חוברת הקורס

‫מבוא לתורת החבורות‬
‫עוזי וישנה‬
‫‪ 13‬באוקטובר ‪2015‬‬
‫מבוא לתורת החבורות‬
‫מהדורה ‪3.887‬‬
‫הקדמה‪ .‬חוברת זו ערוכה ומסודרת לפי תוכנית הלימודים בקורס "אלגברה מופשטת ‪ "1‬לתלמידי מתמטיקה‪,‬‬
‫‪ ,88-211‬באוניברסיטת בר־אילן‪ .‬הקורס )בהיקף של שלוש שעות הרצאה ושעתיים תרגיל‪ ,‬לאורך סמסטר אחד(‬
‫הוא קורס ראשון באלגברה מודרנית )אחרי קורס שנתי באלגברה לינארית(‪ ,‬והוא מכסה את היסודות של‬
‫תורת החבורות‪.‬‬
‫החומר מחולק לסעיפים ותת־סעיפים‪ ,‬המסודרים כך שמושגים חיוניים יופיעו מוקדם ככל האפשר‪ ,‬תוך‬
‫שילוב של כמה דוגמאות נחוצות‪ .‬בכל נושא מובאות ההגדרות והתוצאות העיקריות‪ ,‬כשהן פרושות לתרגילים‬
‫קצרים ונוחים לעיכול‪ .‬כל טענות העזר והשיטות הסטנדרטיות נוסחו כתרגילים‪ .‬המהדורה הארוכה‪ ,‬המונחת‬
‫לפניכם‪ ,‬כוללת הדרכה מפורטת ולפעמים פתרון מלא לתרגילים רבים‪ ,‬בעיקר אלו שיש להם אופי תאורטי‬
‫יותר‪ .‬סדר התרגילים בתוך כל סעיף נבחר בזהירות‪ ,‬כשכל תרגיל מופיע מיד כאשר הונחה התשתית לרעיונות‬
‫הדרושים כדי לפתור אותו )אך בכפוף לאילוץ המקובל‪ ,‬והמתסכל במידת מה‪ ,‬הקובע שסדר המשפטים בעמוד‬
‫מוכרח להיות קווי(‪ .‬תרגילים השייכים לאותה מדרגה לוגית מופיעים בסדר יורד של מידת הכלליות והעניין‪.‬‬
‫החידוש‪ ,‬במידה שיש כאן כזה‪ ,‬הוא בהצמדת דרגת קושי לכל תרגיל‪ :‬תרגילים קלים‪ ,‬מדרגה )*(‪ ,‬דורשים‬
‫בדרך־כלל שליטה בהגדרות ותו לא; את רובם של אלה אפשר–ורצוי–לפתור בעל־פה‪ ,‬תוך ציון ההגדרה או‬
‫העובדה הרלוונטית‪ .‬תרגילים טכניים מורכבים‪ ,‬לא רגילים או סתם קשים סומנו ב־)***(‪ .‬שאר התרגילים‬
‫קיבלו את הציון )**(‪ .‬סימנים נוספים‪ ,‬כמו ב־)**‪ (+‬או )**‪ ,(-‬מציינים שהתרגיל עשוי להיות קשה או קל‬
‫יותר מכפי שנראה במבט ראשון‪ .‬אם טרחתם לכתוב פתרון לתרגיל שרמתו )***‪ ,(+‬ספרו לי‪ .‬כל התרגילים‬
‫מנוסחים בלשון זכר‪ ,‬ועם הלומדות הסליחה‪ .‬במספר מקומות הרחבנו מעבר לרמה הנדרשת בקורס‪.‬‬
‫המבואות בראשי הפרקים אמורים לתת סקירה ממצה של תוכן הפרק; מי שאינו מתכוון לצלוח יותר ממאה‬
‫עמודים של תרגילים עשוי להסתפק בקריאת ראשי הפרקים האלו‪.‬‬
‫אודה לכל מי שיביא לתשומת ליבי שגיאות מתמטיות‪ ,‬השמטות‪ ,‬כפילויות או שגיאות כתיב‪ ,‬כדי שאוכל‬
‫לתקנן במהדורה הבאה‪.‬‬
‫עוזי וישנה‪7.2012 ,‬‬
‫‪2‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪1‬‬
‫חבורות למחצה‪ ,‬מונוידים וחבורות‬
‫‪ 1.1‬חבורות למחצה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫איברי יחידה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪1.1.1‬‬
‫אידמפוטנטים ואברים מיוחדים אחרים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪1.1.2‬‬
‫‪ 1.2‬מונוידים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫אברים הפיכים מימין ומשמאל ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪1.2.1‬‬
‫‪ 1.3‬חבורות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 1.4‬תת־מבנים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 1.4.1‬תת־חבורה למחצה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 1.4.2‬תת־מונויד ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 1.4.3‬תת־חבורה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 1.5‬מכפלה ישרה חיצונית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 1.6‬הומומורפיזמים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫‪13‬‬
‫‪13‬‬
‫‪13‬‬
‫‪14‬‬
‫‪15‬‬
‫‪16‬‬
‫‪2‬‬
‫דוגמאות לחבורות‬
‫‪ 2.1‬חבורות אבליות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.2‬מבוא לתורת המספרים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫יחס החילוק ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪2.2.1‬‬
‫המחלק המשותף המקסימלי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪2.2.2‬‬
‫‪ 2.2.3‬שקילות מודולו ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n‬‬
‫‪ 2.2.4‬פירוק לראשוניים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.2.5‬משפט ההיפוך של מביוס ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.3‬חבורות ציקליות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.3.1‬סדר של אברים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.4‬חבורות אוילר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.4.1‬פונקציית אוילר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.5‬החבורה החיבורית והכפלית של שדה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.6‬החבורות הסימטריות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.7‬חבורות של מטריצות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.8‬החבורות הדיהדרליות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪17‬‬
‫‪17‬‬
‫‪19‬‬
‫‪19‬‬
‫‪19‬‬
‫‪20‬‬
‫‪20‬‬
‫‪21‬‬
‫‪22‬‬
‫‪23‬‬
‫‪24‬‬
‫‪24‬‬
‫‪25‬‬
‫‪26‬‬
‫‪27‬‬
‫‪28‬‬
‫‪3‬‬
‫חבורות מנה‬
‫‪ 3.1‬קוסטים של תת־חבורה ‪. . .‬‬
‫‪ 3.2‬משפט לגרנז' ‪. . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.3‬תת־חבורות נורמליות ‪. . . .‬‬
‫‪ 3.4‬חבורת מנה ‪. . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.5‬משפט האיזומורפיזם הראשון‬
‫‪ 3.5.1‬סדרות ודיאגרמות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.5.2‬עוד על שדות ומטריצות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.6‬ייצוג בעזרת יוצרים ויחסים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.6.1‬חבורת הקווטרניונים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪29‬‬
‫‪29‬‬
‫‪30‬‬
‫‪30‬‬
‫‪32‬‬
‫‪33‬‬
‫‪33‬‬
‫‪34‬‬
‫‪35‬‬
‫‪38‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪4‬‬
‫סריג‬
‫‪4.1‬‬
‫‪4.2‬‬
‫‪4.3‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫תת־החבורות‬
‫חיתוך של תת־חבורות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫כפל תת־חבורות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫מכפלה ישרה פנימית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 4.3.1‬מכפלה ישרה של כמה תת־חבורות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫סריג תת־החבורות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 4.4.1‬סריגים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 4.4.2‬הסריג של תת־החבורות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 4.4.3‬מודולריות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫אינדקס של תת־חבורות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫משפט ההתאמה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫המרָכז ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫ְ‬
‫תת־חבורת הקומוטטורים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫משפחות של חבורות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪41‬‬
‫‪41‬‬
‫‪41‬‬
‫‪44‬‬
‫‪45‬‬
‫‪45‬‬
‫‪45‬‬
‫‪45‬‬
‫‪46‬‬
‫‪46‬‬
‫‪47‬‬
‫‪47‬‬
‫‪48‬‬
‫‪50‬‬
‫‪5‬‬
‫חבורות של תמורות‬
‫‪ 5.1‬הסימן של תמורה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫הסימן והדיסקרימיננטה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪5.1.1‬‬
‫‪ 5.1.2‬חבורת התמורות הזוגיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 5.2‬אברים צמודים ב־ ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sn‬‬
‫‪ 5.2.1‬מחלקות צמידות ב־ ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . An‬‬
‫‪ 5.3‬קבוצות יוצרים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ An 5.4‬חבורה פשוטה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 5.5‬תמורות מקריות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪51‬‬
‫‪51‬‬
‫‪51‬‬
‫‪52‬‬
‫‪52‬‬
‫‪54‬‬
‫‪54‬‬
‫‪55‬‬
‫‪57‬‬
‫‪6‬‬
‫פעולה של חבורה על קבוצה‬
‫‪ 6.1‬הפעולה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 6.1.1‬דוגמאות ופעולות מושרות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 6.1.2‬פעולה נאמנה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 6.2‬מסלולים ומייצבים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 6.3‬פעולת הכפל של חבורה על עצמה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 6.3.1‬משפט קיילי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 6.3.2‬העידון של משפט קיילי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 6.4‬פעולת ההצמדה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 6.4.1‬מחלקות צמידות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫מרכזים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫ְּ‬
‫‪6.4.2‬‬
‫‪ 6.4.3‬מחלקות צמידות בתת־חבורה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫מרכזים של תת־חבורות‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫ְּ‬
‫‪6.4.4‬‬
‫‪ 6.4.5‬מנרמלים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 6.5‬הלמה של ברנסייד ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 6.6‬טרנזיטיביות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 6.6.1‬טרנזיטיביות מרובה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 6.6.2‬תת־חבורות של ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sn‬‬
‫‪ 6.6.3‬פעולה רגולרית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 6.7‬פעולה פרימיטיבית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 6.8‬החבורות הלינאריות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 6.9‬סימטריות של גרפים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪59‬‬
‫‪59‬‬
‫‪60‬‬
‫‪60‬‬
‫‪60‬‬
‫‪61‬‬
‫‪62‬‬
‫‪62‬‬
‫‪63‬‬
‫‪64‬‬
‫‪64‬‬
‫‪65‬‬
‫‪66‬‬
‫‪67‬‬
‫‪68‬‬
‫‪69‬‬
‫‪69‬‬
‫‪72‬‬
‫‪73‬‬
‫‪74‬‬
‫‪75‬‬
‫‪79‬‬
‫‪7‬‬
‫אוטומורפיזמים‬
‫‪ 7.1‬חבורת האוטומורפיזמים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 7.2‬אוטומורפיזמים פנימיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫אוטומורפיזמים יחסיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪7.2.1‬‬
‫‪ 7.2.2‬תת־חבורות אופייניות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 7.3‬מכפלה ישרה למחצה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 7.3.1‬מכפלה ישרה למחצה פנימית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪81‬‬
‫‪81‬‬
‫‪82‬‬
‫‪83‬‬
‫‪84‬‬
‫‪84‬‬
‫‪84‬‬
‫‪4.4‬‬
‫‪4.5‬‬
‫‪4.6‬‬
‫‪4.7‬‬
‫‪4.8‬‬
‫‪4.9‬‬
‫‪4‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫מכפלה ישרה למחצה חיצונית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫חבורות שלמות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫מכפלת זר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫לקוהומולוגיה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫משלימים והקוהומולוגיה הראשונה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫הרחבות והקוהומולוגיה השניה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫כיסויים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪86‬‬
‫‪87‬‬
‫‪88‬‬
‫‪89‬‬
‫‪89‬‬
‫‪91‬‬
‫‪94‬‬
‫‪8‬‬
‫משפטי סילו‬
‫‪ 8.1‬שוויון המחלקות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.2‬משפט קושי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.3‬חבורות־‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p‬‬
‫‪ 8.3.1‬משפט מילר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.3.2‬מספר תת־החבורות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.4‬משפטי סילו ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.4.1‬קיומן של חבורות ‪p‬־סילו ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.4.2‬תת־חבורות סילו צמודות זו לזו ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.4.3‬תת־חבורות סילו של תת־חבורות וחבורות מנה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.4.4‬תת־חבורות הול ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.4.5‬הטרנספר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.4.6‬מכפלה של תת־חבורות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.5‬שימושים במשפטי סילו ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.5.1‬נומרולוגיה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.5.2‬ספירת אברים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.5.3‬פעולה על תת־חבורות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.6‬החבורות הקטנות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪95‬‬
‫‪95‬‬
‫‪96‬‬
‫‪97‬‬
‫‪99‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫‪101‬‬
‫‪101‬‬
‫‪103‬‬
‫‪104‬‬
‫‪105‬‬
‫‪106‬‬
‫‪106‬‬
‫‪106‬‬
‫‪108‬‬
‫‪109‬‬
‫‪114‬‬
‫‪9‬‬
‫חבורות אבליות‬
‫‪ 9.1‬האקספוננט ‪. . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.2‬הפירוק הפרימרי ‪. . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.3‬חבורות־‪ p‬אבליות ‪. . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.4‬משפט המיון לחבורות אבליות סופיות‬
‫‪ 9.4.1‬חבורות אוילר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.5‬חבורות אבליות אינסופיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.5.1‬חבורות סדורות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.5.2‬חבורות שאינן נוצרות סופית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪117‬‬
‫‪117‬‬
‫‪118‬‬
‫‪118‬‬
‫‪119‬‬
‫‪120‬‬
‫‪122‬‬
‫‪124‬‬
‫‪124‬‬
‫‪ 10‬חבורות פתירות ונילפוטנטיות‬
‫‪ 10.1‬סדרות תת־נורמליות וסדרות הרכב ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 10.2‬חבורות פתירות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 10.2.1‬הסדרה הנגזרת ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 10.2.2‬תת־חבורת פרטיני ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 10.2.3‬חבורות סופר־פתירות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 10.2.4‬תנאי סופיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 10.3‬סדרות מרכזיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 10.3.1‬הסדרה המרכזית היורדת ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 10.3.2‬הסדרה המרכזית העולה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 10.3.3‬חבורות נילפוטנטיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪125‬‬
‫‪125‬‬
‫‪126‬‬
‫‪128‬‬
‫‪129‬‬
‫‪129‬‬
‫‪130‬‬
‫‪131‬‬
‫‪131‬‬
‫‪132‬‬
‫‪133‬‬
‫‪7.4‬‬
‫‪7.3.2‬‬
‫‪7.3.3‬‬
‫‪7.3.4‬‬
‫מבוא‬
‫‪7.4.1‬‬
‫‪7.4.2‬‬
‫‪7.4.3‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪6‬‬
‫פרק ‪1‬‬
‫חבורות למחצה‪ ,‬מונוידים וחבורות‬
‫הקורס עוסק בחבורות‪ ,‬שהן מערכות אלגבריות בעלות פעולה אחת‪ ,‬המקיימת כמה אקסיומות‪ .‬בפרק הראשון‬
‫נכיר את המערכות שהן פרימיטיביות עוד יותר מחבורות ‪ -‬אלו שהפעולה שלהן מקיימת רק חלק מן האקסיומות‬
‫שמקיימות חבורות‪.‬‬
‫תכונת האסוציאטיביות של הרכבת פונקציות מובילה אותנו לאמץ את האסוציאטיביות כאקסיומה בכל‬
‫המערכות שנלמד בקורס הזה‪ .‬הגישה כאן היא אקסיומטית‪ :‬לומדים את התכונות האבסטרקטיות הנובעות‬
‫מהנחות יסוד‪ ,‬שאת העניין בהן מצדיקות דוגמאות חשובות‪.‬‬
‫המושגים העיקריים בפרק זה‪ :‬פעולה בינארית המקיימת את האקסיומה ‪ a(bc) = (ab)c‬היא פעולה‬
‫אסוציאטיבית‪ .‬קבוצה שמוגדרת עליה פעולה אסוציאטיבית נקראת חבורה למחצה‪ .‬בחבורה למחצה עשויים‬
‫להיות אברים מיוחדים‪ :‬יחידות מימין‪ ,‬יחידות משמאל ויחידות דו־צדדיות; אברי אפס מימין‪ ,‬אפס משמאל‪,‬‬
‫אברי אפס דו־צדדיים‪ .‬אם יש לחבורה למחצה איבר יחידה )דו־צדדי(‪ ,‬היא נעשית מונויד‪ .‬איבר של מונויד‬
‫עשוי להיות הפיך מימין‪ ,‬הפיך משמאל‪ ,‬או הפיך משני הצדדים )ואז הוא הפיך(‪ .‬מונויד שבו כל האברים הפיכים‬
‫נעשה חבורה‪ ,‬וזה האובייקט המרכזי של הקורס‪ .‬המשפט המרכזי בחלק זה )משפט ‪ (1.3.9‬קובע שמונויד סופי‬
‫המקיים את תכונת הצמצום הוא בהכרח חבורה‪.‬‬
‫הפרק מציג את המכפלה הישרה‪ ,‬שהיא דרך קלה לשילוב מבנים אלגבריים; ואת המושגים הכלליים‬
‫תת־חבורה והומומורפיזם‪ ,‬שמשחקים תפקיד מרכזי בכל תאוריה אלגברית‪.‬‬
‫‪1.1‬‬
‫חבורות למחצה‬
‫נפתח בהצגת חבורות למחצה‪ ,‬שהן מבנים עם פעולה אסוציאטיבית אחת‪ .‬תכונות של אברים מיוחדים בחבורה‬
‫למחצה מובילות בהדרגה להגדרת החבורה‪.‬‬
‫פעולה בינרית על קבוצה ‪ A‬היא פונקציה ‪ .∗ : A×A → A‬כל פעולה ''מוגדרת היטב''‪ ,‬כלומר‪ ,‬לכל שני‬
‫אברים ‪ x, y ∈ A‬יש ערך יחיד ‪ ,x ∗ y‬השייך ל־‪ ;A‬אחרת זו אינה פעולה‪ .‬פעולה ∗ היא אסוציאטיבית‬
‫אם לכל ‪ a, b, c ∈ A‬מתקיים ‪.a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c‬‬
‫הגדרה ‪ 1.1.1‬חבורה למחצה היא מערכת הכוללת קבוצה ‪ S‬עם פעולה אסוציאטיבית ∗‪.‬‬
‫אומרים ש־‪ S‬חבורה למחצה )ביחס לפעולה הנתונה(‪ ,‬או‪ ,‬כדי להדגיש את תפקידה של הפעולה‪ ,‬שהזוג‬
‫הסדור )∗ ‪ (S,‬הוא חבורה למחצה‪ .‬בדרך כלל קוראים לפעולה בחבורה ''כפל''‪ ,‬גם אם יש לה בהקשר המקורי‬
‫שם אחר )כמו ''חיבור'' או ''הרכבה''(‪ .‬במקרים רבים מקובל להשמיט את סימן הכפל‪ ,‬ולכתוב ‪ ab‬במקום ‪.a ∗ b‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 1.1.2‬תהי ‪ X‬קבוצה‪ .‬הראה שהאוסף ‪ S = X X‬של פונקציות ‪ ,X→X‬עם פעולת ההרכבה‪,‬‬
‫הוא חבורה למחצה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 1.1.3‬בחבורה למחצה נגדיר באינדוקציה‪ ,‬לכל איבר ‪ ,x‬את החזקות ‪.xn = x∗xn−1 ,x1 = x‬‬
‫‪n+m‬‬
‫‪ .x‬הדרכה‪ .‬אינדוקציה כפולה‪ .‬היכן משתמשים באסוציאטיביות?‬
‫הוכח ש־ ‪= xn ∗ xm‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 1.1.4‬תהי ‪ S‬קבוצה‪ .‬נגדיר ‪ .a ∗ b = b‬הוכח ש־)∗ ‪ (S,‬חבורה למחצה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.1.5‬בדוק אילו מהמערכות הבאות הן חבורות למחצה‪.‬‬
‫‪ .1‬קבוצת המספרים הזוגיים עם פעולת הכפל‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫פרק ‪ .1‬חבורות למחצה‪ ,‬מונוידים וחבורות‬
‫‪ .1.1‬חבורות למחצה‬
‫‪ .2‬קבוצת המטריצות ההפיכות בגודל ‪ 3 × 3‬מעל ‪ ,R‬ביחס לחיבור‪.‬‬
‫‪ .3‬קבוצת המספרים הממשיים‪ ,‬עם הפעולה ) ‪.a ∗ b = 12 (a2 + b2‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.1.6‬נניח שבחבורה למחצה ‪ A‬אפשר לשחזר את הגורמים ‪ a, b‬מתוך המכפלה ‪ ,ab‬כלומר‪,‬‬
‫מ־‪ ab = cd‬נובע ‪ a = c‬ו־‪ .b = d‬הוכח ש־‪.|A| = 1‬הדרכה‪ .‬לכל ‪.(aa)b = a(ab) ,a, b ∈ A‬‬
‫הגדרה ‪ 1.1.7‬איזומורפיזם של חבורות למחצה )∗ ‪ (X,‬ו־)⋆ ‪ (Y,‬הוא פונקציה חד־חד־ערכית ועל ‪ f : X→Y‬המקיימת את‬
‫התנאי ) ‪) f (x ∗ x′ ) = f (x) ⋆ f (x′‬לכל ‪.(x, x′ ∈ X‬‬
‫∼‬
‫אם קיים איזומורפיזם בין שתי חבורות למחצה‪ ,‬אומרים שהן איזומורפיות ומסמנים ‪.X = Y‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 1.1.8‬אם ‪ f : X→X ′‬איזומורפיזם‪ ,‬אז ‪ f −1 : X ′ →X‬גם הוא איזומורפיזם‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.1.9‬איזומורפיות היא תכונה רפלקסיבית‪ ,‬סימטרית וטרנזיטיבית‪ .‬אינ נו אומרים שאיזומורפיות‬
‫היא יחס שקילות‪ ,‬משום שמחלקת החבורות למחצה גדולה מכדי להיות קבוצה‪ ,‬ואי אפשר להגדיר‬
‫עליה יחסים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.1.10‬יש בדיוק ‪ 5‬חבורות למחצה בנות ‪ 2‬אברים עד־כדי איזומורפיזם‪ .‬כלומר‪ ,‬יש ‪ 5‬חבורות‬
‫למחצה עם שני אברים‪ ,‬שאינן איזומורפיות זו לזו‪ ,‬וכך שכל חבורה למחצה בת שני אברים איזומורפית‬
‫לאחת מהן‪ .‬הדרכה‪ .‬מיינו את האפשרויות לפי מספר הפתרונות למשוואה ‪.x ∗ x = x‬‬
‫תרגיל ‪) (-***) 1.1.11‬בעיה ‪ A-1‬מתחרות ‪ Putnam‬ה־‪ (2001 ,62‬פעולה בינארית )לאו דווקא‬
‫אסוציאטיבית( ‪ ∗ : S × S→S‬מקיימת את החוק ‪ ;a ∗ (b ∗ a) = b‬הוכח שהיא מקיימת גם ‪.(a ∗ b) ∗ a = b‬‬
‫‪1.1.1‬‬
‫איברי יחידה‬
‫יש הרבה חבורות למחצה‪ .‬כדי לבנות מסגרת שתאפשר לנתח את המבנה שלהן‪ ,‬עלינו לזהות איברים בעלי‬
‫תכונות מיוחדות‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.1.12‬תהי )∗ ‪ (S,‬חבורה למחצה‪ .‬איבר ‪ e ∈ S‬נקרא יחידה מימין אם לכל ‪ b ∈ S‬מתקיים ‪ ,be = b‬ויחידה משמאל‬
‫אם לכל ‪ b ∈ S‬מתקיים ‪ .eb = b‬יחידה מימין היא איבר הפועל כיחידה כאשר כופלים בו מימין‪ ,‬וכן‬
‫משמאל‪.‬‬
‫איבר שהוא יחידה מימין ומשמאל נקרא איבר יחידה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 1.1.13‬אם בחבורה למחצה יש יחידה מימין ‪ e‬ויחידה משמאל ‪ ,e′‬אז ‪) e = e′‬וזהו כמובן איבר‬
‫יחידה(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 1.1.14‬בחבורה למחצה ‪ S‬יש שבע יחידות משמאל‪ .‬כמה יחידות מימין יש בה?‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.1.15‬קבע‪ ,‬לגבי כל אחת מהחבורות למחצה של תרגיל ‪ ,1.1.10‬מיהם אברי היחידה מימין‬
‫ומשמאל‪.‬‬
‫)‬
‫}‬
‫({‬
‫‪a b : a, b ∈ R .1‬‬
‫= ‪ M‬היא חבורה למחצה )ביחס לכפל מטריצות(‪.‬‬
‫תרגיל ‪(**) 1.1.16‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪ .2‬ב־ ‪ M‬אין יחידה מימין‪ ,‬אבל יש אינסוף יחידות משמאל‪.‬‬
‫‪ .3‬מצא דוגמה לחבורה למחצה בלי יחידות משמאל ועם אינסוף יחידות מימין‪.‬‬
‫‪1.1.2‬‬
‫אידמפוטנטים ואברים מיוחדים אחרים‬
‫הגדרה ‪ 1.1.17‬איבר ‪ e‬בחבורה למחצה נקרא אידמפוטנט אם ‪) e2 = e‬כזכור ‪.(e2 = e ∗ e‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 1.1.18‬כל איבר יחידה‪ ,‬מימין או משמאל‪ ,‬הוא אידמפוטנט‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.1.19‬איברים ‪ a, b ∈ S‬נקראים הפוכים )באופן חלש( זה לזה‪ ,‬אם ‪ aba = a‬ו־‪.bab = b‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.1.20‬נניח ש־‪ a, b‬הפוכים זה לזה‪ .‬הוכח ש־‪ ab‬ו־‪ ba‬אידמפוטנטים‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ .1.1‬חבורות למחצה‬
‫פרק ‪ .1‬חבורות למחצה‪ ,‬מונוידים וחבורות‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.1.21‬אם ‪ b‬ו־ ‪ b′‬שניהם הפוכים ל־‪ ,a‬אז ‪ ab′‬ו־‪ ab‬הפוכים זה לזה )וכך גם ‪.(ba, b′ a‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.1.22‬אם ‪ b‬ו־ ‪ b′‬שניהם הפוכים ל־‪ ,a‬אז כך גם ‪ bab′‬ו־‪.b′ ab‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.1.23‬נתון ש־ ‪ b′‬הפוך ל־‪ a ,a‬הפוך ל־‪ ,b‬ו־‪ b‬הפוך ל־ ‪ .a′‬הוכח ש־ ‪ bab′‬הפוך ל־ ‪.aba′‬‬
‫תרגיל ‪ e, e′ (**) 1.1.24‬הם שני אידמפוטנטים הפוכים זה לזה‪.‬‬
‫}‪.{e, e′ , ee′ , e′ e‬‬
‫כתוב את לוח הכפל של הקבוצה‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.1.25‬חבורה למחצה היא מגבילה )‪ (restrictive‬אם כל איבריה אידמפוטנטים‪ ,‬והיא מקיימת‬
‫את החוק ‪) .xyz = yxz‬חבורות למחצה אלו הוגדרו על־ידי ‪ ,1962 ,V. V. Wagner‬שהראה שהן מתקבלות‬
‫ממערכות של העתקות עם פעולת צמצום הדדית שלא נתאר כאן במלואה‪ (.‬מיין את כל החבורות למחצה‬
‫המגבילות עם שלושה אברים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.1.26‬חבורה למחצה היא רצועה רגולרית שמאלית אם היא מקיימת את החוקים ‪x2 = x‬‬
‫ו־‪ xyx = xy‬לכל ‪ .x, y‬על אוסף המלים בקבוצת האותיות ‪ ,S‬שבהן כל אות מופיעה לכל היותר פעם‬
‫אחת‪ ,‬נגדיר פעולה באופן הבא‪ u ∗ v :‬היא המלה המתקבלת מקריאת המלה ‪ uv‬משמאל לימין‪ ,‬ומחיקת‬
‫כל אות שכבר הופיעה‪ .‬הראה שמתקבלת רצועה שמאלית רגולרית‪ .‬כתוב את לוח הכפל במקרה‬
‫‪.|S| = 2‬‬
‫הגדרה ‪ 1.1.27‬איבר ‪ z ∈ S‬המקיים ‪ za = z‬לכל ‪ a ∈ S‬נקרא אפס משמאל‪ .‬אם ‪ az = z‬לכל ‪ a ∈ S‬אז ‪ z‬נקרא אפס‬
‫מימין‪ .‬אפס מימין ומשמאל נקרא אפס של החבורה למחצה ‪.S‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 1.1.28‬אם בחבורה למחצה יש אפס מימין ואפס משמאל‪ ,‬אז הם שווים‪ .‬מכאן שאם יש איבר‬
‫אפס‪ ,‬אז הוא יחיד‪) .‬השווה לתרגיל ‪(.1.1.13‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.1.29‬תן דוגמה לחבורה למחצה שיש בה איבר אפס‪ ,‬ולחבורה למחצה בלי איבר כזה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.1.30‬איזומורפיזם של חבורות למחצה מעביר יחידה משמאל ליחידה משמאל‪ ,‬יחידה‬
‫ליחידה‪ ,‬אידמפוטנט לאידמפוטנט ואפסים לאפסים‪.‬‬
‫‪x+y‬‬
‫‪) x ⋆ y = 1+xy‬זוהי הנוסחה היחסותית לחיבור מהירויות‪ ,‬ביחידות של מהירות‬
‫תרגיל ‪ (+**) 1.1.31‬נסמן‬
‫האור(‪ .‬הראה שהקטע ]‪ [0, 1‬הוא מונויד ביחס לפעולה ⋆‪ ,‬ובו ‪ 0‬הוא איבר יחידה‪ ,‬ו־‪ 1‬הוא איבר אפס‪ .‬תן‬
‫נוסחה מפורשת למכפלה ‪ n) x ⋆ · · · ⋆ x‬פעמים(‪ .‬הראה ש־)⋆ ‪ ([0, 1],‬איזומורפי ל־)‪ .([0, ∞], +‬הדרכה‪.‬‬
‫קח ]‪ f : [0, ∞]→[0, 1‬לפי‬
‫‪et −e−t‬‬
‫‪et +e−t‬‬
‫= )‪.f (t‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 1.1.32‬יהי ‪ −1 < λ‬מספר ממשי‪ .‬נגדיר‬
‫‪xy+λ‬‬
‫‪x+y+2‬‬
‫= ‪.x ◦ y‬‬
‫‪ .1‬הוכח שהקטע )∞ ‪ I = (−1,‬הוא חבורה למחצה ביחס לפעולה ◦‪.‬‬
‫‪ .2‬נניח ש־‪ e2 + 2e = λ‬עבור ‪) e ∈ I‬בדוק ש־‪ e‬יחיד(‪ .‬הוכח ש־‪ e‬איבר אפס של הפעולה‪.‬‬
‫‪ .3‬נרחיב את ◦ לקטע המוכלל ]∞ ‪ [−1,‬על־ידי מעבר לגבול‪:‬‬
‫‪x ◦ a,‬‬
‫;‪a ◦ ∞ = ∞ ◦ a = lim x ◦ a‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x→(−1)+‬‬
‫= ‪a ◦ (−1) = (−1) ◦ a‬‬
‫וכן הלאה עבור )‪ (−1) ◦ ∞ = ∞ ◦ (−1) ,(−1) ◦ (−1‬ו־∞ ◦ ∞‪ .‬בדוק ש־∞ = )‪,(−1) ◦ (−1‬‬
‫וש־∞ הוא איבר יחידה בקטע החדש‪.‬‬
‫‪ .4‬נסמן ‪ .a∗ = (−1) ◦ a‬בדוק ש־‪ a∗∗ = a‬וש־‪.a∗ ◦ b∗ = a ◦ b‬‬
‫‪ .5‬הראה ש־‪ e‬תמיד בין ‪ a‬ל־ ∗‪.a‬‬
‫‪ .6‬הוכח שלמשוואה ‪ a ◦ x = b‬קיים פתרון אם ורק אם ‪ b‬בין ‪ a‬ל־ ∗‪.a‬‬
‫‪ .7‬הוכח שלכל ‪ .limn→∞ an = e ,a ∈ I‬רמז‪ .‬פרק לגורמים את ‪.a ◦ b − e‬‬
‫)ראה גם תרגיל ‪(.1.4.3‬‬
‫‪9‬‬
‫פרק ‪ .1‬חבורות למחצה‪ ,‬מונוידים וחבורות‬
‫‪ .1.2‬מונוידים‬
‫תרגיל ‪ (+**) 1.1.33‬במשחק קומבינטורי לשני משתתפים עם מידע מלא‪ ,‬כל שחקן מבצע מהלך בתורו‪,‬‬
‫עד שאחד השחקנים נותר ללא מהלך חוקי והוא מוכרז כמפסיד‪ .‬המשחק סופי אם כל סדרת מהלכים‬
‫מוכרחה להסתיים בהפסד של אחד השחקנים‪ .‬נניח שהמשחק סופי‪ .‬מצב מפסיד הוא מצב שבו השחקן‬
‫אינו יכול לנוע‪ ,‬או שכל מהלך מוביל למצב זוכה; ומצב זוכה הוא מצב שבו קיים מהלך המוביל למצב‬
‫מפסיד‪.‬‬
‫‪ .1‬הוכח שהמושגים 'מפסיד' ו'זוכה' מוגדרים היטב‪ ,‬באינדוקציה )למרות שההגדרה נדמית מעגלית(‪,‬‬
‫ושכל משחק סופי הוא או מפסיד או זוכה‪.‬‬
‫‪ .2‬הסכום ‪ α + β‬של שני משחקים ‪ α, β‬הוא המשחק שמהלך חוקי שלו מחזיר את ‪ α + β ′‬כאשר ‪β ′‬‬
‫מתקבל ממהלך חוקי ב־‪ ,β‬או את ‪ α′ + β‬כאשר ‪ α′‬מתקבל במהלך חוקי מ־‪.α‬‬
‫הראה שאם ‪ α, β‬שניהם זוכים או שניהם מפסידים‪ ,‬אז ‪ α + β‬זוכה; ואם ‪ α‬זוכה ו־‪ β‬מפסיד או‬
‫להיפך‪ ,‬אז ‪ α + β‬מפסיד‪.‬‬
‫‪ .3‬נסמן ב־}‪ s(α) ∈ {W, L‬את סוג המשחק ‪ ,α‬זוכה )‪ (W‬או מפסיד )‪ .(L‬הצע פעולה ‪ +‬על הקבוצה‬
‫} ‪ {L, W‬כך ש־)‪.s(α + β) = s(α) + s(β‬‬
‫‪ .4‬פקודות מטכ"ל אוסרות על חיילים לנוע ביחידות‪ .‬לקצינים מותר לפצל קבוצת חיילים רק בתנאי‬
‫ששני החלקים מצייתים לפקודה‪ .‬שני קצינים משחקים בפיצול חוזר של פלוגת חיילים‪ :‬הראשון‬
‫שאינו יכול לפצל‪ ,‬מפסיד‪ .‬הראה שאם בפלוגה יותר משבעה חיילים‪ ,‬הקצין הראשון יכול לנצח‪.‬‬
‫‪1.2‬‬
‫מונוידים‬
‫הגדרה ‪ 1.2.1‬חבורה למחצה ‪ M‬שיש בה איבר יחידה נקראת מונויד‪.‬‬
‫במלים אחרות‪ ,‬מונויד הוא מערכת הכוללת קבוצה‪ ,‬פעולה אסוציאטיבית‪ ,‬ואיבר יחידה‪ .‬כשמדובר במונויד‬
‫אבסטרקטי‪ ,‬מקובל להקצות את הסימון ‪ 1‬לאיבר היחידה )יש ספרים המעדיפים את הסימון ‪ e‬למטרה זו‪,‬‬
‫כדי להתאים למקרים שבהם איבר היחידה כבר זכה לסימון משלו(‪ .‬כדי להדגיש את הנחיצות של המרכיבים‬
‫השונים‪ ,‬מציגים את המונויד לפעמים גם כשלשה סדורה‪ .(M, ·, 1) ,‬כשאיבר היחידה ידוע אפשר להשמיט‬
‫אותו מהסימון‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.2.2‬תהי ‪ A‬קבוצה‪ .‬הוכח ש־}‪ M = AA = {f : A → A‬עם פעולת ההרכבה הוא מונויד‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.2.3‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ .F‬הוכח שאוסף ההעתקות הלינאריות = ) ‪HomF (V‬‬
‫} ‪ ,{T : V → V‬עם פעולת ההרכבה‪ ,‬הוא מונויד‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 1.2.4‬כתוב את לוחות הכפל של כל שבעת המונוידים בעלי ‪ 3‬אברים‪) .‬המיון הוא עד־כדי‬
‫איזומורפיזם‪ ,‬כמובן‪(.‬‬
‫∼ ‪ S‬חבורות למחצה איזומורפיות‪ ,‬ו־‪ S‬היא מונויד‪ ,‬אז גם ‪ S ′‬הוא מונויד )ראה‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.2.5‬אם ‪= S ′‬‬
‫תרגיל ‪.(1.1.30‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 1.2.6‬קבע לגבי כל אחת מהמערכות הבאות האם היא חבורה למחצה והאם היא מונויד‪.‬‬
‫‪ R>0 = {x : x > 0} .1‬עם פעולת הכפל‪.‬‬
‫‪ .2‬אוסף המטריצות ) ‪ Mn (F‬עם פעולת הכפל‪.‬‬
‫‪ Z .3‬עם פעולת החיסור‪.‬‬
‫‪ .4‬אוסף המספרים הרציונליים עם הכפל הרגיל‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 1.2.7‬קבע לגבי כל אחת מהמערכות הבאות האם היא מונויד‪ .‬הפעולה היא בכל מקרה‬
‫כפל נקודתי‪.(f ∗ g)(t) = f (t) · g(t) ,‬‬
‫‪ .1‬אוסף הפונקציות הרציפות ‪.[0, 1] → R‬‬
‫‪ .2‬אוסף הפונקציות הרציפות שאינן מתאפסות זהותית בקטע ]‪.[0, 1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ .1.2‬מונוידים‬
‫פרק ‪ .1‬חבורות למחצה‪ ,‬מונוידים וחבורות‬
‫‪ .3‬אוסף הפוקנציות הרציפות שאינן מתאפסות זהותית באף תת־קטע פתוח של ]‪.[0, 1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.2.8‬השלם את לוח הכפל של מונויד }‪ M = {1, a, b, c‬שבו ‪ 1‬איבר יחידה‪bc = a ,ab = c ,‬‬
‫ו־‪.ca = b‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.2.9‬הראה שכל חבורה למחצה ‪ S‬אפשר להרחיב למונויד }‪ ,S ′ = S ∪ {e‬אם נגדיר את ‪e‬‬
‫להיות איבר היחידה במבנה החדש‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.2.10‬תאר את המונויד המתקבל לאחר חזרה ‪ n‬פעמים על הבניה של תרגיל ‪,1.2.9‬‬
‫כשמתחילים ממונויד האפס }‪.M = {0‬‬
‫‪ M .1‬מונויד‪ .‬נקבע ‪ ,z ̸∈ M‬ונרחיב את הפעולה לפי ‪ .zm = mz = z‬הוכח‬
‫תרגיל ‪(**) 1.2.11‬‬
‫ש־}‪ M ∪ {z‬מונויד‪ ,‬שבו ‪ z‬הוא איבר האפס‪.‬‬
‫‪ .2‬נניח ש־}‪ .M = {0‬תאר את המונויד המתקבל אחרי ‪ n‬הפעלות של התהליך הזה‪ .‬הראה שהוא‬
‫איזומורפי למונויד של תרגיל ‪.1.2.10‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.2.12‬נאמר שפולינום )‪ f (x‬ממעלה ‪ n‬הוא פולינדרום אם ) ‪) f (x) = xn f (x−1‬בדוק‬
‫שהגדרה זו שקולה לכך שהפולינום הוא מהצורה ‪.(a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a2 xn−2 + a1 xn−1 + a0 xn‬‬
‫הראה שאוסף הפולינומים הפולינדרומיים הוא מונויד ביחס לכפל‪ .‬הוכח שכל פולינום פולינדרומי הוא‬
‫מהצורה ) ‪ xm g(x + x−1‬כאשר ‪ g‬פולינום ממעלה ‪.m‬‬
‫‪1.2.1‬‬
‫אברים הפיכים מימין ומשמאל‬
‫כמו במקרה של חבורות למחצה‪ ,‬איברים מיוחדים הם הצעד הראשון לפענוח המבנה של מונוידים‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.2.13‬יהי ‪ M‬מונויד‪.‬‬
‫איבר ‪ a ∈ M‬הוא הפיך מימין אם קיים ‪ b ∈ M‬כך ש־‪ ,ab = 1‬והפיך משמאל אם קיים ‪ b ∈ M‬כך ש־‪.ba = 1‬‬
‫האיבר ‪ a‬הוא הפיך אם קיים ‪ b ∈ M‬כך ש־‪.ab = ba = 1‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 1.2.14‬אם ‪ a‬הפיך מימין ומשמאל אז הוא הפיך‪ .‬מה יש כאן להוכיח?‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.2.15‬אם ‪ a‬הפיך אז האיבר ‪ b‬המקיים ‪ ab = 1‬הוא יחיד; מסמנים אותו בסימון ‪.a−1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.2.16‬הראה שאם ‪ a‬הפיך אז ‪ a−1‬הפיך ו־‪.(a−1 )−1 = a‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.2.17‬אם ‪ a, b‬הפיכים אז ‪ ab‬הפיך ו־ ‪.(ab)−1 = b−1 a−1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.2.18‬אם ‪ a‬הפיך אז לכל ‪.(an )−1 = (a−1 )n ,n > 0‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 1.2.19‬הוכח את כללי החזקות ‪ ,(an )m = anm ,an+m = an am‬לכל ‪.n, m ∈ Z‬‬
‫הדרכה‪ .‬ראשית‬
‫הוכח את הטענות באינדוקציה כפולה עבור ‪ n, m ∈ N‬ואז הוכח לערכים שלמים כלשהם בעזרת תרגיל ‪.1.2.18‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.2.20‬אם ‪ aba‬הפיך אז גם ‪ a, b‬הפיכים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.2.21‬קבע אילו אברים של המונויד ‪ AA‬מתרגיל ‪ 1.2.2‬הם הפיכים מימין או משמאל‪ .‬חזור‬
‫על השאלה עבור המונויד ) ‪ HomF (V‬מתרגיל ‪.1.2.3‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.2.22‬נתבונן בקבוצה ‪ X = NN‬של פונקציות ‪ .N→N‬נסמן ב־‪ u, d‬את הפונקציות = )‪u(n‬‬
‫‪) d(n) = max {n − 1, 0} ,n + 1‬הפונקציה ‪ n 7→ n − 1‬אינה מוגדרת(‪ .‬חשב את ההרכבות ‪ du‬ו־‪.ud‬‬
‫הסק ש־‪ d‬הפיך מימין ו־‪ u‬הפיך משמאל‪ ,‬אבל שניהם לא הפיכים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.2.23‬יהי ‪ F‬שדה ו־ ‪ V = F ℵ0‬מרחב הסדרות מעל ‪ .F‬נתבונן בהעתקות →‪U : (x1 , x2 , . . . ) 7‬‬
‫) ‪ D : (x1 , x2 , . . . ) 7→ (x2 , x3 , . . . ) ,(0, x1 , x2 , . . .‬השייכות ל־) ‪ .HomF (V‬חשב את ‪ U D‬ואת ‪DU‬‬
‫במונויד ) ‪ .HomF (V‬הסק ש־‪ D‬הפיך מימין ו־ ‪ U‬הפיך משמאל‪ ,‬אבל שניהם לא הפיכים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.2.24‬אם במונויד מתקיים ‪ aba = a‬ו־‪ ,ab2 a = 1‬אז ‪.a = b−1‬‬
‫תרגיל ‪ M (**) 1.2.25‬מונויד סופי‪ ,‬ו־ ‪ a ∈ M‬הפיך מימין‪ .‬הוכח ש־‪ a‬הפיך‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.2.26‬יהי )• ‪ (M,‬מונויד‪ ,‬ויהי ‪ .a ∈ M‬נגדיר ‪ .x ∗ y = x • a • y‬הוכח ש־)∗ ‪ (M,‬חבורה‬
‫למחצה‪ .‬מצא תנאי הכרחי ומספיק לכך ש־)∗ ‪ (M,‬מונויד‪ .‬הראה שאם )∗ ‪ (M,‬מונויד‪ ,‬אז הוא איזומורפי‬
‫ל־)• ‪.(M,‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.2.27‬הראה שאוסף הפולינומים )מעל שדה נתון( הוא מונויד ביחס להרכבה‪ .‬מהם האברים‬
‫ההפיכים מימין? ומשמאל?‬
‫‪11‬‬
‫‪ .1.3‬חבורות‬
‫‪1.3‬‬
‫פרק ‪ .1‬חבורות למחצה‪ ,‬מונוידים וחבורות‬
‫חבורות‬
‫הגדרה ‪ 1.3.1‬מונויד שבו כל האברים הפיכים נקרא חבורה‪.‬‬
‫במלים אחרות‪ ,‬חבורה היא קבוצה ‪ G‬עם פעולה אסוציאטיבית‪ ,‬איבר יחידה ‪ ,1‬ולכל ‪ x‬קיים ‪ y‬כך‬
‫ש־‪ .xy = yx = 1‬כמו במונוידים‪ ,‬אומרים לפעמים ש־) ‪ (G, ·, 1G‬היא חבורה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 1.3.2‬נניח שבחבורה למחצה ‪ S‬יש יחידה משמאל ‪ ,e‬והופכי משמאל לכל איבר )כלומר‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫לכל ‪ a‬יש ‪ a‬כך ש־‪ ;a a = e‬לא ידוע ש־ ‪ a‬הנ"ל הוא יחיד(‪ .‬אז ‪ S‬חבורה‪ .‬הדרכה‪ .‬מכיוון ש־= ) ‪(aa′ )(aa′‬‬
‫‪ ,a(a′ a)a′ = aea′ = aa′‬קיבלנו ‪ .aa′ = e(aa′ ) = (aa′ )′ (aa′ )(aa′ ) = (aa′ )′ (aa′ ) = e‬לכן גם ‪ ,ae = aa′ a = ea = a‬ומכאן ש־‪e‬‬
‫יחידה מימין ו־ ‪ a′‬ההפכי של ‪.a‬‬
‫}‬
‫תרגיל ‪ (*) 1.3.3‬באוסף המטריצות‬
‫)‬
‫‪: a, b ∈ F‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪0 0‬‬
‫({‬
‫יש יחידה משמאל‪ ,‬וכל האברים הפיכים מימין‪,‬‬
‫אבל זו לא חבורה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 1.3.4‬אם בחבורה למחצה ‪ S‬יש פתרון לכל משוואה מהצורה ‪ ax = b‬או ‪ ,xa = b‬אז‬
‫זו חבורה‪ .‬הדרכה‪ .‬יהי ‪ .a ∈ S‬לפי ההנחה יש ‪) e ∈ S‬התלוי ב־‪ (a‬כך ש־‪ .ae = a‬לכל ‪ c ∈ S‬קיים ‪ x‬כך ש־‪ ,c = xa‬ואז‬
‫‪ ;ce = xae = xa = c‬מכאן ש־‪ e‬יחידה מימין‪ .‬באותו אופן יש יחידה משמאל‪ ,‬ונותר לבחור ‪.b = e‬‬
‫הגדרה ‪ 1.3.5‬אומרים שבחבורה למחצה ‪ S‬יש צמצום משמאל אם לכל ‪ ,ax = ay =⇒ x = y ,a, x, y ∈ S‬וצמצום‬
‫מימין אם ‪.xa = ya =⇒ x = y‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 1.3.6‬כל מונויד המוכל בחבורה )עם אותה פעולה( הוא בעל צמצום מימין ומשמאל‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 1.3.7‬חבורה למחצה סופית ‪ S‬עם צמצום מימין ומשמאל היא מונויד‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬נבחר ‪ .a ∈ S‬על־ידי‬
‫צמצום משמאל‪ ,‬הפונקציה ‪ ℓa : x 7→ ax‬חד־חד־ערכית‪ ,‬ומכיוון ש־‪ S‬סופית ‪ ℓa‬גם על‪ ,‬ולכן יש ‪ e ∈ S‬כך ש־‪) ae = a‬אולי ‪ e‬תלוי ב־‪ .(a‬לכל‬
‫‪ ,aex = ax ,x ∈ S‬ועל־ידי צמצום משמאל נובע ‪ ,ex = x‬כלומר ‪ e‬יחידה משמאל‪ .‬בפרט ‪ ,ee = e‬ולכל ‪ x ∈ S‬מתקיים ‪ .xee = xe‬על־ידי‬
‫צמצום מימין מתקבל ‪ ,xe = e‬כלומר ‪ e‬איבר יחידה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ S (**) 1.3.8‬חבורה למחצה סופית‪ ,‬ו־‪ Sa = aS = S‬לכל ‪ .a ∈ S‬הוכח ש־‪ S‬מונויד‪.‬‬
‫זה המשפט המרכזי על‬
‫מונוידים‪.‬‬
‫משפט ‪ 1.3.9‬מונויד סופי עם צמצום משמאל הוא חבורה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 1.3.10‬הוכח את משפט ‪.1.3.9‬‬
‫הדרכה‪ .‬יהי )‪ (M, 1‬מונויד סופי עם צמצום משמאל‪ .‬לכל ‪ ,a ∈ M‬הפונקציה‬
‫‪ ℓa : x 7→ ax‬חד־חד־ערכית ולכן על; לכן קיים ‪ a′‬כך ש־‪ ,aa′ = 1‬כלומר ‪ a‬הפיך מימין‪ .‬סיימנו לפי תרגיל ‪ ,1.2.25‬או בעזרת העובדה שגם ‪a′‬‬
‫הפיך מימין‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 1.3.11‬תן דוגמה למונויד )אינסופי( עם צמצום משמאל שאינו חבורה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.3.12‬הוכח שהמערכות הבאות הן חבורות‪:‬‬
‫({‬
‫)‬
‫}‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ ,‬עם כפל המטריצות הרגיל‪.‬‬
‫‪−y x : x, y ∈ R, (x, y) ̸= (0, 0) .1‬‬
‫‪a+b‬‬
‫‪ R∗ = R∪{∞} .2‬עם הפעולה‬
‫‪ a∗b = 1−ab‬אם ∞ ≠ ‪ a, b‬ו־‪∞∗a = a∗∞ = − a1 ;a∗ a1 = ∞ ;ab ̸= 1‬‬
‫ל־‪.∞ ∗ ∞ = 0 ;∞ ∗ 0 = 0 ∗ ∞ = ∞ ;a ̸= 0‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.3.13‬תהי ‪ G‬חבורה עם ‪ .a, b ∈ G‬הוכח‪ :‬למשוואה ‪ xax = b‬יש פתרון אם ורק אם ‪ ab‬הוא‬
‫ריבוע ב־‪ .G‬הדרכה‪ .‬אם ‪ xax = b‬אז ‪.(ax)2 = ab‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 1.3.14‬תהי ‪ G‬חבורה עם ‪ .a ∈ G‬הוכח‪ :‬למשוואה ‪ x2 ax = a−1‬יש פתרון אם ורק אם ‪a‬‬
‫הוא חזקה שלישית ב־‪ .G‬הדרכה‪ .‬אם ‪ ax2 ax = 1‬אז ‪ ,x = (ax2 )2‬ומכאן ‪ x(ax2 ) = (ax2 )x‬ו־‪.ax = xa‬‬
‫נסו להמציא דוגמאות‬
‫משלכם‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.3.15‬נתבונן בפונקציות הממשיות‬
‫ביחס להרכבת פונקציות‪.‬‬
‫‪√ x‬‬
‫‪1+ax2‬‬
‫→‪ .fa : x 7‬הוכח ש־}‪ {fa : a ∈ R‬היא חבורה‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.3.16‬כתוב את לוח הכפל של חבורה בגודל ‪ ,6‬שבה יש אברים ‪ σ, τ‬המקיימים ‪,στ ̸= τ σ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .τ = 1 ,σ = 1‬הדרכה‪ .‬אברי החבורה הם ‪ ;1, σ, σ 2 , τ, στ, σ 2 τ‬הוכח שכל אלה שונים זה מזה‪ ,‬ומצא את ‪ ,τ σ‬שמוכרח להיות איבר‬
‫באותה רשימה‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫פרק ‪ .1‬חבורות למחצה‪ ,‬מונוידים וחבורות‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.3.17‬תהי )∗ ‪ (S,‬חבורה למחצה‪.‬‬
‫‪.a¯∗b = b ∗ a‬‬
‫‪ .1.4‬תת־מבנים‬
‫מסמנים ב־ ‪ S op‬את החבורה למחצה )∗¯ ‪ (S,‬כאשר‬
‫‪ .1‬אם ‪ M‬מונויד אז ‪ M op‬מונויד; אם ‪ G‬חבורה אז ‪ Gop‬חבורה‪.‬‬
‫∼ ‪.G‬‬
‫‪ .2‬הראה שלכל חבורה ‪= Gop ,G‬‬
‫∼ ‪.S‬‬
‫‪ .3‬תן דוגמה לחבורה למחצה ‪ S‬כך ש־ ‪̸= S op‬‬
‫‪ 1.4‬תת־מבנים‬
‫המפתח לתורת המבנה של החבורות )וגם של מונוידים וחבורות למחצה‪ ,‬שבקורס הזה משחקות תקפיד משנה‬
‫בלבד( הוא בקשרים בינן לבין תת־חבורות שלהן‪.‬‬
‫‪1.4.1‬‬
‫תת־חבורה למחצה‬
‫הגדרה ‪ 1.4.1‬תהי ‪ S‬חבורה למחצה‪ .‬תת־קבוצה ‪ S ′ ⊆ S‬נקראת תת־חבורה־למחצה אם היא תת־חבורה למחצה ביחס לפעולה‬
‫המושרית מ־‪.S‬‬
‫הפעולה המושרית היא הפעולה של ‪ ,S‬כשמיישמים אותה לאברי ‪ S ′‬בלבד‪ .‬פעולה בינארית היא פונקציה‬
‫‪ ,S × S→S‬כלומר‪ ,‬פורמלית‪ ,‬האוסף })‪ {(a, b, a ∗ b‬של שלשות סדורות ב־‪ .S × S × S‬הפעולה המושרית‬
‫היא החיתוך של הפעולה עם ‪ .S ′ × S ′ × S ′‬אם ‪ ,a ∗ b ̸∈ S ′‬הפעולה החדשה אינה מוגדרת היטב‪ ,‬משום שאין‬
‫בה שלשה מהצורה )‪.(a, b, x‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 1.4.2‬תת־קבוצה לא ריקה של חבורה למחצה ‪ S‬היא תת־חבורה למחצה אם ורק אם היא‬
‫סגורה לכפל‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 1.4.3‬בתרגיל ‪ ,1.1.32‬מצא את כל תת־החבורות־למחצה מהצורה )‪ [a, b) ,(a, b] ,(a, b‬או‬
‫]‪ [a, b‬של ]∞ ‪ .[−1,‬הערה‪ .‬אלו הן תת־החבורות הקשירות‪ .‬התוכל למצוא תת־חבורה שאינה קשירה?‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.4.4‬תהי ‪ S‬חבורה למחצה‪ .‬אם ‪ e ∈ S‬אידמפוטנט‪ ,‬אז }‪ eSe = {exe : x ∈ S‬תת־חבורה־‬
‫למחצה שהיא מונויד‪ ,‬עם איבר היחידה ‪) e‬מדוע ‪(?e ∈ eSe‬‬
‫‪1.4.2‬‬
‫תת־מונויד‬
‫הגדרה ‪ 1.4.5‬יהי ‪ M‬מונויד עם יחידה ‪ .1M‬תת־קבוצה ‪ M ′ ⊆ M‬היא תת־מונויד אם היא סגורה לכפל ו־ ‪.1M ∈ M ′‬‬
‫אם ‪ M ′ ⊆ M‬הוא תת־מונויד מקובל לסמן ‪.M ′ ≤ M‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 1.4.6‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי‪ .‬אז ) ‪ HomF (V‬הוא תת־מונויד של ‪ V V‬ביחס לפעולת ההרכבה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.4.7‬תהי ‪ I‬קבוצה של אינדקסים‪ ,‬ויהיו ‪ (i ∈ I) Mi ≤ M‬תת־מונוידים‪ .‬הוכח ש־ ‪Mi‬‬
‫תת־מונויד‪ .‬מדובר בחיתוך כלשהו‪ ,‬לאו דווקא סופי או בן־מניה‪.‬‬
‫∩‬
‫הגדרה ‪ 1.4.8‬קבוצה סדורה חלקית ‪ I‬נקראת קבוצה מכוונת אם לכל ‪ i, j ∈ I‬יש ‪ k ∈ I‬כך ש־‪.k > i, j‬‬
‫∪ מונוידים ‪ {Mi }i∈I‬נקראת רשת עולה אם לכל‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.4.9‬תהי ‪ I‬קבוצה מכוונת‪ .‬מערכת של‬
‫‪ i < j‬מתקיים ‪ .Mi ⊆ Mj‬הוכח שבמקרה זה ‪ Mi‬הוא מונויד‪) .‬מדוע נדרשנו להניח ש־‪ I‬מכוונת?‬
‫ומדוע נדרשת ההנחה שזו רשת עולה?(‬
‫∪‬
‫בפרט‪ :‬אם · · · ⊆ ‪ M1 ⊆ M2‬מונוידים‪ ,‬גם איחוד השרשרת ‪ Mi‬הוא מונויד‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫‪ .1.4‬תת־מבנים‬
‫‪1.4.3‬‬
‫פרק ‪ .1‬חבורות למחצה‪ ,‬מונוידים וחבורות‬
‫תת־חבורה‬
‫הגדרה ‪ 1.4.10‬תהי ‪ G‬חבורה‪ .‬תת־קבוצה ‪ H ⊆ G‬היא תת־חבורה אם היא מהווה חבורה ביחס לפעולה המושרית מ־‪.G‬‬
‫גם כאן‪ ,‬הסימון ‪ H ≤ G‬מיוחד לתת־חבורות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.4.11‬תת־קבוצה לא ריקה ‪ H‬של חבורה ‪ G‬היא תת־חבורה אם ורק אם היא כוללת את‬
‫איבר היחידה‪ ,‬סגורה לכפל‪ ,‬וסגורה להיפוך )כלומר לכל ‪ x ∈ H‬מתקיים ‪(.x−1 ∈ H‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.4.12‬תהי ‪ H‬תת־קבוצה לא ריקה של חבורה ‪ .G‬אם לכל ‪ x, y ∈ H‬מתקיים ‪,xy −1 ∈ H‬‬
‫אז ‪.H ≤ G‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.4.13‬אם ‪ G‬חבורה סופית ו־‪ ∅ ̸= H ⊆ G‬סגורה לכפל‪ ,‬אז ‪ H‬תת־חבורה‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬משפט ‪.1.3.9‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 1.4.14‬בכל חבורה ‪ ,G‬הקבוצה } ‪ {1G‬היא תת־חבורה‪ ,‬הנקראת תת־החבורה הטריוויאלית‪.‬‬
‫בדרך כלל נשמיט את סימון הקבוצה‪ ,‬ונדבר על תת־החבורה ‪.1‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 1.4.15‬אם ‪ N ≤ H‬ו־‪ ,H ≤ G‬אז ‪.N ≤ G‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 1.4.16‬תהיינה ‪ G2 ,G1 ,H‬תת־חבורות של ‪ .G‬אם ‪ H ⊆ G1 ∪ G2‬אז ‪ H ⊆ G1‬או ‪.H ⊆ G2‬‬
‫)ראה גם תרגיל ‪(.1.5.5‬‬
‫הגדרה ‪ 1.4.17‬יהי ‪ M‬מונויד‪ .‬מסמנים ב־) ‪ U (M‬את קבוצת האברים ההפיכים ב־ ‪.M‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 1.4.18‬לכל מונויד ‪ U (M ) ,M‬היא חבורה‪) .‬איננו קוראים ל־) ‪'' U (M‬תת־חבורה'' של ‪,M‬‬
‫משום ש־ ‪ M‬אינה חבורה‪ (.‬הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.1.2.17‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 1.4.19‬אם ‪ G‬חבורה אז ‪.U (G) = G‬‬
‫תרגיל ‪(**) 1.4.20‬‬
‫לתרגיל ‪.(1.4.7‬‬
‫‪ .1‬החיתוך של משפחה כלשהי של תת־חבורות הוא תת־חבורה )השווה‬
‫‪ .2‬האיחוד על־פני רשת עולה של תת־חבורות )ראה תרגיל ‪ (1.4.9‬הוא חבורה‪.‬‬
‫‪ .3‬האיחוד של שרשרת עולה של חבורות הוא חבורה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.4.21‬תהי ‪ S‬קבוצה של אברים בחבורה ‪ .G‬מסמנים ב־⟩‪ ⟨S‬את חיתוך כל תת־החבורות של ‪ G‬המכילות את ‪.S‬‬
‫זוהי תת־חבורה לפי תרגיל ‪ .1.4.20‬לפי ההגדרה‪ ⟨S⟩ ,‬היא תת־החבורה הקטנה ביותר של ‪ G‬המכילה‬
‫את ‪ .S‬קוראים לה תת־החבורה הנוצרת על־ידי ‪ .S‬אם ⟩‪ ,G = ⟨S‬אומרים ש־‪ S‬יוצרת את ‪ .G‬את אותה‬
‫חבורה אפשר ליצור על־ידי קבוצות רבות‪ .‬אין משמעות לביטוי ''הקבוצה היוצרת''‪ ,‬או ''האיבר‬
‫היוצר''‪ ,‬בהא הידיעה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.4.22‬לכל חבורה ‪ G‬ואיבר ‪ ,x ∈ G‬האברים של תת־החבורה ⟩‪ ⟨x‬הם החזקות של ‪.x‬‬
‫הגדרה ‪ 1.4.23‬חבורה נוצרת סופית היא חבורה שיש לה קבוצת יוצרים סופית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.4.24‬תהי ‪ G‬חבורה‪ ,‬ויהיו ‪ .x1 , . . . , xn ∈ G‬תת־החבורה ⟩ ‪ ⟨x1 , . . . , xn‬שווה לקבוצת כל‬
‫‪m‬‬
‫‪ xϵi11 · · · xϵim‬כאשר ‪ ,ij ∈ {1, . . . , n} ,m ∈ N‬ו־}‪) .ϵj ∈ {±1‬בהחלט יתכן שאפשר‬
‫האברים מהצורה‬
‫להציג את אותו איבר בדרכים שונות‪(.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 1.4.25‬תן דוגמה לחבורה שאינה נוצרת סופית‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫הדרכה‪ .‬אם אינך רואה דוגמא בשלב זה‪ ,‬העזר בתרגיל ‪.1.5.15‬‬
‫פרק ‪ .1‬חבורות למחצה‪ ,‬מונוידים וחבורות‬
‫‪1.5‬‬
‫‪ .1.5‬מכפלה ישרה חיצונית‬
‫מכפלה ישרה חיצונית‬
‫כהכנה לפרק הבא‪ ,‬שבו נפגוש כמה דוגמאות סטנדרטיות לחבורות‪ ,‬נציג כאן בניה פשוטה היוצרת חבורה‬
‫חדשה מחבורות נתונות‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.5.1‬תהיינה ‪ G1 , G2‬חבורות‪ .‬המכפלה הישרה החיצונית שלהן היא המכפלה הקרטזית ‪ G1 × G2‬עם הפעולה לפי‬
‫רכיבים‪ ,‬כלומר ) ‪.(g1 , g2 )(g1′ , g2′ ) = (g1 g1′ , g2 g2′‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 1.5.2‬תהיינה ‪ G1 , G2‬חבורות‪ .‬המכפלה ‪ G1 × G2‬היא חבורה‪ ,‬עם איבר היחידה ) ‪,(1G1 , 1G2‬‬
‫ונוסחת ההיפוך ) ‪.(x, y)−1 = (x−1 , y −1‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 1.5.3‬ה"קומוטטיביות" וה"אסוציאטיביות" של מכפלה ישרה חיצונית‪:‬‬
‫‪ G, H, K‬מתקיים‪:‬‬
‫לכל שלוש חבורות‬
‫∼ ‪.G × H‬‬
‫‪= H × G .1‬‬
‫∼ ‪.(G × H) × K‬‬
‫‪= G × (H × K) .2‬‬
‫תרגיל ‪(**) 1.5.4‬‬
‫‪.G × H‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ N‬תת־חבורה של ‪ ,G‬ו־ ‪ M‬תת־חבורה של ‪ ,H‬אז ‪ N × M‬תת־חבורה של‬
‫‪ .2‬תן דוגמה לחבורה ‪ G × H‬עם תת־חבורה שאינה מתקבלת בצורה זו‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 1.5.5‬בהמשך לתרגיל ‪ ,1.4.16‬מצא דוגמה לתת־חבורות ‪ H ⊆ G1 ∪ G2 ∪ G3‬כך ש־‪H‬‬
‫אינה מוכלת בשום איחוד ‪ .Gi ∪ Gj‬הדרכה‪ .‬קח ‪ ,G = Z2 × Z2 × Z2‬כאשר }‪ Z2 = {0, 1‬עם פעולת החיבור מודולו ‪.2‬‬
‫תרגיל ‪ G × {1} (**) 1.5.6‬ו־‪ {1} × H‬הן תת־חבורות של ‪ .G × H‬המכפלה ‪ G × H‬נוצרת על־ידי‬
‫האיחוד שלהן )אבל אינה שווה לו(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.5.7‬הגדר את המכפלה הישרה של שתי חבורות למחצה‪ ,‬והראה שהיא חבורה למחצה‪.‬‬
‫כך גם עבור מונוידים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (-**) 1.5.8‬יהיו ‪ M1 , M2‬מונוידים‪.‬‬
‫הגדרה ‪.(1.4.17‬‬
‫הראה ש־) ‪) U (M1 × M2 ) = U (M1 ) × U (M2‬ראה‬
‫הגדרנו לעיל מכפלה ישרה של שתי חבורות‪ ,‬ומכאן באינדוקציה מכפלה ישרה של מספר סופי כלשהו‪.‬‬
‫אפשר להכליל את אותה הגדרה למכפלה של משפחה כללית‪:‬‬
‫מתאימה חבורה ‪ .Gλ‬פונקציית בחירה היא פונקציה ‪f : Λ→ ∪ Gλ‬‬
‫הגדרה ‪ 1.5.9‬תהי ‪ Λ‬קבוצת אינדקסים כך שלכל ‪λ ∈ Λ‬‬
‫∏‬
‫כך שלכל ‪ .f (λ) ∈ Gλ ,λ ∈ Λ‬המכפלה הישרה ‪ λ∈Λ Gλ‬מוגדרת כאוסף פונקציות הבחירה‪ ,‬עם הפעולה = )‪(f g)(λ‬‬
‫)‪.f (λ)g(λ‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.5.10‬המכפלה הישרה של חבורות היא חבורה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 1.5.11‬אקסיומת הבחירה היא האקסיומה הקובעת שהמכפלה הישרה של משפחת קבוצות‬
‫כלשהי אינה ריקה‪ .‬הסבר מדוע אין צורך באקסיומת הבחירה כדי להוכיח שהמכפלה הישרה של‬
‫משפחת חבורות כלשהי אינה ריקה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.5.12‬אם }‪ ,Λ = {1, 2‬הגדרה ‪ 1.5.9‬חוזרת על הגדרה ‪.1.5.1‬‬
‫הגדרה ‪ 1.5.13‬תהי ‪ Λ‬קבוצת אינדקסים כך שלכל ‪ λ ∈ Λ‬מתאימה חבורה ‪ .Gλ‬הסכום הישר ‪Gλ‬‬
‫פונקציות הבחירה ‪ f‬שעבורן } ‪ {λ : f (λ) ̸= 1Gλ‬סופית‪ ,‬עם אותה פעולה כמו במכפלה הישרה‪.‬‬
‫תרגיל ‪Gλ (**) 1.5.14‬‬
‫⊕‬
‫‪λ∈Λ‬‬
‫היא תת־חבורה של ‪Gλ‬‬
‫∏‬
‫‪λ∈Λ‬‬
‫‪λ∈Λ‬‬
‫‪ ,‬והחבורות מתלכדות אם ‪ Λ‬סופית‪.‬‬
‫∏‬
‫⊕‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.5.15‬חשב את העוצמה של שתי החבורות ‪ n∈Z Z‬ו־‪. n∈Z Z‬‬
‫‪15‬‬
‫⊕‬
‫מוגדר כאוסף‬
‫פרק ‪ .1‬חבורות למחצה‪ ,‬מונוידים וחבורות‬
‫‪ .1.6‬הומומורפיזמים‬
‫‪ 1.6‬הומומורפיזמים‬
‫הגדרה ‪ 1.6.1‬תהיינה ‪ A, B‬חבורות למחצה‪ .‬העתקה ‪ φ : A → B‬המקיימת את התנאי )‪ φ(xy) = φ(x)φ(y‬לכל‬
‫‪ x, y ∈ A‬נקראת הומומורפיזם של חבורות למחצה‪ .‬אם ‪ A, B‬מונוידים ובנוסף מתקיים ‪ φ(1A ) = 1B‬אז ‪ φ‬הומומורפיזם‬
‫של מונוידים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 1.6.2‬יהיו ‪ M, N, K‬מונוידים‪ .‬אם ‪ ,φ1 : M → N‬ו־‪ φ2 : N → K‬הומומורפיזמים של מונוידים‪,‬‬
‫אז ההרכבה ‪ φ2 ◦ φ1 : M → K‬היא הומומורפיזם )של מונוידים(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.6.3‬מצא מונוידים ‪ M, N‬והומומורפיזם של חבורות למחצה ‪ ,φ : M → N‬שאינו הומומורפיזם‬
‫של מונוידים )כלומר‪ φ ,‬שומר על כפל אבל לא על איבר היחידה(‪ .‬הצעה‪ .‬קח ‪ M = N = Z × Z‬עם‬
‫)‪.φ(x, y) = (x, 0‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 1.6.4‬יהיו ‪ M, N‬מונוידים‪ ,‬ו־ ‪ φ : M → N‬הומומורפיזם של חבורות למחצה‪ .‬אם ‪ φ‬על‪ ,‬אז ‪φ‬‬
‫הומומורפיזם של מונוידים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.6.5‬אם ‪ A, B‬חבורות ו־‪ φ : A→B‬הומומורפיזם של חבורות למחצה‪ ,‬אז ‪φ(1A ) = 1B‬‬
‫ו־ ‪ φ(a−1 ) = φ(a)−1‬לכל ‪.a ∈ A‬‬
‫הגדרה ‪ 1.6.6‬תהיינה ‪ G, H‬חבורות‪ .‬כל פונקציה שומרת כפל ‪ φ : G→H‬נקראת הומומורפיזם של חבורות‪ ,‬או סתם‬
‫הומומורפיזם‪.‬‬
‫לאור תרגיל ‪ ,1.6.5‬כל הומומורפיזם של חבורות שומר על איברי היחידה ועל פעולת ההפכי‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.6.7‬יהי ‪ φ : G → H‬הומומורפיזם של חבורות‪ .‬הקבוצה }‪ Im(φ) = {φ(x) : x ∈ G‬היא התמונה של ‪.φ‬‬
‫הקבוצה }‪ Ker(φ) = {x ∈ G : φ(x) = 1‬היא הגרעין של ‪.φ‬‬
‫)להומומורפיזם בין מונוידים מגדירים ‪ ,Ker(φ) = {(x, y) : φ(x) = φ(y)} ⊆ M × M‬ולא‬
‫} ‪ .{x : φ(x) = 1M‬קבוצה זו של זוגות סדורים היא יחס שקילות על ‪ ,M‬הנשמר תחת פעולת הכפל‪.‬‬
‫יחס כזה נקרא קונגרואנציה‪ ,‬והוא התחליף של חבורות למחצה למושג החשוב של תת־חבורה נורמלית‪ ,‬שנלמד‬
‫בהמשך‪ .‬לא נזדקק להגדרה זו בהמשך הקורס‪(.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 1.6.8‬הוכח‪ Im(φ) :‬הוא תת־חבורה של ‪.H‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.6.9‬הוכח‪ K = Ker(φ) :‬הוא תת־חבורה של ‪.G‬‬
‫תרגיל ‪ φ : G→H (+**) 1.6.10‬חד־חד־ערכית אם ורק אם ‪.Ker(φ) = 1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.6.11‬יהי ‪ φ : G1 →G2‬הומומורפיזם של חבורות‪ .‬הראה שלכל תת־חבורה ‪,H ≤ G1‬‬
‫}‪ φ(H) = {φ(x) : x ∈ H‬היא תת־חבורה של ‪) .G2‬היינו‪ ,‬התמונה של תת־חבורה היא תת־חבורה‪(.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 1.6.12‬תהי ‪ G‬חבורה הנוצרת על־ידי קבוצה ‪ .S‬אם ‪ φ, φ′ : G→H‬מסכימים על אברי ‪ ,S‬אז‬
‫הם שווים‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.6.13‬הומומורפיזם שהוא חד־חד־ערכי נקרא מונומורפיזם או שיכון‪ .‬הומומורפיזם שהוא על נקרא אפימורפיזם‪.‬‬
‫כבר ראינו שהומומורפיזם חד־חד־ערכי ועל נקרא איזומורפיזם‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 1.6.14‬עבור פונקציה ‪ ,f : N→Q‬נסמן‬
‫‪1‬‬
‫‪|{(i, j) : 1 ≤ i, j ≤ n, f (i) + f (j) = f (i + j)}|.‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪H(f ) = lim inf‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫)זו המידה שבה ‪ f‬שומרת חיבור(‪ .‬מצא פונקציה חד־חד־ערכית ועל ‪ f‬שעבורה ‪.H(f ) = 1‬‬
‫‪16‬‬
‫פרק ‪2‬‬
‫דוגמאות לחבורות‬
‫בפרק הזה נכיר את הדוגמאות הבסיסיות לחבורות‪ .‬המחלקה הראשונה היא של חבורות אבליות‪ ,‬שהן החבורות‬
‫המקיימות את החוק ‪ .ab = ba‬הדוגמא הפשוטה ביותר לחבורה אבלית )ולחבורה בכלל( היא חבורה ציקלית‪,‬‬
‫שהיא חבורה שכל אבריה הם חזקות של איבר קבוע‪.‬‬
‫כדי להבין את החבורות הציקליות על בוריין‪ ,‬נלמד מבוא מזורז לתורת המספרים‪ ,‬המפתח בעזרת רעיון‬
‫החליוק עם שארית של אוקלידס את מושג המחלק המשותף המקסימלי‪ .‬מכאן נובע בקלות יחסית המשפט‬
‫היסודי של האריתמטיקה‪ ,‬על פירוק יחיד לגורמים‪ .‬הרעיונות מתורת המספרים מאפשרים להציג משפחה‬
‫נוספת של חבורות אבליות‪ :‬חבורות אוילר‪ ,‬המאפשרות )כפי שנראה בפרק הבא( להסיק ממשפטים בתורת‬
‫המספרים את המשפטים הקלאסיים של פרמה ואוילר‪ .‬נוכיח גם את התכונה העיקרית של חבורות ציקליות‬
‫)משפט ‪ :(2.3.12‬כל תת־חבורה של חבורה ציקלית היא בעצמה ציקלית‪ .‬את רשימת החבורות האבליות בפרק‬
‫הזה משלימות החבורות המופיעות באופן טבעי בשדה‪ ,‬שהן חבורות אבליות אינסופיות‪.‬‬
‫בסעיפים האחרונים מוצגות החבורות הסימטריות‪ ,‬שהן אולי הדוגמא החשובה ביותר לחבורה לא אבלית‬
‫סופית‪ ,‬ואחריהן חבורות של מטריצות‪ ,‬שהן דוגמא מרכזית לחבורות לא אבליות אינסופיות‪ .‬הסעיף האחרון‬
‫מציג משפחה נוספת של חבורות לא אבליות סופיות‪ :‬החבורות הדיהדרליות‪.‬‬
‫‪2.1‬‬
‫חבורות אבליות‬
‫אברים ‪ x, y ∈ G‬מתחלפים זה עם זה‪ ,‬אם מתקיים ‪.xy = yx‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.1.1‬יהי ‪ φ : G1 → G2‬הומומורפיזם‪.‬‬
‫מתחלפים ב־ ‪.G2‬‬
‫הוכח‪ :‬אם ‪ x, y‬מתחלפים ב־ ‪ ,G1‬אז )‪φ(x), φ(y‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.1.2‬יהי ‪ φ : G1 → G2‬איזומורפיזם‪ .‬הוכח‪ x, y :‬מתחלפים ב־ ‪ ,G1‬אם ורק אם )‪φ(x), φ(y‬‬
‫מתחלפים ב־ ‪.G2‬‬
‫הגדרה ‪ 2.1.3‬חבורה שבה כל שני אברים מתחלפים זה עם זה נקראת חבורה אבלית‪) .‬החבורות נקראות כך על־שם המתמטיקאי‬
‫הנורבגי ‪(.Niels Henrik Abel‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.1.4‬קבוצת המספרים השלמים ‪ ,Z‬ביחס לפעולת החיבור‪ ,‬היא חבורה אבלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.1.5‬המכפלה ‪ G1 × G2‬אבלית אם ורק אם שני המרכיבים ‪ G1 , G2‬אבליים‪.‬‬
‫המר ָכז של ‪ G‬הוא תת־החבורה }‪ Z(G) = {x ∈ G : (∀g)gx = xg‬הכוללת את האברים‬
‫ְ‬
‫הגדרה ‪ 2.1.6‬תהי ‪ G‬חבורה‪.‬‬
‫המתחלפים עם כל איבר של ‪.G‬‬
‫תרגיל ‪ Z(G) (*) 2.1.7‬היא תת־חבורה אבלית של ‪ ,G‬השווה לה אם ורק אם ‪ G‬עצמה אבלית‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.1.8‬יהי ‪ F‬שדה; מסמנים }‪ F × = F −{0‬עם פעולת הכפל‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 2.1.9‬יהי ‪ F‬שדה‪ .‬אז )‪ (F, +, 0‬חבורה‪ (F, ·, 1) ,‬מונויד‪ ,‬ו־)‪ (F × , ·, 1‬חבורה‪ .‬למעשה‪ ,‬קבוצה‬
‫)‪ (F, +, ·, 0, 1‬היא שדה אם ורק אם )‪ (F, +, 0‬ו־)‪ (F −{0}, ·, 1‬חבורות אבליות‪ ,‬ומתקיימת אקסיומת‬
‫הדיסטריבוטיביות ‪.(a + b)c = ab + ac‬‬
‫‪17‬‬
‫פרק ‪ .2‬דוגמאות לחבורות‬
‫‪ .2.1‬חבורות אבליות‬
‫אומרים שאיבר ‪ x‬הוא בעל סדר ‪ 2‬אם ‪ x2 = 1‬אבל ‪ .x ̸= 1‬הכללה של מושג זה תשרת אותנו רבות‬
‫בהמשך; ראו הגדרה ‪.2.3.16‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.1.10‬בחבורה מתקיים ‪ x2 = 1‬לכל איבר‪ .‬הוכח שהחבורה אבלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 2.1.11‬תהי ‪ A‬חבורה סופית שבה כל איבר מסדר ‪ .2‬הראה ש־ ‪ |A| = 2n‬עבור ‪ n‬מתאים‪.‬‬
‫הדרכה‪ A .‬הוא מרחב וקטורי מעל ‪.F2‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 2.1.12‬תהי } ‪ G = {a1 , . . . , an‬חבורה אבלית‪ .‬נסמן ‪) .b = a1 a2 · · · an‬איבר זה מוגדר‬
‫היטב משום שסדר הגורמים אינו חשוב(‪.‬‬
‫‪ .1‬הוכח‪.b2 = 1 :‬‬
‫‪ .2‬אם יש איבר יחיד מסדר ‪ ,2‬הוא שווה ל־‪.b‬‬
‫‪ .3‬אם יש יותר מאיבר אחד מסדר ‪ ,2‬אז ‪.b = 1‬‬
‫הדרכה‪ .‬נסמן ב־‪ A‬את אוסף האיברים מסדר ‪ 2‬עם איבר היחידה; העזר‬
‫בתרגיל ‪.2.1.11‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.1.13‬נסמן ב־)‪ m2 (G‬את מספר הפתרונות למשוואה ‪ x2 = 1‬בחבורה ‪.G‬‬
‫‪ .1‬הראה שבכל חבורה סופית ‪.m2 (G) ≡ |G| (mod 2) ,G‬‬
‫הדרכה‪ .‬נגדיר על ‪ G‬יחס שקילות‪ x ≡ y :‬אם ‪x = y‬‬
‫או ‪ .xy = 1‬האברים שריבועם אינו ‪ 1‬שייכים למחלקות שקילות בגודל ‪.2‬‬
‫‪ .2‬בכל חבורה עם מספר זוגי של איברים יש איבר מסדר ‪.2‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.1.14‬תהי ‪ G‬חבורה אבלית‪ .‬הראה שאוסף האברים מסדר ‪ ,2‬עם איבר היחידה‪ ,‬הוא‬
‫תת־חבורה‪ .‬הסק מתרגילים ‪ 2.1.11‬ו־‪ 2.1.13‬שבחבורה אבלית שגודלה אי־זוגי אין אברים מסדר ‪.2‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.1.15‬תהי ‪ G‬חבורה‪ .‬הראה שאם ‪ g‬הוא מכפלה של שני אברים מסדר ‪ ,2‬אז גם ‪ g k‬כזה‬
‫לכל ‪.k‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 2.1.16‬נסמן ב־ ‪ Φn‬את התכונה ‪) ∀x∀y : (xy)n = xn y n‬שיכולה להתקיים או לא להתקיים‬
‫בחבורה נתונה(‪ .‬התכונה ‪ Φ1‬מתקיימת תמיד‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫‪.Φn ⇔ Φ1−n .1‬‬
‫‪ .2‬החבורה אבלית אם ורק אם מתקיים ‪.Φ2‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ Φn‬אז לכל ‪ x, y‬מתקיים ‪.xn y n−1 = y n−1 xn‬‬
‫‪ .4‬אם ‪ Φn‬אז לכל ‪.xn(n−1) ∈ Z(G) ,x‬‬
‫‪ .5‬אם ‪ Φn ∧ Φn+1‬אז לכל ‪.xn ∈ Z(G) ,x‬‬
‫‪ .6‬אם ‪ Φn ∧ Φn+1 ∧ Φn+2‬אז החבורה אבלית‪.‬‬
‫‪ .7‬אם ‪ Φn ∧ Φn+1 ∧ Φn+m ∧ Φn+m+1‬עבור ‪ n, m‬זרים כלשהם‪ ,‬אז החבורה אבלית‪.‬‬
‫)ראה גם תרגילים ‪ 3.3.23‬ו־‪(.8.4.59‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 2.1.17‬בהמשך לתרגיל ‪ ,2.1.16‬נניח שבחבורה מתקיים ‪ x2 y = yx2‬לכל ‪ .x, y‬הוכח‬
‫שלכל ‪ n‬זוגי‪ Φn ⇔ Φn+1 ,‬ו־ ‪ .Φn ⇔ Φn−4‬הסק שכל התכונות ‪ Φ4k , Φ4k+1‬מתקיימות‪ ,‬וכל התכונות‬
‫‪ Φ4k−1 , Φ4k−2‬שקולות לאבליות של החבורה‪ .‬תן דוגמא לחבורה לא אבלית שבה ‪.x2 y = yx2‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.1.18‬תהי ‪ G‬חבורה כלשהי‪ .‬אם ‪ A‬אבלית‪ ,‬אז האוסף )‪ Hom(G, A‬של ההומומורפיזמים‬
‫‪ ,G→A‬ביחס לכפל לפי רכיבים )‪ ,(ϕ · ϕ′ )(g) = ϕ(g)ϕ′ (g‬הוא חבורה אבלית‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫פרק ‪ .2‬דוגמאות לחבורות‬
‫‪2.2‬‬
‫‪ .2.2‬מבוא לתורת המספרים‬
‫מבוא לתורת המספרים‬
‫בסעיף זה נאסוף כמה תכונות חיוניות של המספרים השלמים‪ .‬לשם כך עלינו להכיר את קבוצת המספרים‬
‫השלמים ‪ ,Z‬עם פעולות החיבור והכפל ויחס הסדר‪ ,‬עם האקסיומות הסטנדרטיות שאלה מקיימים‪ ,‬ועם התכונה‬
‫הידועה כאקסיומת האינדוקציה‪ :‬אם ‪ P ⊆ Z‬היא קבוצה של מספרים טבעיים כך ש־ ‪ 0 ∈ P‬ולכל ‪ n > 0‬אם‬
‫‪ n ∈ P‬אז ‪ ,n + 1 ∈ P‬אז כל מספר חיובי שייך ל־ ‪.P‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.2.1‬הוכח את אקסיומת האינדוקציה השלמה‪ :‬אם ‪ P ⊆ Z‬היא קבוצה של מספרים טבעיים‬
‫המקיימת את שתי התכונות )‪ (2) ;0 ∈ P (1‬לכל ‪ ,n > 0‬אם לכל ‪ 0 ≤ m < n‬מתקיים ‪ ,m ∈ P‬אז‬
‫‪ ;n ∈ P‬אז כל מספר חיובי שייך ל־ ‪.P‬‬
‫‪2.2.1‬‬
‫יחס החילוק‬
‫הגדרה ‪ 2.2.2‬נגדיר יחס על קבוצת המספרים השלמים‪ a") a | b :‬מחלק את ‪ ("b‬אם קיים ∈ ‪ c‬כך ש־‪.b = ac‬‬
‫ביחס לפעולת הכפל‪ Z ,‬מהווה מונויד )אבל לא חבורה(‪ .‬האברים ההפיכים של המונויד הזה הם = )‪U (Z‬‬
‫}‪.{±1‬‬
‫תרגיל ‪ a | b (*) 2.2.3‬אם ורק אם )‪ a | (−b‬אם ורק אם ‪ (−a) | b‬אם ורק אם )‪.(−a) | (−b‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.2.4‬לכל ‪ 1 | n ,n‬ו־‪ .n | 0‬מאידך‪ ,‬המחלקים היחידים של ‪ 1‬הם ‪ ,±1‬והמספר היחיד המתחלק‬
‫ב־‪ 0‬הוא ‪ 0‬עצמו‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.2.5‬היחס 'מחלק' הוא רפלקסיבי וטרנזיטיבי‪ ,‬אבל לא אנטי־סימטרי‪.‬‬
‫‪2.2.2‬‬
‫המחלק המשותף המקסימלי‬
‫משפט ‪) 2.2.6‬האוקלידיות של ‪ (Z‬לכל ‪ n ∈ Z‬ולכל ‪ d ̸= 0‬קיימים ‪ q, r‬כך ש־‪ n = qd + r‬ו־|‪.0 ≤ r < |d‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫אינדוקציה עבור ‪ ;n ≥ 0‬ואם ‪ n = qd + r‬אז )‪.−n = (−q − 1)d + (d − r‬‬
‫הגדרה ‪ 2.2.7‬המחלק המשותף המקסימלי של ‪ ,n, m ∈ Z‬כפי שמתבקש משמו‪ ,‬הוא המספר = )‪(n, m‬‬
