Quadratic Forms

‫מבוא לתבניות ריבועיות‬
‫עוזי וישנה‬
‫‪ 16‬בנובמבר ‪2014‬‬
‫‪ 1.57‬ריבועיות‬
‫לתבניות‬
‫מבוא‬
‫מהדורה‬
‫הקדמה‪ .‬לתורה של תבניות ריבועיות יש היבטים אלגבריים‪ ,‬אריתמטיים וגאומטריים‪ .‬נציג כמה‬
‫מהמשפטים היפים של התאוריה הזו על קצה המזלג‪ .‬ידע מוקדם נדרש‪ :‬בדרך כלל די בהבנה טובה‬
‫של אלגברה לינארית ובמושגי יסוד מתורת החוגים‪ .‬לפרקים יש צורך בידע מתקדם יותר מתורת‬
‫השדות‪ ,‬מאלגברה )למשל מכפלה טנזורית(‪ ,‬הכרת חבורות קוהומולוגיה‪ ,‬או יסודות תורת המספרים‬
‫האלגברית‪ .‬על הפרקים הדורשים ידע מתקדם אפשר לדלג בדרך כלל ללא פגיעה בנושאים המוצגים‬
‫מאוחר יותר‪.‬‬
‫החומר מבוסס ברובו על כמה מקורות‪ ,[2] ,[4] ,[10] ,[7] ,[14] :‬ובעיקר המבוא המצוין ]‪.[9‬‬
‫עוזי וישנה‪8.2014 ,‬‬
‫‪2‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪1‬‬
‫מרחבים ריבועיים‬
‫‪ 1.1‬תבניות ריבועיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫מרחב ריבועי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪1.1.1‬‬
‫הצגה באמצעות מטריצות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪1.1.2‬‬
‫‪ 1.2‬הצורה האלכסונית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 1.3‬אורתוגונליות וסכום אורתוגונלי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 1.4‬תבניות רגולריות ולא רגולריות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 1.4.1‬מרחבים לא רגולריים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 1.5‬הכללות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 1.5.1‬מאפיין ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2‬‬
‫‪ 1.5.2‬תבניות הרמיטיות מעל אלגברה פשוטה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 1.5.3‬תבניות לא סימטריות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 1.5.4‬תבניות מעל חוגים קומוטטיביים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 1.5.5‬כיוונים נוספים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪2‬‬
‫המבנה של תבניות ריבועיות‬
‫‪ 2.1‬תבניות היפרבוליות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.2‬המרכיב האנאיזוטרופי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫איזומטריות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪2.2.1‬‬
‫משפט הצמצום של ויט ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪2.2.2‬‬
‫‪ 2.3‬חוג ויט ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.3.1‬שקילות של תבניות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.3.2‬פעולות בין תבניות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.3.3‬חוג ויט ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.3.4‬האידיאל היסודי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.4‬תבניות תחת הרחבת שדות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.4.1‬העתקת הצמצום ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.4.2‬הרחבות ריבועיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.4.3‬הטרנספר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.4.4‬הרחבות מממד אי־זוגי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.4.5‬משפט שפרינגר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.5‬גורמי דמיון ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪13‬‬
‫‪13‬‬
‫‪14‬‬
‫‪14‬‬
‫‪16‬‬
‫‪16‬‬
‫‪16‬‬
‫‪17‬‬
‫‪17‬‬
‫‪18‬‬
‫‪19‬‬
‫‪19‬‬
‫‪19‬‬
‫‪20‬‬
‫‪22‬‬
‫‪23‬‬
‫‪24‬‬
‫‪3‬‬
‫האינווריאנטים הראשונים‬
‫‪ 3.1‬זוגיות הממד ‪. . . . . . .‬‬
‫‪ 3.2‬הדטרמיננטה ‪. . . . . .‬‬
‫‪ 3.3‬הדיסקרימיננטה ‪. . . . .‬‬
‫‪ 3.3.1‬תבניות בינאריות‬
‫‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫‪26‬‬
‫‪27‬‬
‫‪3‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪ 3.3.2‬יוצרים ויחסים לחוג ויט ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫אלגברות קליפורד ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.4.1‬אלגברות פשוטות מרכזיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.4.2‬חבורת בראוור ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.4.3‬אינוולוציות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.4.4‬קווטרניונים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.4.5‬אלגברת קליפורד של תבנית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.4.6‬חישוב אלגברת קליפורד ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.4.7‬אלגברת קליפורד כאינווריאנט ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.4.8‬חבורת הספין והנורמה הספינורית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪28‬‬
‫‪29‬‬
‫‪29‬‬
‫‪30‬‬
‫‪30‬‬
‫‪31‬‬
‫‪32‬‬
‫‪33‬‬
‫‪35‬‬
‫‪36‬‬
‫‪4‬‬
‫האינווריאנטים הגבוהים‬
‫‪ 4.1‬תורת־‪ K‬של חוגים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 4.1.1‬מודולים פרוייקטיביים ו־ ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K0‬‬
‫‪ 4.1.2‬מטריצות לא אלמנטריות ו־ ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K1‬‬
‫‪ 4.1.3‬יחסים אלמנטריים ו־ ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K2‬‬
‫‪ 4.2‬חבורות ‪ K‬של מילנור ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 4.2.1‬העתקת השארית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 4.3‬השערת מילנור ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 4.4‬השערת מילנור ל־‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 2‬‬
‫‪39‬‬
‫‪39‬‬
‫‪39‬‬
‫‪39‬‬
‫‪40‬‬
‫‪41‬‬
‫‪42‬‬
‫‪43‬‬
‫‪45‬‬
‫‪5‬‬
‫ותבניות‬
‫שדות סדורים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫שדות ניתנים לסידור ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪5.1.1‬‬
‫סימן סילבסטר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫שדות פיתגוריים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫מרחב הסידורים של שדה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫הסימן הגלובלי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 5.5.1‬חוג ויט של שדה לא־ממשי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 5.5.2‬חוג ויט של שדה אוקלידי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 5.5.3‬הגרעין של הסימן הגלובלי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 5.5.4‬הקו־גרעין של הסימן הגלובלי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪49‬‬
‫‪49‬‬
‫‪49‬‬
‫‪50‬‬
‫‪51‬‬
‫‪52‬‬
‫‪53‬‬
‫‪53‬‬
‫‪54‬‬
‫‪54‬‬
‫‪55‬‬
‫‪6‬‬
‫תבניות פיסטר‬
‫‪ 6.1‬נוסחאות מכפלה ‪. . . .‬‬
‫‪ 6.2‬ערכים של תבנית ‪. . . .‬‬
‫‪ 6.3‬הצגות של תבניות פיסטר‬
‫‪ 6.4‬המשפטים המרכזיים ‪. .‬‬
‫‪ 6.5‬רמה של שדה ‪. . . . . .‬‬
‫‪ 6.6‬בוני פיתול ‪. . . . . . . .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪57‬‬
‫‪57‬‬
‫‪59‬‬
‫‪59‬‬
‫‪61‬‬
‫‪61‬‬
‫‪62‬‬
‫‪7‬‬
‫שיטות גנריות‬
‫‪ 7.1‬ערכים פולינומיים של תבנית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫פרמטריזציה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪7.1.1‬‬
‫ערכים פולינומיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪7.1.2‬‬
‫‪ 7.1.3‬סכום הריבועים הגנרי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 7.2‬ערכים גנריים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 7.3‬שדה הפונקציות של תבנית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 7.3.1‬התבנית מעל שדה הפונקציות של עצמה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪63‬‬
‫‪63‬‬
‫‪63‬‬
‫‪64‬‬
‫‪66‬‬
‫‪66‬‬
‫‪68‬‬
‫‪68‬‬
‫‪3.4‬‬
‫סדר‬
‫‪5.1‬‬
‫‪5.2‬‬
‫‪5.3‬‬
‫‪5.4‬‬
‫‪5.5‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪ 7.3.2‬התפצלות מעל שדה פונקציות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫מסנן החזקות של ) ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I(F‬‬
‫‪68‬‬
‫‪70‬‬
‫‪8‬‬
‫אריתמטיקה של תבניות ריבועיות‬
‫‪ 8.1‬תבניות מעל שדות סופיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.2‬תבניות מעל שדות מקומיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.2.1‬שדות עם הערכה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.2.2‬שדות שלמים ושדות מקומיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.2.3‬תבניות מעל חוג השלמים בשדה שלם ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.2.4‬חוג ויט של שדה שלם ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.2.5‬חוג ויט של שדות מקומיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.3‬תבניות מעל שדות גלובליים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.4‬תבניות מעל חוגי דדקינד ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.4.1‬חוגי דדקינד ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.4.2‬הגנוס ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.4.3‬הגנוס הספינורי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.4.4‬סריגים מעל חוגי דדקינד ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.4.5‬תבניות וסריגים חופשיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.4.6‬אינווריאנטים אריתמטיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.4.7‬מודולריות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.4.8‬סריגים מקסימליים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪71‬‬
‫‪71‬‬
‫‪72‬‬
‫‪72‬‬
‫‪72‬‬
‫‪74‬‬
‫‪76‬‬
‫‪77‬‬
‫‪78‬‬
‫‪80‬‬
‫‪80‬‬
‫‪80‬‬
‫‪81‬‬
‫‪82‬‬
‫‪83‬‬
‫‪83‬‬
‫‪84‬‬
‫‪84‬‬
‫‪9‬‬
‫מטלות לסוף הקורס‬
‫‪85‬‬
‫‪7.4‬‬
‫‪5‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪6‬‬
‫פרק ‪1‬‬
‫מרחבים ריבועיים‬
‫‪1.1‬‬
‫תבניות ריבועיות‬
‫‪1.1.1‬‬
‫מרחב ריבועי‬
‫יהי ‪ F‬שדה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.1.1‬מרחב ביליניארי מעל ‪ F‬הוא זוג סדור )‪ ,(V, b‬שהרכיב הראשון שלו הוא מרחב וקטורי ‪ V‬מממד‬
‫סופי מעל ‪ ,F‬והשני הוא תבנית בילינארית ‪ .b : V × V →F‬אם ‪ b : V × V →F‬היא תבנית בילינארית‪,‬‬
‫)‪ q(x) = b(x, x‬נקראת התבנית הריבועית המושרית על־ידי ‪ ,b‬והזוג )‪ (V, q‬נקרא מרחב ריבועי‪.‬‬
‫במאפיין שונה מ־‪ ,2‬כל תבנית ריבועית מושרית על־ידי תבנית בילינארית סימטרית )כלומר‬
‫)‪ .(b(x, y) = b(y, x‬תבנית זו היא יחידה‪ ,‬משום שאפשר לשחזר מ־‪ q‬באמצעות הנוסחה הפולרית‬
‫‪1‬‬
‫‪b(x, y) = (q(x + y) − q(x) − q(y)).‬‬
‫‪2‬‬
‫)במאפיין ‪ 2‬לא כל תבנית ריבועית מושרית על־ידי תבנית סימטרית; לדוגמא‪q(x1 , x2 ) = x1 x2 ,‬‬
‫אינה מושרית על־ידי תבנית בילינארית סימטרית‪ .‬יתרה מזו‪ ,‬יתכן ששתי תבניות בילינאריות‬
‫סימטריות תשרנה את אותה תבנית ריבועית‪ :‬למשל ‪ b((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = x1 y2 + x2 y1‬ותבנית‬
‫האפס שתיהן משרות את התבנית הריבועית ‪ .q(x1 , x2 ) = 0‬זהו רק היבט אחד שבו התאוריה‬
‫מסתבכת במאפיין ‪(.2‬‬
‫המרחבים הריבועיים הם אובייקטים בקטגוריה‪ ,‬שהמורפיזמים שלה הם העתקות לינאריות‬
‫‪ σ : V →V ′‬המקיימות ‪ .q ′ ◦ σ = q‬מורפיזם כזה הוא איזומורפיזם אם ‪ σ‬הפיך )כהעתקה לינארית(‪,‬‬
‫ובמקרה זה ‪ q‬ו־ ‪ q ′‬קובעים זה את זה‪ .‬האוטומורפיזמים של )‪ (V, q‬הם ההעתקות הלינאריות ההפיכות‬
‫‪ σ : V →V‬השומרות על ‪.q‬‬
‫אחת הבעיות הטבעיות של התאוריה היא למיין מרחבים ריבועיים )ותבניות( עד כדי איזומורפיזם‪.‬‬
‫המבנים שנציג בהמשך מאפשרים לארגן את התבניות ולענות על השאלה הזו במידה רבה של פירוט‪.‬‬
‫לשם הקיצור‪ ,‬אם )‪ (V, q‬הוא מרחב ריבועי‪ ,‬לפעמים נתייחס ל־ ‪ V‬או ל־‪ q‬בתור מרחב ריבועי‪ .‬בפרט‪,‬‬
‫מגדירים את הממד של התבנית ‪ q‬להיות הממד של ‪.V‬‬
‫‪n‬‬
‫יש דוגמאות רבות למרחבים ריבועיים‪ .‬בחקירת פונקציות ממשיות ‪ ,R →R‬התנהגות הפונקציה‬
‫בנקודה קריטית נקבעת על־ידי התבנית הריבועית שמגדירה הנגזרת השניה‪ .‬כך גם במשוואות‬
‫דיפרנציאליות‪ .‬אם ‪ R‬אלגברה מממד סופי מעל שדה ‪ F‬אז יש לה שיכון ) ‪ ,R ,→ Mn (F‬ופונקציית‬
‫עקבה ‪ tr : R→F‬המושרית על־ידי השיכון הזה‪ .‬לתבנית הריבועית ) ‪ q(x) = tr(x2‬יש קשר למבנה‬
‫של האלגברה‪ ,‬ובמקרים מיוחדים היא אפילו קובעת אותו‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ .1.2‬הצורה האלכסונית‬
‫‪1.1.2‬‬
‫פרק ‪ .1‬מרחבים ריבועיים‬
‫הצגה באמצעות מטריצות‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מממד סופי‪ ,‬עם בסיס ‪ .B‬הבסיס מגדיר איזומורפיזם טבעי ‪ V →F n‬לפי‬
‫המעבר לווקטור קואורדינטות‪ . x 7→ [x]B ,‬ברוח זו‪ ,‬כל תבנית בילינארית ‪ b : V × V →F‬אפשר‬
‫לייצג באמצעות מטריצה ) ‪ ,A ∈ Mn (F‬לפי הנוסחה ‪ .b(x, y) = [x]B t A[y]B‬אומרים ש־‪ A‬היא‬
‫המטריצה המייצגת של ‪) b‬ושל )‪ (q(x) = b(x, x‬לפי הבסיס ‪ ,B‬ומסמנים ‪ .[b]B = A‬התבנית ‪b‬‬
‫סימטרית אם ורק אם המטריצה המייצגת אותה היא סימטרית‪.‬‬
‫כללי לפי קואורדינטות ‪ x = x1 v1 + · · · + xn vn‬ו־ ‪,y = y1 v1 + · · · + yn vn‬‬
‫כשמציגים וקטור ∑‬
‫התבנית הריבועית המושרית על־ידי ‪ b‬מקבלת צורה של‬
‫ואילו‬
‫‪,b(x,‬‬
‫)‪y‬‬
‫=‬
‫התבנית היא ‪aij xi yj‬‬
‫∑‬
‫= )‪.q(x‬‬
‫פולינום ריבועי הומוגני ב־‪ n‬משתנים‪aij xi xj ,‬‬
‫החופש בבחירת הבסיס מאפשר להציג את אותה תבנית בדרכים רבות; המעבר מבסיס לבסיס‬
‫כמוהו כהפעלת החלפת משתנים לינארית )הפיכה( על המשתנים ‪ .x1 , . . . , xn‬כיצד משפיעה החלפת‬
‫הבסיס?‬
‫‪ M = [I]B‬מטריצת המעבר בין הבסיסים ‪ B, B ′‬של ‪ .V‬אז‬
‫טענה ‪ 1.1.2‬תהי ‪B ′‬‬
‫‪[b]B = M t [b]B ′ M.‬‬
‫הוכחה‪ .‬לכל ‪ .M [x]B = [x]B ′ ,x ∈ V‬כעת‪ ,‬לכל ‪,x ∈ V‬‬
‫‪b(x, y) = [x]B ′ t [b]B ′ [y]B ′ = [x]B t (M t [b]B ′ M )[y]B = [x]B t [b]B [y]B .‬‬
‫‬
‫בעקבות זאת‪ ,‬נאמר ששתי מטריצות ) ‪ A, A′ ∈ Mn (F‬הן חופפות אם יש ) ‪ P ∈ GLn (F‬כך‬
‫ש־ ‪ .A = P t A′ P‬זה כמובן יחס שקילות‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 1.1.3‬שתי מטריצות מייצגות את אותה תבנית ריבועית‪ ,‬בבסיסים שונים‪ ,‬אם ורק אם הן חופפות‪.‬‬
‫אם כך‪ ,‬בעיית המיון של תבניות ריבועיות )עד כדי איזומורפיזם( מעל מרחב וקטורי ‪n‬־ממדי‬
‫שקולה לבעיה של מיון המטריצות הסימטריות בגודל ‪ n×n‬עד כדי חפיפה‪ .‬השאלה האם שתי תבניות‬
‫הן איזומורפיות כמוה כשאלה האם שתי מטריצות הן חופפות‪.‬‬
‫‪1.2‬‬
‫הצורה האלכסונית‬
‫משפט ‪ 1.2.1‬מעל שדה ממאפיין שונה מ־‪ ,2‬כל מטריצה סימטרית חופפת למטריצה אלכסונית‪ .‬במלים אחרות‪ ,‬כל‬
‫תבנית ריבועית אפשר להציג בצורה אלכסונית‪.‬‬
‫בעיה ‪ 1.2.2‬כתוב הוכחה מלאה למשפט ההצגה האלכסונית‪ ,‬משפט ‪.1.2.1‬‬
‫∑‬
‫הריבועית ‪αi x2i‬‬
‫הגדרה ‪ 1.2.3‬את התבנית‬
‫‪‬‬
‫‪α1 · · · 0‬‬
‫‪‬‬
‫האלכסונית ‪.. ‬‬
‫‪..‬‬
‫‪ , ...‬מסמנים ב־⟩ ‪.⟨α1 , . . . , αn‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪0 · · · αn‬‬
‫= ) ‪ ,q(x1 , . . . , xn‬שהמטריצה המייצגת שלה היא המטריצה‬
‫בפרט‪ ⟨a⟩ ,‬מציין את התבנית ‪ q(x) = ax2‬על המרחב החד־ממדי ‪ .F‬הבה נמיין את התבניות‬
‫מממד ‪:1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ .1.3‬אורתוגונליות וסכום אורתוגונלי‬
‫פרק ‪ .1‬מרחבים ריבועיים‬
‫טענה ‪ 1.2.4‬התבניות ⟩‪ ⟨a‬ו־⟩ ‪ ⟨a′‬איזומורפיות אם ורק אם × ‪.aF × = a′ F‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫הוכחה‪ .‬אכן‪ ,‬החלפת בסיס במרחב החד־ממדי פירושה כפל של איבר הבסיס בסקלר שונה מאפס‪ ,‬כלומר מעבר לנציג‬
‫‪2‬‬
‫אחר במחלקה של המנה × ‪.{0} ∪ F × /F‬‬
‫‬
‫תרגיל ‪ 1.2.5‬תן דוגמא נגדית )מממד ‪ (2‬למשפט ‪ 1.2.1‬במאפיין ‪.2‬‬
‫בעיה ‪ 1.2.6‬הראה שבמאפיין ‪ ,2‬כל תבנית רגולרית איזומטרית לסכום של תבניות חד־ממדיות‬
‫ודו־ממדיות‪.‬‬
‫‪1.3‬‬
‫אורתוגונליות וסכום אורתוגונלי‬
‫תהי ‪ b‬תבנית בילינארית סימטרית‪ .‬אומרים ששני תת־מרחבים ‪ V1 , V2 ⊆ V‬הם אורתוגונליים זה‬
‫לזה )ביחס ל־‪ ,(b‬אם ‪ .b(V1 , V2 ) = 0‬אם המרחבים ‪ V1 , V2‬אורתוגונליים זה לזה ו־ ‪,V = V1 ⊕ V2‬‬
‫אז אפשר לחשב את התבנית ‪ b‬מן הצמצום שלה ‪ b1 , v2‬ל־ ‪ ,V1 , V2‬מכיוון ש־‬
‫;) ‪b(v1 ⊕ v2 , v1′ ⊕ v2′ ) = b(v1 , v1′ ) + b(v2 , v2′ ) = b1 (v1 , v1′ ) + b2 (v2 , v2′‬‬
‫)‪(1.1‬‬
‫במקרה כזה אומרים ש־)‪ (V, b‬הוא סכום אורתוגונלי )או סתם סכום ישר( של ) ‪ (V1 , b|V1‬ו־) ‪.(V2 , b|V2‬‬
‫אם ‪ B1‬ו־ ‪ B2‬הם בסיסים של ‪ V1 , V2‬בהתאמה‪ ,‬אז ‪ B1 ∪ B2‬הוא בסיס של ‪ ,V = V1 ⊕ V2‬והמטריצה‬
‫המייצגת של ‪ b = b1 ⊥ b2‬היא‬
‫(‬
‫)‬
‫‪[b1 ]B1‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪[b]B1 ∪B2 = [b1 ]B1 ⊕ [b2 ]B2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪[b2 ]B2‬‬
‫את הפירוק הפנימי הזה אפשר לחקות גם בדרך של בניה חיצונית‪ .‬יהיו ) ‪ (V1 , b1‬ו־) ‪(V2 , b2‬‬
‫מרחבים ריבועיים; הסכום האורתוגונלי )החיצוני( שלהם מוגדר על המרחב ‪ V1 ⊕ V2‬לפי הנוסחה‬
‫‪(b1 ⊥ b2 )(v1 ⊕ v2 , v1′ ⊕ v2′ ) = b1 (v1 , v1′ ) + b2 (v2 , v2′ ).‬‬
‫בתוך המרחב החדש‪ V1 , V2 ,‬הם תת־מרחבים אורתוגונליים‪ .‬לפעמים כותבים ישירות את הסכום של‬
‫התבניות הריבועיות המתאימות‪ q ⊥ q ′ :‬היא התבנית הריבועית על המרחב ‪ V ⊕ V ′‬המוגדרת לפי‬
‫) ‪ .(q ⊥ q ′ )(x, x′ ) = q(x) + q ′ (x′‬התבנית ‪ q‬נקראת תת־תבנית של ‪.q ⊥ q ′‬‬
‫תורת ההצגות רומזת שעלינו ללמוד את תת־המרחבים האי־פריקים‪ ,‬כלומר אלו שאי אפשר לפרק‬
‫אותם לסכום אורתוגונלי של תת־מרחבים‪ .‬אלא שלפי הסעיף הקודם‪ ,‬גישה זו אינה מוצלחת‪ :‬במאפיין‬
‫שונה מ־‪ ,2‬כל תבנית אפשר לפרק לסכום אורתוגונלי של תבניות חד־ממדיות‪ ,‬והפירוק הזה רחוק‬
‫מלהיות יחיד‪.‬‬
‫‪1.4‬‬
‫תבניות רגולריות ולא רגולריות‬
‫נניח ש־‪ b‬תבנית בילינארית סימטרית‪ .‬לכל תת־מרחב ‪ U ⊆ V‬מסמנים‬
‫‪U ⊥ = {x ∈ V : b(x, U ) = 0}.‬‬
‫לפי הסימון הזה‪ V1 , V2 ,‬אורתוגונליים אם ורק אם ⊥‪) V1 ⊆ V2‬אם ורק אם ⊥‪.(V2 ⊆ V1‬‬
‫הרדיקל של המרחב ‪ V‬עצמו מוגדר כתת־המרחב }‪ .V ⊥ = {x : ∀u ∈ V, b(x, u) = 0‬אם‬
‫‪ ,V ⊥ = 0‬התבנית נקראת רגולרית‪ .‬כאשר התבנית רגולרית‪ ,‬עובדות יסודיות באלגברה לינארית‬
‫מראות שלכל תת־מרחב ‪.dim(U ) + dim(U ⊥ ) = dim(V ) ,U‬‬
‫‪9‬‬
‫פרק ‪ .1‬מרחבים ריבועיים‬
‫‪ .1.4‬תבניות רגולריות ולא רגולריות‬
‫תרגיל ‪ 1.4.1‬תהי ‪ A‬מטריצה המייצגת את התבנית הסימטרית ‪ .b‬אז ‪ b‬רגולרית אם ורק אם‬
‫‪.det(A) ̸= 0‬‬
‫תרגיל ‪ 1.4.2‬נניח ש־ ‪ ;V = V1 ⊥ V2‬אז ‪ V‬רגולרי אם ורק אם ‪ V1 , V2‬רגולריים‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.4.3‬אם יש פירוק ‪ ,V = U ⊥ U ′‬כותבים ‪.U ≤ V‬‬
‫טענה ‪ 1.4.4‬נניח ש־ ‪ U ⊆ V‬הוא תת־מרחב רגולרי של מרחב רגולרי‪ .‬אז ‪") .U ≤ V‬תת־מרחב רגולרי‬
‫של מרחב רגולרי הוא מחובר אורתוגונלי"‪(.‬‬
‫הוכחה‪ .‬החיתוך ⊥ ‪ U ∩ U‬הוא הרדיקל של ‪ ,U‬השווה לאפס לפי ההנחה‪ .‬לפי הרגולריות של ‪ ,V‬נוסחת הממד נותנת‬
‫⊥ ‪ .V = U ⊕ U‬אבל המרחבים ⊥ ‪ U, U‬אורתוגונליים‪ ,‬ולכן זה סכום אורתוגונלי‪.‬‬
‫‬
‫כעת נחזור על טענה ‪ ,1.2.4‬עבור תבניות רגולריות‪:‬‬
‫טענה ‪ 1.4.5‬התבניות הרגולריות החד־ממדיות נמצאות בהתאמה חד־חד־ערכית ועל לחבורה × ‪.F × /F‬‬
‫‪2‬‬
‫מסקנה ‪ 1.4.6‬מעל ‪) C‬או כל שדה סגור־ריבועית אחר(‪ ,‬יש רק תבנית רגולרית חד־ממדית אחת‪.⟨1⟩ ,‬‬
‫מעל ‪) R‬או כל שדה סגור־ממשית אחר(‪ ,‬יש רק שתי תבניות רגולריות חד־ממדיות‪ ⟨1⟩ :‬ו־⟩‪.⟨−1‬‬
‫בעיה ‪ 1.4.7‬הגדר וחקור רדיקל שמאלי ורדיקל ימני עבור תבנית בילינארית שאינה בהכרח‬
‫סימטרית‪.‬‬
‫‪1.4.1‬‬
‫מרחבים לא רגולריים‬
‫אם התבנית אינה רגולרית אז אפשר להגדיר על מרחב המנה ⊥ ‪ V /V‬את התבנית המושרית‬
‫;) ‪b(v + V ⊥ , v ′ + V ⊥ ) = b(v, v ′‬‬
‫זה מוגדר היטב‪ ,‬ומתקיים‬
‫∼ )‪(V, b‬‬
‫‪= (V /V ⊥ , b) ⊥ (V ⊥ , 0).‬‬
‫תרגיל ‪ 1.4.8‬מרחב המנה ⊥ ‪ V /V‬הוא רגולרי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 1.4.9‬אם ‪ ,V = U ⊥ 0‬כאשר ‪ U‬רגולרי ו־‪ 0‬מייצג מרחב וקטורי )מממד כלשהו(‬
‫∼ ⊥ ‪.V /V‬‬
‫שהתבנית הריבועית עליו היא תבנית האפס‪ ,‬אז ‪= U‬‬
‫מסקנה ‪ 1.4.10‬כל מרחב ריבועי מתפרק באופן יחיד לסכום אורתוגונלי של מרכיב רגולרי ומרכיב אפס‪.‬‬
‫)‬
‫מסקנה ‪ 1.4.11‬כל מטריצה סימטרית חופפת למטריצה מהצורה‬
‫(‬
‫( )‬
‫)‬
‫‪′ 0‬‬
‫‪A‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A‬‬
‫‪′‬‬
‫‪ 0 0 ∼ 0 0‬אז ‪.A ∼ A‬‬
‫‪A 0‬‬
‫‪0 0‬‬
‫(‬
‫כאשר ‪ A‬הפיכה‪.‬‬
‫אם‬
‫תרגיל ‪ 1.4.12‬תהי ‪ b‬תבנית בילינארית על המרחב ‪ ,V‬המיוצגת על־ידי המטריצה ‪ .A‬אז ממד‬
‫המרכיב הרגולרי ⊥ ‪ V /V‬שווה לדרגה של ‪.A‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ .1.5‬הכללות‬
‫פרק ‪ .1‬מרחבים ריבועיים‬
‫‪ 1.5‬הכללות‬
‫)הקורא המתחיל מוזמן לדלג על הסעיף הזה‪ ,‬שאינו מפורט כקודמיו‪(.‬‬
‫‪1.5.1‬‬
‫מאפיין ‪2‬‬
‫עד כאן הנחנו שמאפיין השדה שונה מ־‪ .2‬כדי לכסות את המקרה הכללי‪ ,‬נתבונן שוב בקשר שבין‬
‫תבנית בילינארית לתבנית הריבועית שהיא מגדירה‪ .‬אומרים שתבנית ‪ b‬היא מתחלפת אם היא מקיימת‬
‫‪ .b(x, x) = 0‬כל תבנית מתחלפת היא אנטי־סימטרית‪ ,‬ובמאפיין שונה מ־‪ ,2‬המושגים מתלכדים‪.‬‬
‫תבנית משרה את תבנית האפס אם ורק אם היא מתחלפת‪ ,‬ולכן המרחב של התבניות הריבועיות על‬
‫מרחב נתון הוא מרחב כל התבניות הבילינאריות‪ ,‬מודולו מרחב התבניות המתחלפות‪.‬‬
‫ביתר פירוט‪ ,‬נתבונן בהתאמה ‪ b 7→ ban‬כאשר )‪ .ban (x, y) = b(x, y) − b(y, x‬הגרעין שלה‬
‫)‪ , n(n+1‬והתמונה שלה מוכלת באוסף התבניות המתחלפות‪,‬‬
‫הוא מרחב התבניות הסימטריות‪ ,‬שממדו‬
‫‪2‬‬
‫שממדו‬
‫)‪ . n(n−1‬לפי השוואת ממדים‪ ,‬הוכחנו שיש סדרה מדוייקת קצרה‬
‫‪2‬‬
‫‪0 −→ Sym −→ Bil −→ Alt −→ 0.‬‬
‫במאפיין שונה מ־‪ ,2‬הסדרה הזו מתפצלת‪ ,‬ו־‪ .Bil = Sym⊕Alt‬לעומת זאת במאפיין ‪.Alt ⊆ Sym ,2‬‬
‫‪1.5.2‬‬
‫תבניות הרמיטיות מעל אלגברה פשוטה‬
‫עד כאן דיברנו על תבניות בילינאריות סימטריות מעל שדה‪ .‬ההכללה המוכרת היא לתבניות‬
‫הרמיטיות‪ ,‬מעל הרחבה ריבועית ‪) F/F0‬ובפרט מעל ההרחבה ‪ .(C/R‬באופן כללי עוד יותר‪,‬‬
‫תהי )‪ (A, σ‬אלגברה פשוטה עם אינוולוציה )ראה סעיפים ‪ 3.4.1‬ו־‪ ;(3.4.3‬כלומר ‪ A‬פשוטה כאלגברה‬
‫∼ ‪ A‬עם האינוולוציה )‪.(x, y) 7→ (y, x‬‬
‫ומוגדרת עליה אינוולוציה‪ ,‬או ש־ ‪= B × B op‬‬
‫מרחב ‪ϵ‬־הרמיטי מעל )‪ (A, σ‬הוא זוג )‪ ,(M, h‬כאשר ‪ M‬מודול )בהכרח חופשי( מעל ‪ A‬ו־‬
‫‪ h : M × M →A‬היא תבנית ססקוי־לינארית המקיימת ))‪ .h(y, x) = ϵσ(h(x, y‬התבנית נקראת‬
‫הרמיטית אם ‪ ,ϵ = 1‬ואנטי־הרמיטית אם ‪ .ϵ = −1‬המקרה של תבנית בילינארית סימטרית מתקבל‬
‫כאשר ‪ .A = F‬כל אלגברה פשוטה עם אינוולוציה היא מהצורה ) ‪ (EndD (V ), adh‬כאשר ‪ adh‬היא‬
‫האינוולוציה הצמודה ל־‪ ,h‬שהיא תבנית ‪ϵ‬־הרמיטית על ‪ V‬מעל ‪.D‬‬
‫נניח ש־‪ A‬חוג עם חילוק‪ .‬אז משפט ‪ 1.2.1‬תקף עבור תבניות ‪ϵ‬־הרמיטיות מעל )‪ ,(A, σ‬פרט‬
‫∑‪ .(σ, ϵ) = (id,‬היינו‪ ,‬בכל מקרה אחר‪ ,‬כל תבנית ‪ϵ‬־הרמיטית אפשר להביא לצורה‬
‫למקרה )‪−1‬‬
‫= )‪.h(x, y‬‬
‫‪σ(xi )ai yi‬‬
‫על ההכללה של חוג ויט )שנגדיר מעל שדה בתת־סעיף ‪ (2.3.3‬עבור תבניות הרמיטיות‪ ,‬ראה‬
‫הערה ‪.2.3.14‬‬
‫‪1.5.3‬‬
‫תבניות לא סימטריות‬
‫ראה עבודת הדוקטורט של אוריה פירסט )בעקבות עבודות של ‪ Bayer ,Scharlau‬ואחרים(‪.‬‬
‫‪1.5.4‬‬
‫תבניות מעל חוגים קומוטטיביים‬
‫זה נושא עשיר באלגברה ובאריתמטיקה של חוגים‪ .‬ראה רמזים בכיוון בפרק ‪ ,8‬והערה ‪.8.3.8‬‬
‫‪1.5.5‬‬
‫כיוונים נוספים‬
‫אתגר ‪ 1.5.1‬הצע תורת מבנה לתבניות טרילינאריות וכדומה‪.‬‬
‫אתגר ‪ 1.5.2‬הצע תורת מבנה לתבניות מממד אינסופי מעל שדה‪.‬‬
‫אתגר ‪ 1.5.3‬הצע תורת מבנה למרחבים בילינאריים שהם מרחבי בנך מעל שדה עם הערכה‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫פרק ‪ .1‬מרחבים ריבועיים‬
‫‪ .1.5‬הכללות‬
‫אתגר ‪ 1.5.4‬הצע תורת מבנה לזוגות של תבניות מעל שדה‪.‬‬
‫)הוכח שאם לתבניות המייוצגות על־ידי המטריצות ‪ A, B‬יש בסיס שבו שתיהן אלכסוניות‪,‬‬
‫אז ‪ AB −1‬לכסינה במובן הרגיל‪ .‬האם הכיוון ההפוך נכון?(‬
‫‪12‬‬
‫פרק ‪2‬‬
‫המבנה של תבניות ריבועיות‬
‫לאור מסקנה ‪ ,1.4.10‬די לנו לעסוק מעתה בתבניות רגולריות‪.‬‬
‫‪2.1‬‬
‫תבניות היפרבוליות‬
‫תהי ‪ b‬תבנית ריבועית על מרחב ‪ .V‬וקטור ‪ v ∈ V‬נקרא איזוטרופי אם הוא מקיים ‪.b(v, v) = 0‬‬
‫תת־מרחב ‪ U ⊆ V‬הוא איזוטרופי אם ‪ .b(U, U ) = 0‬תת־מרחב הוא איזוטרופי אם ורק אם הוא‬
‫אורתוגונלי לעצמו‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 2.1.1‬במאפיין שונה מ־‪ U ,2‬איזוטרופי אם ורק אם כל הווקטורים ב־ ‪ U‬איזוטרופיים‪.‬‬
‫אם אין במרחב אף וקטור איזוטרופי‪ ,‬הוא נקרא מרחב אנאיזוטרופי‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.1.2‬המרחב הריבועי הדו־ממדי ⟩‪ ⟨1, −1‬נקרא המישור ההיפרבולי‪ ,‬ומסמנים אותו ב־‪ .H‬סכום ישר של‬
‫עותקים של המישור הזה‪ ,‬כלומר מרחב עם תבנית ריבועית אלכסונית ⟩‪ ⟨1, . . . , 1, −1, . . . , −1‬עם סימנים מאוזנים‪,‬‬
‫נקרא מרחב היפרבולי )ומסמנים אותו ב־ ‪ ,Hm‬כאשר ‪ m‬הוא חצי הממד(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 2.1.3‬הוכח שהתבניות הריבועיות ‪ q(x, y) = x2 − y 2‬ו־‪ q ′ (x, y) = xy‬איזומורפיות זו לזו‬
‫)מאפיין שונה מ־‪.(2‬‬
‫טענה ‪ 2.1.4‬יש רק מרחב ריבועי רגולרי איזוטרופי אחד מממד ‪ ,2‬והוא המישור ההיפרבולי‪.‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪a‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪ab‬‬
‫הוכחה‪ .‬אחרי המעבר לבסיס אלכסוני‪ ,‬המטריצה המייצגת של התבנית היא מהצורה ‪ , 0 b‬כאשר ‪̸ 0‬‬
‫בגלל הרגולריות‪ .‬לפי ההנחה יש ‪ (0, 0) ̸= (u, v) ∈ F 2‬כך ש־‪ .au2 + bv 2 = 0‬בפרט ‪ .u, v ̸= 0‬לכן‬
‫)‪ (u, v), (u, −v‬מהווה בסיס‪ ,‬שביחס אליו התבנית היא‬
‫‪q((u, v)x + (u, −v)y) = au2 (x + y)2 + bv 2 (x − y)2 = 2(au2 − bv 2 )xy,‬‬
‫והתבנית הזו איזומורפית ל־‪ q ′ (x, y) = xy‬ולכן ל־⟩‪.⟨1, −1‬‬
‫‬
‫טענה ‪ 2.1.5‬הממד של תת־מרחב איזוטרופי של מרחב רגולרי מממד ‪ n‬הוא לכל היותר ‪. 12 n‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח ש־ ‪ U‬מרחב איזוטרופי מממד ‪ .m‬נבחר בסיס של ‪ U‬ונשלים אותו לבסיס של ‪ .V‬בהצגת התבנית לפי‬
‫הבסיס הזה‪ ,‬למטריצה המייצגת יש בלוק בגודל ‪ m × m‬שכולו אפס‪ .‬מכיוון שהדטרמיננטה של התבנית אינה אפס‪,‬‬
‫יש אלכסון מוכלל שלארכו המכפלה אינה אפס; אבל בחישוב אלכסון מוכלל‪ ,‬בכל שורה מ־‪ m‬השורות הראשונות‬
‫נבחרת עמודה מבין ה־‪ n − m‬האחרונות‪ ,‬כלומר ‪.m ≤ n − m‬‬
‫‪13‬‬
‫פרק ‪ .2‬המבנה של תבניות ריבועיות‬
‫‪ .2.2‬המרכיב האנאיזוטרופי‬
‫‬
‫טענה ‪ 2.1.6‬יהי ‪ V‬מרחב ריבועי רגולרי מממד ‪ n‬עם תת־מרחב איזוטרופי ‪ ,U‬מממד ‪ .m = 12 n‬אז ‪V‬‬
‫הוא מרחב היפרבולי‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬אם ‪ m = 0‬אין מה להוכיח‪ .‬יהי ‪ U‬תת־מרחב איזוטרופי מממד ‪ .m‬נבחר ‪ ,u ∈ U‬ונתבונן במרחב‬
‫המנה ‪ ;u⊥ /F u‬ממדו ‪ ,2m − 2‬והוא מכיל את תת־המרחב האיזוטרופי ‪ .U/F u‬לפי הנחת האינדוקציה‪U/F u ,‬‬
‫היפרבולי‪ ,‬ולכן יש לו בסיס ‪ v1 , . . . , v2m−2‬כך ש־‪ (vi , vj ) = 0‬ל־‪ i ̸= j‬ו־‪ .(vi , vi ) = ±1‬יהי ⊥‪ ,w ̸∈ u‬כך‬
‫) ‪∑ (w,vj‬‬
‫∑‬
‫‪,w′ = w −‬‬
‫ש־)‪F vi ⊕ (F u + F w‬‬
‫= ‪ .V‬ברור ש־‪ (u, vi ) = 0‬לכל ‪ .i‬נחליף את ‪ w‬ב־ ‪(vj ,vj ) vi‬‬
‫∑‬
‫∑‬
‫) ‪(w,v‬‬
‫ואז ‪ .(w′ , vj ) = (w, vj ) − i (vj ,vjj ) (vi , vj ) = 0‬כעת ) ‪ ,V = ( F vi ) ⊥ (F u + F w′‬שהוא סכום‬
‫אורתוגונלי של מרחב היפרבולי מממד ‪ n − 2‬והמישור ההיפרבולי ‪.F u + F w′‬‬
‫‬
‫משפט ‪ 2.1.7‬יהי ‪ V‬מרחב ריבועי רגולרי מממד ‪ ,n‬עם תת־מרחב איזוטרופי ‪ U‬מממד ‪ .m‬אז ‪) Hm ≤ V‬ראה‬
‫הגדרה ‪.(1.4.3‬‬
‫⊥‬
‫זה נשלים לבסיס של ‪ .V‬בבסיס הזה‪ ,‬המטריצה‬
‫הוכחה‪ .‬נבחר בסיס של ‪ ,U‬נשלים אותו ‪‬‬
‫לבסיס של ‪ ,U‬ואת ‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 A‬‬
‫המייצגת של התבנית היא מטריצת בלוקים ‪ ,[b] =  0 B X ‬כאשר הבלוקים מחולקים לפי הפירוק‬
‫‪At X t C‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 0 0‬‬
