חוברת אנליזה נומרית

‫אנליזה‬
‫נומרית‬
‫‪0509.2804‬‬
‫בהצלחה‪,‬‬
‫ועד הנדסה‬
‫הפקולטה להנדסה ע"ש פליישמן‬
‫‪ENGINEERING FACULTY‬‬
‫בחינה בקורס‪" :‬אנליזה נומרית"‬
‫מר' ב‪ .‬סובר ‪ ,‬מר' י‪ .‬דביר‬
‫מר' ג‪.‬פרגייר ‪ ,‬מר' ר‪ .‬מיץ‬
‫סמסטר א'‪ ,‬מועד א'‬
‫‪8.02.15‬‬
‫ת‪ .‬ז‪_______________ .‬‬
‫מס‪ .‬מחברת__________‬
‫‪‬‬
‫משך הבחינה‪ 3 :‬שעות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫יש לענות על ארבע שאלות‪ .‬משקל כל שאלה ‪.25%‬‬
‫‪‬‬
‫יש לכתוב את התשובות והנימוקים על גבי טופס הבחינה‪ .‬המחברת משמשת בתור טיוטה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫חומר עזר מותר‪ :‬מחשבון כיס‪ ,‬דפי הנוסחאות המצורפים לטופס הבחינה‪.‬‬
‫לשימוש הבודק בלבד!!!‪:‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫ציון בחינה‬
‫עמ' ‪1‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫נרצה למצוא קירוב לפונקציה ‪ f ( x)  x 3‬על הקטע ]‪ [1,1‬על ידי פולינום )‪ p( x‬מדרגה ‪.2‬‬
‫א‪ .‬מצאו קירוב על‪-‬ידי הדרישה ) ‪ p ( xi )  f ( xi‬עבור ‪ xi  1, a,1‬כאשר ‪ a‬הוא מספר ממשי כלשהו בקטע הנדון‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נשתמש בשיטת ניוטון‪ .‬טבלת ההפרשים המחולקים הינה‪:‬‬
‫]*‪f [*,‬‬
‫]*‪f [*,*,‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a3  1‬‬
‫‪ a2  a  1‬‬
‫‪a 1‬‬
‫‪1  a3‬‬
‫‪ a2  a  1‬‬
‫‪1 a‬‬
‫] ‪f [ xi‬‬
‫‪xi‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ולכן פולינום האינטרפולציה הינו ‪p( x)  1  (a 2  a  1)( x  1)  a( x  1)( x  a)  a( x 2  1)  x‬‬
‫ב‪ .‬הראו כי אם מציבים ‪ a  1‬בפולינום )‪ p( x‬שמצאתם בסעיף ‪ ,1‬אזי מתקיים‪:‬‬
‫)‪p(1)  f (1), p(1)  f (1), p '(1)  f '(1‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫אם מציבים ‪ a  1‬מקבלים ‪ , p( x)  x 2  x  1‬שמקיים )‪ p(1)  1, p(1)  1, p '(1)  3  f '(1‬כנדרש‪.‬‬
‫ג‪ .‬הראו כי אם מציבים ‪ a  1‬בפולינום )‪ p( x‬שמצאתם‪ ,‬אזי מתקיים‪:‬‬
‫)‪p(1)  f (1), p(1)  f (1), p '(1)  f '(1‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫אם מציבים ‪ a  1‬מקבלים ‪ , p ( x)   x 2  x  1‬שמקיים )‪ p(1)  1, p(1)  1, p '(1)  3  f '(1‬כנדרש‪.‬‬
‫ד‪ .‬הוכיחו ‪ :‬תהא )‪ f ( x‬פונקציה גזירה בקטע ]‪ , a  b, [a, b‬ותהא )‪ p( x‬פונקציה לינארית המקיימת‬
‫)‪ . p(a)  f (a), p(b)  f (b‬כעת נגדיר‪( lim p( x)  P( x) :‬כלומר )‪ P( x‬הוא הגבול של )‪ p( x‬כאשר ‪ b‬שואף ל‪ .) a -‬אזי‬
‫‪b a‬‬
‫)‪P(a)  f (a), P '(a)  f '(a‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)‪f (b)  f (a‬‬
‫יש הרבה דרכים לכתוב את )‪ . p( x‬לצרכנו‪ ,‬הכי טוב יהיה )‪( x  a‬‬
‫‪ba‬‬
‫‪ , b  a‬מקבלים )‪ , p( x)  P( x)  f (a)  f '(a)( x  a‬אשר אכן מקיים )‪ , P '(a)  f '(a), P(a)  f (a‬כנדרש‪.‬‬
‫‪ . p( x)  f (a) ‬רואים מיד שכאשר‬
‫ת‪.‬ז‪:.‬‬
‫‪.‬‬
‫עמ' ‪3‬‬
2 ‫שאלה‬
ah

f ( x)dx 
a
f ( a )  f ( a  h)
f '(a)  f '(a  h) 2
h
h :‫נתון כלל הטרפז המתוקן לאינטגרציה‬
2
12
)‫ פולינום הרמיט‬:‫ שקיבלתם? (רמז‬C, k , p ‫ מהם ערכי‬Cf ( k ) h p ‫ תנו ביטוי לשגיאת הכלל מהצורה‬.‫א‬
:‫פתרון‬
‫ בנקודות‬f ( x) ‫ המקרב את‬P( x) ‫זהו כלל המגיע מפולינום הרמיט‬
P '(a)  f '(a), P(a)  f (a), P '(a  h)  f '(a  h), P(a  h)  f (a  h)
:‫ולכן שגיאת האינטרפולציה היא‬
2
2
e( x)  f  a, a, a  h, a  h, x   x  a   x  a  h 
:‫נבצע אינטגרציה על השגיאה‬
ah
E ( x) 

ah
e( x)dx 
a
 f  a, a, a  h, a  h, c 
 f  a , a , a  h, a  h , x   x  a   x  a  h 
2
2
dx
a
h /2
  x  h / 2  x  h / 2
2
2
dx  f  a, a, a  h, a  h, c 
 h /2
 f  a, a, a  h, a  h, c 
h /2

 h /2
h /2
x4 
 x
2
 h 2 / 4  dx
2
 h /2
xh h
f ( ) h
 dx 
2
4
4! 30
2
2
4
(4)
5
ba
‫ כאשר‬a  x0 , b  xN , xi  x0  ih ‫ קטעים שווים ונסמן‬N ‫ ל‬ a, b ‫ מחלקים את הקטע‬.‫ב‬
N
N 1
f (a)  f (b)
:‫ הוכיחו כי כלל הטרפז המתוקן המורכב הינו‬. TN  h f ( xi ) 
‫המורכב על הקטע הנ"ל מוגדר להיות‬
2
i 1
b
f '(a)  f '(b) 2
h  O (h 4 )
a f ( x)dx  TN 
12
‫ כלל הטרפז‬. h 
:‫פתרון‬
f '( xi )  f '( xi 1 ) 2
 f ( xi )  f ( xi 1 )

h
h  O(h5 )  
2
12

i 1
N 1
b
 f ( x)dx   
a
f '( xN 1 )  f '( xN ) 
f (a)  f (b)
 f '( x0 )  f '( x1 ) f '( x1 )  f '( x2 )
 h2 

 ... 
 O (h 4 ) 

2
12
12
12


i 1
f '(a)  f '(b)
 TN  h 2
 O(h 4 )
12
N 1
 h f ( xi ) 
b
 f ( x)dx  T
N
  T2 N  O(h 4 ) ‫ מהצורה‬4 ‫בנו נוסחת אינטגרציה מסדר קירוב‬.‫ג‬
a
:‫מהסעיף הקודם קיבלנו‬

b

a
 TN   f ( x)dx 

b

a
 T2 N   f ( x)dx 

f '(a)  f '(b) 2
h  O  h4  
12

2

f '(a)  f '(b)  h 
4
   O  h 
12
2

b


 TN   T2 N       f ( x)dx    
a
  f '(a)  f '(b)

4
12
h2  O  h4 
:‫ולכן נאלץ‬
1
   1   
3



4
 0

4

3
5 '‫עמ‬
.
:.‫ז‬.‫ת‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫נגדיר מכפלה פנימית חדשה ביחס למרחב הפולינומים ממעל קטנה או שווה ל ‪  2 2‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪f , g   f (i) g (i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫א‪ .‬הראו כי ההגדרה הנ"ל היא אכן מכפלה פנימית‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪ .1‬קומוטטיביות (מעל הממשיים)‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f , g   f (i) g (i)  g , f‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪ .2‬לינאריות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f  g , h    f (i )  g (i ) h(i )   f (i)h(i)   g (i)h(i)  f , h  g , h‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪ f , h    f (i)h(i)    f (i)h(i)   f , h‬‬
‫‪ .3‬אי שליליות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f , f    f (i)   0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i 1‬‬
‫ושוויון מתקיים אם"ם הפולינום )‪ f ( x‬מתאפס בשלוש נקודות‪ .‬כיוון שזה במרחב ‪  2‬זה קורה רק כאשר ‪f ( x)  0‬‬
‫מיחידות פולינום האינטרפולציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצאו בסיס אורתוגונלי למרחב ‪  2‬ביחס למכפלה הפנימית הנ"ל‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫מבצעים גראם‪-‬שמידט לבסיס הסטנדרטי‬
‫‪1, x, x ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0  1‬‬
‫‪1  x  0 1  x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2  x 2  0  x  1  x 2 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫ג‪ .‬הגדירו נורמה לפי המכפלה הפנימית שהוגדרה בסעיפים הקודמים‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪f, f‬‬
‫‪f ‬‬
‫ד‪ .‬מצאו את הפולינום ממעלה ‪ 1‬המקרב באופן מיטבי (מבחינת הנורמה שהגדרתם) את הפולינום ‪x2  3‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נבנה את מערכת המשוואות הנורמליות‪:‬‬
‫‪  7 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪‬‬
‫ולכן‬
‫‪2‬‬
‫‪3 0  c0   x  3x,1‬‬
‫‪0 2   c    2‬‬
‫‪‬‬
‫‪  1   x  3x, x‬‬
‫‪7‬‬
‫‪c0 ‬‬
‫‪, c1  0‬‬
‫‪3‬‬
‫כלומר הפולינום הוא‪:‬‬
‫ת‪.‬ז‪:.‬‬
‫‪p( x)  3x  1‬‬
‫‪.‬‬
‫עמ' ‪7‬‬
4 ‫שאלה‬
 y '  f  x, y 
.‫ בנו סכימה לקירוב הפתרון אשר מבוססת על כלל הטרפז‬, 
‫ עבור בעיית התחלה כללית מהצורה‬.‫א‬
 y  x0   y0
. xn  nh , n  0,1,... : ‫נפרוש רשת של נקודות‬
:‫ של שני האגפים‬ xn , xn 1  ‫נבצע אינטגרציה בקטע‬
y  xn 1   y  xn  
xn1
 f  x, y dx
xn
y  xn   yn ‫ נקרב‬,
xn1
 f  x, y dx

xn

xn1

ydx 
xn
xn1
 f  x, y dx
 y '  f  x, y 
xn
h
 f  xn 1 , y ( xn 1 )   f  xn , y ( xn )   -‫ ו‬:‫נשתמש בכלל הטרפז ונקרב‬
2
. y  x0   y0 ‫ עם תנאי התחלה‬yn1  yn 
h
 f  xn1, yn1   f  xn , yn  : ‫נקבל‬
2
 x  2 x
‫ הראו כי הפתרון המקורב לפי הסכימה מסעיף א' שואף לפתרון האנליטי‬. 
‫) נתונה בעית התחלה הבאה‬.‫ נק‬8( .‫ב‬
 x  0   1
.) h  0 ( ‫של הבעיה הנתונה כאשר המרחק בין שתי נקודות רשת עוקבות שואף לאפס‬
 y  2 y
:‫הפתרון האנליטי‬
x  e2t  
 y  0   1
:‫ בנוסחת הקירוב‬f  x, y   2 y ‫נציב‬
 1 h 
yn 1  
 yn  yn 1 1  h   yn 1  h   0  yn 1  yn  h  yn 1  yn 
 1 h 
 1 h 
yn  

 1 h 
n
 1 h 
n 1
n
n
  
   1  h    1  h   0 : yn   ‫ נחפס פתרון מהצורה‬:1 ‫דרך‬
 1 h 
 1 h 
 1 h   1 h 
 1 h   1 h 
yn  
 , ... , y2  y1 
=
 , y1  y0 
=
 :2 ‫דרך‬
 1 h 
 1 h   1 h 
 1 h   1 h 
n
2
: x  nh ‫ סופי נקבל‬x ‫עבור‬
1
1 hh

