ∆xקטן תקטין את גודלה של כל פסיעה ,לכן תגדיל את מספר הפסיעות הדרושות ,וזה יחייב אותנו להטיל את המלאכה על מחשב. 4 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות תוכנית המחשב שלהלן )בשפת התיכנות (True-BASICמיועדת למצוא את הפתרון העובר בנקודה )(-3,5 שהוא הפתרון שבציור א .בחרנו לבנות תחילה פתרון זה כי הוא כבר ידוע וזה יאפשר לנו להעריך את טיב העבודה שתבצע התוכנית. והרי התוכנית )האותיות העבריות שמשמאל אינן חלק ממנה ( )CALL axes(-5,5,-5,10 LET x=-3 LET y=5 LET Dx=0.01 DO PLOT x,y LET Dy=(y-x^2)*Dx LET x=x+Dx LET y=y+Dy LOOP until x>5 END א ב ג ד ה ו ז ח ט י יא הסבר התוכנית: פקודה א בוחרת ומשרטטת מערכת צירים עם ציר אופקי )ציר (xהמשתרע מ -5 -עד 5וציר אנכי )ציר (yמ- -5עד ) . 10היא עושה זאת דרך קריאה לתת-שיגרה שעניינה יוסבר בהמשך(. פקודות ב ו-ג קובעות ערכים התחלתיים בשביל xו) . y-ערכים אלה ישתנו בהמשך פעולת התוכנית(. פקודה ד קובעת ערך בשביל ) ∆xמסיבות טכניות הוא נכתב .Dxערך זה לא ישתנה במהלך ביצוע התוכנית(. הפקודה ה פותחת לולאה .נסביר את ענין הלולאה כשנגיע לפקודה י הסוגרת את הלולאה. פקודה ו משרטטת את הנקודה ) (x,yבמערכת הצירים שנקבעה בפקודה א. פקודה ז מחשבת את x^2 ) .∆yפירושו .x2סימן הכפל הוא * ואין להשמיטו(. פקודה ח נותנת ל x-ערך חדש השוה לערך הישן ועוד .∆xפקודה ט דומה ,בשביל .y פקודה י מורה למחשב לחזור לתחילת הלולאה ,כלומר לפקודה ו loop) .הוא גם שם-עצם שפירושו לולאה וגם פועל שפירושו להסתובב בלולאה (.הלולאה תתבצע פעם אחר פעם ובכל פעם תשורטט נקודה ותחושב הנקודה הבאה .ההסתובבות בלולאה תיפסק כאשר xיעבור את הערך . 5 פקודה יא מסמנת את סוף התוכנית. הפקודות ה ו-י גורמות לכך שהפקודות ו עד ט שביניהן תתבצענה פעם אחר פעם עד ש x-יעבור את הערך . 5 התוצאה של הרצת התוכנית היא בציור ג שמשמאל. השוואתה לציור א שלעיל מעידה שאנחנו בדרך הנכונה ,אך תוכניתנו טעונה שיפור .אך יש לה שתי מגרעות שתקראנה "בעית הדיוק" ו"-בעית הצד השני". 10 בעית הדיוק ופתרונה 5 -5 הגרף שקבלנו אמור היה להיות הגרף של ,y=x2+2x+2שהוא הפתרון העובר בנקודת המוצא -5 ) .(-3,5הצבת 2בנוסחה תתן ,10ולכן היה על הגרף ציור ג שהתקבל כאן לעבור דרך הנקודה ) (2,10המסומנת בציורנו בעיגול קטן .בפועל אין הגרף עובר בנקודה זאת. נוכל להקטין את אי-הדיוק שהתקבל אם במקום לתת ל ∆x -את הערך ) 0.01בשורה ד של תוכניתנו( ניתן לו את הערך . 0.0001נסיון יראה שהשגיאה שתשאר אחרי תיקון זה תהיה זעירה מכדי שניתן יהיה להבחין בה. 5 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות תוכניתנו עם התיקון המוצע כאן תקרא בשם ) STEPS1לכבוד זה שהגרף מתקבל על-ידי התקדמות בפסיעות קטנות(. בעית הצד השני :הגרף שקיבלנו אינו כולל את החלק שמשמאל לנקודת המוצא. לפתרון בעיית הצד השני נהפוך את השורות ד עד י של STEPS1לתת-שיגרה )שעניינה יוסבר להלן(, ונשתמש בתת-השגרה פעמיים ,פעם לשרטוט החלק הימני של הגרף ופעם לשרטוט החלק השמאלי. נציג תחילה את התוכנית החדשה ואחר-כך נסביר אותה. א program STEPS2 ב )CALL axes(-5,5,-5,10 ג )CALL steps(0.0001 ד )CALL steps(-0.0001 ה )SUB steps(Dx ו LET x=-3 ז LET y=5 ח DO ט PLOT x,y י LET Dy=(y-x^2)*Dx יא LET x=x+Dx יב LET y=y+Dy יג LOOP until x>5 or x<-5 יד END SUB טו END הסבר לתוכנית STEPS2 הקטע שבשורות ה -יד ,הפותח ב SUB steps(Dx) -ומסתיים ב ,END SUB -משמש תת-שגרה )= (subroutineששמה ) .stepsבחרנו בשם זה משום שתת-השיגרה הזאת תבצע את מלאכת ההתקדמות בצעדים .אפשר ,כמובן ,לתת לתת-השיגרה כל שם אחר(. שורה ג , CALL steps(0.0001) ,גורמת למחשב לקחת את המספר ,0.0001לשים אותו כערך של Dx שב , steps -ולבצע את .stepsזה יביא לשרטוט הגרף מ (-3,5) -ימינה )כמו ב.(STEPS1 - שורה ד , CALL steps(-0.0001) ,תפעיל את stepsעם ,Dx=-0.0001לכן תלכנה הפסיעות שמאלה. התכנית STEPS2משתמשת אפוא בשתי תת-שגרות האחת היא axesהנמצאת בספריה " "sifriaוהאחרת היא stepsהכתובה בתוך התוכנית .STEPS2תת-שגרות יכולות להכתב בכל מקום בתוך התוכנית אך נהוג לכותבן בסוף התכנית) .בשפת Pascalקוראים להן "פרוצדורות" וחובה לכתוב אותן בתחילת התוכנית(. תרגיל :1מדוע שונה שורה יג של STEPS2משורה י של ? STEPS1 תרגיל 2 א. ב. ג. ד. שנה את את התוכנית STEPS2באופן שציר xישתרע מ -6 -עד 4וציר yישתרע מ -10 -עד ) . 20השינויים הם בשורה ב ובשורה יג (הרץ והתבונן בתוצאה. שינוי נוסף :שנה באופן שנקודת המוצא לשרטוט תהיה ) .(0,2מה ההבדל בין מהלך השרטוט מקודם ובין מהלכו עכשיו? שנה באופן שנקודת המוצא תהיה ).(-3,4.95 )לכאורה שינו זעיר בהשוואה לנקודת המוצא ) (-3,5אבל הפתרון ישתנה במדה רבה(. שנה באופן שנקודת המוצא תהיה ) (0,2והשיפועים ינתנו על-ידי .y’=0.5y 6 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות ) (2תכונות ex לפונקציה exשתי תכונות חשובות (ex)’=ex :ו . e0=1 -בנוסח אחר :היא פתרון של המד"ר y’=yהעובר ב- ) . (0,1הבה נראה כיצד נובעות תכונות אחרות שלה משתי תכונות אלה. לשרטוט גרף נכניס את השינויים הדרושים בתוכנית ) steps2נכתוב בה Dy=y*Dxו- ) ( axes(-5,5,-2,10ונבחר ב (0,1) -כנקודת מוצא .יתקבל הגרף שמשמאל. א .מן הגרף רואים שכאשר x=1מקבל yערך שבין 2ו . 3 -במלים אחרות. 2<e1<3 : )כאן נסתפק בהסתכלות בגרף ולא נלך למצוא הוכחה יותר שלמה .ערך יותר מדויק הוא (. e=2.718281.. 10 y’=y 5 ב .משפט-עזר :אם הגרף הנ"ל עובר דרך נקודה ) (x0,y0עם y0חיובי אז yחיובי גם לכל xשמ x0-עד . x0-1 הוכחה :נעביר משיק ב (x0,y0) -ונסמן ∆yו ∆x-כבציור. בגלל המשוואה הדיפרנציאלית שוה שיפוע המשיק ל , y0 -לכן ∆y )(x0,y0 .ומכיוון שגם ∆y = y0יהיה במשולש שהוא יוצר= y0 , ∆y ∆x . ∆x = 1מכאן שהמשיק חותך את ציר xבנקודה . x0-1 x0-1 ∆x x0 בנקודה x0יש לגרף שיפוע חיובי )= ,(y0לכן כאשר xנע משם שמאלה יורד ערכו של ,yלכן יורד ערכו של ’ yוזה אומר ששיפוע הגרף מתמתן ,לכן הגרף יהיה מעל המשיק ששרטטנו .בהמשך התנועה שמאלה ממשיך השיפוע להתמתן לכן הגרף נשאר מעל המשיק ,וזה מבטיח שכאשר נגיע ל x0-1 -עדין יהיה הגרף מעל ציר ■ x ג .משפט :לכל y=ex ,xהוא חיובי. הוכחה :ב x=0 -מתמלא ,y=1לכן ,y’=1>0לכן כש x-נע ימינה yעולה לכן ’ yעולה ,לכן yממשיך לעלות לכן נשאר חיובי) .בעצם הוא עולה בקצב גדל והולך(. נעבור לתנועה של xמ 0-שמאלה .לפי משפט העזר yנשאר חיובי לפחות עד ש .x=-1 -לפי אותו משפט- עזר נובע מזה ש y-חיובי גם עד .x=-2שימוש נוסף במשפט העזר יתן ש y-נשאר חיובי גם עד ,x=-3וכן הלאה ■ הערה :מהציור שלעיל נראה כאילו בהמשך התנועה שמאלה מתלכד הגרף עם ציר .xזהו רושם מוטעה הנובע מזה שכושר ההפרדה של מסך המחשב )ושל העינים שלנו( הוא מוגבל .כפי שהוכחנו זה עתה ישאר הגרף תמיד מעל לציר .אם נוסיף לתוכנית ששרטטה את הגרף ,לפני ה ,END-את הפקודה ,PRINT x, yידפיס המחשב -5 0.0067..שהם הקואורדינטות של הנקודה האחרונה ששרטט ,אך בשרטוט אין להבחין בין נקודה זאת ובין הנקודה ). (-5, 0 ד .נשים לב לכך שבהוכחת משפט העזר לא השתמשנו בזה שגרף הפונקציה עובר דרך ) (0,1אלא רק בזה שהיא ממלאת את המד"ר .y’=yגם בהוכחת המשפט שבהמשך לא נזקקנו ַלמעבר דרך ) (0,1אלא רק לְמעבר 7 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות דרך ) (x0,y0כלשהו עם ) y0>0והתנועה שמאלה תהיה דרך x0-2 ,x0-1וכולי( .לכן נוכל לכתוב במקום ג משפט יותר כללי :אם פתרון כלשהו של y’=yעובר דרך ) (x0,y0כלשהו עם ,y0>0אז לכל xיהיה . y>0 משפט היחידוּת :אם ) f(xו g(x)-הם שני פתרונות של ) y’=yכלומר ,לכל f’(x)=f(x) ,xו(g’(x)=g(x) - ואם בשביל x1כלשהו ) f(x1)=g(x1אז לכל . f(x)=g(x) ,x נוכיח בדרך השלילה .נניח שיש x0אשר ) f(x0)≠g(x0ונניח ש) f(x0)>g(x0) -אם ) f(x0)<g(x0אז נקרא ל- fבשם gולהיפך(. נתבונן בפונקציה ) h(x)=f(x)-g(xותחילה נשים לב לכך ש. h(x0)>0 - נגזור ,h’(x)=f’(x)+g’(x)=f(x)+g(x)=h(x) :כלומר ,גם ) h(xהיא פתרון של . y’=y נכאן ינבע שלכל ,h(x)>0 ,xוזה חל גם על ,x1לכן ) f(x1)>g(x1בניגוד לנתון ■ המשפט נקרא משפט היחידוּת )בשביל המשוואה (y’=yכי הוא אומר שבשביל כל נקודת מוצר יש למשוואתנו פתרון יחיד .משפט יחידות דומה מתמלא גם אצל מד"ר אחרות רבות אבל לא אצל כולן. בפרט אומר משפטנו את התוצאה הבאה )שבשבילה הוכחנו כאן אותו ואת קודמו(: אם ) f(xממלאת את המד"ר y’=yואם f(0)=1אז . f(x)=ex ה .יהיו Aו k -מספרים קבועים. על פי כלל הגזירה של פונקציה מורכבת )כלל השרשרת( . (ekx)’=kekx מכאן על פי כלל הנגזרת של מכפלה בקבוע. (Aekx)’ = Akekx , הפונקציה f(x)=Aekxממלאת אפוא את המשוואה הדיפרנצילית . y’=kyנוסף על כך היא ממלאת .f(0)=A משפט הפוך :אם ) f(xממלאת את y’=kyואם f(0)=Aאז . f(x)=Aekx הוכחה :יהי ) g(x) = 1 f( xואז ) g'(x)= 1 f'( x ) 1 = 1 kf( x ) 1 =g(xו g(0)= 1 f(0)=1 -לכן לפי A A k k A k k A k 1 x x התוצאה האחרונה , g(x)=exכלומר . f( )=e ,נציב kxבמקום xונכפול את שני האגפים ב A-ונקבל A k ש■ f(x)=Aekx - תרגיל :1הוכח בעזרת המשפט האחרון )ולא על-פי כללי החזקות( שאם f(x)=ea+xעם aמספר קבוע ,אז . f(x)=eaex הנחיה :מהו ) f ’(xומהו )? f(0 תרגיל :2 בציור שמשמאל ,וגם בציורים של שני התרגילים הבאים ,א הוא הגרף של .y=ex גם שאר הגרפים בציור הנוכחי הם של פתרונות של .y’=yכיצד רואים ש -ב ,ג ו-ד ממלאות אותה משוואה כמו א? כיצד רואים ש-ה ממלא אותה משואה כמו א? כיצד רואים ש-ו ממלא אותה משואה כמו ה? למי הנוסחה ?y=2ex מהי הנוסחה של ג ? מהי הנוסחה של ו ? 