KUL-49.3100 Laskuharjoitus 4
Kul-49.3100 Dynamiikka II Kul-49.3100 Dynamiikka II Harjoitus 5 Harjoitus 4 16.10. 14.10.2015 (KOTITEHTÄVÄ) = palautetaan laskuharjoitusten alussa tai kurssin postilaatikkoon enne joitusten alkua viimeistään klo 10.00 (16.10.2013). 1. (KOTITEHTÄVÄ) = palautetaan laskuharjoitusten alussa postilaatikkoon (KOTITEHTÄVÄ) Kuvantai kurssin mopoilija hyppää viimeistään hyppyristä klo 12.00 (14.10.2015). (mallinnetaan hänet partikkelina P , jonka massa on m). Mopoilijan nahkarotsiin vaikuttaa ilmanvastus, joka mallinetaan käyttäen konstitutiivista yhteyttä f! = −α!v (α > 0 vakio ja !v on mopoilijan 1. Käytävaakasuoralla Lagrangen menetelmää ja ratkaise yleistetyt voimat (KOTITEHTÄVÄ) Kuvannopeus). mukainen tasolla (KOTITEHTÄVÄ) = palautetaan l Qx ja Qy sekä(säde mopoilijan liikeyhtälöt. Oletetaan, että mopoilija oleva homogeeninen ympyräsylinteri R, massa m, joitusten alkua viimeistään klo 10 2 pysyy xy-tasossakitkattomasti ja käytetään yleistettyinä koordinaatteina hitausmomentti IC = mR /2) kuvan on kiinnitetty mopoilijan koordinaatteja xP (jousija yP kuvan 1. koordinaatistossa VIHakselistaan C kiinteään seinään lineaarisella jousella käyttää suoraan ratkaisuohjetta lopusta. vakio k, jousivoima nolla, JE: kunVoit xC = 0). Muodosta systeemin tehtäväpaperin (KOTITEHTÄVÄ) Tarkastell Kul-49.3100 Dynamiikka II liike-energian ja yleistetyn voiman lausekkeet, sekä sen liikelista Vastaus:(2Liikeyhtälöt ovat mẍ + αẋ = 0 ja mÿ + α(massa ẏ + mg = m) 0 yhtälö. Sylinteri vierii liukumatta. p.) 2. ja massatt (pituus l) koostuvaa pallohe 1. naateiksi kulmat φ ja θ. Olet Vastaus: liikeyhtälö on (3/2)mẍ 0. C + kxC = Tarkastellaan (KOTITEHTÄVÄ) oheisen kuvan mukaista partikkeO on kitkaton ja ettei ilmanva Z lista (massa m) ja massattomasta ja venymättömästä sauvasta (KOTITEHTÄVÄ) Määritä(pituus kuvan l)mukaisen vaunusta (molempien massa m), kolkoostuvaakahdesta palloheiluria. Valitaan yleistetyiksi koordi(a) Määritä yleistettyjä koor! mesta lineaarisesta jousesta (kaikkien jousivakio k) ja yhdestä viskoosista vaimentimesta naateiksi kulmat φ ja θ. Oleta, että rakenteen pallonivel pisteessä käyttäen määritelmää Qj = (vaimennuskerroin c) muodostuvan kitkattoman systeemin tarvitse yleistetyt voimat ja liikeyhtälöt O on kitkaton ja ettei ilmanvastusta huomoida. (b)x2yleistetyt Määritä vo (a) Määritä yleistettyjä koordinaatteja vastaavat voimatyleistetyt Lagrangen menettelyllä. Jouset ovat lepopituuksissaan x1 ja arvoilla nolla. Teh- ! θ l !siirtymien ! käyttäen määritelmää Qj = i∈Ijousen Fi · (∂!rpituuden tävän vaimentimen aiheuttama voima riippuu lineaarisesti määritelmää δW = j∈J Qj i /∂q j ). muutosnopeudesta. (b) Määritä yleistetyt voimat käyttäen(c)virtuaalisen työn systeemin φ ! Esitä lisäksi li määritelmää δW = Q δq . j j Vastaus: j∈J (c) Esitä systeemin T liikeyhtälöt. lauseke ja lagrangen X lisäksi liike-energian m 1 0 0 1 ẍ1 ẍ2 +c 1 liikeyhtälöt. −1 ẋ1 2 −1 +k −1 1 ẋ2 −1 2 x1 x1 x2 = 0. #j " x2 k k m θ̇ k l m θ̇l c 3. ωp (KOTITEHTÄVÄ) Tarkastellaan oheisen kuvan mukaista kitkatonta jousi-heiluri systeemiä. Muodosta systeemin yleistettyjen voimien, liike-energian ja liikeyhtälöiden lausekkeet, kun yleistettyinä koordinaateina ovat kuvan y ja θ. Systeemin molemmat massat ovat pistemäisiä ja massan m1 liike on rajoitettu kuvan y-akselille. Sauva (pituus l) on kiinnitetty toisesta päästään nivelisesti massaan m1 ja sen toiseen päähän on kiinnitetty massa m2 . Jousen jousivakio on k ja sen oletetaan olevan levossa, kun massan m1 y-koordinaatti on nolla. Sauva on massaton ja venymätön. (2 p.) Vastaus: Yleistetyt voimat ovat Qy = (m1 + m2 )g − ky ja Qβ = −m2 gl sin θ, liike-energia T = (1/2)([m1 + m2 ]ẏ 2 + m2 [l2 θ̇2 − 2ẏlθ̇ sin θ]) sekä liikeyhtälöt (m1 + m2 )ÿ − m2 l(θ̈ sin θ + θ̇2 cos θ) − (m1 + m2 )g + ky = 0 ja m2 l2 θ̈ − m2 ÿl sin θ + 2m2 ẏlθ̇ cos θ + m2 gl sin θ = 0 #i" x k m1 θ l g m2 y Dynamiikka II (KOTITEHTÄVÄ) = palautetaan laskuharjoitusten alussa tai kurssin postilaatikkoon (Puumiehenkuja 5 A, luentosalin viereinen käytävä) ennen laskuharjoitusten alkua viimeistään klo 10.00 (12.10.2011). 1. 4. 5. (KOTITEHTÄVÄ) Faster, harder, scooter! Kuvan mopoilija Kuvan mopoilija hyppää hyppyristä (mallinnetaan hänet hyppää hyppyristä (mallinnetaan hänet partikkelina P , jonka partikkelina P , jonka massa on m). Mopoilijan nahkarotsiin massa on m). Mopoilijan nahkatakkiin vaikuttaa ilmanvastus, vaikuttaa ilmanvastus, joka mallinetaan käyttäen konstitu- y joka mallinetaan käyttäen konstitutiivista yhteyttä f! = −α!v tiivista yhteyttä f = −αv (α > 0 vakio ja v on mopoilijan (α > 0 vakio ja !v on mopoilijan nopeus). Käytä Lagrangen nopeus). Käytä Lagrangen menetelmää ja ratkaise yleistetyt menetelmää ja ratkaise yleistetyt voimat Qx ja Qy sekä movoimatliikeyhtälöt. Qx ja Qy sekä mopoilijan Oletetaan, poilijan Oletetaan, että liikeyhtälöt. mopoilija pysyy kuvanettä mopoilija pysyy kuvan xy-tasossa ja käytetään yleistettyinä xy-tasossa ja käytetään yleistettyinä koordinaatteina mopoilikoordinaatteja xP ja VIHJE: yP kuvan jankoordinaatteina koordinaatteja mopoilijan xP ja yP kuvan koordinaatistossa koordinaatistossa. Katso ratkaisuohje tehtäväpaperin lopusta. P x g Vastaus: Liikeyhtälöt ovat mẍ+α ẋ = ja mÿ+α ẏ+mg Vastaus: Liikeyhtälöt ovat mẍ+α ẋ = 0 ja0 mÿ+α ẏ+mg = 0= 0 Ohueen massattomaan sauvaan (pituus r) kiinnitetty partikkeli liikkuu voiman F~ = Fx~i + Fy~j vaikutuksen alaisena 2. kitkattoman nivelen O ympäri. Määritä kinemaattisesti luval(KOTITEHTÄVÄ) Määritä kuvan esittämän kahdesta massas~ partikkelin P siirtymä, voiman F tekemä virtuaalinen ta linen ja kolmesta lineaarisesta jousesta muodostuvan kitkattoman työ ja yleistetty voima käyttäen yleistettynä koordinaattina systeemin liikeyhtälöt Lagrangen menettelyllä. Jouset ovat (a) sauvan kiertymäkulmaa φ ja y-koordinaattia. lepopituuksissaan siirtymien x1(b) ja xpartikkelin 2 arvoilla nolla. Vastaus: mẍ1 + (k1 + k2 )x1 − k2 x2 = 0 mẍ2 − k2 x1 + (k2 + k3 )x2 = 0 6. Partikkeli (massa m) liikkuu kitkattomasti xy-tasossa pitkin paraabelia y = ax2 . Määritä Lagrangen menetelmällä partik(KOTITEHTÄVÄ) Partikkeli P on asetettu roikkummaan kelin liikeyhtälö. massattomaan jouseen (jousivakio k, lepopituus l) kuvan osoittamalla tavalla. Ratkaise partikkelin liikeyhtälöt käyttäen Vastaus: m(ẍ + 4a2 xẋ2 + 4a2 x2 ẍ) + 2mgax = 0 Lagrangen menetelmää. Valitse yleistetyiksi koordinaateiksi 7. kappaleen 4. etäisyys r jousen kiinnityspisteestä ja kulma θ. Johda jäykän kappaleen rotaatioon yhtälö (yksi Johda jäykän kappaleen rotaatioon liittyvä liittyvä yhtälö (hyrräyhtähyrräyhtälöistä Eulerin kumien väli-koordinaatistossa) Vastaus: löt väli-koordinaatistossa) 3. =(IIθ0− θ̈++Ik0(I I0l) )φ̇θ2=sin cos ψ̇ φ̇θsin θ I0M θ̈gξ+ )(r φ̇−2 − cos + Iθψ̇+φ̇Isin r̈ M − ξrθ̇=2 − cos 0 θθ sin m Lagrangen Eulerin kulmia ψ yleisrθ̈Lagrangen + 2ṙθ̇ + gmenettelyllä sin θ =menettelyllä 0 pitäenpitäen Eulerin kulmia φ, θφ,jaθ ψja yleistettyinä koordinaatteina. tettyinä koordinaatteina. Demotehtävät seuraavalla sivulla. . . Ratkaisu Ratkaistaan tehtävä käyttäen Lagrangen liikeyhtälöiden yleistä muotoa: kuvaan merkityn momentin konservatiivisuudesta ei tiedetä mitään. Valitaan yleistetyiksi koordinaateiksi Eulerin kulmat φ, θ ja ψ ja käytetään peruspisteenä hyrrän kiinteä pistettä A = O, joka siis yhtyy origoon jatkuvasti. Tätä varten tarvitaan yleistettyjen voimien Qφ , Qθ ja Qψ esitykset, jotka ja luentokalvojen yhteydestä ! δW = Qj δqj = Qφ δφ + Qθ δθ + Qψ δψ. j
![Metriset avaruudet Harjoitus 3 1. Olkoon E = C[0,1] ja A = {f ∈ E : f(x](http://cdn3.abcdocz.com/store/data/003650604_1-f8132d0d9a05fb70c0f155a92d7de705-250x500.png)
© Copyright 2024