ex
 1 h 
lim yn  lim 
  x  nh   x  e2 x
  lim
1
h 0
h 0 1  h
h 0
nh
e


1  h  h
n
nh
‫‪ y '   y‬‬
‫ג‪ .‬מקרבים את הפתרון של בעיית ההתחלה‬
‫‪ y  0   1‬‬
‫הסכימה יציבה?‬
‫‪ ‬ע"י הסכימה מסעיף א'‪ .‬עבור אלה ערכים של הפרמטר הממשי ‪‬‬
‫עבור משוואה הנדונה‪:‬‬
‫‪ yn1  yn ‬‬
‫‪h‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ yn1  yn ‬‬
‫‪ 1  h ‬‬
‫‪ 1  h ‬‬
‫‪ , yn1   2h  yn‬לכן נקבל ‪,  n 1   2h   0‬‬
‫‪ 1 2 ‬‬
‫‪ 1 2 ‬‬
‫לכן עבור ‪   0‬הסכימה יציבה‪.‬‬
‫ד‪ .‬נבצע קירוב לנגזרת של פונקציה )‪f ( x‬‬
‫בנקודה ‪ 0‬מהצורה הבאה‪   Bf   :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪f '(0)  Af‬‬
‫מצאו ‪ A‬ו ‪ B‬כך שנוסחת הקירוב תיתן תוצאה מדויקת עבור הפונקציות )‪ cos( x‬ו )‪sin(x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ A  B‬‬
‫‪2‬‬
‫‪   B cos   ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ B  A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ( x)  cos( x) : 0   sin(0)  f '(0)  A cos‬‬
‫‪   B sin   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ( x)  sin( x) : 1  cos(0)  f '(0)  A sin‬‬
‫ולכן נקבל את האילוצים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A B  0 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪B  A  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2‬‬
‫ת‪.‬ז‪:.‬‬
‫‪.‬‬
‫עמ' ‪9‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫בשאלה זו נעסוק בקירוב השורש של המשוואה ‪ f ( x)  0‬כאשר ‪ f‬פונקציה גזירה פעמיים ברציפות‪.‬‬
‫א‪ .‬נתון כי ‪ ‬הוא שורש פשוט של המשוואה ‪ , f ( x)  0‬כלומר ‪ f ( )  0, f '( )  0‬הוכיחו כי קיימת סביבה עבורה‬
‫לכל ניחוש התחלה מסביבה זו שיטת ניוטון מתכנסת לפתרון המשוואה ‪. f ( x)  0‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫) ‪f ( xn‬‬
‫‪ xn 1  xn ‬כך ש‪-‬‬
‫שיטת ניוטן‬
‫) ‪f '( xn‬‬
‫)‪f '( x‬‬
‫) ‪f (‬‬
‫‪‬‬
‫‪. g ( )   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪f '( ) ‬‬
‫‪f ( ) 0‬‬
‫התנאי לקיום סביבה להתכנסות האיטרציות הוא ‪| g '( ) | 1‬‬
‫‪ . g ( x)  x ‬נראה תחילה כי ‪ g ( )    f ( )  0‬ואכן‬
‫ואכן‪ f '( x)   f ''( x) f ( x)  f ''( x) f ( x) :‬‬
‫‪g '( x)  1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ f '( x) ‬‬
‫‪ f '( x) ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫) ‪f ''( ) f (‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ f '( ) ‬‬
‫‪ g '( ) ‬ולכן קיימת סביבה עבורה לכל ניחוש התחלה מסביבה זו שיטת ניוטון מתכנסת לפתרון‬
‫המשוואה ‪. f ( x)  0‬‬
‫ב‪ .‬נניח כי עבור השורש הפשוט ‪ ‬של המשוואה ‪ f ( x)  0‬מתקיים ‪ . f ''( )  1‬הוכיחו כי לכל ניחוש התחלה בסביבה‬
‫מסעיף א'‪ ,‬שיטת ניוטון מתכנסת עם סדר התכנסות בדיוק ‪.2‬‬
‫היות ו‪ -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪f (‬‬
‫) ‪f ''( ) f (‬‬
‫) ‪f ''(‬‬
‫‪ 0 , g ( )   ‬‬
‫‪ g '( ) ‬ובנוסף ‪ 0‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪f '(‬‬
‫) ‪f '(‬‬
‫‪ f '( ) ‬‬
‫‪f ( ) 0‬‬
‫לקביעת סדר התכנסות כי שיטת ניוטון מתכנסת עם סדר התכנסות בדיוק ‪.2‬‬
‫‪ g ''( ) ‬נובע לפי קריטריון‬
‫ג‪ .‬נתון כי ‪ ‬הוא שורש כפול של המשוואה ‪ , f ( x)  0‬כלומר ‪ f ( )  f '( )  0, f ''( )  0‬הוכיחו כי קיימת סביבה‬
‫) ‪f ( xn‬‬
‫עבורה לכל ניחוש התחלה מסביבה זו השיטה ‪, n  0,1, 2,...‬‬
‫) ‪f '( xn‬‬
‫‪ xn 1  xn  2‬מתכנסת לפתרון המשוואה ‪f ( x)  0‬‬
‫עם סדר התכנסות ‪.2‬‬
‫) ‪f (‬‬
‫?‪‬‬
‫) ‪f '(‬‬
‫‪‬‬
‫‪ g ( )   ‬נבדוק את הגבול ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f '( ) 0‬‬
‫‪f ''( )  0‬‬
‫)‪f '( x‬‬
‫)‪f ''( x‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪L‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫)‪f '( x‬‬
‫‪lim x  g ( x)  lim x  x  2‬‬
‫לכן יש קונסיסטנטיות‪.‬‬
‫)‪ f '( x)   f ''( x) f ( x)  1  2 f ''( x) f ( x‬‬
‫‪ g '( x)  1  2‬מכאן נשים לב כי ) ‪ g '(‬לא מוגדר ולכן נבדוק את‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ f '( x) ‬‬
‫‪ f '( x) ‬‬
‫‪2‬‬
‫'' ‪f ''' f  f ' f‬‬
‫‪‬‬
‫'' ‪2 f ' f‬‬
‫‪1  2‬‬
‫)‪f ''( x) f ( x‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪‬‬
‫‪f‬‬
‫('‬
‫‪x‬‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪lim x  g '( x)  lim x   1  2‬‬
‫‪L‬‬
‫‪0‬‬
‫' ‪f '''' f  f ''' f‬‬
‫‪0‬‬
‫' ‪( f '') 2  f ''' f‬‬
‫הגבול‬
‫‪lim x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ''' f‬‬
‫'' ‪f ' f‬‬
‫‪ lim x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪L‬‬
‫‪0‬‬
‫לכן סדר ההתכנסות הוא לפחות ‪( 2‬מי שקיבל תוצאה זו קיבל את מלוא הנק')‬
‫ד‪ .‬מצאו מבחן עצירה עבור שיטות איטרטיביות לקירוב השורש של המשוואה ‪ f ( x)  0‬אשר עושה שימוש בערכי‬
‫) ‪ f ( xn ), f '( xn‬כלומר קבעו תנאי אשר עושה שימוש בערכים הללו שעבורו מתקיים ‪ . |   xn | ‬נמקו את תשובתכם!‬
‫נגדיר ‪ . en    xn‬נפתח את הערך ) ‪ f (‬לטור טיילור סביב ‪: xn‬‬
‫‪. 0  f ( )  f ( xn )  f '( xn )en‬‬
‫לכן‬
‫) ‪f ( xn‬‬
‫) ‪f '( xn‬‬
‫ת‪.‬ז‪:.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪| en |‬‬
‫עמ' ‪11‬‬
‫הפקולטה להנדסה ע"ש פליישמן‬
‫‪ENGINEERING FACULTY‬‬
‫בחינה בקורס‪" :‬אנליזה נומרית"‬
‫דר' א‪ .‬מוחוב ‪ ,‬מר' י‪ .‬דביר‬
‫מר' ר‪.‬לוי‪ ,‬מר' ס‪ .‬פונריוב‬
‫סמסטר ב'‪ ,‬מועד ב'‬
‫‪42..7.12‬‬
‫ת‪ .‬ז‪_______________ .‬‬
‫מס‪ .‬מחברת__________‬
‫‪‬‬
‫משך הבחינה‪ 3 :‬שעות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫יש לענות על ארבע שאלות‪ .‬משקל כל שאלה ‪.52%‬‬
‫‪‬‬
‫יש לכתוב את התשובות והנימוקים על גבי טופס הבחינה‪ .‬המחברת משמשת בתור טיוטה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫חומר עזר מותר‪ :‬מחשבון כיס‪ ,‬דפי הנוסחאות המצורפים לטופס הבחינה‪.‬‬
‫לשימוש הבודק‪:‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫ציון‬
‫עמ' ‪1‬‬
1 ‫שאלה‬
‫ מצאו קירוב מסדר דיוק אלגברי מקסמלי מהצורה‬.‫ פונקציה בעלת חמש נגזרות רציפות‬f  x  ‫) תהי‬.'‫ נק‬7( .‫א‬
h
.  f  x  dx  Af  0   Bf  h   Cf   0   Df   0 
0
0
0
f  0
f   0
f   0 
2
f  0
f   0
0
h
f  0
f  h   f  0
h
f h
f  h   f  0   hf   0 
h2
2 f  h   2 f  0   2hf   0   2h 2 f   0 
2h3
f   0  2 2 f  h   2 f  0   2hf   0   2h 2 f   0  3
x 
x
2
2h 3
2
h
h2
h3 2 f  h   2 f  0   2hf   0   h f   0  h 4
f  x  dx   P  x  dx  f  0  h  f   0   f   0  

2
6
2h3
4
0
P  x   f  0  f   0 x 
h

0

3h
h2
h3
h
f  0 
f   0 
f   0   f  h 
4
4
24
4
.‫ ע"י דרישת סדר דיוק אלגברי‬:‫דרך שניה‬
?‫ מהו סדר השגיאה ומהו סדר הדיוק האלגברי‬.'‫) פתחו את הביטוי לשגיאת הקירוב מסעיף א‬.'‫ נק‬6( .‫ב‬
h
h
E (h)   f  0, 0, 0, h, x  x ( x  h) dx  f  0, 0, 0, h, c   x 3 ( x  h) dx 
3
0
0

f
(4)
 c   h5  h h 4  
4!

 5

4 
f
(4)
0
0
 c  h5
4!
20
3 ‫ סדר דיוק אלגברי‬,5 ‫הנוסחה היא מסדר‬
‫‪dt‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ . ‬קרבו את אינטגרל אשר באגף שמאל של המשוואה הנתונה ע"י שיטת‬
‫ג‪ 7( .‬נק'‪ ).‬נתונה המשוואה ‪2  x  1‬‬
‫‪1  et‬‬
‫גאוס‪-‬לג'נדר בשלוש נקודות ורשמו את המשוואה הנתונה אחרי הקירוב‪.‬‬
‫הדרכה‪ :‬מצאו החלפת משתנים מתאימה לפני קירוב האינטגרל‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫נעבור ממשתנה אינטגרציה ‪ t‬למשתנה חדש ‪ - x ( , z‬הינו פרמטר)‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t  xz  dt  xdz‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dz‬‬
‫‪dz‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.‬‬
‫לקרב‬
‫יש‬
‫לכן‬
‫‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪t2‬‬
‫‪x2 z 2‬‬
‫‪x2 z 2‬‬
‫‪t   x  z  1‬‬
‫‪x 1 e‬‬
‫‪1 1  e‬‬
‫‪1 1  e‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5 3 3‬‬
‫‪z‬‬
‫יש למצא שורשים של פולינום לג'נדר ממעלה ‪z  z   5 z 2  3 : 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫נמצא מקדמים ע" י דרישת דיוק אלגברי עבור ‪ , f  z   1, z, z 2‬מערכת למציאת המקדמים היא ‪,‬‬
‫‪z1,2,3  0,  0.6  P2  z  ‬‬
‫‪ A1  A2  A3  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ A1 0.6  A3 0.6  0‬‬
‫‪ A 0.6  A 0.6  2 / 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ A2  2  2 A1‬‬
‫‪8 5 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  A1  A3‬המקדמים הם ‪ , ,‬‬
‫‪9 9 9‬‬
‫‪2 A 0.6  2 / 3‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪A1,2,3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪8 1‬‬
‫‪1  10‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫לכן הנוסחת הקירוב הינה ‪ 4 ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x 2 0.6‬‬
‫‪x 2 0.6‬‬
‫‪9 1 e‬‬
‫‪9 1 e‬‬
‫‪9  1 e‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dz‬‬
‫‪x  10‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4  x 1  x‬‬
‫‪ ‬‬
‫נרשום משוואה אחרי הקירוב‪ 4  :‬‬
‫‪x2 z 2‬‬
‫‪x 2 0.6‬‬
‫‪9  1 e‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 1  e‬‬
‫‪ A1 z1  A2 z2  A3 z3  2 ‬‬
‫ד‪ 5( .‬נק'‪ ).‬האם ניתן לחשב את האינטגרל ‪ 1 e  x dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dz‬‬
‫‪x2 z 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1 e‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x  10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9  1  e x 0.6‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  5  3x  x‬‬
‫‪4‬‬
‫במדוייק בעזרת קירוב גאוס? אם כן מצאו את‬
‫‪0‬‬
‫מספר הנקודות הדרוש לחישוב האינטגרל‪ .‬נמקו היטב את תשובתכם‪.‬‬
‫הדרכה‪ :‬שימו לב כי הפונקציה ‪  5  3 x 4  x 2  1 e  x‬היא פונקציה זוגית‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫הפונקציה הינה זוגית‪ ,‬לכן ‪dx    5  3x 4  x 2  1 e  x dx‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ x2‬‬
‫‪ 1 e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.   5  3x‬‬
‫‪0‬‬
‫מכאן ניתן לראות כי הקטע הוא ‪  ,  ‬ו‪f ( x)   5  3x 4  x 2  1 , w( x)  e  x -‬‬
‫לכן ניתן להשתמש בפולינומים אורטוגונלים של הרמיט‪.‬‬
‫‪b‬‬
‫) ‪f 2 n  2 (c‬‬
‫שגיאה בשיטת גאוס‪ ( x) 2 w( x)dx :‬‬
‫‪ , E  x  ‬כלומר הנוסחה מדוייקת לפולינומים ממעלה קטנה או‬
‫‪‬‬
‫‪(2n  2)! a‬‬
‫שווה ‪. 2n  1‬‬
‫)‪ f ( x‬היא פולינום ממעלה ‪ , 6‬לכן כדי ששיטה תהי מדוייקת צריך להתקיים ‪, n  2  2n  2  6‬‬
‫כלומר החל מ‪. n  3 -‬‬
‫ניקח ‪ , n  3‬לכן יש למצא ‪ - x0 , x1 , x2 , x3‬שורשים של פולינום הרמיט ממעלה ‪. 4‬‬
‫‪2‬‬
‫ת‪.‬ז‪:.‬‬
‫‪.‬‬
‫עמ' ‪3‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫‪1 2 w ‬‬
‫‪ , ‬כאשר ‪ w  0‬הינו פרמטר‪.‬‬
‫בסעיפים א' ו‪ -‬ב' מקרבים ע"י שיטת יעקובי את הפתרון של המערכת ‪ x  b‬‬
‫‪1 8 1 3‬‬
‫א‪ 6( .‬נק'‪ ).‬מצאו את כל ערכי הפרמטר ‪ w‬עבורם שיטת יעקובי תתכנס לפתרון המערכת לכל ניחוש התחלה‪.‬‬
‫נמצא את המטריצת האיטרציית יעקובי‪:‬‬
‫‪w‬‬
‫‪ 0 2w ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫נחשב את )‪:  (B‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 2 0‬‬
‫‪B  D (L  U )   ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ 0 3  ‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪  2w ‬‬
‫‪  0   2  3 w     3 w   ( B )  3 w.‬‬
‫‪det( B   I )  det  3‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 8‬‬
‫‪‬‬
‫נדרוש ש‪  ( B)  1 -‬וביחד עם הנתון כי ‪ w  0‬נקבל‬
‫‪4‬‬
‫‪.0  w‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪ 7( .‬נק'‪ ).‬הוכיחו כי עבור ‪ w  1 6‬ו‪ w  1 4 -‬יש התכנסות לפתרון מערכת לכל ניחוש התחלה‪ .‬מבין הערכים ‪w  1 6‬‬
‫ו‪ w  1 4 -‬איזה ערך יוביל להתכנוסת מהירה יותר? נמקו‪.‬‬
‫‪ , w  1 4  4 3 , w  1 6  4 3‬לכן יש התכנסות לכל ערך התחלתי‪.‬‬
‫מתקיים‬
‫)‪(0‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪ BJ‬‬
‫)‪(0‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪ BJ k‬‬
‫)‪(0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ BJ k e‬‬
‫השגיאה תשאף לאפס מהר ויותר‬
‫‪ 0 1 3‬‬
‫=‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫‪J‬‬
‫‪‬‬
‫עבור ‪ w  1 6‬נקבל ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 8 0 ‬‬
‫‪ 0 1 2‬‬
‫‪BJ  =1 2  BJ  ‬‬
‫עבור ‪ w  1 4‬נקבל ‪‬‬
‫‪3 8 0 ‬‬
‫מכאן עבור ‪ w  1 6‬ההתכנוסת מהירה יותר‪.‬‬
‫‪BJ‬‬
‫) ‪(k‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , e‬לכן ככול שנורמת המטירצה‬
‫‪‬‬
‫‪ BJ‬קטנה יותר‬
4
,  ( F ( xi )  yi ) 2 ‫ שממזער את הביטוי‬F ( x)  a  bx  cx 2 ‫ ומטה מהצורה‬4 ‫ ) מצאו פולינום ממעלה‬.'‫ נק‬8( .‫ג‬
i 0
:‫ ( נתונות כדלהלן‬xi , yi ) ‫באשר הנקודות‬
xi
2
1
yi
15
5

‫ ונקבל את המערכת הבאה‬0  x
0
0
2
 1
 2 
 
 
 1
 1 
1
 1 , 1  x   0  , 2  x
 
 
 1
1
 1
 2
 
 


2
1
2
1
5
 4
 15 
 
 
1
5
  0  , f   2  ‫בהתאם לדרישות נגדיר‬
 
 
1
1
 4
5
 
 
: a, b, c ‫למציאת המקדמים‬
 (0 , 0 ) (0 , 1 ) (0 , 2 )  a   ( f ,  ) 

  

 (1 , 0 ) (1 , 1 ) (1 , 2 )  b    ( f ,  )  
 ( ,  ) ( ,  ) ( ,  )  c   ( f ,  ) 
2 1
2
2  
 2 0


 46 


 5 0 10   a   28   a   35 
46 12
15 2

  
    12 
 0 10 0   b    24    b    5   F ( x)  35  5 x  7 x .
10 0 34   c   86   c  


  
  
 15 
 7 
.‫? נמקו‬4 ‫ ) האם הנקודות מהטבלה מסעיף ג' נדגמו מפולינום אשר מעלתו קטנה שווה‬.‫ נק‬2( .‫ד‬
‫ אז מיחידות הקר"פ נקבל שיוויון בין הקירוב‬4 ‫ כי אם הדגימות היו מפולינום שמעלתו קטנה שווה‬,‫לא‬
 F (2) 


F (1) 

46
. F3 
 f3  2 ‫ אבל‬f ‫ לבין הוקטור‬F   F (0) 
35


 F (1) 
 F (2) 


