מבחן עם תשובות
אוניברסיטת בר-אילן המחלקה לכלכלה מבוא לאקונומטריקה ב' 66-237-01-03-05 שנה"ל תשע"ה ,סמסטר ב' ,מועד א' 12.7.2015 מרצים :פרופ' גיל אפשטיין ופרופ' אברהם שניצר הנחיות: משך הבחינה :שעתיים. חומר עזר :מחשבון בלבד. לכל שאלה משקל זהה. יש לענות באופן ברור ותמציתי :אין לחרוג ממכסת השורות שהוקצתה לכם עבור כל שאלה. יש לענות על השאלה החמישית בהתאם לקבוצה שהנך משויך אליה -תשובה לשאלה המתאימה לקבוצה האחרת לא תזכה בנקודות. שאלה 1 פונקציית התצרוכת של ישראלים נתונה על ידי המשוואה הבאה: Yi 1 X 1i u i כאשר Xהינו שכר העובד בש"ח ו Y -התצרוכת. כלכלן סבור שהנטייה השולית לצרוך מתוך ההכנסה Xעבור הכנסה מעל ₪ 10,000שונה מהנטייה השולית לצרוך עבור הכנסה מתחת ועד ל( .₪ 10,000-שימו לב שאין קפיצה בפונקציית התצרוכת בהכנסה של ₪ 10,000אלא רק שינוי בנש"צ). א .רשום את משוואת הרגרסיה שמקיימת את ההנחה של הכלכלן 10( .נקודות) 𝑖𝑢 𝑌𝑖 = 𝛼 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝛽2 𝐷𝑖 (𝑋𝑖 − 10000) + כאשר 𝑖𝐷 הוא משתנה דמי השווה ל 1-אם ההכנסה מעל ( ₪ 10000ו 0-אחרת). 1 ב .כיצד ניתן לבדוק את ההשערה של הכלכלן? כתוב את ההשערה ,אילו רגרסיה(ות) צריך להריץ ,סטטיסטי המבחן ,דרגות החופש והערך הקריטי 10( .נקודות) יש לבדוק את השערת האפס ש 𝛽2-ברגרסיה בסעיף א שווה ל 0-למול האלטרנטיבה ש 𝛽2-שונה מ 0-כפי שסבור הכלכלן .יש להריץ את הרגרסיה הנ"ל ולבצע מבחן tעל מובהקות .𝛽2סטטיסטי המבחן שווה ל 𝛽̂2⁄𝜎̂𝛽2 -והוא מתפלג לפי התפלגות tעם מספר דרגות חופש השווה למספר התצפיות פחות .3בהתאם לרמת מובהקות מקובלת שעל פיו מבוצע המבחן ,נדחה את השערת האפס כאשר הסטטיטסטי נמצא בזנב העליון או התחתון של ההתפלגות (מחלקים ר"מ ב.)2- שאלה 2 נתון המודל הבא: (Yi 0 1 X i 2 S i u i )1 (X i 0 1 S i 2 Z i 3 Gi vi )2 (S i 0 1 X i i )3 א .הסבר ,לגבי כל משוואה במודל ,האם יש זיהוי מדויק ,זיהוי יתר או שאין זיהוי 12( .נקודות) משוואה ( :)1מכיוון ש 𝑌𝑖 -לא מופיע בשתי המשוואות האחרות הרי ש 𝑋𝑖 -וגם 𝑖𝑆 אינם מתואמים עם ההפרעה 𝑖𝑢 ולכן אין בעיית סימולטניות במשוואה ( )1וניתן לאמוד את המקדמים ב.OLS- האומדנים יהיו מוטים אך עקיבים. משוואה ( :)2המסביר 𝑖𝑆 המופיע במשוואה זו מתואם עם 𝑖𝜈 לפי משוואה ( .)3הצורה המצומצמת ל 𝑆𝑖 -נראית כך .𝑆𝑖 = 𝜇0 + 𝜇1 𝑍𝑖 + 𝜇2 𝐺𝑖 + 𝑒1𝑖 :נציב זאת במשוואה ( )2ונקבל לאחר סידור איברים𝑋𝑖 = (𝛽0 + 𝛽1 𝜇0 ) + (𝛽1 𝜇1 + 𝛽2 )𝑍𝑖 + (𝛽1 𝜇2 + 𝛽3 )𝐺𝑖 + 𝑒2𝑖 : ניתן להריץ צורה מצומצמת זו ב ,OLS -וכן ניתן לקבל אומדני 𝜇-ים מהצורה המצומצמת ל.𝑆𝑖 - מתקבלות 3משוואות שמהם צריך לחלץ – 𝛽 4ות ,דהיינו אין פתרון .לכן משוואה ( )2לא מזוהה. הערה :ניתן להשתמש כאן גם בתנאי הסדר שאינו מתקיים ,ולכן בהכרח שאין זיהוי. משוואה ( :)3נציב את הצורה המצומצמת ל 𝑋𝑖 = 𝜂0 + 𝜂1 𝑍𝑖 + 𝜂2 𝐺𝑖 + 𝑒3𝑖 ,𝑋𝑖 -במשוואה ()3 ונקבל לאחר סידור איברים 𝑖 ,𝑆𝑖 = (𝛿0 + 𝛿1 𝜂0 ) + 𝛿1 𝜂1 𝑍𝑖 + 𝛿1 𝜂2 𝐺𝑖 + 𝑒4כלומר אם נריץ צורה מצומצמת ל 𝑆𝑖 -נקבל שוב 3משוואות ,אך רק 2נעלמים 𝛿0ו ,𝛿1-ולכן ( )3מזוהה ביתר. 2 הערה :ניתן להראות באמצעות הצבה ש- 𝛽0 +𝛽1 𝛿0 1−𝛽1 𝛿1 𝛽 𝛽 = ,𝜂2 = 1−𝛽3 𝛿 ,𝜂1 = 1−𝛽2 𝛿 ,𝜂0ולכן 3 1 1 1 1 המשוואות הנ"ל הן אכן משוואות שונות המספקות אינסוף פתרונות ל 𝛿0-ו.𝛿1- ב .הסבירו כיצד התשובה הייתה משתנה אילו לא הייתה קיימת משוואה ( 8( .)3נקודות) משוואה ( )1עדיין ניתנת לאמידה ב OLS -כמו בסעיף א .וכעת ,גם במשוואה ( )2אין בעיית סימולטאניות כי 𝑖𝑆 נחשב כאקסוגני בהיעדר משוואה ( ,)3וניתן לאמוד גם אותה ב.OLS- שאלה 3 נתונה פונקציית הייצור . Qt A Lt K t e utלאחר טרנספורמציה לוגריתמית ,אמד החוקר את המודל בשיטת ריבועים פחותים על פי 40תצפיות וקיבל סטטיסטי DWהשווה ל.1 - א .אם אומדים את הרגרסיה ללא תיקון למתאם סדרתי ,מה תכונות האומדנים? ( 2נקודות) אם קיים מתאם סדרתי ומתעלמים ממנו ואומדים ב ,OLS -אזי אומדני המקדמים עדיין חסרי הטיה ועקיבים ,אך אינם יעילים .כמו כן ,מבחני השערות בלתי תקפים מאחר שיש הטיה באומדני סטיות התקן. ב .בהנחה שהאומד ל -שמתקבל מהנתונים הינו הערך האמתי ,מה הרגרסיה שיש לאמוד על מנת לקבל אומדנים יעילים למקדמי המודל 8( .נקודות) מכיוון שהסטטיסטי DWשווה בקרוב ל 2(1 − 𝜌)-הרי שאומדן ל 𝜌-הוא 0.5בקירוב .בהתאם לכך ,יש להריץ את הרגרסיה הבאה כדי לקבל אומדים יעילים למקדמי המודל: 𝑡𝜀 𝑙𝑛𝑄𝑡 − 0.5𝑙𝑛𝑄𝑡−1 = 𝛼 + 𝛽(𝑙𝑛𝐿𝑡 − 0.5𝑙𝑛𝐿𝑡−1 ) + 𝛿(𝑙𝑛𝐾𝑡 − 0.5𝑙𝑛𝐾𝑡−1 ) + האומדנים של מקדמי המסבירים ברגרסיה משמשים אומדנים יעילים לגמישויות 𝛽 ו 𝛿 במודל. כמו כן מתקיים )𝐴(𝑛𝑙 = 𝛼. ג .במידה והאומד ל -שהתקבל אינו בהכרח הערך האמתי ,תאר שלב אחר שלב מה צריך לעשות על מנת לקבל אומדנים יעילים למקדמי המודל 10( .נקודות) תיקון ( CORCאפשרי גם :)HILU .1מריצים רגרסיה של המודל (לאחר טרנספורמציה לוגריתמית) ב OLS -ומחשבים את 𝑡̂𝑢 . .2מריצים רגרסיה של 𝑡̂𝑢 על ( 𝑢̂𝑡−1ללא חותך) ומקבלים אומדן ל. 𝜌̂- .3מריצים רגרסיה כמו בסעיף א ,רק שמשתמשים באומדן ̂𝜌 שמתקבל משלב 2כל פעם, במקום ב 0.5-דווקא .מקבלים את אומדני המקדמים ̂𝛼 𝛽̂ ,ו𝛿̂ - 3 .4משתמשים באומדני המקדמים משלב 3כדי לחשב מחדש את השגיאות 𝑡̂𝑢 לפי 𝑡𝐾𝑛𝑙 ̂𝛿 .𝑢̂𝑡 = 𝑙𝑛𝑄𝑡 − 𝛼̂ − 𝛽̂ 𝑙𝑛𝐿𝑡 − .5חוזרים לשלב 2ומבצעים שוב ושוב עד שההפרש בין ̂𝜌-ים שנאמדים בשתי איטרציות עוקבות נמוך ממספר מסוים שהוגדר ,ומשתמשים ב 𝜌̂-מהאיטרציה האחרונה לחישוב האומדנים הסופיים למקדמי המודל על פי שלב .3 שאלה 4 שני אוסטרלים שאוהבים להמר על זבובים שמטפסים על קיר החליטו לערוך מחקר רציני על סוג זה של תחרות ואספו לשם כך נתונים על 10,000תחרויות שנערכו במשך מספר שנים .התיאוריה שלהם גורסת שההסתברות לטפס על הקיר בפחות מ 2-דקות תלויה בעונות השנה .כמו כן ,הם סבורים שהזבובים מהירים יותר כשהירח מלא .הם פונים אליך בבקשה לסייע להם לבחון את התיאוריה .החלטת כי יש להריץ את מודל ההסתברות הליניארי ( .)LPMניתן להניח כי המודל הבסיסי הוא: FS = a + bX + u כאשר FSהוא משתנה המקבל 1אם הזבוב טיפס על הקיר בפחות מ 2-דקות (ו 0-אחרת) X ,הוא מסביר מסתורי שאינו תלוי בעונות השנה ובגודל הירח ו u-היא ההפרעה המקרית. א .הסבר איזו רגרסיה(ות) יש להריץ כדי לבחון את התיאוריה שלהם .אילו משתנים יש להגדיר לצורך כך ואילו מבחנים סטטיסטיים היית מבצע? ( 10נקודות) נגדיר 3משתני דמי לעונות השנה( WINTER :מקבל 1אם חורף)( SPRING ,מקבל 1אם אביב) ו- ( SUMMERמקבל 1אם קיץ) .כמו כן ,נגדיר משתנה דמי MOONהמקבל 1עבור ליל ירח מלא. הרגרסיה שיש להריץ היא: 𝑁𝑂𝑂𝑀 FS = 𝛼0 + 𝛼1 WINTER + 𝛼2 SPRING + 𝛼3 SUMMER + 𝛿0 )+ 𝛿1 (𝑀𝑂𝑂𝑁 × WINTER) + 𝛿2 (𝑀𝑂𝑂𝑁 × SPRING 𝑢 + 𝛿3 (𝑀𝑂𝑂𝑁 × SUMMER) + 𝛽𝑋 + כמובן שיש ליישם אמידת WLSבהתאם למודל ה LPMכדי לקבל אומדנים טובים לסטיות התקן. כעת ניתן לבצע מבחני tו/או Fעל הα-ות לבדיקת הבדלים בין עונות השנה ,מבחן על מובהקות 𝛿0 לבדיקת האפקט של ירח מלא ,וכן ניתן לבדוק אם יש אפקט נוסף מובהק לצירופים של ירח מלא עם עונות השנה באמצעות מבחנים על המקדמים . 𝛿3 ,𝛿2 ,𝛿1מבחן משותף לאפקט של עונות 4 השנה ושל ירח מלא יתבצע באמצעות בדיקת ההשערה שכל הα-ות והδ-ות למעט 𝛼0שווים ל0- (מבחן .)F ב .כיצד ניתן לבצע מבחן להשערה (האלטרנטיבית) שמהירות הטיפוס של זבובים בזמן ירח מלא גבוהה יותר בממוצע בקיץ לעומת האביב? כיצד יש למדוד את האפקט של ירח מלא על גודל ההשפעה השולית שיש לעונת החורף על מהירות הזבובים? ( 10נקודות) השערת האפס שאין הבדל במהירות הטיפוס בזמן ירח מלא בין הקיץ לאביב מתבטאת בכך ש- .𝛿3 = 𝛿2יש לבחון זאת למול האלטרנטיבה ( 𝛿3 > 𝛿2ניתן ליישם מבחן .)t האפקט של ירח מלא על גודל ההשפעה השולית של החורף בא לידי ביטוי באמצעות המקדם 𝛿1 (מקדם האינטראקציה בין 𝑁𝑂𝑂𝑀 ל.) WINTER- שאלה - 5למי שחייב בהגשת פרויקט בSTATA- סטודנט משתמש במדגם של 706גברים ונשים כדי לאמוד מודל המסביר את זמן השינה שלהם, על פי משוואת הרגרסיה הבאה: 𝑡𝑢 𝑠𝑙𝑒𝑒𝑝𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑎𝑔𝑒𝑡 + 𝛽2 𝑎𝑔𝑒2𝑡 + 𝛽3 𝑚𝑎𝑙𝑒𝑡 + 𝛽4 𝑡𝑜𝑡𝑤𝑟𝑘𝑡 + 𝛽5 𝑦𝑛𝑔𝑘𝑖𝑑𝑡 + כאשר המשתנים מוגדרים כדלהלן: 𝑡𝑝𝑒𝑒𝑙𝑠 – אורך שנת הלילה בדקות ,במשך שבוע. 