1. No category

VEKTORILASKENTA
Timo Mäkelä
SISÄLTÖ:
1
VEKTORIN KÄSITE ...........................................................................................................1
2
VEKTOREIDEN PERUSLASKUTOIMITUKSET ..........................................................3
2.1
2.2
2.3
2.4
3
TASON VEKTORIT.............................................................................................................9
3.1
3.2
3.3
3.4
4
VEKTOREIDEN YHTEENLASKU ..........................................................................................3
VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU .....................................................................................4
VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA ...................................................................................6
VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY ................................................................................7
KOORDINAATTIESITYS ...................................................................................................10
PAIKKAVEKTORI.............................................................................................................12
VAIHEKULMA .................................................................................................................13
TASON NAPAKOORDINAATISTO ......................................................................................19
AVARUUDEN VEKTORIT...............................................................................................20
4.1
SUORAKULMAINEN AVARUUSKOORDINAATISTO ............................................................20
4.2
KOORDINAATTIESITYS ...................................................................................................20
4.3
AVARUUDEN KANTA ......................................................................................................23
4.4
PAIKKAVEKTORI.............................................................................................................24
4.5
SOVELLUKSIA.................................................................................................................25
4.6
SUORA ............................................................................................................................28
4.6.1
Tasosuora ..............................................................................................................31
5
SKALAARITULO ..............................................................................................................33
5.1
MÄÄRITELMÄ JA OMINAISUUDET ...................................................................................33
5.2
SKALAARITULO KOORDINAATTIMUODOSSA ...................................................................35
5.3
VEKTORIN KOHTISUORA PROJEKTIO ...............................................................................39
5.4
TASO ..............................................................................................................................40
5.4.1
Pisteen etäisyys tasosta .........................................................................................41
5.4.2
Tasosuora ..............................................................................................................42
5.5
PALLO ............................................................................................................................43
5.5.1
Ympyrä ..................................................................................................................44
5.5.2
Neliöksi täydentäminen .........................................................................................46
6
VEKTORITULO.................................................................................................................47
6.1
6.2
6.3
6.4
POSITIIVINEN SUUNNISTUS .............................................................................................47
MÄÄRITELMÄ JA OMINAISUUDET ...................................................................................48
VEKTORITULO KOORDINAATTIMUODOSSA .....................................................................49
VOIMAN MOMENTTI PISTEEN SUHTEEN ...........................................................................51
Vektorilaskenta
7
2
SKALAARIKOLMITULO ................................................................................................53
7.1
7.2
7.3
MÄÄRITELMÄ .................................................................................................................53
SOVELLUKSIA.................................................................................................................54
TASON DETERMINANTTIMUOTO......................................................................................55
Vektorilaskenta
1
1 VEKTORIN KÄSITE
Monet suureet voidaan ilmaista yhdellä luvulla ja siihen liittyvällä yksiköllä. Tällaisia ovat esimerkiksi janan pituus, kappaleen tilavuus, lämpötila, aika jne. Näitä suureita kutsutaan skalaareiksi.
On myös suureita, joiden kuvaamiseen tarvitaan tieto paitsi suuruudesta myös suunnasta. Tällaisia suureita ovat esimerkiksi voima, nopeus, kiihtyvyys jne. Näitä kutsutaan vektoreiksi. Vektorille on ominaista, että sillä on suuruus ja suunta.
Vektori on jana, johon liitetään suunta sopimalla janan toinen päätepiste alkupisteeksi ja toinen loppupisteeksi.
B
Sovittu suunta osoitetaan nuolen kärjellä. Vektoria, jonka alkupiste on A ja loppupiste on B, merkitään AB . Loppupistettä B kutsutaan vektorin kärjeksi.
Vektoria voidaan merkitä myös yhdellä kirjaimella u, a , F , G ,...
AB
A
Vektorin AB pituudella eli itseisarvolla eli normilla tarkoitetaan janan AB pituutta ja sitä merkitään AB .
Pituus AB on reaaliluku, johon voi liittyä yksikkö. Vektorin pituus on aina suurempi tai yhtä
suuri kuin nolla: AB ≥ 0 .
Vektorit a ja b ovat yhdensuuntaiset
a || b
jos ne sijaitsevat yhdensuuntaisilla suorilla. Yhdensuuntaiset vektorit a ja b voivat olla
•
samansuuntaiset
a ↑↑ b
•
vastakkaissuuntaiset
a ↑↓ b
Tärkeitä erikoisvektoreita ovat
•
nollavektori, joka on sellainen vektori, jonka alku- ja loppupisteet yhtyvät. Nollavektoria
merkitään 0 . Siis nollavektori on vektori, jonka pituus on nolla:
a =0⇔a =0
Nollavektori eroaa muista vektoreista siinä, että sen suunta on epämääräinen. Sovitaan, että
nollavektori on samansuuntainen jokaisen vektorin kanssa.
•
yksikkövektori, joka on sellainen vektori, jonka pituus on yksi. Vektorin
a kanssa samansuuntaista yksikkövektoria merkitään a 0 . Yksikkövektoria käyttäen voidaan ilmoittaa suunta avaruudessa.
a
a°
1
Vektorilaskenta
2
Vektorin määrittää täysin sen pituus ja suunta: Vektorit a ja b ovat samat
a =b,
a
jos niillä on sama pituus ja sama suunta.
Siis
b
⎧⎪ a = b
a =b ⇔⎨
⎪⎩a ↑↑ b
Edellä olevan perusteella vektori ei ole sidottu tiettyyn paikkaan:
Vektori voidaan siirtää sen suunta ja pituus säilyttäen ilman, että vektori muuttuu toiseksi.
Vektorin a vastavektori − a on vektori, joka on yhtä pitkä kuin
vektori a , mutta vastakkaissuuntainen.
Määritelmän mukaan
a
−a
−a = a
− a ↑↓ a
Vastavektorin vastavektori on vektori itse:
− (− a ) = a .
Nollavektorista eroavien vektoreiden a ja b välisellä kulmalla (a, b ) tarkoitetaan pienempää
niistä kahdesta kulmasta, jotka muodostuvat, kun vektorit on asetettu alkamaan samasta pisteestä. Tällöin
a
(a , b ) = (b , a )
0° ≤ (a , b ) ≤ 180° .
(a, b )
Erikoisesti on voimassa
( )
↑↓ b ⇔ (a ,b ) = 180° .
a ↑↑ b ⇔ a ,b = 0°
a
b
Vektoreiden a ja b sanotaan olevan kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos (a ,b ) = 90° . Tällöin
merkitään a ⊥ b . Siis
a ⊥ b ⇔ (a ,b ) = 90° .
HARJOITUSTEHTÄVÄT 1:
1. Olkoon nelikulmio ABCD suunnikas. Mitkä nelikulmion kärkipisteitä yhdistävistä vektoreista ovat samoja kuin
D
C
a) BC
2. Määritä kuvan tilanteessa kulmat:
a)
(a, b )
b)
(a, c )
b)
− AB ?
c)
(b , c )
A
B
Vektorilaskenta
3
c
a
35°
b
2 VEKTOREIDEN PERUSLASKUTOIMITUKSET
Seuraavassa esitetään vektoreiden peruslaskutoimitukset yhteenlasku, vähennyslasku ja luvulla
kertominen.
2.1 Vektoreiden yhteenlasku
a
b
a +b
Vektoreiden a ja b summa a + b on vektori, jonka alkupiste on a :n alkupiste ja loppupiste
b :n loppupiste, kun b on asetettu alkamaan a :n loppupisteestä.
Summavektoria kutsutaan myös resultantiksi ja yhteenlaskettavia komponenteiksi.
Vektoreiden yhteenlasku noudattaa seuraavia sääntöjä:
a +0 = 0+a =a
Nollavektorin ominaisuus
a + (− a ) = (− a ) + a = 0
Vastavektorin ominaisuus
a +b =b +a
Vaihdantalaki
(a + b ) + c = a + (b + c )
Liitäntälaki
Perustelu:
Koska nollavektorin alku- ja loppupiste yhtyvät, on nollavektorin ominaisuus voimassa.
Jos vektorin loppupistettä siirretään sen vastavektorin verran, niin päädytään alkupisteeseen. Siis
vastavektorin ominaisuus pätee.
b
b
a
a a +b
a
b
c
b +c
(a + b ) + c = a + (b + c )
Yllä olevien kuvien perusteella nähdään, että vektoreiden yhteenlasku noudattaa vaihdanta- ja
liitäntälakia.
Vektorilaskenta
4
Liitäntälain perusteella vektoreiden summa voidaan esittää ilman sulkuja ja
Summa voidaan muodostaa asettamalla komponenttivektorit peräkkäin.
Koska kolmiossa sivun pituus on pienempi kuin kahden muun sivun pituuksien summa, on voimassa kolmioepäyhtälö:
a +b ≤ a + b
F
N
25o
G
25o
G
F
ESIMERKKI: Kappale kaltevalla tasolla
Tarkastellaan tapausta, jossa kappale (massa m = 60 kg) pysyy levossa kitkattomalla kaltevalla tasolla. Kuvan tilanteessa kappaleeseen vaikuttaa kolme voimaa: painovoima G , tukivoima N ja kaltevan tason suuntainen vetävä voima F . Voiman G itseisarvo on
G = mg = 60 ⋅ 9,81 N . Määritetään voiman F itseisarvo siten, että kappale pysyy paikal-
laan.
Kappaleen levossa pysymisen ehtona on, että kaikkien siihen vaikuttavien voimien summa on
nollavektori.
Piirretään summakuvio. Se on suorakulmainen kolmio, josta saadaan
F = 60 ⋅ 9,81 N ⋅ sin 25° = 248,753 N ≈ 250 N .
2.2 Vektoreiden vähennyslasku
Vektoreiden a ja b erotuksella a − b tarkoitetaan a :n ja vektorin b vastavektorin summaa:
a − b = a + (− b )
b
a −b
a
−b
b
a
a −b
Vektoreiden erotus voidaan muodostaa pelkästään a :n ja b :n avulla seuraavasti:
Kun vektorit a ja b asetetaan alkamaan samasta pisteestä, erotusvektorin a − b alkupiste on
b :n loppupiste ja loppupiste a :n loppupiste.
Vektorilaskenta
5
Usein vektorin päätepisteisiin osoittavat samasta pisteestä alkavat
vektorit. Tällöin vektori voidaan esittää loppupisteeseen osoittavan ja alkupisteeseen osoittavan vektorin erotuksena.
Kuvassa
b
c
O
c = a −b
a
HARJOITUSTEHTÄVÄT 2:
1. Vektoreiden a ja b pituudet ovat a = 4 , b = 7 . Määritä a + b ja a − b , kun
a)
a ↑↑ b
b)
a ↑↓ b
c)
a ⊥ b.
2. Vektoreista a ja b tiedetään, että a = 3,86 , b = 2,74 ja (a ,b ) = 69,2° . Määritä a + b
ja a − b .
3. Oheinen kuvio esittää suuntaissärmiötä. Lausu vektoreiden
u = DA , v = DC , w = DH avulla vektorit
H
E
BG .
a) AC
b)
BH
c)
4. Köysi on kuormitettu kuvion mukaisesti. Laske köysiin kohdistuvat voimat, kun F = 760 N
35°
G
F
C
D
B
A
66°
F
5. Tolppaa vedetään irti maasta kohdistamalla tolpan päähän
kuvan osoittamalla kaksi voimaa F ja G , jotka ovat samassa pystysuorassa tasossa. Mikä on voimien suuruksien suhteen oltava, jotta voimien resultantti suuntautuisi suoraan
ylöspäin?
G
73°
F
50°
6. Purjelentokone lentää kohti etelää 160 km/h (nopeus maahan nähden). Tuuli puhaltaa itäkaakosta ja purjelentokoneen nopeusmittarin lukema on 185 km/h. Mihin suuntaan lentäjä ohjaa
konetta ja mikä on tuulen nopeus?
Vektorilaskenta
6
2.3 Vektorin kertominen luvulla
Reaaliluvuille käytetään vektoreiden yhteydessä nimitystä skalaari. Vektorin kertominen skalaarilla määritellään seuraavasti:
Reaaliluvun p ja vektorin a tulo pa on vektori, joka toteuttaa ehdot
1.
2.
pa = p a
⎧⎪ pa ↑↑ a , jos p > 0
.
⎨
⎪⎩ pa ↑↓ a , jos p < 0
(tulovektorin pituus)
(tulovektorin suunta)
a
Määritelmän ehdosta 1 seuraa tulon nollasääntö (totea tämä!):
3a
−2a
pa = 0 ⇔ p = 0 tai a = 0
Reaaliluvun ja vektorin tulon määritelmän mukaan vektorit a ja pa ovat yh- −4a
densuuntaiset. Kääntäen on voimassa:
Jos a ja b ≠ 0 ovat yhdensuuntaiset vektorit, niin on olemassa skalaari p siten, että a = pb .
Perustelu: Suoraan skalaarin ja vektorin tulon määritelmää käyttäen todetaan helposti (tarkista
kohdat 1 ja 2), että
⎧a
⎪ b , kun a ↑↑ b
⎪b
a =⎨
⎪− a b , kun a ↑↓ b
⎪ b
⎩
Erityisesti, jos a ↑↑ b , niin
a=
a
b
b
Olkoot a ja b vektoreita sekä p ja q skalaareja. Voidaan osoittaa, että seuraavat laskulait ovat
voimassa:
p(qa ) = ( pq )a
p (a + b ) = pa + pb
( p + q )a = pa + qa
Liitäntälaki
Osittelulait
ESIMERKKEJÄ
1a = a
1.
(− 1)a = −a
2. Jos vektori e on yksikkövektori ( e = 1 ), niin vektorin pe pituus on
Vektorilaskenta
7
pe = p e = p .
3. Vektorin a suuntainen yksikkövektori on
1
a
a
a0 =
sillä
a)
1
1
a ↑↑ a , koska
>0
a
a
b)
1
1
a =
a =1
a
a
Kertomalla yo. yhtälö puolittain a :lla saadaan
a = a a0.
Edellä olevan mukaan vektori on määrätty, kun tunnetaan sen normi ja suunta:
Jos vektori a normi on r, niin
a = ra 0
Voimilla laskettaessa tämä voidaan esittää seuraavassa muodossa:
Jos voimasta F tunnetaan
•
itseisarvo F = p
•
vaikutussuunta s ,
niin voima F voidaan esittää muodossa
F = ps0
2.4 Vektorilausekkeiden käsittely
Verrattaessa vektoreiden laskusääntöjä reaalilukujen laskusääntöihin havaitaan että ne ovat hyvin samanlaisia. Vektorilausekkeita sievennettäessä voidaankin soveltaa tuttuja algebran sääntöjä. Myös skalaariyhtälöiden käsittelysäännöt ovat voimassa vektoriyhtälöille.
