Säätötekniikan perusteet
Luento 13: Tilasäätö
13.4.2015
LUT Energy
Electricity | Energy | Environment
Luennon 13 sisältö
Hitaiden aikavakioiden kompensointi PI- ja PIDsäädöllä
Tilamallista siirtofunktioksi
Tilamallin stabiilius
Tilatakaisinkytkentä
Säädettävyys
Tilaestimaattori
Tarkkailtavuus
Referenssisignaali tilasäädössä
Integroiva säätö
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Prosessin hitaan aikavakion
kompensointi PI-säätimellä
2. kertaluvun systeemille
G1 s
K
1 sT1 1 sT2
voidaan virittää PI-säädin kompensoimalla prosessin hidas napa T2 (T2 >
T1).
K P 1 sTI
GPI s
sTI
PI-säätimen integrointiaikavakioksi valitaan TI = T2
Nyt avoimen piirin siirtofunktio on
GPI s G1 s
K P 1 sTI
K
sTI
1 sT1 1 sT2
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
KPK
sTI 1 sT1
Prosessin hitaiden aikavakioiden
kompensointi PID-säätimellä
3. kertaluvun systeemin
G2 s
K
1 sT1 1 sT2 1 sT3
hitaat aikavakiot T2 ja T3 (T1 < T3 < T2) voidaan kompensoida PIDsäätimellä, valitsemalla integrointiaikavakioksi T2 ja deriviointiaikavakioksi
T3.
GPID s G2 s
K P 1 sTI 1 sTD
K
1 sT1 1 sT2 1 sT3
sTI
KPK
sTI 1 sT1
Huomaa, että PID-säätimen siirtofunktio poikkeaa aiemmin esitetystä.
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Esimerkki.
Prosessin hitaiden napojen kompensointi
Tarkastellaan 3. kertaluvun systeemiä
1
0,1s 1 s 1 2 s 1
Säätämättömän takaisinkytketyn
systeemin askelvasteessa suuri
jatkuvuustilan virhe. Asettumisaika (2 %)
noin 5 s.
Valitaan säätäjäksi PID-säädin, jolla
saadaan jatkuvuustilan virhe
kompensoitua. Valitaan säätimen
aikavakioiksi TI = 2 s ja TD = 1 s, jolloin
saadaan prosessin hitaat aikavakiot
kompensoitua.
Step Response
0.7
System: Gc
Time (seconds): 4.92
Amplitude: 0.518
0.6
0.5
Amplitude
G s
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
1
2
3
4
5
Time (seconds)
6
7
8
9
Esimerkki.
Prosessin hitaiden napojen kompensointi
Root Locus
Valitaan säätäjän vahvistukseksi aluksi KP = 1
Havaitaan kuvaajista, että systeemi on
hitaampi kuin ennen säätöä.
Havaitaan lisäksi juuriurasta ja Bodesta, että
vahvistusta on varaa kasvattaa.
3
Imaginary Axis (seconds-1)
2
1
0
-1
Step Response
-2
1
System: G_tot1
Settling time (seconds): 7.52
0.9
-3
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
Real Axis (seconds -1)
0.8
Bode Diagram
Gm = Inf dB (at Inf rad/s) , Pm = 87.1 deg (at 0.499 rad/s)
0.7
20
Magnitude (dB)
0
0.5
0.4
-20
-40
-60
-80
0.3
-100
-90
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
10
12
Time (seconds)
Phase (deg)
Amplitude
0.6
-135
-180
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/s)
2
10
3
10
Esimerkki.
Prosessin hitaiden napojen kompensointi
Valitaan säätäjän vahvistukseksi KP = 10
Prosessin asettumisaika on alle 1 s, ylitystä alle 5 %.
