אנליזה נומרית 0509.2804 בהצלחה, ועד הנדסה הפקולטה להנדסה ע"ש פליישמן ENGINEERING FACULTY בחינה בקורס" :אנליזה נומרית" מר' ב .סובר ,מר' י .דביר מר' ג.פרגייר ,מר' ר .מיץ סמסטר א' ,מועד א' 8.02.15 ת .ז_______________ . מס .מחברת__________ משך הבחינה 3 :שעות. יש לענות על ארבע שאלות .משקל כל שאלה .25% יש לכתוב את התשובות והנימוקים על גבי טופס הבחינה .המחברת משמשת בתור טיוטה. חומר עזר מותר :מחשבון כיס ,דפי הנוסחאות המצורפים לטופס הבחינה. לשימוש הבודק בלבד!!!: שאלה 1 שאלה 2 שאלה 3 שאלה 4 שאלה 5 ציון בחינה עמ' 1 שאלה 1 נרצה למצוא קירוב לפונקציה f ( x) x 3על הקטע ] [1,1על ידי פולינום ) p( xמדרגה .2 א .מצאו קירוב על-ידי הדרישה ) p ( xi ) f ( xiעבור xi 1, a,1כאשר aהוא מספר ממשי כלשהו בקטע הנדון. פתרון: נשתמש בשיטת ניוטון .טבלת ההפרשים המחולקים הינה: ]*f [*, ]*f [*,*, a a3 1 a2 a 1 a 1 1 a3 a2 a 1 1 a ] f [ xi xi 1 1 a3 a 1 1 ולכן פולינום האינטרפולציה הינו p( x) 1 (a 2 a 1)( x 1) a( x 1)( x a) a( x 2 1) x ב .הראו כי אם מציבים a 1בפולינום ) p( xשמצאתם בסעיף ,1אזי מתקיים: )p(1) f (1), p(1) f (1), p '(1) f '(1 פתרון: אם מציבים a 1מקבלים , p( x) x 2 x 1שמקיים ) p(1) 1, p(1) 1, p '(1) 3 f '(1כנדרש. ג .הראו כי אם מציבים a 1בפולינום ) p( xשמצאתם ,אזי מתקיים: )p(1) f (1), p(1) f (1), p '(1) f '(1 פתרון: אם מציבים a 1מקבלים , p ( x) x 2 x 1שמקיים ) p(1) 1, p(1) 1, p '(1) 3 f '(1כנדרש. ד .הוכיחו :תהא ) f ( xפונקציה גזירה בקטע ] , a b, [a, bותהא ) p( xפונקציה לינארית המקיימת ) . p(a) f (a), p(b) f (bכעת נגדיר( lim p( x) P( x) :כלומר ) P( xהוא הגבול של ) p( xכאשר bשואף ל .) a -אזי b a )P(a) f (a), P '(a) f '(a פתרון: )f (b) f (a יש הרבה דרכים לכתוב את ) . p( xלצרכנו ,הכי טוב יהיה )( x a ba , b aמקבלים ) , p( x) P( x) f (a) f '(a)( x aאשר אכן מקיים ) , P '(a) f '(a), P(a) f (aכנדרש. . p( x) f (a) רואים מיד שכאשר ת.ז:. . עמ' 3 2 שאלה ah f ( x)dx a f ( a ) f ( a h) f '(a) f '(a h) 2 h h :נתון כלל הטרפז המתוקן לאינטגרציה 2 12 ) פולינום הרמיט: שקיבלתם? (רמזC, k , p מהם ערכיCf ( k ) h p תנו ביטוי לשגיאת הכלל מהצורה.א :פתרון בנקודותf ( x) המקרב אתP( x) זהו כלל המגיע מפולינום הרמיט P '(a) f '(a), P(a) f (a), P '(a h) f '(a h), P(a h) f (a h) :ולכן שגיאת האינטרפולציה היא 2 2 e( x) f a, a, a h, a h, x x a x a h :נבצע אינטגרציה על השגיאה ah E ( x) ah e( x)dx a f a, a, a h, a h, c f a , a , a h, a h , x x a x a h 2 2 dx a h /2 x h / 2 x h / 2 2 2 dx f a, a, a h, a h, c h /2 f a, a, a h, a h, c h /2 h /2 h /2 x4 x 2 h 2 / 4 dx 2 h /2 xh h f ( ) h dx 2 4 4! 30 2 2 4 (4) 5 ba כאשרa x0 , b xN , xi x0 ih קטעים שווים ונסמןN ל a, b מחלקים את הקטע.ב N N 1 f (a) f (b) : הוכיחו כי כלל הטרפז המתוקן המורכב הינו. TN h f ( xi ) המורכב על הקטע הנ"ל מוגדר להיות 2 i 1 b f '(a) f '(b) 2 h O (h 4 ) a f ( x)dx TN 12 כלל הטרפז. h :פתרון f '( xi ) f '( xi 1 ) 2 f ( xi ) f ( xi 1 ) h h O(h5 ) 2 12 i 1 N 1 b f ( x)dx a f '( xN 1 ) f '( xN ) f (a) f (b) f '( x0 ) f '( x1 ) f '( x1 ) f '( x2 ) h2 ... O (h 4 ) 2 12 12 12 i 1 f '(a) f '(b) TN h 2 O(h 4 ) 12 N 1 h f ( xi ) b f ( x)dx T N T2 N O(h 4 ) מהצורה4 בנו נוסחת אינטגרציה מסדר קירוב.ג a :מהסעיף הקודם קיבלנו b a TN f ( x)dx b a T2 N f ( x)dx f '(a) f '(b) 2 h O h4 12 2 f '(a) f '(b) h 4 O h 12 2 b TN T2 N f ( x)dx a f '(a) f '(b) 4 12 h2 O h4 :ולכן נאלץ 1 1 3 4 0 4 3 5 'עמ . :.ז.ת שאלה 3 נגדיר מכפלה פנימית חדשה ביחס למרחב הפולינומים ממעל קטנה או שווה ל 2 2באופן הבא: 1 )f , g f (i) g (i i 1 א .הראו כי ההגדרה הנ"ל היא אכן מכפלה פנימית. פתרון: .1קומוטטיביות (מעל הממשיים): 1 f , g f (i) g (i) g , f i 1 .2לינאריות: 1 1 1 f g , h f (i ) g (i ) h(i ) f (i)h(i) g (i)h(i) f , h g , h i 1 i 1 i 1 1 1 i 1 i 1 f , h f (i)h(i) f (i)h(i) f , h .3אי שליליות: 1 f , f f (i) 0 2 i 1 ושוויון מתקיים אם"ם הפולינום ) f ( xמתאפס בשלוש נקודות .כיוון שזה במרחב 2זה קורה רק כאשר f ( x) 0 מיחידות פולינום האינטרפולציה. ב .מצאו בסיס אורתוגונלי למרחב 2ביחס למכפלה הפנימית הנ"ל. פתרון: מבצעים גראם-שמידט לבסיס הסטנדרטי 1, x, x 2 0 1 1 x 0 1 x 2 2 2 x 2 0 x 1 x 2 3 3 ג .הגדירו נורמה לפי המכפלה הפנימית שהוגדרה בסעיפים הקודמים. פתרון: f, f f ד .מצאו את הפולינום ממעלה 1המקרב באופן מיטבי (מבחינת הנורמה שהגדרתם) את הפולינום x2 3 פתרון: נבנה את מערכת המשוואות הנורמליות: 7 0 ולכן 2 3 0 c0 x 3x,1 0 2 c 2 1 x 3x, x 7 c0 , c1 0 3 כלומר הפולינום הוא: ת.ז:. p( x) 3x 1 . עמ' 7 4 שאלה y ' f x, y . בנו סכימה לקירוב הפתרון אשר מבוססת על כלל הטרפז, עבור בעיית התחלה כללית מהצורה.א y x0 y0 . xn nh , n 0,1,... : נפרוש רשת של נקודות : של שני האגפים xn , xn 1 נבצע אינטגרציה בקטע y xn 1 y xn xn1 f x, y dx xn y xn yn נקרב, xn1 f x, y dx xn xn1 ydx xn xn1 f x, y dx y ' f x, y xn h f xn 1 , y ( xn 1 ) f xn , y ( xn ) - ו:נשתמש בכלל הטרפז ונקרב 2 . y x0 y0 עם תנאי התחלהyn1 yn h f xn1, yn1 f xn , yn : נקבל 2 x 2 x הראו כי הפתרון המקורב לפי הסכימה מסעיף א' שואף לפתרון האנליטי. ) נתונה בעית התחלה הבאה. נק8( .ב x 0 1 .) h 0 ( של הבעיה הנתונה כאשר המרחק בין שתי נקודות רשת עוקבות שואף לאפס y 2 y :הפתרון האנליטי x e2t y 0 1 : בנוסחת הקירובf x, y 2 y נציב 1 h yn 1 yn yn 1 1 h yn 1 h 0 yn 1 yn h yn 1 yn 1 h 1 h yn 1 h n 1 h n 1 n n 1 h 1 h 0 : yn נחפס פתרון מהצורה:1 דרך 1 h 1 h 1 h 1 h 1 h 1 h yn , ... , y2 y1 = , y1 y0 = :2 דרך 1 h 1 h 1 h 1 h 1 h n 2 : x nh סופי נקבלx עבור 1 1 hh ex 1 h lim yn lim x nh x e2 x lim 1 h 0 h 0 1 h h 0 nh e 1 h h n nh y ' y ג .מקרבים את הפתרון של בעיית ההתחלה y 0 1 הסכימה יציבה? ע"י הסכימה מסעיף א' .עבור אלה ערכים של הפרמטר הממשי עבור משוואה הנדונה: yn1 yn h 2 n yn1 yn 1 h 1 h , yn1 2h ynלכן נקבל , n 1 2h 0 1 2 1 2 לכן עבור 0הסכימה יציבה. ד .נבצע קירוב לנגזרת של פונקציה )f ( x בנקודה 0מהצורה הבאה Bf : 4 4 f '(0) Af מצאו Aו Bכך שנוסחת הקירוב תיתן תוצאה מדויקת עבור הפונקציות ) cos( xו )sin(x 1 A B 2 B cos 1 B A 2 4 4 f ( x) cos( x) : 0 sin(0) f '(0) A cos B sin 4 4 f ( x) sin( x) : 1 cos(0) f '(0) A sin ולכן נקבל את האילוצים: 2 B A B 0 2 B A 2 2 A 2 ת.ז:. . עמ' 9 שאלה 5 בשאלה זו נעסוק בקירוב השורש של המשוואה f ( x) 0כאשר fפונקציה גזירה פעמיים ברציפות. א .נתון כי הוא שורש פשוט של המשוואה , f ( x) 0כלומר f ( ) 0, f '( ) 0הוכיחו כי קיימת סביבה עבורה לכל ניחוש התחלה מסביבה זו שיטת ניוטון מתכנסת לפתרון המשוואה . f ( x) 0 )f ( x ) f ( xn xn 1 xn כך ש- שיטת ניוטן ) f '( xn )f '( x ) f ( . g ( ) f '( ) f ( ) 0 התנאי לקיום סביבה להתכנסות האיטרציות הוא | g '( ) | 1 . g ( x) x נראה תחילה כי g ( ) f ( ) 0ואכן ואכן f '( x) f ''( x) f ( x) f ''( x) f ( x) : g '( x) 1 2 2 f '( x) f '( x) 2 0 ) f ''( ) f ( 2 f '( ) g '( ) ולכן קיימת סביבה עבורה לכל ניחוש התחלה מסביבה זו שיטת ניוטון מתכנסת לפתרון המשוואה . f ( x) 0 ב .