‫}‪.maxd∈Z {d : d | n, d | m‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.2.8‬המחלק המשותף המקסימלי )‪ (±n, ±m‬אינו תלוי בסימנים‪.‬‬
‫תרגיל ‪.(n, m) = (m, n) (*) 2.2.9‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.2.10‬אם ‪ n = qm + r‬אז )‪.(n, m) = (m, r‬‬
‫אלגוריתם ‪) 2.2.11‬אלגוריתם אוקלידס לחישוב מחלק משותף מקסימלי( יהיו ‪ .n, m ∈ Z‬אפשר להניח ש־≤ ‪0‬‬
‫‪ .m < n‬אם ‪ m = 0‬אז ‪ .(n, m) = n‬אחרת אפשר לכתוב ‪ n = qm + r‬כאשר ‪ ,0 ≤ r < m‬ואז‬
‫)‪ ,(n, m) = (m, r‬שכבר חושב באינדוקציה‪.‬‬
‫לדוגמא‪.(1146, 486) = (486, 174) = (174, 138) = (138, 36) = (36, 30) = (30, 6) = (6, 0) = 6 ,‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.2.12‬מצא את )‪ (5614, 1260‬ואת )‪.(7821, 6429‬‬
‫משפט ‪ 2.2.13‬לכל ‪ ,n, m ∈ Z‬קיימים ‪ α, β ∈ Z‬כך ש־)‪.αn + βm = (n, m‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 2.2.14‬הוכח את המשפט‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬נסמן }‪ .c = (a, b) ,d = min {αn + βm > 0‬מכיוון ש־‪ ,c | a, b‬ברור ש־‪.c | d‬‬
‫כתוב ‪ ,a = qd + r‬והראה ש־‪ ;r = 0‬לכן ‪ d | a‬ובדומה ‪ ,d | b‬כך ש־‪.d ≤ c‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 2.2.15‬נסח את אלגוריתם אוקלידס המוכלל לחישוב מחלק משותף מקסימלי עם מקדמים‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬נסמן )‪ .d = (n, m‬אם ‪ n = qm+r‬ו־‪) αm+βr = d‬את המקדמים האלו אפשר לחשב לפי הנחת האינדוקציה( אז = ‪βn+(α−βq)m‬‬
‫‪.d‬‬
‫דוגמא ‪ .(234, 61) = (61, 51) = (51, 10) = (10, 1) = (1, 0) = 1 2.2.16‬לצורך חישוב המקדמים‪ ,‬נבחין‬
‫ש־‪ ;(1) · 1 + (0)0 = 1‬לכן ‪ ;(0) · 10 + (1) · 1 = 1‬לכן ‪ ;(1) · 51 − (5) · 10 = 1‬לכן ‪;(−5) · 61 + (6)51 = 1‬‬
‫ולבסוף ‪.(6)234 + (−23) · 61 = 1‬‬
‫‪19‬‬
‫משפט יסודי ושימושי‬
‫המספרים‬
‫בתורת‬
‫האלמנטרית‪.‬‬
‫פרק ‪ .2‬דוגמאות לחבורות‬
‫‪ .2.2‬מבוא לתורת המספרים‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.2.17‬מצא ‪ α, β ∈ Z‬כך ש־‪.1525α + 927β = 1‬‬
‫הגדרה ‪ 2.2.18‬אומרים ש־‪ n, m‬זרים אם ‪.(n, m) = 1‬‬
‫‪.( nd , m‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.2.19‬יהיו ‪ ,n, m ∈ Z‬ונסמן )‪ .d = (n, m‬אז ‪d ) = 1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.2.20‬אם ‪ ,(m, k) = 1‬אז )‪.(n, mk) = (n, m) · (n, k‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.2.21‬הוכח‪(n, mm′ ) | (n, m) · (n, m′ ) :‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫הדרכה‪ .‬כתוב ) ‪.an + bm = (n, m), a n + b m = (n, m‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.2.22‬אם ‪ ,(n, m) = 1‬אז )‪.(n, mk) = (n, k‬‬
‫‪′‬‬
‫‪d‬‬
‫)‪. (d,m‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.2.23‬אם ‪ d | d′‬אז לכל ‪| (d′d,m) ,m‬‬
‫הגדרה ‪ 2.2.24‬הכפולה המשותפת המינימלית של ‪ n‬ו־‪ m‬היא }‪.[n, m] = mins∈N {s : n | s, m | s‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 2.2.25‬הוכח‪.(n, m)[n, m] = nm :‬‬
‫תרגיל ‪ Z (**) 2.2.26‬עם יחס החלוקה הוא סריג )ראה הגדרה ‪ ,(4.4.1‬שבו החסם העליון והתחתון הם‬
‫)‪.n ∨ m = [n, m] ,n ∧ m = (n, m‬‬
‫תרגיל ‪ (N, | ) (**) 2.2.27‬סריג דיסטריבוטיבי‪ ,‬כלומר ‪.n ∧ (m ∨ k) = (n ∧ m) ∨ (n ∧ k) -‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ (an − 1, aan −1‬מחלק את ‪ .m‬הסק שהמספרים‬
‫תרגיל ‪ (-***) 2.2.28‬הוכח שלכל ‪ a > 1‬ולכל ‪) ,n, m‬‬
‫‪n·a‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ aan −1‬זרים‪.‬‬
‫‪ an − 1‬ו־‬
‫‪nm‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 2.2.29‬יהיו ‪ n, m‬מספרים שלמים‪.‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪ .1‬הוכח שקיימים ‪ a | a′‬ו־ ‪ b | b′‬כך ש־ ‪ m = a b ,n = ab′‬ו־‪.(a , b ) = 1‬‬
‫‪ .2‬הראה שאם ‪ n ̸= m‬אז ‪ a, b, a′ , b′‬כנ"ל הם יחידים‪.‬‬
‫‪2.2.3‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫‪′‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫חשב את )‪, m‬‬
‫)‪.( (n,m‬‬
‫שקילות מודולו ‪n‬‬
‫הגדרה ‪ 2.2.30‬יהי ‪ n ∈ Z‬קבוע‪ .‬נגדיר יחס על המספרים השלמים‪ a :‬שקול ל־‪ b‬מודולו ‪) n‬כותבים )‪ (a ≡ b (mod n‬אם‬
‫)‪.n | (a − b‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.2.31‬היחס "שקילות מודולו ‪ "n‬הוא יחס שקילות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 2.2.32‬נניח )‪ a ≡ a′ (mod n‬ו־)‪ .b ≡ b′ (mod n‬אז )‪ a + b ≡ a′ + b′ (mod n‬ו־ ‪ab ≡ a′ b′‬‬
‫)‪ .(mod n‬במלים אחרות‪ ,‬פעולות החיבור והכפל של מחלקות שקילות מוגדרות היטב‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.2.33‬הוכח ש־‪+ 1‬‬
‫‪2.2.4‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ 1010‬אינו ראשוני‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬מצא מספר‬
‫‪10‬‬
‫‪ n < 1010‬כך ש־)‪≡ −1 (mod n‬‬
‫‪10‬‬
‫‪.1010‬‬
‫פירוק לראשוניים‬
‫הגדרה ‪ 2.2.34‬מספר לא הפיך ‪ p‬הוא ראשוני אם בכל פירוק שלו ‪ ,p = xy‬אחד הגורמים הפיך‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.2.35‬כל מספר טבעי הוא מכפלה של ראשוניים‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.2.2.1‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.2.36‬מצא את הפירוק לראשוניים של המספרים הבאים‪.4096 ,8888 ,12960 ,5720 :‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.2.37‬אם ‪ p‬ראשוני‪ ,‬אז לכל ‪ p | n ,n‬או ‪.(p, n) = 1‬‬
‫טענה ‪ 2.2.38‬אם ‪ a‬זר ל־‪ b‬ו־‪ ,a | bc‬אז ‪.a | c‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.2.39‬הוכח את הטענה‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬כתוב ‪.αa + βb = 1‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.2.40‬הראה שטענה ‪ 2.2.38‬אינה תקפה אם מוותרים על הדרישה ש־‪ a, b‬יהיו זרים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.2.41‬אם ‪ p‬ראשוני ו־‪ p | ab‬אז ‪ p | a‬או ‪.p | b‬‬
‫הדרכה‪ .‬אם ‪ p̸ | a‬אז ‪ (p, a) = 1‬לפי תרגיל ‪ ,2.2.37‬ואז ‪ p | b‬לפי‬
‫טענה ‪.2.2.38‬‬
‫משפט ‪ 2.2.42‬הפירוק של מספר טבעי לגורמים ראשוניים הוא יחיד עד־כדי סדר‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח ש־ ‪ ,p1 · · · pt = p′1 · · · p′t′‬כאשר ‪ pi‬ו־ ‪ p′i‬כולם ראשוניים‪ .‬לפי תרגיל ‪ pt | p′i 2.2.41‬לאיזשהו ‪ ;i‬לפי‬
‫‬
‫ההגדרה ‪ ,p′i = ±pt‬ואז אפשר לצמצם ולהמשיך באינדוקציה על ‪.t‬‬
‫‪20‬‬
‫‪ .2.2‬מבוא לתורת המספרים‬
‫פרק ‪ .2‬דוגמאות לחבורות‬
‫אינסוף ראשוניים‬
‫משפט ‪) 2.2.43‬משפט אוקלידס( יש אינסוף מספרים ראשוניים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 2.2.44‬הוכח את המשפט‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬נניח שהראשוניים הם ‪ p1 , p2 , . . . , pn‬בלבד‪ .‬התבונן ב־‪.P = p1 . . . pn + 1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.2.45‬הוכח שיש אינסוף ראשוניים מהצורה ‪.4n + 1‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 2.2.46‬הוכח שיש אינסוף ראשוניים מהצורה ‪.4n − 1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.2.47‬הוכח שיש אינסוף ראשוניים מהצורה ‪.6n − 1‬‬
‫‪2.2.5‬‬
‫משפט ההיפוך של מביוס‬
‫ניתן לדלג בקריאה ראשונה‪.‬‬
‫הקונוולוציה של פונקציות ‪ f, g : N → R‬מוגדרת כפונקציה ‪ ,f ∗ g : N → R‬שערכיה הם = )‪(f ∗ g)(n‬‬
‫הגדרה ‪2.2.48‬‬
‫∑‬
‫) ‪. n1 n2 =n f (n1 )g(n2‬‬
‫‪1 n=1‬‬
‫הגדרה ‪ 2.2.49‬הפונקציות ‪ δ1 , J : N→R‬מוגדרות לפי‬
‫‪0 n>1‬‬
‫{‬
‫= )‪.J(n) = 1 ,δ1 (n‬‬
‫תרגיל ‪ (RN , ∗, δ1 ) (**) 2.2.50‬מונויד קומוטטיבי‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.2.51‬פונקצית מביוס ‪ µ : N→R‬מוגדרת לפי‬
‫‪n = p1 · · · ps‬‬
‫‪∃p : p2 | n‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (−1)s‬‬
‫‪0‬‬
‫= )‪µ(n‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.2.52‬חשב את )‪.µ(1), µ(2), . . . , µ(24‬‬
‫תרגיל ‪ µ(nm) = µ(n)µ(m) (**) 2.2.53‬לכל ‪.(n, m) = 1‬‬
‫∑‬
‫תרגיל ‪) J ∗ µ = δ1 (**) 2.2.54‬כלומר לכל ‪(. d | n µ(d) = 0 ,n > 1‬‬
‫משפט ‪) 2.2.55‬משפט ההיפוך של מביוס( נניח שפונקציה ‪ F‬מוגדרת לפי )‪f (d‬‬
‫∑‬
‫)‪.f (n) = d | n µ( nd )F (d‬‬
‫∑‬
‫‪d|n‬‬
‫= )‪ .F (n‬אז מתקיים‬
‫הוכחה‪ .‬נתון ש־ ‪ ,F = J ∗ f‬ולכן ‪.µ ∗ F = µ ∗ (J ∗ f ) = (µ ∗ J) ∗ f = δ1 ∗ f = f‬‬
‫‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.2.56‬בדוק את הנוסחה ל־)‪ f (n‬ישירות עבור ‪.n = 1, p, p2 , 6, 12‬‬
‫‪) n‬למשל ‪ .(d(9) = |{1, 3, 9}| = 3‬הוכח‪:‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.2.57‬נסמן ב־)‪ d(n‬את מספר המחלקים של∑‬
‫‪ .d = J ∗ J‬הסק‪ d|n µ( nd )d(d) = (d ∗ µ)(n) = J(n) = 1 :‬לכל ‪ .n‬בדוק את הנוסחה עבור ‪.n = 18‬‬
‫היזכר בפונקציות מהגדרה ‪ .2.2.49‬נוסיף להן‪ :‬הפונקציה ‪ Id : N → R‬מוגדרת לפי ‪.Id(n) = n‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.2.58‬משפחה של קבוצות } ‪ {Fm‬היא בעלת התכונות הבאות‪:‬‬
‫‪) |Fm | = q m .1‬עבור קבוע ‪.(q‬‬
‫‪.Fm ∩ Fm′ = F(m,m′ ) .2‬‬
‫כתוב את מספר האברים ב־ ‪Fi‬‬
‫∪‬
‫‪i<n‬‬
‫‪.Fn −‬‬
‫‪21‬‬
‫‪ .2.3‬חבורות ציקליות‬
‫‪2.3‬‬
‫פרק ‪ .2‬דוגמאות לחבורות‬
‫חבורות ציקליות‬
‫הגדרה ‪ 2.3.1‬חבורה הנוצרת על־ידי איבר בודד נקראת חבורה ציקלית‪ .‬במלים אחרות‪ ,‬חבורה ציקלית היא חבורה שיש בה‬
‫איבר ‪ x ∈ G‬כך שכל האברים של ‪ G‬הם חזקות )חיוביות או שליליות( של ‪.x‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.3.2‬כל חבורה ציקלית היא אבלית )תרגיל ‪.(1.1.3‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 2.3.3‬החבורה ‪ Z‬היא ציקלית אינסופית‪ .‬כל איבר שלה‪ ,‬פרט לאיבר היחידה‪ ,‬יוצר תת־‬
‫חבורה איזומורפית‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.3.4‬יהי ‪ .n ≥ 1‬נגדיר }]‪ ,Zn = {[0], . . . , [n − 1‬אוסף מחלקות השקילות מודולו ‪ ,n‬עם פעולת החיבור )של‬
‫מחלקות(‪.[a] + [b] = [a + b] ,‬‬
‫כשמגדירים העתקה מקבוצה לקבוצה )ופעולה בינרית בכלל זה(‪ ,‬עולה לפעמים צורך להוכיח שהפעולה‬
‫מוגדרת היטב‪ .‬ישנם שני מצבים שכיחים‪ .‬בראשון‪ ,‬כדי להגדיר פונקציה ‪ ,f : A → B‬מגדירים את )‪ f (α‬באופן‬
‫מסויים‪ ,‬וצריך לוודא שאכן ‪ .f (α) ∈ B‬המקרה השני הוא כאשר ‪ A‬אוסף של מחלקות שקילות‪ ,‬ובהגדרת )‪f (α‬‬
‫מבצעים בחירה )בדרך כלל של נציג מהמחלקה ‪ .(α‬לדוגמא‪ ,‬בפעולת החיבור כתבנו '']‪,''[x] + [y] = [x + y‬‬
‫במקום ''תהיינה ‪ α, β‬מחלקות; נבחר נציגים ‪ x ∈ α‬ו־‪ ;y ∈ β‬נגדיר ]‪ .''α + β = [x + y‬אכן‪ ,‬בתרגיל ‪2.2.32‬‬
‫בדקנו שבחירת כל שני נציגים ‪ x′ , y ′‬מאותן מחלקות תביא לאותה תוצאה‪ ,‬ולכן פעולת החיבור בין מחלקות‬
‫)על־ידי חיבור נציגים( מוגדרת היטב‪.‬‬
‫להבא נשמיט את סימון הסוגריים מן המחלקות‪ .‬כשנכתוב למשל ‪ ,3 ∈ Z7‬נתכוון למחלקה של כל המספרים‬
‫המשאירים שארית ‪ 3‬בחלוקה ל־‪ .7‬בחבורה זו‪.−4 = 3 = 10 ,‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.3.5‬הראה ש־ ‪) Zn‬הגדרה ‪ (2.3.4‬היא חבורה‪ ,‬שאיבר היחידה שלה הוא )המחלקה של( ‪,0‬‬
‫וההפכי ניתן בה על־ידי הנוסחה ]‪ .−[a] = [−a‬בדוק שהחבורה אבלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ Zn (**) 2.3.6‬נוצרת על־ידי המחלקה ‪ ,1‬ולכן היא חבורה ציקלית‪.‬‬
‫הסדר של חבורה הוא‬
‫הנתון הראשון בתעודת‬
‫הזהות שלה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.3.7‬מספר האברים בחבורה ‪ G‬נקרא הסדר של החבורה; מסמנים אותו ב־|‪.|G‬‬
‫משפט ‪ 2.3.8‬כל חבורה ציקלית איזומורפית לאחת החבורות ‪ ,Zn‬או ל־‪ .Z‬בפרט‪ ,‬כל שתי חבורות ציקליות מאותו סדר הן‬
‫איזומורפיות זו לזו‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.3.9‬השתמש בכלל הצמצום בחבורה )הגדרה ‪ (1.3.5‬כדי להוכיח שכל חבורה מסדר ‪,2‬‬
‫‪ 3‬או ‪ 5‬היא ציקלית‪ .‬הדרכה‪ .‬בחבורה מסדר ‪ ,5‬אם ‪ ,a ̸= 1‬הראה שלא יתכן ש־‪ a3 = 1 ,a2 = 1‬או ‪ .a4 = 1‬לכן האברים‬
‫}‬
‫‪1, a, a−1 , a2 , a−2‬‬
‫{‬
‫כולם שונים‪ ,‬ו־‪.a5 = 1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.3.10‬מצא את כל לוחות הכפל האפשריים של חבורה מסדר ‪ .4‬הראה שאלו בדיוק לוחות‬
‫הכפל של ‪ Z4‬ושל ‪.Z2 × Z2‬‬
‫⟨‬
‫⟨ ⟩‬
‫⟩‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.3.11‬יהי ‪ .x ∈ G‬לכל ‪. xa , xb = x(a,b) ,a, b ∈ Z‬‬
‫הדרכה‪ .‬טענה ‪.2.2.38‬‬
‫משפט ‪ 2.3.12‬כל תת־חבורה של חבורה ציקלית היא ציקלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.3.13‬הוכח את המשפט‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬בחר ‪ xa ∈ H‬עם ‪ a > 0‬מינימלי‪ .‬לכל ‪ ,xb ∈ H‬הסק מתרגיל ‪2.3.11‬‬
‫ש־⟩ ‪.xb ∈ ⟨xa‬‬
‫{‬
‫}‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.3.14‬מונויד ‪ M‬הוא ציקלי אם קיים ‪ a ∈ M‬כך ש־ ‪ .M = 1, a, a2 , . . .‬מצא דוגמה למונויד‬
‫ציקלי בגודל ‪ 4‬שאינו חבורה‪ .‬כמה אפשרויות יש‪ ,‬עד כדי איזומורפיזם? לעומת זאת הראה שמונויד שבו‬
‫כל איבר הוא מהצורה ‪ an‬עבור ‪ n > 0‬הוא חבורה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 2.3.15‬נניח ש־‪ .m | n‬מצא מונומורפיזם ‪ φ : Zm → Zn‬ואפימורפיזם ‪) ψ : Zn → Zm‬כמה‬
‫אפשרויות יש בכל מקרה?(‪ .‬חשב את ‪ φ ◦ ψ‬ואת ‪ .ψ ◦ φ‬הראה שהתמונה )‪ Im(φ‬והגרעין )‪ Ker(ψ‬אינם‬
‫תלויים בבחירת ההעתקות‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫פרק ‪ .2‬דוגמאות לחבורות‬
‫‪2.3.1‬‬
‫‪ .2.3‬חבורות ציקליות‬
‫סדר של אברים‬
‫הגדרה ‪ 2.3.16‬יהי ‪ .x ∈ G‬המספר ‪ m > 0‬הקטן ביותר כך ש־‪ ,xm = 1‬אם קיים כזה‪ ,‬נקרא הסדר של ‪ ;x‬אחרת אומרים‬
‫ש־‪ x‬בעל סדר אינסופי‪ .‬את הסדר של ‪ x‬מסמנים ב־)‪.ord(x‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.3.17‬הסדר של ‪ x ∈ G‬שווה לסדר של תת־החבורה )הציקלית( הנוצרת ⟩‪.⟨x‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 2.3.18‬בחבורה סופית לכל איבר יש סדר סופי‪.‬‬
‫טענה ‪ 2.3.19‬יהי ‪ .x ∈ G‬לכל ‪ xm = 1 ,m ∈ Z‬אם ורק אם ‪.ord(x) | m‬‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן )‪ .e = ord(x‬אם ‪ e | m‬אז ברור ש־‪ .xm = (xe )m/e = 1m/e = 1‬נניח ש־‪ ,xm = 1‬ונכתוב‬
‫‪ (e, m) = αe + βm‬עבור ‪ .α, β ∈ Z‬אז ‪ ,x(e,m) = xαe+βm = (xe )α (xm )β = 1‬ולפי המינימליות של‬
‫‬
‫הסדר‪.e = (e, m) | m ,‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.3.20‬יהי ‪ φ : G1 → G2‬הומומורפיזם‪.‬‬
‫‪ .1‬הראה ש־)‪ ord(φ(x)) | ord(x‬לכל ‪.x ∈ G1‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ φ‬מונומורפיזם אז )‪.ord(φ(x)) = ord(x‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.3.21‬הסדר של כל איבר ב־ ‪ Zn‬מחלק את ‪.n‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪. (n,d‬‬
‫טענה ‪ 2.3.22‬יהי ‪ x‬איבר מסדר ‪ .n‬אז הסדר של ‪ xd‬הוא‬
‫‪d‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪ .e = ord(xd ) | (n,d‬מאידך = ‪xde‬‬
‫הוכחה‪ ,(xd ) (n,d) = (xn ) (n,d) = 1 .‬ולפי טענה ‪ 2.3.19‬נובע מכך ש־‬
‫‪n‬‬
‫‪d‬‬
‫‪n‬‬
‫‪d‬‬
‫)‪ ,( (n,d‬ולפי‬
‫)‪, (n,d‬‬
‫)‪ . (n,d‬אלא שלפי תרגיל ‪) = 1 2.2.19‬‬
‫)‪| (n,d‬‬
‫‪ ,(xd )e = 1‬אז מאותה סיבה ‪ n | de‬ולכן ‪e‬‬
‫‪n‬‬
‫‬
‫)‪. (n,d‬‬
‫טענה ‪ 2.2.38‬נובע מכך ש־‪| e‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.3.23‬האיבר ‪ xa‬יוצר את החבורה הציקלית ⟩‪ ⟨x‬מסדר ‪ n‬אם ורק אם ‪.(a, n) = 1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.3.24‬נניח שלחבורה ‪ G ̸= 1‬אין תת־חבורות פרט ל־‪ .1, G‬הוכח ש־‪ G‬ציקלית מסדר‬
‫ראשוני‪.‬‬
‫⟩‪⟨ d‬‬
‫משפט ‪ 2.3.25‬תהי ⟩‪ G = ⟨x‬חבורה ציקלית מסדר ‪ .n‬יהי ‪ .d | n‬ל־‪ G‬יש תת־חבורה יחידה מסדר ‪ ,n/d‬והיא ‪. x‬‬
‫תת־חבורה של ‪ G‬היא ציקלית‪ ,‬ויתרה מזו אם היא נוצרת על־ידי ‪ xk‬אז היא‬
‫הוכחה‪⟩ .‬לפי‬
‫⟩ ⟨‬
‫‪ 2.3.11‬כל ⟨‬
‫תרגיל ⟩‬
‫⟨‬
‫שווה ל־ )‪ , xk = xk , xn = x(k,n‬והרי ‪ .(k, n) | n‬לכן החבורה נוצרת על־ידי איבר מהצורה ‪ xd‬עם‬
‫‬
‫‪ ,d | n‬ובחבורה זו יש ‪ n/d‬אברים לפי ספירה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.3.26‬לחבורה ציקלית מסדר ‪ n‬יש תת־חבורה אחת מכל סדר המחלק את ‪.n‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫משפט ‪.2.3.25‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.3.27‬אם ‪ x, y ∈ G‬מתחלפים ו־‪ ,(ord(x), ord(y)) = 1‬אז )‪.o(xy) = ord(x)ord(y‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫הראה שתמיד )‪ ,ord(xy) | ord(x)ord(y‬והראה ש־⟩‪ x, y ∈ ⟨xy‬כדי להוכיח )‪.ord(x), ord(y) | ord(xy‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.3.28‬הסדר של )‪ (g, h‬בחבורה ‪ G×H‬הוא הכפולה המשותפת המינימלית ])‪.[ord(g), ord(h‬‬
‫∼ ‪ Zn × Zm‬אם ורק אם ‪.(n, m) = 1‬‬
‫משפט ‪= Znm 2.3.29‬‬
‫)זוהי גרסה של משפט השאריות הסיני‪(.‬‬
‫∼ ‪Zn ×Zm‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי תרגילים ‪ 2.3.21‬ו־‪ ,2.3.28‬הסדר של כל איבר ב־ ‪ Zn ×Zm‬מחלק את ]‪ ;[n, m‬אם ‪= Znm‬‬
‫‪nm‬‬
‫)‪ .nm | [n, m] = (n,m‬בכיוון ההפוך‪φ : [x]nm 7→ ([x]n , [x]m ) ,‬‬
‫אז יש באגף שמאל איבר מסדר ‪ nm‬ולכן‬
‫הוא הומומורפיזם‪ ,‬ואם ‪ φ([x]nm ) = 0‬אז ‪ n, m | x‬ולכן ‪ nm = [n, m] | x‬כי ‪ ,(n, m) = 1‬ו־‪ .[x]nm = 0‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.3.30‬אם ‪ ,(n, m) = 1‬אז לכל ‪ a, b‬קיים ‪ x‬כך ש־)‪ x ≡ a (mod n‬ו־)‪.x ≡ b (mod m‬‬
‫פתרון זה הוא יחיד מודולו ‪ .nm‬הדרכה‪ .‬משפט ‪.2.3.29‬‬
‫תרגיל ‪] (+**) 2.3.31‬שאלה ‪ 1‬מאולימפיאדת גיליס של שנת ‪ [2013‬מצא את שתי הספרות האחרונות של‬
‫המכפלה‬
‫‪(1012 − 1002 )(1022 − 1012 ) · · · (2002 − 1992 ).‬‬
‫‪23‬‬
‫זהו המשפט המרכזי על‬
‫חבורות ציקליות‪.‬‬
‫‪ .2.4‬חבורות אוילר‬
‫‪2.4‬‬
‫פרק ‪ .2‬דוגמאות לחבורות‬
‫חבורות אוילר‬
‫ראינו בסעיף הקודם שהקבוצה ‪ Zn‬של מחלקות שקילות מודולו ‪ n‬היא חבורה ציקלית ביחס לחיבור‪ .‬לפי‬
‫תרגיל ‪ ,2.2.32‬גם פעולת הכפל מוגדרת היטב‪ ,‬ואכן‪:‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.4.1‬הראה ש־ ‪ Zn‬הוא מונויד ביחס לכפל‪ ,‬שאיבר היחידה שלו הוא )המחלקה של( ‪ .1‬הראה‬
‫שהוא קומוטטיבי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.4.2‬מצא תת־חבורה למחצה של ‪ Z12‬ביחס לכפל‪ ,‬שאינה תת־מונויד‪.‬‬
‫תרגיל ‪ [a] ∈ Zn (**) 2.4.3‬הפיך )ביחס לכפל( אם ורק אם ‪ a‬זר ל־‪.n‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.4.4‬אם ‪ m, k‬זרים ל־‪ ,n‬אז גם ‪ mk‬זר ל־‪.n‬‬
‫הגדרה ‪ 2.4.5‬חבורת האברים ההפיכים ביחס לכפל ב־ ‪ Zn‬נקראת חבורת אוילר ה־‪n‬־ית‪ .‬לפי תרגיל ‪ ,2.4.3‬אבריה הם‬
‫}‪.Un = {[x] : 1 ≤ x ≤ n, (n, x) = 1‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.4.6‬כתוב את לוח הכפל של החבורות ‪ ,Un‬עבור ‪.10, 12 ,n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.4.7‬הוכח ש־ ‪ U11 ,U9‬ציקליות‪ ,‬וש־ ‪ U16 ,U12‬אינן ציקליות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 2.4.8‬הוכח שלחבורה ‪ U60‬אין קבוצת יוצרים של שני אברים‪ ,‬ומצא קבוצת יוצרים עם‬
‫שלושה אברים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 2.4.9‬בכל תת־חבורה לא טריוויאלית של ‪ p) Upn‬ראשוני(‪ ,‬סכום האיברים מתחלק ב־ ‪.pn‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 2.4.10‬נניח ש־‪ p‬ראשוני‪ .‬האיבר היחיד מסדר ‪ 2‬ב־ ‪ Up‬הוא ‪.−1‬‬
‫‪2.4.1‬‬
‫פונקציית אוילר‬
‫הגדרה ‪ 2.4.11‬את מספר האברים של ‪ Un‬נסמן ב־)‪ .ϕ(n‬הפונקציה ‪ ,ϕ‬המוגדרת לפי‬
‫‪ϕ(n) = |{1 ≤ a ≤ n : (a, n) = 1}|,‬‬
‫נקראת פונקצית אוילר )על־שם המתמטיקאי לאונרד אוילר(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 2.4.12‬אם ‪ p‬ראשוני‪ ,‬אז )‪.ϕ(pa ) = pa−1 (p − 1‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 2.4.13‬אם ‪ n, m‬זרים אז )‪.ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m‬‬
‫הדרכה‪ .‬משפט ‪ 2.3.29‬ותרגיל ‪ .1.5.8‬פתרון נוסף‪ :‬משפט‬
‫השאריות הסיני‪ .‬המספרים הזרים ל־‪ nm‬הם אלו שזרים ל־‪ n‬ול־‪ ,m‬תרגיל ‪.2.2.21‬‬
‫משני התרגילים האחרונים מתקבלת הנוסחה‬
‫‪αt‬‬
‫‪α1 −1‬‬
‫‪t −1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ϕ(pα‬‬
‫‪· · · (pt − 1)pα‬‬
‫‪.‬‬
‫‪t‬‬
‫‪1 · · · pt ) = (p1 − 1)p1‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.4.14‬חשב את )‪.ϕ(1000), ϕ(480), ϕ(540‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.4.15‬אם ‪ n | m‬אז )‪.ϕ(n) | ϕ(m‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 2.4.16‬נניח ‪ ,n | m‬ויהיו ‪ ,a ∈ Unm‬ו־‪ a‬הנציג של ‪ a‬ב־ ‪ .Un‬נסמן ב־‪ e‬את הסדר של ‪ a‬ב־ ‪,Un‬‬
‫וב־ ‪ e′‬את הסדר של ‪ a‬ב־ ‪ .Unm‬הוכח ש־‪.e′ | me‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 2.4.17‬מצא את כל הערכים של ‪ n‬המקיימים ‪ ϕ(n) ≤ 6‬בשתי דרכים‪ (1) :‬לפי‬
‫הנוסחה ל־)‪ (2) .ϕ(n‬הראה בעזרת תרגיל ‪ 2.4.15‬שאם ‪ p | n‬אז ‪ .p − 1 ≤ 6‬הסק שהמספרים‬
‫‪ 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 ∈ Un‬ולכן ‪.n ≤ 20‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 2.4.18‬הוכח ש־‪= 0‬‬
‫)‪ϕ(n‬‬
‫‪n‬‬
‫∞→‪.lim inf n‬‬
‫מ־ ‪ .. . .‬מכיוון שיש אינסוף ראשוניים‪.. . . ,‬‬
‫‪24‬‬
‫הדרכה‪ .‬נניח ש־‪ ,ϕ(n) ≤ m‬אז כל הגורמים הראשוניים של ‪ n‬קטנים‬
‫‪ .2.5‬החבורה החיבורית והכפלית של שדה‬
‫פרק ‪ .2‬דוגמאות לחבורות‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.4.19‬לכל ‪ ,d | n‬יש בדיוק )‪ ϕ(d‬אברים מסדר ‪ d‬ב־ ‪ .Zn‬בפרט‪ ,‬יש בה )‪ ϕ(n‬יוצרים‪.‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫טענה ‪.2.3.22‬‬
‫∑‬
‫תרגיל ‪ (-***) 2.4.20‬לכל ‪. d | n ϕ(d) = n ,n‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.2.4.19‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 2.4.21‬בחבורה ציקלית מסדר המתחלק ב־‪ d‬יש בדיוק ‪ d‬פתרונות למשוואה ‪.xd = 1‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫שלב את תרגיל ‪ 2.4.19‬וטענה ‪ 2.3.19‬עם תרגיל ‪) 2.4.20‬קח ‪ d‬במקום ‪.(n‬‬
‫תרגיל ‪2.4.22‬‬
‫∑ )***( במונחי תת־סעיף ‪ ,2.2.5‬הראה ש־‪ ,ϕ ∗ J = Id‬ולכן ‪ ,ϕ = Id ∗ µ‬כלומר‪ϕ(n) = ,‬‬
‫‪ . d|n µ( nd )d‬בדוק את הנוסחה עבור ‪.d = 12, 16, 24‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 2.4.23‬תן הוכחה נוספת למשפט ‪ .2.3.25‬פתרון‪ .‬תהי ‪ H‬תת־חבורה מסדר ‪ .d‬מכיוון שהיא‬
‫ציקלית‪ ,‬יש בה לפי תרגיל ‪ ϕ(d) 2.4.19‬אברים מסדר ‪ ,d‬וזה מספרם בחבורה כולה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.4.24‬כמה אברים בחבורה ‪ Z1200‬יוצרים אותה )כל אחד לבדו(?‬
‫‪2.5‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫תרגיל ‪.2.3.23‬‬
‫החבורה החיבורית והכפלית של שדה‬
‫הגדרה ‪ 2.5.1‬יהי ‪ F‬שדה‪ .‬החבורה )‪ (F, +, 0‬נקראת החבורה החיבורית של ‪ ,F‬והחבורה }‪) F × = F −{0‬מהגדרה ‪,(2.1.8‬‬
‫עם פעולת הכפל‪ ,‬היא החבורה הכפלית של ‪.F‬‬
‫נסמן ב־‪ R‬את שדה המספרים הממשיים‪ ,‬וב־‪ C‬את שדה המספרים המרוכבים‪ ,‬המכיל אותו‪ .‬נסמן‬
‫}‪ .R>0 = {x ∈ R : x > 0‬נסמן }‪ .S 1 = {z ∈ C : |z| = 1‬השדות המוכרים לנו מציעים מיד כמה חבורות‬
‫אינסופיות מעניינות‪.C× ,R× ,Q× ,(C, +) ,(R, +) ,(Q, +) :‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.5.2‬הראה שאף אחת מהחבורות )‪ C× ,R× ,Q× ,(C, +) ,(R, +) ,(Q, +‬אינה ציקלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.5.3‬הראה שהחבורות )‪ (Q, +‬ו־ ×‪ Q‬אינן איזומורפיות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.5.4‬הראה שהחבורות )‪ (Q, +‬ו־)‪ (R, +‬אינן איזומורפיות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.5.5‬פונקציית האקספוננט היא איזומורפיזם )· ‪.exp : (R, +)→(R>0 ,‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.5.6‬איבר בעל סדר סופי ב־‪ C‬נקרא שורש יחידה‪ .‬הראה שקבוצת שורשי היחידה ב־‪C‬‬
‫היא תת־חבורה של ‪.S 1‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 2.5.7‬הראה שכל אחת מהחבורות ‪ Zn‬איזומורפית לתת־חבורה של ‪.S 1‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 2.5.8‬החבורות )‪ (R, +), (C, +‬איזומורפיות‪ :‬שתיהן סכום ישר של ‪ ℵ‬עותקים של )‪(Q, +‬‬
‫)הגדרה ‪ .(1.5.13‬הדרכה‪ .‬יהיה עליך להשתמש בקיומו של הבסיס של האמל‪ ,‬שהוא בסיס למרחב הוקטורי ‪ R‬מעל השדה ‪.Q‬‬
‫∼ ×‪.C‬‬
‫∼ )· ‪= S 1 × (R>0 ,‬‬
‫∼ )‪= S 1 × (R, +‬‬
‫תרגיל ‪= S 1 (***) 2.5.9‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.5.10‬הוכח שההעתקה ×‪ ν : C× → R‬המוגדרת לפי ̄‪ ν(z) = z z‬היא הומומורפיזם‪ .‬מה‬
‫הגרעין שלו?‬
‫תרגיל ‪ (+**) 2.5.11‬כל תת־חבורה נוצרת סופית של )‪ (Q, +‬היא ציקלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.5.12‬מצא שרשרת עולה של תת־חבורות ציקליות · · · ⊂ ‪ C1 ⊂ C2 ⊂ C3‬של )‪,(Q, +‬‬
‫שהאיחוד שלה שווה ל־‪ Q‬כולו‪ .‬הראה ש־‪ R‬אינה איחוד של שרשרת )מעוצמה כלשהי( של תת־חבורות‬
‫ציקליות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 2.5.13‬מצא בחבורה )‪ (Q, +‬שרשרת עולה ממש של תת־חבורות ציקליות‪ ,‬שעוצמתה ‪.ℵ‬‬
‫הדרכה‪ .‬ראשית מצא שרשרת עולה ממש } ‪ {Iα‬מאותה עוצמה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫כאשר ‪ P‬היא קבוצת הראשוניים ב־‪ .Z‬התבונן בחבורות‬
‫‪Zp‬‬
‫)רמז‪r < α} .‬‬
‫∑‬
‫) ‪p∈π(Iα‬‬
‫= ‪.Cα‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.5.14‬חשב את הגרעין עבור ההעתקות הבאות‪.‬‬
‫‪.φ(x) = 4x ,φ : (Z, +) → (Z, +) .1‬‬
‫‪.φ(x) = x4 ,φ : R× → R× .2‬‬
‫‪.φ(x) = x4 ,φ : C× → C× .3‬‬
‫‪25‬‬
‫‪ .({r :‬כעת קבע התאמה חד־חד־ערכית ועל ‪π : Q→P‬‬
‫‪ .2.6‬החבורות הסימטריות‬
‫‪2.6‬‬
‫פרק ‪ .2‬דוגמאות לחבורות‬
‫החבורות הסימטריות‬
‫כל החבורות שפגשנו עד כה היו אבליות‪ .‬בסעיף זה נגדיר משפחה חשובה של דוגמאות לא אבליות‪ ,‬שבה נעיין‬
‫שוב בפרק ‪.5‬‬
‫הגדרה ‪ 2.6.1‬יהי ‪ .n ≥ 1‬חבורת הסימטריות על ‪ n‬אברים היא החבורה ‪ Sn‬של כל הפונקציות החד־חד־ערכיות ועל‬
‫}‪ ,{1, . . . , n}→{1, . . . , n‬עם פעולת ההרכבה‪ .‬אברי ‪ Sn‬נקראים תמורות‪.‬‬
‫שבהם‬
‫ספרים‬
‫יש‬
‫מקובל ההיפך; אבל‬
‫ראו תרגיל ‪.1.3.17‬‬
‫אנו מכפילים תמורות מימין לשמאל‪ ,‬כמו הרכבת פונקציות‪.(στ )(a) = σ(τ (a)) :‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.6.2‬בדוק ש־ ‪ Sn‬אכן חבורה‪ ,‬מסדר !‪ ,n‬שאיבר היחידה שלה היא פונקציית הזהות‪.‬‬
‫את הגדרה ‪ 2.6.1‬אפשר להכליל בקלות‪:‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.6.3‬תהי ‪ X‬קבוצה כלשהי‪ .‬הראה שקבוצת הפונקציות החד־חד־ערכיות ועל ‪ X→X‬היא‬
‫חבורה‪ .‬חבורה זו מסמנים ב־ ‪.SX‬‬
‫∼ ‪.SX‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.6.4‬אם | ‪ |X| = |Y‬אז ‪= SY‬‬
‫הגדרה ‪ 2.6.5‬כל תמורה }‪ σ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n‬אפשר להציג כמטריצה ‪ ,2 × n‬כך‪:‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫···‬
‫‪n‬‬
‫=‪σ‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪σ(1) σ(2) · · · σ(n‬‬
‫בשיטה זו‪ ,‬הערך ‪ i‬נמצא בשורה השניה בעמודה ה־)‪.σ −1 (i‬‬
‫כדי להקל על החישובים‪ ,‬נחוץ לנו סימון חסכוני יותר‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.6.6‬תמורה ‪ σ ∈ Sn‬המעבירה ‪) r1 7→ r2 7→ · · · 7→ rt 7→ r1‬וקובעת את שאר האברים( נקראת מחזור‪ .‬מסמנים‬
‫תמורה זו בסימון ) ‪ .σ = (r1 r2 · · · rt‬מחזור באורך ‪ 2‬נקרא חילוף‪ .‬שני מחזורים הם זרים אם הם פועלים על איברים שונים‪.‬‬
‫טענה ‪ 2.6.7‬כל תמורה ב־ ‪ Sn‬אפשר לכתוב כמכפלה של מחזורים זרים‪ ,‬באופן יחיד עד כדי סדר‪.‬‬
‫בעקבות טענה ‪ ,2.6.7‬כשמבקשים ''לחשב'' תמורה מתכוונים בדרך כלל להצגתה כמכפלה של מחזורים זרים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.6.8‬כתוב כמכפלת מחזורים זרים את התמורות הבאות‪:‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫‪6 7 8 9 10‬‬
‫‪1 2 3 4 5 6 7‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪6 8 7 2 4‬‬
‫‪4 7 1 3 2 5 6‬‬
‫)‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.6.9‬כתוב בצורה‬
‫)‬
‫‪1 2 3 4 5 6‬‬
‫הבאות‪:‬‬
‫‪2 6 4 3 1 5‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪σ(n‬‬
‫(‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫···‬
‫· · · )‪σ(1) σ(2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫(‬
‫(‬
‫וכמכפלה של מחזורים זרים‪ ,‬את התמורות‬
‫= ‪.δ = αβγ ,γ = (12)(14)(23)(42)(14) ,β = (143)(25)(6) ,α‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.6.10‬חשב את )‪.(1 2)(1 3) · · · (1 n) ,(1 2 4 7)(3 2 4)(6 1 3 4‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.6.11‬כל שני מחזורים זרים מתחלפים זה עם זה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.6.12‬המחזורים )‪ (123456), (246‬מתחלפים על־אף שאינם זרים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.6.13‬רשום את לוח הכפל של החבורה ‪ .S3‬מצא את הסדר של כל איבר‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.6.14‬מצא את הסדר של המחזור ) ‪ (r1 · · · rt‬ואת הסדר של ‪ ,σ‬אם ‪ τi‬הם מחזורים זרים‬
‫מאורכים ‪ ni‬ו־ ‪.σ = τ1 · · · τu‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.6.15‬מצא ב־ ‪ S7‬איברים מסדר ‪ .5, 6, 7, 10‬למה אין אף איבר מסדר ‪?8‬‬
‫‪26‬‬
‫‪ .2.7‬חבורות של מטריצות‬
‫פרק ‪ .2‬דוגמאות לחבורות‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.6.16‬הראה שאם ‪ τ1 , τ2‬מחזורים זרים‪ τ1 (α) ̸= α ,‬ו־‪ ,τ2 (β) ̸= β‬אז )‪ τ2 τ1 (αβ‬מחזור‬
‫באורך ) ‪.ord(τ1 ) + ord(τ2‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 2.6.17‬כל תמורה אפשר להציג כמכפלה של שתי תמורות מסדר ‪.2‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 2.6.18‬כל תמורה אפשר להציג כמכפלה של שני מחזורים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.6.19‬הוכח שתת־החבורה ‪ K4 = ⟨(12)(34), (13)(24)⟩ ≤ S4‬איזומורפית ל־ ‪.U8‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.6.20‬מצא את אברי תת־החבורה של ‪ S6‬הנוצרת על־ידי )‪ (145)(263‬ו־)‪.(15)(36‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 2.6.21‬מצא את הסדר של תת־החבורה ⟩)‪ ⟨(1324)(5768), (1526)(3847‬של ‪.S8‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.6.22‬הראה ש־⟩)‪ H = ⟨(1234567), (124)(365‬היא חבורה מסדר ‪ .21‬הערה‪ .‬זו תת־החבורה‬
‫היחידה מסדר ‪ 21‬של ‪ ,S8‬עד כדי הצמדה )הצמדה תוגדר בסעיף ‪(.6.4‬‬
‫‪2.7‬‬
‫חבורות של מטריצות‬
‫יהי ‪ F‬שדה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.7.1‬לקבוצה ) ‪ GLn (F‬של המטריצות ההפיכות בגודל ‪ n × n‬מעל ‪ F‬קוראים החבורה הלינארית הכללית‪ .‬לקבוצה‬
‫) ‪ SLn (F‬של איברי ) ‪ GLn (F‬בעלי דטרמיננטה ‪ 1‬קוראים החבורה הלינארית המיוחדת‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 2.7.2‬הראה ש־) ‪ GLn (F‬חבורה‪ ,‬וש־) ‪ SLn (F‬תת־חבורה שלה‪ ,‬השווה לגרעין של‬
‫ההומומורפיזם × ‪.det : GLn (F )→F‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 2.7.3‬יהי }‪ F2 = {0, 1‬השדה בן שני אברים )עם פעולות החיבור והכפל מודולו ‪ .(2‬הסבר‬
‫מדוע ) ‪) SLn (F2 ) = GLn (F2‬מעל כל שדה אחר החבורות שונות(‪ .‬כתוב במפורש את כל אברי‬
‫∼ ) ‪.GL2 (F2‬‬
‫) ‪ ,GL2 (F2‬והראה ש־ ‪= S3‬‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫תרגיל ‪ (-***) 2.7.4‬הראה ש־)‪ SL (Z‬נוצרת על־ידי המטריצות ‪ S = 0 −1‬ו־ ‪1 1‬‬
‫= ‪ .T‬הדרכה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪1 0‬‬
‫) (‬
‫) (‬
‫‪q‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ . 1‬הפעל זאת על העמודה‬
‫הראה שעל־ידי הפעלת המטריצה ‪ S‬והחזקות ‪ T‬אפשר להגיע מכל עמודה ‪ b‬של מספרים זרים‪ ,‬לעמודה ‪0‬‬
‫השמאלית של מטריצה נתונה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.7.5‬הראה שחבורת בורל ) ‪ Bn (F‬הכוללת‪ ,‬לפי ההגדרה‪ ,‬את המטריצות ההפיכות‬
‫המשולשיות עליונות בגודל ‪ ,n × n‬אינה אבלית כאשר ‪) .n ≥ 2‬להרחבה ראה תרגיל ‪(.3.5.20‬‬
‫({‬
‫)‬
‫}‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫∼ ×‬
‫= ‪.C‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.7.6‬הוכח ש־ )‪−b a : a, b ∈ R ∩ GL2 (R‬‬
‫את ההגדרה של ) ‪ ,GLn (F‬המגדירה בפרט את החבורות ) ‪ ,GLn (Zp‬אפשר להכליל לפעולות מודולו‬
‫מספרים אחרים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 2.7.7‬הוכח‪ ,‬באינדוקציה על ‪ ,t‬ש־ ‪) |SL2 (Zpt )| = (1 − p−2 )p3t‬זוהי חבורת המטריצות ‪2 × 2‬‬
‫שאבריהן מספרים שלמים מודולו ‪ ,pt‬עם דטרמיננטה ‪(.1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.7.8‬עבור הזוגות הבאים של מטריצות‪ ,‬מצא כמה אברים יש בחבורה הנוצרת על־ידיהן‪ .‬תן‬
‫את לוח הכפל של החבורה‪ ,‬או לחילופין‪ ,‬רשום את אברי החבורה ותאר כיצד להכפיל שני אברים זה‬
‫בזה )כך שהמכפלה תהיה גם היא איבר ברשימה(‪.‬‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫‪0 1 .1‬‬
‫‪ D = −1‬ו־ ‪) .E = 0i 0i‬כאן ‪ i‬הוא השורש הרביעי של ‪.(1‬‬
‫‪0‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫‪ F = 0 1 .2‬ו־ ‪ω 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0 ω‬‬
‫‪1 0‬‬
‫(‬
‫=‪G‬‬
‫√‬
‫‪−1+ −3‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ ω‬הוא השורש השלישי של ‪.(1‬‬
‫‪27‬‬
‫‪ .2.8‬החבורות הדיהדרליות‬
‫תרגיל ‪2.7.9‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪1 0 ‬‬
‫‪0 −1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫)***( כנ"ל עבור ‪0 ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪. 0‬‬
‫‪0‬‬
‫פרק ‪ .2‬דוגמאות לחבורות‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪−1 0 0‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪ A =  1 0‬ו־‪;B =  0 1 0 ‬‬
‫‪0 0 1‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪ A‬ו־ = ‪C‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 2.7.10‬יהי ‪ F‬שדה‪ .‬נניח ש־ ‪ .n1 ≥ · · · ≥ nd‬יהי }) ‪ M = {(fij‬אוסף המטריצות שרכיביהן‬
‫]‪ fij ∈ F [t‬מקיימים ‪ fij = 0‬אם ‪ ni < nj‬ו־ ‪ deg(fij ) ≤ ni − nj‬אחרת‪ .‬הוכח שזו חבורה‪ ,‬ומצא את‬
‫הסדר שלה אם ‪ F‬סופי‪.‬‬
‫‪2.8‬‬
‫החבורות הדיהדרליות‬
‫נקבע ‪,n ≥ 1‬‬
‫‪2π‬‬
‫ו־ ‪n‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫= ‪) σ‬שהיא מטריצה אורתוגונלית( ו־ ‪1 0‬‬
‫= ‪ .α‬נסמן )‪cos(α) sin(α‬‬
‫‪0 −1‬‬
‫)‪− sin(α) cos(α‬‬
‫(‬
‫= ‪.τ‬‬
‫הגדרה ‪ 2.8.1‬תת־החבורה )‪ ⟨σ, τ ⟩ ≤ GL2 (R‬נקראת החבורה הדיהדרלית מסדר ‪ ,n‬ומסמנים אותה ב־ ‪.Dn‬‬
‫{‬
‫}‬
‫תרגיל ‪ (+**) 2.8.2‬יהי ‪ ρ = exp(iα) ∈ C‬שורש יחידה מסדר ‪ .n‬נסמן ‪ .X = 1, ρ, ρ2 , . . . , ρn−1‬הראה‬
‫שלכל )‪ T (X) ⊆ X ,T ∈ M2 (R‬אם ורק אם ‪.T ∈ Dn‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 2.8.3‬האברים ‪ σ, τ‬מקיימים ‪ .τ στ −1 = σ −1 ,σ n = τ 2 = 1‬הסדר של ‪ σ‬בחבורה הוא ‪.n‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.8.4‬כל איבר של ‪ Dn‬אפשר להציג באופן יחיד בצורה ‪ σ i τ j‬כאשר ‪i = 0, 1, . . . , n − 1‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫הסק מתרגיל ‪ 2.8.3‬את נוסחת הכפל = ‪σ i τ j · σ i τ j‬‬
‫בפרט ‪.|Dn | = 2n‬‬
‫ו־‪.j = 0, 1‬‬
‫)‪i+(−1)j i′ (mod n) j+j ′ (mod 2‬‬
‫‪.σ‬‬
‫‪τ‬‬
‫∼ ‪ .D3‬החבורה ‪ Dn‬אינה אבלית כאשר ‪.n ≥ 3‬‬
‫∼ ‪= S3 ,D2‬‬
‫∼ ‪= Z2 × Z2 ,D1‬‬
‫תרגיל ‪= Z2 (*) 2.8.5‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 2.8.6‬הוכח שתת־החבורה ⟩)‪ ⟨(1234), (13‬של ‪ S4‬איזומורפית ל־ ‪.D4‬‬
‫תרגיל ‪ Dn (**) 2.8.7‬איזומורפית לתת־החבורה של ‪ Sn‬הנוצרת על־ידי התמורות )‪ ,(1 2 . . . n‬ו־‬
‫‪.(1, n)(2, n − 1)(3, n − 2) . . .‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 2.8.8‬הוכח ש־‪ Z(D2n+1 ) = 1‬ו־⟩ ‪.Z(D2n ) = ⟨σ n‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.8.9‬קבע כמה אברים מסדר ‪ 2‬יש ב־ ‪.Dn‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 2.8.10‬מצא אפימורפיזם ‪.φ : Dn → Z2‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 2.8.11‬נניח ש־‪ .m | n‬הראה שקיימים אפימורפיזם ‪ ,α : Dn → Dm‬ומונומורפיזם → ‪β : Dm‬‬
‫‪ .Dn‬חשב את ‪ α ◦ β‬ואת ‪) .β ◦ α‬השווה לתרגיל ‪(.2.3.15‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 2.8.12‬כל תת־חבורה של החבורה הדיהדרלית ‪ Dn‬איזומורפית לאחת מהחבורות הבאות‪:‬‬
‫‪ ,Z2 × Z2 ,Z2‬חבורה ציקלית מסדר ‪ m‬או חבורה דיהדרליות מסדר ‪ ,m‬כאשר ‪.m | n‬‬
‫‪28‬‬
‫פרק ‪3‬‬
‫חבורות מנה‬
‫משפט לגרנז'‪ ,‬הקובע שהסדר של תת־חבורה מחלק את סדר החבורה‪ ,‬מגביל את הסדרים האפשריים של‬
‫תת־חבורות‪ ,‬ומהווה כלי עבודה בסיסי להבנת המבנה של חבורות‪ .‬בהנתן תת־חבורה ‪ H‬של חבורה ‪ ,G‬פירוק‬
‫‪ G‬לקוסטים של ‪ H‬מראה ש־|‪ |G‬מתחלק ב־|‪ ,|H‬ולכן גם הסדר של איבר מחלק תמיד את סדר החבורה‪.‬‬
‫הפרק מציג את המושג של תת־חבורה נורמלית‪ ,‬שבלעדיו אי אפשר לתאר חבורות‪ .‬אם ‪ N‬תת־חבורה‬
‫נורמלית של ‪ ,G‬אז הכפל ב־‪ G‬משרה מבנה של חבורת מנה על מרחב הקוסטים ‪ .G/N‬משפט האיזומורפיזם‬
‫הראשון הוא כלי עבודה חשוב‪ ,‬המאפשר לזהות חבורות בקלות‪ .‬המשפט מוליך לתאור של חבורות באמצעות‬
‫יוצרים ויחסים‪.‬‬
‫‪3.1‬‬
‫קוסטים של תת־חבורה‬
‫תהיינה ‪ G‬חבורה ו־‪ H ≤ G‬תת־חבורה‪ .‬לכל ‪ ,x ∈ G‬אנו מסמנים }‪ Hx = {hx : h ∈ H‬ו־= ‪xH‬‬
‫}‪.{xh : h ∈ H‬‬
‫הגדרה ‪ 3.1.1‬הקבוצות ‪ Hx‬נקראות קוסטים שמאליים של ‪ ,H‬והקבוצות ‪ - xH‬קוסטים ימניים של ‪ .H‬נגדיר יחס שקילות‬
‫על החבורה ‪ x ≡ y (mod H) :G‬אם ‪.xy −1 ∈ H‬‬
‫תרגיל ‪ x ≡ y (mod H) (+*) 3.1.2‬אם ורק אם ‪.Hx = Hy‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 3.1.3‬הוכח שהיחס )‪ ≡ (mod H‬הוא יחס שקילות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 3.1.4‬מחלקות השקילות של היחס )‪ ≡ (mod H‬הן מהצורה ‪ .Hx‬הסק‪ :‬שתי מחלקות‬
‫‪ Hx, Hy‬הן או שוות או נחתכות באופן ריק )קל להוכיח זאת גם באופן ישיר(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ Hy (+*) 3.1.5‬היא קבוצת האיברים ‪ x ∈ G‬שעבורם ‪.y ∈ Hx‬‬
‫הגדרה ‪ 3.1.6‬תהי ‪ H ≤ G‬תת־חבורה‪ .‬את קבוצת הקוסטים הימניים מסמנים }‪ .G/H = {xH : x ∈ G‬בדומה לזה מסמנים‬
‫את קבוצת הקוסטים השמאליים ב־}‪.H\G = {Hx : x ∈ G‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 3.1.7‬אם ‪ A, B ≤ G‬הן תת־חבורות שונות של ‪ ,G‬אז ∅ = )‪.(G/A) ∩ (G/B‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.1.8‬לכל ‪ ,|Hx| = |Hy| ,x, y ∈ G‬ובפרט |‪.|Hx| = |H‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 3.1.9‬אם ‪ G‬אבלית‪ ,‬אז ‪ Hg = gH‬לכל איבר ‪ g ∈ G‬ותת־חבורה ‪.H ≤ G‬‬
‫הגדרה ‪ 3.1.10‬האינדקס )השמאלי( של ‪ H‬ב־‪ G‬הוא מספר הקוסטים השמאליים של ‪ H‬בחבורה‪ .‬את האינדקס מסמנים‬
‫ב־]‪.[G : H‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 3.1.11‬האינדקס הימני של ‪ H‬ב־‪ G‬הוא מספר הקוסטים הימניים‪ .‬הוכח שהאינדקס הימני‬
‫תמיד שווה לשמאלי‪ .‬הדרכה‪ .‬חשוב על הפונקציה ‪) Hx 7→ x−1 H‬מדוע לא ‪(?Hx 7→ xH‬‬
‫תרגיל ‪ (-**) 3.1.12‬תהיינה ‪ H, K ≤ G‬תת־חבורות‪ .‬כל קוסט ימני של ‪ H ∩ K‬הוא חיתוך של קוסט ימני‬
‫של ‪ H‬עם קוסט ימני של ‪.K‬‬
‫‪29‬‬
‫לכן אין צורך להבדיל‬
‫ימני‬
‫אינדקס‬
‫בין‬
‫ושמאלי‪.‬‬
‫פרק ‪ .3‬חבורות מנה‬
‫‪ .3.2‬משפט לגרנז'‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.1.13‬רשום את הקוסטים הימניים והשמאליים של תת־החבורות ⟩)‪ H = ⟨(12‬ו־⟩)‪K = ⟨(123‬‬
‫בחבורה ‪.S3‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.1.14‬מצא את הקוסטים של ⟩‪ H = ⟨41, 49, 31‬בחבורה ‪) .U120‬מה האינדקס של ‪(?H‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.1.15‬כתוב את כל הקוסטים של תת־החבורה }‪ ⟨4⟩ = {0, 4, 8‬של ‪.Z12‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 3.1.16‬נסמן ב־ ‪ A4‬את תת־החבורה של ‪ S4‬הכוללת‪ ,‬מלבד הזהות‪ ,‬את התמורות שיש להן‬
‫נקודת שבת אחת‪ ,‬ואת אלו המחליפות שני זוגות זרים של ערכים‪ .‬הוכח שזו אכן תת־חבורה‪ .‬מה‬
‫האינדקס שלה?‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.1.17‬נסמן ב־ ‪ K4‬את תת־החבורה של ‪ A4‬הכוללת‪ ,‬מלבד הזהות‪ ,‬את התמורות המחליפות‬
‫שני זוגות של ערכים‪ .‬הוכח שזו אכן תת־חבורה‪ .‬כתוב את הקוסטים הימניים והשמאליים שלה ב־ ‪.A4‬‬
‫הראה שקבוצת האברים מהצורה )‪ ,(ij)(kℓ‬יחד עם איבר היחידה‪ ,‬אינה תת־חבורה של ‪.S5‬‬
‫‪3.2‬‬
‫משפט לגרנז'‬
‫משפט לגרנז' הוא משפט המבנה הראשון על חבורות‪ .‬הוא מדגים מוטיב חוזר‪ :‬הסדר של חבורה )סופית( הוא‬
‫אחד המאפיינים החשובים ביותר שלה‪.‬‬
‫משפט ‪) 3.2.1‬משפט לגרנז'( לכל שתי חבורות סופיות ‪ |H| ,H ≤ G‬מחלק את |‪.|G‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.2.2‬הראה ש־|‪ ,[G : H] · |H| = |G‬והסק את משפט לגרנז'‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 3.2.3‬לכל איבר בחבורה סופית‪ ,‬סדר האיבר מחלק את סדר החבורה‪.‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫תרגיל ‪.2.3.17‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 3.2.4‬לכל איבר ‪ x ∈ G‬בחבורה סופית מתקיים ‪.x|G| = 1‬‬
‫שניים מהמשפטים המפורסמים בתורת המספרים האלמנטרית מתקבלים כמקרים פרטיים‪:‬‬
‫משפט ‪) 3.2.5‬המשפט הקטן של פרמה( לכל ראשוני ‪ p‬ומספרי ‪ a ∈ Z‬שאינו מתחלק ב־‪.ap−1 ≡ 1 (mod p) ,p‬‬
‫משפט ‪) 3.2.6‬משפט אוילר( לכל שלם ‪ n‬ולכל מספר ‪ a‬הזר ל־‪.aϕ(n) ≡ 1 (mod n) ,n‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 3.2.7‬לא קיים פתרון למשוואה )‪.x3 ≡ 2 (mod 151‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 3.2.8‬לכל שני מספרים ‪ ,a, n‬מתקיים )‪.n | ϕ(an − 1‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 3.2.9‬אברים ‪ g, g ′ ∈ G‬הם צמודים אם קיים ‪ x ∈ G‬כך ש־ ‪) g ′ = xgx−1‬זו הגדרה ‪.(5.2.1‬‬
‫הראה שבחבורה מסדר אי־זוגי אף איבר‪ ,‬פרט לאיבר היחידה‪ ,‬אינו צמוד להפכי שלו‪.‬‬
‫‪3.3‬‬
‫תת־חבורות נורמליות‬
‫תרגיל ‪ (*) 3.3.1‬אם ‪ H‬תת־חבורה של ‪ ,G‬אז לכל ‪ g ∈ G‬גם ‪ gHg −1‬תת־חבורה‪.‬‬
‫משפט ‪ 3.3.2‬התכונות הבאות של תת־חבורה ‪ H ≤ G‬שקולות זו לזו‪:‬‬
‫‪ gHg −1 ⊆ H .1‬לכל ‪.g ∈ G‬‬
‫‪ gHg −1 = H .2‬לכל ‪.g ∈ G‬‬
‫‪ gH = Hg .3‬לכל ‪.g ∈ G‬‬
‫‪ .4‬כל קוסט ימני הוא גם קוסט שמאלי‪.‬‬
‫‪ .5‬כל קוסט שמאלי הוא גם קוסט ימני‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 3.3.3‬תת־חבורה ‪ H ≤ G‬המקיימת את התכונות שבמשפט‪ ,‬נקראת תת־חבורה נורמלית‪ .‬במקרה זה מסמנים ‪.H▹G‬‬
‫‪30‬‬
‫‪ .3.3‬תת־חבורות נורמליות‬
‫פרק ‪ .3‬חבורות מנה‬
‫תרגיל ‪ (*) 3.3.4‬כתוב בשפה המתייחסת לאברים בלבד את התנאים "‪ H‬תת־חבורה נורמלית של ‪"G‬‬
‫ו־"‪ H‬תת־חבורה אבלית של ‪ ."G‬פתרון‪ .‬למשל‪ H ,‬נורמלית = )‪H .(∀a ∈ H∀g ∈ G, ∃a′ ∈ H : ga = a′ g‬‬
‫אבלית = ) ‪ .(∀a ∈ H∀a′ ∈ H : a′ a = aa′‬ראה תרגיל ‪ 3.3.8‬כדי להשתכנע שהתנאים אינם שקולים זה‬
‫לזה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ N ▹G (*) 3.3.5‬אם ורק אם ‪) G/N = N \G‬ראה הגדרה ‪.(3.1.6‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 3.3.6‬בכל חבורה ‪ ,G‬תת־החבורות הטריוויאליות ‪ 1, G‬הן נורמליות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 3.3.7‬בחבורה אבלית‪ ,‬כל תת־חבורה היא נורמלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.3.8‬תן דוגמה לתת־חבורה נורמלית שאינה אבלית )הצעה‪ (H ≤ G = Z2 × S3 .‬ולתת־‬
‫חבורה אבלית שאינה נורמלית )הצעה‪.(H ≤ G = S3 .‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 3.3.9‬לכל חבורה ‪.Z(G)▹G ,G‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 3.3.10‬אם ‪ ,N ▹G‬אז גם ‪.Z(N )▹G‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 3.3.11‬אם כל קוסט ימני של ‪ H‬מוכל בקוסט שמאלי של ‪ ,H‬אז ‪ .H▹G‬פתרון‪ .‬יהי ‪.g ∈ G‬‬
‫לפי ההנחה יש ‪ g ′ , g ′′‬כך ש־ ‪ gH ⊆ Hg ′‬ו־ ‪ ,g −1 H ⊆ Hg ′′‬ואז ‪ ,H ⊆ gHg ′′ ⊆ Hg ′ g ′′‬לכן הקוסטים השמאליים‬
‫‪−1‬‬
‫‪ H, Hg ′ g ′′‬נחתכים ומוכרחים להיות שווים‪ .‬מכאן ש־‪ gHg ′′ = H‬ואז‬
‫‪ ,gH = Hg ′′‬ו־‪ H‬מקיימת את תנאי ‪ 4‬של‬
‫משפט ‪.3.3.2‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.3.12‬הגרעין של כל הומומורפיזם ‪ G→H‬הוא תת־חבורה נורמלית של ‪) G‬ראה משפט‬
‫‪.(3.4.5‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.3.13‬אם ‪ [G : H] = 2‬אז ‪ H‬נורמלית ב־‪) G‬ראה ההכללה בתרגיל ‪.(6.3.26‬‬
‫תרגיל ‪) (*) 3.3.14‬נורמליות היא תורשתית(‪ .‬אם ‪ N ≤ K ≤ G‬ו־ ‪ N‬נורמלית ב־‪ ,G‬אז ‪ N‬נורמלית ב־‪.K‬‬
‫תרגיל ‪) (**) 3.3.15‬נורמליות אינה טרנזיטיבית(‪ .‬מצא חבורות ‪ , N ▹K▹G‬כך ש־ ‪ N‬אינה נורמלית ב־‪.G‬‬
‫הצעה‪ .‬בחר ‪ ,K = ⟨(12)(34), (13)(24)⟩ ,G = A4‬ו־⟩)‪.N = ⟨(12)(34‬‬
‫הערה‪ .‬השווה לתרגיל ‪.7.2.40‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.3.16‬תת־החבורה הנוצרת על־ידי ריבועי האברים היא נורמלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 3.3.17‬בכל חבורה לא־אבלית מסדר ‪ 8‬יש תת־חבורה ציקלית נורמלית מסדר ‪.4‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫תרגיל ‪.2.1.10‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.3.18‬חיתוך משפחה כלשהי של תת־חבורות נורמליות הוא תת־חבורה נורמלית )זהו המשך‬
‫לתרגיל ‪.(1.4.20‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.3.19‬נניח ש־ · · · ⊆ ‪ N1 ⊆ N2 ⊆ N3‬כולן תת־חבורות נורמליות של חבורה ‪ .G‬הוכח שגם‬
‫∪‬
‫‪ N = Ni‬נורמלית‪ .‬הערה‪ .‬ראה תרגיל ‪.1.4.9‬‬
‫⟩ ⟨‬
‫{‬
‫}‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.3.20‬תהי ‪ A ⊆ G‬תת־קבוצה‪ .‬נסמן ‪ .AG = gag −1 : g ∈ G, a ∈ A‬הוכח ש־ ‪ AG‬היא‬
‫תת־החבורה הנורמלית המינימלית של ‪ G‬המכילה את ‪.A‬‬
‫∩‬
‫הגדרה ‪ 3.3.21‬תהי ‪ H ≤ G‬תת־חבורה‪ .‬החיתוך ‪ CoreG (H) = g∈G gHg −1‬נקרא הליבה של ‪.H‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.3.22‬לכל תת־חבורה ‪ ,H ≤ G‬הליבה )‪ CoreG (H‬היא תת־חבורה נורמלית של ‪ .G‬זוהי‬
‫תת־החבורה הנורמלית הגדולה ביותר של ‪ G‬המוכלת ב־‪) H‬וראה תרגיל ‪.(4.5.3‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 3.3.23‬נניח שבחבורה מתקיים‪ ,‬עבור ‪ n‬קבוע‪ (ab)n = an bn ,‬לכל ‪) a, b‬השווה‬
‫לתרגיל ‪ .(2.1.16‬נסמן }‪.Gm = {g m : g ∈ G‬‬
‫‪ .1‬הוכח כי ‪ Gn , Gn−1‬הן תת־חבורות נורמליות של ‪.G‬‬
‫‪ .2‬כל אברי ‪ Gn‬מתחלפים עם כל אברי ‪.Gn−1‬‬
‫‪ .3‬לכל ‪ a, b‬ב־‪.(aba−1 b−1 )n(n−1) = 1 ,G‬‬
‫‪31‬‬
‫פרק ‪ .3‬חבורות מנה‬
‫‪ .3.4‬חבורת מנה‬
‫תרגיל ‪ (-***) 3.3.24‬אם ‪ A, B ≤ G‬תת־חבורות אבליות של ‪ ,G‬אז ‪ A ∩ B‬נורמלית ב־⟩‪.⟨A, B‬‬
‫תרגיל ‪ (-**) 3.3.25‬תהיינה ‪.H1 , H2 ≤ G‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ H1‬או ‪ H2‬נורמלית‪ ,‬אז ‪.H1 H2 ≤ G‬‬
‫זו תוצאה שימושית‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ ,H1 , H2 ▹G‬אז ‪.H1 H2 ▹G‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.3.26‬מצא דוגמה נגדית לטענה השגויה הבאה‪' :‬אם אחת מהחבורות ‪ H1 , H2‬נורמלית‪ ,‬אז‬
‫‪ H1 H2‬תת־חבורה נורמלית'‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.3.27‬הראה ש־}‪ {σ ∈ S5 : σ(2) = 2‬היא תת־חבורה של ‪ .S5‬האם היא נורמלית?‬
‫‪3.4‬‬
‫חבורת מנה‬
‫כפל של קוסטים מוגדר כפי שמוגדר בסעיף ‪ 4.2‬כפל של כל שתי תת־קבוצות‪.‬‬
‫טענה ‪ 3.4.1‬המכפלה של כל שני קוסטים שמאליים של ‪ H‬היא קוסט שמאלי‪ ,‬אם ורק אם ‪ H‬נורמלית‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬אם ‪ H▹G‬אז ‪ .Hx · Hy = H(xH)y = HHxy = Hxy‬בכיוון ההפוך נניח שלכל ‪ x, y‬יש ‪ z‬כך‬
‫ש־‪ ;HxHy = Hz‬נבחר ‪ ,y = 1‬אז לכל ‪ x‬יש ‪ z‬כך ש־‪ ,xH ⊆ HxH = Hz‬ו־‪ H‬נורמלית לפי תרגיל ‪.3.3.11‬‬
‫‬
‫תרגיל ‪ (-***) 3.4.2‬תת־חבורה ‪ H ≤ G‬היא נורמלית אם ורק אם הפעולה הבינרית ‪(Ha, Hb) 7→ Hab‬‬
‫על קבוצת הקוסטים השמאליים מוגדרת היטב‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.4.3‬אם ‪ ,N ▹G‬הקבוצה ‪ G/N‬של הקוסטים של ‪ N‬ב־‪ ,G‬עם הפעולה ‪,N a · N b = N ab‬‬
‫היא חבורה‪ ,‬שאיבר היחידה שלה הוא ‪ .N‬האיבר ההפכי מחושב על־ידי ‪.(N a)−1 = N a−1‬‬
‫הגדרה ‪ 3.4.4‬אם ‪ ,N ▹G‬החבורה ‪ G/N‬נקראת חבורת המנה‪ ,‬או '‪ G‬מודולו ‪.'N‬‬
‫משפט ‪ 3.4.5‬תת־חבורה ‪ H ≤ G‬היא נורמלית אם ורק אם היא גרעין של הומומורפיזם מ־‪ G‬לחבורה כלשהי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.4.6‬הוכח את המשפט‪.‬‬
‫הדרכה‪ N .‬היא הגרעין של ההטלה ‪ G→G/N‬המוגדרת על־ידי ‪] .a 7→ N a‬זוהי ההטלה‬
‫הקנונית מ־‪ G‬ל־ ‪[.G/N‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.4.7‬תהיינה ‪ B0 ▹B ,A0 ▹A‬חבורות ותת־חבורות שלהן‪ .‬הוכח ש־ ‪ A0 × B0‬היא תת־חבורה‬
‫∼ ) ‪.(A × B)/(A0 × B0‬‬
‫נורמלית של ‪ ,A × B‬וש־) ‪= (A/A0 ) × (B/B0‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 3.4.8‬בדוק את הדוגמה הבא‪ H = {1, 11, 29, 39} :‬היא תת־חבורה של ‪ ,U40‬ואברי‬
‫חבורת המנה הם הקוסטים ‪ I, A, B, C‬כאשר ‪,B = {9, 19, 21, 31} ,A = {3, 7, 33, 37} ,I = H‬‬
‫∼ ‪ U40 /H‬עם יוצר ‪.A‬‬
‫}‪ .C = {13, 17, 23, 27‬למעשה‪= Z4 ,‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.4.9‬הראה שתת־החבורה ⟩)‪ K4 = ⟨(12)(34), (13)(24‬של ‪) S4‬הנקראת חבורת הארבעה‬
‫∼ ‪) S4 /K4‬תרגיל ‪ 6.1.8‬מסביר את האיזומורפיזם האחרון(‪.‬‬
‫של קליין( היא נורמלית‪ ,‬ומצא איזומורפיזם ‪= S3‬‬
‫∼ ‪."G/B‬‬
‫∼ ‪ ,G/A‬אז ‪= A‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.4.10‬תן דוגמה נגדית לטענה השגויה‪" :‬אם ‪ A, B▹G‬ו־‪= B‬‬
‫הצעה‪ .‬קח‬
‫‪.G = U15‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.4.11‬האם יתכן ש־ ‪ N‬ו־ ‪ G/N‬שתיהן אבליות‪ ,‬אבל ‪ G‬איננה כזו?‬
‫האם אפשר לחשב את החבורה ‪ G‬מתת־חבורה נורמלית שלה‪ ,N ,‬ומחבורת המנה ‪?G/N‬‬
‫שתי הדוגמאות הבאות מראות שהתשובה שלילית ‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.4.12‬הראה שבכל אחת מהחבורות ‪) Z6 ,S3‬שאינן איזומורפיות(‪ ,‬קיימת תת־חבורה נורמלית‬
‫איזומורפית ל־ ‪ ,Z3‬כך שהמנה איזומורפית ל־ ‪.Z2‬‬
‫האם קיימת בשתיהן תת־חבורה נורמלית איזומורפית ל־ ‪) ?Z2‬ראה תרגיל ‪(.7.3.10‬‬
‫∼ ‪ G1‬עם תת־חבורות נורמליות ‪ ,Ni ▹Gi‬כך ש־‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.4.13‬תן דוגמה לחבורות אבליות ‪̸ G2‬‬
‫=‬
‫⟩ ⟨‬
‫∼ ‪ .G1 /N1‬הצעה‪ .‬קח ‪ G1 = Zp4‬עם תת־החבורה ‪ ;N1 = p2 ⊆ G1‬ו־ ‪ G2 = Zp3 × Zp‬עם תת־החבורה‬
‫∼ ‪ N1‬ו־ ‪= G2 /N2‬‬
‫‪= N2‬‬
‫‪.N2 = ⟨(p, 1)⟩ ⊆ G2‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.4.14‬תהי ‪ G‬חבורה‪ H▹G ,‬מאינדקס ‪ .n‬הוכח כי ‪ g ∈ H‬לכל ‪.g ∈ G‬‬
‫‪n‬‬
‫∼ ) ‪.D2n /Z(D2n‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 3.4.15‬הוכח ש־ ‪= Dn‬‬
‫‪32‬‬
‫פרק ‪ .3‬חבורות מנה‬
‫‪3.5‬‬
‫‪ .3.5‬משפט האיזומורפיזם הראשון‬
‫משפט האיזומורפיזם הראשון‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.5.1‬יהי ‪ φ : G→H‬הומומורפיזם של חבורות‪ .‬תהי ‪ K▹G‬תת־חבורה נורמלית‪ .‬הראה‬
‫שהפונקציה )‪ φ̄(gK) = φ(g‬מוגדרת היטב ‪ ,φ̄ : G/K→H‬אם ורק אם )‪ ;K ⊆ Ker(φ‬ובמקרה זה‪ ,‬זהו‬
‫תמיד הומומורפיזם‪.‬‬
‫∼ )‪.G/Ker(φ‬‬
‫משפט ‪) 3.5.2‬משפט האיזומורפיזם הראשון( יהי ‪ φ : G → H‬הומומורפיזם של חבורות‪ .‬אז )‪= Im(φ‬‬
‫משפט האיזומורפיזם הראשון שימושי כל־כך‪ ,‬עד שמעתה‪ ,‬אם נרצה להוכיח שחבורת מנה‬
‫‪ G/N‬איזומורפית לחבורה אחרת‪ ,‬כמעט לעולם לא נעשה זאת באופן ישיר; במקום זה‪ ,‬נבנה‬
‫אפימורפיזם מ־‪ G‬אל החבורה המבוקשת‪ ,‬ש־ ‪ N‬היא הגרעין שלו‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 3.5.3‬הוכח את המשפט‪.‬‬
‫∼ ‪ ,H‬כלומר‪) H :‬איזומורפית ל־( חבורת מנה של‬
‫תרגיל ‪ (*) 3.5.4‬אם ‪ φ : G → H‬על‪ ,‬אז )‪= G/Ker(φ‬‬
‫‪.G‬‬
‫∼ ‪.Zn‬‬
‫תרגיל ‪= Z/nZ (*) 3.5.5‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.5.6‬יהי ‪ φ : G→H‬הומומורפיזם‪ ,‬ותהיינה ‪ H2 ≤ H1 ≤ H‬תת־חבורות כך ש־ ‪ .H2 ▹H1‬אז‬
‫∼ ) ‪ .φ−1 (H1 )/φ−1 (H2‬הערה‪ .‬המקרה ‪ H2 = 1‬הוא משפט האיזומורפיזם‬
‫) ‪ φ−1 (H2 )▹φ−1 (H1‬ו־ ‪= H1 /H2‬‬
‫הראשון‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.5.7‬הוכח ש־ ‪∼ S3‬‬
‫= ‪) S4 /K4‬זהו תרגיל ‪ ;3.4.9‬הפעם העזר במשפט האיזומורפיזם הראשון;‬
‫ראה תרגיל ‪ 6.1.8‬להוכחה אינפורמטיבית יותר(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.5.8‬פתור את תרגיל ‪ 3.4.15‬בעזרת משפט האיזומורפיזם הראשון‪.‬‬
‫∼ ‪ .G/K‬הוכח שלכל ‪ n‬קיימת ב־‪ G‬תת־חבורה מאינדקס ‪.n‬‬
‫תרגיל ‪= Z ,K▹G (**) 3.5.9‬‬
‫‪3.5.1‬‬
‫סדרות ודיאגרמות‬
‫סדרות ודיאגרמות הן דרך נוחה להציג ולארגן מידע על כמה אובייקטים )למשל חבורות( וכמה הומומורפיזמים‬
‫ביניהם‪ .‬למשל‪ ,‬אם נתונים הומומורפיזמים ‪ f : A→B‬ו־‪ ,g : B→C‬אפשר להציג אותן יחד בסדרה‬
‫‪/C,‬‬
‫‪g‬‬
‫‪/B‬‬
‫‪f‬‬
‫‪A‬‬
‫שממנה ברור שאפשר לחשב את ההרכבה ‪ .g ◦ f : A→C‬באותו אופן אפשר לארגן סדרות ארוכות יותר‪,‬‬
‫מהצורה‬
‫‪fn−2‬‬
‫‪fn−1‬‬
‫‪f0‬‬
‫‪f1‬‬
‫‪/‬‬
‫‪/‬‬
‫‪/‬‬
‫‪/‬‬
‫)‪(3.1‬‬
‫‪A0‬‬
‫‪A1‬‬
‫···‬
‫‪An−1‬‬
‫‪An .‬‬
‫בהקשר זה‪ ,‬נוח לסמן ב־‪ 0‬את ההומומורפיזם הטריוויאלי ‪ A→B‬השולח כל איבר אל היחידה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 3.5.10‬הסדרה )‪ (3.1‬נקראת קומפלקס אם לכל ‪ i‬מתקיים ) ‪ ,Im(fi−1 ) ⊆ Ker(fi‬כלומר ‪ .fi ◦ fi−1 = 0‬הסדרה‬
‫מדוייקת ברכיב ‪ Ai‬אם ) ‪ ,Im(fi−1 ) = Ker(fi‬ומדוייקת אם היא מדוייקת בכל רכיביה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 3.5.11‬הומומורפיזם ‪ f : A→B‬הוא חד־חד־ערכי אם ורק אם ‪/ B‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 3.5.12‬הומומורפיזם ‪ f : A→B‬הוא על אם ורק אם ‪/ 1‬‬
‫‪/B‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 3.5.13‬הומומורפיזם ‪ f : A→B‬הוא איזומורפיזם אם ורק אם ‪/ 1‬‬
‫מדוייקת‪.‬‬
‫סדרה מדוייקת מהצורה ‪/ 1‬‬
‫‪/Q‬‬
‫‪φ‬‬
‫‪/K‬‬
‫‪/G‬‬
‫‪33‬‬
‫‪f‬‬
‫‪f‬‬
‫‪/A‬‬
‫‪ 1‬מדוייקת‪.‬‬
‫‪ A‬מדוייקת‪.‬‬
‫‪/B‬‬
‫‪f‬‬
‫‪/A‬‬
‫‪ 1‬נקראת סדרה מדוייקת קצרה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫פרק ‪ .3‬חבורות מנה‬
‫‪ .3.5‬משפט האיזומורפיזם הראשון‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.5.14‬בהנתן סדרה מדוייקת קצרה כמוצג לעיל‪ ,Q = Im(φ) ,K = Ker(φ) ,‬ומשפט‬
‫∼ ‪.Q‬‬
‫האיזומורפיזם הראשון קובע ש־‪= G/K‬‬
‫דיאגרמה היא גרף מכוון שהקודקודים שלו הם חבורות )או אובייקטים אחרים( והחצים שלה הם‬
‫הומומורפיזמים‪ .‬למשל‪,‬‬
‫‪/ A′‬‬
‫‪f‬‬
‫‪g′‬‬
‫‪A‬‬
‫‪g‬‬
‫‬
‫‪/ B′‬‬
‫‪f′‬‬
‫‬
‫‪B‬‬
‫הדיאגרמה היא קומוטטיבית אם הרכבת הפונקציות לאורך מסלול תלויה רק בנקודות הקצה‪ .‬בדוגמא‪ ,‬הריבוע‬
‫הוא דיאגרמה מדוייקת אם ‪.g ′ ◦ f = f ′ ◦ g‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 3.5.15‬נתונה דיאגרמה קומוטטיבית‬
‫‪/1‬‬
‫‪/Q‬‬
‫‪/1‬‬
‫‬
‫‪/ Q′‬‬
‫‪/G‬‬
‫‪/K‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪/ G′‬‬
‫‬
‫‪/ K′‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f‬‬
‫שבה השורות מדוייקות )הקו המרוסק אינו נתון(‪ .‬הראה שיש הומומורפיזם יחיד לאורך הקו המרוסק‪,‬‬
‫המשלים את הדיאגרמה באופן קומוטטיבי‪.‬‬
‫תרגם את התוצאה לשפה הבסיסית של תורת החבורות‪ .‬הדרכה‪ .‬נתון הומומורפיזם ‪ f : G→G′‬כך ש־ ‪.f (K) ⊆ K ′‬‬
‫אז ‪ f‬משרה הומומורפיזם ‪.f : G/K→G′ /K ′‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 3.5.16‬חזור על שאלה ‪ 3.5.15‬עבור הדיאגרמה‬
‫‪/1‬‬
‫‪/Q‬‬
‫‪/1‬‬
‫‬
‫‪/ Q′‬‬
‫‪/G‬‬
‫‪/K‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪/ G′‬‬
‫‬
‫‪/ K′‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f‬‬
‫תרגם את התוצאה לשפה הבסיסית של תורת החבורות‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬נתון הומומורפיזם ‪ f : G→G′‬המשרה הומומורפיזם‬
‫‪ .f : G/K→G′ /K ′‬אז ‪.f (K) ⊆ K ′‬‬
‫הגדרה ‪ 3.5.17‬ההומומורפיזם ‪ f : A→B‬מפצל את ‪ f1 : A→B1‬אם אפשר להשלים את הדיאגרמה הבאה כך שתתחלף‪:‬‬
‫‪/B‬‬
‫‪f‬‬
‫‪AA‬‬
‫‪AA‬‬
‫‪f1A‬‬
‫‪AA‬‬
‫‬
‫‪B1‬‬
‫כלומר‪ ,‬קיים ‪ g : B→B1‬כך ש־ ‪.f1 = g ◦ f‬‬
‫‪3.5.2‬‬
‫עוד על שדות ומטריצות‬
‫תרגיל ‪(**) 3.5.18‬‬
‫‪1‬‬
‫∼ ‪.R/Z‬‬
‫‪=S‬‬
‫∼ ‪.C∗ /S 1‬‬
‫תרגיל ‪= R>0 (-**) 3.5.19‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.5.20‬יהי ‪ F‬שדה‪ .‬נסמן ב־) ‪ Bn (F‬את חבורת המטריצות המשולשיות־עליונות ההפיכות מעל‬
‫‪ ,F‬ב־) ‪ Un (F‬את החבורה של מטריצות ב־) ‪ Bn (F‬שרכיבי האלכסון שלהן כולם ‪ ,1‬וב־) ‪ Tn (F‬את אוסף‬
‫המטריצות הסקלריות ההפיכות‪ .‬הוכח ש־) ‪Un (F )Tn (F ) = Bn (F ) ,Tn (F ) ≤ Bn (F ) ,Un (F )▹Bn (F‬‬
‫∼ ) ‪.Bn (F )/Un (F‬‬
‫ו־) ‪= Tn (F‬‬
‫‪34‬‬
‫‪ .3.6‬ייצוג בעזרת יוצרים ויחסים‬
‫פרק ‪ .3‬חבורות מנה‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.5.21‬על הקבוצה }‪ G = {(a, b) : a, b ∈ R, a ̸= 0‬מגדירים פעולה לפי = )‪(a, b)(c, d‬‬
‫∼ ‪.G/K‬‬
‫)‪ .(ac, ad + b‬הוכח ש־‪ G‬חבורה‪ .‬הראה ש־}‪ K = {(1, b) : b ∈ R‬נורמלית ב־‪ ,G‬וש־ ×‪= R‬‬
‫מצא תת־חבורה של )‪ GL2 (R‬שהיא איזומורפית ל־‪ .G‬הערה‪ .‬ראה גם תרגיל ‪.7.3.23‬‬
‫∼ )‪.GLn (R)/SLn (R‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.5.22‬הוכח ש־)‪ SLn (R)▹GLn (R‬וש־ ×‪= R‬‬
‫הגדרה ‪ 3.5.23‬יהי ‪ F‬שדה‪ On (F ) .‬היא חבורת המטריצות האורתוגונליות‪ ,‬כלומר‬
‫{‬
‫}‬
‫‪On (F ) = A ∈ Mn (F ) : AAt = I .‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.5.24‬הראה ש־) ‪.On (F ) ≤ GLn (F‬‬
‫הגדרה ‪ 3.5.25‬יהי ‪ F‬שדה‪ ,‬ויהי ‪ .n ≥ 1‬מגדירים‬
‫‪SOn (F ) = On (F ) ∩ SLn (F ),‬‬
‫}) ‪POn (F ) = On (F )/{aI ∈ On (F‬‬
‫ו־‬
‫‪SOn (F ) = SOn (F )/{aI ∈ SOn (F )}.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 3.5.26‬מצא את המטריצות הסקלריות ב־)‪ On (R‬וב־)‪.SOn (R‬‬
‫הוכח‬
‫תרגיל ‪ (+**) 3.5.27‬זהה במפורש את החבורות )‪.SO2 (R) ,SO2 (R) ,PO2 (R) ,O2 (R‬‬
‫בדוק שהאיזומורפיזם‬
‫∼ )‪.SO2 (R) = SO2 (R‬‬
‫∼ )‪ ,PO2 (R‬וש־ ‪= S 1‬‬
‫∼ )‪= O2 (R‬‬
‫ש־}‪= S 1 × {±1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ SO2 (R)→PO2 (R‬מוגדר לפי ‪.±a 7→ a‬‬
‫∼ )‪.POn (R‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 3.5.28‬אם ‪ n‬אי־זוגי‪= SOn (R) = SOn (R) ,‬‬
‫(‬
‫( )‬
‫)‬
‫‪1 0‬‬
‫‪, 01 −1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪−1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.5.29‬הראה שכל איבר מסדר ‪ 6 ,4 ,3 ,2‬ב־)‪ GL2 (R‬צמוד למטריצה ‪0 −1‬‬
‫(‬
‫( )‬
‫)‬
‫‪0 1‬‬
‫‪ , 01 −1‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1 0‬‬
‫‪3.6‬‬
‫ייצוג בעזרת יוצרים ויחסים‬
‫הגדרה ‪ 3.6.1‬תהי ‪ X‬קבוצה כלשהי‪ .‬החבורה החופשית על ‪ X‬היא אוסף כל המלים הסופיות באותיות ‪ x, x−1‬עבור ‪,x ∈ X‬‬
‫שאין בהן רצף מהצורה ‪ xx−1‬או ‪ .x−1 x‬פעולת הכפל היא הדבקה של מלים ומחיקת הרצפים האסורים לפי הצורך‪ .‬את החבורה‬
‫החופשית מסמנים )‪ Free(X‬או ‪ .FX‬כל חבורה כזו נקראת חבורה חופשית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 3.6.2‬אשר ש־)‪ Free(X‬היא אכן חבורה‪ ,‬שאיבר היחידה שלה הוא המלה הריקה‪) .‬מהו‬
‫ההפכי של ‪(?x1 · · · xn‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.6.3‬הקבוצה ‪ X‬יוצרת את )‪.Free(X‬‬
‫∼ )‪ .Free(X‬את‬
‫כמו במקרה של החבורה הסימטרית )תרגיל ‪ ,(2.6.4‬אם | ‪ |X| = |X ′‬אז ) ‪= Free(X ′‬‬
‫החבורה החופשית על קבוצה סופית בגודל ‪ n‬מסמנים ‪.Fn‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.6.4‬הסבר מדוע }‪.Free(∅) = {1‬‬
‫∼ ‪.F1‬‬
‫תרגיל ‪= Z (**) 3.6.5‬‬
‫∼ ‪ F2‬כוללת מלים כמו ‪ ,yxy −1 x−1 ,x−1 yx5 ,xy ,x‬וכן הלאה‪ .‬האברים‬
‫כדוגמה נוספת‪= Free({x, y}) :‬‬
‫‪ xyx−1‬ו־‪ y‬שונים זה מזה‪ .‬זו אינה חבורה אבלית‪.‬‬
‫‪35‬‬
‫פרק ‪ .3‬חבורות מנה‬
‫‪ .3.6‬ייצוג בעזרת יוצרים ויחסים‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫תרגיל ‪ (-***) 3.6.6‬נסמן ב־‪ x, y‬את היוצרים של ‪ .F2‬הוכח שתת־החבורה ‪ x2 , xy‬היא חופשית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 3.6.7‬מצא תת־חבורה חופשית עם ‪ ℵ0‬יוצרים של ⟩‪.F2 = ⟨x, y‬‬
