‫מרצה ‪ :‬פרופ' תופיק מנסור‬
‫מתרגלים ‪ :‬עבאס זידאן ואורן ירושלמי‪.‬‬
‫תרגיל בית ‪11‬‬
‫שאלה ‪.1‬‬
‫יהי ‪ - K n  V , E ‬הגרף המלא ב‪ n -‬קדקודים‪.) n  5 ( .‬‬
‫א) יהיו ‪ . u, v  V‬כמה מסלולים פשוטים באורך ‪ 4‬יש בין ‪ u‬ו‪?v -‬‬
‫ב) יהיו ‪ . u, v  V‬כמה מסלולים פשוטים יש בין ‪ u‬ו‪?v -‬‬
‫ג) יהי ‪ . v  V‬כמה מעגלים פשוטים באורך ‪ 4‬יש מ‪ v -‬לעצמו ?‬
‫ד) יהי ‪ . v  V‬כמה מעגלים פשוטים יש מ‪ v -‬לעצמו ?‬
‫ה) כמה מסלולים פשוטים יש ב‪? G -‬‬
‫שאלה ‪.2‬‬
‫אם ‪ G‬קשיר ו‪ e -‬צלע בגרף אז התנאים הבאים שקולים‪-:‬‬
‫א‪ .‬בכל עץ פורש מופיעה הצלע ‪. e‬‬
‫ב‪ .‬אין אף מעגל שבו נמצאת הצלע ‪.e‬‬
‫ג‪ .‬הגרף המתקבל ע"י השמטת הצלע ‪ e‬אינו קשיר‪.‬‬
‫שאלה ‪.3‬‬
‫עבור איזה ‪ n‬בגרף ‪ K n‬יש מעגל אויילר ? מסילת אויילר?‬
‫שאלה ‪.4‬‬
‫הוכח כי אם צובעים את הגרף המלא על ‪ 2n  1‬קדקודים ב‪ n -‬צבעים אזי יש מעגל שקדקודיו‬
‫צבועים כולם באותו צבע‪.‬‬
‫שאלה ‪.5‬‬
‫נגדיר את הגרף ‪ K n,m,l‬באופן הבא‪ , V  V1  V2  V3 :‬כאשר ‪ V1 ,V2 ,V3‬קבוצות זרות זו‬
‫לזו‪ , V1  n , V2  m , V3  l ,‬ו ‪. u, v E  u  Vi , v  V j , i  j -‬‬
‫א) שרטט את ‪. K 2,3, 4‬‬
‫ב) מהו מספר הצביעה של ‪ K n,m,l‬עבור ‪ n, m, l‬טבעיים כלשהם?‬
‫ג) מצא תנאי הכרחי ומספיק לכך שיהיה ב‪ K n,m,l -‬מעגל אויילר‪.‬‬
‫ד) מצא תנאי הכרחי ומספיק לכך שיהיה ב‪ K n,m,l -‬מסלול אויילר שאינו מעגל‪.‬‬
‫שאלה ‪.6‬‬
‫ידוע שנוסחת אוילר עבור גרף מישורי קשיר‪ . V  E  F  2 :‬מה תהיה‬
‫הנוסחה עבור גרף מישורי שאינו בהכרח קשיר? הסבירו‪.‬‬
‫שאלה ‪.7‬‬
‫ברשת מחשבים בעלת ‪ 6‬מחשבים כל מחשב מחובר בצורה ישירה לפחות לאחד המחשבים‬
‫האחרים ברשת‪ .‬הראה כי קיימים לפחות ‪ 2‬מחשבים המחוברים לאותו מספר של מחשבים‪.‬‬
‫שאלה ‪.8‬‬
‫יהי ‪ G  V , E ‬גרף לא מכוון‪ .‬נגדיר את הגרף ‪ G‬כגרף על אותה קבוצת קדקודים‪ ,‬כאשר יש‬
‫קשת בין שני קדקודים אם ורק אם יש להם שכן משותף ב‪ .G -‬הוכח או הפרך‪:‬‬
‫א) אם ‪ G‬גרף מישורי‪ ,‬אזי גם ‪ G 2‬מישורי‪.‬‬
‫ב) אם ‪ G 2‬גרף מישורי‪ ,‬אזי גם ‪ G‬מישורי‪.‬‬
‫‪2‬‬