נניח כי עבור השורש הפשוט של המשוואה f ( x) 0מתקיים . f ''( ) 1הוכיחו כי לכל ניחוש התחלה בסביבה מסעיף א' ,שיטת ניוטון מתכנסת עם סדר התכנסות בדיוק .2 היות ו - ) f ( ) f ''( ) f ( ) f ''( 0 , g ( ) g '( ) ובנוסף 0 2 ) f '( ) f '( f '( ) f ( ) 0 לקביעת סדר התכנסות כי שיטת ניוטון מתכנסת עם סדר התכנסות בדיוק .2 g ''( ) נובע לפי קריטריון ג .נתון כי הוא שורש כפול של המשוואה , f ( x) 0כלומר f ( ) f '( ) 0, f ''( ) 0הוכיחו כי קיימת סביבה ) f ( xn עבורה לכל ניחוש התחלה מסביבה זו השיטה , n 0,1, 2,... ) f '( xn xn 1 xn 2מתכנסת לפתרון המשוואה f ( x) 0 עם סדר התכנסות .2 ) f ( ? ) f '( g ( ) נבדוק את הגבול f '( ) 0 f ''( ) 0 )f '( x )f ''( x x2 x lim 0 L 0 )f ( x )f '( x lim x g ( x) lim x x 2 לכן יש קונסיסטנטיות. ) f '( x) f ''( x) f ( x) 1 2 f ''( x) f ( x g '( x) 1 2מכאן נשים לב כי ) g '(לא מוגדר ולכן נבדוק את 2 2 f '( x) f '( x) 2 '' f ''' f f ' f '' 2 f ' f 1 2 )f ''( x) f ( x x lim f (' x ) 0 2 lim x g '( x) lim x 1 2 L 0 ' f '''' f f ''' f 0 ' ( f '') 2 f ''' f הגבול lim x f ''' f '' f ' f lim x 0 L 0 לכן סדר ההתכנסות הוא לפחות ( 2מי שקיבל תוצאה זו קיבל את מלוא הנק') ד .מצאו מבחן עצירה עבור שיטות איטרטיביות לקירוב השורש של המשוואה f ( x) 0אשר עושה שימוש בערכי ) f ( xn ), f '( xnכלומר קבעו תנאי אשר עושה שימוש בערכים הללו שעבורו מתקיים . | xn | נמקו את תשובתכם! נגדיר . en xnנפתח את הערך ) f (לטור טיילור סביב : xn . 0 f ( ) f ( xn ) f '( xn )en לכן ) f ( xn ) f '( xn ת.ז:. . | en | עמ' 11 הפקולטה להנדסה ע"ש פליישמן ENGINEERING FACULTY בחינה בקורס" :אנליזה נומרית" דר' א .מוחוב ,מר' י .דביר מר' ר.לוי ,מר' ס .פונריוב סמסטר ב' ,מועד ב' 42..7.12 ת .ז_______________ . מס .מחברת__________ משך הבחינה 3 :שעות. יש לענות על ארבע שאלות .משקל כל שאלה .52% יש לכתוב את התשובות והנימוקים על גבי טופס הבחינה .המחברת משמשת בתור טיוטה. חומר עזר מותר :מחשבון כיס ,דפי הנוסחאות המצורפים לטופס הבחינה. לשימוש הבודק: שאלה 1 שאלה 4 שאלה 3 שאלה 2 שאלה 5 ציון עמ' 1 1 שאלה מצאו קירוב מסדר דיוק אלגברי מקסמלי מהצורה. פונקציה בעלת חמש נגזרות רציפותf x ) תהי.' נק7( .א h . f x dx Af 0 Bf h Cf 0 Df 0 0 0 0 f 0 f 0 f 0 2 f 0 f 0 0 h f 0 f h f 0 h f h f h f 0 hf 0 h2 2 f h 2 f 0 2hf 0 2h 2 f 0 2h3 f 0 2 2 f h 2 f 0 2hf 0 2h 2 f 0 3 x x 2 2h 3 2 h h2 h3 2 f h 2 f 0 2hf 0 h f 0 h 4 f x dx P x dx f 0 h f 0 f 0 2 6 2h3 4 0 P x f 0 f 0 x h 0 3h h2 h3 h f 0 f 0 f 0 f h 4 4 24 4 . ע"י דרישת סדר דיוק אלגברי:דרך שניה ? מהו סדר השגיאה ומהו סדר הדיוק האלגברי.') פתחו את הביטוי לשגיאת הקירוב מסעיף א.' נק6( .ב h h E (h) f 0, 0, 0, h, x x ( x h) dx f 0, 0, 0, h, c x 3 ( x h) dx 3 0 0 f (4) c h5 h h 4 4! 5 4 f (4) 0 0 c h5 4! 20 3 סדר דיוק אלגברי,5 הנוסחה היא מסדר dt x . קרבו את אינטגרל אשר באגף שמאל של המשוואה הנתונה ע"י שיטת ג 7( .נק' ).נתונה המשוואה 2 x 1 1 et גאוס-לג'נדר בשלוש נקודות ורשמו את המשוואה הנתונה אחרי הקירוב. הדרכה :מצאו החלפת משתנים מתאימה לפני קירוב האינטגרל. x נעבור ממשתנה אינטגרציה tלמשתנה חדש - x ( , zהינו פרמטר): x 1 t xz dt xdz dt dz dz x . לקרב יש לכן , t2 x2 z 2 x2 z 2 t x z 1 x 1 e 1 1 e 1 1 e 1 5 3 3 z יש למצא שורשים של פולינום לג'נדר ממעלה z z 5 z 2 3 : 3 2 2 2 נמצא מקדמים ע" י דרישת דיוק אלגברי עבור , f z 1, z, z 2מערכת למציאת המקדמים היא , z1,2,3 0, 0.6 P2 z A1 A2 A3 2 A1 0.6 A3 0.6 0 A 0.6 A 0.6 2 / 3 3 1 A2 2 2 A1 8 5 5 A1 A3המקדמים הם , , 9 9 9 2 A 0.6 2 / 3 1 A1,2,3 5 1 8 1 1 10 לכן הנוסחת הקירוב הינה 4 0 x 2 0.6 x 2 0.6 9 1 e 9 1 e 9 1 e 1 dz x 10 4 x 1 x נרשום משוואה אחרי הקירוב 4 : x2 z 2 x 2 0.6 9 1 e 1 1 e A1 z1 A2 z2 A3 z3 2 ד 5( .נק' ).האם ניתן לחשב את האינטגרל 1 e x dx 2 dz x2 z 2 1 1 e 1 x 10 2 9 1 e x 0.6 2 5 3x x 4 במדוייק בעזרת קירוב גאוס? אם כן מצאו את 0 מספר הנקודות הדרוש לחישוב האינטגרל .נמקו היטב את תשובתכם. הדרכה :שימו לב כי הפונקציה 5 3 x 4 x 2 1 e xהיא פונקציה זוגית. 2 2 1 הפונקציה הינה זוגית ,לכן dx 5 3x 4 x 2 1 e x dx 2 x2 1 e 2 x 4 . 5 3x 0 מכאן ניתן לראות כי הקטע הוא , וf ( x) 5 3x 4 x 2 1 , w( x) e x - לכן ניתן להשתמש בפולינומים אורטוגונלים של הרמיט. b ) f 2 n 2 (c שגיאה בשיטת גאוס ( x) 2 w( x)dx : , E x כלומר הנוסחה מדוייקת לפולינומים ממעלה קטנה או (2n 2)! a שווה . 2n 1 ) f ( xהיא פולינום ממעלה , 6לכן כדי ששיטה תהי מדוייקת צריך להתקיים , n 2 2n 2 6 כלומר החל מ. n 3 - ניקח , n 3לכן יש למצא - x0 , x1 , x2 , x3שורשים של פולינום הרמיט ממעלה . 4 2 ת.ז:. . עמ' 3 שאלה 5 1 2 w , כאשר w 0הינו פרמטר. בסעיפים א' ו -ב' מקרבים ע"י שיטת יעקובי את הפתרון של המערכת x b 1 8 1 3 א 6( .נק' ).מצאו את כל ערכי הפרמטר wעבורם שיטת יעקובי תתכנס לפתרון המערכת לכל ניחוש התחלה. נמצא את המטריצת האיטרציית יעקובי: w 0 2w . 3 0 0 8 נחשב את ): (B 0 2 0 B D (L U ) 1 0 3 8 1 2w 0 2 3 w 3 w ( B ) 3 w. det( B I ) det 3 4 4 4 8 נדרוש ש ( B) 1 -וביחד עם הנתון כי w 0נקבל 4 .0 w 3 ב 7( .נק' ).הוכיחו כי עבור w 1 6ו w 1 4 -יש התכנסות לפתרון מערכת לכל ניחוש התחלה .מבין הערכים w 1 6 ו w 1 4 -איזה ערך יוביל להתכנוסת מהירה יותר? נמקו. , w 1 4 4 3 , w 1 6 4 3לכן יש התכנסות לכל ערך התחלתי. מתקיים )(0 e k BJ )(0 e BJ k )(0 BJ k e השגיאה תשאף לאפס מהר ויותר 0 1 3 = 3 8 B J עבור w 1 6נקבל 3 8 0 0 1 2 BJ =1 2 BJ עבור w 1 4נקבל 3 8 0 מכאן עבור w 1 6ההתכנוסת מהירה יותר. BJ ) (k , eלכן ככול שנורמת המטירצה BJקטנה יותר 4 , ( F ( xi ) yi ) 2 שממזער את הביטויF ( x) a bx cx 2 ומטה מהצורה4 ) מצאו פולינום ממעלה.' נק8( .ג i 0 : ( נתונות כדלהלןxi , yi ) באשר הנקודות xi 2 1 yi 15 5 ונקבל את המערכת הבאה0 x 0 0 2 1 2 1 1 1 1 , 1 x 0 , 2 x 1 1 1 2 2 1 2 1 5 4 15 1 5 0 , f 2 בהתאם לדרישות נגדיר 1 1 4 5 : a, b, c למציאת המקדמים (0 , 0 ) (0 , 1 ) (0 , 2 ) a ( f , ) (1 , 0 ) (1 , 1 ) (1 , 2 ) b ( f , ) ( , ) ( , ) ( , ) c ( f , ) 2 1 2 2 2 0 46 5 0 10 a 28 a 35 46 12 15 2 12 0 10 0 b 24 b 5 F ( x) 35 5 x 7 x . 10 0 34 c 86 c 15 7 .? נמקו4 ) האם הנקודות מהטבלה מסעיף ג' נדגמו מפולינום אשר מעלתו קטנה שווה. נק2( .ד אז מיחידות הקר"פ נקבל שיוויון בין הקירוב4 כי אם הדגימות היו מפולינום שמעלתו קטנה שווה,לא F (2) F (1) 46 . F3 f3 2 אבלf לבין הוקטורF F (0) 35 F (1) F (2) 5 'עמ . :.ז.ת שאלה 3בשאלה זו נעסוק בקירוב הפתרון של המשוואה x3 a 0עבור . a 0 w א 5( .נק' ).נתונה האיטרציה , n 0,1,... xn 2 xn 1 xn (1 w) aכאשר w 0פרמטר ממשי .הוכיחו שאם האיטרציה הנתונה מתכנסת אז היא מתכנסת לשורש של המשוואה . x 3 a 0, a 0 היות ו האיטרצייה מתכנסת נקבל כאשר n כי aw 2 x x(1 w) x 3 wx aw 3 x a כלומר האיטרצייה מתכנסת לפתרון המשוואה הנתונה. ב 7( .