נוסחאות הדרושות לפרק זה:
מתמטיקה בהישג יד 3 - חשבון דפרנציאלי דודו גולדשטיין מתמטיקה בהישג יד 803 - דודו גולדשטיין חשבון דפרנציאלי נגזרות של פולינום: הביטוי x3 + 2x2 + 5x פעולת הנגזרת - x3 , 2x2 , 5x הוא פולינום המורכב משלושה מונומים: כשגוזרים מונום המעלה שלו יורדת ב 1 -באופן הבא: → y' = 2•4x1 = 8x y = 4x2 y' = 3x2 , → y = x3 גזרו את הפונקציות: = )f '(x f(x) = 2x5 )(5 = 'y y = x4 )(1 = )g '(x g(x) = 6x3 )(6 = 'y y = x6 )(2 = )f '(x f(x) = -3x2 )(7 = 'y y = x3 )(3 = 'y y = -x8 )(8 = 'y y = 4x3 )(4 בגזירה של פולינום יש לגזור איבר איבר .לדוגמה: y' = 12x2 – 2x >– y = 4x3 – x2 גזרו את הפונקציות: 1 = )f '(x f(x) = 2x5 + 9x2 )(1 = )f '(x f(x) = -x3 – 5x4 )(2 = 'y y = 2x4 – 3x2 – 5x6 )(3 = 'y y = 4x6 + 2x3 – 2x2 )(4 © כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר. lomdimbareshet.net מתמטיקה בהישג יד 803 - דודו גולדשטיין חשבון דפרנציאלי בנגזרת של איבר ממעלה ראשונה -המשתנה "יורד” .דוגמאות: y = x → y' = 1 , , y = -2x → y' = -2 y = 5x → y' = 5 הנגזרת של מספר מוגדרת כ . 0 -דוגמאות: y = 5 –> y' = 0 , y' = 0 , >– y = -4.23 y = 6 → y' = 0 גזרו את הפונקציות: = )f '(x f(x) = 5x )(1 = )f '(x f(x) = 7 )(2 = 'y y = -2 )(3 = )g '(x g(x) = -6x )(4 = 'y y = 4.5x – 3 )(5 = )f '(x f(x) = 3x2 – 4x – 3 )(6 = )f '(x f(x) = -4x3 – 2x + 1 )(7 = 'y y = 3x4 + x – 2 )(8 = )g '(x g(x) = 6x + 7.6 )(9 = 'y y = 5x3 + 4x – 4.5 )(10 כל הנגזרות שביצענו עד כה ,נעשו בהתאם לנוסחה לגזירת מונום: 2 © כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר. (Xn)' = n•Xn-1 lomdimbareshet.net מתמטיקה בהישג יד 803 - חשבון דפרנציאלי גזירת פונקציות עם דודו גולדשטיין מספר במכנה בגזירת שבר עם מספר במכנה – גוזרים את המונה בלבד: דוגמאות: 3 2 x 3x 2 = '→ y = y = x 3 3 4 3 2x − 4x 8x − 4 3 = '→ y = y = 2x − 1 4 4 גזרו את הפונקציות: 4 x 4 = )f '(x 3 = )f '(x = )f ( x )(1 −3x = )f ( x 9 )(2 2x = y 4 )(3 4 = 'y 3 2x − 3x 2 + 5x 3 = y )(4 x − 10x = y + 4x + 1 5 )(5 −x − 3x 4 = )f ( x − 3x + 2x 6 )(6 5 2 3 © כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר. 6 lomdimbareshet.net מתמטיקה בהישג יד 803 - דודו גולדשטיין חשבון דפרנציאלי נגזרת שניה: הנגזרת של הנגזרת נקראת נגזרת שנייה .דוגמה: y' = 3x2 → y'' = 6x >– y = x3 מצאו את הנגזרת ואת הנגזרת השנייה של הפונקציות הבאות: g(x) = 4x – 4.7 )(5 = )g'(x = )f '(x = )g''(x = )f ''(x y = 2x6 – 6x + 2.2 f(x) = -3x2 + 3 )(6 = 'y = )f '(x = ''y = )f ''(x y = x5 – 4x2 + 6.1 y = 3x4 + x – 2 )(7 = 'y = 'y = ''y = ''y y = 3x3 + 4x2 4 f(x) = 5x3 – 4x )(8 y = 2x5 + 2x + 2 = 'y = 'y = ''y = ''y © כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר. lomdimbareshet.net )(1 )(2 )(3 )(4 מתמטיקה בהישג