שאלות נוספות

‫אוניברסיטת בן־גוריון בנגב‬
‫באר שבע ‪84105‬‬
‫‪BEN-GURION UNIVERSITY OF THE NEGEV‬‬
‫‪BE’ER SHEVA 84105, ISRAEL‬‬
‫שאלות נוספות‬
‫‪ (1‬העתקות שומרות אורך שומרות זוית‬
‫• הראו כי לכל שני וקטורים בממ"פ ממשי ‪ V‬מתקיים‬
‫‪1‬‬
‫])‪(u, v) = [(u + v, u + v) − (u − v, u − v‬‬
‫‪4‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫כיתבו נוסחה דומה עבור וקטורים במרחב מכפלה פנימית מרוכב‪.‬‬
‫הראו כי אם עבור מטריצה )‪ A ∈ Mn (R‬מתקיים ‪ (Au, v)st = 0‬לכל ‪ u, v ∈ R‬אזי‬
‫‪A=0‬‬
‫‪n‬‬
‫הראו כי אם )‪ A, B ∈ Mn (R‬מקיימות )‪ (Au, v) = (Bu, v‬לכל ‪ u, v ∈ R‬אזי ‪A = B‬‬
‫האם השויון )‪ (Av, v) = (Bv, v‬לכל ‪ v ∈ Rn‬גורר ‪A = B‬‬
‫נסחו גרסה מרוכבת של הסעיף הקודם‪.‬‬
‫הראו כי אם ‪ T : V → V‬היא ט"ל ששומרת אורכים כלומר )‪ (T v, T v) = (v, v‬לכל‬
‫‪ v ∈ V‬אזי ‪ T‬שומרת את המכפלה הפנימית כלומר )‪ (T u, T v) = (u, v‬לכל ‪u, v ∈ V‬‬
‫ובפרט ‪ T‬שומרת זויות‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ (2‬ע"ע של אופרטור הצמוד לאופרטור נורמלי‬
‫• הראו כי אם ‪ T : V → V‬נורמלי כלומר ∗ ‪ T ∗ T = T T‬אזי ||)‪ ||T (v)|| = ||T ∗ (v‬לכל‬
‫‪ v ∈ V‬ובפרט ‪Ker(T ) = Ker(T ∗ ).‬‬
‫• הראו כי אם ‪ T‬נורמלי אזי ‪ T − aIV‬נורמלי‪.‬‬
‫‪ a‬הוא ערך עצמי של ∗ ‪T‬‬
‫• הסיקו כי אם ‪ a ∈ C‬ערך עצמי של ‪ T‬נורמלי אזי ‪¯ ∈ C‬‬
‫‪ (3‬נתונה ‪ T : V → T‬המקיימת ‪ .T 2 = T‬הראו כי ‪ T‬לכסינה‪.‬‬
‫• הראו כי וקטור נמצא בתמונה של ‪ T‬אם ורק אם ‪ T‬שולחת אותו לעצמו‪ .‬כלומר הראו‬
‫כי ) ‪Ker(I − T ) = Im(T‬‬
‫• הראו כי }‪Ker(T ) ∩ Im(T ) = {0‬‬
‫• העזרו במשפט המימד כדי להראות שיש מספיק וקטורים עצמיים‪.‬‬
‫• מצאו את הערכים העצמיים ואת הצורה האלכסונית‪.‬‬
‫• באיזה תנאים אפשר להבטיח בסיס אורתונורמלי ‪ B‬עבור ‪ V‬כך ש ‪ T‬תיוצג כמטריצה‬
‫אלכסונית בבסיס ‪ B‬הראו כי אם בסיס כזה קיים אז קיים תת מרחב ‪ W ⊂ V‬כך ש‬
‫‪ T = PW‬ההטל האורתוגונלי‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (4‬נתונה מטריצה ‪ A‬וידוע כי שורותיה מהווים בסיס אורתונורמלי עבור ‪ Rn‬עם המכפלה‬
‫הסטנדרטית‪ .‬הראו כי גם עמודות ‪ A‬מהוות בסיס אורתונורמלי‪.‬‬
‫‪ (5‬גרעיו ותמונה של אופרטורים צמודים‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫הראו כי ‪ (T ∗ )∗ = T‬עבור ‪ T : V → V‬בממ"פ ‪.V‬‬
‫הראו כי ‪ Ker(T ∗ ) = Im(T )+‬וכי ‪Im(T ) = Ker(T )+‬‬
‫הסיקו כי ) ∗ ‪ rank(T ) = rank(T‬זה נותן הוכחה חדשה לכך שדרגת השורות שווה‬
‫לדרגת העמודות‪.‬‬
‫הראו כי אם ∗ ‪ T = T‬אזי ) ‪ Ker(T‬ניצב ל ) ‪Im(T‬‬
‫∗‬
‫‪ (6‬הרחבה על שאלה ‪ 3‬מדף מספר ‪ .12‬נתון ‪ W ⊂ Rm‬ונתון וקטור ‪b ∈ Rm‬‬