10 ד ב א 5 ה 8 ו ג עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות תרגיל :3 בציור שמימין כל הגרפים עוברים דרך ) , (0,1כולם פתרונות של משואות מהצורה y’=kyלכן לכולם נוסחה מהצורה . y=ekx ה-k-ים הם -1 ,2 ,1ו.½ - מי שייך למי? 10 ב ד א ג 5 10 תרגיל :4 בציור שמשמאל, איזה גרף הוא של ? y=2e-x איזה גרף הוא של ? y=-1/2 ex/2 איזה גרף הוא של ? y=-e-2x איזה גרף הוא של ? y=0.1e4x א ב ג 5 ד ה חישוב ערכים של ex משימת החישוב שניגש אליה כעת היא חישוב . e2.5נאמנים לדרכנו המסיקה את כל הדרוש על exמהיות הפונקציה פיתרון של y’=yהעובר דרך נקודת המוצא ) (0,1נמצא את המבוקש על-ידי הרצת התוכנית הבאה: LET x=0 LET y=1 LET Dx=0.00001 DO while x<2.5 LET Dy=y*Dx LET x=x+Dx LET y=y+Dy LOOP PRINT y END הסבר התוכנית: הפקודות שבין ה DO-וה LOOP-יבוצעו שוב ושוב כל-עוד )= x (whileקטן מ . 2.5 -כאשר יגיע xלערך 2.5לא תחזור התוכנית אל תחילת הלולאה אלא תמשיך לפקודה שאחריה ,ופקודה זאת אומרת להדפיס את ערך yשבאותו שלב. הרצת התוכנית תתן . 12.182345בדוק מה מתקבל עם . Dx=0.0001 9 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות בשפות מחשב רבות ,כולל כל גירסאות ,BASICנכתב exבצורה ) . EXP(xהפקודה )PRINT exp(2.5 תתן 12.182494וזה ערך יותר מדויק מאשר הערך שנתנה תוכניתנו. תרגיל :5התוכל להסביר מדוע שגתה תוכניתנו כלפי מטה? תרגיל :6שנה את תוכניתנו באופן שתדפיס את . e-2/3 )השינויים הדרושים הם בשורה השלישית ובשורה הרביעית(. בהמשך נזדקק גם למשפט . ln’(x)=1/x למען השלמות נוכיח אותו כאן ,ולמען הגיוון נציע הוכחה אחרת מזו שברוב הספרים. ובכן ln(x) .היא הפונקציה ההפוכה ל , ex -וניתן לכתוב זאת כך. ln(ex)=x : נגזור על פי כלל השרשרת ונקבל . ln’(ex)ex=1לכן . ln’(ex)=1/ex ומכיוון שכל xחיובי ינתן להכתב בצורה ) exעם xאחר( נקבל שלכל xחיובי. ln’(x)=1/x , ) (3הוראות הפעלה ותוכנית חדשה את כל הנדרש להפעלת תוכניותינו ולכתיבת תוכניות נוספות אפשר להוריד חינם באינטרנט מהאתר www.tau.ac.il/~amos1/שלי .זה כולל גירסת הדגמה ) (Demoשל שפת התיכנות ,True-Basicאוסף תוכניות שכתבתי ,כולל סיפרית תת-תוכניות ,וקובץ Wordבשם "הנחיות". בחרנו לכתוב את תוכניותנו בשפה True-BASICמשום שהיא שקופה וקלה ללימוד ולשימוש .כל מי שמכיר שפת תיכנות כלשהי יוכל להבין תוכנית ב True-BASIC-בפעם הראשונה שהוא רואה תוכנית בשפה זאת. גירסת ה Demo-הנ"ל תספיק לכל מה שיעשה בחוברת הנוכחית אך יש לה שלוש מגרעות. א .בגלל זכויות-מחברים אין מן הראוי להשתמש בה אלא להיכרות עם השפה ,ולא לשימוש ארוך. ב .אפשר לכתוב בה תוכניות בכל אורך ולשנות תוכניות שבכל אורך אך לא לשמור תוכניות בנות יותר מ 50-שורות )תוכניותינו קצרות מזה במדה רבה(. ג .היא פועלת במערכת DOSעד Windows 98אך לא ב Windows -יותר חדש. אם אתה משתמש ב Windows-חדש ,בקש מחובב-מחשבים שיתקין לך דיסקט-איתחול לDOS- שיכלול גם Mouseוגם את מה שהורדת מהאתר שלי ,פרט להנחיות. ל True-BASIC -עוד גירסאות אך כולן תואמות זו את זו ,כלומר ,כל תוכנית הכתובה באחת מן הגירסאות האלה תפעל גם בכל גירסה אחרת .לרכישתן פתח באינטרנט את . www.truebasic.com הגירסה Student editionשונה מגירסת ה Demo-בזה שהיא שומרת תוכניות שאורכן עד 250שורות. אני משתמש ב Standard edition -כי חלק מתוכניותי הן ארוכות ,אבל אפשר להשתמש בתוכניותי הארוכות גם בגירסאות האחרות. הגירסה Bronze editionמתאימה לכל ) Windowsאך אינה מתאימה ל .( DOS-היא מטפלת בצבעים ובאותיות עבריות בדרך שונה מהגירסאות הקודמות .בתכניתי להכניס לאתר האינטרנט שלי גם גירסאות של תוכניותי עם התאמה לצבעים ולעברית בשביל ,Bronzeאך עדין לא עשיתי זאת. גירסת Demoשל Bronzeמוצעת חינם באתר הנ"ל של True-Basicאך מסיבות שונות איני מציע לגעת בה )ואם אתה סקרן ,הורד ,נסה ומחוק(. הגירסאות Silver edition ,Professional editionו Gold edition -של True-Basicפחות זולות והן מכילות תוספות רבות שאינן דרושות לנו .היום נפוצה גם שפה הנקראת , Visual Basicאך היא יותר מורכבת מן הדרוש לנו כאן ואין תאימות בינה ובין .True-Basic 10 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות הוראות הפעלה בשביל התוכניות נמצאות בקובץ "הנחיות" שנזכר לעיל .כאן אצביע רק על שלושה דברים חיוניים המתיחסים לגירסה שבאתר האינטרנט שלי ולדומותיה: א .אחת האפשרויות להורות לתוכנית להתחיל לפעול ,היא לחיצת המקש . F9 ב .ניתן להפסיק פעולת תוכנית )שאין לה הוראת עצירה פנימית( בזה שלוחצים על מקש ,Control וכשעודנו לחוץ לוחצים על מקש ) .Breakמקש Controlמסומן לרוב בקצרה Ctrlוהוא בשמאל התחתית של לוח המקשים .מקש Breakמסומן גם Pauseולרוב הוא נמצא למעלה מימין(. ג .מפעילים את השפה על-ידי קליק-כפול על ה icon-שלה ,וב DOS-על-ידי הקלדת .HELLO מפסיקים את פעולתה על-ידי בחירת Quitמתפריט . File התוכנית DifEq התוכנית החדשה תיקרא " ,"DifEqשהוא קיצור של " ."differential equationתוכנית זאת היא שכלול של STEPS2והיא מאפשרת נוחיות בהחלפת המשוואה הדיפרנצילית במשוואה דיפרנצילית אחרת ובקביעת מערכת הצירים ,וכן נוספה לה שורה )פקודה טו( המגדילה את הדיוק. 2 גירסתה הראשונה של התוכנית DifEqתהיה בשביל המשוואה הדיפרנציאלית y'=y-xשהיכרנוה לעיל. כדי להקל על החלפתה במשוואה אחרת ,וגם מסיבה נוספת שתובהר בהמשך ,נכתוב אותה בראש התוכנית. DEF s(x,y) = y-x^2 השורה הראשונה תהיה אפוא LET Dy=s(x,y)*Dx ובמקום LET Dy=(y-x^2)*Dxנכתוב ,במקום המתאים, הסבר :פקודת DEFמגדירה פונקציה .בדוגמתנו היא גורמת לכך שבכל מקום בו יכתב ) s(x,yתפעל התוכנית כאילו כתוב ) ,(y-x^2כשיכתב ) S(7,4יהיה זה כאילו נכתב ,-9השוה ל ,7-4^2 -וכדומה. את ההבדלים האחרים שבין DifEqובין קודמתה ,STEPS2ואת הסיבות להם ,נפרט אחרי התוכנית עצמה. התוכנית DifEq DEF s(x,y) = y-x^2 )! y'=s(x,y INPUT prompt "WINDOW=":a,b,c,d )CALL AXES(a,b,c,d DO INPUT prompt "Xo,Yo=":x0,y0 )CALL steps((b-a)/2000 !Right side of Xo )CALL steps(-(b-a)/2000 !Left side of Xo LOOP )SUB steps(Dx LET x=x0 LET y=y0 DO PLOT x,y LET Dy=s(X,Y)*Dx LET Dy=s(x+Dx/2,y+Dy/2)*Dx !A better approximation LET x=x+Dx LET y=y+Dy LOOP until x>b or x<a END SUB END 11 א ב ג ד ה ו ז ח ט י יא יב יג יד טו טז יז יח יט כ עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות הסברים שורה ב מדפיסה את ההנחיה ”= ,“WINDOWממתינה להקלדת ארבעה מספרים מופרדים בפסיקים , ואחר כך מכניסה אותם כערכים בשביל המשתנים c ,b ,aו. d- שורה ג מפעילה תת-תוכנית ) (subroutineבשם axesהנמצאת בסיפריה ששמה sifriaוהיא משרטטת מערכת צירים לפי הערכים שיש למשתנים x .a,b,c,dישתרע מ a-עד bו y-מ c-עד .d השורות ב ,ו-ג מאפשרות בחירת מערכת-צירים כרצוננו בלי לשנות את התוכנית. שורה ה ,יחד עם שורות י ו-יא ,מאפשרות להתחיל את הגרף בכל נקודה ) (x0,y0רצויה. ה DO - LOOP -שבשורות ד ו-ח מאפשר לחזור ולבחור נקודת התחלה חדשה בלי לצאת מן התוכנית, כלומר ,בלי למחוק את הגרף שהתקבל בשביל נקודות התחלה קודמות. הערכים (b-a)/2000ו -(b-a)/2000 -שבשורות ז ו-ח מחליפים את המספרים 0.00001ו-0.00001 - שבתוכנית הישנה ,STEPS2כלומר ,הם יהיו הערכים שיקבל Dxבתת-השיגרה .steps ניגש להסברת תפקידה של שורה טו. ∆y/∆xהוא שיפועו של הקטע המקוּוקו שבציור א שלהלן .להלכה צריכים היינו לחשב את ∆yעל-ידי כפל ∆xבשיפוע זה .שיפוע זה אינו נתון ,ובמקומו משתמשת שורה יד ב ,s(x,y) -שהוא שיפועו של המשיק ב- ) .(x,yציור ב מראה את המשיק הזה ואת ∆yהמתקבל משורה יד ∆y .זה שונה במידה ניכרת מה∆y - האמיתי )שבציור א( ,אך אם משתמשים ב ∆x -קטן אז ה ∆y -הזה קרוב ל ∆y -האמיתי. ב DifEq -נעשה משהו נוסף .בעזרת ה ∆y -המקורב שחושב בשורה יד מחושבות הקואורדינטות ) (x+∆x/2,y+∆y/2של הנקודה המודגשת בציור ג ,ומקומה קרוב לאמצע הדרך שבין הנקודה ) (x,yובין הנקודה שאליה אנו רוצים להגיע .השיפוע ' yהמחושב לפי נקודת-ביניים זאת הוא ),s(x+∆x/2,y+∆y/2 והוא קרוב למדי לשיפוע שבציור א .שורה טו משתמשת ב s(x+∆x/2,y+∆y/2) -לחישוב ערך חדש ומשופר בשביל .∆y )(x,y )(x,y ציור א ציור ג )(x,y ציור ב הערה :הדיוק שהיה מתקבל ב STEPS1-ו STEPS2 -לעיל עם ∆x=0.002יוכל להתקבל כעת ,בזכות הוספת שורה טז ,עם ∆xשאינו קטן בהרבה מ . 0.1 -ערכי ∆xהמוצעים על-ידי שורות ו ו-ז יהיו ,בדרך כלל ,קטנים מזה במידה ניכרת ,ויבטיחו דיוק טוב מאד . הפעלה :אם בידך התוכניות שבאתר האינטרנט שלי תמצא את התוכנית DifEqבתיק DIFEQSשבתוך תיק ANALYSISשבתוך תיק .MATHהפעלת True-Basicגורמת ,בין השאר ,לתת-התוכניות שבספריה sifriaלהיות זמינות לשימוש בכל תוכנית ,ופונה אל התיק .MATH מתפריט Fileבחר ,Openמתיק MATHשיפתח בחר ,ANALYSISמתיק זה בחר DIFEQSומתיק זה בחר את התוכנית .DifEqהרץ אותה בלחיצת מקש . F9הקלד גבולות-מסך כבחירתך ,הקלד נקודות מוצא והתבונן בתוצאות. 12 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות הנחיה חיונית :מכיוון שה LOOP -שבפקודה ח אינו כולל הוראה מתי להפסיק ,תמשיך התוכנית לבקש נקודות התחלה חדשות עד שנפסיק אותה .להפסקתה יש ללחוץ ) Control-Breakבגירסות , Helloכמו גירסת ה Demo-שבאתר האינטרנט שלי( או לבחור Fileואח"כ ) Stopבגירסת Bronzeודומותיה(. הצעה פחות חשובה :הכנס פקודה CALL changecolorבין שורה ז ושורה ח. ) (4ניחוש והתאמת קבועים לפעמים אפשר לפתור משוואה דיפרנצילית בדרך הבאה :בשלב הראשון אנו מנחשים פתרון ניחוש חלקי .