Bode Diagram
Gm = Inf dB (at Inf rad/s) , Pm = 65.5 deg (at 4.55 rad/s)
Step Response
40
1.4
System: G_tot1
Peak amplitude: 1.04
Overshoot (%): 4.32
At time (seconds): 0.63
Magnitude (dB)
1.2
20
System: G_tot1
Settling time (seconds): 0.843
-40
-80
-90
0.6
0.4
0.2
0
-20
-60
0.8
Phase (deg)
Amplitude
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Time (seconds)
1
1.2
1.4
-135
-180
10
-1
10
0
1
10
Frequency (rad/s)
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
2
10
10
3
Tilamalli
Lineaarisen, aikainvariantin SISO-systeemin (yksi tulo ja
yksi lähtö) dynamiikkaa kuvaavat systeemiyhtälöt
(tilayhtälö ja lähtö) tilamalli voidaan kirjoittaa
xt
Ax t
Bu t
yt
Cx t
Du t
Dynaaminen systeemi
tulo u(t)
Tilat
x(t)
lähtö y(t)
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Tilamallista siirtofunktioksi
Laplace-muunnetaan systeemiyhtälöt
xt
Ax t
Bu t
yt
Cx t
Du t
Jolloin saadaan
sX s
Y s
AX s
CX s
BU s
DU s
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Tilamallista siirtofunktioksi
Ratkaistaan tilayhtälöstä X(s)
sX s AX s BU s
( sI A ) X s B U s
X s ( sI A ) 1 B U s
ja sijoitetaan lähdön yhtälöön
Y s CX s DU s
Y s
C( sI A) 1 BU s
DU s
Y s
C( sI A) 1 B D U s
Siirtofunktio on siis
Y s
Gs
C(sI A) 1 B D
U s
Tilamallin stabiilius
Siirtofunktioita käsitellessä todettiin, että systeemin
stabiilius määräytyy systeemin napojen sijainnista. Ja
navathan ovat siirtofunktion nimittäjäpolynomin eli
karakteristisen polynomin nollakohdat.
Edellisellä kalvolla johdimme tilayhtälön ja siirtofunktion
yhteydeksi
Y s
Gs
C(sI A) 1 B D
U s
Yhtälöstä voidaan päätellä, että siirtofunktion nimittäjä on
(sI - A) => Systeemin navat ja täten myös stabiilius
määräytyvät tilamatriisista A.
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Tilamallin stabiilius
Tilayhtälöiden yhteydessä ei yleensä puhuta systeemin
navoista, kuten siirtofunktiolla, vaan systeemin
ominaisarvoista.
Systeemin karakteristinen yhtälö on
det( I A ) 0
Josta voidaan ratkaista ominaisarvot .
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Esimerkki
Tarkastellaan RLC-piiriä, jonka tilamalli on
iL
uC
RL
L
1
C
1
iL
L
1
uC
RC C
iL
y 0 1
uc
a) Muodosta systeemille siirtofunktio.
b) Määritä systeemin ominaisarvot.
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
1
L u
0
U
RL iL
iL
uC
RC
x1
di
dt
x2
uC
x2
duC
dt
x1
x2
di
dt
L
C
du C
dt
RL i L
L
iL
C
RL
x1
L
1
x1
C
uC
uC
L
u
L
uC
RC C
1
1
x2
u
L
L
1
x2
RC C
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Tilatakaisinkytkentä
Tilatakaisinkytkennässä muodostetaan nimensä
mukaisesti takaisinkytkentä systeemin tiloista x(t).
Säätölaki on
x1
x2
u
Kx
k1 k 2
kn
xn
Millainen lohkokaavio/simulointidiagrammi
takaisinkytketylle systeemille voidaan piirtää?
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Tilatakaisinkytkentä
Vertaa tilatakaisinkytkennän säätölakia esim. PIDsäätimeen.
x1
x2
u
Kx
k1 k 2
kn
xn
Mitä säädin käytännössä tekee?
Mitä mallista puuttuu, jos verrataan aiemmin
tarkasteltuihin säätöpiireihin?
