‫חדוא ‪3‬־ תרגיל בית ‪1‬‬ ‫‪ .1‬בשאלה זו נדון בקבוצות פתוחות וסגורות‪ .‬הוכח‪/‬הפרך את הטענות הבאות‪:‬‬ ‫)א( איחוד כלשהו של קבוצות פתוחות הוא פתוח‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫נכון‪ :‬תהיינה ‪ {Uα }α∈I‬קבוצה כלשהי של קבוצות פתוחות ויהי ‪ .x ∈ SUα‬בפרט קיים ‪α0‬‬ ‫כך ש־ ‪ x ∈ Uα0‬ומשום שזו קבוצה פתוחה קיים ‪ d > 0‬כך ש־ ‪.B(x, d) ⊂ Uα0 ⊂ Uα‬‬ ‫קבוצות סגורות הוא סגור‪.‬‬ ‫)ב( איחוד ‬ ‫כלשהו של ‪ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫לא נכון‪ Fn = n , 1 − n :‬כולן קבוצות סגורות‪ ,‬אך ‪Fn‬‬ ‫‪S‬‬ ‫= )‪ (0, 1‬אינה קבוצה סגורה‪.‬‬ ‫)ג( איחוד סופי של קבוצות פתוחות הוא פתוח‪.‬‬ ‫כמובן‪ ,‬שכן לפי א כל איחוד הוא פתוח בפרט איחוד סופי‪.‬‬ ‫)ד( איחוד סופי של קבוצות סגורות הוא סגור‪.‬‬ ‫נכון‪ :‬זה נובע מהנכונות של סעיף ז והעובדה שקבוצה סגורה היא כזו שהמשלים שלה פתוח‪.‬‬ ‫)ה( חיתוך כלשהו של קבוצות פתוחות הוא פתוח‪.‬‬ ‫לא נכון‪ :‬ראו כדוגמא את הקבוצות המשלימות של סעיף ב‪.‬‬ ‫)ו( חיתוך כלשהו של קבוצות סגורות הוא סגור‪.‬‬ ‫נכון‪ :‬תהיינה ‪ {Fα }α∈I‬קבוצה של קבוצות סגורות‪ .‬נסמן ‪ .Uα := Fαc‬מההגדרה של קבוצה‬ ‫סגורה ‪ Uα‬הינה קבוצה פתוחה‪ .‬עתה‪,‬‬ ‫[‬ ‫‪c [ c‬‬ ‫\‬ ‫= ‪Fα‬‬ ‫= ) ‪(Fαc‬‬ ‫‪Uα‬‬ ‫ולכן קבוצה סגורה כמשלים של קבוצה פתוחה )לפי סעיף א(‪.‬‬ ‫)ז( חיתוך סופי של קבוצות פתוחות הוא פתוח‪.‬‬ ‫‪ {Un }N‬קבוצה סופית של קבוצות פתוחות ויהי ‪ .x ∈ Un‬משום שהקבוצות‬ ‫נכון‪ :‬תהי ‪n=1‬‬ ‫הן פתוחות לכל ‪ 1 ≤ n ≤ N‬קיים ‪ dn > 0‬כך ש־ ‪ .B(x, dn ) ⊆ Un‬נסמן =‪d :‬‬ ‫ומוגדר היטב‪ .‬לכל ≤ ‪1 ≤ n‬‬ ‫} ‪ ,min {dn ; 1 ≤ n ≤ N‬משום ש ‪ N‬מספר סופי הרי ש־ ‪T d > 0‬‬ ‫‪ N‬מתקיים לפי ההגדרה ש־ ‪ B(x, d) ⊆ B(x, dn ) ⊆ Un‬ולכן ‪ B(x, d) ⊆ Un‬כנדרש‪.‬‬ ‫‪T‬‬ ‫)ח( חיתוך סופי של קבוצות סגורות הוא סגור‪.‬‬ ‫כמובן‪ ,‬שכן לפי ו כל חיתוך הוא סגור בפרט חיתוך סופי‪.‬‬ ‫‪ .2‬נגדיר את הפונקציה ‪ f : (0, ∞) × (0, ∞) → R‬על ידי‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (x, y) = y · sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫בדוק האם הגבולות קיימים‪ ,‬אם כן חשב אותם‪ ,‬אם לא נמק מדוע אינם קיימים‪.