Physica 9 RATKAISUT 1. painos 1(10) 6. Pyörimisliike ja ympyräliike RATKAISUT: 6. Pyörimisliike ja ympyräliike 6.1 a) Pyörimisliikkeessä kappale pyörii jonkin akselin ympäri. Kappaleen asento muuttuu. b) Ympyräliikkeessä kappale liikkuu pitkin ympyrärataa. c) Hetkellinen kulmanopeus ω on kiertokulman φ muutosnopeus ω = dϕ . dt d) Hetkellinen kulmakiihtyvyys α on kulmanopeuden ω muutosnopeus α = dω . dt e) Tasaisessa ympyräliikkeessä kappaleen ratanopeuden suuruus pysyy vakiona, mutta nopeuden suunta muuttuu. f) Normaalikiihtyvyyden lauseke on an = v2 = ω 2 r , jossa v on kappaleen nopeus, r r liikeradan säde ja ω kappaleen kulmanopeus. Normaalikiihtyvyyden suunta on kohti ympyräradan keskipistettä. Normaalikiihtyvyys kuvaa kappaleen nopeuden suunnan muutosta. g) Tangenttikiihtyvyys at = rα, jossa r on kappaleen liikeradan säde ja α kappaleen kulmakiihtyvyys. Tangenttikiihtyvyys kuvaa kappaleen nopeuden suuruuden muutosta. h) Kokonaiskiihtyvyys on normaalikiihtyvyyden ja tangenttikiihtyvyyden vektorisumma. Koska tangenttikiihtyvyys ja normaalikiihtyvyys ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, kokonaiskiihtyvyys saadaan Pythagoraan lauseella. 6.2 Karusellin säde on r = 5,2 m ja kierrosaika T = 1,8 min. Maijaan vaikuttaa maan vetovoima G , karusellin istuimen tukivoima N1 ylöspäin sekä tukivoima N 2 karusellin keskelle. Voimakuvio Dynamiikan peruslain ∑ F = ma mukaan Maijan liikeyhtälö on G + N1 + N 2 = ma . Tarkastellaan x- ja y-suuntaisia komponentteja. x: N 2 = max y: −G + N1 = ma y = 0 Koska Maija liikkuu vaakatasossa x-suunnassa, on a y = 0 . Maija kiertää tasaisessa ympyräliikkeessä, joten sillä on normaalikiihtyvyys a n= v2 , joka on x-suunnassa. r © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät Physica 9 RATKAISUT Siten N 2 = m 1. painos 2(10) 6. Pyörimisliike ja ympyräliike v2 . r Koska karuselli liikkuu tasaisesti, Maijan kulkema matka s = vt . Siten Maijan s t ratanopeus on v = = 2π r . T Tukivoima N2 on v2 = m N2 = m r ( 2π r 2 ) 4π 2 mr T . = r T2 Sijoitetaan lukuarvot N2 = 4π 2 ⋅ 35 kg ⋅ 5,2 m 4π 2 ⋅ 35 kg ⋅ 5,2 m = = 0,6160 N ≈ 0,62 N. (1,8 min) 2 (1,8 ⋅ 60 s) 2 Vastaus: Voima on 0,62 N. 6.3 – Heilahduksen ääripisteissä kappaleen nopeus on nolla, joten normaalikiihtyvyys on nolla. Kappaleella on ainoastaan tangenttikiihtyvyyttä. – Ääripisteen ja alakohdan välillä kappaleen suunta ja nopeus muuttuvat. Siksi kappaleella on sekä normaalikiihtyvyyttä että tangenttikiihtyvyyttä. Tangenttikiihtyvyys on pienempi kuin ääriasennossa, sillä nopeus ei muutu niin paljon. – Alhaalla kappaleella on vain normaalikiihtyvyyttä, sillä kappaleeseen vaikuttaa vain pystysuunnassa voimia. Kiihtyvyys suuntautuu ylöspäin, koska kappaleen liikesuunta kääntyy sinne päin. Normaalikiihtyvyyden suurus on suurin, sillä kappaleen nopeus on suurin ala-asemassa. 6.4 a) Havaintopisteet Havaintopisteiden kautta sovitettu käyrä: © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät Physica 9 RATKAISUT 1. painos b) Kierrosten lukumäärä saadaan graafisella integroinnilla. Kuviosta saadaan ensin graafisella integroinnilla kappaleen kiertymä (pyörimiskulma), josta saadaan kierrosten lukumäärä. Kokonaisia ruutuja on 49 kpl ja vajaita 16, ruutuja yhteensä 49 + 8 = 57. Yhden ruudun pinta-ala on 0,5 s ⋅ 0,5 rad = 0,25 rad. s Pyörimiskulma on φ = 57 · 0,25 rad = 14,25 rad. Yksi kierros on radiaaneina 1 r = 2π rad, joten 14,25 rad on N= ϕ 14,25 rad = = 2,2680 kierrosta ≈ 2,3 kierrosta. 2π 2π rad c) Keskikulmakiihtyvyys on α k = Δω . Δt Kuvion mukaan ω (0 s) = 1, 7 rad rad ja ω (5 s) = 0,9 . s s Siten keskikulmakiihtyvyys on αk = 0,9 rad rad − 1,7 s s = –0,16 rad . s 5,0 s − 0 s d) Kulmakiihtyvyys hetkellä 4,0 s saadaan tangentin kulmakertoimesta. Vastaus: b) Kierroksia on 2,3. c) Keskikulmakiihtyvyys on – 0,16 rad . s d) Kulmakiihtyvyys hetkellä 4,0 s on −1,1 rad . s2 6.5 Vauhtipyörän pyörimisnopeus on n = 320 RPM, kiihdytysaika t = 10,3 s, jarrutusaika 7,5 min ja se pyörii yhteensä 3500 kierrosta. Tapa 1: Koska pyörään vaikuttaa vakiomomentti, pyörä on tasaisesti kiihtyvässä pyörimisliikkeessä. Kun kulmanopeus on aluksi nolla, on ω = ω0 + α t = α t . © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät 3(10) 6. Pyörimisliike ja ympyräliike Physica 9 RATKAISUT 1. painos 4(10) 6. Pyörimisliike ja ympyräliike Siten kulmakiihtyvyys on α= ω t ja kiertymä 1 2 1 2 ϕ = ω0 t + α t 2 = α t 2 = 1ω 2 1 ⋅ t = ωt . 2 t 2 Kulmanopeuden ja pyörimisnopeuden välillä on yhteys ω = 2πn . Kiertymä kiihdytyksessä 1 2 1 2 1 2 ϕ = ωt = ⋅ 2π ⋅ n ⋅ t = ⋅ 2π ⋅ 320 1 ⋅10,3 s = 172,5782 rad 60 s Kiertymä jarrutuksessa 1 2 ϕ = ⋅ 2π ⋅ 320 1 ⋅ 7,5 ⋅ 60 s = 7539,8224 rad 60 s Kierroslaskuri näytti 3500 kierrosta, joka on kulmana 3500 ⋅ 2π rad = 21991,1486 rad. Tasaiseen vaiheeseen jää 21991,1486 rad – 7539,8224 rad – 172,5782 rad = 14278,748 rad. Koska yksi kierros on 2π radiaania, kierroksia on 14278,748 rad = 2272,5333. 2π rad Jos kierrosnopeus on 320 RPM, kuluu 2272,53333 kierrokseen aikaa 2272,533 min = 7,1017 min. 320 Yhteensä: 7,1017 min + 7,5 min + 10,3 s = 14,7734 min ≈ 14,8 min Tapa 2: Koska pyörään vaikuttaa vakiomomentti, pyörä on tasaisesti kiihtyvässä pyörimisliikkeessä. Tällöin voidaan kiertymät laskea myös keskikulmanopeuden avulla. ϕ = ωk t = ω1 + ω2 2 ⋅t Kiertymä kiihdytyksessä ϕ = 0 + 2π ⋅ 320 2 1 60 s ⋅10,3 s = 172,5782 rad Kiertymä jarrutuksessa ϕ= 1 +0 60 s ⋅ 7,5 ⋅ 60 s = 7539,8224 rad 2 2π ⋅ 320 Vastaus: Vauhtipyörä on pyörinyt 14,8 min. © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät Physica 9 RATKAISUT 1. painos 5(10) 6. Pyörimisliike ja ympyräliike 6.6 a) Oikein, sillä kappaleen nopeusvektori on ratakäyrän tangentin suuntainen ja siten kohtisuorassa ympyräradan sädettä vastaan. b) Väärin, sillä ympyräradalla kappaleella on normaalikiihtyvyyttä. c) Väärin, sillä tasaisesti kiihtyvässä ympyräliikkeessä kappaleen tangenttikiihtyvyys on vakio, mutta ratanopeus muuttuu koko ajan, jolloin myös normaalikiihtyvyys muuttuu. d) Oikein, sillä kappaleen tangenttikiihtyvyys ja ratakiihtyvyys eivät riipu toisistaan. e) Väärin, sillä jos kappaleella on tangenttikiihtyvyyttä, sen kiihtyvyys ei suuntaudu kohti keskipistettä. Tällöin myöskään kokonaisvoima ei suuntaudu kohti radan keskipistettä. f) Oikein, sillä jos tangenttikiihtyvyys on kovin suuri, kokonaiskiihtyvyys on likimain vastakkaissuuntainen nopeusvektorille. 