1. No category

763101P Fysiikan matematiikkaa
kesä 2015
Jakso 6
Näytä laskut viimeistään torstaina 28.5. tai palauta ne viimeistään perjantaina 29.5.
Kompleksiluvut
1. Osoita de Moivren kaavalla, että cos3  4cos3   3cos ja sin 3  3sin   4sin3  .
2. Laske kolmannet juuret luvuille a) 1 ja b) 8i .
3. Ratkaise yhtälö z 4  81  0 . Näytä myös juurten paikat kompleksitasossa.
Differrentiaaliyhtälöt
4. Eksponentiaalinen kasvu ja vaimeneminen luonnossa (esimerkki differentiaaliyhtälöstä).
Jos y  y(t ) on jonkin ajasta t riippuvan suureen arvo ja jos tämän arvon muutosnopeus on
verrannollinen itse arvoon y, niin arvon aikakehitystä kuvaa differentiaaliyhtälö
dy
 ky ,
dt
missä k on vakio (verrannollisuuskerroin).
a) Ratkaise tai osoita muuten, että differentiaaliyhtälön ratkaisu on y  y0ekt , missä y0 on y:n
arvo ajan hetkellä nolla, ts. y0  y(t  0) .
b) Radioaktiivisen hajoamisen seurauksena erästä radioaktiivista näytettä on 90% jäljellä 182:n
vuoden kuluttua sen valmistamisesta. Laske verrannollisuuskertoimen k (hajoamisvakion)
arvo ja sen jälkeen näytteen puoliintumisaika (aika, jonka kuluttua näytettä on jäljellä 50%).
5. Mitkä seuraavista differentiaaliyhtälöistä ovat lineaarisia ja mitkä epälineaarisia. Perustele.
a) 5
d2 x
dx
dy y (2  3x)
dx
 5  9 x  2cos3t , b)
, c)

 k (4  x)(1  x) , k vakio
2
dt
dt
dt
dx x(1  3 y )
6. Määrääkö x 2  y 2  4 yhtälön
7. Ratkaise differentiaaliyhtälö
dy x
 ratkaisun implisiittisesti?
dx y
dy x 2  1
 2
dx
y
Vastaukset
1.
Osoita
2.
a)
1
2
(1  i 3) , 1 , 12 (1  i 3)
3  i , 2i ,  3  i
b)
(1  i) ,
3.
3
2
4.
a)
b)
5.
a) lineaarinen
b) epälineaarinen
c) epälineaarinen
6.
Ei määrää, koska .....
7.
a) y( x)   x3  3x  K 
3
2
(1  i) ,
3
2
(1  i) ,
3
2
(1  i)
ratkaise yhtälö tai sijoita ratkaisu yhtälöön
k  0,579 103 a 1 ja t1/ 2  1200 a (a = vuosi)
1/ 3