‫שיטות פתרון למשוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון‬ ‫לא כל המשוואות הדיפרנציאליות ברות פתירה היום ‪ -‬ובפרט מסדר ראשון‪ ,‬עם זאת ישנם שיטות‬ ‫המאפשרות לנו לפתור את חלקן‪ ,‬במסמך זה אציג את האפשרויות הדומיננטיות לפתירת משוואות‬ ‫דיפרנציאליות מסדר ראשון ‪.‬‬ ‫זהו סיכום בלבד ולא יעזור למי שלא למד את החומר לפני כן‪.‬‬ ‫משוואה ליניארית מסדר ראשון על ידי הכפלה בגורם אינטגרציה‬ ‫כאשר המשוואה היא מהצורה ‪ y ' a( x )y  b( x ) :‬אזי גורם האינטגרציה יהיה‬ ‫נכפיל את המשוואה בגורם זה‪ ,‬ונקבל ‪ b( x ):‬‬ ‫או במילים אחרות ‪ b( x ) :‬‬ ‫‪a( x )dx‬‬ ‫‪ y ]'  e ‬‬ ‫‪a( x )dx‬‬ ‫‪a( x )dx‬‬ ‫‪ a( x )y  e ‬‬ ‫‪a( x )dx‬‬ ‫‪y ' e ‬‬ ‫) ‪a( x‬‬ ‫‪a( x )dx‬‬ ‫‪. e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪. [e ‬‬ ‫מכאן מה שנותר לעשות הוא לבצע אינטגרציה ולפתור את המשוואה ‪:‬‬ ‫) ‪ a( x )dx  y ]' dx  e  a( x )dx dx  b( x‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪dx  b( x‬‬ ‫‪a ( x )dx‬‬ ‫‪ y   e‬‬ ‫‪ [e‬‬ ‫‪a ( x )dx‬‬ ‫‪e‬‬ ‫משוואה נפרדה‬ ‫המשוואה הליניארית שהצגנו לעיל ניתנת להצגה גם בצורה ‪ y '  b( x )  a( x )y:‬או ) ‪. y '  f ( x, y‬‬ ‫אם ‪ f‬בלתי תלויה ב‪ y‬דהיינו ‪ y '  f ( x ) :‬אזי‪ ,‬ניתן לבצע אינטגרציה ‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ופתרונה הכללי של המשוואה יהיה ‪y ( x )   f (t )dt  C :‬‬ ‫דוגמא‬ ‫נפתור את המשוואה ‪ , 3y  y '  ( x  1)  y  1 :‬נבצע הפרדת משתנים ‪y [1 x  3]y '  1:‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪1‬‬ ‫כלומר ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dx 4  x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫נמשיך עם ההפרדה ונבצע אינטגרציה ‪ ydy   4  x dx :‬‬ ‫לפתור ‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות ‪ , www.eMath.co.il‬לפניות‪. [email protected] :‬‬ ‫ומכאן נשאר רק‬ ‫משוואה מדויקת‬ ‫כאשר נתונה לנו משוואה מהצורה ‪ P( x, y )dx  Q( x, y )dy  0 :‬ומתקיים ‪ Py  Qx :‬והפונקציות ‪ P‬ו‬ ‫‪ Q‬הן רציפות ובעלות נגזרות חלקיות רציפות בתחום המתאים אזי מדובר במשוואה מדויקת ‪.‬‬ ‫במידה והמשוואה מדויקת‪ ,‬אזי קיימת פונקציה ) ‪  ( x, y‬הנקראת פוטנציאל של המשוואה הנ" ל אשר‬ ‫מקיימת ‪. x ( x, y )  P , y ( x, y )  Q :‬‬ ‫ופתרונה הכללי של המשוואה יהיה ‪.  ( x, y )  C :‬‬ ‫כיצד נגיע ל ) ‪ ?  ( x, y‬נבצע אינטגרציה ל‪ P‬לפי ‪ x‬ולא נשכח ש ‪ P‬היא פונקציה גם של‪ X‬וגם של ‪. Y‬‬ ‫לכן נקבל כי ‪.  ( x, y )   P( x, y )dx  C( y ) :‬‬ ‫כמו כן נתון לנו כי ‪ y ( x, y )  Q‬אזי נגזור את ) ‪  ( x, y‬לפי וואי ונשווה ל‪ , Q‬וכך נמצא את ) ‪. C( y‬‬ ‫וכל שנותר יהיה לרשום את הפתרון הכללי ‪.  ( x, y )  C :‬‬ ‫במידה ונתון לנו תנאי התחלה‪ ,‬נוכל למצוא גם את‪. C‬‬ ‫מציאת גורם אינטגרציה‬ ‫נסתכל על המשוואה ‪. P( x, y )dx  Q( x, y )dy  0 :‬‬ ‫אם‬ ‫‪Py  Qx‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫תלוי אך ורק ב‪ X‬אזי קיים גורם אינטגרציה ) ‪ ( x‬‬ ‫שניתן לחלצו מן המשוואה‪ ( x )  0 :‬‬ ‫אם‬ ‫‪Py  Qx‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪Py  Qx‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪.  '( x ) ‬‬ ‫תלוי אך ורק ב‪ Y‬אז קיים גורם אינטגרציה ) ‪.  ( y‬‬ ‫שניתן לחלצו מן המשוואה‪ ( y )  0 :‬‬ ‫‪Py  Qx‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ '( y ) ‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות ‪ , www.eMath.co.il‬לפניות‪. [email protected] :‬‬ ‫משוואת ברנולי‬ ‫משוואת ברנולי היא המשוואה מהצורה ‪ b( x )  y  :‬‬ ‫‪. y ' a( x )  y‬‬ ‫כאשר אלפא קבוע כלשהו ‪.‬‬ ‫אם ‪   0,1‬אזי המשוואה היא ליניארית ופירטנו כבר כיצד לפתור אותה ‪.‬‬ ‫בכל המקרים האחרים‪ ,‬נחלק את שני האגפים ב ‪y  :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נשים לב כי מתקיים ‪( y 1 )' :‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫ולכן‪ ,‬אם נציב ‪z  y 1 :‬‬ ‫ונקבל ‪y   y ' a( x )  y 1  b( x ) :‬‬ ‫‪. y  y ' ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נקבל ‪ z ' a( x )  z '  b( x ) :‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫וזאת בעצם משוואה ליניארית שאנחנו כבר יודעים לפתור ‪.‬‬ ‫שיטת אד‪-‬הוק‬ ‫‪y‬‬ ‫לשיטת הד הוק יש גם שיטת הצבה ‪ ,‬אם נצליח להגיע במשוואה דיפרנציאלית לצורה )‪y '  f ( :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y  zx‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ z ‬ומכאן נסיק כי ‪:‬‬ ‫אזי נציב‬ ‫‪y '  z ' x  1 z  z ' x  z‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪z ' x  z  f (z‬‬ ‫‪dz‬‬ ‫וזוהי משוואה נפרדה ( להמיר ‪:‬‬ ‫נציב זאת במשוואה ונקבל ‪:‬‬ ‫‪z ' x  f (z)  z‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות ‪ , www.eMath.co.il‬לפניות‪. [email protected] :‬‬ ‫‪) z' ‬‬