6.7 Kaarevuussäde on r = 280 m, auton alkunopeus v0 = 72 km/h ja loppunopeus v = 63 km/h sekä aikaväli t = 6,7 s. a) Kiihtyvyys on a = at + an . Tangenttikiihtyvyys Kun auto kulkee rataympyrällä tasaisesti hidastaen, sen ratanopeus on v = v0 + at . Ratkaistaan nopeuden lausekkeesta ratakiihtyvyys a a= v − v0 . t Ratakiihtyvyys a = at, joten v − v0 at = = t ( 63 m 2 72 m 2 ) −( ) m m 3,6 s 3,6 s = –13,9925 2 ≈ –14,0 2 . 6,7 s s s Normaalikiihtyvyys © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät Physica 9 RATKAISUT 1. painos 6(10) 6. Pyörimisliike ja ympyräliike alussa 72 m 2 ) m 3, 6 s an = = 1,4286 2 s 280 m ( lopussa 63 m 2 ) m 3, 6 s an = = 1,0938 2 s 280 m ( Kiihtyvyys alussa Kiihtyvyyden suuruus a = at2 + an2 = 13,99252 + 1,42862 m m m = 14,0652 2 ≈ 14,1 2 . 2 s s s Kiihtyvyyden suunta tan β = at −13,9925 = 1, 4286 an β = –84,1704° ≈ –84,2°. Kiihtyvyys lopussa Kiihtyvyyden suuruus a = at2 + an2 = 13,99252 + 1,09382 m m m = 14,0352 2 ≈ 14,0 2 . 2 s s s Kiihtyvyyden suunta tan β = at −13,9925 = 1, 0938 an β = –85,5303° ≈ –85,5°. b) 6.8 a) Lentäjän nopeus alimmassa on kohdassa v1 = 1500 km/h. Lentäjään vaikuttaa painovoima G ja sen lisäksi istuimen tukivoima N . Kun oletetaan, että koneella ei ole tangenttikiihtyvyyttä tarkasteltavissa pisteissä, suuntautuvat tukivoimat N1 ja N 2 kuvion mukaisesti. © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät Physica 9 RATKAISUT 1. painos 7(10) 6. Pyörimisliike ja ympyräliike b) Dynamiikan peruslain mukaan ΣF = ma . Yhtälöstä saadaan skalaarimuotoinen, kun otetaan huomioon kuviossa esitetty positiivinen suunta N1 − G = ma . Koska alaosassa lentäjään ei vaikuta liikkeen suuntaisia voimia, kiihtyvyys on normaalikiihtyvyys an = N1 − mg = m v2 ja paino G = mg, saadaan r v12 . r Ratkaistaan säde r r= = mv12 mv12 v2 = = 1 N1 − mg 9mg − mg 8 g 1500 m 2 km 2 ( ) ) 3,6 s h = = 2212,17 m ≈ 2200 m. m m 8 ⋅ 9,81 2 8 ⋅ 9,81 2 s s (1500 Vastaus: b) Säde on vähintään 2 200 m. 6.9 Alkunopeus on v0 = 11,7 m/s, loppunopeus v = 3,7 m/s, nopeus v1 = 6,2 m/s, kulma φ = π rad ja radan säde r = 52 m. Kiihtyvyys on a = at + an Normaalikiihtyvyys v2 an = 1 = r m 2 ) m s = 0,7392 2 52 m s (6, 2 Tangenttikiihtyvyys Kun auto kulkee rataympyrällä tasaisesti hidastaen sen nopeus ja kuljettu matka ovat v = v0 + at 1 s = v0 t + at 2 . 2 Ratkaistaan nopeuden lausekkeesta aika t ja sijoitetaan se matkan lausekkeeseen t= v − v0 a s = v0 v − v0 1 v − v0 2 + a( ) . 2 a a s = v0 v − v0 1 v 2 − 2vv0 + v0 2 + a 2 a Kerrotaan puolittain 2a:lla. 2as = 2v0 v − 2v0 2 + v 2 − 2vv0 + v0 2 © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät Physica 9 RATKAISUT 1. painos 8(10) 6. Pyörimisliike ja ympyräliike eli 2as = v 2 − v0 2 , josta a= v 2 − v0 2 . 