‫‪ .m + (n − 2m) + m = n‬נבחר ‪ ,P̃ =  D 1 0 ‬ונחשב‪:‬‬
‫‪0 0 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 0 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 A‬‬
‫‪1 Dt 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪DA + X  .‬‬
‫‪P̃ [b]P̃ t =  D 1 0   0 B X   0 1 0  =  0‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪0 0 1‬‬
‫‪A X C‬‬
‫‪0 0 1‬‬
‫‪A A D +X‬‬
‫‪C‬‬
‫ואם נבחר (‪ D = −XA−1‬הרי זה כאילו דאגנו ש־‪ .X = 0‬אבל‬
‫לפי הרגולריות ‪ A‬מוכרחה להיות הפיכה‪) ,‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A‬‬
‫אז המטריצה מתפרקת לסכום ישר )‪ ,[b] = At C ⊕ (B‬כשהמרכיב הראשון‪ ,‬מממד ‪ ,2m‬מכיל תת־מרחב‬
‫איזוטרופי מממד ‪ .m‬לפי טענה ‪ ,2.1.6‬המרכיב הראשון הזה היפרבולי‪ ,‬כלומר איזומורפי ל־ ‪ .Hm‬זה מוכיח את‬
‫הטענה לפי מסקנה ‪.1.1‬‬
‫‬
‫מסקנה ‪ 2.1.8‬למרחב רגולרי יש וקטור איזוטרופי אם ורק אם הוא מכיל תת־מרחב היפרבולי‪.‬‬
‫‪2.2‬‬
‫המרכיב האנאיזוטרופי‬
‫‪2.2.1‬‬
‫איזומטריות‬
‫יהי )‪ (V, q‬מרחב ריבועי מעל שדה ‪ F‬כלשהו )מאפיין שונה מ־‪ .(2‬חבורת האיזומטריות של המרחב‬
‫היא‬
‫‪O(V, q) = {T : V →V : q(T x) = q(x)},‬‬
‫‪ .GL(V‬נקבע מטריצה{ מייצגת ‪ A‬של ‪ ;q‬אפשר לזהות את )‪ O(V, q‬עם‬
‫וזו כמובן תת־חבורה של )‬
‫}‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫חבורת המטריצות ) ‪ T : T AT = A ≤ GLn (F‬כאשר ) ‪ .n = dim(V‬מן השוויון ‪T AT = A‬‬
‫יוצא ש־‪ .det(T ) = ±1‬מסמנים‬
‫‪O+ (V, q) = {T ∈ O(V, q) : det(T ) = 1}.‬‬
‫‪14‬‬
‫‪ .2.2‬המרכיב האנאיזוטרופי‬
‫פרק ‪ .2‬המבנה של תבניות ריבועיות‬
‫למה ‪ 2.2.1‬יהי )‪ (V, q‬מרחב ריבועי עם ‪ v ∈ V‬כך ש־‪ .q(v) ̸= 0‬נסמן ב־‪ b‬את התבנית הבילינארית‬
‫הסימטרית המתאימה ל־‪ .q‬אז ההעתקה‬
‫)‪b(x, v‬‬
‫‪v‬‬
‫)‪b(v, v‬‬
‫‪τv (x) = x − 2‬‬
‫)‪(2.1‬‬
‫היא איזומטריה מסדר ‪ ,2‬המייצבת את ⊥ ‪ v‬ומעבירה ‪ v‬ל־‪ .−v‬העתקה זו נקראת השיקוף ביחס ל־‪.v‬‬
‫הוכחה‪ .‬ראשית נראה שזו איזומטריה‪:‬‬
‫)‪b(x, v‬‬
‫)‪· v‬‬
‫)‪q(v‬‬
‫)‪b(x, v‬‬
‫)‪b(x, v‬‬
‫‪= b(x − 2‬‬
‫‪· v, x − 2‬‬
‫)‪· v‬‬
‫)‪q(v‬‬
‫)‪q(v‬‬
‫)‪b(x, v‬‬
‫‪b(x, v)2‬‬
‫‪= b(x, x) − 4‬‬
‫‪q(v) = q(x).‬‬
‫‪b(x, v) + 4‬‬
‫)‪q(v‬‬
‫‪q(v)2‬‬
‫‪q(τ (x)) = q(x −‬‬
‫ברור שהיא מייצבת כל וקטור המאונך ל־‪ ,v‬ומעבירה את ‪ v‬ל־‪ ;−v‬מכאן שהיא מסדר ‪.2‬‬
‫‬
‫למה ‪ 2.2.2‬נניח ש־‪ .charF ̸= 2‬יהי )‪ (V, q‬מרחב ריבועי ויהיו ‪ v, v ′ ∈ V‬וקטורים אנאיזוטרופיים‬
‫שווי אורך‪ ,‬היינו ‪ .q(v) = q(v ′ ) ̸= 0‬אז יש איזומטריה המעבירה ‪ ;v 7→ v ′‬האיזומטריה היא שיקוף או‬
‫מכפלת שני שיקופים‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן ב־ ‪ bq‬את התבנית הביליניארית המתאימה ל־‪ .q‬לפי ההנחה ‪ v + v ′ , v − v ′‬מאונכים זה לזה כי‬
‫‪ .bq (v+v ′ , v−v ′ ) = bq (v, v)−bq (v ′ , v ′ ) = 0‬ראשית נניח ש־‪ .q(v−v ′ ) ̸= 0‬אז ‪τv−v′ (v−v ′ ) = v ′ −v‬‬
‫ו־ ‪ ,τv−v′ (v + v ′ ) = v + v ′‬ולכן‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪τv−v′ (v) = τv−v′ ((v + v ′ ) + (v − v ′ )) = ((v + v ′ ) − (v − v ′ )) = v ′ .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מאידך אם ‪ ,q(v − v ′ ) = 0‬אז ‪ q(v + v ′ ) = 2(q(v) + q(v ′ )) − q(v − v ′ ) = 4q(v) ̸= 0‬לפי שוויון‬
‫המקבילית‪ .‬לפי המקרה הקודם ‪ ,τv+v′ (v) = −v ′‬ולכן ‪.τv′ τv+v′ (v) = v ′‬‬
‫‬
‫משפט ‪ 2.2.3‬יהי )‪ (V, q‬מרחב ריבועי רגולרי‪ .‬כל איזומטריה ‪ σ : V →V‬היא מכפלה של שיקופים‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬באינדוקציה על הממד‪ .‬אם ‪ dim V = 1‬האיזומטריה הלא־טריוויאלית היחידה היא שיקוף‪ .‬נניח ש־‬
‫‪ ,dim V = n > 1‬ותהי ‪ σ‬איזומטריה של ‪ .V‬נבחר וקטור אנאיזוטרופי ‪ ,v ∈ V‬אז )‪ v, σ(v‬הם וקטורים מאותו‬
‫אורך‪ ,‬ולפי למה ‪ 2.2.2‬יש איזומטריה ‪ ,τ‬שהיא שיקוף או מכפלת שני שיקופים‪ ,‬כך ש־)‪ ;τ (v) = σ(v‬היינו ‪τ −1 σ‬‬
‫שומר על ‪ ,v‬ומכאן ש־‪ τ −1 σ‬היא איזומטריה של ⊥ ‪ .v‬לפי הנחת האינדוקציה ‪ τ −1 σ‬היא מכפלת שיקופים שם‪ ,‬ולכן‬
‫גם ‪ σ‬כזו‪.‬‬
‫‬
‫)ההוכחה מראה שכל איזומטריה היא מכפלה של לכל היותר ‪ 2n − 1‬שיקופים‪ ,‬כאשר ‪.n = dim V‬‬
‫למעשה כל איזומטריה היא מכפלה של עד ‪ n‬שיקופים; ]‪(.[2, Ex. 2.8‬‬
‫‪15‬‬
‫‪ .2.3‬חוג ויט‬
‫‪2.2.2‬‬
‫פרק ‪ .2‬המבנה של תבניות ריבועיות‬
‫משפט הצמצום של ויט‬
‫מסקנה ‪ 2.1.8‬מאפשרת לקלף מהמרחב הריבועי תת־מרחבים היפרבוליים‪ ,‬כל עוד יש לו וקטורים‬
‫איזוטרופיים‪ .‬כדי שהגישה הזו תהיה אפקטיבית‪ ,‬עלינו לדעת שכל הדרכים לבצע קילוף כזה מביאות‬
‫לאותה תוצאה‪.‬‬
‫∼ ‪ ,V ⊥ V ′‬אז‬
‫משפט ‪) 2.2.4‬משפט הצמצום של ויט )‪ ((Witt‬במאפיין שונה מ־‪ ,2‬אם ‪= V ⊥ V ′′‬‬
‫∼ ‪.V ′‬‬
‫‪= V ′′‬‬
‫הוכחה‪ .‬מכיוון שאפשר להביא את ‪ V‬לצורה אלכסונית‪ ,‬די להוכיח את הטענה במקרה שבו ‪ V‬הוא מרחב חד־ממדי‪,‬‬
‫עם התבנית ⟩‪ .⟨a‬לפי מסקנה ‪ 1.4.10‬אפשר להניח ש־‪ .a ̸= 0‬נתבונן איפה במרחב )‪ (W, q‬שיש בו שני וקטורים‪,‬‬
‫‪ ,v, v ′‬עם ‪ .q(v) = q(v ′ ) = a‬אפשר לפרק את המרחב בשתי דרכים‪,W = F v ⊥ v ⊥ = F v ′ ⊥ v ′ ⊥ :‬‬
‫⊥‬
‫∼ ⊥ ‪.v‬‬
‫ועלינו להוכיח ש־ ‪= v ′‬‬
‫לפי למה ‪ 2.2.2‬יש איזומטריה ‪ σ‬כך ש־ ‪ ,σ(v) = v ′‬ואז ‪ σ‬מהווה איזומטריה בין המשלימים האורתוגונליים‪.‬‬
‫‬
‫תרגיל ‪) 2.2.5‬משפט הצמצום של ויט נכשל במאפיין ‪(2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫נסמן ב־‪ O‬את המרחב הדו־ממדי עם התבנית הבילינארית הרגולרית ‪ . 01 10‬במאפיין ‪,2‬‬
‫≁ ⟩‪) ⟨1, 1‬הבחן כי התבנית הריבועית המושרית על ‪ O‬היא‬
‫∼ ⟩‪ ⟨1, 1, 1‬למרות ש־‪= O‬‬
‫‪= ⟨1⟩ ⊥ O‬‬
‫תבנית האפס(‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 2.2.6‬במאפיין שונה מ־‪:2‬‬
‫‪ .1‬כל תבנית ריבועית אפשר לפרק באופן יחיד כסכום אורתוגונלי של תבנית האפס‪ ,‬תבנית היפרבולית‬
‫ותבנית אנאיזוטרופית‪.‬‬
‫‪ .2‬כל תבנית ריבועית רגולרית אפשר לפרק באופן יחיד כסכום של תבנית היפרבולית ותבנית‬
‫אנאיזוטרופית‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.2.7‬תהי ‪ q‬תבנית ריבועית‪ .‬נניח שהיא מתפרקת ‪ ,q = Hr ⊥ q0‬כאשר ‪ q0‬אנאיזוטרופית‪ .‬התבנית ‪q0‬‬
‫היא המרכיב האנאיזוטרופי של ‪ ,q‬והערך ‪ r‬נקרא אינדקס ויט של ‪.q‬‬
‫כמובן‪ ,‬לתבניות איזומטריות יש אותו אינדקס ויט‪.‬‬
‫‪2.3‬‬
‫חוג ויט‬
‫‪2.3.1‬‬
‫שקילות של תבניות‬
‫לאור מסקנה ‪ ,2.2.6‬טבעי ללמוד את אוסף התבניות האנאיזוטרופיות‪ .‬הבעיה היא שסכום אורתוגונלי‬
‫של תבניות אנאיזוטרופיות עשוי להיות איזוטרופי‪ .‬הרעיון היסודי של ויט היה להפוך את ‪ H‬למרכיב‬
‫טריוויאלי‪ ,‬ולזהות את כל התבניות מהצורה ‪ q ⊥ Hm‬זו עם זו‪ .‬ביתר דיוק‪:‬‬
‫הגדרה ‪ 2.3.1‬שתי תבניות רגולריות הן שקולות במובן של ויט‪ ,‬אם יש להן אותו מרכיב אנאיזוטרופי‪.‬‬
‫במלים אחרות‪ ,‬אם ‪ q0‬תבנית אנאיזוטרופית‪ ,‬מחלקת השקילות שלה כוללת את כל התבניות‬
‫‪ .q0 ⊥ Hm‬בתוך מחלקת שקילות ידועה‪ ,‬הממד קובע את אינדקס ויט ולהיפך‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 2.3.2‬תבנית ריבועית רגולרית נקבעת על־ידי המרכיב האנאיזוטרופי שלה )או מחלקת השקילות(‬
‫והממד )או אינדקס ויט(‪.‬‬
‫את המחלקה של התבנית ‪ q‬מסמנים ב־]‪ .[q‬במחלקה ]‪ [0‬נמצאות התבניות ההיפרבוליות‪ ,‬ורק הן‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫פרק ‪ .2‬המבנה של תבניות ריבועיות‬
‫‪2.3.2‬‬
‫‪ .2.3‬חוג ויט‬
‫פעולות בין תבניות‬
‫יש שתי פעולות טבעיות שאפשר להגדיר בין תבניות ריבועיות‪.‬‬
‫מרחבים ריבועיים הוגדר בסעיף ‪ .1.4‬אפשר לחשב אותו כסכום ישר של המטריצות‬
‫הסכום)של‬
‫(‬
‫‪0‬‬
‫‪ ,A ⊕ B = A‬וגם לפי הנוסחה‪:‬‬
‫המייצגות‪0 B ,‬‬
‫תרגיל ‪.⟨a1 , . . . , an ⟩ ⊥ ⟨b1 , . . . , bm ⟩ = ⟨a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm ⟩ 2.3.3‬‬
‫המכפלה הטנזורית של תבניות בילינאריות מוגדרת בדרך דומה‪:‬‬
‫‪(V, b)⊗(V ′ , b′ ) = (V ⊗V ′ , b⊗b′ ),‬‬
‫כאשר ) ‪ .(b⊗b′ )(x⊗x′ , y⊗y ′ ) = b(x, y)b′ (x′ , y ′‬בפרט‪ ,‬עבור תבניות ריבועיות חד־ממדיות‪,‬‬
‫⟩ ‪ ,⟨a⟩⟨a′ ⟩ = ⟨aa′‬ומזה אפשר להוציא את הנוסחה הכללית‪:‬‬
‫תרגיל ‪.⟨a1 , . . . , an ⟩⊗⟨b1 , . . . , bm ⟩ = ⟨a1 b1 ⟩ ⊥ · · · ⊥ ⟨an bm ⟩ 2.3.4‬‬
‫תרגיל ‪ 2.3.5‬נניח ש־ ‪ A, A′‬הן מטריצות מייצגות של התבניות ‪ .q, q ′‬אז ‪ A⊗A′‬היא מטריצה‬
‫מייצגת של התבנית ‪.q⊗q ′‬‬
‫‪2.3.3‬‬
‫חוג ויט‬
‫הגדרה ‪ 2.3.6‬חיבור וכפל של מחלקות‪.[q] · [q ′ ] = [q⊗q ′ ] ;[q] + [q ′ ] = [q ⊥ q ′ ] :‬‬
‫תרגיל ‪ 2.3.7‬לכל תבנית ‪ ,q‬התבנית ‪ H⊗q‬היא היפרבולית‪.‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫∼ ⟩‪.⟨1, −1⟩⊗⟨a‬‬
‫∼ ⟩‪= ⟨a, −a‬‬
‫⟩‪= ⟨1, −1‬‬
‫לכל × ‪,a ∈ F‬‬
‫תרגיל ‪ 2.3.8‬פעולות החיבור והכפל של מחלקות מוגדרות היטב‪.‬‬
‫לפעמים נשמיט את סימן המחלקה‪ ,‬ונחבר תבניות ישירות‪ ,‬כלומר נכתוב ‪ q + q ′‬במקום ‪.q ⊥ q ′‬‬
‫בדומה לזה נכתוב לפעמים ‪ q · q ′‬במקום ‪ .q⊗q ′‬בפרט‪ ,‬עבור תבניות חד־ממדיות‪.⟨a⟩⟨b⟩ = ⟨ab⟩ ,‬‬
‫תרגיל ‪2.3.9‬‬
‫‪ .1‬פעולות החיבור והכפל הן קומוטטיביות ואסוציאטיביות;‬
‫‪ .2‬הכפל דיסטריבוטיבי ביחס לחיבור;‬
‫‪ .3‬התבנית ‪) 0‬על המרחב האפס ממדי( היא איבר אפס ביחס לחיבור‪,‬‬
‫∼ ⟩‪ ⟨a, −a‬לכל ‪;(a‬‬
‫‪ [−q] .4‬הוא הנגדי של ]‪ ,[q‬כאשר )‪) (−q)(x) = −q(x‬משום ש־‪= H‬‬
‫‪ .5‬התבנית ⟩‪) ⟨1‬על המרחב החד־ממדי( היא איבר יחידה ביחס לכפל‪.‬‬
‫כעת אפשר להגדיר את אחד האובייקטים המרכזיים של התאוריה‪:‬‬
‫הגדרה ‪ 2.3.10‬חוג ויט הוא החוג של מחלקות השקילות של תבניות ריבועיות )מממד סופי( מעל השדה ‪ ,F‬עם‬
‫פעולות החיבור והכפל שהוגדרו לעיל‪ .‬מסמנים אותו ב־) ‪.W (F‬‬
‫נחשב כמה דוגמאות‪ .‬ראשית‪ ,‬כפי שראינו בסעיף ‪) 1.2‬במאפיין שונה מ־‪ ,(2‬כל תבנית אפשר‬
‫להציג כסכום אורתוגונלי של תבניות מממד ‪.1‬‬
‫מסקנה ‪ 2.3.11‬כחבורה אדיטיבית‪ W (F ) ,‬נוצר על־ידי התבניות מהצורה ⟩‪.a ̸= 0 ,⟨a‬‬
‫יתרה מזו‪ ,‬התבניות הרגולריות ⟩‪ ⟨a‬ו־⟩ ‪ ⟨a′‬איזומורפיות אם ורק אם הן מייצגות אותה מחלקה‬
‫‪2‬‬
‫ב־ × ‪) F × /F‬טענה ‪.(1.4.5‬‬
‫‪17‬‬
‫פרק ‪ .2‬המבנה של תבניות ריבועיות‬
‫‪ .2.3‬חוג ויט‬
‫דוגמא ‪ 2.3.12‬לפי מסקנה ‪ ,1.4.6‬יש רק מחלקה אחת מממד אחד מעל ‪ ,C‬והיא ⟩‪ .⟨1‬מכיוון ש־‬
‫∼ )‪.W (C‬‬
‫∼ ⟩‪ ,⟨1⟩ ⊥ ⟨1⟩ = ⟨1, 1‬נובע ש־‪= Z/2Z‬‬
‫‪= ⟨1, −1⟩ = H‬‬
‫תרגיל ‪ 2.3.13‬מעל הממשיים יש שתי תבניות חד־ממדיות‪ ⟨1⟩ ,‬ו־⟩‪ ,⟨−1‬כלומר ‪ 1, −1‬של חוג ויט‪.‬‬
‫∼ )‪.W (R‬‬
‫התבניות ⟩‪ ⟨1, . . . , 1‬אינן איזוטרופיות‪ ,‬ולכן כל אחת מהן מהווה מחלקה לעצמה‪ ,‬ו־‪= Z‬‬
‫הערך של התבנית ⟩‪ ⟨1, . . . , 1, −1, . . . , −1‬בחוג ויט הוא סכום הסימנים; העובדה שהוא אינו‬
‫תלוי בהצגת התבנית היא משפט הסימנים של סילווסטר )שנובע‪ ,‬משום כך‪ ,‬ממשפט הצמצום‬
‫של ויט(‪.‬‬
‫הכללות‬
‫הערה ‪ 2.3.14‬הערה זו ממשיכה את תת־סעיף ‪ .1.5.2‬משפט הצמצום של ויט עובד מעל כל )‪ ,(A, σ‬וכך‬
‫אפשר להגדיר את חוג ויט )‪ Wϵ (A, σ‬של המחלקות של תבניות ‪ϵ‬־הרמיטיות; אם ‪ ,ϵ = 1‬כותבים סתם‬
‫)‪.W (A, σ‬‬
‫∼ )‪ W (A, σ‬ו־‪ .W−1 (A, σ) = 0‬אם ‪ σ‬אינוולוציה‬
‫ידוע שאם )‪ ,(A, σ) = (Mn (F ), t‬אז ) ‪= W (F‬‬
‫∼ )‪ W−1 (A, σ‬כאשר ‪ τ‬מהטיפוס המנוגד ל־‪ .σ‬אם ‪ σ‬מסוג‬
‫מסוג ראשון ו־‪ A‬מממד זוגי‪ ,‬אז ) ‪= W (A, τ‬‬
‫∼ )‪.[1] W−1 (A, σ‬‬
‫שני אז )‪= W (A, σ‬‬
‫√‬
‫∼ )‪ ;W (R‬אם ]‪ C = R[ −1‬ו־ ‪ ,H = (−1, −1)R‬אז‬
‫לדוגמא‪ ,‬אם ‪ R‬שדה סגור ממשית‪ ,‬אז ‪= Z‬‬
‫∼ )‪.W (C, −‬‬
‫∼ )‪= W (H, −‬‬
‫גם ‪= Z‬‬
‫‪2.3.4‬‬
‫האידיאל היסודי‬
‫מכיוון שאיבר היחידה של חוג ויט הוא ⟩‪ ,⟨1‬מסמנים לפעמים את התבנית הזו ב־‪ .1‬כמובן‪ ,‬האיבר‬
‫⟩‪ ,2 = 1 + 1 = ⟨1⟩ ⊥ ⟨1⟩ = ⟨1, 1‬בעוד שהתבנית ⟩‪ ⟨2‬מייצגת איבר אחר לגמרי‪ .‬האידיאל היסודי‬
‫של חוג ויט הוא האידיאל ) ‪ I(F‬של התבניות מממד זוגי‪.‬‬
‫טענה ‪ 2.3.15‬כחבורה אדיטיבית‪ I(F ) ,‬נוצר על־ידי התבניות מהצורה ⟩‪.⟨⟨a⟩⟩ = ⟨1, −a‬‬
‫הוכחה‪ .‬מספיק לכתוב ⟩⟩‪.⟨a, b⟩ ∼ ⟨1, a⟩ + ⟨−1, b⟩ ∼ ⟨1, a⟩ − ⟨1, −b⟩ = ⟨⟨−a⟩⟩ − ⟨⟨b‬‬
‫‬
‫לשרשרת האידיאלים‬
‫· · · ⊃ ) ‪W (F ) ⊃ I(F ) ⊃ I 2 (F ) ⊃ I 3 (F‬‬
‫חשיבות גדולה בתורת התבניות הריבועיות‪ .‬משפטים משנות השמונים והתשעים יודעים לקשר‬
‫את המנות ) ‪ I n (F )/I n+1 (F‬לחבורות קוהומולוגיה ולחבורות־‪ ,K‬שהן אובייקטים חשובים ביותר‬
‫באריתמטיקה של שדות )ראו פרק ‪.(4‬‬
‫הגדרה ‪ 2.3.16‬התבניות מממד ‪ 2n‬מהצורה‬
‫⟩⟩ ‪⟨⟨a1 , . . . , an ⟩⟩ = ⟨⟨a1 ⟩⟩⊗ · · · ⊗⟨⟨an‬‬
‫⟩ ‪= ⟨1, −a1 , . . . , −an , a1 a2 , . . . , an−1 an , . . . , (−1)n a1 · · · an‬‬
‫נקראות תבניות פיסטר )‪ (Pfister‬מסדר ‪.n‬‬
‫לתבניות פיסטר יש תכונות יפות שנפגוש בהמשך החוברת )פרק ‪.(6‬‬
‫מסקנה ‪ 2.3.17‬כחבורה אדיטיבית‪ I n (F ) ,‬נוצר על־ידי תבניות פיסטר מסדר ‪.n‬‬
‫‪18‬‬
‫‪ .2.4‬תבניות תחת הרחבת שדות‬
‫פרק ‪ .2‬המבנה של תבניות ריבועיות‬
‫‪2.4‬‬
‫תבניות תחת הרחבת שדות‬
‫‪2.4.1‬‬
‫העתקת הצמצום‬
‫יהי ‪ F ,→ K‬שיכון של שדות‪ .‬אפשר לראות כל תבנית ‪ q‬מעל ‪ F‬כאילו היא תבנית מעל ‪ ,K‬שאותה‬
‫מסמנים ב־ ‪ .qK‬ביתר דיוק‪ ,‬הצמצום של המרחב הריבועי )‪ (V, q‬מ־ ‪ F‬ל־‪ K‬מוגדר כ־‬
‫‪res K/F (V, q) = (K⊗V, qK ),‬‬
‫כאשר התבנית הבילינארית המתאימה ל־ ‪ qK‬מוגדרת לפי ) ‪ .bK (a⊗v, a′ ⊗v ′ ) = aa′ b(v, v ′‬בפרט‪,‬‬
‫‪dim(qK ) = dim(q).‬‬
‫הפונקציה ] ‪ [q] 7→ [qK‬היא הומומורפיזם של חוגים )‪ .res K/F : W (F )→W (K‬באופן הזה‬
‫) ‪ F 7→ W (F‬הוא פונקטור מקטגוריית השדות לקטגוריית החוגים הקומוטטיביים‪.‬‬
‫הנה דוגמא שתשמש אותנו בפרק ‪.7‬‬
‫טענה ‪ 2.4.1‬נניח ש־ ‪ K/F‬הרחבה טרנסצנדנטית טהורה‪ .‬אם ‪ q‬אנאיזוטרופית מעל ‪ F‬אז גם ‪qK‬‬
‫אנאיזוטרופית‪.‬‬
‫בפרט‪ ,‬הצמצום )‪ res K/F : W (F )→W (K‬הוא חד־חד־ערכי‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח ש־ ‪ qK‬איזוטרופית‪.‬‬
‫נבחר קבוצת יוצרים טרנסצנדנטית להרחבה ‪ .K/F‬אפשר להחליף את ‪ K‬בשדה ‪ K ′‬הנוצר על־ידי כל היוצרים‬
‫המשתתפים בנקודה המאפסת את ‪ ,q‬כך ש־) ‪ trdeg(K ′ /F‬סופי‪ ,‬ולפעול באינדוקציה על מספר המשתנים‪ .‬מספיק‪,‬‬
‫אם כך‪ ,‬להניח ש־)‪ .K = F (λ‬אם ‪ ,q(f1 (λ), . . . , fn (λ)) = 0‬אפשר להניח על־ידי כפל במכנה משותף‬
‫ש־]‪ f1 , . . . , fn ∈ F [λ‬ושהם זרים במשותף‪ .‬לכן אפשר להציב ‪ λ 7→ 0‬ולקבל נקודה מעל ‪ F‬המאפסת את ‪ ,q‬כך‬
‫ש־‪ q‬איזוטרופית‪.‬‬
‫‬
‫לאור טענה ‪ ,2.4.1‬ומכיוון שבכל הרחבה של שדות יש הרחבת ביניים טרנסצנדנטית שהמרכיב‬
‫מעליה אלגברי‪ ,‬עיקר העניין בהעתקת הצמצום הוא כאשר ההרחבה אלגברית‪.‬‬
‫‪2.4.2‬‬
‫הרחבות ריבועיות‬
‫בסעיף הזה ננתח את העתקת הצמצום במקרה שבו ‪ K/F‬הרחבה ריבועית‪ .‬נכתוב ]‪ ,K = F [δ‬כאשר‬
‫∆ = ‪ .δ 2‬הסוגיה העיקרית במעבר לשדה הרחבה היא לתאר אלו תבניות אנאיזוטרופיות נעשות‬
‫איזוטרופיות או אפילו היפרבוליות‪ .‬במקרה של הרחבה ריבועית יש לשאלה הזו תשובה מלאה‪.‬‬
‫דוגמא ‪ 2.4.2‬תהי ‪ K = F [δ]/F‬הרחבה מממד ‪ 2‬במאפיין שונה מ־‪ .2‬הנורמה בהרחבה הזו היא‬
‫‪ .N(x + yδ) = x2 − ∆y 2‬כלומר‪ ,‬בבסיס }‪ {1, δ‬של ]‪ ,F [δ‬תבנית הנורמה של ההרחבה היא תבנית‬
‫אלכסונית עם ההצגה ⟩⟩∆⟨⟨ = ⟩∆‪.⟨1, −‬‬
‫מכיוון ש־‪ K‬הוא שדה לפי ההנחה‪ ∆ ,‬אינו ריבוע ב־ ‪ ,F‬ולכן תבנית הנורמה ⟩⟩∆⟨⟨ מוכרחה‬
‫להיות אנאיזוטרופית מעל ‪ .F‬מאידך התבנית נעשית איזוטרופית מעל ‪ ,K‬שהרי ‪ ,δ 2 − ∆ = 0‬ולכן‬
‫התבנית ‪ ⟨⟨∆⟩⟩K‬היפרבולית )טענה ‪ .(2.1.4‬כלומר‪.⟨⟨∆⟩⟩ ∈ Ker(resK/F ) ,‬‬
‫משפט ‪ 2.4.3‬תהי ‪ K/F‬הרחבה ריבועית כלעיל‪ ,‬ותהי ‪ q‬תבנית אנאיזוטרופית מעל ‪.F‬‬
‫‪ qK .1‬איזוטרופית אם ורק אם יש ל־‪ q‬תת־תבנית שהיא כפולה סקלרית של ⟩⟩∆⟨⟨‪.‬‬
‫∼ ‪.q‬‬
‫‪ qK .2‬היא היפרבולית אם ורק אם ) ‪ ,q ∈ ⟨⟨∆⟩⟩W (F‬כלומר ‪ q‬ניתנת לפירוק בצורה ‪= ⟨⟨∆⟩⟩q ′′‬‬
‫‪19‬‬
‫פרק ‪ .2‬המבנה של תבניות ריבועיות‬
‫‪ .2.4‬תבניות תחת הרחבת שדות‬
‫∼ ‪.⟨⟨∆⟩⟩K‬‬
‫הוכחה‪ .‬בשני המקרים כיוון אחד טריוויאלי‪ ,‬משום ש־ ‪= HK‬‬
‫∑ ‪ ,xi + yi δ‬לא כולם אפס‪ ,‬כך‬
‫איזוטרופית‪ .‬לכן יש ‪∈ K‬‬
‫‪ .1‬נכתוב ⟩ ‪. . , an‬‬
‫∑ ‪∑,q = ⟨a1 , .‬ונניח ש־ ‪∑ qK‬‬
‫= ‪ .0‬נסמן ב־ ‪ bq‬את התבנית‬
‫ש־‪ai (xi + δyi )2 = ( ai x2i + ∆ ai yi2 ) + 2 ai xi yi δ‬‬
‫הבינלינארית המתאימה ל־‪ ,q‬ונכתוב ) ‪ x = (x1 , . . . , xn‬ו־) ‪ .y = (y1 , . . . , yn‬לפי השוואת המקדמים‪,‬‬
‫‪ bq (x, y) = 0‬ו־‪ .q(x) + ∆q(y) = 0‬מהשוויון האחרון נובע ש־‪ ,q(x), q(y) ̸= 0‬שהרי ‪q‬‬
‫אנאיזוטרופית‪ .‬נתבונן בתת־המרחב ‪ F x + F y‬של ‪ :F n‬צמצום ‪ q‬לתת־המרחב הזה נותן את התבנית‬
‫∼ ⟩)‪ ,⟨q(x), q(y‬ולפי טענה ‪ 1.4.4‬נובע מזה ש־⟩⟩∆⟨⟨⟩)‪ ⟨q(y‬היא‬
‫הדו־ממדית ⟩‪= ⟨q(y)⟩ · ⟨−∆, 1‬‬
‫תת־תבנית של ‪.q‬‬
‫‪ .2‬נניח ש־ ‪ qK‬היפרבולית‪ .‬הפעלה חוזרת של הסעיף הראשון מראה שאפשר לפרק את ‪ q‬לסכום ישר של תבנית‬
‫מהצורה ⟩⟩∆⟨⟨⟩ ‪ ,⟨ci‬ולכן ⟩⟩∆⟨⟨⟩ ‪.q = ⟨c1 , . . . , ct‬‬
‫‬
‫ניסוח אחר לסעיף ‪ 2‬של משפט ‪ :2.4.3‬הגרעין של העתקת הצמצום שווה לחשוד המיידי‪:‬‬
‫;) ‪Ker(resK/F ) = ⟨⟨∆⟩⟩ · W (F‬‬
‫כלומר‪ ,‬יש סדרה מדוייקת‬
‫)‪/ W (K‬‬
‫‪resK/F‬‬
‫) ‪/ W (F‬‬
‫⟩⟩∆⟨⟨·‪−‬‬
‫) ‪W (F‬‬
‫)‪(2.2‬‬
‫‪ 2.4.3‬הטרנספר‬
‫שוב תהי ‪ K/F‬הרחבה‪ .‬הצמצום מפרש תבנית מעל ‪ F‬כאילו היא מוגדרת מעל ‪ .K‬איך אפשר‬
‫לפעול בכיוון ההפוך ולהעביר תבנית ריבועית מעל ‪ K‬לתבנית מעל ‪?F‬‬
‫הגדרה ‪ 2.4.4‬יהיו ‪ F ⊆ K‬שדות כלשהם‪ ,‬ותהי ‪ s : K→F‬העתקה ‪F‬־לינארית )שאינה אפס(‪ .‬יהי ‪ V‬מרחב‬
‫וקטורי מעל ‪ ,K‬ותהי ‪ q : V →K‬תבנית ריבועית‪ .‬הטרנספר של המרחב הריבועי )‪ (V, q‬הוא המרחב הריבועי‬
‫)‪ ,(V, s∗ q‬מעל ‪ ,F‬כאשר ))‪.(s∗ q)(x) = s(q(x‬‬
‫התבנית מוגדרת על אותו מרחב וקטורי ‪ ,V‬ולכן )‪.dim(s∗ q) = [K : F ] · dim(q‬‬
‫דוגמא ‪ 2.4.5‬אם ‪ tr : K→F‬היא העקבה‪ ,‬אז ⟩‪ ,q = tr∗ ⟨1‬שהיא התבנית ) ‪ ,x 7→ tr(x2‬נקראת תבנית‬
‫העקבה של ההרחבה‪.‬‬
‫דוגמא ‪ 2.4.6‬נחזור לדוגמא ‪ ,2.4.2‬שם ראינו שתבנית הנורמה של ההרחבה ‪K = F [δ | δ 2 = ∆]/F‬‬
‫היא ⟩⟩∆⟨⟨‪ .‬העקבה מוגדרת לפי ‪ ,tr(x + yδ) = 2x‬ולכן תבנית העקבה היא‬
‫‪tr((x + yδ)2 ) = tr(x2 + ∆y 2 + 2xyδ) = 2(x2 + ∆y 2 ),‬‬
‫היינו ⟩⟩∆‪.⟨⟨−‬‬
‫הערה ‪ 2.4.7‬תבנית העקבה מוגדרת עבור כל אלגברה מעל ‪ F‬שיש לה פונקציית עקבה‪ .‬הדוגמאות‬
‫המוכרות הן כמובן מטריצות מכל ממד‪ ,‬ודרכן כל אלגברה פשוטה מעל ‪ .F‬אלגברה שמוגדרת עליה תבנית‬
‫בילינארית המקיימת את האקסיומה )‪ (ab, c) = (a, bc‬נקראת "אלגברת פרובניוס"‪.‬‬
‫תרגיל ‪.s∗ (q ⊥ q ′ ) = s∗ q ⊥ s∗ q ′ 2.4.8‬‬
‫‪20‬‬
‫‪ .2.4‬תבניות תחת הרחבת שדות‬
‫פרק ‪ .2‬המבנה של תבניות ריבועיות‬
‫∼ ‪ s∗ q‬מעל ‪.F‬‬
‫∼ ‪ q‬מעל ‪ K‬אז ‪= s∗ q ′‬‬
‫תרגיל ‪ 2.4.9‬אם ‪= q ′‬‬
‫תהיינה ‪ q‬תבנית ריבועית‬
‫תבנית‬
‫ו־‪φ‬‬
‫‪K‬‬
‫מעל‬
‫טענה ‪) 2.4.10‬תכונת ההיפוך של פרובניוס(‬
‫אז‬
‫ריבועית מעל ‪.F‬‬
‫∼ ) ‪.s∗ (q ⊗K φK‬‬
‫‪= s∗ (q)⊗F φ‬‬
‫⊗‬
‫‪_ φK‬‬
‫‪O‬‬
‫‪q‬‬
‫∗‪s‬‬
‫‬
‫∗‪s‬‬
‫‬
‫‪s∗ q ⊗ φ‬‬
‫המרחבים שעליהם מוגדרות התבניות הם‬
‫הוכחה‪ .‬נתונים המרחבים הריבועיים )‪ (V, q‬ו־)‪.(W, φ‬‬
‫)) ‪ (V ⊗K (K⊗W ), s∗ (q ⊗K φK‬ו־)‪ .(V ⊗F W, s∗ (q)⊗F φ‬כדי להראות שההתאמה →‪v⊗(a⊗w) 7‬‬
‫‪ av⊗w‬היא איזומטריה‪ ,‬נסמן ב־ ‪ bq‬ו־ ‪ βφ‬את התבניות הבילינאריות המתאימות‪ .‬כעת נחשב‪:‬‬
‫))) ‪(s∗ (bq ⊗K βφ K ))(v⊗(a⊗w), v ′ ⊗(a′ ⊗w′ )) = s((bq ⊗K βφ K )(v⊗(a⊗w), v ′ ⊗(a′ ⊗w′‬‬
‫)) ‪= s(bq (v, v ′ )βφ (a⊗w, a′ ⊗w′‬‬
‫)) ‪= s(bq (v, v ′ )aa′ βφ (w, w′‬‬
‫) ‪= s(aa′ bq (v, v ′ ))βφ (w, w′‬‬
‫) ‪= s(bq (av, a′ v ′ ))βφ (w, w′‬‬
‫) ‪= (s∗ (bq )⊗F βφ )(av⊗w, a′ v ′ ⊗w′‬‬
‫‬
‫טענה ‪ 2.4.11‬אם ‪ q‬תבנית היפרבולית מעל ‪ ,K‬אז ‪ s∗ q‬היפרבולית מעל ‪.F‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי האדיטיביות‪ ,‬מספיק לחשב את‪) s∗ (HK ) = s∗ (⟨1⟩⊗HK ) = s∗ (⟨1⟩)⊗H :‬השתמשנו בהיפוך(‪,‬‬
‫וזו תבנית היפרבולית )מממד ] ‪ (2[K : F‬לפי תרגיל ‪.2.3.7‬‬
‫‬
‫מסקנה ‪ 2.4.12‬תהי ‪ s : K→F‬העתקה ‪F‬־לינארית‪.‬‬
‫הנוסחה ]‪.s∗ [q] = [s∗ q‬‬
‫אז ) ‪ s∗ : W (K)→W (F‬מוגדרת היטב לפי‬
‫תכונת ההיפוך של פרובניוס נותנת כעת לכל )‪ a ∈ W (K‬ו־) ‪,α ∈ W (F‬‬
‫‪s∗ (a · res K/F α) = s∗ (a) · α‬‬
‫)‪(2.3‬‬
‫אפשר לראות ב־)‪ W (K‬מודול )ימני( מעל ) ‪ W (F‬באמצעות הפעולה )‪.(a, α) 7→ a · res K/F (α‬‬
‫מסקנה ‪ s∗ : W (K)→W (F ) 2.4.13‬היא הומומורפיזם של מודולים מעל ) ‪.W (F‬‬
‫כעת נוכל להמשיך את הסדרה המדוייקת )‪.(2.2‬‬
‫√‬
‫משפט ‪ 2.4.14‬תהי ]∆ [ ‪ K = F‬הרחבה ריבועית ספרבילית של ‪ .F‬תהי ‪ s : K→F‬העתקה לינארית המקיימת‬
‫‪) s(1) = 0‬יש אחת כזו‪ ,‬עד כפל בסקלר(‪ .‬אז‬
‫) ‪/ W (F‬‬
‫∗‪s‬‬
‫)‪/ W (K‬‬
‫‪resK/F‬‬
‫היא סדרה מדוייקת מדוייקת של מודולים מעל ) ‪.W (F‬‬
‫‪21‬‬
‫) ‪/ W (F‬‬
‫⟩⟩∆⟨⟨·‪−‬‬
‫) ‪W (F‬‬
‫)‪(2.4‬‬
‫פרק ‪ .2‬המבנה של תבניות ריבועיות‬
‫‪ .2.4‬תבניות תחת הרחבת שדות‬
‫הוכחה‪ .‬בתת־סעיף ‪ 2.4.2‬הוכחנו שהסדרה מדוייקת ב־) ‪ .W (F‬תהי ⟩‪ ⟨a‬תבנית מעל ‪ ,F‬אז )⟩‪ resK/F (⟨a‬היא‬
‫התבנית החד־ממדית מעל ‪ ,K‬ו־)⟩‪ q = s∗ (⟨a‬היא התבנית על ‪ K‬המוגדרת לפי‬
‫√‬
‫√‬
‫‪q(x + y ∆) = s(a(x + y ∆)2 ) = as(x2 + ∆y 2 + 2xy∆) = 2as(∆)xy,‬‬
‫וזו תבנית היפרבולית‪ .‬לכן ‪.s∗ ◦ resK/F = 0‬‬
‫נוכיח שכל תבנית אנאיזוטרופית מעל ‪ K‬אפשר לפרק לחלק שהטרנספר שלו אנאיזוטרופי וחלק המושרה מ־ ‪.F‬‬
‫כלומר‪ ,‬כל מרחב ריבועי אנאיזוטרופי )‪ (V, φ‬מעל ‪ K‬אפשר לפרק ‪ ,φ = qK ⊥ φ′‬כאשר ‪ q‬היא תבנית מעל ‪,F‬‬
‫ו־ ‪ s∗ φ′‬אנאיזוטרופית‪ .‬אכן‪ ,‬אם ‪ s∗ φ‬אנאיזוטרופית‪ ,‬סיימנו‪ .‬אחרת יש ‪ 0 ̸= v ∈ V‬כך ש־‪ ,s(φ(v)) = 0‬כלומר‬
‫‪ .0 ̸= b = φ(v) ∈ F‬אם כך ‪ Kv‬הוא תת־מרחב רגולרי של ‪ ,V‬ואפשר לפרק ‪ ;φ = ⟨b⟩K ⊥ φ′‬לפי הנחת‬
‫האינדוקציה את ‪ φ′‬אפשר לפרק לחלק המושרה מ־ ‪ F‬וחלק שהטרנספר שלו אנאיזוטרופי‪ ,‬וכך מתקבל פירוק דומה‬
‫של ‪.φ‬‬
‫כעת נניח ש־‪ φ‬תבנית אנאיזוטרופית מעל ‪ ,K‬ו־‪ s∗ φ‬היפרבולית‪ .‬לפי הסעיף הראשון אפשר לפרק = ‪φ‬‬
‫‪ qK ⊥ φ′‬כאשר ‪ s∗ φ′‬אנאיזוטרופי‪ ,‬אבל זו תת־תבנית של התבנית ההיפרבולית ‪ ,s∗ φ‬כלומר ‪ φ′ = 0‬ו־‬
‫)‪.φ = qK ∈ resK/F W (K‬‬
‫‬
‫המשפט השימושי הזה מתאר את התמונה של הצמצום )‪ ;res : W (F )→W (K‬תבנית ∈ ]‪[q‬‬
‫)‪ W (K‬מהווה צמצום של תבנית המוגדרת מעל ‪ ,F‬אם ורק אם ‪ s∗ q‬היפרבולית‪ .‬כלומר‪ ,‬אם נכתוב‬
‫‪ ,q(x) = q1 (x) + q2 (x)δ‬אז ‪ q‬מוגדרת מעל ‪ F‬אם ורק אם ‪ q2‬היפרבולית‪.‬‬
‫‪2.4.4‬‬
‫הרחבות מממד אי־זוגי‬
‫שימוש נוסף בטרנספר מוכיח תוצאה יפה על הרחבות מממד אי־זוגי‪.‬‬
‫טענה ‪ 2.4.15‬לכל הרחבת שדות סופית ‪ K/F‬ולכל העתקת טרנספר ‪ ,0 ̸= s : K→F‬ההרכבה‬
‫) ‪s∗ ◦ resK/F : W (F )→W (F‬‬
‫שווה לכפל ב־)⟩‪.s∗ (⟨1‬‬
‫הוכחה‪ .‬תהי ‪ q‬תבנית ריבועית מעל ‪ .F‬אז )⟩‪(s∗ ◦ resK/F )(q) = s∗ (qK ) = s∗ (qK ⊗⟨1⟩) = q⊗s∗ (⟨1‬‬
‫לפי תכונת ההיפוך‪.‬‬
‫‬
‫טענה ‪ 2.4.16‬תהי ‪ K/F‬הרחבה מממד איזוגי‪ .‬אז הצמצום )‪ W (F )→W (K‬הוא חד־חד־ערכי‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬אפשר להניח ש־]‪) K = F [θ‬אם ההרחבה אינה ספרבילית‪ ,‬באינדוקציה על הממד(‪ .‬נסמן = ‪2m + 1‬‬
‫] ‪ .[K : F‬נגדיר את העתקת הטרנספר ‪ s : K→F‬לפי ‪ s(1) = 1‬ו־‪ s(xi ) = 0‬לכל ‪ .i = 1, . . . , 2m‬נראה‬
‫ש־⟩‪ .s∗ (⟨1⟩) ∼ ⟨1‬אכן‪ ,‬ביחס לתבנית ) ‪ ,s∗ (⟨1⟩) : a 7→ s(a2‬אפשר לפרק לסכום אורתוגונלי ⊥ ‪K = F‬‬
‫) ‪ ,(F x + · · · + F x2m‬ותת־המרחב ‪ F x + · · · + F xm‬הוא איזוטרופי מממד מחצית הממד של ⊥ ‪ .F‬לכן ⊥ ‪F‬‬
‫היפרבולי‪ ,‬ו־)⟩‪ .(K, s∗ (⟨1⟩)) ∼ (F, ⟨1‬מזה נובע ש־ ‪ s∗ ◦ resK/F‬הוא כפל ב־⟩‪ ,s∗ (⟨1⟩) ∼ ⟨1‬כלומר העתקת‬
‫הזהות‪ .‬זה מוכיח ש־ ‪ res K/F‬חד־חד־ערכי ואילו ) ‪ s∗ : W (K)→W (F‬על‪.‬‬
‫‬
‫טענה ‪ 2.4.16‬אומרת שבהרחבה ‪ K/F‬מממד איזוגי‪ ,‬אם תבנית נעשית היפרבולית מעל ‪ ,K‬אז‬
‫היא היפרבולית מלכתחילה‪ .‬בהמשך )משפט ‪ (2.4.18‬נוכיח תוצאה חזקה בהרבה‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫פרק ‪ .2‬המבנה של תבניות ריבועיות‬
‫‪2.4.5‬‬
‫‪ .2.4‬תבניות תחת הרחבת שדות‬
‫משפט שפרינגר‬
‫טענה ‪) 2.4.17‬טיעון המונום העליון( תהי ‪ q‬תבנית אנאיזוטרופית מעל ‪ .F‬נניח ש־‪q(f1 , . . . , ft ) = g‬‬
‫כאשר ]‪ .f1 , . . . , ft , g ∈ F [λ‬אז }) ‪.deg(g) = 2 max {deg(f1 ), . . . , deg(ft‬‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן }) ‪ m = max {deg(fi‬ו־)‪ .n = deg(g‬ברור ש־‪ .n ≤ 2m‬נסמן ב־ ‪ a1 , . . . , at‬את המקדם של‬
‫‪ λm‬ב־ ‪ ,f1 , . . . , fn‬וב־‪ b‬את המקדם של ‪ λ2m‬ב־‪ .g‬אז ‪ ,q(a1 , . . . , at ) = b‬ואם ‪ n < 2m‬אז ‪ b = 0‬ובהכרח‬
‫גם ‪.a1 = · · · = at = 0‬‬
‫‬
‫משפט ‪) 2.4.18‬משפט שפרינגר( תהי ‪ K/F‬הרחבה מממד אי־זוגי‪ .‬לכל תבנית אנאיזוטרופית ‪ q‬מעל ‪ ,F‬גם‬
‫התבנית ‪ qK‬אנאיזוטרופית‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נכתוב ⟩ ‪ .q = ⟨a1 , . . . , at‬ההוכחה היא באינדוקציה על הממד ] ‪ .m = [K : F‬באינדוקציה על מספר‬
‫היוצרים‪ ,‬די להניח שההרחבה פשוטה‪ .‬נכתוב ]‪ ,K = F [θ‬ויהי ]‪ p(λ) ∈ F [λ‬הפולינום המינימלי של ‪ θ‬מעל‬
‫‪ .F‬בפרט ‪ .deg(p) = m‬נניח‪ ,‬בשלילה‪ ,‬שהתבנית ‪ qK‬איזוטרופית‪ .‬אז יש אברים ‪ β1 , . . . , βt ∈ K‬כך‬
‫ש־‪ .a1 β12 + · · · + at βt2 = 0‬כל ‪ βi ∈ K‬אפשר להציג בצורה )‪ βi = fi (θ‬כאשר ]‪ f1 , . . . , ft ∈ F [λ‬הם‬
‫פולינומים ממעלה ‪ .deg(fi ) < m‬את השוויון הקודם אפשר להציג בצורה‬
‫‪a1 f1 (λ)2 + · · · + at ft (λ)2 ≡ 0 (mod p(λ)).‬‬
‫)‪(2.5‬‬
‫אם לפולינומים )‪ f1 (λ), . . . , ft (λ‬יש גורם משותף מעל ‪ ,F‬אפשר לחלק בו והשוויון נשמר‪ .‬לכן אפשר להניח שהם‬
‫זרים )במשותף(‪ .‬לפי השוויון )‪ (2.5‬אפשר לפרק את אגף שמאל‪,‬‬
‫‪a1 f1 (λ)2 + · · · + at ft (λ)2 = p(λ)h(λ),‬‬
‫)‪(2.6‬‬
‫כאשר ]‪ h(λ) ∈ F [λ‬פולינום מדרגה ‪ .deg(h) ≤ m − 2‬מכיוון ש־‪ p‬ממעלה אי־זוגית לפי ההנחה‪ ,‬והמעלה‬
‫של אגף שמאל זוגית לפי טיעון המונום העליון‪ ,‬גם המעלה של ‪ h‬אי־זוגית‪ .‬נבחר גורם אי־פריק ‪ p′‬ממעלה אי־זוגית‬
‫של ‪ .h‬נתבונן בשדה ⟩)‪ ,K ′ = F [λ]/⟨p′ (λ‬שממדו מעל ‪ F‬הוא ‪ .deg(p′ ) < m‬נסמן ב־)‪θ′ = λ + p′ (λ‬‬
‫את השורש )‪ ,p′ (λ‬היוצר את ההרחבה ‪ .K ′ /F‬מכיוון שה־ ‪ fi‬זרים‪ ,‬לא יתכן שכולם מתחלקים ב־ ‪ ,p′‬ולכן הוקטור‬
‫)) ‪ (f1 (θ′ ), . . . , ft (θ′‬אינו אפס‪ .‬נציב ‪ λ = θ′‬בשוויון )‪ (2.6‬ונקבל‬
‫‪a1 f1 (θ′ )2 + · · · + at ft (θ′ )2 = 0,‬‬
‫כלומר‪ ,‬התבנית ‪ q‬איזוטרופית מעל ‪ K ′‬שממדו אי־זוגי וקטן מ־‪ ,m‬בסתירה להנחת האינדוקציה‪ ,‬אלא אם ‪fi (θ′ ) = 0‬‬
‫לכל ‪ ;i‬אבל גם זה בלתי אפשרי כי אז כל הפולינומים )‪ fi (λ‬מתחלקים ב־ ‪.p′‬‬
‫‬
‫תרגיל ‪ 2.4.19‬טענה ‪ 2.4.16‬נובעת ממשפט ‪ .2.4.18‬הדרכה‪ .‬אם ) ‪ 0 ̸= [q] ∈ W (F‬אז ‪ q‬שקולה‬
‫לתבנית אנאיזוטרופית‪ ,‬שנשארת כזו מעל ‪.K‬‬
‫תרגיל ‪ 2.4.20‬בדוק שהוכחת משפט ‪ 2.4.18‬תקפה גם בלי להניח ש־‪ q‬אלכסונית‪ ,‬ולכן היא נכונה‬
‫גם במאפיין ‪.2‬‬
‫תרגיל ‪ 2.4.21‬תהי ‪ q‬תבנית אנאיזוטרופית מעל שדה ‪ .F‬יהי )‪ g(λ‬ערך של התבנית מעל חוג‬
‫הפולינומים ]‪ .F [λ‬הראה שהמעלה של כל גורם ראשוני של )‪ g(λ‬היא זוגית‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬נניח ש־))‪ ,g(λ) = q(f1 (λ), . . . , fn (λ‬ויהי )‪ p(λ‬גורם אי־פריק של )‪ .g(λ‬נסמן ב־‪ α‬שורש‬
‫של ‪ p‬בשדה ההרחבה ⟩)‪ .K = F [λ]/⟨p(λ‬אז ‪ ,q(f1 (α), . . . , fn (α)) = g(α) = 0‬ולכן ‪ qK‬איזוטרופית‪.‬‬
‫משפט שפרינגר אינו מאפשר זאת אם ] ‪ deg(p(λ)) = [K : F‬אי־זוגי‪.‬‬
‫אתגר ‪ 2.4.22‬האם יתכן שהעתקת הצמצום )‪ W (F )→W (K‬היא חד־חד־ערכית‪ ,‬ובכל זאת‬
‫קיימת תבנית אנאיזוטרופית ‪ q‬מעל ‪ F‬כך ש־ ‪ qK‬איזוטרופית?‬
‫‪23‬‬
‫‪ .2.5‬גורמי דמיון‬
‫‪2.5‬‬
‫פרק ‪ .2‬המבנה של תבניות ריבועיות‬
‫גורמי דמיון‬
‫חבורת המחלקות × ‪ F × /F‬פועלת על התבניות הריבועיות לפי כפל בסקלר‪.αF × : q 7→ ⟨α⟩⊗q ,‬‬
‫תהי ‪ q‬תבנית מעל שדה ‪ .F‬נגדיר את חבורת גורמי הדמיון של ‪ q‬לפי‬
‫{‬
‫}‬
‫‪2‬‬
‫∼ ‪G(q) = t ∈ F × : ⟨t⟩⊗q‬‬
‫‪= q ⊆ F × /F × .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫כמייצב של ‪ q‬במרחב התבניות‪ ,‬זו בוודאי חבורה‪.‬‬
