1. No category

Peruskäsitteet ja laskusäännöt
JJJG
JJJG
1. Olkoot OA = u ja OB = v . Piste P jakaa janan OA 2:1 ja piste Q jakaa janan AB 4:1. Esitä
JJJG
vektori PQ käyttäen vektoreita u ja v .
JJJG
JJJG
2. Suunnikkaan ABCD sivuvektorit ovat a = AB ja b = A D . Piste E jakaa sivun BC suhteessa
1:2 ja piste F sivun DC suhteessa 1:3. Esitä vektori EF vektoreiden a ja b avulla.
3. Kolmion painopisteestä piirretään vektorit kolmion kärkipisteisiin. Osoita, että niiden summa
on nollavektori.
Tasovektorit
B
−→
−→
−→
−→
4. a) Esitä vektori EF vektorien b = AB, c = AC, d = AD
lausekkeena (viereinen kuva).
(1)
F
(3)
C
E
A
0
b) Määritä EF , kun A(5,2), B(1,4), C(-2,2) ja D(0,0).
D
5. Kolmion ABC kärkien paikkavektorit ovat a , b ja c . Piste E jakaa keskijanan AD suhteessa
3:2. Esitä pisteen E paikkavektori vektoreiden a , b ja c avulla.
JJJG 0
6. Olkoot A(-2,3) ja B(4,-1). Määritä AB .
7. Suunnikkaan ABCD (vrt. kuva) kolmen kärjen koordinaatit ovat seuraavat:
A = (2,6; 3, 4) , B = (4, 4; 1, 4) , D = (−1, 4; 0,8) ,
A
BB
ja piste E on sivun CD keskipiste.
−→
−→
a) Määritä vektorien AB ja EA komponenttiesitykset, sekä
b) pisteen C koordinaatit.
D
E
C
Avaruusvektorit
8. Mikä on vektorin [ −1,3, 2] loppupiste, kun alkupiste on (2,1,3)?
9. Määritä pisteestä (2,3,-1) pisteeseen (1,0,3) piirretyn vektorin pituus (tarkka arvo).
B(6,5,0)
10. Määritä u 0 , kun u = i − 2 j + 2k .
11. Laske viereisen kolmion arvoilla
−→
−→
−→
a) a = AB , b = AC ja c = BC ,
b) a 0 , b 0 ja c 0 .
A(2,2,1)
C(4,4,3)
12. Suunnikkaan ABCD kaksi (peräkkäistä) kärkeä ovat pisteissä A(1, −1, 2) ja B (−1, 2,1) . Piste
E (0,1, −1) jakaa sivun CD suhteessa 1:3. Laske pisteiden C ja D koordinaatit.
13. Olkoon pisteen A(1, −2,3) paikkavektori a . Pisteestä P(2,3, 0) siirrytään vektorin 2a verran,
jolloin tullaan pisteeseen Q. Määritä pisteen Q koordinaatit.
14. Kolmion ABC kärkien paikkavektorit ovat a , b ja c . Piste E jakaa keskijanan AD suhteessa
4:3.
a) Esitä pisteen E paikkavektori vektoreiden a , b ja c avulla.
b) Määritä pisteen E koordinaatit, kun A(1, −1, 2), B(0,5, −2) ja C (2,1,1) .
15. Pisteiden A(2,−3,5) ja B(4,5,8) paikkavektorit ovat r1 ja r2 . Mitkä ovat vektorin 2r1 − 3r2
loppupisteen koordinaatit, jos alkupiste on (1,-2,3)?
16. Määritä kolmion A(1, 2,3) B (4,5, 6)C (7, −8,9) painopisteen koordinaatit.
17. Suunnikkaan ABCD kaksi (peräkkäistä) kärkeä ovat pisteissä A(1,1,1) ja B(−1,1,3) . Sivun CD
keskipiste on E (2, 2, 2) . Laske lävistäjän AC pituus.
18. Paikkavektorit r1 = [3, −1, 2] ja r2 = [1, −3,1] ovat suunnikkaan sivuina. Määritä lävistäjien
pituudet.
Pistetulo ja vektoreiden välinen kulma
19. Määritä tarkka arvo pistetulolle a ⋅ b , kun a = b = 2 ja ∠(a , b ) =
3π
.