נק' ).נניח שהניחוש ההתחלתי מספיק קרוב לשורש של המשוואה הנתונה ,עבור אילו ערכים של הפרמטר wצפויה התכנסות לשורש של המשוואה . x 3 a 0, a 0 נגזור את פונקצית האיטרצייה ונקבל aw , x2 2aw g '( x) (1 w) 3 . x g ( x) x(1 w) נדרוש ( | g '( ) | 1כאשר הוא השורש של המשוואה הנתונה כלומר ) 3 aונקבל : ||1 3w | 1 2aw 3 | g '( ) || (1 w) 2 0 w . 3 ג 5( .נק' ).נניח שהניחוש ההתחלתי מספיק קרוב לשורש של המשוואה הנתונה ,עבור אילו ערכים של הפרמטר wסדר ההתכנסות הוא הגבוה ביותר. נוכל להבטיח סדר התכנסות לפחות 4אם נדרוש ש : g '( ) 0 - 1 3 6aw g '( ) 1 3w 0 w 2 0 3 a 6w w 1 3 6w 4 g ( ) 0 g ( ) Ba Ca 2 ד 8( .נק' ).מצאו מקדמים A, B, Cכך שהאיטרציה המוגדרת באופן הבא, n 0,1,... : xn 2 xn5 xn 1 Axn תהיה בעלת סדר התכנסות מקסימלי. Ba Ca פונקצית האיטרצייה היא x 2 x5 g ( x) Ax נדרוש כי g ( ) g '( ) 0 g ''( ) 0 5 5 1 מפתירת שלושת המשוואות נקבל . A , B , c 9 9 9 ת.ז:. . עמ' 7 x '(t ) f t , x לפי שיטת אוילר קדמי. שאלה 4בסעיפים א' ו ב' נקרב את הפתרון לבעיית התחלה x t0 x0 נסמן - xk , tk t0 k h :פתרון לפי שיטת אוילר. א 6( .נק' ).תהי fפונקציה בעלת נגזרות חלקיות רציפות בכל הישר הממשי ,הראו כי מתקיים ) x(tk . xk k kh t F t0 נדרש להוכיח כי 0 , xk x(t F ) כלומר צריך להראות ששגיאה שואפת לאפס. k חסם השגיאה לפי משפט אוילר: M t k t0 L f ek xk x(tk ) h e 1 , L, x M 2L x Y tk t0 L , C אם C אז 0 : xk x(tk ) hC כאשר t kקבוע. e נסמן 1 h 0 2L נותר להראות כי , L, M למעשה מספיק להראות שהפונקציות f x , xרציפות בקטע ] . [t0 , t F מהתנאי על fנובע כי fרציפה ב , [t0 , t F ] -כמו כןx f t ff x x f : כלומר xרציפה ב [t0 , t F ] -ולכן גם xרציפה ב[t0 , t F ] - x '(t ) xt ב 6( .נק' ).נתונה בעיית ההתחלה , מקרבים את הערך ) x(3בשיטת אויילר קדמי ,מהו גודל הצעד h x 1 3 אשר יבטיח שגיאה קטנה מ? 103 - בתחום המבוקש קיים ויחיד פתרון למד"ר ,כמו כן קיים פתרון זהותית אפס ולכן כל פתרון אחר לא מתאפס .עבור תנאי התחלה נתון fנשארת שלילית בתחום ולכן ) x(tזו פונקציה מונוטונית יורדת ,כלומר . max{x(t)} 3נבדוק האם 1t 3 אפשר למצוא חסמים על הנגזרות : x, f x f x t f x 3 L x ft ff x x xt 2 x 3 27 30 M אכן קיימים חסמים ולכן יש התכנסות: M tk t0 L ek h e 1 5h e2 1 2L רוצים למצוא hכך שהשגיא לא תעלה על : 2.13 103 103 5h e 2 1 10 3 h 5 e 2 1 ג 8( .נק' ).פתחו סכימה נומרית עם שגיאה לוקאלית מסדר גודל ) O (h3לקירוב הפתרון של בעיית ההתחלה x '(t ) x 2 . x 0 1 נדרש רק לפתח סכימה ,ללא הגבלה על סוג ולא נדרשת הוכחת התכנסות .לכן נקח סכימה כלשהי שמקיימת זאת: h ) f ( x(tn )) f ( x(tn1 )) O(h3 2 f ( x(t ))dt tn h x(tn 1 ) x(tn ) tn h f ( xn ) f ( xn1 ) 2 נציב את הנתון: h xn1 xn xn2 xn21 2 למעשה בכל צעד מקבלים משוואה ריבועית עבור xn 1 xn : xn 1 h 2 1 xn 1 xn 1 Cn 0 , Cn hxn2 2 xn 2 2 1 1 xn 1 1 12 hCn 1 1 h hxn2 2 xn h h קל לראות שהפתרון של מד"ר לא מתאפס ויורד מונוטונית ,כלומר 0 x(t ) 1עבור 0 t לכן נבחר את הפתרון החיובי ,כלומר הסכימה המבוקשת: 1 1 1 2 xn 1 1 1 h 2 xn hxn2 xn xn2 h h h2 h הערה :ניתן לפתח גם ע"י שיטת טיילור ד 2( .נק' ).הוכיחו את הזהות הבאהf ( h) f (h) h f ( h) f (h) O(h3 ) : h ) f ( x)dx h f (h) f (h) O(h 3 f ( h) f ( h) h כאשר בצד ימין מופיעה קירוב אינטגרל לפי כלל הטרפז. ת.ז:. . עמ' 9 שאלה 2תהי ) f ( xפונקציה בעלת ארבע נגזרות רציפות .בנוסף נתונים ערכי ) f ( xבנקודות , 2h, h, ahכאשר a, hקבועים חיוביים. א 7( .נק') חשבו את פולינום האינטרפולציה ל f ( x) -אשר עושה שימוש בערכי ) f ( xבנקודות . 2h, h, ah ולכן ב 6( .נק') מצאו קירוב ל f '(0) -מסדר דיוק אלגברי מקסימלי ,אשר עושה שימוש בערכי ) f ( xבנקודות . 2h, h, ah נחפש קירוב מהצורה אשר מדוייק לבסיס פולינומים ממעלה מירבית .נעבוד עם הבסיס לכן נדרוש ונשים לב כי הקירוב המתקבל מקיים כאשר הוא פולינום האינטרפולציה מסעיף א. ג 6( .נק ).מצאו aעבורו סדר השגיאה בקירוב מסעיף ב' הוא מקסימלי. מכוון ש ו- מקורב ע"י מתקיים שהשגיאה בקירוב היא באופן כללי סדר הקירוב הוא ,4אלא אם כן נבחר מקסימלי. ,עבורו סדר הקירוב הוא .3בחירה זו תוביל לסדר קירוב ד 6( .נק ).יהי ) pn ( xפולינום אינטרפולציה לפונקציה ) f ( xבנקודות . x0 ,..., xnתהי xנקודה שונה מ x0 ,..., xn -הוכיחו כי ) . En ( x ) f ( x ) pn ( x ) f [ x0 ,..., xn , x ]( x x0 ) ... ( x xn ההוכחה מופיעה בסיכומים ובספרים. ת.ז:. . עמ' 11 הפקולטה להנדסה ע"ש פליישמן ENGINEERING FACULTY בחינה בקורס" :אנליזה נומרית" דר' א .מוחוב ,מר' י .דביר מר' ר.לוי ,מר' ס .פונריוב סמסטר ב' ,מועד א' 42..6.12 ת .ז_______________ . מס .מחברת__________ משך הבחינה 3 :שעות. יש לענות על ארבע שאלות .משקל כל שאלה .52% יש לכתוב את התשובות והנימוקים על גבי טופס הבחינה .המחברת משמשת בתור טיוטה. חומר עזר מותר :מחשבון כיס ,דפי הנוסחאות המצורפים לטופס הבחינה. לשימוש הבודק: שאלה 1 שאלה 4 שאלה 3 שאלה 2 שאלה 5 ציון בחינה עמ' 1 שאלה 1 א 6 ( .נק' ).תהי ) f ( xפונקציה אשר גזירה ברציפות 2פעמים בקטע ] . [h, hהאם קיים פולינום ) p( xיחיד ממעלה קטנה שווה 3אשר מקיים: p ( h) f ( h), p '( h) f '( h), p (h) f (h), p '(h) f '(h). אם כן הוכיחו אחרת תנו דוגמה נגדית. פתרון: קיום אפשר לראות לפי הבניה הסטנדרטית של פולינום הרמיט. ו המקיימים את תנאי האינטרפולציה. נניח שיש שני פולינומים עד מעלה 3 נשים לב שהפולינום s=p-qמקיים את התנאים ז"א ש ל -יש ארבעה שורשים (כולל ריבויים) .מכוון שלכל פולינום עד מעלה 3יש לכל היותר שלושה שורשים ,או . שהוא פולינום האפס ,מתקיים ש חייב להיות פולינום האפס ,ו ב 5 ( .נק' ).תהי ) f ( xפונקציה אשר גזירה ברציפות 4פעמים בקטע ] . [h, hהאם קיים פולינום ) q( xיחיד ממעלה קטנה שווה 4אשר מקיים ) p(h) f (h), p(h) f (hנמקו את תשובתכם. פתרון: לא .לדוגמה ,שני הפולינומים (השונים זה מזה) ו- מקיימים את תנאי האינטרפולציה ,ולכן הפתרון לא יחיד. ג 8 ( .נק' ).תהי ) f ( xפונקציה אשר גזירה שלוש פעמים ברציפות .עבור h 0קטן כרצוננו וקבוע ממשי , k 1 בנו קירוב מהצורה ) f '(0) Af (h) Bf (khכך שהקירוב יהיה מדוייק לפולינומים ממעלה מקסימלית. (הקבועים A, Bתלויים ב h -ו) k - פתרון: מכוון שיש שני פרמטרים חופשיים נדרוש שהנוסחה מדוייקת עבור ו- ,ניתן לדרוש דיוק עבור פולינומים עד מעלה אחד. ונקבל את התוצאה עבור x 2לא מדוייק. ד 6( .נק' ).עבור הקירוב שמצאתם בסעיף ב' מצאו k 1עבורו סדר הקירוב הוא מקסימלי. פתרון: מכוון שהנוסחה מסעיף 3מדוייקת לכל פולינום ממעלה ,1היא גם מדוייקת עבור פולינום האינטרפולציה .לכן המזדהה עם בנקודות הדגימה של היא שגיאת האינטרפולציה .קיבלנו ש השגיאה בנוסחת הם הקבועים שחושבו בסעיף הקודם ו כאשר הגזירה היא הנגזרת של שגיאת האינטרפולציה באפס ,ולכן נחקור אותה ונמצא עבודו השגיאה מסדר מקסימלי. ולכן ו- עלמנת להגיע לסדר קירוב מירבי ניפטר מהאיבר מהסדר הראשון ע"י בחירת ת.ז:. . . עמ' 3 שאלה 5 f a f b f ' a f ' b 2 b a א 6( .נק' ).נתון כלל הטרפז המתוקן b a 2 12 b , f x dx אשר מדוייק לפולינומים a ממעלה קטנה שווה .3מה הסדר השגיאה בכלל הטרפז המתוקן? פתרון: את כלל הטרפז המתוקן ניתן לפתח ע"י חישוב האינטגרל של פולינום אינטרפולציה בצורת הרמיט ל f ( x) -בנקודות a, a, b, bמעל הקטע ] . [a, bולכן השגיאה בכלל היא b f [a, a, b, b, c] ( x a ) 2 ( x b) 2 dx a b ( x a )2 ( x b )2 0 E f [a, a, b, b, x]( x a) ( x b) dx 2 2 a ) ( ( x a) 2 ( x b) 2 dx 4! a b )(4 f ) E C O (h5 כאשר h b aולכן סדר השגיאה בכלל הוא .5 f a f b n1 f x dx Tn h ב 7( .נק' ).עבור כלל הטרפז המורכב נסמן f xi 2 i 1 b a נסח והוכח את כלל הטרפז המתוקן המורכב. פתרון: נחלק את הקטע ] [a, bל n -קטעים באורך h 0כך ש . a x0 x1 x2 ... xn b -לכן n 1 f xi f xi 1 f ' xi f ' xi 1 2 xi 1 xi xi 1 xi 2 12 i 0 n 1 f x dx i 0 n 1 xi 1 f x dx i 0 xi h2 h2 f '(a) f '( x1 ) f '( x1 ) f '( x2 ) .... f '(b) Tn f '(a) f '(b) 12 12 b a Tn ג 8( .נק' ) .תהי ) f ( xגזירה ברציפות 4פעמים בקטע ] . [a, bנניח כי ערכי הפונקציה נתונים עם שגיאות מוחלטות שלא גדולות מ 0 -הוכיחו כי החסם על השגיאה בכלל הטרפז המורכב חסומה כאשר . n פתרון: ערכי הפונקציה נתונים עם שגיאות מוחלטות שלא גדולות מ , 0 -לכן 1 1 f x dx h f ( x0 ) 0 f ( x1 ) 1 .... f ( xn 1 ) n 1 f ( xn ) n 2 2 מכאן השגיאה: 1 f ( xn ) n 2 ) n 1 b a 1 f x dx h 2 f ( x ) f ( x ) .... f ( x b n 1 1 0 1 0 a n 1 )(b a) h 2 (2 1 1 f ( ) h 0 i n 12 2 i 1 2 )(b a)h 2 (2 1 1 f ( ) h 0 1 .... n 1 n 12 2 2 )(b a)h 2 (2 )(b a)h 2 (2 f ( ) hn f ( ) (b a) 12 12 bounded bounded ד 2( .ק ) .מקרבים את האינטגרל dx x2 f x e בשיטת גאוס כך שלקירוב יש את הצורה k ) f x e x dx Ai f ( xi i 0 2 .מצאו kכך שהקירוב יהיה מסדר דיוק אלגברי ( .7נמקו) פתרון: לפי כללי אינטגרציית גאוס אם נמצא ארבע שורשים של פולינומי הרמיט הם יבטיחו שכלל גאוס יהיה בכעל סדר דיוק אלגברי 7לכן הקירוב הוא מהצורה 3 ) f x e x dx Ai f ( xi i 0 לכן . k 3 ת.ז:. . 2 . עמ' 5 שאלה 3 בסעיפים א' ו ב' נעסוק בקירוב של הפונקציה f ( x) e xבקטע ]. [1,1 2 א 6( .נק' ).יהי ) q( x) A0 p0 ( x) A1 p1 ( x) A2 p2 ( xפולינום ממעלה קטנה שווה 4כך שהגודל ) e x q( xהוא 2 2 מינימלי .מצאו פולינומים ) p0 ( x), p1 ( x), p2 ( xכך שמערכת המשוואות למציאת הקבועים A0 , A1 , A2תהיה אלכסונית(.נמקו) פתרון: מערכת המשוואות למציאת המקדמים במקרה זה היא: p , e x2 p0 , p2 A0 0 2 p1 , p1 A1 p1 , e x p2 , p2 A2 p , e x2 1 p0 , p1 p1 , p1 p2 , p1 p0 , p0 1 , p1 , p0 כאשר המכפלה הפנימית מוגדרת . h, g hgdx 1 p , p 2 0 1 הפולינומים אשר אורתוגונליים ביחס למכפלה הפנימית h, g hgdxהם פולינומי לג'נדר: p0 ( x) 1, 1 p1 ( x) x, 1 p2 ( x) (3x 2 1). 2 פולינומים אלו ילכסנו את המערכת למציאת הקבועים . A0 , A1 , A2 ב 5( .נק' ).יהי h( x) C0 C1 x C2 x 2פולינום ממעלה קטנה שווה , 4כך שהגודל ) e x h( xהוא מינימלי. 2 2 חשבו את 2 ) h( x) q( xכאשר ) q( xהוא הפולינום מסעיף א'. פתרון: מיחידות הקר"פ נובע כי ) h( x) q( xולכן . h( x) q( x) 2 0 ג 7( .נק' ).נגדיר 2 M 1 2 . cond ( M , 2) Mנניח כי Aמטריצה המקיימת A At Iהאם קיימת מטריצה Bכך ש ) . cond ( A, 2) cond ( A B, 2אם כן תנו דוגמה למטריצות A, Bכאלה .אחרת הוכיחו שהדבר לא יתכן. פתרון: לכל מטריצה הפיכה Mולכל נורמה מתקיים cond (M ) : 1 M M 1 , 1 I M Mכלומר ) . 1 cond (M במקרה הנתון המטריצה Aמקיימת ( A A ) ( A ( A ) ) (I ) (I ) 1 1 1 t 1 t I I 2 cond ( A, 2) A 2 A ולכן לא קיימת מטריצה Bכך ש. 1 cond ( A, 2) cond ( A B, 2) - ד 7 ( .נק' ).הוכיחו את הטענה הבאה: תהי Annמטריצה ריבועית .אז שיטת יעקובי לקירוב הפתרון של המערכת A x bמתכנסת לפתרון המערכת אם המטריצה Aהיא בעלת התכונה אלכסון דומיננטי בשורות. פתרון: למטריצה Aיש אלכסון דומיננטי אם לכל iמתקיים aij aii מתקיים : )(0 e k BJ )(0 e BJ k )(0 לכן ,תנאי מספיק להתכנסות השיטה הוא 1 BJ k e ) (k n j 1, j i . e . BJנחשב את . BJ n aij 1 j 1, j i aii max ת.ז:. 1i n aij n aii j 1, j i max 1i n . 1 ) D (L U , BJכלומר aij aii n לכל . i j 1, j i עמ' 7 שאלה 4בשאלה זו נקרב פתרון למד"ר בעזרת סכימה סתומה חד-צעדית. d y ( x) f y dxבנו סכימה לקירוב הפתרון ,כאשר הקירוב לאינטגרל בקטע א 7( .נק' ).עבור בעיית התחלה מהצורה: y x0 y0 xn , xn 1 עושה שימוש בערך הפונקציה בנקודה . xn 1מהו סדר השגיאה הלוקאלית? פתרון: הסכימה היחידה העונה על הדרישות היא אוילר אחורי .נראה את הבניה במפורש: 1 ) f ( y ( x))dx y ( xn 1 ) y ( xn ) hf ( y ( xn 1 )) h 2 f '( y ( )) y '( 2 xn1 xn d y ( x)dx dx xn1 xn שגיאה :נסמן )) , g ( x) f ( y( xאז h2 h2 ) f '( y ( )) y '( 2 2 xn1 )g xn 1 , x ( x xn 1 )dx g (c) ( x xn 1 )dx g (c xn1 xn xn כאשר xn 1 xn hונסמן ) yn y ( xnונקבל סכימה: ) yn 1 yn hf ( yn 1 השגיאה הלוקלית זאת שגיאה שנוצרת בצעד בודד ,כלומר זאת שגיאת קירוב האינטגרל ) . O (h 2 d y ( x) y בסעיפים הבאים נתייחס לבעיית התחלה הבאה: dx y 0 1 כאשר מקרבים את הפתרון של בעיית ההתחלה לפי הסכימה מסעיף א'. ב 7( .נק' ).עבור אלה ערכים של הפרמטר הממשי הסכימה מתכנסת לפתרון האנליטי של הבעיה הנתונה? פתרון: dy d y e x ln | y | x dx פתרון אנליטיy( x) y : y dx בכדי לנתח התכנסות של הסכימה נבנה ונפתור משוואת ההפרשים המתאימה עם תנאי התחלה . y0 1 נציב yn 1 yn hyn 1 : f ( y) y 1 h yn1 yn קיבלנו משוואת הפרשים לינארית הומוגנית ,קל לראות כי הפתרון הכללי: n y0 1 h n . yn 1 h בכדי לנתח התכנסות נבחר * xומתקיים ( x* nhכלומר ככל שצעד קטן כך נדרש יותר צעדים בכדי להגיעה ל) x* - ונראה האם הסדרה y nמתכנסת ל: e x* - * x hn hn x * 1 1 h h * e x n כלומר הסכימה מתכנסת תמיד לפתרון האנליטי. 1 1 h h n yn 1 h ג 7( .נק' ).עבור אלה ערכים של הפרמטר הממשי הסכימה יציבה? ( כלומר נדרש לנתח השפעת של הוספת הפרעה לתנאי התחלה ,יש להניח כי ) 0 h פתרון: נוסיף הפרעה לתנאי התחלה: y0 y (0) 1 , כלומר יש תנאי התחלה מקורי ותנאי התחלה חדש ולכן יש שתי פתרונות בהתאם .לפי סעיף הקודם: n n yn y0 1 h 1 h yn y0 1 h (1 ) 1 h נסתכל על ההפרש בין שתי הפתרונות בכדי לנתח השפעת תנאי התחלה: n n n 1 h n yn yn 1 h כלומר הסימה יציבה אם ורק אם . 1 1 hיותר פשוט לנתח מתי לא יציבה: 1 1 h 1 2 h 0 0 h 2 0 h 0 , h 0לכן הסכימה יציבה כאשר h 2 2 h כלומר עבור - 0יציבה תמיד ועבור חיובי יש תנאי על גודל הצעד 2 .h ד 4( .נק' ).הוכיחו את הזהות הבאהf (h) f (h) h f ( h) f ( h) O(h5 ) : 1 , 3 פתרון: h ) f ( x)dx h f ( h) f ( h) O(h 5 f (h) f (h) h כאשר בצד ימין מופיעה קירוב אינטגרל לפי גאוס,רק צריך להתאים קטעt hx , 1,1 [h, h] : h 1 בקטע 1,1הופכחם לשורשים השורשים 3 3 בקטע ]. [h, h הערה :ניתן לפתור גם ע"י פיתוח טיילור סביב אפס ,אך זה הרבה יותר ארוך. ת.ז:. . עמ' 9 שאלה 2בשאלה זו נעסוק בקירוב שורשים למשוואה , f ( x) 0תוך שימוש בשיטה איטרטיבית מהצורה ) - , n 0,1, 2,... , xn 1 g ( xn ) xn f ( xnקבוע ממשי .ידוע כי ל f ( x) -קיים שורש ] , [a, bכמו-כן ידוע כי 0 f ( x) לכל ]. x [a, b א 3( .נק ) .