Suora
Hannu Lehto
Lahden Lyseon lukio
I: Suora tasossa
• Esimerkki
• Suuntavektori
• Esimerkki
• Normaalivektori
I: Suora tasossa
II: Suora avaruudessa
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 12
Esimerkki
I: Suora tasossa
• Esimerkki
• Suuntavektori
• Esimerkki
• Normaalivektori
Tarkastellaan suoraa y =
II: Suora avaruudessa
α
2
2
x − 1.
3
2
• kulmakerroin k =
3
2
• tan α = , α suuntakulma
3
3
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 12
Esimerkki
I: Suora tasossa
• Esimerkki
• Suuntavektori
• Esimerkki
• Normaalivektori
Tarkastellaan suoraa y =
II: Suora avaruudessa
α
3~i
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
2~j
2
x − 1.
3
2
• kulmakerroin k =
3
2
• tan α = , α suuntakulma
3
• eräs suuntavektori ~
s = 3~i + 2~j
Lahden Lyseon lukio – 3 / 12
Suuntavektori
I: Suora tasossa
• Esimerkki
• Suuntavektori
• Esimerkki
• Normaalivektori
II: Suora avaruudessa
Määritelmä 1. Olkoot pisteet A ja
B kaksi suoran l eri pistettä. Sil−−→
loin ~
s = AB on suoran l eräs
suuntavektori.
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
l
A
b
~s
B
b
Lahden Lyseon lukio – 4 / 12
Suuntavektori
I: Suora tasossa
• Esimerkki
• Suuntavektori
• Esimerkki
• Normaalivektori
II: Suora avaruudessa
Määritelmä 1. Olkoot pisteet A ja
B kaksi suoran l eri pistettä. Sil−−→
loin ~
s = AB on suoran l eräs
suuntavektori.
l
A
b
~s
B
b
Lause 1. Jos ~
s = sx~i + sy~j, sx 6= ~0 on eräs suoran suuntavektori,
sy
niin suoran kulmakerroin on k =
.
sx
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 4 / 12
Suuntavektori
I: Suora tasossa
• Esimerkki
• Suuntavektori
• Esimerkki
• Normaalivektori
II: Suora avaruudessa
Määritelmä 1. Olkoot pisteet A ja
B kaksi suoran l eri pistettä. Sil−−→
loin ~
s = AB on suoran l eräs
suuntavektori.
l
A
b
~s
B
b
Lause 1. Jos ~
s = sx~i + sy~j, sx 6= ~0 on eräs suoran suuntavektori,
sy
niin suoran kulmakerroin on k =
.
sx
sx~i
sy~j
~s
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 4 / 12
Suuntavektori
I: Suora tasossa
• Esimerkki
• Suuntavektori
• Esimerkki
• Normaalivektori
II: Suora avaruudessa
Määritelmä 1. Olkoot pisteet A ja
B kaksi suoran l eri pistettä. Sil−−→
loin ~
s = AB on suoran l eräs
suuntavektori.
l
A
b
~s
B
b
Lause 1. Jos ~
s = sx~i + sy~j, sx 6= ~0 on eräs suoran suuntavektori,
sy
niin suoran kulmakerroin on k =
.
sx
sx~i
sy~j
~s
Lause 2. l1 k l2 ⇔ s~1 k s~2 ⇔ s~1 = ts~2
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 4 / 12
Suuntavektori
I: Suora tasossa
• Esimerkki
• Suuntavektori
• Esimerkki
• Normaalivektori
II: Suora avaruudessa
Määritelmä 1. Olkoot pisteet A ja
B kaksi suoran l eri pistettä. Sil−−→
loin ~
s = AB on suoran l eräs
suuntavektori.
l
A
b
~s
B
b
Lause 1. Jos ~
s = sx~i + sy~j, sx 6= ~0 on eräs suoran suuntavektori,
sy
niin suoran kulmakerroin on k =
.
sx
sx~i
sy~j
~s
Lause 2. l1 k l2 ⇔ s~1 k s~2 ⇔ s~1 = ts~2
Lause 3. l1 ⊥ l2 ⇔ s~1 ⊥ s~2 ⇔ s~1 · s~2 = 0
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 4 / 12
Suuntavektori
I: Suora tasossa
• Esimerkki
• Suuntavektori
• Esimerkki
• Normaalivektori
Lause 4.
∢ (l1 , l2 ) =
∢ (s~1 , s~2 )
, jos ∢ (s~1 , s~2 ) ≤ 90◦
180◦ − ∢ (s~1 , s~2 ) , jos ∢ (s~1 , s~2 ) > 90◦
II: Suora avaruudessa
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 5 / 12
Suuntavektori
I: Suora tasossa
• Esimerkki
• Suuntavektori
• Esimerkki
• Normaalivektori
Lause 4.
∢ (l1 , l2 ) =
