I m
מעבדה א' בפיזיקה תנועה הרמונית – רקע תיאורטי ספרות עזר: .1האוניברסיטה הפתוחה – מכניקה יחידה .8 .2פיסיקה תיכונית – סירס זימנסקי ,מהדורה שישית ,פרקים .12.8 ,12.7 ,12.5 ,10 .3מכניקה לתיכון ולאוניברסיטה מאת יורם אשר ,מהדורה ראשונה ,פרקים 16 ,2ו.18- Alonso & Finn/ Fundamental University Physics – Vol.I. Mechanics, Ch. .4 10. מבוא תנועה הרמונית פשוטה נובעת מכוח הפרופורציונלי להעתק הגוף xאך בכיוון מנוגד לו, . , K 0 F K xהתנועה היא מחזורית סביב נקודת שיווי המשקל בה שקול הכוחות על הגוף הנע הוא אפס. חשיבותה של התנועה ההרמונית היא ביכולתה לתאר בקירוב מערכות פיזיקליות רבות לדוגמא תנודת מסה על קפיץ ,תנועת זרם חשמלי במעגלים חשמליים מסוימים ,תנודות הרמוניות של מולקולות בחומר (תנודות האחראיות לתופעות פיסקליות כמו קיבול חום או פיזור אור) ועוד. חלק א' – תנועה הרמונית פשוטה תנועה הרמונית פשוטה היא אחד הסוגים של תנועה מחזורית .דוגמה לגוף המבצע תנועה הרמונית פשוטה היא מסה התלויה על קפיץ אנכי ומתנדנדת מעלה-מטה .אחד ממאפייני התנועה המחזורית הוא זמן מחזור .מדובר בפרק זמן קבוע המסומן באות , Tבמהלכו הגוף מבצע את התנועה הבסיסית עליה הוא חוזר .מספר הפעמים שהתנועה חוזרת על עצמה בשניה נקרא תדירות ,והוא מסומן באות .fמגדירים גם תדירות זוויתית או מהירות זוויתית, המסומנות באות . הקשר בין זמן המחזור ,התדירות והתדירות/מהירות הזוויתית הוא (בהגדרה) 2 ()1 T 2 f משוואות תנועה משוואות תנועה של גוף כלשהוא ,הן משוואות המכילות את קואורדינטות מיקום הגוף, ונגזרות של הקואורדינאטות הנ"ל לפי הזמן .מסלול התנועה של הגוף ,כלומר מיקום הגוף כפונקציה של הזמן ,מתקבל מפתרון משוואות התנועה. הבסיס למשוואות התנועה הוא החוק השני של ניוטון: ()2 dp dt F dx Fהוא הכוח הפועל על הגוף ו p -הוא התנע של הגוף .בנוסף, dt בתנועה בה מסת הגוף קבועה ,מתקבלת הצורה המוכרת יותר לחוק השני של ניוטון: , p m v mלכן עמוד 1מתוך 12 מעבדה א' בפיזיקה תנועה הרמונית – רקע תיאורטי d 2x dt 2 ()3 F m xהוא מיקום הגוף במרחב כפונקציה של הזמן .t משוואת התנועה של תנועה הרמונית פשוטה על גוף בעל מסה mהמבצע תנועה הרמונית פשוטה ,פועל כוח מחזיר , F Kx :כאשר K קבוע (למשל עבור קפיץ K ,נקרא קבוע הקפיץ והוא בעל יחידות של כוח ליחידת אורך) ,ו- xהוא היסט הגוף מנקודת שיווי המשקל .הכוח נקרא כוח מחזיר כיוון שהוא פועל כך שיחזיר את הגוף לנקודת שיווי המשקל שלו .