‫תכונת האוניברסליות של החבורות החופשיות מתבטאת בעובדה הבאה‪:‬‬
‫טענה ‪ 3.6.8‬תהי ‪ G‬חבורה ותהי ‪ X‬קבוצה‪.‬‬
‫‪ fˆ : Free(X)→G‬המתלכד עם ‪ f‬על אברי ‪.X‬‬
‫אז לכל פונקציה ‪ f : X→G‬קיים הומומורפיזם יחיד‬
‫במלים אחרות‪ ,‬כדי להגדיר הומומורפיזם ‪ ,Free(X)→G‬די לקבוע את התמונות של קבוצת היוצרים ‪.X‬‬
‫שלא כמו במקרה הכללי‪ ,‬בחבורה חופשית כל בחירה של תמונות ליוצרים מגדירה הומומורפיזם‪.‬‬
‫∼ ‪ .G/N‬הוכח ש־ ‪ F‬איזומורפית לתת־חבורה‬
‫תרגיל ‪ (+**) 3.6.9‬תהי ‪ G‬חבורה עם מנה חופשית‪= F :‬‬
‫של ‪.G‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.6.10‬כל חבורה ‪ G‬אפשר להציג בצורה ‪ F/K‬כאשר ‪ F‬חופשית‪ .‬הדרכה‪ .‬תהי ‪ X‬קבוצת יוצרים‬
‫∼ ‪.G‬‬
‫של ‪ .G‬אז יש התאמה ‪ θ : Free(X)→G‬השולחת את אברי ‪ X‬לעצמם‪ .‬לפי משפט האיזומורפיזם הראשון‪= Free(X)/Ker(θ) ,‬‬
‫הבחן בין תת־החבורה הנוצרת‬
‫על־ידי קבוצה ‪ ,R‬לתת־החבורה‬
‫הנורמלית הנוצרת על־ידי ‪.R‬‬
‫נמשיך את תרגיל ‪ .3.6.10‬אם )‪ Ker(θ‬היא תת־החבורה הנורמלית הנוצרת על־ידי אברים ‪r1 , . . . , rm‬‬
‫∼ ‪ .G‬בכיוון ההפוך‪:‬‬
‫)תרגיל ‪ ,(3.3.20‬אומרים שאלו יחסים המגדירים את החבורה‪ ,‬וכותבים ⟩ ‪= ⟨X | r1 , . . . , rm‬‬
‫הגדרה ‪ 3.6.11‬תהיינה ) ‪ r1 , . . . , rm ∈ Free(x1 , . . . , xn‬מלים‪ .‬תהי ‪ K‬תת־החבורה הנורמלית הנוצרת על־ידי‬
‫‪ ,r1 , . . . , rm‬כלומר‪ ,‬תת־החבורה של ) ‪ Free(x1 , . . . , xn‬הנוצרת על־ידי האברים מהצורה ‪ .gri g −1‬אז‬
‫‪⟨x1 , . . . , xn | r1 , . . . , rm ⟩,‬‬
‫נקראת ייצוג בעזרת יוצרים ויחסים של חבורת המנה ‪ .Free(x1 , . . . , xn )/K‬לפעמים כותבים גם‬
‫⟩‪⟨x1 , . . . , xn | r1 = · · · = rm = 1‬‬
‫עבור אותה חבורה‪ .‬אפשר לקצר ולכתוב ⟩‪ ⟨X|R‬כאשר } ‪ X = {x1 , . . . , xn‬ו־} ‪.R = {r1 , . . . , rm‬‬
‫∼ ⟩‪ .⟨x | xn = 1‬בדומה לזה‬
‫דוגמא ‪= Zn 3.6.12‬‬
‫∼ ⟩‪⟨x, y | xn = y m = 1, yx = xy‬‬
‫; ‪= Zn × Zm‬‬
‫שימו לב שהשמטת היחס ‪ xy = yx‬מגדירה חבורה אחרת לגמרי‪.‬‬
‫דוגמא ‪ 3.6.13‬החבורה הדיהדרלית ‪ Dn‬מוגדרת )בהגדרה ‪ (2.8.1‬כחבורה הנוצרת על־ידי יוצרים ‪ ,σ, τ‬המקיימים‬
‫יחסים כגון ‪ .σ n = τ 2 = (στ )2 = 1‬לכן האברים ‪ σ n , τ 2 , (στ )2‬נמצאים בגרעין של ההטלה ‪,Free(σ, τ )→Dn‬‬
‫ומכיוון שהם יוצרים את הגרעין )כתת־חבורה נורמלית(‪,‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫∼ ‪Dn‬‬
‫‪= σ, τ | σ n = τ 2 = (στ )2 = 1 .‬‬
‫כידוע‪ ,‬הומומורפיזם נקבע על־ידי הערכים שלו על קבוצת יוצרים; אבל לא כל בחירה של תמונות אכן‬
‫מגדירה הומומורפיזם‪ .‬לדוגמא‪ ,‬אין הומומורפיזם ‪ Z4 →Z12‬השולח ‪ .1 7→ 1‬התרגיל הבא מראה מתי בחירת‬
‫התמונות של קבוצת היוצרים אכן מגדירה הומומורפיזם‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 3.6.14‬יהי ⟩‪ ⟨X|R‬ייצוג של חבורה‪ ,‬ותהי ‪ G‬חבורה כלשהי‪ .‬תהי ‪ f : X→G‬פונקציה כזו‬
‫שלכל ‪ r = xϵi11 · · · xϵinn ∈ R‬מתקיים ‪) f (xi1 )ϵ1 · · · f (xin )ϵn = 1‬במלים אחרות‪ ,‬ההצבה ‪ f‬שולחת את‬
‫היחסים לאיבר היחידה(‪ .‬אז יש הומומורפיזם ‪ φ : ⟨X|R⟩→G‬כך ש־)‪ φ(x) = f (x‬לכל ‪ .x ∈ X‬הדרכה‪ .‬זה‬
‫תרגיל ‪.3.5.1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.6.15‬תהי ‪ X‬קבוצת יוצרים‪ ,‬ותהיינה )‪ R, R′ ⊆ Free(X‬שתי קבוצות של יחסים‪ .‬אז יש‬
‫אפימורפיזם ⟩ ‪ ⟨X|R⟩→⟨X|R ∪ R′‬המוגדר לפי ‪ x 7→ x‬לכל ‪ ;x ∈ X‬בפרט‪ ⟨X|R ∪ R′ ⟩ ,‬היא חבורת‬
‫מנה של ⟩‪ .⟨X|R‬הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.3.6.14‬‬
‫‪36‬‬
‫‪ .3.6‬ייצוג בעזרת יוצרים ויחסים‬
‫פרק ‪ .3‬חבורות מנה‬
‫תרגיל ‪ (***) 3.6.16‬יהי ⟩‪ ⟨X|R‬ייצוג של חבורה‪ ,‬כאשר } ‪ .X = {x1 , . . . , xn‬נניח ש־} ‪X ′ = {x′1 , . . . , x′n‬‬
‫הם אברים של )‪ ,Free(X‬כך שגם ) ‪ .X ⊆ Free(X ′‬אז החבורה ⟩ ‪ ⟨X ′ |R′‬המתקבלת מהחלפת כל יוצר‬
‫ביחסים ‪ r ∈ R‬במלה המתאימה באותיות ‪ ,X ′‬היא חבורה איזומורפית ל־⟩‪.⟨X|R‬‬
‫הדרך לחשב את ⟩‪ ⟨X|R‬היא לכתוב מלים ביוצרים ‪ ,X‬ולהחליף כל מלה המופיעה ב־‪ R‬במלה הריקה‪.‬‬
‫כדי לבצע את ההחלפות בצורה מסודרת‪ ,‬אפשר להתחיל במלה הריקה וליצור גרף שבו מלה ‪ w‬מחוברת ל־‪wx‬‬
‫ב"צבע" ‪ ,x‬עבור כל ‪ .x ∈ Σ‬אם ‪ w‬מכילה תת־מלה ששייכת ל־‪ ,R‬מחליפים את הקודקוד ‪ w‬בקודקוד המתקבל‬
‫מהסרתה‪) .‬הגרף נקרא גרף קיילי של החבורה(‪ .‬קיימת שיטה של ‪ (1935) Todd-Coxeter‬לחישוב האינדקס‬
‫של תת־חבורה ⟩ ‪ ⟨Y‬ב־⟩‪ ,⟨X|R‬כאשר ⟩‪ .Y ⊆ ⟨X|R‬עם זאת הבעיה אינה ניתנת לחישוב באופן כללי‪ :‬לא קיים‬
‫אלגוריתם המכריע האם שתי הצגות סופיות מייצגות חבורות איזומורפיות‪ ,‬או אפילו האם ייצוג סופי ⟩‪⟨X|R‬‬
‫מייצג את החבורה הטריוויאלית‪.‬‬
‫במקום לכתוב את היחסים כאיברים באגף ימין‪ ,⟨x, y | . . . , w, . . .⟩ ,‬מקובל לכתוב משוואות מהצורה‬
‫‪ w = 1‬או אפילו ‪ w = w′‬במקום ‪.w′ w−1 = 1‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.6.17‬חשב את אברי החבורה ‪. x, y | x3 = y 2 = (xy)2 = 1‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.6.18‬חשב את אברי החבורה ‪. x, y | x3 = y 2 = xyx−1 y −1 = 1‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫תרגיל ‪ (***) 3.6.19‬צייר את גרף קיילי של ‪) x, y | x3 , y 3 , (xy)2‬ראו להלן‪ :‬החבורה היא ‪.(A4‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 3.6.20‬צייר חלק מספיק גדול של גרף קיילי של‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫‪G = x, y, z | x2 = y 2 = z 2 = (xy)3 = (yz)3 = (zx)3 = 1 ,‬‬
‫על־מנת להשתכנע שהחבורה אינסופית‪ .‬מצא הטלה ‪ .φ : G → S3‬הוכח שהגרעין נוצר על־ידי‬
‫‪ b = xyzy ,a = zxyx‬ו־‪ .c = yxzx‬הראה שהם מקיימים ‪ abc = 1‬ו־‪.ab = ba‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 3.6.21‬אברים ‪ a, b‬בחבורה מקיימים ‪ a2 = 1‬ו־ ‪ .ab2 a−1 = b3‬הוכח ש־‪ .b5 = 1‬הוכח‬
‫ש־⟩‪ ⟨a, b‬היא חבורת מנה של ‪.D5‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.6.22‬מצא תת־חבורה נורמלית של ‪ G = a, b | (ab)4 = (ba)4 , a2 b2 = 1‬כך שהמנה‬
‫ציקלית אינסופית‪ .‬הדרכה‪ .‬הצב ‪.c = ba‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 3.6.23‬אשר את ההצגות‬
‫; ‪A4‬‬
‫; ‪S4‬‬
‫; ‪A5‬‬
‫; ‪S5‬‬
‫; ‪A6‬‬
‫;) ‪GL2 (F3‬‬
‫;) ‪PSL2 (F7‬‬
‫‪PSL2 (F7 ).‬‬
‫∼‬
‫=‬
‫∼‬
‫=‬
‫∼‬
‫=‬
‫∼‬
‫=‬
‫∼‬
‫=‬
‫∼‬
‫=‬
‫∼‬
‫=‬
‫∼‬
‫=‬
‫חבורות קלאסיות‪:‬‬
‫⟨‬
‫‪x, y | x3 = y 3‬‬
‫⟨‬
‫‪x, y | x3 = y 4‬‬
‫⟨‬
‫‪x, y | x3 = y 5‬‬
‫הבאות של כמה‬
‫⟩‬
‫‪= (xy)2 = 1‬‬
‫⟩‬
‫‪= (xy)2 = 1‬‬
‫⟩‬
‫‪= (xy)2 = 1‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫‪x, y | x4 = y 6 = (xy)2 = (x−1 y)3 = 1‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫‪x, y | x4 = y 5 = (xy)2 = (x−1 y)5 = 1‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫‪x, y | x8 = y 3 = (xy)2 = [x4 , y] = 1‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫‪x, y | x3 = y 3 = (xy)4 = (xy −1 )4 = 1‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫‪x, y | x3 = y 2 = (xy)7 = [x, y]4 = 1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.6.24‬הגדר שיכון ‪ A4 ,→ S4‬בהתאמה להצגות הנתונות בתרגיל ‪.3.6.23‬‬
‫‪.yxy−1‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 3.6.25‬הראה שהחבורה ) ‪ ,SL2 (F3‬שסדרה ‪ ,24‬איזומורפית ל־‬
‫⟩‬
‫‪x, y, z | x3 = y 3 = 1, (xy)2 = z, xz = zx, yz = zy .‬‬
‫הדרכה‪x 7→ x, y 7→ .‬‬
‫⟨‬
‫מצא שיכון של חבורת הקווטרניונים ‪) Q4‬סעיף ‪ (3.6.1‬כתת־חבורה נורמלית ב־) ‪.SL2 (F3‬‬
‫הדרכה‪ .‬לחלק השני‪ α = xy :‬ו־‪ β = yx‬מקיימים ‪ ,α2 = β 2 = z‬וגם = ‪(αβ)2 = xyyxxyyx = x−1 x−1 y −1 x−1 y −1 x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−1 2‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1 2‬‬
‫∼ ⟩‪ .⟨α, β‬נוסף לזה ‪,xαx−1 = αβ ,xβx−1 = α‬‬
‫‪ ,x (yxyx) x = x β x = z‬ולכן ‪ ;βα = β (αβ) α = zαβ‬מכאן ש־‪= Q‬‬
‫ומכאן הנורמליות‪.‬‬
‫‪37‬‬
‫פרק ‪ .3‬חבורות מנה‬
‫‪ .3.6‬ייצוג בעזרת יוצרים ויחסים‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.6.26‬נסמן ‪) ∆n,m,k = x, y | xn = y m = (xy)k = 1‬נקראת גם חבורת המשולש של‬
‫)‪ (.(n, m, k‬מצא בסעיף זה כמה דוגמאות שבהן חושבה החבורה ‪ ,∆n,m,k‬והראה שבכולן סדר החבורה‬
‫‪1‬‬
‫‪ κ = n1 + m‬היא ה''עקמומיות'' של החבורה‪) .‬לעובדה זו יש הסבר‬
‫הוא ‪ |∆n,m,k | = κ2‬כאשר ‪+ k1 − 1‬‬
‫גאומטרי שלא נציג כאן‪ (.‬מצא את כל חבורות המשולש עם עקמומיות חיובית‪.‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫תרגיל ‪ (-***) 3.6.27‬נסמן ‪) Gn,m,k = a, b, c | a2 = b2 = c2 = (ab)n = (ac)m = (bc)k = 1‬זוהי‬
‫‪ .(Coxeter‬הראה שיש שיכון ‪⟨ ∆n,m,k ,→ Gn,m,k‬שהתמונה שלו מאינדקס ‪.2‬‬
‫דוגמא לחבורת‬
‫⟩‬
‫הדרכה‪ .‬הראה ש־ ‪a, x, y : a2 = (xa)2 = (ay)2 = xn = y m = (xy)k = 1‬‬
‫= ‪ ,Gn,m,k‬ושעם יוצרים אלה ⟩‪ ⟨x, y‬מאינדקס ‪.2‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 3.6.28‬נתבונן בחבורה‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫‪G = x, y | x4 = y 4 = (xy)2 = (x−1 y)n = 1 .‬‬
‫הראה ש־‪ b⟩ = yx−1 ,a = x−1 y‬מתחלפים⟨ ומקיימים ‪ .an = bn = 1‬בנוסף‪,xbx−1 = a−1 ,xax−1 = b ,‬‬
‫∼ ‪ .G/⟨a, b⟩ = x | x4 = 1‬לכן ‪.|G| = 4n2‬‬
‫ולכן ‪ ,⟨a, b⟩▹G‬עם מנה ‪= Z4‬‬
‫∼ ‪ ,G‬כאשר ‪ F‬חופשית‪ .‬היינץ הופף )‪Heintz‬‬
‫הערה ‪ 3.6.29‬לחבורה ‪ G‬יכולים להיות ייצוגים רבים בצורה ‪= F/N‬‬
‫‪ (Hopf‬הוכיח שהמנה ] ‪ ,M (G) = (N ∩ [F, F ])/[F, N‬הנקראת כופל שור של החבורה )על־שם ישי שור( אינה‬
‫תלויה בייצוג‪.‬‬
‫‪3.6.1‬‬
‫חבורת הקווטרניונים‬
‫הגדרה ‪ 3.6.30‬חבורת הקווטרניונים הכללית מוגדרת על־פי הייצוג‬
‫⟩‬
‫‪= i, j | in = j 2 , j 4 = 1, jij −1 = i−1 .‬‬
‫⟨‬
‫‪Q2n‬‬
‫את ‪ Q4‬מסמנים לפעמים באות ‪ ,Q‬והיא נקראת סתם חבורת הקווטרניונים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.6.31‬כל איבר של ‪ Q2n‬אפשר לכתוב בצורה ‪ ia j b‬ולכן‬
‫{‬
‫}‬
‫‪= ia j b : a = 0, . . . , n − 1, b = 0, 1, 2, 3 .‬‬
‫‪Q2n‬‬
‫בפרט ‪) |Q2n | = 4n‬ולכן ‪.(|Q4 | = 8‬‬
‫⟩‪⟨ 2‬‬
‫∼ ) ‪.Q2n /Z(Q2n‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.6.32‬המרכז של ‪ Q2n‬הוא ‪ , j‬ו־ ‪= Dn‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 3.6.33‬מצא את תת־החבורות של ‪ Q4‬והראה שכולן אבליות ונורמליות‪.‬‬
‫∼ ‪.D4‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.6.34‬הראה ש־ ‪̸ Q4‬‬
‫=‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫תרגיל ‪.2.8.9‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.6.35‬בחבורה ‪ ,Q4‬סמן ‪ ,k = ij‬ו־ ‪ .−1 = i2 = j 2‬הראה ש־}‪,Q4 = {±1, ±i, ±j, ±k‬‬
‫כאשר ‪ −1‬יוצר את המרכז ו־‪.(−1)2 = 1‬‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫‪0 1 ,î = i 0‬‬
‫‪ .ĵ = −1‬בדוק ש־= ̂‪ĵ i‬‬
‫‪0‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 3.6.36‬באלגברת המטריצות )‪ ,M2 (C‬נסמן ‪0 −i‬‬
‫⟩ ⟨‬
‫∼ ̂‪. î, j‬‬
‫̂‪ −îj‬ו־‪ .î2 = ĵ 2 = −1‬הראה ש־ ‪= Q4‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 3.6.37‬נסמן ב־‪ H‬את חבורת כל המטריצות מהצורה ̂‪ ,x + y î + z ĵ + uîj‬כאשר‬
‫‪x2 + y 2 + z 2 + u2 = 1.‬‬
‫הראה ש־‪ ,|H| = 24‬ו־‪.Q4 ▹H‬‬
‫לתרגיל ‪.(3.6.25‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Z,‬‬
‫‪2‬‬
‫∈ ‪x, y, z, u‬‬
‫∼ ⟩‪.H/⟨−1‬‬
‫הראה ש־ ‪= A4‬‬
‫∼ ‪) H‬השווה‬
‫הראה ש־) ‪= SL2 (F3‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 3.6.38‬נסמן ב־‪ B‬את חבורת כל המטריצות מהצורה ̂‪ ,x + y î + z ĵ + uîj‬כאשר ‪x, y, z, u‬‬
‫מקיימים את התנאים של תרגיל ‪ ,3.6.37‬או ש־)‪ (x, y, z, u‬מתקבל מתמורה זוגית של הווקטור‬
‫‪−1‬‬
‫√‬
‫) ‪ ,(0, 12 , φ2 , φ2‬ו־ ‪ .φ = 1+2 5‬בפרט הראה ש־‪ .H < B‬הראה ש־‪ .|B| = 120‬חבורה זו נקראת‬
‫∼ ‪.B‬‬
‫חבורת האיקוסהדרון הכפולה‪ .‬הראה ש־) ‪= SL2 (F5‬‬
‫‪38‬‬
‫‪ .3.6‬ייצוג בעזרת יוצרים ויחסים‬
‫פרק ‪ .3‬חבורות מנה‬
‫תרגיל ‪ (-***) 3.6.39‬הראה שהחבורה ) ‪ ,SL2 (F5‬שסדרה ‪ ,120‬איזומורפית ל־‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫; ‪x, y | x3 = y 5 = (xy)4 = 1, (xy)2 = (yx)2‬‬
‫וגם ל־‬
‫ול־‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫; ‪a, b, c | a2 = b3 = c5 = abc‬‬
‫⟩‬
‫‪α, β | (αβ)2 = α3 = β 5 .‬‬
‫⟨‬
‫מצא שיכון של חבורת הקווטרניונים ‪ Q4‬כתת־חבורה ב־) ‪) SL2 (F5‬ראה תרגיל ‪.(10.2.10‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 3.6.40‬נתבונן בחבורה ‪ G‬שהיוצרים שלה ‪ x1 , . . . , xn−1‬מקיימים את היחסים ‪,x2i = −1‬‬
‫‪) xj xi = −xi xj‬לכל ‪ ,(i ̸= j‬כאשר ‪ −1‬הוא איבר מרכזי מסדר ‪ .2‬הראה ש־ ‪ ,|G| = 2n‬וש־‪.Z(G) = 1‬‬
‫∼ ‪ .G‬הערה‪ .‬חבורה זו מופיעה בהוכחה של משפט ‪ ,1898 ,Hurwitz‬הקובע שלא קיימת נוסחת‬
‫עבור ‪= Q4 ,n = 3‬‬
‫מכפלה לסכומי ריבועים אלא עבור סכומים של ‪ 2, 4, 8‬ריבועים בלבד‪.‬‬
‫‪39‬‬
‫פרק ‪ .3‬חבורות מנה‬
‫‪ .3.6‬ייצוג בעזרת יוצרים ויחסים‬
‫‪40‬‬
‫פרק ‪4‬‬
‫סריג תת־החבורות‬
‫בפרק הזה נכיר עוד תכונות של אוסף תת־החבורות של חבורה‪ ,‬הקושרות תת־חבורות של חבורה לתת־החבורות‬
‫של חבורת מנה שלה‪.‬‬
‫הפעולות הבסיסיות בין תת־חבורות הן חיתוך )החיתוך של שתי תת־חבורות הוא תמיד תת־חבורה‪,‬‬
‫והחיתוך של תת־חבורות נורמליות הוא תמיד תת־חבורה נורמלית(‪ ,‬ומכפלה )המכפלה של תת־חבורות היא‬
‫תת־חבורה אם ורק אם הן מתחלפות‪ ,‬כקבוצות(‪ .‬מתברר שאוסף תת־החבורות הנורמליות של חבורה‬
‫)שהוא סריג( מקיים את תכונת המודולריות‪ .‬חבורות מנה המערבות את החיתוך והמכפלה מופיעות במשפט‬
‫האיזומורפיזם השני ומשפט האיזומורפיזם השלישי‪ .‬את סריג תת־החבורות של חבורת מנה מתאר משפט‬
‫המרָכז‪.‬‬
‫ְ‬
‫ההתאמה‪ .‬סעיף ‪ 4.7‬עוסק בכמה תכונות של‬
‫אם תת־חבורות ‪ A, B‬נחתכות באופן טריוויאלי ומכפלתן היא החבורה כולה‪ ,‬אז הן משלימות‪ .‬תכונה‬
‫זו מופיעה במכפלה ישרה פנימית‪ ,‬וגם במכפלה ישרה למחצה שנפגוש בעתיד‪ .‬כל חבורה שהיא מכפלה ישרה‬
‫פנימית מתפרקת גם כמכפלה ישרה חיצונית )ולהיפך(‪.‬‬
‫תת־חבורת הקומוטטורים ‪ G′‬מודדת עד כמה החבורה ‪ G‬רחוקה מאבליות‪ .‬המנה ‪ G/G′‬היא המנה‬
‫האבלית הגדולה ביותר של ‪ .G‬סעיף ‪ ,4.9‬שהוא מתקדם יותר‪ ,‬מציג את הרעיון של תת־חבורה מקסימלית‬
‫וחבורת מנה מקסימלית בעלות תכונות מסויימות‪ ,‬באופן אבסטרקטי‪.‬‬
‫‪4.1‬‬
‫חיתוך של תת־חבורות‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.1.1‬נורמליות מחלחלת‪ :‬אם ‪ H ≤ G‬ו־‪ ,N ▹G‬אז ‪ .N ∩ H▹H‬מצא דוגמה נגדית המראה‬
‫שלא בהכרח ‪.N ∩ H▹N‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.1.2‬אם ‪ ,N1 , N2 ▹G‬אז גם ‪.N1 ∩ N2 ▹G‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.1.3‬אם ‪ A▹A1 , B▹B1‬תת־חבורות של ‪ ,G‬אז ‪.A ∩ B▹A1 ∩ B1‬‬
‫הגדרה ‪ 4.1.4‬חבורה ‪ G‬היא פשוטה אם אין לה תת־חבורות נורמליות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.1.5‬נתון ש · · · ⊆ ‪ G1 ⊆ G2 ⊆ · · · ⊆ Gn‬חבורות פשוטות‪ .‬הוכח שגם ‪Gn‬‬
‫‪4.2‬‬
‫∪‬
‫‪n‬‬
‫= ‪ G‬פשוטה‪.‬‬
‫כפל תת־חבורות‬
‫בהמשך להגדרת הקוסטים‪ ,‬שבה הכפלנו איבר בקבוצה‪ ,‬אנו מגדירים עבור תת־קבוצות ‪:A, B ⊂ G‬‬
‫‪AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B},‬‬
‫{‬
‫}‬
‫‪A−1 = a−1 : a ∈ A .‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 4.2.1‬הוכח את התכונות‬
‫‪41‬‬
‫פרק ‪ .4‬סריג תת־החבורות‬
‫‪ .4.2‬כפל תת־חבורות‬
‫‪,A(BC) = (AB)C .1‬‬
‫‪,(AB)−1 = B −1 A−1 .2‬‬
‫‪.(A−1 )−1 = A .3‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 4.2.2‬אוסף תת־הקבוצות הלא ריקות של חבורה ‪ G‬הוא מונויד ביחס לפעולת הכפל של‬
‫קבוצות‪ ,‬שבו }‪ {1‬הוא איבר היחידה‪ ,‬ו־‪ G‬איבר אפס‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 4.2.3‬תת־קבוצה לא ריקה ‪ A ⊆ G‬היא תת־חבורה אם ורק אם ‪ AA = A‬ו־‪.A−1 = A‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 4.2.4‬תהיינה ‪ A, B ⊆ G‬תת־קבוצות לא ריקות כך ש־|‪ .|G| < |A| + |B‬הראה ש־‪.AB = G‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.2.5‬נניח ש־‪ H ⊆ G‬תת־קבוצה‪ ,‬ונגדיר ‪ ≡H‬כבסעיף ‪ .3.1‬הוכח שאם ‪ ≡H‬יחס שקילות‪ ,‬אז‬
‫‪ H‬תת־חבורה‪.‬‬
‫בפרק ‪ 4‬נתבונ ן באוסף תת־החבורות כבסריג‪.‬‬
‫החבורה‬
‫הגדולה‬
‫ביותר‬
‫בשתי‬
‫המוכלת‬
‫מנקודת מבט זו חשוב לזהות את תת־‬
‫תת־חבורות‪,‬‬
‫שהיא‬
‫כמובן‬
‫החיתוך‬
‫‪,H1 ∩ H2‬‬
‫ואת‬
‫תת־החבורה הקטנה ביותר המכילה את שתיהן‪ ,‬שהיא תת־החבורה הנוצרת על־ידי האיחוד‪,‬‬
‫⟩ ‪.⟨H1 ∪ H2 ⟩ = ⟨H1 , H2‬‬
‫א־פריורי‪ ,‬האברים בתת־החבורה הנוצרת עשויים להיות מאד מסובכים‬
‫‪′′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫)למשל‪ xyx′ y ′ x′′ ,‬כאשר ‪ .(y, y ∈ H2 ,x, x , x ∈ H1‬המקרה הפשוט ביותר הוא כאשר המכפלה‬
‫‪ ,H1 H2‬שהאברים שלה פשוטים ומובנים‪ ,‬היא חבורה בעצמה‪.‬‬
‫משפט ‪ 4.2.6‬המכפלה ‪ H1 H2‬של תת־החבורות ‪ H2 ,H1‬היא תת־חבורה אם ורק אם ‪.H1 H2 = H2 H1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.2.7‬הוכח את המשפט‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.4.2.3‬‬
‫שימו לב שהתנאי ‪ H1 H2 = H2 H1‬אינו אומר שכל איבר של ‪ H1‬מתחלף עם כל איבר של ‪,H2‬‬
‫ואפילו לא שכל ‪ x ∈ H1‬מקיים ‪ .xH2 = H2 x‬התנאי אומר רק שלכל ‪ x1 ∈ H1‬ו־ ‪ x2 ∈ H2‬יש ‪x′2 ∈ H2‬‬
‫ו־ ‪ x′1 ∈ H1‬כך ש־ ‪ ,x2 x1 = x′1 x′2‬ולהיפך‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 4.2.8‬תהיינה ‪ H1 , H2 ≤ G‬תת־חבורות‪ .‬הראה שאם ‪ H1 H2 ⊆ H2 H1‬אז ‪.H1 H2 = H2 H1‬‬
‫הדרכה‪ .‬הפוך‪.‬‬
‫תרגיל ‪) (**) 4.2.9‬דוגמה נגדית ל"מכפלת תת־חבורות היא תמיד תת־חבורה"‪ (:‬מצא תת־חבורות‬
‫של ‪ S3‬שאינן מתחלפות‪.‬‬
‫טענה ‪ 4.2.10‬אם ‪ H1 , H2 ≤ G‬תת־חבורות מתחלפות‪ ,‬אז = ] ‪[H1 H2 : H1‬‬
‫] ‪.[H2 : H1 ∩ H2‬‬
‫| ‪|H1 |·|H2‬‬
‫במלים אחרות )כאשר ‪ H1 H2‬סופיות(‪.|H1 H2 | = |H1 ∩H2 | ,‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 4.2.11‬הוכח את הטענה‪.‬‬
‫‪H1 H2B‬‬
‫‪BBBB‬‬
‫‪mm‬‬
‫‪BBBB‬‬
‫‪H1 B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪BBBB‬‬
‫‪BBBB‬‬
‫‪B‬‬
‫‪mm H2‬‬
‫‪H1 ∩ H2‬‬
‫הדרכה‪ .‬הגדר פונקציה ‪.f : H1 × H2 → H1 H2‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.2.12‬תהיינה ‪ N, H‬תת־חבורות של ‪ ,G‬כאשר ‪ N‬נורמלית‪ .‬אז‪:‬‬
‫‪,N H ≤ G .1‬‬
‫‪,N ▹N H .2‬‬
‫‪ .3‬ו־‪.N ∩ H▹H‬‬
‫משפט ‪) 4.2.13‬משפט האיזומורפיזם השני( תהי ‪ G‬חבורה עם תת־חבורה ‪ H‬ותת־חבורה נורמלית ‪.N‬‬
‫∼ ‪.N H/N‬‬
‫‪= H/N ∩ H‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.2.14‬הוכח את המשפט‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬הגדר ‪ φ : H → N H/N‬לפי ‪.φ(h) = hN‬‬
‫‪42‬‬
‫אז‬
‫‪ .4.2‬כפל תת־חבורות‬
‫פרק ‪ .4‬סריג תת־החבורות‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.2.15‬תהי ‪ G‬חבורה עם תת־חבורה נורמלית ‪ .N‬נגדיר ‪ θ : G→G/N‬לפי ‪ .θ(g) = gN‬תהי‬
‫∼ ) ‪.H/Ker(θ|H‬‬
‫‪ .H ≤ G‬בדוק שמשפט האיזומורפיזם השני אינו אלא הטענה ש־) ‪= Im(θ|H‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.2.16‬נניח ש־ ‪ N ▹H1‬הן תת־חבורות של ‪ ,G‬ו־‪ H2 ▹G‬תת־חבורה נורמלית‪ .‬הראה‬
‫שההעתקה ‪ H1 /N → G/H2‬המוגדרת לפי ‪ ,h1 N 7→ h1 H2‬מוגדרת היטב אם ורק אם ‪.N ⊆ H2‬‬
‫הראה שההעתקה חד־חד־ערכים אם ורק אם ‪ ,N = H1 ∩ H2‬ועל אם ורק אם ‪.G = H1 H2‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.2.17‬תהי ‪ G‬חבורה עם תת־חבורה ‪ H‬ותת־חבורות נורמליות ‪ .N, N ′‬הוכח‪ :‬אם = ‪N ∩ H‬‬
‫∼ ‪.(HN )/N‬‬
‫‪ ,N ′ ∩ H‬אז ‪= (HN ′ )/N ′‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.2.18‬תהי ‪ G‬חבורה עם תת־חבורה ‪ H‬ותת־חבורות נורמליות ‪ .N, N ′‬הוכח‪ :‬אם = ‪HN‬‬
‫∼ ) ‪.N/(H ∩ N‬‬
‫‪ ,HN ′‬אז ) ‪= N ′ /(H ∩ N ′‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 4.2.19‬תהיינה ‪ H, B, C‬תת־חבורות של חבורה ‪ ,G‬כך ש־‪ B, C‬נורמליות ו־‪ .B ⊆ H‬מצא‬
‫העתקות ‪ f‬חח"ע ו־‪ g‬על‪ ,‬כך ש־)‪ Im(f ) = Ker(g‬בסדרה הבאה‪:‬‬
‫‪H ∩ C f H g HC‬‬
‫→‪−‬‬
‫→‪−‬‬
‫‪→ 0.‬‬
‫‪B∩C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪BC‬‬
‫→‪0‬‬
‫תרגיל ‪ N ▹G (**) 4.2.20‬ו־ ‪ N, G/N‬אבליות‪ H .‬תת־חבורה של ‪ .G‬הוכח שקיימת ‪ ,K▹H‬כך ש־‬
‫‪ K, H/K‬אבליות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 4.2.21‬יהי ‪ φ : G1 → G2‬הומומורפיזם‪ .‬תהיינה ‪ Ki ▹Hi ≤ Gi‬תת־חבורות‪ .‬הוכח שאם‬
‫‪ φ(H1 ) ⊆ H2‬ו־ ‪ ,φ(K1 ) ⊆ K2‬אז ‪ φ̃(h1 K1 ) = φ(h1 )K2‬מגדיר הומומורפיזם ‪.φ̃ : H1 /K1 → H2 /K2‬‬
‫הראה שיתכן ש־‪ φ‬חד־חד־ערכית‪ ,‬אבל ̃‪ φ‬אינה כזו‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 4.2.22‬באופן אנלוגי לטענה ‪ 2.2.38‬אפשר לשאול עבור תת־חבורות ‪ :A, B, C ≤ G‬נניח‬
‫ש־‪ A ⊆ BC‬ו־‪" A, B‬זרות"‪ ,‬האם בהכרח ‪?A ⊆ C‬‬
‫‪ .1‬נניח ש־‪ .A ⊆ BC‬אם ‪ C▹G‬ו־‪ ,(|A|, |B|) = 1‬אז ‪.A ⊆ C‬‬
‫‪ .2‬הנחת הנורמליות של ‪ C‬בסעיף הראשון הכרחית‪ :‬תן דוגמה שבה ‪ B▹G ,1 ̸= A ⊆ BC‬ו־‬
‫‪ ,(|A|, |B|) = 1‬אבל ‪.A ∩ C = 1‬‬
‫‪ .3‬ההנחה ש־‪ (|A|, |B|) = 1‬בסעיף הראשון הכרחית‪ :‬תן דוגמה שבה ‪,B, C▹G ,1 ̸= A ⊆ BC‬‬
‫‪ A ∩ B = 1‬ובכל זאת ‪.A ∩ C = 1‬‬
‫תרגיל ‪) (***) 4.2.23‬הלמה של זסנהאוס( תהיינה ‪ ,B▹B1 ,A▹A1‬תת־חבורות של ‪ .G‬הוכח‪:‬‬
‫א‪.A1 ∩ B▹A1 ∩ B1 .‬‬
‫ב‪.A(A1 ∩ B)▹A(A1 ∩ B1 ) .‬‬
‫) ‪A(A1 ∩B1‬‬
‫) ‪B(A1 ∩B1‬‬
‫∼ )‪ . A(A ∩B‬הדרכה‪ .‬התבונן ב־) ‪ ,D = (A1 ∩ B)(A ∩ B1‬והעזר בדיאגרמה‪:‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪= B(A∩B‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪1‬‬
‫‪B1‬‬
‫‪FF‬‬
‫‪FF‬‬
‫‪xx‬‬
‫‪xxx‬‬
‫) ‪B(A1 ∩ B1‬‬
‫‪A1‬‬
‫) ‪A(A1 ∩ B1‬‬
‫‪LLL‬‬
‫‪LL‬‬
‫‪rr‬‬
‫‪rrr‬‬
‫) ‪∩ B1‬‬
‫‪LLL A1 ∩ B1 rB(A‬‬
‫‪GGG‬‬
‫‪r‬‬
‫‪LLL‬‬
‫‪r‬‬
‫‪GG‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D M‬‬
‫‪MMM‬‬
‫‪vv‬‬
‫‪qqq‬‬
‫‪v‬‬
‫‪M‬‬
‫‪q‬‬
‫‪v‬‬
‫‪M‬‬
‫‪q‬‬
‫‪v‬‬
‫‪q‬‬
‫‪A ∩ B1‬‬
‫‪A1 ∩ B‬‬
‫‪MMM‬‬
‫‪qq‬‬
‫‪MM‬‬
‫‪qqq‬‬
‫)‪A(A1 ∩ B‬‬
‫‪ww‬‬
‫‪www‬‬
‫‪A G‬‬
‫‪GGG‬‬
‫‪G‬‬
‫‪A∩B‬‬
‫‪43‬‬
‫‪ .4.3‬מכפלה ישרה פנימית‬
‫‪4.3‬‬
‫פרק ‪ .4‬סריג תת־החבורות‬
‫מכפלה ישרה פנימית‬
‫הגדרה ‪ 4.3.1‬תת־חבורות ‪ H, K ≤ G‬הן משלימות אם ‪ H ∩ K = 1‬ו־‪.HK = G‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 4.3.2‬הראה שאם ‪ H, K‬משלימות אז ‪.HK = KH‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 4.3.3‬נניח ש־‪ H, K‬משלימות‪ .‬אז לכל איבר ‪ g ∈ G‬יש הצגה יחידה בצורה ‪ g = hk‬עבור‬
‫‪ h ∈ H‬ו־‪.k ∈ K‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 4.3.4‬אם ‪ A, B‬תת־חבורות משלימות של ‪ G‬ו־‪ ,A ⊆ A1 ≤ G‬אז |‪.[A1 : A] = |A1 ∩ B‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 4.3.5‬תן דוגמה נגדית לטענה הבאה‪ :‬אם ‪ A, B‬תת־חבורות משלימות של ‪ G‬ו־‪ ,A0 ▹A‬אז‬
‫‪ A0 B‬היא חבורה‪ .‬הצעה‪ .‬קח ‪.A = K4 ,G = A4‬‬
‫הגדרה ‪ G 4.3.6‬היא מכפלה ישרה פנימית של תת־חבורות ‪ H, K‬אם ‪ H, K‬נורמליות ומשלימות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 4.3.7‬אם ‪ G‬אבלית ו־‪ H, K‬משלימות‪ ,‬אז ‪ G‬היא מכפלה ישרה שלהן‪.‬‬
‫מתחלפים‬
‫אברים‬
‫‪commuting‬‬
‫=‬
‫‪.elements‬‬
‫איבר מהצורה ‪ [x, y] = xyx−1 y −1‬נקרא קומוטטור )משום שהוא מודד באיזו מידה ‪ x‬ו־‪ y‬מתחלפים‪ ,‬או‬
‫אינם מתחלפים‪ ,‬זה עם זה(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ [x, y] = 1 (*) 4.3.8‬אם ורק אם ‪.xy = yx‬‬
‫הגדרה ‪ 4.3.9‬תהיינה ‪ [A, B] .A, B ≤ G‬היא תת־החבורה של ‪ G‬הנוצרת על־ידי הקומוטטורים ]‪ [a, b‬עבור ‪.a ∈ A, b ∈ B‬‬
‫)הבדילו בין הסימון הזה לסימון האינדקס ]‪ .[G : H‬נעסוק בתת־חבורת הקומוטטורים שוב בסעיף ‪(.4.8‬‬
‫תרגיל ‪ [A, B] = 1 (*) 4.3.10‬אם ורק אם כל איבר ‪ a ∈ A‬מתחלף עם כל איבר ‪.b ∈ B‬‬
‫קריטריון‬
‫למכפלה ישרה‪.‬‬
‫חשוב‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.3.11‬תהיינה ‪ H, K‬תת־חבורות משלימות‪ .‬הוכח‪ H, K▹G :‬אם ורק אם ‪.[H, K] = 1‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 4.3.12‬תהי ‪ G‬מכפלה ישרה פנימית של ‪ ,H1 , H2‬ו־ ‪ N‬תת־חבורה נורמלית המקיימת ∩ ‪N‬‬
‫‪ .H1 = N ∩ H2 = 1‬הוכח ש־)‪.N ⊆ Z(G‬‬
‫תרגיל ‪ (-**) 4.3.13‬המכפלה הישרה החיצונית ‪ G = A × B‬היא מכפלה ישרה פנימית של תת־החבורות‬
‫} ‪ A × {1B‬ו־‪.{1A } × B‬‬
‫מכפלה ישרה פנימית וחיצונית הן למעשה אותו הדבר‪:‬‬
‫∼ ‪.G‬‬
‫משפט ‪ 4.3.14‬אם ‪ G‬מכפלה ישרה פנימית של ‪ ,H, K‬אז ‪= H × K‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.3.15‬הוכח את המשפט‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬הגדר ‪ φ : H × K → G‬לפי ‪.φ(h, k) = hk‬‬
‫תרגיל ‪ Z4 (+**) 4.3.16‬אינה מכפלה פנימית ישרה של תת־חבורות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.3.17‬תהיינה ‪ .A, B▹G‬מצא שיכון ‪.G/(A ∩ B) ,→ G/A × G/B‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.3.18‬נניח ש־‪ .A, B▹G‬הראה שהמנה )‪ AB/(A ∩ B‬היא מכפלה ישרה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ H, K (***) 4.3.19‬תת־חבורות נורמליות של ‪ ,G‬שהמנות ביחס אליהן אבליות‪ .‬הוכח ש־‪G/H ∩K‬‬
‫אבלית‪ .‬הדרכה‪ .‬תרגיל ‪ .4.3.17‬הערה‪ .‬מתרגיל זה אפשר להסיק את קיומן של מנות מקסימליות מטיפוס מסויים‪ ,‬ראה‬
‫תרגיל ‪.4.9.7‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.3.20‬תהיינה ‪ .H1 , H2 , K▹G‬אם ‪ G = H1 H2 K‬ומתקיים ‪ ,H1 ∩ (H2 K) ⊆ K‬אז ‪G/K‬‬
‫מכפלה ישרה פנימית של ‪ H2 K/K‬ו־‪.H1 K/K‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫∼ ‪ ϵ | ϵ2 = 1‬ו־ ‪ .G0‬הוכח שכל תת־חבורה‬
‫תרגיל ‪ (***) 4.3.21‬נניח ש־‪ G‬מכפלה ישרה פנימית של ‪= Z2‬‬
‫של ‪ G‬שאינה מכילה את ‪ ,ϵ‬איזומורפית לתת־חבורה של ‪ .G0‬הדרכה‪ .‬אם ‪ ,H ̸⊂ G0‬נפרק ‪ H = H0 ∪ H1‬כאשר‬
‫∼ ‪.H‬‬
‫‪ H0 = H ∩ G0‬ו־ ‪ .H1 = H−H0‬הראה ש־ ‪= H0 ∪ ϵH1 ≤ G0‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.3.22‬תהי ‪ G‬חבורה עם תת־חבורה ‪ G0‬מאינדקס ‪ .2‬נניח שיש אפימורפיזם ‪ φ : G→G0‬כך‬
‫∼ ‪.G‬‬
‫ש־ ‪ .Ker(φ) ̸⊆ G0‬אז ‪= G0 × Z2‬‬
‫‪44‬‬
‫פרק ‪ .4‬סריג תת־החבורות‬
‫‪4.3.1‬‬
‫‪ .4.4‬סריג תת־החבורות‬
‫מכפלה ישרה של כמה תת־חבורות‬
‫הגדרה ‪ 4.3.23‬החבורה ‪ G‬היא מכפלה ישרה פנימית של ‪ H1 , . . . , Ht‬אם‬
‫‪ .1‬לכל ‪.Hi ▹G ,i‬‬
‫‪ .2‬לכל ‪.Hi ∩ (H1 · · · Hi−1 Hi+1 · · · Ht ) = 1 ,i‬‬
‫‪.H1 · · · Ht = G .3‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.3.24‬אשר שהגדרה ‪ ,4.3.23‬עבור ‪ ,t = 2‬מסכימה עם הגדרה ‪.4.3.6‬‬
‫∼ ‪.G‬‬
‫משפט ‪ 4.3.25‬אם ‪ G‬מכפלה ישרה פנימית של ‪ ,H1 , . . . , Ht‬אז ‪= H1 × · · · × Ht‬‬
‫הוכחה‪ .‬באינדוקציה על ‪ .t‬אם ‪ t = 2‬זהו משפט ‪ .4.3.14‬נסמן ‪ ,H = H1 · · · Ht−1‬שהיא תת־חבורה נורמלית‬
‫∼ ‪ .H‬אבל לפי ההנחה‬
‫של ‪ G‬כי ‪ H1 , . . . , Ht−1‬נורמליות‪ .‬לפי הנחת האינדוקציה‪= H1 × · · · × Ht−1 ,‬‬
‫‬
‫∼ ‪.H‬‬
‫∼ ‪= H × Ht‬‬
‫‪ HHt = G‬ו־‪ ,H ∩ Ht = 1‬ולכן ‪= H1 × · · · × Ht−1 × Ht‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 4.3.26‬תן דוגמה לחבורה ‪ G‬עם תת־חבורות נורמליות ‪ ,Hi ▹G‬כך ש־ ‪G = H1 H2 H3‬‬
‫ו־‪ Hi ∩ Hj = 1‬לכל ‪ ,i, j‬אבל ‪ G‬אינה מכפלה ישרה פנימית של ‪.H1 , H2 , H3‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 4.3.27‬נניח ש־‪ .G = H1 H2 H3 ,Hi ▹G‬אם ‪ H1 ∩ H2 H3 = H2 ∩ H3 = 1‬אז ‪ G‬מכפלה‬
‫ישרה פנימית של ‪.H1 , H2 , H3‬‬
‫‪4.4‬‬
‫סריג תת־החבורות‬
‫‪ 4.4.1‬סריגים‬
‫הגדרה ‪ 4.4.1‬קבוצה ‪ Λ‬עם יחס סדר חלש ≤ נקראת סריג אם לכל ‪ a, b ∈ Λ‬יש חסם עליון וחסם תחתון לקבוצה }‪.{a, b‬‬
‫במלים אחרות‪ ,‬מקסימום לקבוצה }‪ ,{x : x ≤ a, x ≤ b‬ומינימום לקבוצה }‪ .{x : a ≤ x, b ≤ x‬את הראשון מסמנים ‪a ∧ b‬‬
‫ואת השני ‪.a ∨ b‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 4.4.2‬לכל ‪ a, b‬בסריג‪ x ≤ a, b ,‬אם ורק אם ‪ ;x ≤ a ∧ b‬ו־‪ a, b ≤ x‬אם ורק אם ‪.a ∨ b ≤ x‬‬
‫היזכר בתרגיל ‪ .2.2.26‬להלן דוגמה נוספת‪:‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.4.3‬תהי ‪ X‬קבוצה‪ .‬הראה שקבוצת החזקה )‪ ,P (X‬עם יחס ההכלה‪ ,‬היא סריג‪ ,‬שבו‬
‫‪ A ∨ B = A ∪ B‬ו־‪.A ∧ B = A ∩ B‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.4.4‬תן דוגמה לתת־קבוצה של )‪ P (X‬שאיננה סריג‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.4.5‬הוכח את התכונות הבאות‪ ;a ∧ b ≤ a ≤ a ∨ b :‬הפעולות ∨ ‪ ∧,‬הן סימטריות‬
‫ואסוציאטיביות; ‪ x ≤ a ∧ b‬אם ורק אם ‪ a ∨ b ≤ x ;x ≤ a, b‬אם ורק אם ‪.a, b ≤ x‬‬
‫‪4.4.2‬‬
‫הסריג של תת־החבורות‬
‫טענה ‪ 4.4.6‬אוסף תת־החבורות של חבורה‪ ,‬עם יחס ההכלה‪ ,‬הוא סריג‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.4.7‬הוכח את הטענה‪ :‬בדוק שלכל ‪ H1 ∩ H2 ,H1 , H2 ≤ G‬היא תת־החבורה הגדולה‬
‫ביותר המוכלת ב־ ‪ H1 , H2‬ו־⟩ ‪ ⟨H1 , H2‬היא תת־החבורה הקטנה ביותר המכילה את ‪.H1 , H2‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 4.4.8‬אם ‪ H1 H2‬תת־חבורה‪ ,‬אז ‪ .⟨H1 , H2 ⟩ = H1 H2‬אבל אם לא‪ H1 H2 ,‬אינה נמצאת‬
‫בסריג תת־החבורות‪ ,‬ולכן אינה יכולה לשמש בעצמה כחסם עליון‪.‬‬
‫‪45‬‬
‫זו הגדרה נוחה לשימוש‬
‫העליון‬
‫החסם‬
‫של‬
‫והחסם התחתון בסריג‪.‬‬
‫פרק ‪ .4‬סריג תת־החבורות‬
‫‪ .4.5‬אינדקס של תת־חבורות‬
‫‪ 4.4.3‬מודולריות‬
‫תרגיל ‪ (-**) 4.4.9‬הראה שבכל סריג‪ ,‬אם ‪ C ≤ A‬אז )‪.(A ∧ B) ∨ C ≤ A ∧ (B ∨ C‬‬
‫הגדרה ‪ 4.4.10‬סריג הוא מודולרי אם לכל ‪ C ≤ A‬ולכל ‪ ,B‬מתקיים )‪.(A ∧ B) ∨ C = A ∧ (B ∨ C‬‬
‫בסריג מודולרי‪ ,‬אם ‪ ,C ≤ A‬מותר לכתוב ‪ A ∧ B ∨ C‬ללא חשש של דו־משמעות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.4.11‬הראה שסריג תת־הקבוצות )‪ P (X‬הוא מודולרי )כלומר‪ ,‬לכל שלוש קבוצות ‪,A, B, C‬‬
‫אם ‪ C ⊆ A‬אז )‪.((A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.4.12‬אם ‪ A, B, C‬תת־חבורות של ‪ G‬ו־‪ ,C ⊆ A‬אז )‪) (A ∩ B) · C = A ∩ (B · C‬אלו אינן‬
‫בהכרח תת־חבורות!(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 4.4.13‬אוסף תת־החבורות הנורמליות של חבורה ‪ G‬הוא סריג מודולרי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 4.4.14‬הראה שהסריג של כל תת־החבורות אינו בהכרח מודולרי‪.‬‬
‫הצעה‪ .‬קח ‪A = ,G = S4‬‬
‫⟩)‪.C = ⟨(12)⟩ ,⟨(12), (34‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.4.15‬תהיינה ‪ A, B, C‬תת־חבורות‪ ,‬כך ש־‪ ,B ∩ C = A ∩ C ,CA = CB‬ו־‪ .B ⊆ A‬הוכח‬
‫‪.A = B‬‬
‫∼ )‪BC/(A∩BC‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.4.16‬תהיינה ‪ ,A, B, C▹G‬כך ש־‪ .B ⊆ A‬הוכח את האיזומורפיזם ∩‪= C/A‬‬
‫‪ .C‬קבל את משפט האיזומורפיזם השני כמקרה פרטי‪ .‬הדרכה‪ .‬קח ‪.B = A‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 4.4.17‬תהי ‪ H‬תת־חבורה של ‪ ,G‬עם הומומורפיזם ‪ ψ : G→H‬כך ש־‪ .Ker(ψ) ∩ H = 1‬אז‬
‫)‪ .H = Im(ψ‬הדרכה‪ .‬יישם מודולריות לחבורות )‪ .H, Ker(ψ), Im(ψ‬הערה‪ .‬ראה גם תרגיל ‪.7.3.13‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 4.4.18‬בכל סריג מתקיים )‪.A ∨ (B ∧ C) ≤ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C‬‬
‫הגדרה ‪ 4.4.19‬סריג הוא דיסטריבוטיבי אם לכל ‪ A, B, C‬מתקיים השוויון‬
‫‪A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C).‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 4.4.20‬סריג תת־הקבוצות )‪ P (X‬הוא דיסטריבוטיבי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 4.4.21‬כל סריג דיסטריבוטיבי הוא מודולרי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.4.22‬סריג תת־החבורות הנורמליות אינו בהכרח דיסטריבוטיבי‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬יש להראות שלפעמים‬
‫)‪ .A(B ∩ C) ⊃ (AB) ∩ (AC‬בחר ‪.G = Z2 × Z2‬‬
‫‪4.5‬‬
‫אינדקס של תת־חבורות‬
‫תרגיל ‪ (+**) 4.5.1‬תהיינה ‪ A, B ≤ G‬תת־חבורות‪ .‬נניח ש־]‪ [G : A ∩ B‬סופי‪.‬‬
‫‪[A : A ∩ B] .1‬‬
‫=‬
‫]‪) [AB : B‬איננו מניחים כאן ש־‪ AB‬היא תת־חבורה‪(.‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫הפונקציה‬
‫}‪ {a(A ∩ B) : a ∈ A}→{aB : a ∈ A‬לפי ‪ a(A ∩ B) 7→ aB‬היא חד־חד־ערכית ועל‪.‬‬
‫‪ ,[A : A ∩ B] ≤ [G : B] .2‬ויש שוויון אם ורק אם ‪.G = AB‬‬
‫‪ .3‬הסק ש־]‪ ,[G : A ∩ B] ≤ [G : A] · [G : B‬עם שוויון אם ורק אם ‪) .G = AB‬זו טענה ‪(.4.2.10‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.5.2‬תהיינה ‪ .A, B ≤ G‬אם ]‪ [G : A], [G : B‬זרים‪ ,‬אז ‪.G = AB‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.4.5.1‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 4.5.3‬תהי ‪ H ≤ G‬תת־חבורה מאינדקס ‪.[G : H] = n‬‬
‫תרגיל ‪ 6.3.20‬מספק‬
‫תוצאה טובה יותר‪.‬‬
‫דוגמאות‬
‫בדוק‬
‫מספריות כדי להתרשם‬
‫שמספקת‬
‫מהשיפור‬
‫תת־חבורת ביניים‪.‬‬
‫‪ .1‬הוכח ש־‪ H‬מכילה תת־חבורה נורמלית מאינדקס ‪.[G : N ] ≤ nn‬‬
‫]‪[G:H‬‬
‫הדרכה‪ .‬הראה ש־≤ ])‪[G : CoreG (H‬‬
‫]‪ .[G : H‬את )‪ CoreG (H‬הגדרנו ב־‪.3.3.21‬‬
‫‪ .2‬נניח ש־‪ H ≤ T ▹G‬עם ‪ .[G : T ] = m‬הראה ש־‪ H‬מכילה תת־חבורה נורמלית ‪ N‬מאינדקס‬
‫‪.[G : N ] ≤ m · (n/m)n‬‬
‫‪46‬‬
‫פרק ‪ .4‬סריג תת־החבורות‬
‫‪4.6‬‬
‫‪ .4.6‬משפט ההתאמה‬
‫משפט ההתאמה‬
‫משפט ‪) 4.6.1‬משפט האיזומורפיזם השלישי( תהיינה ‪≤ N‬‬
‫∼ )‪.(G/K)/(N/K‬‬
‫‪= G/N‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.6.2‬הוכח את המשפט‪.‬‬
‫‪ K‬תת־חבורות נורמליות של חבורה ‪.G‬‬
‫אז‬
‫הדרכה‪ .‬הגדר ‪ φ : G/K → G/N‬לפי ‪.φ(gK) = gN‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.6.3‬תהיינה ‪ ,A, B, C▹G‬כך ש־‪ .B ⊆ A‬הוכח ש־‪ AC/BC‬היא חבורת מנה של ‪.A/B‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.6.4‬תהי ‪ .N ▹G‬כל תת־חבורה של ‪ G/N‬היא מהצורה ‪ H/N‬עבור ‪.N ⊆ H ≤ G‬‬
‫משפט ‪ 4.6.5‬יהי ‪ φ : G→H‬הומומורפיזם‪ ,‬עם גרעין )‪ .K = Ker(φ‬נסמן ב־ ‪ LG‬את אוסף תת־החבורות של ‪ G‬המכילות‬
‫את ‪ ,K‬וב־ ‪ LH‬את אוסף כל תת־החבורות של ‪ .Imφ‬שני אלו סריגים‪.‬‬
‫אז קיימת התאמה חד־חד־ערכית ועל ‪ ,α : LG →LH‬המקיימת‪:‬‬
‫‪) .1‬מונוטוניות( עבור ‪ G1 ≤ G2 ,G1 , G2 ∈ LG‬אם ורק אם ) ‪ .α(G1 ) ≤ α(G2‬ולכן ‪ α‬הוא איזומורפיזם‬
‫של סריגים‪.‬‬
‫‪) .2‬שמירה על חיתוך( ) ‪.α(G1 ∩ G2 ) = α(G1 ) ∩ α(G2‬‬
‫‪) .3‬שמירה על מכפלה( ) ‪.α(G1 G2 ) = α(G1 )α(G2‬‬
‫‪) .4‬שמירה על אינדקס( אם ‪ ,G2 ⊆ G1‬אז ]) ‪.[G1 : G2 ] = [α(G1 ) : α(G2‬‬
‫‪) .5‬שמירה על נורמליות( לכל ‪ N ▹H ,N, H ∈ LG‬אם ורק אם )‪.α(N )▹α(H‬‬
‫∼ ‪.H/N‬‬
‫‪) .6‬שמירה על מנות( אם ‪ N, H ∈ L1‬מקיימות ‪ ,N ▹H‬אז ) ‪= α(H)/α(N‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 4.6.6‬הוכח את המשפט‪.‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫קח }‪ ,α(H) = φ(H) = {φ(g) : g ∈ H‬ו־= ) ‪β(M ) = φ−1 (M‬‬
‫} ‪ .{g ∈ G : φ(g) ∈ M‬הראה שההעתקות מוגדרות היטב והופכות זו את זו‪ ,‬כלומר‪ α ◦ β = idLH ,‬וש־ ‪.β ◦ α = idL1‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 4.6.7‬נסח את המשפט במקרה ש־‪ φ : G→G/K‬הוא הומומורפיזם ההטלה‪ .g 7→ gN ,‬הערה‪.‬‬
‫מתקבלת התאמה בין תת־החבורות של ‪ G‬המכילות את ‪ ,K‬לבין תת־החבורות של ‪.G/K‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 4.6.8‬נניח ש־‪ K▹G‬ו־‪ .K ≤ H ≤ G‬אז ‪ H/K▹G/K‬אם ורק אם ‪.H▹G‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 4.6.9‬מצא את כל תת־חבורה מאינדקס ‪ 3‬של ‪ ,S4‬והראה שהן אינן נורמליות‪ .‬הדרכה‪.‬‬
‫⟩)‪ K4 = ⟨(12)(34), (13)(24‬היא תת־חבורה נורמלית מסדר ‪ .4‬הראה שהיא מוכלת בכל תת־חבורה מסדר ‪ 8‬של ‪ ,S4‬ומצא את החבורות‬
‫∼ ‪.S4 /K4‬‬
‫האלה בעזרת משפט ההתאמה מן העובדה ש־ ‪= S3‬‬
‫המרָכז‬
‫ְ‬
‫‪4.7‬‬
‫המרָכז של חבורה הגדרנו בהגדרה ‪.2.1.6‬‬
‫ְ‬
‫את‬
‫תרגיל ‪ (*) 4.7.1‬כל תת־חבורה נורמלית מסדר ‪ 2‬היא מרכזית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ .H ≤ G (**) 4.7.2‬הראה ש־)‪ ,H ∩ Z(G) ⊆ Z(H‬ותן דוגמא שבה זו הכלה אמיתית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 4.7.3‬תן דוגמה לחבורה ‪ G‬עם תת־חבורות ‪ H‬המדגימות את כל האפשרויות הבאות‪:‬‬
‫‪,Z(H) ⊂ Z(G) .1‬‬
‫‪,Z(G) ⊂ Z(H) .2‬‬
‫‪ Z(H) .3‬אינו מוכל ב־)‪ Z(G‬ואינו מכיל אותו‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 4.7.4‬אם ‪ H ≤ G‬ו־‪ ,N ▹G‬אז ) ‪.Z(H)N/N ⊆ Z(HN/N‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.7.5‬אם )‪ G/Z(G‬חבורה ציקלית‪ ,‬אז ‪ G‬אבלית‪.‬‬
‫‪47‬‬
‫זו עובדה חשובה ביותר‬
‫על חבורות מנה‪.‬‬
‫פרק ‪ .4‬סריג תת־החבורות‬
‫‪ .4.8‬תת־חבורת הקומוטטורים‬
‫תרגיל ‪ (-***) 4.7.6‬תהי ‪ H‬חבורה עם קבוצת יוצרים ‪ x1 , . . . , xm‬כך ש־‪ .⟨x1 ⟩ ∩ · · · ∩ ⟨xm ⟩ ̸= 1‬הראה‬
‫ש־‪ H‬אינה יכולה להיות מהצורה )‪ .G/Z(G‬הסק‪ :‬חבורת הקווטרניונים אינה מהצורה )‪ .G/Z(G‬הערה‪.‬‬
‫תרגיל זה מכליל את תרגיל ‪.4.7.5‬‬
‫תרגיל ‪ (+***) 4.7.7‬הראה שחבורת־‪ p‬אבלית ‪ Zpd1 ⊕ Zpd2 ⊕ · · · ⊕ Zpdt‬יכולה להיות מהצורה )‪G/Z(G‬‬
‫אם ורק אם ‪.dt = dt−1‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 4.7.8‬הראה שהמרכז של ) ‪ GLn (F‬שווה לאוסף המטריצות הסקלריות )מטריצות מהצורה‬
‫‪.(aI‬‬
‫שהמרָכז של ‪ Sn‬טריוויאלי )כאשר ‪.(n ≥ 3‬‬
‫ְ‬
‫בתרגיל ‪ 5.3.18‬נראה‬
‫‪4.8‬‬
‫תת־חבורת הקומוטטורים‬
‫הגדרה ‪ 4.8.1‬יהיו ‪ x, y ∈ G‬אברים של חבורה‪ .‬האיבר ‪ [x, y] = xyx−1 y −1‬נקרא הקומוטטור של ‪.x, y‬‬
‫תרגיל ‪ x, y (*) 4.8.2‬מתחלפים אם ורק אם ‪.[x, y] = 1‬‬
‫תרגיל ‪.[x, y]−1 = [y, x] (*) 4.8.3‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 4.8.4‬בחבורת מנה ‪.[xN, yN ] = [x, y]N ,G/N‬‬
‫הגדרה ‪ 4.8.5‬תהי ‪ G‬חבורה‪ .‬תת־חבורת הקומוטטורים של ‪ G‬היא תת־החבורה ‪ G′‬הנוצרת על־ידי הקומוטטורים ]‪,[x, y‬‬
‫‪.x, y ∈ G‬‬
‫משפט ‪ G/G′ 4.8.6‬היא המנה האבלית המקסימלית של ‪) G‬ונקראת האבליזציה של ‪ .(G‬ביתר פירוט‪:‬‬
‫‪.G′ ▹G .1‬‬
‫‪ G/G′ .2‬חבורה אבלית‪.‬‬
‫‪ .3‬לכל תת־חבורה ‪ G/N ,N ▹G‬קומוטטיבית אם ורק אם ‪) G′ ⊆ N‬ואז ‪ G/N‬חבורת מנה של ‪.(G/G′‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 4.8.7‬הוכח את המשפט‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.8.8‬אם ‪ ,N ▹G‬אז ‪.(G/N )′ = G′ N/N‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.8.9‬חשב את ‪ ,S3′‬את ‪ ,D4′‬ואת ‪.A′4‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 4.8.10‬אם ‪ N, M ▹G‬נחתכות באופן טריוויאלי ו־ ‪ ,G′ ⊆ N‬אז )‪.M ⊆ Z(G‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 4.8.11‬תהי ‪ H < G‬תת־חבורה ונניח שקיים איבר ‪ x ∈ G‬כך ש־‪ .⟨H, x⟩ = G‬אז ‪H‬‬
‫מוכלת בתת־חבורה מקסימלית של ‪ .G‬הדרכה‪ .‬הלמה של צורן‪ :‬אוסף תת־החבורות המכילות את ‪ H‬אבל לא את ‪ x‬סגור‬
‫לאיחוד של שרשראות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 4.8.12‬תת־חבורה מקסימלית של ‪) G‬כלומר תת־חבורה אמיתית שאינה מוכלת בשום‬
‫תת־חבורה אמיתית אחרת( אינה יכולה להכיל גם את ‪ G′‬וגם את )‪.Z(G‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫תרגיל ‪ (-***) 4.8.13‬תהי ‪ G = ∆(3,3,3) = x, y | x3 = y 3 = (xy)3 = 1‬חבורת המשולש של )‪.(3, 3, 3‬‬
‫∼ ‪ ,G′‬וחשב את חבורת המנה‪.‬‬
‫‪ .1‬הראה ש־‪= Z × Z‬‬
‫הדרכה‪ .‬קח ]‪ a = [x, y‬ו־] ‪ .b = [x−1 , y −1‬הראה ש־‬
‫‪ xax−1 = yay −1 = b‬ו־ ‪ ,xbx−1 = yby −1 = a−1 b−1‬בעוד ש־‪.[a, b] = 1‬‬
‫‪ .2‬הראה שהמרכז של ‪ x‬הוא ⟩‪ ,⟨x‬והסק ש־‪.Z(G) = 1‬‬
‫הדרכה‪ .‬כל איבר של ‪ G‬אפשר לכתוב כ־‪ xi y j γ‬כאשר‬
‫‪ ;γ ∈ G′‬הראה שמ־‪ (xyx−1 )j (xγx−1 ) = y j γ‬נובע ‪ j = 0‬ו־‪.γ = 1‬‬
‫‪ .3‬הראה שכל מנה של ‪ G‬היא סופית‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬נניח ש־‪ N ▹G‬ו־ ‪ G/N‬אינסופית‪ .‬הראה ש־‪ .N ∩ G′ = 1‬מכך ש־‪ G‬אינה‬
‫אבלית‪ ,‬הסק ש־ ‪ N‬מסדר ‪ .3‬הראה שהיא מרכזית ולכן טריוויאלית‪.‬‬
‫‪48‬‬
‫‪ .4.8‬תת־חבורת הקומוטטורים‬
‫פרק ‪ .4‬סריג תת־החבורות‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫‪ .4‬מצא את הסדר של ‪. x, y | x3 = y 3 = (xy)3 = (xy −1 )3n = 1‬‬
‫⟨‬
‫‪⟩G‬‬
‫‪ G/ a2n bn‬הוא ‪.27n2‬‬
‫ראה שהסדר של חבורת המנה‬
‫הדרכה‪ .‬ב־ )‪;(xy −1 )3 = a2 b ,∆(3,3,3‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 4.8.14‬חזור על תרגיל ‪) 4.8.13‬סעיפים ‪ (1-3‬עבור חבורות המשולש עם עקמומיות אפס‪,‬‬
‫)‪ G = ∆(2,3,6‬ו־ )‪) ∆(2,4,4‬ראה תרגיל ‪.(3.6.26‬‬
‫הגדרה ‪ 4.8.15‬אם ‪ A, B ⊆ G‬תת־קבוצות‪ ,‬מסמנים ב־]‪ [A, B‬את תת־החבורה הנוצרת על־ידי האברים ]‪ [a, b‬כאשר ‪,a ∈ A‬‬
‫‪ .b ∈ B‬למשל ]‪.G′ = [G, G‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 4.8.16‬אם ‪ ,A, B▹G‬אז ‪.[A, B]▹G‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.8.17‬אם ‪ A‬ו־‪ B‬נורמליות אז ‪.[A, B] ⊆ A ∩ B‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.8.18‬אם ‪ K ⊆ A, B‬תת־חבורות נורמליות של חבורה ‪ ,G‬אז בחבורת המנה ‪ G/K‬מתקיים‬
‫‪.[A/K, B/K] = [A, B]K/K‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 4.8.19‬נניח ש־‪ A▹G‬עם ‪ G/A‬ציקלית‪ .‬הראה ש־]‪.[G, G] = [G, A‬‬
‫תרגיל ‪) (**) 4.8.20‬זהות ‪ (Hall‬נסמן ‪ .(a, b, c) = [[a−1 , b], c]a‬הוכח את הזהות‬
‫‪(a, b, c)(c, a, b)(b, c, a) = 1.‬‬
‫תרגיל ‪) (***) 4.8.21‬למת השלוש( אם ‪ ,A, B, C▹G‬אז ]‪.[[A, B], C] ⊆ [[B, C], A] · [[C, A], B‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫תרגיל ‪.4.8.20‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.8.22‬הראה שלכל ‪.[[A, A], B] ⊆ [[A, B], A] ,A, B▹G‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 4.8.23‬תהי ‪ N‬תת־חבורה נורמלית של מכפלה ‪ .A = A1 × A2‬נסמן ב־ ‪ πi : A→Ai‬את‬
‫ההיטלים‪ .‬הוכח ש־‬
‫‪[A1 , π1 (N )] × [A2 , π2 (N )] ⊆ N ⊆ π1 (N ) × π2 (N ).‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫‪B‬‬
‫אם ‪ A, B ⊆ G‬תת־קבוצות‪ ,‬נסמן ‪ – ⟨A⟩ = b−1 ab : a ∈ A, b ∈ B‬הסגור הנורמלי של ‪ A‬ב־ ⟩‪.⟨A, B‬‬
‫נסמן ‪.xy = y −1 xy‬‬
‫תרגיל ‪.xyz = (xy )z ,(xy)z = xz y z (*) 4.8.24‬‬
‫תרגיל ‪(*) 4.8.25‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ [x, yz] = [x, y][x, z]y‬ו־ ‪.[x, y −1 ] = [y, x]y‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.8.26‬לכל שתי קבוצות ‪,S, T ⊆ G‬‬
‫תרגיל ‪(*) 4.8.27‬‬
‫‪S∪T‬‬
‫⟩ ‪.[⟨S⟩, ⟨T ⟩] = ⟨[a, b] : a ∈ S, b ∈ T‬‬
‫‪.[b1 ab−1‬‬
‫‪ .1‬הוכח את הזהות ] ‪1 , b] = [b1 , a][a, bb1‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ .2‬לכל שתי קבוצות ‪.[⟨S⟩ , ⟨T ⟩] = [⟨S⟩, ⟨T ⟩] ,S, T ⊆ G‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 4.8.28‬הוכח ש־ ]‪.[G, [G, x]] ⊆ [G, x‬‬
‫הדרכה‪ .‬מצא ⟩‪ a, b, c ∈ ⟨g, x‬מתאימים‪ ,‬כך שיתקיים = ]]‪[g, [h, x‬‬
‫‪.[a, x][b, x]−1 [c, x]−1‬‬
‫תרגיל ‪.[axa−1 , byb−1 ] = [a, x][x, [b, y]][b, y][x, y][x, a][[a, x], y][y, b] (*) 4.8.29‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.8.30‬יהי ‪ G = F/RF‬ייצוג על־ידי יוצרים ויחסים‪ ,‬כאשר ⟩ ‪ F = ⟨s1 , . . . , sn‬חבורה‬
‫‪S‬‬
‫‪F‬‬
‫חופשית‪ ,‬ו־ ⟩ ‪ R = ⟨r1 , . . . , rm‬היא חבורת היחסים‪ .‬הוכח ש־ = ]‪[R, F ] = [⟨rj ⟩ , ⟨S⟩] = [{rj }, S‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫‪S‬‬
‫‪ ,⟨[{rj }, {si }]⟩ = si′ [rj , si ]s−1‬ובפרט אם ‪ F, R‬נוצרות סופית אז גם ] ‪ [R, F‬נוצרת סופית‪.‬‬
‫‪i′‬‬
‫‪49‬‬
‫‪ .4.9‬משפחות של חבורות‬
‫‪4.9‬‬
‫פרק ‪ .4‬סריג תת־החבורות‬
‫משפחות של חבורות‬
‫הגדרה ‪ 4.9.1‬תהי ‪ L‬משפחה של חבורות‪ .‬נסמן את התכונות האפשריות הבאות‪:‬‬
‫‪) .1‬סגירות לתת־חבורות( אם ‪ G ∈ L‬אז לכל ‪;A ∈ L ,A ≤ G‬‬
‫‪) .2‬סגירות לתמונות הומומורפיות( אם ‪ G ∈ L‬אז לכל ‪;G/A▹L ,A▹G‬‬
‫∏‬
‫∗‪) .3‬סגירות למכפלה ישרה( אם ‪ Aλ ∈ L‬לכל ‪ λ ∈ Λ‬אז ‪; Aλ ∈ L‬‬
‫‪) .3‬סגירות למכפלה ישרה סופית( אם ‪ A, B ∈ L‬אז ‪;A × B ∈ L‬‬
‫‪) .3′‬סגירות למכפלה נורמלית( אם ‪ A, B▹G‬ו־‪ ,A, B ∈ L‬אז ‪;AB ∈ L‬‬
‫‪) .3′′‬סגירות למכפלה( אם ‪ AB = BA ,A, B ≤ G‬ו־‪ ,A, B ∈ L‬אז ‪;AB ∈ L‬‬
‫◦‪) .4‬סגירות להרחבות מרכזיות( אם )‪ N ⊆ Z(G‬ו־‪ ,N, G/N ∈ L‬אז ‪;G ∈ L‬‬
‫‪) .4‬סגירות להרחבות( אם ‪ N ▹G‬ו־‪ ,N, G/N ∈ L‬אז ‪.G ∈ L‬‬
‫∪‬
‫‪) .5‬סגירות לאיחוד שרשראות( אם )‪ Gλ (λ ∈ Λ‬שרשרת עולה של חבורות וכל ‪ ,Gλ ∈ L‬גם האיחוד ‪. Gλ ∈ L‬‬
‫משפחה הסגורה לתת־חבורות‪ ,‬לתמונות הומומורפיות ולמכפלה ישרה נקראת יריעה‪.‬‬
‫הערה ‪) 4.9.2‬משפט בירקהוף‪ (1935 ,‬כל יריעה אפשר להגדיר על־ידי זהויות )כלומר קיימת קבוצת זהויות‪,‬‬
‫כדוגמת ‪ ,[x1 , x2 ]2 = 1‬כך שחבורה שייכת ליריעה אם ורק אם היא מקיימת את כל הזהויות בקבוצה )הבחן בין‬
‫זהויות‪ ,‬החלות על כל אברי החבורה‪ ,‬לבין יחסים בין יוצרים((‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.9.3‬סגירות למכפלה גוררת סגירות למכפלה נורמלית‪ ,‬וסגירות למכפלה נורמלית גוררת‬
‫סגירות למכפלה ישרה סופית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (-**) 4.9.4‬סגירות להרחבות גוררת סגירות להרחבות מרכזיות; כמו־כן‪ ,‬סגירות להרחבות‬
‫גוררת סגירות למכפלה ישרה סופית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.9.5‬סגירות לתמונות הומומורפיות ולהרחבות גוררת סגירות למכפלה נורמלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+***) 4.9.6‬מצא גרירות נוספות לדיאגרמה משמאל‪,‬‬
‫המתייחסת לתכונות של משפחות‪ ,‬לרבות קבוצות נוספות של תכונות‬
‫כגון ‪ .3 + 4◦ + 5‬הראה שבכל מקום שאין חץ‪ ,‬הגרירה אינה נכונה‪.‬‬
‫‪3′′ 2 + 4‬‬
‫ ‪ {xxxx‬‬
‫∗‬
‫‪3 @ 3′‬‬
‫‪4‬‬
‫@@‬
‫‪ww‬‬
‫◦ ‪ {www‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 4.9.7‬תהי ‪ L‬משפחה הסגורה לתת־חבורות ולמכפלות ישרות סופיות‪ .‬נניח ש־‪.A, B▹G‬‬
‫הראה שאם ‪ ,G/A, G/B ∈ L‬אז גם ‪ .G/(A ∩ B) ∈ L‬הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.4.3.17‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 4.9.8‬תהי ‪ L‬משפחה הסגורה לתת־חבורות ולמכפלות ישרות סופיות‪ .‬תהי ‪ G‬חבורה‬
‫סופית‪ .‬הראה שבין תת־החבורות הנורמליות ‪ N‬שעבורן ‪ ,G/N ∈ L‬יש תת־חבורה מינימלית יחידה‪.‬‬
‫במלים אחרות‪ ,‬לכל חבורה סופית ‪ G‬יש מנה מקסימלית ב־‪.L‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.9.9‬הראה שהאוסף ‪ Ab‬של החבורות האבליות סגור לתת־חבורות‪ ,‬לתמונות הומומורפיות‬
‫ולמכפלה ישרה )הוא מוגדר על־ידי הזהות ‪ ;[x1 , x2 ] = 1‬ראה הערה ‪ .(4.9.2‬הסק מתרגיל ‪ 4.9.8‬את‬
‫קיומה של תת־חבורה מינימלית יחידה ‪ K▹G‬שעבורה ‪ G/K‬אבלית )לפי משפט ‪.(K = G′ ,4.8.6‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.9.10‬תהי ‪ L‬משפחה הסגורה למכפלה נורמלית‪ .‬אז לכל חבורה סופית ‪ G‬יש תת־חבורה‬
‫נורמלית גדולה ביותר השייכת ל־‪) L‬היינו‪ ,‬היא מכילה כל תת־חבורה נורמלית בחבורה השייכת ל־‪.(L‬‬
‫הדרכה‪ .‬התבונן במכפלה של כל תת־החבורות הנורמליות של ‪ G‬השייכות ל־‪.L‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 4.9.11‬תהי ‪ L‬משפחה הסגורה למכפלה נורמלית ולאיחוד שרשראות‪ .‬אז לכל חבורה ‪G‬‬
‫יש תת־חבורה נורמלית גדולה ביותר השייכת ל־‪ .L‬הדרכה‪ .‬הסגירות לאיחוד שרשאות מאפשרת להפעיל את הלמה של‬
‫צורן‪ .‬אם ‪ N‬תת־חבורה נורמלית מקסימלית השייכת ל־‪ ,L‬אז לכל תת־חבורה נורמלית ‪ N ⊆ N K ∈ L ,K ∈ L‬ולכן ‪.K ⊆ N‬‬
‫‪50‬‬
‫פרק ‪5‬‬
‫חבורות של תמורות‬
‫בפרק זה נלמד את החבורות הסימטריות שהגדרנו בסעיף ‪ .2.6‬חבורות של תמורות הן אחת הדוגמאות‬
‫החשובות ביותר לחבורות סופיות‪ ,‬גם מבחינה תאורטית וגם בשימושים של תורת החבורות הסופיות‪ .‬שאלות‬
‫רבות בקומבינטוריקה ובאלגוריתמים הקשורים במבנים קומבינטוריים אפשר לתרגם לשפה של החבורות‬
‫הסימטריות‪.‬‬
‫חבורת התמורות הזוגיות ‪ An‬היא תת־חבורה מאינדקס ‪ 2‬בחבורת התמורות ‪ ,Sn‬הכוללת את התמורות‬
‫שהסימן שלהן חיובי‪ .‬מבנה המחזורים של תמורות ב־ ‪ An‬מאפשר להוכיח שהיא חבורה פשוטה‪.‬‬
‫‪5.1‬‬
‫הסימן של תמורה‬
‫תהי ‪ σ ∈ Sn‬תמורה‪ .‬נאמר שזוג המספרים ‪ i < j‬מפר־סדר אם ‪ .σ −1 i > σ −1 j‬כפי שצוין בהגדרה ‪,2.6.5‬‬
‫בהצגת התמורה בשתי שורות הערך ‪ i‬עובר למקום ה־‪ ,σ −1 i‬ולכן ‪ i < j‬מפר סדר אם ורק אם הקו הישר‬
‫המחבר את שתי ההופעות של ‪ i‬נחתך עם הקו הישר המחבר את שתי ההופעות של ‪ .j‬בדוגמה הבאה כל מעגל‬
‫מסמן הפרת סדר אחת‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1 NN 2 TT◦pT 3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪NN ppp TTT jjjj◦jNjNN pppp‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪◦NNN jjj◦jTTT‬‬
‫‪◦NN‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪Tp◦pTpT‬‬
‫‪NN‬‬
‫‪ppp jj◦jj‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫הגדרה ‪ 5.1.1‬הסימן של ‪ σ ∈ Sn‬מוגדר לפי הזוגיות של מספר הפרות הסדר ביחס ל־‪:σ‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫|} ‪.(−1)|{i,j : i<j, σ i>σ j‬‬
‫= )‪sgn(σ‬‬
‫טענה ‪ 5.1.2‬העתקת הסימן }‪ sgn : Sn →{±1‬היא הומומורפיזם‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 5.1.3‬הוכח את טענה ‪ ,5.1.2‬כלומר‪ ,‬הראה ש־) ‪.sgn(στ ) = sgn(σ)sgn(τ‬‬
‫הדרכה‪ .‬חלק את הזוגות‬
‫‪ i < j‬לארבע קבוצות‪ ,‬לפי יחס הסדר בין ‪ σ −1 i, σ −1 j‬ו־‪ ,τ −1 σ −1 i, τ −1 σ −1 j‬וחשב את התרומה של כל זוג לכל אחד מהסימנים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.1.4‬יהי )‪ τ = (ab‬חילוף‪ .‬הוכח ש־‪ .sgn(τ ) = −1‬בפרט‪ ,‬לכל ‪ sgn ,n ≥ 2‬היא על‪.‬‬
‫‪5.1.1‬‬
‫הסימן והדיסקרימיננטה‬
‫נתבונן בפולינום ) ‪− xj‬‬
‫‪1≤i<j≤n (xi‬‬
‫∏‬
‫= ) ‪ ∆(x1 , . . . , xn‬במשתנים ‪.x1 , . . . , xn‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 5.1.5‬כתוב את ) ‪ ∆3 (x1 , x2 , x3‬כסכום של מונומים‪ .‬השווה את התוצאה ל־) ‪.∆3 (x1 , x3 , x2‬‬
‫תרגיל ‪.∆(xσ(1) , . . . , xσ(n) ) = sgn(σ)∆(x1 , . . . , xn ) (**) 5.1.6‬‬
‫הדרכה‪ .‬חשוב על הגורמים ) ‪.(xi − xj‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 5.1.7‬השתמש בתרגיל ‪ 5.1.6‬כדי לתת הוכחה נוספת לטענה ‪.5.1.2‬‬
‫‪51‬‬
‫‪ .5.2‬אברים צמודים ב־ ‪Sn‬‬
‫‪5.1.2‬‬
‫פרק ‪ .5‬חבורות של תמורות‬
‫חבורת התמורות הזוגיות‬
‫תרגיל ‪ (*) 5.1.8‬כתוב את המחזור ) ‪ (a1 a2 · · · at‬כמכפלה של חילופים ומצא את הסימן שלו‪.‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫) ‪.(a1 . . . at ) = (a1 at ) . . . (a1 a2‬‬
‫לפי טענה ‪ ,2.6.7‬כל תמורה היא מכפלה של מחזורים )זרים(‪ .‬תרגיל ‪ 5.1.8‬מראה שכל תמורה אפשר לכתוב‬
‫כמכפלה של חילופים‪.‬‬
‫טענה ‪ 5.1.9‬בכל הדרכים להציג תמורה כמכפלה של חילופים‪ ,‬הזוגיות של מספר החילופים היא קבועה‪ .‬כלומר‪,‬‬
‫אם ‪) σ = τ1 · · · τk = ν1 · · · νt‬כאשר ‪ τi , νj‬חילופים(‪ ,‬אז )‪.k ≡ t (mod 2‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 5.1.10‬הוכח את הטענה‪.‬‬
‫הדרכה‪.sgn(σ) = (−1)k = (−1)t .‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 5.1.11‬כתוב כמה תמורות באקראי‪ ,‬וקבע את הסימן של כל אחת מהן‪.‬‬
‫כעת אפשר להגדיר את תת־החבורה החשובה ביותר של חבורת הסימטריות‪:‬‬
‫הגדרה ‪ An = Ker(sgn) 5.1.12‬היא חבורת התמורות הזוגיות‪ .‬התמורות נקראות כך על־שם מספר החילופים‬
‫בהצגות שלהן‪.‬‬
‫תרגיל ‪.A3 = ⟨(123)⟩ ,A2 = 1 (*) 5.1.13‬‬
‫תרגיל ‪.[Sn : An ] = 2 (*) 5.1.14‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.1.15‬תן שלושה נימוקים לכך ש־ ‪.An ▹Sn‬‬
‫הדרכה‪ .‬האינדקס שלה הוא ‪) 2‬תרגיל ‪ ;(3.3.13‬היא גרעין של‬
‫הומומורפיזם; וכן ישירות מן ההגדרה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.1.16‬חשב את ⟩)‪.A4 ∩ ⟨(1234), (13‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.1.17‬אם ‪ G‬תת־חבורה של ‪ Sn‬שאינה מוכלת ב־ ‪ ,An‬אז ‪ An G = Sn‬ו־‪.[G : An ∩ G] = 2‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.4.5.1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.1.18‬מצא שיכון של ‪ Sn‬ב־ ‪.An+2‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 5.1.19‬המשחק ב־‪ 15‬הוא שמה של חידה שפרסם החידונאי סם לויד ב־‪ .1880‬בחידה זו‬
‫מסודרות לוחיות ממוספרות מ־‪ 1‬עד ‪ 15‬בלוח בגודל ‪ ,4 × 4‬כך שמשבצת אחת נותרת ריקה‪ .‬הלוחיות‬
‫מונחות במקומן‪ ,‬למעט הלוחיות ‪ 14‬ו־‪ 15‬המוחלפות זו עם זו‪ .‬לויד הציע פרס כספי למי שיסדר את‬
‫הלוחיות בחזרה על־יד הזזת לוחית אחת בכל פעם למשבצת הריקה‪ .‬הראה שהבעיה אינה ניתנת‬
‫לפתרון‪ .‬הדרכה‪ .‬נסמן את הלוחית הריקה ב־‪ ,0‬כך שמיקום הלוחיות הוא תמורה ב־ ‪ .S{0,...,15} = S16‬נסמן ב־)‪ χ(σ‬את הערך ‪(−1)i+j‬‬
‫כאשר ‪ σ‬ממקמת את המשבצת הריקה במקום ה־)‪ .(i, j‬הראה ש־)‪ sgn(σ)χ(σ‬אינו משתנה במהלך המשחק‪.‬‬
‫‪5.2‬‬
‫אברים צמודים ב־ ‪Sn‬‬
‫הגדרה ‪ 5.2.1‬תהי ‪ G‬חבורה‪ .‬אומרים שאברים ‪ g, h ∈ G‬הם צמודים אם קיים ‪ x ∈ G‬כך ש־ ‪) .g = xhx−1‬נחזור לנושא זה‬
‫בתת־סעיף ‪(.6.4.1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.2.2‬הראה שהיותם של אברים צמודים זה לזה הוא יחס שקילות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.2.3‬חשב את כל התמורות ב־ ‪ S4‬הצמודות ל־)‪.(1 2 3‬‬
‫כל תמורה ב־ ‪ Sn‬אפשר לכתוב כמכפלה של מחזורים זרים באופן יחיד‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 5.2.4‬אם ‪ σ ∈ Sn‬היא מכפלה של מחזורים זרים מאורכים ‪) n1 , . . . , nt‬כאשר ‪ ,(n1 + · · · + nt = n‬אז מבנה‬
‫המחזורים של ‪ σ‬הוא הרשימה הלא־מסודרת ] ‪.[n1 , . . . , nt‬‬
‫לדוגמא‪ ,‬מבנה המחזורים של הזהות הוא ]‪ ;[1, . . . , 1‬אפשר לקצר ולכתוב ] ‪ .[1n‬מבנה המחזורים של‬
‫‪ (1234)(56)(78) ∈ S9‬הוא ]‪ .[4, 22 , 1‬לפעמים משמיטים את נקודות השבת מן הסימון‪.‬‬
‫‪52‬‬
‫‪ .5.2‬אברים צמודים ב־ ‪Sn‬‬
‫פרק ‪ .5‬חבורות של תמורות‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.2.5‬כתוב את כל מבני המחזורים האפשריים לתמורה ב־ ‪ S4‬וב־ ‪ .S5‬הערה‪ .‬הפונקציה‬
‫הסופרת כמה מבני מחזורים יש ב־ ‪ Sn‬נקרא פונקציית החלוקה‪ ,‬ומסמנים אותה ב־)‪ .p(n‬קצב הגידול שלה ידוע‪:‬‬
‫√‬
‫‪.p(n) ∼ 4√13n eπ 2n/3‬‬
‫משפט ‪ 5.2.6‬שתי תמורות ב־ ‪ Sn‬הן צמודות אם ורק אם יש להן אותו מבנה מחזורים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 5.2.7‬הוכח את המשפט‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬לכיוון הראשון חשב את הצמוד של מחזור באורך ‪ t‬באופן כללי‪ .‬לכיוון ההפוך‪ ,‬בהנתן‬
‫של־ ‪ σ, τ‬יש אותו מבנה מחזורים‪ ,‬כתוב אותן זו מעל זו‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.2.8‬מצא ‪ σ ∈ S6‬כך ש־)‪.σ(12)(34)σ −1 = (14)(35‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.2.9‬כמה תמורות ‪ σ ∈ S8‬יש כך ש־)‪?σ(1234)(567)σ −1 = (1246)(378‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 5.2.10‬מחלקות הצמידות של ‪ S3‬הן ]‪ .[13 ], [2, 1], [3‬מה הגודל של כל מחלקה?‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.2.11‬מצא את כל המחלקות ב־ ‪ S4‬ואת הגודל של כל מחלקה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 5.2.12‬מצא את כל המחלקות ב־ ‪ S5‬ואת הגודל של כל מחלקה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 5.2.13‬מצא ארבעה זוגות של מחלקות צמידות מאותו גודל ב־ ‪.S6‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.2.14‬כמה מחזורים מאורך ‪ r‬יש ב־ ‪?Sn‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.2.15‬כמה צמודים יש ל־)‪ (123)(45‬ב־ ‪?Sn‬‬
‫תרגיל ‪ (-**) 5.2.16‬כמה אברים של ‪ S5‬מתחלפים עם )‪?(12)(34‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.2.17‬כמה דרכים יש להושיב שבעה אנשים סביב שולחנות עגולים שבאחד מהם יש שלושה‬
‫מקומות ובשני ארבעה?‬
‫תרגיל ‪ (+**) 5.2.18‬יהי ] ‪ [1a1 2a2 . . . nan‬מבנה מחזורים של תמורות ב־ ‪ ;Sn‬כך ‪kak = n‬‬
‫∏‬
‫∏‬
‫‪−1‬‬
‫שמספר התמורות בעלות מבנה זה הוא )! ‪.n! ( k ak ak‬‬
‫תרגיל ‪(**) 5.2.19‬‬
‫∑‬
‫‪ .‬הראה‬
‫‪ .1‬הוכח שלכל ‪ k ≥ 2‬ו־‪.(ka)! > k a a! ,a ≥ 1‬‬
‫‪ .2‬יש יותר תמורות בעלות מבנה מחזורים ] · · · ‪ [1d+ak · · · k 0‬מאשר בעלות מבנה מחזורים‬
‫] · · · ‪.[1d · · · k a‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ ka > 6‬אז !‪.2(ka − 2)! > k a a‬‬
‫הדרכה‪ .ka a1 = (ka)(ka − k)(ka − 2k) · · · .‬פרט לראשון‪ ,‬כל הגורמים האלה‬
‫משתתפים במכפלה · · · )‪ (ka − 2)(ka − 1‬שבאגף שמאל; וכשמצמצמים אותם נותר לפחות אחד הגורמים )‪ (ka − 2‬או )‪.(ka − 3‬‬
‫אבל ‪.2(ka − 3) > ka‬‬
‫‪ .4‬מחלקת הצמידות הכוללת את החילופים היא הקטנה ביותר ב־ ‪ Sn‬מלבד המחלקה של תמורת‬
‫היחידה‪ ,‬פרט ליוצאי הדופן הבאים‪ [31 ] :‬ב־ ‪ [41 ], [22 ] ;S3‬ב־ ‪ [32 ], [23 ] ;S4‬ב־ ‪.S6‬‬
‫‪ .5‬לכל ‪ ,n ̸= 6‬מחלקת הצמידות של החילופים שונה בגודלה מכל מחלקת צמידות אחרת של‬
‫אברים מסדר ‪ .2‬הערה‪ .‬ב־ ‪ S6‬יש ‪ 15‬חברים במחלקות של )‪ (12‬ושל )‪.(12)(34)(56‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 5.2.20‬מצא שתי תת־חבורות אמיתיות ‪ H1 , H2‬של ‪ ,S6‬כך שכל איבר של ‪ S6‬צמוד לאיבר‬
‫של אחת מהן‪ .‬הצעה‪ .‬קח ‪ H1 = S5‬ו־) ‪) H2 = Aut(K3,3‬ראה תרגיל ‪.(6.4.70‬‬
‫‪53‬‬
‫בתרגיל ‪ 7.2.19‬נגזור‬
‫מעובדה זו מסקנה‬
‫מעניינת‪.‬‬
‫‪ .5.3‬קבוצות יוצרים‬
‫‪5.2.1‬‬
‫פרק ‪ .5‬חבורות של תמורות‬
‫מחלקות צמידות ב־ ‪An‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.2.21‬הראה שהתמורות )‪ ,(123), (132‬שיש להן אותו מבנה מחזורים‪ ,‬אינן צמודות ב־ ‪.A4‬‬
‫הראה שהן כן צמודות ב־ ‪.A5‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 5.2.22‬הראה שכל האברים מהצורה )‪ (ab)(cd‬צמודים זה לזה ב־ ‪.An‬‬
‫‪ σ, σ ′‬בעלות מבנה המחזורים הזה הן צמודות כאשר התומכים שווים‪ ,‬וכאשר הם נבדלים בנקודה אחת‪ .‬הסבר מדוע זה מספיק‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬בדוק שתמורות‬
‫תרגיל ‪ (***) 5.2.23‬נניח ‪ .5 ≤ n‬הראה שכל המחזורים מהצורה )‪ (abc‬צמודים זה לזה ב־ ‪.An‬‬
‫הדרכה‪ .‬נסמן‬
‫‪ x ∼ y‬אם ‪ x, y‬צמודים ב־ ‪ .An‬נראה שמחלקת הצמידות של )‪ (123‬כוללת את כל המחזורים באורך ‪(24)(35)(123)(35)(24) = (145) .3‬‬
‫מראה שאפשר לעבור ממחזור נתון לכל מחזור עם נקודה משותפת אחת‪ ,‬ואז )‪ .(123) ∼ (345) ∼ (124), (214‬לכן גם ∼ )‪(123) ∼ (124‬‬
‫)‪ (132‬ו־)‪.(123) ∼ (124) ∼ (456‬‬
‫השווה לתרגיל ‪ ,6.4.30‬והסבר מדוע הנימוק של תרגיל ‪ 5.2.23‬אינו תקף שם‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (-**) 5.2.24‬במחלקת הצמידות של )‪ (ab)(cd‬ב־ ‪ An‬יש‬
‫)‪n(n−1)(n−2)(n−3‬‬
‫‪8‬‬
‫אברים‪.‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 5.2.22‬מעביר את הבעיה למחלקות ב־ ‪.Sn‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 5.2.25‬מהי הצורה הכללית של תמורה המתחלפת עם )‪ (1 2 · · · r‬ב־ ‪?Sn‬‬
‫‪5.3‬‬
‫קבוצות יוצרים‬
‫בסעיף זה נכיר כמה קבוצות יוצרים סטנדרטיות של ‪ Sn‬ושל ‪.An‬‬
‫תרגיל ‪ Sn (*) 5.3.1‬נוצרת על־ידי כל החילופים )‪.(ij‬‬
‫תרגיל ‪ Sn (**) 5.3.2‬נוצרת על־ידי כל החילופים )‪.(1j‬‬
‫תרגיל ‪ Sn (-***) 5.3.3‬נוצרת על־ידי החילוף )‪ τ = (12‬והמחזור )‪.σ = (123 . . . n‬‬
‫הדרכה‪ .‬חשב את ‪.σ k τ σ −k‬‬
‫חשב את ‪.σ j (τ σ −1 )j−i τ (στ )i−j σ −j‬‬
‫תרגיל ‪ Sn (-***) 5.3.4‬נוצרת על־ידי החילוף )‪ τ = (1n‬והמחזור )‪.σ = (123 . . . n − 1‬‬
‫תרגיל ‪ Sn (+**) 5.3.5‬נוצרת על־ידי החילופים )‪ .i = 1, . . . , n − 1 ,τi = (i i + 1‬יוצרים אלה מקיימים את‬
‫היחסים ‪ τi τj = τj τi ,τi2 = 1‬אם ‪ τi τj τi = τj τi τj ,|i − j| > 1‬אם ‪ .|i − j| = 1‬הערה‪ .‬יחסים אלו מגדירים‬
‫את הצגת קוקסטר של ‪ ,Sn‬כחבורה‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫‪x1 , . . . , xn−1 | x2i = 1, xi xj = xj xi (|i − j| > 1), xi xj xi = xj xi xj (|i − j| = 1) .‬‬
‫)‬
‫‪4 5 6 7‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 5.3.6‬תהי‬
‫‪1 4 7 2‬‬
‫)‪ ,(1 i‬וקבע אם ‪ σ‬זוגית או אי־זוגית‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪5 3‬‬
‫(‬
‫= ‪ .σ‬כתוב את ‪ σ‬כמכפלה של חילופים מהצורה‬
‫תרגיל ‪ (-***) 5.3.7‬יהי ‪ p‬ראשוני‪ .‬אם ‪ σ‬איבר מסדר ‪ p‬ו־ ‪ τ‬חילוף‪ ,‬אז הם יוצרים את ‪ Sp‬כולה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 5.3.8‬הפרך את הטענה הבאה‪ :‬אם ‪ p‬ראשוני‪ Sp ,‬נוצרת על־ידי איבר כלשהו מסדר ‪p‬‬
‫ואיבר כלשהו מסדר ‪.2‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.3.9‬מצא את תת־החבורה של ‪ S4‬הנוצרת על־ידי כל המחזורים מהצורה )‪a, b, c ,(abc‬‬
‫שונים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.3.10‬מצא את תת־החבורה של ‪ S4‬הנוצרת על־ידי כל התמורות מהצורה )‪,(ab)(cd‬‬
‫‪ a, b, c, d‬שונים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.3.11‬מצא את הגודל של חבורות התמורות הבאות‪:‬‬
‫‪.⟨(12), (23)(45)⟩ ⊆ S5 .1‬‬
‫‪54‬‬
‫‪ An .5.4‬חבורה פשוטה‬
‫פרק ‪ .5‬חבורות של תמורות‬
‫‪⟨(12), (345)⟩ ⊆ S5 .2‬‬
‫‪.⟨(12), (123456)⟩ ⊆ S6 .3‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.3.12‬הוכח מההגדרה ש־ ‪ An‬נוצרת על־ידי כל התמורות עם מבני המחזורים של )‪,(12)(34‬‬
‫)‪.(123‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.3.13‬נניח ש־‪ .n ≥ 5‬החבורה ‪ An‬נוצרת על־ידי כל התמורות מהצורה )‪i, j, k, l ,(ij)(kl‬‬
‫שונים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ An (***) 5.3.14‬נוצרת על־ידי כל המחזורים מאורך ‪.3‬‬
‫הדרכה‪.(ij)(kt) = (ijk)(jkt) .‬‬
‫תרגיל ‪ (-**) 5.3.15‬נניח ש־‪ a, b‬הם מחזורים באורך ‪ .3‬הראה שהסדר של ‪ [a, b] = aba−1 b−1‬קובע‬
‫כמה נקודות משותפות יש ל־‪.a, b‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 5.3.16‬יהי ‪ T‬עץ על הקודקודים ‪) 1, 2, . . . , m‬עץ הוא גרף קשיר ללא מעגלים(‪ .‬לקשת‬
‫המחברת את הקודקודים ‪ i, j‬מתאימים את החילוף )‪ .(i, j‬הוכח שמכפלת הקשתות על העץ‪ ,‬בכל‬
‫סדר שיהיה‪ ,‬היא מחזור באורך ‪.m‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.3.17‬מה הצורה הכללית של תמורה המתחלפת עם )‪?(ij‬‬
‫תרגיל ‪ Z(Sn ) = 1 (-***) 5.3.18‬לכל ‪.n ≥ 3‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.3.19‬מה הצורה הכללית של תמורה המתחלפת עם )‪?(ijk‬‬
‫תרגיל ‪ Z(An ) = 1 (-***) 5.3.20‬לכל ‪.n ≥ 4‬‬
‫תרגיל ‪ .5 ≤ n (-***) 5.3.21‬הוכח ש־‬
‫‪.Sn′ = An .1‬‬
‫הדרכה‪ .‬כל קומוטטור הוא תמורה זוגית‪ .‬מאידך‪ [(ij), (ik)] = (ijk) ,‬וסיימנו לפי תרגיל ‪.5.3.14‬‬
‫‪.A′n = An .2‬‬
‫‪5.4‬‬
‫‪ An‬חבורה פשוטה‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.4.1‬מחלקות הצמידות ב־ ‪ A4‬הן בגדלים ‪ .1, 3, 4, 4‬מצא כמה תת־חבורות נורמליות יש‬
‫לה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.4.2‬לחבורה ‪ S4‬יש מחלקות צמידות בגדלים ‪ .1, 3, 6, 6, 8‬מצא נציג מכל מחלקה‪ .‬מהן‬
‫תת־החבורות הנורמליות של ‪?S4‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 5.4.3‬תת־החבורה הנורמלית היחידה של ‪ S5‬היא ‪.A5‬‬
‫הדרכה‪ .‬תת־חבורה נורמלית כוללת יחד עם כל‬
‫איבר גם את כל האברים הצמודים אליו; ראה תרגיל ‪ 5.2.12‬ותרגיל ‪.6.4.6‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 5.4.4‬הוכח ש־ ‪ A5‬פשוטה מתוך הגדלים של מחלקות הצמידות שלה‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬מחלקות הצמידות‬
‫הן בגודל ‪.1, 12, 12, 15, 20‬‬
‫שני המשפטים הבאים קרובים ברוחם זה לזה‪ ,‬ואכן אפשר‪ ,‬במאמץ מסויים‪ ,‬להסיק אותם זה מזה )הראשון‬
‫מעט קשה יותר‪ ,‬טכנית‪ ,‬משום שהוא מאפשר להצמיד רק בתמורות זוגיות(‪ .‬אנו מספקים לשניהם גם הוכחות‬
‫ישירות‪ .‬ראה גם תרגיל ‪ ,6.6.73‬המציג הוכחה אלגנטית למשפט ‪ 5.4.5‬מן התאוריה של פעולת חבורה על קבוצה‪.‬‬
‫משפט ‪ An 5.4.5‬פשוטה לכל ‪.5 ≤ n‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 5.4.6‬כל תת־חבורה נורמלית לא־טריוויאלית של ‪ An‬כוללת מחזור באורך ‪ .3‬תן לכך שתי‬
‫הוכחות‪:‬‬
‫‪55‬‬
‫‪ An .5.4‬חבורה פשוטה‬
‫‪ .1‬הוכחה ישירה‪.‬‬
‫פרק ‪ .5‬חבורות של תמורות‬
‫הדרכה‪ .‬יחד עם כל איבר ‪ N ,σ ∈ N‬כוללת גם כל איבר מהצורה ‪.(τ ∈ An ) [σ, τ ] = σ · τ σ −1 τ −1‬‬
‫נבחר תמיד ‪ τ‬שאינו נוגע במחזורים ה'אחרים'‪ ,‬כך שהם יעלמו בקומוטטור‪ .‬אם יש ל־ ‪ σ ∈ N‬מחזור )‪ ,m ≥ 4 ,(12 . . . m‬חשב את‬
‫])‪ [(12 . . . m), (123‬שהוא מחזור באורך ‪ ;3‬כך אפשר להניח שכל המחזורים של ‪ σ‬באורך ‪ 2 ,1‬או ‪ .3‬אם · · · )‪,σ = (123)(456‬‬
‫)‪ ;[σ, (243)] = (15243‬ואם · · · )‪ .[σ, (234)] = (123)(45)(234)(132)(45)(243) = (15324) ,σ = (123)(45‬לכן‪ ,‬אם יש ל־‪σ‬‬
‫מחזור באורך ‪ ,3‬אין מחזורים נוספים והטענה מוכחת‪ .‬מכאן אפשר להניח ש־‪ σ‬הוא מכפלה של חילופים‪ .‬אם · · · )‪ σ = (12)(34)(5‬אז‬
‫)‪) [σ, (254)] = (13425‬נקודת השבת קיימת כי ‪ ,(n ≥ 5‬ואם · · · )‪ σ = (12)(34)(56‬אז )‪ .[σ, (264)] = (135)(264‬לכן יש ל־‪σ‬‬
‫חילוף בודד לכל היותר‪ ,‬אבל מכיוון שהיא זוגית נובע ‪.σ = 1‬‬
‫‪.2‬‬
‫בעזרת העובדה ש־ ‪ A5‬פשוטה‪.‬‬
‫נסמן }‪ .X = {i, j, ℓ, σj, σℓ‬אז ‪ σ‬אינו מתחלף עם )‪) (i j ℓ‬כי ‪ σ(i j ℓ)i = σj‬ו־‪ (.(i j ℓ)σi = ℓ‬לכן = ])‪1 ̸= ω = [σ, (i j ℓ‬‬
‫∼ ‪ ,(j σj σℓ)(i ℓ j) ∈ N ∩ AX ▹AX‬ולפי תרגיל ‪ N ∩ AX = AX ,5.4.4‬ו־ ‪ ;AX ⊆ N‬מכאן שיש ב־ ‪ N‬מחזורים באורך ‪.3‬‬
‫‪= A5‬‬
‫הדרכה‪ .‬תהי ‪ .1 ̸= σ ∈ N ▹An‬קח ‪ i‬כך ש־‪ .j = σi ̸= i‬קח ‪.ℓ ̸= i, j, σj‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.4.7‬הוכח את משפט ‪.5.4.5‬‬
‫פתרון‪ .‬אם ‪ 1 ̸= N ▹An‬אז לפי תרגיל ‪ 5.4.6‬יש ב־ ‪ N‬מחזור באורך ‪ .3‬לפי תרגיל ‪5.2.23‬‬
‫)מדוע משפט ‪ 5.2.6‬אינו מספיק?( ‪ N‬כוללת את כל המחזורים באורך ‪ ,3‬ולפי תרגיל ‪.N = An ,5.3.14‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 5.4.8‬הוכח באינדוקציה ש־ ‪ An‬פשוטה לכל ‪ .5 ≤ n‬הדרכה‪ .‬תרגיל ‪ 5.4.4‬מראה ש־ ‪ A5‬פשוטה‪ .‬נניח‬
‫∼ ‪ ,Si‬לפי הנחת האינדוקציה כל תת־החבורות האלה פשוטות‪ .‬כעת‬
‫ש־‪ .n ≥ 6‬לכל ‪ ,i‬נסמן }‪ .Si = {σ ∈ An : σ(i) = i‬מכיוון ש־ ‪= An−1‬‬
‫תהי ‪ N ▹An‬תת־חבורה נורמלית‪ .‬לפי תרגיל ‪ ,N ∩ Si ▹Si 4.2.12‬ולכן יש שתי אפשרויות‪ Si ⊆ N :‬או ‪ .N ∩ Si = 1‬אם ‪ ,Si ⊆ N‬אז יש‬
‫ב־ ‪ N‬מחזורים באורך ‪ ,3‬וסיימנו לפי תרגיל ‪ .5.3.14‬מכאן ש־‪ N ∩ Si = 1‬לכל ‪ ,i‬כלומר שלאף איבר לא טריוויאלי ב־ ‪ N‬אין נקודות שבת‪ .‬נניח‬
‫שיש ‪ .1 ̸= σ ∈ N‬קבע ‪ i‬כלשהו‪ ,‬וקח ‪ .j ̸= i, σi, σ −1 i‬אז המחזור )‪ τ = (i σi j‬מוגדר‪ ,‬ו־)‪ στ σ −1 τ −1 = (σi σ 2i σj)(i j σi‬הוא איבר‬
‫של ‪ ,N‬אינו הזהות משום ש־‪ ,σi 7→ σj‬ויש לו נקודות שבת משום שבחישוב משתתפים רק חמישה ערכים‪ .‬זו סתירה לכך שאין לאברי ‪ N‬נקודות‬
‫שבת‪ .‬הערה‪ .‬הוכחה זו היא וריאציה על תרגיל )‪.5.4.6.(2‬‬
‫משפט ‪ 5.4.9‬נניח ‪ .5 ≤ n‬תת־החבורה הנורמלית היחידה של ‪ Sn‬היא ‪.An‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 5.4.10‬הוכח את המשפט‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬תהי ‪ .N ▹Sn‬נתבונן באברים של ‪ N‬שאורך המחזור המקסימלי שלהם ‪ d‬הוא‬
‫הקטן ביותר‪ ,‬ומביניהם ניקח איבר ‪ σ ̸= 1‬עם מספר מחזורים )לא־טריוויאליים( קטן ביותר‪ .‬נניח‪ ,‬בשלילה‪ ,‬ש־‪ .2 < d‬קח ‪ σ ′‬צמוד ל־‪ σ‬שבו מחזור‬
‫‪ σ0‬באורך ‪ d‬השווה לזה של ‪ ,σ ′‬וכל שאר המחזורים הפוכים )כתמורות(‪ .‬אז ‪ ;σσ ′ = σ02‬אם ‪ d‬זוגי אז ‪ σ02‬תמורה עם שני מחזורים באורך‬
‫‪ ,d/2‬בסתירה למינימליות של ‪ .d‬לכן ‪ d‬איזוגי‪ ,‬וב־ ‪ σ02‬יש מחזור אחד באורך ‪ .d‬החישוב ) ‪(a1 a2 a3 · · · ad )(ad ad−1 · · · a3 a1 a2 ) = (a1 a3 a2‬‬
‫מאפשר להניח ‪ d = 3‬או ‪ .d = 2‬במקרה הראשון סיימנו כי המחזורים באורך ‪ 3‬יוצרים את ‪) An‬תרגיל ‪ .(5.3.14‬במקרה השני‪ ,‬הראה שב־‪ σ‬יש‬
‫שני חילופים‪ ,‬והסק ש־ ‪.N = An‬‬
‫]היכן נכשלת ההוכחה במקרה ‪[?n = 4‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.4.11‬ל־ ‪ An‬אין תת־חבורות שהן נורמליות ב־ ‪.Sn‬‬
‫הדרכה‪ .‬מיידי ממשפט ‪.5.4.9‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 5.4.12‬לחבורה ‪ G‬יש תת־חבורה נורמלית יחידה‪ ,N ▹G ,‬מאינדקס ‪ .2‬נניח ש־ ‪ N‬אינה‬
‫פשוטה‪ .‬הראה שהיא איזומורפית לחבורה מהצורה ‪.K × K‬‬
‫הדרכה‪ .‬תהי ‪ .1 ̸= K ̸= N ,K▹N‬הראה שיש ל־‪K‬‬
‫תת־חבורה צמודה אחת‪ ,K1 ,‬ב־‪ .G‬הראה ש־ ‪ .K ∩ K1 ⊆ N‬הראה ש־ ‪ KK1‬ו־ ‪ K ∩ K1‬תת־חבורות נורמליות של ‪) G‬ראה סעיף ‪ .(4.3‬הסק‪:‬‬
‫∼ ‪.N‬‬
‫‪= K × K1‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 5.4.13‬הראה כיצד להסיק את משפט ‪ 5.4.5‬מתוך משפט ‪ ,5.4.9‬אם מניחים ש־ ‪ An‬אינה‬
‫איזומורפית לחבורה מהצורה ‪) N × N‬עובדה זו נובעת למשל מן הלמה של ברטרנד‪ ,‬לפיה יש מספר‬
‫ראשוני ברווח ‪ n < p < 2n‬לכל ‪ ,n > 1‬משום ש־‪ p‬כזה מחלק את !‪ n‬בדיוק פעם אחת(‪ .‬הדרכה‪ .‬הפעל את‬
‫תרגיל ‪ 5.4.12‬על ‪ G = Sn‬ו־ ‪.N = An‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 5.4.14‬תהי ‪ G0‬חבורה פשוטה‪ ,‬שהיא תת־חבורה מאינדקס ‪ 2‬של חבורה ‪ G‬שהמרכז שלה‬
‫טריוויאלי‪ .‬הוכח שאין ל־‪ G‬תת־חבורות נורמליות לא טריוויאליות פרט ל־ ‪ .G0‬הדרכה‪ .‬תהי ‪ .N ▹G‬אם ‪N ⊆ G0‬‬
‫∼ ‪ ;N‬והרי תת־חבורה נורמלית מסדר ‪ 2‬היא מרכזית‬
‫∼ ) ‪= N/(N ∩ G0‬‬
‫סיימנו‪ ,‬ולכן ‪ N ∩ G0 = 1‬ו־‪ .N G0 = G‬אבל אז ‪= N G0 /G0 = G/G0‬‬
‫)תרגיל ‪ ,(4.7.1‬בסתירה להנחה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.4.15‬הסק את משפט ‪ 5.4.9‬ממשפט ‪.5.4.5‬‬
‫הדרכה‪ .‬לפי תרגיל ‪ 5.3.18‬אפשר להפעיל את תרגיל ‪.5.4.14‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 5.4.16‬תהי ‪ G0‬חבורה פשוטה‪ ,‬שהיא תת־חבורה מקסימלית של חבורה ‪ .G‬אם יש ל־‪G‬‬
‫∼ ‪ .G‬הדרכה‪ .‬תהי ‪ N ▹G‬שאינה מוכלת ב־ ‪ .G0‬אז‬
‫תת־חבורה נורמלית לא טריוויאלית פרט ל־ ‪ ,G0‬אז ‪= G0 × G/G0‬‬
‫∼‪G‬‬
‫∼ ‪= G0 × N‬‬
‫∼ ‪ .N‬מכאן ש־× ‪= G0‬‬
‫∼ ) ‪= N/(N ∩ G0‬‬
‫‪ N ∩ G0 = 1‬ו־‪ ,N G0 = G‬ולפי משפט האיזומורפיזם השני ‪= N G0 /G0 = G/G0‬‬
‫‪.G/G0‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 5.4.17‬הראה שהמכפלה הישרה ‪An‬‬
‫∏‬
‫‪n≥5‬‬
‫נוצרת על־ידי שני אברים‪.‬‬
‫‪ .1‬נסמן ב־ ∞‪ S‬את חבורת התמורות של ‪ N‬בעלות תומך סופי )התומך של‬
‫תרגיל ‪(+**) 5.4.18‬‬
‫‪ σ : N→N‬הוא }‪ .({x : σ(x) ̸= x‬הראה ש־ ∞‪ S‬היא תת־חבורה נורמלית של חבורת כל התמורות‬
‫‪ .SN‬הראה ש־ ‪ |S∞ | = ℵ0‬בעוד ש־‪.|SN | = ℵ‬‬
‫‪ .2‬נסמן ב־ ∞‪ A‬את תת־החבורה של ∞‪ S‬הכוללת תמורות זוגיות‪ .‬הראה ש־ ∞‪ A‬פשוטה‪.‬‬
‫תרגיל ‪.4.1.5‬‬
‫‪56‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫פרק ‪ .5‬חבורות של תמורות‬
‫‪5.5‬‬
‫‪ .5.5‬תמורות מקריות‬
‫תמורות מקריות‬
‫ניתן לדלג בקריאה ראשונה‪.‬‬
‫השאלות בסעיף זה מנוסחות בשפה הסתברותית‪ ,‬אבל אפשר לתרגם אותן בקלות לחישובי ממוצעים‪ ,‬ולתת‬
‫להן גוון קומבינטורי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 5.5.1‬בוחרים באקראי )ובהתפלגות אחידה( ‪ .σ ∈ Sn‬מה הסיכוי ש־‪?σ(1) = 3‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 5.5.2‬מה הסיכוי לכך ש־‪ σ(1) = 3‬וגם ‪?σ(2) = 3‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.5.3‬חשב את הסיכוי לכך שהנקודה ‪ 1‬תשתייך למחזור באורך ‪ ,k‬כאשר ‪.1 ≤ k ≤ n‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 5.5.4‬מה תוחלת מספר המחזורים באורך ‪ k‬של תמורה מקרית ‪?σ ∈ Sn‬‬
‫הדרכה‪ .‬ספור נקודות‬
‫השייכות למחזורים באורך ‪.k‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 5.5.5‬מה תוחלת מספר המחזורים של תמורה מקרית ‪?σ‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 5.5.6‬חשב את ההתפלגות של מספר נקודות השבת ‪ X‬של תמורה אקראית ‪ .σ ∈ Sn‬מה‬
‫קורה כאשר ∞→‪?n‬‬
‫‪57‬‬
‫פרק ‪ .5‬חבורות של תמורות‬
‫‪ .5.5‬תמורות מקריות‬
‫‪58‬‬
‫פרק ‪6‬‬
‫פעולה של חבורה על קבוצה‬
‫פרק שישי‪ ,‬שממנו ידע הקורא על נקלה את כל מה שמסופר בו‬
‫)ניקולאי וסיליביץ גוגול‪" ,‬מעשה במריבה שרב איוואן איוונוביץ' עם איוואן ניקיפורוביץ'"(‬
‫חבורות הן בין האובייקטים המרכזיים בכל תחומי המתמטיקה‪ .‬הסיבה לכך היא שהן יכולות לפעול על‬
‫מבנים אחרים‪ .‬מעבר לזה‪ ,‬האפשרות לתאר חבורה לפי הפעולה שלה על קבוצות שונות מוסיפה עומק גם‬
‫לתורת החבורות עצמה‪.‬‬
‫פעולה של חבורה היא נאמנה אם אפשר לשחזר את האיבר הפועל מן הפעולה שלו‪ .‬נקודה במרחב עשויה‬
‫להיות נקודת שבת )אם כל החבורה פועלת עליה באופן טריוויאלי(‪ .‬באופן כללי יותר‪ ,‬לכל נקודה במרחב‬
‫יש מייצב‪ ,‬שהוא תת־החבורה הכוללת את אברי החבורה שאינם מזיזים את הנקודה‪ .‬הפעולה מפרקת את‬
‫המרחב למסלולים‪ ,‬שהגודל של כל אחד מהם שווה לאינדקס של המייצב של נקודות מתוכו‪ ,‬ולכן מחלק את‬
‫סדר החבורה‪.‬‬
‫משפט קיילי משתמש בכך שכל חבורה פועלת על עצמה )על־ידי כפל משמאל(‪ ,‬כדי להראות שכל חבורה‬
‫סופית היא תת־חבורה של חבורת תמורות ‪ .Sn‬הפעולה של ‪ G‬על מרחב הקוסטים ‪ G/H‬מוליכה לעידון של‬
‫משפט קיילי‪ ,‬המספק בין השאר תת־חבורה נורמלית המוכלת ב־‪.H‬‬
‫פעולה טבעית אחרת של חבורה היא פעולת ההצמדה‪ .‬תחת פעולה זו‪ ,‬המסלולים הופכים למחלקות‬
‫מרכזים של איברים‪ .‬לצד העיסוק במרכזים של אברים‪ ,‬הקדשנו תת־סעיפים גם‬
‫ְּ‬
‫צמידות‪ ,‬והמייצבים הם‬
‫למרכזים ולמנרמלים של תת־חבורות‪ .‬המנרמלים מהווים מייצבים בפעולה טבעית אחרת‪ :‬פעולת ההצמדה של‬
‫החבורה על אוסף תת־החבורות של עצמה‪.‬‬
‫הלמה של ברנסייד )סעיף ‪ (6.5‬סופרת את המסלולים בפעולת חבורה בעזרת מספר נקודות השבת של‬
‫אברי החבורה‪ .‬לשיטה הזו יש שימושים קומבינטוריים נרחבים )בעיקר דרך "תורת פוליה" שלא נעסוק בה‬
‫כאן(‪ .‬סעיף ‪ 6.6‬עוסק בפעולה טרנזיטיבית‪ ,‬שהיא פעולה שבה כל המרחב מהווה מסלול אחד‪ .‬למושג חשוב זה‬
‫יש כמה הכללות‪ ,‬וביניהם רנזיטביות מרובה ופעולה רגולרית‪ .‬טיפוס אחר‪ ,‬שאנו מציגים רק על קצה המזלג‪,‬‬
‫היא פעולה פרימיטיבית‪ ,‬שתחתיה בלתי אפשרי לפרק את המרחב לבלוקים‪ .‬סעיף ‪ 6.7‬מוקדש כולו לפעולות‬
‫טבעיות של החבורות הלינאריות‪ ,‬ובעיקר ) ‪ GL2 (F‬כאשר ‪ F‬שדה סופי‪ .‬אנו מציגים בעזרת הפעולה כמה זוגות‬
‫מפתיעים של חבורות איזומורפיות‪ .‬הסעיף האחרון מדגים פעולה של חבורה על אובייקט נוסף‪ :‬גרפים‪.‬‬
‫‪ 6.1‬הפעולה‬
‫הגדרה ‪ 6.1.1‬פעולה של חבורה ‪ G‬על קבוצה ‪ X‬היא הומומורפיזם ‪ Φ : G→SX‬כאשר ‪ SX‬היא חבורת התמורות על ‪.X‬‬
‫הגדרה ‪ 6.1.2‬פעולה של חבורה ‪ G‬על קבוצה ‪ X‬היא פונקציה ‪ Φ : G × X → X‬כך ))‪ Φ(gh, x) = Φ(g, Φ(h, x‬לכל‬
‫‪ g, h ∈ G‬ו־‪.x ∈ X‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.1.3‬הראה ששתי ההגדרות שקולות‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬אם ‪ Φ‬פעולה לפי ההגדרה הראשונה אז )‪Φ(g, x) = Φ(g)(x‬‬
‫פעולה לפי ההגדרה השניה‪ ,‬ולהיפך‪.‬‬
‫הפעולה של ‪ G‬על ‪ X‬מפרשת כל איבר של ‪ G‬כתמורה ))‪ Φ(g‬לפי ההגדרה הראשונה‪ Φ(g, ·) ,‬לפי השניה(‬
‫של אברי הקבוצה ‪ .X‬את תוצאת הפעולה של ‪ g ∈ G‬על ‪) x ∈ X‬כלומר )‪ Φ(g)(x‬או )‪ ,Φ(g, x‬בהתאמה(‬
‫מסמנים ב־)‪ g · x ,g(x‬או סתם ‪ .gx‬לפי ההנחה מתקיים )‪ (gh)x = g(hx‬לכל ‪ g, h ∈ G‬ו־‪.x ∈ X‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.1.4‬בכל פעולה של חבורה על קבוצה‪ ,‬איבר היחידה פועל באופן טריוויאלי‪ ,‬כלומר = )‪1G (x‬‬
‫‪ x‬לכל נקודה ‪.x‬‬
‫‪59‬‬
‫פרק ‪ .6‬פעולה של חבורה על קבוצה‬
‫‪ .6.2‬מסלולים ומייצבים‬
‫תרגיל ‪ (+*) 6.1.5‬בכל פעולה‪ ,‬כל הפונקציות )‪ x 7→ g(x‬הן חד־חד־ערכיות ועל‪.‬‬
‫‪6.1.1‬‬
‫דוגמאות ופעולות מושרות‬
‫דוגמא ‪ 6.1.6‬כל חבורה ‪ G‬יכולה לפעול פעולה טריוויאלית על כל קבוצה ‪ ,X‬אם נגדיר ‪ gx = x‬לכל ‪g ∈ G‬‬
‫ולכל ‪.x ∈ X‬‬
‫דוגמא ‪ 6.1.7‬חבורת הסימטריות ‪ Sn‬פעולת על הקבוצה }‪ ,{1, . . . , n‬לפי )‪ .σ · n = σ(n‬זוהי הפעולה הטבעית‬
‫של ‪.Sn‬‬
‫פעולה של חבורה ‪ G‬על קבוצה ‪ X‬מגדירה באופן טבעי פעולה של כל תת־חבורה של ‪ G‬על אותה קבוצה‪.‬‬
‫אם ‪ G‬פועלת על שתי קבוצות‪ X ,‬ו־ ‪ ,Y‬הפעולה האלכסונית של ‪ G‬על ‪ X ×Y‬מוגדרת לפי )‪.g(x, y) = (gx, gy‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.1.8‬הראה שהפעולה הטבעית של ‪ S4‬על קבוצת החלוקות }‪ {12|34, 13|24, 14|23‬משרה‬
‫הומומורפיזם ‪ S4 →S3‬שהגרעין שלו הוא ‪) K4‬זהו תרגיל ‪.(3.5.7‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.1.9‬מצא שלושה עותקים של ‪ D4‬בתוך ‪.S4‬‬
‫הדרכה‪ D4 .‬פועלת על ארבעת קודקודי הריבוע; ראה גם‬
‫תרגיל ‪.4.6.9‬‬
‫‪6.1.2‬‬
‫פעולה נאמנה‬
‫הגדרה ‪ 6.1.10‬פעולת חבורה ‪ G‬על קבוצה ‪ X‬היא נאמנה אם רק איבר היחידה פועל באופן טריוויאלי‪ .‬במלים אחרות‪ ,‬לכל‬
‫‪ 1 ̸= g ∈ G‬יש ‪ x ∈ X‬כך ש־‪.gx ̸= x‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.1.11‬נסמן }‪ G0 = {g ∈ G : (∀x ∈ X)gx = x‬את גרעין ההומומורפיזם ‪ G→SX‬שמגדירה‬
‫הפעולה לפי הגדרה ‪ .6.1.1‬הפעולה נאמנה אם ורק אם ‪.G0 = 1‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.1.12‬הפעולה של ‪ G‬על ‪ X‬נאמנה אם ורק אם ההומומורפיזם ‪ G→SX‬המתאים לפעולה‪,‬‬
‫)‪ ,g 7→ (x 7→ gx‬הוא שיכון‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.1.13‬הראה שיש פעולה נאמנה של ‪ G‬על קבוצה בגודל ‪ n‬אם ורק אם יש שיכון ‪.G ,→ Sn‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.1.14‬תהי ‪ ,N ▹G‬כאשר ‪ G‬פועלת על קבוצה ‪ ,X‬ותהי ‪ G0‬החבורה המוגדרת‬
‫בתרגיל ‪ .6.1.11‬הראה שהנוסחא ‪ (gN ) · x = g · x‬מגדירה פעולה של ‪ G/N‬על ‪ ,X‬אם ורק אם‬
‫‪.N ⊆ G0‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.1.15‬תן דוגמה לפעולה נאמנה של ‪ Zp × Zp‬על הקבוצה ‪) Z2 × Zp‬כאשר ‪.(p > 2‬‬
‫‪6.2‬‬
‫מסלולים ומייצבים‬
‫הגדרה ‪ 6.2.1‬תהי ‪ G‬חבורה הפועלת על קבוצה ‪ .X‬המסלול של ‪ x ∈ X‬הוא הקבוצה }‪.G · x = {g · x : g ∈ G‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.2.2‬היחס ''‪ x ∼ y‬אם ורק אם קיים ‪ g ∈ G‬כך ש־‪ ''y = gx‬הוא יחס שקילות‪ ,‬שמחלקות‬
‫השקילות שלו הן המסלולים של הפעולה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ x ∼ y (*) 6.2.3‬אם ורק אם ‪ x ∈ G · y‬אם ורק אם ‪.y ∈ G · x‬‬
‫הגדרה ‪ 6.2.4‬את קבוצת המסלולים של ‪ G‬בפעולה על ‪ X‬מסמנים ב־‪.X/G‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.2.5‬תהי ‪ H ≤ G‬תת־חבורה‪ .‬הראה ששני הפירושים לסימון ‪ ,G/H‬כאוסף הקוסטים‬
‫השמאליים של ‪ H‬וכאוסף המסלולים בפעולת ‪ H‬על ‪ G‬לפי כפל מימין‪ ,‬מתלכדים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.2.6‬תהי ‪ G‬חבורה הפועלת על קבוצה ‪ ,X‬ותהי ‪ N ▹G‬תת־חבורה נורמלית‪ .‬הראה‬
‫שהפעולה של ‪ G‬על ‪ ,X/N‬לפי )‪ ,g(N · x) = N · (gx‬מוגדרת היטב‪ .‬הראה ש־‪ .(X/N )/G = X/G‬תן‬
‫דוגמה שבה‪ ,‬אם ‪ H ≤ G‬ואינה נורמלית‪ G ,‬אינה פועלת על ‪.X/H‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.2.7‬תאר את המסלולים בפעולת הכפל של ‪ S 1‬על ‪.C‬‬
‫‪60‬‬
‫‪ .6.3‬פעולת הכפל של חבורה על עצמה‬
‫פרק ‪ .6‬פעולה של חבורה על קבוצה‬
‫הגדרה ‪ 6.2.8‬המייצב של נקודה ‪ x ∈ X‬הוא הקבוצה }‪ .Gx = {g ∈ G : gx = x‬לכל ‪ x ,g ∈ Gx‬נקרא נקודת ֶש ֶב ת‬
‫של ‪.g‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.2.9‬כל מייצב הוא תת־חבורה של ‪.G‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.2.10‬תן דוגמה לפעולה נאמנה של חבורה ‪ G‬על קבוצה ‪ X‬עם איבר ‪ x ∈ G‬כך ש־‪.Gx = G‬‬
‫תרגיל ‪) Ggx = gGx g −1 (**) 6.2.11‬הזכר בתרגיל ‪.(3.3.1‬‬
‫תרגיל ‪ G = Sn (**) 6.2.12‬פועלת באופן טבעי על }‪ .{1, · · · , n‬תאר את הקוסטים הימניים והשמאליים‬
‫של המייצב של הנקודה ‪.n‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.2.13‬החבורה ‪ S3‬פועלת על האוסף ] ‪ C[x1 , x2 , x3‬של פולינומים במשתנים ‪ .x1 , x2 , x3‬מצא‬
‫את המייצב של הפולינומים הבאים‪) .(x1 − x2 )(x2 − x3 )(x3 − x1 ) ,x1 x2 + x3 ,x1 + x2 + x3 ,x1 :‬עבור‬
‫הפולינום האחרון‪ ,‬ראה תת־סעיף ‪.(5.1.1‬‬
‫משפט ‪ 6.2.14‬האינדקס של המייצב של ‪ x ∈ X‬שווה לגודל המסלול ]‪.[x‬‬
‫הוכחה‪ .‬נגדיר פונקציה ‪ f : G→X‬לפי ‪ .f (g) = g · x‬אפשר לחשב ש־) ‪ f (g) = f (g ′‬אם ורק אם ‪g · x = g ′ · x‬‬
‫אם ורק אם ‪ ,g −1 g ′ ∈ Gx‬אם ורק אם ‪ .g ′ Gx = gGx‬לכן ההתאמה ‪ gGx 7→ gx‬היא התאמה חד־חד־ערכית‬
‫‬
‫ועל בין קוסטים של ‪ Gx‬ואברים במסלול של ‪.x‬‬
‫קבוצה ‪ X‬שפועלת עליה חבורה ‪ G‬נקראת מרחב־‪.G‬‬
‫הגדרה ‪ 6.2.15‬יהיו ‪ X, Y‬מרחבי־‪ .G‬פונקציה הפיכה ‪ f : X→Y‬היא איזומורפיזם‬
‫של מרחבי־‪ ,G‬אם לכל ‪ σ ∈ G‬ולכל ‪ x ∈ X‬מתקיים )‪ .f (σ · x) = σ · f (x‬אם‬
‫יש בין ‪ X‬ל־ ‪ Y‬איזומורפיזם של מרחבי־‪ ,G‬אומרים שהמרחבים איזומורפיים‪.‬‬
‫∼ ‪ G/Gx‬כמרחבי־‪.G‬‬
‫תרגיל ‪= [x] (**) 6.2.16‬‬
‫‪/X‬‬
‫‪G×X‬‬
‫‪f‬‬
‫‪idG ×f‬‬
‫‬
‫‪/Y‬‬
‫‬
‫‪G×Y‬‬
‫הדרכה‪ .‬הפונקציה ממשפט ‪ 6.2.14‬היא איזומורפיזם של מרחבי־‪.G‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 6.2.17‬בכל פעולה של ‪ ,G‬הגודל של כל מסלול מחלק את |‪.|G‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.2.18‬חבורה ‪ G‬פועלת על קבוצה ‪ .X‬לכל ‪ ,g ∈ G‬נסמן ב־}‪Xg = {x ∈ X : g · x = x‬‬
‫את אוסף נקודות השבת של ‪ .g‬הראה ש־ ‪ .g(Xg′ ) = Xgg′ g−1‬הראה שאם )‪ ,g ∈ Z(G‬אז אפשר לצמצם‬
‫את הפעולה של ‪ G‬על ‪ X‬לפעולה על ‪.Xg‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 6.2.19‬בהמשך לתרגיל ‪ ,6.2.18‬נקבע )‪ σ ∈ Z(G‬ומספר ‪ .d ≥ 1‬הראה ש־‪ G‬פועלת על‬
‫קבוצת המסלולים בגודל ‪ d‬של ⟩‪.⟨σ‬‬
‫פעולת חבורה ‪ G‬על קבוצה ‪ X‬היא פעולה חופשית אם כל המייצבים הם טריוויאליים‪ .‬כלומר‪ ,‬לכל נקודה‬
‫‪ ,x‬אם ‪ g · x = x‬אז ‪.g = 1‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 6.2.20‬תהיינה ‪ F, G‬חבורות‪ .‬נסמן ב־)‪ Epi(F, G‬את כל האפימורפיזמים ‪ .ϕ : F →G‬לכל‬
‫∼ ‪ .G‬הראה ש־)‪ Aut(G‬פועלת )חופשית( על )‪ Epi(F, G‬על־ידי הרכבה‬
‫אפימורפיזם כזה‪= F/Ker(ϕ) ,‬‬
‫משמאל‪ ,‬ושיש התאמה חד־חד־ערכית ועל בין המסלולים של הפעולה‪ ,‬לבין תת־החבורות הנורמליות‬
‫∼ ‪.G‬‬
‫‪ K▹F‬שעבורן ‪= F/K‬‬
‫‪6.3‬‬
‫פעולת הכפל של חבורה על עצמה‬
‫תהי ‪ G‬חבורה‪ .‬החבורה פועלת על עצמה על־ידי כפל משמאל‪ ,‬לפי ‪ .g · x 7→ gx‬החבורה פועלת על עצמה‬
‫על־ידי כפל מימין על־ידי ‪.g · x 7→ xg −1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.3.1‬בדוק שפעולות החבורה על עצמה על־ידי כפל משמאל ומימין הן אכן פעולות‪) .‬אבל‬
‫פעולת הכפל משמאל ‪ ,g · x 7→ xg‬ללא ההיפוך‪ ,‬אינה פעולה של ‪ G‬אלא אם ‪ G‬אבלית‪(.‬‬
‫‪61‬‬
‫‪ .6.3‬פעולת הכפל של חבורה על עצמה‬
‫‪6.3.1‬‬
‫פרק ‪ .6‬פעולה של חבורה על קבוצה‬
‫משפט קיילי‬
‫בתת־סעיף זה נעזר בפעולה הטבעית של כל חבורה על עצמה‪ ,‬כדי להראות שכל חבורה סופית היא תת־חבורה‬
‫של אחת החבורות הסימטריות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.3.2‬מצא הצגה של ‪ D4‬כחבורת תמורות )חשוב על פינות הריבוע(‪.‬‬
‫משפט ‪) 6.3.3‬משפט קיילי( כל חבורה ‪ G‬איזומורפית לתת־חבורה של החבורה הסימטרית ‪.SG‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.3.4‬הוכח את המשפט‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬לפי תרגיל ‪ 6.1.12‬מספיק למצוא פעולה נאמנה של ‪ G‬על עצמה; פעולה כזו היא‬
‫פעולת הכפל משמאל‪ .g : x 7→ gx ,‬ההומומורפיזם המתאים לה הוא ‪ Ψ : G→SG‬לפי ‪ .Ψ(g) : x 7→ gx‬הראה ש־)‪ Ψ(gh) = Ψ(g)Ψ(h‬והסק‬
‫ש־‪ Ψ‬מוגדרת היטב כלומר‪ ,‬בהקשר הנוכחי‪ ,‬היא מחזירה תמורות ולא סתם פונקציות ‪ .G → G‬פעולה זו‬
‫של ‪ G‬על עצמה נקראת הפעולה הרגולרית‪.‬‬
‫∼ ‪ .SG‬כלומר‪ ,‬המשפט נותן שיכון ‪,G ,→ Sn‬‬
‫זכור )תרגיל ‪ (2.6.4‬שאם ‪ G‬חבורה סופית‪ ,‬מסדר ‪ ,n‬אז ‪= Sn‬‬
‫כאשר |‪ .n = |G‬זהו שיכון בזבזני למדי‪ ,‬שהרי !‪.|SG | = n‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.3.5‬הצג את החבורות ‪ Z4‬ו־ ‪ U8‬כתת־חבורות של ‪.S4‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.3.6‬הצג את ‪ U9‬כתת־חבורה של ‪.S6‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.3.7‬הצג את ‪ S3‬כתת־חבורה של ‪ ,S6‬כך שלאף איבר מלבד הזהות אין נקודות שבת‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 6.3.8‬הצג את חבורת הקווטרניונים ‪) Q4‬מהגדרה ‪ (3.6.30‬כתת־חבורה של ‪ ,S8‬והראה‬
‫שהיא אינה ניתנת לשיכון ב־ ‪ .S7‬הדרכה‪ .‬כדי להגדיר שיכון ‪ Q4 ,→ S8‬די לתאר את תמונות היוצרים ‪ .i, j‬לחלק השני‪ ,‬פתור את‬
‫המשוואה ‪ x2 = y 2‬עבור ‪ x, y ∈ S7‬מסדר ‪ ,4‬והראה שלא יתכן ש־ ‪ .yxy −1 = x−1‬ראה פתרון אחר לחלק זה בתרגיל ‪.8.3.19‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 6.3.9‬תהי ‪ G‬חבורה ו־‪ m‬מספר זר ל־|‪ .|G‬הוכח שההעתקה ‪ g 7→ g m‬היא חד־חד־ערכית‬
‫ועל‪) .‬זהו הומומורפיזם אם החבורה אבלית‪ ,‬אבל תרגיל ‪ 1.6.10‬אינו חל במקרה הכללי‪ (.‬הדרכה‪ .‬העזר‬
‫בשיכון של ‪ G‬לחבורת תמורות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 6.3.10‬מצא את כל החבורות ‪ G‬שעבורן התמונה של שיכון קיילי ב־ ‪ SG‬היא תת־חבורה‬
‫נורמלית‪ .‬הדרכה‪ .‬התמונה נורמלית אם ורק אם ‪ ,∀a∀σ∃b : σℓa = ℓb σ‬כלומר )‪ ;∀a∀σ∃b∀x : σ(ax) = bσ(x‬הראה שמזה נובע‬
‫)‪ .∀a∀σ∀x : σ(ax) = σ(a)σ(1)−1 σ(x‬בחר )‪ σ = (1t‬כאשר ‪ ;t ̸= 1‬בחר ‪ ,a ̸= 1, t‬אז‬
‫}‬
‫‪1, t, a−1 , a−1 t‬‬
‫{‬
‫⊆ ‪ ,G‬ובפרט ‪;|G| ≤ 4‬‬
‫עובדה זו נובעת כמובן גם ממשפט ‪.5.4.9‬‬
‫להצגה של חבורה נתונה כחבורת‬
‫מטריצות יש שימושים תאורטיים‬
‫מרחיקי לכת‪ ,‬הרבה מעבר‬
‫למשפט קיילי‪ .‬מעל שדה מתאים‪,‬‬
‫כל הצגה אפשר לפרק באופן‬
‫יחיד לסכום ישר של "הצגות אי־‬
‫פריקות"‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.3.11‬לכל שדה ‪ ,F‬כל חבורה סופית ‪ G‬היא תת־חבורה של ) ‪ GLn (F‬עבור ‪ n‬מתאים‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬לפי משפט קיילי די להראות ש־) ‪ ;Sn ⊆ GLn (F‬התבונן במטריצות התמורה ‪eσ(i),i‬‬
‫∑‬
‫= ‪.pσ‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 6.3.12‬מצא שיכון ) ‪ .Sn ,→ GLn−1 (F‬הדרכה‪ .‬קח } ‪ ,V0 = span{vi − vj } ⊂ span{e1 , . . . , en‬והגדר‬
‫∑ ‪∑n−1‬‬
‫∑‬
‫→‪(.σ 7‬‬
‫‪i<σ(j+1) eij −‬‬
‫פעולה של ‪ Sn‬על ‪ V0‬לפי )‪) .σ(vi − vj ) = vσ(i) − vσ(j‬לחילופין‪ ,‬פתרון מפורש‪i<σ(j) eij ) :‬‬
‫( ‪j=1‬‬
‫‪6.3.2‬‬
‫העידון של משפט קיילי‬
‫נסמן ב־‪ G/H‬את אוסף הקוסטים }‪) {xH‬גם כאשר ‪ H‬אינה נורמלית(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 6.3.13‬הראה ש־‪ G‬פועלת על ‪ G/H‬לפי ‪ .g : (xH) 7→ (gx)H‬זוהי פעולת הכפל משמאל‬
‫על מרחב הקוסטים‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 6.3.14‬חבורה של תמורות היא מאוזנת אם כל איבר שלה הוא מכפלה של מחזורים זרים שכולם מאותו אורך‪) .‬נקודות‬
‫השבת נכללות בדיון‪ :‬התמורה )‪ (12)(34)(56‬מאוזנת ב־ ‪ S6‬אבל לא ב־ ‪(.S8‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.3.15‬תהי ‪ H ≤ Sn‬תת־חבורה‪ .‬נניח שלאף איבר לא טריוויאלי ב־‪ H‬אין נקודות שבת‪.‬‬
‫הוכח ש־‪ H‬מאוזנת‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.3.16‬הראה שהתמונה של ההומומורפיזם ‪ ,Ψ : G→SS/H‬המוגדר על־ידי הפעולה‬
‫שבתרגיל ‪ ,6.3.13‬היא מאוזנת‪.‬‬
‫‪62‬‬
‫‪ .6.4‬פעולת ההצמדה‬
‫פרק ‪ .6‬פעולה של חבורה על קבוצה‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.3.17‬עבור הפעולה שמשרה תרגיל ‪ 6.3.13‬וההומומורפיזם ‪ Ψ : G→SG/H‬המתאים לה‪,‬‬
‫הראה שהמייצב של הקוסט ‪ xH‬הוא ‪ x−1 Hx‬וש־)‪) Ker(Ψ) = CoreG (H‬ראה תרגיל ‪.(3.3.22‬‬
‫אם ‪ G‬חבורה גדולה‪ ,‬משפט קיילי המספק שיכון שלה ל־ |‪ S|G‬אינו נוח ואינו יעיל‪ .‬נניח שיש ל־‪ G‬תת־חבורה‬
‫‪ ,H‬מאינדקס ‪.n‬‬
‫משפט ‪) 6.3.18‬העידון של משפט קיילי( תהי ‪ G‬חבורה ותהי ‪ H‬תת־חבורה מאינדקס ]‪ .n = [G : H‬אז יש שיכון‬
‫‪.G/CoreG (H) ,→ Sn‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.3.19‬הוכח את המשפט‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגילים ‪.6.3.17 ,6.3.13‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 6.3.20‬אם יש ל־‪ G‬תת־חבורה ‪ H‬מאינדקס ‪ ,n‬אז יש לה תת־חבורה נורמלית מאינדקס‬
‫המחלק את !‪) n‬המוכלת ב־‪.(H‬‬
‫כזכור חבורה שאין לה תת־חבורות נורמליות נקראת פשוטה )הגדרה ‪.(4.1.4‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.3.21‬כל חבורה פשוטה עם תת־חבורה מאינדקס ‪ n‬היא תת־חבורה של ‪) Sn‬ראו‬
‫תרגיל ‪(.6.3.22‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.3.22‬תהי ‪ G‬תת־חבורה פשוטה של ‪ .Sn‬אם ‪ |G| > 2‬אז ‪.G ⊆ An‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪ ;5.1.17‬השווה‬
‫לתרגיל ‪.6.3.21‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.3.23‬אם לחבורה פשוטה ‪ G ̸= Z2‬יש תת־חבורה מאינדקס ‪ ,n‬אז |‪ |G‬מחלק את !‪. 21 n‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.6.3.22‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.3.24‬נניח ‪.5 ≤ n‬‬
‫‪ .1‬ל־ ‪ An‬אין תת־חבורות מאינדקס קטן מ־ ‪.n‬‬
‫‪ .2‬תת־החבורה היחידה של ‪ Sn‬שהאינדקס שלה קטן מ־‪ n‬היא ‪.An‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 6.3.25‬הראה שאין שיכון של ‪ Sn‬ב־ ‪ ;n ≥ 2) An+1‬השווה לתרגיל ‪(.5.1.18‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 6.3.26‬תהי ‪ H ≤ G‬תת־חבורה מאינדקס ‪ ,p‬כאשר ‪ p‬הראשוני הקטן ביותר המחלק את‬
‫|‪ .|G‬הוכח ש־‪ .H▹G‬הערה‪ .‬זוהי הכללה של תרגיל ‪.3.3.13‬‬
‫‪2‬‬
‫תרגיל ‪ G (-***) 6.3.27‬חבורה סופית פשוטה עם תת־חבורה ‪ .H‬הוכח ש־ ]‪ .log |G| ≤ [G : H‬מצא את‬
‫החסם על ]‪ [G : H‬אם ‪.|G| = 230‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 6.3.28‬לחבורה נוצרת סופית )הגדרה ‪ (1.4.23‬יש מספר סופי של תת־חבורות מאינדקס‬
‫‪ .n‬הדרכה‪ .‬תת־חבורה ‪ H ≤ G‬מאינדקס ‪ n‬משרה פעולה של ‪ G‬על קבוצת הקוסטים של ‪ ,H‬וניתנת לשחזור כמייצב של עצמה‪ .‬לכן מספר‬
‫החבורות אינו עולה על מספר ההומומורפיזמים ‪.G→Sn‬‬
‫‪6.4‬‬
‫פעולת ההצמדה‬
‫בסעיף הקודם עסקנו בפעולה של חבורה ‪ G‬על עצמה ועל הקוסטים של תת־חבורה לפי כפל‪ .‬בסעיף זה נבחן‬
‫פעולה חדשה‪ :‬הצמדה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 6.4.1‬הפעולה של חבורה ‪ G‬על עצמה לפי ‪ g : x 7→ gxg −1‬נקראת הצמדה‪ .‬נגדיר ‪ γg : G→G‬לפי = )‪γg (x‬‬
‫‪ ;gxg −1‬פעולת ההצמדה מתאימה איבר ‪ g‬לפעולה ‪.γg‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.4.2‬קבע מתי ‪ g : x 7→ g −1 xg‬מגדיר פעולה של ‪ G‬על עצמה‪.‬‬
‫‪63‬‬
‫‪ .6.4‬פעולת ההצמדה‬
‫‪6.4.1‬‬
‫פרק ‪ .6‬פעולה של חבורה על קבוצה‬
‫מחלקות צמידות‬
‫הגדרה ‪ 6.4.3‬שני אברים ‪ x, y ∈ G‬הם צמודים אם קיים ‪ g ∈ G‬כך ש־ ‪ .y = gxg −1‬לפעמים מסמנים ‪.x ≈ y‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.4.4‬הראה שיחס הצמידות הוא יחס שקילות‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬אברים הם צמודים אם ורק אם הם שייכים לאותו מסלול‬
‫של פעולת ההצמדה; אפשר גם להוכיח ישירות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ x ∈ Z(G) (*) 6.4.5‬אם ורק אם מחלקת הצמידות של ‪ x‬היא היחידון }‪.[x] = {x‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.4.6‬תת־חבורה היא נורמלית אם ורק אם היא מהווה איחוד של מחלקות צמידות )אבל‬
‫איחוד של מחלקות צמידות הוא תת־חבורה נורמלית רק אם הוא סגור לכפל(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.4.7‬חשב את מחלקת הצמידות של ‪.(g, h) ∈ G × H‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪0‬‬
‫‪, 10 −1‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 6.4.8‬הוכח שבחבורה )‪ ,GL2 (Z‬כל איבר מסדר ‪ 2‬צמוד לאחת מן המטריצות‬
‫(‬
‫( )‬
‫)‬
‫‪ 1 1‬ו־ ‪0‬‬
‫‪. −1‬‬
‫‪0 −1‬‬
‫‪0 −1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.4.9‬מחלקות הצמידות בחבורה הדיהדרלית ‪ Dn‬הן‪:‬‬
‫• אם ‪ n‬זוגי‪ n/2 + 3 ,‬המחלקות‬
‫{‬
‫{ }‬
‫{ }‬
‫{‬
‫}‬
‫{ }‬
‫}‬
‫‪{1}, σ, σ −1 , . . . , sn/2−1 , σ n/2+1 , σ n/2 , τ, σ 2 τ, σ 4 τ, . . . , σ n−2 τ , στ, σ 3 τ, σ 5 τ, . . . , σ n−1 τ .‬‬
‫• ואם ‪ n‬איזוגי‪ (n + 3)/2 ,‬המחלקות‬
‫{‬
‫}‬
‫{‬
‫{ }‬
‫}‬
‫{‬
‫}‬
‫‪{1}, σ, σ −1 , σ 2 , σ −2 , . . . , σ (n−1)/2 , σ (n+1)/2 , τ, στ, σ 2 τ, . . . , σ n−1 τ .‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.4.10‬תהי ‪ G‬חבורה )אינסופית(‪ .‬נסמן ב־)‪ ∆(G‬את קבוצת האברים שמחלקת הצמידות‬
‫שלהם סופית‪ .‬הראה ש־)‪ ∆(G‬היא תת־חבורה נורמלית של ‪.G‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 6.4.11‬בהמשך לתרגיל ‪ ,6.4.10‬נסמן ב־)‪ ∆+ (G‬את קבוצת האברים מסדר סופי ב־)‪.∆(G‬‬
‫הוכח ש־)‪ ∆(G)/∆+ (G‬היא חבורה אבלית חסרת פיתול )למושג האחרון‪ ,‬ראה הגדרה ‪.(9.5.2‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 6.4.12‬לכל תת־חבורה נוצרת סופית )‪ [H, H] ,H ⊆ ∆(G‬היא חבורה מפותלת )ראו‬
‫הגדרה ‪.(9.5.2‬‬
‫תרגיל ‪ ∆(G) (+**) 6.4.13‬אבלית חסרת פיתול אם ורק אם אין ל־‪ G‬תת־חבורות נורמליות סופיות‪.‬‬
‫מרכזים‬
‫ְּ‬
‫‪6.4.2‬‬
‫המרכז של ‪ a‬הוא קבוצת האברים‬
‫ֵּ‬
‫הגדרה ‪ 6.4.14‬תהי ‪ G‬חבורה‪ ,‬ויהי ‪.a ∈ G‬‬
‫{‬
‫}‬
‫‪CG (a) = x ∈ G : xax−1 = a .‬‬
‫המרכז הוא המייצב של ‪ a‬בפעולת ההצמדה של ‪ G‬על עצמה‪.‬‬
‫ֵּ‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.4.15‬המרכז של איבר הוא תת־חבורה של ‪.G‬‬
‫תרגיל ‪.CG (gag −1 ) = gCG (a)g −1 (*) 6.4.16‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.4.17‬אם ‪ φ : G → H‬איזומורפיזם‪ ,‬אז ))‪.CH (φ(x)) = φ(CG (x‬‬
‫‪64‬‬
‫‪ .6.4‬פעולת ההצמדה‬
‫פרק ‪ .6‬פעולה של חבורה על קבוצה‬
‫תרגיל ‪ (+*) 6.4.18‬מספר האברים במחלקת הצמידות של ‪ a ∈ G‬שווה לאינדקס ])‪ .[G : CG (a‬בפרט‪,‬‬
‫מספר האברים במחלקת הצמידות מחלק את סדר החבורה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.4.19‬מחלקת הצמידות של איבר ‪ a‬בחבורה היא בגודל ‪ .2‬הוכח‪ :‬יש לחבורה תת־חבורה‬
‫נורמלית לא טריוויאלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 6.4.20‬תהי ‪ G‬חבורה סופית‪ .‬מגרילים ‪ g, g ′ ∈ G‬באקראי לפי התפלגות אחידה‪.‬‬
‫‪ .1‬חשב את תוחלת מספר הפתרונות למשוואה ‪.xgx−1 = g ′‬‬
‫‪ .2‬חשב את תוחלת מספר הפתרונות למשוואה ‪.xgx−1 = g ′ gg ′−1‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.4.21‬רשום את אברי המרכז של )‪ (123‬ב־ ‪.S3‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.4.22‬רשום את אברי המרכז של )‪ (12)(34‬ב־ ‪.S4‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.4.23‬מצא את המרכז של )‪ (12)(34‬בחבורה ‪ .S5‬כמה אברים יש במחלקה ])‪?[(12)(34‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.4.24‬מצא את )‪ CSn (σ‬כאשר )‪.σ = (123 . . . n‬‬
‫הדרכה‪ .‬חשב את |]‪.|[σ‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.4.25‬מה גודלה של מחלקת הצמידות של )‪ (123)(45‬ב־ ‪?A5‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.4.26‬רשום את אברי המרכז של )‪ (123‬ב־ ‪.A4‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 6.4.27‬החבורה ) ‪ G = SL2 (Z3‬של מטריצות ‪ 2 × 2‬מעל ‪ Z3‬מדטרמיננטה ‪ ,1‬היא מסדר ‪.24‬‬
‫‪ .1‬מצא איבר לא טריוויאלי במרכז של ‪.G‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ .2‬חשב את המרכז ) ‪ ,CG ( 1 1‬וזהה את החבורה עד כדי איזומורפיזם‪.‬‬
‫)‬
‫‪ .3‬הסק ‪ -‬כמה מטריצות צמודות ל־ ‪1 0‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪6.4.3‬‬
‫(‬
‫בחבורה הזו?‬
‫מחלקות צמידות בתת־חבורה‬
‫ניתן לדלג בקריאה ראשונה‪.‬‬
‫בסעיף זה נלמד מה קורה למחלקות צמידות כאשר יורדים לתת־חבורה‪ .‬תהי ‪ G‬חבורה עם תת־חבורה‬
‫נורמלית ‪ ,N‬ותהי ‪ Γ‬מחלקת צמידות של ‪ ,G‬המוכלת ב־ ‪) .N‬דוגמה חשובה במיוחד‪ G = Sn :‬ו־ ‪(.N = An‬‬
‫תרגיל ‪ Γ (*) 6.4.28‬היא איחוד של מחלקות צמידות ב־ ‪) N‬כלומר‪ :‬אם ‪ g1 , g2‬צמודים ב־ ‪ ,N‬הם צמודים‬
‫ב־‪.(G‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 6.4.29‬אם ‪ Γ = Γ1 ∪ · · · ∪ Γs‬כאשר ‪ Γi‬מחלקות של ‪ ,N‬אז ‪ Γi‬שווי־גודל ו־ ‪|Γ| = s · Γ1‬‬
‫עבור ‪ s‬מתאים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.4.30‬הראה ש־)‪ (123), (124‬צמודים ב־ ‪ S4‬אבל אינם צמודים ב־ ‪.A4‬‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.4.31‬הראה ש־ ‪0 1‬‬
‫‪ −A = 01 −1‬צמודות ב־)‪ GL2 (R‬אבל אינן צמודות‬
‫ו־‬
‫‪A‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪−1 0‬‬
‫ב־)‪ .SL2 (R‬הראה שכל מטריצה הצמודה ל־‪ A‬ב־)‪ GL2 (R‬צמודה לאחת המטריצות ‪ A, −A‬ב־)‪.SL2 (R‬‬
‫המרכזים‪ .‬נבחר ‪.g ∈ Γ‬‬
‫ְּ‬
‫כדי לבדוק האם מחלקה ‪ Γ‬היא מחלקת צמידות של ‪ ,N‬נשווה את‬
‫תרגיל ‪.CN (g) = N ∩ CG (g) (*) 6.4.32‬‬
‫תרגיל ‪ Γ (**) 6.4.33‬מתפצלת‬
‫] ‪[G:N‬‬
‫ל־ ])‪[CG (g):CN (g‬‬
‫מחלקות צמידות של ‪ .N‬בפרט‪:‬‬
‫‪ Γ .1‬מחלקת צמידות של ‪ N‬אם ורק אם ])‪.[G : N ] = [CG (g) : CN (g‬‬
‫‪ Γ .2‬מתפצל ל־] ‪ [G : N‬מחלקות לכל היותר‪ Γ .‬מתפצל ל־] ‪ [G : N‬מחלקות אם ורק אם ‪.CG (g) ⊆ N‬‬
‫‪65‬‬
‫פרק ‪ .6‬פעולה של חבורה על קבוצה‬
‫‪ .6.4‬פעולת ההצמדה‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.4.34‬נסח את תוצאות התרגיל האחרון במקרה ‪.[G : N ] = 2‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.4.35‬מצא את מחלקות הצמידות ב־ ‪.A4‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.4.36‬האם כל שני אברים מסדר ‪ 7‬ב־ ‪ A7‬הם צמודים? מה בדבר כל שני אברים מסדר‬
‫‪ ?2‬כל שני אברים מסדר ‪?3‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 6.4.37‬מצא את מחלקת הצמידות היחידה של ‪ S6‬המוכלת ב־ ‪ A6‬ומתפצלת שם לשתי‬
‫מחלקות‪.‬‬
‫מרכזים של תת־חבורות‪.‬‬
‫ְּ‬
‫‪6.4.4‬‬
‫המרכז של ‪ H‬הוא קבוצה האברים‬
‫ֵּ‬
‫הגדרה ‪ 6.4.38‬תהי ‪ H ≤ G‬תת־חבורה‪.‬‬
‫{‬
‫}‬
‫‪CG (H) = x ∈ G : ∀a ∈ H : xax−1 = a .‬‬
‫המרכז של איבר )הגדרה ‪ (6.4.14‬משום ש־)‪.CG (⟨g⟩) = CG (g‬‬
‫ֵּ‬
‫זוהי הכללה של‬
‫תרגיל ‪ CG (H) (*) 6.4.39‬תת־חבורה של ‪.G‬‬
‫תרגיל ‪ H ⊆ CG (H) (*) 6.4.40‬אם ורק אם ‪ H‬אבלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.4.41‬אם ‪ H‬אבלית‪ ,‬אז )‪ S = CG (H‬היא תת־החבורה המקסימלית כך ש־)‪.H ⊆ Z(S‬‬
‫תרגיל ‪.Z(H) = H ∩ CG (H) (*) 6.4.42‬‬
‫תרגיל ‪.Z(G) = CG (G) (*) 6.4.43‬‬
‫תרגיל ‪ .CG (xHx−1 ) = xCG (H)x−1 (+*) 6.4.44‬לכן‪ ,‬אם ‪ H▹G‬אז ‪.CG (H)▹G‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.4.45‬אם ‪ A ⊆ B‬אז )‪.CG (B) ⊆ CG (A‬‬
‫תרגיל ‪ A, B ≤ G (**) 6.4.46‬תת־חבורות‪ .‬הראה ש־)‪.CG (AB) = CG (A) ∩ CG (B‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.4.47‬לכל תת־חבורה ‪.H ⊆ CG (CG (H)) ,H‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 6.4.48‬יהי ‪ Ψ : L→L‬אופרטור מקבוצה סדורה לעצמה‪ ,‬המקיים את שני התנאים‬
‫‪ .1‬אם ‪ A ≤ B‬אז )‪,Ψ(A) ≥ Ψ(B‬‬
‫‪ .2‬לכל ‪;A ≤ Ψ2 (A) ,A ∈ L‬‬
‫אז ‪ ,Ψ3 = Ψ‬כלומר‪ Ψ(Ψ(Ψ(A))) = Ψ(A) ,‬לכל ‪.A‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 6.4.49‬לכל תת־חבורה ‪ H ≤ G‬מתקיים )‪CG (CG (CG (H))) = CG (H‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.6.4.48‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 6.4.50‬תהיינה ‪ H ≤ G‬חבורות‪ ,‬אז )‪.Z(H) · Z(G) = H · Z(G) ∩ CG (H‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 6.4.51‬תהי ‪ G‬חבורה שבה ⟩‪ CG (x) = ⟨x‬לכל ‪ .x ̸= 1‬הוכח שלכל איבר ב־‪ G‬יש סדר‬
‫ראשוני‪ .‬תן דוגמה לחבורה כזו שאינה מסדר ‪.pn‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.4.52‬חשב את )‪ CG×H (G × 1‬ואת )‪.Z(G × H‬‬
‫‪66‬‬
‫‪ .6.4‬פעולת ההצמדה‬
‫פרק ‪ .6‬פעולה של חבורה על קבוצה‬
‫‪ 6.4.5‬מנרמלים‬
‫יהי ‪ S‬אוסף כל תת־החבורות של ‪.G‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.4.53‬הנוסחה ‪ g : H 7→ gHg −1‬מגדירה פעולה של ‪ G‬על האוסף ‪.S‬‬
‫הגדרה ‪ 6.4.54‬תהי ‪ H ≤ G‬תת־חבורה‪ .‬המנרמל של ‪ H‬ב־‪ G‬הוא הקבוצה‬
‫{‬
‫}‬
‫‪NG (H) = x ∈ G : xHx−1 = H .‬‬
‫כלומר‪ ,‬כמקודם‪ ,‬זהו המייצב של ‪ H‬בפעולת ההצמדה על ‪.S‬‬
‫{‬
‫}‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.4.55‬הראה שהקבוצה ‪ x ∈ G : xHx−1 ⊆ H‬אינה בהכרח תת־חבורה‪.‬‬
‫)‬
‫‪Q‬‬
‫‪1‬‬
‫× ( )‬
‫‪ Q0‬ו־‬
‫‪Z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫(‬
‫הדרכה‪ .‬קח = ‪G‬‬
‫= ‪.H‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.4.56‬המנרמל )‪ NG (H‬הוא תת־חבורה של ‪ ,G‬המכילה את המרכז )‪.CG (H‬‬
‫תרגיל ‪ ,H▹NG (H) (*) 6.4.57‬ולמעשה )‪ NG (H‬היא תת־החבורה הגדולה ביותר של ‪ G‬שבה ‪H‬‬
‫נורמלית‪ :‬לכל ‪ ,H▹K ,H ≤ K ≤ G‬אז ורק אם )‪.K ⊆ NG (H‬‬
‫תרגיל ‪ NG (H) = G (*) 6.4.58‬אם ורק אם ‪.H▹G‬‬
‫תרגיל ‪.NG (xHx−1 ) = xNG (H)x−1 (*) 6.4.59‬‬
‫תרגיל ‪ H · CG (H) (*) 6.4.60‬היא תת־חבורה נורמלית של )‪.NG (H‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.4.61‬אם ‪ ,H ⊆ K ⊆ G‬אז ‪.NK (H) = NG (H) ∩ K‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.4.62‬נניח ש־‪ .K▹G ,K ⊆ H ≤ G‬אז ‪.NG/K (H/K) = NG (H)/K‬‬
‫הגדרה ‪ 6.4.63‬שתי תת־חבורות ‪ H, H ′‬של ‪ G‬הן צמודות אם קיים ‪ g ∈ G‬כך ש־ ‪.H ′ = gHg −1‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.4.64‬אם ‪ H1 , H2‬צמודות‪ ,‬אז הן איזומורפיות‪ .‬תן דוגמא המראה שההיפך אינו נכון‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 6.4.65‬מספר תת־החבורות הצמודות ל־‪ H‬שווה ל־])‪.[G : NG (H‬‬
‫הראה שלתמורה‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.4.66‬נניח ש־ ‪ X, Y‬הם מרחבי־‪ G‬איזומורפיים )הגדרה ‪.(6.2.15‬‬
‫המתאימה לאיבר ‪ g ∈ G‬בפעולה שלו על ‪ X‬יש אותו מבנה מחזורים כמו בפעולה שלו על ‪.Y‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 6.4.67‬תהי ‪ H ≤ G‬תת־חבורה‪ .‬הראה שקבוצת הקוסטים של המנרמל )‪ ,G/NG (H‬עם‬
‫פעולת הכפל של ‪ G‬משמאל‪ ,‬איזומורפית )כמרחב־‪ (G‬לקבוצת תת־החבורות הצמודות ל־‪ ,H‬שהוגדרה‬
‫בתרגיל ‪ .6.3.13‬בפרט‪ ,‬הראה שמספר נקודות השבת בפעולה של ‪ g ∈ G‬שווה למספר הצמודים של‬
‫)‪ NG (H‬שאליהם ‪ g‬שייך‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 6.4.68‬תהי ‪ H ≤ G‬תת־חבורה‪ .‬הפעולה של ‪ G‬על תת־החבורות הצמודות ל־‪ ,H‬על־ידי‬
‫הצמדה‪ ,‬משרה פעולת הצמדה של כל תת־חבורה ‪ .K ≤ G‬הראה שאם יש בפעולה של ‪ K‬נקודת‬
‫שבת משותפת‪ ,‬אז )‪ NG (H‬מכיל תת־חבורה הצמודה ל־‪.K‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 6.4.69‬תהי ) ‪ ,G = GLn (F‬ו־) ‪ ,T = Tn (F‬כפי שהוגדרו בתרגיל ‪ .3.5.20‬מצא את המנרמל‬
‫∼ ‪.NG (T )/T‬‬
‫) ‪ NG (T‬והוכח ש־ ‪= Sn‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.4.70‬תהי ‪ G‬חבורה סופית עם תת־חבורה אמיתית ‪ .H‬הוכח שיש ב־‪ G‬אברים שאף צמוד‬
‫∪‬
‫‬
‫|‪|G‬‬
‫שלהם אינו שייך ל־‪ .H‬הדרכה‪ .‬הראה ש־ ]‪. x∈G xHx−1 < [N (H):H‬‬
‫‪G‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 6.4.71‬תהי ‪ G‬חבורה פשוטה סופית‪ ,‬שאינה ציקלית‪.‬‬
‫‪ .1‬נניח שכל תת־חבורה אמיתית של ‪ G‬היא אבלית‪.‬‬
‫‪67‬‬
‫פרק ‪ .6‬פעולה של חבורה על קבוצה‬
‫‪ .6.5‬הלמה של ברנסייד‬
‫)א( החיתוך של שתי תת־חבורות מקסימליות הוא טריוויאלי‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬תהיינה ‪ H1 , H2‬תת־חבורות מקסימליות‪,‬‬
‫ונסמן ‪ .K = H1 ∩ H2‬מכיוון ש־ ‪ NG (K) ⊇ H1 , H2 ,K▹Hi‬ולכן ‪ NG (K) = G‬ו־‪ ,K▹G‬אבל ‪ G‬פשוטה‪.‬‬
‫)ב( תהי ‪ H‬תת־חבורה מקסימלית‪ .‬נסמן }‪xHx−1 − {1‬‬
‫∪‬
‫‪x‬‬
‫= )‪ .V (H‬אז‬
‫‪1‬‬
‫|‪2 |G‬‬
‫≥ |)‪.|V (H‬‬
‫הדרכה‪ |V (H)| = |G| − [G : H] .‬לפי סעיף )א(‪.‬‬
‫)ג( תהי ‪ H‬תת־חבורה מקסימלית‪ .‬אז יש תת־חבורה מקסימלית שאינה צמודה ל־‪.H‬‬
‫הדרכה‪ .‬לפי‬
‫תרגיל ‪ 6.4.70‬יש איבר של ‪ G‬שאינו באף צמוד של ‪.H‬‬
‫)ד( תהיינה ‪ H1 , H2‬תת־חבורות מקסימליות שאינן צמודות‪ ,‬אז |) ‪ ,|G| ≤ |V (H1 ) ∪ V (H2‬וזו‬
‫סתירה לכך ש־) ‪.1 ̸∈ V (Hi‬‬
‫‪ .2‬יש ל־‪ G‬תת־חבורה לא אבלית‪.‬‬
‫‪6.5‬‬
‫הלמה של ברנסייד‬
‫דוגמא ‪ 6.5.1‬בונים ריבועים ממוטות עץ בשלושה צבעים‪ .‬שני ריבועים שאפשר לקבל אחד מהם מן השני על־ידי‬
‫סיבוב או שיקוף הם שקולים‪ .‬כמה ריבועים לא שקולים אפשר לבנות?‬
‫בשאלה זו יש חבורה ) ‪ (D4‬הפועלת על אוסף הריבועים הבנויים‪ ,‬כלומר ‪ 34‬הרביעיות הסדורות של מוטות‬
‫משלושה צבעים‪ .‬הלמה של ברנסייד מאפשרת לספור כמה מסלולים יש בפעולה הזו‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 6.5.2‬תהי ‪ G‬חבורה הפועלת על ‪ .X‬לכל ‪ ,σ ∈ G‬נסמן ב־|}‪ fp(σ) = |{x : σ(x) = x‬את מספר נקודות השבת‬
‫של ‪.(fixed points) σ‬‬
‫משפט ‪) 6.5.3‬הלמה של ברנסייד( מספר המסלולים בפעולה של חבורה ‪ G‬על קבוצה ‪ X‬שווה לערך הממוצע של מספר‬
‫נקודות השבת‪:‬‬
‫∑ ‪1‬‬
‫‪fp(σ).‬‬
‫= |‪|X/G‬‬
‫|‪|G‬‬
‫‪σ∈G‬‬
‫∑‬
‫∑‬
‫∑‬
‫מצד שני אותו סכום שווה ל־‬
‫= )‪. σ∈G x∈X δx,σ(x‬‬
‫הוכחה‪ .‬מצד אחד‪σ∈G fp(σ) ,‬‬
‫∑‬
‫∑‬
‫∑ ∑‬
‫∑‬
‫∑‬
‫∑‬
‫|‪|G‬‬
‫‪1‬‬
‫‪· O1‬‬
‫= )‪ , x∈X σ∈G δx,σ(x‬כאשר‬
‫· |‪x∈X |[x]| = |G‬‬
‫= | ‪x∈X |Gx‬‬
‫‪O‬‬
‫|‪x∈O |O| = |G‬‬
‫∑‬
‫‬
‫הסכום ‪ O‬מחושב על־פני המסלולים ‪.O ⊆ X‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 6.5.4‬תהי ‪ G‬חבורה הפועלת על קבוצה ‪ .X‬אם ‪ σ, σ ′ ∈ G‬צמודות אז |)‪.|fp(σ ′ )| = |fp(σ‬‬
‫לכן‬
‫∑ ‪1‬‬
‫)‪|C| · fp(C‬‬
‫= |‪|X/G‬‬
‫|‪|G‬‬
‫‪C⊆G‬‬
‫כאשר )‪ fp(C‬הוא מספר נקודות השבת של איבר כלשהו ממחלקת הצמידות ‪.C‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.5.5‬חשב באמצעות הלמה של ברנסייד את מספר נקודות השבת הממוצע של תמורות‬
‫מ־ ‪.Sn‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 6.5.6‬תהי ‪ G‬חבורה סופית‪ .‬הראה שההסתברות לכך ששני אברים מקריים יתחלפו‪ ,‬שווה‬
‫∑‬
‫‪1‬‬
‫למספר מחלקות הצמידות חלקי סדר החבורה‪.‬‬
‫|‪ ; |G‬יישם את הלמה של‬
‫‪2‬‬
‫הדרכה‪ .‬ההסתברות היא |)‪g∈G |CG (g‬‬
‫ברנסייד לפעולת ההצמדה של החבורה על עצמה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 6.5.7‬יהי ‪ p‬מספר ראשוני‪ .‬החבורה הדיהדרלית ‪ Dp‬פועלת על מצולע משוכלל בן ‪p‬‬
‫צלעות‪ .‬כמה משולשים יש במצולע‪ ,‬עד כדי שקילות?‬
‫מתי שתי צביעות של‬
‫קודקודי ריבוע נחשבות‬
‫שקולות זו לזו?‬
‫הלמה של ברנסייד מאפשרת לספור את הדרכים השונות לצבוע קבוצה ‪ ,X‬באופן הבא‪ .‬תהי ‪ B‬קבוצת‬
‫הצבעים‪ .‬צביעה של ‪ X‬היא פונקציה ‪ .f : X→B‬נניח שחבורה ‪ G‬פועלת על ‪ ;X‬החבורה פועלת גם על קבוצת‬
‫הצביעות ‪ B X‬לפי הנוסחה ))‪.(σ(f ))(x) = f (σ(x‬‬
‫)‪c(σ‬‬
‫|‪ |B‬כאשר )‪ c(σ‬הוא‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.5.8‬מספר נקודות השבת של ‪ σ ∈ G‬בפעולה על ‪ B X‬שווה ל־‬
‫∑‬
‫)‪c(σ‬‬
‫‪1‬‬
‫|‪. |G| σ∈G |B‬‬
‫מספר המחזורים של ‪ σ‬כאיבר של ‪ .SX‬לכן מספר הצביעות השונות הוא‬
‫‪68‬‬
‫‪ .6.6‬טרנזיטיביות‬
‫פרק ‪ .6‬פעולה של חבורה על קבוצה‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.5.9‬בכמה דרכים שונות עקרונית אפשר לצבוע קודקודים של ריבוע‪ ,‬אם אפשר להשתמש‬
‫בששה צבעים? )שתי צביעות הן שקולות אם אפשר לסובב ולשקף את הריבוע הצבוע באחת מהן אל‬
‫השניה‪(.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 6.5.10‬במאגר יש מספר גדול של כדורים בכל אחד מעשרה צבעים‪ .‬השתמש בלמה של‬
‫ברנסייד כדי לספור כמה אפשרויות יש לבחור קבוצה בת ארבעה כדורים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 6.5.11‬כמה מחרוזות באורך ‪ n‬אפשר ליצור מחרוזים בשני צבעים?‬
‫הדרכה‪ .‬בפעולה של ‪ σ i‬יש‬
‫)‪ 2(n,i‬נקודות שבת‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.5.12‬חבורה ‪ G‬פועלת על־ידי כפל משמאל על זוגות לא סדורים של אברים של עצמה‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫כמה מסלולים יש? הדרכה‪ .‬נסמן ב־‪ n‬את גודל החבורה‪ .‬נסמן ב־ ‪ d2‬את מספר האברים מסדר ‪ 2‬בחבורה; לכל איבר מסדר ‪ 2‬יש ‪2‬‬
‫אברים‪ ,‬ולאיברים שאינם מקיימים ‪ g 2 = 1‬אין נקודות שבת‪ .‬לכן מספר המסלולים הוא ) ‪ . 12 (n − 1 + d2‬ספור את המסלולים ישירות תוך שימוש‬
‫בעובדה שכל זוג שקול לזוג מהצורה }‪) {1, g‬השווה לתרגיל ‪.(2.1.13‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.5.13‬ריבוע סודוקו מסדר ‪ 2‬הוא ריבוע של ‪ 4 × 4‬משבצות‪ ,‬שבכל שורה ובכל עמודה שלו‬
‫כתובים המספרים ‪ ,1, 2, 3, 4‬וכך שבכל רבע של הריבוע מופיעים כל ארבעת המספרים‪ .‬הגדר שלוש‬
‫פעולות שונות של ‪ D4‬על האוסף ‪ Σ‬של כל ריבועי סודוקו מסדר ‪ .2‬הגדר פעולה טבעית של ‪ .S4‬כמה‬
‫ריבועי סודוקו מסדר ‪ 2‬יש‪ ,‬עד כדי הפעולה המשותפת של כל החבורות האלה?‬
‫‪ 6.6‬טרנזיטיביות‬
‫הגדרה ‪ 6.6.1‬הפעולה של ‪ G‬על ‪ X‬היא פעולה טרנזיטיבית אם לכל ‪ x, y ∈ X‬קיים ‪ g ∈ G‬כך ש־‪ .g(x) = y‬כלומר‪X ,‬‬
‫היא מסלול יחיד תחת הפעולה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.2‬אם ‪ G‬פועלת טרנזיטיבית אז כל המייצבים ‪ Gx‬צמודים זה לזה‪.‬‬
‫הסק ש־‪ ,CoreG (Gx ) = 1‬ולכן המייצב של נקודה אינו מכיל אף תת־חבורה נורמלית של ‪.G‬‬
‫)הדרכה‪ .‬תרגיל‬
‫‪(.6.2.11‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.3‬החבורה ) ‪ GLn (F‬פועלת על המרחב ‪ V = F n‬בדרך הרגילה‪ .A : x 7→ Ax ,‬כמה‬
‫מסלולים יש בפעולה הזו? )ראה תרגיל ‪(.6.8.7‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.4‬אם ‪ G‬פועלת על ‪ X‬ויש נקודה ‪ x ∈ X‬כך ש־|‪ [G : Gx ] = |X‬אז הפעולה טרנזיטיבית‪.‬‬
‫‪6.6.1‬‬
‫טרנזיטיביות מרובה‬
‫הגדרה ‪ 6.6.5‬פעולה על מרחב ‪ X‬שיש בו לפחות ‪ k‬נקודות נקראת ‪k‬־טרנזיטיבית אם לכל ‪ x1 , . . . , xk‬שונים‪ ,‬ולכל‬
‫‪ y1 , . . . , yk‬שונים‪ ,‬קיים ‪ g ∈ G‬כך ש־ ‪) .g(xi ) = yi‬פעולה ‪1‬־טרנזיטיבית נקראת‪ ,‬כפי שהוגדר לעיל‪ ,‬סתם ''טרנזיטיבית''‪(.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.6.6‬כל פעולה ‪k‬־טרנזיטיבית היא בפרט )‪(k − 1‬־טרנזיטיבית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.6.7‬אם ‪ G‬פועלת ‪k‬־טרנזיטיבית על ‪ ,X‬אז ‪ Gx‬פועלת )‪(k − 1‬־טרנזיטיבית על הקבוצה‬
‫}‪.X − {x‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 6.6.8‬נניח ש־‪ G‬פועלת טרנזיטיבית‪ .‬אם ‪ Gx‬פועלת )‪(k − 1‬־טרנזיטיבית על הקבוצה‬
‫}‪ ,X − {x‬אז ‪ G‬היא ‪k‬־טרנזיטיבית‪.‬‬
‫) ‪(X‬‬
‫‪d‬‬
‫]‪[d‬‬
‫הגדרה ‪ 6.6.9‬תהי ‪ X‬קבוצה‪ .‬נסמן ב־ ‪ X‬את קבוצת הוקטורים ‪ (x1 , . . . , xd ) ∈ X‬שכל רכיביהם שונים זה מזה; וב־ ‪d‬‬
‫!‪n‬‬
‫]‪[d‬‬
‫את קבוצת תת־הקבוצות בנות ‪ d‬אברים של ‪ .X‬נסמן גם )‪.n = (n−d)! = n(n − 1) · · · (n − d + 1‬‬
‫) ( ) (‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ ]‪ [d‬‬
‫]‪[d‬‬
‫|‪|X‬‬
‫‪. X‬‬
‫=‬
‫וש־‬
‫‬
‫|‪|X‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.6.10‬הראה ש־ |‪ = |X‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.11‬אם ‪ G‬פועלת ‪k‬־טרנזיטיבית על קבוצה בגודל ‪ ,n‬אז |‪ |G‬מתחלק ב־ ]‪.n[k‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.12‬תהי ‪ G‬חבורה הפועלת על קבוצה ‪ ,X‬ויהי ‪ d ∈ N‬כלשהו‪ .‬הגדר פעולה של ‪ G‬על‬
‫) (‬
‫]‪[d‬‬
‫‪. X‬‬
‫הקבוצות‬
‫‪ X‬ו־ ‪d‬‬
‫‪69‬‬
‫פרק ‪ .6‬פעולה של חבורה על קבוצה‬
‫‪ .6.6‬טרנזיטיביות‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.13‬החבורה הדיהדרלית ‪ Dn‬פועלת באופן טבעי על קודקודי המצולע בן ‪ n‬צלעות‪ .‬כתוב‬
‫את המסלולים של פעולת ‪ D8‬על הזוגות של קודקודי המתומן; על האלכסונים; על שלשות לא סדורות‬
‫של קודקודים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ G (**) 6.6.14‬פועלת ‪d‬־טרנזיטיבית על ‪ X‬אם ורק אם היא פועלת טרנזיטיבית על ]‪X [d‬‬
‫)הגדרה ‪.(6.6.9‬‬
‫)‪(n‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 6.6.15‬יהיו ‪ n, k‬מספרים זרים‪ .‬הוכח ש־ ‪ .n | k‬הדרכה‪ .‬תהי ‪ G‬חבורה כלשהי מסדר ‪ .n‬התבונן בפעולה‬
‫) (‬
‫‪ X = G‬על־ידי כפל משמאל‪ .‬הראה שהמייצב של כל ‪ A ∈ X‬הוא טריוויאלי‪ .‬לכן ‪ X‬מתפרק לאיחוד זר של מסלולים שגודל כל‬
‫של ‪ G‬על ‪k‬‬
‫)‪(n−1‬‬
‫אחד ואחד מהם הוא ‪ .n‬הסק מכאן שגם ‪.k | k−1‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.6.16‬הפעולה של ‪ An‬על }‪ {1, . . . , n‬היא )‪(n − 2‬־טרנזיטיבית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.17‬כל תת־חבורה של ‪ Sn‬הפועלת ‪n‬־טרנזיטיבית על }‪ ,X = {1, . . . , n‬שווה ל־ ‪ .Sn‬כל‬
‫תת־חבורה שהיא )‪(n − 2‬־טרנזיטיבית מכילה את ‪) An‬שהיא תת־החבורה היחידה של ‪ Sn‬מאינדקס ‪,2‬‬
‫ראו הגדרה ‪.(5.1.12‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 6.6.18‬תהי ‪ G‬חבורה‪ .‬נתבונן בפעולה של )‪ Aut(G‬על }‪) G# = G−{1‬להגדרה ראה‬
‫סעיף ‪.(7.1‬‬
‫‪ .1‬אם הפעולה טרנזיטיבית אז כל האברים ב־‪ G‬מאותו סדר‪ ,‬שהוא ראשוני ‪.p‬‬
‫‪ .2‬אם הפעולה ‪2‬־טרנזיטיבית אז ‪ G = Z3‬או ש־‪) p = 2‬ו־‪ G‬אבלית לפי תרגיל ‪.(2.1.10‬‬
‫‪ .3‬אם הפעולה ‪3‬־טרנזיטיבית אז ‪.G = Z2 × Z2‬‬
‫‪ .4‬הפעולה אינה יכולה להיות ‪4‬־טרנזיטיבית‪.‬‬
‫אם הפעולה ‪2‬־טרנזיטיבית ו־ ‪ g ̸= g −1‬אז יש אוטומורפיזם המעביר ‪ g 7→ g‬ו־‬
‫הדרכה‪ .‬פעולת החבורה שומרת על סדר של אברים‪.‬‬
‫{‬
‫}‬
‫‪ ,g −1 7→ h ̸= g, g −1‬אלא אם ‪ .G = 1, g, g −1‬נניח שהפעולה ‪3‬־טרנזיטיבית וניקח ‪ a ̸= b‬ב־‪ ;G‬אם יש }‪ c ̸∈ {1, a, b, ab‬אז יש‬
‫‬
‫‬
‫‪ #‬‬
‫→ ‪ ,ab‬בסתירה לשמירה על הכפל‪ .‬לכן ‪ G = 3‬וזה מוכיח את הסעיף האחרון‪.‬‬
‫אוטומורפיזם המעביר ‪ b 7→ b ,a 7→ a‬ו־‪7 c‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.19‬מספר נקודות השבת של ‪ g ∈ G‬בפעולה על ]‪ X [d‬הוא‬
‫המומנטים של מספר‬
‫נקודות השבת אינם‬
‫תלויים בחבורה‪ ,‬אלא‬
‫במידת הטרנזיטיביות‬
‫שבה היא פועלת‪.‬‬
‫]‪[d‬‬
‫)‪.fp(g‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 6.6.20‬נסמן ב־)‪ Y = fp(g‬את המשתנה המקרי השווה למספר נקודות השבת של איבר‬
‫‪ g‬הנבחר באקראי ובהתפלגות אחידה מן החבורה ‪) .G‬הלמה של ברנסייד קובעת שאם הפעולה‬
‫טרנזיטיבית אז ‪ (.E(Y ) = 1‬הראה שלכל ‪ ,d‬אם הפעולה ‪d‬־טרנזיטיבית אז ‪ .E(Y [d] ) = 1‬בפרט אם‬
‫הפעולה ‪2‬־טרנזיטיבית אז ‪ .V(Y ) = 1‬הדרכה‪ .‬השתמש בלמה של ברנסייד עבור הפעולה של ‪ G‬על ]‪.X [d‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 6.6.21‬תהי ‪ G‬חבורה הפועלת ‪d‬־טרנזיטיבית על קבוצה ‪ .X‬מספר המסלולים בפעולה של‬
‫‪ G‬על ]‪ ,X [d+1‬שאותו נסמן ב־‪ ,m‬שווה למספר המסלולים בפעולה של ‪ Gx1 ,...,xd‬על } ‪.X−{x1 , . . . , xd‬‬
‫הראה ש־‪.E(Y [d+1] ) = m‬‬
‫פעולה ‪2‬־טרנזיטיבית‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.22‬נניח ש־‪ G‬פועלת ‪2‬־טרנזיטיבית על קבוצה ‪ X‬בגודל < ‪ .2‬אז מייצבי הנקודות )שהם‬
‫צמודים זה לזה לפי תרגיל ‪ (6.6.2‬יוצרים את ‪ .G‬הדרכה‪ .‬יהי ‪ .σ ∈ G‬קח ‪ a ∈ X‬ו־‪ .b ̸= a, σa‬יש ‪ σ ′ ∈ G‬כך‬
‫ש־‪ σ ′ σa = σa‬ו־‪ ,σ ′ b = σb‬ואז ‪.σ = σ ′ (σ ′−1 σ) ∈ Gσa Gb‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.23‬תהי ‪ G‬חבורה הפועלת ‪2‬־טרנזיטיבית על קבוצה ‪ .X‬אז לכל ‪.NG (Gx ) = Gx ,x ∈ X‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.24‬בעידון של משפט קיילי )תרגיל ‪ G (6.3.13‬פועלת על אוסף הקוסטים ‪ G/H‬על־ידי‬
‫כפל משמאל‪ .‬הראה שפעולה זו ‪2‬־טרנזיטיבית אם ורק אם כל קוסט ימני של ‪ H‬חותך כל קוסט שמאלי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.25‬תהי ‪ G‬חבורה הפועלת ‪2‬־טרנזיטיבית על ‪.X‬‬
‫טריוויאלית שלה פועלת טרנזיטיבית‪.‬‬
‫אז כל תת־חבורה נורמלית לא־‬
‫הדרכה‪ .‬תהי ‪ H▹G‬עם ‪ .1 ̸= h ∈ H‬אז יש ‪ a ∈ X‬כך ש־‪ .h(a) ̸= a‬יהיו ‪ ,x, y ∈ X‬אז‬
‫קיים ‪ σ ∈ G‬כך ש־‪ σa = x‬ו־‪ ;σha = y‬כך ‪ σhσ −1 ∈ H‬מקיים ‪.σhσ −1 x = σha = y‬‬
‫שאינה ‪2‬־טרנזיטיבית‪ ,‬מוכלת‬
‫טרנזיטיבית של ‪ p) Sp‬ראשוני(‬
‫{‬
‫הערה ‪ 6.6.26‬לפי משפט ברנסייד‪ ,‬כל תת־חבורה }‬
‫×‪. x 7→ ax + b : a ∈ F‬‬
‫‪,‬‬
‫‪b‬‬
‫∈‬
‫‪F‬‬
‫)לאחר מספור מתאים( בחבורת ההעתקות האפיניות ‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪70‬‬
‫‪ .6.6‬טרנזיטיביות‬
‫פרק ‪ .6‬פעולה של חבורה על קבוצה‬
‫קוסטים כפולים‬
‫הגדרה ‪ 6.6.27‬תהיינה ‪ H, K ≤ G‬תת־חבורות‪ .‬הקוסטים הכפולים של ‪ H, K‬הם הקבוצות מהצורה ‪.g ∈ G ,HgK‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.6.28‬הקוסטים הכפולים הם המסלולים של פעולת ‪ H‬משמאל על מרחב הקוסטים הימניים‬
‫‪ ;G/K‬וגם של פעולת ‪ K‬מימין על מרחב הקוסטים השמאליים ‪ .B\G‬את מרחב הקוסטים הכפולים‬
‫מסמנים ב־‪.B\G/K‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.6.29‬קוסטים כפולים שונים של ‪ G‬הם זרים‪.‬‬
‫תרגיל ‪(-***) 6.6.30‬‬
‫|‪|H|·|K‬‬
‫|‪|gHg −1 ∩K‬‬
‫= |‪ .|HgK‬הערה‪ .‬שים לב במיוחד למקרה ‪.g = 1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.31‬חשב את הקוסטים הכפולים של ⟩)‪ ⟨(123)⟩, ⟨(124‬בחבורה ‪.A4‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 6.6.32‬תהי ‪ G‬חבורה עם תת־חבורות ‪ .A, B‬הראה שמספר הקוסטים הכפולים ‪A\G/B‬‬
‫שווה למספר המסלולים של ‪ G‬בפעולת הכפל משמאל על ‪.G/A × G/B‬‬
‫הדרכה‪ .‬יש איזומורפיזם של קבוצות‬
‫‪ G\(G/A × G/B)→A\G/B‬המוגדר לפי ‪.G(xA, yB) 7→ Ax−1 yB‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 6.6.33‬לכל תת־חבורה ‪ ,B ≤ G‬הפעולה של ‪ G‬על מרחב הקוסטים ‪ G/B‬היא טרנזיטיבית‪.‬‬
‫הפעולה של ‪ ,B‬לעומת זאת‪ ,‬אינה טרנזיטיבית‪ .‬הוכח שהפעולה של ‪ G‬על ‪ G/B‬היא ‪2‬־טרנזיטיבית‪,‬‬
‫אם ורק אם בפעולה של ‪ B‬יש שני מסלולים‪ ,‬כלומר קיים ‪) x ̸∈ B‬שקול לזה‪ :‬לכל ‪ ,(x ̸∈ B‬כך‬
‫ש־‪) .G = B ∪ BxB‬השווה לתרגיל ‪(.6.6.69‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.34‬תהי ‪ G‬חבורה הפועלת ‪2‬־טרנזיטיבית על קבוצה ‪ ,X‬ויהי ‪ .a ∈ X‬הראה שלכל‬
‫‪ .G = Ga ∪ Ga xGa ,x ̸∈ Ga‬הדרכה‪ .‬זו גרסה של תרגיל ‪.6.6.33‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 6.6.35‬תהיינה ‪ A, B ≤ G‬תת־חבורות‪ .‬נסמן ב־ ‪ P‬את קבוצת החיתוכים של תת־חבורה‬
‫הצמודה ל־‪ A‬עם תת־חבורה הצמודה ל־‪ .B‬החבורה ‪ A‬פועלת על ‪ P‬על־ידי הצמדה‪ .‬הראה‬
‫ש־] ‪ AgB 7→ [A ∩ gBg −1‬היא פונקציה מוגדרת היטב מ־‪ A\G/B‬ל־‪.P/A‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 6.6.36‬בתרגיל ‪ ,6.6.35‬נניח ש־‪ G‬פועלת על קבוצה ‪ X‬ו־ ‪ B = Gx‬היא המייצב של נקודה‪.‬‬
‫כך פועלת ‪ A‬על ‪ .X‬הראה שהפונקציה המתוארת שם מתאימה מסלול ב־‪ X‬תחת פעולת ‪ ,A‬למייצב‬
‫של נקודה במסלול )תחת פעולת ‪ (A‬עד כדי הצמדה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.37‬נניח שחבורות ‪ A, B‬פועלות על מרחב ‪ .X‬הפעולות מתחלפות אם לכל ‪a ∈ A‬‬
‫ו־‪ ,b ∈ B‬ולכל ‪ ,x ∈ X‬מתקיים ))‪ .a(b(x)) = b(a(x‬במקרה זה החבורה ‪ A × B‬פועלת על ‪ X‬לפי‬
‫))‪.(a, b)x = a(b(x‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.38‬תהיינה ‪ A, B ≤ G‬תת־חבורות; אז ‪ A‬פעולת על ‪ G‬על־ידי כפל משמאל‪ ,‬ו־‪B‬‬
‫פועלת על־ידי כפל מימין ) ‪ .(b : x 7→ xb−1‬הראה שהפעולות מתחלפות‪ ,‬כך ש־‪ A × B‬פועלת על ‪,G‬‬
‫לפי ‪ .(a, b) : x 7→ axb−1‬הראה שמסלולי הפעולה הזו הם הקוסטים הכפולים ‪.A\G/B‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.39‬החבורה ‪ G‬פועלת על ‪ G × G‬מימין ומשמאל‪.‬‬
‫‪ G\(G × G)/G‬איזומורפי למרחב מחלקות הצמידות של ‪.G‬‬
‫הראה שמרחב המסלולים‬
‫פעולה סימטרית‬
‫הגדרה ‪ 6.6.40‬פעולת חבורה ‪ G‬על קבוצה ‪ X‬היא סימטרית אם לכל ‪ x, y ∈ X‬יש ‪ g ∈ G‬כך ש־‪ gx = y‬ו־‪.gy = x‬‬
‫הגדרה ‪ 6.6.41‬פעולת חבורה ‪ G‬על קבוצה ‪ X‬היא ‪2‬־טרנזיטיבית חלש אם היא טרנזיטיבית על אוסף הזוגות הלא סדורים‬
‫}‪ .{{x, y} : x, y ∈ X, x ̸= y‬כלומר‪ ,‬לכל ‪ x ̸= x′‬ולכל ‪ y ̸= y ′‬קיים ‪ g ∈ G‬כך ש־‪ gx = y‬ו־ ‪ ,gx′ = y ′‬או‬
‫ש־ ‪ gx = y ′‬ו־‪.gx′ = y‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.6.42‬פעולת ‪ G‬על ‪ X‬היא ‪2‬־טרנזיטיבית אם ורק אם היא ‪2‬־טרנזיטיבית חלש וסימטרית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.43‬כל פעולה סימטרית היא טרנזיטיבית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.44‬כל פעולה ‪2‬־טרנזיטיבית חלש היא פרימיטיבית‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬נניח ש־‪ B ⊂ X‬הוא בלוק עם יותר מנקודה‬
‫{‬
‫}‬
‫אחת‪ ,‬וניקח ‪ x, y ∈ B‬ו־‪ .y ′ ̸∈ B‬לפי ההנחה אפשר להזיז את }‪ {x, y‬ל־ ‪ , x, y ′‬וזה שובר את הבלוק‪.‬‬
‫‪71‬‬
‫פרק ‪ .6‬פעולה של חבורה על קבוצה‬
‫‪ .6.6‬טרנזיטיביות‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.45‬תנאי הכרחי ומספיק לכך שכל פעולה טרנזיטיבית של ‪ G‬תהיה סימטרית‪ ,‬הוא ש־‬
‫‪2‬‬
