‫בעיות מינימום מקסימום‬
‫•מינ ומקס זהה מתמטית מינ ‪ =f‬מקס ‪-f‬‬
‫•שמושי בפיס‪ ,.‬כלכלה‪ ,‬הנדסה וכדו‪..‬‬
‫)אופטימיזציה(‬
‫•מורכבות‪ -‬פונקציה של מספר משתנים‬
‫•אילוצים – שימוש בכופלי לגראנג'‬
‫•מינימום מקומי ‪ /‬גלובאלי‪.‬‬
‫•נציג שתי שיטות‪ :‬סימפלקס וגראדיאנט צמוד‬
‫סימפלקס‬
‫• בבעיה עם ‪ N‬משתנים מחפשים מינימום במרחב ‪ N‬ממדי‪ .‬נתחיל‬
‫‪ N+1‬נקודות שרירותיות במרחב )סימפלקס(‪ .‬דוגמא‪ -‬מינ‪ .‬במישור‪:‬‬
‫• ‪ .1‬מתחילים במשולש‪ ,‬באחת הנקודות ערך ‪ f‬הוא הגבוה ביותר‪ .‬מבצעים לנקודה‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫זו שיקוף דרך המיתר המחבר את שתי הנקודות האחרות‪.‬‬
‫‪.2‬בוחנים את ערך ‪ f‬בנקודה החדשה‪:‬‬
‫‪ ü‬אם הוא נמוך מהנקודה שהייתה נמוכה ביותר מרחיקים את המרחק של הנקודה‬
‫החדשה מהמיתר שהיה ציר הסיבוב פי שתים‪.‬‬
‫‪ ü‬אם הוא גבוה מערך נקודת המינימום אך נמוך מהערך המקסימלי משאירים את‬
‫הנקודה כמות שהיא‪.‬‬
‫‪ ü‬אם הוא גבוה מהערך של ‪ f‬בנקודה הגבוהה ביותר – מחליפים את השיקוף‬
‫בחזרה‪ ,‬ומקרבים את הנקודה הגבוהה לחצי המרחק המקורי‪ .‬אם עדיין זאת‬
‫הנקודה הגבוהה ביותר מקטינים את המרחקים של כל שלש הנקודות ביחס‬
‫למשולש המקןרי‪.‬‬
‫בשלב זה חוזרים ל ‪ .1‬ומבצעים איטרציה נוספת‪ .‬ממשיכים עד שההפרש בין‬
‫הנקודות קטן מהדיוק הנדרש‪.‬‬
‫‪.3‬כמובן שהשיטה יכולה להתבדר‪ <- ..‬בחירת נקודת התחלה‬
‫סימפלקס‬
‫באיור מרחבי‬
‫גראדינט מצומד ‪Conjugate Gradient Method‬‬
‫• השיטה שיכת לקבוצה של רעיונות שבכולם מתחילים‬
‫מנקודה מסוימת והולכים בכוון ישר עד שמגיעים‬
‫למינימום לאורך הקו שהולכים בו‪) .‬לצורך כך יש צורך‬
‫באלגוריתם שמוצא מינימום במימד אחד(‪ .‬כשמגיעים‬
‫למינימום יש לשנות כיוון ושוב כמו קודם‪ .‬אחת הבחירות‬
‫היא כמובן ללכת בניצב – לא תמיד הבחירה הטובה‬
‫ביותר – רצוי לבחור כיוון שלא יקלקל את האופטימיזציה‬
‫בכיוון הקודם – כדי שלא נצטרך לשוב ולתקן באותו כיוון‪.‬‬
‫• יש דרך להשיג זאת כאשר הפונקציה שלנו תלויה תלות‬
‫ריבועית במשתנים‪ .‬זה בקרוב מה שקורה כשנמצאים‬
‫קרוב לנק' מינימום‪.‬‬
‫הליכה בכיוונים ניצבים היא לפעמים‪ ..‬הליכה‬
‫בזיגזג‪..‬‬
‫• נניח כי נענו לאורך וקטור ‪ U‬למינימום‪ ,‬ועכשיו נרצה‬
‫לנוע לאורך כיוון חדש ‪ V‬כך שלא נקלקל את‬
‫המינימיזציה ב‪ .U‬כלומר‬
‫• כאשר התנאי הנ"ל מתקיים הוקטורים מצומדים‬
‫נתחיל עם שני סטים של וקטורים ‪ h, g‬כאשר שרירותית ‪h0=g0‬‬
‫הבעיה – איננו יודעים מהי מטריצה ‪? A‬‬
‫שלבי החישוב‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫כלומר מתחילים בנקודה ‪ p0‬מחשבים את ‪g0‬‬
‫ולוקחים את ‪.h0=g0‬‬
‫מבצעים מינימיזציה בכיוון ‪ h0‬ומגיעים ל‪.p1‬‬
‫שם מחשבים את ‪ g1‬לפי הגראדינט‪ ,‬ואת ‪.h1‬‬
‫הולכים בכיוון ‪ h1‬מבצעים מינימיזציה ומגיעים ל‪p2‬‬
‫וכדומה‪.‬‬
‫מציאת מינימום‬
‫במימד אחד‬
‫‪Golden section‬‬
‫‪search‬‬
‫ומכאן ההמשך יהיה חיפוש בין ‪ c -b‬או בין ‪a-x‬‬
‫• הבחירה של הקטע הבא לפי הערך של הנגזרת בנקודת‬
‫האמצע ‪.b‬‬
‫• בשלב הבא מחשבים את הנגזרת ב ‪ b‬ובנקודה הקודמת‬
‫הטובה ביותר‪ ,‬ומחשבים בשיטת המיתר היכן מתאפסת‬
‫הנגזרת וזו תהיה הנקודה הבאה באינטרקציה‪.‬‬
‫• חתך הזהב ‪-‬‬