‫• הראו כי הוקטור ‪ w ∈ W‬הקרוב ביותר לוקטור ‪ b ∈ Rm‬מקיים )‪ w = PW (b‬כלומר‬
‫הראו כי לכל ‪ w ∈ W‬מתקיים‬
‫||‪||w − b|| ≥ ||PW (b) − b‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫נתון וקטור ‪ b ∈ Rm‬ומטריצה ‪ .Am×n‬הראו כי למשוואה ‪ Ax = b‬יש פתרון אם ורק‬
‫אם } ‪ b ∈ W = Span{a1 , ..., an‬כאשר ‪ a1 , ..., an‬הם וקטורי העמודה של ‪A‬‬
‫נניח כי למערכת ‪ Ax = b‬אין פתרון ונגדיר } ‪ W = Span{a1 , ..., an‬מרחב השורות של‬
‫‪ A‬הציעו דרך למצוא את הוקטור ‪ x‬שעבורו הטעות ||‪ ||Ax − b‬קטנה ביותר‪ .‬הדרכה‪:‬‬
‫העזרו בסעיף הקודם כדי להסיק שהוקטור ‪ b1 = PW (b) ∈ Rm‬הוא הקומבינציה‬
‫הלינארית של עמודות ‪ A‬שקרובה ביותר לוקטור ‪ b‬ומכאן הסיקו שיש למצוא ‪ x‬עבורו‬
‫)‪Ax = PW (b‬‬
‫הראו כי הפתרון ‪ x‬של המשוואה ‪ At Ax = At b‬מקיים את הנדרש בסעיף הקודם‪.‬‬
‫הסיקו כי אפשר למצוא פתרון מקורב ל ‪ Ax = b‬על ידי הכפלה פורמלית ב ‪ At‬ופתרון‬
‫המערכת הריבועית ‪ .At Ax = At b‬בצעו זאת עבור המערכת בשאלה ‪ 3‬מדף ‪.12‬‬
‫‪ (7‬מצאו תנאים שעבורם קיים ‪ T : V → V‬המקיים ‪ T (v1 ) = w1 , ..., T (vk ) = wk‬כאשר‬
‫‪ v1 , ..., vk‬קבוצה אורתונורמלית‪ .‬דונו במקרים הבאים‪:‬‬
‫• ‪ T‬אופרטור לינארי כלשהוא‬
‫• ‪ T‬אופרטור אוניטרי‬
‫• ‪ T‬אופרטור צמוד לעצמו הדרכה‪ :‬אופרטור אוניטרי שומר אורכים‪ ,‬אופרטור צמוד לעצמו‬
‫הוא בעל יצוג כמטריצה הרמיטית בבסיס אורתונורמלי‪.‬‬
‫‪(8‬‬
‫‪n‬‬
‫• תהי ‪ (, )st‬המכפלה הפנימית הסטדנטרטית על ‪.R‬‬
‫‪xi yi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ‪(x, y)st‬‬
‫‪3‬‬
‫הראו כי עבור מטריצה )‪ A ∈ Mn (R‬מתקיים‬
‫‪(Au, v)st = (u, At v)st‬‬
‫ודונו בגרסה המרוכבת‪.‬‬
‫• עבור מטריצה סמיטרית )‪ A ∈ Mn (R‬מגדירים ‪ QA (v, u) = (Av, u)st‬הראו כי זו‬
‫מכפלה פנימית על ‪ Rn‬אם ורק אם כל הערכים העצמיים של ‪ A‬הם חיוביים‪ .‬הדרכה‪:‬‬
‫זיכרו כי ‪ A‬לכסינה עם ערכים עצמיים ממשיים‪ .‬בכיוון אחד כיתבו‬
‫‪A = P DP −1 = P DP t‬‬
‫עבור מטריצה אורתוגונלית ‪ P‬וודאו כי‬
‫)‪QA (v, v) = (Av, v) = (P DP t v, v) = (DP t v, P t v‬‬
‫כעת בצעו הצבה ‪ w = P t v‬והשתמשו בעובדה שהערכים העצמיים של ‪ D‬חיוביים‪.‬‬
‫הכיוון השני דומה‪.‬‬
‫• קיבעו מי מהמטריצות הבאות הן חיוביות‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1 2 3‬‬
‫‪1 −1 1 −1‬‬
‫‪5 2‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪.A‬‬
‫‪; B = 2 4 5 ; C = ‬‬
‫; ‪1 1 −1 −1‬‬
‫‪2 5‬‬
‫‪3 5 6‬‬
‫‪1 −1 −1 1‬‬
‫• קיבעו את הערכים העצמיים והוקטורים העצמיים של מטריצה ‪ C‬מהסעיף הקודם‪ .‬בפרט‬
‫קבעו את הפולינום האופייני שלה‪.‬‬