‫חדוא ‪3‬־ תרגיל בית ‪1‬‬ ‫‪ .1‬בשאלה זו נדון בקבוצות פתוחות וסגורות‪ .‬הוכח‪/‬הפרך את הטענות הבאות‪:‬‬ ‫)א( איחוד כלשהו של קבוצות פתוחות הוא פתוח‪.‬‬ ‫)ב( איחוד כלשהו של קבוצות סגורות הוא סגור‪.‬‬ ‫)ג( איחוד סופי של קבוצות פתוחות הוא פתוח‪.‬‬ ‫)ד( איחוד סופי של קבוצות סגורות הוא סגור‪.‬‬ ‫)ה( חיתוך כלשהו של קבוצות פתוחות הוא פתוח‪.‬‬ ‫)ו( חיתוך כלשהו של קבוצות סגורות הוא סגור‪.‬‬ ‫)ז( חיתוך סופי של קבוצות פתוחות הוא פתוח‪.‬‬ ‫)ח( חיתוך סופי של קבוצות סגורות הוא סגור‪.‬‬ ‫‪ .2‬נגדיר את הפונקציה ‪ f : (0, ∞) × (0, ∞) → R‬על ידי‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (x, y) = y · sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫בדוק האם הגבולות קיימים‪ ,‬אם כן חשב אותם‪ ,‬אם לא נמק מדוע אינם קיימים‪.‬‬ ‫)א( )‪f (x, y‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‪(x,y)→(0,0‬‬ ‫‪x,y>0‬‬ ‫)ב( )‪lim lim f (x, y‬‬ ‫‪x→0+ y→0+‬‬ ‫)ג( )‪lim lim f (x, y‬‬ ‫‪y→0+ x→0+‬‬ ‫‪ .3‬ראינו בכיתה שאם פונקציה היא קבועה על קרניים‪ ,‬אז מתקיים‪:‬‬ ‫)א( )‪. lim+ lim+ f (x, y) = h(0‬‬ ‫‪x→0 y→0‬‬ ‫‬ ‫)ב( ‪. lim+ lim+ f (x, y) = h π2‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪y→0‬‬ ‫)ג( הגבול‬ ‫)‪f (x, y‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‪(x,y)→(0,0‬‬ ‫‪x,y>0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫קיים אם ורק אם הפונקציה ‪ h‬קבועה על האנטרוול ‪. 0, π2‬‬ ‫)א( האם יתכן שהגבולות החוזרים שלעיל קיימים ושווים אך ‪ f‬אינה רציפה?‬ ‫)ב( נזכור כי פונקציה ראציונלית הינה מנה של שני פולינומים‪ .‬האם יתכן ש ‪ f‬פונקציה ראציונלית‬ ‫והגבולות החוזרים קיימים ושווים‪ ,‬אך ‪ f‬אינה רציפה?‬ ‫)ג( הרחיבו את מה שעשינו בכיתה ואת שני הסעיפים שלמעלה עבור ‪ x, y‬כלשהם )לווא דווקא‬ ‫חיוביים(‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .4‬נגדיר את הפונקציה ‪ g : R2 \ {0} → R‬על ידי‬ ‫)‪g(x, y) = f (x2 , y‬‬ ‫כאשר ‪ f‬פונקציה קבועה על קרניים‪.‬‬ ‫)א( הוכיחו שלכל )‪ (a, b) 6= (0, 0‬קיים הגבול )‪ lim+ g(ta, tb‬וחשבו אותו‪.‬‬ ‫‪t→0‬‬ ‫)ב( האם יתכן שהגבול )‪g(x, y‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‪(x,y)→(0,0‬‬ ‫אינו קיים? תנו דוגמא‪.‬‬ ‫‪ .5‬תהי ‪ .K ⊂ Rn‬הראו כי ‪ K‬היא קבוצה קומפקטית אם ורק אם כל פונקציה רציפה ‪f : K → R‬‬ ‫היא חסומה‪.‬‬ ‫‪ .6‬תהי ‪ .f : Rn → Rm‬הוכח‪/‬י או הפרכ‪/‬י‪:‬‬ ‫)א( לכל קבוצה ‪ K‬קומפקטית‪ ,‬אם ‪ f‬רציפה על ‪ K‬אז )‪ f (K‬בהכרח קומפקטית‪.‬‬ ‫)ב( לכל ‪ B‬קבוצה חסומה‪ ,‬אם ‪ f‬רציפה על ‪ , B‬אז )‪ f (B‬בהכרח חסומה‪.‬‬ ‫)ג( לכל ‪ C‬קבוצה סגורה אם ‪ f‬רציפה על ‪ ,C‬אז )‪ f (C‬בהכרח סגורה‪.‬‬ ‫)ד( כל קבוצה פתוחה ב־ ‪ Rn‬היא תמונה רציפה של קבוצה סגורה‪.‬‬ ‫רמז‪ :‬הקבוצה הסגורה אינה בהכרח קשירה‪.‬‬ ‫‪ .7‬הוכח‪/‬י את למת החיתוך של קנטור למימדים גבוהים‪:‬‬ ‫כל סדרה יורדת של קבוצות קומפקטיות‪ ,‬כלומר · · · ⊇ ‪ ,K1 ⊇ K2‬היא בעלת חיתוך לא ריק‪.‬‬ ‫האם המשפט תקף עבור קבוצות סגורות? עבור קבוצות פתוחות? הוכיחו או הביאו דוגמא נגדית‪.‬‬ ‫‪2‬‬