𝑡𝑒𝑔𝑎 – גיל בשנים. 𝑡 – 𝑎𝑔𝑒2הגיל בריבוע. 𝑡𝑒𝑙𝑎𝑚 – משתנה דמי המקבל 1במקרה של גבר (ו 0-אחרת). 𝑡𝑘𝑟𝑤𝑡𝑜𝑡 – זמן העבודה בדקות ,במשך שבוע. 𝑡𝑑𝑖𝑘𝑔𝑛𝑦 – משתנה דמי המקבל 1במקרה שיש ילד(ים) מתחת לגיל ( 3ו 0-אחרת). הסטודנט חושש ששונות ההפרעה במודל משתנה בין גברים לנשים ומבצע מבחן כדי לבדוק זאת. הפלט של הסטודנט מופיע בסוף השאלה. א .הסבר את המבחן שביצע הסטודנט .האם המבחן התבצע כראוי? מהי מסקנת המבחן? (12 נקודות) הסטודנט יישם את מבחן Goldfeld-Quandtלהטרוסקדסטיות .לשם כך הוא חילק את המדגם לשתי קבוצות ,אמד את המודל לכל קבוצה ובדק במבחן Fאם יש הבדל בשונות ההפרעה בין 5 הקבוצות .מכיוון שהחלוקה לקבוצות במקרה זה מוגדרת (גברים ונשים) ואין תלות בין הקבוצות, הרי שהטכניקה הרגילה לחלוקת המדגם במבחן ,GQהדורשת להשמיט תצפיות ,אינה רלוונטית. לפי תוצאות המבחן יש הבדל מובהק בשונות ההפרעה בין הקבוצות בר"מ .10%לכןת המסקנה היא שבר"מ 10%קיימת הטרוסקדסטיות במודל. ב .האם ניתן לבחון את ההשערה שבדק הסטודנט בשיטה נוספת? פרט 8( .נקודות) ניתן ליישם גם מבחן ,LMלמשל לפי פורמט ,Breusch-Paganבאופן הבא: .1הרצת רגרסיה של המודל (עם כל התצפיות) וחישוב ריבועי ההפרעות. .2הרצת רגרסית עזר של ריבועי ההפרעות על חותך והדמי 𝑡𝑒𝑙𝑎𝑚 . .3לפי השערת האפס של הומוסקדסטיות מקדם הדמי ברגרסית העזר שווה ל.0- .4בוחנים זאת באמצעות חישוב הסטטיסטי 𝑛𝑅 2מרגרסיית העזר המתפלג חי בריבוע עם דרגת חופש אחת. .5אם הסטטיסטי גבוה מהערך הקריטי ( 2.7בר"מ )10%מסיקים שקיימת הטרוסקדסטיות. הערה :כידוע לכם ,ניתן לקבל תוצאות שונות של הרגרסיה באמצעות הפונקציה מהצורה )(.e הפונקציה ) e(df_rשבפלט מחשבת את דרגות החופש של השגיאות ברגרסיה והפונקציה )e(rss מחשבת את סכום ריבועי השגיאות. 6 . regress sleep age age2 male totwrk yngkid if male==0 Source SS df MS Model Residual 5985278.67 57504873.4 4 301 1496319.67 191046.091 Total 63490152.1 305 208164.433 sleep age age2 male totwrk yngkid _cons Coef. -30.13861 .3760157 (dropped) -.1404531 -122.9789 4089.394 Std. Err. t Number of obs = F( 4, 301) Prob > F R-squared Adj R-squared Root MSE P>|t| = = = = = 306 7.83 0.0000 0.0943 0.0822 437.09 [95% Conf. Interval] 18.53386 .2232601 -1.63 1.68 0.105 0.093 -66.61097 -.0633326 6.333739 .8153639 .0276615 93.10354 358.4825 -5.08 -1.32 11.41 0.000 0.188 0.000 -.1948875 -306.1951 3383.944 -.0860187 60.23743 4794.843 . . scalar df_r1=e(df_r) . . scalar var1=e(rss)/e(df_r) . . display