‫קורס‪ 86-115-01 :‬מכניקה‬ ‫אוניברסיטת בר‪-‬אילן‬ ‫תשע"ג סמסטר א'‬ ‫מבחן מועד ב'‬ ‫משך זמן הבחינה‪ :‬שלוש שעות‬ ‫חומר עזר מותר‪ :‬מחשבון כיס ודף הנוסחאות המצורף לבחינה זו‪.‬‬ ‫כל חומר עזר אחר – אסור לשימוש בבחינה‪.‬‬ ‫מרצה‪ :‬ד"ר אלי סלוצקין‬ ‫‪U‬‬ ‫‪ .1‬במערכת הגלגלות שבציור‪ ,‬מסת הגלגלות והחוט – זניחה‪ .‬כוח החיכוך – זניח‪.‬‬ ‫)‪(15%‬‬ ‫א‪ .‬איזה כוח צריכה להפעיל היד שבציור‪ ,‬כדי שהכדור )בעל מסה ‪ (M‬ינוע במהירות‬ ‫קבועה ‪ v‬למעלה?‬ ‫ב‪ .‬כמה עבודה יש להשקיע‪ ,‬כדי להרים את המסה לגובה ‪.h‬‬ ‫ג‪ .‬מהו ההספק שיש להפעיל‪ ,‬כדי להעלות את המסה למעלה במהירות ‪?v‬‬ ‫ד‪ .‬מהי התשובה המספרית לסעיף א'‪ ,‬אם ‪ M=1kg‬ו‪?g≈10m/s2 -‬‬ ‫‪ .2‬מסובבים חבל‪ ,‬בעל אורך ‪ L‬ומסה ‪ ,M‬במהירות זוויתית ‪ ,ω‬ללא גרוויטציה‪.‬‬ ‫בקצה החבל מחוברת מסה ‪.mw‬‬ ‫מישור הסיבוב מאונך לציר המרכזי‪ ,‬שאליו קשור התיל‪.‬‬ ‫)‪(25%‬‬ ‫א‪ .‬מהי המתיחות בנקודות שונות לאורך החבל?‬ ‫ב‪ .‬ברגע זמן ‪ t0‬כלשהו‪ ,‬תוקעים יתד אנכי לתוך מישור התנועה‬ ‫של החבל‪ ,‬במרחק ‪ ∆x‬מציר הסיבוב‪.‬‬ ‫החבל פוגע ביתד; קצה החבל‪ ,‬באורך )‪ (L-∆x‬מתלפף על היתד‪.‬‬ ‫האם האנרגיה של המסה ‪ mw‬נשמרת מזמן ‪ t0‬עד פגיעתה של מסה זו ביתד?‬ ‫)‪(i‬‬ ‫האם התנע הזוויתי של המסה ‪ mw‬נשמר מזמן ‪ t0‬עד פגיעתה של מסה זו ביתד?‬ ‫)‪(ii‬‬ ‫ג‪ .‬מהי המהירות של המסה ‪ mw‬ברגע הפגיעה ביתד‪.‬‬ ‫)‪(30%‬‬ ‫‪ .3‬כדור‪ ,‬בעל רדיוס ‪ R‬ומסה ‪ ,M‬מתגלגל בהשפעת כוח הכבידה של כדור הארץ על משטח שזווית השיפוע שלו‬ ‫היא ‪ .α‬הכדור מתחיל את תנועתו ממצב מנוחה‪ .‬מקדם החיכוך בין הכדור למשטח המשופע הוא ‪.µ‬‬ ‫צפיפות המסה של הכדור – אחידה‪.‬‬ ‫א‪ .‬בטאו את מומנט ההתמד של הכדור דרך ‪ Μ‬ו‪.R -‬‬ ‫‪1 5 2 2 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫רמז‪∫ (A − x ) dx = 5 x − 3 A x + A x :‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪∫ sin θ dθ = − 3 sin θ cosθ − 3 cosθ‬‬ ‫ב‪ .‬ציירו את דיאגרמת הכוחות הפועלים על הכדור‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מהו הטורק )‪ (torque‬השקול הפועל על הכדור?‬ ‫ד‪ .‬מהו הערך המכסימאלי של ‪ ,α‬עבורו הכדור עדיין יוכל להתגלגל ללא שום החלקה?‬ ‫‪ .4‬קטר מזרים חול אל קרונית בקצב של ‪ b‬ק"ג\שניה )ראה ציור(‪ .‬הקרונית איננה ממונעת‪ .‬מסת הקרונית ב‪t=0 -‬‬ ‫היא ‪ .Mc‬הקטר והקרונית אינם מחוברים‪ .‬נהג הקטר מכוון את מהירותו באופן שהמרחק בין הקטר לקרונית –‬ ‫קבוע‪ .‬מהירות החול ביחס לקטר היא ‪ .u‬על הקרונית פועל כוח חיכוך )כתוצאה מחיכוך באוויר( ‪ ,F=-kv‬כאשר ‪v‬‬ ‫היא המהירות הרגעית של הקרונית ו‪ k -‬הוא קבוע נתון‪.‬‬ ‫)‪(30%‬‬ ‫א‪ .‬מצאו את מהירותה של הקרונית כפונקציה של הזמן‪,‬‬ ‫אם נתון שהקרונית התחילה ממנוחה בזמן ‪.t=0‬‬ ‫רמז‪ :‬פתרון משואה דיפרנציאלית‬ ‫)‪ , ẋ = −x/(A + Ct‬כאשר ‪ A‬ו‪ C-‬הם קבועים כלשהם‪,‬‬ ‫ניתן ע"י‪ ,x=E1(A+Ct) -1/C :‬כאשר ‪ E1‬הוא קבוע‪ ,‬הנקבע מתנאי ההתחלה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬נתון‪ .b=5 kg/s ;k=1 sec*N/m ;u=5 m/s :‬מצאו את מהירות הקרונית בזמן ∞→‪.t‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫דף משוואות‬  A 2  B 2  2 AB cos  C2 xˆ   A  B  Ax Bx yˆ :‫משפט קוסינוסים‬ zˆ Ay By :‫מכפלה ווקטורית‬ Az  Bz  Ay B z  B y Az xˆ   Az B x  B z Ax  yˆ  Ax B y  B x A y zˆ rˆ  cos  xˆ  sin  yˆ ˆ   sin  xˆ  cos  yˆ rˆ  ˆ :‫וקטורי יחידה בקואורדינאטות פולאריות‬ :‫נגזרות של וקטורי יחידה בקואורדינאטות פולאריות‬ ˆ   rˆ  r  rrˆ  rˆ :‫מהירות בקואורדינאטות פולאריות‬  2 :‫תאוצה בקואורדינאטות פולאריות‬ r  r  r rˆ  2r  r ˆ x (t )  f ( t ) g ( t ) x t   f t g t   f t g t  : ‫כללי גזירה‬ x (t )  f ( g (t )) x t   f  g t g t   Gm1 m2 :‫כוח משיכה‬ G=6.6710-11 Nm2/kg2 F Rˆ12 2 R12     kq q F   12 2 Rˆ12 R12 k=9109 Nm2/C2    dP F  ma  dt dL/dt = :‫שימור תנע‬  = r×F =c/a ,r0=b2/a .r  r0 1   cos  r0    U U  F   xˆ  yˆ   x  y    :‫כוח קולון‬ :‫חוק השני של ניוטון‬ L=mr×v :‫תנע זוויתי‬ :(‫משוואת האליפסה )אחד המוקדים בראשית הצירים‬ 2 EL2 L2 2 ,  1   GMm 2 G 2 M 2 m3 :‫בתנועה קפלרית‬ b   1 2 1 2 mvb  mv a   F  dr  U (ra )  U (rb ) :‫משפט עבודה אנרגיה‬ 2 2 a