יד 803 - חשבון דפרנציאלי מציאת ערך דודו גולדשטיין הנגזרת דוגמה נתונה הפונקציה . y = 2.5x2 – 6x שלב : Iגוזרים את פונקציה: y' = 5x – 6 שלב :IIלחישוב ערך הנגזרת מציבים בה ערכי . xדוגמאות: x = 0 x = 2 x = 1 y' = 5x – 6 y' = 5x – 6 y' = 5x – 6 y' = 5•(0) – 6 = -6 y' = 5•(1) – 6 = -1 y' = 5•(2) – 6 = 4 ערך הנגזרת הוא -6 ערך הנגזרת הוא 4 ערך הנגזרת הוא -1 מצאו את ערך הנגזרות עבור ערכי ה – xהנתונים: 2 f(x) = x – 4x = )f '(x x = 0 )(3 x = 1 )(2 x = 5 )(6 x = -3 )(5 x = 2 1 3 x −x 3 )(1 = y = 'y , 0 (1 5 x = 3 24 (6 , 8 (5 , 8 (4 , -4 (3 , -2 (2 © כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר. lomdimbareshet.net )(4 מתמטיקה בהישג יד 803 - חשבון דפרנציאלי הנגזרת כשיפוע השיפוע של הפוקציה הקווית המשיק y = 2x – 4הוא ונגזרת הפונקציה היא דודו גולדשטיין לפונקציה: .m = 2 _____ = 'y ניתן להבחין שהנגזרת של הפונקציה הקווית שווה לשיפוע שלה .כלומרy' = m = 2 : הנגזרת מוגדרת כשיפוע המשיק לפונקציה. משיק – ישר הנושק לפונקציה בנקודה אחת בסביבת הנקודה . שיפוע המשיק שווה לערך הנגזרת בנקודת ההשקה ) m f (x נתבונן בגרף הפונקציה הריבועית f(x) = 4x + x2ונסרטט שלושה משיקים בשלוש נקודות: )A(-1 , -3) , B(-3 , -3) , C(-2 , -4 באמצעות הנגזרת נמצא את שיפועי המשיקים בכל אחת מהנקודות. f '(x) = 4 + 2x ) שימו לב שהגרף עולה( f '(-1) = 4 + 2•(-1) = 2 → m = 2 f '(-2) = 4 + 2•(-2) = 0 → m = 0 ) שימו לב שהגרף יורד( 6 f '(-3) = 4 + 2•(-3) = -2 → m = -2 © כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר. lomdimbareshet.net מתמטיקה בהישג יד 803 - דודו גולדשטיין חשבון דפרנציאלי פתרו את התרגיל מימין בהתאם לדוגמה הפתורה משמאל: חשבו את שיפוע המשיק לפונקציה y = -x3 בנקודה )C(1 , -1 חשבו את שיפוע המשיק לפונקציה y = 2x2 בנקודה )A(1 , 2 פתרון: ראשית נמצא את נגזרת הפונקציה: y' = 4x כדי למצוא את השיפוע נציב בנגזרת x = 1 y' (1) = 4•(1) = 4 תשובה: שיפוע המשיק בנקודה Aהוא m = 4 חשבו את שיפוע משיקי הפונקציות בנקודות הנתונות: שיפוע המשיק M = 3•(2)2 = 12 7 נגזרת נקודת השקה פונקציה Y' = 3x2 )(2 , 8 y = x3 )(1 = )f '(x )(2 , 0 f(x) = 2x – x2 )(2 )(1 , -1 y = x3 – 2x )(3 )(2 , 12 y = 2x3 – x2 )(4 )(0 , -3 y = 3x2 – 3 )(5 )(-1 , -1 y = x4 – 2x2 )(6 )(0 , 0 y = 4x2 – 3x )(7 © כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר. lomdimbareshet.net מתמטיקה בהישג יד 803 - חשבון דפרנציאלי משוואת דודו גולדשטיין המשיק לפונקציה: משיק הוא ישר ולכן נחזור להשתמש במשוואת הישר: y = mx + b כפי שלמדתם ביחידת הלימוד "גאומטריה אנליטית , ”801כדי למצוא משוואת ישר עלינו לגלות את השיפוע ואת החיתוך עם ציר . yכלומר ,עלינו לחשב את mואת . b פתרו את התרגיל מימין בהתאם לדוגמה הפתורה משמאל: מצאו את משוואת המשיק לפונקציה מצאו את משוואת המשיק לפונקציה y = -x3 + 