ESIMERKKEJÄ
1. On laskettava summa 2u − v + 3w , kun
u = i − 2 j + 3k
v = 3i + 4 j − 2k
w = i + 2 j + 4k
Ratkaisu:
2u − v + 3w = 2(i − 2 j + 3k ) − (3i + 4 j − 2k ) + 3(i + 2 j + 4k )
= 2i − 4 j + 6k − 3i − 4 j + 2k + 3i + 6 j + 12k
Vektorilaskenta
8
= 2i − 2 j + 20k
2. On ratkaistava vektoriyhtälö 3 x − 6a = 2b + x .
3 x − 6a = 2b + x
2 x = 6a + 2b
x = 3a + b
3. Piste P jakaa janan AB suhteessa AP : PB = m : n. Piste O on janan AB ulkopuolella1 oleva
piste. On lausuttava vektori OP vektoreiden a = OA ja b = OB avulla.
Ratkaisu: Kuvan merkinnöillä havaitaan, että vektori OP voidaan lausua vektoreiden summana
OP = OA + AP .
B
Koska AP ↑↑ AB , on luvun 2.3 tuloksen perusteella
AP =
(n)
b
P
(m)
AP
AB .
AB
A
a
O
Jakosuhteen perusteella tämä voidaan kirjoittaa muotoon
m
AP =
AB .
m+n
Lausumalla vektori AB päätepisteisiin osoittavien vektoreiden a ja b avulla (ks. luku 2.2)
saadaan edelleen
m
m
(b − a )
OP = OA + AP = a +
AB = a +
m+n
m+n
=a+
m
n
m
m ⎞
m
m
⎛
b
a+
b =
a = ⎜1 −
b−
⎟a +
m+n
m+n
m+n
m+n
m+n
⎝ m+n⎠
m
n
b.
a+
m+n
m+n
Erikoisesti silloin kun P on janan AB keskipiste ( m = n = 1 ), on
Saatiin siis OP =
OP =
1
1
1
a + b = (a + b )
2
2
2
HARJOITUSTEHTÄVÄT 2:
7. Lausu 2u − 4v − 3w vektoreiden a , b ja c avulla, kun
u = a +b −c
v = 2a − 3b + c
w = −2a + 3b + 2c .
8. Ratkaise vektori x yhtälöstä
2,5(x + 2a ) = 6,5 x + 3b .
1
Piste O saa olla myös janalla AB.
Vektorilaskenta
9
9. Oheisessa kolmiossa on OP : PA = 2 : 1 ja AQ : QB = 5 : 2. Lausu vektori PQ vektoreiden
a = OA ja b = OB avulla.
B
Q
b
a
O
A
P
10. Oheisessa tetraedrissa on AP : PB = 1 : 3 ja AQ : QC = 7 : 2. Lausu vektori PQ vektoreiden
a = OA , b = OB ja c = OC avulla.
C
Q
c
B
b
P
O
A
a
11. Oheisessa kuviossa C on sivun AB keskipiste ja OM : MC = 3 : 7. Lausu vektori MA vektoreiden a = OA ja b = OB avulla.
B
C
M
A
O
12. Olkoon ABCD kuvan mukainen suunnikas. Olkoon P sivun AB
keskipiste ja Q sivun CD piste siten, että CQ : QD = 4 : 1. Lausu
PQ vektoreiden a = AB ja b = AD avulla.
D
C
A
B
3 TASON VEKTORIT
Jos vektori u on yhdensuuntainen tason T kanssa, niin sanotaan, että u on tason T vektori. Erityisesti vektori, jonka alku- ja loppupiste sijaitsevat tasossa, on tason vektori. Tässä luvussa oletetaan, että vektorit ovat saman tason vektoreita.
Olkoot a ja b kaksi erisuuntaista vektoria tasossa. Osoitetaan, että mielivaltainen tason vektori u voidaan jakaa
a :n ja b :n suuntaisiin komponentteihin.
b
u
Olkoon u = AB . Piirretään u :n alkupisteen A kautta
a
A
vektorin a suuntainen suora ja u :n loppupisteen B kautC
ta vektorin b suuntainen suora. Koska vektorit a ja b
ovat erisuuntaisia, leikkaavat suorat toisensa. Merkitään
leikkauspistettä kirjaimella C (ks. kuvaa). Vektori u voidaan nyt esittää summana
B
Vektorilaskenta
10
u = AC + CB .
Koska AC || a on olemassa luku p (ks. luku 2.3) siten, että
AC = pa .
Vastaavasti on olemassa luku q siten, että
CB = qb .
Siis vektorille saadaan esitys
u = pa + qb ,
eli vektori u voidaan jakaa a :n ja b :n suuntaisiin komponentteihin.
Erisuuntaisia vektoreita a ja b sanotaan tason kantavektoreiksi ja lukuja p ja q vektorin u
koordinaateiksi kannan a , b suhteen. Koska pisteen A kautta kulkee täsmälleen yksi vektorin
a suuntainen suora ja pisteen B kautta kulkee täsmälleen yksi vektorin b suuntainen suora ja
erisuuntaiset suorat leikkaavat täsmälleen yhdessä pisteessä, ovat luvut p ja q yksikäsitteiset: ne
määräytyvät täysin vektorista u .
3.1 Koordinaattiesitys
Yksinkertaisin tason koordinaattiesitys on sellainen, missä
vektorit esitetään toisiaan vastaan kohtisuorassa olevien
yksikkövektoreiden i ja j avulla.
Edellä todetun perusteella jokainen vektori u voidaan yksikäsitteisesti jakaa vektoreiden i ja j suuntaisiin kohtisuoriin komponentteihin ts. esittää muodossa
u
uy j
j
i
ux i
u = uxi + u y j
Lukuja ux ja u y sanotaan vektorin u koordinaateiksi vektoreiden i ja j suhteen. Itse esitystä
sanotaan vektorin koordinaattiesitykseksi.
Vektorin koordinaatit i :n ja j :n suhteen ovat yksikäsitteiset: kaksi vektoria ovat samat täsmälleen silloin, kun niiden koordinaatit ovat samat
uxi + u y j = vxi + v y j
⎧u x = v x
⇔⎨
⎩u y = v y
Erikoisesti vektori on nollavektori täsmälleen silloin kun sen molemmat koordinaatit ovat nollia
u x i + u y j = 0 = 0i + 0 j
⎧u x = 0
⇔⎨
⎩u y = 0
Tarkastellaan vektoria u = u x i + u y j . Koska (!) u x i = u x i = u x ja
vastaavasti u y j = u y , saadaan Pythagoraan lauseen (!!) perusteella (ks.
u
uy
kuvaa)
ux
Vektorilaskenta
2
u
= ux + uy
2
2
11
= u x2 + u y2 .
Täten vektorin normi eli pituus voidaan laskea seuraavasti:
Vektorin u = u x i + u y j normi on
u = u x2 + u y2
Huomautus: Vektorin normin kätevä kaavaa perustuu siihen, että i ja j ovat
•
yksikkövektoreita (kohta !)
•
kohtisuorassa toisiaan vastaan (kohta !!)
Käyttäen vektoreiden laskulakeja havaitaan, että koordinaattimuodossa annettujen vektoreiden
yhteenlasku ja skalaarilla kertominen voidaan suorittaa koordinaateittain:
Jos u = u x i + u y j ja v = v x i + v y j , niin
u + v = (u x + v x )i + (u y + v y ) j .
Jos u = u x i + u y j ja p on reaaliluku, niin
pu = ( pu x )i + ( pu y ) j .
Huomautus: Koska vektorin u koordinaattiesitys vektoreiden i ja j suhteen
u = uxi + u y j
on yksikäsitteinen, määräytyy vektori täysin koordinaateistaan. Vektori voidaan siis esittää myös
ilmoittamalla vain koordinaatit eli muodossa
u = (u x , u y ) .
Tässä muodossa annettujen vektoreiden yhteenlasku ja skalaarilla kertominen tapahtuvat seuraavasti:
(u , u ) + (v , v ) = (u + v
p (u , u ) = ( pu , pu )
x
y
x
x
y
y
x
x
x
,uy + vy )
y
ESIMERKKEJÄ
1. Määritetään vektorien u = 2i + 3 j ja v = −5i + j resultantin normi.
Ratkaisu: u + v = (2 − 5)i + (3 + 1) j = −3i + 4 j . Siten
u +v =
(− 3)2 + 4 2
= 5.
HARJOITUSTEHTÄVÄT 3:
1. Oheisessa kuvassa yksikön pituus on kaksi ruutua. Määritä kuvan vektoreiden koordinaatit
vektoreiden i ja j suhteen.
Vektorilaskenta
12
c
j
a
d
b
i
2. Millä s:n ja t:n arvoilla on voimassa
(s − t )i − (s − 1) j = 0 ?
3. Millä s:n ja t:n arvoilla vektorit
v = (2t − 3)i − sj ja w = 3si + (t + 1) j
ovat samat?
4. Määritä seuraavien vektoreiden pituudet
a) u = 3i + 5 j
b)
v = −2i + 6 j
5. Määritä vektoreiden a = 3,5i − 1,5 j , b = −2,3i + 2,6 j ja c = 4,7i − 5,2 j resultantti. Mikä on
resultantin normi?
6. Määritä vektorin 3,3u + 2,4v − 4,5w normi, kun
u =i − j
v = 3i − 2 j
w = −2i − j
7. Ratkaise vektoriyhtälö
4,5 x − 15,5i = 2,0 x − 19,5 j
8. Millä t:n arvoilla vektorin 5i + (2 + t ) j pituus on 10.
9. Määritä vektorin − 3i + 5 j kanssa
a) samansuuntainen
b)
vastakkaissuuntainen
yksikkövektori.
10. Suunnikkaan sivuina ovat vektorit 4i + j ja 2i + 3 j . Määritä suunnikkaan lävistäjien pituudet.
3.2 Paikkavektori
Vektoria r , jonka alkupiste on xy-koordinaatiston origo ja
loppupiste on P, kutsutaan pisteen P paikkavektoriksi.
Paikkavektori ilmaisee xy-tason pisteen sijainnin origon P (x ,y )
suhteen.
Vektorit i ja j valitaan aina siten, että
•
i on positiivisen x-akselin suuntainen yksikkövektori
•
j on positiivisen y-akselin suuntainen yksikkövektori.
Tällöin pisteen P(x, y) paikkavektorin r koordinaattiesitys
vektoreiden i ja j suhteen on
r = xi + yj
eli pisteellä ja paikkavektorilla on samat koordinaatit.
y
y
j
x
O
x
i
Vektorilaskenta
13
Jos vektoreille käytetään edellisen luvun huomautuksessa käytettyä esitystä, on pisteen ( x, y )
paikkavektori
r = ( x, y ) .
Siis pisteellä ja paikkavektorilla on sama esitys. Tämä ei kuitenkaan haittaa, sillä piste voidaan
samaistaa paikkavektorinsa kanssa.
ESIMERKKEJÄ
1. Janan AB päätepisteet ovat A = (6, 4) ja B = (–3, 2). Määritä janan keskipiste P.
Ratkaisu: Janan päätepisteiden paikkavektorit ovat
A
P
a = 6i + 4 j
B
b = −3i + 2 j
a
b
Luvun 2.4 esimerkin 3 mukaan keskipisteen P paikkavektori
on
x
O
1
1
1
(
a + b ) = (6i + 4 j − 3i + 2 j ) = (3i + 6 j ) = 1,5i + 3 j
2
2
2
Siis janan AB keskipiste on P(1,5; 3,0).
OP =
HARJOITUSTEHTÄVÄT 3:
11. Olkoon A = (5, 4) ja B = (–2, 1). Määritä sen pisteen koordinaatit, joka jakaa janan AB pisteestä A lähtien suhteessa 2 : 5.
3.3 Vaihekulma
Vektori on suure, jolla on pituus ja suunta. Siirretään
vektori alkamaan origosta. Olkoon siirretty vektori u .
Tämä siirretty vektori on samansuuntainen kuin alkuperäinen vektori. Vektorin u suunta voidaan ilmoittaa
suunnattuna kulmana x-akselin positiivisen suuntaan
nähden: vektorin u vaihekulmalla tarkoitetaan positiivisen x-akselin ja u :n välistä suunnattua kulmaa ϕ.
Positiivinen vaihekulma mitataan vastapäivään ja negatiivinen myötäpäivään.
Vektorin normi ja vaihekulma määräävät vektorin täysin. Vektorille on siis kaksi esitystapaa:
y
u
ϕ
x
• koordinaattiesitys
• normi-vaihekulma-esitys eli napakoordinaattiesitys.
Napakoordinaattiesitys on havainnollinen esitys vektorille. Laskenta tässä esitysmuodossa on
kuitenkin hankalaa. Siksi on osattava siirtyä esitysmuodosta toiseen. Johdetaan siirtymäkaavat.
Napakoordinaattiesityksestä koordinaattiesitykseen
Vektori u = u x i + u y j voidaan esittää muodossa (ks. luku 2.3)
u = ru 0 ,
Vektorilaskenta
14
missä
r = u = u x2 + u y2 ,
on vektorin normi ja u 0 on u :n suuntainen yksikkövektori. Siirretään yksikkövektori u 0 alkamaan origosta. Tällöin u 0 :n loppupiste sijaitsee origokeskisen yksikköympyrän kehällä. Trigonometristen funktioiden sini ja kosini määritelmien perusteella
u 0 :n loppupiste on (cos ϕ, sin ϕ) , missä ϕ on vektorin u vaihekulma. Siten paikkavektorina
(cosϕ,sinϕ )
ϕ
u 0 = cos ϕi + sin ϕj .
Näin on saatu vektorille u esitys
u = r (cos ϕi + sin ϕj ) = r cos ϕi + r sin ϕj
Kootaan tulos:
Jos tunnetaan vektorin u normi r ja vaihekulma ϕ, niin
u = r cos ϕi + r sin ϕj .
Vektorin u = u x i + u y j koordinaatit ovat siten
⎧u x = r cos ϕ
⎨
⎩u y = r sin ϕ
Nämä tulokset voi palauttaa helposti mieleen viereistä kuvasta. Kuvion mukaan
uy
u
,
cos ϕ = x ja sin ϕ =
u
u
josta saadaan
⎧⎪u x = u cos ϕ
⎨
⎪⎩u y = u sin ϕ
y
u
j
uy
ϕ
i
ux
Tämä päättely on voimassa kuitenkin vain kun kulma ϕ on välillä 0°…90° (miksi?).
Koordinaattiesityksestä napakoordinaattiesitykseen
Jos kääntäen tunnetaan vektorin koordinaatit u x ja u y , on vektorin normilla lauseke
r = u x2 + u y2 .
Tutkimalla eri tilanteita havaitaan, että nollasta eroavan vektorin
u = u xi + u y j
vaihekulma voidaan määrittää seuraavasti (selvitä tämä itsellesi):
x
Vektorilaskenta
uy
⎧
,
kun u x > 0
⎪arctan
ux
⎪
⎪⎪
uy
+ 180° , kun u x < 0
ϕ = ⎨arctan
u
x
⎪
⎪90° ,
kun u x = 0 ja u y > 0
⎪
kun u x = 0 ja u y < 0
⎪⎩− 90° ,
15
(*)
Näin määritelty vaihekulma on aina välillä –90°… 270°. Vaihekulman ei suinkaan tarvitse olla
tällä välillä, vaan vaihekulma on 360° kulmaa vaille yksikäsitteisesti määrätty.