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Tilatakaisinkytkentä
Sijoitetaan säätölaki u (t )
x t Ax t Bu t
xt
Ax t
B
Kx(t ) tilayhtälöön
Kx t
A BK x t
Säädetyn systeemin karakteristinen yhtälö on nyt
det I ( A BK )
0
Määrätään halutut ominaisarvot ja verrataan niitä
edelliseen yhtälöön => Saadaan laskettua K.
Miten halutut ominaisarvot määräytyvät?
Tilatakaisinkytkentä
Miten määrätään halutut navat?
Säädetyn systeemin ominaisarvot eli navat määrätään
sen perusteella, miten systeemin halutaan käyttäytyvän.
Saako olla ylitystä ja kuinka paljon?
Kuinka nopea systeemin täytyy olla?
Saadaan halutut vaimennusvakio ja
ominaiskulmataajuus ja näiden avulla napojen
sopiva sijainti kompleksitasossa.
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Säädettävyys
Jotta systeemiä voidaan säätää tilatakaisinkytkennän
avulla, on sen oltava säädettävä.
Säädettävyys tarkoittaa sitä, että systeemin tilat voidaan
säätösignaalilla u saada mistä hyvänsä alkutilasta x0
mihin tahansa haluttuun tilaan x.
Systeemi on täydellisesti säädettävä jos ja vain jos
säädettävyysmatriisin
Qc
B AB A 2 B ... A n 1B
rangi on n (n on systeemin kertaluku) eli matriisissa on n
lineaarisesti riippumatonta riviä tai saraketta.
Säädettävyys
SISO – systeemin säädettävyys voidaan käytännössä
todeta, jos säädettävyysmatriisin determinantti on
nollasta poikkeava
det Q c
0
Täydellisesti säädettävän systeemin ominaisarvot
voidaan siirtää tilatakaisinkytkennällä mihin tahansa
kohtaan kompleksitasossa.
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Esimerkki
Tarkastellaan nopeussäädettyä DC-moottoria, jossa on vakio
ankkurijännite ja säädettävä magnetointijännite.
La
Ra
ua= vakio
J
La
e
Ra
K
u
Moottorille voidaan tehdä seuraavanlainen lohkokaavio
u
K1
uk
1
Lk s+Rk
ik
K
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
T
1
Js
Esimerkki
Moottorille voidaan muodostaa tilamalli
x2
K1
u
Lk
Rk
x1
Lk
x1
K
x1
J
Tilat on valittu niin, että x1 on magnetointivirta ik ja x2 on
pyörimisnopeus . Tulosignaali u on magnetointijännite u. Moottorin
parametrit ovat
Rk 3, Lk 1, K / J 2, K1 • 1. Tilayhtälö matriisimuodossa
x
3 0
2
0
x
1
0
u
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Esimerkki
Moottorin karakteristinen yhtälö on
det I A
det
0
3 0
0
2
0
det
3 0
2
3
0
Josta ominaisarvoiksi saadaan
1
2
0
3
Muutetaan systeemin dynamiikkaa tilatakaisinkytkennällä niin, että
säädetyn systeemin ominaisarvoiksi saadaan
1
2
2
2
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Esimerkki
Takaisinkytketyn systeemin karakteristinen yhtälö on
0
det I ( A BK )
0
2
0
3 0
2 0
0
3 k1
2k 2
3 0
2 0
k1
k2
0
0
1
k1
0
3 k1
2
0
Ja haluttu karakteristinen yhtälö on
2
2
2
4
4
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
0
k2
k2
0
0
Esimerkki
Laitetaan takaisinkytketyn systeemin karakteristinen ja
haluttu karakteristinen yhtälö yhtä suuriksi ja ratkaistaan
tilatakaisinkytkennän kertoimet
2
3 k1
2k 2
2
4
4
Tilatakaisinkytkennän kertoimiksi saadaan
k1
1
k2
2
Matlabissa kertoimien määrittämiseen voi käyttää
komentoa acker(A,B,p), missä A ja B ovat tilamatriiseja
ja p on vektori halutuista navoista.