אנו מנחשים צורה כללית של נוסחת הפתרון אך לא את כל המספרים המופיעים בנוסחה זאת ,ובמקום המספרים החסרים אנו כותבים אותיות )פרמטרים( .בשלב השני אנו מציבים את הנוסחה המשוערת ואת נגזרתה במשוואה הדיפרנצילית ,בודקים אם ניתן להחליף את הפרמטרים במספרים באופן שהנוסחה שתתקבל תהיה נוסחת פיתרון ,ומוצאים את המספרים המתאימים. כבר הדגמנו שיטה זאת בדוגמת המבוא. y' = 6x2 - 10x + 7 בדוגמה שלהלן נעשה זאת בשביל המשוואה הדיפרנצילית )היינו ,בשביל מציאת − 10 x + 7)dx 2 ∫ (6 x ( y = ax3 + bx2 + cx + d אנו "מנחשים" שהפתרון הוא פולינום ממעלה 3לכן נכתוב כעת נגזור ונציב את הנגזרת במקום ' yבמשוואה הדיפרנצילית 3ax2 + 2bx + c = 6x2 - 10x + 7 ונקבל שאנו צריכים שיתמלא זה יתמלא אם נבחר c=7 ,b=-5 ,a=2ו d -יהיה כל מספר שהוא ,ומכאן הפתרון y = 2x3 - 5x2 + 7x + d ערכי dשונים נותנים פתרונות שונים .בשביל כל נקודת-התחלה ) (x0,y0קיים dכך שהגרף של y = 2x3 - 5x2 + 7x + dעובר ב . (x0,y0) -למציאת dזה יש לפתור את המשוואה y0 = 2x03 - 5x02 + 7x0 + dביחס לנעלם ,dלכן . d = y0 - 2x03 + 5x02 - 7x0 דוגמה שניה y'=x+2y+3 : )זו דוגמה מסוג חדש( אם נריץ את DifEqעם DEF s(x,y)= x+2*y+3 ועם מספר נקודות התחלה שונות נקבל גרפים כמו בציור הבא. 10 y’=x+2y+3 5 מהציור נראה שכאשר xיורד ,הולך כל פתרון ומתקרב לישר מסוים ,וכאשר xעולה מתרחק כל פתרון מישר זה בקצב גובר והולך .הבה נבדוק תחילה אם יש למשוואה הדיפרנצילית שלנו פתרון שהוא קו ישר. 13 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות משוואתו של קו ישר היא מהצורה . y=ax+bהנגזרת היא .y'=aכדי שהישר יהיה פתרון של y'=x+2y+3 (2a+1)x + (2b+3-a) = 0 צריך להתמלא a = x+2(ax+b)+3כלומר, 3 1 וזה מתמלא אם )ורק אם( a=- /2ו. b=-1 /4 - . y = -0.5x -1.75 מצאנו אפוא פתרון אחד למשוואתנו ,והוא הישר ומהם הפתרונות האחרים? מהציור שלעיל עולה ההשערה שהם נבדלים מהפתרון הישר בביטוי שצורתו . AeBxננסה אפוא את הנוסחה .y = -0.5x - 1.75 + AeBx נגזור ונציב במשוואה הדיפרנצילית ,ונקבל שכדי שהנוסחה המוצעת תהית פתרון צריך שיתמלא -0.5 +B·AeBX = x + 2(-0.5x - 1.75 + AeBx) + 3 -0.5 +B·AeBX = 2AeBx - 0.5 כלומר, מכאן שהשוויון המבוקש מתמלא בשביל B=2ובשביל כל .A . y = -0.5x -1.75 + Ae2x מצאנו אפוא פתרון כללי והוא )הפתרון הישר הוא המקרה הפרטי עם (.A=0 פתרון חד-שלבי לדוגמתנו אילו שערנו מראש שהפתרון הכללי למשוואתנו y'=x+2y+3הוא מהצורה y = ax+b+Aeיכולנו למצוא את הערכים הטובים בשביל b ,aו B -בשלב משותף אחד במקום למצוא אותם בשני שלבים .החישוב היה נראה כך :להתמלאות המשוואה צריך ש- Bx Bx a + B·Ae = x + 2( ax+b+Ae ) + 3 = (2a+1)x + ( 2b+3) +2AeBx זה מתמלא כאשר 2b+3 = a ,2a+1 = 0ו 2=B -ומכאן פתרוננו שלעיל. Bx הפתרון הפרטי העובר בנקודה נתונה כדי למצוא למשוואה הדיפרנצילית שלנו פתרון )פרטי( העובר דרך הנקודה ) (4,5נציב את הקואורדינטות 5 = -0.5·4 -1.75 + Ae2*·4 הנתונות בפתרון הכללי ,ונקבל 8 נפתור זאת כמשוואה בנעלם Aונקבל A = (5+0.5·4+1.75)/e = 8.75/2980.95 = 0.002935 y = -0.5x -1.75 + 0.002935·e2x ומכאן שהפתרון הפרטי המבוקש הוא תרגילים פתור את המשוואות הדיפרנציליות הבאות בעזרת ההשערות-על-צורת-הפתרון המצורפות למשוואות .בכל תרגיל שבו נתונה גם נקודת-התחלה מצא )בעזרת הפתרון הכללי( פתרון פרטי העובר בנקודה זאת. y' = 2x-y+1 .1המשוואה הדיפרנצילית צורה משוערת של הפתרון y = ax+b+AeBx נקודת התחלה )(0,1 .2המשוואה הדיפרנצילית y' = x2 + y צורה משוערת של הפתרון y = ax + bx + c + AeBx נקודת התחלה לפתרון א )(0,3 נקודת התחלה לפתרון ב )(0,-3 2 .3א .המשוואה הדיפרנצילית y' = (2y+3)/x צורה משוערת של הפתרון :פולינום ממעלה ) 2כי גזירתו מורידה את המעלה ב 1-וכופלת מקדם-עליון ב(2- ב .החלף את פקודת ה DEF -שבתוכנית DifEqב DEF s(x,y)=(2*y+3)/x -והרץ כדי לראות אם הפתרון הכללי שקבלת אמנם נותן את כל הפתרונות הפרטיים האפשריים. 14 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות מכיוון שהמשוואה הדיפרנצילית הנוכחית אינה מוגדרת אצל x=0יש להבטיח שבמהלכי החישוב לא יעבור המחשב דרך .x=0זה יושג אם ,למשל ,תבחר כערכי xשל שמאל המסך וימינו את .-5 , 5.0001 במהלך שרטוטי הפתרונות יגיע המחשב אל ערכי xקרובים ל ,0 -וזה יביא לשגיאות-עיגול שתקפצנה את המשך השרטוט למקום לא צפוי )לרוב -אל מחוץ למסך( .זה אינו מפריע לנו כי באמת אין קשר בין הפתרונות שמימין לנקודה שבה אין המשוואה מוגדרת ובין הפתרונות שמשמאלה) .אמנם ,כולם מתקרבים לאותה נקודה שעל ציר (.y .4המשוואה הדיפרנצילית y' = (3y-1)/x + 2x - 5 צורה משוערת של הפתרון :פולינום ממעלה שלישית) .מדוע?( y' = cos(x) ·y .5המשוואה הדיפרנצילית )sin(x y = Ae צורה משוערת של הפתרון נקודת התחלה )(0,2 .6ולסיום הסעיף הזה נחזור אל נקודת המוצא שלנו .ראינו שפתרון אחד של המשוואה y’=y-x2הוא . y=x2+2x+2לאור אופי ההפרשים שבין פתרון זה והפתרונות האחרים נסה . y=x2+2x+2+AeBx ) (5הפרדת משתנים בתחילתו של הסעיף הנוכחי נלך בדרך שבה פתרנו משוואות אחרות ,כלומר ,נפתור מד"ר בדרך גרפית, נשתמש בפתרון הגרפי לניחוש נוסחה ונבדוק את הנוסחה .בהמשך נעיין במהלך הבדיקה ונפיק ממנו דרך- פתירה שיטתית שתוביל לנוסחות פתרון בשביל סוג מסוים של משוואות דיפרנציליות ,שלא בסיוע ניחוש. א .פתרון גרפי ,נוסחא משוערת ובדיקת ההשערה נפתח במציאת פתרון גרפי למשוואה הרצה אחת של התכנית , DIFEQ עם windowשנבחר באופן שקנה המידה על ציר xיהיה שווה לקנה המידה שעל ציר ,yנתנה את השרטוט שלהלן: . y` = -x/y 6 8 y’= -x/y -8 -6 כל עוד היינו מרוחקים מציר xהתוה המחשב קשת מעגלית שמרכזה בראשית הצירים ,וכאשר התקרב y ל ,0 -שבשבילו אין ` yמוגדר ,גרמו שגיאות העיגול של המחשב לקפיצות .קשה לחזות מראש מה יהיו גדלה וכיוונה של קפיצה כזאת ,אולם כל קפיצה קבעה נקודת התחלה חדשה ,ומכל נקודה כזאת חזר המחשב להתוות קשת מעגלית שמרכזה בראשית הצירים .הקשתות השונות הן חלקים של פתרונות שונים. 15 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות )כדי לראות מתי נוצרו הקפיצות כדאי להכניס לתוכנית (b-a)/1000000במקום .(b-a)/2000זה יגרום לשרטוט להתבצע לאט(. הטענה שהקשתות שקיבלנו הן קשתות של מעגלים שמרכזם בראשית הצירים היא ,בשלב זה ,השערה בלבד העולה מתוך מראה העיניים .הבה נבדוק אם אמנם נכון הדבר שכל גרף-פונקציה שנקודותיו ממלאות את משוואת המעגל 2 2 2 )1 x +y =r הוא פתרון של משוואתנו הדיפרנצילית. לבדיקת ההשערה נגזור את שני אגפיה של משואה ) 1לפי (xכמו שגוזרים פונקציה סתומה ,ונקבל )2 2x + 2yy` = 0 )3 y` = -x/y ומכאן בדרך אלגברית ב .היפוך כיוון הבדיקה עיון בתהליך הבדיקה שלעיל יראה שאפשר לבצע אותו בכיוון ההפוך ,מהסוף להתחלה ,ולקבל תהליך טבעי המוביל מהמשואה הדיפרנציאלית אל נוסחת הפתרון ,בלי להזדקק להשערה מוקדמת על צורתה של נוסחה זאת. )*3 y` = x/y2 נדגים זאת על ידי פתירת משואה דיפרנציאלית דומה למשואה הקודמת: תחילה נעבור למשואה הדומה למשואה 2דלעיל ,כלומר ,למשואה שצורתה ) · y` = 0ביטוי ב) + (y -ביטוי ב(x - )*2 -x + y2 y` = 0 ונקבל כעת נמצא אנטינגזרת: 1 3 2 2 3 ) ∫ y y` dx = yכי `( (y )'x = 3y y ∫ -x dx = - 1 x 2ו- 3 2 1 2 1 3 לכן בשביל Cקבוע כלשהו, )*1 − x + y =C 2 3 . y = 3 3 x 2 +3C ואם נרצה נוכל לבודד את yולקבל 2 ג .בנוסח כללי משוואות דיפרנציליות שונות ניתנות להעברה לצורה העברת משוואה לצורה זאת נקראת הפרדת משתנים. מכאן נקבל משוואת פונקציה סתומה F(x) = ∫ f(x) dxוg(y) dy - שבה ∫ f(x) + g(y)·y' = 0 I. F(x) + G(y) = C = ). G(y II. נימוק: )( F(x) )'x = f(x מהשוויון '( G(y) )'x = ( G(y) )'y·y'x = g(y)·y והשוויון ( F(x) + G(y) )'x = f(x) + g(y)·y' = 0 נובע ש- לכן ) F(x) + G(yשווה למספר קבוע. ד .דוגמה נוספת )שיש לה חשיבות בסטטיסטיקה( המשוואה היא נפריד משתנים: y' = -xy y'/y = -x 16 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות x + 1 y'= 0 y 2 x /2 + ln(y) = C לכן ומכאן ,בדרך שסיכמנו לעיל, ובזאת קיבלנו את הפתרון yכפונקציה סתומה. בגלל היתרונות שיש לכתיבת פונקציה בצורה מפורשת נבודד את : y ln(y) = -x2/2 + C /2+C לכן /2 ומכיוון ש eC -הוא מספר קבוע נכתוב אותו בצורת Kונקבל 2 2 y = e-x y = Ke-x הערה :בשביל K = 1מתקבלת 2π הפונקציה שהגרף שלה הוא זה : גרף זה נקרא עקום ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית. תרגיל .1פתור את המשוואות הדיפרנציליות הבאות וכתוב את הפתרון בצורת פונקציה מפורשת. . y' = 12x2/yא . y' = (2x+3)/eyב . y' = xy2ג . y' = xy + 3x + 2y + 6ד תרגיל .2פתור את המשוואות הדיפרנציליות הבאות )השאר את הפתרון כפונקציה סתומה(. . cos(x) + (4y-2)·y'= 0א . y' = 2x2y2 - 3xy2 + 4y2 + 2x2 - 3x + 4ב הנחייה בשביל ב (arctan x)' = 1/(x2+1) : בעיה :מצא את הפתרון של y' = (x2+3x-1)/y2העובר דרך ).(2,3 פתרון: בשלב א נחפש פתרון כללי למשוואה .נעשה זאת על-ידי הפרדת משתנים. y' = (x2+3x-1)/y2 (x2+3x-1) - y2 ·y' = 0 x3/3 + 3x2/2 -x - y3/3 = C )את ההעברה לצורה מפורשת אפשר לעשות כבר עכשיו אך נדחה זאת לסוף(. בשלב ב נחפש ערך מתאים בשביל .C 3 2 3 2 /3 + 3·2 /2 -2 - 3 /3 = C הפתרון צריך לעבור דרך ) ,(2,3לכן צריך שיתמלא השוויון C = 8/3 + 12/2 - 2 - 9 = -7/3 לכן x3/3 + 3x2/2 -x - y3/3 = -7/3 כלומר ,הפתרון הוא כעת נעבור לצורת פונקציה מפורשת: 3 3 2 y = x + 4.5x - 3x + 7 נכפול ב, 3 -נעביר מאגף לאגף ונקבל 3 y = x x 3 + 4.5x 2 - 3x + 7 לכן תרגיל .3 y' = eהממלא ) y(0)=1כלומר ,עובר בנקודה )(. (0,1 א .