תורת החבורות הגיאומטרית (80614)

‫תורת החבורות הגיאומטרית‬
‫‪1‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫תוכן עניינים‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪I‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫מנהלות ‪. . . . . . . .‬‬
‫מבוא ‪. . . . . . . . .‬‬
‫הקדמה תכנית‬
‫‪2.1‬‬
‫תכנית הקורס‬
‫‪2.2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫חבורות חופשיות ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫הצגות )‪ (Presentation‬של חבורות ‪. . . . . .‬‬
‫אלגוריתם לזיהוי שוויון הצגות ‪. . . .‬‬
‫‪4.1‬‬
‫בעיית ההחלטה של דהן )‪(Max Dehn‬‬
‫‪4.2‬‬
‫בניית חבורות חדשות ‪. . . . . . . . . . . . .‬‬
‫פתרונות לתרגילים ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫תורת החבורות הקומבינטורית‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ II‬חבורות כמרחבים‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫גרפי קיילי ‪. . . . . . . . . . .‬‬
‫קוואזי־איזומטריות ‪. . . . . . . .‬‬
‫קוואזי־איזומטריה של חבורות ‪. .‬‬
‫אינווריאנטים לקוואזי־איזומטריות‬
‫גידול בחבורות ‪. . . .‬‬
‫‪10.1‬‬
‫הצגות סופיות ‪. . . . .‬‬
‫‪10.2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪V‬‬
‫למת שוורץ־מילנור ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫חבורות חופשיות ועצים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫פעולות לא חופשיות על עצים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫מרחב מטרי היפרבולי ‪. . . . . . .‬‬
‫חבורות היפרבוליות — הגדרה ‪. . .‬‬
‫הצגה סופית של חבורות היפרבוליות‬
‫בעיית המלה בחבורות היפרבוליות ‪.‬‬
‫תת־חבורות של חבורות היפרבוליות‬
‫‪22‬‬
‫‪20‬‬
‫‪22‬‬
‫‪24‬‬
‫‪25‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫מרחב החבורות המסומנות ‪. . . . . . . .‬‬
‫חבורות גבול ‪. . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫אפיונים שקולים לחבורות גבול ‪. . . . . .‬‬
‫תורה אוניברסלית ‪. . . . . . .‬‬
‫‪21.1‬‬
‫חבורה מובחנת חופשית במלואה‬
‫‪21.2‬‬
‫מורפיזמים לחבורה החופשית ‪. . . . . .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫חבורות גבול‬
‫‪19‬‬
‫‪20‬‬
‫‪21‬‬
‫‪15‬‬
‫‪16‬‬
‫‪17‬‬
‫‪18‬‬
‫‪18‬‬
‫‪19‬‬
‫‪20‬‬
‫חבורות היפרבוליות‬
‫‪14‬‬
‫‪15‬‬
‫‪16‬‬
‫‪17‬‬
‫‪18‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪12‬‬
‫‪15‬‬
‫‪ III‬פעולות גיאומטריות‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫‪13‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪25‬‬
‫‪29‬‬
‫‪29‬‬
‫‪30‬‬
‫‪33‬‬
‫‪38‬‬
‫‪2‬‬
‫‪38‬‬
‫‪40‬‬
‫‪40‬‬
‫‪40‬‬
‫‪41‬‬
‫‪42‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫תוכן עניינים‬
‫מרצה‪ :‬ד"ר קלואי פרין‬
‫מסכם‪ :‬עומר שכטר — ‪omer.shechter SHTRUDEL mail.huji.ac.il‬‬
‫ניתן בסמסטר סתיו התשע"ה‪ ,‬באוניברסיטה העברית בירושלים‬
‫אשמח מאוד לקבל תיקוני טעויות קלות כחמורות‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫מבוא‬
‫מנהלות‬
‫ציון ייקבע ע"פי עבודה להגשה בסוף או בהרצאה מול כולם או הרצאה מול המרצה‪.‬‬
‫לא יתקיימו שיעורים ב־‪ 22/12‬וגם ‪24/12‬‬
‫ספר הקורס‪Bridson, Geometrics & combinatorial group theory, princeton companion to mathe- :‬‬
‫‪ .matical proof‬בנוסף ‪ .Ghys and de la Harpe, On hyperbolic groups after Gromov‬בנוסף קיים ‪de la‬‬
‫‪ Harpe, Topics in geometric group theory‬שהוא מתקדם ביחס לקורס שנלמד‪ .‬וגם ‪Bridson - Hoefliger,‬‬
‫‪ Metric spaces of non-positive curvature‬שהוא מאוד מאוד מקיף‪ ,‬ועוסק לא רק בחומר שלנו‪.‬‬
‫שעת קבלה‪ :‬בתיאום מראש )באופן עקרוני ‪ 16:00-8:00‬אפשרי(‬
‫הקורס מיועד גם לתואר ראשון‪.‬‬
‫מבוא‬
‫‪2‬‬
‫‪2.1‬‬
‫הקדמה תכנית‬
‫הבסיס מגיע מתכנית ארלנגן של פליקס קליין החל מ־‪ .1872‬המטרה היא לבסס את כל הגיאומטריות על בסיס‬
‫של חבורות‪ .‬פליקס קליין אמר שמה שבאמת חשוב זה לבדוק מהי חבורת הסימטריות שמאחוריה כל התכונות‬
‫שאנחנו רוצים לשמור‪ .‬כדי להבין מרחב צריך להבין את החבורה שפועלת עליה בצורה טבעית‪ .‬זוהי תכנית‬
‫ארלנגן‪.‬‬
‫תורת החבורות הגיאומטרית זה בעצם להפוך את הרעיון הזה‪ ,‬יש לנו חבורה ואנחנו רוצים להבין אותה אז‬
‫אנחנו מסתכלים עליה כחבורת סימטריות של מרחב כלשהו‪ .‬זה יכול להיות גרף‪ ,‬מרחב מטרי‪ ,‬יריעה‪ ,‬משהו עם‬
‫תכנונות גיאומטריות וכך נוכל להבין את החבורה‪ .‬זה הרעיון הגדול ויש כמה דרכים לעשות זאת‪ .‬אחת הדרכים‬
‫היא לראות את החבורה עצמה כמרחב מטרי‪ .‬החבורה פועלת על עצמה עם מכפלה משמאל ואז אפשר לראות‬
‫אותה כפועלת על המרחב‪ .‬הרעיון הזה יותר מאוחר‪ ,‬הוא התחיל בסוף שנות השבעים‪ .‬דמות מפתח נוספת היא‬
‫גרומוב‪.‬‬
‫‪2.2‬‬
‫תכנית הקורס‬
‫אנחנו נסקור נושאים שונים‪ ,‬לא מתוך מטרה להוכיח משפט גדול בקורס‪ .‬פרקי הקורס‪:‬‬
‫‪ .1‬תורת החבורות הקומבינטורית — הגדרה של יחסים ויוצרים‬
‫‪ .2‬גרפי קיילי — חבורה כמרחב מטרי‬
‫‪ .3‬פעולות גיאומטריות — מהן התכונות הנדרשות‬
‫‪ .4‬קוואזי איזומטריות — ניתן להפוך חבורה לכמה מרחבים מטרים וגרפי הקיילי לא איזומטריים‪ ,‬אבל הם‬
‫כמעט‬
‫‪ .5‬חבורות היפרבוליות — חבורות שניתן להגדיר בצורה גיאומטרית‬
‫‪ .6‬חבורות גבול‬
‫במהלך הקורס ייתנו תרגילים )שאינם להגשה( ומטרתם לעזור להבין את החומר ולתרגל‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫חבורות חופשיות‬
‫חלק ‪I‬‬
‫תורת החבורות הקומבינטורית‬
‫‪3‬‬
‫חבורות חופשיות‬
‫הגדרה ‪ :1‬תהי ‪ S‬קבוצה )ונחשוב על איבריה כעל אותיות(‪ .‬נוסיף לכל אות ‪ s ∈ S‬את האות ‪ .s−1 ∈ S‬מלה‬
‫ב־ ‪ S‬היא סדרה סופית של איברים של ‪.S ∪ S −1‬‬
‫דוגמה ‪ S = {a, b} :2‬אז נניח ‪ ab−1 a‬מלה‪ ,‬וגם )המלה הריקה( היא מלה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ :3‬מלה תיקרא מלה מצומצמת אם אין סדרה מצומצמת מהצורה ‪ ss−1‬או ‪.s−1 s‬‬
‫ניתן לצמצם מלה ע"י מחיקת כל צירוף זה‪.‬‬
‫דוגמה ‪ abb−1 a−1 ab :4‬מהחבורה שהוגדרה קודם‪ .‬נוכל למחוק את ‪ bb−1‬ואז את ‪ a−1 a‬או את ‪ aa−1‬ונקבל‬
‫בסוף ‪ .b‬לא משנה מה נמחוק קודם נקבל בסוף את אותה מלה מצומצמת‪.‬‬
‫טענה ‪ :5‬תמיד מגיעים לאותה מלה מצומצמת‪.‬‬
‫הגדרה ‪ :6‬בהינתן מלים ‪ w = u1 . . . un‬וגם ‪ w0 = v1 . . . vm‬כאשר ‪ ui , vi ∈ S ∪ S −1‬אזי השרשור שלהן הוא‬
‫‪0‬‬
‫‪.v1 = u−1‬‬
‫‪ .ww = u1 . . . un v1 . . . vm‬ייתכן שנקבל מלה שאינה מצומצמת אם ‪n‬‬
‫)‪F (S‬‬
‫הגדרה ‪ :7‬החבורה החופשית על הקבוצה ‪ S‬היא חבורה שאיבריה הם מלים מצומצמות ב־ ‪ .S‬הפעולה היא‬
‫שרשור איברים וצמצום ונסמנה )‪.F (S‬‬
‫טענה ‪ F (S) :8‬חבורה‪ .‬היא מקיימת את האקסיומות‪ .‬האיבר הנייטרלי הוא המלה הריקה ‪.‬‬
‫הערה ‪:9‬‬
‫‪ S .1‬מייצרת את )‪ ,F (S‬כחבורה‪.‬‬
‫‪ .2‬שום מכפלה בסגנון ‪ s11 · s22 · · · · · snn‬כאשר ‪ si ∈ S‬וגם }‪ .i ∈ {±1‬כאשר לכל ‪ i‬או ‪ si 6= si+1‬או‬
‫‪ i = i+1‬שווה לאיבר הטריוויאלי‪ .‬התכונה הזו נקראת חופשיות‪.‬‬
‫נרצה להגיד ששתי הגישות האלה מגדירות את החבורה החופשית‪ ,‬נסתכל על זה בתור הגדרה לפי בסיס‪.‬‬
‫טענה ‪ :10‬תהא ‪ G‬חבורה ובתוכה יש קבוצה ‪ S ⊆ G‬שמקיימת את שתי התכונות מעלה ) ‪ S‬מייצרת את ‪ G‬ואין‬
‫∼ ‪.G‬‬
‫מכפלה כזו השווה לאיבר הטריוויאלי( אזי )‪= F (S‬‬
‫הוכחה‪ :‬נבנה איזומורפיזם‪ .ϕ : F (S) → G .‬בהינתן מלה מצומצמת‪ ϕ ,‬תשלח אותה לכפל האותיות בתוך ‪.G‬‬
‫על נובע ישירות מתכונה מספר )‪ ,(1‬שכן ‪ S‬מייצרת את ‪ .G‬חח"ע נובעת ישירות מתכונה מספר )‪) (2‬התכונה‬
‫הזו נקראת ‪ S‬חופשית ב־‪ .(G‬הומומורפיזם מושאר כתרגיל לקורא‪ .‬במקרה כזה נאמר ש־‪ G‬חופשית מעל ‪S‬‬
‫וש־ ‪ S‬הוא בסיס של ‪.G‬‬
‫בדומה למרחבים וקטוריים באלגברה ליניארית‪ ,‬גם פה נרצה לטעון שהבסיס לחבורה חופשית אינו יחיד‪ .‬תרגיל‪:‬‬
‫לחשוב על }‪ S ={a, b‬ו־)}‪ S . F = ({a, b‬בסיס של )} ‪ .F ({a, b,‬צ"ל שגם }‪ {α = a, β = ab‬בסיס של‬
‫)}‪ .F ({a, b‬האם ‪ a, b2‬בסיס? ומה עם ‪? a, aba−1 b−1‬‬
‫נשים לב שבהוכחה מלמעלה‪ ,‬לא השתמשנו בחלק של ההומומורפיזם בתכונות )‪ .(2) ,(1‬למעשה נרצה‬
‫לטעון שתמיד ניתן לבנות הומומורפיזם מחבורה חופשית לחבורה כלשהי‪:‬‬
‫טענה ‪) :11‬התכונה האוניברסלית( תהי ‪ G‬חופשית מעל ‪ .S‬לכל חבורה ‪ H‬ולכל העתקה ‪ ϕ1 : S → H‬יש‬
‫הרחבה להומומורפיזם יחיד ‪) ϕ2 : G → H‬ופירושו — )‪.(∀s∈S ϕ1 (s) = ϕ2 (s‬‬
‫הוכחה‪ :‬נגדיר את ‪ ϕ2‬כמו בטענה‪ .‬כל איבר ‪ g ∈ G‬הוא מכפלה של איברי ‪ S‬שכן היא נוצרת על ידו‪ ,‬ולכן‬
‫‪ , g = s11 · · · · · snn‬ולכן נגדיר ) ‪ .ϕ2 (g) = ϕ1 (s11 ) · · · · · ϕ1 (snn‬קיבלנו הומומורפיזם‪ ,‬הרחבה ויחידות‬
‫מהגדרה‪.‬‬
‫טענה ‪ :12‬תהי ‪ G‬חבורה‪ .S ⊆ G ,‬אזי ‪ G‬חופשית מעל ‪ S‬אם ורק אם לכל חבורה ‪ H‬ולכל העתקה ‪ϕ1 : S → H‬‬
‫יש הרחבה להומומורפיזם יחיד ‪.ϕ2 : G → H‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫הצגות )‪ (Presentation‬של חבורות‬
‫הוכחה‪ :‬בהוכחה הקודמת ראינו למעשה כיוון אחד‪ ,‬כמה נוח‪ .‬נניח כי לכל העתקה ‪ ϕ1‬כבטענה מתרחבת‬
‫להומומורפיזם יחיד ‪ ϕ2‬כבטענה‪ G .‬מקיימת את הטענה‪ ,‬ולכן ההעתקה )‪ S → F (S‬מתרחבת להומומורפיזם‬
‫יחיד )‪ .i : G → F (S‬בנוסף‪ ,‬גם )‪ F (S‬מקיימת את הטענה‪ ,‬ולכן ההעתקה ‪ S → G‬מתרחבת להומומורפיזם‬
‫‪ .j : F (S) → G‬נשים לב כי ‪ i ◦ j‬היא הזהות על )‪ F (S‬והיות שהוא ניתן להרחבה יחידה הוא ניתן להרחבה‬
‫להומומורפיזם הזהות‪ .‬ולכן מיחידות ‪ i ◦ j‬היא הזהות‪ .‬ולכן ‪ i, j‬איזומורפיזם‪ .‬לסיכום — השתמשנו שלוש‬
‫פעמים בהנחה )פעם על ‪ ,G‬פעם על )‪ F (S‬ופעם על ‪ i ◦ j‬עם יחידות(‪.‬‬
‫ראינו שלוש גישות לחבורות חופשיות‪ .‬בראשונה בנינו חבורה ואמרנו מה האיברים והפעולה‪ .‬בפעם השנייה‬
‫הראינו חבורה כחופשית מעל האיברים שלה באמצעות בסיס‪ .‬הגישה השלישית היא להגיד שחבורה חופשית‬
‫היא חבורה המקיימת את התכונה אוניברסלית‪.‬‬
‫כעת נרצה להסתכל על הגישה של בסיס‪ ,‬על ההבדלים והדמיון בין מרחבים וקטורים ובסיסים לחבורות‬
‫חופשיות ובסיסיהן‪.‬‬
‫∼ ‪ G‬אם ורק אם | ‪) |S| = |S 0‬שוויון עצמות(‪.‬‬
‫טענה ‪ :13‬תהא ‪ G‬חופשית מעל ‪ S‬ו־ ‪ G0‬חופשית מעל ‪ .S 0‬אזי ‪= G0‬‬
‫הוכחה‪ :‬כיוון אחד )ההנחה היא שוויון עצמות‪ ,‬זה נובע מהתכונה האוניברסלית( מושאר כתרגיל לקורא‪.‬‬
‫∼ )‪ F (S‬אז | ‪.|S| = |S 0‬‬
‫הכיוון השני‪ ,‬נניח ששתיהן חופשיות מעל הקבוצות‪ .‬מספיק להוכיח שאם ) ‪= F (S 0‬‬
‫נחשוב על המקרה ש־| ‪ |S| , |S 0‬אינסופיים‪ .‬סדרות סופיות של קבוצה מעצמה אינסופית הן בעצמה האינסופית‪,‬‬
‫ולכן |‪ .|F (S)| = |S‬מכאן קיבלנו | ‪ |S| = |F (S)| = |F (S 0 )| = |S 0‬כאשר האי־שוויונות החיצוניים נובעים‬
‫מהסדרות הסופיות‪ ,‬והאי־שוויון הפנימי נובע מההנחה‪.‬‬
‫נניח כעת ש־| ‪ |S| , |S 0‬סופיים‪ .‬נספור את ההומומורפיזם ‪ .F (S) → Z/2Z‬כל העתקה ‪S → Z/2Z‬‬
‫נותנת הומומורפיזם שונה וניתן לקבל כל הומומורפיזם ככה‪ .‬ולכן |‪ .|Hom (F (S) , Z/2Z)| = 2|S‬ולכן‬
‫∼ )‪ F (S‬איזומורפיות‪ ,‬אזי כל ההומומורפיזם שיש מאחת ל־‪ Z/2Z‬יש גם מהשנייה‪ ,‬ולכן‬
‫היות ש־) ‪= F (S 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪S‬‬
‫|)‪ |Hom (F (S) , Z/2Z)| = |Hom (F (S 0 ) , Z/2Z‬ולכן | |‪ 2|S| = 2‬ולכן | ‪.|S| = |S 0‬‬
‫הגדרה ‪ :14‬נקרא לעצמה זו הדרגה של החבורה החופשית‪.‬‬
‫הערה ‪ :15‬שוויון עצמות של הבסיס דומה למצב במרחבים וקטורים‪ .‬לא כל שאר התכונות מתקיימות בשני‬
‫העולמות‪ .‬לא לכל חבורה יש בסיס‪ ,‬אלא רק לחבורות חופשיות‪ .‬לחבורה החופשית מדרגה ‪) 2‬היא החבורה‬
‫החופשית על ‪ 2‬יוצרים( יש תת־חבורות שהן חופשיות מדרגה אינסופית‪ ,‬בניגוד כמובן למצב במרחבים־וקטוריים‪,‬‬
‫בו תת־מרחב הוא תמיד מדרגה נמוכה יותר או שווה לדרגת כלל המרחב‪.‬‬
‫תרגיל ‪ :16‬בהינתן )}‪ F ({a, b‬ונסתכל על קבוצת האיברים } ‪.S = {an ba−n‬‬
‫)}‪ F ({a, b‬הנוצרת על ידי ‪ S‬חופשית מעל ‪.U‬‬
‫צ"ל שהתת־חבורה ⊆ ‪H‬‬
‫עוד תכונה שונה‪ ,‬היא שבהינתן ‪ S0 ⊆ G‬חופשית ב־‪) G‬קרי רק תכונה )‪ (2‬מלמעלה מתקיימת( לא תמיד אפשר‬
‫להרחיב אותה לבסיס‪ .‬בניגוד למצב במרחב־וקטורי‪ ,‬שם ניתן להוסיף עוד ועוד איברים עד שמתקבל בסיס‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫הצגות )‪ (Presentation‬של חבורות‬
‫אם נחשוב על החבורה החופשית‪ ,‬החופשיות מוגדרת על ידי היוצרים ועל ידי היחסים‪ .‬מה שנרצה לעשות‬
‫עכשיו זה להגדיר מבנה שכן יגדיר מבנה של חבורה‪ ,‬וגם עוד יחסים — אך למצוא את המבנה המינימלי שמקיים‬
‫את שניהם‪.‬‬
‫דוגמה ‪ :17‬רוצים חבורה שנוצרת על ידי }‪ {a, b‬כך ש־ ‪ a2 = 1‬וגם ‪ .b3 = 1‬נשים לב שליחסים האלה יש‬
‫השלכות‪ ,‬לדוגמה ‪ .a2 b3 = 1‬באופן דומה ‪ ,ba2 b−1 = 1‬זאת שכן ליחסים יש השלכות‪.‬‬
‫‪hS|Ri hhRii‬‬
‫הגדרה ‪ :18‬תהי ‪ S‬קבוצה‪ ,‬ו־‪ R‬קבוצה של מילים מצומצמות של אותיות ב־ ‪ .(R ⊆ F (S)) S‬החבורה המוגדרת‬
‫על ידי ההצגה ‪ hS|Ri‬היא המנה של )‪ F (S‬על ידי התת־חבורה הנורמלית הקטנה־ביותר של )‪ F (S‬שמכילה‬
‫את ‪) R‬הסגור הנורמלי של ‪ R‬והוא מסומן ‪.(hhRii‬‬
‫תרגיל ‪ g :19‬איבר בסגור הנורמלי של ‪ R‬אם ורק אם ‪ g‬היא מכפלה של הצמדות של איברים מ־ ‪.R ∪ R−1‬‬
‫‬
‫
‬
‫משוואות במקום יחסים‪ .‬לדוגמה‪ a, b|a2 = b :‬בעוד לפי ההגדרה היינו‬
‫הצגה עם‬
‫הערה ‪ :20‬לפעמים כותבים‬
‫
‬
‫‬
‫צריכים לכתוב משהו בסגנון ‪. a, b|a2 b−1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫הצגות )‪ (Presentation‬של חבורות‬
‫‪id‬‬
‫→ ‪ S‬אם‬
‫תהי ‪ G‬חבורה‪ S ⊆ G ,‬שמייצר את ‪ ϕ : F (S) → G .G‬הומומורפיזם שמוגדר כהרחבה של ‪G‬‬
‫)‪ R ⊆ F (S‬כך ש־‪ ker ϕ = hhRii‬אז‬
‫∼‪G‬‬
‫∼ ‪= F(S)/ker ϕ‬‬
‫∼ ‪= F(S)/hhRii‬‬
‫‪= hS|Ri‬‬
‫‬
‫ותמיד אפשר לבחור ‪ .R = ker ϕ‬אז אומרים ש־‪ G‬מקבלת את ההצגה ‪.hS|Ri‬‬
‫יש אי בהירות כשכותבים איבר ‪ ,s ∈ S‬האם מתכוונים לאיבר ב־‪ G‬או ב־)‪.F (S‬‬
‫אם יש שתי הצגות שונות זה יכול להיות קשה לדעת אם שתי החבורות הן איזומורפיות‪ .‬נדבר על נושא זה‬
‫בהמשך‪.‬‬
‫הגדרה ‪ :21‬אם ‪ w‬מלה מצומצמת ב־ ‪ S‬מהצורה ‪ w (s1 , . . . , sm ) = si11 · · · · · sill‬כך ש־} ‪si ∈ {s1 , . . . , sm‬‬
‫ו־}‪ i ∈ {±1‬ואם ‪ g1 , . . . gn ∈ G‬נכתוב ‪. wG (g1 , . . . , gn ) = gi11 · · · · · gill‬‬
‫למה ‪ :22‬בהינתן חבורה ‪ G‬ו־‪ R, S ⊆ G‬כך ש‪:‬‬
‫‪ S .1‬מייצרת את ‪.G‬‬
‫‪ .2‬לכל מלה מצומצמת ‪ w ∈ S‬מתקיים ‪wG (s1 , . . . , sm ) = 1 ⇐⇒ w ∈ hhRii‬‬
‫אז ‪ G‬מקבלת את ההצגה ‪.hS|Ri‬‬
‫הוכחה‪ :‬תרגיל קל‪ .‬רמז‪ :‬לוקחים ‪ ϕ : F (S) → G‬הומומורפיזם שקיים מהתכונה האוניברסלית של‬
‫החבורה החופשית‪ .‬מ־‪ 1‬מקבלים ש־‪ ϕ‬הוא על‪ ,‬ומ־‪ 2‬מקבלים שהגרעין של ‪ ϕ‬הוא בדיוק ‪ ,hhRii‬שכן‬