5 '‫עמ‬
.
:.‫ז‬.‫ת‬
‫שאלה ‪ 3‬בשאלה זו נעסוק בקירוב הפתרון של המשוואה ‪ x3  a  0‬עבור ‪. a  0‬‬
‫‪w‬‬
‫א‪ 5( .‬נק'‪ ).‬נתונה האיטרציה ‪, n  0,1,...‬‬
‫‪xn 2‬‬
‫‪ xn 1  xn (1  w)  a‬כאשר ‪ w  0‬פרמטר ממשי‪ .‬הוכיחו שאם האיטרציה‬
‫הנתונה מתכנסת אז היא מתכנסת לשורש של המשוואה ‪. x 3  a  0, a  0‬‬
‫היות ו האיטרצייה מתכנסת נקבל כאשר ‪ n  ‬כי‬
‫‪aw‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x  x(1  w) ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪wx  aw‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x a‬‬
‫כלומר האיטרצייה מתכנסת לפתרון המשוואה הנתונה‪.‬‬
‫ב‪ 7( .‬נק'‪ ).‬נניח שהניחוש ההתחלתי מספיק קרוב לשורש של המשוואה הנתונה‪ ,‬עבור אילו ערכים של הפרמטר ‪ w‬צפויה‬
‫התכנסות לשורש של המשוואה ‪. x 3  a  0, a  0‬‬
‫נגזור את פונקצית האיטרצייה ונקבל‬
‫‪aw‬‬
‫‪,‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪2aw‬‬
‫‪g '( x)  (1  w)  3 .‬‬
‫‪x‬‬
‫‪g ( x)  x(1  w) ‬‬
‫נדרוש ‪( | g '( ) | 1‬כאשר ‪ ‬הוא השורש של המשוואה הנתונה כלומר ‪ )  3  a‬ונקבל ‪:‬‬
‫‪||1  3w | 1 ‬‬
‫‪2aw‬‬
‫‪3‬‬
‫‪| g '( ) || (1  w) ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0 w .‬‬
‫‪3‬‬
‫ג‪ 5( .‬נק'‪ ).‬נניח שהניחוש ההתחלתי מספיק קרוב לשורש של המשוואה הנתונה‪ ,‬עבור אילו ערכים של הפרמטר ‪ w‬סדר‬
‫ההתכנסות הוא הגבוה ביותר‪.‬‬
‫נוכל להבטיח סדר התכנסות לפחות ‪ 4‬אם נדרוש ש ‪: g '( )  0 -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6aw‬‬
‫‪g '( )  1  3w  0  w ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪6w‬‬
‫‪‬‬
‫‪ w  1 3 ‬‬
‫‪6w‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪g ( )  0  g ( ) ‬‬
‫‪Ba Ca 2‬‬
‫‪‬‬
‫ד‪ 8( .‬נק'‪ ).‬מצאו מקדמים ‪ A, B, C‬כך שהאיטרציה המוגדרת באופן הבא‪, n  0,1,... :‬‬
‫‪xn 2 xn5‬‬
‫‪ xn 1  Axn ‬תהיה‬
‫בעלת סדר התכנסות מקסימלי‪.‬‬
‫‪Ba Ca‬‬
‫פונקצית האיטרצייה היא‬
‫‪‬‬
‫‪x 2 x5‬‬
‫‪ g ( x)  Ax ‬נדרוש כי‬
‫‪g ( )  ‬‬
‫‪g '( )  0‬‬
‫‪g ''( )  0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫מפתירת שלושת המשוואות נקבל ‪. A  , B  , c  ‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫ת‪.‬ז‪:.‬‬
‫‪.‬‬
‫עמ' ‪7‬‬
‫‪ x '(t )  f  t , x ‬‬
‫‪ ‬לפי שיטת אוילר קדמי‪.‬‬
‫שאלה ‪ 4‬בסעיפים א' ו ב' נקרב את הפתרון לבעיית התחלה‬
‫‪ x  t0   x0‬‬
‫נסמן‪ - xk , tk  t0  k  h :‬פתרון לפי שיטת אוילר‪.‬‬
‫א‪ 6( .‬נק'‪ ).‬תהי ‪ f‬פונקציה בעלת נגזרות חלקיות רציפות בכל הישר הממשי‪ ,‬הראו כי מתקיים ) ‪ x(tk‬‬
‫‪. xk ‬‬
‫‪k ‬‬
‫‪kh  t F t0‬‬
‫נדרש להוכיח כי ‪ 0‬‬
‫‪ , xk  x(t F ) ‬כלומר צריך להראות ששגיאה שואפת לאפס‪.‬‬
‫‪k ‬‬
‫חסם השגיאה לפי משפט אוילר‪:‬‬
‫‪M  t k  t0  L‬‬
‫‪f‬‬
‫‪ek  xk  x(tk )  h‬‬
‫‪e‬‬
‫‪1 ,‬‬
‫‪ L, x  M‬‬
‫‪2L‬‬
‫‪x‬‬
‫‪Y tk t0  L‬‬
‫‪ , C ‬אם ‪ C  ‬אז‪ 0 :‬‬
‫‪ xk  x(tk )  hC ‬כאשר ‪ t k‬קבוע‪.‬‬
‫‪e‬‬
‫נסמן ‪ 1‬‬
‫‪h 0‬‬
‫‪2L‬‬
‫נותר להראות כי ‪ , L, M  ‬למעשה מספיק להראות שהפונקציות ‪ f x , x‬רציפות בקטע ] ‪. [t0 , t F‬‬
‫מהתנאי על ‪ f‬נובע כי ‪ f‬רציפה ב‪ , [t0 , t F ] -‬כמו כן‪x  f t  ff x  x  f :‬‬
‫כלומר ‪ x‬רציפה ב‪ [t0 , t F ] -‬ולכן גם ‪ x‬רציפה ב‪[t0 , t F ] -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x '(t )   xt‬‬
‫ב‪ 6( .‬נק'‪ ).‬נתונה בעיית ההתחלה‬
‫‪ , ‬מקרבים את הערך )‪ x(3‬בשיטת אויילר קדמי‪ ,‬מהו גודל הצעד ‪h‬‬
‫‪ x 1  3‬‬
‫אשר יבטיח שגיאה קטנה מ‪? 103 -‬‬
‫בתחום המבוקש קיים ויחיד פתרון למד"ר‪ ,‬כמו כן קיים פתרון זהותית אפס ולכן כל פתרון אחר לא מתאפס‪ .‬עבור תנאי‬
‫התחלה נתון ‪ f‬נשארת שלילית בתחום ולכן ) ‪ x(t‬זו פונקציה מונוטונית יורדת‪ ,‬כלומר ‪ . max{x(t)}  3‬נבדוק האם‬
‫‪1t 3‬‬
‫אפשר למצוא חסמים על הנגזרות ‪: x, f x‬‬
‫‪f x  t  f x  3  L‬‬
‫‪x  ft  ff x   x  xt 2  x  3  27  30  M‬‬
‫אכן קיימים חסמים ולכן יש התכנסות‪:‬‬
‫‪M tk t0  L‬‬
‫‪ek  h‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ 1  5h e2  1‬‬
‫‪2L‬‬
‫רוצים למצוא ‪ h‬כך שהשגיא לא תעלה על ‪: 2.13 103‬‬
‫‪103‬‬
‫‪5h  e 2  1  10 3  h ‬‬
‫‪5  e 2  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ 8( .‬נק'‪ ).‬פתחו סכימה נומרית עם שגיאה לוקאלית מסדר גודל ) ‪ O (h3‬לקירוב הפתרון של בעיית ההתחלה‬
‫‪ x '(t )   x 2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ x  0  1‬‬
‫נדרש רק לפתח סכימה‪ ,‬ללא הגבלה על סוג ולא נדרשת הוכחת התכנסות‪ .‬לכן נקח סכימה כלשהי שמקיימת זאת‪:‬‬
‫‪h‬‬
‫) ‪ f ( x(tn ))  f ( x(tn1 ))  O(h3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ( x(t ))dt ‬‬
‫‪tn  h‬‬
‫‪‬‬
‫‪x(tn 1 )  x(tn ) ‬‬
‫‪tn‬‬
‫‪h‬‬
‫‪ f ( xn )  f ( xn1 )‬‬
‫‪2‬‬
‫נציב את הנתון‪:‬‬
‫‪h‬‬
‫‪xn1  xn   xn2  xn21 ‬‬
‫‪2‬‬
‫למעשה בכל צעד מקבלים משוואה ריבועית עבור‬
‫‪xn 1  xn ‬‬
‫‪‬‬
‫‪: xn 1‬‬
‫‪h 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪xn 1  xn 1  Cn  0 , Cn  hxn2  2 xn‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪xn 1  1  12  hCn  1  1  h hxn2  2 xn‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫קל לראות שהפתרון של מד"ר לא מתאפס ויורד מונוטונית ‪ ,‬כלומר ‪ 0  x(t )  1‬עבור ‪0  t‬‬
‫לכן נבחר את הפתרון החיובי‪ ,‬כלומר הסכימה המבוקשת‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪xn 1  1  1  h  2 xn  hxn2    ‬‬
‫‪ xn  xn2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h2 h‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הערה‪ :‬ניתן לפתח גם ע"י שיטת טיילור‬
‫ד‪ 2( .‬נק'‪ ).‬הוכיחו את הזהות הבאה‪f ( h)  f (h)  h  f ( h)  f (h)  O(h3 ) :‬‬
‫‪h‬‬
‫) ‪ f ( x)dx  h  f (h)  f (h)  O(h‬‬
‫‪3‬‬
‫‪f (  h)  f (  h) ‬‬
‫‪h‬‬
‫כאשר בצד ימין מופיעה קירוב אינטגרל לפי כלל הטרפז‪.‬‬
‫ת‪.‬ז‪:.‬‬
‫‪.‬‬
‫עמ' ‪9‬‬
‫שאלה ‪ 2‬תהי )‪ f ( x‬פונקציה בעלת ארבע נגזרות רציפות‪ .‬בנוסף נתונים ערכי )‪ f ( x‬בנקודות ‪ , 2h, h, ah‬כאשר‬
‫‪ a, h‬קבועים חיוביים‪.‬‬
‫א‪ 7( .‬נק') חשבו את פולינום האינטרפולציה ל‪ f ( x) -‬אשר עושה שימוש בערכי )‪ f ( x‬בנקודות ‪. 2h, h, ah‬‬
‫ולכן‬
‫ב‪ 6( .‬נק') מצאו קירוב ל‪ f '(0) -‬מסדר דיוק אלגברי מקסימלי‪ ,‬אשר עושה שימוש בערכי )‪ f ( x‬בנקודות‬
‫‪. 2h, h, ah‬‬
‫נחפש קירוב מהצורה‬
‫אשר מדוייק לבסיס פולינומים ממעלה מירבית‪ .‬נעבוד עם הבסיס‬
‫לכן נדרוש‬
‫ונשים לב כי הקירוב המתקבל מקיים‬
‫כאשר‬
‫הוא פולינום האינטרפולציה מסעיף א‪.‬‬
‫ג‪ 6( .‬נק‪ ).‬מצאו ‪ a‬עבורו סדר השגיאה בקירוב מסעיף ב' הוא מקסימלי‪.‬‬
‫מכוון ש‬
‫ו‪-‬‬
‫מקורב ע"י‬
‫מתקיים שהשגיאה בקירוב‬
‫היא‬
‫באופן כללי סדר הקירוב הוא ‪ ,4‬אלא אם כן נבחר‬
‫מקסימלי‪.‬‬
‫‪ ,‬עבורו סדר הקירוב הוא ‪ .3‬בחירה זו תוביל לסדר קירוב‬
‫ד‪ 6( .‬נק‪ ).‬יהי ) ‪ pn ( x‬פולינום אינטרפולציה לפונקציה )‪ f ( x‬בנקודות ‪ . x0 ,..., xn‬תהי ‪ x‬נקודה שונה מ‪ x0 ,..., xn -‬הוכיחו‬
‫כי ) ‪. En ( x )  f ( x )  pn ( x )  f [ x0 ,..., xn , x ]( x  x0 )  ...  ( x  xn‬‬
‫ההוכחה מופיעה בסיכומים ובספרים‪.‬‬
‫ת‪.‬ז‪:.‬‬
‫‪.‬‬
‫עמ' ‪11‬‬
‫הפקולטה להנדסה ע"ש פליישמן‬
‫‪ENGINEERING FACULTY‬‬
‫בחינה בקורס‪" :‬אנליזה נומרית"‬
‫דר' א‪ .‬מוחוב ‪ ,‬מר' י‪ .‬דביר‬
‫מר' ר‪.‬לוי‪ ,‬מר' ס‪ .‬פונריוב‬
‫סמסטר ב'‪ ,‬מועד א'‬
‫‪42..6.12‬‬
‫ת‪ .‬ז‪_______________ .‬‬
‫מס‪ .‬מחברת__________‬
‫‪‬‬
‫משך הבחינה‪ 3 :‬שעות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫יש לענות על ארבע שאלות‪ .‬משקל כל שאלה ‪.52%‬‬
‫‪‬‬
‫יש לכתוב את התשובות והנימוקים על גבי טופס הבחינה‪ .‬המחברת משמשת בתור טיוטה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫חומר עזר מותר‪ :‬מחשבון כיס‪ ,‬דפי הנוסחאות המצורפים לטופס הבחינה‪.‬‬
‫לשימוש הבודק‪:‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫ציון בחינה‬
‫עמ' ‪1‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫א‪ 6 ( .‬נק'‪ ).‬תהי )‪ f ( x‬פונקציה אשר גזירה ברציפות ‪ 2‬פעמים בקטע ]‪ . [h, h‬האם קיים פולינום )‪ p( x‬יחיד‬
‫ממעלה קטנה שווה ‪ 3‬אשר מקיים‪:‬‬
‫‪p ( h)  f ( h),‬‬
‫‪p '( h)  f '( h),‬‬
‫‪p (h)  f (h),‬‬
‫‪p '(h)  f '(h).‬‬
‫אם כן הוכיחו אחרת תנו דוגמה נגדית‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫קיום אפשר לראות לפי הבניה הסטנדרטית של פולינום הרמיט‪.‬‬
‫ו המקיימים את תנאי האינטרפולציה‪.‬‬
‫נניח שיש שני פולינומים עד מעלה ‪3‬‬
‫נשים לב שהפולינום ‪ s=p-q‬מקיים את התנאים‬
‫ז"א ש ל‪ -‬יש ארבעה שורשים (כולל ריבויים)‪ .‬מכוון שלכל פולינום עד מעלה ‪ 3‬יש לכל היותר שלושה שורשים‪ ,‬או‬
‫‪.‬‬
‫שהוא פולינום האפס‪ ,‬מתקיים ש חייב להיות פולינום האפס‪ ,‬ו‬
‫ב‪ 5 ( .‬נק'‪ ).‬תהי )‪ f ( x‬פונקציה אשר גזירה ברציפות ‪ 4‬פעמים בקטע ]‪ . [h, h‬האם קיים פולינום )‪ q( x‬יחיד‬
‫ממעלה קטנה שווה ‪ 4‬אשר מקיים )‪ p(h)  f (h), p(h)  f (h‬נמקו את תשובתכם‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫לא‪ .‬לדוגמה‪ ,‬שני הפולינומים (השונים זה מזה)‬
‫ו‪-‬‬
‫מקיימים את תנאי האינטרפולציה‪ ,‬ולכן הפתרון לא יחיד‪.‬‬
‫ג‪ 8 ( .‬נק'‪ ).‬תהי )‪ f ( x‬פונקציה אשר גזירה שלוש פעמים ברציפות‪ .‬עבור ‪ h  0‬קטן כרצוננו וקבוע ממשי ‪, k  1‬‬
‫בנו קירוב מהצורה )‪ f '(0)  Af (h)  Bf (kh‬כך שהקירוב יהיה מדוייק לפולינומים ממעלה מקסימלית‪.‬‬
‫(הקבועים ‪ A, B‬תלויים ב‪ h -‬ו‪) k -‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫מכוון שיש שני פרמטרים חופשיים‬
‫נדרוש שהנוסחה מדוייקת עבור ו‪-‬‬
‫‪ ,‬ניתן לדרוש דיוק עבור פולינומים עד מעלה אחד‪.‬‬
‫ונקבל את התוצאה‬
‫עבור ‪ x 2‬לא מדוייק‪.‬‬
‫ד‪ 6( .‬נק'‪ ).‬עבור הקירוב שמצאתם בסעיף ב' מצאו ‪ k  1‬עבורו סדר הקירוב הוא מקסימלי‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫מכוון שהנוסחה מסעיף ‪ 3‬מדוייקת לכל פולינום ממעלה ‪ ,1‬היא גם מדוייקת עבור פולינום האינטרפולציה‬
‫‪ .‬לכן‬
‫המזדהה עם בנקודות הדגימה‬
‫של‬
‫היא שגיאת האינטרפולציה‪ .‬קיבלנו ש השגיאה בנוסחת‬
‫הם הקבועים שחושבו בסעיף הקודם ו‬
‫כאשר‬
‫הגזירה היא הנגזרת של שגיאת האינטרפולציה באפס‪ ,‬ולכן נחקור אותה ונמצא עבודו השגיאה מסדר מקסימלי‪.‬‬
‫ולכן‬
‫ו‪-‬‬
‫עלמנת להגיע לסדר קירוב מירבי ניפטר מהאיבר מהסדר הראשון ע"י בחירת‬
‫ת‪.‬ז‪:.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫עמ' ‪3‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫‪f  a   f b ‬‬
‫‪f '  a   f ' b ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b  a  ‬‬
‫א‪ 6( .‬נק'‪ ).‬נתון כלל הטרפז המתוקן ‪ b  a ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ ,  f  x  dx ‬אשר מדוייק לפולינומים‬
‫‪a‬‬
‫ממעלה קטנה שווה ‪ .3‬מה הסדר השגיאה בכלל הטרפז המתוקן?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫את כלל הטרפז המתוקן ניתן לפתח ע"י חישוב האינטגרל של פולינום אינטרפולציה בצורת הרמיט ל‪ f ( x) -‬בנקודות‬
‫‪ a, a, b, b‬מעל הקטע ]‪ . [a, b‬ולכן השגיאה בכלל היא‬
‫‪b‬‬
‫‪f [a, a, b, b, c] ( x  a ) 2 ( x  b) 2 dx ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪( x  a )2 ( x b )2  0‬‬
