1. No category

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset
Haarto & Karhunen
www.turkuamk.fi
Tavallisimpia voimia:
• Painovoima G
• Normaalivoima, Tukivoima N
• Jännitysvoimat T
• Kitkavoimat f s ja f k
• Voimat yleisesti
F
www.turkuamk.fi
Vapaakappalekuva
• Kuva, joka sisältää kaikki kappaleeseen vaikuttavat ulkoiset voimat
• Kuvaan ei piirretä niitä voimia, joilla kappale itse vaikuttaa
ympäristöönsä
• Jokaisesta erillisestä kappaleesta piirretään oma vapaakappalekuva
• Kappaleen kiihtyvyyden suunta myös kuvaan
www.turkuamk.fi
Kappale kaltevalla tasolla
a
www.turkuamk.fi
Kitka
• Kappaleen liikettä vastustava vuorovaikutus ympäristön kanssa (pinta,
neste, kaasu), kitkavoima
• Mahdollistaa liikkumisen
• Usein kitkavoima on verrannollinen pintoja toisiaan vastaan
puristavasta voimasta, normaalivoimasta, N
• Tällöin kitkavoima ei riipu pintojen suuruudesta
www.turkuamk.fi
Lepokitkavoima
• Eli staattinen kitkavoima fs
• Siirtämään pyrkivälle voimalle vastakkaissuuntainen
f s  s N
f s ,max   s N (lähtökitka)
• μs = lepokitkakerroin (yksikötön)
• N = normaalivoima
www.turkuamk.fi
Liikekitkavoima
• alkaa vaikuttaa kappaleen lähdettyä liikkeelle
f k  k N
• μk = liikekitkakerroin
• μk < μs
www.turkuamk.fi
Likimääräisiä kitkakertoimen arvoja
Ainepari
μs
μk
Metalli-metalli (voideltu)
0,15
0,06
Kumi-asfaltti (kuiva)
0,8
0,6
Kumi-asfaltti (märkä)
0,6
0,5
Kumi-jää (kuiva)
0,2
0,15
Kumi-jää (märkä)
0,1
0,08
Lasi-lasi
0,94
0,40
Jää-jää
0,1
0,03
Teflon-teflon
0,04
0,04
www.turkuamk.fi
Väliaineen vastus
• Kappaleen liikkuessa nesteessä tai kaasussa, kappaleeseen törmäävät
molekyylit ja paine-erot aiheuttavat siihen liikkeen suunnalle
vastakkaisen vastusvoiman, jonka suuruus riippuu nopeudesta
• Kun vastusvoima kumoaa kappaleeseen vaikuttavat muut voimat, niin
on saavutettu rajanopeus vr
www.turkuamk.fi
Ilmanvastus suurilla nopeuksilla
• Kappale liikkuu nopeasti kaasussa tai nesteessä aiheuttaen pyörteitä.
• Vastusvoima on verrannollinen likimain nopeuden neliöön
FD  cD Av
1
2
2
• cD on kappaleen muodosta riippuva vastuskerroin
• esim. pallolle 0,44, laskuvarjolle 1,4 ja henkilöautolle n. 0,3
• A on kappaleen poikkipinta-ala
• ρ on väliaineen tiheys (ilmalle n. 1,3 kg/m3)
www.turkuamk.fi
• Putoava kappale saavuttaa rajanopeuden, kun liikettä
vastustava voima ja noste kumoavat painovoiman
vaikutuksen
FD  FN  G
1
2
FD+FN
cD Avr2  0  mg
• Jos nostetta ei huomioida, niin rajanopeudeksi
saadaan
2mg
vr 
cD A
G
• Joten rajanopeus riippuu myös kappaleen koosta
www.turkuamk.fi
• Esimerkki: Kivipallon rajanopeus ilmassa
• Kiven tiheys k = 2700 kg/m3
• Ilman tiheys  = 1,2 kg/m3
• Vastuskerroin cD = 0,44
• Rajanopeus
vr 
8  k gr
2mg

cD A
3cD 
• r on kivipallon säde
r [mm]
100
10
1
0,1
0,01
0,001
0,0001
vr [m /s]
115,66
36,57
11,57
3,66
1,16
0,37
0,12
www.turkuamk.fi
Newtonin lakien soveltamisesta
• Oletuksia ongelmien yksinkertaistamiseksi
Kappaleet pistemäisiä, jolloin pyörimisliikettä ei tarvitse
huomioida
Kappaleiden väliset köydet ovat massattomia
Pyörät, joiden yli köydet kulkevat, ovat massattomia ja kitkattomia
Kappaleilla on yhtä suuri kiihtyvyys, joka voi olla nolla
www.turkuamk.fi
Ongelmien ratkaiseminen
• Piirrä vapaakappalekuvat kaikista kappaleista
• Selvitä kappaleiden kiihtyvyyksien suunnat
• Muodosta vapaakappalekuvista Newtonin 2. lain mukaiset liikeyhtälöt
(tai tasapainoyhtälöt)
 F  ma
m = tarkasteltava massa
• Ratkaise tuntemattomat suureet muodostetuista liikeyhtälöistä
• Tarkista tulosten mielekkyys
www.turkuamk.fi
• Muistettava, että kiihtyvyyden suuntaiset voimat ovat positiivisia
(+) ja vastakkaissuuntaiset voimat negatiivisia (-) Newtonin 2. lain
mukaisissa yhtälöissä.
• Muistettava, että kitkavoima on aina vastakkaissuuntainen
liikkeen suunnalle, mutta ei välttämättä kiihtyvyyden suunnalle!
www.turkuamk.fi
Esimerkki kitkakertoimien määrittämisestä
• Laatikko lähtee kaltevalla tasolla liukumaan, kun kaltevuuskulma on
22 ja liukuu tällä kaltevuudella kiihtyvyydellä 2,2 m/s2. Laske liikeja lepokitkakertoimien arvot.
www.turkuamk.fi
 N  mg cos 

 f k  k N
mg sin   f  ma
k

Yhdistetään edelliset yhtälöt ja saadaan
mg sin    k mg cos   ma
 mg sin   ma   k mg cos 
mg sin   ma
mg cos 
a
  k  tan  
g cos 
 k 
2,2 m/s 2
  k  tan 22 
9,81 m/s 2  cos 22
Lepokitkakertoimen tilanteessa
kiihtyvyys = 0 m/s2.
mg sin    s mg cos   0
  s  tan 
  s  tan 22
 s  0,40
 k  0,16
www.turkuamk.fi
Esimerkki Newtonin lakien soveltamisesta
• Laske kappaleiden kiihtyvyys ja
niiden välinen jännitysvoima, kun
ne lähtevät kitkattomasti levosta ja
kun kappaleen m1 massa on 7,0 kg
ja m2 massa on 3,0 kg.
N
a
v
T
m1
m2
T
a
m1g
m2g
www.turkuamk.fi
• Newtonin 2. lain mukaiset yhtälöt:
 N  m1 g
 f  N jos kitka olisi mukana
 k

T  m1a
m2 g  T  m2a
• Kaksi alimmaista yhdistämällä:
m2 g  m1a  m2 a
 m2 g  m1a  m2 a
 m2 g  (m1  m2 )a
m2 g
3 kg  9,81 m/s 2
 2,943 m/s 2  2,9 m/s 2
a

m1  m2
7 kg  3 kg
 T  m1a  7 kg  2,943 m/s 2  20,601 N  21 N
www.turkuamk.fi