Natasja Steen Laursen Redidaktisering af tidlig algebra/ukendte tal i 5.klasse Valg af emne Hvordan kan det matematiske indhold omsættes til en konkret situation, som muliggør at eleverne kan generalisere og formalisere deres viden? Dette ville kunne sættes i kontekst med fx: beregning af sidelængde i et rektangel med kendt areal. En anden situation kunne være at eleverne skal regne på en udvikling (fx i lommepenge), hvor de kender ”reglen” (=ligningen), men hvor udgangspunktet kan varieres (= den variable). Ligevægtsprincippet kan udforskes med brug af rigtige vægte og købe-‐sælge situationer kan også bruges som realistiske situationer. Hvorfor er dette matematiske område blevet opfundet? Hvilket problem løser det? Algebra blev opfundet for at kunne regne med tal, man ikke kender. Fx i geometri, ved funktioner eller i matematiske beviser. Det løser det problem, at det er nemmere at beskrive en udvikling, hvis det kan afgrænses til en variabel, der ændrer sig. Man får derved også mulighed for at analysere denne variables egenskaber og kan derved bygge modeller, der kan forudsige en udvikling. Hvilke grundlæggende matematiske begreber er der i dette emne, som har betydninger for andre dele af matematikken? Det, at man kan arbejde med og regne på variabler i stedet for konkrete talværdier er en grundlæggende ide, som har betydning mange andre steder i matematikken. Når man reducerer algebraiske udtryk, anvender man regnereglerne, som er en af matematikkens grundlæggende byggesten. Derudover anvender man også regler ved ligningsløsning, som kan overføres på andre områder i matematik, fysik eller kemi, hvor man anvender formler. Det at kunne se koblingen mellem repræsentationerne: algebraisk udtryk, funktion og evt. andre repræsentationer (geometriske, tabeller, diagrammer m.m.) er også en grundlæggende kompetence i matematik. Hvad er progressionen i tilegnelsen af det matematiske indhold? Progressionen (på grundskoleniveau) går fra en variable som pladsholder, der i første omgang gættes og dernæst udregnes. Fx: 3 + ? = 7. 4 ∙? = 20. 2. april 2014 1 Natasja Steen Laursen Man kan også ved gentagen addition regne med en konstant og starte et vilkårligt sted på tallinjen (=den variable): fx ”start ved 5 og tag toer-‐spring på tallinjen indtil jeg siger stop”. Dette kan udføres med alle regningsarter og i hele det for barnet kendte talområde. Konstanten ”toer-‐spring” oversættes til et generelt udtryk som fx ”?” eller ”n” eller bare en tom kasse. Det kan også formuleres som ”find mønsteret” i en talrække som stiger med samme konstant. Forudsætninger Hvilke fagudtryk skal alle eleverne kende til før forløbet? Rektangel, tallinje, tal, regnearterne, længde, bredde, areal Hvordan afdækkes elevernes forforståelse? Gennem klassesamtale bl.a. om de førfaglige og faglige udtryk fx i forbindelse med aktivitet med tallinje. Trinmål for 6. klasse Matematiske emner: Tal og algebra Eleven kan anvende enkle algebraiske udtryk til beregninger Eleven har viden om variables rolle i formler. Matematiske kompetencer Repræsentations-‐ og symbolbehandlingskompetence: Eleven kan oversætte mellem hverdagssprog og udtryk med matematiske symboler Hjælpemiddelkompetence: Eleven har viden om forskellige konkrete materialer og digitale værktøjer Modelleringskompetence: Eleven kan gennemføre enkle modelleringsprocesser Kommunikationskompetence: Eleven kan kommunikere varieret med og om matematik. Læringsmål for forløbet Eleverne skal gennem modellering og undersøgelse af variabler tilegne sig en forståelse af, hvordan algebra kan bruges i en hverdagssammenhæng. De skal kende til variable som pladsholder, variable som en størrelse, der kan tage et begrænset antal værdier og variable som en funktion, der kan gennemløbe et uendeligt antal værdier. De skal have en forståelse af lighedstegnet som symbol for, at der er lige store størrelser på begge sider. 