‬‬ ‫)א(‬ ‫‪|y| = 0‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‪(x,y)→(0,0‬‬ ‫‪x,y>0‬‬ ‫≤ |)‪|f (x, y‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‪(x,y)→(0,0‬‬ ‫‪x,y>0‬‬ ‫)ב(‬ ‫‪lim+ lim+ f (x, y) = lim+ lim+ 0 = 0‬‬ ‫‪y→0‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y→0‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫)ג( )‪ : lim+ lim+ f (x, y‬הגבול הזה לא קיים‪ ,‬שכן כפי שראינו בקורסי חדוא קודמים הגבול‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪y→0‬‬ ‫הפנימי אינו קיים ולכן הגבול כולו אינו מוגדר היטב‪.‬‬ ‫! נסיק כי כי הגבולות החוזרים אינם שווים‪.‬‬ ‫החוזרים שלעיל קיימים ושווים אך ‪ f‬אינה רציפה?‬ ‫‪) .3‬א( האם יתכן שהגבולות ‬ ‫‪π‬‬ ‫כן‪ ,‬לשם כך מספיק ש־ ‪ .h(0) = h 2‬ניקח את )‪ h(θ) = sin(2 ∗ θ‬אז ‪ h‬אינה קבועה ולכן‬ ‫לפי מה שראינו בכיתה הפונקציה אינה רציפה‪ .‬ואולם מההגדרה‬ ‫‬ ‫ ‪ y‬‬ ‫‪lim lim f (x, y) = lim+ lim+ h arctan‬‬ ‫‪= h(0) = 0‬‬ ‫‪x→0+ y→0+‬‬ ‫‪x→0 y→0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫ ‪ y‬‬ ‫ ‪π‬‬ ‫‪lim+ lim+ f (x, y) = lim+ lim+ h arctan‬‬ ‫‪=h‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪y→0 x→0‬‬ ‫‪y→0 x→0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)ב( נזכור כי פונקציה ראציונלית הינה מנה של שני פולינומים‪ .‬האם יתכן ש ‪ f‬פונקציה ראציונלית‬ ‫והגבולות החוזרים קיימים ושווים‪ ,‬אך ‪ f‬אינה רציפה?‬ ‫כן למשל‬ ‫‪) .f (x, y) = x2x·y‬וודאו לעצמכם את הפרטים(‪.‬‬ ‫‪+y 2‬‬ ‫)ג( ‪...‬‬ ‫‪ .4‬נגדיר את הפונקציה ‪ g : R2 \ {0} → R‬על ידי‬ ‫)‪g(x, y) = f (x2 , y‬‬ ‫כאשר ‪ f‬פונקציה קבועה על קרניים‪.‬‬ ‫)א( הוכיחו שלכל )‪ (a, b) 6= (0, 0‬קיים הגבול )‪ lim g(ta, tb‬וחשבו אותו‪.‬‬ ‫‪t→0‬‬ ‫חישוב יראה כי‪:‬‬ ‫‬ ‫‪ .i‬אם ‪ a = 0‬אז הפונקציה כל הזמן שווה ל־ ‪ h π2‬ובפרט הגבול קיים ושוה לערך זה‪.‬‬ ‫‪ .ii‬אם ‪ b = 0‬אז הפונקציה כל הזמן שווה ל־ )‪ h (0‬ובפרט הגבול קיים ושוה לערך זה‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪ .iii‬אם שניהם שונים מ־‪ ,0‬אז הגבול שווה ל־ ‪.h sign ab · π2‬‬ ‫)ב( האם יתכן שהגבול )‪g(x, y‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‪(x,y)→(0,0‬‬ ‫אינו קיים? תנו דוגמא‪.‬‬ ‫כן‪ .