מצא את הפתרון של ב .מצא את הפתרון של cos(y) ·y' = 2xהממלא . y(3)=0 ג .מצא את הפתרון של ) y' = (x+2)/(y2-1הממלא ) . y(2)=3השאר בצורה סתומה(. 2x-y 17 פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות עמוס ארליך תרגיל .4 את שתי המשוואות הבאות אפשר לפתור בשיטה הבאה :נגדיר פונקציה חדשה ,z=y/xואז y=xzולכן ' . y'=z+xzנחליף את ה-y -ים וה-y' -ים שבמשוואה הדיפרנצילית הנתונה ונקבל משוואה ב z ,x -וz' - בלבד .נפתור אותה )כלומר ,נמצא בעזרתה את zכפונקציה סתומה או מפורשת של ,(xומזה נקבל את הפונקציה yהמבוקשת. אx + y = xy' . 2 2 2 בx + 3xy + 2y = (3x + 2xy)·y' . ד .מד"ר ללא x לא קשה לראות שלמשוואה y’=y+3הפתרון . y=Aex-3 הבה נמצא זאת בדרך הטובה להרבה מד"ר-ללא. x- נפריד משתנים ללא העברת הכל לאגף אחד )גם מקודם לא היה הכרח להעביר לאגף אחד(1 y'=1 : y-3 ln(y-3)=x+C ומכאן y-3 = ex+C לכן x x+C x C . y=Ae -3 נסמן את eב A -ואז e =Aeונכאן הפתרון תרגיל :5 א .פתור את y’=y ומצא את הפתרון הפרטי העובר ב(0,1)- 2 משמאל הפתרון המבוקש ,שהוא , y= 1ולשם 2-x ההשוואה מופיע איתו במקווקו גם הגרף של .y = ex התוכל לראות כיצד נובעים ההבדלים שביניהם מההבדלים במשוואות הדיפרנציאליות? 1 ב .פתור את . y’=5-y y’=5-y פתרונות גרפיים משמאל .האם אתה רואה את הקשר שבין המד"ר ובין העובדה שכאשר xגדל מתקרבים הפתרונות לגרף של ? y=5 5 5 18 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות ) (6מערכת משוואות דיפרנציליות או ארנבות ושועלים אם יש בשטח מספיק שועלים אז לארנבות יש מספיק אוכל. אין כאן בלבול .אני יודע שארנבות אינן אוכלות שועלים .אדרבא ,השועלים טורפים ארנבות .אך אלמלא כן היו הארנבות מתרבות ללא הגבלה ,מכלות את רוב המזון שמצמיחה האדמה וסובלות רעב .אוכלוסית השועלים מפקחת אפוא על גודל אוכלוסית הארנבות .במקביל מפקחת אוכלוסית הארנבות על גודל אוכלוסית השועלים .מספר מסויים של ארנבות דרוש לשועלים כדי שלא לגווע ברעב ,ומספר יותר גדול יאפשר לשועלות להייניק ולגדל את גוריהן. בסעיף זה נטפל במהלכי ההשתנות של אוכלוסיות טורפים ואוכלוסיות טרף בעזרת משוואות דיפרנציליות. לשם הפשטות נצטמצם למין אחד של טורף ומין אחד של טרף החיים באזור מסויים ,נניח שלטורף הנידון אין טרף חלופי ואילו הטרף אינו סובל ממחסור במזון ,ונניח ששניהם אינם נטרפים על-ידי טורף נוסף .בטבע אין תנאים כאלה מתמלאים במלואם ,ולכן גם מסקנותינו המתמטיות לא תתאמנה בשלמות למתרחש בטבע ,אך יהיה בהן כדי לסייע בהבנת תופעות שבמציאות ואפילו לאפשר צפיה-מראש של תופעות. המתמטיקאי האיטלקי Volterraשם לב לכך שהכמויות של מין דג מסויים המוצעות למכירה בשוקי עירו, נתונות לתנודות מחזוריות .בהמשך מצא תנודות דומות אך לא זהות גם בכמויותיו של דג אחר הטורף את המין הראשון .הוא בנה משוואות דיפרנציאליות דומות לאלה שנטפל בהן להלן ,וחקירתן הסבירה יפה את התופעות שנצפו בשוק הדגים. המשוואות שתשמשנה אותנו כאן הוצעו על-ידי . A. J. Lotka מערכת המשוואות נסמן ב x -את הזמן )יחידת המידה תהיה ,למשל ,חודש אחד(, נסמן ב y -את גודלה של אוכלוסית הארנבות )יחידת המידה תהיה ,למשל 10 ,ארנבות לקמ"ר(, ונסמן ב z -את גודלה של אוכלוסית השועלים )יחידת המידה תהיה ,למשל 1 ,שועל לחמישה קמ"ר(. הערה :בחרנו בסימנים אלה ,ולא ב t -בשביל ,timeב R -בשביל rabbitsוב F -בשביל foxesכדי שהתוכנית שנבנה בהמשך תתאים גם לנושאים אחרים. קצב הלידות של הארנבות פרופורציוני למספר הארנבות הקיימות לכן שווה ל ,Ay -כאשר Aהוא גורם פרופורציה מתאים) .לאמיתו של דבר נקבע קצב הלידות על-ידי מספרן של הארנבות הנקבות בלבד ,כי תמיד יש מספיק ארנבים זכרים ,אך אנו מניחים שמספר הנקבות שווה למספר הזכרים ,ולכן פרופורציוני קצב הלידות למספר הכולל (.y קצב המפגשים של ארנבת ושועל לצורכי סעודה )של השועל( פרופורציוני הן למספר הארנבות והן למספר השועלים ,ולכן שווה ל Byz -עם גורם פרופורציה Bמתאים. מזה עולה ש ,y' -שהוא קצב הגידול הכולל של אוכלוסית הארנבות ,הוא . y' = Ay - Byz נעבור לדון בקצב ההתרבות של השועלים. נסמן ב C -את גודל אוכלוסית הארנבות המספיק כדי שאוכלוסית השועלים לא תעלה ולא תרד .במלים אחרות ,אם y=Cאז כנגד כל שועל הגווע ברעב מצליחה שועלה אחת ,זריזה ובעלת מזל ,לגדל גור אחד .אם y-C>0אז אוכלוסית השועלים עולה ואם y-C<0אז אוכלוסית השועלים יורדת .כהנחת פשטוּת נניח ש,z' - שהוא קצב הגידול של אוכלוסית השועלים ,פרופורציוני ל.y-C - נוסף לזאת פרופורציוני ' zגם ל z -כי ככל שיש יותר שועלים כן יש יותר שועלים איטיים הגוועים ברעב וגם יותר שועלות זריזות אשר גם בני-זוגן הם ציידים טובים המסייעים בהאכלת הגורים .כך נקבל שקיים גורם פרופורציה Dאשר ). z' = D·z·(y-C 19 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות לצורך הדיון שבסעיף הנוכחי נבחר בקבועים C=15 ,B=0.1 ,A=0.5ו D=0.05 -ונקבל את מערכת המשוואות y' = 0.5y - 0.1yz )z' = 0.05z·(y-15 הערה :ערכיהם של הקבועים תלויים בסוג הטורף והטרף וביחידות המידה לזמן ולגודלי האוכלוסיות. בציור א שלהלן )אחרי התוכנית ששרטטה אותו( מופיע פתרון אחד של מערכת המשוואות .פתרון זה הוא, כמובן ,זוג פונקציות ,שהרי מערכת המשוואות שלנו עוסקת בשתי פונקציות נעלמות yו) z -שתיהן פונקציות של המשתנה .(x כדי לקבל את הפתרון הזה ,או כל פתרון אחר ,היה עלינו לקבוע זוג ערכים התחלתיים y0ו z0 -בשביל אותו זמן התחלה . x0 התוכנית DifEq2 תוכנית זאת מיועדת לתת פתרונות גרפיים למערכת שתי משוואות דיפרנציליות DifEq2דומה לתוכנית DifEqהישנה ,אך מכיוון שהיא עוסקת בשתי משוואות יש בה שתי פקודות ,DEF המופיעות בשורות ב ו-ג) .פקודות אלה מתאימות לבעית הארנבות והשועלים .לצורך מערכת משוואות אחרת יש להחליפן בהתאם(. מכיוון שהתוכנית עוסקת בשתי פונקציות היא זקוקה לשני ערכי-התחלה .אלה ניתנים בשורות ז ו-ח )וגם הם ניתנים להחלפה לפי הצורך(. שני ערכי-התחלה אלה מתאימים לאותו ערך-התחלה של המשתנה החופשי ,xוכך יכולה התוכנית לצאת מהם ולחשב במקביל את ה-Æy -ים וה-Æz -ים )שורות יט ו-כ( ,לשפר אותם במקביל )שורות כא ו-כב( ולצעוד במקביל אל xחדש ואל ה y -וה z -החדשים המתאימים לו )שורות כג ,כד ו-כה(. זוג הנקודות החדש משורטט בשני צבעים )שורות כו עד כט( .הבדל נוסף שבין DifEqו : DifEq2 -גבולות המסך וערכי ההתחלה מופיעים ב DifEq2 -בגוף התוכנית ,בפקודות ,READ - DATAולא בפקודות ,INPUTוכל הרצה נותנת פתרון אחד .להבדל זה אין סיבות עקרוניות. '! = y '! = z ! window ! initial values PROGRAM DifEq2 "LIBRARY "sifria DEF f(x,y,z) = 0.5*y-0.1*y*z )DEF g(x,y,z) = 0.05*z*(y-15 READ a,b,c,d DATA 0,40,0,40 )CALL axes (a,b,c,d READ x0,y0,z0 DATA 0,23,7 א ב ג ד ה ו ז ח LET Dx = (b-a)/1000 )CALL steps(Dx )CALL steps(-Dx ט י יא )SUB steps(Dx PLOT x0,y0 PLOT x0,z0 LET x=x0 LET y=y0 יב יג יד טו טז 20 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות LET z=z0 DO LET Dy=f(x,y,z)*Dx LET Dz=g(x,y,z)*Dx LET Dy=f(x+Dx/2,y+Dy/2,z+Dz/2)*Dx LET Dz=g(x+Dx/2,y+Dy/2,z+Dz/2)*Dx LET x=x+Dx LET y=y+Dy LET z=z+Dz "set color "red PLOT x,y "set color "yellow PLOT x,z LOOP until x<a or x>b PLOT END SUB END והרי הפתרון שנותנת הרצת התוכנית בצורתה הנוכחית )כלומר ,עם נתונים מספריים כבשורות ה- DATAה ו-ח(. ארנבות שועלים ציור א תרגילים .כל תרגילי סעיף זה עוסקים במערכת המשוואות הספציפית שלנו ,שהיא מודל מתמטי לאקולוגיה של טורף וטרף ,ולא בתורה הכללית של מערכות של משוואות דיפרנציליות. תרגיל .1עיון בציור א יראה שהנתונים שהוכנסו לתכניתנו מביאים לתופעות הבאות: א .כצפוי יורדת אוכלוסית הארנבות במהירות כאשר אוכלוסית השועלים מקסימלית ועולה במהירות כאשר אוכלוסית השועלים מינימלית ,ואילו אוכלוסית השועלים עולה במהירות כאשר אוכלוסית הארנבות מקסימלית ויורדת במהירות כאשר אוכלוסית הארנבות מינימלית. ב .שתי האוכלוסיות משתנות השתנות מחזורית .זמן המחזור )לשתיהן( הוא כ 102/3 -חדשים ) 3 מחזורים בכ 32 -חודש(. ג .אוכלוסית השועלים נעה בין 2.5ובין 9שועלים לחמישה קמ"ר ,בקירוב. ד .אוכלוסית הארנבות נעה בין 8ובין 25עשרות-ארנבות לקמ"ר ,בקירוב. ה .הירידות באוכלוסית הארנבות תלולות ,בממוצע ,.מן העליות ,ואילו אצל השועלים התמונה הפוכה. שנה את ערך yoשבשורה ח מ 23 -ל 30 -ומצא כיצד משפיע שינו זה על התוצאות האלה. נסה גם שינויים אחרים. 21 יז יח יט כ כא כב כג כד כה כו כז כח כט ל לא לב לג עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות תרגיל .2 אפשרות א :עיין במשוואות הדיפרנציליות ומצא בשביל אילו ערכי yו z -האוכלוסיות נשארות יציבות ,כלומר .y'=z'=0 ,בדוק את הדבר על-ידי הרצת התוכנית עם yoו zo -המתאימים. אפשרות ב :הרץ את התוכנית עם ערכי-התחלה yoו zo -שונים עד שתמצא ערכי התחלה כאלה שבשבילם שני הגרפים הם ישרים אופקיים .כיצד מתקשר הדבר עם המשוואות הדיפרנציליות? תרגיל .3 א .