חדוא 3־ תרגיל בית 1

‫חדוא ‪3‬־ תרגיל בית ‪1‬‬
‫‪ .1‬בשאלה זו נדון בקבוצות פתוחות וסגורות‪ .‬הוכח‪/‬הפרך את הטענות הבאות‪:‬‬
‫)א( איחוד כלשהו של קבוצות פתוחות הוא פתוח‪.‬‬
‫)ב( איחוד כלשהו של קבוצות סגורות הוא סגור‪.‬‬
‫)ג( איחוד סופי של קבוצות פתוחות הוא פתוח‪.‬‬
‫)ד( איחוד סופי של קבוצות סגורות הוא סגור‪.‬‬
‫)ה( חיתוך כלשהו של קבוצות פתוחות הוא פתוח‪.‬‬
‫)ו( חיתוך כלשהו של קבוצות סגורות הוא סגור‪.‬‬
‫)ז( חיתוך סופי של קבוצות פתוחות הוא פתוח‪.‬‬
‫)ח( חיתוך סופי של קבוצות סגורות הוא סגור‪.‬‬
‫‪ .2‬נגדיר את הפונקציה ‪ f : (0, ∞) × (0, ∞) → R‬על ידי‪:‬‬
‫ ‬
‫‪1‬‬
‫‪f (x, y) = y · sin‬‬
‫‪x‬‬
‫בדוק האם הגבולות קיימים‪ ,‬אם כן חשב אותם‪ ,‬אם לא נמק מדוע אינם קיימים‪.‬‬
‫)א( )‪f (x, y‬‬
‫‪lim‬‬
‫)‪(x,y)→(0,0‬‬
‫‪x,y>0‬‬
‫)ב( )‪lim lim f (x, y‬‬
‫‪x→0+ y→0+‬‬
‫)ג( )‪lim lim f (x, y‬‬
‫‪y→0+ x→0+‬‬
‫‪ .3‬ראינו בכיתה שאם פונקציה היא קבועה על קרניים‪ ,‬אז מתקיים‪:‬‬
‫)א( )‪. lim+ lim+ f (x, y) = h(0‬‬
‫‪x→0 y→0‬‬
‫‬
‫)ב( ‪. lim+ lim+ f (x, y) = h π2‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪y→0‬‬
‫)ג( הגבול‬
‫)‪f (x, y‬‬
‫‪lim‬‬
‫)‪(x,y)→(0,0‬‬
‫‪x,y>0‬‬
‫‬
‫‬
‫קיים אם ורק אם הפונקציה ‪ h‬קבועה על האנטרוול ‪. 0, π2‬‬
‫)א( האם יתכן שהגבולות החוזרים שלעיל קיימים ושווים אך ‪ f‬אינה רציפה?‬
‫)ב( נזכור כי פונקציה ראציונלית הינה מנה של שני פולינומים‪ .‬האם יתכן ש ‪ f‬פונקציה ראציונלית‬
‫והגבולות החוזרים קיימים ושווים‪ ,‬אך ‪ f‬אינה רציפה?‬
‫)ג( הרחיבו את מה שעשינו בכיתה ואת שני הסעיפים שלמעלה עבור ‪ x, y‬כלשהם )לווא דווקא‬
‫חיוביים(‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .4‬נגדיר את הפונקציה ‪ g : R2 \ {0} → R‬על ידי‬
‫)‪g(x, y) = f (x2 , y‬‬
‫כאשר ‪ f‬פונקציה קבועה על קרניים‪.‬‬
‫)א( הוכיחו שלכל )‪ (a, b) 6= (0, 0‬קיים הגבול )‪ lim+ g(ta, tb‬וחשבו אותו‪.‬‬
‫‪t→0‬‬
‫)ב( האם יתכן שהגבול )‪g(x, y‬‬
‫‪lim‬‬
‫)‪(x,y)→(0,0‬‬
‫אינו קיים? תנו דוגמא‪.‬‬
‫‪ .5‬תהי ‪ .K ⊂ Rn‬הראו כי ‪ K‬היא קבוצה קומפקטית אם ורק אם כל פונקציה רציפה ‪f : K → R‬‬
‫היא חסומה‪.‬‬
‫‪ .6‬תהי ‪ .f : Rn → Rm‬הוכח‪/‬י או הפרכ‪/‬י‪:‬‬
‫)א( לכל קבוצה ‪ K‬קומפקטית‪ ,‬אם ‪ f‬רציפה על ‪ K‬אז )‪ f (K‬בהכרח קומפקטית‪.‬‬
‫)ב( לכל ‪ B‬קבוצה חסומה‪ ,‬אם ‪ f‬רציפה על ‪ , B‬אז )‪ f (B‬בהכרח חסומה‪.‬‬
‫)ג( לכל ‪ C‬קבוצה סגורה אם ‪ f‬רציפה על ‪ ,C‬אז )‪ f (C‬בהכרח סגורה‪.‬‬
‫)ד( כל קבוצה פתוחה ב־ ‪ Rn‬היא תמונה רציפה של קבוצה סגורה‪.‬‬
‫רמז‪ :‬הקבוצה הסגורה אינה בהכרח קשירה‪.‬‬
‫‪ .7‬הוכח‪/‬י את למת החיתוך של קנטור למימדים גבוהים‪:‬‬
‫כל סדרה יורדת של קבוצות קומפקטיות‪ ,‬כלומר · · · ⊇ ‪ ,K1 ⊇ K2‬היא בעלת חיתוך לא ריק‪.‬‬
‫האם המשפט תקף עבור קבוצות סגורות? עבור קבוצות פתוחות? הוכיחו או הביאו דוגמא נגדית‪.‬‬
‫‪2‬‬