‫‪E   f [a, a, b, b, x]( x  a) ( x  b) dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫) ‪(‬‬
‫‪( x  a) 2 ( x  b) 2 dx ‬‬
‫‪‬‬
‫‪4! a‬‬
‫‪b‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪f‬‬
‫) ‪E  C  O (h5‬‬
‫כאשר ‪ h  b  a‬ולכן סדר השגיאה בכלל הוא ‪.5‬‬
‫‪ f  a   f  b  n1‬‬
‫‪‬‬
‫‪f  x  dx  Tn  h ‬‬
‫ב‪ 7( .‬נק'‪ ).‬עבור כלל הטרפז המורכב נסמן ‪  f  xi  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫נסח והוכח את כלל הטרפז המתוקן המורכב‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נחלק את הקטע ]‪ [a, b‬ל‪ n -‬קטעים באורך ‪ h  0‬כך ש‪ . a  x0  x1  x2  ...  xn  b -‬לכן‬
‫‪n 1‬‬
‫‪f  xi   f  xi 1 ‬‬
‫‪f '  xi   f '  xi 1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ xi 1  xi   ‬‬
‫‪ xi 1  xi  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪i 0‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪f  x  dx ‬‬
‫‪i 0‬‬
‫‪n 1 xi 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪f  x  dx  ‬‬
‫‪i  0 xi‬‬
‫‪h2‬‬
‫‪h2‬‬
‫‪ f '(a)  f '( x1 )  f '( x1 )  f '( x2 )  ....  f '(b)   Tn   f '(a)  f '(b) ‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ Tn ‬‬
‫ג‪ 8( .‬נק'‪ ) .‬תהי )‪ f ( x‬גזירה ברציפות ‪ 4‬פעמים בקטע ]‪ . [a, b‬נניח כי ערכי הפונקציה נתונים עם שגיאות מוחלטות שלא‬
‫גדולות מ‪   0 -‬הוכיחו כי החסם על השגיאה בכלל הטרפז המורכב חסומה כאשר ‪. n  ‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫ערכי הפונקציה נתונים עם שגיאות מוחלטות שלא גדולות מ‪ ,   0 -‬לכן‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪f  x  dx  h   f ( x0 )   0    f ( x1 )  1   ....   f ( xn 1 )   n 1    f ( xn )   n  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫מכאן השגיאה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ f ( xn )   n  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪)   n 1  ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ f  x  dx  h  2  f ( x )      f ( x )     ....   f ( x‬‬
‫‪b‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪n 1‬‬
‫)‪(b  a) h 2 (2‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f ( )  h   0    i   n ‬‬
‫‪12‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(b  a)h 2 (2‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f ( )  h   0  1  ....   n 1   n ‬‬
‫‪12‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪(b  a)h 2 (2‬‬
‫)‪(b  a)h 2 (2‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ( )  hn ‬‬
‫‪f ( )  (b  a)‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪bounded‬‬
‫‪bounded‬‬
‫ד‪ 2( .‬ק‪ ) .‬מקרבים את האינטגרל ‪dx‬‬
‫‪ x2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f  x e‬‬
‫בשיטת גאוס כך שלקירוב יש את הצורה‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫) ‪f  x  e x dx   Ai f ( xi‬‬
‫‪i 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .‬מצאו ‪ k‬כך שהקירוב יהיה מסדר דיוק אלגברי ‪( .7‬נמקו)‬
‫‪‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫לפי כללי אינטגרציית גאוס אם נמצא ארבע שורשים של פולינומי הרמיט הם יבטיחו שכלל גאוס יהיה בכעל סדר דיוק‬
‫אלגברי ‪ 7‬לכן הקירוב הוא מהצורה‬
‫‪3‬‬
‫) ‪f  x  e x dx   Ai f ( xi‬‬
‫‪i 0‬‬
‫לכן ‪. k  3‬‬
‫ת‪.‬ז‪:.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫עמ' ‪5‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫בסעיפים א' ו ב' נעסוק בקירוב של הפונקציה ‪ f ( x)  e  x‬בקטע ]‪. [1,1‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ 6( .‬נק'‪ ).‬יהי ) ‪ q( x)  A0 p0 ( x)  A1 p1 ( x)  A2 p2 ( x‬פולינום ממעלה קטנה שווה ‪ 4‬כך שהגודל‬
‫)‪ e x  q( x‬הוא‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מינימלי‪ .‬מצאו פולינומים )‪ p0 ( x), p1 ( x), p2 ( x‬כך שמערכת המשוואות למציאת הקבועים ‪ A0 , A1 , A2‬תהיה אלכסונית‪(.‬נמקו)‬
‫פתרון‪:‬‬
‫מערכת המשוואות למציאת המקדמים במקרה זה היא‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ p , e  x2‬‬
‫‪ p0 , p2    A0   0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ p1 , p1    A1    p1 , e  x‬‬
‫‪ p2 , p2    A2   p , e x2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ p0 , p1 ‬‬
‫‪ p1 , p1 ‬‬
‫‪ p2 , p1 ‬‬
‫‪  p0 , p0 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ,   p1 , p0 ‬כאשר המכפלה הפנימית מוגדרת ‪.  h, g    hgdx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ p , p ‬‬
‫‪ 2 0‬‬
‫‪1‬‬
‫הפולינומים אשר אורתוגונליים ביחס למכפלה הפנימית ‪  h, g    hgdx‬הם פולינומי לג'נדר‪:‬‬
‫‪p0 ( x)  1,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪p1 ( x)  x,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪p2 ( x)  (3x 2  1).‬‬
‫‪2‬‬
‫פולינומים אלו ילכסנו את המערכת למציאת הקבועים ‪. A0 , A1 , A2‬‬
‫ב‪ 5( .‬נק'‪ ).‬יהי ‪ h( x)  C0  C1 x  C2 x 2‬פולינום ממעלה קטנה שווה ‪ , 4‬כך שהגודל )‪ e x  h( x‬הוא מינימלי‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫חשבו את‬
‫‪2‬‬
‫)‪ h( x)  q( x‬כאשר )‪ q( x‬הוא הפולינום מסעיף א'‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫מיחידות הקר"פ נובע כי )‪ h( x)  q( x‬ולכן ‪. h( x)  q( x) 2  0‬‬
‫ג‪ 7( .‬נק'‪ ).‬נגדיר‬
‫‪2‬‬
‫‪ M 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . cond ( M , 2)  M‬נניח כי ‪ A‬מטריצה המקיימת ‪ A  At  I‬האם קיימת מטריצה ‪ B‬כך‬
‫ש )‪ . cond ( A, 2)  cond ( A  B, 2‬אם כן תנו דוגמה למטריצות ‪ A, B‬כאלה‪ .‬אחרת הוכיחו שהדבר לא יתכן‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫לכל מטריצה הפיכה ‪ M‬ולכל נורמה מתקיים‪ cond (M ) :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ M M‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ , 1  I  M  M‬כלומר ) ‪. 1  cond (M‬‬
‫במקרה הנתון המטריצה ‪ A‬מקיימת‬
‫‪  ( A  A )  ( A  ( A ) )  (I ) (I )  1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t‬‬
‫‪I‬‬
‫‪I‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cond ( A, 2)  A 2 A‬‬
‫ולכן לא קיימת מטריצה ‪ B‬כך ש‪. 1  cond ( A, 2)  cond ( A  B, 2) -‬‬
‫ד‪ 7 ( .‬נק'‪ ).‬הוכיחו את הטענה הבאה‪:‬‬
‫תהי ‪ Ann‬מטריצה ריבועית‪ .‬אז שיטת יעקובי לקירוב הפתרון של המערכת ‪ A  x  b‬מתכנסת לפתרון המערכת אם המטריצה‬
‫‪ A‬היא בעלת התכונה אלכסון דומיננטי בשורות‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫למטריצה ‪ A‬יש אלכסון דומיננטי אם לכל ‪ i‬מתקיים ‪aij  aii‬‬
‫מתקיים ‪:‬‬
‫)‪(0‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪ BJ‬‬
‫)‪(0‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪ BJ k‬‬
‫)‪(0‬‬
‫‪‬‬
‫לכן‪ ,‬תנאי מספיק להתכנסות השיטה הוא ‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ BJ k e‬‬
‫) ‪(k‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪j 1, j  i‬‬
‫‪.‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ . BJ‬נחשב את‬
‫‪‬‬
‫‪. BJ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪aij‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪j 1, j  i‬‬
‫‪aii‬‬
‫‪ max‬‬
‫ת‪.‬ז‪:.‬‬
‫‪1i  n‬‬
‫‪aij‬‬
‫‪n‬‬
‫‪aii‬‬
‫‪j 1, j  i‬‬
‫‪‬‬
‫‪ max‬‬
‫‪1i  n‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ D (L  U‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , BJ‬כלומר ‪aij  aii‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫לכל ‪. i‬‬
‫‪j 1, j  i‬‬
‫עמ' ‪7‬‬
‫שאלה ‪ 4‬בשאלה זו נקרב פתרון למד"ר בעזרת סכימה סתומה חד‪-‬צעדית‪.‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ y ( x)  f  y ‬‬
‫‪  dx‬בנו סכימה לקירוב הפתרון‪ ,‬כאשר הקירוב לאינטגרל בקטע‬
‫א‪ 7( .‬נק'‪ ).‬עבור בעיית התחלה מהצורה‪:‬‬
‫‪ y  x0   y0‬‬
‫‪  xn , xn 1 ‬עושה שימוש בערך הפונקציה בנקודה ‪ . xn 1‬מהו סדר השגיאה הלוקאלית?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫הסכימה היחידה העונה על הדרישות היא אוילר אחורי‪ .‬נראה את הבניה במפורש‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪f ( y ( x))dx  y ( xn 1 )  y ( xn )  hf ( y ( xn 1 ))  h 2 f '( y ( )) y '(‬‬
‫‪2‬‬
‫‪xn1‬‬
‫‪‬‬
‫‪xn‬‬
‫‪d‬‬
‫‪y ( x)dx ‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪xn1‬‬
‫‪‬‬
‫‪xn‬‬
‫שגיאה‪ :‬נסמן ))‪ , g ( x)  f ( y( x‬אז‬
‫‪h2 h2‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪f '( y ( )) y '(‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪xn1‬‬
‫)‪g  xn 1 , x ( x  xn 1 )dx  g (c)  ( x  xn 1 )dx  g (c‬‬
‫‪xn1‬‬
‫‪xn‬‬
‫‪‬‬
‫‪xn‬‬
‫כאשר ‪ xn 1  xn  h‬ונסמן ) ‪ yn  y ( xn‬ונקבל סכימה‪:‬‬
‫) ‪yn 1  yn  hf ( yn 1‬‬
‫השגיאה הלוקלית זאת שגיאה שנוצרת בצעד בודד‪ ,‬כלומר זאת שגיאת קירוב האינטגרל ) ‪. O (h 2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ y ( x)   y‬‬
‫בסעיפים הבאים נתייחס לבעיית התחלה הבאה‪:‬‬
‫‪ dx‬‬
‫‪ y  0   1‬‬
‫כאשר מקרבים את הפתרון של בעיית ההתחלה לפי הסכימה מסעיף א'‪.‬‬
‫ב‪ 7( .‬נק'‪ ).‬עבור אלה ערכים של הפרמטר הממשי ‪ ‬הסכימה מתכנסת לפתרון האנליטי של הבעיה הנתונה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪d‬‬
‫‪y  e x  ln | y |  x ‬‬
‫‪  dx ‬‬
‫פתרון אנליטי‪y( x)   y :‬‬
‫‪y‬‬
‫‪dx‬‬
‫בכדי לנתח התכנסות של הסכימה נבנה ונפתור משוואת ההפרשים המתאימה עם תנאי התחלה ‪. y0  1‬‬
‫נציב ‪ yn 1  yn   hyn 1 : f ( y)   y‬‬
‫‪1   h  yn1  yn‬‬
‫קיבלנו משוואת הפרשים לינארית הומוגנית‪ ,‬קל לראות כי הפתרון הכללי‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪y0  1   h ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪. yn  1   h ‬‬
‫בכדי לנתח התכנסות נבחר *‪ x‬ומתקיים ‪( x*  nh‬כלומר ככל שצעד קטן כך נדרש יותר צעדים בכדי להגיעה ל‪) x* -‬‬
‫ונראה האם הסדרה ‪ y n‬מתכנסת ל‪: e x* -‬‬
‫*‪ x‬‬
‫‪ hn hn  x‬‬
‫*‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1   h  h  ‬‬
‫*‪ e x‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כלומר הסכימה מתכנסת תמיד לפתרון האנליטי‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1   h  h ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪yn  1   h ‬‬
‫ג‪ 7( .‬נק'‪ ).‬עבור אלה ערכים של הפרמטר הממשי ‪ ‬הסכימה יציבה?‬
‫( כלומר נדרש לנתח השפעת של הוספת הפרעה לתנאי התחלה‪ ,‬יש להניח כי ‪) 0  h‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נוסיף הפרעה לתנאי התחלה‪:‬‬
‫‪y0  y (0)  1   ,   ‬‬
‫כלומר יש תנאי התחלה מקורי ותנאי התחלה חדש ולכן יש שתי פתרונות בהתאם‪ .‬לפי סעיף הקודם‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪yn  y0 1   h   1   h ‬‬
‫‪yn  y0 1   h   (1   ) 1   h ‬‬
‫נסתכל על ההפרש בין שתי הפתרונות בכדי לנתח השפעת תנאי התחלה‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1  h‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪yn  yn   1   h ‬‬
