‫כללי גזירה‬ ‫נגזרות של פונקציות‬ ‫(‪ n‬טבעי)‬ ‫‪ .1‬נגזרת של פונקצית חזקה‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪ x   n  x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ x   5 x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ ‬מקרה פרטי‪:‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x   3x‬‬ ‫‪ x   1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫הסבר‪ :‬שיפוע הפונקציה הליניארית ‪f  x   x‬‬ ‫הוא ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נגזרת הפונקציה ‪ . f  x   :‬ניעזר בחוק החזקות למעריך שלילי ‪ a  n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪:‬‬ ‫זו‬ ‫נגזרת‬ ‫לזכור‬ ‫כדאי‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ x 1    x 11   x 2   2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫ונקבל‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ ‬נגזרת הפונקציה ‪ . f  x   x‬ניעזר בחוק ‪a m  a n‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  2  1 2 1 1  2 1 1‬‬ ‫‪x  x   x  x   1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2 2 x‬‬ ‫‪  2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬דוגמה‪ :‬נגזרת הפונקציה‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ונקבל‪:‬‬ ‫‪ .‬כדאי לזכור נגזרת זו‪:‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪xx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪  32 ‬‬ ‫‪3  32 1‬‬ ‫‪3  52‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ x   5 ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪x    x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2x x‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫נגזרת של גודל קבוע ‪-‬‬ ‫‪ C   0‬‬ ‫הסבר‪ :‬שיפוע הפונקציה הליניארית ‪f  x   c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ x  2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫נהפוך תחילה את הפונקציה לפונקצית חזקה עם מעריך רציונאלי‬ ‫ונגזור ‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 100   0‬‬ ‫‪,‬‬ ‫הוא ‪( 0‬ישר אופקי)‬ ‫‪f  x    5  0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫נגזרת הפונקציה המעריכית ‪ -‬הכלל‪:‬‬ ‫‪ e x   e x‬‬ ‫ובהכללה לכל בסיס ‪ a‬גדול מאפס ‪ a x   a x  ln a :‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫נגזרת הפונקציה הלוגריתמית ‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ובהכללה‪:‬‬ ‫‪x ln a‬‬ ‫‪log a x  ‬‬ ‫‪ ln x  ‬‬ ‫(ניתן להוכיח זאת בעזרת הנוסחה לשינוי בסיס)‬ ‫כללי גזירה‬ ‫‪ k  f   k  f ‬‬ ‫א‪ .‬נגזרת של מכפלת פונקציה במס' קבוע ‪-‬‬ ‫דוגמה‪ 30 x 5 :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 5 x   5   x   5  6 x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ב‪ .‬נגזרת של סכום‪/‬הפרש פונקציות ‪f   g  -‬‬ ‫‪ f  g  ‬‬ ‫‪ 5 x   7 x 3    5 x   21x 2  5‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7x‬‬ ‫‪1.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2.  x3  x 2  7 x  6   2 x 2  x  7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ג‪ .‬נגזרת של מכפלת פונקציות ‪-‬‬ ‫הכלל‪:‬‬ ‫‪f   g  g  f‬‬ ‫‪3.‬‬ ‫‪ f  g  ‬‬ ‫דוגמה‪ :‬נגזור את הפונקציה ‪ y  7 x 3   x 2  2 x  :‬ב‪ 2 -‬דרכים‪:‬‬ ‫‪ .1‬נפתח תחילה סוגריים בנוסחה של ‪ , y‬ואח"כ נגזור את הסכום המתקבל לפי החוקים לעיל‪.‬‬ ‫‪y  7 x 3   x 2  2 x   y  7 x 5  14 x 4  y   35 x 4  56 x 3‬‬ ‫‪ .2‬נשתמש בכלל הגזירה הנתון למכפלת פונקציות‬ ‫מקרא‪:‬‬ ‫‪f   21x , g   2 x  2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f  7 x , g  x  2x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y  7 x3   x 2  2 x   y  21x 2   x 2  2 x    2 x  2   7 x3 ‬‬ ‫‪y  21x 4  42 x3  14 x 4  14 x3  35 x 4  56 x3‬‬ ‫שים לב‪ ,‬שלא מתקיים ככלל ‪  f  g   f   g ‬כלומר נגזרת של מכפלה אינה מכפלת הנגזרות!‬ ‫‪‬‬ ‫‪)  x2   2x ‬‬ ‫(למשל‪ x  x   11  1 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫דוגמה נוספת‪ ln x  2 x  ln x  x 2   2 x ln x  x  x  2ln x  1 :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ f  f   g  g   f‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪g‬‬ ‫ד‪ .‬נגזרת של מנת פונקציות ‪ -‬הכלל‪:‬‬ ‫דוגמה‪ :‬נגזור את הפונקציה ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪7 x3‬‬ ‫‪y 2‬‬ ‫‪x  2x‬‬ ‫‪f   21x 2 , g   2 x  2‬‬ ‫מקרא‪:‬‬ ‫‪f  7 x3 , g  x 2  2 x‬‬ ‫‪7 x 4  18 x 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪21x 4  42 x3  14 x 4  14 x3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪21x 2  x 2  2 x   2 x  2   7 x 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y ‬‬ ‫‪ f  f ‬‬ ‫‪   ‬כלומר נגזרת של מנה אינה מנת הנגזרות!