‫פרק ‪ – 7‬גרדיאנט ונגזרת מכוונת‬ ‫הגדרה – נגזרת מכוונת‬ ‫תהי פונקציה‬ ‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬המוגדרת בסביבה של נקודה‬ ‫הנגזרת המכוונת של‬ ‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬בנקודה‬ ‫𝑏 ‪𝑎,‬‬ ‫𝑏 ‪ , 𝑎,‬ויהי וקטור יחידה‬ ‫‪.𝑣 = 𝑣1 , 𝑣2‬‬ ‫בכיוון 𝑣 היא תוצאת הגבול הבא (בתנאי שהוא‬ ‫קיים)‪:‬‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫𝑏 ‪𝑓 𝑎 + 𝑣1 ℎ, 𝑏 + 𝑣2 ℎ − 𝑓 𝑎,‬‬ ‫‪𝑎, 𝑏 = lim‬‬ ‫‪ℎ →0‬‬ ‫𝑣𝜕‬ ‫‪ℎ‬‬ ‫עבור וןקטור יחידה‬ ‫‪ 𝑣 = 1,0‬הנגזרת המכוונת היא בדיוק הנגזרת החלקית לפי 𝑥‪.‬‬ ‫עבור וןקטור יחידה‬ ‫‪ 𝑣 = 0,1‬הנגזרת המכוונת היא בדיוק הנגזרת החלקית לפי 𝑦‪.‬‬ ‫משפט‬ ‫אם פונקציה‬ ‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬דיפרנציאבילית בנקודה‬ ‫𝑏 ‪𝑎,‬‬ ‫אז מתקיים‪:‬‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫= 𝑏 ‪𝑎,‬‬ ‫‪𝑎, 𝑏 ∙ 𝑣1 +‬‬ ‫‪𝑎, 𝑏 ∙ 𝑣2‬‬ ‫𝑣𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫כאשר ויהי‬ ‫‪ 𝑣 = 𝑣1 , 𝑣2‬וקטור יחידה‬ ‫דוגמא‬ ‫נתונה הפונקציה 𝑦‪𝑥 + 3‬‬ ‫בכיוון וקטור ‪.𝑣 = 2,2‬‬ ‫𝑦‪2‬‬ ‫𝑥 𝑒 = 𝑦 ‪ .𝑓 𝑥,‬נחשב את הנגזרת המכוונת של 𝑓 בנקודה‬ ‫‪1, −2‬‬ ‫לצורך חישוב הנגזרת המכוונת‪ ,‬נשתמש בתוצאת המשפט הנ"ל לפיו‪:‬‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫= 𝑏 ‪𝑎,‬‬ ‫‪𝑎, 𝑏 ∙ 𝑣1 +‬‬ ‫‪𝑎, 𝑏 ∙ 𝑣2‬‬ ‫𝑣𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫נחשב את ערכי הנגזרות החלקיות של 𝑓 בנקודה‬ ‫‪: 1, −2‬‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫‪21‬‬ ‫‪1, −2 = 2‬‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑒‬ ‫⇒‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑦 𝑥 𝑒 ‪= 𝑒 𝑥 𝑦 2𝑥𝑦 𝑥 + 3𝑦 +‬‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1, −2 = − 2‬‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑒‬ ‫⇒‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑦 𝑥 𝑒‪= 𝑒 𝑥 𝑦 𝑥 2 𝑥 + 3𝑦 + 3‬‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫נחשב את הנורמה של הוקטור 𝑣‪:‬‬ ‫‪22 + 22 = 8‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫= 𝑣 ‪𝑣,‬‬ ‫= 𝑣‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫הנורמה של 𝑣 שונה מ‪ ,1 -‬ולכן אינו וקטור יחידה‪ .‬כדי להפוך את וקטור 𝑣 לוקטור‬ ‫יחידה נבצע נירמול‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫𝑣‬ ‫‪2,2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫𝑣‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1, −2‬‬ ‫נחשב את הנגזרות המכוונת של 𝑓 בנקודה‬ ‫=𝑣‬ ‫בכיוון וקטור‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= 𝑣‪:‬‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫‪21 1‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪19‬‬ ‫= ‪1, −2‬‬ ‫‪1, −2 ∙ 𝑣1 +‬‬ ‫∙ ‪1, −2 ∙ 𝑣2 = 2‬‬ ‫∙‪− 2‬‬ ‫=‬ ‫𝑣𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑒‬ ‫𝑒‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 𝑒2 