‫) ‪.ϕ (w (s1 , . . . , sm )) = wG (ϕ (s1 ) , . . . , ϕ (sm )) = wG (s1 , . . . , sm‬‬
‫טענה ‪) :23‬התכונה האוניברסלית(‪ :‬תהי ‪ H ,G = hS|Ri‬חבורות והעתקה ‪ ϕ : S → H‬כך ש־‪ ,ϕ (s) = s‬אז‬
‫קיים הומומורפיזם ‪ ψ : G → H‬שמרחיב את ‪ ϕ‬אם ורק אם האיברים ‪ s‬מקיימים את היחסים שב־‪ ,R‬הווה אומר‪,‬‬
‫לכל מלה ‪ w (s1 , . . . , sm ) ∈ R‬האיבר ) ‪ wH (s1 , . . . , sm‬הוא טריוויאלי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬בכיוון הראשון )"אם"( אם קיים הומומורפיזם ‪ ψ‬שמרחיב את ‪ ,ϕ‬אזי = )) ‪ψ (w (s1 , . . . , sm‬‬
‫‪ wH (s1 , . . . , sm ) = 1‬ומכאן אנחנו מקבלים )‪ R ⊆ ker ψ C F (S‬אבל לכן ‪ .hhRii ≤ ker ψ‬מכאן ‪ψ‬‬
‫‪ϕ‬‬
‫‪ψ‬‬
‫‪w‬‬
‫∼ ‪F(S)/hhRii‬‬
‫מתפרק ולכן יש לנו הדיאגרמה הבאה ‪ .F(S)/hhRii → H ,F (S) → F(S)/hhRii ,F (S) → H‬אבל =‬
‫‪ .hS|Ri = G‬כיוון שני )"רק אם"( — אם קיים הומומורפיזם ‪ ψ‬אזי ) ‪ψ (wG (s1 , . . . , sm )) = wH (s1 , . . . , sm‬‬
‫ניתן כתרגיל‪.‬‬
‫תרגיל ‪ :24‬לזהות את החבורות הבאות )אלו אמורות להיות חבורות מוכרות(‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‬
‫‪a, b, c|a2 cb−1 = aba−1 b−1‬‬
‫
‬
‫‬
‫‪a, b|aba−1 b−1 , a4‬‬
‫
‬
‫‬
‫‪a, b, c|a2 , b2 , c2 , abc‬‬
‫
‬
‫‬
‫‪r, s|r6 , srs−1 = r−1‬‬
‫
‬
‫המטרה של התרגיל היא להראות שלא תמיד קל לזהות מההצגה את החבורה‪ .‬זה אכן מגדיר‪ ,‬אבל לא בהכרח‬
‫נותן את הצורה המוכרת‪ .‬גם לא קל לדעת אם ‪ 2‬הצגות נותנות את אותה החבורה‪ .‬אלו שאלות שבמחקר‬
‫שעדיין לא יודעים את התשובות על כולן‪.‬‬
‫השערה ‪) :25‬בעיית ברנסייד — ‪ :(1902‬אנחנו קובעים ‪ m, n ∈ N‬ומגדירים ‪.ha1 , . . . , am |w (a1 , . . . , am )n = 1i‬‬
‫השאלה היא האם החבורה הזו סופית?‬
‫עובדה ‪ :26‬ברנסייד עצמו הוכיח שהתשובה חיובית אם ‪ .n = 2, 3‬סאנוב )‪ (Sanov‬הוכיח עבור ‪ .n = 4‬הול‬
‫)‪ (Hall‬הוכיח עבור ‪ .n = 5‬ובסופו של דבר נוביקוב ואדיאן )‪ (Novikov & Adian‬הוכיחו ב־‪ 1968‬שלא עבור‬
‫‪ m ≥ 2‬אם ‪ n ≥ 667‬ואיזוגי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ :27‬להוכיח את משפט ברנסייד ל־‪.n = 2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4.1‬‬
‫‪4‬‬
‫אלגוריתם לזיהוי שוויון הצגות‬
‫הצגות )‪ (Presentation‬של חבורות‬
‫הגדרה ‪ G :28‬חבורה נוצרת־סופית אם יש לה קבוצת יוצרים סופית‪.‬‬
‫מסקנה ‪ :29‬לקבוצה נוצרת־סופית יש הצגה ‪ hS|Ri‬עם ‪ S‬סופי‪.‬‬
‫הגדרה ‪ G :30‬מוצגת־סופית אם יש לה הצגה ‪ hS|Ri‬עם ‪ S, R‬סופיות‪.‬‬
‫הערה ‪ :31‬חבורה נוצרת־סופית היא בת־מנייה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ :32‬האם כל חבורה שהיא בת־מנייה נוצרת־סופית?‬
‫בעיה ‪ :33‬חבורה שהיא מוצגת־סופית היא גם נוצרת־סופית‪ .‬האם קיימת חבורה שהיא נוצרת־סופית ולא‬
‫מוצגת־סופית? )נענה עליה בהמשך הקורס(‪.‬‬
‫‪4.1‬‬
‫אלגוריתם לזיהוי שוויון הצגות‬
‫הגדרה ‪ :34‬פונקציה )חלקית( רקורסיבית היא פונקציה ‪ f : D⊆N → N‬ש־"ניתן לחשוב"‪ ,‬זאת אומרת‪ ,‬שקיימת‬
‫מכונת־טיורינג )שלא תוגדר בקורס הזה‪ ,‬אלא בלוגיקה מתמטית )‪ (2‬או בחישוביות( שלוקחת קלט ) ‪(a1 , . . . , ak‬‬
‫ומחזירה כפלט ) ‪) f (a1 , . . . , ak‬אם ‪ ((a1 , . . . , ak ) ∈ D‬או לא עוצרת )אם ‪.((a1 , . . . , ak ) ∈/ D‬‬
‫עובדה ‪ :35‬ניתן להגדיר את המחלקה של הפונקציות הרקורסיביות כמחלקה הקטנה ביותר שמכילה את‬
‫הפונקציות הקבועות‪ ,‬הפונקציות של הטלה לקואורדינטה‪ ,‬פונקציית העוקב; וסגורה תחת הרכבת פונקציות‪,‬‬
‫הגדרה רקורסיבית‪ ,‬אופטרטור החיפוש ‪ — µ‬מחזיר פונקציה שעבורה הקלט נותן תוצאה מזערית‪.‬‬
‫טענה ‪ :36‬קיימת פונקציה שאינה רקורסיבית‪ .‬לא נוכיח טענה זאת כאן‪ .‬ניתן לקרוא עליה יותר תחת "בעיית‬
‫העצירה"‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫הגדרה ‪ :37‬תהי ‪ .D ⊆ N‬אומרים ש־‪ D‬רקורסיבית אם הפונקציה האופיינית שלה רקורסיבית‪.‬‬
‫אומרים ש־‪ D‬ניתנת למנייה רקורסיבית )בראשי־תיבות — נל"ר( אם כאשר תכנת מחשב מקבלת איבר‬
‫כלשהו‪ ,‬היא תיתן מתישהו תשובה חיובית אם הוא איבר בקבוצה‪ ,‬או שאם לא תמשיך לרוץ ללא עצירה‪.‬‬
‫עובדה ‪ :38‬קיימת קבוצה שניתנת למנייה רקורסיבית שאינה רקורסיבית )לא נוכיח כאן(‪.‬‬
‫הגדרה ‪ S :39‬קבוצה של אותיות בת־מנייה )סופית או אינסופית( ונבחר סדר על ‪ S‬שנרחיב על ‪.S ∪ S −1‬‬
‫נגדיר ‪ Ws‬להיות קבוצה של המילים ב־ ‪ .S‬הסדר המילוני על ‪ Ws‬נותן לנו פונקציה "סבירה" )=רקורסיבית(‬
‫‪ f : Ws → N‬שהיא על וחח"ע‪ .‬אומרים ש־ ‪ D ⊆ WS‬רקורסיבית אם )‪ f (D‬רקורסיבית‪ .‬אותה הגדרה גם לגבי‬
‫נל"ר‪.‬‬
‫‪4.2‬‬
‫בעיית ההחלטה של דהן )‪(Max Dehn‬‬
‫בעיה ‪) :40‬בעיית המלה(‪ :‬האם יש אלגוריתם שלוקח הצגה סופית ‪ hS|Ri‬של חבורה ‪ ,G‬ומלה ) ‪w (s1 , . . . , sn‬‬
‫ומחליט האם ‪?wG (s1 , . . . , sn ) = 1G‬‬
‫הערה ‪ :41‬במונחים שהגדרנו זה שקול ללשאול ‪ -‬האם ‪ hhRii‬רקורסיבי?‬
‫ניתן למצוא אלגוריתם שעוצר אם ורק אם ‪ ,wG (s1 , . . . , sn ) = 1‬שכן ראינו כי ‪ wG (s1 , . . . , sn ) = 1‬אם‬
‫‪Q‬‬
‫‪ .w (s1 , . . . , sn ) = ki=1 ui (s) ri±1 (s) u−1‬האלגוריתם מונה את‬
‫ורק אם ‪ w ∈ hhRii‬וזה אם ורק אם )‪i (s‬‬
‫המילים שהם צמצום של מכפלה כזאת לפי סדר מילוני‪ .‬זאת אומרת ‪ hhRii -‬נל"ר‪.‬‬
‫הגדרה ‪ :42‬אם ‪ R‬ריק‪ ,‬אז יש אלגוריתם מחליט‪.‬‬
‫הערה ‪ :43‬קל לראות שיש אלגוריתם שמצמצם מלה‪.‬‬
‫בעיה ‪) :44‬בעיית ההצמדה(‪ :‬שאלה שקולה‪ :‬למצוא אלגוריתם שמחליט מתי ‪ 2‬מלים ‪ w, w0‬מייצגות את אותו‬
‫האיבר‪.‬‬
‫האם יש אלגוריתם שלוקח הצדה סופית ‪ G = hS|Ri‬ו־‪ 2‬איברים האם האיברים ) ‪ wG (s1 , . . . , sm‬ו־‬
‫‪0‬‬
‫) ‪ wG (s1 , . . . , sm‬צמודים ב־‪.G‬‬
‫תרגיל ‪ :45‬להראות שיש אלגוריתם שעוצר אם ורק אם האיברים צמודים‪.‬‬
‫הערה ‪ :46‬בעיית ההצמדה יותר קשה מבעיית המלה‪ .‬פתרון לראשונה הוא גם פתרון לשנייה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬נוכל‬
‫לבדוק האם מלה צמודה לאיבר היחידה‪ ,‬וכך נדע אם היא שווה ל־‪.1‬‬
‫בעיה ‪) :47‬בעיית האיזומורפיזם(‪ :‬האם יש אלגוריתם שלוקח ‪ 2‬הצגות סופיות ‪ hS1 |R1 i‬ו־‪ hS2 |R2 i‬ומחליט‬
‫האם החבורות איזומורפיות‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫בניית חבורות חדשות‬
‫בניית חבורות חדשות‬
‫ישנן דוגמאות בסיסיות לחבורות‪ ,‬כגון ‪ Z‬או ‪ ,Q‬וגם ‪ ,Z/nZ‬וגם אנחנו מכירים את חבורות התמורות ‪ Sn‬כחבורה‬
‫שפועלת על קבוצות איברים‪ .‬אבל מעבר לזה יש המון חבורות‪ ,‬ואחת השאלות היא איך יוצרים חבורות חדשות‬
‫מחבורות חדשות‪.‬‬
‫דוגמה ‪ :48‬בהינתן שתי חבורות נתונות ניתן להשתמש במכפלה הקרטזית שלהן — ‪ ,A × B‬במכפלה החצי ישרה‬
‫שלהן‪ ,‬בחבורת מנה ועוד‪.‬‬
‫‪A∗B‬‬
‫הגדרה ‪ A, B :49‬חבורות‪ .‬המכפלה החופשית של ‪ A‬ו־ ‪ B‬היא החבורה עם איברים מהצורה‬
‫}‪A ∗ B = {u1 u2 . . . un |ui ∈ A\ {1A } ∪ B\ {1B } ∧ ui ∈ A ⇐⇒ ui+1 ∈ B‬‬
‫והפעולה היא שרשור וצמצום כמו שראינו בחבורה החופשית‪.‬‬
‫טענה ‪) :50‬ללא הוכחה( זו חבורה‪.‬‬
‫∼ ‪Z∗Z‬‬
‫תרגיל ‪ :51‬המכפלה החופשית של השלמים עם עצמם איזומורפית לחבורה חופשית על שני איברים — =‬
‫)}‪F ({a, b‬‬
‫הערה ‪:52‬‬
‫‪ A ∪ B .1‬מייצר את ‪.A ∗ B‬‬
‫‪ .2‬מכפלה ‪ u1 . . . ur‬כך ש־ ‪ ui ∈ A ⇐⇒ ui+1 ∈ B‬היא לא טריוויאלית אם ‪.r ≥ 1‬‬
‫טענה ‪ :53‬תהי ‪ G‬חבורה ‪ A, B ≤ G‬כך ש־‪ 1‬ו־‪ 2‬מתקיימים‪ ,‬אזי ‪ G‬איזומורפית ל־ ‪.A ∗ B‬‬
‫הוכחה‪ :‬נגדיר ‪ .ϕ : A ∗ B → G‬איבר במקור הוא סדרה סופית שמקיימת את התנאים‪ ,‬ונוכל לכפול אותם‬
‫כאיברים ב־‪ G‬ולקבל איבר ב־‪ .G‬הומומורפיזם קל לראות‪ .‬על מגיעה מ־‪ .1‬חח"ע מ־‪.2‬‬
‫תרגיל ‪ .G = A ∗ B :54‬להראות שלכל ‪ a ∈ A‬אז ‪.G = A ∗ aBa−1‬‬
‫טענה ‪) :55‬התכונה האוניברסלית(‪ H .G = A∗B :‬חבורה‪ .‬לכל הומומורפיזמים ‪ ϕA : A → H‬ו־ ‪ϕB : B → H‬‬
‫יש הומומורפיזם ‪ ϕ : A ∗ B → H‬כך ש־ ‪ ϕ|A = ϕA‬ו־ ‪ ϕ|B = ϕB‬והוא יחיד‪.‬‬
‫‪A ∗C B‬‬
‫הגדרה ‪ :56‬תהיינה ‪ A, B, C‬חבורות )כאשר אנחנו חושבים על ‪ C‬כתת־חבורה של ‪ A‬ו־ ‪ ,B‬כלומר‪jA : C ,→ A (:‬‬
‫ו־ ‪ jB : C ,→ B‬שני מורפיזמים חח"ע‪ .‬המכפלה הממוזגת המסומנת ‪ A ∗C B‬או ‪ A ∗jA (c)=jB (c) B‬של ‪ A‬ו־ ‪B‬‬
‫מעל ‪ C‬היא המנה‪:‬‬
‫‪π‬‬
‫‪A × B −→ A∗B/hh{cA c−1‬‬
‫‪B |c∈C}ii‬‬
‫למה ‪ x1 , . . . , xn ∈ A\ {1A } ∪ B\ {1B } :57‬כך שהסדרה מתחלפת ) ‪ .(xi ∈ A ⇐⇒ xi+1 ∈ B‬אם קיים‬
‫‪ g ∈ A ∗ B‬כך ש־‪ g = x1 . . . xn ∈ ker π‬אז יש ‪ i‬כך ש־)‪ xi ∈ jA (c‬או )‪.xi ∈ jB (c‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ .g = hcA c−1‬אנחנו עובדים במכפלה החופשית ולכן ‪ h ∈ A ∗ B‬ולכן‬
‫הוכחה‪ :‬נדבר רק על המקרה של‬
‫‪B h‬‬
‫‪ .h = α1 β1 . . . αs βs‬נכתוב את ‪ g‬ונקבל‪:‬‬
‫‪ −1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪g = α1 β1 . . . αs βs cA c−1‬‬
‫‪αs . . . α1−1‬‬
‫‪B βs‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ c−1‬אז כתבתנו את ‪ g‬כסדרה מתחלפת של איברים ב־ ‪ A, B‬ואחד מהאיברים בסדרה שייך‬
‫אם ‪6= 1‬‬
‫‪B βs‬‬
‫ל־)‪.jA (c‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ c−1‬אז צריך להמשיך בצמצום‪ .‬ואז חוזרים לשלב הקודם‪ ,‬אם יש לנו כפל ששונה מ־‪ 1‬אז‬
‫‪β‬‬
‫=‬
‫אם ‪1‬‬
‫‪B s‬‬
‫סיימנו כמו קודם‪ .‬אם לא‪ ,‬ממשיכים לצמצם‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪5‬‬
‫בניית חבורות חדשות‬
‫הערה ‪ π|A :58‬ו־ ‪ π|B‬חח"ע‪ .‬למה? כי עבור ‪ ,a ∈ A‬אם ‪ a ∈ ker π‬אזי )‪) a ∈ jA (c‬ההסבר נקטע עם סוף‬
‫השיעור‪ ,‬המשך יבוא‪.(...‬‬
‫הגדרה ‪ :59‬צורה סטנדרטית של ‪ (A-normal form) A‬עבור ‪ g ∈ A ∗C B‬היא סדרה ‪ x0 , . . . , xn‬כך שמתקיים‪:‬‬
‫• ‪ x0 = c0A‬עבור איזשהו ‪.c0 ∈ C‬‬
‫• }‪xi ∈ {ai |i ∈ I} ∪ {bj |j ∈ J‬‬
‫• ‪π (x0 x1 . . . xn ) = g‬‬
‫טענה ‪ :60‬כל איבר ב־ ‪ g ∈ A ∗C B‬מקבל צורה נורמלית‬
‫הוכחה‪ :‬קיום‪ :‬יהא ‪ u1 . . . un‬איבר ב־ ‪) A ∗C B‬כך שה־ ‪ ui‬המתחלפים בין ‪ A‬ל־ ‪ B‬אינם טריוויאלים(‪ .‬נוכיח‬
‫באינדוקציה על ‪ n‬שקיימת צורה נורמלית ‪ x0 , . . . , xl‬עבור ) ‪ π (u1 , . . . , un‬עם ‪ x1 ∈ A‬אם ורק אם ‪.u1 ∈ A‬‬
‫ואכן‬
‫‬
‫) ‪π (u1 , . . . , un ) = π (u1 ) π (u2 . . . un ) = π (u1 ) π (x0 x1 . . . xm ) = π u1 c0A π (x1 . . . xm‬‬
‫אם ‪ u1 ∈ A‬אזי ‪ u2 ∈ B‬ולכן ‪ x1 ∈ B‬ולכן פשוט נכתוב ‪ u1 c0A = y0 y1‬עבור ‪ y0 ∈ CA‬עם }‪y1 ∈ {ai |i ∈ I‬‬
‫ונקבל צורה נורמלית‪ .‬אם ‪ u1 ∈ B‬אזי ‪ x1 ∈ A‬ונשים לב ש־ ‪ ,π u1 c0A = π u1 c0B‬ולכן נמשיך באופן דומה‬
‫עם ‪ .u1 c0B‬האורך של הצורה הנורמלית של ) ‪ π (u1 . . . un‬הוא לכל הפחות ‪ n‬אם האיברים ‪ ui‬אינם שייכים‬
‫ל־ ‪ CA‬או ‪.CB‬‬
‫יחידות‪ :‬נסתכל על הקבוצה ‪ WA‬של כל הצורות ה־‪A‬־נורמליות‪ .‬נבנה פעולה של ‪ A‬על ‪ WA‬על ידי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪(ax0 , x1 , . . . , xn ) if a ∈ CA‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫∈ ‪(ax , x , . . . , x ) if a‬‬
‫‪/ CA ∧ x1 ∈ B ∧ ax0 = ax0 aj‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫= ) ‪a · (x0 , x1 , . . . , xn‬‬
‫‪‬‬
‫∈ ‪(ax0 x1 , . . . , xn ) if a‬‬
‫‪/ CA ∧ x1 ∈ A ∧ ax0 x1 ∈ CA‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫∈ ‪(ax0 x1 , . . . , xn ) if a‬‬
‫∈ ‪/ CA ∧ x1 ∈ A ∧ ax0 x1‬‬
‫‪/ CA ∧ ax0 x1 = ax0 x1 aj‬‬
‫‪ P‬פעולה של ‪ B‬על ‪ .WA‬לפי התכונה האוניברסלית של מכפלות‬
‫זו פעולה )בדוק!(‪ .‬באופן דומה נגדיר‬
‫‪cA c−1‬‬
‫חופשיות‪ ,‬מתקבל לנו הומומורפיזם ) ‪(WA‬‬
‫→ ‪ ,A ∗ B‬קבוצת כל התמורות על ‪ .WA‬האיברים מהצורה ‪B‬‬
‫פועלים טריוויאלית על ‪ ,WA‬לכן זה מורפיזם של ‪ .A ∗C B‬עבור ‪ ,g ∈ A ∗C B‬נסתכל על ) ‪,(x0 , x1 , . . . , xn‬‬
‫הצורה הסטנדרטית של ‪ .g‬לכן נוכל לראות כי ) ‪ ,g · (1) = (x0 , x1 , . . . , xn‬לכן לא יכולה להיות צורה נורמלית‬
‫אחרת עבור ‪ g‬שכן )‪ g · (1‬נקבע ביחידות‪.‬‬
‫מסקנה ‪ :61‬ההעתקה ‪ π|B : B → A ∗C B ,π|A : A → A ∗C B‬הוא שיכון‪ .‬לכן ניתן להסתכל על ‪A, B‬‬
‫כתת־חבורות של ‪ .A ∗C B‬מעתה והלאה נשתמש ב־‪ abuse of notation‬הזה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ ,a ∈ A‬נוכל לכתוב את ‪ a‬בתור ‪ aai‬עבור ‪ .a ∈ CA‬כעת אם ‪ ,π (a) = 1‬אזי הצורה הנורמלית‬
‫של ‪ 1‬היא גם הצורה הנורמלית של )‪ .π (a‬אבל הצורה הנורמלית יחידה עבור ‪ 1‬היא )‪ ,(1‬ולכן קיבלנו כי‬
‫‪ ai = a = 1‬ולכן ‪.a = 1‬‬
‫מסקנה ‪ :62‬עבור ‪ u0 , u1 , . . . , ur‬כך ש־‪ ui ∈ A\C ∪ B\C ,u1 ∈ A ∪ B ,r ≥ 1‬עבור ‪ i ≥ 1‬ו־‪ ui ∈ A‬אם‬
‫ורק אם ‪ .ui+1 ∈ B‬אזי המכפלה ‪ u0 u1 . . . ur‬אינה בגרעין של ‪.π‬‬
‫הוכחה‪ :‬בהוכחת הקיום של הצורה הנורמלית ראינו שהצורה הנורמלית של ) ‪ π (u0 u1 . . . ur‬היא מאורך ‪.r‬‬
‫מיחידות זו אינה הצורה הנורמלית של ‪ ,1‬ולכן ‪.π (u0 u1 . . . ur ) 6= 1‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמה ‪:63‬‬
‫‪ SL2 (Z) = Z/6Z ∗Z/2Z Z/4Z .1‬עם ‪−1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  0‬שיוצר את החבורה הראשונה ו־‪1 ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫שיוצר את החבורה השנייה‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪5‬‬
‫בניית חבורות חדשות‬
‫‪ .2‬למת ון־קמפן‪.‬‬
‫בנייה נוספת קשורה היא הרחבת ‪ :HN N‬בהינתן חבורה עם שתי תת־חבורות איזומורפיות‪ ,‬הוספת איבר‬
‫ש־"מכריח אותן" להיות צמודות‪.‬‬
‫הגדרה ‪ A, C :64‬חבורות ונניח שקיימים שני שיכונים ‪ ϕ1 : A → C‬ו־ ‪ ϕ2 : A → C‬כך ש־ ‪ϕ1 (c) = c1‬‬
‫ו־ ‪ .ϕ2 (c) = c2‬הרחבת ‪ HNN‬של ‪ A‬מעל ‪ C‬היא המנה של המכפלה החופשית ‪ A ∗ hti‬עם התת־חבורה‬
‫‪ ,tc1 t−1 c−1‬היא מסומנת ‪ A∗C‬או על ידי ‪) A∗C1 =C2‬וזהו כרגיל‬
‫הנורמלית שנוצרת על ידי האיברים מהצורה ‪2‬‬
‫‪.(Abuse of notation‬‬
‫נבחר מערכת של נציגים }‪ {ai |i ∈ I‬עבור ‪ C1‬ב־‪ ,A‬ו־}‪ {aj |i ∈ J‬עבור ‪ C2‬ב־‪ A‬כך ש־= ‪A = ti∈I C1 ai‬‬
‫‪.tj∈J C2 aj‬‬
‫הערה ‪ atk a0 :65‬איבר ב־‪ .A ∗ hti‬אם ‪ k > 0‬נכתוב ‪ a0 = a0 ai‬עבור ‪ ,a0 = c1 ∈ C1‬ו־ ‪ a = aaj‬עבור ‪a ∈ C1‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪π atk a0 = π atk−1 π ta0 t−1 π (aj ) = π atk−1 c2 aj‬‬
‫ונוכל לחזור על הפעולה )נכתוב ‪ c2 = c2 al‬עבור ‪.c2 ∈ C1‬‬
‫אם ‪ k < 0‬נעשה דבר דומה ונכתוב ‪ a0 = a0 αi‬עבור ‪.a0 = c1 ∈ C1‬‬
‫נגדיר את הצורה הנורמלית עבור ‪ g ∈ A∗C‬כסדרה ) ‪ (x0 , t1 , x1 , . . . , tn , xn‬עבור }‪ i ∈ {±1‬כך ש‪:‬‬
‫‪x0 ∈ A .1‬‬
‫‪ xl .2‬הוא איבר של ‪ {ai }i∈I‬אם ‪ l > 0‬או איבר של ‪ {aj }j∈J‬אם ‪ l < 0‬ולא טריוויאלי אם ‪i < r‬‬
‫‪ .3‬אין תת־סדרה מהצורה ‪t , 1, t−‬‬
‫‪π (x0 t1 x1 . . . tn xn ) = g .4‬‬