הצבה בחוק השני של ניוטון ( )3תניב את משוואת התנועה האופיינית לתנועה הרמונית פשוטה ()4 d 2x K x 2 dt m פתרון המשוואה הוא . xt A cos t כאשר Aהיא המשרעת ו -היא זווית המופע התחלתית. נזהה את הקבוע באגף ימין כריבוע התדירות הזוויתית של התנועה ההרמונית: K (m )5 מכאן שאם נדע מהו הכוח המחזיר ,ומהי מסת הגוף ,נוכל לדעת מהו זמן המחזור של התנועה ,מתוך הקשר בנוסחה (.)5 תרגיל :1גיזרי פעמיים את הפיתרון xt A cos t לפי ,tוהציבי במשוואה 5כדי להיווכח שהוא פותר אותה. ודאי שמתקבל התנאי במשוואה (.)5 חלק ב' – מטוטלת מתמטית מטוטלת מתמטית היא מערכת פיסיקלית המבצעת בקירוב תנועה הרמונית פשוטה. נתבונן למשל במסה mהתלויה על חוט שאורכו ,Lכמתואר באיור .1על מנת לתאר את המערכת בעזרת המודל המתמטי פשוט של מטוטלת מתמטית יש להניח את ההנחות הבאות: א. החוט אינו אלסטי ומשקלו זניח. ב. המסה הנה נקודתית ונמצאת בקצה החוט. ג. הכוח היחיד הפועל על המערכת הוא כוח הכובד .כוחות אחרים ,כמו למשל כוח חיכוך עם האוויר ,זניחים. עמוד 2מתוך 12 מעבדה א' בפיזיקה תנועה הרמונית – רקע תיאורטי איור :1מטוטלת מתמטית והכוחות הפועלים עליה בצירים השונים L .הוא אורך חוט המטוטלת θ ,היא זווית היסט המטוטלת משיווי המשקל x ,הוא ההיסט האופקי של המסה mמנקודת שיווי המשקל g ,תאוצת הכובד. משוואת התנועה של מטוטלת מתמטית אם נסיט את המסה באיור 1מנקודת שווי המשקל ,ניווכח כי המסה mנעה בנתיב המתאר קשת של מעגל בעל רדיוס .L נתאר את תנועת המטוטלת על גבי הקשת באמצעות זוית ההיסט שלה בכל רגע . t נכתוב את החוק השני של ניוטון (משוואה ( ))3עבור תנועת המסה על הקשת : L t ()6 d 2 L dt 2 F m הכח הפועל על המטוטלת הוא כוח מחזיר ,Fהנובע מפעולת כוח הכובד mgכלפי מטה. כאשר המסה נמצאת בזווית θהכוח המחזיר הוא F mgsin :כפי שניתן לראות מאיור .1סימן המינוס מבטא את העובדה שכיוון הכוח הפוך לכיוון התזוזה של המסה .בנוסף ,לפי x הגדרת הזוית sinθ=x/L :θולכן. F mg : L בזוויות תנודה קטנות אפשר לקרב את הקשת L שלארכה נעה המסה ,למיתר :x ()7 x L sin L נציב את הכוח Fבצד שמאל של משוואת התנועה ( ,)6ונשתמש בקירוב שבמשוואה ()7 בצד ימין של המשוואה ,ונקבל: ()8 ()9 x d 2x mg m 2 L dt d 2x g x 2 dt L עמוד 3מתוך 12 מעבדה א' בפיזיקה תנועה הרמונית – רקע תיאורטי נשים לב שנוסחה ( )10זהה בצורתה למשוואה ( )4עבור תנועה הרמונית פשוטה שכבר פתרנו למעלה ,רק שהפעם התדירות הזוויתית היא . g / L :זמן המחזור של המטוטלת ,לפי נוסחה ( ,)1יהיה הפעם: L g ()10 2 2 T כלומר זמן המחזור של מטוטלת מתמטית נקבע על ידי תאוצת הכובד gואורך חוט המטוטלת Lבלבד ,ולא תלוי במסה .m חלק ג – מטוטלת פיסיקלית נתבונן בגוף קשיח התלוי בשדה הכבידה של כדור הארץ ,כמתואר באיור ( .)2אם נסיטו ממצב שיווי המשקל שלו ונרפה ממנו ,הגוף יתנודד כמטוטלת – וכך אנו מגדירים מטוטלת פיזיקלית .