Laskimessa TI-89 on valmiit toiminnot edellä esitettyjen muunnosten suorittamiseksi.
ESIMERKKEJÄ
1. Vektorin u itseisarvo ja vaihekulma ovat: u = 15,9; α = 39,7° .
Määritetään vektorin koordinaattiesitys.
Koordinaattiesitys saadaan kaavalla
u = u cos αi + u sin αj ,
joten
u = 15,9 cos 39,7°i + 15,9 sin 39,7° j ≈ 12,2i + 10,2 j
2. Määritetään vektoreiden
u1 = 3,2i + 4,7 j
u 2 = 2,7i − 6,6 j
u 3 = −7,6i + 5,3 j
u 4 = −1,8i − 2,6 j
normit ja vaihekulmat.
Vektoreiden normit lasketaan kaavalla
u = ux + uy ,
2
2
joten
u1 = 3,2 2 + 4,7 2 ≈ 5,7
u 2 = 2,7 2 + (− 6,6 ) ≈ 7,1
2
u3 =
(− 7,6)2 + 5,3 2
u4 =
(− 1,8)2 + (− 2,6)2
≈ 9,3
≈ 3,2
Vaihekulma α lasketaan yo. kaavalla.
Vektorilaskenta
16
4,7
= 55,75...° ≈ 56°
3,2
− 6,6
ϕ 2 = arctan
= −67,75...° ≈ −68°
2,7
5,3
ϕ 3 = arctan
+ 180° = 145,109...° ≈ 145°
− 7 ,6
− 2,6
ϕ 4 = arctan
+ 180° = 235,305...° ≈ 235°
− 1,8
ϕ1 = arctan
3. Määritetään oheisessa kuvassa annettujen voimien resultantin itseisarvo ja suunta.
F2
320 N
270 N
F3
78°
F1
61°
410 N
111°
370 N
F4
On laskettava voimien resultantti eli summa
R = F1 + F2 + F3 + F4 .
Summan laskeminen käy helposti, jos voimavektorit on annettu koordinaattimuodossa. Tätä
varten kiinnitetään positiivisen x-akselin suunta voiman 410 N suuntaiseksi. Määritetään
voimien itseisarvot, vaihekulmat ja koordinaattiesitykset:
Voima
Itseisarvo (N) Vaihekulma
o
F1
410
0
F2
320
61 o
Koordinaattiesitys (N)
410i
155,13i + 279,87 j
F3
270
139
− 203,77i + 177,13 j
F4
370
–111o
− 132,59i − 345,42 j
o
228,77i + 111,58 j
R
Koordinaattiesitykset määrätään kaavalla
F = F cos ϕi + F sin ϕj .
Voimien resultantti on
R = 228,77i + 111,58 j
Tämän itseisarvo on
Vektorilaskenta
17
R = 228,77 2 + 111,58 2 = 254,53... ≈ 250
ja vaihekulma on
111,58
ϕ = arctan
= 26,00...° ≈ 26°
228,77
Vastaus: Voimien resultantin itseisarvo on 250 N ja suunta 26o voimasta 410 N vastapäivään.
Laskin TI-89:
¾ Vektori esitetään kirjoittamalla koordinaatit pilkulla erotettuna hakasulkujen sisään:
Esim. tasovektori 2i + 5 j syötetään seuraavasti: [2, 5];
avaruusvektori (ks. seur. luku) − 2i + 3 j + 4k syötetään seuraavasti: [-2, 3, 4].
¾ Laskenta: vektorien laskutoimitukset muodostetaan luonnollisella tavalla käyttäen operaattoreita +, –, *, /.
¾ Vektorin normi muodostetaan komennolla norm:
Esim. 2i + 3 j muodostetaan komennolla norm([2, 3]).
¾ Vektorin suuntainen yksikkövektori muodostetaan komennolla unitV:
Esim. vektorin − 2i + 5 j + 4k suuntainen yksikkövektori muodostetaan komennolla
unitV([-2, 5, 4]).
¾ Vektorin syöttö napakoordinaateissa: [r, <α], missä r on vektorin itseisarvo ja α vektorin
vaihekulma: esim. [2, <37] on vektori, jonka itseisarvo on 2 ja vaihekulma 37°. Kun painetaan ENTERiä, niin laskin tulostaa vektorin koordinaattimuodossa.
¾ Koordinaattimuodossa annetun vektorin napakoordinaattiesitys muodostetaan komennolla
4Polar:
Esim. vektorin 2,3i − 4,9 j itseisarvo ja vaihekulma saadaan komennolla [2.3, -4.9]4Polar.
¾ Laskettaessa vektorit voidaan syöttää napakoordinaateissa.
ESIMERKKI 3 laskimella TI-89:
Kiinnitetään positiivisen x-akselin suunta ja määritetään voimien itseisarvot ja vaihekulmat
kuten esimerkissä. Sen jälkeen lasketaan laskimella voimien summa napakoordinaattimuodossa:
[410,<0]+[320,<61]+[270,<139]+[370,<-111]
Tulos: [228.771, 111.589].
Muodostetaan napakoordinaattiesitys:
[228.771, 111.589] 4Polar
Tulos: [254.536, <26,0021],
josta saadaan vastaus.
Vektorilaskenta
18
ESIMERKKEJÄ
4. Määritä kuvan vektoreiden summan pituus ja suunta.
2,49
3,57
67,4°
Ratkaisu: Asetetaan vektorit alkamaan samasta pisteestä.
Siirrytään koordinaattiesitykseen kiinnittämällä positiivisen x-akselin suunta vektorin suuntaiseksi. Vektoreiden normit ja vaihekulmat ovat tällöin
Normi
Vaihekulma
3,57
0°
2,49
67,4°-180°
3,57
67,4°-180°
2,49
Lasketaan laskimella vektoreiden summa napakoordinaattimuodossa:
[3.57,<0]+[2.49,<180-67,4]
Tulos: [2.6131, –2.29879].
Muodostetaan napakoordinaattiesitys:
[2.6131, –2.29879] 4Polar
Tulos: [3.48034, <–41.3386]
Siis vektoreiden summan
•
pituus: 3,48
•
suunta: 41,3° myötäpäivään vektorista, jonka pituus on 3,57
HARJOITUSTEHTÄVÄT 3:
12. Vektoreiden u1 , u2 ja u3 itseisarvot ja vaihekulma ovat:
u1 : u1 = 0,278; α1 = −71,3°
u 2 : u 2 = 185; α 2 = 117,1°
u 3 : u 3 = 6,52; α 3 = 13,2°
Määritä vektoreiden koordinaattiesitykset.
13. Määritä seuraavien vektoreiden itseisarvot ja vaihekulmat
a) 0,65i − 0,85 j
b)
− 1,27i + 3,04 j
c)
8,52i − 11,31 j
c)
− 93i − 137 j
14. Määritä oheisessa kuviossa annettujen voimien resultantin itseisarvo ja suunta.
Vektorilaskenta
19
340 N
290 N
77° 68°
530 N
109
3.4 Tason napakoordinaatisto
Tasossa on yleisesti käytössä xy-koordinaatiston lisäksi napakoordinaatisto.
Olkoon xy-tason pisteen (x, y) paikkavektori r = xi + yj . Pisteen (x, y) napakoordinaatit (r, ϕ)
määritellään vektorin r normina ja vaihekulmana:
•
r on pisteen (x, y) etäisyys origosta eli vektorin r normi r
r = x2 + y2 .
(*)
y
Normina r ≥ 0 .
• ϕ on vektorin r vaihekulma eli napakulma.
Edellisen luvun perusteella tason pisteiden suorakulmaiset
koordinaatit voidaan esittää napakoordinaattien r ja ϕ avulla seuraavasti:
r
P
x
ϕ
⎧ x = r cos ϕ
⎨
⎩ y = r sin ϕ
Käänteinen muunnos xy-koordinaateista napakoordinaatteihin suoritetaan kaavaa (*) ja luvun 3.3
kaavan (*) tapaista kaavaa käyttäen (muotoile tämä kaava!).
Jokaista napakoordinaattien arvoparia (r, ϕ), r ≥ 0 vastaa yksikäsitteinen xy-tason piste.
Käänteinen vastaavuus ei ole yksikäsitteinen, vaan
•
origoa vastaa napakoordinaatit r = 0, ϕ on mikä tahansa
•
muita xy-tason pisteitä vastaa yksikäsitteinen arvo r ja 360°:n monikertoja vaille yksikäsitteinen arvo ϕ
ESIMERKKEJÄ
1. Määritä R-säteisen origokeskisen ympyrän napakoordinaattiesitys.
Ratkaisu: Piste on ympyrän kehällä, jos sen etäisyys origosta on R. Vaihekulma saa olla mikä
tahansa. Siten napakoordinaattiesitys on
r = R.
HARJOITUSTEHTÄVÄT 3:
15. Pisteiden napakoordinaatit (r; ϕ) ovat
a) (0,178; –71,3°) b)
(175; 117,1°)
c)
(6,52; 13,2°)
Vektorilaskenta
20
Määritä pisteiden xy-koordinaatit.
16. Määritä seuraavien xy-tason pisteiden napakoordinaatit:
a) (2; 4)
b)
(–2,5; 6,7)
c)
(–4,3; –2,7)
4 AVARUUDEN VEKTORIT
4.1 Suorakulmainen avaruuskoordinaatisto
Tason käsittelyyn käytettiin kahta toisiaan vastaan kohtisuorassa olevaa koordinaattiakselia: x- ja
y-akselit. Avaruuden kuvioiden ja kappaleiden käsittelyyn tarvitaan vielä kolmas koordinaattiakseli, z-akseli, joka on kohtisuorassa x- ja y-akselia vastaan. Yleensä koordinaattiakselit sijoitetaan kuvan osoittamalla tavalla, jolloin ne muodostavat positiivisesti suunnistetun eli oikeakätisen järjestelmän1. x- ja y-akseli määräävät siis xy-tason, jota vastaan kohtisuorassa z-akseli on.
z
z0
(x0 , y 0 , z 0 )
y
x0
y0
x
Avaruuden suorakulmaisessa koordinaatistossa jokaisella pisteellä on kolme koordinaattia: x, y
ja z. Kuvassa on merkitty piste ( x 0 , y 0 , z 0 ) . Kääntäen jokaista lukukolmikkoa ( x, y, z ) vastaa
täysin määrätty avaruuden piste. Siis:
Avaruuden jokaista pistettä vastaa täsmälleen yksi reaalilukukolmikko ( x, y, z )
Kun on etsittävä esimerkiksi pisteen (3, –4, –2) paikka koordinaatistossa, menetellään seuraavasti: origosta siirrytään ensin 3 yksikköä x-akselin positiiviseen suuntaan, siitä jatketaan 4 yksikköä y-akselin negatiiviseen suuntaan ja tästä edelleen 2 yksikköä z-akselin negatiiviseen suuntaan.
4.2 Koordinaattiesitys
Tason vektorit voidaan esittää kahden toisiaan vastaa kohtisuorassa
olevan yksikkövektorin i ja j avulla. Avaruuden vektorien esittämiseen tarvitaan vielä kolmas yksikkövektori k , joka on kohtisuorassa vektoreita i ja j vastaan. Seuraavassa osoitetaan, että avaruuden vektorit voidaan esittää kolmen toisiaan vastaan kohtisuoran
yksikkövektorin i , j ja k avulla.
1Kun
k
j
i
oikean käden peukalo osoittaa x-akselin positiiviseen suuntaan ja etusormi osoittaa y-akselin positiiviseen
suuntaan, niin taivutettu keskisormi osoittaa z-akselin positiiviseen suuntaan.
Vektorilaskenta
21
Olkoon u = AB mielivaltainen avaruusvektori. Asetetaan u :n alkupisteen A kautta vektoreiden
i ja j suuntainen taso T ja u :n loppupisteen B kautta vektorin k suuntainen suora. Koska k ei
ole tason T vektori, leikkaa suora tason. Merkitään leikkauspistettä kirjaimella C (ks. kuvaa).
Vektori u voidaan esittää summana
u = AC + CB ,
missä AC on tason T vektori ja CB || k . Koska AC on
vektoreiden i ja j määräämässä tasossa, on luvun 3.1
mukaan
B
k
u
AC = u x i + u y j
joillain luvuilla u x ja u y . Koska CB || k , on luvun 2.3
j
A
i
C
mukaan
CB = u z k
jollain luvulla u z .
On siis saatu tason mielivaltaiselle vektorille u esitys
u = uxi + u y j + uz k
Lukuja ux , u y ja uz sanotaan vektorin u koordinaateiksi vektoreiden i , j ja k suhteen. Itse
esitystä sanotaan vektorin koordinaattiesitykseksi. Voidaan osoittaa1, että vektorin koordinaatit
ovat yksikäsitteiset.
Koska yo. esityksessä vektori k on kohtisuorassa tasoa T vastaan, on AC ⊥ CB . Pythagoraan
lauseen mukaan
u
2
2
2
= AC + CB .
Tasovektorin normin kaavaa käyttäen
AC
2
= u x2 + u y2 .
Koska k on yksikkövektori, on
CB = u z k = u z .
Siten
u
2
= ux + uy + uz
2
2
2
Vektorin pituus eli normi voidaan siis laskea seuraavasti:
1
Tämä johtuu siitä, että alkupisteen A kautta kulkee täsmälleen yksi vektoreiden i ja j suuntainen taso ja loppu-
pisteen B kautta täsmälleen yksi vektorin
k suuntainen suora. Nämä leikkaavat täsmälleen yhdessä pisteessä.
Vektorilaskenta
Jos u = u x i + u y j + u z k , niin
u = ux + u y + uz
2
2
2
Laskutoimitukset avaruusvektoreilla suoritetaan kuten tasovektoreillakin koordinaateittain:
Jos u = u x i + u y j + u z k ja v = v x i + v y j + v z k , niin
u + v = (u x + v x )i + (u y + v y ) j + (u z + v z )k .
Jos u = u x i + u y j + u z k ja p on reaaliluku, niin
pu = ( pu x )i + ( pu y ) j + ( pu z )k .
Huomautus: Tasovektorin tapaan avaruusvektori
u = uxi + u y j + uz k
voidaan esittää ilmoittamalla vain koordinaatit eli muodossa
u = (u x , u y , u z ) .
Vektoreiden yhteenlasku ja skalaarilla kertominen tapahtuvat tällöin seuraavasti:
(u , u , u ) + (v , v , v ) = (u + v
p (u , u , u ) = ( pu , pu , pu )
x
y
x
z
y
x
z
y
z
x
x
y
x
, u y + v y , u z + vz )
z
HARJOITUSTEHTÄVÄT 4:
1. Määritä seuraavien vektoreiden pituudet:
u =i − j+k
v = 3,2i − 2,9 j + 1,7 k
w = −17,3i − 11,4 j + 12,3k
2. Määritä vektoreiden a = 2i + 7 j − k , b = −3i + 4k ja c = −5i − 3 j resultantin normi.
3. Määritä vektorin v = 3a − 2b + c normi, kun
a)
a = i + j , b = 3i + j , c = −i + j
b)
a = i + j + k , b = i − 3 j + 2k , c = −2i + j − 5k
4. Millä t:n arvoilla vektorin v = 2ti − tj + k pituus on 9?
5. Määritä vektorin u = 2i − j + 3k kanssa yhdensuuntaiset yksikkövektorit.
6. Vektorin v itseisarvo on 12 ja se on samansuuntainen vektorin
a)
s = −i + 3 j
kanssa. Määritä vektori v .
b)
s = i − 3 j + 4k
22
Vektorilaskenta
23
4.3 Avaruuden kanta
Samaan tapaan kuin edellisessä luvussa voidaan osoittaa, että jos a , b ja c ovat kolme nollavektorista eroavaa vektoria, jotka kaikki eivät ole saman tason suuntaiset, niin jokaisella vektorilla u on yksikäsitteinen esitys
u = xa + yb + zc ,
missä x, y ja z ovat reaalilukuja.
Tällaisia vektoreita a , b ja c kutsutaan kantavektoreiksi ja vektorikolmikkoa (a , b , c ) avaruuden kannaksi.
Itse esitystä kutsutaan vektorin u koordinaattiesitykseksi kannassa (a , b , c ) . Reaalilukuja x, y
ja z sanotaan vektorin u koordinaateiksi kannassa (a , b , c ) .
Yleisimmin käytetty kanta on toisiaan vastaan kohtisuorassa olevien yksikkövektoreiden i , j ja
k muodostama luonnollinen kanta.
ESIMERKKI: Vektorin jako komponentteihin.
Jaetaan vektori u = i + 3 j + 4k vektoreiden
a = i +3j +k
b = i + j − 2k
c = −i + 2 j + 2k
suuntaisiin komponentteihin.
Ratkaisu: On löydettävä luvut x, y ja z siten, että
u = xa + yb + zc
eli
i + 3 j + 4k = x(i + 3 j + k ) + y (i + j − 2k ) + z (− i + 2 j + 2k )
= ( x + y − z )i + (3x + y + 2 z ) j + ( x − 2 y + 2 z )k
Koordinaattiesityksen yksikäsitteisyyden perusteella yksikkövektoreiden kertoimet yhtälön molemmilla puolilla ovat samat, joten saadaan yhtälöryhmä1
⎧ x + y − z =1
⎪
⎨3 x + y + 2 z = 3 ,
⎪x − 2 y + 2z = 4
⎩
josta ratkaistaan
1
Vertaamalla vektoreita ja yhtälöryhmän kertoimia keksit helposti säännön, jonka perusteella voit heti kirjoittaa
yhtälöryhmän. Mikä tämä sääntö on?
Vektorilaskenta
24
⎧
⎪x = 2
⎪
5
⎪
⎨y = −
3
⎪
2
⎪
⎪⎩ z = − 3
Saadun tuloksen perusteella
5
2
u = 2a − b − c .
3
3
HARJOITUSTEHTÄVÄT 4:
7. Jaa vektori v = i + j − 3k kolmeen komponenttiin, jotka ovat vektoreiden a = i − j + k ,
b = j − k ja c = 2i + 2 j + k suuntaiset.
4.4 Paikkavektori
z
Vektoria r , jonka alkupiste on xyzkoordinaatiston origo ja loppupiste on P, kutsutaan pisteen P paikkavektoriksi. Paikkavektorin avulla voidaan ilmaista jokaisen avaruuden pisteen sijainti origon suhteen.
xyz-koordinaatistossa vektorit i , j ja k valitaan aina siten, että
• i on positiivisen x-akselin suuntainen
• j positiivisen y-akselin suuntainen
• k positiivisen z-akselin suuntainen.
Tällöin pisteen P ( x , y , z ) paikkavektorin r
koordinaattiesitys vektoreiden i , j ja k suhteen on
( x, y, z)
r
zk
y
xi
yj
x
r = x i + y j + zk
eli pisteen koordinaatit ovat samalla sen paikkavektorin koordinaatit.
Jos vektoreille käytetään luvun 4.2 huomautuksessa käytettyä esitystä, on pisteellä ja paikkavektorilla sama esitys (vrt. luku 3.2)
r = ( x, y , z ) .
Olkoon P1 ( x1 , y1 , z1 ) ja P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) kaksi avaruuden pistettä. Niiden paikkavektorit ovat
r1 = x1i + y1 j + z1 k
r2 = x 2 i + y 2 j + z 2 k .
Tällöin vektori P1 P2 voidaan kirjoittaa päätepisteiden koordinaattien
avulla (vrt. luku 2.2):
P1
P2
r1
O
r2
Vektorilaskenta
25
P1 P2 = r2 − r1 = ( x 2 − x1 )i + ( y 2 − y1 ) j + ( z 2 − z1 )k .
Pisteiden P1 ja P2 välinen etäisyys d (P1 , P2 ) on vektorin P1 P2 pituus:
d (P1 , P2 ) =
(x2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 + (z 2 − z1 )2 .
HARJOITUSTEHTÄVÄT 4:
8. Olkoon P = (3,–2,7) ja Q = (1,–3,0). Missä pisteessä vektorin PQ kärki on silloin, kun sen
alkupiste on origossa?
9. Määritä janan AB keskipiste, kun A = (7, 10, –4) ja B = (2, 4, –2).
10. Olkoot A = (–3, 2, 1) ja B = (2, 4, 6). Piste P jakaa janan AB A:sta lukien suhteessa 1 : 3.
Määritä pisteen P koordinaatit.
11. Olkoon A = (2, 4, –3) ja B = (3, 0, –2). Määritä vektori AB . Mikä on pisteiden välinen etäisyys d ( A, B ) ?
12. Määritä kolmion ABC sivujen pituudet, kun A = (2, –1, 1), B = (–3, 0, –2) ja C = (–1, 2, –5).
13. Suunnikkaan ABCD kolme kärkeä ovat A(1,0,1), B(2,1,1) ja C(1,2,3).
a) Määritä piste D.
b) Määritä suunnikkaan lävistäjien pituudet.
c) Määritä suunnikkaan lävistäjien leikkauspiste.
4.5 Sovelluksia
Seuraavassa esimerkissä käytetään luvussa 2.3 esitettyä tärkeää tulosta
Jos voiman suuruus F = p ja vaikutussuunta on s , niin F = p s ° .
ESIMERKKI: Voimien esittäminen avaruudessa (laskimen TI-89 käyttö).
Taakka, jonka massa on 1700 kg, riippuu kuvan osoittamalla tavalla puomin varassa. Määritä
puomin rasitus sekä harusvaijerien jännitykset.
A
F4
F1
F3
10 m
15 m
k
i
11 m
8m
j
6m
Ratkaisu: Pisteeseen A vaikuttaa kuvan mukaiset neljä voimaa.
Valitaan kantavektoreiden i , j ja k suunnat kuvan mukaisesti.
Voimien kanssa samansuuntaiset yksikkövektorit ovat1 (TI-89: unitV)
•
1
Nostovaijerin suuntainen voima F1 : s10 = −k
Laskimen arvot on katkaistu kolmeen numeroon; laskimessa arvot tarkemmin!
F2
Vektorilaskenta
26
•
Puomin suuntainen voima F2 : s 2 = 6 j + 10k ⇒ s 20 = 0,514 j + 0,857 k
•
Harusvaijerin suuntainen voima1 F3 : s 3 = −10k − 14 j + 11i = 11i − 14 j − 10k
⇒ s30 = 0,538i − 0,685 j − 0,489 k
•
Harusvaijerin suuntainen voima F4 :
s 4 = −15i − 14 j − 10k ⇒ s 40 = −0,657i − 0,613 j − 0,438k
Pisteeseen A vaikuttavien voimien suuruudet ovat (yksikkö N)
F1 = 1700 ⋅ g = 1700 ⋅ 9,81 = 16677
F2 = x
F3 = y
F4 = z ,
joten voimat ovat:
F1 = 16677 s10 = −16677 k
F2 = xs 20 = 0,514 xj + 0,857 xk
F3 = ys 30 = 0,538 yi − 0,685 yj − 0,489 yk
F4 = zs 40 = −0,657 zi − 0,613 zj − 0,438 zk
Tasapainotilanteessa voimien resultantti = 0 . Lasketaan summa (laskimella TI-89):
F1 + F2 + F3 + F4 =
(0,538 y − 0,657 z )i + (0,514 x − 0,685 y − 0,613z ) j
+ (0,857 x − 0,489 y − 0,438 z − 16677 )k = 0
⎧0,538 y − 0,657 z = 0
⎪
⇔ ⎨0,514 x − 0,685 y − 0,613z = 0
⎪0,857 x − 0,489 y − 0,438 z − 16677 = 0
⎩
Ratkaistaan yhtälöryhmä (TI-89: solve):
⎧ x = 34035 ≈ 34000
⎪
⎨ y = 14735 ≈ 15000
⎪ z = 12078 ≈ 12000
⎩
Vastaus: Puomin rasitus on 34000 N ja harusvaijerien jännitykset 15000 N ja 12000 N.
Laskin TI-89: Esitetään vielä tarkemmin laskimen TI-89 käyttöä.
Esimerkki voidaan ratkaista seuraavilla komennoilla:
[0,0,-1]→s1
1
Vektorin koordinaattiesitys on aina syytä kirjoittaa järjestyksessä
virheitä!
i , j , k , muuten laskimen käytössä saattaa tulla
Vektorilaskenta
27
unitV([0,6,10])→s2
unitV([11,-14,-10])→s3
unitV([-15,-14,-10])→s4
16677*s1+x*s2+y*s3+z*s4→f
solve(f[1,1]=0 and f[1,2]=0 and f[1,3]=0,{x,y,z})
Laskun voi myöhempää käyttöä varten tallentaa tiedostoon komennolla F1: Save Copy As …
Tallennettua tekstitiedostoa voi tarkastella ja muutella tekstieditorissa APPS: Text Editor. Tiedoston komennot voidaan suorittaa viemällä kohdistin tiedoston alkuun ja antamalla komento
F2: Execute to EOF.
HARJOITUSTEHTÄVÄT 4:
14. Kuvassa on esitetty voimat 1130 N ja 870 N.
a) Määritä voimien koordinaattiesitykset
b) Määritä voimien resultantti. Mikä on resultantin suuruus?
z
1130 N
700
870 N
y
1000
1500
800
1200
x
15. Pylvään päähän vaikuttaa kolme voimaa F1 , F2 ja F3 , joista tiedetään:
F1 = 1000 Ni , F2 = 700 Nj ja F3 = 1500 N .
Voimien resultantin on suuntauduttava suoraan alaspäin. Mikä on voiman F3 suuntainen yksikkövektori?
z
y
x
Vektorilaskenta
28
16. Masto on tuetaan kolmella samalle korkeudelle kiinnitettävällä harusvaijerilla. Harusvaijereista kaksi asennetaan kuvan osoittamalla tavalla.
a) Määritä näistä mastoon kohdistuvien voimien koordinaattiesitykset.
b) Määritä näiden kahden voiman resultantti.
c) Kolmanteen harusvaijeriin on vedetään 800 N jännitys ja sen toinen pää sijoitetaan kohtaan ( x, y ) . Määritä tästä mastoon kohdistuvan voiman koordinaattiesitys.
z
850 N
1100 N
30 m
10 m
20 m
y
25 m
x
d) Mihin kohtaan xy-tasolla kolmas vaijeri on kiinnitettävä, jotta näistä kolmesta vaijerista
mastoon kohdistuvien voimien resultantti olisi maston suuntainen.
4.6 Suora
Suora on määrätty, jos tunnetaan sen yksi piste ja suunta. Suoran suunta voidaan ilmaista vektorilla, jota kutsutaan suoran suuntavektoriksi.
Olkoon L pisteen P0 kautta kulkeva suora, jonka suuntavektori on s ≠ 0 .
Olkoon r0 tunnetun pisteen P0 paikkavektori ja r suoran
mielivaltaisen pisteen P paikkavektori. Tällöin voidaan
päätellä seuraavasti (ks. kuva):
L
P0
P ∈ L ⇔ P0 P || s ⇔ r − r0 || s
s
r0
Luvun 2.3 tuloksen perusteella saadaan edelleen
⇔ r − r0 = ts , t ∈ R
⇔ r = r0 + ts , t ∈ R
O
P
r
Esitystä
r = r0 + ts , t ∈ R
sanotaan suoran L vektorimuotoiseksi parametriesitykseksi. Kerroin t on parametri.
Vektorilaskenta
29
Edellä oleva parametriesitys tarkoittaa seuraavaa: Piste P on suoralla L täsmälleen silloin, kun
sen paikkavektori on muotoa r = r0 + ts jollain t. Voidaan ajatella, että kun parametri t saa eri
arvoja, niin vektorin r = r0 + ts kärki piirtää suoran
L.
z
Olkoon nyt P0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) ja P = ( x, y, z ) . Tällöin
r0 = x 0 i + y 0 j + z 0 k ja r = xi + yj + zk .
L
Olkoon lisäksi s = s x i + s y j + s z k .
Tällöin parametriesitys r = r0 + ts voidaan kirjoittaa
seuraavasti:
xi + yj + zk = x 0 i + y 0 j + z 0 k + t (s x i + s y j + s z k )
= ( x 0 + ts x )i + ( y 0 + ts y ) j + ( z 0 + ts z )k
(x0 , y 0 , z0 )
s
r0
r
(x, y , z )
y
.
x
Vertaamalla yksikkövektoreiden kertoimia päädytään
suoran L koordinaattimuotoiseen parametriesitykseen
⎧ x = x 0 + ts x
⎪
⎨ y = y 0 + ts y , t ∈ R
⎪ z = z + ts
0
z
⎩
Edellä on esitetty avaruussuoran koordinaattimuotoinen parametriesitys. Tasosuoran koordinaattimuotoinen parametriesitys on muuten sama, mutta siitä puuttuu z-koordinaatti.
ESIMERKKEJÄ
1. Pisteen (3, 1, –4) kautta kulkevan vektorin 2i − 5 j + k suuntaisen suoran parametriesitys
vektorimuodossa on
r = 3i + j − 4k + t (2i − 5 j + k ) ; t ∈ R
r = (3 + 2t )i + (1 − 5t ) j + (− 4 + t )k ; t ∈ R
Suoran koordinaattimuotoinen parametriesitys on
⎧ x = 3 + 2t
⎪
⎨ y = 1 − 5t ; t ∈ R
⎪ z = −4 + t
⎩
Koordinaattimuotoisesta parametriesityksestä näkee välittömästi suoran pisteen ja suuntavektorin (miten?).
Suoran kaikki pisteet saadaan antamalla parametrille t eri reaaliarvoja.
Esimerkiksi piste (7, − 9, − 2) on suoralla, sillä yhtälöryhmällä
⎧3 + 2t = 7
⎪
⎨1 − 5t = −9
⎪− 4 + t = −2
⎩
on ratkaisu t = 2 .
Vektorilaskenta
30
Sen sijaan piste (9, − 12, 2) ei ole suoralla, sillä yhtälöryhmällä
⎧3 + 2t = 9
⎪
⎨1 − 5t = −12
⎪− 4 + t = 2
⎩
ei ole ratkaisua: ensimmäisen yhtälön ratkaisu on t = 3 ; tämä ei kuitenkaan toteuta toista yhtälöä.
2. Tasosuorien leikkauspiste
Määritä suorien
⎧ x = 3 − 2t
⎧x = 1 + t
ja ⎨
⎨
⎩ y = −1 + 3t
⎩ y = 2 − 2t
leikkauspiste.
Ratkaisu: Suorien parametrit eivät riipu toisistaan. Merkitään jälkimmäisen suoran parametria t:n sijasta s:llä. Leikkauspisteessä x- ja y-koordinaateilla on samat arvot. Siten
⎧3 − 2t = 1 + s
⎨
⎩− 1 + 3t = 2 − 2s
Tämän yhtälöparin ratkaisu on
⎧s = 0
⎨
⎩t = 1
Leikkauspisteen koordinaatit saadaan jälkimmäisestä parametriesityksestä parametrin arvolla
s = 0 (tai edellisestä parametrin arvolla t = 1 )
⎧x = 1 + 0 = 1
⎨
⎩y = 2 − 2 ⋅ 0 = 2
Leikkauspiste on siis (1, 2) .
3. Kahden pisteen kautta kulkeva suora
Edellä suoran esityksen lähtökohtana oli suoran yksi piste ja
suunta. Suora on myös määrätty, jos tunnetaan sen kaksi pistettä. Tarkastellaan tällaisen suoran esitystä.
L
P1
Olkoon L pisteiden P1 ja P2 kautta kulkeva suora. Pisteiden
paikkavektorit olkoot r1 ja r2 . Tällöin suoran suuntavektori
on s = P1 P2 = r2 − r1 . Ottamalla suoran pisteeksi piste P1 ,
saadaan suoran vektorimuotoiseksi parametriesitykseksi
r = r1 + t (r2 − r1 ) ,
r1
O
s
P2
r2
t ∈R .
Jos pisteiden koordinaattiesitykset ovat P1 = ( x1 , y1 , z1 ) ja P2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) , voidaan suoran
koordinaattimuotoinen parametriesitys kirjoittaa seuraavasti:
⎧ x = x1 + t ( x 2 − x1 )
⎪
⎨ y = y1 + t ( y 2 − y1 ) , t ∈ R
⎪ z = z + t (z − z )
1
2
1
⎩
Vektorilaskenta
31
HARJOITUSTEHTÄVÄT 4:
17. Mitä suoran
r = 2i + j − k + t (− 3i − j + 4k )
pistettä vastaa parametrin t arvo
a)
0
18. Onko piste
a) (2,−3,1)
b)
–3
c)
1
3
b)
( −7,0,13)
c)
(10,2,7)
d)
7
suoralla
⎧ x = 2 − 3t
⎪
⎨ y = −3 + t
⎪ z = 1 + 4t
⎩
19. Piirrä xy-tason suora
⎧ x = −2 + 2t
a) ⎨
⎩ y = 1 − 3t
b)
1
⎛
r = −3i + j + t ⎜ i −
2
⎝
⎞
j⎟
⎠
20. Kirjoita pisteen (1,−2,4) kautta kulkevan ja vektorin s = 3i − 4k suuntaisen suoran parametriesitys
a) vektorimuodossa
b)
koordinaattimuodossa
21. Koordinaattimittauslaitteella määritettiin pisteet P1 (1032,−827) ja P2 (− 193,1121) , joiden
kautta kulkevaa suoraa pitkin laserleikkurin tuli leikata levy kahtia. Määritä suoran parametriesitys sekä pisteitä P1 ja P2 vastaavat parametrin arvot.
22. Määritä xy-tason suorien
⎧ x = 1 + 2t
⎧ x = −2 + t
ja ⎨
⎨
⎩ y = 2 + 2t
⎩ y = 1 + 2t
leikkauspiste.
23. Määritä suoran
⎧ x = 2t
⎪
⎨y = 1+ t
⎪z = 1 − t
⎩
ja tason 2 x + y − z = 3 leikkauspiste.
4.6.1 Tasosuora
Edellisen luvun mukaan xy-tason suoran koordinaattimuotoinen parametriesitys on
⎧ x = x 0 + ts x
; t ∈R
⎨
⎩ y = y 0 + ts y
Tasosuora esitetään yleensä yhtälömuodossa. Katsotaan kuinka tämä esitys saadaan aikaiseksi.
Koska suoran suuntavektori
Vektorilaskenta
32
s = sxi + s y j
on nollasta eroava, on s x ≠ 0 tai s y ≠ 0 . Molemmissa tapauksissa eliminoimalla t suoran parametriesityksestä, päädytään yhtälöön (tarkista asia ratkaisemalla t toisesta yhtälöstä ja sijoittamalla toiseen yhtälöön)
s y (x − x0 ) − s x ( y − y0 ) = 0
⇔ s y x − s x y − s y x0 + s x y0 = 0
Merkitsemällä
⎧a = s y
⎨
⎩b = − s x
(*)
ja
c = − s y x0 + s x y0 ,
voidaan tämä kirjoittaa yhtälönä
ax + by + c = 0 ,
missä a ≠ 0 tai b ≠ 0 . Tämä on tasosuoran yhtälömuotoinen esitys.
Yhtälöistä (*) nähdään, että
Suoran ax + by + c = 0 suuntavektori on s = −bi + aj .
Tasosuoran koordinaattimuotoisesta parametriesityksestä siirrytään siis yhtälöesitykseen eliminoimalla parametri t. Yhtälöesityksestä voidaan puolestaan siirtyä koordinaattimuotoiseen
parametriesitykseen valitsemalla parametriksi toinen muuttujista x ja y.
ESIMERKKEJÄ
1. Muunna parametriesitys
⎧ x = 2 − 3t
⎨
⎩ y = −5 + 4t
yhtälöesitykseksi.
Ratkaisu: Ratkaistaan ylemmästä yhtälöstä t:
2− x
.
t=
3
Sijoitetaan tämä toiseen yhtälöön, jolloin saadaan yhtälöesitys
⎛2− x⎞
y = −5 + 4⎜
⎟
⎝ 3 ⎠
3 y = −15 + 4(2 − x )
3 y = −15 + 8 − 4 x
4x + 3y + 7 = 0 .
2. Muunna yhtälöesitys
3x − 4 y + 9 = 0
parametriesitykseksi.
⋅3
Vektorilaskenta
33
Ratkaisu: Valitsemalla
x=t
saadaan
3t − 4 y + 9 = 0 ,
josta
3
9
t+
4
4
Siis suoran parametriesitys on
y=
⎧x = t
⎪
⎨
9 3
⎪⎩ y = 4 + 4 t
Jos parametriksi olisi valittu muuttuja y, olisi saatu toisenlainen parametriesitys. Yleisemmin
suoralla on ääretön määrä erilaisia parametriesityksiä. Keksi pari muuta parametriesitystä!
HARJOITUSTEHTÄVÄT 4:
24. Muunna parametriesitys
⎧ x = 3 − 2t
⎨
⎩ y = −1 + 5t
yhtälöesitykseksi.
5 SKALAARITULO
5.1 Määritelmä ja ominaisuudet
Luvussa 1 määriteltiin vektoreiden välinen kulma (a, b ) . Tätä käsitettä käyttäen määritellään
vektoreiden välinen skalaaritulo eli pistetulo:
Vektoreiden a ja b skalaaritulo on
a ⋅ b = a b cos( a , b )
Skalaaritulo on skalaari, ei vektori. Merkintä a ⋅ b luetaan "a piste b", josta tulee skalaaritulon
nimitys pistetulo. Koska skalaaritulon merkkinä käytetään pistettä, ei luvun ja vektorin kertolaskussa tule käyttää pistettä.
Kosinifunktion ominaisuuksien perusteella skalaaritulon positiivisuus ja negatiivisuus määräytyy
vektoreiden välisen kulman suuruudesta:
a ⋅ b ≥ 0 ⇔ 0° ≤ (a , b ) ≤ 90°
a ⋅ b ≤ 0 ⇔ 90° ≤ (a , b ) ≤ 180°
a ⋅ b = 0 ⇔ a = 0 tai b = 0 tai (a , b ) = 90°
Erityisesti vektoreille a ≠ 0 ja b ≠ 0 pätee
a⊥ b ⇔ a ⋅b = 0
Vektorilaskenta
34
Jos a ≠ 0 ja b ≠ 0 , niin skalaaritulon määrittelevästä kaavasta voidaan ratkaista lauseke vektoreiden väliselle kulmalle
cos( a , b ) =
a ⋅b
a b
.
Tästä saadaan vektoreiden väliselle kulmalle esitys
⎛ a ⋅b ⎞
⎟.
(a , b ) = arccos⎜
⎜ a b ⎟
⎝
⎠
Vektorin normi voidaan lausua skalaaritulon avulla:
a ⋅ a = a a cos(a , a ) = a cos 0° = a .
2
2
Siis
a
2
= a ⋅a
josta saadaan
a = a ⋅a .
Koska cos(a , b ) ≤ 1 , on skalaaritulon määrittelevän kaavan perusteella voimassa Schwarzin
epäyhtälö:
a ⋅b ≤ a b
Voidaan osoittaa, että skalaaritulo noudattaa seuraavia laskusääntöjä:
a ⋅b = b ⋅a
Vaihdantalaki
(a1 + a 2 ) ⋅ b = a1 ⋅ b + a 2 ⋅ b
p (a ⋅ b ) = ( pa ) ⋅ b = a ⋅ ( pb )
Osittelulait
a ⋅ (b1 + b2 ) = a ⋅ b1 + a ⋅ b2
Skalaaritekijän siirtosääntö
Skalaaritulon laskusäännöt muistuttavat siis hyvin paljon reaalilukujen tulon laskusääntöjä.
ESIMERKKEJÄ
1.
(a + b )⋅ (a − b ) = a ⋅ a − a ⋅ b + b ⋅ a − b ⋅ b =
a
2
2
− b .
Vertaa tätä algebrassa esiintyvään samojen lukujen summa ja tulon kaavaan. Mitä eroja havaitset?
2.
(a + 2b )⋅ (3a − 4b ) = 3a ⋅ a − 4a ⋅ b + 2 ⋅ 3b ⋅ a − 2 ⋅ 4b ⋅ b = 3 a
2
2
+ 2a ⋅ b − 8 b .
Kertolasku suoritetaan siis tavallisia algebran sääntöjä käyttäen: kertojan jokaisella termillä
kerrotaan kerrottavan jokainen termi. Lopuksi on käytetty kertolaskun vaihdannaisuutta ja
skalaaritulon ja normin välistä yhteyttä.
3. Vinokulmaisen kolmion ratkaisemisessa käytetään kosinilausetta, jonka mukaan kolmiossa
(ks. ylempää kuvaa)
Vektorilaskenta
35
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
Johdetaan kosinilause skalaarituloa käyttäen. Määritellään alemman kuvan mukaiset vektorit. Tällöin
a = a , b = b , c = c ja γ = (a, b )
c
a
γ
b
Koska
c = a −b ,
on
c
2
= a
a
= c ⋅ c = (a − b ) ⋅ (a − b ) = a ⋅ a − a ⋅ b − b ⋅ a + b ⋅ b
2
+ b
2
− 2a ⋅ b .
c
(a, b )
b
Käyttämällä skalaaritulon määrittelevää kaavaa saadaan tästä
c
2
= a
2
+ b
2
− 2 a b cos(a , b ) ,
josta kosinilause seuraa.
4. Jos vakiovoima F siirtää kappaletta vektorin s verran, niin tehty työ on
W = F ⋅s
F
s
HARJOITUSTEHTÄVÄT 5:
1. Perustele skalaaritulon vaihdantalaki.
2. Perustele skalaaritekijän siirtosääntö tapauksessa
a) p > 0
b) p < 0 .
3. Määritä u + 3v , kun u = 2,67 , v = 4,58 ja u ⋅ v = 8,05 .
4. Vektoreiden a ja b pituudet ovat 3,75 ja 3,52 sekä a ⋅ b = 2,03 . Määritä vektoreiden välinen
kulma.
5. Vektoreista u ja v tiedetään, että u = 5 , v = 4 ja (u , v ) = 120° . Määritä vektoreiden
u − v ja u välinen kulma.
5.2 Skalaaritulo koordinaattimuodossa
Koordinaattimuodossa annettujen vektoreiden skalaaritulo on helppo laskea: koska yksikkövektoreiden i , j ja k pituus on yksi ja ne ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, on
i ⋅i = j ⋅ j = k ⋅k =1
i ⋅ j = j ⋅k = k ⋅i = 0 .
Siis skalaaritulon kertotaulu1 yksikkövektoreille on seuraava:
1
Laskujärjestys: ensin vaakariviltä sitten pystyriviltä (vaikka ei ole väliä, sillä skalaaritulo on vaihdannainen).
Vektorilaskenta
⋅
i
j
k
i
j
1
0
0
1
0
0
k
0
0
1
36
Lasketaan nyt vektoreiden a = a x i + a y j + a z k ja b = bx i + b y j + bz k skalaaritulo käyttäen osittelulakia ja yllä olevaa kertotaulua
a ⋅ b = (a x i + a y j + a z k ) ⋅ (b x i + b y j + bz k )
= (a x bx )(i ⋅ i ) + (a x b y )(i ⋅ j ) + (a x bz )(i ⋅ k ) +
(a b )( j ⋅ i ) + (a b )( j ⋅ j ) + (a b )( j ⋅ k ) +
(a b )(k ⋅ i ) + (a b )(k ⋅ j ) + (a b )(k ⋅ k )
y
x
y
y
y
z
z
x
z
y
z
z
= a x bx + a y b y + a z bz .
Saatiin tulos:
Jos a = a x i + a y j + a z k ja b = bx i + b y j + bz k , niin
a ⋅ b = a x b x + a y b y + a z bz
Skalaaritulo lasketaan siis kertomalla vastinkoordinaatit keskenään ja laskemalla tulot yhteen.
Yo. kaava pätee myös tasovektoreille: jätetään vain yksikkövektori k pois.
ESIMERKKEJÄ
1. Laske vektoreiden a = 2i + 3 j − k ja b = −3i + 5 j + 2k välinen kulma.
Ratkaisu: Kulman laskenta perustuu kaavaan
cos( a , b ) =
a ⋅b
a b
Tätä varten lasketaan
a ⋅ b = 2 ⋅ (− 3) + 3 ⋅ 5 − 1 ⋅ 2 = 7
a = 2 2 + 32 + (−1) 2 = 14
b = (−3) 2 + 5 2 + 2 2 = 38
Siis
cos(a , b ) =
7
14 ⋅ 38
= 0,303488... ,
josta vektoreiden väliseksi kulmaksi saadaan
(a ,b ) = arccos 0,303488... = 72,3°
2. Määritä jokin tasovektoria u = ai + bj vastaan kohtisuorassa oleva vektori.
Ratkaisu: Vektori
Vektorilaskenta
37
v = xi + yj
on kohtisuorassa vektori u vastaan, jos
u ⋅ v = 0 ⇔ ax + by = 0 .
Tämä yhtälö pätee, jos esimerkiksi x = −b, y = a , jolloin
v = −bi + aj .
Tasovektoria vastaan kohtisuorassa oleva vektori saadaan siis vaihtamalla koordinaatit keskenään ja sen jälkeen ensimmäisen (tai toisen koordinaatin) etumerkki. Tällä toimenpiteellä
saadaan esimerkiksi yksikkövektori j yksikkövektorista i .
Tarkempi tarkastelu osoittaisi, että muut vektoria u vastaan kohtisuorassa olevat vektorit
ovat muotoa
v = t (− bi + aj ) , t ∈ R .
3. Osoitetaan, että puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora kulma.
Puoliympyrän sisältämällä kehäkulmalla tarkoitetaan kulmaa, jonka kärki on puoliympyrän
kehällä ja kyljet leikkaavat puoliympyrän kehän halkaisijan päätepisteissä. Olkoot a ja b
kulman kylkien suuntaiset vektorit, joiden alkupiste on kulman kärki ja loppupisteet ovat
halkaisijan päätepisteet (ks. kuva). Kuvan merkintöjä käyttäen saadaan
a =r +s
a
b
b =r −s
r
Siten
a ⋅ b = (r + s ) ⋅ (r − s ) = r
2
− s .
2
s
s
Koska
r = s = ympyrän säde,
on
a ⋅b = 0,
joten vektorit a ja b ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa ja kulma (a, b ) on suora kulma.
Laskin TI-89:
¾ Vektorien skalaaritulo muodostetaan komennolla dotP:
Esim. (2i − 3,7 j + 2,3k ) ⋅ (2,5 j + 4,2k ) lasketaan komennolla dotP([2,-3.7,2.3],[0,2.5,4.2]).
HARJOITUSTEHTÄVÄT 5:
6. Määritä vektoreiden välinen kulma (a, b ) , kun
a)
a = 5i − 3 j ja b = 3i + 4 j
b)
a = 1,2i − 3,1 j + 4,2k ja b = 2,4i − 0,7 j − 1,8k
7. Ovatko vektorit
a)
v = i − 2 j + k ja u = 3i + j − k
Vektorilaskenta
b)
v = −2i + 3 j − k ja u = i + 3 j + 7k
c)
v = ai + bj + k ja u = −bi + aj
38
kohtisuorassa toisiaan vastaan?
8. Määritä tasovektoria u = 3i + 4 j vastaan kohtisuorat tason yksikkövektorit.
9. Neljäkäs on suunnikas, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkiä. Osoita, että neljäkkään lävistäjät
ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.
10. Nelikulmion OABC kärkinä ovat pisteet O = (0, 0) , A = (3, − 1) , B = (x, y ) ja C = (1, 2) .
Määritä x ja y siten, että kulmat OAB ja OCB ovat suoria.
C
B
A
O
11. Määritä oheisessa suorakulmaisessa särmiössä vektoreiden AB ja CD välinen kulma
AB, CD .
(
)
C
B
47 cm
32 cm
A
D
98 cm
12. Kuvan säännöllisen nelisivuisen pyramidin pohjaneliön sivun pituus on 5,00 m ja korkeus on
7,00 m. Pisteet P ja Q ovat sivusärmillä siten, että AP : PE = 2:3 ja CQ : QE = 4:1. Määritä
vektoreiden PQ ja BE välinen kulma PQ, BE
(
)
E
Q
P
C
D
A
B
13. Vakiovoima F = −6,70 Ni − 8,30 Nj + 3,40 Nk kuljettaa kappaletta vektorin
s = 3,40mi − 3,90mj + 2,40mk
verran. Määritä voiman tekemä työ.
Vektorilaskenta
39
5.3 Vektorin kohtisuora projektio
Tarkastellaan tilannetta, jossa on kaksi vektoria a ja v ≠ 0 . Pyrkimyksenä
on jakaa vektori a kahteen komponenttiin
a = av + a ⊥ ,
a
av
(*)
joista a v || v ja a ⊥ ⊥ v .
a⊥
v
Komponenteilla on seuraavat nimitykset:
•
a v on a :n projektio v :llä
•
a⊥ on normaalikomponentti.
Määritetään lauseke projektiolle a v . Koska a v || v , on luvun 2.3 mukaan olemassa luku t siten,
että
a v = tv .
Määritetään luku t. Yhtälön (*) perusteella
a ⊥ = a − a v = a − tv
Siis
a ⊥ ⊥ v ⇔ (a − tv )⊥ v
Koska vektorit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa täsmälleen silloin, kun niiden skalaaritulo on
nolla, saadaan
(a − tv ) ⋅ v = 0
⇔ a ⋅ v − tv ⋅ v = 0
josta voidaan ratkaista t:
a ⋅v a ⋅v
t=
=
2
v ⋅v
v
Näin on saatu lauseke vektorin a projektiolle v :llä
av =
a ⋅v
v
2
v
Normaalikomponentti määrätään projektion avulla:
a ⊥ = a − av .
ESIMERKKEJÄ
1. Jaetaan vektori a = 2i + j − 3k kahteen komponenttiin, joista toinen on vektorin
v = i − j + 3k suuntainen ja toinen sitä vastaan kohtisuorassa.
Ratkaisu: Komponentit ovat projektio a v ja normaalikomponentti a⊥ . Lasketaan ensin a v .
a ⋅ v = 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ (− 1) + 3 ⋅ (− 3) = −8
v
Siten
2
= 12 + (− 1) + 3 2 = 11
2
Vektorilaskenta
av =
a ⋅v
v
2
v =−
40
8
8
24
8
(
i − j + 3k ) = − i +
j−
k.
11 11
11
11
Normaalikomponentti a⊥ on
8
24 ⎞ 30
3
9
⎛ 8
a ⊥ = a − a v = 2i + j − 3k − ⎜ − i +
j−
k⎟=
i+
j− k .
11 ⎠ 11
11
11
⎝ 11 11
2. Jos e on yksikkövektori, on e = 1 . Siten vektorin a projektiolle e :llä saadaan esitys
ae =
a ⋅e
e
2
e = (a ⋅ e )e .
HARJOITUSTEHTÄVÄT 5:
14. Olkoot a = 11,87i − 7,91 j − 12,31k ja b = −1,45i + 2,35 j − 3,50k . Määritä ab ja ba .
15. Jaa voima F = 870 Ni − 350 Nj + 610 Nk kahteen komponenttiin, joista toinen on vektorin
a = 2i + 3k suuntainen ja toinen tätä vastaan kohtisuorassa.
5.4 Taso
Taso on määrätty, jos tunnetaan sen yksi piste ja vektori, joka on
kohtisuorassa tasoa vastaan. Tätä vektoria kutsutaan tason normaalivektoriksi.
n
Olkoon T pisteen P0 kautta kulkeva taso, jonka normaalivektori on
P0
n ≠ 0 . Olkoon r0 pisteen P0 paikkavektori ja r tason mielivaltaisen pisteen P paikkavektori. Oheisen kuvan merkinnöin voidaan
päätellä seuraavasti:
P ∈ T ⇔ P0 P ⊥ n ⇔ r − r0 ⊥ n
On saatu tason vektorimuotoinen yhtälö
n ⋅ (r − r0 ) = 0 .
Olkoon nyt P0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) ja P = ( x, y, z ) , jolloin paikkavektorit ovat
r0 = x 0 i + y 0 j + z 0 k ja r = xi + yj + zk .
Olkoon lisäksi normaalivektori
n = ai + bj + ck .
Tällöin yhtälö n ⋅ (r − r0 ) = 0 voidaan kirjoittaa seuraavasti:
(ai + bj + ck )⋅ [(xi + yj + zk ) − (x i + y j + z k )] = 0
⇔ (ai + bj + ck ) ⋅ [( x − x )i + ( y − y ) j + (z − z )k ] = 0
0
0
0
⇔ a ( x − x 0 ) + b( y − y 0 ) + c ( z − z 0 ) = 0
Saatiin tulos
r
T
r0
O
⇔ n ⋅ (r − r0 ) = 0
0
P
0
0
Vektorilaskenta
Pisteen ( x 0 , y 0 , z 0 ) kautta kulkevan vektoria n = ai + bj + ck
yhtälö on
41
(≠ 0 )
vastaan kohtisuoran tason
a ( x − x 0 ) + b( y − y 0 ) + c ( z − z 0 ) = 0 .
Jos tässä yhtälössä ainakin yksi kertoimista a, b ja c on nollasta eroava, niin yhtälön kuvaaja on
vektoria n = ai + bj + ck vastaan kohtisuora taso, joka kulkee pisteen ( x 0 , y 0 , z 0 ) kautta.
Edellä oleva yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon
ax + by + cz − ax 0 − by 0 − cz 0 = 0 .
Jos merkitään d = −ax 0 − by 0 − cz 0 , päädytään tason koordinaattimuotoisen yhtälöön
ax + by + cz + d = 0 .
Tässä muodossa annetun tason normaalivektori voidaan lukea suoraan x:n, y:n ja z:n kertoimista:
n = ai + bj + ck .
HARJOITUSTEHTÄVÄT 5:
16. Mitkä ovat koordinaattitasojen yhtälöt?
17. Janan päätepisteet ovat A(1,−4,0) ja B(3,1,2) . Määritä janan keskinormaalitason koordinaattimuotoinen yhtälö.
18. Määritä pisteiden A(0,1,3) ja B(− 2,1,4) kautta kulkevan suoran ja tason
a)
x − 2y + z + 3 = 0
b)
2x + y − z − 4 = 0
leikkauspiste.
19. Muodosta tasojen 2 x + y − 4 z + 1 = 0 ja x + 3 y + z − 3 = 0 leikkaussuoralle parametriesitys.
5.4.1 Pisteen etäisyys tasosta
Määritetään pisteen P1 ( x1 , y1 , z1 ) etäisyys δ yhtälön
ax + by + cz + d = 0
määrittämästä tasosta.
Olkoon P0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) jokin tason piste. Kuvasta nähdään, että etäisyys δ on vektorin v = P0 P1
tason normaalivektorille n = ai + bj + ck muodostetun projektion normi
δ=
v ⋅n
n
2
n =
v ⋅n
n
2
n =
v ⋅n
n
n
Koska
v = ( x1 − x 0 )i + ( y1 − y 0 ) j + (z1 − z 0 )k ,
P1
saadaan edelleen
v
δ
P0
Vektorilaskenta
δ=
=
v ⋅n
=
42
a ( x1 − x0 ) + b( y1 − y 0 ) + c( z1 − z 0 )
a2 + b2 + c2
ax1 + by1 + cz1 − ax0 − by 0 − cz 0
n
a2 + b2 + c2
Koska P0 on tason piste, on
ax 0 + by 0 + cz 0 + d = 0
⇔ −ax 0 − by 0 − cz 0 = d
Sijoittamalla tämä etäisyyden lausekkeeseen saadaan seuraava tulos:
Pisteen P1 ( x1 , y1 , z1 ) etäisyys tasosta ax + by + cz + d = 0 on
δ=
ax1 + by1 + cz1 + d
a2 + b2 + c2
ESIMERKKEJÄ
1. Määritä pisteen (2,−1,3) etäisyys tasosta − 7 x + 6 y + 8 z + 5 = 0 .
Ratkaisu: Käyttäen edellä johdettua kaavaa saadaan etäisyydeksi D
D=
− 7 ⋅ 2 + 6 ⋅ (− 1) + 8 ⋅ 3 + 5
(− 7 )
2
+6 +8
2
2
=
9
149
≈ 0,737309 .
5.4.2 Tasosuora
Tasosuora on määrätty, jos tunnetaan sen yksi piste ja vektori (normaalivektori), joka on kohtisuorassa suoraa vastaan. Lähtökohta on siis
sama kuin avaruudessa olevan tason tapauksessa. Jos lukujen 5.4 ja
5.4.1 tarkasteluissa jätetään z-koordinaatti pois, päädytäänkin tasosuoria
koskeviin tuloksiin. Kootaan nämä tulokset.
•
n
P0
Tasosuoran vektorimuotoinen yhtälö on
n ⋅ (r − r0 ) = 0 ,
missä r0 suoran pisteen P0 paikkavektori ja n ≠ 0 on suoran normaalivektori.
•
Pisteen (x0 , y 0 ) kautta kulkevan vektoria n = ai + bj
suoran yhtälö on
(≠ 0 )
vastaan kohtisuorassa olevan
a ( x − x 0 ) + b( y − y 0 ) = 0 .
•
Suoran koordinaattimuotoisen yhtälö on
ax + by + c = 0 ,
missä a ≠ 0 tai b ≠ 0 . Tässä muodossa annetun suoran normaalivektori on n = ai + bj .
•
Pisteen P1 (x1 , y1 ) etäisyys suorasta ax + by + c = 0 on
δ=
ax1 + by1 + c
a2 + b2
Vektorilaskenta
5.5
43
Pallo
Pallopinta eli pallo1 on niiden avaruuden pisteiden
joukko, jotka ovat yhtä etäällä (säteen etäisyydellä)
kiinteästä pisteestä (pallon keskipisteestä).
Olkoon pallon
P
r
• keskipisteen P0 paikkavektori on r0 ,
• säde on R
ja pallopinnan mielivaltaisen pisteen P paikkavektori
r . Tällöin piste P on pallopinnalla, jos ja vain jos P:n
etäisyys pisteestä P0 on R:
P0
r0
O
r − r0 = R .
Tämä on pallopinnan vektorimuotoinen yhtälö.
Jos P0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) ja P = ( x, y, z ) on r0 = x 0 i + y 0 j + z 0 k ja r = xi + yj + zk . Pallopinnan
vektorimuotoinen yhtälö voidaan nyt kirjoittaa seuraavasti:
( x − x 0 )2 + ( y − y 0 )2 + ( z − z 0 )2
= R.
Korottamalla tämä toiseen potenssiin saadaan pallopinnan koordinaattimuotoinen yhtälö
( x − x 0 )2 + ( y − y 0 )2 + ( z − z 0 )2 = R 2
Tästä esitysmuodosta nähdään välittömästi pallon keskipiste ja säde.
Suorittamalla edellisessä yhtälössä neliöön korotukset ja hieman muokkaamalla, saadaan
x 2 + y 2 + z 2 − 2 x 0 x − 2 y 0 y − 2 z 0 z + x02 + y 02 + z 02 − R 2 = 0 .
a
b
c
d
Pallopinnan yhtälö voidaan siis aina kirjoittaa muodossa
x 2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz + d = 0 ,
missä a, b, c ja d ovat reaalilukuja. Tällaisen yhtälön kuvaaja ei kuitenkaan aina ole pallopinta.
Se esittääkö yhtälö palloa, voidaan selvittää neliöksi täydentämisellä. Tätä tarkastellaan lähemmin luvussa 5.5.2.
ESIMERKKEJÄ
1. Pallon keskipiste on (–2, 3, –1) ja säde 5. Mikä on pallon yhtälö?
Ratkaisu: Sijoittamalla koordinaattimuotoiseen yhtälöön saadaan
(x − (− 2))2 + ( y − 3)2 + (z − (− 1))2
(x + 2)2 + ( y − 3)2 + (z + 1)2 = 25
= 52
Tämä voidaan edelleen kirjoittaa muodossa
x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 6 y + 2 z − 11 = 0
1
Pallopintaa sanotaan joskus lyhyesti palloksi.
Vektorilaskenta
44
2. Määritä pallon
( x + 2)2 + ( y − 3)2 + ( z − 1)2 = 30
pisteeseen (− 3, 5, 6) asetetun tangenttitason yhtälö?
Ratkaisu: Piste (− 3, 5, 6) on todellakin pallopinnalla, sillä
(− 3 + 2)2 + (5 − 3)2 + (6 − 1)2 = 30 .
Pallon keskipisteen P0 = (− 2, 3,1) ja sivuamispisteen
P1 = (− 3, 5, 6) kautta kulkeva suora on kohtisuorassa tan-
P1
P0
genttitasoa vastaan. Täten vektori
P0 P1 = (− 3 − (− 2))i + (5 − 3) j + (6 − 1)k = −i + 2 j + 5k .
on tangenttitason normaalivektori.
Koska sivuamispiste on tangenttitason eräs piste, niin tason yhtälö on
− ( x + 3) + 2( y − 5) + 5( z − 6 ) = 0
⇔ − x + 2 y + 5 z − 43 = 0
HARJOITUSTEHTÄVÄT 5:
20. Pallon keskipiste on (3, –1, 2) ja säde 3. Kirjoita pallon koordinaattimuotoinen yhtälö. Määritä kaksi pallopinnan pistettä.
21. Pallon keskipiste on (1, –2, 4) ja piste (4, 5, 3) on pallopinnalla. Määritä pallon yhtälö.
22. Määritä pallon
x 2 + ( y − 1) + ( z − 3) = 9
2
2
pisteeseen (2, 0, 1) asetetun tangenttitason yhtälö.
5.5.1 Ympyrä
Ympyrä on niiden tason pisteiden joukko, jotka
ovat yhtä etäällä (säteen etäisyydellä) kiinteästä
pisteestä (ympyrän keskipisteestä).
Tarkastelu on samanlainen kuin edellä pallon tapauksessa: vain z-koordinaatti jää pois. Siten ympyrän vektorimuotoinen yhtälö on sama kuin pallopinnan ja koordinaattimuotoinen yhtälö on
(x − x0 )2 + ( y − y0 )2 = R 2
y
R
( x, y )
(x0 , y0 )
Ympyrän yhtälö voidaan aina saattaa muotoon
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 ,
missä a, b ja c ovat reaalilukuja. Ympyrän yhtälö
on siis sekä x:n että y:n suhteen toiseen asteen yh-
x
Vektorilaskenta
45
tälö, jossa toisen asteen termien kertoimet ovat yhtä suuret ja josta puuttuu sekatermi xy.
Tätä muotoa olevan yhtälö kuvaaja ei kuitenkaan aina ole ympyrä. Tätä selvitetään luvussa 5.5.2.
ESIMERKKEJÄ
1. Yksikköympyrä. Origokeskistä ympyrää, jonka säde on
1, sanotaan yksikköympyräksi. Yksikköympyrän yhtälö
on
y
1
x2 + y2 = 1
1
–1
2. Määritä pisteiden (2, –1), (3, 5) ja (5, 1) kautta kulkevan
ympyräviivan yhtälö.
Ratkaisu: Ympyräviivan yhtälö on muotoa
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 .
x
–1
Pisteiden on sijaittava ympyrällä, joten niiden koordinaattien on toteutettava ympyrän yhtälö:
⎧2 2 + (− 1)2 + a ⋅ 2 + b ⋅ (− 1) + c = 0
⎧2 a − b + c + 5 = 0
⎪
⎪⎪ 2
2
⇔ ⎨3a + 5b + c + 34 = 0
⎨3 + 5 + a ⋅ 3 + b ⋅ 5 + c = 0
⎪5a + b + c + 26 = 0
⎪5 2 + 12 + a ⋅ 5 + b ⋅ 1 + c = 0
⎩
⎩⎪
Yhtälöryhmän ratkaisu on
17
⎧
⎪a = − 4
⎪
33
⎪
⎨b = −
8
⎪
5
⎪
⎪c = − 8
⎩
joten annettujen pisteiden kautta kulkeva ympyrä on
17
33
5
x2 + y2 − x −
y− =0
4
8
8
Tämä voidaan kirjoittaa myös muodossa
8 x 2 + 8 y 2 − 34 x − 33 y − 5 = 0
HARJOITUSTEHTÄVÄT 5:
23. Kirjoita ympyrän yhtälö, kun ympyrän keskipiste on P ja säde on r ja
a) P = (0, 0); r = 5
b)
P = (2, 1); r = 3
24. Piste (–3, 2) on ympyrän kehällä ja ympyrän keskipiste on (2, –5). Määritä ympyrän yhtälö.
25. Määritä pisteiden (0, 0), (–2, 1) ja (1, -3) kautta kulkevan ympyrän yhtälö.
Vektorilaskenta
46
5.5.2 Neliöksi täydentäminen
Koska binomin neliön kaavan mukaan1
( x ± a )2
= x 2 ± 2ax + a 2 ,
voidaan tyyppiä x 2 ± px oleva lauseke kirjoittaa seuraavasti:
2
2
2
2
p
p
p⎞ ⎛ p⎞
⎛ p⎞ ⎛ p⎞
⎛
x 2 ± px = x 2 ± 2 ⋅ ⋅ x = x 2 ± 2 ⋅ ⋅ x + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = ⎜ x ± ⎟ − ⎜ ⎟ .
2
2
2⎠ ⎝2⎠
⎝2⎠ ⎝2⎠
⎝
2
2
p⎞ ⎛ p⎞
⎛
Tätä toimenpidettä sanotaan neliöksi täydentämiseksi, sillä muodossa ⎜ x ± ⎟ − ⎜ ⎟ muut2⎠ ⎝2⎠
⎝
tuja x esiintyy yhdessä lausekkeessa, joka on korotettu toiseen potenssiin.
ESIMERKKEJÄ
2
1. x 2 + 12 x = x 2 + 2 ⋅ 6 ⋅ x = x 2 − 2 ⋅ 6 ⋅ x + 6 2 − 6 2 = ( x − 6) − 36
2
2
2
7
7
7⎞
49
⎛7⎞ ⎛7⎞
⎛
2
2
2
2. x − 7 x = x − 2 ⋅ x = x − 2 ⋅ x + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = ⎜ x − ⎟ −
2
2
2⎠
4
⎝2⎠ ⎝2⎠
⎝
Neliöksi täydentämistä käyttäen voidaan selvittää milloin yhtälö
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0
esittää ympyrää2. Kirjoitetaan yhtälö muotoon
x2
+
ax + y 2 + by = −c .
Täydennetään merkityt lausekkeet neliöksi lisäämällä yhtälö molemmille puolille sopivat termit:
2
2
2
2
a
b
⎛a⎞
⎛b⎞
⎛a⎞ ⎛b⎞
x + 2⋅ ⋅ x + ⎜ ⎟ + y2 + 2⋅ ⋅ y + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − c
2
2
⎝2⎠
⎝2⎠
⎝ 2⎠ ⎝2⎠
2
⎛
⎜x+
⎝
a⎞ ⎛
b⎞
a2 + b2
−c
⎟ +⎜y+ ⎟ =
2⎠ ⎝
2⎠
4
2
2
a 2 + b2
− c oltava säteen neliö eli positiivinen. PääJotta tämä esittäisi ympyrää, on lausekkeen
4
dytään seuraaviin tapauksiin:
• Jos
a 2 + b2
⎛ a b⎞
− c > 0 , on yhtälön kuvaaja ympyrä, jonka keskipiste on ⎜ − ,− ⎟ ja säde
4
⎝ 2 2⎠
a 2 + b2
−c .
4
1
2
Tässä kuten seuraavissakin lausekkeissa merkinnässä ± ylemmät merkit vastaa toisiaan, samoin alemmat.
Vastaava tarkastelu voidaan tehdä pallon tapauksessa.
Vektorilaskenta
• Jos
47
a 2 + b2
⎛ a b⎞
− c = 0 , on yhtälön kuvaaja piste ⎜ − ,− ⎟ .
4
⎝ 2 2⎠
a 2 + b2
− c < 0 , ei yhtälö ole minkään käyrän kuvaaja.
• Jos
4
ESIMERKKEJÄ
3. Määritä ympyrän
x 2 + y 2 − 10 x + 4 y + 19 = 0
keskipiste ja säde.
Ratkaisu: Neliöksi täydentämällä saadaan
x 2 − 10 x + y 2 + 4 y = −19
x 2 − 2 ⋅ 5 x + 5 2 + y 2 + 2 ⋅ 2 y + 2 2 = −19 + 5 2 + 2 2
( x − 5) 2 + ( y + 2 ) 2
= 10
Tästä nähdään, että yhtälö esittää ympyrää, jonka keskipiste on (5, –2) ja säde 10 .
HARJOITUSTEHTÄVÄT 5:
26. Täydennä neliöksi seuraavat lausekkeet:
a)
x 2 + 6x
b)
x 2 − 3x
d)
c) x 2 − 9 x
x 2 + 11x
27. Tutki, onko seuraavien yhtälöiden kuvaaja ympyrä. Myönteisessä tapauksessa selvitä millainen ympyrä on kyseessä.
a)
x 2 + y 2 − 3y = 0
b)
x 2 + y 2 + 2x − 3 y + 1 = 0
c)
3x 2 + 3 y 2 + 3x − 6 y + 9 = 0
d)
x 2 − y 2 + 2x + 3y = 0
28. Määritä niiden pisteiden joukko, joiden etäisyys pisteestä (0, 0) on aina kaksi kertaa niin suuri kuin sen etäisyys pisteestä (5, 3). Piirrä kuvio.
29. Millä t:n arvoilla yhtälön
x 2 + y 2 − x + 2ty + 1 = 0
kuvaaja on ympyrä?
6 VEKTORITULO
6.1 Positiivinen suunnistus
Olkoon a , b ja c kolme avaruuden vektoria, jotka muodostavat kannan. Tällöin kolmikko
(a , b , c ) on positiivisesti suunnistettu, jos seuraava ehto pätee: kun oikean käden peukalo osoittaa vektorin a suuntaan ja etusormi vektorin b suuntaan, niin taivutettu keskisormi osoittaa vektorin c suuntaan. Sanotaan myös, että kolmikko (a , b , c ) muodostaa oikeakätisen järjestelmän.
Jos taivutettu keskisormi osoittaa vektorin − c suuntaan, niin kolmikko (a , b , c ) on negatiivisesti suunnistettu. Tätä sanotaan myös vasenkätiseksi järjestelmäksi.
Vektorilaskenta
48
6.2 Määritelmä ja ominaisuudet
Vektoreiden välinen vektoritulo eli ristitulo määritellään seuraavasti1:
Jos vektorit a ja b ovat erisuuntaisia, niin niiden vektoritulo on
a × b = a b sin (a , b )e ,
missä e on vektoreita a ja b vastaan kohtisuorassa oleva yksikkövektori, jolle kolmikko
(a , b , e ) on positiivisesti suunnistettu.
Jos vektorit a ja b ovat yhdensuuntaisia, niin niiden vektoritulo on nollavektori
a ×b = 0.
Jos vektorit a ja b ovat erisuuntaiset, niin niiden väliselle kulmalle
(a, b ) pätee 0° < (a , b ) < 180° , jolloin sin(a , b ) > 0 . Siten vektoritulossa vektorin e kerroin a b sin (a , b ) > 0 . Siis erisuuntaisilla vekto-
a ×b
reilla a ja b
b
vektoritulo a × b ≠ 0 ja on kohtisuorassa vektoreita a ja b vastaan:
•
a
a ×b ⊥ a , a ×b ⊥ b .
kolmikko (a , b , a × b ) on positiivisesti suunnistettu.
•
b
Vektoritulon normilla
a × b = a b sin (a , b )
(a, b )
a
on seuraava geometrinen tulkinta (perustele tämä!):
Vektoritulon normi a × b on sen suunnikkaan pinta-ala, jonka sivuina ovat vektorit a ja b .
Vektoritulolle ovat voimassa seuraavat laskusäännöt:
a × b = −b × a
Antisymmetrisyys!
(a + b )× c = a × c + b × c
p (a × b ) = ( pa ) × b = a × ( pb )
Osittelulait
a × (b + c ) = a × b + a × c
Skalaaritekijän siirtosääntö
Liitäntälaki ei vektoritulolle ole voimassa: yleensä a × (b × c ) ≠ (a × b ) × c .
Huomaa, että suoraan määritelmän perusteella
a ×a = 0.
ESIMERKKEJÄ
1.
1
(a + b )× (a − b ) = a × a − a × b + b × a − b × b = 0 − a × b − a × b − 0 = −2a × b
Miksi on määriteltävä erikseen yhdensuuntaisten vektoreiden vektoritulo?
Vektorilaskenta
49
Vertaa tätä algebrassa esiintyvään samojen lukujen summan ja tulon kaavaan. Mitä eroja havaitset?
2. Osoita, että skalaarituloa ja vektorituloa sitoo toisiinsa seuraava yhtälö
a ×b
+ (a ⋅ b ) = a
2
2
2
b
2
Ratkaisu: Koska
a × b = a b sin (a , b )
a ⋅ b = a b cos(a , b )
saadaan trigonometrian peruslausetta käyttäen
a ×b
= a
2
+ (a ⋅ b ) = a
2
2
2
b
2
b sin 2 (a , b ) + a
2
(sin (a , b ) + cos (a , b )) =
2
2
a
2
b
2
b
2
cos 2 (a , b )
2
3. Määritetään pisteen P1 (paikkavektori r1 ) etäisyys d suorasta
r = r0 + ts .
P1
Kuvan merkinnöin ( r0 on pisteen P0 paikkavektori) havaitaan, että
(
d
)
d = P0 P1 sin P0 P1 , s = r1 − r0 sin (r1 − r0 , s )
Etäisyyden lauseke voidaan kirjoittaa vektorituloa käyttäen seuraavasti:
d=
r1 − r0 s sin (r1 − r0 , s )
s
=
(r1 − r0 ) × s
s
P0
s
HARJOITUSTEHTÄVÄT 6:
1. Perustele vektoritulon antisymmetrisyys.
2. Perustele skalaaritekijän siirtosääntö tapauksessa
a) p > 0
b) p < 0 .
6.3 Vektoritulo koordinaattimuodossa
Avaruuden yksikkövektorit i , j ja k valitaan aina siten, että kolmikko (i , j , k ) on positiivisesti
suunnistettu. Tällöin vektoritulon määritelmästä saadaan seuraava kertotaulu1 yksikkövektoreiden i , j ja k vektoritulolle:
×
i
j
k
i
j
0
k
−j
−k
0
i
k
j −i
k
0
i
1
Laskujärjestys: ensin vaakariviltä sitten pystyriviltä.
j
Vektorilaskenta
50
Yksikkövektoreiden i , j ja k vektoritulojen arvot muistaa parhaiten yo. kaaviosta. Jos kierretään nuolten osoittamaan suuntaan arvo on positiivinen. Jos kierretään vastakkaiseen suuntaan
arvo on negatiivinen.
Olkoon nyt
a = a x i + a y j + a z k ja b = bx i + b y j + bz k .
Käyttäen vektoritulon laskusääntöjä ja yllä olevaa kertotaulua saadaan vektoreiden a ja b vektorituloksi
a × b = (a y bz − a z b y )i − (a x bz − a z bx ) j + (a x b y − a y bx )k
2-rivisten determinanttien avulla vektoritulo voidaan kirjoittaa muotoon
a ×b =
ay
az
by
bz
i−
ax
az
bx
bz
j+
ax
ay
bx
by
k
Tämä voidaan edelleen kirjoittaa kolmirivisenä determinanttina:
Jos a = a x i + a y j + a z k ja b = bx i + b y j + bz k ,niin
i
j
k
a × b = ax
bx
ay
by
az
bz
ESIMERKKEJÄ
1. Vektoreiden a = i − 2 j + 4k ja b = 2i − 3 j + k vektoritulo on
i
j
k
a ×b = 1 − 2 4
2 −3 1
=
−2 4
1 4
1 −2
i−
j+
k = 10i + 7 j + k
−3 1
2 1
2 −3
2. xy-tason kolmion kärjet sijaitsevat pisteissä P1 (x1 , y1 ) , P2 ( x 2 , y 2 ) ja P3 (x3 , y3 ) . Osoita, että
kolmion pinta-ala on
A=
1 x 2 − x1
|
2 x3 − x1
y 2 − y1
y 3 − y1
|
Ratkaisu: Kolmion pinta-ala on puolet sen suunnikkaan pinta-alasta, jonka sivuina ovat vektorit P1 P2 ja P1 P3 . Koska
P1 P2 = ( x 2 − x1 )i + ( y 2 − y1 ) j
P1 P3 = ( x3 − x1 )i + ( y 3 − y1 ) j ,
P3
on
P2
P1
Vektorilaskenta
i
j
P1 P2 × P1 P3 = x 2 − x1
x3 − x1
k
y 2 − y1
y 3 − y1
x −x
0 = 2
x3 − x1
0
51
y 2 − y1
k.
y 3 − y1
Siis kolmion pinta-ala on
A=
1 x 2 − x1
2 x3 − x1
y 2 − y1
y 3 − y1
k =
1 x 2 − x1
|
2 x3 − x1
y 2 − y1
y 3 − y1
|
Laskin TI-89:
¾ Vektorien vektoritulo muodostetaan komennolla crossP:
Esim. (2i − 3,7 j + 2,3k ) × (2,5 j + 4,2k ) lasketaan komennolla
crossP([2,-3.7,2.3],[0,2.5,4.2]).
HARJOITUSTEHTÄVÄT 6:
3. Määritä a × b , kun
a) a = 3i − 4 j + 2k ja b = −i + 2 j − 3k
b)
a = i − 2 j − 4k ja b = −i + 2k
4. Olkoot a = i − 2 j + k , b = −4i + 3 j − 2k
a × (b × c ) .
ja c = 2i − 3 j − 4k . Määritä
(a × b )× c
5. Määritä ne yksikkövektorit, jotka ovat kohtisuorassa vektoreita u = −i + 5 j − 2k
v = i + 2 j − 2k vastaan.
ja
ja
6. Suunnikkaan sivuina ovat vektorit a = 1,1i − 2,2 j − 3,3k ja b = −3,2i − 4,1 j + 2,0k . Määritä
suunnikkaan pinta-ala.
7. Kolmion kärjet ovat pisteissä (1,–2), (–8,7) ja (–7,2). Määritä kolmion pinta-ala.
8. Kolmion kärjet ovat pisteissä (2,0,−1) , (3,2,2) ja (0,3,1) . Määritä kolmion pinta-ala.
9. Jaa voimavektori
F = 210 Ni + 100 Nj − 90 Nk
kolmeen komponenttiin, joista yksi on vektorin a = 2i − j ja yksi vektorin b = j + 2k suuntainen sekä yksi näitä vastaan kohtisuorassa.
6.4 Voiman momentti pisteen suhteen
Voima vaikuttaa kappaleeseen ulkoisesti seuraavasti:
•
•
Se yrittää liikuttaa kappaletta vaikutussuoransa suuntaisesti
Se yrittää pyörittää kappaletta sellaisen akselin (tai suoran) ympäri, joka ei ole voiman vaikutussuoralla.
Voiman pyörityskykyä kuvataan voiman momentilla:
Vektorilaskenta
52
Voiman F momentilla pisteen O suhteen tarkoitetaan lauseketta
M = r×F ,
missä r on pisteen O ja voiman F vaikutussuoralla olevan pisteen P välinen vektori OP .
Pisteen O etäisyyttä voiman F vaikutussuorasta kutsutaan voiman momenttivarreksi d. Oheisesta kuvasta nähdään, että
d = r sin (r , F )
Siten momentin itseisarvo voidaan esittää seuraavasti
M = r F sin (r , F ) = F d .
eli momentin itseisarvo on voiman itseisarvon ja momenttivarren tulo.
Tätä tulosta käytetään tasostatiikan tehtävissä.
Momentin määritelmässä momentin arvo näyttää riippuvan
voiman vaikutussuoran pisteen P valinnasta. Osoitetaan
näin ei ole asian laita.
Valitaan voiman vaikutussuoralta kaksi pistettä P ja P ′ .
Merkitään r = OP ja r ′ = OP ′ . Tällöin
F
r
P
(r, F )
O
d
r ′ = r + PP ′ .
P'
Koska PP ′ ⎜⎜ F on PP ′ × F = 0 . Siten
(
)
r ′ × F = r + PP ′ × F = r × F + PP ′ × F = r × F .
Tästä saadaan sama arvo sekä pisteellä P että pisteellä P ′ . Täten momentti on riippumaton pisteen P valinnasta.
F
r′
P
r
O
HARJOITUSTEHTÄVÄT 6:
10. Kuvan sauva (pituus 0,87 m) ja voima (suuruus 110 N) ovat samassa pystysuorassa tasossa.
Määritä voiman momentin itseisarvo akselin O suhteen
a)
kaavalla M = F d
b)
vektoritulon avulla.
Vektorilaskenta
53
110 N
52°
130°
0,87 m
O
11. Määritä kuvan voiman momentti ja momentin itseisarvo origon suhteen.
350 N
z
0,53 m
x
0,69 m
1,14 m
0,72 m
y
1,78 m
7 SKALAARIKOLMITULO
7.1 Määritelmä
Olkoot a , b ja c avaruuden vektoreita. Koska vektoritulo a × b on vektori, on skalaaritulo
(a × b )⋅ c määritelty ja sen arvo on skalaari. Tämä tulo voidaan kirjoittaa myös ilman sulkuja
a ×b ⋅c ,
sillä tulon voi laskea vain yhdellä tavalla: ensin vektoritulo ja sitten skalaaritulo. Tälle tulolle
käytetään nimitystä skalaarikolmitulo.
Olkoot
a = a x i + a y j + a z k , b = bx i + b y j + bz k ja c = c x i + c y j + c z k
vektoreiden koordinaattiesitykset. Käyttäen aikaisemmin vektoritulolle johdettua esitystä saadaan
Vektorilaskenta
⎛ ay
a ×b ⋅c = ⎜
⎜ by
⎝
ay
=
by
az
a
i− x
bz
bx
az
a
cx − x
bz
bx
ax
az
j+
bx
bz
ax
az
cy +
bx
bz
54
ay ⎞
k ⎟ ⋅ (c i + c y j + c z k )
b y ⎟⎠ x
ax
ay
c = bx
by z
cx
ay
az
by
cy
bz
cz
Viimeinen lauseke on saatu kehittämällä determinantti alimman rivinsä mukaan. On johdettu
skalaarikolmitulon determinanttiesitys
Jos a = a x i + a y j + a z k , b = bx i + b y j + bz k ja c = c x i + c y j + c z k , niin
ax
a × b ⋅ c = bx
cx
ay
by
cy
az
bz
cz
ESIMERKKEJÄ
1. Vektoreiden a = i + 2 j + 3k , b = −2i + j − k ja c = 4i + k skalaarikolmitulo on
1
2
3
a × b ⋅ c = − 2 1 − 1 = −15 .
4
0
1
HARJOITUSTEHTÄVÄT 7:
1. Määritä vektoreiden u = 2,1i − 1,6 j + 3,7 k , v = −0,8i − 4,5 j + 1,2k ja w = 1,5i − 1,4 j + 1,0k
skalaarikolmitulo u × v ⋅ w .
7.2 Sovelluksia
Vektoritulon määritelmän mukaan
a ×b = a ×b e ,
missä e on vektoreita a ja b vastaan kohtisuorassa oleva yksikkövektori. Siten skalaarikolmitulon itseisarvo
a ×b ⋅c = a ×b e ⋅c .
Yllä olevassa yhtälössä
•
a × b on sen suunnikkaan pinta-ala, jonka sivuina ovat
vektorit a ja b .
•
e ⋅ c on projektion ce = (c ⋅ e )e pituus. Koska ce on
vektorin c kohtisuora projektio vektorille e , on e ⋅ c
sen suuntaissärmiön korkeus, jonka särminä ovat vektorit a , b ja c ja pohja on vektoreiden a ja b määräämä
suunnikas.
On saatu seuraava tulos:
a ×b
c
h
b
a
Vektorilaskenta
55
Vektoreiden a , b ja c määräämän suuntaissärmiön tilavuus = a × b ⋅ c
ESIMERKKEJÄ
1. Tetraedrin kolmena samasta kärjestä lähtevinä särminä ovat vektorit a = i + j − 3k ,
b = 2i − j + k ja c = 3i + j + 2k . Määritä tetraedrin tilavuus.
Ratkaisu: Olkoon vektoreiden a , b ja c määräämän suuntaissärmiön korkeus h ja pohjan
A
pinta-ala A. Tetraedrin korkeus on tällöin h ja pohjan pinta-ala
(ks. kuvaa). Kartion tila2
vuuden kaavaa käyttäen tetraedrin tilavuus V saadaan vastaavan särmiön tilavuudesta W seuraavasti:
1A
1
1
V =
h = Ah = W .
32
6
6
Siis
c
1 1 −3
19
1
1
2 −1 1 =
V = a ×b ⋅c =
≈ 3,167
b
6
6
6
3 1
2
a
Vastaus: Tetraedrin tilavuus 3,167.
HARJOITUSTEHTÄVÄT 7:
2. Määritä sen suuntaissärmiön tilavuus, jonka särminä ovat vektorit a = 7,3i − 3,8 j + 2,7k ,
b = 4,1i − 6,2 j + 5,5k ja c = 1,3i + 8,1 j − 3,6k .
3. Vektorit a = −2ti + j + 2k , b = 3ti − k ja c = 4ti + tj − k ovat suuntaissärmiön särminä.
Millä t:n arvoilla suuntaissärmiön tilavuus on 6?
4. Tetraedrin kärjet ovat pisteissä (3, 3, 0), (4, –2, 1), (5; 2,7; 2,7) ja (0, 1, 5). Määritä tetraedrin
tilavuus.
7.3 Tason determinanttimuoto
Aikaisemmin todettiin, että taso on määrätty, jos tunnetaan sen yksi piste ja vektori (normaalivektori), joka on kohtisuorassa tasoa vastaan. Jos tason tunnetun pisteen P0 paikkavektori on r0
ja tason normaalivektori on n ≠ 0 , on tason vektorimuotoinen yhtälö
n ⋅ (r − r0 ) = 0 .
Edellisessä yhtälössä r tason mielivaltaisen pisteen P paikkavektori.
Taso on määrätty myös, jos tunnetaan sen kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla. Olkoon P1 ( x1 , y1 , z1 ) , P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) ja P3 ( x3 , y 3 , z 3 ) kolme tällaista pistettä. Tällöin vektorit
P1 P2 = ( x 2 − x1 )i + ( y 2 − y1 ) j + ( z 2 − z1 )k
ja
P1 P3 = ( x3 − x1 )i + ( y3 − y1 ) j + (z 3 − z1 )k
ovat erisuuntaisia tason vektoreita. Niiden vektoritulo
n
P1
P3
P2
Vektorilaskenta
56
n = P1 P2 × P1 P3
on kohtisuorassa tasoa vastaan eli on tason normaalivektori. Otetaan tason pisteeksi P1 , jonka
paikkavektori olkoon r1 . Tason yhtälö voidaan nyt kirjoittaa muotoon
P1 P2 × P1 P3 ⋅ (r − r1 ) = 0 ⇔ (r − r1 ) ⋅ P1 P2 × P1 P3 = 0 .
Koska
r − r1 = ( x − x1 )i + ( y − y1 ) j + ( z − z1 )k ,
voidaan skalaarikolmitulon determinanttiesitystä käyttäen tason yhtälö esittää determinanttimuodossa
x − x1
y − y1
z − z1
x 2 − x1
y 2 − y1
z 2 − z1 = 0
x3 − x1
y3 − y1
z 3 − z1
ESIMERKKEJÄ
1. On määrättävä pisteiden A(1, 2, − 1) , B ( 2,1, 0) ja C (−1, 3, 3) määräämän tason yhtälö.
Ratkaisu: Tason yhtälö on
x −1
2 −1
y − 2 z − (− 1)
x −1 y − 2 z +1
1 − 2 0 − (− 1) = 0 ⇔ 1
−1
1 = 0 ⇔ −5 x − 6 y − z + 16 = 0
− 1 − 1 3 − 2 3 − (− 1)
−2
1
4
HARJOITUSTEHTÄVÄT 7:
5. Määritä pisteiden A(− 1,1,2) , B(0,3,2) ja C (1,2,−3) määrittelemän tason jokin koordinaattimuotoinen yhtälö.
6. Taso on kohtisuorassa tasoja 2 x + 2 y − z = 0 ja − 2 x + y + 3 z = 0 vastaan. Lisäksi tiedetään,
että piste (− 2,0,3) on tasossa. Määritä tason yhtälö.