1. No category

‫בחינת מתכונת במתמטיקה‬
‫מועד קיץ תשע"ה ‪1025‬‬
‫סמל שאלון ‪303‬‬
‫הפתרון נכתב על ידי עדו מרבך‪ ,‬ארז כהן ורן יחיאלי‬
‫מצוות מורי רשת החינוך אנקורי‬
‫מבחן‬
‫מת כונת‬
‫במבחן שש שאלות בשני פרקים‪.‬‬
‫פתור ‪ 4‬מתוך ‪ 6‬השאלות‪.‬‬
‫כל שאלה –‬
‫‪25‬‬
‫נקודות‪.‬‬
‫פרק א' – אלגברה‬
‫‪.1‬‬
‫מחיר טיול לארץ ההרפתקאות הקסומה היה‬
‫‪2, 400‬‬
‫ש"ח בחודש יוני‪.‬‬
‫בחודש יולי עלה המחיר באחוז כלשהו‪ .‬בחודש אוגוסט עלה שוב המחיר‪ ,‬באותו אחוז בו עלה‬
‫בפעם הקודמת‪.‬‬
‫סה"כ התייקר הטיול במהלך החודשיים הנ"ל ב‪-‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪246‬‬
‫ש"ח‪.‬‬
‫בכמה אחוזים התייקר הטיול בכל פעם?‬
‫בכמה אחוזים התייקר הטיול בחודש אוגוסט לעומת חודש יוני?‬
‫נתונים שני ישרים‪:‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y   m  1 x  2‬‬
‫‪x 8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5  2m‬‬
‫‪y ‬‬
‫( ‪ m‬הוא פרמטר)‪.‬‬
‫לאיזה ערך של ‪ m‬יהיו הישרים מאונכים זה לזה?‬
‫א‪.‬‬
‫עבור הערך ‪ m‬שמצאת בסעיף א'‪ ,‬מצא את נקודת החיתוך של שני הישרים‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫עבור הערך‬
‫‪m‬‬
‫שמצאת בסעיף א'‪ ,‬מצא על הישר ‪  1 ‬נקודה שמרחקה מנקודת‬
‫החיתוך של שני הישרים יהיה‬
‫‪10‬‬
‫(מצא את כל האפשרויות)‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫נתון מעגל שמשוואתו‬
‫‪ 25‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ a , x  a‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪A  5, 3 ‬‬
‫שעל המעגל‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא משוואה של משיק שמאונך למשיק שמצאת בסעיף א' (מצא את שתי‬
‫האפשרויות)‪.‬‬
‫פרק ב' ‪ -‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫‪.4‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪ 8x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪,y‬‬
‫הוא פרמטר‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה שבה‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את ‪. a‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הצב בפונקציה‬
‫‪.5‬‬
‫וענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫מצא את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪a  32‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪.x‬‬
‫מצא את האסימפטוטה המקבילה לציר ה‪-‬‬
‫‪y‬‬
‫של הפונקציה‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫נתונה הפרבולה‬
‫‪ 6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2x‬‬
‫‪.y‬‬
‫דרך הנקודה ‪ A‬שעל הפרבולה מעבירים‬
‫ישר המקביל לציר ה‪ . x -‬הישר חותך‬
‫את הפרבולה בנקודה נוספת‬
‫‪B‬‬
‫ששטח המשולש‬
‫מקסימלי (‬
‫‪O‬‬
‫‪A‬‬
‫(ראה סרטוט)‪.‬‬
‫מה צריכים להיות שיעורי הנקודה‬
‫‪AOB‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫כדי‬
‫יהיה‬
‫‪x‬‬
‫‪O‬‬
‫‪ -‬ראשית הצירים)?‬
‫‪y‬‬
‫‪.6‬‬
‫נתונה הפרבולה‬
‫‪ 8x  10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2x‬‬
‫‪.y‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את קדקוד הפרבולה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪y  2x  2‬‬
‫הישר‬
‫‪‬‬
‫עובר דרך קדקוד‬
‫הפרבולה‪ .‬מצא את השטח החסום‬
‫ע"י הפרבולה‪ ,‬ע"י הישר וע"י הצירים‬
‫(השטח המקווקו בסרטוט)‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫פ ת ר ו ן‬
‫מ ת כ ו נ ת‬
‫מ ב ח ן‬
‫מ ס '‬
‫‪1‬‬
‫פתרון שאלה ‪1‬‬
‫א‪.‬‬
‫המחיר בחודש יוני היה‬
‫ש"ח‪ .‬נסמן את ההתייקרות ע"י ‪. x %‬‬
‫‪2, 400‬‬
‫המחיר לאחר התייקרות ראשונה‪:‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2, 400 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2, 400  2, 400  x %  2, 400  2, 400 ‬‬
‫בצורה דומה‪ ,‬המחיר לאחר התייקרות שנייה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x  ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  1 ‬‬
‫‪  2, 400  1 ‬‬
‫‪  1 ‬‬
‫‪  2, 400  1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪100 ‬‬
‫‪100  ‬‬
‫‪100 ‬‬
‫‪100 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫סה"כ התייקר הטיול ב‪-‬‬
‫‪2, 646‬‬
‫ש"ח‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2, 400 1 ‬‬
‫‪100‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ש"ח‪ .‬כלומר המחיר לאחר שתי ההתייקרויות‪:‬‬
‫‪246‬‬
‫‪2, 400  246 ‬‬
‫נשווה בין שתי התוצאות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2, 646‬‬
‫‪: 2, 400‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1 .1 0 2 5‬‬
‫‪  1 .0 5‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2, 400  1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪100 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪100 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪100‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 1 .0 5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪100‬‬
‫‪1 0 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 0 .0 5‬‬
‫‪100‬‬
‫‪x  5%‬‬
‫‪x‬‬
‫‪  1 .0 5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪100‬‬
‫‪1 0 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪  2 .0 5‬‬
‫‪100‬‬
‫‪x  205‬‬
‫לא ייתכן‬
‫ב‪.‬‬
‫נסמן את סך אחוז ההתייקרות מחודש יוני ועד אוגוסט ב‪ . y -‬המחיר לפני ההתייקרות היה‬
‫‪2, 400‬‬
‫ש"ח‪ ,‬והמחיר אחרי ההתייקרות ‪-‬‬
‫‪y ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2, 646  2, 400 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪100 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪: 2, 400‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2, 646‬‬
‫ש"ח‪ .‬לכן‪:‬‬
‫‪1 .1 0 2 5  1 ‬‬
‫‪100‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1 0 0‬‬
‫‪0 .1 0 2 5 ‬‬
‫‪100‬‬
‫‪1 0 .2 5 %  y‬‬
‫פתרון שאלה ‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫מכפלת השיפועים של שני ישרים ניצבים היא ‪:  1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪5  2m ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5  2m‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ m  1 ‬‬
‫‪m 1‬‬
‫‪5  2m‬‬
‫‪m  1  5  2m‬‬
‫‪m  4‬‬
‫ב‪.‬‬
‫נציב‬
‫‪m  4‬‬
‫ונשווה את המשוואות של שני הישרים‪:‬‬
‫‪ y  3x  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪y   x  8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x 8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3x  2  ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9 x  6   x  24‬‬
‫‪10 x  30‬‬
x  3