‫הערה ‪ :66‬המספר ‪ n‬ייקרא האורך של הצורה הנורמלית‪.‬‬
‫נוכל להוכיח כמו במקרה של מכפלה ממוזגת‪:‬‬
‫טענה ‪ :67‬איבר ‪ g ∈ A∗C‬מקבל צורה נורמלית יחידה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬קיום — אם ‪ h = u0 t1 u1 . . . tm um‬איבר של ‪ A ∗ hti‬נכתוב מחדש מימין לשמאל כדי לקבל את‬
‫הצורה הנורמלית עבור )‪:π (h‬‬
‫‪ .1‬נכתוב מחדש את האיבר ‪ a ∈ A‬שאינו ‪ {ai }i‬או ‪ {αj }j‬כ־ ‪ c1 ai‬או ‪) c2 αj‬תלוי במעריך של ה־‪ t‬המוביל(‪.‬‬
‫‪ .2‬נחליף ‪ tc1‬ב־‪ ,c2 t‬או שנחליף את ‪ t−1 c2‬על ידי ‪.c1 t−1‬‬
‫יחידות — אותה הוכחה כמו במכפלה ממוזגת‪.‬‬
‫מסקנה ‪ :68‬ההומומורפיזם ‪ π|A‬הוא חח"ע‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ ,a ∈ A‬הצורה הנורמלית של )‪ π (a‬היא ‪ .a‬לכן אם ‪ π (a) = 1‬נקבל ‪.a = 1‬‬
‫למה ‪) 69‬הלמה של בריטון(‪ h ∈ A ∗ hti :‬אזי ניתן לכתוב את ‪ h‬בתור ‪ h = u0 t1 u1 . . . tm um‬כאשר ‪,u ∈ A‬‬
‫‪ .m ≥ 1‬אם ‪ ,h ∈ ker π‬אז במלה הזו קיים ‪ i‬כך ש־‪ i+1 = −1 ,i = 1‬ו־ ‪ ui ∈ C1‬או הפוך‪,i = −1 ,‬‬
‫‪ i+1 = 1‬ו־ ‪.ui ∈ C2‬‬
‫טענה ‪ :70‬אם ‪ f ∈ A∗c‬מסדר סופי‪ ,‬אז ‪ f ∈ Ag‬ל־ ‪.g ∈ A∗c‬‬
‫הוכחה‪ :‬נכתוב את ‪ f‬כתמונה על ידי ‪ . f = π (u0 t0 . . . tm um ) — π‬עד כדי הצמדה של ‪ f‬ניתן להניח‪:‬‬
‫‪11‬‬
‫‪6‬‬
‫פתרונות לתרגילים‬
‫• ‪ .um = 1‬הצמדה על ידי ) ‪.π (um‬‬
‫• אם ‪) u0 ∈ C1‬זה אחרי ההצמדה!(‪ ,‬אז או ש־‪ 1 = 1‬או ‪ .m = −1‬אם ‪ u0 ∈ C2‬אז ‪ 1 = −1‬או‬
‫ש־‪.m = 1‬‬
‫עכשיו ‪ .f k = 1‬נכתוב )) ‪ .f k = π ((u0 t0 . . . tm ) (u0 t0 . . . tm ) . . . (u0 t0 . . . tm‬עכשיו נשתמש‬
‫בבריטון מספר פעמים רצוף‪ .‬לא רק שבתוך כל מלה בנפרד אין ‪ pinch‬לפי בריטון‪ ,‬אלא גם ‪,tm u0 t1 6= 1‬‬
‫אבל זו סתירה כי זה אמור להיות שווה ל־‪ ,1‬ולכן ‪ m = 0‬ז"א ‪.f ∈ π (u0 ) ∈ A‬‬
‫תרגיל ‪ :71‬להוכיח שאיבר מסדר סופי במכפלה חופשית ‪ A ∗ B‬צמוד לאיבר של ‪ A‬או של ‪.B‬‬
‫‪6‬‬
‫פתרונות לתרגילים‬
‫יש חבורה בת־מנייה שהיא לא נוצרת־סופית‪.‬‬
‫טענה ‪ :72‬כל חבורה בת־מנייה מקבלת שיכון בחבורה נוצרת־סופית‪.‬‬
‫בת־מנייה‪ ,‬ותהא } ‪ {a0 , a1 , . . .‬מנייה שלה‪ .‬נגדיר את החבורה ‪) A = G ∗ hsi‬אנחנו‬
‫הוכחה‪ :‬תהא ‪ G‬חבורה ‬
‫מוסיפים אות(‪ ,‬ונגדיר את ‪ S = a0 , sa1 s−1 , s2 a2 s−2 , . . .‬זו קבוצה בת־מנייה וניתן להוכיח שהיא חופשית‬
‫ב־‪ .A‬נגדיר‬
‫
‬
‫‬
‫∼ ‪H1 = a0 , sa1 s−1 , s2 a2 s−2 A‬‬
‫‪= Fω‬‬
‫)איזומורפית לחבורה החופשית מסדר אומגה(‪ .‬נגדיר כעת‬
‫
‬
‫‬
‫∼ ‪H2 = sa1 s−1 , s2 a2 s−2 , . . . A‬‬
‫‪= Fω‬‬
‫לכן שתי החבורות איזומורפיות‪ .‬נקח‪:‬‬
‫
‬
‫‬
‫‬
‫‪A, t|ta0 t−1 = sa1 s−1 , t sa1 s−1 = s2 a2 s−2 , . . .‬‬
‫
‬
‫‬
‫‬
‫‪G, s, t|ta0 t−1 = sa1 s−1 , t sa1 s−1 = s2 a2 s−2 , . . .‬‬
‫=‬
‫‪A∗H1 =H2‬‬
‫=‬
‫החבורה הזו נוצרת על ידי ‪ s, t, a0‬לפי כללי המעבר שלנו ו־‪ G‬תת־חבורה שלה‪.G ≤ A ≤ A∗H1 =H2 ,‬‬
‫בעיה ‪ :73‬האם אפשר לכל חבורה בת־מנייה למצוא שיכון בתוך חבורה מוצגת־סופית?‬
‫טענה ‪ :74‬הקבוצה של החבורות הנוצרות־סופית היא לא בת־מנייה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נגדיר ‪ P‬להיות המספרים הראשוניים‪ .‬לכל ‪ P ⊂ P‬אינסופית נבנה חבורה ‪ GP‬שנוצרת סופית‪ .‬אז‬
‫נראה שאם נקח ‪ P, Q ⊂ P‬שונים‪ ,‬אזי ‪ GP‬ו־ ‪ GQ‬לא יהיו איזומורפיות‪ .‬נגדיר‬
‫‪ZP = ⊕ Z/pZ‬‬
‫‪p∈P‬‬
‫החבורה הזו לא נוצרת־סופית‪ ,‬אז נשתמש באותו טריק כמו קודם ונגדיר ‪ .Ap = ZP ∗ hsi‬מהטענה קודם נקבל‬
‫‪ZP ≤ AP ≤ AP ∗H1 =H2 = GP‬‬
‫מכאן ‪ GP‬נוצרת סופית‪ .‬נניח ש־‪ P 6= Q‬אזי יש ‪ p ∈ P‬כך ש־‪ .p ∈/ Q‬מהבנייה של ‪ ZP‬יש בה תת־חבורה‬
‫מסדר ‪ ,p‬בעוד ב־ ‪ ZQ‬אין‪ ,‬ולכן גם ב־ ‪ GP‬ולא ב־ ‪ .GQ‬אם הן איזומורפיות‪ ,‬אזי יש איבר ‪ f ∈ GQ‬מסדר ‪.p‬‬
‫מההוכחה אחרי הלמה של בריטון נובע שמתקיים‬
‫‪f ∈ AQ = ⊕ Z/qZ ∗ hsi‬‬
‫‪q∈Q‬‬
‫לכן אם יש איבר מסדר־סופי הוא צריך להיות באחד הצדדים של המכפלה החופשית‪ .‬בצד ימין אין אף איבר‬
‫מסדר סופי‪ ,‬ובצד שמאל יש רק איברים מסדר ‪ ,q ∈ Q‬ובסתירה‪ .‬לכן הן לא איזומורפיות‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫‪6‬‬
‫פתרונות לתרגילים‬
‫טענה ‪ :75‬יש מספר בן־מנייה של חבורות מוצגות־סופית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נכתוב‬
‫}‪Mn = {hS|Ri | |S| , |R| ≤ n ∧ for all r ∈ R the length of n as a word in S is ≤ n‬‬
‫‪S‬‬
‫ונקבל ‪ n∈N Mn‬קבוצת כל ההצגות הסופיות‪ .‬זה איחוד בן־מנייה של קבוצות סופיות ולכן הוא בן־מנייה‪.‬‬
‫מסקנה ‪ :76‬יש חבורות נוצרות־סופית שאינן מוצגות־סופית‪.‬‬
‫בעיה ‪ :77‬הטענות שהוכחנו מעלות שאלה‪ :‬האם אפשר למצוא לכל חבורה נוצרת־סופית שיכון בתוך חבורה‬
‫מוצגת־סופית?‬
‫הערה ‪ :78‬נספור את התת־חבורות הנוצרות־סופית של חבורה מוצגת־סופית — ‪ ,G = hS|Ri‬נסמנם‬
‫}‪VGn = {hh1 , . . . , hk iG |k ≤ n ∧ ∀i hi ≤ n as a word in S‬‬
‫נסתכל על‬
‫[‬
‫‪VGn‬‬
‫[‬
‫=‪G‬‬
‫‪finite representation n∈N‬‬
‫‪hS|Ri‬‬
‫בת־מנייה‪ .‬לכן התשובה לשאלה היא שלילית‪.‬‬
‫משפט ‪) 79‬היגמן‪ :(1961 ,‬חבורה נוצרת־סופית ניתנת לשיכון בחבורה מוצגת־סופית אם ורק אם יש לה הצגה‬
‫רקורסיבית‪.‬‬
‫הגדרה ‪ hS|Ri :80‬הצגה רקורסיבית אם ‪ S‬סופית ו־‪ R‬ניתנת למנייה רקורסיבית‪.‬‬
‫טענה ‪ :81‬יש חבורה נוצרת־סופית שבעיית המלה שלה לא פתירה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬עבור חבורה לא נוצרת־סופית‬
‫
‬
‫‬
‫‪G = t, a1 , a2 , . . . |tai t−1 = ai ⇐⇒ i ∈ D‬‬
‫כאשר ‪ D‬קבוצה לא רקורסיבית‪ G .‬הרחבת ‪ HN N‬של ‪) H = ha1 , a2 , . . . |i‬החבורה החופשית( עם‬
‫‪ .H1 = H2 = hai |i ∈ Di‬כעת נוכל להשתמש בלמת בריטון ולכן היחס ‪ tai t−1 = ai‬קיים ב־‪ G‬אם ורק אם‬
‫‪ tai t−1 a−1‬או לא‪ ,‬אזי הוא יודע להגיד‬
‫‪ .i ∈ D‬אלגוריתם שפותר את בעיית המלה ב־‪ G‬יודע להגיד אם ‪= 1‬‬
‫‪i‬‬
‫אם ‪ i ∈ D‬או לא‪ ,‬וזו סתירה‪.‬‬
‫לא סיימנו כי בחרנו חבורה שאינה נוצרת־סופית‪ .‬נגדיר כעת‬
‫
‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪G0 = t, a, b|t bi ab−i t−1 = bi ab−i ⇐⇒ i ∈ D‬‬
‫כעת ‪ G0‬נוצרת־סופית ובעיית המלה של גם לא פתירה‪.‬‬
‫מסקנה ‪ :82‬קיימת חבורה מוצגת־סופית שבעיית המלה שלה לא פתירה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נשתמש במשפט היגמן‪ .‬בהוכחה הקודמת אפשר לקחת את ‪ D‬לא רקורסיבית אבל ניתנת למנייה‬
‫רקורסיבית‪ .‬לכן לפי משפט היגמן ‪ G0‬תת־חבורה של חבורה מוצגת־סופית ‪ G00‬ואז בעיית המלה של ‪ G00‬לא‬
‫פתירה )תרגיל(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ H ,H ≤ G :83‬נוצרת־סופית עם בעיית המלה‪ ,‬לא פתירה‪ ,‬אז בעיית המלה של ‪ G‬גם לא פתירה‪.‬‬
‫טענה ‪ :84‬בעיית האיזומורפיזם לא ניתנת לפתרון כללי לחבורות מוצגות סופית‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫‪6‬‬
‫פתרונות לתרגילים‬
‫הוכחה‪ :‬נבנה קבוצה אינסופית של הצגות שאיזומורפיות רק אם תנאי לא רקורסיבי מתקיים‪ .‬יהי ‪ G‬מוצגת־‬
‫סופית‪ G = ha1 , . . . , am |Ri ,‬שבעיית המלה שלה אינה פתירה‪ .‬לכל מלה מצומצמת ‪ w‬ב־} ‪{a1 , . . . , am‬‬
‫נגדיר‪:‬‬
‫
‬
‫‬
‫‬
‫‪Hw = a1 , . . . , am , s, t|R, t si ai s−i t−i = si w (a1 , . . . , am ) s−i‬‬
‫‬
‫• אם ‪ w (a1 , . . . , am ) = 1‬ב־‪ G‬אזי ב־ ‪ t si ai s−i t−1 = 1 Hw‬ולכן ‪ .ai = 1‬אז ‪Hw = ha1 , . . . , am |∀1≤i≤m ai = 1i‬‬
‫ולכן זו החבורה החופשית מעל }‪.{s, t‬‬
‫‪ i‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫• אם ‪ w (a1 , . . . , am ) 6= 1‬ב־‪ G‬אזי ב־‪ ,G∗hsi‬הקבוצות ‪ si ai s−i |1 ≤ i ≤ m‬ו־ ‪s w (a1 , . . . , am ) s−i |1 ≤ i ≤ m‬‬
‫הן חופשיות )הוכחנו זאת קודם לכן(‪ ,‬אז תת־החבורות‬
‫‬
‫‪H1 = si ai s−i |1 ≤ i ≤ m‬‬
‫
‬
‫
‬
‫‬
‫‪H2 = si ws−i |1 ≤ i ≤ m‬‬
‫איזומורפיות ו־ ‪ Hw‬היא ההרחבת ‪ HN N‬המתאימה‪.‬‬
‫לכן ‪ G‬תת־חבורה של ‪) Hw‬הוכחנו שקיים שיכון קנוני במקרה של ‪ .(HN N‬לכן אין פתרון לבעיית המלה‬
‫של ‪ Hw‬ונקבל ש־ ‪ Hw‬אינה החבורה החופשית‪ .‬אם יש אלגוריתם שפותר את בעיית האיזומורפיזם על‬
‫החבורות ‪ Hw‬אזי הוא גם פותר את בעיית המלה של ‪.G‬‬
‫‪14‬‬
‫‪7‬‬
‫גרפי קיילי‬
‫חלק ‪II‬‬
‫חבורות כמרחבים‬
‫‪7‬‬
‫)‪lS (g‬‬
‫גרפי קיילי‬
‫הגדרה ‪ :85‬תהי ‪ G‬חבורה‪ S ,‬קבוצת יוצרים )נחשוב על ‪ S‬כסופית‪ ,‬אבל ההגדרות תקפות גם עבור ‪ S‬אינסופית(‪.‬‬
‫אורך המלה של איבר ‪ g ∈ G‬יחסית ל־ ‪ S‬זה‬
‫}}‪ls (g) = min {r|g = s11 . . . srr s.t. si ∈ S ∧ i ∈ {±1‬‬
‫מטריקת המילים על ‪ G‬יחסית ל־ ‪ S‬היא ‪.ds (g, h) = l g−1 h‬‬
‫‬
‫תרגיל ‪:86‬‬
‫‪ .1‬לבדוק מה זה מטריקה )למי שלא יודע(‪.‬‬
‫‪ .2‬לבדוק ש־ ‪ ds‬היא מטריקה‪.‬‬
‫הערה ‪:87‬‬
‫• ל־ ‪ ds‬יש ערכים ב־‪ ,N‬ולכן המטריקה דיסקרטית )אבל היא אינה המטריקה הדיסקרטית(‪.‬‬
‫• המטריקה לא משתנה על ידי כפל מצד שמאל — ) ‪ .ds (h1 , h2 ) = dS (gh1 , gh2‬לכן הפעולה של ‪ G‬על‬
‫עצמה על ידי מכפלה משמאל היא פעולה ע"י איזומטריות )‪ g 7→ (fg : G → G‬שמעבירה ‪ .h 7→ gh‬לכל‬
‫‪ f g ,g‬איזומטריה של ‪.dS‬‬
‫)‪X (G, S‬‬
‫הגדרה ‪ G :88‬חבורה ו־ ‪ S‬קבוצת יוצרים סופית שאינה מכילה את היחידה‪ .‬גרף קיילי של ‪ G‬המסומן )‪X (G, S‬‬
‫של ‪ G‬יחסית ל־ ‪ S‬הוא הגרף שקודקודיו הם איברים של ‪ G‬ובין שני קודקודים יש צלע אם ורק אם המרחק‬
‫ביניהם ‪.1‬‬
‫הערה ‪ :89‬זה גרף פשוט‪ ,‬ז"א אין לולאות )צלע מקדקוד לעצמו( ואין צלעות כפולות‪.‬‬
‫דוגמה ‪:90‬‬
‫שכניו‪.‬‬
‫• )‪ .S = {1} ,G = (Z, +‬הגרף הוא פשוט ציר ה־‪ Z‬ומכל קודקוד יוצאות ‪ 2‬צלעות לשני‬
‫• )‪ .S = {2, 3} ,G = (Z, +‬יש צלע בין כל שני איברים שרחוקים ‪ 2‬או ‪ 3‬אחד מהשני‪.‬‬
‫• ‪ .S = {(1, 0) , (0, 1)} ,G = Z2‬זה ייראה בדיוק כסריג השלמים הרגיל‪.‬‬
‫• ‪ .S = {1G } ,G = Z/nZ‬זה יהיה מעגל פשוט שמספר קודקודיו כמספר האיברים בחבורה‪.‬‬
‫למה ‪ :91‬גרף קיילי קשיר ורגולרי‬
‫הוכחה‪ S :‬מייצר‪ ,‬ולכן לכל ‪ g ∈ G‬יש מסלול בין איבר היחידה לבינו‪ .‬אפשר לכתוב את ‪g = s11 · · · · · srr‬‬
‫סמוכים בה יש צלע‪ ,‬מהגדרת הגרף‪ .‬לכן קשיר‪.‬‬
‫איברים‬
‫וקיבלנו מסלול באורך ‪ ,r‬שבין כל שני‬
‫‬
‫‬
‫)‪ X (G, S‬רגולרי כי לכל קדקוד ‪ g‬יש ‪ S ∪ S −1‬שכנים‪.‬‬
‫• הפעולה של ‪ G‬על עצמה )במכפלה משמאל( מגדירה פעולה של ‪ G‬על הקדקודים של‬
‫הערה ‪:92‬‬
‫)‪ X (G, S‬ויש לה הרחבה קנונית לפעולה על כל הגרף‪) .‬קיום צלע בין ‪ h1‬ל־ ‪ ,h2‬זה אומר ש־‬
‫‪ dS (h1 , h2 ) = 1‬ולכן לכל ‪ g ∈ G‬נשמר ‪ dS (gh1 , gh2 ) = 1‬וזה אומר שיש צלע‪ ,‬ולכן הגרף נשמר‪.‬‬
‫• אפשר לשים מטריקה על )‪ X (G, S‬בזה שמזהים כל צלע לקטע ]‪ [0, 1‬ב־‪) R‬לא מוסבר איך(‪ .‬אז אפשר‬
‫לראות שהפעולה שהגדרנו של ‪ G‬על )‪ X (G, S‬היא פעולה ע"י איזומורפיזם‪.‬‬
‫למה ‪ :93‬אם אין ב־ ‪ S‬איבר מסדר ‪ ,2‬אזי הפעולה של ‪ G‬על הגרף שלה חופשית‪.‬‬
‫הגדרה ‪ :94‬פעולה תיקרא חופשית אם ‪ g · x = x‬עבור נקודה מסויימת‪ ,‬אזי ‪ .g = 1G‬בלשון אחרת‪ ,‬פירושו‬
‫שאין מייצבים‪ .‬נשים לב‪ :‬זה יותר חזק מפעולה נאמנה‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫‪8‬‬
‫קוואזי־איזומטריות‬
‫הוכחה‪ x ∈ X ,g ∈ G :‬כך ש־‪.g · x = x‬‬
‫• ‪ x‬קדקוד‪ ,x ∈ G ,‬אזי ‪ ,gx = x‬וזו מכפלה ב־‪ G‬ולכן ‪.g = 1‬‬
‫• ‪ x‬היא צלע בין ‪ ,g · x = x .h, hs‬אזי }‪ .g · {h, hs} = {h, hs‬מכאן‪ ,‬או ש־‪ gh = h‬ו־‪ g · hs = hs‬אבל‬
‫אז מקבלים שוב ש־‪ .g = 1‬אחרת‪ ,‬אחרת‪ ,‬מתקיים ‪ gh = hs‬ו־‪ ,ghs = h‬ועל ידי הצבה נקבל ‪hss = h‬‬
‫ולכן ‪ ,s2 = 1‬וזה בסתירה‪ .‬לכן חופשית‪.‬‬
‫דוגמה ‪ .X (Z/2Z, {1}) :95‬בגרף יש שני איברים‪ ,‬המחוברים בצלע‪ .‬האיבר ‪ 1‬משמר צלע ואכן הוא איבר מסדר‬
‫‪.2‬‬
‫הערה ‪ :96‬אם ‪ S‬מקיימת ∅ = ‪) S ∩ S −1‬בפרט‪ ,‬אין ב־ ‪ S‬איבר מסדר ‪ ,(2‬אפשר לתייג את הצלע בין ‪ h‬ל־‪hs‬‬
‫עם ‪ s‬ולכוון אותה כ־)‪ .(h, hs‬הלכה למעשה אנחנו מוסיפים לגרף שלנו מידע על כיוון צלעות‪.‬‬
‫כעת אפשר לראות כי הפעולה של ‪ G‬על )‪ X (G, S‬שומרת את התגים ))‪.(g · (h, hs) = (gh, ghs‬‬
‫למה ‪ :97‬אם ‪ G‬חופשית מעל ‪ ,S‬אז )‪ X (G, S‬הוא עץ‬
‫הגדרה ‪ :98‬גרף יכונה עץ אם הוא קשיר וחסר־מעגלים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח שיש לנו מעגל ממש ב־)‪ ,X (G, S‬ופירושו סדרת קדקודים )‪(g, gs1 , gs1 s2 , . . . , gs1 . . . sn = g‬‬
‫ונניח שזהו המעגל הקצר ביותר‪ .‬מכך שמדובר במעגל מתקיים כי ‪ s1 · · · · · sn = 1‬המלה לא מצומצמת‪ .‬לכן‬
‫‪ .s−1‬מכאן מדובר שזה לא מעגל ממש‪ ,‬בסתירה‪.‬‬
‫יש ‪ i‬כך ש־ ‪= si+1‬‬
‫‪i‬‬
‫מסקנה ‪ :99‬חבורה חופשית פועלת חופשית על עץ‪.‬‬
‫בהמשך הקורס נראה כי זה נכון גם בכיוון השני‪.‬‬
‫טענה ‪ G :100‬חבורה ו־ ‪ S‬קבוצת יוצרים‪ ,‬כך ש־∅ = ‪ .S ∩ S −1‬אזי )‪ X (G, S‬עץ אם ורק אם ‪ G‬פועלת‬
‫חופשית על ‪.S‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסתכל על מלה ב־ ‪ S ∪ S −1‬מהצורה ‪ s11 . . . srr‬ב־)‪ ,F (S‬כאשר ‪ si ∈ S‬ו־}‪ .i ∈ {±1‬כעת נסתכל על‬
‫המסלול ‪ 1, s11 , s11 s22 , . . . , s11 . . . srr‬ב־)‪) X (G, S‬זהירות‪ ,abuse of notation :‬שכן כל איבר הוא גם של ‪G‬‬
‫וגם של )‪ .(F (S‬אם המכפלה היא ‪ 1‬ב־‪ ,G‬אזי המסלול הזה מעגל‪ .‬היות ש־)‪ X (G, S‬הוא עץ לפי ההנחה‪ ,‬סימן‬
‫‪i+1‬‬
‫‪i−1‬‬
‫‪i−1 i i+1‬‬
‫‪ si i si+1‬היא ‪ 1‬ב־‪ .G‬אם ‪i · i+1 = −1‬‬
‫‪ ,s11 . . . si−1‬ולכן המכפלה‬
‫‪si si+1 = s11 . . . si−1‬‬
‫שקיים ‪ i‬כך ש־‬
‫‪−1‬‬
‫אזי ‪ si = si+1‬ולכן המלה לא מצומצמת‪ .‬אם ‪ i i+1 = 1‬נקבל כי ∅ =‪ S ∩ S 6‬בניגוד להנחה‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬אם המלה מצומצמת‪ ,‬אזי האיבר של ‪ G‬שהוא מייצג אינו היחידה‪ ,‬ולכן ‪ S‬חופשי ב־‪ .G‬היות ש־ ‪ S‬יוצר‬
‫את ‪ ,G‬נקבל כי ‪ G‬פועלת חופשי על ‪.S‬‬
‫‪8‬‬
‫קוואזי־איזומטריות‬
‫גרפי־קיילי מכילים בעיה מובנית — הם תלויים בבחירת קבוצת היוצרים‪.‬‬
‫הגדרה ‪ :101‬יהיו ) ‪ (X, dX‬ו־) ‪ (Y, dY‬מרחבים מטריים‪ ,‬ו־‪ .D > 0 ,C ≥ 1‬העתקה ‪ f : X → Y‬היא‬
‫שיכון־)‪(C, D‬־קוואזי־איזומטרי אם לכל ‪ x1, x2‬ב־ ‪ X‬מתקיים‬
‫‪1‬‬
‫‪dX (x1 , x2 ) − D ≤ dY (f (x1 ) , f (x2 )) ≤ CdX (x1 , x2 ) + D‬‬
‫‪C‬‬
‫הערה ‪ :102‬‬
‫שיכון־קוואזי־איזומטרי אינו בהכרח שיכון‪ .‬בנוסף‪ ,‬הוא גם לא בהכרח רציף‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫‪9‬‬
‫קוואזי־איזומטריה של חבורות‬
‫דוגמה ‪ :103‬דוגמאות לשיכונים קוואזי־איזומטריים — ‪ Z‬ב־‪ ,R‬הספירלה הלוגריתמית‬
‫))‪(x · cos (log x) , x sin (log x‬‬
‫דוגמה לשיכון שאינו קוואזי־איזומטרי — ‪ Z → R‬בצורה ‪.n 7→ n3‬‬
‫הגדרה ‪ :104‬תהא ‪ f : X → Y‬שיכון־)‪(C, D‬־קוואזי־איזומטרי‪ .‬נניח שלכל ‪ y ∈ Y‬קיים ‪ x ∈ X‬כך שמתקיים‬
‫‪dY (f (x) , y) ≤ D‬‬