2‬‬ ‫תרגילים‬ ‫עבור הפונקציה‬ ‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬בדוגמא הנ"ל חשב‪:‬‬ ‫‪ .1‬נגזרת מכוונת של‬ ‫‪ .2‬נגזרת מכוונת של‬ ‫‪ .3‬נגזרת מכוונת של‬ ‫‪ 𝑣 = 1,0‬בנקודה‬ ‫‪ 𝑣 = 0,1‬בנקודה‬ ‫‪ 𝑣 = 1,1‬בנקודה‬ ‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬בכיוון וקטור‬ ‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬בכיוון וקטור‬ ‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬בכיוון וקטור‬ ‫‪0,0‬‬ ‫‪0,0‬‬ ‫‪0,0‬‬ ‫פתרונות‬ ‫‪1 .1‬‬ ‫‪3 .2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הגדרה – גרדיאנט‬ ‫הגרדיאנט של פונקציה‬ ‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬בנקודה‬ ‫𝑏 ‪𝑎,‬‬ ‫𝑏 ‪ ∇𝑓 𝑎,‬והוא וקטור הנגזרת החלקיות‬ ‫מסומן‬ ‫של 𝑓 המוגדר ע"י‪:‬‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫‪𝑎, 𝑏 ,‬‬ ‫𝑏 ‪𝑎,‬‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫מתקיים ‪𝑎, 𝑏 ∙ 𝑣2‬‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫‪𝑎, 𝑏 ∙ 𝑣1 +‬‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫= 𝑏 ‪𝑎,‬‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫𝑣𝜕‬ ‫= 𝑏 ‪∇𝑓 𝑎,‬‬ ‫‪ .‬נרשום משוואה זו כמכפלה סקלרית ונקבל‪:‬‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫𝑣 ∙ 𝑏 ‪𝑎, 𝑏 = ∇𝑓 𝑎,‬‬ ‫𝑣𝜕‬ ‫הזווית בין שני וקטורים 𝑢‪ 𝑣 ,‬מוגדרת ע"י‪:‬‬ ‫𝜃 ‪cos‬‬ ‫𝑏 ‪∙ 𝑣 cos 𝜃 = ∇𝑓 𝑎,‬‬ ‫𝑣∙‪u‬‬ ‫𝑣 ∙ 𝑢‬ ‫= 𝜃 ‪ .cos‬ולכן‪:‬‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫𝑏 ‪𝑎, 𝑏 = ∇𝑓 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑣 = ∇𝑓 𝑎,‬‬ ‫𝑣𝜕‬ ‫מהמשוואה האחרונה ניתן לראות כי הנגזרת המכוונת המקסימאלית מתקבלת כאשר ‪cos 𝜃 = 1‬‬ ‫בכיוון‬ ‫𝑏‪∇𝑓 𝑎,‬‬ ‫𝑏‪∇𝑓 𝑎,‬‬ ‫= 𝑢 והערך המקסימאלי הוא‬ ‫𝑏 ‪. ∇𝑓 𝑎,‬‬ ‫הנגזרת המכוונת המינימאלית מתקבלת כאשר ‪ cos 𝜃 = −1‬בכיוון‬ ‫המקסימאלי הוא‬ ‫𝑏‪∇𝑓 𝑎,‬‬ ‫𝑏‪∇𝑓 𝑎,‬‬ ‫‪ 𝑢 = −‬והערך‬ ‫𝑏 ‪.− ∇𝑓 𝑎,‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫דוגמא‬ ‫נתונה הפונקציה 𝑥‪ .𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 3 𝑦 + 2‬נמצא וקטור יחידה בכיוון שבו 𝑓 גדלה במהירות‬ ‫המירבית בנקודה ‪ . 0,2‬ונחשב את קצב השינוי של 𝑓 בנקודה זו‪.‬‬ ‫הכיוון שבו 𝑓 גדלה במהירות המירבית הוא‪:‬‬ ‫‪∇𝑓 0,2‬‬ ‫‪∇𝑓 0,2‬‬ ‫=‬ ‫𝑏 ‪∇𝑓 𝑎,‬‬ ‫𝑏 ‪∇𝑓 𝑎,‬‬ ‫נחשב את הגרדיאנט של 𝑓 ואת הנורמה שלו בנקודה‬ ‫‪= 3𝑥 2 𝑦 + 2, 𝑥 3‬‬ ‫בנקודה‬ ‫‪0,2‬‬ ‫נקבל‪:‬‬ ‫=𝑢‬ ‫‪: 0,2‬‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫‪𝑎, 𝑏 ,‬‬ ‫𝑏 ‪𝑎,‬‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫‪ .∇𝑓 0,2 = 2,0‬מתקיים‪= 2 :‬‬ ‫= 𝑏 ‪∇𝑓 𝑎,‬‬ ‫‪ , ∇𝑓 0,2‬ולכן‬ ‫קיבלנו כי וקטור היחידה שבו 𝑓 גדלה במהירות המירבית בנקודה‬ ‫השינוי המירבי בנקודה זו הוא‪. ∇𝑓 0,2 = 2 :‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= 1,0‬‬ ‫‪0,2‬‬ ‫‪2,0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הוא‬ ‫=‬ ‫‪∇𝑓 0,2‬‬ ‫‪∇𝑓 0,2‬‬ ‫= 𝑢‪.‬‬ ‫‪ 𝑢 = 1,0‬וקצב‬ ‫‪[email protected]‬‬