2. april 2014 2 Natasja Steen Laursen De skal have et begyndende kendskab til regler for ligningsløsning og de skal kunne oversætte mellem ligning og anvendelsessituationer i virkeligheden. Eleverne skal i forløbet blive bekendte med at bruge (forskellige) IT værktøjsprogrammer såsom dynamisk geometri program, regneark eller CAS og de skal kunne anvende IT-‐medier til formidling af resultater og overvejelser. Individuelle læringsmål Disse mål er foreslået med inspiration i SOLO taksonomien. Der er læringsmål i 3 niveauer: basismål (rød) er de mål, som alle forventes at nå. Generelle mål (sorte) er de mål, de fleste elever vil nå og avancerede mål (blå) vil de færreste eleverne kunne opnå. Læringsmålene er nævnt under de enkelte undervisningsaktiviteter. Brug af IT Beskrevet ud fra SAMR modellen. Erstatning: Padlet på IWB i stedet for en tavle. Quiz på computer i stedet for i klassen. Udvidelse: mulighed for mange flere undersøgelser i dynamisk geometriprogram og Excel. Modifikation: Pixton giver mulighed for differentieret opgaveløsning (tempo/instruktion). CAS eller mathisfun.com giver mulighed for at eksperimentere med ligningsløsning. Indtale logbog i stedet for at skrive giver en friere arbejdsproces og mulighed for bedre/dybere svar. Redefinition: Flipped Classroom og evaluering ved at optage video. Kritisk tænkning og samarbejde i forhold til udformning af spørgsmål i fælles dokument ved evaluering. Rammer Forløbet er beregnet til at vare minimum 9 lektioner, men man må påregne en vis fleksibilitet i tidsrammen. Det er beregnet til en 5.klasse, som har adgang til et klassesæt af pc’er med de anvendte programmer. Det er forudsat at klassen har adgang til TI-‐NSpire CAS i perioden og at skolen har et abonnement til skoletube. 2. april 2014 3 Natasja Steen Laursen Introduktion Først afklares elevernes forforståelse gennem en klassesamtale, hvor man også kan komme ind på, hvordan og hvor algebra anvendes i hverdagen (fx når man skal regne med et eller flere ukendte tal). Efterfølgende får hver elev udleveret to tallinjer på papir. Den ene er en almindelig tallinje fra 0-‐20 og den anden tallinje går fra t-‐
10 til t+10. Ved at forskyde de to tallinjer i forhold til hinanden kan eleverne arbejde med løsning af ligningerne på en intuitiv måde, der bygger videre på deres erfaringer med tallinjen.I sidste del af undervisningen kan eleverne fx tegne egne tallinjer. Stof Læringsmål Læreraktivitet Elevaktivitet organisationsform Hj.midler Før-‐faglige At eleverne har en Samtale om førfaglige Lytter og deltager Klasseundervisning Planche eller udtryk forståelse af de førfaglige udtryk som munder ud i Padlet på Relevans udtryk. vægordbog. IWB. At eleverne får Basis: At eleverne får en 1. Bruger tallinjerne til at Indgår i Klasseundervisning Tallinjer på en forståelse af variable som regne en ligning på ud på klassesamtale og og makkerarbejde papir. introduktion pladsholdere formen: x + a = b, hvor a og summegrupper til begrebet b er kendt. med sidemakker. variabel Generelt 1: At eleverne får en forståelse af variable 2. Bruger tallinjen til at som kan antage et regne en ligning ud på begrænset antal værdier. formen x + a = b, når b er kendt Generelt 2: At eleverne får en forståelse af variable 3. bruger tallinjen til at som kan gennemløbe et regne en ligning ud, uendeligt antal værdier. på formen x + a = b, når a er kendt Avanceret: At eleverne kan anvende denne viden 2. april 2014 4 Natasja Steen Laursen til at vise mulige konsekvenser af fx at multiplicere x med 2 på en tallinje Faglige udtryk 4. Eleverne udforsker på egen hånd en af følgende