הוכיחו כי הינו שורש יחיד של המשוואה f ( x) 0בקטע ][a, b פתרון: נניח בשלילה כי קיימים שני שורשים , , כלומר . , f ( ) f ( ) 0 ) f ( xגזירה ב [a, b] -לכן לפי משפט רול קיימת נקודה ] c [a, bכך ש , f (c) 0 -זה סותר את הנתון כי ). 0 f ( x ( f ( x) 0פונקציה מונוטונית עולה ,לכן יש רק שורש יחיד ) ב 8( .נק ) .הוכיחו כי עבור , 0,1 M כאשר ) M max f ( xהשיטה האיטרטיבית ) xn 1 g ( xn ) xn f ( xn ] x[ a ,b מתכנסת לשורש לכל ]. x0 [a, b הדרכה :השתמשו בפיתוח טיילור עבור fסביב . f ( x) f ( ) f (c)( x ) : פתרון: נבדוק g ( ) f ( ) 0 : g ( ) 0 נבדוק , 0 2 M 0 M 2 0 f ( x) 2 g ( x) 1 f ( x) 1 : g ( x) 1לכן עבור 1 0,1 M בהחלט מתקיים inf f ( x) ( , g ( x) 1 M ) g ( x) 1 1 נבדוק שg :[a, b] [a, b] - ) g ( x) x f ( x) x f ( ) f (c)( x ) x f (c)( x ) f (c) (0,1] 0,1 M , M max f ( xנסמן ) , f (cלכן ] x[ a ,b ) , 0,1 , g ( x) x ( x ) x ( xכלומר ) g ( xהונו ממוצע , 1 x כלומר נמצאת בין xלבין , כאשר ], , x [a, b לכן מתקיים ]. g :[a, b] [a, b ג 8( .נק ).עבור f ( x) e x 2 , M max f ( x ) , 0,1 M ו [a, b] [0,1] -מהו סדר ההתכנסות. ] x[ a ,b פתרון: , f (1) e 2 0 , f (0) 1 0לכן ). (0,1 נבדוק ערך ) . (0,1) , g ( ) 1 f ( ) 1 e : g(מכאן g ( ) 0כאשר . 1 eאך עבור M max f ( x) max e x e , 0,1 M 0,1 eמתקיים . 0 1 e 1 eלכן סדר התכנסות הוא .1 ] x[ a ,b ]x[0,1 ד 6( .נק ).עבור 2 7 , [a, b] [0,1] , f ( x) e x 2בידקו כי השיטה ) xn 1 g ( xn ) xn f ( xnמתכנסת לשורש של f ( x) 0לכל ] . x0 [0,1כמה איטרציות דרושות כך שהשגיאה היחסית תהיה קטנה מ. 106 - פתרון: , 0,1 M 0,1 e , M max f ( x) eלכן מספיק לבדוק כי ( 2 7 0,1 eאפשר כמוב לבדוק גם ] x[ a ,b כל התנאים עבור 2 7כמו בסעיף א') , 2 7 1 eלכן קיים כך ש g '( x) K 1 -והשיטה מתכנסת לכל ]. x0 [0,1 0.369 0.285 2 2 נחשב f ( x) 1 e x : K 1 7 7 2e0 5 . g ( x) 1 7 7 e שגיאה יחסית . n :מתקיים , en K n e0כאשר - g ( x) 1 מונוטונית יורד ,לכן עבור ]x[0,1 n . en xn נבחר ( x0 0התכנסות לכל ] ,) x0 [0,1אז 5 ,מכאן n ... . e0 x0 לכן K 106 7 n ת.ז:. . en עמ' 11 הפקולטה להנדסה ע"ש פליישמ ENGINEERING FACULTY בחינה בקורס" :אנליזה נומרית" דר' א .מוחוב ,מר' י .דביר מר' ב.סובר ,מר' ס .פונריוב סמסטר א' ,מועד ב' 05.02.14 ת .ז_______________ . מס .מחברת__________ • מש הבחינה 3 :שעות. • יש לענות על ארבע שאלות .משקל כל שאלה .25% • יש לכתוב את התשובות והנימוקי על גבי טופס הבחינה .המחברת משמשת בתור טיוטה. • חומר עזר מותר :מחשבו #כיס ,דפי הנוסחאות המצורפי לטופס הבחינה. לשימוש הבודק בלבד!!!: שאלה 1 שאלה 2 שאלה 3 שאלה 4 שאלה 5 ציו בחינה עמ' 1 h שאלה 1בשאלה זו נעסוק בקירוב האינטגרל , ∫ f ( x)w( x)dxכאשר ) w ( xפונקציית משקל שמקיימת w ( x ) ≥ 0 0 וגזירה אינסו %פעמי.$ h א 8) .נק (.נתו הקירוב ) )( f (0)w(0) + f (h)w(h 2 h ≈ . ∫ f ( x) w( x)dxמהו סדר הדיוק של הקירוב? הא $הקירוב מדוייק 0 לפולינומי $ממעלה כלשהיא? פתרו :#נסמ ) , g ( x) = f ( x) w( xאז הנוסחה h h ) )∫ f ( x)w( x)dx = 2 ( f (0)w(0) + f (h)w(h הופכת ל- 0 h h h3 ) ) , ∫ g ( x)dx = ( g (0) + g (hאז איבר השגיאה הינו 2 12 0 ) E ( x) = g ′′ ( c )g ′′ ( x ) = ( f ( x) w( x) )′′ = ( f ′( x) w( x) + f ( x) w′( x) )′ = f ′′( x) w( x) + 2 f ′( x) w′( x) + f ( x) w′′( x h3 h3 ) )= ( f ′′(c) w(c) + 2 f ′(c) w′(c) + f (c) w′′(c לכ 12 12 מכא סדר דיוק הוא 3והנוסחה אינה מדוייקת אפילו לפונקציות קבועות. ) E ( x) = g ′′ ( c h ב 7) .נק ( .מצאו קירוב מהצורה )∫ f ( x)w( x)dx ≈ Af (0) + Bf (h כ +שהקירוב יהיה בעל סדר דיוק אלגברי לפחות .1 0 )הדרכה :המקדמי A, B $התלויי $ב( w( x) - פתרו:# h ∫ w( x)dx = A + B עבור : f ( x ) = 1 0 h עבור : f ( x ) = x ∫ xw( x)dx = Bh 0 h h 1 ⇐ B = ∫ xw( x)dx h0 1 x לכ xw( x)dx = ∫ w( x) 1 − dx ∫ h0 h 0 h x כלומר , A = ∫ w( x) 1 − dx h 0 h h h 0 0 A = ∫ w( x)dx − B = ∫ w( x)dx − h 1 B = ∫ xw( x)dx h0 h ∫ f ( x)w( x)dx ≈ A f ( x ), ג 7) .נק' (.מצאו קירוב מהצורה ]x0 ∈ [0, h 0 0 כ +שהכלל יהיה מדוייק עבור פולינומי $ממעלה 0 מקסימלית , mמהו ? m פתרו :#נעזרת באנטגרצית גאוס: b h )(2 n + 2 n 2 f ) (c Ψ ( x ) w ( x ) dx , f ( x ) w ( x ) dx = ) Ai f ( xi ) = A0 f ( x0 ( ) ∑ n ∫0 (2n + 2)! ∫a i =0 הוא 2n + 1 = ) ) , E ( I ( fסד דיוק אלגברי של הנוסחה h עבור : f ( x ) = 1 ∫ w( x)dx = A 0 0 h עבור : f ( x ) = x ∫ xw( x)dx = A x 0 0 0 h 1 ⇐ xw( x)dx A ∫0 = x0 h h קבלנו , ∫ w( x)dx = A0 0 ∫ xw( x)dx 0 h = x0 ∫ w( x)dx 0 ד 3) .נק' (.מצאו את איבר השגיאה לקירוב אשר מצאת $בסעי %ג' b )f (2) (c 2 = )) E ( I ( f נוסחת השגיאה תהי ( x − x0 ) w( x)dx ∫ (2! a הנוסחה מדוייקת לפולינומיי $עד מעלה 2n + 1 = 1 ת.ז:. . עמ' 3 שאלה 2בשאלה זו נקרב פתרו למד"ר בעזרת סכימה מפורשת דו-צעדית. )y ' = f ( y בנו סכימה לקירוב הפתרו, א 8) .נק' (.עבור בעיית התחלה מהצורה: y ( x0 ) = y0 כאשר הקירוב לאינטגרל בקטע ] [ xn , xn +1עושה שימוש בערכי הפונקציה בנקודות . xn , xn −1מהו סדר השגיאה הלוקאלית? פתרו:# נרשו $את הבעיה בצורה: xn+1 f ( y ( x))dx ∫ xn xn+1 = y '( x)dx ∫ = ) y ( xn +1 ) − y ( xn xn נשתמש בסימו f ( y ( xn )) = f ( yn ) = f n :ונקרב את האינטגרל בעזרת פ"א בנק' : xn , xn −1 f n − f n −1 ( x − xn −1 ) + f [ xn −1 , xn , x]( x − xn −1 )( x − xn ) dx h h 5 − f [ x , x , x ] x ( x h ) dx = ( 3 f n − f n−1 ) + f ''(ξ )h3 − 1 n n ∫h 2 12 ≥0 כלומר סדר שגיאה לוקלי ) O (h3וסכימה לקירוב הפתרו: h ) ) yn+1 = yn + ( 3 f ( yn ) − f ( yn −1 2 2h x dx + + n −1 xn+1 ∫ f xn 2h xn+1 = f ( y ( x))dx ∫ xn f −f [ x = x − xn−1 ] = ∫ f n−1 + n n−1 h h y ' = −2 y הראו כי הפתרו המקורב לפי הסכימה מסעי %א' שוא %לפתרו ב 12) .נק' (.נתונה בעיית התחלה הבאה: y ( 0) = 1 האנליטי של הבעיה הנתונה ,כאשר המרחק בי שתי נקודות רשת עוקבות שוא %לאפס כלומר . h → 0 x x2 ) הדרכה− + O( x3 ), e x = 1 + x + x 2 + O( x3 ) : 2 8 ( 1+ x = 1+ פתרו:# נציב בסכימה שקיבלנו ונקבל משוואת הפרשי $הבאה: yn+1 − yn + h ( 3 yn − yn −1 ) = 0 זאת משוואה לינארית הומוגנית ,נגדיר β n = ynולאחר צימצו: n $ β 2 − (1 − 3h) β − h = 0 2 β ± = (1 − 3h) ± (1 − 3h) 2 + 4h = (1 − 3h) ± (1 − 6h + 9h 2 ) + 4h 9 4 = 1 − 3h ± 1 − h + h 2 − h 2 + O (h3 ) 2 8 ) β + = 1 − 2h + 2h 2 + O(h3 ), β − = − h − 2h2 + O(h3 1/2 ) ( 2 β ± = (1 − 3h) ± 1 − 2h + 9h 2 ואז הפתרו הכללי: n 3 2 n 3 2 = )) yn = c0 (1 − 2h + 2h + O(h )) + c1 (− h − 2h + O(h ) = c0 (e −2 h + O(h3 )) n + c1 (−1) n O(h n ) = c0 e −2 hn (1 + O(h3 )) + c1 (−1) n O(h n ) = c0e −2 x (1 + O(h3 )) + c1 (−1) n O(h n כמו כ מתקייc0 β +0 + c1β −0 = y0 = 1 :$ y ' = 2λ y ע"י הסכימה שמצאת $בסעי %א'. ג 5) .ק ( .מקרבי $את הפתרו של בעיית ההתחלה: y ( 0) = 1 ת.ז:. . עמ' 5 עבור אלה ערכי $של הפרמטר הממשי λהסכימה מתכנסת לפתרו האנליטי? פתרו:# למעשה אפשר להשתמש בתוצאות סעי %ב': yn+1 − yn − λ h ( 3 yn − yn −1 ) = 0 yn+1 − yn + h ( 3 yn − yn −1 ) = 0 , h = −λ h h ולכ כל התוצאות הקודמות תקיפות: מקוד $דרשנו רק ש h → 0 -וכא מתקיי→ 0 :$ h →0 → e2λ x yn = c0e 2λ x (1 + O(h3 )) + c1 (λ ) n O(h n ) h→0 שאלה 3 א 8) .נק' (.יהי ) pn −1 ( xפולינו $אינטרפולציה ל f ( x) -בנקודות x0 , x1 ,..., xn −1ויהי ) pn ( xפולינו $אינטרפולציה ל- ) f ( xבנקודות . x0 , x1 ,..., xn −1 , xnנניח כי הנקודות x0 , x1 ,..., xn −1 , xnשונות זו מזו ,הוכיחו כי ) pn ( x) = pn −1 ( x) + f [ x0 ,..., xn ]( x − x0 ) ⋅ ( x − x1 ) ⋅ .... ⋅ ( x − xn −1 פתרו:# נגדיר ) . qn ( x) = pn ( x) − pn−1 ( xהיות ו pn ( x) ∈ Π n , pn −1 ( x) ∈ Π n −1נובע כי . qn ( x) ∈ Π n מהדרישות עבור פולינו $האינטרפולציה נובע כי לכל i = 0,1,..., n − 1מתקיי:$ . qn ( xi ) = pn ( xi ) − pn −1 ( xi ) = f ( xi ) − f ( xi ) = 0 מכא נובע כי ל qn ( x) -יש שורשי $ב x0 , x1 ,..., xn −1 -ומהמשפט היסודי של האלגברה נובע כי ל qn ( x) -את הצורה , qn ( x) = C ( x − x0 ) ⋅ ( x − x1 ) ⋅ ... ⋅ ( x − xn −1 ), C ∈ const לכ ) . pn ( x) = pn −1 ( x) + C ( x − x0 ) ⋅ ( x − x1 ) ⋅ ... ⋅ ( x − xn −1 מכא ע"י השוואת מקדמי x nבשיוויו האחרו נקבל כי ] C = f [ x0 , x1 ,..., xn ב 5) .נק' (.בנו פולינו $אינטרפולציה ל f ( x) -אשר עושה שימוש בערכי( h > 0 ) f (0), f '(0), f (h) $ פתרו:# נבנה פולינו $אינטרפולציה לפי הרמיט ל f ( x) -בנק' : 0, 0, h f (h) − f (0) − hf '(0) 2 x h2 ת.ז:. . . p( x) = f [0] + f [0, 0]x + f [0, 0, h]x 2 = f (0) + f '(0) x + עמ' 7 ג 5) .נק' (.הוכיחו כי הפולינו $שבנית $בסעי %ב' הוא יחיד. פתרו:# נניח כי קיי $פולינו $נוס q ( x) %אשר מקיי $את תנאי האינטרפולציה מסעי %ב' ונראה כי ). q ( x) ≡ p ( x נגדיר ) , w( x) = p ( x) − q ( xמכא ש w( x) ∈ Π 2 -ומתקיי. w(0) = w(h) = 0 $ מכא לפי משפט רול קיימת נק' ) c ∈ (0, hכ +ש. w '(c) = 0 - מכא ומכ +ש w '(0) = 0, w '( x) ∈ Π1 -נובע כי w '( x) ≡ 0ולכ , w( x) ≡ constאבל w(0) = 0לכ נסיק כי . w( x) ≡ 0 ד 7) .נק' (.מצאו נקודה ) α ∈ (0, hשעבורה הקירוב ) f '(αאשר עושה שימוש בערכי f (0), f '(0), f (h) $הוא בעל שגיאה מסדר דיוק מקסימלי .מהו סדר דיוק השגיאה? )נמקו את תשובתכ($ פתרו:# תחילה נמצא ביטוי לשגיאת האינטרפולציה בקטע f (3) (c) 2 = ). E ( x )x ( x − h), c ∈ (0, h !3 נגזור את הביטוי לשגיאה באינטרפולציה ונקבל: )(4 )(3 f (d ) 2 ) f (c = ). E '( x x ( x − h) + )(3 x 2 − 2hx), c, d ∈ (0, h !4 !3 מכא ,על מנת לקבל סדר דיוק ) O(h3שהוא סדר הדיוק המקסימלי שאפשר לקבל עבור קירוב זה ,נאפס איברי $מסדר 2 דיוק ) . O(h 2לכ נחפש נק' ) α ∈ (0, hכ +ש 3 x 2 − 2hx = 0 -ונקבל . α = h 3 שאלה 4 א 7) .נק' (.עבור i = 1,..., 4נתונות המדידות הבאות: 4 3 2 1 xi 12 6 4 2 ) f ( xi f ( x1 ) F ( x1 ) f ( x2 ) F ( x2 ) =, F נגדיר F ( x3 ) f ( x3 ) f ( x4 ) F ( x4 ) b . f = מצאו קירוב מהצורה F ( x) = a +כ +ש || F − f ||2 -תהיה מינימלית. x פתרו:# 1 1 1 2 1 נחפש קירוב מהצורה . F = a ⋅ φ0 + b ⋅ φ1 , φ0 = , φ1 = 1 מכא למציאת המקדמי a, b $נפתור את מהמערכת: 1 3 1 1 4 25 (φ0 , φ0 ) (φ0 , φ1 ) a ( f , φ0 ) 4 12 a 24 = ⇒ a = 148/13, b = -672/65. ⋅ = ⇒ ⋅ (φ1 , φ0 ) (φ1 , φ1 ) b ( f , φ0 ) 25 205 b 9 12 144 f ( x1 ) G ( x1 ) f ( x2 ) G ( x2 ) =, G ב 8) .נק' (.נגדיר G ( x3 ) f ( x3 ) f ( x4 ) G ( x4 ) 3 2 . f = עבור קירוב ריבועי $מינימלי $מהצורה G ( x) = Ax + Bx + Cx + D של fחשבו את ) || G − f ||2נמקו את תשובתכ.($ פתרו:# , || G − f ||2 = 0היות ומקרבי $וקטור ב R 4 -מתת מרחב וקטורי של R 4בעל מימד ,4לכ לפי יחידות הקר"פ נקבל שהשגיאה היא אפס. ת.ז:. . עמ' 9 1.01 0.99 −2 , הניחו כי הוקטור bמגיע ע $שגיאה δ bכ +ש. || δ b ||1 ≤ ε - ב 8) .נק' (.נתונה המערכת x = b, b = 0.99 1.01 1 δx מצאו תנאי על εכ +שהשגיאה היחסית בפתרו לא תעלה על עשרה אחוזי.$ x 1 פתרו :#נחשב את מס' המצב של המערכת ונשתמש בחס $על השגיאה היחסית: ≤ 0.1 ε 3 = 100 δb 1 b1 δx )≤ cond ( A 1 x ⇒ ε ≤ 0.003 ג 10) .נק' (.כמה איטרציות של שיטת יעקובי דרושות לקירוב הפתרו למערכת המשוואות Ax = bכ +שהשגיאה היחסית בפתרו בנורמה ∞ תהיה קטנה מ , 10−8 -כאשר −1 4 2 0 3 5 1 0 −3 5 3 5 1 A= 0 1 0 פתרו:# 4 נחשב את הנורמה המטריציאלית המושרת מנורמת אי סו %של מטריצת איטרציית יעקובי ונקבל = 5 0 0 מכא נשתמש בתנאי התחלה x0 = 0 ונחפש את nהשל $הראשו שמקיי:$ 0 0 n 4 = < 10−8 5 ונקבל . n = 83 n ∞ δx = B ∞ x ∞ . B שאלה 5בשאלה זו נעסוק בקירוב שורשי $למשוואה . f ( x ) = 0 א 8) .נק ( .תהי ] g :[a, b] → [a, bרציפה בקטע ] , [a, bאז ל g ( x) -יש נקודת שבת בקטע ]. [a, b הוכיחו כי א $קיי K < 1 $כ +ש g '( x) ≤ K < 1 -בקטע ] [a, bאז האיטרציה xn +1 = g ( xn ) , n = 0,1, 2,...מתכנסת לנקודת השבת לכל ]. x0 ∈ [a, b פתרו:# נתבונ כעת בסדרה. xn +1 = g ( xn ) , n = 0,1, 2,... : נחסיר משני האגפי α = g (α ) $ונקבל xn +1 − α = g ( xn ) − g (α ) ≤ K xn − α < xn − α א xn ∈ [a, b] $אז ג . xn +1 ∈ [a, b] $כמו כ: 2 xn − α ≤ K xn −1 − α ≤ K xn − 2 − α ≤ ... ≤ K n x0 − α . xn , xn − α כלומר → α כיוו ש K < 1 -נקבל כי → 0 ∞→ n ∞→ n בסעיפי $הבאי $מקרבי $שורש של המשוואה הבאה , f ( x ) = 0.5 x 3 + x 2 + x − 1.5 = 0בעזרת שיטה איטרטיבית. ב 3) .נק ( .הראו כי למשוואה הנתונה קיי $שורש בקטע ]. [ 0.7, 0.8 פתרו:# ) f ( xרציפה ומחליפה סימ בקטע, f ( 0.7 ) = −0.1385 , f ( 0.8 ) = 0.196 : לכ לפי משפט ער +הביניי $יש שורש. ת.ז:. . עמ' 11 ג 6) .נק ( .נתונה האיטרציה . xk +1 = g ( xk ) = −0.5 xk 3 − xk 2 + 1.5 הסבירו הא $האיטרציה מתאימה לקירוב השורש של המשוואה הנתונה? א $כ הא $היא מתכנסת לכל ]? x0 ∈ [ 0.7, 0.8 פתרו:# צרי +להראות כי , f (α ) = 0 ⇔ g (α ) = αאכ מתקיי. 0.5α 3 + α 2 + α − 1.5 = 0 ⇔ −0.5α 3 − α 2 + 1.5 = α $ , g ′( x) = −1.5 x 2 − 2 x = − x (1.5 x + 2 ) ⇐ g ( x) = −0.5 x 3 − x 2 + 1.5 x מכא g ′( x) = − x (1.5 x + 2 ) < 0בקטע ] , [ 0.7, 0.8כלומר ) g ( xיורדת ,כמו-כ . g ′(0.7) = −2.135 לכ לכל ] x0 ∈ [ 0.7, 0.8מתקיי g ′( x) > 1 $לכ השיטה לא תתכנס. ד 8) .נק ( .נתונה האיטרציה הבאה , xk +1 = g ω ( xk ) :כאשר ) , 0 < ω < 1 , g ω ( x) = (1 − ω ) x + ω g ( xכאשר ) g ( xהיא פונקצית האיטרציה מסעי %ג' .הא $האיטרציה מתאימה לקירוב הפתרו של המשוואה הנתונה? א $לא הסבירו למה ,א $כ מצאו תחו $עבור 0 < ω < 1כ +שהשיטה תתכנס לכל ]x0 ∈ [ 0.7, 0.8 פתרו:# צרי +להראות כי , f (α ) = 0 ⇔ gω (α ) = αאכ מתקיי$ g ω (α ) = α ⇐ g ω (α ) = (1 − ω ) α + ωα ⇐ g ω (α ) = (1 − ω ) α + ω ) g (α α נמצא 0 < ω < 1כ +שg ω : I → I - , x1 = 0, x2 = − 4 3 ⇐ g ′( x) = −1.5 x 2 − 2 x = − x (1.5 x + 2 ) = 0נקודות קיצו x1 , x2מחו 0לקטע ] , [ 0.7, 0.8לכ gωמונטונית בקטע ,ערכי קיצו רק בקצצות .נדרוש שיתקיי , 0.7 ≤ gω (0.8) ≤ 0.8 , 0.7 ≤ g ω (0.7) ≤ 0.8 $נקבל 0 < ω < 0.51 נמצא 0 < ω < 1כ +ש: g ω′ ( x) < 1 - )−2 < −ω + ω g ′( x) < 0 ⇐ − 1 < (1 − ω ) + ω g ′( x) < 1 ⇐ gω′ ( x) < 1 ⇐ g ω′ ( x) = (1 − ω ) + ω g ′( x כיוו ש 0 < ω < 1 -ו g ′( x) < 0 -בקטע ] [ 0.7, 0.8נקבל כי −ω + ω g ′( x) < 0מתקיי $תמיד. 2 ⇐ − 2 < −ω 1 − מ −2 < −ω + ω g ′( x) -נסיק כי g ′( x) )1 − g ′( x <0 <ω 2 2 2 = = כיוו שלא ידוע השורש נדרוש ≈ 0.562 ) x∈[ 0.7,0.8] 1 − g ′( x ) ′(0.8) 1 − ( −2.56 1 − g ω < min <0 סופית :לפי חיתו +התחומי $נקבל . 