החלף את ה 15 -שבשורה ג ב 20 -ואת ה 23 -שבשורה ח החלף ב , 30.666 -כלומר ,הגדל בשליש הן את מספר הארנבות הדרוש לשועלים כדי לשמור על גודל אוכלוסיתם והן את המספר ההתחלתי של הארנבות )שאר הנתונים שבתוכנית יהיו כבגירסה המקורית שלעיל( ,הרץ ומצא כיצד משפיע השינוי על התוצאות. נספח :התוכנית FoxRab ההבדל הענייני העיקרי שבין FoxRabובין DifEq2הוא בזה שבמקום הפקודות PLOT x,yו- PLOT x,zמופיעה ב FoxRab -הפקודה .PLOT y,zכתוצאה מהבדל זה אין FoxRabמשרטטת זוג גרפים אלא את המסלול שיוצרות הנקודות ) (y,zכאשר xמשתנה )כלומר ,במהלך הזמן(. תוכנית קודמת בשם FOXRABהופיעה ב Basic Rrogramming -מאת KemenyוKurtz - בשנת .1967ההבדלים שבין תוכניתם ובין תוכניתי הנוכחית נובעים ,בין השאר ,מזה שב1967 - עדיין לא בנו קמני וקורץ את ה True-Basic -בעל פקודות השרטוט הנוחות .ההבדלים שבין FoxRabהנוכחית ובין DifEq2קשורים בזה ש DifEq2 -נועדה למערכת שימושים יותר רחבה החורגת מהסעיף הנוכחי. לא נדון בפירטי התוכנית ,FoxRabאך נתאר את מה שהיא עושה. בעקבות ההרצה בונה המחשב ציר 0<y<40אופקי וציר 0<z<20אנכי ,ומבקש y0ו .zo -עם קבלתם של אלה מודפס 0על יד הנקודה המיצגת את כמות הארנבות וכמות השועלים בזמן ההתחלה .אחר-כך משרטט המחשב קשת קצרה המתארת את השתנות yו z -במשך יחידת זמן אחת )"חודש"( ,מדפיס בסופה 1וממתין להקשת מקש כלשהו. אם מקישים על מקש-רווח )או על מקש אחר שאינו (escapeממשיך המחשב את הקשת עד לנקודה המתאימה לזמן ,2מדפיס שם ,2ממתין להקשת מקש וכו'. אם מקישים על מקש escapeחוזר המחשב ומבקש נקודת התחלה ) (x0,yoחדשה. התוכנית נמצאת בתיק MATH/ANALYSIS/DIFEQSוהרי תוצרתה: 20 ש ו ע ל י מה יתקבל בשביל )? (xo,yo)=(15,5 הנך מוזמן להריץ את התוכנית 40א ר נ ב ו ת 0 22 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות בשינויי נתונים. *קוסינוס וסינוס יהי ) y=sin(xו z=cos(x) -ואז יהיה y’=zו z’=-y -וכן ,בשביל x=0יהיה y=0ו .z=1 -נוכל אפוא להתאים את DifEq2לשרטוט הגרפים של סינוס וקוסינוס. לשאלה בשביל מה לעשות זאת יש לי שתי תשובות. א .כדי להתאמן בהכנסת שינויים בתוכנית) .התוצאה שתתקבל תראה אם עשינו זאת כהלכה(. ב .כדי להראות שצמד המד"ר ונקודות המוצא שלעיל יכלו לשמש להגדרת סינוס וקוסינוס ) כמו שהמשוואה y’=yעם נקודת ההתחלה ) (0,1יכלו להגדיר את .( ex אם אף אחת מהתשובות לא מלהיבה אותך – דלג אל הסעיף הבא ,שהוא יותר שימושי .אם כן – הרי השינויים הדרושים: בשורות ב ו-ג נכתוב DEF f(x,y,z)=zו, DEF g(x,y,z)=-y - בשורה ה )נתוני הצירים( נכתוב ,למשל, DATA -7,20,-2,2 , ובשורה ח )נתוני התחלה( נכתוב . DATA 0,0,1 והרי התוצאה: סינוס 20 π קוסינוס 1 -7 ) (7משוואות דיפרנציליות מסדר שני משוואה שצורתה )' y'' = g(x,y,yאו משוואה שניתן להביאה לצורה זאת ,נקראת משוואה דיפרנצילית מסדר שני ,y'') .שהיא הנגזרת של הנגזרת של ,yנקראת גם נגזרת מסדר שני של (.y התוכנית DifEq2מתאימה גם לפתרון משוואה דיפרנצילית אחת מסדר שני .הא כיצד? אם נסמן את ' yבz - y' = z נקבל את מערכת המשוואות )מסדר ראשון( )z' = g(x,y,z ונשנה את פקודות ה DEF -שבשורות ב ו-ג בהתאם. )y'' = -xy/(y'2+0.2 לדוגמה ,מהמשוואה )z' = -xy/(z2+0.2 y' = zו- נקבל DEF f(x,y,z) = z ופקודות ה DFF -צריכות להיות )DEF g(x,y,z) = -x*y/(z^2+0.2 אם אנו רוצים בגרף של yאך לא בגרף של נגזרתו ,zיש לבטל את הפקודה ) PLOT x,zואת פקודות הצבע( ,אך חובה לתת ערך התחלתי גם ל) z -מספר שלישי בשורה ח( ,שהרי במהלך חישוב ערכי הy - החדשים משתתפים גם ערכי ה.z - 23 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות והרי הגרפים שהתקבלו מ DifEq2 -עם -DEFים כדלעיל ועם DATA -3,15,-8,8בשביל הצירים )שורה ו( ו DATA 0,3,-1 -בשביל xo, yo, zo )שורה ח(. אם רצונך לנסות את התוכנית בעצמך נסה את ) y''=-y/(y'2+0.2או את )y''=y/(y'2+0.2 עם DATAכנ"ל או אחרים. כמה פרמטרים צריך הפתרון הכללי? הפתרון הכללי )בצורת נוסחה( של משוואה דיפרנצילית מסדר ראשון צריך לכלול פרמטר אחד )לפחות(, ואילו הפתרון הכללי של משוואה מסדר שני צריך שני פרמטרים .ההבדל נובע מזה שאצל משוואה מסדר ראשון נקבע כל פתרון פרטי על-ידי בחירת ערך y0בשביל ערך x0התחלתי כלשהו ,ואילו אצל משוואה מסדר שני נקבעים הפתרונות הפרטיים על-ידי בחירת שני ערכים שיותאמו ַל xo -ההתחלתי ,האחד הוא ערך yoוהשני הוא ערך ) y'oהמסומן אצלנו גם .(zo נבהיר את מקור הקשר שבין מספר ערכי ההתחלה הקובעים פתרון פרטי ובין מספר הפרמטרים הנדרשים בפתרון הכללי ,בעזרת שתי דוגמאות ,האחת בשביל משוואה דיפרנצילית מסדר ראשון והאחרת בשביל משוואה דיפרנצילית מסדר שני. את המשוואה y'=x+2y+3פתרנו לעיל )על-ידי ניחוש והתאמת קבועים( וקבלנו את הפתרון הכללי 2x y = -0.5x -1.75 + Aeעם הפרמטר .A כדי לקבל מפתרון כללי זה את הפתרון הפרטי המקבל בשביל x=xoאת הערך , y0לבחור Aכזה שבשבילו 2x מתמלא השוויון . yo = -0.5xo -1.75 + Ae o לכל xoו yo -אפשר להבטיח את התמלאות השוויון הזה אם מסתכלים עליו כעל משוואה בנעלם יחיד A 2x ופותרים משוואה זאת .הפתרון הוא .A=(yo+0.5xo+1.75)/e o כדוגמה מסדר שני נתבונן במשוואה הפשוטה .y''=2פתרון כללי שלה הוא .y=x2+Ax+B כדי לקבל ממנו את הפתרון הפרטי המקבל בשביל xoמסוים את הערך yoונגזרתו מקבלת שם את הערך y'0 )= ,(zoיש לבחור Aו B -המבטיחים התמלאות שני שוויונות yo=xo2+Axo+B :ו .y'o=2xo+A -פתירתם כמערכת שתי משוואות בשני הנעלמים Aו B -נותנת את המבוקש. פתרון כגון ,y=x2+Ax+Aשיש בו רק פרמטר אחד ,אינו כללי די הצורך .למשל ,אי אפשר לקבל ממנו את הפתרון הממלא את תנאי ההתחלה yo=4 ,xo=3ו y'o=5 -כי שום Aאינו ממלא הן את השוויון 4=32+A·3+Aוהן את השוויון . 5=2·3+A הערה :לפעמים גם פתרון הכולל שני פרמטרים אינו נותן את כל הפתרונות הפרטיים של משוואה דיפרנצילית מסדר שני .דוגמה פשטנית היא הפתרון ) y=x2+(A+B)xלמשוואה .( y''=2 24 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות תרגיל .1 יהי ) y=Ax+Bcos(xהפתרון הכללי של משוואה דיפרנצילית כלשהי. א .מצא את הפתרון הפרטי שבשביל x=0מקבל yאת הערך 5ואילו ' yמקבל את הערך . 2 ב .מצא את הפתרון הפרטי שאצלו מתקבלים הערכים הנ"ל בשביל . x=1 תרגיל .2 הפתרון הכללי של המשוואה y''=yהוא y=Ae +Be א .בדוק זאת. ב .איזה פתרון פרטי ממלא את תנאי ההתחלה . y'0=3 , yo=7 , xo=0 ג .מצא פתרון כללי למשוואה . y''=4y -x x תרגיל .3 א .מצא פתרון כללי למשוואה ' y''=yבדרך הבאה :תחילה מצא ביטוי כללי )ב (x -בשביל ' yובעזרתו מצא את .y ב .איזה פתרון פרטי ממלא את תנאי ההתחלה . y'0=3 , yo=7 , xo=0 תרגיל .4פתור את . y''=y'-x+3 הנחייה :פתור פתרון זה אינו שונה בטבעו מן הפתרון y=x +Axובדרך כלל לא נתקשה להבחין בפרמטר שני שאינו תורם מאומה. יש מקרים שבהם הפרמטר השני מוסיף פתרונות אך לא את כל הפתרונות .לא נביא כאן דוגמה כזאת. במקומה נראה דוגמה של משוואה דיפרנצילית מסדר ראשון ושל פתרון עם פרמטר יחיד התורם למגוון הפתרונות אך אינו נותן את כולם .הדוגמה היא המשוואה y'= yעם הפתרון ,y=(x+A)2/4כאשר שום ערך של הפרמטר Aאינו נותן את הפתרון . y=0 מקרים מסוג זה אינם שכיחים במדעים המשתמשים במתמטיקה וספרנו לא יעסוק בהם. 2 תחילה את z'=z-x+3על-ידי בדיקת ההשערה שהפתרון הוא מהצורה . z=AeBx+Cx+D ) (8משוואות דיפרציליות לינאריות הומוגניות במקדמים קבועים )a(x)·y'+b(x)·y = f(x משוואה דיפרנצילית לינארית מסדר ראשון היא משוואה שצורתה ומשוואה דיפרנצילית לינארית מסדר שני היא משוואה שצורתה ). a(x)·y''+b(x)·y'+c(x)·y = f(x אם מקדמיהם של y' ,yו y'' -הם מספרים קבועים נוסיף לכינוייהן של המשוואות את המלים "במקדמים קבועים" ,וזאת גם כאשר ) f(xאינה מספר קבוע. אם ) f(xהוא הקבוע 0נוסיף לכינוייהן של המשוואות את המלה "הומוגנית". בסעיף זה נלמד לפתור את כל המשוואות הדיפרנציליות ההומוגניות במקדמים קבועים מסדר ראשון ושני, כלומר ,את כל המשוואות מהצורה ay'+by=0או .ay''+by'+cy=0בסעיף הבא נדון באלה שאינן הומוגניות ונפתור חלק מהן. א .המשוואה ay'+by=0 כאן אין כל חדש .כל משוואה כזאת )עם aשאינו (0תוכל להכתב בצורה ,y'=kyלמשוואות אלה הוקדש סעיף 2שלנו והפתרון הכללי הוא ) .y=Aekxרק Aהוא פרמטר הנותן את כלליות הפתרון k .הוא המספר הקבוע שהופיע במשוואה(. 25 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות ב .המשוואה y''-5y'+6y=0ומשוואות דומות לאור א נחפש גם למשוואה הנוכחית פתרון שצורתו . y=AeBx בשביל yזה יהיה y'=ABeBxו y''=AB2eBx -לכן אנו זקוקים ל A -ו B -כאלה שבשבילם יתמלא AB2eBx-5ABeBx+6AeBx=0 אם A=0ברור שהתנאי מתמלא .אם לא אז נוכל לחלק ב ,A -וכמובן גם ב , eBx -ולכן שקול התנאי הנדרש ל B2-5B+6=0 -לכן גם B=2וגם ,B=3שהם שני הפתרונות של המשוואה הריבועית שקיבלנו ,מספקים פתרונות למשוואה הדיפרנצילית. כך קיבלנו שתי משפחות של פתרונות 6 למשוואתנו. באחת נמצאות הפונקציות שצורתן y''-5y'+6y=0 . y=Ae2xשלוש מהן משורטטות משמאל בקו מקווקו .שתים עם Aחיובי ואחת עם Aשלילי. באחרת נמצאות הפונקציות שצורתן . y=Ae3xארבע מהן משורטטות משמאל -2 4 בקו נקוד .לאחת מהן Aשלילי בציור מופיע בקו מלא גרף נוסף .גרף זה הוא של הפתרון המתקבל בשביל משוואתנו עם נתוני-ההתחלה ,xo=1 yo=3ו. y'o=3 - -6 לא קשה לראות שפתרון זה אינו שייך לא למשפחה הראשונה ולא למשפחה השניה ,אך עם קצת דמיון אפשר להעלות את ההשערה שהוא יכול להתקבל כסכום של אחד מכאן ואחד מכאן ,כלומר ,צורתו היא .y = A1e2x+A2e3x )אפשר אפילו לשער שבדוגמתנו A1חיובי ו A2 -שלילי עם ערך מוחלט קטן מ(. A1- אם נוכיח ש y = A1e2x+A2e3x -הוא פתרון של משוואתנו אז נדע שהוא פתרון כללי ,כי בבחירה מתאימה של ערכים בשביל הפרמטרים A1ו) A2 -על-ידי פתירת המשואות המתאימות( נוכל להבטיח התמלאות כל נתוני-התחלה שנרצה. הבה ננסח משפט יותר כללי. משפט :1אם למשוואה הריבועית ax +bx+c=0יש שני פתרונות שונים x=k1ו, x=k2 - 2 אז למשוואה הדיפרנצילית ay''+by'+cy=0הפתרון הכללי . y = A1ek1x + A 2ek 2 x אפשר להוכיח את המשפט על-ידי גזירות והצבה במשוואה הדיפרנצילית. תרגיל .1עשה זאת. לחילופין אפשר להשתמש בחלק ב של המשפט הבא ,שהוא משפט יותר כללי: משפט .2לכל משוואה דיפרנצילית לינארית הומוגנית )מכל סדר( א .