‫כלומר הסימה יציבה אם ורק אם ‪ . 1  1   h‬יותר פשוט לנתח מתי לא יציבה‪:‬‬
‫‪1  1   h  1‬‬
‫‪2   h  0‬‬
‫‪0  h  2‬‬
‫‪  0  h  0‬‬
‫‪ , h  0‬לכן הסכימה יציבה כאשר‬
‫‪ h  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪h‬‬
‫כלומר עבור ‪ -   0‬יציבה תמיד ועבור ‪ ‬חיובי יש תנאי על גודל הצעד‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪.h ‬‬
‫ד‪ 4( .‬נק'‪ ).‬הוכיחו את הזהות הבאה‪f (h)  f (h)  h  f ( h)  f ( h)  O(h5 ) :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪h‬‬
‫) ‪ f ( x)dx  h  f ( h)  f ( h)  O(h‬‬
‫‪5‬‬
‫‪f (h)  f (h) ‬‬
‫‪h‬‬
‫כאשר בצד ימין מופיעה קירוב אינטגרל לפי גאוס‪,‬רק צריך להתאים קטע‪t  hx ,  1,1  [h, h] :‬‬
‫‪h‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬בקטע ‪  1,1‬הופכחם לשורשים‬
‫השורשים‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ ‬בקטע ]‪. [h, h‬‬
‫הערה‪ :‬ניתן לפתור גם ע"י פיתוח טיילור סביב אפס‪ ,‬אך זה הרבה יותר ארוך‪.‬‬
‫ת‪.‬ז‪:.‬‬
‫‪.‬‬
‫עמ' ‪9‬‬
‫שאלה ‪ 2‬בשאלה זו נעסוק בקירוב שורשים למשוואה ‪ , f ( x)  0‬תוך שימוש בשיטה איטרטיבית מהצורה‬
‫) ‪ -  , n  0,1, 2,... , xn 1  g ( xn )  xn   f ( xn‬קבוע ממשי‪ .‬ידוע כי ל‪ f ( x) -‬קיים שורש ]‪ ,  [a, b‬כמו‪-‬כן ידוע כי‬
‫‪ 0  f ( x)  ‬לכל ]‪. x [a, b‬‬
‫א‪ 3( .‬נק‪ ) .‬הוכיחו כי ‪ ‬הינו שורש יחיד של המשוואה ‪ f ( x)  0‬בקטע ]‪[a, b‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נניח בשלילה כי קיימים שני שורשים ‪ ,  , ‬כלומר ‪.    , f ( )  f ( )  0‬‬
‫)‪ f ( x‬גזירה ב‪ [a, b] -‬לכן לפי משפט רול קיימת נקודה ]‪ c [a, b‬כך ש‪ , f (c)  0 -‬זה סותר את הנתון כי )‪. 0  f ( x‬‬
‫( ‪  f ( x)  0‬פונקציה מונוטונית עולה‪ ,‬לכן יש רק שורש יחיד )‬
‫ב‪ 8( .‬נק‪ ) .‬הוכיחו כי עבור ‪ ,    0,1 M ‬כאשר ) ‪ M  max f ( x‬השיטה האיטרטיבית ) ‪xn 1  g ( xn )  xn   f ( xn‬‬
‫] ‪x[ a ,b‬‬
‫מתכנסת לשורש ‪ ‬לכל ]‪. x0  [a, b‬‬
‫הדרכה‪ :‬השתמשו בפיתוח טיילור עבור ‪ f‬סביב ‪. f ( x)  f ( )  f (c)( x   ) : ‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נבדוק ‪g ( )     f ( )  0 : g ( )  ‬‬
‫‪0‬‬
‫נבדוק ‪ , 0    2 M  0   M  2  0   f ( x)  2  g ( x)  1   f ( x)  1 : g ( x)  1‬לכן עבור‬
‫‪1‬‬
‫‪    0,1 M ‬בהחלט מתקיים ‪inf f ( x) ( , g ( x)  1‬‬
‫‪M‬‬
‫‪) g ( x)  1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫נבדוק ש‪g :[a, b]  [a, b] -‬‬
‫) ‪g ( x)  x   f ( x)  x    f ( )  f (c)( x   )   x   f (c)( x  ‬‬
‫) ‪  f (c)  (0,1]     0,1 M  , M  max f ( x‬נסמן )‪ ,    f (c‬לכן‬
‫] ‪x[ a ,b‬‬
‫)‪ ,  0,1 , g ( x)  x   ( x   )  x   (  x‬כלומר )‪ g ( x‬הונו ממוצע ‪ , 1    x  ‬כלומר נמצאת בין ‪ x‬לבין ‪, ‬‬
‫כאשר ]‪,  , x [a, b‬‬
‫לכן מתקיים ]‪. g :[a, b]  [a, b‬‬
‫ג‪ 8( .‬נק‪ ).‬עבור ‪ f ( x)  e x  2 , M  max f ( x ) ,    0,1 M ‬ו‪ [a, b]  [0,1] -‬מהו סדר ההתכנסות‪.‬‬
‫] ‪x[ a ,b‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪ , f (1)  e  2  0 , f (0)  1  0‬לכן )‪.   (0,1‬‬
‫נבדוק ערך ) ‪ .   (0,1) , g ( )  1   f ( )  1  e : g(‬מכאן ‪ g ( )  0‬כאשר ‪ .   1 e‬אך עבור‬
‫‪ M  max f ( x)  max e x  e ,    0,1 M    0,1 e‬מתקיים ‪ . 0    1 e  1 e‬לכן סדר התכנסות הוא ‪.1‬‬
‫] ‪x[ a ,b‬‬
‫]‪x[0,1‬‬
‫ד‪ 6( .‬נק‪ ).‬עבור ‪   2 7 , [a, b]  [0,1] , f ( x)  e x  2‬בידקו כי השיטה ) ‪ xn 1  g ( xn )  xn   f ( xn‬מתכנסת‬
‫לשורש של ‪ f ( x)  0‬לכל ]‪ . x0  [0,1‬כמה איטרציות דרושות כך שהשגיאה היחסית תהיה קטנה מ‪. 106 -‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪ ,    0,1 M    0,1 e , M  max f ( x)  e‬לכן מספיק לבדוק כי ‪(   2 7     0,1 e‬אפשר כמוב לבדוק גם‬
‫] ‪x[ a ,b‬‬
‫כל התנאים עבור ‪   2 7‬כמו בסעיף א')‬
‫‪ ,   2 7  1 e‬לכן קיים כך ש‪ g '( x)  K  1 -‬והשיטה מתכנסת לכל ]‪. x0  [0,1‬‬
‫‪0.369‬‬
‫‪0.285‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫נחשב ‪f ( x)  1  e x : K  1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2e0 5‬‬
‫‪. g ( x)  1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪e‬‬
‫שגיאה יחסית‪ . n :‬מתקיים ‪ , en  K n e0‬כאשר‬
‫‪‬‬
‫‪ - g ( x)  1 ‬מונוטונית יורד‪ ,‬לכן עבור ]‪x[0,1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ . en  xn  ‬נבחר ‪( x0  0‬התכנסות לכל ]‪ ,) x0  [0,1‬אז‬
‫‪5‬‬
‫‪ ,‬מכאן ‪n  ...‬‬
‫‪ . e0  x0    ‬לכן ‪ K     106‬‬
‫‪‬‬
‫‪7‬‬
‫‪n‬‬
‫ת‪.‬ז‪:.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪en‬‬
‫עמ' ‪11‬‬
‫הפקולטה להנדסה ע"ש פליישמ‬
‫‪ENGINEERING FACULTY‬‬
‫בחינה בקורס‪" :‬אנליזה נומרית"‬
‫דר' א‪ .‬מוחוב ‪ ,‬מר' י‪ .‬דביר‬
‫מר' ב‪.‬סובר‪ ,‬מר' ס‪ .‬פונריוב‬
‫סמסטר א'‪ ,‬מועד ב'‬
‫‪05.02.14‬‬
‫ת‪ .‬ז‪_______________ .‬‬
‫מס‪ .‬מחברת__________‬
‫•‬
‫מש הבחינה‪ 3 :‬שעות‪.‬‬
‫•‬
‫יש לענות על ארבע שאלות‪ .‬משקל כל שאלה ‪.25%‬‬
‫•‬
‫יש לכתוב את התשובות והנימוקי על גבי טופס הבחינה‪ .‬המחברת משמשת בתור טיוטה‪.‬‬
‫•‬
‫חומר עזר מותר‪ :‬מחשבו‪ #‬כיס‪ ,‬דפי הנוסחאות המצורפי לטופס הבחינה‪.‬‬
‫לשימוש הבודק בלבד!!!‪:‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫ציו בחינה‬
‫עמ' ‪1‬‬
‫‪h‬‬
‫שאלה ‪ 1‬בשאלה זו נעסוק בקירוב האינטגרל ‪ , ∫ f ( x)w( x)dx‬כאשר ) ‪ w ( x‬פונקציית משקל שמקיימת ‪w ( x ) ≥ 0‬‬
‫‪0‬‬
‫וגזירה אינסו‪ %‬פעמי‪.$‬‬
‫‪h‬‬
‫א‪ 8) .‬נק‪ (.‬נתו הקירוב ) )‪( f (0)w(0) + f (h)w(h‬‬
‫‪2‬‬
‫‪h‬‬
‫≈ ‪ . ∫ f ( x) w( x)dx‬מהו סדר הדיוק של הקירוב? הא‪ $‬הקירוב מדוייק‬
‫‪0‬‬
‫לפולינומי‪ $‬ממעלה כלשהיא?‬
‫פתרו‪ :#‬נסמ )‪ , g ( x) = f ( x) w( x‬אז הנוסחה‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫) )‪∫ f ( x)w( x)dx = 2 ( f (0)w(0) + f (h)w(h‬‬
‫הופכת ל‪-‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h3‬‬
‫) )‪ , ∫ g ( x)dx = ( g (0) + g (h‬אז איבר השגיאה הינו‬
‫‪2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪0‬‬
‫) ‪E ( x) = g ′′ ( c‬‬
‫)‪g ′′ ( x ) = ( f ( x) w( x) )′′ = ( f ′( x) w( x) + f ( x) w′( x) )′ = f ′′( x) w( x) + 2 f ′( x) w′( x) + f ( x) w′′( x‬‬
‫‪h3‬‬
‫‪h3‬‬
‫) )‪= ( f ′′(c) w(c) + 2 f ′(c) w′(c) + f (c) w′′(c‬‬
‫לכ‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫מכא סדר דיוק הוא ‪ 3‬והנוסחה אינה מדוייקת אפילו לפונקציות קבועות‪.‬‬
‫) ‪E ( x) = g ′′ ( c‬‬
‫‪h‬‬
‫ב‪ 7) .‬נק‪ ( .‬מצאו קירוב מהצורה‬
‫)‪∫ f ( x)w( x)dx ≈ Af (0) + Bf (h‬‬
‫כ‪ +‬שהקירוב יהיה בעל סדר דיוק אלגברי לפחות ‪.1‬‬
‫‪0‬‬
‫)הדרכה‪ :‬המקדמי‪ A, B $‬התלויי‪ $‬ב‪( w( x) -‬‬
‫פתרו‪:#‬‬
‫‪h‬‬
‫‪∫ w( x)dx = A + B‬‬
‫עבור ‪: f ( x ) = 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h‬‬
‫עבור ‪: f ( x ) = x‬‬
‫‪∫ xw( x)dx = Bh‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪1‬‬
‫⇐ ‪B = ∫ xw( x)dx‬‬
‫‪h0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x‬‬
‫לכ ‪xw( x)dx = ∫ w( x) 1 −  dx‬‬
‫∫‬
‫‪h0‬‬
‫‪ h‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪x‬‬
‫כלומר ‪, A = ∫ w( x) 1 −  dx‬‬
‫‪h‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A = ∫ w( x)dx − B = ∫ w( x)dx −‬‬
‫‪h‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B = ∫ xw( x)dx‬‬
‫‪h0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪∫ f ( x)w( x)dx ≈ A f ( x ),‬‬
‫ג‪ 7) .‬נק'‪ (.‬מצאו קירוב מהצורה ]‪x0 ∈ [0, h‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫כ‪ +‬שהכלל יהיה מדוייק עבור פולינומי‪ $‬ממעלה‬
‫‪0‬‬
‫מקסימלית ‪ , m‬מהו ‪? m‬‬
‫פתרו‪ :#‬נעזרת באנטגרצית גאוס‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪h‬‬
‫)‪(2 n + 2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f‬‬
‫) ‪(c‬‬
‫‪Ψ‬‬
‫(‬
‫‪x‬‬
‫)‬
‫‪w‬‬
‫(‬
‫‪x‬‬
‫)‬
‫‪dx‬‬
‫‪,‬‬
‫‪f‬‬
‫(‬
‫‪x‬‬
‫)‬
‫‪w‬‬
‫(‬
‫‪x‬‬
‫)‬
‫‪dx‬‬
‫=‬
‫) ‪Ai f ( xi ) = A0 f ( x0‬‬
‫(‬
‫)‬
‫∑‬
‫‪n‬‬
‫‪∫0‬‬
‫‪(2n + 2)! ∫a‬‬
‫‪i =0‬‬
‫הוא ‪2n + 1‬‬
‫= ) ) ‪ , E ( I ( f‬סד דיוק אלגברי של הנוסחה‬
‫‪h‬‬
‫עבור ‪: f ( x ) = 1‬‬
‫‪∫ w( x)dx = A‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h‬‬
‫עבור ‪: f ( x ) = x‬‬
‫‪∫ xw( x)dx = A x‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪1‬‬
‫⇐ ‪xw( x)dx‬‬
‫‪A ∫0‬‬
‫= ‪x0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫קבלנו ‪, ∫ w( x)dx = A0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪∫ xw( x)dx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h‬‬
‫= ‪x0‬‬
‫‪∫ w( x)dx‬‬
‫‪0‬‬
‫ד‪ 3) .‬נק'‪ (.‬מצאו את איבר השגיאה לקירוב אשר מצאת‪ $‬בסעי‪ %‬ג'‬
‫‪b‬‬
‫)‪f (2) (c‬‬
‫‪2‬‬
‫= )) ‪E ( I ( f‬‬
‫נוסחת השגיאה תהי ‪( x − x0 ) w( x)dx‬‬
‫∫‬
‫‪(2! a‬‬
‫הנוסחה מדוייקת לפולינומיי‪ $‬עד מעלה ‪2n + 1 = 1‬‬
‫ת‪.‬ז‪:.‬‬
‫‪.‬‬
‫עמ' ‪3‬‬
‫שאלה ‪ 2‬בשאלה זו נקרב פתרו למד"ר בעזרת סכימה מפורשת דו‪-‬צעדית‪.‬‬
‫)‪y ' = f ( y‬‬
‫‪ ‬בנו סכימה לקירוב הפתרו‪,‬‬
‫א‪ 8) .‬נק'‪ (.‬עבור בעיית התחלה מהצורה‪:‬‬
‫‪ y ( x0 ) = y0‬‬
‫כאשר הקירוב לאינטגרל בקטע ] ‪ [ xn , xn +1‬עושה שימוש בערכי הפונקציה בנקודות ‪ . xn , xn −1‬מהו סדר השגיאה הלוקאלית?‬
‫פתרו‪:#‬‬
‫נרשו‪ $‬את הבעיה בצורה‪:‬‬
‫‪xn+1‬‬
‫‪f ( y ( x))dx‬‬
‫∫‬
‫‪xn‬‬
‫‪xn+1‬‬
‫= ‪y '( x)dx‬‬
‫∫‬
‫= ) ‪y ( xn +1 ) − y ( xn‬‬
‫‪xn‬‬
‫נשתמש בסימו‪ f ( y ( xn )) = f ( yn ) = f n :‬ונקרב את האינטגרל בעזרת פ"א בנק' ‪: xn , xn −1‬‬
‫‪f n − f n −1‬‬
‫‪‬‬
‫‪( x − xn −1 ) + f [ xn −1 , xn , x]( x − xn −1 )( x − xn )  dx‬‬
‫‪h‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪h‬‬
‫‪5‬‬
‫‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪−‬‬
‫‪f‬‬
‫[‬
‫‪x‬‬
‫‪,‬‬
‫‪x‬‬
‫‪,‬‬
‫‪x‬‬
‫]‬
‫‪x‬‬
‫(‬
‫‪x‬‬
‫‪h‬‬
‫)‬
‫‪dx = ( 3 f n − f n−1 ) +‬‬
‫‪f ''(ξ )h3‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪∫h ‬‬
‫‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪≥0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כלומר סדר שגיאה לוקלי ) ‪ O (h3‬וסכימה לקירוב הפתרו‪:‬‬
‫‪h‬‬
‫) ) ‪yn+1 = yn + ( 3 f ( yn ) − f ( yn −1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2h‬‬
‫‪‬‬
‫‪x dx +‬‬
‫‪‬‬
‫‪+‬‬
‫‪‬‬
‫‪n −1‬‬
‫‪xn+1‬‬
‫‪∫  f‬‬
‫‪xn‬‬
‫‪2h‬‬
‫‪xn+1‬‬
‫= ‪f ( y ( x))dx‬‬
‫∫‬
‫‪xn‬‬
‫‪f −f‬‬
‫‪[ x = x − xn−1 ] = ∫  f n−1 + n n−1‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h ‬‬
‫‪ y ' = −2 y‬‬
‫‪ ‬הראו כי הפתרו המקורב לפי הסכימה מסעי‪ %‬א' שוא‪ %‬לפתרו‬
‫ב‪ 12) .‬נק'‪ (.‬נתונה בעיית התחלה הבאה‪:‬‬
‫‪ y ( 0) = 1‬‬
‫האנליטי של הבעיה הנתונה‪ ,‬כאשר המרחק בי שתי נקודות רשת עוקבות שוא‪ %‬לאפס כלומר ‪. h → 0‬‬
‫‪x x2‬‬
‫) הדרכה‪− + O( x3 ), e x = 1 + x + x 2 + O( x3 ) :‬‬
‫‪2 8‬‬
‫‪( 1+ x = 1+‬‬
‫פתרו‪:#‬‬
‫נציב בסכימה שקיבלנו ונקבל משוואת הפרשי‪ $‬הבאה‪:‬‬
‫‪yn+1 − yn + h ( 3 yn − yn −1 ) = 0‬‬
‫זאת משוואה לינארית הומוגנית‪ ,‬נגדיר ‪ β n = yn‬ולאחר צימצו‪: n $‬‬
‫‪β 2 − (1 − 3h) β − h = 0‬‬
