‫אוניברסיטת בן־גוריון בנגב – המחלקה למתמטיקה – סמסטר א׳ תשע״ד‬ ‫חדו״א להנדסת מכונות ‪ – (201–1–9711) 1‬בוחן‬ ‫המרצים‪:‬‬ ‫ד״ר נעה איידלשטין‪ ,‬ד״ר תם מאירוביץ ‪ ,‬ד״ר דניאל מרקייביץ׳‪ ,‬ד״ר רועי קרקובסקי‪,‬‬ ‫ד״ר אהובה שקופ‪.‬‬ ‫תאריך‪ 13 :‬בדצמבר ‪2013‬‬ ‫משך הבחינה‪ 2 :‬שעות‬ ‫חומר עזר‪ :‬דף נוסחאות בגודל ‪ ,A4‬חד־צדדי מודפס או בכתב יד‪ .‬אין להשתמש במחשבון‪.‬‬ ‫מספר הנקודות הכולל במבחן הוא ‪ .20‬יש לענות על כל השאלות‪ .‬עליכם לענות בפירוט על‬ ‫השאלות במקום המוקצה לתשובה‪ .‬יש להסביר בעברית בצורה תמציתית וברורה מה אתם‬ ‫עושים ומדוע‪ .‬יינתן ניקוד חלקי במקרים מתאימים‪.‬‬ ‫אין להשתמש בעט אדום במבחן‪.‬‬ ‫שימו לב‪ :‬דפי הטיוטא ישלחו למגרסה‪.‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .1‬חשבו את הגבולות הבאים‪ .‬נמקו את צעדכם היטב והראו את החישובים בדרך‪.‬‬ ‫)א( )‪ 2‬נק׳( )‪3n2 − 2n + 3‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫∞→‪.n‬‬ ‫‪lim ( 3n2 − 2 −‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫√ ‬ ‫√‬ ‫‬ ‫√‬ ‫‪3n2 − 2n + 3‬‬ ‫‪3n2 − 2 + 3n2 − 2n + 3‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪3n2 − 2 + 3n2 − 2n + 3‬‬ ‫‪2 − n5‬‬ ‫‪2n − 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫√‬ ‫‪q‬‬ ‫√=‬ ‫‪=q‬‬ ‫√ →‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3n − 2 + 3n − 2n + 3‬‬ ‫‪3 − n22 + 3 − n2 + n32‬‬ ‫‪3n2 − 2 −‬‬ ‫√‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫= ‪3n2 − 2 − 3n2 − 2n + 3‬‬ ‫√‬ ‫כאשר במעבר האחרון השתמשנו בכללי חשבון גבולות וברציפות של ‪.f (x) = x‬‬ ‫‪(n2 + 1)100‬‬ ‫)ב( )‪ 2‬נק׳(‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪4n‬‬ ‫‪. lim‬‬ ‫פתרון‪ :‬נשתמש בקריטריון המנה להתאפסות הגבול‪ :‬תהי‬ ‫‪100‬‬ ‫‪n2 + 2n + 3‬‬ ‫‪n2 + 1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪(n + 1)2 + 1‬‬ ‫‪n2 + 1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪(n2 +1)100‬‬ ‫‪4n‬‬ ‫‪((n+1)2 +1)100‬‬ ‫‪4n+1‬‬ ‫‪(n2 +1)100‬‬ ‫‪4n‬‬ ‫= ‪ ,an‬אזי‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ an+1 an+1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫= ‪ an = an‬‬ ‫לכן‬ ‫‪1‬‬ ‫‪< 1,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪!100‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪n2 + 2n + 3‬‬ ‫‪n2 + 1‬‬ ‫‬ ‫‪an+1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪n→∞ an‬‬ ‫‪n→∞ 4‬‬ ‫כאשר במעברים האחרונים השתמשנו בכללי חשבון גבולות‪ .