‫אזי נאמר כי ‪ f‬היא קוואזי־איזומטריה‪ ,‬וש־ ‪ X‬ו־ ‪ Y‬הם קוואזי־איזומטריים‪.‬‬
‫נשים לב כי זהו יחס שקילות‪ .‬הבדיקה מושארת לקורא‪.‬‬
‫טענה ‪ :105‬שני מרחבים מטריים ‪ X, Y‬הם קוואזי־איזומטריים‪ ,‬אם ורק אם קיימות העתקות ‪f : X → Y‬‬
‫ו־ ‪ g : Y → X‬וקבועים ‪ C, D > 0‬כך שלכל ‪ x, x0 ∈ X‬ו־ ‪ y, y0 ∈ Y‬מתקיים‪:‬‬
‫]‪[dY (f (x) , f (x0 )) ≤ CdX (x, x0 ) + D] ∧ [dX (g (y) , g (y 0 )) ≤ CdY (y, y 0 ) + D‬‬
‫]‪[dX (x, g (f (x))) ≤ D] ∧ [dY (y, f (g (y))) ≤ D‬‬
‫הוכחה‪ :‬מושארת כתרגיל‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫קוואזי־איזומטריה של חבורות‬
‫טענה ‪ G :106‬חבורה‪ ,‬ו־ ‪ S1 , S2‬שתי קבוצות יוצרים סופיות של ‪ .G‬העתקת הזהות היא קוואזי־איזומטריה בין‬
‫) ‪ (G, dS1‬ל־) ‪.(G, dS2‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן ‪ i : G → G‬להיות העתקת היחידה‪ .‬נסמן } ‪ C1 = max {lS2 (s) |s ∈ S1‬ו־} ‪.C2 = max {lS1 (s) |s ∈ S2‬‬
‫קל לראות כי )‪ lS2 (g) ≤ C1 lS1 (g‬ובאופן דומה עבור ‪ .C2‬לכן קיבלנו‬
‫‬
‫‬
‫) ‪dS2 (i (g) , i (g 0 )) = lS2 g −1 g 0 ≤ C1 lS1 g −1 g 0 = C1 dS1 (g, g 0‬‬
‫ובאופן דומה ) ‪ .dS1 (i (g) , i (g0 )) ≤ C2 dS2 (g, g0‬הזהות היא כמובן הופכית לעצמה‪ ,‬וסיימנו‪.‬‬
‫נשים לב שההנחה ש־ ‪ Si‬סופיות חשובה‪ :‬עבור ‪ Z‬עם קבוצת היוצרים ‪ N+‬יש קוטר סופי‪ .‬מעתה‪ ,‬למשך כל‬
‫הקורס — אלא אם כן ייאמר אחרת — נסתכל אך ורק על קבוצת יוצרים סופית ונדבר על קוואזי־איזומטריה של‬
‫‪ G‬מבלי לציין את קבוצת היוצרים‪.‬‬
‫סופיות של ‪ S‬חשובה כדי שהתכונה הבאה תתקיים‪:‬‬
‫הערה ‪ :107‬תהא ‪ G‬חבורה עם המטרקיה ‪ dS‬עבור קבוצה סופית ‪ .S‬הכדור מרדיוס ‪ R‬ב־) ‪ (G, dS‬סופי‪.‬‬
‫נשים לב שישנן חבורות קוואזי־איזומטריות שאינן איזומורפיות‪.‬‬
‫דוגמה ‪ G :108‬קוואזי־איזומטרית לחבורה הטריוויאלית אם ורק אם היא סופית‪ f : 1 → G .‬היא קוואזי־‬
‫איזומטריה‪ .‬בכיוון השני‪ ,‬נשתמש בלמה מהפרק הקודם ונסיים‪.‬‬
‫‪ Z × Z/2, D∞ , Z‬קוואזי־איזומטריות ואינן איזומורפיות‪.‬‬
‫טענה ‪ :109‬אם ‪ H‬תת־חבורה מאינדקס סופי של חבורה נוצרת־סופית ‪ ,G‬אזי ‪ H‬ו־‪ G‬קוואזי־איזומטריות‪.‬‬
‫חבורה נוצרת־סופית קוואזי־איזומטרית ל־‪ Z‬היא ‪ ,''virtually Z‬ופירושו — היא מכילה את ‪ Z‬כתת־חבורה‬
‫מאינדקס סופי‪.‬‬
‫חבורה שגרף־קיילי שלה קוואזי־איזומטרי לעץ היא ‪.virtually free‬‬
‫הערה ‪ :110‬הטענה המשלימה עבור חבורות שקוואזי־איזומטריות לחבורה אבלית חופשית נכון גם כן‪ ,‬אך‬
‫הוכחתו קשה יותר‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫אינווריאנטים לקוואזי־איזומטריות‬
‫אינווריאנטים לקוואזי־איזומטריות‬
‫מה המבנה הגיאומטרי של חבורה מספר לנו על המבנה האלגברי שלה? בפרק זה נצטט מבלי להוכיח כמה‬
‫משפטים גדולים בהקשר זה‪.‬‬
‫‪10.1‬‬
‫גידול בחבורות‬
‫הגדרה ‪ G :111‬חבורה הנוצרת על ידי קבוצה סופית ‪ .S‬פונקציית הגידול של ‪ G‬ביחס ל־ ‪ S‬היא הפונקציה‬
‫‪ β(G,S) : N → N‬המוגדרת על ידי‬
‫‬
‫‬
‫}‪β(G,S) (n) = B(G,S) (n) = {g ∈ G|lS (g) ≤ n‬‬
‫דוגמה ‪ :112‬חבורה אבלית חופשית מסדר ‪ 2‬עם קבוצת יוצרים קנונית‪ ,‬הכדור מרדיוס ‪ n‬ב־ ‪ Z2‬הוא מסדר‬
‫‪) (n + 1)2 + n2‬הוא ריבוע עם פאות בגודל ‪ n + 1‬ועוד צד באורך ‪.(n‬‬
‫נסתכל על ‪ G = Z2‬עם היוצרים })‪ ,S = {(1, 0) , (0, 1‬נקבל את שריג השלמים בתור גרף קיילי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ :113‬להוכיח כי פונקציית הגידול של ‪ Zd‬עם קבוצת היוצרים הקנונית היא פולינום במעלה ‪.d‬‬
‫‪ β1 ≺ β2 ,‬הגדרה ‪ β1 , β2 :114‬שתי פונקציות ‪ N → N‬לא יורדות‪ .‬נאמר כי ‪ β1 ) β1 ≺ β2‬שולט ב־ ‪ (β2‬אם ורק אם קיימים‬
‫‪ A, B ≥ 0 β1 ∼ β2‬כך שלכל ‪ n ∈ N‬יתקיים‪:‬‬
‫‪β1 (n) ≤ Aβ2 (An + B) + B‬‬
‫באופן דומה‪ ,‬נאמר כי ‪ β1 ) β1 ∼ β2‬שקולה ל־ ‪ (β2‬אם ורק אם כל פונקציה שולטת ברעותה‪.‬‬
‫עובדה ‪ :115‬אם ‪ β1 ∼ β2‬ו־ ‪ β1‬ליניארית )או פולינומיאלית‪ ,‬או אקספוננטיאלית(‪ ,‬אזי גם ‪.β2‬‬
‫למה ‪ :116‬אם יש שיכון קוואזי איזומטרי של חבורה ) ‪ (G, ds‬לחבורה ) ‪ (H, dτ‬אזי‪:‬‬
‫) ‪β(G,s) ≺ β(H,τ‬‬
‫הוכחה‪(C, D) f : g → H :‬־שיכון קוואזי איזומטרי‪ .‬מתקיים‪:‬‬
‫|‪β(G,s) (n) = |B‬‬
‫)כאשר )‪ ,B = BG (n‬הכדור בחבורה ברדיוס ‪ .(n‬נסתכל על הכדור הזה שהוא סביב אחד ועל התמונה שלו‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪d (f (g) , f (1)) ≤ Cd (g, 1) + D ≤ Cn + D‬‬
‫)‪|f (B)| ≤ β(H,τ ) (Cn + D‬‬
‫אם ) ‪ ,f (g) = f (g0‬אז מקבלים )שיכון קוואזי איזומטרי אומר שהמרחק לא נעשה יותר מדיי גדול ממה שהיה‪,‬‬
‫וגם לא יותר מדיי קטן ממה שהיה(‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪d (g, g 0 ) − D ⇒ d (g, g 0 ) ≤ CD‬‬
‫‪C‬‬
‫≥ )) ‪d (f (g) , f (g 0‬‬
‫‪18‬‬
‫‪10.2‬‬
‫‪10‬‬
‫הצגות סופיות‬
‫אינווריאנטים לקוואזי־איזומטריות‬
‫שתי נקודות שמעתקות ע"י ‪ f‬לא יכולות להיות רחוקות מדיי‪ .‬לכן‪ ,‬עבור ‪ h ∈ H‬מתקיים ≥ )‪βG (CD‬‬
‫ ולכן ‬
‫)‪ f −1 (h‬ומכאן נובע כי |)‪ .|B| ≤ βG (CD) · |f (B‬חישבנו כבר את )‪ f (B‬ולכן נקבל ביחד‪:‬‬
‫)‪β(G,s) (n) = |B| ≤ βG (CD) · β(H,τ ) (Cn + d‬‬
‫והיות ש־)‪ βG (CD‬קבוע‪ ,‬ולכן מהגדרה ) ‪.β(G,s) ≺ β(H,τ‬‬
‫מסקנה ‪ :117‬מחלקת השקילות של פונקציות גידול של חבורה לא תלויה בקבוצת יוצרים‪ .‬למעשה היא תלויה‬
‫רק במחלקת קוואזי איזומטריה של החבורה‪ .‬בנוסף‪ ,‬אם ‪ G‬מאינדקס סופי ב־ ‪ ,H‬אזי ) ‪.β(G,s) ∼ β(H,τ‬‬
‫דוגמה ‪ :118‬אם ‪ A‬חבורה אבלית נוצרת־סופית‪ ,‬אזי לפי משפט המבנה‪:‬‬
‫‪A = Zd ⊕ Z/a1 Z ⊕ · · · ⊕ Z/al Z‬‬
‫ו־ ‪ Zd‬מאינדקס סופי ב־‪ ,A‬ולכן כל פונקציות גידול של ‪ A‬היא פולינום ממעלה ‪.d‬‬
‫תרגיל ‪ :119‬להוכיח שגידול של חבורה נילפוטנטית היא לכל היותר פולינומיאלית )משפט גרומוב(‪.‬‬
‫הגדרה ‪ :120‬חבורה ‪ G‬תיקרא נילפוטנטית אם }‪ G = G0 ≥ G1 ≥ · · · ≥ Gn = {1‬כך ש־ ‪ Gi+1/Gi‬מרכזי‬
‫ב־ ‪) G/Gi‬האיברים בראשון מתחלפים עם כל האיברים בשני(‪ .‬דרך אחרת להגיד זאת‪ ,‬היא שלכל ‪,gi ∈ Gi‬‬
‫‪ g ∈ G‬מתקיים כי ‪.[g, gi ] ∈ Gi+1‬‬
‫משפט ‪) 121‬גרומוב(‪ G :‬חבורה נוצרת־סופית‪ .‬הגידול של ‪ G‬פולינומיאלי אם ורק אם ל־‪ G‬יש תת־חבורה‬
‫נילפוטנטית מאינדקס סופי‪.‬‬
‫‪10.2‬‬
‫הצגות סופיות‬
‫משפט ‪ G1 , G2 :122‬נוצרות סופית וקוואזי איזומטריות‪ .‬אם ‪ G1‬מוצגת־סופית‪ ,‬אז גם ‪.G2‬‬
‫‪19‬‬
‫‪11‬‬
‫למת שוורץ־מילנור‬
‫חלק ‪III‬‬
‫פעולות גיאומטריות‬
‫ראינו שניתן להסתכל על חבורות כמרחב־מטרי‪ ,‬גרף־קיילי‪ ,‬שעליו היא פועלת חופשית‪ .‬באופן כללי יותר‪ ,‬תורת‬
‫החבורות הגיאומטרית מנסה להשיג מידע אלגבראי אודות חבורה על ידי הסתכלות על הפעולות הגיאומטריות‬
‫ˇ‬
‫‪Svarc-Milnor‬‬
‫שבהן חבורה פועלת על המרחב‪ .‬הקשר בין שני אלו ניתן על ידי הלמה של שוורץ־מילנור )‬
‫‪ ,(Lemma‬שטוענת שאם חבורה פועלת "מספיק יפה" על מרחב מטרי‪ ,‬אזי מרחב־מטרי זה הוא קוואזי־איזומטרי‬
‫לגרף קיילי‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫למת שוורץ־מילנור‬
‫זהו המשפט היסודי של תורת החבורות הגיאומטרית‪ .‬נזדקק למעט הגדרות קודם‪.‬‬
‫הגדרה ‪ X :123‬מרחב מטרי‪ .‬קטע גאודזי הוא שיכון איזומטרי של קטע ‪ [0, a] ⊂ R‬אל ‪ ,X‬ופירושו — העתקה‬
‫‪ γ : [0, a] → X‬כך שלכל ]‪ s, t ∈ [0, a‬מתקיים‬
‫|‪dX (γ (s) , γ (t)) = |s − t‬‬
‫קרן גיאודזית היא קטע גאודזי‪ ,‬עבורו ∞ = ‪ .a‬ישר גאודזי הוא שיכון איזומטרי של ‪ R‬כולו‪.‬‬
‫הגדרה ‪ :124‬מרחב מטרי ‪ X‬נקרא גאודזי אם לכל שתי נקודות ‪ ,x, y ∈ X‬קיים קטע גאודזי ‪γ : [0, a] → X‬‬
‫כך ש־‪ γ (0) = x‬ו־‪.γ (a) = y‬‬
‫דוגמה ‪ R2 :125‬גאודזי‪ ,‬אבל ]‪ R\ [0‬אינו‪ .‬אם ‪ X‬הינו גרף שבו כל קדקוד מזוהה עם ]‪ [0, 1‬והמרחק בין שתי‬
‫נקודות הוא האינפימום )מינימום למעשה( של המרחקים של מסלולים ביניהם‪ ,‬אזי ‪ X‬גיאודזי‪.‬‬
‫∞‬
‫הגדרה ‪ :126‬יהא )‪ (X, d‬מרחב מטרי‪ .‬תת־קבוצה ‪ A ⊂ X‬היא קומפקטית סדרתית אם כל סדרה ‪(an )n=1‬‬
‫מכילה תת־סדרה ‪ (ank )nk ∈N‬שמתכנסת לנקודה ‪ .a ∈ A‬בקורס זה — היות שאנו עובדים עם מרחבים מטריים‬
‫בעיקר — נכנה "מרחבים קומפקטיים סדרתית" פשוט "מרחבים קומפקטיים"‪ .‬הגדרה נוספת למרחבים כאלה היא‬
‫שהם שלמים )כל סדרת קושי מתכנסת( וחסומים כליל )מכוסים על ידי מספר סופי של כדורים ברדיוס ‪ ε‬לכל‬
‫‪.(ε > 0‬‬
‫∞‬
‫הערה ‪ :127‬קומפקטיות גוררת קוטר סופי‪ .‬אם ‪ A‬לא חסומה‪ ,‬נקח נבנה סדרה ‪ (xn )n=1‬כך ש־> ) ‪d (xn+1 , xn‬‬
‫‪ ,d (xn , x1 ) + 1‬ולא ייתכן שהיא מתכנסת שכן היא אינה קושי‪.‬‬
‫עובדה ‪ :128‬ב־ ‪ Rn‬תת־קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם היא סגורה וחסומה‪ .‬בגרף מטרי‪ ,‬תת־גרף הוא‬
‫קומפקטי אם ורק אם הוא סופי‪.‬‬
‫הגדרה ‪ :129‬מרחב מטרי מכונה נאות אם הכדורים הסגורים הם קומפקטיים‪.‬‬
‫הגדרה ‪ :130‬תהא ‪ G‬חבורה הפועלת על מרחב מטרי ‪ .X‬נאמר כי הפעולה היא לא רציפה אם לכל תת־קבוצה‬
‫קומפקטית ‪ ,K ⊂ X‬הקבוצה }∅ =‪ {g ∈ G|g · K ∩ K 6‬סופית‪.‬‬
‫הערה ‪ :131‬בחלק מספרי הלימוד תכונה זו מוגדרת כך — "לכל נקודה ישנה סביבה פתוחה ‪ U‬כך שהקבוצה‬
‫}∅ =‪ {g ∈ G|g · U ∩ U 6‬סופית"‪ .‬עבור מרחבים קומפקטיים־מקומית‪ ,‬ההגדרות שקולות‪.‬‬
‫חבורה ‪ G‬על מרחב מטרי ‪ X‬תיקרא קוקומפקטית אם קיימת תת־קבוצה קומפקטית‬
‫הגדרה ‪ :132‬פעולה של ‪S‬‬
‫‪ K ⊂ X‬כך ש־ ‪.X = g∈G g · K‬‬
‫• פעולה של חבורה על גרף היא קוקומפקטית אם ורק אם קיימים מספר סופי של מסלולים‬
‫דוגמה ‪:133‬‬
‫מקדקודים לצלעות‪ .‬לדוגמה‪ ,‬הפעולה של חבורה על הגרף־קיילי של עצמי היא קוקומפקטית‪.‬‬
‫• הפעולה של ‪ Z‬על ‪) R‬לדוגמה‪ ,‬על ידי לקיחת אינטרבל חסום מאורך ‪ ,(1‬של ‪ Z2‬על ‪) R2‬באותו אופן(‬
‫היא קוקומפקטית‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫‪11‬‬
‫למת שוורץ־מילנור‬
‫• באופן כללי‪ ,‬הפעולה של ‪ π1‬של מרחב־טופולוגי קומפקטי קומפקטי־מקומית קשיר־מסליתית על הכיסוי‬
‫האוניברסלי שלו הוא קוקומפקטי‪.‬‬
‫• הפעולה של ‪ Z‬על ‪ R2‬אינה קוקומפקטית‪.‬‬
‫למה ‪) 134‬שוורץ־מילנור(‪ X :‬מרחב מטרי גאודזי נאות‪ G .‬חבורה שפועלת על ‪ X‬בפעולה קוקומפקטית‬
‫דיסקרטית נאותה‪ ,‬אזי ‪ G‬נוצרת־סופית‪ ,‬ולכל ‪ x0 ∈ X‬ההעתקה‪:‬‬
‫‪G→X‬‬
‫‪g 7→ g · x0‬‬
‫היא קוואזי איזמוטריה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪x0 ∈ X‬‬
‫‪S‬‬
‫• קוקומפקטיות גורר ש־ ‪ K‬קומפקטי כך ש־ ‪g · K‬‬
‫‬
‫• קיים ‪ D ≥ 0‬כך ש־ ‪) K ⊆ B x0 , D3‬החלוקה ב־‪ 3‬תתברר עוד מעט(‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫• אם )‪ B = B (x0 , D‬אזי ‪.X = g∈G g · B‬‬
‫‪g∈G‬‬
‫= ‪ .X‬נרצה להחליף את ‪ K‬בכדור סביב ‪.x0‬‬
‫• ‪ X‬נאות‪ ,‬ולכן ‪ B‬קומפקטי‪.‬‬
‫• הפעולה דיסקרטית נאותה‪ ,‬לכן הקבוצה }∅ =‪ S = {g ∈ G|B ∩ g · B 6‬סופית‪.‬‬
‫• ‪ — g ∈ G‬נחלק את הקטע הגאודזי בין ‪ x0‬ל־ ‪ g ·x0‬עם נקודות ‪ x0 , x1 , . . . , xk−1 , xk‬כך ש־≤ ) ‪d (xi , xi+1‬‬
‫‪. D3‬‬
‫• כל ‪ xi‬נמצא בתוך ‪ gi B D3‬עבור ‪ .gi ∈ G‬נטען כי ∅ =‪ .gi · B D3 ∩ gi+1 · B D3 6‬זאת שכן‪:‬‬
‫‪D D D‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=D‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‬
‫= ‪.B ∩ gi−1 gi+1 B‬‬
‫ולכן ‪ .d x0 , gi−1 gi+1 x0 ≤ D‬מכאן נקבל כי החיתוך לא ריק‪ ,‬כי ∅ ‪6‬‬
‫≤ ) ‪d (gi x0 , gi+1 x0 ) ≤ d (gi x0 , xi ) + d (xi , xi+1 ) + d (xi+1 , gi+1 x0‬‬
‫• לכן ‪ .gi−1 gi+1 ∈ S‬נסמן ‪ .gi−1 gi+1 = si+1‬נוכל לכתוב אם כן ‪.g = s1 s2 . . . sk‬‬
‫• ‪ S‬קבוצת יוצרים ל־‪ G‬וגם ‪.ls (g) ≤ k ≤ D3 d (x0 , gx0 ) + 1‬‬
‫• מצד שני‪ ,‬אם ‪ g = t1 t2 . . . tl‬עם ‪ .ti ∈ S‬אזי )השוויון השני נובע מכך שהפעולה היא איזומטריה(‬
‫) ‪d (x0 , gx0 ) ≤ d (xo , t1 x0 ) + d (t1 x0 , t1 t2 x0 ) + · · · + d (tl . . . tl−1 x0 , gx0‬‬
‫) ‪= d (xo , t1 x0 ) + d (x0 , t2 x0 ) + · · · + d (x0 , tl x0‬‬
‫‪≤ l · max {d (x0 , sx0 ) |s ∈ S} := lC‬‬
‫• בפרט )‪. C1 d (x0 , gx0 ) ≤ ls (g‬‬
‫• לכן ‪ g 7→ gx0‬שיכון קוואזי־איזומטרי ולכל ‪ ,x ∈ X‬יש ‪ g ∈ G‬כך ש־ ‪.x ∈ g · B gx0 , D3‬‬
‫‬
‫טענה ‪ .1 :135‬אם ‪ H‬תת־חבורה מאינדקס סופי של ‪ ,G‬נוצרת־סופית‪ ,‬אז ‪ H‬גם נוצר סופית ו־ ‪ H‬קוואזי־‬
‫איזומטרית ל־‪.G‬‬
‫‪21‬‬
‫‪12‬‬
‫חבורות חופשיות ועצים‬
‫‪ .2‬אם ‪ N ,N C G‬סופית‪ ,‬אז ‪ G‬ו־‪ G/N‬קוואזי־איזומטריות‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬נסתכל על הפעולה על הגרף קיילי של ‪ H .X = X (G, S) — G‬פולעת על ‪ X‬בצורה חופשית )בפעולה‬
‫המושרית מהפעולה של ‪ G‬על הגרף־קיילי של עצמה(‪ .‬ראינו שפעולה חופשית על גרף מקיימת את כל‬
‫הפעולות שרצינו‪ ,‬וזה אומר שהפעולה דיסקרטית נאותה )הוכחנו(‪ .‬מושאר כתרגיל להוכיח שיש מספר‬
‫סופי של מסלולים של קדקודים וצלעות ב־ ‪ X‬תחת הפעולה‪ .‬מהתרגיל נובע שהפעולה היא קוקומפקטית‪.‬‬
‫מלמת שוורץ־מילנור נובע כי ‪ H‬קוואזי־איזמוטרית ל־)‪ X (G, S‬ולכן גם ל־‪.G‬‬
‫‪ .2‬תרגיל‪.‬‬
‫טענה ‪ :136‬כל החבורות החופשיות הנוצרות־סופית הן קוואזי־איזומטריות‪ .‬כל העצים מדרגה ‪ 2k‬הם קוואזי־‬
‫איזומטריים‪.‬‬
‫הערה ‪ :137‬למעשה‪ ,‬ניתן להראות שכל העצים הרגולריים מדרגה ‪ k‬הם קוואזי־איזומטריים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬לכל ‪ F (a, b) ,n ∈ N‬מכיל תת־חבורה מאינדקס סופי שהיא חופשית מסדר ‪ ,n‬לדוגמה‪ ,‬נוצרת על ידי‬
‫‬
‫‪an−1 , b, aba−1 , a2 ba−2 , . . . , an−2 ba2−n‬‬
‫‬
‫‪.‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫ ‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 0‬ו־‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪ 2‬היא חופשית‪,‬‬
‫דוגמה ‪ :138‬בהמשך נראה כי התת־חבורה של )‪ SL2 (Z‬הנוצרת על ידי‬
‫‪1‬‬
‫וניתן להראות שהיא מאינדקס סופי ב־)‪ .SL2 (Z‬לכן )‪ SL2 (Z‬גם כן קוואזי־איזומטרית ל־ ‪.F2‬‬
‫‪12‬‬
‫חבורות חופשיות ועצים‬
‫ראינו שגרף־קיילי של חבורה חופשית הוא עץ‪ ,‬לכן חבורה חופשית פועלת חופשי על עץ‪ .‬נראה שהכיוון ההפוך‬
‫נכון גם כן‪.‬‬
‫משפט ‪ G :139‬חופשית ⇒⇐ יש ל־‪ G‬פעולה חופשית על עץ‪.‬‬
‫הוכחה‪) :‬למי שכבר למד גיאומטריה אלגברית( ‪ G‬פועלת על הגרף ‪ Y‬חופשית גורר שהעתקת המנה ‪Y → G/Y‬‬
‫היא העתקת כיסוי )סביבה של נקודה ב־ ‪ Y‬משוכנת תחת העתקת המנה‪ ,‬ולכן סביבה של נקודה בפנים של צלע‪,‬‬
‫שכן ההעתקה היא פשוטה‪ ,‬וההעתקה ההופכית של סביבה קטנה מספיק היא איחוד זר של עותקים של הסביבה(‪.‬‬
‫לעץ יש ‪ π1‬טריוויאלי‪ ,‬ולכן ‪ .π1 (G/Y) = G‬אבל ה־ ‪ π1‬של גרף הוא חופשי — שקול הומוטופית ל־‪rose‬‬
‫על ידי הפלת התת־עץ המקסימלי‪.‬‬
‫הנה החומר שנזדקק לו לצורך ההוכחה האלמנטרית‪:‬‬
‫למה ‪ :140‬כל גרף ‪ Γ‬מכיל תת־עץ מקסימלי ‪ ,T‬שמכיל את כל הקדקודים‪.‬‬