‫‪2 β ± = (1 − 3h) ± (1 − 3h) 2 + 4h = (1 − 3h) ± (1 − 6h + 9h 2 ) + 4h‬‬
‫‪9‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪= 1 − 3h ± 1 − h + h 2 − h 2 + O (h3 ) ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪β + = 1 − 2h + 2h 2 + O(h3 ), β − = − h − 2h2 + O(h3‬‬
‫‪1/2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪2 β ± = (1 − 3h) ± 1 − 2h + 9h 2‬‬
‫ואז הפתרו הכללי‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫= )) ‪yn = c0 (1 − 2h + 2h + O(h )) + c1 (− h − 2h + O(h‬‬
‫) ‪= c0 (e −2 h + O(h3 )) n + c1 (−1) n O(h n ) = c0 e −2 hn (1 + O(h3 )) + c1 (−1) n O(h n‬‬
‫) ‪= c0e −2 x (1 + O(h3 )) + c1 (−1) n O(h n‬‬
‫כמו כ מתקיי‪c0 β +0 + c1β −0 = y0 = 1 :$‬‬
‫‪ y ' = 2λ y‬‬
‫‪ ‬ע"י הסכימה שמצאת‪ $‬בסעי‪ %‬א'‪.‬‬
‫ג‪ 5) .‬ק‪ ( .‬מקרבי‪ $‬את הפתרו של בעיית ההתחלה‪:‬‬
‫‪ y ( 0) = 1‬‬
‫ת‪.‬ז‪:.‬‬
‫‪.‬‬
‫עמ' ‪5‬‬
‫עבור אלה ערכי‪ $‬של הפרמטר הממשי ‪ λ‬הסכימה מתכנסת לפתרו האנליטי?‬
‫פתרו‪:#‬‬
‫למעשה אפשר להשתמש בתוצאות סעי‪ %‬ב'‪:‬‬
‫‪yn+1 − yn − λ h ( 3 yn − yn −1 ) = 0‬‬
‫‪yn+1 − yn + h ( 3 yn − yn −1 ) = 0 , h = −λ h‬‬
‫‪ h ‬ולכ כל התוצאות הקודמות תקיפות‪:‬‬
‫מקוד‪ $‬דרשנו רק ש‪ h → 0 -‬וכא מתקיי‪→ 0 :$‬‬
‫‪h →0‬‬
‫‪→ e2λ x‬‬
‫‪yn = c0e 2λ x (1 + O(h3 )) + c1 (λ ) n O(h n ) ‬‬
‫‪h→0‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫א‪ 8) .‬נק'‪ (.‬יהי )‪ pn −1 ( x‬פולינו‪ $‬אינטרפולציה ל‪ f ( x) -‬בנקודות ‪ x0 , x1 ,..., xn −1‬ויהי )‪ pn ( x‬פולינו‪ $‬אינטרפולציה ל‪-‬‬
‫)‪ f ( x‬בנקודות ‪ . x0 , x1 ,..., xn −1 , xn‬נניח כי הנקודות ‪ x0 , x1 ,..., xn −1 , xn‬שונות זו מזו‪ ,‬הוכיחו כי‬
‫) ‪pn ( x) = pn −1 ( x) + f [ x0 ,..., xn ]( x − x0 ) ⋅ ( x − x1 ) ⋅ .... ⋅ ( x − xn −1‬‬
‫פתרו‪:#‬‬
‫נגדיר )‪ . qn ( x) = pn ( x) − pn−1 ( x‬היות ו ‪ pn ( x) ∈ Π n , pn −1 ( x) ∈ Π n −1‬נובע כי ‪. qn ( x) ∈ Π n‬‬
‫מהדרישות עבור פולינו‪ $‬האינטרפולציה נובע כי לכל ‪ i = 0,1,..., n − 1‬מתקיי‪:$‬‬
‫‪. qn ( xi ) = pn ( xi ) − pn −1 ( xi ) = f ( xi ) − f ( xi ) = 0‬‬
‫מכא נובע כי ל‪ qn ( x) -‬יש שורשי‪ $‬ב‪ x0 , x1 ,..., xn −1 -‬ומהמשפט היסודי של האלגברה נובע כי ל‪ qn ( x) -‬את הצורה‬
‫‪, qn ( x) = C ( x − x0 ) ⋅ ( x − x1 ) ⋅ ... ⋅ ( x − xn −1 ), C ∈ const‬‬
‫לכ ) ‪. pn ( x) = pn −1 ( x) + C ( x − x0 ) ⋅ ( x − x1 ) ⋅ ... ⋅ ( x − xn −1‬‬
‫מכא ע"י השוואת מקדמי ‪ x n‬בשיוויו האחרו נקבל כי ] ‪C = f [ x0 , x1 ,..., xn‬‬
‫ב‪ 5) .‬נק'‪ (.‬בנו פולינו‪ $‬אינטרפולציה ל‪ f ( x) -‬אשר עושה שימוש בערכי‪( h > 0 ) f (0), f '(0), f (h) $‬‬
‫פתרו‪:#‬‬
‫נבנה פולינו‪ $‬אינטרפולציה לפי הרמיט ל‪ f ( x) -‬בנק' ‪: 0, 0, h‬‬
‫‪f (h) − f (0) − hf '(0) 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪h2‬‬
‫ת‪.‬ז‪:.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. p( x) = f [0] + f [0, 0]x + f [0, 0, h]x 2 = f (0) + f '(0) x +‬‬
‫עמ' ‪7‬‬
‫ג‪ 5) .‬נק'‪ (.‬הוכיחו כי הפולינו‪ $‬שבנית‪ $‬בסעי‪ %‬ב' הוא יחיד‪.‬‬
‫פתרו‪:#‬‬
‫נניח כי קיי‪ $‬פולינו‪ $‬נוס‪ q ( x) %‬אשר מקיי‪ $‬את תנאי האינטרפולציה מסעי‪ %‬ב' ונראה כי )‪. q ( x) ≡ p ( x‬‬
‫נגדיר )‪ , w( x) = p ( x) − q ( x‬מכא ש‪ w( x) ∈ Π 2 -‬ומתקיי‪. w(0) = w(h) = 0 $‬‬
‫מכא לפי משפט רול קיימת נק' )‪ c ∈ (0, h‬כ‪ +‬ש‪. w '(c) = 0 -‬‬
‫מכא ומכ‪ +‬ש‪ w '(0) = 0, w '( x) ∈ Π1 -‬נובע כי ‪ w '( x) ≡ 0‬ולכ ‪ , w( x) ≡ const‬אבל ‪ w(0) = 0‬לכ נסיק כי ‪. w( x) ≡ 0‬‬
‫ד‪ 7) .‬נק'‪ (.‬מצאו נקודה )‪ α ∈ (0, h‬שעבורה הקירוב ) ‪ f '(α‬אשר עושה שימוש בערכי‪ f (0), f '(0), f (h) $‬הוא בעל שגיאה‬
‫מסדר דיוק מקסימלי‪ .‬מהו סדר דיוק השגיאה? )נמקו את תשובתכ‪($‬‬
‫פתרו‪:#‬‬
‫תחילה נמצא ביטוי לשגיאת האינטרפולציה בקטע‬
‫‪f (3) (c) 2‬‬
‫= )‪. E ( x‬‬
‫)‪x ( x − h), c ∈ (0, h‬‬
‫!‪3‬‬
‫נגזור את הביטוי לשגיאה באינטרפולציה ונקבל‪:‬‬
‫)‪(4‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪f (d ) 2‬‬
‫) ‪f (c‬‬
‫= )‪. E '( x‬‬
‫‪x ( x − h) +‬‬
‫)‪(3 x 2 − 2hx), c, d ∈ (0, h‬‬
‫!‪4‬‬
‫!‪3‬‬
‫מכא‪ ,‬על מנת לקבל סדר דיוק ) ‪ O(h3‬שהוא סדר הדיוק המקסימלי שאפשר לקבל עבור קירוב זה‪ ,‬נאפס איברי‪ $‬מסדר‬
‫‪2‬‬
‫דיוק ) ‪ . O(h 2‬לכ נחפש נק' )‪ α ∈ (0, h‬כ‪ +‬ש‪ 3 x 2 − 2hx = 0 -‬ונקבל ‪. α = h‬‬
‫‪3‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫א‪ 7) .‬נק'‪ (.‬עבור ‪ i = 1,..., 4‬נתונות המדידות הבאות‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪xi‬‬
‫‪12‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪f ( xi‬‬
‫‪f ( x1 ) ‬‬
‫‪ F ( x1 ) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ( x2 ) ‬‬
‫‪F ( x2 ) ‬‬
‫‪‬‬
‫=‪, F‬‬
‫נגדיר‬
‫‪ F ( x3 ) ‬‬
‫‪f ( x3 ) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ( x4 ) ‬‬
‫‪ F ( x4 ) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ . f = ‬מצאו קירוב מהצורה ‪ F ( x) = a +‬כ‪ +‬ש‪ || F − f ||2 -‬תהיה מינימלית‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫פתרו‪:#‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫נחפש קירוב מהצורה ‪ . F = a ⋅ φ0 + b ⋅ φ1 , φ0 =   , φ1 =  1 ‬מכא למציאת המקדמי‪ a, b $‬נפתור את מהמערכת‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪25 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (φ0 , φ0 ) (φ0 , φ1 )   a   ( f , φ0 )   4‬‬
‫‪12   a   24 ‬‬
‫=‬
‫‪⇒ a = 148/13, b = -672/65.‬‬
‫‪‬‬
‫‪⋅  = ‬‬
‫‪⇒‬‬
‫⋅‪‬‬
‫‪ (φ1 , φ0 ) (φ1 , φ1 )   b   ( f , φ0 )   25 205   b   9 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 12 144 ‬‬
‫‪f ( x1 ) ‬‬
‫‪ G ( x1 ) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ( x2 ) ‬‬
‫‪G ( x2 ) ‬‬
‫‪‬‬
‫=‪, G‬‬
‫ב‪ 8) .‬נק'‪ (.‬נגדיר‬
‫‪ G ( x3 ) ‬‬
‫‪f ( x3 ) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ( x4 ) ‬‬
‫‪ G ( x4 ) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . f = ‬עבור קירוב ריבועי‪ $‬מינימלי‪ $‬מהצורה ‪G ( x) = Ax + Bx + Cx + D‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫של ‪ f‬חשבו את ‪) || G − f ||2‬נמקו את תשובתכ‪.($‬‬
‫פתרו‪:#‬‬
‫‪ , || G − f ||2 = 0‬היות ומקרבי‪ $‬וקטור ב‪ R 4 -‬מתת מרחב וקטורי של ‪ R 4‬בעל מימד ‪,4‬לכ לפי יחידות הקר"פ נקבל‬
‫שהשגיאה היא אפס‪.‬‬
‫ת‪.‬ז‪:.‬‬
‫‪.‬‬
‫עמ' ‪9‬‬
‫‪ 1.01 0.99 ‬‬
‫‪ −2 ‬‬
‫‪ , ‬הניחו כי הוקטור ‪ b‬מגיע ע‪ $‬שגיאה ‪ δ b‬כ‪ +‬ש‪. || δ b ||1 ≤ ε -‬‬
‫ב‪ 8) .‬נק'‪ (.‬נתונה המערכת ‪ x = b, b =  ‬‬
‫‪ 0.99 1.01 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪δx‬‬
‫מצאו תנאי על ‪ ε‬כ‪ +‬שהשגיאה היחסית בפתרו‬
‫לא תעלה על עשרה אחוזי‪.$‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫פתרו‪ :#‬נחשב את מס' המצב של המערכת ונשתמש בחס‪ $‬על השגיאה היחסית‪:‬‬
‫‪≤ 0.1‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪3‬‬
‫‪= 100‬‬
‫‪δb 1‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪δx‬‬
‫)‪≤ cond ( A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪⇒ ε ≤ 0.003‬‬
‫ג‪ 10) .‬נק'‪ (.‬כמה איטרציות של שיטת יעקובי דרושות לקירוב הפתרו למערכת המשוואות ‪ Ax = b‬כ‪ +‬שהשגיאה‬
‫היחסית בפתרו בנורמה ∞ תהיה קטנה מ‪ , 10−8 -‬כאשר‬
‫‪−1‬‬
‫‪‬‬
‫‪4 2 0‬‬
‫‪3 5 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 −3 5 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A=‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫פתרו‪:#‬‬
‫‪4‬‬
‫נחשב את הנורמה המטריציאלית המושרת מנורמת אי סו‪ %‬של מטריצת איטרציית יעקובי ונקבל =‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0‬‬
‫מכא נשתמש בתנאי התחלה ‪ x0 =  0 ‬ונחפש את ‪ n‬השל‪ $‬הראשו שמקיי‪:$‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪4‬‬
‫‪=   < 10−8‬‬
‫‪5‬‬
‫ונקבל ‪. n = 83‬‬
‫‪n‬‬
‫∞‬
‫‪δx‬‬
‫‪= B‬‬
‫∞‬
‫‪x‬‬
‫∞‬
‫‪. B‬‬
‫שאלה ‪ 5‬בשאלה זו נעסוק בקירוב שורשי‪ $‬למשוואה ‪. f ( x ) = 0‬‬
‫א‪ 8) .‬נק‪ ( .‬תהי ]‪ g :[a, b] → [a, b‬רציפה בקטע ]‪ , [a, b‬אז ל‪ g ( x) -‬יש נקודת שבת בקטע ]‪. [a, b‬‬
‫הוכיחו כי א‪ $‬קיי‪ K < 1 $‬כ‪ +‬ש‪ g '( x) ≤ K < 1 -‬בקטע ]‪ [a, b‬אז האיטרציה ‪ xn +1 = g ( xn ) , n = 0,1, 2,...‬מתכנסת‬
‫לנקודת השבת לכל ]‪. x0 ∈ [a, b‬‬
‫פתרו‪:#‬‬
‫נתבונ כעת בסדרה‪. xn +1 = g ( xn ) , n = 0,1, 2,... :‬‬
‫נחסיר משני האגפי‪ α = g (α ) $‬ונקבל ‪xn +1 − α = g ( xn ) − g (α ) ≤ K xn − α < xn − α‬‬
‫א‪ xn ∈ [a, b] $‬אז ג‪ . xn +1 ∈ [a, b] $‬כמו כ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪xn − α ≤ K xn −1 − α ≤ K xn − 2 − α ≤ ... ≤ K n x0 − α‬‬
‫‪. xn ‬‬
‫‪ , xn − α ‬כלומר ‪→ α‬‬
‫כיוו ש‪ K < 1 -‬נקבל כי ‪→ 0‬‬
‫∞→ ‪n‬‬
‫∞→ ‪n‬‬
‫בסעיפי‪ $‬הבאי‪ $‬מקרבי‪ $‬שורש של המשוואה הבאה ‪ , f ( x ) = 0.5 x 3 + x 2 + x − 1.5 = 0‬בעזרת שיטה איטרטיבית‪.‬‬
‫ב‪ 3) .‬נק‪ ( .‬הראו כי למשוואה הנתונה קיי‪ $‬שורש בקטע ]‪. [ 0.7, 0.8‬‬
‫פתרו‪:#‬‬
‫) ‪ f ( x‬רציפה ומחליפה סימ בקטע‪, f ( 0.7 ) = −0.1385 , f ( 0.8 ) = 0.196 :‬‬
‫לכ לפי משפט ער‪ +‬הביניי‪ $‬יש שורש‪.‬‬
‫ת‪.‬ז‪:.‬‬
‫‪.‬‬
‫עמ' ‪11‬‬
‫ג‪ 6) .‬נק‪ ( .‬נתונה האיטרציה ‪. xk +1 = g ( xk ) = −0.5 xk 3 − xk 2 + 1.5‬‬
‫הסבירו הא‪ $‬האיטרציה מתאימה לקירוב השורש של המשוואה הנתונה? א‪ $‬כ הא‪ $‬היא מתכנסת לכל ]‪? x0 ∈ [ 0.7, 0.8‬‬
‫פתרו‪:#‬‬
‫צרי‪ +‬להראות כי ‪ , f (α ) = 0 ⇔ g (α ) = α‬אכ מתקיי‪. 0.5α 3 + α 2 + α − 1.5 = 0 ⇔ −0.5α 3 − α 2 + 1.5 = α $‬‬
‫‪, g ′( x) = −1.5 x 2 − 2 x = − x (1.5 x + 2 ) ⇐ g ( x) = −0.5 x 3 − x 2 + 1.5 x‬‬
‫מכא ‪ g ′( x) = − x (1.5 x + 2 ) < 0‬בקטע ]‪ , [ 0.7, 0.8‬כלומר )‪ g ( x‬יורדת‪ ,‬כמו‪-‬כ ‪. g ′(0.7) = −2.135‬‬
‫לכ לכל ]‪ x0 ∈ [ 0.7, 0.8‬מתקיי‪ g ′( x) > 1 $‬לכ השיטה לא תתכנס‪.‬‬
‫ד‪ 8) .‬נק‪ ( .‬נתונה האיטרציה הבאה‪ , xk +1 = g ω ( xk ) :‬כאשר )‪ , 0 < ω < 1 , g ω ( x) = (1 − ω ) x + ω g ( x‬כאשר )‪ g ( x‬היא‬
‫פונקצית האיטרציה מסעי‪ %‬ג'‪ .‬הא‪ $‬האיטרציה מתאימה לקירוב הפתרו של המשוואה הנתונה?‬
‫א‪ $‬לא הסבירו למה‪ ,‬א‪ $‬כ מצאו תחו‪ $‬עבור ‪ 0 < ω < 1‬כ‪ +‬שהשיטה תתכנס לכל ]‪x0 ∈ [ 0.7, 0.8‬‬
‫פתרו‪:#‬‬
‫צרי‪ +‬להראות כי ‪ , f (α ) = 0 ⇔ gω (α ) = α‬אכ מתקיי‪$‬‬
‫ ‪g ω (α ) = α ⇐ g ω (α ) = (1 − ω ) α + ωα ⇐ g ω (α ) = (1 − ω ) α + ω‬‬
‫) ‪g (α‬‬
‫‪α‬‬
‫נמצא ‪ 0 < ω < 1‬כ‪ +‬ש‪g ω : I → I -‬‬
‫‪ , x1 = 0, x2 = − 4 3 ⇐ g ′( x) = −1.5 x 2 − 2 x = − x (1.5 x + 2 ) = 0‬נקודות קיצו ‪ x1 , x2‬מחו‪ 0‬לקטע ]‪ , [ 0.7, 0.8‬לכ‬
‫‪ gω‬מונטונית בקטע‪ ,‬ערכי קיצו רק בקצצות‪ .‬נדרוש שיתקיי‪ , 0.7 ≤ gω (0.8) ≤ 0.8 , 0.7 ≤ g ω (0.7) ≤ 0.8 $‬נקבל‬
‫‪0 < ω < 0.51‬‬
‫נמצא ‪ 0 < ω < 1‬כ‪ +‬ש‪: g ω′ ( x) < 1 -‬‬
‫)‪−2 < −ω + ω g ′( x) < 0 ⇐ − 1 < (1 − ω ) + ω g ′( x) < 1 ⇐ gω′ ( x) < 1 ⇐ g ω′ ( x) = (1 − ω ) + ω g ′( x‬‬
‫כיוו ש‪ 0 < ω < 1 -‬ו‪ g ′( x) < 0 -‬בקטע ]‪ [ 0.7, 0.8‬נקבל כי ‪ −ω + ω g ′( x) < 0‬מתקיי‪ $‬תמיד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫ ‪⇐ − 2 < −ω  1 −‬‬
‫מ‪ −2 < −ω + ω g ′( x) -‬נסיק כי ‪g ′( x) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪1 − g ′( x‬‬
‫‪<0 ‬‬
‫‪‬‬
‫<‪ω‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫=‬
‫כיוו שלא ידוע השורש נדרוש ‪≈ 0.562‬‬
‫) ‪x∈[ 0.7,0.8] 1 − g ′( x‬‬
‫) ‪′(0.8) 1 − ( −2.56‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪g‬‬
‫‬
‫‪ω < min‬‬
‫‪<0‬‬
‫סופית‪ :‬לפי חיתו‪ +‬התחומי‪ $‬נקבל ‪. 0 < ω < 0.51‬‬
‫הפקולטה להנדסה ע"ש פליישמ‬
‫‪ENGINEERING FACULTY‬‬
‫בחינה בקורס‪" :‬אנליזה נומרית"‬
‫דר' א‪ .‬מוחוב ‪ ,‬מר' י‪ .‬דביר‬
‫מר' ב‪.‬סובר‪ ,‬מר' ס‪ .‬פונריוב‬
‫סמסטר א'‪ ,‬מועד א'‬
‫‪05.02.14‬‬
‫ת‪ .‬ז‪_______________ .‬‬
‫מס‪ .‬מחברת__________‬
‫• מש הבחינה‪ 3 :‬שעות‪.‬‬
‫• יש לענות על ארבע שאלות‪ .‬משקל כל שאלה ‪.25%‬‬
‫• יש לכתוב את התשובות והנימוקי על גבי טופס הבחינה‪ .‬המחברת משמשת בתור טיוטה‪.‬‬
‫• חומר עזר מותר‪ :‬מחשבו‪ #‬כיס‪ ,‬דפי הנוסחאות המצורפי לטופס הבחינה‪.‬‬
‫לשימוש הבודק‪:‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫ציו בחינה‬
‫עמ' ‪1‬‬
‫‪h‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫‪∫ f ( x)dx‬‬
‫בסעיפי" נעסוק בקירוב של האינטגרל‬
‫‪0‬‬
‫‪n‬‬
‫א‪ 3) .‬נק‪ ( .‬מקרבי" את האינטגרל הנתו ע"י ) ‪f ( x )dx ≈ ∑ Ai f ( xi‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪h‬‬
‫∫‬
‫כ& שהקירוב יהיה מדויק לפולינומי" ממעלה‬
‫‪0‬‬
‫‪n‬‬
‫כלשהיא‪ ,‬הוכיחו כי ‪. ∑ Ai = h‬‬
‫‪i =0‬‬
‫פתרו‪:#‬‬
‫על פי הנתו הקירוב לאינטגרל מדויק לפולינומי" ממעלה כלשהיא ובפרט מדויק עבור ‪ , f ( x ) = 1‬לכ‬
‫‪n‬‬
‫‪h‬‬
‫‪i =0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪∫ 1⋅dx = ∑ Ai ⋅1.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪⇒ h = ∑ Ai .‬‬
‫‪i =0‬‬
‫‪h‬‬
‫ב‪ 9) .‬נק‪ ( .‬מצאו קירוב מהצורה )‪x1 ∈ (0, h‬‬
‫‪∫ f ( x)dx ≈ Af (h) + Bf ( x ),‬‬
‫‪1‬‬
‫כ& שהקירוב יהיה מדויק לפולינומי" ממעלה‬
‫‪0‬‬
‫מקסימלית‪.‬‬
‫פתרו‪:#‬‬
‫למציאת קירוב אשר יבטיח סדר דיוק מקסימלי‪ ,‬נמצא תחילה )‪ x1 ∈ (0, h‬על ידי הדרישה כי‬
‫‪h‬‬
‫‪∫ ( x − h)( x − x )dx = 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪⇒ x1‬‬
‫למציאת הקבועי" ‪ A, B‬נדרוש מהכלל שיהיה מדויק עבור‪f ( x ) = 1, x :‬‬
‫‪h‬‬
‫‪∫ 1⋅dx = A + B ⇒ A + B = h,‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h h2‬‬
‫‪xdx‬‬
‫=‬
‫‪Ah‬‬
‫‪+‬‬
‫‪B‬‬
‫⇒‬
‫‪Ah‬‬
‫‪+‬‬
‫‪B‬‬
‫‪= .‬‬
‫‪∫0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪3h‬‬
‫‪, B= .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3h h‬‬
‫‪f ( ).‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪h‬‬
‫=‪⇒ A‬‬
‫‪h‬‬
‫‪∫ f ( x)dx ≈ 4 f (h) +‬‬
‫⇒‬
‫‪0‬‬
‫הערה‪ :‬את הקבועי" ‪ A, B‬והנקודה )‪ x1 ∈ (0, h‬היה נית לחשב ג" ע"י דרישת דיוק עבור ‪f ( x ) = 1, x, x 2‬‬
‫)אותו ניקוד(‬
‫ג‪ 7) .‬נק'‪ (.‬מצאו ביטוי לשגיאת הקירוב אשר בסעי‪ +‬ב' וקבעו את סדר השגיאה ואת סדר הדיוק האלגברי‪) .‬נית להציג‬
‫את הביטוי לשגיאה בעזרת אינטגרל מסוי"(‬
‫פתרו‪:#‬‬
‫‪h‬‬
‫‪3‬‬
‫נמצא ביטוי לשגיאת הקירוב ע"י אינטגרל על השגיאה באינטרפולציה של )‪ f ( x‬בנקודות ‪: , h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪E = ∫ f [ , h, x]( x − )( x − h)dx‬‬
‫= ‪f [ , , h, x]( x − ) 2 ( x − h)dx‬‬
‫=‬
‫∫‬
‫‪h‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪∫ ( x − 3 )( x − h ) dx =0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫) ‪f (3) (η‬‬
‫‪h‬‬
‫= ‪f [ , , h, c] ∫ ( x − ) 2 ( x − h)dx = ∫ ( x − )2 ( x − h)dx‬‬
‫‪( x − ) 2 ( x − h)dx‬‬
‫∫‬
‫‪3 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3! 0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪(t ) |} = M .‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪max{| f‬‬
‫‪E ≤ CMh 4‬‬
‫=‬
‫‪h‬‬
‫‪( x − )2 ( x − h ) ≤0‬‬
‫‪3‬‬
‫⇒‬
‫] ‪t∈[0, h‬‬
‫מכא נובע כי סדר השגיאה הוא ) ‪ O(h 4‬כלומר ‪ ,4‬וסדר הדיוק האלגברי הוא ‪.2‬‬
‫הערה‪ :‬א" בסעי‪ +‬הקוד" חיושב היה ע"י דרישת דיוק עבור ‪ , f ( x ) = 1, x, x 2‬בסעי‪ +‬זה חייבי" לבדוק כי‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪∫ ( x − h)( x − 3 )dx = 0‬‬
‫‪0‬‬
‫ד‪ 6) .‬נק‪ . (.‬ידוע כי ערכי הפונקציה הנדגמי" לצור& הקירוב מסעי‪ +‬ב'‪ ,‬נדגמי" ע" רעש אשר גודלו בער& מוחלט לא‬
‫עולה על ‪ . ε > 0‬מצאו ביטוי לשגיאה וקבעו את סדר השגיאה‪) .‬נית להציג את הביטוי לשגיאה‬
‫בעזרת אינטגרל מסוי"(‪.‬‬
‫נמצא ביטוי לשגיאה כאשר ערכי הפונקציה נדגמי" ע" רעש‪:‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫) ‪f (3) (η‬‬
‫‪h‬‬
‫= ‪( x − ) 2 ( x − h )dx‬‬
‫‪f ( x )dx = A( f ( h ) + ε 1 ) + B ( f ( ) + ε 2 ) +‬‬
‫∫‬
‫‪3‬‬
‫‪3! 0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪h‬‬
‫∫‬
‫‪0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪3h‬‬
‫‪h‬‬
‫) ‪f (3) (η‬‬
‫‪h‬‬
‫= ‪( x − ) 2 ( x − h)dx‬‬
‫‪= ( f ( h) + ε 1 ) + ( f ( ) + ε 2 ) +‬‬
‫∫‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3! 0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪3h h h‬‬
‫‪3h‬‬
‫) ‪f (3) (η‬‬
‫‪h‬‬
‫‪= f ( h) +‬‬
‫‪f ( ) + ε1 + ε 2 +‬‬
‫‪( x − )2 ( x − h)dx‬‬
‫∫‬
‫‪4‬‬
‫ ‪4‬‬
‫ ‪3‬‬
‫ ‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3! 0‬‬
‫‪3‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪noise − error‬‬
‫‪The approximation‬‬
‫‪error without noise‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪3h‬‬
‫) ‪f (3) (η‬‬
‫‪h‬‬
‫‪⇒ E = ε1 + ε 2 +‬‬
‫‪( x − )2 ( x − h)dx ≤ ε h + CMh 4‬‬
‫∫‬
‫ ‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3! 0‬‬
‫‪3‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪noise − error‬‬
‫‪error without noise‬‬
‫מכא נובע כי סדר השגיאה הוא )‪. O(h‬‬
‫ת‪.‬ז‪:.‬‬
‫‪.‬‬
‫עמ' ‪3‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫) ‪ y ' = f ( x, y‬‬
‫‪ , ‬בנו סכימה לקירוב הפתרו אשר מבוססת על כלל‬
‫א‪ 7) .‬נק‪ (.‬עבור בעיית התחלה כללית מהצורה‬
‫‪ y ( x0 ) = y0‬‬
‫הטרפז‪.‬‬
‫נפרוש רשת של נקודות ‪. xn = nh , n = 0,1,... :‬‬
‫נבצע אינטגרציה בקטע ] ‪ [ xn , xn +1‬של שני האגפי"‪:‬‬
‫‪xn+1‬‬
‫) ‪⇐ y ' = f ( x, y‬‬
‫‪∫ f ( x, y )dx‬‬
‫‪xn+1‬‬
‫= ‪y′dx‬‬
‫‪xn‬‬
‫∫‬
‫‪xn‬‬
‫‪xn+1‬‬
‫⇐‬
‫‪∫ f ( x, y )dx‬‬
‫= ) ‪y ( xn +1 ) − y ( xn‬‬
‫‪xn‬‬
‫‪h‬‬
‫נשתמש בכלל הטרפז ונקרב‪ :‬ו‪ f ( xn +1 , y ( xn +1 ) ) + f ( xn , y ( xn ) )  .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪h‬‬
‫נקבל ‪( f ( xn+1 , yn+1 ) + f ( xn , yn ) ) :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪xn+1‬‬
‫≈‬
‫‪∫ f ( x, y )dx‬‬
‫‪ ,‬נקרב ‪y ( xn ) ≈ yn‬‬
‫‪xn‬‬
‫‪ yn +1 = yn +‬ע" תנאי התחלה ‪. y ( x0 ) = y0‬‬
‫‪ x′ = 2 x‬‬
‫‪ . ‬הראו כי הפתרו המקורב לפי הסכימה מסעי‪ +‬א' שוא‪ +‬לפתרו‬
‫ב‪ 8) .‬נק‪ (.‬נתונה בעית התחלה הבאה‬
‫‪ x ( 0 ) = 1‬‬
‫האנליטי של הבעיה הנתונה כאשר המרחק בי שתי נקודות רשת עוקבות שוא‪ +‬לאפס ) ‪.( h → 0‬‬
‫‪ y′ = 2 y‬‬
‫הפתרו האנליטי‪:‬‬
‫‪x = e 2t ⇐ ‬‬
‫‪ y ( 0 ) = 1‬‬
‫נציב ‪ f ( x, y ) = 2 y‬בנוסחת הקירוב‪:‬‬
‫‪ 1+ h ‬‬
‫‪yn +1 = ‬‬
‫) ‪ yn ⇐ yn +1 (1 − h ) − yn (1 + h ) = 0 ⇐ yn +1 = yn + h ( yn +1 + yn‬‬
‫‪ 1− h ‬‬
‫‪ 1+ h ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n +1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪⇐ β =‬‬
‫דר& ‪ :1‬נחפס פתרו מהצורה ‪ ⇐ β (1 − h ) − β (1 + h ) = 0 : yn = β‬‬
‫‪ 1− h ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ 1+ h ‬‬
‫‪ 1+ h   1+ h ‬‬
‫‪ 1+ h   1+ h ‬‬
‫‪yn = ‬‬
‫‪ , ... , y2 = y1 ‬‬
‫‪=‬‬
‫‪ , y1 = y0 ‬‬
‫‪=‬‬
‫דר& ‪ :2‬‬
‫‪ 1− h ‬‬
‫‪ 1− h   1− h ‬‬
‫‪ 1− h   1− h ‬‬
‫עבור ‪ x‬סופי נקבל ‪: x = nh‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪= e2 x‬‬
‫‪−x‬‬
‫‪e‬‬
‫= }‪= { x = nh‬‬
‫‪1‬‬
‫‪⋅nh‬‬
‫‪(1 + h ) h‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪⋅nh‬‬
‫‪(1 − h ) h‬‬
‫‪1‬‬
‫‪h →0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ 1+ h ‬‬
‫‪lim yn = lim ‬‬
‫‪‬‬
‫‪h →0‬‬
‫‪h →0 1 − h‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ 1+ h ‬‬
‫‪yn = ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1− h ‬‬
‫ג‪ 6) .‬נק‪ ( .‬נניח כי תנאי התחלה לבעיה מסעי‪ +‬ב' נתו ע" רעש ‪ , ε 0‬כלומר ‪ , ε 0 = y0 − y 0‬כאשר ‪ y0‬תנאי ההתחלה‬
‫המורעש‪ .‬נסמ ‪ y n‬פתרו ע"י סכימה מסעי‪ +‬א' ע" תנאי התחלה מורעש‪ ,‬ונסמ את השגיאה ע"י ‪ . ε n = yn − y n‬הא"‬
‫השגיאה שואפת לאפס כאשר ∞ → ‪ ? n‬כלומר הא" הסכימה שפתחת" יציבה?‬
‫מסעי‪ +‬ב'‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪yn +1 − y n +1 ) = ‬‬
‫(‬
‫‪1+ h ‬‬
‫‪ 1+ h ‬‬
‫‪ 1+ h ‬‬
‫‪ , y n +1 = ‬מכא ) ‪yn − y n‬‬
‫‪ , yn +1 = ‬לכ ‪y n‬‬
‫( ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ yn‬‬
‫‬
‫ ‪ 1 − h ‬‬
‫‪ 1− h ‬‬
‫‪ 1− h ‬‬
‫‪ε n+1‬‬
‫‪εn‬‬
‫) כלומר ‪ ε n‬מקיימת אותה משוואת ההפרשי" כמו ‪ , yn‬לכ יתנהג כמו אקספוננט‪ ,‬לכ לא ישא‪ +‬לאפס(‬
‫‪n‬‬
‫‪ 1+ h‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1+ h ‬‬
‫‪ 1+ h ‬‬
‫‪ , ‬לכ הסכימה אינה יציבה‬
‫‪ , ε n +1 = ‬לכ ‪> 1 , h > 0  ε n → 0‬‬
‫‪ ε 0 ⇐ ε n +1 = ‬‬
‫‪εn‬‬
‫‪ 1− h ‬‬
‫‪ 1− h ‬‬
‫‪ 1− h‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y ' = λ y‬‬
‫‪ ‬ע"י הסכימה מסעי‪ +‬א'‪ .‬עבור אלה ערכי" של‬
‫ד‪ 4) .‬נק‪ ( .‬מקרבי" את הפתרו של בעיית ההתחלה‬
‫‪ y ( 0 ) = 1‬‬
‫הפרמטר הממשי ‪ λ‬הסכימה יציבה?‬
‫‪.‬‬
‫עבור משוואה הנצונה‪:‬‬
‫) ‪( yn +1 + yn‬‬
‫‪λh‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪⇐ yn +1 = yn +‬‬
‫‪ 1 + λh ‬‬
‫‪ 1 + λh ‬‬
‫‪ , yn +1 =  λ2h  yn‬לכ נקבל ‪, ε n +1 =  λ2h  ε 0‬‬
‫‪ 1− 2 ‬‬
‫‪ 1− 2 ‬‬
‫לכ עבור ‪ λ < 0‬הסכימה יציבה‪.‬‬
‫ת‪.‬ז‪:.‬‬
‫‪.‬‬
‫עמ' ‪5‬‬
.'‫ ג' ו ד‬,'‫ א' אינו קשור לסעיפי" ב‬+‫ סעי‬3 ‫שאלה‬
‫ נתו כי‬+‫ גזירה פעמיי" ברציפות ובנוס‬f ( x ) ‫( נתו כי‬.‫ נק‬7) .‫א‬
. f ' ( x ) = f ''( x) "‫ בה מתקיי‬x ‫ קרבו את הנקודה‬. f ( 0.4 ) = 1.38 , f ( 0.2 ) = 1.2 , f ( −0.1) = 0.9
f [ xi ]
xi
f [ xi −1 , xi ]
f [ xi − 2 , xi −1 , xi ]
−0.1
0.9
0.2
1.2
1
0.4
1.38
0.9
0.9 − 1
= −0.2
0.5
P2 ( x) = 0.9 + 1 ⋅ ( x + 0.1) − 0.2( x + 0.1)( x − 0.2) = 1 + x − 0.2( x 2 − 0.1x − 0.02) = −0.2 x 2 + 1.02 x + 1.004
. P2′ ( x) ≈ P2′′ ( x) ‫ מכא‬, f ′′ ( x ) ≈ P2′′ ( x) .‫ ו‬f ′ ( x ) ≈ P2′ ( x) ‫ נקבל כי‬f ( x ) ≈ P2 ( x) .‫כיוו ש‬
x ≈ 3.55 ‫ לכ‬, x =
−1.42
= 3.55 ⇐ −
0.4 x + 1.02 = −
0.4
−0.4
P2′′ ( x )
P ′ (x)
2
‫ גזירה‬f ( x ) ‫ נתו כי‬+‫ ובנוס‬i = ±1, ±2,... , xi = x0 + ih , x0 :‫ בנקודות‬f ( x ) ‫( נתוני" ערכי פונקציה‬.‫ נק‬8) .‫ב‬
. f ′′ ( x0 ) ≈ A−2 f ( x−2 ) + A−1 f ( x−1 ) + A2 f ( x2 ) :‫ מהצורה‬f ′′ ( x0 ) .‫ מצאו קירוב ל‬.‫ארבע פעמי" ברציפות‬
:‫ ונשווה מקדמי" בנוסחה‬f ( x−2 ) , f ( x−1 ) , f ( x2 ) ‫נרשו" טור טיילור עבור‬