אם ) y=g(xהוא פתרון ואם Cמספר קבוע אז ) y=C·g(xהוא פתרון. ב .אם ) y=g1(xו y=g2(x) -הם פתרונות אז ) y=g1(x)+g2(xהוא פתרון. והרי הוכחה של ב בשביל משוואה לינארית הומוגנית מסדר שני במקדמים קבועים. = ))a(g1(x)+g2(x))'' + b(g1(x)+g2(x))' + c(g1(x)+g2(x 26 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות = (a·g1''(x) + b·g1'(x)+ c·g1(x) ) + (a·g2''(x) + b·g2'(x)+ c·g2(x) ) = 0 + 0 = 0 ההוכחה לא עשתה שימוש של ממש בזה שהמקדמים b ,aו c -הם מספרים קבועים לכן היא טובה גם בשביל המקרה שבו המקדמים הם פונקציות של .xכן לא השתמשה ההוכחה בזה ש a≠0 -לכן היא טובה גם בשביל משוואה מסדר ראשון. תרגיל .2הוכח את א בשביל משוואה לינארית הומוגנית מסדר ראשון. )זה יספיק! דרך מקרה פשוט זה אפשר יהיה לראות שהטענה נכונה גם למקרים האחרים!( ג .המשוואה y''-10y'+25y=0ומשוואות דומות אם ננסה לפתור את y''-10y'+25y=0בדרך שבה התחלנו את פתירת y''-5y'+6y=0נקבל רק את ,y=A1·e5xכי למשוואה הריבועית B2-10B+25=0יש רק פתרון אחד והוא . B=5 אנו זקוקים לפתרון נוסף ,כי הפתרון שכבר בידינו מכיל פרמטר יחיד ולכן אינו פתרון כללי. איני יודע אם הרעיון לנסות את y=x·e5xהוא רעיון טבעי ביותר ,אבל בדיקה תראה שהוא רעיון מוצלח. נבדוק: 5x 5x 5x 5x 5x גזירה אחת תתן שבשביל yזה y' = e +x·5e ,ת וגזירה נוספת תתן ש.y'' = 5e +5e +x·25e - נציב ונקבל ש- y''-10y'+25y = ( 5e5x+5e5x+x·25e5x) - 10(e5x+x·5e5x) + 25(x·e5x) = 0·e5x+0·xe5x = 0 כנדרש. על פי משפט 2א גם y=A2·xe5xהוא פתרון ,ועל פי משפט 2ב גם y=A1·e5x+A2·xe5xהוא פתרון ,וזה כבר פתרון כללי. נכליל ונקבל משפט :3אם למשוואה הריבועית ax2+bx+c=0יש פתרון יחיד , x=k אז למשוואה הדיפרנצילית ay''+by'+cy=0הפתרון הכללי .y = A1ekx+A2xekx הוכחה: גזירה ראשונה תתן שy' =A1kekx+A2ekx+A2xkekx - גזירה שנייה תתן שy'' = A1k2ekx+A2kekx+A2kekx+A2xk2ekx - נציב באגף שמאל של המשוואה הדיפרנצילית ונקבל = ay''+by'+cy = )= a( A1k2ekx+A2kekx+A2kekx+A2xk2ekx)+b(A1kekx+A2ekx+A2xkekx) + c( A1ekx+A2xekx )= A1ekx(ak2+bk+c) + A2ekx(2ak+b) + A2xekx(ak2+bk+c הביטוי שהמסגרת הראשונה ובמסגרת השלישית שווה ל 0 -כי kהוא פתרון של . ax2+bx+c=0 ומכיוון ש x=k -הוא פתרון יחיד הוא מתאים לנקודת המקסימום או המינימום של הפרבולה המתאימה ,ושם הנגזרת מתאפסת ,כלומר ,2ax+b=0 ,לכן מתאפס גם הביטוי שבמסגרת האמצעית ולכן מתמלאת המשואה הדיפרנצילית . ay''+by'+cy=0 ד .המשוואה y''-4y'+13y=0ומשוואות דומות אם נלך בדרך שבה נקטנו מקודם וננסה לחפש פתרון מהצורה y=Aekxנגיע אל המשוואה . k2-4k+13=0למשוואה זאת אין שום פתרון ממשי ,לכן נחפש דרך אחרת. פתרון גרפי של משוואתנו לא נתן משהו שירמוז על נוסחה אפשרית ,לכן ניסינו משוואות אחרות מאותו סוג, כלומר משוואות דיפרנציליות לינאריות הומוגניות במקדמים קבועים הנותנים משוואה ריבועית ללא פתרון ממשי; אך עם מקדמים השונים במדה ניכרת מהמקדמים שאצל זו שלא הועילה. תוצאה מעניינת התקבלה אצל y’’-2y’+250y =0עם התחלה ב (x,y,y’)=(0,1,0) -והרי היא לפניכם: 27 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות בגלל נקודת ההתחלה שבחרנו עובר הגרף דרך ) , (x,y)=(0,1והוא דומה לגרף הקוסינוס גם בזה שהוא מתנודד בתנודות בעלות רוחב קבוע. אך משרעת התנודות אינה קבועה, ונקודות המקסימום )והמינימום( נראות כאילו הן על גרף של פונקציה מעריכית .ekx לאור זה עולה ההשערה שהפתרון הוא מהצורה ). y = ekxcos(mx ניגש אפוא לבדוק אם אמנם יש kו- mכאלה שהפתרון המשוער אמנם פותר את המד"ר שלנו. )y’ = kekxcos(mx) - mekxsin(mx נגזור: 2 kx kx kx 2 kx )y’’ = k e cos(mx)-km e sin(mx) - km e sin(mx)-m e cos(mx נגזור שנית: ) )(k2ekxcos(mx)-km ekxsin(mx) - km ekxsin(mx)-m2ekxcos(mx נציב במד"ר: kx kx kx -2(ke cos(mx) - me sin(mx)) + 250 e cos(mx) =0 נחלק בגורם המשותף ) ekxתמיד חיובי( ונפריד סינוסים וקוסינוסים: 2 2 cos(mx)(k –m -2k+250) + sin(mx)( -2km+2m) = 0 כדי שהחלק הסינוסי יתאפס צריך להיות . k=1נציב בחלק הקוסינוסי ונקבל 1-m2-2+250=0לכן לתפקיד mיתאימו 249ו , - 249 -ומכיוון ש cos(- 249 x) = cos( 249 x ) -לא חשוב במי מהם נבחר. קיבלנו אפוא את הפתרון ).y = excos( 249 x פתרון זה אינו פתרון כללי למשוואתנו .נקדים ונאמר שהפתרון הכללי הוא )y = A1excos( 249 x) +A2exsin( 249 x לאור משפט 2שלעיל כל מה שעלינו להראות הוא ש y = exsin( 249 x) -הוא פתרון. תרגיל .3הראה זאת! הגיע הזמן לחזור אל המשוואה . y''-4y'+13y=0 האם גם למשוואה זאת פתרון מהצורה ) y = e cos(mxאו מהצורה ) y = e sin(mxאו צירוף שלהן? הבה נבדוק את האפשרות ). y = ekxcos(mx שלב הגזירות יהיה בדיוק כמו מקודם .נציב במשוואתנו ונקבל 2 kx kx kx ) )(k e cos(mx)-km e sin(mx) - km e sin(mx)-m2ekxcos(mx -4(kekxcos(mx) - mekxsin(mx)) + 13 ekxcos(mx) =0 נחלק ב) ekxתמיד חיובי( ונפריד סינוסים וקוסינוסים כמו שעשינו לעיל: 2 2 cos(mx)(k –m -4k+13) + sin(mx)( -2km+4m) = 0 כדי שהחלק הסינוסי יתאפס צריך להיות . k=2נציב בחלק הקוסינוסי ונקבל 4-m2-8+13=0לכן לתפקיד mיתאים הפעם , 3והפתרון יהיה ). y = e2xcos(3x kx kx בדיקה דומה לזו שביקשנו בתרגיל 3תראה שגם ) y = e2xsin(3xהוא פתרון ,ומכאן הפתרון הכללי ). y = A1e2xcos(3x)+ A2e2xsin(3x 28 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות מן המקרים הפרטיים נעבור למשפט כללי משפט :4אם ) b2-4ac<0כך זה כאשר למשוואה הריבועית ax2+bx+c=0אין פתרון ממשי( 2 ואם נסמן k= -bוm= -b +4ac - 2a 2a אז למשוואה הדיפרנצילית ay''+by'+cy=0הפתרון הכללי )y = A1ekx cos(mx)+A 2e kx sin(mx בעיה :מצא פתרון פרטי של y''-6y'+25=0בשביל תנאי ההתחלה y(0)=-3וy'(0)=-1 - )בלשונה של yo=-3 ,x0=0 :DifEq2ו.( zo=-1 - פתרון: נננסה פתור את המשוואה הריבועית x2-6x+25=0ונקבל שאין לה פתרון ממשי ,לכן משפט 4הוא המשפט המתאים לפתרונה. בסימון שבמשפט זה k= 6 =3ו m= -36+100 =4 -לכן הפתרון הכללי הוא 2 2 . y = A1e3xcos 4x + A2e3xsin 4x .-3 = A1e0cos 0 + A2e0sin 0 = A1·1·1+A2·1·0 = A1 מתנאי ההתחלה y(0)=-3נקבל 3x 3x 3x y' = A1·3e cos 4x - A1·4e sin 4x + A2·3e sin 4x + A2·4e3xcos 4x נגזור: -1 = 3A1+4A2 ומתנאי ההתחלה ) y'(0)=-1והשוויונות e0 = cos 0 = 1ו ( sin 0 = 0 -נקבל -1 = -9+4A2 לכן A2 =2 לכן . y = -3e3xcos 4x + 2e3xsin 4x והפתרון הפרטי המבוקש הוא תרגיל . 4מצא פתרון כללי לכל אחת מהמשוואות הדיפרנציליות הבאות ,ואם נתונים תנאי התחלה מצא גם פתרון פרטי מתאים. א . y''=y .א:1תנאי ההתחלה הם y(0)=1ו .y'(0)=0 -א:2תנאי ההתחלה הם y(0)=1ו.y'(0)=1 - ב . y''=-2y'+3y .תנאי ההתחלה הם y(0)=1ו.y'(0)=2 - ג . y''+3y'-4y=0 .תנאי ההתחלה הם y(1)=1ו.y'(1)=200 - ד. y''+6y'+9y=0 . ה .y''-4y'+5=0 .תנאים y(1)=3 :ו) . y(-1)=1 -אלה אינם תנאי התחלה .פתור בדיוק של 4ספרות אחרי הנקודה העשרונית(. תרגיל .5לשתי המשוואות הבאות פתרונות ידועים ומוכרים .פתור אותן כעת לפי משפט 3ומשפט .4 אy''=0 . בy''=-4y . * נספח :פתירת הבעיה שפתרונה הודגם לעיל )מציאת פתרון פרטי של y''-6y'+25=0 בשביל תנאי ההתחלה y(0)=-3ו ( y'(0)=-1 -בעזרת מספרים מרוכבים . בתחום המספרים המרוכבים יש פתרונות למשוואה x2-6x+25=0והם 3+4iו 3) . 3-4i -ו 4-הופיעו גם בדרך הפתירה בקודמת(. עיון בהוכחתו של משפט 1יראה שהוא בתוקף גם בשביל מספרים מרוכבים ומכאן הפתרון הכללי המרוכב y = C1e(3+4i)x+C2e(3-4i)x -3 = C1+C2 מתנאי ההתחלה y(0)=-3נקבל ,-3 = C1e0+C2e0כלומר, נגזור y' = C1(3+4i)e(3+4i)x+C2(3-4i)e(3-4i)x :ומתנאי ההתחלה y'(0)=-1נקבל 29 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות )-1 = C1(3+4i)+C2(3-4i קבלנו אפוא מערכת משוואות בנעלמים המרוכבים C1ו.C2 - )8+12i = C2· (-8i נכפול את המשוואה הראשונה ב , -3-4i -נחבר למשוואה השניה ונקבל C2= (8+12i)/(-8i) = -1.5+i ומכאן C1=-3-(-1.5+i) = -1.5-i נציב במשוואה הראשונה ונקבל והפתרון הפרטי של משוואתנו הדיפרנצילית הוא . y = (-1.5-i)e(3+4i)x+(-1.5+i)e(3-4i)x = (-1.5-i)e(3+4i)x+(-1.5+i)e(3-4i)x החישוב הבא ייתן לפתרון צורה ממשית: = )= (-1.5-i)e3x(cos 4x +i·sin 4x) + (-1.5+i)e3x(cos -4x +i·sin -4x = -3e3xcos 4x+2e3xsin 4x וזה הפתרון שקבלנו גם בדרך הראשונה. ומשבאנו לכך הרי מסלול "מרוכב" אל משפט :4 נגיע אל פתרון מרוכב אחד ) y=e(k+im)xלמשל ,כמקרה פרטי של הפתרון המרוכב הכללי( נפתחy = ekx(cos mx + i·sin mx) : גם החלק הממשי של הפתרון הזה וגם חלקו הדמיוני הם פתרונות למשוואתנו )כי היא ממשית( ,ומכאן שני פתרונות y = ekxcos mx :ו y = ekxsin mx -ומשפט 4יתקבל כצירוף שלהם לפי משפט . 2 ) (9משוואות דיפרציליות לינאריות לא-הומוגניות במקדמים קבועים א .הרכב הפיתרון הכללי בגלל הקשר החזק שבין סעיף זה ובין הסעיף הקודם נמספר את המשפטים שכאן כהמשך למספרי המשפטים ששם. משפט .5 אם ) y=g1(xהוא פתרון של המשוואה הלינארית הלא הומוגנית )ay''+by'+cy = f(x ay''+by'+cy = 0 ואם ) y=g2(xהוא פתרון של המשוואה ההומוגנית המתאימה אז ) y=g1(x)+g2(xהוא פתרון של המשוואה הלא הומוגנית. ההוכחה מתקבלת מהוכחת משפט 2ב על-ידי החלפת ה " = 0+0 = 0 " -שבסופה ב" = f(x)+0 = f(x) " - נציין שהמשפט והוכחתו הם בתוקף גם כאשר ,a=0כלומר ,גם למשוואה מסדר ראשון. משפט זה היה יכול לחסוך לנו קצת עבודה כאשר חיפשנו בסעיף הראשון של פרקנו פתרון כללי למשוואה .y'=x+2y+3זו משוואה לינארית לא הומוגנית כי ניתן לכתוב אותה בצורה . y' -2y = x+3 מהלך הדברים שם היה כזה :בשלב א מצאנו פתרון פרטי .y = -0.5x - 1.75בשלב ב התבוננו בגרפים, לאור מה שראינו חיפשנו פתרון כללי מהצורה ,y = -0.5x - 1.75 + AeBxועל-ידי גזירה ,הצבה והתאמת מקדמים קיבלנו .y = -0.5x - 1.75 + Ae2x לפי משפטנו החדש יכולנו להחליף את שלב ב במהלך הבא: נעבור מהמשוואה הדיפרנצילית הלא הומוגנית אל המשוואה ההומוגנית המתאימה ,y'-2y=0או .y'=2y פתרון מיידי שלה הוא ,y=e2xולפי משפט 2א גם y=Ae2xהוא פתרון של המשוואה ההומוגנית. לפי המשפט החדש נוכל לחבר לפתרון זה של המשוואה ההומוגנית את הפיתרון y = -0.5x - 1.75של המשוואה הבלתי-הומוגנית ,ולקבל שגם y = -0.5x - 1.75 + Ae2xהוא פתרון של משוואתנו הלא- הומוגנית. פתרון זה הוא פתרון כללי כי המשוואה היא מסדר ראשון ופתרוננו מכיל פרמטר אחד .A 30 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות בעקבות המשפט והדוגמה ננסח כלל :למציאת פתרון כללי בשביל משוואה דיפרנצילית לינארית לא הומוגנית יש למצוא לה פתרון פרטי אחד ולחברו לפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה. ב .משואה לינארית עם שוויון לפולינום תרגיל .1מצא פתרון כללי למשוואה . y''-5y'+6y = 12x2+18 הנחייה :את המשוואה ההומוגנית המתאימה פתרנו בתחילת הסעיף הקודם .חפש בשביל המשוואה הלא- הומוגנית פתרון פרטי שצורתו . y = αx2+βx+γ אחרי הפתירה חשוב על השאלה כיצד ידעתי להציע לחפש פתרון פרטי בעל הצורה הזאת. תרגיל .2 א .מצא פתרון כללי למשוואה 2y'+3y = 9x3-6x2+7x+5 למציאת הפתרון פרטי נסה . y = αx3+βx2+γx+δ 2 ב .שער ובדוק מה יקרה אם תנסה פתרון פרטי מהצורה y = αx +βx+γומה יקרה אם תנסה . y = αx4+βx3+γx2+δx+ε תרגיל .3מצא פתרון כללי לכל אחת מהמשוואות הדיפרנציליות הבאות. אy''+3y'+2y = 4x3-3x2+2x-1 . בy''-2y'+y = 3 . גy'-4y = 8x2 . ד5y''-2y'+y = (x-2)2 . * תרגיל .4מצא פתרון כללי ל. y''-5y' = x+1 - ג .ניחוש פתרון פרטי מסוגו של האיבר החופשי )f(x הדרך שבה פתרנו את המשוואות מהצורה ) ay''+by'+cy = f(xעם ) f(xפולינומילי ,הסתמכה על זה שאם S היא משפחת הפולינומים ב x -ממעלה mכלשהי ומטה ,אז נגזרת של פונקציה מ S -שייכת ל ,S -מכפלת פונקציה מתוך Sבמספר קבוע שייכת ל S -וסכום שתי פונקציות מ S -שייך ל .S -בלשון קצרה אומרים זאת כך S :סגורה ביחס לגזירה ,לכפל בקבוע ולחיבור. משפחת פונקציות אחרת ,שגם היא סגורה ביחס לגזירה ,לכפל במספר קבוע ולחיבור ,כוללת את כל kx הפונקציות שצורתן , Aeעם ערכים שונים בשביל Aאך עם ערך kאחד המשותף לכל איברי המשפחה. 4x נדגים זאת בזה שנגזור ,נכפול בקבוע ונחבר פונקציות מהצורה Aeונראה שבכל מקרה מתקבלת פונקציה מאותה צורה. 4x א(5e )' = 20e4x . ב7·3e4x = 21e4x . 4x ג8e + 2e4x = 10e4x . משפחה נוספת הסגורה כנ"ל היא משפחת הפונקציות מהצורה A·cos ωx + B·sin ωxעם Aו B -קבועים כלשהם אך עם אותו .ω בדוגמה הבאה נפתור את המשוואה ,y''-5y'+6y = 2·cos 3xונראה שלפונקציות מהצורה 31 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות A·cos 3x + B·sin 3xיהיה כאן תפקיד דומה לזה שהיה לפונקציות מהצורה αx2+βx+γבפתרון המשוואה ) y''-5y'+6y = 12x2+18תרגיל .(1 נזכיר שלמשוואה ההומוגנית המשותפת לתרגיל 1ולדוגמה הנוכחי הפתרון כללי y = A1e2x+A2e3xוהוא אינו לא מהצורה A·cos 3x + B·sin 3xולא מהצורה . αx2+βx+γ ובכן ,נחפש למשוואתנו הלא הומוגנית פתרון כלשהו מהצורה . y = A·cos 3x + B·sin 3x נגזור y' = -3A·sin 3x + 3B·cos 3x :וy'' = -9A·cos 3x - 9B·sin 3x - נציב במשוואה הדיפרנצילית ונקבל שאנו זקוקים ל A -ו B -הממלאים (-9A·cos 3x - 9B·sin 3x) - 5(-3A·sin 3x + 3B·cos 3x) + 6(A·cos 3x + B·sin 3x) = 2·cos 3x נפריד את המחוברים המכילים קוסינוס מחבריהם המכילים סינוס ונקבל (-9A-15B+6A)cos 3x + (-9B+15A+6B)sin 3x = 2·cos 3x וזה יתמלא אם נמצא AוB -כאלה ש-3A - 15B = 2 - ו. 15A - 3B = 0 - פתרון שתי המשוואות יתן A = -2/78וB = -10/78 - 2 10 מכאן פתרון אחד למשוואה הדיפרנצילית ,והוא y = - cos3x - sin 3x 78 78 והפתרון הכללי הוא . y = - 2 cos3x - 10 sin 3x + A1e2x+A2e3x 78 78 הבה נכליל: תהי נתונה המשוואה ) ay''+by'+cy = f(xעם b ,aו c -קבועים .אם נציב במקום yפונקציה ממשפחת פונקציות הסגורה ביחס לגזירה ,לכפל בקבוע ולחיבור ,נקבל במקום ay''+by'+cyפונקציה שגם היא מאותה משפחה .אם נוסחת הפונקציה שהצבנו מכילה פרמטרים ,ואם ) f(xגם היא מאותה משפחה ,אז יש סיכוי טוב לכך שבחירה מתאימה של ערכים בשביל הפרמטרים תתן )באגף שמאל( ביטוי השווה ל ,f(x) -וכך נקבל פתרון אחד למשוואתנו. הערה לשונית :למונחים "משפחת פונקציות" ו"-קבוצת פונקציות" אותה משמעות .כאן בחרנו ב"-משפחה" משום שמי שנולד במשפחה שייך למשפחה .הנטייות הלשוניות שלי אינן מחייבות את שאר העולם. תרגיל .5מצא פתרון פרטי אחד לכל אחת מהמשוואות הדיפרנציליות הבאות ) .המשוואות ההומוגניות המתאימות שוות לאלה שבתרגיל (.3 אy''+3y'+2y = 100e4x . בy''-2y'+y = 10e-x. גy'-4y = 17sin x . ד5y''-2y'+y = 4·cos πx - 7·sin πx . ד .אם האיבר החופשי ) f(xפותר את המשוואה ההומוגנית כבר ראינו שפתירתה של משוואה דיפרנצילית לא הומוגנית כוללת שני חלקים ,מציאת פתרון כללי למשוואה ההומוגנית ומציאת פתרון פרטי אחד למשוואה הלא הומוגנית .מומלץ לבצע את החלק הראשון תחילה ,כי אם יתברר שמשפחתו של האיבר החופשי ) f(xפותרת את המשוואה ההומוגנית אז יהיה צורך לשנות את דרך מציאתו של פתרון למשוואה הלא הומוגנית .השינוי )שנפרטו להלן( ידָרש כי במקרה כזה ,אם נציב בחלק ההומוגני )אגף שמאל( את הביטוי הכללי בשביל משפחתו של ) ,f(xנקבל ,0ושום בחירה של ערכים בשביל הפרמטרים לא תוכל לתת את האיבר החופשי ).f(x 32 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות במקרה כזה מוצע לכפול ב x -את נוסחת הצורה הכללית של משפחתו של )) f(xואם גם זה פותר את המשוואה ההומוגנית -כפול ב .( x2 -הדוגמה הבאה תראה מדוע זה יכול לעזור. ובכן ,תהי נתונה המשוואה . y''-5y'+6y = 7·e3x כבר ראינו שהפתרון הכללי למשוואה ההומוגנית המתאימה הוא , y = A1e2x + A2e3xלכן הצבת y =Ae3x ב y''-5y'+6y -תתן .0 ננסה אפוא פתרון שצורתו .y =Axe3x . y' = Ae3x + 3Axe3x נגזור: 3x 3x 3x 3x 3x נגזור שניתy'' =3Ae + 3Ae +9Axe = 6e + 9Axe : )הביטויים שמהם נפל ה x-בעקבות הגזירה סומנו בקו-כפול ,ואילו חבריהם שבהם נותר xעל כנו סומנו בנקודות( נציב ונמצא שאנו זקוקים לערך A -שימלא (6Ae3x + 9Axe3x) – 5(Ae3x+3Axe3x) + 6Axe3x = 7e3x המחוברים הנקודים מסתכמים ל) 0 -מדוע היה זה צפוי מראש?( ,ומכאן המשוואה 6Ae3x-5Ae3x = 7e3x לכן . A = 7 פתרון פרטי למשוואתנו הוא אפוא y = 7xe3xוהפתרון הכללי הוא . y = A1e2x + A2e3x + 7xe3x תרגיל .6פתור את המשוואות הדיפרנציליות הבאות: אy'-y/2 = 3ex/2 . )פתרונה של המשוואה ההומוגנית הוא (.y=A1·e5x+A2·xe5x בy''-10y'+25y=8e5x . )ההסברים שלעיל לא אומרים במפורש מה לעשות במקרה כזה(. גy''-10y'+25y=18xe5x . דy''+8y'+20y = e4x·sin 2x . ה .משוואה עם איבר חופשי )f(x) = f1(x)+f2(x להדגמת דרך הטיפול במשוואות מסוג זה נוכל להסתפק בדוגמה מסדר ראשון ,והיא ).y' + 3y = 15e2x + (6x - 1 הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה הוא .y = Ae-x/3את מציאתו של פתרון פרטי למשוואה הלא הומוגנית נבצע בשתי שיטות שונות .החישובים בשתי השיטות יהיו דומים מאד זה לזה ,אך כל אחת מהן תשמש ,בהמשך ,בסיס להרחבה בכיוון אחר. מציאת משפחת פונקציות חדשה הסגורה ביחס לגזירה ,לכפל בקבוע ולחיבור משפחה מתאימה הכוללת את ) 15e2x + (6x - 1היא משפחת הפונקציות מהצורה )) . Ae2x + (Bx + Cאם אינך רואה מיד שלמשפחה זאת התכונות הדרושות תוכל להווכח בזאת בהמשך הפתירה(. 2x 2Ae + B +3(Ae2x + Bx + C) = 15e2x + ננסה אפוא .y =Ae2x + Bx + Cנגזור ,נציב ונקבל 6x - 1 וזה יתמלא אם נקח B=2 , A=3ו.C=-1 - מכאן פתרון פרטי y = 3e2x + 2x - 1והפתרון הכללי הוא .y =Ae-x/3 +3e2x + 2x - 1 הפרדת המשוואה והרכבת הפתרונות נחפש פתרונות )פרטיים( לכל אחת משתי המשוואות הנפרדות y' + 3y = 15e2xו.y' + 3y = 6x - 1 - למשוואה הראשונה ננסה y = Ae2xונקבל את הפתרון .y = 3e2xלמשוואה השניה ננסה y = Bx+Cונקבל .y = 2x-1 בדיקה )שתוצאותיה ברורות מראש( תראה שהסכום y = 3e2x + 2x - 1פותר את y' + 3y = 15e2x + (6x )- 1 -x/3 2x והפתרון הכללי הוא ,כמקודם.y =Ae +3e + 2x - 1 , 33 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות משפט ) .6עקרון ההרכבה( אם ) y=g1(xהוא פתרון של ) ay''+by'+cy = f1(xו y=g2(x) -הוא פתרון של )ay''+by'+cy = f2(x אז ) y=g1(x)+g2(xהוא פתרון של ). ay''+by'+cy = f1(x)+f2(x משפטנו כולל בתוכו את משפט 2ב ואת משפט .5משפט 5מתקבל ממשפטנו כאשר ) f2(xהוא ) 0וf1(x) - מסומן ) (f(xומשפט 2ב מתקבל כאשר גם ) f1(xהוא .0 הוכחת משפטנו מתקבלת מהוכחת 2ב על-ידי החלפת הביטוי " "= 0 + 0 = 0ב. "=f1(x)+f2(x)" - תרגיל .7מוצע לפתור תרגיל ארוך זה בצוות בן חמישה חברים .חבר "הומוגני" ,חבר "סינוס-קוסינוס" ,חבר "פולינומילי" ושני חברים "מעריכיים". מצאו פתרון כללי למשוואה . 2y'' - 3y' + 5y/2 = 3ácos 2x -4ásin 2x - 5e3x + 7e-2x + x2 -3x ו .עוד פשפחות סגורות תרגיל .8להלן שבע משפחות-פונקציות המיוצגות על-ידי נוסחאות כלליות בשביל איבריהן .אחת מהן אינה סגורה ביחס לכפל בקבוע ולחיבור .מצא אותה .שתים מהן אינן סגורות ביחס לגזירה .מצא אותן. אAx·e5x+B·e5x . בAx2·e5x+Bx·e5x+C·e5x . גAx+3 . דAx·cos 3x + B·cos 3x + Cx·sin 3x+ D·sin 3x . הA/x . וAex+Be2x+C . זe2x(A cos 10x + B sin 10x) . תרגיל . 9 א .פתור את המשוואה y'+2y = 3ex sin x ב .פתור את המשוואה 2y''-3y'-2y =3x2e-x ג .פתור את המשוואה ) y' = -9x·sin 4xמציאת אנטי-נגזרת אינה אלא פתירת משוואה דיפרנצילית מסוג מסוים(. ז .צניחה במצנח אסיים בתת-סעיף קטן לכבוד חברי הצנחנים וחברי הפיזיקאים. בתת-סעיף זה יהיה ציר yניצב לפני הקרקע וערכי y -יבטאו מטרים ,והמשתנה החופשי יהיה הזמן tשימדד בשניות. ציר xלא יעסיק אותנו כי נתרכז ברכיב האנכי של התנועה ,והכוחות שבהם נעסוק יהיו כאלה שרכיבy - שלהם אינו קשור ברכיב x -של התנועה. פיזיקאים מסמנים נגזרת-לפי t-בנקודה מעל הגודל הנגזר ) & gפירושו . g’tנגזרתו מסומנת &. ( &g && .אם נביא לגוף הנופל נפילה חפשית בקרבת פני כדור הארץ התאוצה -9,8 m/s2בקירוב כלומרy=-9.8 , & && עם . b>0 בחשבון גם את התנגדות האויר ,שהיא פרופורציונית למהירות & , yיהיה y = -by-9.8 בשביל צנחן במשקל בינוני הצונח בעזרת מצנח רגיל יהיה ) b=1.3כשהמצנח כבר פתוח( .המשוואה הדיפרנצילית של הצניחה היא אפוא . &&y +1.3y& = -9.8 תרגיל .10 א .פתור את המשוואה הדיפרנצילית של הצניחה. ב .לאיזה גבול מתקרבת מהירותו של הצנחן? ג .מאיזה גובה צריך אדם לקפוץ ללא מצנח )כלומר ,עם (b=0כדי שיגיע לקרקע במהירות של צנחן ? 34 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות פתרונות לסעיף 1 .1כי הפעם צריך לעצור גם כשהשרטוט מגיע לקצה השמאלי. .2א .שורה ב תהיה ) CALL axes(-6,4,-10,20ושורה יג תהיה . LOOP until x>4 or x<-6 ב .שורות ו ו-ז יהיו LET x=0ו. LET y=2 - הגרף יהיה אותו גרף אלא שהתנועות ימינה ושמאלה תתחלנה מהנקודה ).(0,2 ג .הדבר יגרום לכך שבצד ימין "יברח" הגרף כלפי מטה) .בצד ימין יגרמו ההבדלים הקטנים להבדלים גדלים והולכים ואילו בצד שמאל יקטנו ההבדלים .הסיבה לכך תעלה בהמשך הלימוד והיא אינה משהו כללי(. ד .שינוי גם בשורה י LET Dy = 0.5*y*Dx : לסעיף 2 a a+x .1נגזור את f(x)=eונקבל שהיא ממלאת . y’=1yנציב ונקבל ש . f(0)=e -המשפט האחרון )ההפוך( נותן את המבוקש. .2ארבעת הגרפים מתקבלים זה מזה על-ידי הזזות ימינה או שמאלה .זה אומר שבנקודות בעלות אותו ערך y יש לארבעת הגרפים שיפועים שוים .מכאן שבארבעתם תלוי ’ yב y-באותו אופן )ואינו תלוי ב.(x- ה מתקבל מ-א על-ידי שיקוף בציר .xמכאן שלאותו ערך xיש ל-א ול-ה ערכי yנגדיים ושיפועים )=ערכי ’ (yנגדיים .במלים אחרות ,כפל yב -1 -גורם גם ל y’ -להכפל ב. -1 - הקשר שבין ה ו-ו דומה לקשר שבין א ו-ב ,ג או ד . הצבת x=0ב 2ex -נותנת 2לכן הגרף הוא ב. x ובדרך דומה ,ג הוא הגרף של 10exו-ו הוא של . -3e k .3הוא השיפוע בנקודה שבה .y=1ל-ג יש שם שיפוע שלילי .ל-ד השיפוע החיובי הקטן ביותר. .4ג ,ד ,ה ,ב. אפשר למצוא גאת הן לפי נקודות החיתוך עם ציר yוהן לפי קצב "הבריחה" מציר . x .5התוכנית מחשבת את כל ∆yלפי השיפוע ’ yשבתחילת כל קטע ,∆xולא מתחשבת בזה ש y’-עולה במקצת גם בתוך הקטע. LET Dx=-0.00001 DO while x>2/3 .6 לסעיף 4 (ax+b+AeBx)’ = 2x - .1צריך להתמלא (ax+b+AeBx)+1 Bx a+B·Ae = 2xכלומר (ax+b+AeBx)+1 וזה מתמלא אם ורק אם a=-b+1 , B·AeBx=-AeBxו0=2x-ax - כלומר a=2 , B=-1 ,ו. b=-1 - . y = 2x-1+Ae-x הפתרון הכללי הוא ,אפוא, -0 כדי ש (0,1) -תהיה על פתרון כנ"ל צריך להתמלא 1 = 2·0-1+Aeהיינו A=2לכן הפתרון המבוקש הוא . y = 2x-1+2e-x 35 עמוס ארליך x פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות 2 2 .2אy = -x -2x-2+5e . x .4למשוואה y' = (3y-1)/x+2x-5 ננסה y= ax3+bx2+cx+d 3ax2+2bx+c = 3ax2 +3bx +3c +(3d-1)/x +2x-5 2b = 3b+2 ⇒ b=-2 c=3c-5 ⇒ c=2.5 3d-1=0 ⇒ d=1/3 y= ax2 -2x2+2.5x+1/3 בy = -x -2x-2-e . .5גזירה על פי כלל-השרשרת )) z=sin(xכפונקציה מתווכת( תתן שהצורה המשוערת היא פתרון כללי )עם פרמטר אחד ,בהתאם לזה שהמשוואה מסדר ראשון(. sin 0 0 כדי שהפתרון יעבור ב (0,2) -צריך להתמלא ,2 = Aesin 0ומכיוון שe = e =1 -יהיה . A=2 לסעיף 5 1ד פירוק לגורמים יתן את המשוואה ) y’ = (x+2)(y+3 (x+2)-y’/(y+3) = 0 (x2/2+2x)-ln(y+3) = C /2+2x-C ואם נסמן את e-Cב A-נקבל -3 /2+2x 2 2 y+3= e x y = Ae x 3א y' = e2x-y e2x-ey·y' = 0 0.5e2x - ey = C 0.5e2·0- e1 = C C = 0.5 - e = -2.212821 0.5e2x - ey = -2.212821 ) y = ln (0.5e2x + 2.212821 ומכיוון שכאשר xשווה ל 0 -שווה yל,1 - כלומר, לכן לכן 3ב. 4ב. יהי y=xzואז המשוואה תהפוך להיות נחלק בx2 - נפריד משתנים -2x + cos(y) ·y' = 0 -x2 + sin(y) = C sin(y) = x2 + C 'x2 + 3xy + 2y2 = (3x2 + 2xy)y )'x2 + 3x2z + 2x2z2 = (3x2 + 2x2z) · (z + xz )'1 + 3z + 2z2 = (3 + 2z)(z + xz '1 = (3 + 2z)xz 1/x -(3+2z)z' = 0 ln(x) - 3z - z2 = C ln(x) - 3y/x - y2/x2 = C 36 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות לסעיף 6 y’ .2ו z’ -שווים ל 0 -כאשר y=15ו . z=5 -אם נתחיל בנתונים אלה תישארנה האוכלוסיות ללא שינוי. לסעיף 7 1א y = Ax+Bcos(x) .לכן ). y’ = A-Bsin(x הצבת y=5 ,x=0ו y’=2 -תתן ) 5 = A·0+Bcos(0ו 2 = A-Bsin(0) -כלומר b = 5 ,ו. A = 2 - הפתרון המבוקש הוא אפוא ). y = 2x+5cos(x -x x y = 5e +2e 2ב. 2x -2x y = Ae +Be 2ג. x x 3א y’ .שווה לנגזרתה לכן y’ = Aeלכן )ע"י מציאת אנטינגזרת( . y = Ae +C ב .לאור תנאי ההתחלה צריך להתמלא 7 = Aו 3 = A+C -לכן הפתרון הפרטי המבוקש הוא = y x . 7e -4 Bx Bx .4לאור ההנחיה נקבל את המשוואה x+3 Bx Bx ABe +C = Ae +Cx+D-x+3 כלומר, x לכן 0 = C-1 ,B = 1ו C = D-3 -לכן C = 1 ,B = 1ו D = 4 -כלומרz = Ae +x-4 , x לכן ) y’ = Ae + x - 4שהרי ’ yממלא אותה משוואה שלפיה מצאנו את (z x 2 לכן y = Ae +x /2-4x+K (Ae +Cx+D)’ = Ae +Cx+D- לסעיף 8 k x k x y = A1e 1 +A2e 2 k x k x y’ = k1A1e 1 +k2A2e 2 k x k x 2 2 y’’ = k1 A1e 1 +k2 A2e 2 .1אם אז ו- לכן k x k x k x k x k x k x 2 2 = ) Ay’’+by’+cy = a(k1 A1e 1 +k2 A2e 2 )+b(k1A1e 1 +k2A2e 2 )+c(A1e 1 +A2e 2 2 k x 2 k x k x k x = (ak1 +bk1+c)A1e 1 + (ak2 +bk2+c)A2e 2 = 0·A1e 1 +0·A2e 2 = 0 .4א y=cos(x) .1אy=sin(x) .2 4ב .נכתוב את המשוואה הדיפרנצילית בצורה ,y’’+2y’-3y=0נפתור את המשוואה הריבועית x +2x- 3=0ונקבל את הפתרונות השונים x=1ו , x=-3 -ולפי משפט 1יהיה הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנצילית x -3x . y = A1e +A2e x -3x y’ =A1e -3A2eולפי תנאי ההתחלה צריכים להתמלא השוויונות A1+A2=1ו- גזירה תתן ש- .A1-3A2=0 x -3x מכאן נקבל ש A1=3/4 -ו A2=1/4 -והפתרון הפרטי הוא . y = 3e /4 + e /4 2 4ג. -4x x y = 15.0095e -2173.0064e 37 עמוס ארליך פרקים ראשונים במשוואות דיפרנציליות 3x 3x 4ד .לפי משפט ) y = Ae +Bxe ,3במקום Aו B -אפשר ,כמובן ,לכתוב A1ו ,A2 -וכדומה(. 2x 2x y = A e cos x + B e sin x 4ה .לפי משפט ,4הפתרון הכללי הוא -2 -2 2 2 3 = A e cos 1 + B e sin 1ו1 = A e cos(-1) + B e sin(-1) - הצבת התנאים תתן 3.99232·A + 2.1768·B = 3ו0.073122·A - 0.11388·B = 1 - ומכאן נפתור ונקבל A = 7.2136ו B=-4.1493 -והפתרון הפרטי המבוקש הוא 2x 2x . y = 7.2136e cos x - 4.1493e sin x 0x 0x 5א .לפי משפט y = A·e + Bx·e 3כלומר. y = A+Bx , 0x 0x ב .לפי משפט y = A·e cos 2x + B·e sin 2x 4כלומר. y = A·cos 2x + B·sin 2x , לסעיף 9 .1המשוואה היתה y''-5y'+6y = 12x +18והוצע לנסות פתרון פרטי שצורתו . y = αx +βx+γ 2 2 נגזור y' = 2αx+β :וy'' = 2α - נציב ונקבל את המשוואה 2α−5(2αx+β)+6(αx +βx+γ) = 12x2+18 השוואת מקדמי x2תתן . α=2 השוואת מקדמי xתתן -5·2·2+β=0לכן . β=20 השוואת המספרים החופשיים תתן 2·2-5·20+6·γ = 18לכן γ = 114/6 = 19 מכאן הפתרון הפרטי .y=2x2+20x+19 למשוואה ההומוגנית הפתרון הכללי . y = A1e2x+A2e3x 2x מכאן הפתרון הכללי למשוואתנו . y = A1e +A2e3x+2x2+20x+19 2 .2הפתרון כללי ל 2y'+3y = 9x3-6x2+7x+5 -הוא .y = Ae-1.5x+3x3-8x2+13x-7 .3א .למשוואה y''+3y'+2y = 4x3-3x2+2x-1הפתרון .y = A1e-2x+A2e-x + 2x3- 10.5x2 - 26.5x +49.75 ב .למשוואה y''-2y'+y = 3הפתרון . y = A1ex + A2xex + 3 ג .למשוואה y'-4y = 8x2הפתרון . y = Ax2x - 2x2 - x - 1/4 ד .למשוואה 5y''-2y'+y = (x-2)2הפתרון y = e0.4x(A1·cos 0.8x + A2·sin 0.8x) +x2 - 10 .4למשוואה y''-5y' = x+1הפתרון y = A1e5x+A2 - x2/10 - x/4 .6ב .נסה ! y=Ax2e5x ד .נסה ! y=Axe4x·cos 2x + Bxe4x·sin 2x ג .נסה ! y=Ax3e5x 9בy = A1e2x+A2e-x/2+x2e-x+4.666666xe-x+9.555555e-x . -1.3t y = Ae .10א .הפתרון הכללי הוא + B - (9.8/1.3)t ) בשביל קפיצה מגובה 1000מטר במהירות התחלתית 0נצטרך שיהיה y0 =1000וy& 0 =0 - -1.3t והפתרון הפרטי שיתקבל הוא ( y = -5.8e +1005.8-7.54t ב .המהירות הגבולית היא -7.54מטר לשניה )ליתר דיוק ( -9.8/1.3 ,כי בפתרון הכללי y& = -1.3Ae-1.3t - 9.8והמחובר הראשון שואף ל. 0- 1.3 ג .כמעט שלושה מטר. 38
© Copyright 2024