דוגמה נוספת למטוטלת פיסיקלית – פעמון. זמן המחזור של תנודת המטוטלת תלוי במרחק שבין מרכז המסה של הגוף ונקודת התלייה (מרכז המסה יוגדר בהמשך ,נוסחה ( .))11אם הגוף יתלה בדיוק במרכז המסה שלו ,הוא יהיה נתון בשיווי משקל יציב ולא יתנודד כלל .אפשר להסתכל על מצב זה כעל תנודה עם זמן מחזור אינסופי .ככל שנרחיק את נקודת התליה מנקודת מרכז המסה ,כן ילך ויקטן זמן המחזור של התנודה. מצד שני ,אם נתלה את הגוף במרחק גדול מאד מנקודת מרכז המסה שלו ,נוכל להסתכל עליו כגוף נקודתי ,ולכן תנועתו תהיה דומה לתנועת מטוטלת מתמטית .בחלק ג ראיתם שעבור מטוטלת מתמטית ,זמן המחזור בריבוע פרופורציונלי לאורך החוט . T 2 L ,לכן ככל שנתלה את הגוף רחוק יותר ממרכז המסה שלו ,זמן המחזור של תנודתו שוב יגדל .אם כן, ישנו איזשהו מרחק בין נקודת התלייה ומרכז המסה הנותן זמן מחזור מינימלי .מרחק זה ידוע בשם רדיוס ההתמד של הגוף ,ומסומן באות היוונית קאפה.κ : איור :2מטוטלת פיסיקלית. כעת נראה ניתוח כמותי של התופעה הנ"ל :נפתח את משוואת התנועה של מטוטלת פיזיקלית ,ונראה שבסוף שנקבל את אותה משוואה של תנועה הרמונית פשוטה כמו משוואות ( )4ו ,)9(-וכך נקבל ביטוי לזמן המחזור Tשל מטוטלת פיזיקלית. עמוד 4מתוך 12 מעבדה א' בפיזיקה תנועה הרמונית – רקע תיאורטי מושגי יסוד במכניקה של גוף קשיח גוף קשיח הנו עצם בעל צורה שרירותית ,שאינו אלסטי (כלומר אנו מניחים שאינו מתכווץ או מתעקם תחת הפעלת הכוחות במערכת הפיזיקלית בה אנו דנים) .ניתן להסתכל עליו כעל אוסף של מסות מפוזרות במרחב ,כאשר המרחקים בין המסות לבין עצמן קבועים. דוגמאות לגוף קשיח :סביבון ,פריזבי ,צלחת מעופפת. לכל גוף קשיח ישנם גדלים פיזיקאליים מאפיינים ,התלויים במימדיו: מרכז מסה באופן כללי ,עבור אוסף של מסות נקודתיות miהמפוזרות במרחב ,ניתן לחשב את מיקום מרכז המסה ,המוגדר בצורה הבאה: mi ri ()11 xcm i mi i כאשר xcmהוא מיקום מרכז המסה ,ו ri -הוא מיקום המסה . mi מיקום נקודת מרכז המסה של גוף קשיח הוא קבוע .גוף קשיח המונח על ,או תלוי ממרכז המסה שלו ,נמצא בשיווי משקל. תרגיל :2שלושה גופים נקודתיים ממוקמים על ציר xבמיקומים: של הגופים הן 2 cm, x2 1 cm, x3 10 cm 5 gram, m2 2.2 gram, m3 8 gram . x1המסות . m1היכן נמצא מרכז המסה? פתרון :לפי נוסחה (:)12 x1m1 x2 m2 x3m3 2 5 1 2.2 10 8 cm gram 4.75 cm m1 m2 m3 5 2.2 8 gram xcm מרכז המסה נמצא ב 4.75-ס"מ. מומנט התמד מומנט ההתמד של גוף קשיח הוא יכולתו של הגוף למנוע שינוי מהירותו הזוויתית .