‬ ‫שים לב‪ ,‬שלא מתקיים ככלל‬ ‫‪ g  g‬‬ ‫‪ x3 ‬‬ ‫‪ x3  3x 2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪)    x  2x    ‬‬ ‫(למשל‪ 3x 2 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ex 2x 1  x2  1 2x  x2‬‬ ‫‪ x 2  x   2 x  1 e  e x  x‬‬ ‫דוגמה נוספת‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫נגזרת של פונקציה מורכבת‬ ‫נחזור על נושא הרכבת פונקציות‬ ‫פעולת ההרכבה היא פעולה על פונקציות שבה אנו מציבים פונקציה אחת במקום המשתנה הבלתי‬ ‫תלוי של פונקציה אחרת‪ .‬למשל נניח כי ‪ f  x   x 2‬ו‪ . g  x   x  1 -‬אם נציב את ‪ g  x ‬במקום‬ ‫‪ x‬בנוסחה עבור ‪ , f‬נקבל פונקציה חדשה‪. f  g  x     g  x     x  1 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫הגדרה‪ :‬נתונות ‪ 2‬פונקציות ‪ f‬ו‪ . g -‬הפונקציה המוגדרת על ידי ‪ f  g  x  ‬נקראת‬ ‫הפונקציה המורכבת של ‪ f‬על ‪. g‬‬ ‫ואילו ‪ g  f  x  ‬נקראת הפונקציה המורכבת של ‪ g‬על ‪f‬‬ ‫דוגמות נוספות‪.‬‬ ‫‪ f  x   x 2  3‬ו‪ g  x   x -‬חשב את ‪ f  g  x  ‬ו‪g  f  x   -‬‬ ‫דוגמה ‪ : 2‬נתונות הפונקציות‬ ‫‪3 x3 , x  0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2  3‬‬ ‫דוגמה ‪ :3‬בטא את ‪ h  x   ln  x 2  1‬כהרכבה של ‪ 2‬פונקציות‬ ‫‪ f  g  x   f  g  x    ‬‬ ‫‪ g  f  x   g  f  x   ‬‬ ‫פתרון כדי למצוא את ‪ h  x ‬עבור ערך נתון של ‪ , x‬אפשר לחשב תחילה את ‪ x 2  1‬ולאחר מכן לחשב‬ ‫את הלוגריתם של התוצאה‪ .‬הפונקציה הפנימית (הפעולה הראשונה) היא איפוא ‪g  x   x 2  1 -‬‬ ‫הפונקציה החיצונית (הפעולה השניה) היא ‪f  x   ln x -‬‬ ‫‪f  g  x    ln  x 2  1  h  x ‬‬ ‫נבדוק‪:‬‬ ‫נגזרת של פונקציה מורכבת‬ ‫כלל‪:‬‬ ‫‪ f  g  x     f   g  x    g   x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫נ‪.‬פנימית‬ ‫נ‪.‬חיצונית‬ ‫נגזרת של פונקציה מורכבת היא הנגזרת החיצונית לפי ‪ g  x ‬מוכפלת בנגזרת הפנימית‪.‬‬ ‫כלל גזירה זה נקרא גם "כלל השרשרת" כי גוזרים בשרשרת‪.‬‬ ‫דוגמה ‪ :1‬נגזרת הפונקציה ‪y   3 x  5  -‬‬ ‫‪4‬‬ ‫היא‪:‬‬ ‫‪ 3x  5 4   4   3x  5 3  3  12   3 x  5 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫דוגמה ‪ :2‬נגזרת הפונקציה ‪y  ln  x 2  1 -‬‬ ‫היא‪:‬‬ ‫‪ln  x2  1  21   x2  1  21  2 x  22 x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x 1‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫לפניך טבלה ובה כללי גזירה לפונקציות מורכבות‬ ‫דוגמה‬ ‫נוסחה לחישוב הנגזרת‬ ‫‪‬‬ ‫‪  6 x  5‬‬ ‫‪5 x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  e 3 x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5 x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ f  x ‬‬ ‫‪1.‬‬ ‫‪f  x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ f  x ‬‬ ‫‪f  x‬‬ ‫‪f  x‬‬ ‫‪ln  f  x  ‬‬ ‫‪2.‬‬ ‫‪e f  x  f   x ‬‬ ‫‪e f  x‬‬ ‫‪3.‬‬ ‫‪ f  x‬‬ ‫‪ 3x  5 4   4   3x  5 3  3  12   3 x  5 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ln 3x2  5x   6 2x  5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3x  5 x‬‬ ‫‪ e3 x‬‬ ‫‪‬‬ ‫סוג‬ ‫הפונקציה‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n   f  x ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫נגזרות מסדר גבוה‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫הנגזרת של פונקציה היא פונקציה‪ ,‬ולכן נוכל לגזור אותה‪ .‬למשל ‪f  x   x  f  x   3x -‬‬ ‫‪3‬‬ ‫אז הפונקציה הנגזרת של ‪ f ‬נתונה על ידי ‪ f   x    3 x 2   6 x -‬‬ ‫נקרא לנגזרת של ‪ f ‬הנגזרת השנייה של הפונקציה ‪ , f‬ונסמנה ב‪f  -‬‬ ‫‪3‬‬ ‫באותו אופן‪  f   x    f    x  1‬וכו' ‪.‬‬ ‫דוגמות נוספות‪:‬‬ ‫מצא את הנגזרת ה – ‪ 3‬של הפונקציה ‪f  x   3x  2 x  x  4 x  2‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪f  x   3x 4  2 x3  x 2  4 x  2  f   x   12 x3  6 x 2  2 x  4‬‬ ‫מצא את הנגזרת ה – ‪ 3‬של הפונקציה ‪f  x   ln x‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪f   x   36 x 2  12 x  2  f 3  x   72 x  12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ f   x    2   x 2 ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f  x   ln x  f   x  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪f  3  x   2 x 3 ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ 1‬הסימון של נגזרות מסדר שלוש ומעלה ‪  n  3‬הוא ‪f  ‬‬ ‫‪5‬‬