‫תרגיל בנושא‪:‬‬ ‫משפט ‪ ,Gauss - Bonnet‬אפיון ‪ Euler‬וקוים גיאודזיים‬ ‫‪ .1‬הוכיחו ששני משולשים (גיאודזיים) על פני הכדור חופפים ביניהם‪ ,‬אם שלוש הזוויות של משולש‬ ‫אחד שוות בהתאמה לשלוש זוויות של המשולש השני‪ .‬הנחיה‪ :‬חשבו מה צריך להוכיח על מנת‬ ‫לוודא חפיפה‪.‬‬ ‫‪ .2‬האם שני משולשים (גיאודזיים) על פני כדורים ברדיוסים שונים יכולים להיות חופפים ביניהם?‬ ‫‪ .3‬הראו שעל משטח שעיקום גאוס שלו בכל נקודה אי חיובי‪ ,‬שני גיאודזיים לא יכולים להיחתך‬ ‫ביותר מאשר נקודה אחת‪.‬‬ ‫‪ .4‬מצאו את השטח המרובע על פני כדור הארץ אשר נוצר על ידי קווי רוחב ואורך העוברים דרך תל‬ ‫אביב‪ ,‬קו אורך ה‪ ,0-‬והקו המשווה‪.‬‬ ‫‪ .5‬מצאו את אפיון אוילר של מנסרה משושה‬ ‫עם "חור" (ראו שרטוט) ושל מנסרה‬ ‫משלושת עם "חור"‪.‬‬ ‫‪ .6‬נניח ששני גופים שבסעיף ‪ 5‬עשויים מגומי‬ ‫כך שאפשר לנפח אותם‪ .‬מה‪ ,‬לדעתכם‪ ,‬יהיה‬ ‫ערך האינטגרל של עיקום גאוס על המנסרות‬ ‫ה"מנופחות"? נמקו ובדקו את השערתכם‪.‬‬ ‫‪ .7‬משפט ‪ :Clairaut‬לאורך קו גיאודזי על פני גוף סיבוב מתקיים ‪ – c( r·cos = c‬קבוע)‪ ,‬כאשר ‪‬‬ ‫היא זווית בין הקו הגיאודזי לבין קו רוחב החותך אותו‪ ,‬ו‪ r -‬הוא רדיוס של קו הרוחב‪.‬‬ ‫נוסח ארח‪ :‬לאורך קו גיאודזי על פני גוף סיבוב מתקיים ‪ – c( r·sin=c‬קבוע) ‪ ,‬כאשר ‪ r‬הוא‬ ‫מרחק הנקודה על הגיאודזי מציר הסיבוב‪ ,‬ו‪ -‬היא זווית בין הקו הגיאודזי לבין קו אורך החותך‬ ‫אותו‪.‬‬ ‫א‪ .‬מהו הערך של ‪ c‬כאשר הקו הגיאודזי הוא קו אורך?‬ ‫ב‪ .‬תארו על סמך משפט זה‪ ,‬כיצד נראה קו גיאודזי אינסופי על פני חרוט בקרבת קדקודו‪.‬‬ ‫ג‪ .‬הראו שדרך כל נקודה על פני גליל מעגלי עוברים אין סוף קווים גיאודזיים‪.‬‬ ‫קו גיאודזי על פני גליל מעגלי נקרא קו בורג (‪ . )helix‬התבססו על משפט ‪ Clairaut‬וענו על‬ ‫השאלות הבאות‪:‬‬ ‫ב‪ .‬קבלו הצגה פרמטרית עבור קו בורג ‪ helix‬כאשר אחד הפרמטרים הוא זווית בין הקו לבין קו‬ ‫אורך (או רוחב)‪.‬‬ ‫ג‪ .‬בשאלה על זבוב ועכביש שרטטנו מסלול המחבר ביניהם כקו גיאודזי המתקבל מקטע של קו‬ ‫ישר המחבר ביניהם על פרישת המשטח הצדדי של הגליל‪ .‬כיצד ייראה על פרישה מישורית של‬ ‫משטח גלילי מעגלי ‪ helix‬ש"מסתובב" סביב ציר הסיבוב יותר מפעם אחת (ראו שרטוט)?‬ ‫סמ' א תשס"ט‬ ‫תרגיל מס' ‪ 7‬בקורס "גיאומטריה"‬ ‫פרופ' י‪ .‬קנאי דר' מ‪ .‬ברבש‬ ‫‪60‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-0.5‬‬ ‫‪-0.5‬‬ ‫‪-1 -1‬‬ ‫‪ .8‬השתמשו בפרישת חרוט כדי לבנות מספר גדול ככל האפשר של קווים גיאודזיים סופיים‬ ‫שונים על פני חרוט‪.‬‬ ‫‪( .9‬דו קרמו‪ ,‬שאלה ‪ , 18‬עמ' ‪ .)262‬נתבונן בהיפרבולואיד סיבובי חד יריעתי ‪ x2+y2-z2=1‬ועל‬ ‫נקודה עליו אשר מתחילה את ירידתה מעל למעגל ‪ x2+y2=1‬לאורך קו גיאודזי המקיים‬ ‫‪1‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ . cos ‬הראו שמסלול יתקרב אסימפטוטית למעגל ‪.x2+y2=1‬‬ ‫‪( .10‬דו קרמו‪ ,‬שאלה ‪ , 20‬עמ' ‪ .)262‬התבססו על ההצגה הפרמטרית של טורוס וענו על שאלות א‪,‬‬ ‫ב )‪:)0  u, v < 2( r  ((c  a cos v) cos u, (c  a cos v) sin u, a sin v‬‬ ‫‪‬‬ ‫א‪ .‬הראו שקו גיאודזי המשיק לקו הרוחב‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫המוגדר על ידי ‪ u ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ , u ‬נמצא כולו בתחום על הפני הטורוס‬ ‫‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הראו שקו גיאודזי החותך את קו הרוחב ‪ u=0‬בזווית ‪‬‬ ‫קו הרוחב ‪ u=‬אם‬ ‫‪ca‬‬ ‫)‬ ‫‪ca‬‬ ‫‪cos ‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪(0   ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫חותך גם את‬ ‫‪.‬‬ ‫‪http://www.rdrop.com/~half/Creations/Puzzles/cone.geodesics/index.html‬‬ ‫סמ' א תשס"ט‬ ‫תרגיל מס' ‪ 7‬בקורס "גיאומטריה"‬ ‫פרופ' י‪ .‬קנאי דר' מ‪ .‬ברבש‬