0 < ω < 0.51 הפקולטה להנדסה ע"ש פליישמ ENGINEERING FACULTY בחינה בקורס" :אנליזה נומרית" דר' א .מוחוב ,מר' י .דביר מר' ב.סובר ,מר' ס .פונריוב סמסטר א' ,מועד א' 05.02.14 ת .ז_______________ . מס .מחברת__________ • מש הבחינה 3 :שעות. • יש לענות על ארבע שאלות .משקל כל שאלה .25% • יש לכתוב את התשובות והנימוקי על גבי טופס הבחינה .המחברת משמשת בתור טיוטה. • חומר עזר מותר :מחשבו #כיס ,דפי הנוסחאות המצורפי לטופס הבחינה. לשימוש הבודק: שאלה 1 שאלה 2 שאלה 3 שאלה 4 שאלה 5 ציו בחינה עמ' 1 h שאלה 1 ∫ f ( x)dx בסעיפי" נעסוק בקירוב של האינטגרל 0 n א 3) .נק ( .מקרבי" את האינטגרל הנתו ע"י ) f ( x )dx ≈ ∑ Ai f ( xi i=0 h ∫ כ& שהקירוב יהיה מדויק לפולינומי" ממעלה 0 n כלשהיא ,הוכיחו כי . ∑ Ai = h i =0 פתרו:# על פי הנתו הקירוב לאינטגרל מדויק לפולינומי" ממעלה כלשהיא ובפרט מדויק עבור , f ( x ) = 1לכ n h i =0 0 ∫ 1⋅dx = ∑ Ai ⋅1. n ⇒ h = ∑ Ai . i =0 h ב 9) .נק ( .מצאו קירוב מהצורה )x1 ∈ (0, h ∫ f ( x)dx ≈ Af (h) + Bf ( x ), 1 כ& שהקירוב יהיה מדויק לפולינומי" ממעלה 0 מקסימלית. פתרו:# למציאת קירוב אשר יבטיח סדר דיוק מקסימלי ,נמצא תחילה ) x1 ∈ (0, hעל ידי הדרישה כי h ∫ ( x − h)( x − x )dx = 0 1 0 h . 3 = ⇒ x1 למציאת הקבועי" A, Bנדרוש מהכלל שיהיה מדויק עבורf ( x ) = 1, x : h ∫ 1⋅dx = A + B ⇒ A + B = h, 0 h h h h2 xdx = Ah + B ⇒ Ah + B = . ∫0 3 3 2 h 3h , B= . 4 4 3h h f ( ). 4 3 h =⇒ A h ∫ f ( x)dx ≈ 4 f (h) + ⇒ 0 הערה :את הקבועי" A, Bוהנקודה ) x1 ∈ (0, hהיה נית לחשב ג" ע"י דרישת דיוק עבור f ( x ) = 1, x, x 2 )אותו ניקוד( ג 7) .נק' (.מצאו ביטוי לשגיאת הקירוב אשר בסעי +ב' וקבעו את סדר השגיאה ואת סדר הדיוק האלגברי) .נית להציג את הביטוי לשגיאה בעזרת אינטגרל מסוי"( פתרו:# h 3 נמצא ביטוי לשגיאת הקירוב ע"י אינטגרל על השגיאה באינטרפולציה של ) f ( xבנקודות : , h h h h h h h h E = ∫ f [ , h, x]( x − )( x − h)dx = f [ , , h, x]( x − ) 2 ( x − h)dx = ∫ h 3 3 3 3 3 0 0 h ∫ ( x − 3 )( x − h ) dx =0 0 h h h h h h h ) f (3) (η h = f [ , , h, c] ∫ ( x − ) 2 ( x − h)dx = ∫ ( x − )2 ( x − h)dx ( x − ) 2 ( x − h)dx ∫ 3 3 3 3 3! 0 3 0 0 (t ) |} = M . )(3 max{| f E ≤ CMh 4 = h ( x − )2 ( x − h ) ≤0 3 ⇒ ] t∈[0, h מכא נובע כי סדר השגיאה הוא ) O(h 4כלומר ,4וסדר הדיוק האלגברי הוא .2 הערה :א" בסעי +הקוד" חיושב היה ע"י דרישת דיוק עבור , f ( x ) = 1, x, x 2בסעי +זה חייבי" לבדוק כי h h ∫ ( x − h)( x − 3 )dx = 0 0 ד 6) .נק . (.ידוע כי ערכי הפונקציה הנדגמי" לצור& הקירוב מסעי +ב' ,נדגמי" ע" רעש אשר גודלו בער& מוחלט לא עולה על . ε > 0מצאו ביטוי לשגיאה וקבעו את סדר השגיאה) .נית להציג את הביטוי לשגיאה בעזרת אינטגרל מסוי"(. נמצא ביטוי לשגיאה כאשר ערכי הפונקציה נדגמי" ע" רעש: h h ) f (3) (η h = ( x − ) 2 ( x − h )dx f ( x )dx = A( f ( h ) + ε 1 ) + B ( f ( ) + ε 2 ) + ∫ 3 3! 0 3 h ∫ 0 h h 3h h ) f (3) (η h = ( x − ) 2 ( x − h)dx = ( f ( h) + ε 1 ) + ( f ( ) + ε 2 ) + ∫ 4 4 3 3! 0 3 h h 3h h h 3h ) f (3) (η h = f ( h) + f ( ) + ε1 + ε 2 + ( x − )2 ( x − h)dx ∫ 4 4 3 4 4 3! 0 3 noise − error The approximation error without noise h h 3h ) f (3) (η h ⇒ E = ε1 + ε 2 + ( x − )2 ( x − h)dx ≤ ε h + CMh 4 ∫ 4 4 3! 0 3 noise − error error without noise מכא נובע כי סדר השגיאה הוא ). O(h ת.ז:. . עמ' 3 שאלה 2 ) y ' = f ( x, y , בנו סכימה לקירוב הפתרו אשר מבוססת על כלל א 7) .נק (.עבור בעיית התחלה כללית מהצורה y ( x0 ) = y0 הטרפז. נפרוש רשת של נקודות . xn = nh , n = 0,1,... : נבצע אינטגרציה בקטע ] [ xn , xn +1של שני האגפי": xn+1 ) ⇐ y ' = f ( x, y ∫ f ( x, y )dx xn+1 = y′dx xn ∫ xn xn+1 ⇐ ∫ f ( x, y )dx = ) y ( xn +1 ) − y ( xn xn h נשתמש בכלל הטרפז ונקרב :ו f ( xn +1 , y ( xn +1 ) ) + f ( xn , y ( xn ) ) . 2 h נקבל ( f ( xn+1 , yn+1 ) + f ( xn , yn ) ) : 2 xn+1 ≈ ∫ f ( x, y )dx ,נקרב y ( xn ) ≈ yn xn yn +1 = yn +ע" תנאי התחלה . y ( x0 ) = y0 x′ = 2 x . הראו כי הפתרו המקורב לפי הסכימה מסעי +א' שוא +לפתרו ב 8) .נק (.נתונה בעית התחלה הבאה x ( 0 ) = 1 האנליטי של הבעיה הנתונה כאשר המרחק בי שתי נקודות רשת עוקבות שוא +לאפס ) .( h → 0 y′ = 2 y הפתרו האנליטי: x = e 2t ⇐ y ( 0 ) = 1 נציב f ( x, y ) = 2 yבנוסחת הקירוב: 1+ h yn +1 = ) yn ⇐ yn +1 (1 − h ) − yn (1 + h ) = 0 ⇐ yn +1 = yn + h ( yn +1 + yn 1− h 1+ h n n +1 n ⇐ β = דר& :1נחפס פתרו מהצורה ⇐ β (1 − h ) − β (1 + h ) = 0 : yn = β 1− h 2 n 1+ h 1+ h 1+ h 1+ h 1+ h yn = , ... , y2 = y1 = , y1 = y0 = דר& :2 1− h 1− h 1− h 1− h 1− h עבור xסופי נקבל : x = nh ex = e2 x −x e = }= { x = nh 1 ⋅nh (1 + h ) h = lim ⋅nh (1 − h ) h 1 h →0 n 1+ h lim yn = lim h →0 h →0 1 − h n 1+ h yn = 1− h ג 6) .נק ( .נניח כי תנאי התחלה לבעיה מסעי +ב' נתו ע" רעש , ε 0כלומר , ε 0 = y0 − y 0כאשר y0תנאי ההתחלה המורעש .נסמ y nפתרו ע"י סכימה מסעי +א' ע" תנאי התחלה מורעש ,ונסמ את השגיאה ע"י . ε n = yn − y nהא" השגיאה שואפת לאפס כאשר ∞ → ? nכלומר הא" הסכימה שפתחת" יציבה? מסעי +ב': yn +1 − y n +1 ) = ( 1+ h 1+ h 1+ h , y n +1 = מכא ) yn − y n , yn +1 = לכ y n ( yn 1 − h 1− h 1− h ε n+1 εn ) כלומר ε nמקיימת אותה משוואת ההפרשי" כמו , ynלכ יתנהג כמו אקספוננט ,לכ לא ישא +לאפס( n 1+ h 1+ h 1+ h , לכ הסכימה אינה יציבה , ε n +1 = לכ > 1 , h > 0 ε n → 0 ε 0 ⇐ ε n +1 = εn 1− h 1− h 1− h y ' = λ y ע"י הסכימה מסעי +א' .עבור אלה ערכי" של ד 4) .נק ( .מקרבי" את הפתרו של בעיית ההתחלה y ( 0 ) = 1 הפרמטר הממשי λהסכימה יציבה? . עבור משוואה הנצונה: ) ( yn +1 + yn λh 2 n ⇐ yn +1 = yn + 1 + λh 1 + λh , yn +1 = λ2h ynלכ נקבל , ε n +1 = λ2h ε 0 1− 2 1− 2 לכ עבור λ < 0הסכימה יציבה. ת.ז:. . עמ' 5 .' ג' ו ד,' א' אינו קשור לסעיפי" ב+ סעי3 שאלה נתו כי+ גזירה פעמיי" ברציפות ובנוסf ( x ) ( נתו כי. נק7) .א . f ' ( x ) = f ''( x) " בה מתקייx קרבו את הנקודה. f ( 0.4 ) = 1.38 , f ( 0.2 ) = 1.2 , f ( −0.1) = 0.9 f [ xi ] xi f [ xi −1 , xi ] f [ xi − 2 , xi −1 , xi ] −0.1 0.9 0.2 1.2 1 0.4 1.38 0.9 0.9 − 1 = −0.2 0.5 P2 ( x) = 0.9 + 1 ⋅ ( x + 0.1) − 0.2( x + 0.1)( x − 0.2) = 1 + x − 0.2( x 2 − 0.1x − 0.02) = −0.2 x 2 + 1.02 x + 1.004 . P2′ ( x) ≈ P2′′ ( x) מכא, f ′′ ( x ) ≈ P2′′ ( x) . וf ′ ( x ) ≈ P2′ ( x) נקבל כיf ( x ) ≈ P2 ( x) .כיוו ש x ≈ 3.55 לכ, x = −1.42 = 3.55 ⇐ − 0.4 x + 1.02 = − 0.4 −0.4 P2′′ ( x ) P ′ (x) 2 גזירהf ( x ) נתו כי+ ובנוסi = ±1, ±2,... , xi = x0 + ih , x0 : בנקודותf ( x ) ( נתוני" ערכי פונקציה. נק8) .ב . f ′′ ( x0 ) ≈ A−2 f ( x−2 ) + A−1 f ( x−1 ) + A2 f ( x2 ) : מהצורהf ′′ ( x0 ) . מצאו קירוב ל.ארבע פעמי" ברציפות : ונשווה מקדמי" בנוסחהf ( x−2 ) , f ( x−1 ) , f ( x2 ) נרשו" טור טיילור עבור h2 h3 ′ ′′ f x = f x − hf x + f x − f ′′′ ( c−1 ) ( 0) ( 0) ( 0) ( −1 ) 2 6 A−2 + A−1 + A2 = 0 4h 2 8h 3 A−2 ( −2h ) + A−1 ( − h ) + A2 ( 2h ) = 0 ⇐ f ( x−2 ) = f ( x0 ) − 2hf ′ ( x0 ) + f ′′ ( x0 ) − f ′′′ ( c−2 ) 2 6 4h 2 h2 4h 2 4h 2 8h 3 A−2 + A + A =1 −1 2 ′ ′′ 2 = + + + f x f x hf x f x f ′′′ ( c2 ) ( 0) ( 0) ( 0) ( 2) 2 2 2 2 6 נציב בשלישית, A−1 = − A−2 = 3 A2 ⇐ − A−2 + 3 A2 = 0 A−1 = −4 A2 ⇐ 3 A2 + A−1 + A2 = 0 נקבל1.2 ממשוואות h2 4h 2 h2 4h 2 2 1 1 A A A A A A , = , = ⇐ 12 = 1 ⇐ 3 − 4 + =1 −2 2 2 2 2 2 3h 2 2h 2 6h 2 2 2 2 2 . f ′′ ( x0 ) ≈ 1 2 1 f ( x−2 ) − 2 f ( x−1 ) + 2 f ( x2 ) לכ 2 2h 3h 6h ג 6) .נק (.נתו כי לכל nטבעי מתקיי" . | f ( n ) ( x ) |≤ Mמצאו ביטוי לשגיאה בקירוב מסעי +ב' מהצורה ) , CMh ( m כלומר מצאו . C , m נשווה מקדמי" של ) : f ′′′ ( x0 1 8h 3 2 h 3 1 8h 3 h ′′′ 0 = 0 ⋅ f ( x0 ) ≠ 2 − ) f ′′′ ( x0 ) = f ′′′ ( x0 − 2 − + 2 3 2h 6 3h 6 6h 6 נסמ שגיאת הקירוב קירוב ע"י ) . E 2 ( xנתו כי f ( n ) ( x ) ≤ Mלכל , n ∈ Nלכ 1 8h3 2 h3 1 8h3 2h h 2h ′′′ ′′′ − − f c f c f ′′′ ( c2 ) ≤ M + + = Mh ( ) ( ) −2 −1 2 2 2 2h 6 3h 6 6h 6 3 9 9 = )E2 ( x C = 1, m = 1 ד 4) .נק ( .מצאו חס" לשגיאת הקירוב מסעי +ב' ,א" ידוע שערכי הפונקציה ) f ( xiנתוני" ע" שגיאה מוחלטת . ε i < ε 2 1 1 ≤ f ′′ ( x0 ) − 2 ( f ( x−2 ) + ε −2 ) − 2 ( f ( x−1 ) + ε −1 ) + 2 ( f ( x2 ) + ε 2 ) 3h 6h 2h 2 1 2 1 1 1 = f ′′ ( x0 ) − 2 f ( x−2 ) − 2 f ( x−1 ) + 2 f ( x2 ) + 2 ε −2 − 2 ε −1 + 2 ε 2 3h 6h 3h 6h 2h 2h 2 1 8 4 1 ≤ hM + 2 + 2 + ε = hM + 2 ε = hM + 2 ε 6h 3h 2h 3h 6 ת.ז:. . עמ' 7 שאלה 4 4 1 1 . רשמו את איטרציות גאוס זיידל למערכת הנתונה והוכיחו כי היא א 4) .נק ( .נתונה המערכת x = 1 2 1 מתכנסת לכל ניחוש התחלה. 4 1 4 0 0 1 A= = + 1 2 1 2 0 0 −1 −1 4 0 0 1 4 0 1 = − x x+ 1 2 0 0 1 2 1 1 0 −2 ( n ) 1 2 x ( n +1) = x + 80 1 8 3 1 0 −2 1 2 B= ,c= 80 1 8 3 3 1 =∞B1= , B 8 4 מתקיי" תנאי מספיק להתכסות :נורמת Bקטנה מאחד .כמו.כ למטיצת המרעכת יש אלכסו דומיננטי. )( n +1 4 + w 0 ( n +1) w −1 ( n ) 1 מתכנסת ,הוכיחו כי היא מתכנסת = x ב 4) .נק ( .נניח שהאיטרציה הבאה x + 2 1 0 0 1 לפתרו המערכת הנתונה מסעי +א'. . x ( n +1) → x* , x ( n ) נתו כי יש התכסות של האיטרציות ,כלומר→ x* : ∞→ n ∞→ n 4 + w 0 * w −1 * 1 . x = ולכ בגבול מתקיי" x + : 2 1 0 0 1 4 1 * 1 , כלומר * xמקיי" את המ"ע מסעי +א'. נעביר אגפי" ונקבל משוואה x = : 1 2 1 למעשה יש לנו נק' שבת שמתאימה לפתרו של המשוואה מסעי +א'. 4 + w 0 ( n +1) w −1 ( n ) 1 . מצאו כל ערכי הפרמטר wעבור" = x ג 8) .נק ( .עבור האיטרציה x + , 0 ≤ w 2 1 0 0 1 האיטרציה מתכנסת לפתרו של המערכת מסעי +א' לכל ניחוש התחלה. ראשית נייצג בצורה. x (n +1) = Bx (n) + c : −1 4 + w 0 w −1 1 2 w −2 .B = = וננתח את מטריצת האיטרציות : 2 0 0 8 + 2w −w 1 1 בכדי למצוא את כל הערכי" של הפרמטר עבור" יש התכנסות ,צרי& לבדוק קיו" תנאי הכרחי. 1 + 2w רדיוס ספקטרלי מוגדר להיות הע"ע הגדול בער מוחלט: 8 + 2w = ). ρ (B 1 + 2w התנאי להתכנסות הוא ) 1 > ρ (Bונתו כי 0 ≤ wולכ מקבלי"< 1 : 8 + 2w = )ρ (B עבור 0 ≤ wיש התכנסות איטרציות ולפי סעי +ב' נובעה כי ההתכנסות היא לפתרו של מ"ע מקורית א'. ג 9) .נק ( .מקרבי" את הפתרו של המערכת מסעי +א' בעזרת האיטרציות מסעי +ג' .מצאו 1 ≤ w ≤ 2אופטימלי שעבורו השגיאה היחסית בפתרו 1 x(n) − x x1 תקט בצורה היעילה ביותר ,נמקו את תשובתכי". כפי שראינו בכיתה ,יעילות ההתכנסות נקבעת ע"י נורמת x (0) − x :B n . x(n ) − x ≤ B מכיו ש xוג" x (0) − xקבועות ,אי השפעה על מהירות ההתכנסות מבחירת תנאי התחלה. }max{3 w, 3 הנורמה לפי התנאי" הנתוני": 8 + 2w =B1 3w מכיו ש 1 < wנקבל max{3 w, 3} = 3wולכ צרי& למזער את: 8 + 2w נמצא את הפתרו ע"י ניתוח הפונקציה למציאת מינימו" בקטע ].[2,3 . 6 1 ,כלומר פונקציה מונוטונית עולה ולכ הפתרו הוא w = 2והנורמה הנגזרת: 2 2 )( 4 + w ת.ז:. . =. B1 עמ' 9 שאלה 5בשאלה זו נעסוק בקירוב שורשי" למשוואה . f ( x ) = 0 א 6) .נק ( .הוכיחו כי שיטת ניוטו לקירוב שורשי" ,מתכנסת מסדר 2א" מתקיי" . f (α ) = 0 , f '(α ) ≠ 0, f ''(α ) ≠ 0 )f ( x שיטת ניוטו מוגדרת על ידי )f '( x g ( x) = x −ולכ מקבלי" את הקונסיסטנטיות באופ מיידי לפי התנאי". ) ( f '(α )) 2 − f (α ) f ''(α ) f (α ) f ''(α = נגזור את פונקציית האיטרציה ונקבל= 0 : ( f '(α )) 2 ( f '(α ))2 וכעת הנגזרת השנייה היא: =0 =0 2 2 ≠0 ) f ′(α ) f ''(α ) + f (α ) f ′′′(α ) f '(α ) − 2 f '(α ) f (α ) f ''(α ′ ) f (α ) f ''(α ) f ''(α = = ≠0 2 4 ( f '(α )) )) ( f '(α f ) '(α g '(α ) = 1 − . g ′′(α ) = ≠0 קבלנו g ′′(α ) ≠ 0סדר ההתכנסות הינו . 2 ב 6) .נק ( .הראו כי כאשר f '(α ) = 0 , f ''(α ) ≠ 0סדר ההתכנסות הוא .1 ראשית צרי& לוודא קונסיסטנטיות: =α ) lim f '( x x →α ) lim f ''( x x →α =α − ) lim f ( x x →α ) lim f '( x lim g ( x ) = α − x →α x →α לכ נית להגדיר הטלאה שתתנהג בדיוק כמו הפונקציה שלנו רק שתהיה רציפה בנקודה ותקיי" את הדרוש. נבדוק נגזרת ראשונה: 2 ) lim( f '( x )) − lim f ( x ) f ''( x ) lim f ( x ) f ''( x x →α x →α lim g '( x ) = 1 − x →α 1 1 = − + = x →α lim( f '( x )) 2 lim( f '( x )) 2 x →α x →α )lim f ( x) f ''( x) L lim f '( x) f ''( x) + f ( x) f '''( x) 1 lim f ( x) f '''( x x →α = x→α = + x →α 2 ))lim( f '( x )lim 2 f '( x) f ''( x )2 lim 2 f '( x) f ''( x x →α x →α x →α f ( x) f '''( x) L 1 lim f '( x) f '''( x) + f ( x) f ''''( x) 1 1 lim + x →α = + x →α = 2 lim 2 f '( x) f ''( x) 2 lim 2(( f ''( x)) 2 + f '( x) f '''( x)) 2 x →α והנגזרת קטנה מאחד אבל שונה מאפס ולכ סדר ההתכנסות הוא בדיוק .1 x →α = = ג 8) .נק ( .מקרבי" את השורש של המשוואה x 3 − 3 x 2 + 4 = 0בקטע ] [1,3באמצעות שיטת ניוטו .לאיזה שורש תתכנס השיטה ומהו סדר ההתכנסות לשורש זה? 2 x3 − 3x 2 − 4 2 x3 − 3x 2 − 4 פונקצית האיטרציה לפי ניוטו יוצאת: = )g ( x = 3x 2 − 6 x )3 x( x − 2 2 x3 − 3x 2 − 4 כעת נית לבצע חלוקת פולינומי"= 2 x 2 + x + 2 : x−2 נמצא את השורש דר& מציאת נקודת השבת של הפונקציה g ( x ) = xכלומר: 2x2 + x + 2 3x ולכ מגיעי" למשוואה הריבועית x 2 − x − 2 = 0ולה יש שורשי" ב x1 = −1 , x2 = 2 ולכ השורש המתאי" הוא . x2 = 2 כיוו שהשורש הוא מריבוי 2במשוואה המקורית ) f ( xאיטרציית ניוטו מתכנסת מסדר 1ולא מסדר .2 =x 2 x2 + x + 2 נית לבדוק זאת ג" דר& בדיקת הנגזרת הראשונה של הפונקציה 3x 2 2 1 2 2 g '( x) = − 2ולכ = g '(2) = −ואכ יש התכנסות מסדר .1 3 12 2 3 3x = ) g ( xבשורש שיוצאת: ד 5) .נק ( .הציעו תיקו לשיטת ניוטו מסעי +ג' לקירוב השורש ,כ& שסדר הקירוב יגדל באחד. 1 כדי לתק את השיטה נרצה להגדיר g (2) = 2וג" g '(2) = 0ולכ נגדיר )g ( x ) = g ( x ) − ( x − 2 2 ת.ז:. . עמ' 11 ציון90+5 : ציון92 : ציון90 :
© Copyright 2024