‫‪ g = 1‬לכל ‪ .g ∈ G‬הדרכה‪ .‬הפעולה הרגולרית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.46‬הראה שפעולת ‪ Zn‬על עצמה היא תמיד טרנזיטיבית‪ ,‬פרימיטיבית לכל ‪ p‬ראשוני‪,‬‬
‫‪2‬־טרנזיטיבית חלש רק אם ‪ ,n = 2, 3‬ו־‪2‬־טרנזיטיבית רק אם ‪.n = 2‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.47‬בעידון של משפט קיילי )תרגיל ‪ G (6.3.13‬פועלת על אוסף הקוסטים ‪ G/H‬על־ידי‬
‫כפל משמאל‪ .‬הראה שפעולה זו סימטרית אם ורק אם בכל קוסט ‪ zH‬יש שני אברים הפוכים זה לזה‪.‬‬
‫תת־חבורות של ‪Sn‬‬
‫‪6.6.2‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.48‬החבורה ‪ Sn × Z2‬פועלת על }‪ {(i, j) : 1 ≤ i ̸= j ≤ n‬על־ידי )‪σ(i, j) = (σi, σj‬‬
‫לכל ‪ ,σ ∈ Sn‬כאשר )‪ ω(i, j) = (j, i‬יוצר את המרכיב מסדר ‪ .2‬הראה שפעולה זו היא פרימיטיבית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.49‬מצא את כל תת־החבורות של ‪ S4‬הפועלות באופן ‪2‬־טרנזיטיבי על }‪.{1, . . . , 4‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫מצא את הגודל של תת־חבורה שכזו‪ ,‬והראה שהיא נורמלית‪ .‬העזר במבנה מחלקות הצמידות של ‪.S4‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 6.6.50‬מה יכול להיות הסדר של תת־חבורה של ‪ ,S5‬הפועלת ‪2‬־טרנזיטיבית על‬
‫}‪ ?{1, . . . , 5‬מצא תת־חבורה כזו מסדר ‪ .20‬הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.6.6.11‬‬
‫תרגיל ‪(***) 6.6.51‬‬
‫כולה‪.‬‬
‫‪ .1‬הוכח שכל תת־חבורה ‪2‬־טרנזיטיבית של ‪ Sn‬המכילה חילוף היא החבורה‬
‫‪ .2‬נתבונן בתת־החבורות‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫)‪A = S{1,3,5} , S{2,4,6} , (14)(25)(36‬‬
‫ו־‬
‫⟩)‪B = ⟨(14), (25), (36), (123)(456‬‬
‫של ‪ .S6‬הראה שהן טרנזיטיביות אבל אינן פרימיטיביות )פרימיטיביות מוגדרת בתת־סעיף ‪.6.7‬‬
‫בתרגיל ‪ 10.2.7‬אנו מוכיחים תכונה מעניינת נוספת של תת־החבורות האלו(‪.‬‬
‫‪ A = ⟨(13), (123456)⟩ .3‬היא חבורה מסדר ‪ B = ⟨(14), (123456)⟩ ;72‬היא חבורה מסדר ‪.24‬‬
‫‪ .4‬כל תת־חבורה טרנזיטיבית של ‪ S6‬המכילה חילוף מכילה עותק צמוד של ‪ A‬או ‪.B‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 6.6.52‬הראה שיש שני טיפוסי איזומורפיזם של תת־חבורות‬
‫הראה שכל שתי תת־חבורות איזומורפיות הן צמודות‪ .‬כמה יש מכל‬
‫מסדר ‪ 12‬של ‪ A4 :S5‬ו־ ‪.Z2 × S3‬‬
‫סוג? הדרכה‪ .‬מבני המחזורים האפשריים‬
‫לאברי תת־החבורה הם ]‪ .[11111], [2111], [221], [311], [32], [41‬כתוב את המשוואות הנובעות מן הלמה של ברנסייד בפעולת החבורה על‬
‫נקודות‪ ,‬על זוגות סדורים‪ ,‬על שלשות סדורות ועל זוגות לא סדורים‪ .‬הסק שיש שמונה אברים עם מבנה ]‪ [311‬ושלושה עם מבנה ]‪ .[221‬לכן יש‬
‫שני מסלולים בפעולה על נקודות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 6.6.53‬נראה כיצד מסייעת הלמה של ברנסייד למצוא את התפלגות מבני המחזורים בתת־‬
‫חבורה של ‪.A6‬‬
‫‪ .1‬מבני המחזורים של אברים ב־ ‪ A6‬הם ]‪.[111111], [2211], [3111], [33], [42], [51‬‬
‫‪ .2‬הראה שמספר נקודות השבת בפעולה הטבעית של ‪ S6‬על }‪ ,X = {1, 2, . . . , 6‬בהתאמה‬
‫לרשימת מבני המחזורים‪ ,‬הוא ‪ .6, 2, 3, 0, 0, 1‬באותו אופן יש ‪ 30, 2, 6, 0, 0, 0‬נקודות שבת בפעולה‬
‫על זוגות סדורים )של אברים שונים(; ‪ 120, 0, 6, 0, 0, 0‬נקודות שבת בפעולה על שלשות סדורות‬
‫)של אברים שונים(; ו־‪ 15, 3, 3, 0, 1, 0‬נקודות שבת בפעולה על זוגות לא סדורים‪.‬‬
‫‪ .3‬בחבורה ‪ ,G ≤ A6‬נסמן ב־ ‪ k2 , k3 , k3′ , k4 , k5‬את מספרי האברים מן המחלקות השונות‪ ,‬בהתאמה‪,‬‬
‫פרט לאיבר היחידה‪ .‬אז ‪ ,1 + k2 + k3 + k3′ + k4 + k5 = n‬ו־‪ n‬מחלק את ‪,6 + 2k2 + 3k3 + k5‬‬
‫‪ 120 + 6k3 ,30 + 2k2 + 6k3‬ו־ ‪ .15 + 3k2 + k3 + k4‬הדרכה‪ .‬הלמה של ברנסייד‪.‬‬
‫‪ .4‬לתת־חבורה ‪ G ≤ A6‬מסדר ‪ n = 40‬יש ‪ 5‬אברים מסדר ‪ 10 ,2‬מסדר ‪ 4‬ו־‪ 24‬מסדר ‪.5‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫פתור )או תן למחשב לפתור( את המשוואות ‪,30 + 2k2 + 6k3 = βn ,6 + 2k2 + 3k3 + k5 = αn ,k2 + · · · + k5 + 1 = n‬‬
‫‪ ,15 + 3k2 + k3 + k4 = δn ,120 + 6k3 = γn‬לכל הערכים האפשריים של ‪.α, β, γ, δ‬‬
‫‪72‬‬
‫‪ .6.6‬טרנזיטיביות‬
‫פרק ‪ .6‬פעולה של חבורה על קבוצה‬
‫‪ .5‬לתת־חבורה ‪ G ≤ A6‬מסדר ‪ 18‬יש תשעה אברים מסדר ‪ ,2‬וארבעה אברים מכל אחת משתי‬
‫∼ ‪.G‬‬
‫מחלקות הצמידות של אברים מסדר ‪ .3‬פעולת ‪ G‬על ‪ X‬אינה טרנזיטיבית‪ .‬הסק ש־ ‪= Z3 × S3‬‬
‫הדרכה‪ .‬לפני פתרון המשוואות יש להציב ‪ ,k4 = k5 = 0‬שהרי ‪ 4, 5‬אינם מחלקים את ‪.18‬‬
‫‪ .6‬אין ל־ ‪ A6‬תת־חבורות מסדר ‪.30‬‬
‫הדרכה‪ .‬בשני הפתרונות היחידים למערכת‪ ,‬אין אברים מסדר ‪ ,2‬וזו סתירה לתרגיל ‪.2.1.13‬‬
‫סגור ‪Wielandt‬‬
‫הגדרה ‪ 6.6.54‬תהי ‪ G‬חבורה הפועלת על קבוצה ‪ .X‬אומרים שתמורה ‪k σ ∈ SX‬־מסכימה עם ‪ ,G‬אם לכל ‪x1 , . . . , xk ∈ X‬‬
‫יש ‪ g ∈ G‬כך ש־) ‪ σ(xi ) = g(xi‬לכל ‪ְ .i‬סגור ‪ Wielandt‬ה־‪ k‬של ‪ G‬הוא החבורה )‪ Wk (G‬של כל התמורות ש־‪k‬־מסכימות‬
‫עם ‪.G‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.6.55‬הוכח ש־)‪ Wk (G‬היא חבורה‪.‬‬
‫תרגיל ‪.Wk (G) = ∩x1 ,...,xk (G · SX−{x1 ,...,xk } ) (+*) 6.6.56‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.57‬הראה ש־‪.W1 (G) ⊇ W2 (G) ⊇ · · · ⊇ G‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.6.58‬אם ‪ H ⊆ G‬אז לכל ‪.Wk (H) ⊆ Wk (G) ,k‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.59‬לכל ‪.Wk (Wk′ (G)) = Wmin {k,k′ } (G) ,k, k ′‬‬
‫הדרכה‪ .‬הוכח ש־)‪ ,Wk (Wk (G)) = Wk (G‬וחלק‬
‫למקרים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (-**) 6.6.60‬פעולת ‪k G‬־טרנזיטיבית אם ורק אם ‪.Wk (G) = SX‬‬
‫תרגיל ‪ (-**) 6.6.61‬הראה ש־)‪ W1 (G‬אינה אלא מכפלה ישרה של חבורות סימטריות ‪,Sm1 × · · · × Smt‬‬
‫כאשר ‪ mi‬הם גדלי המסלולים בפעולה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 6.6.62‬לכל ‪.Wk (G)x = Wk−1 (Gx ) ,x ∈ X‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.63‬נניח ש־‪ G‬טרנזיטיבית‪ .‬הראה ש־‪ Wk (G) = G‬אם ורק אם ‪.Wk−1 (Gx ) = Gx‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.64‬מצא את )‪ Wk (G‬לכל ‪ ,k‬כאשר ‪ G = D8‬עם הפעולה הרגילה על קודקודי המתומן‪.‬‬
‫‪6.6.3‬‬
‫פעולה רגולרית‬
‫ניתן לדלג בקריאה ראשונה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 6.6.65‬הפעולה של ‪ G‬על ‪ X‬היא רגולרית )נקראת גם טרנזיטיבית חדה( אם לכל ‪ x, y‬יש איבר יחיד ‪ g ∈ G‬כך‬
‫ש־‪.g(x) = y‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.6.66‬אם ‪ G‬פועלת רגולרית על ‪ X‬אז |‪.|G| = |X‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.67‬פעולת קיילי של חבורה על עצמה לפי כפל משמאל‪ ,‬היא רגולרית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (-**) 6.6.68‬פעולה טרנזיטיבית היא רגולרית אם ורק אם לאף איבר ‪ g ̸= 1‬אין נקודות שבת‪.‬‬
‫כלומר‪ Gx = 1 ,‬לכל ‪.x ∈ X‬‬
‫בפרט‪ ,‬אם ‪ H ≤ G‬תת־חבורה הפועלת טרנזיטיבית‪ ,‬אז הפעולה של ‪ H‬רגולרית אם ורק אם‬
‫‪ H ∩ Gx = 1‬לכל ‪.x ∈ X‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.69‬תהיינה ‪ .A, B ≤ G‬הפעולה של ‪ A‬על ‪ ,G/B‬לפי כפל משמאל‪ ,‬היא טרנזיטיבית אם‬
‫ורק אם ‪ ,AB = G‬ורגולרית אם ורק אם ‪ A, B‬משלימות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.70‬תהי ‪ G‬חבורה הפועלת על קבוצה ‪ ,X‬ותהי ‪ H▹G‬תת־חבורה נורמלית רגולרית‪.‬‬
‫יהי ‪ .x ∈ X‬הראה שהפעולה של ‪ Gx‬על }‪ X−{x‬איזומורפית לפעולת ההצמדה של ‪ Gx‬על = ‪H #‬‬
‫}‪ .H−{1‬הדרכה‪ .‬נתאים )‪ ,h 7→ h(x‬אז לכל ‪.σhσ −1 7→ σ(hx) ,σ ∈ Gx‬‬
‫‪73‬‬
‫פרק ‪ .6‬פעולה של חבורה על קבוצה‬
‫‪ .6.7‬פעולה פרימיטיבית‬
‫תרגיל ‪ (***) 6.6.71‬תהי ‪ G‬חבורה הפועלת באופן ‪4‬־טרנזיטיבי על קבוצה ‪ .X‬אם יש לה תת־חבורה‬
‫נורמלית רגולרית אז ‪ .G = S4‬הדרכה‪ .‬נקבע ‪ ,x ∈ X‬ותהי ‪ H▹G‬נורמלית רגולרית‪ .‬לפי תרגיל ‪ ,6.6.70‬פעולת ההצמדה של ‪Gx‬‬
‫על }‪ H # = H−{1‬איזומורפית לפעולה של ‪ Gx‬על }‪ ,X−{1‬שהיא ‪3‬־טרנזיטיבית לפי תרגיל ‪ .6.6.7‬מקל וחומר‪ ,‬גם פעולת )‪ Aut(H‬על ‪H #‬‬
‫היא ‪3‬־טרנזיטיבית‪ ,‬ולפי תרגיל ‪ .H = Z2 × Z2 ,6.6.18‬אבל אז ‪) |X| = 4‬תרגיל ‪ (6.6.66‬ו־ ‪ G = S4‬לפי ההנחה‪.‬‬
‫משפט ‪ 6.6.72‬תהי ‪ G‬חבורה הפועלת באופן ‪4‬־טרנזיטיבי על קבוצה ‪ .X‬אם ל־‪ G‬יש מייצב פשוט‪ ,‬אז ‪ G‬פשוטה‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נקבע ‪ .x ∈ X‬תהי ‪ ,H▹G‬אז ‪ ,H ∩ Gx ▹Gx‬ולפי ההנחה יש שתי אפשרויות‪ :‬או ש־‪ ,Gx ≤ H‬ואז‬
‫‪ H = G‬לפי תרגיל ‪ ,6.6.22‬או ש־‪ .Gx ∩ H = 1‬אם ‪ H = 1‬סיימנו‪ ,‬ואחרת ‪ H‬טרנזיטיבית לפי תרגיל ‪,6.6.25‬‬
‫ורגולרית )תרגיל ‪ .(6.6.68‬מתרגיל ‪ 6.6.71‬יוצא ש־ ‪ ,G = S4‬אבל אז ‪ Gx = S3‬שאינה פשוטה‪ ,‬בסתירה להנחה‪.‬‬
‫‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.73‬הוכח ממשפט ‪ 6.6.72‬ש־ ‪ An‬פשוטה לכל ‪ .5 ≤ n‬הדרכה‪ .‬באינדוקציה על ‪ ,n‬כשהבסיס ‪n = 5‬‬
‫הוא תרגיל ‪ .5.4.4‬לכל ‪ An ,n ≥ 6‬היא )‪(n − 2‬־טרנזיטיבית לפי תרגיל ‪ 6.6.16‬ולכן ‪4‬־טרנזיטיבית‪ ,‬והמשפט חל משום שהמייצב של הנקודה ‪n‬‬
‫הוא ‪.An−1‬‬
‫הערה‪ .‬להוכחה ישירה‪ ,‬ראה ‪.5.4.5‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 6.6.74‬תהי ‪ G‬חבורה הפועלת באופן ‪2‬־טרנזיטיבי )או‪3 :‬־טרנזיטיבי( על קבוצה ‪ .X‬אם יש‬
‫לה תת־חבורה נורמלית רגולרית אז |‪ |X‬הוא חזקת ראשוני )או‪ |X| = 3 :‬או ‪.(|X| = 2n‬‬
‫הדרכה‪ .‬הוכחת‬
‫תרגיל ‪ 6.6.71‬תקפה‪ ,‬עד לשורה האחרונה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 6.6.75‬כל חבורה אבלית הפועלת טרנזיטיבית‪ ,‬היא רגולרית‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬אחרת יש ‪ x ∈ G‬עם ‪x(a) = a‬‬
‫ו־‪ .x(b) ̸= b‬קח ‪ y‬כך ש־‪ ,y(a) = b‬אז )‪ xy(a) = x(b‬בעוד ש־‪.yx(a) = y(a) = b‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.76‬תת־חבורה אמיתית של חבורה רגולרית אינה יכולה להיות רגולרית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 6.6.77‬תהי ‪ G‬חבורה הפועלת רגולרית‪ .‬הראה ש־‪) W2 (G) = G‬ראה הגדרה ‪.(6.6.54‬‬
‫הדרכה‪ W2 (G)x = W1 (Gx ) = W1 (1) = 1 .‬לפי תרגיל ‪ ,6.6.62‬ולפי תרגיל ‪ W2 (G) ,6.6.68‬רגולרית‪ .‬סיים בעזרת תרגיל ‪.6.6.76‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 6.6.78‬תהי ‪ A ≤ SX‬חבורה אבלית הפועלת רגולרית‪ .‬אז ‪.CSX (A) = A‬‬
‫הדרכה‪ .‬אם ‪ x‬מרכז‬
‫את ‪ A‬אז ⟩‪ ⟨A, x‬רגולרית לפי תרגיל ‪ ;6.6.75‬הפעל את תרגיל ‪.6.6.76‬‬
‫הגדרה ‪ 6.6.79‬פעולה היא ‪k‬־טרנזיטיבית חדה אם לכל ‪ x1 , . . . , xk‬שונים ולכל ‪ y1 , . . . , yk‬שונים‪ ,‬יש ‪ g ∈ G‬יחיד כך‬
‫ש־ ‪.g(xi ) = yi‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.80‬אם ‪ G‬פועלת ‪k‬־טרנזיטיבית בחדות על קבוצה ‪ ,X‬אז‬
‫]‪[d‬‬
‫|‪.|G| = |X‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.6.81‬נניח ש־‪ G‬פועלת ‪2‬־טרנזיטיבית בחדות על קבוצה ‪ .|X| > 1 ,X‬הראה שיש לה‬
‫אברים מסדר ‪ .2‬הראה שכולם צמודים זה לזה‪ .‬הדרכה‪ .‬אם ‪ t, t′‬מסדר ‪ ,2‬קח ‪ x ∈ X‬ובחר ‪ s ∈ G‬כך ש־‪s · x = x‬‬
‫ו־‪.s · (t · x) = t′ · x‬‬
‫‪6.7‬‬
‫פעולה פרימיטיבית‬
‫ניתן לדלג בקריאה ראשונה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 6.7.1‬אומרים שחלוקה ‪ X = X1 ∪ · · · ∪ Xt‬נשמרת על־ידי הפעולה של חבורה ‪ G‬אם לכל ‪ g ∈ G‬ולכל ‪,i‬‬
‫‪ g(Xi ) = Xj‬לאיזשהו ‪ .j‬חלוקה שיש בה רק בלוק אחד‪ ,‬או שכל הבלוקים שלה הם יחידונים‪ ,‬היא חלוקה טריוויאלית )כל‬
‫פעולה שומרת על כל חלוקה טריוויאלית(‪ .‬הפעולה של חבורה ‪ G‬על קבוצה ‪ X‬אינה פרימיטיבית אם היא שומרת חלוקה לא‬
‫טריוויאלית כלשהי; כלומר‪ ,‬הפעולה פרימיטיבית אם אינה שומרת אף חלוקה לא־טריוויאלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 6.7.2‬כל פעולה על קבוצה בגודל ‪ 1‬או ‪ 2‬היא פרימיטיבית‪ .‬לכל קבוצה בגודל < ‪ ,2‬מצא‬
‫פעולה עליה שאינה פרימיטיבית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 6.7.3‬כל פעולה ‪2‬־טרנזיטיבית היא פרימיטיבית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 6.7.4‬כל פעולה פרימיטיבית היא טרנזיטיבית )למעט פעולת החבורה הטריוויאלית על‬
‫קבוצה בגודל ‪(.2‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 6.7.5‬כל תת־חבורה נורמלית של חבורה הפועלת פרימיטיבית‪ ,‬פועלת בעצמה באופן‬
‫טרנזיטיבי‪) .‬זו הכללה של תרגיל ‪ ,6.7.4‬ולפי תרגיל ‪ 6.7.3‬גם של תרגיל ‪(.6.6.25‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 6.7.6‬תהי ‪ G‬חבורה הפועלת טרנזיטיבית‪ .‬הפעולה פרימיטיבית אם ורק אם המייצב של‬
‫נקודה‪ ,Gx ,‬הוא תת־חבורה מקסימלית‪.‬‬
‫)משפט ‪ :Wielandt‬תת־החבורות הפרימיטיביות היחידות של ∞‪ S‬מתרגיל ‪ 5.4.18‬הן ∞‪ S‬ו־ ∞‪(.A‬‬
‫‪74‬‬
‫פרק ‪ .6‬פעולה של חבורה על קבוצה‬
‫‪6.8‬‬
‫‪ .6.8‬החבורות הלינאריות‬
‫החבורות הלינאריות‬
‫ניתן לדלג בקריאה ראשונה‪.‬‬
‫ההומומורפיזם מתרגיל ‪ 2.7.6‬וב־ ‪ φ : C→R2‬את‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.8.1‬נסמן ב־)‪ f : C × →GL2 (R‬את‬
‫) (‬
‫האיזומורפיזם של מרחבים וקטוריים מעל ‪ .φ(a + bi) = ab ,R‬יש פעולות טבעיות‪ ,‬של ×‪ C‬על‬
‫‪ C‬ושל )‪ GL2 (R‬על ‪ .R2‬הראה ש־)‪.φ(α · z) = f (α) · φ(z‬‬
‫הגדרה ‪ 6.8.2‬נסמן ב־‪ F × I‬את חבורת המטריצות הסקלריות ב־) ‪.GLn (F‬‬
‫תרגיל ‪.Z(GLn (F )) = F × I (** ) 6.8.3‬‬
‫מגדירים ‪ PGLn (F ) = GLn (F )/F × I‬ו־)‪.PSL2 (F ) = SLn (F )/(SLn (F ) ∩ F × I‬‬
‫‪ (**) 6.8.4‬הראה שכל מטריצה לא סקלרית ב־) ‪ GL2 (F‬צמודה למטריצה יחידה מהצורה‬
‫תרגיל (‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫∗ ‪0‬‬
‫‪−∆x‬‬
‫‪−∆y‬‬
‫‪a b‬‬
‫= ‪ ,P‬כאשר )‪.∆ = det(A‬‬
‫מהצורה‬
‫הפיכה‬
‫במטריצה‬
‫‪A‬‬
‫=‬
‫את‬
‫הצמד‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ax + cy bx + dy‬‬
‫‪c d‬‬
‫∗ ‪1‬‬
‫היחידות לפי הדטרמיננטה והעקבה‪.‬‬
‫‪ .1‬כל מטריצה לא )סקלרית( ב־) ‪ SL2 (F‬שקולה‪ ,‬תחת פעולת ההצמדה של‬
‫תרגיל ‪(+**) 6.8.5‬‬
‫) ‪ ,GL (F‬למטריצה יחידה מהצורה ‪0 −1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 t‬‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. 1 t‬‬
‫‪ .2‬עם זאת‪ ,‬המטריצה ‪ −1 1‬אינה צמודה ב־) ‪ SL2 (F3‬לאף מטריצה מהצורה‬
‫)‬
‫‪ .3‬הסדר של‬
‫‪0 −1‬‬
‫‪1 t‬‬
‫(‬
‫)בהנחה שהוא סופי( שווה ל־‪ n‬המינימלי כך ש־)‪.(x − tx + 1) | (x − 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫פעולת ) ‪ PGL2 (F‬לאיבר מהצורה‬
‫‪ (+**) 6.8.6‬כל איבר לא טריוויאלי ב־) ‪ PSL2 (F‬שקול‬
‫) תחת (‬
‫תרגיל (‬
‫)‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪) 1 t‬בהנחה שהוא סופי( שווה ל־‪n‬‬
‫‪ , 1 t‬כאשר ‪ t ∈ F‬יחיד עד־כדי סימן‪ .‬הסדר של‬
‫המינימלי כך ש־)‪.(x2 − tx + 1) | (xn ± 1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.8.7‬יהי ‪ F‬שדה‪ ,‬ו־ ‪ V = F n‬המרחב הוקטורי ה־‪n‬־ממדי מעליו‪.‬‬
‫‪ .1‬הפעולה הטבעית של ) ‪ G = GLn (F‬על ‪ V‬היא טרנזיטיבית על }‪.V −{0‬‬
‫‪ .2‬הפעולה היא ‪2‬־טרנזיטיבית אם ורק אם ‪.|F | = 2‬‬
‫‪ .3‬הפעולה היא ‪3‬־טרנזיטיבית אם ורק אם ‪ |F | = 2‬ו־‪.n ≤ 2‬‬
‫)השווה לתרגיל ‪(.6.6.18‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.8.8‬הפעולה הטבעית של ) ‪ GLn (F‬על ‪ F n‬מגדירה פעולה נאמנה של ) ‪PGLn (F‬‬
‫)הגדרה ‪ (6.8.2‬על אוסף תת־המרחבים החד־ממדיים של ‪ ,F n‬לפי )‪.[A] : F x 7→ F (Ax‬‬
‫‪ .1‬פעולה זו של ) ‪ PGLn (F‬היא תמיד ‪2‬־טרנזיטיבית‪.‬‬
‫‪ .2‬הפעולה של ) ‪ PGLn (F‬אינה ‪3‬־טרנזיטיבית כאשר ‪.n > 2‬‬
‫תרגיל‬
‫‪ PGL‬שהוגדרה בתרגיל ‪.6.8.8‬‬
‫‪( 2 (F‬‬
‫( ‪ (**) 6.8.9‬נתבונן בפעולה של ) )‬
‫)‬
‫‪0‬‬
‫‪ F z1‬עם ‪ z ∈ F‬ואת תת־המרחב ‪ F 1‬עם ∞‪ ,‬כך שמתקבלת פעולה של ) ‪ PGL2 (F‬על‬
‫(‬
‫)‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ , c d z = az+b‬כאשר הערך של שבר שהמכנה שלו‬
‫}∞{ ∪ ‪ .F‬הראה שפעולה זו מוגדרת על־ידי ‪cz+d‬‬
‫נזהה את תת־המרחב‬
‫‪a‬‬
‫‪. a∞+b‬‬
‫הוא ‪ 0‬הוא ∞‪ ,‬ו־ ‪c∞+d = c‬‬
‫‪75‬‬
‫פרק ‪ .6‬פעולה של חבורה על קבוצה‬
‫‪ .6.8‬החבורות הלינאריות‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.8.10‬הראה שפעולת ) ‪ PGL2 (F‬על }∞{ ∪ ‪ F‬היא ‪3‬־טרנזיטיבית )בחדות(‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬הראה‬
‫שלכל ‪ x, y, z‬שונים יש איבר )יחיד( המעביר ‪.∞ 7→ z ,1 7→ y ,0 7→ x‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 6.8.11‬הראה שהחבורה ) ‪ PGL2 (F‬נוצרת על־ידי הפעולות ‪z 7→ z + a ,z 7→ −1/z‬‬
‫ו־‪.(α ∈ F × ,a ∈ F ) z 7→ αz‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 6.8.12‬הראה שהחבורה ) ‪ PSL2 (F‬נוצרת על־ידי הפעולות ‪z 7→ z + a ,z 7→ −1/z‬‬
‫) ‪.(a ∈ F‬‬
‫הדרכה‪ .‬העזר בתרגיל ‪ 6.8.11‬כדי להראות שהחבורה נוצרת על־ידי הפעולות ‪ z 7→ z + a ,z 7→ −1/z‬ו־‪ ;z 7→ α2 z‬בנוסף‬
‫‪= α2 z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪α−1 −‬‬
‫‪α− 1‬‬
‫‪z‬‬
‫‪.α −‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 6.8.13‬ל־}∞{ ∪ ‪ a, b, c ∈ F‬שונים‪ ,‬נסמן )‪) ∆(a, b, c) = (a − b)(b(− c)(c)− a‬כאשר‬
‫‪β‬‬
‫‪ σ = α‬מקיימת‬
‫‪ .(∆(∞, a, b) = ∆(a, ∞, b) = ∆(a, b, ∞) = b − a‬הראה ש־ ‪γ δ‬‬
‫‪∆(σa, σb, σc) = det(σ)3 (γa + δ)−2 (γb + δ)−2 (γc + δ)−2 ∆(a, b, c).‬‬
‫‪2‬‬
‫מגדירים את הכיוון של שלשה ‪ a, b, c‬להיות הקוסט של )‪ ∆(a, b, c‬בחבורת המנה × ‪ .F × /F‬הראה‬
‫שפעולת ) ‪ PSL2 (F‬שומרת על הכיוון‪ ,‬ושהיא טרנזיטיבית על קבוצת השלשות מאותו כיוון‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.8.14‬בפעולה של ) ‪ G = PGL2 (F‬על }∞{∪ ‪ ,F‬המייצב של נקודה איזומורפי ל־ × ‪F + o F‬‬
‫×‬
‫)ראה תרגיל ‪ ,(7.3.8‬והמייצב של שתי נקודות איזומורפי ל־ ‪ .F‬הסק שהפעולה נאמנה‪ .‬הדרכה‪ .‬חשב את‬
‫∞‪ G‬ואת ‪.G∞,0‬‬
‫משפט ‪) 6.8.15‬לא נוכיח כאן( כל החבורות ) ‪ PSLn (F‬פשוטות‪ ,‬למעט ) ‪ PSL2 (F2‬ו־) ‪.PSL2 (F3‬‬
‫מטריצות מעל שדות סופיים‬
‫הגדרה ‪ 6.8.16‬עבור ‪ q‬שהוא חזקת ראשוני‪ ,‬נסמן ב־ ‪ Fq‬את השדה היחיד מסדר ‪ .q‬ידוע‬
‫∼ ‪×2‬‬
‫×‪.F‬‬
‫ולכן‪ ,‬אם ‪ q‬אי־זוגי‪q /Fq = Z2 ,‬‬
‫×‪F‬‬
‫ש־ ‪q‬‬
‫ציקלית )הוכחה בתרגיל ‪(9.1.12‬‬
‫להמשך הסעיף יש להכיר את תת־החבורה ‪ An ≤ Sn‬מהגדרה ‪.5.1.12‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.8.17‬בדוק ש־)‪ .|PGL2 (Fq )| = (q + 1)q(q − 1‬והסק מן השיכון ‪ PGL2 (Fq ) ,→ Sq+1‬של‬
‫תרגיל ‪ ,6.8.9‬על־ידי השוואת סדרים‪ ,‬ש־‬
‫∼ ) ‪GL2 (F4 ) = PGL2 (F4‬‬
‫‪= A5 .‬‬
‫∼ ) ‪PGL2 (F3‬‬
‫‪= S4 ,‬‬
‫∼ ) ‪GL2 (F2 ) = PGL2 (F2‬‬
‫‪= S3 ,‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪ ,|PSL2 (Fq )| = (2,q−1‬ובפרט ) ‪ PSL2 (F2 ) = PGL2 (F2‬ו־= ) ‪PSL2 (F4‬‬
‫תרגיל ‪(q+1)q(q−1) (**) 6.8.18‬‬
‫) ‪ .PGL2 (F4‬בהמשך לתרגיל ‪ ,6.8.17‬הראה ש־‬
‫∼ ) ‪PSL2 (F3‬‬
‫‪= A4 .‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.8.19‬היחס הכפול של רביעיה סדורה של אברים שונים }∞{ ∪ ‪x1 , x2 , x3 , x4 ∈ F‬‬
‫‪x1 −x3 x2 −x3‬‬
‫‪x3 −x1 x4 −x1‬‬
‫‪ . ∞−a‬הראה‬
‫מוגדר לפי ‪ ,[x1 , x2 ; x3 , x4 ] = x1 −x4 / x2 −x4 = x3 −x2 / x4 −x2‬כאשר מגדירים ‪∞−b = 1‬‬
‫ש־}‪ ,[x1 , x2 ; x3 , x4 ] ∈ F × −{1‬ויכול לקבל כל ערך שם‪ .‬הראה ש־) ‪ PGL2 (F‬שומרת על היחס הכפול‪,‬‬
‫כלומר‪ ,‬לכל ) ‪.[σx1 , σx2 ; σx3 , σx4 ] = [x1 , x2 ; x3 , x4 ] ,σ ∈ PGL2 (F‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.8.20‬בהמשך לתרגיל ‪ 6.8.10‬ולתרגיל ‪ ,6.8.19‬הראה ששמירת היחס הכפול מגדירה את‬
‫הפעולה של ) ‪ PGL2 (F‬על }∞{ ∪ ‪ ,F‬במובן הבא‪ :‬לכל ‪ x1 , x2 , x3‬שונים קיים ) ‪ σ ∈ PGL2 (F‬יחיד‬
‫כך ש־‪ .σ(x3 ) = ∞ ,σ(x2 ) = 1 ,σ(x1 ) = 0‬איבר זה מוגדר לכל ‪ y ̸= x1 , x2 , x3‬לפי הנוסחה‬
‫])‪.[x1 , x2 ; x3 , y] = [0, 1; ∞, σ(y‬‬
‫‪76‬‬
‫‪ .6.8‬החבורות הלינאריות‬
‫פרק ‪ .6‬פעולה של חבורה על קבוצה‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.8.21‬בהמשך לתרגיל ‪ ,6.8.19‬הראה שבפעולה של ‪ S4‬על הביטויים מהצורה‬
‫] ‪ ,[xi , xj ; xk , xℓ‬על־ידי החלפת המשתנים‪ ,‬היוצרים )‪ (12), (23), (34‬פועלים על ] ‪λ = [x1 , x2 ; x3 , x4‬‬
‫לפי ‪ .(23) : λ 7→ 1 − λ ,(12), (34) : λ 7→ λ−1‬בפרט‪ ,‬הפעולה של חבורת הארבעה של קליין‬
‫‪ K ⊆ S4‬היא טריוויאלית‪ .[x2 , x1 ; x4 , x3 ] = [x4 , x3 ; x2 , x1 ] = [x1 , x2 ; x3 , x4 ] :‬בדוק שהערך של‬
‫)‪(λ3 −3λ+1)(λ3 −3λ2 +1‬‬
‫‪λ2 (1−λ)2‬‬
‫אינו תלוי בסדר המשתנים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.8.22‬נניח שהמאפיין של ‪ F‬הוא ‪ .3‬נאמר שרביעיה לא סדורה } ‪ {x1 , x2 , x3 , x4‬היא סימטרית‬
‫אם ‪ .[x1 , x2 ; x3 , x4 ] = −1‬הראה שהתנאי אינו תלוי בסדר הנקודות‪) .‬אבל אין זה כך מעל שדה ממאפיין‬
‫∑‪ [x1 , x2 ; x3‬אם ורק אם ‪,s2 (x1 , . . . , x4 ) = 0‬‬
‫מחליפים את ‪ −1‬בערך אחר‪ (.‬בדוק ש־‪, x4 ] = −1‬‬
‫אחר‪ ,‬או אם‬
‫∑‬
‫כאשר ‪xi xj‬‬
‫‪i<j‬‬
‫)חזקה של ‪ (3‬יש‬
‫= ) ‪ s2 (x1 , . . . , x4‬לערכים ב־ ‪ F‬ו־ ‪xi‬‬
‫)‪q(q 2 −1‬‬
‫‪24‬‬
‫= )∞ ‪ .s2 (x1 , x2 , x3 ,‬מעל שדה מסדר ‪q‬‬
‫רביעיות סימטריות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 6.8.23‬בהמשך לתרגיל ‪ ,6.8.22‬הראה ש־) ‪ PGL2 (F‬פועלת טרנזיטיבית על הרביעיות‬
‫‪2‬‬
‫הסימטריות‪ .‬נניח ש־ × ‪ .−1 ∈ F‬הראה שהכיוון ) ‪ ∆(x1 , x2 , x3‬של רביעיה סימטרית )כפי שהוגדר‬
‫בתרגיל ‪ ,(6.8.13‬מוגדר היטב )ואינו תלוי בבחירת השלשה(‪ .‬הראה ש־) ‪ PSL2 (F‬פועלת טרנזיטיבית‬
‫על הרביעיות הסימטריות מאותו כיוון‪.‬‬
‫∼ ) ‪ .PSL2 (F9‬בהמשך לתרגיל ‪ ,6.8.23‬יהי ‪ F = F9‬השדה מסדר ‪9‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 6.8.24‬נוכיח ש־ ‪= A6‬‬
‫)‪ −1‬אינו ריבוע ב־ ‪ ,F3‬ולכן ]‪ F9 = F3 [i‬כאשר ‪ .(i2 = −1‬רביעיה סימטרית היא חיובית אם הכיוון שלה‬
‫‪.+1‬‬
‫‪ .1‬הראה שיש ‪ 15‬רביעיות סימטריות חיוביות )והן‬
‫‪0158, 0247, 0378, ∞012, ∞036‬‬
‫‪0456, 1236, 1357, ∞147, ∞258‬‬
‫‪1468, 2348, 2567, ∞345, ∞678‬‬
‫‪ ,‬כאשר האינדקס‬
‫‪ a + 3b‬מייצג את האיבר ‪ a + bi‬של השדה; למשל ‪ ∞147‬מייצג את }‪ .({∞, 1, 1 + i, 1 − i‬הבחן‬
‫שכל שתי רביעיות נחתכות בנקודה או בשתיים‪.‬‬
‫‪ .2‬הראה ש־) ‪ PSL2 (F9‬פועלת טרנזיטיבית על ‪ 90‬הזוגות הסדורים של רביעיות שנחתכות בשתי‬
‫נקודות )הדרכה‪ .‬המייצב של ‪ ∞012, ∞036‬הוא ⟩‪ (⟨z 7→ −z, z 7→ −1/z‬ועל ‪ 120‬זוגות הרביעיות שנחתכות‬
‫בנקודה )הדרכה‪ .‬המייצב של ‪ ∞012, ∞345‬הוא ⟩‪ ,(⟨z 7→ z + 1‬ופועלת טרנזיטיבית בחדות על ‪ 360‬השלשות‬
‫הסדורות של רביעיות שכל שתיים מהן נחתכות בנקודה אבל אין להן נקודה משותפת )הדרכה‪.‬‬
‫המייצב של ‪ ∞012, ∞345, 0378‬טריוויאלי(‪.‬‬
‫‪ .3‬מניפה היא חמישיה )לא סדורה( של רביעיות‪ ,‬שכל שתיים מהן נחתכות בנקודה אחת‪ ,‬אבל לאף‬
‫שלוש מהן אין נקודה משותפת‪ .‬הראה שכל שלשה של רביעיות שכל שתיים מהן נחתכות בנקודה‬
‫ואין להן נקודה משותפת‪ ,‬מוכלת במניפה יחידה‪) .‬הדרכה‪ .‬לפי הסעיף הקודם די להוכיח טענה זו עבור שלשה אחת‪(.‬‬
‫הראה שיש בדיוק שש מניפות‪) .‬הדרכה‪ .‬כל מניפה מכילה ‪ 60‬שלשות סדורות של רביעיות כנ"ל‪(.‬‬
‫הראה שכל שתי מניפות נפגשות ברביעיה משותפת אחת‪.‬‬
‫התבונן בגרף השלם )המופיע באיור משמאל( שקודקודיו הם‬
‫המניפות‪ ,‬וכל צלע שלו מתוייגת ברביעיה היחידה המשותפת‬
‫לשני הקודקודים‪ .‬הראה שהתגיות של כל שתי קשתות זרות‬
‫‪ .4‬נחתכות בשתי נקודות )התגיות של קשתות בעלות קודקוד‬
‫משותף נחתכות בנקודה אחת לפי הגדרת המניפות‪ (.‬הראה‬
‫שכל נקודה ‪ ω ∈ Fˆ9‬מתאימה לחלוקה של הגרף לזוג‬
‫משולשים זרים )קח את הקשתות שהתגית שלהן כוללת‬
‫את ‪ ,(ω‬וכל חלוקה כזו מתאימה לנקודה אחת ויחידה‪.‬‬
‫??•‪•/O/OO 0456 oo‬‬
‫???? ‪ // OoOoOoOoOo‬‬
‫‬
‫‪//o‬‬
‫‪OOO‬‬
‫‪∞012 oo‬‬
‫?‬
‫‪ oooo 1357‬‬
‫‪ OOO∞147‬‬
‫‬
‫‪/‬‬
‫??? ‪O‬‬
‫‬
‫‬
‫‪/‬‬
‫‪0378‬‬
‫‬
‫??‪ o ∞678 / ∞258 2348OOO‬‬
‫?‪OO‬‬
‫‪ooo‬‬
‫‪//‬‬
‫‪•o?O?oO?OO 2567‬‬
‫•‪o‬‬
‫‪ //‬‬
‫‪ooo‬‬
‫‪o‬‬
‫‪??OO‬‬
‫‪0158‬‬
‫‪//‬‬
‫‪??1468OOO 1236‬‬
‫‪o‬‬
‫‪o‬‬
‫?‬
‫ ‪OO‬‬
‫ ‪/ ooo‬‬
‫‪?? O OOO ooo/o/ ∞036‬‬
‫‪∞345‬‬
‫ ‪?? oooOOO /‬‬
‫ ‪O/‬‬
‫‪?ooo‬‬
‫•‪• 0247 O‬‬
‫‪ .5‬הראה שפעולת ) ‪ PSL2 (F9‬על }∞{ ∪ ‪ Fˆ9 = F9‬משרה פעולה נאמנה על הגרף‪ ,‬ודרך כך‬
‫∼ ) ‪.PSL2 (F9‬‬
‫איזומורפיזם ‪= A6‬‬
‫‪ .6‬ל־ ‪ A6‬יש שבע מחלקות שקילות‪ .‬המסלולים תחת פעולת ‪ S6‬מאופיינים במבנה המחזורים‪,‬‬
‫והפעולה מאחדת שתי מחלקות )תרגיל ‪ .(6.4.37‬המסלולים תחת פעולת ההצמדה של‬
‫‪77‬‬
‫פרק ‪ .6‬פעולה של חבורה על קבוצה‬
‫‪ .6.8‬החבורות הלינאריות‬
‫) ‪) PGL2 (F9‬פרט לזה של איבר היחידה( מאופיינים על־ידי העקבה‪ ,‬עד־כדי סימן )תרגיל ‪;(6.8.6‬‬
‫פעולה זו מאחדת שתי מחלקות אחרות‪ .‬תכונותיהן של המחלקות מסוכמות בטבלה להלן‪.‬‬
‫מבנה מחזורים‬
‫מסלולי‬
‫נציגים של‬
‫מסלולי ‪:S6‬‬
‫בפעולה‬
‫) ‪:PGL2 (F9‬‬
‫מבנה מחזורים מחלקות הצמידות‬
‫גודל‬
‫סדר‬
‫ˆ‬
‫על ‪F9‬‬
‫עקבה‬
‫ב־) ‪PSL2 (F9‬‬
‫האברים המחלקה‬
‫}‬
‫‪−1‬‬
‫] ‪[52‬‬
‫)‪±(1 + i‬‬
‫‪72‬‬
‫‪5‬‬
‫‪z+1+i‬‬
‫]‪[51‬‬
‫‪−1‬‬
‫] ‪[52‬‬
‫)‪±(1 − i‬‬
‫‪72‬‬
‫‪5‬‬
‫‪z+1−i‬‬
‫] ‪[42 12‬‬
‫‪±i‬‬
‫‪iz‬‬
‫]‪[42‬‬
‫‪90‬‬
‫‪4‬‬
‫{‬
‫{‬
‫‪2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪i‬‬
‫‪[3‬‬
‫]‬
‫‪40‬‬
‫‪3‬‬
‫]‪[33 1‬‬
‫‪±1‬‬
‫‪z+1‬‬
‫] ‪[313‬‬
‫‪40‬‬
‫‪3‬‬
‫] ‪[24 12‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−z‬‬
‫] ‪[22 12‬‬
‫‪45‬‬
‫‪2‬‬
‫] ‪[110‬‬
‫‪z‬‬
‫] ‪[16‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .1‬יהי ‪ F‬שדה ממאפיין ≠ ‪ .2‬נאמר ששני זוגות זרים }‪ {α′ , β ′ } ,{α, β‬הם שכנים‬
‫תרגיל ‪(***) 6.8.25‬‬
‫אם ‪ .[α, β; α′ , β ′ ] = −1‬הראה שיחס השכנות מוגדר היטב )כלומר‪ ,‬אינו מושפע מהחלפת ‪ α‬ו־‪β‬‬
‫או ‪ α′‬ו־ ‪ (β ′‬וסימטרי‪.‬‬
‫‪ .2‬הראה שלכל ‪ ,a ̸= b‬קיים ) ‪) τa,b ∈ PGL2 (F‬מסדר ‪ ,2‬עם נקודות שבת ‪ a, b‬בלבד(‪ ,‬כך ש־}‪{x, y‬‬
‫‪ q−1‬שכנים(‪ .‬עבור‬
‫שכן של }‪ {a, b‬אם ורק אם ‪) y = τa,b x‬ולכן אם ‪ |F | = q‬אז לכל זוג יש בדיוק ‪2‬‬
‫}∞ ‪.τ0,∞ x = −x ,{a, b} = {0,‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 6.8.26‬בהמשך לתרגיל ‪ ,6.8.25‬נניח ש־ ‪.F = F5‬‬
‫‪ .1‬הראה שיחס השכנות על ‪ 15‬הזוגות של אברים ב־}∞{ ∪ ‪ F‬הוא יחס שקילות‪.‬‬
‫הטענה עבור השכנים של }∞ ‪ {0,‬והעזר ב־‪2‬־טרנזיטיביות; אשר שתכונה זו מיוחדת לשדה ‪ (.F5‬הראה שכל מחלקת שקילות‬
‫מהווה חלוקה של }∞{ ∪ ‪ F‬לשלושה זוגות זרים‪.‬‬
‫)הדרכה‪ .‬בדוק את‬
‫‪ .2‬הראה ש־) ‪ PGL2 (F5‬פועלת נאמנה על חמש מחלקות השקילות‪ .‬הסק‪ ,‬מהשוואת סדרים‪ ,‬ש־‬
‫∼ ) ‪.PSL2 (F5‬‬
‫∼ ) ‪ .PGL2 (F5‬הסק מכאן ש־ ‪= A5‬‬
‫‪= S5‬‬
‫‪ .3‬לפי תרגיל ‪ ,PGL2 (F5 ) ,→ S6 ,6.8.9‬דרך הפעולה על }∞{ ∪ ‪ .F‬הראה שהתמונה היא עותק לא‬
‫סטנדרטי של ‪) S5‬מייצב של נקודה בפעולה הטבעית של ‪ S6‬הוא עותק סטנדרטי‪(.‬‬
‫∼ ) ‪) PSL2 (F7‬זוהי החבורה הפשוטה היחידה מסדר ‪ ,168‬ראה‬
‫תרגיל ‪ (***) 6.8.27‬נוכיח ש־) ‪= GL3 (F2‬‬
‫תרגיל ‪.(8.5.61‬‬
‫‪ .1‬תהיינה }∞{ ∪ ‪ x1 , . . . , x4 ∈ F̂ = F7‬נקודות שונות‪ .‬נסמן ] ‪ .λ = [x1 , x2 ; x3 , x4‬הראה )בעזרת‬
‫תרגיל ‪ (6.8.21‬שהתכונה ‪ λ + λ−1 = 1‬אינה תלויה בסדר הנקודות‪ .‬נאמר שרביעיה בעלת תכונה‬
‫זו היא מאוזנת‪.‬‬
‫‪ .2‬הראה שבפירוק של ̂‪ F‬לאיחוד של שתי רביעיות‪ ,‬אם אחת מהן מאוזנת‪ ,‬כך גם השניה‪) .‬אינני מכיר‬
‫הוכחה מחוכמת לטענה זו‪(.‬‬
‫‪ 2·8·7·6‬חלוקות של ̂‪ F‬לרביעיות מאוזנות‪ .‬הראה ש־) ‪ PGL2 (F7‬פועלת נאמנה על קבוצת‬
‫‪ .3‬יש ‪2·24 = 14‬‬
‫החלוקות המאוזנות‪ .‬הראה שהפעולה טרנזיטיבית‪ ,‬ושבפעולת ) ‪ PSL2 (F7‬יש שני מסלולים‪.‬‬
‫‪ .4‬המסלולים של ) ‪ PSL2 (F7‬מן הסעיף הקודם‪ ,‬שנסמן ב־ ‪ X, X ′‬בהתאמה‪ ,‬הם המסלולים של‬
‫}‪ {0124|∞356‬ושל }‪ {0356|∞124‬תחת הפעולה ‪ 1, 2, 4) z 7→ z + 1‬הם הריבועים בשדה ‪.(F7‬‬
‫‪ .5‬הראה שלכל שתי חלוקות ‪ ,|a ∩ a′ | = 2 ,(a|b), (a′ |b′ ) ∈ X‬ולכן הפעולה = ) ‪(a|b) + (a′ |b′‬‬
‫) ‪) (a∆a′ |b∆b′‬כאשר ∆ הוא ההפרש הסימטרי( מוגדרת היטב‪ .‬הראה שהיא אסוציאטיבית‪.‬‬
‫‪ .6‬נסמן ב־ ‪ V‬את המרחב הוקטורי ‪ {0} ∪ X‬מעל ‪ ,F2‬שממדו ‪ .3‬הראה שפעולת ) ‪ PSL2 (F7‬על ‪V‬‬
‫היא לינארית‪ ,‬והסק את האיזומורפיזם הדרוש‪.‬‬
‫∼ ) ‪.PSL4 (F2‬‬
‫תרגיל ‪ (+***) 6.8.28‬הוכח ש־ ‪= A8‬‬
‫ההוכחה‬
‫)ההוכחה ב־‪ Rotman, Thm 9.71‬משתמשת בתכונות של ''חבורת מתיו'' ‪.M24‬‬
‫ב־ ‪ http://www.math.harvard.edu/~elkies/Misc/A8.pdf‬מגדירה פעולה של ‪ A7‬על המרחב ‪,F42‬‬
‫שהנקודות הלא־טריוויאליות שלו מוגדרת כאוסף ‪ 15‬הקוסטים של ‪( .GL3 (F2 ) ,→ A7‬‬
‫אגב‪ ,‬יש עוד חבורה פשוטה מסדר !‪ , 12 8‬שאינה איזומורפית ל־ ‪.PSL3 (F4 ) :A8‬‬
‫‪78‬‬
‫פרק ‪ .6‬פעולה של חבורה על קבוצה‬
‫‪6.9‬‬
‫‪ .6.9‬סימטריות של גרפים‬
‫סימטריות של גרפים‬
‫הגדרה ‪ 6.9.1‬גרף על קבוצת קודקודים ‪ V‬הוא אוסף של זוגות לא סדורים‪ ,‬הקרוים קשתות‪ .‬סימטריה של הגרף הוא תמורה‬
‫‪ ,σ ∈ SV‬המעבירה כל קשת לקשת בגרף‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 6.9.2‬חבורת הסימטריות של גרף היא החבורה הגדולה ביותר הפועלת עליו בצורה נאמנה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.9.3‬חבורת הסימטריות של הגרף הריק על ‪ n‬נקודות היא ‪.Sn‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 6.9.4‬חבורת הסימטריות של גרף שווה לחבורת הסימטריות של הגרף המשלים )זה‬
‫שהקשתות שלו הם הזוגות שאינם מהווים קשתות בגרף המקורי(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.9.5‬חבורת הסימטריות של טבעת עם ‪ n‬קודקודים היא ‪.Dn‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.9.6‬שרטט שניים־שלושה גרפים נאים למראה ומצא את חבורות הסימטריות שלהם‪.‬‬
‫‪j•TT‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 6.9.7‬הראה שהגרף משמאל מתאר את ‪ 14‬הטריאנגולציות של‬
‫?•‪jjjj •? TTTTT‬‬
‫‪j‬‬
‫?‬
‫‪j‬‬
‫•‬
‫?‬
‫משושה משוכלל‪ ,‬כאשר זוג טריאנגולציות מחובר בקשת אם ניתן לעבור ביניהן ??  ??  ? ‬
‫‬
‫על־ידי הזזת קו אחד‪ .‬הוכח שחבורת הסימטריות של הגרף היא ‪ .S‬מצא את • ???• • ???• • ???•‬
‫‪3‬‬
‫•‪•TTTTTT • jjjjj‬‬
‫חבורת הסימטריות של הגרף המתקבל ממחיקת שלוש הקשתות המעוגלות‪.‬‬
‫‪T•jj‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 6.9.8‬הראה שחבורת הסימטריות )‪ Aut(C‬של קוביה קשיחה איזומורפית ל־ ‪S4‬‬
‫על ארבעת האלכסונים הראשיים מגדירה הומומורפיזם ‪ ;H→S4‬הראה ש־‪ |H| = 24‬וכדי לסיים בדוק למשל שסיבוב ב־ ◦‪ 180‬סביב חתך אלכסוני‬
‫הדרכה‪ .‬הפעולה‬
‫מחליף שני אלכסונים‪.‬‬
‫הראה שחבורת הסימטריות של גרף המקצועות של הקוביה היא ‪) S4 × Z2‬העזר בתרגיל ‪.(4.3.22‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 6.9.9‬הראה שהשיכון ‪ ψ : S4 →S6‬המתקבל מפעולת )‪ Aut(C‬של תרגיל ‪ 6.9.8‬על שש‬
‫הפאות מוגדר )תחת מספור מתאים( לפי‬
‫‪(34) 7→ (14)(23)(56).‬‬
‫‪(23) 7→ (12)(36)(45),‬‬
‫‪(12) 7→ (13)(24)(56),‬‬
‫מצא את מבנה המחזורים ב־ ‪ S6‬של )‪ ψ(σ‬לפי מבנה המחזורים של ‪.σ ∈ S4‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 6.9.10‬הוכח את נכונות הטענות בטבלה הבאה‪ ,‬עבור הפעולה של ‪ S4‬על קוביה קשיחה‪.‬‬
‫תאור‬
‫האברים‬
‫הזהות‬
‫סיבוב סביב חתך אלכסוני‬
‫שליש סיבוב סביב פינה‬
‫רבע סיבוב של פאה‬
‫חצי סיבוב של פאה‬
‫מבנה מחזורים מבנה מחזורים מבנה מחזורים מבנה מחזורים‬
‫מספרם בפעולה על בפעולה על בפעולה על בפעולה על‬
‫צלעות‬
‫קודקודים‬
‫פאות‬
‫אלכסונים‬
‫] ‪[112‬‬
‫] ‪[18‬‬
‫] ‪[16‬‬
‫] ‪[14‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫] ‪[1 2‬‬
‫] ‪[2‬‬
‫] ‪[2‬‬
‫] ‪[21 12‬‬
‫‪6‬‬
‫] ‪[34‬‬
‫] ‪[12 32‬‬
‫] ‪[32‬‬
‫] ‪[31 11‬‬
‫‪8‬‬
‫] ‪[43‬‬
‫] ‪[42‬‬
‫] ‪[12 41‬‬
‫] ‪[41‬‬
‫‪6‬‬
‫] ‪[26‬‬
‫] ‪[24‬‬
‫] ‪[12 22‬‬
‫] ‪[22‬‬
‫‪3‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 6.9.11‬חבורת הסימטריות של האיקוסהדרון )בן עשרים פאות משולשות( היא ‪ .A5‬נתח‬
‫באופן דומה לתרגיל ‪ 6.9.10‬את הפעולות הטבעיות של ‪ A5‬על האיקוסהדרון‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 6.9.12‬כמה קוביות שונות אפשר ליצור אם צובעים כל פאה באחד מבין ‪ n‬צבעים? פתרון‪.‬‬
‫)‪n2 (n+1)(n3 −n2 +4n+8‬‬
‫‪24‬‬
‫קוביות )בפרט יש ‪ 10‬קוביות בשני צבעים‪(.‬‬
‫הדרכה‪ .‬הפעל את הלמה של ברנסייד מתרגיל ‪ 6.5.8‬על‬
‫תרגיל ‪) 6.9.9‬או השורה המתאימה מתרגיל ‪.(6.9.10‬‬
‫הגדרה ‪ 6.9.13‬גאומטריה פרוייקטיבית היא מערכת של נקודות וישרים המקיימת את האקסיומות הבאות‪ :‬דרך‬
‫כל שתי נקודות עובר ישר יחיד; כל שני ישרים נפגשים בנקודה; על כל ישר לפחות ‪ 3‬נקודות; יש ישר ונקודה מחוץ‬
‫לו‪.‬‬
‫‪79‬‬
‫פרק ‪ .6‬פעולה של חבורה על קבוצה‬
‫‪ .6.9‬סימטריות של גרפים‬
‫•‬
‫•‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.9.14‬הראה שהאיור משמאל מתאר גאומטריה פרוייקטיבית‪ ,‬שהיא‬
‫היחידה עם ‪ 7‬נקודות‪) .‬זהו מישור פאנו(‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫תרגיל ‪) (**) 6.9.15‬בניה אלגברית של גאומטריה פרוייקטיבית( יהי ‪ F‬שדה‪ .‬נתבונן במרחב הוקטורי‬
‫‪ ;V = F 3‬לתת־מרחבים מממד ‪ 1‬נקרא נקודות‪ ,‬ולתת־מרחבים מממד ‪ 2‬נקרא ישרים‪ .‬נאמר שנקודה‬
‫נמצאת על ישר אם היא מוכלת בו )כלומר‪ ,‬המרחב המתאים לה מוכל במרחב המתאים לו(‪.‬‬
‫‪ .1‬הראה שהמבנה המתקבל‪ ,‬שאותו נסמן ב־ ‪ ,P2 F‬הוא אכן גאומטריה פרוייקטיבית‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ ,|F | = q‬יש בה ‪ q 2 + q + 1‬נקודות וכמספר הזה ישרים; יש ‪ q + 1‬נקודות על כל ישר‪ ,‬ו־‪q + 1‬‬
‫ישרים דרך כל נקודה‪.‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ F = F2‬מתקבלת הגאומטריה של תרגיל ‪.6.9.14‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 6.9.16‬סימטריה של גאומטריה פרוייקטיבית היא זוג תמורות‪ σ ,‬של הנקודות ו־ ‪ σ ′‬של הישרים‪,‬‬
‫השומרות על יחס החילה‪ σ(x) ∈ σ ′ (ℓ) :‬אם ורק אם ‪ .x ∈ ℓ‬הראה שכל סימטריה של הגאומטריה‬
‫נקבעת לפי הפעולה שלה על הנקודות‪.‬‬
‫תרגיל ‪(+**) 6.9.17‬‬
‫‪ .1‬החבורה ) ‪ PGL3 (F‬פועלת נאמנה על הגאומטריה ‪.P2 F‬‬
‫‪ .2‬הפעולה היא טרנזיטיבית בחדות על מרובעים )מרובע הוא רביעיה סדורה של נקודות שאף שלוש‬
‫מהן אינן על ישר אחד(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 6.9.18‬עבור ‪ GL3 (F ) = PGL3 (F ) ,F = F2‬הפועלת כבתרגיל ‪ ,6.9.17‬היא חבורת‬
‫הסימטריות המלאה של ‪.P2 F‬‬
‫גרפי קיילי‬
‫ניתן לדלג בקריאה ראשונה‪.‬‬
‫אם מוגדרים מספר גרפים על אותן נקודות‪ ,‬חבורת הסימטריות של המבנה היא החבורה של תמורות שהן‬
‫סימטריות של כל אחד ואחד מהגרפים‪ .‬תהי ‪ G‬חבורה עם יוצרים ‪ .g1 , . . . , gt‬בסעיף ‪ 3.6‬בנינו ‪ t‬גרפים על‬
‫הקבוצה ‪ : G‬לכל ‪ ,i‬הגרף ‪ Ti‬כולל את הזוגות ) ‪ .(x, xgi‬מבנה זה נקרא גרף קיילי של ‪) G‬ביחס ליוצרים‬
‫‪(.g1 , . . . , gt‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫גרף קיילי של ‪ S3 = σ, τ | σ 3 = τ 2 = (στ )2 = 1‬ושל = ‪Z6‬‬
‫⟩תרגיל ‪ (**) 6.9.19‬צייר את ⟨‬
‫‪. σ, τ | σ 3 = τ 2 = 1, στ = τ σ‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 6.9.20‬הוכח שחבורת האוטומורפיזמים של גרף קיילי פועלת על קבוצת הקודקודים באופן‬
‫רגולרי והיא איזומורפית ל־‪.G‬‬
‫‪80‬‬
‫פרק ‪7‬‬
‫אוטומורפיזמים‬
‫בפעולה על קבוצה נטולת מבנה‪ ,‬הדרישה היחידה היא שאברי החבורה הפועלת יהיו הפיכים‪ .‬אם לקבוצה יש‬
‫מבנה נוסף‪ ,‬הגיוני לדרוש שהפעולה תשמור על המבנה הזה‪ .‬לדוגמא‪ ,‬בפעולות על הישר הממשי ‪ R‬נצפה שאברי‬
‫החבורה יהיו פונקציות רציפות הפיכות‪ ,‬ולא סתם פונקציות הפיכות‪ .‬בפרק זה נבדוק בעיקר את הפעולות על‬
‫קבוצה שהיא בעצמה חבורה‪.‬‬
‫בעוד שהפרק הקודם עוסק בפעולה של ‪ G‬על מרחבים מתאימים‪ ,‬חבורת האוטומורפיזמים של ‪ G‬היא‬
‫החבורה הגדולה ביותר הפועלת על ‪ G‬עצמה‪ ,‬תוך שמירה על פעולת הכפל שלה‪ .‬בנייה של אוטומורפיזמים‬
‫עשויה להיות אתגר לא פשוט; אנו מסתפקים ברעיון הבסיסי של אוטומורפיזמים פנימיים‪ .‬הפאשרות של חבורה‬
‫אחת לפעול על חבורה אחרת )כחבורת אוטומורפיזמים( מוליך לבניה של מכפלה ישרה למחצה‪ ,‬המכליל את‬
‫המכפלה הישרה‪ .‬כמו במכפלה ישרה‪ ,‬המושגים של מכפלה ישרה למחצה חיצונית ופנימית מתלכדים‪ .‬סעיף ‪,7.4‬‬
‫שבדרך כלל אינו שייך לקורס ראשון בתורת החבורות‪ ,‬מראה כיצד אפשר לארגן את כל המכפלות הישרות‬
‫למחצה‪ ,‬ואת כל ההרחבות מודולו המכפלות הישרות למחצה‪ ,‬במבנה של חבורות אבליות‪.‬‬
‫‪7.1‬‬
‫חבורת האוטומורפיזמים‬
‫הגדרה ‪ 7.1.1‬תהי ‪ G‬חבורה‪ .‬איזומורפיזם ‪ G→G‬נקרא אוטומורפיזם‪ .‬אוסף האוטומורפיזמים הוא חבורת האוטומורפיזמים‬
‫של ‪ ,G‬ומסמנים אותו ב־)‪.Aut(G‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 7.1.2‬הראה ש־)‪ Aut(G‬פועלת על ‪ ,G‬ולכן היא תת־חבורה של חבורת התמורות ‪.SG‬‬
‫)ידוע שאם ‪ G‬חבורה סופית אז הסדר של כל )‪ σ ∈ Aut(G‬קטן מ־|‪ .|G‬משפט זה אינו נובע מן התרגיל‪,‬‬
‫כמובן; זהו משפט ‪ 2‬ב־‪M.V. Horosevskii, ”On Automorphisms of finite groups”, Mat. Sbornik 22(4),‬‬
‫)‪ ;(1974‬ההוכחה מבוססת על שימוש ברדיקל הפתיר‪ ,‬המוגדר בתרגיל ‪(.10.3.54‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.1.3‬תהי ‪ G‬חבורה הנוצרת על־ידי אברים ‪ .g1 , . . . , gt‬אם )‪ φ, ψ ∈ Aut(G‬ו־) ‪,φ(gi ) = ψ(gi‬‬
‫אז ‪ .φ = ψ‬כלומר‪ ,‬כדי להגדיר אוטומורפיזמים‪ ,‬די להגדיר אותו על קבוצת יוצרים )בדומה ל'משפט‬
‫ההגדרה' על העתקות לינאריות(‪.‬‬
‫∼ ) ‪.Aut(Zn‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.1.4‬הוכח ש־ ‪= Un‬‬
‫הדרכה‪ .‬הגדר ‪ Φ : Aut(Zn ) → Un‬לפי )‪.Φ(ϕ) = ϕ(1‬‬
‫∼ ) ‪) .Aut(Z2 × Z2‬ראה תרגיל ‪(.6.8.17‬‬
‫תרגיל ‪= S3 (**) 7.1.5‬‬
‫∼ )‪.Aut(Z‬‬
‫תרגיל ‪= Z2 (**) 7.1.6‬‬
‫∼ ) ‪.Aut(S3‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.1.7‬הוכח ש־ ‪= S3‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 7.1.8‬חבורת האוטומורפיזמים של ‪ Znp = Zp × · · · × Zp‬היא חבורת המטריצות ) ‪.GLn (Fp‬‬
‫הדרכה‪ .‬זו בעיה באלגברה לינארית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 7.1.9‬הראה שהסדר של ) ‪ Aut(Z4 × Z4‬הוא ‪.96‬‬
‫תרגיל ‪(-**) 7.1.10‬‬
‫הדרכה‪ .‬מצא התאמה ) ‪.Aut(Z24 ) → M2 (Z4‬‬
‫‪ .1‬לכל ‪ G, H‬יש שיכון )‪.Aut(G) × Aut(H) ,→ Aut(G × H‬‬
‫‪81‬‬
‫פרק ‪ .7‬אוטומורפיזמים‬
‫‪ .7.2‬אוטומורפיזמים פנימיים‬
‫∼ )‪.Aut(G × H‬‬
‫‪ .2‬כאשר ‪ ,(|G|, |H|) = 1‬השיכון הזה הוא איזומורפיזם‪ ,‬ולכן )‪= Aut(G) × Aut(H‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 7.1.11‬תהי ‪ G‬חבורה סופית‪ ,‬ו־)‪ φ ∈ Aut(G‬אוטומורפיזם שנקודת השבת היחידה שלו היא‬
‫איבר היחידה‪.‬‬
‫‪ .1‬הוכח‪ :‬לכל ‪ g‬קיים ‪ x‬כך ש )‪.g = x−1 φ(x‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ ,φ ◦ φ = IG‬אז ‪ G‬אבלית‪.‬‬
‫∼ ) ‪.Aut(Q4‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 7.1.12‬הוכח ש־ ‪= S4‬‬
‫הדרכה‪ .‬כתוב את האברים ‪ k, −k ,j, −j ,i, −i‬על הפאות המנוגדות של קוביה‬
‫∼ )‪) Aut(Q4 )→Aut(C‬בתרגיל ‪ .(6.9.8‬הראה ש־‪ i ↔ j, k 7→ −k‬הוא אוטומורפיזם המחליף שני אלכסונים בקוביה‪,‬‬
‫‪ ,C‬והראה שיש שיכון ‪= S4‬‬
‫ולכן השיכון הוא על‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 7.1.13‬חשב את ) ‪.Aut(Z2 × Z4‬‬
‫∼ )‪.Aut(Z2 × Z‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 7.1.14‬הוכח ש־ ‪= Z2 × Z2‬‬
‫הדרכה‪ .‬מהם האיברים מסדר ‪ 2‬של ‪?Z2 × Z‬‬
‫תרגיל ‪ (+***) 7.1.15‬נזכיר ש־ ‪ Fn‬היא החבורה החופשית על ‪ n‬יוצרים‪ .‬הוכח ש־) ‪ Aut(Fn × Fn‬נוצרת‬
‫על־ידי האוטומורפיזמים על שני המרכיבים ועל־ידי האוטומורפיזם )‪ .(x, y) 7→ (y, x‬הדרכה‪ .‬חשב מרכזים של‬
‫איברים‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 7.1.16‬תהי ‪ G‬חבורה‪ .‬נסמן ב־‪ µm : G → G‬את פעולת ההעלאה בחזקה ‪.µm : g 7→ g m‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.1.17‬אם ‪ G‬אבלית ו־‪ ,(m, |G|) = 1‬אז ‪ µm‬הוא אוטומורפיזם‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 7.1.18‬תהי ‪ G‬חבורה אבלית‪ .‬נסמן ב־)‪ exp(G‬את הכפולה המשותפת המינימלית של כל הסדרים של אברים ב־‪.G‬‬
‫)נחזור לנושא זה בסעיף ‪(.9.1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.1.19‬אם ‪ G‬אבלית סופית אז יש שיכון )‪ .Uexp(G) ,→ Aut(G‬הראה שהתמונה נורמלית‬
‫ב־)‪.Aut(G‬‬
‫תרגיל ‪ Inv : g 7→ g −1 (+*) 7.1.20‬הוא אוטומורפיזם אם ורק אם ‪ G‬אבלית‪ ,‬ואם ‪ G‬אבלית סופית הוא‬
‫מהצורה ‪ µm‬עבור ‪ m‬מתאים‪.‬‬
‫‪7.2‬‬
‫אוטומורפיזמים פנימיים‬
‫בסעיף זה נכיר את אחת הדרכים הקלות לבנות אוטומורפיזמים של חבורה נתונה‪ :‬הלא החבורה פועלת על‬
‫עצמה בהצמדה‪ ,‬כפי שראינו בסעיף ‪.6.4‬‬
‫הגדרה ‪ 7.2.1‬תהי ‪ G‬חבורה‪ .‬לכל איבר ‪ ,g ∈ G‬נגדיר אוטומורפיזם ‪ γg : G → G‬לפי ‪ .γg (h) = ghg −1‬כל אוטומורפיזם‬
‫כזה נקרא אוטומורפיזם פנימי‪ .‬האוסף }‪ Inn(G) = {γg : g ∈ G‬הוא חבורת האוטומורפיזמים הפנימיים של ‪.G‬‬
‫תרגיל ‪.γg ◦ γh = γgh (*) 7.2.2‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 7.2.3‬הוכח‪.γg ∈ Aut(G) :‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 7.2.4‬יהיו ‪ .φ ∈ Aut(G) ,g ∈ G‬הוכח ש־ )‪ .φ ◦ γg ◦ φ−1 = γφ(g‬הסק‪.Inn(G)▹Aut(G) :‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.2.5‬נגדיר )‪ Γ : G → Aut(G‬לפי ‪.Γ(g) = γg‬‬
‫‪ .1‬הוכח ש־‪ Γ‬הומומורפיזם )זהו תרגיל ‪.(7.2.2‬‬
‫∼ )‪.Inn(G‬‬
‫‪ .2‬הראה ש־)‪ ,Ker(Γ) = Z(G‬והסק ש־)‪= G/Z(G‬‬
‫∼ ) ‪.Aut(S4‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 7.2.6‬הוכח ש־ ‪= S4‬‬
‫∼ ) ‪.Aut(A4‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 7.2.7‬הוכח ש־ ‪= S4‬‬
‫∼ )‪.Aut(G‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 7.2.8‬לאף חבורה סופית ‪ G‬לא יתכן ש־ ‪= Z3‬‬
‫‪82‬‬
‫‪ .7.2‬אוטומורפיזמים פנימיים‬
‫פרק ‪ .7‬אוטומורפיזמים‬
‫∼ )‪.Inn(G × H‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.2.9‬לכל ‪= Inn(G) × Inn(H) ,G, H‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.2.10‬נסמן ‪.H = ⟨(123), (456)⟩ ≤ S6‬‬
‫∼ )‪.NS6 (H)/CS6 (H‬‬
‫‪= D4‬‬
‫תאר את )‪ NS6 (H‬ואת )‪ ,CS6 (H‬והוכיח ש־‬
‫משפט ‪) 7.2.11‬משפט ‪ (N/C‬תהי ‪ H ≤ G‬תת־חבורה‪ .‬אז קיים שיכון )‪.NG (H)/CG (H) ,→ Aut(H‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.2.12‬הוכח את המשפט‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬ההצמדה ב־‪ g ∈ G‬משרה אוטומורפיזם של ‪ H‬אם ורק אם )‪ .g ∈ NG (H‬הגדר‬
‫)‪ φ : NG (H) → Aut(H‬לפי ‪ .φ : g 7→ γg |N‬חשב את הגרעין של ההעתקה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 7.2.13‬נסח את משפט ‪ N/C‬במקרה ‪.H = G‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.2.14‬תהי ‪ G‬חבורה )אינסופית(‪ ,‬ו־‪ N ▹G‬תת־חבורה נורמלית סופית‪ .‬הראה ש־) ‪CG (N‬‬
‫מאינדקס סופי ב־‪.G‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.2.15‬הראה ש־)‪ .Inn(G)▹Aut(G‬את חבורת המנה מסמנים ב־)‪,Out(G) = Aut(G)/Inn(G‬‬
‫והיא נקראת חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים של ‪ G‬למרות שאבריה אינם אוטומורפיזמים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 7.2.16‬לכל ‪ G, H‬יש שיכון )‪.Out(G) × Out(H) ,→ Out(G × H‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגילים ‪ 7.1.10‬ו־‪.7.2.9‬‬
‫∼ ) ‪ .Out(Q4‬על איזו קבוצה בגודל ‪ 3‬פועלת‬
‫תרגיל ‪ (+**) 7.2.17‬בהמשך לתרגיל ‪ ,7.1.12‬הראה ש־ ‪= S3‬‬
‫חבורה זו?‬
‫תרגיל‬
‫פנימי‪.‬‬
‫‪ (**) 7.2.18‬הראה שכל אוטומורפיזם של ‪ Sn‬השומר את מחלקת הצמידות של החילופים‪ ,‬הוא‬
‫הדרכה‪ .‬נקרא לקבוצת חילופים כוכב אם היא מהצורה } ‪ {(1i), (2i), (3i), . . .‬לאיזשהו ‪ ,i‬וקדם־כוכב אם אף שניים מאיבריה אינם‬
‫מתחלפים זה עם זה‪ .‬הראה שכל קדם־כוכב מקסימלי ביחס להכלה‪ ,‬עם יותר משלושה חילופים‪ ,‬הוא כוכב‪ .‬הסק שהאוטומורפיזם הנתון פועל על‬
‫קבוצת הכוכבים‪ ,‬ולכן פועל על }‪.{1, . . . , n‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.2.19‬לכל ‪ ,n ̸= 6‬כל אוטומורפיזם של ‪ Sn‬הוא פנימי‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגילים ‪ 5.2.19‬ו־‪.7.2.18‬‬
‫הערה‪ .‬הסדר‬
‫של ) ‪ Out(S6‬הוא ‪.2‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.2.20‬נניח ש־‪ .Z(G) = 1‬הוכח ש־‪ ,CAut(G) (Inn(G)) = 1‬ובפרט גם ‪.Z(Aut(G)) = 1‬‬
‫כלומר‪ ,‬לחבורה חסרת מרכז גם חבורת האוטומורפיזמים חסרת מרכז‪.‬‬
‫תרגיל ‪ σ ∈ CAut(G) (Inn(G)) (+**) 7.2.21‬אם ורק אם ‪ α(g) = σ(g)g −1‬הוא הומומורפיזם → ‪α : G‬‬
‫)‪) .Z(G‬זו הכללה של תרגיל ‪(.7.2.20‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.2.22‬אם קיים ‪ g‬כך ש ‪ gxg −1 = x−1‬לכל ‪ ,x‬אז ‪ G‬אבלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 7.2.23‬נניח שבחבורה סופית ‪ G‬יש אוטומורפיזם )‪ σ ∈ Aut(G‬כך שההסתברות ל־= )‪σ(x‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ ,G = D4 × Zn‬עם ‪ ,σ = 1‬ההסתברות‬
‫‪ x‬גדולה מ־‪ .3/4‬הראה ש־‪ G‬אבלית ו־‪ .σ = 1‬הערה‪ .‬בחבורות ‪2‬‬
‫שווה ‪.3/4‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 7.2.24‬לכל חבורה אבלית עם ‪.Out(A) = Aut(A) ̸= 1 ,|A| > 2‬‬
‫הדרכה‪ .‬אם ‪ x 7→ x−1‬טריוויאלי‪,‬‬
‫אז ‪ A‬מרחב וקטורי מעל ‪.F2‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 7.2.25‬לכל חבורה‪ ,‬פרט ל־}‪ {1‬ול־ ‪ ,Z2‬יש אוטומורפיזם לא טריוויאלי‪.‬‬
‫והחבורה אבלית; תרגיל ‪.7.2.24‬‬
‫‪7.2.1‬‬
‫אוטומורפיזמים יחסיים‬
‫ניתן לדלג בקריאה ראשונה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 7.2.26‬תהי ‪ H ≤ G‬תת־חבורה‪ .‬נסמן‬
‫}‪Aut(G, H) = {ϕ ∈ Aut(G) : ϕ(H) = H‬‬
‫ו־‬
‫‪Aut1 (G, H) = {ϕ ∈ Aut(G) : ∀h ∈ H, ϕ(h) = h}.‬‬
‫‪83‬‬
‫הדרכה‪ .‬אחרת ‪Inn(G) = 1‬‬
‫פרק ‪ .7‬אוטומורפיזמים‬
‫‪ .7.3‬מכפלה ישרה למחצה‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.2.27‬נסמן ב־)‪ Γ : G→Inn(G‬את ההטלה הסטנדרטית‪ ,‬המוגדרת לפי ‪ .g 7→ γg‬הוכח‬
‫ש־))‪ Aut(G, H) ∩ Inn(G) = Γ(NG (H‬ו־))‪.Aut1 (G, H) ∩ Inn(G) = Γ(CG (H‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.2.28‬הוכח‪.Aut1 (G, H)▹Aut(G, H) :‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 7.2.29‬הוכח את ההכללה הבאה של משפט ‪) N/C‬משפט ‪ :(7.2.11‬לכל ‪,H ≤ G‬‬
‫)‪.NG (H)/CG (H) ,→ Aut(G, H)/Aut1 (G, H) ,→ Aut(H‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 7.2.30‬הראה שבשיכון של תרגיל ‪ 7.2.29‬לעיל‪.NG (H)/CG (H)▹Aut(G, H)/Aut1 (G, H) ,‬‬
‫‪7.2.2‬‬
‫תת־חבורות אופייניות‬
‫הגדרה ‪ 7.2.31‬תת־חבורה ‪ H ≤ G‬נקראת תת־חבורה אופיינית אם לכל )‪ .φ(H) = H ,φ ∈ Aut(G‬נסמן ‪H ⊑ G‬‬
‫)הסימון המקובל בספרות הוא ‪.(KcharG‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 7.2.32‬כל תת־חבורה אופיינית היא נורמלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 7.2.33‬אם ‪ H ≤ G‬ואין עוד תת־חבורות מאותו סדר‪ ,‬אז ‪ H‬אופיינית ב־‪.G‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.2.34‬כל תת־החבורות של חבורה ציקלית הן אופייניות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 7.2.35‬המרכז הוא תת־חבורה אופיינית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 7.2.36‬תהי ‪ G‬חבורה שאין לה תת־חבורות אופייניות לא טריוויאליות‪ .‬הוכח ש־‪ G‬מכפלה‬
‫ישרה של עותקים איזומורפיים של אותה חבורה פשוטה‪ .‬הדרכה‪ .‬התבונן באוסף תת־החבורות הנורמליות המינימליות של‬
‫‪ .G‬הערה‪ .‬האנלוגיה בין חבורות פשוטות למספרים הראשוניים )שיש להודות שאינה חזקה במיוחד( מתאימה לפי‬
‫התרגיל הזה חבורות ללא תת־חבורות אופייניות לחזקות של מספרים ראשוניים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.2.37‬אופייניות אינה תורשתית‪ :‬יהיו ‪ N ≤ K ≤ G‬תת־חבורות‪ .‬מ־‪ N ⊑ G‬לא נובע ‪N ⊑ K‬‬
‫)השווה לתרגיל ‪ (3.3.14‬הצעה‪.N = Z(D4 ) ,G = D4 .‬‬
‫תרגיל ‪) (**) 7.2.38‬נורמליות אינה טרנזיטיבית( מ־ ‪ N ▹K ⊑ G‬לא נובע ‪) .N ▹G‬השווה לתרגיל ‪(3.3.15‬‬
‫הצעה‪.N = ⟨(12)(34)⟩ ,K = ⟨(12)(34), (13)(24)⟩ ,G = A4 .‬‬
‫תרגיל ‪) (**) 7.2.39‬אופייניות היא טרנזיטיבית( נניח ‪.N ⊑ K ≤ G‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ K▹G‬אז ‪.N ▹G‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ K ⊑ G‬אז ‪.N ⊑ G‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 7.2.40‬תת־חבורה של תת־חבורה ציקלית נורמלית‪ ,‬גם היא נורמלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.2.41‬נניח ש־‪ ,K ≤ H ≤ G‬ו־‪ K‬אופיינית ב־‪ .H‬הראה ש־)‪.NG (H) ⊆ NG (K‬‬
‫‪7.3‬‬
‫מכפלה ישרה למחצה‬
‫‪7.3.1‬‬
‫מכפלה ישרה למחצה פנימית‬
‫כשהגדרנו מכפלה ישרה )פנימית( בסעיף ‪ ,4.3‬קראנו לתת־חבורות ‪ K, Q ≤ G‬משלימות אם ‪K ∩ Q = 1‬‬
‫ו־‪ .KQ = G‬לפי תרגיל ‪ ,4.3.3‬נובע מכאן שכל איבר של ‪ G‬אפשר להציג באופן יחיד כאיבר במכפלה ‪.KQ‬‬
‫הגדרה ‪ 7.3.1‬אם ‪ K, Q ≤ G‬משלימות ו־‪ ,K▹G‬אומרים ש־‪ G‬היא מכפלה ישרה למחצה )פנימית( של ‪ K‬ב־‪.Q‬‬
‫כדי לציין ש־‪ G‬מכפלה ישרה למחצה של ‪ K‬ב־‪ ,Q‬כותבים ‪) G = K o Q‬הצד הפתוח של הסימן ‪o‬‬
‫מופנה כלפי תת־החבורה הנורמלית(‪ .‬כפי שנראה בהמשך‪ ,‬ידיעת ‪) K, Q‬עד כדי איזומורפיזם( לא מספיקה‬
‫כדי להגדיר מהי בדיוק החבורה ‪.G = K o Q‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 7.3.2‬כל מכפלה ישרה היא בפרט ישרה למחצה‪.‬‬
‫‪84‬‬
‫‪ .7.3‬מכפלה ישרה למחצה‬
‫פרק ‪ .7‬אוטומורפיזמים‬
‫∼ ‪.G‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 7.3.3‬נניח ש־‪ .G = K o Q‬אם ‪ Q▹G‬אז ‪= K × Q‬‬
‫∼ ‪.G/K‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.3.4‬נניח ש־‪ .G = K o Q‬הוכח ש־‪= Q‬‬
‫הדרכה‪ .‬התבונן בתמונת ‪ Q‬תחת ‪) g 7→ Kg‬העזר במשפט‬
‫האיזומורפיזם השני(‪.‬‬
‫∼ ‪ .G/K‬הוכח‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.3.5‬תהי ‪ ,K▹G‬ונניח שיש תת־חבורה סופית ‪ Q ≤ G‬כך ש־‪ Q∩K = 1‬ו־‪= Q‬‬
‫ש־‪ .G = K o Q‬הערה‪ .‬חשוב‪ :‬האם חיוני להניח ש־‪ Q‬סופית?‬
‫תרגיל ‪ (-***) 7.3.6‬נניח ש־‪ .G = K o Q‬אז ‪ q 7→ γq |K‬מגדיר הומומורפיזם )‪.Q→Aut(K‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.3.7‬בתרגיל ‪ ,7.3.5‬אם מוותרים על ההנחה ‪ ,Q ∩ K = 1‬יתכן ש־‪ G‬אינה מכפלה ישרה‬
‫למחצה של ‪ K‬באף תת־חבורה‪ .‬הצעה‪.G = Z4 .‬‬
‫({‬
‫)‬
‫}‬
‫‪α‬‬
‫‪x‬‬
‫×‬
‫היא מכפלה ישרה למחצה‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.3.8‬חבורת המטריצות‬
‫‪0 1 : α ∈ F ,x ∈ F‬‬
‫× ‪ ,F + o F‬כאשר ‪ F +‬היא החבורה החיבורית של השדה‪ ,‬ו־ × ‪ F‬פועלת על ‪ F +‬באופן הטבעי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ Sn (*) 7.3.9‬היא מכפלה פנימית ישרה למחצה של ‪ An‬ב־⟩)‪.⟨(12‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.3.10‬גם ‪ Z6‬וגם ‪ S3‬הן מכפלות ישרות למחצה של )תת־חבורה איזומורפית ל־( ‪ Z3‬ב)תת־‬
‫חבורה איזומורפית ל־( ‪ .Z2‬עם זאת‪ S3 ,‬אינה מכפלה ישרה־למחצה של ‪ Z2‬ב־ ‪.Z3‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.3.11‬נניח ש־‪ ψ : G → H ,φ : H → G‬הומומורפיזמים כך ש־ ‪.ψ ◦ φ = idH‬‬
‫‪ φ .1‬חד־חד־ערכית‪ ψ ,‬על‪.‬‬
‫‪.G = Ker(ψ) o Im(φ) .2‬‬
‫תרגיל ‪] (**) 7.3.12‬הכיוון ההפוך לתרגיל ‪ [7.3.11‬נניח ש־‪ .G = K o Q‬הראה שקיימים הומומורפיזמים‬
‫‪ ψ : G → Q ,φ : Q → G‬המקיימים ‪ ,ψ ◦ φ = idQ‬כך ש־ ‪ K = Kerψ‬ו־‪.Q = Imφ‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 7.3.13‬תהי ‪ G‬חבורה סופית‪ ,‬ויהי ‪ ψ : G→G‬הומומורפיזם‪ .‬אם ‪ ,Ker(ψ) ∩ Im(ψ) = 1‬אז‬
‫)‪ G = Ker(ψ)Im(ψ‬ולכן )‪ .G = Ker(ψ) o Im(ψ‬הדרכה‪ .‬הראה ש־)‪.Im(ψ)Ker(ψ)/Ker(ψ) = G/Ker(ψ‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 7.3.14‬תהי ‪ G‬חבורה‪ ,‬ותהי ‪ ψ : G→G‬הטלה‪ ,‬כלומר הומומורפיזם המקיים ‪.ψ ◦ ψ = ψ‬‬
‫‪.Ker(ψ) ∩ Im(ψ) = 1 .1‬‬
‫‪.G = Ker(ψ)Im(ψ) .2‬‬
‫‪.G = Ker(ψ) o Im(ψ) .3‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.3.15‬תהי ‪ ψ : G→G‬הטלה‪.‬‬
‫{‬
‫}‬
‫‪ .1‬הוכח ש־ ‪) Ker(ψ) = x · ψ(x)−1 : g ∈ G‬השווה לתרגיל ‪.(7.1.11‬‬
‫‪ .2‬נניח ש־⟩ ‪ .G = ⟨g1 , . . . , gn‬הוכח ש־)‪ Ker(ψ‬היא תת־החבורה הנורמלית הנוצרת על־ידי האיברים‬
‫‪.gi · ψ(gi )−1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.3.16‬הצגה נוספת של ‪ S4‬כמכפלה ישרה למחצה‪:‬‬
‫‪ .1‬הראה ש־}‪ S = {σ : σ(4) = 4‬הוא עותק של ‪ S3‬בתוך ‪.S4‬‬
‫‪ .2‬הראה ש ‪ K4 = ⟨(12)(34), (13)(24)⟩−‬תת־חבורה נורמלית של ‪.S4‬‬
‫‪ .3‬הראה ש־ ‪ S4‬מכפלה פנימית ישרה למחצה של ‪ K‬ב־‪.S‬‬
‫}‬
‫)‬
‫({‬
‫‪a x : a∈U ,x∈Z‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 7.3.17‬תהי ‪ n‬חזקת־‪ 2‬המתחלקת ב־‪ .8‬נתבונן בחבורה‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪0 1‬‬
‫השמאלית העליונה )השווה‬
‫⟨‬
‫שהיא מכפלה ישרה למחצה ‪ ,Zn o Un‬כאשר ‪ Un‬משוכנת בפינה ⟩‬
‫‪2‬‬
‫‪) −1,‬כך שהתמונה היא‬
‫‪U‬‬
‫‪n‬‬
‫(‬
‫לתרגיל ‪ .(7.3.23‬נסמן ב־ ‪ ϕ : Un →Zn‬את ההטלה )שהגרעין שלה(הוא )‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ ; n Z‬ראה תרגיל ‪ .(9.4.31‬נגדיר )‪ σ ∈ Aut(G‬לפי )‪x + ϕ(a‬‬
‫‪.σ : 0 1 7→ a‬‬
‫‪2 n‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫=‪G‬‬
‫‪85‬‬
‫פרק ‪ .7‬אוטומורפיזמים‬
‫‪ .7.3‬מכפלה ישרה למחצה‬
‫‪ .1‬הראה ש־‪ σ‬אוטומורפיזם של ‪.G‬‬
‫‪ .2‬הראה ש־‪ σ‬אינו פנימי‪.‬‬
‫‪ .3‬הראה ש־‪ σ‬שומר על מחלקות הצמידות של ‪) .G‬זהו חלק מפתרון של ‪ Wall, 1947‬לשאלה של‬
‫ברנסייד מ־‪ :1911‬האם יתכן אוטומורפיזם שאינו פנימי ושומר על מחלקות צמידות; ברנסייד מצא לכך דוגמא‬
‫נגדית ב־‪(.1913‬‬
‫‪ .4‬הראה ש־‪ σ‬הוא האוטומורפיזם היחיד מודולו )‪ Inn(G‬השומר על מחלקות צמידות‪.‬‬
‫⟩‬
‫‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪=γ‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪, βγβ‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪=γ‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪= 1, αβ = βα, αγα‬‬
‫מחלקת הצמידות של ‪ γ‬היא } ‪.{γ a : a ∈ Un‬‬
‫‪n‬‬
‫‪= 1, γ‬‬
‫‪n/4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪α, β, γ | α = 1, β‬‬
‫הדרכה‪ .‬הראה ש־‬
‫⟨‬
‫=‪G‬‬
‫} ‪{ 4j } { 2i‬‬
‫‪βγ‬‬
‫‪ αγ‬ו־‬
‫הראה שמחלקות הצמידות של ‪ α, β‬הן‬
‫בהתאמה‪ ,‬והראה‬
‫ש־ ‪ αγ 2i βγ 4j = βγ 4j αγ 2i‬אם ורק אם ‪ .8j = −8i‬הראה שאם ‪ 4j = −4i‬אז האוטומורפיזם פנימי‪.‬‬
‫‪7.3.2‬‬
‫מכפלה ישרה למחצה חיצונית‬
‫תהיינה ‪ K, Q‬חבורות‪ .‬בסעיף זה נבנה מכפלות ישרות למחצה של ‪ K‬ב־‪ .Q‬לפי תרגיל ‪ ,7.3.6‬כל מכפלה ישרה‬
‫למחצה מגדירה הומומורפיזם )‪) θ : Q→Aut(K‬שנסמן ‪ ,(θ : q 7→ θq‬כך ש־‪.qk = θq (k)q‬‬
‫בבניית‬
‫המצרכים‬
‫מכפלה ישרה למחצה‪:‬‬
‫גרעין ‪ ,K‬חבורת מנה‬
‫‪ ,Q‬ופעולה ‪ θ‬של ‪Q‬‬
‫של ‪.K‬‬
‫הגדרה ‪ 7.3.18‬יהי )‪ θ : Q → Aut(K‬הומומורפיזם‪ .‬המכפלה הישרה למחצה )החיצונית( של ‪ K‬ב־‪ ,Q‬ביחס ל־‪ ,θ‬היא‬
‫הקבוצה ‪ K × Q‬עם פעולת הכפל ) ‪ .(k, q)(k ′ , q ′ ) = (k · θq (k ′ ), qq ′‬את החבורה שהגדרנו מסמנים ‪ .K oθ Q‬לשם‬
‫הבהירות‪ ,‬נכתוב את האברים בצורה ‪ kq‬במקום )‪ ;(k, q‬ההצגה יחידה לפי ההגדרה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.3.19‬הוכח ש־‪ K oθ Q‬חבורה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 7.3.20‬ההטלה ‪ γ : K oθ Q → Q‬המוגדרת לפי ‪ γ(kq) = q‬היא הומומורפיזם‪ ,‬שהגרעין שלו‬
‫הוא ‪.K‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 7.3.21‬נתבונן בתת־החבורות ‪ Q∗ = Q × 1‬ו־‪ K ∗ = 1 × K‬של ‪ ;G = K oθ Q‬כמובן‬
‫∼ ‪ .K‬הראה ש־ ∗‪ ,G = K ∗ o Q‬כלומר )הגדרה ‪,K ∗ Q∗ = G ,K ∗ ∩ Q∗ = 1 :(7.3.1‬‬
‫∼ ‪ Q‬ו־ ∗ ‪= K‬‬
‫∗‪= Q‬‬
‫‪ .K ∗ ▹G‬במלים אחרות‪ ,‬מכפלה ישרה למחצה חיצונית היא גם מכפלה ישרה למחצה פנימית של אותן‬
‫חבורות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 7.3.22‬תהי ‪ G = K o Q‬מכפלה ישרה למחצה פנימית של ‪ K‬ב־‪ .Q‬נגדיר הומומורפיזם‬
‫∼ ‪ ;G‬כלומר‪ ,‬כל מכפלה ישרה פנימית היא גם‬
‫)‪ θ : Q→Aut(K‬לפי תרגיל ‪ .7.3.6‬הראה ש־‪= K oθ Q‬‬
‫מכפלה ישרה למחצה חיצונית של אותן חבורות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.3.23‬יהי ‪ R‬חוג )קבוצה עם פעולות חיבור וכפל‪ ,‬שהיא חבורה אבלית ביחס לחיבור ומונויד‬
‫ביחס לכפל המקיימת את חוקי מימין ומשמאל(‪ .‬יהי ‪ K‬אידיאל שמאלי של ‪) R‬תת־חבורה ביחס‬
‫ביחס לכפל של חבורת‬
‫} ×‪Q ≤ R‬‬
‫לחיבור‪ ,‬הסגורה לכפל משמאל בכל איבר(‪ ,‬ותהי‬
‫תת־חבורה ({‬
‫)‬
‫‪q‬‬
‫‪k‬‬
‫איזומורפית למכפלה‬
‫האברים ההפיכים‪ .‬הראה שחבורת המטריצות ‪0 1 : q ∈ Q, k ∈ K‬‬
‫הישרה למחצה ‪ K o Q‬ביחס לפעולה )‪ θ : Q→Aut(K‬המוגדרת לפי ‪ .θq : k→qk‬קבל את תרגיל ‪7.3.8‬‬
‫כמקרה פרטי ) ‪ R = K = F‬ו־ × ‪.(Q = F‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 7.3.24‬בכל המקרים הבאים‪ ,‬המכפלה הישרה למחצה ‪ K o Q‬היא ביחס להומומורפיזם‬
‫)‪ Q→Aut(K‬שאינו טריוויאלי‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫∼ ‪ Zn o Z2‬לכל ‪) n‬האיבר הלא־טריוויאלי של ‪ Z2‬הופך את אברי ‪.(Zn‬‬
‫‪= Dn .1‬‬
‫∼ ‪.(Z2 × Z2 ) o Z2‬‬
‫‪= D4 .2‬‬
‫∼ ‪) (Z2 × Z2 ) o Z3‬בדוק שזו החבורה × ‪ F + o F‬מתרגיל ‪ ,7.3.8‬עם ‪ ,F = F4‬השדה בן‬
‫‪= A4 .3‬‬
‫ארבעה אברים(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 7.3.25‬תהי ‪ .G = K oθ Q‬נסמן }‪.K Q = {k ∈ K : (∀q ∈ Q)θq (k) = k‬‬
‫‪ .NG (Q) = K Q Q .1‬בפרט‪ ,‬אם פעולת ‪ Q‬על ‪ K‬נאמנה‪ ,‬אז ‪.NG (Q) = Q‬‬
‫‪86‬‬
‫‪ .7.3‬מכפלה ישרה למחצה‬
‫פרק ‪ .7‬אוטומורפיזמים‬
‫‪.CG (Q) = K Q Z(Q) .2‬‬
‫∼ )‪.NG (Q)/CG (Q‬‬
‫‪= Inn(Q) .3‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 7.3.26‬הראה ש־‪ Q‬נורמלית ב־‪ K oθ Q‬אם ורק אם ‪ θ‬היא הפעולה הטריוויאלית ‪θq = id‬‬
‫∼ ‪.K oθ Q‬‬
‫לכל ‪ .q‬במקרה זה ‪= K × Q‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 7.3.27‬נניח ש־ ‪ Q = Q1 × Q2‬פועלת באמצעות )‪ θ : Q1 × Q2 →Aut(K‬על ‪ ,K‬באופן‬
‫ש־‪ θ(q2 ) = 1‬לכל ‪ .q2 ∈ Q2‬אז ‪.K oθ (Q1 × Q2 ) = (K oθ Q1 ) × Q2‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.3.28‬נניח ש־‪ Q‬פועלת על ‪ K‬באמצעות )‪ ,θ : Q→Aut(K‬ו־)‪.Q0 = Ker(θ‬‬
‫∼ ‪.(K oθ Q)/Q0‬‬
‫)‪ Q0 ▹(K oθ Q‬והמנה היא ) ‪= K oθ (Q/Q0‬‬
‫אז‬
‫תרגיל ‪ (-***) 7.3.29‬יהיו )‪ θ′ , θ : Q → Aut(K‬שני הומומורפיזמים‪ .‬נבדוק מתי פונקציה → ‪K oθ Q‬‬
‫‪ K oθ′ Q‬השומרת את ‪ K‬ו־‪) Q‬כקבוצות(‪ ,‬היא איזומורפיזם‪.‬‬
‫‪ .1‬העתקה )‪ (k, q) 7→ (ϕk, σq‬היא איזומורפיזם ‪ K oθ Q → K oθ′ Q‬אם ורק אם )‪,ϕ ∈ Aut(K‬‬
‫)‪ ,σ ∈ Aut(Q‬ו־ ‪ γϕ ) θ = γϕ ◦ θ′ ◦ σ −1‬הוא האוטומורפיזם הפנימי ב־)‪ Aut(K‬של הצמדה ב־‪.(ϕ‬‬
‫‪ .2‬יש איזומורפיזם ‪ K oθ Q → K oθ′ Q‬הקובע את אברי ‪ Q‬ושומר על ‪) K‬כקבוצה(‪ ,‬אם ורק אם‬
‫יש )‪ ϕ ∈ Aut(K‬קבוע המצמיד כל ‪ θq‬ל־ ‪.θq′‬‬
‫אז יש‬
‫‪ .3‬נניח שפעולת ‪ Q‬על ‪ K‬היא פועלה נאמנה )כלומר ‪ θ‬חד־חד־ערכית(‪.‬‬
‫שיכון )‪ NAut(K) (Imθ) ,→ Aut(K oθ Q‬המתאים ל־)‪ ϕ ∈ Aut(K‬את הפונקציה →‪(k, q) 7‬‬
‫)‪.(ϕk, (θ−1 γϕ θ)q‬‬
‫תרגיל ‪(+**) 7.3.30‬‬
‫)‪.Aut(K‬‬
‫‪ .1‬המכפלה הישרה למחצה ‪ K oθ Zn‬תלויה רק ב־‪ ,n ,K‬והאוטומורפיזם ∈ )‪θ(1‬‬
‫∼ ‪ K oθ Zn‬השומר את ‪ K, Zn‬כקבוצות אם ורק אם יש ‪ i ∈ Un‬כך‬
‫‪ .2‬יש איזומורפיזם ‪= K oθ′ Zn‬‬
‫‪′‬‬
‫‪i‬‬
‫ש־)‪ θ(1‬צמוד ב־)‪ Aut(K‬ל־ )‪ .θ (1‬הדרכה‪ .‬זהו תרגיל ‪ 7.3.29‬כאשר ‪ Q‬ציקלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 7.3.31‬תהי ‪ A‬חבורה כך ש־)‪ Aut(A‬ציקלית מסדר המתחלק ב־‪ .p‬אז יש בדיוק שתי‬
‫מכפלות ישרות למחצה ‪ :A o Zp‬באחת הפעולה טריוויאלית‪ ,‬ובשניה הפעולה אינה טריוואלית‪ .‬הדרכה‪.‬‬
‫תרגיל ‪.7.3.30‬‬
‫ל־‪ ,p‬ו־) ‪ T ∈{ End(V‬העתקה‬
‫תרגיל ‪ (-***) 7.3.32‬יהיו ‪ p‬ראשוני‪ V ,‬מרחב וקטורי מעל שדה ממאפיין זר }‬
‫שהפולינום המינימלי שלה הוא ‪) 1 + λ + · · · + λp‬בפרט ‪ .(T p = 1‬הראה ש־ ‪,V o Zp = vxi : i ∈ Zp‬‬
‫המוגדרת לפי הפעולה ‪ ,xv = T (v)x‬היא חבורה מסדר | ‪ ,p|V‬שיש בה | ‪ |V‬תת־חבורות מסדר ‪.p‬‬
‫∼ )‪) Aut(K‬תרגיל ‪ .(7.1.7‬רשום את כל‬
‫תרגיל ‪ (***) 7.3.33‬יהיו ‪ K = S3‬ו־ ‪ .Q = Z2 × Z2‬ידוע ש־‪= K‬‬
‫ההומומורפיזמים )‪ .Q → Aut(K‬הראה שיש בדיוק שתי מכפלות ישרות למחצה )חיצוניות( של ‪ K‬ב־‪,Q‬‬
‫ותאר אותן‪ .‬איזו מהן היא ‪?S4‬‬
‫תרגיל ‪(***) 7.3.34‬‬
‫‪ .1‬נניח ש־‪ ,Z(K) = 1‬והפעולה של ‪ Q‬על ‪ K‬היא פנימית‪ ,‬כלומר‪.θ : Q→Inn(K) ,‬‬
‫∼ ‪ .K oθ Q‬הדרכה‪ .‬חפש בעזרת תרגיל ‪ 7.3.29‬איזומורפיזם הקובע את אברי ‪.K‬‬
‫‪K‬‬
‫×‬
‫הוכח ש־‪Q‬‬
‫=‬
‫‪ .2‬הראה‪ ,‬על־ידי דוגמה נגדית‪ ,‬שהתנאי ‪ Z(K) = 1‬בסעיף הקודם הכרחי‪.‬‬
‫∼‬
‫=‬
‫הדרכה‪ .‬למשל קח ‪,Q = Z2 × Z2‬‬
‫‪) K = Q4‬חבורת הקווטרניונים מסדר ‪ ;θ : Q → K/⟨−1⟩ ,(8‬המרכז של ‪ K o Q‬בגודל ‪ ,2‬ואילו זה של ‪ K × Q‬מסדר ‪.8‬‬
‫‪7.3.3‬‬
‫חבורות שלמות‬
‫ניתן לדלג בקריאה ראשונה‪.‬‬
‫‪87‬‬
‫פרק ‪ .7‬אוטומורפיזמים‬
‫‪ .7.3‬מכפלה ישרה למחצה‬
‫ההולומורף‬
‫הגדרה ‪ 7.3.35‬תהי ‪ G‬חבורה‪ .‬העתקת הזהות )‪ Aut(G) → Aut(G‬מגדירה את הפעולה הטבעית של )‪ Aut(G‬על ‪.G‬‬
‫המכפלה הישרה למחצה )‪ Hol(G) = G o Aut(G‬המתאימה לפעולה זו נקראת ההולומורף של ‪.G‬‬
‫תרגיל ‪ H × 1 (**) 7.3.36‬היא תת־חבורה נורמלית של )‪ Hol(G‬אם ורק אם ‪ H‬אופיינית ב־‪.G‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.3.37‬כל אוטומורפיזם של ‪ G‬מושרה על־ידי אוטומורפיזם פנימי של )‪.Hol(G‬‬
‫∼ ) ‪.Hol(Z2 × Z2‬‬
‫∼ ) ‪ .Hol(Z4‬הראה ש־ ‪= S4‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 7.3.38‬הראה ש־ ‪= D4‬‬
‫∼ ) ‪.Aut(Dn‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 7.3.39‬הראה שלכל ‪= Hol(Zn ) ,n > 2‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 7.3.40‬נתבונן בחבורה ‪ G‬כתת־חבורה של חבורת הסיטריות ‪ ,SG‬לפי שיכון קיילי‪ .‬המנרמל‬
‫שלה הוא )‪.NSG (G) = Hol(G‬‬
‫חבורות שלמות וכמעט שלמות‬
‫הגדרה ‪ 7.3.41‬חבורה ‪ K‬נקראת חבורה שלמה אם ‪ Z(K) = 1‬ו־‪.Out(K) = 1‬‬
‫∼ )‪.Aut(G‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 7.3.42‬אם ‪ G‬שלמה אז ‪= G‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.3.43‬לכל ‪ ,n ̸= 2, 6‬החבורה הסימטרית ‪ Sn‬היא שלמה‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגילים ‪ 5.3.18‬ו־‪.7.2.19‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.3.44‬אם ‪ K‬שלמה אז כל מכפלה ישרה למחצה ‪ K oθ Q‬היא מכפלה ישרה‪.‬‬
‫תרגיל ‪.7.3.34‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫הערה‪ .‬תרגיל ‪ 7.4.29‬מספק תוצאה חזקה עוד יותר‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.3.45‬נאמר ש־‪ G‬כמעט שלמה אם ‪ Out(G) = 1‬ו־‪ G = Z2 × X‬כאשר ‪ .Z(X) = 1‬הראה‬
‫שבמקרה זה ‪ X‬שלמה‪.‬‬
‫∼ )‪.Hol(G‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 7.3.46‬אם ‪ G‬שלמה או כמעט שלמה אז )‪= G × Aut(G‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪ 7.3.44‬כש־‪G‬‬
‫שלמה; מתקבל האיזומורפיזם ) ‪ (g, γx ) 7→ (gx, γx‬הפועל גם כש־‪ G‬כמעט שלמה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 7.3.47‬נניח שיש איזומורפיזם )‪ Hol(G)→G×Aut(G‬השומר על אברי ‪ G‬ומשרה את הזהות‬
‫על המנה )‪ .Aut(G‬אז ‪ G‬שלמה או כמעט שלמה‪ .‬הדרכה‪ .‬לפי ההנחה האיזומורפיזם הוא )‪ T : gφ 7→ (gxφ , φ‬כאשר‬
‫‪ .xφ ∈ G‬מהשוואת ) ‪ T (gφ) · T (g ′ φ′ ) = (gxφ g ′ xφ′ , φφ′‬ו־) ‪ T (gφ · g ′ φ′ ) = (gφ(g ′ )xφφ′ , φφ′‬נובע‪ ,‬על־ידי בחירת ‪ g ′ = 1‬בתחילה‪,‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′ −1‬‬
‫‪,gx−1‬‬
‫ש־ ‪ xφφ′ = xφ xφ′‬ו־ ‪ .φ(g ) = xφ g xφ‬בפרט כל )‪ φ ∈ Aut(G‬הוא פנימי‪ .‬נסמן )‪ Z = Z(G‬ו־} ‪ .X = {xφ‬לכל ‪γg ∈ Z ,g ∈ G‬‬
‫ולכן ‪ .G = ZX‬זוהי מכפלה ישרה כי ‪ Z ∩ X = 1‬ו־‪ .X▹G‬לפי תרגיל ‪ ,Out(Z) × Out(X) ,→ Out(G) = 1 ,7.2.16‬ולכן ‪.Out(X) = 1‬‬
‫אם ‪ x ∈ Z(X) ⊆ Z(G) = Z‬אז ‪ ,x = 1‬ומכאן ש־‪ X‬שלמה‪ .‬בנוסף ‪ Out(Z) = 1‬ולפי תרגיל ‪ Z = 1 ,7.2.24‬או ‪.Z = Z2‬‬
‫∼ )‪ .Out(Z2 × X‬בפרט ‪ Z2 × X‬כמעט שלמה‬
‫תרגיל ‪ (***) 7.3.48‬נניח ש־‪ X‬שלמה‪ .‬אז ) ‪= Hom(X, Z2‬‬
‫אם ורק אם אין ל־‪ X‬תת־חבורות מאינדקס ‪.2‬‬
‫‪7.3.4‬‬
‫מכפלת זר‬
‫‪B‬‬
‫הגדרה ‪ 7.3.49‬תהיינה ‪ A, B‬חבורות‪ .‬נסמן ב־ ‪ A‬את החבורה של פונקציות ‪ ,f : B→A‬עם פעולת הכפל לפי רכיבים‪,‬‬
‫כלומר )‪ .(f g)(b) = f (b)g(b‬החבורה ‪ B‬פועלת על ‪ AB‬לפי ) ‪ .(bf )(b′ ) = f (bb′‬המכפלה הישרה למחצה המתקבלת‪,‬‬
‫‪ ,B ≀ A = B o AB‬נקראת מכפלת זר של ‪ A‬ו־‪.B‬‬
‫תרגיל ‪|B| (*) 7.3.50‬‬
‫|‪|B‬‬
‫|‪.|A ≀ B| = |A‬‬
‫משפט ‪ 7.3.51‬כל הרחבה של ‪ B‬על־ידי ‪ A‬היא תת־חבורה של ‪.A ≀ B‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 7.3.52‬זהה את החבורה ‪.Z2 ≀ Z2‬‬
‫∼ ‪?Z2 ≀ Z3‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.3.53‬האם ‪= S4‬‬
‫‪88‬‬
‫‪ .7.4‬מבוא לקוהומולוגיה‬
‫פרק ‪ .7‬אוטומורפיזמים‬
‫‪7.4‬‬
‫מבוא לקוהומולוגיה‬
‫‪7.4.1‬‬
‫משלימים והקוהומולוגיה הראשונה‬
‫ניתן לדלג בקריאה ראשונה‪.‬‬
‫לאורך כל הסעיף נניח ש־‪ K▹G‬היא תת־חבורה נורמלית‪ ,‬עם תת־חבורה משלימה ‪) Q ≤ G‬כלומר‬
‫‪ KQ = G‬ו־‪ ,(K ∩ Q = 1‬וכך שהצמדה משרה פעולה )‪ θ : Q→Aut(K‬של ‪ Q‬על ‪ .K‬כך ‪G = K oθ Q‬‬
‫∼ ‪ .G/K‬לשם הקיצור נסמן )‪.(θ(q))(k) = θq (k) = q(k‬‬
‫היא מכפלה ישרה למחצה‪ ,‬ולפי תרגיל ‪= Q ,7.3.20‬‬
‫‪1‬־קו־מעגלים‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.4.1‬תהי ‪ Q1 ≤ G‬משלימה כלשהי של ‪ .K‬הראה שקיימת פונקציה ‪) a : Q→K‬שאת ערכיה‬
‫נסמן ב־‪ (a : q 7→ aq ∈ K‬כך ש־}‪.Q1 = {aq q : q ∈ Q‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.4.2‬הראה שקבוצה מהצורה }‪ (a : Q→K) {aq q : q ∈ Q‬היא תת־חבורה של ‪ G‬אם ורק‬
‫‪′‬‬
‫‪(.q(aq−1 ) = a−1‬‬
‫אם ) ‪ aqq ′ = aq · q(aq ′‬לכל ‪) .q, q ∈ Q‬הראה שמנוסחה זו נובע ‪ a1 = 1‬ו־ ‪q‬‬
‫הגדרה ‪ 7.4.3‬פונקציות ‪ a : Q→K‬המקיימות את התנאי ) ‪ aqq′ = aq · q(aq′‬קרויות )מסיבות שלא נסביר כאן( ‪1‬־קו־מעגלים‪.‬‬
‫עבור פעולה נתונה של ‪ Q‬על ‪ ,K‬נסמן‬
‫‪Z1(Q, K) = {a : Q→K : aqq′ = aq · q(aq′ )}.‬‬
‫לפי תרגיל ‪ ,7.4.2‬יש התאמה חד־חד־ערכית בין )‪ Z1(Q, K‬לבין קבוצת המשלימים של ‪ ,K‬כאשר האיבר‬
‫‪ 1q = 1‬מתאים ל־‪.Q‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.4.4‬בדומה לתרגיל ‪ ,1.6.12‬אם שני ‪1‬־קו־מעגלים מסכימים זה עם זה על קבוצת יוצרים‬
‫של ‪ ,Q‬אז הם שווים‪.‬‬
‫שקילות של ‪1‬־קו־מעגלים‬
‫‪−1‬‬
‫‪a′q‬‬
‫)‪= uaq q(u‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 7.4.5‬לכל ‪ ,u ∈ K‬אם )‪ a ∈ Z (Q, K‬אז‬
‫פתרון‪.a′qq′ = uaqq′ qq ′ (u)−1 = uaq q(aq′ )qq ′ (u)−1 = (uaq q(u)−1 )q(uaq′ q ′ (u)−1 ) = a′q q(a′q′ ) .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪′‬‬
‫מגדיר איבר )‪.a ∈ Z (Q, K‬‬
‫‪1‬‬
‫הגדרה ‪ 7.4.6‬נאמר ששני ‪1‬־קו־מעגלים ‪ a, a′ : Q→K‬הם קוהומולוגיים זה לזה אם קיים ‪) u ∈ K‬קבוע( כך ש־= ‪a′q‬‬
‫‪ .uaq q(u)−1‬במקרה זה נסמן ‪.a′ ∼ a‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.4.7‬הראה שיחס הקוהומולוגיות בין ‪1‬־קו־מעגלים הוא יחס שקילות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ a ∈ Z1(Q, K) (*) 7.4.8‬קוהומולוגי לפונקציה הטריוויאלית ‪ 1‬אם ורק אם קיים ‪ u ∈ K‬כך ש־‬
‫‪ aq = uq(u)−1‬לכל ‪.q ∈ Q‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 7.4.9‬נניח שפעולת ‪ Q‬על ‪ K‬טריוויאלית‪ ,‬כלומר ‪ q(k) = k‬לכל ‪ q ∈ Q‬ולכל ‪ .k ∈ K‬אז‬
‫)‪ Z1(Q, K) = Hom(Q, K‬היא קבוצת ההומומורפיזמים‪ ,‬ו־ ‪ a ∼ a′‬אם ורק אם הפונקציות צמודות‪ ,‬כלומר‬
‫יש ‪ u ∈ K‬כך ש־ ‪ .a′q = uaq u−1‬בפרט‪ ,‬ה־‪1‬־קו־מעגל ‪ 1q = 1‬קוהומולוגי רק לעצמו‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.4.10‬תהי ‪ Q1‬תת־חבורה משלימה של ‪ ,K‬המתאימה ל־)‪.a ∈ Z1(Q, K‬‬
‫‪ .1‬יהי ‪ .k ∈ Q‬הראה ש־ ‪ kQ1 k −1‬הוא המשלים המתאים ל־)‪ a′ ∈ Z1(Q, K‬המוגדר לפי = ‪a′q‬‬
‫{‬
‫}‬
‫{‬
‫}‬
‫‪−1‬‬
‫)‪ .kaq q(k‬הדרכה‪.kQ1 k−1 = kaq qk−1 = kaq q(k)−1 · q .‬‬
‫המתאים ל־)‪ a′ ∈ Z1(Q, K‬המוגדר לפי = ‪a′q‬‬
‫‪ .2‬יהי ‪ .x ∈ Q‬הראה ש־ ‪ xQ1 x−1‬הוא }המשלים‬
‫{‬
‫{‬
‫}‬
‫{‬
‫}‬
‫{‬
‫}‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪.xQ1 x‬‬
‫‪= xaq qx‬‬
‫‪= x(aq ) · xqx‬‬
‫‪= x(ax−1 qx ) · q = a−1‬‬
‫) ‪ .ax aq q(ax‬הדרכה‪.‬‬
‫‪x aq q(ax ) · q‬‬
‫‪ .3‬תת־החבורות המשלימת המתאימות ל־)‪ a, a′ ∈ Z1(Q, K‬הן צמודות אם ורק אם ‪a, a′‬‬
‫קוהומולוגיות‪.‬‬
‫לסיכום‪ ,‬יש התאמה בין )‪ Z1(Q, K‬לבין קבוצת תת־החבורות המשלימות את ‪ ,K‬והתאמה בין מחלקות‬
‫הקוהומולוגיה של קו־מעגלים‪ ,‬היינו קבוצת המנה ∼‪ ,Z1(Q, K)/‬לבין קבוצת תת־החבורות המשלימות עד־כדי‬
‫הצמדה‪.‬‬
‫‪89‬‬
‫פרק ‪ .7‬אוטומורפיזמים‬
‫‪ .7.4‬מבוא לקוהומולוגיה‬
‫קוהומולוגיה ראשונה עם מקדמים אבליים‬
‫נניח ש־‪ K‬אבלית‪ .‬במקרה זה‪ ,‬על אף ש־‪ ,K ≤ G‬מקובל לכתוב את ‪ K‬בכתיב חיבורי‪ ,‬כך ש־‬
‫‪Z1(Q, K) = {a : Q→K : aqq′ = aq + q(aq′ )},‬‬
‫והאיבר הנייטרלי )המתאים למשלימה ‪ (Q‬הוא קו־מעגל האפס‪.0q = 0 ,‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.4.11‬נניח ש־‪ K‬אבלית‪ .‬הראה ש־)‪ Z1(Q, K‬היא חבורה )אבלית( ביחס לפעולת החיבור‬
‫לפי רכיבים‪ .(a + b)q = aq + bq ,‬הראה שאוסף הפונקציות הקוהומולוגיות ל־‪B1(Q, K) = ,1‬‬
‫}‪ ,{aq = u − q(u) : u ∈ K‬הוא תת־חבורה‪ .‬הראה ש־)‪ a, a′ ∈ Z1(Q, K‬קוהומולוגיים אם ורק אם‬
‫הם שייכים לאותו קוסט של )‪ .B1(Q, K‬במקרה זה מגדירים‬
‫)‪H1(Q, K) = Z1(Q, K)/B1(Q, K‬‬
‫ חבורת הקוהומולוגיה הראשונה של ‪ Q‬עם מקדמים ב־‪ ;K‬זו קבוצת מחלקות הקוהומולוגיה של‬‫‪1‬־קו־מעגלים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 7.4.12‬תהי ‪ Q‬חבורה הפועלת על חבורה אבלית ‪.K‬‬
‫המשלימות את ‪ K‬צמודות ל־‪ Q‬אם ורק אם ‪.H1(Q, K) = 0‬‬
‫כל תת־החבורות של ‪K o Q‬‬
‫הדרכה‪ .‬לפי ההתאמה לעיל‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 7.4.13‬נניח שפעולת ‪ Q‬על ‪ K‬טריוויאלית‪ ,‬כאשר ‪ K‬אבלית‪.‬‬
‫)‪.H1(Q, K) = Z1(Q, K) = Hom(Q, K‬‬
‫תרגיל ‪.|K| · Z1(Q, K) = 0 (+*) 7.4.14‬‬
‫אז ‪ B1(Q, K) = 0‬ו־‬
‫הדרכה‪ |K|k = 0 .‬לכל ‪.k ∈ K‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 7.4.15‬נניח ש־‪ K‬אבלית‪ .‬אז ‪) .|Q| · H1(Q, K) = 0‬כלומר‪ ,‬לכל )‪ ,a ∈ Z1(Q, K‬הסכום‬
‫∑‬
‫‪ |Q| · a = a + · · · + a‬קוהומולוגי לקו־מעגל האפס‪ (.‬פתרון‪ .‬נסמן ‪ .u = g∈Q ag‬לכל ‪u − q(u) = ,q ∈ Q‬‬
‫‪− aq ) = |Q|aq‬‬
‫‪g (agq‬‬
‫∑‬
‫‪ag −‬‬
‫∑‬
‫‪g‬‬
‫= ) ‪q(ag‬‬
‫∑‬
‫‪g‬‬
‫‪ag −‬‬
‫∑‬
‫‪g‬‬
‫; הראינו ש־‪ |Q|a‬הומולוגי לאפס‪.‬‬
‫התרגיל הבא הוא עילת כל המאמץ הטכני שעשינו בסעיף הזה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 7.4.16‬נניח ש־‪ K▹G‬אבלית ו־‪ ,([G : K], |K|) = 1‬ושיש ל־‪ K‬תת־חבורה משלימה ‪ .Q‬אז‬
‫כל תת־החבורות של ‪ G‬המשלימות את ‪ K‬צמודות זו לזו‪ .‬הדרכה‪ .‬כמובן‪ .|Q| = [G : K] ,‬מתרגילים ‪ 7.4.14‬ו־‪7.4.15‬‬
‫וקיומו של צירוף ‪ ,α|Q| + β|K| = 1‬נובע ש־‪ .H1(Q, K) = 0‬תרגיל ‪ 7.4.12‬מסיים את המלאכה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 7.4.17‬תהי ‪ A‬חבורה אבלית‪.‬‬
‫‪ .1‬כל פעולה של }‪ Q = Z2 = {1, x‬על ‪ A‬מוגדרת לפי אוטומורפיזם ‪ τ : A→A‬המקיים ‪.τ = id‬‬
‫‪2‬‬
‫∼ ‪ A oτ Z2‬הקובע את העותקים של ‪ ,Z2‬אם ורק אם )‪τ, τ ′ ∈ Aut(A‬‬
‫‪ .2‬יש איזומורפיזם ‪= A oτ ′ Z2‬‬
‫צמודים‪ .‬כלומר‪ ,‬יש התאמה בין המכפלות הישרות למחצה של ‪ K = A‬ב־ ‪ ,Q = Z2‬עד כדי‬
‫איזומורפיזם‪ ,‬לבין מחלקות צמידות של אברים מסדר ‪ 1‬או ‪ 2‬ב־)‪) Aut(A‬יתכן ששתי מחלקות‬
‫תתאמנה לחבורות איזומורפיות(‪ .‬הדרכה‪ .‬זהו ניסוח מחדש את תרגיל ‪.7.3.29‬‬
‫‪ .3‬נקבע )‪ τ ∈ Aut(A‬כך ש־‪ ,τ 2 = id‬ו־⟩‪ G = ⟨A, x‬עם הפעולה ‪ .x2 = 1 ,xa = τ (a)x‬אז‬
‫⟩‪ CG (x) = Aτ ⟨x‬כאשר }‪ .Aτ = {a ∈ A : τ (a) = a‬בפרט‪ A oτ Z2 ,‬אבלית )ושווה למכפלה‬
‫הישרה ‪ (A × Z2‬אם ורק אם ‪.τ = 1‬‬
‫‪ .4‬אפשר לזהות קו־מעגל ‪ a : Q = {1, x}→A‬עם הערך ‪) ax‬ממילא ‪.(a1 = 0‬‬
‫) ‪ ,H1(Z2 , A) = Ker(1 + τ )/Im(1 − τ‬ואשר שזהו מרחב וקטורי מעל ‪.F2‬‬
‫) ‪ {ax : τ (ax ) + ax = 0} = Ker(1 + τ‬ו־) ‪ .B1(Z2 , K) = {ax = u − τ (u)} = Im(1 − τ‬למשל‪ ,‬אם ‪ ,τ = −id‬אז‬
‫‪ ,H1(Z2 , A) = A/2A‬ואם ‪ τ = id‬אז ‪ H1(Z2 , A) = A2‬היא תת־החבורה של אברים מסדר ‪2‬‬
‫ב־‪.A‬‬
‫הראה ש־‬
‫הדרכה‪Z1(Z2 , A) = .‬‬
‫‪ .5‬לדוגמא‪ ,‬אם ‪ A = Z2p‬אז יש שתי פעולות אפשריות‪ τ = id ,‬ו־‪ .τ = −id‬המכפלה הישרה‬
‫למחצה היא ‪ Z2p × Z2‬במקרה הראשון ו־ ‪ D2p‬בשני‪ .‬במקרה האבלי יש למרכיב ‪ A‬משלים‬
‫בודד )הלוא הוא המרכיב ה(‪ ,‬ובמקרה ‪ G = D2p‬יש לתת־החבורה ⟩‪ A = ⟨σ‬שני משלימים לא‬
‫צמודים‪ Q = ⟨τ ⟩ :‬ו־⟩ ‪) ⟨στ‬את המרכיב השני‪ ,{1, aτ τ } ,‬אפשר למצוא מן הקו־מעגל הלא טריוויאלי‬
‫‪(.0 ̸= aτ ∈ A/2A‬‬
‫‪90‬‬
‫פרק ‪ .7‬אוטומורפיזמים‬
‫‪7.4.2‬‬
‫‪ .7.4‬מבוא לקוהומולוגיה‬
‫הרחבות והקוהומולוגיה השניה‬
‫ניתן לדלג בקריאה ראשונה‪.‬‬
‫∼ ‪.G/K‬‬
‫הגדרה ‪ 7.4.18‬נאמר שחבורה ‪ G‬היא הרחבה של ‪ Q‬על־ידי ‪ K‬אם ‪ K▹G‬ו־‪= Q‬‬
‫)לפי משפט ‪ ,7.3.51‬כל הרחבה של ‪ B‬על־ידי ‪ A‬היא תת־חבורה של מכפלת הזר ‪(.A ≀ B‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 7.4.19‬כל מכפלה ישרה למחצה של ‪ K‬ב־‪ Q‬היא הרחבה של ‪ Q‬על־ידי ‪.K‬‬
‫תרגיל ‪ Z4 (*) 7.4.20‬היא הרחבה של ‪ Z2‬על־ידי ‪ Z2‬שאינה מכפלה ישרה למחצה שלהן‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 7.4.21‬הרחבה ‪ G‬של ‪ Q‬על־ידי ‪ K‬נקראת מפוצלת אם יש הומומורפיזם ‪ p : Q→G‬כך ש־‬
‫‪ π ◦ p = 1‬כאשר ‪ π : G→Q‬היא ההטלה הטבעית‪ .‬הוכח שהרחבה מפוצלת היא מכפלה ישרה למחצה‬
‫∼ )‪ .p(Q‬הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.7.3.11‬‬
‫של ‪ K‬ו־‪= Q‬‬
‫כשטיפלנו במכפלות ישרות למחצה‪ ,‬המרכיב החיוני של פעולת ‪ Q‬על ‪ K‬הוגדר על־ידי הצמדה באברים של‬
‫‪ .Q‬מתברר שאם ‪ K‬אבלית‪ ,‬אפשר לשמור על המרכיב הזה גם במקרה הכללי יותר‪:‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.4.22‬תהי ‪ G‬הרחבה של ‪ Q‬על־ידי חבורה ‪ .K‬אז הפעולה ‪ (gK) : k 7→ gkg −1‬היא‬
‫∼ )‪ Inn(K‬ולכן‬
‫הומומורפיזם מוגדר היטב )‪ .Q→Out(K‬בפרט‪ ,‬אם ‪ K‬אבלית‪ ,‬אז ‪= K/Z(K) = 1‬‬
‫)‪ Out(K) = Aut(K‬ומתקבלת פעולה על ‪.K‬‬
‫נניח אם כך שנתונות חבורה אבלית ‪ K‬וחבורה ‪ Q‬הפועלת עליה‪ .‬גם כאן נאמץ כתיב חיבורי לאברים של‬
‫‪.K‬‬
‫הגדרה ‪ 7.4.23‬פונקציה ‪ c : Q × Q→K‬המקיימת את התנאי ‪ cq,q′ + cqq′ ,q′′ = q(cq′ ,q′′ ) + cq,q′ q′′‬קרויה ‪2‬־קו־מעגל‪.‬‬
‫נסמן‬
‫‪Z2(Q, K) = {c : Q × Q→K : cq,q′ + cqq′ ,q′′ = q(cq′ ,q′′ ) + cq,q′ q′′ }.‬‬
‫תרגיל ‪ Z2(Q, K) (*) 7.4.24‬היא חבורה )אבלית(‪ ,‬ביחס לפעולה ‪ ,(c + c′ )q,q′ = cq,q′ + c′q,q′‬ועם האיבר‬
‫הנייטרלי ‪ .cq,q′ = 0‬הערה‪ .‬כמקודם‪ ,‬ההנחה ש־‪ K‬אבלית הכרחית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 7.4.25‬הראה שלכל )‪ c1,q = c1,1 ,c ∈ Z2(Q, K‬ו־) ‪ cq,1 = q(c1,1‬לכל ‪.q‬‬
‫הדרכה‪ .‬אלו הזהויות‬
‫הנובעות מהצבת ‪ q ′ = 1 ,q = 1‬או ‪.q ′′ = 1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.4.26‬תהי ‪ G‬הרחבה של ‪ Q‬על־ידי ‪) K‬המשרה את הפעולה הנתונה של ‪ Q‬על ‪.(K‬‬
‫נבחר נציגים ‪) zq ∈ G‬לכל ‪ (q ∈ Q‬כך ש־ ‪ ;G = ∪Kzq‬כלומר‪ ,‬בהטלה ‪ .zq 7→ q ,G→Q‬נסמן‬
‫‪−1‬‬
‫‪′‬‬
‫‪ .cq,q ′ = zq zq ′ zqq ′‬הראה ש־ ‪ c : (q, q ) 7→ cq,q ′‬היא ‪2‬־קו־מעגל‪ .‬הדרכה‪ .‬ראשית הראה ש־‪ .cq,q′ ∈ K‬את תנאי‬
‫הקו־מעגליות הסק משוויון האסוציאטיביות ) ‪.(zq zq′ )zq′′ = zq (zq′ zq′′‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.4.27‬בתרגיל ‪ ,7.4.26‬הנציגים }‪ {zq : q ∈ Q‬מהווים תת־חבורה )איזומורפית ל־‪ (Q‬של ‪G‬‬
‫אם ורק אם ‪ cq,q′ = 0‬זהותית‪ .‬במקרה זה‪ Q ,‬היא תת־חבורה משלימה של ‪ ,K‬ו־‪.G = K o Q‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.4.28‬תהי ‪ G‬הרחבה של ‪ Q‬על־ידי החבורה האבלית ‪ ,K‬המשרה פעולה טריוויאלית על‬
‫‪−1‬‬
‫‪ .cq,q′ = zq zq′ zqq‬הראה ש־ ‪ Z(G) = KQ0‬כאשר‬
‫‪ .K‬לאחר בחירת נציגים ‪ zq ∈ G‬לכל ‪ ,q ∈ Q‬נגדיר ‪′‬‬
‫} ‪.Q0 = {q0 ∈ Q | ∀q : cq0 ,q = cq,q0‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 7.4.29‬תהי ‪ G‬הרחבה של ‪ Q‬על־ידי חבורה שלמה ‪) K‬הגדרה ‪ ;(7.3.41‬איננו מניחים ש־‪K‬‬
‫∼ ‪ .G‬הדרכה‪ .‬כמו בתרגיל ‪ 7.4.26‬נבחר נציגים ‪ zq ∈ G‬כך‬
‫אבלית )ולכן לא נעבור לכתיב חיבורי(‪ .‬הראה ש־‪= K × Q‬‬
‫שההטלה ‪ G→Q‬שולחת ‪ ,zq 7→ q‬נכתוב ‪ .G = ∪Kzq‬כמו בתרגיל ‪ ,7.3.34‬מכיוון שההצמדה ב־ ‪ zq‬משרה אוטומורפיזם של ‪ ,K‬אפשר להחליף‬
‫‪−1‬‬
‫‪ cq,q′ = zq zq′ zqq‬ומתחלף עם כל אברי ‪ ,K‬ולכן ‪ .cq,q′ = 1‬לכן }‪ {zq : q ∈ Q‬היא‬
‫את ‪ zq‬בנציג )יחיד( המתחלף עם ‪ .K‬כעת ‪′ ∈ K‬‬
‫תת־חבורה איזומורפית ל־‪ ,Q‬ובהתחלפה עם אברי ‪ K‬היא נורמלית‪.‬‬
‫הערה‪ .‬תרגיל זה מכליל את תרגיל ‪.7.3.44‬‬
‫‪91‬‬
‫פרק ‪ .7‬אוטומורפיזמים‬
‫‪ .7.4‬מבוא לקוהומולוגיה‬
‫הגדרה ‪ 7.4.30‬נאמר ששני ‪2‬־קו־מעגלים ‪ c, c′ : Q→K‬הם קוהומולוגיים זה לזה אם יש פונקציה ‪ a : Q→K‬כך ש־= ‪c′q,q′‬‬
‫‪ .aq + q(aq′ ) + cq,q′ − aqq′‬כמו במקרה של ‪1‬־קו־מעגלים‪ ,‬במקרה זה כותבים ‪ .c′ ∼ c‬אוסף המעגלים הקוהומולוגיים‬
‫לאפס הוא תת־חבורה }‪ .B2(Q, K) = {cq,q′ = aq + q(aq′ ) − aqq′ : a : Q→K‬חבורת המנה‬
‫)‪H2(Q, K) = Z2(Q, K)/B2(Q, K‬‬
‫היא חבורת הקוהומולוגיה השניה של ‪ Q‬עם מקדמים ב־‪.K‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 7.4.31‬כל ‪2‬־קו־מעגל )‪ c ∈ Z2(Q, K‬קוהומולוגי לקו־מעגל ‪ c′‬שבו ‪.c′1,q = c′q,1 = 0‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫בחר ‪ a1 = c1,1‬ו־‪ aq = 0‬לכל ‪ ;q ̸= 1‬העזר בתרגיל ‪.7.4.25‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.4.32‬בתרגיל ‪ ,7.4.26‬החלפת הנציגים ‪ zq‬בנציגים ‪ (aq ∈ K) zq′ = aq zq‬מגדירה קו־מעגל‬
‫‪′−1‬‬
‫‪ ,c′ = zq′ zq′ ′ zqq‬שהוא קוהומולוגי ל־‪.c‬‬
‫‪′‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 7.4.33‬יהי )‪ ,[c] ∈ H2(Q, K‬המוגדר על־ידי פונקציה )‪ .c ∈ Z2(Q, K‬נגדיר על ‪K × Q‬‬
‫פעולת כפל לפי ) ‪ .(k, q)(k ′ , q ′ ) = (k + q(k ′ ) + cq,q′ , qq ′‬הראה שמתקבלת חבורה שהיא הרחבה של‬
‫‪ K‬על־ידי ‪ .Q‬בחירת ‪ c′ ∼ c‬מגדירה חבורה איזומורפית‪.‬‬
‫לפי תרגיל ‪ ,7.4.32‬כל הרחבה של ‪ Q‬על־ידי ‪ K‬מתאימה לאיבר מוגדר היטב של )‪ .H2(Q, K‬תרגיל ‪7.4.33‬‬
‫מספק בניה‪ ,‬מוגדרת היטב‪ ,‬של הרחבה המתאימה ל־‪2‬־קו־מעגל‪ ,‬וכך מתקבלת התאמה חד־חד־ערכית בין‬
‫קבוצת ההרחבות לבין חבורת הקוהומולוגיה השניה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 7.4.34‬תהי ‪ Q‬חבורה הפועלת על חבורה אבלית ‪ .K‬כל הרחבה של ‪ Q‬על־ידי ‪ K‬היא‬
‫מכפלה ישרה למחצה ‪ ,K o Q‬אם ורק אם ‪.H2(Q, K) = 0‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 7.4.35‬יהיו )‪ θ′ , θ : Q → Aut(K‬שני הומומורפיזמים‪ .‬תהי ‪ G‬ההרחבה של ‪ Q‬על־ידי ‪K‬‬
‫ביחס לפעולה ‪ θ‬המוגדרת על־ידי )‪ ,c ∈ Z2θ(Q, K‬ותהי ‪ G′‬ההרחבה של ‪ Q‬על־ידי ‪ K‬ביחס לפעולה‬
‫‪ θ′‬המוגדרת על־ידי )‪.c′ ∈ Z2θ′ (Q, K‬‬
‫‪′‬‬
‫)‪ kzq 7→ ϕ(k)zσ(q‬היא איזומורפיזם ‪ G→G′‬אם ורק אם )‪,σ ∈ Aut(Q) ,ϕ ∈ Aut(K‬‬
‫‪ .1‬העתקה‬
‫‪′‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ ,θ = γϕ ◦ θ′ ◦ σ −1‬ו־) ‪.c = ϕ ◦ c ◦ (σ × σ‬‬
‫‪ .2‬נניח ש־‪ .θ′ = θ‬יש איזומורפיזם ‪ G → G′‬המשרה את הזהות על ‪ ,Q‬אם ורק אם יש ∈ ‪ϕ‬‬
‫))‪ CAut(K) (Im(θ‬כך ש־) ‪ c′q,q′ = ϕ(cq,q′‬לכל ‪.q, q ′ ∈ Q‬‬
‫תרגיל ‪) .|Q| · H2(Q, K) = 0 (***) 7.4.36‬כלומר‪ ,‬לכל )‪ |Q| · a ,a ∈ Z2(Q, K‬קוהומולוגי לאפס‪ (.‬פתרון‪.‬‬
‫∑‬
‫∑‬
‫∑‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫= ‪ .aq‬לכל ‪q ′ ∈ Q‬‬
‫= ‪aq + q(aq′ ) − aqq′‬‬
‫נסמן ‪g∈Q cq,g‬‬
‫‪ ,q,‬מתקיים = ) ‪g (q(cq ,g ) − cqq ,g‬‬
‫‪g cq,g +‬‬
‫∑‬
‫∑‬
‫‪. g cq,g + g (cq,q′ − cq,q′ g ) = |Q|cq,q′‬‬
‫גם כאן‪ ,‬פירות המאמץ הם תוצאה חשובה על המבנה של חבורות סופיות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 7.4.37‬נניח ש־‪ K‬אבלית ו־‪ .(|Q|, |K|) = 1‬אז כל הרחבה של ‪ Q‬על־ידי ‪ K‬היא מכפלה‬
‫ישרה למחצה‪ .‬הדרכה‪ .‬מתרגיל ‪ 7.4.36‬וקיומו של צירוף ‪ ,α|Q| + β|K| = 1‬נובע ש־‪ .H2(Q, K) = 0‬לכן תקפה מסקנת תרגיל ‪.7.4.34‬‬
‫בניסוח אחר‪ :‬לכל תת־חבורה אבלית נורמלית‪ ,‬שהסדר שלה זר לאינדקס‪ ,‬יש משלים‪ .‬במשפט ‪8.4.57‬‬
‫נתבסס על התוצאה הזו כדי להסיר את ההנחה ש־‪ K‬אבלית‪.‬‬
‫∼ }‪ Q = {1, x‬לפי )‪ τ ∈ Aut(A‬המקיים‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.4.38‬תהי ‪ A‬חבורה אבלית‪ ,‬עם פעולה של ‪= Z2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .τ = id‬הראה ש־) ‪ .H (Z2 , A) = Ker(1 − τ )/Im(1 + τ‬הדרכה‪ .‬על־פי תרגיל ‪ 7.4.31‬אפשר להניח ש־)‪[c] ∈ H2(Q, A‬‬
‫מיוצג על־ידי )‪ c ∈ Z2(Q, A‬עם ‪ ,c1,1 = c1,x = cx,1 = 0‬וכך לזהות את ‪ c‬עם ‪.cx,x ∈ A‬‬
‫הערה‪ .‬בתרגיל )‪ 7.4.17.(4‬הראינו‬
‫ש־) ‪.H1(Z2 , A) = Ker(1 + τ )/Im(1 − τ‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 7.4.39‬נניח ש־ ‪ Q = Zn‬פועלת באופן טריוויאלי על החבורה האבלית ‪.K‬‬
‫‪.H2(Zn , K) = K/nK‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫∼ ‪ .A = y | y 4 = 1‬תאר את החבורות ‪ G‬עם ‪ A▹G‬ו־‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.4.40‬תהיינה ‪ Q = Z2‬ו־ ‪= Z4‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫∼ ‪ ,G/A‬שבהן פעולת ‪ Q‬על ‪ A‬טריוויאלית‪ .‬הדרכה‪ .‬לפי תרגיל ‪.H2(Q, A) = A/2A = y | y 2 = 1 ,7.4.38‬‬
‫‪=Q‬‬
‫הראה ש־‬
‫‪2‬‬
‫‪ ;zx‬זוהי אם כך החבורה‬
‫לכן יש הרחבה אחת טריוויאלית‪ ,Z4 × Z2 ,‬ואחת שבה ‪ G = A ∪ Azx‬עם ‪ z1 = 1‬ו־‪= cx,x zx2 = y‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫∼ ‪.G = y, x | y 4 = 1, xyx−1 = y, x2 = y‬‬
‫‪= Z8‬‬
‫‪92‬‬
‫‪ .7.4‬מבוא לקוהומולוגיה‬
‫פרק ‪ .7‬אוטומורפיזמים‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.4.41‬חזור על תרגיל ‪ 7.4.40‬עם הפעולה הלא־טריוויאלית היחידה‪.x : y 7→ y −1 ,‬‬
‫הדרכה‪ .‬לפי‬
‫⟨‬
‫⟩‪⟨ 2‬‬
‫⟩‬
‫‪2‬‬
‫∼ ‪,Z4 o−1 Z2 = y, x : y 4 = x2 = 1, xyx−1 = y −1‬‬
‫תרגיל ‪,7.4.38‬‬
‫‪ .H (Q, A) = A2 = y‬לכן יש הרחבה אחת טריוויאלית‪= D4 ,‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫‪4‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪2‬‬
‫∼ ‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.G = y, x | y = 1, xyx‬‬
‫ואחת שבה ‪ G = A ∪ Azx‬עם ‪ z1 = 1‬ו־ ‪ ,zx = cx,x zx2 = y‬היינו ‪= y , x = y = Q‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.4.42‬תהי ‪ K▹G‬תת־חבורה נורמלית‪ .‬הראה ש־‪ σ(gK) = σ(g)K‬מגדיר הומומורפיזם‬
‫)‪) Aut(G, K)→Aut(G/K‬ראה הגדרה ‪.(7.2.26‬‬
‫הרחבה ‪ G‬של ‪ Q‬על־ידי ‪ K‬נקראת מרכזית אם )‪) .K ⊆ Z(G‬זהו בדיוק המקרה שבו פעולת ‪ Q‬על ‪K‬‬
‫טריוויאלית‪(.‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 7.4.43‬תהי ‪ G‬הרחבה מרכזית של ‪ Q‬על־ידי חבורה ‪ .K‬נסמן ב־)‪ Aut(G; K, Q‬את‬
‫∼ )‪ .Aut(G; K, Q‬הדרכה‪ .‬בהנתן ∈ ‪σ‬‬
‫הגרעין של ההומומורפיזם מתרגיל ‪ .7.4.42‬הראה ש־)‪= Hom(Q, K‬‬
‫)‪ ,Aut(G; K, Q‬הגדר ‪ ψσ : Q→K‬לפי ‪ ;ψσ (gK) = σ(g)g −1‬הראה ש־)‪ ψσ (gK‬מוגדר היטב‪ ,‬ש־ ‪ ψσ‬הוא הומומורפיזם‪ ,‬וש־ ‪Ψ : σ 7→ ψσ‬‬
‫הומומורפיזם עם גרעין טריוויאלי‪ .‬הראה שלכל )‪ ,ψ ∈ Hom(Q, K‬הפונקציה ‪ σ : G→G‬המוגדרת על־ידי ‪ σ(g) = ψ(gK)g‬היא אוטומורפיזם‪,‬‬
‫ולכן ‪ Ψ‬על‪.‬‬
‫∼ ‪) A4‬תרגיל ‪ (6.8.18‬על־ידי‬
‫תרגיל ‪ (-***) 7.4.44‬הראה שיש שתי הרחבות מרכזיות של ) ‪= PSL2 (F3‬‬
‫‪ ,Z2‬והן ‪ A4 × Z2‬ו־) ‪.SL2 (F3‬‬
‫הדרכה‪ .‬תחילה אשר ש־ ‪ A4 × Z2‬ו־) ‪ SL2 (F3‬הן אכן הרחבות מרכזיות‪ .‬לפי ההנחה והייצוג מתרגיל ‪ 3.6.23‬ל־ ‪ ,A4‬יש ‪ i, j, k‬כך ש־‬
‫⟩‬
‫‪3‬‬
‫‪i‬‬
‫‪3‬‬
‫‪j‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x, y, z | x = z , y = z , (xy) = z , xz = zx, yz = zy, z = 1 .‬‬
‫⟨‬
‫=‪G‬‬
‫החלף את ‪ x, y‬ב־ ‪ xz i , yz j‬בעזרת תרגיל ‪ ,3.6.16‬והסק שיש לכל היותר שתי הרחבות מרכזיות‪.‬‬
‫∼ ‪) A5‬תרגיל ‪ (6.8.26‬על־ידי ‪,Z2‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 7.4.45‬הראה שיש שתי הרחבות מרכזית של ) ‪= PSL2 (F5‬‬
‫והן ‪ A5 × Z2‬ו־) ‪ .SL2 (F5‬הדרכה‪ .‬כמו בתרגיל ‪ ,7.4.44‬יש ‪ i, j, k‬כך ש־‬
‫⟩‬
‫‪3‬‬
‫‪i‬‬
‫‪5‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x, y, z | x = z , y = z , (xy) = z , xz = zx, yz = zy, z = 1 .‬‬
‫⟨‬
‫=‪G‬‬
‫החלף את ‪ x, y, z‬ב־‪ x−1 z i , y −1 z k , z‬בעזרת תרגיל ‪.3.6.16‬‬
‫∼ ) ‪.H2(A5 , Z2‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 7.4.46‬הראה ש־ ‪= Z2‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.7.4.45‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 7.4.47‬הראה שיש ארבע הרחבות מרכזיות של ‪ S4‬על־ידי ‪,S4 × Z2 :Z2‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫‪x, y | x3 = 1, y 4 = 1, (xy)4 = 1, (xy)2 = (yx)2 ,‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫∼ ‪x, y | x3 = 1, y 8 = 1, (xy)2 = 1, [y 4 , x] = 1‬‬
‫‪= GL2 (F3 ),‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x, y | x = 1, y = 1, (xy) = y , [y , x] = 1 .‬‬
‫הראה שכולן שונות זו מזו‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬למשל על־ידי חישוב האבליזציה )משפט ‪ (4.8.6‬וקיומם של אברים מסדר ‪.8‬‬
‫נסיים בבניה הקושרת את החבורות שפגשנו בשני הסעיפים הקודמים‪ ,‬ורומזת לתאוריה כללית הנקראת‬
‫קוהומולוגיה של חבורות‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 7.4.48‬תהי ‪ Q‬חבורה הפועלת על חבורה אבלית ‪ .K‬נסמן }‪ ,C i (Q, K) = {f : Q × · · · × Q→K‬כאשר‬
‫המכפלה כוללת ‪ i‬עותקים של ‪ .Q‬בפרט‪ .C 0 (Q, K) = K ,‬נגדיר פונקציות‬
‫)‪∂ i : C i (Q, K)→C i+1 (Q, K‬‬
‫לפי )‪ ;(∂ 1 a)q,q′ = aq + q(aq′ ) − aqq′ ;(∂ 0 u)q = u − q(u‬ו־‪(∂ 2 c)q,q′ ,q′′ = cq,q′ + cqq′ ,q′′ − q(cq′ ,q′′ ) −‬‬
‫‪.cq,q′ q′′‬‬
‫תרגיל ‪.∂ 2 ∂ 1 = 0 ,∂ 1 ∂ 0 = 0 (**) 7.4.49‬‬
‫תרגיל ‪.B1(Q, K) = Im(∂ 0 ) ,Z1(Q, K) = Ker(∂ 1 ) (**) 7.4.50‬‬
‫תרגיל ‪.B2(Q, K) = Im(∂ 1 ) ,Z2(Q, K) = Ker(∂ 2 ) (**) 7.4.51‬‬
‫‪93‬‬
‫‪ .7.4‬מבוא לקוהומולוגיה‬
‫‪7.4.3‬‬
‫פרק ‪ .7‬אוטומורפיזמים‬
‫כיסויים‬
‫∼ ‪ Q‬עם )‪ ,K ⊆ G′ ∩ Z(G‬וכך ש־|‪ |G‬מקסימלי‬
‫כיסוי של חבורה ‪ Q‬הוא הרחבה ‪ G‬של ‪ ,Q‬כך ש־‪= G/K‬‬
‫בכפוף לתנאים אלה )לכל חבורה סופית יש כיסוי‪ ,‬שאינו בהכרח יחיד(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 7.4.52‬נניח ש־‪ Q‬נתונה על־ידי ייצוג ‪ .Q = F/R‬הראה ש־ ‪ G = F/R1‬היא כיסוי של ‪ Q‬אם‬
‫ורק אם ‪ ,R ⊆ F ′ R1 ,[R, F ] ⊆ R1 ⊆ R‬ו־| ‪ |F/R1‬מקסימלית בכפוף לתנאים אלה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 7.4.53‬מימוש אלגוריתמי של תרגיל ‪ :7.4.52‬נניח שהחבורה ‪ Q‬מוצגת כמנה של החבורה‬
‫‪F‬‬
‫החופשית ⟩ ‪ F = ⟨x1 , . . . , xn‬מודולו חבורת היחסים ⟩ ‪ .R = ⟨r1 , . . . , rt‬אם ‪ G = F/R1‬כיסוי של‬
‫‪F‬‬
‫‪ ,Q‬אז יש ‪ ω1 , . . . , ωt ∈ F ′ ∩ R‬כך ש־ ⟩] ‪ .R1 = ⟨ωj rj , [xi , rj‬באופן עוד יותר קונקרטי‪ ,‬נסמן ב־‬
‫⟩] ‪ Q̂ = F/[R, F ] = ⟨x1 , . . . , xn | [xi , rj‬את ההרחבה המרכזית המקסימלית של ‪ Q‬שבה היחסים ‪rj‬‬
‫מרכזיים‪ .‬כל כיסוי של ‪ Q‬הוא מהצורה ⟩ ‪ Q̂/⟨ω1 r1 , . . . , ωt rt‬כאשר ⟩ ‪.ωj ∈ Q̂′ ∩ ⟨r1 , . . . , rt‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 7.4.54‬הראה שהכיסויים של ‪ Z2 × Z2‬הם החבורות הלא אבליות מסדר ‪.8‬‬
‫הדרכה‪ .‬הראה‬
‫שהחבורות ‪ D4 , Q4‬אכן מכסות את ‪.Z2 × Z2‬‬
‫‪ 7.4.53‬שהכיסויים של ‪ D4‬הם החבורות הבאות מסדר ‪:16‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) ⟩7.4.55‬הראה בעזרת תרגיל‬
‫⟨‬
‫‪ Q8 ,D8‬ו־ ‪.Z8 o3 Z2 = x, y | x8 = 1, yxy −1 = x3 , y 2 = 1‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫ההרחבה המרכזית היא = ̂‪Q‬‬
‫נבחר ייצוג ‪ ,D4 = x, y | x4 = y 2 = yxy −1 x = 1‬ונפעיל את תרגיל ‪.7.4.53‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫‪4‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫∼ ⟩‪ ,Q̂′ = ⟨ω‬ותמונת ‪ R‬היא ‪ . x4 , y 2 , ωx2‬לכן = ‪Q̂′ ∩ R‬‬
‫‪Z‬‬
‫הזו‬
‫בחבורה‬
‫;‬
‫‪x,‬‬
‫‪y,‬‬
‫‪ω‬‬
‫|‬
‫‪ω‬‬
‫=‬
‫‪[x,‬‬
‫]‪ω‬‬
‫=‬
‫‪1,‬‬
‫‪yωy‬‬
‫=‬
‫‪ω‬‬
‫‪,‬‬
‫‪yx‬‬
‫‪= ωxy‬‬
‫‪= 4‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫‪ . ω 2‬מכאן שהכיסויים של ‪ Q‬הם מהצורה ‪x, y, ω | ω 4 = [x, ω] = 1, yωy −1 = ω −1 , yx = ωxy, ω 2i x4 = ω 2j y 2 = ω 2k+1 x2 = 1‬‬
‫סימטריות משאירות רק חמישה ייצוגים‪ ,‬שאחד מהם‪ ,‬של ‪ ,D4‬אינו מסדר מקסימלי‪.‬‬
‫עבור }‪.i, j, k ∈ {0, 1‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫‪x, y | x8 = 1, yxy −1 = x4a−1 , y 2 = x4b‬‬
‫שאר החבורות הן‬
‫עבור }‪) a, b ∈ {0, 1‬אם ‪ a = 1‬המקרים ‪ b = 0, 1‬איזומורפיים(‪ ,‬שכולן הרחבות של‬
‫‪ D4‬על־ידי ‪) Z2‬וגם הרחבות של ‪ Z2‬על־ידי ‪.(Z8‬‬
‫‪94‬‬
‫פרק ‪8‬‬
‫משפטי סילו‬
‫משפט לגרנז' מראה שהסדר של איברים מחלק תמיד את סדר החבורה‪ .‬משפט קושי הופך את הכיוון‪ ,‬ומראה‬
‫שאם סדר החבורה מתחלק בראשוני ‪ ,p‬אז יש לה איברים מסדר ‪ .p‬ההוכחה מבוססת על שוויון המחלקות‪.‬‬
‫משפט קושי מראה שהסדר של חבורה הוא חזקה של ראשוני ‪ p‬אם ורק אם כל האברים שלה הם מסדר חזקה‬
‫של אותו ‪ ;p‬חבורות העונות לתנאי הזה נקראות חבורות־‪ .p‬לחבורות־‪ p‬יש כמה תכונות מעניינות‪ .‬המרכז של‬
‫חבורת־‪ p‬לעולם אינו טריוויאלי‪ .‬נובע מכאן שהמנרמל של תת־חבורה תמיד מכיל אותה ממש‪.‬‬
‫משפטי סילו ממשיכים את הכיוון של משפט קושי‪ ,‬בכך שהם מספקים תת־חבורה מסדר השווה לכל‬
‫חזקת ראשוני המחלקת את סדר החבורה‪ .‬סעיף ‪ 8.5‬מציג בפרוטרוט מספר דרכים להעזר במשפטי סילו‪ ,‬עם‬
‫משפטים אחרים ובראשם העידון של משפט קיילי‪ ,‬על־מנת לנתח מבנה של חבורה בעלת סדר נתון‪ .‬היעד‬
‫העיקרי במקרים רבים הוא להראות שהחבורה אינה פשוטה‪ ,‬משום שאז היא נחשפת לניתוח כהרחבה של שתי‬
‫חבורות מסדר קטן יותר‪.‬‬
‫‪8.1‬‬
‫שוויון המחלקות‬
‫סעיף זה מציג את שוויון המחלקות של חבורה סופית‪ .‬השימושים מופיעים בשני הסעיפים הבאים‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 8.1.1‬שוויון המחלקות של חבורה סופית ‪ G‬הוא השוויון‬
‫∑‬
‫‪|G| = |Z(G)| +‬‬
‫‪|C|,‬‬
‫‪C⊆G,|C|>1‬‬
‫כאשר הסכום הוא על כל מחלקות הצמידות הלא־מרכזיות של החבורה‪.‬‬
‫חשיבותו של השוויון הזה‪ ,‬הנובע מפירוק החבורה כאיחוד מחלקות הצמידות שלה‪ ,‬היא בכך שלפי‬
‫תרגיל ‪ 6.4.18‬המחוברים באגף ימין הם מחלקים אמיתיים )גדולים מ־‪ (1‬של סדר החבורה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 8.1.2‬הוכח את שוויון המחלקות‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬העזר בתרגיל ‪.6.4.5‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 8.1.3‬אם ‪ G‬אבלית מסדר ‪ ,n‬שוויון המחלקות שלה הוא הזהות הטריוויאלית ‪.n = n‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.1.4‬כתוב את שוויונות המחלקה של ‪.S5 ,S4 ,S3‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.1.5‬כתוב את שוויונות המחלקה של החבורות הלא אבליות מסדר ‪ D4 :8‬והקווטרניונים ‪.Q4‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.1.6‬הראה ששוויון המחלקות של החבורה הדיהדרלית ‪ D6‬הוא ‪.12 = 2 + 3 + 3 + 2 + 2‬‬
‫נזכיר שהגודל של מחלקת צמידות מחלק את סדר החבורה‪ ,‬ולכן שוויון המחלקות הוא פירוק של |‪|G‬‬
‫לסכום של מחלקים של |‪.|G‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.1.7‬מצא את כל החבורות שיש להן בדיוק ‪ 2‬מחלקות צמידות‪.‬‬
‫תרגיל ‪(***) 8.1.8‬‬
‫∼ ‪.G‬‬
‫∼ ‪ G‬או ‪= S3‬‬
‫‪ .1‬הוכח שאם לחבורה יש בדיוק ‪ 3‬מחלקות צמידות אז ‪= Z3‬‬
‫‪95‬‬
‫פרק ‪ .8‬משפטי סילו‬
‫‪ .8.2‬משפט קושי‬
‫‪ .2‬אם לחבורה ‪ G‬יש בדיוק ‪ 4‬מחלקות צמידות‪ ,‬אז }‪.|G| ∈ {4, 8, 10, 12, 18, 20, 24, 42‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 8.1.9‬תהי ‪ G‬חבורה לא אבלית מסדר ‪.p < q ,pq‬‬
‫‪ ,Z(G) = 1 .1‬ולכן שוויון המחלקות של ‪) G‬בכתיב מקוצר( הוא ‪.pq = 1 + αp + βq‬‬
‫‪ .2‬במחלקות מגודל ‪ p‬יש אברים מסדר ‪ ,q‬ולהיפך‪.‬‬
‫‪) .3‬בכל חבורה( מספר האברים מסדר ‪ p‬מתחלק ב־)‪.(p − 1‬‬
‫‪ ,(p − 1) | β .4‬ולכן ‪ .β = p − 1‬מכאן ש־‪ .α = (q − 1)/p‬בפרט )‪.q ≡ 1 (mod p‬‬
‫‪ .5‬ל־‪ G‬יש תת־חבורה יחידה מסדר ‪) q‬ו־‪ q‬תת־חבורות מסדר ‪.(p‬‬
‫∼ ‪ G‬עם הומומורפיזם לא טריוויאלי ‪.θ : Zp →Uq‬‬
‫‪= Zq oθ Zp .6‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.1.10‬נניח ש־‪ p, q‬ראשוניים⟨כך ש־)‪ .q ≡ 1 (mod p‬אז יש שתי חבורות מסדר ‪Zp × Zp :pq‬‬
‫⟩‬
‫∼ ‪ G‬כאשר ‪ t ∈ Uq‬איבר )כלשהו( מסדר ‪ .p‬הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.8.1.9‬‬
‫ו־ ‪= x, y : xq = 1, y p = 1, yxy −1 = xt‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.1.11‬יש שתי חבורות לא אבליות מסדר ‪ Z3 ×Z7 :21‬ו־ ‪. x, y | x7 = y 3 = 1, yxy −1 = x2‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.8.1.10‬‬
‫∑‪) (**) 8.1.12‬הכללה של שוויון המחלקות( לכל תת־חבורה נורמלית ‪ H‬של ‪ G‬מתקיים = |‪|H‬‬
‫תרגיל‬
‫|‪ |Z(G) ∩ H| + |C‬כשהסכום הוא על מחלקות הצמידות הלא מרכזיות של ‪ G‬המוכלות ב־‪) H‬הזכר‬
‫בתרגיל ‪ .(6.4.6‬כרגיל‪ ,‬אם ]‪ C = [x‬אז ])‪.|C| = [G : CG (x‬‬
‫‪8.2‬‬
‫משפט קושי‬
‫לפי משפט לגרנז'‪ ,‬הסדר של תת־חבורה מחלק תמיד את סדר החבורה‪ .‬הכיוון ההפוך נכון בחבורות ציקליות‪:‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 8.2.1‬לכל ‪ ,d‬אם ‪ G‬ציקלית מסדר המתחלק ב־‪ ,d‬אז יש ב־‪ G‬איבר מסדר ‪.d‬‬
‫אבל הוא אינו נכון באופן כללי‪:‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.2.2‬ל־ ‪ A4‬אין תת־חבורה מסדר ‪) 6‬ובפרט אין בה איברים מסדר זה(‪.‬‬
‫משפט קושי )שנוכיח מיד( מראה שהטענה ההפוכה למשפט לגרנז' נכונה בכל־זאת‪ ,‬כשמדובר במחלק‬
‫ראשוני )הוכחנו זאת עבור ‪ p = 2‬בתרגיל ‪.(2.1.13‬‬
‫טענה ‪) 8.2.3‬משפט קושי לחבורות אבליות( אם ראשוני ‪ p‬מחלק את הסדר של חבורה אבלית ‪ ,A‬אז יש ב־‪A‬‬
‫איבר מסדר ‪.p‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ .1 ̸= x ∈ A‬אם )‪ p | e = ord(x‬אז ‪ xe/p‬איבר מסדר ‪ .p‬אחרת לפי הנחת האינדוקציה יש קוסט‬
‫‬
‫⟩‪ y⟨x⟩ ∈ A/⟨x‬מסדר ‪ ,p‬ואז ⟩‪ y p ∈ ⟨x‬ו־)‪.p | ord(y‬‬
‫משפט ‪) 8.2.4‬משפט קושי( אם ראשוני ‪ p‬מחלק את הסדר של חבורה ‪ ,G‬אז יש ב־‪ G‬איבר מסדר ‪.p‬‬
‫∑‬
‫הוכחה‪ .‬כתוב את שוויון המחלקות של ‪ ,|G| = |Z(G)| + [G : CG (x)] :G‬כאשר הסכום הוא על נציג ‪x‬‬
‫מכל מחלקת צמידות לא מרכזית‪ .‬אם הסדר של )‪ Z(G‬מתחלק ב־‪ ,p‬גמרנו לפי טענה ‪ .8.2.3‬אחרת יש ‪x ∈ G‬‬
‫המרכז )‪ CG (x‬מתחלק ב־‪ ;p‬לפי הנחת האינדוקציה יש‬
‫ֵּ‬
‫שעבורו האינדקס ])‪ [G : CG (x‬זר ל־‪ ,p‬ולכן סדר‬
‫‬
‫ב־)‪ CG (x‬איבר מסדר ‪.p‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.2.5‬הוכח את משפט קושי בעזרת פעולה של ‪ Zp‬על קבוצת וקטורים באורך ‪ p‬ב־‪.G‬‬
‫הדרכה‪ .‬התבונן בקבוצה }‪.X = {(g0 , . . . , gp−1 ) : gi ∈ G, g0 g1 . . . gp−1 = 1‬‬
‫‪ Zp = ⟨σ⟩ .1‬פועלת על ‪ X‬לפי ) ‪.σ(g0 , . . . , gp−1 ) = (g1 , . . . , gp−1 , g0‬‬
‫‪ .2‬המסלולים ב־‪ X‬הם בגודל ‪ 1‬או ‪.p‬‬
‫‪ ,|X| = |G|p−1 .3‬ולכן )‪.|X| ≡ 0 (mod p‬‬
‫‪ .4‬קיים ב־‪ A‬לפחות מסלול אחד בגודל ‪ ,1‬ולכן קיימים לפחות ‪ p‬כאלה‪.‬‬
‫‪96‬‬
‫‪ .8.3‬חבורות־‪p‬‬
‫פרק ‪ .8‬משפטי סילו‬
‫תרגיל ‪ (+**) 8.2.6‬כתוב את ההוכחה שבתרגיל ‪ 8.2.5‬במקרה ‪ ,p = 2‬והסבר כיצד היא חוזרת על‬
‫ההוכחה של תרגיל ‪.2.1.13‬‬
‫אם )‪ ϕ ∈ Aut(G‬אוטומורפיזם מסדר סופי ‪ ,n‬נגדיר את הנורמה ביחס ל־‪ ϕ‬לפי = )‪Nϕ (x‬‬
‫)‪.xϕ(x)ϕ2 (x) · · · ϕn−1 (x‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 8.2.7‬בדוק ש־‪.Nϕ (ϕ(x)) = ϕ(Nϕ (x)) = x−1 Nϕ (x)x‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.2.8‬עבור )‪ ,γg ∈ Aut(G‬חשב ש־ ‪.Nγg (x) = (xg)n g −n‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.2.9‬הראה שכל איבר מהצורה )‪ x = t−1 ϕ(t‬הוא פתרון למשוואה ‪) .N (x) = 1‬פתרונות‬
‫אלו הם טריוויאליים(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 8.2.10‬תהי ‪ G‬חבורה עם אוטומורפיזם ‪ ϕ‬מסדר ‪ .p‬בהמשך להגדרות ‪ 7.4.3‬ו־‪ ,7.4.6‬הראה‬
‫שיש התאמה בין ‪1‬־קו־מעגלים )אברי )‪ (Z1(Zp , G‬לפתרונות של המשוואה ‪ ,N (x) = 1‬כך שה־‪1‬־קו־‬
‫מעגלים השקולים לאיבר היחידה מתאימים לפתרונות הטריוויאליים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.2.11‬תהי ‪ G‬חבורה שהסדר שלה מתחלק בראשוני ‪ .p‬נניח ש־‪ ϕ, ψ‬אוטומורפיזמים‬
‫מתחלפים של ‪ ,G‬ושניהם מסדר ‪ .p‬אז יש איברים ‪ x ̸= 1‬כך ש־ ‪ .Nϕ (x) = Nψ (x) = 1‬הכלל‬
‫את הטענה לכל מספר סופי של אוטומורפיזמים‪ .‬הדרכה‪ .‬ראשית הכלל את הפתרון לתרגיל ‪ 8.2.5‬כדי להראות שאם |‪|G‬‬
‫מתחלק ב־‪ p‬ו־)‪ ϕ ∈ Aut(G‬אוטומורפיזם מסדר ‪ ,p‬אז יש בחבורה איברים ‪ x ̸= 1‬עם ‪) .Nϕ (x) = 1‬זו טענה שאפשר להוכיח ישירות‪ ,‬על־ידי‬
‫הפתרונות הטריוויאליים מתרגיל ‪(.8.2.9‬‬
‫הכלל פתרון זה‪ ,‬עם פעולה של ‪ Z2p‬על אוסף המטריצות ) ‪ (gij‬שבהן המכפלה של כל שורה ועמודה היא ‪.1‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.2.12‬אם ‪ p‬מחלק את |‪ |G‬ו־)‪ ϕ ∈ Aut(G‬מסדר ‪ ,p‬אז קיים ‪ x‬מסדר ‪ p‬כך ש־‬
‫‪i‬‬
‫‪2i‬‬
‫‪(p−1)i‬‬
‫‪ xϕ (x)ϕ (x) · · · ϕ‬לכל ‪ .i‬הדרכה‪ .‬קח ‪ 1, ϕ, ϕ2 , · · · , ϕp−1‬בתרגיל ‪.8.2.11‬‬
‫‪(x) = 1‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.2.13‬נניח ש־|‪ |G‬מתחלק ב־‪ ,3‬ו־)‪ ϕ ∈ Aut(G‬אוטומורפיזם מסדר ‪ .3‬אז יש איבר ‪ x‬מסדר‬
‫‪ 3‬כך ש־‪ .[x, ϕ(x)] = 1‬הדרכה‪ .‬מתרגיל ‪ 8.2.12‬נובע ש־‪ xϕ(x)ϕ2 (x) = xϕ2 (x)ϕ(x) = 1‬עבור ‪ x‬מתאים‪.‬‬
‫‪8.3‬‬
‫חבורות־‪p‬‬
‫הגדרה ‪ 8.3.1‬יהי ‪ p‬ראשוני‪ .‬חבורה נקראת חבורת־‪ p‬אם הסדר של כל איבר הוא חזקה של ‪.p‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.3.2‬חבורה סופית היא חבורת־‪ p‬אם ורק אם הסדר שלה הוא חזקה של ‪.p‬‬
‫הדרכה‪ .‬כיוון אחד‬
‫נובע ממשפט לגרנז'‪ ,‬והשני ממשפט קושי‪.‬‬
‫באופן טיפוסי‪ ,‬יש יותר חבורות מסדר ‪ pn‬מאשר מכל גודל דומה )למשל‪ ,‬יש ‪ 2328‬חבורות לא איזומורפיות‬
‫מסדר ‪ ,128 = 27‬ורק ‪ 47‬מסדר ‪ .(120‬עם זאת‪ ,‬לכל חבורות־‪ p‬יש מאפיינים משותפים‪ ,‬שנציג בסעיף זה‬
‫ובסעיפים הבאים‪.‬‬
‫מרָכז לא טריוויאלי‪.‬‬
‫משפט ‪ 8.3.3‬לכל חבורת־‪ p‬סופית יש ְ‬
‫הוכחה‪ .‬שוויון המחלקות כותב את ‪ |G| = pt‬כסכום של |)‪ |Z(G‬ומחלקים של ‪ pt‬שהם כולם חזקות ‪ p‬לא‬
‫טריוויאליות‪ ,‬ולכן מתחלקים ב־‪ .p‬לכן גם הסדר של )‪ Z(G‬מתחלק ב־‪.p‬‬
‫)‪M.L. Sylow, Théorémes sur les groupes de substitutions, Mathematische Annalen 5, (1872),‬‬
‫‬
‫‪(.Théorème III‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 8.3.4‬לחבורת־‪ p‬סופית יש תת־חבורה מרכזית מסדר ‪.p‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.3.5‬כל חבורת־‪) p‬סופית( פשוטה ‪ G‬היא ציקלית מסדר ‪.p‬‬
‫הדרכה‪ .‬אחרת ‪ Z(G) = G‬ולכל‬
‫‪.⟨x⟩ = G ,1 ̸= x ∈ G‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.3.6‬תהי ‪ G‬חבורת־‪ p‬עם תת־חבורה נורמלית ‪ H‬מסדר ‪ .p‬הוכח ש־)‪.H ⊆ Z(G‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫משפט ‪.N/C‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.3.7‬לכל תת־חבורה אמיתית ‪ H < G‬של חבורת־‪.H < NG (H) ,p‬‬
‫הדרכה‪ .‬באינדוקציה על‬
‫הסדר‪ .‬נסמן )‪ .Z = Z(G‬כמובן‪ ;ZH = HZ ,‬לכן‪ ,‬אם ‪ ,Z ̸⊆ H‬אז ‪ H < ZH‬וסיימנו‪ .‬נניח אם כן ש־‪ ,Z ⊆ H‬ונתבונן בחבורות המנה‬
‫‪ .H/Z < G/Z‬לפי הנחת האינדוקציה ‪ H/Z < NG/Z (H/Z) = NG (H)/Z‬כשהשתמשנו בתרגיל ‪ ,6.4.62‬ולכן )‪.H < NG (H‬‬
‫‪97‬‬
‫פרק ‪ .8‬משפטי סילו‬
‫‪ .8.3‬חבורות־‪p‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 8.3.8‬פתור את תרגיל ‪ 8.3.7‬על־ידי פעולת ‪ H‬על תת־החבורות הצמודות לה‪.‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫‪ H‬פועלת על־ידי הצמדה על הקבוצה ‪ Ω‬של תת־החבורות הצמודות ל־‪ ,H‬שיש בה ])‪ [G : NG (H‬נקודות‪ .‬מכיוון ש־‪ H‬מנרמלת את עצמה‪,‬‬
‫}‪ {H‬מהווה מסלול‪ ,‬ומכיוון שגדלי כל המסלולים מחלקים את |‪ ,|H‬יש תת־חבורה צמודה ‪ H1 = aHa−1 ̸= H‬שגם היא מהווה מסלול‪ .‬בפרט‬
‫‪ H1 ▹HH1 = H1 H‬ולכן ‪ HaHa−1 = HH1 ≤ NG (H1 ) = aNG (H)a−1‬ו־ )‪.H < a−1 HaH ≤ NG (H‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.3.9‬כל תת־חבורה מאינדקס ‪ p‬של חבורת־‪ p‬היא נורמלית‪.‬‬
‫הדרכה‪ H < NG (H) ≤ G .‬לפי‬
‫תרגיל ‪.8.3.7‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.3.10‬כל תת־חבורה מקסימלית של חבורת־‪ p‬היא מאינדקס ‪.p‬‬
‫הדרכה‪ .‬תהי ‪ M‬תת־חבורה‬
‫מקסימלית‪ .‬לפי תרגיל ‪ ,M < NG (M ) ≤ G ,8.3.7‬ולכן ‪ .M ▹NG (M ) = G‬יהי ) ‪ xM ∈ Z(G/M‬איבר מסדר ‪ ,p‬אז ⟩‪ M < ⟨M, x‬ולכן‬
‫‪.[G : M ] = [⟨M, x⟩ : M ] = p‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 8.3.11‬כל תת־חבורה נורמלית לא טריוויאלית ‪ N‬של חבורת־‪ G p‬כולל איבר מרכזי‬
‫חותכת את המרכז )‪ .Z(G‬הערה‪ .‬זו הכללה של משפט ‪ .8.3.3‬הדרכה‪ .‬שוויון המחלקות המוכלל‪ ,‬תרגיל ‪.8.1.12‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.3.12‬חבורה מסדר ‪ p2‬היא אבלית‪ ,‬ואיזומורפית ל־ ‪ Zp2‬או ל־ ‪.Zp × Zp‬‬
‫הדרכה‪ .‬הסק מתרגיל ‪4.7.5‬‬
‫שהחבורה אבלית‪ .‬אם אין לה איבר מסדר ‪ ,p2‬אז היא מרחב וקטורי מעל השדה ‪.Fp‬‬
‫תרגיל ‪ G (**) 8.3.13‬לא אבלית מסדר ‪ .2197‬זהה את )‪ G/Z(G‬עד כדי איזומורפיזם‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.3.14‬תהי ‪ G‬חבורת־‪ p‬הפועלת על קבוצה ‪ X‬מגודל שאינו מתחלק ב־‪ .p‬הראה שיש‬
‫נקודת־שבת המשותפת לכל אברי ‪ .G‬הדרכה‪ .‬הגודל של כל מסלול שאינו נקודת שבת הוא חזקה של ‪ p‬ולכן מתחלק ב־‪.p‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.3.15‬נניח שלחבורה ‪ G‬יש תת־חבורה מינימלית יחידה‪ ,‬כלומר‪ ,‬יש תת־חבורה לא‬
‫טריוויאלית ‪ G0‬המוכלת בכל תת־חבורה של ‪) .G‬תנאי זה שקול לכך שחיתוך כל תת־החבורות‬
‫הציקליות אינו טריוויאלי(‪.‬‬
‫‪ .1‬הראה ש־‪ G‬חבורת־‪ p‬וש־)‪ G0 ⊆ Z(G‬היא תת־חבורה מסדר ‪.p‬‬
‫‪ .2‬הראה שכל תת־חבורה אבלית של ‪ G‬היא ציקלית‪.‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ G/G0‬ציקלית אז גם ‪ G‬ציקלית‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬יהי ‪ x ∈ G‬איבר כך ש־⟩‪ ,G/G0 = ⟨G0 x‬מסדר ‪ ;n‬אז = ⟩‪G0 = G0 ∩⟨x‬‬
‫⟩ ‪ ⟨xn‬ולכן ‪ x‬מסדר ‪ pn‬ו־⟩‪.G = ⟨x‬‬
‫‪.4‬‬
‫נניח ש־‪ p‬אי־זוגי‪ .‬הראה שגם ל־ ‪ G/G0‬יש תת־חבורה מינימלית‪ .‬הדרכה‪ .‬יהי ‪ z ∈ G‬איבר כך ש־‪G0 z‬‬
‫מרכזי מסדר ‪ p‬ב־ ‪ .G/G0‬כך ‪ ,z p ∈ G0‬ו־ ‪ ϵ = z p‬הוא יוצר של ‪ .G0‬יהי ‪ x ∈ G‬כך ש־ ‪ .x ̸∈ G0‬הסדר של ‪G0 x ∈ G/G0‬‬
‫הוא חזקת־‪ p‬ולכן מתחלק ב־‪ ;p‬נסמן את הסדר הזה ב־‪ .pm‬כך ‪ ,xpm ∈ G0‬אבל ‪ xpm ̸= 1‬ועל־ידי העלאת ‪ x‬בחזקה זרה‬
‫מכיוון ש־‪ G0 z‬מרכזי‪ ,‬אפשר לכתוב ‪ ,zxz −1 = ϵj x‬ואז ‪.zx−m z −1 = ϵ−jm x−m‬‬
‫ל־‪ p‬אפשר להניח ש־‪.xpm = ϵ‬‬
‫‪= ϵ−pmj(p−1)/2 ϵ−1 ϵ = 1‬‬
‫‪−mp p‬‬
‫‪z‬‬
‫‪x‬‬
‫))‪−mj(1+2+···+(p−1‬‬
‫‪= ϵ‬‬
‫‪p‬‬
‫)‪z‬‬
‫‪−m‬‬
‫‪ (x‬ולכן ‪z ∈ G0‬‬
‫‪−m‬‬
‫כעת‬
‫‪ ,x‬ומכאן ש־≤ ⟩ ‪z ∈ ⟨ϵ, x‬‬
‫‪m‬‬
‫⟩‪ ⟨G0 , x‬ו־⟩‪.G0 z ∈ ⟨G0 x‬‬
‫‪ .5‬נניח ש־‪ p‬אי־זוגי‪ .‬הראה ש־‪ G‬ציקלית‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬באינדוקציה לפי הסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪ .6‬מצא חבורה לא ציקלית שיש לה תת־חבורה מינימלית יחידה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.3.16‬תהי ‪ G‬חבורת־‪ p‬עם תת־חבורה יחידה מסדר ‪ .p‬הראה שיש לה תת־חבורה מינימלית‬
‫יחידה )במובן של תרגיל ‪(.8.3.15‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 8.3.17‬לחבורה ‪ G‬יש תת־חבורה מינימלית יחידה )תרגיל ‪ .(8.3.15‬הראה ש־‪ G‬אינה יכולה‬
‫לפעול נאמנה על קבוצה בגודל > |‪.|G‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.3.18‬הראה שמבין החבורות מסדר ‪ ,8‬רק ב־ ‪ Z8‬ו־ ‪ Q4‬יש איבר יחיד מסדר ‪.2‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 8.3.19‬הראה שאין שיכון ‪.Q4 ,→ S7‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪ .8.3.17‬ראה גם תרגיל ‪.6.3.8‬‬
‫תהי ‪ G‬חבורת־‪ .p‬נסמן ב־⟩‪ Gp = ⟨xp : x ∈ G‬את תת־החבורה הנוצרת על־ידי כל האברים מהצורה‬
‫‪.xp‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.3.20‬תהי ‪ G‬חבורת־‪ .p‬אז ‪.Gp ▹G‬‬
‫‪98‬‬
‫‪ .8.3‬חבורות־‪p‬‬
‫פרק ‪ .8‬משפטי סילו‬
‫תרגיל ‪ (+**) 8.3.21‬אם ‪ G ̸= 1‬חבורת־‪ ,p‬אז ‪.Gp < G‬‬
‫הדרכה‪ .‬אינדוקציה על |‪.|G‬‬
‫‪n‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.3.22‬תהי ‪ .G = D8‬חשב את ‪ .G2‬חשב את ‪ G2‬לכל ‪.n‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 8.3.23‬תהי ‪ G‬חבורת־‪ p‬שכל תת־החבורות האבליות שלה מסדר ‪ p‬לכל היותר‪ .‬הוכח‬
‫∼ ‪ .G‬הדרכה‪ .‬יהי )‪ .z ∈ Z(G‬אם )‪ ,x ̸∈ Z(G‬אז ⟩‪ ⟨z, x‬אבלית‪.‬‬
‫ש־ ‪= Zp‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.3.24‬אם ‪ T‬העתקה לינארית מסדר ‪ p‬של מרחב וקטורי ‪ V ̸= 0‬מעל שדה ממאפיין ‪ ,p‬אז‬
‫⟩ ‪⟨T‬‬
‫‪ .V‬הדרכה‪ .‬לפי ההנחה ‪ T p = I‬ולכן ‪ T‬מאפסת את הפולינום ‪) .λp − 1 = (λ − 1)p‬ראה‬
‫‪= {v ∈ V : T (v) = v} ̸= 0‬‬
‫הכללה בתרגיל ‪(.8.3.25‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.3.25‬אם ‪ G‬חבורת־‪ p‬ו־)‪ A ≤ Aut(G‬חבורת־‪ ,p‬אז יש נקודת שבת משותפת לא‬
‫‪A‬‬
‫‪ .(G‬הדרכה‪ .‬לפי משפט ‪ 8.3.3‬אפשר להניח ש־‪ G‬אבלית‪ .‬המשך‬
‫טריוויאלית בפעולה של ‪ A‬על ‪) G‬היינו ‪̸= 1‬‬
‫באינדוקציה על |‪ |A‬לפי אותו משפט‪ ,‬והפעל את תרגיל ‪.8.3.24‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.3.26‬יהי ‪ p‬ראשוני‪ .‬נסמן ב־) ‪ Un (Fp‬את חבורת המטריצות המשולשיות עליונות עם אלכסון‬
‫‪n‬‬
‫)‪) diag(1, 1, . . . , 1‬ראה גם תרגיל ‪ .(3.5.20‬הראה ש־) ‪ Un (Fp‬היא חבורת־‪) p‬מסדר ) ‪ ,(p( 2‬ומצא את‬
‫המרכז שלה‪.‬‬
‫∪‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.3.27‬נסמן ) ‪ U∞ (Fp‬את האיחוד ) ‪) Un (Fp‬כאשר ) ‪ Un (Fp‬הן החבורות מתרגיל ‪,(8.3.26‬‬
‫כלומר חבורת המטריצות האינסופיות‪ ,‬עם ‪ 1‬באלכסון‪ ,‬וכמעט כל איבר אחר שווה לאפס‪ .‬הראה שזו‬
‫חבורת־‪) p‬אינסופית(‪ ,‬עם מרכז טריוויאלי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.3.28‬הראה שהאוסף ‪ Pp‬של חבורות־‪ p‬סגור לתת־חבורות‪ ,‬לחבורות מנה‪ ,‬למכפלות‬
‫ולהרחבות )ראה הגדרה ‪ .(4.9.1‬הסק שלכל חבורה יש תת־חבורה נורמלית מינימלית יחידה ‪ N‬ביחס‬
‫לתכונה ש־ ‪ G/N‬היא חבורת־‪ .p‬הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.4.9.8‬‬
‫‪8.3.1‬‬
‫משפט מילר‬
‫תרגיל ‪ (+**) 8.3.29‬תהי ‪ G‬חבורת־‪ p‬עם תת־חבורה נורמלית אבלית ‪ .A▹G‬אם )‪ A ⊂ CG (A‬אז יש‬
‫תת־חבורה נורמלית אבלית ‪ A ⊂ A1‬כך ש־|‪) [CG (A) : CG (A1 )] ≤ |A‬ואפשר להניח ש־= ]‪[A1 : A‬‬
‫‪ .(p‬הדרכה‪ .‬תת־החבורה )‪ H = CG (A‬נורמלית לפי תרגיל ‪ .6.4.44‬נתבונן במנה ‪ .G/A‬לפי תרגיל ‪ 8.3.11‬יש איבר לא טריוויאלי‬
‫)‪ .xA ∈ H/A ∩ Z(G/A‬נסמן ⟩‪) A1 = ⟨A, x‬אפשר להניח ש־‪ ord(xA) = p‬ולקבל ‪ .([A1 : A] = p‬כיוון ש־‪ A1 ,x ∈ H‬אבלית‪.‬‬
‫ההנחה )‪ xA ∈ Z(G/A‬פירושה ש־‪ ,[x, G] ⊆ A‬ולכן ‪ gxg −1 ∈ Ax‬לכל ‪ g ∈ G‬ו־‪ .A1 ▹G‬מכיוון ש־)‪ ,A ⊆ Z(H‬לכל ‪h, h′ ∈ H‬‬
‫מתקיים ] ‪ ,[x, hh′ ] = [x, h][x, h′‬ולכן ]‪ adx : h 7→ [x, h‬הוא הומומורפיזם ‪ ;G→A‬הגרעין שלו הוא ) ‪ ,H1 = Ker(adx ) = CG (A1‬ולכן‬
‫|‪.[H : H1 ] ≤ |Im(adx )| ≤ |A‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 8.3.30‬תהי ‪ G‬חבורת־‪ p‬עם מרכז )‪ .Z = Z(G‬אם ‪ G‬אינה אבלית‪ ,‬אז יש תת־חבורה‬
‫‪ H▹G‬כך ש־)‪ Z(G) ⊂ Z(H‬ו־|‪ .[G : H] ≤ |Z‬הדרכה‪ .‬קח )‪ A = Z(G‬בתרגיל ‪ ,8.3.29‬ו־) ‪.H = CG (A1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪c‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 8.3.31‬בכל חבורת־‪ p‬עם מרכז מסדר ‪ ,pc‬שהסדר שלה גדול מ־ )‪ ,p( 2 )−(2‬יש תת־חבורה‬
‫‪m‬‬
‫נוכיח טענה מעט חזקה יותר‪ :‬בחבורה ‪ G‬כנ"ל יש תת־חבורה נורמלית אבלית מסדר‬
‫‪ .p‬הדרכה‪.‬‬
‫אבלית מסדר‬
‫נורמלית‬
‫) ( ) (‬
‫‪ pm‬כך ש־‬
‫‪m‬‬
‫‪c‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .[G : CG (A)] ≤ p‬ההוכחה באינדוקציה על ‪ .m‬עבור ‪ m ≤ c‬אין מה להוכיח )קח )‪ .(A ⊆ Z(G‬נניח שהטענה‬
‫‪) .m‬אז (יש תת־חבורה נורמלית אבלית ‪ A‬מסדר‬
‫נכונה ל־‪− 1‬‬
‫) (‬
‫‪m‬‬
‫‪c‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫]‪2 [CG (A) : A‬‬
‫(‬
‫) ( )‬
‫‪m+1‬‬
‫‪c‬‬
‫‪−‬‬
‫ש־ ‪ |A1 | = pm+1‬ו־ ‪2‬‬
‫‪p 2‬‬
‫‪m−1‬‬
‫‪ p‬עם‬
‫(‬
‫) ( )‬
‫‪m−1‬‬
‫‪c‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪p 2‬‬
‫≤ ])‪ .[G : CG (A‬לכן = |‪< |G‬‬
‫) ( ) (‬
‫‪m‬‬
‫‪c‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪p 2‬‬
‫‪ ,[G : CG (A)][CG (A) : A]|A| = p‬ו־)‪ .A ⊂ CG (A‬לפי תרגיל ‪ ,8.3.29‬יש תת־חבורה נורמלית אבלית ‪ A1 ▹G‬כך‬
‫=‬
‫) ( ) (‬
‫‪m‬‬
‫‪c‬‬
‫‪m+‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪p‬‬
‫≤ ]) ‪.[G : CG (A1 )] ≤ [G : CG (A)][CG (A) : CG (A1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2‬‬
‫תרגיל ‪) (***) 8.3.32‬משפט מילר( לכל חבורת־‪ p‬שסדרה גדול מ־ ) (‪ p‬יש תת־חבורה אבלית מסדר‬
‫‪m‬‬
‫‪ p‬לפחות‪ .‬הדרכה‪ .‬תרגיל ‪ ;8.3.31‬הרי ‪.c ≥ 1‬‬
‫‪α‬‬
‫‪[G.A. Miller, On an important theorem with respect to the operation groups of order p , p‬‬
‫]‪.being any prime number, Messenger Math 27, (1898), p. 120‬‬
‫)‪(m+1‬‬
‫‪m‬‬
‫≤ ‪ .n‬הדרכה‪ .‬זהו‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.3.33‬לחבורת־‪ p‬מסדר ‪ pn‬יש תת־חבורה אבלית מסדר ‪ p‬כאשר‬
‫‪2‬‬
‫תרגיל ‪.8.3.32‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 8.3.34‬נתבונן בחבורה ) ‪ Un (Fp‬מתרגיל ‪ .8.3.26‬מצא תת־חבורה נורמלית אבלית מסדר‬
‫‪ .pn−1‬הדרכה‪.A = ⟨1 + e1j : 1 < j⟩ .‬‬
‫תרגיל ‪ (+***) 8.3.35‬הראה שהחסם של משפט מילר )תרגיל ‪ (8.3.32‬הדוק‪ :‬לחבורה ) ‪ ,Un (Fp‬מסדר‬
‫‪n‬‬
‫) ‪ ,p( 2‬אין תת־חבורה נורמלית אבלית מסדר ‪.pn‬‬
‫‪99‬‬
‫‪ .8.4‬משפטי סילו‬
‫‪8.3.2‬‬
‫פרק ‪ .8‬משפטי סילו‬
‫מספר תת־החבורות‬
‫ניתן לדלג בקריאה ראשונה‪.‬‬
‫)על־פי סעיפים ‪ 59–61‬בספר ‪(.1897 ,William Burnside ,Theory of groups of finite order‬‬
‫תהי ‪ G‬חבורה מסדר ‪ .pn‬נסמן ב־)‪ di (G‬את מספר תת־החבורות מסדר ‪ pi‬ב־‪ ;G‬ולכל תת־חבורה ‪,P ≤ G‬‬
‫‪ uG‬את מספר תת־החבורות מסדר ‪ pj‬של ‪ G‬המכילות את ‪ .P‬בתת־סעיף זה נוכיח שכל המספרים‬
‫נסמן ב־) ‪j (P‬‬
‫האלה שקולים ל־‪ 1‬מודולו ‪.p‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 8.3.36‬הראה ש־)‪.dn−1 (G) ≡ 1 (mod p‬‬
‫נקבע תת־חבורה כזו‪) H ,‬קיימת לפי תרגיל ‪ .(8.3.10‬לכל ‪ H ̸= H1 < G‬מאינדקס ‪ N = H ∩ H1 ,p‬היא נורמלית מאינדקס ‪ ,p2‬עם‬
‫∼ ‪ ;G/N‬ל־ ‪ G/N‬יש ‪ p + 1‬תת־חבורות אמיתיות‪ ,‬ולכן יש בדיוק ‪ p‬תת־חבורות ‪ H1‬עם חיתוך השווה ל־ ‪ .N‬נפרק את אוסף‬
‫מנה ‪= Zp × Zp‬‬
‫הדרכה‪ .‬תת־החבורות מאינדקס ‪ p‬הן נורמליות לפי תרגיל ‪.8.3.9‬‬
‫תת־החבורות מאינדקס ‪ p‬למחלקות לפי החיתוך עם ‪ ;H‬אז פרט ל־‪ ,H‬בכל מחלקה יש בדיוק ‪ p‬תת־חבורות‪.‬‬
‫‪.uG‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 8.3.37‬הראה ש־)‪1 (1) ≡ 1 (mod p‬‬
‫הדרכה‪ .‬מכיוון שבמר כז )‪ Z(G‬של ‪ G‬יש אברים מסדר ‪ ,p‬אוסף‬
‫הפתרונות למשוואה ‪ xp = 1‬במרכז הוא תת־חבורה מסדר המתחלק ב־‪ ,p‬ולכן מספרם של האברים מסדר ‪ p‬שקול ל־‪ −1‬מודולו ‪ .p‬האברים‬
‫מסדר ‪ p‬שאינם במרכז שייכים למחלקות צמידות‪ ,‬שגודל כל אחת מהן מתחלק ב־‪ .p‬מכיוון ששתי תת־חבורות שונות מסדר ‪ p‬נחתכות באופן‬
‫‪G‬‬
‫‪.uG‬‬
‫טריוויאלי‪ ,‬יש ‪ p − 1‬אברים שונים מסדר ‪ p‬בכל חבורה‪ ,‬ולכן )‪1 (1) ≡ −(p − 1)u1 (1) = −m ≡ 1 (mod p‬‬
‫‪i‬‬
‫‪.uG‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 8.3.38‬לכל תת־חבורה ‪ P ̸= G‬מסדר ‪i+1 (P ) ≡ 1 (mod p) ,p‬‬
‫הדרכה‪ .‬נסמן ‪ .|P | = pi‬לפי‬
‫תרגיל ‪ P ,8.3.9‬נורמלית בכל תת־חבורה ‪ P1‬מסדר ‪ pi+1‬המכילה אותה‪ ,‬ולכן כל ‪ P1‬כזו מוכלת במנרמל ) ‪ .N = NG (P‬כמובן‪ ;P ▹N ,‬לכן‬
‫יש התאמה בין החבורות ‪ P1‬לבין תת־חבורות מסדר ‪ p‬ב־ ‪ ,N/P‬שמספרן שקול ל־‪ 1‬מודולו ‪ p‬לפי תרגיל ‪.8.3.37‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.3.39‬כל תת־חבורה מסדר ‪ (0 < i < n) pi‬מוכלת בתת־חבורה מסדר ‪ ,pi+1‬וכל תת־‬
‫‪i‬‬
‫‪i+1‬‬
‫‪ p‬מכילה תת־חבורה מסדר ‪ .p‬הדרכה‪ .‬תרגיל ‪ 8.3.10‬ותרגיל ‪ :8.3.38‬אפס אינו שקול ל־‪ 1‬מודולו‬
‫חבורה מסדר‬
‫‪.p‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 8.3.40‬הוכח שלכל ‪ .di (G) ≡ di+1 (G) ,0 ≤ i < n‬הדרכה‪ .‬נסמן ב־ ‪ X0‬את אוסף תת־החבורות מסדר‬
‫‪ ,pi‬ב־ ‪ X1‬את אוסף תת־החבורות מסדר ‪ ,pi+1‬וב־‪ X‬את קבוצת הזוגות ‪ (P0 , P1 ) ∈ X0 × X1‬כך ש־ ‪ .P0 < P1‬לפי תרגילים ‪ 8.3.36‬ו־‪,8.3.38‬‬
‫‪(mod p).‬‬
‫| ‪1 = |P0‬‬
‫∑‬
‫‪G‬‬
‫≡ ) ‪ui+1 (P0‬‬
‫‪P0 ∈X0‬‬
‫∑‬
‫= |‪di (P1 ) = |X‬‬
‫‪P0 ∈X0‬‬
‫∑‬
‫‪P1 ∈X1‬‬
‫≡‪1‬‬
‫∑‬
‫= | ‪|P1‬‬
‫‪P1 ∈X1‬‬
‫תרגיל ‪ (-**) 8.3.41‬מספר תת־החבורות מסדר ‪ pi‬של חבורה מסדר ‪ pn‬שקול ל־‪ 1‬מודולו ‪) p‬כלומר‬
‫)‪ .(di (G) ≡ 1 (mod p‬הדרכה‪ .‬אינדוקציה על ‪ i‬בתרגיל ‪.8.3.40‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.3.42‬מספר תת־החבורות הנורמליות מסדר ‪ pi‬של חבורה מסדר ‪ pn‬שקול ל־‪ 1‬מודולו ‪.p‬‬
‫הדרכה‪ .‬תת־החבורות מסדר ‪ pi‬משתייכות למחלקות צמידות‪ ,‬שגודלן ‪ 1‬עבור תת־החבורות הנורמליות‪ ,‬וחזקת־‪ p‬אמיתית בשאר המקרים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.3.43‬מספר תת־החבורות מגודל קבוע המכילות תת־חבורה ‪ P‬של ‪ G‬שקול ל־‪ 1‬מודולו‬
‫‪G‬‬
‫‪i‬‬
‫‪) .p‬היינו‪ :‬נניח ש־ ‪ |P | = p‬ו־‪ ,j ≤ n − i‬אז )‪ .(ui+j (P ) ≡ 1 (mod p‬הדרכה‪ .‬בדומה לתרגיל ‪ ,8.3.40‬נסמן ב־ ‪ N‬את‬
‫מספר הזוגות )‪ (P1 , Q‬כך ש־‪ [P1 : P ] = p ,P < P1 < Q < G‬ו־ ‪ .[Q : P ] = pj‬ספירת הזוגות בשתי דרכים מראה לפי תרגיל ‪ 8.3.41‬ש־‬
‫‪(mod p).‬‬
‫‪G‬‬
‫) ‪ui+j (P1‬‬
‫∑‬
‫= ‪dj+i−1 (Q) = N‬‬
‫‪P1‬‬
‫∑‬
‫‪Q‬‬
‫≡‪1‬‬
‫∑‬
‫‪G‬‬
‫= ) ‪ui+j (P‬‬
‫‪Q‬‬
‫כעת נוכיח את הטענה‪ ,‬באינדוקציה על ‪ .j‬את המקרה ‪ j = 1‬כיסינו בתרגיל ‪ .8.3.38‬מכיוון ש־ ‪ ,|P1 | = pi+1‬הנחת האינדוקציה נותנת‬
‫∑‬
‫∑‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ ,uG‬שוב לפי תרגיל ‪.8.3.38‬‬
‫≡ ) ‪i+j (P‬‬
‫≡ ) ‪P ui+j (P1‬‬
‫‪ ,ui+j (P1 ) ≡ 1‬ולכן )‪P 1 = ui+1 (P ) ≡ 1 (mod p‬‬
‫‪1‬‬
‫‪8.4‬‬
‫‪1‬‬
‫משפטי סילו‬
‫הגדרה ‪ 8.4.1‬יהי ‪ p‬ראשוני‪ .‬נסמן ‪ pt || n‬אם ‪ pt | n‬אבל ‪.pt+1 ̸ | n‬‬
‫הגדרה ‪ 8.4.2‬יהי ‪ p‬ראשוני‪ ,‬ונניח ש־|‪ .pt || n = |G‬תת־חבורה של ‪ G‬שהסדר שלה ‪ pt‬נקראת תת־חבורת ‪p‬־סילו של ‪.G‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 8.4.3‬תהי ‪ P ≤ G‬תת־חבורה שהיא חבורת־‪ .p‬אז ‪ P‬היא תת־חבורת ‪p‬־סילו אם ורק אם‬
‫] ‪ [G : P‬זר ל־‪.p‬‬
‫‪100‬‬
‫פרק ‪ .8‬משפטי סילו‬
‫‪8.4.1‬‬
‫‪ .8.4‬משפטי סילו‬
‫קיומן של חבורות ‪p‬־סילו‬
‫תרגיל ‪ (*) 8.4.4‬אם ‪ P‬תת־חבורת ‪p‬־סילו של ‪ G‬ו־‪ ,P ⊆ H ⊆ G‬אז ‪ P‬היא גם חבורת ‪p‬־סילו של ‪.H‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.4.5‬אם ‪ P ▹G‬תת־חבורה נורמלית שהיא חבורת־‪ ,p‬ול־ ‪ G/P‬יש תת־חבורת ‪p‬־סילו‪ ,‬אז‬
‫גם ל־‪ G‬יש תת־חבורת ‪p‬־סילו‪ .‬הדרכה‪ .‬כל תת־חבורה של ‪ G/P‬היא מהצורה ‪ B/P‬עבור ‪.B ≤ G‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.4.6‬הראה שלחבורת הקווטרניונים המוכללת ‪) Q6‬מסדר ‪ (12‬יש שלוש תת־חבורות ‪2‬־סילו‪,‬‬
‫והחיתוך שלהן הוא תת־חבורה מסדר ‪ ,2‬שהיא מרכז החבורה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 8.4.7‬תהי ‪ A‬חבורה אבלית מסדר המתחלק ב־‪ .p‬אז יש לה תת־חבורת ‪p‬־סילו‪.‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫נניח ש־|‪ .pt || n = |A‬לפי משפט קושי )לחבורות אבליות( יש ל־‪ A‬איבר ‪ x ∈ A‬מסדר ‪ .p‬לפי הנחת האינדוקציה ל־⟩‪ A/⟨x‬תת־חבורה מסדר‬
‫‪ ,pt−1‬וסיימנו לפי תרגיל ‪.8.4.5‬‬
‫משפט ‪) 8.4.8‬משפט סילו הראשון( לכל חבורה סופית שהסדר שלה מתחלק בראשוני ‪ p‬יש תת־חבורות ‪p‬־סילו‪.‬‬
‫מרכז לא טריוויאלי שהסדר שלו מתחלק‬
‫ֵּ‬
‫הוכחה‪ .‬ההוכחה דומה לזו של משפט קושי )משפט ‪ .(8.2.4‬אם יש‬
‫המר ָכז‬
‫ְ‬
‫ב־ ‪ ,pt‬גמרנו באינדוקציה‪ .‬אחרת‪ ,‬האינדקסים של כל המרכזים מתחלקים ב־‪ ,p‬ולכן גם הסדר של‬
‫מתחלק ב־‪ ,p‬ולפי משפט קושי יש בו איבר ‪ x‬מסדר ‪ .p‬לפי הנחת האינדוקציה ל־⟩‪ G/⟨x‬יש תת־חבורת‬
‫‬
‫‪p‬־סילו‪ ,‬ולפי תרגיל ‪ 8.4.5‬די בכך‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.4.9‬יהיו ‪ p‬ראשוני ו־‪ m‬זר ל־‪.p‬‬
‫‪pk m−i‬‬
‫‪pk −i‬‬
‫‪∏pk −1‬‬
‫‪i=0‬‬
‫) ‪( k‬‬
‫הראה ש־)‪. ppkm ≡ m (mod p‬‬
‫; לכל ‪) 0 < i < pk‬מתחלק ב־‪ p‬או זר לו(‪≡ 1 (mod p) ,‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫=‬
‫)‪(pk m‬‬
‫‪pk‬‬
‫‪k m−i‬‬
‫‪pk −i‬‬
‫‪.p‬‬
‫) (‬
‫‪2‬‬
‫‪. 2p‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 8.4.10‬יהי ‪ p > 2‬ראשוני‪ .‬הראה ש־) ‪p ≡ 2 (mod p‬‬
‫תת־הקבוצות בגודל ‪ p‬של }‪ ,{1, . . . , 2p‬וחשב את גדלי המסלולים‪) .‬השווה לתרגיל ‪(.8.4.10‬‬
‫) (‬
‫‪3‬‬
‫‪) . 2p‬השווה לתרגיל ‪(.8.4.10‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.4.11‬עבור ‪p ≡ 2 (mod p ) ,p > 3‬‬
‫הדרכה‪ .‬מצא פעולה של ‪ Zp × Zp‬על מרחב‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.4.12‬תן הוכחה של משפט סילו הראשון המבוססת על פעולה של ‪ G‬על תת־קבוצות‪.‬‬
‫הדרכה‪) .‬הוכחת ‪ (Wielandt‬יהי‬
‫)‪(G‬‬
‫‪pt‬‬
‫= ‪ Ω‬אוסף תת־הקבוצות בגודל ‪ pt‬של ‪ .G‬החבורה ‪ G‬פועלת על ‪ Ω‬לפי ‪ .g : B 7→ gB‬מכיוון ש־‪ p‬אינו‬
‫מחלק את |‪) |Ω‬תרגיל ‪ ,(8.4.9‬יש מסלול שגודלו זר ל־‪ ;p‬יהי ‪ B ∈ Ω‬איבר בכזה מסלול‪ .‬יהי ‪ H‬המייצב של ‪ .B‬מחד‪ [G : H] = |[B]| ,‬זר ל־‪,p‬‬
‫ולכן |‪ .pt | s = |H‬מאידך נקבע ‪ ,b0 ∈ B‬אז ‪ Hb0 ⊆ HB = B‬ולכן‬
‫‪ H ⊆ Bb−1‬כך ש־ ‪ .s ≤ pt‬לכן ‪ H‬תת־חבורת ‪p‬־סילו‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.4.13‬תהי ‪ G‬חבורה‪ ,‬עם חבורת ‪p‬־סילו ‪ .P‬הראה שהמנה המקסימלית של ‪ G‬שהיא‬
‫חבורת־‪) p‬תרגיל ‪ ,(8.3.28‬איזומורפית לחבורת מנה של ‪.P‬‬
‫הדרכה‪ .‬נסמן את המנה המקסימלית שהיא חבורת־‪p‬‬
‫∼ ) ‪ .P P/(P ∩ Np‬אבל מכיוון שהאינדקס ] ‪ [G : P Np‬מחלק גם את ] ‪ [G : Np‬וגם את | ‪,|P‬‬
‫ב־ ‪ .G/Np‬אז יש אפימורפיזם ‪= P Np /Np ≤ G‬‬
‫‪.G = P Np‬‬
‫‪8.4.2‬‬
‫תת־חבורות סילו צמודות זו לזו‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.4.14‬תהי ‪ P‬תת־חבורת ‪p‬־סילו של חבורה ‪ .G‬לכל תת־חבורה ‪ N ≤ G‬שהיא חבורת־‪,p‬‬
‫אם ‪ N P = P N‬אז ‪ .N ≤ P‬הדרכה‪ .‬לפי טענה ‪ P N 4.2.10‬היא חבורת־‪ ,p‬וסדרה אינו יכול לעלות על זה של ‪.P‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.4.15‬תהי ‪ P‬תת־חבורת ‪p‬־סילו של ‪.G‬‬
‫חבורת־‪ ,p‬מוכלת ב־ ‪ .P‬הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.8.4.14‬‬
‫כל תת־חבורה של המנרמל ) ‪ NG (P‬שהיא‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.4.16‬לכל תת־חבורת ‪p‬־סילו ‪ P ≤ G‬מתקיים ) ‪.NG (NG (P )) = NG (P‬‬
‫הדרכה‪ .‬יהי ∈ ‪a‬‬
‫)) ‪ .NG (NG (P‬אז ) ‪ ,aP a−1 ⊆ NG (aP a−1 ) = aNG (P )a−1 = NG (P‬ולפי תרגיל ‪.aP a−1 ⊆ P ,8.4.15‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.4.17‬תהי ‪ P ≤ G‬תת־חבורת ‪p‬־סילו‪ ,‬ותהי )‪ N ⊆ Z(G‬תת־חבורה מרכזית‪ .‬אם ‪P N ▹G‬‬
‫אז גם ‪ .P ▹G‬הדרכה‪) .‬השווה לתרגיל ‪ (.8.4.14‬מכיוון ש־ ‪ N‬מרכזית‪ .N P ⊆ NG (P ) ,‬לפי ההנחה‪ ,‬לכל ‪ x ∈ G‬מתקיים ⊆ ‪xP x−1‬‬
‫) ‪ ;xP N x−1 = P N ⊆ NG (P‬אבל ) ‪ ,P ▹NG (P‬ולכן זו חבורת ‪p‬־סילו יחידה של ) ‪ ,NG (P‬ו־ ‪.xP x−1 = P‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.4.18‬תהי ‪ P‬תת־חבורת ‪p‬־סילו של חבורה ‪ .G‬הראה שפעולת ‪ G‬לפי הצמדה על המסלול‬
‫של ) ‪ ,NG (P‬איזומורפית לפעולה של ‪ G‬על הקוסטים של ) ‪ .NG (P‬הדרכה‪ .‬תרגילים ‪ 6.4.67‬ו־‪.8.4.16‬‬
‫משפט ‪ 8.4.19‬תהי ‪ G‬חבורה סופית‪.‬‬
‫‪101‬‬
‫פרק ‪ .8‬משפטי סילו‬
‫‪ .8.4‬משפטי סילו‬
‫‪ .1‬כל תת־חבורות ‪p‬־סילו של ‪ G‬צמודות זו לזו‪) .‬משפט סילו השני(‬
‫‪ .2‬מספרן )‪) .np ≡ 1 (mod p‬משפט סילו השלישי(‬
‫הוכחה‪ .‬החבורה ‪ G‬פועלת על־ידי הצמדה על הקבוצה ‪ Ω‬של תת־חבורות ‪p‬־סילו של ‪ ,G‬שאינה ריקה לפי‬
