‫‪1‬‬ ‫דף נוסחאות‬ ‫סטטיסטיקה‬ ‫התפלגות‬ ‫אם‬ ‫לדוגמא‪:‬‬ ‫התפלגות‬ ‫אם‬ ‫התפלגות‬ ‫אם‬ ‫ערכים מתוך התפלגות זו נקבל‪:‬‬ ‫וניקח דגימה של‬ ‫∑‬ ‫נקבל‪:‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫√‬ ‫נקבל‪:‬‬ ‫שני מסבירים (תחת הנחות רגילות)‬ ‫מציאת אמדים‪:‬‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫תכונות‪:‬‬ ‫̅‬ ‫∑√‬ ‫̅‬ ‫)‬ ‫̅‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫(‬ ‫∑‬ ‫)‬ ‫∑‬ ‫(‬ ‫ניבוי‪:‬‬ ‫∑‬ ‫עבור מבחן ‪ t‬נצטרך אמד לשונות הרעש‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫∑‬ ‫)‬ ‫∑‬ ‫(‬ ‫̅‬ ‫כאשר‪:‬‬ ‫‪ k‬מסבירים (תחת הנחות רגילות)‬ ‫מציאת אמדים‪:‬‬ ‫לחלופין ניתן להגדיר ‪ k‬משוואות לפי כל האילוצים‪:‬‬ ‫∑‬ ‫לחלופין‪:‬‬ ‫כאשר * מסמל את מטריצת ההפרשים מהממוצע ו‪-‬‬ ‫∑‬ ‫̅‬ ‫הם כל המקדמים ללא החותך‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫̅‬ ‫̅‬ ‫̂ ̂‬ ‫מתאם מתוקנן‪:‬‬ ‫̅‬ ‫מדד למורכבות המבחן (יותר גבוה – המודל פחות יעיל)‪:‬‬ ‫תכונות‪:‬‬ ‫כך ש‪:‬‬ ‫∑‬ ‫הוא המתאם בין המסביר ‪ k‬לכל שאר המסבירים‪.‬‬ ‫מתואם חזק עם שאר המסבירים ולכן השונות גבוהה (מולטי‬ ‫גבוה‪,‬‬ ‫כאשר‬ ‫לא מוגדרת (מולטי קולינאריות מושלמת)‬ ‫‪ ,‬השונות של‬ ‫קולינאריות)‪ .‬כאשר‬ ‫בצורת הפרשים‪:‬‬ ‫השערות‪:‬‬ ‫∑‬ ‫עבור מבחן ‪ t‬נצטרך אמד לשונות הרעש‪:‬‬ ‫מבחן ‪F‬‬ ‫כאשר ‪ R‬מטריצה מסדר‬ ‫הינה‬ ‫השערת‬ ‫‪ ,‬ו‪ r -‬מטריצה מסדר‬ ‫ולכן‪:‬‬ ‫כמו כן‪:‬‬ ‫ולכן ערך ‪ F‬יהיה‪:‬‬ ‫במקרה מקרה פרטי‬ ‫(רק על המקדמים בלי החותך) יתקיים‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫במקרה מקרה פרטי‬ ‫כאשר‬ ‫כמו כן‪:‬‬ ‫חותכים) יתקיים‪:‬‬ ‫(על‬ ‫)‬ ‫הינו ה‪ RSS-‬מהרגרסיה המאולצת (‬ ‫הינו המתאם בריבוע מהרגרסיה המאולצת‪.‬‬ ‫כאשר‬ ‫הערה‪ :‬אם כולל בדיקה על מקדם בודד ניתן לחשב‬ ‫מבחן ‪.t‬‬ ‫תנאי הדרגה לבדיקת מולטי קולניאריות‬ ‫מנרמלים את מטריצת ‪ X‬כך ש‪:‬‬ ‫‖‬ ‫ולכן נקבל‪:‬‬ ‫‖‬ ‫לפי‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫נחשב למטריצה זו ערכים עצמים ונחשב את תנאי הדרגה‪:‬‬ ‫כך ש‬ ‫וליצור‬ ‫‪ℴ‬‬ ‫∞ ‪ .‬אם‬ ‫√‬ ‫‪ℴ‬‬ ‫‪ ℴ‬ישנה מולטי קולניאריות‪.‬‬ ‫בדיקת הטרוסקדסטיות‬ ‫תחת הטרוסקדסטיות מתקיים‪:‬‬ ‫במקרה כזה נקבל אמד לא יעיל‪:‬‬ ‫מבחני ‪ t‬ו‪ F-‬לא תקפים‪.‬‬ ‫מבחן ‪ White‬לבדיקת הטרוסקדסטיות‬ ‫יוצרים רגרסיה על ה‪:RSS-‬‬ ‫המהווה‬ ‫‪ ,‬כאשר‬ ‫לרגרסיה זו‪ .‬תחת השערת‬ ‫נחשב‬ ‫השערה להומוסקדסטיות המתאם בריבוע יתפלג‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫אם הסטטיסטי מספיק גדול נדחה את השערת ההומוסקדסטיות ותתקיים‬ ‫הטרוסקדסטיות‪.‬‬ ‫מבחן ‪ B-P‬לבדיקת הטרוסקדסטיות‬ ‫נניח הטרוסקדסטיות מהצורה הבאה‪:‬‬ ‫תתקיים הומוסקדסטיות‪:‬‬ ‫תחת‬ ‫פרוצדורה‪ :‬נריץ ‪ OLS‬על מודל מקורי ונחשב את‪:‬‬ ‫נריץ רגרסיה של‬ ‫הסטטיסטי יהיה‪:‬‬ ‫̃‬ ‫∑‬ ‫̃‬ ‫על כל ה‪z-‬ים כמשתנים מסבירים ונחשב את ה‪ ESS-‬ברגרסיה זו‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫תיקונים להטרוסקדסטיות‬ ‫‪ – Robust s.e‬תיקון של סטיות התקן לסטיות תקן אשר עמידות להטרוסקדסטיות‬ ‫̂‬ ‫∑‬ ‫) ( ̂ כאשר‬ ‫היא השארית מהרגרסיה של‬ ‫על כל שאר‬ ‫הוא ה‪ RSS-‬מאותה רגרסיה ו‪ ̂ -‬זאת השארית מהרגרסיה‬ ‫המסבירים‪.‬‬ ‫המקורית‪.‬‬ ‫מבחן ‪ t‬המתוקנן יהיה‪:‬‬ ‫)‬ ‫( ̂ √‬ ‫‪GLS‬‬ ‫ניתן להשתמש כאשר‬ ‫כך ש‪:‬‬ ‫̂‬ ‫ידועה‪ .‬נחלק את כל הנתונים בסטיית התקן של‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫נריץ ‪ OLS‬על רגרסיה זו ונמצא את המקדמים בהם נשתמש במודל המקורי‪.‬‬ ‫נקבל‪:‬‬ ‫באופן כללי אם‬ ‫כמו כן‪:‬‬ ‫מבחן ‪ F‬יהיה‪:‬‬ ‫כאשר‪:‬‬ ‫‪FGLS‬‬ ‫כאשר לא ידועה‪ ,‬נאמוד אותה ע"י הרצת רגרסיה של ̂‬ ‫̂‬ ‫̂‬ ‫̂‬ ‫̂ ‪ .‬נקבל את האמד‪:‬‬ ‫לקבל את‬ ‫ונעשה טרנספורמציה‪:‬‬ ‫̂√‬ ‫אוטו קורלציה מסדר )‪AR(1‬‬ ‫במקרה כזה יתקיים‬ ‫̂√‬ ‫כאשר‬ ‫נחשב סטטיסטי לפי מבחן דרבון –ווטסטון‪:‬‬ ‫אם‬ ‫אם‬ ‫אם‬ ‫)‬ ‫לטובת‬ ‫נדחה את‬ ‫לא נדחה את‬ ‫לטובת‬ ‫נדחה את‬ ‫̂√‬ ‫(‬ ‫על כל ה‪X-‬ים כדי‬ ‫̂‬ ‫̂√‬ ‫משתנה נורמלי עם תוחלת ‪ 0‬ושונות‬ ‫̂‬ ‫‪ .‬כאשר‬ ‫‪ .‬אחרת אין הכרעה‪.‬‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫‪5‬‬ ‫התפלגות ‪Z‬‬ ‫התפלגות ‪t‬‬ ‫‪6‬‬ ‫טבלת ‪ F‬עבור טעות מסוג ראשון‬ ‫𝜶‬ ‫‪7‬‬ ‫מודל עם משתנה מסביר אחד‬ ‫‪ .1‬חוקר ידוע ביקש לבדוק קשר בין ציון פסיכומטרי לבין ממוצע התואר בכלכלה‪ .‬הוא דגם שישה‬ ‫תלמידים ומצא את הנתונים הבאים‪:‬‬ ‫אלכס‬ ‫‪000‬‬ ‫‪22‬‬ ‫תלמיד ‪i‬‬ ‫‪ Xi‬ציון פסיכומטרי‬ ‫‪ Yi‬ממוצע תואר‬ ‫בוריס‬ ‫‪050‬‬ ‫‪07‬‬ ‫א‪ .‬חשב את מקדם המתאם‬ ‫דימה‬ ‫‪066‬‬ ‫‪00‬‬ ‫מאשה‬ ‫‪002‬‬ ‫‪07‬‬ ‫סאשה‬ ‫‪020‬‬ ‫‪05‬‬ ‫דאשה‬ ‫‪060‬‬ ‫‪26‬‬ ‫בין ציון הפסיכומטרי לממוצע התואר‪ .‬מה תוכל להסיק על הקשר בין‬ ‫שני המשתנים?‬ ‫כאשר מתקיימות ארבעת ההנחות הבאות‪:‬‬ ‫ב‪ .‬הנח קשר לפי המודל‪:‬‬ ‫)‬ ‫חשב אמדים ל‪-‬‬ ‫(‬ ‫ו‪. -‬‬ ‫עבור כל תצפית‪.‬‬ ‫ג‪ .‬חשב את השגיאה‬ ‫ד‪ .‬צייר את קו הרגרסיה על גרף והצב את הנקודות‪.‬‬ ‫ה‪.‬חשב את השונות המוסברת ‪ ESS‬ואת השונות הלא מוסברת ‪ RSS‬והראה היכן הם מתבטאות בגרף‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ו‪ .‬הראה ש‪-‬‬ ‫‪ .‬חשב את השונות של ‪ b‬ו‪ a-‬עבור התפלגות ‪ X‬א‪-‬סטוכסטית (כלומר‪ ,‬עבור‬ ‫ז‪ .‬הנח ש‪-‬‬ ‫‪X‬ים קבועים לפי הנתונים במדגם)‪.‬‬ ‫ח‪ .‬עתה בדוק את ההשערה האם קיים קשר בין ציון פסיכומטרי לממוצע התואר‪ .‬נסח את השערת‬ ‫האפס וקבע האם ניתן לדחות אותה ברמת ביטחון של ‪ 5%‬ומהי ההסתברות לטעות‪.‬‬ ‫ט‪ .‬עתה הנח ש‪-‬‬ ‫לא ידועה‪ .‬חזור על הסעיף הקודם‪ .‬היעזר בתשובתך גם בהתפלגות ‪ t‬וגם‬ ‫בהתפלגות ‪.F‬‬ ‫י‪ .‬בהמשך לסעיף הקודם‪ ,‬חשב רווח בר סמך ל‪ b-‬ברמת ביטחון של ‪.5%‬‬ ‫‪ .2‬חוקר לכלכלה מעוניין לבדוק את הקשר בין שכר ממוצע בערים שונות ביחס למרחקן מת"א‪.‬‬ ‫החוקר אסף את הנתונים הבאים‪:‬‬ ‫עיר ‪i‬‬ ‫‪ Xi‬מרחק מת"א בק"מ‬ ‫‪ Yi‬שכר שעתי ממוצע‬ ‫באר שבע‬ ‫‪770‬‬ ‫‪25‬‬ ‫נתניה‬ ‫‪00‬‬ ‫‪22‬‬ ‫הרצליה‬ ‫‪00‬‬ ‫‪00‬‬ ‫א‪ .‬חשב את המתאם בין מרחק מת"א לשכר שעתי‪ .‬מה המשמעות של מתאם זה?‬ ‫ב‪ .‬חשב את ‪ .RSS ,ESS‬מדוע קיבלת התוצאות הנ"ל?‬ ‫ג‪ .‬חשב את ‪ b‬ו‪.a-‬‬ ‫ד‪ .‬מהי המובהקות של ‪?b‬‬ ‫‪8‬‬ ‫רגרסיה רב מימדית‬ ‫‪ .1‬חוקר בישראל מעוניין לבדוק את הקשר בין הכנסה שנתית של משק בית באלפי דולרים ( ) לבין‬ ‫מספר הדורות שעברו מאז עליית המשפחה לארץ (‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ומספר הילדים במשפחה (‬ ‫)‪.‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪37‬‬ ‫א‪ .‬איזה קשר צפוי שיתקיים בין ההכנסה השנתית למשתנים המסבירים?‬ ‫ב‪ .‬כתוב את הנתונים בצורה מטריציונית לפי המודל‬ ‫ג‪ .‬חשב אומדים ל‪-‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫‪ .‬אל תשכח להוסיף את החותך‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ד‪ .‬מה תוכל להגיד על השפעת מספר הילדים במשפחה על ההכנסה השנתית?‬ ‫ה‪ .‬חשב את השגיאה‬ ‫ו‪ .‬נתון ש‪:‬‬ ‫עבור כל תצפית וסכום את סך כל השגיאות‪.‬‬ ‫‪ .‬חשב את‬ ‫‪.‬‬ ‫ואת‬ ‫ז‪ .‬החוקר מעוניין לבדוק את מובהקות הרגרסיה‪ .‬בטא את השערת האפס בצורה לינארית‪:‬‬ ‫ח‪ .‬חשב את ערך ‪ F‬וקבע האם ניתן לדחות את השערת האפס (שתי דרכים אפשריות)‪.‬‬ ‫רמז‪:‬‬ ‫]‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫‪9‬‬ ‫מולטי קולניאריות ו‪GLS-‬‬ ‫‪ .1‬סטודנט באוניברסיטת חיפה אשר כותב עבודת סמינריון מבקש לבדוק מהי הנטייה השולית לצרוך‬ ‫במשק‪ .‬לשם כך הוא מדד נתונים על מספר משקי בית הכוללים את ההכנסה החודשית שלהם באלפי‬ ‫שקלים ( )‪ ,‬את ההוצאה החודשית שלהם באלפי שקלים (‬ ‫במונחים דולרים (‬ ‫) ואת ההוצאה החודשית שלהם‬ ‫)‪ .‬לשם ההמרה משקלים לדולרים השתמש הסטודנט בשער חליפין של ‪7‬‬ ‫שקלים לדולר‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪72‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫‪ .‬הסבר את ממצאיך‪.‬‬ ‫חשב אומדים ל‪-‬‬ ‫‪ .2‬חוקר אסף נתונים על שני משתנים וקיבל את התוצאות הבאות‪.‬‬ ‫תצפית ‪i‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫חותך‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪Xi‬‬ ‫‪00‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪Yi‬‬ ‫לאחר שהריץ רגרסיה פשוטה על הנתונים קיבל את המקדמים‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪.‬‬ ‫עתה הנח שמתקיימת הטרוסקדסטיות בצורה הבאה‪:‬‬ ‫א‪ .‬כתוב את מטריצת ‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את מטריצת‬ ‫המקיימת‪:‬‬ ‫נתון‪:‬‬ ‫]‬ ‫]‬ ‫ג‪ .‬מצא אמדים ל‪ -‬חשב אמדים ל‪-‬‬ ‫[‬ ‫ו‪( -‬שתי דרכים אפשריות)‪.‬‬ ‫[‬