‬מכאן על פי קריטריון‬ ‫‪(n2 + 1)100‬‬ ‫המנה שהגבול ‪ limn→∞ an‬מתאפס‪ ,‬כלומר ‪= 0‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪4n‬‬ ‫‪. lim‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫)ג( )‪ 2‬נק׳( ‪. lim (1 + x) x − 2‬‬ ‫‪x→0+‬‬ ‫פתרון‪ :‬על פי כלל המכפלה של גבולות מתקיים‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪· lim (1 + x)− 2‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x→0+‬‬ ‫)‪= lim (1 + x‬‬ ‫‪x→0+‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪− 52‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪lim (1 + x‬‬ ‫‪x→0+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫לגבי הגבול השני‪ ,‬מרציפות הפונקציה ‪ f (t) = t− 2‬בנקודה ‪, 1‬‬ ‫מתקיים‬ ‫‪− 5‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫)‪lim (1 + x‬‬ ‫‪x→0+‬‬ ‫=‬ ‫‪− 52‬‬ ‫)‪lim (1 + x‬‬ ‫‪x→0+‬‬ ‫לגבי הגבול השני‪ ,‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪ !−3‬‬ ‫‬ ‫‪1 t‬‬ ‫‪lim 1 +‬‬ ‫‪= e−3‬‬ ‫∞→‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1 −3t‬‬ ‫‪= lim 1 +‬‬ ‫=‬ ‫∞→‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪lim (1 + x‬‬ ‫‪x→0+‬‬ ‫‪ 3) .2‬נק׳( נתון ש־ הפונקציה‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x sin( x1 ) + arctan( x1 ) x > 0‬‬ ‫‪x≤0‬‬ ‫‪a cos(x) + 1‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪‬‬ ‫רציפה בכל נקודה‪ .‬מצאו את ערכו של ‪.a‬‬ ‫פתרון‪ :‬מהנתון ש־ ‪ f‬רציפה בכל נקודה‪ ,‬ובפרט ב־ ‪ 0‬נובע ש־ = )‪f (0) = lim f (x‬‬ ‫‪x→0+‬‬ ‫)‪ . lim f (x‬על פי הגדרת הפונקציה‪ ,‬ומרציפות )‪ cos(x‬מתקיים‬ ‫‪x→0−‬‬ ‫‪f (0) = lim f (x) = a cos(0) + 1 = a + 1.‬‬ ‫‪x→0−‬‬ ‫נחשב את הגבול מימין‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) (‪lim f (x) = lim x sin( ) + arctan‬‬ ‫‪x→0+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x→0+‬‬ ‫מתקיים‬ ‫‪1‬‬ ‫|‪−|x| ≤ x sin( ) ≤ |x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫מכיוון ש־ )|‪,0 = limx→0 |x| = limx→0 (−|x‬‬ ‫על פי משפט הסנדוויץ נקבל ש־ ‪limx→0+ x sin( x1 ) = 0‬‬ ‫כמו כן‬ ‫‪π‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪lim arctan( ) = lim arctan(y‬‬ ‫∞‪y→+‬‬ ‫‪x→0+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ולכן ‪ .limx→0+ f (x) = 1 + π2‬ומכן שמתקיים ‪ 1 + π2 = a + 1‬כלומר‬ ‫‪π‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‪a‬‬ ‫‪ .3‬תהי | ‪f (x) = |(x − 5)3‬‬ ‫)א( )‪ 2‬נק׳( חשבו את )‪.f 0 (4‬‬ ‫פתרון‪ :‬עבור ‪ x < 5‬מתקיים‬ ‫‪5)3‬‬ ‫‪ ,f (x) = −(x −‬ולכן‬ ‫‪5)2‬‬ ‫‪= −3(x −‬‬ ‫‪f 0 (4) = −3.‬‬ ‫)ב( )‪ 2‬נק׳( האם ‪ f‬גזירה בנקודה ‪ ?x = 5‬הוכיחו את תשובתכם‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬נראה שהנגזרת משמאל והנגזרת מימין קיימות ושוות‪:‬‬ ‫‪(x − 5)3‬‬ ‫)‪f (x) − f (5‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪x→5+ x − 5‬‬ ‫‪x→5+‬‬ ‫‪x−5‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‪f (x) − f (5‬‬ ‫‪−(x − 5)3‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪x→5−‬‬ ‫‪x→5−‬‬ ‫‪x−5‬‬ ‫‪x−5‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫לכן ‪ f‬גזירה בנקודה ‪ x = 5‬ומתקיים ‪.f 0 (5) = 0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪f 0 (x‬‬ ‫‪ .