‫משפט ‪ .8.4.8‬תהי ‪ .Q ∈ Ω‬המסלולים תחת פעולת ‪ Q‬על ‪ Ω‬הם בגודל המחלק את |‪ ,|Q‬כלומר חזקות של‬
‫‪ .p‬אם ‪ P‬נקודת שבת של ‪ Q‬אז ) ‪ Q ⊆ NG (P‬ולפי תרגיל ‪ 8.4.15‬נובע מכאן ש־ ‪ ;Q = P‬לכן ‪ Ω‬היא איחוד‬
‫של מסלולים בגודל המתחלק ב־‪ p‬עם המסלול }‪ ,{Q‬ומכאן )‪ .np ≡ 1 (mod p‬נימוק זה תקף גם אם נחליף‬
‫את ‪ Ω‬במסלול ]‪ [Q‬של ‪ Q‬תחת פעולת ‪ .G‬אם ‪ Q′ ∈ Ω‬אינה שייכת למסלול הזה‪ ,‬אז בפעולתה על ]‪ [Q‬אין‬
‫‬
‫נקודות שבת‪ ,‬בסתירה לכך שגודל המסלול זר ל־‪ ;p‬מכאן ש־]‪.Q′ ∈ [Q‬‬
‫משפט ‪ 8.4.20‬כל תת־חבורה של ‪ G‬שהיא חבורת־‪ p‬מוכלת בתת־חבורת ‪p‬־סילו‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬בהמשך להוכחת משפט סילו השני‪ ,‬תהי ‪ P‬תת־חבורת־‪ p‬של ‪ .G‬בפעולה שלה על ‪ Ω‬יש נקודת שבת‬
‫‬
‫‪ ,Q‬ו־‪ P ≤ Q‬לפי תרגיל ‪.8.4.15‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.4.21‬תהי ‪ Q‬תת־חבורת ‪p‬־סילו של ‪ .G‬כל תת־חבורת ‪p‬־סילו של )‪ NG (Q‬מוכלת ב־‪.Q‬‬
‫בפרט‪ ,‬אם גם ‪ P‬תת־חבורת ‪p‬־סילו‪ ,‬אז ‪.P ∩ NG (Q) = P ∩ Q‬‬
‫תרגיל ‪) (***) 8.4.22‬לכל ‪ (i ≥ 1‬אם ‪ np ̸= 1‬ו־) ‪ ,np ̸≡ 1 (mod pi‬אז יש תת־חבורות ‪p‬־סילו שונות ‪P, Q‬‬
‫‪i‬‬
‫עם ‪ .[P : P ∩ Q] < p‬הדרכה‪ .‬נוכיח את הטענה השקולה‪ :‬אם לכל שתי תת־חבורות ‪p‬־סילו ‪ P, Q‬שונות מתקיים ‪ ,[P : P ∩ Q] ≥ pi‬אז‬
‫) ‪ .np ≡ 1 (mod pi‬בדומה למשפט ‪ ,8.4.19‬נתבונן בפעולה של תת־חבורת ‪p‬־סילו ‪ P‬על אוסף תת־חבורות ‪p‬־סילו‪ .Ω ,‬המייצב של ‪Q ∈ Ω‬‬
‫∑‬
‫‪ ,np = 1 +‬כאשר הסכום הוא על נציג אחד מכל מסלול מלבד המסלול של‬
‫הוא ‪ ,P ∩ NG (Q) = P ∩ Q‬וכך מתקבל הפירוק ]‪[P : P ∩ Q‬‬
‫‪.P‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.4.23‬תהי ‪ H ≤ G‬תת־חבורה המכילה מנרמל של תת־חבורת ‪p‬־סילו‪ .‬אז ‪.NG (H) = H‬‬
‫הדרכה‪) .‬זוהי הכללה של תרגיל ‪ (.8.4.16‬יהי )‪ ,t ∈ NG (H‬אז ‪ ,tP t−1 ⊆ tNG (P )t−1 ⊆ tHt−1 = H‬ולכן ‪ tP t−1‬היא חבורת ‪p‬־סילו של‬
‫‪ .H‬לכן יש ‪ h ∈ H‬כך ש־ ‪ hP h−1 = tP t−1‬ואז ) ‪ ,h−1 t ∈ NG (P‬ו־‪.t ∈ hNG (P ) ⊆ H‬‬
‫כדאי להשוות בין תרגילים ‪ 8.3.7‬ו־‪ :8.4.23‬בחבורת־‪ p‬המנרמל של תת־חבורה תמיד גדול ממנה‪ ,‬ואילו‬
‫המנרמל של תת־חבורה המכילה תת־חבורת סילו‪ ,‬שווה לה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (-**) 8.4.24‬הראה שהאיחוד של כל תת־חבורות ‪p‬־סילו של ‪ G‬שווה לאוסף האברים מסדר‬
‫חזקת־‪ p‬של החבורה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.4.25‬זהה את תת־חבורות ‪2‬־סילו של ‪ .S4‬מה החיתוך שלהן? מה האיחוד שלהן?‬
‫השווה לתרגיל ‪.6.1.9‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 8.4.26‬נניח ש־‪ |G| = pt m‬כאשר ‪ .(p, m) = 1‬אז ‪.np | m‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫מספר תת־חבורות ‪p‬־סילו של ‪,G‬‬
‫)‪ ,np = np (G‬מקיים )‪ np ≡ 1 (mod p‬לפי המשפט השני‪ .‬מאידך ]) ‪ ,np = [G : NG (P‬ולכן הוא מחלק את |‪ .|G‬אם ‪ |G| = p m‬כאשר‬
‫‪t‬‬
‫‪ ,p̸ | m‬נובע מכך ש־‪.np | m‬‬
‫תרגיל ‪ np = 1 (**) 8.4.27‬אם ורק אם תת־חבורת ‪p‬־סילו היא נורמלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 8.4.28‬תהי ‪ P‬חבורת סילו של ‪ .G‬אם ) ‪ a, b ∈ CG (P‬צמודים ב־‪ ,G‬אז הם צמודים גם‬
‫ב־) ‪ .NG (P‬הדרכה‪ .‬נניח ש־ ‪ ,b = gag −1‬ונתבונן במרכז )‪ .H = CG (a‬לפי ההנחה ‪ P ⊆ H‬וגם ‪ ,P ⊆ CG (b) = gHg −1‬כלומר‬
‫‪ .P, g −1 P g ⊆ H‬לפי משפט סילו‪ ,‬קיים ‪ h ∈ H‬כך ש־‪ ,g −1 P g = h−1 P h‬ואז ) ‪ gh−1 ∈ NG (P‬ו־‪.(gh−1 )a(gh−1 )−1 = b‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.4.29‬תהי ‪ P‬חבורת סילו אבלית של ‪ .G‬אם ‪ a, b ∈ P‬צמודים ב־‪ ,G‬אז הם צמודים גם‬
‫ב־) ‪] NG (P‬משפט זה של ברנסייד הוא תוצאה ראשונה בתחום הקרוי היום ‪ .[Fusion Theory‬הדרכה‪.‬‬
‫תרגיל ‪.8.4.28‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.4.30‬תן דוגמה נגדית לתרגיל ‪ 8.4.29‬ללא ההנחה ש־ ‪ P‬אבלית‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬קח ‪ P = D4‬בתוך‬
‫‪.G = S4‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.4.31‬נניח ש־ ‪ P1 , . . . , Pt‬הן תת־חבורות סילו של ‪) G‬לראשוניים שונים(‪ ,‬וכולן נורמליות‪ .‬אז‬
‫⟩ ‪ ⟨P1 , . . . , Pt‬היא מכפלה ישרה של החבורות‪.‬‬
‫‪102‬‬
‫‪ .8.4‬משפטי סילו‬
‫פרק ‪ .8‬משפטי סילו‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.4.32‬נניח שכל תת־חבורות סילו של חבורה סופית ‪ G‬הן נורמליות‪ .‬אז ‪ G‬היא מכפלה‬
‫ישרה שלהן‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.4.33‬הוכח שהשיכון ‪ G ,→ Sn‬שמספק משפט קיילי אינו לתוך ‪ ,An‬אם ורק אם תת־חבורת‬
‫‪2‬־סילו של ‪ G‬היא ציקלית ולא טריוויאלית‪) .‬ראה גם תרגיל ‪ ;10.2.20‬הכללה ל־‪ p > 2‬מופיעה‬
‫בתרגיל ‪(.8.4.70‬‬
‫תרגיל ‪(-***) 8.4.34‬‬
‫‪ .1‬ל־ ‪ S5‬יש ‪ 15‬חבורות ‪2‬־סילו‪.‬‬
‫‪ .2‬ל־ ‪ A5‬יש ‪ 5‬חבורות ‪2‬־סילו‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬נסמן ‪ G = S5‬ו־)‪ .a = (12)(34‬הראה ש־ }‪ P = CG (a) ⊆ S4 = S{1,2,3,4‬היא תת־חבורת ‪2‬־סילו‪ ,‬וש־ ‪ NG (P ) ⊆ S4‬ולכן‬
‫‪ .NG (P ) = P‬מאידך‪ ,‬עבור ‪.NH (P ∩ H) = A4 ,H = A5‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.4.35‬תאר את חבורות ‪5‬־סילו של ‪.S17‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 8.4.36‬הראה שתת־חבורת ‪2‬־סילו של ‪ S6‬איזומורפית ל־ ‪ ,Z2 × D4‬ושתת־חבורת ‪2‬־סילו‬
‫של ‪ S8‬איזומורפית ל־ ‪) Z2 ≀ D4‬ראה הגדרה ‪.(7.3.49‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 8.4.37‬מצא למה איזומורפיות תת־חבורות ‪2‬־סילו של ) ‪.SL2 (F5‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪ 3.6.39‬נותן פתרון‬
‫מלא‪ .‬לחילופין‪ ,‬הראה שב־) ‪ SL2 (F5‬יש איבר יחיד מסדר ‪ 2‬והשלם את הפתרון בעזרת תרגיל ‪.8.3.18‬‬
‫תרגיל ‪) (-***) 8.4.38‬דוגמה נגדית למשפטי סילו עבור חבורות אינסופיות( יהי ‪ T : Z2 →Z2‬האוטומורפיזם‬
‫הראה ש־= ‪T 4‬‬
‫המוגדר לפי ‪ T (x) = y −1‬ו־‪ T (y) = x‬כאשר ‪ x, y‬יוצרים את ‪.Z2‬‬
‫‪2‬‬
‫נגדיר ) ‪ θ : Z4 →Aut(Z2‬לפי ‪ ⟨ .θ(1) = T‬נתבונן בחבורה = ‪G = Z oθ Z4‬‬
‫⟩‪.1‬‬
‫‪ . x, y, σ | xy = yx, σxσ −1 = y −1 , σyσ −1 = x, σ 4 = 1‬הראה שמחוץ לתת־החבורה הנורמלית‬
‫⟩‪ ,⟨x, y‬כל איבר של ‪ G‬צמוד בדיוק לאחד מהאברים ‪ .σ, xσ, σ −1 , xσ −1 , σ 2 , xσ 2 , yσ 2 , xyσ 2‬הראה‬
‫שתת־חבורות־‪ 2‬המקסימליות של ‪ G‬שייכות לשלוש מחלקות צמידות )באחת חבורות מסדר ‪ ,2‬ובשתיים‬
‫חבורות מסדר ‪.(4‬‬
‫‪8.4.3‬‬
‫תת־חבורות סילו של תת־חבורות וחבורות מנה‬
‫כדי לנסח בקלות טענות על תת־חבורות ‪p‬־סילו של חבורות שונות‪ ,‬נסמן ב־)‪ Sylp (G‬את קבוצת תת־חבורות‬
‫‪p‬־סילו של ‪.G‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.4.39‬תהי ‪ .H ≤ G‬לכל )‪ P0 ∈ Sylp (H‬יש )‪ P ∈ Sylp (G‬כך ש־‪.P0 = P ∩ H‬‬
‫‪ P0 ≤ H‬תת־חבורת ‪p‬־סילו; זוהי חבורת־‪ p‬ולכן יש תת־חבורת ‪p‬־סילו ‪ P ≤ G‬כך ש־ ‪ ;P0 ⊆ P‬אז ‪ ,P0 ⊆ P ∩ H‬ומכיוון ש־‪ P ∩ H‬היא‬
‫הדרכה‪ .‬תהי‬
‫חבורת־‪ p‬מתקיים שוויון‪.‬‬
‫תרגיל ‪(+**) 8.4.40‬‬
‫‪ .1‬תהי ‪ .H▹G‬לכל )‪.P ∩ H ∈ Sylp (H) ,P ∈ Sylp (G‬‬
‫הדרכה‪[H : P ∩ H] = .‬‬
‫] ‪ [HP : P ] | [G : P‬והאינדקס ] ‪ [G : P‬זר ל־‪.p‬‬
‫‪ .2‬הנחת הנורמליות בסעיף הקודם ‪ -‬הכרחית‪ .‬תן דוגמה לתת־חבורה ‪ H ≤ G‬שהסדר שלה‬
‫מתחלק ב־‪ ,p‬עם )‪ P ∈ Sylp (G‬כך ש־‪.P ∩ H = 1‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.4.41‬תהי ‪ .N ▹G‬לכל )‪.N P/N ∈ Sylp (G/N ) ,P ∈ Sylp (G‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 8.4.42‬אם תת־חבורת ‪p‬־סילו של ‪ G‬מוכלת בתת־חבורה נורמלית ‪ N‬של ‪ ,G‬אז כל‬
‫חבורות ‪p‬־סילו מוכלות ב־ ‪ .N‬בפרט‪.np (N ) = np (G) ,‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 8.4.43‬אם תת־חבורת ‪p‬־סילו ‪ P‬של ‪ G‬מוכלת בתת־חבורה ‪ H‬של ‪ ,G‬אז ≤ )‪np (H‬‬
‫)‪ .np (G‬הדרכה‪ NH (P ) = H ∩ NG (P ) .‬ולכן ]) ‪.np (H)[G : H] = [G : NH (P )] ≤ [G : H][G : NG (P‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.4.44‬תהי ‪ P‬תת־חבורת ‪p‬־סילו של ‪ .G‬לכל ‪ NG (P ) ≤ H ≤ G‬מתקיים היחס ‪[G : H] ≡ 1‬‬
‫)‪ .(mod p‬הדרכה‪ .‬לפי משפט סילו השני ותרגיל ‪.[G : NG (P )] ≡ [G : H] ≡ 1 (mod p) ,8.4.4‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.4.45‬מספר תת־החבורות מסדר ‪ pi‬של ‪) G‬כאשר |‪ (pi | |G‬שקול ל־‪ 1‬מודולו ‪ .p‬הערה‪.‬‬
‫‪i‬‬
‫זוהי כמובן הכללה של סעיף ‪ 2‬במשפט סילו השני‪ ,‬שם |‪ .p || |G‬הדרכה‪ .‬תהי ‪ Q‬חבורת ‪p‬־סילו של ‪ .G‬בדומה להוכחת משפט‬
‫סילו השני‪ Q ,‬פועלת על האוסף ‪ Ω‬של תת־החבורות מסדר ‪ pi‬ב־‪ .G‬כל נקודת שבת היא תת־חבורה ‪ P‬המוכלת ב־‪ Q‬לפי תרגיל ‪,8.4.14‬‬
‫ומספרן של אלה שקול ל־‪ 1‬לפי תרגיל ‪ .8.3.41‬שאר תת־החבורות שייכות למסלולים שגודלם מתחלק ב־‪ p‬ככל מחלק גדול מ־‪ 1‬של |‪.|Q‬‬
‫‪103‬‬
‫פרק ‪ .8‬משפטי סילו‬
‫‪ .8.4‬משפטי סילו‬
‫תרגיל ‪ (+**) 8.4.46‬החיתוך של כל תת־חבורות ‪p‬־סילו הוא תת־חבורת־‪ p‬נורמלית מקסימלית של ‪.G‬‬
‫כלומר‪ :‬החיתוך נורמלי‪ ,‬וכל תת־חבורת ‪p‬־סילו נורמלית מוכלת בו‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.4.47‬תן דוגמה נגדית‪'' :‬אם ‪ P ≤ G‬תת־חבורת ‪p‬־סילו ו־‪ ,H ≤ G‬אז ‪ H ∩ P‬תת־חבורת‬
‫‪p‬־סילו של ‪) ''.H‬לפי תרגיל ‪ 8.4.41‬הטענה נכונה אם ‪ H‬נורמלית(‪.‬‬
‫תרגיל ‪") (***) 8.4.48‬טיעון פרטיני"( תהי ‪ N ▹G‬ו־ ‪ P‬תת־חבורת סילו של ‪ .N‬אז ) ‪.G = N · NG (P‬‬
‫הדרכה‪ .‬לכל ‪ g ∈ G‬מתקיים ‪ ;gP g −1 ⊆ gN g −1 = N‬לכן ‪ gP g −1‬תת־חבורת ‪p‬־סילו של ‪ ,N‬ולכן קיים ‪ x ∈ N‬כך ש־ ‪.xgP g −1 x−1 = P‬‬
‫כלומר‪.g = x−1 (xg) ∈ N · NG (P ) ,‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.4.49‬אם ‪ H▹G‬ו־‪ P ▹H‬היא תת־חבורת ‪p‬־סילו )יחידה( של ‪ ,H‬אז ‪.P ▹G‬‬
‫הדרכה‪ .‬טיעון פרטיני‪.‬‬
‫הערה‪ .‬השווה לתרגיל ‪ ;3.3.15‬אכן אצלנו ‪ P‬אופיינית ב־‪.H‬‬
‫‪8.4.4‬‬
‫תת־חבורות הול‬
‫ניתן לדלג בקריאה ראשונה‪.‬‬
‫תהי ‪ π‬קבוצה של ראשוניים‪ .‬חבורה שהסדר של כל איבר בה הוא מכפלה של ראשוניים ‪) p ∈ π‬לאו‬
‫דווקא שונים( נקראת חבורת־‪.π‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.4.50‬האוסף של חבורות־‪ π‬סגור לתת־חבורות‪ ,‬לחבורות מנה‪ ,‬למכפלה של תת־חבורות‬
‫נורמליות ולאיחוד שרשראות )ראה הגדרה ‪(.4.9.1‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.4.51‬בכל חבורה מפותלת ‪) G‬כל האברים בעלי סדר סופי( יש תת־חבורת־‪ π‬נורמלית‬
‫גדולה ביותר )היינו היא מכילה כל תת־חבורת־‪ π‬נורמלית בחבורה(‪ .‬מסמנים אותה ב־)‪ .Oπ (G‬הדרכה‪.‬‬
‫תרגיל ‪.4.9.11‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 8.4.52‬בכל חבורה מפותלת ‪ G‬יש תת־חבורה נורמלית מסדר אי־זוגי גדולה ביותר )ככזו(‪.‬‬
‫מסמנים אותה ב־)‪ .O2′ (G‬הדרכה‪ .‬זהו מקרה פרטי חשוב של תרגיל ‪.8.4.51‬‬
‫הגדרה ‪ 8.4.53‬תת־חבורה שהסדר והאינדקס שלה זרים‪ ,‬נקראת תת־חבורת הול )על שם ‪.(Phillip Hall‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 8.4.54‬כל תת־חבורת סילו היא תת־חבורת הול‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.4.55‬תהי ‪ N ≤ G‬תת־חבורת הול‪ .‬כל תת־חבורה מסדר ] ‪ [G : N‬של ‪ G‬היא תת־חבורה‬
‫משלימה של ‪) .N‬ראה הגדרה ‪(.4.3.1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.4.56‬תת־חבורת הול נורמלית ‪ N‬מכילה כל תת־חבורה של ‪ G‬מסדר המחלק את | ‪.|N‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫∼ ‪ N N ′ /N‬ולכן ] ‪ [N N ′ : N‬המחלק את ] ‪ [G : N‬שווה ל־] ‪ [N ′ : N ∩ N ′‬המחלק‬
‫הדרכה‪ .‬תהי ‪ N‬תת־חבורה מאותו סדר‪ .‬אז ) ‪= N /(N ∩ N‬‬
‫‪ ′‬‬
‫‪′‬‬
‫את | ‪ ;N = |N‬אבל מספרים אלו זרים ולכן ‪.N ⊆ N‬‬
‫משפט ‪) 8.4.57‬משפט שור־זסנהאוז( לכל תת־חבורת הול נורמלית יש משלים‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬באינדוקציה על הסדר של ‪ .G‬תהי ‪ N ▹G‬תת־חבורת הול‪ ,‬כלומר | ‪ |N‬זר ל־] ‪ .m = [G : N‬ראשית‬
‫נניח ש־ ‪ N‬מכילה תת־חבורה ‪ 1 < K < N‬שהיא נורמלית ב־‪ ;G‬נתבונן בתת־החבורה ‪ N/K‬של ‪ .G/K‬היא‬
‫נורמלית‪ ,‬וסדרה |‪ |N/K‬מחלק את | ‪ |N‬ולכן זר לאינדקס ] ‪ .[G/K : N/K] = [G : N‬לפי הנחת האינדוקציה‪,‬‬
‫יש ב־‪ G/K‬משלים ‪ L/K‬ל־‪ ;N/K‬כלומר‪ N L = G ,‬ו־‪ .N ∩ L = K‬לפי משפט האיזומורפיזם השני‬
‫∼ )‪ ,L/K = L/(N ∩ L‬ולכן ]‪ [L : K‬זר ל־| ‪ ,|N‬ובפרט זר ל־|‪ .|K‬שוב לפי הנחת‬
‫‪= N L/N = G/N‬‬
‫האינדוקציה יש ב־‪ L‬משלים ל־‪ ,K‬וזוהי תת־חבורה מסדר ‪ m‬המוכלת ב־‪.G‬‬
‫מעתה נוכל להניח שאין ל־ ‪ N‬תת־חבורות לא טריוויאליות שהן נורמליות ב־‪ ,G‬פרט לעצמה‪ .‬אם ‪N‬‬
‫אבלית‪ ,‬יש לה משלים לפי תרגיל ‪ .7.4.37‬נניח ש־ ‪ N‬אינה אבלית‪ .‬יהי ‪ p‬ראשוני המחלק את | ‪ ,|N‬ותהי ‪P ≤ N‬‬
‫תת־חבורת ‪p‬־סילו‪ .‬אם ‪ P = N‬אז ‪ N‬חבורת־‪ p‬ולכן ‪ Z(N )▹N‬היא תת־חבורה אמיתית לפי ההנחה‪ ,‬לא‬
‫טריוויאלית לפי משפט ‪ ,8.3.3‬וזו תת־חבורה נורמלית של ‪ G‬לפי תרגיל ‪ .3.3.10‬זוהי סתירה להנחה שאין ל־ ‪N‬‬
‫תת־חבורות אמיתיות נורמליות ב־‪.G‬‬
‫אם כך‪ ,P < N ,‬ולפי ההנחה ‪ P‬אינה נורמלית ב־‪ ;G‬לכן ‪ .NG (P ) < G‬מכיוון ש־‪ ,N ▹G‬גם‬
‫) ‪ .NN (P ) = N ∩ NG (P )▹NG (P‬לפי טיעון פרטיני )תרגיל ‪ ,G = N · NG (P ) ,(8.4.48‬ומכיוון ש־‬
‫∼ ) ‪ NG (P )/NN (P‬מסדר ‪ NN (P ) ,m‬היא תת־חבורת הול של ) ‪ .NG (P‬לפי הנחת‬
‫‪= N · NG (P )/N = G/N‬‬
‫‬
‫האינדוקציה יש לה משלים )מסדר ‪ ,(m‬שהוא גם תת־חבורה של ‪.G‬‬
‫‪104‬‬
‫‪ .8.4‬משפטי סילו‬
‫פרק ‪ .8‬משפטי סילו‬
‫תרגיל ‪ (*) 8.4.58‬הראה שאם ‪ n, m‬אינם זרים‪ ,‬אז לתת־החבורה מסדר ‪ n‬של ‪ Znm‬אין משלים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.4.59‬יהי ‪ p‬ראשוני המחלק את הסדר של חבורה ‪ .G‬נניח שמתקיים החוק ‪(ab)p = ap bp‬‬
‫)השווה לתרגיל ‪.(2.1.16‬‬
‫‪ .1‬הוכח‪ :‬תת־חבורת ‪p‬־סילו‪ ,P ,‬נורמלית ב־‪.G‬‬
‫‪ .2‬הראה שיש ל־ ‪ P‬משלים נורמלי )כלומר תת־חבורה נורמלית ‪ N‬כך ש־‪ P ∩ N = e‬ו־‪(.N P = G‬‬
‫∼ ‪ ,G‬ובפרט ‪.Z(G) ̸= e‬‬
‫‪ .3‬הראה ש־ ‪= P × N‬‬
‫הדרכה‪ φ : x 7→ xp .‬הוא הומומורפיזם‪ .‬חשוב על ‪ φt‬כאשר |‪.pt || n = |G‬‬
‫‪ 8.4.5‬הטרנספר‬
‫ניתן לדלג בקריאה ראשונה‪.‬‬
‫הקוסטים ‪ G/H‬על־ידי‬
‫תהיינה ‪ H ≤ G‬חבורה ותת־חבורה‪ .‬כפי שראינו בסעיף ‪ G ,6.3.2‬פועלת על מרחב‬
‫∪‬
‫כפל משמאל‪ .‬באופן מפורש‪ ,‬אם נבחר ]‪ n = [G : H‬נציגים ‪ g1 , . . . , gn ∈ G‬כך ש־‪ ,G = gi H‬אז יש‬
‫הומומורפיזם ‪ ϕ : G→Sn‬כך שלכל ‪ ,x ∈ G‬התמורה )‪ σ = ϕ(x‬מקיימת ‪ xgi H = gσ(i) H‬לכל ‪.i‬‬
‫הגדרה ‪ 8.4.60‬תהי ‪ G‬חבורה עם תת־חבורה ‪ H‬מאינדקס ‪ n‬כמתואר לעיל‪ .‬מגדירים ‪ T = TG/H : G→H/H ′‬לפי‬
‫‪∏n‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪) x 7→ i=1 gσi‬המכפלה אינה תלויה בסדר משום ש־ ‪ H/H ′‬אבלית(‪ .‬העתקה זו נקראת הטרנספר מ־‪ G‬ל־‪.H‬‬
‫‪xgi‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 8.4.61‬הראה ש־ ‪ TG/H‬מוגדרת היטב )כלומר אינה תלויה בבחירת הנציגים ‪.(gi‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 8.4.62‬הראה ש־ ‪ T : G→H/H ′‬הוא הומומורפיזם‪ ,‬והסק שהוא משרה הומומורפיזם‬
‫‪.G/G′ →H/H ′‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 8.4.63‬נניח ש־‪ .K ⊆ H ⊆ G‬הראה ש־ ‪.TG/K = TH/K ◦ TG/H‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.4.64‬אם ‪ K‬תת־חבורה משלימה של ‪ ,H‬אז ) ‪.K ⊆ Ker(TG/H‬‬
‫ואפשר לבחור את ‪ K‬כקבוצת הנציגים בפירוק ‪ ;G = ∪gi H‬כך‪ ,‬לכל ‪ kgi = gσ(i) ,k ∈ K‬ו־)‪ TG/H (k‬היא מכפלה של אברי היחידה‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬לפי ההנחה ‪,G = KH‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.4.65‬אם ‪ H‬אבלית והצמצום של ‪ TG/H‬ל־‪ H‬חד־חד־ערכי‪ ,‬אז ) ‪ Q = Ker(TG/H‬הוא‬
‫משלים נורמלי של ‪ .H‬הדרכה‪ .‬לפי ההנחה ‪ Q ∩ H = 1‬ולכן |‪ ;|QH| = |Q||H‬הסק ‪.G = QH‬‬
‫אומרים שהטרנספר מעריכי )או מעריכי על ‪ (H‬אם ]‪ TG/H (g) = g [G:H‬לכל ‪) g ∈ G‬או לכל ‪.(g ∈ H‬‬
‫זהו המקרה שבו הטרנספר שימושי במיוחד‪ .‬נזכיר שאם ‪ Q‬הוא משלים נורמלי של ‪ ,H‬אז ‪ G = Q o H‬ביחס‬
‫לפעולה מתאימה של ‪ H‬על ‪.Q‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 8.4.66‬אם ‪ H‬היא תת־חבורת הול )כלומר ‪ ((|H|, [G : H]) = 1‬והטרנספר מעריכי על ‪,H‬‬
‫אז הצמצום של ‪ TG/H‬ל־‪ H‬חד־חד־ערכי )ולפי תרגיל ‪ 8.4.65‬יש ל־‪ H‬משלים נורמלי(‪.‬‬
‫משפט ‪) 8.4.67‬משפט המשלים הנורמלי של ברנסייד( תהי ‪ P ≤ G‬תת־חבורת ‪p‬־סילו עם ) ‪.NG (P ) = CG (P‬‬
‫אז יש ל־ ‪ P‬משלים נורמלי‪.‬‬
‫‪∏ −1‬‬
‫)‪∏ −1 d(C‬‬
‫‪ TG/P (x) = gσ(i) xgi = C gC x‬כאשר‬
‫הוכחה‪ .‬נכתוב ‪ .G = ∪gi P‬יהי ‪ .x ∈ P‬לפי ההגדרה‪gC ,‬‬
‫המכפלה השניה היא על המחזורים בפעולת ‪ x‬על ‪ ,G/P‬ו־)‪ d(C‬הוא אורך המחזור ‪ .C‬כמכפלה של אברים‬
‫)‪−1 d(C‬‬
‫‪ ;gC‬אבל גם ) ‪ ,xd(C) ∈ CG (P‬ולפי תרגיל ‪,8.4.28‬‬
‫‪x‬‬
‫ב־ ‪ ,P‬לכל מחזור ‪gC ∈ P ⊆ NG (P ) = CG (P ) ,C‬‬
‫)‪−1 d(C‬‬
‫)‪ xd(C‬במרכז של ) ‪ ,NG (P ) = CG (P‬הוכחנו למעשה‬
‫ש־‬
‫‪ gC‬צמוד ל־ )‪ xd(C‬ב־) ‪ .NG (P‬מכיוון‬
‫‪x‬‬
‫‪gC‬‬
‫)‪∏ d(C‬‬
‫)‪−1 d(C‬‬
‫] ‪[G:P‬‬
‫‪ ,TG/P (x) = C x‬והטרנספר מעריכי על ‪ .P‬סיימנו לפי‬
‫‪=x‬‬
‫‪ .gC x‬אם כך‬
‫ש־ )‪gC = xd(C‬‬
‫‬
‫תרגילים ‪ 8.4.66‬ו־‪.8.4.65‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.4.68‬אם קיימת תת־חבורה ‪ K‬כך ש־‪ G = KH‬ו־‪ ,[K, H] = 1‬אז הטרנספר מעריכי‪.‬‬
‫)בפרט הטרנספר מעריכי אם )‪ ,H ⊆ Z(G‬כי אז אפשר לקחת ‪(.K = G‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.4.69‬תת־חבורת סילו מרכזית היא מחובר ישר‪ .‬כלומר‪ ,‬אם ‪ P ≤ G‬היא תת־חבורת סילו‬
‫∼ ‪ G‬עבור תת־חבורה ‪ .H▹G‬הדרכה‪) .‬זו גרסה חלשה של משפט המשלים הנורמלי של ברנסייד(‪.‬‬
‫מרכזית‪ ,‬אז ‪= P × H‬‬
‫תרגילים ‪ 8.4.68 ,8.4.66‬ו־‪.7.3.13‬‬
‫‪105‬‬
‫פרק ‪ .8‬משפטי סילו‬
‫‪ .8.5‬שימושים במשפטי סילו‬
‫תרגיל ‪] (+**) 8.4.70‬לואי פולב[ תהי ‪ G‬חבורה ויהי ‪ p‬המחלק הראשוני הקטן ביותר של |‪ .|G‬אם‬
‫חבורת ‪p‬־סילו ‪ P‬היא ציקלית‪ ,‬אז יש ל־‪ G‬תת־חבורה )נורמלית( מאינדקס ‪) .p‬השווה לתרגיל ‪.(8.4.33‬‬
‫∼ ) ‪ NG (P )/CG (P ) ,→ Aut(P‬לפי משפט ‪ ,N/C‬ו־]) ‪ [NG (P ) : CG (P‬זר‬
‫הדרכה‪ .‬לפי ההנחה ) ‪ ,P ⊆ CG (P ) ⊆ NG (P‬אבל ‪= Upt‬‬
‫ל־)‪ ϕ(pt ) = pt−1 (p − 1‬לפי ההנחה‪ .‬לכן ) ‪ NG (P ) = CG (P‬ולפי משפט המשלים הנורמלי של ברנסייד‪ ,‬משפט ‪ ,8.4.67‬יש ל־ ‪ P‬משלים‬
‫∼ ‪ .G/Q‬הרם תת־חבורה מאינדקס ‪ p‬של ‪.P‬‬
‫נורמלי ‪ ,Q‬עם ‪= P‬‬
‫תרגיל ‪) (+**) 8.4.71‬הכללה של תרגיל ‪ (8.4.70‬תהי ‪ P ≤ G‬תת־חבורת ‪p‬־סילו‪.‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ P‬ציקלית ו־|‪ |G‬זר ל־)‪ (p − 1‬אז יש ל־ ‪ P‬משלים נורמלי‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ |P | = p2‬ו־|‪ |G‬זר ל־)‪ (p2 − 1‬אז יש ל־ ‪ P‬משלים נורמלי‪.‬‬
‫‪8.4.6‬‬
‫מכפלה של תת־חבורות‬
‫ניתן לדלג בקריאה ראשונה‪.‬‬
‫הצגה של ‪ G‬כמכפלה ‪ ,G = AB‬כאשר ‪ ,A, B < G‬נקראת פירוק‪ .‬הפירוק ) ‪G = (gAg −1 )(gBg −1‬‬
‫המתקבל מהצמדה באיבר ‪ g ∈ G‬נקרא פירוק צמוד לפירוק ‪.G = AB‬‬
‫פירוקים‬
‫שני‬
‫כל‬
‫לתת־חבורות צמודות‪,‬‬
‫צמודים זה לזה‬
‫תרגיל ‪ (-***) 8.4.72‬הראה שאם ‪ G = AB‬ו־ ‪ A′ , B ′‬צמודות בהתאמה ל־‪ ,A, B‬אז ‪ G = A′ B ′‬ושני‬
‫הפירוקים צמודים‪ .‬הדרכה‪ .‬לפי ההנחה קיימים ‪ x, y ∈ G‬כך ש־ ‪ A′ = xAx−1‬ו־ ‪ .B ′ = yBy −1‬נכתוב ‪ y = ab‬כאשר ‪a ∈ A‬‬
‫ו־‪ .b ∈ B‬מכיוון ש־‪) AB = BA‬משפט ‪ ,(4.2.6‬אפשר גם לכתוב ‪ a−1 xa = b1 a1‬כאשר ‪ a1 ∈ A‬ו־‪ .b1 ∈ B‬נבחר ‪ ,g = ab1‬אז‬
‫‪−1‬‬
‫‪= xAx−1 = A′‬‬
‫‪ gAg −1 = ab1 Ab−1‬ו־ ‪ ,gBg −1 = aBa−1 = yBy −1 = B ′‬ולכן ‪.A′ B ′ = g(AB)g −1 = G‬‬
‫‪1 a‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.4.73‬נניח ש־ ‪ G = A1 A2‬הוא פירוק של ‪ G‬כמכפלה של תת־חבורות‪ ,‬ו־ ‪ Pi ≤ Ai‬הן‬
‫תת־חבורות ‪p‬־סילו‪.‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ P1 P2 ⊆ P‬כאשר ‪ P‬תת־חבורת ‪p‬־סילו של ‪ ,G‬אז ‪P‬‬
‫| ‪ |P1 | · |P2‬ולכן הוא חזקת־‪ .p‬מאידך‪,‬‬
‫] ‪[A1 :P1 ][A2 :P2‬‬
‫] ‪[A1 ∩A2 :P1 ∩P2‬‬
‫= ] ‪= [A1 A2 : P1 P2‬‬
‫= ‪.P1 P2‬‬
‫|‪|G‬‬
‫‪ |P P‬זר ל־‪ ,p‬ולכן ‪.P1 P2 = P‬‬
‫הדרכה‪ .‬הסדר של ‪ P1 P2‬מחלק את‬
‫|‪1 2‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ P = P1 P2‬היא תת־חבורה של ‪ ,G‬אז זוהי חבורת ‪p‬־סילו ו־) ‪.P = (P ∩ A1 )(P ∩ A2‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫לפי טענה ‪ P 4.2.10‬היא חבורת־‪ ,p‬והאינדקס שלה‬
‫] ‪[A1 :P1 ][A2 :P2‬‬
‫] ‪[A1 ∩A2 :P1 ∩P2‬‬
‫= ] ‪ [G : P ] = [A1 A2 : P1 P2‬זר ל־‪.p‬‬
‫השוויון‬
‫) ‪ P = (P ∩ A1 )(P ∩ A2‬מתקבל מהכלה בשני הכיוונים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.4.74‬נניח ש־ ‪ .G = A1 A2‬אז יש תת־חבורות ‪p‬־סילו ‪ P1 ≤ A1‬ו־ ‪ P2 ≤ A2‬כך ש־ ‪P1 P2‬‬
‫היא תת־חבורת ‪p‬־סילו של ‪ .G‬הדרכה‪ .‬נבחר ) ‪ P1 ∈ Sylp (A1‬ו־) ‪ .P2′ ∈ Sylp (A2‬תהיינה )‪ Q, Q′ ∈ Sylp (G‬כך ש־‪P1 ⊆ Q‬‬
‫פירוק של החבורה‬
‫של‬
‫פירוק‬
‫משרה‬
‫תת־חבורות ‪p‬־סילו‬
‫ו־ ‪) P2′ ⊆ Q′‬משפט ‪ (.8.4.20‬מכיוון ש־ ‪ Q′‬צמודה ל־‪ ,Q‬יש ‪ x ∈ G‬כך ש־ ‪ ,Q = xQ′ x−1‬ואז ‪⊆ Q‬‬
‫‪ ,P2 = xP2′ x−1‬ו־ ‪ P2‬תת־חבורת ‪p‬־סילו‬
‫של ‪ .xA2 x−1‬לפי תרגיל ‪ ,G = A1 (xA2 x−1 ) ,8.4.72‬ומכיוון ש־‪ P1 P2 ⊆ Q‬היא מכפלה של תת־חבורות ‪p‬־סילו של ‪ A1 , xA2 x−1‬בהתאמה‪,‬‬
‫יש שוויון לפי תרגיל ‪.8.4.73‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 8.4.75‬פתור את תרגיל ‪ 8.4.74‬בהנחה ש־‪.A2 ▹G‬‬
‫ש־‪ .P ⊆ Q‬אז ) ‪ P2 = Q ∩ A2 ∈ Sylp (A2‬לפי תרגיל ‪ 8.4.40‬ו־‪ P P2 = Q‬לפי תרגיל ‪.8.4.73‬‬
‫הדרכה‪ .‬תהי ) ‪ P ∈ Sylp (A1‬ותהי )‪ Q ∈ Sylp (G‬כך‬
‫‪8.5‬‬
‫שימושים במשפטי סילו‬
‫אם לחבורה ‪ G‬יש תת־חבורה נורמלית לא טריוויאלית ‪ ,N‬אפשר ללמוד אותה דרך ‪ N‬וחבורת המנה ‪G/N‬‬
‫)‪ G‬היא הרחבה של ‪ G/N‬על־ידי ‪ .(N‬אבני הבנין של תורת החבורות הן‪ ,‬אם כן‪ ,‬החבורות הפשוטות‪ ,‬אלו‬
‫שאין להן תת־חבורות נורמליות‪.‬‬
‫‪8.5.1‬‬
‫נומרולוגיה‬
‫תרגיל ‪ (*) 8.5.1‬החבורות האבליות הפשוטות הן החבורות ‪ Zp‬עבור ‪ p‬ראשוני‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 8.5.2‬חבורה מסדר ‪ (1 < t) pt‬אינה פשוטה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.5.3‬אם ‪ (k < p) |G| = kpt‬אז ‪ .np = 1‬לדוגמא‪ ,‬חבורות מסדר ‪,162 ,98 ,54 ,51 ,44 ,42 ,18‬‬
‫‪ . . .‬אינן פשוטות‪.‬‬
‫‪106‬‬
‫‪ .8.5‬שימושים במשפטי סילו‬
‫פרק ‪ .8‬משפטי סילו‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.5.4‬חבורה מסדר ‪ 50‬אינה פשוטה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.5.5‬תהי ‪ G‬חבורה מסדר ‪.75‬‬
‫‪ .1‬תת־חבורת ‪5‬־סילו של ‪ G‬היא יחידה ולכן נורמלית‪.‬‬
‫‪ .2‬אם תת־חבורת ‪3‬־סילו של ‪ G‬היא נורמלית‪ ,‬אז ‪ G‬אבלית‪.‬‬
‫‪ .3‬אם תת־חבורת ‪5‬־סילו היא ציקלית‪ ,‬אז היא מרכזית ו־‪ G‬אבלית‪.‬‬
‫‪ .4‬בנה חבורה מסדר ‪ 75‬שיש בה ‪ 25‬תת־חבורות ‪3‬־סילו‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.7.3.32‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.5.6‬חבורה מסדר ‪ 42‬אינה פשוטה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.5.7‬חבורה מסדר ‪ 130‬אינה פשוטה‪ .‬מצא חבורה לא אבלית מסדר זה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (-**) 8.5.8‬חבורה מסדר ‪ 15‬היא ציקלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.5.9‬תהי ‪ G‬חבורה מסדר ‪.28‬‬
‫‪ .1‬חבורת ‪7‬־סילו ‪ P7‬היא נורמלית‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ G‬לא אבלית‪ ,‬אז ‪.|G′ | = 7‬‬
‫∼ )‪.G/Z(G‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ G‬לא אבלית ויש לה תת־חבורה נורמלית מסדר ‪ ,2‬אז ‪= D7‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.5.10‬יהיו ‪ p < q‬ראשוניים כך ש־)‪ .q ̸≡ 1 (mod p‬אז כל חבורה מסדר ‪ pq‬היא ציקלית‪.‬‬
‫)בפרט‪ ,‬חבורות מסדר ‪ . . . ,85 ,77 ,69 ,65 ,51 ,35 ,33 ,15‬הן ציקליות‪(.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.5.11‬נניח ש־‪ ,pt || n = pt m‬ואין אף מחלק של ‪ ,m‬פרט ל־‪ ,1‬השקול ל־‪ 1‬מודולו ‪ .p‬אז‬
‫תת־חבורת ‪p‬־סילו של כל חבורה מסדר ‪ n‬היא נורמלית )ולכן חבורה כזו אינה פשוטה(‪ .‬בפרט‪ ,‬החבורות‬
‫מסדר ‪ . . . ,225 ,200 ,195 ,175 ,165 ,140 ,135 ,84 ,70 ,63 ,45 ,40‬אינן פשוטות‪ .‬זוהי הכללה של תרגיל ‪.8.5.3‬‬
‫תרגיל ‪ (-**) 8.5.12‬חבורה מסדר ‪ 45‬אינה פשוטה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 8.5.13‬חבורה מסדר ‪ 84‬אינה פשוטה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.5.14‬חבורה מסדר ‪ 1001 = 7 · 11 · 13‬היא ציקלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 8.5.15‬אין חבורות פשוטות מסדר ‪.p2 q‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 8.5.16‬יהיו ‪ p < q‬ראשוניים כך ש־)‪ .q ̸≡ ±1 (mod p‬הראה שכל חבורה מסדר ‪ p2 q 2‬היא‬
‫אבלית‪ .‬הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.8.4.32‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.5.17‬נניח ש־ ‪ n = p1 · · · pt‬הוא מכפלה של ראשוניים שונים‪ .‬נניח שלכל מחלק ‪1 ̸= d | n‬‬
‫מתקיים ‪ .(d − 1, n) = 1‬הראה שהחבורה היחידה מסדר ‪ n‬היא ‪ .Zn‬הדרכה‪ .‬הראה שכל תת־חבורת סילו של ‪ G‬היא‬
‫נורמלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.5.18‬אם ‪ ,(n, ϕ(n)) = 1‬אז החבורה היחידה מסדר ‪ n‬היא ציקלית‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬תהי ‪ G‬דוגמא נגדית מינימלית‪ ,‬מסדר ‪ .n‬לכל מחלק אמיתי ‪ m | n‬מתקיים ‪ (m, ϕ(m)) = 1‬ולכן כל תת־חבורה אמיתית של ‪G‬‬
‫היא ציקלית‪ .‬לפי תרגיל ‪ G ,6.4.71‬אינה פשוטה‪ .‬תהי ‪ N ▹G‬תת־חבורה נורמלית‪ .‬לפי הנחת האינדוקציה‪ N ,‬ציקלית ולכן ) ‪ .N ⊆ CG (N‬לפי‬
‫משפט ‪ G/CG (N ) ,→ Aut(N ) ,N/C‬שהיא חבורה מסדר )‪ .ϕ(|N |) | ϕ(n‬מאידך |) ‪ |G/CG (N‬מחלק את ‪ ,n‬ולפי ההנחה ) ‪,G = CG (N‬‬
‫כלומר )‪ .N ⊆ Z(G‬מכיוון ש־ ‪ G/N‬ציקלית לפי הנחת האינדוקציה‪ ,‬גם )‪ G/Z(G‬ציקלית ולכן ‪ G‬אבלית‪ .‬אבל מהתנאי נובע ש־‪ n‬מכפלה של‬
‫ראשוניים שונים‪ ,‬ושכל תת־חבורות סילו של ‪ G‬נורמליות וציקליות‪ .‬סיים בעזרת תרגיל ‪.8.4.32‬‬
‫הערה‪ .‬התנאי על ‪ n‬שקול לכך ש־ ‪ n = p1 · · · pt‬הוא מכפלה של ראשוניים שונים‪ ,‬ו־‪ (pi , pj − 1) = 1‬לכל ‪;i, j‬‬
‫לכן זו גרסה חזקה של תרגיל ‪.8.5.17‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.5.19‬אם ‪ (n, ϕ(n)) > 1‬אז יש חבורה )אבלית( לא ציקלית מסדר ‪) n‬יחיד עם תרגיל ‪,8.5.18‬‬
‫יש חבורה יחידה מסדר ‪ n‬אם ורק אם ‪.(.(n, ϕ(n)) = 1‬‬
‫תרגיל ‪ (-**) 8.5.20‬מצא ‪ n‬המקיים את התנאי של תרגיל ‪ ,8.5.17‬אבל לא את זה של תרגיל ‪.8.5.18‬‬
‫‪107‬‬
‫פרק ‪ .8‬משפטי סילו‬
‫‪ .8.5‬שימושים במשפטי סילו‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.5.21‬תהי ‪ G‬חבורה מסדר ‪ ,(p, m) = 1 ,mp‬עם תת־חבורת ‪p‬־סילו נורמלית ‪ .P‬נניח‬
‫ש־‪ .(p − 1, m) = 1‬הראה ש־)‪ .P ⊆ Z(G‬הדרכה‪ .‬משפט ‪.N/C‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.5.22‬תהי ‪ G‬חבורה מסדר ‪.385 = 5 · 7 · 11‬‬
‫‪ P11 ,P7 .1‬נורמליות ב־‪.G‬‬
‫‪) P7 ⊆ Z(G) .2‬תרגיל ‪.(8.5.21‬‬
‫‪ Z(G) = P7 .3‬או ש־‪ G‬ציקלית‪.‬‬
‫‪8.5.2‬‬
‫ספירת אברים‬
‫גם אם מבחינה נומרית נראה שהערך של ‪ np‬עשוי להיות גדול מ־‪ ,1‬לפעמים אפשר לפסול אפשרות זו בעזרת‬
‫ספירת איברים בחבורה‪ ,‬המראה שהערכים המוצעים ל־ ‪ np‬גדולים מכדי להיות אפשריים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 8.5.23‬אם ‪ P1 , P2 ≤ G‬תת־חבורות שונות מסדר ‪ , p‬אז ‪.P1 ∩ P2 = 1‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 8.5.24‬אם |‪ ,p || n = |G‬אז מספר האברים מסדר ‪ p‬שווה ל־ ‪.(p − 1)np‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.5.25‬חבורה מסדר ‪ 56‬אינה פשוטה‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬אחרת ‪ ,n7 = 8‬ויש ‪ 48‬אברים מסדר ‪ .7‬שאר ‪ 8‬האברים מרכיבים‬
‫חבורת ‪2‬־סילו יחידה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.5.26‬נראה שיש בדיוק ‪ 4‬חבורות מסדר ‪ .30‬תהי ‪ G‬חבורה מסדר זה‪.‬‬
‫‪ .1‬לפחות אחת מתת־חבורות סילו ‪ P5 ,P3‬של ‪ G‬היא נורמלית‪.‬‬
‫‪ .2‬ל־‪ G‬יש תת־חבורה מסדר ‪) 15‬שהיא נורמלית לפי האינדקס וציקלית לפי תרגיל ‪.(8.5.8‬‬
‫‪ G .3‬איזומורפית לאחת מבין החבורות הבאות‪ Z5 × D3 ,D15 ,Z30 :‬או ‪.Z3 × D5‬‬
‫‪ .4‬הראה שארבע החבורות הללו אינן איזומורפיות זו לזו‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.5.27‬תהי ‪ G‬חבורה מסדר ‪.105‬‬
‫המתאימים‪.‬‬
‫נסמן ב־ ‪ P3 , P5 , P7‬תת־חבורות סילו מהסדרים‬
‫‪ .1‬לפחות אחת מתת־החבורות ‪ P5‬ו־ ‪ P7‬נורמלית ב־‪.G‬‬
‫‪ H = P5 P7 .2‬היא תת־חבורה ציקלית של ‪ ,G‬מאינדקס ‪.3‬‬
‫‪.H▹G .3‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫תרגילים ‪ 4.2.12‬ו־‪.8.5.10‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.6.3.26‬‬
‫‪ .4‬יהי ‪ x ∈ H‬איבר מסדר ‪ ,35‬ויהי ‪ y ∈ G‬איבר מסדר ‪ .3‬אז ⟩‪.G = ⟨x, y‬‬
‫{‬
‫}‬
‫‪−1‬‬
‫∼ )‪.Aut(H‬‬
‫‪∈ x, x11 , x16 .5‬‬
‫∼ ‪= U35‬‬
‫‪ .yxy‬הדרכה‪= U5 × U7 .‬‬
‫⟩ ⟨‬
‫הדרכה‪.P5 = x7 .‬‬
‫‪P5 ⊆ Z(G) .6‬‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫‪ N = x5 , y .7‬היא תת־חבורה נורמלית מסדר ‪ 21‬של ‪.G‬‬
‫∼ ‪.G‬‬
‫‪= Z5 × N .8‬‬
‫‪ .9‬הראה שיש שתי חבורות מסדר ‪ ,105‬עד כדי איזומורפיזם‪ Z105 :‬ו־) ‪.Z5 ×(Z7 o Z3‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.8.1.11‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 8.5.28‬אין חבורות פשוטות מסדר ‪.132‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.5.29‬יהי ‪ p > 2‬ראשוני‪ .‬נוכיח שיש חבורה מסדר )‪ p(p + 1‬שחבורת ‪p‬־סילו שלה אינה‬
‫נורמלית‪ ,‬אם ורק אם ‪ p‬הוא ראשוני מרסן )כלומר ‪ p = 2r − 1‬עבור ‪ r‬מתאים‪ ,‬שהוא בהכרח ראשוני(‪.‬‬
‫הערה‪ .‬במקרה זה ‪ p(p + 1)/2‬הוא מספר משוכלל‪.‬‬
‫‪ .1‬תהי ‪ G‬חבורה מסדר )‪ p(p + 1‬כאשר ‪ p > 2‬ראשוני‪ ,‬שחבורת ‪p‬־סילו שלה אינה נורמלית‪.‬‬
‫)א( בחבורה יש ‪ p2 − 1‬אברים מסדר ‪.p‬‬
‫‪108‬‬
‫‪ .8.5‬שימושים במשפטי סילו‬
‫פרק ‪ .8‬משפטי סילו‬
‫)ב( לכל חבורת ‪p‬־סילו ‪.P = CG (P ) = NG (P ) ,P‬‬
‫הדרכה‪ P ⊆ CG (P ) ⊆ NG (P ) .‬ו־= ]) ‪[G : NG (P‬‬
‫] ‪.p + 1 = [G : P‬‬
‫)ג( נסמן ב־‪ X‬את קבוצת האברים שאינם שייכים לאף חבורת ‪p‬־סילו‪ .‬אז ‪.|X| = p‬‬
‫)ד( יהי ‪ .x ∈ X‬אז ‪ [x] ⊆ X‬ו־‪.CG (x) ⊆ {1} ∪ X‬‬
‫)ה( ‪ [x] = X‬ו־}‪.CG (x) = X ∪ {1‬‬
‫הדרכה‪ x .‬אינו מרכז אף איבר של חבורת ‪p‬־סילו‪.‬‬
‫הדרכה‪.|CG (x)| · |[x]| = |G| .‬‬
‫)ו( }‪ H = X ∪ {1‬היא תת־חבורה נורמלית מסדר ‪ ,p + 1‬שכל אבריה הלא־טריוויאליים צמודים‬
‫ב־‪.G‬‬
‫‪r‬‬
‫∼‬
‫)ז( ‪ p‬הוא ראשוני מרסן; ולמעשה ‪ H = Z2‬עבור ‪ r‬מתאים‪ .‬הדרכה‪ .‬משפט קושי על ‪.H‬‬
‫‪ .2‬יהי ‪ p = 2r − 1‬ראשוני מרסן‪ .‬אז יש חבורה מסדר )‪ p(p + 1‬שבה חבורת ‪p‬־סילו אינה נורמלית‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬יש ) ‪ a ∈ GLr (F2‬מסדר ‪ ;p‬הגדר ‪ G = Zr2 o Zp‬בעזרת ‪.a‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 8.5.30‬הראה שמספר השלשות שאפשר לבחור בקבוצה בת ‪ m‬אברים כך שלשתי שלשות‬
‫‪m−1 2‬‬
‫שונות יש לכל היותר נקודה אחת משותפת‪ ,‬אינו עולה על ‪ .( 2 ) −2‬הדרכה‪ .‬נסמן את המספר המקסימלי ב־)‪.g(m‬‬
‫‪.g(m) ≤ ⌊ m−1‬‬
‫בחר נקודה בקבוצה; יש שני סוגי שלשות ‪ -‬אלו העוברות דרך הנקודה הזו‪ ,‬ואלו שאינן עוברות דרכה‪ .‬הסק ש־)‪2 ⌋ + g(m − 1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.5.31‬נניח שחבורות ‪2‬־סילו של ‪ G‬איזומורפיות ל־ ‪ .Z2 × Z2‬הראה שהקבוצות של אברים‬
‫לא טריוויאליים בחבורות ‪2‬־סילו מהוות שלשות שאין לאף שתיים מהן יותר מנקודה√משותפת‪ .‬הראה‬
‫שאם יש לחבורה ‪ n2‬חבורות סילו‪ ,‬אז מספר האברים מסדר ‪ 2‬הוא לפחות ‪ .1 + 2 n2 + 2‬הדרכה‪ .‬אם‬
‫‪2‬‬
‫‪.n2 ≤ ( m−1‬‬
‫מספר האברים הוא ‪ m‬אז לפי תרגיל ‪2 ) − 2 ,8.5.30‬‬
‫‪8.5.3‬‬
‫פעולה על תת־חבורות‬
‫כלי נוסף במלחמה נגד החבורות הפשוטות הוא העידון של משפט קיילי )משפט ‪.(6.3.18‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.5.32‬אם ‪ [G : H] = n‬ו־‪ G‬חבורה פשוטה‪ ,‬אז ‪.G ≤ An‬‬
‫הדרכה‪ .‬העידון של משפט קיילי‪ ,‬והחיתוך ‪.G ∩ An‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.5.33‬תהי ‪ H‬תת־חבורה מאינדקס ‪ ,p‬שהוא הראשוני הקטן ביותר המחלק את הסדר של‬
‫‪ .G‬הוכח ש־‪ H‬נורמלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.5.34‬תהי ‪ P‬תת־חבורת ‪p‬־סילו של ‪ ,G‬ונניח שהיא אינה נורמלית‪ .‬הראה ש־ ‪ P‬אינה‬
‫מוכלת ב־)) ‪ .CoreG (NG (P‬הדרכה‪ .‬אחרת‪ ,‬לפי תרגיל ‪ P1 ⊆ CoreG (NG (P )) ⊆ NG (P ) ,8.4.42‬לכל תת־חבורת ‪p‬־סילו‬
‫‪ ,P1 ≤ G‬אבל ל־) ‪ NG (P‬יש תת־חבורת ‪p‬־סילו יחידה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.5.35‬תהי ‪ P‬תת־חבורת ‪p‬־סילו של ‪ ,G‬ונניח שהיא אינה נורמלית‪.‬‬
‫])) ‪ .p | [G : CoreG (NG (P‬הדרכה‪ .‬תרגיל ‪ .8.5.34‬הערה‪ .‬כידוע ]) ‪ .np = [G : NG (P‬לפי העידון של משפט קיילי‬
‫ומכיוון ש־‪.pnp | [G : CoreG (NG (P ))] | np ! ,(p, np ) = 1‬‬
‫הראה ש־‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.5.36‬לחבורה מסדר ‪ 24‬יש תת־חבורה נורמלית מסדר ‪ 4‬או ‪.8‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.5.37‬אם ‪ ,(m, p) = 1 ,|G| = pt m‬ו־|‪ |G‬אינו מחלק את !‪ ,m‬אז ‪ G‬אינה פשוטה‪ .‬בפרט‪,‬‬
‫החבורות מסדר ‪ . . . ,160 ,108 ,80 ,48 ,36 ,24 ,12‬אינן פשוטות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.5.38‬תהי ‪ G‬חבורה מסדר ‪ .36‬נניח שחבורת ‪3‬־סילו של ‪ G‬אינה נורמלית‪.‬‬
‫‪ .1‬יש ל־‪ G‬תת־חבורה נורמלית ‪ Q‬מסדר ‪.3‬‬
‫‪.Q ⊆ Z(G) .2‬‬
‫הדרכה‪ .‬משפט‬
‫‪ N/C‬ותרגיל ‪.8.4.49‬‬
‫‪ .3‬חבורת ‪2‬־סילו של ‪ G‬נורמלית‪.‬‬
‫∼ ‪ G/Q‬ולכן יש תת־חבורה ‪ K▹G‬כך ש־‪K/C‬‬
‫הדרכה‪ .‬לפי העידון של משפט קיילי ‪= A4‬‬
‫מסדר ‪ .4‬אז ‪ ,|K| = 12‬ו־)‪ ;Q ⊆ Z(K‬הראה שתת־חבורת ‪2‬־סילו של ‪ K‬נורמלית ב־‪ K‬ולפי תרגיל ‪ 8.4.49‬גם ב־‪.G‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 8.5.39‬חבורה מסדר ‪ 96‬אינה פשוטה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.5.40‬אין חבורה פשוטה מסדר ‪.150‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.5.41‬אין חבורה פשוטה מסדר ‪.216‬‬
‫‪109‬‬
‫פרק ‪ .8‬משפטי סילו‬
‫‪ .8.5‬שימושים במשפטי סילו‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.5.42‬חבורה מסדר ‪ 108‬אינה פשוטה‪ :‬הראה שיש לה תת־חבורה נורמלית מסדר ‪ 9‬או ‪.27‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.5.43‬חבורה מסדר ‪ 224 = 25 · 7‬אינה פשוטה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.5.44‬אם |‪ |G‬אינו מחלק את ! ‪ np‬אז ‪ G‬אינה פשוטה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.5.45‬חבורה מסדר ‪ 72 = 23 · 32‬אינה פשוטה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.5.46‬חבורה מסדר ‪ 300‬אינה פשוטה‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.8.5.44‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 8.5.47‬אין חבורות פשוטות מסדר ‪.120‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.5.48‬חבורה מסדר ‪ 90‬אינה פשוטה‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.8.5.44‬‬
‫הדרכה‪ .‬אחרת ‪ ,n5 = 6‬ואז ‪) .G ≤ S6‬השווה לתרגיל ‪(.10.2.10‬‬
‫הדרכה‪ .‬אחרת ‪ ,n5 = 6‬ואז ‪ .G ≤ S6‬אם ‪ G ≤ A6‬אז ‪.[A6 : G] = 4‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.5.49‬חבורה מסדר ‪ 112‬אינה פשוטה‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬אחרת ‪ n2 = 7‬ו־ ‪ .G ≤ S7‬חשב את ) ‪) NG (P7‬עד כדי‬
‫איזומורפיזם(‪ ,‬והראה שלא יתכן ‪.G ≤ A7‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.5.50‬נניח ש־ ‪ 2t‬היא חזקת ‪ 2‬המקסימלית המחלקת את !‪ ,m‬כאשר ‪ m‬איזוגי‪ .‬הוכח‬
‫‪t‬‬
‫שחבורה מסדר ‪ 2 m‬אינה פשוטה‪ .‬הדרכה‪ .‬אם כן‪ ,‬קיים שיכון של ‪ G‬ב־ ‪ ,Sm‬שאינו מוכל ב־ ‪.Am‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.5.51‬תהי ‪ G‬חבורה מסדר ‪ p2 m‬כאשר ‪ .(p, m) = 1‬אם יש ל־‪ G‬שתי תת־חבורות ‪p‬־‬
‫‪m‬‬
‫סילו ‪ P1 , P2‬שהחיתוך שלהן ‪ ,Q = P1 ∩ P2 ̸= 1‬אז ‪ [G : C] ≤ p+1‬כאשר )‪ .C = CG (Q‬הדרכה‪ .‬מכיוון‬
‫ש־)‪ [C : P1 ] ≥ [P2 : Q] = p ,P1 , P2 ⊆ CG (Q‬לפי תרגיל )‪ ,4.5.1.(2‬ו־] ‪ [C : P1‬זר ל־‪ .p‬למעשה )‪ ,[C : P1 ] | [C : NC (P1 )] = np (C‬כאשר‬
‫)‪ np (C‬הוא מספר תת־חבורות ‪p‬־סילו של ‪ ,C‬ו־‪ np (C) > 1‬שהרי ‪.P2 ⊆ C‬‬
‫הערה‪ .‬לפי תרגיל ‪ ,8.4.22‬אם ) ‪np ̸≡ 1 (mod p2‬‬
‫אז יש תת־חבורות ‪p‬־סילו שונות שהחיתוך ביניהן מסדר ‪.p‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.5.52‬אם תת־חבורת ‪p‬־סילו ‪ P ≤ G‬היא אבלית‪ ,‬אז הסדר של המנה ) ‪ NG (P )/CG (P‬זר‬
‫ל־‪ .p‬הדרכה‪ .P ⊆ CG (P ) ⊆ NG (P ) .‬זהו עידון של משפט ‪.7.2.11‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 8.5.53‬בהמשך לתרגיל ‪ ,8.5.51‬נניח שתת־חבורות ‪p‬־סילו של ‪ G‬הן ציקליות‪Q = P1 ∩ P2 ,‬‬
‫‪p−1‬‬
‫∼ ) ‪ Aut(P‬מסדר‬
‫מסדר ‪ ,p‬ו־)‪ .C = CG (Q‬אז )‪ .[G : C] ≤ p+1 np (G‬הדרכה‪ .‬נסמן ) ‪ .C1 = CG (P1‬לפי הנתון ‪= Up2‬‬
‫)‪ ,p(p − 1‬ולפי תרגיל ‪ [NG (P ) : C1 ] ,8.5.52‬מחלק את ‪ .p − 1‬כמו בתרגיל ‪ ,p + 1 ≤ np (C) = [C : NC (P )] | [C : C1 ] ,8.5.51‬ולכן‬
‫)‪.(p + 1)[G : C] ≤ [G : C] · [C : C1 ] = [G : C1 ] = np (G) · [NG (P ) : C1 ] | (p − 1)np (G‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.5.54‬תהי ‪ G‬חבורה מסדר ‪ .180‬נוכיח שהיא אינה פשוטה‪ .‬נניח שכן‪.‬‬
‫‪ .1‬אין ל־‪ G‬תת־חבורות מאינדקס ≥ ‪.6‬‬
‫‪ n3 = 10 .2‬ו־‪.n5 = 36‬‬
‫‪ .3‬כל שתי תת־חבורות ‪3‬־סילו נחתכות באופן טריוויאלי‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬אחרת יש ‪ Q = P ∩ P ′‬מסדר ‪ ,3‬והאינדקס של‬
‫)‪ N = CG (Q‬הוא לכל היותר ‪ ;5‬ראה תרגיל ‪.8.5.51‬‬
‫‪ .4‬קבל סתירה על־ידי ספירת אברים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.5.55‬תהי ‪ G‬חבורה מסדר ‪ .400‬נוכיח שהיא אינה פשוטה‪.‬‬
‫‪ .1‬אם יש יותר מתת־חבורת ‪5‬־סילו אחת אז מספרן ‪.n5 = 16‬‬
‫‪ .2‬אם החיתוך של כל שתי תת־חבורות ‪5‬־סילו טריוויאלי‪ ,‬אז חבורת ‪2‬־סילו נורמלית‪.‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ Q‬הוא חיתוך לא טריוויאלי של שתי תת־חבורות ‪5‬־סילו אז )‪ Q ⊆ Z(G‬או ‪.[G : CG (Q)] ≤ 2‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.8.5.51‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.5.56‬תהי ‪ G‬חבורה מסדר ‪.144‬‬
‫‪ .1‬אם יש ל־‪ G‬תת־חבורה ‪ H‬מסדר ≤ ‪ ,24‬אז ‪ G‬אינה פשוטה‪.‬‬
‫‪ .2‬נניח ש־‪ .n3 = 1‬אז יש תת־חבורה נורמלית ‪ P‬מסדר ‪ .9‬אם ‪ P‬ציקלית‪ ,‬אז ‪.[G : CG (P )] ≤ 2‬‬
‫‪110‬‬
‫‪ .8.5‬שימושים במשפטי סילו‬
‫פרק ‪ .8‬משפטי סילו‬
‫‪ .3‬נניח ש־‪ .n3 = 4‬אז ) ‪ NG (P‬מסדר ‪ ,36‬עם חבורת ‪3‬־סילו יחידה ‪ .P‬הוכח שקיימת תת־חבורה ‪H‬‬
‫מסדר ‪.P ⊂ H ⊂ NG (P ) ,18‬‬
‫‪ .4‬נניח ש־‪.n3 = 16‬‬
‫)א( אם החיתוך של כל שתי תת־חבורות ‪3‬־סילו טריוויאלי‪ ,‬אז תת־חבורת ‪2‬־סילו היא נורמלית‪.‬‬
‫)ב( אם ‪ Q = P1 ∩ P2 ̸= 1‬חיתוך של שתי חבורות ‪3‬־סילו‪ ,‬אז |)‪.36 ≤ |CG (Q‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.8.5.51‬‬
‫)ג( הראה שאם לא קיימת תת־חבורה מסדר ‪ 72‬של ‪ ,G‬אז )‪.NG (Q) = CG (Q‬‬
‫∼ ‪.NG (Q)/Q‬‬
‫)ד( אם ‪ Q‬אינה במרכז של ‪ ,G‬אז ))‪ ,Q ⊆ Z(NG (Q‬ו־ ‪= A4‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.5.57‬תהי ‪ G‬חבורה מסדר ‪.210‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ n7 ̸= 15‬או ‪ n5 ̸= 21‬אז יש תת־חבורה נורמלית מסדר ‪ 7 ,5‬או ‪.35‬‬
‫‪.2‬‬
‫אם ‪ ,n3 = 7‬אז ‪ .n5 = 1‬הדרכה‪ .‬נניח ש־‪ ;n3 = 7‬אז ‪ .|NG (P3 )| = 30‬נסמן )) ‪ .C = CoreG (NG (P3‬לפי תרגיל ‪,8.5.34‬‬
‫‪ ,P3 ̸⊆ C‬ולכן |‪ |C‬מחלק את ‪ .10‬אם ‪ |C| = 5‬סיימנו; אם ‪ |C| = 10‬אז תת־החבורה מסדר ‪ 5‬היא אופיינית ב־‪ C‬ושוב סיימנו‬
‫)תרגיל ‪ .(7.2.39‬נניח ש־}‪ ;|C| ∈ {1, 2‬לפי העידון של משפט קיילי יש שיכון ‪ ,G/C ,→ S7‬אבל ‪ NG (P3 )/C‬מסדר ‪ 15‬או מכילה‬
‫תת־חבורה מסדר זה‪ ,‬ולפי תרגיל ‪ 8.5.8‬יש ב־ ‪ S7‬איבר מסדר ‪ ,15‬מה שאינו נכון‪.‬‬
‫‪ .3‬נניח ש־‪ .n7 = 15 ,n5 = 21‬תהי ‪ P3‬תת־חבורת ‪3‬־סילו של ‪.G‬‬
‫)א( הראה ש־‪.n3 ̸= 70‬‬
‫)ב(‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫ספירת אברים‪.‬‬
‫הראה ש־‪.n3 ̸= 10‬‬
‫) ‪ NG (P3 ) ≤ NG (P7‬בסתירה לסדרים‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬אחרת ) ‪ NG (P3‬מסדר ‪ 21‬ויש תת־חבורת ‪7‬־סילו ‪ P7‬שהיא נורמלית ב־) ‪ ,NG (P3‬אבל אז‬
‫)ג( ‪.n3 ̸= 7‬‬
‫הדרכה‪ .‬סעיף ‪.2‬‬
‫)ד( הסק ש־‪.P3 ▹G‬‬
‫)ה( קיימת תת־חבורה ‪ A ≤ G‬מסדר ‪.105‬‬
‫)ו( הוכח ש־‪ A‬ציקלית‬
‫הדרכה‪ .‬תת־חבורות סילו של‬
‫)הדרכה‪ .‬תרגיל ‪ 8.5.10‬עבור‬
‫‪.G/P3‬‬
‫‪.(A/P3‬‬
‫)ז( יש שמונה חבורות )לא איזומורפיות( מסדר ‪ 210‬עם תת־חבורה ציקלית מאינדקס ‪.2‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.5.58‬תהי ‪ G‬חבורה מסדר ‪ .240‬נראה שיש לה תת־חבורה נורמלית מאחד הסדרים‬
‫‪.2, 4, 8, 16, 5, 10, 20‬‬
‫‪ .n5 ∈ {1, 6, 16} .1‬אם ‪ n5 = 1‬אז יש־‪ G‬תת־חבורה נורמלית מסדר ‪.5‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ n5 = 6‬אז |)) ‪ |CoreG (NG (P‬מחלק את ‪.8‬‬
‫‪.3‬‬
‫אם ‪ np = 16‬אז }‪.n3 ∈ {1, 4, 16‬‬
‫יחידה‪ .‬מכיוון שכל אלו צמודות זו לזו‪.n3 | n5 ,‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.8.5.35‬‬
‫הדרכה‪ .‬המנרמל של תת־חבורת סילו מסדר ‪ 5‬הוא מסדר ‪ ,15‬ומכיל תת־חבורת ‪3‬־סילו‬
‫)א( אם ‪ n3 = 1‬יש תת־חבורה נורמלית מסדר ‪.9‬‬
‫)ב( אם ‪ n3 = 4‬יש תת־חבורה נורמלית מסדר ‪ 10‬או ‪.20‬‬
‫)ג( אם ‪ n3 = 16‬אז ‪.n2 = 1‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.8.5.35‬‬
‫הדרכה‪ 16 .‬החבורות מסדר ‪ 15‬נחתכות באופן טריוויאלי; ספור אברים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.5.59‬תהי ‪ G‬חבורה מסדר ‪ .540 = 22 33 5‬נראה שהיא אינה פשוטה‪.‬‬
‫‪ .1‬כרגיל ‪ np‬הוא מספר תת־חבורות ‪p‬־סילו‪ .‬אז ‪ ,n3 = 1, 4, 10‬ו־‪.n5 = 1, 6, 36‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ n3 = 1‬או ‪ ,n5 = 1‬אז יש ל־‪ G‬תת־חבורה נורמלית מאינדקס ‪ 3‬או ‪.5‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ n3 = 4‬או ‪ n5 = 6‬אז יש ל־‪ G‬תת־חבורה נורמלית מאינדקס ‪ 30 ,12 ,6 ,4‬או ‪.60‬‬
‫‪ .4‬נניח ש־‪ n3 = 10‬ו־‪ .n5 = 36‬נסמן את הקבוצה של תת־חבורות ‪3‬־סילו ב־ ‪.Ω3‬‬
‫)א( תהי ‪ P‬תת־חבורת ‪5‬־סילו‪ .‬אז ) ‪ T = NG (P‬מסדר ‪ ,15‬ולכן ‪ T‬אינו מוכל במנרמל של אף‬
‫‪ .Q ∈ Ω3‬הסק שבפעולת ההצמדה של ‪ T‬על ‪ Ω3‬יש שני מסלולים בגודל ‪ .5‬הדרכה‪ .‬לפעולה‬
‫אין נקודות שבת לפי תרגיל ‪.6.4.68‬‬
‫‪111‬‬
‫פרק ‪ .8‬משפטי סילו‬
‫‪ .8.5‬שימושים במשפטי סילו‬
‫)ב( תהי ‪ Q0‬תת־חבורת ‪3‬־סילו של ‪) T‬שהיא מסדר ‪ .(3‬פעולת ההצמדה של ‪ Q0‬על ‪ Ω3‬היא‬
‫טריוויאלית )הדרכה‪ .‬העלה יוצר של ‪ T‬בחזקת ‪ ,(5‬ולכן היא מנרמלת כל ‪ .Q ∈ Ω3‬הסק ש־ ‪ Q0‬מוכלת‬
‫בכל ‪) Q ∈ Ω3‬תרגיל ‪.(8.4.15‬‬
‫)ג( ל־‪ G‬יש תת־חבורה נורמלית מסדר ‪ 3‬או ‪.9‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.8.4.46‬‬
‫∼ ‪.G‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 8.5.60‬אם ‪ G‬חבורה פשוטה מסדר ‪ ,60‬אז ‪= A5‬‬
‫הדרכה‪ .‬לפי תרגילים ‪ 6.3.22‬ו־‪ ,6.3.23‬אם יש ל־‪G‬‬
‫∼ ‪ G‬וגמרנו‪ ,‬ובכל מקרה אין לה תת־חבורה מאינדקס קטן מ־‪ .5‬לכן ‪ n3 = 10 ,n2 = 15‬ו־‪) n5 = 6‬ולכן‬
‫תת־חבורה מאינדקס ‪ 5‬אז ‪= A5‬‬
‫‪ .(G ⊆ A6‬מכאן שיש לחבורה ‪ 20‬אברים מסדר ‪ 3‬ו־‪ 24‬מסדר ‪ .5‬לכן יש לה לכל היותר ‪ 15‬אברים מסדר חזקת ‪ ,2‬ומכאן שיש חבורות ‪2‬־סילו‬
‫עם חיתוך ‪ Q‬לא טריוויאלי‪ .‬לפי תרגיל ‪ ,8.5.51‬המרכז )‪ CG (Q‬הוא מאינדקס ≥ ‪.5‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.5.61‬תהי ‪ G‬חבורה פשוטה מסדר ‪ .168 = 23 · 3 · 7‬נראה ש־) ‪∼ PSL3 (F2‬‬
‫= ‪ .G‬הערה‪.‬‬
‫הרעיון הוא למצוא מבנה גאומטרי שעליו החבורה פועלת‪ ,‬כפי שעושה ) ‪ PSL3 (F2‬לפי תרגיל ‪.6.9.18‬‬
‫‪ .1‬לכל תת־חבורה ‪ H < G‬יש סדר ‪.|H| ≤ 24‬‬
‫הדרכה‪ .‬האינדקס ‪.[G : H] ≥ 7‬‬
‫‪ .2‬כרגיל נסמן ב־ ‪ np‬את מספר תת־חבורות ‪p‬־סילו של ‪ .G‬אז ‪ .n7 = 8‬לכן יש שיכון ‪,G ⊆ A8‬‬
‫המוגדר לפי פעולת ההצמדה של ‪ G‬על ‪ 8‬תת־חבורות ‪7‬־סילו‪.‬‬
‫‪ .3‬נראה ש־‪.n3 = 28‬‬
‫)א( }‪.n3 ∈ {7, 28‬‬
‫)ב( הראה שכל תת־חבורה ‪ H‬מסדר ‪ 21‬של ‪ A8‬צמודה לחבורה ⟩)‪.⟨(1234567), (235)(476‬‬
‫הדרכה‪ .‬אפשר להניח ש־‪ .σ = (1234567) ∈ H‬תת־החבורה מסדר ‪ 7‬היא נורמלית‪ ,‬אבל ‪ H‬אינה אבלית או שהיה בה איבר‬
‫מסדר ‪ ,21‬ולפי משפט ‪ N/C‬יש איבר ‪ τ ∈ H‬מסדר ‪ 3‬המקיים ‪.τ στ −1 = σ 2‬‬
‫)ג( ‪ G‬מכילה תת־חבורה מסדר ‪ ,21‬ולכן לכל האברים מסדר ‪ 3‬ב־‪ G‬יש מבנה המחזורים‬
‫‪2 2‬‬
‫] ‪ .[3 1‬הדרכה‪ .‬לטענה הראשונה התבונן במנרמל של תת־חבורת ‪7‬־סילו‪ .‬כל תת־החבורות מסדר ‪ 3‬צמודות זו לזו‪.‬‬
‫)ד(‬
‫‪.n3 = 28‬‬
‫מסדר ‪ .3‬לכן מספר הזוגות )איבר מסדר ‪ ,3‬מנרמל של חבורת ‪7‬־סילו המכילה אותו( הוא ‪.2n3 · 2 = 8 · 14‬‬
‫הדרכה‪ .‬כל איבר מסדר ‪ 3‬מייצב שתי תת־חבורות ‪7‬־סילו ולכן שייך לשני מנרמלים‪ .‬בכל מנרמל יש ‪ 14‬אברים‬
‫‪ .4‬נראה ש־‪.n2 = 21‬‬
‫)א( }‪.n2 ∈ {7, 21‬‬
‫)ב( סדרי האברים בחבורה הם )לכל היותר( ‪.1, 2, 3, 4, 6, 7‬‬
‫)ג( יש בחבורה ‪ 1, 56, 48‬אברים מסדר ‪ ,1, 3, 7‬בהתאמה; נסמן ב־ ‪ k2 , k4 , k6‬את מספר האברים‬
‫מסדר ‪ ,2, 4, 6‬בהתאמה‪ .‬אז ‪.k2 + k4 + k6 = 63‬‬
‫)ד(‬
‫‪.k6 = 0‬‬
‫רק ‪ 7 = 63 − 56‬אברים מסדר חזקת־‪ ,2‬ותת־חבורת ‪2‬־סילו תצטרך להיות אבלית‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬אם ‪ k6 > 0‬אז יש איבר מסדר ‪ 3‬שהוא ריבוע‪ ,‬אבל אז כולם כאלה כי הם צמודים ולכן ‪ ;k6 ≥ 56‬זה משאיר‬
‫)ה( יש ‪ 63‬אברים מסדר חזקת־‪ ,2‬ואם ‪ n2 = 7‬יש לכל היותר ‪ 7 · (8 − 1) = 49‬אברים כאלה‪.‬‬
‫לכן ‪.n2 > 7‬‬
‫‪ .5‬נראה שיש תת־חבורות ‪2‬־סילו‪ ,S, S ′ ,‬עם חיתוך בגודל ‪.4‬‬
‫)א( יש )‪ S, S ′ ∈ Syl2 (G‬כך ש־}‪.U = S ∩ S ′ ∈ {2, 4‬‬
‫הדרכה‪ .‬אחרת יש ‪ 21 · (8 − 1) = 147‬אברים מסדר‬
‫חזקת ‪.2‬‬
‫)ב( נניח ש־‪ |U | = 2‬ונסמן ) ‪ .N = NG (U‬נראה ש־}‪.|N | ∈ {8, 24‬‬
‫‪.|N | ∈ {8, 12, 24} .i‬‬
‫הדרכה‪ .‬מחד‪ NS (U ) ≤ N ,‬ולכן | ‪ |N‬מתחלק ב־‪ ,4‬והסדר אינו ‪ 4‬כי גם ‪;NS ′ (U ) ≤ N‬‬
‫מאידך ‪.[G : N ] ≥ 7‬‬
‫‪.ii‬‬
‫לא יתכן ש־‪ .|N | = 12‬הדרכה‪ .‬המנרמל של תת־חבורת ‪3‬־סילו ב־‪ G‬הוא מסדר ‪ ,6‬ולכן אין ל־ ‪ N‬תת־‬
‫‬
‫‬
‫חבורה נורמלית מסדר ‪ ;3‬מכאן שיש לה תת־חבורה נורמלית מסדר ‪ ,4‬אבל אז מ־‪ |N ∩ S| = N ∩ S ′ = 4‬נובע‬
‫‪ N ∩ S = N ∩ S ′‬בסתירה להנחה ש־‪.|U | = 2‬‬
‫)ג( אם ‪ |N | = 24‬אז יש תת־חבורות ‪2‬־סילו עם חיתוך מסדר ‪.4‬‬
‫הדרכה‪ N .‬אינו יכול להכיל את ‪ SS ′‬שיש‬
‫ ‬
‫‬
‫בה ‪ |S|S ′ /S ∩ S ′ = 32‬אברים; נניח ש־ ‪ ,S ̸⊆ N‬אז ) ‪ S ∩ N = NS (U‬מסדר ‪ ,4‬ולכן יש )‪S ′′ ∈ Syl2 (N ) ⊆ Syl2 (G‬‬
‫כך ש־ ‪ ,S ∩ N ⊆ S ′′‬ואז ‪ S ∩ S ′′‬מסדר ‪.4‬‬
‫)ד( אם ‪ |N | = 8‬אז ‪ ,|N ∩ S| = 4‬כפי שרצינו‪.‬‬
‫‪112‬‬
‫‪ .8.5‬שימושים במשפטי סילו‬
‫פרק ‪ .8‬משפטי סילו‬
‫‪ .6‬לכל תת־חבורה ‪ C ≤ G‬מסדר ‪ 24‬יש שבעה צמודים‪ ,‬ויש בה שלוש תת־חבורות ‪2‬־סילו וארבע‬
‫תת־חבורות ‪3‬־סילו של ‪ .G‬הדרכה‪ NG (C) = C .‬כי ‪ C‬אינה נורמלית ב־‪ ,G‬והיא תת־חבורה מקסימלית‪ .‬חבורות ‪2‬־ או‬
‫‪3‬־סילו של ‪ G‬אינן יכולות להיות נורמליות ב־‪ C‬משום שהמנרמלים שלהן ב־‪ G‬הם מסדר ‪ 8‬או ‪ ,6‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪ .7‬נבחר )‪ S, S ′ ∈ Syl2 (G‬עם ‪ L = S ∩ S ′‬מסדר ‪ ,4‬ונסמן )‪ .A = NG (L‬אז ‪.|A| = 24‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫)‪ S, S ′ ≤ NG (L‬כי ‪ ,L▹S, S ′‬אבל ‪ ,NG (L) ̸= G‬ולכן |)‪ |NG (L‬מתחלק ב־‪ ,8‬גדול מ־‪ ,8‬ואינו עולה על ‪.24‬‬
‫‪ .8‬החיתוך של כל שני צמודים של ‪ A‬הוא מסדר ‪.4‬‬
‫הדרכה‪ .‬יש ‪ 28‬תת־חבורות ‪3‬־סילו‪ ,‬ולפי התכונות של ‪ A‬בסעיף ‪ ,6‬כל‬
‫אחת מהן שייכת לצמוד אחד בדיוק של ‪ ,A‬ומכאן שהחיתוך אינו מכיל חבורה מסדר ‪ 3‬ולכן הוא חבורת־‪ .2‬אותו נימוק )יש ‪ 21‬תת־חבורות‬
‫‪2‬־סילו של ‪ ,G‬וב־‪ A‬יש שלוש תת־חבורות ‪2‬־סילו( מראה שהחיתוך אינו מסדר ‪ .8‬מצד שני לכל צמוד ‪.7 = [G : A] ≥ [A′ : A ∩ A′ ] ,A′‬‬
‫‪ .9‬נבחר ‪ A′‬צמוד ל־‪ A‬ו־ ‪ .T = A ∩ A′‬אז ) ‪ B = NG (T‬הוא מסדר ‪ .24‬לכן ‪ T‬מוכלת בשלוש‬
‫תת־חבורת ‪2‬־סילו של ‪ ,B‬ששתיים מהן הן ‪ A ∩ B‬ו־‪.A′ ∩ B‬‬
‫‪ .10‬נתבונן במערכת שהנקודות שלה הן הצמודים של ‪ ,A‬והישרים הם הצמודים של ‪ ;B‬נאמר שנקודה‬
‫נמצאת על ישר אם החיתוך של החבורות המתאימות הוא חבורת ‪2‬־סילו של ‪ .G‬הראה שזוהי‬
‫גאומטריה פרוייקטיבית‪ ,‬שהופיעה בתרגיל ‪.6.9.14‬‬
‫‪ G .11‬פועלת על הגאומטריה לפי הצמדה‪ ,‬ומהווה חבורת הסימטריות המלאה שלה‪.‬‬
‫∼ ‪.G‬‬
‫‪= GL3 (F2 ) .12‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.6.9.18‬‬
‫הערה ‪ 8.5.62‬הטבלה הבאה מסכמת את הנימוקים לכך שחבורה מסדר ‪ n‬אינה יכולה להיות פשוטה‪ ,‬כמפורט‬
‫במקרא )המספרים מציינים סדרים שהנימוקים עבורם לא הושלמו; השלם אותם‪(.‬‬
‫‪19‬‬
‫‪p‬‬
‫‪m‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪p‬‬
‫‪m‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪m‬‬
‫‪p‬‬
‫‪18‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪y‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪− p‬‬
‫‪− pt‬‬
‫‪− m‬‬
‫‪− y‬‬
‫‪− c‬‬
‫‪− c′‬‬
‫‪− s‬‬
‫‪− s′‬‬
‫‪− s+‬‬
‫‪− n‬‬
‫∗ ‪−‬‬
‫‪17‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪p‬‬
‫‪m‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪m‬‬
‫‪p‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪16‬‬
‫‪pt‬‬
‫‪s‬‬
‫‪c‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪m‬‬
‫‪15‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪y‬‬
‫‪m‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪14‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪y‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪y‬‬
‫‪13‬‬
‫‪p‬‬
‫‪m‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪m‬‬
‫‪p‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪m‬‬
‫‪p‬‬
‫‪12‬‬
‫‪c‬‬
‫‪pt‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s′‬‬
‫‪c′‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪11‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪m‬‬
‫‪p‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪m‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪s‬‬
‫‪8 9 10‬‬
‫‪pt pt m‬‬
‫‪m p c′‬‬
‫‪s pt m‬‬
‫‪m m y‬‬
‫‪m p s′‬‬
‫‪s p m‬‬
‫‪pt m m‬‬
‫‪m p s‬‬
‫‪∗ pt m‬‬
‫‪m s m‬‬
‫‪s m n‬‬
‫‪m p m‬‬
‫‪7‬‬
‫‪p‬‬
‫‪pt‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪m‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪m‬‬
‫‪p‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪p‬‬
‫‪6‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪5‬‬
‫‪p‬‬
‫‪pt‬‬
‫‪y‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪c′‬‬
‫‪pt‬‬
‫‪m‬‬
‫‪y‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪p pt‬‬
‫‪p‬‬
‫‪s‬‬
‫‪p m‬‬
‫‪y pt‬‬
‫‪p y‬‬
‫‪p m‬‬
‫‪m m‬‬
‫‪m s+‬‬
‫‪p m‬‬
‫‪m m‬‬
‫‪m m‬‬
‫‪p‬‬
‫‪s‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪p‬‬
‫‪m m‬‬
‫‪p m‬‬
‫‪p m‬‬
‫‪pt m‬‬
‫‪p m‬‬
‫‪pt m‬‬
‫‪m m‬‬
‫‪m m‬‬
‫‪p s‬‬
‫‪m m‬‬
‫‪m m‬‬
‫‪0‬‬
‫‪m‬‬
‫‪y‬‬
‫∗‬
‫‪s‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s′‬‬
‫‪y‬‬
‫‪s‬‬
‫‪s+‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪0+‬‬
‫‪20+‬‬
‫‪40+‬‬
‫‪60+‬‬
‫‪80+‬‬
‫‪100+‬‬
‫‪120+‬‬
‫‪140+‬‬
‫‪160+‬‬
‫‪180+‬‬
‫‪200+‬‬
‫‪220+‬‬
‫החבורה ציקלית מסדר ראשוני‬
‫‪ n‬הוא חזקת ראשוני‬
‫‪ n = pt m‬כאשר ‪ m < p‬ולכן ת"ח ‪p‬־סילו נורמלית‬
‫תרגיל ‪ :8.5.11‬יש ת"ח סילו נורמלית‬
‫‪ n = pq t‬כאשר )‪ ord(q‬ב־ ‪ Up‬הוא ‪ ;t‬ספירת אברים מסדר ‪ p‬מראה שיש ת"ח נורמלית מסדר ‪ p‬או ‪q t‬‬
‫ספירת אברים מראה שיש תת־חבורת סילו נורמלית‬
‫תרגיל ‪ :8.5.44‬עידון משפט קיילי‬
‫עידון משפט קיילי והעדר שיכון לתוך ‪An‬‬
‫עידון משפט קיילי ‪ +‬ספירת אברים ‪ +‬חיתוך של ת"ח סילו והמרכז שלו‬
‫תרגיל ‪ 8.5.57‬על חבורות מסדר ‪210‬‬
‫יש חבורה פשוטה מסדר זה‬
‫משפט ‪ 8.5.63‬אין חבורות פשוטות לא אבליות מסדר ≥ ‪ 240‬פרט ל־ ‪ A5‬ו־) ‪.PSL3 (F2‬‬
‫‪113‬‬
‫פרק ‪ .8‬משפטי סילו‬
‫‪ .8.6‬החבורות הקטנות‬
‫הוכחה‪ .‬ראשית פוסלים את הסדרים הראשוניים ואת אלו שהם חזקת ראשוני‪ .‬כשתרגילים ‪ 8.5.3‬או ‪8.5.11‬‬
‫חלים‪ ,‬הם מוכיחים שיש לחבורה תת־חבורת סילו נורמלית‪ .‬מן הסדרים הנותרים‪ ,‬תרגיל ‪ 8.5.44‬מראה שאין‬
‫חבורות פשוטות מסדר ‪ 192 ,160 ,108 ,96 ,80 ,72 ,48 ,36 ,24 ,12‬או ‪ .224‬נותרים הסדרים ‪,90 ,56 ,30‬‬
‫‪ ,240 ,216 ,210 ,180 ,150 ,144 ,132 ,120 ,112 ,105‬שכל אחד מהם טופל בתרגיל נפרד במהלך הפרק‪,‬‬
‫‬
‫והסדרים ‪ 60‬ו־‪ 168‬שמהם אכן יש חבורות פשוטות‪ .‬תרגילים ‪ 8.5.60‬ו־‪ 8.5.61‬משלימים את המלאכה‪.‬‬
‫∼ ) ‪) PSL2 (F4‬שהיא מסדר ‪ ;60‬תרגילים ‪,6.8.17‬‬
‫∼ ) ‪= PSL2 (F5‬‬
‫החבורות הפשוטות הקטנות ביותר הן ‪= A5‬‬
‫∼ ) ‪) PSL2 (F9‬סדר ‪,360‬‬
‫‪A‬‬
‫‪,(6.8.27‬‬
‫תרגיל‬
‫ראה‬
‫‪,168‬‬
‫)סדר‬
‫∼ ) ‪PSL2 (F7‬‬
‫‪= 6‬‬
‫‪ ,6.8.18‬ו־‪= GL3 (F2 ) ;(6.8.26‬‬
‫תרגיל ‪ ;(6.8.24‬ו־) ‪) PSL2 (F11‬סדר ‪.(660‬‬
‫‪8.6‬‬
‫החבורות הקטנות‬
‫בסעיף זה ניתן רשימה של כל החבורות הקטנות‪ ,‬עד כדי איזומורפיזם‪ ,‬לפעמים עם סריגי תת־החבורות שלהן‪.‬‬
‫הרשימה מכסה את הגדלים עד ‪.15‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 8.6.1‬כל חבורה מסדר ‪ p‬ראשוני היא ציקלית‪ ,‬ואיזומורפית ל־ ‪.Zp‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 8.6.2‬בחבורה מסדר ‪ 2p‬יש איבר מסדר ‪.p‬‬
‫הדרכה‪ .‬אין צורך במשפט קושי‪ .‬אם הטענה אינה נכונה אז לכל‬
‫איבר לא טריוויאלי יש סדר ‪ .2‬אבל אז‪ ,‬קח ‪ a ̸= b‬מסדר ‪ ,2‬וקבל )בעזרת תרגיל ‪ (2.1.10‬את הסתירה ‪.4 | 2p‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.6.3‬כל חבורה מסדר ‪ 2p‬איזומורפית ל־ ‪ Z2p‬או ל־ ‪ p > 2) Dp‬ראשוני(‪.‬‬
‫יש בחבורה איבר ‪ y‬מסדר ‪ .p‬נסמן ⟩‪ ,N = ⟨y‬אז ‪ N ▹G‬לפי תרגיל ‪ .3.3.13‬יהי ‪ - x ̸∈ N‬אז ‪ .x2 ∈ N‬אם ‪ x2 ̸= 1‬אז ‪ o(x) = 2p‬ו־‪ G‬ציקלית‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬לפי תרגיל ‪8.6.2‬‬
‫לכן אפשר להניח ‪ .x2 = 1‬לפי הנורמליות ‪ xyx−1 = y i‬לאיזשהו ‪ ,i‬אבל‬
‫‪−1‬‬
‫∼ ‪.G‬‬
‫‪=y‬‬
‫‪ xyx‬אז ‪ .o(xy) = 2p‬אחרת‪= Dp ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ,y = x2 yx−2 = y i‬ולכן )תרגיל ‪ .xyx−1 = y ±1 (2.4.10‬אם‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.6.4‬כל חבורה מסדר ‪ p2‬היא אבלית‪ ,‬ואיזומורפית ל־ ‪ Zp2‬או ל־ ‪.Z2p‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫משפט ‪8.3.3‬‬
‫ותרגיל ‪.4.7.5‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.6.5‬חבורה מסדר ‪ ,pq‬כאשר ‪ p < q‬ו־)‪ ,q ̸≡ 1 (mod p‬היא ציקלית‪.‬‬
‫⟩תרגיל ‪ (+**) 8.6.6‬חבורה מסדר ⟨‪ ,pq‬כאשר )‪ ,q ≡ 1 (mod p‬היא או ציקלית או איזומורפית ל־‬
‫‪ x, y : xp = y q = 1, xyx−1 = y θ‬עבור ‪ θ ∈ Uq‬מסדר ‪) p‬כל הבחירות של ‪ θ‬נותנות חבורות‬
‫איזומורפיות(‪ .‬הערה‪ .‬ראה תרגיל ‪.8.1.9‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.6.7‬יש שלוש חבורות אבליות מסדר ‪.Z2 × Z2 × Z2 ,Z8 , Z4 × Z2 :8‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.6.8‬בחבורה ‪ Z2 × Z2 × Z2‬יש ‪ 7‬תת־חבורות מסדר ‪ 2‬ו־‪ 7‬תת־חבורות מסדר ‪ ,4‬כולן‬
‫איזומורפיות ל־ ‪ .Z2 × Z2‬כל תת־חבורה מסדר ‪ 2‬מוכלת ב־‪ 3‬תת־חבורות מסדר ‪ ,4‬וכל תת־חבורה‬
‫מסדר ‪ 4‬מכילה ‪ 3‬תת־חבורות מסדר ‪.2‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 8.6.9‬תהי ‪ G‬חבורה לא אבלית מסדר ‪.8‬‬
‫‪ .1‬קיים איבר ‪ x ∈ G‬מסדר ‪ ,4‬ולכן תת־חבורה ציקלית נורמלית ‪ N‬מסדר ‪.4‬‬
‫‪ .2‬יהי ‪ .y ̸∈ N‬אז ‪.yxy −1 = x−1‬‬
‫∼ ‪.G‬‬
‫‪ .3‬אם קיים ‪ y‬כנ"ל‪ ,‬כך ש־‪ ,y 2 = 1‬אז ‪= D4‬‬
‫∼ ‪) G‬חבורת הקווטרניונים(‪.‬‬
‫‪ .4‬אחרת ‪ ,y 2 = x2‬ואז ‪= Q4‬‬
‫תרגיל ‪) (-***) 8.6.10‬מיון החבורות מסדר ‪ - 8‬גישה נוספת‪ (.‬תהי ‪ G‬חבורה לא אבלית מסדר ‪.8‬‬
‫∼ )‪.G/Z(G‬‬
‫‪= Z2 × Z2 .1‬‬
‫הדרכה‪ .‬לפי תרגיל ‪ ,Z(G) ̸= 1 ,8.3.3‬ולכן )‪ G/Z(G‬מסדר ‪ 2‬או ‪ ;4‬סיים בעזרת תרגיל ‪.4.7.5‬‬
‫‪ .2‬נסמן }‪ ,Z = Z(G) = {1, z‬ויהיו ‪ x, y ∈ G‬אברים כך ש־}‪ .G/Z = {Z, Zx, Zy, Zxy‬כל איבר של‬
‫‪ G‬אפשר להציג באופן יחיד בצורה ‪ .0 ≤ i, j, k ≤ 1 ,xi y j z k‬בפרט ⟩‪.G = ⟨x, y, z‬‬
‫‪ .x2 , y 2 , yxy −1 x−1 ∈ Z .3‬הראה ש־‪.yxy −1 x−1 = z‬‬
‫‪114‬‬
‫הדרכה‪ .‬אחרת )‪ ,x ∈ Z(G‬בסתירה להנחה‪.‬‬
‫‪ .8.6‬החבורות הקטנות‬
‫פרק ‪ .8‬משפטי סילו‬
‫‪ ,x2 (xy)2 y 2 = z .4‬ולכן‪ ,‬על־ידי החלפת משתנים‪ ,‬אפשר להניח ש־‪.x2 = z‬‬
‫∼ ‪.G‬‬
‫∼ ‪ ,G‬ואם ‪ y 2 = z‬אז ‪= Q‬‬
‫‪ .5‬אם ‪ y 2 = 1‬אז ‪= D4‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 8.6.11‬תהי ‪ G‬חבורה מסדר ‪.12‬‬
‫‪ .1‬המספר של תת־חבורות ‪3‬־סילו של ‪ G‬הוא ‪ 1‬או ‪.4‬‬
‫‪ .2‬נניח ש־‪ .n3 = 1‬אז ‪ C = P3 ▹G‬היא חבורת ‪3‬־סילו יחידה )ונורמלית(‪.‬‬
‫)א(‬
‫)ב(‬
‫)ג(‬
‫)ד(‬
‫קיים איבר מסדר ‪ .6‬הדרכה‪ .‬משפט ‪.N/C‬‬
‫∼ ‪.G‬‬
‫∼ ‪ G‬או ‪= D6‬‬
‫יהי ‪ x ∈ G‬מסדר ‪ .6‬אם קיים איבר מסדר ‪ 2‬פרט ל־ ‪ ,x3‬אז ‪= Z2 × Z6‬‬
‫נניח שלא קיימים אברים מסדר ‪ 2‬פרט ל־ ‪ .x3‬הוכח שקיים איבר ‪ y‬מסדר ‪ ,4‬וש־ ‪.y 2 = x3‬‬
‫∼ ‪) G‬חבורת‬
‫∼ ‪ ,G‬ואם ‪ yxy −1 = x−1‬אז ‪= Q6‬‬
‫‪ .yxy −1 = x±1‬אם ‪ yxy −1 = x‬אז ‪= Z12‬‬
‫הקווטרניונים המוכללת מסדר ‪.(12‬‬
‫∼ ‪.G‬‬
‫‪ .3‬מקרה שני‪ .‬יש ארבע חבורות ‪3‬־סילו‪ .‬אז ‪ G ⊆ S4‬ולכן ‪= A4‬‬
‫הדרכה‪ .‬העידון של משפט קיילי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.6.12‬נתאר את תת־החבורות מסדר ‪ 20‬של ‪.S5‬‬
‫‪.1‬‬
‫)א(‬
‫)ב(‬
‫)ג(‬
‫)ד(‬
‫)ה(‬
‫מצא )כלומר‪ :‬רשום יוצרים של( תת־חבורה ‪ G‬מסדר ‪ 20‬של ‪.S5‬‬
‫להכיל איבר ‪ σ‬מסדר ‪ .5‬הראה ש־‪ ,⟨σ⟩▹G‬ולכן )‪.G ⊆ NS5 (σ‬‬
‫הראה שחבורת ‪2‬־סילו של ‪ G‬היא ציקלית‪ .‬כמה תת־חבורות מסדר ‪ 4‬יש ל־‪?G‬‬
‫חשב )בלי לספור( כמה איברים מסדר ‪ 5‬יש ב־‪ .G‬כמה מסדר ‪ ?4‬ומסדר ‪?2‬‬
‫הסק שהחיתוך של כל שתי תת־חבורות ציקליות של ‪ G‬הוא טריוויאלי‪.‬‬
‫הוכח של־‪ G‬יש תת־חבורה יחידה מסדר ‪) 10‬ושהיא איזומורפית ל־ ‪.(D5‬‬
‫הדרכה‪ .‬חבורה מסדר ‪ 20‬חייבת‬
‫‪ .2‬כמה תת־חבורות מסדר ‪ 20‬יש ל־ ‪) ?S5‬כולן איזומורפיות זו לזו(‪.‬‬
‫‪ .3‬הוכח שהפעולה של ‪ S5‬על הקוסטים של ‪ G‬מגדירה שיכון ‪ S5 ,→ S6‬שאינו קנוני )כלומר‪ ,‬שאינו‬
‫מייצב את אחת הנקודות(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.6.13‬תהי ‪ G‬חבורה מסדר ‪.2p2‬‬
‫‪ .1‬נסמן ב־ ‪ P‬את תת־חבורת ‪p‬־סילו של ‪ .G‬אז ‪ ,P ▹G‬ואיזומורפית ל־ ‪ Zp2‬או ל־ ‪.Zp × Zp‬‬
‫∼ ‪ ,P‬אז ‪ G‬איזומורפית ל־ ‪ Zp2‬או ל־ ‪.Dp2‬‬
‫‪ .2‬אם ‪= Zp2‬‬
‫∼ ‪ .P‬יהי ‪ y ∈ G‬מסדר ‪.2‬‬
‫‪ .3‬אחרת ‪= Z2p‬‬
‫∼ ‪.G‬‬
‫‪ .4‬אם קיים ‪ x ∈ P‬כך ש־ ‪ ,yxy −1 = x‬אז ‪= Zp × Dp‬‬
‫∼ ‪.G‬‬
‫‪ .5‬אם⟩ קיים ‪ x ∈⟨ P‬כך ש־⟩‪ ⟨x‬אינה נורמלית‪ ,‬אז ‪= Zp × Dp‬‬
‫הדרכה‪ .‬קח ‪ x2 = yx1 y −1‬והתבונן ב־⟩ ‪⟨x1 x2‬‬
‫‪. y, x1 x−1‬‬
‫וב־‬
‫‪2‬‬
‫∼ ‪ ,P‬ולכל ‪ x ∈ P‬מתקיים ‪ .yxy −1 = x−1‬חבורה זו נסמן ב־) ‪.Di(Zp × Zp‬‬
‫‪= Z2p .6‬‬
‫‪ .7‬הוכח ש־) ‪ Di(Zp × Zp‬היא חבורת מנה של ‪.Dp × Dp‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.6.14‬ל־ ‪ S4‬יש תת־החבורות הבאות‪) Z2 :‬ששה עותקים צמודים‪ ,‬ועוד שלושה צמודים(‪Z3 ,‬‬
‫)ארבעה עותקים צמודים(‪) Z22 ,‬עותק אחד(‪) Z4 ,‬שלושה עותקים(‪) S3 ,‬ארבעה עותקים(‪) D4 ,‬שלושה‬
‫עותקים(‪.A4 ,‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 8.6.15‬יהי ‪ p‬ראשוני אי־זוגי‪ .‬נראה שיש בדיוק שתי חבורות לא אבליות מסדר ‪ .p3‬תהי‬
