Insinöörimatematiikka A
Demonstraatio 5, 6.10.2015
1. Esitä mahdollisimman pienessä joukossa binäärinen relaatio, joka ei ole symmetrinen eikä antisymmetrinen.
2. Olkoot
f = {(x, −x2 ) | x ∈ R}
g = {(x, ex ) | x ∈ R}.
ja
a) Valitse mahdolli-
simman suuret määrittely- ja maalijoukot (kummallekin erikseen), että
f
ja
g
olisivat funktioita.
b) Mitkä ovat funktioiden
f ◦g
ja
g◦f
eksplisiittimuodot?
3. (Tuplapistetehtävä) Olkoon
A mikä hyvänsä joukko. Palauta mieleen potenssi2A on mahtavampi1 kuin A. Ohje: 1) Singletonijoukkojen avulla voidaan osoittaa, että 2A on vähintään yhtä mahtava kuin
A. 2) Tee vastaoletus jonka mukaan A ja 2A ovat yhtä mahtavat, siis olisi olemassa bijektio f : A → 2A . Määritellään joukko B = {x ∈ A | x ∈
/ f (x)} ja
mieti voisiko olla olemassa sellaista alkiota b ∈ A, että f (b) = B .
joukkomerkintä
2A ,
ja osoita että
4. Selvitä miten eksponenttifunktion ominaisuudesta
mifunktion ominaisuus
ax+y = ax ay
loga (xy) = loga x + loga y .
seuraa logarit-
Ohje: logaritmifunktio on
eksponenttifunktion käänteisfunktio.
5. Selvitä miten logaritmifunktion ominaisuudesta
raa
loga xy = y loga x
6. Etsi kaikki yhtälön
ainakin jos
y ∈ N.
sin 3x + cos x = 0
loga (xy) = loga x + loga y
seu-
Ohje: Matemaattinen induktio.
ratkaisut. Ohje: Käytä trigonometristen
funktioiden summakaavoja.
7. Sievennä
cos(x + π2 )
ja
sin(x + π2 ).
Ohje: Piirrä yksikköympyrä ja mieti miten
kehäpisteen koordinaatit muuttuvat, kun kulmaan lisätään
π.
2−3i
8. Esitä kompleksiluku 5−2i
a) muodossa
9. Etsi yhtälön
a + bi
b) muodossa
z 2 − 2z + 3 = 0
10. Piirrä yhtälön
reiθ .
(likiarvo luvulle
θ)
kaikki kompleksiset ratkaisut
(z − 4)i = z + z − 4
ratkaisun kuvaaja kompleksitasoon.
Seuraavia tehtäviä ei oteta huomioon demotehtävien kokonaismäärää laskettaessa, mutta niistä saa lisäpisteitä.
√
cos(2x) = − 23 ratkaisut. (2p)
√
kompleksiluvun 1 − i 3 polaariesitys. (4p)
√
kompleksiluvun −1 − i 3 polaariesitys. (4p)
11. Etsi kaikki yhtälön
12. Etsi
13. Etsi
1
Jos on olemassa injektio
kuin
A.
f : A → B,
sanotaan, että
B
on
vähintään yhtä mahtava
kuin joukko