∢ (s~1 , s~2 )
, jos ∢ (s~1 , s~2 ) ≤ 90◦
180◦ − ∢ (s~1 , s~2 ) , jos ∢ (s~1 , s~2 ) > 90◦
l1
∢(
s~
l1
1 ,s
~2 )
II: Suora avaruudessa
∢(l1 ,l2 )=∢(s~1 ,s~2 )
l2
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
∢(l1 ,l2 )
l2
Lahden Lyseon lukio – 5 / 12
Suuntavektori
I: Suora tasossa
• Esimerkki
• Suuntavektori
• Esimerkki
• Normaalivektori
Lause 4.
∢ (l1 , l2 ) =
∢ (s~1 , s~2 )
, jos ∢ (s~1 , s~2 ) ≤ 90◦
180◦ − ∢ (s~1 , s~2 ) , jos ∢ (s~1 , s~2 ) > 90◦
l1
∢(
s~
l1
1 ,s
~2 )
II: Suora avaruudessa
∢(l1 ,l2 )=∢(s~1 ,s~2 )
l2
∢(l1 ,l2 )
l2
s~1 · s~2
cos (∢ (s~1 , s~2 )) =
|s~1 | |s~1 |
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 5 / 12
Esimerkki
I: Suora tasossa
• Esimerkki
• Suuntavektori
• Esimerkki
• Normaalivektori
3x − 5y + 10 = 0 (suoran normaalimuoto)
II: Suora avaruudessa
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 6 / 12
Esimerkki
I: Suora tasossa
• Esimerkki
• Suuntavektori
• Esimerkki
• Normaalivektori
3x − 5y + 10 = 0 (suoran normaalimuoto)
3
y = x + 2 (ratkaistu muoto)
5
II: Suora avaruudessa
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 6 / 12
Esimerkki
I: Suora tasossa
• Esimerkki
• Suuntavektori
• Esimerkki
• Normaalivektori
3x − 5y + 10 = 0 (suoran normaalimuoto)
3
y = x + 2 (ratkaistu muoto)
5
Eräs suoran suuntavektori on
II: Suora avaruudessa
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 6 / 12
Esimerkki
I: Suora tasossa
• Esimerkki
• Suuntavektori
• Esimerkki
• Normaalivektori
3x − 5y + 10 = 0 (suoran normaalimuoto)
3
y = x + 2 (ratkaistu muoto)
5
Eräs suoran suuntavektori on ~
s = 5~i + 3~j .
II: Suora avaruudessa
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 6 / 12
Esimerkki
I: Suora tasossa
• Esimerkki
• Suuntavektori
• Esimerkki
• Normaalivektori
II: Suora avaruudessa
3x − 5y + 10 = 0 (suoran normaalimuoto)
3
y = x + 2 (ratkaistu muoto)
5
Eräs suoran suuntavektori on ~
s = 5~i + 3~j .
Eräs suoran normaalivektori on
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 6 / 12
Esimerkki
I: Suora tasossa
• Esimerkki
• Suuntavektori
• Esimerkki
• Normaalivektori
II: Suora avaruudessa
3x − 5y + 10 = 0 (suoran normaalimuoto)
3
y = x + 2 (ratkaistu muoto)
5
Eräs suoran suuntavektori on ~
s = 5~i + 3~j .
n = 3~i − 5~j , koska
Eräs suoran normaalivektori on ~
~s · ~n = 5 · 3 + 3 · (−5) = 0.
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 6 / 12
Esimerkki
I: Suora tasossa
• Esimerkki
• Suuntavektori
• Esimerkki
• Normaalivektori
II: Suora avaruudessa
3x − 5y + 10 = 0 (suoran normaalimuoto)
3
y = x + 2 (ratkaistu muoto)
5
Eräs suoran suuntavektori on ~
s = 5~i + 3~j .
n = 3~i − 5~j , koska
Eräs suoran normaalivektori on ~
~s · ~n = 5 · 3 + 3 · (−5) = 0.
~s
5y
−
3x
+
=
10
0
~n
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 6 / 12
Normaalivektori
I: Suora tasossa
• Esimerkki
• Suuntavektori
• Esimerkki
• Normaalivektori
Lause 5. Suoran ax + by + c = 0 eräs normaalivektori on
~n = a~i + b~j .
II: Suora avaruudessa
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 7 / 12
Normaalivektori
I: Suora tasossa
• Esimerkki
• Suuntavektori
• Esimerkki
• Normaalivektori
II: Suora avaruudessa
Lause 5. Suoran ax + by + c = 0 eräs normaalivektori on
~n = a~i + b~j .
Suorien välinen kulma on normaalivektoreiden välinen kulma tai sen
suplementtikulma.
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 7 / 12
Normaalivektori