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Tilaestimaattori
Systeemin tiloja ei aina voida mitata.
Tällöin tilat lasketaan systeemin tulon ja lähdön avulla käyttäen
tilaestimaattoria.
Systeemin tilat lasketaan yhtälöstä
xˆ
Axˆ Bu L y Cxˆ Du
D on useimmiten 0
Mikäli systeemi on tarkkailtava, voidaan L valita niin, että
estimaattorilla on haluttu dynamiikka. Estimaattorin dynamiikalla
tarkoitetaan sitä, kuinka nopeasti estimointivirhe saadaan poistettua.
Tilaestimaattorin dynamiikka on suunniteltava säädön dynamiikkaa
nopeammaksi, jotta säätölaki määräisi koko systeemin dynamiikan.
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Tilasäätö
Tilasäätö sisältää takaisinkytkennän systeemin lähdöstä sekä
tilaestimaattorin.
x(t)
Prosessi
x
Ax bu
Säätölaki
ensori
-K
Sensori
c
y(t)
Estimaattori
x
Ax bu L y cx
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
xt
Ax t
Bu t
yt
Cx t
Du t
Kun y Cxˆ
Mallia ei tarvitse
korjata
Tarkkailtavuus
Jotta systeemin tiloja voidaan estimoida
tilaestimaattorilla, on sen oltava tarkkailtava.
Tarkkailtavuus tarkoittaa sitä, että systeemin tilat x
hetkellä t voidaan laskea, kun tunnetaan lähtö y ja u
ennen ajanhetkeä t.
Systeemi on täydellisesti tarkkailtava, jos ja vain jos
tarkkailtavuusmatriisin
Qo
T
T
T
C | A C |
A
T 2
T
C | .....
A
T n 1
CT
rangi on n (n on systeemin kertaluku) eli matriisissa on n
lineaarisesti riippumatonta riviä tai saraketta. SISOsysteemillä käytännössä
det Q o
0
Referenssisignaali tilasäädössä
Jos tilasäätöön halutaan lisätä referenssisignaali, säätölaki on
ut
ar t
Kx t
Parametri a viritetään niin, että systeemin jatkuvuustilan vahvistukseksi
saadaan 1.
Gs
Y s
U s
0
0
C sI A
1
B
s 0
x' = Ax+Bu
y = Cx+Du
a
Step
0
a
G0
a
x
State-Space
K
K*u
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
1
G0
C
C
Scope
Integroiva säätö
Tilatakaisinkytkentä on käytännössä P-säätö.
Jos systeemin lajityyppi on 0 (ei napoja origossa), säädettyyn
systeemiin jää jatkuvuustilan virhettä.
Säätösysteemiin voidaan lisätä integroiva säätö, joka näkyy
tilayhtälössä ylimääräisenä tilamuuttujana xI
xI
cx r
xI
e
missä r on referenssisignaali ja e on virhe.
Tilayhtälö ja säätölaki ovat nyt
xI
x
u
0 c xI
0 A x
K1 K 0
xI
x
0
u
b
1
0
r
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
t
0
edt
Integroiva säätö
Integroivalle säädölle voidaan tehdä kuvan mukainen simulointimalli
x_I'
r
1
s
x_I
Integrator
-KK_1
u
x' = Ax+Bu
y = Cx+Du
State-Space
K_0
K*u
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
x
C
C
Scope
Mitä pitäisi osata luennosta 13?
Hitaiden aikavakioiden kompensointi PI- ja PIDsäädöllä
Tilamallista siirtofunktioksi
Tilamallin stabiilius
Tilatakaisinkytkentä
Säädettävyys
Tilaestimaattori
Tarkkailtavuus
Referenssisignaali tilasäädössä
Integroiva säätö
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology