1. No category

Physica 9
RATKAISUT
1. painos
1(6)
10. Lämpötila ja paine
RATKAISUT: 10. Lämpötila ja paine
10.1 a) Suure, jolla kuvataan aineen termodynaamista tilaa.
b) Termodynaamisen eli absoluuttisen lämpötila-asteikon yksikkö.
c) Alin mahdollinen lämpötila.
d) Suure, joka ilmaisee pituuden muutoksen pituusyksikköä ja lämpötilayksikköä kohti.
e) Suure, joka kuvaa voiman jakautumista pinnalle.
f) Veden (tai muun nesteen) omasta painosta johtuva paine.
10.2 Silmän halkaisija on d = 8,5 mm , syvyys h = 14 m , veden tiheys ρ = 1000
kg
ja
m3
normaali-ilmanpaine p0 = 101300 Pa .
Paineen määritelmän p =
F
perusteella voima on, F = pA , jossa paine on
A
ilmanpaineen ja hydrostaattisen paineen summa p = p0 + ρ gh ja silmän pinta-ala on
A = π r2 .
Silmään kohdistuva voima on siten
F = ( p0 + ρ gh ) π r 2
kg
m
⎛
⎞
⎛ 0, 0085 m ⎞
= ⎜101300 Pa + 1000 3 ⋅ 9,81 2 ⋅14 m ⎟ ⋅ π ⋅ ⎜
⎟
2
m
s
⎝
⎠
⎝
⎠
= 13,5417 N ≈ 14 N.
2
Vastaus: Silmään kohdistuu 14 N:n voima..
10.3 Elementin pituus on l0 = 5, 2 m , lämpötila talvella T1 = −35 °C , lämpötila kesällä
T2 = 25 °C ja betonin pituuden lämpötilakerroin α = 12 ⋅10−6
1
.
°C
Lämpötilan muuttumisesta johtuva pituuden muutos on
Δl = l0αΔT = 5, 2 m ⋅12 ⋅10−6
1
⋅ ( 25 − ( −35 ) ) °C = 0, 003744 m ≈ 3, 7 mm .
°C
Vastaus: Elementti on kesällä 3,7 mm pidempi kuin talvella.
10.4 Veden paine maalämpöpumpun liittymän tasolla on p1 = 2,8 bar , tarkastelutason
korkeus Δh = 3, 2 m ja venttiilin halkaisija d = 7, 0 ⋅10−3 m .
Paineen määritelmän p =
F
perusteella voima on, F = pA .
A
Yläkerrassa veden paine p2 on hydrostaattisten paineiden eron Δph = ρ g Δh verran
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
2(6)
10. Lämpötila ja paine
pienempi, joten paine yläkerrassa on
p2 = p1 − Δph = p1 − ρ g Δh = 2,8 ⋅ 105 Pa − 1000
kg
m
⋅ 9,81 2 ⋅ 3, 2 m = 248608 Pa
m3
s
Siten venttiiliin kohdistuu voima
2
2
⎛ 7, 0 ⋅10−3 m ⎞
⎛d ⎞
F = p2 A = p2π r = p2π ⎜ ⎟ = 248608 Pa ⋅ π ⋅ ⎜
⎟ = 9,5676 N ≈ 9, 6 N .
2
⎝2⎠
⎝
⎠
2
Vastaus: Säätöventtiiliin kohdistuu 9,6 N:n voima.
10.5 Rautasylinterin sisähalkaisija on d Fe,0 = 80, 00 mm, α Fe = 11, 7 ⋅10−6
lämpötilakerroin raudalle α Fe = 11, 7 ⋅10−6
1
, pituuden
°C
1
, alumiinisylinterin
°C
halkaisija d Al,0 = 79,80 mm , pituuden lämpötilakerroin alumiinille α Al = 23, 2 ⋅10−6
1
°C
ja alkulämpötila t0 = 20 °C .
Koska alumiini laajenee lämmetessään enemmän kuin rauta, alumiinisylinteri juuttuu
kiinni rautasylinteriin siinä lämpötilassa, jossa mainitut halkaisijat ovat yhtä suuret.
Rautasylinterin halkaisija on silloin
d Fe = d Fe,0 + Δd Fe = d Fe,0 + d Fe,0α Fe Δt
ja alumiinisylinterin halkaisija
d Al = d Al,0 + Δd Al = d Al,0 + d Al,0α Al Δt
Yhtäsuuruudesta seuraa yhtälö
d Al,0 + d Al,0α Al Δt = d Fe,0 + d Fe,0α Fe Δt ,
josta ratkaistaan lämpötilan muutos
d Al,0α Al Δt − d Fe,0α Fe Δt = d Fe,0 − d Al,0
(d
α Al − d Fe,0α Fe ) Δt = d Fe,0 − d Al,0
Al,0
Δt =
d Fe,0 − d Al,0
d Al,0α Al − d Fe,0α Fe
Sijoittamalla tähän tunnetut arvot saadaan lämpötilan muutokseksi
Δt =
d Fe,0 − d Al,0
d Al,0α Al − d Fe,0α Fe
80, 00 mm − 79,80 mm
,
−6 1
−6 1
79,80 mm ⋅ 23, 2 ⋅10
− 80, 00 mm ⋅11, 7 ⋅10
°C
°C
= 218, 49 °C.
=
Joten sylinterit juuttuvat kiinni lämpötilassa
t = t0 + Δt = 20 °C + 218,49 °C = 238, 49 °C ≈ 240 °C .
Vastaus: Alumiinisylinteri juuttuu kiinni rautasylinteriin 240 ºC:een lämpötilassa.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
3(6)
10. Lämpötila ja paine
10.6 Metalliputken pituus alussa on l0 = 982 mm ja alkulämpötila t0 = 8, 2 °C .
Pituuden muutos lämpötilan muuttuessa on Δl = α l0 Δt .
Lämpölaajenemisen yhtälöstä nähdään, että yhtälöä vastaavan suoran
fysikaalinen kulmakerroin k ilmaisee tulon α l0 arvon.
Lasketaan mitatuista lämpötiloista lämpötilan muutokset ja esitetään
graafisesti pituuden muutoksen riippuvuus lämpötilan muutoksesta:
lämpötilan muutos Δt (°C)
10,0
19,8
30,8
42,3
49,1
pituuden muutos Δl (mm)
0,11
0,23
0,36
0,47
0,57
Kun kulmakertoimen määrittämiseen tarvittaviksi pisteiksi valitaan origo (0 ºC, 0 mm)ja suoralta piste
(52ºC, 0,6 mm), kulmakertoimen arvoksi tulee
k=
Δ ( Δl )
Δ ( Δt )
=
0, 6 mm − 0 mm
mm
,
= 0, 01154
52 °C − 0 °C
°C
joten pituuden lämpötilakerroin on
k
α= =
l0
mm
°C = 1,1750 ⋅10−5 1 ≈ 1, 2 ⋅10−5 1 .
982 mm
°C
°C
0, 01154
Vastaus: Tutkittavan aineen pituuden lämpötilakerroin on 1, 2 ⋅10−5
1
.
°C
10.7 Ilmanpaine oli p0 = 980 hPa ja sukellussyvyys h = 32, 0 m .
a) Kokonaispaine vedessä on p = p0 + ph = p0 + ρ gh . Siten alkuperäisellä syvyydellä paine
on p1 = p0 + ρ gh1 .
Paine sukeltajan elimistössä on
p1 = 980 ⋅102 Pa + 1000
kg
m
⋅ 9,81 2 ⋅ 32 m = 411920 Pa ≈ 0, 41 MPa .
m3
s
b) Sukeltaja nousee syvyyteen h2, jossa paine on
p2 =
p1 p0 + ρ gh1
=
= p0 + ρ gh2 ,
2
2
josta voidaan ratkaista kysytty syvyys h2.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
4(6)
10. Lämpötila ja paine
p0 ρ gh1
+
2
2
p
ρ gh1
ρ gh2 = 0 − p0 +
2
2
p0
h1
h2 = −
+
2ρ g 2
98 000 Pa
32 m
=−
+
kg
m
2
2 ⋅1000 3 ⋅ 9,81 2
m
s
= 11, 0051 m ≈ 11 m.
p0 + ρ gh2 =
Vastaus:
a) Paine sukeltajan elimistössä on 32 m:n syvyydessä 0,41 Mpa.
b) Sukeltaja nousi odottamaan typen poistumista 11 m:n syvyyteen.
10.8 Ilmanpaine on p0 = 1013 hPa , ylipaine hydrauliikkanesteessä on
pyli = 3, 25 MPa , nostimen sisähalkaisija on d = 15,5 cm ja akselin etäisyys
nostimesta on a = 4, 20 m .
Nostimella saadaan aikaan momentti M = Fa , jossa a on nostimen etäisyys lavan akselista.
Nostimen lavaan kohdistama voima on F = pA , jossa paine p on hydrauliikkanesteessä vallitseva
kokonaispaine p = p0 + p yli .
Momentti on siten
M = Fa = pAa = pπ r 2 a = ( p0 + pyli ) π r 2 a
2
⎛ 0,155 m ⎞
= ( 0,1013 + 3, 25 ) ⋅106 Pa ⋅ π ⋅ ⎜
⎟ ⋅ 4, 20 m
2
⎝
⎠
5
= 265 593 Nm ≈ 2, 66 ⋅10 Nm.