I: Suora tasossa
• Esimerkki
• Suuntavektori
• Esimerkki
• Normaalivektori
II: Suora avaruudessa
Lause 5. Suoran ax + by + c = 0 eräs normaalivektori on
~n = a~i + b~j .
Suorien välinen kulma on normaalivektoreiden välinen kulma tai sen
suplementtikulma.
~s
α
l1
l2
α
−
→
n
2
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
−
→
n
1
Lahden Lyseon lukio – 7 / 12
Normaalivektori
I: Suora tasossa
• Esimerkki
• Suuntavektori
• Esimerkki
• Normaalivektori
II: Suora avaruudessa
Lause 5. Suoran ax + by + c = 0 eräs normaalivektori on
~n = a~i + b~j .
Suorien välinen kulma on normaalivektoreiden välinen kulma tai sen
suplementtikulma.
~s
α
l1
l2
α
−
→
n
2
−
→
n
1
→⊥−
→
l1 ⊥ l2 ⇔ −
n
n
1
2
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 7 / 12
Normaalivektori
I: Suora tasossa
• Esimerkki
• Suuntavektori
• Esimerkki
• Normaalivektori
II: Suora avaruudessa
Lause 5. Suoran ax + by + c = 0 eräs normaalivektori on
~n = a~i + b~j .
Suorien välinen kulma on normaalivektoreiden välinen kulma tai sen
suplementtikulma.
~s
α
l1
l2
α
−
→
n
2
−
→
n
1
→⊥−
→
l1 ⊥ l2 ⇔ −
n
n
1
2
−
→
−
→
l1 k l2 ⇔ n1 k n2
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 7 / 12
I: Suora tasossa
II: Suora avaruudessa
II: Suora avaruudessa
• Suoran yhtälö:
vektorimuoto
• Suoran yhtälö:
parametrimuoto
• Suorien keskinäinen
asema
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 8 / 12
Suoran yhtälö: vektorimuoto
I: Suora tasossa
Suuntavektori s ja piste P0 määräävät suoran.
II: Suora avaruudessa
• Suoran yhtälö:
vektorimuoto
• Suoran yhtälö:
parametrimuoto
• Suorien keskinäinen
asema
~s
P0 (x0 ,y0 ,x0 )
b
b
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
O
Lahden Lyseon lukio – 9 / 12
Suoran yhtälö: vektorimuoto
I: Suora tasossa
Suuntavektori s ja piste P0 määräävät suoran.
II: Suora avaruudessa
• Suoran yhtälö:
vektorimuoto
• Suoran yhtälö:
parametrimuoto
• Suorien keskinäinen
asema
P (x,y,z)
b
~s
P0 (x0 ,y0 ,z0 )
b
b
O
Piste P on suoralla, joss
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 9 / 12
Suoran yhtälö: vektorimuoto
I: Suora tasossa
Suuntavektori s ja piste P0 määräävät suoran.
II: Suora avaruudessa
• Suoran yhtälö:
vektorimuoto
• Suoran yhtälö:
parametrimuoto
• Suorien keskinäinen
asema
P (x,y,z)
b
~s
P0 (x0 ,y0 ,z0 )
b
b
O
Piste P on suoralla, joss
−−→ −−→
OP = OP0 + t~s, t ∈ R
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 9 / 12
Suoran yhtälö: parametrimuoto
I: Suora tasossa
P (x,y,z)
II: Suora avaruudessa
• Suoran yhtälö:
vektorimuoto
• Suoran yhtälö:
parametrimuoto
• Suorien keskinäinen
asema
b
~s=sx~i+sy~j+sz ~k
P0 (x0 ,y0 ,z0 )
b
b
O
Piste P on suoralla, joss
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 10 / 12
Suoran yhtälö: parametrimuoto
I: Suora tasossa
P (x,y,z)
II: Suora avaruudessa
• Suoran yhtälö:
vektorimuoto
• Suoran yhtälö:
parametrimuoto
• Suorien keskinäinen
asema
b
~s=sx~i+sy~j+sz ~k
P0 (x0 ,y0 ,z0 )
b
b
O
Piste P on suoralla, joss
x~i + y~j + z~k = x0~i + y0~j + z0~k + t sx~i + sy~j + sz~k , t ∈ R
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 10 / 12
Suoran yhtälö: parametrimuoto
I: Suora tasossa
P (x,y,z)
II: Suora avaruudessa
• Suoran yhtälö:
vektorimuoto
• Suoran yhtälö:
parametrimuoto
• Suorien keskinäinen
asema
b
~s=sx~i+sy~j+sz ~k
P0 (x0 ,y0 ,z0 )
b
b
O
Piste P on suoralla, joss
x~i + y~j + z~k = x0~i + y0~j + z0~k + t sx~i + sy~j + sz~k , t ∈ R

 x = x0 + tsx
y = y0 + tsy

z = z0 + tsz
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 10 / 12
Suoran yhtälö: parametrimuoto
I: Suora tasossa
P (x,y,z)
II: Suora avaruudessa
• Suoran yhtälö:
vektorimuoto
• Suoran yhtälö:
parametrimuoto
• Suorien keskinäinen
asema
b
~s=sx~i+sy~j+sz ~k
P0 (x0 ,y0 ,z0 )
b
b
O
Piste P on suoralla, joss
x~i + y~j + z~k = x0~i + y0~j + z0~k + t sx~i + sy~j + sz~k , t ∈ R

 x = x0 + tsx
y = y0 + tsy

z = z0 + tsz
y − y0
z − z0
x − x0
=
=
, sx , sy , sz 6= 0
sx
sy
sz
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 10 / 12
Esimerkki
I: Suora tasossa
II: Suora avaruudessa
• Suoran yhtälö:
vektorimuoto
• Suoran yhtälö:
parametrimuoto
• Suorien keskinäinen
asema
Suora kulkee pisteiden A(2, −2, 2) ja B(−2, 3, 3) kautta. Määritä
suoran yhtälö sekä vektorimuodossa että parametrimuodossa.
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 11 / 12
Esimerkki
I: Suora tasossa
II: Suora avaruudessa
• Suoran yhtälö:
vektorimuoto
• Suoran yhtälö:
parametrimuoto
• Suorien keskinäinen
asema
Suora kulkee pisteiden A(2, −2, 2) ja B(−2, 3, 3) kautta. Määritä
suoran yhtälö sekä vektorimuodossa että parametrimuodossa.
z
P (x,y,z)
b
B(−2,3,3)
b
A(2,−2,2)
b
y
x
Suoran suuntavektori s =
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 11 / 12
Esimerkki
I: Suora tasossa
II: Suora avaruudessa
• Suoran yhtälö:
vektorimuoto
• Suoran yhtälö:
parametrimuoto
• Suorien keskinäinen
asema
Suora kulkee pisteiden A(2, −2, 2) ja B(−2, 3, 3) kautta. Määritä
suoran yhtälö sekä vektorimuodossa että parametrimuodossa.
z
P (x,y,z)
b
B(−2,3,3)
b
A(2,−2,2)
b
y
x
−−→
Suoran suuntavektori s = AB =
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 11 / 12
Esimerkki
I: Suora tasossa
II: Suora avaruudessa
• Suoran yhtälö:
vektorimuoto
• Suoran yhtälö:
parametrimuoto
• Suorien keskinäinen
asema
Suora kulkee pisteiden A(2, −2, 2) ja B(−2, 3, 3) kautta. Määritä
suoran yhtälö sekä vektorimuodossa että parametrimuodossa.
z
P (x,y,z)
b
B(−2,3,3)
b
A(2,−2,2)
b
y
x
−−→
Suoran suuntavektori s = AB = −4~i + 5~j + ~
k
Vektorimuoto:
−−→
OP =
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 11 / 12
Esimerkki
I: Suora tasossa
II: Suora avaruudessa
• Suoran yhtälö:
vektorimuoto
• Suoran yhtälö:
parametrimuoto
• Suorien keskinäinen
asema
Suora kulkee pisteiden A(2, −2, 2) ja B(−2, 3, 3) kautta. Määritä
suoran yhtälö sekä vektorimuodossa että parametrimuodossa.
z
P (x,y,z)
b
B(−2,3,3)
b
A(2,−2,2)
b
y
x
−−→
Suoran suuntavektori s = AB = −4~i + 5~j + ~
k
Vektorimuoto:
−−→ −→
→
OP = OA + t−
s =
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 11 / 12
Esimerkki
I: Suora tasossa
II: Suora avaruudessa
• Suoran yhtälö:
vektorimuoto
• Suoran yhtälö:
parametrimuoto
• Suorien keskinäinen
asema
Suora kulkee pisteiden A(2, −2, 2) ja B(−2, 3, 3) kautta. Määritä
suoran yhtälö sekä vektorimuodossa että parametrimuodossa.
z
P (x,y,z)
b
B(−2,3,3)
b
A(2,−2,2)
b
y
x
−−→
Suoran suuntavektori s = AB = −4~i + 5~j + ~
k
Vektorimuoto:
−−→ −→
→
OP = OA + t−
s = 2~i − 2~j + 2~k + t −4~i + 5~j + ~k
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 11 / 12
Esimerkki
I: Suora tasossa
II: Suora avaruudessa
• Suoran yhtälö:
vektorimuoto
• Suoran yhtälö:
parametrimuoto
• Suorien keskinäinen
asema
Suora kulkee pisteiden A(2, −2, 2) ja B(−2, 3, 3) kautta. Määritä
suoran yhtälö sekä vektorimuodossa että parametrimuodossa.
z
P (x,y,z)
b
B(−2,3,3)
b
A(2,−2,2)
b
y
x
−−→
Suoran suuntavektori s = AB = −4~i + 5~j + ~
k
Vektorimuoto:
−−→ −→
→
OP = OA + t−
s = 2~i − 2~j + 2~k + t −4~i + 5~j + ~k