‫הערה ‪ 2.5.1‬מכיוון שכפל בתבנית חד־ממדית שומר על הממד‪ ,‬יכולנו לכתוב גם בשפה של חוג ויט‪,‬‬
‫}]‪.G([q]) = {t ∈ F × : ⟨t⟩ · [q] = [q‬‬
‫הערה ‪ 2.5.2‬תהי ‪ q‬תבנית ריבועית‪ .‬אז }‪.G(q) = {b ∈ F × : ⟨⟨b⟩⟩⊗q ∼ 0‬‬
‫∼ ‪.⟨b⟩ · q‬‬
‫∼ ‪ ⟨⟨b⟩⟩⊗q‬אם ורק אם ‪= q‬‬
‫הוכחה‪= q ⊥ −bq ∼ 0 .‬‬
‫‬
‫∼ ⟩‪.⟨ta‬‬
‫דוגמא ‪ 2.5.3‬לכל תבנית חד־ממדית‪ ,G(⟨a⟩) = F × ,‬משום ש־)⟩‪ t ∈ G(⟨a‬אם ורק אם ⟩‪= ⟨a‬‬
‫‪2‬‬
‫∼ ‪ ⟨t⟩⊗q‬אז בוודאי‬
‫הערה ‪ 2.5.4‬לכל שתי תבניות ‪) G(q) ⊆ G(q⊗q ′ ) ,q, q ′‬משום שאם ‪= q‬‬
‫∼ ‪(.⟨t⟩⊗q⊗q ′‬‬
‫‪= q⊗q ′‬‬
‫{‬
‫}‬
‫תרגיל ‪ 2.5.5‬לתבנית פיסטר מסדר ראשון‪ ,G(⟨⟨a⟩⟩) = x2 − ay 2 : x, y ∈ F ,‬כלומר גורמי‬
‫הדמיון הם הערכים של ⟩⟩‪ .⟨⟨a‬דוגמא זו תקבל הכללות מרחיקות לכת בפרק ‪.6‬‬
‫√‬
‫טענה ‪ 2.5.6‬תהי ]∆ [ ‪ K = F‬הרחבה ריבועית ספרבילית של ‪ ,F‬ותהי ‪ q‬תבנית אנאיזוטרופית מעל‬
‫‪ .F‬אם ‪ qK‬היפרבולית אז )‪.−∆ ∈ G(q‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי משפט ‪ ,2.4.3‬אפשר לפרק ‪ .q = ⟨⟨∆⟩⟩q ′′‬לכן )‪ ;−∆ ∈ G(⟨⟨∆⟩⟩) ⊆ G(q‬נעזרנו כאן‬
‫בהערה ‪.2.5.4‬‬
‫‬
‫)בטענה ‪ 2.5.6‬נשתמש כדי להוכיח את משפט ‪ ,5.5.8‬שהוא אחד המשפטים העיקריים על תבניות‬
‫בשדות הניתנים לסידור(‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫פרק ‪3‬‬
‫האינווריאנטים הראשונים‬
‫‪3.1‬‬
‫זוגיות הממד‬
‫פונקציית הממד אינה מוגדרת היטב על חוג ויט‪ ,‬משום שתבניות היפרבוליות שקולות לאפס‪ .‬עם‬
‫זאת‪ ,‬הממד כן מוגדר מודולו ‪ ,2‬וזה מאפשר להגדיר סדרה קצרה מדוייקת‬
‫‪0 −→ I(F ) ,−→ W (F ) −→ Z/2Z −→ 0,‬‬
‫כלומר איזומורפיזם‬
‫∼‬
‫=‬
‫‪W (F )/I(F ) −→ Z/2Z.‬‬
‫‪ 3.2‬הדטרמיננטה‬
‫∼ ‪ ,W/I‬הצעד הבא הוא לחשב את המנה ‪ .I/I 2‬לשם כך עלינו‬
‫לאחר שחישבנו את המנה ‪= Z/2Z‬‬
‫למצוא הומומורפיזם מ־) ‪ ,I(F‬שהגרעין שלו הוא ) ‪ .I 2 (F‬נזכר שכל תבנית ריבועית מוצגת על־ידי‬
‫מטריצה ‪ ;A‬ואז היא מוצגת גם על־ידי כל מטריצה מהצורה ‪ .P AP t‬עובדה זו מציעה שנגדיר על‬
‫תבנית את הדטרמיננטה שלה‪,‬‬
‫‪det(q) = det(A)F × ∈ F × /F × ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫כאשר ‪ A‬היא מטריצה כלשהי המייצגת את ‪ .q‬מכיוון ש־‬
‫)‪det(P AP t ) = det(A) det(P )2 ∼ det(A‬‬
‫בחבורת המחלקות הריבועיות × ‪ ,F × /F‬הדטרמיננטה של תבנית מוגדרת היטב )מודולו ריבועים(‪.‬‬
‫יתרון נוסף נובע מהתכונות של מטריצות בלוקים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪det(q ⊥ q ′ ) = det(q) det(q ′ ).‬‬
‫עם זאת‪ ,det(H) = det(⟨1, −1⟩) = −1 ,‬ולכן הדטרמיננטה של מחלקה בחוג ויט אינה מוגדרת‬
‫היטב‪ ,‬אלא עד כדי ריבועים וסימן‪.‬‬
‫∼ ‪ .V‬הדרכה‪ .‬הבא את‬
‫תרגיל ‪ 3.2.1‬אם )‪ (V, q‬מרחב רגולרי מממד ‪ 2‬עם ‪ ,det(q) = −1‬אז ‪= H‬‬
‫התבנית לצורה אלכסונית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 3.2.2‬אם ⟩‪ ⟨a, b, c‬איזוטרופית‪ ,‬אז ⟩‪.⟨a, b, c⟩ ∼ ⟨−abc‬‬
‫‪25‬‬
‫פרק ‪ .3‬האינווריאנטים הראשונים‬
‫‪ .3.3‬הדיסקרימיננטה‬
‫‪ 3.3‬הדיסקרימיננטה‬
‫כפי שראינו הדטרמיננטה אינה מוגדרת היטב על מחלקות בחוג ויט‪ .‬הדיסקרימיננטה פותרת את‬
‫הבעיה הזו‪ .‬נגדיר את הדיסקרימיננטה של תבנית ‪ q‬מממד )‪ n = dim(q‬לפי‬
‫;)‪disc(q) = (−1)n(n−1)/2 det(q‬‬
‫ובאופן יותר מפורש‪,‬‬
‫‪disc(⟨a1 , . . . , an ⟩) = (−1)n(n−1)/2 a1 · · · an .‬‬
‫מתקיים‬
‫‪disc(q ⊥ H) = (−1)(n+2)(n+1)/2 det(q ⊥ H) = −(−1)n(n−1)/2+1 det(q) = disc(q),‬‬
‫ולכן הדיסקרימיננטה מוגדרת היטב על מחלקות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 3.3.1‬גם הפונקציה )‪ d′ (q) = (−1)n(n+1)/2 disc(q‬מוגדרת היטב על מחלקות בחוג ויט;‬
‫ויחד עם )‪ ,disc(q‬אלו כל הפונקציות מהצורה )‪ q 7→ cdim q det(q‬המוגדרות היטב על מחלקות‪.‬‬
‫נחשב כמה מקרים מיוחדים‪:‬‬
‫;‪disc(⟨a⟩) = a‬‬
‫;‪disc(⟨⟨a⟩⟩) = disc(⟨1, −a⟩) = a‬‬
‫‪a2 b2 ∼ 1.‬‬
‫‪3·4‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪disc(⟨⟨a, b⟩⟩) = disc(⟨1, −a, −b, ab⟩) = (−1‬‬
‫טענה ‪.I 2 (F ) ⊆ Ker(d) 3.3.2‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי מסקנה ‪ I 2 ,2.3.17‬נוצר על־ידי תבניות פיסטר מסדר ‪ 2‬וראינו ש־‪.disc(⟨⟨a, b⟩⟩) = 1‬‬
‫‬
‫למה ‪) 3.3.3‬כמעט אדיטיביות של תבניות פיסטר(‬
‫‪⟨⟨a⟩⟩ ⊥ ⟨⟨b⟩⟩ ∼ ⟨⟨ab⟩⟩ ⊥ ⟨⟨a, b⟩⟩.‬‬
‫∼ ⟩‪,⟨ab, −ab‬‬
‫הוכחה‪ .‬מכיוון ש־‪= H‬‬
‫⟩‪⟨1, −a, 1, −b‬‬
‫⟩‪⟨1, −a, 1, −b, ab, −ab‬‬
‫‪⟨1, −a, −b, ab⟩ ⊥ ⟨1, −ab⟩ = ⟨⟨a, b⟩⟩ ⊥ ⟨⟨ab⟩⟩.‬‬
‫∼‬
‫=‬
‫∼‬
‫∼‬
‫=‬
‫⟩⟩‪⟨⟨a⟩⟩ ⊥ ⟨⟨b‬‬
‫‬
‫‪26‬‬
‫‪ .3.3‬הדיסקרימיננטה‬
‫פרק ‪ .3‬האינווריאנטים הראשונים‬
‫משפט ‪ 3.3.4‬הדיסקרימיננטה משרה איזומורפיזם‬
‫‪2‬‬
‫× ‪d : I/I 2 →F × /F‬‬
‫של חבורות אבליות‪.‬‬
‫‪′‬‬
‫הוכחה‪ .‬חישוב ישיר מראה שלכל שתי תבניות ‪ q, q ′‬מתקיים )] ‪,disc([q] + [q ′ ]) = (−1)nn disc([q])disc([q ′‬‬
‫כאשר )‪ n = dim(q‬ו־) ‪ .n′ = dim(q ′‬אם אחת התבניות מממד זוגי אז = )] ‪disc([q] + [q ′‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪ .disc([q])disc([q]′‬בפרט‪ d : I(F )→F × /F × ,‬הוא הומומורפיזם של חבורות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫לפי טענה ‪ d ,3.3.2‬הוא הומומורפיזם מוגדר היטב × ‪ ,I/I 2 →F × /F‬שהוא על מפני ש־= ) ‪disc(⟨⟨a⟩⟩+I 2‬‬
‫‪2‬‬
‫× ‪ .aF‬בכיוון ההפוך הפונקציה‬
‫‪2‬‬
‫‪f1 : F × /F × →I/I 2‬‬
‫השולחת ‪ f1 : aF × 7→ ⟨⟨a⟩⟩ + I 2‬היא מוגדרת היטב; והיא הומומורפיזם משום שלפי הכמעט־אדיטיביות‬
‫)למה ‪,(3.3.3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⟨⟨a⟩⟩ + ⟨⟨b⟩⟩ ∼ ⟨⟨ab⟩⟩ ⊥ ⟨⟨a, b⟩⟩ ≡ ⟨⟨ab⟩⟩ (mod I ).‬‬
‫‪2‬‬
‫התוצאה נובעת מכך ששתי ההעתקות הופכות זו את זו‪.‬‬
‫‬
‫בעיה ‪ 3.3.5‬הראה שלכל תבנית ‪ q‬מממד איזוגי‪.q ⊥ ⟨disc(q)⟩ ∈ I 2 (F ) ,‬‬
‫‪3.3.1‬‬
‫תבניות בינאריות‬
‫נעזר בדיסקרימיננטה כדי למיין את התבניות הבינאריות‪:‬‬
‫טענה ‪ 3.3.6‬את התבנית הבינארית ‪ q‬אפשר להציג בצורה ⟩‪ ⟨a, b‬אם ורק אם ‪ a‬הוא ערך של התבנית‪,‬‬
‫ו־)‪.ab = −disc(q‬‬
‫הוכחה‪ .‬אם ⟩‪ q = ⟨a, b‬אז )‪ a = q(1, 0‬הוא ערך של התבנית ו־‪ .disc(q) = −ab‬בכיוון ההפוך נניח ש־‪q‬‬
‫נתונה‪ a ,‬הוא ערך שלה ו־)‪ .−ab = disc(q‬אז יש ‪ x ∈ F 2‬עם ‪ ;disc(x) = a‬אפשר להשלים את }‪ {x‬לבסיס‬
‫∼ ‪ q‬עבור איזשהו × ‪ .c ∈ F‬אבל אז ‪−ab = disc(q) = disc(⟨a, c⟩) = −ac‬‬
‫אורתוגונלי‪ ,‬ולכתוב ⟩‪= ⟨a, c‬‬
‫‪2‬‬
‫ו־) × ‪.c ≡ b (mod F‬‬
‫‬
‫מסקנה ‪ 3.3.7‬את התבנית הבינארית ‪ q‬אפשר להציג בצורה ⟩∗ ‪ ⟨a,‬אם ורק אם ‪ a‬הוא ערך של התבנית‪.‬‬
‫∼ ⟩‪ ⟨a, b‬אם ורק אם ‪ c‬הוא ערך של התבנית‪ ,‬כלומר‬
‫מסקנה ‪) 3.3.8‬הצגות של תבנית בינארית( ⟩‪= ⟨c, d‬‬
‫‪2‬‬
‫מהצורה ‪ ,ax2 + by 2‬ו־) × ‪.cd ≡ ab (mod F‬‬
‫{‬
‫}‬
‫תרגיל ‪ ;P(F ) = u2 + u : u ∈ F ,charF = 2 3.3.9‬זוהי תת־חבורה חיבורית של )‪.(F, +‬‬
‫כל תבנית בינארית אפשר לייצג כמטריצה )לאו דווקא סימטרית( בדרכים שונות; הראה‬
‫שהדטרמיננטה של המטריצה המייצגת מוגדרת היטב בחבורת המנה ) ‪.F/P(F‬‬
‫תרגיל ‪ 3.3.10‬הראה שבמאפיין ‪ ,2‬כל תבנית רגולרית דו־ממדית שאינה סכום של תבניות חד־‬
‫ממדיות‪ ,‬אפשר להציג בצורה ‪) ax2 + xy + by 2‬שאותה מסמנים ]‪.([a, b‬‬
‫∼ ]‪ [a, b‬אם ורק אם ‪ c‬הוא ערך של התבנית ‪ax2 +‬‬
‫בעיה ‪ .charF = 2 3.3.11‬הראה ש־]‪= [c, d‬‬
‫‪ ,xy + by 2‬ו־)) ‪) ab ≡ cd (mod P(F‬זהו האינווראינט של ‪ ,Arf‬המחליף את הדיסקרימיננטה‬
‫במאפיין ‪.(2‬‬
‫‪27‬‬
‫‪ .3.3‬הדיסקרימיננטה‬
‫‪3.3.2‬‬
‫פרק ‪ .3‬האינווריאנטים הראשונים‬
‫יוצרים ויחסים לחוג ויט‬
‫כדי להגדיר הומומורפיזמים מחוג ויט‪ ,‬טוב שתהיה לנו הצגה שלו באמצעות יוצרים ויחסים‪ .‬הדרך‬
‫להצגה כזו עוברת בתכונה חשובה ושימושית שהוכיח ויט‪.‬‬
‫∼‬
‫=‬
‫משפט ‪) 3.3.12‬משפט השרשרת של ויט( כל איזומורפיזם ⟩ ‪ ⟨a1 , . . . , an ⟩ −→ ⟨b1 , . . . , bn‬של תבניות‬
‫ריבועיות אפשר להציג כשרשרת של איזומורפיזמים כך שבכל צעד משתנים רק שני רכיבים סמוכים; כלומר‪ ,‬כל צעד‬
‫⟩‬
‫∼‬
‫⟨ =‬
‫הוא מהצורה ‪.⟨c1 , . . . , ci , ci+1 , . . . , cn ⟩ −→ c1 , . . . , c′i , c′i+1 , . . . , cn‬‬
‫הוכחה‪ .‬את האיזומורפיזם אפשר לתאר כמעבר ממטריצה מייצגת ‪ A‬למטריצה מייצגת ‪ ,B = P AP t‬כאשר ‪P‬‬
‫הפיכה‪ .‬כידוע‪ ,‬כל מטריצה הפיכה אפשר להציג כמכפלה של מטריצות אלמנטריות‪ ,‬וכל אחת מאלה פועלת רק על‬
‫שני רכיבים‪ .‬כדי לדאוג שהרכיבים יהיו סמוכים‪ ,‬די לבצע סדרה של החלפות‪ ,‬והרי ⟩‪.⟨a, b⟩ = ⟨b, a‬‬
‫‬
‫בעיה ‪ 3.3.13‬כתוב הוכחה שלמה של משפט השרשרת‪.‬‬
‫נגדיר חבורה ‪ W ′‬הנוצרת על־ידי היוצרים ]‪) [a‬לכל × ‪ (a ∈ F‬בכפוף ליחסים‬
‫* ]‪,[ac2 ] = [a‬‬
‫* ‪,[1] + [−1] = 0‬‬
‫* ])‪.[a] + [b] = [a + b] + [ab(a + b‬‬
‫∼ ⟩‪ ⟨a, b‬אז ]‪.[a] + [b] = [c] + [d‬‬
‫למה ‪ 3.3.14‬אם ⟩‪= ⟨c, d‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי מסקנה ‪ ,3.3.8‬יש ‪ x, y, z ∈ F‬כך ש־ ‪ c = ax2 + by 2‬ו־ ‪ .d = abcz 2‬לכן‬
‫‪[a] + [b] = [ax2 ] + [by 2 ] = [ax2 + by 2 ] + [abx2 y 2 (ax2 + by 2 )] = [c] + [abc] = [c] + [d].‬‬
‫‬
‫משפט ‪ 3.3.15‬כחבורה אבלית‪ W (F ) ,‬נוצר על־ידי התבניות ⟩‪ ,(a ∈ F × ) ⟨a‬בכפוף ליחסים הבאים )בלבד(‪:‬‬
‫⟩ ⟨‬
‫‪ ac2 = ⟨a⟩ .1‬לכל × ‪;c ∈ F‬‬
‫‪;⟨1⟩ + ⟨−1⟩ = 0 .2‬‬
‫‪ ⟨a⟩ + ⟨b⟩ = ⟨a + b⟩ + ⟨ab(a + b)⟩ .3‬לכל × ‪ a, b ∈ F‬כך ש־‪.a + b ̸= 0‬‬
‫הוכחה‪ .‬עלינו להראות שההעתקה ) ‪ W ′ →W (F‬המוגדרת לפי ⟩‪ [a] 7→ ⟨a‬היא איזומורפיזם‪ .‬ההעתקה מוגדרת‬
‫∼ ⟩‪ .⟨a, b‬היא על משום שלכל תבנית ב־) ‪ W (F‬יש הצגה‬
‫היטב משום ש־‪ ⟨1, −1⟩ = H‬ו־⟩)‪= ⟨a + b, ab(a + b‬‬
‫‪ q ⊥ ⟨1⟩ ,q‬אלכסונית‪ ,‬וכמובן די בזה(‪ .‬נשאר להוכיח‬
‫שלכל תבנית∑‬
‫אלכסונית )במאפיין ‪ 2‬הגרסה הנכונה היא ∑‬
‫שההעתקה חד־חד־ערכית‪ .‬נניח ש־‪ . [ai ] − [a′i ] 7→ 0‬אפשר להוסיף מרכיב היפרבולי לאחד האגפים‪ ,‬ולהסיק‬
‫‪′‬‬
‫‪∼ ′‬‬
‫השרשרת אפשר להניח שרק שני רכיבים סמוכים משתנים במעבר‬
‫משפט ‪⟨ ′‬‬
‫ש־⟩ ‪ .⟨a1 , . . . , an ⟩ = ⟨a1 , . . . , an‬לפי ⟩‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫∼‬
‫הזה‪ ,‬ולפי משפט הצמצום פירושו של דבר ש־ ‪ .⟨ai , ai+1 ⟩ = ai , ai+1‬מזה נובע ] ‪[ai ]+[ai+1 ] = [ai ]+[ai+1‬‬
‫לפי למה ‪.3.3.14‬‬
‫‬
‫מסקנה ‪ 3.3.16‬כחוג‪ W (F ) ,‬נוצר על־ידי התבניות ⟩‪ ⟨a‬בכפוף ליחסים שנמנו לעיל‪ ,‬בתוספת‬
‫‪28‬‬
‫‪ .3.4‬אלגברות קליפורד‬
‫פרק ‪ .3‬האינווריאנטים הראשונים‬
‫‪.⟨a⟩⟨b⟩ = ⟨ab⟩ .4‬‬
‫את מסקנה ‪ 3.3.16‬הוכיח האריסון )‪ (Harrison‬ב־‪ .1970‬בעקבות זאת אפשר להגדיר לכל חוג‬
‫קומוטטיבי את חוג ויט־הריסון המופשט שלו‪ ,‬בתור החוג הנוצר על־ידי יוצרים פורמליים ⟩‪ ⟨a‬לכל‬
‫‪ ,0 ̸= a ∈ R‬ובכפוף לאותם יחסים‪.‬‬
‫דוגמא ‪ 3.3.17‬ההומומורפיזם של הממד מודולו ‪ 2‬מוגדר לפי ‪ .⟨a⟩ 7→ 1‬אפשר לבדוק שהוא מוגדר היטב‬
‫גם דרך היחסים‪.‬‬
‫מכיוון ש־) ‪ I(F‬היא תת־חבורה מאינדקס סופי של ) ‪ ,W (F‬תהליך רדמייסטר־שרייר יודע לחשב‬
‫מן ההצגה של ) ‪ W (F‬הצגה של ) ‪:I(F‬‬
‫טענה ‪ 3.3.18‬כחבורה אבלית‪ I(F ) ,‬נוצר על־ידי התבניות ⟩⟩‪ ,(a ∈ F × ) ⟨⟨a‬בכפוף ליחסים הבאים‪:‬‬
‫⟩⟩ ⟨⟨‬
‫‪; ac2 = ⟨⟨a⟩⟩ .1‬‬
‫‪;⟨⟨1⟩⟩ = 0 .2‬‬
‫‪.(a ̸= −b) ⟨⟨a⟩⟩ + ⟨⟨b⟩⟩ = ⟨⟨a + b⟩⟩ + ⟨⟨ab(a + b)⟩⟩ .3‬‬
‫תרגיל ‪ 3.3.19‬לפי הכמעט־אדיטיביות )למה ‪ I 2 (F ) ,(3.3.3‬נוצר על־ידי ההפרשים ‪⟨⟨a⟩⟩+⟨⟨b⟩⟩−‬‬
‫⟩⟩‪ .⟨⟨ab‬חבר עובדה זו לטענה ‪ 3.3.18‬כדי לקבל הצגה של ) ‪ .I(F )/I 2 (F‬הסק מכאן את‬
‫טענה ‪.3.3.4‬‬
‫לא ידועה הצגה של ‪ I 2‬כחבורה אדיטיבית; אבל ראו בהמשך )סעיף ‪ (4.3‬הצגה של ‪ ,I 2 /I 3‬ומבוא‬
‫להצגות של הגורמים הגבוהים ‪.I n /I n+1‬‬
‫‪3.4‬‬
‫אלגברות קליפורד‬
‫האינווריאנט האפס של תבנית הוא מספר‪ ,‬זוגיות הממד‪ .‬האינווריאנט הראשון‪ ,‬הדיסקרימיננטה‪,‬‬
‫הוא סקלר בשדה‪ ,‬מודולו ריבועים‪ .‬האינווריאנט שנבנה בסעיף הזה הוא אלגברה פשוטה מרכזית‪,‬‬
‫המוגדרת עבור מחלקות ב־ ‪ .I 2‬זה אינווריאנט עדין יותר )הדיסקרימיננטה אדישה למה שקורה‬
‫בתוך ‪ ,(I 2‬והוא מספק אובייקט קונקרטי ‪ -‬אלגברה ‪ -‬שבעזרתו אפשר להוכיח ששתי תבניות אינן‬
‫איזומורפיות‪ .‬נקדים לבניה כמה סעיפי רקע‪.‬‬
‫‪3.4.1‬‬
‫אלגברות פשוטות מרכזיות‬
‫נסקור בקצרה ובלי הוכחות את יסודות התאוריה של אלגברות פשוטות מרכזיות מעל שדה‪.‬‬
‫לפי משפט ודרברן‪ ,‬כל אלגברה פשוטה ‪ A‬מממד סופי מעל המרכז שלה‪ ,‬איזומורפית לאלגברת‬
‫מטריצות )‪ Mr (D‬כאשר ‪ D‬חוג עם חילוק‪ .‬לפי התכונות הידועות של מטריצות‪ ,‬לשתי האלגברות‬
‫מר ָכז )‪ .Z(A) = Z(D‬נתבונן באלגברות הפשוטות שהמרכז שלהן שווה לשדה נתון ‪.F‬‬
‫יש אותו ְ‬
‫אלגברה שהמרכז שלה שווה ל־ ‪ F‬נקראת אלגברה מרכזית מעל ‪) F‬ואם השדה ברור מההקשר‪ ,‬סתם‬
‫אלגברה מרכזית(‪.‬‬
‫המרכז של ‪ B‬הוא תת־האלגברה‬
‫ֵּ‬
‫תהי ‪ B ⊆ A‬תת־אלגברה‪.‬‬
‫‪CA (B) = {a ∈ A : (∀b ∈ B) ab = ba}.‬‬
‫ברור שלכל אלגברה ‪ A‬ולכל ‪ B ⊆ A‬מתקיים ))‪ .B ⊆ CA (CA (B‬מתברר שאם ‪ A‬פשוטה‬
‫מרכזית המצב הדוק יותר‪:‬‬
‫משפט ‪) 3.4.1‬משפט המרכז הכפול( תהי ‪ A‬אלגברה פשוטה מרכזית‪ .‬לכל תת־אלגברה ‪ B ⊆ A‬מתקיים‬
‫‪.CA (CA (B)) = B‬‬
‫‪29‬‬
‫‪ .3.4‬אלגברות קליפורד‬
‫‪3.4.2‬‬
‫פרק ‪ .3‬האינווריאנטים הראשונים‬
‫חבורת בראוור‬
‫הגדרה ‪ 3.4.2‬אומרים ששתי אלגברות מרכזיות ‪ A, B‬הן שקולות במובן של בראוור‪ ,‬ומסמנים ‪ ,A ∼ B‬אם שתיהן‬
‫∼ )‪ .Mr (A‬את‬
‫אלגברות מטריצות מעל אותו חוג עם חילוק‪ .‬תכונה זו שקולה לכך שקיימים ‪ r, s‬כך ש־)‪= Ms (B‬‬
‫מחלקת השקילות של ‪ A‬מסמנים ב־]‪.[A‬‬
‫∼ ‪.A‬‬
‫תרגיל ‪ 3.4.3‬אם ‪ A ∼ B‬ו־)‪ dim(A) = dim(B‬אז ‪= B‬‬
‫טענה ‪ 3.4.4‬תהיינה ‪ A, B‬אלגברות פשוטות מרכזיות‪ ,‬אז גם ‪ A⊗F B‬היא אלגברה פשוטה מרכזית‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 3.4.5‬המכפלה של מחלקות )ראה ההגדרה הקודמת( מוגדרת לפי ]‪.[A] · [B] = [A⊗F B‬‬
‫∼ ‪.A⊗Aop‬‬
‫∼ )‪= EndF (A‬‬
‫טענה ‪= Mdim(A) F ∼ F 3.4.6‬‬
‫מסקנה ‪ 3.4.7‬אוסף המחלקות של אלגברות פשוטות מרכזיות מעל ‪ ,F‬עם פעולת הכפל של מחלקות לפי‬
‫מכפלת טנזורית של נציגים‪ ,‬מהווה חבורה )הנקראת חבורת בראוור של ‪ ;F‬מסמנים אותה ב־) ‪.(Br(F‬‬
‫המשפט הבא מאפשר לזהות מכפלות טנזוריות‪:‬‬
‫טענה ‪ 3.4.8‬תהי ‪ A‬אלגברה פשוטה מרכזית‪ .‬לכל תת־אלגברה ‪ B ⊆ A‬שהיא בעצמה פשוטה ומרכזית‪,‬‬
‫∼ ‪.A‬‬
‫גם )‪ B ′ = CA (B‬פשוטה מרכזית‪ ,‬ו־ ‪= B⊗F B ′‬‬
‫העתקת הצמצום‬
‫טענה ‪ 3.4.9‬אם ‪ A‬אלגברה פשוטה מרכזית מעל ‪ ,F‬ו־ ‪ K/F‬הרחבת שדות‪ ,‬אז ‪ K⊗F A‬היא אלגברה‬
‫פשוטה מרכזית מעל ‪ ,K‬והממדים שווים‪.[K⊗F A : K] = [A : F ] :‬‬
‫טענה ‪ 3.4.10‬מעל שדה סגור אלגברית אין אלגברת חילוק מממד סופי פרט לשדה עצמו‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 3.4.11‬הממד של אלגברה פשוטה מרכזית ‪ A‬מעל הרמכז שלה הוא תמיד ריבוע של מספר שלם‪.‬‬
‫שורש הממד נקרא הדרגה של האלגברה‪ ,‬ומסמנים אותו )‪.deg(A‬‬
‫∼ )‪ ,K⊗F (A⊗F B‬ולכן ]‪ [A] 7→ [K⊗F A‬מגדיר הומומורפיזם‬
‫טענה ‪= (K⊗F A)⊗K (K⊗F B) 3.4.12‬‬
‫של חבורות‬
‫‪resK/F : Br(F )→Br(K).‬‬
‫הסדר של ) ‪ [A] ∈ Br(F‬נקרא האקספוננט של ‪ ,A‬ומסמנים אותו ב־)‪.exp(A‬‬
‫טענה ‪ 3.4.13‬לכל אלגברה פשוטה מרכזית ‪ .exp(A) | deg(A) ,A‬בפרט‪ ,‬הסדר תמיד סופי‪.‬‬
‫‪3.4.3‬‬
‫אינוולוציות‬
‫תהי ‪ R‬אלגברה מעל שדה ‪ .F‬אינוולוציה של ‪ R‬היא אנטי־אוטומורפיזם מסדר ‪ ,2‬כלומר פונקציה‬
‫‪ σ : R→R‬המקיימת‬
‫) ‪σ(t + t′ ) = σ(t) + σ(t′‬‬
‫)‪σ(tt′ ) = σ(t′ )σ(t‬‬
‫‪σ(σ(t)) = t‬‬
‫אינוולוציה היא מסוג ראשון אם הצמצום של ‪ σ‬למרכז ‪ F‬הוא הזהות‪ ,‬ומסוג שני אם הצמצום הוא‬
‫אוטומורפיזם לא טריוויאלי‪.‬‬
‫משפט ‪ 3.4.14‬לאלגברה פשוטה מרכזית ‪ A‬יש אינוולוציה מסוג ראשון אם ורק אם ‪.exp(A) | 2‬‬
‫הגדרה ‪ 3.4.15‬אלגברת קווטרניונים מעל ‪ F‬היא אלגברה פשוטה מרכזית מדרגה ‪) 2‬כלומר מממד ‪.(4‬‬
‫תרגיל ‪ 3.4.16‬כל אלגברת קווטרניונים פרט ל־) ‪ M2 (F‬היא אלגברת חילוק‪.‬‬
‫‪30‬‬
‫‪ .3.4‬אלגברות קליפורד‬
‫פרק ‪ .3‬האינווריאנטים הראשונים‬
‫‪ 3.4.4‬קווטרניונים‬
‫הגדרה ‪ 3.4.17‬יהי ‪ F‬שדה ממאפיין שונה מ־‪ .2‬יהיו × ‪ .a, b ∈ F‬האלגברה ‪ (a, b) = (a, b)2,F‬היא האלגברה‬
‫עם יוצרים ‪ x, y‬ויחסים‬
‫‪x2 = a,‬‬
‫‪y 2 = b,‬‬
‫;‪yx = −xy‬‬
‫זו אלגברה מממד ‪ ,4‬עם בסיס ‪.1, x, y, xy‬‬
‫טענה ‪ 3.4.18‬יהי ‪ F‬שדה ממאפיין שונה מ־‪ .2‬כל אלגברת קווטרניונים אפשר להציג בצורה )‪(a, b‬‬
‫)בדרכים רבות(‪ ,‬וכל אלגברה מהצורה הזו היא אלגברת קווטרניונים‪.‬‬
‫∼ ) ‪ M2 (F‬לכל × ‪.b ∈ F‬‬
‫תרגיל ‪ 3.4.19‬הראה ש־ ‪= (1, b)2,F‬‬
‫הגדרה ‪ 3.4.20‬על אלגברת הקווטרניונים )‪ (a, b‬מוגדרת האינוולוציה הסימפלקטית לפי ‪y ∗ = −y ,x∗ = −x‬‬
‫)ואז ‪.((xy)∗ = −xy‬‬
‫תרגיל ‪ 3.4.21‬האינוולוציה הסימפלקטית היא האינוולוציה היחידה של )‪ Q = (a, b‬שממד מרחב‬
‫האברים הסימטריים תחתיה הוא ‪ .1‬מצא אינוולוציה של ‪ Q‬שאינה סימפלקטית‪ ,‬והראה שממד‬
‫מרחב האברים הסימטריים עבורה הוא ‪.3‬‬
‫האינוולוציה הסימפלקטית מגדירה את הנורמה ‪ N : Q→F‬לפי ∗‪.N(w) = ww‬‬
‫תרגיל ‪N(t0 + t1 x + t2 y + t3 xy) = (t0 + t1 x + t2 y + t3 xy)(t0 − t1 x − t2 y − t3 xy) = 3.4.22‬‬
‫‪ ,t20 − at21 − bt22 + abt23‬כלומר תבנית הנורמה של )‪ (a, b‬איזומורפית ל־⟩⟩‪.⟨⟨a, b‬‬
‫תרגיל ‪ 3.4.23‬העקבה ‪ tr : Q→F‬מוגדרת לפי ∗‪ .tr(w) = w + w‬הראה שלכל ‪ w ∈ Q‬מתקיימת‬
‫הזהות ‪ .w2 − tr(w)w + N(w) = 0‬חשב את תבנית העקבה )הריבועית( של ‪ ,Q‬המוגדרת לפי‬
‫) ‪ .x 7→ tr(x2‬השווה לתרגיל ‪.2.4.6‬‬
‫תרגיל ‪ 3.4.24‬נניח ש־ ‪ σ1 , σ2‬הן אינוולוציות של האלגברות הפשוטות המרכזיות ‪ .A1 , A2‬הראה‬
‫ש־ ‪ σ1 ⊗σ2‬היא אינוולוציה של ‪ ,A1 ⊗A2‬כאשר המכפלה הטנזורית של אינוולוציות מוגדרת לפי‬
‫) ‪.(σ1 ⊗σ2 )(a1 ⊗a2 ) = σ1 (a1 )⊗σ2 (a2‬‬
‫טענה ‪) 3.4.25‬חוקי המשחק בקווטרניונים( לכל × ‪,a, b, a′ , b′ ∈ F‬‬
‫‪;(a, b)⊗(a, b′ ) ∼ (a, bb′ ) .1‬‬
‫‪;(a, b)⊗(a′ , b) ∼ (aa′ , b) .2‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ a + b = 1‬אז ‪.(a, b) ∼ F‬‬
‫∼ )‪.(a, b‬‬
‫‪= (b, a) .4‬‬
‫‪.(a, −a) ∼ F .5‬‬
‫הוכחה‪ .‬קבוצת יוצרים סטנדרטית של ) ‪ (a1 , b1 )⊗(a2 , b2‬היא רביעיה ‪ x1 , y1 , x2 , y2‬כך ש־ ‪,yi2 = bi ,x2i = ai‬‬
‫‪ ,yi xi = −xi yi‬ו־ ‪ x1 , y1‬מתחלפים עם ‪.x2 , y2‬‬
‫‪ .1‬נבחר קבוצת יוצרים סטנדרטית ‪ x, y, x′ , y ′‬של אגף שמאל‪ .‬אז ‪ xx′−1 , y, x′ , yy ′‬היא קבוצת יוצרים‬
‫סטנדרטית של ) ‪ (1, b)⊗(a, bb′‬הדומה ל־) ‪ (a, bb′‬לפי תרגיל ‪.3.4.19‬‬
‫‪ .2‬תרגיל‪.‬‬
‫‪31‬‬
‫פרק ‪ .3‬האינווריאנטים הראשונים‬
‫‪ .3.4‬אלגברות קליפורד‬
‫‪ .3‬יהי ‪ x, y‬זוג יוצרים סטנדרטי של )‪ ,(a, b‬כלומר ‪ y 2 = b ,x2 = a‬ו־‪ .yx = −xy‬אז = ‪(x + y)2‬‬
‫‪ ,x2 + xy + yx + y 2 = 1‬ולכן ‪ .(x + y + 1)(x + y − 1) = 0‬באלגברת חילוק אין מחלקי אפס‪,‬‬
‫∼ )‪) (a, b‬תרגיל ‪.(3.4.16‬‬
‫ומכאן ש־) ‪= M2 (F‬‬
‫‪ .4‬החלף את ‪ x, y‬ב־‪.y, x‬‬
‫‪ .5‬כמו בסעיף ‪.(x + y)2 = a − a = 0 ,3‬‬
‫‬
‫∼ ) ‪.M2 (F‬‬
‫תרגיל ‪ 3.4.26‬מצא זוג יוצרים סטנדרטיים של )‪= (1, b‬‬
‫‪3.4.5‬‬
‫אלגברת קליפורד של תבנית‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי‪ .‬אלגברת הטנזורים של ‪ V‬היא האלגברה‬
‫‪T (V ) = F ⊕ V ⊕ (V ⊗V ) ⊕ (V ⊗V ⊗V ) ⊕ · · · ,‬‬
‫עם הפעולה ‪ .(v1 ⊗ · · · ⊗vn )·(w1 ⊗ · · · ⊗wm ) = v1 ⊗ · · · ⊗vn ⊗w1 ⊗ · · · ⊗wm‬האלגברה מדורגת‬
‫לפי אורך הטנזורים‪ .‬אם בוחרים בסיס } ‪ ,V = span{xi‬זו אינה אלא האלגברה החופשית עם היוצרים‬
‫‪ .xi‬ההצגה שאינה תלויה בבסיס נוחה יותר‪ ,‬למשל משום שכאשר נגדיר בעזרתה מושגים שונים‪ ,‬לא‬
‫יהיה צורך להוכיח שההוכחה אינה תלויה בבסיס‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 3.4.27‬אלגברת קליפורד של מרחב ריבועי )‪ (V, q‬היא האלגברה‬
‫‪C(V, q) = T (V )/⟨v⊗v − q(v)⟩,‬‬
‫כאשר האידיאל נוצר על־ידי כל האברים מהצורה )‪) .v ∈ V ,v⊗v − q(v‬במאפיין ‪ 2‬יש להוסיף את היחסים‬
‫‪ .u⊗v⊗v⊗w = q(v)u⊗w‬במאפיין שונה מ־‪ 2‬אין בהם צורך משום שהם נובעים מן היחס )‪(.v⊗v = q(v‬‬
‫אם כך‪ ,‬אלגברת קליפורד היא האלגברה הכללית ביותר הנוצרת על־ידי המרחב ‪ V‬והמקיימת‬
‫את היחס )‪ v 2 = q(v‬לכל ‪.v ∈ V‬‬
‫טענה ‪ 3.4.28‬יהי ‪ v1 , . . . , vn‬בסיס של ‪ .V‬אז אוסף המכפלות המסודרות מכל האורכים‪,‬‬
‫‪1, v1 , . . . , vn , v1 v2 , . . . , vn−1 vn , . . . , v1 · · · vn ,‬‬
‫מהווה בסיס ל־)‪.C(V, q‬‬
‫מסקנה ‪ 3.4.29‬נניח ש־‪ ,dim(V ) = n‬אז ‪.dim C(V, q) = 2n‬‬
‫נסמן ב־ ‪ bq : V × V →F‬את התבנית הבילינארית המתאימה ל־‪ .q‬אז באלגברה ) ‪ ,C(V‬לכל‬
‫‪ u, v ∈ V‬מתקיים )‪ ,uv + vu = (u + v)2 − u2 − v 2 = 2bq (u, v‬כלומר‬
‫‪vu = 2bq (u, v) − uv.‬‬
‫בפרט‪ ,‬אם ‪ u, v‬מאונכים‪ ,‬אז ‪ u, v‬אנטי־מתחלפים‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 3.4.30‬נניח שהתבנית ⟩ ‪ q = ⟨a1 , . . . , an‬אלכסונית ביחס לבסיס } ‪ ,{v1 , . . . , vn‬היינו‬
‫‪ ,q(t1 v1 + · · · + tn vn ) = a1 t21 + · · · + an t2n‬אז‬
‫‪vj vi = −vi vj (i ̸= j)].‬‬
‫∼ )‪C(V, q‬‬
‫‪= F [v1 , . . . , vn | vi2 = ai ,‬‬
‫‪32‬‬
‫)‪(3.1‬‬
‫‪ .3.4‬אלגברות קליפורד‬
‫פרק ‪ .3‬האינווריאנטים הראשונים‬
‫דוגמא ‪ 3.4.31‬אלגברת קליפורד של מרחב חד־ממדי ‪ ,V = F x‬עם התבנית הריבועית ⟩‪ ,⟨a‬היא‬
‫√‬
‫]‪.C(⟨a⟩) = F [x : x2 = a] = F [ a‬‬
‫דוגמא ‪ 3.4.32‬אלגברת קליפורד של מרחב דו־ממדי ‪ ,V = F x + F y‬עם התבנית הריבועית ⟩‪ ,⟨a, b‬היא‬
‫∼ )⟩⟩‪.C(⟨⟨a‬‬
‫∼ )⟩‪ .C(⟨a, b‬בפרט ‪= M2 (F ) ∼ F‬‬
‫אלגברת קווטרניונים ‪= (a, b)2,F‬‬
‫∼ )‪C(⟨a⟩ · H‬‬
‫תרגיל ‪ 3.4.33‬העזר בתרגיל ‪) 3.4.32‬ובטענה ‪ (3.4.25‬כדי להראות ש־) ‪= M2 (F‬‬
‫לכל × ‪.a ∈ F‬‬
‫איזומורפיזמים ואוטומורפיזמים‬
‫∼ )‪ .C(q‬הוכח‬
‫∼ ‪ q‬אז ) ‪= C(q ′‬‬
‫תרגיל ‪ 3.4.34‬התוצאה הבאה טריוויאלית מתוך ההגדרה‪ :‬אם ‪= q ′‬‬
‫את הטענה ישירות מן ההצגה )‪.(3.1‬‬
‫תרגיל ‪ 3.4.35‬הוכח שכל איזומורפיזם ) ‪ C(V, q)→C(V ′ , q ′‬המעביר את ‪ V‬ל־ ‪ V ′‬הוא איזומטריה‪.‬‬
‫∼ ‪ .q‬נסה להוכיח‬
‫כלומר‪ ,‬אם יש איזומורפיזם ) ‪ C(V, q)→C(V ′ , q ′‬המעביר את ‪ V‬ל־ ‪ ,V ′‬אז ‪= q ′‬‬
‫∼ ‪ .q‬הסבר מהו הקושי המהותי בכיוון הזה‪ .‬ראה תרגיל ‪.3.4.52‬‬
‫∼ )‪ C(q‬אז ‪= q ′‬‬
‫שאם ) ‪= C(q ′‬‬
‫תרגיל ‪ 3.4.36‬בדומה לתרגיל ‪ ,3.4.35‬כל אוטומורפיזם )‪ C(V, q)→C(V, q‬השומר על ‪ V‬משרה‬
‫על ‪ V‬איזומטריה‪.‬‬
‫האינוולוציה‬
‫על אלגברת קליפורד )‪ C(V, q‬מוגדרת אינוולוציה לפי ‪ v ∗ = −v‬לכל ‪ .v ∈ V‬במונחי הבסיס‬
‫של טענה ‪ ,3.4.28‬האינוולוציה מוגדרת לפי ‪ ,vi∗ = −vi‬ולכן = ‪(vi1 · · · vit )∗ = (−1)t vit · · · vi1‬‬
‫‪t+1‬‬
‫‪.(−1)( 2 ) vi1 · · · vit‬‬
‫דוגמא ‪ 3.4.37‬תהי ⟩‪ q = ⟨a, b‬תבנית דו־ממדית‪ .‬כפי שראינו בדוגמא ‪,3.4.32‬‬
‫]‪C(q) = F [x, y | x2 = a, y 2 = b, yx = −xy‬‬
‫היא אלגברת קווטרניונים‪.‬‬
‫מהגדרה ‪.3.4.20‬‬
‫‪3.4.6‬‬
‫האינוולוציה שהוגדרה כאן מתלכדת עם האינוולוציה הסימפלקטית‬
‫חישוב אלגברת קליפורד‬
‫נסמן ב־ ‪ ,vI‬כאשר }‪ ,I = {i1 , . . . , it } ⊆ N = {1, . . . , n‬את המכפלה הסדורה ‪.vI = vi1 · · · vit‬‬
‫קל להוכיח ש־‬
‫|‪|I||J|−|I∩J‬‬
‫)‪(3.2‬‬
‫)‪vI vJ = (−1‬‬
‫‪vJ vI .‬‬
‫כמו־כן‪,‬‬
‫‪ai .‬‬
‫∏‬
‫|‪|I‬‬
‫) ‪= (−1)( 2‬‬
‫‪vI2‬‬
‫)‪(3.3‬‬
‫‪i∈I‬‬
‫‪F‬‬
‫)‪n ≡ 0 (mod 2‬‬
‫המרָכז של )‪ C(q‬הוא‬
‫ְ‬
‫טענה ‪3.4.38‬‬
‫)‪F [vN ] n ≡ 1 (mod 2‬‬
‫{‬
‫= ))‪.Z(C(q‬‬
‫∑‬
‫= ‪ z‬מתחלף עם יוצר‬
‫הוכחה‪ .‬כפל ב־ ‪ ,vi‬מימין או משמאל‪ ,‬מהווה תמורה של אברי הבסיס ‪ .vI‬לכן‪ ,‬אם ‪αI vI‬‬
‫מוכרח להתחלף עם כל מחובר ‪ .αI vI‬אבל ‪ vI‬מתחלף עם ‪ vi‬אם ורק אם )‪ ,|I| ≡ δi∈I (mod 2‬כאשר‬
‫‪ ,vi‬היוצר {‬
‫‪1 i∈I‬‬
‫= ‪ .δi∈I‬אם ‪ ,∅ ⊂ I ⊂ N‬אז הערך של ‪ δi∈I‬אינו קבוע‪ ,‬ולכן יש יוצרים שאינם מתחלפים עם‬
‫‪0 i ̸∈ I‬‬
‫‪ .vI‬מכאן שהמקדם של ‪ vI‬הוא אפס‪ .‬האיבר ‪ vN‬מתחלף עם כל היוצרים אם ורק אם ‪ n‬אי־זוגי‪ ,‬וזה משלים את‬
‫החישוב‪.‬‬
‫‪33‬‬
‫פרק ‪ .3‬האינווריאנטים הראשונים‬
‫‪ .3.4‬אלגברות קליפורד‬
‫‬
‫תרגיל ‪ 3.4.39‬המכפלה ‪ v1 · · · vn‬אינה תלויה בבסיס )כל עוד ‪ q‬אלכסונית ביחס אליו(‪ ,‬אלא‬
‫עד־כדי כפל בסקלר‪.‬‬
‫נראה שאלגברת קליפורד של תבנית מממד זוגי היא מכפלה טנזורית של אלגברות קווטרניונים‪.‬‬
‫משפט ‪ 3.4.40‬נניח ש־⟩ ‪ q = ⟨a1 , . . . , an‬כאשר ‪ n = 2m‬זוגי‪ .‬אז )‪ C(q‬היא מכפלה טנזורית של ‪ m‬אלגברות‬
‫קווטרניונים‪,‬‬
‫‪m‬‬
‫⊗‬
‫‪((−1)i−1 a1 . . . a2i−2 a2i−1 , (−1)i−1 a1 . . . a2i−2 a2i )2‬‬
‫∼ )‪C(q‬‬
‫=‬
‫‪i=1‬‬
‫הוכחה‪ .‬עבור ‪ ,i = 1, . . . , m‬נסמן ‪) pi = v1 v2 · · · v2i−3 v2i−2‬כך ש־‪ .(p1 = 0‬נתבונן בתת־האלגברה‬
‫] ‪ .Qi = F [pi v2i−1 , pi v2i‬נוסחת ההעלאה בריבוע )‪ (3.3‬מראה ש־‬
‫‪2i−1‬‬
‫‪2i−1‬‬
‫∼ ‪Qi‬‬
‫) ‪= ((−1)( 2 ) a1 . . . a2i−2 a2i−1 , (−1)( 2 ) a1 . . . a2i−2 a2i‬‬
‫הן אלגברות קווטרניונים‪ ,‬ובדיקה מראה שהן מתחלפות זו עם זו‪ .‬לכן‬
‫∼ )‪C(q‬‬
‫‪= Q1 ⊗Q2 ⊗ · · · ⊗Qm .‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪. 2i−1‬‬
‫הנוסחה שבטענה נובעת מכך ש־)‪≡ i − 1 (mod 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫כלומר‪,‬‬
‫‪C(⟨a1 , a2 , . . . , a2m ⟩) = (a1 , a2 )⊗(−a1 a2 a3 , −a1 a2 a4 )⊗(a1 a2 a3 a4 a5 , a1 a2 a3 a4 a6 )⊗ · · · .‬‬
‫מסקנה ‪ 3.4.41‬לכל תבנית ‪ q‬מממד זוגי‪ C(q) ,‬היא אלגברה פשוטה מרכזית )טענה ‪.(3.4.4‬‬
‫אלגברת קליפורד הזוגית‬
‫בעיה ‪ 3.4.42‬פירוק של אלגברה לסכום ישר ‪ A = A0 ⊕A1‬נקרא דירוג )לפי ‪ (Z/2Z‬אם ⊆ ‪Ai Aj‬‬
‫)‪ .Ai+j (mod 2‬הראה ש־) ‪ T (V‬אלגברה מדורגת לפי הפירוק )) ‪,T (V ⊗V ) ⊕ (V ⊗T (V ⊗V‬‬
‫ושדירוג זה משרה דירוג של אלגברת קליפורד עם המרכיבים‬
‫‪C(V, q) = C0 (V, q) ⊕ C1 (V, q),‬‬
‫המוגדרים )בהמשך לטענה ‪ (3.4.28‬כך ש־)‪ C0 (q‬נפרש על־ידי הווקטורים ‪ vI‬עם |‪ |I‬זוגי‪ ,‬ו־‬
‫)‪ C1 (q‬נפרש על־ידי הווקטורים ‪ vI‬עם |‪ |I‬אי־זוגי‪ .‬הדרכה‪ .‬אכן‪ ,‬היחסים המגדירים את )‪C(V, q‬‬
‫שייכים כולם לחלק הזוגי ) ‪.T (V ⊗V‬‬
‫תרגיל ‪ 3.4.43‬חשב את ))‪.Z(C0 (q‬‬
‫תרגיל ‪ 3.4.44‬הראה ש־ ‪ .CC(V,q) (C0 (V, q)) = F‬הסק‪ :‬אם )‪ w ∈ C0 (V, q‬מתחלף עם כל‬
‫‪ ,v ∈ V‬אז ‪ .w ∈ F‬הראה באותו אופן שאם )‪ w ∈ C(V, q‬אנטי־מתחלף עם כל ‪ ,v ∈ v‬אז‬
‫‪.w = 0‬‬
‫‪34‬‬
‫פרק ‪ .3‬האינווריאנטים הראשונים‬
‫‪3.4.7‬‬
‫‪ .3.4‬אלגברות קליפורד‬
‫אלגברת קליפורד כאינווריאנט‬
‫אלגברת קליפורד של ‪ q‬משמרת את הממד של ‪ ,q‬ולכן אינה יכולה להיות מוגדרת היטב על מחלקות‬
‫דמיון בחוג ויט‪ .‬מאידך‪ ,‬אם נתבונן באלגברה עד כדי דמיון בחבורת בראוור‪ ,‬נאבד את הממד ונוכל‬
‫∼‬
‫להכיל את השקילות בחוג ויט‪ .‬למשל‪ ,‬לפי תרגילים ‪ 3.4.32‬ו־‪= M2 (F ) ∼ F ,3.4.19‬‬
‫)‪(n.C(H‬‬
‫)‬
‫חישוב ישיר בעזרת משפט ‪ ,3.4.40‬יחד עם העובדה שאם ‪ n = 2m‬אז )‪ , 2 ≡ m (mod 2‬מביא‬
‫למסקנה הבאה‪:‬‬
‫מסקנה ‪ 3.4.45‬תהיינה ‪ q, q ′‬תבניות ריבועיות מממד זוגי מעל ‪ .F‬אז‬
‫∼ ) ‪C(q ⊥ q ′‬‬
‫‪= C(q)⊗C(⟨disc(q)⟩ · q ′ ),‬‬
‫כאשר )‪ disc(q‬היא הדיסקרימיננטה‪.‬‬
‫ובפרט )אם נבחר ⟩‪,(q ′ = ⟨1, −1‬‬
‫מסקנה ‪ 3.4.46‬תהי ‪ q‬תבנית ריבועית מממד זוגי מעל ‪ .F‬אז‬
‫)‪.C(H ⊥ q) ∼ C(q‬‬
‫מסקנה ‪ 3.4.47‬התאמת אלגברת קליפורד לתבנית היא העתקה מוגדרת היטב ) ‪ ,γ : I(F )→2 Br(F‬לפי‬
‫])‪ .γ([q]) = [C(q‬זהו אינווריאנט הסה־ויט של ‪.q‬‬
‫מסקנה ‪ 3.4.48‬הצמצום ל־ ‪ I 2‬הוא הומומורפיזם ) ‪.γ : I 2 (F )→2 Br(F‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי טענה ‪ disc(q) = 1 ,3.3.2‬לכל ‪ .q ∈ I 2‬נציב זאת במסקנה ‪ ,3.4.45‬ונקבל שאם אחת מבין ‪q, q ′‬‬
‫∼ ) ‪ .C(q ⊥ q ′‬בפרט ]) ‪.[C(q ⊥ q ′ )] = [C(q)] + [C(q ′‬‬
‫שייכת ל־ ‪ ,I 2‬אז ) ‪= C(q)⊗C(q ′‬‬
‫‬
‫טענה ‪ 3.4.49‬יהיו × ‪.a, b, c ∈ F‬‬
‫‪.C(⟨c⟩⟨⟨a, b⟩⟩) ∼ (a, b)2 .1‬‬
‫‪.C(⟨⟨a, b, c⟩⟩) ∼ F .2‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫‪ .1‬לפי משפט ‪ 3.4.40‬וטענה ‪,3.4.25‬‬
‫)⟩‪C(⟨c, −ac, −bc, abc‬‬
‫=‬
‫∼‬
‫=‬
‫‪(c, a)2 ⊗(a, bc)2 ∼ (a, b)2 .‬‬
‫∼‬
‫‪(c, −ac)2 ⊗(−abc, bc)2‬‬
‫)⟩⟩‪C(⟨c⟩⟨⟨a, b‬‬
‫‪ .2‬לפי מסקנה ‪ 3.4.45‬והסעיף הקודם‪,‬‬
‫)⟩⟩‪C(⟨⟨a, b⟩⟩ ⊥ ⟨−c⟩⟨⟨a, b‬‬
‫=‬
‫∼‬
‫=‬
‫‪(a, b)2 ⊗ (a, b)2 ∼ F.‬‬
‫∼‬
‫)⟩⟩‪C(⟨1⟩⟨⟨a, b⟩⟩) ⊗ C(⟨−c⟩⟨⟨a, b‬‬
‫)⟩⟩‪C(⟨⟨a, b, c‬‬
‫‬