1 בנקודה שבה x = 1 y = 2x2 – 12 בנקודה שבה x = 2 פתרון: שלב – Iמציאת שיפוע המשיק: את שיפוע המשיק מוצאים באמצעות הנגזרת: y' = 4x נציב בנגזרת : x = 2 y' (2) = 4•(2) = 8 שיפוע המשיק בנקודה הוא m = 8 שלב – IIמציאת Yשל נקודת ההשקה : כדי למצוא את yמציבים את xבפונקציה: y = 2x2 – 12 y = 2•(2)2 – 12 = -4 שלב – IIIהצבה במשוואת הישר: נציב את כל הנתונים במשוואת הישר: y = mx + b -4 = 8•(2) + b ==> -20 = b תשובה: 8 -4 = 16 + b y = 8x – 20 © כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר. lomdimbareshet.net מתמטיקה בהישג יד 803 - דודו גולדשטיין חשבון דפרנציאלי תרגול: ) (1מצאו את שיפוע המשיק לפונקציה y = 2x3 – 2x בנקודה שבה . x = 1 ) (2העבירו משיק לפונקציה y = x3 – 6x בנקודה שבה . x = 2 א .מצאו את שיפוע המשיק. ב .מצאו את משוואת המשיק. )(3 א .מצאו את משוואת המשיק של הפרבולה y = 8x2 – 5 :בנקודה 1 ), −3 2 (A ב .מצאו את נקדת החיתוך של המשיק עם הצירים. ) (4נתונה הפונקציה: 1 3 x − 4x 3 = . yמעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה . x = 3 א .חשבו את שיפוע המשיק. ב .מצאו את משוואת המשיק. 1) m = 4 , 2) y = 6x – 16 , 3) y = 8x – 7 , (0, -7) (0.875, 0) , 4) y = 5x - 18 9 © כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר. lomdimbareshet.net מתמטיקה בהישג יד 803 - דודו גולדשטיין חשבון דפרנציאלי פתרו את התרגיל מימין בהתאם לדוגמה הפתורה משמאל: נתונה הפונקציה f(x) = -x2 + 5x מצאו את xעבורו שיפוע המשיק הוא 1 1 3 x − 4x 2 + 10x 3 נתונה הפונקציה =y מצאו את xעבורו שיפוע המשיק הוא -6 פתרון: שיפוע המשיק בנקודה שווה לערך הנגזרת. לכן ניתן לרשום את הנתון כך: y' = -6 נגזור את הפונקציה ונשווה ל-6 - y' = x2 – 8x + 10 x2 – 8x + 10 = -6 נפתור את המשוואה הריבועית שהתקבלה x2 – 8x + 16 = 0 a = 1 , b = -8 , c = 16 −(−8) ± √ (−8)2−4 •1 • 16 8 ± 0 = 2• 1 2 =X 1, 2 X = 4 תשובה: בנקודה שבה x = 4שיפוע המשיק הוא -6 תרגול: ) (1נתונה הפונקציה. y = 2x2 + 4x : מצאו את הערך של xשבו שיפוע המשיק הוא . 0 )(2 נתונה הפונקציה. y = -3x2 – 6x : שיפוע המשיק בנקודה Aהוא .12 מצאו את שיעורי הנקודה .A 10 © כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר. lomdimbareshet.net מתמטיקה בהישג יד 803 - חשבון דפרנציאלי דודו גולדשטיין ) (3נתונה הפונקציה. y = 4x2 – x : שיפוע המשיק בנקודה Aהוא .7 מצאו את שיעורי הנקודה .A ` ) (4נתונה הפונקציה. y = x3 + 3x2 + 2x : שיפוע המשיק בנקודה Bהוא -1 מצאו את שיעורי הנקודה .B ) (5נתונה הפונקציה . f(x) = x3 – 6x + 2לגרף הפונקציה מעבירים שני משיקים ששיפוע כל אחד מהם הוא .21 מצאו את שיעורי נקודות ההשקה של שני המשיקים. )1) x = -3 , 2) A(-3 , -9) , 3) A(1, 3) , 4) B(-1 , 0) , 5) (3 , 11) (-3 , -7 11 © כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר. lomdimbareshet.net
© Copyright 2024