‫∼ )‪ .G/Z(G‬נכתוב ⟩‪ Z{= ⟨α‬ונבחר ‪ x, y ∈ G‬כך‬
‫∼ )‪ ,Z = Z(G‬ו־ ‪= Zp }× Zp‬‬
‫‪ G‬חבורה כזו‪ .‬אז ‪= Zp‬‬
‫‪i j k‬‬
‫∼ ‪ .G/Z‬אז ‪ ,xp , y p , [y, x] ∈ Z‬ולכן ‪.G = α x y : i, j, k = 0, . . . , p − 1‬‬
‫ש־⟩‪= ⟨x, y‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ xp = y p = 1‬אז אפשר להניח ‪ .[y, x] = α‬במקרה זה‬
‫‪G = ⟨x, y, α | xp = 1, y p = 1, αp = 1, [y, x] = α, [x, α] = [y, α] = 1⟩,‬‬
‫ומתקיים ‪ wp = 1‬לכל ‪.w ∈ G‬‬
‫‪ .2‬אחרת‪ ,‬על־ידי החלפת ‪ ,x, y‬אפשר להניח ש־‪ .y p ̸= 1‬אפשר לבחור ‪ .α = y p‬על־ידי החלפת ‪x‬‬
‫באיבר מהצורה ‪ xy −t‬אפשר להניח ש־‪ .xp = 1‬על־ידי החלפת ‪ x‬בחזקה מתאימה אפשר להניח‬
‫ש־‪ .[y, x] = α‬כלומר ⟩‪.G = ⟨x, y, α | xp = 1, y p = α, αp = 1, [y, x] = α, [x, α] = [y, α] = 1‬‬
‫‪115‬‬
‫פרק ‪ .8‬משפטי סילו‬
‫‪ .8.6‬החבורות הקטנות‬
‫‪116‬‬
‫פרק ‪9‬‬
‫חבורות אבליות‬
‫בפרק זה נשתמש בכלים שבנינו עד כאן‪ ,‬ובעוד כמה פטנטים המיוחדים לחבורות אבליות‪ ,‬על־מנת לתת מיון‬
‫שלם של החבורות האבליות הסופיות‪.‬‬
‫כלי העבודה הבסיסי הוא האקספוננט‪ ,‬שהוא המכפלה המשותפת המינימלית של סדרי האברים בחבורה‪.‬‬
‫האקספוננט מאפשר לפרק כל חבורה פירוק פרימרי‪ ,‬שהוא פירוק כמכפלה ישרה של חבורות־‪ p‬אבליות‬
‫)לראשוניים ‪ p‬שונים(‪ .‬מכאן אפשר לקבל הצגה קנונית יחידה של כל חבורה אבלית סופית‪ .‬כשלומדים פיתול‬
‫וחוסר פיתול‪ ,‬אפשר להרחיב את הטכניקה כך שתכסה כל חבורה אבלית נוצרת סופית‪.‬‬
‫‪9.1‬‬
‫האקספוננט‬
‫הגדרה ‪ 9.1.1‬האקספוננט של חבורה ‪ G‬הוא המספר החיובי הקטן ביותר ‪ N‬כך ש־ ‪ aN = 1‬לכל ‪ .a ∈ G‬מסמנים מספר זה‬
‫ב־)‪.exp(G‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 9.1.2‬האקספוננט של ‪ G‬הוא הכפולה המשותפת המינימלית של סדרי האיברים בה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ exp(G) (+*) 9.1.3‬מחלק את |‪.|G‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪3.2.4‬‬
‫תרגיל ‪.exp(Z/nZ) = n (*) 9.1.4‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 9.1.5‬חשב את ) ‪ .exp(S7 ) ,exp(S6‬הוכח שלכל ‪ ,n‬האקספוננט של ‪ Sn‬הוא }‪.lcm{1, . . . , n‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 9.1.6‬הראה שהאקספוננט של החבורה הראשונה מתרגיל ‪ 8.6.15‬הוא ‪.p‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.1.7‬ל־)‪ exp(G‬יש אותם גורמים ראשוניים כמו ל־|‪.|G‬‬
‫תרגיל ‪) exp(A × B) = [exp(A), exp(B)] (-**) 9.1.8‬ראה הגדרה ‪.(2.2.24‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 9.1.9‬אם ‪ G‬חבורה אבלית עם |‪ ,exp(G) = |G‬אז היא ציקלית‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬פרק את |‪ |G‬לגורמים‬
‫והפעל את תרגיל ‪.2.3.27‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.1.10‬תן דוגמה לחבורה לא ציקלית עם |‪.exp(G) = |G‬‬
‫תרגיל ‪) (**) 9.1.11‬השווה לתרגיל ‪ (2.4.21‬תהי ‪ G‬חבורה סופית מסדר ‪ .n‬אם לכל ‪ d | n‬יש לכל היותר‬
‫‪d‬‬
‫‪ d‬פתרונות למשוואה ‪ ,x = 1‬אז החבורה ציקלית‪ .‬הדרכה‪ .‬הפעל את תרגיל ‪ 9.1.9‬עם )‪.d = exp(G‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.1.12‬ידוע )ולא נוכיח זאת כאן( שמעל שדה מספר השורשים של פולינום אינו יכול לעלות‬
‫על המעלה שלו‪ .‬הראה שתת־חבורה סופית של החבורה הכפלית × ‪) F‬ראה הגדרה ‪ (2.5.1‬היא תמיד‬
‫×‬
‫ציקלית‪ ,‬ובפרט החבורות הכפליות ‪ Fq‬הן ציקליות לכל שדה סופי ‪ .Fq‬הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.9.1.11‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.1.13‬תן הוכחה קצרה למשפט ‪.2.3.29‬‬
‫הדרכה‪ .‬לכיוון אחד חשב את האקספוננט וסיים לפי תרגיל ‪ .9.1.9‬לכיוון‬
‫השני הצג את ‪ Znm‬כמכפלה ישרה פנימית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.1.14‬אם ‪ G‬אבלית אז יש שיכון )‪ .Uexp(G) ,→ Aut(G‬הראה שהתמונה נורמלית ב־)‪.Aut(G‬‬
‫‪117‬‬
‫‪ .9.2‬הפירוק הפרימרי‬
‫‪9.2‬‬
‫פרק ‪ .9‬חבורות אבליות‬
‫הפירוק הפרימרי‬
‫הזכר בהגדרה ‪ :7.1.16‬אם ‪ A‬חבורה אבלית‪ ,‬אז ‪ µn : A→A‬המוגדרת לפי ‪ µn (a) = an‬היא הומומורפיזם‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 9.2.1‬תהי ‪ A‬חבורה אבלית ויהי ‪ µn : A→A‬ההומומורפיזם של העלאה בחזקה‪ .‬נסמן‬
‫‪An = Im(µn ) = {an : a ∈ A},‬‬
‫‪An = Ker(µn ) = {a ∈ A : an = 1}.‬‬
‫אין קשר בין הסימון ‪ An‬לחבורת התמורות הזוגיות של הגדרה ‪.5.1.12‬‬
‫תרגיל ‪ (-**) 9.2.2‬אם ‪ ,(n, |A|) = 1‬אז ‪ An = A‬ו־‪.An = 1‬‬
‫∼ ‪ .Ad‬חשב את ‪ Am‬ואת ‪Am‬‬
‫∼ ‪ Ad‬ו־ ‪= Zn/d‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.2.3‬תהי ‪ .A = Zn‬הראה שלכל ‪= Zd ,d | n‬‬
‫עבור ‪ m‬כלשהו‪.‬‬
‫תרגיל ‪.exp(An ) | n (+*) 9.2.4‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.2.5‬נניח ש־ ‪ .exp(A) | nm‬אז ‪.An ⊆ Am‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.2.6‬אם ‪ exp(A) = nm‬ו־‪ n, m‬זרים‪ ,‬אז ‪.An = Am‬‬
‫∼ ‪.A‬‬
‫משפט ‪ 9.2.7‬אם ‪ exp A = nm‬כאשר ‪ n, m‬זרים‪ ,‬אז ‪= An × Am‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 9.2.8‬הוכח את המשפט‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬כתוב ‪ 1 = αn + βm‬והראה ש־ ‪ An ∩ Am = 1‬וש־ ‪.A ⊆ Am An ⊆ An Am‬‬
‫∼‪B‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 9.2.9‬נניח ש־‪ A = B × C‬כאשר )‪ n = exp(B‬ו־)‪ m = exp(C‬זרים‪ .‬הראה ש־ ‪= Am‬‬
‫∼ ‪ .C‬בפרט‪ ,‬הפירוק לחבורות עם אקספוננטים )זרים( נתונים הוא יחיד‪.‬‬
‫ו־ ‪= An‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 9.2.10‬חבורה סופית היא חבורת־‪ p‬אם ורק אם הסדר שלה הוא חזקה של ‪ ,p‬אם ורק אם‬
‫האקספוננט שלה חזקת־‪.p‬‬
‫משפט ‪ 9.2.11‬כל חבורה אבלית סופית היא מכפלה ישרה של חבורות־‪ ,p‬שהן יחידות עד־כדי איזומורפיזם‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.2.12‬הוכח את המשפט‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬קיום הפירוק באינדוקציה על משפט ‪ ,9.2.7‬לפי תרגיל ‪ .9.2.4‬היחידות לפי תרגיל ‪.9.2.9‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.2.13‬פרק למכפלה ישרה פנימית של תת־חבורות‪ ,‬שהן חבורות־‪ ,p‬את ‪ Z24‬ואת ‪.U126‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.2.14‬אם ‪ m‬מחלק את |‪ ,|A‬אז ‪ µm‬אינו חד־חד־ערכי‪.‬‬
‫‪ 9.3‬חבורות־‪ p‬אבליות‬
‫ראו סעיף ‪.8.3‬‬
‫טענה ‪ 9.3.1‬בחבורת־‪ p‬יש איבר שסדרו שווה לאקספוננט‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.3.2‬הוכח את הטענה‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬אחרת הסדר של כל האברים מחלק את ‪.exp(A)/p‬‬
‫בסעיפים ‪ 1.5‬ו־‪ 4.3‬עסקנו במכפלות ישרות של מספר סופי של מרכיבים‪.‬‬
‫ישרות של מספר כלשהו של מרכיבים‪ ,‬וגם סכומים ישרים;‬
‫הגדרנו מכפלות‬
‫באופן כללי יש הבדל )גדול( בין‬
‫שני המושגים‪ ,‬אבל עבור מספר סופי של מחוברים‪ ,‬הם מתלכדים‪.‬‬
‫כשמדובר בחבורות אבליות‪,‬‬
‫מעדיפים להשתמש בסכום ישר )כמו למשל במרחבים וקטוריים(‪ ,‬וכך נעשה גם כאן‪.‬‬
‫את הסכום הישר של החבורות ‪ B, C‬מסמנים ‪ .B ⊕ C‬נבהיר שוב ש־ ‪ ,B ⊕ C = B × C‬ואנו משתמשים‬
‫בסימון החיבורי משום שהחבורות אבליות‪.‬‬
‫‪118‬‬
‫‪ .9.4‬משפט המיון לחבורות אבליות סופיות‬
‫פרק ‪ .9‬חבורות אבליות‬
‫הגדרה ‪ 9.3.3‬תת־חבורה ‪ H ≤ A‬נקראת מחובר ישר‪ ,‬אם יש תת־חבורה ‪ H1‬כך ש־‪ A‬הוא סכום ישר של ‪ H‬ו־ ‪) H1‬במלים‬
‫אחרות‪ ,‬יש ל־‪ H‬משלים נורמלי; אבל כל תת־חבורה של ‪ A‬נורמלית(‪ .‬ראה תרגיל ‪.4.3.7‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 9.3.4‬תהי ‪ A‬חבורה עם תת־חבורות ‪ Q, H, B▹A‬כך ש־‪ Q ⊆ B‬ו־‪ .Q ∩ H = 1‬נניח ש־‬
‫∼ ‪ .A‬הדרכה‪ .‬לפי ההנחה ‪ ,HB = HQB = A‬ו־‪.H ∩B = H ∩QH ∩B = H ∩Q = 1‬‬
‫∼ ‪ .A/Q‬אז ‪= B ⊕H‬‬
‫‪= B/Q⊕QH/Q‬‬
‫משפט ‪ 9.3.5‬יהי ‪ g‬הוא איבר מסדר השווה לאקספוננט בחבורת־‪ p‬אבלית ‪ .A‬אז תת־החבורה הציקלית שהוא יוצר היא מחובר‬
‫ישר ב־‪.A‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 9.3.6‬הוכח את המשפט‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬באינדוקציה‪ .‬נניח ש־ ‪ .H = ⟨g⟩ ̸= A‬ראשית‪ ,‬יהי ‪ xH ∈ A/H‬איבר מסדר ‪ ,p‬אז‬
‫קיים ‪ i‬כך ש־ ‪ ;xp = g i‬אם ‪ i‬זר ל־‪ p‬אז )‪ ord(x) = p · ord(g‬וזה לא יתכן‪ .‬לכן אפשר לכתוב ‪ i = pj‬ואז ‪ xg −j‬הוא איבר מסדר ‪ p‬מחוץ ל־‪.H‬‬
‫∼ ‪ .HQ/Q‬באינדוקציה קיים ‪ Q ⊆ K ≤ A‬כך‬
‫נחליף את ‪ x‬באיבר הזה‪ .‬כעת ⟩‪ Q = ⟨x‬מקיים ‪ Q ∩ H = 1‬ו־)‪ exp(A/Q) = exp(A‬כי ‪= H‬‬
‫∼ ‪ .A‬הערה‪ .‬טענת התרגיל היא שלתת־החבורה ⟩‪ ⟨g‬יש‬
‫ש־ ‪ A/Q = (HQ/Q) ⊕ K/Q‬סכום ישר‪ ,‬ולפי תרגיל ‪= B ⊕ H ,9.3.4‬‬
‫משלים‪ .‬השווה את ההוכחה למשפט שור־זסנהאוז‪ ,‬משפט ‪.8.4.57‬‬
‫תרגיל ‪ .A = Z4 × Z8 (-***) 9.3.7‬הראה שתת־החבורה הציקלית ‪ H = ⟨(0, 2)⟩ ≤ A‬חותכת כל‬
‫תת־חבורה מסדר ‪ 8‬של ‪ ,A‬והסק שהיא אינה מחובר ישר‪ .‬מדוע אין עובדה זו סותרת את משפט ‪?9.3.5‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 9.3.8‬תהי ‪ .G = Zpα1 ⊕ · · · ⊕ Zpαt‬הראה ש־ |}‪ .[pm−1 G : pm G] = p|{i:αi ≥m‬בפרט‪ ,‬אפשר‬
‫לקרוא את קבוצת הערכים ‪ α1 , . . . , αt‬מתוך ‪.G‬‬
‫משפט ‪ 9.3.9‬לכל חבורת־‪ p‬אבלית סופית יש פירוק יחיד לסכום ישר של חבורות ציקליות‪ G = Zpα1 ⊕ · · · ⊕ Zpαt ,‬כאשר‬
‫‪.α1 ≤ · · · ≤ αt‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.3.10‬הוכח את המשפט‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬הקיום באינדוקציה לפי משפט ‪ ,9.3.5‬והיחידות היא תרגיל ‪.9.3.8‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.3.11‬מצא כמה אברים מכל סדר יש בחבורות ‪ Zp3 , Zp2 ⊕ Zp‬ו־ ‪.Zp ⊕ Zp ⊕ Zp‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.3.12‬בחבורת־‪ p‬אבלית לא ציקלית יש תת־חבורה מסדר ‪ p2‬שאינה ציקלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.3.13‬האם קיימת חבורה אבלית ‪ ,G‬כך ש־ ‪ ,|G| = 32 ,exp(G) = 4‬ו־‪?[G : G2 ] = 4‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.3.14‬מצא את כל החבורות האבליות ‪ A‬שהסדר שלהן ‪ ,310‬האקספוננט ‪ ,35‬וכך ש־‬
‫∼ ‪.A/9A‬‬
‫‪= Z3 ⊕ Z3 ⊕ Z9 ⊕ Z9‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 9.3.15‬תת־חבורה ציקלית של ‪ A‬היא ציקלית מקסימלית אם היא אינה מוכלת באף תת־‬
‫חבורה ציקלית אחרת‪ .‬הוכח שאם ‪ A = A0 ⊕ A1‬היא חבורת־‪ p‬אבלית אז כל תת־חבורה ציקלית‬
‫מקסימלית של ‪ A0‬היא ציקלית מקסימלית ב־‪ .A‬הדרכה‪ .‬תהי ‪ ⟨a0 ⟩ ⊆ A0‬תת־חבורה ציקלית מקסימלית של ‪ ,A0‬ונניח‬
‫ש־⟩ ‪ a0 ∈ C = ⟨b0 + b1‬כאשר ‪ .bi ∈ Ai‬לכן אפשר לכתוב ‪ a0 = n(b0 + b1 ) = nb0 + nb1‬ומכיוון שזהו סכום ישר‪ nb1 = 0 ,‬ו־⟩ ‪.a0 ∈ ⟨b0‬‬
‫לפי המקסימליות ‪ n‬זר ל־‪ ,p‬ולכן ‪) .b1 = 0‬האם תכונה זו מספיקה כדי להסיק ש־ ‪ A0‬מחובר ישר ב־‪(?A‬‬
‫‪9.4‬‬
‫משפט המיון לחבורות אבליות סופיות‬
‫משפט ‪ 9.4.1‬כל חבורה אבלית סופית אפשר להציג באופן יחיד בצורה‬
‫‪Zd1 ⊕ · · · ⊕ Zdt ,‬‬
‫כאשר ‪.d1 | · · · | dt‬‬
‫צורה זו של החבורה נקראת הצורה הקנונית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 9.4.2‬הוכח את המשפט‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬קיום‪ :‬פרק את החבורה למכפלה של חבורות־‪ p‬לפי משפט ‪ ,9.2.11‬ופרק כל אחת‬
‫מאלה לסכום של ‪ t‬חבורות ציקליות לפי משפט ‪ .9.3.9‬אסוף ל־ ‪) Zdt‬תרגיל ‪ (2.3.29‬את המרכיב הגדול ביותר בכל קבוצה‪ ,‬וכן הלאה‪ .‬יחידות‪:‬‬
‫בחר הצגה קנונית כלשהי של ‪ .A‬הראה ש־|‪ ,t = max logp |A/pA‬כאשר המקסימום על־פני כל הראשוניים המחלקים את |‪ ,|A‬ולכן האורך‬
‫‪ ℓ(A) = t‬מוגדר היטב‪ .‬הראה ש־)‪ ℓ(δA) = ℓ(A‬לכל ‪ ,1 < δ < d1‬בעוד ש־)‪ ,ℓ(d1 A) < ℓ(A‬ולכן ‪ d1‬מוגדר היטב‪ .‬סיים באינדוקציה על ‪.t‬‬
‫‪n‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.4.3‬הראה ש־‬
‫∼ ‪.mZn‬‬
‫)‪= Z (n,m‬‬
‫‪119‬‬
‫פרק ‪ .9‬חבורות אבליות‬
‫‪ .9.4‬משפט המיון לחבורות אבליות סופיות‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.4.4‬הראה שאם ‪ ,A = Zd1 ⊕ · · · ⊕ Zdt‬אז לכל ‪ ,m‬הצורה הקנונית של ‪.mA‬‬
‫‪) .Z d1 ⊕ · · · ⊕ Z dt‬העזר בתרגיל ‪.(2.2.23‬‬
‫)‪(dt ,m‬‬
‫היא‬
‫)‪(d1 ,m‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 9.4.5‬אם לשתי חבורות אבליות סופיות יש אותו מספר איברים מכל סדר‪ ,‬אז הן איזומורפיות‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬צריך להוכיח שמספר האברים מכל סדר קובע את החבורה‪ .‬כתוב את החבורה בצורה הקנונית‪ .‬לכל ראשוני ‪ ,p‬מספר האברים מסדר ‪p‬‬
‫שווה ל־‪ pm − 1‬עבור ‪ m‬מתאים; בחר ‪ p‬עם ‪ m‬מקסימלי; אז ‪ ,p | d1‬ו־‪ m‬הוא אורך ההצגה‪ .‬מספר האברים מכל סדר ב־‪ A‬קובע את מספר‬
‫האברים מכל סדר ב־ ‪ ,Ap‬ובאינדוקציה‪ ,‬את המבנה של ‪ .A‬מהאורך‪ p ,‬ו־ ‪ Ap‬אפשר לשחזר את ‪.A‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 9.4.6‬לחבורה אבלית סופית יש איבר מכל סדר המחלק את סדר החבורה‪) .‬השווה‬
‫לתרגיל ‪.(8.2.2‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.4.7‬הראה שאם ‪ ,A = Zd1 ⊕ · · · ⊕ Zdt‬כאשר ‪ ,d1 | · · · | dt‬אז לכל ‪ m | dt‬מתקיים = ‪m‬‬
‫) ‪ .exp(A)/ exp(Am‬בפרט ‪.exp(A) = dt‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.4.8‬מיין‪ ,‬עד כדי איזומורפיזם‪ ,‬את החבורות האבליות מהסדרים הבאים‪.560, 320, 625, 210 :‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.4.9‬מיין‪ ,‬עד כדי איזומורפיזם‪ ,‬את החבורות האבליות מהסדרים הבאים‪.8085, 22 32 5 :‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 9.4.10‬מצא את הצורה הקנונית של ‪.Z12 ⊕ Z40 ⊕ Z15‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 9.4.11‬כתוב איזומורפיזם מפורש ‪.Z40 ⊕ Z30 ⊕ Z4 →Z2 ⊕ Z20 ⊕ Z120‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.4.12‬כתוב איזומורפיזם מפורש ‪.Z12 ⊕ Z7 →Z14 ⊕ Z6‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.4.13‬מצא את כל החבורות האבליות מסדר ‪ 324‬ואקספוננט ‪.18‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.4.14‬מצא איבר מסדר ‪ 33‬ב־ ‪.Z15 ⊕ Z55‬‬
‫∼ ‪.Z200 ⊕ Z20‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 9.4.15‬הוכח ש־ ‪= Z100 ⊕ Z40‬‬
‫∼ ‪.Z12 ⊕ Z12 ⊕ Z20‬‬
‫∼ ‪= Z30 ⊕ Z6 ⊕ Z16 ,Z4 ⊕ Z15‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 9.4.16‬הוכח או הפרך ‪= Z3 ⊕ Z20 -‬‬
‫∼ ‪G/H‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 9.4.17‬תהי ‪ G = Zab ⊕ Zbc‬עם תת החבורה ⟩)‪ .H = ⟨(a, b‬מצא ‪ r, s‬כך ש־ ⊕ ‪= Zr‬‬
‫‪ .Zs‬הדרכה‪ .‬ראשית מצא איזומורפיזם ‪ .ϕ : G→Zb ⊕ Zabc‬מהי התמונה של ‪ H‬תחת ‪?ϕ‬‬
‫‪9.4.1‬‬
‫חבורות אוילר‬
‫ניתן לדלג בקריאה ראשונה‪.‬‬
‫הטלות ופירוק‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.4.18‬נניח ‪ .m | n‬ההעתקה ‪ [a]n 7→ [a]m‬היא הומומורפיזם ‪.Un → Um‬‬
‫∼ ‪.Unm‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 9.4.19‬אם ‪ (n, m) = 1‬אז ‪= Un × Um‬‬
‫הדרכה‪ .‬ההעתקה ‪ Unm → Un × Um‬היא חד־חד־ערכית‪,‬‬
‫ולפי תרגיל ‪ 2.4.13‬היא גם על‪ .‬לחילופין‪ ,‬העזר במשפט ‪ 2.3.29‬ובכך שלכל שני מונוידים ‪ M, N‬מתקיים ) ‪.U (M × N ) = U (M ) × U (N‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.4.20‬הסק מתרגיל ‪ 9.4.19‬שאם ‪ ,(m, n/m) = 1‬אז ההעתקה ‪ Un →Um‬לפי ‪[a]n 7→ [a]m‬‬
‫היא על‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 9.4.21‬הוכח שההעתקה ‪ Un →Um‬לפי ‪) [a]n 7→ [a]m‬כאשר ‪ (m | n‬היא על‪.‬‬
‫‪ ,[a]m ∈ Um‬כלומר‪ .(a, m) = 1 ,‬צריך להראות שקיים )‪ b ≡ a (mod m‬כך ש־ ‪ .(b, n) = 1‬כתוב ‪ ,b = a + mx‬ובחר )‪x ≡ 1 (mod p‬‬
‫הדרכה‪ .‬יהי‬
‫לכל ‪ p | n‬כך ש־ ‪ .(p, m) = 1‬סיים לפי משפט השאריות הסיני‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.4.22‬חשב את הגרעין של ההעתקה ‪ .U30 → U6‬מה המבנה של הגרעין?‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.4.23‬הוכח שהגרעין של ההעתקה ‪ Up2 → Up‬איזומורפי ל־ ‪.Zp‬‬
‫‪120‬‬
‫‪ .9.4‬משפט המיון לחבורות אבליות סופיות‬
‫פרק ‪ .9‬חבורות אבליות‬
‫שיכונים‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.4.24‬מצא שיכון מפורש ‪.U5 → U25‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.4.25‬הוכח שקיים שיכון ‪ ,Up → Up2‬כאשר ‪ p‬ראשוני‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 9.4.26‬הוכח שקיימים שיכונים ‪ Upα → Upα+1‬לכל ‪.1 < α‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 9.4.27‬אם ‪ m | n‬אז קיים שיכון ‪.Um → Un‬‬
‫חבורות אוילר ציקליות‬
‫תרגיל ‪ Up (-***) 9.4.28‬חבורה ציקלית לכל ‪ p‬ראשוני‪.‬‬
‫הדרכה‪ Up .‬היא חבורת האיברים ההפיכים בשדה ‪ ;Zp‬הפעל את‬
‫תרגיל ‪.9.1.11‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.4.29‬לכל ‪ p‬ראשוני‪.exp(Up ) = p − 1 ,‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫תרגיל ‪.9.4.28‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 9.4.30‬אם ‪ p‬ראשוני אי־זוגי אז ‪ ,exp(Upn ) = ϕ(pn ) = (p − 1)pn−1‬ולכן ‪ Upn‬ציקלית מסדר‬
‫‪n−1‬‬
‫‪ .(p − 1)p‬הדרכה‪ .‬לפי תרגיל ‪ 9.4.29‬והאפימורפיזם ‪ Upn → Up‬של תרגיל ‪ .(p − 1) | exp(Upn ) ,9.4.21‬נשאר לחשב שהסדר של‬
‫‪ 1 + p‬בחבורה הוא ‪.pn−1‬‬
‫∼ ‪.U2n‬‬
‫תרגיל ‪ exp(U2n ) = 2n−2 (***) 9.4.31‬ולכן ‪= Z2 ⊕ Z2n−2‬‬
‫הדרכה‪ .‬הוכח ש־ ‪ U2n‬נוצרת על־ידי ‪ ,5, −1‬על־ידי‬
‫חישוב הסדר של ‪ 5‬מודולו ‪ ,2n‬והחיתוך ⟩‪.⟨−1⟩ ∩ ⟨5‬‬
‫תרגיל ‪ (+***) 9.4.32‬הוכח ש־ ‪ Un‬ציקלית אם ורק אם ‪ n‬שווה ל־‪ ,4 ,2 ,1‬או הוא מהצורה ‪ pα‬או ‪2pα‬‬
‫עבור ‪ p‬איזוגי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.4.33‬מצא יוצר לחבורת אוילר ‪.U49‬‬
‫∗‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.4.34‬הראה ש־ ‪ ,exp(Upt ) = (p − 1)pt−1‬כאשר ‪ 1∗ = 1‬אם ‪ p‬איזוגי‪ ,‬ו־‪ 1∗ = 2‬עבור‬
‫‪ .p = 2‬הדרכה‪ .‬תרגילים ‪ 9.4.30‬ו־‪.9.4.31‬‬
‫פירוק קנוני‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.4.35‬כתוב את ‪ U144‬כמכפלת חבורות ציקליות בצורה מפורשת‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.4.36‬כתוב את ‪ U1800‬כסכום ישר של חבורות ציקליות‪.‬‬
‫∼ ‪U1800‬‬
‫פתרון‪ 1800 = 8 · 9 · 25 .‬ולכן ⊕ ‪= U8‬‬
‫‪3‬‬
‫∼ ‪.U9 ⊕ U25‬‬
‫∼ ‪= Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z6 ⊕ Z20‬‬
‫‪= Z2 ⊕ Z60‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.4.37‬כתוב את ‪ U100‬כסכום ישר של חבורות ציקליות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.4.38‬כתוב את החבורות הבאות כסכום ישר של חבורות ציקליות‪.U504 ,U30 ,U15 ,U8 :‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.4.39‬מצא את הקוסטים של ⟩‪ ⟨13, 27‬בחבורה ‪ ,U56‬והצג את חבורת המנה כמכפלה ישרה‬
‫של חבורות ציקליות‪.‬‬
‫האקספוננט של חבורת אוילר‬
‫מסמנים ) ‪.λ(n) = exp(Un‬‬
‫תרגיל ‪.λ(n) | ϕ(n) (*) 9.4.40‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 9.4.41‬הוכח את העידון הבא של משפט אוילר )‪ :(3.2.6‬לכל ‪ a‬זר ל־‪.aλ(n) ≡ 1 (mod n) ,n‬‬
‫∏‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.4.42‬אם ‪ptii‬‬
‫אחרת‪ .‬הדרכה‪ .‬תרגילים ‪ 9.4.19‬ו־‪.9.4.34‬‬
‫תרגיל ‪(***) 9.4.43‬‬
‫∗‬
‫= ‪ ,λ(n) = lcmi ((pi − 1)ptii −1 ) ,n‬כאשר ‪ 1∗ = 2‬אם ‪ pi = 2‬ו־‪1∗ = 1‬‬
‫‪ .1‬מצא את כל ה־‪n‬־ים עבורם ‪) exp(Un ) = 2‬ראה גם תרגיל ‪.(2.4.17‬‬
‫‪ .2‬מיין את החבורות ‪ Un‬המתקבלות‪ ,‬עד כדי איזומורפיזם‪.‬‬
‫‪121‬‬
‫פרק ‪ .9‬חבורות אבליות‬
‫‪ .9.5‬חבורות אבליות אינסופיות‬
‫∼ ‪.Un‬‬
‫‪ .3‬הראה שלא קיימת חבורת אוילר ‪= Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2‬‬
‫הדרכה‪ .‬נניח ‪ .exp(Un ) = 2‬אם ‪ p | n‬אז‬
‫‪ Up ⊆ Un‬ולכן ‪ - exp(Up ) | 2‬הסק ש־ ‪ (5, n) = 1‬וש־ ‪.n | 24‬‬
‫תרגיל ‪(***) 9.4.44‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ ,(a, 30) = 1‬אז )‪.240 | (a4 − 1‬‬
‫‪ .2‬לא ניתן להגדיל את המספר ‪ 240‬בסעיף ‪.1‬‬
‫‪ .3‬מצא את המספר הגדול ביותר ‪ m‬המקיים )‪ m | (a6 − 1‬לכל ‪ a‬זר ל־‪.m‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.4.45‬מספר ‪ n‬שהוא פסאודו־ראשוני ביחס לכל ‪) a ∈ Un‬כלומר )‪(an−1 ≡ 1 (mod n‬‬
‫נקרא מספר קרמייקל ]ידוע שיש אינסוף מספרי קרמייקל‪[.‬‬
‫‪ n .1‬הוא מספר קרמייקל אם ורק אם ‪.λ(n) | n − 1‬‬
‫‪ 561 .2‬הוא מספר קרמייקל‪.‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ 6k + 1, 12k + 1, 18k + 1‬כולם ראשוניים‪ ,‬אז מכפלתם היא מספר קרמייקל‪ .‬מצא את הדוגמה‬
‫הקטנה ביותר מסוג זה‪.‬‬
‫‪ .4‬למספר קרמייקל יש לפחות שלושה גורמים ראשוניים שונים‪.‬‬
‫מודולו ‪ p‬אם קיים ‪ x ∈ Up‬כך ש־‪ .x2 = a‬סימן לגרנז' מוגדר כ־‬
‫‪ 9.4.46‬איבר ‪ a ∈ Up‬נקרא שארית‬
‫ריבועית (‬
‫)‬
‫הגדרה ) (‬
‫‪a‬‬
‫‪ ap = +1‬אם ‪ a‬הוא שארית ריבועית‪ ,‬ו־‪ p = −1‬אחרת‪.‬‬
‫) () ( ) (‬
‫‪b‬‬
‫‪= ap‬‬
‫‪. ab‬‬
‫תרגיל ‪(**) 9.4.47‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫) (‬
‫‪p−1‬‬
‫תרגיל ‪. ap = a 2 (**) 9.4.48‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 9.4.49‬הראה ש־)‪ (−1‬הוא שארית ריבועית מודולו ‪ p > 2‬אם ורק אם )‪.p ≡ 1 (mod 4‬‬
‫‪9.5‬‬
‫חבורות אבליות אינסופיות‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.5.1‬אם ‪ A‬נוצרת סופית‪ ,‬אז כל חבורת מנה שלה נוצרת סופית‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 9.5.2‬חבורה )לאו דווקא קומוטטיבית( היא מפותלת אם לכל איבר בה יש סדר סופי‪ ,‬וחסרת פיתול אם לכל האיברים‬
‫)פרט לאיבר היחידה( סדר אינסופי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.5.3‬האוסף ‪ Tor‬של חבורות מפותלות סגור לתת־חבורות‪ ,‬לחבורות מנה ולהרחבות )ראה‬
‫הגדרה ‪(.4.9.1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.5.4‬האוסף ‪Tor‬־‪ Ab‬של חבורות אבליות מפותלות סגור לתת־חבורות ולחבורות מנה‬
‫)ראה תרגיל ‪ .(4.9.9‬הוא סגור גם להרחבות בתוך אוסף החבורות האבליות‪ ,‬כלומר‪ ,‬אם ∈ ‪B, A/B‬‬
‫‪Tor‬־‪ Ab‬ו־‪ A‬אבלית‪ ,‬אז ‪Tor‬־‪.A ∈ Ab‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 9.5.5‬אם ‪ F, T ≤ A‬כאשר ‪ T‬מפותלת ו־ ‪ F‬חסרת פיתול‪ ,‬אז ‪.F ∩ T = 0‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 9.5.6‬חבורה אבלית מפותלת נוצרת סופית ‪ -‬היא סופית‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬הראה שהאקספוננט ‪ e‬סופי‪ ,‬ושהחבורה‬
‫‪ Zn‬ל־‪ n‬מתאים‪.‬‬
‫היא מנה של ‪e‬‬
‫הבעיה הכללית ‪ -‬האם חבורה מפותלת נוצרת סופית )שאינה אבלית( היא בהכרח סופית ־‬
‫ידועה בשם בעיית ‪ ; Burnside‬זוהי אחת הבעיות הפתוחות המפורסמות בתורת החבורות ‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.5.7‬תן דוגמה מפורטת לחבורה מפותלת שאינה סופית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 9.5.8‬אוסף האברים מסדר אינסופי בחבורה אבלית )יחד עם איבר היחידה( אינו בהכרח‬
‫∏‬
‫תת־חבורה‪ .‬הצעה‪.A = i∈N Z2i .‬‬
‫הגדרה ‪ 9.5.9‬אוסף האיברים מסדר סופי בחבורה ‪ G‬נקרא חבורת הפיתול של ‪ ,G‬ומסומן ב־)‪.t(G‬‬
‫‪122‬‬
‫‪ .9.5‬חבורות אבליות אינסופיות‬
‫פרק ‪ .9‬חבורות אבליות‬
‫תרגיל ‪ G (*) 9.5.10‬מפותלת אם ורק אם ‪ ,t(G) = G‬וחסרת פיתול אם ורק אם ‪.t(G) = 0‬‬
‫תרגיל ‪ (-**) 9.5.11‬אם ‪ G‬אבלית‪ t(G) ,‬תת־חבורה של ‪.G‬‬
‫תרגיל ‪.t(A ⊕ B) = t(A) ⊕ t(B) (-**) 9.5.12‬‬
‫תרגיל ‪ G/t(G) (**) 9.5.13‬חבורה חסרת פיתול‪.‬‬
‫משפט ‪ 9.5.14‬כל חבורה אבלית נוצרת סופית וחסרת פיתול היא מהצורה ‪ Zn‬עבור איזשהו ‪.n‬‬
‫∑‬
‫עבור ‪x1 , . . . , xn ∈ X‬‬
‫קבוצת יוצרים ‪ X‬של חבורה אבלית נקראת בסיס אם מהשוויון ‪ai xi = 0‬‬
‫ומקדמים ‪ a1 , . . . , an ∈ Z‬נובע ש־‪ ai = 0‬לכל ‪ .i‬חבורה אבלית שיש לה בסיס היא חבורה אבלית חופשית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (-**) 9.5.15‬ל־ ‪ Zn‬יש בסיס בגודל ‪.n‬‬
‫∼ ‪ Zn‬אז ‪.n = m‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.5.16‬אם ‪= Zm‬‬
‫הדרכה‪ .‬חשוב על ‪.A/A2‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.5.17‬חבורה אבלית שיש לה בסיס בן ‪ n‬אברים איזומורפית ל־ ‪.Zn‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 9.5.18‬קבוצת יוצרים בגודל מינימלי של חבורה אבלית חסרת פיתול היא בסיס‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬נאמר‬
‫∑‬
‫∑‬
‫הוא | ‪ . |ai‬נוכיח את הטענה באינדוקציה על המשקל מינימלי של יחס שהיוצרים מקיימים‪ .‬לא יתכן שכל ה־ ‪ai‬‬
‫שהמשקל של יחס ‪ai xi = 0‬‬
‫השונים מאפס בעלי אותו ערך מוחלט‪ ,‬משום שאז אפשר לצמצם ולקבל ‪ ,ai = 1‬בסתירה למינימליות‪ .‬מכיוון שהחבורה חסרת פיתול‪ ,‬לא יתכן‬
‫גם שביחס משתתף יוצר יחיד‪ .‬לכן יש ‪ i, j‬כך ש־| ‪ ;|ai | < |aj‬נציב ‪ xi = x′i + xj‬או ‪ xi = x′i − xj‬בהתאם לסימן של ‪ .ai aj‬היוצרים‬
‫‪ x1 , . . . , xi−1 , x′i , xi+1 , . . . , xn‬מקיימים יחס שבו ‪ aj‬מוחלף ב־ ‪ aj + ai‬או ב־ ‪ ,aj − ai‬שמשקלו קטן יותר‪ ,‬ולפי הנחת האינדוקציה‪ ,‬הם מהווים‬
‫בסיס; לכן גם ‪ x1 , . . . , xn‬בסיס‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 9.5.19‬הוכח את המשפט‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬קבוצת יוצרים בגודל מינימלי היא בסיס לפי תרגיל ‪ ,9.5.18‬והטענה נובעת‬
‫מתרגיל ‪.9.5.17‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.5.20‬חבורה אבלית נוצרת סופית חסרת פיתול היא חופשית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 9.5.21‬תהי ‪ A‬חבורה אבלית עם אברים ‪ .x1 , . . . , xn‬אם הקוסטים ‪x1 + N, · · · , xn + N‬‬
‫מהווים בסיס של חבורת מנה ‪ ,A/N‬אז ‪ x1 , . . . , xn‬בסיס של תת־החבורה שהם יוצרים ב־‪.A‬‬
‫משפט ‪ 9.5.22‬חבורה אבלית נוצרת סופית היא סכום ישר של חבורה מפותלת וחבורה חסרת פיתול‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 9.5.23‬הוכח את המשפט‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬תהי ‪ A‬אבלית נוצרת סופית‪ .‬לפי תרגילים ‪ 9.5.1‬ו־‪ A/t(A) ,9.5.13‬נוצרת סופית‬
‫וחבאת פיתול‪ .‬לפי משפט ‪ ,9.5.14‬ל־)‪ A/t(A‬יש בסיס‪ ,‬שלפי תרגיל ‪ 9.5.21‬כל הרמה שלו יוצרת תת־חבורה חסרת פיתול‪ .A0 ,‬לפי תרגיל ‪,9.5.5‬‬
‫‪ .A0 ∩ t(A) = 0‬הוכח ש־)‪ A = A0 + t(A‬והסק שהחבורת משלימות‪ ,‬ו־‪ A‬הוא סכום ישר לפי תרגיל ‪.4.3.7‬‬
‫∼ ‪.T1‬‬
‫∼ ‪ T1 ⊕ A1‬כאשר ‪ Ti‬מפותלות ו־ ‪ Ai‬חסרות פיתול‪ ,‬אז ‪= T2‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.5.24‬אם ‪= T2 ⊕ A2‬‬
‫משפט ‪ 9.5.25‬ההצגה של חבורה כסכום ישר של חבורה מפותלת עם אקספוננט סופי וחבורה חסרת פיתול נוצרת סופית‪ ,‬אם‬
‫קיימת כזו‪ ,‬היא יחידה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 9.5.26‬הוכח את המשפט‪ .‬הדרכה‪ .‬נניח ש־‪ G = T ⊕ A‬הוא פירוק כנ"ל‪ .‬לפי תרגיל ‪ T ,9.5.24‬נקבעת על־ידי ‪.G‬‬
‫‪e‬‬
‫‪n‬‬
‫∼ ‪ ;Ge‬סיים לפי תרגיל ‪.9.5.16‬‬
‫∼ ‪=A‬‬
‫קח ) ‪ .e = exp(T‬לפי משפט ‪ A = Z 9.5.14‬עבור ‪ n‬מתאים‪ ,‬ולכן ‪= A‬‬
‫משפט ‪ 9.5.27‬כל חבורה אבלית נוצרת סופית אפשר להציג באופן יחיד בצורה ‪ ,Zd1 ⊕ · · · ⊕ Zdt‬כאשר ‪;d1 | · · · | dt‬‬
‫מותרים ‪) ds+1 = · · · = dt = 0‬כאן ‪.(Z0 = Z‬‬
‫∼ ‪.A, B‬‬
‫∼ ‪ ,A, B ̸= 0 ,A ⊕ B‬אז ‪= Z‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 9.5.28‬הראה שאם ‪= Z ⊕ Z‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.5.29‬הראה ש־‪ Q‬אינה חופשית )כחבורה אבלית(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.5.30‬הראה שכל תת־חבורה אמיתית של‬
‫‪123‬‬
‫∞∪‬
‫‪1‬‬
‫‪n=0 5n Z)/Z‬‬
‫( היא ציקלית סופית‪.‬‬
‫‪ .9.5‬חבורות אבליות אינסופיות‬
‫‪9.5.1‬‬
‫פרק ‪ .9‬חבורות אבליות‬
‫חבורות סדורות‬
‫הגדרה ‪ 9.5.31‬חבורה )שאינה דווקא אבלית( היא סדורה אם מוגדר עליה יחס סדר לינארי )שלם(‪ ,‬כך שאם ‪ a < b‬אז לכל ‪c‬‬
‫מתקיים ‪ ac < bc‬ו־‪ .ca < cb‬חבורה ניתנת לסידור אם קיים יחס סדר ההופך אותה לחבורה סדורה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.5.32‬כל חבורה אבלית חופשית )נוצרת סופית( ניתנת לסידור‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 9.5.33‬כל חבורה סדורה היא חסרת פיתול‪.‬‬
‫‪9.5.2‬‬
‫חבורות שאינן נוצרות סופית‬
‫ניתן לדלג בקריאה ראשונה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 9.5.34‬החבורה החיבורית )‪ (Q, +‬חסרת פיתול‪ ,‬ואינה איזומורפית לשום חזקה של ‪.Z‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 9.5.35‬תן דוגמה לחבורה מסדר אינסופי שכל האיברים שלה מסדר המחלק את ‪.n‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 9.5.36‬תן דוגמה לחבורה אבלית אינסופית‪ ,‬כך ש־ ‪ An‬סופית לכל ‪.n‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.5.37‬הוכח שכל תת־חבורה נוצרת סופית של ‪ Q+‬היא ציקלית‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.5.38‬הוכח שהחבורות האבליות ‪ Q× ,Q+‬אינן נוצרות סופית‪.‬‬
‫×‬
‫‪+‬‬
‫×‪ Q‬אינן איזומורפיות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 9.5.39‬הוכח שהחבורות ‪>0 ,Q ,Q‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 9.5.40‬החבורה החיבורית )‪ (Q, +‬חסרת פיתול‪ ,‬ואינה איזומורפית לשום חזקה של ‪.Z‬‬
‫∼ ‪.B‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 9.5.41‬תנו דוגמא לחבורה ‪ A‬עם תת־חבורה אמיתית ‪ B < A‬כך ש־‪= A‬‬
‫∼ ‪.B‬‬
‫∼ ‪ C‬אבל ‪̸ A‬‬
‫=‬
‫תנו דוגמא לחבורות ‪ C < B < A‬כך ש־‪= A‬‬
‫‪124‬‬
‫פרק ‪10‬‬
‫חבורות פתירות ונילפוטנטיות‬
‫הפרק האחרון עוסק בסדרות תת־נורמליות וסדרות הרכב‪ .‬לפי משפט ז'ורדן‪-‬הולדר‪ ,‬גורמי ההרכב של חבורה‬
‫אינם תלויים בסדרת ההרכב‪ .‬סדרות ההרכב מגדירות את המחלקה החשובה של חבורות פתירות‪ ,‬שאותה‬
‫אפשר לאפיין ישירות גם דרך הסדרה הנגזרת‪ .‬חבורה שיש לה סדרה מרכזית נקראת חבורה נילפוטנטית‪.‬‬
‫משפט ‪ 10.3.49‬מאפיין חבורות נילפוטנטיות ככאלו שהן מכפלה ישרה של חבורות־‪) p‬ומספק להן אפיונים‬
‫נוספים(‪.‬‬
‫‪10.1‬‬
‫סדרות תת־נורמליות וסדרות הרכב‬
‫הגדרה ‪ 10.1.1‬סדרה תת־נורמלית של חבורה ‪ G‬היא סדרה‬
‫‪1 = Gn < Gn−1 < · · · < G1 < G0 = G‬‬
‫של תת־חבורות‪ ,‬שבה ‪ .(i ≥ 1) Gi ▹Gi−1‬החבורות ‪ Gi−1 /Gi‬נקראות המנות של הסדרה‪.‬‬
‫סדרה תת־נורמלית המתקבלת על־ידי הכנסת תת־חבורה לא טריוויאלית ‪) Gi ▹G∗i ▹Gi−1‬פעם אחת או‬
‫יותר(‪ ,‬נקראת עידון של הסדרה המקורית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ G/N (*) 10.1.2‬פשוטה אם ורק אם ‪ N‬נורמלית מקסימלית )כלומר‪ ,‬אינה מוכלת באף תת־‬
‫חבורה נורמלית אמיתית(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.1.3‬אם אחת המנות בסדרת הרכב אינה פשוטה‪ ,‬אז אפשר לעדן את הסדרה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 10.1.4‬סדרה תת־נורמלית שכל המנות בה פשוטות‪ ,‬נקראת סדרת הרכב‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 10.1.5‬סדרה תת־נורמלית היא סדרת הרכב אם ורק אם כל המנות שלה פשוטות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.1.6‬לכל חבורה סופית יש סדרת הרכב‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 10.1.7‬תהי ‪ 1 = Gn < · · · < G1 < G0 = G‬סדרת הרכב של ‪.G‬‬
‫‪ .1‬תהי ‪ H ≤ G‬תת־חבורה‪ .‬הראה ש־‪) Hi = Gi ∩ H‬בהשמטת הצעדים השווים( מגדיר סדרת‬
‫הרכב של ‪.H‬‬
‫‪ .2‬תהי ‪ N ▹G‬תת־חבורה נורמלית‪ .‬הראה ש־ ‪) Ti = N Gi /N‬בהשמטת הצעדים השווים( מגדיר‬
‫סדרת הרכב של ‪.G/N‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 10.1.8‬האוסף ‪ Dec‬של החבורות שיש להן סדרות הרכב‪ ,‬סגור לתת־חבורות‪ ,‬לתמונות‬
‫הומומורפיות ולהרחבות )ראה הגדרה ‪ ;4.9.1‬ותרגיל ‪ (.10.1.7‬הראה שהוא אינו סגור למכפלה ישרה‬
‫אינסופית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.1.9‬מצא סדרת הרכב של ‪ S4‬ושל ‪.S5‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.1.10‬מצא את כל סדרות ההרכב של ‪.Z18‬‬
‫‪125‬‬
‫⇒=‬
‫פרק ‪ .10‬חבורות פתירות ונילפוטנטיות‬
‫‪ .10.2‬חבורות פתירות‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.1.11‬מצא את כל סדרות ההרכב של ‪ ,Sn × Sn‬כאשר ‪ ;5 ≤ n‬מצא גם את כל סדרות‬
‫ההרכב של ‪.S4 × S4‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.1.12‬המנות בסדרת הרכב של חבורת־‪ p‬סופית הן ציקליות מסדר ‪.p‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪ 8.3.5‬או‬
‫תרגיל ‪.8.3.39‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.1.13‬רשום את כל סדרות ההרכב של החבורות ‪ D4‬ו־‪.Q‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 10.1.14‬חשב סדרת הרכב מפורשת עבור החבורה ) ‪.G = GL2 (F3‬‬
‫)‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫)‬
‫(‬
‫= ‪,σ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫)‬
‫(‬
‫= ‪,τ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪1‬‬
‫(‬
‫יש ‪ 7‬ו־‪ ,3‬בהתאמה‪.‬‬
‫)‬
‫הדרכה‪ .‬נסמן‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫(‬
‫= ‪,a‬‬
‫= ‪ .c‬חשב את תת־החבורות ⟩‪.⟨c⟩ ⊆ ⟨c, τ ⟩ ⊆ ⟨c, τ, σ‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.1.15‬מה יכולים להיות גורמי ההרכב של חבורה מסדר ‪?240‬‬
‫משפט ז'ורדן‪-‬הולדר‬
‫תרגיל ‪ (-**) 10.1.16‬נניח ש־‪ A, B▹G‬נורמליות מקסימליות ושונות זו מזו‪ .‬הראה ש־‪ G = AB‬וש־‬
‫)‪ A/(A ∩ B‬פשוטה‪.‬‬
‫משפט ‪) 10.1.17‬משפט ז'ורדן‪-‬הולדר( כל סדרות ההרכב של חבורה ‪ G‬הן באותו אורך‪ ,‬ולכולן אותן מנות הרכב עד כדי‬
‫סדר‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נאמר ששתי סדרות הרכב הן שקולות אם הן בעלות אותו אורך ויש להן מנות שוות עד כדי סדר‬
‫)ברור שזה אכן יחס שקילות(‪ .‬ההוכחה היא באינדוקציה על האורך של הקצרה מבין שתי הסדרות‪.‬‬
‫תהיינה‬
‫‪1 = An < An−1 < · · · < A1 < A0 = G‬‬
‫ו־‬
‫‪1 = Bm < Bm−1 < · · · < B1 < B0 = G‬‬
‫שתי סדרות הרכב‪ .‬אם ‪ A1 = B1‬אז הסדרות ‪ 1 < · · · < A1‬ו־ ‪ 1 < · · · < B1‬שקולות לפי הנחת‬
‫האינדוקציה‪ .‬אחרת ניקח ‪ C2 = A1 ∩ B1‬ונתבונן בסדרת הרכב‬
‫‪1 = Ct < Ct−1 < · · · < C2‬‬
‫)סדרה כזו קיימת לפי תרגיל ‪ .(10.1.7‬לפי הנחת האינדוקציה‪ ,‬הסדרות ‪ 1 = Ct < · · · < C2 < A1‬ו־= ‪1‬‬
‫‪ An < An−1 < · · · < A1‬שקולות‪ ,‬והסדרות ‪ 1 = Ct < · · · < C2 < B1‬ו־ ‪1 = Bm < Bm−1 < · · · < B1‬‬
‫שקולות‪ .‬לפי תרגיל ‪ 10.1.16‬הסדרות ‪ C2 < A1 < G‬ו־‪ C2 < B1 < G‬שקולות ולכן גם הסדרות המקוריות‬
‫‬
‫שקולות זו לזו‪.‬‬
‫חבורות המנה בסדרת הרכב )כלשהי( של חבורה סופית ‪ G‬הם גורמי ההרכב של החבורה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 10.1.18‬הראה שלחבורות ‪ S6‬ו־) ‪ ,PGL2 (F9‬שאינן איזומורפיות‪ ,‬יש אותם גורמי הרכב )העזר‬
‫בתרגיל ‪.(6.8.24‬‬
‫‪10.2‬‬
‫חבורות פתירות‬
‫הגדרה ‪ 10.2.1‬חבורה פתירה היא חבורה שיש לה סדרה תת־נורמלית שכל המנות בה אבליות‪.‬‬
‫)יש בספרות הגדרות שונות לפתירות‪ ,‬שכולן מתלכדות עבור חבורות סופיות‪(.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 10.2.2‬כל חבורה אבלית היא פתירה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.2.3‬חבורה סופית היא פתירה אם ורק אם גורמי ההרכב שלה הם חבורות ציקליות מסדר‬
‫ראשוני‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 10.2.4‬האוסף ‪ Sol‬של החבורות הפתירות סגור לתת־חבורות‪ ,‬לתמונות הומומורפיות‬
‫ולהרחבות )ראה הגדרה ‪ (.4.9.1‬הראה שהוא אינו סגור למכפלה ישרה אינסופית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 10.2.5‬החבורה ‪ G × H‬פתירה אם ורק אם ‪ G, H‬פתירות‪.‬‬
‫‪126‬‬
‫‪ .10.2‬חבורות פתירות‬
‫פרק ‪ .10‬חבורות פתירות ונילפוטנטיות‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.2.6‬כל החבורות הדיהדרליות ‪ Dn‬הן פתירות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 10.2.7‬החבורות ‪ A, B‬מתרגיל ‪ 6.6.51‬פתירות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 10.2.8‬כל חבורה ‪ G‬מסדר ‪ 88‬היא פתירה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 10.2.9‬כל חבורה מסדר ‪ 1089 = 32 · 112‬היא פתירה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 10.2.10‬תהי ‪ G‬חבורה לא פתירה מסדר ‪ 120‬שתת־חבורת ‪2‬־סילו שלה היא חבורת‬
‫∼ ‪.G‬‬
‫הקווטרניונים ‪ .Q4‬נוכיח ש־) ‪= SL2 (F5‬‬
‫‪ .1‬ראשית נראה ש־‪ G‬היא הרחבה מרכזית של ‪ A5‬בחבורה מסדר ‪.2‬‬
‫)א( כל תת־חבורה נורמלית של ‪ G‬היא מסדר ‪ 2‬או ‪ .60‬אין ל־‪ G‬תת־חבורות מאינדקס ‪ 3‬או ‪.4‬‬
‫הדרכה‪ .‬משפט ‪.8.5.63‬‬
‫)ב( ל־‪ G‬יש ‪ 6‬תת־חבורות ‪5‬־סילו‪ ,‬ולכן ‪ 24‬איברים מסדר ‪.5‬‬
‫)ג( נניח שאין ל־‪ G‬תת־חבורה מאינדקס ‪ .5‬אז יש לה שתי תת־חבורות ‪2‬־סילו הנחתכות באופן‬
‫לא טריוויאלי‪ .‬יש להן איבר משותף מסדר ‪ .2‬איבר זה הוא מרכזי וחבורת המנה ביחס אליו‬
‫היא ‪.A5‬‬
‫)ד( נניח שיש ל־‪ G‬תת־חבורה מאינדקס ‪ .5‬אז יש הומומורפיזם ‪ ,G→S5‬שאינו יכול להיות שיכון‬
‫)כי חבורת ‪2‬־סילו של ‪ S5‬היא דיהדרלית(‪ .‬לכן יש לו גרעין מסדר ‪ ,2‬שהמנה ביחס אליו היא‬
‫‪.A5‬‬
‫‪ .2‬יש רק שתי הרחבות מרכזיות של ‪ A5‬בחבורה מסדר ‪) 2‬תרגיל ‪ .(7.4.45‬חבורת ‪2‬־סילו של‬
‫‪ A5 × Z2‬היא אבלית‪ ,‬ולכן ‪.G ̸= A5 × Z2‬‬
‫∼ ‪ G‬משום שגם ) ‪ SL2 (F5‬אינה פתירה )תרגיל ‪ (6.8.26‬ותת־חבורת ‪2‬־סילו שלה‬
‫‪= SL2 (F5 ) .3‬‬
‫איזומורפית ל־ ‪) Q4‬תרגיל ‪.(8.4.37‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.2.11‬כל חבורת־‪ p‬סופית היא פתירה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 10.2.12‬תן דוגמה לתת־חבורה של חבורה פתירה‪ ,‬שאינה נורמלית וגם אינה אבלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 10.2.13‬פרובניוס הוכיח שחבורה מסדר ‪ pa q b‬לעולם אינה פשוטה‪ .‬הוכח שכל חבורה כזו היא‬
‫פתירה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 10.2.14‬יהי ‪ F‬שדה‪ .‬הוכח שהחבורה ) ‪ Bn (F‬מתרגיל ‪ 2.7.5‬היא פתירה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.2.15‬תן דוגמאות )נוספות( לחבורות פתירות אינסופיות שאינן אבליות‪.‬‬
‫תת־חבורה ‪ A ≤ G‬היא ‪2‬־קשורה אם יש סדרה ‪ A = A0 ≤ A1 ≤ · · · ≤ At = G‬כך ש־‪[Ai+1 : Ai ] = 2‬‬
‫לכל ‪) i‬המינוח אינו סטנדרטי(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 10.2.16‬נניח ש־‪ A, B ≤ G‬הן ‪2‬־קשורות‪ .‬הוכח שגם ‪2 A ∩ B‬־קשורה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.2.17‬תת־חבורה ‪2‬־קשורה מינימלית )כלומר‪ ,‬כזו המוכלת בכל תת־חבורה ‪2‬־קשורה(‬
‫היא נורמלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.2.18‬לכל חבורה סופית ‪ G‬יש תת־חבורה ‪2‬־קשורה מינימלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 10.2.19‬כל תת־חבורה ‪2‬־קשורה ‪ A‬של ‪ G‬מכילה תת־חבורה ‪2‬־קשורה נורמלית‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫שהאינדקס שלה ב־‪ G‬מחלק את ]‪ .2 2 [G:A‬הדרכה‪ .‬העזר בעידון של משפט קיילי‪ [G : CoreG (A)] :‬מחלק את !]‪.[G : A‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 10.2.20‬נניח שלחבורה ‪ G‬יש תת־חבורת ‪2‬־סילו ציקלית לא טריוויאלית‪.‬‬
‫‪ .1‬הוכח שיש ל־‪ G‬תת־חבורה מאינדקס ‪.2‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.8.4.33‬‬
‫‪ .2‬הראה שגם לתת־חבורה זו יש חבורת ‪2‬־סילו ציקלית‪.‬‬
‫‪ .3‬הסק שיש ל־‪ G‬תת־חבורה ‪2‬־קשורה )מינימלית‪ ,‬ולכן נורמלית( מסדר אי־זוגי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.2.21‬חבורה מסדר ‪ ,2m‬כאשר ‪ m‬איזוגי‪ ,‬אינה פשוטה‪.‬‬
‫‪127‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.10.2.20‬‬
‫‪ .10.2‬חבורות פתירות‬
‫‪10.2.1‬‬
‫פרק ‪ .10‬חבורות פתירות ונילפוטנטיות‬
‫הסדרה הנגזרת‬
‫הגדרה ‪ 10.2.22‬תהי ‪ G‬חבורה‪ .‬מגדירים באינדוקציה ‪) G(n+1) = [G(n) , G(n) ] ,G(0) = G‬בפרט ‪.(G(1) = G′‬‬
‫הסדרה‬
‫‪· · · ≤ G(n) ≤ · · · ≤ G′′′ ≤ G′′ ≤ G′ ≤ G‬‬
‫נקראת הסדרה הנגזרת של ‪.G‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.2.23‬כל אחת מהחבורות )‪ G(n‬היא תת־חבורה אופיינית של ‪) G‬הגדרה ‪.(7.2.31‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.2.24‬חשב את הסדרה הנגזרת של ‪.S4‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 10.2.25‬חשב את הסדרה הנגזרת של‬
‫‪⟨(12)(34)(56)(78), (13)(24)(57)(68), (15)(26)(37)(48)⟩ ≤ S8 .‬‬
‫טענה ‪ 10.2.26‬תהי‬
‫‪1 = Gn ≤ Gn−1 ≤ · · · ≤ G1 ≤ G0 = G‬‬
‫סדרה תת־נורמלית עם מנות אבליות של חבורה )פתירה( ‪ .G‬אז לכל ‪.G(i) ⊆ Gi ,i‬‬
‫הוכחה‪ .‬אינדוקציה‪ .‬עבור ‪ i = 0‬הטענה טריוויאלית‪ ,‬ואם ‪ G(i) ⊆ Gi‬אז ⊆ ] ‪G(i+1) = [G(i) , G(i) ] ⊆ [Gi , Gi‬‬
‫‬
‫‪ Gi+1‬לפי משפט ‪ ,4.8.6‬כי המנה ‪ Gi /Gi+1‬אבלית‪.‬‬
‫משפט ‪ 10.2.27‬חבורה סופית ‪ G‬היא פתירה אם ורק אם קיים ‪ n‬כך ש־‪.G(n) = 1‬‬
‫הוכחה‪ .‬אם ‪ G(n) = 1‬אז הסדרה הנגזרת היא סדרה תת־נורמלית עם מנות אבליות‪ ,‬ולכן החבורה פתירה‪.‬‬
‫להיפך‪ ,‬אם לחבורה יש סדרה תת־נורמלית ‪ 1 = Gn ≤ Gn−1 ≤ · · · ≤ G1 ≤ G0 = G‬עם מנות אבליות‪ ,‬אז‬
‫‬
‫‪ G(n) ⊆ Gn = 1‬לפי הטענה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 10.2.28‬סדרה נורמלית של חבורה ‪ G‬היא סדרה‬
‫‪1 = Gn < Gn−1 < · · · < G1 < G0 = G‬‬
‫של תת־חבורות‪ ,‬שבה ‪ Gi ▹G0‬לכל ‪.i‬‬
‫)סדרת הרכב נורמלית נקראת סדרה ראשית של החבורה‪(.‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 10.2.29‬כל סדרה נורמלית היא גם תת־נורמלית‪ ,‬אבל לא להיפך‪ .‬הערה‪ .‬המונחים "סדרה‬
‫תת־נורמלית" ו"סדרה נורמלית" נקראים בספרות גם בשמות אחרים; אצל ‪ ,Scott‬למשל‪ ,‬אלו "סדרה נורמלית"‬
‫ו"סדרה אינווריאנטית"‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 10.2.30‬בחן את התנאים הבאים על חבורה ‪:G‬‬
‫‪ .1‬יש לחבורה סדרת הרכב עם מנות ציקליות מסדר ראשוני‪.‬‬
‫‪ .2‬יש לחבורה סדרה תת־נורמלית עם מנות אבליות )"פתירה"(‪.‬‬
‫‪ .3‬יש לחבורה סדרה תת־נורמלית עם מנות ציקליות )"פוליציקלית"(‪.‬‬
‫‪ .4‬יש לחבורה סדרה תת־נורמלית עם מנות ציקליות מסדר ראשוני‪.‬‬
‫‪ .5‬יש לחבורה סדרה נורמלית עם מנות אבליות‪.‬‬
‫‪ .6‬יש לחבורה סדרה נורמלית עם מנות ציקליות )"סופר־פתירה"(‪.‬‬
‫‪ .7‬יש לחבורה סדרה נורמלית עם מנות ציקליות מסדר ראשוני‪.‬‬
‫הראה שאם ‪ G‬סופית‪ ,‬תנאים ‪ 1-5‬שקולים זה לזה‪ ,‬ושתנאי ‪ 7‬חזק מתנאי ‪ ,6‬החזק מתנאי ‪.5‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.2.31‬לחבורה פתירה יש תת־חבורה נורמלית אבלית‪.‬‬
‫הטכניקות של הרחבת חבורות‪ ,‬עם גרעין אבלי‪ ,‬תקפות לחבורות פתירות‪(.‬‬
‫הדרכה‪ .‬יש ‪ n‬מינימלי כך ש־‪= 1‬‬
‫)‪(n‬‬
‫‪.G‬‬
‫)ולכן‬
‫תרגיל ‪ (***) 10.2.32‬תהי ‪ G‬חבורה פתירה‪ .‬כל תת־חבורה נורמלית ‪ H▹G‬מכילה תת־חבורה אבלית‬
‫לא־טריוויאלית שהיא נורמלית ב־‪ .G‬הדרכה‪ .‬הכלל את הפתרון לתרגיל ‪ :10.2.31‬נניח ש־‪ m‬מינימלי כך ש־‪ ;H ∩ G(m) = 1‬אז‬
‫)‪(m−1‬‬
‫∼ )‪ H ∩ G(m−1‬וזו תת־חבורה אבלית ונורמלית‪.‬‬
‫)‪)G(m) /G(m) ≤ G(m−1) /G(m‬‬
‫‪= (H ∩ G‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 10.2.33‬חבורה ‪ G‬היא פתירה למעשה )‪ (virtually solvable‬אם יש לה תת־חבורה פתירה‬
‫∼ ‪ G/N‬ו־ ‪ N‬פתירה למעשה‪ ,‬אז גם ‪ G‬פתירה למעשה‪.‬‬
‫מאינדקס סופי‪ .‬הראה שאם ‪= Z‬‬
‫‪128‬‬
‫‪ .10.2‬חבורות פתירות‬
‫פרק ‪ .10‬חבורות פתירות ונילפוטנטיות‬
‫חבורות מושלמות‬
‫הגדרה ‪ 10.2.34‬חבורה ‪ H‬המקיימת את התנאי ‪ H ′ = H‬נקראת מושלמת‪.‬‬
‫הסדרה הנגזרת של חבורה סופית עוצרת באחת משתי דרכים‪ :‬או שעבור ‪ n‬מספיק גדול ‪ ,G(n) = 1‬או‬
‫ש־‪ H = G(n) ̸= 1‬היא חבורה מושלמת‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.2.35‬כל חבורה פשוטה לא אבלית היא מושלמת‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 10.2.36‬החבורה ) ‪ SL2 (F5‬היא מושלמת‪ ,‬אבל אינה פשוטה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 10.2.37‬מכפלה ישרה של חבורות מושלמות היא מושלמת‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.2.38‬אין חבורת־‪ p‬מושלמת‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.8.3.10‬‬
‫תהי ‪ G‬חבורה‪ .‬הרחבה ‪ H→G‬נקראת העתקת כיסוי אם ‪ .Z(H) ≤ H ′‬העתקת כיסוי ‪ U →G‬היא‬
‫אוניברסלית אם כל העתקת כיסוי ‪ H→G‬מפצלת את ‪) U →G‬ראה הגדרה ‪.(3.5.17‬‬
‫תרגיל ‪ (+***) 10.2.39‬לחבורה סופית מושלמת יש העתקת כיסוי אוניברסלית‪.‬‬
‫‪10.2.2‬‬
‫תת־חבורת פרטיני‬
‫ניתן לדלג בקריאה ראשונה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.2.40‬החבורה ‪ Zp × · · · × Zp = (Zp )n‬נוצרת על־ידי ‪ n‬אברים‪ ,‬ולא פחות מזה‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬זהו‬
‫מרחב וקטורי מעל השדה ‪.Zp‬‬
‫הגדרה ‪ 10.2.41‬תהי ‪ G‬חבורה‪ .‬החיתוך של כל תת־החבורות המקסימליות של ‪ G‬נקרא תת־חבורת פרטיני של ‪ ,G‬ומסומן‬
‫ב־)‪.Φ(G‬‬
‫תרגיל ‪ Φ(G) (+*) 10.2.42‬תת־חבורה אופיינית של ‪ .G‬בפרט‪.Φ(G)▹G ,‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.2.43‬נניח ש־‪ G‬חבורה סופית‪ .‬לכל תת־חבורה אמיתית ‪ ,N < G‬גם ‪.⟨N, Φ(G)⟩ < G‬‬
‫הדרכה‪ N .‬מוכלת בתת־חבורה מקסימלית של ‪.G‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 10.2.44‬איבר ‪ x ∈ G‬הוא לא־יוצר אם לכל קבוצת יוצרים ‪ x ∈ A‬של ‪ ,G‬גם }‪A − {x‬‬
‫יוצרת את ‪ .G‬הוכח ש־)‪ Φ(G‬היא קבוצת האיברים הלא־יוצרים של ‪.G‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 10.2.45‬נניח ש־‪ G‬חבורת־‪.p‬‬
‫∼ )‪ G/Φ(G‬לאיזשהו ‪.n‬‬
‫‪ ,Φ(G) = G′ Gp .1‬ולכן ‪= Znp‬‬
‫‪ .2‬בכל קבוצת יוצרים מינימלית של ‪ G‬יש ))‪ rank(G/Φ(G‬אברים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 10.2.46‬תהי ‪ G‬חבורת ‪2‬־סילו של ‪ .S6‬חשב את )‪ Φ(G‬ואת )‪.G/Φ(G‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 10.2.47‬לכל חבורה ‪.Z(G) ∩ G′ ⊆ Φ(G) ,G‬‬
‫הדרכה‪ .‬תהי ‪ M < G‬תת־חבורה מקסימלית‪ .‬נתבונן‬
‫‪′‬‬
‫ב־‪ .M ≤ M Z(G) ≤ G‬אם ‪ M Z(G) = G‬אז ‪ ,M ▹G‬ואז ‪ M/G‬ציקלית מסדר ראשוני ולכן ‪ .G ⊆ M‬אחרת ‪.Z(G) ⊆ M‬‬
‫‪10.2.3‬‬
‫חבורות סופר־פתירות‬
‫הגדרה ‪ 10.2.48‬חבורה היא סופר־פתירה אם יש לה סדרה נורמלית עם מנות ציקליות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 10.2.49‬מחלקת החבורות הסופר־פתירות סגורה לתת־חבורות‪ ,‬לחבורות מנה‪ ,‬לכפלה‬
‫ישרה סופית ולהרחבה בחבורה ציקלית )אבל לא להרחבות באופן כללי(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 10.2.50‬כל חבורה סופר־פתירה היא הרחבה של חבורה אבלית סופית בחבורה‬
‫נילפוטנטית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 10.2.51‬כל חבורה סופר־פתירה היא פתירה‪.‬‬
‫‪129‬‬
‫פרק ‪ .10‬חבורות פתירות ונילפוטנטיות‬
‫‪ .10.2‬חבורות פתירות‬
‫אבלית סופית‬
‫??? ‬
‫??‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫נילפוטנטית סופית‬
‫‬
‫?‬
‫???? ‬
‫אבלית‪ACC+‬‬
‫‬
‫? ‪;C‬‬
‫?‬
‫‬
‫??? ‬
‫סופר־פתירה סופית ‬
‫‬
‫‬
‫?‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫??? ‬
‫‬
‫??‬
‫‬
‫נילפוטנטית‪ACC+‬‬
‫???‬
‫ {‬
‫‪C‬‬
‫;‬
‫‬
‫?‬
‫?‬
‫‬
‫‬
‫?‬
‫‬
‫?‬
‫‬
‫‬
‫?‬
‫אבלית נ‪.‬ס‪.‬‬
‫???‬
‫‬
‫‬
‫??‬
‫סופית‬
‫פתירה‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫?‬
‫‬
‫ ‪#‬‬
‫‬
‫??‬
‫‬
‫??? ‬
‫‬
‫סופר־פתירה‬
‫?‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫?‬
‫‬
‫??‬
‫‬
‫‬
‫{ ‬
‫????‬
‫‬
‫????‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫נ‪.‬ס‪.‬‬
‫נילפוטנטית‬
‫ ‪? #‬‬
‫‬
‫??‬
‫סופית‬
‫‬
‫??‬
‫אבלית‬
‫‬
‫‬
‫??‬
‫פוליציקלית‬
‫??‬
‫‬
‫???‬
‫‬
‫?‬
‫??‬
‫‬
‫?‬
‫‬
‫‬
‫??‬
‫?????‬
‫‬
‫‬
‫ ?‬
‫ ‪? #‬‬
‫??‬
‫‬
‫‬
‫?‬
‫נילפוטנטית‬
‫ ??‬
‫??‬
‫חבורת־ ‪M‬‬
‫ ‬
‫?????‬
‫??‬
‫????‬
‫פתירה נ‪.‬ס‪.‬‬
‫??‬
‫?‬
‫‪? #‬‬
‫?‬
‫‬
‫??‬
‫??‬
‫‬
‫??‬
‫‬
‫?‬
‫‪ACC‬‬
‫‬
‫??‬
‫??‬
‫ ??‬
‫??‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫??‬
‫‬
‫??‬
‫‬
‫פתירה‬
‫ ?‬
‫נוצרת סופית‬
‫איור ‪ :10.1‬מחלקות חשובות של חבורות‬
‫‪10.2.4‬‬
‫תנאי סופיות‬
‫חבורה מקיימת את תנאי המקסימום אם בכל קבוצה לא ריקה של תת־חבורות שלה יש איבר מקסימלי‪ .‬לפי‬
‫הלמה של צורן‪ ,‬תנאי המקסימום שקול לתנאי השרשרת העולה )‪ ,(ACC‬שלפיו כל שרשרת )בת־מניה( עולה‬
‫חייבת לעצור‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 10.2.52‬מחלקת החבורות המקיימות ‪ ACC‬סגורה לתת־חבורות‪ ,‬לחבורות מנה ולהרחבות‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 10.2.53‬חבורה נקראת חבורת־ ‪ M‬אם יש לה סדרה תת־נורמלית שבה כל מנה אינסופית היא ציקלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 10.2.54‬המחלקה של חבורות־ ‪ M‬סגורה לתת־חבורות‪ ,‬לחבורות מנה ולהרחבות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 10.2.55‬כל חבורה סופר־פתירה היא חבורת־ ‪.M‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 10.2.56‬חבורת־ ‪ M‬מקיימת את תנאי המקסימום‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 10.2.57‬חבורה פוליציקלית היא חבורה שיש לה סדרה תת־נורמלית עם מנות ציקליות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 10.2.58‬חבורה היא פוליציקלית אם ורק אם היא פתירה ומקיימת את התנאי ‪.ACC‬‬
‫הערה‪ .‬חבורה פתירה מוצגת סופית אינה חייבת לקיים את תנאי המקסימום אפילו על תת־חבורות נורמליות; ראה‬
‫]‪Mathematical notes Finitely presented solvable groups that do not satisfy the maximal condition for normal subgroups Yu. V. Sosnovskii‬‬
‫‪36(2), 577–580, (1984) of the Academy of Sciences of the USSR‬‬
‫‪.[Vol.‬‬
‫‪130‬‬
‫פרק ‪ .10‬חבורות פתירות ונילפוטנטיות‬
‫‪10.3‬‬
‫‪ .10.3‬סדרות מרכזיות‬
‫סדרות מרכזיות‬
‫הגדרה ‪ 10.3.1‬סדרה תת־נורמלית‬
‫‪· · · ≤ Gn+1 ≤ Gn ≤ Gn−1 ≤ · · · ≤ G‬‬
‫בחבורה ‪ G‬היא סדרה מרכזית אם ‪ [G, Gi−1 ] ⊆ Gi‬לכל ‪.i‬‬
‫תרגיל ‪ (+*) 10.3.2‬תהי ‪ .B ≤ G‬אז ‪ [G, B] ≤ B‬אם ורק אם ‪.B▹G‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 10.3.3‬סדרה תת־נורמלית היא מרכזית אם ורק אם לכל ‪) Gi ▹G (1) ,i‬כלומר‪ ,‬זו סדרה‬
‫נורמלית(‪.Gi−1 /Gi ⊆ Z(G/Gi ) (2) ,‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 10.3.4‬תן דוגמא לסדרה נורמלית שאינה מרכזית‪.‬‬
‫‪10.3.1‬‬
‫הסדרה המרכזית היורדת‬
‫הגדרה ‪ 10.3.5‬הסדרה המרכזית היורדת של ‪ G = G(1) ≥ G(2) ≥ G(3) ≥ · · · ,G‬מוגדרת לפי ]‪.G(n+1) = [G(n) , G‬‬
‫בפרט ‪.G(2) = [G, G] = G′‬‬
‫סדרה זו יורדת מ־‪ ,G‬אבל אינה מוכרחה להסתיים ב־‪.1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.3.6‬כל החבורות )‪ G(n‬הן תת־חבורות אופייניות של ‪.G‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.3.7‬הסדרה המרכזית היורדת היא אכן סדרה מרכזית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 10.3.8‬אם ‪ G/G′‬ציקלית‪ ,‬אז ‪ G(n) = G′‬לכל ‪.2 < n‬‬
‫הדרכה‪ .‬הוכח ש־ )‪ G/G(3‬אבלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.3.9‬יהי ‪ n‬מינימלי כך ש־‪) G(n) = 1‬אם קיים כזה(‪ .‬הוכח ש־)‪.G(n−1) ⊆ Z(G‬‬
‫הדרכה‪ .‬עבור ‪ m = 1‬הטענה נכונה לפי ההגדרה‪ .‬באינדוקציה‪,‬‬
‫תרגיל ‪.[G(n) , G(m) ] ⊆ G(n+m) (-***) 10.3.10‬‬
‫· )‪[G(n) , G(m+1) ] = [G(n) , [G, G(m) ]] ⊆ [G, [G(m) , G(n) ]] · [G(m) , [G(n) , G]] ⊆ [G, G(n+m) ] · [G(m) , G(n+1) ] ⊆ G(n+m+1‬‬
‫)‪ G(n+m+1) = G(n+m+1‬בעזרת תרגיל ‪.4.8.21‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 10.3.11‬לכל ‪.(G(n) )(m) ⊆ G(nm) ,n, m ≥ 1‬‬
‫תרגיל ‪.G(n) ⊆ G(n+1) (**) 10.3.12‬‬
‫הדרכה‪ .‬התעלם מתרגיל ‪.10.3.10‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 10.3.13‬לכל ‪ n ≥ 1‬ולכל ‪.(G/N )(n) = G(n) N/N ,N ▹G‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.3.14‬לכל הומומורפיזם ‪.φ(G(n) ) ⊆ H(n) ,φ : G→H‬‬
‫תהיינה ‪.A, B▹G‬‬
‫)‪.[G,n G] = G(n+1‬‬
‫מגדירים ]‪ [A,1 B] = [A, B‬ובאינדוקציה ]‪.[A,n+1 B] = [[A,n B], B‬‬
‫בפרט‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.3.15‬נניח ש־ ‪ G = HN‬כאשר ‪ H ≤ G‬ו־‪ .N ▹G‬אז לכל ‪.G(n+1) = H(n+1) [N,n G] ,n‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.3.16‬תהי ‪ .H ≤ G‬אם )‪ G = HG(2‬אז )‪ G = HG(n‬לכל ‪.n‬‬
‫ש־ )‪ ,G = HG(n‬אז )‪ G′ = G(2) = H(2) [G(n) , G] = H ′ G(n+1‬לפי תרגיל ‪ ,10.3.15‬ולכן )‪.G = HG′ = HH ′ G(n+1) = HG(n+1‬‬
‫הדרכה‪ .‬באינדוקציה‪ .‬נניח‬
‫‪131‬‬
‫‪ .10.3‬סדרות מרכזיות‬
‫‪10.3.2‬‬
‫פרק ‪ .10‬חבורות פתירות ונילפוטנטיות‬
‫הסדרה המרכזית העולה‬
‫הגדרה ‪ 10.3.17‬אם ‪ ,N ≤ G‬נסמן } ‪N [G] = {x ∈ G : [x, G] ⊆ N‬‬
‫תרגיל ‪(**) 10.3.18‬‬
‫‪.N [G] ≤ G .1‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ N ▹G‬נורמלית אז גם ‪ ,N [G] ▹G‬ובמקרה זה ]‪.N ⊆ N [G‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ N1 ⊆ N2‬אז‬
‫]‪[G‬‬
‫‪⊆ N2‬‬
‫]‪[G‬‬
‫‪.N1‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.3.19‬לכל ‪.Z(G/N ) = N [G] /N ,N ▹G‬‬
‫הגדרה ‪ 10.3.20‬הסדרה המרכזית העולה של ‪ G‬היא הסדרה · · · ≤ )‪ ,1 = ζ0 (G) ≤ ζ1 (G) ≤ ζ2 (G‬המוגדרת לפי‬
‫]‪.ζn+1 (G) = ζn (G)[G‬‬
‫לפי תרגיל ‪ 10.3.19‬מתקיים ))‪ .ζn+1 (G)/ζn (G) = Z(G/ζn (G‬בפרט )‪ .ζ1 (G) = Z(G‬סדרה זו עולה‬
‫מ־‪ ,1‬אבל היא אינה מוכרחה להסתיים ב־‪.G‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 10.3.21‬תת־החבורות )‪ ζn (G‬אופייניות ב־‪ ,G‬ובפרט נורמליות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ N = ζn+1 (G) (+*) 10.3.22‬היא תת־החבורה הגדולה ביותר של ‪ G‬המקיימת )‪.[G, N ] ⊆ ζn (G‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.3.23‬תהי ‪ .H ≤ G‬אם ‪ ζn (G) ⊆ H‬אז )‪.ζn+1 (G) ⊆ NG (H‬‬
‫הדרכה‪ .‬יהיו )‪ x ∈ ζn+1 (G‬ו־‪,h ∈ H‬‬
‫אז ‪.xhx−1 = [x, h]h ∈ ζn (G)H = H‬‬
‫תרגיל ‪(+**) 10.3.24‬‬
‫‪ .1‬לכל ‪ N ▹G‬מתקיים ) ‪.ζk (G)N/N ≤ ζk (G/N‬‬
‫‪.ζn (G/ζk (G)) = ζn+k (G)/ζk (G) .2‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.3.25‬לכל הומומורפיזם ‪.φ(ζn (G)) ⊆ ζn (H) ,φ : G→H‬‬
‫תרגיל ‪ Γ : G→Inn(G)) .Z(Inn(G)) = Γ(ζ2 (G)) (-**) 10.3.26‬הוגדרה בתרגיל ‪(.7.2.5‬‬
‫תרגיל ‪.[G′ , ζ2 (G)] = 1 (**) 10.3.27‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.4.8.22‬‬
‫תרגיל ‪) (**) 10.3.28‬הלמה של גרון( אם ‪ G′ = G‬אז המרכז של )‪ G/Z(G‬טריוויאלי‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.10.3.27‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 10.3.29‬הראה ש־)‪ g ∈ ζn (G‬אם ורק אם ‪ [· · · [[[g, x1 ], x2 ], x3 ], . . . , xn ] = 1‬לכל‬
‫‪.x1 , . . . , xn ∈ G‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 10.3.30‬תהי ‪ G‬חבורה כלשהי‪ .‬האיחוד‬
‫‪ (center‬של ‪ .G‬הראה ש־‪.Z(G/ζ∞ (G)) = 1‬‬
‫∞∪‬
‫)‪n=1 ζn (G‬‬
‫= )‪ ζ∞ (G‬נקרא העל־מרכז )‪hyper-‬‬
‫תרגיל ‪ (+**) 10.3.31‬לכל תת־חבורה נורמלית ‪ ,N ▹G‬אם ‪ N ∩ ζ1 (G) = 1‬אז ‪ N ∩ ζn (G) = 1‬לכל ‪.n‬‬
‫הדרכה‪ .‬יהי )‪ ,x ∈ N ∩ ζn (G‬ויהי ‪ ;g ∈ G‬אז ‪ ,[g, x] ∈ N ∩ ζn (G) = 1‬ולכן ‪.x ∈ ζ1 (G) ∩ N = 1‬‬
‫את הגדרה ‪ 10.3.17‬אפשר להכליל‪:‬‬
‫הגדרה ‪ 10.3.32‬אם ‪ ,N, K ≤ G‬נסמן } ‪) .N [K] = {x ∈ G : [x, K] ⊆ N‬זהו מעין היפוך של הפעולה ]‪;N 7→ [N, K‬‬
‫באופן כללי ]‪ N [K‬אינה בהכרח תת־חבורה‪(.‬‬
‫תרגיל ‪.[N [K] , K] ⊆ N (**) 10.3.33‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.3.34‬אם ‪ N ▹G‬אז ‪.N [K] ≤ G‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.3.35‬אם ‪ ,K▹G ,K ⊆ H ≤ G‬אז ‪.CG/K (H/K) = K [H] /K‬‬
‫‪132‬‬
‫פרק ‪ .10‬חבורות פתירות ונילפוטנטיות‬
‫‪10.3.3‬‬
‫‪ .10.3‬סדרות מרכזיות‬
‫חבורות נילפוטנטיות‬
‫הגדרה ‪ 10.3.36‬חבורה ‪ G‬היא נילפוטנטית אם יש סדרה מרכזית המסתיימת ב־‪:1‬‬
‫‪1 = G0 ≤ G1 ≤ · · · ≤ Gn−1 ≤ Gn = G‬‬
‫תרגיל ‪ (*) 10.3.37‬לחבורה נילפוטנטית יש מרכז לא טריוויאלי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.3.38‬האוסף ‪ Nil‬של החבורות הנילפוטנטיות סגור לתת־חבורות‪ ,‬לחבורות מנה‬
‫ולהרחבות מרכזיות )ראה הגדרה ‪ ;4.9.1‬השווה לתרגיל ‪(.10.2.4‬‬
‫תרגיל ‪ Nil (***) 10.3.39‬אינו סגור לאיחוד של שרשראות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.3.40‬מכפלה ישרה סופית של חבורות נילפוטנטיות היא נילפוטנטית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.3.41‬חבורות־‪ p‬הן נילפוטנטיות‪.‬‬
‫משפט ‪ 10.3.42‬תהי ‪ 1 = H0 ≤ · · · ≤ Hn = G‬סדרה מרכזית של חבורה )נילפוטנטית( ‪ .G‬אז לכל ‪ i‬מתקיים‬
‫)‪ .G(n+1−i) ≤ Hi ≤ ζi (G‬בפרט‪ ,‬אם יש לחבורה סדרה מרכזית באורך ‪ ,n‬אז ‪ G(n+1) = 1‬ו־‪.ζn (G) = G‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי ההגדרה ‪ .H0 = ζ0 (G) = 1‬נניח ש־)‪ .Hi ≤ ζi (G‬מכיוון שהסדרה הנתונה היא מרכזית‪,‬‬
‫)‪ ;[Hi+1 , G] ⊆ Hi ⊆ ζi (G‬לפי תרגיל ‪.Hi+1 ≤ ζi+1 (G) ,10.3.22‬‬
‫לגבי ההכלה השניה‪ ,‬באינדוקציה הפוכה‪ G(1) = Hn = G ,‬לפי ההגדרה‪ ,‬ואם ‪ G(n+1−i) ≤ Hi‬אז‬
‫‬
‫‪ G(n+2−i) = [Gn+1−i , G] ≤ [Hi , G] ≤ Hi−1‬לפי תרגיל ‪.10.3.3‬‬
‫תרגיל ‪ G (**) 10.3.43‬נילפוטנטית אם ורק אם הסדרה המרכזית היורדת מסתיימת ב־‪ ,1‬אם ורק אם‬
‫הסדרה המרכזית העולה מסתיימת ב־‪.G‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.3.44‬החבורה הדיהדרלית ‪ Dn‬נילפוטנטית אם ורק אם ‪.n = 2m‬‬
‫תרגיל ‪ (-***) 10.3.45‬כל חבורה נילפוטנטית חסרת פיתול ניתנת לסידור‪) .‬ראה הגדרה ‪(.9.5.31‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.3.46‬תהי ‪ G‬נילפוטנטית‪ .‬לכל תת־חבורה אמיתית ‪.H ⊂ NG (H) ,H‬‬
‫כך ש־‪ ,ζn (G) ⊆ H‬אז לפי תרגיל ‪ ,ζn+1 (G) ⊆ NG (H) ,10.3.23‬והרי ‪ .ζn+1 (G) ̸⊆ H‬הוכחה נוספת‪ :‬נניח שלא‪ ,H▹H · Z(G) .‬ולכן‬
‫הדרכה‪ .‬קח ‪ n‬מקסימלי‬
‫‪ .Z(G) ⊆ H‬עבור למנה )‪.G/Z(G‬‬
‫תרגיל ‪ (**) 10.3.47‬בחבורה נילפוטנטית כל תת־חבורה מקסימלית היא נורמלית‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬לפי תרגיל ‪;10.3.47‬‬
‫השווה לתרגיל ‪.8.3.10‬‬
‫לסיכום‪:‬‬
‫משפט ‪ 10.3.48‬התנאים הבאים שקולים עבור חבורה סופית ‪:G‬‬
‫‪ G .1‬נילפוטנטית;‬
‫‪ .2‬לכל תת־חבורה אמיתית ‪ H‬מתקיים )‪;H ⊂ NG (H‬‬
‫‪ .3‬כל תת־חבורה מקסימלית היא נורמלית;‬
‫‪ .4‬כל תת־חבורת סילו היא נורמלית;‬
‫‪ .5‬החבורה היא מכפלה ישרה של חבורות ‪.p‬‬
‫הוכחה‪ :(2)⇐=(1) .‬תרגיל ‪ :(3)⇐=(2) ;10.3.47‬לפי ההנחה ‪ :(4)⇐=(3) ;M ⊂ NG (M ) = G‬אחרת יש‬
‫תת־חבורה מקסימלית ‪ M‬המכילה את ) ‪ ,NG (P‬אבל אז ‪ NG (M ) = M‬לפי תרגיל ‪ ,8.4.23‬בעוד ש־‪M ▹G‬‬
‫‬
‫לפי ההנחה; )‪ :(5)⇐=(4‬תרגיל ‪ :(1)⇐=(5) ;8.4.32‬תרגילים ‪ 10.3.41‬ו־‪.10.3.42‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 10.3.49‬תת־חבורת פרטיני ‪ F‬של כל חבורה סופית ‪ G‬היא נילפוטנטית‪.‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫)ראה‬
‫הגדרה ‪ (.10.2.41‬תהי ‪ P ≤ F‬תת־חבורת ‪p‬־סילו של ‪ .F‬לפי טיעון פרטיני ‪ .G = F · NG (P ) ,8.4.48‬לפי תרגיל ‪ G = NG (P ) ,10.2.43‬ולכן‬
‫‪ P ▹G‬ובפרט ‪.P ▹F‬‬
‫‪133‬‬
‫פרק ‪ .10‬חבורות פתירות ונילפוטנטיות‬
‫‪ .10.3‬סדרות מרכזיות‬
‫תרגיל ‪ (***) 10.3.50‬הסק מתרגיל ‪) 4.9.10‬ותרגיל ‪ (10.3.39‬שלכל חבורה סופית ‪ G‬יש תת־חבורה‬
‫נורמלית נילפוטנטית מקסימלית‪ ,Fit(G) ,‬הקרויה תת־חבורת פיטינג של ‪ .G‬הראה ש־= ))‪Fit(G/Fit(G‬‬
‫‪ ,1‬כלומר‪ ,‬ל־)‪ G/Fit(G‬אין תת־חבורות נורמליות נילפוטנטיות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 10.3.51‬חבורת פיטינג של חבורה פתירה אינה טריוויאלית‪.‬‬
‫∏‬
‫∩ ‪ G‬חבורה סופית‪ ,‬אז ‪ Fit(G) = Op‬עבור הראשוניים ‪ p‬המחלקים את |‪,|G‬‬
‫תהי‬
‫‪{ (-***) 10.3.52‬‬
‫תרגיל }‬
‫= ‪ .Op‬הדרכה‪ .‬לכל ‪ Op ,p‬נורמלית כי היא שווה לליבה של כל תת־חבורת ‪p‬־סילו‪ ,‬ונילפוטנטית כי היא‬
‫כאשר )‪P ∈ Sylp (G‬‬
‫הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.10.2.31‬‬
‫חבורת ‪ .p‬מאידך‪ ,‬אם ))‪ Q ∈ Sylp (Fit(G‬אז יש )‪ P ∈ Sylp (G‬כך ש־ ‪ ,Q ⊆ P‬ואז ) ‪ Q ⊆ CoreG (P‬כי ‪.Q▹G‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 10.3.53‬הסק מתרגיל ‪) 4.9.10‬בעזרת תרגיל ‪ 4.9.5‬ותרגיל ‪ (10.2.4‬שלכל חבורה סופית‬
‫‪ G‬יש תת־חבורה נורמלית פתירה מקסימלית‪ .rad(G) ,‬תת־חבורה זו קרויה הרדיקל של ‪ .G‬הראה‬
‫ש־‪ ,rad(G/rad(G)) = 1‬כלומר‪ ,‬ל־)‪ G/rad(G‬אין תת־חבורות נורמליות פתירות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ (***) 10.3.54‬הראה ש־)‪ Fit(G) ⊆ rad(G‬לכל חבורה סופית ‪.G‬‬
‫‪134‬‬