var1 191046.09 . . regress sleep age age2 male totwrk yngkid if male==1 Source SS df MS Model Residual 11304595.8 64265544.8 4 395 2826148.94 162697.582 Total 75570140.6 399 189398.849 sleep age age2 male totwrk yngkid _cons Coef. 7.531567 -.0423209 (dropped) -.1827651 58.88367 3463.333 Std. Err. t Number of obs = F( 4, 395) Prob > F R-squared Adj R-squared Root MSE P>|t| = = = = = 400 17.37 0.0000 0.1496 0.1410 403.36 [95% Conf. Interval] 14.35679 .1688465 0.52 -0.25 0.600 0.802 -20.6937 -.3742711 35.75684 .2896292 .0245478 59.17327 292.4864 -7.45 1.00 11.84 0.000 0.320 0.000 -.2310258 -57.45026 2888.308 -.1345045 175.2176 4038.358 . . scalar df_r2=e(df_r) . . scalar var2=e(rss)/e(df_r) . . display var2 162697.58 . . scalar f=var1/var2 . . display f 1.1742405 . display invfprob(df_r1,df_r2,0.1) 1.1478207 7 שאלה - 5למי שפטור מהגשת פרויקט בSTATA- א .התייחס למודל ,Y = a + b1X1 + b2X2 + uכאשר YוX -הם משתנים רציפים b1 ,a ,וb2- הם המקדמים ו u-ההפרעה .יש חשש להטרוסקדסטיות במודל ,אך אין משתנים הידועים כגורמים לבעיה על פי הספרות הרלוונטית .איזה רגרסיה(ות) יש להריץ כדי לבחון את השערת ההטרוסקדסטיות 10( .נקודות) במקרה זה אפשר להשתמש במבחן ,Whiteשבו יש פורמט מובנה לרגרסיית העזר: .1מריצים רגרסיה של המודל (עם כל התצפיות) ומחשבים את ריבועי ההפרעות. .2מריצים רגרסית עזר של ריבועי ההפרעות על חותך X22 ,X12 ,X2 ,X1ו. (X1 × X2)- .3לפי השערת האפס של הומוסקדסטיות ,כלל המקדמים שווים ל 0-מלבד החותך. .4בוחנים זאת באמצעות חישוב הסטטיסטי 𝑛𝑅 2מרגרסיית העזר המתפלג חי בריבוע עם 5 דרגות חופש. .5אם הסטטיסטי גבוה מהערך הקריטי ( 11.07בר"מ ,)5%מסיקים שקיימת הטרוסקדסטיות. ב .התייחס למודל ,Y = a + b1X1 + b2X2 + uכאשר Yמשתנה דמי X ,משתנה רציףb1 ,a , ו b2-הם המקדמים ו u-ההפרעה .הראה כיצד המודל לוקה בבעיית הטרוסקדסטיות והצג את הפתרון לכך 10( .נקודות) מכיוון ש Y-הוא משתנה דמי ,הרי ששונות ההפרעה שווה ל ,𝑝(1 − 𝑝)-כאשר 𝑝 הוא ההסתברות ש . Y = 1-היות והסתברות זו תלויה בערכי המסבירים X1ו , X2-שונות ההפרעה אינה קבועה ולכן קיימת בעיית הטרוסקדסטיות אותה יש לתקן באמידת WLSבאופן הבא: ̂. .1מריצים רגרסיה של המודל ומחשבים את Y .2מחשבים את משתנה המשקל 1 ̂ (1−Y )̂ √Y ̂ אינו בין 0ל- = 𝑤 (משמיטים תצפיות שעבורם Y .)1 .3מריצים את רגרסית ה , 𝑤Y = 𝑎𝑤 + 𝑏1(𝑤X1) + 𝑏2(𝑤X2) + 𝜈 :WLS-אשר ממנה מתקבלים אומדנים יעילים (אסימפטוטית) ל 𝑏1 ,𝑎-ו 𝑏2-ואומדנים עקיבים לסטיות התקן. 8
© Copyright 2024