‫תהא ‪ G‬חבורה הפועלת על גרף ‪ X‬ללא חזרות )ופירושו‪ ,‬אין איברים המייצבים צלע ללא קיבוע נקודתי(‪.‬‬
‫אזי המנה ‪ G/X‬נותנת מבנה של גרף‪.‬‬
‫‪G‬‬
‫‪x‬‬
‫תהא ‪ p : X → G/X‬העתקת המנה‪ .‬בהינתן התת־עץ המקסימלי ‪ T‬של ‪ , /X‬קדקוד ‪ x ∈ T‬וקדקוד ‪ˆ ∈ X‬‬
‫כך ש־‪ ,p (ˆx) = x‬קיים תת־עץ מקסימלי ˆ‪ T‬של ‪ T‬כך ש־ˆ‪ xˆ ∈ T‬ו־ ‪ p|Tˆ : Tˆ → T‬הוא איזומורפיזם של עצים‪.‬‬
‫הוכחה‪) :‬הוכחה אלמנטרית( נסמן ב־ ‪ X‬את העץ שעליה ‪ G‬פועלת חופשית‪ .‬נסתכל על גרף המנה ‪ ,G/X‬ויהיה‬
‫‪ T‬התת־עץ המקסימלי המוכל בו‪ .‬תהא ˆ‪ T‬ההרמה של ‪.T‬‬
‫לכל צלע }‪ e = {w, x‬של ‪ G/X‬שאינה מוכל ב־ ‪ ,T‬קיימת צלע יחידה ˆ‪ e‬עם נקודת קצה ˆ‪ w‬ב־ˆ‪ T‬כך‬
‫ˆ( ‪ .p‬נקודת הקצה השנייה ‪ x‬של ˆ‪ e‬לא יכולה להיות ב־ˆ‪) T‬אחרת‪ ,eˆ ∈ Tˆ ,‬ולכן ‪ ,(e ∈ T‬אבל ‪p (x) ∈ T‬‬
‫ש־‪e) = e‬‬
‫ולכן ‪ x = se · z‬עבור איזשהו קדקוד ‪ z‬של ˆ‪ T‬ואיזשהו איבר לא טריוויאלי ‪ — se ∈ G‬נשים לב ש־ ‪ se‬הוא יחיד‬
‫מחופשיות הפעולה‪.‬‬
‫יהא ‪ S‬קבוצת האיברים ‪ se‬לצלע ‪ e‬של ‪ .G/X\T‬נראה כי ‪ G‬חופשית על ‪ .S‬לפני כן‪ ,‬כמה הערות‪:‬‬
‫‪22‬‬
‫‪12‬‬
‫חבורות חופשיות ועצים‬
‫• ˆ‪ gT‬ו־ˆ‪ T‬זרות בזוגות‪ .‬ופירושו‪ ,‬אם ∅ =‪ ,gTˆ ∩ g0 Tˆ 6‬אזי ‪ .g = g0‬ואכן‪ ,‬הקדקודים של ˆ‪ T‬כולם נמצאים‬
‫במסלולים שונים היות ש־‪ p‬היא איזומורפיזם על ˆ‪ :T‬לכן אם ∅ =‪ ,gTˆ ∩ g0 Tˆ 6‬קיים קדקוד ˆ‪ v ∈ T‬כך‬
‫ש־‪ gv = g0 v‬ולכן ‪ g−1 g0 v = v‬והיות שהפעולה חופשית נקבל כי ‪.g = g0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ se = s−1‬עבור איזשהם צלעות ‪ e, f‬של ‪ .G/X\T‬האיבר‬
‫• הקבוצה ‪ S‬מקיימת ∅ =‬
‫‪ .S ∩ S‬אכן‪ ,‬בהינתן ‪f‬‬
‫‪ se‬מעתיק את ˆ‪ sf T‬אל ˆ‪ ,T‬ואת ˆ‪ T‬אל ˆ‪ ,se T‬ולכן הוא שולח את הצלע ˆ‪ f‬בין ˆ‪ sf T‬ו־ˆ‪ T‬אל הצלע ˆ‪ e‬בין ˆ‪T‬‬
‫אל ˆ‪ .se T‬לכן ˆ‪ f‬ו־ˆ‪ e‬הן באותו המסלול‪ ,‬אבל היות שבחרנו בדיוק הרמה אחת של כל צלע של ‪ ,T‬בהכרח‬
‫מתקיים ˆ‪ ,fˆ = e‬ולכן ˆ‪ .se eˆ = e‬היות שהפעולה היא חופשית ללא חזרות‪ ,‬נקבל סתירה‪.‬‬
‫• כל הקדקודים של ‪ X‬מתורגמים ל־ˆ‪ .T‬כל קדקוד ‪ w‬הוא במסלול של איזשהו קדקוד ‪ v‬של ˆ‪ ,T‬ולכן‬
‫ˆ‪ .w = gv ∈ gT‬לכן מסלול בין שניהם מתורגם ל־ˆ‪ T‬או מכיל רק צלע אחת‪ ,‬או עובר דרך דבר אחר‬
‫המתורגם ל־ˆ‪.T‬‬
‫• יש צלע בין ˆ‪ T‬ו־ˆ‪ hT‬אם ורק אם ‪ .h ∈ S‬אם ‪ w‬ב־ˆ‪ T‬ו־ˆ‪ x ∈ hT‬מחוברים על ידי צלע ‪ ,e‬אזי יש איבר ‪se‬‬
‫ב־ ‪ S‬שמקיים ‪ x = se · z‬עבור איזשהו ˆ‪ .z ∈ T‬ולכן ∅ =‪ ,hTˆ ∩ se Tˆ 6‬ולכן לפי ההערה למעל‪.h = se ,‬‬
‫הכיוון ההפוך ברור‪.‬‬
‫כעת נסתכל על הגרף ‪ Y‬המוגדר על ידי‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪o‬‬
‫• קבוצת הקדקודים מוגדרת להיות ‪. vg = g · Tˆ|g ∈ G‬‬
‫• יש צלע בין שני קדקודים ‪ vg‬ו־ ‪ vg0‬אם ורק אם קיימת צלע בין התת־עצים ˆ‪ g · T‬ו־ˆ‪.g0 · T‬‬
‫)זהו גרף המתקבל על ידי הקרסת כל התרגומים ל־ˆ‪.(T‬‬
‫ˆ‬
‫הגרף ‪ Y‬הוא עץ‪ :‬הוא קשיר )כי יש מסלול ב־ ‪ X‬בין כל שני תת־עצים במסלול של ‪ (T‬וחסר־מעגלים )אם‬
‫היו בו‪ ,‬אז היינו מוצאים גם ב־ ‪ — X‬אבל ‪ X‬עץ(‪.‬‬
‫נטען ש־ ‪ Y‬איזומורפי ל־"גרף־קיילי" )‪) X (G, S‬ופירושו‪ ,‬הוא מוגדר בדיוק כמו גרף־קיילי‪ ,‬פרט לכך‬
‫שאיננו יודעים ש־ ‪ S‬יוצרת את ‪ ,G‬ולכן טכנית איננו יכולים לקרוא לו גרף קיילי(‪ .‬נסתכל על ההעתקה‬
‫)‪ f : Y → X (G, S‬המוגדרת על ידי ‪ .f (vg ) = g‬נראה שזהו איזומורפיזם של גרפים‪:‬‬
‫• ההעתקה מוגדרת היטב‪ .‬אם ˆ‪ ,gTˆ = g0 T‬ראינו כי נובע ש־ ‪.g = g0‬‬
‫‪0‬‬
‫• ההעתקה מוגדרת על צלעות‪ .‬נניח שקיימת צלע בין ˆ‪ vg = gT‬ו־ˆ‪,vg = g0 T‬אזיקיימת צלע בין ˆ‪ T‬ובין‬
‫‪0‬‬
‫ˆ‪ ,g−1 g0 T‬ולכן ‪ ,g−1 g0 = se‬ולכן יש צלע ב־)‪ X (G, S‬בין ) ‪ g = f (vg‬ובין ‪.g0 = f vg‬‬
‫• ההעתקה על‪ .‬ברור שהיא על הקדקודים‪ .‬נסתכל על צלע ב־)‪ X (G, S‬בין ‪ g‬ו־ ‪ .gse‬העצים ˆ‪ T‬ו־ˆ‪se T‬‬
‫מחוברים על ידי הצלע ‪ ,e‬ולכן העצים ˆ‪ gT‬ו־ˆ‪ gse T‬מחוברים על ידי הצלע ‪ .g · e‬לכן יש צלע ב־ ‪ Y‬בין‬
‫הקדקודים ˆ‪ vg = gT‬ובין ˆ‪ ,vgse = gse T‬והצלע הזו מעתקת לצלע בין ‪ g‬ו־ ‪ g0‬ב־)‪.X (G, S‬‬
‫• ההעתקה חח"ע‪ .‬אם ˆ‪ gT‬ו־ˆ‪ g0 T‬מייצגים קדקודים זרים ב־ ‪ ,Y‬אזי ‪ g 6= g0‬ולכן המפה חח"ע על קדקודים‪.‬‬
‫אבל ‪ Y‬הוא עץ‪ ,‬ולכן אם שתי צלעות הן זרות‪ ,‬יש להן נקודות קצה שונות‪ ,‬ולכן ‪ f‬חייבת להיות חח"ע‬
‫על צלעות גם כן‪.‬‬
‫לכן )‪ X (G, S‬קשיר — לכן ‪ S‬מייצר את ‪ ,G‬לכן )‪ X (G, S‬הוא הגרף־קיילי של ‪ G‬ביחס לקבוצה ‪ .S‬בנוסף‪,‬‬
‫)‪ X (G, S‬עץ‪ ,‬ולכן לפי מה שהוכחנו‪ ,‬החבורה ‪ G‬פועלת חופשית על ‪.S‬‬
‫מסקנה ‪) 141‬נילסן־שרייר(‪ :‬תת־חבורה של חבורה חופשית היא גם כן חופשית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהא ‪ .H ≤ G‬החברוה ‪ G‬פועלת חופשית על הגרף־קיילי שלה — ‪ — X‬שהוא עץ‪ .‬לכן ‪ H‬גם פועלת‬
‫על ‪ X‬והפעולה גם כן חופשית )אם לנקודה אין מייצבים בחבורה הגדולה‪ ,‬אז אין לה מייצבים בחבורה הקטנה(‪,‬‬
‫ולכן ‪ H‬חופשית‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫‪13‬‬
‫‪13‬‬
‫פעולות לא חופשיות על עצים‬
‫פעולות לא חופשיות על עצים‬
‫מכונה גם תורת ‪ Bass-Serre‬על שם היימן באס וז'אן־פייר סר‪.‬‬
‫טענה ‪ :142‬נניח ש־‪ G‬פועלת על עץ ‪ T‬כך שיש מסלול ‪ 1‬של צלעות ו־‪ 2‬מסלולים של קודקודים‪ ,‬אז לכל צלע‬
‫)‪ e = (p, q‬של ‪ ,T‬אזי ניתן לכתוב את ‪ G‬בצורה‪:‬‬
‫)‪G = Stab (p) ∗Stab(e) Stab (q‬‬
‫)מכפלה ממוזגת של המייצבים(‪ .‬כאשר אנחנו כותבים )‪.stab (e) = stab (p) ∩ stab (q‬‬
‫הנתון בעצם אומר שכל צלע מחברת בין קדקוד שהוא במסלול אחד לקדקוד שהוא במסלול השני‪.‬‬
‫כדי להוכיח את המשפט נוכיח קודם למה‪:‬‬
‫למה ‪ dT (hq, gp) = 1 :143‬אם ורק אם יש )‪ u ∈ stab (p‬ו־)‪ v ∈ stab (q‬כך ש־‪ g = hvu‬אם ורק אם יש‬
‫)‪ u0 ∈ stab (p‬ו־)‪ v0 ∈ stab (q‬כך ש־ ‪) h = gu0 v0‬ומתקיים ‪ u−1 = u0‬ו־ ‪.(v−1 = v0‬‬
‫הוכחה‪) :‬הלמה( נניח ‪ hq‬מחוברת במרחק אחד ל־‪ ,gp‬אזי על ידי הפעלת ‪ h−1‬נקבל כי‬
‫על ידי הכפלה ב־ ‪ h−1‬נקבל שהצלע ‪ f‬בין ‪ p −e −q −f −h−1 gp‬לצלע בין ‪ q‬לבין ‪ h gp‬גם במסלול של‬
‫‪ e‬ולכן יש איבר ‪ v ∈ G‬כך ש־‪ ,vf = e‬כך ש־‪ vq = q‬ו־‪) vg−1 hp = p‬הערה‪ :‬זה ה־‪ v‬שמחליף בין הצלעות‬
‫‪ .(f, e‬מכאן נובע כי )‪ ,v ∈ stab (q‬ולכן )‪ .vg −1 hp = u ∈ stab (p‬לכן ‪ ,g = hv −1 u‬ולכן על ידי החלפת ‪v −1‬‬
‫ב־‪) v‬שינוי שם(‪ ,‬נקבל את הנדרש‪.‬‬
‫בכיוון השני‪ ,‬נקח ‪ u, v‬כמו בטענה‪ ,up = p .‬ועל ידי הפעלת משהו שמייצב את ‪ q‬נעביר את ‪ up‬ל־‪,vup‬‬
‫קדקוד הנמצא במרחק ‪ 1‬מ־ ‪ q‬גם כן‪ .‬על יד הפעלת ‪ h‬כלשהו נקבל כי ‪ hvup‬ו־ ‪ hq‬במרחק אחד‪ ,‬ולכן ‪gp, hq‬‬
‫במרחק ‪.1‬‬
‫הוכחה‪) :‬הטענה(‪:‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ .1‬נקח ‪ ,g ∈ G‬נסתכל על העץ‪ .‬יש לנו איבר ‪ p‬ואיבר ‪ gp‬ויש מסילה ביניהם )כי העץ קשיר(‪ .‬לאורך‬
‫המסילה‪ ,‬לפי מה שאנחנו יודעים על העץ שלנו‪ ,‬יש קדקוד במסלול של ‪ q‬ואחריו קדקוד במסלול של ‪p‬‬
‫לסירוגין‪:‬‬
‫‪x − h1 q − g1 p − h2 q − · · · − gk p = gp‬‬
‫בין כל שני קדקודים כאלה במסלול המרחק הוא ‪ ,1‬ולכן נוכל להפעיל את הלמה‪ .‬לפי הלמה מתקיים‬
‫‪ gk = hk vu‬עבור )‪ u ∈ stab (p‬ו־)‪ .v ∈ stan (q‬לאחר מכן‪ ,‬נוכל להשתמש שוב בלמה‪ ,‬כדי להוכיח כי‬
‫‪ hk = gk−1 u0 v0‬וכן הלאה‪ .‬לאחר סוף התהליך נקבל ‪.g = u01 v10 u02 v20 . . .‬‬
‫)א( נקח ‪ u0 v1 u1 . . . vk uk vk+1‬מכפלה כמו בלמה‪ .‬כעת‬
‫‪p, u0 q, u0 v1 p, . . . , u0 v1 · · · · · vk+1 p‬‬
‫נותן מסילה‪ ,‬לפי הלמה‪ .‬אם המכפלה היא טריוויאלית‪ ,‬המסילה היא מעגל‪ .‬היות ש־ ‪ T‬עץ‬
‫יש ‪ i‬כך שאנחנו חוזרים על עקבותינו‪ ,‬ונבקל ‪ ,p = ui vi+1 p‬ולכן )‪ ui vi+1 ∈ stab (p‬ובנוסף‬
‫)‪.vi+1 ∈ stab (q‬‬
‫למעשה‪ ,‬אם ‪ ,G = A ∗C B‬אפשר לבנות עץ עם פעולה של ‪ G‬כך שיש צלע )‪ e = (p, q‬של ‪ ,T‬ומתקיים‬
‫)‪A = stab (p) ∧ B = stab (q‬‬
‫זו הטענה ההפוכה למה שהוכחנו‪ ,‬לא נוכיח את הכיוון הזה פה‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫‪14‬‬
‫מרחב מטרי היפרבולי‬
‫חלק ‪IV‬‬
‫חבורות היפרבוליות‬
‫‪14‬‬
‫מרחב מטרי היפרבולי‬
‫תזכורת‪ ,‬הגדרנו קטע גיאוזי כשיכון איזומטרי של ‪ [0, a] ⊂ R‬לתוך מרחב מטרי כלשהו‪ ,‬כך שלכל ]‪s, t ∈ [0, a‬‬
‫מתקיים ]‪ .dX (γ (s) , γ (t)) = [s − t‬הגדרנו שמרחב מטרי ‪ X‬ייקרא גיאודזי אם כל שתי נקודות ‪,x, y ∈ X‬‬
‫קיים קטע גיאודזי ‪ γ : [0, a] → X‬כך ש־‪ γ (0) = x‬ו־‪.γ (a) = y‬‬
‫הגדרה ‪ :144‬משולש גיאודזי ב־ ‪ X‬הוא שלשה ) ‪ (γ0 , γ1 , γ2‬של קטעים גיאודזיים ‪ γi : [0, Li ] → X‬כך‬
‫ש־)‪ γ1 (L1 ) = γ2 (0) ,γ0 (L0 ) = γ1 (0‬ו־‪.γ2 (L2 ) = γ0 0‬‬
‫הגדרה ‪ :145‬תהא ‪ A‬תת־קבוצה של מרחב־מטרי ‪ X‬ויהיה ‪ .ε ≥ 0‬סביבת־‪ ε‬של ‪ A‬ב־ ‪ X‬נתונה על ידי‬
‫}‪Bε (A) = {x ∈ X|∃a∈A d (x, a) < ε‬‬
‫הגדרה ‪ :146‬יהא ‪ .δ ≥ 0‬משולש גיאודזי ) ‪ (γ0 , γ1 , γ2‬ייקרא ‪δ‬־צר אם כל פאה שלו מוכלת בסביבת־ ‪ δ‬של‬
‫איחוד שתי הפאות האחרות‪.‬‬
‫המרחב ‪ X‬ייקרא ‪δ‬־היפרבולי אם כל המשולשים הגיאודזיים הם ‪δ‬־צרים‪.‬‬
‫דוגמה ‪ :147‬כל מרחב מטרי עם קוטר סופי ‪ D‬הוא ‪D‬־היפרבולי‪ .‬דוגמה נוספת‪ R2 ,‬עם המטריקה הרגילה אינה‬
‫היפרבולית‪ :‬נסתכל על המשולש )‪ .(0, 0) , (0, 3δ) , (3δ, 0‬דוגמה מסובכת יותר — עץ מטרי )נבנה על ידי גרף‬
‫שהוא עץ‪ ,‬עם זיהוי כל צלע עם הקטע ]‪ ([0, 1‬הוא ‪0‬־היפרבולי‪ .‬ההפך כמעט נכון‪ :‬אם ‪ X‬הוא מרחב גיאודזי‬
‫‪0‬־היפרבולי‪ ,‬אזי ‪ X‬הוא עץ אמיתי‪.‬‬
‫הגדרה ‪ :148‬קשת במרחב־מטרי ‪ X‬המרחבת נקודות ‪ p, q‬היא תמונה של העתקה רציפה חח"ע ‪γ : [0, a] → X‬‬
‫כך ש־‪ γ (0) = p‬ו־‪ .γ (a) = q‬עץ אמיתי הוא מרחב־מטרי־גיאודזי שבו כל שתי נקודות מחוברת על ידי קשת‬
‫יחידה‪.‬‬
‫)‪dh (p, q‬‬
‫‬
‫‬
‫דוגמה ‪) :149‬דוגמה חשובה(‪ H2 :‬יהיה חצי המישור העליון‪ ,‬קרי — ‪ .H2 = (x, y) ∈ R2 |y > 0‬נרצה‬
‫להשרות על ‪ H2‬מטריקה שתיקרא המטריקה ההיפרבולית‪ .‬ראשית נגדיר את המרחק ההיפרבולי של המסילה‬
‫‪ γ : [a, b] → H2‬על ידי‪:‬‬
‫|)‪|γ 0 (t‬‬
‫‪dt‬‬
‫)‪γy (t‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫= )‪lh (γ‬‬
‫‪a‬‬
‫נוכל כעת להגדיר את פונקציית המרחק שלנו‪ ,‬שתהיה האינפימום על מרחקי המסילות בין שתי נקודות‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪dh (p, q) = inf lh (γ) |γ is a piecwise C 1 curve joining p to q in H2‬‬
‫טענה ‪) :150‬ללא הוכחה(‬
‫• ‪ dH‬מטריקה‪.‬‬
‫• המסילה הקצרה ביותר בין שתי נקודות והיא חייבת להיות חלק מקו אנכי או קטע של ישר או חלק‬
‫מחצי־מעגל שמרכזו על הציר האופקי‪.‬‬
‫• אלו הקטעים הגיאודזיים במרחב‪.‬‬
‫‪25‬‬
‫‪14‬‬
‫מרחב מטרי היפרבולי‬
‫ √‬
‫• ‪ H2‬מרחב ‪δ‬־היפרבולי ל־ ‪.δ = ln 1 + 2‬‬
‫כעת נוכיח שהיפרבוליות הוא שמורה של קוואזי־איזומטריה‪ .‬רעיון ההוכחה‪ ,‬בהינתן שני מרחבים ‪ X, Y‬קוואזי‬
‫איזומטריים על ידי ‪ f‬שאחד מהם הוא ‪δ‬־היפרבולי‪ .‬נסתכל על משולש גיאודזי ב־ ‪ ,X‬נשלח אותו ל־ ‪ Y‬על ידי‬
‫‪ ,f‬התמונה שלו לא תהיה גיאודזית‪ .‬נסתכל על הצלעות של המשולש ונראה שהם "קוואזי־גיאודזים"‪.‬‬
‫הגדרה ‪ γ : I → X :151‬עבור ‪ I ⊆ R‬ו־ ‪ γ‬שיכון )‪(C, D‬־קוואזי־איזומטרי‪ .‬תמונת הקטע ייקרא קטע )‪(C, D‬־‬
‫קוואזי־גיאודזי אם ]‪ .I = [a, b‬אם )∞ ‪ I = [0,‬נקרא לזה קרן )‪(C, D‬־קוואזי־גיאודזי‪ .‬אם ‪ I = R‬אזי נקרא‬
‫לו ישר )‪(C, D‬־קוואזי־גיאודזי‪.‬‬
‫דוגמה ‪ ,A0 = (t cos (nt) , t sin (nt)) :152‬הספירלה הלוגריתמית ב־ ‪ R2‬היא קטע קוואזי־גיאודזי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ γ : I → X :153‬קטע‪/‬קרן‪/‬ישר־)‪(C, D‬־קוואזי־גיאודזית‪ ,‬ו־ ‪(C 0 , D0 ) f : X → Y‬־קוואזי־איזומטריה‪.‬‬
‫אזי ‪ f ◦ γ‬קטע‪/‬קרן‪/‬ישר־קוואזי־גיאודזי‪.‬‬
‫משפט ‪ X :154‬מרחב ‪δ‬־היפרבולי‪ .C, D ≥ 0 ,‬יש קבוע )‪ R = R (C, D, δ‬כך שכל קטע )‪(C, D‬־קוואזי־גיאודזי‬
‫‪ ,γ : [a, b] → X‬כך שלכל קטע גאודזי בין )‪ γ (a‬ל־)‪ ,c : [0, l] → X ,γ (b‬ומתקיים ))‪Im (γ) ⊆ BR (Im (c‬‬
‫ו־))‪ .Im (c) ⊆ BR (Im (γ‬התמונות קרובות אחת לשנייה‪.‬‬
‫הערה ‪ :155‬אנחנו רואים שזה לא מתקיים עבור הספירלה הלוגריתמית‪ ,‬שם קטע ישר בין שתי נקודות‪ ,‬הקטע‬
‫הספירלי העובר ביניהם רחוק מאוד מהישר‪ ,‬וככל שמתרחקים המרחק גדל‪.‬‬
‫כדי להוכיח את המשפט נצטרך את הלמה הבאה‪ .‬במקום לעבוד עם ישר קוואזי־גיאודזי שהוא דבר שהוא קצת‬
‫מופרע‪ ,‬נעבוד עם משהו פשוט יותר‪.‬‬
‫למה ‪ X :156‬מרחב גיאודזי‪ ,‬ו־ ‪ γ : [a, b] → X‬קטע )‪(C, D‬־קוואזי־גיאודזי‪ .‬אזי קיימת העתקה ‪γ 0 : [a, b] → X‬‬
‫רציפה כך שמתקיים‪:‬‬
‫‪ γ 0 (a) = γ (a) .1‬ו־)‪.γ 0 (b) = γ (b‬‬
‫‪ γ 0 .2‬קטע ) ‪(C, D0‬־קוואזי־גיאודזי ו־)‪.D0 = 2 (C + D‬‬
‫‪ l γ 0 |[s,t] ≤ k1 d (γ 0 (s) , γ 0 (t)) + k2 .3‬לכל ]‪ s, t ∈ [a, b‬עם ‪ ki‬תלוי רק ב־‪.C, D‬‬
‫‬
‫‪ Im (γ) ⊆ B C2 +D (Im (γ 0 )) .4‬ו־))‪.Im (γ 0 ) ⊆ BC+D (Im (γ‬‬
‫)‪l (δ‬‬
‫הגדרה ‪ :157‬במרחב מטרי ‪ ,δ : [a, b] → X ,X‬האורך של ‪ δ‬יהיה האינפימום של כל החלוקות של המסילה‬
‫לקטעים גיאודזיים‪.‬‬
‫)‬
‫‪dl (δ (ai−1 ) , δ (ai )) s.t.a = a0 < a1 < · · · < ar = b ∧ r ∈ N‬‬
‫‪( r‬‬
‫‪X‬‬
‫‪l (δ) = sup‬‬
‫‪i=1‬‬
‫הוכחה‪) :‬של הלמה(‪ .‬אפשר למצוא ‪ γ 0 : [a, b] → X‬רציפה כך ש־‪ 1‬מתקיים‪ ,‬ו־)‪ γ (k) = γ 0 (k‬לכל‬
‫]‪ k ∈ Z ∩ [a, b‬וש־ ]‪ γ 0 |[k,k+1‬קטע גיאודזי‪ .‬נוכיח את ‪ ,t ∈ [a, b] .4‬אזי יש ]‪ k ∈ Z ∩ [a, b‬כך ש־ ‪,|k − t| < 21‬‬
‫ולכן‬
‫‪C‬‬
‫‪+D‬‬
‫‪2‬‬
‫≤ ))‪d (γ (t) , γ (k‬‬
‫אבל‬
‫) ‪γ (k) = γ 0 (k) ∈ Im (γ 0‬‬
‫לכל ‪,k‬‬
‫‪d (γ (k) , γ (k + 1)) ≤ C + D‬‬
‫‪26‬‬
‫מרחב מטרי היפרבולי‬
‫‪14‬‬
‫לכן כל נקודה היא במרחב‬
‫‪C+D‬‬
‫‪2‬‬
‫של נקודה )‪ γ (k‬לאיזשהו ‪ k‬מסוים‪ ,‬ולכן‬
‫))‪Im (γ 0 ) ⊆ B C+D (Im (γ‬‬
‫‪2‬‬
‫עכשיו נוכיח את ‪ .2‬אם ]‪ t ∈ [a, b‬נכתוב ]‪ [t‬כדי לסמן את הנקודה ‪ a, m, . . . m + p‬הקרובה ביותר ל־‪ .t‬לכן‪:‬‬
‫‬
‫‪C +D‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪d (γ ([t]) , γ ([s])) + 2‬‬
‫≤‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫))‪d (γ (t) , γ (s‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪C |[t] − [s]| + C + 2D + D‬‬
‫≤‬
‫‪|t − s| + 2C + 3D‬‬
‫≤‬
‫כאשר )‪ (1‬כי )]‪ γ 0 ([t]) = γ ([t‬וגם עבור ‪ .s‬בנוסף‪ ,‬מתקיים‪:‬‬
‫))‪d (γ (t) , γ (s‬‬
‫≤‬
‫‪d (γ 0 ([t]) , γ 0 ([s])) + C + 2D‬‬
‫≤‬
‫‪d (γ 0 (t) , γ 0 (s)) + 2C + 3D‬‬
‫≤‬
‫‪1‬‬
‫‪|t − s| − D‬‬
‫‪C‬‬
‫הוכחת חלק ‪ 3‬בלמה מושארת כתרגיל‪.‬‬
‫נוכיח למה נוספת בדרך להוכחת המשפט‬
‫למה ‪δ X :158‬־היפרבולי‪ γ : [a, b] → X ,‬מסילה רציפה עם ∞ < )‪ .l (x‬לכל ‪ x‬על קטע‬
‫‪d (x, Im (γ)) ≤ δ · |log2 (l (γ))| + 1‬‬
‫‬
‫הוכחה‪ :‬נניח |‪ .l γ|[s,t] = α |t − s‬נוכיח באינדוקציה על האורך של ‪ .γ‬יהי ‪ N ∈ N‬כך ש־≤ )‪2N ≤ l (γ‬‬
‫‪ 2N +1‬ונוכיח את הלמה באינדוקציה על ‪.N‬‬
‫• אם ‪ N = 0‬אזי ‪ ,l (γ) ≤ 2‬ולכן הסופרימום של אורכי הקטעים הוא ‪ ,2‬ולכן לכל נקודה על ‪ γ‬יתקיים כי‬
‫‪.d (γ (a) , γ (b)) ≤ 2‬‬
‫• נניח שהוכחנו את הלמה לכל ‪ γ‬כך ש־ ‪.2N ≤ l (γ) ≤ 2N +1‬‬
‫‪) 4γ (a) , γ a+b‬שנראה עקום‪ ,‬הרי זהו משולש‬
‫• נוכיח עבור ‪ .N + 1‬נסתכל על המשולש )‪, γ (b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a+b‬‬
‫‪a+b‬‬
‫גיאודזי(‪ X .‬הוא ‪δ‬־היפרבולי‪ ,‬אזי יש ‪ x0‬על קטע גיאודזי בין )‪γ (a‬ל־ ‪) γ 2‬או בין )‪ γ (b‬ל־ ‪(γ 2‬‬
‫עם ‪ .d (x, x0 ) ≤ δ‬לכן‪ ,‬מהאינדוקציה‪ ,‬יחד עם העובדה ש־‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪l γ|[γ(a),γ ( a+b )] ≤ 2N +1‬‬
‫‪2‬‬
‫ו־‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪a+b‬‬
‫‪0‬‬
‫‪d x , γ a,‬‬
‫‪≤ γN + 1‬‬
‫‪2‬‬
‫נקבל כי‬
‫‪d (x, Im (γ)) ≤ δ (N + 1) + 1‬‬
‫כנדרש‪.‬‬
‫‪27‬‬
‫‪14‬‬
‫מרחב מטרי היפרבולי‬
‫כעת נוכל סוף כל סוף להוכיח את המשפט‪.‬‬
‫הוכחה‪) :‬של המשפט( ‪ γ : [a, b] → X‬קטע )‪(C, D‬־קוואזי־גיאודזי ואפשר להניח שהוא מקיים את כל‬
‫התנאים בלמה הראשונה‪.‬‬
‫• ניקח‬
‫})‪Mγ = sup {d (x) , Im (γ) |x ∈ Im (c‬‬
‫ו־)‪ x0 ∈ Im (c‬כך ש־ ‪ .d (x0 , Im (γ)) = Mγ‬יהיו )‪ y, z ∈ Im (c‬עך ש־‬
‫‪d (y, x0 ) = d (x0 , z) = 2Mδ‬‬
‫)או )‪ z = γ (b) ,y = γ (a‬אם "אין מספיק מקום"(‪ .‬יהיו )‪ y0 , z 0 ∈ Im (γ‬כך ש־‬
‫‪d (y, y 0 ) , d (z, z 0 ) ≤ Mδ‬‬
‫‪.‬‬
‫• כעת נשתמש בתנאי ‪ 3‬בלמה‪ .‬תהא ‪ β‬המסילה בין ‪ y‬ל־ ‪ z‬שעוברת ב־] ‪ [y, y0‬ב־ ] ‪ γ|[y0 ,z0‬ואז ב־]‪ .[z 0 , z‬לפי ‪:3‬‬
‫‬
‫‪l (β) ≤ l γ|[y0 ,z0 ] + 2Mδ ≤ K1 d (y 0 z 0 ) + K2 + 2Mδ ≤ 6K1 Mδ + K2 + 2M δ‬‬
‫מהלמה‪:‬‬
‫|) ‪d (x0 , Im (γ)) = Mδ ≤ δ |log2 (l (β))| + 1 ≤ δ |log2 ((6K1 + 2) Mγ + K2‬‬
‫אבל הביטוי בסוגריים של אגף ימין גדל לוגריתמית עם ‪ Mγ‬ו־ ‪ Mγ‬חסום על ידי קבוע ‪ ,M0‬בעוד ‪Mδ‬‬
‫גדל ליניארית‪ .‬לכן ))‪.Im (c) ⊆ Bm0 (Im (γ‬‬
‫בכיוון השני‪ ,‬ייתכן שה־ ‪ M0‬לא יהיה טוב‪.‬‬
‫• נניח שיש )‪ γ (u) ∈ Im (γ‬כך ש־‬
‫‪d (γ (u) , Im (c)) > M0‬‬
‫מתקיים‬
‫)]‪Im (c) ⊆ BM0 (γ [a, u]) ∪ BM0 (γ [u, b‬‬
‫מרציפות של ‪ c‬יש )‪ s < u < t ,w ∈ Im (c‬כך ש־‬
‫‪d (w, γ (s)) , d (w, γ (t)) ≤ M0‬‬
‫‬
‫• עכשיו‪ d (γ (s) , γ (t)) ≤ 2M0 ,‬ולכן מהחלק השלישי של הלמה — ‪.l γ|[s,t] ≤ 2K1 M0 + K2‬‬
‫• מכאן נובע כי‬
‫))‪γ (u) ∈ BM0 +K1 M0 + K2 (Im (c‬‬
‫‪2‬‬
‫מהמשפט הזה נקבל כמה מסקנות‪.‬‬
‫מסקנה ‪ :159‬מרחב מטרי ‪ X‬הוא היפרבולי אם ורק אם לכל ‪ D ≥ 0 ,C ≥ 1‬יש קבוע )‪ δ (C, D‬כך שכל‬
‫משולש )‪(C, D‬־קוואזי־גיאודזי הוא )‪δ (C, D‬־רזה‪.‬‬
‫‪28‬‬
‫‪16‬‬
‫הצגה סופית של חבורות היפרבוליות‬
‫הוכחה‪ (=⇒) :‬ברור‪ ,‬כי ‪δ X‬־היפרבולי עבור )‪.δ = δ (1, 0‬‬
‫)=⇐( יהי ‪ R‬כך שכל קטע )‪(C, D‬־קוואזי־גיאודזי ב־‪R‬־סביבה של כל קטע גיאודזי בין הקצוות שלו לוקחים‬
‫‪δ (C, D) = 2R + δ‬‬
‫מסקנה ‪ :160‬יהי ‪ f : X → Y‬שיכון־)‪(C, D‬־קוואזי־איזומטרי‪δ Y .‬־היפרבולי‪ ,‬אז ‪ X‬הוא ‪δ 0‬־היפרבולי כך‬
‫ש־ ‪ δ 0‬תתוי רק ב־ ‪.C, D, δ‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסתכל על משולש גיאודזי ב־ ‪ X‬שצלעותיו ‪ γ0 , γ1 , γ2‬ונסתכל על איך ‪ f‬פועל עליו‪ Y .‬הוא ‪δ‬־היפרבולי‪,‬‬
‫ולכן ) ‪ f (γ0 ) , f (γ1 ) , f (γ2‬הוא משולש )‪(C, D‬־קוואזי־גיאודזי ב־ ‪ Y‬ולפי המסקנה הקודמת הוא )‪δ (C, D‬־רזה‪.‬‬
‫מכאן יש )‪ y ∈ Im (γ‬כך ש־)‪.d (f (x) , f (y)) ≤ δ (C, D‬‬
‫‪d (x, y) ≤ Cd (f (x) , f (y)) + D ≤ Cδ (C, D) + D‬‬
‫נקבע ‪ δ 0 = Cδ (C, D) + D‬ונקבל ש־ ‪ X‬הוא ‪δ 0‬־היפרבולי‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫חבורות היפרבוליות — הגדרה‬
‫ההגדרות הבאות הם של ריפס וגרומוב‪.‬‬
‫הגדרה ‪ :161‬חבורה נוצרת־סופית ‪ G‬נקראת היפרבולית אם הגרף־קיילי שלה )עם המטריקה שמזהה כל צלע‬
‫ל־]‪ ([0, 1‬הוא ‪δ‬־היפרבולי‪.‬‬
‫הערה ‪ :162‬זה מוגדר היטב‪ ,‬לפי המסקנות מהפרק הקדום ההגדרה אינה תלוי בבחירה של קבוצת יוצרים‪.‬‬
‫דוגמה ‪:163‬‬
‫‪ .1‬כל חבורה סופית היא היפרבולית‪.‬‬
‫‪ .2‬חבורה חופשית היא היפרבולית‪.‬‬
‫‪ Z2 .3‬לא היפרבולית )גם ‪ R2‬לא היפרבולי‪ .‬וראינו כי ‪ R2‬קוואזי־איזומטרי ל־ ‪.(Z2‬‬
‫‪ SL2 (Z) .4‬היפרבולית‪ ,‬שכן יש לה תת־חבורה מאינדקס סופי שהיא היפרבולית‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫הצגה סופית של חבורות היפרבוליות‬
‫טענה ‪ :164‬חבורה היפרבולית היא מוצגת־סופית‪.‬‬
‫כדי להוכיח את הטענה‪ ,‬נוכיח את הלמה הבאה שתסביר לנו איך מתנהגים קטעים גיאודזיים במרחב היפרבולי‪.‬‬
‫למה ‪ X :165‬מרחב ‪δ‬־היפרבולי‪ c0 : [0, τ 0 ] → X ,c : [0, τ ] → X .‬שני קטעים גיאודזיים‪ .‬עם )‪.c (0) = c0 (0‬‬
‫לכל ] ‪t ∈ [0, τ‬‬
‫))) ‪d (c (t) , c0 (t)) ≤ 2 (δ + d (c (τ ) , c0 (τ 0‬‬
‫)אם ‪ ,t ≥ τ 0‬נקבע ) ‪.(c0 (t) := c0 (τ 0‬‬
‫הוכחה‪ :‬לכל ] ‪ t0 ∈ [0, τ ] ,t ∈ [0, τ‬מאי־שוויון המשולש‪.|t0 − t| ≤ d (c (t) , c0 (t0 )) ,‬‬
‫| ‪d (c (t) , c0 (t)) ≤ d (c (t) , c0 (t0 )) + d (c0 (t0 ) , c0 (t)) = d (c (t) , c0 (t0 )) + |t − t0‬‬
‫ולכן נותר להוכיח כי )) ‪.d (c (t) , c0 (t)) ≤ 2d (c (t) , c0 (t0‬‬
‫‪29‬‬
‫‪17‬‬
‫בעיית המלה בחבורות היפרבוליות‬
‫• נניח קודם שיש ‪ t0‬כך ש־ ‪ d ((c (t)) , c0 (t0 )) ≤ δ‬אזי ישירות ‪.d (c (t) , d0 (t0 )) ≤ 2δ‬‬
‫• אם )‪ c (t‬במרחק קטן או שוו ל־ ‪ δ‬מנקודה על הקטע הגיאודזי ]) ‪ [c (τ ) , c0 (τ 0‬אז הוא במרחק קטן או שווה‬
‫ל־)) ‪ δ + d (c (τ ) , c0 (τ 0‬מ־) ‪ .c0 (τ 0‬לכן‬
‫)))) ‪d (c (t) , c0 (t)) ≤ 2d (c (t) , c0 (τ 0 )) ≤ 2 (δ + d (c (τ ) , c0 (c0 (τ 0‬‬
‫הלמה הזו אומרת ששני קטעים גיאודזיים שמתחילים באותה נקודה‪ ,‬לכל האורך נשארים קרובים‪.‬‬
‫כעת נשתמש בלמה כדי להוכיח את המשפט‪ ,‬כל חבורה היפרבולית היא מוצגת־סופית‪.‬‬
‫היפרבולית‪ S ,‬קבוצה סופית של יוצרים‪ .‬עבור מלה ‪ ,w = s1 · · · · · sn‬אפשר לכתוב את ‪ w‬כמכפלה של יחסים‬
‫שהם בצורה ‪ γsδ −1‬עם ‪ δ, γ‬קטעים־גיאודזיים‪ ,‬ו־ ‪.s ∈ S‬‬
‫הוכחה‪G :‬‬
‫משפט ‪) 166‬גרומוב(‪ :‬חבורה מוצגת־סופית אקראית היא היפרבולית‬
‫הסתברות שחבורה ‪ ,G = hS|Ri‬עם ‪ |R| = m ,|S| = n‬ויחסים באורך לכל היותר ‪ ,t‬אזי ההסתברות שחבורה‬
‫כזו תהיה היפרבולית )ונסמן )‪ P (n, m, t‬להיות ההסתברות הזו(‪:‬‬
‫∞→‪t‬‬
‫‪∀n,m∈N P (n, m, t) −→ 1‬‬
‫כאשר ההתפלגות של הבחירה היא התפלגות אחיד‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫בעיית המלה בחבורות היפרבוליות‬
‫מקרה פרטי של ההוכחה של גרומוב מקודם היא פתרון בעיית המלה במקרה של החבורות ההיפרבוליות‪.‬‬
‫משפט ‪ G :167‬חבורה היפרבולית‪ ,‬אז יש פיתרון לבעיית המלה ‪ .G‬הכוונה כאן היא פתרון לבעיית המלה‬
‫עבור קבוצת יוצרים מסוימת‪ ,‬אבל ממשפט גרומוב שציטטנו למעלה זה לא מהווה בעיה גדולה‪.‬‬
‫נשתמש ברעיון של מקס דהן‪ ,‬על מלים‪ .‬הרעיון הוא שלעתים כדאי להאריך מלה כדי שיהיה אפשר לצמצם‬
‫אותה וכך להגיע לזהות‪.‬‬
‫‪.s1 6= s−1‬‬
‫הגדרה ‪ S :168‬קבוצה סופית‪ w = s1 · · · · · sn .‬מלה ב־ ‪ .S‬אומרים ש־ ‪ w‬מצומצמת ציקלית אם ‪n‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬אפשר לראות שלכל מלה מצומצמת בחבורה החופשית‪ ,‬יש הצמדה של המלה שהיא מצומצמת ציקלית‬
‫ויש אלגורתים שיכול לחשב מהי ההצמדה‪ .‬זה מושאר כתרגיל‪.‬‬
‫הגדרה ‪ :169‬הצגה ‪ hS|Ri‬היא סימטרית אם לכל ‪:r ∈ R‬‬
‫• ‪ r‬מצומצמת ציקלית‪.‬‬
‫• ‪.r−1 ∈ R‬‬
‫• כל הצמדה של ‪ r‬שהיא מצומצמת ציקלית נמצאת ב־‪.R‬‬
‫ניתן לבנות אלגוריתם שלוקח הצגה סופית ‪ hS|Ri‬ומחשב הצדה סופית וסימטרית ‪ hS|R0 i‬של אותה חבורה‪ .‬גם‬
‫זה מושאר כתרגיל‪.‬‬
‫הגדרה ‪ hS|Ri :170‬הצגה סימטרית היא הצגת דהן אם לכל מלה ‪ w‬ב־ ‪ S‬שמייצגת את האיבר הטריוויאלי‬
‫ב־‪ ,G‬יש תת־מלה ‪ v‬כך ש־ ‪ v‬יותר מחצי של יחס‪ .‬זאת אומרת‪ ,‬שיש יחס ‪ r‬ותת־מלה ‪ u‬של ‪ r‬כך ש־‪r = vu‬‬
‫ו־)‪.lS (u) < ls (v‬‬
‫טענה ‪ :171‬אם ‪ hS|Ri‬הצגת דהן‪ ,‬אזי יש פתרון לבעיה המלה ב־‪.G = hS|Ri‬‬
‫‪30‬‬
‫‪17‬‬
‫בעיית המלה בחבורות היפרבוליות‬
‫הוכחה‪) :‬האלגוריתם של דהן(‪ :‬נגדיר את האלגוריתם הבא‪ :‬ראשית‪ ,‬נקח רשימה ‪ L‬של כל הזוגות )‪ (v, u‬כך‬
‫ש־‪ v, u‬הם תת־מלים של איבר ‪ r = vu — r ∈ R‬ו־)‪) lS (v) > lS (u‬זו רשימה סופית(‪ .‬בהינתן מלה ‪ w‬ב־ ‪,S‬‬
‫נבצע את הפעולות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ w‬ריקה‪ ,‬עצור — האיבר טריוויאלי‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ w‬לא ריקה‪ ,‬חשב את הצמוד המצומצמם ציקלי שלה — ‪ ,w0‬הוא לכל היותר באורך ‪ w‬והוא מייצג‬
‫את האיבר הטריוויאלי ב־‪ G‬אם ורק אם ‪ w‬מייצג את האיבר הטריוויאלי ב־‪.G‬‬
‫‪ .3‬רשום את כל התת־מלים של ‪ w0‬ובדוק האם לאחת מתת־המלים האלה ‪ ,v‬קיים ‪ u‬כך ש־‪.(v, u) ∈ L‬‬
‫‪ .4‬אם לא‪ ,‬אזי מהגדרת הצגת דהן נובע ש־ ‪ ,w0‬ולכן גם ‪ ,w‬לא מייצגת את המלה הטריוויאלית ב־‪ .G‬לכן‬
‫עצור‪.‬‬
‫‪ .5‬אם קיים ‪ u‬כזה‪ ,‬ואם ‪ w0 = w1 vw2‬עבור תת־מלים ‪ w1 , w2‬של ‪ ,w0‬אזי ‪ .w0 =G w1 u−1 w2‬חשב‬
‫את המלה המצומצמת ‪ w00‬המייצגת את האיבר ‪ ,w1 u−1 w2‬היא קצרה ממש מ־ ‪ w0‬ומייצגת את האיבר‬
‫הטריוויאלי ב־‪ G‬אם ורק אם ‪ w0‬מייצג את המלה הטריוויאלית ב־‪.G‬‬
‫‪ .6‬חזור לשלב ‪ ,1‬כאשר ‪.w := w00‬‬
‫היות שהאורך של מלה יורד עם כל איטרציה בלולאה‪ ,‬התהליך ייעצר‪.‬‬
‫משפט ‪ :172‬חבורה היפרבולית היא בעלת הצגת דהן‪.‬‬
‫למעשה‪ ,‬גם ההפך נכון )אך לא נוכיח זאת פה(‪.‬‬
‫בהינתן אלגוריתם דהן‪ ,‬נקבל מיידית את המסקנה‪:‬‬
‫מסקנה ‪ :173‬חבורה היפרבולית היא בעלת בעיית מלה פתירה‪.‬‬
‫כדי להוכיח את המשפט‪ ,‬נצטרך להוכיח קודם שתי למות‪:‬‬
‫למה ‪ :174‬יהא ‪ X‬מרחב־מטרי ‪δ‬־היפרבולי‪ ,‬ו־ ‪ .k ≥ 8δ‬תהא ‪ γ : [a, b] → X‬קטע גיאודזי ‪k‬־מקומי‪ ,‬קרי — לכל‬
‫]‪ s, t ∈ [a, b‬עם ‪ t − s < k‬מתקיים |‪ .d (γ (s) , γ (t)) = |t − s‬אזי אם ‪ c‬הוא קטע גיאודזי המחבר את )‪γ (a‬‬
‫ו־)‪ γ (b‬יתקיים‬
‫))‪Im (γ) ⊆ B2δ (Im (c‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהא )‪ x = γ (t‬הנקודה המקבלת את המרחק המירבי מ־)‪ .Im (c‬נניח ראשית שנוכל לבחור נקודות ‪y, z‬‬
‫מכל צד של ‪ x‬כך ש־‪ d (y, z) < k‬ו־ ‪ γ‬קטע גיאודזי ביניהן‪ ,‬אבל ‪ .d (y, x) , d (x, z) > 4δ‬יהיו ‪ y0 , z 0‬נקודות‬
‫של )‪ i (c‬הקרובות ביותר ל־ ‪ y, z‬בהתאמה‪ .‬על ידי חתיכת המרובע ‪ y, z, z 0 , y0‬באלגסון על ידי שני משולשים‬
‫גיאודזיים‪ ,‬נוכל לראות שקיימת נקודה ‪ w‬באחד הצדדים שאינה ב־]‪ [y, z‬המקיימת ‪.d (x, w) < 2δ‬‬
‫אם ‪ w‬היא על ‪ y, y0‬נקבל סתירה‪ :‬שכן מתקיים‬
‫) ‪d (x, y 0 ) ≤ d (x, w) + d (w, y 0 ) < 2δ + d (w, y 0‬‬
‫בעוד מתקיים‪:‬‬
‫) ‪= d (y, w) + d (w, y 0‬‬
‫) ‪≥ [d (y, x) − d (x, w)] + d (w, y 0‬‬
‫) ‪> [4δ − 2δ] + d (w, y 0‬‬
‫)‪≥ 2δ + d (w, y‬‬
‫) ‪≥ d (x, y 0‬‬
‫‪31‬‬
‫) ‪d (y, y 0‬‬
‫‪17‬‬
‫בעיית המלה בחבורות היפרבוליות‬
‫בסתירה לבחירת ‪ .x‬באופן דומה‪ w ,‬לא יכול להיות על ] ‪ .[z, z 0‬לכן הוא על )‪ [y0 , z 0 ] ⊆ Im (c‬וסיימנו‪ .‬אם אין‬
‫‪ y0 , z 0‬שכאלה‪ ,‬אזי נפעיל טיעון דומה‪ ,‬שמושאר כתרגיל‪.‬‬
‫הלמה הבאה היא במידה מסויימת הוכחה שמעגל בגרף־קיילי של חבורה היפרבולית תמיד כוללת "קיצור־דרך"‬
‫בין שתי נקודות שבמרחק חסום בלולאה‪.‬‬
‫למה ‪ :175‬תהא ‪ G‬חבורה שהיא ‪δ‬־היפרבולית ביחס לקבוצת יוצרים ‪ .S‬יהא )‪n > 1 ,γ : [0, n] → X (G, S‬‬
‫מעגל בגרף קיילי של ‪ ,G‬עם פרמטריזציה איזומטרית על כל צלע‪ .‬אזי קיימים ]‪ s, t ∈ [0, n‬כך ש־ ]‪ γ|[s,t‬אינה‬
‫גיאודזית ובאורך לכל היותר ‪.8δ‬‬
‫הערה ‪ :176‬בשל ההנחה שלנו על הפרמטריזציה של ‪ ,γ‬נובעים הדברים הבאים‪:‬‬
‫‬
‫• לכל ]‪ v, u ∈ [0, n‬מתקיים |‪.l γ|[v,u] = |v − u‬‬
‫‬
‫• לכל ]‪ v, u ∈ [0, n‬מתקיים ]‪.d (γ (v) , γ (u)) ≤ l γ|[v,u‬‬
‫‬
‫• ]‪ γ|[s,t‬אינה גיאודזית אם ורק אם ]‪.d (γ (s) , γ (t)) ≤ l γ|[s,t‬‬
‫הוכחה‪) :‬של הלמה( אם ‪ ,l (γ) ≤ 8δ‬אזי בחירת ‪ s = 0‬ו־‪ t = n‬תספיק‪ ,‬שכן ‪ γ‬בבירור אינה גיאודזית שכן‬
‫‪ ,d (γ (0) , γ (n)) = 0 < l (γ) = n‬ולכן נניח ש־ ‪.n > 8δ‬‬
‫מספיק להוכיח ש־ ‪ γ‬הוא לא קטע גיאודזי ‪k‬־מקומי לכל ‪ ,k > 8δ‬שכן אם כן קיימים ]‪ s, t ∈ [a, b‬עם‬
‫‪ |t − s| ≤ 8δ‬כךש־ ]‪ γ|[s,t‬לא גיאודזית‪ ,‬שכן ]‪ γ|[s,t‬היא מסלול בגרף שבו כל צלע היא באורך ‪ ,1‬ולכן מתקיים‬
‫‪.l γ|[s,t] = |t − s| ≤ 8δ‬‬
‫נניח לכן ש־ ‪ γ‬הוא קטע גיאודזי ‪k‬־מקומי עבור איזשהו ‪ .k > 8δ‬לפי למה שהוכחנו‪ ,‬אנחנו יודעים ש־)‪Im (γ‬‬
‫מוכל בסביבת־ ‪ 2δ‬של )‪ .γ (0‬כעת‪ d (γ (0) , γ (5δ)) = 5δ ,‬שכן ‪ γ‬היא גיאודזית ‪k‬־מקומית — וזה בסתירה‪.‬‬
‫כעת יש בידינו הכלים להוכיח שלכל חבורה היפרבולית קיימת הצגת דהן‪.‬‬
‫הוכחה‪) :‬של המשפט( יהי ‪ π : F (S) → G‬ההטלה הקנונית‪ .‬נסמן ב־ ‪ R0‬את קבוצת המלים ב־ ‪ S‬כך‬
‫ש־)‪ r ,r ∈ ker (π‬היא מצומצמת־ציקלית וקיימות תת־מלים ‪ u, v‬של ‪ r‬כך שמתקיים‪:‬‬
‫‪r = uv .1‬‬
‫‪lS (v) ≤ 8δ + 1 .2‬‬
‫‪d (1, π (u)) = lS (u) .3‬‬
‫‪lS (u) < lS (v) .4‬‬
‫נשים לב שתנאי )‪ (3‬גורר שכל מסלול המתויג על ידי מלה ‪ u‬הוא קטע גיאודזי‪ .‬נקח את ‪ R‬להיות קבוצת‬
‫כל האיברים המצומצמים־ציקלית הצמודים לאיבר ‪ ,R0‬כך ש־‪ hS|Ri‬היא הצגה סימטרית‪.‬‬
‫תהא ‪ w‬מלה לא טריוויאלית ב־ ‪ S‬כך ש־‪ .π (w) = 1‬אנחנו רוצים להראות שניתן לכותבה כמכפלה של‬
‫איברים הצמודים לאיברי ‪) R‬ומכאן ש־‪ hS|Ri‬היא אכן הצגה של ‪ ,(G‬ושקיימת תת־מלה של ‪ w‬כך שמייצגת‬
‫יותר מחצי היחס )כדי להראות שזו אכן הצגת דהן(‪ .‬נוכיח זאת באינדוקציה על ‪ — n‬האורך של ‪.w‬‬
‫המלה ‪ w‬מתייגת מעגל )‪ γ : [0, n] → X (G, S‬בגרף קיילי של החבורה‪ .‬לפי הלמה הראשונה נוכל למצוא‬
‫שלמים ]‪ k, l ∈ [n‬המקיימים ‪ |l − k| ≤ 8δ + 1‬כך ש־ ]‪ γ|[k,l‬אינה קטע גיאודזי‪ .‬נסמן ב־‪ v‬את התיוג של המסילה‬
‫]‪ ,γ|[k,l‬וב־‪ u‬את הקטע הגיאודזי בין )‪ γ (l‬ו־)‪ .γ (k‬בלי הגבלת הכלליות ])‪ [γ (l) , γ (k‬ו־ ]‪ γ|[k,l‬ללא חפיפות‬
‫)אחרת היינו בוחרים ‪ l, k‬קרובים יותר(‪.‬‬
‫אנחנו רואים ש־‪ v‬היא תת־מלה של ‪ w = w1 vw2 ,w‬עבור איזשהם ‪ — w1 , w2‬תת־מלים של ‪ ,w‬ו־‪ uv‬מתייגת‬
‫מעגל בגרף־קיילי כך ש־‪ .π (uv) = 1‬מההנחה שאין חפיפה‪ uv ,‬היא מצומצמת־ציקלית‪ .‬מתנאי )‪ (2‬ו־)‪(4‬‬
‫בחירת ‪ r = uv‬תוביל לכך ש־‪.r ∈ R‬‬
‫אם ‪ w1 , w2‬הן המלים הריקות‪ ,‬אז סיימנו‪ .‬אחרת‪ ,‬מהנחת האינדוקציה ‪) w1u−1 w2‬שקצרה יותר באורכה‬
‫מ־‪ (w‬יכולה להיכתב כמכפלה של איברים צמודים לאיברי ‪ ,R‬ולכן גם ‪ ,w = w1 u−1 w2 w2−1 (uv) w2‬וסיימנו‪.‬‬
‫נשים לב שחבורות היפרבוליות הן בעלות בעיית צמידות פתירה‪ ,‬וצליל סלע הוכחית שבעיית האיזומורפיזם‬
‫אף היא פתירה עבור חבורות היפרבוליות חסרות־פיתול‪.‬‬
‫‪32‬‬
‫‪18‬‬
‫‪18‬‬
‫תת־חבורות של חבורות היפרבוליות‬
‫תת־חבורות של חבורות היפרבוליות‬
‫האם תת־חבורה של חבורה היפרבולית היא בהכרח היפרבולית? לא‪ .‬לדוגמה‪ ,‬יכולה להיות איזושהי תת־חבורה‬
‫לא נוצרת־סופית )חבורה חופשית על אינסוף יוצרים כתת־חבורה של ‪ F2‬כמו שראינו בעבר(‪ .‬יש גם דוגמאות‬
‫נוצרות־סופיות שאינן מוצגות־סופית שמשוכנות בחבורה היפרבולית )הבנייה של ריפס( ואפילו תת־חבורה‬
‫מוצגת־סופית שאינה היפרבולית של חבורה היפרבולית )בנייה קשה יותר‪ ,‬של נואל בריידי(‪ .‬אם ‪ ,H ≤ G‬מה‬
‫נוכל לומר על היחסים בין ‪ H‬ו־‪ G‬כמרחבים־מטריים?‬
‫תרגיל ‪ :177‬תת־חבורות ציקליות של חבורות אבליות נוצרות־סופית הן משוכנות־קוואזי־איזומטרית‪.‬‬
‫באופן כללי‪ ,‬האורך של ‪ H‬יכול להיות גדול יותר מהאורך של ‪:G‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫תרגיל ‪ :178‬עבור‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫= ‪ ,A‬עם ערך־עצמי אחד )הגדול יותר( ‪ .λ > 1‬נשים לב ש־‪ A‬לא מקבעת‬
‫כל וקטור שאינו האפס על ‪) Z2‬העתקה כזו מכונה אנוסוב — ‪ .(Anosov‬תהא ‪ ΓA‬להיות הרחבת ‪ HNN‬של‬
‫‪ Z2 = hai ⊕ hbi‬ביחס לשני ההומומורפיזמים החח"ע — ‪ Id : Z2 → Z2‬ו־ ‪ .A : Z2 → Z2‬נוסיף איבר נוסף ‪y‬‬
‫כך שלכל ‪ g ∈ Z2‬מתקיים ‪ tgt−1 = Ag‬ונסמן }‪ T = {a, b‬ו־}‪.S = {a, b, t‬‬
‫‪n‬‬
‫‪gk2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.limn→∞ kA‬‬
‫‪ .1‬הראה שניתן לבחור ‪ g ∈ Z‬כך ש־‪λn kgk2 = 1‬‬
‫‪ .2‬הראה ש־)‪ lT (An g) ≥ Cλn lT (g‬עבור איזשהו קבוע ‪.C‬‬
‫‪ .3‬הראה שמצד שני‪.lS (tn gt−n ) ≤ lS (g) + 2n ,‬‬
‫לכן‪ ,‬נרצה להוסיף תנאי נוסף שיבטיח שהשיכון של ‪ H‬ב־‪ G‬הוא שיכון קוואזי־איזומטרי‪.‬‬
‫הגדרה ‪ :179‬תת־מרחב ‪ Y‬של מרחב־מטרי גיאודזי ‪ X‬הוא קוואזי־קמור אם קיים קובע ‪ K ≥ 0‬כך שלכל‬
‫‪ y1 , y2 ∈ Y‬ולכל ] ‪ x ∈ [y1 , y2‬מתקיים ‪.d (x, Y ) ≤ K‬‬
‫למה ‪ :180‬תהא ‪ G‬חבורה עם קבוצת יוצרים סופית ‪ .S‬אם ‪ H‬קוואזי־קמורה ב־)‪ ,X (G, S‬אזי היא נוצרת־סופית‬
‫והשיכון ‪ H → G‬הוא שיכון־קוואזי־איזומטרי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהא ‪ h ∈ H‬ונכתוב אותו בתור מלה ב־ ‪ .h = s1 · · · · · sq — S‬עבור כל ‪ 0 ≤ i ≤ q‬קיים מסלול באורך‬
‫לכל היותר ‪ k‬המתויג ‪ ui‬בין איבר ‪ hi‬של ‪ H‬ו־ ‪ .s1 · · · · · si‬לכן ‪ h‬יכולה להיכתב כמכפלה של ‪ q‬האיברים‬
‫‪ ,vi = h−1‬שהן באורך לכל היותר ‪ wk + 1‬ב־‪ .G‬לכן ‪ H‬נוצרת על ידי מספר סופי של איברי ‪ H‬שהן‬
‫‪i hi+1‬‬
‫באורך ‪ lS‬של לכל היותר ‪ 2k + 1‬ב־‪ .G‬מעבר לכך‪ ,‬נשים לב שביחס לקבוצת היוצרים הזו‪ ,‬האורך של ‪h ∈ H‬‬
‫הוא לכל היותר ‪.lS (H) = q‬‬
‫אם ‪ G‬היפרבולית‪ ,‬הכיוון השני ללמה גם נכון‪:‬‬
‫טענה ‪ :181‬אם תת־חבורה נוצרת־סופית ‪ H‬של חבורה היפרבולית ‪ G‬היא שיכון־קוואזי־איזומטרי של ‪ ,G‬אזי‬
‫‪ H‬היא קוואזי־קמורה ב־)‪ X (G, S‬לכל בחירה של קבוצת יוצרים ‪.S‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח שקיים שיכון קוואזי איזומטרי של ‪ H‬לתוך ‪ .G‬הוכחנו שזה לא תלוי בבחירות קבוצת יוצרים‪ ,‬ולכן‬
‫כל בחירה של קבוצות יוצרים ‪ T, S‬ניתנת להרחבה לשיכון־)‪(C, D‬־קוואזי־איזומטרי )‪f : X (H, T ) → X (G, S‬‬
‫)ניזכר ששיכון של חבורה לגרף־קיילי שלה הוא קוואזי־איזומטרי — )‪.(X (H, T ) → H → G → X (G, S‬‬
‫אם ‪ ,h, h0 ∈ H‬יהא ‪ γ‬קטע גיאודזי בין ‪ h‬ו־ ‪ h0‬ב־) ‪ .X (H, T‬אזי ‪ f ◦ γ‬הוא קטע־)‪(C, D‬־קוואזי־גיאודזי‬
‫בין ‪ h‬ו־ ‪ h0‬ב־)‪ .X (G, S‬ממשפט שהוכחנו‪ ,‬לכל נקודה ‪ x‬בקטע הגיאודזי בין ‪ h‬ו־ ‪ h0‬ב־)‪ X (G, S‬נמצא במרחק‬
‫לפחות ‪ K‬מ־)‪ ,Im (F ◦ γ‬כאשר ‪ K‬תלוי אך ורק ב־)‪ (C, D‬וקבוע ההיפרבוליות של )‪ .X (G, S‬לכן ‪ x‬הוא‬
‫במרחק לכל היותר ‪ K + 1‬נקודות ב־ ‪ .H‬לכן ))) ‪ f (γ (X (H, T‬היא קוואזי־קמורה ב־)‪ .X (G, S‬לכן ‪H‬‬
‫קוואזי־קמורה ב־‪.G‬‬
‫מסקנה ‪ :182‬תהא ‪ H‬תת־חבורה של חבורה היפרבולית ‪ .G‬אם ‪ H‬קוואזי־קמורה בגרף קיילי של ‪ G‬בהתאם‬
‫לקבוצת יוצרים אחת של ‪ ,G‬היא קוואזי קמורה ביחס לכל קבוצת יוצרים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ H‬קוואזי קמורה ב־)‪ ,X (G, S‬היא שיכון איזומטרי ב־‪ .G‬לכן היא קוואזי קמורה בכל גרף־קיילי‬
‫של ‪ G‬מהטענה הקודמת‪.‬‬
‫מהמסקנה נוכל כעת להגדיר בכלליות‪:‬‬
‫‪33‬‬
‫‪18‬‬
‫תת־חבורות של חבורות היפרבוליות‬
‫הגדרה ‪ :183‬תת־חבורה ‪ H‬של חבורה היפרבולית ‪ G‬היא קוואזי־קמורה אם היא תת־קבוצה קוואזי־קמורה של‬
‫איזשהו גרף־קיילי של ‪.G‬‬
‫מהלמה האחרונה שהוכחנו יחד עם העובדה שיכון־קוואזי־איזומטרי של תת־מרחב של מרחב היפרבולי הוא‬
‫היפרבולי‪ ,‬נקבל את המסקנה‪:‬‬
‫מסקנה ‪ :184‬תת־חבורה קוואזי־קמורה של חבורה היפרבולית היא היפרבולית‪.‬‬
‫נרצה כעת להבין את התת־חבורות האבליות של חבורות היפרבוליות בכלל‪ ,‬ובפרט להראות שחבורה היפרבולית‬
‫לא יכולה להכיל תת־חבורה שאיזומורפית ל־ ‪ .Z2‬ברור שהיא לא יכולה להכיל שיכון־קוואזי־איזומטרי של‬
‫עותק‪ ,‬שכן ‪ Z2‬אינה היפרבולית‪ ,‬אבל מה עם עותק שאינו כזה?‬
‫לצורך זאת‪ ,‬נלמד על מרכזים של חבורות היפרבוליות‪ .‬ניזכר שמרכז של איבר ‪ g ∈ G‬הוא תת־חבורה של‬
‫כל האיברים שמתחלפים עם ‪ ,g‬והיא מסומנת בתור )‪ CG (g‬או )‪.C (g‬‬
‫נרצה להוכיח את המשפט הבא‪:‬‬
‫משפט ‪ :185‬מרכז של חבורות היפרבוליות הוא קוואזי־קמור‪.‬‬
‫לצורך כך‪ ,‬נוכיח את הלמה הבאה‪:‬‬
‫למה ‪ :186‬תהא ‪ G‬חבורה ‪δ‬־היפרבולית ביחס לקבוצת יוצרים ‪ .S‬קיימת פונקציה ‪ M : N × N → N‬כך שאם‬
‫‪ u, v ∈ G‬צמודים‪ ,‬אזי קיים ‪ g ∈ G‬כך ש־‪ gug−1 = v‬וגם ))‪.lS (g) ≤ M (dS (1, u) , dS (1, v‬‬
‫הוכחה‪) :‬של הלמה(‪ .‬נגדיר )‪ M (k, l‬להיות העצמה של הכדור ברדיוס ‪ 4δ + 2k + 3l‬מסביב ל־‪ 1‬ב־)‪X (G, S‬‬
‫—‬
‫‬
‫‬
‫)‪ X(G,S‬‬
‫‬
‫)‪M (k, l) = B4δ+2k+3l (1‬‬
‫נניח ש־ ‪ gug −1 = v‬וש־ ‪ g‬הוא האיבר הקצר ביותר המצמיד את ‪ u‬ל־ ‪ .v‬נסמן ב־ ‪ t 7→ gt‬עבור ])‪t ∈ [0, l (g‬‬
‫‪0‬‬
‫את הקטע הגיאודזי בין ‪ 1‬ו־‪ g‬ב־)‪ ,X (G, S‬וב־ )‪ s 7→ gs = g(l(g)−s‬את הקטע ההופכי‪ .‬נסתכל על הקטע‬
‫הגיאודזי )‪ c : [0, T ] → X (G, S‬בין ‪ 1‬לבין ‪ ,gu‬ואת )‪ c0 : [0, T ] → X (G, S‬להיות ההופכי שלו‪ ,‬קרי —‬
‫‪0‬‬
‫‪ .c0 : s 7→ cs = cT −t‬הקטע הגיאודזי ‪ t 7→ gt‬ו־ ‪ t 7→ ct‬הם בעלי אותה נקודת התחלה‪ ,‬ולכן לפי למה שהוכחנו‬
‫מתקיים לכל ‪:t‬‬
‫))‪d (gt , ct ) ≤ 2 (δ + l (u‬‬
‫‪0‬‬
‫באופן דומה‪ ,‬לכל ] ‪ s ∈ [0, T‬הקטע הגיאודזי ‪ s 7→ cs‬ו־ ‪ s 7→ guγs = vgl(g)−s‬הם בעלי אותה נקודת התחלה‪,‬‬
‫ולכן‬
‫‪ 0‬‬
‫‬
‫))‪d cs , guγs < 2 (δ + l (v‬‬
‫ולכן‬
‫‬
‫))‪d cT −s , vgl(g)−s < 2 (δ + l (v‬‬
‫על ידי בחירת ‪ s = T − t‬נקבל‬
‫‬
‫))‪d ct , vgl(g)−T +t < 2 (δ + l (v‬‬
‫ולכן קיבלנו‪:‬‬
‫‬
‫)‪d vgl(g)−T +t , vgt = l (g) − T ≤ l (u‬‬
‫‪34‬‬
‫‪18‬‬
‫תת־חבורות של חבורות היפרבוליות‬
‫על ידי חיבור כל התוצאות האלו‪ ,‬נקבל שלכל ‪ t‬מתקיים‬
‫‬
‫)‪l gt−1 vgt ≤ d (gt , vgt ) ≤ 4δ + 2l (v) + 3l (u‬‬
‫ולכן ‪ T‬קטן ממש מ־))‪ ,M (l (u) , l (v‬ולכן קיימים )‪ 0 ≤ k ≤ l ≤ n = l (g‬כך ש־ ‪ .gl−1 vgl = gk−1 vgk‬אם‬
‫‪ ,g = s1 · · · · · sn‬אז נקבל שמתקיים‬
‫‪−1 −1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪s−1‬‬
‫‪vg = u‬‬
‫‪n · · · · · sl+1 sk · · · · · s1 vs1 · · · · · sk sl+1 · · · · · sn = g‬‬
‫בסתירה לכך ש־‪ g‬היא הקצרה ביותר‪.‬‬
‫לאחר שהוכחנו את הלמה‪ ,‬נוכל להוכיח את המשפט‪:‬‬
‫הוכחה‪) :‬של המשפט( נסתכל על איבר )‪ ,h ∈ C (g‬ועל קטע קוואזי־גיאודזי ‪ t 7→ ht‬ב־)‪ X (G, S‬בין‬
‫‪ 1‬ל־‪ .h‬נרצה להראות ש־ ‪ ht‬נשאר במרחק חסום מ־)‪ .C (g‬כמו בהוכחה של המשפט הקודם‪ ,‬נראה שקיים‬
‫‪0‬‬
‫‪ h−1‬הוא באורך לכל היותר ‪ .R‬מהמשפט הקודם קיים ‪ h ∈ G‬עם‬
‫רק ב־‬
‫‪ δ‬ו־)‪ l (g‬כך ש־ ‪t ght‬‬
‫קבוע ‪ R‬התלוי ‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫)‪ l h ≤ M (l (g) , R‬כך ש־ ‪ .h gh = ht ght‬לכן‪ ,‬האיבר ‪ ht h‬נמצא ב־)‪ ,C (g‬ומתקיים‬
‫‬
‫‬
‫‪ 0‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪d ht , ht h = l h ≤ M (l (g) , R‬‬
‫ולכן לכל ‪ ht ,t‬הוא במרחק לכל היותר )‪ M (l (g) , R‬מנקודה ב־)‪.C (g‬‬
‫תרגיל ‪ :187‬הוכח ש־‪ ΓA = Z2 oA Z‬היא לא היפרבולית עבור אף אנסוב ‪.A‬‬
‫הערה ‪ :188‬אם נסתכל על החבורה הציקלית הנוצרת על ידי ‪ ,g‬היא מוכלת במרכז‪.‬‬
‫נוכיח ש־‪ hgi‬מאינדקס סופי ב־)‪.C (g‬‬
‫טענה ‪ G :189‬היפרבולית‪ H, K ≤ G ,‬קוואזי־קמורות )עם קבוע ‪ .(R‬אזי ‪ H ∩ K‬גם קוואזי־קמורה‪.‬‬
‫כדי להוכיח שתת־חבורה קוואזי־קמורה‪ ,‬מספיק להסתכל על כל קטע גיאודזי בין ‪ 1‬לבין כל איבר ‪h ∈ H‬‬
‫ולהראות שזה חסום‪.‬‬
‫הוכחה‪ g0 ∈ [1, g] ,g ∈ H ∩ K :‬קטע־גיאודזי בין ‪ 1‬ל־‪ g‬ב־)‪ .X (G, S‬יהי ‪ gD ∈ H ∩ K‬הכי קרובה ל־ ‪,g0‬‬
‫אזי )‪ [0, D] → X (G, S‬על ידי ‪ t 7→ gt‬קטע גיאודזי בין ‪ g0‬לבין ‪ .gD‬כעת‪ ,‬אם ‪ t > R + δ‬אז‬
‫‪d (gt , [h0 , g0 ]) < δ‬‬
‫לכן יש ‪ ht ∈ H‬כך ש־‬
‫‪d (gt , ht ) ≤ R + δ‬‬
‫זאת היות ש־ ‪ H‬קוואזי־קמורה ו־ ‪ .h0 , gD ∈ H‬באופן דומה אם ‪ t > R + δ‬אז יש ‪ kt ∈ K‬כך ש־‬
‫‪.d (gt , kt ) ≤ R + δ‬‬
‫יהיו ‪ vt , ut‬המקיימות ‪ ht = gt ut‬ו־ ‪ .kt = gt vt‬אם‬
‫‪2‬‬
‫‪D > |B (δ + R)| + R + δ‬‬
‫אז יש‬
‫‪R+δ <s<t‬‬
‫כך ש־ ‪ us = ut‬ו־ ‪ .vs = vt‬אז‬
‫‪= hs ht gD ∈ H‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪gs us u−1‬‬
‫‪s gt gD‬‬
‫=‬
‫‬
‫‪gs gt−1 gD‬‬
‫באופן דומה ‪ gs gt−1 gD ∈ K‬אבל‬
‫‬
‫) ‪< d (G0 , gD‬‬
‫‬
‫‪d g0 , gs gt−1 gD‬‬
‫בסתירה‪ ,‬שכן הנחנו ש־ ‪ gD‬הקרובה ביותר‪.‬‬
‫לכן ‪ H ∩ K .D ≤ |B (R + δ)|2 + R + δ‬היא ‪D‬־קוואזי־קמורה‪.‬‬
‫‪35‬‬
‫‪18‬‬
‫תת־חבורות של חבורות היפרבוליות‬
‫מסקנה ‪ G :190‬היפרבולית‪ g ∈ G ,‬מסדר אינסופי אז ‪) hgi‬החבורה הציקלית( קוואזי־קמורה ב־‪.G‬‬
‫)‪Z (H‬‬
‫הגדרה ‪ H :191‬חבורה‪ ,‬המרכז — )‪ — Z (H‬של ‪ H‬הם כל האיברים המתחלפים עם כולם‪:‬‬
‫}‪Z (H) = {h ∈ H|∀h0 ∈H hh0 = h0 h‬‬
‫מדובר בתת־חבורה אבלית‪ .‬אם ‪ H‬נוצרת־סופית על ידי ‪ ,T‬אזי‬
‫)‪CH (t‬‬
‫\‬
‫= )‪Z (H‬‬
‫‪t∈T‬‬
‫הוכחה‪ C (g) :‬קוואזי־קמורה ב־‪) G‬יש שיכון קוואזי־איזומטרי ל־‪ .(G‬מכאן‪ ,‬היא נוצרת־סופית על ידי ‪ T‬והיא‬
‫היפרבולית‪.‬‬
‫)‪CC(g) (t‬‬
‫\‬
‫= ))‪Z (C (g‬‬
‫‪t∈T‬‬
‫כל חבורה שאותה אנחנו חותכים היא קוואזי־קמורה ב־)‪ C (g‬ולכן ))‪ Z (C (g‬גם קוואזי־קמורה‪ .‬הוכחנו שחבורה‬
‫נוצרת־סופית אבלית‪ ,‬וחבורה ציקלית הנוצרת בתוכה — אזי יש שיכון קוואזי־איזומטרי לתוכה‪ .‬קיבלנו‪:‬‬
‫‪QI‬‬
‫‪QI‬‬
‫‪QI‬‬
‫‪hgi ,→ Z (C (g)) ,→ C (g) ,→ G‬‬
‫ולכן יש שיכון־קוואזי־איזומטרי מ־‪ hgi‬ל־‪.G‬‬
‫משפט ‪ G :192‬היפרבולית‪ g ∈ G ,‬מסדר אינסופי‪ ,‬אז ‪ hgi‬מאינדקס סופי ב־)‪.C (g‬‬
‫למה ‪ :193‬אם ‪ gp‬צמוד ל־ ‪ gq‬אז ‪.p = ±q‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח ‪ tgp t−1 = gq‬עם ‪ .p ≤ q‬תרגיל‪ .tn gp t−n = gq :‬ההוכחה באינדוקציה‪ .‬לכן מתקיים‬
‫‪ n‬‬
‫| ‪lhgi g p = |q n‬‬
‫‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫)‪lG tn g p t−n ≤ 2nlG (t) + |pn | lG (g‬‬
‫‪QI‬‬
‫אבל ‪ hgi ,→ G‬ולכן |‪.|p| = |q‬‬
‫כעת נוכל להוכיח את המשפט‪:‬‬
‫הוכחה‪) :‬הוכחת המשפט( על ידי החלפת ‪ g‬בחזקה של עצמו‪ ,‬נוכל להניח ש־‪ g‬אינו צמוד של אף איבר‬
‫באורך קטן מ־ ‪ .4δ‬ואכן‪ ,‬יש מספר סופי של מחלקות צמידות ב־‪ G‬החותכות את הכדור ברדיוס ‪ ,4δ‬אבל ‪hgi‬‬
‫חותכת מספר אינסופי של מחלקות צמידות ב־‪.G‬‬
‫נראה שהמרחק )‪ d (h, hgi‬חסום על כל האיברים )‪ h ∈ C (g‬על ידי )‪) 2δ + l (g‬זה נותן קבוצה סופית של‬
‫איברים ‪ h1 , . . . , hm‬כך שלכל )‪ h = g r hi ,h ∈ C (g‬עבור איזשהו ‪ .(i = 1, . . . , m ,r ∈ Z‬יהא )‪h ∈ C (g‬‬
‫ויהיה ‪ r‬כך ש־ ‪ gr‬קרוב ביותר ל־‪ .h‬נשים לב ש־‪ 1‬הוא הנקודה הקרובה ביותר של ‪ hgi‬ביחס ל־‪ g−r h‬שהוא‬
‫איבר ב־)‪ ,C (g‬ו־) ‪ .d (g −r h, 1) = d (h, g r‬לכן נוכל להניח ש־‪ .g r = 1‬כעת‪ g ,‬היא הנקודה הכי קרובה ב־‪hgi‬‬
‫ל־‪.gh‬‬
‫נסתכל על הלולאה המתחילה ב־‪ ,1‬המתויגת על ידי ‪ .ghg−1 h−1‬היא יוצרת מלבן גיאודזי של הקדקודים‬
‫‪ .1, g, gh, h‬נוכל לחתוך את המלבן באלכסון ולהפעיל את תנאי המשולש הצר לכל אחד משני המשולשים‪.‬‬
‫נניח ש־))‪ .d (1, h) ≥ 2 (2δ + l (g‬תהא ‪ hs‬הנקודה על הקטע הגיאודזי ]‪ [1, h‬שבמרחק של יותר מ־)‪2δ+l (g‬‬
‫מ־‪ 1‬ומ־‪ .h‬אזי היא חייבת להיות ‪δ‬־קרובה לנקודה ‪ w‬על ]‪ ,[1, gh‬ובנוסף ‪ .d (w, 1) > l (g) + δ‬כעת‪ ,‬מזה נובע‬
‫כי ‪ w‬היא ‪δ‬־קרובה לנקודה ‪ ght‬על ]‪ .[g, gh‬ולסיום‪ .d (ght , hs ) ≤ 2δ ,‬אם ‪ ,t > s + 2δ‬נקבל ש־‪ h‬קרובה יותר‬
‫ל־‪ ,g‬מה שגורר‬
‫ל־‪ g‬מאשר ל־‪,1‬‬
‫בסתירה‪ .‬באופן דומה עבור ‪ ,s ≤ t + 2δ‬אחרת ‪ gh‬קרובה יותר ל־‪ 1‬מאפשר ‬
‫‪−1‬‬
‫‪d 1, h−1‬‬
‫‪gh‬‬
‫≤‬
‫‪4δ‬‬
‫כי‬
‫נובע‬
‫ומכאן‬
‫‪,‬‬
‫‪d‬‬
‫‪(h‬‬
‫‪,‬‬
‫‪gh‬‬
‫)‬
‫≤‬
‫‪4δ‬‬
‫כי‬
‫נקבל‬
‫לכן‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ל־‬
‫מאשר‬
‫‪g‬‬
‫ל־‬
‫יותר‬
‫ש־‪ g‬קרובה‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫שגורר סתירה )בחרנו ‪ g‬שאינה צמודה לאף איבר קרוב(‪ ,‬ובכך מסתיימת ההוכחה‪.‬‬
‫‪36‬‬
‫‪18‬‬
‫תת־חבורות של חבורות היפרבוליות‬
‫מסקנה ‪ :194‬חבורה היפרבולית ‪ G‬לא מכילה תת־חבורה איזומורפית ל־ ‪.Z2‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ H = Z2‬היא תת־חבורה של חבורה היפרבולית ‪ ,G‬אזי לכל ‪ ,h ∈ H‬המרכז של ‪ h‬ב־‪ G‬מכיל את‬
‫‪ ,H‬אבל אז ‪ hhi‬לא יכול להיות בעל אינדקס סופי‪.‬‬
‫הוכחנו כעת כי אם שני איברים של חבורה היפרבולית מתחלפים‪ ,‬הם יוצרים ‪ .virtually cyclic group‬אם הם‬
‫אינם מתחלפים‪ ,‬האם הם יוצרים גם כן?‬
‫בחבורה חופשית‪:‬‬
‫הערה ‪ :195‬יהיו ‪ a, b‬שני איברים בחבורה חופשית ‪ :F‬הם יוצרים תת־חבורה של ‪ F‬שחייבת להיות חופשית‪,‬‬
‫ומדרגה לפחות ‪ .2‬אם ‪ a, b‬לא מתחלפים‪ ,‬הדרגה היא בדיוק ‪.2‬‬
‫למעשה‪ ,‬ניתן אפילו להראות‪:‬‬
‫טענה ‪ :196‬חזקות מספיק גבוהות של איברים לא מתחלפים בחבורה היפרבולית יוצרים תת־חבורה חופשית‪.‬‬
‫‪37‬‬
‫‪19‬‬
‫מרחב החבורות המסומנות‬
‫חלק ‪V‬‬
‫חבורות גבול‬
‫מחלקה נוספת של חבורות המוגדרות גיאומטרית הינם חבורות גבול‪ .‬חבורות היפרבוליות הן "כמעט" חופשיות‬
‫שכן הגרף־קיילי שלהם "כמעט" עץ‪ .‬בפרק זה נדון בסוג נוסף של חבורות שהן "כמעט" חופשיות‪ ,‬אך במובן‬
‫אחר‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫‪Gk‬‬