4
20. Laske a ⋅ b , kun
a) a = 2 i + 3 j , b = i + 2 j ,
b) a = − i + 2 j , b = 4 i + j ,
c) a = 4 j , b = 5 i − 3 j .
21. Laske
∠( a , b ) , kun
a) a = 2 i + 3 j ,
b = 3i + j ,
b) a = 2 i + j ,
b = i +3j .
22. Ovatko vektorit a = [−1, 2, −5] ja b = [2, 6, 2] kohtisuorassa toisiaan vastaan?
23. Määritä vektorien a = [2,3,1] ja b = [−3, −1, 2] välinen kulma radiaaneissa (tarkka arvo).
G
G
G
G
24. Vektori 2i − 3 j jaetaan kahteen komponenttiin, joista toinen on vektorin i + 2 j suuntainen ja
toinen sitä vastaan kohtisuora. Määritä komponenttivektorit.
25. Kolmion kärkipisteet ovat (-1,2), (3, -1) ja (5,5). Laske kolmion kulmat vektoreiden avulla.
G
G
26. Määritä vektoria i + 2 j vastaan kohtisuora yksikkövektori.
27. Määritä ne kulmat, jotka voimat F1 = ( 3i + 5 j ) N ja F2 = ( 2 i − 6 j ) N muodostavat
resultanttinsa kanssa.
28. Sievennä lauseke ( 2a + 3b ) • ( 3a − 2b ) , kun a ⊥ b ja a = 3, b = 2 .
29. Kolmion yksi kärki on origossa O ja kaksi muuta pisteissä A(2, −3, 4) ja B(4, 6, 2) . Laske,
onko kolmion O-kulma terävä, suora vai tylppä.
30. Laske kolmion A(2, 3, -1) B(4, 0, 1) C(2, -2, 3) kulmat vektoreita käyttäen.
31. Laske viereisestä kuvasta
a) piste B,
b)kulma CDA,
−→
c) EF .
E
A(2,1,-3)
(5)
D(0,3,1)
(2)
F
B
C(4,6,-1)
32. Pisteet A(0, -3, 2), B(2, -5, 4) ja C muodostavat
kolmion.
JJJG
a) Määritä pisteen C koordinaatit, kun AC = [−3,1, 2] . Onko kolmio suorakulmainen?
b) Laske sivujen AB ja BC välinen kulma.
33. Määrää reaaliluku r siten, että vektorien a = 3i + j , b = i + rj summa ja erotus ovat
kohtisuorassa toisiaan vastaan.
34. Jaa voima F = [ 4, −1,3] N kahteen komponenttiin, joista toinen on voiman G = [3,3,3] N
suuntainen, ja toinen sitä vastaan kohtisuora.
Projektio ja suuntakulmat
B(6,5,0)
35. Laske viereisen kolmion arvoilla
JJJG
projektiovektori AB AC .
Mitä voit todeta saamasi tuloksen
perusteella?
A(2,2,1)
C(4,4,3)
36. Määritä uv , kun u = 2 i − 4 j ja v = −3i + 4 j . Piirrä lisäksi kuva tilanteesta.
37. Vektori v = 2 i − 3 j − 5k projisoidaan vektorille u = 3i − 4 j + k . Laske projektiovektorin ja
vektorin v määräämän kolmion ala.
38. Laske pisteen P(2, –4, 1)) peilikuva suoran A(5, 1, 0) B(2, –½, 1½) suhteen.
39. Kolmion kärjet ovat A(2, 3, -1), B(4, 0, 1) ja C(2, -2, 3). Kolmiolle piirretään korkeusjana AD
ja mediaani BE.
a) Määritä pisteiden D ja E koordinaatit.
b) Määritä vektori, joka puolittaa kulman C, ja on pituudeltaan 30 .
40. Pisteestä P(2,2,3) piirretään kohtisuora jana PX suoralle A(2,1,-1)B(4,-1,5). Määritä pisteen X
koordinaatit.
41. Laske pisteen P(-2, 1, 1) etäisyys suorasta A(0, 1, 2) B(-1, 2, 1) vektoreita käyttäen.
42. Kolmion kärjet ovat A(1, 0, 2), B(2, -1, 4) ja C(2, 2, 6). Kuinka etäällä piste A on sivusta BC?
43. Laske pisteen P(3, -3, 0) peilikuva suoran A(1, 0, 2) B(4, -3, 5) suhteen.
44. Määritä vektorin [ 2,3, −1] suuntakulmat.