‬בפרט‪,‬‬ ‫‪2x2‬‬ ‫‪ .4‬נסמן‬ ‫‪x3 + x‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫)א( )‪ 2‬נק׳( מצאו את תחום ההגדרה של ‪.f‬‬ ‫פתרון‪ :‬ראשית‪ ,‬אסור שהמכנה של השבר‬ ‫יתאפס‪ ,‬ולכן ‪ .x 6= 0‬עכשיו נדרוש‬ ‫‪2x2‬‬ ‫שהביטוי שבתוך השורש יהיה אי־שלילי כלומר ‪.1 − x3 +x ≥ 0‬‬ ‫מכיוון שכבר דרשנו ‪ ,x 6= 0‬אפשר לצמצם והאי שיווין שקול לכך ש־‬ ‫‪2x2‬‬ ‫‪x3 +x‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪≥ 0.‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫זה מתקיים אם ורק אם‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪≤1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫אם ורק אם‬ ‫אם ורק אם‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪2x ≤ x2 + 1‬‬ ‫‪x2 − 2x + 1 ≥ 0‬‬ ‫כלומר ‪ ,(x − 1)2 ≥ 0‬וזה מתקיים לכל ‪ .x‬לכן תחום ההגדרה של ‪ f‬הוא ‪.x 6= 0‬‬ ‫)ב( )‪ 1‬נק׳( האם ‪ 2‬נמצא בתמונה של ‪ ?f‬נמקו‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬נבדוק האם יש פתרון למשוואה‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2x2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪+x‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪2x2‬‬ ‫זה שקול כך ש־ ‪ x 6= 0‬וגם‬ ‫‪x3 + x‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫=‪2‬‬ ‫‪ .4 = 1 −‬זה שקול לכך שיש פתרון למשוואה‬ ‫‪3x2 + 2x + 3 = 0.‬‬ ‫ולמשוואה הריבועית הזו אין פתרון ממשי )‪.(∆ = 4 − 36 < 0‬‬ ‫)ג( )‪ 1‬נק׳( האם ‪ √210‬נמצא בתמונה של ‪ ?f‬נמקו ‪.‬‬ ‫נבדוק האם יש פתרון למשוואה‬ ‫‪2x2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪x3 + x‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2x2‬‬ ‫‪=1− 3‬‬ ‫זה שקול כך ש־ ‪ x 6= 0‬וגם‬ ‫‪10‬‬ ‫‪x +x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= √‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ .‬זה שקול לכך שיש פתרון למשוואה‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫או‬ ‫‪3x2 + 10x + 3 = 0.‬‬ ‫למשוואה הזו יש שני פתרונות‪,x1 = 3 :‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪ .x2‬לכן‬ ‫‪√2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫כן נמצא בתמונה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪ .limx→7 f (x‬הוכיחו שקיים ‪ δ > 0‬כך שלכל ‪ x‬המקיים ‪0 < |x−7| < δ‬‬ ‫‪ 3) .5‬נק׳( נתון ש־‬ ‫מתקיים ש־ )‪ f (x‬אינו מספר שלם‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬מהנתון ש־ ‪ ,limx→7 f (x) = 21‬לכל ‪ < 0‬קיים ‪ δ > 0‬כך ש־ שלכל ‪ x‬המקיים‬ ‫‪ 0 < |x − 7| < δ‬מתקיים < | ‪ .|f (x) − 12‬בפרט עבור ‪ = 21‬קיים ‪ δ‬כזה‪ .‬לכן עבור‬ ‫ה־ ‪ δ‬המתאים יתקיים שלכל ‪ x‬המקיים ‪ 0 < |x − 7| < δ‬מקיים ‪ ,|f (x) − 21 | < 12‬כלומר‬ ‫‪ .0 < f (x) < 1‬בפרט )‪ f (x‬אינו מספר שלם‪ ,‬כי אין מספרים שלמים בקטע הפתוח )‪.(0, 1‬‬ ‫‪7‬‬