והוא מבטא את פיזור המסה של הגוף מסביב לציר הסיבוב. גודל זה רלוונטי במקרה שהגוף מבצע תנועה סיבובית סביב עצמו ,לדוגמא תנועה של צלחת מעופפת (ציר הסיבוב עובר במרכז הצלחת המעופפת). בהנחה כי הגוף מורכב מאוסף של נקודות מסה , miמומנט ההתמד נתון ע": ()12 I mi (ri ) 2 i - Iמומנט ההתמד - ri ,מרחק המסה miמציר הסיבוב. תרגיל :3עבור שלושת המסות שבתרגיל הקודם ,מהו מומנט ההתמד לסיבוב סביב ציר הניצב לציר ,xועובר ב- 1 cm ? xaxis עמוד 5מתוך 12 מעבדה א' בפיזיקה תנועה הרמונית – רקע תיאורטי פיתרון :לפי נוסחה :13 2 I m1 x1 xaxis m2 x2 xaxis m3 x3 xaxis 2 2 2 2 2 5 2 1 2.2 1 1 8 10 1 gram cm 2 2 693 gram cm תרגיל : 4הראה ע"י חישוב דומה שעבור אותן שלוש מסות ,מומנט ההתמד לסיבוב סביב ציר הניצב לציר xועובר דרך מרכז המסה הוא 479.25גרם סנטימטר בריבוע. לעיתים נוח יותר להסתכל על גוף קשיח כעל חומר רציף ולא אוסף נקודות מסה .במקרה כזה נהוג להחליף את הסכום בנוסחה ( ,)12באינטגרל: ()13 I r 2 dm כאשר dmהוא אלמנט מסה והאינטגרל מתבצע על כל נפח הגוף. מומנט ההתמד הנו קבוע בזמן ,אך משתנה כתלות במיקום ציר הסיבוב .כלומר מומנט ההתמד סביב צירי סיבוב שונים יהיה שונה. מסמנים ב I 0 -את מומנט ההתמד סביב ציר סיבוב העובר דרך מרכז המסה של הגוף. תרגיל :5מהו מומנט ההתמד של מוט דק אחיד ,באורך ,Lבעל מסה ,Mעבור סיבוב סביב ציר שניצב למוט ועובר דרך מרכז המסה שלו? פתרון :מרכז המסה של מוט אחיד נמצא בדיוק במרכזו .עבור מוט כזה אפשר לכתוב את M dr L , dm כשdr - dm שבמשוואה ( )14כ- הוא אלמנט אורך .האינטגרל במשוואה ( )14יהפוך ל- L 2 M r 2 dr L L 2 I 0 r 2 dm ML2 12 תרגיל :6הראי ע"י חישוב דומה שמומנט ההתמד של אותו המוט בסיבוב סביב ציר הניצב לו ועובר בקצהו הוא ML2 3 .I משוואות התנועה של מטוטלת פיסיקלית כדי למצוא ביטוי לזמן המחזור של מטוטלת פיזיקלית ,נמצא קודם את משוואת התנועה שלה ,ונראה שהיא משוואת תנועה הרמונית מהצורה של משוואה ( )4או (.)9 נתבונן בגוף בעל מסה mהתלוי בשדה כובד ,gכאשר נקודת התליה נמצאת במרחק ממרכז המסה שלו ,כמתואר באיור ,2ונמתח וקטור rמנקודת התליה אל מרכז המסה ( .) r lנכפול סקלרית ב r -את החוק השני של ניוטון ( )3משני צידי המשוואה (הסבר מהי מכפלה סקלרית מופיע בנספח בסוף הטקסט): עמוד 6מתוך 12 מעבדה א' בפיזיקה תנועה הרמונית – רקע תיאורטי dp dt r F r d r p dt ההוצאה של הנגזרת בזמן אל מחוץ לסוגריים אינה טריוויאלית ,וההוכחה שניתן לבצע פעולה זו נמצאת בנספח בסוף הטקסט. נגדיר , J r pזהו התנע הזויתי ( )Angular Momentumשל גוף נקודתי עם תנע p ביחס לנקודה ממנה מתחיל הווקטור . r נגדיר N r Fזהו המומנט ( )Torqueשמפעיל הכוח Fעל הנקודה ממנה מתחיל הווקטור . r כלומר החוק השני של ניוטון יכול להיכתב גם: ()14 dJ dt N ביחס לכל נקודה שנבחר במרחב שנבחר ש r -יתחיל ממנה ,בפרט נקודת התליה. אנו מניחים שכוח הכובד פועל על מרכז המסה של הגוף .מכאן שאם הכוח היחיד שפועל על הגוף הוא כוח הכבידה ,ניתן יהיה לכתוב את המומנט באמצעות התכונות של מכפלה סקלרית בצורה הבאה: ()15 N r F F r F r sin m g l sin כש -היא הזוית בין Fו , r -שבמקרה הזה היא בדיוק זוית ההיסט שבאיור .2 בנוסף אנו יודעים שניתן לכתוב את התנע הזויתי Jלכל גוף כללי גם במונחי התדירות d ומומנט ההתמד Iשלו: הזויתית dt ()16 תרגיל :7היחידות של תנע זויתי הן mass distance 2 time-2 time-1 2 d dt J I I . mass distanceהיחידות של מומנט הן ודא שהיחידות של משוואות ( )15( ,)14ו )16(-תואמות את היחידות הללו. נציב את משוואות ( )15ו )16(-במשוואה (:)14 d 2 mg sin 2 dt I ובקירוב זויות קטנות : sin d 2 mg 2 dt I ()17 עמוד 7מתוך 12 תנועה הרמונית – רקע תיאורטי מעבדה א' בפיזיקה נשים לב שהבאנו את משוואת התנועה לצורה שמראה שהיא משוואת תנועה הרמונית, בדיוק כמו משוואות ( )4ו .)9(-נזהה את התדירות הזויתית : ()18 lmg I 2 לפי משוואה ( ,)1נוכל להסיק כי זמן המחזור של התנודה יינתן ע"י: ()19 4 2 I mg 4 2 2 T 2 כש I -הוא מומנט ההתמד של הגוף ביחס לסיבוב סביב נקודת התליה. תרגיל :8מהו זמן המחזור (בשניות) של מוט באורך 1מטר ,בעל מסה של 1קילוגרם ,אם תופסים אותו בקצהו ומנדנדים אותו בתנודות קטנות? (השתמשי בנוסחה ,19בביטוי למומנט ההתמד של מוט ביחס לקצהו שמצאנו בתרגיל קודם: ML2 3 . Iהציבי meter sec 2 g 9.81 והראי שמתקבל זמן מחזור ~1.16שניות) לעיתים רבות לא נדע את מומנט ההתמד Iלסיבוב סביב נקודת התליה שנמצאת בנקודה שרירותית על גבי הגוף ,אבל כן נדע מהו מומנט ההתמד לסיבוב סביב מרכז המסה של הגוף . I 0במקרים אלו נוכל להשתמש במשפט שטיינר שמקשר בין Iו: I 0 - 2 ()20 I I0 m הוכחה מתמטית של משפט שטיינר נמצאת בנספח. תרגיל : 9בתרגיל קודם מצאנו ע"י אינטגרציה שמומנט ההתמד של מוט דק ביחס לציר סיבוב שניצב לו ועובר במרכזו הוא ML2 12 2 ML . I הראה שבהינתן I 0 הוא 3 . I 0בתרגיל אחר מצאנו שוב ע"י אינטגרציה שמומנט ההתמד של מוט ביחס לציר סיבוב שניצב לו ועובר בקצהו לעיל ניתן להגיע לביטוי ל- I רק באמצעות משפט שטיינר ( ,)20מבלי לבצע אינטרגציה. נציב את משפט שטיינר ( )20בנוסחה ( )19ונקבל: ()21 4 2 I 0 4 2 T mg g 2 -Tזמן המחזור של מטוטלת פיסיקלית -m ,מסת המטוטלת -g ,תאוצת הכובד - I 0 ,מומנט ההתמד של המטוטלת סביב מרכז המסה שלה- , מרחק נקודת התליה של המטוטלת ממרכז המסה שלה. משוואה ( )21משורטטת בצורה כללית באיור .3 נשים לב שכש -גדול האיבר הראשון במשוואה עמוד 8מתוך 12 איור :3ריבוע זמן המחזור של מטוטלת פיזיקלית כפונקציה של מרחק התליה (לפי משוואה (.))21 תנועה הרמונית – רקע תיאורטי מעבדה א' בפיזיקה דועך לאפס ,ורק האיבר השני יתרום לזמן המחזור – כך שקיבלנו חזרה בדיוק את הביטוי