‬למשל נזכר בחדוא ‪ 2‬בדוגמא שבה לכל ‪ θ‬הגבול ‪ lim f (r cos θ, r sin θ) = 0‬ואולם‬ ‫‪r→0‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪ .(f (r, θ) = rr2sin‬תרגום של דוגמא‬ ‫השאיפה לא הייתה יוניפורמית ולכן הגבול לא היה קיים )‬ ‫‪+θ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪) .f (x, y) = x2 +y2 +arctan‬וודאו‬ ‫זו לקורדינטות קרטזיות יתן לנו את הפונקציה הבאה‪:‬‬ ‫) ‪( xy‬‬ ‫לעצמכם את הפרטים(‪.‬‬ ‫‪ .5‬תהי ‪ .K ⊂ Rn‬הראו כי ‪ K‬היא קבוצה קומפקטית אם ורק אם כל פונקציה רציפה ‪f : K → R‬‬ ‫היא חסומה‪.‬‬ ‫אם ‪ K‬קומפקטית‪ ,‬ממשפט כל פונקציה רציפה על קבוצה קומפקטית משיגה את חסימה ובפרט‬ ‫היא חסומה‪.‬‬ ‫אם ‪ K‬אינה קומפקטית‪ ,‬ישנן שתי אפשרויות‪ :‬או שהיא אינה סגורה או שהיא אינה חסומה )או‬ ‫שניהם(‪ .‬אם ‪ K‬אינה סגורה‪ ,‬אז קיימת סדרה ‪ {xn } ⊂ K‬שמתכנסת לאיבר שאינו בקבוצה‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ f (x) = ||x−x‬זו פונקציה רציפה על ‪ K‬אך אינה חסומה‪.‬‬ ‫נסמנו ‪ .x0‬נגדיר את הפונקציה‬ ‫|| ‪0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫אם ‪ K‬אינה חסומה‪ ,‬נגדיר את הפונקציה ||‪ f (x) = ||x‬היא רציפה על כל ‪ R‬ובפרט על ‪ ,K‬אך‬ ‫משום ש־ ‪ K‬אינה חסומה גם הפונקציה אינה חסומה‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .6‬תהי ‪ .f : Rn → Rm‬הוכח‪/‬י או הפרכ‪/‬י‪:‬‬ ‫)א( לכל קבוצה ‪ K‬קומפקטית‪ ,‬אם ‪ f‬רציפה על ‪ K‬אז )‪ f (K‬בהכרח קומפקטית‪.‬‬ ‫נכון‪ :‬נראה שלכל כיסוי פתוח של )‪ f (K‬יש תת כיסוי סופי‪ .‬יהי } ‪ {Uα‬כיסוי פתוח כלשהו ל־‬ ‫‪−1‬‬ ‫פתוחות משום ש־‬ ‫=‪ .Wα :‬הקבוצות ‪ Wα‬הן‬ ‫‪S‬‬ ‫)‪ f (K‬ונגדיר את הכיסוי הבא ל־‪S f (Uα ) :K‬‬ ‫‪ f‬רציפה‪ ,‬ולכן קיימים ‪ α1 , · · · , αn‬כך ש־ ‪ .K ⊂ Wαj‬נותר להראות ש־ ‪,f (K) ⊂ Uαj‬‬ ‫אולם זה פשוט מההגדרה של הקבוצה‪.‬‬ ‫)ב( לכל ‪ B‬קבוצה חסומה‪ ,‬אם ‪ f‬רציפה על ‪ , B‬אז )‪ f (B‬בהכרח חסומה‪.‬‬ ‫לא נכון‪ :‬ניקח את הקטע ]‪ (0, 1‬שהוא קבוצה חסומה ואת הפונקציה הרציפה‬ ‫)ג( לכל ‪ C‬קבוצה סגורה אם ‪ f‬רציפה על ‪ ,C‬אז )‪ f (C‬בהכרח סגורה‪.‬‬ ‫לא נכון‪ :‬ניקח את הקטע )∞ ‪ [1,‬שהוא קבוצה סגורה ואת הפונקציה הרציפה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫= )‪.f (x‬‬ ‫= )‪.f (x‬‬ ‫)ד( כל קבוצה פתוחה ב־ ‪ Rn‬היא תמונה רציפה של קבוצה סגורה‪.‬‬ ‫רמז‪ :‬הקבוצה הסגורה אינה בהכרח קשירה‪.‬‬ ‫נסמן את הקבוצה הפתוחה שלנו ב־ ‪S .A‬לפתרון שני שלבים‪:‬‬ ‫שלב ‪ :1‬אם ‪ A‬קבוצה פתוחה‪ ,‬אז `‪ ,A = K‬כאשר `‪ K‬קבוצה קומפקטית ב־ ‪ Rn‬וכן‬ ‫האיחוד הוא בן מניה )וודאו לעצמכם שאתם מבינים מדוע(‪.‬‬ ‫שלב ‪ :2‬נגדיר את הקבוצה שלנו באופן רקורסיבי‪ .‬שלב ראשון ניקח את ‪ .K1‬שלב שני־ משום‬ ‫ש ‪ K1‬קומפקטית‪ ,‬הרי שהיא חסומה נניח בכדור ברדיוס ‪ ,R1‬נמקם את ‪ K2‬כך שהמרחק‬ ‫בינה לבין כדור סגור סביב הראשית ברדיוס ‪ R1‬גדול שווה ‪ ,1‬נסמן את ההזזה של ‪ K2‬ב־ ‪.t2‬‬ ‫עתה האיחוד של שתי הקבוצות גם הוא קומפקטי לכן חסום בכדור ברדיוס ‪ ,R2‬נמקם את‬ ‫מכדור ברדיוס ‪ .R2‬כך נמשיך ונבנה את הקבוצה ברקורסיה‪ .‬הקבוצה‬ ‫קבוצה ‪ K3‬במרחק ‪U 1‬‬ ‫שלנו תהיהי ‪ C := Kj + tj‬כמובן קבוצה סגורה כי לכל סדרה מתכנסת החל ממקום‬ ‫מסויים כל איבריה יהיו שייכים לאותה קבוצה קומפקטית ‪ Kj‬מהאוסף שממנו התחלנו‪.‬‬ ‫נותר לנו להגדיר את הפונקציה‬ ‫‪f (x) = x − tj , x ∈ Kj + tj‬‬ ‫זו פונקציה רציפה כהזזה של הזהות‪ ,‬ואכן התמונה שלה היא `‪K‬‬ ‫‪S‬‬ ‫= ‪ ,A‬כנדרש‪.‬‬ ‫‪ .7‬הוכח‪/‬י את למת החיתוך של קנטור למימדים גבוהים‪:‬‬ ‫כל סדרה יורדת של קבוצות קומפקטיות‪ ,‬כלומר · · · ⊇ ‪ ,K1 ⊇ K2‬היא בעלת חיתוך לא ריק‪.‬‬ ‫האם המשפט תקף עבור קבוצות סגורות? עבור קבוצות פתוחות? הוכיחו או הביאו דוגמא נגדית‪.‬‬ ‫נסמן לכל ‪ n‬את הקבוצה ‪ ,Un := Rm \ Kn‬אז ‪ Un‬קבוצות פתוחות‪ ,‬ההכלה שאני מקבלים היא‬ ‫הפוכה ‪ .U1 ⊆ U2 ⊆ · · · ...‬אם החיתוך הוא אכן ריק‪ ,‬אז } ‪ {Un‬מהווה כיסוי פתוח לקבוצה‬ ‫‪ ,K1‬ומשום היא קומפקטית יש לנו תת כיסוי סופי‪ .‬תהי ‪ UN‬הקבוצה הכי גדולה בתת הכיסוי‬ ‫ממההגדרה לכל ‪ n > N‬מתקיים‪ ,UN = Un ⇐ Un = K1 \ Kn ⊆ UN ⊆ Un :‬כלומר‬ ‫הסופי‪ ,‬אז ‪T‬‬ ‫‪ Kn = KN‬ומשום שזו קבוצה שאינה ריקה‪ ,‬הרי שלא יתכן שהחיתוך ריק‪.‬‬ ‫שני התנאים )סגירות וחסימות( הם הכרחיים‪.‬‬ ‫)א( חסימות‪ :‬נגדיר את הקבוצות )∞ ‪ Cn := [n,‬הרי שהן סגורות‪ ,‬אך כמובן שהחיתוך שלהן‬ ‫ריק‪ ,‬והלמה אינה נכונה לקבוצות סגורות‪.‬‬ ‫‬ ‫)ב( סגירות‪ :‬נגדיר את הקבוצות ‪ ,Cn := 0, n1‬הן חסומות‪ ,‬אך החיתוך שלהן ריק והלמה אינה‬ ‫נכונה לקבוצות פתוחות‪.‬‬ ‫‪3‬‬