Vastaus: Nostimella aikaan saatava momentti on 2, 66 ⋅105 Nm
10.9 a) Tilavuuden lämpölaajenemisen yhtälö on V = V0 + γ V0 Δt , joten nesteen alkutilavuus V0 ,
on määritettävä aluksi. Tilavuus voidaan määrittää käyttämällä mittalasia, mutta sillä ei
saada tilavuudelle kovin tarkkaa arvoa. Jos mittauksessa käytettävä pullo on
mittapullo, voidaan tarkasti merkkiviivaan asti täytetyssä pullossa olevan
nesteen määrä lukea pullosta. Mikäli nesteen tiheys ρ tunnetaan, tilavuus
voidaan määrittää mittaamalla pullon massa tyhjänä ja täytettynä, jolloin
pullossa olevan nesteen tilavuus on V =
mtäysi − mtyhjä
ρ
. Pulloa lämmitetään
hitaasti vesihauteessa, ja lämpötila mitataan vesihauteen vedestä. Tilavuuden muutos
voidaan laskea pullon kaulassa nousevan nestepinnan korkeuden muutoksen avulla:
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
2
5(6)
10. Lämpötila ja paine
πd
⎛d ⎞
ΔV = AΔh = π r 2 Δh = π ⎜ ⎟ Δh =
Δh . Pullon kaulan sisähalkaisija d voidaan mitata
4
⎝2⎠
2
työntömitalla. Myös nestepinnan korkeus eri lämpötiloissa voidaan mitata työntömitan
avulla.
b) Pullon tilavuus on V = 250, 6 ml ja pullon kaulan sisähalkaisija on d = 5,15 mm .
Tilavuuden muutos lämpölaajenemisessa on ΔV = γ V0 Δt . Kun tähän sijoitetaan a)kohdassa mainittu tilavuuden muutoksen lauseke, saadaan yhtälö
πd2
4
Δh = γ V0 Δt .
Ratkaistaan yhtälö nestepatsaan korkeuden muutoksen suhteen, jolloin se tulee muotoon
Δh =
4γ V0
4γ V0
Δt . Tämä on suoran yhtälö muotoa y = kx, jossa kulmakerroin on k =
.
2
πd2
πd
Lasketaan lämpötilan muutokset mittaustuloksista ja esitetään korkeuden muutos
graafisesti lämpötilan muutoksen funktiona:
Δt (ºC)
0
2,9
5,9
9,2
11,9
15,3
Δh (mm)
0
28,3
58,5
83,8
114,8
149,1
Kuvaajan fysikaalinen kulmakerroin on k =
4γ V0
. Sen arvo
πd2
voidaan määrittää suoralla olevista pisteistä (0 ºC, 0 mm) ja
(15 ºC, 145 mm):
k=
Δ ( Δh )
Δ ( Δt )
=
145 mm − 0 mm
mm
m
= 9, 6667
= 9, 6667 ⋅10−3
.
°C
°C
15 °C − 0 °C
Tilavuuden lämpötilakerroin on siten
kπ d 2
=
γ=
4V0
2
m
⋅ π ⋅ ( 5,15 m ⋅10-3 )
1
1
°C
.
= 8, 0353 ⋅10−4
≈ 8, 0 ⋅10−4
4 ⋅ 250, 6 ⋅10−6 m3
°C
°C
9, 6667 ⋅10−3
Vastaus: Pakkasnesteen tilavuuden lämpötilakerroin on 8, 0 ⋅10−4
1
.
°C
10.10 Tunnetussa ilmanpaineessa p1 = 987 mbar elohopeapatsaan korkeus on
h1 = 728 mm ja ilmatilan korkeus on k1 = 46 mm .
Kysytään ilmanpainetta p2, kun elohopeapatsaan korkeus on h2 = 750 mm ja
ilmatilan korkeus on k2 = 35 mm .
Elohopean tiheys on ρ = 13,54 ⋅103
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
kg
.
m3
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
6(6)
10. Lämpötila ja paine
Koska putken yläpäässä on ilmaa, paine on putken suljetussa haarassa vapaan
pinnan tasalla elohopeapatsaan hydrostaattisen paineen ja putkeen jääneen ilman
paineen summa.
Ensimmäisessä tilanteessa on p1 = pi1 + ρ gh1 ja jälkimmäisessä p2 = pi 2 + ρ gh2 .
Lämpötila on vakio ja putken päässä olevan ilman määrä ei muutu, joten sen paine
noudattaa Boylen lakia
pi1V1 = pi 2V2 ⇒ pi1 Ak1 = pi 2 Ak2 .
Jälkimmäisessä tilanteessa putkeen jääneen ilman paine on
pi 2 =
k1
pi1 .
k2
Koska ensimmäisessä tilanteessa pi1 = p1 − ρ gh1 , vallitseva ilmanpaine
jälkimmäisessä tapauksessa on siten
p2 = pi 2 + ρ gh2 =
=
k1
pi1 + ρ gh2
k2
k1
( p1 − ρ gh1 ) + ρ gh2
k2
46 mm ⎛
kg
m
kg
m
⎞
⋅ ⎜ 98 700 Pa − 13540 3 ⋅ 9,81 2 ⋅ 0, 728 m ⎟ + 13540 3 ⋅ 9,81 2 ⋅ 0, 750 m
35 mm ⎝
m
s
m
s
⎠
= 102 251 Pa ≈ 1020 hPa.
=
Vastaus: Vallitseva ilmanpaine on 1020 hPa.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät