3.2.4. Lineaarinen yhtälöpari
1) Eliminointi- eli yhteenlaskumenetelmä
E.1. Ratkaise yhtälöpari
4 x  2 y  7

5 x  3 y  10
| 3
y sijoittamalla:
| (-2)
4·½ + 2y = 7
 12x  6y  21

 - 10x - 6y  - 20
2x = 1
2y = 7 – 2
2y = 5
y = 2½
x=½
V:
x = ½, y =2½
Tarkistus:
4 ½ + 2  2½ = 7 ./.
5 ½ + 3  2½ = 10 ./.
Eliminointi- eli yhteenlaskumenetelmä
1) samat muuttujat ja vakiot allekkain
2) kerro yhtälöt siten, että jommankumman muuttujan kertoimet vastalukuja
3) Laske yhtälöt puolittain yhteen
4) Ratkaise jäljelle jäänyt muuttuja yhtälöstä
5) Toinen muuttuja saadaan sijoittamalla
(ks. E.1.)
E.2. Ratkaise yhtälöpari
TAPA1
2 x  y  0

3x  y  5
5x
= -5
x = -1
y sijoittamalla:
y = 2  (-1) = – 2
V: x = -1, y = -2
2 x  y  0

3x  y  5  0
TAPA2
Ratkaistaan ensin y:
2x – y = 0
y = 2x
Sijotetaan alempaa yhtälöön:
3x + 2x + 5 = 0
5x = – 5
x = -1
y sijoittamalla:
y = 2  (-1) = – 2
V: x = -1, y = -2
2 x  y  0

3x  y  5  0
TAPA3
Ratkaistaan ensin molemmista y:
2x – y = 0
y = 2x
3x + y + 5 = 0
y = -3x – 5
Merkitään y:n lausekkeet yhtä suuriksi:
2x = -3x – 5
2x + 3x = -5
5x = -5
x = -1
y sijoittamalla:
y = 2  (-1) = – 2
V: x = -1, y = -2
2 x  y  0

3x  y  5  0
E.3. Ratkaise E.2. graafisesti
2x – y = 0
y = 2x
3x + y + 5 = 0
y = -3x – 5
V: x = -1, y = -2
Huom:
Aina likiarvo!
Laske aina, jos ei nimenomaan
pyydetä graafista ratkaisua
Jos yhtälöiden esittämät suorat ovat yhdensuuntaiset, niin yhtälöparilla ei ole
ratkaisua (vastauksena epätosi yhtälö ilman muuttujaa, esimerkiksi ”0 = 6”)
Jos yhtälöiden esittämät suorat ovat samat, niin yhtälöparin ratkaisuna ovat suoran
kaikki pisteet (vastauksena tosi yhtälö ilman muuttujaa, esimerkiksi ”0 = 0”)
E.5. Ratkaise yhtälöpari
4 x  2 y  7  0

8 x  4 y  7  0
| (-2)
| 1
 8x  4y  14  0

 8x  4y  7  0
-21 = 0
epätosi
V: Yhtälöllä ei ole ratkaisua
E.6. Ratkaise yhtälöpari
x  2 y  1  0

2 y  x  1
 x  2y  1  0

 x  2y  1  0
0 =0
tosi
V: Kaikki suoran x – 2y + 1 = 0 pisteet
Yhtälöparin sovelluksia
E.1. Kuinka monta kanaa ja kania on miehen säkissä, kun päitä on yhteensä 8
ja jalkoja 22?
x = kanojen lkm
Sijoittamalla:
y = kanien lkm
*)
* x  y  8

2x  4y  22
x=8–3
| (-2)
| 1
y=3
x=5
V: 5 kanaa ja 3 kania
- 2x - 2y  16

 2x  4y  22
2y = 6
x+3=8
| :2
E.2. Asuntolainan korko 9,0%
Autolainan korko 10,0 %
Lainojen yhteismäärä on 140 000 €
Korkomenoja vuodessa 13 200 €.
Kuinka suuria lainat ovat?
x = asuntolaina
Sijoittamalla
y = autolaina
80000 + y = 140000
y = 140000 - 80000
x  y  140000


0,09x  0,10 y  13200
x 


- 0,9x 
0,1x
| 1
| (-10)
y  140000
V: Asuntolaina 80 000 € ja
autolaina 60 000 €
y  - 132000
= 8000
x = 80000
y = 60000
| :0,1
46b. Ratkaise yhtälöpari
a  2b  1

2a  3b  1
| (-2)
a sijoittamalla:
| 1
a + 2  (1/7) = 1
- 2a - 4b  2

 2a  3b  1
-7b = -1
b = 1/7
V:
a = 5/7, b = 1/7
a = 1 – 2/7
a = 5/7
49. Määritä suorien x + 2y = 3 ja 2x – 3y = 1 leikkauspiste
x  2 y  3

2 x  3 y  1
| (-2)
x sijoittamalla:
| 1
x + 2  (5/7) = 3
- 2x - 4y  6

 2x - 3y  1
-7y = -5
y = 5/7
V:
x = 11/7, y = 5/7
x = 3 – 10/7
x = 11/7
3.3. Ensimmäisen asteen epäyhtälö
* Kahden lausekkeen merkitty erisuuruus,
kun ”välissä” :
<
* Epäyhtälön ratkaisut
= ne muuttujan arvot, joilla ey toteutuu
* Epäyhtälön ratkaisujoukko
= kaikki epäyhtälön ratkaisut
* Epäyhtälön ratkaiseminen
= kaikkien ratkaisujen määrittäminen
E.1.
2x > 10  x > 5

>

Reaalilukuvälit
E.2. Esitä epäyhtälöin väli
a) 1,4
b) ]0,3]
c) [-2,  [
1) Avoin väli
2) Suljettu väli
a) 1 ≤ x ≤ 4
b) 0 < x ≤ 3
c) x ≥ -2
3) Puoliavoin väli
4) Ääretön väli
E.3. Esitä hakasuluin väli
a) 6 < x < 8
b) 4  x < 10
a) ]6, 8[
b) [4, 10[
c) ]- ∞, 4[
c) x < 4