y  33  2
y  7
 3, 7  :‫הנקודה היא‬
.  x , 3x
 2
:‫ולכן היא‬
y  3x  2
‫הנקודה המבוקשת נמצאת על הישר‬
:‫נשתמש בנוסחת מרחק בין נקודות‬
d 
10 
 x1
 x2
x  3

2
2

2
2
 6x  9  9x
10 x
 y2
2
x

2
 3x  2  7 
10   x  3
10  x
y2
2
 3x  9 
2
 
2
 54x  81
 60 x  80  0
2
2
: 10
 6x  8  0
:‫נפתור את המשוואה‬
x 1, 2 
6
6 
2
 4 1  8

2 1
6
4
2
x1 
6 2
6 2
2
 2
,
2
:‫של הנקודות‬

y
x2 
6  2
 4
2
-‫נמצא את שיעור ה‬
y 2  3  2  2  4
y  4   3  4  2  10
 4 ,1 0  ,  2 , 4  :‫הנקודות הן‬
.‫ג‬
‫פתרון שאלה ‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  a   y 2  25‬‬
‫א‪.‬‬
‫שלב א‪ :‬חישוב ‪ : a‬הנקודה‬
‫‪2‬‬
‫‪ 5  a   32  25‬‬
‫‪/ 9‬‬
‫‪ 16‬‬
‫‪/‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫נתון ש‪-‬‬
‫‪A  5, 3 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5  a ‬‬
‫‪a  9  5  a  4‬‬
‫‪ 5‬‬
‫נמצאת על המעגל‪ ,‬לכן היא מקיימת את משוואתו‪:‬‬
‫‪ , a‬לכן נסיק‪:‬‬
‫‪1 5a  4‬‬
‫או‬
‫‪ 9‬‬
‫‪.a‬‬
‫‪.a‬‬
‫שלב ב‪ :‬מציאת שיפוע הרדיוס ממרכז המעגל לנקודה ‪. A  5 , 3 ‬‬
‫משוואת המעגל‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3 0‬‬
‫‪59‬‬
‫‪ 25‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 9‬‬
‫‪ .  x‬מכאן שמרכז המעגל הוא ‪ ,  9 , 0 ‬לכן‪:‬‬
‫‪.m‬‬
‫ר‪‬‬
‫דיו ס‬
‫שלב ג‪ :‬מציאת שיפוע המשיק‪ :‬ניעזר במשפט‪ :‬המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה‪ .‬לפי תנאי‬
‫‪3‬‬
‫ניצבות‪ ,‬מתקיים‪:‬‬
‫‪/:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪   1‬משיק ‪ m‬‬
‫‪3‬‬
‫‪   1  ‬משיק‬
‫‪  m‬רדיוס‪m‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ ‬משיק‪m‬‬
‫‪3‬‬
‫שלב ד‪ :‬מציאת משוואת המשיק לפי הנקודה‬
‫‪y  y1  m  x  x 1 ‬‬
‫‪ 5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪20‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y 3 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y 3 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x 3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y ‬‬
‫‪A  5, 3 ‬‬
‫והשיפוע‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪:m‬‬
‫ב‪.‬‬
‫שיפועו של המשיק שמצאנו בסעיף א' הוא‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , m‬ומכאן ששיפוע המשיק המאונך לו הוא‬
‫‪3‬‬
‫(תנאי ניצבות‬
‫‪ 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.) m 1‬‬
‫כדי למצוא את נקודת ההשקה‪ ,‬נמצא את משוואת הרדיוס אל נקודת ההשקה‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫שיפוע הרדיוס לנקודת ההשקה הוא‬
‫והוא עובר בנקודת מרכז המעגל שהיא ‪:  9 , 0 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y  y1  m  x  x 1 ‬‬
‫‪x  9‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y  0 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x  12‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y ‬‬
‫‪3‬‬
‫כעת נמצא את נקודת החיתוך של הרדיוס ושל המעגל‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪x  12‬‬
‫‪y ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  9   y  25‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 25‬‬
‫נציב את הישר למשוואת המעגל‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫נפתח סוגריים‪:‬‬
‫‪ 32x  144  25‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪  x  12 ‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪16‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x  9‬‬
‫‪ 18x  81 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ 2 8 8 x  1, 2 9 6  2 2 5‬‬
‫מכנה משותף‪:‬‬
‫כינוס איברים‪:‬‬
‫‪/ : 25‬‬
‫‪ 4 5 0 x  1, 8 0 0  0‬‬
‫‪ 18x  72  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 162 x  729  16 x‬‬
‫‪25x‬‬
‫‪x‬‬
‫נפתור את המשוואה‪:‬‬
‫‪18  6‬‬
‫‪‬‬
‫‪18 ‬‬
‫‪36‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 6‬‬
‫‪18  6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4 1  72‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 18 ‬‬
‫‪18 ‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪ 12 , x 2 ‬‬
‫‪18  6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x1 ‬‬
‫‪x 1, 2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫יש שתי נקודות השקה‪ .‬נמצא את שיעור ה‪-‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 6  12  4‬‬
‫‪y 6 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪12  12  4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y 1 2  ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫הנקודות הן ‪  6 ,  4 ‬ו‪.  1 2 , 4  -‬‬
‫לסיום‪ ,‬נמצא את משוואות המשיקים‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫אפשרות ראשונה‪,‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪: 6, 4  , m‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x  6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y  4  ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x  4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y  4  ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪2‬‬
‫אפשרות שנייה‪,‬‬
‫‪y  ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪: 1 2 , 4  , m‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ x  12 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y  4  ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x  9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y  4  ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x  13‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y  ‬‬
‫‪y‬‬
‫של כל אחת מהנקודות‪:‬‬
‫פתרון שאלה ‪4‬‬
‫א‪.‬‬
‫לפונקציה‬
‫‪ 8x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪y ‬‬
‫יש נקודת קיצון כאשר‬
‫‪ 2‬‬
‫‪, x‬כלומר הנגזרת שווה ל‪-‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 8‬‬
‫נגזור את הפונקציה‪:‬‬
‫נציב‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a  32‬‬
‫‪:x‬‬
‫נציב בפונקציה‬
‫‪a‬‬
‫‪y  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 8‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪a  32‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪ 8x‬‬
‫‪32‬‬
‫‪‬‬
‫‪.y‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫המכנה צריך להיות שונה מאפס ולכן‬
‫‪.2‬‬
‫נגזור את הפונקציה ונבדוק אם יש עוד נקודות קיצון‪:‬‬
‫‪32‬‬
‫‪ 8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪:8‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 8  0‬‬
‫‪ 32‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y  ‬‬
‫‪32‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪32  8x‬‬
‫‪8x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x  2‬‬
‫‪x  0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0  ‬‬
‫‪0‬‬
‫עבור‬
‫‪ 2‬‬
‫‪.x‬‬
‫כעת נציב את‬
‫‪x  2 , x  2‬‬
‫וגם את‬
‫‪x  0‬‬
‫בטבלת הערכים של הנגזרת הראשונה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫'‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫לפי הסימנים של הנגזרת נקבל ‪:‬‬
‫‪.3‬‬
‫ג‪.‬‬
‫תחומי עלייה‪:‬‬
‫‪2  x‬‬
‫תחומי ירידה‪:‬‬
‫‪0  x  2‬‬
‫או‬
‫‪ 2‬‬
‫או‬
‫‪,x‬‬
‫‪ x  0‬‬
‫לפי תחום ההגדרה‪ ,‬האסימפטוטה היא‬
‫לפני שנסרטט‪ ,‬נשלים את שיעור ה‪-‬‬
‫‪ 8  2  32‬‬
‫‪32‬‬
‫‪y‬‬
‫‪. 2‬‬
‫‪x  0‬‬
‫‪.‬‬
‫של נקודת הקיצון‪:‬‬
‫‪y 2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 8  2   32‬‬
‫‪32‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y  2  ‬‬
‫כעת נוכל לסרטט‪ .‬נשים לב כי עבור‬
‫‪x  2‬‬
‫התקבל מינימום ועבור‬
‫‪x  2‬‬
‫התקבל מקסימום‪.‬‬
‫פתרון שאלה ‪5‬‬
‫‪ 6‬‬
‫נתונה הפרבולה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y  2x‬‬
‫שלב א'‪ :‬הגדרת ‪ . x‬נסמן את שיעור ה‪-‬‬
‫של הנקודה‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫ב‪. t -‬‬
‫שלב ב'‪ :‬הגדרת הפונקציה ‪ . S‬נגדיר את שטח המשולש כפונקציה ‪ , S‬משום שזהו הגודל שצריך להיות‬
‫המקסימלי‪.‬‬
‫שלב ג'‪ :‬חישוב גדלים הדרושים עבור ‪. S‬‬
‫כדי לחשב שטח משולש צריך צלע ובסיס לצלע‪ .‬במקרה שלנו‪ ,‬הצלע תהיה ‪ . A B‬נסמן את הגובה לצלע‬
‫‪AB‬‬
‫ע"י ‪ . O D‬אם כן‪ ,‬עלינו למצוא את‬
‫הנקודה‬
‫‪AB‬‬
‫ואת ‪. O D‬‬
‫נמצאת ממול לנקודה ‪ , A‬כלומר יש לה את אותו שיעור ‪ . y‬נמצא את שיעור ה‪-‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫שלה באופן‬
‫הבא‪:‬‬
‫לשתי הנקודות אותו שיעור ‪ . y‬סימנו את שיעור ה‪-‬‬
‫‪ 6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2t‬‬
‫‪ . y A‬נסמן את שיעור ה‪-‬‬
‫‪ yB‬‬
‫אמרנו ש‪-‬‬
‫לא ייתכן ש‪-‬‬
‫‪‬‬
‫לנקודה‬
‫הנקודה‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫אותו שיעור‬
‫‪ 6‬‬
‫הוא‬
‫ע"י ‪ , s‬ואז‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪s‬‬
‫‪ 2t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2s‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ , s‬משום שאז נקבל שמדובר באותה נקודה‪ .‬לכן‪:‬‬
‫לכן‪ ,‬המרחק מנקודה‬
‫‪D‬‬
‫של הנקודה‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ 6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2s‬‬
‫לנקודה‬
‫‪y‬‬
‫‪B‬‬
‫יהיה ‪ , 2 t‬כלומר‬
‫כמו לנקודה‬
‫‪ .  2 t 2‬שיעור ה‪-‬‬
‫‪A‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ 2t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 6  2t‬‬
‫‪ t‬‬
‫‪ 6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. AB‬‬
‫(נמצאות על ישר המקביל לציר ה‪ .) x -‬ומכאן‪ ,‬שיעור ה‪-‬‬
‫של הנקודה‬
‫‪O‬‬
‫הוא אפס‪ ,‬ולשתי הנקודות‬
‫‪y‬‬
‫‪O D  2t‬‬
‫שלב ד'‪ :‬בניית הפונקציה ‪: S‬‬
‫‪ 6t‬‬
‫‪ 6   2t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ t 2t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2s‬‬
‫‪.s‬‬
‫‪ . x‬לכן‪ ,‬אורך הקטע ‪ , O D‬שהוא המרחק בין שתי הנקודות‪ ,‬יהיה שיעור ה‪-‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. yB‬‬
‫‪ , y A‬לכן‪:‬‬
‫‪s  t‬‬
‫‪ t‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫של הנקודה‬
‫ע"י ‪ , t‬לכן שיעור ה‪-‬‬
‫‪y‬‬
‫שלה יהיה‬
‫‪ 6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ t   2 t‬ב‪ 2‬סי ס‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫ה‬
‫גו ב ‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S ‬‬
‫‪O ,D‬‬
‫‪y‬‬
‫של‬
‫יש אותו שיעור‬
‫של הנקודה ‪: D‬‬
‫שלב ה'‪ :‬נמצא מקסימום לפונקציה ‪. S‬‬
‫נגזור‪:‬‬
‫‪ 6‬‬
‫נשווה לאפס‪:‬‬
‫‪:6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S  6t‬‬
‫‪6  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t1  1 , t 2   1‬‬
‫לנקודה‬
‫‪A‬‬
‫שיעור‬
‫‪x‬‬
‫חיובי ולכן נקבל רק את‬
‫‪1‬‬
‫‪ . t‬נוודא שאכן זו נקודת מקסימום בעזרת הנגזרת‬
‫‪S    1 2 t‬‬
‫השנייה‪:‬‬
‫מקסימום‬
‫‪‬‬
‫‪S   1    1 2  1   1 2  0‬‬
‫שלב ו'‪ :‬מה בכלל ביקשו? רצו בשאלה את שיעורי הנקודה ‪ . A‬לכן‪ ,‬נציב‬
‫‪x 1‬‬
‫בפרבולה‪:‬‬
‫‪y 1    2  1  6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y 1   4‬‬
‫‪A  1, 4 ‬‬
‫פתרון שאלה ‪6‬‬
‫‪ 8x  10‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y  2x‬‬
‫נשתמש בנוסחה לקדקוד פרבולה (אפשר גם למצוא נקודת קיצון ע"י הנגזרת)‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2  y  2   2  2  8  2  10  2‬‬
‫‪ 8‬‬
‫‪22‬‬
‫‪‬‬
‫הנקודה היא‪ 2 , 2  :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫נמצא את נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה‪: x -‬‬
‫‪2x  2  0  x  1‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪‬ק ד‪x‬קו ד‬
:x
 2
,x
 0
‫בגבולות‬
-‫כעת נחשב את השטח הסגור ע"י הפונקציה וציר ה‬
2
2
S1 
x
 2x
0
2
3
2


x
x
 8x  10  dx  2 
8
 10x 
3
2

0
2
S1
 2x3

 2  23

2
2
 
 4x  10x   
 4  2  10  2   0 
 3
0
 3

S1  9
:x
 2
,x
1
‫בגבולות‬
x
3
-‫נמשיך ונחשב את השטח הסגור ע"י הישר וציר ה‬
2
2
S2
1
2
 2x2

2
   2x  2  dx  
 2 x    x  2 x 1
 2
1
1
S2  2
2
2
 2  2   1  2  1    0     1   1
:‫ נחסר את השטחים‬,‫לבסוף‬
S  S1  S 2  9
1
3
1  8
1
3