h2
h3
′
′′
f
x
=
f
x
−
hf
x
+
f
x
−
f ′′′ ( c−1 )
( 0)
( 0)
( 0)
 ( −1 )
2
6

A−2 + A−1 + A2 = 0

4h 2
8h 3
A−2 ( −2h ) + A−1 ( − h ) + A2 ( 2h ) = 0 ⇐  f ( x−2 ) = f ( x0 ) − 2hf ′ ( x0 ) +
f ′′ ( x0 ) −
f ′′′ ( c−2 )
2
6

 4h 2 
 h2 
 4h 2 

4h 2
8h 3
A−2 
+
A
+
A


 =1
−1 
2
′
′′
2
=
+
+
+
f
x
f
x
hf
x
f
x
f ′′′ ( c2 )
( 0)
( 0)
( 0)
 ( 2)
 2 
 2 
 2 
2
6

‫ נציב בשלישית‬,
A−1 = −
A−2 = 3 A2
⇐ − A−2 + 3 A2 = 0
A−1 = −4 A2 ⇐
3 A2 + A−1 + A2 = 0
‫ נקבל‬1.2 ‫ממשוואות‬
 h2 
 4h 2 
 h2 
 4h 2 
2
1
1
A
A
A
A
A
A
,
=
,
=
⇐
12
=
1
⇐
3
−
4
+



 =1
−2
2
2
2
2
2
3h 2
2h 2
6h 2
 2 
 2 
 2 
 2 
. f ′′ ( x0 ) ≈
1
2
1
f ( x−2 ) − 2 f ( x−1 ) + 2 f ( x2 ) ‫לכ‬
2
2h
3h
6h
‫ג‪ 6) .‬נק‪ (.‬נתו כי לכל ‪ n‬טבעי מתקיי" ‪ . | f ( n ) ( x ) |≤ M‬מצאו ביטוי לשגיאה בקירוב מסעי‪ +‬ב' מהצורה ) ‪, CMh ( m‬‬
‫כלומר מצאו ‪. C , m‬‬
‫נשווה מקדמי" של ) ‪: f ′′′ ( x0‬‬
‫‪ 1  8h 3  2  h 3  1 8h 3 ‬‬
‫‪h‬‬
‫‪′′′‬‬
‫‪0 = 0 ⋅ f ( x0 ) ≠  2  −‬‬
‫) ‪ f ′′′ ( x0 ) = f ′′′ ( x0‬‬
‫‪− 2 − + 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 2h  6  3h  6  6h 6 ‬‬
‫נסמ שגיאת הקירוב קירוב ע"י ) ‪ . E 2 ( x‬נתו כי ‪ f ( n ) ( x ) ≤ M‬לכל ‪ , n ∈ N‬לכ‬
‫‪1 8h3‬‬
‫‪2 h3‬‬
‫‪1 8h3‬‬
‫‪ 2h h 2h ‬‬
‫‪′′′‬‬
‫‪′′′‬‬
‫‪−‬‬
‫‪−‬‬
‫‪f‬‬
‫‪c‬‬
‫‪f‬‬
‫‪c‬‬
‫‪f ′′′ ( c2 ) ≤ M  + +  = Mh‬‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫‪−2‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2h 6‬‬
‫‪3h 6‬‬
‫‪6h 6‬‬
‫‪ 3 9 9 ‬‬
‫= )‪E2 ( x‬‬
‫‪C = 1, m = 1‬‬
‫ד‪ 4) .‬נק‪ ( .‬מצאו חס" לשגיאת הקירוב מסעי‪ +‬ב'‪ ,‬א" ידוע שערכי הפונקציה ) ‪ f ( xi‬נתוני" ע" שגיאה מוחלטת ‪. ε i < ε‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫≤ ‪f ′′ ( x0 ) −  2 ( f ( x−2 ) + ε −2 ) − 2 ( f ( x−1 ) + ε −1 ) + 2 ( f ( x2 ) + ε 2 ) ‬‬
‫‪3h‬‬
‫‪6h‬‬
‫‪ 2h‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪  1‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪f ′′ ( x0 ) −  2 f ( x−2 ) − 2 f ( x−1 ) + 2 f ( x2 )  +  2 ε −2 − 2 ε −1 + 2 ε 2 ‬‬
‫‪3h‬‬
‫‪6h‬‬
‫‪3h‬‬
‫‪6h‬‬
‫‪ 2h‬‬
‫‪  2h‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪≤ hM +  2 + 2 +  ε = hM + 2 ε = hM + 2 ε‬‬
‫‪6h‬‬
‫‪3h‬‬
‫‪ 2h 3h 6 ‬‬
‫ת‪.‬ז‪:.‬‬
‫‪.‬‬
‫עמ' ‪7‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫‪4 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . ‬רשמו את איטרציות גאוס זיידל למערכת הנתונה והוכיחו כי היא‬
‫א‪ 4) .‬נק‪ ( .‬נתונה המערכת ‪ x =  ‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1‬‬
‫מתכנסת לכל ניחוש התחלה‪.‬‬
‫‪4 1 4 0 0 1‬‬
‫‪A=‬‬
‫‪=‬‬
‫‪+‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 2 1 2 0 0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪4 0 0 1‬‬
‫‪ 4 0  1‬‬
‫‪= −‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪x+‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪1 2 0 0‬‬
‫‪ 1 2  1‬‬
‫‪1  0 −2  ( n ) 1  2 ‬‬
‫‪x ( n +1) = ‬‬
‫‪x +  ‬‬
‫‪80 1 ‬‬
‫‪8  3‬‬
‫‪1  0 −2 ‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪B= ‬‬
‫‪,c=  ‬‬
‫‪80 1 ‬‬
‫‪8 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫=∞‪B1= , B‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫מתקיי" תנאי מספיק להתכסות‪ :‬נורמת ‪ B‬קטנה מאחד‪ .‬כמו‪.‬כ למטיצת המרעכת יש אלכסו דומיננטי‪.‬‬
‫)‪( n +1‬‬
‫‪ 4 + w 0  ( n +1)  w −1 ( n ) 1‬‬
‫‪ ‬מתכנסת‪ ,‬הוכיחו כי היא מתכנסת‬
‫‪=‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ 4) .‬נק‪ ( .‬נניח שהאיטרציה הבאה ‪ x +  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪0 0 ‬‬
‫‪1‬‬
‫לפתרו המערכת הנתונה מסעי‪ +‬א'‪.‬‬
‫‪. x ( n +1) ‬‬
‫‪→ x* , x ( n ) ‬‬
‫נתו כי יש התכסות של האיטרציות‪ ,‬כלומר‪→ x* :‬‬
‫∞→ ‪n‬‬
‫∞→ ‪n‬‬
‫‪ 4 + w 0  *  w −1  *  1 ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪x =‬‬
‫ולכ בגבול מתקיי"‪ x +   :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪0 0 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 4 1  * 1‬‬
‫‪, ‬כלומר *‪ x‬מקיי" את המ"ע מסעי‪ +‬א'‪.‬‬
‫נעביר אגפי" ונקבל משוואה‪ x =   :‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1‬‬
‫למעשה יש לנו נק' שבת שמתאימה לפתרו של המשוואה מסעי‪ +‬א'‪.‬‬
‫‪ 4 + w 0  ( n +1)  w −1 ( n ) 1 ‬‬
‫‪ . ‬מצאו כל ערכי הפרמטר ‪ w‬עבור"‬
‫‪=‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ 8) .‬נק‪ ( .‬עבור האיטרציה ‪ x +   , 0 ≤ w‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪0 0 ‬‬
‫‪1‬‬
‫האיטרציה מתכנסת לפתרו של המערכת מסעי‪ +‬א' לכל ניחוש התחלה‪.‬‬
‫ראשית נייצג בצורה‪. x (n +1) = Bx (n) + c :‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ 4 + w 0   w −1‬‬
‫‪1  2 w −2 ‬‬
‫‪.B =‬‬
‫‪ ‬‬
‫=‪‬‬
‫‪‬‬
‫וננתח את מטריצת האיטרציות‪ :‬‬
‫‪2   0 0  8 + 2w  −w 1 ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫בכדי למצוא את כל הערכי" של הפרמטר עבור" יש התכנסות‪ ,‬צרי& לבדוק קיו" תנאי הכרחי‪.‬‬
‫‪1 + 2w‬‬
‫רדיוס ספקטרלי מוגדר להיות הע"ע הגדול בער מוחלט‪:‬‬
‫‪8 + 2w‬‬
‫= )‪. ρ (B‬‬
‫‪1 + 2w‬‬
‫התנאי להתכנסות הוא )‪ 1 > ρ (B‬ונתו כי ‪ 0 ≤ w‬ולכ מקבלי"‪< 1 :‬‬
‫‪8 + 2w‬‬
‫= )‪ρ (B‬‬
‫עבור ‪ 0 ≤ w‬יש התכנסות איטרציות‬
‫ולפי סעי‪ +‬ב' נובעה כי ההתכנסות היא לפתרו של מ"ע מקורית א'‪.‬‬
‫ג‪ 9) .‬נק‪ ( .‬מקרבי" את הפתרו של המערכת מסעי‪ +‬א' בעזרת האיטרציות מסעי‪ +‬ג'‪ .‬מצאו ‪ 1 ≤ w ≤ 2‬אופטימלי‬
‫שעבורו השגיאה היחסית בפתרו‬
‫‪1‬‬
‫‪x(n) − x‬‬
‫‪x1‬‬
‫תקט בצורה היעילה ביותר‪ ,‬נמקו את תשובתכי"‪.‬‬
‫כפי שראינו בכיתה‪ ,‬יעילות ההתכנסות נקבעת ע"י נורמת ‪x (0) − x :B‬‬
‫‪n‬‬
‫‪. x(n ) − x ≤ B‬‬
‫מכיו ש ‪ x‬וג" ‪ x (0) − x‬קבועות‪ ,‬אי השפעה על מהירות ההתכנסות מבחירת תנאי התחלה‪.‬‬
‫}‪max{3 w, 3‬‬
‫הנורמה לפי התנאי" הנתוני"‪:‬‬
‫‪8 + 2w‬‬
‫=‪B1‬‬
‫‪3w‬‬
‫מכיו ש ‪ 1 < w‬נקבל ‪ max{3 w, 3} = 3w‬ולכ צרי& למזער את‪:‬‬
‫‪8 + 2w‬‬
‫נמצא את הפתרו ע"י ניתוח הפונקציה למציאת מינימו" בקטע ]‪.[2,3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ,‬כלומר פונקציה מונוטונית עולה ולכ הפתרו הוא ‪ w = 2‬והנורמה‬
‫הנגזרת‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪( 4 + w‬‬
‫ת‪.‬ז‪:.‬‬
‫‪.‬‬
‫=‪. B1‬‬
‫עמ' ‪9‬‬
‫שאלה ‪ 5‬בשאלה זו נעסוק בקירוב שורשי" למשוואה ‪. f ( x ) = 0‬‬
‫א‪ 6) .‬נק‪ ( .‬הוכיחו כי שיטת ניוטו לקירוב שורשי"‪ ,‬מתכנסת מסדר ‪ 2‬א" מתקיי"‬
‫‪. f (α ) = 0 , f '(α ) ≠ 0, f ''(α ) ≠ 0‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫שיטת ניוטו מוגדרת על ידי‬
‫)‪f '( x‬‬
‫‪ g ( x) = x −‬ולכ מקבלי" את הקונסיסטנטיות באופ מיידי לפי התנאי"‪.‬‬
‫) ‪( f '(α )) 2 − f (α ) f ''(α ) f (α ) f ''(α‬‬
‫=‬
‫נגזור את פונקציית האיטרציה ונקבל‪= 0 :‬‬
‫‪( f '(α )) 2‬‬
‫‪( f '(α ))2‬‬
‫וכעת הנגזרת השנייה היא‪:‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪=0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪≠0‬‬
‫‬
‫
‬
‫) ‪ f ′(α ) f ''(α ) + f (α ) f ′′′(α )  f '(α ) − 2 f '(α ) f (α ) f ''(α‬‬
‫‪′‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪f (α ) f ''(α‬‬
‫) ‪f ''(α‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪=‬‬
‫=‬
‫‪≠0‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪( f '(α )) ‬‬
‫)) ‪( f '(α‬‬
‫‪f‬‬
‫) ‪'(α‬‬
‫‪g '(α ) = 1 −‬‬
‫‪‬‬
‫‪. g ′′(α ) = ‬‬
‫‪‬‬
‫‪≠0‬‬
‫קבלנו ‪ g ′′(α ) ≠ 0‬סדר ההתכנסות הינו ‪. 2‬‬
‫ב‪ 6) .‬נק‪ ( .‬הראו כי כאשר ‪ f '(α ) = 0 , f ''(α ) ≠ 0‬סדר ההתכנסות הוא ‪.1‬‬
‫ראשית צרי& לוודא קונסיסטנטיות‪:‬‬
‫‪=α‬‬
‫) ‪lim f '( x‬‬
‫‪x →α‬‬
‫) ‪lim f ''( x‬‬
‫‪x →α‬‬
‫‪=α −‬‬
‫) ‪lim f ( x‬‬
‫‪x →α‬‬
‫) ‪lim f '( x‬‬
‫‪lim g ( x ) = α −‬‬
‫‪x →α‬‬
‫‪x →α‬‬
‫לכ נית להגדיר הטלאה שתתנהג בדיוק כמו הפונקציה שלנו רק שתהיה רציפה בנקודה ותקיי" את הדרוש‪.‬‬
‫נבדוק נגזרת ראשונה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪lim( f '( x )) − lim f ( x ) f ''( x‬‬
‫) ‪lim f ( x ) f ''( x‬‬
‫‪x →α‬‬
‫‪x →α‬‬
‫‪lim g '( x ) = 1 − x →α‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪x →α‬‬
‫‪lim( f '( x )) 2‬‬
‫‪lim( f '( x )) 2‬‬
‫‪x →α‬‬
‫‪x →α‬‬
‫)‪lim f ( x) f ''( x) L lim f '( x) f ''( x) + f ( x) f '''( x) 1 lim f ( x) f '''( x‬‬
‫‪x →α‬‬
‫‪= x→α‬‬
‫‪= + x →α‬‬
‫‪2‬‬
‫))‪lim( f '( x‬‬
‫)‪lim 2 f '( x) f ''( x‬‬
‫)‪2 lim 2 f '( x) f ''( x‬‬
‫‪x →α‬‬
‫‪x →α‬‬
‫‪x →α‬‬
‫‪f ( x) f '''( x) L 1 lim f '( x) f '''( x) + f ( x) f ''''( x) 1‬‬
‫‪1 lim‬‬
‫‪+ x →α‬‬
‫‪= + x →α‬‬
‫=‬
‫‪2 lim 2 f '( x) f ''( x) 2 lim 2(( f ''( x)) 2 + f '( x) f '''( x)) 2‬‬
‫‪x →α‬‬
‫והנגזרת קטנה מאחד אבל שונה מאפס ולכ סדר ההתכנסות הוא בדיוק ‪.1‬‬
‫‪x →α‬‬
‫=‬
‫=‬
‫ג‪ 8) .‬נק‪ ( .‬מקרבי" את השורש של המשוואה ‪ x 3 − 3 x 2 + 4 = 0‬בקטע ]‪ [1,3‬באמצעות שיטת ניוטו‪ .‬לאיזה שורש תתכנס‬
‫השיטה ומהו סדר ההתכנסות לשורש זה?‬
‫‪2 x3 − 3x 2 − 4 2 x3 − 3x 2 − 4‬‬
‫פונקצית האיטרציה לפי ניוטו יוצאת‪:‬‬
‫= )‪g ( x‬‬
‫=‬
‫‪3x 2 − 6 x‬‬
‫)‪3 x( x − 2‬‬
‫‪2 x3 − 3x 2 − 4‬‬
‫כעת נית לבצע חלוקת פולינומי"‪= 2 x 2 + x + 2 :‬‬
‫‪x−2‬‬
‫נמצא את השורש דר& מציאת נקודת השבת של הפונקציה ‪ g ( x ) = x‬כלומר‪:‬‬
‫‪2x2 + x + 2‬‬
‫‪3x‬‬
‫ולכ מגיעי" למשוואה הריבועית ‪ x 2 − x − 2 = 0‬ולה יש שורשי" ב ‪x1 = −1 , x2 = 2‬‬
‫ולכ השורש המתאי" הוא ‪. x2 = 2‬‬
‫כיוו שהשורש הוא מריבוי ‪ 2‬במשוואה המקורית ) ‪ f ( x‬איטרציית ניוטו מתכנסת מסדר ‪ 1‬ולא מסדר ‪.2‬‬
‫=‪x‬‬
‫‪2 x2 + x + 2‬‬
‫נית לבדוק זאת ג" דר& בדיקת הנגזרת הראשונה של הפונקציה‬
‫‪3x‬‬
‫‪2 2 1‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪ g '( x) = − 2‬ולכ = ‪ g '(2) = −‬ואכ יש התכנסות מסדר ‪.1‬‬
‫‪3 12 2‬‬
‫‪3 3x‬‬
‫= )‪ g ( x‬בשורש שיוצאת‪:‬‬
‫ד‪ 5) .‬נק‪ ( .‬הציעו תיקו לשיטת ניוטו מסעי‪ +‬ג' לקירוב השורש‪ ,‬כ& שסדר הקירוב יגדל באחד‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫כדי לתק את השיטה נרצה להגדיר ‪ g (2) = 2‬וג" ‪ g '(2) = 0‬ולכ נגדיר )‪g ( x ) = g ( x ) − ( x − 2‬‬
‫‪2‬‬
‫ת‪.‬ז‪:.‬‬
‫‪.‬‬
‫עמ' ‪11‬‬
‫ציון‪90+5 :‬‬
‫ציון‪92 :‬‬
‫ציון‪90 :‬‬