‫מרחב החבורות המסומנות‬
‫הגדרה ‪ :197‬חבורה מסומנת היא זוג סדור )‪ (G, S‬כאשר ‪ G‬חבורה ו־) ‪ S = (s1 , . . . , sk‬היא קבוצת יוצרים‬
‫סדורה של ‪.G‬‬
‫‬
‫‪ 0‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫שתי חבורות מסומנות )) ‪ (G, (s1 , . . . , sk‬ו־ ‪ G0 , s1 , . . . , sk‬הן זהות אם ורק אם ‪ k = k0‬וההעתקה‬
‫‪0‬‬
‫ההח"ע ועל ‪ si 7→ si‬מתרחבת לאיזומורפיזם של חבורות‪.‬‬
‫קבוצת כל מחלקות השקילות עד כדי איזומורפיזם של חבורות מסומנות )‪ (G, S‬כאשר ‪ S‬היא ‪k‬־יה מסומנת‬
‫על ידי ‪.Gk‬‬
‫הערה ‪ :198‬נשים לב שעבור חבורה ‪ G‬עם שתי קבוצות יוצרים שונות ‪ (G, S) ,S, T‬ו־) ‪ (G, T‬אינן שקולות‬
‫כחבורות מסומנות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ :199‬הוכח ש־)‪ (Z, 1‬ו־)‪ (Z, −1‬איזומורפיות כחבורות מסומנות )ולכן זהות ב־ ∞‪ ,(G‬אבל ))‪(Z, (2, 3‬‬
‫ו־))‪ (Z, (1, 3‬אינן איזומורפיות‪.‬‬
‫דוגמה ‪ :200‬הנה דוגמה לעוד שתי דרכים לחשוב על חבורות מסומנות‪:‬‬
‫‪ .1‬חבורה מסומנת היא חבורה ‪ G‬יחד עם אפימורפיזם ‪) π : Fk → G‬אם ‪ a1 , . . . , ak‬הוא הבסיס הסטנדרטי‬
‫של ‪ Fk‬אזי ‪ S‬מוגדרת על ידי ) ‪.(si = π (ai‬‬
‫‪ .2‬בחירת נקודה ב־ ‪ Gk‬מותאמת בדיוק לבחירת תת־חבורה נורמלית ב־ ‪.Fk‬‬
‫נרצה לטעון ששתי חבורות מסומנות הן קרובות אם היוצרים שלהם מקיימית את אותם יחסים באורך מסויים‪:‬‬
‫הגדרה ‪ :201‬יהיו )‪ (G0 , S 0 )(G, S‬שתי נקודות ב־ ‪ .Gk‬נגדיר‬
‫‪o‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪w‬‬
‫)‪(S‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫⇒⇐‬
‫‪w‬‬
‫‪(S‬‬
‫)‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪letters with l(w)≤m‬‬
‫‪k‬‬
‫‪n‬‬
‫‪R ((G, S) , (G0 , S 0 )) = max n|∀w reduced word on‬‬
‫מרחב החבורות המסומנות הוא הקבוצה ‪ Gk‬עם המטריקה ‪ d‬המוגדרת על ידי‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫)) ‪d ((G, S) , (G0 , S 0 )) = 2−R((G,S),(G ,S‬‬
‫תרגיל ‪ :202‬לבדוק שזוהי מטריקה‪.‬‬
‫מהגדרת המטריקה נקבל ש־) ‪ (G, S) , (G0 , S 0‬הן ‪ 2−r‬קרובות‪ ,‬אם ורק אם הן מקיימות בדיוק את אותם יחסים‬
‫באורך לכל היותר ‪.r‬‬
‫מבחינה גיאומטרית‪ R ((G, S) , (G0 , S 0 )) ≥ r ,‬אם ורק אם הכדורים ברדיוס ‪ 2r‬של גרפי הקיילי שלהם‬
‫איזומורפיים כגרף מתויג )ופירושו‪ ,‬יש איזומורפיזם של גרפים ביניהם ששולח קדקוד המתויג ‪ si‬לקדקוד המתויג‬
‫‪0‬‬
‫‪ .(si‬ההוכחה מושארת כתרגיל‪.‬‬
‫טענה ‪ :203‬הסדרה‬
‫‬
‫‪Z‬‬
‫)‪nZ , (1‬‬
‫‬
‫הוכחה‪, (Z, (1)) ≥ n − 1 :‬‬
‫‬
‫מתכנסת ל־))‪ (Z, (1‬כאשר ∞ → ‪.n‬‬
‫‪Z‬‬
‫)‪nZ , (1‬‬
‫‪ R‬שכן ב־‬
‫‬
‫‪Z‬‬
‫)‪nZ , (1‬‬
‫אין יחסים באורך גדול יותר מ־‪.n‬‬
‫‪38‬‬
‫‪19‬‬
‫מרחב החבורות המסומנות‬
‫טענה ‪ (Gk , d) :204‬קומפקטי‬
‫הוכחה‪ :‬נסתכל על קבוצת החזרה‪:‬‬
‫) ‪Gk = {k C Fk } ⊂ P (Fk‬‬
‫זו הכלה קבוצתית‪ .‬נרצה לטעון שעל ידי הוספת המטריקה שאר הדברים יסתדברו‪.‬‬
‫• טופולוגיית המכפלה על ‪ {0, 1}Fk‬נובע ‪ An → A‬ב־ ‪ Fk‬אם ורק אם ‪ F ⊂ Fk‬ל־‪ n‬מספיק גדול‬
‫‪ .An ∩ F = A ∩ F‬לכן‪ ,‬עבור ‪ kn → k‬עבור איברים ‪ kn , k ∈ Gk‬בטופולוגיית המכפלה אזי‬
‫‪ ,d (k, kn ) → 0‬אם ‪ F ⊂ Fk‬אז יש ‪ r‬כך ש־)‪ F ⊂ Br (1‬ולכן ל־‪ n‬מספיק גדול ‪.k ∩ F = kn ∩ F‬‬
‫ולכן אנחנו יודעים שזה שיכון של מרחבים טופולוגיים‪.‬‬
‫• נשמש במשפט טיכונוף‪ .‬המשפט קובע שמכפלה של מרחבים קומפקטיים היא קומפקטית‪ .‬אנחנו מסתכלים‬
‫על מרחב שהוא מכפלה של מרחבים עם ‪ 2‬איברים‪ ,‬ולכן סופי ולכן קומפקטי‪ .‬לכן ) ‪ .P (Fk‬כעת נוכיח‬
‫ש־ ‪ Gk‬סגור ואז יינבע שהוא קומפקטי כי הוא סגור בקומפקטי )צריך האוסדורף‪ ,‬אבל זה כמובן האוסדורף(‪.‬‬
‫נסתכל על ‪ ,A ← kn / Fk‬אם ‪ a, b ∈ A‬לכל ‪ n ∈ N‬מספיק גדול‪ ,a, b ∈ kn ,‬ולכן ‪ a−1 b ∈ kn‬ולכן‬
‫‪ a−1 b ∈ A‬ולכן ‪ A‬תת־חבורה‪ .‬בנוסף‪ ,‬אם ‪ g ∈ Fk ,a ∈ A‬לכל ‪ n ∈ N‬מספיק גדול‪,a ∈ kn ,‬‬
‫‪ gag−1 ∈ kn‬מנורמליות‪ ,‬ולכן ‪ gag−1 ∈ A‬ולכן ‪.A / Fk‬‬
‫טענה ‪ :205‬הקבוצה }‪ A = {(G, S) |G is abelian‬גם פתוחה וגם סגורה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬עבור חבורה ‪ ,(G, S) ∈ A‬לכל ) ‪ (G0 , S 0‬עם ‪ d ((G, S) , (G0 , S 0 )) < 2−4‬אבלית‪ .‬זה בדיוק אומר‬
‫‪−1‬‬
‫‪[si , sj ] = si sj s−1‬‬
‫שהאיברים של ‪ S 0‬בדיוק אותם היחסים מאורך ‪ 4‬כמו ‪ ,S‬ולכן לכל ‪ i, j ∈ N‬גם ‪= 1‬‬
‫‪i sj‬‬
‫‪h 0 0i‬‬
‫ולכן ‪ si , sj = 1‬ולכן אבלית‪.‬‬
‫עבור ‪ (G, S) ← (Gn , Sn ) ∈ A‬ל־‪ n ∈ N‬מספיק גדול‪ d ((Gn , Sn ) , (G, S)) < 2−4 ,‬ולכן ‪ G‬אבלית‪.‬‬
‫הערה ‪ (1, (1 . . . 1)) :206‬נקודה בודדת‪.‬‬
‫טענה ‪ :207‬תהא ‪ φ‬פסוק אוניברסלי )לא כולל כמת כולל( מסדר ראשון )בשפה החבורות(‪ .‬הקבוצה = ‪Uφ‬‬
‫}‪ {(G, S) |G |= φ‬סגורה ב־ ‪.Gk‬‬
‫ ‪ −1‬‬
‫הערה ‪ :208‬שפת החבורות ‪ .L = ·, , 1‬פסוק אוניברסלי שקול ל‪:‬‬
‫=‪or6‬‬
‫‪wij (x1 , . . . , xp ) = 1‬‬
‫^ ‪N‬‬
‫‪u‬‬
‫_‬
‫‪∀x1 ,...,xp‬‬
‫‪i=1 j=1‬‬
‫דוגמה ‪ :209‬דוגמה לפסוקים אוניברסליים‪:‬‬
‫‪ .1‬אבליות‪.∀x,y xyx−1 y−1 = 1 :‬‬
‫‪ .2‬אין ‪n‬־פיתול‪.∀x,y x = 1 ∨ xn 6= 1 :‬‬
‫‪ .3‬קומוטטיביות־טרנזיטיביות‪.∀x,y,z y 6= 1 ∧ [x, y] = 1 ∧ [y, z] = 1 → [x, z] = 1 :‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהיו )‪ (Gn , Sn ) → (G, S‬כך ש־‪ .Gn |= φ‬נניח ש־‪ G‬לא מקיימת את ‪ ,φ‬אז אפשר למצוא איברים‬
‫שמעידים על זה‪ .‬יש ‪ g1 , . . . , gp ∈ G‬שלא מקיימים אף אחת מההערכות ‪ .Σi‬כל איבר ‪ gi‬הוא איבר בתוך ‪G‬‬
‫ולכן הוא מלה ב־ ‪ .S‬נכתוב‬
‫)‪gi = gˆi (S‬‬
‫ועבור ‪ n ∈ N‬מספיק גדול‪ ,‬נסתכל על היחס ‪ wij (gˆ1 (S) , . . . , gˆp (S)) = 1‬אם ורק אם = )) ‪wij (gˆ1 (Sn ) , . . . , gˆp (Sn‬‬
‫‪ 1‬ואז שגם ב־ ‪ Sn‬לא מתקיים אף אחת מההערכת ‪ ,Σi‬בסתירה‪.‬‬
‫‪39‬‬
‫‪21‬‬
‫‪20‬‬
‫‪Lk‬‬
‫אפיונים שקולים לחבורות גבול‬
‫חבורות גבול‬
‫הגדרה ‪.Lk = Fk = {(G, S) |G is free} ⊂ Gk :210‬‬
‫‬
‫‪ G‬לא חייבת להיות חופשית מעל ‪ ,S‬אלא פשוט חופשית‪.‬‬
‫הגדרה ‪ G :211‬נוצרת־סופית‪ G .‬תיקרא חבורת גבול אם יש ‪k — S‬־יית יוצרים כך ש־ ‪.(G, S) ∈ Lk‬‬
‫תרגיל ‪ G :212‬חבורת גבול‪ S ,‬קבוצת־יוצרים סופית‪ ,‬אז יש ‪ (G, S) ← (Fn , Sn ) ∈ Gk‬כך ש־ ‪ Fn‬חופשית‪.‬‬
‫תת־חבורות נוצרות־סופית של חבורות גבול הן חבורות גבול גם כן‪.‬‬
‫דוגמה ‪:213‬‬
‫• חבורות חופשיות הן חבורות גבול‪.‬‬
‫• חבורות אבליות חופשיות הן חבורות גבול )כגבול של ‪.(Z‬‬
‫נבחן תכונות של חבורות גבול‪:‬‬
‫טענה ‪ :214‬לכל חבורת גבול מתקיים‪:‬‬
‫‪ .1‬חבורת גבול היא חסרת־פיתול‪.‬‬
‫‪ .2‬חבורת גבול היא קומוטטיבית־טרנזיטיבית‪.‬‬
‫‪ .3‬כל שני איברים בחבורת גבול שלא מתחלפים יוצרים חבורה חופשית מדרגה ‪.2‬‬
‫הוכחה‪ :‬לפי טענה קודמת‪ ,‬כל נוסחה אוניברסלית המסופקת על ידי חבורות חופשיות מסופקת על ידי חבורות‬
‫גבול‪ .‬לכן‪:‬‬
‫‪ .1‬נקבע ‪ .n ∈ N‬הנוסחה הבאה מסופקת על ידי חבורה חופשית — ))‪ ,∀x ((x = 1) ∨ (xn 6= 1‬ולכן היא‬
‫מסופקת על ידי כל חבורת גבול‪.‬‬
‫‪ .2‬כל חבורה חופשית מספקת — ))‪ ,∀x,y,z (((y 6= 1) ∧ ([x, y] = 1) ∧ ([y, z] = 1)) → ([x, z] = 1‬ולכן גם‬
‫כל חבורת גבול מספקת אותה‪.‬‬
‫‪ .3‬הוכחנו בעבר שזה נכון בחבורה חופשית‪ ,‬ולכן לכל מלה מצומצמת לא ריקה ‪ w‬משני איברים‪ ,‬הנוסחה‬
‫))‪ ϕw := ∀x,y (([x, y] 6= 1) → (w (x, y) 6= 1‬מסופקת בכל חבורה חופשית ולכן בכל חבורת גבול‪ .‬לכן‪,‬‬
‫אם ‪ a, b‬איברים בחבורת גבול שאינם מתחלפים‪ ,‬אין מלה לא טריוויאלית ב־‪ a, b‬המייצגת את האיבר‬
‫הטריוויאלית‪ ,‬ולכן ‪ a, b‬יוצרים חבורה חופשית מדרגה ‪.2‬‬
‫דוגמה ‪ :215‬החבורה ‪ F2 × Z‬אינה חבורה גבול‪ ,‬שכן היא אינה קומוטטיבית־טרנזיטיבית‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫‪21.1‬‬
‫אפיונים שקולים לחבורות גבול‬
‫תורה אוניברסלית‬
‫טענה ‪ :216‬תהא ‪ G‬חבורת ‪ .f g‬אזי ‪ G‬היא חבורת גבול לא אבלית אם ורק אם יש לה אותה תורה אוניברסלית‬
‫כמו ‪.F2‬‬
‫הערה ‪ :217‬כל חבורה חופשית לא אבלית היא בעלת אותה תורה אוניברסלית‪ .‬לכל ‪ k > 1‬מתקיים ש־ ‪F2 ≤ Fk‬‬
‫ולכן ) ‪ Th∀ (Fk ) ⊆ Th∀ (F2‬וגם ‪ Fk‬משוכנת ב־ ‪ F2‬ולכן גם ההכלה ההפוכה מתקיימת‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהא ‪ G‬חבורת גבול לא אבלית‪ ,‬אזי היא מכילה שני איברים שלא מתחלפים‪ ,‬ולכן היא מכילה עותק‬
‫של ‪ ,F2‬ולכן ) ‪.Th∀ (G) ⊆ Th∀ (F2‬‬
‫בכיוון השני‪ ,‬אם ‪ ϕ‬נוסחה אוניברסלי המסופקת על ידי כל החבורות החופשיות‪ ,‬אזי היא מסופקת על ידי ‪G‬‬
‫שכן זוהי תכונה סגורה‪.‬‬
‫‪40‬‬
‫‪21.2‬‬
‫‪21‬‬
‫חבורה מובחנת חופשית במלואה‬
‫אפיונים שקולים לחבורות גבול‬
‫נניח ‪ G‬היא חבורת ‪ f g‬עם אותה תורה אוניברסלית כמו ‪ .F2‬תהא ) ‪ S = (s1 , . . . , sk‬קבוצת יוצרים סופית‬
‫של ‪ .G‬לכל ‪ N‬נכתוב את הנוסחה הבאה‪:‬‬
‫‪w (x1 , . . . , xk ) = (6=) 1‬‬
‫^‬
‫‪ϕN := ∃x1 ,...,xk‬‬
‫) ‪w∈BN (Fk‬‬
‫כאשר נבחר ב־"=" אם ‪ w (s1 , . . . , sk ) =G 1‬ו־"=‪ "6‬אחרת‪ .‬הנוסחה מסופקת ב־‪ G‬ולכן מסופקת ב־ ‪) F2‬אחרת‪,‬‬
‫השלילה שלה‪ ,‬שהיא נוסחה אוניברסלית‪ ,‬הייתה מתקיימת ב־ ‪ .(F2‬יהא ))‪ S (n) = (s1 (n) , . . . , sk (n‬עד לכך‬
‫שהנוסחה מסופקת‪ .‬קל לראות ש־))‪ (F2 , S (n‬מתכנסת ל־)‪ ,(G, S‬ולכן ‪ G‬חבורת גבול מהגדרה‪.‬‬
‫‪21.2‬‬
‫חבורה מובחנת חופשית במלואה‬
‫הגדרה ‪ :218‬חבורה ‪ G‬תיקרא מובחנת חופשית )‪ (Residually free‬אם לכל איבר לא טריוויאלי ‪ ,g‬קיים‬
‫הומומורפיזם ‪ f : G → F‬כאשר ‪ F‬היא חבורה חופשית‪ ,‬כך ש־‪.f (g) 6= 1‬‬
‫הגדרה ‪ :219‬חבורה ‪ G‬תיקרא מובחנת חופשית במלואה )‪ (Fully residually free‬אם לכל קבוצה סופית של‬
‫איברים לא טריוויאלים } ‪ ,{g1 , . . . , gq‬קיים הומומורפיזם ‪ f : G → F‬כאשר ‪ F‬היא חבורה חופשית‪ ,‬כך שלכל‬
‫‪ i‬מתקיים ‪.f (gi ) 6= 1‬‬
‫למה ‪ :220‬תהא ‪ G‬חבורת ‪ f g‬מובחנת חופשית במלואה‪ ,‬אזי ‪ G‬היא חבורת גבול‪.‬‬
‫הוכחה‪ G :‬מובחנת חופשית במלואה ונוצרת על ידי קבוצה סופית ‪ ,S‬אזי לכל ‪ n ∈ N‬נגדיר את )‪fn : G → F (n‬‬
‫להיות ההומומורפיזם שאינו הורג את האיברים הלא טריוויאלים הנוצרים כמלים ב־ ‪ S‬באורך לכל היותר ‪.n‬‬
‫נגדיר )‪ Sn = fn (S‬ונגדיר את ‪ Gn‬להיות התת־חבורה החופשית של )‪ F (n‬הנוצרת על ידי ‪ .Sn‬מהגדרה‪ ,‬לכל‬
‫מלה ‪ w‬באיברי ‪ S‬מתקיים ‪ w (S) = 1‬ב־‪ G‬ולכן ‪ w (Sn ) = fn (w (S)) = 1‬ב־ ‪ ,Gn‬ולכל מלה ‪ w‬באורך לכל‬
‫היותר ‪ ,n‬אם ‪ w (S) 6= 1‬אזי ‪ .w (Sn ) 6= 1‬לכן )‪.(Gn , Sn ) → (G, S‬‬
‫למעשה‪ ,‬הכיוון ההפוך נכון אף הוא‪:‬‬
‫טענה ‪ :221‬תהא ‪ G‬חבורת ‪ .f g‬אזי ‪ G‬היא חבורת גבול אם ורק אם היא מובחנת חופשית במלואה‪.‬‬
‫הכיוון הזה קשה יותר‪.‬‬
‫הערה ‪ :222‬אם אנחנו יודעים שחבורת גבול ‪ G‬היא בעלת הצגה סופית ‪ ,hS|r1 (S) , . . . , rq (S)i‬אזי זה קל‬
‫— נבחר את ‪ m‬להיות האורך המירבי של ה־ ‪ ri‬ושל האיברים שאנחנו רוצים לשמר‪ ,‬ונגדיר ) ‪ (G0 , S 0‬חברה‬
‫חופשית מסומנת שמקיימת בדיוק את אותם יחסים מאורך ‪ m‬כמו )‪ .(G, S‬ההעתקה ‪ G → G0‬הנובעת מההעתקה‬
‫‪ S → S 0‬מתרחבת להומומורפיזם‪ ,‬שכן כל היחסים של ‪ G‬תקפים גם ב־ ‪ ,G0‬וההומומורפיזם הזה לא הורג אף‬
‫איבר שרצינו לשמר‪.‬‬
‫נשתמש בלמה הבאה‪:‬‬
‫למה ‪ {wi (x1 , . . . , xn ) = 1}i∈I :223‬מערכת־משוואות‪ ,‬אז יש ‪ I0 ⊂ I‬סופית כך שלכל ‪ F‬חופשית‪ ,‬לכל‬
‫‪ g1 , . . . , gn ∈ F‬מתקיים‬
‫‪wi (g1 , . . . , gn ) = 1‬‬
‫^‬
‫⇒⇐ ‪wi (g1 , . . . , gn ) = 1‬‬
‫‪i∈I‬‬
‫^‬
‫‪i∈I0‬‬
‫הוכחה‪ :‬הוכחנו שכל חבורה חופשית היא ליניארית‪ ,‬שכן ‪ .F ,→ F2 ,→ SL2 (Z) ,→ R4‬נוכל לחשוב על‬
‫איברים של ‪ F‬כמטריצות‪ ,‬ולכן בעצם ) ‪ — w (x1 , . . . , xn‬כמשוואה בודדת — היא בעצם מערכת של ‪ 4‬משוואות‬
‫פולינומיאליות באיברים של מטריצות שתסומן ‪.Σw‬‬
‫‪n‬‬
‫‪o‬‬
‫‪n‬‬
‫‪V = (a1 , . . . , an ) ∈ R4 |∀i∈I Σwi (a1 , . . . , an ) = 1‬‬
‫‪S‬‬
‫ולכן ‪ Σwi‬מייצר אידאל ב־] ‪ R [x1 , . . . , xn‬שהוא נתרי ממשפט הבסיס של הילברט‪ .‬יש ‪ I0 ⊂ I‬סופי כך‬
‫ש־ ‪ .VI = VI0‬לכן ‪ Fn ∩ VI = Fn ∩ VI0‬היא הקבוצה של איברים שמקיימים את כל המשוואות‪.‬‬
‫הערה ‪ :224‬ניתן להוכיח גם בלי היריעות האלגבריות והמטריצות‪ ,‬אלא ישירות‪ ,‬אבל היא הוכחה מסובכת יותר‪,‬‬
‫ועובדת דרך פעולות על עצים וכו'‪ .‬לא ניכנס לזה כאן‪.‬‬
‫‪41‬‬
‫‪22‬‬
‫‪22‬‬
‫מורפיזמים לחבורה החופשית‬
‫מורפיזמים לחבורה החופשית‬
‫יש לנו חבורה נוצרת־סופית ‪ G‬ואנחנו רוצים להסתכל על כל המורפיזמים שלה לחבורה חופשית ‪.F‬‬
‫משפט ‪ G :225‬נוצרת־סופית‪ ,‬אזי יש קבוצה סופית של מנות של ‪ G‬וכל אחד מהמנות האלו תהיה חבורת גבול‪,‬‬
‫כך שכל מורפיזם לחבורה חופשית ‪ f : G → F‬מתפצל דרך אחד מהמורפיזמים דרך חבורות המנה ‪ πi‬כאשר ‪πi‬‬
‫היא ההטלה מ־‪ G‬לחבורת המנה ה־‪.i‬‬
‫הערה ‪ :226‬אם ‪ G‬חבורת גבול ההוכחה טריוויאלי‪ ,‬ולכן ההוכחה היא כמובן לחבורות שאינן חבורות גבול‪.‬‬
‫למה אנחנו מתעניינים דווקא במורפיזמים לחבורה חופשית? נניח ‪ G = hs1 , . . . , sk |Σ (s1 , . . . , sn )i‬כאשר ‪Σ‬‬
‫מערכת‪ .‬מורפיזם ‪ f : G → F‬שקול לפתרון למערכת ‪ Σ‬ב־‪.F‬‬
‫נכתוב )‪ Hom (G, F‬כקבוצת כל המורפיזמים של ‪ G‬לחבורה החופשית ‪ .F‬אפשר לחשוב על הדרגה של ‪F‬‬
‫כקבועה‪ .‬נסתכל משרה שיכון של )‪ Hom (G0 , F‬בתוך )‪.Hom (G, F‬‬
‫‪P‬‬
‫‪G0‬‬
‫‪G‬‬
‫‪f ◦P‬‬
‫‪f‬‬
‫‪F‬‬
‫למה ‪ :227‬תהא סדרה‬
‫‪Gl1 Gl2 Gl3 . . .‬‬
‫של חבורות נוצרות־סופית‪ .‬אזי הסדרה המתאימה‬
‫‪Hom (Gl1 , F) ←- Hom (Gl2 , F) ←- Hom (Gl3 , F) ←- . . .‬‬
‫‬
‫מתייצבת )ז"א‪ ,‬ל־‪ i‬מספיק גדול‪ ,‬השיכון ‪ Hom (Gli , F) ←- Hom Gli+1 , F‬הוא על(‪.‬‬
‫הגדרה ‪ H :228‬חבורה‪ ,‬המנה המובחנת חופשית של ‪ H‬היא‬
‫‪Hom(H,F) ker f‬‬
‫‪H → RF (H) := H/‬‬
‫‪T‬‬
‫∈‪f‬‬
‫• כל מורפיזם ‪ f : H → F‬מפצל דרך ‪ ,π‬כי ‪.ker π ⊂ ker f‬‬
‫הערה ‪:229‬‬
‫• )‪ RF (H‬מובחנת חופשית‪.‬‬
‫∈ ‪ .h0‬לכן יש ‪f : H → F‬‬
‫= ‪ .h‬כך ש־‪ π (h0 ) = h‬אז ‪/ ker π‬‬
‫יהי )‪ .h ∈ RF (H‬יהי ‪6 1 ,k 0 ∈ H‬‬
‫כך ש־‪ ,f (h0 ) 6= 1‬אבל ה־ ‪ f‬הזה צריך להתפצל דרך )‪ .f = f ◦ π — RF (H‬עכשיו = ) ‪1 6= f (h0‬‬
‫)‪.f (π (h0 )) = f (h‬‬
‫‪P‬‬
‫• יהי ”‪ R R‬עם ‪ R.R0‬מובחנות חופשית‪ ,‬ו־ ‪ P‬מנה ממש‪ .‬אז )‪ Hom (R, F) ,→ Hom (R0 , F‬שיכון ממש‪:‬‬
‫יהי }‪ r ∈ ker P \ {1‬אזי יש מורפיזם ‪ f : R → F‬עם ‪ .f (r) 6= 1‬לכן ‪ f 6= f ◦ P‬לכל )‪.f ∈ Hom (R0 , F‬‬
‫לכן כל סדרה ‪ R1 R2 R3 . . .‬של מורפיזם על‪/‬לא־חח"ע בין חבורות מובחנות חופשית היא סופית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח ש־‪ G‬לא חבורת גבול‪ .‬יש ‪ {g1 , . . . , gn } ⊆ G‬כך שכל ‪ f : G → F‬הורג אחד מה־ ‪.gi‬‬
‫ההוכחה לא הושלמה‪ ,‬שכן תם הקורס‪.‬‬
‫‪42‬‬