802120P Matriisilaskenta (5 op)
Tero Vedenjuoksu
Matemaattiset tieteet
Syksy 2015
1 / 159
Luennoitsija: Tero Vedenjuoksu
[email protected]
M321
Kurssilla käytetään Noppaa (noppa.oulu.fi ) sekä Optimaa
(optima.oulu.fi )
Luentomoniste (osissa Noppaan)
Harjoitustehtävät, luennot
Luento- ja harjoitusajat
Tenttiajat
Verkkomateriaalia: YouTube, Khan Academy
(https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra)
2 / 159
Opintojakson suorittaminen
Kurssi koostuu luentotapaamisista, ryhmätyöskentelystä sekä
itsenäisestä opiskelusta.
Viikottain tehtäviä asioita:
luentojen esitehtävät (esim. helpohko ongelma ratkaistavaksi ja
tulevan kerran käsitteisiin tutustumista)
Luennoilla ratkaistavat tehtävät
Kurssi suoritetaan loppukokeella TAI jatkuvan arvioinnin
kautta.
Jatkuva arvionti:
Palautettavat viikkotehtävät sekä ennakkotehtävät (n. 3-4 teht
/viikko)
Itsearvioinnit (oliko hankalia asioita, miten osaan
asiakokonaisuuksia, miten paljon käytin aikaa läpikäymiseen,
minkä arvosanan antaisin itselleni,...)
Päättötyö/-koe
Jatkuvassa arvioinnissa kaikki osat pakollisia. Tarkemmat
ohjeet sekä piste/arvosanataulukko tulee Optimaan.
3 / 159
Mistä tukea opintojakson sisältöjen opiskeluun
Luennot
TI ja TO klo 10-12
Valmistaudu ennakkoon tekemällä ennakkotehtävä
Ryhmätyöskentelyä
Uskalla kysyä ja keskeyttää
Tutortupa (3. krs) avoinna
MA-PE 13-16
Laskuharjoitukset/laskupäivät
To 12-14
Pe 10-12
Ke 10-12
4 / 159
Lineaarialgebraa ja matriiseja tarvitaan lähes jokaisella
matematiikan kurssilla, ja lisäksi tilastotieteessä, fysiikassa, ...
Sovelluskohteita:
Kuvankäsittely
Signaalinkäsittely
Tomografia
GPS
Virheen havaitsevat koodit ja virheen korjaavat koodit
Kuvanpakkaus
...
5 / 159
Kurssin sisältöä:
Vektorit
Lineaarinen yhtälöryhmä ja sen ratkaiseminen
Matriisit ja niiden laskutoimitukset
Determinantti
Vektoriavaruudet
Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit
Similaarisuus ja diagonalisoituvuus
6 / 159
Vektorit
7 / 159
Määritelmä 1
Olkoon n 2 N = {1, 2, 3, . . .}. Jono x = (x1 , x2 , . . . , xn ), missä
x1 , x2 , . . . , xn 2 R, on n-ulotteinen tai n-komponenttinen vektori.
Kaikkien n-ulotteisten vektorien joukko on avaruus Rn , ts.
Rn = {(x1 , x2 , . . . , xn )|x1 , x2 , . . . , xn 2 R}.
Vektorit x, y 2 Rn ovat samat, jos
xi = yi
kaikilla i = 1, . . . , n. Olkoot x, y 2 Rn ja
x +y
x
2 R. Tällöin
= (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) 2 Rn ja
= ( x1 , x2 , . . . , xn ) 2 Rn .
8 / 159
Lause 1
Olkoot x, y , z 2 Rn ja , µ 2 R. Tällöin
(a) x + y = y + x (vaihdannaisuus)
(b) x + (y + z) = (x + y ) + z (liitännäisyys)
(c) on olemassa nollavektori 0 = (0, . . . , 0) 2 Rn ja x + 0 = x
(d) on olemassa vastavektori
(e)
(µx) = ( µ)x
x=
1 · x ja x + ( x) = 0
(f) 1 · x = x
(g) ( + µ)x = x + µx
(h)
(x + y ) = x + y (osittelulait).
Huomautus
Edellisen lauseen (d)-kohdan nojalla jokaisella vektorilla y 2 Rn on
vastavektori y 2 Rn . Otetaan käyttöön lyhennysmerkintä
x y := x + ( y ).
9 / 159
Määritelmä 2
Vektoreiden u = (u1 , . . . , un ) 2 Rn ja v = (v1 , . . . , vn ) 2 Rn
pistetulo on
u · v = u 1 v1 + u 2 v 2 + · · · + u n vn .
Määritelmä 3
Vektorit u 2 Rn ja v 2 Rn ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa
toisiaan vastaan, jos
u · v = 0.
10 / 159
Luentopähkinät
Ratkaise ryhmissä
1 Olkoot u = (1, 3, 5, 2), v = ( 3, 6, 3, 1) ja w = (2, 1, 1, 3).
a) Laske v + 4w .
b) Ovatko jotkin vektoreista ortogonaaliset?
c) Ratkaise x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) yhtälöstä 2x = u
2
3w .
Olkoot x, y , z 2 Rn ja , µ 2 R. Osoita, että
(a) x + (y + z) = (x + y ) + z
(b) ( + µ)x = x + µx.
11 / 159
Määritelmä 4
Avaruuden Rn , n = 2, 3, suora on joukko
{u + kv |k 2 R},
missä u 2 Rn ja v 2 Rn \{0}. Tätä suoran esitystä kutsutaan suoran
vektoriesitykseksi. Vektoria u kutsutaan paikkavektoriksi ja vektoria
v suuntavektoriksi.
Avaruuden R2 suora voidaan esittää myös muodossa
ax1 + bx2 + c = 0,
missä a, b, c 2 R ja vähintään toinen luvuista a tai b on nollasta
eroava.
12 / 159
Määritelmä 5
Avaruuden R3 taso on joukko
{u + kv + tw |k, t 2 R},
missä u 2 R3 ja v , w 2 R3 \{0} ja vektorit v ja w eivät ole
yhdensuuntaiset. Vektoria u kutsutaan paikkavektoriksi ja
vektoreita v ja w suuntavektoreiksi.
Taso avaruudessa R3 on myös sellaisten pisteiden (x1 , x2 , x3 ) 2 R3
joukko, jotka toteuttavat yhtälön
ax1 + bx2 + cx3 + d = 0,
missä a, b, c, d 2 R ja ainakin yksi luvuista a, b, c on nollasta
eroava. Tätä yhtälöä kutsutaan tason skalaariyhtälöksi.
13 / 159
Luentopähkinät
1
Olkoot x = (1, 1, 1), y = (4, 0, 2) ja z = (0, 1, 1) avaruuden
R3 pisteitä. Kirjoita näiden pisteiden kautta kulkeva taso
vektorimuodossa
{u + kw + tv |k, t 2 R}.
2
Tiedetään, että vektori n = ( 2, 5, 1) on kohtisuorassa
edellisen tehtävän tasoa vastaan. Määrää taso skalaariyhtälönä
eli muodossa
ax1 + bx2 + cx3 + d = 0.
14 / 159