 x = 2 − 4t
Parametrimuoto:
y = −2 + 5t

z = 2+t
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 11 / 12
Suorien keskinäinen asema
I: Suora tasossa
II: Suora avaruudessa
• Suoran yhtälö:
vektorimuoto
• Suoran yhtälö:
parametrimuoto
• Suorien keskinäinen
asema
• yhdensuuntaiset
→
→
→
→
l1 k l2 ⇔ −
s1 k −
s2 ⇔ −
s1 = t−
s2 , t ∈ R
• ritikkäiset
• leikkaavat
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 12 / 12
Suorien keskinäinen asema
I: Suora tasossa
II: Suora avaruudessa
• Suoran yhtälö:
vektorimuoto
• Suoran yhtälö:
parametrimuoto
• Suorien keskinäinen
asema
• yhdensuuntaiset
→
→
→
→
l1 k l2 ⇔ −
s1 k −
s2 ⇔ −
s1 = t−
s2 , t ∈ R
• ritikkäiset
• leikkaavat
Esimerkki. Ovatko suorat


 x = 1 + 2t
 x = 7 − 6s
y = −2 − 3t , t ∈ R ja
y = 2 + 9s , s ∈ R


z = 3+t
z = 1 − 3s
yhdensuuntaiset?
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 12 / 12
Suorien keskinäinen asema
I: Suora tasossa
II: Suora avaruudessa
• Suoran yhtälö:
vektorimuoto
• Suoran yhtälö:
parametrimuoto
• Suorien keskinäinen
asema
• yhdensuuntaiset
→
→
→
→
l1 k l2 ⇔ −
s1 k −
s2 ⇔ −
s1 = t−
s2 , t ∈ R
• ritikkäiset
• leikkaavat
Esimerkki. Ovatko suorat


 x = 1 + 2t
 x = 7 − 6s
y = −2 − 3t , t ∈ R ja
y = 2 + 9s , s ∈ R


z = 3+t
z = 1 − 3s
yhdensuuntaiset?
Suuntavektorit ovat s~1 =
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 12 / 12
Suorien keskinäinen asema
I: Suora tasossa
II: Suora avaruudessa
• Suoran yhtälö:
vektorimuoto
• Suoran yhtälö:
parametrimuoto
• Suorien keskinäinen
asema
• yhdensuuntaiset
→
→
→
→
l1 k l2 ⇔ −
s1 k −
s2 ⇔ −
s1 = t−
s2 , t ∈ R
• ritikkäiset
• leikkaavat
Esimerkki. Ovatko suorat