לריבוע זמן המחזור של מטוטלת מתמטית (.)10 כעת ניזכר שרדיוס ההתמד ,κ ,מגדיר את המינימום של זמן המחזור ,Tולפיכך גם את המינימום של .T2ניתן לחלץ אותו ממשוואה ( ,)21ע"י גזירת T2לפי והשוואה ל:0 - ()22 I0 m min 4 2 I 0 4 2 0 mg 2 g 0 d T2 d חישוב מומנט ההתמד של מטוטלת פיסיקלית לפי גדלים גאומטריים במעבדה ,נעבוד עם מטוטלת פיסיקלית שהיא מוט דק וארוך ,עליו מוברגת דיסקה .מכיוון שמומנט ההתמד הינו גודל אדיטיבי ,ניתן לקבל את מומנט ההתמד סביב כל נקודה במטוטלת ע"י סכום מומנטי ההתמד של המוט והדיסקה ביחס לאותה נקודה. מומנט ההתמד של מוט סביב מרכז המסה שלו: ()23 M rod L2 12 I rod כש L-הוא אורך המוט הכולל; ושל דיסקה סביב מרכז המסה שלה: ()24 mdisk r 2 2 I disk כש r-הוא רדיוס הדיסקה. הצבת ( )23ו )24(-במשפט שטיינר ( )20תיתן: ()25 L2 r2 I 0 I rod I disk M rod A2 mdisk a 2 12 2 -Mמסת המוט -m ,מסת הדיסקה -L ,אורך המוט -r ,את רדיוס הדיסקה - A ,המרחק בין מרכז המסה של המוט לבין מרכז המסה של המטוטלת ,ובצורה דומה aיתאר את המרחק בין מרכזי המסה של הדיסקה והמטוטלת. חלק ה – סיכום במעבדה נאמת את המודל של מטוטלת מתמטית ( )10ופיסיקלית ( )21על-ידי מדידת זמני המחזור של המטוטלות במרחקים שונים ממרכז המסה. מתוך מודל המטוטלת המתמטית נחלץ את תאוצת הכובד gונשווה לתאוצת הכובד הידועה. בנוסף עבור המודל של מטוטלת פיסיקלית נמצא את רדיוס ההתמד בעזרת חישוב ישיר של גדלי המערכת ( ,)25ונשווה אותו לרדיוס ההתמד שנחלץ ממדידות זמני המחזור של המטוטלת (.)22 עמוד 9מתוך 12 תנועה הרמונית – רקע תיאורטי מעבדה א' בפיזיקה חלק ו -נספחים מכפלה וקטורית: המכפלה הוקטורית בין הווקטור Aלוקטור Bמסומנת ב -והיא: C A B תוצאת המכפלה Cהיא וקטור.את גודלו מחשבים בעזרת הנוסחה: C AB sin AB כאשר Aו B -הם הגדלים של הווקטורים Aו , B -והזווית ABהיא הזווית בין הווקטורים. כיוונו של הווקטור Cמוגדר להיות מאונך למישור שיוצרים Aו B -לפי כלל יד ימין. משוואת התנועה של גוף קשיח המבצע תנועה סיבובית dp d הוכחה ש r p - dt dt :r יותר קל לראות זאת אם הולכים מהסוף להתחלה: d dr dp r p p r dt dt dt dr אבל הווקטור v dt מקביל לתנע p mvולכן המכפלה הווקטורית ביניהם מתאפסת: dp dt r מש"ל. דוגמאות לחישוב מומנטי ההתמד מומנט ההתמד Iשל גוף מסביב לציר סיבוב מסוים הוגדר ע"י משוואה ( ,)11נסתכל כעת על מערכת העשויה מחומר רציף (למעשה שום גוף אינו עשוי מחומר רציף אלא מאטומים בדידים ,אבל נוח לנו להתייחס אליו כך בקירוב) אפשר להחליף את הסכום באינטגרל. במקרה כזה מומנט ההתמד ינתן ע"י: I r 2 dm ()1 כאשר dmהוא אלמנט מסה והאינטגרל מתבצע על כל נפח הגוף .את אלמנט המסה אפשר לבטא על ידי מכפלה של אלמנט נפח dVצפיפו מסה .dm=dV : במקרים הפשוטים קבוע בכל הגוף ,אבל במקרה הכללי הוא פונקציה של המיקום. צורתו המפורשת של אלמנט הנפח dVתלויה במערכת הקואורדינטות בה עובדים. במערכת קואורדינטות קרטזית: dV=dxdydz עמוד 10מתוך 12 תנועה הרמונית – רקע תיאורטי מעבדה א' בפיזיקה במערכת קואורדינטות גלילית: dV=rdrddz במערכת קואורדינטות כדורית: dV=r2sindrdd ציור : 3תאור מערכות קואורדינטות נחשב לדוגמא את מומנט ההתמד של גליל שגובהו ,Hרדיוסו Rוצפיפותו קבועה בכל נפחו, סביב צירו .נשתמש בקואורדינטות גליליות .מומנט ההתמד ינתן ע"י: r 2 r dr d dz R 2 0 0 H I 0 אלה הם שלושה אינטגרלים בלתי תלויים ,לכן אפשר לחשב אותם בנפרד: 2 H R 4 r dr 4 3 מסת הגליל mנתונה ע"י R H I d dz 0 m R 2 H 2 0 0 לכן: mR 2 I 2 חישוב זה היה פשוט משום שבחרנו צורה פשוטה במיוחד .בדרך כלל יכול חישוב מומנט ההתמד להיות תרגיל מסובך למדי .לפעמים אפשר לפשט את החישוב ע"י ביצוע קירובים. הוכחה מתמטית של משפט שטיינר משפט שטיינר אומר כי מומנט ההתמד Iשל גוף סביב ציר כלשהו שווה למומנט ההתמד I0 של הגוף סביב ציר מקביל לציר הראשון והעובר דרך מרכז המסה ,ועוד מסת הגוף,M , מוכפלת בריבוע המרחק , a ,שבין הצירים .בנוסחה יירשם הדבר כך: I I 0 Ma 2 נוכיח זאת :נעביר ציר סיבוב דרך מרכז המסה של גוף כלשהו .נבנה מערכת קואורדינטות גליליות ) (r,,zכך שציר zשלה יתאחד עם ציר הסיבוב .במערכת כזו ינתן מומנט ההתמד סביב הציר הנ"ל ע"י: 2 I 0 m j rj j כאשר הסכימה היא על כל נקודות המסה .נעביר כעת ציר אחר מקביל לציר הראשון והמרוחק ממנו מרחק .aנבנה מערכת קואורדינטות גליליות חדשה שציר zשלה מתאחד עם עמוד 11מתוך 12 תנועה הרמונית – רקע תיאורטי מעבדה א' בפיזיקה r ציר הסיבוב החדש .נקודה אשר סומנה במערכת הישנה ע"י ' rכאשר: תסומן במערכת החדשה ע"י r' r a מומנט ההתמד סביב הציר החדש Iנתון ע"י: 2 2 I m j ( rj ' ) 2 m j ( rj a ) 2 m j rj m j a j 2m j rj a j j j j j כאשר rj aהיא מכפלה סקלרית .קיבלנו שלושה מחוברים .הראשון שבהם הוא I0לפי ההגדרה והשני הוא מסת הגוף Mמוכפלת בריבוע המרחק בין הצירים. 2 2 m a a m a M j 2 j j j j נראה כי המחובר האחרון מתאפס .נניח כי הוקטור aמונח על ציר .xכמובן שזוהי בחירה שרירותית אבל מותר לנו להעביר את ציר xבכל כיוון במישור ..z=constבמקרה כזה rj aנותן לנו את קואורדינטת ה x-של נקודת המסה mjבמערכת הישנה .לכן אפשר לרשום: 2m j r j a 2a m j x j j j הביטוי האחרון הוא המיקום בכיוון xשל נקודת מרכז המסה .מאחר ומיקום זה נמדד במערכת בה ציר zעובר דרך מרכז המסה הרי שהערך של הביטוי הנ"ל שווה לאפס .וכך נשארנו עם: מ.ש.ל. I I 0 Ma 2 עמוד 12מתוך 12
© Copyright 2024