2s Tapa 2 ratkaista kiihtyvyys: Koska tasaisesti hidastuva liike, kuljettu matka voidaan laskea keskinopeuden avulla. s = vk t = v0 + v t 2 Toisaalta s = ϕ r , joten ϕr = v0 + v t. 2 Ratkaistaan aika t t= 2ϕ r . v0 + v Kiihtyvyys a= Δv v − v0 v 2 − v0 2 = = .) 2ϕ r Δt 2ϕ r v0 + v Nyt ratakiihtyvyys a = at ja kuljettu matka s on s = ϕ r , siten v 2 − v0 2 at = = 2ϕ r (3, 7 m 2 m ) − (11, 7 ) 2 m s s = –0,3771 2 . s 2 ⋅ π ⋅ 52 m Kiihtyvyyden suuruus on a = at2 + an2 = 0,37712 + 0, 73922 m m m = 0,8298 2 ≈ 0,83 2 . s2 s s ja kiihtyvyyden suunta tan β = at −0,3771 = an 0, 7392 β = –27,0282° ≈ –27,0°. Vastaus: Ratakiihtyvyys on 0,83 m ja suunta 27,0°. s2 6.10 Ympyräradan säde on r = 30 m, kierrosaika T = 33,5 s, auton massa m1 = 1080 kg ja moottorikelkan massa m2 = 380 kg. Renkaan ja jään välinen liukukitkakerroin on μ1 = 0,090, ja moottorikelkan ja jään välinen liukukitkakerroin on μ2 = 0,20. © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät Physica 9 RATKAISUT 1. painos 9(10) 6. Pyörimisliike ja ympyräliike Autoon vaikuttaa paino G , pinnan tukivoima N ja kitkavoima Fμ . Auto on tasaisessa ympyräliikkeessä, joten sen kiihtyvyys on normaalikiihtyvyyttä ( an = v2 ). Kiihtyvyyden aiheuttaa lepokitkavoima Fμ s . r Newtonin II lain mukaan ΣF = ma . Valitaan positiiviset suunnat. Tarkastellaan voimia x- ja y-suunnassa. y: 0 = N – G N = G = m1g x: Fμ s = m1an Rajatapauksessa kitka on Fμ s = Fμ s ,max = μ s N = μ s m1 g . Normaalikiihtyvyys on an = rω 2 = r ( 2π 2 ) . T Siten x-suunnan yhtälöstä saadaan μ s m1 g = m1r ( 2π 2 ) T Ratkaistaan kitkakerroin μs = 30 m 2π 2 r 2π 2 ( ) = 0,108 = 0,11. ( ) = m g T 9,81 2 33,5 s s b) Törmäyksen jälkeen autoon vaikuttaa paino G1 , alustan tukivoima N1 ja kitkavoima Fμ1 . Kelkkaan vaikuttaa voimat paino G2 , alustan tukivoima N 2 ja kitkavoima Fμ 2 . © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät Physica 9 RATKAISUT 1. painos 10(10) 6. Pyörimisliike ja ympyräliike Auton ja kelkan törmäyksessä liikemäärä säilyy m1v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )u . Kelkan alkunopeus v2 on nolla ja sovitun positiivisen suunnan mukaisesti saadaan skalaariyhtälö m1v1 = (m1 + m2 )u . Ratkaistaan loppunopeus u= m1v1 . m1 + m2 Liukumatkan aikana kitkavoiman tekemä työ on yhtä suuri kuin systeemin liikeenergian muutos. Energiaperiaatteesta seuraa −( Fμ1 + Fμ 2 ) s = ΔEk 1 −( Fμ1 + Fμ 2 ) s = − (m1 + m2 )u 2 2 Sijoitetaan loppunopeuden lauseke ( Fμ1 + Fμ 2 ) s = (m1v1 ) 2 1 (m1 + m2 ) 2 (m1 + m2 ) 2 ( Fμ1 + Fμ 2 ) s = 1 (m1v1 ) 2 2 m1 + m2 Ratkaistaan matka s −( Fμ1 + Fμ 2 ) s = s= 1 (m1v1 ) 2 2 m1 + m2 1 (m1v1 ) 2 1 ⋅ ⋅ 2 m1 + m2 ( μ1m1 + μ2 m2 ) g m (1080 kg ⋅ 4,72 ) 2 1 1 s ⋅ s= ⋅ = 5,2376 m ≈ 5,2 m. 2 1080 kg + 380 kg (0,090 ⋅1080 kg + 0,20 ⋅ 380 kg) ⋅ 9,81 m s2 Vastaus: a) Kitkakerroin on 0,11. b) Matka on 5,2 m. © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
© Copyright 2024