 x = 1 + 2t
 x = 7 − 6s
y = −2 − 3t , t ∈ R ja
y = 2 + 9s , s ∈ R


z = 3+t
z = 1 − 3s
yhdensuuntaiset?
Suuntavektorit ovat s~1 = 2~i − 3~j + ~
k ja s~2 =
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 12 / 12
Suorien keskinäinen asema
I: Suora tasossa
II: Suora avaruudessa
• Suoran yhtälö:
vektorimuoto
• Suoran yhtälö:
parametrimuoto
• Suorien keskinäinen
asema
• yhdensuuntaiset
→
→
→
→
l1 k l2 ⇔ −
s1 k −
s2 ⇔ −
s1 = t−
s2 , t ∈ R
• ritikkäiset
• leikkaavat
Esimerkki. Ovatko suorat


 x = 1 + 2t
 x = 7 − 6s
y = −2 − 3t , t ∈ R ja
y = 2 + 9s , s ∈ R


z = 3+t
z = 1 − 3s
yhdensuuntaiset?
Suuntavektorit ovat s~1 = 2~i − 3~j + ~
k ja s~2 = −6~i + 9~j − 3~k.
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 12 / 12
Suorien keskinäinen asema
I: Suora tasossa
II: Suora avaruudessa
• Suoran yhtälö:
vektorimuoto
• Suoran yhtälö:
parametrimuoto
• Suorien keskinäinen
asema
• yhdensuuntaiset
→
→
→
→
l1 k l2 ⇔ −
s1 k −
s2 ⇔ −
s1 = t−
s2 , t ∈ R
• ritikkäiset
• leikkaavat
Esimerkki. Ovatko suorat


 x = 1 + 2t
 x = 7 − 6s
y = −2 − 3t , t ∈ R ja
y = 2 + 9s , s ∈ R


z = 3+t
z = 1 − 3s
yhdensuuntaiset?
Suuntavektorit ovat s~1 = 2~i − 3~j +~
k ja s~2 = −6~i + 9~j − 3~k.
Koska s~2 = −6~i + 9~j − 3~
k = −3 2~i − 3~j + ~k = −3s~1 , niin
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 12 / 12
Suorien keskinäinen asema
I: Suora tasossa
II: Suora avaruudessa
• Suoran yhtälö:
vektorimuoto
• Suoran yhtälö:
parametrimuoto
• Suorien keskinäinen
asema
• yhdensuuntaiset
→
→
→
→
l1 k l2 ⇔ −
s1 k −
s2 ⇔ −
s1 = t−
s2 , t ∈ R
• ritikkäiset
• leikkaavat
Esimerkki. Ovatko suorat


 x = 1 + 2t
 x = 7 − 6s
y = −2 − 3t , t ∈ R ja
y = 2 + 9s , s ∈ R


z = 3+t
z = 1 − 3s
yhdensuuntaiset?
Suuntavektorit ovat s~1 = 2~i − 3~j +~
k ja s~2 = −6~i + 9~j − 3~k.
Koska s~2 = −6~i + 9~j − 3~
k = −3 2~i − 3~j + ~k = −3s~1 , niin
−
→
→
s1 k −
s2
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 12 / 12
Suorien keskinäinen asema
I: Suora tasossa
II: Suora avaruudessa
• Suoran yhtälö:
vektorimuoto
• Suoran yhtälö:
parametrimuoto
• Suorien keskinäinen
asema
• yhdensuuntaiset
→
→
→
→
l1 k l2 ⇔ −
s1 k −
s2 ⇔ −
s1 = t−
s2 , t ∈ R
• ritikkäiset
• leikkaavat
Esimerkki. Ovatko suorat


 x = 1 + 2t
 x = 7 − 6s
y = −2 − 3t , t ∈ R ja
y = 2 + 9s , s ∈ R


z = 3+t
z = 1 − 3s
yhdensuuntaiset?
Suuntavektorit ovat s~1 = 2~i − 3~j +~
k ja s~2 = −6~i + 9~j − 3~k.
Koska s~2 = −6~i + 9~j − 3~
k = −3 2~i − 3~j + ~k = −3s~1 , niin
−
→
→
s1 k −
s2 ja suorat ovat yhdensuuntaiset.
Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 12 / 12