‫מכך ש־‪ γ(⟨⟨a, b, c⟩⟩) = 0‬נובע ש־)‪ ,I 3 ⊆ Ker(γ‬ובנינו ככלות הכל את האינווריאנט השני‪:‬‬
‫‪35‬‬
‫פרק ‪ .3‬האינווריאנטים הראשונים‬
‫‪ .3.4‬אלגברות קליפורד‬
‫מסקנה ‪ 3.4.50‬יש הומומורפיזם‬
‫) ‪γ : I 2 (F )/I 3 (F ) → 2 Br(F‬‬
‫המוגדר לפי ])‪.γ([q] + I 3 ) = [C(q‬‬
‫∼ )‪.C0 (⟨a⟩q‬‬
‫בעיה ‪ 3.4.51‬הראה שלכל תבנית ‪ q‬מממד זוגי ולכל × ‪= C0 (q) ,a ∈ F‬‬
‫∼ )‪.C(q‬‬
‫בעיה ‪ 3.4.52‬מצא תבניות ) ‪ q, q ′ ∈ I 2 (F‬שאינן איזומורפיות‪ ,‬כך ש־) ‪= C(q ′‬‬
‫תרגיל ‪(.3.4.3‬‬
‫בעיה ‪ 3.4.53‬הראה שלכל תבנית ‪ q‬מממד זוגי‪.C(⟨⟨−disc(q)⟩⟩q) ∼ F ,‬‬
‫) ‪.⟨⟨−disc(q)⟩⟩q ∈ I 3 (F‬‬
‫‪3.4.8‬‬
‫)ראה‬
‫הוכח גם ש־‬
‫חבורת הספין והנורמה הספינורית‬
‫)החומר שבתת־סעיף זה יהיה נחוץ רק בסעיף ‪ 8.4‬של פרק ‪(.8‬‬
‫נזכיר את משפט ‪:2.2.3‬‬
‫טענה ‪ O(V, q) 3.4.54‬נוצרת על־ידי השיקופים ‪.u ∈ V ,τu‬‬
‫על־ידי בחירת בסיס מתאים‪ ,‬ברור שכל שיקוף צמוד למטריצה האלכסונית )‪,diag(1, . . . , 1, −1‬‬
‫ולכן ‪ .det(τv ) = −1‬מכאן שבכל ההצגות של איזומטריה כמכפלת שיקופים‪ ,‬הזוגיות של מספר‬
‫השיקופים נשמרת‪.‬‬
‫מסקנה ‪ O+ (V, q) 3.4.55‬נוצר על־ידי המכפלות של שני שיקופים‪.‬‬
‫נתבונן באלגברת קליפורד של ‪ .q‬יהי ‪ u ∈ V‬וקטור אנאיזוטרופי‪ .‬מכיוון ש־‪u ,u2 = q(u) ̸= 0‬‬
‫‪1‬‬
‫הפיך ו־‪u‬‬
‫)‪ .u−1 = q(u‬בתרגיל ‪ 3.4.36‬ראינו שכל אוטומורפיזם של אלגברת קליפורד‪ ,‬השומר על ‪,V‬‬
‫משרה איזומטריה‪ .‬מתברר שהצמדה באיבר של ‪ V‬היא מינוס שיקוף‪.‬‬
‫טענה ‪ 3.4.56‬ההצמדה ב־ ‪ u ∈ V‬היא אוטומורפיזם של )‪ C(V, q‬המשרה את האיזומטריה ‪ −τu‬על ‪,V‬‬
‫כאשר ‪ τu‬הוא השיקוף המוגדר ב־)‪.(2.1‬‬
‫הוכחה‪ .‬לכל ‪− v = −τu (v) ,v ∈ V‬‬
‫)‪bq (u,v‬‬
‫‪q(u) u‬‬
‫‪.uvu−1 = (2bq (u, v) − vu)u−1 = 2‬‬
‫‬
‫נתבונן בחבורת האברים של )‪ C0 (V, q‬הפועלים על ‪ ,V‬כלומר החבורה‬
‫{‬
‫}‬
‫‪M + = y ∈ C0 (V, q)× : yV = V y .‬‬
‫)‪(3.4‬‬
‫לכל ‪ ,u ∈ M +‬נסמן ב־) ‪ γu ∈ GL(V‬את הפעולה המושרית על־ידי ההצמדה‪.γu (x) = uxu−1 ,‬‬
‫משפט ‪ 3.4.57‬יש סדרה מדוייקת קצרה‬
‫‪/1‬‬
‫)‪/ O+ (V, q‬‬
‫‪T :u7→γu‬‬
‫‪/ M+‬‬
‫‪36‬‬
‫ × ‪/ F‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .3.4‬אלגברות קליפורד‬
‫פרק ‪ .3‬האינווריאנטים הראשונים‬
‫הוכחה‪ .‬ברור שהפונקציה ‪ T : u 7→ γu‬היא הומומורפיזם )‪ .M + →O(V, q‬הגרעין שלה כולל את האברים‬
‫ההפיכים ב־)‪ C0 (V, q‬המתחלפים עם כל אברי ‪ ,V‬ואלו הם הסקלרים בלבד לפי תרגיל ‪ .3.4.44‬לפי מסקנה ‪,3.4.55‬‬
‫כל ‪ σ ∈ O+‬הוא מכפלה של מספר זוגי של שיקופים‪ .‬נכתוב ‪ ,y1 , . . . , y2m ∈ V ,σ = τy1 · · · τy2m‬כאשר‬
‫בהכרח ‪ q(yi ) ̸= 0‬לכל ‪ .i‬האיבר ) ‪ t = y1 · · · y2m ∈ C0 (V‬הוא הפיך‪ ,‬כי ) ‪ ,tt∗ = q(y1 ) · · · q(y2m‬ולפי‬
‫טענה ‪ ,3.4.56‬ההצמדה ב־ ‪ y1 . . . y2m‬משרה על ‪ V‬את הפעולה ‪ .(−τy1 ) · · · (−τy2m ) = τy1 · · · τy2m‬כלומר‪,‬‬
‫‪ ,y1 · · · y2m ∈ M +‬ו־‪.T (y1 · · · y2m ) = σ‬‬
‫‪+‬‬
‫נשאר להוכיח שהתמונה של ‪ T‬מוכלת ב־ ‪ .O+‬אחרת‪ ,‬יש ‪ t ∈ M‬כך ש־ ‪ ,T (t) = τy1 · · · yτ2m+1‬עבור‬
‫‪ y1 , . . . , y2m+1 ∈ V‬אנאיזוטרופיים‪ .‬נתבונן ב־) ‪ .w = y1 · · · y2m+1 ∈ C1 (V‬לפי הנימוק הקודם הצמדה‬
‫ב־‪ w‬משרה את המכפלה ‪ −τy1 · · · y2m+1 = −T (t)γt‬על ‪ ,V‬כלומר הצמדה ב־) ‪ t−1 w ∈ C1 (V‬משרה את‬
‫ההעתקה ‪ x 7→ −x‬על ‪ .V‬בתרגיל ‪ 3.4.44‬הראינו שזה בלתי אפשרי‪.‬‬
‫‬
‫מן הפסקה הראשונה בהוכחה נובע‪:‬‬
‫מסקנה ‪ 3.4.58‬כל איבר ב־ ‪ M +‬הוא מהצורה ‪ αy1 · · · y2m‬עבור ‪ y1 , . . . , y2m ∈ V‬אנאיזוטרופיים‬
‫ו־ × ‪.α ∈ F‬‬
‫מסקנה ‪ 3.4.59‬לכל ‪ .N (t) = tt∗ ∈ F × ,t ∈ M +‬לכן ∗‪ t 7→ tt‬הוא הומומורפיזם × ‪.M + →F‬‬
‫הוכחה‪ .‬אכן ) ‪ ,N (y1 · · · y2m ) = y1 · · · y2m y2m · · · y1 = q(y1 ) · · · q(y2m‬וזה הומומורפיזם כי = )‪N (ts‬‬
‫)‪.tss∗ t∗ = tt∗ (ss∗ ) = N (t)N (s‬‬
‫‬
‫הגדרה ‪ 3.4.60‬הגרעין של ההומומורפיזם × ‪ M + →F‬המוגדר לפי ∗‪ t 7→ tt‬הוא חבורת הספין של )‪,(V, q‬‬
‫‪Spin(V, q) = {y ∈ C0 (V, q) : yy ∗ = 1, yV = V y}.‬‬
‫מכיוון שכל ‪ σ ∈ O+‬אפשר להציג בצורה ‪ γt‬עבור ‪ t ∈ M +‬יחיד עד כפל בסקלר‪ ,‬אפשר להגדיר‬
‫את הנורמה הספינורית‬
‫‪+‬‬
‫×‬
‫‪×2‬‬
‫‪θ : O →F /F‬‬
‫לפי × ‪ ;θ(γt ) = tt∗ F‬על היוצרים‪ ,‬ההומומורפיזם הזה מוגדר לפי × ‪.θ(τy τy′ ) = q(y)q(y ′ )F‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫הגדרה ‪ 3.4.61‬בדומה להגדרה הקודמת‪ ,‬נסמן‬
‫{‬
‫}‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Θ(V, q) = Ker(θ : O+ →F × /F × ) = σ ∈ O+ : θ(σ) ≡ 1 (mod F × ) ⊆ O+ (V, q).‬‬
‫הערה ‪ 3.4.62‬אפשר לסכם את ההגדרה גם כך‪ Θ(V, q) :‬כוללת את מכפלות השיקופים ‪τy1 · · · τy2m‬‬
‫‪2‬‬
‫שעבורן × ‪.q(y1 ) · · · q(y2m ) ∈ F‬‬
‫נתבונן בדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה‪ ,‬המרחיבה את הסדרה המדוייקת של המשפט‪.‬‬
‫‪/1‬‬
‫)‪/ Θ(V, q‬‬
‫_‬
‫)‪/ Spin(V, q‬‬
‫_‬
‫‬
‫)‪/ O+ (V, q‬‬
‫‬
‫‪/ M+‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪/1‬‬
‫‬
‫‪/ F × /F × 2‬‬
‫‪u7→γu‬‬
‫∗‪u7→uu‬‬
‫‬
‫×‪/ F‬‬
‫‪37‬‬
‫‬
‫‬
‫}‪{±1‬‬
‫‬
‫_‬
‫‬
‫ × ‪/ F‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫ ‪×2‬‬
‫‪/F‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫פרק ‪ .3‬האינווריאנטים הראשונים‬
‫‪ .3.4‬אלגברות קליפורד‬
‫מן הדיאגרמה קל לראות ש־‪ Θ‬שווה לתמונת ‪ T‬המצומצמת אל חבורת הספין )‪ ,Spin(V, q‬כלומר‬
‫}‪ .Θ = {γu : u ∈ Spin‬קל גם לראות ש־}‪.Ker(T ) ∩ Spin = {±1‬‬
‫∼ ‪.Θ‬‬
‫מסקנה ‪= Spin(V, q)/{±1} 3.4.63‬‬
‫כדי להבין את ‪ Θ‬טוב יותר‪ ,‬נשווה אותה לחבורת הקומוטטורים ])‪.[O(q), O(q‬‬
‫הערה ‪ 3.4.64‬לכל )‪ .στu σ −1 = τσu ,σ ∈ O(V, q‬אכן‬
‫)‪b(σ −1 x, v‬‬
‫)‪b(x, σv‬‬
‫‪v) = x − 2‬‬
‫‪σ(v).‬‬
‫)‪b(v, v‬‬
‫)‪b(σv, σv‬‬
‫‪στu σ −1 (x) = σ(σ −1 (x) − 2‬‬
‫טענה ‪ 3.4.65‬החבורת ])‪ [O(V, q), O(V, q‬נוצרת על־ידי המכפלות ‪ τu τu′‬עם ) ‪.q(u) = q(u′‬‬
‫הוכחה‪ .‬אוסף השיקופים סגור להצמדה‪ ,‬ולכן חבורת הקומוטטורים נוצרת על־ידי הקומוטטורים של יוצרים‪[τu , τv ] = ,‬‬
‫)‪ ,τu τv τu τv = τu ττv (u‬והרי )‪ .q(τv (u)) = q(u‬מאידך‪ ,‬לכל ‪ u, u′‬מאותו אורך יש שיקוף ‪ σ‬כך ש־‬
‫)‪) ±u′ = σ(u‬למה ‪ ,(2.2.2‬ואז ]‪.τu τu′ = [τu , σ‬‬
‫‬
‫מסקנה ‪ ,[O(V, q), O(V, q)] ⊆ Θ(V, q) ⊆ O+ (V, q) ⊂ O(V, q) 3.4.66‬ובקיצור‬
‫‪[O, O] ⊆ Θ ⊆ O+ ⊆ O.‬‬
‫אכן‪ ,‬נתבונן ביוצר טיפוסי של חבורת הקומוטטורים‪ ,‬על־פי טענה ‪ .3.4.65‬יהיו ‪ u, u′ ∈ V‬וקטורים‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫כך ש־)‪ .q(u′ ) = q(u‬אז × ‪ ,θ(τu τu′ ) = q(u′ )q(u)F × = F‬כלומר ‪) τu τu′ ∈ Θ‬הטענה החלשה‬
‫‪2‬‬
‫יותר ‪ [O+ , O+ ] ⊆ Θ‬היא טריוויאלית‪ ,‬שהרי × ‪ O+ /Θ ⊆ F × /F‬היא חבורה אבלית(‪.‬‬
‫בעיה ‪ 3.4.67‬חשב את ])‪ .O(V, q)/[O(V, q), O(V, q‬האם זו חבורה מאקספוננט ‪?2‬‬
‫דוגמא ‪ 3.4.68‬נחשב את כל החבורות שהוזכרו בסעיף זה עבור התבנית הבינארית√⟩‪ .q = ⟨a, b‬אלגברת‬
‫∼ ]‪.K = F [xy‬‬
‫קליפורד היא ]‪ F [x, y‬עם ‪ y 2 = b ,x2 = a‬ו־‪ .yx = −xy‬החלק הזוגי הוא ]‪= F [ −ab‬‬
‫מתברר ש־ × ‪ ,M = K‬והריבוע הימני־עליון של הדיאגרמה כולל את החבורות‬
‫‪Θ‬‬
‫× ‪F × K 1 /F‬‬
‫‪O+‬‬
‫‬
‫× ‪/ K × /F‬‬
‫_‬
‫∼‬
‫‪=/‬‬
‫}‪/ K × /{±1‬‬
‫_‪K 1‬‬
‫‪Spin‬‬
‫×‪K‬‬
‫‪M‬‬
‫‬
‫בעיה ‪ 3.4.69‬אם ‪ dim V ≥ 3‬אז ]‪) [O+ , O+ ] = [O, O‬ראה ]‪.([10, 43:7‬‬
‫תרגיל ‪ 3.4.70‬אם ‪ q‬תבנית איזוטרופית‪ ,‬אז ‪.([2, Thm. 10.3.2]) [O, O] = Θ‬‬
‫∼ × ‪ .M + /F‬כהכללה להגדרה של ‪ M +‬ב־)‪,(3.4‬‬
‫תרגיל ‪ 3.4.71‬במשפט ‪ 3.4.57‬ראינו ש־ ‪= O+‬‬
‫×‬
‫∼ ‪ ;M/F‬ואם ‪dim V‬‬
‫נגדיר }‪ .M = {y ∈ C(V, q)× : yV = V y‬הראה שאם ‪ dim V‬זוגי אז ‪= O‬‬
‫∼ ×] ‪ vN ) M/F [vN‬הוגדר בתת־סעיף ‪.(3.4.6‬‬
‫∼ × ‪= M + /F‬‬
‫אי־זוגי אז ‪= O+‬‬
‫‪38‬‬
‫פרק ‪4‬‬
‫האינווריאנטים הגבוהים‬
‫‪4.1‬‬
‫תורת־‪ K‬של חוגים‬
‫לכל חוג ‪ R‬אפשר להגדיר חבורה אבלית )‪ ;Kn (R‬כל ‪ Kn‬הוא פונקטור מהקטגוריה של חוגים‬
‫לקטגוריה של חבורות אבליות‪ ,‬ויש סדרות מדוייקות הקושרות את הפונקטורים זה לזה‪ .‬את החבורות‬
‫‪ Ki‬אפשר להגדיר בכמה דרכים‪ ,‬המתלכדות למרבה המזל עבור ‪.i ≤ 2‬‬
‫‪4.1.1‬‬
‫מודולים פרוייקטיביים ו־ ‪K0‬‬
‫החבורה )‪ K0 (R‬מקודדת את תורת המודולים הפרוייקטיביים הנוצרים סופית מעל ‪ ,R‬באופן הבא‪.‬‬
‫נסמן ב־)‪ Proj(R‬את החבורה למחצה של מודולים פרוייקטיביים נוצרים סופית מעל ‪ ,R‬עם פעולת‬
‫הסכום הישר‪) .‬נזכיר שמודול הוא פרוייקטיבי אם ורק אם הוא מחובר ישר במודול חופשי(‪.‬‬
‫תהי ‪ S‬חבורה למחצה קומוטטיבית‪ .‬נגדיר יחס על הזוגות ‪ (a, a′ ) ∈ S × S‬לפי ) ‪(a, a′ ) ∼ (b, b′‬‬
‫אם יש ‪ s ∈ S‬כך ש־‪ .a + b′ + s = a′ + b + s‬חבורת גרותנדיק של ‪ S‬היא‪ ,‬לפי ההגדרה‪ ,‬חבורת‬
‫המחלקות‪ ,‬עם הפעולה ]) ‪ .[(a, a′ )] + [(b, b′ )] = [(a + b, a′ + b′‬האסוציאטיביות טריוויאלית‪ ,‬וזו אכן‬
‫חבורה מכיוון ש־])‪ .[(a, a′ )] + [(a′ , a)] = [(a + a′ , a + a′ )] = [(0, 0‬אפשר לפרש את המחלקה‬
‫])‪ [(a, b‬כאילו היא ההפרש ‪ .a − b‬את הבניה הזו פגשנו קודם לכן‪ :‬החבורה החיבורית של חוג ויט‬
‫אינה אלא חבורת גרותנדיק של התבניות הריבועיות‪ ,‬מודולו המרחבים ההיפרבוליים; וחבורת בראוור‬
‫אינה אלא חבורת גרותנדיק של האלגברות הפשוטות המרכזיות‪ ,‬מודולו המטריצות‪.‬‬
‫כעת יהי ‪ R‬חוג כלשהו‪ .‬החבורה )‪ K0 (R‬מוגדרת כחבורת גרותנדיק של החבורה למחצה‬
‫)‪ .Proj(R‬את )‪ K0 (R‬אפשר לפרש גם במונחי מטריצות אידמפוטנטיות מעל ‪.R‬‬
‫דוגמא ‪ 4.1.1‬מהו ) ‪ K0 (F‬כאשר ‪ F‬שדה? המודולים הפרוייקטיביים הנוצרים סופית הם כמובן המרחבים‬
‫∼ ) ‪.K0 (F‬‬
‫הוקטוריים הסופיים ‪ ,F n‬ופעולת הסכום הישר מתאימה לחיבור ממדים‪ .‬לכן ‪= Z‬‬
‫הערה‪ .‬ההומומורפיזם )‪ Z→K0 (R‬המוגדר לפי ]‪ 1 7→ [R‬הוא שיכון אם ורק אם ‪ R‬מקיים את התכונה‬
‫‪ .(Invariant Base Number) IBN‬זהו איזומורפיזם אם ורק אם כל מודול פרוייקטיבי הוא חופשי מדרגה‬
‫מוגדרת היטב‪.‬‬
‫‪4.1.2‬‬
‫מטריצות לא אלמנטריות ו־ ‪K1‬‬
‫החבורה )‪ K1 (R‬היא המנה של חבורת המטריצות ההפיכות )‪) GL(R‬מכל סדר סופי( מודולו תת־‬
‫החבורה הנוצרת על־ידי המטריצות האלמנטריות‪∪ .‬‬
‫יהי ‪ R‬חוג כלשהו‪ .‬אנחנו מסמנים )‪ .GL(R) = n≥1 GLn (R‬המטריצות ‪eij (r) = 1 + reij‬‬
‫מסמנים ב־)‪ En (R‬את חבורת המטריצות הנוצרת על־ידי המטריצות‬
‫נקראות מטריצות אלמנטריות‪.‬‬
‫∪‬
‫האלמנטריות מסדר ‪ ;n‬וכן )‪.E(R) = En (R‬‬
‫למה ‪) 4.1.2‬הלמה של ויטהד( לכל חוג ‪.GL(R)′ = E(R)′ = E(R) ,R‬‬
‫‪39‬‬
‫פרק ‪ .4‬האינווריאנטים הגבוהים‬
‫‪ .4.1‬תורת־‪ K‬של חוגים‬
‫זה מאפשר להגדיר‬
‫;)‪K1 (R) = GL(R)/E(R‬‬
‫לפי הלמה‪ ,‬זוהי האבליאניזציה של )‪ ,GL(R‬שהיא בפרט חבורה אבלית‪.‬‬
‫לפי ההגדרה‪ K1 ,‬מהווה פונקטור המכבד שקילות מוריטה )בפרט )‪ ,(K1 (Mn (R)) = K1 (R‬ויש‬
‫לו תכונות שימושיות נוספות‪.‬‬
‫עבור חוג קומוטטיבי‪ ,‬אפשר להתקדם עוד צעד‪ .‬מוגדרת העתקת הדטרמיננטה ×‪,GL(R)→R‬‬
‫שאת הגרעין שלה מסמנים ב־)‪ .SL(R‬ברור ש־)‪ .E(R) ⊆ SL(R‬לכן אפשר להגדיר את המנה‬
‫)‪ ,SK1 (R) = SL(R)/E(R‬ומתקבלת סדרה מדוייקת‬
‫‪0 −→ SK1 (R) −→ K1 (R) −→ R× −→ 0.‬‬
‫אם ‪ R = F‬הוא שדה‪ ,‬תהליך האלימינציה של גאוס אומר ש־‪ ,SK1 (F ) = 0‬ולכן = ) ‪K1 (F‬‬
‫× ‪ .F‬תכונה זו נכונה למעשה לכל חוג מקומי )לאו דווקא קומוטטיבי(‪ ,‬בזכות דטרמיננטת דודונה‬
‫] ×‪.GLd (R)→R× /[R× , R‬‬
‫‪4.1.3‬‬
‫יחסים אלמנטריים ו־ ‪K2‬‬
‫החבורה )‪ K2 (R‬מתארת את היחסים שמקיימות המטריצות האלמנטריות מעל ‪ ,R‬מודולו היחסים‬
‫הטריוויאליים )המתקיימים בכל חוג(‪ .‬ההגדרה נעזרת במושג בעל חשיבות עצמאית בתורת החבורות‪.‬‬
‫הרחבת חבורות‬
‫‪1 −→ A −→ E −→ G −→ 1‬‬
‫נקראת הרחבה מרכזית של ‪ G‬אם )‪ .A ⊆ Z(E‬שתי הרחבות ‪ 1→A→E1 →G1 →1‬ו־‬
‫‪ 1→A→E2 →G2 →1‬הן שקולות אם יש דיאגרמה מתחלפת‬
‫‪/1‬‬
‫‪/G‬‬
‫‪/ E1‬‬
‫‪/ A1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪/1‬‬
‫‪/G‬‬
‫‬
‫‪/ E1‬‬
‫‬
‫‪/ A2‬‬
‫‪1‬‬
‫לכל חבורה אבלית ‪ ,A‬אוסף ההרחבות המרכזיות‪ ,‬עד כדי שקילות‪ ,‬מהווה חבורה אבלית שמסמנים‬
‫)‪ ;Ext(G, A‬היא איזומורפית ל־)‪.H2(G, A‬‬
‫הרחבה מרכזית ‪ E G‬היא אוניברסלית אם לכל הרחבה מרכזית אחרת ‪ ,E1‬יש הומומורפיזם‬
‫יחיד מ־‪ E‬אל ‪ ,E1‬המתחלף עם הזהות על ‪.G‬‬
‫‪(g,a)7→g‬‬
‫)‪a7→(1,a‬‬
‫הרחבה טריוויאלית היא הרחבה מהצורה ‪ ,1→A −→ G ⊕ A −→ G→1‬כאשר ‪ A‬אבלית‪.‬‬
‫משפט ‪ 4.1.3‬לחבורה ‪ G‬יש הרחבה מרכזית אוניברסלית אם ורק אם ‪ G‬היא חבורה מושלמת )כלומר ‪.([G, G] = G‬‬
‫במקרה זה‪ ,‬ההרחבה האוניברסלית ‪ E‬היא בעצמה מושלמת‪ ,‬וכל הרחבה מרכזית של ‪ E‬היא טריוויאלית‪.‬‬
‫אחרי שהגדרנו את החבורה )‪ ,K1 (R‬המודדת עד כמה המטריצות האלמנטריות רחוקות מליצור‬
‫את כל )‪ ,GLd (R‬עלינו להבין את החבורה )‪ E(R‬עצמה‪.‬‬
‫הערה ‪ 4.1.4‬המטריצות האלמנטריות מקיימות את היחסים‬
‫;)‪eij (a)eij (b) = eij (a + b‬‬
‫;‪j ̸= k, i ̸= l‬‬
‫‪[eij (a), ekl (b)] = 1‬‬
‫;‪i, j, k distinct‬‬
‫)‪[eij (a), ejk (b)] = eik (ab‬‬
‫‪i, j, k distinct.‬‬
‫)‪[eij (a), eki (b)] = ekj (−ab‬‬
‫‪40‬‬
‫‪ .4.2‬חבורות ‪ K‬של מילנור‬
‫פרק ‪ .4‬האינווריאנטים הגבוהים‬
‫לאור היחסים האלה‪ ,‬נגדיר את החבורה )‪ St(R‬לפי היוצרים )‪) xij (a‬לכל ‪ i ̸= j‬ולכל ‪,(a ∈ R‬‬
‫עם היחסים של הערה ‪ ,4.1.4‬כלומר )‪ xij (a)xij (b) = xij (a + b‬וכו'‪ .‬זוהי חבורת סטיינברג של ‪.R‬‬
‫לפי ההגדרה יש הטלה )‪ ,St(R)→E(R‬ואנו יכולים להגדיר ))‪ ,K2 (R) = Ker(St(R)→E(R‬כך‬
‫שיש סדרה קצרה מדוייקת‬
‫‪1 −→ K2 (R) −→ St(R) −→ E(R) −→ 1.‬‬
‫משפט ‪ 4.1.5‬לכל חוג ‪ K2 (R) ,R‬הוא המרכז של )‪ .St(R‬יתרה מזו‪,‬‬
‫‪0 −→ K2 (R) −→ St(R) −→ E(R) −→ 0‬‬
‫היא הרחבה מרכזית אוניברסלית של )‪.E(R‬‬
‫באופן כללי קשה מאד לחשב את החבורות )‪ .K2 (R‬במקרה הקומוטטיבי באים לעזרתנו כמה‬
‫חישובים פלאיים‪ .‬עבור ×‪ ,u, v ∈ R‬נסמן‬
‫‪wij (u) = xij (u)xji (−u−1 )xij (u),‬‬
‫‪hij (u) = wij (u)wij (−1),‬‬
‫ו־‬
‫‪{u, v} = [h12 (u), h13 (v)].‬‬
‫תרגיל ‪ 4.1.6‬בדוק ש־)‪ ,{u, v} ∈ K2 (R‬על־ידי חישוב התמונה ב־)‪.E(R‬‬
‫‪ 4.2‬חבורות ‪ K‬של מילנור‬
‫כעת נגדיר את החבורות ) ‪ Kn (F‬של מילנור )‪ ,(Milnor‬לכל ‪ .n ≥ 0‬ההגדרה פורמלית ונראית אפילו‬
‫מלאכותית‪ ,‬אבל היא מזקקת תובנות עמוקות על האריתמטיקה של השדה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 4.2.1‬יהי ‪ F‬שדה‪ .‬החבורה ) ‪) Kn (F‬נקראת חבורת ‪ K‬ה־‪n‬־ית של מילנור( היא החבורה האבלית החופשית‬
‫הנוצרת על־ידי הסמלים } ‪ ,a1 , . . . , an ∈ F × ,{a1 , . . . , an‬בכפוף ליחסים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬הסמל הוא מולטילינארי בכל רכיב‪ ,‬כלומר‬
‫}‬
‫{‬
‫}‬
‫; ‪a1 , . . . , ai a′i , . . . , an = {a1 , . . . , ai , . . . , an } + a1 , . . . , a′i , . . . , an‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ ai + aj = 1‬אז ‪.{a1 , . . . , ai , . . . , aj , . . . , an } = 0‬‬
‫הכתיב לפעולה בחבורות ) ‪ Kn (F‬הוא חיבורי‪ .‬אם מגדירים פעולת כפל‬
‫‪{a1 , . . . , ai } · {b1 , . . . , bj } = {a1 , . . . , ai , b1 , . . . , bj },‬‬
‫הסכום הישר‬
‫⊕‬
‫) ‪n≥0 Kn (F‬‬
‫= ) ‪ K∗ (F‬הופך לחוג מדורג )על־ידי ‪.(N‬‬
‫‪41‬‬
‫{‬
‫פרק ‪ .4‬האינווריאנטים הגבוהים‬
‫‪ .4.2‬חבורות ‪ K‬של מילנור‬
‫לכל שיכון של שדות ‪ ι : F ,→ E‬מוגדרת העתקת הצמצום‪ resE/F : K∗ (F )→K∗ (E) ,‬לפי‬
‫התאמת הסמל ) ‪ {a1 , . . . , an } ∈ Kn (F‬עבור × ‪ ai ∈ F‬לסמל )‪.{ι(a1 ), . . . , ι(an )} ∈ Kn (E‬‬
‫זהו הומומורפיזם של חוגים‪ ,‬וכך הופכת ההתאמה‬
‫) ‪F 7→ K∗ (F‬‬
‫לפונקטור מהקטגוריה של שדות לקטגוריה של חוגים קומוטטיביים מדורגים‪.‬‬
‫נחשב את חבורות־‪ K‬הראשונות לפי ההגדרה החדשה‪ .‬פורמלית‪ K0 (F ) ,‬נוצרת על־ידי הסמל‬
‫הריק }{‪ ,‬ולכן ‪ .K0 (F ) = Z‬כמו־כן‪ K1 (F ) ,‬נוצר על־ידי הסמלים }‪ ,{a‬עם היחסים = }‪{ab‬‬
‫‪2‬‬
‫}‪ .{a} + {b‬לפיכך‪ .K1 (F ) = F × ,‬הגדרות אלו מתלכדות עם ההגדרות הכלליות יותר מהסעיפים‬
‫הקודמים‪.‬‬
‫העובדה שחבורת ‪ K2‬של שדה כפי שהגדיר אותה מילנור זהה להגדרה של סעיף ‪ 4.1.3‬היא משפט‬
‫לא קל של ‪ .Matsumoto‬נתעד כמה זהויות ב־) ‪ ,K2 (F‬לשימוש עתידי‪.‬‬
‫הערה ‪) 4.2.2‬איך משחקים ב־) ‪ (K2 (F‬בחבורה ) ‪ K2 (F‬מתקיים‬
‫‪ {a, 1} = {1, a} = 0 .1‬לכל × ‪.b ∈ F‬‬
‫‪.{a, −a} = 0 .2‬‬
‫‪.{a, b} = −{b, a} .3‬‬
‫{‬
‫}‬
‫‪.{a, b} = − ab , a + b .4‬‬
‫}‬
‫{‬
‫{‬
‫}‬
‫הוכחה‪ (1) .‬ברור‪ .‬עבור )‪ ,(2‬חשב את ‪= {a, 1 − a} −‬‬
‫‪0 = a−1 , 1 − a−1 = − a, 1−a‬‬
‫‪−a‬‬
‫= }‪.0 = {ab, −ab‬‬
‫‪−a}+{a,‬‬
‫‪a}+{b,‬‬
‫}‪ .{a, −a‬עבור )‪ ,(3‬חשב }‪= {a,}b}+{b, a‬‬
‫‪{ {a,‬‬
‫‪} b}+{b,‬‬
‫‪{ −a a+b‬‬
‫}‪} {−b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫לבסוף עבור )‪ ,(4‬מתקיים }‪.0 = − b , 1 + b = b , b = − b , a + b − {a, b‬‬
‫‬
‫‪4.2.1‬‬
‫העתקת השארית‬
‫נניח ש־ ‪ F‬שדה עם הערכה דיסקרטית ‪ .ν : F →Z‬נסמן ב־ ̄‪ F‬את שדה השאריות‪ .‬פונקציית‬
‫ההערכה מתאימה לכל ) ‪ {a} ∈ K1 (F‬את הערך ) ‪ ,ν(a) ∈ Z = K0 (F‬ומגדירה הומומורפיזם‬
‫) ̄‪ .K1 (F )→K0 (F‬באופן יותר כללי‪ ,‬יש הומומורפיזם יחיד ) ̄‪ ∂ν : Kn+1 (F )→Kn (F‬המקיים‬
‫} ‪∂ν ({a0 , a1 , . . . , an }) = ν(a0 ) · {a¯1 , . . . , a¯n‬‬
‫לכל × ‪ a1 , . . . , an ∈ F‬עם ‪ ,ν(a1 ) = · · · = ν(an ) = 0‬כאשר ̄‪ ā ∈ F‬מציין את השארית של ‪.a‬‬
‫ההומומורפיזם הזה נקרא העתקת השארית‪.‬‬
‫‪′‬‬
‫העתקת השארית מתחלפת עם העתקת הצמצום‪ ,‬במובן הבא‪ .‬תהי ‪ F /F‬הרחבה של שדות‪ ,‬עם‬
‫הערכות דיסקרטיות ‪ ν : F →Z‬והרחבה ‪ ,ν ′ : F ′ → 1e Z‬ועם שדות שאריות ‪ .F̄ ⊆ F¯′‬במקרה כזה‪,‬‬
‫הדיאגרמה הבאה מתחלפת‪:‬‬
‫) ‪/ Kn (F¯′‬‬
‫‪O‬‬
‫‪∂ν ′‬‬
‫̄‪res F¯′ /F‬‬
‫) ̄‪/ Kn (F‬‬
‫) ‪Kn+1 (F ′‬‬
‫‪O‬‬
‫‪res F ′ /F‬‬
‫‪e·∂ν‬‬
‫) ‪Kn+1 (F‬‬
‫הקשר בין חבורות ) ‪ K∗+1 (F‬לבין ) ̄‪ K∗ (F‬מתחזק עוד יותר על־ידי המשפט הבא של מילנור‪.‬‬
‫כדיוע‪ ,‬ההערכות הדיסקרטיות של )‪ F (t‬מתאימות לפולינומים האי־פריקים ב־]‪ ,F [t‬בתוספת ההערכה‬
‫‪ − deg‬המתאימה לנקודה באינסוף‪.‬‬
‫‪42‬‬
‫‪ .4.3‬השערת מילנור‬
‫פרק ‪ .4‬האינווריאנטים הגבוהים‬
‫משפט ‪ 4.2.3‬לכל שדה ‪ ,F‬הסדרה‬
‫⊕‬
‫‪Kn (F (x))→0‬‬
‫) ‪(∂x‬‬
‫→‪Kn+1 (F (t)) −‬‬
‫‪res F (t)/F‬‬
‫→‪−‬‬
‫) ‪0→Kn+1 (F‬‬
‫)‪x∈A1(0‬‬
‫היא סדרה מדוייקת מפוצלת‪.‬‬
‫‪4.3‬‬
‫השערת מילנור‬
‫בסעיף הזה נסקור את השערת מילנור‪ ,‬המתארת את כל המנות ) ‪ I n (F )/I n+1 (F‬על־ידי יוצרים‬
‫ויחסים‪ .‬מגדירים ) ‪.kn (F ) = Kn (F )/2Kn (F‬‬
‫כפי שראינו לעיל‪ K0 (F ) = Z ,‬ו־ × ‪ ,K1 (F ) = F‬ומכאן ש־‪ k0 (F ) = Z/2Z‬ו־= ) ‪k1 (F‬‬
‫‪2‬‬
‫× ‪ .F × /F‬את החבורות האלה כבר פגשנו‪:‬‬
‫∼ ) ‪k0 (F‬‬
‫∼ ) ‪= W (F )/I(F‬‬
‫;‪= Z/2Z‬‬
‫∼ ) ‪k1 (F‬‬
‫∼ ) ‪= I(F )/I 2 (F‬‬
‫‪= F × /F × .‬‬
‫‪2‬‬
‫אין זה פלא‪ ,‬אם כך‪ ,‬שננסה להגדיר הומומורפיזם‬
‫; ‪fn : kn (F ) −→ I n /I n+1‬‬
‫אכן‪ ,‬נגדיר את ההומומורפיזם לפי הפעולה על היוצרים‪,‬‬
‫‪fn : {a1 , . . . , an } 7→ ⟨⟨a1 , . . . , an ⟩⟩.‬‬
‫)‪(4.1‬‬
‫כדי להוכיח ש־ ‪ fn‬מוגדר היטב‪ ,‬נצטרך שני יחסים על תבניות פיסטר מסדר ‪:2‬‬
‫טענה ‪4.3.1‬‬
‫‪ .1‬לכל × ‪.⟨⟨a, c⟩⟩ ⊥ ⟨⟨b, c⟩⟩ ≡ ⟨⟨ab, c⟩⟩ (mod I 3 ) ,a, b, c ∈ F‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ a + b = 1‬אז ) ‪.⟨⟨a, b⟩⟩ ≡ 0 (mod I 3‬‬
‫הוכחה‪ .‬הכמעט־אדיטיביות של תבניות פיסטר )למה ‪ (3.3.3‬קובעת ש־⟩⟩‪,⟨⟨a⟩⟩ ⊥ ⟨⟨b⟩⟩ ∼ ⟨⟨ab⟩⟩ ⊥ ⟨⟨a, b‬‬
‫ואם נכפיל ב־⟩⟩‪ ⟨⟨c‬נקבל‬
‫‪⟨⟨a, c⟩⟩ ⊥ ⟨⟨b, c⟩⟩ ∼ ⟨⟨ab, c⟩⟩ ⊥ ⟨⟨a, b, c⟩⟩ ≡ ⟨⟨ab, c⟩⟩ (mod I 3 ).‬‬
‫נוסף לזה אם ‪ a + b = 1‬אז‬
‫⟩‪⟨⟨a, b⟩⟩ = ⟨1, ab⟩ + ⟨−1⟩⟨a, b‬‬
‫‪= ⟨1, ab⟩ + ⟨−1⟩⟨1, ab⟩ = ⟨1, −1, ab, −ab⟩ = 2H = 0.‬‬
‫‬
‫טענה ‪ 4.3.2‬הנוסחה )‪ (4.1‬מגדירה הומומורפיזם ‪.fn : kn (F )→I n /I n+1‬‬
‫‪43‬‬
‫פרק ‪ .4‬האינווריאנטים הגבוהים‬
‫‪ .4.3‬השערת מילנור‬
‫הוכחה‪ .‬כדי להראות זאת עלינו להוכיח שההעתקה שומרת על היחסים המגדירים את ) ‪ .kn (F‬ראשית‪ ,‬לכל ‪q ∈ I n‬‬
‫מתקיים ‪ 2q = ⟨⟨−1⟩⟩q ∈ I n+1‬ולכן ‪ .2q ≡ 0‬לכן נותר לאשר את היחסים המגדירים את ) ‪ .Kn (F‬מכיוון‬
‫שב־) ‪ kn (F‬הסמל הוא סימטרי )הערה ‪ ,(4.2.2‬אפשר להניח שהיחס חל על הרכיבים הראשונים‪ .‬כעת‪,‬‬
‫{‬
‫}‬
‫⟨⟨‬
‫⟩⟩‬
‫‪fn ({a1 , a2 , . . . , an } + a′1 , a2 , . . . , an ) = ⟨⟨a1 , a2 , . . . , an ⟩⟩ ⊥ a′1 , a2 , . . . , an‬‬
‫⟨⟨‬
‫⟩⟩‬
‫⟩⟩ ‪= (⟨⟨a1 , a2 ⟩⟩ ⊥ a′1 , a2 )⟨⟨a3 , . . . , an‬‬
‫‪⟨⟨ ′‬‬
‫⟩⟩‬
‫∼‬
‫⟩⟩ ‪a1 a1 , a2 ⟨⟨a3 , . . . , an‬‬
‫{‬
‫}‬
‫) ‪= f ( a1 a′1 , a2 , . . . , an‬‬
‫מודולו ‪ ;I 3+(n−2) = I n+1‬ובדומה לזה אם ‪ a1 + a2 = 1‬אז‬
‫⟩⟩ ‪fn ({a1 , a2 , . . . , an }) = ⟨⟨a1 , a2 , . . . , an‬‬
‫⟩⟩ ‪= ⟨⟨a1 , a2 ⟩⟩⊗⟨⟨a3 , . . . , an‬‬
‫‪∼ ⟨⟨1, 1⟩⟩⊗⟨⟨a3 , . . . , an ⟩⟩ ∼ 0.‬‬
‫‬
‫‪ f0 : k0 (F )→W (F )/I(F ) .0‬מוגדר לפי ⟩‪ ,{} 7→ ⟨⟨⟩⟩ = ⟨1‬וזה האיזומורפיזם‬
‫הערה ‪4.3.3‬‬
‫מסעיף ‪.3.1‬‬
‫‪ f1 : k1 (F )→I(F )/I 2 (F ) .1‬מוגדר לפי ⟩⟩‪ ,{a} 7→ ⟨⟨a‬ומתלכד עם האיזומורפיזם באותו שם‬
‫ממשפט ‪.3.3.4‬‬
‫הטענה ש־ ‪ fn : kn (F )→I n /I n+1‬הוא איזומורפיזם היא השערת מילנור‪.‬‬
‫בהקשר כללי יותר‪ ,‬נתאר אובייקט חשוב אחר‪.‬‬
‫על מנת להציג אותה‬
‫‪ .1‬תהי ‪ G‬חבורה ויהי ‪ M‬מודול מעל חוג החבורה ]‪ .Z[G‬מסמנים ב־) ‪ H n (G, M‬את חבורת‬
‫הגדרה ‪4.3.4‬‬
‫הקוהומולוגייה ה־‪n‬־ית עם מקדמים ב־ ‪ .M‬המכפלה ‪) a⊗b 7→ a ∪ b‬שלא נגדיר כאן( היא הומומורפיזם‬
‫) ‪ ,H i (G, M )⊗H j (G, N )→H i+j (G, M ⊗N‬הנקרא מכפלת ה־∪ )‪.(cup product‬‬
‫‪ .2‬יהי ‪ F‬שדה ויהי ‪ ℓ‬מספר טבעי זר למאפיין של ‪ .F‬מסמנים ב־) ‪ H n (F, M‬את קוהומולוגיית גלואה‪ ,‬שהיא‬
‫חבורת הקוהומולוגיה של חבורת גלואה האבסולוטית ) ‪ Γ = Gal(Fs /F‬עם מקדמים ב־ ‪ .M‬כאשר ‪ ℓ‬זר‬
‫‪ µ⊗n‬מציין את החבורה‬
‫למאפיין של ‪ Γ ,F‬פועלת באופן טבעי על חבורת שורשי היחידה ‪ ,µℓ ⊆ Fs‬ו־ ‪ℓ‬‬
‫)הציקלית מסדר ‪ (ℓ‬עם הפעולה המעוותת )‪.σ(ρ⊗ · · · ⊗ρ) = σ(ρ)⊗ · · · ⊗σ(ρ‬‬
‫‪1/ℓ‬‬
‫)‬
‫‪ .(a) : σ 7→ σ(a‬מכפלת ה־∪‬
‫‪ .3‬יש הומומורפיזם ) ‪ F × →H 1 (F, µℓ‬המוגדר לפי )‪ ,a 7→ (a‬כאשר‬
‫‪a1/ℓ‬‬
‫ממשיכה את ההומומורפיזם הזה להעתקת שארית הנורמה )‪:(norm residue map‬‬
‫‪n‬‬
‫‪φn,ℓ : Kn (F )/ℓ −→ Het‬‬
‫‪(F, µ⊗n‬‬
‫‪ℓ ).‬‬
‫∼‬
‫=‬
‫‪ .4‬יש איזומורפיזם קלאסי ) ‪2 (F, µ ) −→ Br(F‬‬
‫‪ Het‬הקשור בבניה של מכפלות משולבות )שימו לב שכאן‬
‫‪ℓ‬‬
‫‪ℓ‬‬
‫‪⊗2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מדובר בחבורת הקוהומולוגייה השניה(‪ .‬בדרך כלל החבורות ) ‪ Het (F, µℓ‬ו־) ‪ Het (F, µℓ‬שונות זו מזו‪,‬‬
‫אבל אם השדה ‪ F‬מכיל את שורשי היחידה מסדר ‪ ℓ‬אז פעולת ‪ Γ‬על ‪ µℓ‬ממילא טריוויאלית‪ ,‬והחבורות‬
‫מתלכדות‪ .‬זה קורה‪ ,‬בפרט‪ ,‬כאשר ‪.ℓ = 2‬‬
‫הערה ‪ 4.3.5‬השערת בלוך‪-‬קטו )‪ (Bloch-Kato‬קובעת ש־ ‪ φn,ℓ‬הוא איזומורפיזם‪ .‬בהערה זו נתאר כמה‬
‫מקרים פרטיים‪.‬‬
‫‪44‬‬
‫‪ .4.4‬השערת מילנור ל־‪n = 2‬‬
‫פרק ‪ .4‬האינווריאנטים הגבוהים‬
‫‪ :n = ℓ = 2 .1‬האובייקטים שפגשנו מסודרים בדיאגרמה‬
‫)‪/ H 2 (F, Z/2‬‬
‫‪O‬‬
‫‪φ2,2‬‬
‫‪K2 (F )/2‬‬
‫∼‬
‫=‬
‫) ‪/ 2 Br(F‬‬
‫‪f2‬‬
‫‬
‫‪γ‬‬
‫‪I 2 /I 3‬‬
‫כאשר ‪ γ‬הוא ההומומורפיזם של תת־סעיף ‪ .3.4.7‬את השערת בלוך‪-‬קטו למקרה הזה )היינו‬
‫האיזומורפיזם )‪ (K2 (F )/2→H 2 (F, Z/2‬הוכיח מרקורייב )‪ (Merkurjev‬ב־‪.1980‬‬
‫‪ .2‬באופן כללי יותר‪ ,‬עדיין עם ‪ n = 2‬אבל לכל ‪ ,ℓ‬האידיאל היסודי נעשה לא רלוונטי‪ ,‬ומתקבלת‬
‫הדיאגרמה הבאה‪ ,‬שבה הקו המרוסק נכון רק כאשר ‪:µℓ ⊆ F‬‬
‫) ‪/ H 2 (F, µ⊗2‬‬
‫‪ ℓ‬‬
‫‬
‫‬
‫) ‪/ ℓ Br(F‬‬
‫∼‬
‫=‬
‫‪φ2,ℓ‬‬
‫‪K2 (F )/ℓ‬‬
‫) ‪H 2 (F, µℓ‬‬
‫את העובדה ש־ ‪ φ2,ℓ‬הוא איזומורפיזם הוכיחו מרקורייב‪-‬סוסלין )‪ (Suslin‬ב־‪.1981‬‬
‫‪ .3‬בכיוון אחר‪ ,‬עם ‪ ℓ = 2‬ולכל ‪ ,n‬מתקבלת הדיאגרמה‬
‫)‪/ H n (F, Z/2‬‬
‫‪φn,2‬‬
‫‪Kn (F )/2‬‬
‫‪fn‬‬
‫‬
‫‪I n /I n+1‬‬
‫את השערת מילנור )הקובעת כאמור ש־ ‪ fn‬הוא איזומורפיזם( הוכיחו מילנור עבור ‪,n = 2‬‬
‫רוסט )‪ (Rost‬ומרקורייב‪-‬סוסלין עבור ‪ ,n = 3‬ורוסט עבור ‪ .n = 4‬לבסוף הוכיחו את ההשערה‬
‫‪ Orlov-Vishik-Voevodsky‬בכל דרגה )מאפיין אפס( ]‪.[12, Sec. 4.1‬‬
‫‪ .4‬את השערת בלוך‪-‬קטו במקרה הכללי )לכל ‪ n‬ולכל ‪ (ℓ‬הוכיחו ‪ Voevodsky‬ו־‪ Rost‬בתחילת שנות‬
‫ה־‪) 2000‬המאמר המסכם הופיע ב־‪ .(2009‬על עבודתו בנושא זה זכה ‪ Voevodsky‬במדליית‬
‫פילדס לשנת ‪.2002‬‬
‫⊕‬
‫= ) ‪ k∗ (F‬עם פעולת הכפל המושרית מ־) ‪ .K∗ (F‬מצא הצגה של‬
‫תרגיל ‪ 4.3.6‬נגדיר ) ‪kn (F‬‬
‫החוג באמצעות יוצרים ויחסים‪⊕ .‬‬
‫נסמן ב־) ‪ GW∗ (F ) = n I n (F )/I n+1 (F‬את חוג ויט המדורג‪ .‬הראה שזה חוג ממאפיין‬
‫‪) 2‬הדרכה‪ .(2I n = ⟨1, 1⟩I n ⊆ I n+1 .‬הראה שהומומורפיזמים ‪ fn : kn (F )→I n /I n+1‬שהוגדרו‬
‫לעיל משתלבים להומומורפיזם של חוגים ) ‪.k∗ (F )→GW∗ (F‬‬
‫‪4.4‬‬
‫השערת מילנור ל־‪n = 2‬‬
‫בסעיף הקודם בנינו הומומורפיזם ) ‪ ,fn : kn (F )→I n (F )/I n+1 (F‬והבחנו שעבור ‪ n = 0‬ו־‪n = 1‬‬
‫הוא משחזר את זוגיות הממד ואת הדיסקרימיננטה‪ .‬כעת נוכיח ש־ ‪ fn‬הוא איזומורפיזם עבור ‪.n = 2‬‬
‫לשם כך נגדיר העתקה הפוכה‪.I 2 (F )/I 3 (F )→k2 (F ) ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫למעשה נעשה מעט יותר מזה‪ .‬כשהגדרנו את ) ‪ γ : I /I →2 Br(F‬בתת־סעיף ‪ ,3.4.7‬התאמנו‬
‫ערך )אלגברת קליפורד( לכל תבנית )אפילו מממד אי־זוגי(; עבור תבניות מממד זוגי עברנו למחלקות‬
‫בחבורת בראוור‪ ,‬כך שהפונקציה מוגדרת על מחלקות ויט; ואז ראינו כאשר שמצמצמים אותו ל־ ‪,I 2‬‬
‫זהו הומומורפיזם‪ .‬נחזור כאן על אותם שלבים‪ ,‬ונגדיר אינווריאנט לכל תבנית‪.‬‬
‫‪45‬‬
‫פרק ‪ .4‬האינווריאנטים הגבוהים‬
‫‪ .4.4‬השערת מילנור ל־‪n = 2‬‬
‫∼ ‪ ,q‬ונגדיר ) ‪ w(q) ∈ k2 (F‬לפי‬
‫הגדרה ‪ 4.4.1‬תהי ‪ q‬תבנית ריבועית מעל ‪ .F‬נכתוב ⟩ ‪= ⟨a1 , . . . , an‬‬
‫∑‬
‫= )‪w(q‬‬
‫‪{ai , aj }.‬‬
‫‪i<j‬‬
‫∼ ⟩‪ ⟨a, b‬אז }‪ {a, b} ≡ {c, d‬מודולו ) ‪.2K2 (F‬‬
‫למה ‪ 4.4.2‬אם ⟩‪= ⟨c, d‬‬
‫הוכחה‪ .‬הדרך הכללית ביותר להציג את ⟩‪ ⟨a, b‬היא בצורה ⟩‪ }⟨c, d‬כאשר ‪ c = ax{2 + by 2‬ו־ ‪ d = abcz 2‬עבור‬
‫‪) z ̸= 0 ,x, y, z ∈ F‬מסקנה ‪ .(3.3.8‬אם ‪ x = 0‬אז }‪{ ;{c, d} =} by{2 , a(byz)2 ≡}{a, b‬כך גם אם ‪.y = 0‬‬
‫ואם ‪ x, y ̸= 0‬אז }‪ {a, b} = ax2 , by 2 = c, −by 2 /ax2 ≡ {c, −ab} = {c, −cd} = {c, d‬לפי‬
‫הערה ‪.4.2.2‬‬
‫‬
‫טענה ‪ 4.4.3‬הערך )‪ w(q‬מוגדר היטב‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬ראשית‪ ,‬החלפה של רכיבים סמוכים בהצגה האלכסונית של ‪ q‬משנה בתמונה רק מחובר אחד‪ ,‬מ־} ‪ {ai , ai+1‬ל־‬
‫} ‪ ,{ai+1 , ai‬אבל שני אלו שווים ב־) ‪ .k2 (F‬נניח שנתונות שתי הצגות אלכסוניות של ‪ .q‬לפי משפט השרשרת ‪,3.3.12‬‬
‫אפשר להניח ששתי ההצגות שונות רק בשני רכיבים‪ ,‬ובעזרת החלפה אפשר להניח שמדובר ברכיבים שבמקומות‬
‫הראושנים‪ .‬כלומר‪ ,‬ההצגות הן‬
‫‪⟨a1 , a2 , a3 , . . . , an ⟩,‬‬
‫‪⟨b1 , b2 , a3 , . . . , an ⟩,‬‬
‫∼ ⟩ ‪ .⟨a1 , a2‬עלינו להראות ש־‬
‫כאשר ⟩ ‪= ⟨b1 , b2‬‬
‫∑‬
‫} ‪{ai , aj‬‬
‫‪{a2 , ai } +‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪3≤i<j≤n‬‬
‫שווה ל־‬
‫‪{ai , aj }.‬‬
‫∑‬
‫‪3≤i<j≤n‬‬
‫‪{b2 , ai } +‬‬
‫‪{a1 , ai } +‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪i=3‬‬
‫‪i=3‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪{b1 , ai } +‬‬
‫‪i=3‬‬
‫‪{a1 , a2 } +‬‬
‫‪{b1 , b2 } +‬‬
‫‪i=3‬‬
‫מכיוון ש־} ‪ {a1 , a2 } = {b1 , b2‬לפי למה ‪ ,4.4.2‬ההפרש בין שני הסכומים הוא‬
‫{‬
‫}‬
‫‪a1 a2‬‬
‫‪, a3 · · · an = {1, a3 · · · an } = 0‬‬
‫‪b1 b2‬‬
‫כי הרי ‪ a1 a2 = disc(⟨a1 , a2 ⟩) = disc(⟨b1 , b2 ⟩) = b1 b2‬ב־ × ‪.F × /F‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫מן ההגדרה )והאדיטיביות של הסמל( קל לחשב ש־‬
‫‪w(q1 ⊥ q2 ) = w(q1 ) + w(q2 ) + {det(q1 ), det(q2 )}.‬‬
‫)‪(4.2‬‬
‫מכיוון ש־‬
‫‪w(H) = w(⟨1, −1⟩) = {1, −1} = 0,‬‬
‫הערך של ‪ w‬אינו מוגדר היטב על מחלקות ויט באופן כללי‪:‬‬
‫‪w(q ⊥ H) = w(q) + {det(q), −1}.‬‬
‫‪46‬‬
‫)‪(4.3‬‬
‫‪ .4.4‬השערת מילנור ל־‪n = 2‬‬
‫פרק ‪ .4‬האינווריאנטים הגבוהים‬
‫יש‪ ,‬אם כך‪ ,‬שתי בעיות‪ w :‬אינו אדיטיבי על תבניות‪ ,‬וגם אינו מוגדר היטב על מחלקות ויט‪.‬‬
‫הדיסקרימיננטה של כל תבנית ב־) ‪ I 2 (F‬היא ‪ ,1‬וזה מאפשר לשלוט בדטרמיננטה ולפתור את שתי‬
‫הבעיות יחד‪ .‬נעזר בכך שאם ) ‪ q ∈ I 2 (F‬תבנית מממד )זוגי בהכרח( )‪ ,n = dim(q‬אז‬
‫‪det(q) = (−1)n/2 disc(q) = (−1)n/2‬‬
‫כי )‪(mod 2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫≡‬
‫) ‪(n‬‬
‫‪2‬‬
‫לכל ‪ n‬זוגי‪ .‬כלומר‪ ,‬אם ) ‪ ,q, q ′ ∈ I 2 (F‬אז‬
‫) ‪dim(q) dim(q ′‬‬
‫‪{−1, −1},‬‬
‫‪4‬‬
‫‪w(q ⊥ q ′ ) = w(q) + w(q ′ ) +‬‬
‫התיקון נעשה באופן הבא‪ .‬נגדיר ) ‪ ŵ : I 2 →K2 (F )/2K2 (F‬לפי‬
‫[‬
‫]‬
‫)‪dim(q‬‬
‫‪ŵ(q) = w(q) +‬‬
‫‪{−1, −1}.‬‬
‫‪4‬‬
‫תרגיל ‪ 4.4.4‬לכל ‪ n, n′‬זוגיים‪(mod 2) ,‬‬
‫‪nn′‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪(4.4‬‬
‫)‪(4.5‬‬
‫[‬
‫]‪] [ ] [ ′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪. n+n‬‬
‫‪≡ n4 + n4 +‬‬
‫‪4‬‬
‫טענה ‪ ŵ 4.4.5‬מוגדר היטב על ‪ ,I 2‬והוא הומומורפיזם ) ‪.ŵ : I 2 →K2 (F )/2K2 (F‬‬
‫הוכחה‪ .‬עבור ‪ q ∈ I 2‬נסמן )‪ ,n = dim(q‬אז‬
‫[‬
‫]‬
‫‪n+2‬‬
‫‪w(q ⊥ H) +‬‬
‫}‪{−1, −1‬‬
‫‪4‬‬
‫{‬
‫]‪} [n + 2‬‬
‫‪n/2‬‬
‫}‪{−1, −1‬‬
‫‪w(q) + (−1) , −1 +‬‬
‫‪4‬‬
‫]‪[n‬‬
‫‪w(q) +‬‬
‫}‪{−1, −1‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪ŵ(q‬‬
‫לפי )‪ (4.5‬ובדיקת המקרים )‪.n ≡ 0, 2, 4, 6 (mod 8‬‬
‫תרגיל ‪.4.4.4‬‬
‫= )‪ŵ(q ⊥ H‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫האדיטיביות של ̂‪ w‬נובעת כעת מ־)‪ (4.4‬בעזרת‬
‫‬
‫תרגיל ‪ 4.4.6‬תהי ‪ q‬תבנית מממד ‪ .n‬לכל × ‪,c ∈ F‬‬
‫{‬
‫}‬
‫‪n‬‬
‫‪w(⟨c⟩ · q) = w(q) + c, (−1)( 2 ) det(q)n−1 .‬‬
‫בפרט אם ‪ n‬זוגי אז‬
‫‪w(⟨c⟩ · q) = w(q) + {c, disc(q)}.‬‬
‫בפרט אם ) ‪ ,q ∈ I 2 (F‬אז‬
‫למה ‪4.4.7‬‬
‫‪w(⟨c⟩ · q) = w(q).‬‬
‫‪ .1‬לכל × ‪.ŵ(⟨⟨a, b⟩⟩) = {a, b} ,a, b ∈ F‬‬
‫‪ .2‬לכל × ‪.ŵ(⟨⟨a, b, c⟩⟩) = 0 ,a, b ∈ F‬‬
‫‪47‬‬
‫פרק ‪ .4‬האינווריאנטים הגבוהים‬
‫‪ .4.4‬השערת מילנור ל־‪n = 2‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי ההגדרה‪,‬‬
‫)⟩‪ŵ(⟨⟨a, b⟩⟩) = ŵ(⟨1, −a, −b, ab‬‬
‫}‪= {−a, −b} + {−a, ab} + {−b, ab} + {−1, −1‬‬
‫‪= {a, −1} + {a, −b} = {a, b}.‬‬
‫לפי תרגיל ‪ ŵ(⟨c⟩q) = ŵ(q) ,4.4.6‬עבור ⟩⟩‪ ,q = ⟨⟨a, b‬ולכן‬
‫‪ŵ(⟨⟨a, b, c⟩⟩) = ŵ(⟨⟨a, b⟩⟩) + ŵ(⟨c⟩⟨⟨a, b⟩⟩) = 2{a, b} = 0.‬‬
‫‬
‫משפט ‪ ŵ : I 2 /I 3 →K2 (F )/2K2 (F ) 4.4.8‬הוא איזומורפיזם‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬ראינו שזה הומומורפיזם מוגדר היטב‪ ,‬והוא הפכי ל־ ‪.f2‬‬
‫‬
‫בעיה ‪ 4.4.9‬כהכללה ל־ ‪ w = s2‬מהגדרה ‪ ,4.4.1‬נגדיר את סמל שטיפל־ויטני מסדר ‪Steifel-) d‬‬
‫‪,(Whitney‬‬
‫‪sd : W (F )→kd (F ),‬‬
‫לפי הנוסחה‬
‫‪{ai1 , . . . , aid }.‬‬
‫∑‬
‫= )⟩ ‪sd (⟨a1 , . . . , an‬‬
‫‪i1 <···<id‬‬
‫הראה ש־ ‪ sd‬מוגדר היטב על תבניות ריבועיות‪ .‬מצא תיקון של ‪) sd‬בדומה לתיקון‬
‫̂‪ w‬של ‪ (w‬שיהיה מוגדר היטב על מחלקות בחוג ויט‪ .‬בנה בעזרת זה הומומורפיזם‬
‫) ‪) .I d (F )/I d+1 (F )→kd (F‬ראה ]‪(.[4‬‬
‫‪48‬‬
‫פרק ‪5‬‬
‫סדר ותבניות‬
‫‪5.1‬‬
‫שדות סדורים‬
‫שדה סדור הוא שדה שעליו מוגדר יחס סדר לינארי‪ ,‬כך שאם ‪ a < b‬אז ‪ a + c < b + c‬לכל ‪,c‬‬
‫ו־‪ ac < bc‬לכל ‪.c > 0‬‬
‫גישה אחרת לשדות סדורים מתבוננת באוסף האברים החיוביים‪ :‬קבוצה ‪ P ⊆ F‬נקראת קבוצת‬
‫חיוביים אם ‪ P‬סגור לחיבור ולכפל‪ ,‬ו־ ‪ .F × = P ∪ −P‬שדה סדור הוא שדה שנתונה בו קבוצת‬
‫חיוביים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 5.1.1‬שני התאורים לעיל של שדה סדור הם שקולים‪ :‬בהנתן סדר >‪P = {x : x > 0} ,‬‬
‫היא קבוצת חיוביים; ובהנתן קבוצת חיוביים ‪ ,P‬הקביעה ש־‪ a < b‬אם ורק אם ‪ b−a ∈ P‬מגדירה‬
‫את > כסדר על השדה‪.‬‬
‫הערה ‪ 5.1.2‬בשדה סדור כל סכום של ריבועים הוא חיובי‪ .‬בפרט‪ ,‬המאפיין של שדה סדור הוא אפס‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 5.1.3‬שדה סדור הוא אוקלידי אם כל איבר חיובי הוא ריבוע‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 5.1.4‬שדה ‪ E‬הוא סגור ממשית אם הוא מקיים את אחת התכונות השקולות הבאות‪:‬‬
‫‪ E .1‬סדור‪ ,‬ואין לו הרחבות אלגבריות אמיתיות שהן סדורות;‬
‫√‬
‫‪ −1 .2‬אינו ריבוע ב־‪ E‬ו־]‪ E[ −1‬סגור אלגברית;‬
‫‪ E .3‬אוקלידי ולכל פולינום ממעלה אי־זוגית יש בו שורש‪.‬‬
‫הדוגמא הקלאסית לשדה סגור ממשית היא כמובן שדה הממשיים‪ .R ,‬לכל שדה סדור ‪ F‬יש‬
‫ְסג‪‬ר ממשי יחיד )עד כדי איזומורפיזם של שדות סדורים(‪ ,‬שהוא‪ ,‬בהגדרה‪ ,‬הרחבה אלגברית סגורה‬
‫ממשית של ‪.F‬‬
‫‪5.1.1‬‬
‫שדות ניתנים לסידור‬
‫שדה נקרא ממשי )פורמלית( אם ‪ −1‬אינו סכום של ריבועים‪ ,‬ולא ממשי אחרת‪ .‬מתברר ששדה הוא‬
‫ממשי פורמלית אם ורק אם אפשר להגדיר עליו סדר‪ .‬בנוסף לזה‪ ,‬לכל ‪ a ∈ F‬שאינו סכום של‬
‫ריבועים‪ ,‬קיים סידור של השדה שבו ‪ a‬שלילי )ארטין־שרייר )‪.((Artin-Schreier‬‬
‫הערה ‪ 5.1.5‬התכונות הבאות שקולות עבור שדה ‪:F‬‬
‫‪ F × .1‬הוא איחוד זר של × ‪ F‬ו־ × ‪ ,−F‬שאינן ריקות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪49‬‬
‫פרק ‪ .5‬סדר ותבניות‬
‫‪ .5.2‬סימן סילבסטר‬
‫{‬
‫}‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫× ‪ ,F × /F × = F × , −F‬חבורה מסדר ‪.2‬‬
‫‪.2‬‬
‫√‬
‫‪ −1 .3‬אינו ריבוע‪ ,‬ו־]‪ F [ −1‬היא ההרחבה הריבועית היחידה של ‪.F‬‬
‫נקרא לסידור ‪ α‬של שדה סידור אוקלידי אם ביחס ל־‪ ,α‬השדה אוקלידי; כלומר‪ ,‬כל איבר חיובי‬
‫ביחס ל־‪ α‬הוא ריבוע‪ .‬לשדה יש לכל היותר סידור אוקלידי אחד‪ ,‬משום שבסידור אוקלידי קבוצת‬
‫החיוביים שווה לקבוצת הריבועים‪.‬‬
‫טענה ‪ 5.1.6‬עבור שדה ניתן לסידור‪ ,‬התכונות הבאות שקולות‪:‬‬
‫‪.F × = F × ∪ −F × .1‬‬
‫√‬
‫‪ F [ −1] .2‬היא ההרחבה הריבועית היחידה של ‪ −1) F‬אינו ריבוע ולכן אלו התכונות של‬
‫הערה ‪(.5.1.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .3‬כל סידור של השדה הוא אוקלידי‪.‬‬
‫‪ .4‬לשדה יש סידור אוקלידי‪.‬‬
‫הוכחה‪ −1 :(2) ⇐ (1) .‬אינו ריבוע כי השדה ניתן לסידור‪ ,‬וההנחה מראה שיש לכל היותר הרחבה ריבועית אחת‪.‬‬
‫)‪ :(3) ⇐ (2‬נקבע סידור של השדה‪ ,‬ויהי ‪ a‬איבר חיובי ביחס אליו‪ .‬אם ‪ a‬אינו ריבוע הרי ש־‪ −a‬ריבוע‪ ,‬ואז ‪a‬‬
‫שלילי‪ ,‬בסתירה להנחה‪.‬‬
‫)‪ :(4) ⇐ (3‬ההנחה הראשית היא ש־ ‪ F‬ניתן לסידור‪ ,‬ובסידור זה כל איבר חיובי הוא ריבוע לפי )‪.(3‬‬
‫)‪ :(1) ⇐ (4‬בסידור אוקלידי‪ ,‬לכל ‪ a > 0 ,a ̸= 0‬או ‪ ,−a > 0‬ו־‪ a‬הוא ריבוע או מינוס ריבוע בהתאמה‪.‬‬
‫‬
‫הערה ‪ 5.1.7‬טענה ‪ 5.1.6‬מראה ששדה ניתן לסידור המקיים × ‪ ,F × = F × ∪−F‬ניתן לסידור אוקלידי‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫התכונה × ‪) F × = F × ∪· − F‬עם חלקים לא ריקים( אינה מספיקה בפני עצמה‪ ,‬כפי שמראה כל שדה‬
‫סופי מסדר )‪.≡ −1 (mod 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫∼ ‪R⊗Q K‬‬
‫בעיה ‪ 5.1.8‬יהי ‪ K‬שדה מספרים )כלומר הרחבה מממד סופי של ‪ .(Q‬הראה ש־× ‪= Rr‬‬
‫‪ Cs‬כאשר ] ‪ .r + 2s = [K : F‬הוכח שיש בדיוק ‪ r‬דרכים לשכן ‪ ,K→R‬ושיש ‪ r‬דרכים לסדר את‬
‫‪.K‬‬
‫תרגיל ‪ 5.1.9‬יהי ‪ E‬שדה סדור המכיל את ‪ .R‬נאמר ש־‪ ϵ ∈ E‬הוא אינפיניטיסימל אם ‪0 < ϵ < a‬‬
‫לכל ‪ a ∈ R‬חיובי‪ .‬הראה שבכל סידור אפשרי של )‪ R(x‬מעל ‪ ,R‬יש יוצר של ההרחבה שהוא‬
‫אינפיניטיסימל‪.‬‬
‫‪5.2‬‬
‫סימן סילבסטר‬
‫תהי ⟩ ‪ q = ⟨a1 , . . . , an‬תבנית ריבועית מעל שדה סדור ‪ .F‬סימן סילבסטר של ‪ ,sign(q) ,q‬הוא‬
‫מספר המקדמים החיוביים פחות מספר המקדמים השליליים בהצגה‪ .‬אם יש צורך לציין זאת‪ ,‬נכתוב‬
‫)‪ signα (q‬כאשר ‪ α‬הוא הסידור שביחס אליו מחושבים הסימנים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ sign(q) 5.2.1‬מוגדר היטב‪ ,‬כלומר אינו תלוי בהצגה של ‪ .q‬הדרכה‪ .‬מעל ‪ R‬זהו משפט‬
‫הסימנים של סילבסטר )ראה גם תרגיל ‪ ,(2.3.13‬שההוכחה שלו תקפה לכל שדה סדור; אפשר להוכיח‬
‫את הטענה גם ישירות ממשפט השרשרת של ויט עם מסקנה ‪ 3.3.8‬על הצגת תבניות מממד ‪.2‬‬
‫טענה ‪ 5.2.2‬סימן סילבסטר הוא אפימורפיזם של חוגים‪.signα (·) : W (F )→Z ,‬‬
‫‪50‬‬
‫‪ .5.3‬שדות פיתגוריים‬
‫פרק ‪ .5‬סדר ותבניות‬
‫הוכחה‪ .‬הסימן מוגדר היטב על אברי ) ‪ W (F‬מכיוון שהסימן של ⟩‪ ⟨1, −1‬הוא אפס‪ .‬קל לראות שהסימן שומר על‬
‫חיבור וכפל‪ .‬הפונקציה על משום שהסימן של ⟩‪ ⟨1‬הוא ‪.1‬‬
‫‬
‫הערה ‪ 5.2.3‬הסימן של ‪ q‬הוא אפס אם ורק אם ‪ q‬היפרבולית מעל הסגור הממשי של ‪.F‬‬
‫∼ )‪.W (E‬‬
‫תרגיל ‪ 5.2.4‬אם ‪ E‬שדה אוקלידי )ובפרט‪ :‬שדה סגור ממשית(‪ ,‬אז ‪= Z‬‬
‫תרגיל ‪ 5.2.5‬נסמן ב־ ‪ Fb‬את הסגור הממשי של ‪ .F‬אז האפימורפיזם של טענה ‪ 5.2.2‬הוא העתקת‬
‫הצמצום ‪.W (F )→W (Fb) = Z‬‬
‫למה ‪ 5.2.6‬יש התאמה חד־חד־ערכית ועל בין הסידורים של ‪ F‬לבין אידיאלים ראשוניים ) ‪ P ▹W (F‬כך‬
‫ש־ ‪.2 ̸∈ P‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ P‬אידיאל ראשוני כך ש־ ‪ .2 ̸∈ P‬לכל × ‪ a ∈ F‬מתקיים ‪,⟨⟨a⟩⟩⟨⟨−a⟩⟩ = ⟨⟨a, −a⟩⟩ = 0‬‬
‫ולכן ‪ ⟨⟨a⟩⟩ ∈ P‬או ‪ .⟨⟨−a⟩⟩ ∈ P‬נגדיר קבוצת חיוביים ‪ ,Q̃ ⊆ F‬לפי } ‪ ,Q̃ = {a : ⟨⟨a⟩⟩ ∈ P‬אז‬
‫× ‪ .Q̃ ∪ −Q̃ = F‬עלינו להוכיח שהקבוצה סגורה לכפל ולחיבור‪ .‬נניח ש־̃‪.a, b ∈ Q‬‬
‫‪ ⟨⟨ab⟩⟩ = ⟨⟨a⟩⟩ + ⟨a⟩⟨⟨b⟩⟩ ∈ P .1‬ולכן ̃‪.ab ∈ Q‬‬
‫‪ .2‬נסמן ‪ ⟨⟨a + b⟩⟩ = ⟨⟨abc⟩⟩ + ⟨−c⟩⟨⟨ab⟩⟩ .c = a + b‬ולכן‬
‫; ‪2⟨⟨c⟩⟩ = ⟨⟨c⟩⟩ + ⟨⟨abc⟩⟩ + ⟨−c⟩⟨⟨ab⟩⟩ = ⟨⟨a, b⟩⟩ + ⟨−c⟩⟨⟨ab⟩⟩ ∈ P‬‬
‫אבל ‪ ,2 ̸∈ P‬ומכאן ש־ ‪ ⟨⟨c⟩⟩ ∈ P‬ולכן ̃‪ ,a + b = c ∈ Q‬כפי שרצינו‪.‬‬
‫בכיוון ההפוך‪ ,‬תהי ̃‪ Q‬קבוצת חיוביים ב־ ‪ .F‬יהי ‪ P‬האידיאל הנוצר על־ידי כל התבניות ⟩⟩‪ ⟨⟨a‬עבור ̃‪.a ∈ Q‬‬
‫לפי ההגדרה ‪ P‬מוכל בגרעין של סימן סילבסטר ‪ signQ̃ (·) : W (F )→Z‬ומצד שני אם ⟩ ‪ ⟨a1 , . . . , an‬בעלת סימן‬
‫אפס‪ ,‬אפשר להציג אותה כסכום של יוצרים של ‪ ,P‬ולכן ‪ P‬שווה לגרעין‪ .‬מכיוון שחוג המנה ‪ Z‬הוא תחום שלמות‪,‬‬
‫‪ P‬ראשוני‪ .‬בנוסף ‪ 2 = ⟨1, 1⟩ ̸∈ P‬כי ‪.sign(⟨1, 1⟩) = 2‬‬
‫‬
‫) ‪ Harrison‬ו־‪ Lorenz-Leicht‬הוכיחו ב־‪ 1970‬שיש התאמה בין סידורים של ‪ F‬לאידיאלים ראשוניים‬
‫לא מקסימליים של ) ‪(.W (F‬‬
‫בעיה ‪ 5.2.7‬השלם את הוכחת למה ‪ :5.2.6‬הראה שההתאמות בין אידיאלים ראשוניים וסידורים‬
‫של השדה הופכות זו את זו‪.‬‬
‫‪5.3‬‬
‫שדות פיתגוריים‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .F 2 +‬מיד נובע ששדה‬
‫שדה ‪ F‬הוא פיתגורי אם כל סכום של ריבועים הוא ריבוע‪ ,‬כלומר ‪√F ⊆ F‬‬
‫פיתגורי ‪ F‬הוא ממשי פורמלית )כלומר ניתן לסידור( אם ורק אם ‪ . −1 ̸∈ F‬אומרים ששדה סגור‬
‫לריבועים אם ורק אם כל איבר בו הוא ריבוע )במאפיין שונה מ־‪ 2‬פירושו של דבר שאין לו הרחבות‬
‫ריבועיות(‪.‬‬
‫מתברר שפיתגוריות אפשר לאבחן באופן מלא בעזרת חוג ויט‪.‬‬
‫טענה ‪ 5.3.1‬התכונות הבאות שקולות עבור שדה ‪ F‬ממאפיין שונה מ־‪:2‬‬
‫‪ F .1‬הוא פיתגורי לא ממשי;‬
‫‪51‬‬
‫פרק ‪ .5‬סדר ותבניות‬
‫‪ .5.4‬מרחב הסידורים של שדה‬
‫‪ F .2‬סגור לריבועים;‬
‫∼ ) ‪.W (F‬‬
‫‪= Z/2Z .3‬‬
‫הוכחה‪ :(1)⇐(2) .‬לפי ההנחה כל איבר‪ ,‬לרבות ‪ ,−1‬הוא ריבוע‪.‬‬
‫√‬
‫‪a−1 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ a = ( a+1‬הוא סכום של ריבועים כי ‪ , −1 ∈ F‬ולכן ריבוע‪.‬‬
‫)‪ :(2)⇐(1‬יהי ‪ ,a ∈ F‬אז ) ‪2 ) − ( 2‬‬
‫)‪ :(3)⇐(2‬מכיוון שכל איבר הוא ריבוע יש רק תבנית חד־ממדית אחת‪ ,‬הלוא היא ⟩‪ .⟨1‬בנוסף‪ ,‬מכיוון ש־‪−1‬‬
‫ריבוע‪ 2 = ⟨1, 1⟩ = ⟨1, −1⟩ = 0 ,‬בחוג ויט‪.‬‬
‫×‬
‫∼‬
‫)‪ :(2)⇐(3‬לפי ההנחה ]⟩‪ [⟨a⟩] = [⟨1‬לכל ‪ ,a ∈ F‬ולכן ⟩‪ ⟨a⟩ = ⟨1‬ו־‪ a‬הוא ריבוע‪.‬‬
‫‬
‫טענה ‪ 5.3.2‬התכונות הבאות שקולות עבור שדה ‪ F‬ממאפיין שונה מ־‪:2‬‬
‫‪ F .1‬הוא פיתגורי ממשי;‬
‫‪ W (F ) .2‬חסר פיתול‪.‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ 2[q] = 0‬ב־) ‪ W (F‬אז ‪.[q] = 0‬‬
‫הוכחה‪ :(2)⇐(1) .‬נראה שבשדה פיתגורי ממשי‪ ,‬אם ‪ q‬תבנית איזוטרופית אז גם ‪ k · q‬איזוטרופית לכל ‪.k ≥ 1‬‬
‫ש־‬
‫∑‪ .q = ⟨a1 , . . . ,‬נניח ש־‪k · q‬‬
‫∑ ⟩ ‪an‬‬
‫≠ ]‪ .k · [q‬נכתוב‬
‫בפרט ∑‬
‫נובע ש־‪∑0‬‬
‫∑‬
‫איזוטרופית‪ ,‬אז יש ערכים ‪ xij ∈ F‬כך∑‬
‫) ‪ .0 = j ( i ai x2ij ) = i ai ( j x2ij‬לפי ההנחה אפשר לכתוב ‪ ,yi2 = j x2ij‬וקיבלנו ‪, i ai yi2 = 0‬‬
‫∑‬
‫אלא שהאיזוטרופיות של ‪ q‬גוררת ש־‪ yi = 0‬לכל ‪ .i‬אבל אם ‪ , i x2ij = 0‬בהכרח ‪ xij = 0‬לכל ‪.i, j‬‬
‫)‪ :(3)⇐(2‬טריוויאלי‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫∼‬
‫)‪ :(1)⇐(3‬כעת נניח ש־) ‪ W (F‬חסר פיתול‪ .‬יהיו ‪ ,a, b ∈ F‬ונסמן ‪ .c = a + b‬אז ⟩‪ ⟨1, 1⟩ = ⟨c, c‬לפי‬
‫‪2‬‬
‫מסקנה ‪ ,3.3.8‬ומכאן ש־‪ .2(⟨c⟩ − ⟨1⟩) = 0‬מכיוון שאין ‪2‬־פיתול‪ ⟨c⟩ = ⟨1⟩ ,‬ו־ × ‪ .c ∈ F‬לכן ‪ F‬פיתגורי‪ .‬אם‬
‫‪ F‬לא היה ממשי‪ ,‬אז ) ‪ W (F‬היה ‪2‬־מפותל לפי טענה ‪ ,5.3.1‬לכן ‪ F‬לא ממשי‪.‬‬
‫‬
‫‪5.4‬‬
‫מרחב הסידורים של שדה‬
‫בסעיף הקודם טיפלנו בסימן מעל לשדה סדור‪ .‬כעת נניח ש־ ‪ F‬סגור ממשית‪ ,‬כלומר ניתן לסידור‪ ,‬מן‬
‫הסתם בדרכים שונות‪ .‬נסמן ב־ ‪ OF‬את אוסף הדרכים לסדר את השדה ‪.F‬‬
‫תרגיל ‪ 5.4.1‬יש התאמה בין סידורים של השדה ‪ F‬לבין שיכונים של ‪ F‬בשדה סגור ממשית‪.‬‬
‫דוגמא ‪ 5.4.2‬מרחב הסידורים של שדה מספרים הוא סופי‪ .‬ביתר פירוט‪ ,‬יהי ‪ K‬שדה מספרים‪ ,‬כלומר‬
‫הרחבה סופית של ‪ .Q‬אז ‪ R⊗Q K‬הוא חוג )קומוטטיבי( ראשוני למחצה‪ ,‬ולכן מכפלה סופית של‬
‫תחומי שלמות‪ .‬מכיוון שזו גם אלגברה מממד סופי מעל ‪ ,R‬יש שלמים ‪ r, s‬כך ש־]‪,r + 2s = [K : Q‬‬
‫∼ ‪ .R⊗Q K‬יש ‪ r‬דרכים לסדר את ‪ ,K‬בהתאמה לשיכונים של ‪ K‬ב־‪.R‬‬
‫ו־ ‪= Rr × Cs‬‬
‫נגדיר על ‪ OF‬טופולוגיה‪ .‬כל סדר ‪ α ∈ OF‬משרה פונקציית סימן טבעית }‪ ,F × →{±1‬המגדירה‬
‫את הסדר‪ .‬זה נותן שיכון )}‪ .OF ,→ Maps(F × →{±1‬על המרחב‬
‫×‬
‫‪Maps(F × →{±1}) = {±1}F‬‬
‫יש טופולוגיה טבעית‪ ,‬הלוא היא טופולוגיית המכפלה‪ ,‬המוגדרת לפי תת־בסיס הכולל את הקבוצות‬
‫}‪ Ha = {f : F × →{±1} : f (a) = 1‬והמשלימות שלהן‪ .‬נזכיר שמרחב בוליאני הוא מרחב קומפקטי‪,‬‬
‫האוסדורף‪ ,‬שהוא בלתי קשיר לחלוטין )=מחלקות הקשירות הן נקודונים(‪ .‬לפי משפט המכפלה של‬
‫טיכונוף‪ Maps(F × →{±1}) ,‬קומפקטי‪ .‬לפי מבנה הבסיס‪ ,‬המרחב הזה גם האוסדורף ובלתי קשיר‬
‫לחלוטין‪ ,‬ולכן הוא בוליאני‪.‬‬
‫‪52‬‬
‫‪ .5.5‬הסימן הגלובלי‬
‫פרק ‪ .5‬סדר ותבניות‬
‫טענה ‪ OF 5.4.3‬הוא מרחב בוליאני‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬כל תת־מרחב סגור של מרחב בוליאני הוא בוליאני בעצמו‪ .‬לכן די להראות שהתמונה של ‪ OF‬סגורה ב־‬
‫)}‪ .Maps(F × →{±1‬תהי )}‪ f ∈ Maps(F × →{±1‬פונקציה שאינה מגדירה סידור של ‪ ,F‬אז יש ∈ ‪a, b, c‬‬
‫× ‪ F‬כך ש־‪ f (a) = f (b) = 1‬ו־‪ ,f (c) = −1‬למרות ש־}‪ .c ∈ {a + b, ab‬אבל אז ‪,f ∈ Ha ∩ Hb ∩ Hcc‬‬
‫שהיא קבוצה פתוחה שאינה נחתכת עם ‪.OF‬‬
‫‬
‫×‬
‫חיתוך קבוצות תת־הבסיס של ‪ {±1}F‬עם ‪ OF‬מספק תת־בסיס למרחב ‪ :OF‬אוסף הקבוצות‬
‫מהצורה }‪.H(a) = {α ∈ OF : a >α 0‬‬
‫הסימן הגלובלי‬
‫‪5.5‬‬
‫הסימן מגדיר עבור כל ) ‪ [q] ∈ W (F‬את פונקציית הסימן ‪ ,q̂ : OF →Z‬לפי )‪ .α 7→ signα (q‬ההתאמה‬
‫̂‪ q 7→ q‬מגדירה את הסימן הגלובלי‪ ,‬שהוא פונקציה מ־) ‪ W (F‬לחוג החזקה )‪.Maps(OF →Z‬‬
‫טענה ‪ 5.5.1‬הסימן הגלובלי הוא הומומורפיזם של חוגים‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬צריך להראות שלכל סדר ‪ signα (q ′ ⊥ q ′′ ) = signα (q ′ ) + signα (q ′′ ) ,α‬ו־= ) ‪signα (q ′ ⊗q ′′‬‬
‫) ‪ ;signα (q ′ )signα (q ′′‬זה נובע מההגדרה של )·( ‪.signα‬‬
‫‬
‫טענה ‪ 5.5.2‬לכל ) ‪ ,q ∈ W (F‬הפונקציה ‪ q̂ : OF →Z‬רציפה )ביחס לטופולוגיה הדיסקרטית של ‪.(Z‬‬
‫הוכחה‪ .‬מספיק להוכיח את הטענה עבור הפונקציות ⟩‪ ,q = ⟨a‬משום שסכום של פונקציות רציפות לחבורה הטופולוגית‬
‫‪ Z‬הוא פונקציה רציפה‪ .‬אבל )‪ ,q̂ −1 (−1) = H(−a) ,q̂ −1 (1) = H(a‬ואלו קבוצות פתוחות‪.‬‬
‫‬
‫אם כך‪ ,‬הסימן הגלובלי ̂‪ q 7→ q‬מהווה הומומורפיזם‬
‫‪c : W (F )→C(OF , Z),‬‬
‫כאשר )‪ C(OF , Z‬הוא חוג הפונקציות הרציפות מ־ ‪ OF‬ל־‪.Z‬‬
‫‪5.5.1‬‬
‫חוג ויט של שדה לא־ממשי‬
‫בעיה ‪ 5.5.3‬יהי ‪ t ∈ R‬איבר לא נילפוטנטי בחוג קומוטטיבי‪ .‬אז יש אידיאל ראשוני שאינו מכיל את‬
‫‪ .t‬הדרכה‪ .‬לפי הלמה של צורן יש אידיאל מקסימלי שאינו מכיל אף חזקה של ‪ .t‬הראה שהוא ראשוני‪.‬‬
‫טענה ‪ 5.5.4‬אם ‪ F‬שדה לא ממשי )כלומר אינו ניתן לסידור(‪ ,‬אז יש ‪ r‬כך ש־‪.2r = ⟨1, 1⟩r = 0‬‬
‫הוכחה‪ .‬אנו מוכיחים ש־‪ 2‬נילפוטנטי בחוג ויט‪ .‬נניח שלא‪ ,‬אז לפי תרגיל ‪ 5.5.3‬יש אידיאל ראשוני ‪ P‬כך ש־ ‪,2 ̸∈ P‬‬
‫ולפי למה ‪ 5.2.6‬האידיאל הזה משרה סדר של ‪ ,F‬בסתירה להנחה ש־ ‪ F‬אינו ניתן לסידור‪.‬‬
‫‬
‫נזכיר שחבורה ‪ G‬היא בעלת פיתול־‪ p‬אם הסדר של כל איבר ‪ g ∈ G‬הוא חזקה של ‪.p‬‬
‫מסקנה ‪ 5.5.5‬אם ‪ F‬שדה לא־ממשי‪ ,‬אז ) ‪ W (F‬הוא בעל פיתול־‪.2‬‬
‫‪53‬‬
‫‪ .5.5‬הסימן הגלובלי‬
‫‪5.5.2‬‬
‫פרק ‪ .5‬סדר ותבניות‬
‫חוג ויט של שדה אוקלידי‬
‫טענה ‪ 5.5.6‬אם ‪ F‬אוקלידי אז ‪ c‬הוא איזומורפיזם‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬יש סדר יחיד‪ ,‬ולכן ‪ .C(OF , Z) = Z‬אבל במקרה זה ‪ c : W (F )→Z‬הוא איזומורפיזם )תרגיל ‪.(5.2.4‬‬
‫‬
‫‪5.5.3‬‬
‫הגרעין של הסימן הגלובלי‬
‫בעזרת המקרים שטופלו בשני תת־הסעיפים הקודמים‪ ,‬נוכל כעת להוכיח שני משפטים מרכזיים על‬
‫הקשר בין תבניות לסידורים של השדה‪.‬‬
‫הערה ‪ 5.5.7‬תת־חבורת הפיתול של ) ‪ W (F‬מוכלת ב־)‪.Ker(c‬‬
‫הוכחה‪ .‬אם ) ‪ [q] ∈ W (F‬מפותל‪ ,‬אז )‪ c(q‬איבר מפותל של החבורה )‪ C(OF , Z‬שכמו ‪ Z‬היא חסרת פיתול‪ ,‬ולכן‬
‫‪.c(q) = 0‬‬
‫‬
‫משפט ‪ Ker(c) 5.5.8‬הוא בעל פיתול־‪.2‬‬
‫הוכחה‪ .‬תהי ‪ q‬תבנית שאינה ‪2‬־מפותלת; נבנה סידור ‪ α‬של ‪ F‬כך ש־‪ ,signα (q) ̸= 0‬וזה יוכיח ש־)‪.q ̸∈ Ker(c‬‬
‫לפי הלמה של צורן‪ ,‬יש הרחבה אלגברית מקסימלית ‪ K‬של ‪ F‬ביחס לתכונה ש־ ‪ qK‬לא ‪2‬־מפותלת‪.‬‬
‫‪.(5.5.5‬‬
‫)מסקנה‬
‫נוכיח ש־‪ K‬אוקלידי‪ .‬ראשית‪ K ,‬ניתן לסידור משום שאחרת כל תבנית מעל ‪ K‬היא ‪2‬־מפותלת‬
‫√‬
‫√‬
‫כעת יהי × ‪ .a ∈ K‬לפי טענה ‪ 5.1.6‬מספיק להוכיח ש־‪ a‬או ‪ −a‬ריבועים‪ .‬נניח שלא‪ ,‬אז ]‪ K[ a‬ו־]‪K[ −a‬‬
‫√ של ‪ qK ,K‬נעשית ‪2‬־מפותלת מעל שתיהן‪ .‬כלומר יש ‪ t‬כך ש־‪Q = 2t q‬‬
‫הרחבות של ‪ ,K‬ולפי המקסימליות‬
‫היפרבולית מעל שני השדות ]‪ .K[ ±a‬לפי טענה ‪ 2.5.6‬נובע ש־) ‪ ,±a ∈ G(QK‬ולכן ) ‪ ,−1 ∈ G(QK‬כלומר‬
‫‪ ,2t+1 qK = 2QK ∼ 0‬בסתירה לבחירת ‪.K‬‬
‫כעת יהי ‪ α‬הסידור האוקלידי של ‪ .K‬לפי סידור זה ‪ sign(q) ̸= 0‬כי ‪ qK‬אינה ‪2‬־מפותלת )ראה טענה ‪,(5.5.6‬‬
‫מש"ל‪.‬‬
‫‬
‫מסקנה ‪ 5.5.9‬התנאים הבאים שקולים עבור תבנית ‪ q‬מעל ‪:F‬‬
‫‪ [q] ∈ W (F ) .1‬איבר מפותל בחבורה החיבורית של חוג ויט‪.‬‬
‫‪ .2‬יש ‪ n‬כך ש־‪ n · q‬היפרבולית‪.‬‬
‫‪ .3‬יש תבנית פיסטר ⟩⟩‪ φ = ⟨⟨−1, . . . , −1‬כך ש־‪ φ⊗q‬היפרבולית‪.‬‬
‫‪.c(q) = 0 .4‬‬
‫‪ .5‬לכל סידור ‪ α‬של ‪.signα (q) = 0 ,F‬‬
‫‪ .6‬לכל סגור ממשי ‪ E‬של ‪ qE ,F‬היפרבולית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :(2) ⇔ (1) .‬זו ההגדרה של פיתול‪ :(4)⇐(2) .‬הערה ‪ :(3)⇐(4) .5.5.7‬משפט ‪:(6) ⇔ (4) .5.5.8‬‬
‫הערה ‪ :(5) ⇔ (4) .5.2.3‬ההגדרה של ‪ :(1)⇐(3) .c‬לפי ההנחה ‪ 2m q‬היפרבולית ל־‪ m‬מתאים‪.‬‬
‫‬
‫אם הופכים את תנאים ‪ 1‬ו־‪ 5‬במסקנה‪ ,‬מקבלים‪:‬‬
‫‪54‬‬
‫‪ .5.5‬הסימן הגלובלי‬
‫פרק ‪ .5‬סדר ותבניות‬
‫מסקנה ‪ 5.5.10‬הסדר של ) ‪ q ∈ W (F‬הוא אינסוף אם ורק אם יש סידור של ‪ F‬כך ש־‪.signα (q) ̸= 0‬‬
‫לפי טענה ‪ W (F ) ,5.3.2‬חסר פיתול‪ ,‬ולכן‬
‫מסקנה ‪ 5.5.11‬נניח ש־ ‪ F‬שדה פיתגורי‪.‬‬
‫)‪ c : W (F )→C(OF , Z‬הוא שיכון‪ .‬כלומר‪ ,‬מעל שדה פיתגורי‪ ,‬איבר בחוג ויט מאופיין באופן מלא‬
‫על־ידי הסימן הגלובלי שלו‪.‬‬
‫דוגמא ‪ 5.5.12‬את ‪ Q‬יש רק דרך אחת לסדר )כל מספר טבעי הוא סכום של ריבועים(‪ .‬לכן האפימורפיזם‬
‫של סימן סילבסטר הוא ‪ .W (Q)→W (R) = Z‬הגרעין של )‪ W (Q)→W (R‬נוצר )כחבורה( על־ידי‬
‫התבניות ⟩⟩‪ ⟨a⟩ · ⟨⟨b‬עבור ‪ ,b > 0‬ואכן ‪ 4⟨⟨b⟩⟩ = ⟨⟨−1, −1, b⟩⟩ ∼ 0‬לכל ‪ b > 0‬לפי משפט ארבעת‬
‫הריבועים של לגרנז'‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 5.5.13‬נניח שלשדה ‪ F‬יש בדיוק שני סידורים‪ .‬הראה שאידיאל הפיתול של ) ‪ W (F‬נוצר‬
‫)כאידיאל( על־ידי התבניות ⟩⟩‪ ⟨⟨b‬כאשר ‪ b‬חיובי לחלוטין‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 5.5.14‬נניח שלשדה ‪ F‬יש בדיוק שלושה סידורים‪ .‬הראה שאידיאל הפיתול של‬
‫) ‪ W (F‬נוצר )כאידיאל( על־ידי התבניות ⟩⟩‪ ⟨⟨b‬כאשר ‪ b‬חיובי לחלוטין‪ ,‬ו־⟩⟩ ‪ ⟨⟨b, b′‬כאשר‬
‫)‪ c(b) = (+, +, −‬ו־)‪.c(b′ ) = (+, −, +‬‬
‫בעיה ‪ 5.5.15‬התבניות ⟩⟩ ‪ ,⟨⟨a1 , . . . , at‬עם ‪H(ai ) = OF‬‬
‫אידיאל הפיתול?‬
‫‪5.5.4‬‬
‫∪‬
‫‪ ,‬כולן מפותלות‪ .‬האם הן יוצרות את‬
‫הקו־גרעין של הסימן הגלובלי‬
‫נסמן ב־ ‪ χB‬את הפונקציה המציינת של תת־קבוצה ‪ .B ⊆ OF‬כזכור‪ ,‬הקבוצות = )‪H(a‬‬
‫}‪ {α ∈ OF : a >α 0‬מהוות תת־בסיס למרחב הטופולוגי ‪ ,OF‬ולכן הקבוצות = ) ‪H(a1 , . . . , an‬‬
‫) ‪ H(a1 ) ∩ · · · ∩ H(an‬מהוות לו בסיס‪.‬‬
‫טענה ‪ 5.5.16‬תהי ‪ B ⊆ OF‬קבוצה פתוחה וסגורה‪ .‬אז יש ‪ n ≥ 0‬ותבנית ) ‪ q ∈ I n (F‬כך ש־‬
‫̂‪.2n χB = q‬‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן ב־‪ F‬את אוסף תת־הקבוצות הפתוחות־וסגורות של ‪ OF‬שעבורן הטענה נכונה‪.‬‬
‫הבסיס שייכות ל־‪ .F‬יהיו × ‪ .a1 , . . . , an ∈ F‬נסמן ⟩⟩ ‪ ,q = ⟨⟨−a1 , . . . , −an‬אז‬
‫ראשית נראה‬
‫שקבוצות {‬
‫‪n a ,...,a > 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪α‬‬
‫= )‪ ,q̂(α‬כלומר ) ‪ .q̂ = 2n χH(a1 ,...,an‬מכאן ש־‪.H(a1 , . . . , an ) ∈ F‬‬
‫‪0‬‬
‫אחרת‬
‫שנית‪ ,‬נראה ש־‪ F‬סגור לאיחוד‪ .‬אכן‪ ,‬נניח ש־‪ .B1 , B2 ∈ F‬אז יש מספר טבעי ‪ m‬ותבניות ) ‪q1 , q2 ∈ I m (F‬‬
‫כך ש־ ‪ .qˆi = 2m χBi‬נסמן ) ‪ ,[q] = 2m [q1 ] + 2m [q2 ] − [q1 ][q2 ] ∈ I 2m (F‬ונחשב ש־‬
‫) ‪= 22m (χB1 + χB2 − χB1 χB2‬‬
‫‪22m χB1 ∪B2‬‬
‫‪= 2m qˆ1 + 2m qˆ2 − qˆ1 qˆ2 = q̂.‬‬
‫לבסוף‪ ,‬תהי ‪ B‬קבוצה פתוחה וסגורה כלשהי‪ .‬כתת־קבוצה סגורה של ‪ B ,OF‬קומפקטית‪ .‬לכן היא איחוד סופי של‬
‫קבוצות בסיס‪ ,‬ומכאן ש־‪.B ∈ F‬‬
‫‬
‫הערה ‪ 5.5.17‬לכל סדר של ‪ F‬ולכל ) ‪ .2n | sign(q) ,q ∈ I n (F‬זאת מפני ש־‪ q‬היא סכום של תבניות‬
‫פיסטר מסדר ‪) n‬מסקנה ‪ ,(2.3.17‬והסימן של תבנית פיסטר‪ ,‬כפי שראינו בהוכחת המשפט‪ ,‬הוא או אפס‬
‫או ‪.2n‬‬
‫מסקנה ‪ 5.5.18‬לכל ‪ B ⊆ OF‬פתוחה וסגורה‪ χB ∈ C(OF , Z)/Im(c) ,‬היא ‪2‬־מפותלת )לפי‬
‫טענה ‪.(5.5.16‬‬
‫‪55‬‬
‫פרק ‪ .5‬סדר ותבניות‬
‫‪ .5.5‬הסימן הגלובלי‬
‫משפט ‪ 5.5.19‬המנה )‪ coKer(c) = C(OF , Z)/Im(c‬היא ‪2‬־מפותלת‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬עלינו להראות שלכל פונקציה רציפה ‪ f : OF →Z‬יש ‪ r‬ותבנית ) ‪ q ∈ W (F‬כך ש־̂‪ .2r f = q‬מכיוון‬
‫ש־ ‪ OF‬קומפקטי‪ f ,‬חסומה‪ ,‬ולכן היא צירוף לינארי סופי של פונקציות מציינות על הקבוצות )}‪ .Bi = f −1 ({i‬לכן‬
‫די להוכיח את הטענה עבור פונקציות מהצורה ‪ ,f = χB‬כאשר ‪ B‬קבוצה פתוחה וסגורה ב־ ‪ ,OF‬וזו מסקנה ‪.5.5.18‬‬
‫‬
‫שילוב משפטים ‪ 5.5.8‬ו־‪ 5.5.19‬מספק את התאור הבא לחבורה האדיטיבית של ) ‪:W (F‬‬
‫∼ ) ‪ W (F‬כאשר ) ‪ Wt (F‬היא תת־החבורה של האברים‬
‫מסקנה ‪= Wt (F ) ⊕ P ([9, cor. 5.8]) 5.5.20‬‬
‫המפותלים‪ ,‬ו־ ‪ P‬היא חבורה אבלית חופשית שדרגתה )‪.rankP = rank C(OF , Z‬‬
‫‪56‬‬
‫פרק ‪6‬‬
‫תבניות פיסטר‬
‫בהגדרה ‪ 2.3.16‬הגדרנו את תבניות פיסטר מסדר ‪ ,⟨⟨a1 , . . . , an ⟩⟩ = ⟨⟨a1 ⟩⟩⊗ · · · ⊗⟨⟨an ⟩⟩ ,n‬כאשר‬
‫⟩‪ .⟨⟨a⟩⟩ = ⟨1, −a‬ראינו ש־) ‪ I n (F‬נוצר‪ ,‬כחבורה חיבורית‪ ,‬על־ידי התבניות מסדר ‪ .n‬פרק זה מוקדש‬
‫לתכונות יוצאות הדופן של תבניות פיסטר‪.‬‬
‫‪6.1‬‬
‫נוסחאות מכפלה‬
‫הדוגמא המוכרת ביותר לתבנית פיסטר היא התבנית ⟩⟩‪ ,⟨⟨−1, . . . , −1‬שהיא סכום של ‪ 2n‬ריבועים‪.‬‬
‫בסעיף הראשון נדון בכפליות של קבוצת הערכים של תבניות כאלה‪.‬‬
‫אוילר הראה שראשוני ‪ p‬ניתן להצגה כסכום של שני ריבועים אם ורק אם ‪ p = 2‬או ‪p ≡ 1‬‬
‫)‪ .(mod 4‬בעזרת נוסחת המכפלה‬
‫‪(x21 + x22 )(y12 + y22 ) = (x1 y1 + x2 y2 )2 + (x1 y2 − x2 y1 )2‬‬
‫בדיוק אלו מספרים ניתנים להצגה כסכום של שני ריבועים‪ .‬הזהות הזו שקולה‬
‫הוא יכול היה לקבוע √‬
‫לכך שהנורמה ‪ N : Q[ −1]→Q‬היא כפלית‪.‬‬
‫פרמה שער שכל מספר טבעי הוא סכום של ארבעה ריבועים‪ .‬אוילר‪ ,‬שניסה להוכיח את‬
‫ההשערה‪ ,‬גילה ב־‪ 1743‬נוסחת כפל עבור סכום של ארבעה משתנים‪ .‬לגרנז' נעזר בנוסחה זו ב־‪1770‬‬
‫כשהשלים את הוכחת משפט ארבעת הריבועים‪ ,‬הנקרא היום על שמו‪ .‬כשהמילטון גילה ב־‪1843‬‬
‫את הקווטרניונים‪ ,‬הוא חשף דרך חדשה לפרש את נוסחת הכפל של ארבעה ריבועים‪ :‬ככפליות‬
‫של תבנית הנורמה באלגברות קווטרניונים‪ .‬גרייבס )‪ (Graves‬וקיילי )‪ (Cayley‬גילו את אלגברות‬
‫האוקטוניונים זמן קצר אחר־כך )הראשון כתב על כך להמילטון כבר בסוף ‪ ,1843‬אך פרסם את‬
‫התגלית רק ב־‪ ,1848‬וכך יוחסה הבכורה לקיילי שפרסם את האוקטוניונים ב־‪ .(1845‬אחד מפירות‬
‫המבנה האלגברי החדש היה נוסחאות כפל לסכומים של שמונה ריבועים‪.‬‬
‫לנוסחאות הכפל האלו אין אנלוג לסכום של שלושה ריבועים‪ .‬והראיה‪ 3 ,‬ו־‪ 5‬הם סכומים‬
‫של שלושה ריבועים‪ ,‬אבל המכפלה ‪ 15‬איננה כזו‪ .‬נסיונות להכליל את הנוסחאות האלה לסכום‬
‫של ‪ 16‬ריבועים וכדומה‪ ,‬נכשלו‪ .‬משפט ‪ Hurwitz‬מסביר מדוע‪ :‬אין פולינומים ∈ ‪z1 , . . . , zn‬‬
‫] ‪ F [x1 , . . . , xn ][y1 , . . . , yn‬כך ש־ ‪ ,(x21 + · · · + x2n )(y12 + · · · + yn2 ) = z12 + · · · + zn2‬אלא אם‬
‫‪.n = 1, 2, 4, 8‬‬
‫משפט ‪) 6.1.1‬משפט ‪ (1898 ,Hurwitz‬יהי ‪ F‬שדה ממאפיין ≠ ‪ .2‬נניח שיש תבניות בילינאריות‬
‫‪ z1 , . . . , zn : (F x1 + · · · + F xn ) × (F y1 + · · · + F yn )→F‬כך ש־‬
‫‪(x21 + · · · + x2n )(y12 + · · · + yn2 ) = z12 + · · · + zn2 .‬‬
‫אז ‪.n = 1, 2, 4, 8‬‬
‫‪57‬‬
‫)‪(6.1‬‬
‫פרק ‪ .6‬תבניות פיסטר‬
‫‪ .6.1‬נוסחאות מכפלה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הוכחה‪ .‬נכתוב ‪ = AY‬‬
‫צירופים לינאריים של ה־ ‪.xk‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪z1‬‬
‫‪a11 · · · a1n‬‬
‫‪y1‬‬
‫‪ .. ‬‬
‫‪ ..‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪..   ...‬‬
‫‪ ,Z =  .  =  .‬כאשר המקדמים‬
‫‪zn‬‬
‫‪an1 · · · ann‬‬
‫‪yn‬‬
‫את סכום הריבועים אפשר להציג כמכפלה סקלרית‪ ,‬ולקבל‬
‫‪ aij‬הם‬
‫) ‪(x21 + · · · + x2n )(y1 , . . . , yn )t (y1 , . . . , yn ) = (z1 , . . . , zn )t (z1 , . . . , zn‬‬
‫‪= (y1 , . . . , yn )t At A(y1 , . . . , yn ).‬‬
‫מהשוואת התבניות הריבועיות ב־ ‪ ,y1 , . . . , yn‬נובע השוויון‬
‫‪At A = (x21 + · · · + x2n )In .‬‬
‫‪ ,A = A1 x1 + · · · + A‬כאשר‬
‫‪ ,x‬אפשר לפרק ‪∑n xn‬‬
‫מכיוון שכל רכיב של ‪ A‬הוא צירוף ליניארי של ‪∑1 , .2. . , xn‬‬
‫= ‪ , Ai t Aj xi xj‬כלומר‬
‫) ‪ .A1 , . . . , An ∈ Mn (F‬השוויון שלנו הופך להיות ‪xk‬‬
‫; ‪Ai t Ai = In‬‬
‫)‪(6.2‬‬
‫)‪(6.3‬‬
‫)‪(i ̸= j‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪Ai Aj + Aj Ai = 0‬‬
‫אם ‪ n = 1‬אין מה להוכיח )אפשר לבחור )‪ .(A1 = (1‬נניח אם כך ש־‪ .n ≥ 2‬נתבונן ב־‪ n − 1‬המטריצות‬
‫‪ ;i = 1, . . . , n − 1 ,Bi = An t Ai‬הן מקיימות‬
‫)‪(6.4‬‬
‫; ‪Bi t = −Bi‬‬
‫)‪(6.5‬‬
‫; ‪= −In‬‬
‫)‪(6.6‬‬
‫‪(i ̸= j).‬‬
‫‪= −Bj Bi‬‬
‫‪Bi2‬‬
‫‪Bi Bj‬‬
‫מכך ש־ ‪ Bi‬הן אנטי־סימטריות והפיכות‪ ,‬נובע שהממד ‪ n‬הוא זוגי‪.‬‬
‫תהי } ‪ G = {In , B1 , . . . , Bn−1 , B1 B2 , . . . , Bn−2 Bn−1 , . . .‬קבוצת כל המכפלות המסודרות של‬
‫מטריצות מהרשימה ‪ ;B1 , . . . , Bn−1‬ב־‪ G‬יש ‪ 2n−1‬מטריצות‪ ,‬ו־‪ G ∪ −G‬היא חבורה )השווה לטענה ‪ 3.4.28‬על‬
‫הבסיס של אלגברות קליפורד(‪ .‬אברי ‪ G‬הם מטריצות סימטריות או אנטי־סימטריות‪ ,‬בהתאם לאורך‪ :‬מכפלות באורך‬
‫)‪ ≡ 0, 3 (mod 4‬הן סימטריות‪ ,‬ומכפלות באורך )‪ ≡ 1, 2 (mod 4‬הן אנטי־סימטריות‪ .‬מכיוון שכפל ביוצר יכול‬
‫להאריך או לקצר מכפלה )תלוי אם הוא משתתף בה או שאינו משתתף(‪ ,‬לכל ‪ g ∈ G‬פרט ל־‪ I‬ולמכפלה המלאה‬
‫‪ B1 · · · Bn−1‬יש יוצר ‪ Bi‬כך ש־‪ Bi g‬מאותו טיפוס סימטריה כמו ‪.g‬‬
‫נאמר שיחס ליניארי בין אברים של ‪ G‬הוא מינימלי אם אין יחס קצר יותר בין האברים המשתתפים בו‪ .‬כפולה‬
‫של יחס מינימלי באיבר של ‪ G‬נותנת יחס שגם הוא מינימלי‪ .‬מחיבור היחס עם היחס המתקבל משחלוף שלו‪ ,‬נובע‬
‫שהמטריצות המשתתפות ביחס מינימלי הן או כולן סימטריות או כולן אנטיסימטריות‪ .‬נתבונן ביחס מינימלי בין אברי ‪.G‬‬
‫נכפיל את היחס באחת המטריצות המשתתפות בו‪ ,‬ונקבל יחס שמשתתפת בו מטריצת היחידה‪ ,‬ולכן כל אבריו סימטריים‪.‬‬
‫אם נכפיל את היחס הזה באחד ה־ ‪ ,Bi‬נקבל יחס שיש לו רכיב אנטי־סימטרי‪ ,‬ולכן כל רכיביו אנטי־סימטריים; אבל לכל‬
‫רכיב ‪ g‬פרט ל־‪ I‬ולמכפלה המלאה יש יוצר ‪ Bi‬כך ש־‪ Bi g‬סימטרי‪ ,‬ומכאן שאיבר כזה אינו יכול להופיע ביחס‪ .‬מכאן‬
‫שיחס מינימלי‪ ,‬עד כדי כפל באיבר של ‪ ,G‬הוא מהצורה ‪.I = αB1 · · · Bn−1‬‬
‫‪n−1‬‬
‫היחס ‪ I = αB1 · · · Bn−1‬וכפולותיו מאפשרים להחליף כל מכפלה של יותר מ־ ‪ 2‬מטריצות במכפלה של‬
‫‪ n−1‬מטריצות‪ ,‬וכפי שראינו‪ ,‬בין המטריצות הקצרות לא קיים יחס לינארי‪ .‬כלומר‪ ,‬הן בלתי תלויות‪ ,‬ומכאן‬
‫פחות מ־ ‪2‬‬
‫שמספרן ‪ 2n−2‬חסום על־ידי ממד מרחב המטריצות שהוא ‪ .n2‬אי־השוויון ‪ 2n−2 ≤ n2‬מתקיים רק כאשר ‪.n ≤ 8‬‬
‫כבר הראינו ש־‪ n‬זוגי‪ ,‬ולכן נשאר לפסול רק את המקרה ‪.n = 6‬‬
‫אכן‪ ,‬אם ‪ n = 6‬אז המכפלה המלאה ‪ B1 · · · B5‬היא אנטי־סימטרית‪ ,‬ולכן לא קיים יחס מינימלי‪ ,‬כלומר כל ‪25‬‬
‫המטריצות בלתי־תלויות‪ .‬יש ‪ 5 + 10 + 1 = 16‬מכפלות באורך ‪ ,1, 2, 5‬שהן אנטי־סימטריות‪ ,‬יותר מממד מרחב‬
‫)‪ . 6(6−1‬לכן ההנחה שהמטריצות ‪ B1 , . . . , B5‬קיימות‬
‫המטריצות האנטי־סימטריות ב־) ‪ M6 (F‬שהוא רק ‪= 15‬‬
‫‪2‬‬
‫מביאה במקרה זה לסתירה‪.‬‬
‫‬
‫‪58‬‬
‫‪ .6.2‬ערכים של תבנית‬
‫פרק ‪ .6‬תבניות פיסטר‬
‫סכומים של ‪ n = 2, 4, 8‬אברים‪ ,‬נקבע מרחב וקטורי‬
‫תרגיל ‪ 6.1.2‬באשר לנוסחאות הכפל עבור‬
‫∑‬
‫‪ V‬בגודל ‪ .n‬לכל ‪ i ∈ V‬נגדיר ‪ .zi = j∈V ϵij xj yi+j‬נניח שהנוסחה )‪ (6.1‬מתקיימת‪ .‬הראה‬
‫שכל ‪ .ϵij = ±1‬הראה שיש בדיוק ‪ 23‬נוסחאות אפשריות עבור ‪ 28 ,n = 2‬נוסחאות כאלו עבור‬
‫‪ ,n = 4‬ו־ ‪ 219‬עבור ‪.n = 8‬‬
‫בעיה ‪ 6.1.3‬לסכום של כמה ריבועים יש נוסחאות מכפלה כאשר ‪?charF = 2‬‬
‫‪6.2‬‬
‫ערכים של תבנית‬
‫בהמשך נראה שעבור תבנית פיסטר‪ ,‬בניגוד למקרה הכלל‪ ,‬הקשר בין הערכים לגורמי הדמיון הוא‬
‫חזק במיוחד‪ .‬בסעיף הזה נאסוף כמה תכונות פשוטות של קבוצת הערכים‪.‬‬
‫הגדרה ‪ D(q) = {q(u) : q(u) ̸= 0} 6.2.1‬קבוצת הערכים של ‪.q‬‬
‫החבורה × ‪ G(q) ⊆ F × /F‬הוגדרה בסעיף ‪.2.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ G(q) .1‬פועלת על )‪ :D(q‬אם )‪ g ∈ G(q‬ו־)‪ c ∈ D(q‬אז )‪gc ∈ D(⟨g⟩q) = D(q‬‬
‫הערה ‪6.2.2‬‬
‫ולכן )‪.gc ∈ D(q‬‬
‫‪ .2‬בפרט אם )‪ 1 ∈ D(q‬אז )‪.G(q) ⊆ D(q‬‬
‫אכן‪,‬‬
‫דוגמא ‪ 6.2.3‬עבור תבנית פיסטר מסדר ראשון ⟩⟩‪.D(q) = G(q) ,q = ⟨⟨a‬‬
‫)‪ G(q) ⊆ D(q‬כי ‪ 1‬הוא ערך של התבנית‪ ,‬ומצד שני לכל ערך )⟩⟩‪ c ∈ D(⟨⟨a‬מתקיים‬
‫∼ ⟩⟩‪ ⟨⟨a‬לפי מסקנה ‪.3.3.8‬‬
‫∼ ⟩‪= ⟨1, −a‬‬
‫∼ ⟩‪= ⟨c, −ac‬‬
‫⟩⟩‪= ⟨c⟩⟨⟨a‬‬
‫במסקנה ‪ 3.3.8‬ראינו שעבור תבנית מממד ‪ ,2‬כל ערך יכול להופיע כמקדם בהצגה אלכסונית של‬
‫התבנית‪ .‬תכונה זו נכונה באופן כללי‪ :‬כל הערכים של תבנית מופיעים בהצגות האלכסוניות שלה‪.‬‬
‫טענה ‪ 6.2.4‬תהי ‪ q‬תבנית מעל ‪ ,F‬ויהי × ‪ .a ∈ F‬אז )‪ a ∈ D(q‬אם ורק אם יש ל־‪ q‬הצגה אלכסונית‬
‫⟩ ‪.q = ⟨a, b2 , . . . , bn‬‬
‫הוכחה‪ .‬אם ⟩ ‪ ,q = ⟨a, b2 , . . . , bn‬ברור ש־)‪ .a ∈ D(q‬בכיוון ההפוך אם )‪ a = q(u‬אז אפשר לפרק‬
‫⊥‪ ,V = F u ⊥ u‬ולהציג את הצמצום של ‪ q‬ל־ ⊥‪ u‬בצורה אלכסונית ⟩ ‪.⟨b2 , . . . , bn‬‬
‫‬
‫‪6.3‬‬
‫הצגות של תבניות פיסטר‬
‫למה ‪ 6.3.1‬הצגות של תבנית פיסטר מסדר ‪:2‬‬
‫∼ ⟩⟩‪.⟨⟨a, b‬‬
‫‪ .1‬אם )⟩⟩‪ c ∈ D(⟨⟨a‬אז ⟩⟩‪= ⟨⟨a, bc‬‬
‫∼ ⟩⟩‪.⟨⟨a, b‬‬
‫‪ .2‬אם )⟩‪ d ∈ D(⟨a, b‬אז ⟩⟩‪= ⟨⟨d, ab‬‬
‫∼ ⟩⟩‪ ,⟨⟨a‬כלומר ‪.⟨⟨c⟩⟩⟨⟨a⟩⟩ ∼ 0‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫‪ .1‬לפי מסקנה ‪= ⟨c⟩⟨⟨a⟩⟩ 6.2.3‬‬
‫)למה ‪ ,⟨⟨b⟩⟩ ⊥ ⟨⟨c⟩⟩ ∼ ⟨⟨bc⟩⟩ ⊥ ⟨⟨b, c⟩⟩ (3.3.3‬וכשנכפיל ב־⟩⟩‪ ⟨⟨a‬נקבל‬
‫לפי הכמעט־אדיטיביות‬
‫;⟩⟩‪⟨⟨a, c⟩⟩ ∼ ⟨⟨a, b⟩⟩ ⊥ ⟨⟨a, c⟩⟩ ∼ ⟨⟨a, bc⟩⟩ ⊥ ⟨⟨a, b, c⟩⟩ ∼ ⟨⟨a, bc‬‬
‫אבל התבניות מאותו ממד‪.‬‬
‫‪59‬‬
‫פרק ‪ .6‬תבניות פיסטר‬
‫‪ .6.3‬הצגות של תבניות פיסטר‬
‫‪ .2‬שוב בעזרת מסקנה ‪,6.2.3‬‬
‫⟩‪⟨1, −a, −b, ab‬‬
‫⟩‪⟨1⟩ ⊥ ⟨−1⟩⟨a, b⟩ ⊥ ⟨ab‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫‪⟨1⟩ ⊥ ⟨−1⟩⟨d, abd⟩ ⊥ abd2‬‬
‫‪⟨⟨d, abd⟩⟩.‬‬
‫∼‬
‫=‬
‫∼‬
‫=‬
‫⟩⟩‪⟨⟨a, b‬‬
‫∼‬
‫=‬
‫∼‬
‫=‬
‫‬
‫תהי ‪ φ‬תבנית פיסטר‪ .‬היא מכילה את ⟩‪ ⟨1‬כתת־תבנית‪ .‬מסמנים ב־ ‪ φ′‬את תת־התבנית מממד‬
‫∼ ‪ φ‬הן תבניות פיסטר‪ ,‬נאמר ש־ ‪ φ1‬מחלק את‬
‫∼ ‪ .φ‬אם ‪= φ1 ⊗φ2‬‬
‫‪ dim(φ) − 1‬שעבורה ‪= ⟨1⟩ ⊥ φ′‬‬
‫‪ .φ‬ראינו )טענה ‪ (6.2.4‬שתבנית ריבועית ‪ q‬אפשר להציג בצורה ⟩‪ ⟨a, . . .‬אם ורק אם ‪ a‬הוא ערך של‬
‫‪ .q‬אם נתונה תבנית פיסטר‪ ,‬מהם הערכים ‪ a‬שעבורם אפשר להציג את ‪ φ‬בצורה ⟩⟩‪ ?⟨⟨a, . . .‬על‬
‫שאלה זו עונה המשפט הבא‪.‬‬
‫משפט ‪) 6.3.2‬משפט תת־התבנית הטהורה( תהי ‪ φ‬תבנית פיסטר מסדר ‪ ,n‬ויהי × ‪ .a ∈ F‬אז ⟩⟩‪ ⟨⟨a‬מחלק‬
‫את ‪ φ‬אם ורק אם ) ‪.−a ∈ D(φ′‬‬
‫∼ ‪ .φ′‬נוכיח את הכיוון ההפוך‪,‬‬
‫∼ ‪ φ‬אז ברור ש־‪ −a‬הוא ערך של ⟩‪= ⟨−a, b2 , . . .‬‬
‫הוכחה‪ .‬אם ⟩⟩ ‪= ⟨⟨a, b2 , . . . , bn‬‬
‫‪′‬‬
‫באינדוקציה על ‪ .n‬אם ‪ ,n = 1‬אז ⟩ ‪ φ = ⟨⟨a1 ⟩⟩ = ⟨1, −a1‬ו־⟩ ‪ .φ = ⟨−a1‬ההנחה )⟩ ‪−a ∈ D(⟨−a1‬‬
‫פירושה ש־⟩‪ ⟨−a1 ⟩ = ⟨−a‬ואז ⟩⟩‪.φ = ⟨⟨a‬‬
‫נניח שהטענה נכונה עבור ‪ ,n − 1‬ונוכיח אותה לתבנית מסדר ‪ .n‬כל תבנית פיסטר היא מכפלת תבניות פיסטר‬
‫מסדר ‪ ,1‬ולכן יש תבנית פיסטר ‪ t‬מסדר ‪ ,n − 1‬וסקלר × ‪ ,π ∈ F‬כך ש־‪ .φ = t⊗⟨⟨π⟩⟩ = t ⊥ ⟨−π⟩t‬מכאן‬
‫נובע ש־‪ .φ′ = t′ ⊥ ⟨−π⟩t‬לפי ההנחה‪ −a ,‬הוא ערך של התבנית ‪ ,φ′‬כלומר אפשר לכתוב‬
‫‪−a = −α′ + πβ,‬‬
‫כאשר ‪ −α′‬הוא ערך של ‪ t′‬ו־‪ −β‬הוא ערך של ‪ ;t‬כלומר ‪ β = −c2 + β ′‬כאשר ‪ −β ′‬הוא ערך של ‪ .t′‬אם‬
‫‪ β = 0‬אז ‪ −a = −α′‬הוא ערך של ‪ ,t′‬ולפי הנחת האינדוקציה ‪ t‬מתחלק ב־⟩⟩‪ ;⟨⟨a‬לכן אפשר להניח ‪.β ̸= 0‬‬
‫∼ ⟩⟩‪ ,⟨⟨−βπ‬כך שהטענה הזו ברורה‪.‬‬
‫∼ ‪ .φ‬אם ‪ β ′ = 0‬אז ‪ β = −c2‬ו־⟩⟩‪= ⟨⟨π‬‬
‫נראה ש־⟩⟩‪= t⊗⟨⟨−βπ‬‬
‫לכן נניח ‪.β ′ ̸= 0‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫∼‬
‫מכיוון ש־ ‪ −β ′‬הוא ערך של ‪ ,t‬אפשר לפי הנחת האינדוקציה לכתוב ⟩⟩ ‪) t = s⊗⟨⟨β‬כאשר ‪ s‬תבנית פיסטר‬
‫מסדר ‪ .(n − 2‬בנוסף‪ −β = c2 − β ′ ,‬הוא ערך של התבנית ⟩⟩ ‪ ,⟨⟨β ′‬ולפי למה )‪6.3.1.(1‬‬
‫⟨⟨‬
‫⟩⟩‬
‫⟨⟨‬
‫⟩⟩‬
‫∼ ‪φ = t⊗⟨⟨π⟩⟩ = s⊗ β ′ , π‬‬
‫‪= s⊗ β ′ , −βπ = t⊗⟨⟨−πβ⟩⟩.‬‬
‫אם ‪ ,α′ = 0‬גמרנו כי ‪ .a = −πβ‬לכן נניח ‪ .α′ ̸= 0‬לפי הנחת האינדוקציה‪ ,‬מכיוון ש־ ‪ −α′‬הוא ערך של ‪,t′‬‬
‫⟩⟩ ‪ ⟨⟨α′‬מחלק את ‪ ,t‬ולכן ⟩⟩‪ ⟨⟨α′ , −πβ‬מחלק את ‪ .φ‬אבל ‪ a = α′ − πβ‬הוא ערך של התבנית ⟩‪,⟨α′ , −πβ‬‬
‫ומלמה )‪ 6.3.1.(2‬מקבלים ש־‪ φ‬מתחלק ב־‬
‫‪⟨⟨ ′‬‬
‫⟨⟨ ⟩⟩‬
‫⟩⟩‬
‫∼ ‪α , −πβ‬‬
‫‪= a, −πα′ β ,‬‬
‫כך ש־⟩⟩‪ ⟨⟨a‬מחלק את ‪.φ‬‬
‫‬
‫‪60‬‬
‫פרק ‪ .6‬תבניות פיסטר‬
‫‪6.4‬‬
‫‪ .6.4‬המשפטים המרכזיים‬
‫המשפטים המרכזיים‬
‫כעת אפשר להוכיח את המשפט המרכזי על תבניות פיסטר‪.‬‬
‫משפט ‪ 6.4.1‬תהי ‪ φ‬תבנית פיסטר‪ .‬אם ‪ φ‬איזוטרופית‪ ,‬היא היפרבולית‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח ש־‪ φ‬איזוטרופית‪ .‬אז יש לה תת־תבנית היפרבולית‪ ,‬כלומר ‪.⟨1, −1⟩ ⊥ · · · = φ = ⟨1⟩ ⊥ φ′‬‬
‫לכן ⟩‪ ⟨−1‬היא תת־תבנית של ‪ ,φ′‬ו־‪ −1‬הוא ערך של ‪ .φ′‬לפי משפט ‪ ⟨⟨1⟩⟩ ,6.3.2‬מחלק את ‪ ,φ‬ומיד נובע‬
‫ש־‪ φ = ⟨1, −1⟩⊗t = t ⊥ −t‬היפרבולית‪.‬‬
‫‬
‫משפט ‪ 6.4.2‬תהי ‪ φ‬תבנית פיסטר‪ .‬אז )‪.D(φ) = G(φ‬‬
‫הוכחה‪ .‬לאור הערה ‪ 6.2.2‬די להוכיח שכל ערך )‪ c ∈ D(φ‬הוא גורם דמיון‪ .‬נכתוב )‪ ,c = φ(u‬אז = ‪⟨⟨c⟩⟩⊗φ‬‬
‫‪ φ ⊥ −cφ‬היא איזוטרופית כי ‪ ,φ(u) − cφ(1, 0, . . . , 0) = 0‬ולפי משפט ‪ 6.4.1‬התבנית ‪ ⟨⟨c⟩⟩φ‬היפרבולית‪.‬‬
‫∼ ‪.φ‬‬
‫היינו‪ φ ⊥ −cφ ∼ 0 ,‬בחוג ויט‪ ,‬ולכן ‪= cφ‬‬
‫‬
‫אבל )‪ G(φ‬היא חבורה‪ ,‬ולכן‪:‬‬
‫מסקנה ‪ 6.4.3‬לכל תבנית פיסטר ‪ ,φ‬אם )‪ a, b ∈ D(φ‬אז גם )‪.ab ∈ D(φ‬‬
‫בסעיף ‪ 7.2‬נוכיח את הכיוון ההפוך‪ :‬רק לתבניות פיסטר קבוצת הערכים היא חבורה באופן‬
‫סימבולי‪.‬‬
‫‪6.5‬‬
‫רמה של שדה‬
‫נציג את אחת המסקנות היפות של תכונת הכפליות של תבניות פיסטר )מסקנה ‪ .(6.4.3‬האורך של‬
‫מספר ‪ a ∈ F‬הוא ‪ m‬המינימלי כך ש־‪ a‬שווה לסכום של ‪ m‬ריבועים‪ ,‬או ∞ אם אין כזו הצגה‪ .‬הרמה‬
‫של השדה ‪ F‬היא האורך של ‪ .−1‬מסמנים את הרמה של ‪ F‬ב־) ‪ .s(F‬הרמה היא סופית אם ורק‬
‫אם השדה אינו ניתן לסידור‪.‬‬
‫משפט ‪) 6.5.1‬פיסטר( הרמה של שדה היא אינסוף )כשהשדה ממשי( או חזקה של ‪.2‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח ש־‪ −1‬הוא סכום של פחות מ־ ‪ 2s+1‬ריבועים‪ .‬אז אפשר לכתוב ‪ −1 = a + b‬כאשר ‪ a‬סכום‬
‫של ‪ 2s‬ריבועים ו־‪ b‬סכום של ‪ 2s − 1‬ריבועים‪ .‬ברור ש־‪ b + 1‬הוא סכום של ‪ 2s‬ריבועים‪ ,‬ולכן גם המכפלה‬
‫‪ a(b + 1) = −a2 ∼ −1‬היא סכום של ‪ 2s‬ריבועים‪.‬‬
‫‬
‫דוגמא ‪ 6.5.2‬הנה כמה דוגמאות לרמה של שדות‪.‬‬
‫‪ .1‬הרמה של שדה הניתן לסידור היא ∞‪.‬‬
‫‪ .2‬הרמה של שדה סופי מסדר )‪ q ≡ 1 (mod 4‬היא ‪ ,1‬משום ש־‪ −1‬הוא ריבוע‪.‬‬
‫‪ .3‬הרמה של שדה סופי מסדר )‪ q ≡ −1 (mod 4‬היא ‪ ,2‬משום שכל איבר שונה מאפס הוא סכום‬
‫של שני ריבועים )טענה ‪.(8.1.1‬‬
‫√‬
‫ריבועים שלמים‪,‬‬
‫שלושה‬
‫של‬
‫סכום‬
‫שהוא‬
‫טבעי‬
‫מספר‬
‫‪d‬‬
‫כאשר‬
‫‪F‬‬
‫=‬
‫[‪Q‬‬
‫‪ .4‬נתבונן בשדה ]‪−d‬‬
‫√ ∑‬
‫= ‪ ,−1‬ולכן‬
‫‪) d = x21 + x22 + x23‬כלומר אינו מהצורה )‪ .(4k (8n + 7‬אז ‪(xi −d)2‬‬
‫‪ .s(F ) ≤ 3‬ממשפט ‪ 6.5.1‬יוצא ש־‪.s(F ) ≤ 2‬‬
‫‪61‬‬
‫פרק ‪ .6‬תבניות פיסטר‬
‫‪ .6.6‬בוני פיתול‬
‫√‬
‫‪ .5‬נתבונן בשדה ]‪ F = Q[ −d‬כאשר ‪ d‬מספר טבעי שאינו סכום של שלושה ריבועים‪ .‬לפי‬
‫משפט לגרנז' האורך של ‪ d‬הוא ‪ ,4‬ולפי אותו נימוק ‪ .s(F ) ≤ 4‬נראה שיש כאן שוויון‪ ,‬כלומר‪,‬‬
‫‪ −1‬אינו סכום של שני ריבועים‪ .‬אחרת‪ ⟨1, 1, 1⟩Q ,‬איזוטרופית מעל ‪ ,F‬ולפי משפט )‪2.4.3.(1‬‬
‫∼ ⟩‪ ⟨1, 1, 1‬מעל ‪ ,Q‬כאשר הרכיב השלישי בפירוק מתקבל‬
‫פירושו של דבר ש־⟩‪= ⟨a⟩⟨1, d⟩ ⊥ ⟨d‬‬
‫מן הדטרמיננטה‪ .‬כלומר‪ d ,‬הוא סכום של שלושה ריבועים מעל הרציונליים‪ ,‬ומתוצאה בתורת‬
‫המספרים נובע ש־‪ d‬סכום של שלושה ריבועים מעל השלמים‪ ,‬בסתירה להנחה‪.‬‬
‫‪ .6‬משפט )‪ :(Siegel‬בשדה גלובלי‪ ,‬האורך של כל סכום של ריבועים הוא לכל היותר ‪ .4‬בפרט‪ ,‬הרמה‬
‫של שדה גלובלי הוא ‪ 1, 2, 4‬או אינסוף‪.‬‬
‫‪ .7‬לכל שדה ‪ s(F (λ)) = s(F ) ,F‬ו־) ‪.s(F ((λ))) = s(F‬‬
‫‪6.6‬‬
‫בוני פיתול‬
‫יהי ‪ a‬סכום של ריבועים ב־ ‪ .F‬אז ‪ −a‬שלילי לחלוטין‪ ,‬כלומר שלילי בכל סידור של ‪ .F‬לכן הסימן של‬
‫⟩⟩‪ ⟨⟨a‬הוא אפס בכל סידור‪ ,‬והוא שייך לגרעין של ההעתקה )‪ .c : W (F )→C(OF , Z‬במשפט ‪5.5.8‬‬
‫ראינו שבמקרה כזה‪ ⟨⟨a⟩⟩ ,‬מוכרח להיות מפותל‪ ,‬וקיים ‪ n‬כך ש־‪.2n ⟨⟨a⟩⟩ = ⟨⟨−1, . . . , −1, a⟩⟩ = 0‬‬
‫טענה ‪ 6.6.1‬הסדר של ⟩⟩‪ ⟨⟨a‬בחבורה האדיטיבית של ) ‪ W (F‬שווה ל־ ‪ 2n‬המינימלי כך ש־)‪.2n ≥ len(a‬‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן ⟩⟩‪ ,t = ⟨⟨−1, . . . , −1‬סכום ריבועים באורך ‪ .2n‬אז ‪ t⊗⟨⟨a⟩⟩ = 0‬בחוג ויט אם ורק אם‬
‫)‪ w ∈ G(t) = D(t‬לפי משפט ‪ ,6.4.2‬אם ורק אם ‪ w‬הוא סכום של ‪ 2n‬ריבועים‪.‬‬
‫‬
‫מסקנה ‪ 6.6.2‬יהי ‪ F‬שדה לא־ממשי מרמה ‪ .2r‬חוג ויט ) ‪ W (F‬הוא בעל מאפיין ‪.2r+1‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי טענה ‪ ,6.6.1‬הסדר של ‪ ⟨⟨−1⟩⟩ = ⟨1, 1⟩ = 2‬הוא האורך של ‪ ,−1‬כלומר הרמה של השדה‪.‬‬
‫‬
‫)השווה בין טענה ‪ 8.1.1‬לבין דוגמא ‪ 6.5.2‬לאור המסקנה הזו‪(.‬‬
‫בהערה ‪ 2.5.2‬ראינו ש־‪ ⟨⟨b⟩⟩⊗q ∼ 0‬אם ורק אם )‪ .b ∈ G(q‬היינו‪ ,‬המאפס‬
‫}‪Ann(q) = {t : t⊗q ∼ 0‬‬
‫בחוג ויט כולל את כל התבניות ⟩⟩‪ ⟨⟨b‬עבור )‪ .b ∈ G(q‬מתברר שהן יוצרות אותו‪.‬‬
‫משפט ‪) 6.6.3‬משפט המאפס של ויט־פיסטר( תהי ‪ q‬תבנית לא היפרבולית המקיימת )‪ .D(q) = G(q‬אז‬
‫המאפס )‪ Ann(q‬נוצר‪ ,‬כאידיאל‪ ,‬על־ידי תבניות פיסטר מסדר ראשון‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬ראשית נניח ש־‪ q‬איזוטרופית‪ .‬אז היא מכילה תת־תבנית היפרבולית ולכן × ‪ ;D(q) = F‬מכאן שגם‬
‫× ‪ ,G(q) = F‬ואז ‪ ⟨⟨a⟩⟩⊗q ∼ 0‬לכל × ‪ ,a ∈ F‬כלומר ) ‪ Ann(q) = I(F‬והתוצאה מתקבלת מהערה ‪.2.3.15‬‬
‫נשאר לטפל במקרה האנאיזוטרופי‪ .‬תהי ‪ q‬תבנית לא היפרבולית המקיימת )‪ ,D(q) = G(q‬ונניח ש־‪.φ⊗q ∼ 0‬‬
‫נכתוב ⟩ ‪ ,φ = ⟨a1 , . . . , an‬ונתקדם באינדוקציה על ‪ .n‬במקרה ‪ n = 1‬אין מה להוכיח כי ‪ .⟨a1 ⟩⊗q ̸∼ 0‬נניח‬
‫∑יש )‪ c1 , . . . , cn ∈ D(q‬כך‬
‫אם כך ש־‪ .n ≥ 2‬לפי ההנחה‪ ,‬התבנית ‪ a1 q ⊥ · · · ⊥ an q‬איזוטרופית‪ ,‬ולכן‬
‫ש־‪ .a1 c1 + · · · + an cn = 0‬לכל ‪ ⟨ai ⟩⟨⟨ci ⟩⟩⊗q ∼ 0 ,i‬ולכן ⟩ ‪⟨a1 c1 , . . . , an cn ⟩ ∼ φ − ⟨ai , −ai ci‬‬
‫שייכת למאפס‪ .‬אבל זו תבנית איזוטרופית כי סכום המקדמים שלה הוא אפס‪ ,‬ולכן היא שקולה לתבנית מממד קטן‬
‫מ־‪ ,n‬שהיא סכום של תבניות פיסטר מאפסות לפי הנחת האינדוקציה‪.‬‬
‫‬
‫המסקנה הבאה מתקבלת מהפעלת המשפט לתבנית ⟩⟩‪ q = ⟨⟨−1, . . . , −1‬מסדר ‪.t‬‬
‫∑‬
‫= ‪ q‬כאשר ‪ ai‬הם סכומים של‬
‫מסקנה ‪ 6.6.4‬נניח ש־‪ 2t ̸= 0‬בחוג ויט‪ .‬אם ‪ 2t q ∼ 0‬אז ‪⟨⟨ai ⟩⟩φi‬‬
‫‪ 2t‬ריבועים‪.‬‬
‫‪62‬‬
‫פרק ‪7‬‬
‫שיטות גנריות‬
‫באלגברה קל להוכיח שדברים שווים זה לזה‪ :‬במקרים רבים מספיק לתת נוסחה מפורשת‪ .‬למשל‪,‬‬
‫כדי להראות שאיבר של שדה הוא סכום של ארבעה ריבועים‪ ,‬אפשר פשוט להציג אותו כסכום כזה‪.‬‬
‫לעומת זאת‪ ,‬הרבה יותר קשה להוכיח שאיבר אינו ניתן להצגה כסכום של ארבעה ריבועים‪ .‬סדר‬
‫שבו האיבר הוא שלילי יפתור את הבעיה‪ ,‬אבל מה אם האיבר הוא סכום של חמישה ריבועים‪ ,‬ורוצים‬
‫להוכיח שאינו סכום של ארבעה? זו עשויה להיות בעיה קשה‪ .‬גישה אפשרית היא לבחון "איבר גנרי"‪,‬‬
‫כזה שאם אפשר להציג אותו כערך של התבנית ⟩‪ ,⟨1, 1, 1, 1‬אז אפשר יהיה להציג כל איבר אחר‪.‬‬
‫המועמד הטבעי לתכונה כזו הוא איבר נטול תכונות‪ ,‬המקיים מה שהנחנו ולא יותר‪ .‬למשל‪ ,‬האיבר‬
‫‪ λ21 + · · · + λ25‬של השדה ) ‪ .F (λ1 , . . . , λ5‬גישה זו מנחה את הפרק הנוכחי‪.‬‬
‫‪7.1‬‬
‫ערכים פולינומיים של תבנית‬
‫במהלך הפרק נטפס מהשדה הנתון ‪ F‬לשדות הרחבה טרנסצנדנטיים מעליו‪ .‬דרוש לנו עקרון שיאפשר‬
‫לבצע את צעד האינדוקציה של הוספת משתנה אחד‪.‬‬
‫‪ 7.1.1‬פרמטריזציה‬
‫באופן טיפוסי‪ ,‬אם למשוואה ריבועית )בנעלם אחד( יש שורש‪ ,‬אז יש לה שני שורשים‪ .‬כדי להכליל‬
‫הבחנה פשוטה זו‪ ,‬נוח לחשוב פרוייקטיבית‪ :‬וקטור ‪ u ∈ V‬מתאים לנקודה הפקוייקטיבית ‪ ,F u‬וזוג‬
‫וקטורים ‪ u, t‬מתאים לישר הפרוייקטיבי ‪ .F u + F t‬מושג האיזוטרופיות עובר למרחב הפרוייקטיבי‪,‬‬
‫משום שהתבניות הריבועיות שלנו הן תמיד הומוגנית‪.‬‬
‫טענה ‪) 7.1.1‬פרמטריזציה של תבנית ריבועית( תהי ‪ q‬תבנית ריבועית ‪ ,F‬ויהי ‪ u‬וקטור איזוטרופי‪ .‬אז‬
‫לכל כיוון ‪ t‬שאינו מאונך ל־‪ ,u‬יש על הישר הפרוייקטיבי ‪ F u + F t‬נקודה איזוטרופית נוספת יחידה‬
‫פרט ל־‪.F u‬‬
‫הוכחה‪ .‬תהי ‪ bq‬התבנית הבילינארית המתאימה ל־‪ .q‬לפי ההנחה ‪ q(u) = 0‬ו־‪ ,bq (u, t) ̸= 0‬ולכן‬
‫‪q(αu + βt) = q(u)α2 + 2αβbq (u, t) + β 2 q(t) = β(2bq (u, t)α + q(t)β),‬‬
‫ומכיוון ש־‪ bq (u, t) ̸= 0‬לפי ההנחה‪ ,‬הנקודה הפרוייקטיבית היחידה פרט ל־‪ F u‬המאפסת את התבנית היא‬
‫)‪.F (2bq (t, u)t − q(t)u‬‬
‫)אם ‪ bq (t, u) = 0‬יש שתי אפשרויות‪ :‬אם ‪ q(t) = 0‬אז ‪ F u + F t‬כולו איזוטרופי‪ ,‬ואם ‪ q(t) ̸= 0‬אז‬
‫‪ F u + F t‬משיק ליריעה ‪ q = 0‬בנקודה ‪ ,F u‬ואין עליו נקודות אפס נוספות‪(.‬‬
‫‬
‫‪63‬‬
‫פרק ‪ .7‬שיטות גנריות‬
‫‪ .7.1‬ערכים פולינומיים של תבנית‬
‫תרגיל ‪) 7.1.2‬פרמטריזציה מפורשת( תהי ‪ q‬תבנית ריבועית ‪n + 1‬־ממדית מעל ‪ ,F‬שיש לה‬
‫נקודה רציונלית ) ‪) (γ0 , γ1 , . . . , γn ) = (γ0 , ⃗γ‬היינו ‪ .(q(γ0 , ⃗γ ) = 0‬תהי ‪ b‬התבנית הבילינארית‬
‫המתאימה ל־‪ .q‬אז הפתרון הכללי למשוואה‬
‫‪y0 ̸= γ0‬‬
‫‪q(y0 , y1 , . . . , yn ) = 0,‬‬
‫הוא‬
‫‪(y1 , . . . , yn ) = ⃗y = ⃗γ + x0⃗t‬‬
‫‪y0 = γ0 + x0 ,‬‬
‫))‪,⃗γ ),(1,⃗t‬‬
‫‪.x0 = −2 b((γ0q(1,‬‬
‫כאשר ‪ ⃗t = (t1 , . . . , tn ) ∈ F n‬מקיים ‪ ,b((γ0 , ⃗γ ), (1, t)) ̸= 0‬ו־‬
‫)‪⃗t‬‬
‫)האילוץ ‪ y0 ̸= γ0‬אינו מגבלה אמיתית‪ ,‬משום שחוץ מהאפס הנתון ) ‪ ,(γ0 , γ1 , . . . , γn‬כל‬
‫נקודת אפס אחרת נמצאת מחוץ לעל מישור מהצורה ‪ .yi = γi‬הנוסחאות מגדירות איזומורפיזם‬
‫בין יריעת האפסים למרחב הפרוייקטיבי ‪ ,Pn F‬בהתאם לטענה ‪) 7.3.3‬להלן(‪(.‬‬
‫נכתוב ‪ .q = ⟨a0 ⟩ ⊥ q ′‬נסמן ב־ ‪ b′‬את התבנית הבילינארית המתאימה ל־ ‪ .q ′‬נציב‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫‪ ,y0 = γ + x0‬כך שמותר להניח ‪ ,x0 ̸= 0‬ו־‪ ,⃗y = ⃗γ + x0⃗t‬כאשר ‪ ⃗t = (t1 , . . . , tn ) ∈ F n‬הוא וקטור‬
‫כלשהו‪ .‬נחשב‪:‬‬
‫) ‪a0 (x20 + 2γ0 x0 + γ02 ) + b′ (x0⃗t + ⃗γ , x0⃗t + ⃗γ‬‬
‫) ‪a0 (x20 + 2γ0 x0 + γ02 ) + b′ (x0⃗t, x0⃗t) + 2b′ (x0⃗t, ⃗γ ) + b′ (⃗γ , ⃗γ‬‬
‫‪(a0 + b′ (⃗t, ⃗t))x20 + 2(a0 γ0 + b′ (⃗t, ⃗γ ))x0‬‬
‫‪q(1, ⃗t)x20 + 2b((γ0 , ⃗γ ), (1, ⃗t))x0 .‬‬
‫= ) ‪q(x0 + γ0 , x0⃗t + ⃗γ‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫על־מנת שלמשוואה יהיה פתרון ‪ ,x0 ̸= 0‬בהכרח נדרש ‪ ;b((γ0 , ⃗γ ), (1, ⃗t)) ̸= 0‬ואם מניחים שזה כך‪ ,‬אז‬
‫⃗‬
‫מקיומו של פתרון מתחייב גם ש־‪ ,q(1, ⃗t) ̸= 0‬ואז )) ‪.x0 = −2 b((1,t),(γ⃗0 ,⃗γ‬‬
‫)‪q(1,t‬‬
‫‪7.1.2‬‬
‫ערכים פולינומיים‬
‫משפט ‪) 7.1.3‬משפט קסלס־פיסטר ‪Pfister‬־‪ (Cassels‬תהי ‪ q‬תבנית ריבועית מעל השדה ‪ .F‬אם התבנית‬
‫מציגה פולינום ]‪ g ∈ F [λ‬מעל )‪ ,F (λ‬אז היא מציגה אותו כבר מעל ]‪.F [λ‬‬
‫הוכחה‪ .‬אם התבנית איזוטרופית‪ ,‬אין מה להוכיח משום שכל ]‪ g ∈ F [λ‬אפשר להציג כערך של התבנית ההיפרבולית‪,‬‬
‫‪ .g = ( 12 (g − 1))2 − ( 12 (g + 1))2‬נניח אם כך שהתבנית אנאיזוטרופית‪ ,‬ונכתוב אותה בצורה אלכסונית‬
‫∼ ‪ .q‬יהי ]‪ g(λ) ∈ F [λ‬פולינום שהוא ערך של התבנית מעל )‪ .F (λ‬על־ידי כפל במכנה משותף‪,‬‬
‫⟩ ‪= ⟨a1 , . . . , an‬‬
‫ההנחה היא שיש ]‪ f0 , f1 , . . . , fn ∈ F [λ‬כך ש־‬
‫‪a1 f1 (λ)2 + · · · + an fn (λ)2 = g(λ)f02 (λ),‬‬
‫כאשר ‪.f0 ̸= 0‬‬
‫⊆ )‪ .Z(Q‬לפי‬
‫נתבונן בתבנית ⟩ ‪ Q = ⟨−g, a1 , . . . , an‬מעל )‪ ,F (λ‬וביריעת האפסים שלה‬
‫ההנחה‪ .f⃗ = (f0 , f1 , . . . , fn ) ∈ Z(Q) ,‬אם המעלה ) ‪ m = deg(f0‬היא אפס‪ ,‬סיימנו‪ .‬נניח אם כך ש־‪.m > 0‬‬
‫נחלק כל ‪ ,fi‬עם שארית‪ ,‬ב־ ‪ :f0‬יש פולינומים ]‪ ,g1 , . . . , gn , r1 , . . . , rn ∈ F [λ‬כך ש־ ‪ fi = f0 gi + ri‬ו־‬
‫‪ deg(ri ) < m‬לכל ‪ .i = 0, . . . , n‬בפרט ‪ r0 = 0‬ו־‪ .g0 = 1‬באופן מקוצר אפשר לכתוב ‪.f⃗ = f0⃗g + ⃗r‬‬
‫אפשר להניח שהפולינומים ‪ f1 , . . . , fn‬זרים במשותף‪ ,‬משום שאחרת אפשר לצמצם ולקבל וקטור שלרכיב האפס‬
‫שלו מעלה קטנה יותר‪ .‬בפרט‪.⃗r ̸= 0 ,‬‬
‫כעת נבנה נקודה נוספת‪ ,f⃗′ = (f0′ , f1′ , . . . , fn′ ) ∈ Z(Q) ,‬עם ‪ .m′ = deg(f0′ ) < m‬באינדוקציה‪ ,‬יוצא‬
‫מזה שקיימת נקודה שעבורה הרכיב האפס הוא סקלר‪ ,‬וזה נותן הצגה שלמה של ‪.g‬‬
‫נבחר ‪ ,f⃗′ = B(⃗g , ⃗g ) · f⃗ − 2B(⃗g , f⃗) · ⃗g‬שהיא על־פי החישוב בטענה ‪ 7.1.1‬נקודה המקיימת ‪.Q(f⃗′ ) = 0‬‬
‫‪F (λ)n+1‬‬
‫‪64‬‬
‫‪ .7.1‬ערכים פולינומיים של תבנית‬
‫פרק ‪ .7‬שיטות גנריות‬
‫כדי לקבל את מעלת רכיב האפס של הנקודה החדשה‪ ,‬נחשב ש־‬
‫)⃗‪f0 f0′ = f02 B(⃗g , ⃗g ) − 2f0 B(⃗g , f‬‬
‫)⃗‪= B(f0⃗g , f0⃗g − 2f‬‬
‫)‪= B(f0⃗g , −f⃗ − ⃗r‬‬
‫)‪= B(f⃗ − ⃗r, −f⃗ − ⃗r‬‬
‫∑‬
‫= )‪= B(⃗r, ⃗r‬‬
‫‪ai ri (λ)2 .‬‬
‫מכיוון ש־‪ q‬אנאיזוטרופית ולא כל ה־ ‪ ri‬הם אפס‪ ,‬קיבלנו ש־‪ .f0 f0′ ̸= 0‬לכן‬
‫∑‬
‫(‪deg(f0 ) + deg(f0′ ) = deg‬‬
‫‪ai ri2 ) ≤ 2 max deg(ri ) < 2 deg(f0 ),‬‬
‫כלומר ) ‪.deg(f0′ ) < deg(f0‬‬
‫‬
‫בעיה ‪ 7.1.4‬נסה לנסח ולהוכיח תוצאה דומה למשפט פיסטר־קסלס ‪ 7.1.3‬עבור תבנית ‪ q‬מעל‬
‫‪ ,Z‬המציגה ערך שלם מעל ‪ .Q‬מה משתבש בהוכחה‪ ,‬ומה אפשר להציל ממנה? איך אפשר‬
‫להכליל את התוצאה בכל זאת לתחומי שלמות )אוקלידיים( אחרים?‬
‫דוגמא ‪ 7.1.5‬תהי ) ‪ q = q(x1 , x2‬תבנית אנאיזוטרופית בינארית מעל ‪ .F‬אז ∈ ‪Aλ2 + 2Bλ + C‬‬
‫)‪ DF (λ) (q‬אם ורק אם )‪ A ∈ DF (q‬ו־)‪.AC − B 2 = det(q‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח ש־‪ p(λ) = Aλ2 + 2Bλ + C‬הוא פולינום ריבועי‪ .‬אם ‪ p‬הוא ערך של התבנית מעל )‪ ,F (λ‬אז‬
‫לפי משפט קסלס־פיסטר ‪ p‬הוא ערך מעל ]‪ .F [λ‬לפי טיעון המונום העליון ‪.p(λ) = q(aλ + b, cλ + d) ,2.4.17‬‬
‫חישוב ישיר מראה שבמקרה זה ))‪ .(A, B, C) = (q(a, c), 2bq ((a, c), (b, d)), q(b, d‬במלים אחרות‪ ,‬מקדמי‬
‫∼‪q‬‬
‫הפולינום הם מקדמי התבנית ביחס לבסיס החדש‪ .‬לכן ‪ Aλ2 + 2Bλ + C‬הוא ערך של ‪ q‬אם ורק אם ‪= Ax21 +‬‬
‫‪ .2Bx1 x2 + Cx22‬לפי טענה ‪ ,3.3.6‬זה קורה אם ורק אם )‪ A ∈ DF (q‬ו־)‪.AC − B 2 = det(q‬‬
‫תרגיל ‪ 7.1.6‬ידוע אלו ערכים רציונליים אפשר להביע כסכום של שני ריבועים )רציונליים(‪.‬‬
‫השתמש בדוגמא ‪ 7.1.5‬כדי לתאר אלו פולינומים ממעלה שניה אפשר להביע כסכום של‬
‫שני ריבועים מעל )‪.Q(λ‬‬
‫בעיה ‪ 7.1.7‬התבנית ⟩‪ q = ⟨1, 1, 1‬יודעת להציג את הפולינום‬
‫(‬
‫‪)2 ( 3‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪2(λ3 − λ2 − 1‬‬
‫‪2λ + 3λ2 + 2λ + 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪8λ + 4λ + 9 = 2 +‬‬
‫‪λ2 + 1‬‬
‫‪λ2 + 1‬‬
‫מעל )‪ .Q(λ‬מצא הצגה של אותו פולינום כסכום של שלושה ריבועים גם מעל ]‪ ,Q[λ‬כפי שהמשפט‬
‫מבטיח שאפשר לעשות‪ .‬הוכח )בעזרת תרגיל ‪ (7.1.5‬שאי אפשר להציג את ‪ 8λ2 + 4λ + 9‬כסכום של שני‬
‫ריבועים‪.‬‬
‫בעיה ‪ 7.1.8‬יהי ]‪ g(λ) ∈ F [λ‬ערך מעל )‪ F (λ‬של תבנית איזוטרופית ‪ q‬מעל ‪ .F‬אז המעלה של‬
‫כל גורם אי־פריק של ‪ g‬היא זוגית‪ .‬הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.2.4.21‬‬
‫בעיה ‪ 7.1.9‬מצא תבנית ריבועית מעל ‪ F‬עם ערך פולינומי מעל )‪ F (x, y‬שאינו ערך מעל‬
‫]‪) F [x, y‬ראה ]‪ [9, Equation 9.6‬ופרק ‪ 3‬ב־]‪ .([14‬ראה ]‪ [13, p. 9‬לפתרון מפורש )המיוחס‬
‫למוצקין )‪.(1967 ,(Motzkin‬‬
‫מסקנה ‪) 7.1.10‬עקרון ההצבה( תהי ‪ q‬תבנית מעל ‪ ,F‬ויהי ] ‪ g(λ1 , . . . , λm ) ∈ F [λ1 , . . . , λm‬פולינום‬
‫שהוא ערך של ‪ q‬מעל ) ‪ .F (λ1 , . . . , λm‬אז לכל ‪ ,α1 , . . . , αm ∈ F‬גם ) ‪ g(α1 , . . . , αm‬הוא ערך של‬
‫התבנית מעל ‪.F‬‬
‫‪65‬‬
‫פרק ‪ .7‬שיטות גנריות‬
‫‪ .7.2‬ערכים גנריים‬
‫)התוצאה אינה מיידית‪ :‬נניח שאפשר להציג ))‪ ,g(⃗λ) = q(u1 (⃗λ), . . . , un (⃗λ‬עם )‪ ;ui (⃗λ) ∈ F (⃗λ‬לא‬
‫ברור שאפשר להציב ‪ ,λi 7→ αi‬שמא ההצבה מאפסת את המכנה של אחד ה־ ‪(.ui‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי משפט קסלס־פיסטר‪ ,‬אפשר להציג את ‪ q‬מעל החוג ] ‪ ;F (λ1 , . . . , λm−1 )[λm‬כעת אפשר להציב‬
‫‪ ,λm 7→ αm‬ובאינדוקציה מתקבלת הצגה של הערך ) ‪.p(α1 , . . . , αm‬‬
‫‬
‫‪7.1.3‬‬
‫סכום הריבועים הגנרי‬
‫משפט ‪) 7.1.11‬צמצום משתנה( נניח ש־⟩‪ q ⊥ ⟨d‬תבנית אנאיזוטרופית מעל ‪ ,F‬ויהי × ‪ .a ∈ F‬אז ∈ ‪a‬‬
‫)‪ DF (q‬אם ורק אם )⟩‪.a + dλ2 ∈ DF (λ) (q ⊥ ⟨d‬‬
‫הוכחה‪ .‬כיוון אחד טריוויאלי‪ :‬אם ) ‪ ,a = q(c1 , . . . , cn‬אז ‪ a + dλ2 = q(c1 , . . . , cn ) + dλ2‬הוא ערך של‬
‫התבנית ⟩‪ .q ⊥ ⟨a‬כעת נניח שאפשר להציג את ‪ a + dλ2‬מעל )‪ .F (λ‬לפי משפט קסלס־פיסטר אפשר להציג את‬
‫‪ a + dλ2‬גם מעל ]‪ ,F [λ‬כלומר קיימים פולינומים ‪ f1 , . . . , fn , g‬כך ש־ ‪.q(f1 , . . . , fn ) + dg 2 = a + dλ2‬‬
‫לפי טיעון המונום העליון ‪ g ,2.4.17‬לינארית‪ .‬נבחר ‪ α ∈ F‬הפותר את אחת המשוואות ‪ .g(λ) = ±λ‬כך‬
‫‪ ,g(α) = ±α‬וכשנציב ‪ λ 7→ α‬נקבל ‪.q(f1 (α), . . . , fn (α)) = a‬‬
‫‬
‫תרגיל ‪ 7.1.12‬בדוק מה קורה במשפט אם התבנית ⟩‪ q ⊥ ⟨a‬איזוטרופית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 7.1.13‬בדוק מה קורה במשפט אם ‪) charF = 2‬למשל‪ ,‬יתכן ש־‪.(g(λ) = λ + 1‬‬
‫תרגיל ‪ 7.1.14‬הסק את המשפט מן המקרה הפרטי ‪.d = 1‬‬
‫טענה ‪ 7.1.15‬יהי ‪ F‬שדה ממשי‪ .‬לכל × ‪.lenF (λ) (a + λ2 ) = 1 + lenF (a) ,a ∈ F‬‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן )‪ .n = lenF (a‬ברור ש־‪ .lenF (λ) (a + λ2 ) ≤ 1 + n‬בכיוון ההפוך‪ ,‬נניח שאפשר להציג את‬
‫‪ a + λ2‬כסכום של ‪ n‬ריבועים מעל )‪ .F (λ‬התבנית ⟩‪ n · ⟨1‬אנאיזוטרופית מעל ‪ F‬לפי ההנחה‪ ,‬ולכן אפשר להפעיל‬
‫את משפט ‪ 7.1.11‬על ⟩‪ q = (n − 1) · ⟨1‬ולקבל הצגה של ‪ a‬כסכום של ‪ n − 1‬ריבועים‪ ,‬בסתירה להנחה‪.‬‬
‫‬
‫בעיה ‪ 7.1.16‬תן דוגמא לשדה שאינו ניתן לסידור‪ ,‬עם × ‪ a ∈ F‬כך ש־)‪.lenF (λ) (a+λ2 ) = lenF (a‬‬
‫מסקנה ‪ 7.1.17‬יהי ‪ F‬שדה ממשי‪ .‬אז האורך של ‪ λ21 + · · · + λ2n‬בשדה ) ‪ F (λ1 , . . . , λn‬הוא ‪.n‬‬
‫כלומר‪ ,‬יש סכומים של ‪ n‬ריבועים שאי אפשר להציג כסכום של פחות מ־‪ n‬ריבועים‪.‬‬
‫‪7.2‬‬
‫ערכים גנריים‬
‫נסמן ) ‪ ,Λ = (λ1 , . . . , λn‬כאשר ‪ λ1 , . . . , λn‬הם משתנים טרנסצנדנטיים מעל ‪ .F‬בדרך כלל ‪n‬‬
‫יהיה ברור מההקשר‪ .‬כך למשל ) ‪ F (Λ) = F (λ1 , . . . , λn‬הוא ההרחבה הטרנסצנדטית הטהורה‬
‫מדרגה ‪ n‬של ‪ .F‬אם ⟩ ‪ q = ⟨a1 , . . . , an‬תבנית מממד ‪ n‬מעל ‪ ,F‬אז )‪ q(Λ‬מציין את הערך הגנרי‬
‫‪ .a1 λ21 + · · · + an λ2n‬בפרט‪.q(Λ) ∈ DF (Λ) (q) ,‬‬
‫המשפט הבא מתאר את כל תת־התבניות של תבנית אנאיזוטרופית ‪ ,ρ‬במונחי הערכים ש־‪ ρ‬יכולה‬
‫להציג באופן גנרי‪.‬‬
‫משפט ‪) 7.2.1‬משפט תת־התבנית( תהיינה ‪ ρ, σ‬תבניות ריבועיות מעל ‪ ,F‬ונניח ש־‪ ρ‬אנאיזוטרופית‪ .‬התנאים‬
‫הבאים שקולים‪:‬‬
‫‪66‬‬
‫‪ .7.2‬ערכים גנריים‬
‫פרק ‪ .7‬שיטות גנריות‬
‫‪ σ .1‬היא תת־תבנית של ‪.ρ‬‬
‫‪ DK (σ) ⊆ DK (ρ) .2‬לכל הרחבת שדות ‪") K/F‬כל ערך של ‪ σ‬הוא ערך של ‪.("ρ‬‬
‫‪") σ(Λ) ∈ DF (Λ) (ρ) .3‬הערך הגנרי של ‪ σ‬הוא ערך של ‪.("ρ‬‬
‫הוכחה‪ .‬ברור ש־)‪ ,(3)⇐(2)⇐(1‬כך שעלינו להוכיח ש־)‪ .(1)⇐(3‬נניח ש־ )‪ ,σ(Λ) ∈ DF (Λ) (ρ‬ונוכיח ש־‪σ‬‬
‫היא תת־תבנית של ‪ .ρ‬נכתוב ⟩ ‪ ,σ = ⟨a1 , . . . , as‬ונתקדם באינדוקציה על הממד של ‪ .ρ‬אם ‪ ρ = 0‬אין ל־‪ ρ‬ערכים‬
‫ובהכרח גם ‪ .σ = 0‬נניח ש־)‪ .a1 λ21 + · · · + as λ2s ∈ DF (λ1 ,...,λs ) (ρ‬לפי עקרון ההצבה )מסקנה ‪,(7.1.10‬‬
‫)‪ a1 ∈ DF (ρ‬ולכן אפשר לפרק ‪ ρ = ⟨a1 ⟩ ⊥ ρ′‬כאשר ‪ ρ′‬תבנית אנאיזוטרופית מממד נמוך משל ‪ .ρ‬נכתוב גם‬
‫‪ σ = ⟨a1 ⟩ ⊥ σ ′‬ונסמן ) ‪ .Λ′ = (λ2 , . . . , λs‬לפי ההנחה‬
‫‪a1 λ21 + σ ′ (Λ′ ) = σ(Λ) ∈ DF (Λ) (ρ) = DF (Λ′ )(λ1 ) (⟨a1 ⟩ ⊥ ρ′ ),‬‬
‫ולפי עקרון הצמצום )משפט ‪ .σ ′ (Λ′ ) ∈ DF (Λ′ ) (ρ′ ) ,(7.1.11‬זה מאפשר להפעיל את הנחת האינדוקציה‪ ,‬ולהסיק‬
‫ש־ ‪ σ ′‬היא תת־תבנית של ‪ .ρ′‬לכן ‪ σ = ⟨a1 ⟩ ⊥ σ ′‬היא תת־תבנית של ‪.ρ = ⟨a1 ⟩ ⊥ ρ′‬‬
‫‬
‫משפט תת־התבנית מאפשר להוכיח שתכונת הכפליות של קבוצת הערכים‪ ,‬שאותה הוכחנו‬
‫לתבניות פיסטר )משפט ‪ ,(6.4.2‬נכונה רק עבורן‪.‬‬
‫משפט ‪ 7.2.2‬תהי ‪ q‬תבנית אנאיזוטרופית מעל ‪ .(n = dim(q)) F‬אז התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫‪ q .1‬היא תבנית פיסטר‪.‬‬
‫‪ DK (q) .2‬היא חבורה לכל שדה הרחבה ‪.K/F‬‬
‫‪.q(λ1 , . . . , λn ) · q(λ′1 , . . . , λ′n ) ∈ DF (λ1 ,...,λn ,λ′1 ,...λ′n ) (q) .3‬‬
‫‪") q(λ1 , . . . , λn ) ∈ GF (λ1 ,...,λn ) (q) .4‬הערך הגנרי הוא גורם דמיון של התבנית"(‪.‬‬
‫הוכחה‪ :(4)⇐(1) .‬מכיוון ש־‪ q‬תבנית פיסטר‪.q(Λ) ∈ DF (Λ) (q) = GF (λ) (q) ,‬‬
‫)‪ :(3)⇐(4‬ברור ש־)‪ q(Λ′ ) ∈ DF (Λ′ ) (q) ⊆ DF (Λ,Λ′ ) (q) = DF (Λ,Λ′ ) (q(Λ) · q‬ואפשר להכפיל‬
‫ולקבל )‪.q(Λ)q(Λ′ ) ∈ DF (Λ,Λ′ ) (q‬‬
‫)‪ :(2)⇐(3‬תהי ‪ K‬הרחבת שדות‪ ,‬ויהיו )‪ q(u), q(v‬ערכים של ‪ q‬מעל ‪ .K‬לפי ההנחה התבנית ‪ q‬מציגה את‬
‫) ‪ q(Λ)q(Λ′‬מעל ) ‪ F (Λ, Λ′‬ולכן גם מעל ) ‪ .K(Λ, Λ′‬לפי עקרון ההצבה‪ q(u)q(v) ,‬הוא ערך של ‪ q‬מעל ‪.K‬‬
‫)‪ :(1)⇐(2‬מכיוון ש־)‪ DF (q‬היא חבורה‪ ⟨1⟩ ,‬תת־תבנית של ‪ .q‬תהי ‪ ρ‬תת־תבנית פיסטר של ‪ q‬בעלת‬
‫ממד מקסימלי‪ .2r ,‬נניח בשלילה ש־ ‪ ,n > 2r‬ונכתוב ‪ .q = ρ ⊥ q0‬יהי ) ‪ .c ∈ DF (q0‬נראה ש־‬
‫‪ ⟨⟨−c⟩⟩ρ = ρ ⊥ ⟨c⟩ρ‬היא תת־תבנית של ‪ ;q‬זו סתירה למקסימליות של ‪ ,ρ‬והוכחה לכך ש־= )‪dim(q‬‬
‫∼ ‪ q‬היא תבנית פיסטר‪ .‬כדי להוכיח ש־‪ ρ ⊥ ⟨c⟩ρ‬היא תת־תבנית של ‪ q‬בעזרת‬
‫)‪ ,2r = dim(ρ‬כך ש־‪= ρ‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫משפט תת־התבנית‪ ,‬עלינו להראות שהערך הגנרי ) ‪ ρ(Λ) + cρ(Λ‬היא ערך של ‪ q‬מעל ) ‪.E = F (Λ, Λ‬‬
‫)‪ρ(Λ‬‬
‫‪′‬‬
‫‪ . ρ(Λ‬מאידך‬
‫ברור ש־)‪ ,ρ(Λ), ρ(Λ ) ∈ DE (ρ‬ומכיוון שזו תבנית פיסטר‪ ,‬גם המנה )‪′ ) ∈ DE (ρ) ⊆ DE (q‬‬
‫)‪ .ρ(Λ) + c ∈ DE (ρ ⊥ ⟨c⟩) ⊆ DE (ρ ⊥ q0 ) = DE (q‬לפי ההנחה‪ ,‬גם מכפלת הערכים היא ערך‬
‫)‪ρ(Λ‬‬
‫‪ ,ρ(Λ) + cρ(Λ′ ) = ρ(Λ‬כפי שרצינו‪.‬‬
‫)‪′ ) (ρ(Λ) + c) ∈ DE (q‬‬
‫‬
‫‪67‬‬
‫‪ .7.3‬שדה הפונקציות של תבנית‬
‫‪7.3‬‬
‫פרק ‪ .7‬שיטות גנריות‬
‫שדה הפונקציות של תבנית‬
‫יריעת האפסים של תבנית ריבועית ⟩ ‪ q = {⟨a1 , . . . , an‬מעל ‪ F‬היא קבוצת הוקטורים = )‪Z(q‬‬
‫}‬
‫‪ . (x1 , . . . , xn ) ∈ F n : a1 x21 + · · · + an x2n = 0‬זו יריעה אלגברית‪ ,‬וקל להוכיח שהיא אי־פריקה‬
‫וחלקה‪ .‬לשדה הפונקציות של היריעה קוראים שדה הפונקציות של ‪ ;q‬זהו שדה השברים של תחום‬
‫השלמות‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪F (q) = F [λ1 , . . . , λn ]/ a1 λ1 + · · · + an λn ,‬‬
‫שאפשר לתאר בצורה פחות סימטרית כהרחבה ריבועית של שדה טרנסצנדנטי טהור‪:‬‬
‫‪F (q) = F (λ1 , . . . , λn−1 )[λn ] / (a1 λ21 + · · · + an−1 λ2n−1 + an λ2n )F (λ1 , . . . , λn−1 ).‬‬
‫‪7.3.1‬‬
‫התבנית מעל שדה הפונקציות של עצמה‬
‫תהי ‪ q‬תבנית מעל ‪ .F‬אם מצמצמים את ‪ q‬לשדה הפונקציות )‪ ,F (q‬הנקודה ) ‪ (λ1 , . . . , λn‬נמצאת‬
‫על יריעת האפסים ) )‪ ,Z(qF (q‬והיא נקראת הנקודה הגנרית של היריעה‪ .‬בפרט‪ ,‬הוכחנו‪:‬‬
‫טענה ‪ 7.3.1‬לכל תבנית ‪ qF (q) ,q‬איזוטרופית‪.‬‬
‫ולפי תכונת הפיצול של תבניות פיסטר‪ ,‬משפט ‪:6.4.1‬‬
‫מסקנה ‪ 7.3.2‬אם ‪ φ‬תבנית פיסטר אז )‪ φF (φ‬היפרבולית‪.‬‬
‫טענה ‪ F (q) 7.3.3‬היא הרחבה טרנסצנדנטית טהורה של ‪ F‬אם ורק אם ‪ q‬איזוטרופית‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬אם ‪ q‬איזוטרופית אז אפשר לפרק ‪ q = h ⊥ q ′‬כאשר ‪ h‬היא תבנית היפרבולית דו־ממדית‪ .‬על־‬
‫ידי החלפת משתנים אפשר להניח שהרכיב הזה הוא התבנית ‪ .h(x, y) = xy‬לכן )‪ F (q‬מוגדר על־ידי היחס‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪ .λ1 = −λ−1‬לכן )‪ F (q‬טרנסצנדנטי מסדר ‪.n − 1‬‬
‫‪ ,λ1 λ2 + q (λ3 , . . . , λn ) = 0‬שפתרונו ) ‪2 q (λ3 , . . . , λn‬‬
‫מאידך‪ ,‬אם ‪ q‬אינה איזוטרופית‪ ,‬לא יתכן ש־)‪ F (q‬הרחבה טרנסצנדנטית טהורה‪ ,‬משום שבמקרה זה ‪ q‬היתה‬
‫אנאיזוטרופית מעל )‪ F (q‬לפי ‪ ,2.4.1‬בסתירה לטענה ‪.7.3.1‬‬
‫‬
‫‪7.3.2‬‬
‫התפצלות מעל שדה פונקציות‬
‫תהי ‪ q‬תבנית אנאיזוטרופית‪ .‬כפי שראינו )טענה ‪ qF (q) ,(7.3.1‬נעשית איזוטרופית‪ .‬עובדה זו מעוררת‬
‫שאלה טבעית‪ :‬מתי נעשית )‪ qF (q‬היפרבולית? לפי מסקנה ‪ ,7.3.2‬ברור שזה המצב אם ‪ q‬תבנית‬
‫פיסטר‪ .‬מתברר שתכונת הפיצול הזו מאפיינת תבניות פיסטר עד כדי "דמיון"‪ .‬נאמר ששתי תבניות‬
‫∼ ‪.q ′‬‬
‫‪ q, q ′‬הן דומות אם קיים ‪ a‬כך ש־‪= ⟨a⟩ · q‬‬
‫תרגיל ‪ 7.3.4‬הראה שלשתי תבניות דומות יש אותו שדה פונקציות‪.‬‬
‫טענה ‪ 7.3.5‬תהיינה ‪ q, φ‬תבניות‪ ,n = dim(φ) ,‬כך ש־)‪ .1 ∈ D(φ‬נניח ש־‪ q‬נעשית היפרבולית מעל )‪.F (φ‬‬
‫אז הנקודה הגנרית של ‪ φ‬היא גורם דמיון של ‪ q‬מעל )‪.E = F (Λ‬‬
‫√‪ .Λ′ = (λ1 , . . . , λn−1‬בהרחבה ) ‪ E ′ = F (Λ′‬של‬
‫הוכחה‪ .‬לפי ההנחה אפשר לכתוב ⟩‪ .φ = φ′ ⊥ ⟨1‬נסמן )‬
‫‪′‬‬
‫אנאיזוטרופית‪ .‬לכן‬
‫‪ F‬נסמן ) ‪ .∆ = φ′ (Λ′‬שדה הפונקציות של ‪ φ‬הוא ]∆‪ .F (φ) = E [ −‬אפשר להניח ש־‪q‬‬
‫√‬
‫היא נשארת אנאיזוטרופית מעל ‪) E ′‬טענה ‪ ,(2.4.1‬ונעשית היפרבולית בהרחבה הריבועית ‪ .E ′ [ −∆]/E ′‬לפי‬
‫משפט ‪ ,2.4.3‬נובע מזה ש־ ‪ qE ′‬מתחלקת ב־⟩∆ ‪ .⟨⟨−∆⟩⟩ = ⟨1,‬תבנית ריבועית זו מציגה את ‪ .∆ + λ2n‬לכן‬
‫) ‪ ,∆ + λ2n ∈ D(⟨⟨−∆⟩⟩E ′ ) = G(⟨⟨−∆⟩⟩E ′ ) ⊆ G(qE ′‬והרי ‪ ∆ + λ2n‬היא הנקודה הגנרית של ‪.φ‬‬
‫‪68‬‬
‫‪ .7.3‬שדה הפונקציות של תבנית‬
‫פרק ‪ .7‬שיטות גנריות‬
‫‬
‫משפט ‪ 7.3.6‬תהי ‪ q‬תבנית לא היפרבולית מעל ‪ .F‬אם ‪ q‬נעשית היפרבולית מעל )‪ ,F (q‬אז ‪ q‬דומה לתבנית פיסטר‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬אם ‪ q‬איזוטרופית‪ ,‬אז )‪ F (q‬טרנסצנדנטי ולפי טענה ‪ 2.4.1‬מכך ש־ )‪ qF (q‬היפרבולית נובע שגם ‪ q‬היפרבולית‪.‬‬
‫נניח‪ ,‬אם כך‪ ,‬ש־‪ q‬אנאיזוטרופית‪ .‬ככל תבנית‪ q ,‬דומה לתבנית המציגה את ‪ ,1‬ואפשר להחליף את ‪ q‬בתבנית הזו‪.‬‬
‫לכן הנקודה הגנרית של ‪ q‬היא גורם דמיון של ‪) q‬טענה ‪ ,(7.3.5‬ולפי משפט ‪ 7.2.2‬נובע מזה ש־‪ q‬תבנית פיסטר‪.‬‬
‫‬
‫משפט ‪ 7.3.6‬מעורר שאלה כללית יותר‪ :‬מה קורה לתבנית ‪ q1‬מעל שדה הפונקציות של התבנית‬
‫‪ ?q2‬אילו תבניות נעשות היפרבוליות מעל שדה הפונקציות של התבנית ‪?q‬‬
‫מסקנה ‪ 7.3.7‬תהי ‪ φ‬תבנית‪ .‬נניח שתבנית ‪ q‬נעשית היפרבולית מעל )‪ .F (φ‬אז לכל )‪a ∈ DF (q‬‬
‫ו־)‪ q ,c ∈ DF (φ‬מכילה תת־תבנית איזומורפית ל־‪.⟨ac⟩ · φ‬‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן )‪ .n = dim(φ‬לפי טענה ‪ ,7.3.5‬הנקודה הגנרית של ‪ ⟨c⟩φ‬היא גורם דמיון של ‪ q‬מעל השדה החופשי‬
‫∼ ‪ .cφ(λ1 , . . . , λn ) · q‬מכאן ש־)‪ ,acφ(λ1 , . . . , λn ) ∈ D(q‬ומכיוון‬
‫) ‪ .E = F (λ1 , . . . , λn‬כלומר ‪= q‬‬
‫ש־‪ q‬אנאיזוטרופית‪ ,‬משפט תת־התבנית ‪ 7.2.1‬קובע ש־‪ ⟨ac⟩φ‬היא תת־תבנית של ‪.q‬‬
‫‬
‫∼ )‪) F (q‬כשדות‬
‫מסקנה ‪ 7.3.8‬תהיינה ‪ q, φ‬תבניות‪ ,‬כאשר ‪ φ‬תבנית פיסטר לא היפרבולית‪ .‬אם )‪= F (φ‬‬
‫מעל ‪ (F‬אז ‪ q‬דומה ל־‪.φ‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי ההנחה ‪ φ‬נעשית היפרבולית מעל )‪ ,F (q‬ומכאן ש־‪ q‬מחלק את ‪ .φ‬אבל האיזומורפיזם מספק שוויון‬
‫לדרגות הטרנסצנדנטיות‪ ,‬ומכאן גם לממדים של ‪.q, φ‬‬
‫‬
‫משפט ‪ 7.3.9‬תהי ‪ φ‬תבנית פיסטר‪ ,‬ותהי ‪ q‬תבנית אנאיזוטרופית כלשהי‪ .‬אז )‪ qF (φ‬היפרבולית אם ורק אם ‪φ‬‬
‫מחלקת את ‪.q‬‬
‫הוכחה‪ .‬ראשית נניח ש־‪ φ‬מחלקת את ‪ .q‬אז ‪ q‬נעשית היפרבולית מעל )‪ F (φ‬משום שכבר ‪ φ‬נעשית שם היפרבולית‬
‫)מסקנה ‪ .(7.3.2‬בכיוון ההפוך‪ ,‬נניח ש־‪ q‬נעשית היפרבולית מעל )‪ .F (φ‬נבחר )‪ .a1 ∈ DF (q‬לפי מסקנה ‪,7.3.7‬‬
‫אפשר לפרק ‪ .q = ⟨a1 ⟩φ ⊥ q ′‬מעל שדה הפונקציות )‪ ,F (φ‬גם ‪ q‬וגם ‪ ⟨a1 ⟩φ‬נעשות היפרבוליות‪ .‬לכן גם ‪q ′‬‬
‫נעשית שם היפרבולית‪ .‬לפי הנחת האינדוקציה ‪ φ‬מחלק את ‪ q ′‬ולכן את ‪.q‬‬
‫‬
‫מסקנה ‪ 7.3.10‬אם ‪ φ‬תבנית פיסטר‪ ,‬אז ) ‪.Ker(W (F )→W (F (φ)) = φ · W (F‬‬
‫הערה ‪ 7.3.11‬תהי ‪ q‬תבנית אנאיזוטרופית; נסמן )‪ .F1 = F (q‬כפי שראינו )טענה ‪ qF1 ,(7.3.1‬נעשית‬
‫איזוטרופית‪ ,‬ולכן יש לה חלק אנאיזוטרופי ‪ ,q1 = (qF1 )an‬שהממד שלו קטן משל ‪ .q‬כעת אפשר להגדיר‬
‫) ‪ ,q2 = ((q1 )F2 )an ,F2 = F1 (q1‬וכן הלאה‪ .‬מכיוון ש־‬
‫‪dim(q) > dim(q1 ) > dim(q2 ) > · · · ,‬‬
‫הסדרה מתאפסת עד מהרה עם ‪ .qℓ+1 = 0‬היינו‪ qℓ ,‬נעשית היפרבולית מעל שדה הפונקציות שלה‪,‬‬
‫ולפי משפט ‪ 7.3.6‬היא תבנית פיסטר‪ .‬הממדים של התבניות ‪ q, q1 , q2 , . . .‬והסדר של ‪ qℓ‬הם נושא חשוב‬
‫במחקר המודרני של תבניות ריבועיות‪.‬‬
‫‪69‬‬
‫‪ .7.4‬מסנן החזקות של ) ‪I(F‬‬
‫‪7.4‬‬
‫פרק ‪ .7‬שיטות גנריות‬
‫מסנן החזקות של ) ‪I(F‬‬
‫משפט ‪) 7.4.1‬ארסון־פיסטר )‪ ((Arason-Pfister‬הממד של תבנית לא היפרבולית ) ‪ q ∈ I n (F‬הוא לפחות‬
‫‪ .2n‬אם יש שוויון‪ ,‬אז ‪ q‬דומה לתבנית פיסטר מסדר ‪.n‬‬
‫)במקרה הלא מפותל ההוכחה קלה‪ .‬נניח ש־‪ q‬אינה מפותלת‪ .‬אז יש סדר שעבורו הסימן של ‪ q‬שונה‬
‫מאפס )משפט ‪ ;(5.5.8‬אבל הסימן של כל תבנית ב־) ‪ I n (F‬מתחלק ב־ ‪) 2n‬הערה ‪ .(5.5.17‬לכן הערך‬
‫המוחלט של הסימן הוא לפחות ‪ ,2n‬וזה חסם תחתון לממד‪(.‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי ההנחה אפשר לכתוב את ‪ q‬כצירוף שלם ‪ q = ϵ1 φ1 ⊥ · · · ⊥ ϵr φr‬של תבניות פיסטר ‪ φi‬מסדר‬
‫‪ ,n‬כאשר ‪ .ϵi = ±1‬ההוכחה היא באינדוקציה על ‪ .r‬אם ‪ r = 1‬סיימנו‪ ,‬ולכן נניח ש־‪ .r > 1‬נתבונן בשדה‬
‫) ‪ .F ′ = F (φr‬מכיוון ש־ ‪ φr‬נעשית היפרבולית מעל ‪) F ′‬מסקנה ‪,(7.3.2‬‬
‫∼ ‪qF ′‬‬
‫; ‪= ϵ1 (φ1 )F ′ ⊥ · · · ⊥ ϵr−1 (φr−1 )F ′‬‬
‫בנוסף ) ‪ ,qF ′ ∈ I n (F ′‬ולכן אפשר להפעיל את הנחת האינדוקציה‪ :‬אם ‪ qF ′‬אינה היפרבולית‪ ,‬אז = )‪dim(q‬‬
‫‪ .dim(qF ′ ) ≥ 2n‬מצד שני אם ‪ qF ′‬היפרבולית‪ ,‬אז לפי משפט ‪ q ,7.3.9‬היא כפולה של ‪ φ‬והממד שלה מתחלק‬
‫ב־ ‪.2n‬‬
‫‪n‬‬
‫לבסוף‪ ,‬נניח ש־ ‪ .dim(q) = 2‬נתבונן בשדה )‪ .K = F (q‬נסמן ב־ ‪ q0‬את החלק האנאיזוטרופי של ‪ .qK‬לפי‬
‫טענה ‪ ,dim(q0 ) < dim(qK ) = dim(q) = 2n ,7.3.1‬ולפי החלק הראשון של המשפט ‪ .q0 = 0‬כלומר‪qK ,‬‬
‫היפרבולית‪ ,‬ולפי משפט ‪ 7.3.6‬זה אומר ש־‪ q‬דומה לתבנית פיסטר‪.‬‬
‫‬
‫בעיה ‪ 7.4.2‬מצא ב־) ‪ I 2 (F‬תבנית אנאיזוטרופית מממד ‪) 6‬והסק ש־ ‪ 2n‬אינו בהכרח מחלק את‬
‫הממד של תבנית ב־) ‪(.I n (F‬‬
‫מסקנה ‪= 0 7.4.3‬‬
‫) ‪n (F‬‬
‫∩‬
‫‪n≥1 I‬‬
‫‪.‬‬
‫בעיה ‪ 7.4.4‬הראה שהטופולוגיה ה־‪ I‬אדית )שבסיס שלה הוא ההזזות ) ‪ (q + I n (F‬מקיית את‬
‫תכונת ההפרדה ‪ .T1‬תהי ‪ K/F‬הרחבה‪ .‬הראה שהעתקת הצמצום )‪ W (F )→W (K‬רציפה‪.‬‬
‫‪ .T = Ker(W‬הראה ש־)‪ T = Ker(W F →W K‬הוא אידיאל סגור‪ .‬הסק‬
‫נסמן ))‪(F )→W (K‬‬
‫∩‬
‫ש־ ‪. n≥1 (T + I n (F )) = T‬‬
‫ממשפט ארסון־פיסטר נובע שתבניות פיסטר שונות מסדר ‪ n‬שונות זו מזו גם במנה ‪:I n /I n+1‬‬
‫∼ ‪.φ‬‬
‫מסקנה ‪ 7.4.5‬תהיינה ‪ φ, ψ‬תבניות פיסטר מסדר ‪ .n‬אם ) ‪ φ ≡ ψ (mod I n+1‬אז ‪= ψ‬‬
‫∼ ‪ .φ′ − ψ ′ ∼ H + φ′ + ⟨−1⟩ψ ′‬זה מוכיח לפי משפט ארסון־‬
‫הוכחה‪ .‬לפי ההנחה ‪= φ + ⟨−1⟩ψ ∈ I n+1‬‬
‫∼ ‪.φ‬‬
‫∼ ‪ φ′‬ו־‪= ψ‬‬
‫פיסטר ‪ 7.4.1‬ש־‪ ,φ′ − ψ ′ ∼ 0‬כלומר ‪= ψ ′‬‬
‫‬
‫‪70‬‬
‫פרק ‪8‬‬
‫אריתמטיקה של תבניות ריבועיות‬
‫התורה האריתמטית של תבניות ריבועיות עוסקת במיון של תבניות מעל "השדות האריתמטיים"‪ ,‬כלומר‬
‫אלו שקרובים במובנים שונים לשדה המספרים הרציונליים‪ .‬שאלה חשובה נוספת באריתמטיקה‪ ,‬שיש‬
‫לה משקל היסטורי משמעותי‪ ,‬היא השאלה אלו ערכים )שלמים( אפשר לבטא באמצעות תבנית נתונה‪.‬‬
‫הערה ‪ 8.0.6‬תהי ‪ φ‬תבנית רגולרית מעל שדה ‪ ,F‬ויהי × ‪ .a ∈ F‬אז ‪ φ‬מציגה את ‪ a‬אם ורק אם‬
‫⟩‪ φ ⊥ ⟨−a‬איזוטרופית‪) .‬אכן‪ ,‬אם ‪ φ‬איזוטרופית היא מציגה כל ערך‪ ,‬ואם היא אנאיזוטרופית אבל‬
‫⟩‪ φ ⊥ ⟨−a‬איזוטרופית‪ ,‬זה בהכרח משום ש־‪ a‬הוא ערך של ‪(.φ‬‬
‫‪8.1‬‬
‫תבניות מעל שדות סופיים‬
‫טענה ‪ 8.1.1‬יהי ‪ F‬שדה סופי‪.‬‬
‫∼ ) ‪.W (F‬‬
‫‪ .1‬אם )‪ |F | ≡ −1 (mod 4‬אז ]‪= F2 [ϵ | ϵ2 = 0‬‬
‫∼ ) ‪.W (F‬‬
‫‪ .2‬אם )‪ |F | ≡ 1 (mod 4‬אז ‪= Z/4Z‬‬
‫‪2‬‬
‫∼ × ‪ .F × /F‬יהי × ‪ s ∈ F‬איבר שאינו ריבוע‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬כידוע ‪= Z/2Z‬‬
‫‪ .1‬נניח ש־)‪ .|F | ≡ 1 (mod 4‬מכיוון ש־‪ −1‬הוא ריבוע‪ ⟨1, 1⟩ ,‬איזוטרופית ולכן היפרבולית‪ ,‬כך ש־‬
‫}⟩‪ .W (F ) = {0, ⟨1⟩, ⟨s⟩, ⟨1, s‬מכיוון ש־⟩‪ ,⟨s⟩2 = ⟨1‬החוג איזומורפי ל־]‪ ,F2 [ϵ | ϵ2 = 0‬עם‬
‫⟩‪.ϵ = ⟨1, s‬‬
‫‪ .2‬נניח ש־)‪ .|F | ≡ −1 (mod 4‬אפשר לקחת ‪ .s = −1‬כפל בריבועים מפרק את ‪ F‬לשלושה מסלולים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ריבועים‪ ,‬לא־ריבועים ואפס‪ .‬נתבונן בקבוצה × ‪ ,A = F × + F‬שהיא איחוד של מסלולים‪ .‬היא אינה‬
‫‪2‬‬
‫מכילה את אפס כי ‪ −1‬אינו ריבוע; היא מכילה את כל הריבועים‪ ,‬אבל לא רק אותם משום ש־ × ‪ F‬סגורה‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫לכפל ולכן אינה סגורה לחיבור )היא אינה תת־שדה(‪ .‬מכאן ש־ × ‪ .−1 ∈ F × = F × + F‬לכן‬
‫∼ ) ‪;W (F‬‬
‫∼ ⟩‪) ⟨1, 1‬לפי מסקנה ‪ ,(3.3.8‬אבל תבנית זו אינה איזוטרופית‪ ,‬ומכאן ש־‪= Z/4Z‬‬
‫⟩‪= ⟨−1, −1‬‬
‫אכן }⟩‪.W (F ) = {0, ⟨1⟩, ⟨−1⟩, ⟨1, 1‬‬
‫‬
‫מסקנה ‪ 8.1.2‬לכל שדה סופי ‪.I 2 (F ) = 0 ,F‬‬
‫מסקנה ‪ 8.1.3‬מעל שדה סופי‪ ,‬כל תבנית מממד ‪) 3‬או יותר( היא איזוטרופית‪ .‬בפרט‪ ,‬כל תבנית מממד‬
‫‪) 2‬או יותר( מעל שדה סופי היא אוניברסלית‪ ,‬כלומר מציגה כל ערך שונה מאפס‪.‬‬
‫‪71‬‬
‫פרק ‪ .8‬אריתמטיקה של תבניות ריבועיות‬
‫‪ .8.2‬תבניות מעל שדות מקומיים‬
‫∼ ) ‪W (F5‬‬
‫דוגמא ‪ 8.1.4‬נתבונן בהרחבה ‪.F25 /F5‬‬
‫אינו ריבוע ב־ ‪=√F2 [ϵ | ϵ2 = 1] ,F5‬‬
‫√ מכיוון ש־‪√ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫אם ‪ t = 2‬אז‬
‫)כי‬
‫‪F‬‬
‫ב־‬
‫ריבוע‬
‫אינו‬
‫ו־‪2‬‬
‫‪F‬‬
‫=‬
‫‪F‬‬
‫[‬
‫עם הזיהוי ⟩‪ .ϵ = ⟨2‬בדומה לזה ]‪2‬‬
‫‪25‬‬
‫‪5‬‬
‫‪⟨√ ⟩ 25‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′2‬‬
‫∼‬
‫= ‪ .ϵ‬ראה גם‬
‫‪ ,(t24 = (t8 )3 = (−1)3 = −1‬ולכן ]‪ W (F25 ) = F2 [ϵ | ϵ = 1‬עם הזיהוי ‪2‬‬
‫תרגיל ‪ .8.1.1‬העתקת הצמצום ‪ R→R′‬שולחת ‪ ,ϵ 7→ 1‬ולכן התמונה שלה היא }⟩‪ ,{0, ⟨1‬והגרעין הוא‬
‫האידיאל הנוצר על־ידי ⟩‪.ϵ + 1 = ⟨1, 2‬‬
‫אתגר ‪ 8.1.5‬תאר את כל השדות ‪ F‬שחוג ויט שלהם איזומורפי לזה של שדה סופי‪.‬‬
‫‪8.2‬‬
‫תבניות מעל שדות מקומיים‬
‫‪8.2.1‬‬
‫שדות עם הערכה‬
‫הגדרה ‪ 8.2.1‬הערכה בדידה של שדה ‪ F‬היא פונקציה }∞{ ∪ ‪ ν : F →Z‬כך ש־∞ = )‪ ν(0‬ו־‪ ν(a) ∈ Z‬בכל‬
‫מקרה אחר‪ ,‬המקיימת לכל × ‪:a, b ∈ F‬‬
‫‪;ν(ab) = ν(a) + ν(b) .1‬‬
‫‪.ν(a + b) ≥ min {ν(a), ν(b)} .2‬‬
‫דוגמא ‪ 8.2.2‬יהי ‪ R‬תחום פריקות יחידה‪ ,‬עם איבר ראשוני ‪ .p ∈ R‬יהי )‪ F = q(R‬שדה השברים‪.‬‬
‫לכל איבר ‪ a ∈ R‬אפשר להגדיר } ‪ .νp (a) = max {n : a ∈ Rpn‬הפונקציה ‪ νp‬היא הערכה בדידה‪.‬‬
‫כך מתקבלות ההערכה ה־‪p‬־אדית של ‪) Q‬עבור ראשוני ‪ (p‬וההערכה ה־‪p‬־אדית של ]‪) F [λ‬עבור‬
‫פולינום אי־פריק ‪.(p‬‬
‫הגדרה ‪ 8.2.3‬יהי ‪ F‬שדה עם הערכה בדידה ‪ .ν : F × →Z‬חוג השלמים של ‪ ν‬הוא‬
‫‪Oν = {a ∈ F : ν(a) ≥ 0}.‬‬
‫אידיאל ההערכה הוא‬
‫‪Iν = {a ∈ F : ν(a) > 0}.‬‬
‫שדה השאריות של ‪ F‬הוא שדה המנה ‪ .Oν /Iν‬איבר ‪ π ∈ Iν‬עם ערך מינימלי נקרא יוניפורמיזר )בדרך כלל‬
‫מנרמלים את ההערכה כך ש־‪.(ν(π) = 1‬‬
‫תרגיל ‪ 8.2.4‬כפי שהשמות רומזים‪ F ,‬הוא שדה השברים של ‪ Oν ;Oν‬הוא חוג מקומי ש־ ‪ Iν‬הוא‬
‫האידיאל המקסימלי שלו; ̄‪ F‬הוא אכן שדה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 8.2.5‬יהי ‪ .a ∈ F‬אז ‪ a‬הוא איבר הפיך ב־ ‪ Oν‬אם ורק אם ‪.ν(a) = 0‬‬
‫תרגיל ‪ 8.2.6‬כחבורה כפלית אפשר לפרק ×‪ .F × = π Z Oν‬כלומר‪ ,‬לכל × ‪ a ∈ F‬יש ‪ ℓ ∈ Z‬יחיד‬
‫ו־ ×‪ u ∈ Oν‬יחיד כך ש־‪.a = π ℓ u‬‬
‫‪8.2.2‬‬
‫שדות שלמים ושדות מקומיים‬
‫יהי ‪ F‬שדה עם הערכה בדידה‪ .‬ההערכה משרה על ‪ F‬מטריקה‪ ,‬באופן הבא‪ .‬נקבע ‪,0 < γ < 1‬‬
‫ונגדיר )‪.d(a, b) = γ ν(a−b‬‬
‫תרגיל ‪ 8.2.7‬זו אכן מטריקה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 8.2.8‬הטופולוגיה המטרית אינה תלויה בערך של ‪.γ‬‬
‫ככל ש־)‪ ν(a‬גדול יותר‪ a ,‬קרוב יותר לאפס‪ .‬למשל‪ ,‬אם ‪ π‬יוניפורמיזר‪ ,‬אז ‪ .π n →0‬המטריקה‬
‫מגדירה בשדה סדרות קושי‪ .‬השדה הוא שדה שלם )ביחס להערכה ‪ (ν‬אם כל סדרת קושי מתכנסת‪.‬‬
‫‪72‬‬
‫‪ .8.2‬תבניות מעל שדות מקומיים‬
‫פרק ‪ .8‬אריתמטיקה של תבניות ריבועיות‬
‫∑‪ (8.2.5‬הם שלמים‪ .‬דוגמא נוספת‪ :‬לכל שדה ‪ F = k((t)) ,k‬הוא‬
‫דוגמא ‪ 8.2.9‬השדות המקומיים )סעיף‬
‫‪i‬‬
‫∞ (‪ ν‬כאשר ‪.aN ̸= 0‬‬
‫שלם ביחס להערכה ‪i=N ai t ) = N‬‬
‫תרגיל ‪ 8.2.10‬אם ‪ x1 , x2 , . . .‬סדרת קושי ו־‪ ν(xn ) ≥ 0‬עבור ‪ n‬מספיק גדול‪ ,‬אז ‪.lim xn ∈ Oν‬‬
‫כלומר‪ ,‬חוג השלמים ‪ Oν‬הוא מרחב מטרי שלם )"חוג השלמים הוא חוג שלם"(‪.‬‬
‫השלמה של שדות‬
‫בהמשך נראה שהאריתמטיקה של שדה שלם היא פשוטה יחסית‪ .‬למרבה הנוחות‪ ,‬כל שדה עם הערכה‬
‫מוכל בשדה שלם יחיד‪.‬‬
‫טענה ‪ 8.2.11‬יהי ‪ F‬שדה עם הערכה‪ .‬אז יש שדה שלם ̂‪ F‬שכל איבר בו הוא גבול של סדרת קושי של‬
‫אברים מ־ ‪ .F‬ההערכה מוגדרת בשדה הזה לפי ) ‪ ;ν(lim an ) = lim ν(an‬הסדרה באגף ימין מתכנסת‬
‫בטופולוגיה הדיסקרטית של ‪ ,Z‬משום שהיא קבועה לבסוף‪ .‬השדה ̂‪ F‬יחיד עד כדי איזומורפיזם של שדות‬
‫עם הערכה‪.‬‬
‫משפט ‪) 8.2.12‬משפט אוסטרובסקי )‪ ((Ostrovsky‬ההערכות הבדידות היחידות של ‪ Q‬הן ההערכות ה־‪p‬־‬
‫אדיות‪.‬‬
‫הערה ‪ 8.2.13‬כתוצאה ממשפט אוסטרובסקי ‪ ,8.2.12‬ההשלמות היחידות של ‪ Q‬לשדות שלמים בטופולוגיה‬
‫מטרית שתחתיה פעולות השדה רציפות‪ ,‬הן ‪ Qp‬עבור ‪ p‬ראשוני‪ ,‬ו־‪) .R‬ההשלמה ל־‪ R‬קשורה בערכים‬
‫מוחלטים ארכימדיים‪ ,‬מושג שלא נבאר כאן; כל הערכה בדידה משרה ערך מוחלט לא ארכימדי(‪.‬‬
‫שדות מקומיים‬
‫נפגוש כעת מחלקה חשובה של שדות שלמים‪ .‬נזכיר שמרחב מטרי הוא קומפקטי מקומית אם לכל‬
‫נקודה יש סביבה פתוחה שהסגור שלה קומפקטי‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 8.2.14‬שדה עם הערכה בדידה הוא מקומי אם הוא קומפקטי מקומית )בטופולוגיה המטרית המושרית על־ידי‬
‫ההערכה(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 8.2.15‬שדה מקומי הוא בהכרח שלם‪.‬‬
‫טענה ‪ 8.2.16‬יהי ‪ F‬שדה שלם‪ .‬הוא מקומי אם ורק אם ̄‪ F‬הוא שדה סופי‪.‬‬
‫הגדרה ‪ ,Qp 8.2.17‬שדה המספרים ה־‪p‬־אדיים‪ ,‬הוא ההשלמה של ‪ Q‬ביחס להערכה ה־‪p‬־אדית ‪.νp‬‬
‫את חוג השלמים של ‪ Qp‬מסמנים ב־ ‪ .Zp‬שימו לב ש־‪ :charQp = 0‬זוהי הרחבה של ‪.Q‬‬
‫משפט ‪ 8.2.18‬כל שדה מקומי הוא אחד מהשדות הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬הרחבה סוף־ממדית של ‪ ,Qp‬עם ההערכה )היחידה( הממשיכה את ההערכה ה־‪p‬־אדית‪.‬‬
‫‪ .2‬השדה של טורי לורן מעל שדה סופי‪ ,‬היינו ))‪ ,Fq ((t‬עם ההערכה }‪ai ti ) = min {i : ai ̸= 0‬‬
‫∑‬
‫(‪.ν‬‬
‫בעיה ‪ 8.2.19‬אם ‪ F‬שדה מקומי‪ ,‬אז לכל מרחב ריבועי )‪ (V, q‬מתקיים )‪.O(V, q) = O+ (V, q‬‬
‫‪73‬‬
‫‪ .8.2‬תבניות מעל שדות מקומיים‬
‫‪8.2.3‬‬
‫פרק ‪ .8‬אריתמטיקה של תבניות ריבועיות‬
‫תבניות מעל חוג השלמים בשדה שלם‬
‫היתרון בשדות שלמים הוא שאפשר לפתור בהם משוואות באופן איטרטיבי‪ .‬הרעיון הבסיסי הוא‬
‫שכל מה שאפשר לעשות בשדה השאריות‪ ,‬אפשר להרים לחוג השלמים עצמו‪ ,‬באמצעות לינאריזציה‬
‫של הבעיה בכל אחד מהמקטעים ‪ .π n Oν /π n+1 Oν‬כדי שהאסטרטגיה הזו תעבוד‪ ,‬המשוואה צריכה‬
‫להיות "ספרבילית" בשדה השאריות‪ ,‬וזה מסבך את הדברים עבור תבניות ריבועיות אם יש מקדמים‬
‫לא הפיכים‪ ,‬או כאשר ‪.charF = 2‬‬
‫נדגים זאת במקרה פשוט‪ ,‬ואחר־כך נציג תוצאה כללית יותר‪.‬‬
‫למה ‪) 8.2.20‬הלמה של הנזל ‪ (Hensel‬נניח ש־‪ .charF̄ ̸= 2‬אם ×‪ a ∈ Oν‬ו־ × ̄‪ ā ∈ F‬הוא איבר‬
‫ריבועי‪ ,‬אז גם ‪ a‬ריבוע ב־ ‪.Oν‬‬
‫הוכחה‪ .‬נבנה סדרה ‪ x1 , . . .‬באינדוקציה‪ .‬עבור ‪ ,n ≥ 1‬נניח ש־) ‪) x2n ≡ a (mod π n‬לפי ההנחה ‪ x1‬קיים(‪.‬‬
‫כתוב ‪ ,xn+1 = xn + π n y‬עבור ‪ y‬שנבחר מיד‪ .‬ממילא יוצא ש־} ‪ {xn‬היא סדרת קושי‪ .‬כדי לבחור את ‪ ,y‬נחשב‪:‬‬
‫‪x2n+1 − a = (x2n − a) + 2π n y + π 2n y 2‬‬
‫‪≡ x2n + 2π n y‬‬
‫‪= π n (π −n (x2n − a) + 2y) (mod π n+1 ).‬‬
‫נבחר ‪ y ∈ O‬כך ש־)‪ ,y ≡ − 12 π −n (x2n − a) (mod π‬ואז ) ‪ .x2n+1 ≡ a (mod π n+1‬הגבול = ‪x‬‬
‫‪ limn→∞ xn‬מקיים ‪.x2 = limn→∞ x2n = a‬‬
‫‬
‫הנה הגרסה הכללית על הרמת הצגות של תבנית ריבועית‪.‬‬
‫∑‬
‫למה ‪ 8.2.21‬תהי ‪ q(x1 , . . . , xt ) = i ai x2i‬תבנית ריבועית אלכסונית מעל ‪ .Oν‬יהי ‪ .a ∈ Oν‬נניח‬
‫שיש ‪ x1 , . . . , xt ∈ Oν‬כך ש־)‪ ,q(x1 , . . . , xt ) ≡ a (mod 4π‬ויש ‪ i‬כך ש־ ‪ ai xi‬הפיך )ב־ ‪ .(Oν‬אז ‪q‬‬
‫מציגה את ‪ a‬מעל ‪.Oν‬‬
‫הוכחה‪ .‬נקבע יוניפורמיזר ‪ .π ∈ Oν‬ראשית‪ ,‬נסמן )‪ ,e = ν(2‬כך ש־ ‪) 2Oν = π e Oν‬אם ‪ e = 0‬אז‬
‫‪.(charF ̸= 2‬‬
‫לכל ‪ x1 , . . . , xt ∈ Oν‬ו־ ‪ ,δ1 , . . . , δt ∈ Oν‬אם נציב ‪ ,x′i = xi + π n δi‬נוכל לחשב ש־‬
‫∑‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪q(x′1 , . . . , x′t‬‬
‫‪ai x′i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ai (xi + π n δi )2‬‬
‫∑‬
‫=‬
‫‪i‬‬
‫) ‪ai (x2i + 2π n δi xi + π 2n δi2‬‬
‫‪ai δi2 .‬‬
‫∑‬
‫‪i‬‬
‫‪ai δi xi + π 2n‬‬
‫∑‬
‫∑‬
‫=‬
‫‪i‬‬
‫‪= q(x1 , . . . , xt ) + 2π n‬‬
‫‪i‬‬
‫בפרט‪ ,‬אם ‪ n ≥ e + 1‬אז ‪ ,2π n+1 | π 2n‬ולכן‬
‫∑‬
‫‪q(x′1 , . . . , x′t ) ≡ q(x1 , . . . , xt ) + 2π n‬‬
‫‪ai δi xi (mod 2π n+1 ).‬‬
‫‪i‬‬
‫נאמר שהווקטור ‪ x1 , . . . , xt‬הוא '‪n‬־טוב' אם ) ‪ ,q(x1 , . . . , xt ) ≡ a (mod 2π n‬ויש ‪ i‬כך ש־ ‪ ai xi‬הפיך‪.‬‬
‫)‪(n‬‬
‫)‪(n‬‬
‫)‪(e+1‬‬
‫)‪(e+1‬‬
‫‪ .x1‬יהי ‪ ,n ≥ e + 1‬ונניח ש־ ‪ x1 , . . . , xt‬הוא‬
‫‪, . . . , xt‬‬
‫לפי ההנחה קיים וקטור )‪(e + 1‬־טוב‪,‬‬
‫‪74‬‬
‫‪ .8.2‬תבניות מעל שדות מקומיים‬
‫פרק ‪ .8‬אריתמטיקה של תבניות ריבועיות‬
‫)‪(n‬‬
‫)‪(n‬‬
‫וקטור ‪n‬־טוב‪ .‬כתוב ) ‪ q(x1 , . . . , xt ) ≡ a + 2π n θ (mod 2π n+1‬עבור ‪ θ ∈ Oν‬מתאים‪ .‬נגדיר‬
‫)‪(n‬‬
‫)‪(n+1‬‬
‫)‪(n‬‬
‫‪ xi‬עבור ערכים ‪ δi ∈ Oν‬שנבחר מיד )ממילא נובע שלכל ‪ ,i‬הסדרה ‪ xi‬היא סדרת‬
‫‪= xi + π n δi‬‬
‫קושי(‪ .‬אז‬
‫∑‬
‫)‪(n+1‬‬
‫)‪(n+1‬‬
‫)‪(n‬‬
‫)‪(n‬‬
‫‪q(x1‬‬
‫‪, . . . , xt‬‬
‫‪) ≡ q(x1 , . . . , xt ) + 2π n‬‬
‫‪ai δi xi‬‬
‫‪i‬‬
‫‪(mod 2π n+1 ).‬‬
‫‪a i δi x i‬‬
‫∑‬
‫‪n‬‬
‫‪≡ a + 2π θ + 2π‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i‬‬
‫∑‬
‫)‪(n‬‬
‫)‪(n‬‬
‫מכיוון ש־ ‪ x1 , . . . , xt‬הוא טוב‪ ,‬אפשר לפתור את )‪ θ + i ai δi xi ≡ 0 (mod π‬עבור ‪,δ1 , . . . , δt ∈ Oν‬‬
‫)‪(n+1‬‬
‫)‪(n+1‬‬
‫)‪(n+1‬‬
‫)‪(n+1‬‬
‫‪ x1‬הוא )‪(n + 1‬־טוב‪ .‬במעבר‬
‫‪, . . . , xt‬‬
‫‪ q(x1‬כך ש־‬
‫‪, . . . , xt‬‬
‫ואז ) ‪) ≡ a (mod 2π n+1‬‬
‫)‪(n‬‬
‫לגבול ‪ ,xi = limn→∞ xi‬מתקבלת הצגה של ‪ a‬על־ידי ‪ q‬מעל ‪.Oν‬‬
‫‬
‫בפרט‪ ,‬אם בוחרים ⟩‪ ,q = ⟨1‬מקבלים גרסה של למה ‪ 8.2.20‬המכסה גם את המקרה ‪:charF̄ = 2‬‬
‫מסקנה ‪ 8.2.22‬אם ל־ ×‪ a ∈ O‬יש שורש מודולו ‪ ,4π‬אז יש ל־‪ a‬שורש ב־‪.O‬‬
‫מסקנה ‪ 8.2.23‬בכל שדה שלם ביחס להערכה בדידה‪.1 + 4πO ⊆ O× ,‬‬
‫‪2‬‬
‫מסקנה ‪ 8.2.24‬תהי ‪ q‬תבנית ריבועית אלכסונית מעל ‪ ,Oν‬ויהי ×‪ .a ∈ Oν‬אם ‪ q‬מציגה את ‪ a‬מודולו‬
‫‪ ,4π‬אז ‪ q‬מציגה את ‪ a‬מעל ‪.Oν‬‬
‫∑‬
‫≡ ‪ a‬מודולו ‪ ,4π‬בהכרח יש ‪ ai xi‬הפיך‪,‬‬
‫הוכחה‪ .‬זו גרסה של למה ‪ :8.2.21‬ההנחה ‪ a‬אומרת שבהצגה ‪ai x2i‬‬
‫ולכן הלמה מספקת הצגה מעל השלמים‪.‬‬
‫‬
‫וקטור ) ‪ ⃗x = (x1 , . . . , xn‬מעל חוג השלמים ‪) Oν‬או חוג מנה שלו( נקרא פרימיטיבי אם יש לו‬
‫לפחות רכיב הפיך אחד‪ .‬הצגה של ‪ a‬באמצעות וקטור פרימיטיבי נקראת הצגה פרימיטיבית‪ .‬מן‬
‫ההומוגניות ברור שאם תבנית ‪ q‬המוגדרת מעל ‪ Oν‬היא איזוטרופית מעל ‪ ,F‬אז היא מציגה את אפס‬
‫באופן פרימיטיבי‪ .‬בשפה זו‪ 8.2.21 ,‬מספקת את התוצאה הבאה‪:‬‬
‫מסקנה ‪ 8.2.25‬תהי ‪ q‬תבנית ריבועית אלכסונית מעל ‪ ,Oν‬הנשארת רגולרית מודולו ‪ .π‬יהי ‪.a ∈ Oν‬‬
‫אם ‪ q‬מציגה את ‪ a‬באופן פרימיטיבי מודולו ‪ ,4π‬אז ‪ q‬מציגה את ‪ a‬מעל ‪.Oν‬‬
‫מסקנה ‪ 8.2.26‬תהי ‪ q‬תבנית ריבועית אלכסונית מעל ‪ ,Oν‬הנשארת רגולרית מודולו ‪ .π‬אם ‪ q‬מציגה‬
‫את אפס באופן פרימיטיבי מודולו ‪ ,4π‬אז היא איזוטרופית‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬זהו המקרה ‪ a = 0‬של מסקנה ‪.8.2.25‬‬
‫‬
‫תרגיל ‪ 8.2.27‬במסקנה ‪ ,8.2.26‬הדרישה שהתבנית תשאר רגולרית היא חיונית‪ .‬הראה שהתבנית‬
‫⟩‪ ⟨1, 1, π, π‬מעל ]‪ Q2 [π | π 2 = 2‬היא אנאיזוטרופית‪ :‬למרות שהיא מציגה את אפס פרימיטיבית‬
‫מודולו ‪ ,4π‬היא אינה יכולה להציג את אפס פרימיטיבית מודולו ‪.8‬‬
‫בעיה ‪ 8.2.28‬הצע גרסה של למה ‪ 8.2.21‬שתתאים לתבנית כללית‪ ,‬לאו דווקא אלכסונית‪.‬‬
‫בעיה ‪ 8.2.29‬יהי ‪ .e ≥ 1‬התבונן בשדה ⟩‪) Q2 [π]/⟨π e − 2‬הקבוע ‪ e‬ממשפט ‪ 8.2.21‬מתלכד עם‬
‫הערך שניתן לו כאן(‪ .‬הראה ש־‪ 5‬אינו ריבוע בשדה‪ ,‬משום שהוא אינו ריבוע מודולו ‪ ,4π‬למרות‬
‫שהוא ריבוע מודולו ‪ .4‬מכאן שהדרישה לקיום הצגה מודולו ‪ 4π‬במסקנה ‪ 8.2.24‬היא המינימום‬
‫ההכרחי להבטיח הצגה שלמה‪.‬‬
‫‪75‬‬
‫‪ .8.2‬תבניות מעל שדות מקומיים‬
‫‪8.2.4‬‬
‫פרק ‪ .8‬אריתמטיקה של תבניות ריבועיות‬
‫חוג ויט של שדה שלם‬
‫מסקנה ‪ 8.2.23‬מאפשרת להוכיח את המשפט הבא‪:‬‬
‫משפט ‪) 8.2.30‬הלמה של פיסטר( יהי ‪ F‬שדה הערכה שלם‪.‬‬
‫∼ ) ‪.W (F‬‬
‫אדיטיביות‪= W (F̄ ) ⊕ W (F̄ ) ,‬‬
‫נניח ש־‪.charF̄ ̸= 2‬‬
‫אז‪ ,‬כחבורות‬
‫הוכחה‪ .‬יהיו ‪ O‬חוג השלמים של ‪ π ∈ O ,F‬יוניפורמיזר‪ ,‬ו־‪ F̄ = O/πO‬שדה השאריות‪ .‬נגדיר העתקה‬
‫) ̄‪ W (F )→W (F̄ ) ⊕ W (F‬על היוצרים‪ ,‬בעזרת תרגיל ‪ ,8.2.6‬לפי‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫)‪(⟨ū⟩ , 0‬‬
‫‪ ℓ‬זוגי‬
‫→‪π ℓ u 7‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ ℓ‬אי־זוגי )⟩̄‪(0 , ⟨u‬‬
‫⟩ ⟨‬
‫יש לוודא שההעתקה מוגדרת היטב‪ .‬נעשה זאת לפי היחסים במשפט ‪ .3.3.16‬היחסים ⟩‪ ac2 = ⟨a‬ו־‬
‫‪ ⟨1⟩+⟨−1⟩ = 0‬עוברים לטענות נכונות בתמונה‪ .‬נשאר לבדוק את היחס ⟩)‪.⟨a⟩+⟨b⟩ = ⟨a + b⟩+⟨ab(a + b‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫נכתוב ‪ a = π ℓ u‬ו־‪ b = π ℓ v‬כאשר ‪ u, v‬שלמים הפיכים‪ .‬אם ‪ ℓ < ℓ′‬נסמן ‪ ;w = u + π ℓ −ℓ v‬אז ‪w ≡ u‬‬
‫מודולו ריבועים‪ ,‬ולכן ־⟩̄‪ ⟨ū⟩ = ⟨w‬ו־⟩̄‪ .⟨v̄⟩ = ⟨ūv̄ w‬בדיקה של המקרים השונים מראה שתמיד מתקבל שוויון‬
‫בתמונה‪ .‬כך גם כאשר ‪ .ℓ′ < ℓ‬נשאר המקרה ‪ .ℓ′ = ℓ‬אם ‪ u + v‬הפיך‪ ,‬אז ⟩̄‪ .⟨ū⟩ + ⟨v̄⟩ = ⟨w̄⟩ + ⟨ūv̄ w‬אחרת‪,‬‬
‫‪ w = π t s‬עבור ×‪ ,s ∈ O‬ואז ̄‪ ⟨ū⟩ + ⟨v̄⟩ = 0 ,ū = −v‬ו־‪.⟨s̄⟩ + ⟨ūv̄s̄⟩ = ⟨s̄⟩(⟨1⟩ + ⟨−1⟩) = 0‬‬
‫בכיוון ההפוך‪ ,‬אפשר להגדיר‬
‫;⟩‪(⟨ū⟩, ⟨v̄⟩) 7→ ⟨u, πv‬‬
‫זו העתקה מוגדרת היטב )משום שכל איבר ב־ ‪ 1 + πOν‬הוא ריבוע(‪ ,‬ההופכת את הפונקציה הקודמת‪ ,‬ולכן שתיהן‬
‫איזומורפיזמים‪.‬‬
‫‬
‫בעיה ‪ 8.2.31‬הלמה של פיסטר מגדירה )בין השאר( הומומורפיזם של חבורות ) ̄‪W (F )→W (F‬‬
‫לפי ⟩̄‪ ⟨u⟩ 7→ ⟨u‬ו־‪ .⟨πu⟩ 7→ 0‬מצא הטלה מ־) ‪ W (F‬במקרה ש־‪ charF = 0‬ו־‪.charF̄ = 2‬‬
‫נמשיך בהנחה ש־ ‪ F‬שדה שלם‪ ,‬וששדה השברים ̄‪ F‬הוא ממאפיין שונה מ־‪.2‬‬
‫מסקנה ‪ 8.2.32‬כל תבנית רגולרית מעל ‪ F‬אפשר לפרק באופן יחיד )עד כדי שקילות ויט( בצורה‬
‫‪ q = q0 ⊥ ⟨π⟩q1‬כאשר ‪ q0 , q1‬הן תבניות המוגדרות מעל ‪ Oν‬ונשארות רגולריות מעל ̄‪.F‬‬
‫תרגיל ‪ 8.2.33‬לכל × ‪ a ∈ F‬מתקיים ⟩⟩‪.⟨⟨a⟩⟩2 = 2⟨⟨a‬‬
‫הדרכה‪ ⟨⟨a, a⟩⟩ = ⟨⟨−1⟩⟩⟨⟨a⟩⟩ .‬לפי‬
‫למה )‪.6.3.1.(1‬‬
‫טענה ‪) 8.2.34‬אם ‪ F‬שלם ו־‪ (charF̄ ̸= 2‬יש איזומורפיזם של חוגים‬
‫∼ ) ‪W (F‬‬
‫‪= W (F̄ )[θ | θ2 = 2θ].‬‬
‫הוכחה‪ .‬האיזומורפיזם הוא ] ‪ ,[q0 + ⟨π⟩q1 ] 7→ [q¯0 ] + (1 − θ)[q¯1‬ובכיוון ההפוך ⟩⟩‪.θ 7→ ⟨⟨π‬‬
‫‬
‫האיזומורפיזם ]‪ W (F )→W (F̄ )[θ | θ2 = 2θ‬נושא את האידיאל היסודי ) ‪ I(F‬ל־) ̄‪,I(F̄ ) + θW (F‬‬
‫משום ש־⟩⟩̄‪ ⟨⟨u⟩⟩ 7→ ⟨⟨u‬ו־‪ .⟨⟨πu⟩⟩ 7→ ⟨⟨ū⟩⟩ + ⟨ū⟩θ‬כך אפשר לחשב את החזקות‪ :‬לכל ‪,n ≥ 1‬‬
‫‪I n (F ) 7→ I n (F̄ ) + I n−1 (F̄ )θ.‬‬
‫מסקנה ‪ 8.2.35‬יהי ‪ F‬שדה שלם עם ‪ .charF̄ ̸= 2‬אז‬
‫∼ ) ‪I n (F )/I n+1 (F‬‬
‫‪= I n (F̄ )/I n+1 (F̄ ) ⊕ I n−1 (F̄ )/I n (F̄ ).‬‬
‫בעיה ‪ 8.2.36‬מצא את הקשר בין העתקת השארית בלמה של פיסטר‪ ,‬לבין תת־סעיף ‪.4.2.1‬‬
‫‪76‬‬
‫פרק ‪ .8‬אריתמטיקה של תבניות ריבועיות‬
‫‪8.2.5‬‬
‫‪ .8.2‬תבניות מעל שדות מקומיים‬
‫חוג ויט של שדות מקומיים‬
‫בסעיף הזה נחשב את ) ‪ W (Qp‬כאשר ‪) p ̸= 2‬כשטענה ‪ 8.2.34‬נותנת את המבנה של החוג(‪ ,‬וכאשר‬
‫‪) p ̸= 2‬כשהטענה אינה ישימה(‪.‬‬
‫טענה ‪ 8.2.37‬נתבונן בשדה ‪.Qp‬‬
‫∼ ‪×2‬‬
‫‪2‬‬
‫×‪ ,Q‬כאשר החבורה נוצרת על־ידי ‪ p‬ואיבר ‪ s ∈ Z‬שאינו ריבוע‬
‫‪ .1‬אם ‪ p‬אי־זוגי‪p /Qp = (Z/2) ,‬‬
‫מודולו ‪.p‬‬
‫∼ ‪×2‬‬
‫‪3‬‬
‫×‪ ,Q‬כשהחבורה נוצרת על־ידי ‪.−1, 2, 3‬‬
‫‪2 /Q2 = (Z/2) .2‬‬
‫דוגמא ‪ 8.2.38‬יהי )‪ p ≡ −1 (mod 4‬ראשוני‪ .‬אז כל תבנית ריבועית רגולרית מעל ‪ F = Qp‬שקולה‬
‫בדיוק לאחת מהתבניות הבאות‪:‬‬
‫‪⟨1⟩, ⟨−1⟩, ⟨p⟩, ⟨−p⟩,‬‬
‫;‪0‬‬
‫⟩‪⟨1, 1⟩, ⟨1, p⟩, ⟨1, −p⟩, ⟨−1, p⟩, ⟨−1, −p⟩, ⟨p, p‬‬
‫‪⟨1, p, p⟩, ⟨−1, p, p⟩, ⟨1, 1, p⟩, ⟨1, 1, −p⟩,‬‬
‫‪⟨1, 1, p, p⟩.‬‬
‫בפרט )בעקבות טענה ‪(8.2.34‬‬
‫‪W (Qp ) = (Z/4)[θ | θ2 = 2θ],‬‬
