KUL-49.3100 Laskuharjoitus 4

Kul-49.3100
Dynamiikka II
Kul-49.3100
Dynamiikka II
Harjoitus 5
Harjoitus 4
16.10.
14.10.2015
(KOTITEHTÄVÄ) = palautetaan laskuharjoitusten alussa tai kurssin postilaatikkoon enne
joitusten alkua viimeistään klo 10.00 (16.10.2013).
1.
(KOTITEHTÄVÄ) = palautetaan
laskuharjoitusten alussa
postilaatikkoon
(KOTITEHTÄVÄ)
Kuvantai kurssin
mopoilija
hyppää viimeistään
hyppyristä
klo 12.00 (14.10.2015).
(mallinnetaan hänet partikkelina P , jonka massa on m). Mopoilijan nahkarotsiin vaikuttaa ilmanvastus, joka mallinetaan käyttäen
konstitutiivista yhteyttä f! = −α!v (α > 0 vakio ja !v on mopoilijan
1.
Käytävaakasuoralla
Lagrangen menetelmää
ja ratkaise yleistetyt voimat
(KOTITEHTÄVÄ) Kuvannopeus).
mukainen
tasolla (KOTITEHTÄVÄ)
= palautetaan l
Qx ja Qy sekä(säde
mopoilijan
liikeyhtälöt.
Oletetaan, että mopoilija
oleva homogeeninen ympyräsylinteri
R, massa
m,
joitusten alkua viimeistään klo 10
2
pysyy
xy-tasossakitkattomasti
ja käytetään yleistettyinä koordinaatteina
hitausmomentti IC = mR
/2) kuvan
on kiinnitetty
mopoilijan
koordinaatteja
xP (jousija yP kuvan
1. koordinaatistossa VIHakselistaan C kiinteään seinään
lineaarisella
jousella
käyttää
suoraan ratkaisuohjetta
lopusta.
vakio k, jousivoima nolla, JE:
kunVoit
xC =
0). Muodosta
systeemin tehtäväpaperin
(KOTITEHTÄVÄ)
Tarkastell
Kul-49.3100
Dynamiikka II
liike-energian ja yleistetyn voiman lausekkeet, sekä sen liikelista
Vastaus:(2Liikeyhtälöt
ovat mẍ + αẋ = 0 ja mÿ
+ α(massa
ẏ + mg = m)
0
yhtälö. Sylinteri vierii liukumatta.
p.)
2.
ja massatt
(pituus l) koostuvaa pallohe
1.
naateiksi kulmat φ ja θ. Olet
Vastaus: liikeyhtälö on (3/2)mẍ
0.
C + kxC = Tarkastellaan
(KOTITEHTÄVÄ)
oheisen kuvan mukaista partikkeO on kitkaton
ja ettei ilmanva
Z
lista (massa m) ja massattomasta ja venymättömästä
sauvasta
(KOTITEHTÄVÄ) Määritä(pituus
kuvan l)mukaisen
vaunusta
(molempien
massa
m), kolkoostuvaakahdesta
palloheiluria.
Valitaan
yleistetyiksi
koordi(a)
Määritä
yleistettyjä
koor!
mesta lineaarisesta jousesta
(kaikkien
jousivakio
k)
ja
yhdestä
viskoosista
vaimentimesta
naateiksi kulmat φ ja θ. Oleta, että rakenteen pallonivel pisteessä
käyttäen
määritelmää Qj =
(vaimennuskerroin c) muodostuvan
kitkattoman
systeemin tarvitse
yleistetyt
voimat ja liikeyhtälöt
O on kitkaton
ja ettei ilmanvastusta
huomoida.
(b)x2yleistetyt
Määritä
vo
(a) Määritä
yleistettyjä koordinaatteja
vastaavat
voimatyleistetyt
Lagrangen menettelyllä. Jouset
ovat lepopituuksissaan
x1 ja
arvoilla
nolla.
Teh- ! θ
l
!siirtymien
!
käyttäen
määritelmää
Qj = i∈Ijousen
Fi · (∂!rpituuden
tävän vaimentimen aiheuttama
voima
riippuu lineaarisesti
määritelmää
δW = j∈J Qj
i /∂q
j ). muutosnopeudesta.
(b) Määritä yleistetyt
voimat käyttäen(c)virtuaalisen
työn systeemin
φ
!
Esitä lisäksi
li
määritelmää
δW
=
Q
δq
.
j
j
Vastaus:
j∈J
(c) Esitä
systeemin
T liikeyhtälöt.
lauseke ja lagrangen X
lisäksi
liike-energian
m
1 0
0 1
ẍ1
ẍ2
+c
1 liikeyhtälöt.
−1 ẋ1
2 −1
+k
−1 1
ẋ2
−1 2
x1
x1
x2
= 0.
#j "
x2
k
k
m
θ̇
k
l
m
θ̇l
c
3.
ωp
(KOTITEHTÄVÄ) Tarkastellaan oheisen kuvan mukaista
kitkatonta jousi-heiluri systeemiä. Muodosta systeemin yleistettyjen voimien, liike-energian ja liikeyhtälöiden lausekkeet,
kun yleistettyinä koordinaateina ovat kuvan y ja θ. Systeemin
molemmat massat ovat pistemäisiä ja massan m1 liike on
rajoitettu kuvan y-akselille. Sauva (pituus l) on kiinnitetty
toisesta päästään nivelisesti massaan m1 ja sen toiseen päähän
on kiinnitetty massa m2 . Jousen jousivakio on k ja sen oletetaan olevan levossa, kun massan m1 y-koordinaatti on nolla.
Sauva on massaton ja venymätön. (2 p.)
Vastaus: Yleistetyt voimat ovat Qy = (m1 + m2 )g − ky
ja Qβ = −m2 gl sin θ, liike-energia T = (1/2)([m1 +
m2 ]ẏ 2 + m2 [l2 θ̇2 − 2ẏlθ̇ sin θ]) sekä liikeyhtälöt
(m1 + m2 )ÿ − m2 l(θ̈ sin θ + θ̇2 cos θ) − (m1 + m2 )g + ky = 0
ja m2 l2 θ̈ − m2 ÿl sin θ + 2m2 ẏlθ̇ cos θ + m2 gl sin θ = 0
#i"
x
k
m1
θ
l
g
m2
y
Dynamiikka II
(KOTITEHTÄVÄ) = palautetaan laskuharjoitusten alussa tai kurssin postilaatikkoon (Puumiehenkuja 5 A, luentosalin viereinen käytävä) ennen laskuharjoitusten alkua viimeistään klo 10.00
(12.10.2011).
1.
4.
5.
(KOTITEHTÄVÄ) Faster, harder, scooter! Kuvan mopoilija
Kuvan mopoilija hyppää hyppyristä (mallinnetaan hänet
hyppää hyppyristä (mallinnetaan hänet partikkelina P , jonka
partikkelina P , jonka massa on m). Mopoilijan nahkarotsiin
massa on m). Mopoilijan nahkatakkiin vaikuttaa ilmanvastus,
vaikuttaa ilmanvastus, joka mallinetaan käyttäen konstitu- y
joka mallinetaan käyttäen konstitutiivista yhteyttä f! = −α!v
tiivista yhteyttä f = −αv (α > 0 vakio ja v on mopoilijan
(α > 0 vakio ja !v on mopoilijan nopeus). Käytä Lagrangen
nopeus). Käytä Lagrangen menetelmää ja ratkaise yleistetyt
menetelmää ja ratkaise yleistetyt voimat Qx ja Qy sekä movoimatliikeyhtälöt.
Qx ja Qy sekä
mopoilijan
Oletetaan,
poilijan
Oletetaan,
että liikeyhtälöt.
mopoilija pysyy
kuvanettä
mopoilija
pysyy
kuvan
xy-tasossa
ja
käytetään
yleistettyinä
xy-tasossa ja käytetään yleistettyinä koordinaatteina mopoilikoordinaatteja
xP ja VIHJE:
yP kuvan
jankoordinaatteina
koordinaatteja mopoilijan
xP ja yP kuvan
koordinaatistossa
koordinaatistossa.
Katso
ratkaisuohje tehtäväpaperin lopusta.
P
x
g
Vastaus:
Liikeyhtälöt
ovat
mẍ+α
ẋ =
ja mÿ+α
ẏ+mg
Vastaus:
Liikeyhtälöt
ovat
mẍ+α
ẋ =
0 ja0 mÿ+α
ẏ+mg
= 0= 0
Ohueen massattomaan sauvaan (pituus r) kiinnitetty partikkeli liikkuu voiman F~ = Fx~i + Fy~j vaikutuksen alaisena
2.
kitkattoman nivelen
O ympäri.
Määritä kinemaattisesti
luval(KOTITEHTÄVÄ)
Määritä
kuvan esittämän
kahdesta massas~
partikkelin
P siirtymä,
voiman
F tekemä
virtuaalinen
ta linen
ja kolmesta
lineaarisesta
jousesta
muodostuvan
kitkattoman
työ
ja
yleistetty
voima
käyttäen
yleistettynä
koordinaattina
systeemin liikeyhtälöt Lagrangen menettelyllä. Jouset ovat (a)
sauvan kiertymäkulmaa
φ ja
y-koordinaattia.
lepopituuksissaan
siirtymien
x1(b)
ja xpartikkelin
2 arvoilla nolla.
Vastaus:
mẍ1 + (k1 + k2 )x1 − k2 x2 = 0
mẍ2 − k2 x1 + (k2 + k3 )x2 = 0
6.
Partikkeli (massa m) liikkuu kitkattomasti xy-tasossa pitkin
paraabelia y = ax2 . Määritä Lagrangen menetelmällä partik(KOTITEHTÄVÄ) Partikkeli P on asetettu roikkummaan
kelin liikeyhtälö.
massattomaan jouseen (jousivakio k, lepopituus l) kuvan
osoittamalla tavalla. Ratkaise
partikkelin liikeyhtälöt käyttäen
Vastaus: m(ẍ + 4a2 xẋ2 + 4a2 x2 ẍ) + 2mgax = 0
Lagrangen menetelmää. Valitse yleistetyiksi koordinaateiksi
7. kappaleen
4. etäisyys r jousen kiinnityspisteestä ja kulma θ.
Johda jäykän
kappaleen
rotaatioon
yhtälö
(yksi
Johda jäykän
kappaleen
rotaatioon liittyvä
liittyvä yhtälö
(hyrräyhtähyrräyhtälöistä
Eulerin kumien väli-koordinaatistossa)
Vastaus:
löt väli-koordinaatistossa)
3.
=(IIθ0−
θ̈++Ik0(I
I0l)
)φ̇θ2=sin
cos
ψ̇ φ̇θsin θ
I0M
θ̈gξ+
)(r
φ̇−2 −
cos
+ Iθψ̇+φ̇Isin
r̈ M
− ξrθ̇=2 −
cos
0 θθ sin
m
Lagrangen
Eulerin
kulmia
ψ yleisrθ̈Lagrangen
+ 2ṙθ̇ +
gmenettelyllä
sin θ =menettelyllä
0 pitäenpitäen
Eulerin
kulmia
φ, θφ,jaθ ψja yleistettyinä koordinaatteina.
tettyinä koordinaatteina.
Demotehtävät
seuraavalla sivulla. . .
Ratkaisu
Ratkaistaan tehtävä käyttäen Lagrangen liikeyhtälöiden yleistä muotoa: kuvaan merkityn momentin konservatiivisuudesta ei tiedetä mitään. Valitaan yleistetyiksi koordinaateiksi Eulerin kulmat φ, θ ja ψ ja käytetään peruspisteenä hyrrän kiinteä pistettä A = O,
joka siis yhtyy origoon jatkuvasti. Tätä varten tarvitaan yleistettyjen voimien Qφ , Qθ ja
Qψ esitykset, jotka ja luentokalvojen yhteydestä
!
δW =
Qj δqj = Qφ δφ + Qθ δθ + Qψ δψ.
j