problemer (se A, B og C nedenunder) Fælles afslutning hvor nye fagudtryk skrives på vægordbogen og defineres af eleverne, hvis muligt. Løser opgaven og tegner løsningen på en tallinje. Elever, der har brug for flere eksempler kan få hjælp til det fra læreren. Lytter og deltager Individuelt arbejde/små grupper. klasseundervisning Planche eller Padlet på IWB. A. Hvad sker der på tallinjen, hvis vi i stedet lægger dobbelt så meget til i eksempel 1? Hvordan kan man se det på tallinjen? B. Hvis der i stedet stod minus mellem x og a i eksempel 2, men b var det samme, hvor mange muligheder kunne der så være? C. Hvis vi i eksempel 3 ganger x med 2, hvad sker der så? Vis det fx på tallinjen og forklar det med dine egne ord. 2. april 2014 5 Natasja Steen Laursen Aktivitet 1 I denne del af forløbet arbejdes der med ukendte tal i relation til undersøgelse af et rektangel, hvor arealet, den ene side og en del af den anden side er kendt. Læreren omformulere opgaven, så det giver mest muligt mening for klassen og tilretter gerne til klassen faktiske mål og forhold. Tidsrammen er tænkt til et modul, men hvis det ikke kan nås at eleverne optager små filmklip, kan den enten vente til næste time, gives for som lektie eller gemmes til slutevalueringen. Stof Læringsmål Læreraktivitet Elevaktivitet organisationsform Hj.midler Variabel som Basis: At eleverne kan Har før timen givet video for Ser video hjemme Hjemmearbejde, Computere, kan antage gennemføre som lektier. som introduktion individuelt. internet, et begrænset undersøgelsen af arealets til arbejdet med skoletube. antal værdier størrelse på computer og Geometriprogram (areal) finde den manglende Læreren præsenterer Lytter og Klasseundervisning figur 1 sidelængde. læringsmål og gennemgår diskuterer skitseres på en hvad konteksten er ud fra tavle/IWB Generelt: At eleverne kan figur 1. (uden finde de værdier x kan variabelnavne) antage gennem Der diskuteres og vælges eksperimenter og navne for de forskellige dele begrunde det med en af rektanglets sider. Det kan illustration (fx tabel), en være a, b og x som på forklaring figuren, men behøver det (mundtlig/skriftlig) eller en ikke. beregning (fx ligning) Herefter igangsættes Avanceret: At eleverne arbejdet med spørgsmål 1 og kan forudsige og 2. begrunde, hvordan de Hjælper i gang med opgaven Arbejder i Individuelt arbejde Klassesæt af forskellige variabler ved at afklarer spørgsmål Geogebra med at ved pc’ere, pc’ere. påvirker hinanden. vedr. geometriprogram og besvare opgave 1 kombineret med Mulighed for opgaverne og 2. samtaler med at dele billeder IT basis: At eleverne med klassekammerater. fx google docs, hjælp kan benytte Der skal tages prezi eller 6 2. april 2014 Natasja Steen Laursen geometriprogram som anvist af læreren samt dele skærmdumps som dokumentation af arbejdet. IT generelt: At eleverne kan benytte geometriprogram som anvist af læreren samt dele skærmdumps som dokumentation af arbejdet. It avanceret: Arbejder hjemmevant i geometriprogrammet og kan forklare funktioner i programmet ved sammenligning med andre programmer. notater og/eller padlet (er det skærmbilleder af til pc?) vigtige pointer undervejs. Deler billeder og klasseundervisning Projekter m. vigtige pointer fra pc deres eksperimenter på pc Laver fælles opsamling, hvor der søges at opstille en generel formel for at finde x. Begreberne variabler og konstanter introduceres og forklares af eleverne. Evaluere: som lektie skal eleverne lave en lille film/lydklip, hvor de fortæller, hvad de nu ved om variabler. Den lægges på skoletube på en privatkanel delt med læreren. Videolektie til næste gang nævnes. hjemmearbejde 2. april 2014 7 Natasja Steen Laursen Figur 1 2. april 2014 8 Natasja Steen Laursen Aktivitet 1: Opgaven I klasseværelset