‫כאשר ⟩‪ 1 = ⟨1‬כרגיל‪ ,‬ו־⟩⟩‪ .θ = ⟨⟨p‬האידיאל היסודי נוצר אדיטיבית על־ידי ‪ .2, θ‬לכן = ) ‪I 2 (F‬‬
‫}‪ ,{0, 2θ‬וכמובן ‪.I 3 (F ) = 0‬‬
‫דוגמא ‪ 8.2.39‬יהי )‪ p ≡ 1 (mod 4‬ראשוני‪ .‬קבע ‪ s ∈ Z‬שאינו שארית ריבועית מודולו ‪ .p‬אז כל‬
‫תבנית ריבועית רגולרית מעל ‪ F = Qp‬שקולה בדיוק לאחת מהתבניות הבאות‪:‬‬
‫‪⟨1⟩, ⟨s⟩, ⟨p⟩, ⟨sp⟩,‬‬
‫;‪0‬‬
‫⟩‪⟨1, s⟩, ⟨1, p⟩, ⟨1, sp⟩, ⟨s, p⟩, ⟨s, sp⟩, ⟨p, sp‬‬
‫‪⟨1, s, p⟩, ⟨1, s, sp⟩, ⟨1, p, sp⟩, ⟨s, p, sp⟩,‬‬
‫‪⟨1, s, p, sp⟩.‬‬
‫חוג ויט הוא ]‪ ,W (Qp ) = (Z/2)[σ, θ | σ 2 = θ2 = 0‬עם ההתאמה ⟩⟩‪ σ = ⟨⟨s‬ו־⟩⟩‪ .θ = ⟨⟨p‬במקרה‬
‫זה ) ‪ I(F‬נוצר אדיטיבית על־ידי ‪ .σ, θ, σθ‬לכן }‪ ,I 2 (F ) = {0, σθ‬ושוב ‪.I 3 (F ) = 0‬‬
‫טענה ‪ 8.2.40‬יש ‪ 32‬תבניות אנאיזוטרופיות מעל ‪ .Q2‬חוג ויט של ‪ Q2‬הוא‬
‫∼ ) ‪W (Q2‬‬
‫‪= (Z/8)[x, y | x2 = y 2 = 2x = 2y = 0, xy = 4],‬‬
‫עם ⟩⟩‪ x = ⟨⟨2‬ו־⟩⟩‪ .y = ⟨⟨−3‬בחוג הזה ⟩‪ I 2 (Q2 ) = ⟨4⟩ ,I(Q2 ) = ⟨2, x, y‬ו־‪.I 3 (Q2 ) = 0‬‬
‫×‬
‫×‬
‫התבניות‬
‫הוכחה‪ .‬ראינו )טענה ‪ (8.2.37‬ש־⟩‪ .Q2 /Q2 = ⟨−1, 2, 3‬מכאן ש־) ‪ W (Q2‬נוצר אדיטיבית על־ידי √‬
‫⟩‪ x = ⟨⟨2⟩⟩ ,1 = ⟨1‬ו־⟩⟩‪ .y = ⟨⟨−3‬התבנית ⟩⟩‪ ⟨⟨−1, −1, −1‬היא איזוטרופית ) ‪ −7 ∈ Q2‬לפי‬
‫למה ‪ (8.2.22‬ולכן היפרבולית )משפט ‪ .(6.4.1‬מכאן ש־‪ 8 = 0‬בחוג‪.‬‬
‫את היחסים אפשר להוכיח ישירות בעזרת ההצגות השונות לתבנית בינארית‪ .‬מ־⟩‪ ⟨1, 1⟩ = ⟨2, 2‬נובע‬
‫‪ .2x = 0‬מ־⟩‪ ⟨1, 1⟩ = ⟨1, 4⟩ = ⟨5, 5⟩ = ⟨−3, −3‬נובע ‪ .2y = 0‬מ־⟩‪ ⟨−2, 3⟩ = ⟨1, −6‬נובע‬
‫‪ ,xy = ⟨1, −2, 3, −6⟩ = 2⟨−2, 3⟩ = 2(x + y − 2) = 4‬ולבסוף ‪ x2 = 2x = 0‬ו־‪ y 2 = 2y = 0‬לפי‬
‫תרגיל ‪.8.2.33‬‬
‫‪2‬‬
‫‪77‬‬
‫פרק ‪ .8‬אריתמטיקה של תבניות ריבועיות‬
‫‪ .8.3‬תבניות מעל שדות גלובליים‬
‫כדי להוכיח שכל התבניות ⟩⟩‪ q = n⟨1⟩ + α⟨⟨2⟩⟩ + β⟨⟨−3‬שונות זו מזו )‪,(α, β = 0, 1 ,n = 0, . . . , 7‬‬
‫אפשר להפעיל את האינווריאנטים‪ .‬די להוכיח שהתבנית ההיפרבולית היחידה מתקבלת עבור ‪.n = α = β = 0‬‬
‫) ‪ q ∈ I(Q2‬אם ורק אם )‪ ;n ≡ 0 (mod 2‬ועבור תבניות ב־) ‪ ,disc(q) = (−1)n/2+β 2α 3β ,I(Q2‬שהוא‬
‫ריבוע אם ורק אם ‪ α = β = 0‬ו־)‪ .n ≡ 0 (mod 4‬זה משאיר רק תבנית אחת לבדוק‪ .q = ⟨1, 1, 1, 1⟩ ,‬אבל‬
‫התבנית הזו אינה איזוטרופית כי אם יש הצגה ‪ x21 + · · · + x24 = 0‬אפשר להניח ש־ ‪ x1 , . . . , x4 ∈ Z2‬ולא כולם‬
‫זוגיים‪ ,‬אלא שזה בלתי אפשרי מודולו ‪.8‬‬
‫‬
‫בעיה ‪ 8.2.41‬הוכח את הטענות הבאות לגבי התבניות האנאיזוטרופיות מעל ‪:Q2‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‬
‫×‬
‫×‪) .Q‬בסימוני המשפט‪ ,‬אלו התבניות ‪,x ± 1 ,±1‬‬
‫‪ .1‬יש ‪ 8‬תבניות מממד ‪ .1‬הדרכה‪2 /Q2 .‬‬
‫‪(.x + y ± 3 ,y ± 1‬‬
‫‪ .2‬יש ‪ 7‬תבניות מממד ‪ 2‬המציגות את ‪ .1‬הדרכה‪ .‬אלו התבניות ⟩‪ ⟨⟨a⟩⟩ = ⟨1, −a‬עבור ‪.a ̸= 1‬‬
‫‪ .3‬לכל תבנית מהסעיף הקודם )⟩⟩‪ G(⟨⟨a‬היא מסדר ‪) 4‬מתקבלות שבע תת־החבורות‬
‫‪×2‬‬
‫×‪.(Q‬‬
‫מסדר ‪ 4‬של ‪2 /Q2‬‬
‫‪ .4‬יש ‪ 14‬תבניות מממד ‪ .2‬הדרכה‪ .‬כל תבנית דומה לתבנית המציגה את ‪.1‬‬
‫‪ .5‬יש בסך־הכל ‪ 16‬תבניות )אנאיזוטרופיות( מממד זוגי‪ .‬הדרכה‪ .‬עד כדי שקילות אלו הן‬
‫‪.2m + αx + βy‬‬
‫‪ .6‬יש תבנית אנאיזוטרופית יחידה מממד ‪ ,4‬והיא ⟩‪ .⟨1, 1, 1, 1‬הדרכה‪.16 = 1 + 14 + 1 .‬‬
‫‪ .7‬אין תבניות אנאיזוטרופיות מממד ‪ .5‬הדרכה‪ .‬אם ⟩ ‪ q = ⟨a1 , . . . , an‬אנאיזוטרופית אז כל‬
‫תת־תבנית שלה אנאיזוטרופית‪ ,‬אבל ⟩‪ ⟨1, 1, 1, 1, 1‬איזוטרופית‪.‬‬
‫‪ .8‬שמונה התבניות )האנאיזוטרופיות( מממד ‪ 3‬שקולות לתבניות ⟩‪.⟨1, 1, 1, 1⟩ ⊥ ⟨a‬‬
‫‪ .9‬נסמן ב־ ‪ A2‬את קבוצת התבניות האנאיזוטרופית מממד ‪ .2‬לכל ‪ q ∈ A2‬יש ‪q ′ ∈ A2‬‬
‫∼ ‪.q ⊥ q ′‬‬
‫יחידה כך ש־⟩‪= ⟨1, 1, 1, 1‬‬
‫‪ .10‬הראה שיש ‪ 26‬דרכים להציג את התבנית ⟩‪ 4⟨1‬בצורה ⟩ ‪) ⟨a1 , a2 , a3 , a4‬הצגות הן שקולות‬
‫אם הן מתקבלות מכפל של מקדם בריבוע או מהחלפת סדר(‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 8.2.42‬כל תבנית מממד ‪ 5‬מעל ‪ p) Qp‬כלשהו( היא איזוטרופית‪.‬‬
‫)בנושא זה ראה ]‪(.[10, Sec. 63‬‬
‫√‬
‫בעיה ‪ 8.2.43‬חשב את חוג ויט של ]‪ .F = Q2 [ 2‬הדרכה‪ F × /F × .‬נוצרת על־ידי }‪{−1, 3, 1 + π, π‬‬
‫√‬
‫כאשר ‪ .π = 2‬בחוג הזה ‪) 4 = ⟨1, 1, 1, 1⟩ = 0‬לפי השוויון )‪π 2 + (1 + π)2 + (1 + π)2 ≡ 0 (mod 4π‬‬
‫ומסקנה ‪.(8.2.26‬‬
‫‪8.3‬‬
‫‪2‬‬
‫תבניות מעל שדות גלובליים‬
‫∏‬
‫ביחס לערכים מוחלטים‪ .‬כל השלמה‬
‫שדה גלובלי הוא שדה המקיים נוסחת מכפלה ‪|x|ν = 1‬‬
‫)ביחס להערכה( של שדה כזה היא היא שדה מקומי )לוקלי(‪ .‬הרעיון היסודי באריתמטיקה הוא‬
‫שאפשר ללמוד בעיות גלובליות על־ידי מיקום שלהן בכל הדרכים האפשריות‪.‬‬
‫משפט ‪ 8.3.1‬השדות הגלובליים הם ההרחבות הסופיות של אחד השדות ‪ Q‬או )‪.Fp (t‬‬
‫‪78‬‬
‫‪ .8.3‬תבניות מעל שדות גלובליים‬
‫פרק ‪ .8‬אריתמטיקה של תבניות ריבועיות‬
‫נתאר את המבנה של חוג ויט של ‪ .Q‬התאור תקף‪ ,‬בשינויים המתחייבים‪ ,‬לכל שדה גלובלי‪ .‬נסמן‬
‫) ‪ Wp = W (Fp‬עבור ראשוני ‪ ,W∞ = W (R) = Z ,p ̸= 2‬ו־‪.W2 = Z/2‬‬
‫⊕‬
‫∼ )‪ W (Q‬כאשר הסכום כולל את הראשוניים )לרבות ‪ (2‬ואת אינסוף‪.‬‬
‫משפט ‪ 8.3.2‬כחבורות אדיטיביות‪Wp ,‬‬
‫=‬
‫על ידי ⟨ההטלה‬
‫הוכחה‪) .‬בעקבות ]‪ .([2, p. 94‬נגדיר )‪ ψ∞ : W (Q)→W (R‬על־ידי צמצום; ‪⟩ ψp : W (Q)→Wp‬‬
‫⟩̄‪ ⟨pu⟩ 7→ ⟨u‬ו־‪ ⟨⟨u⟩⟩ 7→ 0‬עבור ‪ u ∈ Q‬כך ש־‪ ;νp (u) = 0‬ו־ ‪ ψ2 : W (Q)→W2‬לפי ‪.ψ2 : 2ℓ u 7→ ℓ‬‬
‫שני הראשונים הם הומומורפיזמים של חוגים‪ .‬האחרון‪ ,‬בסימוני טענה ‪ ,8.2.40‬מוגדר לפי ‪,n⟨1⟩ + αx + βy 7→ α‬‬
‫והוא הומומורפיזם של חבורות אבל לא של חוגים‪.‬‬
‫לכל ראשוני ‪ ,p‬נסמן ב־ ‪ p′‬את הראשוני הגדול ביותר הקטן מ־‪) p‬עם ‪ .(2′ = 1‬תהי ‪ P‬תת־החבורה של ×‪Q‬‬
‫הנוצרת על־ידי האברים ‪ a‬עם ‪ ,|a| ≤ p‬ו־ ‪ P ′‬החבורה הנוצרת על־ידי האברים ‪ a‬עם ‪.|a| < p‬‬
‫הנוצר על־ידי התבניות ⟩‪ ⟨a‬עם ‪ .|a| ≤ p‬אז ⊆ ‪L1 ⊆ L2 ⊆ L3‬‬
‫נסמן ב־ ‪ Lp‬את תת־החוג של )‪∪ W (Q‬‬
‫· · · ⊆ ‪ ,L5 ⊆ L7‬כאשר האיחוד הוא ‪ .W (Q) = Lp‬לפי ההגדרה ‪ L1‬נפרש על־ידי ⟩‪ ,⟨1‬ולכן ‪ψ∞ : L1 →Z‬‬
‫הוא איזומורפיזם‪.‬‬
‫ברור ש־‪ ,ψp (Lp′ ) = 0‬ולכן ‪ ψp‬מוגדר היטב על חבורת המנה ‪ ,Lp /Lp′‬וקל לראות שהוא על‪ .‬נוכיח‬
‫∼ ‪ .Lp /Lp′‬עבור ‪ L2 = Z ∪ (Z⟨1⟩ + ⟨2⟩) ,p = 2‬מכיוון ש־⟩‪,⟨2⟩ + ⟨2⟩ = ⟨1, 1⟩ ∈ Z⟨1‬‬
‫ש־ ‪= Wp‬‬
‫ו־‪ ,ψ2 : n⟨1⟩ + α⟨2⟩ 7→ α‬כך ש־ ‪.Ker(ψ2 ) = L1‬‬
‫‪′‬‬
‫⟩‪.⟨pu⟩ ≡ ⟨pv‬‬
‫‪⟨ (mod‬‬
‫‪′‬יהי ‪ .p > 2‬ראשית נראה שאם )‪ u ≡ v (mod p‬עבור ‪ ,u, v ∈ P‬אז ) ‪⟩ Lp′‬‬
‫‪2‬‬
‫לכל ‪ ,u, v, w, t ∈ P‬אם ‪ uw = v + pt‬אז = ⟩)‪⟨vp, t⟩ = vp, tp = ⟨(v + pt)p, vt(v + tp‬‬
‫⟩‪ ,⟨uwp, tuvw‬וכך ) ‪ .⟨vp⟩ ≡ ⟨uwp⟩ (mod Lp′‬הטענה נובעת מנימוק אינדוקציה מפותל שלא נכסה כאן‬
‫)ראה ]‪.([2, p. 95‬‬
‫כעת נגדיר העתקה ‪ Wp = W (Fp )→Lp /Lp′‬על־ידי ⟩‪ ,⟨α⟩ 7→ ⟨ap‬כאשר ‪ a ∈ Z‬בעל שארית ‪,α‬‬
‫ו־‪ .|a| < p/2‬כדי להראות שזה מוגדר היטב‪ ,‬יש לבדוק את היחסים ב־טענה ‪ .3.3.16‬היחס הלא טריוויאלי‬
‫הוא השלישי‪ :‬נניח ש־ ⟩‪ ⟨β⟩ 7→ ⟨pb‬עבור ‪ α‬ו־‪ ;a‬אז ‪ ,|a + b| < p‬ולכן ‪,a, b, a + b, ab(a + b) ∈ P ′‬‬
‫ומתקיים ) ‪ ⟨ap, bp⟩ = ⟨(a + b)p⟩ + ⟨ab(a + b)p⟩ ≡ ⟨cp, dp⟩ (mod Lp′‬כאשר )‪c ≡ a + b (mod p‬‬
‫∼ ‪ ,Lp /Lp′‬כפי שרצינו‪.‬‬
‫ו־)‪ d ≡ ab(a + b) (mod p‬מקיימים ‪ .|c| , |d| < p/2‬זה מראה ש־ ‪= Wp‬‬
‫‬
‫מסקנה ‪ 8.3.3‬נניח שתבנית ‪ q‬מעל ‪ Q‬נעשית היפרבולית מעל ‪ R‬ובכל השלמה ל־ ‪ .Qp‬אז היא היפרבולית‬
‫כבר מעל ‪.Q‬‬
‫מסקנה ‪) 8.3.4‬עקרון הסה החלש( אם ‪ q, q ′‬הן תבניות מעל ‪ ,Q‬השקולות מעל ‪ R‬ומעל כל ‪ ,Qp‬אז הן‬
‫שקולות מעל ‪.Q‬‬
‫משפט חזק יותר‪ ,‬שאינו נובע מן התאור של חוג ויט‪ ,‬עוסק בתבניות עצמן‪:‬‬
‫משפט ‪) 8.3.5‬עקרון הסה החזק( )ראו למשל ]‪ ([15, Thm. IV.8‬אם תבנית ריבועית מעל ‪ Q‬נעשית‬
‫איזוטרופית מעל ‪ R‬ומעל כל ‪ ,Qp‬אז היא איזוטרופית מעל ‪.Q‬‬
‫מסקנה ‪ 8.3.6‬אם תבנית רגולרית מעל ‪ Q‬מציגה את ‪ a ∈ Q‬מעל ‪ R‬ומעל כל ‪ ,Qp‬אז היא מציגה את‬
‫‪ a‬כבר מעל ‪.Q‬‬
‫מסקנה ‪ 8.3.7‬כל תבנית ‪ q‬מממד ‪ dim(q) ≥ 5‬מעל ‪ ,Q‬שאינה חיובית או שלילית לחלוטין‪ ,‬היא‬
‫איזוטרופית‪.‬‬
‫הערה ‪ 8.3.8‬ב־‪ 1969/70‬הציע נבוש )‪ (Knebusch‬הכללה של חוגי ויט מעל שדות‪ ,‬כשהגדיר וחקר את‬
‫חוג ויט של התבניות האלכסוניות מעל חוג קומוטטיבי‪ .‬האובייקט הבסיסי הוא מרחב ריבועי מעל החוג‪,‬‬
‫היינו מודול פרוייקטיבי נוצר סופית‪ ,‬עם תבנית בילינארית רגולרית‪ .‬עבור תחום דדקינד ‪ R‬עם שדה‬
‫שברים )‪ ,F = q(R‬שהסדרה הבאה היא מדוייקת‪:‬‬
‫⊕‬
‫→‪0 −→ W (R) −→ W (F ) −‬‬
‫) ‪W (F̄p‬‬
‫])‪ .[11, (3.3‬אפשר להוכיח ש־) ‪ ⟨a⟩ ∈ W (F‬הוא בתמונה של )‪ W (R‬אם ורק אם ‪ Ra‬הוא ריבוע‬
‫של אידיאל‪.‬‬
‫‪79‬‬
‫‪ .8.4‬תבניות מעל חוגי דדקינד‬
‫‪8.4‬‬
‫פרק ‪ .8‬אריתמטיקה של תבניות ריבועיות‬
‫תבניות מעל חוגי דדקינד‬
‫בסעיף זה נעסוק )עם הוכחות מעטות בלבד( בתבניות ריבועיות מעל חוגי דדקינד‪ ,‬ובפרט מעל‬
‫השלמים‪ .‬מהי תבנית ריבועית מעל השלמים? כשגאוס חקר תבניות בינאריות‪ ,‬הוא הגדיר תבנית‬
‫שלמה כתבנית מהצורה ‪ ,ax2 + 2bxy + cy 2‬כלומר‪ ,‬בפועל‪ ,‬כתבנית שאפשר להציג באצעות מטריצה‬
‫ההגדרה שלנו כאן‪ :‬תבנית ריבועית מעל תחום שלמות ‪ R‬היא תבנית שאפשר‬
‫)‪ .A ∈ M2 (Z‬זו תהיה ∑‬
‫להציג בצורה ‪ , aij xi xj‬כאשר ‪ aii ∈ R‬ו־‪) aij ∈ 2R‬לכל ‪ .(i ̸= j‬ההגדרה הנאיבית‪ ,‬המחלישה‬
‫את התנאי ל־‪ ,aij ∈ R‬מתאימה יותר לטיפול בשדות וחוגים ממאפיין ‪.2‬‬
‫כמו במקרה של שדות גלובליים‪ ,‬הרעיון המרכזי הוא ללמוד את האובייקט הגלובלי )סריג או‬
‫תבנית מעל ‪ ,Z‬למשל(‪ ,‬דרך ההתנהגות המקומית שלו‪ .‬במקרה של ‪ Z‬המיקום מעביר אותנו אל חוגי‬
‫השלמים ה־‪p‬־אדיים ‪ ;Zp‬תופעה דומה מתרחשת מעל כל חוג דדיקנד‪.‬‬
‫‪8.4.1‬‬
‫חוגי דדקינד‬
‫תחום דדקינד הוא תחום שלמות נתרי‪ ,‬בעל ממד קרול ‪ ,1‬וסגור בשלמות בשדה השברים שלו‪ .‬תכונה‬
‫זו שקולה לכך שאפשר להציג כל אידיאל באופן יחיד כמכפלה של אידיאלים ראשוניים‪ .‬יהי ‪ R‬תחום‬
‫דדקינד‪ .‬כל קבוצה מהצורה ‪ ,aI‬כאשר ‪ I▹R‬ו־ × ‪ ,a ∈ F‬נקראת אידיאל שברי של ‪) R‬או של ‪.(F‬‬
‫לכל אידיאל ‪ I‬בחוג דדקינד יש אידאל שברי הפכי }‪.I −1 = {x ∈ R : xI ⊆ R‬‬
‫דוגמא ‪ 8.4.1‬יהי ‪ F‬שדה עם הערכה בדידה ‪ .ν‬אז חוג השלמים ‪ Oν‬הוא תחום דדקינד‪.‬‬
‫דוגמא זו מראה שסעיף ‪ ,8.4‬על חוגי דדקינד‪ ,‬מכליל את תת־סעיף ‪ 8.2.3‬העוסק בחוגי השלמים של‬
‫שדה שלם‪.‬‬
‫דוגמא טיפוסית יותר מתקבלת מחוג השלמים בשדה גלובלי‪ .K ,‬נניח ש־‪) Q ⊆ K‬למרות שהנחה‬
‫זו אינה מהותית(‪ .‬לכן ‪ ,Z ⊆ K‬ומגדירים את חוג השלמים של ‪ K‬להיות חוג השלמים האלגבריים‬
‫)מעל ‪ (Z‬ב־‪ .K‬לחילופין‪ OK ,‬הוא החיתוך של כל חוגי השלמים ביחס להערכות הבדידות של ‪.K‬‬
‫למעשה‪ ,‬ההערכות הבדידות של ‪ K‬מושרות כולן על־ידי אידיאלים ראשוניים ‪ .p▹OK‬נסמן ב־ ‪Kp‬‬
‫את ההשלמה של ‪ K‬המושרית על־ידי ההערכה ה־‪p‬־אדית‪.‬‬
‫דוגמא ‪8.4.2‬‬
‫‪ .1‬חוג השלמים של ‪ Q‬הוא כמובן ‪.Z‬‬
‫√‬
‫√‬
‫השלמים של ]‪ ,Q[ d‬כאשר ‪ d‬חופשי מריבועים‪ ,‬הוא ]‪ Z[ d‬אם )‪ d ̸≡ 1 (mod 4‬ו־‬
‫‪ .2‬חוג‬
‫√‬
‫‪d+1‬‬
‫] ‪ Z[ 2‬אם )‪.d ≡ 1 (mod 4‬‬
‫‪ .3‬חוג השלמים של ] ‪ Q[ρn‬הוא ] ‪.Z[ρn‬‬
‫‪8.4.2‬‬
‫הגנוס‬
‫המיון היסודי של תבניות מעל שדה עוסק במחלקות איזומטריה‪ :‬אם שני מרחבים ריבועיים הם‬
‫איזומטריים‪ ,‬אז מבחינתנו אי אפשר להבדיל ביניהם‪ .‬כשעוסקים בתבניות מעל חוגים‪ ,‬מושג‬
‫האיזומטריה חזק מדי‪ ,‬וצריך לבחון גם גרסאות חלשות שלו‪.‬‬
‫אם שתי תבניות מוגדרות מעל ‪ ,OK‬הן עשויות להיות איזומטריות כבר שם )כלומר יתכן שקיימת‬
‫) ‪ T ∈ GLn (OK‬הפיכה כך ש־)‪ ,(q ′ (x) = q(T x‬ויתכן שיש איזומטריה חלשה יותר‪ ,‬מעל השדה‪ ,‬או‬
‫מעל השלמים מקומית )בכל מקום(‪ ,‬וכן הלאה‪ .‬תכונות אלה מוצגות עם הגרירות ביניהן ברשימה‬
‫הבאה‪ .‬החץ הפשוט הוא עקרון הסה החלש‪ .8.3.4 ,‬נאמר שתכונה מסויימת מתקיימת "מקומית" הם‬
‫היא נכונה בכל השלמה של ‪.K‬‬
‫‪80‬‬
‫‪ .8.4‬תבניות מעל חוגי דדקינד‬
‫פרק ‪ .8‬אריתמטיקה של תבניות ריבועיות‬
‫"‪ ."Z‬התבניות ‪ q, q ′‬איזומטריות מעל ‪.OK‬‬
‫" ‪ ."Zp‬התבניות ‪ q, q ′‬איזומטריות מקומית מעל השלמים )=שייכות לאותו גנוס(‪.‬‬
‫"‪ ."Q‬התבניות ‪ q, q ′‬איזומטריות מעל ‪.K‬‬
‫" ‪ ."Qp‬התבניות ‪ q, q ′‬איזומטריות מקומית מעל השדה‬
‫‪+3 Zp‬‬
‫‪Z‬‬
‫‬
‫‪+3 Qp‬‬
‫‬
‫‪Qo‬‬
‫הגדרה ‪ 8.4.3‬הגנוס של תבנית ריבועית ‪ q‬כולל את התבניות מעל ‪ OK‬שהן כך שלכל ‪ q, q ′ ,p▹OK‬איזומטריות‬
‫מעל ‪.Op‬‬
‫טענה ‪ 8.4.4‬אם ‪ q, q ′‬איזומטריות מעל ‪ ,OK‬אז הן שייכות לאותו גנוס‪.‬‬
‫משפט ‪ 8.4.5‬מספר התבניות )עד כדי איזומטריה( בגנוס הוא תמיד סופי ]‪.[2, Thm. 9.4.1‬‬
‫הצגת ערך שלם‬
‫בדומה לאפשרויות השונות לאיזומטריות של תבניות‪ ,‬אפשר לדון בסוגים שונים של הצגות של ערך‬
‫שלם‪ .‬תהי ‪ q‬תבנית אנאיזוטרופית‪ ,‬המוגדרת מעל חוג השלמים של ‪ ;K‬ויהי ‪ .a ∈ OK‬יש כמה‬
‫אפשרויות טבעיות‪:‬‬
‫"‪ q ."Z‬מציגה את ‪ a‬מעל ‪.OK‬‬
‫" ‪ ."Zp‬מציגה את ‪ a‬מקומית מעל השלמים )כלומר מעל כל ‪(.Oν‬‬
‫"‪ q ."Q‬מציגה את ‪ a‬מעל ‪.K‬‬
‫" ‪ q ."Qp‬מציגה את ‪ a‬מקומית מעל השדה )כלומר מעל כל השלמה של ‪.(K‬‬
‫‪+3 Zp‬‬
‫‪Z‬‬
‫‬
‫‪+3 Qp‬‬
‫‬
‫‪Qo‬‬
‫הגרירות המסומנות בחץ כפול בדיאגרמה משמאל כולן טריוויאליות‪ :‬הצגה של ‪ a‬מעל ‪ K‬היא‬
‫הצגה מעל כל השלמה; והצגה מעל חוג השלמים הוא הצגה מעל השדה‪ .‬החץ הפשוט הוא העקרון‬
‫החזק של הסה‪ ,‬משפט ‪ ,8.3.5‬התקף לשדות בלבד‪.‬‬
‫במקום עקרון הסה‪ ,‬תקף מעל השלמים עקרון חלש יותר‪ ,‬המבוסס על הגנוס של התבנית‪.‬‬
‫משפט ‪ ([2, Thm. 9.1.3]) 8.4.6‬אם ‪ t ∈ OK‬ניתן להצגה מקומית מעל השלמים על ידי ‪ ,q‬אז ‪ t‬ניתן להצגה‬
‫מעל השלמים על־ידי תבניות מאותו גנוס‪.‬‬
‫הערה ‪ 8.4.7‬לא קשה למצוא דוגמאות לתבניות בינאריות שבהן הצגת ערך שלם דורשת מעבר לתבנית‬
‫אחרת מאותו גנוס‪.‬‬
‫את הדוגמא הראשונה לתבנית ריבועית טרנרית לא מוחלטת‪ ,‬המייצגת מספר מקומית בכל מקום )כל‬
‫‪ Zp‬ו־ ‪ (R‬אבל לא מעל ‪ Z‬היא של זיגל )‪.[17] ,(Siegel‬‬
‫בעיה ‪) 8.4.8‬דוגמא של בורובוי ורודניק )‪ .1995 ,((Borovoi-Rudnick‬הראה שהתבנית = ‪q‬‬
‫‪ −9x2 + 2xy + 7y 2 + 2z 2‬מציגה את ‪ 1‬מקומית בכל מקום‪ ,‬אבל אינה מציגה את ‪ 1‬מעל ‪.Z‬‬
‫הדרכה‪ .‬אם ‪ p|x − y‬אז ‪ 2‬שארית ריבועית מודולו ‪ ,p‬אבל )‪ .p ≡ ±3 (mod 16‬מצא תבנית אחרת‬
‫מאותו גנוס המציגה את ‪ 1‬מעל ‪.Z‬‬
‫‪8.4.3‬‬
‫הגנוס הספינורי‬
‫הגנוס הספינורי של תבנית הוא מושג ביניים‪ :‬כל גנוס מורכב מכמה גנוסים ספינוריים‪ ,‬וכל גנוס‬
‫ספינורי מורכב מכמה מחלקות איזומטריה‪.‬‬
‫‪81‬‬
‫פרק ‪ .8‬אריתמטיקה של תבניות ריבועיות‬
‫‪ .8.4‬תבניות מעל חוגי דדקינד‬
‫את החבורות )‪ Θ(V, q‬הגדרנו בהגדרה ‪ .3.4.61‬נתבונן בהשלמה ‪ Kp‬של ‪ .K‬אם ‪ V‬מרחב‬
‫ריבועי מעל ‪ ,K‬אז ‪ VKp‬הוא מרחב ריבועי מעל ‪ .Kp‬במקום לכתוב ) ‪ ,Θ(Kp ⊗K V, qKp‬נכתוב פשוט‬
‫) ‪.Θ(Kp‬‬
‫הגדרה ‪ 8.4.9‬תהיינה ‪ q, q ′‬תבניות מעל חוג השלמים ‪ .OK‬אומרים ש־ ‪ q, q ′‬שייכות לאותו גנוס ספינורי אם ‪q‬‬
‫איזומטרית לתבנית ‪ q ′′‬כך שמקומית‪ ,‬יש איזומטריה ב־) ‪ Θ(Kp‬המעבירה את ‪ q ′‬ל־ ‪.([10, sec. 102A]) q ′′‬‬
‫הערה ‪ 8.4.10‬אם שתי תבניות הן איזומטריות מעל השלמים‪ ,‬אז הן שייכות לאותו גנוס ספינורי; ואם‬
‫שתי תבניות שייכות לאותו גנוס ספינורי‪ ,‬אז הן שייכות לאותו גנוס‪.‬‬
‫הגנוס מורכב ממספר סופי )שהוא חזקת ‪ (2‬של גנוסים ספינוריים ]‪ ;[10, Thm. 108:2a‬וכל גנוס‬
‫ספינורי מורכב ממספר סופי של מחלקות איזומטריה‪ .‬עבור תבניות לא מוחלטות מממד ‪ 3‬או יותר‪,‬‬
‫כל התבניות בגנוס ספינורי הן איזומטריות מעל השלמים ]‪.[2, Thm. 11.1.4‬‬
‫כדי לחשב את מספר הגנוסים הספינוריים בגנוס‪ ,‬יש לחשב נורמה ספינורית בהשלמות של ‪K‬‬
‫]‪ .[2, Subsec. 11.3‬למשל‪ ,‬ידוע שאם לכל אידיאל מקסימלי ‪ p▹OK‬חבורת הנורמות הספינוריות‬
‫))‪ θ(O+ (q‬מעל ‪ Op‬מכילה את כל האברים ההפיכים ×‪ ,Op‬אז הגנוס של ‪ q‬מכיל גנוס ספינורי יחיד‪.‬‬
‫את החישוב של חבורות נורמה ספינוריות באופן מקומי‪ ,‬התחיל קנזר )‪ (Kneser‬ב־]‪ ,[6‬שהצליח‬
‫לחשב את החבורות מעל הראשוניים האי־זוגיים‪ .‬המקרה של שדות דיאדיים )אלו שבהם ‪ 2‬אינו שלם‬
‫הפיך( הרבה יותר קשה‪) .‬הפניה למאמר שיצא בעקבות ‪.(KSV2‬‬
‫שילוב ]‪ [2, Lemma 11.3.7‬ו־])‪ [20, Lemma 2.2(2‬מאפשר להוכיח את התוצאה הבאה‪:‬‬
‫משפט ‪ 8.4.11‬יהי ‪ K‬שדה מספרים‪ ,‬ויהיו ‪ a1 , a2 , a3‬שלמים אלגבריים‪ ,‬כך ש־ ‪ d = a1 a2 a3‬אינו מתחלק באף‬
‫חזקה שלישית )של אידיאל ראשוני(‪ ,‬והוא שלילי בכל סידור של ‪ .K‬אז יש רק מחלקת איזומטריה אחת בגנוס של‬
‫⟩ ‪.⟨a1 , a2 , a3‬‬
‫בעיה ‪ 8.4.12‬נסח את מושגי הגנוס והגנוס הספינורי במונחי פעולת החבורה האורתוגונלית מעל‬
‫האדלים )‪ ,(Adéles‬על מרחב התבניות הריבועיות‪.‬‬
‫‪8.4.4‬‬
‫סריגים מעל חוגי דדקינד‬
‫מתת־סעיף זה ואילך נעסוק בסריגים ריבועיים מעל חוג דדקינד כללי‪ .‬יהי ‪ R‬חוג דדקינד‪ ,‬ויהי ‪F‬‬
‫שדה השברים שלו‪ .‬אנו עוקבים בעיקר אחרי ]‪ .[10, Section 82‬נקבע מרחב וקטורי )מממד סופי(‬
‫‪ V‬מעל ‪ ,F‬עם תבנית בילינארית סימטרית ‪.B : V × V →F‬‬
‫תת־מודול ‪ L ⊆ V‬מעל ‪ R‬המכיל בסיס של ‪ ,V‬ושהוא פרוייקטיבי ונוצר סופית כמודול‪ ,‬נקרא‬
‫סריג‪) .‬ב־]‪ [10, Section 81‬מסתפקים בדרישה ש־‪ L‬יהיה מוכל במודול חופשי נוצר סופית(‪ .‬איננו‬
‫מניח ש־‪ ,B(L, L) ⊆ R‬אם כי אפשר להשיג תכונה זו על־ידי כפל של התבנית בקבוע‪.‬‬
‫כמו במקרה של מרחבים ריבועיים‪ ,‬הבעיה היסודית היא לזהות את הסריגים עד כדי איזומורפיזם‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬בהנתן סריגים ‪ ,L, L′‬האם יש איזומטריה ) ‪ σ ∈ O(V‬כך ש־ ‪ ?σL = L′‬יש שתי דרכים שבהן‬
‫הבעיה עבור סריגים מסובכת יותר מן הבעיה עבור שדות‪ .‬ראשית‪ ,‬אם הסריג חופשי כמודול‪ ,‬אפשר‬
‫לתרגם את הבעיה למטריצות; אבל במקרה הכללי יש סריגים לא חופשיים‪ .‬ושנית‪ ,‬כפי שכבר ראינו‪,‬‬
‫אפילו הבעיה עבור מטריצות קשה בהרבה מעל חוג שלמים מאשר מעל שדה‪.‬‬
‫על פי המיון של מודולים נוצרים סופית מעל חוג דדקינד‪ ,‬ידוע שכל סריג ניתן להצגה בצורה‬
‫‪L = I1 x1 + · · · + In xn‬‬
‫)‪(8.1‬‬
‫כאשר ‪ I1 , . . . , In ▹R‬הם אידיאלים‪ ,‬ו־ ‪.x1 , . . . , xn ∈ V‬‬
‫אם ‪ L‬נתון לפי ההצגה )‪ ,(8.1‬אז‬
‫∑ }‪= {x ∈ V : B(x, L) ⊆ R‬‬
‫הסריג הדואלי מוגדר לפי‬
‫הסריג הדואלי הוא ‪Ii−1 x′i‬‬
‫= ‪ L#‬כאשר ‪ x′1 , . . . , x′n‬הוא בסיס דואלי לבסיס ‪.x1 , . . . , xn‬‬
‫‪.L#‬‬
‫‪82‬‬
‫פרק ‪ .8‬אריתמטיקה של תבניות ריבועיות‬
‫‪8.4.5‬‬
‫‪ .8.4‬תבניות מעל חוגי דדקינד‬
‫תבניות וסריגים חופשיים‬
‫תהי ) ‪ A ∈ Mn (F‬מטריצה הפיכה )זה המקרה הרגולרי(‪ .‬המחלקה של ‪ A‬כוללת את המטריצות‬
‫מהצורה ‪ ,P AP t‬כאשר )‪ P ∈ GLn (R‬הפיכה מעל השלמים‪ .‬כמו במקרה של שדות‪ ,‬שני סריגים‬
‫ריבועיים הם איזומורפיים אם ורק אם המטריצות המייצגות אותם שייכות לאותה מחלקה‪ .‬מבחינה זו‪,‬‬
‫התאוריה של סריגים חופשיים היא התאוריה של תבניות ריבועיות )והתאוריה מעל תחומים ראשיים‬
‫דומה לזו של שדות‪ ,‬לפחות בכך שכל הסריגים חופשיים(‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 8.4.13‬הדטרמיננטה של המטריצה המייצגת היא אינווריאנט מוגדר היטב ב־ ×‪.F × /R‬‬
‫‪2‬‬
‫טענה ‪ ([10, 82:7]) 8.4.14‬נניח ש־ ‪ L′ = L′1 ⊥ L′2‬הם סריגים רגולריים‪ ,‬ו־‪ ,L′ ⊆ L‬שגם הוא סריג‪.‬‬
‫אז ‪ L′‬הוא מרכיב אורתוגונלי של ‪ L‬אם ורק אם כל ‪ L′i‬הוא מרכיב אורתוגונלי של ‪.L‬‬
‫‪8.4.6‬‬
‫אינווריאנטים אריתמטיים‬
‫מקדם המידה )‪ (scale‬של ‪ L‬הוא האידאל השברי ‪ .sL = B(L, L)▹R‬הנורמה )‪nL = RQ(L‬‬
‫היא תת־המודול של ‪ F‬הנוצר מעל ‪ R‬על ידי כל הערכים )‪ .v ∈ L ,Q(v) = B(v, v‬מכיוון‬
‫ש־‪ ,2B(x, y) = Q(x + y) − Q(x) − Q(y) ∈ nL‬מתקבלת ההכלה‬
‫‪2sL ⊆ nL ⊆ sL.‬‬
‫שני האינווריאנטים האלה אדיטיביים לפריוק אורתוגונלי‪.‬‬
‫הערה ‪ 8.4.15‬שינוי קנה מידה‪ :‬אם ‪ ,I▹F‬אידיאל שברי מעל ‪ ,R‬אז ‪ s(IL) = I 2 sL‬ו־‪.n(IL) = I 2 nL‬‬
‫טענה ‪ 8.4.16‬נניח ש־ ‪ ,V = V1 ⊥ V2‬ו־ ‪ L1 ⊆ V1‬סריג רגולרי‪ .‬אז יש סריג ‪ L2 ⊆ V2‬כך של־ ‪L1 ⊥ L2‬‬
‫אותם מידה ונורמה כמו ל־ ‪.L1‬‬
‫הוכחה‪ .‬קח סריג כלשהו ‪ ,L′2 ⊆ V2‬אז יש ‪ α ∈ R‬כך ש־ ‪ α2 sL′2 ⊆ sL1‬ו־ ‪ ;α2 nL′2 ⊆ nL1‬לכן ‪L1 ⊥ αL′2‬‬
‫מקיים את הדרישות‪.‬‬
‫‬
‫הנפח‬
‫נניח ש־‪ L‬נתון בצורה )‪ .(8.1‬הנפח של ‪ L‬מוגדר כ־) ‪ vL = I12 · · · In2 det(x1 , . . . , xn‬כאשר )·(‪det‬‬
‫הוא הדטרמיננטה‪ .‬זהו אידיאל שברי של ‪.F‬‬
‫תרגיל ‪ 8.4.17‬הנפח אינו תלוי בהצגה של הסריג‪.‬‬
‫טענה ‪.v(L1 ⊥ L2 ) = vL1 · vL2 8.4.18‬‬
‫טענה ‪ vL ⊆ (sL)n 8.4.19‬כאשר ‪.n = rankL‬‬
‫טענה ‪ ([10, 82:11]) 8.4.20‬אם ‪ K ⊆ L′‬אז יש אידאל ‪ I▹R‬כך ש־‪.vL′ = I 2 vL‬‬
‫טענה ‪ 8.4.21‬אם ‪ L′ ⊂ L‬אז ‪.vL′ ⊂ vL‬‬
‫אפשר לחשב ישירות ש־ ‪ .vL# = (vL)−1‬טענה ‪ 8.4.21‬מאפשרת להוכיח ש־‪.L## = L‬‬
‫המיקום ב־ ‪ P‬של מרחב בילינארי ‪ V‬מעל ‪ F‬הוא המרחב הריבועי ‪ VP = FP V‬עם התבנית‬
‫המושרית מ־ ‪ .V‬המיקום של ‪ L‬מוגדר באותו אופן‪ ,‬כ־‪.LP = RP L‬‬
‫תרגיל ‪.vLP = (vL)P ,nLP = (nL)P ,sLP = (sL)P 8.4.22‬‬
‫)ראה ]‪ [2, Thm. 11.1.1‬על קיום סריגים גלובליים לפי מידע לוקלי‪(.‬‬
‫‪83‬‬
‫פרק ‪ .8‬אריתמטיקה של תבניות ריבועיות‬
‫‪ .8.4‬תבניות מעל חוגי דדקינד‬
‫‪ 8.4.7‬מודולריות‬
‫סריג רגולרי ‪ L‬נקרא מודולרי )ביחס ל־‪ (I = vL‬אם ‪ ,vL = sLn‬ויונימודולרי אם הוא מודולרי‬
‫ו־‪.vL = R‬‬
‫אם ‪ L‬מודולרי‪ ,‬אז כך גם ‪ JL‬לכל אידיאל שברי ‪ .J ⊆ F‬בפירוק אורתוגונלי‪ L1 ⊥ L2 ,‬מודולרי‬
‫ביחס לאידיאל ‪ I‬אם ורק אם ‪ L1 , L2‬הם כאלה‪.‬‬
‫טענה ‪ ([10, 82:13]) 8.4.23‬הסריג החופשי עם מטריצה מייצגת ‪ A‬הוא יונימודולרי אם ורק אם ∈ ‪A‬‬
‫)‪.GLn (R‬‬
‫טענה ‪ ([10, 82:14a] + [10, 82:14]) 8.4.24‬סריג רגולרי הוא מודולרי ביחס ל־‪ I‬אם ורק אם = ‪L‬‬
‫‪ .IL#‬במקרה כזה }‪.L = {v ∈ V : B(v, L) ⊆ I‬‬
‫מסקנה ‪ L 8.4.25‬יונימודולרי אם ורק אם ‪.L# = L‬‬
‫טענה ‪ ([10, 82:15]) 8.4.26‬אם ‪ P‬תת־סריג ‪I‬־מודולרי של ‪ L‬ו־‪ sL = I‬אז ‪ L = P ⊥ P ′‬עבור ‪P ′‬‬
‫מתאים‪.‬‬
‫טענה ‪ ([10, 82:16]) 8.4.27‬יהי ‪ L‬סריג מודולרי‪ ,‬ו־‪ x ∈ L‬וקטור איזוטרופי‪ .‬אז יש תת־סריג ‪I ′ x+I ′′ y‬‬
‫שהוא מחובר אורתוגונלי של ‪.L‬‬
‫מסקנה ‪) 8.4.28‬מתרגיל ‪ L (8.4.22‬הוא ‪I‬־מודולרי אם ורק אם הוא מודולרי מקומית מכל מקום‪.‬‬
‫‪8.4.8‬‬
‫סריגים מקסימליים‬
‫יהי ‪ .I▹R‬סריג ‪ L ⊆ V‬נקרא ‪I‬־מקסימלי אם הוא מקסימלי בין הסריגים המקיימים ‪ .nL ⊆ I‬אם‬
‫‪ L‬מקסימלי‪ ,‬כל גם ‪ JL‬לכל ‪.J▹R‬‬
‫תרגיל ‪ 8.4.29‬כל מחובר ישר של סריג ‪I‬־מקסימלי הוא ‪I‬־מקסימלי‪.‬‬
‫טענה ‪ 8.4.30‬אם ‪ nL ⊆ I‬אז ‪ L‬מוכל בסריג ‪I‬־מקסימלי‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬אם ‪ nL ⊆ I‬אז ‪ .vL ⊆ (sL)n ⊆ ( 12 I)n‬לכל שרשרת עולה של סריגים המתחילה ב־‪ ,L‬הנפח חסום‪,‬‬
‫ולכן אורך השרשרת חסום‪.‬‬
‫‬
‫בעיה ‪ 8.4.31‬יהי ‪ L‬סריג כלשהו כך ש־‪ .nL ⊆ I‬אם באידאל השלם ‪ 2n vLI −n‬אין גורמים‬
‫ריבועיים‪ ,‬אז ‪ L‬מקסימלי‪ .‬הדרכה‪ .‬אחרת הפעל את טענה ‪.8.4.20‬‬
‫טענה ‪ ([10, 82:20]) 8.4.32‬יהי ‪ L‬סריג מקסימלי‪ ,‬ו־‪ x ∈ L‬וקטור איזוטרופי‪ .‬אז יש מרכיב אורתוגונלי‬
‫של ‪ L‬מדרגה ‪ 2‬המכיל את ‪.x‬‬
‫)ההוכחה בונה תת־סריג מודולרי מדרגה ‪ ,2‬ומפעילה את טענה ??‪(.‬‬
‫טענה ‪ ([10, 82:21]) 8.4.33‬סריג ‪ L‬במישור היפרבולי הוא ‪2I‬־מקסימלי אם ורק אם ‪I L‬־מודולרי‬
‫ו־‪. n2 L ⊆ 2I‬‬
‫מסקנה ‪) 8.4.34‬מתרגיל ‪ L(8.4.22‬הוא ‪I‬־מקסימלי אם ורק אם הוא ‪IP‬־מקסימלי בכל מקום ‪.IP‬‬
‫‪84‬‬
‫פרק ‪9‬‬
‫מטלות לסוף הקורס‬
‫להלן רשימה של מטלות לסוף הקורס‪ .‬יש לתאם את המטלה עם המרצה מראש‪.‬‬
‫‪ .1‬פתור שלושה‪-‬חמישה מהתרגילים המסומנים ב"בעיה"‪ ,‬או אחד מאלה המסומנים ב"אתגר"‪.‬‬
‫‪ .2‬תאר את חוג ויט של תבניות בילינאריות סימטריות במקרה של מאפיין ‪) 2‬קבוצת התבניות‬
‫המטאבוליות מכילה ממש את קבוצת התבניות ההיפרבוליות‪ ,‬ומחליפה אותה כאיבר האפס‬
‫של החוג(‪.‬‬
‫‪ .3‬סכם את התאוריה של קדם־סדרים ושדות סדורים )סגור סדור וכדומה( על־פי ]‪.[8‬‬
‫)עבוד מעל ‪ Q‬לשם הפשטות(‪ :‬האינווריאנט של הסה‪,‬‬
‫‪ .4‬הסבר את עקרון הסה לשדות גלובליים ∑‬
‫משפט ההיפוך של הילברט ‪ , p (α, β)kp = 0‬העובדה ש־‬
‫‪1‬‬
‫‪Z/Z −→ 0‬‬
‫‪2‬‬
‫היא סדרה מדוייקת קצרה‪.‬‬
‫→‪2 Br(Fp ) −‬‬
‫⊕‬
‫→‪0 −→ 2 Br(F ) −‬‬
‫‪ .5‬כתוב על אברים אלגבריים ב־) ‪ W (F‬לפי ]‪) [3, III.5.5‬אלו המחלקות של תבניות עקבה‬
‫בהרחבות אלגבריות(‪.‬‬
‫‪ .6‬סריגים‪ :‬ראה ]‪ [5, Section 5.2‬על הפירוק של סריגים יונימודולריים מעל ‪) Qp‬ההגדרה‬
‫בסעיף ‪.(8.4.7‬‬
‫‪ .7‬למד את היחסים > ו־≫ בין תבניות )‪ ϕ > ψ‬או ‪ ϕ ≫ ψ‬אם ‪ ϕ‬נעשה איזוטרופי או היפרבולי‬
‫מעל )‪ ,F (ψ‬בהתאמה(‪ .‬ראה פרקים ‪ 10 ,9‬אצל ]‪.[9‬‬
‫∼ ‪ K2 (F )/2‬בעזרת ]‪ ;[18‬או סכם את ]‪.[12‬‬
‫‪ .8‬הוכח את משפט מרקורייב ש־) ‪= 2 Br(F‬‬
‫‪ .9‬תאר את האינווריאנט )‪ C0 (q‬והמבנה שלו‪ ,‬בדומה למה שעשינו כאן עבור )‪.([7]) C(q‬‬
‫‪ .10‬כתוב על ‪ excellence‬של תבניות )נסה לפתח גרסה כמותית(‪.‬‬
‫‪ .11‬כתוב על מספר פיתגורס ועל ה־‪ .u-invariant‬ראה ]‪ [4, Section 77‬על בניה של שדה עם‬
‫מספר פיתגורס כרצונך‪.‬‬
‫‪ .12‬כתוב ערכים טובים בוויקיפדיה על חוגי ויט‪ ,‬תבנית פיסטר‪ ,‬רמה של שדה‪.‬‬
‫‪ .13‬תאר את העבודה של גאוס על מיון אידיאלים בשדות ריבועיים‪ ,‬ואת הקשר לתבניות ריבועיות‬
‫בינאריות; ]‪) .[2, Chap. 14‬זהו מבוא לעבודתו של חתן מדליית פילדס ‪Manjul ,2014‬‬
‫‪(.Bhargava‬‬
‫‪85‬‬
‫פרק ‪ .9‬מטלות לסוף הקורס‬
‫‪ .14‬הוכח את עקרון הסה החזק‪ ,‬משפט ‪.8.3.5‬‬
‫‪ .15‬כתוב על נושא כלשהו השייך לסעיף ‪.8.4‬‬
‫‪ .16‬כתוב סעיף על גאומטריה פולרית והקשר שלה לתת־מרחבים איזוטרופיים של תבנית ריבועית‪.‬‬
‫‪ .17‬כתוב משהו על התנאי ) ‪ (Cr‬או ממד קוהומולוגי‪ ,‬והקשר לתנאי ‪ ,I n (F ) = 0‬בעזרת ]‪.[61‬‬
‫‪86‬‬
‫ביבליוגרפיה‬
[1] V. Astier and T. Unger, Signatures of hermitian forms and the Knebusch
trace formula, Math. Ann. 358(3–4), 925–947, (2014).
[2] J.W.S. Cassels, “Rational Quadratic Forms”, Dover, 2008.
[3] P.E. Conner and R. Perlis, “A survey of trace forms of algebraic Number
fields”, World Scientific, 1984.
[4] R.S. Elman, N. Karpenko and A. Merkurjev, “The Algebraic and Geometric
Theory of Quadratic Forms”, AMS, 2008.
[5] Y. Kitaoka, “Arithmetic of Quadratic Forms”, Cambridge tracts in math
106, 1993.
[6] M. Kneser, Klassenzahlen indefiniter quadratischer Formen, Archiv d. Math.
7, 323–332, (1956).
[7] M.-A. Knus, M. Rost, J.-P. Tignol, A. Merkurjev, “The Book of Involutions”,
AMS, Coll. Pub. 44, 1998.
[8] T.Y. Lam, “Orderings, valuations and quadratic forms”, CBMS 52, 1983.
[9] T.Y. Lam, Ten lectures on Quadratic Forms over Fields, Queen’s University,
1977.
[10] O.T. O’Meara, “Introduction to Quadratic Forms”, Spinger, Classics in
Mathematics, 2000; reprint of a 1973 edition.
[11] J. Milnor and Husemoller, “Symmetric Bilinear Forms”, Springer,
Ergeb. Math. Grenzgeb 73, 1973.
[12] D. Orlov, A. Vishik and V. Voevodsky, An exact sequence for K∗M/2 with
applications to quadratic forms, Annals of Mathematics 165, 1–13, (2007).
[13] A. Pfister, Quadratic Forms with Applications to Algebraic Geometry and
Topology, LMS-LNS 217, 1995.
[14] A.R. Rajwade, “Squares”, LMS 171, 1993.
[15] J.P. Serre, “A course in Arithmetic”, Springer, 1973.
[16] J.P. Serre, “Galois Cohomology”, Springer, 1996.
87
‫ביבליוגרפיה‬
‫ביבליוגרפיה‬
[17] C.L. Siegel, Indefinite quadratische Formen und Funktionentheorie I., Math
Ann. 124, 17–54, (1951).
[18] A.R. Wadsworth, Merkurjev’s elementary proof of Merkurjev’s theorem, Contemp. Math. 55, 741–776, (1986).
[19] E. Witt, Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Kiirpern, J. Reine
Angew Math., 176, 31–44, (1937).
[20] F. Xu, Generation of integral orthogonal groups over dyadic local fields, Pacific J. Math. 167(2), 385–398, (1995).
88