‫מבוא לאנליזה פונקציונלית ־ ‪ 104276‬־ תרגול ‪7‬‬ ‫שלומי גובר‪ ,‬אביב התשע"ה‬ ‫‪ 12‬במאי ‪2015‬‬ ‫התכנסות חלשה ואופרטוריים הפיכים‬ ‫תזכורת מההרצאה‪:‬‬ ‫יהיו ‪ X, Y‬מרחבים נורמים‪.‬‬ ‫‪w‬‬ ‫• ‪ {xn } ⊂ X‬מתכנסת חלש ל־ ‪ x ∈ X‬אם )‪ x∗ (xn ) −→ x∗ (x‬לכל ∗ ‪ .x∗ ∈ X‬סימון ‪ xn * x‬או ‪.xn → x‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫• במרחב הילברט זה אומר כי )‪ (xn , y) → (x, y‬לכל ‪) y ∈ H‬משפט ההצגה של ריס ∗ ‪.(H = H‬‬ ‫• משפט‪ :‬כל סדרה שמתכנסת חלש במרחב הילברט היא חסומה‪.‬‬ ‫• משפט )בנך־זקס(‪ :‬לכל סדרה מתכנסת חלש במרחב הילברט יש תת סדרה שסדרת הממוצעים החשבוניים שלה‬ ‫מתכנסת חזק לאותו הגבול‪.‬‬ ‫• אופרטור ) ‪ A ∈ B (X, Y‬יקרא הפיך אם קיים )‪ B ∈ B (Y, X‬כך ש־ ‪ AB = IY‬ו־ ‪.BA = IX‬‬ ‫• משפט ההעתקה ההפוכה )או משפט ההופכי החסום(‪ :‬יהי )‪ H) A ∈ B (H‬מרחב הילברט( חח"ע ועל אז קיים‬ ‫ל־ ‪ A‬הפיך חסום‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫תרגיל ‪1‬‬ ‫הוכיחו כי הגבול החלש במרחב הילברט הוא יחיד‪.‬‬ ‫פתרון‬ ‫יהיו ‪ xn , y, z ∈ H‬המקיימים ‪ xn * y, xn * z‬אז לכל ‪ x ∈ H‬מתקיים )‪(x, y) = limn→∞ (x, xn ) = (x, z‬‬ ‫ולכן ‪.y = z ⇐ ∀x ∈ H (x, y − z) = 0‬‬ ‫נקודה למחשבה‪ :‬מה אנו צריכים בשביל להכליל את ההוכחה למרחבי בנך?‬ ‫תרגיל ‪2‬‬ ‫במרחב הילברט סוף מימדי התכנסות חלשה שקולה להתכנסות חזקה‪.‬‬ ‫פתרון‬ ‫כיוון ראשון ־ התכנסות חזקה גוררת התכנסות חלשה נכון תמיד )לא רק כשהמימד סופי( מכיוון ש־‬ ‫‪||xn − x|| → 0 ⇒ ∀x∗ ∈ X ∗ |x∗ (xn − x)| ≤ ||x∗ || · ||x − xn || → 0‬‬ ‫‪N‬‬ ‫כיוון שני ־ נניח כי ‪ xn * x‬במרחב הילברט עם בסיס א"נ ‪ ,{ei }i=1‬אז‬ ‫‪(x, ei ) ei = x‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫→‪(xn , ei ) ei −‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪xn‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫הערה‪ :‬טענה זו נכונה גם למרחבי בנך‪ .‬בהוכחת הכיוון הראשון אנו רואים כי היא תקפה גם למרחבי‬ ‫בנך‪ .‬ניתן להכליל את הוכחת הכיוון השני‪.‬‬ ‫תרגיל ‪3‬‬ ‫תהי ‪ xn * x‬במרחב הילברט‪ .‬הוכיחו כי‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪) ||x|| ≤ lim inf n→∞ ||xn || .1‬הנורמה רציפה למחצה מלמטה חלש(‪.‬‬ ‫‪ .2‬אם ||‪ ||xn || −→ ||x‬אז ‪xn −→ x‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪ .3‬אם ||‪ lim supn→∞ ||xn || ≤ ||x‬אז ‪.xn −→ x‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫פתרון‬ ‫‪ .1‬מהגדרת ההתכנסות החלשה ומאי שוויון קושי שוורץ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫|| ‪||x|| = |(x, x)| = lim |(xn , x)| ≤ lim inf ||x|| · ||xn‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪ .2‬מתקיים‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪||xn − x|| = ||xn || − 2< (x, xn ) + ||x|| −→ 0‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .3‬מתקיים ||‪ ||x|| ≤ lim inf n→∞ ||xn || ≤ lim supn→∞ ||xn || ≤ ||x‬ולכן ||‪ ||xn || −→ ||x‬ולכן ‪.xn −→ x‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫הערה‪ :‬ניתן להכליל את הוכחה של סעיף ‪ 1‬למרחבי בנך )באמצעות משפט האן־בנך אותו לא למדנו(‪.‬‬ ‫סעיפים ‪ 2,3‬כבר אינם נכונים במרחבי בנך‪ .‬כדוגמא נגדית נשתמש בכך שהצמוד של תת המרחב ∞` ⊂ ‪c0‬‬ ‫)הסדרות המתכנסות ל־‪ (0‬איזומטרי ל־ ‪) `1‬לא ראינו לכך הוכחה(‪ .‬ניקח את הסדרה ‪.xn = e1 +en ∈ c0‬‬ ‫∗‬ ‫∼ ‪ .x∗ = (ai ) ∈ `1‬מתקיים‬ ‫יהי ) ‪= (c0‬‬ ‫) ‪x∗ (xn ) = a1 + an −→ a1 = x∗ (e1‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫ולכן ‪ .xn * e1‬בנוסף ∞|| ‪ ,||xn ||∞ = 1 = ||e1‬אבל ‪ ||xn − e1 ||∞ = 1‬ולכן אין התכנסות חזקה‪.‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫תרגיל ‪4‬‬ ‫יהיו ‪ H, K‬מרחבי הילברט ו־ ‪ T : H → K‬הוכיחו כי העתקה לינארית "רציפה חלש" )כלומר ⇒ ‪x‬‬ ‫*‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫‪ (T xn * T x‬אם"ם )‪.T ∈ B (H, K‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫פתרון‬ ‫• נניח בשלילה כי ‪ T‬אינה חסומה‪ ,‬אז קיימת סדרה ‪ {xn } ∈ H‬המקיימת ‪ ||xn || = 1‬ו־ ∞ → || ‪ ,||T xn‬נניח‬ ‫‪ ,yn = √ xn‬מתקיים ‪ ||yn || → 0‬ו־ ∞ → || ‪ yn .||T yn‬מתכנסת בנורמה לאפס‬ ‫בה"כ ‪ .||T xn || > 0‬נגדיר‬ ‫|| ‪||T xn‬‬ ‫ולכן מתכנסת לאפס ולכן מתכנסת חלש לאפס‪ ,‬מרציפות חלשה ‪ T yn‬מתכנסת חלש אבל היא אינה חסומה‬ ‫בסתירה לכך שסדרה מתכנסת חלש חסומה‪.‬‬ ‫• יהי )‪ T ∈ B (H, K‬ותהי ‪ xn‬סדרה מתכנסת חלש‪ .‬לכל ‪ y ∈ K‬מתקיים כי ‪ T ∗ y ∈ H‬ומהתכנסות חלשה‬ ‫‪(y, T xn )K = (T ∗ y, xn )H −→ (T ∗ y, x)H = (y, T x)K‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫ולכן ‪.T xn * T x‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫תרגיל ‪5‬‬ ‫הוכיחו כי קבוצה קמורה במרחב הילברט היא סגורה אם"ם היא סגורה חלש‪ .‬האם הטענה נכונה עבור תתי־קבוצות‬ ‫כלליות?‬ ‫פתרון‬ ‫• תהי תת־קבוצה ‪ C ⊆ H‬סגורה חלש )אין צורך להניח קמירות בכיוון זה(‪ ,‬ותהי סדרה ‪ ,C 3 xn → x‬נרצה‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫להוכיח ‪ .x ∈ C‬התכנסות חזקה גוררת התכנסות חלשה )תרגיל ‪ (1‬ולכן ‪ ,xn * x‬מכיוון ש־‪ C‬סגורה חלש‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪.x ∈ C‬‬ ‫• תהי תת־קבוצה ‪ C ⊆ H‬קמורה וסגורה‪ ,‬ותהי סדרה ‪ ,C 3 xn * x‬נרצה להוכיח ‪ .x ∈ C‬לפי משפט‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪Pk‬‬ ‫‪Pk‬‬ ‫בנך־זקס קיימת תת סדרה ‪ xnk‬כך ש־ ‪ . k1 i=1 xni → x‬מכיוון ש־‪ C‬קמורה ‪ k1 i=1 xni ∈ C‬ומכיוון‬ ‫ש־ ‪ C‬סגורה ‪.x ∈ C‬‬ ‫∞→‪k‬‬ ‫• דוגמה לקבוצה סגורה שאינה סגורה חלש )ואינה קמורה( היא ‪ .{en } ⊂ `2‬הקבוצה סגורה מכיוון שאין בה‬ ‫סדרות קושי )המרחק בין כל שני איברים שונים הוא ‪ (2‬אך הקבוצה אינה סגורה חלש מכיוון שכל תת סדרה‬ ‫שלה )ובפרט הסדרה עצמה( מתכנסת חלש לאפס אך אפס אינו מוכל בקבוצה‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫תרגיל ‪6‬‬ ‫יהי )‪ T ∈ B (H, K‬אופרטור הפיך‪ .‬הראו כי ‪ T‬חסום מלמטה‪ ,‬כלומר ‪inf||x||=1 ||T x|| > 0‬‬ ‫פתרון ‪ T‬הפיך ולכן לפי משפט ההעתקה ההפוכה )או משפט ההופכי החסום( ‪ T −1‬חסום‪ .‬לכן לכל ‪ y ∈ K‬מתקיים‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫||‪ .T −1 k ≤ T −1 ||k‬ולכן לכל ‪ x = T −1 k ∈ H‬עם נורמה ‪ 1‬מתקיים ||‪ 1 = ||x|| ≤ T −1 ||T x‬ולכן‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ T −1 ) ||T x|| ≥ 1−1 > 0‬הפיך ולכן ‪.(T −1 6= 0‬‬ ‫||‬ ‫‪||T‬‬ ‫‪4‬‬