vil vi gerne have indrettet et nyt område, hvor der er plads til gruppearbejde. Vi har tidligere regnet ud at klasseværelset er 40 m2 Vi ved også, at klassen er 5 m bred. Klasseværelsets præcise længde er vanskelig at måle pga. reoler ved væggen eller måske har vi glemt tommestokke og målebåndene i dag? A. Hvis vi bestemmer, at borde og stole skal fylde 5,7 m i klasseværelsets længderetning, hvor mange kvadratmeter er så tilbage til gruppearbejdspladser? B. Hvad sker der med arealet af grupperummet, hvis klassen skal bruge mere plads til borde og stole? Hvad sker der, hvis de skal bruge mindre plads til borde og stole? Regn et par eksempler ud og gem dine resultater. Vælg mellem C og D: C. Hvilke værdier kan a og x have? Optag din forklaring, lav en tegning eller vis det med en udregning. D. Hvad er sammenhængen mellem siderne a og x og arealet af gruppearbejdspladserne? Forklar med dine egne ord sammenhængen mellem a, x og de to arealer. Til læreren: Her vil arealet kunne beregnes som b ∙ (a + x) = b ∙ a + b ∙ x Her kan man også diskutere fremkomsten af den nye konstant c = b ∙ a. Der er flere veje til det resultat: enten at tænke på beregning af arealet af det store rektangel eller som arealerne af to små rektangler, der adderes. Dette giver mulighed for at eleverne selv kan undersøge og eksperimentere med løsningen på problemet. Se video på skoletube som introduktion til løsning af opgaven i Geogebra 2. april 2014 9 Natasja Steen Laursen Eksempel på løsning i Geogebra 2. april 2014 10 Natasja Steen Laursen Aktivitet 2 Dette modul indledes først med opsamling fra sidst. Herefter skal de arbejde med løsningen af en regnehistorie, hvor der indgår ukendte tal/variable. Eleverne skal bruge Excel til at undersøge udviklingen i lommepenge. De fælles klassesamtaler er en meget vigtig del af forløbet, hvor de faglige (abstrakte) begreber skal kobles til regnehistorien og elevernes erfaringer fra eget liv og fra den aktivitet de har gennemført i Excel. Stof Læringsmål læreraktivitet Elevaktivitet Organisationsform Hj.midler Opsamling fra Se sidst Viser et par udvalgte Lytter og deltager Klasseundervisning IWB/projektor til at sidst elevvideoer og vise videoerne på. diskutere, hvordan man kan skrive en ”opskrift” på at beregne det lille areal. Variable som Basis: Kunne se Har før timen givet Ser video hjemme Hjemmearbejde, Computere, kan sammenhængen mellem video for som lektier. som introduktion individuelt. internet, gennemløbe et hverdagssituation og en til arbejdet med skoletube. uendeligt antal opstillet ligning. Excel. værdier. Præsentere Lytter og deltager Klasseundervisning IWB/Projektor m. Basis: Eleverne skal få læringsmål. aktivt. højttalere. Kunne erfaringer med at variable Gennemgå del Internet. oversætte kan antage uendeligt mange 1/Pixton 1. mellem værdier gennem Hjælper i gang med Arbejder med del Individuelt Pc’ere til alle hverdagssituati undersøgelse i et regneark. opgaven ved at 1 i Excel. arbejde/uformelle elever. oner og afklare spørgsmål grupper. matematiske Generelt: Kunne deltage i at vedr. Excel og udtryk opstille en ligning ud fra en opgaverne. hverdagssituation Del 2 gennemgås vha. Ser Pixton 2 som Individuelt Pc’ere og Pixton. Lægges også i indledning til del arbejde/uformelle høretelefoner med Generelt: Eleverne skal finde arbejdsrum på intra. 2 og løser grupper. mikrofon til alle hensigtsmæssige herefter elever. beregningsmetoder i et opgaverne i Del 2 regneark, som efterfølgende og 3. oversættes til et algebraisk Gennemgår (evt. i en Lytter og Klasseaktivitet Projektor el.lign. udtryk i samarbejde med efterfølgende time) deltager. 11 2. april 2014 Natasja Steen Laursen læreren. Avanceret: Selvstændigt kunne opstille ligninger ud fra hverdagssituationer. Avanceret: Eleverne skal finde hensigtsmæssige beregningsmetoder i et regneark, som efterfølgende selvstændigt oversættes til et algebraisk udtryk. IT basis: Kan udføre de påkrævede og gennemgåede funktioner i Excel. Vælger 1 medie ad gangen som formidlingsform. IT generelt: Eksperimentere med mulighederne i Excel og kan fx vise resultaterne på forskellige måder IT Avanceret: Vælger efter behov mellem forskellige medier som formidlingsform udvalgte elevvideoer i klassen mhp. at opstille en mere generel algebraisk regel. Navne på de forskellige variabler og konstanter diskuteres og forhandles løbende. Fælles afslutning hvor nye fagudtryk skrives på vægordbogen og defineres af eleverne, hvis muligt. Forklarer egen fremgangsmåde og diskutere andre fremgangsmåder. Lytter og deltager klasseundervisning Planche eller Padlet på IWB. 2. april 2014 12 Natasja Steen Laursen Aktivitet 2: Opgave Del 1 I familien Alkjær er de 3 børn: Sebastian, Nikolaj og Amalie. Der er 5 år mellem hvert barn, Amalie er den ældste og Sebastian er den yngste. Deres forældre har fundet på en smart måde at uddele lommepenge på, synes de: hvis man er 0-‐5 år får man 1 gang sin alder i kroner. Hvis man er 6-‐11 år får man 2 gange sin alder i kroner, og hvis man er 12-‐18 får man 3 gange sin alder. Vis I et regneark, hvordan man kan regne ud, hvad Sebastian, Nikolaj og Amalie skal have hver især, og hvor meget deres forældre skal betale i alt hver uge. Del 2 Efter nogle uger begynder nogle af børnene at klage lidt over ordningen: Amalie synes ikke, det er retfærdig, at hun ikke får noget ekstra i lommepenge de uger, hvor hun passer sin lillebror meget. Nikolaj er ved at spare op til en ny computer, så han vil også godt have mulighed for at tjene lidt ekstra penge ved at hjælpe til derhjemme. Spørgsmål 1: Forældrene vil godt være med til at ændre lidt på systemet, men de vil ikke afskaffe det helt. Hvad synes du, de kan gøre? Spørgsmål 2: Efter at forældrene har tænkt sig lidt om, kommer de og fortælle børnene, at de vil ikke være med til at de skal betale mere end 100 kr. om ugen. Hvordan kan man sørge for at det ikke sker? (Det kan de jo eksperimentere sig frem til og aflæse i Excel. Ved at opstille en præcis formlen kan det regnes ud). Lav beregningerne i et regneark og lav en video hvor du forklarer svarerne på de to spørgsmål. Du kan enten optage en video af dig selv eller lave en video med Screencast. Videoen skal lægges på skoletube. Del 3 Hvordan ville du lave en retfærdig fordeling af lommepenge i denne familie, hvis du var en af forældrene? Lav beregningerne i et regneark og optag en video, hvor du forklarer din løsning. 2. april 2014 13 Natasja Steen Laursen Aktivitet 3 I dette modul får eleverne forskellige erfaringer med ligevægt, som skal kobles til lighedstegnets betydning i ligninger. Opgaverne på mathisfun.com er lidt sværere end de opgaver eleverne ellers er blevet præsenteret for, men der er god mulighed for at prøve sig frem i løsningen af opgaverne på en ufarlig måde. I CAS-‐programmet kan eleverne løse de opgaver, man foretrækker. De kan evt. også finde på opgaver til hinanden som deles via Padlet eller lignende. Stof Læringsmål læreraktivitet Elevaktivitet Organisationsform Hj.midler Regneregler Basis: Får kendskab til Forklarer og Gætter et ukendt antal Klasseundervisning Vægte og lighedstegn vægtmetaforen og kan løse igangsætter del 1 centicubes vha. vægte makkerarbejde Centicubes som venste-‐
ligninger ved at tændstikæsker højre gætte/eksperimenterer. Ser video med regneregler Individuelt Computere og ækvivalens. ved ligningsløsning. arbejde/uformelt høretelefoner til Generelt: Får kendskab til Løser enkle ligninger evt. i samarbejde. eleverne. vægt-‐metaforen ved CAS-‐program eller ligningsløsning og kan http://www.mathsisfun.co
anvende regneregler mht. m/algebra/add-‐subtract-‐
parenteser og de fire balance.html regningsarter på enkle ligninger af formlen ax + b Avanceret: Kan anvende regneregler på ligninger på formlen ax + b = cx + d IT basis: Kunne løse enkle ligninger i et CAS-‐program IT generelt: Kunne løse enkle ligninger i et CAS-‐
program og kunne beskrive fremgangsmåden skriftligt. 2. april 2014 14 Natasja Steen Laursen IT avanceret: Kunne løse ligninger i et CAS-‐program og kunne finde egne eller andres fejl. Regnehistorier
/ Kunne oversætte mellem hverdagssituat
ioner og matematiske udtryk 2. april 2014 Basis: Kunne forstå sammenhængen mellem hverdagssituation og en opstillet ligning Generelt: Kunne deltage i at opstille en ligning ud fra en hverdagssituation Avanceret: Selvstændigt kunne opstille ligninger ud fra hverdagssituationer. Har lavet 3 eksempler på regnehistorier på Pixton eleverne kan se som introduktion. Ser Pixton3 og 4 som introduktion og løser regnehistorierne samt opstiller et matematisk udtryk. Arbejder sammen i 2 mandsgrupper om at lave egne regnehistorier i Pixton ud fra et matematisk udtryk, de selv finder på. Individuelt eller Pc-‐klassesæt til pararbejde/udform makkerarbejde. elt samarbejde på Skoletube/Pixton pc. 15 Natasja Steen Laursen Pixton 1: præsentation af familien Alkjær og lommepengereglerne. Pixton 2:Børnene vil have reglerne ændret og forældrene sætter nogle rammer op. Pixton 3: (variabel som pladsholder) Linnea skal købe slik til hende selv og tre venner, som kommer på fredag. Hun har fået 50 kr. med I alt. Hun vil godt købe en plade chokolade til 14 kr. Hvor mange penge er der så tilbage til hvert barn? Skriv den ligning, der passer til regnehistorien. 50-‐14 = 4x 36 = 4x, x=9 Pixton 4: (Variabel som pladsholder) Mathias vil godt spare op til en ny computer. Den koster 6900 kr. Han kan spare 250 kr. op om måneden og hans forældre vil godt give et tilskud på 3000 kr. Hvor mange måneder går der før han har råd? 250x + 3000 = 6900 250x =3900 x = 15,6 måneder, dvs. 16 måneder. Pixton 5: (variabel som pladsholder) regnehistorie (udgift til fødselsdagsfest – forældre giver 50 kr. pr. gæst + 500 kr. til mad udover. Sandra vil invitere de 10 piger fra klassen i biografen, men hun vil også godt have nogle af hendes veninder fra rideklubben med. Hvor mange veninder fra rideklubben kan hun invitere, når det koster 85 kr at tage i biffen 50x + 500 = 85x 500 = 35x x = 14,3 14-‐10 = 4 piger fra rideklubben. 2. april 2014 16 Natasja Steen Laursen Aktivitet 4 Samtale om vægordbogen kan bruges som introduktion til evaluering. Læreren skal forberede de spørgsmål, eleverne skal besvare i logbogen. Stof Læringsmål læreraktivitet Elevaktivitet Organisationsform Hj.midler Evaluering med Alle læringsmål Giver ord til Arbejder sammen pararbejde Post-‐its begrebskort evalueres begrebskort og om at lave et Cmap, Kamera (formativ) Ord til begrebskort: igangsætter aktivitet som de tager billede variabel, konstant, af til sidst. ligning, regneregler, parenteser, plus, minus, gange, dividere, x, y, a , b, c, ubekendt, ligevægt, lighedstegn Logbogsskriving Elevernes Præsentere Skriver eller indtaler Individuelt logbog læreproces spørgsmål, der skal logbog individuelt evalueres. besvares og besvarer spørgsmål om egen læreproces Quiz (summativ) Alle læringsmål Igangsætter aktivitet Udformer spørgsmål Makkerpar/individuelt Computere kritisk tænkning: evalueres. til quiz i makkerpar Klassen deles i to Purposegames.com Hvad skal/kan jeg og deler demi et halvdele, som laver Padlet. bidrage med som fælles dokument i quiz til de andre. ikke allerede er der? Padlet. Hvordan ved jeg, at Besvarer quizzen svaret er rigtigt? individuelt. 2. april 2014 17